Contenido elegido para ti
Contenido elegido para ti
Vista previa del material en texto
<p>TALLER DE MATEMÁTICA (LDCV)</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA APLICADA AL DISEÑO I (LDI)</p><p>CÁTEDRA DE</p><p>MATEMÁTICA</p><p>* ECUACIONES ALGEBRAICAS</p><p>* GEOMETRÍA: CURVAS PLANAS Y</p><p>SUPERFICIES</p><p>* GEOMETRÍA: FIGURAS PLANAS Y</p><p>CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>* RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>* TRIGONOMETRÍA</p><p>Carreras: Licenciatura en Diseño de la Comunicación visual</p><p>Licenciatura en Diseño Industrial</p><p>Título</p><p>Taller de matemática</p><p>1ª edición : febrero 2020. Santa Fe, Argentina.</p><p>Autoras</p><p>Contacto</p><p>graciela.imbach@gmail.com</p><p>Taller de matemática : taller de matemática para LDCV y LDI / Sandra Fabiana Kernot...</p><p>[et al.].- 1a edición para el alumno - Santa Fe : Sandra Fabiana Kernot, 2020.</p><p>Libro digital, PDF</p><p>Archivo Digital: descarga y online</p><p>ISBN 978-987-86-4273-4</p><p>1. Matemática Aplicada. 2. Matemática. 3. Diseño Gráfico. I. Kernot, Sandra Fabiana.</p><p>CDD 519.8</p><p>ÍNDICE</p><p>ECUACIONES ALGEBRAICAS .................................................................................................. 4</p><p>GEOMETRÍA: CURVAS PLANAS Y SUPERFICIES ................................................................. 19</p><p>GEOMETRÍA: FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS ........................................... 61</p><p>RAZONES Y PROPORCIONES ............................................................................................... 98</p><p>TRIGONOMETRÍA .................................................................................................................. 151</p><p>RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS INTEGRADOS - APLICACIONES ...................................... 175</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA (LDCV)</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA APLICADA AL DISEÑO I (LDI)</p><p>CÁTEDRA DE</p><p>MATEMÁTICA</p><p>ECUACIONES ALGEBRAICAS</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>4</p><p>ECUACIONES</p><p>Se llama ecuación a una igualdad en la que aparecen vinculados números y letras, éstas</p><p>últimas denominadas incógnitas o variables. Los valores de las incógnitas que satisfacen a</p><p>la ecuación dada, se denominan soluciones o raíces de la ecuación.</p><p>Ejemplos</p><p>2</p><p>9</p><p>32 x Ecuación de primer grado con una incógnita.</p><p>629 2 xx Ecuación de segundo grado con una incógnita.</p><p>Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de las incógnitas que hacen</p><p>cierta la igualdad. El conjunto de estos valores, llamados raíces de la ecuación, se</p><p>denomina conjunto solución. Si la ecuación no tiene raíces, es incompatible y el conjunto</p><p>solución es S . Si S , la ecuación es compatible.</p><p>Ejemplos</p><p>a) 092 x Ecuación compatible. }3,3{S</p><p>b) 042 2 x Ecuación Incompatible. S </p><p>Una ecuación que se verifica para todos los valores permitidos de sus incógnitas recibe el</p><p>nombre de identidad.</p><p>Ejemplos</p><p>a) xxx 211 22 )(</p><p>b)</p><p>))(( 32</p><p>52</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> xx</p><p>x</p><p>xx</p><p>La igualdad a) se verifica para todos los valores reales. La igualdad b) se verifica para todos</p><p>los valores reales excepto para los no permitidos 2x , 3x .</p><p>Los procedimientos de resolución de una ecuación se basan en transformarla en sucesivas</p><p>ecuaciones equivalentes más simples, aplicando la propiedad uniforme y propiedades de</p><p>las operaciones en el conjunto de números reales.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>5</p><p>Ejemplos</p><p>a) 4x – 7 = 1</p><p>4x – 7 + 7 = 1 + 7 (Propiedad uniforme : para que el – 7 se anule se suma 7</p><p>miembro a miembro)</p><p>4x = 8</p><p>4x : 4 = 8 : 4 (Propiedad uniforme: para que el coeficiente de x sea 1,</p><p>dividimos miembro a miembro por 4)</p><p>x = 2</p><p>Verificación: 4.2 – 7 = 1</p><p>1 = 1</p><p>Por lo tanto, el conjunto solución es }2{S y la ecuación es compatible.</p><p>b)</p><p>2</p><p>7</p><p>5</p><p>2</p><p>3</p><p></p><p></p><p> x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>, para 2x (Se multiplica ambos miembros de la igualdad</p><p>por )( 2x )</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>7</p><p>25</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x )( (Se distribuye y cancela)</p><p>3</p><p>( 2) ( 2)5 7</p><p>2</p><p>x</p><p>x x x</p><p>x</p><p> </p><p></p><p>xxx 7253 )( (Se aplica nuevamente la propiedad distributiva)</p><p>xx 7108 (Se suma miembro a miembro ( x7 ))</p><p>xxxx 771078 </p><p>010 x (Se suma miembro a miembro 10)</p><p>1001010 x</p><p>10x</p><p>Verificación:</p><p>210</p><p>107</p><p>5</p><p>210</p><p>103</p><p></p><p></p><p></p><p>..</p><p>8</p><p>70</p><p>5</p><p>8</p><p>30</p><p></p><p>4</p><p>35</p><p>4</p><p>35</p><p></p><p>Por lo tanto, el conjunto solución es 10S y la ecuación es compatible.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>6</p><p>Clasificación de las ecuaciones</p><p>Enteras (polinómicas)</p><p>Racionales</p><p>Fraccionarias</p><p>Ecuaciones</p><p>algebraicas</p><p>Irracionales</p><p>1. Ecuación algebraica racional entera: La variable está afectada únicamente por las</p><p>operaciones de suma, resta, producto y potencia de exponente natural. Son ejemplos las</p><p>ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas. Genéricamente, es toda ecuación que se puede</p><p>expresar de la forma:</p><p>1</p><p>1 1 0......... 0n n</p><p>n na x a x a x a</p><p> con Nn</p><p>1.1 Si n=1, se tiene: Ecuación lineal 001 axa</p><p>Ejemplo</p><p>xxx 2764 </p><p>7264 xxx</p><p>74 x</p><p>4</p><p>7</p><p>x ,</p><p>Luego de verificar, el conjunto solución resulta</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>7</p><p>S .</p><p>1.2 Si n=2, se tiene: Ecuación cuadrática 001</p><p>2</p><p>2 axaxa</p><p>Ejemplo</p><p>629 2 xx</p><p>Para resolver las ecuaciones cuadráticas se puede igualar a cero y utilizar la fórmula</p><p>resolvente.</p><p>Es decir, si 02 cbxax entonces</p><p>a</p><p>acbb</p><p>x</p><p>2</p><p>42</p><p>21</p><p></p><p>, .</p><p>De esta manera: 0322 xx y aplicando la fórmula resolvente, queda:</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>7</p><p>12</p><p>31442</p><p>21</p><p>.</p><p>).(.</p><p>,</p><p></p><p>x</p><p>2</p><p>42</p><p>2</p><p>162</p><p>21</p><p></p><p></p><p></p><p>,x , es decir:</p><p>1</p><p>2</p><p>42</p><p>1 </p><p></p><p>x y 3</p><p>2</p><p>42</p><p>2 </p><p></p><p>x</p><p>y así, luego de verificar, el conjunto solución resulta 31 ,S .</p><p>1.3 Si n=3, se tiene: Ecuación cúbica 001</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3 axaxaxa</p><p>Para resolver este tipo de ecuación no hay fórmulas asequibles que permita hallar</p><p>directamente las soluciones. Sin embargo, en el caso de un polinomio )(xp ,de grado n, de</p><p>coeficientes enteros sus raíces racionales pueden hallarse mediante el Teorema de Gauss,</p><p>que afirma que si la fracción</p><p>q</p><p>p</p><p>es raíz de )(xp entonces p es divisor del coeficiente</p><p>independiente y q es divisor del coeficiente principal de )(xp . Halladas las raíces se podrá</p><p>factorizar el polinomio, y así, determinar de forma inmediata las soluciones de la ecuación.</p><p>Ejemplo</p><p>099164 23 xxx</p><p>En primer lugar, se hallan las raíces racionales de 99164 23 xxxxp )( . Para</p><p>ello:</p><p> Se verifica que todos los coeficientes de )(xp sean enteros.</p><p> Se hallan los divisores p del coeficiente independiente: 1 , 3 , 9 .</p><p> Se hallan los divisores q del coeficiente principal: 1 , 2 , 4 .</p><p></p><p>Parábola.</p><p>Directriz: Recta.</p><p>Paraboloide hiperbólico</p><p>Generatriz: Parábola con curvatura hacia abajo.</p><p>Directriz: Parábola con curvatura hacia arriba.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>54</p><p>Finalmente, con los movimientos y curvas estudiados, podremos generar superficies,</p><p>imaginando y componiendo los distintos elementos</p><p>geométricos.</p><p>Ejemplo</p><p>Trasladando la lemniscata de Bernoulli (generatriz) según la</p><p>curva “D”(directriz), obtenemos la siguiente superficie:</p><p>4.3 Superficies de torsión</p><p>Combinando los movimientos de rotación y traslación se obtiene el movimiento llamado</p><p>torsión. Podemos observar los siguientes ejemplos:</p><p></p><p></p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>55</p><p>TRABAJO PRÁCTICO</p><p>1) Determinar las ecuaciones de las circunferencias que se grafican:</p><p>2) Dadas las siguientes ecuaciones correspondientes a circunferencias determinar, en</p><p>cada caso, los elementos característicos y graficarlas:</p><p>a) </p><p>4</p><p>25</p><p>3</p><p>2</p><p>3 2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> yx</p><p>b) 16)4( 22 yx</p><p>c) 16)2(414 22</p><p> yx</p><p>3) Determinar las ecuaciones de las</p><p>elipses que se grafican:</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>56</p><p>4) Dadas las siguientes ecuaciones correspondientes a elipses determinar, en cada caso,</p><p>los elementos característicos y graficarlas:</p><p>a)</p><p> </p><p>2 22</p><p>1</p><p>25 4</p><p>x y</p><p> </p><p>b)</p><p> </p><p>22 3</p><p>1</p><p>9 16</p><p>yx </p><p> </p><p>c) </p><p>2 2</p><p>9 1 4 2 36x y </p><p>5) Determinar las ecuaciones de las</p><p>hipérbolas que se grafican:</p><p>6) Dadas las siguientes ecuaciones correspondientes a hipérbolas determinar, en cada</p><p>caso, los elementos característicos y graficarlas:</p><p>a)</p><p>2 2</p><p>1</p><p>9 25</p><p>x y</p><p> </p><p>b) </p><p>2 2</p><p>2 4 5 16x y </p><p>c)</p><p> </p><p>2 2</p><p>3 4</p><p>1</p><p>36 9</p><p>y x </p><p> </p><p>7) Determinar las ecuaciones de las</p><p>parábolas que se grafican:</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>57</p><p>8) Dadas las siguientes ecuaciones correspondientes a parábolas determinar, en cada</p><p>caso, los elementos característicos y graficarlas:</p><p>a) </p><p>2</p><p>1 12 3x y </p><p>b) </p><p>2</p><p>2 8 2y x </p><p>c) 064162 xy</p><p>9) Dadas las siguientes ecuaciones en coordenadas cartesianas, Identificar que curva</p><p>representa cada una de ellas y graficarlas:</p><p>a) </p><p>2 2</p><p>4 1 25 2 100x y </p><p>b)</p><p> </p><p>22 1</p><p>1</p><p>4 9</p><p>xy </p><p> </p><p>c) </p><p>2</p><p>2 12 2y x </p><p>10) Dadas las siguientes ecuaciones en coordenadas polares, Identificar que curva</p><p>representa cada una de ellas y graficarlas:</p><p>a) 3 1 cos </p><p>b) 4 1 sen </p><p>c) 5 3sen </p><p>d) 2 16 2sen </p><p>e) 2 16 cos 2 </p><p>f) 5 </p><p>11) En las siguientes superficies, identificar (trazar y clasificar) generatriz y directriz o</p><p>generatriz y eje de rotación de acuerdo al movimiento aplicado:</p><p>a) Cilindro parabólico b) Cilindro elíptico</p><p>c) Hiperboloide de dos hojas</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>58</p><p>12) Realizar el movimiento de la generatriz, indicado en cada caso, mostrando la gráfica</p><p>obtenida:</p><p>13) Cada una de las siguientes imágenes tienen en su diseño determinadas superficies.</p><p>Describir el movimiento con que se las puede generar, Indicando generatriz y directriz o</p><p>eje de rotación.</p><p>a) b)</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>59</p><p>c) d)</p><p>e) f)</p><p>Bibliografía</p><p>http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/rc-79/rc-79.html</p><p>http://filemon.upct.es/~pepemar/conicas/index.htm</p><p>www.arquitectura.com</p><p>http://chelinoska.wordpress.com/2010/03/31/funcion-chida/</p><p>http://mateenlaarquitectura.blogspot.com/2010/09/parabola.html</p><p>http://www.vitutor.com/geo/esp/v_6.html</p><p>http://www.matematicasvisuales.com</p><p>http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/rc-79/rc-79.html</p><p>http://filemon.upct.es/~pepemar/conicas/index.htm</p><p>http://www.arquitectura.com/</p><p>http://chelinoska.wordpress.com/2010/03/31/funcion-chida/</p><p>http://mateenlaarquitectura.blogspot.com/2010/09/parabola.html</p><p>http://www.vitutor.com/geo/esp/v_6.html</p><p>http://www.matematicasvisuales.com/</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA (LDCV)</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA APLICADA AL DISEÑO I (LDI)</p><p>CÁTEDRA DE</p><p>MATEMÁTICA</p><p>GEOMETRÍA: FIGURAS PLANAS Y</p><p>CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>61</p><p>El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei (1.564-1.642) refiriéndose al Universo escribía:</p><p>“Este grandísimo libro que continuamente tenemos abierto ante los ojos no se puede</p><p>entender si antes no se aprende a entender la lengua y a conocer los caracteres en los</p><p>cuales está escrito. Está escrito en lengua matemática y los caracteres son triángulos,</p><p>círculos y otras figuras geométricas”.</p><p>1. FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS</p><p>Toda porción cerrada del plano delimitada por líneas rectas y/o curvas se denomina figura</p><p>plana.</p><p>El estudio geométrico de las figuras planas y sus propiedades, abarca a los polígonos en</p><p>general como así también al círculo.</p><p>1.1 Polígonos</p><p>Una figura plana delimitada por líneas rectas (segmentos rectos unidos por sus extremos) es</p><p>un polígono.</p><p>Cada uno de los segmentos se denomina lado.</p><p>El punto de unión ¿???de cada par de lados se denomina vértice.</p><p>El número de lados y vértices, (y por tanto de vértices) ha de ser mayor o igual a tres.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>62</p><p>Según el número de lados, los polígonos se clasifican en:</p><p>En general, n-ágono si tiene n lados.</p><p>Los polígonos, además pueden ser convexos o cóncavos.</p><p>Se considera que un polígono es convexo cuando todos sus ángulos interiores miden menos</p><p>de 180º y cóncavo o no convexo en todo otro caso.</p><p>1.1.1 Polígonos convexos</p><p>Si n es el número de lados de un polígono convexo:</p><p>- La suma de las medidas de los ángulos interiores es: . Así, por</p><p>ejemplo, la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es:</p><p>y la de un cuadrilátero es: .</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>63</p><p>Ejemplos</p><p>- La suma de las medidas de los ángulos exteriores es 360°.</p><p>- Cada ángulo interior con su ángulo exterior correspondiente son adyacentes.</p><p>- El número de diagonales será . Así, por ejemplo, el número de diagonales de</p><p>un pentágono es .</p><p>Los polígonos convexos que tienen todos sus lados y ángulos interiores congruentes se</p><p>denominan regulares. Si no cumplen esta condición se denominan irregulares.</p><p>Polígonos convexos regulares</p><p>Elementos de un</p><p>polígono convexo regular</p><p>Vértices: A, B, C, D, E.</p><p>Lados: EA,DE,CD,BC,AB .</p><p>Ángulos interiores: Ê ,D̂ ,Ĉ ,B̂ , .</p><p>Ángulos exteriores: ˆ ,ˆ ,ˆ ,ˆ ,ˆ .</p><p>Diagonal: segmento que tiene por extremos dos vértices no</p><p>consecutivos, por ejemplo: BD,AC .</p><p>Radio: segmento que tiene por extremos el centro del polígono</p><p>y un vértice, por ejemplo: OD,OE .</p><p>Apotema: segmento que tiene por extremos, el centro del</p><p>polígono y el punto medio de uno de sus lados, por ej.</p><p>DEOF Ángulo central: ángulo determinado por dos radios,</p><p>por ej. . Si es el número de lados del polígono, la</p><p>amplitud del ángulo central se puede calcular con: .</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>64</p><p>Una característica particular de los polígonos regulares, es que siempre pueden ser inscriptos</p><p>en una circunferencia y además, siempre pueden tener una circunferencia</p><p>inscripta en ellos. Entonces, se puede enunciar que:</p><p> En todo polígono regular los vértices coinciden con puntos de una</p><p>circunferencia, ésta circunferencia se denomina circunscripta al</p><p>polígono. A su vez, el polígono se denomina inscripto en la</p><p>circunferencia.</p><p> En todo polígono regular los puntos medios de sus lados coinciden</p><p>con puntos de una circunferencia, ésta circunferencia se denomina</p><p>inscripta al polígono. A su vez, el polígono se denomina</p><p>circunscripto a la circunferencia.</p><p>Triángulos</p><p>En todo triángulo ABC se pueden distinguir los siguientes elementos: tres lados a, b y c; tres</p><p>vértices A, B y C; tres ángulos interiores ̂ , ̂ y ̂ ; y tres ángulos exteriores ˆ , ˆ y ˆ .</p><p>Además en todo triángulo se tienen los siguientes puntos notables:</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>65</p><p>Propiedades</p><p>Para todo triángulo ABC se verifica:</p><p>1) La suma de la amplitud de los ángulos interiores es igual a 180º.</p><p>En símbolos: ̂ + ̂ + ̂ = 180°.</p><p>2) Cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que el valor absoluto de la</p><p>diferencia.</p><p>Es decir: a b + c , b c + a , c b + a</p><p>y a b - c, b a - c, c a -b</p><p>3) La amplitud de cada ángulo exterior es igual a la suma de las amplitudes de los ángulos</p><p>interiores no adyacentes a él. Ejemplo: ̂ ’ = ̂ + ̂ .</p><p>4) A lados congruentes se oponen ángulos también congruentes.</p><p>5) Cada ángulo interior y su exterior correspondiente son ángulos adyacentes y por lo</p><p>tanto suplementarios. Ejemplo: ̂ ’+̂ =180º</p><p>6) A mayor lado se opone mayor ángulo.</p><p>Clasificación de los triángulos según sus ángulos</p><p>Triángulo Rectángulo: uno de sus ángulos interiores es recto.</p><p>Triángulo Oblicuángulo: no tiene ángulo interior recto, a su vez se clasifican en:</p><p> Acutángulo: sus tres ángulos interiores son agudos.</p><p>90:ˆˆ,ˆ amenoramplitudconángulosy </p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>66</p><p>En todo triángulo equilátero coinciden</p><p>el ortocentro, baricentro e incentro y el</p><p>radio (r) es igual a 2/3 de la altura (h).</p><p>En todo triángulo equilátero la</p><p>amplitud de cada ángulo interior</p><p>es 60°.</p><p> Obtusángulo: uno de sus ángulos interiores es obtuso.</p><p>Clasificación de triángulos según sus lados</p><p>Triángulo Equilátero: sus tres lados tienen la misma longitud. Es el triángulo regular.</p><p>Triángulo Isósceles: dos de sus lados tienen la misma longitud</p><p>Triángulo Escaleno: sus tres lados tienen distinta longitud.</p><p>90:ˆ amayoramplitudconángulo</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>67</p><p>Cuadriláteros</p><p>En todo cuadrilátero ABCD se pueden distinguir los siguientes elementos: cuatro lados a, b, c</p><p>y d; cuatro vértices A, B, C y D; cuatro ángulos interiores</p><p>̂ , ̂ , ̂ y ̂ y cuatro ángulos exteriores ˆ , ˆ , ˆ y</p><p> ˆ y dos diagonales e y f.</p><p>Clasificación de cuadriláteros</p><p>Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>68</p><p>1.1. 2 Área y perímetro de los polígonos convexos</p><p>Convenimos que las letras h, a, b, c, d,..... denotan la medida de longitud de los segmentos</p><p>que representan.</p><p> Triángulo de altura h y base b</p><p>Área:</p><p>A =</p><p>2</p><p>1</p><p>b.h =</p><p>donde s = ½ ( a + b + c) = semiperímetro</p><p>Perímetro: P = a + b + c</p><p> Rectángulo de base b y altura a</p><p>Área: A = a.b</p><p>Perímetro: P = 2.a + 2.b</p><p> Paralelogramo de altura h y base b</p><p>Área: A = b.h</p><p>Perímetro: P = 2.a + 2.b</p><p> Rombo de lado a y diagonales d1 y d2</p><p>Área: A =</p><p>2</p><p>. 21 dd</p><p>Perímetro: P = 4.a</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>69</p><p> Trapecio de altura h, lados paralelos a (base menor) y b (base mayor) y lados</p><p>no paralelos c y d.</p><p>Área: A =</p><p>2</p><p>1</p><p>h.( a + b )</p><p>Perímetro: P = a + b +c + d</p><p> Polígono regular de n lados iguales de longitud b</p><p>Área:</p><p>Perímetro:</p><p>1.1.3 Área y perímetro de polígonos de más de cuatro lados</p><p>Área</p><p>Cualquier polígono convexo o convexo puede descomponerse en triángulos. Es lo que se</p><p>llama triangulación de los polígonos. Además se pueden descomponer en otros polígonos</p><p>diferentes, sin necesidad de que todos sean triángulos. Es por esto que para calcular el área</p><p>de polígonos de más de cuatro lados, se lo descompone en figuras equivalentes con áreas</p><p>conocidas o fáciles de determinar que luego se suman para obtener el área total del polígono.</p><p>Ejemplo 1</p><p>Para calcular el área del siguiente hexágono irregular, se tendrá:</p><p>Área = área triángulo I + área triángulo II +</p><p>+ área triángulo III + área triángulo IV</p><p>Ejemplo 2</p><p>Si se quiere calcular el área del siguiente pentágono irregular, se tendrá:</p><p>Área = área Triángulo1 + área trapecio 2</p><p>Perímetro</p><p>Para conseguir el perímetro de éstos tampoco se tiene fórmulas, se deben calcular cada uno</p><p>de los lados del polígono irregular y luego sumarlos.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>70</p><p>1.2 Círculo</p><p>Un círculo es una figura plana delimitada por una circunferencia.</p><p>Perímetro: longitud de la Circunferencia.</p><p>Centro: es el punto O del cual equidistan todos los puntos de la</p><p>circunferencia.</p><p>Radio: segmento que tiene como extremos el centro y cualquier</p><p>punto de la circunferencia. Por ejemplo: o</p><p>Diámetro: segmento que tiene como extremos dos puntos de la</p><p>circunferencia y contiene al centro. Por ejemplo: .</p><p>Arco: es un tramo de la circunferencia</p><p>comprendido entre dos</p><p>puntos distintos. Por ejemplo: que no contiene al punto B.</p><p>Cuerda: Segmento cuyos extremos son dos puntos cualesquiera</p><p>de la circunferencia. Por ejemplo: .</p><p>Segmento circular: es la porción del círculo limitada por una cuerda y</p><p>un arco. Si la cuerda es un diámetro, será un semicírculo.</p><p>Sector circular: es la porción del círculo limitada por dos radios y un arco.</p><p>Corona circular: es la porción del plano comprendida entre dos</p><p>circunferencias concéntricas. ( R ≠ r)</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>71</p><p>1.2.1 Área y perímetro de un círculo de radio r.</p><p>Área:</p><p>Perímetro: Circunferencia =</p><p>1.2 .2 Área y perímetro de un sector circular de radio r.</p><p>Área:</p><p>Longitud de arco:</p><p>Perímetro: </p><p></p><p>( en radianes )</p><p>1.3 Problemas resueltos</p><p>Cálculo de área y perímetro de figuras</p><p>Problema 1</p><p>Calcular el área de la zona sombreada. Sabiendo que:</p><p>ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 10cm.</p><p>I, F, G y E son los puntos medios de cada lado.</p><p>Los arcos son cuartos de circunferencia.</p><p>Resolución</p><p>Área cuadrado=</p><p>22 10010 cm</p><p>Área círculo=</p><p>22 5398,785. cm</p><p>Área cuadrado – Área Círculo = 21,460</p><p>2cm</p><p>Área sectores circulares =</p><p>22 5398,784.</p><p>2</p><p>.5.</p><p>2</p><p>1</p><p>cm</p><p></p><p>Área sombreada=</p><p>222 08,57460,215398,78 cmcmcm </p><p>Rta.: El área sombreada mide</p><p>257,08cm</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>72</p><p>Problema 2</p><p>Hallar el área sombreada de la siguiente figura:</p><p>Resolución</p><p>En el rectángulo inferior de dimensiones 12cm x</p><p>3cm:</p><p>Área triángulo 1 =</p><p>218</p><p>2</p><p>3.12</p><p>cm</p><p>cmcm</p><p></p><p>Área triángulo 2 =</p><p>29</p><p>2</p><p>3.6</p><p>cm</p><p>cmcm</p><p></p><p>Área triángulo sombreado = 222 91893.12 cmcmcmcmcm </p><p>Rta.: El área de la parte sombreada es 2x(</p><p>29cm )=18 cm2</p><p>2. CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>Se denominan cuerpos geométricos a aquellos cuerpos o sólidos que ocupan un volumen en</p><p>el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y están</p><p>compuestos por figuras geométricas.</p><p>Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras en:</p><p> Poliedros: son aquellos que tienen todas sus caras planas (polígonos).</p><p> Cuerpos redondos: son aquellos que tienen por lo menos una cara curva.</p><p>2.1 Poliedros</p><p>Los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos.</p><p>En los poliedros se distinguen:</p><p> Caras: polígonos.</p><p> Aristas: son la intersección de 2 caras de un poliedro.</p><p> Vértices: puntos donde concurren tres o más aristas.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>73</p><p>Los poliedros se clasifican en cóncavos y convexos. Si el segmento determinado por dos</p><p>puntos cualquiera del espacio interno del poliedro queda incluido en él, se denomina poliedro</p><p>convexo. En el caso de que dicho segmento se salga del poliedro, se dice que es cóncavo.</p><p>Poliedro cóncavo Poliedro convexo</p><p>2.1.1 Poliedros regulares</p><p>Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice</p><p>concurren igual número de caras. Existen sólo cinco poliedros regulares. Este grupo de</p><p>poliedros ya era conocido por Euclides (330 a.C.). Estos sólidos estuvieron acompañados de</p><p>cierto misticismo, se asociaban con los cuatro elementos supuestos básicos y con el Universo y</p><p>reciben el nombre de sólidos platónicos. Los cinco poliedros regulares son:</p><p> TETRAEDRO: Formado por cuatro triángulos equiláteros. Es el que tiene menor volumen</p><p>de los cinco en comparación con su superficie. Representa el fuego. Está formado por 4</p><p>caras, 6 aristas y 4 vértices.</p><p> CUBO o HEXAEDRO: Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base.</p><p>Por eso representa la tierra. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>74</p><p> OCTAEDRO: Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira libremente cuando se</p><p>sujeta por vértices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento. Está formado</p><p>por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.</p><p> DODECAEDRO: Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde al Universo,</p><p>pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene 12 caras, 30</p><p>aristas y 20 vértices.</p><p> ICOSAEDRO: Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el tiene mayor volumen en</p><p>relación con su superficie y representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices.</p><p>En todo poliedro regular se cumple la relación:</p><p>CARAS + VÉRTICES = ARISTAS + 2</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>75</p><p>Área y volumen de los poliedros regulares</p><p>El área total (AT) de un poliedro regular se determina calculando el área de una cara (Ac) y</p><p>multiplicándola por el número de caras.</p><p>Todos los vértices de un poliedro regular equidistan de un punto interior llamado centro.</p><p>Haciendo pasar planos por este punto y por todas las aristas, el poliedro queda descompuesto</p><p>en tantas pirámides iguales como caras tiene. Entonces, para calcular el volumen de un</p><p>poliedro será suficiente calcular el volumen de una de estas pirámides y multiplicar por el</p><p>número de caras del poliedro, resulta de esto que:</p><p>El volumen (V) de un poliedro regular es la tercera parte del producto de su área total por la</p><p>apotema (distancia del centro del poliedro al centro de una cara).</p><p>Realizando los correspondientes planteos se puede llegar a las fórmulas de cálculo (en función</p><p>de la arista a) presentadas en la siguiente tabla:</p><p>Nombre Área de una cara (Ac) Área total (AT)</p><p>Apotema del</p><p>cuerpo (aP)</p><p>Volumen (V)</p><p>Tetraedro</p><p>Octaedro</p><p>Icosaedro</p><p>Hexaedro</p><p>Dodecaedro</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>76</p><p>2.1.2 Prismas</p><p>Las caras laterales de los prismas son paralelogramos. Sus bases son polígonos iguales y</p><p>paralelos entre sí. Los prismas pueden ser regulares o irregulares de acuerdo lo sean sus</p><p>bases.</p><p>Elementos de un prisma regular</p><p>Si las aristas laterales son perpendiculares a las bases, entonces son prismas rectos, en</p><p>cambio si no lo son, son oblicuos.</p><p>Áreas y volumen de un prisma regular recto de altura h</p><p>Área Lateral: AL = PB .h</p><p>Área Total: AT = 2 AB + AL</p><p>Volumen: V = AB . h</p><p>Los prismas reciben el nombre</p><p>según la figura de sus bases, por</p><p>ejemplo, si sus bases son</p><p>triángulos, entonces es un prisma</p><p>triangular.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>77</p><p>312 .18</p><p>.24 2592</p><p>2</p><p>cm cm</p><p>V cm cm= =</p><p>Ejemplo</p><p>Vamos a calcular el área total y el volumen de un prisma recto, cuya base es un rombo</p><p>de</p><p>diagonales 0,12m y 18 cm; y 24 cm de altura.</p><p>Comenzamos calculando la medida del lado del rombo de la base del prisma:</p><p>Luego, se plantea el área lateral (como cuatro veces el área de un rectángulo):</p><p>24.(24 .10.82 ) 1038,72LA cm cm cm= =</p><p>A este resultado se le suma dos veces el área de la base, que es un rombo:</p><p>Por último, se calcula el volumen:</p><p>Por lo tanto, el área total es 1254,72 cm 2 y el volumen 2592 cm 3.</p><p>2.1.3 Pirámides</p><p>Las caras laterales de las pirámides son triángulos que tienen un vértice en común, llamado</p><p>cúspide. La base es un polígono.</p><p>2 212 .18</p><p>1038,72 2. 1254,72</p><p>2</p><p>T</p><p>cm cm</p><p>A cm cm= + =</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>78</p><p>Las pirámides pueden ser regulares o irregulares de acuerdo lo sea su base.</p><p>Elementos de una pirámide regular recta</p><p>Observación:</p><p>La altura de la pirámide, la altura de la cara y la apotema de la base forman un triángulo</p><p>rectángulo. También, forman un triángulo rectángulo: la altura, la arista lateral y el radio de la</p><p>base.</p><p>Si la cúspide o vértice de la pirámide se encuentra sobre la recta perpendicular a la base que</p><p>pasa por su centro, tendremos una pirámide recta, en caso contrario tendremos una pirámide</p><p>oblicua.</p><p>Áreas y volumen de una pirámide regular recta de altura h</p><p>Área Lateral:</p><p>Área Total:</p><p>Volumen:</p><p>Las pirámides reciben el nombre</p><p>según la figura de su base. Por</p><p>ejemplo, si su base es un</p><p>pentágono, entonces será una</p><p>pirámide pentagonal.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>79</p><p>Ejemplo 1</p><p>Se va a calcular el área lateral, total y el volumen de una pirámide recta de base cuadrada de</p><p>10 cm de arista básica y 12 cm de altura.</p><p>En primer lugar, se calcula la altura de la cara lateral:</p><p>Luego, sabiendo que el perímetro de la base es 40 cm, se calcula el área lateral:</p><p>Al área lateral se la agrega el área de la base para obtener el área total:</p><p>Finalmente, se calcula el volumen:</p><p>Por lo tanto, el área lateral es de 260 cm2, el área total 360 cm2 y el volumen 400 cm3 .</p><p>Ejemplo 2</p><p>Se va a calcular el área lateral, total y el volumen de una pirámide</p><p>recta cuya base es un hexágono regular, de 16 cm de arista básica y</p><p>28 cm de arista lateral.</p><p>Se calcula, en primer lugar, la medida de la altura de la cara lateral</p><p>Luego, el área lateral:</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>80</p><p>Para calcular el área total se necesita el área de la base, y para esto, la medida de la</p><p>apotema de la base (recordar, que solo en los hexágonos regulares el lado mide lo mismo</p><p>que el radio de la circunferencia circunscripta al polígono):</p><p>Así, el área total es:</p><p>Finalmente, para calcular el volumen se necesita tener como dato la altura de la pirámide:</p><p>Luego, el volumen:</p><p>Por lo tanto, el área lateral es de 1287,84 cm2, el área total es de 1953,12 cm2 y el volumen</p><p>es de 5093,83 cm3.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>81</p><p>Pirámide truncada</p><p>La pirámide truncada recta, es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide recta,</p><p>con un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.</p><p> La sección determinada por el corte es la base menor.</p><p> Las caras laterales son trapecios isósceles cuya altura está</p><p>representada por hc.</p><p> La altura del tronco de pirámide es la distancia entre las bases</p><p>representada por h.</p><p> El volumen se obtiene como diferencia de los volúmenes de la</p><p>pirámide mayor y la pirámide más pequeña que se separa.</p><p>2.2 Cuerpos redondos</p><p>Los cuerpos redondos que destacaremos aquí son cuerpos de revolución, que son cuerpos</p><p>generados por la rotación de una figura plana alrededor de un eje. Tendremos:</p><p> Cilindro circular recto</p><p> Cono recto</p><p> Esfera</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>82</p><p>2.2.1Cilindro circular recto</p><p>El cilindro circular recto se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.</p><p>Áreas y volumen del cilindro circular recto de radio r y altura h</p><p>Área de la Base:</p><p>Área Lateral:</p><p>Área Total:</p><p>Volumen:</p><p>Ejemplo</p><p>Se va a calcular el área total y el volumen de un cilindro circular recto de altura 125,66cm</p><p>sabiendo que la longitud de la base mide lo mismo que su altura.</p><p>Se tiene:</p><p>Longitud de la circunferencia= Altura</p><p>Ahora, se puede calcular el área total= 2 (20 cm)(125,66cm+20cm)=18304,18cm2</p><p>Luego, se calcula el volumen:</p><p>V= (20 cm)2 (125,66 cm)=157909,01 cm3</p><p>Por lo tanto, el área total es 18304,18 cm2 y el volumen es 157909,01 cm3.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>83</p><p>2.2.2 Cono recto</p><p>El cono recto se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.</p><p>Áreas y volumen del cono circular recto</p><p>Área de la base: AB = .r 2</p><p>Área lateral: AL =</p><p>2</p><p>2 g</p><p>= .r.g</p><p>Área total: AT =</p><p>2</p><p>2 g</p><p>+ .r 2 = .r.(g + r )</p><p>Volumen: V =</p><p>3</p><p>2 hr </p><p>Ejemplo: Vamos a calcular el área lateral, total y el volumen de un</p><p>cono recto cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5</p><p>cm.</p><p>En primer lugar, calculamos el área lateral:</p><p>AL= .13cm .5cm=204,20 cm2</p><p>Y el área total: AT= .13cm.5cm + .(5cm)2 = 282,75 cm 2</p><p>Para calcular el volumen, necesitamos previamente calcular la altura</p><p>del cono:</p><p>Tenemos que: 132=h2+52, de esta manera obtenemos que h=12 cm</p><p>Entonces, el volumen del cono es:</p><p>Por lo tanto, el área lateral es 204,20 cm2, el área total es 282,75 cm2 y el volumen 314,159</p><p>cm3.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>84</p><p>Cono truncado recto</p><p>El cono truncado recto resulta al cortar un cono recto, con un plano paralelo a la base y</p><p>separar (descartar) la parte que contiene al vértice.</p><p> La sección determinada por el corte es la base menor.</p><p> La altura es la distancia entre las bases.</p><p>Áreas y volumen del tronco de cono circular recto</p><p>Área de la base mayor: ABma = .R 2</p><p>Área de la base menor: ABme = .r 2</p><p>Área lateral: AL = AL(C1)-AL(C2) siendo</p><p>C1: cono con radio R y generatriz G</p><p>C2: cono con radio r y generatriz g’</p><p>g’=G-g</p><p>Área total: AT = ABma + ABme + AL</p><p>Volumen: V = V(C1)-V(C2)</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>85</p><p>2.2.3 Esfera</p><p>La esfera se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro.</p><p>Área y volumen de la esfera de radio r</p><p>Área:</p><p>Volumen:</p><p>Ejemplo</p><p>Se va a calcular el radio y el volumen de una esfera de área 287 cm2.</p><p>Como se conoce el área, se tiene:</p><p>Luego, el volumen:</p><p>Por lo tanto, el radio de la esfera mide 22,8 cm y el volumen es 2183,23 cm3.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>86</p><p>2.3 Problemas resueltos de área y volumen de cuerpos</p><p>Problema 1</p><p>La figura muestra un cubo de madera cuyos lados miden 4,7 dm. De este cubo se separó un</p><p>trozo de forma cúbica de 1,5 dm de lado resultando este cuerpo geométrico, ¿Cuál, es el área</p><p>total, del cuerpo sólido después de quitarle el trozo de forma cúbica?, ¿Cuál es su volumen?</p><p>Resolución</p><p>Área total del cuerpo sólido = Área del cubo =</p><p>22 54,1326.7,4 cm</p><p>Volumen del cuerpo sólido =</p><p>333 448,100)50,1()70,4( cmcmcm </p><p>Rta: el área del cuerpo es 132,54 cm2 y el volumen es 100,448 cm3.</p><p>Problema 2</p><p>Un recipiente cúbico de 10 cm de arista está lleno de agua. Se introduce en él con cuidado una</p><p>bola de cristal de 5 cm de radio y luego se saca con cuidado. Calcula el volumen del agua que</p><p>se ha derramado y la altura a la que queda el agua cuando se saca la bola.</p><p>Resolución</p><p>Volumen del cubo =</p><p>33 1000)10( cmcm </p><p>Volumen del agua que se derrama = Volumen de la esfera =</p><p>Agua que queda =</p><p>333 40,476596,5231000 cmcmcm </p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>87</p><p>Para hallar h se hace:</p><p>Rta: El volumen del agua derramada es 523,596 cm3 y la medida de la altura a la que queda el</p><p>agua es 4,76cm.</p><p>Problema 3</p><p>Calcula el volumen de los dos prismas en que queda dividido el prisma regular triangular de la</p><p>figura al ser cortado por un plano perpendicular a las bases que pasa por los puntos medios de</p><p>las aristas, siendo AD=20m y AC=15m.</p><p>Resolución</p><p>En el prisma chico, la base es el triángulo equilátero FGB;</p><p>de 7,5 m de lado (ya que FG es base media del triángulo</p><p>equilátero ACB).</p><p>La altura correspondiente a la base FG, mide:</p><p>(aproximadamente)</p><p>Luego, se calcula el volumen del prisma regular triangular</p><p>recto de base FGB.</p><p>V=</p><p>En el prisma grande, la base es el trapecio ACFG; donde AC</p><p>= 15m , FG = 7,5 m y la altura 6,5 m (coincide con la altura</p><p>del triángulo FGB).</p><p>Luego, el volumen se puede calcular así:</p><p>Volumen = .</p><p>Rta: el volumen del prisma de base triangular FGB es 487,14 cm3 y el volumen del prisma de</p><p>base ACFG es 1462,5 cm. Observación: el volumen del prisma mayor es el triple del volumen</p><p>del prisma menor (observar la base como queda subdividida).</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>88</p><p>3. Sistema métrico legal Argentino - SIMELA</p><p>Medidas de longitud 1m= 10 dm</p><p>km hm dam m dm cm mm</p><p>Medidas de peso 1g=10dg</p><p>t Q mg kg hg dag g dg cg mg</p><p>Medidas de capacidad 1lt=10 dl</p><p>kl hl Dal l dl cl ml</p><p>Medidas de superficie 1m</p><p>2</p><p>=100dm</p><p>2</p><p>km</p><p>2</p><p>hm</p><p>2</p><p>dam2 m2 dm</p><p>2</p><p>cm2 mm</p><p>2</p><p>Medidas de volumen 1m</p><p>3</p><p>=1000dm</p><p>3</p><p>km</p><p>3</p><p>hm3 dam</p><p>3</p><p>m3 dm</p><p>3</p><p>cm</p><p>3</p><p>mm</p><p>3</p><p>Medidas agrarias</p><p>hm</p><p>2</p><p>dam</p><p>2</p><p>m2</p><p>hectárea área centiárea</p><p>Medidas de equivalencia entre capacidad-volumen-peso (del agua destilada a 4°C y 1</p><p>atm)</p><p>Capacidad Volumen Peso</p><p>1 lt 1dm</p><p>3</p><p>1 kg</p><p>Equivalencias con otros sistemas de medida</p><p>1 pulgada = 1" = 2,54 cm 1 libra = 0,45 g</p><p>1 pie = 30,48 cm 1 onza = 28 g</p><p>1 pie = 12 pulgadas</p><p>1 yarda =3 pies = 36 pulgadas</p><p>1 milla = 1,6093 Km (aproximadamente)</p><p>El sistema internacional métrico legal argentino (SIMELA), adopta las</p><p>mismas unidades, múltiplos y submúltiplos del Sistema Internacional</p><p>(SI). El SIMELA fue establecido por la ley 19.511 de 1972, como único</p><p>sistema de unidades de uso autorizado en Argentina.</p><p>http://www.inti.gob.ar/metrologia/pdf/19511.pdf</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>89</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>90</p><p>TRABAJO PRÁCTICO</p><p>1) Construir un triángulo equilátero MNC, sabiendo que su perímetro es la 3/4 partes del</p><p>siguiente segmento:</p><p>2) Con los siguientes segmentos, construir en cada caso, el o los polígonos posibles que</p><p>verifiquen ser:</p><p>a) Triángulos isósceles donde dos de sus lados sean GH y EF.</p><p>b) Triángulos tal que dos de sus lados sean EF y GH y que el ángulo interior</p><p>comprendido entre los segmentos dados sea de 60°.</p><p>c) Triángulos tal que dos de sus lados sean GH y EF, y uno de los ángulos interiores</p><p>no comprendido entre los segmentos dados es de 30°.</p><p>d) Rombos tal que GH sea diagonal y EF sea lado.</p><p>e) Romboides tal que los segmentos dados sean dos de sus lados y el ángulo entre</p><p>ellos de 50°.</p><p>3) Construir un triángulo acutángulo. Trazar las mediatrices de sus tres lados. Trazar la</p><p>circunferencia circunscripta al triángulo.</p><p>Repetir el procedimiento con un triángulo obtusángulo y con otro triángulo rectángulo.</p><p>¿Qué puedes observar con respecto a la posición del circuncentro según el tipo de</p><p>triángulo?</p><p>4) Encontrar el centro de la siguiente circunferencia.</p><p>Fundamentar la respuesta.</p><p>5) María está en la ciudad universitaria, Sofía está en</p><p>Salvador del Carril y A. del Valle; y Lucía está en Av.</p><p>Freyre y Salta. Quieren encontrarse en un punto que equidiste de los lugares donde se</p><p>encuentran. Determinar en el mapa ese punto de encuentro.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>91</p><p>6) Construir un paralelogramo ABCD, sabiendo que uno de sus lados miden 5 cm, una de</p><p>sus diagonales 3cm y el ángulo que forman es de 60°. Explicar la secuencia de</p><p>construcción.</p><p>7) Construir un paralelogramo con los siguientes datos: lados, altura.</p><p>¿Cuántos paralelogramos son posibles realizar?</p><p>8) Las siguientes afirmaciones son falsas. Encontrar un contraejemplo para demostrar que</p><p>lo son y reescribir el enunciado para que resulte verdadero.</p><p>a) Si un cuadrilátero tiene dos ángulos rectos entonces es un rectángulo.</p><p>b) Un paralelogramo que tiene sus ángulos iguales es un cuadrado.</p><p>c) Un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales es un cuadrado.</p><p>d) Un triángulo isósceles nunca es obtusángulo.</p><p>9) El ángulo exterior de un polígono regular mide 22° 30´. Calcular:</p><p>a) El número de lados del polígono.</p><p>b) La amplitud de un ángulo interior.</p><p>c) El número de diagonales.</p><p>d) La medida de un ángulo central.</p><p>10) Construir un octógono regular. Detallar el procedimiento utilizado. Dibujar el polígono</p><p>estrellado correspondiente.</p><p>11) En los siguientes ítems, elegir la opción correcta, justificando analíticamente.</p><p>a) Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono regular es igual a</p><p>dos veces la suma de las medidas de sus ángulos exteriores, el número de lados que</p><p>tiene el polígono es:</p><p>A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 12</p><p>b) Si la suma total de las medidas de los ángulos internos y externos de un polígono</p><p>regular es 3780°, el número de lados que tiene el polígono es:</p><p>A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22</p><p>c) Si la diferencia entre la medida de un ángulo interno y su respectivo ángulo externo</p><p>de un polígono regular es 151°12’, el número de lados del polígono es:</p><p>A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 28</p><p>d) Si a un polígono regular cuyo ángulo interno mide 150°, se le disminuye 3 lados, el</p><p>ángulo externo del polígono de menos lados, aumenta en:</p><p>A) 5° B) 10° C) 15° D) 20° E) 25°</p><p>12) En cada caso, hallar el área y perímetro de la figura plana dada:</p><p>DAh</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>92</p><p>a) Un trapecio isósceles, siendo sus bases de 6cm y 16cm, y los lados oblicuos 13cm</p><p>cada uno de ellos. Rta: A = 132cm2 P = 48cm</p><p>b) Un trapecio rectángulo, siendo sus bases de 8cm y 3 cm y el lado no perpendicular</p><p>a las bases igual a 7cm. Rta: A = 26,94cm2 P = 22,90cm</p><p>c) Un círculo de diámetro 1,20cm. Rta: A = 1,13cm2 P = 3,77cm</p><p>d) Un sector circular de 15º30’ en un circulo de radio r = 12cm.</p><p>Rta: A = 19,44 cm2 P = 27,24cm</p><p>13) Calcular el perímetro y el área del pentágono ABCDE. El triángulo ACE es equilátero y</p><p>su perímetro es igual a 18 cm. Los triángulos ABC y CDE son isósceles congruentes de</p><p>14 cm de perímetro.</p><p>AB = BC y CD = DE</p><p>C</p><p>B</p><p>D</p><p>A E</p><p>Rta: P = 22cm A = 31,45cm2</p><p>14) Calcular el perímetro y el área del cuadrilátero PMOQ, en el rectángulo ABCD de la</p><p>figura, sabiendo que: AD = 6 cm y DC = 8 cm ; P, Q, R y S son los puntos medios de</p><p>los lados; las diagonales del rectángulo ABCD se cortan en el punto O y las diagonales</p><p>del rectángulo APOS se cortan en el punto medio M.</p><p>Rta: Perímetro = 14cm Área = 9cm2</p><p>15) ¿Cuánto mide el radio del círculo de la siguiente figura?</p><p>Rta: 7,62 cm</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>93</p><p>16) Si el radio del círculo de la siguiente figura mide 9cm, ¿Cuánto mide el lado del</p><p>rombo ABCD?</p><p>Rta: 9cm</p><p>17) En un trapecio isósceles de perímetro 30,8cm y cuyas bases</p><p>miden 9cm y 1cm, se han inscripto dos círculos tangentes de tal</p><p>modo que el radio de la mayor es el triple de la menor. ¿Cuál es el</p><p>área de la región sombreada?</p><p>Rta: 2,77 cm2</p><p>18) Calcular el perímetro y el área de las figuras sombreadas:</p><p>a) b)</p><p>c) d)</p><p>Tres semicírculos de</p><p>diámetro 3u, 4u y 5u</p><p>respectivamente.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>94</p><p>Rta:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>19) Un parque triangular tiene sus lados de 60m, 40m y 50m respectivamente sobre tres</p><p>calles que lo circundan. Hallar la superficie del parque. Rta: 992m2</p><p>20) Calcular el área de un tetraedro regular sabiendo que la altura de una de sus caras</p><p>mide 2,80m. Rta: 18,09m2</p><p>21) La arista de un dodecaedro regular mide 10 cm. Calcular:</p><p>a. La suma de todas sus aristas.</p><p>b. El área total del mismo. Rta: a) 300cm b) AT = 2064,57cm2</p><p>22) Un prisma recto de base cuadrada tiene las siguientes propiedades:</p><p>- La suma de las áreas de sus caras(AT) es de 250cm2 .</p><p>- Cada una de las caras rectangulares equivale a dos bases.</p><p>¿Cuál es el volumen? Rta : 250cm3</p><p>23) Las cuatro aristas de la base de un prisma recto cuadrangular, cuya arista lateral mide</p><p>24cm, son: 13cm, 8cm, 10cm, y 4cm respectivamente. Calcular el valor de la superficie</p><p>lateral del mismo. Rta: SL = 840 cm2</p><p>24) La diagonal de un hexaedro regular mide 3 m, calcula la longitud de su arista.</p><p>Rta: 3 m</p><p>25) Demostrar que en un paralelepípedo rectángulo recto (prisma recto de base</p><p>rectangular) se verifica que el cuadrado de una diagonal es igual a la suma de los</p><p>cuadrados de las tres aristas que concurren en un vértice. (Este es el teorema de</p><p>Pitágoras en el espacio).</p><p>26) La altura de un prisma recto mide 10 cm; su base es un rectángulo, en el que uno de</p><p>sus lados es el doble del otro. Si el área total es de 136 cm2, calcular la longitud de una</p><p>de las diagonales del prisma. Rta: d = 10,95cm</p><p>2 2 2 2d a b c= + +</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>95</p><p>27) En la farola, que se muestran en la siguiente imagen, los cristales de la parte superior</p><p>tienen 26,7 cm de arista superior, 30,7 cm de arista</p><p>inferior y 15,4 cm de arista lateral. Los cristales de la</p><p>parte inferior tienen 30,7 cm de arista superior, 21 cm</p><p>de arista inferior y 37,2 cm de arista lateral. ¿Qué</p><p>cantidad de cristal tiene la farola?</p><p>Rta: 5566,58cm2</p><p>28) La biblioteca, que se muestra en la figura, está formada por cubos recortados de 25</p><p>cm de lado y la base por dos maderas</p><p>rectangulares de 50 cm por 25 cm pegadas</p><p>perpendicularmente. Obtener analíticamente</p><p>la altura aproximada de la biblioteca (sin</p><p>considerar el grosor de la madera).</p><p>fuente</p><p>de la imagen:</p><p>http://ts3.mm.bing.net/th?id=H.4756054578301010&pid=15.1</p><p>Rta: aproximadamente 1,06m</p><p>29) Se tiene una caja en forma de cubo de arista 2 cm. ¿Cuántos cubitos de arista ½ cm se</p><p>puede introducir en la caja? Rta: 64 cubitos</p><p>30) Una pirámide recta de base cuadrada, de lado 3,24m. Tiene sus caras de 14,58 m2</p><p>de superficie. Calcular el volumen. Rta: 30,978 m3</p><p>31) Hallar el volumen de una pirámide recta de base cuadrada, sabiendo que el lado de la</p><p>base mide 1m y que el área lateral es el triple del área de la base.</p><p>Rta: V= 0,4714 m3</p><p>32) Calcular el volumen de la pirámide triangular que resulta al cortar el cubo de 1dm de</p><p>arista según muestra la figura. Rta : 1/6 dm3</p><p>http://ts3.mm.bing.net/th?id=H.4756054578301010&pid=15.1</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>96</p><p>33) El diámetro de la base de un cilindro recto es de 0,20m y su altura de 0,60m. Calcular</p><p>el área lateral, el área total y el volumen del cilindro.</p><p>Rta. AL = 0,378 m2 AT = 0,4398 m2 V = 18840 cm3</p><p>34) La circunferencia base de un cilindro recto mide 9 m y su altura 10 m. Calcular el área</p><p>total del cilindro. Rta: AT = 102,89</p><p>m2</p><p>35) El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un rectángulo de 10 cm de</p><p>altura y diagonal de cm. ¿Cuál es su volumen? Rta: V=19,89 cm3</p><p>36) Con una lámina de latón de 30 cm de ancho por 50 de alto se desea construir el</p><p>lateral de un envase cilíndrico recto. ¿Cuál será su capacidad si se enrolla a lo ancho?,</p><p>¿y si lo hacemos a lo alto?</p><p>Rta: Cap. a lo ancho = 3580,98 cm3 Cap. a lo alto = 5968,31 cm3</p><p>37) Un rectángulo de 9 m de base y 5 de altura gira 360º</p><p>alrededor de una recta paralela a la altura, que está situada</p><p>a 15 m de distancia. Calcula la superficie y el volumen del</p><p>cuerpo que resulta.</p><p>Rta: 5513,50m3</p><p>38) La generatriz de un cono recto mide lo mismo que el perímetro de su base. Si su área</p><p>lateral es de 100 m2, hallar la altura del cono. Rta: h = 13,96m</p><p>39) Hallar la amplitud del sector circular del desarrollo de un cono recto cuya altura mide 3</p><p>m y el radio de la base mide 1 m. Rta: θ= 0,63 rad o θ=113º50’</p><p>40) De un cuadrado de hojalata que tiene 40 cm de lado, se recorta un sector circular de</p><p>90º y 40 cm de radio. a) ¿Qué volumen tendrá el cono construido con este sector?,</p><p>¿podrá sacarse el círculo para la base del cono, con lo que queda de hojalata?</p><p>Rta: V = 4055,78 cm3 . No se puede sacar la base.</p><p>41) Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cono recto, sabiendo que el</p><p>desarrollo de su superficie lateral es un sector circular de 1m de radio y 120º de ángulo</p><p>central.</p><p>Rta: AL = 1,047m2, AT = 1,396 m2 V = 0,110 m3</p><p>42) A un cubo de metal cuya arista mide 3m se le quiere hacer un orificio de forma</p><p>cilíndrica de 1,2 m de radio y 3 m de altura. ¿Cuál es el volumen de lo que queda?</p><p>Rta: 13,42m3</p><p>43) Se desea construir una cúpula semiesférica cuya área sea igual a 56,55m2. ¿Qué</p><p>diámetro debe tener la base de la cúpula? Rta: 6m</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>97</p><p>44) Un tanque esférico tiene un área de 12,56m2. Calcular su volumen. Rta.: 4,19m3</p><p>45) Para construir un cuerpo esférico metálico se funde una barra cilíndrica de metal de</p><p>4cm de radio y 18cm de altura. ¿Cuál es el radio máximo que puede tener la esfera, si</p><p>se utiliza todo el metal de la fundición? (no hay desperdicios). Rta: 6cm</p><p>46) La base de una pirámide recta es un hexágono regular de 10cm de lado. Calcular su</p><p>altura sabiendo que el área lateral es el doble del área de la base. Rta. 15cm</p><p>47) Para pintar 60 objetos con la forma (prisma recto + 2 pirámides rectas adjuntas, cuyas</p><p>bases son octógonos regulares) y dimensiones que se muestra en la figura se utilizará</p><p>un esmalte acrílico en spray cuyo rendimiento es de 0,25m2/dl. ¿Cuántos frascos de</p><p>esmalte acrílico se deberán comprar si se sabe que viene en presentaciones de 400ml?</p><p>Rta. Se necesitan 1 frasco de esmalte acrílico.</p><p>Área total= 0.621068</p><p>2m .</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA (LDCV)</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA APLICADA AL DISEÑO I (LDI)</p><p>CÁTEDRA DE</p><p>MATEMÁTICA</p><p>RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>98</p><p>1 . Introducción</p><p>Las Proporciones del Hombre de Vitruvio</p><p>En su Studio (Real Academia de Venecia), también</p><p>conocido como El hombre de Vitruvio, Leonardo da Vinci</p><p>realiza una visión del hombre como centro del Universo al</p><p>quedar inscrito en un círculo y un cuadrado. En él se realiza</p><p>un estudio anatómico buscando la proporcionalidad del</p><p>cuerpo humano, el canon clásico o ideal de belleza. Su obra</p><p>fue publicada en Roma en 1486 realizándose numerosas</p><p>ediciones. Parece indudable que Leonardo se inspiró en el</p><p>arquitecto romano Vitruvio (Marcus Vitruvius Pollio ) del</p><p>siglo I a.c. que escribió diez tomos de su obra De</p><p>Architectura, que trata de la construcción hidráulica, de</p><p>cuadrantes solares, de mecánica y de sus aplicaciones en</p><p>arquitectura civil e ingeniería militar.</p><p>Vitruvio dice en su obra sobre arquitectura que: ....”la</p><p>naturaleza distribuye las medidas del cuerpo humano como</p><p>sigue: que 4 dedos hacen 1 palma, y 4 palmas hacen 1 pie,</p><p>6 palmas hacen 1 codo, 4 codos hacen la altura del hombre.</p><p>Y 4 codos hacen 1 paso, y que 24 palmas hacen un hombre;</p><p>y estas medidas son las que él usaba en sus edilicios. Si separas la piernas lo suficiente como</p><p>para que tu altura disminuya 1/14 y estiras y subes los hombros hasta que los dedos estén al</p><p>nivel del borde superior de tu cabeza, has de saber que el centro geométrico de tus extremidades</p><p>separadas estará situado en tu ombligo y que el espacio entre las piernas será un triángulo</p><p>equilátero. La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. Desde el</p><p>nacimiento</p><p>del pelo hasta la punta de la barbilla es la décima parte de la altura de un hombre;</p><p>desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura; desde la</p><p>parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sexto de un hombre. Desde la parte</p><p>superior del pecho al nacimiento del pelo será la séptima parte del hombre completo. Desde los</p><p>pezones a la parte de arriba de la cabeza será la cuarta parte del hombre. La anchura mayor de</p><p>los hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. Desde el codo a la punta de la</p><p>mano será la quinta parte del hombre; y desde el codo al ángulo de la axila será la octava parte</p><p>del hombre. La mano completa será la décima parte del hombre; el comienzo de los genitales</p><p>marca la mitad del hombre. El pie es la séptima parte del hombre. Desde la planta del pie hasta</p><p>debajo de la rodilla será la cuarta parte del hombre. Desde debajo de la rodilla al comienzo de los</p><p>genitales será la cuarta parte del hombre. La distancia desde la parte inferior de la barbilla a la</p><p>nariz y desde el nacimiento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma, y, como la oreja, una</p><p>tercera parte del rostro”.</p><p>La anterior es la traducción completa del texto que acompaña al Hombre de Vitruvio de Leonardo</p><p>da Vinci. En realidad es una traducción de las palabras de Vitruvio pues el dibujo de Leonardo fue</p><p>originalmente una ilustración para un libro sobre las obras de Vitruvio. El Hombre de Vitruvio es</p><p>probablemente una de las imágenes más famosas y reconocibles de Leonardo.</p><p>Este dibujo representa las proporciones que podían establecerse en el cuerpo humano (por</p><p>ejemplo, la proporción áurea). Para Leonardo, el hombre era el modelo del universo y lo más</p><p>importante era vincular lo que descubría en el interior del cuerpo humano con lo que observaba en</p><p>la naturaleza.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>99</p><p>Los griegos de la antigüedad clásica creían que la proporción conducía a la salud y a la belleza.</p><p>Ésta constituía la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura griega. En la Edad Media,</p><p>algunas proporciones eran consideradas de origen divino: se creía que encarnaba la perfección de</p><p>la creación divina.</p><p>2 . Razones y proporciones</p><p>Razón (1) y proporción (2) son conceptos matemáticos que refieren a magnitudes. Consideraremos</p><p>las diversas maneras de analizarlas y expresarlas. Es fácil perder de vista la significación de la</p><p>razón en la fascinación que ejerce su estructura matemática y geométrica; lo que no debemos</p><p>perder de vista es que en el diseño como en la naturaleza, las cosas "sólo tienen sentido cuando</p><p>expresan necesidades funcionales". No se puede hablar de buena proporción en abstracto. La</p><p>idea carece de significado sin la siguiente pregunta: "¿Buena para qué fin?".En el diseño las</p><p>finalidades son múltiples y complejas, siempre pueden considerarse desde dos puntos de vista:</p><p>uno será estructural y funcional, el otro expresivo. No es necesario que se plantee un conflicto</p><p>entre ambos. El álgebra y la geometría son los medios para analizar y expresar la estructura de</p><p>las razones, pero no pueden orientarnos cuando queremos saber si están bien elegidas y son</p><p>adecuadas a su fin.</p><p>(1) Razón</p><p>Dados números a y b, tal que 0b , llamamos razón entre a y b, al cociente que obtenemos al</p><p>dividir a por b. Lo simbolizamos:</p><p>b</p><p>a</p><p>con 0b .</p><p>Ejemplo</p><p>La razón entre 36 y 15 es 2.4 pues 4.2</p><p>15</p><p>36</p><p></p><p>(2) Proporción</p><p>Dados cuatro números, en un cierto orden a, b, c y d con 0b y 0d , constituyen una</p><p>proporción, si la razón entre los dos primeros es igual a la razón entre los dos segundos. Lo</p><p>simbolizamos:</p><p>d</p><p>c</p><p>b</p><p>a</p><p> 0b 0d</p><p>Ejemplo</p><p>25, 5, 100, 20 en este orden constituyen una proporción pues</p><p>20</p><p>100</p><p>5</p><p>25</p><p></p><p>El hombre al contemplar las cosas que lo rodean descubre la simetría y la asimetría; relaciona sus</p><p>tamaños, sus equivalencias, sus medidas y las proporciones entre ellas.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>100</p><p>Surgen así las razones, las proporciones y los números que las representan. Estos números</p><p>representan la relación entre tamaños, ya sea entre dos líneas, entre figuras geométricas, entre</p><p>cuerpos,… por ejemplo:</p><p>Ejemplo 1</p><p>Si el punto C es el punto medio del segmento AB , podemos asegurar que: 1</p><p>CB</p><p>AC</p><p>La razón entre AC y CB es 1.</p><p>Ejemplo 2</p><p>Si a= 3,01cm es la medida del lado mayor del rectángulo, y b= 2,15cm es la medida del lado</p><p>menor del rectángulo:</p><p>4,1</p><p>b</p><p>a</p><p>La razón entre a y b es 1,4.</p><p>Ejemplo 3</p><p>El siguiente plano corresponde a un piso de un edificio de 16 m por 24 m. En el dibujo, las</p><p>medidas se representan con un rectángulo de 8 cm por 12 cm, lo que significa que el dibujo es</p><p>200 veces más pequeño que la realidad.</p><p>La razón entre la medida</p><p>del dibujo y la medida</p><p>real es 1/200.</p><p>200</p><p>1</p><p>2400cm</p><p>12cm</p><p>argo)realidad(l laen longitud</p><p>go)dibujo(lar elen longitud</p><p></p><p></p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>101</p><p>Ejemplo 4</p><p>Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa)</p><p>utilizó rectángulos especiales para plasmar el rostro de Mona Lisa.</p><p>El rostro se encuadra en un rectángulo donde la razón entre el lado</p><p>mayor y el lado menor es aproximadamente 1,618. Es decir, si</p><p>llamamos “h” a la medida del lado mayor y “p” a la medida del lado</p><p>menor del rectángulo que contiene al rostro de la Gioconda:</p><p>La razón entre h y p es aproximadamente 1,618.</p><p>3. El número de oro</p><p>“El número crea orden, el orden ritmo y el ritmo engendra armonía.</p><p>Podríamos llamar a todo esto belleza recreada,</p><p>compuesta, humanizada”.</p><p>Matila Ghyka</p><p>Hay tres números irracionales cuyas aplicaciones, tanto en matemáticas como en otras</p><p>disciplinas, son tan numerosas e importantes, que podríamos denominarlos como los irracionales</p><p>más famosos. Ellos son los números (pi), e, (fi), llamados número pi, número e y número de</p><p>oro, respectivamente. Dos de ellos, y , ya eran conocidos por los griegos, varios siglos antes</p><p>de Cristo; el número e es ampliamente utilizado desde el siglo XVIII.</p><p>El número aparece en campos tan variados como los reinos vegetal y animal, la poesía, la</p><p>música, la arquitectura, el arte, etc. y se designa con la letra griega "fi" en honor de Fidias,</p><p>considerado el escultor de las obras más perfectas de la antigua Grecia. Desde hace cinco siglos,</p><p>el rectángulo considerado como "el más bello" es aquel en el cual la relación entre la altura y la</p><p>anchura da resultado igual a .</p><p>El número de oro forma parte de un conjunto de números especiales llamados números metálicos.</p><p>Algunos de ellos son:</p><p>Número de oro:</p><p>2</p><p>51</p><p>Número de plata: 21</p><p>Número de bronce:</p><p>2</p><p>133</p><p>618,1</p><p>p</p><p>h</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>102</p><p>3.1 El número de oro y la proporción áurea</p><p>Un segmento de línea recta AB , de cualquier medida, puede ser dividido o seccionado de</p><p>diferentes maneras:</p><p>1. Si se lo corta por el medio, en partes iguales, se obtiene una simetría simple,</p><p>monótona, de relación constante, de ritmo estático; efecto similar al de la sucesión de</p><p>los números naturales.</p><p>2. Si se lo divide por cualquier parte se produce una asimetría irrazonable, sin armonía, ni</p><p>ritmo; produciendo un efecto de desequilibrio inestable y de fatiga óptica.</p><p>3. Existe una forma de seccionarlo de manera que los dos segmentos sean armoniosos</p><p>desde el punto de vista de la forma. La razón entre las medidas de estos segmentos</p><p>está representada por un número especial llamado el número de oro.</p><p>Al dividir el segmento AB , en dos segmentos AC y CB tal que </p><p>CB</p><p>AC</p><p>, se forma con las</p><p>medidas de estos la proporción áurea geométrica, que podemos enunciarla de la siguiente</p><p>manera:</p><p>"Para que un todo, dividido en parte desiguales, parezca armonioso desde el punto de vista</p><p>de la forma, debe haber entre la parte mayor y la menor la misma razón que entre el todo y</p><p>la mayor"</p><p>B C A</p><p>A C B</p><p>oro) de (número </p><p>CB</p><p>AC</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>103</p><p>Entonces, en un segmento de línea recta AB , podemos encontrar un punto C entre A y B tal</p><p>que las longitudes a, b y c satisfagan que, la razón entre la mayor a y la menor b, sea igual a la</p><p>razón entre la suma de las dos c y la mayor a.</p><p>Nos queda la igualdad:</p><p>En esta última igualdad, dividimos por b el numerador y el denominador del segundo miembro y</p><p>luego sustituimos por x = a/b, tendremos:</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>1</p><p> ó sea x2 = x + 1 ó x2 - x - 1 = 0</p><p>Ecuación de segundo grado cuyas raíces son:</p><p>Por ser razón entre longitudes, descartamos el valor negativo de x2 , por lo tanto :</p><p>El número de oro también se puede observar en muchas de las obras arquitectónicas de la</p><p>antigüedad como por ejemplo, los casos de las pirámides de Egipto y no pocos de los templos</p><p>Griegos.</p><p>La altura de la cara de la pirámide de Keops y la mitad de su lado se hallan en proporción áurea.</p><p>a</p><p>ba</p><p>b</p><p>a </p><p></p><p>.875..1,61803398</p><p>2</p><p>51</p><p></p><p></p><p> </p><p>b</p><p>a</p><p>llamado número de oro</p><p>1 2</p><p>1 5 1 5</p><p>y</p><p>2 2</p><p>x x</p><p> </p><p> </p><p>A D</p><p>C</p><p> </p><p>AD</p><p>AC</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>104</p><p>Podemos observar en la Fachada del Partenón , como se relacionan las distintas partes a través</p><p>de la razón áurea.</p><p>Esta proporción fue llamada divina proporción por el monje boloñés Fray Luca Paccioli de Borgo</p><p>(1.509). Kepler que es el primero que menciona su interés en Botánica y para el cual es "una joya</p><p>preciosa : uno de los tesoros de la geometría "; la llama también sección divina.</p><p>Los grandes artistas del renacimiento (Leonardo, Miguel Angel, Ticiano, Tintoretto, Rafael)</p><p>estudiaron sus principios y ajustaron sus composiciones a la regla de oro.</p><p>Edouard Marrad – Herzen, en sus “Principios de Morfología”, ha establecido que el crecimiento de</p><p>las plantas y de los animales y el movimiento que rige los remolinos y el desarrollo de las</p><p>conchillas, los caracoles y las flores, obedecen a principios rigurosamente matemáticos. Matila</p><p>Ghyka en su obra “Las proporciones en la naturaleza y en el arte” ha demostrado que la ley del</p><p>crecimiento orgánico es, en muchos casos, tributaria del número de oro. Se puede comprobar esta</p><p>afirmación también en las relaciones existentes entre los distintos segmentos del cuerpo humano</p><p>cuya proporcionalidad, en innumerables casos, se aproxima significativamente.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>105</p><p>La proporción áurea del cuerpo del hombre bien</p><p>desarrollado y normal (aprox. 25 años), en</p><p>detalle, de frente y de atrás.</p><p>La proporción áurea del cuerpo de la mujer bien</p><p>desarrollado y normal (aprox. 20 años), en</p><p>detalle, de frente y de atrás.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>106</p><p>3.2 División áurea de un segmento: construcciones geométricas.</p><p>Dado un segmento hallaremos un punto C interior (construcción I) o exterior</p><p>(construcción II) al segmento, tal que los segmentos determinados cumplan con la proporción</p><p>divina.</p><p>I) 1) Trazar el segmento AB .</p><p>2) Trazar un segmento BD perpendicular a AB de longitud 2/AB .</p><p>3) Trazar el segmento AD y marcar el punto E, tal que DBDE .</p><p>4) Con centro en A describir el arco de circunferencia EC situando sobre AB el punto</p><p>C, que cumple:</p><p>II) 1) Trazar el segmento AB .</p><p>2) Trazar el segmento BD perpendicular a AB de longitud AB .</p><p>3) Marcar ‘O’: punto medio de AB .</p><p>4) Trazar el segmento OD y con centro en O trazar el arco de circunferencia DC , siendo C</p><p>el punto buscado que cumple: </p><p>AB</p><p>AC</p><p>BC</p><p>AB</p><p></p><p>AC</p><p>AB</p><p>CB</p><p>AC</p><p>AB</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>107</p><p>Nota</p><p>El número de particiones asimétricas posibles es infinito. Por ejemplo, a partir del segmento</p><p>AB , luego de construir la longitud CB tal que: </p><p>AC</p><p>AB</p><p>CB</p><p>AC</p><p>, repetimos la construcción</p><p>respecto a la longitud CB construyendo DB tal que:</p><p></p><p>DB</p><p>CD</p><p>CD</p><p>CB</p><p>y así sucesivamente:</p><p>3.3 Rectángulo áureo o dorado</p><p>Es un rectángulo que está proporcionado según el número de oro, es decir, al dividir el lado mayor</p><p>del rectángulo por el lado menor se obtiene el número de oro.</p><p>Los pintores del Renacimiento que aplicaron la perspectiva geométrica en sus cuadros; también</p><p>utilizaron con frecuencia la razón áurea, para equilibrar y proporcionar las dimensiones de sus</p><p>telas.</p><p>Dado un mismo segmento se pueden determinar dos rectángulos dorados, uno donde el</p><p>lado mayor es el segmento dado y otro donde el lado menor es el segmento dado.</p><p></p><p>AC</p><p>AB</p><p>l</p><p>l</p><p>ME</p><p>MA</p><p></p><p>AB</p><p>AC</p><p>l</p><p>l</p><p>ME</p><p>MA</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>108</p><p>Ejemplo</p><p>Para calcular analíticamente la medida de la altura de un rectángulo dorado cuya base mide</p><p>3,12 cm, tendremos dos casos posibles:</p><p> Si la base es el lado menor:</p><p>cm,h,</p><p>cm,</p><p>h</p><p>b</p><p>h</p><p>l</p><p>l</p><p>ME</p><p>MA 0456181</p><p>123</p><p> </p><p> Si la base es el lado mayor:</p><p>cm,h,</p><p>h</p><p>cm,</p><p>h</p><p>b</p><p>l</p><p>l</p><p>ME</p><p>MA 9216181</p><p>123</p><p> </p><p>Por lo tanto, los dos rectángulo áureos posibles con base de 3,12cm tienen por dimensiones</p><p>3,12cmx5,04cm y 3,12cmx1,92cm.</p><p>Construcciones geométricas</p><p>Dada una determinada base es posible construir dos rectángulos dorados cuyas alturas se</p><p>obtienen aplicando las construcciones geométricas (I y II) explicadas anteriormente.</p><p>I- Rectángulo áureo con altura menor que la base.</p><p>II - Rectángulo con base menor que la altura</p><p>C</p><p></p><p>AC</p><p>AB</p><p></p><p>AB</p><p>AC</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>109</p><p>Observación</p><p>Otra manera de</p><p>construir rectángulos áureos es utilizando la diagonal de un rectángulo áureo</p><p>patrón, ya que todo rectángulo que se trace con diagonal común y sus lados paralelos a un</p><p>rectángulo áureo dado, será también áureo. En la siguiente figura el rectángulo pequeño es áureo</p><p>y por lo tanto el mayor también lo es.</p><p>Nota</p><p>Podemos dividir al rectángulo áureo ABCD en un cuadrado y en un rectángulo más pequeño, éste</p><p>último también en razón áurea. Este proceso se puede repetir sucesivamente.</p><p>Una propiedad útil al momento de subdividir un rectángulo áureo es la que se muestra en la</p><p>siguiente figura, donde al trazar las diagonales de los rectángulos áureos, éstas resultan</p><p>perpendiculares y áureas entre sí. Así, para subdividir un rectángulo áureo procedemos de la</p><p>siguiente manera:</p><p>1) Trazamos una de las diagonales del rectángulo áureo ABCD, por ejemplo: la diagonal</p><p>AC .</p><p>2) Trazamos una recta perpendicular a la diagonal AC ,que contenga al punto B. Ésta nos</p><p>determina el punto E sobre el lado DC , determinando así el rectángulo áureo FBCE.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>110</p><p></p><p>AB</p><p>CE</p><p></p><p>AC</p><p>AB</p><p></p><p>AC</p><p>AB</p><p>3.4 Triángulos en proporción áurea</p><p> Triángulos rectángulos cuyos catetos CA y AB, tienen sus medidas en razón áurea.</p><p> Triángulos isósceles cuya altura EC y base AB (altura/base), están en razón áurea.</p><p> Triángulos isósceles en los cuales la base AB y el lado AC (base/lado), están en razón áurea.</p><p>Figura 1</p><p> Triángulos isósceles en los cuales el lado AC y la base AB (lado/base), están en razón áurea.</p><p></p><p>AB</p><p>AC</p><p>Figura 2</p><p>Nota</p><p> Si la base es mayor que el lado (Fig.1), sus ángulos iguales miden 36°.</p><p> Si la base es menor que el lado (fig.2), sus ángulos iguales miden 72°.</p><p>Observación</p><p>Todo triángulo semejante a cualquiera de los anteriores, resulta áureo.</p><p></p><p></p><p>1 1</p><p>22</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>111</p><p>r</p><p>R</p><p>Subdivisión de un triángulo áureo</p><p>Podemos subdividir triángulos áureos en triángulos áureos más pequeños, en el caso del triángulo</p><p>isósceles (figura 2) que tiene los lados AC y AB en proporción áurea.</p><p>3.5 Análisis áureo del pentágono regular</p><p>El pentágono es la figura geométrica más extraordinaria; casi todas las relaciones naturales de</p><p>sus formas, medidas y trazas están en . Es de aplicación muy eficaz en la composición plástica.</p><p>Una de sus propiedades más sorprendente es que si se divide la medida de la diagonal por la</p><p>medida del lado se obtiene el número de oro.</p><p>Otra relación a destacar es que el cociente entre el</p><p>radio r de la circunferencia inscripta y el radio R de la</p><p>circunferencia circunscripta es</p><p>2</p><p></p><p>La bisectriz del ángulo CBA ˆ = 72º, corta a AC en el</p><p>punto ‘D’, quedando éste dividido en proporción</p><p>áurea (</p><p>AD</p><p>DC</p><p>=); lo mismo hace la bisectriz del</p><p>ángulo DAB ˆ sobre el lado BD . Así se puede</p><p>seguir indefinidamente produciendo una sucesión</p><p>dinámica de triángulos áureos en cuanto a sus</p><p>lados y superficies.</p><p></p><p>AB</p><p>AC</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>112</p><p>Construcción geométrica del pentágono regular utilizando la proporción áurea</p><p>Para construir un pentágono regular de lado AB se puede proceder de la siguiente manera:</p><p>1) Se traza el segmento AB y se busca un punto F</p><p>exterior a AB tal que </p><p>AB</p><p>AF</p><p>(usando la</p><p>construcción ya vista).</p><p>2) Con la medida AF (diagonal del pentágono) se</p><p>trazan dos arcos de circunferencia con centro A y</p><p>B respectivamente, obteniéndose el vértice D.</p><p>3) Con la medida AB se trazan dos arcos de</p><p>circunferencia con centro en A y en B</p><p>respectivamente, obteniéndose los vértices C y E.</p><p>4) El polígono ABCDE es el pentágono buscado.</p><p>Pentalfa</p><p>Es el nombre que recibe el polígono estrellado que se forma con las</p><p>diagonales del pentágono regular. Los pitagóricos la eligieron símbolo de</p><p>su secta, como emblema de salud y vida.</p><p>En ella se observan cinco triángulos isósceles áureos cuyas bases forman otro pentágono regular;</p><p>en el cual trazando sus diagonales se obtiene una nueva pentalfa que determina un nuevo</p><p>pentágono regular, este proceso se puede repetir sucesivamente.</p><p>La Pentalfa en el arte</p><p>Observamos en la pintura, que la figura central está contenida</p><p>en una pentalfa.</p><p>"Leda Atómica", 1949</p><p>Salvador Dalí</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>113</p><p>3.6 Proporción áurea tridimensional</p><p>Los trazados y cánones armónicos mencionados anteriormente son de dos dimensiones, cada</p><p>uno de los cuales representa una construcción geométrica imaginada y situada en una superficie</p><p>plana. En diseño y arquitectura, se trata indiscutiblemente de componer volúmenes, o sea de</p><p>concebir, de pensar en tres dimensiones. Es evidente que el creador de volúmenes no debe</p><p>olvidar el manejo de las proporciones lineales deducidas de .</p><p>Así como en el plano, el rectángulo es el elemento de proporción por excelencia, el paralelepípedo</p><p>recto de base rectangular, que es la ampliación del rectángulo a tres dimensiones, representa el</p><p>elemento de proporción en el espacio. Este elemento sólido, sirve para descomponer el espacio.</p><p>Es el elemento arquitectónico más sencillo y pasamos buena parte de nuestra vida encerrados en</p><p>paralelepípedos rectos de base rectangular.</p><p>La proporción áurea en estos cuerpos está presente con diversas posibilidades:</p><p>Nota</p><p>Podemos dividir un prisma áureo, por el método de las diagonales perpendiculares aplicadas a</p><p>una de sus caras áureas, a fin de obtener cortes o escalonamientos áureos. Como se muestra en</p><p>la figura.</p><p> Prisma áureo perfecto: este</p><p>paralelepípedo está dotado de</p><p>propiedades armónicas. Sus tres</p><p>dimensiones están en proporción</p><p>áurea; siendo éstas el TODO, la</p><p>MAYOR y la MENOR.</p><p> Prisma cuadrangular áureo : dos</p><p>de sus caras paralelas son</p><p>cuadradas y las restantes son</p><p>rectángulos áureos.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>114</p><p>4. Proporción y ritmo</p><p>La proporción y el ritmo son ideas familiares, no obstante, resultan difíciles de definir; en particular</p><p>en lo que concierne a su relación con el diseño. La razón implica comparación entre magnitudes</p><p>similares. La idea central en ritmo es la recurrencia esperada; ésto es lo que lo diferencia de la</p><p>repetición simple.</p><p>Ritmo</p><p>Es una sucesión o repetición de elementos (líneas, contornos, formas o colores), los cuales</p><p>pueden ser constantes o alternos,</p><p>Se forman todas las fracciones irreducibles</p><p>q</p><p>p</p><p>:</p><p>4</p><p>9</p><p>2</p><p>9</p><p>1</p><p>9</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p> ,,,,,,,, .</p><p> Se valoriza el polinomio )(xp en cada una de las fracciones, hasta encontrar una</p><p>raíz:</p><p>0919116141 23 ...)(p entonces 1x no es raíz.</p><p>09)1.(9)1.(16)1.(4)1( 23 p entonces 1x no es raíz.</p><p>0939316343 23 ).().().()(p entonces 3x es raíz de )(xp .</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>8</p><p>2( ) (4 4 3)( 3)p x x x x </p><p> Una vez encontrada una raíz, se aplica la regla de Ruffini, al polinomio completo</p><p>y ordenado:</p><p>99164 </p><p>-3 91212 </p><p>0344 </p><p>Esto permite comenzar a factorizar el polinomio:</p><p> Para buscar las raíces, si existen, del polinomio de segundo grado, se utiliza la</p><p>fórmula resolvente:</p><p>0344 2 xx</p><p>8</p><p>84</p><p>42</p><p>34444 2</p><p>21</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>).(.</p><p>,x , con lo cual se obtiene:</p><p>2</p><p>1</p><p>8</p><p>4</p><p>8</p><p>84</p><p>1 </p><p></p><p>x y</p><p>2</p><p>3</p><p>8</p><p>12</p><p>8</p><p>84</p><p>2 </p><p></p><p>x</p><p>Y así, el polinomio queda factorizado de la siguiente manera:</p><p>)3)(</p><p>2</p><p>3</p><p>)(</p><p>2</p><p>1</p><p>(4)( xxxxp</p><p>Por lo tanto, una ecuación equivalente a la dada será:</p><p> 03</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>4 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> xxx cuyas soluciones son:</p><p>3y</p><p>2</p><p>3</p><p>,</p><p>2</p><p>1</p><p>321 xxx</p><p>Luego de verificar, el conjunto solución es:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 3,</p><p>2</p><p>3</p><p>,</p><p>2</p><p>1</p><p>S</p><p>Observaciones</p><p> Si el polinomio tiene coeficiente principal igual a uno, sus posibles raíces</p><p>racionales son los divisores del coeficiente independiente.</p><p> Si el polinomio tiene grado mayor a 3, se repite el procedimiento aplicando</p><p>el teorema de Gauss y la regla de Ruffini hasta obtener en la factorización el</p><p>polinomio de grado 2 y así poder aplicar la fórmula resolvente y factorizar</p><p>totalmente al polinomio.</p><p>Recordar que todo polinomio de la forma</p><p>1</p><p>1 1 0( ) .........n n</p><p>n np x a x a x a x a</p><p> </p><p>cuyas raíces son: nxxx ,,, 21 puede ser factorizado como:</p><p>)()()()( 21 nn xxxxxxaxp </p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>9</p><p>2. Ecuación algebraica racional fraccionaria: La variable está afectada por las</p><p>operaciones de suma, producto y potencia de exponente entero negativo. En este caso la</p><p>expresión se presenta usualmente como división entre polinomios, por lo que es necesario</p><p>restringir aquellos valores de la variable que anulan al divisor. Para resolver, se recomienda</p><p>factorizar las expresiones para reducir la ecuación a una polinómica.</p><p>Ejemplo</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2 </p><p></p><p></p><p></p><p> xxx</p><p>, Restricciones: 1 ,1 xx</p><p>(Se factoriza lo que sea factorizable)</p><p>(Se busca un común denominador)</p><p>(Se cancelan los denominadores)</p><p>Se verifica el valor encontrado. Y se concluye que el conjunto solución es: 2S .</p><p>3. Ecuación algebraica irracional: La variable está afectada por las operaciones de suma,</p><p>resta, producto y potencia de exponente fraccionario. Usualmente, para resolver este tipo de</p><p>ecuaciones se eleva ambos miembros de la igualdad a una potencia natural. En este</p><p>proceso se pueden adquirir raíces denominadas extrañas (raíces que no verifican la</p><p>ecuación original). Por esto, si se aplica tal transformación, resulta necesaria la</p><p>comprobación de las raíces halladas.</p><p>Ejemplos</p><p>a) 38 )(xx</p><p>22 38 ))(( xx</p><p>(Se elevan ambos miembros al cuadrado)</p><p>98 )(xx</p><p>(Se aplica la propiedad cancelativa)</p><p>0982 xx </p><p>2</p><p>914648</p><p>21</p><p>).(.</p><p>,</p><p></p><p>x</p><p>11 x</p><p>2</p><p>108</p><p>2</p><p>1008</p><p>21</p><p></p><p></p><p></p><p>,x</p><p>92 x</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>10</p><p>Verificación: 3811 ))(( 3899 )(</p><p>39 39 </p><p>33 33 </p><p>Por lo tanto, el conjunto solución es 91 ,S .</p><p>b) 33 yy</p><p>yy 33</p><p>22 33 )()( yy </p><p>yyy 693</p><p>396 y</p><p>2y 22y</p><p>4y</p><p>Verificación: 3434 </p><p>321 </p><p>31 , ABSURDO.</p><p>La posible solución no verifica la igualdad, por lo que no hay solución, es decir, S . Aquí</p><p>4y es una solución extraña.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>11</p><p>Resolución de problemas</p><p>No existen reglas rápidas que aseguren el éxito en la resolución de problemas. Sin</p><p>embargo, se pueden señalar algunos pasos generales:</p><p>1. Leer el problema y asegurarse de que se entendió totalmente. Para ello se necesita:</p><p>a) Reconocer y ordenar datos.</p><p>b) Usar una variable para representar</p><p>cada una de las cantidades desconocidas.</p><p>c) Realizar un gráfico o esquema.</p><p>2. Encontrar una conexión entre la información</p><p>proporcionada y la incógnita (planteo de una o</p><p>varias ecuaciones).</p><p>3. Resolver la o las ecuaciones planteadas.</p><p>4. Comprobar los resultados, determinando si se satisfacen las condiciones del</p><p>problema. Esta comprobación sirve para verificar tanto la exactitud de la ecuación,</p><p>como la exactitud del conjunto solución.</p><p>Ejemplo</p><p>A una pintura de 8 cm por 12 cm se le colocó un marco de ancho constante. ¿Cuál es el</p><p>ancho del marco si se sabe que el área de la pintura es igual a la del marco?</p><p>Planteo</p><p>Se tiene, entonces:</p><p>2 296 96 24 16 4 96 96 40 4x x x x x </p><p>24 40 96 0x x </p><p>1,2</p><p>40 1600 4.4.( 96)</p><p>8</p><p>x</p><p> </p><p></p><p>1 2x </p><p>1,2</p><p>40 3136 40 56</p><p>8 8</p><p>x</p><p> </p><p> </p><p>2 12x </p><p>2 12x no es valor posible para la incógnita, por lo tanto, el ancho del marco es de 2cm.</p><p>Ancho x</p><p>Área de la pintura 8 . 12</p><p>Área del marco (12+2x)(8+2x)-96</p><p>Área de la pintura=Área del marco 96=(12+2x)(8+2x)-96</p><p>“Actuar sin método</p><p>oscurece la razón y</p><p>ciega la inteligencia.”</p><p>Descartes.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>12</p><p>TRABAJO PRÁCTICO</p><p>Resolución de ecuaciones</p><p>1. Despejar y de las siguientes fórmulas:</p><p>a) DCyBAy </p><p>b)</p><p>c</p><p>by</p><p>ay</p><p></p><p></p><p>c) C</p><p>By</p><p>A</p><p></p><p></p><p>d)</p><p>y</p><p>P</p><p>yL</p><p>F</p><p>422</p><p></p><p></p><p>e) 53 22 yyby )(</p><p>f) MBAy 2)(</p><p>g) BAy 2</p><p>h)</p><p>qyf</p><p>111</p><p></p><p>i)</p><p>y</p><p>yx</p><p>2</p><p>24</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p></p><p></p><p>j) z</p><p>zy</p><p>y</p><p>z</p><p>2</p><p>4</p><p>83</p><p></p><p></p><p></p><p>k) ay</p><p>y</p><p>x</p><p>ay 9</p><p>3</p><p>7</p><p>3 </p><p></p><p></p><p>l) 1</p><p>1</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ya</p><p>a</p><p>ya</p><p>a</p><p>ya</p><p>a</p><p>m) 2</p><p></p><p></p><p>xy</p><p>xy</p><p>n)</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>7</p><p>3</p><p>)1(</p><p>yyx</p><p>y</p><p>x </p><p></p><p></p><p>2. Determinar para que valor o valores de la incógnita se satisface cada una de las</p><p>ecuaciones propuestas. Escribir el conjunto solución y de acuerdo a éste, clasificar la</p><p>ecuación:</p><p>a) 0</p><p>7</p><p>2</p><p>4</p><p>25</p><p></p><p></p><p>y</p><p>y</p><p>Rta.:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>7</p><p>6</p><p>S</p><p>b)</p><p>o afectados por el color, la textura, la forma y la posición,</p><p>logrando una composición grata, armoniosa y acompasada en la sucesión de elementos.</p><p>- Ritmos estáticos</p><p>Los ritmos estáticos están constituidos por figuras geométricas o cuerpos cuyo aspecto es</p><p>monótono.</p><p>El estatismo en plástica es inmovilidad, solo es tolerable cuando confiere aspecto de aplomo,</p><p>estabilidad, perennidad.</p><p>- Ritmos dinámicos</p><p>Los ritmos dinámicos prestan real y eficaz ayuda al problema de la plástica viva, sobre todo en lo</p><p>que concierne a su aspecto de agilidad y movilidad que le confiere a los objetos. Los ritmos</p><p>dinámicos dan sensación de movimiento, de vida. Los ritmos dinámicos geométricos, son líneas,</p><p>figuras o cuerpos poliédricos, en todos ellos sus medidas, volúmenes y separación están en</p><p>sucesión de aumento o disminución progresiva.</p><p>En la naturaleza se pueden observar ritmos dinámicos, por</p><p>ejemplo:</p><p>En la hoja de Napelo existe entre las partes en que se divide la</p><p>estructura, una razón perfectamente evidente. Uniendo los</p><p>puntos en los que se produce la ramificación, dispuestos a lo</p><p>largo de los ejes principales de la hoja, se descubre la razón</p><p>común en todas las partes. La recurrencia de configuraciones y</p><p>ángulos resulta obvia y la proporción y el ritmo se revelan como</p><p>las expresiones inevitables del crecimiento.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>115</p><p>4.1 La sucesión de Fibonacci</p><p>La sucesión de los números naturales : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, etc., tienen cada uno de ellos una</p><p>unidad más que el anterior y una menos que el siguiente; estableciendo una relación igual y</p><p>constante, de simetría simple, monótona.</p><p>Si se genera una sucesión de números tal que cada término sea igual a la suma de los dos</p><p>anteriores, se obtendrá entonces una sucesión asimétrica, pero armónica.</p><p>Ejemplo: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, etc.</p><p>Así se forma la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, etc.</p><p>Formando fracciones con dichos números sucesivos, se obtiene la siguiente sucesión :</p><p>A partir del octavo término de está sucesión (34/21), vemos que dichos cocientes se van</p><p>aproximando también al Número de Oro ( 1,618).</p><p>Se puede observar que esta sucesión aditiva de los números de Fibonacci produce, aplicada a</p><p>la geometría, una serie de líneas, figuras y cuerpos poliédricos, cuyas medidas sucesivas siguen</p><p>un aumento progresivo en ritmo armónico.</p><p>Sucesión armónica de rectángulos</p><p>... ,</p><p>55</p><p>89</p><p>,</p><p>34</p><p>55</p><p>,</p><p>21</p><p>34</p><p>,</p><p>13</p><p>21</p><p>,</p><p>8</p><p>13</p><p>,</p><p>5</p><p>8</p><p>,</p><p>3</p><p>5</p><p>,</p><p>2</p><p>3</p><p>,</p><p>1</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>1</p><p>... 1,61798 89 : 144</p><p>1,61818 55 : 89</p><p>1,61764 34 : 55</p><p>1,61905 21 : 34</p><p>. término..octavo</p><p>delpartir a cocientes Los</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>116</p><p>4.2 Espirales, óvalos y ovoides</p><p>Construiremos algunos ejemplos geométricos que corresponden a ritmos dinámicos.</p><p> Espiral realizada dentro del rectángulo áureo: esta espiral es típica</p><p>del crecimiento de las conchillas. Las sucesivas etapas del crecimiento</p><p>están marcadas por los cuadrados en « remolinos ». Se construye</p><p>realizando arcos de circunferencia dentro de cada cuadrado base</p><p>sucesivo.</p><p> Espiral realizada a partir de un triángulo áureo: el triángulo áureo ABC queda subdividido en</p><p>otros triángulos áureos con el método visto anteriormente. Además, si</p><p>trazamos sucesivos arcos de circunferencia con radio igual a la longitud</p><p>de las bisectrices trazadas y con centros en los puntos D, E,</p><p>F….respectivamente, se obtiene la espiral.</p><p> Espiral ondeada: se construye con sucesivos semicírculos de</p><p>la siguiente manera: Con diámetro AB se hace un semicírculo;</p><p>se determina el punto c interior a AB, tal que </p><p>CB</p><p>AC</p><p>. Con</p><p>centro en A se lleva AC hasta D; uniendo D con B se obtiene</p><p>otro diámetro menor en sucesión decreciente, sobre el cual se</p><p>repite la operación.</p><p> Óvalo: el ornamento de arquitectura y diseño llamado óvalo deriva de</p><p>la forma del huevo y se construye con compás por un método</p><p>tradicional elemental que da una excelente aproximación de la</p><p>realidad. Siendo AB el eje menor de la sección se traza la</p><p>circunferencia de centro I y diámetro AB; se trazan arcos de</p><p>circunferencia con radio AB y centros en A y B respectivamente. Se</p><p>prolongan BC y AC determinado los arcos AF y BE. Luego se</p><p>completa con el arco FME de centro en C.</p><p> Ovoide: a partir de la construcción del óvalo anterior podemos obtener, como se muestra en la</p><p>como se muestra en la figura, un ovoide.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>117</p><p>5. Rectángulos armónicos</p><p>5.1 El rectángulo armónico 2</p><p>El rectángulo armónico es la figura geométrica que sigue en importancia al rectángulo áureo. Se</p><p>obtiene partiendo del cuadrado cuyo lado y diagonal pasan a ser las medidas de los lados de este</p><p>rectángulo; la relación o proporción de sus medidas es el número: 4142.12 </p><p>2</p><p>AC</p><p>AB</p><p>l</p><p>l</p><p>ME</p><p>MA</p><p>Ejemplo</p><p>Para calcular analíticamente la altura correspondiente a un rectángulo armónico 2 , cuya base</p><p>(lado mayor) mide 5,42 cm, planteamos:</p><p>cmh</p><p>h</p><p>cm</p><p>altura</p><p>base</p><p>l</p><p>l</p><p>ME</p><p>MA 8325,32</p><p>42,5</p><p>2 </p><p>El rectángulo 2 es importante a nivel práctico porque resuelve el problema de la duplicación</p><p>manteniendo las proporciones. Si dividimos un cuadrado en dos rectángulos iguales, está claro</p><p>que éstas ya no mantienen la forma cuadrada. Esto sucede en cualquier rectángulo estático. Sin</p><p>embargo las dos mitades de un 2 tienen esta misma proporción. La serie DIN-A ha normalizado</p><p>los formatos de papel a partir de un rectángulo de un metro cuadrado de superficie con sus lados</p><p>en proporción 1 a 2 , que es el formato A-0. Su mitad es el formato A-1, la mitad de éste es el A-</p><p>2, la mitad de éste A-3, y así con el A-4, el A-5, el A-6, etc.</p><p>El formato 2 es el que permite ampliar al doble de superficie en una fotocopiadora un</p><p>documento sin tener que hacer ajustes ni recortes, por eso en las máquinas siempre están los</p><p>valores de 2 y su inverso: 141% y 71%.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>118</p><p>5.2 Rectángulos armónicos en sucesión dinámica</p><p>Esta sucesión dinámica de rectángulos armónicos nace del cuadrado, sus relaciones de medidas</p><p>están entre el lado menor y la diagonal del mismo, y luego las sucesivas diagonales rebatidas, es</p><p>decir, la diagonal del uno es la medida del lado del siguiente.</p><p>Después del cuadrado cuya relación es 1, el primer rectángulo armónico es el rectángulo 2 ; le</p><p>sigue el rectángulo 3 que tiene como lado largo la diagonal del rectángulo anterior: 2 . Así</p><p>sucesivamente se van prestando las medidas de sus diagonales, por lo que resultan encadenadas</p><p>a un ritmo armónico, creciente y dinámico.</p><p>Merece destacarse que el rectángulo 4 resulta ser un doble cuadrado. El rectángulo 9 es</p><p>equivalente a tres cuadrados; esta progresión sigue indefinidamente.</p><p>Ejemplo</p><p>Para calcular analíticamente la altura correspondiente a un rectángulo armónico 5 , cuya base</p><p>(lado mayor) mide 5,20 cm, planteamos:</p><p>cmh</p><p>h</p><p>cm</p><p>altura</p><p>base</p><p>l</p><p>l</p><p>ME</p><p>MA 32,25</p><p>20,5</p><p>5 </p><p>5.3 El rectángulo armónico 3</p><p>Este rectángulo forma parte del hexágono regular, siendo sus lados</p><p>una de las diagonales del hexágono y el lado del mismo.</p><p>3</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>119</p><p>Con este rectángulo puede generarse por rotación el hexágono regular y su estrella 6/2.</p><p>Además, el rectángulo 3 enmarca una de las figuras más importantes de la Geometría Sagrada</p><p>conocida como “vesica piscis” (vejiga de pez) llamada también mandorla. Dicha figura fue</p><p>utilizada en los periodos románico y gótico para pintar o esculpir un Pantocrátor (imagen del</p><p>todopoderoso padre e hijo) o algunas veces una Virgen, sobre ella.</p><p>Se define la vesica piscis como la figura plana comprendida</p><p>entre dos arcos de circunferencia con centros en los puntos A y B</p><p>de un segmento dado AB, y radio la longitud del mismo.</p><p>Suponiendo que la longitud del segmento AB es 1, la altura del</p><p>triángulo equilátero ABC mide 2/3 y por tanto la proporción</p><p>del rectángulo circunscrito a la vesica es 3 .</p><p>En el periodo gótico, los arcos ojivales de todo punto o equiláteros están formados por los arcos</p><p>de media vesica piscis. También se utilizó el rectángulo 3 para proporcionar las plantas de las</p><p>catedrales góticas. La frase de O. Spengler “Los templos dóricos y las Catedrales góticas son</p><p>matemática petrificada” resume la importancia de las Matemáticas en la Arquitectura de este</p><p>periodo.</p><p>El interior de la iglesia románica de San Miguel de Aralar (Navarra) alberga un frontal de esmaltes</p><p>cuya parte central está decorada con una vesica piscis que enmarca una Virgen. También en</p><p>Navarra, en la Iglesia de San Nicolás de Bari de Tudela, se encuentra una bellísima vesica piscis</p><p>labrada en piedra.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>120</p><p>Retablo de San Miguel de Aralar. Navarra San Nicolás Bari. Tudela. Navarra</p><p>En la puerta de entrada y en las arquivoltas de la Catedral de Bilbao se pueden trazar medias</p><p>vesicas piscis.</p><p>6. Rectángulo de plata</p><p>Un rectángulo de plata es aquel cuya razón entre sus lados es el número de plata 21 .</p><p>Este rectángulo se puede obtener por la yuxtaposición de un cuadrado y un rectángulo armónico</p><p>2 .</p><p>21</p><p>1</p><p>21</p><p></p><p></p><p></p><p>ME</p><p>MA</p><p>l</p><p>l</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>121</p><p>Construcción geométrica de un rectángulo de plata</p><p>1) Trazar un cuadrado de lado l.</p><p>2) Tomar la medida de su diagonal (d) y obtener un rectángulo 2 .</p><p>3) Luego se le añade un cuadrado de lado l . Se obtiene así un rectángulo de plata.</p><p>Todo rectángulo de plata admite una descomposición en dos cuadrados y un rectángulo de plata</p><p>de la siguiente manera:</p><p>Nota</p><p>Este proceso se puede repetir sucesivamente.</p><p>En la antigua ciudad de Ostia (Roma), arquitectos del siglo II d.C. diseñaron un conjunto de</p><p>edificios a partir de un cuadrado-patrón: el llamado “cuadrado del corte sagrado” en el que se</p><p>oculta el número de plata: 21 .</p><p>También lo encontramos, en objetos cotidianos rectangulares y principalmente en rectángulos que</p><p>encierran logotipos y anuncios en la prensa escrita.</p><p>Al igual que el número de oro aparece en el pentágono regular, el número de plata lo hace en el</p><p>octógono regular como la razón entre la diagonal (tomada cada 3 vértices) y el lado.</p><p></p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>122</p><p>Construcción geométrica del octógono regular utilizando la proporción de plata.</p><p>Primera construcción</p><p>1) Tomar un rectángulo 2 .</p><p>2) Construir un cuadrado de lado igual al lado menor del rectángulo.</p><p>3) Cortar el rectángulo que resta, el cual se encuentra en proporción de plata.</p><p>3) Marcar las diagonales del cuadrado; sobre las mismas apoyar el rectángulo recortado y</p><p>marcarlo.</p><p>Segunda construcción</p><p>1) Construir un rectángulo de plata.</p><p>2) Rotar el rectángulo 45º en torno a su centro.</p><p>3) Realizar dos veces más la misma rotación.</p><p>Como podemos ver en la última construcción, dentro del octógono queda determinado un polígono</p><p>estrellado (8/3), el octagrama (8/2) y otro octógono regular.</p><p>Polígono estrellado 8/2 (8: nro de vértices y 2: salto entre vértices) y 8/3 (8: nro de vértices y</p><p>2: salto entre vértices)</p><p>Son los polígonos estrellados que se forma en cualquier octógono regular al trazar las diagonales</p><p>(tomada cada dos o tres vértices).</p><p>P. estrellado 8/3</p><p>P. estrellado 8/2</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>123</p><p>7. La proporción en el arte</p><p>7.1 El Neoplasticismo: Piet Mondrian</p><p>El Neoplasticismo es un claro ejemplo de la aplicación de las proporciones geométricas. Esta</p><p>corriente artística surge en los países bajos en 1917, fue desarrollada por Piet Mondrian que junto</p><p>con Theo van Doesburg fundó la revista De Stijl, principal órgano de difusión del movimiento. Con</p><p>él se transfiere a la arquitectura y a la configuración espacial, la severa simplicidad de</p><p>proporciones elementales, tal como había sido concebida por Mondrian en su pintura. Esta teoría</p><p>reduce la lineatura a horizontales, verticales y ángulos rectos; y el cromatismo a los colores</p><p>primarios rojo, amarillo y azul, junto a los colores neutros negro, gris y blanco. El Neoplasticismo</p><p>descansa fundamentalmente en la idea de un orden autónomo, colectivamente válido, que trae la</p><p>visión clara de « lo normalizado, lo constructivo y lo funcional », excluyendo así toda arbitrariedad</p><p>y carencia de planificación.</p><p>Ejemplo del Análisis de una obra de Piet Mondrian</p><p>Mosaico Romano –</p><p>Palacio de Lebrija –</p><p>Sevilla Cúpula de Cimborrio – Catedral de</p><p>Burgos</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>124</p><p>7.2 El Puntillismo: Los puntos dorados de Suerat</p><p>El Puntillismo aparece por primera vez en 1884, encabezado por los pintores Neo-Impresionistas</p><p>Georges Seurat y Lucas Karagozian. El procedimiento empleado por estos artistas, consistente en</p><p>yuxtaponer puntos de colores puros en vez de pinceladas sobre tela. Fue el resultado de los</p><p>estudios cromáticos llevados a cabo por Georges Seurat(1859-1891), pintor francés, quien en</p><p>1884 llegó a la división de tonos por la yuxtaposición de toques de colores que, mirados a cierta</p><p>distancia, crean en la retina las combinaciones deseadas.</p><p>«La Parade», pintura de Georges Seurat, contiene numerosos ejemplos de proporciones Doradas.</p><p>Un rectángulo dorado casi perfecto se halla comprendido entre los puntos A, B, C y D. Las</p><p>secciones doradas (es decir, las líneas divididas según la relación mística de 1 a 1,618) se</p><p>encuentran en las relaciones entre GF y FA, FE y EA, GH y HI.</p><p>8. Semejanza</p><p>8.1 Semejanza entre polígonos</p><p>Dos polígonos son semejantes si los ángulos correspondientes son iguales y los lados que</p><p>comprenden ángulos iguales son proporcionales.</p><p>ABCDE ≈ A'B'C'D'E' si:</p><p>'ˆˆ AA ; 'ˆˆ BB ; 'ˆˆ CC ; 'ˆˆ DD y 'ˆˆ EE </p><p>r</p><p>AE</p><p>EA</p><p>ED</p><p>DE</p><p>DC</p><p>CD</p><p>CB</p><p>BC</p><p>BA</p><p>AB</p><p></p><p>''''''''''</p><p>Los elementos que se corresponden se llaman homólogos.</p><p>Se llama razón de semejanza r a la constante de proporcionalidad entre los lados homólogos.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>125</p><p>6,0</p><p>6,3</p><p>4,2</p><p>''</p><p>6,0</p><p>5,4</p><p>3</p><p>''</p><p>6,0</p><p>4,5</p><p>6,3</p><p>''</p><p>6,0</p><p>5,4</p><p>3</p><p>''</p><p>6,0</p><p>3</p><p>2</p><p>''</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>AE</p><p>EA</p><p>ED</p><p>DE</p><p>DC</p><p>CD</p><p>CB</p><p>BC</p><p>BA</p><p>AB</p><p>Ejemplo 1</p><p>Datos</p><p>cmEA</p><p>cmDE</p><p>cmCD</p><p>cmBC</p><p>cmAB</p><p>4,2</p><p>3</p><p>6,3</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>y</p><p>cmAE</p><p>cmED</p><p>cmDC</p><p>cmCB</p><p>cmBA</p><p>6,3</p><p>5,4</p><p>4,5</p><p>5,4</p><p>3''</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados,</p><p>la podemos calcular con la siguiente fórmula:</p><p> 2º180 nSAI</p><p>Como la suma de los ángulos interiores de un polígono de 5 lados es 540º y en el ABCDE , los</p><p>cuatro ángulos que se conocen suman 420º, se tiene que el ángulo º120ˆ A .</p><p>En el polígono ''''' EDCBA , de igual modo, se tiene que el ángulo º104'ˆ B .</p><p>Comparando los ángulos se tiene que:</p><p>º112'ˆˆ</p><p>º96'ˆˆ</p><p>º108'ˆˆ</p><p>º104'ˆˆ</p><p>º120'ˆˆ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>EE</p><p>DD</p><p>CC</p><p>BB</p><p>AA</p><p>Luego, comparando los respectivos lados se puede ver que:</p><p>La constante de proporcionalidad (razón de semejanza) entre los lados</p><p>de ambos polígonos es</p><p>3</p><p>2</p><p>6,0 </p><p></p><p>, lo que significa que : el lado AB es</p><p>3</p><p>2</p><p>de '' BA , o lo que es lo mismo que decir que '' BA es</p><p>2</p><p>3</p><p>de AB .</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>126</p><p>Ejemplo 2</p><p>Los polígonos regulares son semejantes entre sí.</p><p>Los polígonos regulares tienen todos sus ángulos iguales entre si, por lo tanto si se comparan dos</p><p>polígonos regulares de igual cantidad de lados, siempre resultarán semejantes dado que se</p><p>cumple la igualdad entre sus ángulos, siendo la constante de proporcionalidad la razón entre sus</p><p>lados.</p><p>Ejemplo 3</p><p>Dados los triángulos ABC y A’B'C'. Sabiendo que ''// BCCB se va a calcular el valor desconocido</p><p>de x.</p><p>Como los dos triángulos tienen los lados CB y '' BC paralelos, se puede asegurar que tendrán</p><p>todos</p><p>sus ángulos iguales:</p><p> es común a ambos triángulos.</p><p>'ˆˆ CC y 'ˆˆ BB ya que tienen sus lados respectivamente paralelos.</p><p>Luego, estos triángulos son semejantes y se puede plantear:</p><p> </p><p>9</p><p>10</p><p>90</p><p>90109061615.616</p><p>16</p><p>6</p><p>15''</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xx</p><p>xxxxx</p><p>x</p><p>x</p><p>AC</p><p>AC</p><p>AB</p><p>AB</p><p>Resolviendo la ecuación resulta que AB =9 .</p><p>8.2 Relaciones entre los polígonos semejantes.</p><p>8.2.1 Razón de los perímetros de dos polígonos (figuras) semejantes.</p><p>La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de semejanza.</p><p>Sean los polígonos semejantes ABCD y A’B’C’D’ y sea r la razón de semejanza.</p><p>Entonces:</p><p>r</p><p>d</p><p>d</p><p>c</p><p>c</p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p></p><p>''''</p><p>r</p><p>dcba</p><p>dcbar</p><p>dcba</p><p>dcba</p><p>DCBAperímetro</p><p>ABCDperímetro</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>''''</p><p>)''''(</p><p>''''''''</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>127</p><p>Esta relación es cierta para cualquier par de segmentos homólogos que se tomen sobre los</p><p>polígonos semejantes. Por ejemplo, las diagonales de dos cuadrados son semejantes y tienen la</p><p>misma razón de semejanza que la de los lados de dichos cuadrados.</p><p>Ejemplo</p><p>Sean ABCD y A’B’C’D’ dos cuadriláteros semejantes (todos sus lados son paralelos, por lo tanto,</p><p>todos sus ángulos son iguales).</p><p>Sabiendo que la razón de semejanza 5,0r y que:</p><p>cmDA</p><p>cmCD</p><p>cmBC</p><p>cmAB</p><p>5,1</p><p>9,1</p><p>7,1</p><p>8,2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Se puede conocer la longitud de cada lado del polígono A’B’C’D’, de la siguiente manera:</p><p>cmBABAcm</p><p>cm</p><p>BA</p><p>r</p><p>AB</p><p>BA</p><p>4,1''''5,0.8,25,0</p><p>8,2</p><p>''''</p><p></p><p>De igual manera:</p><p>cmCBCBcm 85,0''''5,0.7,1 </p><p>cmDCDCcm 95,0''''5,0.9,1 </p><p>cmADADcm 75,0''''5,0.5,1 </p><p>Luego, se puede calcular el perímetro de cada una de las figuras:</p><p>Perímetro ABCD = cmcmcmcmcm 9,75,19,17,18,2 </p><p>Perímetro A’B’C’D’= cmcmcmcmcm 95,375,095,085,04,1 </p><p>5,0</p><p>2</p><p>1</p><p>9,7</p><p>95,3''''</p><p>2</p><p>95,3</p><p>9,7</p><p>''''</p><p></p><p>cm</p><p>cm</p><p>ABCDperímetro</p><p>DCBAperímetro</p><p>cm</p><p>cm</p><p>DCBAperímetro</p><p>ABCDperímetro</p><p>8.2.2 Razón de las áreas de dos polígonos (figuras) semejantes.</p><p>La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de</p><p>semejanza.</p><p>Sean los rectángulos semejantes ABCD y A’B’C’D’</p><p>y sea r la razón de semejanza.</p><p>Entonces:</p><p>r</p><p>b</p><p>b</p><p>a</p><p>a</p><p></p><p>''</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>128</p><p>Resultando:</p><p>2</p><p>2 )())((''''''</p><p>r</p><p>ba</p><p>bar</p><p>ba</p><p>brar</p><p>ba</p><p>ba</p><p>ABCDArea</p><p>DCBAArea</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Ejemplo</p><p>Dos triángulos semejantes tienen una superficie de 20 2cm y 30 2cm respectivamente.</p><p>La razón de sus áreas es:</p><p>20</p><p>30'''</p><p></p><p>ABCarea</p><p>CBAarea</p><p>Por lo tanto, 22,1</p><p>2</p><p>3</p><p>20</p><p>302 rrr</p><p>Entonces, la razón de semejanza de los dos triángulos es aproximadamente 1,22.</p><p>8.3 Problemas resueltos</p><p>Problema 1</p><p>En un triángulo isósceles ABC se conoce la medida del lado desigual BC=80cm y el radio de la</p><p>circunferencia inscripta en él, r=24cm. Calcular el área del triángulo ABC y la medida de los lados</p><p>iguales.</p><p>Resolución:</p><p>Se realiza, en primer lugar, una figura de análisis para ubicar los datos (Dibujo 1).</p><p>En el dibujo 2 se pueden observar dos triángulos AEB y ADO. Estos dos triángulos son</p><p>semejantes puesto que:</p><p>1º) son triángulos rectángulos.</p><p>2º) porque el ángulo EAB, es común a ambos triángulos.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>129</p><p>Llamando x a la altura del triángulo AEB correspondiente al lado se tiene:</p><p>24OA x .</p><p>A partir del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo AEB, se puede calcular el lado AB:</p><p>2 2( ) 40h med AB x (1)</p><p>Por semejanza de triángulos, sus lados homólogos son proporcionales:</p><p>cateto menor 1° triángulo hipotenusa 1° triángulo</p><p>cateto menor 2° triángulo hipotenusa 2° triángulo</p><p></p><p>En el problema:</p><p>2 240 40</p><p>24 24</p><p>x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p>Para resolver ésta ecuación primero se puede simplificar y luego elevar al cuadrado:</p><p> </p><p>2 2 2 2 2</p><p>22</p><p>5 40 5 40</p><p>3 24 3 24</p><p>x x</p><p>x x</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> 2 225 48 576 9 1600x x x </p><p> 2 2 225 1200 14400 14400 9 16 1200 0 16 1200 0x x x x x x x </p><p>En esta última ecuación hay dos soluciones:</p><p>x = 0 (que no tiene sentido en el problema)</p><p>ó</p><p>16x-1200 = 0 (es decir, x = 75 cm.)</p><p>Reemplazando el valor de x = 75 cm, en la ecuación (1), se obtiene h= 85 cm.</p><p>Luego, los lados iguales miden 85 cm por coincidir con la hipotenusa antes calculada y la altura (a</p><p>la que se llamó x) mide 75 cm. Finalmente se calcula el área del triángulo dado:</p><p>280 75</p><p>Área del triángulo= 3000</p><p>2 2</p><p>base x altura x</p><p>cm </p><p>Rta: la medida de los lados iguales es 85 cm y el área 3000 centrimetros cuadrados.</p><p>EB</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL</p><p>RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>130</p><p>Problema 2</p><p>Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular recto</p><p>de aristas básicas 0,24 m y 1,4 dm respectivamente y de altura de la cara lateral 13cm.</p><p>Resolución</p><p>Primero se deben transformar las cantidades a la misma unidad. Así obtenemos las medidas</p><p>de las aristas de las bases: 24 cm y 14 cm.</p><p>Aplicando Pitágoras se calcula la altura del tronco</p><p>de pirámide.</p><p>2 2 213 5 169 25 12h h cm </p><p>Luego, se puede calcular el área lateral, sabiendo que sus caras laterales son trapecios:</p><p>Como el área de las bases son 576 cm2 y 196 cm2, se tendrá como área total:</p><p>Finalmente, se puede calcular el volumen como la diferencia entre los volúmenes de dos</p><p>pirámides: la de altura H y la de altura H-h.</p><p>En primer lugar, se debe calcular H:</p><p>Por formarse triángulos semejantes sus lados homólogos son proporcionales:</p><p>12 144</p><p>28,8</p><p>12 5 12 5 5</p><p>H h H</p><p>H cm </p><p>( ) 224 14 .13</p><p>.4 988</p><p>2</p><p>L</p><p>cm cm cm</p><p>A cm</p><p>+</p><p>= =</p><p>2 2 2 2988 576 196 1760TA cm cm cm cm= + + =</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>131</p><p>Luego, el volumen es:</p><p> 3</p><p>supsup 576 28,8 196 (28,8 12)</p><p>4432</p><p>3 3 3 3</p><p>MEMA</p><p>base x H hbase x H x x</p><p>V cm</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>Rta: área lateral es de 988 cm2, el área total es de 1760 cm2 y el volumen es de 4432cm3.</p><p>Problema 3</p><p>Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de</p><p>cono recto de radios 6 y 2 cm, y cuya altura mide 10 cm.</p><p>Resolución</p><p>Se necesita trabajar con el cono total:</p><p>Cálculo de la altura H</p><p>Por formarse triángulos semejantes sus lados homólogos son proporcionales, entonces:</p><p>10 60</p><p>15</p><p>6 4 4</p><p>H</p><p>H cm </p><p>Cálculo de las generatrices G y g</p><p>2 2 215 6 261 16,15G g cm </p><p>2 2 210 4 116 10,77g g cm </p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>132</p><p>Cálculo del área lateral</p><p>Se restan las áreas laterales del cono recto de altura H y del cono de altura H-10, es decir:</p><p> 2( ) 6 16,15 2 5,38 270,62LA RG r G g cm </p><p>Cálculo del área total</p><p> </p><p>2 22 2 26 2 270,62 125,66 270,62 396,28T LA R r A cm </p><p> </p><p>Cálculo del volumen</p><p>Se restan los volúmenes del cono recto de altura H y el volumen del cono recto de altura H-10.</p><p> </p><p>2 2</p><p>3</p><p>sup(base menor) H-10 6 15 2 5sup(base mayor)H</p><p>544,54</p><p>3 3 3 3</p><p>V cm</p><p> </p><p> </p><p>Rta: el área lateral es 270,62 cm2, el área total es 396,28 cm2 y el volumen es 544,54 cm3.</p><p>9. Escala</p><p>A veces no es posible o no es conveniente dibujar un objeto en tamaño real. Por ejemplo, en la</p><p>construcción de planos y mapas interesa obtener figuras con las mismas formas que las reales</p><p>pero con medidas ampliadas o reducidas, o sea figuras semejantes. En tales casos la razón de</p><p>semejanza se llama escala.</p><p>La escala puede ser de ampliación o de reducción. En topografía, arquitectura, cartografía…</p><p>normalmente se utilizan escalas de reducción, debido a que las dimensiones medidas en los</p><p>relevamientos son mucho mayores que el tamaño del papel donde se va a dibujar el objeto</p><p>medido. En mediciones de objetos diminutos, se emplean escala de ampliación o de aumento.</p><p>En símbolos:</p><p>real longitud</p><p>dibujo del longitud</p><p></p><p>L</p><p>l</p><p>e</p><p>Ejemplos</p><p>1) Si se tiene la escala e = 1/50 , significa que: 1 u. en el dibujo ---- 50 u. en la realidad.</p><p>Esto puede interpretarse como: 1cm en el dibujo ---------------- 50cm en la realidad</p><p>ó como: 1m en el dibujo ----------------50m en la realidad</p><p>Según esta escala, un cuadrado de lado 1m, quedaría representado así:</p><p>50</p><p>1</p><p>e</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>133</p><p>Si se utiliza otra escala para representar el mismo cuadrado, se tendrían, por ejemplo, las</p><p>siguientes representaciones:</p><p>100</p><p>1</p><p>e</p><p>2) Si en la elaboración de un mapa de América se quiere representar 10 km de la realidad con</p><p>1cm en el mapa, entonces la escala utilizada será:</p><p>1000000</p><p>1</p><p>1000000</p><p>1</p><p>real longitud</p><p>dibujo del longitud</p><p></p><p>cm</p><p>cm</p><p>L</p><p>l</p><p>e</p><p>1000000</p><p>1</p><p> e</p><p>Con ésta escala dos ciudades cuya distancia entre ellas esté representada en el mapa por 2,5</p><p>cm, estarán en la realidad a una distancia de:</p><p>kmcmcmL</p><p>L</p><p>cm</p><p>L</p><p>l</p><p>e 25250000010000005,2</p><p>5,2</p><p>1000000</p><p>1</p><p></p><p>3) Si en un esquema un segmento de 3,25 cm representa en la realidad una longitud de 5,85m,</p><p>la escala utilizada es:</p><p>180</p><p>1</p><p>85,5</p><p>0325,0</p><p>real longitud</p><p>dibujo del longitud</p><p>0325,0</p><p>85,5</p><p>0325,0</p><p>0325,0</p><p></p><p>m</p><p>m</p><p>L</p><p>l</p><p>e</p><p>180</p><p>1</p><p> e</p><p>4) Si el diseño de un afiche está realizado en una escala 1:24 y su altura en él es de 5cm, la</p><p>altura real del afiche será:</p><p>mcmcmL</p><p>L</p><p>cm</p><p>L</p><p>l</p><p>e 20,1120245</p><p>5</p><p>24</p><p>1</p><p></p><p>25</p><p>1</p><p>e</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>134</p><p>TRABAJO PRÁCTICO</p><p>1- El perímetro de un rectángulo es 128 cm y la razón entre la medida de sus lados es 5:3.</p><p>Calcula su área. Rta: 960cm2</p><p>2- Si una persona de 1,75 m de altura proyecta una sombra de 1,25 m de longitud, calcula la</p><p>altura de un árbol que, en el mismo instante, proyecta una sombra de 12 m. Rta: 16,80</p><p>m</p><p>3- Se tienen dos tanques de agua con 35 y 25 litros ¿cuántos litros se deberán pasar del</p><p>primero al segundo, para que la razón entre los litros que quedan en el primero y en el</p><p>segundo sea</p><p>7</p><p>5</p><p>. Rta: 10 litros</p><p>4- Hallar los lados de un triángulo isósceles de 60cm de perímetro sabiendo que la razón entre</p><p>uno de los lados iguales y la base es de 5 a 2. Rta. 25, 25, 10</p><p>5- Un triángulo tiene 33cm de perímetro y es semejante a otros cuyos lados son 2cm, 4cm y</p><p>5cm. ¿Cuáles son las dimensiones del triángulos? Rta. 6,12 y 15</p><p>6- Un rectángulo de área igual a 12 cm2 se inscribe en un triángulo rectángulo como lo indica</p><p>la figura (catetos 8 cm y 6 cm) ¿Cuáles son sus dimensiones? Rta: 4cm x 3cm</p><p>7- Dado un segmento de 20cm, dividirlo en dos partes cuyas longitudes estén en la razón 2/3.</p><p>Rta. 8cm y 12cm</p><p>8- Dado un segmento de 8cm, aplicar las construcciones geométricas para obtener los</p><p>dos segmentos áureos posibles a partir de él.</p><p>9- Construir los dos rectángulos dorados de base 4cm.</p><p>10- Calcular las alturas de los rectángulos de base 50cm para que cumplan con la razón áurea.</p><p>Rta: 30,9cm y 80,9cm</p><p>11- Encontrar los catetos de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 1597 ,</p><p>sabiendo que la razón entre ellos es . Rta: 21 y 34</p><p>12- Sobre una pared de 4m de altura se desea construir un mural rectangular de 5,56m2</p><p>de superficie, cuyos lados estén en la razón áurea.</p><p>¿Qué dimensiones tendrá el mural? Rta: 1,854m x 3m</p><p>Trazar la base del mural en escala 1:60 y graficar el rectángulo dorado empleando</p><p>la construcción geométrica correspondiente.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>135</p><p>13- En el siguiente trapecio el rectángulo determinado,</p><p>es un rectángulo dorado de área 1456,23cm2.</p><p>Si la base mayor del trapecio mide 53cm, calcular el perímetro del mismo.</p><p>Rta: 161,86 cm</p><p>14- Calcular las dimensiones de un terreno rectangular cuyo perímetro es de 168m y sus lados</p><p>están en la relación áurea. Rta: 52m y 32m</p><p>15- Los griegos crearon su arquitectura y su escultura</p><p>componiendo en proporciones áureas. La relación áurea les</p><p>resolvía y facilitaba la solución al viejo y eterno problema de las</p><p>proporciones armónicas.</p><p>El portalanza, o Doríforo, es obra de Policleto; (S.V.a.C.) a</p><p>quien se la atribuye la autoría de un célebre tratado sobre las</p><p>proporciones del cuerpo humano, actualmente perdido.</p><p>Tomando como referencia las líneas indicadas, comprobar</p><p>geométricamente que el ombligo se encuentra en el punto de la</p><p>sección áurea de la altura total; y el mentón en el punto de la</p><p>sección áurea de la altura a partir del ombligo.</p><p>16- En la Afrodita de Cirene, se pueden reconocer relaciones de</p><p>longitud armoniosas. Tomando como referencia las líneas indicadas, obtener las</p><p>construcciones geométricas para luego establecer las relaciones de distancias verticales</p><p>entre las partes del cuerpo señaladas.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>136</p><p>17- "El genio y la inocencia suelen obtener, por los misteriosos caminos del instinto, los</p><p>mismos resultados que la ciencia y la sabiduría." Ejemplo de esto es el siguiente cacharro</p><p>de barro cocido de los Acoma, tribu indígena americana. Teniendo en cuenta el gráfico del</p><p>mismo:</p><p>a) Indicar la escala utilizada. b) Analizar las relaciones en que puedan establecerse</p><p>entre sus dimensiones.</p><p>18- Hemos visto la construcción de triángulos isósceles áureos y triángulos rectángulos áureos.</p><p>Responder, si es posible construir un triángulo escaleno donde sus lados estén en relación</p><p>áurea; es decir, que los lados sean el mayor, el menor y el todo. Justificar.</p><p>19- Calcular los catetos de un triángulo rectángulo áureo de hipotenusa 15cm.</p><p>Rta: 12,77cm y 7,89cm</p><p>20- Mostrar la propiedad áurea del pentágono: La longitud de una de las diagonales de un</p><p>pentágono regular dividida por la longitud del lado nos da .</p><p>Para facilitar los cálculos suponer que la longitud del lado del pentágono es 1, por lo que se</p><p>tendrá que mostrar que la longitud de la diagonal, que simbolizamos con la letra x es, de</p><p>hecho. Para ello:</p><p> Deducir que los triángulos FAE y BDE son congruentes y que los triángulos FBD y</p><p>BDE son semejantes.</p><p> Encontrar una ecuación que se pueda resolver para obtener x= .</p><p>A</p><p>E D</p><p>B</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>x</p><p>F</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>137</p><p>21- Usando la propiedad áurea entre el lado y la diagonal de un pentágono regular. Construir un</p><p>pentágono regular de 5cm. de lado. Trazar la correspondiente pentalfa y determinar una</p><p>sucesión de pentágonos interiores con un vértice común.</p><p>22- a) Trazar un cuadrado. Complementarlo hacia la derecha formando un rectángulo áureo</p><p>mediante la construcción vista. Repetir este proceso hacia la izquierda. Verificar que el</p><p>rectángulo obtenido es un rectángulo 5 .</p><p>b) Utilizando el método de construcción del inciso anterior,</p><p>comprobar que la altura del portalanza, o Doríforo determina el</p><p>lado de un rectángulo 5 tomando como cuadrado base aquel</p><p>cuyo lado es el segmento determinado por las rodillas y el pecho.</p><p>23- Comprobar geométricamente que el rectángulo 9 es equivalente a tres cuadrados.</p><p>24- Si el revestimiento de un piso es un rectángulo armónico 3 , cuyo lado mayor mide 5,6</p><p>dam. Calcular el área sombreada (en cada esquina se recorta un cuarto de círculo).</p><p>Rta: 1445,68 m</p><p>2</p><p>25- Calcular la cantidad de piezas necesarias para revestir de piso a techo (descontando 7 cm</p><p>de zócalo) los tres muros que definen la envolvente de un local de planta rectangular en</p><p>proporción áurea. El lado menor mide 7,5 m, la altura del muro es de 3,5 m y la dimensión</p><p>de cada pieza cerámica es de 60cm x 60cm. Rta: 303 piezas</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>138</p><p>26- Realizar el análisis de la siguiente obra de Piet Mondrián. Para ello se sugiere</p><p>colocar una hoja de papel vegetal en donde se harán las construcciones en lápiz. El</p><p>objetivo de este análisis es identificar: cuadrados, rectángulos áureos y rectángulos</p><p>armónicos presentes en la obra.</p><p>27- Empleando un formato de 20 cm por 25 cm realizar una composición comenzando con una</p><p>figura clave (cuadrado). Desarrollar proporciones y ritmos añadiendo nuevas</p><p>configuraciones a medida que la composición así lo requiera.</p><p>28- De las parejas de triángulos siguientes conocemos los lados, determinar cuáles son</p><p>semejantes y cuáles no lo son. En caso afirmativo indicar la razón de semejanza:</p><p>a) 40, 30, 50 120, 90, 150</p><p>b) 7, 7, 7 20, 20, 20</p><p>c) 50, 60, 70 6, 7, 8</p><p>d) 40, 60, 70 6, 9, 10</p><p>Rta: a) Si,</p><p>3</p><p>1</p><p>r b) Si,</p><p>20</p><p>7</p><p>r c) No d) No</p><p>29- Las parejas de triángulos siguientes son semejantes. Determinar en cada caso la razón de</p><p>semejanza y los valores desconocidos:</p><p>a) b)</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>139</p><p>c) d)</p><p>Rta: a)</p><p>3</p><p>2</p><p>r ; 3x ; 6y b)</p><p>7</p><p>4</p><p>r ; 7x ; 2y</p><p>c)</p><p>3</p><p>8</p><p>r ; 2,4x 375,3y d)</p><p>2</p><p>3</p><p>r ; 5,4x</p><p>3</p><p>10</p><p>y</p><p>30- Una persona mide 1,75 m. En el mismo instante en que la medida de la su sombra es 1m,</p><p>la sombra de un edificio es de 25 m. Calcular la altura del edificio. Rta: 43,75m</p><p>31- Un rectángulo tiene una diagonal de 75 cm. Calcular sus dimensiones sabiendo que es</p><p>semejante a otro rectángulo de lados 36 cm y 48 cm. Rta: 45cm x 60cm</p><p>32- Un chalet tiene forma rectangular (15 m de longitud y 10 de ancho). Se quiere hacer otro</p><p>chalet semejante que tenga 15 m de ancho.</p><p>a) Calcular la razón de semejanza.</p><p>b) Calcular el área del segundo chalet. Determinar la proporción de las áreas.</p><p>Rta : a)</p><p>2</p><p>3</p><p>r b) 337,5</p><p>2m y</p><p>4</p><p>92 r</p><p>33- De acuerdo a la figura, hallar las medidas respectivas de x, y y z. Las medidas están en</p><p>metros.</p><p>Rta: mx 6 ; my 52 y mz 2</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL RAZONES Y PROPORCIONES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>140</p><p>34- De un recipiente cónico que contiene líquido se conocen los datos (en centímetros)</p><p>consignados en el gráfico. Hallar la profundidad del recipiente.</p><p>Rta: 7,5cm</p><p>35- Un tronco de pirámide regular de 4m de altura tiene las bases cuadradas con lados de 3m y</p><p>5m. ¿Qué longitud tienen las aristas laterales del tronco de pirámide? y ¿Cuál las aristas</p><p>laterales de la pirámide total? Rta: aT = 18 m aP = 2,5 18 m</p><p>36- Los radios de las bases de un cono truncado miden 10 cm y 5 cm. Si su altura vale 20 cm,</p><p>hallar el área total y el volumen. Rta: At = 1364,189 cm2 V = 3657,3</p><p>37- En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de 5,4 cm y su distancia real es 432 km.</p><p>a) ¿En qué escala está construido el mapa? Rta: 1: 8.000.000</p><p>b) ¿A qué distancia están dibujadas dos ciudades, si su distancia real es de 680 km?</p><p>Rta: 8,5cm.</p><p>c) ¿Cuál es la distancia entre dos ciudades si están dibujadas en el mapa a una distancia</p><p>de 2,7 cm? Rta: 216 km.</p><p>38- Dibujar con una escala de 1:80 los rectángulos áureos de base 4,40m.</p><p>39- Dado el rectángulo (graficado), cuya base mide 3,4m:</p><p>a) Indicar la escala utilizada en el esquema.</p><p>b) Verificar geométricamente que es un rectángulo áureo.</p><p>c) Construir la espiral del rectángulo.</p><p>40- a) Calcular la medida de los lados iguales de un triángulo isósceles áureo (lado/base) cuyo</p><p>lado desigual (base) mide 1,6m.</p><p>b) Construir (con regla y compás) el triángulo del inciso anterior utilizando una escala de</p><p>1:40.</p><p>c) Generar la espiral correspondiente al triángulo dibujado.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL FRACTALES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>142</p><p>FRACTALES</p><p>Diseño fractal digital</p><p>Joyería</p><p>Impresión en 3D</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL FRACTALES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>143</p><p>¿Qué es un fractal?</p><p>Según Mandelbrot, un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura</p><p>básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término</p><p>fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975 y deriva del</p><p>latín fractus, que significa quebrado o fracturado.</p><p>Si bien no hay una definición acabada de fractal podemos decir en otras</p><p>palabras, que es la repetición de un proceso geométrico elemental que da</p><p>lugar a una estructura final de una complejidad extraordinaria e infinita. Es decir, da como</p><p>resultado un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso (por ser de longitud infinita).</p><p>A un objeto fractal se le atribuyen las siguientes características:</p><p> Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos euclidianos.</p><p> La autosemejanza a nivel morfológico, es decir, su forma es hecha de copias más</p><p>pequeñas de la misma figura. Las copias son similares al todo (misma forma pero diferente</p><p>tamaño).</p><p> Tienen estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo</p><p>observemos. Esto significa que a medida que nos introducimos en la figura fractal, se van</p><p>descubriendo detalles nuevos (aunque autosemejantes).</p><p>Maria Isabel Binimelis, en su libro escribe: “El conjunto Mandelbrot parece ser un fractal en</p><p>el sentido que hasta ahora hemos manejado... con estructuras que se repiten en todas las</p><p>escalas de observación. La realidad, sin embargo, es diferente. En cada ampliación las</p><p>estructuras que se repiten son cada vez más filamentosas, lo que nos permite saber en qué</p><p>escala estamos... Por eso se lo considera casi autosimilar”.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL FRACTALES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>144</p><p>Un poco de historia</p><p>Los fractales deben su origen al francés Henri Poincaré (1854-1912).</p><p>Sus ideas fueron tomadas, más tarde por dos matemáticos, también</p><p>franceses: Gastón Julia y Pierre Fatou, hacia 1918.</p><p>Quizás uno de los ejemplos más representativos sea la curva construida por el matemático sueco</p><p>Helge von Koch en 1904. Para dibujarla basta tomar un triángulo equilátero como figura inicial</p><p>(Figura a) y añadir en el centro de cada uno de sus lados un nuevo triángulo equilátero tres veces</p><p>más pequeño que el original (Figura b). Repitiendo indefinidamente este proceso (Figura c y d) se</p><p>obtiene la curva o copo de nieve de Koch.</p><p>Hubo un paréntesis en el estudio de los fractales, que fue renovado a partir de 1974 en IBM y fue</p><p>fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital.</p><p>En realidad, el término fractal fue acuñado en 1975 por el Dr. Benoit Mandelbrot, de la Universidad</p><p>de Yale, a quien se considera el padre de la geometría fractal. Su trabajo, que mostraba diversas</p><p>variantes del conjunto que hoy lleva su nombre, fue publicado el 26 de diciembre de 1980.</p><p>Fractales y naturaleza</p><p>Las leyes naturales a veces se comportan de una manera determinista y</p><p>caótica, por lo tanto un ligero cambio en la naturaleza en un lugar de la</p><p>Tierra puede tener consecuencias previsibles pero indeterminadas.</p><p>Lo que hoy conocemos como geometría fractal, es una parte de la</p><p>matemática que se encarga de encontrar un orden y una regla en ese caos</p><p>natural.</p><p>Muchas estructuras naturales son de tipo fractal, hay muchos objetos de la naturaleza que, debido</p><p>a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan:</p><p>las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. En lo que se diferencian de los fractales</p><p>matemáticos es que éstos últimos son entidades infinitas.</p><p>La aparición de los fractales originó una geometría que</p><p>puede describir el universo en perpetuo cambio.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL FRACTALES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>145</p><p>Geometría fractal</p><p>La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc) ha obligado</p><p>a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos</p><p>geométricos clásicos (de la geometría euclidiana). Dado que un fractal</p><p>está constituido por elementos cada vez más pequeños, repetidos una y</p><p>otra vez. Por más que queramos medir una línea fractal (longitud,</p><p>perímetro) siempre habrá objetos más pequeños que escaparán a la</p><p>sensibilidad de los instrumentos que utilicemos, por precisos que sean.</p><p>Iteraciones geométricas</p><p>Iteración significa repetir un proceso varias veces, con el objetivo de alcanzar una meta deseada,</p><p>objetivo o resultado. Cada repetición del proceso se denomina "iteración", y los resultados de una</p><p>iteración se utilizan como punto de partida para la siguiente iteración. En matemática este</p><p>proceso</p><p>es casi siempre la aplicación de una función o la repetición de una construcción geométrica.</p><p>En el gráfico se pueden observar las</p><p>tres primeras iteraciones del conjunto</p><p>de Besicovitch tomadas de “Aventuras</p><p>matemáticas”, Guzmán, M. Pirámide,</p><p>Madrid, 1995, pág. 225.</p><p>Ejemplos de fractales</p><p>Existen muchos fractales que se pueden obtener mediante un proceso geométrico euclídeo.</p><p>Algunos de ellos son:</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL FRACTALES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>146</p><p>Triángulo de Sierpinski</p><p>Tapiz de Sierpinski</p><p>Pirámide de Sierpinski</p><p>Dragón Curva de Peano Curva de Von Koch</p><p>Conjunto de Mandelbrot Conjunto de Julia Árbol pitagórico</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL FRACTALES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>147</p><p>Otros fractales con representaciones tridimensionales</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL FRACTALES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>148</p><p>TRABAJO PRÁCTICO</p><p>1) Un segmento rectilíneo de longitud 1 se divide en tres partes iguales. Se elimina la parte</p><p>central. Cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes</p><p>centrales. Se repite el proceso infinitas veces.</p><p>Fase 0</p><p>Fase 1</p><p>Fase 2</p><p>Fase 3</p><p>Fase 4</p><p>a) Completar la fase 3 y la fase 4</p><p>b) Completar las siguientes tablas</p><p>Fase</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>n</p><p>Cantidad de</p><p>segmentos</p><p>fase</p><p>Cantidad de segmentos</p><p>Longitud</p><p>0</p><p>1 1</p><p>1</p><p>2</p><p>11 2</p><p>.2 (2/3)</p><p>3 3</p><p> </p><p>2</p><p>4</p><p>21 4</p><p>.4 (2/3)</p><p>9 9</p><p> </p><p>3</p><p>8 ........</p><p>4</p><p>....... ........</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL FRACTALES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>149</p><p>¿ Cuál es la longitud en la fase 10?</p><p>…........................................................................................................</p><p>¿ Y en la fase 100?</p><p>…........................................................................................................</p><p>A medida que avanzamos en las fases, que pasa con la longitud del fractal, ¿qué va a pasar</p><p>haciendo el proceso hacia el infinito?</p><p>…........................................................................................................</p><p>Lo que queda finalmente, son segmentos muy cortos con muchos agujeros, esto es el Conjunto de</p><p>Cantor, un conjunto curioso que aún siendo de longitud nula, tiene tantos puntos como todo el</p><p>espacio tridimensional y tiene tal estructura que cada una de sus partes observada con una lente</p><p>de aumento adecuada reproduce en cierto sentido el conjunto total.</p><p>Fuente: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/65/ideas_03.php</p><p>2) Proceso geométrico para obtener el triángulo de Sierpinski.</p><p>En la fase 0 construir un triángulo equilátero de 16 cm de lado. Unir los puntos medios de cada</p><p>lado. Quedarán determinados 4 triángulos equiláteros. Sombrear el triángulo central. Repetir el</p><p>procedimiento en los otros tres triángulos no sombreados. Realizar dos iteraciones más.</p><p>Realizarlo en papel o con algún software (por ejemplo, geogebra).</p><p>3) Considerar el triángulo de Sierpinski del ejercicio anterior. Supongamos que en la fase 0 el</p><p>triángulo inicial tiene área A.</p><p>Cantidad de triángulos</p><p>Área</p><p>0 1 A</p><p>1</p><p>3 1</p><p>3 3</p><p>3. . .</p><p>4 4 4</p><p>A</p><p>A A</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>2</p><p>9 2</p><p>9 3</p><p>3.3. . .</p><p>1616 4</p><p>A</p><p>A A</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>3</p><p>4</p><p>a) Completar la tabla con el área total de cada fase.</p><p>b) ¿Cuál será el área para la fase 10, y para la fase “n”?</p><p>c) A medida que avanzamos en las fases, que pasa con el área del fractal, ¿qué va a pasar</p><p>haciendo el proceso infinitas veces?</p><p>http://www.sinewton.org/numeros/numeros/65/ideas_03.php</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL FRACTALES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>150</p><p>4) Inventar un fractal. Plantear en la fase 0 una forma básica geométrica euclídea, y luego según</p><p>un criterio que determines, realiza las sucesivas fases.</p><p>Lo importante es encontrar transformaciones que produzcan figuras interesantes.</p><p>5) Encontrar el proceso generativo del siguiente árbol pitagórico.</p><p>6) Realiza 3 iteraciones de la curva de Koch, partiendo de un triángulo equilátero cuyo perímetro</p><p>es 15cm.</p><p>a) Calcula el perímetro de la curva obtenida en forma analítica.</p><p>b) Completa : El área de la curva de Koch (copo de nieve), a medida que la cantidad de</p><p>iteraciones tiende a infinito en el triángulo dado, no va a ser mayor que …………. cm2 ni</p><p>menor que …… cm2</p><p>Bibliografía</p><p>*Aguilera, N. (1995). Un paseo por el jardín de los fractales. Red Olímpica.Buenos Aires.</p><p>Argentina.</p><p>*Binimelis, M. I.(2011).Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal. RBA libros.</p><p>Barcelona. España.</p><p>*Moisset, I. (2003).Fractales y formas arquitectónicas. i+p división editorial. Córdoba. Argentina.</p><p>*Oviedo, L y otros (2005). Fractales: un universo poco frecuentado. Universidad Nacional del</p><p>litoral. Santa Fe. Argentina.</p><p>*Peigen, HO y otros (1992). Chaos and fractals. New frontiers of science. Springer-Verlag New</p><p>York, Inc. EEUU.</p><p>*Spinadel, V y otros (1993). Geometría fractal. Nueva librería SRL. Buenos Aires. Argentina.</p><p>*http://www.sectormatematica.cl/fractales.html</p><p>*http://apophysis.deviantart.com/art/glowing-waterlily-264197481</p><p>*http://www.sinewton.org/numeros/numeros/65/ideas_03.php</p><p>http://www.sectormatematica.cl/fractales.html</p><p>http://apophysis.deviantart.com/art/glowing-waterlily-264197481</p><p>http://www.sinewton.org/numeros/numeros/65/ideas_03.php</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL FRACTALES</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>151</p><p>*http://usuarios.multimania.es/sisar/fractales/fractales.php</p><p>*http://html.rincondelvago.com/fractales.html</p><p>*http://gaussianos.com/%C2%BFque-es-el-conjunto-de-mandelbrot-historia-y-construccion/</p><p>*http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/htm/sec_5.htm</p><p>Videos y páginas interesantes</p><p>Fractales en la naturaleza</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=UUvyPmOYv4o</p><p>Ejemplos</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=YDhtL566M3U</p><p>http://www.enchgallery.com/fractals/fracthumbs.htm</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=SbdeNMZ5oqc</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=czVkT-JrXd0</p><p>En 3d o HD</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=Z1AXfKDI68Y</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=S530Vwa33G0</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=X5OGl7qsvCE</p><p>Simulador</p><p>http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/fractales/html/index.html</p><p>http://usuarios.multimania.es/sisar/fractales/fractales.php</p><p>http://html.rincondelvago.com/fractales.html</p><p>http://gaussianos.com/¿que-es-el-conjunto-de-mandelbrot-historia-y-construccion/</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=UUvyPmOYv4o</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=YDhtL566M3U</p><p>http://www.enchgallery.com/fractals/fracthumbs.htm</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=SbdeNMZ5oqc</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=czVkT-JrXd0</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=Z1AXfKDI68Y</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=S530Vwa33G0</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=X5OGl7qsvCE</p><p>http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/fractales/html/index.html</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA (LDCV)</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA APLICADA AL DISEÑO I (LDI)</p><p>CÁTEDRA DE</p><p>MATEMÁTICA</p><p>TRIGONOMETRÍA</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>151</p><p>TRIGONOMETRÍA</p><p>La trigonometría nació hacia el siglo II a. de C. con el intento de Hiparco de hacer de las</p><p>observaciones astronómicas un arte más exacto. Además desde los albores de la</p><p>humanidad existió la necesidad de levantar grandes templos, puentes, edificios, etc., para</p><p>cuya construcción se requería conocer ciertas relaciones entre los lados y los ángulos de un</p><p>triángulo; en esos casos la trigonometría ha resultado ser una herramienta muy valiosa al</p><p>igual que para la navegación, la agrimensura, la cartografía, que junto a otras, han sido</p><p>fuentes de motivación para su desarrollo.</p><p>Se pueden resolver muchos problemas sólo con consignar adecuadamente los datos</p><p>con que contamos en una figura tan sencilla como el triángulo, hacer y deshacer con sus</p><p>lados, ángulos y razones trigonométricas.</p><p>Si, por ejemplo, se necesitará conocer la altura de una torre, se podría medir el ángulo con</p><p>que se observa su punto más alto desde un lugar determinado, alejarse cierta distancia y</p><p>medir el ángulo de observación de ese mismo punto desde este nuevo lugar, ¿Qué figura de</p><p>análisis se podría utilizar? ¿Cómo quedaría planteado el cálculo de la altura de esa torre?</p><p>¿Con qué ángulos, además de los obtenidos experimentalmente, se puede contar?</p><p>Para poder resolver ésta y otras situaciones problemáticas es que se presentan en esta</p><p>unidad los sistemas de medición de ángulos y algunos conceptos de la trigonometría.</p><p>1. Ángulo orientado</p><p>Sea una semirrecta OA , si la misma se transforma por una rotación de centro O en la</p><p>semirrecta 'OA . Queda así determinado un ángulo orientado ˆ 'AOA , donde OA se llama</p><p>lado origen o posición inicial y 'OA lado libre o posición final.</p><p>ˆ 'AOA : ángulo con sentido positivo ˆ 'AOA : ángulo con sentido negativo</p><p>El ángulo se considera con sentido positivo si la rotación aplicada tiene sentido contrario al</p><p>movimiento de las agujas del reloj (figura 1).</p><p>El ángulo se considera con sentido negativo si la rotación aplicada tiene el mismo sentido</p><p>que el movimiento de las agujas del reloj (figura 2).</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>152</p><p>2. Ángulo en posición regular</p><p>Se llama ángulo en posición regular al ángulo orientado cuyo vértice coincide con el origen</p><p>de coordenadas y el lado origen con el semieje positivo de las abscisas( OX ).</p><p>El ángulo en posición regular, cuyo lado libre está incluido en alguno de los ejes</p><p>coordenados, se denomina ángulo cuadrantal.</p><p>̂ : ángulo en posición regular, orientado en sentido</p><p>positivo</p><p>̂ : ángulo en posición regular, orientado en sentido</p><p>negativo</p><p></p><p></p><p>: ángulo cuadrantal, orientado en sentido negativo</p><p>3. Sistemas de medición angular</p><p>3 . 1. Sistema sexagesimal</p><p>En este sistema se adopta como unidad de medida el ángulo de un grado sexagesimal, el</p><p>cual se define como el ángulo cuya cantidad de amplitud es la 360 ava parte del ángulo de</p><p>una revolución o giro, y se lo abrevia: 1°.</p><p>1 grado = 1° = 1revolución/360 1revolución = 360°</p><p>El grado admite como submúltiplos el minuto y el segundo sexagesimales. El minuto es la</p><p>60 ava parte del grado, se abrevia: 1' ; y el segundo es la 60 ava parte del minuto y se</p><p>abrevia: 1".</p><p>1 minuto = 1' = 1°/60 1° = 60'</p><p>1 segundo = 1" = 1'/60 1' = 60"</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>153</p><p>Ejemplos</p><p>Los siguientes son ejemplos de ángulos orientados en posición regular cuyas cantidades de</p><p>amplitud están expresadas en el sistema sexagesimal:</p><p>3. 2. Sistema circular o radianal</p><p>En este sistema se adopta como unidad el ángulo central que abarca un arco de</p><p>circunferencia de longitud igual al radio de dicha circunferencia. A esta unidad se la</p><p>denomina radián.</p><p>Puede demostrarse que en este sistema es: 1 revolución = 2 radianes. En efecto:</p><p>long. arco = radio ---------------------- radián1ˆ </p><p>long. circunf. = 2 . radio ------------ radianes</p><p>radio</p><p>radiánradio</p><p></p><p></p><p> 2</p><p>1..2</p><p>ˆ </p><p>Se observa además que en una circunferencia de radio r, un ángulo central de radianes</p><p>determina un arco de longitud:</p><p>En efecto:</p><p>Para un ángulo de 1 radián ------ L = r ( por definición de radián)</p><p>Para un ángulo de radianes -- L =</p><p>rad</p><p>radr</p><p>1</p><p>.</p><p>= r. </p><p>Se tendrá, entonces, que un ángulo central ̂ determinado por un arco de longitud L mide:</p><p>radianes</p><p>r</p><p>L</p><p>̂</p><p>L = r. ; ( en radianes)</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>154</p><p>Ejemplos</p><p>Los ángulos orientados en posición regular citados anteriormente como ejemplos en el</p><p>sistema sexagesimal quedan expresados en el sistema radianal de la siguiente manera:</p><p>adradrad r ˆ</p><p>6</p><p>ˆ</p><p>4</p><p>ˆ </p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>3. 3. Relación entre sistemas de medición</p><p>Se tiene que : 1 revol = 360 y 1 revol = 2 rad. 360 = 2 rad</p><p>Entonces: 1 =</p><p>360</p><p>2</p><p>rad , y de aquí:</p><p>Esta última igualdad permite el pasaje del sistema sexagesimal al radianal.</p><p>De igual manera: 2 rad = 360º entonces 1 rad =</p><p>2</p><p>3600</p><p>, y de aquí:</p><p>Esta última igualdad permite el pasaje del sistema radianal al sexagesimal.</p><p>Ejemplos</p><p>1) Pasaje del sistema sexagesimal al radianal</p><p>Si ̂ = 45º ̂ =</p><p>180</p><p>45</p><p></p><p>rad ̂ =</p><p>4</p><p></p><p>rad.</p><p>Si ̂ = - 30º ̂ = </p><p>180</p><p>30</p><p></p><p> rad ̂ =</p><p>6</p><p></p><p>rad</p><p>Si ̂ = 180º ̂ = </p><p>180</p><p>180</p><p></p><p>rad ̂ = rad</p><p>2) Pasaje del sistema radianal al sexagesimal</p><p>Si ̂ =</p><p>3</p><p>2</p><p>rad ̂ =</p><p></p><p> 0180</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ̂ = 120º.</p><p>Si ̂ =</p><p>5</p><p>3</p><p>rad ̂ =</p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 180</p><p>5</p><p>3</p><p> ̂ = - 108º.</p><p>1º = rad</p><p>180</p><p>360 1</p><p>8</p><p>0</p><p>1 rad = 180º</p><p></p><p>361 8</p><p>0</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>155</p><p>4. Ángulos congruentes</p><p>Dos ángulos ̂ y ̂ son congruentes sí y solo sí difieren en un número entero de giros. En</p><p>tal caso sus lados coinciden, y resulta:</p><p>̂ - ̂ = n . 360º = 2.n. , con n Z</p><p>Luego:</p><p>̂ = ̂ + n . 360º = ̂ + 2.n. , con n Z</p><p>Ejemplos</p><p>1) ̂ = 750º y ̂ = 30º son congruentes porque:</p><p>̂ - ̂ = 750º - 30º = 720º = 2 . 360º</p><p>2) ̂ = - 240º y ̂ = 120º son congruentes porque</p><p>̂ - ̂ = - 240º -120º = - 360º = ( - 1) . 360º</p><p>5. Razones trigonométricas</p><p>5 . 1. Definición</p><p>para ángulos agudos</p><p>Sea el ángulo agudo ̂ . Desde P, que es un punto cualquiera perteneciente al lado libre del</p><p>ángulo, se traza una perpendicular al lado inicial, formando así el triángulo rectángulo OQP</p><p></p><p>,</p><p>donde:</p><p>PQ : cateto opuesto al ángulo ̂</p><p>OQ : cateto adyacente al ángulo ̂</p><p>OP : hipotenusa del triángulo OQP</p><p>Teniendo en cuenta estos tres lados del triángulo rectángulo pueden establecerse las</p><p>siguientes razones (o relaciones), llamadas razones trigonométricas, que se designan:</p><p>seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>156</p><p>cateto opuesto PQ</p><p>ˆsen</p><p>hipotenusa OP</p><p> </p><p>hipotenusa OP</p><p>ˆcosec</p><p>cateto opuesto PQ</p><p> </p><p>cateto adyacente OQ</p><p>ˆcos</p><p>hipotenusa OP</p><p> </p><p>hipotenusa OP</p><p>ˆsec</p><p>cateto adyacente OQ</p><p> </p><p>cateto opuesto PQ</p><p>ˆtg</p><p>cateto adyacente OQ</p><p> </p><p>cateto adyacente OQ</p><p>ˆcotg</p><p>cateto opuesto PQ</p><p> </p><p>Observación</p><p>Estas razones dependen solamente de la cantidad de amplitud del ángulo considerado, es</p><p>decir, varían su valor únicamente al variar el ángulo. De esta manera, los valores de las seis</p><p>razones correspondientes a un mismo ángulo no se modifican cualquiera sea el punto que</p><p>se considere sobre el lado libre para trazar la perpendicular.</p><p>Ejemplo</p><p>Sea ̂ = 60°. Si OP = 4 cm, al trazar una perpendicular al lado inicial se tiene OQ = 2cm</p><p>y aplicando el teorema de Pitágoras podemos determinar la longitud de PQ .</p><p>2 2 2 2 2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>OP PQ OQ PQ OP OQ</p><p>PQ (4 ) (2 )</p><p>PQ 16 4</p><p>PQ 12</p><p>PQ</p><p>cm cm</p><p>cm cm</p><p>cm</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>12 cm. </p><p>Luego, los valores de las razones trigonométricas para ̂ = 60° son:</p><p>86603,0</p><p>cm 4</p><p>cm 12</p><p>60sen 15470,1</p><p>cm 12</p><p>cm 4</p><p>60 cosec </p><p>5,0</p><p>cm 4</p><p>cm 2</p><p>60 cos 2</p><p>cm 2</p><p>cm 4</p><p>60 sec </p><p>73205,1</p><p>cm 2</p><p>cm 12</p><p>60 tg 57735,0</p><p>cm 12</p><p>cm 2</p><p>60 cotg </p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>157</p><p>5 . 2. Definición para ángulos cualesquiera</p><p>Se considera en cada cuadrante un ángulo ̂ en posición regular. Sea P un punto</p><p>cualquiera perteneciente al lado libre del ángulo ̂ y sean (x, y) sus coordenadas. En todas</p><p>las figuras se verifica que: OQ = x (abscisa del punto P), PQ = y (ordenada del punto P) y</p><p>OP = r (radio).</p><p>Luego:</p><p>2 2 2 2 2</p><p>2 2OP PQ OQ OP r PQ OQ x y , r es siempre un número positivo.</p><p>ángulo del 1er.</p><p>Cuadrante</p><p>x>0</p><p>y>0</p><p>ángulo del 2do.</p><p>Cuadrante</p><p>x<0</p><p>y>0</p><p>ángulo del 3er.</p><p>Cuadrante</p><p>x<0</p><p>y<0</p><p>ángulo del 4to.</p><p>Cuadrante</p><p>x>0</p><p>y<0</p><p>Las razones trigonométricas quedarían en cada caso definidas por:</p><p>r</p><p>y</p><p>radio</p><p>ordenada</p><p>ˆ sen </p><p>y</p><p>r</p><p>ordenada</p><p>radio</p><p>ˆ cosec </p><p>r</p><p>x</p><p>radio</p><p>abscisa</p><p>ˆ cos </p><p>x</p><p>r</p><p>abscisa</p><p>radio</p><p>ˆ sec </p><p>x</p><p>y</p><p>abscisa</p><p>ordenada</p><p>ˆ tg </p><p>y</p><p>x</p><p>ordenada</p><p>abscisa</p><p>ˆ cotg </p><p>Observación</p><p>Estas razones aplicadas al ángulô del primer cuadrante, concuerdan con las dadas para</p><p>ángulos agudos.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>158</p><p>Ejemplo 1</p><p>Sea P(3, 4) un punto perteneciente al lado libre del ángulo regular positivo ̂ . Obtener los</p><p>valores de las razones trigonométricas correspondientes a dicho ángulo.</p><p>5</p><p>4</p><p>ˆ sen </p><p>r</p><p>y</p><p></p><p>4</p><p>5</p><p>ˆ cosec </p><p>y</p><p>r</p><p></p><p>5</p><p>3</p><p>ˆ cos </p><p>r</p><p>x</p><p></p><p>3</p><p>5</p><p>ˆ sec </p><p>x</p><p>r</p><p></p><p>3</p><p>4</p><p>ˆ tg </p><p>x</p><p>y</p><p></p><p>4</p><p>3</p><p>ˆ cotg </p><p>y</p><p>x</p><p></p><p>Nota</p><p>En algunos casos interesa determinar el valor del ángulo ̂ que verifica las igualdades</p><p>anteriores. Esto es posible planteando la relación inversa correspondiente a cualquiera de</p><p>ellas: arco seno, arco coseno, arco tangente, arco cosecante, arco secante y arco</p><p>cotangente. Estas relaciones permiten obtener la amplitud del ángulo ̂ a partir del valor de</p><p>las razones trigonométricas.</p><p>En el ejemplo:</p><p>sen ̂ = 4/5 ̂ = arc sen (4/5) ̂ = 53 7´ 48"</p><p>De igual forma, si se toma tg ̂ = 4/3 ̂ = arc tg (4/3) = 53 7´ 48"</p><p>Ejemplo 2</p><p>Sea P(-3, 4) un punto perteneciente al lado libre del ángulo regular positivo ̂ . Obtener los</p><p>valores de las razones trigonométricas correspondientes a dicho ángulo.</p><p>r r</p><p>r yx r</p><p>5169</p><p>43 2222</p><p></p><p></p><p>r r</p><p>)(- r yx r</p><p>5169</p><p>43 2222</p><p></p><p></p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>159</p><p>5</p><p>4</p><p>ˆ sen </p><p>r</p><p>y</p><p></p><p>4</p><p>5</p><p>ˆ cosec </p><p>y</p><p>r</p><p></p><p>5</p><p>3</p><p>ˆcos </p><p>r</p><p>x</p><p></p><p>5</p><p>ˆsec</p><p>3</p><p>r</p><p>x</p><p> </p><p>3</p><p>4</p><p>ˆ </p><p>x</p><p>y</p><p>tg </p><p>3</p><p>ˆcot</p><p>4</p><p>x</p><p>g</p><p>y</p><p> </p><p>Si se quiere calcular el valor del ángulo utilizando las relaciones inversas, se tendrá (con</p><p>calculadora):</p><p>sen ̂ = 4/5 ̂ = arc sen (4/5) ̂ = 53 7´ 48"</p><p>cos ̂ = -3/5 ̂ = arc cos (-3/5) ̂ = 126 52´ 12"</p><p>tg ̂ = 4/-3 ̂ = arc tg (-4/3) = -53 7´ 48"</p><p>Se observa que según sea la razón utilizada, cambia el ángulo obtenido. Como el ángulô</p><p>es un ángulo que pertenece al 2do cuadrante su amplitud es ̂ = 126 52´ 12".</p><p>¿Qué relación existe entre la amplitud de los otros dos ángulos hallados y la amplitud del</p><p>ángulo buscado?</p><p>Lo que se verá a continuación, nos permitirá responder este interrogante.</p><p>5. 3. Relaciones entre los valores de las razones trigonométricas: seno, coseno</p><p>y tangente de ángulos menores que un giro.</p><p>5. 3. 1. Ángulos suplementarios</p><p>Dados dos ángulos ̂ y ̂ = 180 -̂ (ángulos suplementarios). Se toman P y Q en los</p><p>lados libres de los ángulos ̂ y ̂ respectivamente, tal que: OP OQ r </p><p> ˆ180sen ˆ ˆ</p><p>r</p><p>y</p><p>sen</p><p>r</p><p>y</p><p>sen </p><p> ˆ180 tg ˆ ˆ</p><p>x</p><p>y</p><p>tg</p><p>x</p><p>y</p><p>tg</p><p></p><p> </p><p>Luego:</p><p> ˆ ˆ180 sensen </p><p> ˆ cos ˆ180 cos </p><p> ˆ )ˆ(180 tgtg </p><p>Lo que permite concluir que: dos ángulos suplementarios tienen el mismo valor para el</p><p>seno.</p><p> ˆ180cos ˆcos ˆcos</p><p>r</p><p>x</p><p>r</p><p>x </p><p> </p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>160</p><p>Ejemplo</p><p>Dado ̂ =45° y su suplementario ̂ = 180 - 45°=135°, se tiene, utilizando calculadora y</p><p>aproximando a la milésima, que:</p><p>7070135y 707045 , sen , sen </p><p>5. 3. 2. Ángulos que difieren en un llano</p><p>Dados dos ángulos ̂ y ̂ = 180 +̂ (ángulos que difieren en 180). Se</p><p>toman P y Q</p><p>en los lados libres de los ángulos ̂ y ̂ respectivamente,</p><p>tal que : OP OQ r </p><p> ˆ180sen ˆ ˆ</p><p>r</p><p>y</p><p>sen</p><p>r</p><p>y</p><p>sen</p><p></p><p> </p><p> ˆ180ˆ ˆ</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>α tg β tg</p><p>x</p><p>y</p><p>tg </p><p></p><p></p><p></p><p>Luego:</p><p> ˆ - ˆ180 sensen </p><p> ˆ cos- ˆ180 cos </p><p>αtg)αtg ( ˆˆ180 </p><p>Lo que permite concluir que: dos ángulos que difieren en un llano tienen el mismo valor</p><p>para la tangente.</p><p>Ejemplo</p><p>Dado ̂ =60° y el ángulo ̂ = 180 + 60°=240° que difiere en un llano con él, se tiene,</p><p>utilizando calculadora y aproximando a la milésima, que:</p><p>7321240732160 , tg y , tg </p><p>5. 3. 3. Ángulos opuestos</p><p>Dados dos ángulos ̂ y ̂ = -̂ (ángulos opuestos). Tomamos P y Q en los lados libres</p><p>de los ángulos ̂ y ̂ respectivamente, tal que:</p><p>OP OQ r </p><p> </p><p>r</p><p>y</p><p>α- sen β sen</p><p>r</p><p>y</p><p>sen</p><p></p><p> ˆˆ ˆ </p><p> ˆcosˆcos ˆ cos</p><p>r</p><p>x</p><p>α- β</p><p>r</p><p>x</p><p></p><p> ˆˆ ˆ</p><p>x</p><p>y</p><p>α- tg βtg</p><p>x</p><p>y</p><p>tg</p><p></p><p></p><p> ˆ180cos ˆcos ˆcos</p><p>r</p><p>x</p><p>r</p><p>x </p><p> </p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>161</p><p>Luego:</p><p> ˆ ˆ sensen </p><p> α α ˆcosˆcos </p><p> ˆ )ˆ( tgtg </p><p>Lo que permite concluir que: dos ángulos opuestos tienen el mismo valor para el</p><p>coseno.</p><p>Ejemplo</p><p>Dado ̂ =70° y su opuesto ̂ = - 70°, se tiene, utilizando calculadora y aproximando a la</p><p>milésima, que:</p><p>342070cosy 342070cos , ) (- , </p><p>Retomando el ejemplo 2 de la sección anterior.</p><p>Se había obtenido:</p><p>- sen ̂ = 4/5 ̂ = arc sen (4/5) ̂ = 53 7´ 48"</p><p>pero como el ángulo suplementario de ̂ = 53 7´ 48" tiene el mismo valor para el seno,</p><p>también es solución: '̂ =180°- 53 7´ 48"= 126°52’12” (ángulo que se buscaba)</p><p>- cos ̂ = -3/5 ̂ = arc cos (-3/5) ̂ = 126 52´ 12" (ángulo que se buscaba)</p><p>- tg ̂ = 4/-3 ̂ = arc tg (4/3) = -53 7´ 48"</p><p>pero como el ángulo que difiere en un llano de ̂ = -53 7´ 48" tiene el mismo valor para la</p><p>tangente, también es solución: '̂ =180°+(- 53 7´ 48")= 126°52’12” (ángulo que se</p><p>buscaba)</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>162</p><p>Ejemplos</p><p>1) Si sen̂ = 0,5 con la calculadora se obtiene: ̂ = 30, pero se debe tener en cuenta</p><p>que existen dos ángulos (suplementarios) que tienen el mismo valor del seno, es decir</p><p>̂ =30 y ̂ = 180 - 30= 150º.</p><p>2) Si coŝ = 0,35 en este caso las soluciones son: ̂ = 69 30´ 46" y su opuesto</p><p>̂ = - 69 30´ 46". En general se trabaja con ángulos positivos, por lo tanto se</p><p>considera como solución el congruente con ̂ orientado en sentido positivo, es decir:</p><p>̂ ´ = 360 - 69 30´ 46"= 290 29´14".</p><p>3) Si tg ̂ =1 las soluciones son ̂ =45º y el ángulo que difiere en un llano ̂ =225º.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>163</p><p>5. 4. Variación de las razones seno, coseno y tangente de un ángulo</p><p>Cualquiera sea el cuadrante al que pertenece un ángulo,</p><p>|x| e |y| son las medidas de los catetos de triángulos rectángulos y</p><p>r es la hipotenusa, luego las razones</p><p>r</p><p>y</p><p>e</p><p>r</p><p>x</p><p>son,</p><p>en valor absoluto menores que 1, porque cada cateto es menor</p><p>que la hipotenusa.</p><p>Además, como para los ángulos cuadrantales se tiene: sen0°=0, sen90 = 1, sen180°=0 y</p><p>sen270 = - 1, resulta que los valores del seno de cualquier ángulo están comprendidos</p><p>entre -1 y 1. Así:</p><p> 1 1,- sen , :decir es , 1 sen1 </p><p>Y como cos0°=1, cos90°=0, cos180 = -1 y cos270 = 0, resulta:</p><p> 1 1,- cos , :decir es , 1 cos1 </p><p>La tangente de un ángulo puede tomar cualquier valor real, porque cada cateto es mayor,</p><p>igual o menor que el otro cateto. Así:</p><p> ,tg:Zn ,90.12.n </p><p>5. 5. Relaciones entre los valores de las razones trigonométricas</p><p>correspondientes a un mismo ángulo</p><p>Sea el ángulo ̂ en posición regular. Se toma un punto P del lado libre del ángulo, de</p><p>coordenadas (x, y). Por definición de razones trigonométricas, se tiene:</p><p>r</p><p>y</p><p>ˆ sen </p><p>2</p><p>2</p><p>2 ˆ sen</p><p>r</p><p>y</p><p></p><p>r</p><p>x</p><p>ˆ cos </p><p>2</p><p>2</p><p>2 ˆ cos</p><p>r</p><p>x</p><p></p><p>Sumando miembro a miembro:</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>22 ˆcos ˆ sen</p><p>r</p><p>xy</p><p>r</p><p>x</p><p>r</p><p>y </p><p> </p><p>Por Pitágoras, resulta:</p><p>222 ryx 1 ˆcos ˆ sen</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>22 </p><p></p><p></p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>xy</p><p></p><p></p><p>x</p><p>y</p><p>o</p><p>p</p><p>x</p><p>y</p><p>r</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>164</p><p>1ˆcos ˆ sen 22 </p><p>Entonces:</p><p>RELACIÓN PITAGÓRICA</p><p>Pueden demostrarse además las siguientes relaciones:</p><p>1) </p><p></p><p></p><p>ˆtg</p><p>ˆcos</p><p>ˆsen</p><p> 2) </p><p></p><p></p><p>ˆcot</p><p>ˆsen</p><p>ˆcos</p><p>g 3)</p><p></p><p></p><p>ˆcos</p><p>1</p><p>ˆsec </p><p>4)</p><p></p><p></p><p>ˆsen</p><p>1</p><p>ˆcos ec 5)</p><p>ˆtg</p><p>1</p><p>ˆcot</p><p></p><p> g</p><p>Utilizando estas relaciones se pueden probar diversas identidades trigonométricas; que</p><p>son igualdades que se verifican para cualquier valor de las variables que contiene, siempre</p><p>que las expresiones estén definidas y las operaciones indicadas se puedan realizar.</p><p>Por ejemplo:</p><p> 22 sec1 tg , con 0cos .</p><p> 22 sec1 tg , se remplaza tg por su equivalente</p><p></p><p></p><p>cos</p><p>sen</p><p>.</p><p></p><p></p><p> 2</p><p>2</p><p>2</p><p>sec</p><p>cos</p><p>1 </p><p>sen</p><p>, se saca común denominador.</p><p></p><p></p><p> 2</p><p>2</p><p>22</p><p>sec</p><p>cos</p><p>cos</p><p></p><p> sen</p><p>, se remplaza la relación pitagórica.</p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>sec</p><p>cos</p><p>1</p><p> , por ultimo queda:</p><p> 22 secsec </p><p>De ésta manera queda verificada la identidad dada.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>165</p><p>6 - Resolución de triángulos</p><p>Resolver trigonométricamente un triángulo consiste en, dados algunos de sus elementos,</p><p>determinar cualquiera de aquellos que no se conocen.</p><p>Para dicha resolución podemos valernos de la aplicación de algunas de las propiedades ya</p><p>estudiadas y de los teoremas del SENO y del COSENO que se enuncian a continuación.</p><p>Teorema del seno</p><p>En todo triángulo el valor de los senos de sus ángulos interiores es proporcional a la</p><p>cantidad de longitud de los lados opuestos.</p><p>ˆ ˆˆsen sen sen</p><p>a b c</p><p> </p><p> </p><p>Teorema del coseno</p><p>En todo triángulo el cuadrado de la cantidad de longitud de uno de sus lados es igual a la</p><p>suma de los cuadrados de las cantidades de longitud de los otros dos lados, menos el doble</p><p>producto de las mismas por el coseno del ángulo comprendido.</p><p>2 2 2 ˆa</p><p>2</p><p>1</p><p>6</p><p>9</p><p>6</p><p>5</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x )(</p><p>Rta.: 2S</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>13</p><p>c)</p><p>4</p><p>3</p><p>8</p><p>4</p><p></p><p> x</p><p>Rta.:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>8</p><p>S</p><p>d)</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p></p><p></p><p> pp</p><p>Rta.: 0S</p><p>e) 221 )()( xxx</p><p>Rta.:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5</p><p>4</p><p>S</p><p>f) 0212 ))(( tt</p><p>Rta.:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 2.</p><p>2</p><p>1</p><p>S</p><p>g)</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>15</p><p>7</p><p>)5(3</p><p>4 </p><p></p><p></p><p>Rta: Identidad. 0 RS</p><p>h)</p><p>22</p><p>2 1321</p><p>xxx</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Rta.: S </p><p>i)</p><p>9</p><p>43</p><p>33 2 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>Rta.:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>9</p><p>4</p><p>S</p><p>j)</p><p>584</p><p>44</p><p>12</p><p>4</p><p>52</p><p>1</p><p>2 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> xx</p><p>x</p><p>xx</p><p>Rta.: S </p><p>k) 4242 23 xxx Rta.: 1,1,2 S</p><p>l) 03 xx Rta.: 0S</p><p>m) 0132 23 xx</p><p>Rta.:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 1,</p><p>2</p><p>1</p><p>S</p><p>n)</p><p>23 11446 xxx </p><p>Rta.:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>2</p><p>,</p><p>2</p><p>1</p><p>,2S</p><p>o) 05117 23 xxx Rta.: 5,1S</p><p>p) 8126 23 xxx Rta.: 2S</p><p>q) 633 33 xx )( Rta.: 4,1S</p><p>r) 01201427 24 xxx Rta.: 5,4,3,2 S</p><p>s) 071232 234 zzzz</p><p>Rta.:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>7</p><p>,1 ,0S</p><p>t) 31 x Rta.: S </p><p>u) 112 xx Rta.: 4S</p><p>v) 737 xx Rta.: 3S</p><p>w) 32 yy</p><p>Rta.:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>36</p><p>49</p><p>S</p><p>x) 61212 2121 // )()( xx Rta.: 3S</p><p>y) 5</p><p>2</p><p>2 </p><p>x</p><p>x</p><p>Rta.:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>1</p><p>,4S</p><p>z)</p><p>5</p><p>6</p><p>328</p><p>28</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>xx</p><p>x</p><p>Rta.: 1S</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>14</p><p>aa)</p><p>34</p><p>1</p><p>342</p><p></p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>Rta.: 1S</p><p>bb)</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>x</p><p></p><p></p><p>Rta: 1,2S</p><p>cc)</p><p>2</p><p>3</p><p>8</p><p>43</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xx</p><p>x</p><p>Rta.:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>4</p><p>S</p><p>dd)</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x 2</p><p>2</p><p>4</p><p>4 2</p><p>2</p><p></p><p>Rta.: 2,2S</p><p>ee)</p><p>82</p><p>612</p><p>2</p><p>18</p><p>2</p><p>15</p><p>2 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> X</p><p>X</p><p>XX</p><p>Rta.: 7S</p><p>ff)</p><p>xxxx</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>4 2232</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Rta.: S </p><p>gg)</p><p>44</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>44</p><p>1</p><p>223 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> xxx</p><p>x</p><p>xxx</p><p>Rta.: 1,1S</p><p>Resolución de problemas</p><p>1. Un rectángulo mide 15 cm de largo y 8 cm de ancho. ¿En cuántos centímetros habría</p><p>que disminuir, simultáneamente, el largo y el ancho para que la diagonal sea 4 cm</p><p>menor? Rta.: 3cm.</p><p>2. La suma de tres números consecutivos es 90. ¿Qué números son? Rta.: 29, 30, 31.</p><p>3. El área de un triángulo no supera los 10 cm2. Si la longitud de la base es de 4 cm y la</p><p>longitud de la altura es un número entero de centímetros. ¿Qué longitud puede tener la</p><p>altura? Rta.: h=1, 2, 3, 4, 5.</p><p>4. Para sostener un colector solar en el ángulo correcto, las armaduras del techo de un</p><p>edificio se diseñan en triángulos rectángulos, como se muestra en la siguiente figura. La</p><p>viga en el lado del colector solar es 7 m más corta que la opuesta y la base de cada</p><p>armadura mide 13 m de largo.¿Cuáles son las longitudes de las vigas? Rta.: 12 m y 5 m.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>15</p><p>5. Un lado de un terreno rectangular es 16 m mayor que otro. Si el lado menor aumenta en</p><p>8 m y el lado mayor disminuye en 10 m, el área permanece igual. Halla las dimensiones</p><p>del terreno original. Rta.: 1 240 cm, 24 cmL L .</p><p>6. Se desea cercar un terreno rectangular. Si se usa un material que cuesta $2400 por</p><p>metro lineal para el frente del terreno y un material que cuesta $2100 por metro lineal</p><p>para los otros tres lados, el cerco cuesta $58950. Si se usa el material más caro para los</p><p>cuatro lados, el cerco cuesta $64800. Hallar las dimensiones del terreno.</p><p>Rta: 7,5m x 6m.</p><p>7. La suma de la magnitud del área de un cuadrado más la magnitud de su perímetro es</p><p>60. ¿Cuánto mide el área del cuadrado? Rta.: 36 u2.</p><p>8. Los tres lados de un triángulo miden 18, 16 y 9 m. Determinar que misma cantidad se</p><p>debe restar a cada lado para que resulte rectángulo. Rta.: 1m.</p><p>9. Un jardín rectangular está rodeado por una vereda de 1,5 m de ancho. El jardín es 2 m</p><p>más largo que ancho. Si el área total es 63</p><p>2m mayor que el área del jardín. ¿Cuáles son</p><p>las dimensiones del jardín? Rta.: L= 10 m y A = 8 m.</p><p>10. De un rectángulo se conoce que su perímetro mide 0,11m y su diagonal 45 mm. ¿Cuáles</p><p>son sus dimensiones? Rta: 11,5mm x 43,5mm</p><p>11. La suma de dos números es 176 y su diferencia 70. ¿De qué números se trata?</p><p>Rta.: 53 y 123.</p><p>12. La suma de dos números es 14 y la suma de sus recíprocos 7/24. Hallar dichos</p><p>números. Rta.: 6 y 8.</p><p>13. La suma de dos números es igual a 14 y la razón se sus cuadrados es 64. ¿Cuáles son</p><p>los números enteros que cumplen esa condición? Rta.: -2 y 16.</p><p>14. La suma de las cifras de un número de dos cifras es 15 y si al número se le resta 9, las</p><p>cifras se invierten. Hallar el número.</p><p>Rta: 87.</p><p>15. El mayor de dos números es el doble del menor más 16. La diferencia entre la cuarta</p><p>parte del mayor y la mitad del menor es 2. ¿Cuáles son los números? Rta.: No existen.</p><p>16. En una hoja rectangular se dibuja un rectángulo dejando márgenes de 2 cm arriba y</p><p>abajo y 3 cm a cada lado. El rectángulo que resulta tiene el lado horizontal igual a las</p><p>4</p><p>3</p><p>partes del lado vertical y un área de 675 2cm . ¿Cuáles son las dimensiones de la</p><p>hoja? Rta.: 34cmx28,5cm.</p><p>17. Encontrar las dimensiones de un trapecio de 864m2, sabiendo que la base superior es</p><p>los 3/5 de la base inferior y que la altura es igual a 1/3 de la suma de las bases.</p><p>Rta.: B=45m, b=27m y alt.=24m.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>16</p><p>18. Un ducto circular de ventilación cuyo diámetro es de 140 mm, es</p><p>acoplado a un ducto cuadrado como se muestra en la siguiente</p><p>figura. Para asegurar un flujo suave de aire, las áreas de las</p><p>secciones circular y cuadrada deben ser iguales. Calcular cuál</p><p>debe ser la longitud del lado de la sección cuadrada(x).</p><p>Rta. cmmm 411270 , .</p><p>19. Se tiene una mesa de forma cuadrada. Si se prolongase un par de lados opuestos 80cm</p><p>y los otros dos lados 30 cm, el área del rectángulo que resulta excedería a la del</p><p>cuadrado en 2 m2. Calcular la longitud del lado de dicha mesa.</p><p>Rta.: 1,60 m.</p><p>20. Un tubo rectangular de concreto se construye con un canal interior de 10 cm por 16 cm,</p><p>como se muestra en la figura. ¿Cuánto debe medir el ancho uniforme w de concreto en</p><p>todos los lados, si el área de la sección transversal del concreto debe ser de 192</p><p>2cm ?</p><p>Rta.: 3 cm.</p><p>21. Hallar cinco números consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los tres</p><p>primeros sea igual a la suma de los cuadrados de los dos últimos.</p><p>2. . .b c b c COS </p><p>2 2 2 ˆa 2.a. .b c c COS </p><p>2 2 2 ˆa 2.a. . c b bCOS </p><p>Observación</p><p>Debe recordarse que las razones trigonométricas están definidas para ángulos agudos de</p><p>triángulos rectángulos y por lo tanto, no se pueden aplicar a los ángulos interiores de</p><p>triángulos oblicuángulos. Para la resolución de estos últimos se utilizan los teoremas del</p><p>Seno y del Coseno.</p><p>Ejemplo 1</p><p>Se va a calcular el área del siguiente esquema, cuyos datos se consignan:</p><p>YZ 11,8</p><p>ZW 5,5</p><p>9</p><p>ˆ 115</p><p>ˆ ángulo recto</p><p>cm</p><p>cm</p><p>XW cm</p><p>YXW</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>Aplicando el teorema del coseno en el triángulo oblicuángulo WZY</p><p></p><p>:</p><p>2 2 2 ˆYW YZ ZW 2 . YZ. ZW . cos </p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>166</p><p>2</p><p>2 2YW (11,8 ) (5,5 ) 2 . (11,8 ) . (5,5 ) . cos115cm cm cm cm </p><p>YW 14,97cm</p><p>Aplicando teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo WXY</p><p></p><p>:</p><p>Entonces, para el triángulo rectángulo WXY</p><p></p><p>se tiene:</p><p>Para el triángulo oblicuángulo WZY</p><p></p><p>se tiene:</p><p>Por lo tanto:</p><p>222 303,83438,29865,53 cmcmcmtotalArea </p><p>Ejemplo 2</p><p>Se va a calcular el perímetro del siguiente esquema:</p><p>2</p><p>base . altura</p><p>Area</p><p>2</p><p>XW. XY</p><p>Area</p><p>2</p><p>9cm . 11,97cm</p><p>Area 53,865</p><p>2</p><p>cm</p><p></p><p></p><p> </p><p>2</p><p>YZ ZW YW 11,8cm 5,5cm 14,97cm</p><p>S</p><p>2 2</p><p>16 135</p><p>16 135 16 135 11 8 16 135 5 5 16 135 14 97</p><p>29 438</p><p>S , cm</p><p>Area , .( , , ).( , , ).( , , )</p><p>Area , cm</p><p> </p><p> </p><p></p><p> </p><p></p><p>100</p><p>285,72</p><p>ˆ 18</p><p>ˆ ángulo obtuso</p><p>AB cm</p><p>AC cm</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>YW YX XW</p><p>(14,97 ) YX (9 )</p><p>YX 11,97</p><p>cm cm</p><p>cm</p><p> </p><p> </p><p></p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>167</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>168</p><p>Aplicando teorema del seno:</p><p>ˆ ˆˆ 18 ˆ ˆ(0,88287) 62</p><p>100 285,72</p><p>sen sen sen sen</p><p>arcsen</p><p>cm cmAB AC</p><p> </p><p> </p><p></p><p> </p><p> 62̂ es el valor obtenido con la calculadora, siendo su suplementario</p><p> 11862180'̂ también posible solución, se debe entonces, efectuar el análisis</p><p>respecto a la posibilidad de existencia de un triángulo con dichos datos pues se pueden</p><p>presentar situaciones con dos soluciones, con una sola o incluso sin solución.</p><p>Para nuestro problema, al realizar el correspondiente análisis se llega a que el valor de ̂</p><p>es 118º.</p><p>Además, sabiendo que 180ˆˆˆ , calculamos:</p><p> 44ˆ18118180ˆˆˆ180ˆ </p><p>Aplicando nuevamente teorema del seno:</p><p>ˆ ˆ 18 44</p><p>224,79</p><p>100</p><p>sen sen sen sen</p><p>BC cm</p><p>cmAB BC BC</p><p> </p><p> </p><p>Por lo tanto: 100 224,79 285,72 610,51P AB BC AC cm cm cm cm </p><p>Ejemplo 3</p><p>Se va a calcular el área y el perímetro de la figura</p><p>sombreada, sabiendo que el radio de la circunferencia</p><p>circunscripta al hexágono regular mide 14cm.</p><p>Todo hexágono regular se puede dividir en seis triángulos</p><p>equiláteros cuyos lados miden lo mismo que el radio de la</p><p>circunferencia en la que se inscribe el polígono.</p><p>Aplicando teorema del coseno:</p><p> </p><p>2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>2 cos</p><p>14 14 2 14 14 cos120</p><p>588 24,248</p><p>x r r r r</p><p>x</p><p>x cm</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>Entonces:</p><p>Área del triángulo equilátero:</p><p>cm</p><p>cm</p><p>trosemiperimeS 372,36</p><p>2</p><p>)248,24(3</p><p>)( </p><p>233 60,254)248,24372,36(372,36)( cmxssAT </p><p>Área del círculo:</p><p>22 44,615)14( cmcmAc </p><p>Área sombreada:</p><p>222 88,37460,25428,120</p><p>3</p><p>cmcmcmA</p><p>AA</p><p>A T</p><p>Tc </p><p></p><p></p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>169</p><p>Longitud de arco = cmcmr 32,29</p><p>3</p><p>2</p><p>14ˆ </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Perímetro de la zona sombreada cmcm 82,77)32,29248,24248,24( </p><p>Rta: el área es 374,88 cm2 y el perímetro es 77,82 cm.</p><p>7. Área y perímetro de polígonos regulares utilizando las razones</p><p>trigonométricas</p><p> Polígono regular de n lados iguales de longitud b</p><p>Área: A =</p><p> </p><p> </p><p>2</p><p>cos /1</p><p>4 /</p><p>n</p><p>n b</p><p>sen n</p><p></p><p></p><p>Perímetro: P= nb</p><p> Polígono regular de n lados inscripto en una circunferencia de radio r</p><p>Área: A = 2 21 2 1 360</p><p>2 2</p><p>n r sen n r sen</p><p>n n</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>Perímetro: P =</p><p>180</p><p>2 2n r sen n r sen</p><p>n n</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> Polígono regular de n lados circunscripto en una circunferencia de radio r</p><p>Área: A = 2 2 180</p><p>n r tg n r tg</p><p>n n</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>Perímetro: P =</p><p>180</p><p>2 2n r tg n r tg</p><p>n n</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>170</p><p>TRABAJO PRÁCTICO</p><p>1) Calcular los ángulos interiores del triángulo abc, sabiendo que:</p><p>R//bc</p><p>am bisectriz de â</p><p>δ= π/6 rad.</p><p>ε= 72º</p><p>Rta: 000 42ˆ,78ˆ,60ˆ cba</p><p>2) Calcular los ángulos interiores del triángulo ABC</p><p>Rta: 0 0 0ˆ ˆˆ63 , 76 30 , 40 30BAC ABC BCA </p><p>3) ¿Cuál es la longitud del radio de una circunferencia si el arco que corresponde a un</p><p>ángulo central de 5’ de amplitud, tiene 37,27 metros de longitud?</p><p>Rta: 25624,96 m</p><p>4) ¿Cuántos arcos de alambre de 8 dm de longitud debe unirse para cercar 5/8 partes de</p><p>una rotonda circular de 24 m de diámetro? Rta: 59</p><p>arcos.</p><p>5) Siendo α =</p><p>5</p><p></p><p>, r = 6cm (radio círculo mayor) y s = 3cm (arco del círculo menor), hallar el</p><p>valor de x (radio del círculo menor), el valor de w (arco del círculo mayor) y z (arco del</p><p>círculo menor) según se señala en el dibujo:</p><p>Rta: w = </p><p>5</p><p>6</p><p>cm, z = 0,75 cm, x = 1,19cm</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>171</p><p>6) Calcular el área y el perímetro de la superficie sombreada. (α= π/ 7)</p><p>Rtas: área: 12,12 u2. Perímetro: 14,08 u</p><p>7) Completar el siguiente cuadro con los signos correspondientes a cada relación</p><p>trigonométrica en los distintos cuadrantes, teniendo en cuenta los signos de las</p><p>coordenadas de un punto cualquiera perteneciente al lado libre de cada ángulo.</p><p>8) En que cuadrante está incluido el lado libre del ángulo α sabiendo que:</p><p>a) 0cos0 ysen c) 00cos tgyec</p><p>b) 00cos tgy d) 00cot senyg</p><p>9) Encontrar el ángulo , orientado en sentido positivo, que cumpla:</p><p>a) 31sen y pertenece al II cuadrante.</p><p>b) 3sec y pertenece al IV cuadrante.</p><p>c) 2tg y 0sen</p><p>.</p><p>d) 5cot g y 0°< <180°.</p><p>10) i) Encontrar, en cada caso, los ángulos menores que un giro y orientados en sentido</p><p>positivo, que cumplan:</p><p>a) 5,0sen c) 35,0cos e) 1tg</p><p>b) 2,0sen d) 55,0cos f) 9tg</p><p>ii) Graficar cada caso.</p><p>Rtas: a) º150ˆº30ˆ</p><p>21 b) "47´27º348ˆ"13´32º191ˆ</p><p>21 </p><p>c) "15´29º290ˆ"45´30º69ˆ</p><p>21 d) "59´37º236ˆ"1´22º123ˆ</p><p>21 </p><p>e) º225ˆº45ˆ</p><p>21 f) "24´20º96ˆ"24´20º276ˆ</p><p>21 </p><p>11) Determinar, en cada caso, las razones trigonométricas y la amplitud del ángulo en</p><p>posición regular de manera que el punto P pertenezca al lado libre de dicho ángulo:</p><p>a) )2,</p><p>2</p><p>3</p><p>(P c) )3,4( P</p><p>.cuadrrazón I II III IV razóncuadr.</p><p>Seno Cosecante</p><p>Coseno Secante</p><p>Tangente Cotangente</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>172</p><p>b) )6,2( P d) )5,2(P</p><p>Rta: a) "11´52º126ˆ b) "5´26º288ˆ </p><p>c) "11´52º216ˆ d) "5´48º111ˆ </p><p>12) Calcular, en cada caso, el valor de la expresión:</p><p>a)</p><p>1cot</p><p>cos</p><p>cos</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>g</p><p>ec</p><p>, si )2,3(P pertenece al lado libre del ángulo .</p><p>b) </p><p></p><p></p><p>tg</p><p>ec</p><p></p><p></p><p>cos</p><p>cos4</p><p>, si )3,1( P pertenece al lado libre del ángulo .</p><p>Rta: a) "35´18º146ˆ Valor de la expresión: -0.11.92</p><p>b) "54´33º251ˆ Valor de la expresión: -12.316</p><p>13) a) Encontrar el valor exacto del seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo, si el</p><p>coseno de ese ángulo es igual a las dos terceras partes del seno del mismo ángulo.</p><p>b) ¿Cuál es la medida del ángulo del inciso anterior?</p><p>Rta: a)</p><p>13</p><p>132</p><p>)cos( ,</p><p>13</p><p>133</p><p>)( Sen ,</p><p>2</p><p>3</p><p> )(tg b) 538156ˆ </p><p>14) Justificar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:</p><p>a) 7,2sen</p><p>b) cos β < 0, siendo π/2 < β < 3 π/2</p><p>c) tg 5π/2 Є R+</p><p>d) α / (1-cos α) = 0 si α = 0</p><p>e) Si 51232605123806 otg</p><p>f) 3,2</p><p>4</p><p>3</p><p>1</p><p>2sec</p><p>)15( </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>tg</p><p>sen , si )5,3(P al lado libre de .</p><p>g) </p><p></p><p></p><p></p><p>tg</p><p>sensen</p><p></p><p>cos</p><p>cos.</p><p>1</p><p>, si 0cos0 sen</p><p>h) ecgtg cos.seccot , si 0cos0 sen</p><p>15) Si en un triángulo rectángulo un cateto es la cuarta parte de la hipotenusa. ¿Cuánto</p><p>miden los ángulos agudos de dicho triángulo?</p><p>Rta: 938214121375 y</p><p>16) ¿Cuál es el perímetro del sector circular, de radio 1u, si la distancia del punto B al M es</p><p>0,5u?</p><p>Rta: 2,52u</p><p>17) Cuando el sol está a 20º sobre el horizonte. ¿Qué largo tiene la sombra que proyecta un</p><p>edificio de 45 m de alto? Rta: 123,6 m</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>173</p><p>18) Un árbol de 30m de alto arroja una sombra de 36m de largo. Hallar el ángulo de</p><p>elevación del sol. Rta: 028439 </p><p>19) En una fábrica necesitan construir una cinta transportadora para llevar mercadería</p><p>desde el depósito, en el subsuelo, hasta el salón de ventas, que está en la planta baja. La</p><p>distancia vertical entre los dos salones es de 2,60 m. Si el ángulo de inclinación de la cinta</p><p>será de 24°, ¿Qué longitud aproximada deberá tener la cinta? Rta: 6,40 m</p><p>20) La base de un triángulo isósceles mide 10 m y el ángulo opuesto 50°. Hallar el área del</p><p>triángulo. Rta: 53,6 m2</p><p>21) Hallar el área de un pentágono regular de lado 10cm. Rta: 172,5 cm2</p><p>22) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero de lado 6</p><p>cm? ¿Y el de la circunferencia circunscripta? Rta: RI = 1,73cm RC =3,46 cm</p><p>23) La longitud del lado de un octógono regular es 14 m. Hallar los radios de la</p><p>circunferencia inscrita y circunscrita. Rta: RI = 16,89m RC =18,29m</p><p>24) a) Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que la cuerda correspondiente a un</p><p>ángulo central de 70° mide 26 cm.</p><p>b) Determinar el área y el perímetro del segmento circular determinado por la cuerda del</p><p>inciso anterior. Rta: a) 22,66cm b) P=53,68cm A=72,40cm2</p><p>25) El radio de una circunferencia mide 25m. Calcular el ángulo que formarán las tangentes</p><p>a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36m. Recordar</p><p>que la recta tangente a una circunferencia es perpendicular a uno de los radios de dicha</p><p>circunferencia. Rta: 87°53’27,74”</p><p>26) Calcular el área y perímetro del siguiente pentágono curvilíneo.</p><p>Rta: Perímetro=3 u . Área=</p><p>22,17 u</p><p>27) Calcular la superficie de un techo a cuatro aguas que cubre un ambiente de planta</p><p>cuadrada, cuyas medidas se indican en planta y corte:</p><p>Rta: 98,88m2</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL TRIGONOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>174</p><p>28) Cuando se estaban midiendo los lados de un terreno en forma rectangular, por la</p><p>presencia de escombros y otros obstáculos, no se pudo medir un lado del terreno, por ello el</p><p>personal actuante efectuó el planteo que se muestra en la grafica. Dar las medidas del</p><p>terreno y su superficie.</p><p>mab</p><p>mae</p><p>med</p><p>27</p><p>42,35</p><p>42</p><p></p><p></p><p></p><p>Rta: 222,1805sup86,66 myad </p><p>29) Realizar el cómputo</p><p>de la cantidad de metros necesarios de perfiles de hierro para la</p><p>cabriada de un galpón como la que muestra la figura, sabiendo que las premisas del</p><p>proyecto de cálculo fueron:</p><p> Luz entre apoyos: 8 metros.</p><p> Ángulo de inclinación de los cordones superiores en cada apoyo: 25° y 42°</p><p>respectivamente.</p><p> Las dos diagonales cortan a los cordones superiores en la mitad de su longitud.</p><p>Rta: 24,69 m</p><p>Ángulo α (medido con cinta)</p><p>A=10m</p><p>B=17,25m</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA (LDCV)</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA APLICADA AL DISEÑO I (LDI)</p><p>CÁTEDRA DE</p><p>MATEMÁTICA</p><p>RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS</p><p>INTEGRADOS - APLICACIONES</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL PROBLEMAS INTEGRADOS</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>175</p><p>PROBLEMAS INTEGRADOS - APLICACIONES</p><p>1) a) Calcular la amplitud de los ángulos interiores y el perímetro de un rombo cuyas</p><p>diagonales miden 3 cm y 60 mm. Rta: 53°7´48,37", 126°52´11,6" y 13,42 cm.</p><p>b) ¿Cuál es la mayor cantidad de estos rombos (sin cortes ni añadiduras) que pueda</p><p>recortar de una hoja lisa A4?</p><p>2) Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo ABC, donde BAC = 48°, ABC =</p><p>75° y BC=20m. Rta: 13,46 m</p><p>3) Dado un octógono regular de 5 cm de lado:</p><p>a) Calcular analíticamente la medida de sus diagonales.</p><p>Rta: Diagonal mayor: 13,06 cm; diagonal media: 12,02 cm</p><p>y diagonal menor: 9,2 cm. A= 120,6 cm2</p><p>b) Verificar analíticamente, que el área del octógono regular es igual al área de un</p><p>rectángulo cuyos lados miden lo mismo que la diagonal mayor y la diagonal menor del</p><p>octógono.</p><p>c) Construir el octógono regular y desde el octógono, con recortes, obtener el rectángulo</p><p>para que se verifique la propiedad del inciso anterior.</p><p>4) Un pentágono regular se inscribe en una circunferencia de radio 6 cm.</p><p>a) Calcular la medida del lado del pentágono y luego, calcula la medida del lado de un</p><p>decágono inscripto en la misma circunferencia.</p><p>Rta: Lado del pentágono: 7,05cm. Lado del decágono: 3,7 cm.</p><p>b) Construir el decágono y comprueba, analítica y gráficamente, que el triángulo formado</p><p>por dos vértices consecutivos y el centro, es un triángulo áureo.</p><p>5) Si en un pentágono regular P de lado 7cm, trazamos todas sus diagonales obtenemos un</p><p>pentágono estrellado y, en su interior, un nuevo pentágono menor P'.</p><p>a) Calcular el perímetro del pentágono menor P´. Rta: 13,37 cm</p><p>b) Construir el pentágono P y desde él, el pentágono P´.</p><p>c) Identificar en la construcción anterior diferentes triángulos áureos.</p><p>6) Para el siguiente logo se pide:</p><p>a) Realizar el análisis geométrico del mismo,</p><p>identificando cuadrados, rectángulos áureos y/o</p><p>armónicos.</p><p>b) Verificar analíticamente que el rectángulo en el</p><p>que se inscribe el logo es áureo.</p><p>c) Indicar la escala utilizada en el dibujo, si en la</p><p>realidad la base del rectángulo, donde está</p><p>inscripto el logo, mide 11cm.</p><p>7) La fuente central de un plaza tiene una profundidad de 1 m y su base es un hexágono</p><p>regular de 2 m de lado. Calcular su volumen. Rta: V = 10,392 m3</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL PROBLEMAS INTEGRADOS</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>176</p><p>8) Una pileta tiene la forma del prisma de la figura. Todas las dimensiones son en metros.</p><p>¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenarla a un nivel 20cm bajo el borde</p><p>superior?</p><p>Rta: 141 m3 = 141.000 lts</p><p>9) Calcular el área y el volumen del cuerpo cuyo desarrollo plano es el siguiente:</p><p>Rta: a=181,04 m2 V=167,04 m3</p><p>10) Hallar el volumen y el área total de una pirámide recta cuya base es un cuadrado,</p><p>conociendo que la suma de la diagonal y el lado de la base suman 80mm y la arista lateral</p><p>de la pirámide mide 28cm. Rta: V=102,11cm3 y AT=196,02cm2</p><p>11) Determinar la altura de un tetraedro regular cuya área total vale 300 m2.</p><p>Rta: 10,74m</p><p>12) En la pirámide de Keops, de base cuadrada, el lado de la base mide 230 m y el ángulo</p><p>que forma una cara con la base es de 52º. Calcula:</p><p>a) La altura de la pirámide.</p><p>b) La altura de una cara (apotema de la pirámide).</p><p>c) La longitud de una arista lateral.</p><p>d) El ángulo que forma la arista lateral con la base de la cara.</p><p>e) El ángulo superior de cada cara.</p><p>Rta: a) hP = 147,20m b) hC = 186,79m c) aL = 219,35 m</p><p>d) e) f) V = 2595450,33 m3</p><p>13) Hallar las medidas de las aristas (lateral y de la base) y el volumen de una pirámide</p><p>hexagonal regular recta, sabiendo que la suma de sus doce aristas es de 54 m y que la</p><p>altura de la pirámide vale 4 m.</p><p>Rta: Arista lateral = 5,39cm Arista base = 3,61cm Vol. =44,78m3</p><p>14) ¿A qué altura se ha de cortar, con un plano paralelo a la base, una pirámide recta de base</p><p>cuadrada de lado 3 m y altura 3 m para obtener dos piezas de igual volumen?</p><p>Rta: A 0,62 m de la base.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL PROBLEMAS INTEGRADOS</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>177</p><p>15) ¿Qué radio de base debe tener un cilindro circular recto de 1,20m de alto para poder</p><p>contener 2220 lts de agua? Rta: 0,76m</p><p>16) Calcular el área del cuerpo generado por la rotación de un cuadrado de lado 3u alrededor</p><p>de una de sus diagonales. Rta: 12,727 u</p><p>17) Para construir un recipiente (sin tapa) se adjuntan dos cilindros a un tronco de cono. El</p><p>primero de ellos tiene altura de 10 cm y radio de 5 cm; el segundo tiene 25 de alto y 10 de</p><p>radio. Si la altura del recipiente es de 40 cm, calcula su capacidad y los cm2 de hojalata</p><p>necesarios para su construcción. Rta: V = 9955,67 cm3 9,95 litros</p><p>A = 2533,52 cm</p><p>2</p><p>18) Sabiendo que los radios de dos esferas están en relación</p><p>3</p><p>5</p><p>y que la diferencia de sus</p><p>áreas es 3,8424 m2, determinar sus radios. Rta: 0,69m y 0,41m</p><p>19) Un tetra pack con forma de paralelepípedo cuyas dimensiones son 7cm de ancho, 7,5 cm</p><p>de largo y 24 cm de alto, tiene una capacidad para 5 vasos,</p><p>si está completamente lleno.</p><p>a) Calcular la capacidad del tetra y de cada vaso. (1lt=1dm3)</p><p>b) ¿Cuánto deberá incrementar la altura de un nuevo tetra pack, si</p><p>se desea que tenga una capacidad de 7 vasos (iguales a los del</p><p>inciso a) y si se aumentan uniformemente las medidas de la</p><p>base, 2 cm a lo largo y ancho?</p><p>c) ¿Cuántos litros de leche contiene el nuevo tetra?</p><p>Rta: a) Cap del tetra 1,26lts - Cap vaso 0,252lts b) 9,6 cm</p><p>20) Para diseñar un envase de jugo de frutas de 550</p><p>3cm y altura 15cm se</p><p>consideran dos opciones: opción a: envase cilíndrico</p><p>opción b: envase prisma cuadrangular.</p><p>Decidir cuál de las dos opciones es más económica (suponer que la más económica es la</p><p>que usa menor cantidad de material).</p><p>Rta: Opción a: 395,8 cm2 Opción b: 437,05 cm2</p><p>21) En una empresa de conservas están haciendo una revisión de sus envases. En este</p><p>análisis desean determinar la diferencia en la cantidad de material que se utilizaría al</p><p>modificar las dimensiones del tarro (cilindro circular recto de radio 5cm y altura 3cm):</p><p>a) modificar al doble el radio.</p><p>b) modificar al doble la altura.</p><p>c) modificar al doble la altura y a la mitad el radio.</p><p>d) modificar al doble el radio y a la mitad la altura.</p><p>Rta: a) aumenta 180 cm2 b) aumenta 30 cm2</p><p>c) disminuye 37,5 cm2 d) aumenta 150 cm2</p><p>22) Calcular el área y el volumen del cuerpo que tiene el siguiente desarrollo</p><p>plano. La medida de la apotema de una de sus caras</p><p>mide 5cm. Indicar el nombre del poliedro regular que se</p><p>forma.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU - UNL PROBLEMAS INTEGRADOS</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>178</p><p>Rta. Octaedro. Área total: 1039.2</p><p>2cm . Vol.: 2449.27</p><p>3cm</p><p>23) Se tienen envases cuyos desarrollos planos son los siguientes:</p><p>¿Cuál es el de mayor capacidad? Justificar con los cálculos analíticos necesarios.</p><p>Rta: El envase con forma de tronco de pirámide.</p><p>24) Calcular el área total de la plataforma</p><p>símil madera y la capacidad de la</p><p>bañera de 80 cm de profundidad,</p><p>según los datos de la figura.</p><p>fuente de la imagen :http://ts1.mm.bing.net/th?id=H.4581777722051280&pid=15.1</p><p>Rta: AT=8,82 m2 . Capacidad: 1329,41 lts</p><p>25) Con respecto al soporte del buzón de sugerencias, se pide:</p><p>a) Identificar el cuerpo geométrico que puede modelizarlo.</p><p>Identificar las bases y las caras laterales.</p><p>b) Realizar el desarrollo plano con escala 1:4. Recortar y</p><p>construir el cuerpo.</p><p>c) Calcular el volumen y la superficie total del cuerpo.</p><p>Datos: cara de apoyo un cuadrado de 12 cm de lado y altura del</p><p>cuerpo 20 cm. Cara superior rectangular de 12 cm por 2</p><p>cm.</p><p>fuente de la imagen: http://ts3.mm.bing.net/th?id=H.5018610212143878&pid=15.1</p><p>Rta: AT=956,33 cm2 . V= 1680 cm3</p><p>http://ts1.mm.bing.net/th?id=H.4581777722051280&pid=15.1</p><p>http://ts3.mm.bing.net/th?id=H.5018610212143878&pid=15.1</p><p>Rta.: 10, 11, 12, 13, 14 ó -2, -1, 0, 1, 2.</p><p>22. Deben construirse dos marcos de alambre cuadrados con un alambre de 200cm de</p><p>largo. Si el área encerrada por uno de los marcos es la mitad del área encerrada por el</p><p>otro, determinar las dimensiones de cada marco. (despreciar el grosor del alambre)</p><p>Rta.: 20,71cm y 29,29cm de lado respectivamente.</p><p>23. Si en un cartel rectangular pintamos un margen uniforme queda un rectángulo interior sin</p><p>pintar, de 20 cm por 30 cm. Si la superficie pintada es igual a la no pintada, ¿cuáles son</p><p>las dimensiones del cartel? Rta.: dimensiones: L=40 cm, A=30 cm.</p><p>24. Partiendo de una cartulina que tiene el doble de ancho que de largo, se recorta un</p><p>cuadrado de 5 cm en cada esquina y se doblan los lados para formar una caja. Si el</p><p>volumen de la caja es 1500 cm3. ¿Qué dimensiones tenía la cartulina?</p><p>Rta.: L=40 cm, A=20 cm.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL ECUACIONES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>17</p><p>25. Para formar una caja abierta de 96cm2 de base a partir de una placa rectangular de</p><p>estaño de 16cm x 12cm se cortan de sus esquinas unas piezas cuadradas y se doblan</p><p>después las aristas. Hallar la longitud del lado del cuadrado que se corta en las</p><p>esquinas.</p><p>Rta.: 2cm.</p><p>26. Se construye una mesa de conferencias con una base rectangular y en sus extremos</p><p>dos semicírculos. El perímetro de la misma es de 15m. Si el área de la parte rectangular</p><p>es el doble de la suma del área de los extremos (semicírculos), calcular el ancho y el</p><p>largo del rectángulo central. Rta.: Aprox. 2,40m x 3,75m.</p><p>27. Hallar las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que el producto de sus cuatro lados</p><p>es 3600, y el de sus diagonales 169. Rta: 5x12</p><p>28. Hallar tres números consecutivos tales que el cuadrado del número intermedio supere en</p><p>una unidad el producto de los dos restantes. Rta.: cualquier número real, es decir, S</p><p>29. Hallar tres números consecutivos enteros y positivos, tal que su producto sea igual a 15</p><p>veces el segundo. Rta: 3, 4 y 5.</p><p>30. Hallar un número sabiendo que su doble es igual al triplo de su raíz cuadrada, más dos.</p><p>Rta. : 4.</p><p>31. Halla un número que sumado con 4 veces su raíz cuadrada de 221. Rta: 169</p><p>32. ¿Cuál es el número que excede a su raíz cuadrada en 56 unidades? Rta: 64</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA (LDCV)</p><p>TALLER DE MATEMÁTICA APLICADA AL DISEÑO I (LDI)</p><p>CÁTEDRA DE</p><p>MATEMÁTICA</p><p>GEOMETRÍA: CURVAS PLANAS</p><p>Y SUPERFICIES</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>19</p><p>GEOMETRÍA</p><p>La geometría es una de las ciencias más antiguas.</p><p>3000 A.C</p><p>Es razonable pensar que el origen de la geometría surge con</p><p>los primeros pictogramas que traza el hombre primitivo durante</p><p>períodos prehistóricos, pues seguramente, necesitaba ordenar</p><p>y clasificar lo que le rodeaba según su forma. En la abstracción</p><p>de estas formas comienza el primer acercamiento informal e</p><p>intuitivo a la geometría.</p><p>1650 A. C.</p><p>Uno de los primeros documentos con registros</p><p>geométricos es el Papiro de Ahmes (griego) o de</p><p>Rhind, es un documento de carácter didáctico que</p><p>contiene diversos problemas matemáticos y mide</p><p>unos seis metros de longitud por 32 cm de ancho.</p><p>En él aparecen métodos prácticos para obtener</p><p>diversas áreas y volúmenes, destinados al</p><p>aprendizaje.</p><p>Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco</p><p>ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente</p><p>práctico. El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios</p><p>el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban</p><p>medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del</p><p>río Nilo borraban continuamente sus fronteras. Precisamente, la</p><p>palabra Geometría significa «medición de tierra».</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>20</p><p>600 A.C.</p><p>Los griegos trasformaron la geometría en algo muy diferente del conjunto de</p><p>conclusiones empíricas que usaron sus predecesores. Propusieron que los</p><p>hechos matemáticos deben ser establecidos por razonamientos deductivos.</p><p>Las conclusiones matemáticas deben ser confirmadas mediante una</p><p>demostración lógica, no por experimentación.</p><p>300 A. C.</p><p>La capital de Egipto se estableció en Alejandría y Ptolomeo la</p><p>concibió como el centro de la gran cultura griega. Fundó la</p><p>Universidad de Alejandría la cual atrajo, pagando muy buenos</p><p>salarios, a los más notables artistas, filósofos, historiadores,</p><p>poetas y astrónomos de la época. Allí funcionaba la gran</p><p>biblioteca de Alejandría con una colección de más de 600.000</p><p>obras, algunas destruidas por los sucesivos ataques y</p><p>saqueos. El matemático más notable en esa universidad fue</p><p>Euclides, quién fundó precisamente la escuela de</p><p>matemáticas de Alejandría.</p><p>Euclides escribió sobre astronomía, música, óptica y otras materias, sin</p><p>embargo, la obra que le dió fama universal fueron "Los Elementos", trabajo</p><p>cuya mayor parte es una colección de los trabajos de sus predecesores.</p><p>Euclides configuró la geometría en forma axiomática: la geometría</p><p>euclidiana.</p><p>Durante los siguientes siglos las escuelas y universidades se limitaban a</p><p>enseñar los "Elementos".</p><p>1500 D.C.</p><p>Es en el renacimiento cuando las nuevas necesidades de</p><p>representación del arte y de la técnica empujan a ciertos</p><p>estudiosos a indagar propiedades geométricas para obtener</p><p>nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad.</p><p>Aquí se enmarcan Luca Pacioli, Leonardo Da Vinci, Alberto</p><p>Durero, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la</p><p>perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las</p><p>bases formales en la que cimentar las nuevas formas de</p><p>geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva.</p><p>1600 D. C.</p><p>Pero es sin duda la aparición de la geometría analítica, lo</p><p>que marca la Geometría en la Edad Moderna.</p><p>Descartes(1596-1650) propone un nuevo método de</p><p>resolver problemas geométricos, y por extensión, de</p><p>investigar en geometría. Desarrolló simultáneamente el</p><p>álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde</p><p>las figuras geométricas, tales como las curvas planas,</p><p>podrían ser representadas analíticamente, es decir, con</p><p>funciones y ecuaciones.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>21</p><p>1800 D. C.</p><p>La geometría se enriquece con el estudio de Karl Friedrich Gauss (1777-</p><p>1855), el más grande matemático del siglo XIX y quizás de todos los tiempos.</p><p>Partiendo de la base de que la geometría estudia el espacio, las curvas y las</p><p>superficies, establece la noción fundamental de curvatura de una superficie.</p><p>Gracias a ella, y a la definición de geodésicas, demuestra</p><p>que si consideramos que una geodésica es una curva con menor</p><p>distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos</p><p>dos puntos sobre una superficie, el camino más corto entre esos dos</p><p>puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodésica),</p><p>existen superficies en las que los triángulos formados por las</p><p>geodésicas miden más de la medida de dos ángulos rectos, y otras en</p><p>las que mide menos.</p><p>Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad de crear geometrías no</p><p>euclidianas, pero aunque a esas alturas ya era el matemático más prestigioso de Europa,</p><p>consideró que la mentalidad de la época no estaba preparada para un resultado de tal</p><p>magnitud, y nunca publicó esos resultados.</p><p>Son Bolyai (1802-1860) y Lobatchevsky (1793-1856) quienes de manera independiente y</p><p>simultáneamente publican cada uno una geometría distinta a la de Euclides en la que no se</p><p>verifica tampoco el V postulado.</p><p>En 1854, Riemann (1826-1866) se pregunta por el modelo que debe de</p><p>seguir el espacio físico, el espacio en el que nos movemos, cuál es su</p><p>dimensión, cuál es su geometría. Las ideas de Riemann, decididamente</p><p>muy avanzadas para su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein</p><p>las aplicó al espacio físico para crear la Teoría de la relatividad.</p><p>La idea esencial de Riemann es que la Geometría no constituye de</p><p>ninguna manera un patrimonio exclusivo de un conjunto de dos</p><p>dimensiones (de una superficie) o de tres dimensiones (de un espacio).</p><p>Se puede construir una Geometría de rectas, de círculos, de esferas, pero se puede ir</p><p>mucho más lejos y construir una Geometría de un conjunto de colores, de un enjambre de</p><p>partículas materiales, etc. Esta nueva visión permite estudiar todas las nuevas geometrías</p><p>no euclidianas, así como la geometría euclidiana bajo la misma óptica.</p><p>El surgimiento de las Geometrías no euclidianas, ratificó que en la ciencia también hay</p><p>revoluciones.</p><p>Diferentes geometrías</p><p>Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:</p><p>La geometría euclidiana</p><p>Los elementos de la geometría euclidiana son puntos, líneas, curvas,</p><p>etc., esto es, entes ideales concebidos por el hombre para modelizar los</p><p>fenómenos naturales y cuantificarlos midiendo longitudes, áreas y</p><p>volúmenes. Se basa en los postulados de los Elementos de Euclides.</p><p>Es la geometría que se estudia en las escuelas primarias y secundarias</p><p>actualmente.</p><p>Cuando surgen las geometrías no euclidianas niegan el V postulado de</p><p>Euclides. Enuncia que "por un punto exterior a una recta dada sólo cabe</p><p>trazar una paralela". Esta formulación es la más conocida. Se la conoce también como</p><p>postulado de las paralelas.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>22</p><p>Las geometrías no euclidianas</p><p>En éstas no valen el postulado de la paralela</p><p>única, por tanto admite que por un punto</p><p>exterior a una recta, pueden trazarse al</p><p>menos dos rectas paralelas (Geometría</p><p>hiperbólica, de Lobatchevsky) o ninguna</p><p>paralela (Geometría elíptica de Riemann).</p><p>También se pueden nombrar la Geometría</p><p>descriptiva, métrica y proyectiva, la</p><p>topología, entre otras geometrías no</p><p>euclidianas.</p><p>La geometría fractal</p><p>Tiene su origen en el intento de dar respuesta a las formas irregulares de la</p><p>naturaleza, desafiando por sus irregularidades y complejidades a la geometría</p><p>euclídea.</p><p>Los entes geométricos (rectas, planos, puntos) pueden ser tan complejos e</p><p>irregulares que la medición euclidiana deja de tener sentido. Sin embargo, hay</p><p>una manera de medir el grado de complejidad e</p><p>irregularidad. Este enfoque fue el adoptado por</p><p>Mandelbrot, matemático polaco, que en 1980 acuñó el</p><p>término fractal para designar entes muy irregulares,</p><p>pero autosemejantes.</p><p>A diferencia de la geometría euclidiana, en donde los elementos</p><p>básicos pueden generarse de manera directa (líneas, círculos,</p><p>planos, etcétera), en la geometría fractal las formas primarias son</p><p>conjuntos de procedimientos matemáticos (algoritmos) que se encargan de rotar, trasladar,</p><p>reescalar o deformar figuras de una manera particular.</p><p>Topología</p><p>Es una geometría regida por propiedades que se conservan bajo</p><p>deformaciones continuas de objetos, estas deformaciones implican</p><p>estirarse, doblarse, pero no romperse o agujerearse. Surgió a través</p><p>del desarrollo de conceptos de geometría y teoría de conjuntos,</p><p>como espacio, dimensión y transformación.</p><p>Particularmente se presenta a la Topología como la "Geometría de la</p><p>página de goma". En la Geometría euclídea dos objetos serán</p><p>equivalentes mientras podamos transformar uno en otro mediante</p><p>isometrías (rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc), es decir,</p><p>mediante transformaciones que conservan las medidas de ángulos,</p><p>longitud, área, volumen y otras.</p><p>En topología, dos objetos son equivalentes en un sentido mucho más amplio. Han de tener</p><p>el mismo número de trozos, huecos, intersecciones, etc. En topología está permitido doblar,</p><p>estirar, encoger, retorcer, etc., los objetos, pero siempre que se haga sin romper ni separar lo</p><p>que estaba unido, ni pegar lo que estaba separado. Por ejemplo, una taza es</p><p>topológicamente equivalente a una rosquilla, ya que podemos transformar una en otra de</p><p>forma continua, sin romper ni pegar.</p><p>CATEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA</p><p>DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL - DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>23</p><p>Otros ejemplos son la Banda de Moebius conformada con una cinta de papel, cuyos</p><p>extremos se han unido girándolos. Esta curva tiene la característica de tener solo una cara.</p><p>Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. Fue descubierta en 1858 por</p><p>los matemáticos alemanes Möbius (o Moebius) y Listing.</p><p>Bibliografía</p><p>1. http://es.wikipedia.org/</p><p>2. Sigarreta Almira, J.M. y otro. Evolución de la geometría desde su perspectiva</p><p>histórica. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. XI, No. 1 (2004).</p><p>Versión digital: http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol11/jmsigarreta.pdf</p><p>3. http://sobrecuriosidades.com/2010/07/16/geometria-fractal-frente-a-geometria-</p><p>euclidea/</p><p>4. http://www.geometriafractal.com/geometriafractal.asp</p><p>5. Sinadel, Vera.2003. Geometría fractal y geometría euclidiana. Revista Educación y</p><p>pedagogía. ISSN 0121-7593, Vol. 15, Nº. 35, 2003 (Ejemplar dedicado a: Enseñanza</p><p>de las matemáticas) , págs. 83-91</p><p>6. Gerrero Pino, G. 2005. Geometrías puras y aplicadas desde el enfoque axiomático-</p><p>sintáctico de las teorías. Eidos: Revista de Filosofía, ISSN-e 2011-7477, Nº. 3, 2005 ,</p><p>págs. 60-82</p><p>7. Cano de Pablo, J.2007. La aplicación física de la geometría astral como confirmación</p><p>de la teoría Kantiana del conocimiento. Logos: Anales del Seminario de Metafísica,</p><p>ISSN 1575-6866, Nº 40, 2007 , págs. 161-183</p><p>8. Topología: http://www25.knowledgres.com/00019799/Topologia</p><p>9. http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/htm/sec_7.htm</p><p>10. http://eleanayelapei.blogspot.com.ar/p/conferencias.html</p><p>http://dialnet.unirioja.es/servlet/listaarticulos?tipo_busqueda=EJEMPLAR&revista_busqueda=7304&clave_busqueda=185479</p><p>http://dialnet.unirioja.es/servlet/revista?codigo=10959</p><p>http://dialnet.unirioja.es/servlet/listaarticulos?tipo_busqueda=EJEMPLAR&revista_busqueda=10959&clave_busqueda=280930</p><p>http://dialnet.unirioja.es/servlet/revista?codigo=901</p><p>http://dialnet.unirioja.es/servlet/listaarticulos?tipo_busqueda=EJEMPLAR&revista_busqueda=901&clave_busqueda=160479</p><p>http://www25.knowledgres.com/00019799/Topologia</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>24</p><p>CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>1. Introducción</p><p>La geometría es la parte de la matemática que se caracteriza por la elaboración de modelos</p><p>matemáticos. Un modelo matemático describe, en lenguaje matemático, un objeto que existe</p><p>en un universo no-matemático. El término modelización matemática es utilizado en diseño</p><p>cuando se habla de modelos geométricos de los objetos en dos (2D) o en tres dimensiones</p><p>(3D). La modelización matemática es una herramienta más de diseño, que junto a un software</p><p>adecuado, pueden aportar ideas diferentes para la creación de formas y para la manipulación</p><p>del diseño, optimizando resultados.</p><p>Las curvas cónicas y las superficies cuádricas</p><p>que trabajaremos en este capítulo, son</p><p>fundamentales para modelizar geométricamente secciones y superficies en obras</p><p>arquitectónicas y en objetos de diseño gráfico o de diseño industrial. La modelización de un</p><p>diseño a través de las ecuaciones que dan lugar a las formas que lo componen, puede facilitar</p><p>el análisis del proyecto permitiendo generar modelos más complejos y dinámicos.</p><p>2. Sistemas de representación</p><p>Si deseamos ordenar un espacio determinado, el mecanismo pasará por la posibilidad de poder</p><p>establecer dónde se encuentra cada uno de los puntos de ese espacio. Esto es factible si</p><p>podemos fijar o conocer la posición exacta de esos puntos que constituyen los elementos</p><p>geométricos elementales, a partir de los cuales se genera el resto de la geometría en sus</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>25</p><p>formas más complejas.</p><p>Para ello se crearon los sistemas de coordenadas, donde puntos, ejes o planos son elementos</p><p>fijos a los cuales referimos el resto del espacio que le es afín, pudiendo aplicarse este</p><p>mecanismo a espacios unidimensionales (líneas), bidimensionales (superficies) o</p><p>tridimensionales (volúmenes).</p><p>2.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas</p><p>Un sistema de ejes cartesianos es, en el plano, un sistema compuesto por dos ejes</p><p>perpendiculares (eje X, eje Y), cuyo origen se encuentra en su punto de intersección y donde a</p><p>cada uno de los ejes se le da una dirección: la dirección positiva del eje X es hacia la derecha;</p><p>la dirección positiva del eje Y es hacia arriba. Se elige una escala en forma arbitraria, que sea</p><p>eficiente a los fines del caso particular que se analice, pudiendo variar la escala de un eje</p><p>respecto del otro.</p><p>Un punto P del plano, se asocia a un par ordenado de coordenadas (x,y). La primer</p><p>coordenada x se llama abscisa; y la segunda coordenada y es la ordenada.</p><p> x0: distancia del punto P al eje y</p><p> y0: distancia del punto P al eje x</p><p>Ejemplo</p><p> abscisa del punto P: 3</p><p> ordenada del punto P: 2</p><p> coordenadas del punto P: (3, 2)</p><p>Este gráfico cartesiano es obviamente adaptable a un espacio tridimensional, donde con el</p><p>mismo criterio se pueden fijar tres ejes (eje x, eje y, eje z), que se corten perpendicularmente</p><p>dos a dos, en un punto (el origen de coordenadas). Quedan determinados tres planos</p><p>perpendiculares entre sí, llamados planos coordenados.</p><p>En el espacio, un punto se determina mediante sus distancias a los planos coordenados, estas</p><p>distancias se denominan coordenadas del punto y determinan la terna ordenada (x,y,z).</p><p> primer coordenada: 1 - distancia del punto P al plano yz</p><p> segunda coordenada: 2 - distancia del punto P al plano xz</p><p> tercer coordenada: 3 - distancia del punto P al plano xy</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>26</p><p>2.2 Sistema de Coordenadas Polares</p><p>Volviendo al espacio bidimensional, en lugar de fijar la posición de un punto del plano en</p><p>función de sus distancias a dos ejes perpendiculares, es conveniente, a veces, hacerlo en</p><p>función de su distancia a un punto fijo y de la dirección con respecto a una recta fija que pase</p><p>por este punto. Las coordenadas de un punto en esta referencia, se llaman coordenadas</p><p>polares.</p><p>Tomando un eje llamado eje polar (EP), fijando en él un origen O, un sentido positivo y una</p><p>escala determinada, cualquier punto P del plano puede determinarse por su distancia al origen</p><p>ρ (medida del segmento OP) y la medida del ángulo θ que el segmento OP forma con el eje</p><p>polar.</p><p>La distancia ρ medida desde O hasta el extremo P y el ángulo θ tomado positivo y expresado</p><p>en radianes, constituyen el par ordenado que se corresponde con el punto P.</p><p>Observaciones</p><p> Las coordenadas del polo O son , siendo θ un ángulo cualquiera.</p><p> Para situar un punto , con ρ < 0 se miden unidades sobre la semirrecta opuesta.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>27</p><p> Para graficar los puntos y más adelante las curvas en coordenadas polares, es conveniente</p><p>utilizar un plano coordenado como el siguiente.</p><p>Ejemplo</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>28</p><p>3. Curvas planas</p><p>Las curvas planas pueden presentarse de distintas maneras: a través de su definición como</p><p>lugar geométrico o gráfica (conjunto de todos los puntos del plano, cuyas coordenadas</p><p>satisfacen una ecuación dada), utilizando fórmulas matemáticas o ecuaciones que permiten</p><p>identificarlas y graficarlas dentro de un sistema de coordenadas.</p><p>Entre estas curvas se encuentran las llamadas cónicas.</p><p>3.1 Cónicas</p><p>El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas pero fue el</p><p>matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el</p><p>primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las</p><p>definía.</p><p>Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre</p><p>de: elipses, hipérbolas y parábolas. Se obtienen a partir de las secciones producidas por un</p><p>plano secante sobre una superficie cónica de revolución.</p><p>Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta que gira alrededor de un</p><p>eje fijo llamado eje de rotación y con el que se corta en un punto V.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>29</p><p>Las elipses son las curvas que se obtienen cortando la superficie cónica con un plano que no</p><p>es paralelo a ninguna de sus generatrices y no contiene al punto V. Si el plano es perpendicular</p><p>al eje de rotación se obtiene una circunferencia, como caso particular de la elipse.</p><p>Las hipérbolas son las curvas que se obtienen al cortar la superficie cónica con un plano que es</p><p>paralelo a dos de sus generatrices y no contiene al punto V.</p><p>Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar la superficie cónica con un plano</p><p>paralelo a una sola generatriz y que no contenga al punto V.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>30</p><p>Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas</p><p>de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las</p><p>propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas</p><p>propiedades de reflexión.</p><p>Por ejemplo, la superficie generada al girar una parábola alrededor de su eje es una superficie</p><p>parabólica. Dichas superficies tienen la propiedad de ser reflectoras. Situado un punto luminoso</p><p>en el foco, los rayos se proyectan paralelos al eje, y recíprocamente, los rayos que inciden</p><p>paralelos al eje, se concentran en el foco. Estas superficies son las únicas que gozan de esta</p><p>propiedad.</p><p>La característica principal en la reflexión de una onda, sea de sonido o electromagnética (de</p><p>luz) en una superficie parabólica, es que todos los rayos que parten del foco salen paralelos al</p><p>eje de la parábola que es su eje de simetría, y viceversa, los rayos que incidan paralelos al eje</p><p>convergen en el foco (en un punto).</p><p>Las antenas receptoras de</p><p>las señales de radio y</p><p>televisión, procedentes de</p><p>los satélites de</p><p>comunicación, tienen forma</p><p>parabólica para,</p><p>así,</p><p>concentrar las débiles</p><p>señales que le llegan en el</p><p>foco.</p><p>Los telescopios reflectantes,</p><p>llamados de Newton, se</p><p>construyen con un espejo</p><p>parabólico en cuyo plano</p><p>focal se forma la imagen</p><p>invertida del cielo.</p><p>Las superficies reflectantes</p><p>de los faros de los</p><p>automóviles son</p><p>paraboloides. La lámpara</p><p>situada en el foco hace que</p><p>el haz de luz se concentre en</p><p>la calle.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>31</p><p>3.1.1 Circunferencia</p><p>Definición</p><p>Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto</p><p>fijo del mismo llamado centro.</p><p>Ecuación canónica</p><p>C( h , k ): centro, r: radio, P( x, y): punto genérico.</p><p> 222</p><p>rkyhx </p><p>Ejemplo 1</p><p>Dada la gráfica:</p><p>Se observa que el centro de la circunferencia está en el origen de coordenadas C(0,0) y que su</p><p>radio es r=2 , por lo tanto su ecuación es:</p><p> 222</p><p>200 yx 422 yx</p><p>Ejemplo 2</p><p>La ecuación 921</p><p>22</p><p> yx corresponde a una</p><p>circunferencia cuyos elementos característicos son: C(1,-2)</p><p>y r=3, entonces su gráfica es:</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>32</p><p>(Esquema en escala)</p><p>Ejemplo 3</p><p>Se va a calcular la longitud del corte realizado en la siguiente</p><p>placa circular. (segmento AB: diámetro del círculo)</p><p>Para ello, en primer lugar, se fija un sistema de ejes coordenados haciendo coincidir el origen</p><p>de coordenadas con el centro del circulo y se grafica la circunferencia perimetral.</p><p>La ecuación de la circunferencia es:</p><p>10022 yx</p><p>Para calcular la longitud de la cuerda que determina el corte, se puede utilizar Pitágoras en el</p><p>triángulo rectángulo determinado por las diferencias de las coordenadas de los puntos P1 y P2</p><p>(extremos del corte).</p><p>Coordenadas de P1:</p><p> </p><p>2 2</p><p>1</p><p>1</p><p>9 9 100 100 81 19</p><p>( 9, 19)</p><p>x y y y</p><p>P</p><p> </p><p> </p><p>Coordenadas de P2:</p><p> </p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>3 3 100 100 9 91</p><p>( 3, 91)</p><p>x y y y</p><p>P</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>2</p><p>22 2 2 23 ( 9) 91 19 6 (13,90) 229,21 15,14c c c </p><p>Por lo tanto, la longitud del corte es de aproximadamente 15,14cm.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>33</p><p>3.1.2 Elipse</p><p>Definición</p><p>Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos</p><p>llamados focos, es constante.</p><p>Para visualizar la definición de la elipse se podría imaginar dos clavos ubicados en los focos y</p><p>un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa cuerda su trazo irá</p><p>dibujando una elipse.</p><p>Ecuación canónica</p><p>C(h, k): centro, a: medida del semi-eje mayor, b: medida del semi-eje menor, F y F´: focos, V</p><p>y V´: vértices, P(x,y): pto. genérico.</p><p>Elipse Horizontal (Eje Mayor // eje x)</p><p> </p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>x h y k</p><p>a b</p><p> </p><p> </p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>34</p><p>Elipse Vertical (Eje Mayor // eje y)</p><p> </p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>a</p><p>ky</p><p>b</p><p>hx</p><p>Ejemplo 1</p><p>Dada la elipse cuya gráfica es:</p><p>Se tiene que su centro es el punto c(h,k)=c(2,1), la medida del semieje mayor a=3 (paralelo al</p><p>eje x) y la medida del semieje menor b=2, por lo tanto la ecuación de dicha elipse es:</p><p> </p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>9</p><p>2</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p> yx</p><p>Ejemplo 2</p><p>La ecuación:</p><p> </p><p>1</p><p>16</p><p>1</p><p>4</p><p>3</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p> yx</p><p>corresponde a una elipse</p><p>vertical cuyos elementos característicos son: c(-3,1), a=4 ( eje</p><p>mayor // eje y) y b=2, entonces la gráfica es:</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>35</p><p>Ejemplo 3</p><p>En el siguiente cilindro circular recto truncado con radio de la base 12cm, altura menor 6cm y</p><p>altura mayor 19cm, se puede observar que el corte superior es una elipse.</p><p>Se va a buscar la ecuación de dicha elipse. Para ello en primer lugar se debe buscar el eje</p><p>mayor de la elipse trabajando con el corte vertical que contiene al centro de la base.</p><p>Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene: 30,277452413a 22 </p><p>Entonces se sabe que el eje mayor de la elipse mide 27,30 metros y el eje menor mide 24</p><p>metros. Fijando el sistema de ejes de referencia de manera que el centro de las coordenadas</p><p>cartesianas coincida con el centro de la elipse, la ecuación es:</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>12</p><p>0</p><p>65,13</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>yx</p><p>1</p><p>14432,186</p><p>22</p><p></p><p>yx</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>36</p><p>Construcción gráfica de una elipse</p><p>Se trazan dos circunferencias concéntricas, una cuyo</p><p>radio sea igual al semieje mayor y otra cuyo radio sea</p><p>igual al semieje menor. Desde el centro se trazan</p><p>líneas rectas que corten ambas circunferencias. Por el</p><p>punto de intersección de la recta con la circunferencia</p><p>menor se traza una horizontal, y por el punto de</p><p>intersección de la misma recta con la circunferencia</p><p>mayor se traza una vertical, donde se corten la línea</p><p>horizontal con la vertical se encontrará un punto de la</p><p>elipse. Será más exacto el trazo a medida que se</p><p>grafiquen más intersecciones.</p><p>3.1.3 Hipérbola</p><p>Definición</p><p>Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia en valor absoluto de distancias a</p><p>dos puntos fijos llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.</p><p>Ecuación canónica</p><p>C( h , k ): centro, a: medida del semieje real, b: medida del semieje imaginario, F y F’: focos, A</p><p>y A’: rectas asíntotas, P(x,y): punto genérico.</p><p>Hipérbola Horizontal (eje real // eje x)</p><p> </p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>b</p><p>ky</p><p>a</p><p>hx</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>37</p><p>Hipérbola Vertical (eje real // eje y)</p><p>Observación</p><p>Las rectas asíntotas son útiles al momento de graficar una hipérbola, dado que se las podría</p><p>considerar como guías de sus ramas, que se le aproximan indefinidamente sin llegar a tocarlas.</p><p>Estas rectas incluyen a las diagonales del rectángulo de lados 2a y 2b cuyo centro coincide con</p><p>el centro de la hipérbola.</p><p>Ejemplo 1</p><p>Dada la hipérbola cuya gráfica es:</p><p>Se tiene que el centro es el punto C(h,k)=C(1,-1), la medida del semieje real a=1 (paralelo</p><p>al</p><p>eje x) y la medida del semieje imaginario b=2, por lo tanto su ecuación es:</p><p> </p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>b</p><p>hx</p><p>a</p><p>ky</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>11</p><p>4</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> y</p><p>x</p><p>yx</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>38</p><p>Ejemplo 2</p><p>La ecuación:</p><p> </p><p>1</p><p>4</p><p>3</p><p>9</p><p>2</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p> xy</p><p>, corresponde a una hipérbola vertical cuyos elementos</p><p>característicos son: C(-3,2), a=3 (eje real // al eje y) y b=2, entonces su gráfica es:</p><p>Ejemplo 3</p><p>En la ecuación: 16416 22 yx para poder determinar los elementos característicos se</p><p>necesita llevarla a un formato donde se puedan identificar los parámetros más fácilmente. Para</p><p>ello se divide ambos miembros de la igualdad por 16.</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>16</p><p>4</p><p>16</p><p>16</p><p>16</p><p>16</p><p>16</p><p>416 2</p><p>2</p><p>2222</p><p></p><p> y</p><p>x</p><p>yxyx</p><p>Por lo tanto, los elementos son: C(0;0), a = 1 (eje real // al eje x), b=2 y su gráfica es:</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>39</p><p>Construcción gráfica de una hipérbola</p><p>Se localizan sobre una recta los focos F Y F’ y los vértices V y V’. Luego se fijan puntos</p><p>A,B,C....... sobre la recta y a la izquierda de F.</p><p>Con el foco F como centro y con radios iguales a la distancia entre estos puntos y el</p><p>vértice V se describen arcos por encima y debajo del eje principal.</p><p>Con el mismo centro y con radios iguales a la distancia de estos puntos y el vértice V’, se</p><p>trazan arcos que corten a los arcos anteriormente trazados. Los puntos determinados por</p><p>las intersecciones de los arcos son puntos que pertenecen a una de las ramas de la</p><p>hipérbola. La otra rama se puede construir por simetría o procediendo de manera análoga</p><p>con puntos a la derecha del foco F’.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>40</p><p>3.1.4 Parábola</p><p>Definición</p><p>Es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen con la condición de equidistar de</p><p>una recta fija llamada directriz y de un punto fijo del mismo plano llamado foco, tal que el foco</p><p>no pertenezca a la directriz.</p><p>Ecuación canónica</p><p>V( h , k): vértice, D: directriz, E: eje de simetría, |p|: distancia del vértice al foco y del vértice a</p><p>la directriz, medida del lado recto: |4p|, P( x , y) punto genérico.</p><p>Parábola Vertical (eje E // eje y)</p><p> kyphx 4</p><p>2</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>41</p><p>Parábola Horizontal (eje E // eje x)</p><p>Ejemplo 1</p><p>Dada la parábola cuya gráfica es:</p><p>Se tiene que su vértice es V(h,k)=V(2,-1) y además se puede observar que la distancia entre el</p><p>vértice y la directriz, al igual que la que existe entre el vértice y el foco es igual a 1 y que la</p><p>parábola abre hacia arriba, por lo tanto p=1. Luego la ecuación de la parábola dada es:</p><p> 1.1.42</p><p>2</p><p>yx 142</p><p>2</p><p> yx</p><p>Ejemplo 2</p><p>La ecuación</p><p>2( 3) 8( 1)y x corresponde a una parábola horizontal (el eje de simetría es</p><p>paralelo al eje x), cuyo vértice es V(1,-3) y como 4p = -8 se tiene p = -2, esto indica que la</p><p>parábola abre hacia la izquierda, entonces su gráfica es:</p><p> hxpky 4</p><p>2</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>42</p><p>Ejemplo 3</p><p>En la ecuación: 01022 xy para poder determinar los elementos característicos se</p><p>necesita llevarla a la forma tipo (ecuación canónica). Para ello se despeja y saca factor común.</p><p> 52102 22 xyxy</p><p>Por lo tanto, el eje de simetría es paralelo al eje x, el vértice es V(5,0) y como 4p = -2 se tiene</p><p>que p = -1/2, esto indica que la parábola abre hacia la izquierda. Entonces su gráfica es:</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>43</p><p>Construcción gráfica de una parábola</p><p>Conocidos el foco F y la directriz D,</p><p>ubicamos el vértice de la parábola, ya que</p><p>es el punto medio del segmento</p><p>perpendicular a la directriz y con extremo</p><p>en el foco. Luego determinamos los</p><p>puntos A, B, C....... sobre el eje de la</p><p>parábola, y cortamos a las rectas</p><p>perpendiculares al eje que pasan por esos</p><p>puntos con circunferencias de centro en el</p><p>foco F y radios las distancias desde la</p><p>directriz a los puntos A, B, C</p><p>….respectivamente , tal como se muestra</p><p>en la figura, obteniéndose así puntos de</p><p>la parábola. Será más exacto el trazo a</p><p>medida que se grafiquen más</p><p>intersecciones.</p><p>3.2 Curvas en coordenadas polares</p><p>Hasta ahora, para graficar curvas se ha utilizado el sistema de coordenadas cartesianas; pero</p><p>sin embargo, para ciertas curvas y tipos de lugares geométricos el uso de coordenadas polares</p><p>presenta ventajas considerables.</p><p>Existen muchísimas figuras que pueden generarse a partir del uso de funciones en</p><p>coordenadas polares, presentaremos solo las más comunes con sus distintas alternativas, de</p><p>manera de lograr una idea clara y precisa de cada figura y los tipos de gráficos que pueden</p><p>obtenerse en este sistema de representación.</p><p>Conocer las tendencias que una curva determinada tiene en las coordenadas polares</p><p>proporciona una idea previa que facilitará la graficación de las mismas.</p><p>Aunque en la actualidad se cuenta con importantes programas de computación que hacen las</p><p>gráficas con la simple acción de introducir la función, es conveniente saber cómo se forman y</p><p>de dónde nacen matemáticamente cada una de estas figuras.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>44</p><p>3.2.1 Cardioide</p><p>Es la curva descripta por un punto P de una circunferencia de radio constante, a medida que</p><p>rueda por fuera de otra circunferencia fija del mismo radio. Queda así determinada una figura</p><p>con forma similar a la de un corazón, razón por la cual se la llama cardioide. El tamaño de la</p><p>curva depende del valor de a.</p><p>ó</p><p>Ejemplos</p><p> 3. 1 cos 2. 1 cos </p><p> 2. 1 sen 3. 1 sen </p><p> cos1a </p><p> sen 1a</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>45</p><p>3.2.2 Rosa de n/2n pétalos</p><p>Este tipo de curvas forman una figura parecida a una flor. El valor de n (n>1, )</p><p>determina el número de pétalos de la misma. Se tiene una rosa de n pétalos si n es impar ó</p><p>una rosa de 2n pétalos si n es par. La longitud del pétalo queda determinada por el valor de a.</p><p>ó</p><p>Ejemplos</p><p>2. (2 )sen 3. cos (2 ) </p><p>3. (3 )sen </p><p>2. cos (3 ) </p><p> ncosa</p><p> nsena</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>46</p><p>3.2.3 Lemniscata</p><p>La lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jacob Bernoulli como la modificación</p><p>de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya</p><p>suma de las distancias a dos puntos focales es constante. En contraposición, una lemniscata</p><p>es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el producto de estas distancias es</p><p>constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en Latín significa "cinta colgante".</p><p>ó</p><p>Ejemplos</p><p>2 9. cos (2 ) </p><p>2 4. (2 )sen </p><p>2 9. cos (2 ) </p><p>2 4. (2 )sen </p><p> 2cosa22 </p><p> 2a22 sen</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>47</p><p>3.2.4 Espiral</p><p>La espiral aparece como motivo ornamental desde las épocas más remotas. Se la puede</p><p>encontrar en túmulos mortuorios de la edad del bronce y en vasijas griegas y etruscas (antigua</p><p>civilización italiana). También aparece en la cerámica popular como motivo decorativo de</p><p>muchos platos. Esto no es extraño, si pensamos la extrema facilidad con la que se puede</p><p>dibujar sobre el torno del alfarero; basta con ir desplazando el pincel en una dirección</p><p>determinada, desde el centro hacia el borde, con una velocidad constante.</p><p>Se la conoce entre los matemáticos como Espiral de Arquímedes, ya que fue este notable</p><p>físico y matemático griego el primero que, fascinado por su belleza, realizó un estudio profundo</p><p>sobre las propiedades matemáticas de esta curva, en el siglo III antes de Cristo, en un escrito</p><p>titulado “Sobre las espirales”.</p><p>Matemáticamente la espiral de Arquímedes se define como el lugar geométrico de un punto del</p><p>plano que partiendo del extremo de una semirrecta se mueve uniformemente sobre ella,</p><p>mientras que la semirrecta gira también uniformemente sobre uno de sus extremos. Es decir,</p><p>se desarrolla siguiendo la ley de una proporción constante entre la distancia al centro y la</p><p>amplitud del ángulo de giro.</p><p>donde es la distancia al origen, a una constante y es el</p><p>ángulo (en radianes).</p><p>Ejemplo</p><p>2. , 0 6 </p><p> a</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>48</p><p>Construcción de curvas en coordenadas polares</p><p>Para construir curvas en coordenadas polares necesitamos un plano coordenado y una tabla</p><p>de valores. En la tabla de valores tenemos el ángulo en radianes y el radio en una unidad</p><p>arbitraria.</p><p>Ejemplo 1</p><p>La ecuación polar 2cos2 de acuerdo a lo visto, corresponde a una rosa de 4 pétalos</p><p>de longitud 2 unidades cada uno.</p><p>Comenzamos dando a θ valores en el primer cuadrante y calculando en cada caso el</p><p>correspondiente valor de ρ. Luego con esos valores y conociendo la forma de la curva,</p><p>graficamos:</p><p>Seguimos con ángulos del segundo cuadrante:</p><p>Ahora, sabiendo que el gráfico corresponde a una rosa de 4 pétalos y teniendo en cuenta la</p><p>forma y simetrías de esta curva, podemos terminar de generar el correspondiente gráfico:</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>49</p><p>Ejemplo 2</p><p>Graficaremos la espiral 2 con 60 .</p><p></p><p> / 2</p><p>7 / 12</p><p>2 / 3</p><p>2</p><p>4</p><p>5</p><p></p><p></p><p> 3,14 3,66 4,18 12,5 25,1 31,41 37,6</p><p>0 / 12 / 6 / 4 / 3 5 / 12 /2</p><p> 0 0,52 1,04 1,57 2,09 2,61 3,14</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>50</p><p>3. Generación de superficies en el espacio</p><p>Fuente imagen: http://envolventes-regladas.blogspot.com.ar/</p><p>El propósito general de este punto es inducir a la búsqueda y manejo de las variaciones de la</p><p>forma. En esta búsqueda, la geometría de superficies no será conceptualizada como algo</p><p>definido e inmutable en sus leyes y relaciones mutuas, más bien, será pensada como la</p><p>materia prima elemental, con la cual se logre la tarea de imaginar y construir nuevas formas.</p><p>La conceptualización clásica de la geometría en el espacio pone su énfasis en la lectura</p><p>descriptiva del elemento geométrico; esta lectura identifica y relaciona partes del mismo</p><p>elemento: vértices, arista y caras, perpendicularidad de las caras, etc.</p><p>Aquí pondremos énfasis en hacer, construir, imaginar y componer elementos geométricos.</p><p>Trataremos de buscar nuevas formas, combinando posibilidades generativas.</p><p>Los puntos, líneas y figuras que constituyen estas formas básicas (generatrices) se mueven</p><p>(traslación, rotación) a partir del plano base en la cual están ubicadas, según una línea o</p><p>dirección, forma guía o directriz del desplazamiento.</p><p>Movimientos para la generación de superficies y cuerpos</p><p>Traslación</p><p>Es el desplazamiento de un elemento o figura plana</p><p>según un forma guía o dirección.</p><p>Combinando formas generatrices con diferentes formas directrices, podemos generar distintas</p><p>superficies en el espacio. Por ejemplo:</p><p>http://envolventes-regladas.blogspot.com.ar/</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>51</p><p>Rotación</p><p>Es el desplazamiento de un elemento o figura plana alrededor de un</p><p>eje, llamado eje de rotación.</p><p>Torsión</p><p>Es la combinación de la traslación con la rotación.</p><p>4.1 Superficies de rotación</p><p>Son las superficies que se obtienen al aplicar el movimiento de rotación a una curva plana</p><p>dada, en torno a un eje. Se dice que la curva genera a la superficie.</p><p>Ejemplos</p><p>Paraboloide</p><p>Generatriz: Parábola.</p><p>Eje de rotación: Eje de simetría de la</p><p>Parábola.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>52</p><p>Esfera</p><p>Generatriz: Circunferencia</p><p>Eje de rotación: Recta que contiene</p><p>un diámetro de la circunferencia.</p><p>Elipsoide</p><p>Generatriz: Elipse.</p><p>Eje de rotación: Recta que contiene al</p><p>eje mayor de la elipse.</p><p>Hiperboloide de una hoja</p><p>Generatriz: Hipérbola</p><p>Eje de rotación: Recta que contiene al</p><p>eje imaginario de la hipérbola.</p><p>Hiperboloide de dos hojas</p><p>Generatriz: Hipérbola</p><p>Eje de rotación: Recta que contiene al</p><p>eje real de la hipérbola.</p><p>CÁTEDRA DE MATEMÁTICA - FADU – UNL CURVAS Y SUPERFICIES</p><p>LIC. DISEÑO DE LA COMUNICACIÓN VISUAL – LIC. DISEÑO INDUSTRIAL</p><p>53</p><p>Toro</p><p>Generatriz: Circunferencia.</p><p>Eje de rotación: Recta exterior a la generatriz.</p><p>4.2 Superficies de traslación</p><p>Son las superficies que se obtienen al aplicar el movimiento de traslación a una curva plana</p><p>dada, en la dirección de otra curva plana.</p><p>Ejemplos</p><p>Cilindro circular recto</p><p>Generatriz: Circunferencia.</p><p>Directriz: Recta perpendicular al plano que contiene a la</p><p>generatriz.</p><p>Cilindro parabólico</p><p>Generatriz:</p>