Vista previa del material en texto
Momento lineal y choques
1
Prof. Ing. Alberto Pacci
La cantidad de movimiento de una partícula se
define como el producto de la velocidad v por la
masa de la partícula:
p = m v
La segunda ley de Newton establece que la fuerza
sobre un objeto es igual a la rapidez de cambio de la
cantidad de movimiento del objeto.
En términos de la cantidad de movimiento, la
segunda ley de Newton se escribe como:
dt
dp
F
Momento lineal y su conservación
2
Para dos partículas que
interactúan se cumple que:
dt
d 1
12
p
F
dt
d 2
21
p
F
De la tercera ley de
Newton, tenemos que:
2112 FF
Conservación de la cantidad de movimiento
para dos partículas
3
m1
m2
F12
F21
P1 = m1v1
P2 = m2v2
4
De aquí se obtiene que:
021
21 pp
pp
dt
d
dt
d
dt
d
Esto significa que: ptotal = p1 + p2 = constante
La ley de la conservación del momento lineal
establece que siempre que dos partículas aisladas
interactúan entre sí, su momento total permanece
constante.
Impulso y momento
5
El impulso se define como el cambio en la cantidad de
movimiento de un cuerpo:
ppp
p
FI
12
2
1
tt
t
t
dt
dt
d
dt
El impulso de la fuerza F es
igual al cambio de momento
de la partícula.
El impulso es un vector que
tiene una magnitud igual al
área bajo la curva de fuerza-
tiempo.
ti tf
t
F
La fuerza F que actúa en un tiempo muy corto, y se le llama
fuerza de impulso.
El impulso se puede escribir como: I = Fm t. Donde Fm es
la fuerza promedio durante el intervalo.
ti tf
t
F
Fm
Área = Fm t
6
g
v
R 0
2
0sen2
7
Ejemplo.- Una pelota de golf de 50 g es golpeada por un palo
de golf y ésta alcanza una distancia de 200m, calcular el
impulso aplicado por el palo, suponga un ángulo de 45° el la
velocidad inicial. El alcance esta dado por R. Si el tiempo de
contacto dura 4.5 x 10–4 s
g
v
R 0
2
0sen2
8
Ejemplo.- Una pelota de golf de 50 g es golpeada
por un palo de golf y ésta alcanza una distancia
de 200m, calcule el impulso aplicado por el palo,
suponga un ángulo de 45° el la velocidad inicial.
El alcance esta dado por R. Si el tiempo de
contacto dura 4.5 x 10–4 s
A B
C
mgxv CB 448.9200
I = p = mvB – mvA = (0,050)(44) = 2,2 kg m/s
Si el tiempo de
contacto dura 4.5 x
10–4 s la fuerza es:
F = I /Δt = 4900 N
PROBLEMA.- Un tenista recibe una pelota de
55 g de masa con una velocidad de 72 km/h; y
la devuelve en sentido contrario con una
velocidad de 36 km/h. Calcula el impulso que
recibe la pelota y la fuerza media que aplica el
tenista, si el contacto de la pelota con la
raqueta dura una centésima de segundo.
9
I = F · t = p = m · v2 – m · v1 =
= 0,055 kg · (–10 m/s) · – 0,055 kg · 20 m/s · =
I = –1,65 kg ·m/s
I –1,65 ·kg ·m/s
F = —— = —————— = –165 N
t 0,01 s
Signo negativo pues tienen sentido contrario al
inicial de la pelota.
10
PROBLEMA.- Un tenista recibe una pelota de 55 g de
masa con una velocidad de 72 km/h; y la devuelve en
sentido contrario con una velocidad de 36 km/h. Calcula
el impulso que recibe la pelota y la fuerza media que
aplica el tenista, si el contacto de la pelota con la raqueta
dura una centésima de segundo.
SOLUCIÓN
Colisiones
11
Llamamos colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos
mediante una fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de
los cuerpos, entonces la conservación de la cantidad de
movimiento establece que:
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
Donde v1i, v2i, v1f y v2f son las velocidades iniciales y finales
de las masas m1 y m2.
m1 m2
F12
F21
v1f
v1i
v2fv2i
antes
después
12
Ejemplo.- Un automóvil de 1 800 kg está detenido
y es golpeado por atrás por otro automóvil de 900
kg y los dos quedan enganchados. Si el auto
pequeño se movía a 20 m/s ¿cuál es la velocidad
final de los dos?
SOLUCIÓN
pi = m1v1i = (900)(20) = 18 000 kg m/s
pf = m1vf + m2vf = (m1 + m2) vf = 2700 vf
vf = 18 000 / 2 700 = 6,67 m/s
m2=1800 Kg
v2= 0
m1=900 Kg
v1= 20 m/s
v = vf
m2m1
Consideraremos colisiones en una dimensión.
Las colisiones se clasifican en:
Elásticas: cuando se conserva la energía cinética
total, es decir:
Inelásticas: cuando parte de la energía cinética
total se transforma en energía no recuperable
(calor, deformación, sonido, etc.).
Perfectamente inelásticas: cuando los objetos
permanecen juntos después de la colisión.
v1f = v2f
2
222
12
112
12
222
12
112
1
ffii vmvmvmvm
Clasificación de las colisiones
13
Para colisiones
perfectamente inelásticas
se cumple lo siguiente:
21
2211
21
mm
vmvm
vvv iiff
Si m2 está inicialmente en
reposo, entonces:
21
11
mm
vm
v i
Si m1» m2, entonces v v1i
Si m1« m2, entonces v 0
Si v2i = -v1i , entonces:
Si en este caso m1= m2
entonces: v = 0
iv
mm
mm
v 1
21
21
Colisiones perfectamente inelásticas
14
m1 m2
v1i v2i
m1+m2
vf
En colisiones elásticas se conserva el momento y la
energía total. Entonces se tiene que:
y
2
222
12
112
12
222
12
112
1
ffii vmvmvmvm
ffii vmvmvmvm 22112211
Es fácil mostrar, a partir de lo anterior, que:
fifi vvvv 2211
m1 m2
v1i v2i
v2fv1f
Antes de la colisión Después de la colisión
Choques elásticos
15
Es fácil mostrar que las
velocidades finales de
los dos objetos son:
iif
iif
v
mm
mm
v
mm
m
v
v
mm
m
v
mm
mm
v
2
21
12
1
21
1
2
2
21
2
1
21
21
1
2
2
En una colisión elástica la velocidad relativa de los cuerpos
en colisión cambia de signo, pero su magnitud permanece
inalterada.
fi
fff
iii
uu
vvu
vvu
21
21
Si denotamos por u la velocidad
relativa de los objetos, entonces:
16
Si m1 = m2, entonces v1f = 0 y v2f = v1i. Es decir, dos
objetos de masas iguales intercambian sus
velocidades.
Si m1 » m2, entonces v1f v1i y v2f 2v1i. Quiere decir
que un objeto grande que choca con otro pequeño casi
no altera su velocidad pero el objeto pequeño es
arrojado con una velocidad del doble de la del pesado.
Si m1 « m2, entonces v1f -v1i y v2f (2 m1/m2)v1i 0.
Cuando un objeto ligero choca con otro pesado,
adquiere una velocidad opuesta a la que traía.
Si v2i = 0, entonces:
ifif v
mm
m
vv
mm
mm
v 1
21
1
21
21
21
1
2
y
17
Colisiones en dos dimensiones
18
Para el caso de dos dimensiones la conservación del
momento se expresa para cada componente como:
m1v1ix + m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx
m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy
m1
m2
v1i
v2f
v1f
Antes de la colisión Después de la colisión
v2i
Consideraremos el caso en que m2 está en reposo
inicialmente. Después del choque m1 se mueve a un ángulo θ
con la horizontal y m2 se mueve a un ángulo f con la
horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan como:
m1v1i = m1v1fcos θ + m2v2fcos ϕ
0 = m1v1f sen θ - m2v2f sen ϕ
m1
m2
v1i
v2f
v1f
Antes de la colisión
Después de la
colisión
f
La ley de la conservación de la energía suministra otra
ecuación. Sin embargo, dadas las masas y la velocidad inicial
deberá darse alguna de las cantidades restantes v1f,v2f, ϕ, θ.
2
222
12
112
12
112
1
ffi vmvmvm
19
20
2. Un auto de 1500 kg a 25 m/s hacia el este choca con una
camioneta de 2500 kg que se mueve hacia el norte a 20 m/s
en un cruce. Encuentre la magnitud y dirección de la
velocidad de los autos después del choque, suponga un
choque perfectamente inelástico.
21
2. Un auto de 1500 kg a 25 m/s hacia el este choca con una
camioneta de 2500 kg que se mueve hacia el norte a 20 m/s
en un cruce. Encuentre la magnitud y dirección de la
velocidad de los autos después del choque, suponga un
choque perfectamente inelástico.
SOLUCIÓN
25 m/s
20 m/s
vf
Momento en x:
Antes Después
(1500 kg)(25 m/s) = (4000 kg) vf cosθ
Momento en y:
Antes Después
(2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg) vf sen θ
Resolviendo
θ = 53,1° vf = 15,6 m/s
22
3. Un bloque de masa m1=1,6kg, moviéndose hacia la derecha
conuna velocidad de 4 m/s sobre un camino horizontal sin
fricción, choca contra un resorte sujeto a un segundo bloque
de masa m2= 2,1kg que se mueve hacia la izquierda con una
velocidad de 2,5m/s. (k= 600 N/m). En el instante en que m1 se
mueve hacia la derecha con una velocidad de 3 m/s
determinar:
a) La velocidad de m2
b) La distancia x que se comprimió el resorte
23
SOLUCIÓN
Por conservación del momento lineal
'' 22112211 vmvmvmvm
')1,2()3)(6,1()5,2)(1,2()4)(6,1( 2v
Obtenemos: ismv )/74,1('2
Por conservación de la energía:
22
22
2
11
2
22
2
11
2
1
'
2
1
'
2
1
2
1
2
1
kxvmvmvmvm
X = 0,173m