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Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
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GEOMETRÍA BÁSICA
Historia
La geometría (Del griego: γεωμετρία: geo = Tierra, Metria = medida) es el campo del
conocimiento dedicado a las relaciones espaciales. Junto a la teoría de números conforma el
antecedente más claro de la matemática moderna.
El principal ámbito de aplicación de la geometría clásica fue la construcción de edificios,
canalizaciones y la distribución del terreno. La geometría primordial se basaba en una colección
de enunciados descubiertos empíricamente en relación con longitudes, ángulos, áreas, y
volúmenes de diversos objetos, y que fueron desarrollados para satisfacer necesidades en
agrimensura, construcción, astronomía y artesanía. Entre estos principios algunos destacan por
ser sorprendentemente sofisticados, hasta el punto de que su justificación ha requerido una
compleja elaboración incluso para la matemática y el cálculo moderno.
En la actualidad, los conceptos geométricos han alcanzado un alto nivel de abstracción y
complejidad debido a la influencia del cálculo y el álgebra, de modo que la geometría moderna
es apenas reconocible como heredera de la antigua.
Es razonable pensar que los orígenes de la Geometría se encuentran en los primeros
pictogramas del hombre primitivo (prehistoria, + 3300 a. C.), que de esta forma clasificaba
inconscientemente los objetos que le rodeaban atendiendo a su forma o dimensiones. En la
abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento intuitivo e informal a la geometría.
Un pictograma es un signo que representa esquemáticamente un símbolo, objeto real o figura,
es el nombre con el que se denomina a los signos de los sistemas alfabéticos basados en dibujos
significativos. Son los precursores de los posteriores jeroglíficos en diferentes culturas. Los
pictogramas deben ser fácilmente comprensibles y omitir detalles superfluos. Hemos de
entenderlos como signos claros y esquemáticos que sintetizan mensajes sobrepasando la
barrera del lenguaje con el objetivo de informar y/o señalizar.
Ejemplo de pictograma
El desarrollo de la geometría primitiva fue paralelo al de los números y la aritmética. La
introducción de los numerales fue un paso decisivo en la abstracción que dejaba atrás las marcas
de cuenta utilizadas por los hombres primitivos. Uno de los primeros esfuerzos serios datados
se remonta a la antigua Mesopotamia hace 6000 años. A continuación, repasaremos sus logros
más importantes.
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Personajes Históricos
Tales de Mileto Matemático griego (630-545 a.C.)
Es uno de los 7 sabios de la antigüedad, se destacó tanto en filosofía como en matemáticas. Se
le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento
lógico. Fundó la geometría como una ciencia que compila una colección de proposiciones
abstractas acerca de formas ideales y pruebas de estas proposiciones. Fue el primero en ser
capaz de calcular la altura de las pirámides de Egipto.
Pitágoras de Samos Matemático griego (582-500 a.C.)
Se piensa que fue discípulo de Tales. Fundó su famosa escuela pitagórica en Crotona, al sur de
Italia. En aquel centro de estudios se discutía filosofía, matemáticas y ciencias naturales. Las
enseñanzas se transmitían por vía oral y todo se atribuía al venerado fundador. Entre otros
aspectos estudiaron los números enteros y su clasificación. También se les atribuye la
demostración del teorema de Pitágoras y como consecuencia, el descubrimiento de los números
irracionales como √2, √3, etc. En estos tiempos aún no hay una distinción muy clara entre la
aritmética y la geometría
Herodoto Historiador griego (484-425 a.C.)
Utilizó por primera vez la palabra griega geometría (medida de la tierra) en su gran épica sobre
las guerras persas, en donde escribe que en el antiguo Egipto fue usada "la geometría" para
encontrar la distribución adecuada de la tierra después de los desbordamientos anuales del Nilo.
Eudoxo de Cánidos Matemático griego (408-355 a.C.)
Es conocido por sus trabajos sobre la teoría de la proporción y el llamado método de exhausción,
aportaciones que hicieron posible determinar áreas y volúmenes rigurosamente, y fueron el
antecedente del Cálculo Integral.
Euclides Matemático griego (325-265 a.C.)
La geometría clásica griega ha sobrevivido a través de la famosa obra escrita por él, conocida
como los Elementos de Euclides. Esta obra está compuesta de trece libros y es considerada
como la obra más famosa de la historia de las matemáticas. Es considerado por ello como el
padre de la Geometría.
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Arquímedes de Siracusa Matemático griego (287-212 a.C.)
Realizó importantes aportaciones a la geometría. Inventó la forma de medir el área de superficies
limitadas por figuras curvas y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas.
También elaboró un método para calcular una aproximación al número π.
Apolonio de Perga Matemático griego (262-190 a.C.)
Escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas y estableció sus nombres:
elipse, parábola e hipérbola.
Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del
filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII.
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Segmentos
Igualdad y desigualdad de segmentos:
Sean los segmentos AB y CD; si transportamos el segmento AB sobre el segmento CD, de
manera que el segmento A coincida con el C puede ocurrir.
1º. Que el extremo B coincida con de D entonces se dice que AB es igual a CD
AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅ ̅̅
2º. Que el extremo B resulte punto interior al CD, entonces se dice que AB es menor que CD.
AB̅̅ ̅̅ < CD̅̅ ̅̅
3º. Que el extremo B resulte punto exterior al CD, entonces el segmento AB es mayor que CD.
AB̅̅ ̅̅ > CD̅̅ ̅̅
Propiedades de igualdad de segmentos. La igualdad de segmentos como toda igualdad goza
de las propiedades:
1. Identidad Todo segmento es igual a sí mismo
AB̅̅ ̅̅ < AB̅̅ ̅̅
2. Reciprocidad. Si un segmento es igual a otro, este es igual al primero
AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅ ̅̅ ∧ CD̅̅ ̅̅ = AB̅̅ ̅̅
A B
A B
C D
A B
A B
C D
A B
C D
A B
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3. Transitividad. Si un segmento es igual a otro y este es igual al tercero el primero es igual al
tercero.
AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅ ̅̅ ∧ CD̅̅ ̅̅ = EF̅̅̅̅ → AB̅̅ ̅̅ = EF̅̅̅̅
Segmentos Consecutivos.
Se dice que dos segmentos son consecutivos, si tienen un extremo común y los demás puntos
son comunes, pertenecen a semirrectas opuestas.
AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅̅̅ Son segmentos consecutivos
Operaciones con segmentos:
Suma.
Para sumar dos o más segmentos, transportamos sobre una recta, y a partir de un punto
cualquiera, segmentos consecutivos, respectivamente iguales a los dados.
El segmento que tiene por origen el origen del primero y como extremo el extremo del último.
Diferencia.
Para obtener el segmento diferencia se transporta el segmento sustraído sobre el segmento
minuendo de manera que considera sus orígenes.
A B C
A B
E F
C D
A B
C D
E F
A B
C D
A B
C D B
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Producto.
El producto deun segmento por un número natural se obtiene llevando sobre una recta, y a partir
de un punto cualquiera de ella, tantos segmentos consecutivos iguales al lado como indica el
número natural.
División.
Para dividir un segmento en partes iguales seguimos el procedimiento que se ilustra a
continuación:
- Sea el segmento AB que se quiere dividir en cinco partes iguales, a partir de los
extremos del segmento dado trazamos una semirrecta AC con cualquier
inclinación sobre AC y a partir de A se lleva el segmento de longitud arbitraria a
tantas veces como indica el divisor en este caso es cinco, determinamos así los
puntos D, E, F, G y H.
- El extremo de segmento B se traza paralelas al segmento HB por los puntos D,
E, F y G y obtenemos los puntos M, N, O, P, que son extremos comunes de
segmentos consecutivos de igual longitud b
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Ejercicios resueltos
1. 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son tres puntos consecutivos de una recta si: 𝐴𝐵 = 2 𝐵𝐶 + 1 y 𝐴𝐶 = 31
determinar la longitud del segmento 𝐵𝐶
Solución
✓ Graficar la recta y sus segmentos considerar la incognita del segmento 𝐵𝐶 = 𝑥
✓ Del grafico se obtiene
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 ; 2𝑥 + 1 + 𝑥 = 31 ; 3𝑥 = 30 ; 𝑥 = 10
✓ La longitud del segmento 𝐵𝐶 = 10 unidades
2. 𝐴,𝑀, 𝐵 y 𝐶 pertenecen a la misma recta, 𝑀 es el punto medio de la recta 𝐴𝐶
sí: 𝐴𝐵 − 𝐵𝐶 = 32 determinar la longitud del segmento 𝑀𝐵
Solución
✓ Graficar la recta y sus segmentos considerar la incognita del segmento 𝑀𝐵 = 𝑥
Además 𝐵𝐶 = 𝑎
✓ Del grafico donde el punto medio es 𝑀 entonces se obtiene
𝑀𝐶 = 𝑥 + 𝑎 y 𝐴𝑀 = 𝑥 + 𝑎
✓ La longitud 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 el punto medio 𝑀 de la recta 𝐴𝐶 remplazando datos en la
ecuación condición
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𝐴𝐵 − 𝐵𝐶 = 32 ; (𝑥 + 𝑎 + 𝑥) − ( 𝑎) = 32 ; 2𝑥 = 32 ; 𝑥 = 16
✓ La longitud del segmento es : 𝑀𝐵 = 16 unidades
3. Sean los puntos colineales 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 sí 2𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 y
𝐴𝐶
𝐵𝐸
=
1
5
determinar
𝐶𝐸
𝐴𝐵
Solución
✓ Graficar la recta y sus segmentos considerar 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵 incógnitas
✓ Del grafico se muestras las incógnitas si : 𝐴𝐵 = 𝑥 . entonces 𝐵𝐶 = 2𝑥
✓ D acuerdo a la condición
𝐴𝐶
𝐵𝐸
=
1
5
entonces:
𝐵𝐸 = 5(𝐴𝐶) ; 𝐵𝐸 = 5( 3𝑥) ; 𝐵𝐸 = 15𝑥
✓ Del grafico se determina para responder a la pregunta
𝐶𝐸
𝐴𝐵
Si: 𝐵𝐸 = 15𝑥 , entonces 𝐶𝐸 = 15𝑥 − 2𝑥 = 13𝑥
✓ La proporción
𝐶𝐸
𝐴𝐵
=
13𝑥
𝑥
será:
𝐶𝐸
𝐴𝐵
= 13
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4. Si puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝑦 𝐸 son colineales y consecutivos sí se cumple que:
2𝐴𝐵 = 3𝐵𝐶 = 4𝐶𝐷 = 5𝐷𝐸 y 𝐴𝐸 + 𝐵𝐷 = 56 Determinar la longitud del segmento 𝐴𝐵
Solución
✓ Graficar la recta y sus segmentos considerar las condiciones
✓ Del grafico se obtiene las siguientes proporciones
2𝐴𝐵 = 𝑥 entonces 𝐴𝐵 =
𝑥
2
; 3𝐵𝐶 = 𝑥 entonces 𝐵𝐶 =
𝑥
3
4𝐶𝐷 = 𝑥 entonces 𝐶𝐷 =
𝑥
4
; 5𝐷𝐸 = 𝑥 entonces 𝐷𝐶 =
𝑥
5
✓ D acuerdo a la condición 𝐴𝐸 + 𝐵𝐷 = 56 se determina la longitud de 𝐴𝐵
(
𝑥
2
+
𝑥
3
+
𝑥
4
+
𝑥
5
) + (
𝑥
3
+
𝑥
4
) = 56 ;
28𝑥
15
= 56 ; 𝑥 = 30
✓ El segmento 𝐴𝐵 =
𝑥
2
entonces 𝐴𝐵 =
30
2
la longitud será: 𝐴𝐵 = 15
Ejercicios Propuestos LIBRO GORDO
CALCULO
Ejercicio N°1 (falta grafica). Pág. 47
1, Los puntos colineales y consecutivos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑦 𝐷, son tales que:
𝐴𝐷 = 18, 𝐵𝐷 = 13 𝑦 𝐴𝐶 = 12
Hallar 𝐵𝐶.
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5
Respuesta (b).
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Ejercicio N° 2 (falta grafica). Pag.48
2. Se tiene puntos colineales y consecutivos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 tales que:
𝑨𝑫 = 𝟐𝟒 𝑨𝑪 = 𝟏𝟔 y
𝑨𝑩
𝑩𝑪
=
𝑨𝑫
𝑪𝑫
Hallar 𝐵𝐶.
a) 3 b)4 c)6 d)3,6 e) 5
Respuesta (b).
Ejercicio N° 3 (falta grafica). Pag.49
3. 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶, son puntos colineales y consecutivos, tales que 7𝐴𝐵= 8𝐵𝐶 y 𝐴𝐶 =45.
Hallar 𝐵𝐶
a) 25 b) 19 c)23 d) 21 e) ninguna
Respuesta (d)
Ejercicio N° 4 3 (falta grafica). Pag.50
4.En una recta que tienen los puntos consecutivos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, cumpliendo la relación: 4
𝐴𝐵 −2𝐶𝐷=4.
Hallar 𝐴𝐷, si 𝐴𝐵=3 y 𝐴𝐶=5.
a)5 b) 6 c) 8 d) 9 e)7
Respuesta (e).
Ejercicio N° 5 (falta grafica). Pag.51
5.En una recta se ubican los puntos consecutivos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝑦 𝐸, siendo C, punto medio de
𝐴𝐵, además 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷. Calcular la longitud de 𝐵𝐷, 𝑠𝑖 𝐴𝐸 =18.
a)6 b)7 c)8 d)9 e) 10
Respuesta (d).
Ejercicio N° 6 (falta grafica). Pag.51
6.𝑀,𝑁, 𝑅, son puntos colineales y consecutivos, tales que 2𝑀𝑁+ 3𝑁𝑅 = 81.
Hallar 𝑁𝑅, 𝑠𝑖 𝑀𝑅 = 36
a)12 b)11 c)10 d) 8 e)9
Respuesta (e).
Ejercicio N° 7 (falta grafica). Pag.53
7.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos 𝑃, 𝑄 y 𝑅. Entre los puntos 𝑄 y 𝑅 se toma
un punto 𝐻, tal que: 𝑃𝐻 =
𝐻𝑅
4
y 𝑄𝑅 − 4𝑃𝑄 = 28
Hallar 𝑄𝐻.
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a)7 b)5,6 c)4,8 d)4,5 e) n.a
Respuesta (b).
Ejercicio N° 8 (falta grafica). Pag.53
8.Sean los puntos colineales y consecutivos 𝐴, 𝐸, 𝐵, 𝑃 𝑦 𝐶; 𝐸, es un punto medio de 𝐴𝐵 y 𝑃 lo
es de 𝐸𝐶.
Hallar 𝑃𝐶, Si: 𝐴𝐵 + 2𝐵𝐶 =36.
a)8 b)16 c)18 d)9 e)12
Respuesta 𝑃𝐶 = 9 ….(d)
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Angulo.
Una figura formada por dos semirrectas con un extremo común A, este punto común se llama
vértice del ángulo.
Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas.
1. Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando la letra vértice al
medio 𝐂𝐀�̂�
2. Por la letra griega colocada en la abertura 𝛼
3. Por la letra del vértice Â
Medida de ángulo.
Medir un ángulo o determinar su magnitud es comparar con otro, que forma como unidad, un
ángulo se puede medir en grados sexagesimales y radianes.
Grados sexagesimales.
Se considera una circunferencia divida en 360 partes iguales y un ángulo de un grado, es el que
tiene el vértice en el centro y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas, cada división de
la circunferencia se denomina grado.
Cadagrado se considera dividido por 60 partes iguales llamado minutos y cada minuto es 60
partes iguales denominados segundos, se simboliza de la siguiente manera
• Grado o 1º = 60´
• Minuto ´ 1´ = 60´´
• Segundo ´´
A B
C
1º
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Sistema radiánico
Otro sistema es el circular o radiánico, que se usa como unidad el ángulo llamado radian, un
radian es el ángulo cuyos lados corresponden a un arco, cuya longitud es igual al radio de la
circunferencia.
Bisectriz de un ángulo.
Es la semirrecta que tiene como origen el vértice y divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Clasificación de ángulo. los ángulos se clasifican:
a) por su medida angular se clasifican en:
Angulo Llano. Es el ángulo formado por dos semirrectos opuestas sobre una línea recta, su
amplitud es de media circunferencia es decir 180º.
Angulo Recto. Cuando uno de los lados de un ángulo está en un cuarto de la circunferencia,
el ángulo mide 90º
r
1 radián
r
r
A
B
C
D
180º
0
90º
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Angulo Obtuso. Es el ángulo cuya amplitud es mayo que 90º y menor que 180º.
90° < α < 180°
Angulo Agudo. Es todo ángulo cuya amplitud sea menor que 90º
α < 90°
Angulo Cóncavo. Es todo ángulos cuya medida es mayor a 180º y menor a 360º.
Angulo Convexo. Es todo ángulo cuya medida es mayor que 0º y menor que 180º.
b) Por la suma de sus medidas:
Complementario. Son los que sumados valen 90º, cada ángulo se llama complemento del
otro así el ángulo α es complemento del ángulo β o viceversa.
Angulo Suplementario. Son los que sumados valen 180º, cada ángulo es suplemento del
otro, así el ángulo α es suplemento del ángulo β o viceversa.
+
90º
=
+ = 90º
+ =
+ = 180º
180º
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c) Por la posición de sus lados:
Ángulo Consecutivo. Se denomina así; si tienen un lado común, que separe a los otros dos
ángulos, varios ángulos son consecutivos, si cada uno es consecutivo del siguiente.
Teoremas:
1. Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180º
2. La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto es igual a 360º
Angulo adyacente.
Dos ángulos son adyacentes cuando tienen lados en común y los otros dos lados son semirrectas
opuestas.
Los ángulos adyacentes son complementarios, es decir α + β = 180°
Ángulos opuestos.
Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos, son las semirrectas
opuestas de los lados del otro
α y β son opuestos por el vértice 𝛂 = 𝛃 ; δ y θ son opuestos por el vértice 𝛅 = 𝟎
+ = 180º
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Angulo central.
Es aquel ángulo que está formado por dos radios de la circunferencia y su vértice coincide con
el centro de la misma.
Angulo Inscrito.
Es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados en el interior de la misma.
Angulo positivo. Es aquel que se genera en sentido contrario de las agujas del reloj.
Angulo Negativo. Es aquel que se genera en el sentido de las agujas del reloj
Ángulo positivo
Ángulo negativo
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Angulo formado por dos rectas paralelas y una recta secante:
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una secante se forman los siguientes ángulos.
• Ángulos Internos. Son los que están en las paralelas d, c, e y f.
• Ángulos Externos. son los que están fuera de las paralelas a, b, h y g.
• Ángulos Alternos Internos. Son los ángulos internos situados a distintos lados de la recta
secante y no adyacente d = f; c = e
• Ángulos Alternos Externos. Son los externos situados a distintos lados de la secante y no
adyacentes a = g; h = b
Ángulos Correspondientes. Son dos ángulos uno interno y el otro externo situado al mismo
lado de las secantes y no adyacente a = e; b = f; h = d; c = g
• Ángulos Colaterales Internos. Son ángulos internos situados al mismo lado de la secante
d y e; c y f; además d + e = 180º; c + f = 180º
• Ángulos Colaterales Externos. Son dos ángulos externos al mismo lado de la secante a y
h; b y g además a + h = 180º; b y g = 180º
• Ángulos Con Lados Paralelos O Perpendiculares:
Teorema:
1. Dos ángulos, obtusos o agudos que tienen sus lados respectivamente paralelos, son iguales
entre sí: L // L´ y K // K´
b
a
d
c
f
e
h
g
L2
L1
L3
L
L
K
K
L
L
K
K
= =
L
L
K
K
=
L
L
K
K
=
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2. Si dos ángulos, un ángulo agudo y otro obtuso, tienen sus lados respectivamente paralelos,
entonces son suplementarios
3. Dos ángulos obtusos o agudos, que tienen sus lados respectivamente iguales, son iguales
entre si.
4. Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso que tienen sus lados respectivamente perpendiculares
son suplementarios.
L
L
K
K
L // L
K // K
= Angulo agudo
= Angulo obtuso
+ = 180º
L
L
K
K
=
L
L
K
=
K
L ⊥ L
K ⊥ K
L
L
K
K
L ⊥ L
K ⊥ K
= Angulo agudo
= Angulo obtuso
+ = 180º
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Ejercicios resueltos
1.Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD si 2(AOB)= 3 (COD) ; AOC=92º y
BOD=76º determinar la medida del ángulo BOC
Solución
✓ Graficar los ángulos consecutivos
✓ Interpretar en el grafico la condición
2(AOB)= 3 (COD)
2(92𝑜 − 𝑥) = 3(76 − 𝑥)
✓ Resolver la ecuación para determinar el ángulo 𝑥
184 − 2𝑥 = 228 − 3𝑥 ; 3𝑥 − 2𝑥 = 228 − 184 ; 𝑥 = 44
✓ El valor del ángulo pedido será: 𝑥 = 44𝑜
2. El doble del complemento de un ángulo más el triple del suplemento del mismo es 600𝑜
determinar la medida del ángulo
Solución
✓ Sea 𝑥 ángulo que se busca
✓ interpretar ángulo complementario 90𝑜 − 𝑥 además ángulo suplementario 180𝑜 − 𝑥
✓ Interpretar la condición de la pregunta
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2(90𝑜 − 𝑥 ) + 3(180𝑜 − 𝑥) = 600𝑜
✓ Resolver la ecuación para determinar el ángulo 𝑥
180 − 2𝑥 + 540 − 3𝑥 = 500 ; 5𝑥 = 140 ; 𝑥 = 28
✓ El valor del ángulo pedido será: 𝑥 = 28𝑜
3. Si las rectas: 𝑟 es paralela a 𝑠 y 𝑠es paralela a 𝑡 determinar el valor de 𝛼 + 𝛽Solución
✓ Aplicar la definición de ángulo adyacentes
∝ +150° = 180° y 𝛽 + 160° = 180°
✓ La suma de ángulos consecutivos alrededor de un punto es 360°
∝ +150° + 𝛽 + 160° = 360 entonces el resultado es ∝ +𝛽 = 50°
4. Si la recta 𝑟 es paralela a la recta 𝑠, determinar el valor del ángulo 𝛼 es:
𝛼
𝛽
150⁰
160⁰
𝑟
𝑠
𝑡
52⁰
3 𝛼 120⁰
𝑟
𝑠
𝛽 3𝛼
𝛽
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Solución
✓ Como 𝑟 es paralela a 𝑠 entonces el ángulo 3𝛼 es el mismo
✓ De la gráfica aplicando la definición de ángulos adyacentes se obtiene
𝛽 + 52° + 3 ∝= 180° y 120° + 𝛽 = 180°
✓ formar el sistema de ecuaciones para determinar 𝛼
{
𝛽 + 52° + 3 ∝= 180°
120° + 𝛽 = 180°
; {
3 ∝ +𝛽 = 128°
𝛽 = 60°
✓ Resolviendo el sistema el ángulo pedido será: 𝛼 = 22°40′
5. Según el grafico, calcular el valor del ángulo 𝑥 en grados sexagesimales
Solución:
✓ Prolongando las rectas e indicando los ángulos en cada triangulo que se forma
Triángulo LHB 20𝑜 + 𝜑 = 90𝑜 ; 𝜑 = 70𝑜
Angulos internos alternos 𝜑 = 𝛽 = 70𝑜
Suma de angulos 140𝑜 + 𝜔 = 180𝑜 ; 𝜔 = 40𝑜
Triangulo MCD 60𝑜 + 𝜔 + 𝛼 = 180𝑜 ; 𝛼 = 80𝑜
Triangulo BAC 70𝑜 + 80 + 𝜃 = 180𝑜 ; 𝜃 = 30𝑜
Triángulo AGE 𝜃 + 𝛾 = 90𝑜 ; 𝛾 = 60𝑜
✓ Luego se observa donde se encuentra el valor de 𝒙 que se pide en el enunciado
𝒙 + 𝟔𝟎𝒐 = 180𝑜 ; 𝑥 = 130𝑜
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6. En el rectángulo 𝑀𝑁𝑂𝑃 la diagonal es duplo del ancho, y 𝑀𝑃 = 𝑃𝑄; la suma de los
ángulos “𝑥” e “𝑦” es:
Solución:
✓ Según el enunciado la diagonal 𝑃𝑁 es el duplo del ancho 𝑀𝑃, además 𝑀𝑃 = 𝑃𝑄
entonces 𝑄𝑂 = 𝑃𝑁 = 2𝑀𝑃
✓ Del triángulo rectángulo𝑃𝑂𝑄 tenemos cateto opuesto sobre hipotenusa
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑃𝑄
𝑄𝑂
✓ Reemplazando 𝑄𝑂 por 2𝑀𝑃 y 𝑃𝑄 por 𝑀𝑃
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑀𝑃
2𝑀𝑃
✓ Simplificando y despejando “𝑥”
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
1
2
; 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
1
2
) ; 𝑥 = 30º
✓ Como el ángulo “𝑦” es recto, entonces:
𝑦 = 90º
✓ luego 𝑥 + 𝑦 = 30º + 90º = 120º
y
M N
O
Q
P
x
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Ejercicios propuestos DEL LIBRO ANILLADO
CALCULO ANGULOS
Ejercicio N°1 (falta grafica pág. 93).
1. Se tienen los ángulos consecutivos 𝐴𝑂𝐵 y 𝐵𝑂𝐶, donde 𝐴𝑂𝐶 = 102°. Se traza la
bisectriz 𝑂𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ del 𝐴𝑂𝐵. Hallar la medida del 𝐵𝑂𝐶, si 𝐵𝑂𝐶 − 𝑀𝑂𝐵 = 36°.
a) 51° b) 66° c)68° d)48°
e) 58°
Respuesta (e).
Ejercicio N°2 (falta grafica pág. 95).
2. En la figura adjunta: 𝑋 − 𝑌 = 12° Hallar el valor de a.
a) 6° b) 24° c)18° d)18°
e) 9°
Respuesta (d).
Ejercicio N°3
3. El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la medida de su complemento.
Hallar la medida del ángulo.
a) 54° b) 36° c)32° d)27°
e) 58°
Respuesta (a).
Ejercicio N°4
4. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí, como 3 𝑎 7. Hallar el
complemento del menor
a) 54° b) 32° c)52° d)36°
e) n.a
Respuesta (d).
Ejercicio N°5
5. Si los 3/2 del complemento de un ángulo 𝑎 es igual al suplemento del complemento del
mismo ángulo. Hallar 𝑎..
a) 15° b) 28° c)18° d)5°
e) 8°
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Respuesta (c).
Ejercicio N°6
6. El suplemento del complemento de un ángulo es igual a 3/2 de la diferencia entre el
suplemento y el complemento de dicho ángulo.
Hallar el ángulo.
a) 38° b) 42° c)45° d)48°
e) 50°
Respuesta (c).
Ejercicio N°7
7. La suma de las medidas de los ángulos es 80° y el complemento de la medida del primero
es igual al doble de la medida del segundo. Calcular la diferencia de dichos ángulos.
a) 50° b) 60° c)65° d)70°
e) 72°
Respuesta (b).
Ejercicio N°8 (falta grafica pág. 111).
8. En la figura: 𝐿1⃡⃗⃗⃗ //𝐿2⃡⃗⃗⃗ Hallar el valor de 𝑋.
a) 54° b) 64° c)44° d)94°
e) 84°
Respuesta (e).
Ejercicio N°9
9. En el triángulo ADB si 𝐴𝐶 = 2( 𝐵𝐷). La medida del ángulo 𝑎 es:
a) 15° b) 16° c) 24° d) 32° e) 8°
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
25
Ejercicio N°10
10. El el pentágono estrellado al calcular el valor del ángulo 𝑎 es:
a) 40° b) 50° c) 30° d)45° e) 60°
Ejercicio N°11
11. El gráfico muestra que la recta 𝑙 es paralela a la recta 𝑚 al calcular el valor del ángulo 𝑥
es:
a) 85° b) 80° c) 75° d)60° e) 45°
Ejercicio N°12
12. Si la suma de ángulos 𝛼 + 𝛽 = 300° Además la recta 𝑙 es paralela a la recta 𝑚 el valor
del ángulo 𝑥 es
a) 20° b) 30° c) 40° d)50° e) 60°
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
26
Triángulos
Un triángulo es una figura plana que se determinan tres puntos no colineales y se forma al unirlos
con segmentos de línea recta.
Vértices: son los puntos de intersección de las rectas que forman el triángulo A, B, C
Lados: son los segmentos a, b, c
Ángulos Interiores: son los que forman los lados , ,
Perímetro: es la suma de sus lados
P = AB + BC + CA = a + b + c
Semiperímetro: es la suma de sus lados dividido entre 3
Clasificación de Triángulos: se clasifican por sus lados y por sus ángulos
AB̅̅ ̅̅ ≠ BC̅̅̅̅ ≠ AC̅̅̅̅
a) Por sus lados: se clasifican en:
Equilátero: si tiene sus tres lados iguales.
Isósceles: si tiene dos lados iguales.
Escaleno: si tiene sus tres lados diferentes.
b
a
C
c
B
A
𝛾
C
B
A
C
B
A
EQUILÁTERO
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
Además = 60º
ISOCELES
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≠ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
Además < 90º
C
B
A
ESCALENO
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≠ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≠ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
Además
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
27
b) Por sus Ángulos: se clasifican en:
Acutángulo: si tiene sus tres lados agudos.
obtuso ángulo: si tiene un ángulo obtuso.
Rectángulo: si tiene un ángulo recto, en este triángulo los lados que forman el ángulo recto se
llaman cateto y el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa.
AC̅̅̅̅ y BC̅̅̅̅
Propiedades Básicas. En todo triangulo:
1º Las medidas los ángulos interiores suman 180º.
2º Cualquier ángulo exterior mide igual a la suma de dos interiores no adyacentes.
B
RECTÁNGULO
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
Catetos
Además = 90º
A C
ACUTÁNGULO
< 90º; < 90º ; < 90º
B
C
A
B
OBTUSO ANGULO
90º < < 180º
< 90º ; < 90º
C A
C
B
A
X
+ = x
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
28
3º la medida de los ángulos exteriores, uno por vértice suma 360º.
4º en un mismo triangulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa
5º Los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales o viceversa.
6º la suma de dos de sus lados es mayor que el tercero; y la diferencia de cualquiera de sus
lados es menor que el tercer lado.
C
B
A
X
X + Y + Z = 360º
Y
Z
C
B
A
Si: AB̅̅ ̅̅ > BC̅̅̅̅
Entonces: >
C
B
A
Si: AB̅̅ ̅̅ = AC̅̅̅̅
Entonces: =
a + b > c a – b < c
a + c > b a – c < b
b + c > a c – b < a
C
B
A
b
c a
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
29
Líneas notables del triangulo
Mediana: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto el punto de
intersección de las tres medianas se llama baricentro.
Altura: segmento perpendicular a un lado, trazado desde el vértice opuesto, el punto de
intersección de las alturas se llamó ortocentro.
Bisectriz: segmento que divide al ángulo interior en dos partes iguales, el punto de intersección
de los bisectrices se llama incentro.
Mediatriz: Es la perpendicular en el punto medio de cada lado, el punto de intersección de las
tres mediatrices se llama circuncentro.
C
B
A
G
mb
b
c a
ma
mc
G = baricentro
C
B
A
O
hb
b
c a
ha hc
O = Ortocentro
C
B
A
I
b
c a
I = Incentro
C
B
A
K
b
c a
K = Circuncentro
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
30
Ceviana: Es el segmento de la recta que une un vértice con punto cualquiera del lado opuesto
de su prolongación.
Igualdad de triángulos
Un triángulo es igual a otro si tiene todo sus lados y ángulos respectivamente iguales a los lados
y ángulos del otro. Al superponer dos triángulos iguales, sus vértices coinciden. Para demostrar
que dos triángulos son iguales, no es necesario comprobar la igualdad que todos sus elementos
puesto que se cumplen tres de ellas, siempre que por lo menos una se refiera a los lados,
necesariamente los demás elementos resultan iguales
Criterios de igualdad de triángulos
1º Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a el.
𝐵𝑃̅̅ ̅̅ : Ceviana interior relativa a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐵𝑄̅̅ ̅̅ : Ceviana exterior relativa a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
C
B
A P b
c a
Q
C
B
A
C
B
A
c
a
b
c
a
b
b = b ; = ; = ; entonces ∆ABC = ∆A′B′C′
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
31
2º Dos triángulos son iguales si tienen iguales lados y el ángulo comprendido entre ellos.
3º Dos triángulos son iguales si tienen sus tres lados respectivamente iguales.
Observación si dos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamente iguales, no podemos
asegurar que sean iguales.
a = a ; b = b ; = ; entonces ∆ABC = ∆A′B′C′
C
B
A
c a
b
C
B
A
c a
b
C
B
A
a
b
c
C
B
A
a
b
c
a = a ; b = b ; c = c ; entonces ∆ABC = ∆A′B′C′
C
B
A
C
B
A
a
b
c
a
b
c
= ; = ; = ; pero ∆ABC ≠ ∆A′B′C′
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
32
Teorema de Pitágoras: En todo triangulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Hipótesis: ABC es un triángulo rectángulo en C.
Tesis: c2 = a2 + b2
Demostración: Tomando el segmento AB como uno de sus lados, construimos un cuadrado
ABDE.
Figura 1 figura 2
Por E trazamos una perpendicular al lado EA̅̅̅̅ (prolongado) y trazamos una perpendicular al lado
CD̅̅ ̅̅ (prolongado), quedan así de unidades por puntos F, G, H Figura 2
Probaremos ahora que los triángulos ABC, BDF, DEG, AHE son iguales
C
B
A
a
b
c
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
33
De las igualdades establecidas obtenemos: = = = y ; = = x = z ①
Por construcción del cuadrado: AB = BD = EA = DE = C ②
De ① y ② se tiene los siguientes triángulos:
El área del cuadrado C F G H; es igual al área del cuadrado A B D E más el área de los cuatro
triángulos.
(a + b)2 área del cuadrado C F G H
C2 + 4
ab
2
; área del cuadrado ABDE más cuatro triángulos
(a + b)2 = c2 + 2a luego a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
c2 = a2 + b2 c. q. d.
Teorema de THALES Si tres rectas paralelas son cortadas por dos transversales, dos
segmentos cualesquiera de una de estas son proporcionales a los dos segmentos
correspondientes de la otra
BM̅̅ ̅̅ ̅
AM̅̅ ̅̅ ̅
=
B´M´̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
A´M´̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
A
M
B
L L
B
M
A
a
b
c
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
34
Semejanza de triángulos:
Dos figuras geométricas son semejantes si las dimensiones del uno guardan una relación
constante con las dimensiones correspondiente del otro. Por ejemplo, cada parte de una
ampliación de una fotográfica es semejante a la parte correspondiente de su negativo.
Dos triángulos son semejantes si los tres ángulos del uno son iguales a los tres ángulos del otro.
Criterios de semejanza de triángulos: Dos triángulos son semejantes si:
1. Dos triángulos de uno son respectivamente iguales a dos ángulos del otro.
2. Dos lados del uno son proporcionales a los lados del otro y el ángulo correspondido es igual.
C
B
A
C
B
A
= ; = ; entonces ∆ABC = ∆A′B′C′
C
B
A
C
B
A
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
=
𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐵´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
y = ; entonces ∆ABC ≈ ∆A′B′C′
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
35
3. Sus lados homólogos están en la misma relación.
AB̅̅ ̅̅
A′B′̅̅ ̅̅ ̅
=
BC̅̅̅̅
B′C′̅̅ ̅̅ ̅
=
AC̅̅̅̅
A′C′̅̅ ̅̅ ̅
Entonces
∆ABC ≈ ∆A′B′C′
4. Sus lados homólogos respectivamente paralelos o perpendiculares.
Teorema: Si dos triángulos son semejantes, entonces:
a) Sus ángulos son respectivamente iguales.
b) Sus lados homólogos son proporcionales.
Cuadriláteros. Son figuras planas limitada por cuatro segmentos rectilíneos y pueden ser
conexos, no conexos, equiláteros, equiángulos, etc.
I. Paralelogramos
Paralelogramo. Es un cuadrilátero en el cual sus lados opuestos son paralelos entre si.
Rombo. Es un cuadrilátero que tiene cuatro lados iguales.
Rectángulo. Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales de 90.
Cuadrado. Tiene cuatro lados y cuatro ángulos respectivamente iguales de 90.
Propiedades:
1. En todo paralelogramo los ángulos y los lados opuestos, son respectivamente
congruentes.
2. Las diagonales de todo paralelogramo se interceptan en un punto medio.
3. Las diagonales del rectángulo son congruentes.
4. Las diagonales del rombo son perpendiculares y bisectrices.
5. s diagonales del cuadrado son congruentes, perpendiculares y bisectrices.
Rombo
Rectángulo Paralelogramo Cuadrado
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
36
II. Trapecios: Tienen dos lados paralelos, llamados bases, la altura del trapecio es la distancia
entre las bases, se clasifican en:
Trapecio Isósceles. Sus lados no paralelos son congruentes.
Trapecio Escaleno. Sus lados no paralelos tienen diferente longitud.
Trapecio Rectángulo. Uno de sus lados es perpendicular a las bases.
Propiedades:
1. El segmento que une los puntos medios de sus lados no paralelos se llama “base media”,
“mediana” o “paralela media”, es paralelo a las bases y media la semisuma de ellas.
MN =
AD̅̅ ̅̅ + BC̅̅̅̅
2
2. El segmento que une los puntos medios de las diagonales se ubica sobre la mediana y
mide la semidiferencia de las bases.
PQ =
AD̅̅ ̅̅ − BC̅̅̅̅
2
Trapecio
Isósceles
Trapecio Escaleno Trapecio Rectángulo
A D
B C
M N
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
37
III. Trapezoides. No tienen los lados paralelos
Ejercicios resueltos
1. En el triángulo dado determinar el valor de 𝑥 en el vértice C:
Solución
✓ Considerar que en todo triangulo la suma de sus tres ángulos interiores es 180°
2𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 = 180°
✓ Resolver la ecuación para determinar el valor de 𝑥
6𝑥 = 180 ; 𝑥 = 30
✓ Entonces el ángulo del vértice C sera: 𝑥 = 30°
𝐴
𝐵 𝐶
2𝑥
3𝑥 𝑥
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
38
2. En el triángulo determinar el valor del ángulo 𝑥
Solución:
✓ El triángulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles de base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
✓ La suma de los ángulos interiores es igual a 180𝑜
2𝑥 + 40° = 180°
✓ Resolver la ecuación para obtener el valor del ángulo resulta 𝑥 = 70°
3. En el gráfico: 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, 𝐵𝑀 = 𝐵𝑀 determinar el ángulo 𝑥.
Solución:
Triangulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles, entonces 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 los ángulos �̂� = �̂� = 𝛼
𝑨
𝑩 C
40⁰
𝑥 𝑥
𝐵
𝐴 𝐶
𝑀
𝑁
30⁰
𝑥
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
39
Triangulo 𝑀𝐵𝑁 isósceles �̂� = �̂� = 𝑥 + 𝛼 aplicando propiedad de ángulos exterior
En el triángulo𝐴𝐵𝑀 aplicar la propiedad de ángulo exterior que dice la suma de los ángulos
adyacentes del triángulo es igual al ángulo exterior
∝ +30𝑜 = 𝑥+∝ +𝑥
Resolver la ecuación entonces el valor del ángulo sera: 2𝑥 = 30 ; 𝑥 = 30𝑜
4. La suma de dos ángulos internos de un polígono es 2340°. Calcular la cantidad de
diagonales que se puede construir en el polígono.
Solución:
✓ Aplicando propiedades de polígono: Suma de las medidas de los ángulos anteriores
para determinar el número de lados es:
𝑆 = 180°(𝑛 − 2)
✓ La pregunta dice que la suma de ángulos internos es:
180°(𝑛 − 2) = 2340° ; Entonces 𝑛 = 15
✓ El número total de diagonales de un polígono se determina sustituyendo 𝑛 en la formula
𝑑 =
n(n−3)
2
,
✓ Entonces numero de diagonales del polígono es 𝑑 = 90 diagonales
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
40
5. En el triángulo 𝐴𝐵𝐶 determinar la longitud 𝑥
Solución
✓ En el triangulo 𝐴𝐵𝐶 se tiene: ángulo recto en 𝐵 y en 𝑀, los ángulos en 𝐶 y en 𝑁 son
aproximadamente iguales.
�̂� = �̂�
✓ Si el triangulo 𝐴𝑀�̂� es semejante al triangulo 𝐴𝐵�̂� entonces se puede decir que:
𝑀𝑁
𝐵𝐶
=
𝐴𝑁
𝐴𝐶
(1)
✓ Del triángulo 𝐴𝐵�̂� se tiene los siguientes datos:
{
𝑀𝑁 = 1
𝐵𝐶 = 3
𝐴𝑁 = 2
𝐴𝐶 = 𝑥 + 2
✓ Reemplazando en la igualdad (1) los datos se forma la ecuación al resolver
se obtiene 𝑥
1
3
=
2
𝑥+2
; 𝑥 + 2 = 6 entonces 𝑥 = 4
✓ La longitud de 𝑥 en el triángulo es 𝑥 = 4
. .
C
A B
N
M
𝑥
2
1
3
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
41
6. Dos triángulos rectángulos son semejantes. La hipotenusa del primero es de 6 metros y su
área es 9 metros cuadrados, la hipotenusa del segundo es 8 m. Determinar la altura
relativa de la hipotenusa del segundo triángulo.
Solución:
✓ Graficar los triángulos:
✓ Utilizando la fórmula de área de un triángulo se determina la altura del primer
triangulo:
𝐴 =
𝑏 · ℎ
2
=
6 · ℎ
2
; 9 =
6 · ℎ
2
; entonces ℎ = 3
✓ Utilizando semejanza de triángulos se forma la ecuación al resolver se determina la
altura del segundo triangulo:
ℎ
𝑥
=
6
8
;
3
𝑥
=
6
8
; 3 ∙ 8 = 6 ∙ 𝑥 entonces : 𝑥 = 24
6
✓ La altura del segundo triangulo sera: 𝑥 = 4 metros
7. En la figura determinar la longitud 𝑥.
Solución
✓ De la figura en el cuadrado ABMD se tiene los siguientes datos:
𝐴𝐵 = 5 ⇒ 𝐷𝑀 = 5 ; 𝐴𝐷 = 4 ⇒ 𝐵𝑀 = 4
✓ Se determina la longitud 𝑀𝐶 con los datos de la figura
Si: 𝐷𝐶 = 8 entonces 𝐷𝑀 + 𝑀𝐶 = 8 ; 5 + 𝑀𝐶 = 8 ; 𝑀𝐶 = 3
✓ En el triángulo 𝐵𝑀𝐶 aplicar el teorema de Pitágoras para determinar 𝑥
(BM)2 + (MC)2 = (BC)2 ; 42 + 32= 𝑥2 ; 𝑥 = √16 + 9
✓ La longitud de x en la figura sera: 𝑥 = 5 unidades
D
A B
C
8
M
4
5
𝑥
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
42
8. Determinar el área del trapecio ABCD con los datos de la figura
Solución
✓ De la figura se tiene lo siguientes datos:
𝐷𝐶 = 6 ⇒ 𝐴𝑀 = 6
✓ Se determina la longitud 𝑀𝐵 con los datos de la figura
Si: 𝐴𝐵 = 10 entonces 𝐴𝑀 + 𝑀𝐵 = 10 ; 6 + 𝑀𝐵 = 10 ; 𝑀𝐵 = 4
✓ En el triángulo 𝐶𝑀𝐵 aplicar el teorema de Pitágoras para determinar la altura 𝐶𝑀
𝐶𝑀2 + 𝑀𝐵2 = 𝐵𝐶2 ; 𝐶𝑀2 + 42 = 52 ; 𝐶𝑀 = √25 − 16 ; 𝐶𝑀 = 3
✓ El área del trapecio será:
𝐴 =
(𝐵+𝑏).ℎ
2
=
(10+6).3
2
; 𝐴 = 24 unidades
Ejercicios propuestos
A
D C
M B
6 m
5 m
10
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
43
Circunferencia y Círculo
Circunferencia. Es una curva cerrada y plana, que tiene todos sus puntos a la misma distancia
de otro punto interior llamado centro.
Arco. Es una porción limitada de la circunferencia.
Semicircunferencia. Es la mitad de la circunferencia, ósea un arco de 180º
Posiciones relativas de dos circunferencias. Dos circunferencias pueden ser:
Concéntricas. Son las circunferencias que tienen el mismo centro.
R
Centro
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
44
Excéntricas. Son las circunferencias que tienen distinto centro.
Secantes. Son circunferencias que se cortan en dos puntos.
Tangentes. Son circunferencias que solo se interceptan en un punto.
Círculo. Es la superficie plana limitada por la circunferencia que es solamente, la línea exterior.
Líneas notables en la circunferencia. En el grafico muestra los siguientes elementos
notables
secante tangentes
Centro
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
45
Centro. Es el punto origen O
Radio. Es la recta que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia, todos los radios
de la circunferencia son iguales. 𝑟
Diámetro. Es la recta que, pasando por el centro termina en dos puntos de la circunferencia 𝑄𝑆̅̅̅̅ .
El diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales y equivale a dos radios. 𝐷 = 2 𝑅
Cuerda. Es la recta que une dos puntos 𝑄𝑃̅̅ ̅̅ de la circunferencia. La mayor cuerda que puede
trazarse en una circunferencia es el diámetro.
Sagita. Es la perpendicular levantada en medio de una cuerda 𝐹𝑀̅̅̅̅̅ y que termina en el arco
correspondiente.
Secante. Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , viene a ser una cuerda
prolongada.
Tangente. Es la una recta 𝑛 que tiene sólo un punto T común con la circunferencia, aunque se
la prolongue indefinidamente.
Ángulos de la circunferencia
Angulo central Angulo Inscrito Angulo Ex inscrito
Angulo Semi inscrito Angulo Interior
0
0: Centro
=
𝛼 =
𝛽
2
C
A
B
𝛼 =
𝜔 + 𝛿
2
T
B
𝛼 =
𝜔
2
𝛼 =
𝛽 + 𝜔
2
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
46
Angulo exterior
Teorema de poncelet.
En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de los catetos, es igual a la suma de las
longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita.
Teorema de Pitoth.
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de la longitud de dos lados
opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados
A
C
D
a
B
R
0
b
c
d
a + c = b + d
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
47
Relaciones métricas en la circunferencia
Teorema de las cuerdas.
Al trazar en una circunferencia dos cuerdas secantes en un punto interior, se cunple que los
productos de las longitudes de los segmentos determinados en cada cuerda son iguales.
Teorema de las secantes.
Al trazar desde un punto exterior dos rectas secantes a una circunferencia, se cumple que los
productos de las longitudes de los segmentos secantes con sus respectivas partes externas son
iguales.
A
C B
D
m
n
a
b
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑚 ∙ 𝑛
P
D
x
H
m n
𝑋2 = 𝑚 ∙ 𝑛
A
C
D
a
B
R
0
b
P
m
n
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑚 ∙ 𝒏
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
48
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Proyección ortogonal.
La proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada desde
dicho punto hacia la recta.
Además la proyección ortogonal de un segmento sobre una rexta es el segmento que une las
proyecciones ortogonales de los extremos del segmento dado.
➢ Proyección ortogonal de P sobre L es P.
➢ Proyección ortogonal de AB̅̅ ̅̅ sobre L es A′B′̅̅ ̅̅ ̅
Teoremas en el triángulo rectángulo.
A
B
L
P
P B A
h
C
B
A
a
b
m n
c
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
49
AH̅̅ ̅̅ y HC̅̅ ̅̅ : Proyecciones ortogonales de AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅̅̅ sobre AC̅̅̅̅ respectivamente.
teorema 1. El cuadrado de la dongitud de un catero es igual al producto de las longitudes de la
hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa en el triángulo ABC.
teorema 2. En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de los catetos es igual al
producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a esta en el triángulo ABC.
teorema 3. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la
hipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa, en el triángulo ABC.
C2 = b · m a2 = b · m
a · c = b · h
h2 = m · n
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
50
Polígonos
Se dá el nombre de polígono a toda superficie plana limitada en todos los sentidos por líneas
rectas.
Lado. Segmentos de la recta que separan el interior del exterior del polígono.
Vértice. Punto de interseccioón de los lados A, B, C, D, E, F.
Diagonales. Segmentos de la recta cuyos extremos son dos vértices no consecutivos AC̅̅̅̅ .
Ángulo interior. son ángulos cuyo vértice son los vértices del polígono y sus lados, los lados
del polígono.
Ángulo exterior. son formados por uno cualquiera de los lados del polígono y la prolongación
del lado adyacente.
Apotema. Es la recta perpendicular desde el centro a cualquiera de sus lados OG̅̅ ̅̅ .
Tomando en cuenta el número de lados de un polígono se denomina.
Triángulo 3 lados
Cuadrilátero 4 lados
Pentáguno 5 lados
Exágono 6 lados
Eptágono7 lados
Octógono 8 lados
Nonágono 9 lados
Decágono 10 lados
Endecágono 11 lados
Dodecágono 12 lados
Icoságono 20 lados
0
A
B
E
C
D
F
Centro
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
51
clasificación de los polígonos
1. Equilátero. tiene todos sus lados congruentes.
2. Equiángulo. tiene todos sus ángulos congruentes.
3. Regular. Sus lados y ángulos son respectivamente congruentes.
Nota . Todo polígono regular puede ser inscrito y circunscrito a dos circunferencias que tienen
el mismo centro.
0
= ángulo central
𝛼 =
360
𝑛
n = Número de
lados del polígono
Hexágono regular
inscrito
Pentágono regular
circunscrito
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
52
4. Alabeado. Sus lados están contenidos en diferentes planos.
5. Estrellado. Se origina al prolongar los lados de un polígono convexo. El pentágono es
el polígono estrellado de menor númeto de lados.
Pentágono estrellado ABCDE
Lados: AC̅̅̅̅ , CE̅̅̅̅ , BE̅̅̅̅ , AD̅̅ ̅̅
Vértice, puntas A, B, C, D, E.
Ángulo Interior.
Ángulo Exterior.
A
C
D
B
E
F
Hexágono alabeado A, B, C, D, E, F y 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ es una diagonal
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
53
Propiedades de un polígono
1. En todo polígono el número de sus lados es igula al número de ángulos interiores.
2. En todo polígono de “n” lados, desde cada vértice se pueden trazar (n – 3) diagonales, el
número total de diagonales es:
D =
n(n−3)
2
3. La suma de las medidas de los ángulos interiores S∠ = 180°(n − 2)
es válido para todo polígono convexo y no convexo, a excepción de los estrellados y alabeados.
4. En todo polígono convexo las medidas de los ángulos exteriores, uno por vértice suman 360º
5. La medida de un ángulo central en una polígono regular es α =
360°
n
6. En polígonos equiángulos cada ángulo interior mide: α =
180°(n−2)
n
y β =
360°
n
7. En un polígono estrellado, los ángulos interiores, suman 180°(n − 4) y los exteriores 720°.
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
54
Perímetro
Es la medida de la longitud de la línea que conforma el borde o contorno de una región, se denota
como P, seguidamente se muestra el perímetro de las principales regiones.
Area de regiones triangulares
Fórmula Básica
Formula de Herón Formula trigonométrica Triángulo Equilátero
a
a
a
b
Cuadrado Rectángulo
P = 2a + 2a P = 2a + 2b
a b
Triángulo
P = a + b + c
Círculo
P = 2.r
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
55
Area de una region limitada por :
Cuadrado Rectángulo Rombo
Romboide
Trapecio.
L
º
d
º
ÁREA
A = 𝐋2 O 𝐴 =
𝑑2
2
L
º
b
a
ÁREA
𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒂
ÁREA
𝐴 =
𝑑1∙𝑑2
2
d1
d2
ÁREA
𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉 O 𝑨 = 𝒂 ∙ 𝒎
a
b
m
b
h
a
ÁREA
𝐴 = ൬
𝑎 + 𝑏
2
൰ ℎ
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
56
Area de regiones circulares
círculo corona circular sector circular
Segmento circular Trapecio Circular
Área del triángulo en función del semiperímetro P y el radio r
Area de un cuadrilátero circuncrito
R
0 d
ÁREA
𝐴 = 𝜋𝑅2 O 𝐴 =
𝜋𝑑2
4
R
0
A
B
ÁREA
𝐴 =
𝜋𝑅2𝛼
360°
− 𝑅
2𝑠𝑒𝑛𝛼
2
: Grados sexagesimales
d
R
0
r
R
r
0
ÁREA
𝐴 =
𝜋𝑅2𝜽
360°
− 𝜋𝑟
2𝜽
360°
: Grados sexagesimales
c a
b
R
0
a
b
c
d
R
0
ÁREA
𝐴 = 𝑃𝑟
Donde P es el Semiperímetro:
𝑃 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
d
R
0 r
ÁREA
𝐴 = 𝜋(𝑅 − 𝒓)2
ÁREA
𝐴 = 𝑃𝑟
Donde P es el Semiperímetro:
𝑃 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
57
Paralelepípedo Rectangular.
a: Largo
𝒃: Ancho
𝑐: Alto
Diagonal: d = √a2 + b2 + c2
Volumen : Area :
Cilindro
Volumen: Área:
𝒂
Aristas
𝒃
Vértices
𝒄
d
b
a
c
a
H
R
R = Radio
H = Altura
H 2 R H
R2
R2
𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ 𝐻
= 2 a c
c
b
= 2 𝑎 b
= 2 b c
𝐴 = 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
𝐴 = 2𝜋𝑅𝐻 + 2𝜋𝑅2
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
58
Cono
Area Volumen
Al = π ∙ R ∙ g Área lateral
Ab = π ∙ R
2 Área basal
A = Al + Ab
A = π ∙ R ∙ g + π ∙ R2
A = π ∙ R ∙ √R2 + h2 + π ∙ R2
Esferoide
Área:
Volumen:
R: Radio
H: Altura
g: Generatriz
R
h
g
2 R
R2
g
𝑉 =
𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ ℎ
3
Polo
Polo
𝑉 =
4
3
𝜋 ∙ 𝑅3
𝑉 = 4 𝜋 ∙ 𝑅2
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
59
Ejercicos resueltos
1. El cateto𝐴𝐵 del triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐶 se divide en partes congruentes. Por los puntos
de división se trazan 7 segmentos paralelos al cateto 𝐴𝐶 tal como indica la figura
mostrada. Si AC = 10, calcular la suma de las longitudes de los 7 segmentos
Solución
✓ De la figura al trazar las paralelas por los puntos de división; el lado 𝐵𝐶 queda dividido en
ocho segmentos congruentes.
✓ Del grafico se deduce que la longitud BC es:
8𝑥 = 10 ; 𝑥 =
5
4
✓ La suma de las longitudes de los siete segmentos es:
𝑆 = 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 + 5𝑥 + 6𝑥 + 7𝑥 ; 𝑆 = 28𝑥
✓ Reemplazando 𝑥 =
5
4
en la suma se obtiene la longitud
𝑆 = 28 ⋅
5
4
𝑆 = 35 unidades
B A
C
B A
C
8x 7x 6x
5x
4x
3x 2x 𝑥
10
PreCalculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
60
2. Dentro del cuadrado del lado “a” se dibuja una T, entonces el perímetro de la parte rayada
es:
Solución
✓ Del enunciado el cuadrado se divide en tres partes:
✓ El perímetro de la parte rayada es:
𝑃 = 𝑎 +
𝑎
3
+
𝑎
3
+
2𝑎
3
+
𝑎
3
+
2𝑎
3
+
𝑎
3
+
𝑎
3
✓ Sumando términos semejantes en “a” se tiene el perímetro de la figura que se podía
calcular por simple inspección
𝑃 = 4𝑎
3. Calcular el área de la superficie sombreada
Solución.
✓ El área de un círculo es 𝐴 = 𝜋 𝑟2
✓ Del enunciado de la figura su radio es 𝑟 = 2
✓ De acuerdo a la figura el área 1,2,3 suman una circunferencia completa, entonces el
área será:
𝐴 = 𝜋(2)2 ; 𝐴 = 4𝜋 𝑐𝑚2
a
a
a
a
3
2a
3
a
3
a
3
a
3
2a
3
a
3
4cm
2cm
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
61
4. El cuadrado ABCD tiene de área 81 m2 y el cuadrado AEGF tiene de lado 3m. ¿Cuál
es el área de la parte rayada?
Solución.
✓ De acuerdo a la figura del enunciado el área del cuadrado AEGF de lado 3 es:
𝐴1 = 3 ⋅ 3
𝐴1 = 9
✓ Como el cuadrado ABDC tiene área 81𝑚2 entonces su lado será:
𝐴 = 81 = 𝑙 ⋅ 𝑙 ; 81 = 𝑙2 ; 𝑙 = 9
✓ El lado de ABDC está dividido en tres partes por lo tanto el área de la figura rayada es
tres veces el área de AEGF por lo tanto se tiene:
𝐴1 = 9 ; 𝐴 = 3 𝐴1 𝐴 = 3 ⋅ 9 𝐴 = 27 𝑚
2
5. En la figura determinar el valor de la longitud “𝑦” si ; 𝑩𝑪 = 𝟏𝟓
Solución.
✓ En el triángulo rectángulo BCD la suma de los ángulos es igual a 180º
30º + 90º + 𝛼 = 180º
𝛼 = 180º − 30º− 90º
𝛼 = 60º
✓ Aplicando tangente al triangulo BCD para determinar "𝑥"
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑥
15
; 𝑥 = 15 tan 𝛼 ; 𝑥 = 15 tan 60º ; 𝑥 = 15√3
A E B
D C
F
G
A E
F G
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
62
✓ Aplicando tangente al triangulo CDA con ángulo 60º
𝑡𝑎𝑛 60º =
𝑦+15
𝑥
𝑦 + 15 = 𝑥 tan 60º
𝑦 + 15 = 15√3(√3)
𝑦 = 45 − 15
𝑦 = 30
✓ La longitud de pedida es 𝑦 = 30
6. En el triángulo SRM la altura VM = 12 cm. y los lados SM = 13 cm. RM = 15 cm. Calcular
el área en cm2
Solución:
✓ En el triángulo MRV por el teorema de Pitágoras: si 𝑉𝑅 = 𝑥
152 = 122 + 𝑥2
𝑥 = √152 − 122
𝑥 = √81
𝑥 = 9
✓ En el triángulo SVM por el teorema de Pitágoras: si 𝑆𝑉 = 𝑦
132 = 122 + 𝑦2
𝑦 = √132 − 122
𝑦 = √25
𝑦 = 5
15
R
S V
M
12 13
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
63
✓ Entonces la longitud de lado SR de triangulo será: 𝑆𝑅 = 𝑥 + 𝑦 = 9 + 5 = 14
✓ El área de un triángulo es: base por la altura dividido entre 2, donde la base es 14 y la
altura 12, el área del triángulo SRM será:
𝐴 =
𝐵𝑎𝑠𝑒⋅𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
; 𝐴 =
14⋅12
2
; 𝐴 =
168
2
; 𝐴 = 84𝑚2
7. En la figura, ABCD es un rectángulo cuya área es 32 cm2. Si E, F, G y H son puntos
medios de los lados respectivos, entonces el área sombreada es:
Solución:
✓ Del enunciado dividimos la figura en triángulos con incógnita "𝑎"y "𝑏"que son los lados
del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷:
✓ El área del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 es: 𝑎 ⋅ 𝑏 = 32𝑐𝑚2 figura 1
✓ En el cuadrado 𝐺𝐶𝐷𝐸 se tiene triángulos equiláteros entonces determinamos el área de
uno de los triángulos en este caso de 𝐴1; como se muestra en la figura2:
𝛢 =
𝑏𝑎𝑠𝑒⋅𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
; 𝛢 =
𝑏
2
⋅
𝑎
4
2
; 𝛢1 =
𝑎𝑏
16
𝑆𝐼: 𝑎𝑏 = 32 ; 𝛢1 =
32
16
; 𝛢1 = 2
✓ En el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 existen varios triángulos sombreado todos de área 2𝑚2 , en el
cuadrado 𝐺𝐶𝐵𝐸 existen tres triángulos sombreados de área 2 ,mientras el cuadrado
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
64
𝐷𝐺𝐸𝐴 existen dos rectángulos sombreados de área 2 y un rectángulo de área 1 que es
la mitad de los triángulos entonces el área sombreado total será:
𝛢1 + 𝛢3 + 𝛢4 + 𝛢5 + 𝛢6 + 𝛢7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 11
✓ Entonces el área sombreada en el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 es:
𝐴 = 11 𝑐𝑚2
8. Si la longitud del arco de un sector circular es 20 metros y la del radio es 8 metros.
Calcular el área de dicho sector circular.
Solución:
✓ Del enunciado y la gráfica se tiene:
Área del sector circular 𝐴 =
1
2
𝑟2𝜃 (1)
Longitud de arco 𝑙 = 𝑟 · 𝜃 (2) 𝑙 = 20𝑚 ; 𝑟 = 8𝑚
✓ Para determinar 𝜃 despejado de (1) y reemplazando los datos de 𝑙 , 𝑟
𝜃 =
𝑙
𝑟
=
20
8
=
5
2
✓ Para determinar el área del sector circular 𝜃 se reemplaza en (1)
𝐴 =
1
2
(8)2
5
2
𝐴 = 16 · 5 𝐴 = 80 𝑚2
𝜃
𝑟
𝑟
𝑙 𝐴
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
65
9. El perímetro de un sector circular elevado al cuadrado es igual a 16 veces su área,
calcular cuánto mide el ángulo central.
Solución
✓ Del enunciado se tiene los siguientes datos
Longitud de arco: 𝑙 = 𝑟 · 𝛼
Área de un sector circular: 𝐴 =
𝑟2𝛼
2
Perímetro de la circunferencia es 𝑃 = 2𝑟 + 𝑙
Condición del enunciado 𝑃2 = 16 𝐴
✓ Reemplazando datos para determina el ángulo del sector circular
(2𝑟 + 𝑙)2 = 16
𝑟2𝛼
2
Pero: 𝑙 = 𝑟 · 𝛼
(2𝑟 + 𝑟𝛼)2 = 8 𝑟2𝛼
✓ Factorizando 𝑟 simplificando se tiene:
(2 + 𝛼)2 = 8 𝛼
✓ Resolviendo la ecuación para obtener el valor del ángulo 𝛼
𝛼2 − 4 𝛼 + 4 = 0 ; 𝛼 = 2 Radianes
𝛼
𝑟
𝑟
𝑙
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
66
10. Las bases del trapecio ABCD miden 10 cm. y 20 cm respectivamente calcular el área
en cm2 de la parte sombreada tomando en cuenta que ( = 3)
Solución:
✓ Área trapecio 𝐴𝑇 = (
𝑏+𝑎
2
) ⋅ ℎ
𝑏 = 20𝑐𝑚 base mayor 𝑎 = 10𝑐𝑚. base meno ℎ = 10𝑐𝑚. altura
𝐴𝑇 = (
10+20
2
) ⋅ 10 𝐴𝑇 = 150
✓ Área del circuloes: 𝐴𝐶 = 𝜋𝑟
2 donde
𝑟 =
10
2
= 5 ; 𝑟 = 5 ; 𝐴𝐶 = 𝜋(5)
2 ;
✓ El área de la parte sombreada será: área del trapecio menos al área del circulo
𝐴 = 𝐴𝑇 − 𝐴𝐶 ; 𝐴 = 150 − 25𝜋 ; como 𝜋 = 3
𝐴 = 150 − 25(3) ; 𝐴 = 75𝑐𝑚2
11. Calcular el área sombreada, si AB = 10 cm. y el área del triángulo ABC = 24 cm2
Solución:
✓ En el triángulo BAC si AB =10 ; 𝐵𝐶 = ℎ ;𝐴𝐶 = 𝑎, el área del triángulo rectángulo
es 24𝑚2 entonces se forma una en incógnitas 𝑎 y ℎ ecuación.
𝐴 =
𝑎⋅ℎ
2
; 24 =
𝑎⋅ℎ
2
; 𝑎 ⋅ ℎ = 48 (1)
✓ Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC se forma la ecuación:
25=CA
A B
C D
A
B
C
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
67
𝐴𝐶
2
+ 𝐵𝐶
2
= 𝐴𝐵
2
𝑎2 + ℎ2 = 102 𝑎2 + ℎ2 = 100 (2)
✓ Resolviendo el sistema de ecuación de (1) y (2)
{
𝑎 ⋅ ℎ = 48 (1)
𝑎2 + ℎ2 = 100 (2)
𝑎 =
48
ℎ
(3)
(3) reemplazo en (2) se obtiene los valores de ℎ = 8 ; ℎ = 6 y 𝑎 = 6 ; 𝑎 = 8
✓ De acuerdo a la figura la base es mayor que la altura, entonces: ℎ = 6 ; 𝑎 = 8
✓ El área en cada semicírculo determinamos con 𝐴 =
𝜋⋅𝑟2
2
y el radio diámetro dividido
por 2 o sea 𝑟 =
𝐷
2
• radio 𝑟 = 𝐴𝐵 =
10
2
= 5 ; área: 𝐴𝐼 =
𝜋(5)2
2
=
25
2
𝜋
• radio ℎ = 𝐵𝐶 =
6
2
= 3 ; área: 𝐴𝐼𝐼 =
𝜋(3)2
2
=
9
2
𝜋
• radio 𝑎 = 𝐴𝐶 =
8
2
= 4 ; área: 𝐴𝐼𝐼𝐼 =
𝜋(4)2
2
= 8𝜋
✓ Finalmente sumando todas las áreas tenemos el área sombreada de la figura
𝐴 = 𝐴𝐼 + 𝐴𝐼𝐼 + 𝐴𝐼𝐼𝐼 𝐴 =
25
2
𝜋 + 8𝜋 +
9
2
𝜋 𝐴 = 25𝜋 𝑐𝑚2
12. Hallar el área del cuadrado BGHI si la diagonal AD mide 5√2 m.
Solución:
✓ De la figura con el teorema de Pitágoras obtenemos los lados del cuadrado ABCD
𝐴𝐶
2
+ 𝐶𝐷
2
= 𝐴𝐷2 Como: 𝐴𝐶 = 𝐶𝐷
𝐶𝐷
2
+ 𝐶𝐷
2
= (5√2)
2
2𝐶𝐷
2
= 25 ⋅ 2
✓ Según la figura 𝐶𝐷 = 𝐸𝐶 entonces 𝐸𝐶 = 5
𝐸𝐶 + 𝐶𝐷 = 𝐷𝐺 ; 5 + 5 = 𝐷𝐺 ; 𝐷𝐺 = 10
25=CD 5=CD
A B
C
D
E
F G
H
I
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
68
✓ Como 𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 entonces
𝐵𝐺 = 𝐷𝐺 + 𝐵𝐷 ; 𝐵𝐺 = 10 + 5 ; 𝐵𝐺 = 15
✓ Finalmente, el área del cuadrado BGHI será:
𝐴 = 15 ⋅ 15 ; 𝐴 = 225𝑚2
13. La figura RSTU está formada por tres triángulos equiláteros congruentes, además MN
es la mitad de UT y paralela a ella, si MN = 12 cm. Calcular el perímetro del polígono
pintado
Solución:
✓ Si 𝑀𝑁 es la mitad de 𝑈𝑇 y 𝑀𝑁 = 12 entonces 𝑈𝑇 = 24
✓ Si 𝑀𝑁 = 12 la condición anterior entonces 𝑇𝑁 = 12 y 𝑈𝑀 = 12
✓ Si 𝑈𝑇 = 24 los triángulos son equiláteros entonces 𝑇𝑆 = 24;𝑈𝑅 = 24;𝑃𝑆 = 24;𝑅𝑃 = 24
✓ Finalmente, el perímetro de la parte sembrada será:
𝑃 = 3(12) + 4(24) 𝑃 = 36 + 96 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 132𝑐𝑚
14. De una tabla de 18 cm por 36 cm se obtiene una flecha de dos puntas. El largo de la
tabla se divide en tres partes iguales y su ancho se divide en dos partes iguales, el
vástago de la flecha mide 6 cm. Calcular el perímetro de la flecha en cm.
Solución:
✓ El largo de la tabla es 36𝑐𝑚 entonces dividido entre 3 cada parte será12𝑐𝑚
✓ El ancho de la tabla es 18𝑐𝑚 dividido entre 2cada parte será 9𝑐𝑚
✓ Cada punta de la fecha forma un triángulo de base de 18𝑐𝑚 y altura 12𝑐𝑚
U T
S R
M N
P
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
69
✓ De acuerdo a la figura 1 el valor de 𝑎 = 6 entonces en la figura 2 determinar el valor de
𝑙 aplicando el teorema de Pitágoras
𝑙2 = 92 + 122 𝑙 = √81 + 144 𝑙 = √225 𝑙 = 15 𝑐𝑚
✓ El perímetro de la fecha de dos puntos será:
𝑃 = 4𝑙 + 4𝑎 + 2(12) ; 𝑃 = 4(15) + 4(6) + 2 ; 𝑃 = 60 + 24 + 24 ; 𝑃 = 108
15. Los lados del rectángulo SRTQ miden SR=16 cm. y RT = 12 cm.; los lados�̄��̄�, �̄��̄� y �̄��̄�
se dividen en dos partes iguales; el lado �̄��̄� se divide en tres partes iguales. calcular
El perímetro de la flecha mide en cm.
Solución:
✓ De acuerdo al enunciado el largo 𝑅𝑇 Y 𝑅𝑆 se divide en dos partes y el ancho 𝑅𝑇 en tres
partes
✓ Para hallar el valor de 𝑙 en la figura se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras como
un triángulo rectángulo
𝑙2 = 62 + 82 𝑙2 = 36 + 64 𝑙 = √100 𝑙 = 10
✓ El perímetro de la flecha será:
𝑃 = 3(4) + 2(8) + 2𝑙 ; 𝑃 = 12 + 16 + 2(10) ; 𝑃 = 28 + 20 ; 𝑃 = 48 𝑐𝑚
Q T
S R
8cm
6cm
10
4 cm
4 cm
4 cm
6 cm
8 cm
𝑙
8 cm
𝑙
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
70
16. Para alfombrar la escalera de M hasta N se necesita una longitud de:
Solución.
✓ De acuerdo al enunciado la longitud de la alfombra será el perímetro 𝑀𝑁
✓ Dividiendo la longitud horizontal en “𝑎” partes: y la longitud vertical en "𝑙" partes donde
no es necesario conocer el valor de "𝑙"y “a”
4𝑎 = 4 𝑚 ; 4𝑙 = 3 𝑚
✓ Entonces la longitud de 𝑀𝑁 será:
4𝑎 + 4𝑙 = 4 + 3 ; 4𝑎 + 4𝑙 = 7 𝑚
17. La figura es Una Circunferencia de centro 0 y diámetro 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟏𝟐 cm; si 𝝅 = 𝟑
calcular el perímetro de la figura rayada
Solución:
✓ Datos y esquema del problema
Perímetro media circunferencia
𝑃 = 𝜋 𝑟 ; 𝑟 = 6 𝜋 = 3 ; 𝑃 = 18
Longitud arco con Angulo central
𝒍 = 𝒓 𝜶 ; 𝜶 = 𝟖𝟎𝒐
𝝅
𝟏𝟖𝟎𝒐
=
𝟒
𝟗
𝝅 ; 𝒍 = (𝟔)(
𝟒
𝟗
𝟑) ; 𝒍 = 𝟖
M
N
4 m
3 m
M
a N
4𝑚
3 𝑚
a
a
a
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
71
✓ El perímetro de la parte rayada correspondiente a la circunferencia será:
2𝑠 = 𝑃 − 𝑙 = 10
✓ El perímetro de la toda la parte rayada como se pide en la pregunta es:
𝑃𝑇 = 2𝑠 + 4𝑟 ; 𝑃𝑇 = 10 + 4(6) ; 𝑃𝑇 = 34 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
18. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 18 cm., M y N son puntos medios, entonces el
área de la región sombreada es:
Solución:
✓ Trazando diagonales en el cuadrado ABCD con baricentro en G se muestra el área S
de cada región
✓ Del grafico se muestra en el cuadrado ABCD el área total
𝐴 = 12 𝑆
✓ Si el lado del cuadrado es 18 cm entonces el área del cuadrado será:
𝐴 = 18 ∗ 18 = 324
✓ Con este se obtiene el valor de S
𝐴 = 324 ; 324 = 12𝑆 ; 𝑆 =
324
12
; 𝑆 = 27
✓ El área de la región sombreada que se pide será:
𝐴𝑠 = 8 𝑆 ; 𝐴𝑠 = 8 (27) ; 𝐴𝑠 = 216 cm
M
N A
B C
D
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
72
19. Si el lado del cuadrado ABCD es 6 metros calcular el área de la región sombreada
Solución:
✓ Trazando diagonales y ordenando dentro del cuadrado ABCD se muestrael área de la
región sombreada
✓ Del grafico se muestra un triángulo AED donde su área 𝐴𝑇 es la cuarta parte de área 𝐴𝑐
del cuadrado ABCD
AT =
Ac
4
✓ Si el lado del cuadrado es 6 metros entonces el área del cuadrado ABCD será:
Ac = 6 ∗ 6 = 36
✓ El área de la región sombreada que se pide será:
AT =
36
4
; AT = 9 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
A
B C
D
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
73
20. Un prisma recto, cuya base es un triángulo los cuyos lados miden 4 metros, 6 metros y
8 metros respectivamente, y sabiendo que el área lateral es de 90 metros cuadrados.
Calcular el volumen
Solución :
✓ Cálculo de Altura ℎ aplicando la suma de área.
𝐴𝐿 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 ; 90 = 4 · ℎ + 6 · ℎ + 8 · ℎ ; 90 = 18ℎ ; ℎ = 5𝑚
✓ Cálculo de Área de Base (𝐴𝑏)
✓ Como la base es un triángulo aplicar la fórmula.
𝐴𝑏 = √𝑝. (𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐)
✓ Donde a, b, y c son los lados del semiperímetro entonces:
𝑝 =
4+6+8
2
= 9𝑚 ; 𝐴𝑏 = √9(9 − 4)(9 − 6)(9 − 8) ; 𝐴𝑏 = 3√15 𝑚
2
✓ Calcular el Volumen del prisma área de la base por alrtura:
𝑉 = 𝐴𝑏 . ℎ = 3√15. 5 ; 𝐕 = 𝟏𝟓√𝟏𝟓 𝐦
𝟑
21. En la figura se muestra los ángulos interiores corresponde a un triángulo determinar el
valor de 𝑥, demostrar que tipo de triangulo es
Solución:
✓ En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a:
3𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 180𝑜
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
74
✓ Resolviendo la ecuación se obtiene 𝑥 luego los ángulos interiores
6𝑥 = 180𝑜 ; 𝑥 = 30𝑜 ; 2𝑥 = 60𝑜 ; 3𝑥 = 90𝑜
✓ Uno de sus ángulos mide 90𝑜 se define como triangulo rectángulo
22. El área total de un paralelepípedo rectángulo es 720 𝑚2, la diagonal de una cara mide
20 𝑚 y la suma de sus dimensiones es 34 𝑚. Calcular las dimensiones.
Solución:
✓ De acuerdo a los datos del problema se tiene:
𝐴 = 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑐 + 2𝑎𝑏 = 720 Área
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 34 Suma de sus dimensiones.
𝑎2 + 𝑏2 = 400 Diagonal de una cara por Pitágoras.
✓ Formando el sistema de ecuaciones se tiene:
{
𝑎2 + 𝑏2 = 400
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 34
2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐) = 720
✓ Resolviendo el sistema de ecuación obtenemos las dimensiones del
paralelepípedo rectangular
𝑎 = 12𝑚 ; 𝑏 = 16 𝑚 ; 𝑐 = 6
23. Calcular el volumen, del área total y la diagonal de una caja rectangular, cuyas
dimensiones son 3 metros, 4 metros y 12 metros.
Solución:
✓ Se muestra el grafico de la caja rectangular aplicar las fórmulas:
d
a
b
c
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
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✓ Para calcular volumen
𝑉 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 3 ∗ 4 ∗ 12 = 144𝑚3 ; 𝑉 = 144𝑚3
✓ Para calcular área
𝐴 = 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑐 + 2𝑎𝑏 ; 𝐴 = 2(3 ∗ 4 + 3 ∗ 12 + 4 ∗ 12)𝑚2 ; 𝐴 = 192𝑚2
✓ para calcular volumen, área y diagonal
𝑑 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = √32 + 42 + 122 = 13𝑚 ; 𝑑 = 13𝑚
24. Determinar el volumen y área de un cilindro equilátero de un centímetro de radio y dos
centímetros de altura
Solución:
✓ Se muestra el grafico un cilindro circular recto aplicar las fórmulas:
✓ Para calcular volumen: 𝑅 = 1 y 𝐻 = 2 ; 𝑉 = 𝜋𝑅2𝐻 ; 𝑉 = 𝜋(1)2. (2) ; 𝑉 = 2𝜋 𝑐𝑚3
✓ Para calcular área: 𝐴 = 2𝜋𝑅𝐻 + 2𝜋𝑅2 ; 𝐴 = 2𝜋(1)(2) + 2𝜋(1)2 ; 𝐴 = 6𝜋 𝑐𝑚2
25. Determine el volumen de un prisma cuadrangular regular, inscrito en un cilindro
equilátero de la figura en función del mismo radio.
Solución:
✓ Determinar el lado del cuadrado de la base
AB= Lado del cuadrado Inscrito
AC= Diagonal del Cuadrado y Diámetros (2R)
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
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✓ Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:
(𝐴𝐵)2 + (𝐵𝐶)2 = (2𝑅)2 Pero 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 ; 2(𝐴𝐵)2 = 4𝑅2 ; 𝐴𝐵 = 𝑅√2
✓ La altura del Prisma es el mismo que la base del cuadrado, de acuerdo al
enunciado el cilindro es equilátero entonces la altura es: 𝐻 = 𝑅√2.
✓ El área de la base del prisma es: 𝐴 = (𝑅√2)
2
✓ Con estos datos determinamos el volumen 𝑉 = 𝐴 ∗ 𝐻 = (𝑅√2)
2
𝑅√2 ; 𝑉 = 4𝑅3
26. Calcular el área total y el volumen de un cono recto de 3 centímetros de altura y 6𝜋𝑐𝑚2
de área lateral.
Solución:
✓ Con los datos del problema y la gráfica determinamos el radio del cono
ℎ = 3𝑐𝑚
𝐴ℓ = 6𝜋𝑐𝑚
2
𝐴ℓ = 𝜋𝑅 √𝑅2 + ℎ2
6𝜋 = 𝜋𝑅 √𝑅2 + (3)2
𝑅 = √3
✓ Área total del cono es: 𝐴 = 𝜋𝑅2 + 𝐴ℓ = 𝜋(√3)
2
+ 6𝜋 ; 𝐴 = 9𝜋 𝑐𝑚2
✓ Cálculo de volumen : 𝑉 =
𝜋𝑅2ℎ
3
=
𝜋(√3)
2
3
3
; 𝑉 = 3𝜋 𝑐𝑚3
ℎ
𝑅
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
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Ejercicios propuestos
1. El pentágono SRMTQ de la figura está dividido en un cuadrado de 64 𝑐𝑚2 y un triángulo
de 24 𝑐𝑚2 entonces la longitud MV mide:
1. ABCO es un cuadrado donde OE es la mitad de 𝑂𝐶.̅̅ ̅̅ ̅ si el perímetro del círculo mide 4𝜋 𝑐𝑚, si
𝜋 = 3 ¿Cuanto mide el área sombreada?
1. Cuantos triángulos es posible contar en la Figura
T
S
M
R
V M
A) 3 𝑐𝑚2
B) 4 𝑐𝑚2
C) 13 𝑐𝑚2
D) 12𝑐𝑚2
E) Ninguna de las
Anteriores
RadiO E
A B
C
A) 11
B) 7
C) 13
D) 10
E) Ninguna de las
anteriores
a) 3 𝑐𝑚
b) 6 𝑐𝑚
c) 8 𝑐𝑚
d) 8 𝑐𝑚
e) 4,5 𝑐𝑚
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales
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6. En el cuadrado de la figura 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ son las diagonales, M punto medio de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ,
Si 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = 2√3 cm; entonces el Área del Triangulo rayado es:
10. En un triangulo ABC, N es punto medio de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , Q es un punto de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ Próximo a A y M un
Punto
de 𝑄𝐶̅̅ ̅̅ , tal que A Q = QM y MC=AB Hallar la medida del Angulo A�̂�Q, si �̂�=105° y �̂�= 30°
a)10° b) 15° c) 5 d)7,5° e) Ninguno
M
D C
B A
a) 48 cm2
b) 36 cm2
c) 144 cm2
d) 12 cm2
e) Ninguno