Teoria Ecuación de la recta

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MATEMÁTICA I-2020 PROF. LUIS CRESPO 
 
 
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La recta como modelo matemático 
En la tabla se registra los kilogramos de algodón 𝐴 que se recoge en un tiempo dado 𝑡 en 
horas después de media hora de preparación para la cosecha. La gráfica de la relación entre 
las variables es una recta. 
 
El cociente entre la variación de la variable dependiente (A) y la variación de la variable 
independiente (t) permanece constante e igual a 30 y se denomina pendiente de la recta 
Pendiente y ordenada al origen de una recta 
Para calcular la pendiente de una recta se necesitan las coordenadas de dos puntos de la 
recta. 
La pendiente 𝒎 de una recta no vertical que 
pasa por los puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2) es 
el cociente entre la variación de las 
variables independiente y dependiente. 
𝒎 =
∆𝒚
∆𝒙
=
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
 
La recta intercepta al eje coordenado 
vertical en 𝑏, número llamado ordenada al 
origen. 
 
La pendiente es una medida de la inclinación de la recta respecto del eje coordenado 
horizontal y su cálculo no depende de los puntos elegidos sobre la recta. 
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De izquierda a derecha, una recta con pendiente positiva inclina hacia arriba, una recta con 
pendiente negativa lo hace hacia abajo y una recta con pendiente cero es paralela al eje 
coordenado horizontal. 
Ecuaciones de una recta 
Conocida la pendiente y las coordenadas de un punto o la ordenada al origen de la recta se 
escribe su ecuación. De esta ecuación es posible deducir las otras. 
Ecuación punto – pendiente 
Se utiliza cuando se conoce la pendiente 𝑚 y las coordenadas (𝑥1, 𝑦1) de un punto por 
donde pasa la recta. 
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) 
Ecuación pendiente – ordenada 
Se emplea si se tiene la pendiente 𝑚 y la ordenada al origen 𝑏 de la recta. 
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 
Ecuación Segmentaria 
Es útil cuando se sabe que la recta intercepta al eje 𝑥 en 𝑝, y al eje 𝑦 en 𝑞. 
𝒙
𝒑
+
𝒚
𝒒
= 𝟏 
Ecuación general 
En algunos casos, como el cálculo de la distancia mínima entre un punto y una recta, esta 
ecuación es necesaria. 
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 
Con 𝐴, 𝐵 y 𝐶 números reales tales que 𝐴 y 𝐵 no son simultáneamente cero. 
Pendiente y ángulo de la recta 
Cuando se conoce un ángulo que la recta forma con uno de los ejes coordenados, a partir 
de ese ángulo se debe determinar el ángulo medido en sentido antihorario y desde el eje 
coordenado horizontal que la recta forma con el eje de las abscisas para obtener la 
pendiente de la recta. 
Si 𝛼 es el ángulo, medido en sentido antihorario y desde el eje coordenado horizontal, que 
la recta forma con el eje de las abscisas, la pendiente es igual a la tangente del ángulo. 
𝒎 = 𝒕𝒈 𝜶 𝜶 = 𝒂𝒓𝒄𝒐 𝒕𝒈 𝒎 
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Distancia mínima entre dos puntos en el plano 
Para calcular la distancia mínima entre dos puntos en el plano se necesita las coordenadas 
de los puntos a fin de aplicar una fórmula que surge de la aplicación del teorema de 
Pitágoras. 
La distancia mínima entre dos puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2) en el plano coordenado es igual 
a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de abscisas y ordenadas 
de los puntos. 
𝒅(𝑨, 𝑩) = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)
𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)
𝟐 
 
Ecuaciones de rectas horizontales y verticales 
La ecuación de la recta horizontal que intercepta al eje 𝑦 en 𝑏 es 𝒚 = 𝒃 
La ecuación de la recta vertical que intercepta al eje 𝑥 en 𝑎 es 𝒙 = 𝒂 
 
 
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Las rectas horizontales tienen pendiente igual a cero y las verticales no tienen pendiente. 
Rectas paralelas y perpendiculares 
Dada la ecuación de una recta, una recta paralela a ésta tiene la misma pendiente y una 
recta perpendicular tiene una pendiente inversa y con signo opuesto. 
Las rectas paralelas tienen la misma inclinación y como la pendiente mide la inclinación, las 
rectas paralelas tienen la misma pendiente. 
Si la recta 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏1 es paralela a la recta 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏2, las pendientes son iguales. 
𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 
Las rectas perpendiculares forman cuatro ángulos rectos, es decir cuatro ángulos de 90°. 
Si la recta 𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏1 es perpendicular a la recta 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏2, el producto de las 
pendientes es igual a −1. 
𝒎𝟏. 𝒎𝟐 = −𝟏 𝐨 𝐛𝐢𝐞𝐧 𝒎𝟏 = −
𝟏
𝒎𝟐
 
Distancia mínima entre punto y recta 
Para calcular la distancia mínima entre un punto 𝑃 y una recta 𝑟 hay dos formas. 
La primera, consiste en: 
1. Encontrar la ecuación de la recta 
perpendicular a la recta 𝑟, que pasa por el 
punto 𝑃. 
2. Obtener las coordenadas del punto 𝑄, 
interceptando la recta 𝑟 y su perpendicular 
por 𝑃. 
3. Calcular la distancia entre los puntos 𝑃 y 𝑄. 
La segunda es más simple, pero requiere la memorización de una fórmula. 
La distancia mínima 𝑑 entre un punto 𝑃(𝑥1, 𝑦1) y una recta 𝑟 es la distancia entre los puntos 
𝑃 y 𝑄. Siendo 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ un segmento perpendicular a la recta 𝑟. 
La distancia mínima entre el punto 𝑃(𝑥1, 𝑦1) y la recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 se puede calcular 
con la siguiente fórmula. 
𝒅(𝑷, 𝒓) =
|𝑨𝒙𝟏 + 𝑩𝒚𝟏 + 𝑪|
√𝑨𝟐 + 𝑩𝟐
 
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Bibliografía 
Renfige, R. (2019). Teoría 1: Rectas en el plano. UnSAX