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MAGNETOSTÁTICA EN EL VACÍO
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LA MAGNETOSTÁTICA estudia la interacción entre corrientes eléctricas estacionarias.
En las corrientes estacionarias (también llamadas constantes ó directas) 0=
∂
∂−=•∇
→
t
J
ρ
, ya que la densidad de
carga no es una función del tiempo.
Introducción
Las primeras observaciones del magnetismo se remontan al descubrimiento de la magnetita. Hasta antes de 1820, se
sabía que las fuerzas entre dos piedras imán eran atractivas o repulsivas dependiendo de cuales de sus extremos estaban
próximos –polos magnéticos-, además de que existían torques que tendían a hacerlas girar.
La primera observación de que existe una conexión entre la electricidad y el magnetismo fue realizada en 1819 por
Hans Christian Oersted, quien descubrió que un alambre con corriente produce un campo magnético. Poco después de
publicarse los resultados de Oersted (1820); Jean-Baptiste Biot y Félix Savart midieron la fuerza magnética ejercida
por un circuito de corriente sobre un pequeño imán colocado a cierta distancia, esto con el fin de obtener una expresión
matemática del campo magnético de un circuito de corriente. Aproximadamente en la misma época, Andre Marie
Ampere medía la fuerza entre dos circuitos de corriente eléctrica. Los resultados de estos experimentos se resumen en
una ley, llamada ley de Ampere cuando se escribe de manera que da la fuerza entre dos circuitos, y ley de Biot-Savart
si se escribe en una forma que da el campo magnético debido a un circuito.
19. Principios fundamentales de la magnetostática
19.1 Ley de Ampere
Consideremos dos circuitos completos ideales, C y C’, que conducen corrientes constantes filamentales, I e I’,
respectivamente. En función de los elementos de corriente Id r
→
e ' 'I d r
→
, cuyos vectores de posición son
→
r y
→
'r , la
fuerza total que C’ ejerce sobre C es dada por
0
'
3'
[ ' ' ( ')]
4 | ' |
C C
C C
Id r I d r r r
F
r r
µ
π
→ → → →
→
→ → →
× × −=
−
∫ ∫� � (34a)
donde la constante de proporcionalidad πµ 4/0 depende del sistema de unidades. En el sistema internacional, la
permeabilidad magnética del espacio libre, 0µ , tiene el valor
27
0 /104 AN
−×= πµ
19.2 Ley de Biot-Savart (Inducción magnética, campo magnético o densidad del flujo magnético)
La ley de Biot-Savart establece que el campo magnético* en el punto
→
r producido por un circuito, C’, de corriente
constante, I’, se puede escribir como
0
3'
' ' ( ')
( )
4 | ' |C
I d r r r
B r
r r
µ
π
→ → →
→ →
→ →
× −=
−
∫� , [ ]
=
=
2m
Weber
mA
N
Tesla (34b)
y que dicho campo ejerce una fuerza sobre un circuito, C, de corriente constante, I, igual a
( )
C
F Id r B r
→ → → →
= ×∫� (34c)
Para generalizar estas dos últimas ecuaciones, al caso en que se tienen corrientes en un volumen, basta considerar la
*Regularmente se denomina vector inducción magnética o densidad del flujo magnético, en tal caso la denominación de campo
magnético se reserva para un vector auxiliar que se obtiene al considerar la presencia de materia.
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equivalencia entre los elementos de corriente, obteniéndose
0
3'
( ') ( ')
( ) '
4 | ' |V
J r r r
B r dv
r r
µ
π
→ → → →
→ →
→ →
× −=
−
∫ , ( ) ( )
V
F J r B r dv
→ → → → →
= ×∫
19.3 Principio de Superposición
La fuerza que varios circuitos, C’, ejercen sobre un circuito, C, es la suma vectorial de las fuerzas individuales sobre C;
es decir
∑ →
→→
=
'
'
C
CCC FF (34d)
El resultado anterior implica que la inducción magnética satisface el principio de superposición.
20. Fuerza y momento de torsión sobre una distribución de corriente
Una distribución de corriente, de densidad )(
→→
rJ , inmersa en un campo magnético externo, )(
→→
rB , experimenta una
fuerza dada por:
∫
→→→→→
×=
V
dvrBrJF )()( (35c)
y una torca igual a
∫
××=
→→→→→→
V
dvrBrJrN )()( (35d)
El principio de funcionamiento del motor eléctrico se basa en la fuerza y torca que una espira de corriente experimenta
en presencia de un campo magnético -La espira sufre una rotación neta que tiende a orientar su momento dipolar en la
dirección del campo-.
Ejemplos: Véase “Momento de torsión en una espira de corriente”. Física vol. II. Resnick. Pag. 174-175.
21. Líneas de campo magnético
Al igual que el campo eléctrico, el campo magnético se representa mediante líneas que indican su dirección e
intensidad.
El método para trazar las líneas de campo magnético es análogo al empleado para las de campo eléctrico. Por lo tanto,
las ecuaciones que satisfacen dichas líneas son
� y zB dz B dy= (36a) � z xB dx B dz= (36b) � x yB dy B dx= (36c)
21.1 Líneas de campo de un elemento de corriente filamental
Para determinar las líneas de campo de un elemento de corriente filamental, analicemos la expresión del campo que
produce
0
3
' ' ( ')
( )
4 | ' |
I d r r r
d B r
r r
µ
π
→ → →
→ →
→ →
× −=
−
. (37)
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Como podemos observar la inducción magnética tiene las siguientes características:
• Es proporcional a la corriente I’ que fluye en el filamento diferencial, a la longitud | ' |d r
�
de este, y al seno del
ángulo que forman el filamento y la recta que lo une al punto de observación, r
�
(ver figura 21).
• Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la posición del elemento de corriente y el punto
donde se desea hallar el campo.
• Su dirección es normal al plano que contiene al filamento diferencial y a la recta antes mencionada.
De la última observación se tiene que las líneas de B producidas por un elemento de corriente son circunferencias
concéntricas ubicadas a lo largo de un eje que tiene la dirección de 'dr
�
.
→
Bd
→
r 'I
→
'r 'dr
Figura. 21.
22. Cargas eléctricas puntuales en movimiento
22.1 Campo magnético de una carga puntual
La inducción magnética en el punto
→
r , producida por una carga puntual 0q que se mueve a la velocidad 0v
→
, es dada
por
0 0 0 0
3
0
v ( )
( )
4 | |
q r r
B r
r r
µ
π
→ → →
→ →
→ →
× −=
−
0 0 es el vector de posición de la carga r q
→
(38a)
Demostración ecuación (38a)
La densidad de corriente de la carga puntual en movimiento es 0 0 0( ') ( ') v( ') ( ' ) vvJ r r r q r rρ δ
→ → →
= = −
�� �� �� �� ��
, al sustituir en
la ecuación (34d) se obtiene
0 0 00 0 0 0 0 0
3 3 3' '
0
( ' ) v ( ') v ( )( ') ( ')
( ) ' '
4 4 4| ' | | ' | | |V V
q r r r r q r rJ r r r
B r dv dv
r r r r r r
µ µ µδ
π π π
→ → → → → →→ → → →
→ →
→ → → → → →
− × − × −× −= = =
− − −
∫ ∫
�� ��
.
22.2 Fuerza sobre una carga en movimiento debida a un campo magnético externo
La fuerza magnética sobre una carga puntual 1q que se mueve a la velocidad 1v
→
, debida a un campo magnético
externo,es dada por
Método alternativo. Si el elemento de corriente ' 'I d r
→
está
en la posición
→
'r y es paralelo al eje z, entonces:
{ }
0
3/22 2 2
' ( ') ( ') '
( )
4 ( ') ( ') ( ')
[ ]I y y x x x y dz
d B r
x x y y z z
µ
π
∧ ∧
→ → − − + −=
− + − + −
En el plano XY, de acuerdo a las ecuaciones de las líneas de
campo antes vistas, se tiene:
'
'
yy
xx
dx
dy
−
−−= , cuya solución
general es: 222 )'()'( rcteyyxx ==−+− .
De aquí tenemos que las líneas de campo en el plano XY son
circunferencias concéntricas al eje del elemento de corriente.
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1 1v extF q B
→ → →
= × (38b)
Demostración ecuación (38b).
1 1 1 1 1 1
' '
( ') ( ') ' ( ' ) v ( ') ' v ( )ext ext ext
V V
F J r B r dv q r r B r dv q B rδ
→ → → → → → → → → → →
= × = − × = ×∫ ∫
�� ��
22.3 Fuerza de Lorentz
Si consideramos la última ecuación y la fuerza eléctrica sobre una carga puntual; la fuerza electromagnética sobre una
carga puntual, denominada fuerza de Lorentz, es
vext extF q E B
→ → → → = + ×
(38c)
23. Propiedades del campo magnetostático
Propiedades locales Propiedades globales
6.1 Ley de Gauss magnética en su forma diferencial
0B
→
∇ • = (39a)
Representa la no existencia de monopolos
magnéticos aislados y el que las líneas de campo
magnético (de corrientes acotadas en el espacio) son
curvas cerradas o curvas continuas sin convergencia
ni divergencia puntual.
⇔
6.2 Ley de Gauss magnética en su forma integral
0
S
B n da
→ ∧
• =∫� (39b)
El flujo de campo magnético sobre una superficie
cerrada es nulo.
⇕ ⇕
→→→
×∇= ArB )( (39c)
donde ∫
−
= →→
→→
→→
'
0 '
|'|
)'(
4
)(
V
dv
rr
rJ
rA
π
µ
A
→
es el potencial vectorial magnético.
Si 1S y 2S son superficies abiertas con la misma
frontera, el flujo del campo magnético sobre ambas
superficies tiene el mismo valor, es decir,
1 2
( )
S S
B d a B d a
→ → → →
• = • −∫ ∫ (39d)
6.3 Forma diferencial de la ley circuital de Ampere
0B Jµ
→ →
∇× = (39e)
Expresa la rotacionalidad del campo magnetostático
en los puntos donde se ubican sus fuentes (sólo
corrientes directas).
⇔
6.4 Forma integral de la ley circuital de Ampere
0
C S
B d r J d aµ
→ → → →
• = •∫ ∫� (39f)
La integral sobre una trayectoria cerrada C de la
componente tangencial del campo magnético es
directamente proporcional a la corriente que pasa a
través de la superficie cerrada S que tiene como frontera
a la curva C, siendo la constante de proporcionalidad la
permeabilidad magnética de vacío.
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24. Expansión multipolar del potencial vectorial y Campo magnético de un circuito distante
El término más bajo distinto de cero en la expansión del potencial vectorial de una distribución localizada de corriente,
en puntos muy alejados de la misma, se escribe como
3
0
||4
)( →
→→
→→ ×=
r
rm
rA
π
µ
(42a)
donde
∫
→→→→
×= ')'('
2
1
dvrJrm (42b)
es el momento dipolar magnético de la distribución de corriente.
Al tomar el rotacional del potencial vector, se obtiene:
)
)(3
(
4
)(
35
0
r
m
r
rrm
rB
→→→→
→→
−•=
π
µ
(42c)
Demostración ecuaciones (42 a,b).
En el caso de un circuito de corriente filamental:
0
'
'
( )
4 | ' |C
I d r
A r
r r
µ
π
→
→ →
→ →=
−
∫�
Para hallar el potencial vectorial en puntos muy alejados, consideremos la expansión:
...
||
'
||
1
||
'2|'|
1
||
1
'2|'|||
|'|
1
3
2
1
2
2
2
1
22 +•+=
•−+=
•−+=
−
→
→→
→
−
→
→→→
→
−→→→→
→→
r
rr
rr
rrr
r
rrrr
rr
cuando |'|||
→→
>> rr
Al sumar las identidades:
)'('')''(')'''(
→→→→→→→→→
•+•−=×× rrrdrdrrrrdr , )'('')''('))'('('
→→→→→→→→→
•+•=• rrrdrdrrrrrd
se tiene:
))'('('
2
1
)'''(
2
1
)'(''
→→→→→→→→→
•+××=• rrrdrrdrrrrd (como
→
r es constante, entonces 0=
→
rd )
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Y por lo tanto:
0 0
3' ' '
0 0 0
3 3 3' ' '
' 1 1
( ) ' ' ' ' ( ' )
4 4| ' | | | | |
1 1 1
( ' ' ') ' ( '( ')) ( ' ' ')
4 2 2 4 2 4| | | | | |
C C C
C C C
I Id r
A r d r d r r r
r r r r
I I r m r
r d r r d r r r r d r
r r r
µ µ
π π
µ µ µ
π π π
→
→ → → → → →
→ → → →
→ → →
→ → → → → → → →
→ → →
= = + • + ≈
−
×= × × + • = × × =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
⋯� � �
� � �
Demostración ecuación (42c).
Considerando el que
→
m es constante, y las 3 identidades:
•
→→→→→→→→→→
∇•−∇•+•∇−•∇=××∇ BAABBAABBA )()()()()( ,
• 0)(4
||
1
|'|
1
||
2
3
==
−∇=
−
∇•−∇=
•∇
→
→→→→
→
r
rrrr
r δπ para 0≠
→
r ,
•
53
2/3222
3 ||
3
||)(
),,(
||
→
→
→
∧
→
→
−=
++∂
∂=
∂
∂
r
r
xm
r
xm
zyx
zyx
x
m
r
r
x
m x
x
xx
entonces
35333 ||||
)(3
||
)()
||
()
||
( →
→
→
→→→
→
→
→→
→
→
→
→
→
−•=∇•−•∇=××∇
r
m
r
rrm
r
r
mm
r
r
r
r
m ,
y de aquí,
−•=××∇=×∇= →
→
→
→→→
→
→
→→→
35
0
3
0
||||
)(3
4
)
||
(
4 r
m
r
rrm
r
r
mAB
π
µ
π
µ
.
25. Fuerza y torca sobre un dipolo magnético
Un dipolo magnético es un sistema que consiste en una distribución de corriente cuyas dimensiones son muy pequeñas.
Su potencial vectorial y su campo magnético están dados, aproximadamente, por (42a) y (42c).
La fuerza y el momento de torsión sobre un dipolo magnético inmerso en un campo magnético B, son respectivamente:
)(
→→→
•∇= BmF (43a)
→→→
×= Bmτ (43b)
De la ecuación (43b) se obtiene la energía de interacción del dipolo con el campo magnético externo
→→
•−= BmU (43c)
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Ejemplos.
1. Consideré una corriente I’ que circula por la circunferencia de radio a que se muestra en la figura. Encuentre la
inducción magnética en:
a) Cualquier punto sobre el eje de la espira.
b) Un punto arbitrario del espacio.
Sol.
' ( ') sen ' cos ' 0 '
cos ' sen ' ( ')
x y z
d r r r a d
a a z z
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
∧ ∧ ∧
→ → →
× − = − =
− − −
( ') cos ' ( ')sen ' 'a z z x z z y a z dϕ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ − + − +
2 2
0 0 0
2 2 3/2 2 2 3/2
3' 0
' '' ' ( ') ( ') cos ' ( ')sen ' '
( )
4 4 { ( ') } 2 { ( ') }| ' |
[ ]
C
I II d r r r a z z x z z y a z d a z
B r
a z z a z zr r
πµ µ µϕ ϕ ϕπ π
→ → → ∧ ∧ ∧ ∧
→ →
→ →
× − − + − += = =
+ − + −−
∫ ∫�
b) r x x y y z z
→ ∧ ∧ ∧
= + + , ' cos ' sen ' ( ')r a x a y z z zϕ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= + + − , ' ( s ' cos ' ) 'd r a en x y dϕ ϕ ϕ
→ ∧ ∧
= − + ,
' ( cos ') ( sen ') ( ')r r x a x y a y z z zϕ ϕ
→ → ∧ ∧ ∧
− = − + − + − , 2 2 2' ( cos ') ( sen ')| |r r x a y a zϕ ϕ
→ →
− = − + − +
' ( ') sen ' cos 0 '
cos ' sen ' ( ')
x y z
d r r r a d
x a y a z z
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
∧ ∧ ∧
→ → →
× − = − =
− − −
( ') cos ' ( ') sen ' , ( ' cos ') 'a z z x z z y a ysen x z dϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
∧ ∧ ∧ − + − − −
2
0 0
2 2 2 3/2
3' 0
'' ' ( ') [( ')cos ' ( ')sen ' , ( ' cos ') '
( )
4 4 {( cos ') ( sen ') }| ' |
]
C
II d r r r a z z x z z y a ysen x z d
B r
x a y a zr r
πµ µ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π ϕ ϕ
→ → → ∧ ∧ ∧
→ →
→ →
× − − + − − −= =
− + − +−
∫ ∫�
Estas integrales no se pueden resolver por integración analítica (a menos que se usen armónicos esféricos), pero sí por
integración numérica para cada punto del espacio. A continuación se muestran algunas de sus líneas de campo.
z’=cte.
'd r
→
→
'r
a)
Vector de posición del punto de observación: r z z
→ ∧
= .
Vector de posición de los puntos fuente: ' cos ' sen ' 'r a x a y z zϕ ϕ
→ ∧ ∧ ∧
= + + .
Entonces:
' ( s ' cos ' ) 'd r a en x y dϕ ϕ ϕ
→ ∧ ∧
= − + , ' cos ' sen ' ( ')r r a x a y z z zϕ ϕ
→ → ∧ ∧ ∧
− = − − + −
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2. Calcule el campo magnético de un solenoide a lo largo del eje z, si por dicho solenoide circula una corriente I.
Sol.
L
Como el solenoide tiene N vueltas uniformemente enrolladas, entonces el elemento 'dz
con posición ' 'r z z
→ ∧
= contiene 'dz
L
N
vueltas y el campo producido por dicho elemento
en puntos sobre eje z es:
2
0
2 2 3/2
'
( ) '
2 { ( ') }
I N R z
d B r dz
L R z z
µ
∧
→ →
=
+ −
Para obtener el campo total tomamos las demás contribuciones. Por lo tanto:
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/2/2 /2
0 02 2
2 2 3/2 2 2 2 1/2
/2 /2 /2
1 1
0 2 2
2 2 1/2 2 2 1/21 1
2 2
' '' 1 '
2 { ( ') } 2 { ( ') }
'
2 { ( ) } { ( ) }
LL L
L L L
I N I Ndz z z
B d B R z R z
L R z z L R R z z
I N z L z L
z
L R z L R z L
µ µ
µ
→ → ∧ ∧
− − −
∧
−= = = − = + − + −
+ −= − + + + −
∫ ∫
3. Encuentre la inducción magnética de una línea de longitud L con una corriente filamental constante I’.
Sol.
→→
− 'rr
→
'r
→
r
Los puntos fuente son de la forma ' ' ,r z z
→ ∧
= con LzL 2121 '≤≤− y
la posición del punto de observación en coordenadas cilíndricas:
cos senr x x y y z z x y z z z zρ ϕ ρ ϕ ρ ρ
→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= + + = + + = + .
∧∧→→
−+=− zzzrr )'(' ρρ , 22 )'(|'| zzrr −+=−
→→
ρ
' ( ') ' ( ') 'd r r r dz z z z z dzρ ρ ρ ϕ
→ → → ∧ ∧ ∧ ∧ × − = × + − =
/2
/2
0 0 0
2 2 3/2 2 2 23' /2
/2
' '' ' ( ') ' 1 ( ')
( )
4 4 { ( ') } 4 ( ')| ' |
L
L
C L
L
I II d r r r dz z z
B r
z z z zr r
µ µ µρ ϕ ρ ϕ
π π ρ π ρ ρ
→ → → ∧
→ → ∧
→ →
−
−
× − −= = = −
+ − + − −
∫ ∫�
∧→→
−+
−
−
++
+
=∴ ϕ
ρρπρ
µ
2
2
12
2
1
2
2
12
2
1
0
)()(4
'
)(
Lz
Lz
Lz
LzI
rB
4. Se da un circuito de corriente que tiene forma de un cuadrado de lado a . Si el circuito conduce una corriente de
intensidad I, halle la inducción magnética en el centro del cuadrado.-Sugerencia: utilice fórmula del campo
magnético de una línea finita de corriente-
Sol.
z
I
y
El campo magnético en el centro del cuadrado es igual a cuatro veces el campo
producido por cualquiera de las líneas de corriente que forman el cuadrado.
El campo magnético de una línea de longitud L, colocada simétricamente sobre el
eje z, es dado por:
∧→→
−+
−
−
++
+
= ϕ
ρρπρ
µ
2
2
12
2
1
2
2
12
2
1
0
1
)()(4
'
)(
Lz
Lz
Lz
LzI
rB
Interesa calcular el campo de una línea de longitud L=a, en el punto con parámetros: 0y, 22 === za πϕρ .
Sustituyendo estos valores en la expresión anterior se obtiene:
∧∧∧→
−=−=
+
−
−
+
−
= ϕ
π
µ
ϕ
π
µ
ϕ
π
µ
a
IIaaI
B
aaaaaa 2
1
24
)( 0
2
0
44
2
1
44
2
1
2
0
1 2222
El campo magnético total será:
∧∧→→
−=−== ϕ
π
µ
ϕ
π
µ
a
I
a
I
BBT
00
1
22
2
4
4
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5. Dos líneas de carga de la misma longitud, L, son paralelas entre si y descansan sobre el plano yz como se muestra
en la figura. Ambas tienen la misma corriente constante I’. Encontrar la fuerza total sobre II debida a I.
Sol.
1 2
La fuerza que el campo magnético de la línea I ejerce sobre un elemento de
corriente Ids, en la línea II, está dada por:
1 2
2
/2 1 1
0 2 2
1 2 2 2 21 1
/2 2 2
'
'
4 ( ) ( )
L
C C
C L
I z L z L
F Id r B I z dz
z L z L
µ
ϕ
πρ ρ ρ
→ → → ∧ ∧
→
−
+ − = × = × −
+ + + −
∫ ∫�
∫
−
∧
−+
−
−
++
+
−=
2/
2/
2
2
12
2
1
2
2
12
2
1
0 '
)()(
)(
4
' L
L
dz
Lz
Lz
Lz
Lz
I
I
ρρ
ρ
πρ
µ
Puesto que:
[ ] 2/
2/
2
2
12
0
2
2
12
0
2/
2/
2
2
12
0
2
1
2
2
12
0
2
1
)()(
)(
)(
)(
)( L
L
L
L
LzyLzydz
Lzy
Lz
Lzy
Lz
−
−
−+−++=
−+
−
−
++
+
∫
Se obtiene:
[ ] ( )[ ]∧
∧
→
→
−+−=−+−= y
II
y
y
yLy
II
F y
L
CC 11
2
'
22
4
' 20
0
0
22
0
0
021 π
µ
π
µ
De esta expresión concluimos que: Corrientes paralelas se atraen y corrientes antiparalelas se repelen.
6. ¿Cuál es la fuerza que ejerce un campo magnético uniforme sobre un circuito de corriente constante I?
Sol.
La fuerza sobre el circuito es { ( )}
C
F Id r B r
→ → → →
= ×∫� , pero como el campo es independiente de la posición entonces:
0{ }
C
F I d r B
→ → → →
= × =∫� , ya que la integral de una diferencial exacta sobre una trayectoria cerrada es cero: 0
C
d r
→ →
=∫�
Por lo tanto, un campo magnético uniforme no ejerce ninguna fuerza sobre un circuito que conduce una corriente cte.
7. Una espira circular de radio a , que conduce una corriente I, se encuentra en el plano xy con su centro en el origen.
Determine el momento de rotación sobre el circuito debido a un campo magnético uniforme
x y zB B x B y B z
→ ∧ ∧ ∧
= + + .
Sol.
→
r , d r
→
El momento de rotación sobre la espira esta dado por: ∫
××=
→→→→→
C
rBsIdrN )(
Al emplear la identidad
→→→→→→→→→
•−=× •× CBABCACBA )()()( , se obtiene
∫
•−=
→→→→→→→
•
C
BsdrsdBrIN )()(
sustituyendo (cos sen )r a x yϕ ϕ
→ ∧ ∧
= + , ( sen cos )d r a x y dϕ ϕ ϕ
→ ∧ ∧
= − + y
→
B se
tiene:
MAGNETOSTÁTICA EN EL VACÍO
rteutle
60
2
2
0
2
2 2 2 2
0
( cos sen ) ( sen cos )
( cos sen sen ) ( cos sen cos ) ( )
x y
x y x y y x
N Ia B B x y d
Ia B B x B B y d a I B x B y
π
π
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π
→ ∧ ∧
∧ ∧ ∧ ∧
= + − + =
= − − + + = − +
∫
∫
este resultado se puede reescribir como:
→→→∧→
×=×= BmBzIaN 2π , donde 2m a I zπ
→ ∧
= es el momento dipolar
magnético de la espira.
8. Una espira rectangular de lados a y b , que conduce una corriente I, se encuentra en el plano xy con su centro en
el origen. Determine el momento de rotación sobre el circuito debido a un campo magnético uniforme .
→
B
Sol.
y
I
II b x
IV
III a
El momento de rotación sobre la espira esta dado por: ∫
××=
→→→→→
C
rBsIdrN )(
Al emplear la identidad
→→→→→→→→→
•−=× •×CBABCACBA )()()( , se obtiene:
∫
•−=
→→→→→→→
•
C
BsdrsdBrIN )()(
como la integral de línea cerrada es igual a la integral de línea sobre cada uno de
los lados del rectángulo se tiene:
aaxdxsdbxr II 2
1
2
1
2
1 ),0,0,(),0,,( −→==
→→
aaxdxsdbxr IIIIII 2
1
2
1
2
1 ),0,0,(),0,,( →−=−=
→→
bbydysdyar IIII 2
1
2
1
2
1 ),0,,0(),0,,( −→=−=
→→
bbydysdyar IVIV 2
1
2
1
2
1 ),0,,0(),0,,( →−==
→→
[ ] )0,0,(),,()0,0,( 21
2/
2/
2
1
y
a
a
zyxyxI BbaIdxxBBBdxbBxBIN −=−+= ∫
−→
[ ] )0,,0(),,()0,,0( 21
2/
2/
2
1
x
b
b
zyxyxII BabIdyyBBBdyyBàBIN =−+−= ∫
−→
[ ] )0,0,(),,()0,0,( 21
2/
2/
2
1
y
a
a
zyxyxIII BbaIdxxBBBdxbBxBIN −=−−= ∫
−
→
[ ] )0,,0(),,()0,,0( 21
2/
2/
2
1
x
b
b
zyxyxIV BabIdyyBBBdyyBàBIN =−+= ∫
−
→
Por lo tanto:
→→→∧→
×=×=−= BmBzabIBBabIN xy )0,,( , donde
∧→
= zabIm es el momento dipolar magnético de la
espira.
MAGNETOSTÁTICA EN EL VACÍO
rteutle
61
9. Demuestre que el momento dipolar magnético de una espira plana de corriente constante, apunta en la dirección
normal a la superficie encerrada por la espira (de acuerdo a cierta regla de la mano derecha) y su magnitud es el
producto de la corriente y el área encerrada por ella.
Sol.
Figura
I
'dr
→
Consideremos un circuito con corriente I’ que descansa en un plano,
y un sistema coordenado con origen como se indica en la figura.
Como ' 'r d r
→ →
× es perpendicular al plano de la espira y la magnitud
| ' ' |r d r
→ →
× es el área del paralelogramo con lados 'r
→
y 'd r
→
, se
tiene:
'
'
' ' ' ' ' '
2 C
I
m r d r I d a I A I An
→ → → → → ∧
= × = = =∫ ∫� ,
donde A es el área total encerrada por la espira y n
∧
es el vector
normal a ésta superficie.
10. Demuestre que el momento dipolar magnético de una partícula, con carga 0q y masa 0m , es:
0
0
02
q
m L
m
→ →
= , donde
0L
→
es su momento angular orbital.
Sol.
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0' '
1 1
' ( ') ' ' ( ' ) v ' v (m v )
2 2 2 2 2
[ ]
V V
q q q
m r J r dv r q r r dv r r L
m m
δ
→ → → → → → → → → → →
= × = × − = × = × =∫ ∫
�� ��
11. ¿Cuál de los siguientes vectores puede ser un campo magnetostático?. Si es así, ¿qué valor tiene la densidad
volumétrica de corriente?
a.
2 3 2 2
1
2 2
( ), 25( )
0, 25
A yx x x y Si x yB r
Si x y
∧ ∧
→ → − + + <=
+ >
b.
<
<
=
∧
∧
→→
ρϕ
πρ
µ
ρϕ
π
ρµ
a
I
a
a
I
rB
,
2
,
2
)(
0
2
0
2
Sol.
Todo campo magnético debe satisfacer la ecuación 0)( =•∇
→→
rB
(a) 0,
25,0
25,
,
25,0
25,
22
223
22
222
=
>+
<+
=
>+
<+−
= zyx B
yxSi
yxSiAx
B
yxSi
yxSiAyx
B
>+
<+−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=•∇
→
25,0
25,2
22
22
1
yxSi
yxSiAyx
z
B
y
B
x
B
B zyx , no es campo magnetostático.
(b) 0),(,0 === zBBBB ρϕρ
0
1
2 =∂
∂+
∂
∂
++
∂
∂
=•∇
→
z
BBBB
B z
ϕρρρ
ϕρρ
MAGNETOSTÁTICA EN EL VACÍO
rteutle
62
El único vector que puede ser campo magnético es
→
2B . La densidad de corriente que lo produce es:
<
<
=
∂
∂
−
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=×∇=
∧
∧∧∧→→
ρ
ρ
π
ϕ
ρ
ρρ
ϕ
ρ
ρ
ϕρµµ
ρ
ϕ
ρϕ
a
az
a
I
z
B
B
B
z
B
z
BB
BJ zz
,0
,
)(
1111 2
0
2
0
2
12. Encuentre la inducción magnética B producida por un filamento infinitamente largo que lleva una corriente I.
Sol.
→
B
Si el filamento se encuentra sobre el eje z y la corriente fluye en la dirección de z, el campo
tiene la dirección de
∧
ϕ y solo puede ser función de ρ . Por lo tanto
∧→→
= ϕρ )()( BrB .
Considerando la integral de línea de B sobre una circunferencia de radio ρ , se tiene:
( ) ( ) ( )2B d r B dl B l Bρ ϕ ϕ ρ ρ π ρ
→ → ∧ ∧
• = • = =∫ ∫� � ,
como esta cantidad debe ser igual a la corriente total que pasa por la circunferencia, es decir:
IB 02)( µρπρ = ⇒
∧→→
= ϕ
ρπ
µ
2
)( 0
I
rB
13. Considere una línea de transmisión coaxial de longitud infinita que lleva una corriente total I, uniformemente
distribuida, en el conductor central y –I, en el conductor exterior; como se indica en la figura. Determine B.
Sol.
X
y
Por la simetría del problema,
∧→→
= ϕρ )()( BrB . La integral de línea de B sobre la
circunferencia de radio ρ , es:
( ) ( )2B d r B dl Bρ ϕ ϕ ρ π ρ
→ → ∧ ∧
• = • =∫ ∫� � ,
como esta cantidad es igual a la corriente total que pasa por el área que limita la
circunferencia, y dado que:
• la corriente a través del conductor interno de radio a es 2int aJJAadJI
S
π==•= ∫
→→
• la corriente a través del conductor externo es )( 22
'
bcJJAadJI ext
S
ππ −==•= ∫
→→
Se tiene lo siguiente:
• Si a<ρ ,
2
2
2
1
a
IJJAI a
ρρπρ ===< .
• Si a bρ< < , a bI Iρ< < = .
• Si cb << ρ ,
)(
)(
)(
)(
)(
22
22
22
22
22
2int
bc
c
I
bc
b
IIbJIJAJAI cb −
−=
−
−−=−−=−=<<
ρρπρπρ .
• Si c>ρ , 0=−=> III cρ .
MAGNETOSTÁTICA EN EL VACÍO
rteutle
63
Por lo tanto
<
<<
−
−
<<
<
=
ρ
ρρµ
ρµ
ρρµ
ρπρ
c
cb
bc
c
I
baI
a
a
I
B
,0
,
)(
)(
,
,
2)(
22
22
0
0
2
2
0
⇒
<
<<
−
−
<<
<
=
∧
∧
∧
→→
ρ
ρϕρ
πρ
µ
ρϕ
πρ
µ
ρϕ
π
ρµ
c
cb
bc
cI
ba
I
a
a
I
rB
,0
,
)(
)(
2
,
2
,
2
)(
22
22
0
0
2
0
14. Obtenga la ecuación diferencial de segundo grado en derivadas parciales, que satisface el potencial vectorial
magnético.
Sol.
De la forma diferencial de la ley de circuitos de Ampere, )()( 0
→→→→
=×∇ rJrB µ , la relación entre la inducción
magnética y el potencial vector, B A
→ →
= ∇× , y la identidad
→→→
∇−•∇∇=×∇×∇ AAA 2)()( , se tiene:
)()( 0
2
→→→→
=∇−•∇∇ rJAA µ .
La ecuación
→→
=×∇ BA específica solamente el rotacional de A, pero determinar completamente un campo vectorial
requiere conocer su rotacional y su divergencia. La libertad que da la transformación de norma ψ∇+=
→→
AA'
(
→→→→
=×∇=∇×∇+×∇=×∇ BAAA ψ' ), permite dar a
→
•∇ A cualquier forma que convenga. Por ejemplo, si
elegimos ψ tal que 0=•∇
→
A (a esta condición para la divergencia del potencial vectorial se le conoce como norma
de Coulomb), entonces:
)()( 0
2
→→→→
−=∇ rJrA µ
15. Una partícula de masa m y carga q se mueve en una campo eléctrico uniforme ),,( zyx EEEE =
→
y, a la vez, en un
campo magnético uniforme ),0,0( zBB =
→
. Determine la trayectoria de la partícula.
Sol.
La fuerza que actúa sobre la partícula es la fuerza de Lorentz
−+=
×+=
×+=
×+=
•••••→
→
→→→→→
)0,,(),,(),0,0(),,(),,(v zzzyxzzyx BxByEEEqBzyxEEEqBdt
rd
EqBEqF
de la segunda ley de Newton,
2
2
dt
rd
mF
→
→
= , se tiene que la ecuación de movimiento de la partículas es:
−+=
••••••••
)0,,(),,(),,( zzzyx BxByEEEqzyxm ,
que es equivalente a las tres ecuaciones diferenciales siguientes:
MAGNETOSTÁTICA EN EL VACÍO
rteutle
64
•••
+= yBqEqxm zx , (I)
•••
−= xBqEqym zy , (II) zEqzm =
••
(III)
La solución general de (III) es inmediata: 21 1v 2
zqEz z t t
m
= + +
Para determinar la solución de las ecuaciones diferenciales acopladas (I) y (II) procedamos como sigue. Combinando
(I) y (II) se obtiene:
)()()(
••••••
+−+=+ yixiqBiEEqyixm zyx , (IV)
Definiendo
••
+=Γ yix , se tiene la ecuación diferencial lineal: Γ−+=Γ
m
qB
iiEE
m
q
dt
d z
yx )( , cuya solución general
es 1
i ta
A
i e
ω
ω
−Γ = + , donde
m
qB
iEE
m
q
a zyx =+= ω),( y 1A es una constante en general compleja.
Como 1
i ta
A
i e
ω
ω
−Γ = + , la solución a la ecuación diferencial (IV) es:
11 1 1( ) ( )i t i tAa at
x iy x i y dt dt A dt x iy
i i ie e
ω ω
ω ω ω
• • − −+ = + = Γ = + = + + +
−∫ ∫ ∫
puesto que 1
i
A Ae
θ−= , entonces: ( )1 1 ( )
i t
x y
q A
x iy x iy i E iE t i
m e
ω θ
ω ω
− ++ = + − + +
De la parte real e imaginaria de esta última expresión se tiene:
1 sen( )y
q A
x x E t t
m
ω θ
ω ω
= + + + , 1 cos( )x
q A
y y E t t
m
ω θ
ω ω
= − + +
Por lo tanto, la solución a la ecuación de movimiento es:
1( ) sen( )
y
z
E A
x t x t t
B
ω θ
ω
= + + + 1( ) cos( )
x
z
E A
y t y t t
B
ω θ
ω
= − + + 21 1( ) v 2
zqEz t z t t
m
= + +
Las constantes 1 1 1 1, , , v , yx y z A θ se determinan de las condiciones de movimiento: 0 0|tr r
→ →
= = y 0 0v|t
d r
dt
→
→
= = .
Por ejemplo, si 0=xE e inicialmente la partícula se encuentra en 0 (0,0,0)r
→
= a la velocidad 0 0 0v (v ,0, v )x z
→
=
se obtiene: 1 0 1 1 1 00, 0, v , , 0, v v
y
x z
z
E A
x A y z
B
θ
ω
= = = − = − = =
Por lo tanto
)sen()( t
A
t
B
E
tx
z
y ω
ω
+= , )cos()( t
AA
ty ω
ωω
+−= , 2
0 2
v)( t
m
qE
ttz zz +=
Si 0≠yE , la trayectoria de la partícula en el plano xy coincide con la curva denominada trocoide. En la figura I.1,2,3
se muestran algunos casos particulares.
MAGNETOSTÁTICA EN EL VACÍO
rteutle
65
Si 0=yE , la trayectoria de la partícula en el plano xy es la de una circunferencia de radio
| |A
ω
centrada en ),0(
ω
A− .
El movimiento de la partícula describe entonces una hélice circular.
Figura I. Proyección en el plano xy del movimiento de una partícula, de masa y carga
unitarias, bajo la acción de campos eléctrico y magnético uniformes.
Referencias.
1. Fundamentos de la Teoría Electromagnética | Reitz, Milford, Christy |Addison Wesley.
2. Campos Electromagnéticos | Wangsness | Limusa.
3. Electromagnetismo | Krauss | Mc Graw Hill.
4. Física Vol. II | Halliday, Resnick, Krane | CECSA.
5. Teoría Electromagnética | W Hayt | Mc Graw Hill.
6. Electromagnetismo | Edminister | Mc Graw Hill.
7.
8.
9.
Trayectoria 1: )3,3,0(=
→
E )4,0,0(=
→
B
)0,2,0(01 =
→
r )0,0,5.0(v01 =
→
Trayectoria 2: )3,3,0(=
→
E )4,0,0(=
→
B
)0,3,0(02 =
→
r )0,0,0(v02 =
→
Trayectoria 3: )3,3,0(=
→
E )4,0,0(=
→
B
)0,4,0(03 =
→
r )0,0,1(v03 −=
→
Trayectoria 4: )3,0,0(=
→
E )4,0,0(=
→
B
)0,0,0(04 =
→
r )0,5,0(v04 =
→
1q Cm kg =
3
1
2
4