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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
en los beneficios que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
2
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AritméticA
Matemática
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aritmética
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tÍtulo vII
delItos contra los derecHos Intelectuales
capÍtulo I
delItos contra los derecHos de autor
Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor.
artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.
MateMática Delta 2 - aritMética 3
PresentaciónPresentación
Estimado estudiante, ahora que entraste a un siguiente grado, habrás notado que el nivel
secundario es distinto al que cursaste en la primaria; los cursos son diferentes, la forma de enseñar
de los docentes también lo es; por ende, sabemos que necesitas todo el apoyo posible para
entender mejor cada materia.
Ante ello, hemos diseñado toda una estrategia para que el proceso de tus aprendizajes sea
didácticamente beneficioso para ti, ya que hemos ordenado los temas de acuerdo al avance
curricular que necesitas y los hemos organizado por secciones que te faciliarán cumplir con los
objetivos.
El contenido teórico que te presentamos a continuación, permitirá que continúes fortaleciendo
tus capacidades y competencias matemáticas, y que estas sean, a su vez, aplicadas en tu vida
cotidiana; el uso de tu razonamiento lógico debe ser de constante aplicación en las situaciones
que se te presenten, esto te llevará a un siguiente nivel.
La distribución de las asignaturas ya las conoces: Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría y
Razonamiento Matemático; en ellos encontrarás los estándares de aprendizaje que el Ministerio
de Educación ha programado para este nivel.
Asimismo, complementamos lo planteado con algunas preguntas que han sido tomadas de
exámenes de admisión, concursos de Matemática, preguntas tipo, etc., para que estés preparado
desde ahora.
Inicia el año escolar dispuesto a aprender nuevos conocimientos y continúa durante todo el año
con la misma dedicación.
Delta Editores
Apertura
En esta sección
encontrarás
temas
novedosos que
propiciarán
sostener
una relación
cercana con la
Matemática.
se aborda el
desarrollo del
tema, donde
encontrarás las
definiciones
organizadas
siguiendo una
secuencia
didáctica.
Marco
teórico
Conoce tu libro
Tema
109MateMática Delta 2 - aritMética
Razones
Una razón es la relación que se establece entre dos cantidades. Esta relación permite
compararlas y tal comparación se realiza generalmente mediante una división indicada.
En general:
Si las cantidades son A y B, entonces la relación entre A y B se puede escribir como:
A
B
Esta expresión se lee como:
� La relación de A y B.
� La razón entre A y B.
Además:
• A es el antecedente
• B es el consecuente
Si tenemos que A
B
5
7
= ⇒ Se leerá como
� La relación entre A y B es de 5 a 7.
� La razón entre A y B es 5/7.
� Por cada 5 unidades de A se tiene
7 unidades de B.
� Además: A = 5k ∧ B = 7k
Ejemplo 1
En un recipiente se encuentran mezclados 45 litros de ron con 27 litros de gaseosa,
estableceremos la relación que hay entre los volúmenes de estos dos ingredientes.
� R será el volumen de ron.
� G será el volumen de gaseosa.
R
G
45
27
= o
R
G
15
9
= o
R
G
5
3
=
Podemos realizar las siguientes lecturas:
� En
R
G
45
27
= Por cada 45 litros de ron hay 27 litros de gaseosa.
• En R
G
15
9
= Por cada 15 litros de ron hay 9 litros de gaseosa.
• En R
G
5
3
= Por cada 5 litros de ron hay 3 litros de gaseosa.
Como observamos, la relación entre R y G se puede expresar de formas similares. Sin
embargo, se recomienda usar aquella expresión donde los valores están reducidos; así
tendremos que:
R
G
5
3= Se leerá como
• La relación entre R y G es de 5 a 3.
• La razón entre R y G es 5/3.
• Por cada 5 de R se tiene 7 de G.
• Además: R = 5k ∧ G = 3k
Ejemplo 2
Para cocinar el arroz, se recomienda que por cada 2 tazas de arroz se deben utilizar 3
tazas con agua. Establezcamos la relación:
Ar
Ag
2
3
• Ar serála cantidad de arroz
• Ag será la cantidad de agua
=
Como dijimos, la relación se puede escribir de formas similares pero con sus valores
correspondientes.
7
La razón es uno
de los conceptos
matemáticos
aplicados con mayor
frecuencia en la vida
diaria. El promedio de
goles anotados por
cada partido de un
jugador es realmente
una razón.
La pendiente o
inclinación de
un tejado puede
expresarse como una
razón.
Obse rva
Título del tema
Para una mejor
organización,
los temas están
numerados.
Comentarios
y/o lecturas
que
refuerzan el
desarrollo
del tema
4
Ejercicios
resueltos
se muestran
ejercicios que
están resueltos
didácticamente,
los mismos que
servirán para
el análisis del
estudiante.
Síntesis
Contenido
del tema, que
incluye teoremas,
postulados,
fórmulas,
propiedades,
leyes, etc.,
resumido en
organizadores
gráficos para tener
un panorama
general del
contenido.
Modela y
resuelve
Los problemas
con numeración
impar serán
resueltos por el
docente, mientras
que los pares
serán resueltos
por el estudiante
siguiendo la
secuencia
realizada.
111MateMática Delta 2 - aritMética
H – 2
5
H
M + 3
8
M
En una granja se crían pavos y cerdos, encontrándose estos en la relación de
5 a 9 respectivamente. Si al contar las patas de estos animales se obtienen 2208,
determina en qué relación se encontrarán ahora, luego de que nacieron 28 pavos
y se vendieron 52 cerdos.
Resolución:
Sean:
P: número de pavos
C: número de cerdos
• Los pavos y cerdos están en relación de 5 a 9.
P
C
= 5
9
• P = 5k
• C = 9k
• Al contar las patas se obtienen 2208.
Patas de pavos + Patas de cerdos = 2208
2(5k) + 4(9k) = 2208
46k = 2208 k = 48
Nueva
relación =
P + 28
C – 52 =
240 + 28
432 – 52 =
268
380
67
95
Rpta. La nueva relación es de 67 a 95.
Al inicio de una fiesta se observó que por cada 11 varones habían 8 mujeres. Si
luego de media hora, tras un nuevo conteo, se ha determinado que la cantidad de
varones disminuyó en sus 25 y la de mujeres aumentó en sus
3
8 . Halla cuál es la
nueva relación de mujeres y hombres bajo estas condiciones.
Resolución:
Sean:
H : cantidad de hombres que había al inicio.
M: cantidad de mujeres que había al inicio.
• Por cada 11 varones habían 8 mujeres.
H
M
= 11
8
� H = 11k
� M = 8k
• Los varones disminuyen en sus 2
5
y las mujeres aumentan en sus 3
8
.
Nueva
relación = =
3
5 H
11
8
M
= 2455
× H
M =
24
55
× 11k
8k =
3
5
Rpta. La nueva relación entre hombres y mujeres es de 3 a 5.
Platón
(420-348 a. C.)
Filósofo griego.
Junto con su
maestro Sócrates
y su discípulo
Aristóteles, Platón
es la figura central
de los tres grandes
pensadores en que
se asienta toda la
tradición filosófica
europea. Ejerció una
gran influencia en
el desarrollo de las
ciencias exactas.
Fundó en Atenas la
famosa Academia.
En su entrada
había un rótulo que
decía: «Nadie entre
aquí que no sepa
Geometría».
Entre otras frases
características de
Platón, se encuentran
las siguientes: «Los
números gobiernan
el mundo» o «cuando
Dios ordenó el
mundo, lo adornó de
formas y números».
¿Sa bía s qu e.. .?
1
2
Ejercicios resueltos
• Nacieron 28 pavos y se venden 52 cerdos.
P = 5(48) = 240
C = 9(48) = 432
124
Rpta. Rpta.
Al llegar a un hotel nos han dado un mapa con los
lugares de interés de la ciudad, observando que
se utilizó una escala de 1:1200. Si hoy queremos
ir a un parque que se encuentra a 8 cm del hotel
en el mapa, calcula a qué distancia del hotel se
encuentra este parque.
Resolución:
Al llegar a un hotel nos han dado un mapa con
los lugares de interés de la ciudad, observando
que se utilizó una escala de 1:12 500. Si hoy
queremos ir a un hospital que se encuentra a
10,8 cm del hotel en el mapa, calcula a qué
distancia del hotel se encuentra este hospital.
Resolución:
Tiene términos
medios diferentes.
Tiene términos
medios diferentes.
Tiene términos
medios iguales.
Tiene términos
medios iguales.
Ejemplo:
8 – 5 = 4 – 1 Ejemplo:
15
35
= 27
63
Ejemplo:
20 – 15 = 15 – 10 Ejemplo:
18
12
= 12
8
a – b = c – d
Se lee:
«a es a b como c
es a d»
Donde:
b ≠ c
a
b
= c
d
Se lee:
«a es a b como c
es a d»
Donde:
b ≠ c
a – b = b – c
Se lee:
«a es a b como b
es a c»
a
b
= b
c
Se lee:
«a es a b como b
es a c»
Proporción aritmética
P. A.
Proporción geométrica
P. G.
Discreta DiscretaContinua Continua
a + d = c + b a × d = b × c
= =
Suma de
los términos
extremos
Producto de
los términos
extremos
Suma de
los términos
medios
Producto de
los términos
medios
Propiedad Propiedad
Modela y resuelve
1 2
Síntesis
Nombre de la
sección
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas
reales o
simuladas,
planteadas de
acuerdo al tema.
Algoritmo de
resolución
del problema
planteado.
Organizador
visual
Enunciado del
problema o de
la situación
planteada. Espacio para
resolver
el problema.
Nombre de la
sección
Nombre
de la sección
5MateMática Delta 2 - aritMética
Practica y
demuestra
se plantean
preguntas
que han sido
organizadas
por niveles de
complejidad y de
elección múltiple,
en las cuales
el estudiante
demostrará lo
aprendido durante
la sesión.
Test
Esta
evaluación
incluye
preguntas
del contenido
de los temas
desarrollados
en la unidad
y son de
elección
múltiple.
6
Nombre de la
sección
Número de test
Preguntas planteadas,
estas pueden ser
situaciones reales o
simuladas.
Alternativas
Espacio para
realizar anotaciones
de resolución
AlternativasPreguntas y/o
situaciones
problemáticas reales o
simuladas, planteadas
de acuerdo a la unidad.
22
A S/ 27 360 B S/ 28 260
C S/ 26 730 D S/ 29 610
E S/ 28 170
Para entrar al cine hay 2 boleterías. En la primera,
atienden a 6 personas en 72 segundos y en la
segunda atienden a 15 personas en 2 minutos.
Calcula cuántas personas serán atendidas en
10 minutos.
1
Halla cuántas cajas grandes se necesitan para
transportar 180 000 caramelos, si en cada caja
grande entra una docena de cajas pequeñas y en
cada una de estas cajas pequeñas hay una decena
de bolsas y en cada bolsa hay 20 caramelos.
2
Un anciano deja al morir a cada uno de sus
hijos S/ 6840. Habiendo fallecido uno de ellos,
la herencia de esta se repartió entre los demás,
entonces cada uno recibió un total de S/ 9120.
¿Cuánto era la fortuna del anciano?
3
A un baile al cual asistieron 120 personas, se
observó lo siguiente: la mujer que llegó primero
bailó con 7 hombres, la que llegó segundo bailó
con 8 hombres, la que llegó tercero bailó con
9 hombres y así sucesivamente, hasta que la
que llegó última bailó con todos los hombres.
Determina cuántas mujeres asistieron al baile.
4
Un bus parte de su paradero inicial, con cierta
cantidad de pasajeros y llega al paradero final
con 61 pasajeros; cada pasaje cuesta S/ 3 y el
bus ha recaudado S/ 255. Encuentra con cuántos
pasajeros partió el bus, si en cada paradero
subían 5 pero bajaban 2 pasajeros.
5
Clarisa vende pescados en el mercado. Si vende
a S/ 18 cada kilogramo, se compraría un televisor
y le sobrarían S/ 6, pero si los vende a S/ 20 cada
kilogramo, le sobrarían S/ 90 luego de comprar el
televisor. ¿Cuánto cuesta el televisor?
6
A S/ 680 B S/ 720 C S/ 740
D S/ 750 E S/ 780
A 120 B 125 C 130
D 140 E 135
A 60 B 75 C 50
D 40 E 64
A 58 B 54 C 52
D 57 E 51
A 26 B 25 C 28
D 23 E 29
Practica y demuestra
Nivel I
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
133AritméticA 2 - SecundAriA
Test n.° 3
El máximo común divisor de los números
A=28n . 90n + 3 y B = 363 . 50n tiene 616 divisores.
Determina el valor de n2, si n > 3.
Sabiendo que el máximo común divisor de
A = 36n . 45n + 2 y B = 544 . 84n + 2 tiene
171 divisores, halla el valor de n. Donde n > 4.
Sabiendo que el máximo común divisor
de A = 18n + 1 . 42n – 2 y B = 524 . 36n – 2 tiene
70 divisores,encuentra el valor de n.
Se tienen dos barcos de metal, uno de 154 cm
y otro de 210 cm. Se desea dividirlas en trozos
de igual medida. Descubre cuántos trozos como
mínimo se podrán obtener.
En una fiesta se observa que la cantidad de
hombres y mujeres están en relación de 5 a 8,
respectivamente. Si luego de este conteo llegan
24 parejas y debido a esto la razón anterior
cambia a 34 , determina cuántos hombres
estaban en la fiesta antes de llegar estas parejas.
Hace 7 años, las edades de dos hermanas se
encontraban en relación de 4 a 3 y dentro de
8 años sus edades estarán en relación de 7 a 6.
Calcula cuántos años tiene el mayor.
1 4
2 5
63
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
9A
25C
20B
16D
5A
4C
3B
6D
6A
4C
5B
7D
25A
26C
27B
24D
28A
32C
30B
31D
26A
27C
28B
29D
7MateMática Delta 2 - aritMética
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e
pr
ob
le
m
as
d
e
ca
nt
id
ad
Traduce
cantidades a
expresiones
numéricas.
Números enteros 10
Definición
Ubicación de los números enteros en la recta numérica
Operaciones con números enteros
Fracciones 26
Definiciones
Clasificación de las fracciones
Homogeneización de fracciones
Operaciones con fracciones
Números decimales 45
Fracción generatriz
Operaciones con números decimales
Divisibilidad 59
Divisores y múltiplos
Propiedades de los divisores y múltiplos
Teorema del mínimo común múltiplo
Criterios de divisibilidad
Números primos 75
Clasificación de los números enteros positivos
Números primos entre sí
Teorema de Gauss
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 93
Máximo común divisor
Mínimo común múltiplo
Teoremas
Razones 109
Definiciones
Homogeneización de razones
Proporciones 121
Definiciones
Teoremas en una proporción
Escalas
Estadística 135
Definiciones
Etapas de la investigación estadística
Estructura y elementos de una tabla de frecuencias
Medidas de tendencia central
Probabilidad 155
Definiciones
Frecuencia y probabilidad
Eventos independientes y dependientes
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su
comprensión
sobre los
números y las
operaciones.
Usa estrategias
y procedimientos
de estimación y
cálculo.
Argumenta
afirmaciones
sobre las
relaciones
numéricas y las
operaciones.
Índice
Malba Tahan, o mejor dicho Julio César de Mello y Souza,
fue un profesor y escritor brasileño nacido en Río de Janeiro
el 6 de mayo de 1895. Pasó su infancia en la ciudad de
Queluz, en Sao Paulo, Brasil.
Se formó como profesor en la Escuela Normal; luego,
como ingeniero en la Escuela Nacional de Ingeniería.
Desempeños
• Establece relaciones entre datos y acciones de ganar, perder, comparar e igualar cantidades, o
una combinación de acciones. Las transforma a expresiones numéricas que incluyen operaciones
matemáticas con números enteros, fraccionarios o decimales.
• Comprueba si la expresión numérica (modelo) planteada representó las condiciones del problema:
datos, acciones y condiciones.
• Expresa con diversas representaciones y lenguaje numérico su comprensión de la fracción como razón
y operador, y del significado del signo positivo y negativo de enteros y racionales, para interpretar un
problema según su contexto y estableciendo relaciones entre representaciones.
• Selecciona, emplea y combina estrategias de cálculo, estimación y procedimientos diversos para
realizar operaciones con números enteros, fraccionarios y decimales y simplificar procesos usando
propiedades de los números y las operaciones.
Malba Tahan
Competencia - Resuelve problemas de cantidad:
Se casó con Nair Marques da Costa con la que tuvo tres hijos.
Creó la mistificación literaria que llamó Malba Tahan, a través del cual publicó numerosas
obras, incluyendo su famoso libro El hombre que calculaba. Firmando como Malba Tahan o
como profesor Mello y Souza , escribió varios libros sobre la enseñanza de las matemáticas. Fue
principalmente heraldo y precursor de una nueva forma de enseñar la Matemática.
Al principio, escribió cuentos de influencia árabe, como por ejemplo Cuentos de Malba Tahan,
Ceo de Alá, Amor de Beduino, entre otros; estas narraciones, que contienen descripciones de
cómo era el territorio medioriental, hacían pensar que eran escritos realmente por un árabe, sin
imaginar que era un brasileño el autor de las mismas.
El año 1934 escribió su primer título de recreaciones matemáticas, Matemática divertida y
curiosa.
y «El hombre
que calculaba»
8
Cuento de los 35 camellos
Uno de los cuentos más conocidos y quizás el que mejor ilustra la creatividad narrativa de
Malba Tahan, es el de la división de la herencia de 35 camellos entre tres hermanos. En ese
cuento, el primer hermano debería recibir la mitad del número de los camellos, el segundo, un
tercio, y el tercero, un noveno. Cuando Beremiz Samir añadió a los 35 camellos de la herencia,
un camello que tomó prestado, las divisiones por 2; 3 y 9, se hicieron posibles, dando 18 camellos
al primer hermano, 12 para el segundo y 4 para el tercero, que sumados dan un total de 34 camellos.
Hecha la división, misteriosamente sobraron 2 camellos, si comparamos con la cantidad inicial. Así,
Beremiz Samir resolvió el problema de la división de los camellos entre los hermanos y aún pudo
argumentar a su favor. Él devolvió el camello que había tomado prestado y recibió el camello
restante como pago por el servicio de calcular. Sin duda, es una historia sorprendente, con
desenlace justo e inteligente.
Julio César falleció en Recife, el 18 de junio de 1974, a los 79 años. En 2013, el Gobierno de Brasil
instituyó, en su homenaje, el Día Nacional de las Matemáticas cada 6 de mayo, en conmemoración
a la fecha de su nacimiento.
El hombre que calculaba
En 1937, Malba Tahan reunió el conocimiento matemático
y los cuentos árabes en una obra extraordinaria, El hombre
que calculaba, la que –en cada capítulo– presenta retos
y problemas resueltos por el persa Beremiz Samir, principal
protagonista de la obra. En sus cuentos, Malba Tahan logra
reunir en una sola narrativa, aventura, romance, fantasía,
informaciones históricas y culturales, juegos y raciocinios
matemáticos. Sus historias, incluso, siempre presentaban
un final sorprendente, no raro de contenido moral o
filosófico, para la formación de los jóvenes lectores.
Desempeños
• Determina las condiciones y el espacio muestral de una situación aleatoria. Representa la probabilidad
de un suceso o representa su probabilidad mediante su frecuencia relativa. A partir de este valor
determina si un suceso es seguro, probable o imposible de suceder.
• Expresa con diversas representaciones su comprensión sobre las medidas de tendencia central para
representar un conjunto de datos, así como el significado del valor de la probabilidad.
• Recopila datos de variables cualitativas y cuantitativas mediante encuestas, o seleccionando y
empleando procedimientos, estrategias adecuadas al tipo de estudio. Los procesa y organiza en
tablas con el propósito de analizarlos y producir información. Revisa los procedimientos utilizados y los
adecúa.
• Selecciona y emplea procedimientos para determinar medidas de tendencia central de datos
discretos, la probabilidad de sucesos de una situación aleatoria. Revisa sus procedimientos y resultados.
Competencia - Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre:
Fuente:
www.malbatahan.com.br
9MateMática Delta 2 - aritMética
5k – 12
4k – 12
10
10
Tema
Números enteros
La palabra número natural proviene del latín numerus; el conjunto de estos números
naturales se simboliza con .
= {0; 1; 2; 3; 4; ...}
La palabra número entero proviene del alemán zahlen (números). El conjunto de estos
números enteros se simboliza con y es un conjunto de números que incluye a:
Los números positivos (1; 2; 3; ...), sus opuestos (...; –3; –2; –1) y el cero (0).
El conjunto de todos los números enteros se representa por:= {... ; –3; –2; –1; 0; +1; +2; +3; ...}
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse,
multiplicarse y dividirse de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los
enteros es necesario determinar también el signo del resultado.
El conjunto de los
números naturales
está incluido en
el conjunto de los
números enteros .
⊂
Además:
• El opuesto de +5
es –5.
• 0 es el único
número entero que
no tiene opuesto, ni
tampoco signo.
• Para resaltar
la diferencia
entre positivos y
negativos, a veces
también se escribe
el signo «más»
delante de los
positivos: +1; +5,
etc.
Not a
Ubicación de los números enteros en la recta numérica
... –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ...
Observa que:
• Todo número negativo es menor que cero : –7 < 0
• Todo número positivo es mayor que cero : +7 > 0
• Si se tienen dos enteros negativos, es mayor aquel que
esté ubicado más a la derecha en la recta numérica : –7 > –10
Operaciones con números enteros
Adición de números enteros
Ley interna o de clausura
Ley asociativa
(2 + 3) + (–5) = 2 + [3 + (–5)]
5 + (–5) = 2 + (–2)
0 = 0
(m + n) + p = m + (n + p) = (m + p) + n = m + n + p
Ley conmutativa
m + n = n + m
Ejemplo: 2 + (–5) = (–5) + 2
–3 = –3
Ley del elemento neutro de la adición
m + 0 = m
Ejemplo: (–5) + 0 = –5
Ley del elemento opuesto o inverso aditivo
m + (–m) = 0 ⇒ m = –(–m)
Ejemplo: 5 + (–5) = 0 ⇒ 5 = –(–5)
Regla de los signos
Si m y n , entonces (m + n) .
Ejemplo:
1
Signos iguales
(se suman)
Signos diferentes
(se restan)
Al resultado se le
coloca el mismo signo
que los números
sumados.
Al resultado se le
coloca el signo del
número de mayor
valor absoluto.
( + ) y ( – )
( – ) y ( + )
( + ) y ( + )
( – ) y ( – )
11
11MateMática Delta 2 - aritMética 11
Los números enteros
permiten contabilizar
pérdidas o expresar
ciertas magnitudes
como la temperatura
o la altura que toman
valores por debajo de
cero.
Por ejemplo: la altura
del monte Everest
es de 8848 m por
encima del nivel del
mar y se expresa
como
+8848 m; la orilla
del Mar muerto está
a 423 m por debajo
del nivel del mar y se
expresa como –423 m.
Import a nt e
Algunos símbolos
matemáticos son:
∀ : para todo
˅ : o
˄ : y
⇔ : si y solo si
⇒ : entonces
∴ : por lo tanto
Recu e rda
• Al multiplicar dos números del
mismo signo, el resultado tiene
signo positivo.
• Al multiplicar dos números de
diferente signo, el resultado
tiene signo negativo.
Sustracción de números enteros
La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del
sustraendo.
m – n = m + (–n)
Ejemplos:
• 7 – 5 = 7 + (–5) = 2
• 6 – (+9) = 6 + (–9) = –3
Ley interna o de clausura
Ejemplos:
• 10 – (–5) = 10 + (+5) = 15
• (–20) – (+ 6) = (–20) + (–6) = –26
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros da como resultado otro número entero,
que tiene como signo el que se obtiene de la aplicación de la siguiente regla.
Regla de los signos
( + ) por ( + ) = ( + )
( – ) por ( – ) = ( + )
( + ) por ( – ) = ( – )
( – ) por ( + ) = ( – )
• (+2) × (+5) = +10 = 10 • (+7) × (+5) = +35 = 35
• (–2) × (–5) = +10 = 10 • (+7) × (–5) = –35
• (+2) × (–5) = –10 • (–7) × (+5) = –35
• (–2) × (+5) = –10 • (–7) × (–5) = +35 = 35
La multiplicación de números enteros cumple con las siguientes leyes:
Ley interna o de clausura
• (+2) × (–5) = –10
• (–4) × (–8) = +32
Si m y n , entonces (m – n) .
Si m y n , entonces (m × n) .
Ejemplos:
Ate n ción
En la sustracción
no se cumple la Ley
conmutativa:
m – n n – m
5 – 2 2 – 5
12
División de números enteros
En la división de dos números enteros, el signo del cociente se obtiene aplicando la
misma regla de signos que usamos en la multiplicación.
• (+10) ÷ (+5) = +2 = 2 • (+40) ÷ (+8) = +5 = 5
• (–10) ÷ (–5) = +2 = 2 • (+40) ÷ (–8) = –5
• (+10) ÷ (–5) = –2 • (–40) ÷ (+8) = –5
• (–10) ÷ (+5) = –2 • (–40) ÷ (–8) = +5 = 5
• (–8) × (–3) × (–6)
⇒ [(–8) × (–3)] × (– 6) = (–8) × [(–3) × (–6)]
(+24) × (– 6) = (–8) × (+18)
–144 = –144
A los números
negativos,
antiguamente, se
les conocía como
números deudos o
números absurdos.
Sin embargo, los
chinos no aceptaban
la idea de que un
número negativo
sea solución de una
ecuación.
Leonhard Euler es
el primero en darles
estatuto legal, en
su libro «Elementos
de álgebra» (1770)
en el que trata de
demostrar que:
(–1) × (–1) = +1
Él argumentaba que
el producto tiene
que ser +1 o –1 y
que sabiendo que se
cumple:
(+1) × (–1) = –1,
entonces tendrá que
ser:
(–1) × (–1) = +1
¿Sa bía s qu e.. .?
Ley asociativa
(m × n) × p = m × (n × p) = (m × p) × n = m × n × p
• (2) × (3) × (–5)
⇒ [(2 × (3)] × (–5) = [(2) × (–5)] × (3)
6 × (–5) = (–10) × (3)
–30 = –30
Ley conmutativa
m × n = n × m
• (2) × (–5) = (–5) × (2)
–10 = –10
• (–4) × (–3) = (–3) × (–4)
+12 = + 12
Ley del elemento neutro o identidad
m × 1 = m
Ejemplos:
• (–5) × 1 = (–5) = –5 • (+9) × 1 = (+9) = +9
Ley distributiva
En la adición:
m × (n + p) = m × n + m × p
En la sustracción:
m × (n – p) = m × n – m × p
Ley del inverso multiplicativo
Si al multiplicar dos números enteros m y e se obtiene 1 como producto, se dice que
uno de los factores es igual al inverso multiplicativo del otro.
m × e = 1 ⇒ m = 1e
Ejemplos:
Ejemplos:
13MateMática Delta 2 - aritMética
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero cuyo
signo se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:
Las potencias de exponente par siempre son positivas.
Ejemplos:
• (+15)2 = +225 = 225 • (–12)2 = +144 = 144
• (–18)2 = +324 = 324 • (–2)6 = +64 = 64
• (–6)4 = +1296 = 1296 • (–5)4 = +625 = 625
Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
Ejemplos:
• (+7)3 = +343 • (–6)3 = –216
• (–8)3 = –512 • (–3)5 = –243
• (–2)5 = –32 • (–1)5 = –1
Propiedades
a0 = 1 ; a ≠ 0
a1 = a
am × an = am + n
• (+5)0 = 1
• (+4)5 ÷ (+4)3 = (+4)2 • (–2)10 ÷ (–2)4 = (–2)6
• [(+42)]3 = (+4)6
• (+4)3 × (+5)3 = [(+4)(+5)]3 = (+20)3 • (–2)4 × (+5)4 = [(–2)(+5)]4 = (–10)4
• (–5)1 = –5
• (+4)2 × (+4)3 = (+4)5 • (–2)3 × (–2)4 = (–2)7
(am)n = am × n
an × bn = (a × b)n
am
an
= am – n
Una potencia no
es más que una
expresión abreviada,
que se utiliza para
escribir el producto de
factores iguales.
Por ejemplo:
23 = 2 × 2 × 2 = 8
donde:
• 2 es la base.
• 3 es el exponente.
• 8 es la potencia.
En general:
¿Sa bía s qu e.. .?
3 factores
an = a × a × ... × a
n factores
Donde:
• a es la base
• n es el exponente
• El resultado de la
operación es la
potencia.
• (–49)0 = 1 • (+898)0 = 1
Potencia de exponente cero
Potencia de exponente uno
• (+235)1 = +235 • (–169)1 = –169
Producto de potencias de bases iguales
• (+12)4 × (+12)5 = (+12)9
Cociente de potencias de bases iguales
• (–5)7 ÷ (–5)6 = –5
Potencia de una potencia
• [(–126)]4 = 1224 • [(+9)9]2 = (+9)18
Producto de una potencia con el mismo exponente
14
La raíz de índice par solo existe cuando el radicando es positivo.
Ejemplos:
• +16 = +4 = 4
• +81 = +3 = 3
• +64 = +2 = 2
Ejemplo 1
Efectúa la operación (–4) × [(–6) – (–8)] – (+3) × [(–11) + (+7)].
(–4) × [(–6) – (–8)] – (+3) × [(–11) + (+7)]
(–4) × [(–6) + (+8)] – (+3) × [(–11) + (+7)]
(–4) × (+2) – (+3) × (–4)
(–8) – (–12)
(–8) + (+12)
(+4)
(–6) × [(–7) + (+3) – (7 + 6 – 14)] – (+7) × (+3)
(–6) × [ (–4) – (13 – 14) ] – (+21)
(–6) × [ (–4) – (–1)] + (–21)
(–6) × [ (–4) + (+1) ] + (–21)
Ejemplo 2
Efectúa la operación (–6) × [(–7) + (+3) – (7 + 6 – 14)] – (+7) × (+3).
(–6) × (–3) + (–21)
(+18) + (–21)
(–3)
La raíz de índice natural (mayor que 1) de un número entero no siempre es otro número
entero, y cuyo signo está sujeto a la aplicación de las siguientes reglas:
Raíz de números enteros
La raíz de índice impar tiene el mismo signo que el radicando.
Ejemplos:
• +8
3
= +2
• –64
3
= –4
• –32
5
= –2
Operaciones combinadas con números enteros
Jerarquía de las operaciones
1.º Efectúa las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2.º Calcula las potencias y raíces.
3.º Calcula los productos y cocientes.
4.º Calcula las sumas y restas.
Repa sa
Las raíces cuadradas
son expresiones
matemáticas que
surgieron al plantear
diversos problemas
geométricos como
la longitud de la
diagonal de un
cuadrado, entre otros
cálculos. Veamos:
x
1
2
x2 = 22 + 12
x2 = 5
x = 5
La creencia popular
es que; por ejemplo:
16 = ±4
Dicha afirmación no
es correcta por las
siguientes razones:
• La raíz cuadrada de
un número positivo
debe ser positivo.
• 16 es un número
real, por lo tanto
ocupa un solo
punto en la recta
numérica; si
aceptamos que
16 = ± 4 entonces
ese número estaría
ocupando dos
puntos en la recta
numérica el punto
+4 y el –4, lo cual
es inadmisible para
un número real.
6
15MateMática Delta 2 - aritMética
El comedor «Sabores andinos» abrió sus puertas incluyendo en su menú la
venta de bebidas calientes. Los encargados llevaron registros detallados de las
ganancias y pérdidas obtenidas durante la primera semana de este lanzamiento.
A continuación describimos lo que ocurrió: el día lunes el comedor perdió S/ 98,
el martes perdió S/ 54, el miércoles ganó S/ 18, el jueves perdió S/ 37 y el viernes
ganó S/ 43, el sábado ganó S/ 87 y el domingo ganó S/ 94. Determina si el comedor
ganó o perdió la primera semana.
Resolución:
Organizaremos los datos de ganancias y pérdidas en un cuadro de doble entrada.
El monte Everest es la montaña más alta del planeta Tierra, con una altura de
8848 metros sobre el nivel del mar. Está localizada en la cordillera de Mahalangur
Himal, en el continente asiático, y marca la frontera entre China y Nepal.
Un montañista ha escalado y se encuentra a 5790 m s.n.m., decide seguir
subiendo y asciende 820 metros, luego descansa unos 30 minutos y asciende
189 m; sin embargo, debido a que hay peligro de una avalancha decide
descender 542 m para refugiarse. Determina a qué distancia sobre el nivel del
mar se encuentra el montañista.
Resolución:
Para saber exactamente donde se encuentra el montañista, efectuamos la
operación:
Entonces:
(+242) + (–189)
= +53
Día Ganancia Pérdida
lunes S/ 98
martes S/ 54
miércoles S/ 18
jueves S/ 37
viernes S/ 43
sábado S/ 87
domingo S/ 94
Total S/ 242 S/ 189
(+5790) + (+820) + (189) + (–542)
(+6799)
⇒ (+6799) + (–542)
⇒ (+6257)
Rpta. Se encuentra a 6257 m s.n.m.
Rpta. El comedor ganó S/ 53.
1
2
La cima del Everest
es el punto en que
la superficie de la
Tierra alcanza la
mayor distancia
sobre el nivel del
mar. En ocasiones,
varias montañas
son reclamadas
alternativamente
como las «montañas
más altas de la
Tierra». El Mauna
Kea en Hawái es la
más alta cuando se
mide desde su base;
se eleva a más de
10 200 m cuando se
mide desde su base
en el
suelo centro-oceánico,
pero solo alcanza
4205 m sobre el nivel
del mar.
+5790
+820
+189 –542 cúspide
nivel del mar
¿Sa bía s qu e.. .?
Ejercicios resueltos
16
Rpta. Rpta.
1 2Milagros compró un automóvil usado a S/ 8750,
pagó S/ 830 por un cambio de llantas y S/ 200 por
afinarlo. Después lo alquiló durante dos años a razón
de S/ 1500 por trimestre. Finalmente, lo vendió a
S/ 7750. ¿Cuánto ganó o perdió?
Resolución:
Martín compró un automóvil a S/ 9540, pagó
S/ 970 por un cambio de llantas y S/ 320 por afinarlo.
Después lo alquiló durante un año y medio a razón
de S/ 1200 por trimestre. Finalmente, lo vendió a
S/ 6820. ¿Cuánto ganó o perdió?
Resolución:
Adición y sustracción
O
pe
ra
ci
on
es
O
pe
ra
ci
on
es
G
rá
fic
am
en
te Multiplicación y división
Enteros negativos Enteros positivos
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 + ∞– ∞
• (+5) + (+8) = +13
• (–8) + (–2) = –10
• (+4) + (–7) = –3
• (–6) + (+10) = +4
(+) × (+) = (+) , (+) × (–) = (–)
(–) × (–) = (+) , (–) × (+) = (–)
(+) ÷ (+) = (+) , (+) ÷ (–) = (–)
(–) ÷ (–) = (+) , (–) ÷ (+) = (–)
Números enteros ( )
Si poseen el mismo signo se suman las cantidades y se coloca el mismo signo.
Si poseen diferente signo se restan las cantidades y se coloca el signo de la cantidad
que tenga el mayor valor absoluto.
Modela y resuelve
Síntesis
17MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
5
3 4
6Un contratista ofrece a un obrero S/ 24,50 por
cada día de trabajo, pero le descontará S/ 5,60
por cada día que llegue tarde a trabajar. Si luego
de 25 días de trabajo, el obrero ha recibido como
pago S/ 567,70. Halla cuántos de estos días llegó
tarde.
Resolución:
Un contratista ofrece a un obrero S/ 28,80 por
cada día de trabajo, pero le descontará S/ 7,60
por cada día que llegue tarde a trabajar. Si luego
de 28 días de trabajo, el obrero ha recibido como
pago S/ 738. Halla cuántos de estos días llegó
tarde.
Resolución:
Un ganadero decide vender sus toros de lidia para
una corrida, analizando las siguientes situaciones:
Si vende cada toro a S/ 2980, perdería S/ 5525
en total. Sin embargo, si vendiera a S/ 3680 cada
toro, ganaría S/ 3575 en total. Calcula cuántos son
los toros que ha decidido vender.
Resolución:
Un ganadero decide vender sus vacas lecheras,
analizando las siguientes situaciones: Si vende
cada vaca a S/ 3240, perdería S/ 4200 en total,
pero, si vendiera a S/ 3750 cada vaca, ganaría
S/ 3450 en total. Calcula cuántas son las vacas
que ha decidido vender.
Resolución:
18
Si compro 6 calculadoras me sobrarían S/ 200;
pero si compro 10 observo que me faltarían
S/ 100 para comprar 4 calculadoras más.
Encuentra de cuánto dinero dispongo.
Resolución:
Si compro 8 calculadoras me sobrarían S/ 180;
pero si compro 10 observo que me faltarían
S/ 75 para comprar 4 calculadoras más. Encuentra
de cuánto dinero dispongo.
Resolución:
7 8
Rpta.
9 10
Rpta.
Rpta.
Fernando, trabajando solo, planea construir una
silla en 12 horas; pero luego de 5 horas de trabajo,
recibe la ayuda de Roberto y juntos terminan
la silla en 3 horas después. Determina cuánto
tiempo hubiera demorado Roberto en construir la
silla, de haber trabajado solo.
Resolución:
Rpta.
Camilo, trabajando solo, planea construir una mesa
en 16 horas; pero luego de 7 horas de trabajo,
recibe la ayuda de Eduardo y juntos terminan
la mesa en 5 horas después. Determina cuánto
tiempo hubiera demorado Eduardo en construir la
mesa, de haber trabajado solo.
Resolución:
19MateMática Delta 2 - aritMética
11 12
Rpta.
Un comerciante minorista compró 124 ejemplares
de un libro de Matemática a S/ 84, en una editorial.
Luego del traslado, observa que ha perdido
13 libros. Calcula a qué precio debe vender cada
uno del resto de libros para ganar S/ 4236 en total.
Resolución:
Rpta.
Un comerciante minorista compró 132 ejemplares
de un libro de Matemática a S/ 92, en una editorial.
Luego del traslado, observa que ha perdido
18 libros. Calcula a qué precio debe vender cada
uno del resto de libros para ganar S/ 2448 en total.
Resolución:
Rpta. Rpta.
13 14Luego de una función de teatro, se obtuvo una
recaudación de S/ 2959. Si en total se vendieron
174 entradas, pagando cada adulto S/ 25 y cada
niño S/ 12. Halla cuántos niños ingresaron.
Resolución:
Luego de una función de circo, se obtuvo una
recaudación de S/ 3120. Si en total se vendieron
183 entradas, pagando cada adulto S/20 y cada
niño S/ 15. Halla cuántos adultos ingresaron.
Resolución:
20
15 16 Ocho amigos realizaron un viaje y acordaron pagar
los gastos en partes iguales, pagando la mitad
antes de iniciar el viaje. Al finalizar el viaje 3 de
ellos no pagaron su saldo, de modo que cada uno
de los restantes tuvo que pagar S/ 42 adicionales.
Determina cuánto costó el viaje en total.
Resolución:
Rpta.
17 18
Rpta.
Un vehículo de transporte público que hace
el servicio de Lima hasta Ancón, cobra S/ 2,50
como pasaje único. En el trayecto hacia Ancón
se observa que cada vez que baja un pasajero,
suben dos. Si el vehículo llegó a Ancón con
31 pasajeros y una recaudación de S/ 120, encuentra
cuántos pasajeros subieron en el paradero inicial.
Resolución:
Rpta.
Un vehículo de transporte público que hace el
servicio de Lima hasta Zapallal, cobra S/ 2,80
como pasaje único. En el trayecto hacia Zapallal
se observa que cada vez que baja un pasajero,
suben 3. Si el vehículo llegó a Zapallal con
38 pasajeros y una recaudación de S/ 126, encuentra
cuántos pasajeros subieron en el paradero inicial.
Resolución:
Nueve amigos realizaron un viaje y acordaron
pagar los gastos en partes iguales, pagando la
tercera parte antes de iniciar el viaje. Al finalizar
el viaje, 4 de ellos no pagaron su saldo, de modo
que cada uno de los restantes tuvo que pagar
S/ 56 adicionales. Determina cuánto costó el
viaje en total.
Resolución:
Rpta.
21MateMática Delta 2 - aritMética
21 22
19 20
Rpta. Rpta.
Un fabricante invirtió S/ 15 120 para producir
cierta cantidad de pantalones. Si luego vende
una parte en S/ 8330 al precio de S/ 98 cada
uno, observando que ha ganado en esta venta
S/ 2210; calcula cuántos pantalones le quedan por
vender.
Resolución:
Un fabricante invirtió S/ 12 320 para producir
cierta cantidad de pantalones. Si luego vende
una parte en S/ 7600 al precio de S/ 95 cada
uno, observando que ha ganado en esta venta
S/ 2000; calcula cuántos pantalones le quedan
por vender.
Resolución:
Rpta.
Un carpintero fabricó 60 camas por S/ 25 680. Si
logró vender tres docenas por un total de S/ 18 144,
halla el precio al cual debe venderse cada una de
las camas restantes sabiendo que desea ganar
en total S/ 4944.
Resolución:
Rpta.
Un carpintero fabricó 70 mesas por S/ 17 780. Si
logró vender tres docenas por un total de S/ 10 872,
halla el precio al cual debe venderse cada una de
las mesas restantes sabiendo que desea ganar en
total S/ 2000.
Resolución:
22
A S/ 27 360 B S/ 28 260
C S/ 26 730 D S/ 29 610
E S/ 28 170
Para entrar al cine hay 2 boleterías. En la primera,
atienden a 6 personas en 72 segundos y en la
segunda atienden a 15 personas en 2 minutos.
Calcula cuántas personas serán atendidas en
10 minutos.
1
Halla cuántas cajas grandes se necesitan para
transportar 180 000 caramelos, si en cada caja
grande entra una docena de cajas pequeñas y en
cada una de estas cajas pequeñas hay una decena
de bolsas y en cada bolsa hay 20 caramelos.
2
Un anciano deja al morir a cada uno de sus
hijos S/ 6840. Habiendo fallecido uno de ellos,
la herencia de esta se repartió entre los demás,
entonces cada uno recibió un total de S/ 9120.
¿Cuánto era la fortuna del anciano?
3
A un baile al cual asistieron 120 personas, se
observó lo siguiente: la mujer que llegó primero
bailó con 7 hombres, la que llegó segundo bailó
con 8 hombres, la que llegó tercero bailó con
9 hombres y así sucesivamente, hasta que la
que llegó última bailó con todos los hombres.
Determina cuántas mujeres asistieron al baile.
4
Un bus parte de su paradero inicial, con cierta
cantidad de pasajeros y llega al paradero final
con 61 pasajeros; cada pasaje cuesta S/ 3 y el
bus ha recaudado S/ 255. Encuentra con cuántos
pasajeros partió el bus, si en cada paradero
subían 5 pero bajaban 2 pasajeros.
5
Clarisa vende pescados en el mercado. Si vende
a S/ 18 cada kilogramo, se compraría un televisor
y le sobrarían S/ 6, pero si los vende a S/ 20 cada
kilogramo, le sobrarían S/ 90 luego de comprar el
televisor. ¿Cuánto cuesta el televisor?
6
A S/ 680 B S/ 720 C S/ 740
D S/ 750 E S/ 780
A 120 B 125 C 130
D 140 E 135
A 60 B 75 C 50
D 40 E 64
A 58 B 54 C 52
D 57 E 51
A 26 B 25 C 28
D 23 E 29
Practica y demuestra
Nivel I
23MateMática Delta 2 - aritMética
Nicolás pagó S/ 7585 por un automóvil, S/ 790 por
cambio de llantas y S/ 225 por afinarlo. Después
lo alquiló durante dos años a razón de S/ 1200 por
trimestre, y luego lo vendió por S/ 6400. Descubre
cuánto ganó Nicolás.
7
Un empleado ha sido contratado por 15 meses,
tiempo por el cual se le ha ofrecido pagar
S/ 14 640 y un televisor. Cumplidos los ocho meses,
el empleado renunció al trabajo, y recibió como
pago S/ 7346 y el televisor. Calcula en cuánto
está valorizado el televisor.
8
Un profesor propone 110 problemas a sus
alumnos en su tarea final y ofrece 5 puntos por
cada problema bien resuelto, con la condición
de descontarle 2 puntos por cada problema
mal resuelto. Si uno de sus alumnos obtuvo
261 puntos, halla cuántos problemas resolvió
correctamente, sabiendo además que no pudo
resolver 20 problemas.
9
A 58 B 71 C 63
D 75 E 67
A S/ 920 B S/ 990 C S/ 950
D S/ 985 E S/ 960
A S/ 7200 B S/ 7300 C S/ 7350
D S/ 7400 E S/ 7450
A S/ 97 B S/ 91 C S/ 89
D S/ 87 E S/ 93
A 47 B 41 C 45
D 43 E 49
Un técnico cobró S/ 3096 por la instalación de una
red de 14 computadoras. Si en seis computadoras
tuvo que cambiar procesadores por S/ 183 en
cada una, y en las otras agregarles tarjetas de
video por S/ 87 en cada computadora, encuentra
cuál fue su ganancia en cada computadora.
11
Un ganadero compró cierto número de reses
a S/ 128 570; vendió una parte a S/ 84 240, a
S/ 3240 cada una, ganando S/ 6500 en esa venta.
Descubre cuántas reses compró inicialmente.
12
A S/ 212 B S/ 202 C S/ 224
D S/ 232 E S/ 219
Una avión lleva 295 pasajeros. En primera clase
viajan 80 personas y cada una pagó S/ 375; en
segunda clase viajaron 115 personas y cada una
pagó S/ 246. Determina cuánto pagó cada persona
que viajó en tercera clase, si la recaudación total
fue S/ 78 490.
10
Nivel II
24
A S/ 1896 B S/ 1920
C S/ 1824 D S/ 1830
E S/ 1854
A 18 B 20 C 28
D 23 E 25
A 71 m B 69 m C 73 m
D 82 m E 67 m
A 35 B 42 C 28
D 45 E 32
Si un comerciante vende a S/ 11 cada calculadora,
gana S/ 75; pero si decide vender cada calculadora
a S/ 6, pierde S/ 50. ¿Cuántas calculadoras tiene
para vender?
14
Un confeccionista compró dos rollos de tela
gastando en el primer rollo S/ 792 y en el segundo
S/ 1927. Un metro de la segunda tela cuesta
S/ 8 más que un metro de la primera tela y, con
S/ 74 se puede comprar un metro de la primera
tela junto a un metro de la segunda tela. Calcula
cuántos metros compró en total.
15
Se disponen 6 filas de 10 alumnos cada fila. Si se
retiran los alumnos del perímetro, halla cuántos
alumnos quedan.
16
Un hotel cobra durante los primeros 7 días
S/ 54 diarios por persona y, a partir del octavo
día reduce su tarifa a S/ 46 diarios por persona.
Determina cuánto gastarían tres personas que
planean pasar 12 días en dicho hotel.
17
A 568 B 584 C 552
D 648 E 608
Un edificio tiene 8 pisos; cada piso con
7 departamentos, 3 de ellos con vista a la
calle; cada departamento tiene 8 o 13 focos.
Encuentra cuántos focos hay en el edificio, si
los departamentos que no tienen vista a la calle
tienen más focos que los otros.
18
A S/ 154,00 B S/ 155,40
C S/ 156,40 D S/ 159,60
E S/ 157,50
El precio de un litro de yogur es de S/ 10,50. En una
promoción del tipo «lleve 3 y pague 2», una persona
que llevó 22 litros, ¿cuánto pagó?
13 Nivel III
25MateMática Delta 2 - aritMéticaA 564 B 548 C 554
D 572 E 558
A S/ 197 B S/ 187 C S/ 203
D S/ 195 E S/ 193
En un salón hay 24 alumnos y en otro salón hay
31 alumnos. Si a cada alumno de uno de los
salones se le obsequia 12 caramelos, y a cada
alumno del otro salón se le obsequia 4 caramelos
menos. ¿Cuántos caramelos como máximo se
van a repartir en total?
19
Un avión lleva 275 pasajeros. En primera clase
viajan 82 personas y cada una pagó S/ 248; en
segunda clase viajaron 125 personas y cada una
pagó S/ 217. Descubre cuánto pagó cada persona
que viajó en tercera clase, si la recaudación total
fue S/ 60 177.
20
A 59 B 72 C 54
D 63 E 66
A S/ 43,60 B S/ 48,60
C S/ 44,60 D S/ 45,60
E S/ 46,60
A 64 m B 63 m C 62 m
D 60 m E 58 m
A 1254 B 1284 C 1238
D 1276 E 1268
En un salón de clase de primer grado, los alumnos
se sientan en carpetas de 7 alumnos cada una
observándose que en una de las carpetas hay
tres alumnos (no sobran carpetas vacías). Si los
trasladamos a otro salón donde solo hay carpetas
de 6 alumnos cada una, ocuparían una carpeta
adicional, calcula cuántos alumnos hay en dicho
salón de clase.
21
Un señor entra a una tienda comercial y compra
dos camisas de $ 38 cada una, un par de zapatos
a $ 129 y un pantalón a $ 76. Si el señor paga
con 5 billetes de S/ 200, ¿cuánto le dan de vuelto,
en soles, sabiendo que el local comercial cobra el
dólar a S/ 3,40?
23
Un confeccionista compró dos rollos de tela
gastando en el primer rollo S/ 806 y en el segundo
S/ 1443. Un metro de la segunda tela cuesta
S/ 8 más que un metro de la primera tela y, con
S/ 70 se puede comprar un metro de la primera tela
junto a un metro de la segunda tela. Halla cuántos
metros compró en total.
24
Un juego de niños consiste de una caja roja
dentro de la cual hay 7 cajas azules; en cada caja
azul hay 18 cajas verdes y en cada caja verde hay
9 cajas blancas. ¿Cuántas cajas hay en total?
22
5k – 12
4k – 12
26
26
Tema
Fracciones
El conjunto de los números racionales
Aspectos previos
Es un conjunto numérico cuyos elementos provienen de dividir dos números enteros y
se simboliza con la letra .
Ejemplos:
El conjunto de los números racionales es un conjunto denso, pues entre dos números
racionales encontraremos infinitos números racionales.
Ejemplos:
Entre el 0 y el 1 encontramos al número racional 0 + 12 =
1
2
0 1
2
1
Entre el 0 y 12 encontramos al número racional
0 + 1
2
2 =
1
4
0 1
4
1
2
Entre el 0 y 1
4
encontramos al número racional
0 + 1
4
2 =
1
8
0 1
8
1
4
Si seguimos con el proceso encontraremos infinitos números racionales entre el 0 y el 1.
Por otra parte, es necesario mencionar que el conjunto de los números racionales
contiene a los números enteros .
Número fraccionario
Como número racional, el conjunto de los números fraccionarios resultan de la división
indicada de dos números enteros, siempre y cuando esta división resulte inexacta y el
denominador sea diferente de cero.
Ejemplos:
/ a ∈ ; b ∈ ; b 0ab =
Import a nt e
Sea
p < q
Se afirma que:
p + p < q + p
2p < q + p
p <
q + p
2
También:
p + q < q + q
p + q < 2q
Entonces:
p < q + p
2
< q
Por esto, siempre
se puede encontrar
un número racional
entre otros dos, lo
que demuestra que
el conjunto es
denso.
2
0 1
8
1
4
1
2
1
5
4
; 9
15
; −16
9
; 27
−12
; −28
−8
; 8
−40
; −15
25
15
3
; 24
9
; −6
8
; 16
−9
; −5
−1
; 18
9
; 318
17
2
2
; 6
3
; 12
4
; 15
3
; −6
6
; 8
−4
; −15
5
; ...
p + q
2 < q
27
27MateMática Delta 2 - aritMética
Fracción o número quebrado
Son aquellos números fraccionarios cuyos términos de la división indicada son ambos
enteros positivos.
Ejemplos:
Como la fracción se ha usado y se usa como problema de reparto, los términos que
tiene son enteros positivos. Estos términos son llamados numerador y denominador;
así, una fracción se simbolizará como:
De forma práctica, en la fracción a
b
se tendrá en cuenta que:
• El denominador indica en cuántas partes iguales se divide cada unidad de referencia.
• El numerador representa las partes iguales que se eligen de cada unidad de referencia.
• La unidad de referencia es la que va a ser dividida en partes iguales; por ejemplo un
terreno, una herencia, dinero, mercadería, etc.
Ejemplo:
¿Qué significa la fracción 2
9
?
Suponiendo que la unidad de referencia es un terreno; entonces en la fracción 29 , el
denominador 9 indica que el terreno se va a dividir en nueve partes iguales, mientras
que el numerador 2 plantea que se debe elegir dos de las partes iguales.
Gráficamente tendremos:
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
2
9
f = ab , a
+ , b + y la división es inexacta.
a es el numerador.
b es el denominador.
• 15
3
no es fracción
porque al dividir 15
entre 3 se obtiene
5, el cual es un
número entero.
● La fracción no tiene
unidades de medida,
es abstracta,
solo podemos
interpretarla y hacer
operaciones con
ellas con respecto a
la misma unidad de
referencia.
Repa sa
Clasificación de las fracciones
Teniendo en cuenta la comparación del valor de sus términos, las fracciones se clasifican
en fracciones propias e impropias.
Fracción propia
Cuando el numerador es menor que el denominador, la fracción se denomina propia.
En general:
Sea la fracción a
b
, será propia si 0 < a < b.
Ejemplos:
Criterio 1
5
3
; 16
9
; 1
5
; 24
15
; 101
100
; 48
40
; 15
25
3
8
; 5
15
; 24
30
; 1
6
; 48
49
; 105
250
28
Ejemplo:
Calcula cuántas fracciones propias existen, que sean mayores que 57 y su denominador sea igual a 18.
Resolución:
La fracción buscada con denominador 18 es:
f = a18
Es propia a < 18
Es mayor que 57
a
18 >
5
7
7a > 90 ⇒ a > 12,9
Observamos que 12,9 < a < 18 a = 13; 14; 15; 16; 17
Las fracciones son:
Finalmente, se forman 5 fracciones.
a 13 14 15 16 17
a
18
13
18
14
18
15
18
16
18
17
18
Complemento de una fracción
Toda fracción propia tiene su complemento. El complemento de una fracción propia es
lo que le falta a esta para ser igual a la unidad.
En general:
Sea la fracción propia a
b
, su complemento se calcula como:
1 – ab =
b – a
b
Ejemplo 1
• Dada la fracción 7
10
, su complemento es 3
10
.
• En la fracción
3
5 , su complemento es
2
5 .
Ejemplo 2
Calcula el numerador de una fracción equivalente a
35
45 tal que la diferencia de sus
términos sea igual a 126.
Resolución:
• La fracción 35
45
es simplificada hasta obtener la fracción irreducible 7
9
; por
consiguiente la fracción buscada es 7k
9k
.
• La diferencia entre sus términos es 126.
9k – 7k = 126 k = 63
Numerador = 7(63) = 441
Denominador = 9(63) = 567
Finalmente, el numerador de la fracción buscada es 441.
• Para la fracción 7
10
,
su complemento es:
10 – 7
10 =
3
10
• Para la fracción 3
5
,
su complemento es:
5 – 3
5 =
2
5
Obse rva
29MateMática Delta 2 - aritMética
Ejemplos:
Fracción impropia
Cuando el numerador es mayor que el denominador, la fracción se denomina impropia.
En general: Sea la fracción ab , será impropia si
a
b > 1 ⇒ a > b
Ejemplos:
24
5 ;
12
7 ;
47
9 ;
34
3
Las fracciones impropias generan los números mixtos, llamados así porque tienen una
parte entera y otra parte en fracción propia, siendo la suma de estas dos partes igual a la
fracción impropia.
Sea el número mixto
a b
c
, se cumple que:
a
b
c = a +
b
c
=
a × c + b
c
Ejemplos:
• 445 =
4 × 5 + 4
5 =
24
5
• 5 29 =
5 × 9 + 2
5 =
47
9
Not a
Teniendo en cuenta su denominador, las fracciones pueden ser fracción decimal u
ordinaria.
Fracción decimal
Son aquellas fracciones cuyo denominador es una potencia de 10.
Ejemplos:
Fracción ordinaria
Son aquellas fracciones cuyo denominador no es una potencia de 10.
Ejemplos:
Las fracciones
decimales facilitan
enormenteel cálculo
de las adiciones o
multiplicaciones de
fracciones.
Incluso, el convertir
una fracción decimal
a número decimal es
muy sencillo.
Por ejemplo:
• 5
10
= 0,5
• 26
100
= 0,26
• 47
1000
= 0,047
Not a
Criterio 2
Algunos conjuntos de fracciones no equivalentes, se pueden clasificar en fracciones
homogéneas o fracciones heterogéneas, de acuerdo al denominador que presenten.
Fracciones homogéneas
Son aquellas fracciones cuyos denominadores son de igual valor.
Ejemplos:
5
8 ;
7
8 ;
1
8 ;
26
8 ;
46
8
Fracciones heterogéneas
Son aquellas fracciones cuyos denominadores son diferentes.
Ejemplos:
5
3 ;
24
7 ;
9
10 ;
45
22 ;
28
200
Criterio 3
1
10 ;
3
100 ;
24
1000 ;
16
10 000 ;
24
10
; 45
1000
; 1525100
2
5 ;
3
200 ;
18
300 ;
24
7 ;
37
45
; 126
4000
; 16300
• 24
5
= 4 + 4
5
= 4 4
5
• 12
7
= 1 + 5
7
= 1 5
7
30
Luego:
3
4
; 6
8
; 9
12
; 12
16
; 15
20
; ... ; 3k
4k
son fracciones equivalentes, donde 3k
4k
representa de
forma general a cualquiera de las fracciones equivalentes a 3
4
.
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Simplifica la fracción 540
720
.
Luego, 540
720
; 270
360
; 180
240
; 135
180
; ... ; 3
4
son fracciones equivalentes, donde 3
4
representa
una fracción irreductible.
540 ÷ 2
720 ÷ 2 =
270
360
540 ÷ 3
720 ÷ 3 =
180
240
540 ÷ 4
720 ÷ 4 =
135
180
540 ÷ 180
720 ÷ 180 =
3
4
Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:
5
9
; 3
8
; 5
12
; 1
6
; 7
18
; 3
4
Resolución:
1.° Homogeneizamos los denominadores de las fracciones mostradas, para ello
buscamos el común denominador, calculando el mínimo común múltiplo de 9; 8;
12; 6; 18 y 4.
MCM(9; 8; 12; 6; 18; 4) = 72
Resolución:
Resolución:
Cuando una fracción
se ha simplificado
hasta que sea
irreducible, a esta
última se dice que
es su representante
canónico.
Ejemplo:
Son equivalentes
y tienen como
representante
canónico a 34 .
15
20
; ; ;18
24
21
28
27
36
Recu e rda
Amplificación y simplificación de fracciones
Amplificar una fracción consiste en multiplicar su numerador y denominador por el
mismo número entero positivo. Cada vez que se amplifica una fracción, se obtiene una
fracción equivalente a la inicial.
Simplificar una fracción consiste en dividir su numerador y su denominador por el
mismo entero positivo; solo se pueden simplificar aquellas fracciones en las que su
numerador y denominador son divisibles por el mismo entero positivo. Al simplificar
completamente una fracción se obtiene una fracción irreducible.
Ejemplo 1
Amplifica la fracción 3
4
.
3 × 2
4 × 2 =
6
8
3 × 3
4 × 3 =
9
12
3 × 4
4 × 4 =
12
16
3 × 5
4 × 5 =
15
20
3 × k
4 × k =
3k
4k
3
4
Las fracciones
equivalentes
representan la misma
parte de una unidad
de referencia.
Ejemplo:
Import a nt e
1
2
2
4
4
8
1
2 =
2
4 =
4
8
31MateMática Delta 2 - aritMética
54
72
40
72
28
72
30
72
27
72
12
72> >> > >
3
4
5
9
5
12
3
8
1
6
5 × 8
9 × 8
3 × 9
8 × 9
5 × 6
12 × 6
1 × 12
6 × 12
7 × 4
18 × 4
3 × 18
4 × 18; ; ; ; ;
40
72
27
72
30
72
12
72
28
72
54
72
3.° Ordenando de mayor a menor tendremos:
Not a
Para establecer la
relación de orden
entre las fracciones
a
b y
c
d , algunos
recurren a
homogeneizar así:
a × d
b × d
c × b
d × b
Ejemplo:
5
8
7
12 ?¿
5 × 12
8 × 12
7 × 8
12 × 8
60
8 × 12
56
12 × 8>
7
18
5 × 60
6 × 60 ;
3 × 45
8 × 45 ;
2 × 40
9 × 40 ;
15 × 90
4 × 90 ;
13 × 9
40 × 9
300
360 ;
135
360 ;
80
360 ;
1350
360 y
117
360 son las fracciones homogeneizadas.
Incluso se pueden ordenar de forma creciente:
80
360
117
360
135
360
300
360
1350
360 < < < <
2
9
13
40
3
8
5
6
15
4
Operaciones entre fracciones
Adición y sustracción
• Cuando tienen el mismo denominador:
Se suman o restan los numeradores (según el signo de la operación) y se escribe
el mismo denominador.
Ejemplo 1
Repa sa
La homogeneización
de fracciones permite
sumar fracciones de
forma rápida; incluso
establece la relación
de orden que hay
entre dos fracciones.
Por ejemplo, sean las
fracciones 5
6
y 3
8
homogeneizando se
tiene:
5 × 4
6 × 4
3 × 3
8 × 3
=
=
+
=
=
=
5
6
3
8
5
6
3
8
20
24
9
24
29
24
Entonces:
Además:
5
6
20
24
>
> .porque
3
8
9
24
Homogeneización de fracciones
Cualquier conjunto de fracciones heterogéneas puede ser convertido a un conjunto de
fracciones homogéneas utilizando la amplificación de fracciones.
Ejemplo:
Homogeneiza las siguientes fracciones 5
6
; 3
8
; 2
9
; 15
4
y 13
40
.
Resolución:
Para lograr esta homogeneización, amplificaremos las fracciones hasta conseguir un
denominador común. Este común denominador se puede obtener calculando el mínimo
común múltiplo de los denominadores.
MCM(6; 8; 9; 4; 40) = 360
Luego:
2.° Amplificamos las fracciones hasta obtener denominador 72.
Finalmente, ordenando: 3
4
; 5
9
; 5
12
; 7
18
; 3
8
; 1
6
.
4
15
+
7
15
−
2
15
+
11
15
=
4 + 7 – 2 + 11
15
=
20
15
=
4
3
32
40
• Cuando tienen distinto denominador:
Se homogeneizan las fracciones; después se suman o restan los numeradores
(según el signo de la operación) y se escribe el mismo denominador.
Ejemplo:
En el cumpleaños de Ana se dividió una torta en varias partes iguales. Ana se
comió
1
12
de torta, Luisa se comió 2
12
de torta, Pedro se comió 3
12
de torta y Carlos
se comió 4
12
de torta. ¿Qué fracción de torta quedó?
Resolución:
Observamos que la torta fue dividida en 12 partes iguales, como muestra la imagen.
3
8
5
12
1
6
7
16
25
48
3 × 6
48
5 × 4
48
7 × 3
48
1 × 8
48
18 + 20 + 8 – 21
48
+ + + –+ = =– =
Las partes coloreadas son las que se han comido: 10
12
Por consiguiente, queda 2
12
de torta.
MCM(8; 12; 6; 16) = 48
Multiplicación de fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto
de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Sin
embargo, se recomienda simplificar con el fin de agilizar las operaciones.
Ejemplos:
b) Calcula los 3
5
de los 7
10
de los 8
9
de S/ 360.
25
8
14
45
18
35
= = =
25 × 14 × 18
8 × 45 × 35
5 × 2 × 9
4 × 9 × 5
1
2
4
5
9
2
5
9
3
5
7
10
8
9 360
3 × 7 × 8 × 360
5 × 10 × 9
= S/ 134,40
=
A L
L
P
P
P
CC
C
C
¿Sa bía s qu e.. .?
¿Cómo
representaban
los egipcios las
fracciones?
Ellos tenían una
curiosa manera
de representar las
fracciones.
• Solían utilizar
fracciones unitarias,
es decir fracciones
de numerador.
1. Tan solo
existían algunas
excepciones como
2
3
.
• No podían escribir
directamente, por
ejemplo 3
4
. En su
lugar realizan la
descomposición:
Y además usaban
fracciones unitarias
no repetidas, por
ejemplo, no se
admitía:
3
4 =
1
2 +
1
4
3
4 =
1
4 +
1
4 +
1
4
×
× × ×
×
2
1
1
1
1
1
1
4
1
Ejemplo 2
a)
33MateMática Delta 2 - aritMética
Ejemplos:
b) Si los 3
8
de una fracción es igual a 15
28
, calcula dicha fracción.
Sea la fracción buscada N, se cumple que:
3
8
15
28
15
28
15
28
10
7
N N N
N
= = =
=
3
8
8
3÷
Potenciación de fracciones
Se eleva a la potencia solicitada tanto al numerador como al denominador de la fracción.
• •
• •
• •
• •
3
4
32
42
2
=
2
5
23
53
3
=
5
4
54
44
4
=
3
4
3
4
3
4
2 4 6
× =
3
4
3
4
3
4
8 3 5
÷ =
3
4
3
4
2 105
=
División de fracciones
Para dividir una fracción a
b
entre otra fracción c
d
, se multiplica la fracción que hace de
dividendo por la fracción inversa de la fracción que hace de divisor. Es decir:
2
5
5
2
53
23
–3 +3
= =
4
3
3
4
35
45
–5 +5
= =
× ×
5
7
2
1
64
45
45
64
16
15
16
15
3
4÷
= ==
16 × 45
15 × 64×
1
1
3
4
a
b
a
b
a
b
n m
n + m
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
n m
n n × m
m
n – m
=
a
b
b
a
bn
an
–n +n
=
=
donde: n ∈
×
÷
Producto de
potencias con la
misma base
División de
potencias con la
misma base
Potencia de una
potencia
Potenciade
exponente
negativo
a) Reducir: 16
15
÷ 64
45
.
a
b
÷
c
d
=
a
b
×
d
c
a
b
n
=
an
bn
; n ∈
Ejemplos:
34
Se tiene un turrón de la forma que muestra la figura. Si el
pedazo faltante (parte sombreada) se vendió en S/ 13,50,
calcula cuánto costará el turrón entero.
Hemos dividido el turrón de valor S/ N en 30 partes iguales.
Podemos afirmar que:
4
30
13,50 × 30
4× N = S/ 13,50 N =
N = 101,25
Rpta. Finalmente, el turrón entero costará S/ 101,25.
Determina cuántas fracciones impropias existen, que sean menores que 13
4
y su
numerador sea igual a 24.
Resolución:
La fracción buscada con numerador 24 es:
f = 24b
Es impropia 24 > b
Es menor que 134
24
b <
13
4
24 × 4
13 < b 7,4 < b
Observamos que 7,4 < b < 24 b = 9; 10; 11; 13; 14; ...; 23
Las fracciones son:
Rpta. Finalmente, se
forman 14 fracciones.
b 9 10 11 13 14 ... 23
24
b
24
9
24
10
24
11
24
13
24
14
24
23
La fracción a
b
es
impropia cuando:
a > b
Nota que b ≠ 8;12,
porque no puede
obtenerse un número
entero.
24
8 = 3
24
12 = 2
Resolución:
Juan y María mezclan café de Colombia,
café de Brasil, café de Guinea y café de
Venezuela en paquetes de 1 kg. Observa la
fracción de kilogramos que utilizan de cada
tipo de café y halla la fracción de kilogramos
que representa el café de Colombia utilizado
en la mezcla A y en la mezcla B.
En la mezcla A, calculamos qué fracción representa los kilogramos de café que
tenemos entre Brasil, Guinea y Venezuela.
Rpta. El café de Colombia en la mezcla A es
1
20
de kg.
En la mezcla B, realizamos un procedimiento similar.
Rpta. Por el complemento, el café de Colombia en la mezcla B es 61
120
de kg.
1
8
1
5
1
6
= =++ =
1 × 15
120
kg
1 × 20
120
1 × 24
120
15 + 24 + 20
120
59
120
+ +
1
2
1
4
1
5
= =++ =
1 × 10
20
19
20
kg1 × 4
20
1 × 5
20
10 + 5 + 4
20+ +
Resolución:
MCM(8; 5; 6) = 120
MCM(2; 4; 5) = 20
Ejercicios resueltos
35MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta. Rpta.
Si a la cuarta parte de los 2
5
de un número, se le
agrega los 2
5
de sus 3
8
y se resta los 3
8
de su quinta
parte, se obtiene 21. Luego a los 5
8
de los 5
9
de otro
número, se le agrega los 3
4
de sus 7
18
, obteniéndose
345. ¿Cuánto es la suma de ambos números?
Resolución:
Si a la quinta parte de los 3
4
de un número, se
le agrega los 3
4
de sus 5
8
, se obtiene 396. Luego
a los 5
3
de los 7
18
de otro número, se le agrega
los 2
9
de sus 5
4
, obteniéndose 175. ¿Cuánto es la
suma de ambos números?
Resolución:
Observa que está dividido
en 7 partes iguales de las
cuales se han escogido 4.
Entonces, dicho gráfico se
puede expresar a través de
la fracción:
4
7
donde:
- 4 es el numerador
(n.° de partes escogidas)
- 7 es el denominador
(n.° total de partes)
F. propias: 2
7
; 15
40
; etc.
F. impropias: 11
6
; 35
21
; etc.
F. homogéneas: 2
15
; 6
15
; 11
15
F. heterogéneas: 1
14
; 2
19
; 5
20
Ejemplo:
El complemento de 3
8
es 5
8
porque: 3
8
+ 5
8
= 1
Por amplificación
Por simplificación
Fracción Clasificación
Complemento de una fracción
Fracciones equivalentes
Operaciones entre fraciones
Se tiene el gráfico:
Adición y sustracción
Pasos:
1.° Homogeneiza las fracciones.
2.° Resuelve.
Ejemplo: 5
6
– 3
4
+ 1
8
MCM(6; 4; 8) = 24
5
6
= 20
24
; 3
4
= 18
24
; 1
8
= 3
24
Entonces:
20
24
– 18
24
+ 3
24
= 5
24
Multiplicación
Ejemplo:
25
8
× 12
24
× 9
21
× 21
5
= 45
16
División
Equivale a multiplicar el
dividendo por el inverso del
divisor.
Ejemplo:
2
5
÷ 8
15
= 2
5
× 15
8
= 3
4
1
1
3
4
Modela y resuelve
Síntesis
36
3 4Un empresario observa que ha perdido los 4
9
de su
inversión; con lo que aún tiene vuelve a invertir y
pierde los 2
7
de su nueva inversión. Si luego de esto
aún le queda S/ 420, calcula cuánto dinero perdió.
Resolución:
5 6Demetrio ha consumido los 5
12
de una bolsa de
leche, y los 718 de otra bolsa de igual volumen que
el anterior. Determina qué parte del volumen total
de leche ha consumido Demetrio.
Resolución:
Jorge ha consumido los 2
5
de una bolsa de leche,
y los 3
4
de otra bolsa de leche de igual volumen
que el anterior. Determina qué parte del volumen
total de leche ha consumido Jorge.
Resolución:
Un empresario observa que ha perdido los 2
5
de su
inversión; con lo que aún tiene vuelve a invertir y
pierde los 38 de su nueva inversión. Si luego de esto
aún le queda S/ 420, calcula cuánto dinero perdió.
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
37MateMática Delta 2 - aritMética
9 10
7 8Un cilindro tiene aceite hasta los 2
3
de su capacidad;
si se añaden 60 litros más, entonces estaría lleno
hasta sus 4
5
. Halla la capacidad del cilindro.
Resolución:
El profesor Martínez dispone sus ingresos
mensuales de la siguiente manera: los 5
12
para
alimentación; 1
5
en alquiler de una habitación, 3
8
en
cubrir sus pasajes, y los S/ 48 restantes los ahorra.
Encuentra a cuánto asciende el gasto mensual del
profesor Martínez.
Resolución:
El profesor Jiménez dispone sus ingresos
mensuales de la siguiente manera: los 2
9
para
alimentación; 1
4
en alquiler de una habitación,
2
15
en cubrir sus pasajes, y los S/ 568 sobrantes
los ahorra. Encuentra a cuánto asciende el gasto
mensual del profesor Jiménez.
Resolución:
Un cilindro tiene aceite hasta los 5
9
de su capacidad;
si se añaden 65 litros más, entonces estaría lleno
hasta sus 7
10
. Halla la capacidad del cilindro.
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
38
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
11
13
12
14
Un comerciante compró mercaderías que luego
vendió, ganando los 2
5
de su inversión. Con lo
que tenía volvió a comprar mercadería y vendió,
esta vez ganó los 3
8
de lo que invirtió; viendo que
era bueno el negocio invirtió lo que tenía y perdió
los 2
5
de lo que invirtió esta vez, quedándose con
S/ 9240. Descubre cuánto dinero ganó en la
primera inversión.
Resolución:
Andrés y Braulio pueden tarrajear una pared en
6 días; Andrés y Carlos lo pueden hacer en 4 días;
mientras que si trabajan los tres juntos la pared se
tarrajea en 3 días. Calcula en cuántos días podrá
tarrajear la pared Andrés, si trabaja solo.
Resolución:
Un comerciante compró mercaderías que luego
vendió, ganando 1
8
de su inversión. Con lo que
tenía volvió a comprar mercadería y vendió, esta
vez ganó los 3
7
de lo que invirtió; viendo que era
bueno el negocio invirtió lo que tenía y perdió
los 3
5
de lo que invirtió esta vez, quedándose
con S/ 7200. Descubre cuánto dinero ganó en la
primera inversión.
Resolución:
Antonio y Bernardo pueden cavar una zanja en
8 días; Antonio y César lo pueden hacer en 6 días,
mientras que si trabajan los tres juntos, la zanja se
realiza en 4 días. Calcula en cuántos días podrá
cavar la zanja, si Antonio trabaja solo.
Resolución:
39MateMática Delta 2 - aritMética
A S/ 7200 B S/ 4320
C S/ 7560 D S/ 5760
E S/ 3780
He gastado los 2
5
de mi dinero. Si en lugar de los 2
5
hubiese gastado los 3
8
, tendría 252 soles más de lo
que tengo. Calcula cuánto me quedaría, si en lugar
de gastar los 2
5
de mi dinero gastaba los 3
7
.
Se compra un número par de naranjas. Si se
vende la cuarta parte quedan menos de 118
por vender, pero si se vendiera la sexta parte,
quedaría más de 129 por vender. Determina
cuántas naranjas me quedan, si vendí los 3
4
.
A Eva le quedan los 2
3
de los 4
5
del dinero que le
dio su padre, y a Norma la mitad de los 5
6
de los
3
7
del dinero que le dio su tío. Si Eva gastó S/ 56
y Norma S/ 69, halla cuánto dinero más le queda
a una que a la otra.
Pepe gastó la tercera parte de su propina en revistas
y los tres sétimos del resto de su propina en un día
de paseo. De este modo observa que ha gastado
S/ 78; encuentra cuántodinero le está sobrando.
A 34 B 38 C 35
D 39 E 43
A S/ 52 B S/ 54 C S/ 56
D S/ 48 E S/ 64
A S/ 49 B S/ 48 C S/ 36
D S/ 52 E S/ 56
Practica y demuestra
Nivel I
40
A 6 B 7 C 8
D 9 E 10
Encuentra cuántas fracciones propias, mayores
que 5
8
, existen cuyo denominador sea 24.
10
6. En un colegio de 124 alumnos se han gastado
en alimentación S/ 2790 durante los 5 días
de una semana de clases. Si en una semana
no asistieron la cuarta parte de los alumnos y
hubieron dos días feriados, descubre cuánto se
gastó en alimentación.
5
Al contar a las personas que viven en un
condominio, se observa que la quinta parte del
número de hombres es igual a los 5
8
del número
de mujeres. Si hay 136 hombres más que mujeres,
calcula cuántas personas viven en el condominio.
6
En un recipiente, la parte que está vacía representa
los 3
4
de lo que está lleno. Si se extrae los 4
7
de
lo que no se extrae quedando solo 28 litros.
Determina la capacidad del recipiente.
7
Se compran dos latas de leche para el desayuno. Si
de la primera lata se consume la cuarta parte y de la
segunda se consume los tres quintos, halla qué parte
del total de la leche comprada falta por consumir.
8
A S/ 1255,50 B S/ 1225,50
C S/ 1268,50 D S/ 1275,50
E S/ 1248,50
A 3430 m2 B 3280 m2
C 3520 m2 D 3340 m2
E 3480 m2
Se tiene un terreno para sembrío que se recibió
como herencia. De tal terreno se regalan los 2
5
, en
los 2
7
de lo que aún queda se siembra hortalizas y
en el resto frutas. Si la diferencia entre lo que se
ha sembrado de frutas y hortalizas es de 2205 m2,
determina cuántos metros cuadrados del terreno
se han regalado.
9
A 308 B 220 C 248
D 352 E 264
A 66 L B 77 L C 55 L
D 56 L E 63 L
A 7
20
B 13
40
C 23
20
D 13
20
E 23
40
F H
41MateMática Delta 2 - aritMética
Descubre cuántas fracciones impropias menores
que 4
3
se formarán, tales que su denominador
sea 12.
11
Los términos de una fracción propia se diferencian
en 1. Si a la fracción se le agrega una unidad, se
observa que el numerador aumenta en 6 unidades.
Calcula la suma de los cuadrados de los términos
de dichas fracciones.
12
Determina cuántas fracciones impropias existen,
tales que su numerador sea 30.
13
Halla la diferencia de los términos de la fracción
equivalente a 91
65
, en la cual se cumple que la
suma de los cuadrados de sus términos es 666.
14
A 5 B 4 C 8
D 7 E 6
A 54 B 56 C 60
D 61 E 63
A 6 B 4 C 3
D 2 E 5
A 24 B 22 C 16
D 20 E 18
A 72 B 74
C 76 D 80
E 82
Se ha observado que los 3
8
del personal de una
empresa son varones, de los cuales 2
3
de ellos
son casados. Si los 5
6
de las damas son casadas,
encuentra cuántas personas son casadas en
dicha empresa, si se sabe que el número de
personas solteras es 22.
16
A 1384 kg B 1392 kg
C 1376 kg D 1364 kg
E 1356 kg
Un reservorio de agua lleno hasta sus 3
4
partes
pesa 1038 kg, y lleno hasta sus 5
8
pesa 865 kg.
¿Cuál es el peso del recipiente lleno en toda su
capacidad?
15
Nivel IINivel II
42
A S/ 256 B S/ 248 C S/ 236
D S/ 232 E S/ 240
Si me debían los 3
8
de S/ N y me pagaron los 3
4
de
los 5
14
de S/ N resulta que aún me deben S/ 96.
Descubre cuánto me pagaron.
17 Halla cuántas fracciones propias pero reducibles
existen, cuyo denominador sea 18.
20
A 11 B 10 C 13
D 12 E 14
A 198 B 210 C 232
D 260 E 245
A 142 B 148 C 145
D 140 E 138
Calcula la suma de los numeradores de todas
aquellas fracciones propias, reducibles con
denominador 36 y que sean mayores que 2
3
.
18
Determina la suma de los denominadores de
todas aquellas fracciones impropias y reducibles
cuyo numerador sea 24.
19
A 10 B 11 C 12
D 13 E 14
A 8 B 12 C 11
D 10 E 9
A 248 B 254 C 250
D 256 E 287
Encuentra cuántas fracciones impropias e
irreductibles existen, cuyo numerador sea 36.
21
Calcula cuántas fracciones impropias pero
reductibles existen, cuyo numerador sea 24.
23
Descubre la suma de los numeradores de todas
aquellas fracciones propias, reductibles con
denominador 42 y que sean mayores que 5
7
.
22
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
43MateMática Delta 2 - aritMética
Test n.° 1
La profesora Doris dispone de sus ingresos
mensuales de la siguiente manera: los
2
7 en
alquiler de una habitación;
1
4
en comida;
1
9
en pasajes;
1
18
en pago de servicios y los
S/ 750 restantes los ahorra. Halla a cuánto
asciende el gasto mensual de la prof. Doris.
Se ha observado que los
4
9
del personal
de una empresa son varones, de los cuales
3
4
de ellos son casados. De las mujeres
4
5
son casadas. Descubre cuántas personas
son casadas en dicha empresa, si se sabe
que el número de personas solteras es 16.
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Halla la suma de los términos de una fracción
equivalente a 4
9
y además cumpla que la suma de
los cuadrados de sus términos sea igual a 3492.
5
Un cilindro tiene agua hasta los 5
8
de su capacidad;
si se añaden 50 litros más, entonces estaría lleno
hasta sus 5
7
. Calcula la capacidad del cilindro.
4
2
6
Los términos de una fracción impropia se
diferencian en 3. Si a la fracción se le agrega tres
unidades, se observa que el numerador aumenta
en 12 unidades. Encuentra la diferencia de los
cuadrados de los términos de dicha fracción.
3
C D
BA
1116
215
C D
BA
560 L580 L
480 L540 L
C D
BA
624
7854
C D
BA
6056
5472
C D
BA
S/ 1770S/ 1870
S/ 1520S/ 2520
¿Cuánto le falta a los
3
5
de los
5
9
de 15, para ser
igual a los
2
3
de los
7
4
de 18?
1
A B
DC
33
16
49
65
44
Un avión lleva 250 pasajeros. En primera clase
viajan 70 personas y cada uno pagó S/ 200;
en segunda clase viajaron 100 personas y
cada una pagó S/ 150. Determina cuánto pagó
cada persona que viajó en tercera clase, si la
recaudación total fue S/ 37 000.
11
Un anciano deja al morir a cada uno de sus
hijos S/ 5680. Habiendo fallecido uno de ellos,
la herencia de este se repartió entre los demás,
entonces cada uno recibió un total de S/ 6816.
¿Cuánto era la fortuna del anciano?
12
Un comerciante recibió un cargamento de
18 cajas de cartón con dos docenas de
cuadernos cada una. El dueño de tal
cargamento pagó S/ 2,50 por cada cuaderno
¿Cuánto será el costo del cargamento?
9
Un comerciante compró cierta cantidad de
lavadoras a S/ 500 cada una. Luego de
venderlas todas recibe S/ 2 1500, ganando
en total S/ 4000. Encuentra cuántas lavadoras
había comprado.
8
C D
BA
S/ 2364S/ 2464
S/ 2354S/ 2264
C D
BA
S/ 499S/ 498
S/ 509S/ 496
C D
BA
3435
3637
C D
BA
S/ 1100S/ 1050
S/ 1080S/ 1180
C D
BA
S/ 34 080S/ 34 800
S/ 34 060S/ 35 080
C D
BA
S/ 96S/ 100
S/ 98S/ 99
Un hospedaje cobra durante los primeros 5 días
S/ 48 diarios por persona y, a partir del sexto día,
reduce su tarifa a S/ 39 diarios por persona. Halla
cuánto gastarán 4 personas que piensan pasar
2 semanas en dicho hospedaje.
7 Un empleado ha sido contratado por 12 meses,
tiempo por el cual se le ha ofrecido pagar
S/ 14 453 y una tablet. Cumplido los siete meses,
el empleado renunció al trabajo, y recibió como
pago S/ 8223 y la tablet. Calcula en cuánto está
valorizada la tablet.
10
Tema
45MateMática Delta 2 - aritMética
Números decimales
3
Fracción generatriz
Se denomina fracción generatriz de un decimal racional a la fracción irreductible que dio
origen a dicho número decimal.
Procedimiento para determinar la fracción generatriz que dio origen al decimal racional.
Decimal exacto a fracción
Escribimos como numerador el número decimal sin la coma decimal, y con denominador
una potencia de 10 la cual tendrá tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.
Ejemplos:
• 0,54 = 54
100
= 27
50
Entonces 2750 es la fracción generatriz.
• 0,006 = 61000 =
3
500 Entonces
3500 es la fracción generatriz.
• 2,464 =
2464
1000
= 308
125
Entonces
308
125
es la fracción generatriz.
Decimal inexacto periódico puro a fracción
Se escribe como numerador el número dado sin la coma decimal restándole la parte
entera (si tuviera) y como denominador un número formado por cifras nueve, tantos
nueves como cifras tenga el periodo.
Ejemplos:
• 0,45 =
45
99 =
5
11 es la fracción generatriz.
• 2,304 = 2304 – 2999 =
2302
999 es la fracción generatriz.
También 2,304 = 2 + 0,304 = 2 + 304999 = 2
304
999
• 34,2 = 342 – 349 =
308
9 es la fracción generatriz.
Decimal inexacto periódico mixto a fracción
Se escribe como numerador al número decimal, sin la coma decimal, restado con la
parte entera seguida de la parte decimal no periódica y como denominador un número
formado por tantas cifras nueve como cifras tenga el periodo multiplicado por una
potencia de 10 con tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.
Ejemplos:
• 0,426 = 0426 – 04
99 10
= 422
990
= 211
495
• 1,86 =186 – 18
9 × 10
=168
90
= 28
15
• 6,590 = 6590 − 65
99 × 10
= 6525
990
=145
22
También:
2,464 = 2 + 0,464
= 2 + 4641000
= 2 58125
También:
34,2
34 + 0,2 = 34 + 29
= 34 29
También:
6,590 = 6 + 0,590
= 6 + 590 – 599 × 10
= 6 + 585990
= 6 1322
También 1,86 = 1 + 0,86
= 1 + 86 – 89 × 10
= 1 + 1315
= 1 1315
= 1 + 7890
Obse rva
46
46
Operaciones con números decimales
Adición y sustracción de números decimales
Se colocan los números decimales exactos en columna haciendo coincidir las comas;
después se suman como si fuesen números naturales y se pone en el resultado la
coma bajo la columna de las otras comas.
Criterio para determinar si una fracción genera decimal exacto o periódico
A. Una fracción irreducible genera un decimal exacto, si el denominador tiene como
únicos factores primos alguna potencia de 2 y/o de 5.
B. Una fracción irreductible genera un decimal periódico, si en la factorización prima
del denominador aparece un factor primo distinto a una potencia de 2 y/o de 5.
La justificación de estas reglas radica en el hecho de que el sistema de numeración en
el cual estamos trabajando es el decimal, y los factores primos de 10 son 2 y 5.
Ejemplos:
● 7
8
El denominador 8 = 23, según A genera un decimal exacto.
Además 23 está contenido en 103, por lo tanto, tendrá 3 cifras decimales.
● 8
25
El denominador 25 = 52, según A genera un decimal exacto.
Además 52 está contenido 102, por lo tanto, tendrá 2 cifras en la parte decimal.
● 13
80
El denominador 80 = 24 × 51, según A genera un decimal exacto.
Además 24 × 51 está contenido en 104, por lo tanto, tendrá 4 cifras en la parte
decimal.
● 7
11
El denominador 11 no tiene factor primo 2 ni 5, según B genera un decimal
periódico.
Además 11 está contenido en 99, por lo tanto, el periodo tendrá dos cifras
decimales.
● 24
37
El denominador 37 no tiene factor primo 2 ni 5, según B genera un decimal
periódico. Además 37 está contenido en 999, por lo tanto, el periodo tendrá
tres cifras decimales.
● 13
150
El denominador 150 = 31 × 52 × 21 presenta al 3 un factor primo distinto de
2 y de 5, según B genera un decimal periódico mixto.
Además 3 está contenido en 9, por lo tanto, el periodo tendrá una cifra
decimal, mientras que 52 × 21 está contenido en 102 y va a generar 2 cifras
decimales en la parte no periódica.
● 27
404
El denominador 404 = 101 × 22 presenta al 101 un factor primo distinto de
2 y 5, según B genera un decimal periódico mixto.
Además 101 está contenido en 9999, por lo tanto, el periodo tendrá cuatro cifras
decimales, mientras que 22 está contenido en 102 y va a generar 2 cifras decimales
en la parte no periódica.
Comprobamos:
7
8
= 0,875
8
25
= 0,32
13
80
= 0,1625
7
11
= 0,63
24
37
= 0,648
13
150
= 0,086
27
404
= 0,066831
Obse rva
47
47MateMática Delta 2 - aritMética
Ejemplo:
2,476 + 24,35 + 0,0368
• Para restar dos números decimales exactos, se colocan en columna haciendo
coincidir las comas; después se completan con ceros para que ambos tengan igual
cantidad de cifras decimales, enseguida se restan como si fuesen números naturales
y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.
• Para sumar o restar números decimales exactos, combinado con decimales
repetitivos, se colocan en columna haciendo coincidir las comas y escribiendo el
periodo una sola vez; después se identifica el número que tenga la mayor cantidad
de cifras decimales repetitivos o no. Enseguida se completan con ceros si es decimal
exacto, y repitiendo el periodo un mínimo de dos veces. Se suman los decimales
y en el resultado de la «última cifra decimal» se realiza la operación pero deja el
casillero vacío para después completar con los tres puntos suspensivos.
Resolución:
Podemos sumar y luego, a esta suma, restamos el decimal que aún queda.
Resolución:
1.° Sumamos.
Ejemplo:
19,29 – 24,35847 + 20,036
Ejemplo 1
9,47 – 24,898 + 32, 03768
Resolución:
Ordenamos en columna, y completamos con ceros.
2 , 4 7 6 0 +
2 4 , 3 5 0 0
0 , 0 3 6 8
2 6 , 8 6 2 8
1 9 , 2 9 0 +
2 0 , 0 3 6
3 9 , 3 2 6
3 9 , 3 2 6 0 0 –
2 4 , 3 5 8 4 7
1 4 , 9 6 7 5 3
2.° Restamos 24,898 de 41,50768.
Por lo tanto el resultado es 16,60878.
9 , 4 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+ 3 2 , 0 3 7 6 8 7 6 8 7 6 8
4 1 , 5 0 7 6 8 7 6 8 7 6 • • •
4 1 , 5 0 7 6 8 7 6 8 7 6 8
– 2 4 , 8 9 8 8 9 8 8 9 8 8 9
1 6 , 6 0 8 7 8 8 7 8 8 7 • • •
En la actualidad, ya
se reconoce que,
en matemáticas, el
número decimal:
0,999... es igual a 1.
Es decir, que hay
números reales que
tienen más de una
expresión decimal.
Esto ocurre cuando
un decimal repetitivo
o inexacto periódico,
presenta como
periodo al dígito 9.
Ejemplos:
• 1,4999... = 1,5
• 3,46999... = 3,47
• 2,999... = 3
Este hecho no
es exclusivo del
sistema decimal.
Si trabajamos en el
sistema binario, es
igualmente sencillo
comprobar que:
0,111...(2) = 1
¿Sa bía s qu e.. .?
48
Finalmente, las medias en salto largo y alto son 5,1 m y 1,375 m, respectivamente.
En un colegio se han seleccionado algunos
estudiantes para participar en unos concursos
de salto largo y salto alto. El cuadro muestra
quiénes son los estudiantes clasificados.
Calcula la media (en metros) que ha
conseguido el grupo clasificado en salto largo
y alto.
La media en el salto largo será x = ⇒ x = = 5,1
Ejemplo 2
Resolución:
Ejemplo 2
Clasificados Salto largo Salto alto
Inés 5,25 1,25
Jorge 4,90 1,50
Adela 5,10 1,35
Marcela 5,15 1,40
5,25 + 4,90 + 5,10 + 5,15
4
20,4
4
Multiplicación de dos números decimales
Para multiplicar dos números decimales exactos, se efectúa la operación como si fuesen
números naturales y en el producto, a partir de la última cifra y hacia la izquierda, se
separan tantas cifras decimales como cifras decimales tengan entre los dos factores.
Ejemplo:
8,57 × 0,395
Resolución:
Se cuentan en total 5 cifras decimales.
Ahora multiplicamos 857 × 395 = 338515
Luego, 8,57 × 0,395 = 3,38515
Para multiplicar números decimales donde hay decimales repetitivos, se convierten los
decimales a fracción generatriz y se realiza la operación con fracciones.
Ejemplo 1
13,8 × 0,39
Resolución:
138
10
×
36
90
=
276
50 = 5,52
La media en el salto alto será y = ⇒ y = = 1,375
1,25 + 1,50 + 1,35 + 1,40
4
5,5
4
69
5
4
10
Un tráiler transporta 7 bloques de mármol de 1,32 toneladas cada uno y 13 vigas de
hierro de 0,57 toneladas cada una. Calcula el total de toneladas que transporta el tráiler.
Resolución:Tenemos 7 bloques de 1,32 toneladasbloque
⇒ Peso de mármol = 7 × 1,32 = 9,24 t
Ejemplos:
2 = 1,4142...
3 = 1,7320...
π = 3,14159...
e = 2,71828...
5 = 1,7099..
Todos son decimales
inexactos no
repetitivos.
3
Los números
irracionales
Son aquellos que no
se pueden obtener
de la división de dos
números enteros (no
son racionales).
Entre ellos tenemos
a los números
algebraicos y
a los números
trascendentes. Estos
números aparecen
continuamente al
modelar fenómenos
naturales.
Por ejemplo, en
la desintegración
nuclear, en la
velocidad con que se
vacía un depósito de
agua, en el giro de
una veleta frente a
una ráfaga de viento,
o en el cimbreo de un
edificio en caso de
terremoto.
De scu bre
49MateMática Delta 2 - aritMética
También 13 vigas de 0,57 toneladasviga
⇒ Peso de las vigas = 13 × 0,57 = 7,41 t
Finalmente, el tráiler lleva 16,65 toneladas de carga.
Ejemplos:
• 29,095 ÷ 2,3 • 9,582 ÷ 0,36
División de números decimales
Para dividir un número decimal exacto entre un número natural se realiza la división
como si fuesen números naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la
primera cifra decimal.
Para dividir un número decimal exacto por otro número decimal exacto, se multiplica al
dividendo y al divisor por la menor potencia de 10 que haga que el divisor se convierta
a número natural. Luego, se hace la división como si fuesen números naturales, pero
se pone una coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal.
1 2 8 , 5 2 3
0 8 4 2 , 8 4
2 5
1 2
0
4 5 7 8 , 2 9 6
3 7 7 6 3, 0 4 8 3 3...
1 8
0 2 9
5 0
2 0
2 0
2
2 9 0 , 9 5 23
6 0 1 2 , 6 5
1 4 9
1 1 5
0
9 5 8 , 2 36
2 3 8 2 6 , 6 1 6 6 6 ...
2 2 2
6 0
2 4 0
2 4 0
2 4
(29,095 × 10)
290,95
(9,582 × 100)
958,2
(2,3 × 10)
23
(0,36 × 100)
36÷ ÷
Para dividir números decimales donde hay decimales periódicos, se convierten los
decimales a fracción generatriz y se realiza la operación con fracciones.
Ejemplos:
Ejemplos:
• 128,52 ÷ 3 • 4578,29 ÷ 6
483
90
483
90
32
9
9
32
÷ = 1,509375=• 5,36 ÷ 3,5 ×
1
10
138
10
138
10
36
90
90
36÷ = 34,5=
• 13,8 ÷ 0,39 ×
969
181
Números
algebraicos
Son los números
reales que son
solución de alguna
ecuación polinómica
cuyos coeficientes
son números
racionales.
Por ejemplo:
• 8 es solución de la
ecuación x – 8 = 0
• 3
4
es solución de la
ecuación 4x – 3 = 0
• 2 es solución de la
ecuación polinómica
x2 – 2 = 0
• 3 es solución de la
ecuación x3 – 3 = 0
De scu bre
3
50
Resolución:
7,5 L
100 km
8,2 L
100 km
N
1 km
M
1 km
Usamos la proporcionalidad en ambos casos.
Para el coche A: =
N = 0,075 L
Para el coche B: =
M = 0,082 L
Un coche A consume 7,5 litros de gasolina por cada
100 kilómetros y otro coche B consume 8,2 litros
de gasolina por cada 100 kilómetros. Calcula la
gasolina que consume cada coche en un kilómetro
de recorrido.
Rpta. El consumo de gasolina en un kilómetro de recorrido para los coches A y B
es de 0,075 L y 0,082 L, respectivamente.
Un agricultor ha recolectado 1500 kg de trigo y 895 kg de cebada. Ha vendido el
trigo a S/ 42,35 el kilogramo y la cebada a S/ 19,75 el kilogramo. Calcula cuánto
ha recibido al vender todos los cereales.
Ingreso por ventas = (Precio) × (Cantidad vendida)
Resolución:
Recordemos que:
Preparamos un cuadro con las cantidades de cereal, su precio y calcularemos el
ingreso de ventas.
Producto Cantidad (kg) Precio por kg (S/) Ventas (S/)
trigo 1500 42,35 1500 × 42,35 = 63 525
cebada 895 19,75 895 × 19,75 = 17 676,25
Total S/ 81 201,25
Rpta. Ha recibido S/ 81 201,25 por la venta de los cereales.
Números
trascendentes
Son los números
reales que no son
solución de ninguna
ecuación polinómica
de coeficientes
racionales. Por
ejemplo:
π = 3,1415926535897
9323846...
e = 2,7182818228459
0452354...
De scu bre
1
2
Ejercicios resueltos
51MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta. Rpta.
Almendra compra 3,6 kg de carne a S/ 12,25 el kg;
8,2 kg de arroz a S/ 3,28 el kg y 28 panes a S/ 0,26
cada pan. Si paga con un billete de S/ 100, calcula
cuánto recibirá de vuelto.
Resolución:
Fiorella compra 8,8 kg de arroz a S/ 4,28 el kg; 6,7 kg
de pescado a S/ 9,4 el kg y 28 panes a S/ 0,24
cada pan. Si paga con 2 billetes de S/ 100, calcula
cuánto recibirá de vuelto.
Resolución:
Números
decimales
Presenta una parte entera y otra parte decimal, separados por una coma.
Ejemplo: 25,31
P. entera P. decimal
Se compara la parte
entera. Si estas son
iguales, entonces,
se compara la parte
decimal.
Ejemplo:
12,58 > 12,37
Comparación
16,28 ÷ 0,4
→ 162,8 ÷ 4
162,8 4
–16 40,7
02 8
– 2 8
- -
División
12,58 × 1,3
12,58
× 1,3 3 cifras decimales
3774
Multiplicación
16,354 ⇒ 3 cifras decimales
+ 1258
12,580
1,300
+ 3,598
17,478
Adición y sustracción
12,58
– 1,30
11,28
• 12,58 – 1,3
• 12,58 + 1,3 + 3,598
Modela y resuelve
1 2
Síntesis
52
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Sabiendo que
12
37 = 0,abc , halla el valor de
a2 + b × c.
Resolución:
Sabiendo que
14
27 = 0,abc , halla el valor de
a × b + c2.
Resolución:
Sabiendo que 1345 = 0,ab, además 0,n
3a
4b
= ;
determina el valor de a2 + b2 + n2.
Resolución:
Sabiendo que 1722 = 0,abc , además 0,n
3a
b4
= ;
determina el valor de a2 + b2 + n2 + c2.
Resolución:
3 4
5 6
53MateMática Delta 2 - aritMética
7
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Una pieza de porcelanato tiene como medidas
55 × 60 cm y se vende en cajas de 4 piezas,
siendo el precio de S/ 28,50 por metro cuadrado.
Si el piso de una sala mide 92,5 m2, encuentra
cuánto se invertirá de este material al revestirlo
con porcelanato.
Resolución:
Una pieza de porcelanato tiene como medidas
60 × 60 cm y se vende en cajas de 4 piezas,
siendo el precio de S/ 24,50 por metro cuadrado.
Si el piso de una sala mide 90,5 m2, encuentra
cuánto se invertirá de este material al revestirlo
con porcelanato.
Resolución:
Para llenar un reservorio de agua se tienen
dos llaves que llenan: una 15,86 litros de agua
por minuto y la otra 9,64 litros por minuto.
Si el reservorio tiene una capacidad de
1392,3 litros, descubre luego de cuánto tiempo se
llena el reservorio.
Resolución:
Para llenar un reservorio de agua se tienen
dos llaves que llenan: una 13,87 litros de agua
por minuto y la otra 8,63 litros por minuto.
Si el reservorio tiene una capacidad de
1030,5 litros, descubre luego de cuánto tiempo se
llena el reservorio.
Resolución:
8
9 10
54
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Para obtener un litro de vino se requieren
1500 g de cierto tipo de uva, y para el
embotellado se recomienda llenarlo hasta las
tres cuartas partes de la capacidad de una
botella. Calcula cuántas botellas de un litro de
capacidad estarán listas luego de cosechar las
uvas que hay en 2 hectáreas y media, sabiendo
que una hectárea produce 7200 kg de uva.
Resolución:
El perímetro de una piscina cuadrada mide 12,4 m;
halla su área.
Resolución:
Para obtener un litro de vino se requieren 1200 g
de cierto tipo de uva, y para el embotellado se
recomienda llenarlo hasta las tres cuartas partes
de la capacidad de una botella. Calcula cuántas
botellas de un litro de capacidad estarán listas luego
de cosechar las uvas que hay enuna hectárea y
media, sabiendo que una hectárea produce 7500 kg
de uva.
Resolución:
El perímetro de una piscina cuadrada mide 27,2 m;
halla su área.
Resolución:
11 12
13 14
55MateMática Delta 2 - aritMética
Un padre de familia compró 12 cuadernos, 7 lapiceros
y 3 borradores. Si cada lapicero le costó S/ 1,54 y
pagó S/ 2,35 por borrador, gastando en total S/ 73,03.
Determina cuánto gastó en cada cuaderno.
Carmen tiene S/ 14,70 más que Brenda, Brenda
S/ 1,25 menos que César y César tiene S/ 24,80.
Si con todo este dinero pueden comprar cuatro
calculadoras, ¿cuánto será el precio de cada
calculadora?
Un cubo de madera de 2 m de arista es cortado en
cubitos de 2,5 cm de arista. Los cubitos obtenidos
son colocados en línea recta, juntos, uno a
continuación de otro sobre un plano horizontal,
formando una fila. Halla la longitud, en km, de la
fila.
Un globo aerostático asciende 125,30 m, luego
desciende dos veces 32,24 m y luego vuelve a
ascender tres veces 52,64 m. Encuentra a qué
altura se encuentra.
Tres amigos aportaron por igual para comprar un
auto cuyo precio de venta es de S/ 14 630, si luego
de comprarlo lo venden en S/ 19 650. Descubre la
ganancia de cada uno.
Un comerciante hace un pedido de 3000 kg de
camote y se lo envían en cuatro partes. En la
primera le envían 271,45 kg; en la segunda 40 kg
más que en la primera; en la tercera el triple de
lo que hay en las dos partes anteriores, y en la
cuarta lo que falta. Calcula cuántos kilogramos de
camote le enviaron en la última parte.
A S/ 21,75 B S/ 21,85
C S/ 21,65 D S/ 21,45
E S/ 21,55
A S/ 1673,33 B S/ 1548,93
C S/ 1624,43 D S/ 1596,53
E S/ 1678,63
A 672,40 kg B 688,40 kg
C 668,60 kg D 666,40 kg
E 668,40 kg
A 218,72 m B 218,84 m
C 218,94 m D 216,34 m
E 218,74 m
A S/ 4,8 B S/ 4,6 C S/ 4,2
D S/ 4,1 E S/ 4,7
Practica y demuestra
Nivel I
A 256 km B 51,2 km
C 128 km D 5,12 km
E 12,8 km
1
4
2
3
5
6
56
Un primer recipiente tiene de capacidad 16,5 litros;
otro recipiente 22,7 litros y un tercero 10,2 litros. Un
tanque cisterna puede ser llenado completamente
usando 3 recipientes del primero, 7 del segundo
y la mitad del tercero, halla la capacidad de este
tanque cisterna.
A 212,8 L B 213,5 L
C 214,6 L D 215,8 L
E 211,5 L
Un comerciante de frutas compró 15 kg de
manzanas a S/ 4,62 cada kilogramo. Si se
malogran 1,5 kg y vendió los restantes a S/ 5,80 el
kilogramo, determina su ganancia total.
A S/ 9,28 B S/ 9,20
C S/ 9,18 D S/ 9,38
E S/ 9,00
A 41 B 37 C 57
D 45 E 123
A 2,17 B 2,61 C 2,17
D 2,17 E 2,16
Si 2,a + 2,b + 0,ab = 5,42 , descubre el valor de
a3 + b2.
A 52 B 225 C 76
D 134 E 141
7
8
11
12 Encuentra el valor de a + b sabiendo que a
b = 0,24
y además ab es una fracción irreductible.
9
Sabiendo que a
5
b
11+
= 0,781, calcula el valor de
a2 + b2
a × b
.
10
Nivel II
A 40 B 37 C 44
D 64 E 46
Halla el valor de a × n + b2, sabiendo que
11
30
= 0,n6 y
n
8
= 0,nab.
57MateMática Delta 2 - aritMética
Sabiendo que m
11
= 0,7a , determina el valor de a
mm
.
A 0,0217 B 0,0227
C 0,0229 D 0,0212
E 0,0216
13
Se han comprado 4 cajas de manzanas pagando
S/ 276. Al vender 85 de estas manzanas por
S/ 106,25 se ha ganado S/ 0,10 por cada manzana.
Encuentra cuántas manzanas tenía cada caja.
A 72 B 60 C 50
D 80 E 64
14
15
16
17
18
Una camioneta lleva cuatro fardos de tela. El
primer fardo pesa 72,675 kg; el segundo, 8 kg
menos que el primero; el tercero, 6,104 kg más
que los dos anteriores juntos. Calcula el peso del
cuarto fardo si el peso de toda la carga de tela es
697,536 kg.
De una herencia se separa los dos tercios para
gastos administrativos y el resto se reparte
entre tres personas. La primera persona recibe
S/ 1254,67; la segunda, el triple de la primera más
S/ 56,89 y, la tercera S/ 76,97 menos que la suma
de las dos primeras personas. Descubre de cuánto
dinero es la herencia.
Para celebrar mi cumpleaños compré igual número
de kilogramos de carne de res y de cordero,
gastando S/ 312,092. Si el kilogramo de carne de
res se compró a S/ 13,27 y el de cordero a S/ 9,28.
Halla cuántos kilogramos de carne compré.
Antonio le debe a Enrique S/ 836,20 y acuerdan
que Antonio le pagará el primer mes S/ 21,35, el
segundo mes el doble del mes anterior, el tercer
mes el doble del mes anterior y así sucesivamente
durante cinco meses. Encuentra cuánto le falta
para cancelar su deuda.
A 398,732 kg B 380,240 kg
C 425,740 kg D 412,850 kg
E 406,560 kg
A S/ 30 420,36 B S/ 30 372,42
C S/ 30 222,51 D S/ 30 385,48
E S/ 30 376,37
A 26,82 kg B 27,36 kg
C 26,98 kg D 27,68 kg
E 27,58 kg
A S/ 165,34 B S/ 174,35
C S/ 168,75 D S/ 164,50
E S/ 170,54
58
Nivel III
Si a y b son números naturales tal que
a
5
b
11+
= 1,036, descubre el valor de (4a + 5b).
A 38 B 43 C 49
D 47 E 53
20
A 45 B 48 C 49
D 56 E 54
A S/ 113,62 B S/ 117,62
C S/ 119,92 D S/ 116,72
E S/ 126,72
A 13,38 B 13,383 C 13,377
D 13,338 E 13,388
A 81 B 83 C 82
D 90 E 92
Sabiendo que 0,ab + 0,ba = 1,6 , halla el mayor
valor que toma (a × b – a).
21
Pedro tiene S/ 156,64; Carlos S/ 102,37 más que
Pedro y Miguel S/ 98,15 más que Carlos. Si entre
los tres deben pagar, en partes iguales, una deuda
de S/ 228,75. Calcula cuánto dinero le sobrará a
Miguel luego de ello.
19
A S/ 280,91 B S/ 279,71
C S/ 280,93 D S/ 279,95
E S/ 280,89
Sabiendo que N
37
= 2,459 , determina la suma de
los cuadrados de las cifras de N.
Encuentra el número decimal por el cual debemos
multiplicar a 0,36
2,43
para que el producto sea
igual a 2.
Cecilia compró un par de zapatos a S/ 40,50, un
libro a S/ 12,32 menos de lo que costó un par de
zapatos y una impresora por el triple de lo que
costaron el libro y los zapatos juntos. Calcula
cuánto le sobró de dinero, si tenía 24 veces
S/ 16,31.
22
23
24
Tema
59MateMática Delta 2 - aritMética
Divisibilidad
4
La división es
entera cuando
todos los términos
que participan,
y los que se
obtienen, son
números enteros.
El divisor debe ser
positivo y el residuo
mayor o igual a
cero.
• Cuando r = 0,
la división es
exacta.
• Cuando r > 0,
la división es
inexacta.
Propiedades:
• En la división
entera, el residuo
máximo es
igual al divisor
disminuido en 1.
• El residuo
mínimo es cero,
sin embargo
si la división
es inexacta
entonces el
residuo mínimo
es 1.
0 ≤ r < n
A n
r q
Recu e rda
División entera
Dados dos números enteros A ∈ y n ∈ +, llamaremos división entera entre ellos a
la operación de encontrar otros dos números enteros q (cociente) y r (resto), tales que
se cumpla:
a = b
A n
r q
Siendo r = 0; 1; 2; 3; ...; (n – 1)
A = n × q + r
0 ≤ r < n
Donde:
A: número entero llamado dividendo.
n: número entero positivo llamado divisor.
q: número entero llamado cociente.
r : número natural llamado resto o residuo.
Ejemplo:
79 18
7 4
84 7
0 12
79 = 18 × 4 + 7
Además:
0 ≤ 7 < 18
84 = 7 × 12 + 0
Además:
0 ≤ 0 < 7
Divisibilidad
La palabra divisibilidad, en matemáticas, se refiere a la parte de la Aritmética que
estudia las condiciones que han de tener los números para ser divisibles por otros,
es decir, que se puedan dividir exactamente. Este concepto es muy antiguo y surgió
cuando el hombre tuvo la necesidad de repartir cosas entre ellos.
El reparto, unas veces, era igual para todos (se obtenía un número exacto de cosas
para cada uno), y otras veces no, dependiendo de que el número de cosas a repartir
se pudiera dividir, exactamente, entre el número de los que iban a recibir esas cosas.
Para poder repartir de forma equitativa, es decir, en partes iguales, necesitamos
conocer el concepto de divisor.
Llamamos divisor de un número entero a cualquier otro número por el cual se puede
dividir, exactamente, a ese número.Así pues, diremos que 7 es un divisor de 84 porque
al dividir 84 entre 7 obtenemos 12 de cociente y de resto 0.
Definición
Un entero A es divisible por un entero positivo n, si el primer número se obtiene al
multiplicar el segundo número por un entero k, es decir:
Si A , n + y k , tales que A = n × k
Entonces afirmaremos que:
• A es divisible por n.
• n es divisor de A.
• A es múltiplo de n.
Notación
A es divisible por n se escribirá como
A = n
A = n × k
Ejemplos:
● 8mp0 es divisible por 5 se escribirá como
8mp0 = 5
8mp0 = 5 × k
60
a = b
a = b
a = b
a = b
a = b
a = b
● 34m6 es divisible por 2 se escribirá como 34m6 = 2
34m6 = 2 × k
Divisores y múltiplos
Divisor
Un número entero positivo n es divisor de otro entero, si cumple la definición de
divisibilidad.
Si
Ejemplos:
● Sabemos que 42 = 1(42) = 2(21) = 3(14) = 6(7) = 7(6) = 14(3) = 21(2) = 42(1)
Los divisores de 42 serán: 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42
● Sabemos que –16 = 1 (–16) = 2 (–8) = 4 (–4) = 8 (–2) = 16 (–1)
Los divisores de –16 serán: 1; 2; 4; 8; 16
Propiedades
1. Todo número entero positivo es divisible por sí mismo.
15 = 15 ; 37 = 37 ; 6 = 6
2. La unidad es divisor de todos los números enteros.
12 = 1 ; 39 = 1 ; 72 = 1
3. El cero no es divisor de ningún número.
4. Si un número es divisor de otros dos, también lo es de la suma y diferencia.
63 = 9 ∧ ⇒
(63 + 27) = 9 o 90 = 9
27 = 9 (63 – 27) = 9 o 36 = 9
Divisibilidad
Todo cuerpo puede
ser dividido en
porciones más
pequeñas llamadas
moléculas y estas en
átomos.
En la expresión:
A n
El símbolo « », no
indica una igualdad
entre A y n, sino
que se refiere a una
relación (en este
caso de divisibilidad)
de identidad que
hay entre ambos
números.
Este símbolo « » fue
introducido por Carl
Friedrich Gauss en
su libro Disquisitiones
Arithmeticae en 1801.
Su utilización se ha
extendido a muchos
otros entornos en los
que podemos hablar
de divisibilidad.
¿Sa bía s qu e.. .?
Not a
5. Si a es divisible por n, y n es divisible por m, entonces a es divisible por m.
Si a = n ∧ n = m ⇒ a = m ; si 84 = 12 ∧ 12 = 4 ⇒ 84 = 4
6. Si a es divisible por n, entonces n también divide al valor de a × b, siendo b un
número entero.
Si a = n ⇒ a × b = n siendo b ∈ ; si 20 = 5 ⇒ 20 × 13 = 5
7. Si a es divisible por n y el número a es entero positivo, entonces n ≤ a
Si a = n ⇒ n ≤ a , siendo a ; si 35 = 7 ⇒ 7 ≤ 35
A ; n + ; k
tal que A = n × k ⇒ A = n
n = n
n = 1
Si a = n ∧ b = n ⇒
(a + b) = n
(a – b) = n
61MateMática Delta 2 - aritMética
Ejemplo 2
Desde 147 hasta 528, calcula cuántos números son divisibles por 8; y cuántos por 13.
Resolución:
Calculamos los números divisibles por 8; estos tienen la forma 8 × k, cumpliéndose
que:
147 ≤ 8 × k ≤ 528 ; k
⇒ 18,4 ≤ k ≤ 66
⇒ k = 19; 20; 21; ... ; 66
k 19 20 21 ... 66
8 × k 152 160 168 ... 528
En la sucesión 1; 2; 3, ...; 18; 19; 20; 21; ...; 66 vemos que la variable k, tomará 48
valores, consecuentemente se obtendrán 48 números divisibles por 8.
Ejemplo 1
En los primeros 200 números enteros positivos, calcula cuántos números son divisibles
por 5; por 7 y cuántos por 9.
Resolución:
• Calculamos los números divisibles por 5; estos tienen la forma 5 × k, cumpliéndose
que:
1 ≤ 5 × k ≤ 200 ; k
⇒ 0,2 ≤ k ≤ 40
⇒ k = 1; 2; 3; ... ; 40
k 1 2 3 ... 40
5 × k 5 10 15 ... 200
Vemos que por cada valor que toma k, reemplazado en la expresión 5 × k, se
obtendrán 40 números divisibles por 5.
• Calculamos los números divisibles por 7; estos tienen la forma 7 × k, cumpliéndose
que:
1 ≤ 7 × k ≤ 200 ; k
⇒ 0,1 ≤ k ≤ 28,6
⇒ k = 1; 2; 3; ... ; 28
k 1 2 3 ... 28
7 × k 7 14 21 ... 196
Vemos que por cada valor que toma k, reemplazado en la expresión 7 × k, se
obtendrán 28 números divisibles por 7.
• Calculamos los números divisibles por 9; estos tienen la forma 9 × k, cumpliéndose
que:
1 ≤ 9 × k ≤ 200 ; k
⇒ 0,1 ≤ k ≤ 22,2
⇒ k = 1; 2; 3; ... ; 22
k 1 2 3 ... 22
9 × k 9 18 27 ... 198
Vemos que por cada valor que toma k, reemplazado en la expresión 9 × k, se
obtendrán 22 números divisibles por 9.
Cada 4 años,
añadimos un
día más al
calendario con el
fin de corregir un
pequeño desfase
entre el calendario
gregoriano y el
tiempo que tarda la
Tierra en dar una
vuelta completa
alrededor del Sol,
que en realidad es
365 días, 5 horas
y 56 minutos. El 29
de febrero son las
24 horas de más
que necesitamos
sumar cada cuatro
años para dar una
mayor exactitud
a la duración
astronómica de los
años. El calendario
tiene 366 días solo
si el número del
año es divisible
por 4.
Por ejemplo:
• 2012
• 2000
• 2020
¿Sa bía s qu e.. .?
18 valores 66 – 18 = 48 valores
62
● Calculamos los números divisibles por 13; estos tienen la forma 13 × k, cumpliéndose
que:
147 ≤ 13 × k ≤ 528 ; k
11,3 ≤ k ≤ 40,6
⇒ k = 12; 13; 14; ... ; 40
k 12 13 14 ... 40
13 × k 156 169 182 ... 520
En la sucesión 1; 2; 3; ...; 11; 12; 13; 14; ...; 40 vemos que la variable k, tomará 29
valores, consecuentemente se obtendrán 29 números divisibles por 13.
11 valores 40 – 11 = 29 valores
Múltiplo
Los múltiplos de un número entero n, son aquellos que provienen de multiplicar n por
cualquier otro número entero.
Simbólicamente:
A es múltiplo de n (A ; n ) siempre que:
A = n × k ; k
Ejemplo:
Los múltiplos de 6 son : {...; –18; –12; –6; 0; +6; +12; +18; ...}
Los múltiplos de 15 son : {...; –45; –30; –15; 0; +15; +30; +45; ...}
Los múltiplos de –8 son : {...; –24; –16; –8; 0; +8; +16; +24; ...}
Los múltiplos de 1 son : {...; –4; –3; –2; –1; 0; +1; +2; +3; +4; ...}
Los múltiplos de n son : {...; –4n; –3n; –2n; –n; 0; + n; +2n; +3n; +4n; ...}
Los números
perfectos son,
sencillamente,
iguales a la suma
de todos sus
divisores propios,
es decir, de todos
los divisores
del número a
excepción de él
mismo. El menor
número perfecto
es 6, que es igual
a la suma de sus
tres divisores
propios: 1; 2 y 3.
El siguiente es 28,
suma de 1; 2; 4; 7
y 14.
Los primeros
comentaristas del
antiguo testamento,
tanto judíos
como cristianos,
quedaron muy
impresionados por
la perfección de
esos dos números.
¿Acaso no fue el
mundo creado en
6 días? ¿No tarda
28 días la Luna en
su movimiento en
torno a la Tierra?
¿Sa bía s qu e.. .?
Propiedades
1. Todo número n es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
● 45 es múltiplo de 45, pues 45 = 45(1)
● 45 es múltiplo de 1, pues 45 = 1(45)
2. Cero es múltiplo de todos los números.
● 0 es múltiplo de 15, pues 0 = 15 . (0)
● 0 es múltiplo de –15, pues 0 = –15(0)
3. La suma o diferencia de dos múltiplos de un número también es múltiplo de dicho
número.
● 56 es múltiplo de 7
● 21 es múltiplo de 7
(56 + 21) es múltiplo de 7 o 77 es múltiplo de 7.
(56 – 21) es múltiplo de 7 o 35 es múltiplo de 7.
● 24 es múltiplo de 8
● 72 es múltiplo de 8
(24 + 72) es múltiplo de 8 o 96 es múltiplo de 8.
(24 – 72) es múltiplo de 8 o –48 es múltiplo de 8.
63
63MateMática Delta 2 - aritMética
Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son ciertas reglas que se aplican sobre las cifras de un
número entero y permite determinar si este es o no divisible por otro entero positivo, sin
necesidad de efectuar la división, incluso podemos determinar el residuo que se origina
si no se cumple la divisibilidad.
Divisibilidad por 4
Un número entero es divisible por 4, si al separar sus dos últimas cifras este bloque
separado resulta ser ceros o forman un múltiplo de 4.
Ejemplos:
● 3a4c64 = 4, porque sus dos últimas cifras 64 = 4
● Si 37ca2 = 4 entonces a2 = 4 y a = 1; 3; 5, 7; 9.
Divisibilidad por 8
Un número entero es divisible por 8, si al separar sus tres últimas cifras este bloque
separado resulta ser ceros o forman un múltiplo de 8.
Ejemplos:
● aab272 = 8, porque sus tres últimas cifras 272 = 8
● aa072 = 8, porque sus tres últimas cifras 072 = 8
● Si a1535a= 8 entonces 35a = 8 y a = 2, pues 352 = 8.
4. Si el número a es múltiplo del número n, y n es múltiplo de m, entonces a es
múltiplo de m.
● 90 es múltiplo de 15 y 15 es múltiplo de 5,
entonces 90 es múltiplo de 5.
● 84 es múltiplo de 21 y 21 es múltiplo de 7,
entonces 840 es múltiplo de 7.
Teorema del mínimo común múltiplo
Si un número entero es divisible por dos o más enteros positivos, entonces será también
divisible por el mínimo común múltiplo de estos enteros positivos.
Ejemplo:
Si un número de tres cifras es divisible por 8, divisible por 12 y también divisible por 14,
calculemos cuántos números de tales características existen.
Sea N uno de tales números, del cual se sabe que:
N = 8
N = 12
N = 14
⇒ N = 168 ⇒ N = 168 × k, luego
El MCM(8; 12; 14) = 168
Cuando k 1 2 3 4 5
N 168 336 504 672 840
Finalmente, existen 5 números
¿Cuándo comenzó
el siglo XXI: el día
1 de enero del año
2000 o el mismo
día del año 2001?
Para comprender
el asunto
debemos conocer
las vicisitudes
del calendario
gregoriano. El
calendario actual
se comenzó
a conocer
oficialmente a
partir del año
1286 de Roma,
correspondiente al
año 532 d. C. En
ese año, un monje
llamado Denis, el
breve, propuso a la
iglesia que los años
fueran contados
a partir del 1.° de
enero siguiente
al nacimiento
de Jesús. De
esta forma, el
primer año de
la era cristiana
fue denominado
oficialmente como
«Año uno». Desde
nuestra lógica, el
año de nacimiento
de Cristo debió
denominarse «Año
cero» pero, al no
hacerse así, se
saltó del año 1
antes de Cristo (el
año –1) al año 1
después de Cristo.
¿Sa bía s qu e.. .?
64
Divisibilidad por 9
Un número entero es divisible por 9, si el resultado de sumar las cifras del número es
un múltiplo de 9.
Ejemplos:
• 574 362 = 9 porque 5 + 7 + 4 + 3 + 6 + 2 = 27 = 9
• Si a173 = 9 entonces a + 1 + 7 + 3 = 9, entonces, a = 7.
Divisibilidad por 25
Un número entero es divisible por 25, si al separar sus dos últimas cifras, este bloque
separado resulta ser ceros o forman un múltiplo de 25.
Ejemplos:
• 67 550 = 25 porque 50 = 25
• 42 075 = 25 porque 75 = 25
• Si a237a = 25 entonces 7a = 25, por lo tanto, a = 5.
Divisibilidad por 11
Un número entero es divisible por 11, cuando la diferencia entre la suma de sus cifras
de lugar par con la suma de cifras de lugar impar, da como resultado 0 o cualquier otro
número múltiplo de 11.
Ejemplos:
• 819 071 = 11 porque (8 + 9 + 7) – (1 + 0 + 1) = 22 = 11
• 392 359 = 11 porque (3 + 2 + 5) – (9 + 9 + 3) = –11 = 11
• Si a152 = 11 entonces (a + 5) – (1 + 2) = 11, por lo tanto, a = 9.
Un número es
divisible por...
9 si la suma de sus
cifras es múltiplo
de 9.
25 si sus dos
últimas cifras son
ceros o múltiplos
de 25 (25; 50; 75).
11 si la suma de las
cifras de lugar par,
menos la suma de
las cifras de lugar
impar suman cero
o múltiplo de 11.
7 si al multiplicar
cada una de sus
cifras (de derecha
a izquierda) por: 1;
3; 2; –1; –3; –2; ...,
y al sumar dichos
resultados, resulta
cero o un múltiplo
de 7.
Repa sa
Divisibilidad por 7
Un número entero es divisible por 7 cuando al multiplicar a cada una de sus cifras
respectivamente (de derecha a izquierda) por 1; 3; 2; –1; –3; –2; 1; 3; 2; … y
después efectuar la suma de estos productos el resultado es 0 o cualquier otro
múltiplo de 7.
Ejemplos:
• 9394 = 7
porque (–1)(9) + 2(3) + 3(9) + 1(4) = 28 = 7
–1 2 3 1
• 98721 = 7
porque (–3)(9) + (–1)(8) + 2(7) + 3(2) + 1(1) = – 14 = 7
–3–12 31
• Si a625 = 7
porque –a + 12 + 6 + 5 = 7
⇒ 23 – a = 7, por lo tanto, a = 2; 9.
–12 31
65MateMática Delta 2 - aritMética
Un número es
divisible por...
2 si acaba en cifra
par.
3 si la suma de sus
cifras es múltiplo
de 3.
5 si acaba en cero
o en 5.
Repa sa
Divisibilidad por 2
Un número entero es divisible por 2, si la última cifra es 0 o un múltiplo de 2.
Además, recuerda:
Ejemplo:
• Si a72a = 2 entonces a = 2, por lo tanto, a = 2; 4; 6; 8.
Divisibilidad por 5
Un número entero es divisible por 5, si la última cifra es cero o 5.
Ejemplo:
• Si a72a = 5 entonces a = 5, por lo tanto, a = 5 (no puede ser cero porque también
inicia el número).
Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3, si el resultado de sumar las cifras del número es un
múltiplo de 3.
Ejemplo:
• Si 527a2 = 3 entonces a + 5 + 2 + 7 + 2 = 3 ⇒ a + 16 = 3, por lo tanto, a = 2; 5; 8.
N = 8
N = 18
Cierta cantidad de personas reunidas pueden ser contadas exactamente de
24 en 24, también pueden ser contadas de 32 en 32. Si hay menos de
100 personas reunidas, calcula cuántas personas están reunidas.
Resolución:
N = 24
N = 32
El MCM(24; 32) = 96
⇒ N = 96 ⇒ N = 96 × k, Luego
k 1
(N < 100) N 96
La cantidad de nueces que hay en una canasta se
puede contar exactamente en grupos de 8, lo mismo
sucede si se cuentan de 18 en 18. Si el número de
nueces que hay es mayor de 320, calcula la menor
cantidad de nueces que se tiene en la canasta.
Resolución:
Sea N el número de nueces que se tiene en la canasta. Como se pueden formar,
con las nueces, exactamente grupos de 8 y de 18, podemos decir:
MCM(8; 18) = 72
⇒ N = 72 ⇒ N = 72 × k
Como el valor de N debe ser mínimo pero mayor que 320, entonces k = 5, haciendo
que N sea igual a 360 nueces.
Sea N la cantidad de personas reunidas, de la cual se sabe que:
Rpta. Están reunidas 96 personas.
1
2
Ejercicios resueltos
Rpta. 360 nueces.
66
Síntesis
Divisor
Un número entero A es divisible por un
número entero positivo n, si el primer
número se obtiene al multiplicar el segundo
número por un entero k.
Ejemplo: 30 = 3 × 10
30 es divisible por 3.
3 es divisor de 30.
30 es múltiplo de 3.
Sea n ∈ +:
1. n = n
2. n = 1
3. n ≠ 0
4. Si a = n ∧ b = n ⇒
(a + b) = n
(a – b) = n
; a, b ∈
5. Si a = n ∧ n = m ⇒ a = m; m ∈ +
6. Si a = n ⇒ a × b = n; b ∈
7. Si a = n ⇒ n ≤ a; a ∈ +
Propiedades
Múltiplo
Los múltiplos de un número entero n, son
aquellos que provienen de multiplicar n por
cualquier otro número entero.
Ejemplo:
Los múltiplos de 6 son:
{...; –18; –12; –6; 0; +6; +12; +18; ...}
1. Todo número n es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
2. Cero es múltiplo de todos los números.
3. La suma o diferencia de dos múltiplos de un número también
es múltiplo de dicho número.
4. Si el número a es múltiplo del número n, y n es múltiplo de
m, entonces a es múltiplo de m.
Propiedades
• 56 es múltiplo de 7
• 21 es múltiplo de 7
(56 + 21) es múltiplo de 7 o 77 es
múltiplo de 7.
(56 – 21) es múltiplo de 7 o 35 es
múltiplo de 7.
Rpta. Rpta.
1 2Calcula cuántos números de cuatro cifras son
divisibles por 15 y por 24.
Resolución:
Calcula cuántos números de cuatro cifras son
divisibles por 28 y por 21.
Resolución:
Modela y resuelve
1 2
67MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Desde 56 al 245, halla cuántos números son
divisibles por 15.
Resolución:
Desde el 67 al 282, halla cuántos números son
divisibles por 18.
Resolución:
Determina cuántos números de tres cifras tienen
como última cifra a 9 y son divisibles por 17.
Resolución:
Determina cuántos números de tres cifras tienen
como última cifra a 7 y son divisibles por 13.
Resolución:
23 24
25 26
68
7
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Encuentra cuántos números de tres cifras son
divisibles por 24.
Resolución:
Encuentra cuántos números de tres cifras son
divisibles por 36.
Resolución:
Descubre cuántos números de dos cifras son
tales que al restarles 7 unidades son divisibles por
nueve.
Resolución:
Descubre cuántos números de dos cifras son tales
que al restarles 3 unidades son divisibles por ocho.
Resolución:
27
29
28
210
69MateMática Delta 2 - aritMética
211
213
212
214
Rpta. Rpta.
Calcula cuántos números de tres cifras cumplen
que al ser divididos entre 8 el residuo es 2 y al ser
divididos entre 5 el residuo sigue siendo 2.
Resolución:
Calcula cuántos números de tres cifras cumplen
que al ser divididos entre 12 el residuo es5, y al
ser divididos entre 8 el residuo sigue siendo 5.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Un comerciante ha comprado manzanas por
cajas, y al contar las manzanas observa que le
faltan 7 para que lo contado sea divisible por 12,
lo mismo sucede si los cuenta de 8 en 8. Halla
cuántas manzanas ha comprado, si este número
está comprendido entre 283 y 327.
Resolución:
Un comerciante ha comprado mandarinas por
cajas, y al contar las mandarinas observa que le
faltan 11 para que lo contado sea divisible por 15,
lo mismo sucede si los cuenta de 24 en 24. Halla
cuántas mandarinas ha comprado, si este número
está comprendido entre 720 y 900.
Resolución:
70
216215
217
Rpta. Rpta.
En las olimpiadas estudiantiles de un colegio, se
observa que los 5
8
de los alumnos llevan sombrero;
los 5
9
fueron con polo y los 7
12
decidieron apoyar
al equipo rojo. ¿Cuántos estudiantes no llevan
sombrero, si el total de estudiantes se encuentra
comprendido entre 400 y 500?
Resolución:
En las olimpiadas estudiantiles de un colegio se
observa que los 5
12
de los alumnos llevan gorro;
los 2
9
fueron con corbata y los 9
28
decidieron
apoyar al equipo azul. ¿Cuántos estudiantes no
llevan gorro, si el total de estudiantes se encuentra
comprendido entre 780 y 1250?
Resolución:
Rpta. Rpta.
En un congreso de profesionales se observó que
los 3
14
de los asistentes tienen título profesional;
5
6
hablan inglés y 7
18
son casados. Si la cantidad
de asistentes se encuentra comprendida entre 760
y 1000, determina cuántos asistentes no hablan
inglés.
Resolución:
En un congreso de profesionales se observó que los
3
14
de los asistentes tienen título profesional; los 5
8
hablan inglés y los 7
12
son casados. Si la cantidad
de asistentes se encuentra comprendida entre 550 y
800, determina cuántos asistentes no son casados.
Resolución:
218
71MateMática Delta 2 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
Del 97 al 429, calcula cuántos números son
divisibles por 28.
1
A 14 B 13 C 11
D 15 E 12
A 24 B 27 C 26
D 25 E 23
Desde el 123 al 698, determina cuántos números
son divisibles por 24.
2
Encuentra cuántos números de cuatro cifras son
divisibles por 87.
4
A 107 B 103 C 104
D 106 E 105
Del 151 al 912, halla cuántos números son divisibles
por 15 pero no son divisibles por 18.
3
A 44 B 42 C 41
D 43 E 45
¿Cuántos números de tres cifras que terminan en
cifras 8 son divisibles por 16?
6
A 8 B 9 C 10
D 11 E 12
A 32 B 31 C 34
D 33 E 30
Del 241 al 1368, descubre cuántos números son
divisibles por 24 pero no son divisibles por 36.
5
72
Nivel II
8 Un panadero observa que al contar los panes
que ha preparado, no se puede formar grupos de
14 porque sobran 5 panes y no se pueden formar
grupos de 18 porque faltarían 13 panes. Determina
cuántas docenas se pueden formar, si el total de
panes preparado se encuentra comprendido entre
510 y 760.
A 49 B 50 C 51
D 52 E 54
A 807 B 801 C 802
D 805 E 800
Del 43 al 451, calcula cuántos números:
I. No son divisibles por 12.
II. No son divisibles por 28.
III. Son divisibles por 12, pero no por 9.
IV. Son divisibles por 28, pero no de 21.
Da como respuesta la suma de estos resultados.
7
A 18 B 19 C 17
D 16 E 15
¿Cuántos números de tres cifras cumplen que al ser
divididos entre 12 y entre 15, el residuo siempre es 7?
9
A 56 B 63 C 48
D 54 E 72
En el último examen de admisión a la UNMSM
ingresaron 350 alumnos a la facultad de Derecho.
De los varones ingresantes se sabe que los 3
14
postulaban por tercera vez; los 7
10
son menores de
edad y los 5
6
se prepararon en una academia. Halla
cuántos varones ingresantes son mayores de edad.
10
A 40 B 35 C 30
D 45 E 38
Un avión se dirige de Lima a Truji l lo con
208 pasajeros entre nacionales y extranjeros. De
los extranjeros se sabe que los 27 son europeos,
los 4
15
usan lentes y 2
21
hablan español. Encuentra
cuántos extranjeros son europeos.
11
73MateMática Delta 2 - aritMética
A una fiesta acudieron 315 personas. De los
hombres se sabe que los 8
21
son casados,
además los 7
15
usan lentes. Calcula cuántos de
los hombres son solteros, si hay más hombres
que mujeres.
13
A 91 B 117 C 104
D 78 E 130
A 18 B 19 C 20
D 21 E 22
Del 213 al 945, determina cuántos números son
divisibles por 36.
14
A 8 B 7 C 9
D 6 E 5
El número de alumnos que hay en el primer año
de secundaria son 70. De las mujeres se sabe
que 3
14
llevan insignia, a 78 les gusta la aritmética.
Descubre cuántas mujeres de dicho salón no
gustan aritmética.
12
A 8 B 9 C 10
D 11 E 12
Halla cuántos números de tres cifras que terminan
en cifra cuatro son divisibles por 22.
15
A 12 B 15 C 18
D 24 E 27
En un barco viajaban 90 personas y ocurrió un
accidente. De los ilesos se sabe que los 3
14
son
niños y los 5
12
son casados. Descubre cuántos
ilesos son niños.
17
A 42 B 41 C 40
D 39 E 38
Del 319 al 1307, encuentra cuántos números se
tienen, tal que sean divisibles por 21 pero no por 24.
16
74
Nivel III
21
22 A una fiesta acudieron más de 100 personas pero
menos de 200. Se sabe además que los 310 fueron
con short, los 2
7
fueron con zapatillas y los 3
4
se
retiraron antes de la medianoche. Descubre cuántas
personas se quedaron luego de la medianoche.
A 28 B 42 C 35
D 49 E 56
A 23 B 24 C 25
D 26 E 27
Del 147 al 1239, determina cuántos números son
divisibles por 42.
19
A 321 B 322 C 323
D 324 E 325
Halla cuántos números de cuatro cifras son
divisibles por 28.
20
18 Del 379 al 1548, calcula cuántos números son
divisibles por 32 pero no son divisibles por 28.
A 35 B 34 C 33
D 32 E 31
A 9 B 10 C 11
D 12 E 13
Cierto día, el almacenero de una granja de huevos
cuenta la recolección de ese día y observa que;
si los huevos van colocados en bandejas de 36
huevos cada uno o en bandejas de 24 cada uno, en
la última bandeja solo pueden colocarse 15 huevos.
Sabiendo que la producción del día se encuentra
comprendido entre 625 y 730 huevos, encuentra
cuántas bandejas más de 24 que de 36 se usarán
para el almacenamiento.
Tema
75MateMática Delta 2 - aritMética
Clasificación de los números enteros positivos
Con la finalidad de un mejor estudio de los números enteros positivos, se cree
conveniente clasificarlos de acuerdo a la cantidad de divisores que presentan.
+ =
• La unidad : tiene un divisor.
• Los números primos : tienen dos divisores.
• Los números compuestos : tienen más de dos divisores.
Número primo
Un número entero positivo mayor que la unidad se considera número primo, número
primario o número primo absoluto, si posee exactamente dos divisores. El conjunto de
los números primos es infinito y sus elementos son:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; ...
Características de los números primos
• Cuando se multiplica un número primo consigo mismo (una o más veces) o con otro
primo, se originan otros números llamados números compuestos.
Ejemplos:
- 2 × 2 = 4 - 2 × 5 = 10 - 2 × 2 × 2 × 2 = 16
- 2 × 2 × 2 = 8 - 2 × 2 × 3 = 12 - 2 × 3 × 3 = 18
- 3 × 3 = 9 - 2 × 7 = 14 - 2 × 2 × 5 = 20
El conjunto de los números compuestos también es infinito y está formado por: 4; 6;
8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; ...
• El único número primo que es par, es el número 2.
• El 2 y 3 son los únicos números consecutivos que son primos a la vez.
• No existe, por ahora, alguna expresión o fórmula matemática que origine la sucesión
de los números primos.
• El número 1 no es primo ni compuesto, será llamado divisor universal, pues es
divisor de todo número.
Algoritmo para determinar si un número es primo
Para determinar si un número es primo, se deberá tener en cuenta el siguiente
procedimiento:
1.° Se calcula la raíz cuadrada del número, de forma aproximada.
2.° Se listan los números primos menores o igualesque la raíz cuadrada anterior.
3.° Se determina si el número en análisis es o no divisible entre cada uno de los
números primos obtenidos en el paso anterior, luego:
• Se puede afirmar que el número es primo, si resulta que no es divisible por ninguno
de los primos listados en el paso 2.
• Se afirmará que el número es compuesto, si resulta ser divisible por alguno de los
primos listados en el paso 2.
En una conferencia
en París, en 1900,
el matemático
alemán David
Hilbert presentó
una compilación
de 23 problemas
sin resolver que él
pensaba eran los que
marcarían el avance
de la Matemática
en el siglo venidero.
Para el año 2000,
los matemáticos
habían planteado
soluciones a todos
los problemas de
Hilbert excepto una
hipótesis planteada
en 1859 por Bernhard
Riemann. La
hipótesis de Riemann
es considerada el
problema sin resolver
más importante en
matemáticas. Se
afirma que hay un
patrón oculto en la
distribución de los
números primos.
La hipótesis se
ha demostrado
experimentalmente
para los primeros
100 mil millones de
casos, lo que sería
suficiente para un
físico, pero no para
un matemático.
Dato cu rio s o
Números primos
5
76
Números primos entre sí (PEsi)
Dos o más números son primos entre sí «PESI», si tienen como único divisor común
a la unidad.
Ejemplo 1
¿Serán 72; 45 y 49 primos entre sí?
Para averiguarlo, listaremos los divisores de cada número y resaltaremos los divisores
que son comunes.
72 1 ; 2; 3; 4; 6, 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72
1 ; 3; 5; 9; 15; 45
1 ; 7; 49
45
49
Número Divisores
Observamos que el único divisor común es el 1.
Por consiguiente, 72; 45 y 49 son PESI.
Ejemplo 2
¿Serán 105; 84 y 210 primos entre si?
105 1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105
1; 2; 3; 4; 6 ; 7; 12; 14; 15; 21; 28, 42; 84
1; 2; 3; 5, 6; 7; 10; 14; 15; 21; 30; 35; 42; 70; 105; 210
84
210
Número Divisores
Para averiguarlo, listaremos los divisores de cada número y resaltaremos los divisores
que son comunes.
Teorema de Gauss
Llamado también Teorema fundamental de la Aritmética, el cual afirma lo siguiente:
Todo número compuesto puede expresarse como la multiplicación de sus factores
primos o potencias de estos. Dicha expresión es única y comúnmente se denomina
descomposición canónica.
En el caso de los números primos, se dice que su descomposición es trivial.
Fue un matemático,
astrológo y geográfo
griego. Fue célebre
en matemáticas
por la criba que
lleva su nombre,
utilizada para hallar
los números primos,
y por su mesolabio,
instrumento de
cálculo usado para
resolver la media
proporcional.
Particularmente
es recordado por
haber establecido
por primera vez la
longitud de la Tierra
(252 000 estadios,
equivalente a
40 000 km) con
un error de solo
90 km respecto a
la estimaciones
actuales.
Eratóstenes
(Cirene, 276 a. C. –
Alejandría, 194 a. C.)
Observamos que los divisores comunes son 1; 3; 7 y 21. Tienen más de un divisor
común.
Por consiguiente, 105; 84 y 210 no son PESI.
Ejemplos:
a) Descompón canónicamente el número 324.
Para ello, usamos la factorización prima.
324 2
162 2
81 3
27 3
9 3
3 3
1
Ahora, 324 = 22 × 34 está descompuesto
canónicamente.
Divisores primos: 2 y 3.
77MateMática Delta 2 - aritMética
b) Descompón canónicamente el número 15 925.
15 925 5
3185 5
637 7
91 7
13 13
1
Ahora, 15 925 = 52 × 72 × 131 está descompuesto
canónicamente.
Divisores primos: 5; 7 y 13.
c) Descompón canónicamente el número 1504.
Vemos que 1504 = 150 × 150 × 150 × 150, de modo que solo factorizamos a 150.
150 2
75 3
25 5
5 5
1
Luego : 150 = 21 × 31 × 52
Entonces: 1504 = (21 × 31 × 52)4
1504 = 24 × 34 × 58
Divisores primos: 5; 2 y 3.
d) Descompón canónicamente el número 843 × 5602.
84 7
12 2
6 3
2 2
1
560 7
80 5
16 24
1
Luego : 843 × 5602 = (7 × 3 × 22)3 × (7 × 5 × 24)2
Entonces: 843 × 5602 = 73 × 33 × 26 × 72 × 52 × 28
843 × 5602 = 75 × 33 × 214 × 52
Divisores primos: 7; 3; 2 y 5.
Cantidad de divisores (CD(N))
Para calcular la cantidad de divisores que tiene un número, podemos utilizar la técnica
de las parejas o la técnica de la descomposición canónica.
Previamente sabemos:
CD(N) =
Divisores
primos +
Divisores
compuestos + 1
Usando la técnica de las parejas
Consiste en determinar los divisores del número por parejas, cuando se encuentra
un divisor, entonces, su pareja (el otro divisor), se calcula dividiendo el número con el
divisor anterior.
Ejemplo:
Calcula la cantidad de divisores que tiene 200.
Divisores
1
200
Número
200 2
100
4
50
5
40
8
25
10
20
• 2 y 5 son sus divisores primos.
• El 1 es su divisor universal.
Luego CD(200) = 12 de los cuales hay
• 1 divisor universal
• 2 divisores primos
• 9 divisores compuestos
GIMPS es un
proyecto colaborativo
dedicado a encontrar
números primos de
Mersene, aquellos
que tienen la forma
especial.
2P – 1
Donde «P» es
también primo.
Solo se conocen 49
primos de Mersene y
la comunidad GIMPS
ha encontrado los
últimos 15 con
programas de
software como
Prime 95.
¿Sa bía s qu e.. .?
Estudio de los divisores de un número entero positivo
78
Usando la descomposición canónica
Se procede del siguiente modo:
1.° Se descompone canónicamente el número.
2.° Se identifican las potencias de cada factor primo y se calcula el número de divisores
que tiene cada potencia.
En forma práctica, el número de divisores en cada potencia se obtiene aumentando en
una unidad el exponente del factor primo.
3.° Se multiplican con los números de divisores de cada potencia y el producto nos
dará el número de divisores que tiene el número.
Ejemplo 1
Calcula la cantidad de divisores que tiene 200.
Resolución:
Ejemplo 2
Calcula la cantidad de divisores que tiene 420.
Resolución:
• Usando la técnica de las parejas.
Número Divisores
420
1 2 3 4 5 6 7 10 12 14 15 20
420 210 140 105 84 70 60 42 35 30 28 21
Luego CD(420) = 24 de los cuales hay
• 1 divisor universal (1)
• 4 divisores primos (2; 3; 5; 7)
• 19 divisores compuestos
En forma práctica,
si se tiene la
descomposición
canónica del numeral:
N = aa × bb × cθ
La cantidad de
divisores estará dada
por:
CD(N) = (a + 1)(b + 1) (θ + 1)
Ejemplo:
Sabemos que:
200 = 23 × 52
Entonces:
CD(200) = (3 + 1)(2 + 1)
CD(200) = 4 × 3
CD(200) = 12
Se otorga premio
Nobel para las
categorías de Física,
Química, Medicina,
Literatura y Paz.
Cada una de las
categorías se fundó
cuando poco antes
de morir, Alfred
Nobel, poseedor de
una inmensa fortuna,
decidió premiar a las
mentes brillantes de
cada categoría.
Import a nt e
¿Sa bía s qu e.. .?
• Usando la descomposición canónica.
Se descompone canónicamente el número 420.
420 7
60 5
12 3
4 22
1
Luego:
420 =
1
7
1
5
1
3
1
2
4
2 × 2 × 2 × 3 = 24 divisores
71 × 51 × 31 × 22
⇒ CD(420) =
• 1 div. universal
• 4 div. primos
• 19 div. compuestos
Luego: 200 = 23 × 52
1
5
25
1
2
4
8
3 divisores de 254 divisores de 8
200 23
25 5
5 5
1
⇒ CD(200) = 4 × 3 = 12
• 1 divisor universal
• 2 divisores primos
• 9 divisores compuestos
79MateMática Delta 2 - aritMética
En forma práctica,
si se tiene la
descomposición
canónica del numeral:
N = aa × bb
La suma de divisores
estará dada por:
SD(N) = .
Ejemplo:
Sabemos que:
500 = 22 × 53
Entonces:
SD(500) =
22 + 1 – 1
2 – 1
. 53 + 1 – 1
5 – 1
SD(500) =
8 – 1
1
. 625 – 1
4
SD(500) = 7 ×
156 = 1092
aa + 1 – 1
a – 1
bb + 1 – 1
b – 1
Import a nt e
Cuando el número del cual deseamos conocer su cantidad de divisores se presenta como
potencia, calcular su cantidad de divisores usando las parejas no es recomendable. Se
sugiere en este tipo de situaciones utilizar la descomposición canónica.
Ejemplo:
Calcula la cantidad de divisores que tiene 1803.
Resolución:
Usamos la descomposicióncanónica.
180 5
36 3
12 3
4 22
1
Luego : 180 = 5 × 32 × 22
Entonces: 1803 = 53 × 36 × 26
1
5
25
125
1
3
36
1
2
26
(3 + 1) × (6 + 1) × (6 + 1) = 196⇒ CD(1803) =
• 1 divisor universal
• 3 divisores primos
• 192 divisores
compuestos
suma de divisores sD(N)
Para calcular la suma de los divisores que tiene un número, vamos a utilizar la técnica
de la descomposición canónica.
Se procede del siguiente modo:
1.° Se descompone canónicamente el número.
2.° Se identifican las potencias de cada factor primo y se registran los divisores que
tiene cada potencia. Enseguida, para cada potencia, se suman sus divisores.
3.° Se multiplican las sumas obtenidas en el paso anterior, de modo que el producto
nos dará la suma de los divisores que tiene el número.
Ejemplo 1
Calcula la suma de los divisores que tiene 500.
500 5
100 5
20 5
4 22
1
Luego: 500 = 53 × 22
1
5
25
125
1
2
4
⇒ SD(500) = 156 × 7 = 1092
Ejemplo 2
Calcula la suma de los divisores que tiene 360.
360 5
72 3
24 3
8 23
1
Luego: 360 = 51 × 32 × 23
1
5
1
3
9
⇒ SD(360) = 6 × 13 × 15 = 1170
1
2
4
8
80
Ejemplo 3
Calcula la suma de los divisores que tiene 200.
200 5
40 5
8 23
1
Luego: 200 = 52 × 23
1
5
25
1
2
4
8
⇒ SD(200) = 31 × 15 = 465
Calcula el valor de n sabiendo que el número A = 128n × 72 tiene 138 divisores.
Determina cuántos divisores compuestos tiene el número A = 2810 – 288.
• Descomponemos canónicamente el número A.
• Factorizamos el número A.
• Pero CD(A) = 138.
• Descomponemos canónicamente el número A.
Rpta. El valor de n es 6.
Rpta. El número A tiene 1219 divisores compuestos.
A = 128n × 72
= (27)n × 23 × 32
= 27n + 3 × 32
⇒ CD(A) = (7n + 4)(3)
CD(A) = 138
(7n + 4) × 3 = 138
7n + 4 = 46 ⇒ n = 6
A = 2810 – 288 = 288(282 – 1)
= 288 × 783
A = 288 × 783
= (22 × 71)8 × (33 × 291)
= 216 × 78 × 33 × 291
Resolución:
Resolución:
⇒ CD(A) = (17)(9)(4)(2) = 1224
• 4 divisores primos
• 1 divisor universal
• 1219 divisores compuestos
Los números primos
se han hecho muy
populares con la
llegada de Internet,
debido a que el
algoritmo RSA
empleado para
las firmas digitales
por Internet, por
ejemplo, para los
bancos, está basado
en ellos. Su lógica,
aunque compleja,
es relativamente
sencilla de entender.
Está basada en
que tanto para un
humano como para
una máquina es
difícil descomponer
un número en todos
los factores que lo
forman.
Por ejemplo, si
dispusiéramos de
dos números primos
grandes P1 y P2 y
los multiplicamos,
obtendríamos un
número aun más
grande, que será
difícil de factorizar,
puesto que al ser
primos, no tendrán
otros divisores que
P1 y P2. De esta
manera, a menos
que alguien sepa
cuánto vale P1 o P2,
será complicado,
salvo a base de
dedicar muchísimo
tiempo a factorizar,
saber cuáles eran los
números originales.
Cu rio s id a de s
1
2
Ejercicios resueltos
81MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta. Rpta.
Calcula la cantidad de divisores y la suma de los
mismos del número 720.
Resolución:
Calcula la cantidad de divisores y la suma de los
mismos del número 840.
Resolución:
Modela y resuelve
1 2
Síntesis
Es el número entero positivo que tiene dos divisores: la unidad y el mismo número.Números primos
Si se multiplican entre sí, se
obtiene un número compuesto.
Ejemplo:
Si: 5 y 7 son primos,
5 × 7 = 35; 35 es un número
compuesto.
Característica
Dos o más números son
primos entre sí (PESI), si
tienen como único divisor
común a la unidad.
Ejemplo:
5 y 12 son PESI.
Números PEsi
Teorema de Gauss
Teorema fundamental de la
aritmética.
24 2
12 2
6 2
3 3
1
24 = 23 × 3
Sea N = aa × bb × cθ
• Cantidad de divisores
CD(N) = (a + 1)(b + 1)(θ + 1)
• Suma de divisores
SD(N) =
aa+1,−,1
a,−,1
bb+1,−,1
b,−,1
cθ+1,−,1
c,−,1
Estudio de los divisores
82
Rpta. Rpta.
Sabiendo que el número A = 28n × 70 tiene
120 divisores, encuentra el valor de n3 + n2 + n.
Resolución:
Sabiendo que el número A = 54n × 180 tiene
210 divisores, encuentra el valor de n3 + n2 − n.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Si el número A = 45 × 60n tiene 100 divisores,
determina el valor de n2 + 5n.
Resolución:
Si el número A = 56 × 35n tiene 224 divisores,
determina el valor de n2 − 5n.
Resolución:
43
65
83MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta. Rpta.
¿Cuántos divisores compuestos tiene el número
A = 159 − 157?
Resolución:
¿Cuántos divisores compuestos tiene el número
A = 248 − 246?
Resolución:
7 8
Rpta. Rpta.
Si el número A = 7n + 2 + 7n tiene 48 divisores,
calcula el valor de n2 + n + 1.
Resolución:
Si el número A = 13n + 2 − 13n tiene 144 divisores,
calcula el valor de n2 − n + 1.
Resolución:
9 10
84
Rpta. Rpta.
Sabiendo que el número A = 12n + 2 − 12n tiene
364 divisores, halla cuántos divisores tiene
n2 + n + 3.
Resolución:
Sabiendo que el número A = 20n + 2 − 20n tiene
528 divisores, halla cuántos divisores tiene
n2 − n + 4.
Resolución:
¿Cuántos divisores compuestos tiene el número
A = 97 + 94?
Resolución:
¿Cuántos divisores compuestos tiene el número
A = 88 + 85?
Resolución:
Rpta. Rpta.
11 12
13 14
85MateMática Delta 2 - aritMética
15
17
16
18
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Si el numeral A = 40n × 32 tiene 90 divisores,
halla cuántos divisores compuestos tiene
B = 32n × 40.
Resolución:
Si el numeral A = 63n × 84 tiene 336 divisores,
halla cuántos divisores compuestos tiene
B = 84n × 72.
Resolución:
Si A = 45n tiene 91 divisores, calcula el valor de
n.
Resolución:
Si A = 56n tiene 225 divisores, calcula el valor de
n.
Resolución:
86
Sabiendo que A = 90n × 28 tiene 625 divisores
compuestos, halla cuántos divisores tiene el
número B = 282n × 90n + 1.
Resolución:
Sabiendo que A = 80n × 56 tiene 284 divisores
compuestos, halla cuántos divisores tiene el
número B = 542n × 120.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Si A = 864n tiene 157 divisores compuestos, calcula
el valor de n.
Resolución:
Si A = 144n tiene 228 divisores compuestos, calcula
el valor de n.
Resolución:
19 20
21 22
87MateMática Delta 2 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
A 765 B 762 C 762
D 763 E 761
Calcula cuántos divisores compuestos tiene el
número 7204.
2
A 1820 B 1819 C 1821
D 1822 E 1824
Determina cuántos divisores compuestos tiene el
número 245 × 703.
3
A 52 B 53 C 54
D 55 E 56
Halla la cantidad de divisores compuestos que
tiene el número 2882.
1
El número 124 × 32n tiene 170 divisores. Encuentra
el valor de n.
4
A 3 B 4 C 5
D 6 E 7
El numeral 243 × 362 × 15n tiene 616 divisores.
Descubre el valor de 4n.
El número 50n × 60 tiene un total de 140 divisores.
Halla cuántos divisores tiene el valor de 2(n2 + 2n).
5
6
A 10 B 12 C 14
D 15 E 16
A 15 B 12 C 18
D 10 E 16
88
El número 28 × 105n tiene un total de 450 divisores.
Calcula cuántos divisores tiene el valor de 3(n2 + 2).
7 10
A 4 B 6 C 8
D 9 E 10
A 4 B 6 C 8
D 9 E 12
A 84 B 135 C 144
D 180 E 120
El número 84 × 56n tiene 120 divisores. Determina
cuántos divisores tiene el valor de (4n + 4).
8
Si el número 60n × 75 tiene 210 divisores. Encuentra
cuántos divisores tiene el valor de 75n × 60
9
Nivel II
A 24 B 20 C 32
D 36 E 18
El número 104n × 72 tiene 152 divisores
compuestos. Descubre cuántos divisores tiene el
valor de 12n + 12.
A 70 B 72 C 74
D 76 E 78
El número 12n × 20n el cual tiene 421 divisores
compuestos. Halla cuántos divisores compuestos
tiene el valor de 8n + 2 ‒ 8n.
11
A 364 B 384 C 388
D 390 E 392Calcula la cantidad de divisores de 282 × 30 y
42 × 603. Da como respuesta la suma de ambos
resultados.
12
89MateMática Delta 2 - aritMética
13
A 42 B 45 C 48
D 54 E 60
¿Cuántos divisores más tiene el número 10 800
que el número 7007?
A 60 B 61 C 62
D 64 E 65
¿Cuántos divisores compuestos tiene el número
244?
14
A 22 B 24 C 26
D 28 E 30
¿Cuántos divisores compuestos tiene el número
283 + 282?
15
A 50 B 52 C 55
D 58 E 60
¿Cuántos divisores compuestos tiene el número
1243 ‒ 1242?
16
A 152 B 136 C 142
D 140 E 144
¿Cuántos divisores compuestos tiene el número
842 × 143?
17
18 Determina cuántos divisores compuestos tiene el
número 1562 × 563.
A 489 B 499 C 500
D 502 E 504
90
A 144 B 146 C 148
D 150 E 145
El número 72n × 18 tiene 154 divisores, encuentra
cuántos divisores compuestos tiene el número
54n × 45.
19
22
Dado el número 98n × 702 el cual tiene 227 divisores
compuestos, descubre cuántos divisores
compuestos tiene el número 54n + 1 + 54n.
20
Nivel III
A 252 B 260 C 258
D 255 E 256
A 10 B 12 C 15
D 16 E 18
El número 10n × 324 tiene 96 divisores. ¿Cuántos
divisores tiene el valor de 5(n2 + n)?
Si A = 66n tiene 121 divisores compuestos, calcula
el valor de n.
21 24
A 36 B 54 C 60
D 40 E 56
El número 24n × 42 tiene 34 divisores más
que el número 720, ¿cuántos divisores tiene
42n × 12?
A 5 B 6 C 4
D 3 E 2
A 48 B 47 C 50
D 52 E 49
Sabiendo que el número 9n + 2 ‒ 9n tiene 106 divisores
más que el número 420, halla cuántos divisores
que no son primos tiene 9n + 2 + 9n.
23
Nombre: n.° de orden: Sección:
91MateMática Delta 2 - aritMética
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Sabiendo que
a
5
+
b
11
= 0,763; halla el valor de
a2 + b2
b ÷ a
.
El perímetro de una piscina cuadrada mide
30,4 metros, calcula su área.
1
2
3
Un padre de familia compró 18 cuadernos,
9 lapiceros y 4 correctores líquidos. Si cada
lapicero le costó S/ 1,2 y pagó S/ 2,3 por corrector
líquido, gastando un total de S/ 107. Encuentra
cuánto gastó en cada cuaderno.
Desde 78 al 284, descubre cuántos números son
divisibles por 15.
Halla cuántos números de tres cifras son
divisibles por 27.
4
5
6
C D
BA
1012
45
C D
BA
4,74,37
4,654,83
C D
BA
1613
1514
C D
BA
57,66 m257,67 m2
57,76 m256,76 m2
C D
BA
4542
4339
C D
BA
3336
3435
Sabiendo que
E
37
= 3,918, determina la suma de
los cuadrados de las cifras de E.
Test n.° 2
92
A una fiesta de promoción asistieron 400 personas.
Del total de las mujeres que asistieron se sabe
que la tercera parte tiene cabello largo, los 3
8
son deportistas y los 13
22
son mayores de edad.
Encuentra cuántas mujeres no son deportistas.
En el primer año de secundaria hay 195 alumnas
en total. Se sabe además que las mujeres, los
7
15
viven en Surco, a los
11
21
les gusta la salsa
y a
1
3
les gusta la Aritmética. Determina cuántas
mujeres no viven en Surco.
¿Cuántos divisores compuestos tiene el número
7204?
7
8
9
Sabiendo que B = 32n. 729 tiene 112 divisores,
calcula el valor de n.
¿Cuántos divisores compuestos tiene el número
A = 367 - 365 ?
¿El numeral A = 11 . 273 . 2n+3 tiene 200 divisores.
¿Cuántos divisores tiene el valor de (n2 + 4)?
10
11
12
C D
BA
760764
761765
C D
BA
6054
10556
C D
BA
165132
176198
C D
BA
82
410
C D
BA
963960
962964
C D
BA
53
24
Tema
93MateMática Delta 2 - aritMética
Aspectos previos
Divisor
Un divisor entero positivo n es divisor del entero A siempre y cuando el número A resulta
de multiplicar n por un entero cualquiera, tal como k.
Ejemplos:
• Los divisores de 28 son:
1; 2 ; 4; 7; 14; 28
• Los divisores de 210 son:
1; 2; 3; 5; 6; 7; 10; 14; 15; 21; 30; 35; 42; 70; 105; 210
Múltiplo
El múltiplo de un entero n se obtiene al multiplicar n por cualquier otro número entero.
Ejemplos:
• Los múltiplos de 12 son:
...; –36; –24; –12; 0; 12; 24; 36; ...
• Los múltiplos de –9 son:
...; –27; –18; –9; 0; 9; 18; 27; ...
Conclusiones:
• Los divisores de un número forman un conjunto finito.
• Los múltiplos de un número forman un conjunto infinito.
• Los divisores de un número siempre son positivos.
• Los múltiplos de un número pueden ser positivos o negativos.
• El número 1 es divisor de todo número. Es llamado divisor universal.
• El número 0 es múltiplo de cualquier número.
Máximo común divisor (MCD)
Dado un conjunto de dos o más elementos numéricos, su MCD es el mayor número
entero que divide exactamente a cada uno de los elementos de este conjunto.
También se dice que es el mayor divisor común que tienen y está contenido exactamente
en cada uno de estos elementos.
Ejemplo 1
Calcula el MCD de los números 5400; 13 500 y 22 500.
Resolución:
Usaremos la técnica de la factorización.
Proceso
5400 ; 13 500 ; 22 500 100 (factorizamos 100; divisor común)
54 ; 135 ; 225 9 (factorizamos 9; divisor común)
6 ; 15 ; 25 No hay más divisores comunes
Luego:
MCD(5400; 13 500; 22 500) = 100 × 9 = 900
son PESI
Máximo común divisor
y mínimo común múltiplo
En cualquier
triángulo rectángulo
con catetos a y b
e hipotenusa c, se
satisface:
a2 + b2 = c2
Resulta que existe
un número infinito de
tripletos de números
que satisfacen la
ecuación. Pero,
¿hay acaso alguna
tripleta de números
enteros positivos que
satisfacen:
an + bn = cn
para todo número
entero n ≥ 3?
Fermat señaló
al margen de un
libro, que tenía
una «demostración
realmente
maravillosa», para
esto, pero que
el margen era
demasiado pequeño
para contenerla.
Pierre de Fermat
y su último teorema
Cu rio s id a de s
6
94
(38 × 24 × 54) ; (36 × 56 × 76) 36 (divisor común)
(32 × 24 × 54) ; (56 × 76) 54 (divisor común)
(32 × 24) ; (52 × 76)
No hay más divisores comunes.
Luego: MCD(904; 1056) = 36 × 54
son PESI
Ejemplo 2
Calcula el MCD de 904 y 1056.
Resolución:
Usamos la técnica de la factorización, pero antes descomponemos canónicamente.
90 = 32 × 2 × 5 ⇒ 904 = 38 × 24 × 54
105 = 3 × 5 × 7 ⇒ 1056 = 36 × 56 × 76
Entonces:
Ejemplo 3
Sabiendo que el máximo común divisor de los números 7a y 1b(a + 4) es 18,
calcula el valor de a2 + b2.
Resolución:
Como MCD(7a ; 1b(a + 4)) = 18 debe cumplirse que:
7a = 18 ∧ 1b(a + 4) = 18 ⇒
� 7a = 18 × 4 = 72 = 18 ⇒ a = 2
� 1b6 = 18 × 7 = 126 = 18 ⇒ b = 2
Luego: a2 + b2 = 22 + 22 = 8
Determinación del
MCD y MCM
(usando los factores
primos)
1.° Escribe la
factorización prima
de cada número.
2.° Para calcular el
MCD, selecciona
todos los primos
que tienen en
común elevado al
menor exponente
que aparece en
la factorización;
luego, multiplica.
3.° Para calcular el
MCM multiplica
los factores
primos comunes
y no comunes
elevados al mayor
exponente que
aparece en la
factorización;
luego, multiplica.
Ejemplo 1
A = 24 × 35 × 72
B = 26 × 32 × 11
Luego:
MCD = 24 × 32
MCM = 26 × 35 × 72 × 11
Ejemplo 2
A = 25 × 72 × 133
B = 73 × 132
Luego:
MCD = 72 × 132
MCM = 73 × 133 × 25
Mínimo común múltiplo (MCM)
Dado un conjunto con dos o más elementos numéricos, su MCM es el menor número
entero positivo que contiene a cada uno de los elementos de este conjunto.
También se dice que es el menor múltiplo común positivo que contiene exactamente a
todos los elementos del conjunto.
Ejemplo 1
Calcula el MCM de los números 5400; 13 500 y 22 500
Usaremos la técnica de la factorización total.
Proceso
5400 ; 13 500 ; 22 500 100 (divisor común)
54 ; 135 ; 225 9 (divisor común)
6 ; 15 ; 25 5 (divisor no común)
6 ; 3 ; 5 5 (divisor no común)
6 ; 3 ; 1 3 (divisor no común)
2 ; 1 ; 1 2 (divisor no común)
1 ; 1 ; 1
Ejemplo 2
Calcula el MCM de 904 × 1056.
Usamos la técnica de la factorización total, pero antes descomponemoscanónicamente.
904 = 38 × 24 × 54
1056 = 36 × 56 × 76
Luego: MCM(5400; 13 500; 22 500) = 100 × 9 × 52 × 3 × 2
Import a nt e
95
95MateMática Delta 2 - aritMética
Las curiosidades
del número: 142 857
• Multiplicamos
142 857 × 7 y nos
da como resultado
un número muy
curioso, 999 999.
• Multiplicamos
142 857 por
2; 3; 4; 5 y 6,
obteniendo como
resultados una
serie de números
que contienen los
mismos dígitos en
el mismo orden,
como se ve a
continuación:
2 × 142 857 = 285 714
3 × 142 857 = 428 571
4 × 142 857 = 571 428
5 × 142 857 = 714 285
6 × 142 857 = 857 142
Entonces:
(38 × 24 × 54) ; (36 × 56 × 76) 36 (divisor común)
(32 × 24 × 54) ; (56 × 76) 54 (divisor común)
(32 × 24) ; (52 × 76) 52 × 76 (divisor no común)
(32 × 24) ; 1 32 × 24 (divisor no común)
1 ; 1 Luego MCM(904; 1056) = 36 × 54 × 52 × 76 × 32 × 24
= 38 × 56 × 76 × 24
Si dos números son PESI, entonces su MCD es igual a 1 y su MCM es el producto de
ellos.
Teoremas del MCM y MCD
Ejemplo 1
• MCD(30; 49) = 1
• MCM(30; 49) = 30 × 49
30 y 49 son PESI, entonces
• MCD(A; B) = 1
• MCM(A; B) = A × B
Si A y B son PESI, entonces.
Ejemplo 2
• Asumamos que MCD(ab1; ab3) = n ⇒
Calcula el máximo común divisor de los números ab1 y ab3.
ab1 = n
ab3 = n
• Pero observamos que ab3 – ab1 = n ⇒ 2 = n. Como los números evaluados son
impares, entonces la única posibilidad que esto ocurra es cuando n = 1.
• Luego, el máximo común divisor de estos números es 1, con el cual se afirma que
los números son primos entre sí.
Si entre dos números A y B, se observa que A es divisor de B, entonces el MCD es A y
el MCM es B.
Teorema 2
• MCD(A; B) = A
• MCM(A; B) = B
Si A es divisor de B, entonces
Ejemplo 1
MCD(18; 54) = 18
MCM(18; 54) = 54
18 es divisor de 54, entonces
MCD(84; 420) = 84
MCM(84; 420) = 420
84 es divisor de 420, entonces
MCD(5; ab0) = 5
MCM(5; ab0) = ab0
5 es divisor de ab0, entonces
¿Sa bía s qu e.. .?
96
Ejemplo 2
Sabiendo que el máximo común divisor de los números ab y 5 × ab es 24, calcula el
valor de su mínimo común múltiplo.
Resolución:
• Como observamos, el número ab está contenido en 5 × ab . Por lo tanto, el máximo
común divisor de ellos es igual al número menor.
MCD(ab; 5 × ab) = ab, (Por dato MCD = 24, entonces ab = 24)
• Los números son 24 y 120. Y como 120 contiene a 24, entonces el mínimo común
múltiplo de ellos es igual al número mayor.
⇒ MCM(24; 120) = 120
Determinación
del MCD
(Algoritmo euclidiano)
Para calcular el MCD
de dos números,
divide el mayor entre
el menor. Anota
el residuo y divide
el divisor anterior
entre este residuo.
Continúa el proceso
hasta que obtenga el
residuo CERO.
El MCD es el último
residuo positivo
obtenido en este
proceso.
Ejemplo:
Calcula el MCD de
497 y 217.
497 217
63 2
217 63
28 3
63 28
7 2
28 7
0 4
Luego
MCD(497; 217) = 7
Para dos números A y B se cumple que:
Teorema 3
Ejemplo 1
MCD(12; 8) = 4 y MCM(12; 8) = 24
entonces MCD(12; 8) × MCM(12; 8) = 12 × 8
4 × 24 = 12 × 8
96 = 96
Ejemplo
Si A = 8; A = 12 y A = 15 y MCM(8; 12; 15) = 120, entonces A = 120
Teorema 4
MCD(A; B) × MCM (A; B) = A × B
Ejemplo 2
Se sabe que el máximo común divisor de dos números es 35, y el producto de dichos
números es 77 175; calcula el valor de su mínimo común múltiplo.
Resolución:
• Sean los números A y B, de los cuales sabemos que:
MCD(A; B) = 35 ∧ A × B = 77 175
• Según el teorema MCD(A; B) × MCM(A; B) = A × B , reemplazando:
⇒ MCD(A; B) × MCM(A; B) = A × B
35 77 175
⇒ 35 × MCM(A; B) = 77 175
MCM(A; B) = 2205
Teorema 5
Si el MCD(A; B) = n; entonces, se afirma que:
• A = n × p
• B = n × q, siendo p y q PESI
• MCM(A; B) = n × p × q
De scu bre
Si A =
n1
n2
n3
nk
...
⇒ A = MCM(n1, n2, n3,..., nk) ; donde n ∈
+
97MateMática Delta 2 - aritMética
Ejemplo 1
24 = 6(4)
42 = 6(7), donde 4 y 7 son PESI
MCM(24; 42) = 6 × 4 × 7
MCD(24; 42) = 6, entonces
¿Cómo leer el
código de barras?
Es también conocido
en Europa como
sistema EAN -
European Article
Numbering o
Numeración Europea
de Artículos.
Es un método de
codificación que
permite identificar
casi de inmediato
todo tipo de
productos mediante
un lector especial
conectado a una
caja registradora
informatizada.
El código de barras
de todo producto
(técnicamente
denominado GTIN -
13), está conformado
por 13 dígitos, los
3 primeros indican
el país que otorga
el código, para el
Perú es el 775, los
siguientes cuatro
dígitos indican el
código de la empresa
o fabricante, los
siguientes cinco
dígitos identifican
las características
del producto y el
último es un dígito de
verificación o control.
País
CAMISA TIPo PoLo
r88230 - S/ 85,00
Código
empresa
Código
producto
Dígito
verificación
Ejemplo 2
Resolución:
Sabemos que el producto de dos números, ambos de dos cifras, es 2835. Si el máximo
común divisor de ellos es 9, calcula dichos números.
• Sean los números A y B, tales que MCD(A; B) = 9
• A = 9 × p
• B = 9 × q, donde p y q son PESI
• Como A × B = 2835 ⇒ (9 × p) (9 × q) = 2835
⇒ p × q = 35
5 7
Luego:
A = 9(5) = 45
B = 9(7) = 63
Se tienen tres varillas de alambre de cobre, cuyas
medidas son 144 cm, 192 cm y 120 cm. Se desea
cortarlas en pedazos de igual longitud y de la mayor
medida posible, calcula cuántos pedazos se obtendrán
sin que sobre ni falte material.
Resolución:
� Sea «N» la medida de cada pedazo obtenido; entonces como no debe sobrar ni
faltar material entonces al dividir cada varilla entre N debe salir exacto:
⇒ Total de pedazos = 144
N
+ 192
N
+ 120
N
� Aquí vemos que N es un divisor común, y como debe de la mayor medida,
entonces N es el MCD(144; 192; 120).
⇒ MCD(144; 192; 120) = 24 ⇒ N = 24 cm/pedazo
⇒ Total de pedazos =
(144 + 192 + 120) cm
24 cm/pedazo
= 19 pedazos
Determina cuántos números de tres cifras son múltiplos de 12 y de 18 al mismo
tiempo.
Resolución:
� Sea N uno de tales números buscados, y como debe ser múltiplo de 12 y 18
entonces N los contiene; siendo así se afirma que N = 12 y N = 18 .
Luego MCM(12; 18) = 36 ⇒ N = 36 = 36 × k
Pero N debe ser de tres cifras
⇒ 100 ≤ 36 × k ≤ 999
2,8 ≤ k ≤ 27,8
Elaboramos un cuadro:
k 3 4 5 ... 27
N = 36k 108 144 180 ... 972
Rpta. Hay 25 números.
Cu rio s id a de s
1
2
Ejercicios resueltos
Rpta. Se obtendrán 19 pedazos.
98
Dado un conjunto de dos o más elementos
numéricos, su MCD es el mayor número entero que
divide exactamente a cada uno de los elementos de
este conjunto.
También se dice que es el mayor divisor común que
tienen y está contenido exactamente en cada uno
de estos elementos.
Si dos números son PESI, entonces su MCD es
igual a 1 y su MCM es el producto de ellos.
Si entre dos números A y B, se observa que A es
divisor de B, entonces el MCD es A y el MCM es B.
Para dos números A y B se cumple que:
MCD(A; B) × MCM(A; B) = A × B
Dado un conjunto con dos o más elementos
numéricos, su MCM es el menor número entero
positivo que contiene a cada uno de los elementos
de este conjunto.
También se dice que es el menor múltiplo común
positivo que contiene exactamente a todos los
elementos del conjunto.
Máximo común divisor (MCD) Teorema 1
Teorema 2
Teorema 3
Teorema 4
Mínimo común múltiplo (MCM)
Rpta. Rpta.
Calcula el máximo común divisor y el mínimo
común múltiplo de los números 244 × 702 × 553 y
843 × 754 × 652, respectivamente.
Resolución:
Calcula el máximo común divisor y el mínimo
común múltiplo de los números 324 × 543 × 1202 y
362 × 983 × 1262, respectivamente.
Resolución:
Modela y resuelve
1 2
Síntesis
Si A =
n1
n2
n3
nk
...
⇒ A = MCM(n1, n2, n3,..., nk)
Donde n ∈ +
99MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
El máximo común divisor de dos números mayores
quedoce, es 9; y el producto de ellos es 3645.
Halla la diferencia de tales números.
Resolución:
El máximo común divisor de dos números
mayores que 10, es 8; y el producto de ellos es
1792. Halla la diferencia de tales números.
Resolución:
El máximo común divisor de dos números es 54,
y el mínimo común múltiplo de ellos es 15 552.
Si uno de los números es 486, determina cuántos
divisores tiene el mayor de dichos números.
Resolución:
El máximo común divisor de dos números es 45,
y el mínimo común múltiplo de ellos es 14 040. Si
uno de los números es 585, determina cuántos
divisores tiene el otro número.
Resolución:
3
5
4
6
100
El máximo común divisor de dos números
menores que 500 es 16, y el producto de ellos
es 10 240. Encuentra la suma de tales números.
Resolución:
El máximo común divisor de dos números es 28,
y el mínimo común múltiplo de ellos es 13 104.
Si uno de los números es 364, descubre cuántos
divisores tiene el mayor de dichos números.
Resolución:
El máximo común divisor de dos números es 35,
y el mínimo común múltiplo de ellos es 61 740. Si
uno de los números es 1260, descubre cuántos
divisores tiene el otro número.
Resolución:
El máximo común divisor de dos números de
dos cifras es 12 y el producto de ellos es 3024.
Encuentra la suma de tales números.
Resolución:
7 8
9 10
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
101MateMática Delta 2 - aritMética
El máximo común divisor de dos números es 14 y
la suma de ellos es 112. Calcula cuántas parejas
de números cumplen tales condiciones.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
El máximo común divisor de dos números es 26 y
la suma de ellos es 260. Calcula cuántas parejas
de números cumplen tales condiciones.
Resolución:
Un libro tiene entre 200 y 300 páginas, estas se
pueden contar de 15 en 15 y también de 18 en 18.
Halla cuántas páginas tiene este libro.
Resolución:
Un disco compacto tiene entre 300 y 400 canciones
en mp3, estas se pueden contar de 21 en 21 y
también de 24 en 24. Halla cuántas canciones
tiene este disco compacto.
Resolución:
11 12
13 14
102
Dos números, uno de tres cifras y otro de dos
cifras, tienen como máximo común divisor a 15, y
la diferencia de ellos es 120. Determina la suma
de dichos números sabiendo que no llega a 200.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Dos números, uno de tres cifras y otro de dos
cifras, tienen como máximo común divisor a 28, y
la diferencia de ellos es 196. Determina la suma de
dichos números sabiendo que es menor que 300.
Resolución:
Dos amigas trabajan como voluntarias en un hogar
de ancianos. De acuerdo con sus posibilidades de
tiempo, una de ellas va cada 8 días y la otra cada
12 días. Si hoy se encontraron las dos en el hogar
de ancianos, ¿cuántos días después volverán a
encontrarse en dicho hogar?
Resolución:
Dos amigos trabajan como voluntarios en
un albergue de perros. De acuerdo con sus
posibilidades de tiempo, uno de ellos va cada
12 días y el otro cada 15 días. Si hoy se encontraron
los dos en el albergue de perros, ¿cuántos días
después volverán a encontrarse en dicho lugar?
Resolución:
15 16
17 18
103MateMática Delta 2 - aritMética
19
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Encuentra cuántos números de tres cifras son
divisibles por 14, divisibles por 8 y divisibles por 12.
Resolución:
Encuentra cuántos números de tres cifras son
divisibles por 18, divisibles por 24 y divisibles por 20.
Resolución:
El mínimo común múltiplo de dos números es 864
y su producto es 10 368. Si uno de tales números
se encuentra entre 86 y 107, descubre el valor de
cada número.
Resolución:
El mínimo común múltiplo de dos números es
2940 y su producto es 41 160. Si uno de tales
números se encuentra entre 200 y 220, descubre
el valor de cada número.
Resolución:
20
21 22
104
Rpta. Rpta.
Sabiendo que el mínimo común múltiplo de
A = 40n + 2 × 18n – 1 y B = 24n – 2 × 702n tiene
4410 divisores; halla el valor de n2 + 4n, si n 11.
Resolución:
Sabiendo que el mínimo común múltiplo de
A = 603 × 108n + 2 y B = 72n + 2 × 842 tiene
4560 divisores, halla el valor de n2 − 3n.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Sabiendo que el mínimo común múltiplo de
A = 40n × 56 y B = 50n + 2 × 81 tiene 2850 divisores,
calcula el valor de n.
Resolución:
Sabiendo que el mínimo común múltiplo de
A = 20n − 3 × 42 y B = 100n + 1 × 121 tiene
1452 divisores, calcula el valor de n.
Resolución:
23 24
25 26
105MateMática Delta 2 - aritMética
Calcula el máximo común divisor de cada pareja
de números:
• 5400 y 6120
• 5096 y 4914
Da como respuesta la suma de ambos resultados.
A 516 B 528 C 536
D 576 E 542
Practica y demuestra
Nivel I
1
4
2 Halla el máximo común divisor de cada pareja de
números y da como respuesta la diferencia de
ambos resultados.
• 1170 y 2340 • 14 700 y 6720
Descubre cuántos divisores tiene el mayor número
de cuatro cifras, que es divisible por 14, por 15
y por 22.
El máximo común divisor de dos números es 63 y
su mínimo común múltiplo es 756. Calcula cuántos
divisores tiene el producto de dichos números.
A 720 B 750 C 620
D 690 E 640
A 64 B 54 C 84
D 96 E 94
El producto de dos números es 4704, y su máximo
común divisor es 14. Determina cuántas parejas
de números cumplen tales condiciones.
A 2 B 3 C 4
D 5 E 1
3
El producto de dos números es 11 664, y su
máximo común divisor es 18. Si los números son
mayores de 40, encuentra cuántas parejas de
números cumplen tales condiciones.
A 2 B 1 C 4
D 5 E 3
A 36 B 45 C 54
D 48 E 64
5
6
106
El máximo común divisor de dos números, ambos
de tres cifras, es 24 y su mínimo común múltiplo es
5184. Halla cuántos divisores compuestos tiene el
menor de dichos números.
El máximo común divisor de dos números
A = 24n × 843 y B = 28n + 2 × 522 tiene 60 divisores.
Determina cuántos divisores compuestos tienen el
número A, sabiendo que n > 2.
Sabiendo que el mínimo comúm múltiplo de
los números A = 96n × 883 y B = 154n + 2 × 482
tiene 3600 divisores. Encuentra cuántos divisores
compuestos tiene su máximo común divisor.
Además se sabe que n > 2.
A 9 B 11 C 17
D 20 E 14
A 440 B 442 C 444
D 446 E 448
A 180 B 172 C 176
D 168 E 164
7
9
8
En un acantilado hay 3 faros: uno gira en 1 minuto
12 segundos; otro, en 1 minuto 24 segundos; el
tercero, en 1 minuto 4 segundos. Iluminan juntos a
partir de la 6:00 p. m. y se apagan a las 5:00 a. m.
del día siguiente. En ese lapso, descubre cuántas
veces iluminaron juntos.
10
A 8 B 9 C 10
D 11 E 12
Halla cuántos divisores tiene el mínimo común
múltiplo y el máximo común divisor de 504; 693
y 630. Da como respuesta la suma de ambos
resultados.
12
A 105 B 102 C 104
D 110 E 108
Tenemos que llenar tres cilindros de capacidades
294; 378 y 462 litros. Para ello se usará un único
balde de máxima capacidad (una capacidad
entera en litros). Calcula cuántos viajes deberá
realizar para llenarlos exactamente.
11
A 54 B 81 C 162
D 36 E 27
107MateMática Delta 2 - aritMética
Las edades de dos amigos están en relación de
4 a 7. Si la suma del mínimo común múltiplo de
sus edades con su máximo común divisor es 174,
encuentra la diferencia de sus edades.
Sabiendo que el máximo común divisor de dos
números es 36 y su mínimo común múltiplo es
4752, descubre cuántas parejas de números
cumplen tales condiciones.
14
15
A 12 B 15 C 18
D 21 E 24
A 6 B 2 C 3
D 5 E 4
Se han plantado árboles igualmente separados
en el contorno de un campo triangular cuyos lados
miden 684; 1080 y 1440 metros. Sabiendo que
hay un árbol en cada vértice y que la distancia
entre dos árboles consecutivos está comprendida
entre 10 y 32 metros, determina cuál es el menor
número de árboles y plantados.
13
A 356 B 178 C 89
D 534 E 248
Sabiendo que el producto de dos números, ambos
de dos cifras, es 7007 y que su máximo común
divisor es 7, calculacuántos divisores tiene la
suma de dichos números.
16
La suma de los cuadrados de dos números es
23 850. Si el máximo común divisor de tales
números es 15, halla cuántos divisores compuestos
tiene el producto de dichos números.
La diferencia de dos números, ambos de tres
cifras, es 504, y su máximo común divisor es 42.
Determina cuántas parejas de números cumplen
tales condiciones.
17
18
A 10 B 12 C 15
D 16 E 18
A 20 B 17 C 18
D 15 E 16
A 3 B 5 C 6
D 4 E 7
108
A S/ 460,40 B S/ 417,40
C S/ 518,40 D S/ 446,40
E S/ 475,40
Un vendedor tiene entre 600 y 800 naranjas y
puede agruparlas en cajas de 15 en 15, de 18 en
18 y de 24 en 24 sin que sobre alguna. Descubre
cuánto dinero obtendría, si vendiera sus naranjas
a S/ 0,62 c/u.
Sabiendo que el mínimo común múltiplo de los
números A = 108n ‒ 1 × 782 y B = 162n × 562 tiene
3915 divisores, calcula cuántos divisores tiene su
máximo común divisor. Además se sabe que n > 6.
20
21
A 300 B 294 C 336
D 286 E 308
El máximo común divisor de los números
A = 60n + 1 × 72 y B = 72n ‒ 1 × 98 tiene 312 divisores.
Encuentra cuántos divisores tiene el número B,
sabiendo que n > 7.
19
A 1326 B 1224 C 1248
D 1404 E 1377 Un gallo canta cada 8 minutos y otro, cada
12 minutos. Si ambos cantan a la 6:00 a. m.,
determina a qué hora volverán a cantar juntos
después de las 9 a. m.
Dos ciclistas compiten en una pista circular; el
primero tarda 15 segundos en dar la vuelta y el
segundo 18 segundos. Si ambos parten del mismo
punto, halla al cabo de cuánto tiempo volverán a
encontrarse por tercera vez.
Encuentra cuál es la mínima cantidad de pedazos,
de igual longitud, que pueden obtenerse dividiendo
tres varillas de 720; 900 y 480 milímetros, sin
desperdiciar material, si el tamaño de cada
pedazo está comprendido entre 13 y 28 mm.
A 9:10 a. m. B 9:12 a. m.
C 9:14 a. m. D 9:08 a. m.
E 9:06 a. m.
A 2 min 20 s B 3 min 30 s
C 4 min 30 s D 5 min 06 s
E 4 min 40 s
A 175 B 140
C 105 D 70
E 210
23
22
24
Tema
109MateMática Delta 2 - aritMética
Razones
Una razón es la relación que se establece entre dos cantidades. Esta relación permite
compararlas y tal comparación se realiza generalmente mediante una división indicada.
En general:
Si las cantidades son A y B, entonces la relación entre A y B se puede escribir como:
A
B
Esta expresión se lee como:
� La relación de A y B.
� La razón entre A y B.
Además:
• A es el antecedente
• B es el consecuente
Si tenemos que A
B
5
7
= ⇒ Se leerá como
� La relación entre A y B es de 5 a 7.
� La razón entre A y B es 5/7.
� Por cada 5 unidades de A se tiene
7 unidades de B.
� Además: A = 5k ∧ B = 7k
Ejemplo 1
En un recipiente se encuentran mezclados 45 litros de ron con 27 litros de gaseosa,
estableceremos la relación que hay entre los volúmenes de estos dos ingredientes.
� R será el volumen de ron.
� G será el volumen de gaseosa.
R
G
45
27
= o
R
G
15
9
= o
R
G
5
3
=
Podemos realizar las siguientes lecturas:
� En
R
G
45
27
= Por cada 45 litros de ron hay 27 litros de gaseosa.
• En R
G
15
9
= Por cada 15 litros de ron hay 9 litros de gaseosa.
• En R
G
5
3
= Por cada 5 litros de ron hay 3 litros de gaseosa.
Como observamos, la relación entre R y G se puede expresar de formas similares. Sin
embargo, se recomienda usar aquella expresión donde los valores están reducidos; así
tendremos que:
R
G
5
3= Se leerá como
• La relación entre R y G es de 5 a 3.
• La razón entre R y G es 5/3.
• Por cada 5 de R se tiene 7 de G.
• Además: R = 5k ∧ G = 3k
Ejemplo 2
Para cocinar el arroz, se recomienda que por cada 2 tazas de arroz se deben utilizar 3
tazas con agua. Establezcamos la relación:
Ar
Ag
2
3
• Ar será la cantidad de arroz
• Ag será la cantidad de agua
=
Como dijimos, la relación se puede escribir de formas similares pero con sus valores
correspondientes.
7
La razón es uno
de los conceptos
matemáticos
aplicados con mayor
frecuencia en la vida
diaria. El promedio de
goles anotados por
cada partido de un
jugador es realmente
una razón.
La pendiente o
inclinación de
un tejado puede
expresarse como una
razón.
Obse rva
110
Arroz (Ar) Agua (Ag)
2 3
4 6
6 9
8 12
2k 3k
Como
Ar
Ag
=
2
3
⇒
Ar = 2k
Ag = 3k
Ejemplo 3
Resolución:
En el metropolitano se ha observado que por cada 8 personas que están hablando por
celular hay 6 personas que no lo están. Si están viajando 154 personas, calcula cuántos
están hablando por el celular.
Sean:
� A personas hablando por celular
� B personas que no hablan por celular
A
B
= 8
6
4
3
A = 4k
B = 3k
Además, viajan 154 personas A + B = 154 k = 22
A = 4(22) = 88
B = 3(22) = 664k 3k
En algunas ocasiones nos encontraremos con dos razones distintas que tienen como
nexo común a una de las incógnitas; frente a ello, una alternativa de solución será
obtener un sistema de ecuaciones que conduce a la solución; otra de las opciones
consiste en homogeneizar las razones, cuyo proceso mostraremos a continuación.
Ejemplo 1
Sabiendo que
A
B
=
5
6
y
B
C
=
8
7
vemos que el nexo es la incógnita B.
La incógnita B se cuenta de 6 en 6 y también de 8 en 8.
Ahora, buscamos el menor número que contenga al 6 y al 8, siendo este el 24. Así, la
incógnita B deberá contarse de 24 en 24, para ello haremos:
A
B
5 × 4
6 × 4
= y B
C
8 × 3
7 × 3
= A
B
20
24
= B
C
24
21
=
A = 20k
B = 24k
C = 21k
Ejemplo 2
Sabiendo que
A
B
= 5
7
y
B
C
= 4
9
vemos que el nexo es la incógnita B.
La incógnita B se cuenta de 7 en 7 y también de 4 en 4.
Ahora, buscamos el menor número que contenga al 7 y al 4, siendo este el 28. Así la
incógnita B deberá contarse de 28 en 28, para ello haremos:
A
B
5 × 4
7 × 4
= y
B
C
4 × 7
9 × 7
=
A
B
20
28
=
B
C
28
63
=
A = 20k
B = 28k
C = 63k
La famosa ecuación
de Einstein que
muestra la relación
entre la energía y la
masa:
E = mc2
Donde c es la
velocidad de la luz,
es quizás la ecuación
más famosa de las
ciencias que se
expresa como una
razón.
E
m
= c2
Homogeneización de razones
111MateMática Delta 2 - aritMética
H – 2
5
H
M + 3
8
M
En una granja se crían pavos y cerdos, encontrándose estos en la relación de
5 a 9 respectivamente. Si al contar las patas de estos animales se obtienen 2208,
determina en qué relación se encontrarán ahora, luego de que nacieron 28 pavos
y se vendieron 52 cerdos.
Resolución:
Sean:
P: número de pavos
C: número de cerdos
• Los pavos y cerdos están en relación de 5 a 9.
P
C
= 5
9
• P = 5k
• C = 9k
• Al contar las patas se obtienen 2208.
Patas de pavos + Patas de cerdos = 2208
2(5k) + 4(9k) = 2208
46k = 2208 k = 48
Nueva
relación =
P + 28
C – 52 =
240 + 28
432 – 52 =
268
380
67
95
Rpta. La nueva relación es de 67 a 95.
Al inicio de una fiesta se observó que por cada 11 varones habían 8 mujeres. Si
luego de media hora, tras un nuevo conteo, se ha determinado que la cantidad de
varones disminuyó en sus 25 y la de mujeres aumentó en sus
3
8 . Halla cuál es la
nueva relación de mujeres y hombres bajo estas condiciones.
Resolución:
Sean:
H : cantidad de hombres que había al inicio.
M: cantidad de mujeres que había al inicio.
• Por cada 11 varones habían 8 mujeres.
H
M
= 11
8
� H = 11k
� M = 8k
• Los varones disminuyen en sus 2
5
y las mujeres aumentan en sus 3
8
.
Nueva
relación = =
3
5 H
11
8
M
= 2455
× H
M =
24
55
× 11k
8k =
3
5
Rpta. La nueva relación entre hombres y mujeres es de 3 a 5.
Platón
(420-348 a. C.)
Filósofo griego.
Junto con su
maestro Sócrates
y su discípulo
Aristóteles, Platón
es la figura central
de los tres grandes
pensadores en que
se asienta toda la
tradición filosófica
europea. Ejerció una
gran influencia en
el desarrollo de las
ciencias exactas.
Fundó en Atenas la
famosa Academia.
En su entrada
había un rótulo que
decía: «Nadie entre
aquí que no sepa
Geometría».
Entre otras frases
característicasde
Platón, se encuentran
las siguientes: «Los
números gobiernan
el mundo» o «cuando
Dios ordenó el
mundo, lo adornó de
formas y números».
¿Sa bía s qu e.. .?
1
2
Ejercicios resueltos
• Nacieron 28 pavos y se venden 52 cerdos.
P = 5(48) = 240
C = 9(48) = 432
112
Rpta. Rpta.
En una cesta, el número de manzanas y el número
de peras se encuentran en relación de 7 a 9,
respectivamente. Si luego agregamos 7 manzanas
y 7 peras la relación es ahora de 14 a 17. Calcula
cuántas peras había inicialmente.
Resolución:
En una cesta, el número de naranjas y el número
de piñas se encuentran en relación de 4 a 7,
respectivamente. Si luego agregamos 24 naranjas
y 18 piñas la relación es ahora de 8 a 13. Calcula
cuántas piñas había inicialmente.
Resolución:
comparación entre
dos cantidades.
Aritmética (R.A.)
Comparación de dos cantidades
Comparación de dos cantidades
Ejemplo: 12 – 5 = 7 → valor de la razón aritmética
antecedente consecuente
antecedente
consecuente valor de la razón geométrica
Ejemplo:
=
mediante una sustracción.
mediante una división.
Geométrica (R.G.)
es la
Razón
3
27
1
9
Modela y resuelve
1 2
Síntesis
113MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
El peso de un tanque cisterna y el peso de agua que
debe contener se encuentran en relación de 3 a 7.
Si luego de instalar uno de estos dispositivos y llenar
con agua hasta la tercera parte, se observa que el
peso total es de 688 kg, halla cuántos litros de agua
se deben agregar para que se llene la cisterna.
Resolución:
Las cantidades de dinero que tienen Alexa y Brenda
están en relación de 8 a 5. Si Alexa le diera S/ 24 a
Brenda, entonces la relación sería ahora de 8 a 7,
determina cuánto dinero tendría Alexa.
Resolución:
Las cantidades de dinero que tienen Alex y
Berenice están en relación de 7 a 6. Si Berenice
le diera S/ 42 a Alex, entonces la relación sería
ahora de 3 a 2, determina cuánto dinero tendría
Alex.
Resolución:
El peso de un tanque cisterna para agua es al
peso de agua que debe contener como 2 es a 5. Si
luego de instalar uno de estos dispositivos y llenar
con agua hasta la mitad, se observa que el peso
total es de 3024 kg, halla cuántos litros de agua se
deben agregar para que se llene la cisterna.
Resolución:
3
5
4
6
114
Rpta.
Rpta.
Rpta.
En un almacén, la cantidad de tornillos de
3 pulgadas y los de 2 pulgadas se encuentran
en relación de 11 a 8. Si los tornillos de mayor
tamaño se venden a S/ 0,35 cada uno y los otros
a S/ 0,28 cada uno, se recaudaría S/ 304,50.
Encuentra cuánto se recaudaría al venderse
todos al menor precio.
Resolución:
Hace 5 años, las edades de dos hermanos se
encontraban en la relación de 3 a 2 y dentro de
5 años sus edades estarán en relación de 5 a 4.
Encuentra cuántos años tiene el mayor.
Resolución:
En un almacén, la cantidad de focos ahorradores
de 36 W y la de 27 W se encuentran en relación
de 9 a 5. Si los focos de mayor potencia se
vendieron a S/ 4,80 y los otros a S/ 4,50 cada
uno, se recaudaría S/ 838,50. Descubre cuánto
se recaudaría al venderse todos al mayor precio.
Resolución:
7 8
9 Luego de un concierto musical se observó que
la cantidad de hombres y mujeres que asistieron
estuvieron en relación de 9 a 14. Los precios de
las entradas fueron de S/ 52 para los hombres y
S/ 42 para las mujeres. Si el monto recaudado por
los hombres y mujeres es de S/ 47 520, descubre
cuántos hombres más debieron entrar para que la
relación haya sido de 2 a 2.
Resolución:
Rpta.
10
115MateMática Delta 2 - aritMética
Luego de un concierto musical se observó que
la cantidad de hombres y mujeres que asistieron
estuvieron en relación de 9 a 13, respectivamente.
Los precios de las entradas fueron de S/ 58 para
los hombres y S/ 46 para las mujeres. Si el monto
recaudado por las mujeres supera al de hombres
en S/ 7980, calcula cuántos hombres más debieron
entrar para que la relación haya sido de 1 a 1.
Resolución:
Rpta.
En una fiesta se observa que la cantidad de
hombres y mujeres están en relación de 3 a 4,
respectivamente. Si luego de este conteo llegan
18 parejas y debido a esto la razón anterior
cambia a 67 , calcula cuántas mujeres estaban en
la fiesta antes de llegar estas parejas.
Resolución:
Rpta.
En una fiesta de graduación se observó, en cierto
momento, que de cada 12 mujeres asistentes,
5 de ellas no bailan. Si todos los hombres están
bailando y estos son 26 más que el número de
las mujeres que no bailan, halla cuántas personas
asistieron.
Resolución:
En una fiesta de graduación se observó, en cierto
momento, que de cada 13 mujeres asistentes,
8 de ellas no bailan. Si todos los hombres están
bailando y estos son 18 menos que el número de
las mujeres que no bailan, halla cuántas personas
asistieron.
Resolución:
Rpta. Rpta.
11 12
13 14
116
De un grupo de personas entre hombres y mujeres,
se observó que al retirarse 15 mujeres entonces
quedan 2 hombres por cada 3 mujeres, luego se
retiran 45 hombres quedando entonces 3 hombres
por cada 5 mujeres. Determina finalmente cuántas
personas quedaron.
Resolución:
Rpta.
Contando los ahorros de Armando, Bernardo y
Cuasimodo; se observó que por cada S/ 9 que tiene
Armando, Bernardo tiene S/ 8; también la relación
entre los ahorros de Bernardo y Cuasimodo es de
6 a 11, respectivamente. Determina cuánto suman
los ahorros de estas tres personas, si la diferencia
entre los ahorros de Cuasimodo y Armando es de
S/ 480,25.
Resolución:
Rpta.
En una granja se observa que por cada 4 gallinas
hay 5 pollos, y por cada 9 lechones hay 8 pollos.
Si el total de patas es 2592, encuentra cuánto se
recaudaría si cada lechón se vende en S/ 300.
Resolución:
En una granja se observa que por cada
3 gallinas hay 4 pollos, y por cada 7 cuyes hay
9 pollos. Si el total de patas es 1666, encuentra
cuánto se recaudaría si cada cuy se vende en
S/ 25.
Resolución:
Rpta. Rpta.
15 16
17 18
117MateMática Delta 2 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
La cantidad de dinero que tiene Carlos es a la
cantidad de dinero de Brandon como 5 es a 13,
respectivamente. Si Brandon le diera S/ 102 a
Carlos, entonces tendrían la misma cantidad de
dinero; determina cuánto dinero tiene Carlos.
3
En una caja hay 150 cuadernos, 90 son de
pasta roja y el resto de pasta azul. Halla cuántos
cuadernos rojos se deben retirar para poder
afirmar que por cada 5 cuadernos rojos se
encuentran 4 azules.
2
En una granja el número de pollos y el de gallinas
malheridas, se encuentran en relación de 3 a 5,
respectivamente. Si luego se mueren 12 gallinas, se
observa que la nueva relación es de 2 a 3, calcula
cuántas gallinas malheridas quedaron en la granja.
1
A 110 B 108 C 112
D 114 E 116
A 20 B 15 C 24
D 30 E 25
A S/ 136,50 B S/ 129,50
C S/ 145,50 D S/ 132,50
E S/ 127,50
Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 años,
respectivamente. Encuentra dentro de cuántos
años sus edades estarán en la relación de 7 a 6.
4
En una fábrica trabajan 420 personas y se observa
que por cada 4 hombres hay 3 mujeres. Descubre
cuántas mujeres deben contratarse de tal forma
que se observe 3 hombres por cada 5 mujeres.
5
Pedro lleva 280 monedas de S/ 1 y de S/ 5,
observándose que por cada 3 monedas de S/ 5
hay 7 monedas de S/ 1. Calcula la cantidad de
dinero que le quedaría, si gasta 3 partes de las 8
en las que dividió su dinero.
6
A 8 B 10 C 12
D 14 E 2
A 200 B 220 C 210
D 240 E 230
A S/ 355 B S/ 375 C S/ 395
D S/ 365 E S/ 385
118
A 135 B 110 C 105
D 115 E 125
Luego de un concierto musical, se observó que
la cantidad de hombres y mujeres que asistieron
estuvieron en la relación de 8 a 13, respectivamente.
Si los precios de las entradas fueron de S/ 48 los
hombres y S/ 36 para las mujeres. Si el monto
recaudado por los hombres es S/ 1932 menos
que lo recaudado con las mujeres,halla cuántas
mujeres debieron haberse retirado para que todos
queden en parejas.
7
A 4 h 28 min B 4 h 36 min
C 4 h 32 min D 4 h 08 min
E 4 h 16 min
Una fábrica cuenta con tres molinos que se
utilizan exclusivamente para obtener harina de
trigo, maíz y soya, respectivamente. Se sabe que
por cada 3 toneladas de harina de maíz obtenida,
se obtienen también 4 toneladas de trigo, y por
cada 6 toneladas de harina de trigo se obtienen
5 toneladas de soya. Si las máquinas iniciaron
su funcionamiento simultáneamente, y luego de
cierto tiempo se observa que se han obtenido
396,8 toneladas de harina. Descubre cuánto
tiempo se utilizó para obtener harina de maíz, si
el molino respectivo obtiene 1800 kg de harina de
maíz cada 4 minutos.
10
A 25,20 kg B 17,28 kg
C 19,36 kg D 21,42 kg
E 20,24 kg
En una escuela se han repartido 42 480 gramos de
cereales, en bolsas de 45 gramos. Se observó que
por cada 4 niñas hay 5 niños; un niño recibió 7 bolsas
y cada niña 6 bolsas, halla cuántos kilogramos de
cereales se repartieron entre todas las niñas.
12
En una caja de plumones para pizarra se tienen
plumones azules, rojos y negros. Se observa que
por cada 9 plumones azules hay 14 plumones
rojos y por cada 8 plumones rojos hay 11 plumones
negros. Si la cantidad de plumones negros excede
a los azules en 369; determina en cuánto excede
los plumones negros a los rojos.
8
A 252 B 189 C 168
D 192 E 231
9 La relación entre las edades de Renzo y Alexandra
es de 7 a 4, respectivamente. Si la edad de Renzo
hace 16 años y la de Alexandra dentro de 3 años
están en relación de 8 a 7, halla por cuántos años
es mayor Renzo que Alexandra.
A 27 B 18 C 21
D 30 E 24
11 La relación entre las cantidades de dinero
que tienen Andrea y Marcia es de 8 a 13,
respectivamente. Si Marcia le diera S/ 120,60 a
Andrea, ambas tendrían igual cantidad de dinero;
calcula cuánto dinero tiene Marcia.
A S/ 723,60 B S/ 675,36
C S/ 627,12 D S/ 627,38
E S/ 625,56
Nivel II
119MateMática Delta 2 - aritMética
A S/ 49 512,00 B S/ 48 324,60
C S/ 51 712,30 D S/ 50 832,40
E S/ 49 112,80
Dos agentes de la bolsa de valores compraron
cierta cantidad de acciones que están en la relación
de 8 a 13, respectivamente. Si en ambas compras
invirtieron S/ 111 568,80 y cada acción del primer
agente costó S/ 412,60 y la del segundo S/ 318,24;
descubre de cuánto fue la menor inversión.
15
Al inicio de año, en un colegio se han matriculado
336 alumnos, observándose que por cada 13
varones matriculados hay 15 mujeres matriculadas.
Si al final del año escolar la relación entre cantidades
de estudiantes varones y mujeres es de 4 a 3,
respectivamente; determina cuántas estudiantes
mujeres se retiraron.
18
A una fiesta asistieron 168 personas entre hombres
y mujeres, observándose que por cada 3 mujeres
hay 4 hombres. Si se retiran 30 parejas, calcula cuál
es la razón entre el número de mujeres y el número
de hombres que se quedan en la fiesta.
16
A 72 B 84 C 66
D 63 E 60
A 27 B 18 C 21
D 30 E 15
A 712 B
8
11 C
9
11
D 78 E
7
11
A S/ 51,30 B S/ 43,20
C S/ 46,50 D S/ 44,40
E S/ 48,60
La cantidad de dinero que Andrea tiene ahorrado
es al que tiene Blanca como 5 es a 3; y por cada
S/ 12 que Blanca tiene ahorrado, Camila tiene
ahorrado S/ 15. Si Andrea hubiera tenido S/ 129,50
menos entonces su dinero y la de Camila estarían
en relación de 3 a 4; determina la diferencia entre
los ahorros de Camila y Blanca.
13
La relación entre las edades de Raul y Alicia es
de 7 a 4, respectivamente. Si Raul hubiera nacido
16 años antes y Alicia 3 años después, la relación
de sus edades actuales sería de 3 a 1. Halla por
cuántos años es mayor Raul que Alicia.
14
Luego de romper su alcancía, Ariana observa que
tiene monedas de S/ 2 y de S/ 5 que se encuentran en
relación de 8 a 7, respectivamente. Si tiene S/ 306, halla
cuántas monedas más de S/ 2 debió haber depositado
en su alcancía para tener la misma cantidad de dinero
que tiene con las monedas de S/ 5.
17
A 57 B 54 C 58
D 56 E 59
120
A 118,7 kg B 108,5 kg
C 110,4 kg D 114,6 kg
E 112,5 kg
En la fabricación de concreto para techo se observa
que para una bolsa de cemento (de 42,5 kg) se
necesitan 20 litros de agua, mientras que la arena y
grava entran en relación de 2 a 3, respectivamente.
Si el cemento con el agua y la arena con grava se
mezclan en relación de 1 a 3. Descubre cuántos
kilogramos de arena se utilizará para construir una
columna, si el concreto para esta requiere de una
bolsa y media de cemento.
20
A 42 B 49 C 45
D 54 E 56
A S/ 336 B S/ 288 C S/ 384
D S/ 432 E S/ 360
A S/ 110 B S/ 130 C S/ 150
D S/ 120 E S/ 160
A 455 B 504 C 416
D 468 E 494
En la reunión con los vecinos de una urbanización,
para tratar temas de seguridad ciudadana, están
presentes 98 personas; observándose que por
cada 4 hombres hay 3 mujeres. Si de cada 12
personas que opinan 5 son mujeres, mientras que
de los que no opinan, hombres y mujeres están en
igual cantidad. Calcula cuántos hombres opinan.
21
Sabiendo que por cada S/ 5 que Andrea ahorra,
Beatriz ahorra S/ 6; mientras que por cada S/ 8
que Beatriz ahorra, Carmen ahorra S/ 9. Si al
doble de los ahorros de Andrea se le suma el triple
de los ahorros de Carmen, se obtiendría S/ 1452;
calcula cuánto tiene ahorrado Beatriz.
22
Se desea dividir S/ 2300 entre 3 personas, de manera
que por cada S/ 2 que reciba la primera, la segunda
recibirá S/ 3; y la razón entre lo que reciba la segunda
y la tercera persona sea 57 . Determina cuánto dinero
debe darle la tercera a la primera para que la relación
entre el dinero que tenga sea de 3 a 2, respectivamente.
23
A un evento deportivo asistieron 5 hombres adultos
por cada 4 mujeres adultas, y 3 mujeres adultas por
cada 7 niños. Si las entradas se vendieron a S/ 7,5
para los niños y S/ 32 los adultos, recaudándose
en total S/ 38 664. Encuentra la diferencia entre el
número de niños y el de hombres adultos.
24
En una reunión de hombres y mujeres, al contar el
número de mujeres se observó que esta cantidad y
el total de personas están en relación de 8 a 13. Si
la diferencia entre el número de mujeres y hombres
es de 36. Encuentra en qué relación se encontrarán
mujeres y hombres, si se retiran 12 mujeres.
19
A 7 a 5 B 8 a 7 C 9 a 8
D 7 a 6 E 6 a 5
Nivel III
Tema
121MateMática Delta 2 - aritMética
Proporciones
Es una igualdad, en el valor, que tienen dos razones. Toda proporción tiene cuatro
elementos, y generalmente se conocen tres de ellos para calcular el cuarto término.
En general, una proporción se escribe como:
a
b =
c
d
A esta proporción se denomina:
Proporción geométrica discreta
⇒
Donde:
• a y d son los términos extremos de la proporción.
• b y c son los términos medios de la proporción.
• d es llamado cuarta proporcional de a, b y c.
• Su lectura «a» es a «b» como «c» es a «d».
Ejemplo:
Resolución:
Calcula el valor de la cuarta proporcional de 15; 20 y 27.
Sea d el valor de la cuarta proporcional, y dado que tenemos los elementos de la
proporción se cumple: 15
20
=
27
d
⇒ d = 36 (36 es la cuarta proporcional de 15; 20 y 27)
¿Cuántos peces hay en un lago?
Proporción
Los biólogos pueden valerse de las proporciones para estimar el número de peces que
hay en un lago. Primero, recogen una muestra de peces y marcan cada espécimen con
una tinta inocua. Luego de algunas semanas, recogen una muestra similar de peces de
las mismas zonas del lago y determinan la proporción de peces previamente etiquetados
en la nueva muestra. La población total de peces se estima bajo la suposición de que la
proporción de peces marcados en la muestra nueva es la misma que la proporción de
peces etiquetados en todo el lago.
Suponiendo que los biólogos etiquetaron 300 peces el 1.° de mayo. Al regresar y tomar
una nueva muestra de 400 peces el 1.° de junio,encuentran que 5 de los 400 se habían
etiquetado anteriormente. Estima el número de peces en el lago.
Para hallar el número de peces, planteamos lo siguiente:
Sea N el número de peces en el lago, podemos establecer la siguiente proporción:
Peces marcados (1.° de mayo)
Total de peces en el lago
=
Peces encontrados con marca (1.° de junio)
Número total de la muestra (1.° de junio)
300
N
= 5
400
⇒ 24 000 = N
c
a
c
b
a
p
b
q
⇒ a2 = cp
C
A BN
⇒ b2 = cq
=
=Hay, aproximadamente, 24 000 peces en el lago.
Demostración
del teorema de
Pitágoras
Dado un triángulo
rectángulo ABC
cualquiera,
trazamos la altura
correspondiente al
vértice del ángulo
recto C. Con
esto obtenemos
tres triángulos
semejantes: BCN,
ANC y el propio ABC.
Al ser semejantes,
sus lados son
proporcionales,
lo cual nos da
las siguientes
igualdades:
Sumando las dos
igualdades
a2 + b2 = cp + cq
c(p + q)
c × c
c2
Luego: a2 + b2 = c2,
que es el teorema de
Pitágoras.
c
a
p q
b
¿Sa bía s qu e.. .?
8
122
Ejemplo 2
En una proporción continua, el producto de los términos extremos es 576. Halla el valor
de la media proporcional.
Sea la proporción
a
b
=
b
d
⇒ a × d = b × b ⇒ b2 = a × d
Además: a × d = 576
⇒ a × d = 576 ⇒ b2 = 576 ⇒ b = 24
b2
Teoremas en una proporción
Sabiendo que:
Teorema 1
a
b =
c
d
�
a + b
b =
c + d
d
�
a – b
b =
c – d
d
∧
∧
a + b
a =
c + d
c
a – b
a =
c – d
c
Teorema 2
Sabiendo que: a
b =
c
d
a + b
a – b =
c + d
c – d
Escalas
La escala es la relación que existe entre las dimensiones de un objeto real y su
representación sobre un plano o mapa. Esta relación se expresa como una proporción
según la escala utilizada.
Ejemplo:
Sea la escala utilizada 1:500 al dibujar el largo de un objeto, entonces:
Distancia en el plano
Distancia en la realidad
=
1
500
o
d (plano)
d (real)
=
1
500
Utilizar la escala 1:125 se escribe también como E1:125.
Cuando la proporción tiene los términos medios iguales, entonces la proporción
recibe el nombre de proporción continua, y se representa como:
a
b =
b
d
A esta proporción se denomina:
Proporción geométrica continua
⇒
Donde
• a y d son los términos extremos de la proporción.
• b es llamado media proporcional de a y d.
• d es llamado tercera proporcional de a y b.
• Su lectura es «a» es a «b» como «b» es a «d».
Ejemplo 1
Resolución:
Resolución:
Calcula el valor de la media proporcional de 20 y 45.
Sea b el valor de la media proporcional, y dado que tenemos los elementos de la
proporción se cumple:
20
b
=
b
45
⇒ b = 30 (30 es la media proporcional de 20 y 45)
Tipos de escalas
La escala es un
método gráfico que
nos permite dibujar
cualquier objeto
más grande o más
pequeño de lo que en
la realidad es. Esto
resulta muy útil, verás
por qué.
Existen los siguientes
tipos de escala:
Escala de
reducción: El dibujo
es más pequeño
que la realidad.
Será necesario si
queremos dibujar
o diseñar objetos
de gran tamaño,
como por ejemplo
carreteras, edificios,
estadios, barcos, etc.
¿Te imaginas trabajar
con un plano del
tamaño de un centro
comercial?
Escalas de
ampliación: El
dibujo es más grande
que la realidad.
Las usaremos
cuando el objeto es
tan pequeño que
necesitamos verlo
más grande para
poder entenderlo. Por
ejemplo, se usa en
el diseño de relojes,
aparatos electrónicos,
mecanismos, etc.
Recu e rda
Medida en el plano
Medida real
Escala =
123MateMática Delta 2 - aritMética
En una proporción geométrica, el producto de los términos extremos es 324. Si
uno de los términos medios es 6, calcula el valor del otro término medio.
Sea la proporción:
a
b =
c
d
⇒ a × d = b × c
La información del problema indica que: a × d = 324 ∧ b = 6
⇒ a × d = 324 ⇒ b × c = 324 ⇒ c = 54
b × c 6
Sobre una carta marina de E1:50 000 se mide una distancia de 6,5 cm entre dos
islotes. Determina qué distancia real, en kilómetros, hay entre ambos islotes.
d (plano)
d (real)
=
1
50 000
6,5 cm
d (real) =
1
50 000
⇒ d(real) = 325 000 cm
d(real) = 3,25 km
Se desea representar sobre una hoja de formato A3, la planta de un edificio de
60 m × 30 m, usando una E1:200. Halla las medidas sobre la hoja.
Sean
a
60 m
= 1
200
⇒ a = 0,3 m → a = 30 cm
b
30 m
= 1
200
⇒ b = 0,15 m → b = 15 cm
a largo en el plano
b ancho en el plano
Rpta. La medida del objeto sobre el plano será de 30 cm × 15 cm usando la E1:200.
Rpta. 3,25 km.
Rpta. 54
Sobre una hoja de formato A4 se representa una pieza de reloj de dimensiones
2 mm × 1 mm, usando una E10:1. Indica las dimensiones sobre la hoja.
Sean a largo en el plano
b ancho en el plano
d (plano)
d (real)
=
10
1
a
2 mm
= 10
1
⇒ a = 20 mm
b
1 mm
= 10
1
⇒ b = 10 mm
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
⇒
1 + 5
2
a + b
a
a
b=
a
a + b
b
El número phi y
curiosidades
Se trata de un
número que posee
muchas propiedades
interesantes y que
fue descubierto en la
antigüedad, no como
«unidad» sino como
relación o proporción.
Esta proporción
se encuentra tanto
en algunas figuras
geométricas como
en las partes de
un cuerpo, y en
la naturaleza
como relación
entre cuerpos, en
la morfología de
diversos elementos
tales como caracoles,
nervaduras de las
hojas de algunos
árboles, el grosor
de las ramas,
proporciones
humanas, etc.
Esta proporción
se da de manera
que al dividir un
segmento en dos
partes, la razón
entre la totalidad del
segmento y la parte
mayor sea igual a
la razón entre esta
(la parte mayor)
y la parte menor.
Matemáticamente,
siendo las partes a
y b:
¿Sa bía s qu e.. .?
1
2
3
4
Ejercicios resueltos
Rpta. Las dimensiones serán de 20 mm × 10 mm.
124
Rpta. Rpta.
Al llegar a un hotel nos han dado un mapa con los
lugares de interés de la ciudad, observando que
se utilizó una escala de 1:1200. Si hoy queremos
ir a un parque que se encuentra a 8 cm del hotel
en el mapa, calcula a qué distancia del hotel se
encuentra este parque.
Resolución:
Al llegar a un hotel nos han dado un mapa con
los lugares de interés de la ciudad, observando
que se utilizó una escala de 1:12 500. Si hoy
queremos ir a un hospital que se encuentra a
10,8 cm del hotel en el mapa, calcula a qué
distancia del hotel se encuentra este hospital.
Resolución:
Tiene términos
medios diferentes.
Tiene términos
medios diferentes.
Tiene términos
medios iguales.
Tiene términos
medios iguales.
Ejemplo:
8 – 5 = 4 – 1 Ejemplo:
15
35
= 27
63
Ejemplo:
20 – 15 = 15 – 10 Ejemplo:
18
12
= 12
8
a – b = c – d
Se lee:
«a es a b como c
es a d»
Donde:
b ≠ c
a
b
= c
d
Se lee:
«a es a b como c
es a d»
Donde:
b ≠ c
a – b = b – c
Se lee:
«a es a b como b
es a c»
a
b
= b
c
Se lee:
«a es a b como b
es a c»
Proporción aritmética
P. A.
Proporción geométrica
P. G.
Discreta DiscretaContinua Continua
a + d = c + b a × d = b × c
= =
Suma de
los términos
extremos
Producto de
los términos
extremos
Suma de
los términos
medios
Producto de
los términos
medios
Propiedad Propiedad
Modela y resuelve
1 2
Síntesis
125MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta.
Andrea vio una fotografía de la famosa pintura de
Vincent Van Gogh «Noche estrellada» en un libro
sobre la historia del arte. En el libro se menciona
que la pintura real mide 73,7 cm de alto pero no
incluyó el ancho. Andrea decidió medir la fotografia
y así conocer la longitud real de la pintura; la foto
midió 6,9 cm de alto por 8,6 cm de ancho. Halla el
ancho real, en cm, de la pintura.
Resolución:
3
Rpta.
Al llegar a un hotel nos han dado un mapa con
los lugares turísticos de la ciudad, y nos dijeron
que 12 cm del mapa representan 1800 metros de
la realidad. Hoy queremos ir a la municipalidad
que se encuentra a 7,8 cm del hotel en el mapa,
halla a qué distancia del hotel se encuentra la
municipalidad.
Resolución:
3 34
Rpta.Rpta.
Durante una investigación, fueron marcadas
43 ballenas azulesen las aguas de la Antártida.
Al año siguiente capturaron 70 ballenas azules
y encontraron que 6 de ellas tenían las marcas.
Estima el número total de ballenas azules que hay
en el área.
Resolución:
Unos biólogos marcaron 54 tiburones blancos
en las aguas de la Antártida. Al año siguiente
capturaron 86 tiburones blancos y encontraron
que 12 de ellos tenían las marcas. Estima el
número total de tiburones blancos que hay en
el área.
Resolución:
5 6
126
En una proporción de términos enteros, el producto
de los términos extremos es igual a 72 y la suma
de sus términos medios es igual a 17. Determina
la diferencia de los términos medios.
Resolución:
En una proporción de términos enteros, el
producto de los términos extremos es igual a 84
y la suma de sus términos medios es igual a 25.
Determina la diferencia de los términos medios.
Resolución:
Rpta. Rpta.
.
7 8
En una proporción de razón 0,6 se observa que
la suma de los términos de cada razón es 40 y
56, respectivamente. Encuentra la suma de los
términos medios de tal proporción.
Resolución:
Rpta. Rpta.
En una proporción de razón 0,8 se observa que
la suma de los términos de cada razón es 81 y
117, respectivamente. Encuentra la suma de los
términos medios de tal proporción.
Resolución:
9 10
127MateMática Delta 2 - aritMética
En una proporción continua, la suma de los
términos extremos es 39 y su diferencia es 15.
Descubre el valor de la media proporcional.
Resolución:
Rpta.
11
Rpta.
El producto de los cuatro términos de una
proporción continua es 4096. Descubre el valor
de la media proporcional.
Resolución:
12
Rpta. Rpta.
En una proporción de razón 0,375 se observa
que la diferencia de los consecuentes es 24 y la
suma de los antecedentes es 33. Calcula la suma
de los términos extremos.
Resolución:
En una proporción de razón 0,83 se observa que
la diferencia de los consecuentes es 42 y la suma
de los antecedentes es 95. Calcula la suma de los
términos medios.
Resolución:
13 14
128
Zoraida y Jaime piensan en colgar globos en la
parte más alta de los postes de alumbrado a lo largo
de una calle, ellos quieren averiguar la altura de los
postes de alumbrado para encontrar una escalera
del tamaño apropiado. Por la tarde, Zoraida nota
que el sol proyecta sombras alargadas y le pide a
Jaime que mida su sombra, siendo esa de 9 pies
de largo. Usando la misma cinta métrica, Zoraida
calcula que la sombra del poste de alumbrado
mide 64 pies de largo. Dado que Zoraida mide
5,5 pies, halla la altura del poste.
Resolución:
Gabriel y Vladimir piensan colocar banderines en la
parte más alta de los postes de alumbrado público
a lo largo de una calle, ellos quieren averiguar la
altura de los postes para encontrar una escalera
de tamaño apropiado. Por la tarde, Gabriel nota
que el sol proyecta sombras alargadas y le pide
a Vladimir que mida su sombra, siendo esta de
14 pies de largo. Usando la misma cinta métrica,
Gabriel calcula que la sombra del poste mide
63 pies de largo. Dado que Gabriel mide 6,5 pies,
halla la altura del poste.
Resolución:
En una tienda anuncian que por comprar 5 kg
de carne, se pagará S/ 47,50 y al comprar 10 kg,
S/ 84,00. Determina cuánto se pagará por 12 kg
de carne.
Resolución:
En una tienda anuncian que al comprar 4 L de
yogur se paga S/ 22,60 y al comprar 9 L se paga
S/ 48,60. Determina cuánto se pagará por 15 L
de yogur.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
15 16
17 18
129MateMática Delta 2 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
Calcula qué distancia real, medida en kilómetros,
hay entre dos ciudades que están separadas por
40 centímetros en un mapa cuya escala es de
1:500 000.
Encuentra la altura de un edificio, en m, sabiendo
que proyecta una sombra de 49 m en el momento
en que la sombra de una estaca de 2 m mide 125 cm.
En un mapa a escala 1:50 000 la distancia entre
dos pueblos P y Q es de 11 cm. Halla cuántos
centímetros estarán separados en un mapa cuya
escala es de 1:75 000.
En un mapa se usa la escala 1:100 000, se observa
además que dos ciudades están separadas por
20 cm. Determina cuántos centímetros estarán
separados en un mapa cuya escala es de 1:25 000.
1
4
2
3
A 240 km B 180 km
C 250 km D 150 km
E 200 km
A 7,35 cm B 7,66 cm
C 7,83 cm D 7,33 cm
E 7,44 cm
A 75 cm B 60 cm C 80 cm
D 100 cm E 50 cm
A 78,40 m B 76,50 m
C 78,60 m D 76,40 m
E 78,50 m
Las sombras de unos árboles medían, a las 5 de
la tarde, 12 m, 8 m, 6 m y 4 m, respectivamente.
El árbol más pequeño mide 2,5 m. Descubre
cuánto suman las alturas de los demás árboles,
en metros.
A 18,75 m B 16,75 m
C 16,25 m D 18,25 m
E 16,50 m
5
6 Si al fabricar tres pares de zapatos, invierto S/ 13,
en cinco pares invierto S/ 21 y en siete invierto
S/ 29. Calcula cuánto invertiré en fabricar 21 pares
de zapatos.
A S/ 91,00 B S/ 87,00
C S/ 88,20 D S/ 85,00
E S/ 90,20
130
7 10
11
12
Por la noche, Amelia se encuentra parada a 1 metro
de un poste; la luz del poste proyecta la sombra
de Amelia una distancia de 1,5 m. Halla la altura
del poste, en m, si Amelia mide 162 cm de altura.
A 2,80 m B 2,70 m C 3,70 m
D 3,20 m E 2,95 m
Producir tres pantalones cuesta S/ 63 y por siete
pantalones el costo es de S/ 83. Determina cuánto
costará producir 120 pantalones.
El producto de los cuatro términos de una
proporción continua es 20 736. Si la suma de sus
consecuentes es 21, encuentra la suma de los
términos extremos.
A S/ 642 B S/ 646 C S/ 648
D S/ 650 E S/ 652
8
9
A 24 B 19 C 25
D 27 E 20
Se tiene una proporción, tal que la suma de
los términos extremos es 159 y la diferencia de
los mismos es 33. Si los términos medios se
encuentran en relación de 7 a 6, descubre la suma
de estos términos medios.
A 182 B 130 C 143
D 156 E 195
Se tiene tres números que están en proporción
continua. Si la suma de los tres es 38 y el producto
de los extremos de la proporción es 144, calcula
la diferencia de los términos extremos de la
proporción.
La distancia real entre dos pueblos M y N es de
18 km. Halla a qué distancia, en cm, estará en el
mapa si la escala utilizada es de 1:125 000.
A 9 B 12 C 10
D 11 E 8
Nivel II
A 14,00 cm B 14,20 cm
C 14,40 cm D 14,60 cm
E 14,80 cm
131MateMática Delta 2 - aritMética
Una maqueta de una avioneta hecha a escala
1:50 tiene las siguientes medidas: el largo es
32 cm, el ancho es 24 cm, el alto es 8 cm. Determina
el volumen, en m3, que tiene la avioneta.
A 122 m3 B 768 m3
C 614 m3 D 307 m3
E 834 m3
La verdadera distancia de la ciudad A a la ciudad B,
en línea recta, es 220 km. En un mapa la medimos
con la regla y resulta ser de 22 cm. ¿Cuánto es la
escala del mapa?
A 1:1 000 000 B 1:200 000
C 1:500 000 D 1:1 250 000
E 1:1 100 000
En un mapa, las ciudades A y B están separadas
por 60 cm una de la otra. Si la distancia real entre
ellas es de 90 km, encuentra qué escala se ha
utilizado en el mapa.
A 2:450 000 B 1:1500
C 1:1 500 000 D 1:150 000
E 1:200 000
Un hombre de 1,60 m de estatura observa en
línea recta a dos árboles, uno de ellos a 12 m
de él con una altura de 17,2 m y el otro árbol a
22 m del primer árbol. Con estos datos, descubre
la altura del árbol más alto.
El gato de Rebeca se encuentra en la parte más alta
de un árbol. El árbol proyecta una sombra sobre el
suelo de 32,4 m. Rebeca observa que en ese mismo
instante su sombra proyecta una sombra de 1,98 m.
Calcula la altura del árbol, en m, si Rebeca tiene
una estatura de 1,54 m.
Para llegar a una ventana de un edificio rodeado
por una verja, hemos utilizado una escalera.
Sabemos que la distancia de la casa a la verja es
de 3 metros y que desde la verja al punto de apoyo
de la escalera hay 1 metro y medio. Sabiendo que
la verja mide 2 metros, ¿a qué altura, en m, está
la ventana?
A 44,20 m B 45,80 m
C 45,60 m D 44,40 m
E 46,20 m
A 24,60m B 25,20 m
C 25,80 m D 25,75 m
E 24,90 m
A 5,8 m B 6,0 m C 6,2 m
D 6,4 m E 6,6 m
13 16
17
18
14
15
132
El consumo de gasolina cada 100 km de un
vehículo depende linealmente de su velocidad.
Cuando viaja a 90 km/h consume 8,6 litros. Halla
la velocidad, aproximada del vehículo, en km/h, si
el consumo de gasolina es de 5,54 litros.
A 58 km/h B 68 km/h
C 78 km/h D 79 km/h
E 80 km/h
En el colegio «Mucha sabiduría», la estatura de
los niños es una función lineal con respecto a los
años de vida. La altura de un niño de 4 años es
65 cm, y la altura de un niño de 7 años es de
107 cm. Determina cuál será la altura, en cm, de
un niño que tiene 10 años de edad; así también
qué edad tendrá un niño con 121 cm de altura.
A 146,5 cm y 8 años
C 152,9 cm y 9 años
E 149,0 cm y 8 años
B 136,4 cm y 9 años
D 149,7 cm y 8 años
En una proporción, los términos medios suman 95
y la diferencia de los mismos es 31. Si los términos
extremos están en relación de 8 a 7, encuentra la
suma de los términos de tal proporción.
A 141 B 166 C 185
D 216 E 116
Tres números forman una proporción continua,
donde el producto de los términos extremos es
324. Si los dos primeros términos de la proporción
están en relación de 3 a 2, descubre la suma de
los términos extremos.
La suma de los cuadrados de los términos medios
de una proporción es 1000. Si el producto de los
términos extremos es 300, además estos términos
extremos están en relación de 4 a 3, calcula la
suma de los términos de tal proporción.
A 42 B 45 C 36
D 48 E 39
A 60 B 75 C 70
D 85 E 80
Al sumar los términos de una proporción continua
se obtiene 100. Si los términos extremos se
encuentran en relación de 4 a 9, halla la diferencia
de los dos mayores términos de la proporción.
A 15 B 18 C 21
D 12 E 24
19 22
23
24
20
21
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
133AritméticA 2 - SecundAriA
Test n.° 3
El máximo común divisor de los números
A=28n . 90n + 3 y B = 363 . 50n tiene 616 divisores.
Determina el valor de n2, si n > 3.
Sabiendo que el máximo común divisor de
A = 36n . 45n + 2 y B = 544 . 84n + 2 tiene
171 divisores, halla el valor de n. Donde n > 4.
Sabiendo que el máximo común divisor
de A = 18n + 1 . 42n – 2 y B = 524 . 36n – 2 tiene
70 divisores, encuentra el valor de n.
Se tienen dos barcos de metal, uno de 154 cm
y otro de 210 cm. Se desea dividirlos en trozos
de igual medida. Descubre cuántos trozos como
mínimo se podrán obtener.
En una fiesta se observa que la cantidad de
hombres y mujeres están en relación de 5 a 8,
respectivamente. Si luego de este conteo llegan
24 parejas y debido a esto la razón anterior
cambia a 34 , determina cuántos hombres
estaban en la fiesta antes de llegar estas parejas.
Hace 7 años, las edades de dos hermanas se
encontraban en relación de 4 a 3 y dentro de
8 años sus edades estarán en relación de 7 a 6.
Calcula cuántos años tiene el mayor.
1 4
2 5
63
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
9A
25C
20B
16D
5A
4C
3B
6D
6A
4C
5B
7D
25A
26C
27B
24D
28A
32C
30B
31D
26A
27C
28B
29D
134
De un grupo de personas entre hombres y mujeres,
se observó que al retirarse 18 mujeres, entonces
quedan 3 hombres por cada 4 mujeres. Si luego
llegan 7 hombres, hay entonces 4 hombres por
cada 5 mujeres. Encuentra cuántas personas
estaban presentes al inicio.
Antonio vio una fotografía de la famosa pintura
de Leonardo Da Vinci «La Virgen, el niño Jesús
y Santa Ana» en un libro sobre historia del arte.
En el libro se menciona que la pintura real mide
1,68 m de alto pero no incluye el ancho. Antonio
decidió medir la fotografía y así conocer la longitud
real de la pintura; la foto midió 13,5 cm de alto y
9,0 cm de ancho. Calcula el ancho real, en cm, de
la pintura.
En una proporción continua, la suma de los
términos extremos es 52, y su diferencia es 20.
Halla el valor de la media proporcional.
Contando los ahorros de Angélica, Beatriz y
Camila; se observó que por cada S/ 7 que tiene
Angélica, Beatriz tiene S/ 6; también la relación
entre los ahorros de Beatriz y Camila es de 9 a 5,
respectivamente. Descubre cuánto suman los
ahorros de estas tres personas, si la diferencia
entre los ahorros de Angélica y Camila es de
S/ 396.
Al llegar a un hotel nos han dado un mapa con
los lugares turísticos de la ciudad y nos dijeron
que 5 cm del mapa representan 600 m de la
realidad. Hoy queremos ir a un zoológico que
se encuentra a 7,5 cm del hotel en el mapa.
Determina a qué distancia del hotel, en m, se
encuentra el zoológico.
El producto de los cuatro términos de una
proporción continua es 20 736. Encuentra el
valor de la media proporcional.
7
8
9
10
11
12
263
115 cm
24
S/ 1800
850 m
10
A
A
A
A
A
A
250
112 cm
26
S/ 1760
920 m
13
C
C
C
C
C
C
254
110 cm
22
S/ 1700
900 m
11
B
B
B
B
B
B
248
111 cm
25
S/ 1764
800 m
12
D
D
D
D
D
D
Tema
135MateMática Delta 2 - aritMética
Estadística
Es una disciplina relacionada con los métodos científicos, destinada a recopilar,
organizar, clasificar, presentar, analizar e interpretar información; con el objetivo de
extraer conclusiones en forma adecuada para tomar decisiones.
Partes de la estadística
Estadística descriptiva
Formada por el conjunto de métodos que implican la recolección, organización,
presentación e interpretación de los datos con los cuales se trabaja. Esta parte es
de naturaleza eminentemente descriptiva, condensando y describiendo la información
obtenida.
Estadística inferencial
Es el conjunto de métodos y técnicas que posibilitan generalizar, en base a los datos
obtenidos en un estudio, las conclusiones hacia toda la población, utilizando solo la
información de una pequeña muestra. Ahora bien, esta predicción se hace con cierto
grado de confianza; esto se mide por la probabilidad. El cálculo de probabilidades es lo
que ha conducido a la gran expansión de los métodos estadísticos.
Términos frecuentes
Población
Es la colección de todos los individuos, objetos u observaciones que poseen al menos
una característica común, del cual se obtendrá información para un estudio. Los
términos población y universo suelen usarse indistintamente.
Muestra
Es una parte o un subconjunto representativo de la población. Al proceso de obtener la
muestra se denomina muestreo. La selección y el estudio de una muestra, tiene por
objeto la extracción de conclusiones que sean válidas para la población de la cual se
obtuvo dicha muestra.
Variable estadística
Es una característica o cualidad que poseen los elementos de la población o muestra y
que interesa al investigador, pues servirá para obtener los indicadores del estudio que
realiza. Esta variable puede tomar diversos valores dentro de una escala, recorrido o
intervalo, cada valor de la variable se denomina dato.
Según el tipo de valor que pueden asumir las variables, se clasifican en:
Variable cuantitativa
Cuando los valores que se obtienen como resultado de conteo o medición asumen
valores numéricos, pudiendo ser:
Continua: Cuando los valores son números reales (siempre entre dos valores habrá
otro valor intermedio). Por ejemplo, el peso de un grupo de niños, las estaturas de los
jugadores de baloncesto, etc.
Discreta: Cuando los valores son números enteros positivos. Por ejemplo, el número
de hijos que se tiene por familia, la cantidad de tortas vendidas en una semana, etc.
Variable cualitativa
Cuando los valores expresan una cualidad, propiedad o atributo que no puede
expresarse numéricamente. Las variables cualitativas se dividen en nominales y
ordinales. En las variables nominales no existe una jerarquía al clasificar los datos;
mientras que en la variable ordinal, no solo se clasifica, también existe una jerarquía.
La aplicación de
los procedimientos
estadísticos se
remonta hacia el año
3050 a. C., cuando
seefectuó en Egipto
un registro de la
población y la riqueza
con el fin de preparar
la construcción de las
pirámides.
Posteriormente,
egipcios, griegos y
romanos, efectuaron
algunos censos con
fines tributarios,
sociales y militares,
y mucho más tarde,
en el siglo XVI,
se publicaron en
Alemania, Italia y
Francia inventarios
estadísticos.
Aunque en
un principio la
estadística surge
a partir de la
elaboración de
censos, actualmente
se extiende su
aplicación a
numerosos campos,
como la agricultura,
la biología, la
psicología, la
enseñanza, etc.
¿Sa bía s qu e.. .?
9
136
Ejemplo:
Si nuestro objetivo es estudiar la desnutrición infantil en el Perú, nuestra población
será el conjunto formado por los niños peruanos. Para agilizar este estudio, de la
población anterior, procedemos a tomar como muestra al conjunto de los niños de la
sierra peruana o tal vez al conjunto de los niños del departamento de ayacucho y como
nuestro objetivo se concentra en estudiar la desnutrición infantil, una vez definida la
muestra, podemos tomar como variables (que describan esta desnutrición) a:
Etapas de la investigación estadística
Planteamiento del problema
El primer paso es definir claramente los objetivos del estudio y relacionar este con los
valores de las variables observables. Los objetivos surgen al contestar la pregunta
¿sobre qué se va realizar la investigación?
Recolección de la información
Consiste en recolectar datos. Los métodos son diversos y dependen del acceso que
podamos tener a los elementos de la población, y de la oportunidad de obtenerlos. Entre
las técnicas más frecuentes, tenemos: censo, encuesta, entrevista.
Variable Tipo de variable
Estatura del niño(a) Cuantitativa continua
Peso del niño(a) Cuantitativa continua
Edad del niño(a) Cuantitativa continua
Ingreso mensual familiar Cuantitativa continua
n.° de integrantes de la familia Cuantitativa discreta
Género del niño(a) Cualitativa
Clase de alimentos de consumo regular Cualitativa
En cu e st a
Re cu e rda
Es la herramienta
más utilizada en la
investigación.
Es el método de
recojo de información
que consiste
en interrogar a
los miembros
de una muestra
sobre la base de
un cuestionario
perfectamente
estructurado.
Variable
Es la cualidad
que varía de una
unidad a otra, ya
que los cambios
en un producto
son pequeños,
imperceptibles e
inevitables y que
además afecta al
producto o proceso.
Organización, clasificación y presentación de datos
Luego de haber recolectado los datos, para un mejor estudio y/o análisis, estos datos
deben ser expresados y clasificados de acuerdo a criterios convenientes en alguna
forma simple, que permita ver rápidamente todas las características posibles para
obtener conclusiones útiles, ya sea directamente o por medio de cálculos posteriores.
Esto se logra mediante cuadros, tablas o diagramas. Una de las técnicas usuales, es
el desarrollo de una tabla de distribución de frecuencias o gráficos de barras, gráficos
circulares, etc.
Series Caricaturas
5
10
15
20
25
PRogRaMa DE TElEVisión faVoRiTo
DE un gRuPo DE EsTuDianTEs
Series
Caricaturas
Musicales
Noticieros
Musicales Noticieros
137MateMática Delta 2 - aritMética
21 %
40 % 15 %
9 %
15 %
VEnTa DE alMuERzos
Bocadillos Ensaladas Sopa
Bebidas Postres
BiCiClETas
VEnDiDas En El úlTiMo TRiMEsTRE
Marca Oct. Nov. Dic.
Aristc 87 45 75
Bristol 49 36 126
Crystal 56 49 148
Dandy 61 45 81
Euler 73 89 75
análisis e interpretación de los resultados
En esta etapa se calculan indicadores y medidas resumen que describen al conjunto de
datos. También se establecen relaciones entre variables de modelos estadísticos que nos
permitirán aceptar o rechazar los modelos.
• Media aritmética (x)
x =
x1 + x2 + x3 + ... + xn – 1 + xn
n =
n
xi
i=1
n
• Mediana (es el dato central)
2; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 6; 6; 8; 8; 10; 11 Me = 5
Estructura y elementos de una tabla de frecuencias
El título, que informa sobre lo que muestra la tabla o gráfico.
El cuerpo, que viene a ser la tabla o gráfico en sí.
La leyenda, constituida por todo aquello que fuera necesario para que la lectura de la
tabla o gráfico no tenga complicaciones al momento de ser leída.
gRaDo DE insTRuCCión DE los PaDREs DE faMilia DEl
ColEgio anTonio RaiMonDi - HuaRaz, 2008 Título
Grado de
instrucción Conteo preliminiar n.° de padres
Valor
porcentual
Analfabeto IIII IIII IIII IIII 20 25,0 %
Primaria IIII IIII IIII IIII IIII IIII 30 37,5 %
Secundaria IIII IIII IIII IIII 20 25,0 %
Superior IIII IIII 10 12,5 %
Total 80 100 %
Cuerpo
Variable Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
La clasificación y
organización de los
datos es un trabajo
de gabinete, es decir,
de escritorio.
Para este caso se
utilizan cuadros de
doble entrada, tablas
de clasificación, de
tabulación, etc., para
extraer, eliminando o
desechando aquellos
datos que no aporten
a establecer la
investigación.
En la presentación
de los datos se
utilizan las tablas
de frecuencias,
diagramas de barras,
diagramas de
sectores, etc. Sobre
ellos se encuentra la
información resumida
que deberá ser leída
con facilidad.
Import a nt e
138
Ejemplo:
En una encuesta de 20 obreros se preguntó sobre su ingreso semanal en soles,
obteniéndose lo siguiente:
320 380 400 420 430
430 450 460 478 490
492 500 500 530 550
570 580 600 630 720
Construye un cuadro de distribución de frecuencias con 5 intervalos e igual ancho de
clase.
Construcción de una tabla de frecuencias
aspectos previos
Vemos que la variable analizada es el salario semanal, y corresponde a datos continuos.
alcance (a): Es un intervalo que incluirá a todos los datos de la muestra, desde el menor
valor hasta el mayor.
A = [320 ; 720]
Rango (R): Es el tamaño del alcance.
R = 720 – 320
R = 400
ancho común del intervalo o clase: Llamado también tamaño de cada intervalo; se
obtiene de la siguiente relación:
Rango
n.° de intervalos
Ancho de clase =
400
5
→ Ancho de clase = = 80
Del ejemplo anterior, construimos la siguiente tabla de frecuencias:
El primer intervalo empieza en 320, al cual sumamos 80 para terminar este primer
intervalo. Para el segundo intervalo, empezamos en 400 y sumamos 80 para terminar y
así sucesivamente; cerrando el quinto intervalo con 720.
Intervalo Frecuencia
Salario (Ii) n.° de obreros (fi) Valor porcentual (hi)
[320 ; 400〉 2 10 %
[400 ; 480〉 7 35 %
[480 ; 560〉 6 30 %
[560 ; 640〉 4 20 %
[640 ; 720] 1 5 %
Total 20 100 %
Descripción de la tabla:
intervalo o clase (ii): Es la clasificación de los datos en subgrupos; indica también los
valores que recorre la variable.
I1 representa al intervalo n.° 1
[320 ; 400〉
Límite
superior
Límite
inferior
I5 representa al intervalo n.° 5
[640 ; 720]
Límite
superior
Límite
inferior
Las estadísticas
muestran que casi
todos los accidentes
de circulación se
producen entre
vehículos que ruedan
a velocidad moderada.
Muy pocos ocurren
a más de 150 km
por hora. ¿Significa
esto que resulta más
seguro conducir a
gran velocidad?
No, de ninguna
manera. Con
frecuencia, las
correlaciones
estadísticas no reflejan
causas y efectos.
Casi todo el mundo
circula a velocidad
moderada, y como
es natural, la mayoría
de los accidentes
se producen a estas
velocidades.
Un estudio demostró
que en cierta
región las tasas de
fallecimiento por
cáncer y de consumo
de leche eran de las
más altas del país.
¿Significa esto que
beber leche puede ser
causa de cáncer?
No. Resulta que en
la zona el clima es
benigno y en ella
reside gente mayor y
acaudalada, siendo el
cáncer aflicción común
entre las personas de
mayor edad, esa es la
razón del aumento de
mortalidad por cáncer.
Cu rio s id a de s
139MateMática Delta 2 - aritMética
La frecuencia
absoluta (fi) es el
número de veces que
se repite un dato o
valor de la variable.
La frecuenciarelativa (hi) es
el porcentaje que
representa cada
frecuencia absoluta
con respecto al total
de valores que toma
la variable.
Equivalencia en el
gráfico circular.
En todo gráfico
circular:
Cantidad Grados Porcentaje
(todo)<>(360o)<>(100%)
Recu e rda
Import a nt e
frecuencia absoluta (fi): Indica el número de veces que aparece un dato, o, cuántos
datos se encuentran en un intervalo determinado.
Ejemplos:
• f1 = 2, indica que hay 2 datos en el I1.
• f2 = 7, indica que hay 7 datos en el I2.
Ejemplos:
frecuencia relativa (hi): Es la proporción de datos presentes en cada intervalo; suele
expresarse también en porcentaje.
• h1 = 10 %, indica que en el I1 se encuentra el 10 % del total de datos que es 20. También
se puede afirmar que f1 = 10 % (20) = 2
• h2 = 35 %, indica que en el I2 se encuentra el 35 % del total de datos que es 20. También
se puede afirmar que f2 = 35 % (20) = 7
Estructura y elementos de un gráfico estadístico
Todo gráfico estadístico debe tener un código o número, título y cuerpo.
PERú: PoBlaCión CEnsaDa DE 15 y Más años
DE EDaD sEgún niVEl EDuCaTiVo, 2007
(DisTRiBuCión PoRCEnTual)
31,1 %38,2 %
23,2 %
7,5 %
Sin nivel e inicial
Superior
Secundaria
Primaria
Título
Leyenda
Cuerpo
PERú: HogaREs En ViViEnDas PaRTiCulaREs, sEgún sERViCio
DE infoRMaCión y CoMuniCaCión quE DisPonE, 2007
(En MilEs DE HogaREs) Título
1869
2898
458
1046
3151
3000
2500
2000
1500
1000
500
Teléfono
fijo
Teléfono
celular
Conexión a
internet
Conexión a
cable
Ninguno Eje de
conceptosEje de
frecuencias
140
a = b
Medidas de tendencia central
Son parámetros que se utilizan para describir el comportamiento de los datos.
Generalmente estos valores se concentran al centro de los datos, de allí su denominación.
Mencionaremos tres de los más conocidos:
Media aritmética (x)
Es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos.
x =
aj
N
Donde:
aj : valor de cada uno de los datos
N : total de datos
Ejemplo 1
Sean los datos, las propinas diarias que reciben 13 niños para sus compras en el recreo:
S/ 4; S/ 5; S/ 8; S/ 6; S/ 10; S/ 11; S/ 8; S/ 6; S/ 4; S/ 3; S/ 2; S/ 5; S/ 4.
Halla la media aritmética.
Resolución:
4 + 5 + 8 + 6 + 10 + 11 + 8 + 6 + 4 + 3 + 2 + 5 + 4
13
x =
76
13
x = ⇒ x = 5,8
Cada niño recibe de propina, en promedio, S/ 5,8.
Ejemplo 2
El cuadro muestra el número de hijos que tienen cada una de las 20 familias entrevistadas.
n.° de hijos n.° de familias
1 4
2 8
3 6
4 2
Suma del número total de hijos
Total de familias
x =
1(4) + 2(8) + 3(6) + 4(2)
4 + 8 + 6 + 2
x =
46
20
x = ⇒ x = 2,3
Cada familia tiene, en promedio, 2,3 hijos.
Moda (Mo)
La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que
tiene mayor frecuencia absoluta. En caso de existir dos valores de la variable que tengan
la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe
moda.
Ejemplo 1
Sean los datos, las propinas diarias que reciben 13 niños para sus compras en el recreo:
S/ 4; S/ 5; S/ 8; S/ 6; S/ 10; S/ 11; S/ 8; S/ 6; S/ 4; S/ 3; S/ 2; S/ 5; S/ 4
¿Cuál es la moda?
Resolución:
El dato que más se repite es S/ 4, es el que tiene mayor frecuencia absoluta (aparece 3
veces).
La moda de las propinas diarias es S/ 4.
Ejemplo 2
Sean los datos: 2; 3; 4; 5; 6; 9, ¿cuál es la moda?
Resolución:
En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita.
Este conjunto de valores no tiene moda.
Medidas de
tendencia central
y dispersión
Cuando describimos
grandes grupos
de observaciones,
con frecuencia
resulta conveniente
resumir toda esa
cantidad de datos
en un solo valor.
Este valor o número
suele situarse hacia
el centro de la
distribución de los
datos y se denomina
medida de tendencia
central. Pero esta
medida no trabaja
sola, debe apoyarse
en una medida de
homogeneidad de
cada uno de los
valores con respecto
a la medida de
tendencia central
aplicada. A este
nuevo valor se le
denomina medida
de dispersión. Un
índice de dispersión
pequeño, indica
baja variabilidad,
por ende el valor de
tendencia central
será más confiable.
Mientras que un
índice de dispersión
grande, indica
gran variabilidad,
esto implica que
el indicador de
tendencia central sea
poco confiable.
⇒
Not a
141MateMática Delta 2 - aritMética
Ejemplo 3
1; 1; 1; 4; 4; 5; 5; 5; 7; 8; 9; 9; 9 Mo = 1; 5; 9
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia
es la máxima, tiene varias modas.
Mediana (Me)
Es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de datos,
cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente.
Ejemplo:
Calcula la mediana del conjunto de datos: 2; 3; 4; 5; 8; 5; 3.
Ordenamos los datos de menor a mayor.
Resolución:
2 3 3 4 5 5 8
Dato central
Por lo tanto la mediana es 4.
De un grupo de 80 asistentes a un congreso, se obtuvo información acerca del lugar
de residencia. Los resultados se organizaron en la siguiente tabla de frecuencias
mostrada, elabora con ello un gráfico de barras.
1
Residencia
Frecuencia
n.° de personas Valor porcentual
S.J.L. 20 25 %
S.M.P. 5 6,25 %
Callao 12 15 %
Breña 10 12,5 %
Comas 33 41,25 %
Total 80 100 %
lugaR DE REsiDEnCia DE los
asisTEnTEs al CongREso
S.J.L. S.M.P. Breña Callao Comas
5
10
12
20
33
Para la construcción de las barras
se usa como altura de ellas el
valor de una de las frecuencias.
(frecuencia absoluta)
Resolución:
La variable analizada es el lugar de residencia, lo cual es una variable cualitativa.
Podemos construir un gráfico de barras utilizando el lugar de residencia y una de las
frecuencias.
William Playfair
(1759-1823)
Ingeniero mecánico
y economista político
escocés. Trabajó
más de 36 años
en el diseño de
gráficos estadísticos.
Se le considera
pionero en el uso del
gráfico lineal para
representar series
temporales, y fue el
creador del gráfico
circular, de sectores y
de barras.
La representación
visual del espacio
se venía usando
desde hacía siglos,
pero hasta entonces
a nadie se le había
ocurrido representar
series numéricas
visualmente usando
tablas.
¿Sa bía s qu e.. .?
Ejercicios resueltos
142
También, podemos construir su diagrama circular o de sectores (de pastel),
considerando que toda una vuelta a la circunferencia equivale a 360° y corresponde
a 80 datos.
θ1
20 =
θ2
5 =
θ3
12 =
θ4
10 =
θ5
33 =
360°
80 = 4,5°
θ1 = 90° ; ; ;; θ4 = 45°θ2 = 22,5° θ5 = 148,5°θ3 = 54°
Comas
S.J.L.
S.M.P.
BreCallao
Para determinar el ángulo correspondiente a cada distrito utilizamos
proporcionalidad, pues la medida del ángulo correspondiente es directamente
proporcional a cualquiera de las frecuencias.
Cantidad Frecuencia
n.° de hijos n.° de familias Valor porcentual
0 f1 = 13 h1 = 16,25 %
1 f2 = 22 h2 = 27,5 %
2 f3 = 25 h3 = 31,25 %
3 f4 = 15 h4 = 18,75 %
4 f5 = 5 h5 = 6,25%
Total 80 100 %
Resolución:
Para el cálculo de los valores porcentuales empleamos regla de tres, así:
80 familias ... 100 %
13 familias ... h1
⇒ h1 =
13
80
× 100 % ⇒ h1 = 16,25 %
h2 =
22
80
× 100 % = 27,5 % ; h3 =
25
80
× 100 % = 31,25 %
De un grupo de 80 familias se obtuvo información acerca del número de hijos,
lo cual ha sido registrado en el siguiente cuadro de distribución de frecuencias.
Completa la información de la tabla y grafica.
2
Como son datos discretos podemos construir un diagrama de barras o un diagrama
de bastones. Para ello, las barras tendrán un tamaño proporcional a su frecuencia.
núMERo DE Hijos PoR faMilia
25
20
15
10
5
0
13
1
22
2
25
3
15
4
5
El diagrama circular
El tamaño de cada
ángulo central
es proporcional
al tamaño de
la frecuencia
correspondiente.
Dado que la suma de
los ángulos centrales
tiene que ser 360°, el
ángulo central para
una frecuencia es
una fracción de360
grados.
Cuando William
Playfair publicó su
obra The Statistical
Breviary, con
datos económicos
y demográficos
europeos, este
contenía entre otras
cosas el primer
gráfico de sectores.
Observa este primer
gráfico.
Import a nt e
143MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta. Rpta.
Estudia los métodos y técnicas para recolectar,
analizar datos y convertirlos en información.
Estima el nivel de incertidumbre cuando se infiere
y concluye.
Emplea la matemática para el procesamiento de datos.
Medidas de tendencia central
• Media aritmética
• Moda
• Mediana
Términos frecuentes
• Población
• Muestra
• Variable estadística:
- Cualitativa
- Cuantitativa
Tomar mejores
decisiones.
Que permite
Descriptiva Inferencial
Estadística
1 2Se tienen los siguientes datos acerca del peso
observado en 20 niños.
Calcula la media de los pesos. Calcula la media de los pesos.
Se tienen los siguientes datos acerca del peso
observado en 20 adultos.
24 26 28 24 25 28 24 26 25 28
26 27 24 20 28 24 20 25 25 25
74 76 78 74 75 78 74 76 75 78
76 74 74 70 78 74 70 75 75 75
Resolución: Resolución:
Modela y resuelve
Síntesis
144
Rpta. Rpta.
3 4Se encuesta a 4000 niños para conocer sus
gaseosas preferidas. Los resultados obtenidos se
observan en el diagrama de sectores adjunto.
a) ¿Cuántos niños prefieren Inca Kola?
b) ¿En cuánto excede la cantidad de niños que
eligieron Coca Cola a los que prefirieron Inca Kola?
c) ¿Cuántos niños eligieron Seven Up, Pepsi o
Cifrut?
d) ¿Qué ángulo central le corresponde al sector
que prefirió Pepsi?
a) ¿Cuántos millones de kilogramos de camu camu
se exportó en el año 2012?
b) ¿Qué porcentaje es lo exportado de aguaje
con respecto a camu camu?
c) ¿Qué porcentaje más es lo exportado de aguaje
en el año 2012 con respecto a camu camu?
En el gráfico se muestra los niveles de exportación
de frutos de la selva en el año 2012. Se sabe que el
total exportado es de 800 millones de kilogramos.
Resolución:
Resolución:
35 %
Coca cola
Seven Up
Pepsi
Cifrut
Inca Kola
Fanta
23 %
12 %
10 %
15 %
5 %
46 %
24 %
30 % Cocona
Camu camu
Aguaje
145MateMática Delta 2 - aritMética
Rpta. Rpta.
5 6
a) Completa la tabla con los valores porcentuales.
b) Calcula la edad media.
c) Determina la moda y la mediana.
a) Completa la tabla con los valores porcentuales.
b) Calcula el peso medio.
c) Determina la moda y la mediana.
La tabla muestra las edades de los empleados de
una empresa.
La tabla muestra los pesos en kilogramos de los
empleados de una empresa.
Edad
(años)
n.° de
empleados
Valor porcentual
24 20
28 15
32 10
36 8
40 7
Total
Peso
(kg)
n.° de
empleados
Valor porcentual
68 10
70 18
74 25
78 20
84 12
Total
Resolución: Resolución:
146
7 8El siguiente cuadro corresponde al ingreso
semanal de los obreros de una compañía.
El siguiente cuadro corresponde a los ahorros
acumulados a lo largo de un mes por cierta
cantidad de adolescentes.
Completa el cuadro y calcula:
a) ¿Cuántos obreros son en total?
b) ¿Cuántos obreros ganan desde S/ 160 hasta
menos de S/ 280?
c) ¿Qué porcentaje de obreros ganan desde S/ 220
hasta S/ 340?
Completa el cuadro y calcula:
a) ¿Cuántos adolescentes son en total?
b) ¿Cuántos adolescentes ahorran desde S/ 120
hasta menos de S/ 200?
c) ¿Qué porcentaje de adolescentes ahorran
menos de S/ 160?
Resolución:
Resolución:
ingreso n.° de obreros
Valor
porcentual
[100 ; 160〉 84
[160 ; 220〉 32 %
[220 ; 280〉
[280 ; 340] 21 6 %
Total
ahorro n.° de adolescentes
Valor
porcentual
[80 ; 120〉 85
[120 ; 160〉
[160 ; 200〉 20 8 %
[200 ; 240] 28 %
Total
Rpta. Rpta.
147MateMática Delta 2 - aritMética
109
a) Determina el mes en que el aumento porcentual
de precios fue mayor y calcula dicho aumento
porcentual.
b) ¿Cuánto fue el precio promedio mensual en el
periodo febrero - julio, aproximadamente?
c) Si «Importaciones Juan S.A.» hubiera adquirido
5 televisores en marzo, 12 en mayo y 8 en junio,
¿qué cantidad de dinero hubiera necesitado
dicha importadora para comprar dichos
televisores?
a) Determina el mes en que el aumento porcentual
de precios fue mayor y calcula dicho aumento
porcentual.
b) ¿Cuánto fue el precio promedio mensual en el
periodo enero - junio, aproximadamente?
c) Si «Importaciones Miranda S.A.» hubiera
adquirido 5 refrigeradoras en enero, 12 en
marzo y 8 en mayo, ¿qué cantidad de dinero
hubiera necesitado dicha importadora para
comprar dichas refrigeradoras?
El gráfico de barras muestra el precio de costo
unitario de cada televisor en diferentes meses,
para la compañía «Importaciones Juan S.A.».
El gráfico de barras muestra el precio de costo
unitario de cada refrigerador en diferentes meses,
para la compañía «Importaciones Miranda S.A.».
Resolución: Resolución:
PRECio DE los TElEVisoREs CoMPRaDos CaDa MEs PRECio DE las REfRigERaDoRas CoMPRaDas CaDa MEs
(Precio unitario en S/) (Precio unitario en S/)
800
600
400
200
0
y
x
Feb EneAbr MarJun MayMar FebMay AbrJul Jun
1200
900
600
300
0
y
x
Rpta. Rpta.
148
Se tomaron los datos del ingreso de espectadores
al cine «Platens», en un día determinado al cual
asistieron un total de 285 espectadores, elaborándose
además el siguiente diagrama de barras.
a) ¿Cuántos de los asistentes son niños o niñas?
a) Calcula qué porcentaje de las medallas obtuvo
el país A.
b) ¿Cuántas damas más que varones hay?
c) ¿Cuántos adultos más que niños hay?
1
A 120 B 125 C 130
D 135 E 140
A 10 B 12 C 13
D 15 E 14
A 10 B 8 C 7
D 5 E 4
A 36,20 % B 38,10 %
C 34,25 % D 35,65 %
E 35,71 %
b) De las siguientes proposiciones relativas a las
medallas obtenidas por los países A, B y C
podemos concluir:
I. El país A ha obtenido el menor número de
medallas de oro.
II. El menor número de medallas de plata
corresponde a B.
III. La suma del número de medallas de oro y plata
obtenidas por los países A y C es el mismo.
2k + 5
2k
k + 10
k
y
x
asisTEnTEs al CinE PlaTEns
niños
adultos
Varones Damas
2
0
1
2
4
5
6
8
10
y
x
MEDallas oBTEniDas En una CoMPETEnCia
PoR los PaÍsEs a, B y C
oro plata bronce
A B C
Las edades de los n ingresantes a la PUCP en el
año 2007 están mostradas a continuación:
3
n.° DE ingREsanTEs PoR EDaDEs PuCP / 2007
0
10
20
40
50
60
80
90
70
30
y
x
15 años 16 años 17 años 18 años 19 años
A Ninguna B Solo I y II
C Solo II y III D Solo I y III
E Todas
a) Si el k % tiene menos de 18 años. Halla el
valor de k.
A 46 B 48 C 72
D 80 E 92
Nivel I
Practica y demuestra
149MateMática Delta 2 - aritMética
c) ¿Cuál es la edad promedio de los ingresantes?
b) Si el 84 % tiene más de m años. Calcula el valor
máximo de m.
A 12 B 14 C 15
D 16 E 17
A 14,1 B 15,7 C 16,52
D 16,72 E 18,3
A 4,18 B 3,20 C 3,18
D 3,81 E 4,10
A 60 B 59 C 83
D 70 E 57
A 72° B 60° C 75°
D 70° E 78°
La sección de Javier hizo una encuesta a los
150 estudiantes de su colegio sobre lo que
prefieren hacer en vacaciones. Procesaron los
datos obtenidos y elaboraron el siguiente gráfico
circular:
4
PREfEREnCia REsPECTo a DónDE
iR En VaCaCionEs
Viaje cultural
Ir de paseo
OtrosIr a la montaña
Ir a la playa
24 %
20 %
8 %10 %
n %
a) ¿Cuántos estudiantes contestaron que
prefieren ir a la playa?
En una encuesta a 50 familias para saber el
número de hijos que tiene cada uno obtuvieron los
siguientes datos:
1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3;
3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4;
4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6
Determina el promedio de hijos por familia.
5
Se registraron las edades de los 40 estudiantes de
un determinado salón obteniéndose el siguiente
cuadro estadístico. Completa la tabla.
6
Edad n.° de estudiantes Valor porcentual
16 5
17 8
18 5
19 10
20 12
Total
El siguiente gráfico muestra los resultados de las
votaciones, luego de efectuar el conteo rápido,en
las elecciones estudiantiles de un determinado
colegio.
7
ElECCionEs EsTuDianTilEs
Cambio 1Acción 2
Pabellón A Pabellón B Pabellón C
210
160
170
130 120
260
y
x
b) ¿Qué ángulo central le corresponde a los que
desean ir de paseo?
150
a) ¿Qué porcentaje representa el número total de
electores que votaron por Acción 2 con respecto
al número total de electores que votaron por
Cambio 1?
b) ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
I. La razón del número de electores de Cambio
1 y el número de electores de Acción 2 en el
pabellón B es 13
6
.
II. El número de electores que votaron por
Acción 2 en el pabellón B es la mitad del
número de electores que votaron por Acción 2
en el pabellón A.
III. El número de electores que votaron por el
Cambio 1 en el pabellón B representa el 75 %
del número de electores que votaron por el
Cambio 1 en el pabellón C.
A Solo I B Solo III
C Más de una es verdad D Solo II
E Ninguna
A 76,5 % B 77,5 %
C 80 % D 82,5 %
E 87,5 %
Jenny desea viajar a Arequipa y la empresa Lan
Perú le ofrece un vuelo de ida y vuelta, cuyo costo
es como se muestra en los cuadros.
8
a) Determina cuál de las opciones es más
conveniente para Jenny. Encierra la hora del
viaje de ida.
15:05 a 16:30 08:50 a 10:15 19:55 a 21:20
ida
salida llegada Costo
15:05 16:30 S/ 73,00
08:50 10:15 S/ 58,00
Vuelta
salida llegada Costo
14:20 15:50 S/ 73,00
19:55 21:20 S/ 46,00
A continuación se presentan dos cuadros donde
se observan las edades de un grupo de alumnos
de dos secciones. Calcula en cuánto excede la
edad promedio de un alumno de la sección B a la
edad promedio de un alumno de la sección A.
9
A 0,1 B 0,2 C 0,3
D 0,4 E 0,5
sección a
Edad n.° de alumnos
10 8
11 2
12 10
Total 20
sección B
Edad n.° de alumnos
10 4
11 6
12 10
Total 20
DisCoTECa «EnigMa»:
asisTEnTEs El fin DE sEMana
Viernes Sábado
n.
° d
e
as
is
te
nt
es
0
100
250
300
400
y
x
200
parejas hombres solos mujeres solas
a) ¿Cuántos hombres asistieron el último fin de
semana a dicha discoteca?
A 1110 B 1050 C 1030
D 1035 E 1040
A 620 B 835 C 740
D 845 E 950
b) ¿Cuántas mujeres asistieron el último fin de
semana a dicha discoteca?
10 Interpreta el gráfico y responde.
Nivel II
b) ¿Cuántos soles gastaría por la compra del
pasaje de ida y vuelta más conveniente?
A S/ 106 B S/ 114 C S/ 100
D S/ 108 E S/ 104
151MateMática Delta 2 - aritMética
d) ¿Qué porcentaje del total representan los
hombres?
c) ¿Cuántas personas asistieron en total el fin de
semana?
e) ¿Qué porcentaje de las mujeres representan las
mujeres que asistieron solas?
A 52,7 % B 53,5 % C 52,5 %
D 54,7 % E 53,4 %
A 1350 B 2000 C 1800
D 1845 E 2100
Mes Producción
Enero 250
Febrero 600
Marzo 1000
Abril 800
Mayo 500
Junio 900
Total
Representa los datos en un gráfico de barras.
La tabla representa la producción de zapatos en
una fábrica, durante seis meses.
11
A 31,58 % B 33,60 %
C 30,50 % D 70,73 %
E 70,37 %
El gráfico muestra la producción de polos de una
empresa en el año 2020. Indica verdadero (V) o
falso (F), según corresponda.
12
El gráfico muestra cómo se distribuyen los gastos
mensuales de un padre de familia, cuyo sueldo
mensual es de S/ 3600.
13
a) ¿Qué ángulo central le corresponde al rubro
educación?
I. La producción total de polos en los dos últimos
trimestres de ese año es menor a la producción
total de los dos primeros trimestres de ese año.
II. La producción en el segundo trimestre de ese
año excede a la producción del tercer trimestre
de ese año en 700 polos.
III. La producción total de ese año fue de 5800 polos.
A FFV B VFV C FVV
D VVV E VVF
0,8
0
1,0
1,5
2,0
2,5
y
x
EMPREsa: ToPy ToP, PRoDuCCión DE Polos año 2020
(En miles de unidades)
I II III IV
Trimestres
Pr
od
uc
ci
ón
d
e
po
lo
s
Alimentación
Educación
Vestido
Otros
30 %
25 %
20 %
25 %
A 90° B 80° C 75°
D 40° E 25°
b) ¿Cuánto más se gasta en educación que en
vestido?
A S/ 240 B S/ 220 C S/ 200
D S/ 190 E S/ 180
152
A S/ 112,5 B S/ 115,5
C S/ 120,5 D S/ 125,5
E S/ 140,5
A 4,25 % B 8,75 %
C 9,50 % D 10,25 %
E 11,25 %
c) Si los gastos por transporte que debe de pagar el
padre de familia representan un 12,5 % del gasto
del rubro otros. ¿Cuánto se gasta en ellos?
d) Sin considerar al rubro otros, ¿qué porcentaje
representa el rubro vestido respecto del gasto
mensual?
e) Si el padre de familia tiene tres hijos, y uno de
ellos está en la universidad, por lo cual gasta el
45 % de lo asignado a su gasto de educación.
¿Qué porcentaje representa el gasto en la
universidad con respecto al gasto mensual?
A 26,6 % B 25,75 %
C 38,45 % D 46,12 %
E 54,18 %
En un colegio hay cuatro salones de 6.o grado de
primaria. El gráfico muestra la nota promedio de
cada aula en el área de matemática. En la sección
A hay 20 alumnos, en la sección B hay 25 alumnos,
en la sección C hay 31 alumnos y en la sección D
hay 24 alumnos. Halla la nota promedio de todos
los alumnos de dicho grado de ese colegio.
14
noTa PRoMEDio DE los aluMnos DEl
6.o DE PRiMaRia
(Por secciones)
15,2
16,7
18,0
16,2
y
x
A B C D
sección
n
ot
a
pr
om
ed
io
El gráfico muestra la distribución de los trabajadores
de una empresa con respecto a su edad.
15
a) Si la empresa cuenta con 5000 trabajadores.
¿Cuántos de ellos tienen 64 años o menos?
35 - 44 años
menos de 35 años
55 - 64 años
45 - 54 años
65 años
o más
3k %
30 %
2k %
20 %
10 %
A 500 B 1500 C 1800
D 4000 E 4500
A 16,387 B 16,185 C 16,557
D 16,836 E 16,658
Nivel III
153MateMática Delta 2 - aritMética
Se realiza una encuesta a 1600 personas sobre
sus preferencias en sabores de helados. Se
muestra la distribución de hombres, mujeres y
niños y las preferencias de los niños.
16
mujeres
hombres
niños fresaOtros
lúcuma
vainilla
chocolate3k
4k
30 % 5n6n
10 %
3n
4n
b) Si el 60 % de los trabajadores que tienen menos
de 35 años son mujeres, ¿qué porcentaje
del total de trabajadores de la empresa son
varones con menos de 35 años?
A 11,5 % B 18 % C 12 %
D 15 % E 13,5 %
d) Si los de 65 o más son retirados de la empresa,
¿cuál sería el nuevo porcentaje de trabajadores
menores de 35 años?
c) ¿Cuántos son los trabajadores que tienen de
35 a 54 años?
A 1200 B 1540 C 1600
D 2200 E 1750
A 40 % B 33,3 % C 30 %
D 26,6 % E 20 %
a) ¿Cuántos niños mostraron preferencia por el
helado de chocolate?
A 96 B 80 C 75
D 64 E 48
b) ¿Qué porcentaje del total de personas representan
los niños que prefieren helado de fresa?
A 12 % B 5 % C 6,5 %
D 10 % E 7,5 %
154
El gráfico muestra la participación en el mercado
de algunas marcas conocidas de agua mineral
(medida en S/) durante el año 2014. El total del
mercado representa 2 millones de soles.
17
San Lucho
Soco Soco
San Toño
Otros
40 %
5n %
4n %
15 %
a) ¿Cuánto es la participación de agua San Lucho
en soles?
A S/ 600 000 B S/ 900 000
C S/ 1 200 000 D S/ 800 000
E S/ 1 000 000
c) ¿Qué porcentaje de lo que logró San Lucho
representa Soco Soco?
A 47,5 % B 55 % C 62,5 %
D 52 % E 60 %
A S/ 50 000 B S/ 150 000
C S/ 250 000 D S/ 100 000
E S/ 200 000
b) ¿Cuántos soles más logró Soco Soco que
San Toño?
d) ¿Cuánto más representan Soco Soco, San Toño
y las otras marcas de agua, que San Lucho?
A S/ 300 000 B S/ 500 000
C S/ 800 000 D S/ 400 000
E S/ 600 000
e) Si en el rubro otros se sabe que hay 36 niños que
prefieren el helado de coco, ¿qué porcentaje
del total de niños prefieren helado de coco?
d) ¿Qué porcentaje de los niños no prefieren el
helado de fresa?
c) ¿Cuántos niños más prefieren el helado de
fresa que el helado de lúcuma?
A 12 % B 10 % C 8 %
D 7,5 % E 5 %
A 75 % B 60 % C 45 %
D 30 % E 25 %
A 72 B 60 C 48
D 30 E 31
Tema
155MateMática Delta 2 - aritMéticaProbabilidad
El problema de Monty Hall
El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado por el
concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal (Hagamos un trato), famoso
entre 1963 y 1986. Su nombre proviene del presentador, Monty Hall.
En este concurso, cada participante escoge una puerta entre tres, y su premio consiste
en lo que se encuentra detrás. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una
cabra. Sin embargo, antes de abrir la puerta elegida por el concursante, el presentador,
que sabe dónde está el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra que detrás
de ella hay una cabra. Ahora tiene el concursante una última oportunidad de cambiar la
puerta escogida. ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra
puerta? ¿Hay alguna diferencia?
¿Cuál sería la opción correcta?
1. Quedarse con la puerta inicial.
2. Cambiar a la otra puerta.
3. Es irrelevante cambiar o no cambiar.
Seguro que de una forma u otra en muchas ocasiones has utilizado probabilidades y no
siempre en la escuela. Expresiones como «probablemente me gane el premio mayor
de la lotería», «probablemente lloverá mañana», «probablemente apruebe el curso»
o «es probable que lo que diga sea verdad» son bastante comunes en el lenguaje
cotidiano.
Hagamos
un trato
1 2 3
Usando el lenguaje
coloquial, conocemos
la probabilidad con
estos sinónimos:
– posibilidad
– hipótesis
– verosimilitud
– expectativa
Sinónimos de
probabilidad
¿Sa bía s qu e.. .?
10
$ 500 000 n.o 37687
n.o 45203
n.o 47744
Al EntEro
156
Probabilidad en los juegos de azar
Al jugar al dominó, a las cartas, o a los dados, hay muchas ocasiones en las que «nos
la jugamos», y de seguro analizamos si es más o menos probable que nos vaya bien o
mal. Fue gracias a juegos de azar como estos que la teoría de probabilidades empezó
a tener aceptación entre los matemáticos antiguos.
Experimento aleatorio, espacio muestral y evento
Experimento aleatorio
Al extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda, tirar un dado, y en otros ejemplos
análogos, no podemos saber de antemano el resultado que se va a obtener. A este tipo
de situaciones se le conoce como experimento aleatorio.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. El
espacio muestral se representa con Ω y a la cantidad de elementos que tenga como
n(Ω) o #(Ω).
Ejemplo 1
Al lanzar una moneda y un dado, una forma de representar el espacio muestral es:
(1; C)
(2; C)
(3; C)
(4; C)
(5; C)
(6; C)
(1; S)
(2; S)
(3; S)
(4; S)
(5; S)
(6; S)
Luego de analizar podemos afirmar que son 12 resultados posibles, entonces n(Ω) = 12.
C: Indica obtener cara en la moneda.
S: Indica obtener sello en la moneda.
• En una pareja de
sordos, por cada
hijo que tengan, la
probabilidad de que
sea también sordo
es de 0,25.
• El grupo sanguíneo
de los hijos
depende de los
padres según
probabilidades que
se pueden calcular.
• Las enfermedades
sanguíneas
genéticas superan
las 3500, y
continuamente se
descubren más.
la probabilidad y la
herencia genética
Cu rio s id a de s
157MateMática Delta 2 - aritMética
Ejemplo 2
Al lanzar tres monedas (o una moneda tres veces) el espacio muestral es:
Recreando el experimento observamos que hay 8 resultados posibles, entonces n(Ω) = 8.
(C; C; C) (S; S; S)
(C; C; S) (S; S; C)
(C; S; C) (S; C; S)
(C; S; S) (S; C; C)
Ejemplo 3
Se tienen 5 bolitas enumeradas del 1 al 5 dentro de una bolsa. Si sacamos
consecutivamente dos bolitas al azar, ¿cuántos números de dos cifras podríamos
formar en el orden en que aparecen las bolitas?
(1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5)
(2; 1) (2; 3) (2; 4) (2; 5)
(3; 1) (3; 2) (3; 4) (3; 5)
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 5)
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4)
Luego de haber realizado el experimento observamos que son 20 resultados posibles,
entonces n(Ω) = 20.
Evento o suceso
A cada uno de los resultados del espacio muestral se le denomina evento o suceso. Un
evento es cualquier subconjunto del espacio muestral y lo representaremos como «A».
Ejemplo:
Se disponen de tres monedas que se lanzan simultáneamente, determinemos en
cuántos casos se obtienen dos sellos.
Cada moneda tiene dos resultados posibles, que salga mostrando cara (C) o que salga sello
(S), entonces al lanzar las tres monedas simultáneamente, los resultados posibles son:
Moneda 1 Moneda 1Moneda 2 Moneda 2Moneda 3 Moneda 3
¿Cara o cruz?
Laplace, eminente
matemático francés
de la última mitad
del siglo XVIII y
principios del XIX,
describía la teoría
de la probabilidad
como «el sentido
común reducido al
cálculo». Veamos
cómo la siguiente
anécdota justifica
esta descripción.
Dos estudiantes de
instituto intentan
ponerse de acuerdo
en cómo pasar una
tarde. Acuerdan
que tomarán su
decisión lanzando
una moneda. Si sale
cara irán al cine, si
sale cruz saldrán a
tomar una gaseosa y
si la moneda cae de
canto, estudiarán.
La historia no es
tan trivial como
pueda parecer,
con ella podemos
aprender mucho.
El sentido común,
basando su juicio
en la experiencia,
nos indica que los
estudiantes quieren
saltarse la necesidad
de estudiar. En otras
palabras sabemos
intuitivamente que
la moneda no caerá
de canto, que lo hará
sobre la cara o sobre
la cruz. Más aún, si
la moneda es legal,
tenemos la certeza
moral de que las
posibilidades de que
salga cara o cruz son
las mismas.
158
Entonces el experimento aleatorio que consiste en «lanzar tres monedas simultáneamente»
tiene como espacio muestral lo que se describe a continuación:
(C; C; C) (C; C; S) (C; S; C) (C; S; S)
(S; S; S) (S; S; C) (S; C; C) (S; C; S)
Si se quiere obtener dos sellos, entonces los resultados favorables para obtener estos
casos serian:
(S; S; C) (S; C; S) (C; S; S)
Al conjunto de resultados favorables de este ejemplo lo llamaremos el evento «obtener
dos sellos», entonces n(A) = 3.
⇒ n(Ω) = 8
Definicion de probabilidad
la regla de laplace
Cuando un experimento aleatorio es regular, es decir que todos los sucesos elementales
tienen la misma probabilidad de ocurrir o son equiprobables, entonces para calcular la
probabilidad de ocurrencia de un evento A, basta contar y hacer el cociente entre el
número de sucesos elementales que componen A (casos favorables) y el número de
sucesos elementales del espacio muestral (casos posibles). Este resultado se conoce
como regla de Laplace. Observa que para poder aplicarla es necesario que todos los
casos posibles sean igualmente probables.
Donde:
P(A): probabilidad de que ocurra el evento A.
n(A): número de casos favorables al evento A.
n(Ω): número de elementos del espacio muestral.
Ejemplo 1
Se lanzan tres monedas simultáneamente, determinemos cuál es la probabilidad de
obtener dos caras.
Moneda 1 Moneda 2 Moneda 3
• Experimento (Ω): lanzar tres monedas
(S; S; S), (S; S; C), (S; C; S), (S; C; C), (C; S; S), (C; S; C), (C; C; S), (C; C; C) ⇒ n(Ω) = 8
• Evento (A): obtener dos caras
(S; C; C), (C; S; C), (C; C; S) son los casos favorables para obtener dos caras. ⇒ n(A) = 3
• Entonces: ⇒ P(A) = 38
Finalmente, la probabilidad de obtener dos caras al lanzar tres monedas es de 38 .
Astrónomo, físico
y matemático, que
propuso la regla
de Laplace, la cual
permite calcular la
probabilidad de un
suceso.
Pierre - Simón
laplace
1749 - 1827 P(A) =
n.° de casos favorables al evento A
n.° de casos posibles en el experimento
⇒ P(A) = n(A)
n(Ω)
159MateMática Delta 2 - aritMética
Ejemplo 2
Al extraer una carta de una baraja usual, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 10 o
un As?
Una baraja usual tiene 52 cartas, distribuidas del siguiente modo:
Su numeración es del 1 al 13
• 13 tréboles
• 13 corazones
• 13 diamantes
• 13 espadas
Experimento ( ): Extraer al azar una carta de una baraja de 52 ⇒ n(Ω) = 52
Evento (A): Obtener un 10 o un As ⇒ n(A) = 8
Son cuatro cartas enumeradas con 10 y también son cuatro cartas enumeradascon As.
Entonces ⇒ P(A) = 852
Finalmente, la probabilidad de obtener un 10 o un As de una baraja de 52 es de
8
52.
Frecuencia y probabilidad
La frecuencia absoluta de un suceso es el número de veces que aparece el suceso
cuando se repite un experimento aleatorio, y la frecuencia relativa es la frecuencia
absoluta dividida por el número de veces, n, que se repite el experimento aleatorio.
Cuando este número n es muy grande, la frecuencia relativa con que aparece un
suceso tiende a estabilizarse hacia un valor fijo. Este resultado, conocido como ley de
los grandes números, nos lleva a definir la probabilidad de un suceso como ese número
hacia el que tiende la frecuencia relativa al repetir el experimento muchas veces.
Propiedades de la probabilidad
Vista la relación entre frecuencia relativa y probabilidad, se cumple que:
• La probabilidad de ocurrencia de un evento «A», es un número desde 0 hasta 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
• La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible es 0.
• La probabilidad de un evento contrario es:
P(que no ocurra A) = 1 – P(A)
• Para un mismo experimento y dados dos eventos «A» y «B», asociados a tal
experimento, se cumple:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
operaciones con eventos
Con los eventos A y B de un experimento aleatorio se pueden realizar distintas
operaciones.
Unión (A ∪ B)
Es el evento formado por todos los sucesos elementales de A y de B. Ocurre cuando
sucede A o sucede B o ambos.
Intersección de (A ∩ B)
Es el evento formado por los sucesos elementales comunes a A y B. Se verifica cuando
ocurren A y B a la vez.
Diferencia de (A − B)
Es el evento formado por los sucesos elementales de A que no están en B. Ocurre si
sucede A pero no B.
la regla del 37 %
que te ayudará a
tomar decisiones
Nos pasamos toda
la vida tomando
decisiones, por
ejemplo, ¿a qué nos
dedicaremos?
La estadística esconde
una «cifra mágica»
que nos puede ayudar
a tomar más de una
decisión.
La regla del 37 % es
la solución a todos
nuestros problemas
decisivos; ya que,
según explicaría la
experiencia, cuando ya
hemos analizado el
37 % de nuestras
posibles opciones
tenemos la información
necesaria para elegir,
debido a que habremos
conocido bastantes
opciones sin perder
tiempo en conocer
posibilidades que no
escogeríamos.
Cu rio s id a de s
Si A es un suceso
definido en :
P( ) = 1
P( ) = 0
160
Ejemplo:
Sea el experimento lanzar simultáneamente dos dados, y sean los eventos:
A: suma de puntos menor que 6.
B: se forme un número primo de dos cifras.
Dado n.° 1
Dado n.° 2
Nuestro espacio muestral tendría 36 resultados posibles:
(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)
(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)
(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
⇒ n(Ω) = 36
Resultados favorables al evento A (suma de puntos menor que 6).
(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (2; 1)
(2; 2) (2; 3) (3; 1) (3; 2) (4; 1)
Resultados favorables al evento B (se forme un número primo de dos cifras).
⇒ n(A) = 10
(1; 1) (1; 3) (2; 3) (3; 1)
(4; 1) (4; 3) (5; 3) (6; 1)
Si estos resultados son llevados a un diagrama de Venn, tendríamos el siguiente
esquema:
⇒ n(B) = 8
A B
• (1; 2)
• (1; 4)
• (2; 1)
• (2; 2)
• (3; 2)
• (1; 1)
• (1; 3)
• (2; 3)
• (3; 1)
• (4; 1)
• (4; 3)
• (5; 3)
• (6; 1)
⇒ P(A) = 1036
⇒ P(B) = 836
⇒ P(A ∩ B) = 536
⇒ P(A – B) = 536
⇒ P(B – A) = 336
Donde:
• P(A) sería la probabilidad de obtener suma de puntos menor que 6.
• P(B) sería la probabilidad de que se forme un número primo de dos cifras.
• P(A ∩ B) sería la probabilidad de formar un primo de dos cifras cuya suma de cifra
sea menor que 6.
• P(A – B) sería la probabilidad de que la suma de puntos sea menor que 6 pero que
no formen un primo de dos cifras.
• P(B – A) sería la probabilidad de que se forme un primo de dos cifras pero cuya
suma de cifras no sea menor que 6.
• P(A ∪ B) sería la probabilidad de obtener suma de puntos menor que 6 o que se
forme un primo de dos cifras.
En cualquier
partida de naipes
es frecuente ver
que el jugador que
ha tenido una mala
mano acuse a quien
barajó de no haber
mezclado bien las
cartas. Por otro lado,
también podemos
observar que quien
pierde más tiempo
barajando no es
otro que el que
está teniendo peor
suerte en la partida
e intenta que esta
cambie mezclando a
conciencia las cartas.
Pues bien, en 1991
los matemáticos
estadounidenses
Perci Diaconis
y David Bayer
recurrieron a la
computadora
para estudiar
este problema y
comprobaron que es
suficiente mezclar
las cartas 7 siete
veces para que su
distribución sea
aleatoria dentro de
una baraja de 52
naipes. Esto quiere
decir que cualquier
carta tiene la misma
probabilidad de
encontrarse en
cualquier posición.
Mezclar las cartas
más de siete veces
es innecesario y
menos de siete
insuficiente.
Cu rio s id a de s
161MateMática Delta 2 - aritMética
Eventos independientes
Cuando se realizan observaciones de varios sucesos puede que el resultado de uno de
ellos no dependa del resultado del otro. En ese caso se dice que son independientes
si la presencia del uno no influye en la probabilidad del otro, en caso contrario son
dependientes.
Entonces, si tenemos dos eventos independientes A y B se cumple que la probabilidad
de ocurrencia del evento A y el evento B es igual al producto de la probabilidad de A
con la probabilidad de B.
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Calculamos P(A ∪ B):
P( A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
10
36
8
36
5
36
=
=
13
36
+ –
El que salga cara en la moneda no influye en el resultado del dado; por tanto, se trata
de experimentos totalmente independientes. Por ello:
• A es el evento de obtener cara al lanzar una moneda.
• B será el evento de obtener un número primo al lanzar un dado de seis caras.
De modo que P(A) = 12 ∧ P(B) =
3
6
Ahora calculamos la probabilidad de que al lanzar una moneda y un dado se obtenga
cara y número primo.
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ⇒ P(A ∩ B) = 1
2
× 3
6
⇒ P(A ∩ B) = 14
Ejemplo 1
Se lanzan simultáneamente un dado de seis caras y una moneda, calculemos la
probabilidad de obtener cara y un número primo.
El experimento «lanzar una moneda» tiene dos resultados posibles, mientras que el
experimento «lanzar un dado» tiene seis resultados posibles.
{C; S} {1; 2; 3; 4; 5; 6}
la apuesta
interrumpida
Los jugadores A y
B apuestan a cara
o cruz, tirando una
moneda. El jugador
que primero llega a
cinco puntos gana
la apuesta. El juego
se interrumpe en un
momento en que A
tiene 4 puntos y B
tiene 3 puntos.
¿Cómo deben repartir
la cantidad apostada
para ser justos?
De safío
162
Para la segunda extracción, el espacio muestral no cambia de la primera sacada a la
segunda (dado que se devolvió lo que se había retirado), así los eventos son independientes
de modo que la probabilidad de que la segunda canica extraída sea verde es de 3
9
.
⇒ n(Ω) = 9
P(verde) = 39
Para calcular la probabilidad de que al extraer dos bolitas, la primera sea azul y la
segunda verde, dado que se devolvió la primera canica, se calcula así:
P(azul luego verde) = P(azul) × P(verde)
2
9
3
9
= 29 ×
3
9
= 627
Eventos dependientes
Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del
segundo evento, así que la probabilidad es cambiada, dado que el espacio muestral
es modificado. La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las
probabilidades de los eventos individuales:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B/A)
Ejemplo:
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es
eliminada de la caja y no es reemplazada, luego otra canica se saca de la caja. ¿Cuál
es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
resolución:
Antes de retirar la primera canica, la probabilidad de que al extraer unacanica esta sea
azul es de 2/9 y de que sea verde es 3
9
. Esto porque el espacio muestral al extraer la
primera canica es 9.
⇒ n(Ω) = 9
P(azul) = 2
9
Un misterio sobre
números
Es fácil ver que:
4! + 1
4 × 3 × 2 × 1 + 1
25
52
5! + 1
5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1
121
112
7! + 1
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1
5041
712
¿Habrá algún otro
número n tal que
n! +1 sea un
cuadrado perfecto?
Se sospecha que
no pero no se
ha conseguido
demostrar.
Cu rio s id a de s
⇒ n(Ω) = 9
P(azul) = 2
9
Ejemplo 2
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es
extraída de la caja y luego devuelta, luego otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la
probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
resolución:
Cuando la primera canica es extraída, el tamaño del espacio muestral es 9, de modo
que la probabilidad de que esta canica sea azul es 2
9
.
163MateMática Delta 2 - aritMética
Luego de extraer la primera canica (sabiendo de antemano que es azul) y no se
reemplaza, entonces el espacio muestral al extraer la segunda canica será de 8; con
lo cual la probabilidad de que al extraer otra bolita y que esta sea verde cambiará a 3
8
.
Así, los eventos son dependientes.
⇒ n(Ω) = 8
P(verde) = 3
8
Para calcular la probabilidad de que al extraer dos bolitas, la primera sea azul y la
segunda verde se calcula así:
P(azul luego verde) = P(azul) × P(verde)
2
9
3
8
= 2
9
× 3
8
=
1
12
70 – x 50 – xx
Fuman (70) Beben (50)
15
� # U = 90:
⇒ (70 – x) + x + (50 – x) + 15 = 90
45 = x
� P(A ∩ B) = 45
90
⇒ P(A ∩ B) = 12
resolución:
A una fiesta asistieron 90 personas, de las cuales, 70 fuman, 50 beben y
15 no fuman ni beben. Si de estas personas se elige una al azar, calcula cuál es
la probabilidad de que beba y fume.
todo empezó
cuando…
El francés Antoine
Gombaud, en 1654,
se interesó por las
reglas matemáticas
de un antiguo juego,
y en eso consiguió
que el también
matemático y paisano
suyo, Blaise Pascal,
se intrigara por el
tema.
El juego en cuestión
es muy simple en
apariencia:
Tirar un par de dados
24 veces, y apostar
por si saldrá o no, al
menos un seis doble.
Las historias cuentan
que este problema
motivó una serie de
cartas entre Pascal
y el parlamentario (y
matemático amateur)
Pierre de Fermat en
las que por primera
vez en la historia se
empezaron a hilar los
principios básicos de
las probabilidades,
que serían después
recopilados y
publicados en 1714
por Huygens.
Pero, ¿qué tenía de
especial el juego de
los dados?
Bien, según los
cálculos de algunos
jugadores de la
época, se debería
apostar a que sí
saldría al menos
un seis doble…
pero esos cálculos
eran erróneos y
evidentemente a la
larga los seguidores
de esa idea perdían
dinero y era
comprensible que
quisieran entender
por qué.
¿Sa bía s qu e.. .?
1
Ejercicios resueltos
Los datos disponibles lo trasladamos a un diagrama de Venn y tendríamos el
siguiente esquema:
rpta. La probabilidad de que una de estas personas beba y fume es 1
2
.
164
Una caja contiene 8 fichas rojas, 7 fichas negras y
5 fichas blancas. Si se extrae una de ellas al azar;
calcula la probabilidad de que la ficha extraída no
sea blanca.
resolución:
PropiedadesExperimento aleatorio
Espacio muestral
Definición de probabilidad
Evento
Al extraer una carta de una baraja, lanzar una
moneda, tirar un dado, y en otros ejemplos análogos,
no podemos saber de antemano el resultado que se
va a obtener; por ello, a este tipo de situaciones se
le conoce como experimento aleatorio.
Vista la relación entre frecuencia relativa y
probabilidad, se cumple que:
• La probabilidad de ocurrencia de un evento A, es
un número entre 0 y 1.
0 < P(A) < 1
• La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del
suceso imposible es 0.
• La probabilidad del contrario es:
P(que no ocurra A) = 1 – P(A)
• Para un mismo experimento y dados dos eventos
A y B, asociados a tal experimento, se cumple:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
El conjunto de todos los posibles resultados de un
experimento aleatorio se llama espacio muestral. El
espacio muestral se representa con Ω y a la cantidad
de elementos que tenga como n(Ω) o # (Ω).
Donde:
P(A): probabilidad de que ocurra el evento A.
n(A): número de casos favorables al evento A.
n(Ω): número de elementos del espacio muestral.
Evento independiente
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Evento dependiente
P(A ∩ B) = P(A) × P(B/A)
P(A) = n.° de casos favorables al evento An.° de casos posibles en el experimento
⇒ P(A) =
n(A)
n(Ω)
2 Una caja contiene 12 bolas enumeradas del 1 al
12. Los cuatro primeros números son blancos y
los ocho últimos, negros. Halla la probabilidad de
que al extraer una de las bolas, esta sea negra o
un número impar.
resolución:
85 6 7 9 10 11 12
Modela y resuelve
Síntesis
1
rpta.
rpta.
165MateMática Delta 2 - aritMética
3 Se imprimieron 80 boletos para una rifa de un solo
premio. Si Luis ha comprado 20 boletos, halla cuál
será la probabilidad de que pueda ganar.
resolución:
5 Tenemos dos dados de seis caras, enumeradas
del 1 al 6. Determina la probabilidad de que al
lanzar ambos dados se obtenga como suma de
puntos un número primo.
resolución:
6 Tenemos dos dados de seis caras, enumeradas
del 1 al 6. Halla la probabilidad de que al lanzar
ambos dados se obtenga como suma de puntos
un número impar.
resolución:
4 Tenemos tres monedas. Determina la probabilidad
de que al lanzar simultáneamente estas monedas,
se obtenga como resultado ningún sello.
resolución:
rpta. rpta.
rpta. rpta.
166
8 En una empresa de servicios hay 180 empleados:
95 hombres y el resto, mujeres. Los no fumadores
son 54 hombres y 48 mujeres.
a) Si se elige un empleado al azar, calcula la
probabilidad de que sea mujer y fume.
b) Si se elige un empleado, determina la
probabilidad de que no fume y sea mujer.
c) Si se elige un empleado, encuentra la
probabilidad de que sea hombre dado que es
fumador.
resolución:
7 En una empresa hay 200 empleados: 110
hombres y el resto, mujeres. Los fumadores son
42 hombres y 39 mujeres.
a) Si se elige un empleado al azar, calcula la
probabilidad de que sea hombre y no fume.
b) Si se elige un empleado, determina la
probabilidad de que fume y sea mujer.
c) Si se elige un empleado, encuentra la
probabilidad de que sea mujer dado que no es
fumador.
resolución:
rpta. rpta.
167MateMática Delta 2 - aritMética
9 El 30 % de los estudiantes de un instituto practica
fútbol, el 40 % practica baloncesto, y el 10 %
practica ambos deportes. Se elige un alumno al
azar, encuentra:
a) La probabilidad de que no juegue baloncesto ni
fútbol.
b) La probabilidad de que solo juegue fútbol.
c) Si juega fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que
juegue baloncesto?
resolución:
10 El 39 % de los estudiantes de un instituto practica
tenis, el 45 % practica natación y el 18 % practica
ambos deportes. Se elige un alumno al azar,
encuentra:
a) La probabilidad de que no practique tenis ni
natación.
b) La probabilidad de que solo practique tenis.
c) Si practica natación, ¿cuál es la probabilidad
de que practique tenis?
resolución:
rpta. rpta.
168
12 En una urna se encuentran 48 bolas, enumeradas
del 1 al 48. Descubre la probabilidad de que al
extraer:
a) Una bola, esta sea número cubo perfecto.
b) Una bola, esta sea divisible por 6 o por 9.
c) Dos bolas, estas sean números pares
consecutivos.
resolución:
1
1
6
30
18
45
3
27
12
42
27
2
8
9
2 4
12 14
4 6
14 16
6 8
16 18
8 10
18 20
10 12
20 22
36
24
48
48
11 En una urna se encuentran 76 bolas, enumeradas
del 1 al 76. Descubre la probabilidad de que al
extraer:
a) Una bola, esta sea número cuadrado perfecto.
b) Una bola, esta sea divisible por 6 o por 8.
c) Dos bolas, estas sean números impares
consecutivos.
resolución:
1
1
6
40
16
16
54
3
9
12
48
36
24
60
64
3266
36
72
2
4
8
1 3
11 13
3 5
13 15
5 7
15 17
7 9
17 19
9 11
19 21
42
25
18
56
49
30
64
76
rpta. rpta.
169MateMática Delta 2 - aritMética
13 Se lanza un par de dados y se observa la
puntuación. Calcula la probabilidad de obtener
puntos diferentes en cada dado y que la suma de
estos sea par.
resolución:
14 Se lanza un par de dados y se observa la
puntuación. Calcula la probabilidad de obtener
puntos diferenteres en cada dado y que la suma
de estos sea divisible por tres.
resolución:
15 A una señora embarazada le diagnosticaron que
tendría trillizos. Halla la probabilidad de que el día
del parto nazcan dos mujeres.
resolución:
16 A una señora embarazada le diagnosticaron que
tendría mellizos. Halla la probabilidad de que el
día del parto nazcan dos hombres.
resolución:
rpta. rpta.
rpta. rpta.
170
17 Escribimos cada una de las letras de la palabra
ROBERTO en papeles distintos y las ponemos
en una bolsa. Determina la probabilidad de que al
extraer:
a) Una letra, se obtenga una consonante.
b) Tres letras, se obtengan dos consonantes.
c) Tres letras, obtener dos vocales y una
consonante.
resolución:
18 Escribimos cada una de las letras de la palabra
LÁPIZ en un papel y las ponemos en una bolsa.
Dtermina la probabilidad de que al extraer:
a) Una letra, se obtenga una vocal.
b) Dos letras, obtener dos vocales.
c) Dos letras, obtener una vocal y una
consonante.
d) Dos letras, obtener dos consonantes.
resolución:
rpta. rpta.
171MateMática Delta 2 - aritMética
Si se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de
obtener puntaje cinco como resultado.
1
Si se lanzan dos monedas al aire, halla la
probabilidad de obtener dos sellos como resultado.
2
En una urna se encuentran 50 bolas enumeradas
del 1 al 50. Determina la probabilidad de que al
extraer una bola, esta sea divisible por 5 o por 8.
3
En una urna hay 3 bolas rojas, 7 bolas azules y
2 bolas negras. Encuentra la probabilidad de que
al extraer una bola, esta no sea roja.
4
Se lanzan tres monedas al aire, halla la probabilidad
de no obtener tres sellos.
5
A 16 B
5
36 C
1
9
D 112 E
7
36
A 12 B
1
3 C
1
6
D 14 E
1
12
A 1350 B
3
10 C
8
25
D 15 E
1
25
A 13 B
3
4 C
1
6
D 14 E
5
12
A 78 B
1
8 C
3
8
D 14 E
1
2
Practica y demuestra
Nivel I
Tres caballos, Aquiles, Bronco y Corinto intervienen
en una carrera. Si Aquiles tiene doble probabilidad
de ganar que Bronco, y Bronco el doble de
probabilidad de ganar que Corinto, calcula la
probabilidad que gane Corinto.
6
A 16 B
1
7 C
2
7
D 13 E
1
5
172
Al lanzar dos dados de seis caras, enumerados
del 1 al 6; halla la probabilidad de que el resultado
del primer dado sea mayor que el del segundo
dado.
7
Determina la probabilidad de que al extraer dos cartas,
una a continuación de la otra, de una baraja de
52 cartas, ambas sean de corazones.
8
En un grupo de estudiantes, el 40 % juega
baloncesto y el 64 % fútbol, sabiendo que el
89 % practica al menos uno de los dos deportes.
Encuentra la probabilidad de que al elegir un estudiante,
este juegue los dos deportes.
9
A 5
12
B 1
6
C 4
9
D 3
4
E 2
9
A 1
26
B 1
4
C 1
13
D 213 E
1
17
A 0,25 B 0,15 C 0,11
D 0,26 E 0,18
En una bolsa tenemos 7 bolas rojas, 9 bolas
azules y 4 verdes. Extraemos una bola, descubre
la probabilidad de que:
a) No sea roja.
b) Sea verde.
c) Sea roja o azul.
Da como respuesta la suma de los tres resultados.
10
A 23
20
B 29
20
C 13
20
D 5
4
E 33
20
Tiramos un dado de 10 caras, enumerados del
1 al 10. Halla la probabilidad de que al lanzarlo
el resultado sea menor de 7.
12
A 7
10
B 4
5
C 3
5
D 2
5
E 3
10
Nivel II
Calcula la probabilidad de obtener como suma de
puntos número par o un número divisible por tres
al lanzar dos dados de seis caras, enumerados
del uno al seis.
11
A 2
3
B 1
4
C 2
5
D 5
12
E 1
6
173MateMática Delta 2 - aritMética
Al lanzar dos dados de seis caras, enumerados
del 1 al 6, determina la probabilidad de que salga
un puntaje de cuatro o de seis.
13
A 2
9
B 1
3
C 1
12
D 1
4
E 5
36
Lanzamos un dado de 4 caras enumeradas
como: {1, 2, 3, 4} y otro de 10 caras numeradas
como: {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4 ,4}. Encuentra la
probabilidad de obtener dos cuatro.
14
A 1320 B
1
8 C
5
14
D 29 E
1
10
En una bolsa tenemos 6 bolas rojas, 9 bolas
azules y 5 bolas verdes. Extraemos dos bolas, una
a continuación de la otra; descubre la probabilidad
de que la primera sea roja y la segunda verde.
15
A 3
40
B 11
20
C 7
38
D 3
38
E 7
20
A una señora embarazada le diagnosticaron que
tendría trillizos, halla la probabilidad de que el día
del parto nazcan tres mujeres.
18
A 3
8
B 1
2
C 1
8
D 1
4
E 1
6
En una urna hay 7 bolas blancas, 5 bolas rojas y
3 bolas azules. Calcula la probabilidad de que al
extraer dos bolas, una a continuación de la otra,
estas sean rojas.
17
A 2
21
B 2
15
C 1
7
D 3
14
E 1
5
En un colegio el 68 % de los alumnos practican
fútbol, el 53 % baloncesto, y el 92 % por lo menos
uno de los dos. ¿Qué probabilidad hay de que un
estudiante del colegio practique fútbol pero no
baloncesto?
16
A 0,29 B 0,39 C 0,40
D 0,37 E 0,24
n
174
De un grupo de estudiantes, la probabilidad de
no llevar matemática es de 49 % y la probabilidad
de no llevar química es 53 %. Si la probabilidad
de no llevar matemática ni química es del 27 %,
calcula la probabilidad de llevar ambos cursos.
21
A 0,20 B 0,02 C 0,29
D 0,25 E 0,22
Se tiene un dado de 20 caras enumeradas como
sigue:
{1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5}
Determina las siguientes probabilidades:
a) P(par)
b) P(mayor de 3)
c) P(par menor de 3)
d) P(no par)
Da como respuesta la suma de estos cuatro
resultados.
19
A 1710 B
13
10 C
3
2
D 1720 E
8
5
En una urna hay 8 bolas negras y 5 bolas blancas. Se
extraen 2 bolas, una a continuación de la otra; descubre
la probabilidad de que las 2 sean de color negro.
20
A 213 B
5
24 C
3
13
D 27 E
14
39
Un lote de 12 artículos tiene 4 defectuosos. Se
toman al azar 3 artículos del lote uno tras otro.
Halla la probabilidad de que los 3 estén buenos.
23
A 14 B
7
12 C
1
3
D 1455 E
1
8
En una caja hay 4 cubos rojos y 2 azules, sacando
sin ver y totalmente al azar cuatro cubos, uno tras
otro. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro
sean rojos?
22
A 23 B
1
15 C
1
3
D 15 E
1
4
En una caja hay 5 fichas blancas, 7 negras y 4 rojas.
Se extraen tres fichas, una a continuación de la otra,
determina la probabilidad de obtener una de cada
color.
24
A 14 B
5
12 C
3
16
D 124 E
1
8
27k
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
175MateMática Delta 2 - aritMética
Chifa
Arroz con pollo
Pollo a la brasa
35 %
a %
b %
A 300 y 40 % B 350 y 40 %
C 300 y 45 % D 300 y 35 %
E 350 y 42 %
Ingreso n.° de obreros Valor porcentual
[100 ; 150〉 150
[150 ; 200〉 30 %
[200 ; 250〉
[250 ; 300] 15 5 %
4n
5n
9n
20n
y
x
16n
n.° DE AlUMnoS PArtICIPAntES En lA EtAPA
ElIMInAtorIA
1 2 3 4
Sedes
n.
° d
e
al
um
no
s
5 6 7
A 6400 B 3000 C 5600
D 4200 E 4800
A continuación se presenta la evolución de los
promedios mensuales en el curso de matemática
en el primer semestre, de un grupo de 20 alumnos
de un aula de 6.o grado de primaria. Halla en qué
mes obtuvieron su mayor promedio y en cuánto
excede este promedio al que obtuvieron en el
último mes de este primer semestre.
A Febrero; 2,5 B Abril; 3
C Febrero; 1 D Abril; 1
E Junio; 2
ColEGIo JESÚS, EVolUCIÓn DE loS ProMEDIoS
PRIMER SEMESTRE
16
16,5
17,5
18
18,5
19
17
y
x
Ene Feb Mar Abr May Jun
Pr
om
ed
io
s
El gráficomuestra las preferencias de comida
de un grupo de estudiantes de la UNI. Si se
encuestaron a 160 alumnos, ¿cuántos prefieren
el pollo a la brasa?
A 40 B 55 C 60
D 64 E 70
El siguiente cuadro corresponde al ingreso
semanal (en soles) de cierto número de obreros.
Completa el cuadro y calcula cuántos obreros
son y qué porcentaje se estima que ganan desde
S/ 150 hasta menos de S/ 250.
1 El diagrama de barra mostrado indica la
cantidad de alumnos participantes en la etapa
eliminatoria de un concurso de matemática,
en cada una de las siete sedes destinadas a
ello, las cuales están numeradas del 1 al 7.
Determina cuántos alumnos son de las sedes
enumeradas con números impares, si en total
son 9000 participantes.
3
4
2
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
176
Una caja contiene 10 bolas enumeradas del 1 al
10. Los cuatro primeros números son blancos y
los seis últimos, negros. Calcula la probabilidad
de que al extraer una de las bolas, esta sea blanca
o un número par.
5 6 7 98 10
7
Una caja contiene 7 fichas negras y 5 fichas
blancas. Si se extrae una de ellas al azar;
encuentra la probabilidad de que la ficha extraída
no sea blanca.
5
Se imprimieron 75 boletos para una rifa de un solo
premio. Si Luis ha comprado 15 boletos, descubre
cuál será la probabilidad de que pueda ganar.
6
A 9
12
B 3
10
C 7
12
D 6
12
E 7
10
8 Tenemos tres monedas. Halla la probabilidad de
que al lanzar simultáneamente estas monedas,
se obtenga como resultado un solo sello.
En una urna hay 7 balas azules y 8 bolas negras.
Se extraen 2 bolas, una a continuación de la otra,
halla la probabilidad de obtener una de cada color.
9
Determina la probabilidad de que al extraer una carta
de una baraja esta sea de corazones.
10
A 2
5
B 1
5
C 3
10
D 3
5
E 6
7
A 2
5
B 9
10
C 8
10
D 1
3
E 7
10
A 3
8
B 3
4
C 1
4
D 2
8
E 1
2
A 5
15
B 3
10
C 4
10
D 4
15
E 1
3
A 1
4
B 3
5
C 1
3
D 3
4
E 4
6
EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos,
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales.
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir,
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos.
Estos son tan importantes que serán respetados como
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores,
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los
siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo
Nacional es garantizar una sociedad en la que los
derechos son respetados y los ciudadanos vivan
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor
para el país.
2. Equidad y justicia social
Para poder construir nuestra democracia, es necesario
que cada una de las personas que conformamos esta
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del país
Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete
a fomentar el espíritu de competitividad en las
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar
la colocación de nuestros productos en los mercados
internacionales.
4. Estado eficiente, transparente y descentralizado
Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus
obligaciones de manera eficiente y transparente para
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo
se compromete a modernizar la administración pública,
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar
el poder y la economía para asegurar que el Estado
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL
D
el
ta
e
di
to
re
s®
2
Secundaria
A
R
IT
M
É
T
IC
AResuelve problemas de cantidad
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento
abstracto en los estudiantes del nivel secundario.
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas,
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes
competencias:
Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
ARITMÉTICA
Matemática
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