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AUTORIDADES
Dr. ROHEL SÁNCHEZ SÁNCHEZ
Rector de la Universidad Nacional de San Agustín
Dra. ANA MARÍA GUTIÉRREZ VALDIVIA
Vicerrectora Académica
Dr. HORACIO BARREDA TAMAYO
Vicerrector de Investigación
Mag. JOSÉ PAZ MACHUCA
Director CEPRUNSA
Dra. ROXANA ALEMÁN DELGADO
Coordinadora Administrativa
Lic. EMILIO GUERRA CÁCERES
Coordinadora Académico
Dra. MERCEDES NÚÑEZ ZEVALLOS
COMITE DE APOYO CEPRUNSA
Mag. FRESIA MANRIQUE TOVAR
Lic. RONALD CUBA CARPIO
1
CAPÍTULO VII
SITUACIONES LÓGICAS
ORDEN DE INFORMACIÓN - CERTEZAS - MÁXIMOS Y
MÍNIMOS. RELACIONES DE PARENTESCO - RELACIONES
TEMPORALES RAZONAMIENTO LOGICO RECREATIVO
CAPACIDAD
Resuelve problemas que implican situaciones lógicas utilizando la imaginación y
lógica de modo autónomo y creativo.
SITUACIÓN
ORDEN DE INFORMACIÓN
A) ORDENAMIENTO LINEAL
En este caso se procede a ordenar la información, ubicando los datos en forma
vertical u horizontal, según corresponda.
PROBLEMA 1
Se tienen 5 ciudades ubicadas a diferentes altitudes (alturas sobre el nivel del
mar), se sabe que:
T está 1500 metros por encima de C
C está 900 metros por debajo de P
A está 1400 metros por encima de M
P está 2000 metros por encima de A
Si la ciudad con menor altitud se encuentra a 800 metros sobre el nivel del mar;
¿A cuántos metros sobre el nivel del mar se encuentra la ciudad con la mayor
altitud?
A) 4800 B) 5000 C) 2100 D) 3522 E) 1700
SOLUCIÓN:
1500 + 1100 + 1400 + 800 = 4800 m.
RPTA. A
Un aficionado al futbol va al estadio y
cuando llega a la boletería ve un cartel
que muestra que cada entrada cuesta 30
soles. Da al boletero 100 soles y este
inmediatamente le da 3 entradas. ¿Cómo
pudo inferir el boletero que quería
c
o
2
B) ORDENAMIENTO CIRCULAR
Considerar:
1) “A” está al frente de “C”
2) “A” está a la izquierda de “D”
3) “A” está a la derecha de “B”
PROBLEMA 2
Alrededor de una mesa circular se sientan seis personas ubicadas
simétricamente. Ignacio no está al lado de Javier ni de Gustavo, Elías no está al
lado de Fernando ni de Gustavo, Javier no está al lado de Fernando ni de Elías,
Andrés está junto a la derecha de Javier. ¿Quién está sentado junto a la derecha
de Elías?
A) Javier B) Gustavo C) Fernando
D) Andrés E) Ignacio
SOLUCIÓN;
Ordenando a partir del dato más preciso
Junto y a la derecha de Elías está Ignacio.
RPTA. A
C) CUADROS DE DECISIONES
En situaciones donde se tiene una diversidad de datos, donde se nos pide
relacionar diversos datos entre sí, se recomienda emplear los "Cuadros de doble
entrada", donde generalmente en la columna de entrada se escriben los nombres
de los sujetos y en la fila de entrada las cualidades.
Cada casilla se marca con “SI” o con “”, para indicar que la combinación es cierta
(verdadera), o con un “NO” o “x” indicando que se rechaza, todo esto sacando
conclusiones de las premisas planteadas debemos observar en una fila o en una
columna debe haber una y solo una marcada con “SI” o “”
PROBLEMA 3
Germán asignó a las vocales a, e, i, o, u los números 1, 2, 3, 4, 5 uno a cada uno,
no necesariamente en ese orden. Si se sabe que:
– A la vocal “a” le asignó un número mayor que el asignado a la vocal “i”.
– A la vocal “o” un número, que es el cuádruple del valor asignado a “e”, pero
menor que el de “u”.
¿Cuánto suman los valores asignados a las vocales “i” y “a”?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
SOLUCIÓN:
1 2 3 4 5
a No No Sí No No
e Sí No No No No
i No Sí No No No
o No No No Sí No
u No No No No Sí
RPTA. A
3
CERTEZAS
En estos problemas se determina la seguridad plena o certeza de que se suscite
un evento o suceso, por lo que se debe ponerse siempre en el peor de los casos o
el caso menos favorable que se puede dar por cuestiones del azar.
PROBLEMA 4
Una empresa con 66 trabajadores, decide despedir a cierto número de ellos.
Habiendo perdido los documentos personales de cada trabajador, ¿a cuántos se
debe despedir como máximo, para tener la certeza que entre ellos estén seis que
hayan nacido en el mismo mes?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 1
SOLUCIÓN:
En el peor de los casos, se considera 5 en cada uno de los 12 meses, luego con
uno más se obtiene lo solicitado.
Mínimo número de despedidos = 5 (12) + 1 = 61
Entonces, se despide como máximo: 66 – 61 = 5
RPTA. C
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Estas situaciones se aplican generalmente para obtener el máximo o mínimo valor
que puede tomar el número de elementos de un grupo o conjunto. En el caso
particular que involucre inecuaciones cuadráticas se puede tener en cuenta lo
siguiente:
Completar cuadrados en un trinomio cuadrado perfecto.
Si a y b son números reales positivos, tales que 𝑎 + 𝑏 = 𝑁 → el máximo valor de
𝑎𝒙𝑏 se obtiene cuando 𝑎 = 𝑏 =
𝑁
2
PROBLEMA 5
Renzo lanza un dado x veces. Si el juego termina cuando la diferencia entre el
máximo y el mínimo puntaje que obtiene no es menor que x2 – x, ¿cuál es la
máxima cantidad de veces que lanzó el dado?
A) 5 B) 2 C) 3 D) 6 E) 4
SOLUCION:
Por dato:
𝑃𝑚á𝑥 − 𝑃𝑚í𝑛 ≥ 𝑥
2 − 𝑥
6x – 1x ≥ x2 – x
0 ≥ x2 – 6x
0 ≥ x(x – 6)
xmáx = 6
RPTA. D
RELACIONES DE PARENTESCO
Se aplica en problemas donde se considera los vínculos familiares, sean estos
consanguíneos o legales. Es necesario recordar las relaciones de parentesco entre
los miembros de la familia.
A) VÍNCULO CONSANGUINEO
Padres, hijos, hermanos, abuelos, bisabuelos, nietos, bisnietos, tíos, sobrinos,
primos, etc.
B) VÍNCULO LEGAL (AFINIDAD)
Esposos, suegros, yernos, nueras, cuñados, concuñados, consuegros, etc.
PROBLEMA 6
El hijo de Bárbara está casado con Diadora, que es la hija de Elena y ésta a su
vez abuela de Fabio y suegra de Claudio. Si Diadora es hija única y a la vez nuera
de Anselmo. ¿Cuál de las alternativas es falsa?
A) Fabio es nieto del padre de Claudio.
B) Claudio es hijo del suegro de Diadora.
C) La nuera de Bárbara es madre de Fabio.
D) El padre de Claudio es esposo de Elena.
E) Anselmo es suegro de la madre de Fabio.
4
SOLUCIÓN:
RPTA. D
RELACIONES TEMPORALES
Habitualmente se utiliza para representar variación de días (mañana, pasado
mañana, ayer, anteayer, etc.)
Llamada también la línea del tiempo.
PROBLEMA 7
Si anteayer del mañana del pasado mañana es viernes. ¿Qué día fue ayer?
A) lunes B) jueves C) miércoles
D) martes E) sábado
SOLUCIÓN:
Si anteayer del mañana del pasado mañana es viernes
Si -2 +1 +2 es viernes
Si +1 es viernes
Si mañana es viernes
Hoy: es jueves
¿Qué día fue ayer?
Miércoles
RPTA. C
RAZONAMIENTO LÓGICO RECREATIVO
Son ejercicios donde se utiliza la lógica creativa, habilidad en diversos tipos de
ejercicios como:
Dados, pesadas, monedas, trasvases, traslados, etc.
PROBLEMA 8
Pablito la vio una vez en enero, dos veces en agosto y tres veces en onomástico
¿Cuántas veces la vio en siglo?
A) 1 B) 3 C) 7 D) 5 E) 9
SOLUCIÓN:
Analizando las palabras en un cuadro
PALABRA VOCAL “O”
Enero Una “o”
Agosto Dos “o”
Onomástico Tres “o”
siglo Una “o”
RPTA. A
5
PROBLEMA 1
Mis padres siempre anhelaron tener una docena de hijos, aunque no llegaron a
dicho número. La tercera parte de mis hermanos son futbolistas y la quinta parte
de mis hermanas son enfermeras. ¿Cuántos hijos somos, si mi nombre es
Panchito?
A) 10 B) 11 C) 9 D) 8 E) 6
SOLUCIÓN:
Mis Hermanos: divisible entre 3 = 3m
Mis Hermanas: divisible entre 5 = 5n
Total, de hermanos quetengo: 3m+5n
Total, de hermanos que somos: 3m+5n+1
(sin llegar a 12)
Total, de hijos que somos: 3+5+1 = 9
RPTA. C
PROBLEMA 2
El pasado mañana del pasado mañana de anteayer de hace “n” días es sábado. El
ayer del anteayer del pasado mañana dentro de n días fue viernes. ¿Qué día será
dentro de la sexta parte de un año bisiesto?
A) lunes B) martes C) miércoles
D) jueves E) viernes
SOLUCIÓN:
Sea X: día actual
De acuerdo al primer enunciado: X + 2 + 2 – 2 – n = S
X – n = J ……………… (1)
Del segundo enunciado: X – 1 – 2 + 2 + n = V
X + n = S
X + n = J + 2
Reemplazando la ecuación (1) X + n = X – n + 2
n = 1
Entonces: X – 1 = J X = V
Hoy es viernes, Pide que día será dentro de la sexta parte de un año bisiesto.
(1/6)(366) = 61 días.
Día = V + 61 = V + 7(8) + 5 = V + 5
Día = miércoles.
RPTA. C
PROBLEMA 3
En una reunión están presentes Segundo Calderón Robles; Juana Aznaran Flores;
Roberto Calderón Rodríguez; Nilton Calderón Aznaran, que no es el menor de
todos y Fátima Robles Godoy. Si don Segundo es hijo único y en la reunión están
presentes un nieto y su abuelo, ¿qué relación de parentesco guarda el primo de
Fátima y Roberto?
A) Abuelo – Nieto B) Tío – Sobrino C) Padre – Hijo
D) Primos E) Bisabuelo – Bisnieto
SOLUCIÓN:
Roberto es nieto de Segundo y Juana, Fátima es prima de Segundo
RPTA. A
PROBLEMA 4
Los esposos Estefany y Bryan tienen sólo dos hijos: Luis y Beatriz. Los esposos
Andrea y Luís sólo tienen una hija y no tienen hijos varones. Flor y Alberto son
hijos de Rosario y nietos de Luís.
Si Carlos es nieto de Bryan, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A) Carlos es primo de Flor B) Rosario es hermano de Carlos
C) Luis y Rosario son hermanos D) Beatriz es tía de Carlos
E) Carlos es tío de Alberto
PROBLEMAS ADICIONALES
FÁTIMA SEGUNDO JUANA
ROBERTO
NILTON
6
SOLUCIÓN:
RPTA. E
PROBLEMA 5
La fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer jueves del mes
que viene da 38. Suponiendo que todas las fechas indicadas ocurren en un mismo
año ¿En qué mes estamos?
A) junio B) julio C) agosto D) setiembre E) diciembre
SOLUCIÓN:
Mes pasado ⏟
𝑙𝑢𝑛𝑒𝑠⏟
𝑎 𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒
𝑠𝑒𝑟 31
mes actual⏟
𝑠𝑢𝑚𝑎=38
𝑚𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒⏟
𝐽𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠⏟
𝑎 𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒
𝑠𝑒𝑟 7
𝐿⏟
31⏟
𝑀𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜
(31 𝑑𝑖𝑎𝑠)⏟
𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜
𝑀⏟
1
𝑀⏟
8
𝑀⏟
15
𝑀⏟
22
𝑀⏟
29
⏞ 𝑀⏟
30
𝐽⏟
31⏟
𝑀𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
(31 𝑑𝑖𝑎𝑠)⏟
𝒂𝒈𝒐𝒔𝒕𝒐
𝑉⏟
1
𝐽⏟
7⏟
𝑀𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒⏟
𝑠𝑒𝑡𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒
𝑀𝐴𝑅𝑇𝐸𝑆
RPTA. C
PROBLEMA 6
Ubique un número en cada círculo, de tal manera
que sea igual al único número inmediatamente
encima de él o igual a la suma de los números que
están encima y, a la vez, en contacto con él. Dé
como respuesta el número ubicado en el círculo
inferior sombreado.
A) 35
B) 29
C) 20
D) 32
E) 28
SOLUCIÓN:
De las condiciones se deduce que encima del 2 deben estar los números de 1 y
1 (1+1=2), a partir del cual se completan todos los demás casilleros.
RPTA. C
7
PROBLEMA 7
El padre de Gin tiene hijas; Sasy, Sesy, Sisy y Sosy; si son 7 en la familia, ¿cómo
se llama el retoño que falta?
A) Susy B) María C) Juana D) Lucia E) Gin
SOLUCIÓN:
Se llama Gin puesto que el más las 4 hijas y sus padres dan 7 RPTA. E
PROBLEMA 8
Un profesor de RLM del CEPRUNSA, escribe en la pizarra el número 2946835107
y solicita a sus estudiantes que deben borrar 5 cifras de tal forma que el número
de 5 cifras que quede sea el mayor posible. El profesor les pregunta, ¿Cuál es la
suma de las cifras del número que queda?
A) 23 B) 31 C) 30 D) 29 E) 27
SOLUCIÓN:
se eliminan los números: 2, 4, 6, 3 y 0 RPTA. C
PROBLEMA 9
Un coleccionista tiene 9 monedas antiguas, de las cuales una es falsa y la única
manera de ubicarla es por el peso ya que las falsas son más ligeras, si el
comerciante cuenta con una balanza de 2 platillos. ¿Cuántas pesadas como
mínimo tendrá que realizar para encontrar las 2 falsas?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
SOLUCIÓN:
Primera pesada: se colocan 3 monedas en cada platillo, puede suceder que la
moneda buscada esté en la balanza /se mostrará con desequilibrio en la balanza/,
o también haya quedado en el grupo de 3 que no está en la balanza/ la balanza
queda equilibrada/.
Segunda pesada: de las 3 monedas que quedan, se ubican 2 en la balanza,
quedando una afuera. Si hay equilibrio, la moneda buscada es la quedó afuera,
de lo contrario si hay desequilibrio tendremos en la balanza la moneda falsa.
RPTA. B
PROBLEMA 10
Una profesora solo puede ver una al primer niño de una formación, le pregunta a
una docente que tiene un punto de observación le dice veo dos pares de niños
entre 2 niños; y otra profesora le grita yo veo un niño delante de 5 niños y un niño
detrás de 5 niños. ¿Cuántos niños hay como mínimo?
A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4
SOLUCIÓN:
RPTA. D
8
PROBLEMA 11
En una urna se tiene 18 bolos numerados del 1 al 18. Si ya se extrajeron los dos
bolos de la figura. ¿Cuántos bolos más como mínimo se deben extraer al azar para
tener la certeza de obtener dos bolos, que reemplazados en los casilleros no
sombreados cumplan con la operación matemática?
A) 9 B) 13 C) 10 D) 11 E) 12
SOLUCIÓN:
De la condición:
5 13 8x y x y
Es decir que debemos tener 2 bolas que se diferencien en 8.
En el peor de los casos sacamos los bolos que no tengan la diferencia 8, o sea del
1 al 8 (menos el 5 porque ya salió) extraemos 7 bolos
Luego sacamos el 17 y 18 extraemos 2 bolos
Finalmente 1 más, y si o si tendremos lo que queremos
Total, de extracciones: 7 + 2 + 1 = 10 RPTA. C
PROBLEMA 12
Ricardito tiene dos relojes de arena, uno de ellos mide solo 8 minutos y el otro
solo 5 minutos. ¿Cuántas vueltas como mínimo debe dar a estos relojes para
medir, solo con ellos, un intervalo de 11 minutos?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 1
SOLUCIÓN:
1) Colocamos simultáneamente los dos relojes de arena.
2) Cuando se termine de vaciar el de 5, quedará tres minutos en el de 8,
inmediatamente volteamos el reloj de 5.
3) Cuando termine el de 8, es decir, cuando hayan pasado 8 minutos, habrán
transcurrido tres en el de 5.
4) Inmediatamente volteamos el reloj de 5 para que termine dentro de tres
minutos.
5) Por tanto, solo dos vueltas son necesarias, para medir 11 minutos.
RPTA. A
PROBLEMA 13
Rolo lanzó un dado varias veces, obteniendo un total de 49 puntos. Si obtuvo
todos los puntajes posibles y solo 5 veces obtuvo el puntaje mínimo, ¿cuántas
veces como máximo lanzó el dado?
A) 23 B) 31 C) 52 D) 42 E) 22
SOLUCIÓN:
(1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (2 + 3 + 4 + 5 + 6) + 2𝑛 = 49
𝑛 = 12 ⟶ 12 + 5 + 5 = 22 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚𝑎𝑥.
RPTA. E
PROBLEMA 14
Karen, Edith y Rosa, son tres compañeras del colegio y actualmente participan en
el CEPRUNSA, ellas viven en tres distritos distintos: Cayma, Cerro Colorado y
Paucarpata, postulando a carreras diferentes: Medicina, Derecho y Contabilidad.
Se sabe que:
- Karen no vive en Cerro Colorado.
- Edith no vive en Paucarpata.
- La que vive en Cerro Colorado no estudia Derecho.
- Edith no estudia Medicina.
- Quien vive en Paucarpata estudia Contabilidad
¿Dónde vive y qué estudia Edith?
A) Vive en Cayma y estudia Derecho
B) Vive en Cerro Colorado y estudia Medicina
C) Vive en Paucarpata y estudia Contabilidad
D) Viveen Cayma y estudia Medicina
E) Vive en Cerro Colorado y estudia Derecho
SOLUCIÓN:
Cayma
Cerro
Colorado
Paucarpata Medicina Derecho
Contabi
lidad
Karen X X SI X X SI
Edith SI X X X SI X
Rosa X SI X SI X X
RPTA. A
9
CAPÍTULO VIII
CONJUNTOS Y CONTEO
CONJUNTOS, FACTORIALES, PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
DE CONTEO Y CONTEO DE RUTAS
CAPACIDAD
Resuelve situaciones reales de conteo aplicando la teoría de conjuntos y los
principios de la Combinatoria de manera progresiva y responsable.
SITUACIÓN
¿De cuantas maneras
diferentes se puede leer la
palabra RAZONANDO?
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LOS CONJUNTOS
A) DIAGRAMAS DE VENN - EULER
Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región de plano
limitado por una figura cerrada en cuyo interior se indican los elementos que
forman el conjunto.
Una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las
relaciones entre conjuntos, es el uso de los diagramas de Venn-Euler.
Así, por ejemplo, para los conjuntos:
𝑨 = {𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒}
𝑩 = {𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕 }
𝑪 = {𝟐; 𝟑; 𝟖; 𝟗}
𝑼 = {𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕; 𝟖; 𝟗; 𝟏𝟎}
Donde.:
{1} está incluido en el conjunto “A” y el elemento “1” pertenece a “A”
{3; 4} es subconjunto (está incluido) “en A” y también en “B”
Observación: La relación de pertenencia se da de elemento a conjunto y la de
inclusión de conjunto a conjunto, o de un subconjunto a un conjunto.
EULER
fue un famoso
matemático suizo
(1707-1783)
10
B) DIAGRAMAS DE LEWIS CARROL
Se usan generalmente para representar conjuntos disjuntos.
EJEMPLO:
Para dos conjuntos cualesquiera:
A: puede representar a los hombres
B: puede representar a las mujeres
A: puede representar a los arequipeños
B: puede representar a los limeños
A B
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos “A” y “B” contenidos en el conjunto universal “U”
A) UNIÓN O REUNIÓN (U):
La unión de dos o más conjuntos es aquel conjunto conformado por la agrupación
de todos los elementos de los conjuntos que intervienen.
Notación:
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
Gráficamente:
B) INTERSECCIÓN ( ):
La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos
que pertenecen a “A” y “B” a la vez
Notación:
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
Gráficamente:
C) DIFERENCIA (-):
El conjunto diferencia (A - B) en ese orden es aquel que está formado únicamente
por los elementos exclusivos de A, es decir no pertenecen a B.
Notación:
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
Gráficamente:
LEWIS CARROLL: es
el seudónimo de
Charles Lutwidge
(1832-1898)
11
D) DIFERENCIA SIMÉTRICA (∆):
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A o´ B pero no a ambos.
Notación:
𝐴 ∆ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝑥 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵)}
Gráficamente:
E) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO (C(A), A, AC; A):
El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no pertenecen al
conjunto A y que están en el conjunto universal.
Notación:
𝐴𝐶 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}
Gráficamente:
LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS:
PROPIEDAD DEL NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO:
Si “A” y “B” son conjuntos finitos se cumple que:
1 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
2 𝒏(𝑨 − 𝑩) = 𝒏(𝑨) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
3 𝑺𝒊: 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = ∅, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩)
4
Para 3 conjuntos “A”, “B” y “C” cualesquiera:
𝒏(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) + 𝒏(𝑪) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑪 ) − 𝒏(𝑩 ∩ 𝑪) + 𝒏(𝑨
∩ 𝑩 ∩ 𝑪)
12
PROBLEMA 1
En una encuesta a 60 personas se recogió la siguiente información: 7 personas
consumen el producto A y B pero no C; 6 personas consumen el producto B y C
pero no A; 3 personas consumen el producto A y C pero no B; 50 personas
consumen al menos uno de estos productos y 11 personas consumen el producto
A y B. ¿Cuántas personas consumen solamente un producto?
A) 30 B) 32 C) 29 D) 31 E) 24
SOLUCIÓN:
Como 50 personas consumen al menos un producto, entonces:
𝐚 + 𝟕 + 𝟒 + 𝟑 + 𝐛 + 𝟔 + 𝐜 = 𝟓𝟎
𝐚 + 𝐛 + 𝐜 = 𝟑𝟎
RPTA. A
PROBLEMA 2
En un grupo de 55 profesores del CEPRUNSA, 25 hablan inglés, 32 francés, 33
alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántos profesores del grupo hablan dos de estos
idiomas?
A) 56 B) 60 C) 24 D) 25 E) 68
SOLUCIÓN:
Se pide: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Luego de la figura, se deduce que:
𝑥 + 𝑎 + 𝑐 = 20
𝑦 + 𝑎 + 𝑏 = 27 ↓ +
𝑧 + 𝑏 + 𝑐 = 28
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 75 … (𝐼)
Pero del total se obtendrá:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 5 = 55
⟹ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 … (𝐼𝐼)
Reemplazando (II) en (I):
50 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 75
⟹ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 25
RPTA. D
PROBLEMA 3
De un grupo de 100 personas, 40 son mujeres, 73 estudian Historia, 12 mujeres
no estudian Historia. ¿Cuántos hombres no estudian Historia?
A) 14 B) 18 C) 12 D) 16 E) 15
13
SOLUCIÓN:
Sea “X” el número de hombres que no estudian Historia, luego utilizamos el
diagrama de Carroll, así:
Estudian
Historia
No estudian
Historia
TOTAL
Hombres
73
X 60
Mujeres 12 40
TOTAL 73 27 100
De acuerdo a los datos:
𝑥 + 12 + 73 = 100
𝑥 = 15
RPTA. E
PROBLEMA 4
Un estudiante salió de vacaciones por n días, tiempo durante el cual:
Llovió 7 veces en la mañana o en la tarde.
Cuando llovía en la tarde, estaba despejado en la mañana.
Hubo 5 tardes despejadas.
Hubo 6 mañanas despejadas, según esto, tales vacaciones fueron de:
A) 15 B) 9 C) 18 D) 11 E) 22
SOLUCIÓN:
Graficando, tenemos:
Mañana Tarde Total
Llovió x 7-x 7
No Llovió 6 5 11
Además, como la cantidad de mañanas es igual a la cantidad de tardes, tenemos:
𝑥 + 6 = (7 − 𝑥) + 5
𝑥 = 3
La cantidad de días es igual a la cantidad de tardes o mañanas, entonces:
𝑁° 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 𝑁° 𝑚𝑎ñ𝑎𝑛𝑎𝑠 = 𝑁° 𝑡𝑎𝑟𝑑𝑒𝑠
𝑁° 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 3 + 6 = 9
RPTA. B
PROBLEMA 5
De 50 personas que hay en cuidados intensivos, se sabe qué:
5 mujeres tienen ojos negros.
16 mujeres no tienen ojos negros
14 mujeres no tienen ojos azules.
10 hombres no tienen ojos negros o azules.
¿Cuántos hombres tienen ojos negros o azules?
A) 22 B) 10 C) 19 D) 28 E) 20
SOLUCIÓN:
Hombres Mujeres TOTAL
Azules
x
𝑎
Negros 5
Otros 10 𝑏
TOTAL X + 10 𝑎 + 𝑏 + 5 50
Dato III: 𝑏 + 5 = 14 ⟹ 𝑏 = 9
Dato II: 𝑏 + 𝑎 = 16 ⟹ 𝑎 = 7
Total de mujeres: 9 + 5 + 7 = 21
Total de hombres: 50 − 21 = 29
Nos piden:
𝑥 + 10 = 29
𝑥 = 19
RPTA. C
14
PROBLEMA 6
En la ciudad de Arequipa el 60% de los habitantes comen pescado; el 50% come
carne; el 40% de los que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje
de los habitantes no comen pescado ni comen carne?
A) 15% B) 23% C) 20% D) 10% E) 3%
SOLUCIÓN:
De los datos se tiene el siguiente
gráfico:
40
50% 20%
100
60% + 30% + x = 100%
x = 10%
RPTA. D
PROBLEMA 7
En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Sociología y 53 no siguen
el curso deFilosofía. Si 27 alumnos no siguen ni Filosofía ni Sociología, ¿cuántos
estudiantes llevan exactamente uno de tales cursos?
A) 47 B) 50 C) 48 D) 38 E) 70
SOLUCIÓN:
Considerando que son 100 estudiantes, se puede concluir lo siguiente:
51 estudiantes llevan el curso de Sociología
47 estudiantes el curso de Filosofía
27 estudiantes no llevan ninguno de los cursos mencionados.
De acuerdo a ello, se representará
gráficamente, como se muestra.
A partir de esto, se tiene que: 26
alumnos llevan sólo Sociología y
22 estudiantes llevan sólo
Filosofía.
El número de estudiantes que
llevan exactamente un curso son
48.
RPTA. C
PROBLEMA 8
Se realizó una encuesta en el CEPRUNSA para ver las preferencias de diversión
de los estudiantes, se determinó que el 60% de los estudiantes les gusta el cine y
al 30% les gusta el teatro. Se sabe que los que gustan del teatro o cine, pero no
de ambos constituyen el 70% de estudiantes y hay 400 estudiantes que no les
gusta ninguno, ¿cuántos estudiantes prefieren ambas preferencias de diversión?
A) 150 B) 200 C) 300 D) 400 E) 120
SOLUCIÓN:
De los datos del problema y de la
figura se deduce:
𝑎 + 𝑏 = 60%𝑋
𝑏 + 𝑐 = 30%𝑋
𝑎 + 𝑐 = 70%𝑋
Por lo tanto, sumando las tres
ecuaciones y simplificando
obtenemos:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 80%𝑋
15
Así mismo observamos que:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 100%𝑋
Entonces: 𝑑 = 20%𝑋
Y como dato tenemos que
: 𝑑 = 20%𝑋 = 400
𝑋 = 2000
Por lo tanto, nos piden:
𝑏 = 10%𝑋 = 10%(2000) = 200 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
RPTA. B
PROBLEMA 9
En un aula de la facultad de Ingeniería Mecánica hay 35 cachimbos; 7 hombres
aprobaron Cálculo en una Variable y 6 hombres aprobaron Dibujo Técnico; 5
hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso. Hay 16 hombres en total, 5
cachimbos aprobaron los 2 cursos y 11 aprobaron solo Cálculo en una Variable.
¿Cuántas mujeres aprobaron solo Dibujo Técnico?
A) 4 B) 2 C) 8 D) 3 E) 7
SOLUCIÓN:
Del enunciado:
En el grafico se cumple:
a+b=7
b+c=6
a+b+c+5=16
c=4; b=2; a=5
También:
b+n=5 n=3
a+m=11 m=6
Además:
8+m+n+p=19 p=2
RPTA. B
PROBLEMA 10
De 150 personas que estudian alemán (A), inglés (I), francés (F) y ruso (R), ninguno
que estudia F estudia R; 22 solo estudian A, 20 solo estudian I; 20 solo estudian
F, 20 estudian A y R, pero no estudian I; 6 solo estudian F e I; 4 solo estudian A
y F; 24 estudian R e l; 28 solo estudian R, y 1 solo A e I ¿Cuántas personas
estudian A, I y F?
A) 15 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
SOLUCIÓN:
Del enunciado se tiene que
F R =
Luego, graficamos
Totalizando, tenemos:
145+a = l50 a = 5
Por lo tanto, 5 personas estudian A, I y
F.
RPTA.E
16
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Se define factorial de un número n (n es un número entero y positivo), al producto
indicado de los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n. Se
denota así:
n!
⌊n
n⌋
} se lee factorial del numero "n" o "n" factorial
Por definición:
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)… 3𝑥2𝑥1
Ejemplos
0!=1
1!=1
2!=1x2 = 2
3!=1x2x3 =6
4!=1x2x3x4 = 24
5!=1x2x3x4x5 = 120
6!= lx2x3x4x5x6 = 720
7!=1x2x3x4x5x6x7 = 5040
81=1x2x3x4x5x6x7x8 =40320
9!=lx2x3x4x5x6x7x8x9 =362880
10!=lx2x3x4x5x6x7x8x9x =3628800
Nota: los factoriales mayores o iguales que 5, siempre terminaran en cero
Se observa:
10! = 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1
10! = 10x(9x8x7x6x5x4x3x2x1)
10! = 10 x 9!
En general:
𝑛! = 𝑛 𝑥 (𝑛 − 1)!
De aquí, obtenemos para n=1 entonces: 1! = 1 x (1-1)! = 1 x 0! = 0!
Luego obtenemos convencionalmente:
1! = 0! = 1
PROPIEDADES DE LOS FACTORIALES
I. Solamente existe factoriales para números enteros y positivos. Es decir:
si n! = 1x2x3x4x… x n; donde “n”= entero y positivo, es decir:
8! → si existe ;
(−6)! → Factorial de − 6 no existe
−3! → Menos factorial de 3 si existe
Pero: −3! = −(3𝑥2𝑥1) = −6
4!
2
→ medio factorial de 6 si existe,
Pero
4!
2
=
24
2
= 12
(
1
4
) ! → factorial de
1
4
no existe
II. Por axioma de las matemáticas, se define que:
1! = 0! = 1
III. Factorial de un número puede ser siempre descompuesto como el producto
del factorial de otro menor que él por todos los números consecutivos a este
último; hasta completar dicho número.
Así:
7! = 7x6x5!
9! = 9x8!
(n + 5)! = (𝑛 + 5)(𝑛 + 4)(𝑛 + 3)!
(n − 2)! = (𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4)(𝑛 − 5)!
IV. En factoriales, las siguientes operaciones no se cumplen:
(n +m)! ≠ n! + m!
(n × m)! ≠ n! × m!
(
n
m
) ! ≠
n!
m!
17
PROBLEMA 1
Si
𝑛!(𝑛!−3)
𝑛!+4
= 18
Determine el valor de: 𝑘 = √𝑛2 + 3𝑛 + 7, que es la edad (aproximada) de Camila
A) √47 B) √17 C) 3√3 D) √35 E) √67
SOLUCIÓN:
Se cumple:
(𝑛!)2 − 3(𝑛!) = 18(𝑛!) + 72
(𝑛!)2 − 21(𝑛!) − 72 = 0
(𝑛! − 24)(𝑛! + 3) = 0
𝑛! = 24 𝑉 𝑛! = −3
⟹ 𝑛! = 24, 𝑛 = 4
𝐾 = √𝑛2 + 3𝑛 + 7 = √35
RPTA. D
PROBLEMA 2
Resuelve:
𝑥 [
𝑥! + 2(𝑥 − 1)!
𝑥! + (𝑥 + 1)!
] = 𝑥! − 23
A) 2 B) 7 C) 6 D) 8 E) 4
SOLUCIÓN:
Expresamos todos los factoriales en función del menor de ellos, es decir en
función de (x-1)!, para factorizar y reducir:
𝒙 [
𝒙(𝒙 − 𝟏)! + 𝟐(𝒙 − 𝟏)!
𝒙(𝒙 − 𝟏)! + (𝒙 + 𝟏)𝒙(𝒙 − 𝟏)!
] = 𝒙! − 𝟐𝟑
𝒙(𝒙 + 𝟐)
𝒙 + 𝒙(𝒙 + 𝟏)
= 𝒙! − 𝟐𝟑
𝒙! − 𝟐𝟑 = 𝟏
𝒙! = 𝟐𝟒
𝒙 = 𝟒
RPTA. E
PROBLEMA 3
Marina es una chica con suerte que se ganó el premio mayor del Bingo que se jugó
por su casa. Para esto su amiga Carmen le pregunta ¿cuánto ganaste?, ella no
quería decirlo, pero a tanta insistencia. Ella le dice gane el equivalente a G:
𝐺 = [
1
7! + 8!
+
1
9!
]
−1
Si Carmen logra hallar el resultado. ¿Cuánto ganó?
A) S/ 720 B) S/ 15 000 C) S/ 20 569 D) S/ 40 320 E) S/ 362 880
SOLUCIÓN:
Descomponiendo la base de la potencia
1
7! + 8!
+
1
9!
=
1
7! + 8 × 7!
+
1
9!
=
1
9 × 7!
+
1
9!
Ahora multiplicamos y dividimos por 8, convenientemente:
8
9 × 8 × 7!
+
1
9!
=
8
9!
+
1
9!
=
9
9!
=
1
8!
Finalmente, en la expresión G:
𝐺 = [
1
8!
]
−1
= 8! = 40320
RPTA. D
PROBLEMA 4
Simplifique la expresión:
𝐴 =
50! + 49! + 48!
49! + 48!
A) 18 B) 50 C) 20 D) 22 E) 24
SOLUCIÓN:
Expresando 50! y 49! en función de 48! (el menor de los factoriales) tenemos:
𝐴 =
50! + 49! + 48!
49! + 48!
=
50𝑥49𝑥48! + 49𝑥48! + 48!
49𝑥48! + 48!
=
48! (50𝑥49 + 49 + 1)
48! (49 + 1)
𝐴 =
50 𝑥 49 + 50
50
=
50(49 + 1)
50
= 50
RPTA. B
18
PROBLEMA 5
En cuantos ceros termina el desarrollo de:
𝑅 = 200! + 201! + 202!…+ 300!
A) 18 B) 50 C) 20 D) 42 E) 49
SOLUCIÓN:
Para determinar en cuantos ceros termina un factorial se puede utilizar el método
práctico de las divisiones sucesivas entre 5, en este caso tomaremos el número
menor ya que solo la cantidad de CEROS de este quedara intacto hasta el final
sin ser afectado por otros sumandos:
Entonces para calcular la cantidad de ceros en los cuales termina 200!, sumamos
los cocientes obtenidos:
40+8+1=49
RPTA. E
PROBLEMA 6
Si n N, calcular el valor de n en la ecuación:
𝑛! (𝑛! − 15)
6 + 𝑛!
= 100
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 2
SOLUCIÓN:
Haremos cambio de variable, es decir: n! = X
𝑋2 − 15𝑋 = 600 + 100𝑋
𝑋2 − 115𝑋 − 600 = 0
(𝑋 − 120)(𝑋 + 5) = 0
Dónde: x = 120 = n!
n = 5
RPTA. D
PROBLEMA 7
Lupita desea determinar el valor de:
11! − 10!
9!
+10! − 9!
8!
+
9! − 8!
7!
+ ⋯+
2! − 1!
0!
A) 55 B) 717 C) 285 D) 85 E) 385
SOLUCIÓN:
Los sumandos son de la forma:
(𝑛 + 2)! − (𝑛 + 1)!
𝑛!
Simplificando
(𝑛 + 2)𝑥(𝑛 + 1)𝑥𝑛! − (𝑛 + 1)𝑥𝑛!
𝑛!
(𝑛 + 2)(𝑛 + 1) − (𝑛 + 1)
Simplificando:
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2 − 1) = (𝑛 + 1)2
En nuestro caso tomando el valor de n se tendrá:
102+92+82+…+12
Obteniéndose una suma notable, donde se cumple:
𝑆 =
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
Reemplazando:
10𝑥11𝑥21
6
= 385
RPTA. E
19
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO
En lo que respecta a técnicas de conteo, existen dos principios fundamentales:
Principio de adición
Principio de multiplicación
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Si el objeto A puede escogerse de m maneras y después de cada una de estas
elecciones el objeto B se puede escoger de n modos, la elección de A y B se puede
efectuar de n x m formas.
Objeto A m formas
⇒
Objetos A y B
Objeto B n formas mxn formas
EJEMPLO:
Si Angélica tiene para vestirse 2 pares de pantalones, 3 polos y 4 pares de
zapatillas, todas las prendas distintas, ¿de cuantas maneras podría vestirse?
SOLUCIÓN:
Aplicamos el principio de multiplicación:
Pantalones Y Polos Y Zapatillas N° de formas
2 x 3 x 4 = 24
Podrá vestirse de 24 maneras
PRINCIPIO DE ADICIÓN
Si cierto objeto A puede ser elegido de m maneras y otro objeto B de n maneras,
entonces la elección de A o B, pero no ambos, se puede efectuar de (m+n) modos.
Objeto A m formas
⇒
Objetos A o B
Objeto B n formas m+n formas
EJEMPLO:
Un comité docente formado por 5 aritméticos, 3 algebraicos y 4 geómetras,
estudian nuevas metodologías educativas. Si el comité ha recibido una invitación
de impartir una conferencia al respecto, ¿de cuantas maneras puede el comité
elegir un representante?
SOLUCIÓN:
Aritméticos o Algebraicos o Geómetras N° de formas
5 + 3 + 4 = 12
El comité puede elegir un representante de 12 maneras distintas
PROBLEMA 1
En un estanque hay 15 patos y 8 gansos.
a) ¿de cuantas maneras se puede escoger un pato y un ganso?
b) Si la elección anterior ya fue efectuada, ¿de cuantas maneras se puede efectuar
nuevamente? Dar como respuesta la suma de ambas
A) 189 B) 308 C) 167 D) 218 E) 188
SOLUCIÓN:
a) Primero:
Patos y Gansos
15 x 8 = 120
b) Como la elección anterior ya fue efectuada quedan:
Patos y Gansos
14 x 7 = 98
Nos piden: 120+98=218
RPTA. D
20
PROBLEMA 2
Una persona debido a los cortes de agua, desea comprar un recipiente para
almacenar agua, en una tienda observa 8 tipos de baldes, 12 tipos de galones y
13 tipos de cilindros. Si compra un solo producto. ¿De cuantas maneras diferentes
podrá elegir dicho recipiente?
A) 45 B) 34 C) 23 D) 1248 E) 33
SOLUCIÓN:
Baldes o Galones o Cilindros
N° de formas 8 + 12 + 13 =33
RPTA. E
PROBLEMA 3
¿Cuántos números capicúas de 5 cifras existen en el sistema nonario, tal que la
suma de sus cifras sea impar?
A) 260 B) 288 C) 300 D) 240 E) 180
SOLUCIÓN:
Un número capicúa de 5 cifras en el sistema nonario es de la forma: 𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 9 y para
que la suma de sus cifras sea impar c debe ser impar:
𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅9
↓ ↓ ↓
1 0 1
2 1 3
3 2 5
4 3 7
5 4
6 5
7 6
8 7
8
Total de números: 8x 9x 4 = 288
RPTA. B
PROBLEMA 4
Rocío tiene para vestirse 8 pantalones (4 iguales), 3 minifaldas, 7 blusas (2
iguales), 5 polos (4 iguales) y 8 pares de zapatos. ¿De cuantas maneras diferentes
podrá vestirse?
A) 720 B) 220 C) 25 D) 465 E) 512
SOLUCIÓN:
Analizando las prendas de vestir, tenemos:
5 pantalones diferentes debido a que 4 son iguales
3 minifaldas diferentes
6 blusas distintas debido a que 2 son iguales
2 polos diferentes debido a que 4 son iguales
8 pares de zapatos diferentes
Además, ocurre que el pantalón y la minifalda no se pueden usar a la vez, lo
mismo ocurre con la blusa y el polo
Luego puede vestirse del modo siguiente:
Pantalón
Blusa y
zapato
o
Pantalón
polo y
zapato
o
Minifalda
Blusa y
zapato
o
Minifalda
polo y
zapato
⇓ ⇓ ⇓ ⇓
N° de
formas
5x6x8 + 5x2x8 + 3x6x8 + 3x2x8 =512
OTRA FORMA
Polos o
Blusas
y
Pantalones o
minifaldas
y Zapatos
⇓ ⇓ ⇓
N° de
formas
2 + 6 x 5 + 3 x 8 =512
Podrá vestirse de 512 maneras
RPTA. E
21
PROBLEMA 5
Se tiene 4 libros de Aritmética y 3 libros de Algebra. ¿De cuantas formas se podrán
ubicar en un estante donde solo entran 5 libros y deben estar alternados?
A) 345 B) 134 C) 243 D) 216 E) 233
SOLUCIÓN:
Sea A: Aritmética y X: Algebra
A X A X A o X A X A X
N° de
formas
4x 3x 3x 2x 2 3x 4x 2x 3x 1 = 216
Se podrán ubicar de 216 formas.
RPTA. D
PROBLEMA 6
¿Cuántos números de 3 cifras no contienen al 2 ni al 5 en su escritura?
A) 440 B) 442 C) 444 D) 446 E) 448
SOLUCIÓN:
De los datos:
𝑎 𝑏 𝑐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
↓ ↓ ↓
1 0 0
3 1 1
4 3 3
6 4 4
7 6 6
8 7 7
9 8 8
9 9
Total de números: 7x 8x 8 = 448
RPTA. E
PROBLEMA 7
La Junta Directiva de un club consta de un presidente, un Vicepresidente, un
Tesorero y un Secretario. Hay 8 candidatos que puedan ocupar, la Presidencia o
Vice presidencia y 6 candidatos diferentes a los anteriores que pueden ocupar la
Tesorería o Secretaria. ¿De cuántas maneras diferentes se podría formar la Junta
Directiva?
A) 2250 B) 1680 C) 1580 D) 480 E) 256
SOLUCIÓN:
Para el Presidente o vicepresidente = 8x7=56
Para Tesorería o secretario = 6x5 =30
En total 56x30=1680
RPTA. B
PROBLEMA 8
Hay dos obras de 3 volúmenes cada una y otras dos de dos volúmenes cada una.
¿De cuantas maneras pueden colocarse los 10 libros en un estante, si deben
quedar de tal manera que no se separen los volúmenes de la misma obra?
A) 5134 B) 2345 C) 4345 D) 3456 E) 2112
SOLUCIÓN:
Del enunciado:
Son 4
Grupos
Obra 1 Obra 2 Obra 3 Obra 4
𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝟑
𝑩𝟏𝑩𝟐𝑩𝟑
𝑪𝟏𝑪𝟐
𝑫𝟏𝑫𝟐
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
N° de formas 4! x 3! x 3! x 2! x 2! x = 3456
RPTA. D
22
CONTEO DE RUTAS
PROBLEMA 9
La siguiente figura es una estructura hecha de alambre. Si se quiere ir del punto
A al punto B, sin repetir el mismo tramo, ¿cuántos caminos distintos se podrán
encontrar?
A) 34 B) 45 C) 48 D) 42 E) 47
SOLUCIÓN:
Parte
superior
o Parte inferior
⇓ ⇓ ⇓
N° de formas 2 x 3 x 2 + 2 x 3 x 3 x 2
= 48
maneras
RPTA. C
PROBLEMA 10
Fátima desea viajar desde la ciudad A hasta la ciudad D. ¿De cuántas maneras
diferentes puede realizar el viaje sin pasar ni regresar por el mismo camino? En
la figura, las líneas representan caminos.
A) 55 B) 84 C) 73 D) 68 E) 53
SOLUCIÓN:
El total de formas de realizar dicho viaje es:
AD o ADC o ABCD
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓
N° de
formas
2 x 2 + 2 x 2 x 4 + 4 x 3 x 4
= 68
maneras
RPTA. D
23
PROBLEMA 11
¿De cuántas maneras diferentes se puede viajar de A
hacia B recorriendo por las líneas de la figura, sin pasar
dos veces por el mismo punto, y siempre bajando (sin
retroceder)?
A) 9 B) 8 C) 10
D) 11 E) 12
SOLUCIÓN:RPTA. D
PROBLEMA 12
En el siguiente gráfico se quiere
recorrer siguiendo la dirección de las
flechas solamente por los segmentos,
¿cuántas rutas diferentes existen para
ir de A hacia C pasando siembre por el
punto B?
A) 435 B) 314
C) 213 D) 248 E) 253
SOLUCIÓN:
Vamos a aplicar el principio de adición, teniendo
cuidado de contar las maneras de llegar a cada punto.
En el esquema mostrado a continuación, se aprecian
caminos para recorrer, así como los que no nos
interesan
El número de formas:
A - B y B - C
N° de formas 11 x 23 = 253
RPTA. E
PROBLEMA 13
¿Cuántas rutas son posibles de tomar para ir de J a R sin
pasar 2 veces por un mismo punto?
A) 5
B) 8
C) 6
D) 11
E) 3
SOLUCIÓN:
JBEDR
JEDR
JEBR
JBER
JER
JBR
⇒ 1 + 3 + 2 = 6 formas
RPTA. C
PROBLEMA 14
¿De cuantas formas se puede leer la palabra CORONAR?
C O R O
O R O N
R O N A
O N A R
A) 15 B) 18 C) 20 D) 21 E) 23
SOLUCIÓN:
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
RPTA. C
24
CAPÍTULO IX
COMBINATORIA Y PROBABILIDADES
PERMUTACIONES, VARIACIONES Y COMBINACIONES -
PROBABILIDAD SIMPLE Y CONDICIONAL
CAPACIDAD
Resuelve problemas cotidianos aplicando las propiedades fundamentales de la
combinatoria y probabilidades de manera autónoma. participativa y responsable
SITUACIÓN
ANÁLISIS COMBINATORIO
Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que
podemos formar con los elementos de un conjunto dado. Por ejemplo, podemos
averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, placas o números de loterías
se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos.
Además, el estudio y comprensión del análisis combinatorio sirve de andamiaje
para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades
MÉTODOS DE CONTEO
En diferentes casos o actividades de la vida diaria se toma de algún conjunto, por
ejemplo 20 profesores de Razonamiento Matemático, parte de sus elementos o
todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el
orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos
que forman una agrupación son diferentes entre sí, se denominan agrupaciones
sin repetición y si algunos de ellos son iguales se denomina agrupaciones con
repetición.
Los métodos de conteo más conocidos son: Permutación, Variación y Combinación
PERMUTACIONES
Se denomina permutación, a cada una de las diferentes ordenaciones que se
pueden realizar con todos los elementos de un conjunto.
Permutación Simple o Lineal: Son las permutaciones que pueden hacerse con
los elementos de un conjunto, sin repetirlos. Por ejemplo, personas haciendo
cola para entrar a un cine.
P
!1)........2)(1()( nnnnV
r
nn
Permutaciones con repetición: El número de permutaciones de n elementos,
de los cuales, r son iguales, son iguales…. t son iguales, está dada por:
P !....!*!*
!
....),,;(
tsr
n
tsrn
Sí en el estado de cuarentena debido al Covid-19, una familia dispone de
las siguientes frutas: papaya, piña, plátano, naranja y manzana, ¿cuántas
ensaladas de frutas diferentes podrán hacerse?
25
Permutaciones circulares: Son agrupaciones donde no hay primero ni último
elemento, por hallarse todos en una línea cerrada El número de maneras
diferentes en que se pueden ordenar n elementos diferentes a lo largo de una
circunferencia, por ejemplo, una familia sentada alrededor de una mesa
departiendo un rico plato criollo y donde uno de ellos no se cuenta porque es el
elemento que sirve de referencia (está fijo), está dado por:
Pcircular = (n – 1)!
PROBLEMA 1
¿Cuántas permutaciones con las letras ABCD contienen la cadena CD? y
cuántas contienen juntas C y D en cualquier orden?
A) 3 y 6 B) 6 y 12 C) 3 y 12 D) 10 y 24 E) 24 y 12
SOLUCIÓN:
Se consideran A, B y la cadena CD:
ABCD, BACD, ACDB, BCDA, CDAB, CDBA
Que también se pueden hallar:
3! = 6
Para el segundo caso: 3!” 2! = 12, a saber.
(ABCD, BACD, ACDB, BCDA, CDAB, CDBA, ABDC, BADC, ADCB, BDCA, DCAB,
DCBA)
RPTA. B
PROBLEMA 2
Cinco ancianos, 2 hombres y 3 mujeres se contagian con un virus de cuántas
maneras podrán atenderse, ¿si las personas del mismo sexo se atienden juntas?
A) 24 B) 72 C) 32 D) 12 E) 120
SOLUCIÓN:
Agrupando hombres y mujeres: 2! 2! 3! = 12 RPTA. D
PROBLEMA 3
Juan, Carlos, Francisca, Rocío y Rolo, van el domingo a la iglesia y se ubican
una banca de 5 asientos.
I. ¿De cuántas maneras podrán sentarse, si Francisca y Rocío siempre están
juntas?
II. ¿De cuántas maneras podrán sentarse sí los varones nunca se sientan
juntos?
A) 48, 84 B) 24, 48 C) 24, 72 D) 120, 84 E) 96, 36
SOLUCIÓN:
I. Permutación de 4 elementos y uno de ellos con 2 posibilidades:
4! . 2! = 48
II. Hacemos un cálculo indirecto;
#maneras nunca juntos = #total #maneras juntos
Total =
5
5 120!P
#Maneras varones juntos = P3 × P3 = 3! × 3! = 36
#Maneras varones nunca juntos = 120 – 36 = 84
RPTA. D
PROBLEMA 4
¿De cuántas formas diferentes se puede ordenar en una fila 7 canicas del mismo
tamaño si 3 son rojas, 2 azules, 1 blanca y una amarilla?
A) 240 B) 120 C)480 D)720 E) 420
SOLUCIÓN:
Como intervienen todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de
una permutación con repetición, donde n1 = 3, n2 =2, n3 = 1 y n4 = 1, luego:
P
7
1,1,2,3
=
420
2
7654
112!3
7654!3
!1!1!2!3
!7
xxx
xxx
xxxx
xxx
RPTA. E
26
PROBLEMA 5
¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 2 al 8 en la
siguiente figura?
A) 840 B) 1440 C) 120 D) 720 E) 420
SOLUCIÓN:
Para el número central hay 7 posibilidades las otras 6 cifras
Se ordenan en forma circular de:
(6 –1)! formas, por lo tanto:
# de maneras = 7 x 5! = 7 x 120 = 840
RPTA. A
PROBLEMA 6
En el mes de marzo del 2020, mientras duraba la cuarentena 7 miembros de la
familia Juárez se ubicaron alrededor de una mesa para cenar ¿De cuántas
maneras diferentes se ubicaron, si padre y madre siempre se sientan juntos?
A) 240 B) 120 C) 360 D) 480 E) 720
SOLUCIÓN:
Es importante el orden y además uno siempre, que no es parte de los padres, se
ubica como referencia (no se lo cuenta)
A
B
CF
G
DE
Considerando A como persona referencia y además B y C, la pareja de padres que
funcionan como un solo elemento:
PC, para 5 elementos de los cuales dos, (los padres) se permutan entre sí:
RPTA. A
27
VARIACIÓN
Una variación de un cierto número de elementos es un arreglo donde importa el
orden y donde además se toma una parte del total de elementos.
Variación de n elementos tomados de r en r:
V
n
r =n(n-1)(n-2)…….(n-r+1)=
)!(
!
rn
n
PROBLEMA 1
Se desea formar una junta directiva de la asociación de padres de familia del
Colegio Carlos Baca Flor a partir de 10 candidatos. ¿De cuántas maneras se puede
seleccionar un presidente, vicepresidente, un tesorero y secretario de un total de
10 personas que forman una asociación?
A) 2020 B) 5040 C) 5120 D) 4810 E) 2400
SOLUCIÓN:
5040
)!410(
!1010
4
P
Aplicando el método de los factores decrecientes (cuatro factores a partir de 10):
10x9x8x7 = 5040RPTA. B
PROBLEMA 2
Rodrigo un adolescente muy perspicaz se pregunta: ¿De cuántas formas diferentes
pueden entrar a un ascensor 6 personas, si solo hay capacidad para 4 de ellos?
A) 240 B) 720 C) 24 D) 360 E) 48
SOLUCIÓN:
Es un arreglo, donde importa el orden:
𝑉4
6 =
6!
(6−4)!
También: 6x5x4x3=360
RPTA.D
PROBLEMA 3
¿De cuántas maneras distintas podrán ubicarse en una banca de 6 asientos 4
pacientes en un hospital del Seguro Social, que asistieron para que le hagan el
test molecular para el descarte del Covid-19?
A) 120 B) 720 C) 180 D) 240 E) 360
SOLUCIÓN:
Se toma una parte del total e interesa el orden en que están sentados:
3603x4x5x6V64
RPTA. E
PROBLEMA 4
De cuántas maneras pueden acomodarse 6 docentes del CEPRUNSA:
a) En una fila de 5 sillas,
b) En una fila de 3 sillas,
c) Alrededor de una mesa redonda de 6 sillas
Dar como respuesta la suma de los 3 resultados
A) 1200 B) 1440 C) 14 64 D) 1560 E) 2160
SOLUCIÓN:
a) 6 personas en 5 sillas:
6 X 5 X 4 X 3 X 2 = 720
b) 6 personas en 4 sillas:
𝑉4
6 =
6!
(6−4)!
Equivale a: 360
c) permutación circular de 6 elementos:
5! = 120
Suma total: 720 + 360 + 120 = 1200
RPTA. A
28
PROBLEMA 5
En una carrera de 400 metros planos, de las olimpiadas de Tokio, participan 12
atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros
lugares con medalla de oro, plata y bronce?
A) 360 B) 720 C) 480 D) 600 E) 360
SOLUCIÓN:
Método 1: Empleando el principio de multiplicación:
Oro Plata Bronce
10 x 9 x 8
# Maneras diferentes de ganar medallas: 720
Método 2
Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 10
atletas (n = 10)
720
!7
1098!7
!7
!1010
3
xxx
P
¡RECUERDA!!
VARIACIONES CON REPETICIÓN
de r elementos tomados de n en n posibles muestras ordenadas de n elementos
no necesariamente distintos que se pueden extraer de un conjunto de r
elementos.
Su número: VR de r elementos tomados de n en n: rn
Notemos que aquí puede ser r > n
Modelo: ¿Cuántos números distintos de 6 cifras se escriben usando solamente
las cifras 1, 5 y 8?
Solución: VR de 3 elementos tomados de 6 en 6; 36 = 729 números diferentes
COMBINACIÓN
Una combinación de un número de elementos es una agrupación, que tiene las
mismas características de un conjunto –prescinde del orden-, a diferencia de
una variación. Para n elementos tomados de “m” en “m”:
C
)!(!
!
! nmn
m
n
V nmn
m
Si pintamos una pared con los colores del arco iris, es decir tomamos cada uno
de los 7 colores de uno en uno, luego matizamos de 2en 2, y así sucesivamente,
hasta que combinamos los 7 colores El número total de combinaciones de n
elementos distintos tomados de 1, 2,3……….n formas, viene dado por:
C 12 nn
Para el caso anterior:27-1=127 combinaciones diferentes.
29
PROBLEMA 1
Si disponemos de 5 puntos no colineales, ¿cuál es el máximo número de triángulos
que se podrán formar?
A) 10 B) 15 C) 12 D) 24 E) 30
SOLUCIÓN:
Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se
escogerán 3 puntos (m= 3) de un total de 5 puntos (n = 5). Además, no importa el
orden, ya que el triángulo ABC es igual al CBA; por lo tanto, se trata de una
combinación.
RPTA. A
PROBLEMA 2
Una señora del Mercado San Camilo, tiene 3 frutas: manzana, papaya y piña.
¿Cuántos jugos diferentes podrá preparar con estas frutas?
A) 10 B) 5 C)7 D) 4 E) 8
SOLUCIÓN:
Método 1: (conteo directo)
Cuando se selecciona una fruta de las tres, los sabores son 3: F, P, M
Cuando se selecciona 2 de las tres frutas, los sabores son 3: FP, FM, PM
Cuando se escoge las 3 frutas los sabores son 1: FPM
Total, de jugos diferentes: 3 + 3 + 1 = 7
Método 2: (Empleando números combinatorios)
No importa el orden; por lo tantousamos el principio de adición aplicado a la
combinación de una, dos o tres frutas:
Maneras diferentes = CCC
3
3
3
2
3
1
7133
123
123
12
23
1
3
xx
xx
x
x
Total, de jugos diferentes: 3 + 3 + 1 = 7
Método 3:(método de los subconjuntos propios)
C 12 nn
Para 3 frutas: 23-1 =7
RPTA. C
PROBLEMA 3
Debido a una pandemia, ¿de cuántas maneras se puede seleccionar un grupo de
cinco médicos y cuatro enfermeras de un grupo de diez médicos y siete enfermeras
para viajar a Italia?
A) 8 280 B) 8 820 C) 8 580 D) 8 476 E) 8260
SOLUCIÓN:
En esta elección no importa el orden si no quién es la persona elegida:
𝐶5
10. 𝐶4
7 =
10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6
5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
.
7𝑥6𝑥5
3𝑥2𝑥1
= 8820
RPTA. B
RECUERDA!!
10
123
345
!3!2
!55
3
xx
xx
C
30
PROBLEMA 4
De un total de 120 estrechones de manos que se efectuaron al final de una reunión
de la séptima promoción de Ingeniera Metalúrgica de la UNSA. ¿Si cada uno de
los asistentes es cortés con cada uno de los demás, dándose un estrechón? ¿Cuál
es el número de personas presentes?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 16
SOLUCIÓN:
Método 1
Del total de personas (n) se saludan de 2 en 2; sin interesar el orden, entonces:
120
!2x)!2n(
!n
Cn2
120
!2x)!2n(
)!2n)(1n(n
16
120
2
)1(
n
nn
Método 2
Sí en la reunión hay “n” personas, cada una de ellas da a (n-1) personas:
Número de estrechones de mano, aparentemente:
n (n-1)
Sin embargo, como cada estrechón se da entre 2 personas, hay doble conteo:
Número real de estrechones: n(n-1) /2
De donde:
16
120
2
)1(
n
nn
RPTA. E
PROBLEMA 5
Señale cuántos productos diferentes, cada uno de tres factores primos, podrá
obtenerse con los cinco factores primos: a, b, c, d, e, donde: (a b c de)
A) 40 B) 45 C) 10 D) 60 E) 35
SOLUCIÓN:
Método 1: (Por conteo directo)
Se deben formar números de la forma P = x. y. z;
Donde x, y, z son números primos
1er caso: Los tres factores son iguales; es decir: x = y = z,
Los productos serán:
P1 = a a a; P2 = b b b; P3 = c c c; P4 = d d d; P5 = e e e
Son 5 casos posibles
2do caso: Dos factores son iguales y uno es diferente;
Es decir: x = y; con z diferente, los productos serán:
P6 = a a b;….. Hasta P25 = e e d
Son 20 casos posibles
3er caso: Los 3 factores son diferentes; es decir: x y z
Los productos serán:
P26 = a b c; P27 = a b d; P28 = a b e;
P29 = a c d; P30 = a c e
P31 = a d e; P32 = b c d; P33 = b c e;
P34 = b d e; P35 = c d e
Son 10 casos posibles ( )
Finalmente se tendrá: 5 + 20 + 10 = 35 formas posibles
Método 2: (Aplicando combinación con repetición)
En este caso aplicamos:
Con n = 5 y k = 3, es decir:
RPTA. E
( )5
5
1
C
( 2 )20102
5
3
xC
10
5
3
C
35
!3
)25)(15(5135
3
5
3
CCR
31
PROBABILIDAD
Denominaremos experimento determinístico, a aquel que, repetido en las
mismas condiciones, da siempre el mismo resultado, en caso contrario lo
llamaremos aleatorio.
Denominamos suceso o evento a, a cualquier subconjunto de .
Ejemplo
Sea el experimento aleatorio “tiro un dado” Su espacio muestral es = {1, 2, 3,
4, 5, 6} Son posibles sucesos (1)= que salga 1; (1,2) = quesalga 1 o 2; (1, 2, 3, 4,
5, 6) = que salga 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6.
Del ejemplo anterior es evidente que hay sucesos más “posibles” o “probables”
que otros. Es necesario definir entonces probabilidad de un suceso.
Existe el azar electrónico. Las calculadoras científicas tienen una tecla que dice
“RAM· (random = azar). Al terminar, sale en la pantalla números del intervalo [0,1],
pero al azar, como si hubiera en la máquina un bolillero con todos los números
posibles del 0 al 1 y al oprimir la tecla RAN sacáramos uno.
En los equipos de audio, si ponemos un disco y oprimimos el botón “RANDOM”,
los temas se irán sucediendo al azar, y no en el orden en el que están en el disco.
El conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio se llama
espacio muestral.
Un suceso puede ser seguro, probable, improbable. Por ejemplo:
Tenemos una caja de lápices, ¿Cuál es la probabilidad de que saquemos un lápiz?
Este es un suceso seguro.
I. Tenemos una bolsa con caramelos. ¿Cuál es la probabilidad de que
saquemos un lápiz?
Este es un suceso imposible o improbable, ya que nunca sucederá.
II. Si abro mi mochila, ¿cuál es la probabilidad de encontrar mi guía del
CEPRUNSA?
Este es un suceso probable.
Mediante una formula podemos calcular la probabilidad de que se produzca un
suceso. Este número se conoce con el nombre de probabilidad teórica:
Si el suceso es seguro, la probabilidad es 1, porque el número de casos
favorable es igual al número de casos posibles.
Si el suceso es imposible la probabilidad es 0, porque el número de casos
favorables es 0, y este dividido por cualquier número es 0.
En el caso de que la probabilidad no sea ni imposible ni segura,
obtendremos un número comprendido entre 0 y 1.
.
Definición clásica: Llamaremos probabilidad des suceso A al cociente entre el
número de resultados o casos “favorables” a A y el número de resultados o casos
“posibles” o totales.
P(a)= casos favorables/casos totales o posibles
Así, en nuestro ejemplo, la probabilidad de sacar un dos en una tirada de un
dado (A = 2) es P(A) = 1/6, la probabilidad de sacar un uno o un tres (B = (1,3))
es P(B) = 2/6 y la probabilidad de sacar cualquier número (C = (1, 2, 3, 4, 5, 6))
es P(C) = 6/6 = 1.
La probabilidad de que ocurra un determinado suceso podría definirse como la
cantidad de veces que ocurriría dicho suceso si se repitiese un experimento o una
observación en un número grande de ocasiones bajo condiciones similares.
Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado
información adicional a la situación de partida:
Ejemplo: Se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6
(probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien
nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que
el resultado sea el 2 ya no es 1/6.
Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:
( )
( / )
( )
P A B
P B A
P A
32
Entonces podemos afirmar que la probabilidad de que salga el número dos
sabiendo que ha salido un número par es:
SOLUCIÓN:
𝑃(𝐵 ∧ 𝐴) =
1
6
𝑃(𝐴) =
1
2
𝑃(𝐵/𝐴) =
1
6
1
2
= 1/3.
PROBLEMA 1
¿De cuántas formas diferentes puede sentarse alrededor de una mesa circular un
padre y sus 5 hijos? Si 2 de sus hijos no se llevan bien. ¿Cuál es la probabilidad
que nunca se sienten juntos?
A) 2/5 B) 2/3 C) 1/3 D) 3/5 E) 3/8
SOLUCIÓN:
Se trata de una permutación circular:
Como uno se considera fijo:
5! = 120 total de arreglos
- Aplicando el evento complementario.
Si se supone 2 de los hijos siempre juntos: 4! x2 = 48
En consecuencia, 2 que no están nunca juntos:
120-48=72
P(A)= 72/120= 3/5
RPTA.D
PROBLEMA 2
Nueve personas se sientan al azar alrededor de una fogata. ¿Cuál es la
probabilidad de que 3 personas queden contiguas?
A) 3/25 B) 3/25 C) 4/7 D) 3/7 E) 3/2
SOLUCIÓN:
Sean A, B y C las personas que van a sentarse siempre juntas o contiguas,
entonces:
Calculamos el número total de formas en que se puedan sentar las 9 personas:
(9-1)! = 8!
Si las 3 personas (A, B y C), siempre están juntos, entonces las formas que se
pueden ubicar es:
3 x 2 x 1 = 6 formas
Las 6 personas restantes se podrán ubicar de:
6! formas
Finalmente, la probabilidad (P(A)) de que las tres personas queden
contiguas es:
(P(A)) =
28
3
!6x7x8
!6x6
!8
!6x6
RPTA. E
PROBLEMA 3
Se forma una comisión de bienvenida para la fiesta cachimbo 2020; integrada por
5 alumnos seleccionados de la Escuela Profesional de Ingeniería Industrial. Si se
considera 4 de 2do año; 4 de 3er año y 3 de 5to año, de tal forma que exista uno de
cada año.
A) 0.70 B) 0.74 C) 0.78 D) 0.82 E) 0.80
SOLUCION:
A: seleccione 1 de cada salón
Salones Alumnos
1 → 4
2 → 4
3 → 3
A = {seleccione 1 por salón}
33
#(A) = C3
4C1
4C1
3 + C2
4C2
4C1
3 + C1
4C2
4C2
3 + C1
4C3
2C1
3 + C1
4C1
4C3
3 + C2
4C1
4C2
3
#(A) = 48 + 108 + 72 + 48 + 16 + 72
#(A) = 48 + 108 + 72 + 48 + 16 + 72
Comisión de 5 alumnos:
#(A) = 364
#(Ω) = C5
11 = 462
p(1 x salon) =
#(A)
#(Ω)
=
364
462
= 0.78
RPTA. C
PROBLEMA 3
Jesús, André, María, Teresa y Lucia intervienen en un torneo de tenis. Los del
mismo sexo tienen igual probabilidad de ganar, pero cada hombre tiene el doble
de posibilidades de ganar que una mujer. Si Jaime y María son casados, hallar la
probabilidad que uno de ellos gane el torneo.
A) 3/5 B) 3/8 C) 4/7 D) 3/7 E) 3/4
SOLUCIÓN:
Como cada hombre tiene el doble de posibilidad.
Jesús 2 casos
André 2 casos
María 1 caso
Teresa 1 caso
Lucia 1 caso
total 7 casos
𝑷(𝑨) =
𝑭𝒂𝒗𝒐𝒓
𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍
=
𝟑
𝟕
RPTA. D
PROBLEMA 4
En un salón de un colegio, se forma la directiva de padres de familia confirmada
por 4 miembros con diferente jerarquía, si hay 5 candidatos varones y 6 mujeres.
¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté conformado por más de 2 hombres?
A) 13/55 B) 33/88 C) 4/17 D) 13/66 E) 3/14
SOLUCIÓN:
1º caso
Comité: 3 hombres y 1 mujer
11
2
)1(
11
4
6
1
5
3
C
CC
P
2º caso
Comité: 4 hombres
66
1
)2(
11
4
5
4
C
C
P
Como son eventos mutuamente excluyentes
Probabilidad:
66
13
66
1
11
2
P
RPTA. D
PROBLEMA 5
En los registros del Banco de la Nación se indica que, de un total de mil clientes,
800 tienen cuentas de ahorro y quinientos tiene ambas cuentas. ¿Cuál es la
probabilidad de que un cliente seleccionado al azar tenga cualquiera de las dos
cuentas?
A) 1/3 B) 1/4 C) 1/5 D) 1/2 E) 1/8
34
SOLUCIÓN:
Los eventos de interés son:
A: clientes con cuenta corriente
B: clientes con cuenta de ahorros
𝑃(𝐴) =
800
1000
= 0,8; 𝑃(𝐵)
600
1000
= 0,6
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
500
1000
= 1/2
Entonces, la probabilidad requerida es:
Se tiene que escoger un comité de 4 personas entre 5 varones y 6 mujeres ¿Cuál
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,8 + 0,6 − 0,5 = 0.9
RPTA. D
PROBLEMA 6
En un estudio realizado para investigar entre el hábito de fumar y los ataques
cardiacos, se tomó una muestra a mil hombres de más de cincuenta años y se
obtuvieron los siguientes datos:
180 habían sufrido un ataque cardiaco.
300 fueron clasificados como fumadores.
100 habían sufrido un ataque cardiaco y fueron clasificados como
fumadores.
80 habían sufrido un ataque cardiaco y fueron clasificados como no
fumadores.
Si se selecciona un hombre al azar, obtén las siguientes probabilidades.
I. Queno sea fumador.
II. Que no haya sufrido ataque cardiaco y sea clasificado como un fumador.
III. Que haya sufrido ataque cardiaco y sea clasificado como fumador.
SOLUCIÓN:
El siguiente diagrama resume la información anterior.
𝑛(Ω) = 1000
Fuma = 300
No fuma = 700
La probabilidad de que el hombre seleccionado no fume es:
𝑃(𝑛𝑜 𝑓𝑢𝑚𝑒) =
700
1000
= 0.7
La probabilidad que el hombre seleccionado no haya sufrido ataque y no sea
clasificado como no fumador es:
𝑃 = (𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑓𝑟𝑖𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑦 𝑛𝑜𝑓𝑢𝑚𝑎) =
620
1000
= 0.62
La probabilidad que haya sufrido ataque y sea clasificado como fumador es:
𝑃(𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑓𝑟𝑖𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎) =
200
1000
= 0.20
PROBLEMA 7
En el siguiente cuadro, se muestra a los trabajadores de una entidad financiera
Hombres Mujeres Total
Obreros
Empleados
Directores
80
33
7
115
13
2
195
46
9
Total 120 130 250
El Ministerio de Trabajo hace una visita inopinada a la empresa y para ello decide
seleccionar al azar uno de los trabajadores. Calcule la probabilidad de que la
persona premiada sea empleado, sabiendo que es mujer.
100
80
200
620
Ataque
35
SOLUCIÓN:
Consideremos los eventos: E: ser empleado
M: ser mujer
Asumiendo que sean equiprobables en la sección de las personas, las
probabilidades de E y M son:
46
( )
250
P E y
130
( )
250
P M
Como se sabe que es mujer, entonces se trata de probabilidad condicional:
)
( / )
( )
PE M
P E M
P M
Hallando:
13
( )
250
P E M
Luego:
13
) 250( / ) 10%
130( )
250
PE M
P E M
P M
MÉTODO DIRECTO
En el cuadro respectivo vemos que de las 130 mujeres,13 son empleados:
P = 13/130 equivalente a:1/10
RPTA. E
PROBLEMA 8
La probabilidad que tiene Marcelino de ganar una partida de ajedrez a Fredy es
de 1/3, juegue con blancas o negras.Cuál es la probabilidad que tiene Marcelino
de ganar por lo menos una de las tres partidas?
A) 6/9 B) 19/27 C) 1/3 D) 2/3 E) 1/27
SOLUCIÓN:
Suponiendo perdiera las 3 partidas de forma consecutiva:
2/3x 2/3x2/3 = 8/27
Probabilidad de que gane por lo menos una partida:
1 - 8/27 =19/27
Otro método
Caso 1: gana una de las tres partidas.
1/3x2/3x2/3 = 4/27
Pero como puede ser la primera,segunda o tercera:
3x4/27=12/27
Caso 2: gana 2 de las 3 partidas
1/3x1/3X2/3=2/27
Pero como puede ganar la primera y la segunda o la primera con la tercera o la
segunda con la tercera:
2/27+2/27+2/27=6/27
Caso 3: gana las 3 partidas
1/3x1/3x1/3=1/27
Finalmente aplicamos el principio de la adición:
12/27+6/27+1/27=19/27
RPTA. B
36
CAPÍTULO X
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
VARIABLES CUANTITATIVAS Y CUALITATIVAS
TABLAS DE FRECUENCIAS - GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
GRÁFICOS CIRCULARES - GRÁFICO DE BARRAS -
HISTOGRAMAS PICTOGRAMAS
CAPACIDAD
Resuelve problemas del contexto real que implican la organización de datos a
partir de fundamentos de la estadística descriptiva de manera autónoma y
creativa que permitan obtener conclusiones y tomar decisiones adecuadas.
SITUACIÓN
Un maestro sustituto quiere
saber cómo les fue a los
estudiantes de la clase en su
última prueba. El maestro
les pide a los 10 estudiantes
sentados en la primera fila
que indiquen su puntaje más
reciente en la prueba.
Concluye de su informe que a
la clase le fue
extremadamente bien. ¿Cuál
es la muestra? ¿Cuál es la
población? ¿Puedes identificar algún problema con la elección de la muestra
como lo hizo el maestro?
1. FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA
Las estadísticas están en todas partes
Dondequiera que observes puedes encontrar estadísticas, ya sea que estés
navegando en Internet, haciendo deporte o mirando las puntuaciones más altas
de tu videojuego favorito. Pero, ¿qué es realmente una estadística?
Las estadísticas son datos que bien recopilados, organizados y analizados nos
posibilita cuantificar la realidad y disponer de los elementos que nos permitan
tomar decisiones en cualquier ámbito.
A modo de ejemplo, no tienes más que ver la tabla de posiciones del torneo local
para saber, qué equipos tienen posibilidad de campeonar, cuáles pueden perder
la categoría o saber cuál es les la posición en la liga de tu equipo favorito. En
suma, una estadística te da rápidamente la información que necesitas.
37
El estudio de las estadísticas comprende de dónde provienen las estadísticas,
cómo calcularlas y cómo puede usarlas de manera efectiva.
¿Pero por qué aprender estadística?
Comprender lo que realmente está sucediendo con las estadísticas te da poder. Si
realmente obtienes estadísticas, podrás tomar decisiones objetivas, hacer
predicciones precisas que parezcan inspiradas y transmitir el mensaje que deseas
de la manera más efectiva posible.
Las estadísticas son una forma conveniente de resumir verdades clave sobre los
datos, pero también hay a veces un lado oscuro.
Las estadísticas se basan en hechos, pero, aun así, a veces pueden ser engañosas.
Se pueden utilizar para decir la verdad o para mentir. El problema es cómo
determinar cuándo es veraz la información que brinda o cuándo no.
Tener una buena comprensión de las herramientas estadísticas te coloca en una
posición sólida. Estás mucho mejor equipado para saber cuándo las estadísticas
que te muestran en los medios son inexactas o engañosas. En otras palabras,
estudiar Estadística es una buena manera de asegurarse de que uno no será
objeto de un engaño o embuste.
Como ejemplo, eche un vistazo a las ganancias obtenidas por una empresa en la
segunda mitad del año pasado.
Meses Jul Ago Set Oct Nov Dic
Ganancias (millones) 2.0 2.1 2.2 2.1 2.3 2.4
Cuando se hace un estudio estadístico para saber si un grupo de vecinos está
enfermo con Covid-19, estamos utilizando la estadística descriptiva para
generalizar resultados a partir de una muestra. Se estudia en particular a un
reducido número de individuos a los que tenemos acceso con la idea de poder
generalizar los hallazgos a la población de la cual esa muestra procede. Este
proceso de inferencia se efectúa por medio de métodos estadísticos basados en la
probabilidad.
1.1 Población
Conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten
información sobre el fenómeno que se estudia.
Individuo: cualquier elemento que aporte información sobre el fenómeno que se
estudia. Así, si estudiamos la estatura de los alumnos de CEPRUNSA, cada
alumno es un individuo; si estudiamos el precio de la vivienda, cada vivienda es
un individuo, o algo más abstracto como el carisma de un docente de RM, la
certeza, la probabilidad o un intervalo de tiempo.
Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más
aspectos, cualidades o caracteres.
Ejemplos 1.1:
- El precio de la vivienda de un grupo de profesores de RM
- Los carros deportivos de los docentes de la UNSA.
- Las notas del último examen de admisión CEPRUNSA 2019.
Población Finita
Cuando la cantidad de elementos que lo forma se puede enumerar, por ejemplo,
el número de alumnos de un centro preuniversitario, o un grupo clase.
Población Infinita
Cuando la cantidad de elementos que la forman no es posible numerarlo. Un
ejemplo, si se realizase un estudio sobre la población de hormigas que hay en la
amazonia del Perú. Existen tantos y de diversas características que esta población
podría considerarse infinita.
El análisis de esta, puede resultarnos difícil o imposible, entonces es preferible
analizar solamente una parte pequeña de ésta población, que se llama muestra.
1.2 MuestraEs un subconjunto de la población que seleccionamos aleatoriamente (al azar)
para ser estudiada como parte representativa de la población y que se entienda
que es suficientemente representativa.
Ejemplos 1.2:
- La estatura de 50 postulantes del CEPRUNSA FASE 2019
- 10 autos deportivos del área de Ingenierías Alimentarias de la UNSA.
- Los 10 primeros ingresantes a Medicina en el último examen de admisión.
38
1.3 Variables
Las variables pueden ser clasificadas como cuantitativas (intervalares) o
cualitativas (categóricas), dependiendo si los valores mostrados tienen o no un
orden de magnitud natural (cuantitativas), o simplemente un atributo no sometido
a cuantificación (cualitativa).
1.3.1 Variables cuantitativas (intervalares)
Son las variables que pueden medirse,
cuantificarse o expresarse numéricamente. Las
variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:
a) Variables cuantitativas continuas, si admiten tomar cualquier valor
dentro de un rango numérico determinado (edad, peso, talla).
Ejemplo 1.3:
Puntajes obtenidos en los dos exámenes de 100 postulantes a Ingeniería
Civil del CEPRUNSA 2019 II FASE
Población: Postulantes del CEPRUNSA 2019 II FASE.
Muestra: 100 postulantes del CEPRUNSA 2019 II FASE.
Variable Continua: Puntajes obtenidos: 80.50; 85.51; 76.40, etc. (están
dentro de un rango)
b) Variables cuantitativas discretas, si no admiten todos los valores
intermedios en un rango. Toman valores enteros (número de miembros de
una vecindad, número de pacientes atendidos, etc.)
Ejemplo 1.4:
N° créditos que lleva un número de alumnos del área de Medicina de la
UNSA.
Población: alumnos del área de Medicina de la UNSA.
Muestra: número de alumnos del área de Medicina de la UNSA.
Variable discreta: N° de créditos: 1, 2, 3, 4 y 5 (cantidad entera)
1.3.2 Variables cualitativas (categóricas)
Este tipo de variables representan una cualidad o atributo que clasifica a cada
caso en una de varias categorías.
Una variable es una medida
utilizando una escala de medición.
La elección de la(s) escala(s) de medición a usar depende, en primer lugar,
del tipo de variable en estudio, y, además, del manejo estadístico a la que
se someterá la información. En la práctica, existe una correspondencia
directa entre el concepto de variable y escala de medición. Un atributo
corresponde a un valor específico de una variable, como es el caso de la
variable sexo, la que posee solamente dos atributos: hombre o mujer.
39
Son datos dicotómicos o binarios:
Es aquella en la que se clasifica cada caso en uno de dos grupos
(hombre/mujer, enfermo/sano, vivo/muerto). Como resulta obvio, en muchas
ocasiones este tipo de clasificación no es suficiente y se requiere de un mayor
número de categorías
Politómicas: (color de los ojos, grupo sanguíneo, estado civil, grado de
instrucción obtenido profesión, etc.)
NOTA:
Las variables también se pueden clasificar en:
Estas variables pueden ser a su vez:
a) Variables cualitativas nominales: ésta es una forma de observar o medir
en la que los datos se ajustan por categorías que no mantienen una
relación de orden entre sí (nivel socioeconómico, raza, profesión,
calificación previsional de usuarios para un crédito, etc.)
Ejemplo 1.5:
Marca de los coches que pasan en un día por un túnel de lavado.
Población: Coches que pasan en un día por un túnel de lavado.
Muestra: grupo coches que pasan en un día por un túnel de lavado
Variable Nominal: Marca de los coches: Toyota, Mitsubishi, Datsun,
Nissan, etc. (no necesita orden)
b) Variables cualitativas ordinales: en las escalas utilizadas, existe un
cierto orden o jerarquía entre las categorías (grados de desnutrición,
reconocimientos de obtención de grado académico, etcétera).
Ejemplo 1.6:
Rendimiento de 50 alumnos en el curso de Estadística de la Facultad de
Ingenierías de Procesos en la UNSA.
Población: Alumnos del curso de Estadística de la Facultad de Ing.
Procesos de la UNSA.
Muestra: 50 Alumnos del curso de Estadística de la Facultad de Ing.
Procesos de la UNSA.
Variable Ordinal: Rendimiento de los alumnos: Deficiente, Regular,
Bueno, Sobresaliente (necesita un orden)
2. PRESENTACIÓN TABULAR DE DATOS ESTADÍSTICOS
Al proceso de ordenar y clasificar un conjunto de datos para elaborar una tabla
estadística, se le conoce también como tabulación de datos. Con el siguiente
ejemplo se mostrará las diferentes etapas y conceptos que emplea la investigación
estadística.
Ejemplo 2.1:
Un grupo de pacientes afectados por la pandemia del Covid-19, a nivel local tienen
edades muy variadas, y estas son:
31, 25, 40, 23, 36, 45, 33, 19, 28, 37,
42, 21, 28, 27, 22, 43, 18, 23, 44, 48.
•Sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo:
edad de los alumnos de una clase).
Variables unidimensionales:
•Recogen información sobre dos características de la población
(por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).
Variables bidimensionales:
•Recogen información sobre tres o más características (por
ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).
Variables pluridimensionales:
•Aquellas que sugieren una ordenación, (por ejemplo: el orden
de mérito de ingreso a la UNSA, el nivel de estudios, etc.
Ordenables:
•Aquellas que sólo admiten una simple ordenación alfabética,
pero no establece orden por su naturaleza, (por ejemplo el
color de ojos, sexo, grado de instrucción, etc.
No ordenables:
40
Al realizar una tabla de frecuencia con 5 intervalos; determine el porcentaje de las
personas que tienen entre 30 y 42 años de edad.
Se observa que estos valores corresponden a una característica determinada
(edades) de la muestra (20 determinaciones) expresado en forma cuantitativa. Se
les denomina datos estadísticos cuantitativos.
2.1 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Las tablas de frecuencia o de distribución son tablas estadísticas, que presentan
los datos o conjunto de elementos agrupados o clasificados en las diversas
categorías de la variable.
Frecuencia Absoluta ( if ):
Es el número de datos contenidos en un determinado intervalo de clase. La suma
total de frecuencias absolutas debe corresponder al número total de elementos (n)
es decir:
Del ejemplo anterior, con los datos obtenidos y sus frecuencias respectivas se
puede formar una tabla tal como se presenta a continuación.
Cuadro 2.1 Datos del ejemplo 2.1
DATO CONTEO FRECUENCIA (fi)
21
27
33
39
45
IIII I
IIII
II
III
IIII
2
6
5
6
9
if n i if h n
Frecuencia Absoluta Acumulada ( iF )
Es la suma acumulada de cada frecuencia absoluta en forma sucesiva. Es decir:
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2
n n
F f
F f f
F f f f
F f f f n
i
j 1
ji F f
Lo que significa que la última frecuencia absoluta acumulada (Fn) debe ser igual
a número de elementos (n).
Por ejemplo:
Cuadro 2.2 Frecuencias Acumuladas del ejemplo 2.1
DATO
Frecuencia Absoluta
Simple (fi) Acumulada (Fi)
21
27
33
39
45
6
4
2
3
5
6
10
12
15
20
6 + 4 = 10
10 + 2 = 12
12 + 3 = 15
15 + 5 = 20
Frecuencia Relativa ( ih )
Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el número total de elementos (n),
indica que proporción del total corresponde a cada dato. Se calcula mediante:
1 ih
ii
f
h
n
Para el ejemplo 2.1 desarrollado anteriormente, el tamaño de la muestra es 20
(determinaciones), luego:
frecuencia del dato 45 5
frecuencia relativa del dato 45
total datos 20
41
Así, para cada uno de los datos, se obtendrá una columna más en la tabla de
frecuencias.
Cuadro 2.3 Frecuencias relativas del ejemplo 2.1
DATO
Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa
Simple (fi) Acumulada(Fi) Simple (hi)
21
27
33
39
45
6
4
2
3
5
6
10
12
15
20
6/20 = 0.30
4/20 = 0.20
2/20 = 0.10
3/20 = 0.30
5/20 = 0.25
Frecuencia Porcentual ( i%h )
Es la frecuencia relativa por 100, a la que denominamos frecuencia porcentual.
% 100 ih % 100 i ih h
Frecuencia Relativa Acumulada ( iH )
Es la acumulación de cada frecuencia relativa en forma sucesiva. Se obtiene en
forma análoga a la frecuencia absoluta acumulada.
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2 1
n n
H h
H h h
H h h h
H h h h
i
j 1
ji H h
Lo que significa que la última frecuencia relativa acumulada (Hn = 1).
Frecuencia Porcentual Acumulada (%Hi)
Es la frecuencia relativa acumulada por 100, a la que denominamos frecuencia
porcentual acumulada.
% 100 i iH H
2.2 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS SIN
INTERVALOS DE CLASE
Presenta las siguientes características:
Numero de datos medianamente grandes.
La variable puede ser cuantitativa o cualitativa.
Los datos se repiten.
Para su construcción se procede de la siguiente manera:
1° Ordenar los datos ya sea en forma ascendente o descendente.
2° Efectuar la respectiva tabulación (conteo) de los datos.
3° Calcular los elementos de la tabla de frecuencia.
4° Analizar e Interpretar los resultados del cuadro.
Cuadro 2.4 Tabla de Distribución de Frecuencias
Variable
(Xi)
Frecuencia
Absoluta
(fi )
Frecuencia
Relativa
(hi )
Frecuencia
Porcentual
(%hi )
X1 f1 h1 %h1
X2 f2 h2 %h2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Xn fn hn %hn
TOTAL n 1.00 100.00
3. DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS CON
INTERVALOS DE CLASE
El desarrollo del ejemplo 1, ha mostrado los diferentes procesos regulares para
encontrar frecuencias absolutas o relativas, simples o acumuladas, para un
conjunto de datos discretos (valores enteros), pero en ocasiones los datos se
agrupan convenientemente en intervalos para obtener una información que pueda
ser examinada con mayor rapidez y eficacia.
Presenta las siguientes características:
Número de datos extremadamente grandes.
La variable puede ser cuantitativa continua.
Los datos no se repiten.
42
INTERVALOS DE CLASE
Es el conjunto de todos los números comprendidos entre dos valores dados,
llamados límites inferior y superior del intervalo. O son grupos que resultan de
particionar el alcance. Se denota por:
i sL L
Donde:
Li = Límite Inferior. Ls = Límite Superior.
Ejemplo 3.1:
Se tienen los resultados de las muestras biológicas tomadas a 30 pacientes
infectados o con sospechas de infección por el COVID-19 del Hospital de la UNSA.
Los valores obtenidos son clasificados como sustancias infecciosas y son las
siguientes:
34 28.5 35.5 46 32 24.5
30 23 38 33.5 41 34
30.5 27 38 43 48 27
31 26.5 37 26 41 32.5
26 29 20 36 36.5 41.5
Observamos que existen diferencias con el ejemplo 1 anterior, los datos obtenidos
no son valores enteros y casi no se repiten. Al ordenarlos se tendría:
20 23 24.5 26 26 26.5
27 27 28.5 29 30 30.5
31 32 32.5 33.5 34 34
35.5 36 36.5 37 38 38
41 41 41.5 43 46 48
En la tabla de frecuencias hay que señalar los respectivos intervalos de clase,
utilizando conceptos adicionales a los señalados.
El rango o recorrido (R)
Es la diferencia entre el mayor valor y el menor de los datos de un conjunto de
datos estadísticos.
máx mínR V V
De los datos del ejemplo 3.1:
Vmáx = 48, Vmín = 20 R = 48 – 20 = 28
El rango nos permite apreciar la longitud del intervalo en que se distribuye los
datos obtenidos, en este ejemplo varían los resultados de las muestras en 28
unidades.
Alcance (A):
Es el intervalo cerrado definido por el menor y mayor valor del conjunto de datos.
En el ejemplo 3.1 se tendría: A = [20 – 48]
Para encontrar el número de intervalos de clase k, se utiliza la siguiente expresión:
Regla de Sturges: 1 3.3logk n
Donde, n es el tamaño de la población.
Otra forma de calcular es la regla de Joule: k n
Para el ejemplo 3, n = 30, utilizando la regla de Sturges:
1 3.3log(30) 5.8k
Siendo k un valor entero (número de intervalos) se redondea convenientemente,
en este caso se escoge k = 6, se van a tomar 6 intervalos.
Amplitud (w)
Es llamado ancho de clase (w), el cual puede variar de un intervalo a otro o ser el
mismo para cada uno, en este caso se llamará ancho de clase común.
R
w
k
1i iw L L
Para nuestro ejemplo: R = 28, k = 6, luego se tendrá:
28
4.67
6
w
Para que las operaciones se efectúen con mayor comodidad, se elige un ancho
de clase cuyo valor no sea menor al resultado obtenido. Escogemos como
ancho de clase común w = 5
Pero al tomar este valor, el rango va a variar, se tendría 6 intervalos de clase
cada uno con un ancho de clase común de 5, obteniendo como nuevo rango
(R’) es el valor de 6 × 5 = 30 = R’
Como es frecuente, en estos casos se acostumbra aumentar el valor máximo
y disminuir el valor mínimo del alcance:
43
Así: Límite inferior (Li): Li = 20 – 1 = 19
Límite superior (Ls): Ls = 48 + 1 = 49
Con estos valores se obtendrá: Nuevo alcance: A’ = (19, 49)
Nuevo rango: R’ = 30
Ancho de clase: w = 5
Construyendo la tabla de frecuencia
Cuadro 2.5 Tablas de frecuencia del ejemplo 3
Límite inferior Ancho de Límite superior
del intervalo clase común del intervalo
Intervalo
19 + 5 = 24
24 + 5 = 29
29 + 5 = 34
34 + 5 = 39
39 + 5 = 44
44 + 5 = 49
(19, 24]
[24, 29]
[29, 34]
[34, 39]
[39, 44]
[44, 49)
MARCA DE CLASE ( iX )
Definida como el punto medio del intervalo de clase [Li – Ls], deberá tener de
preferencia el mismo número de decimales que los valores observados. La marca
de clase puede considerarse que es representante de los datos que caen en el
intervalo y se le define también como la semisuma los limites superior e inferior
de cada intervalo de clase. Esto es:
2
i si
L L
X
Al formar las marcas de clase se tiene la siguiente tabla:
Cuadro 2.6 Marcas de clase
Intervalo de
clase (Ii)
Marca de
clase (Xi)
(19, 24]
[24, 29]
[29, 34]
[34, 39]
[39, 44]
[44, 49]
21.5
26.5
31.5
36.5
41.5
46.5
CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
Teniendo en cuenta que el número de datos u observaciones es extremadamente
grande se procede de la siguiente manera:
1° Identificar la variable que se está estudiando.
2° Ordenar los datos ya sea en forma ascendente o descendente.
3° Determinar el recorrido o Rango
4° Determinar el número de intervalos: se sugiere utilizar la fórmula de Sturges.
5° Calcular la amplitud o ancho del intervalo.
Para facilitar los cálculos, recomienda que la amplitud de los intervalos se
redondee al número sencillo más cercano e inmediato superior, esto significa
que el cociente R/k sea exacto, en muchos casos será necesario ampliar el
recorrido de modo que w sea un valor exacto y con el menor número de
decimales, nunca se reduce la amplitud del recorrido.
6° Construir los intervalos: se debe considerar todos los datos u observaciones.
7° Calcular las marcas de clase (Xi).
8° Construir la tabla de frecuencias.
9° Analizar e Interpretar los resultados de la tabla.
Cuadro 2.7. Valores de log n para aplicar la regla de Sturges
4. GRAFICOS ESTADISTICOS
Es la representación de los datos o valores recogidos, en forma de dibujo,
de tal modo que se pueda percibir fácilmente los hechos esenciales y
compararlos con otros. Permite dar una visión panorámica de la totalidad de la
información.Reglas para un buen gráfico:
Debe ser sencillo y auto explicativo.
Debe presentar fácilmente los hechos, sin distorsiones o exageraciones.
Debe ser agradable a la vista.
Definir los objetivos, para que a quienes y donde.
Elección del tipo de gráfico, dependiendo del tipo de variable y de los
objetivos.
Colocación del título, en forma clara, completa y comprensible.
Log 20 = 1.30 Log 25 = 1.40 Log 30 = 1.48
Log 40 = 1.60 Log 50 = 1.70 Log 60 = 1.78
Log 80 = 1.90 Log 90 = 1.95 Log 100 = 2.0
44
4.1 GRÁFICOS LINEALES
El gráfico de líneas es la representación de los datos mediante líneas.
Ejemplo 4.1:
El siguiente gráfico muestra la deuda pública en el año 2012 de ocho países.
Gráfico 4.1 deuda pública en el año 2012 de ocho países
En el gráfico se observa lo siguiente:
El máximo porcentaje de deuda en el 2012 lo tiene Estados Unidos con
102,7 %.
Los porcentajes de deuda son diferentes para cada país.
Los países con menos deuda pública en el 2012 son Perú y luego
Guatemala (observamos la gráfica que están entre un 20 a 25 %)
4.2 DIAGRAMA DE BARRAS
Es aquella representación gráfica bidimensional donde los datos son
representados por un conjunto de rectángulos dispuestos paralelamente, de
manera que la extensión de los mismos es proporcional a la magnitud que se
quiere representar.
Los rectángulos o barras pueden estar colocados horizontal o verticalmente. En
este último caso reciben también el nombre de gráficos de columnas.
Ejemplo 4.2:
El director de una institución pregunta a sus profesores cuando prefieren
disfrutar de sus vacaciones. Les ofrece cinco quincenas. (Ver gráfico siguiente)
Gráfico 4.2 Intervalo de quincenas en la cual
prefieren disfrutar sus vacaciones.
Del gráfico se observa lo siguiente:
De un total de 290 profesores se puede observar como la inmensa mayoría
de los profesores preferiría las vacaciones en las quincenas de agosto.
El mayor porcentaje de preferencia de vacaciones fue de 36.6%.
106
100% 36.6%
290
Gráfico 4.3
Población de un
distrito ficticio
“Characatolandia”.
45
Del gráfico se observa lo siguiente:
La función de los ejes se intercambia y el eje horizontal queda destinado
a las frecuencias de habitantes y el eje vertical a las edades.
La menor cantidad de habitantes se da entre 90 – 99 años, y a este tipo
de gráficos se le llama “pirámide”, que es casi simétrica a veces.
4.3 DIAGRAMA O GRAFICO CIRCULAR
El gráfico circular es la representación de datos mediante un círculo, donde se
hace corresponder un sector circular con cada una de las variables, de tal manera
que el arco del sector sea proporcional a la frecuencia, para lo cual se hace
corresponder el número total de datos con los 360º que mide la longitud de la
circunferencia.
360ª
%
100
ih
360ª
if
n
Ejemplo 4.3:
El siguiente gráfico de sectores registra la información sobre la proporción de
superficie de cada continente respecto a la superficie de todos los continentes.
Gráfico 4.4. Proporción de superficie de cada continente.
Conociendo que la superficie de todos los continentes representa el 29,1% de
superficie de la Tierra, el resto es agua y la superficie total mundial es 149 884
884 Km2.
El ángulo en grados de América será:
% 28%
100% 100%
360 360 100.8 101
o o o oAmérica
4.4 POLÍGONOS DE FRECUENCIAS
El polígono de frecuencias se construye a partir del diagrama de barras, uniendo
los puntos medios de la base superior de los rectángulos que constituyen las
barras.
4.5 HISTOGRAMA
Es aquella representación gráfica de una distribución de frecuencias agrupadas
en intervalos de clase, mediante una serie de rectángulos contiguos que tienen sus
bases sobre el eje de las x, con centros en las marcas de clase y de longitud igual
al tamaño de los intervalos de clase, mientras que las alturas son proporcionales
a la frecuencia (absoluta o relativa) tomadas sobre el eje de las y.
Gráfico 4.5 Histograma y polígono de frecuencias, para las precipitaciones
anuales del período 2019 2020 de la estación Observatorio Characato
46
Este diagrama no tiene uso, si la variable es discreta
Los polígonos de frecuencias absolutas o relativas se obtienen uniendo
los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos en el
histograma de frecuencias absolutas o relativas, respectivamente.
También notamos que se ha agregado un intervalo de clase, de cero
observaciones en cada extremo de la distribución, lo cual permite al
polígono alcanzar el eje horizontal en ambos extremos.
El área encerrada por los rectángulos del histograma coincide con el
área encerrada por el polígono de frecuencias.
Diagrama escalonado:
Es aquella que se genera de manera similar que un histograma, con la diferencia
de las alturas de los rectángulos correspondientes a cada intervalo de clase son
frecuencias absolutas o relativas acumuladas.
Gráfico 4.6 diagrama escalonado de cuentas corrientes de clientes con
edades comprendidas entre 18 y 25 años.
.
Ojiva:
Es la representación gráfica de una distribución de frecuencias absolutas
acumuladas o las frecuencias relativas acumuladas.
Gráfico 4.7 Ojiva de madurez de Sprattus fuegensis en las aguas interiores
Pictograma:
Un pictograma es un tipo de gráfico que representa mediante dibujos la
característica estudiada. Éstos representan las frecuencias relativas o absolutas
de una variable cualitativa o discreta.
https://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/pictograma/
https://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/grafico/
https://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/frecuencia-relativa/
https://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/variables-estadisticas/
47
PROBLEMA 1
El profesor de Characatolandia, realiza una serie de preguntas a sus estudiantes,
para que identifiquen las variables discretas (D), continuas (C), nominales(N) y
ordinales(O), en las siguientes oraciones.
I. Tiempo de vuelo de los aviones que van de Lima a Buenos Aires.
II. Marcas de autos que se venden en el país.
III. Grado de satisfacción laboral en una institución.
IV. Número de gobernadores regionales que ha tenido la región en 5 años.
V. Se define una variable como el número de pruebas positivas en una
inspección de 100 muestras escogidas aleatoriamente.
A) CNDOD B) NCODD C) NNODC D) CNODD E) ODDNN
SOLUCIÓN:
I. Tiempo de vuelo de los aviones que van de Lima a Buenos Aires. (C)
II. Marcas de autos que se venden en el país. (N)
III. Grado de satisfacción laboral en una institución. (O)
IV. Número de gobernadores regionales que ha tenido la región en 5 años. (D)
V. Se define una variable como el número de pruebas positivas en una
inspección de 100 muestras escogidas aleatoriamente. (D)
RPTA.D
PROBLEMA 2
La tabla muestra los datos de las edades de un grupo de alumnos universitarios
donde 𝑓𝑖 indica la frecuencia, 𝑥𝑖 la marca de clase. Complete el cuadro con los
valore de 𝑎, 𝑏, 𝑐 y la edad promedio de estos estudiantes.
Edades 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒙𝒊𝒇𝒊
[20, 22[ 14 21 294
[22. 24[ 4 23 𝑎
[24, 26[ 7 25 175
[26, 28[ 3 27 𝑏
[28, 30] 2 29 58
TOTAL 30 𝑐
A) 92; 81; 690; 22 B) 92; 81; 700; 22 C) 92; 81; 700; 23
D) 81; 92; 700; 23 E) 92; 81; 700; 24
SOLUCION:
De la tabla y aplicando propiedades:
𝑎 = 𝑥2𝑓2 = 4 × 23 ⟹ 𝒂 = 𝟗𝟐
𝑏 = 𝑥4𝑓4 = 3 × 27 ⟹ 𝒃 = 𝟖𝟏
𝑐 =∑𝑥𝑖𝑓𝑖 = 294 + 92 + 175 + 81 + 58 ⟹ 𝒄 = 𝟕𝟎𝟎
Calculando la media:
�̅� =
∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
=
700
30
= 23,33… ⟹ �̅� = 𝟐𝟑
RPTA. C
PROBLEMA 3
La producción de dos artículosA y B; el precio en soles de cada componente y la
proporción de los componentes para cada artículo, se muestran en los gráficos:
–
–
A B
120
100
Producción (u)
Artículos
W
Componentes
X
15 5
Precio en soles
10
Y
Z
20% W
X
Y
Z
A
60º Y
X
W
Z
B
PROBLEMAS ADICIONALES
48
Indique la secuencia de verdad (V) o falsedad (F) de las proporciones:
I. El costo del artículo A es mayor al del artículo B.
II. Para la producción mensual de los articulos A y B se consume 110 u de los
componentes X+W.
III. En el artículo B se gasta menos que en el artículo A considerando sólo el
componente Z.
A) VFF B) FVF C) VFV D) VVV E) FFV
SOLUCIÓN:
I. El costo del artículo A es mayor al del artículo B. (F)
Costo A > Costo B
La producción de A es menor a la de B, por lo tanto su costo será menor a la
de B.
II. Para la producción mensual de los articulos A y B se consume 110 u de los
componentes X+W. (V)
A x + y = 50%.100 = 50
B x + y = (180º/360º)120=60
TOTAL = 50+60=110
III. En el artículo B se gasta menos que en el artículo A considerando sólo el
componente Z. (F)
100
30
.10
360
120
.10
3,3 < 3
RPTA. B
PROBLEMA 4
Luego de construir una tabla de frecuencias para la siguiente información
10 12 12 14 15
13 14 16 08 11
12 14 15 10 12
13 08 11 12 13
que representa la calificación del primer examen de Razonamiento Lógico
Matemático, se pide hallar F5.
A) 14 B) 11 C) 17 D) 16 E) 15
SOLUCIÓN:
Calificación Fi Fi
08 2 2
10 2 4
11 2 6
12 5 11
13 3 14
14 3 17
15 2 19
16 1 20
F5 = 14
RPTA.A
PROBLEMA 5
En la siguiente tabla de distribución de frecuencias se representa las edades de
121 personas
Intervalos fi
[10-20> 16
[20-30> 40
[30-40> 30
[40-50> 15
[50-60> 20
¿Cuántas personas tienen edades comprendidos entre 24 y 54 años?
A) 66 B) 77 C) 84 D) 78 E) 70
SOLUCIÓN:
Calculando el número de personas entre 24 a 54:
40(
4
10
) + 30 + 15 + 20(
4
10
) = 77
RPTA. B
49
PROBLEMA 6
La distribución del presupuesto de
una familia está representada en la
gráfica circular:
Si el ingreso familiar es de 4800 soles,
indique las afirmaciones correctas.
I. El presupuesto para gastos de
educación es de 960 soles
II. Si usaran la tercera parte del
presupuesto de diversión en el
rubro salud, podrían gastar hasta
640 soles.
III. En casa y educación gastan 1920 soles.
A) Solo II B) Solo I C) Solo I y III D) I, II y III E) Solo II y III
SOLUCIÓN:
I. El presupuesto para gastos de educación es de 960 soles
360° ------------------ 100%
90° ------------------ 25%
Educación = 0.20*4800 = 960
VERDADERO
II. Si usaran la tercera parte del presupuesto de diversión en el rubro
salud, podrían gastar hasta 640 soles.
Diversión = 0.25*4800 = 1200
1/3 de 1200 = 400
Salud =0.05*4800 = 240
Total = 400 + 240 = 640
VERDADERO
III. En casa y educación gastan 1920 soles.
CASA + EDUCACIÓN = 40%
0.40*4800 = 1920
VERDADERO
RPTA. D
PROBLEMA 7
Una tienda de electrodomésticos destinó S/ 500 000 para la compra de televisores
(T), equipos de sonido (ES) y computadoras (C) en los siguientes porcentajes:
Si los televisores están divididos en las marcas SONY, LG y AOC en los siguientes
porcentajes
¿Cuánto gastó la tienda en la compra de televisores SONY?
A) S/ 65 000 B) S/ 75 000 C) S/ 70 000
D) S/ 80 000 E) S/ 60 000
SOLUCIÓN:
T:40% Sony: 35%
35% 40%(500 000) = 70 000
RPTA. C
T
C
35%
ES 25 %
AOC
15%
LG
50%
SONY
50
PROBLEMA 8
Por los huaicos, el gobierno regional
destina S/ 700 000 al Distrito de la Unión
para educación, vivienda y alimentación.
¿Cuánto se destina para vivienda y qué
ángulo le corresponde al sector circular de
educación?
A) S/ 175 000 y 144º B) S/ 180 000 y 144º C) S/ 175 000 y 148º
D) S/ 175 000 y 170º E) S/ 180 000 y 148°
SOLUCIÓN:
Construimos la siguiente tabla:
Variable % ih ° if
Vivienda 25% 90° 700000×0.25 = 175000
Alimentación 35% 126° 700000×0.35 = 245000
Educación 40% 144° 700000×0.40 = 280000
TOTAL 100% 360° 700000
RPTA. A
PROBLEMA 9
El siguiente gráfico muestra las
ventas de la compañía
“Tucompraeslamía”. Determina
la verdad o falsedad de cada
p
r
o
p
o
s
i
c
i
ó
n
:
I. El período de máximo
crecimiento se dio en el
período 1995 - 2000
II. Las ventas han mantenido un
crecimiento desde 1995
III. Las ventas disminuyeron en
un 75% entre 1990 y 1995
A) VFV B) VFF C) FFF D) FFV E) FVV
SOLUCIÓN:
I. 1990 19995 2000 2005 2010
40 10 18 35 40
-30 +8 +17 +5
Mayor crecimiento: Entre 2000 y 2005 (F)
II. Desde 1995 hay crecimiento (V)
III. Comparamos el decrecimiento de 30 con 40 que es el total
30
40
= 0.75 x 100% = 75% (V)
RPTA. E
PROBLEMA 10
El siguiente cuadro muestra la ojiva de
frecuencia relativa de las notas del
examen bimestral de los alumnos del
5to. año que competirán para el COAR
¿Qué porcentaje de alumnos tuvieron
una nota entre 12 y 18?
A) 30% B) 35% C)
40% D)
45% E) 50%
SOLUCIÓN:
Usando proporciones entre: [8 ; 12]; [8 ; 16]
Usando proporciones: [16 ; 18] ; [16 ; 20]
b - a = 75% - 40% = 35%
RPTA. B
a 30 50 30
a 40%
12 8 16 8
b 50 100 50
b 75%
18 16 20 16
51
PROBLEMA 11
Calcule N + f3 + F2 con la información
que se tiene en el siguiente diagrama
d
e
b
a
r
r
a
s
(
a
n
c
h
o
d
e
c
l
a
s
e
c
o
n
s
t
a
n
t
e
)
.
Sabiendo
224;
2
1
14
15
uA
p
x
A) 80 B) 70
C) 60 D) 40
E) 19
SOLUCIÓN:
Del gráfico:
)1(...48)14)(5(
24
2
)14)(5(
px
px
Del dato:
)2(...442
2
1
14
15
xp
p
x
De (1) y (2): P = 38; x = 3
Ii fi Fi
83 - 85 14 14
85 - 87 24 38
87 - 89 2 40
N + f3 + F2 = 40 + 2 +38 = 80
RPTA. A
PROBLEMA 12
Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencia relativa de 300 obreros
según su edad.
Edades hi
[19;21]
[22;24]
[25;27]
[28;30]
[31;33]
0,15
O,25
0,40
0,10
0,10
¿Cuántos obreros tienen edades de 22 años?
A) BCC B) ATT C) EBB D) ARR E) BEE
SOLUCIÓN:
Edades fi hi
[19;21]
[22;24]
[25;27]
[28;30]
[31;33]
45
75
120
30
30
n=300
0,15
O,25
0,40
0,10
0,10
X=75+120+30+30
X=255
RPTA. E
52
PROBLEMA 13
La siguiente tabla muestra las edades de un grupo de personas que van al cine de
un centro comercial.
Intervalo 𝒇𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊
[ − ⟩
[24 − ⟩ 0,4
[ − ⟩ 137 0,83̂
[ − 42⟩
Completar y hallar "𝑓2 + 495ℎ3 + 495𝐻1", sabiendo que cumple 𝑓1 = 𝑓4.
A) 276 B) 286 C) 296 D) 306 E) 415
SOLUCIÓN:
Completar y hallar 𝑓2 + 495ℎ3 + 495𝐻1", sabiendo que 𝑓1 = 𝑓4.
Intervalo 𝒇𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊
[18 − 24⟩ 80 80
495
80
495
[24 − 30⟩ 198
0,4 =
2
5
=
198
495
278
495
[30 − 36⟩ 137 137
495
0,83̂ =
83
99
=
415
495
[36 − 42⟩ 80 80
495
495
495
= 1
495
Así la expresión: 𝑓2 + 495ℎ3 + 495𝐻1
= 198 + 495
137
495
+ 495
80
495
= 415
RPTA.E
PROBLEMA 14
Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias sobre las estaturas (en
metros) de un grupo de 50 jóvenes de los salones 103S y 104S del CEPRUNSA I
FASE en un día determinado.
Intervalo declase i
f
i
H
[1.55 – 1.60
[1.60 – 1.65
[1.65 – 1.70
[1.70 – 1.75 5 0.96
[1.75 – 1.80
Determine qué tanto por ciento de jóvenes posee una estatura menor que 1.70
cm
A) 86% B) 14% C) 17% D) 20% E) 28%
SOLUCION:
De los 5 intervalos: 4 5 1H h 50.96 1h 5 0.04h
El total 50 datos equivale al 100%, entonces
5 datos equivalen al 10%
Se nos pide el porcentaje de jóvenes con estatura menor que 1.70, es decir con
una estatura entre 1.55 y 1.70
100% 14% 86%
Intervalo de
clase i
f
i
H
i
h
[1.55 – 1.60
[1.60 – 1.65
[1.65 – 1.70
[1.70 – 1.75 5 0.96 0.10
[1.75 – 1.80 0.04
RPTA. A
53
PROBLEMA 15
En el siguiente grafico de barras
muestra la información de un
grupo de alumnos según su
edad. ¿Calcular 𝐹4 + ℎ4?
A) 104/22
B) 845/92
C) 236/31
D) 433/43
E) 655/21
SOLUCIÓN
Nº de Alumnos fi hi
15 3 3
16 11 14
17 9 23
18 8 31
19 5 36
20 6 42
n=42
4
4
31
8 4
42 21
4 655
31
21 21
Analizando mis datos
F
h
RPTA. E
54
CAPÍTULO XI
MEDIDAS de CENTRALIZACION y PROMEDIOS
MODA MEDIANA Y MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS NO
AGRUPADOS MEDIA, MEDIANA Y MODA PARA DATOS
AGRUPADOS
PROMEDIO ARITMÉTICO, GEOMÉTRICO Y ARMÓNICO
PROMEDIO PONDERADO
CAPACIDAD
Resuelve problemas del contexto real que impliquen medidas de centralización a
través de la utilización de la medida o promedio pertinente de manera rigurosa,
exacta y autónoma.
De las edades de 5 amigos, se sabe que la moda es 21 años, la mediana 24, la
media 24 y uno tiene 25 años. ¿Cuál es la edad del mayor?
A) 26 años B) 27 años C) 25 años D) 28 años E) 29 años
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN:
LA MEDIANA, LA MODA Y LA MEDIA
MEDIANA (Me). - Es el término central de un conjunto de valores ordenados.
Casos:
a) Si la cantidad de datos es impar: la Mediana es el dato central de los
valores ordenados.
2; 4; 5; 8; 9; 11; 15. Me = 8
b) Si la cantidad de datos es par: la Mediana es la media de los dos datos
centrales; de 6 valores siguientes:
3; 5; 6; 8; 9; 12.
Me = Media de (6 y 8)
Me = (6+8) / 2 = 7
MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS DE CLASE:
𝑴𝒆 = 𝑳𝒎 +
𝑾𝒎
𝒇𝒎
(
𝒏
𝟐
− 𝑭𝒎−𝟏)
m
m
m 1
m
L : Limite inferior de la clase mediana.
:Ancho de la clase de la mediana.
n :Totalde datos.
F : frecuencia absoluta acumulada de la clase que precede a la clase mediana.
f : frecuencia absoluta de la clase mediana.
Ejemplo
Determine la mediana de la siguiente distribución de frecuencias:
𝑴𝒆 = 𝟔𝟔 +
𝟑
𝟒
(
𝟐𝟎
𝟐
− 𝟖)
𝑴𝒆 = 𝟔𝟕, 𝟓
MODA (Mo). - Es aquel dato que tiene mayor frecuencia, es decir es él que
más veces se repite.
2; 3; 4; 3; 2; 3; 4; 3; 2
Mo = 3 (por que es el que más se repite)
I ix if iF
[60, 63 > 61,5 2 2
[63, 66 > 64,5 6 8
Según se observa existen 20 datos, la mitad
de ellos
[66, 69 > 67,5 4 12
serían 10 datos y deben corresponder al
intervalo
[69, 72 > 70,5 6 18 [ 66, 69 > que sería la clase mediana
[72, 75 > 73,5 2 20
SITUACIÓN PROBLEMA
55
MODA PARA DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS DE CLASE:
o o
d1
Mo L
d1 d2
o
o
L :Limite Inferior a la clase modal.
:ancho de la clase modal.
d1 :Diferencia entre la frecuencia de la clase modal con la clase anterior.
d2 : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de l
a clase siguiente.
EJEMPLO
Determine la moda en la siguiente distribución de frecuencias
x if
[ 12, 15 > 10
[ 15, 18 > 15
[ 18, 21 > 25 La clase modal es aquella que tiene la mayor
[ 21, 24 > 20
frecuencia absoluta, en este caso es
[ 18, 21>
[ 24, 27 > 10
3 2
3 4
d1 f f 25 15 10
d1 f f 25 20 5
10
Mo 18 3 20
10 5
MEDIA (X̅)
Definimos media (también llamada promedio o media aritmética) de un
conjunto de datos (X1,X2,…,XN) al valor característico de una serie de datos
resultado de la suma de todas las observaciones dividida por el número total de
datos.
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 (�̅�) =
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=𝑛
𝑛
)
Es decir
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 (�̅�) =
𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛
𝑛
MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS DE CLASE:
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 (�̅�) =
∑(𝑋𝐼 . 𝑓𝐼)
𝑛
)
Ejemplo
En la tabla se muestra el peso de 80 trabajadores. Hallar el peso promedio de
dichos trabajadores
iI 𝑿𝒊 if 𝑿𝒊 if
(�̅�) =
5580
80
= 69.75
[ 60 , 64 62 10 620
[ 64 , 68 66 15 990
[ 68 , 72 70 16
1120
[ 72 , 76 74 24 1680
[ 76 , 80 78 15 1170
5580
PROBLEMA 1
Se tiene las edades de un grupo de 80 alumnos distribuidas en la siguiente tabla
de frecuencias. Hallar la moda
Edad
if
hi
11 0,25
12 8
13 0,2
14
15 0,35
La moda es:
A) 12 B) 11 C) 15 D) 14 E) 13
PROBLEMAS ADICIONALES
https://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/media/
https://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/media/
56
SOLUCIÓN:
Utilizamos:
fi
hi
n
Completamos la tabla
Edad
if
hi
11 20 0,25
12 8 0,10
13 16 0,20
14 8 0,10
15 28 0,35
n=80 1
Entonces la moda es el dato que más se repite y su valor es 15
RPTA. C
PROBLEMA 2
Calcular la mediana de las edades de un grupo de personas en la tabla:
iI iX if iF
25;15[ 20 20
35;25[ 30 48
45;35[ M 78
55;45[ N 40
65;55[ P 28
75;65[ 70 160
A) 48,5 B) 46 C) 45,5 D) 42 E) 40,5
SOLUCIÓN:
Completando la tabla
iI if iF
25;15[ 20 20
35;25[ 28 48
45;35[ 30 78
55;45[ 40 118
65;55[ 28 146
75;65[ 14 160
160
Entonces:
5,45
78
2
160
40
10
45
Me
Me
RPTA. C
PROBLEMA 3
Sea la tabla de distribución de frecuencias de las edades de los pacientes en un
hospital.
Ii xi fi Fi
De 12 a 18 10
De 18 a 24 35
De 24 a 30 30
De 30 a 36 20
De 36 a 42 95
De 42 a 48 5
Calcular la Media de la Muestra.
A) 25 B) 27.6 C) 26.5 D) 28.6 E) 24.3
Supera por vez
Primera a la mitad
del total de datos
57
SOLUCIÓN:
Completamos el cuadro
Intervalos
de clase
Marca de
clase (x)
Frecuencia
absoluta
(fi)
Frecuencia
Acumulada
(Fi)
x *fi
De 12 a 18 15 10 10 150
De 18 a 24 21 25 35 525
De 24 a 30 27 30 65 810
De 30 a 36 33 20 85 660
De 36 a 42 39 10 95 390
De 42 a 48 45 5 100 225
100 2760
(�̅�) =
2760
100
= 27.6
RPTA. B
PROBLEMA 4
En un ciclo CEPRUNSA I-FASE un docente quiso hallar la moda de las horas
trabajadas en el primer proceso 2020, si pudo elaborar la siguiente tabla para tal
fin. ¿Cuál es la moda?
iI if iF
[4;8 16
[8;12 24
[12,16 72
[16;20 100
[20;24 116
[24;28 4
A) 15.53 B) 19.42 C) 18.14 D) 14.67 E) 17.62
SOLUCIÓN:
Completando el cuadro
iI if
8;4[ 16
12;8[ 24
1612;[ 32
20;16[ 28
24;20[ 16
28;24[ 4
Entonces:
32 24
12 4 14.67
32 24 32 28
Mo
RPTA.D
PROBLEMA 5
De las edades de cuatro personas, se sabe que la media es igual a 24 años, la
mediana es 23, y la moda es 22, la mayor de las edades es:
A) 26 B) 27 C) 25 D) 54 E) 28
SOLUCIÓN:
𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 ≥ 𝑑
b y c=23
Mo=22 c=d=22
Me=23 b=24
�̅� = 24 a=28
Mayor edad es 28.
RPTA. E
Mayor frecuencia
(intervalo modal)
58
PROBLEMA 6
Se tiene la cantidad de estudiantes que asistieron a un aula de clase en los últimos
6 días respectivamente: 20; 21; p; 25; 26; 31. Si lamediana es 23, determine el
promedio de la mediana, la media y la moda.
A) 22 B) 22,66… C) 21 D) 25,444… E) 23,666…
SOLUCIÓN:
Ordenando: 20; 21; p; 25; 26; 31 y hallando “p”
Si Me = 23 entonces:
25
2
p
Me
reemplazando;
21p
Hallando el promedio de Me, Mo y la media.
23 21 24
3
x
22,666...x
RPTA. B
PROMEDIOS
IDEAS FUERZA:
Se denomina promedio o cantidad media de varias cantidades diferentes
al número representativo de un conjunto de cantidades que tiene la
propiedad de ser mayor que la menor de las cantidades, pero menor que
la mayor.
Dónde:
Entonces: “p” es un promedio
TIPOS DE PROMEDIOS
PROMEDIO ARITMÉTICO O MEDIA ARITMÉTICA (MA)
n
a.....aaa
datosdeCantidad
datosdeSuma
A.M n321
PROMEDIO GEOMÉTRICO O MEDIA GEOMÉTRICA (MG)
n
n
datosde
cantidad
aaaadatosdeoductoGM .....Pr. 321
PROMEDIO ARMÓNICO O MEDIA ARMÓNICA (MH)
n321 a
1
.....
a
1
a
1
a
1
n
datoslosdeinversaslasdeSuma
datosdeCantidad
H.M
𝒂𝟏 ≤ 𝒑
≤ 𝒂
59
PROPIEDADES
a) Para números NO negativos se cumple:
MAMGMH
b) Solo para dos números a y b (a > b > 0)
MHMAMG2
PROMEDIO PONDERADO
Si nos dan n precios a 321 a;a;a y sus pesos o frecuencias n321 f.......f;f;f
podemos distribuirlos en la tabla de la siguiente forma:
FRECUENCIAS PRECIO TOTAL
f1
f2
f3
.
.
.
fn
a1
a2
a3
.
.
.
an
f1 a1
f2 a2
f3 a3
. .
. .
. .
fn an
Entonces el promedio ponderado:
n321
nn332211
f....fff
af....a.fa.fa.f
P.P
Ejemplo:
Determinar la nota promedio de un alumno si al dar 3 exámenes obtuvo 12, 13 y
9 siendo los pesos respectivos de cada examen 1, 2, 3.
Pesos Notas Total
1
2
3
6
13
13
9
13
26
27
66
Nota Promedio = 11
6
66
60
PROMEDIO ARITMÉTICO O MEDIA ARITMÉTICA (MA)
PROBLEMA 1
El promedio aritmético de un grupo de 30 estudiantes universitarios en un curso
es 16. Se eliminó la nota 20 de dos estudiantes por plagio, ¿cuál será el nuevo
promedio?
A) 13,27 B) 14,82 C) 15,71 D) 15,76 E) 14,75
SOLUCIÓN:
El nuevo promedio es:
M.A. =
30(16)−2(20)
28
𝑀.𝐴.= 15,71
RPTA. C
PROBLEMA 2
¿Cuál es el máximo valor que puede tomar una de 6 cantidades cuyo promedio es
8,5; sabiendo que ninguna de ellas es menor que la menor de las siguientes
cantidades:
8
7
,
7
5
,
2
1
,
4
3 ?
A) 48 B) 48,5 C) 49 D) 49,5
E) 50
SOLUCIÓN:
El máximo valor que tomará una de las 6 cantidades, será cuando las otras 5
tomen el mínimo valor de las cuatro cantidades dadas.
El mínimo valor es
2
1 = >
5,48
5,251
2
1
5)5,8(6
6
5
M
M
M
SM
PA
RPTA. B
PROBLEMA 3
La media aritmética de 200 números pares de 3 cifras es 699, de otros 200
números pares también de 3 cifras es 299. ¿Cuál es la media aritmética de los
mismos números pares de 3 cifras no considerados?
A) 969 B) 949 C) 953 D) 933 E) 955
SOLUCIÓN:
Los números son:
100,102,104,............,998
La suma es:
100 998
450 247050
2
Del dato.
#s
#s
Suma(200 )
699
200
Suma(200 )=139800
De otros 200 pares.
pares
pares
#s
Suma(200 )
299
200
Suma(200 )=59800
Suma(400 )=199600
Como son 450, de los 50 restantes su promedio será.
PROBLEMAS ADICIONALES
61
(50)
247050 199600
M.A
50
= > (50)
M.A 949
RPTA. B
PROBLEMA 4
El promedio de 4 números es 11 y cuando se les agrupa de 3 en 3, dichos
promedios aritméticos son números pares consecutivos. Calcule el mayor de los
cuatro números.
A) 8 B) 10 C) 16 D) 20 E) 24
SOLUCIÓN:
Sean los números a; b; c y d.
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
4
= 11
a+b+c+d= 44
Agrupándolos de 3 en 3, resulta par (n), consecutivo.
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
3
= 𝑛
𝑏 + 𝑐 + 𝑑
3
= 𝑛 + 2
𝑎 + 𝑐 + 𝑑
3
= 𝑛 + 4
𝑎 + 𝑏 + 𝑑
3
= 𝑛 + 6
Sumando las cuatro anteriores obtenemos:
3(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)
3
= 4𝑛 + 12
a+b+c+d= 4n+12
44=4n+12, n= 8
El número mayor: a+b+c+d = 44
24+d = 44, d= 20
RPTA. D
PROBLEMA 5
estudiantes del curso de Cálculo dieron su primer examen obteniendo un
promedio de 14. Los 15 primeros tienen un promedio de 18 y el promedio de los
20 últimos es 11. Halle el promedio de los estudiantes restantes.
A) 12 B) 13 C) 11 D) 15 E) 14
SOLUCIÓN:
Suma de notas de 70 estudiantes: 70(14) = 980
Suma de notas de los primeros 15 estudiantes: 15(18) = 270
Suma de notas de los últimos 20 estudiantes: 20(11) = 22
Suma de notas de los estudiantes restantes (35):
980 – (270+220) = 490
Promedio de estos estudiantes restantes: 490 14
35
RPTA. E
PROMEDIO GEOMÉTRICO O MEDIA GEOMÉTRICA (MG)
PROBLEMA 6
La media aritmética de las edades de un padre y su hijo que se diferencian en 24,
excede a su media geométrica en 4. Determine el valor de la edad del hijo.
A) 3! + 3 B) 3! + 2 C) 11 D) 2! + 4 E) 14
SOLUCIÓN:
Sean los números: a ; a + 24
24
( 24) 4
2
12 4 ( 24)
: 8
a a
a a
a a a
simplificando a
Donde el menor número es 8.
RPTA. B
62
PROBLEMA 7
Si el promedio geométrico de 15 números diferentes es 30, calcule el promedio
geométrico de sus mitades.
A) 30 B) 60 C) 15 D) 7,5 E) 3,75
SOLUCIÓN:
15
15321
15
15321
30 30... x...axaxa axaxxaxaa
1530
2
1
30
2
1
2
...
222
a
15
15
15
15 15321
xx
a
xx
a
x
a
x
RPTA. C
PROBLEMA 8
Se tiene cinco números naturales y ninguno es menor que 54, si el promedio
geométrico de los cinco números es 108, hallar el máximo valor que puede tomar
uno de ellos. Dé cómo respuesta el promedio aritmético de los cinco números.
A) 288,5 B) 380 C) 388.8 D) 358.8 E) 400
SOLUCIÓN:
Para que uno de ellos (x) tome el máximo valor, los restantes deben tomar los
valores menores posibles, es decir; 54. Por lo tanto:
√(𝟓𝟒)(𝟓𝟒)(𝟓𝟒)(𝟓𝟒)(𝒙)
𝟓
= 𝟏𝟎𝟖
𝒙 = 𝟏𝟕𝟐𝟖
Finalmente, el promedio aritmético de los cinco números dados, es:
𝑴𝑨 =
𝟒(𝟓𝟒)+𝟏𝟕𝟐𝟖
𝟓
= 𝟑𝟖𝟖, 𝟖
RPTA. C
PROBLEMA 9
La media aritmética de 53 números impares consecutivos es 65. Hallar la media
geométrica entre el menor y el mayor de dichos números.
A) 38 B) 39,5 C) 39 D) 40 E) 45
SOLUCIÓN:
Sea “x” el menor de los 53 números impares consecutivos, luego la media
aritmética será:
x x 2 x 4 ... x 104
MA 65
53
Como forman una progresión aritmética de razón 2, entonces, tenemos:
x x 104
MA 65 x= 13
2
Menor: x 13
Mayor: x 104 117
La media geométrica pedida es:
MG 13 117 39
RPTA. C
PROBLEMA 10
El triple del promedio aritmético de dos números es igual al doble del cuadrado
de su promedio geométrico, más el producto de ambos números. Si uno de ellos
es 20, ¿cuál es el otro número?
A) 20/39 B) 14/17 C) 13/23 D) 19/21 E) 19/39
SOLUCIÓN:
Sean los números a y b:
23( ) 2( )
2
a b
ab ab
Resolviendo: a + b = 2ab
Por dato a=20; reemplazamos: 20 + b = 40b donde: b=20/39
RPTA. A
63
PROMEDIO ARMÓNICO O MEDIA ARMÓNICA (MH)
PROBLEMA11
El mayor promedio de las edades de dos personas es 3242 y el menor promedio
de dichos números es el primer par compuesto. Determine la media geométrica
de dichas edades.
A) 18 B) 12 C) 10 D) 11 E) 14
SOLUCIÓN:
armónicamediapromediomenor
aritméticamediapromediomayor
:
:
144.4
2
7236
2
BA
BA
AB
MH
BA
BA
MA
12
144.:
MG
BAMGpiden
RPTA. B
PROBLEMA 12
Si el promedio de las velocidades (promedio armónico) de ida y vuelta de Arequipa
a Tacna es 30 km/h. Si la velocidad de ida es 20 km/h, halla la velocidad de
regreso en km/h.
A) 60 B) 50 C) 40 D) 65 E) 55
SOLUCIÓN:
𝑀𝐻 =
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑠
𝑀𝐻 =
2
1
𝑎
+
1
𝑏
=
2𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
30 =
2𝑥20𝑥𝑏
20 + 𝑏
𝑏 = 60
RPTA. A
PROBLEMA 13
La media armónica de las edades de doce personas es 36 años. Si ninguno de ellos
tiene menos de 34 años. ¿Cuántos años como máximo podría tener uno de ellos?
A) 38 B) 60 C) 96 D) 78 E) 102
SOLUCIÓN:
Sea 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, … , 𝑋12 las edades y estos son mayores e iguales a 34. Para hallar la
máxima edad, los otros 11 deben tener lo mínimo posible o sea 34.
𝑀𝐻 =
12
11
34
+
1
𝑥𝑚𝑎𝑥
= 36
11
34
+
1
𝑥𝑚𝑎𝑥
=
1
3
𝑥 = 102
RPTA. E
PROBLEMA 14
El promedio armónico de 20 números es
3
5
y de otros 30 números diferentes a los
anteriores su promedio armónico es
9
8
. Halle el promedio armónico de los 50
números.
A) 3/5 B) 5/6 C) 1/5 D) 7/5 E) 3/7
SOLUCIÓN:
Nos da como datos:
5
3
1
...
11
a
1
20
20321
aaa
3
1001
...
11
a
1
20321
aaa
Y también:
3
801
...
11
b
1
8
9
1
...
11
b
1
30
30321
30321
bbb
bbb
64
Nos pide el Ph de los 50 números:
6
5
3
80
3
100
50
1
...
1
b
11
...
1
a
1
50
30212021
bbaa
RPTA. B
PROBLEMA 15
La media armónica de dos números pares consecutivos es 8,888… Determine el
valor de la suma de los números.
A) 12 B) 14 C) 18 D) 20 E) 22
SOLUCIÓN: (Ejercicio del Examen de Admisión UNSA 2020)
Sean los números pares: x ; x+2
8,888… es equivalente: 88 88,888...
9
Media armónica:
2 80
1 1 9
2x x
Resolviendo: 9x2+18x=80x+80
x=8
entonces los números son: 8 y 10
piden la suma: 8+10=18
RPTA. C
PROMEDIO PONDERADO
En ciertas instancias el peso o importancia de diferentes valores que se
promedian, como es el caso de los exámenes del CEPRUNSA, es diferente, dentro
de un conjunto de datos, por lo cual es recomendable tener en cuenta esta
importancia relativa o peso al obtener la media.
PROBLEMA 16
Tomando cuatro elementos evaluables, calcula la nota final de una asignatura,
si un alumno obtuvo las siguientes notas.
A) 6,2 B) 7,45 C) 5,56 D) 6,14 E) 2,8
SOLUCIÓN:
Tomando en cuenta los diferentes pesos, se hace la media ponderada que es la
suma de los productos de las notas por el peso de cada nota y se divide por la
suma de los pesos.
𝑀𝑃 =
3𝑥5,2 + 1𝑥8,2 + 2𝑥7,4 + 4𝑥5,7
3 + 1 + 2 + 4
𝑀𝑃 =
61,4
10
= 6,14
RPTA. D
65
PROBLEMA 17
En una I.E., en el área de Lenguaje se consideran 5 evaluaciones, con diferentes
pesos para obtener el promedio final, si una estudiante tiene las notas de estas
evaluaciones, ¿cuál será su nota final obtenida?, si se sabe que:
Evaluaciones Nota Peso
Examen 1 16,2 5%
Examen 2 11,5 20%
Examen 3 15,8 40%
Examen 4 08 30%
Examen 5 07 5%
A) 16,2 B) 17,45 C) 15,56 D) 12,18 E) 12,7
SOLUCIÓN:
Tomando en cuenta los diferentes pesos, se hace la media ponderada que es la
suma de los productos de las notas por el peso de cada nota y se divide por la
suma de los pesos.
𝑀𝑃 =
16,2𝑥0,05 + 11,5𝑥0,2 + 15,8𝑥0,4 + 8𝑥0,3 + 7𝑥0,5
0,05 + 0,2 + 0,4 + 0,3 + 0,05
𝑀𝑃 =
12,18
1
= 12,18
RPTA. D
66
CAPÍTULO XII
RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO
ÁREAS Y PERÍMETROS DE POLÍGONOS. TRIÁNGULOS.
CUADRILÁTEROS. HEXÁGONOS - ÁREAS Y PERÍMETROS DE
POLÍGONOS. TRIÁNGULOS. CUADRILÁTEROS. HEXÁGONOS
CAPACIDAD
Resuelve problemas de áreas y perímetros de regiones poligonales y circulares a
partir del conocimiento de la medida de la extensión y propiedades de los
polígonos y regiones circulares de manera ordenada y creativa.
SITUACIÓN
RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO
Parte del razonamiento matemático que a partir de la comprensión de los
conceptos, propiedades y procesos geométricos suscita el desarrollo de un
pensamiento argumentativo y deductivo en la medida de extensión en el plano o
el espacio. Los estudiantes primero deben tener una comprensión crítica de los
supuestos y relaciones subyacentes a los postulados o teoremas geométricos, y
luego aplicar estos a situaciones prácticas o cotidianas como, por ejemplo:
por qué las abejas guardan la miel en hexágonos de cera cuando sería más
sencillo construir cuadrados o triángulos o círculos.
Lo que la geometría nos enseña es que cuando uno quiere cubrir un plano con
formas geométricas idénticas – lo que se llama teselación – el hexágono es la forma
más eficiente, puesto que es la que se ajusta mejor al plano, ofreciendo menos
perímetro, y en consecuencia gastando menos cera para construir el panal.
IDEAS FUERZA
Cuando los estudiantes pueden construir figuras o sólidos geométricos de
diferentes formas o estrategias mejoran la inteligencia matemática y espacial
Se recomienda demostrar los teoremas fundamentales, para reforzar el
pensamiento crítico y argumentativo
Aplicar diversas estrategias en la solución de problemas que involucran la
medida de la extensión, tales como longitud, amplitudes de ángulos y áreas
superficiales mejoran la creatividad
CONCEPTOS PREVIOS
Geometría: Parte de la matemática que trata de las propiedades y la medida de
la extensión.
Punto: Límite mínimo de la extensión que se considera sin longitud, latitud ni
profundidad.
Línea: Está formado por la sucesión continua de puntos con una sola dimensión
que es la longitud.
Un cuboide tiene una base que mide 10 cm por 12 cm. El cuboide tiene 14
cm de altura.
El cuboide logra encajar exactamente dentro de una esfera. ¿Cuál debería
ser el diámetro de la esfera?
67
Porción de
Plano
Línea recta:
Línea curva:
Línea quebrada:
Línea mixta:
Línea recta: sucesión continúa de puntos que se desplaza hacia ambos extremos
en forma ilimitada.
Semi–recta: Parte de la recta que carece de punto de origen.
Rayo: Parte de la recta que posee punto de origen.
Segmento de Recta: Porción de recta comprendido entre dos puntos que son
los extremos.
Plano: Superficie imaginaria ilimitada, es engendrada por una línea recta
cuando se desplaza paralelamente a su posición original.
Figura Geométrica: Es un conjunto de puntos ó sistemas de líneas y superficies
que reciben el nombre de figuras geométricas.
2.1 AREAS DE REGIONES SOMBREADAS
El área de una figura plana es quizás uno de los temas geométricos más conocidos
por los estudiantes. En esta sección se estudia la forma de hallar el área de figuras
planas como el triángulo, el cuadrilátero, el círculo y el sector circular. Se analiza
también un somero estudio sobre la simetría y se aplica en la relación de
problemas con áreas de regiones sombreadas.
Región: Es la superficie limitada de un plano definido.
Área: Valor numérico deuna región o superficie.
Observación: Se debe decir: “Hallar el área de la región sombreada”, porque la
región sí se puede sombrear, pero no se debe decir “área sombreada” porque el
área es un valor numérico.
2.3.1. REGIONES POLIGONALES Y SUS ÁREAS
Definición 2.3.1. El área de un rectángulo es el producto de la base por la altura
(figura 2.3.1) y escribimos: área (ABCD) = b · h.
Figura 2.3.1
A B
A AB
A B
AB
P
AB
A B
A B
A AB
68
Definición 2.3.2. El área de un paralelogramo es el producto entre cualquiera de
las bases y la altura correspondiente (figura 2.3.2).
Figura 2.3.2
paralelogramo ABCD
AB = b : base
DH = h : altura
Área (ABCD) = b · h
Definición 2.3.3. El área de un cuadrado es el cuadrado de la longitud de su
lado (figura 2.3.3)
Figura 2.3.3
Cuadrado = ABCD
L = Lado del cuadrado
Área (ABC) = L2
Definición 2.3.4. El área de un triángulo cualquiera es el semiproducto de la
base por la altura correspondiente (figura 2.3.4).
Figura 2.3.4
Triángulo = ABC
AB = b : base
CH = h : altura
Área (ABC) =
2
b h
Definición 2.3.5. El área de un trapecio es el producto de la altura por la
semisuma de las bases (figura 2.3.5)
Figura 2.3.5
trapecio ABCD
Definición 2.3.6. El área de un rombo es el semiproducto de las diagonales
(figura 2.8)
Figura 2.3.6
Rombo = ABCD
AC = m = Diagonal mayor
DB = n = Diagonal menor
Área (ABCD) =
2 2
AC DB m n
Definición 2.3.7. El área de un círculo de radio r es el producto del número
irracional y el cuadrado del radio.
Figura 2.3.7
Radio = r.
Área circulo =
2r
69
Teorema 2.3.8 El área de un sector circular es el semiproducto de su radio y la
longitud de su arco. Recordemos que un sector circular es la región del círculo
limitada por un ángulo central.
Figura 2.3.8
Área sector circular
2 2
360 2
r r
EJEMPLO
Hallemos el área del segmento circular dado en la figura respectiva, si = 72º, r = 5
cm y AB = 8 cm.
SOLUCION
El área del segmento circular As es igual al área del sector circular ( )O AB
menos el área del triángulo isósceles AOB.
Área As = A sector – A(AOB)
2
2 22
1
360 2
4 ( ) 21
360 2 2
r
AB h
r ABr
AB
225 72 1 8 100 64 (5 12)
360 2
cm
DEBEMOS RECORDAR QUE:
I. Las Figuras Equivalentes tienen igual área, sin importar la forma.
1 2A A
II. Las Figuras Semejantes tienen igual forma, y sus áreas son proporcionales a
los cuadrados de sus elementos homólogos.
Por ejemplo:
Caso de 2 Triángulos Semejantes:
2 2 2
1
2 2 2
2
S AB BC AC
S MN NL ML
Caso de 2 Círculos:
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
r
r
D
D
S
S
A2 A1
A
B
C
S1
M
N
L
S2
D1
S1 r1
D2
S2 r2
70
OTRAS AREAS IMPORTANTES
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
2
L 3
S
4
2
h 3
S
3
REGIONES POLIGONALES
1. POLÍGONO CIRCUNSCRITO
rpS
2. POLÍGONO REGULAR
pS p a
2 2
CCS π(R r )
3. TRAPECIO CIRCULAR
2 2TC
θ
S π R r
360
1 2TC
L L
S R r
2
ALGUNAS RELACIONES IMPORTANTES DE ÁREAS
A) Propiedad de la Mediana
B) 1RA Propiedad de los Puntos Medios
R
r
O
R
r
O
L1 L2
R-r
TAS
2
TAS
6
71
C) 2DA Propiedad de los Puntos Medios
D) Se cumple que:
E) Se cumple que:
F) Se cumple que:
G) Se cumple que:
H) Se cumple que:
I) Se cumple que:
J) Propiedad del Triángulo Rectángulo:
Si los lados de un triángulo rectángulo son líneas homologas de figuras
semejantes construidas sobre ellos, entonces la suma de las áreas de regiones
construidas sobre los catetos es igual al área de la región apoyada en la
hipotenusa. Por consiguiente:
1 2 3S S S
T 1 2A S S 1S 2S
3S
TAS
4
1 2S S
TAS
2
TAS
4
TAS
2
TAS
2
72
K) Lúnulas de Hipócrates:
1. TEOREMA DE PONCELET
“En todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más
el diámetro de la circunferencia inscrita”
a c b 2r
2. TEOREMA DE MENELAO
“Toda secante a un triángulo, determina con dos lados del triángulo, cuatro
segmentos parciales, y con la prolongación del tercero otros dos segmentos
parciales de tal forma que el producto de tres de ellos no consecutivos es igual al
producto de los otros tres tampoco consecutivos”
abc xyz
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Primer Caso: ALA
(Angulo–Lado–Angulo)
Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes un lado y los ángulos
adyacentes a él.
ABC A'B'C '
ABC 1 2S S S BA
C
2S
1S
A C
B
r
c a
b
A
B
C D
E F
RECTA SECANTE O
TRANSVERSAL
73
Segundo Caso: LAL
(Lado–Angulo–Lado)
Dos triángulos son congruentes, si tienen congruentes dos lados y el ángulo
comprendido entre ellos.
ABC A'B'C '
Tercer Caso: LLL
(Lado–Lado–Lado)
ABC A'B'C '
Cuarto Caso: LLAm
(Lado–Lado–Angulo mayor)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y un ángulo
congruente opuesto al lado mayor.
ABC A'B'C '
Teorema de la base media
En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados, es
paralelo al tercer lado y su longitud igual a su mitad.
AC 2MN
AC // MN
PROPIEDADES EN LOS TRAPECIOS
Los ángulos adyacentes a los lados no paralelos son suplementarios
La longitud de la mediana (MN) es igual a la semisuma de las longitudes
de sus bases:
B b
MN
2
La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales
(PQ), es igual a la semi–diferencia de longitudes de sus bases.
B b
PQ
2
B
b
M N
C D
P Q
74
SITUACIÓN 02
PROBLEMA 1
Se desea construir una matriz con la forma indicada en sombreado en la figura
de un hexágono regular de perímetro 48 cm, en el cual se dibujaron tres
rectángulos sombreados. Si R, S, P y Q son puntos medios de los cuatro lados que
se muestran, halle la suma de las áreas de las regiones sombreadas.
A) 20√3 cm2 B) 40 √3cm2 C) 16 √2cm2
D) 20 √2 cm2 E) 18√3 cm2
SOLUCIÓN:
Como el perímetro es 48 cm, el lado del
hexágono es 8cm. Luego, del gráfico:
Área=2(Área PQUT) + (Área CBFE)
= 2(8√3) + 8.8√3
= 80√3 cm2
RPTA. B
PROBLEMA 2
En la figura, los puntos M, N, P, Q son puntos medios y el área del cuadrado
ABCD es 96m2. Halle el área de la región sombreada.
A) 30m2 B) 26 m2 C) 36 m2 D) 46 m2 E) 35 m2
PROBLEMAS ADICIONALES
La dirección de CEPRUNSA quiere ornamentar el patio principal
colocando jardineras hexagonales (gris oscuro en el dibujo),
rodeadas de baldosas también hexagonales.
1. ¿Cuántas baldosas harán falta para las tres jardineras del
dibujo?
2. ¿Cuántas baldosas serán necesarias para 7 jardineras?
3. Para un número cualquiera n de jardineras, ¿cuántas
baldosas hacen falta?
75
SOLUCION:
Sea As: Área de la región sombreada
Dónde: AABCD = 96 m2I. AABCD = 96 m2
16 S = 96 m2
S = 6 m2
II. As = 6 S
= 6(6)
= > As = 36 m2
RPTA. C
PROBLEMA 3
En la figura, MNPQ es un rectángulo formado por 20 cuadraditos congruentes. Si
MN=4cm y NP=5cm, halle el área de la región sombreada.
A) 12cm2
B) 10 cm2
C) 5 cm2
D) 7 cm2
E) 6 cm2
SOLUCION:
La figura forma 5 cuadrados de lado 1 cm.
= > As = 5 cm2
RPTA. C
76
PROBLEMA 4
En el siguiente cuadrado ABCD cuyo lado mide 4 cm, determine el área de la
región sombreada.
A)
2cm B)-
22 cm 2 C)
24 cm D)
22 cm E) 2
2
cm
SOLUCIÓN:
Al trazar OM y ON se observan regiones equivalentes a cuyas áreas le damos
valores a y b.
Nos piden: Asombreada = 2a + 2b
a + b = 2
2
4
2.
cmAOND
Por lo tanto : Asombreada = 2(a + b)
22 cm
RPTA. D
PROBLEMA 5
La figura muestra un terreno triangular en el pedregal, calcule el área de la región
cuadrada MNPQ el cual será destinado para la construcción de un colegio.
A) 3000 m2 B) 2600 m2 C) 3400 m2
D) 3600 m2 D) 3500 m2
SOLUCION:
El triángulo rectángulo dado es notable de 37o y 53o. Haciendo el lado del
cuadrado 12k
9k + 12k + 16k = 185
K = 5
2 2
sombA 12 x5 3600m
RPTA. D
77
k
30º
k√3
8√3
4√3
PROBLEMA 6
En el cuadrado ABCD de la figura tiene 6 metros de lado y el triángulo AED es
equilátero. Calcular el área de la región sombreada en metros cuadrados. Hacer
3
A) 5 9 3 B) 6 5 3 C) 3 15 3 D) 15 3 3 E) 9 4 3
SOLUCION:
6
6
6
6
6
3A sombreda=
2
22 6 36 3
4
9 5 3
RPTA. B
PROBLEMA 7
A mi amigo Piolín le piden hallar el
área sombreada del triángulo equilátero
cuya radio mide 4cm.
A) 41√3𝑐𝑚2 B) 42√3𝑐𝑚2 C) 40√3𝑐𝑚2
D) 44√3𝑐𝑚2 E) 48√3𝑐𝑚2
SOLUCIÓN:
RPTA. E
78
PROBLEMA 8
Determine el perímetro de la figura, si se sabe que su área
es 124cm2.
A) 60 B) 70
C) 54 D) 64
E) 10
SOLUCION:
14x+13x+x2=124
x2+27x-124=0
x=4
entonces el perímetro es: 4x + 2(14) + 2(13) = 70cm
RPTA. B
PROBLEMA 9
Se muestra en la figura cuatro círculos de r=1, dentro de un circulo más grande.
Hallar el área de la región sombreada.
A) 1 B) π C) (2 + √2)π − 1 D)
π
4
(2 + √2) − 1 E)
(2√2−1)π
2
SOLUCIÓN:
π(1 + √2)2
4
− 1 +
π
4
π
4
(3 + 2√2) − 1 +
π
4
π
4
(2 + √2) − 1
RPTA. D
PROBLEMA 10
En la siguiente figura, ¿qué parte del área total se encuentra sombreada?
A) 2/9
B) 7/8
C) 1/6
D) 7/36
E) 5/36
SOLUCIÓN:
SOLUCION:
7/36
RPTA. D
3c
2a
a
b
3b
4c 2c
3c
2a
a
b
3b
4c 2c
4n
3n
4n
2n
8n 8n
2n 4n
n
79
PROBLEMA 11
Se colocan semicírculos de radio 1, centrados en los
vértices de un polígono regular de n lados, con área
suficientemente grande. Hallar el área de la región
sombreada.
A) π B) nπ C) (n − 1)π
D)
nπ
2
E)
(n−1)π
2
SOLUCIÓN:
Gira un ángulo de 360º, cuyo ángulo es un ángulo girado.
ARS =
πr2α
360º
→
πr2(360º)
360º
→ π(1)2 = π
RPTA. A
SOLUCIÓN A SITUACIÓN 01
SOLUCIÓN A SITUACIÓN 02
Razonamiento
Geométrico
Razonamiento
algebraico
Expresión
algebraica
Piensan que por cada jardinera añadirán
4 baldosas.
4n + 2
Como hay n jardineras, añaden 4n
baldosas.
Cuando ya han llenado todas, tienen en
cuenta que han dejado de contar las 2
iniciales.
Otro aspecto a tener en cuenta es que el problema se podría haber resuelto
mediante un razonamiento numérico, construyendo una tabla y viendo que se
forma una sucesión aritmética de factor 4, tal como indicamos en la tabla
Jardineras Baldosas
1 6
2 10
3 14
4 18
5 22
… …
n 6 + 4(n – 1)
La distancia más larga es entre esquinas opuestas. de la caja A y C.
Esto se puede encontrar usando dos triángulos en ángulo recto. Primero
encontrar la longitud AB y luego encontrar la longitud AC.
𝐴𝐵2 = 102 + 122
AB = √102 + 122 => 15,62 cm.
𝐴𝐶2 = 142 + 15,622
AC = √142 + 15,622 => = 20,98 cm.
Por lo tanto, el diámetro de la esfera es de 20,98 cm.
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