Vista previa del material en texto
ECUACIONES DIFERENCIALES TIPOS Y SOLUCIÓN LOGRO DE LA SESIÓN: “Al finalizar la sesión el estudiante identificará el orden, los tipos y las soluciones de una ecuación diferencial.” ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES Tipos Soluciones ¿Qué es una ecuación diferencial? Se denomina ecuación diferencial (ED) a la ecuación que contiene derivadas o diferenciales respecto a una o mas variables. Podemos clasificar las ecuaciones diferenciales por orden, tipo y linealidad. ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES ¿Cuál es su utilidad? Las Ecuaciones diferenciales son muy útiles en ciencias como la Física, Química, Economía, Biología y más. ✓ Aplicaciones en Análisis de poblaciones. ✓ Ley de enfriamiento de Newton. ✓ Análisis de circuitos RLC. Entre otras. 1CLASIFICACIÓN Por tipo Si en una ecuación diferencial solo hay diferenciales totales y derivadas ordinarias se denomina ecuación diferencial ordinaria (EDO). Ejemplo. 1. 𝑥2 ⅆ2𝑦 ⅆ𝑥2 + 2𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 = 𝑥2 + 2 2. 𝑥 + 𝑦2 − 3𝑦 ⅆ𝑥 + 𝑥2 + 3𝑥 + 𝑦 ⅆ𝑦 = 0 3. ⅇ𝑥𝑦′ + 2𝑦 = sin 𝑥 ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales se denomina ecuación diferencial parcial (EDP). Ejemplo. Las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales. 1. 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑦 2. 𝜕𝑢 2 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 = 0 3. 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN Datos/Observaciones Por orden El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuación. Ejemplo. La ecuación ⅆ2𝑦 ⅆ𝑥2 + 2𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 3 − 𝑦 = ⅇ𝑥 es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden Según linealidad Una ecuación diferencial ordinaria lineal es una ecuación que puede ser escrita en la forma 𝑎𝑛 𝑥 ⅆ𝑛𝑦 ⅆ𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 ⅆ𝑛−1𝑦 ⅆ𝑥𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔 𝑥 ó 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦 (𝑛−1) +⋯+ 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔 𝑥 Una ecuación diferencial que no puede escribirse de esta forma se llama una ecuación diferencial no lineal. Vemos que las dos propiedades características de una EDO lineal son: 1. La variable dependiente 𝑦 y todas sus derivadas 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛) son de primer grado, es decir, la potencia de cada termino en que interviene y es 1. 2. Los coeficientes 𝑎0; 𝑎1 ; … ; 𝑎𝑛 dependen solo de la variable independiente 𝑥. ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN Ejemplo. Las ecuaciones 1. 𝑦′′ + 2𝑦′ + 5𝑥𝑦 = 𝑥2 2. ⅆ3𝑦 ⅆ𝑥3 + 2𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 − 𝑦 = ⅇ𝑥 3. 𝑦 − 𝑥 ⅆ𝑥 + 4𝑥 ⅆ𝑦 = 0 son ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo, tercer y primer orden. Ejemplo. Las ecuaciones 1. 1 − 𝑦 𝑦′ + 2𝑦 = ⅇ𝑥 2. 𝑦′′ + 𝑦2 = 𝑥2 3. ⅆ𝑦 ⅆ𝑥2 + 𝑦 = sin 𝑦 son ecuaciones diferenciales no lineales. ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN 1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Soluciones explícitas Soluciones implícitas Solución general Solución particular Ejemplo. Verificar que la solución general de la ED 𝑦′ + 𝑦 = 1 1 + ⅇ2𝑥 esta dada por 𝑦 = ⅇ−𝑥 (arctan ⅇ𝑥) + 𝐶 Determine la solución particular que satisface la condición 𝑦(0) = 𝜋 Solución: Reduciendo 𝑦′ = −ⅇ−𝑥 arctan ⅇ𝑥 + 𝐶 + 1 1+ⅇ2𝑥 Luego Así 𝑦′ + 𝑦 = 1 1+ⅇ2𝑥 Solución particular 𝑥 = 𝑜;𝑦 = 𝜋 𝜋 − arctan 1 = 𝑪 Por tanto 𝑦 = ⅇ−𝑥 arctan ⅇ𝑥 + 𝜋 − arctan 1 ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN 𝑦′ = −ⅇ−𝑥 arctan ⅇ𝑥 + 𝐶 + ⅇ−𝑥 1 1 + ⅇ2𝑥 (ⅇ𝑥) 𝑦′ + 𝑦 = −ⅇ−𝑥 arctan ⅇ𝑥 + 𝐶 + 1 1 + ⅇ2𝑥 + ⅇ−𝑥 arctan ⅇ𝑥 + 𝐶 2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN: Separación de variables: Se dice que la ecuación ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 = 𝑔 𝑥 ℎ 𝑦 es separable o de variables separables Solución de ecuaciones de variables separables Si dividimos la ecuación ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 = 𝑔 𝑥 ℎ 𝑦 entre ℎ(𝑦) e integramos. න ⅆ𝑦 ℎ 𝑦 = න𝑔 𝑥 ⅆ𝑥 ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN Ejemplo. Resolver 𝑥 1 + 𝑦2 + 𝑦 1 + 𝑥2𝑦′ = 0 Solución. : ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN 𝑥 1 + 𝑦2 + 𝑦 1 + 𝑥2 ⅆ𝑦 ⅆ𝑥 = 0 𝑥 1 + 𝑦2 ⅆ𝑥 = −𝑦 1 + 𝑥2 ⅆ𝑦 𝑥 1 + 𝑥2 ⅆ𝑥 = − 𝑦 1 + 𝑦2 ⅆ𝑦 1 2 න ⅆ𝑢 𝑢 = 1 2 න ⅆ𝑣 𝑣 𝑢 = 𝑣 𝑢 = 1 + 𝑥2 𝑣 = 1 + 𝑦2 ⅆ𝑢 = 2 𝑥 ⅆ𝑥 ⅆ𝑣 = 2𝑦 ⅆ𝑦 1 + 𝑥2 = 1 + 𝑦2 + 𝑐 1 + 𝑥2 − 1 + 𝑦2 = 𝑐 Ejemplo. Resolver tan 𝑥 cos 2𝑦 ⅆ𝑥 + cos 2𝑥 cot 𝑦 ⅆ𝑦 = 0; 𝑦 𝜋 = 𝜋 2 Solución. : ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN Ejemplo. Resolver 𝑥2𝑦 − 𝑥2 + 𝑦 − 1 ⅆ𝑦 + 𝑥𝑦 + 2𝑥 − 3𝑦 − 6 ⅆ𝑥 = 0; 𝑦 3 = 1 Solución. : ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales según su el orden, tipo y linealidad; e identificar las variables dependientes e independientes. a) 𝑏) 𝜕𝑈 𝜕𝑡 = 𝜕2𝑈 𝜕𝑥2 + 4 𝜕𝑈 𝜕𝑦 𝑐) ⅆ3𝑠 ⅆ𝑡3 2 + ⅆ2𝑠 ⅆ𝑡2 3 = 𝑠 − 3𝑡 ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN 𝑦′ = 𝑥2 + 5𝑦 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 2. Verificar que la función 𝑦 = sin 𝑥 𝑥 es solución de la Ecuación diferencial ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN 𝑥𝑦′ + 𝑦 = cos 𝑥 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 3. A partir de la solución general, hallar la solución particular de cada problema de valor inicial (PVI) ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN 𝑦′ + 2𝑦 = 0; 𝑦 0 = 3; 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑔ⅇ𝑛ⅇ𝑟𝑎𝑙 𝑦 = 𝑐ⅇ−2𝑥 LISTO PARA MI EJERCICIO RETO Resolver la ecuación 1 + 𝑦 + 𝑦2 ⅆ𝑥 + 𝑥 𝑥2 − 4 ⅆ𝑦 = 0; 𝑐𝑜𝑛 𝑦 2 = 0 EJERCICIO RETO Datos/Observaciones 3 FINALMENTE IMPORTANTE 1. Saber identificar los tipos de ecuaciones diferenciales y sus soluciones. 2. Recordar los métodos de integración visto en cursos anteriores. Gracias por tu participación Hemos visto la importancia en la vida cotidiana de las ecuaciones diferenciales. Ésta sesión quedará grabada PARA TI 1. Revisa los ejercicios indicados y realiza la Tarea de ésta sesión. 2. Consulta en el FORO tus dudas. Datos/Observaciones
