Ejercicios resueltos matemática

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Krifméfica 5
23
45
103
148
Teoría de conjuntos
Probabilidades
- Análisis combinatorio
- Teoría de numeración
Stgetna
- lnecuacionespolinomiales
- lnecuaciones fraccionarias y Expresiones irracionales
- Valor absoluto
- Miscelánea de problemas
- Funciones
GeometrÍa -
- Transformaciones trigonométricas
- Resolución de triángulos oblicuángulos
- Circunferencia trigonométrica
Física,
- lmpulso y Cantidad de movimiento
- Gravitación
- Oscilaciones
- Ondas mecánicas
Químieá
- Gases
- Reacciones químicas
- Psicotécnico
. Razonamiento abstracto
- Operaciones matemáticas
175
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- Relaciones métricas . polígonos regulares
Trigonometria ----.z4
ñazonamienlo ffiatemátieo
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-AR'TTMETIGA
Giclo AffiIABüRfiG%
fiesuelto por: Prof. Jimmy Garcia Gh.
IM TEoRiA DE coNJuNTos II
1. Siel con¡unloA esunitario
¡=lnz +8:nxm+4;7n-4|
Calcule el valor de n+m. Considere n un nú-
mero P¿u.
A)8 B)l2 cr7
D)10 D9
2. Dados los conjuntos
A=líyt-8;2231 B = {7; m' *20}
Si A y I son iguales, enlonces determine el nr1-
mero de subconiuntos propios de P(C), donde
C={m; n-2; mxn;3n; n}
A) 25s B) 728 C) 63
D) 624 E) 127
3, Si el coniunto A es vacío, calcule el meno¡ va-
lor de m en
En una encuesta se obtiene que el 60% prefie-
re el producto A, el 32% preliere el producto
B, y los que prefieren ambos productos es el.
60% de los que no prefiere alguno de estos dos
productos. Si 42 prefieren ambos productos,
¿cuántos encuestados son en total?
A) 380 B) 360 C) 350
D) 300 E) 280
9.
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7. Dados los coniuntos
U=11;2;3; 4;5;...; 15)
A={l;3;5; 7; ..., l5}
s=12;4;6; 8; ...; t4)
C={l;2;5;6;9; 10; 13; l4}
catcule [bc¡ c)., ¿]c.
A) 0 B) {l;2;3}
D) {13; 14: 15}
C) {4;8; 12}
E) {l; 15}
^=(irr)., fr,s=..*\
4. Si la cantidad de elementos de A ex'cede a la
canüdad de elementos de I en 3, ademiís A y
8 son disiuntos y
nle(Aw D)- nlrt¿ll= so
' ZCuántos subcon¡unlos propios tiene 8?
A)7 B)ls c)r
D)3 E)3r
5. De ¡0O alumnos que lindieron los exámenes
de A¡itmética, Algebra y Geometrfa; se sabe
que 40 aprobaron fuitrnética, 39 aprobaron
fugebra y 48 aprobaron §eometrfa; 2l no apro-
.baron alguno de eslos 3 cursos; 12 aprobaron
solo Aritmética y Algebra; 15 aprobaron solo
GeometrÍa. ¿lCuántos estudiantes aprobaron
por lo menos 2 cursos?
A) 32
D) 40
Se sabe que A, B y C son conjuntos contenidos
en U (co¡riunto universa.l) tales que
. n(A nB)=h(A nB r:C)
. n(a-A)=60
. n[(¿nc)c -a] = n(¿])= loo
Calcde n(Cc)si A ¡C=C
A) r80 B) 190 c) 184
D) 192 E) r88
Sabiendo que,4-8=0, reduzca la siguiente ex'
presión
i[üc.,¿)uan¡¡]^(¡-¿'[d G- a)c wG t ail
A),4 B) A-a c) 0
D)Ar¡B E) U
B.
A)2
D)6
B) 2,s c) 3,s
E)7
c) 4s
E) 36
10, Simplilique la siguiente expresión
i(¡-rl" n(¿ua)]u¿
A)AuB B)A C)B
D)Ac E) s
B) 48
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1 . El cliente de un banco debe seleccionar un .O- .j.
digo de dos o tres dígitos diferentes para iden- ¡
üficar su cuenla de depósito. iCuántos códigos
tiene disponible para elegir?
A) 8r0 B) 100000 c) 1000
D) r1o0 E) 720
2. Un código de colores con banas usa 6 colores
para pintar 4 banas, pero dos barras consecuti-
vas no pueden tener el mismo color. iCuántos
códigos diferentes se puede formar?
A) e00 B) 750 c) 360
D)600 E)720
3. En el cumpleaños de Miguelito, han servido
6 vasos de gelaüna de fresa, 5 de gelaüna de
naranja, 3 de gelafina de piña (todos en porcio-
nes diferentes). Si su primo Josué debe elegir
uno de cada sabor. iDe cuántas maneras dife-
rentes lo podrá hacer?
A) 90 B) r8 C) l2o
0) 14 E) 12
4, iCuiántos numerales de 4 cifras diferenles se
pueden escribir sin que las cifras 3 y 5 aparez.
can juntas?
A) 4125 B) 4228 C) 4200
D) 4382 E) 4536
5. Una facultad tiene 4 pisos con 8 aulas en el se-
gundo y tercer piso, l0 aulas en el primer piso
y 3 en el cuarto piso. iDe cuántas maneras di-
ferentes se puede escoger 2 aulas para tomar
un examen, de manera que estén en pisos di.
ferentes?
A) 238 B) 302 C)278
D) 326 E) 300
6. En una reunión hay 4 niños, 3 niñas y 2 adul-
tos. iDe cu¿íntas maneras se pueden sentarse
en una fila si los niños deben estar iuntos y las
niñas también?
Determine de cu¡íntas formas se pueden aco-
modar y üajar 5 personas de un grupo de 6,
en un auto de 5 asientos incluye el asiento del
conductor, si solo 3 saben maneiar.
A) 48 B) 240 C) 76
D) 360 E) l2o
Tres libros de Matemática, cuatro de Flsica y
dos de Química (todos los libros son diferen-'
tes) serán colocados en un estante. lndique
cuántas colocaciones distintas se pueden rea-
lizar si se sabe lo siguienle:
. Los fbros de cadamateriadeben estariuntos.
. Solo los libros de Matemática tienen que es.
tar juntos.
Dé como respuesta la suma de resultados.
A) ls s84 B) 26 oo0 c) 31 968
D) 32 000 E) 24 s65
lDe cuántas maneras diferentes se pueden or-
dena¡ 12 libros: 3 de Geometría, 4 de Física, 2
de Química y 3 de Álgebra, todos de autores
diferentes, si los del mismo curso deben estar
juntos y los de Química en los extremos?
A) ¡0368 B) 10348 C)t2324
D) 20 736 E) s¡84
1 0. Cinco pareias de niños juegan a la ronda. Cal-
cule cuánlas rondas diferentes se formarán si
se sabe lo siguiente:
. Los varones y las mujeres quedan alternados.
. Cada pareja de niños no se separa.
. Los de un mismo sexo están siempre juntos.
Dé como respuesta la suma de los resultados.
A) 29 568 B) 15 i44 C) 17 664
D) 18048 E) 3840
A) 250
D) 3500
B) 460 c) s240
E) 3456
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AHíus¡s coMBINATORIO II Y PROBABILIDADEs I
áCuántas palabras diferentes se pueden for-
mar con las letras de la palabra ARITMEIICA,
donde las letras A no estén juntas alavez?
A) 453 600 B) 42r 848 C) 359 856
D) 567 700 E) 362 880
2. ZCuántos números de l0 cifras ex¡sten tal que
el produclo de sus cifras sea 8?
A) 3oo B) 240 C) 3s
D)220 E) 126
f. De I0 personas se desea escoger una comi-
sión de 5 personas. ¿De cuántas maneras se
podía formar dicha comisión, si Éay 2 perso,
nas en particular que no deben estar en la mis-
ma comisión?
A) 3oo B) 350 C) 420
D) 196 E) 250
4. Se lanzaun dado 3 veces, lcuál es laprobabili-
dad de que la surna de los resultados sea par?
Se ordenan en una fila 4 bolas roias, 2 bolas
blancas y 2 bolas aeules. Si las bolas de igual
color no se distinguen entre sf, ide cuántas for-
mas posibles pueden ordenarse?
A) 420 B) s40 C) 580
D)2lo E) 640
Mala tiene 8 amigas de conlianza Si ella de-
.- sea hacer una reunión con 5 de ellas, icalcule
la probabilidad de que puedan asistir 5 de sus
amigas considerando que 2 de ellas en particul
lar no se llevan bien y no pueden asisür juntas?
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5, Si se lanzan 5 monedas, icuál es la probabili-
dad de obtener 3 sellos y 2 caras?
6, Se tienen 12 preguntas de Aritméüca en las
cuales se deben forma¡ los temas P y Q con
6 preguntas diferentes cada uno. lDe cuántas
rnaneras se púeden forrnar dichos temas y or-
dena¡ sus preguntas en cada uno?
E)
14
Cinco amigos se quieren ubicar en una mesa
circular, además, entre ellos están Carla y So-
fia. ZCuá es la probabilidad de que Carla y So
fla no se ubiquen iuntas?
A) l/3 B) Us C) t/4
D) t/2 E) 3/4
10. Para representiar a un colegio en las Olimpia-
das Matemát¡cas 2017, se han preseleccionado
l0 alumnos varones y 5 muieres. El cómité or-
ganizador del evento decide que cada colegio
participante enüé solo a 3 alumnos. Calcule la
probabilidad de que el citado colegio enüe a
todos sus representantes del mismo sexo.
A) 1t7 B) 2/7 C)3t7
D)4/7 E) y7
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rr¡, 1,¡, tt¡¡,t t ttl71
C)
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27
rrruieres que no bailan son proporcionales a
2; 3 y 5 respcctivamente. §i se selecciona una
persona, i,cuál es la probabilidad que dicha
perscr!)a baile, dado que la persona seleccio-
nada fue mujer?
D)
De un grupo de estudiantes, la probabilidad de
aprobar MatenÉtica es 0,49 y la probabilidad
de no aprotrar Frsica es 0,53. Si la probabilidad
de no aprobar ni Matemática ni Física es 0,27,
icuá es la probabilidad de aprobar solo uno
de los cu¡sos?
B) 0,3s c) 0,46
E) 0,6s
Una pareja planiñca tener 4 hiios. iCuá es la
probabilidad de que al menos 2 sean va¡ones?
E).1-l-t6
El departamento de l,entas de una farmacia
publicó los siguientes datos sobre las ventas
de un mes de cierto analgésico.
5i se elige un cliente al azar, calculc lo siguiente:
a. iCu¿iLl es la probabilidad de quc haya com-
prado el analgésico en tabletas, pero no la
dosis fuerte?
b. Si el clie¡rte adquirió el analgésico en cáp-
sulas, rlcuá es Ia prol-nbilidad de que haya
comprado Ia dosis fuerte?
A)
A)
D)
A)
D)
h-
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c)
E)
3
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2. Un dado está trucado, de modo que las pro-
babilidades de obtener las distintas car¿rs son
inversamente proporcionales a los números
de estas. Calcule la probabiiidad de obtene¡
un número impar en un lanzamiento.
E) 11'27
A) 90't47
E) il' 147
3" [Jna urna tiene 8 bolas negras y otra uma con-
tiene una bola blanca y 6 negras. Si se elige
una uma y se extrae una bola, icuál es la pro-
babilidad que sea blanca?
B)
l4
4, Tres arnpollas malas se mezclan con 12 bue-
nas. Se prueban seleccionando al azar las que
quedan sin proba¡ hasta encontrar las malas.
¿Cuá es Ia probabilidad de encontrar la terce-
ra mala en la séptima prueba?
B)
9l
5, En una reunión se observa 40 personas bai-
lando, además se sabe que, las cantidades de
muieres que bailan, varones que no bailan y
c)
92
147
B) 0,3
0,5
55
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7
8
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E);
c).4'91
E)a-60
A)1'9
Dr*
Dé como respuesla la suma de los resultados
obtenidos.
9. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-
ciones.
L Si,4 yB son independientes y
P(A nB)=P (B)-0,2,
entonces P(¡c r: a)=0,2.
Il. si 2P(8)+P(8c)= I,8, entonces p(8)=0,6.
lll. Si .4 y I son mutuamente excluyentes y
P(AuB) = 0,3+P(á)
entonces
P(.8)+ P(,4n¿) = 0,8.
tv. PGw B) = PG) x p$) - p(Ar¡ B)
A)W!T B)VFFV c)ww
D) VFFF E) FWT
10. Un banco ha comprobado que la probabili-
dad de que.un c¡iente con fondos extienda un
cheque con fecha equivocada es de 0,001. En
cambio, todo cliente sin fondos pone una fe-
cha errónea en sus cheques. Además, el g0%
de los clientes del banco posee fondos. Si se
recibe hoy, en caja, un cheque con fecha equi-
vocada, iqué probabilidad hay de que esre sea
de un sin fondos?
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Si en base n existen 192 numerales de la forma
A) r0
D)8
B)9
'tl,t¡, rtli.l,,lttl2,, b',ko7
r ,rlr rrlr,r.l v,rlor de a+b+c. 6.
2. áCuántos números de 3 cifras diferentes pue-
den formarse con los siguientes dígitos: 5; 8;
3;2y 4?
La edad de un padre es ob años y la de sus
hijos a y b años. Si hace dos años la edad del
padre era 6 veces la suma de las edades de sus
hiios, idenho de cuántos años el padre cum-
plirá 50 anos?
A) 24
D) 26
B) 28
A)6 B) 12
D)
8. Si nnm5=mnn, calcule m+n
A)7 B) ro
D)¿
iCuántos numerales de 3 cifras no llevan en su
escritura la cifra 5 o 2?
A) 288 B) 224
D) 274
10. Si se cumple que
o»aOa»r=637
calcule a+ó+n.
A) 18
D) ls
A) 40
D) 100
B) 12
B) 120
c) 20
E) ro
c) 60
E) 24
c)
7 S¡ ábc=c0006¡; calcule a+b+c
I3. Si el numeral
(a+3X2c+ IXD+lXD+2)g
es capicúa. Halle el mayor rralor de a+D+c si
c eZ+.
A)7
D)8
B)s C)
E)
6
4
9.
4.
tz"-r{9)«a*»ea,
halle n, si a e Z+
A)7
D)8
B)e
5. si(a-Da(áTI)e=73,
calcule el valor de a+n.
6
4E)
A)8
D)s
B)o
C)
E)
c)il
E)7
c)3
E)4
c)8
E)il
c) 448
E) 3r2
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23
3
7
C)
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Besuelto por: Prof. telso Gaspar lapara
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Ett rNEcuAcloNEs pouNorunArEs rr
t. Determine la secuencia co[ecta de verdad (V)
o falsedad(F) según corresponda.
l. P6¡=fa¡¡l >0 V¡eR
ll. H,..,=2xz -3x+1>o vxe R\'t 2
lll.f¡r¡=/-¡-3>0 V¡eR
A) WT B) VW C) Fry
o)vFF r)m
2. Resuelva las siguientes inecuaciones, respec-
üvamente.
l. 3l-zx+3 , o
II. x2+¡+.,O<0
A) C§=R;Q§,,=f,
B) CS¡=O; §§,,=¿
C) CS¡=R.; Q§,,=¿
D) CS¡=R+; CS,,-R+
E) CSI=R+; CS[=O
3. SiP&)=l+x+t y Q<,¡=ZI,--x+Z*-t
además se cumple Ia desigualdad
P6'¡ sQ6r¡ Vxe R'
entonces los valores de k son
A) i2) B) (--;2) C) (2; +-¡
D) I-2; +-) E) [2; +-)
4. Determine los valores de n para que la inecua-
ción
i-x+2> n
se cumpla para todox e R..
5. Determine el coniunto solución de la inecua-
ción
(x-3)(¡+2)(x2+x+l)<o
A) (-3;2)
B)(-2;0)u(0;3)
c) (-2; 3)
D) (3; +-)
E)R
Resuelva
G2 -2x+t)G2 -x-2)<o
A) (-l;2)-il)
{-l;2}
C) (-2; -l)
D) (-2;3)-{l}
E) (0;2)-{1}
7. Halle el conjunto solución luego de resolver la
siguiente inecuación.
(r' -s)'G' - r-6)5 (r' -r*rr) s o
A) I-3;31
B) l-2;31 u {-3}
c) t-3;21
D) I0;21 u {3}
E) l-3; -21 w {3}
8. Alresolverlainecuación
(¡r2 - ** z)3 ( *' -2, * n)' . o
se obüene el vacfo. Deter¡nine los valores de n,
A) 12;+-)
B) [0; +-)
C) [-l;+-)
D) [-2; +-)
E) ll; +-)
A) t7/4\
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C) (--;31
;,(--'Í)
6.
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B) 5/6 c) s/7
E) l/s
C) Ir; el
E) R6
C)
10, lndique el coniunto solución de
(¡2 - g)¡2 -g(x3 - 9r) + lsr? - t3s < o
A) (-3; +-)
B) (--;3)
c) (-3; s)-{3}
D) (-s;3)
E) (-3;3)
A)0
D) (n; +-)
B)R
/<t€sa- la (ty7trFs
f l. Determine el complemenlo del coniunto solu-
clon en
k'*d'(3r'*2r*u)'Gn *f *r2 *x+il4 so
VxeE
ooo r) as VEP*?aE/¿A
z¡) 4rx) = 9x2-sx la
/ze.ue @Eo 
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Cr-<rz
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:¿=i-s ¿)é= c-/.€
z 2x/ '>o
z.s(*)
c)¿99§¿t¿t
Oo.v¿e §.=
5'a
f2. ¿Qué valores debe tornar m para que la
inecuación
(*4 +*2 **2 +nXxE *lXr2 -mr+m+3)>o
tenga CS=R?
A) (-3;61
B) [-6;21
c) [-2;61
D) [-2; +-)
D [6;+-)
V-*elP = .^..§.
€t) J
\§er,+
2,
/Xl¡'z 10
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A) (2;(;l I
(l) (:l; 6l I
E) (2; 3l u [6; +-)
ur (|; z).,[r;* -)
D) (2;91
2. Determine el número de soluciones enteras
menoroiguala6.
G2 -¿)(x+s)
->tt
k-2)k+5) - -
A) ro B) 12 C) 11
D)6 E)p
3. Resuelvalainecuación
,o-l=z-9xx
A) (0;3lu 16; +-)
B) (--; 0) u [2; 5l
C) (--; l) u f s; 5l
D) (0; llu [5; +-)
E) (0;2lu [5; +-¡
4. Si la inecuación
G2+x+zXs-x2)
2x2 -x+3
tiene CS=(-2i l), calcule a.D.
A)-3 B)2 C)-4
D)3 E)6
5. Sea la inecuación
x-t x2-x+2 2
-:->-
x2 -x-6 (x-3)k+2) - x-3
Indique la cantidad de valores enteros positi-
vos que no verifican.
A)r B)2 C)3
D)4 E)o
lEx-l =8-x
A) {3; s}
D) ti)
8.
9.
G2 +x+z)kx+o))-
2x'-x+3
6. Luego de resolver la inecuación &accionaria
x3 +Sx2 +2x -8
->fl
x' +7x'+ l4x + 8
§+
D) -10'3
halle el complemento de su coniunto solución.
A) (-l; l) B) (-l; l)u l-4; -2\
C) l-l;1) D) I-l;l)v {-a;-2)
E)0
Determine el conjunto solución que presenta
la ecuación
c) {3}
E) {s}
Luego de resolver la ecuación
Vx3+4x2+2.r-5=x+l
determine lasuma de irwersas de las soluciones.
N-tn B)-lB c)-lls
D) -116 E) -t/7
El número de soluciones de la ecuación
.üq - 97 = 2r{ - 97 es igual a
A)2 B)l c)o
D)s E)4
10. Halle el cardinal del coniunto solución de la
ecuación
.tr+s+G¡-.8¡T5=t
A)5 B)4 c)3
D)2 E) I
11. Calcule el ploducto de sofuciones en la ecr¡ación
{tr-s+Vzr*t=Vex-¡
B) -;
12. Sea la ecuación irracional
,[7 - 2x - s + F*u- = JÑ + x -to
Calcule la suma de todas sus soluciones.
A) l B) -1 C)2
D)-2 E)3
I
5, {;,
c) 20'3
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CÚICAIA tuúh,*it'dh,wtrhthn t.tt,c,nü, 32 MATERIAL DIDACTICO N"4
INECUACIONES IRRACIONAIES V UATOR ABSOTUTO I
l{r'rr¡r'lv,r I,r rr¡lrrir.rrlt. iltr.r'rt.r< irilt.
Jz , t, ..'¿
Si a es la solución de la ecuación
-4x +4 +ll2- xl=zx +6
entonces determine 2o+ 1
A)r B)3 C)s
D)7 E)0
Determine el cardinal del siguiente coniunto.
A) {e}
D) [3;51
B) (0;91 c) [o; s]
E) [2; sl
C) {-.3; l0}
E) {4;-lo}
C)
E)
,
0
A)
D)
8.
9.
.;.
*
2. AI resolver la inecuación
il3 +t >¡+t
se obtiene CS=[a; bl.
Calcule el valor de a2+b3
A)0
D)9
3. Determine el conjunto solución de
.,Q-3 +.rr-x_l>\E;-4
A) I0; +-) B) [2; +-) C) [l;3]
D) [l; +-) E) [3; +-)
4. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) según corresponda.
I. Si x e (2; 7) -r fx-91=9*¡
ll. Sia>3 -+ la-ll=a-l
III. Si n < 5 *+ ln -6 | =6-¡
A) VFV B) lFF C) FFV
D) vvv E) FFF
5. Determine la secuencia correcta de verdad (V)
o falsedad (F) según corresponda
I. lx2-il=lx-lllx+ll
ll. l3nx+n | =n l3r+ I I
m.^[7 =x
Iv. lx-31=13-xl
A) FVFV B) VFFV C) WFV
' D)VWF E) WW
6. Resuelva Ia siguienle ecuación.
lx +31+ J7 = lxl+7
¡ =1,.n/l' - ll nt-,t2 = h * -ll *,,][ /lx+ll I ¡l )
c)
E)
4
5
2
4
A)2
D)l
B)3
Luego de resolver la ecuación
lzx-sl x
I l.' l= r.l,l
determine el producto de soluciones.
A) l7ls B) 20/3 C)2st3
D) l E) 27/5
10, Determine la suma de los cuadrados de la
soluciones.
l-6x+ t5-5lx-3 | =0
B) sr c) 62
E) ss
fl. Resuelva
lx -+13 -3lx -ql--Lxz -l6x +32
A) 70
D) 60
A) {l; -4;7}
B) {-l;4; -7}
C) {l:7}
D){l;4;7}
E) {-l; -7}
A) {7;-7} B) {4;-12}
D) {*2; ll}
12. Resuelva la siguiente ecuación.
lx-21+ lxl=4
Luego determine la suma de sotuciones.
c)l
E)4
B)3
f?Esó/!c/oN,c9
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fiTTT vAtOR ABsOtuTO II Y MISCETÁNEA DE PROBIEI'IA§
l. l)r.k.urrl¡¡tr ol cquivalente de los siguientes
(I)tliuntos.
¡={xeR/lx-31<4}
a = {x eR /l2x - tl s7}
A) A=[-l; 7l; B=[-3; al
n) A = [0; 7l; n=1-2;31
c)A=[-l;71; a=[-3;31
D),4=[; 7l; 6=[-3;41
E) t=[-2; 7]; a=[-l;al
2. Resuelva.
l3r-91+16-2rl sls
A) {0;6} B) f0;61 c) (0;6)
D) (--;01u [6; +-) E) [l;71
3. Resuelva la inecuación
lr2-í>s
A) {2} Ei) l-2;2} c) l-2;21
D) f2; +-) E) (--; -21 w [2; +-¡
4, DetermineA n8.
a={xeR/l3x-ll>x}
a={reR/lx+sl >-3}
Resuelva la inecuación con valor absoluto.
lx-2ls2x+l
B) f-3;+-)
Determ¡ne el coniunto de valores admisibles
de la siguiente expresión.
I
E'=Js-lrl + '' x-l
A) [-s;sl B) [5; +-)
C) I-s; sl - { I } D) (--; -sl u f5; +-)
E) l0; sl-{l}
Determine la va¡iación de f6¡:9(x-I )(x+3)
si l3x-21 <8.A) [-12; l37l B) [-36; l3Íll c) [-27; 136l
D) I-36; l43l E)
10. Determine la suma de valores enteros que
toma la expresiónE=2x-3 si 2 s lxl < 5.
A) -36 B) -rs c) -27 D) -¡0 E) -20
11. Determine el número de valores enteros que
toma /r1r¡ si /1,.¡=2lxl+l; Vxez4. Considere
que,4 = ixe n/xz +x-6 < 0).
A)8 8)6 c)7 D)s E)4
12. Determine el con¡unto de valores que debe
tomar x para que la expresión irracional eslé
bien definida en los rea.les.
B)
E)
-', *]
l\
3'' /
A)
D)
7
8.
9.
.i
*
+
*
*
{-
+
*
*
.:.
.i
*
n
*
*
halleXn }.
A)o
C) (--; -l) tt (a; +-)
A) [0;+-)
o(;-f'')., (,2
. -/r;lkt. rtnr' =llp-l¡;:¡l
B) ll; al
D) /i-4, r.@\'\2 2 2 2t
JA\* zl
o ls; -j)
" 
(-]'.-)
a) (--; ])u(r; *-) B) (--' i)'(;' .-)
o(--;i)"(i, .4 D) (--;r)u(a; +-)
o (--; i).rr' ,r
-4;
5. Luegode resolverlainecuación
lx-21< 2x-6
indique la secuencia correcta de verdad M o
falsedad (F). Considere que 5 es el conlunto
solución.
I. (*; +-)c§
lI. ,.§c (2r; +-)
lll. (-*; 4l cS
A) FFV Bl Fw C),FPF
D)WF E) VW
6. Dados los conjuntos
x = {x2 -s'e n/l'z - sxl. +}
r = {x2 - sx e n/lrz - sr+ el < z}
I
i
t\
3' l
r,. -¡,(o,j]
C) 12; +-)
133
lI
D) [l;+-¡
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S0tuGroIUARlo
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.1.
.;.
f?esotucto¡t'0)
-.Se'a¡/
SEsorygov @
-S'e¿N " r/1= lX
e/p. / 3x-t I >x {
-A=lxe/z/tx-?lsq jx-l )x v 3X -.1 <-x
-rl:x-3É¿t--u-J r¿x<+ --+-.X) v.¡< y,l
---o.4 = xe [-!.-'+7
o0 = lxr/ ?x-t I s1, t -A 
- x€{-co". \)uq/2;t*)
7 s 2x-L31'+ -3<x 1,1
" B= lxe x+51>- 3 t\+- -
-3a6u.y7te /*e¡rz-+ fJ =-x.e 83. ?J
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',,,'t" " ,, ' .MAfFSIllFlP'ic'T'!ffi''N'4
FUNCIONES
1. De¡ermine el dominio de la función lrsi *
*
*
*
t
+*
t.
*
*
.:.
*
*
.t
**
+
*
.:-
*
.:-
*
.:-
*
+
*
.E
*
*
*
*
*
*
.;-
.:.
**
*
*
ftr) = 7 -x-t2+{i
2. Calcule el dominio maximal de función
5. Halle el rango de la función / si ft l=l+S'-t;
p6¡¡¡=(_6; 31.
A) [-13;321
D) [-17;321
B) (-13;321 C) l-ls;321
E) [-17; +-)A) t-31 4l
B) 14; +-)
C) (--; -31 u [0; al
D) (--; -31 u 14; +-)
E) t-3;0lu t4l
A) (-3; +-) B) (-3;71
D) 13;7)
6. si el rango a" r * (t; z], determine su domi'
nio. Se sabe que 4,1 = H'
o=lt-,r1.*'fr=rffil A)
D) [a;6)
c) [3;7)
5) (3; al
c)wF
E) FVF
(
I
I' )
5 B) [a;5)
B) FFF
A) t3;6)
B) (4;5)
a¡ 1--;31 v [5; +-)
D) t2;5)
E) [3;5)
3, Calcule el coniunto que representa las imáge'
nes del dominio de la siguiente función.
f: (-2; 3l -+ R
x -¡ 3-2x
7. Respecto a la función
3-lxl; -2<¡Sl
,3-3¡2+3x-l; l<x<3
indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F).
¡. Po¡1¡=(-2;3)
r' /(rru) = I
lll. Ranf=(3; 8)
f=
A) WV
D) VFF
C) (3;71
E) l-3;7)
4. Halle el rango de la siguiente funciÓn'
r=lG;t).*'f ,= l;*)r, '.(r;r¡)
, {á' '} , (i' , ",(á' 4
,[*'4 D n;2)
B. Determine el rango de las siguientes funciones'
f: R-rR
* - *-4*+7
g: I0;5)-r R
, - x2-4*+7
A) RarrI=[3; +-); Rang=[0; 12)
B) Ran/=[0; +-); RarE=[3; l2)
C) Ranf=[3; +-); RanS=[3; l2)
D) RanI=(2; +-); RanS=12; 12)
E) Ranf=f3; l2);Rang=[3; 12)
9. Determine el rango de h si
&,r==I-; xenfi.x-+l
^, [r';] B) ro; +-) c) to; r)
o),to;21 E) (0; +-)
10. Dadalafunción
r = {(xs¡;rs¡)e R/ru¡ = z¡ - ¡ "
/tl =4t2 +l ¡
s€R+l
indique la secuencia correcta de verdad M o
falsedad (F) según conesponda
l. tr6¡¡f=(-l;+o)
It. ft6f=(l;+e)
lll.fUl=i+2¿c+2
SotuctoluARto
l
*
**
*
*
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*
.l
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*
a
*
*
*
*
....
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f u)-- )< ?x-tz
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'/-';arvDa
Dode)5, xlx- E¿a
* oé) ; (x-v)(x+r>o
+ O¿1 : xe¿-@:-31utL-fo)
A"r. @
/?€,gotr/czo,.g @
/ 1á'
A)VTV B) FVF
D) FFF
A) 12s rb B) l 24 rb
D) 126 rb
l. Determine el dominio de I¡ si
h(r) =
lzx -21- x3 -l
(.r2 - alxl +
"li',] ern-i];,] c)R-(*;3)
D) R-(0;3) E)R*- 3
á= /k;y)€/e'/¿=ffi'¿
4)o,voe
Ooo.ry*^ryrt/ oa'¡t -
= 
),6+ ffl.o
--+ x ef 3. s)
o'. D(h) = xe¿3.s> (L/r@
grsrkrro* @
3eA
f i xe z- 2:31 -'>/E
-x +- 3-2X
Oa Do,voE, a¿
\Oo,r</rV/O E57n D¿?DO /OCLQ
-x e <- 2- 37, J F&)= 3'2x
/->
e¿ CctA Lt Qo,u5f.ea,tt-2O57
-.# y >-ZxZ-6* 7) 3-2x Z.*3
--+ 7),aCx)?-3
--+>,a(x) e E3--»
ooo Fl C)t^¡¿1 Dg rH*b-¿zxéS
Qn'?" é-srla o.'r¿)o
t:o¡¿ 83.7) a"ve
O FFV
E) WV
c) 127 rb
E) 130 lb
I
3'
2. Si una astronauta pesa 130 libras en la superfi-
cie de la Tierr4 entonces su peso cuando esté a
ñ millas sobre la Tierra está dado por la función
w*, = rao(-!89-)'
iCuál es su peso cuando ella esté a 100 millas
sobre la Tierra? (aproximado)
2 <-x.
i-fIT:l
OtcloÁnuel
T+?h= ¡ u*Aa7 3O -
<,4.:f) ax = le
O_/.yU_Z ¿d
{.'tri ir*>?)c s¡- 1'-<{- "+7
I-< r -?z <*o< ?z *7
T-+¿ =X v o<1 +-
T-?a =x, t&E? 30 "
a
lat:e1=5, )' at >(og; g
ZlN+zp-9; e .,- b>.(z-8 ,- o *
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I
(iEOMETn,iA
cicto AnfnABmf GYo
Eesuelto por: Prof. t. U. Luyo
riTlr|l RELACIO NES t{ÉTRICAS I
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, las
medianas .IF y Ñ son perpendiculares ent¡e
sf y/M=3. CalculeAC.
A) 6 B) 2.,6 c) 3..8
E) t2 D) 4J3
2. En el grifrco, AB=CD, EB=lA, BÍ'=2 y CG=A.
Calcule ClI.
A)s
B)o
c)4
D)8
E)3
3" En el gráfico,ÁBCD es un cuadrado. Calcule ff.
§e tie¡e un cuadrante áOB de centro O y en
la prolongación de óE se ubica el punto C, lal
que áC interseca al cuadra¡rte en D, además,
AD*8 y DC -17. Calcule ÁO.
c) 15
E) l0
c
C)
E)
Gn
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D)4
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D)e
B) 12
e4+25-___r
4. Según el gráfico, BÉDC es un trapccio isósce.
les, Af= 12 y f6=3. Calcule ¡tO.
A) r8
B) 20
c) 16
D) 24
E) 22
En una circunferencia de centlg.1p, se ubican
los puntos á, C y B, ral que mÁCB = 6(P y OC
interseca a &4 en D. Si CD= I y BD=3, calcule
el radio de la circunferencia.
A)8 8)6 C)s
D)7 E)9
En el griáfico, z{B =4 y CD =2. Calcule cr-
B
A) t6o
B) t5"
c) I4o
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E) la"
D
La f¡gura muestra una semicircunferencia don-
de CF=9 rg¡r FD=7 m, Calcule la longinrd dcl
segmento Ff, en metros,
D
E
A) 17
B) 18
c) 19
D) 15
E) 16
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DIDÁCTTCO
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\ 3?ooltoo/
W (too) , t3a l-ezqg \L' \ Yo 60./
v/ (/oc,): 123,6vY93 /razz5
ooo w(/oc,)A4@x. = /25/ló
C¡^r¿
@ouoa
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oBs.
Apo¡tanúo en l, lt¡faslón de la Ciancla y ld Caltan
7.GA
E
B
DC
B)2
H
I
9. En un tiángulo recángulo ABC, recto en B,
BM=2y MC*3. CalculeA6.
A) i\,T Ir) 5\€ ,, íT
30LUG!OIUARtO
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n
Resolución If"Ol
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E)
10. En el gráñco, lr es ptlllto d{: langencia, Af=o !'
78=0. C¿lcr¡le,t8. Piden: AC:x
G: Baricentro del hiángulo ABC
AG:2 y GM:1
n¡¡N.Rgtvt: (BG)2 = (2X1)
BG=JV
dedonde: O*=*
\.eec' AN=NC=r*=*
;. x4J2
Resolución N"Oz
Piden: CH=x
Teorema de las cuerdas:
En (ll): a.b=4.x
-]J,{,
A) 
'[ñ'¿,
c),i;r:t?
E) .,6:¿,
B) Jl,;
D) 
',f,L' 
ll
11, Si,4,ff=2, BM-3 Y MD*4'calcule 8C
A) 3.rE
B).,6
c)3
D)5
E) 3r\
1 2. §egún el gráfico, la mÍ? = m&, C¿¡=Of=l v
(f=4. Calcule F6.
(i)
'4
B)7
cr ll
D) l0
D!'2
E
I
-***ffiU
En (l): a.b=(2)(10)
Igualando: 4x:20
' .'. x:5
Re¡olqcióD If"O3
4F 25
Piden: FE:x
RMSero: (EH)2=(4X25)
de donde: EH=10
se observa que: 10*x=29
.'. x=19
Re¡olución If"O4
Piden: AD:x
RMN.eac: (BF)2=(12)(3)
de donde: BF=6
ÁBFDC: Trapecio isósceles
CD:BF=6
AGAC: Teorema de Thales
x12
-=-63
.'. x:24
Rc¡olución I{"O5
Piden: OA:R
Of f en +AT=TD:4
nu\.¡oc: (R)2:(25X4)
.'. R=10
Rc¡oluclón If"Oó
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Oave§
chve§ Oate§
RPiden:
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GU-,GAiI6 hil,iheht-h'ií'd,t cbÉhvrt.tfrw 4A MATERTAL DIDÁCnOO N"4
IF
como: mÁB =60
entonces: AB=R
de donde: AD:R-3
oc=oE=R + oD=R-1
Teorema de las cuerdas:
(3XR-3)=(1X2R-1)
3R-9=2R-1
.'. x:8
Resolqción N"O?
' Piden: cr,
Por observación:
(2)2:(An)(DE)=(tXR)
de donde: t.R:4
RM\.¿oe : (t)(R):(AB)(h): (4Xh)
4h=4 + h=1
\.e»g: Notable de LS y zS
.'. c¿=15
Clave§
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R
Ctave§
2
Resolución N"O8
Piden: EF=x
Por observación: (x +9)2 = ¡¡.¡
mIBAC = mIGDC =w
\.ncp- N.occ'
9mJ- 3-3 m.n= 144n16
reemplazando: (y + )\2 = !44
de donde: x*9:72
.'. x=3
Resoluclón N"O9
Piden: AB=x
RM\.AHC:
(HM)2:(2X3)= HM = 6
§.asc - N.Huc,
GEOMETBíA,- !!,O*,o,,,,,t,,t,r,*,0",, *,,,* nr,- rntrrrrrrril O
x5 Piden: BC:x
Teorema de las cuerdas:
(2XMC)=(3Xa)
de donde: MC=6
\.gI4Cr Teorema de Pitágoras
x2 =32 +62
.', x=3€
:=-Jo3
5.,16
5
tt_
1le3
Resoluclón N"lO
Resolución lf"l2
2w
Piden: AB
Teorema de la tangente:
u2 =(esxec)
b2 =(ABXCB)
sumando: a2 +b2 =(ABXAC+CB)
a2 +b2 =(ABXAB)= (ABf
... AB:.,[;2 *b2
Piden: DF:x
For ángulo interior:
mlcDF=2'*2'=e**
2
Por ángulo inscrito:
mlcGE =47L=g**
2
como: ¡¡IQGE = mICDF = 0+ w
áEDFG: Inscriptible
Teorema de las secantes:
(6)(3)=(4+x)(4)
18:16+4x
4x:2 .'. *:1
2
Resolución N"ll
Ch,r"E
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t
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cbueft
Cbuep
cbuep
Clavep
-
NES I'OÉTRICAS IIriT',?f RELActo
Scgún el gráfico, O, f y f son prrnlos de langen-
cia. Si AII=8. BC=7 y AC=3, calcule Dá'.
B
r
c) 1,4
E)2
lin el Sraf¡co, ÁB =2$, DC =3Ü y' AC =28.
Calcule AO.
tl) I
lln la figura.80 es diámelro dela circunferen-
cia de centro O, ,llA tangente, B,1l secante. Si
AB =5, lvl ** = I 2, <'alcuh B,tl.
A) 13
B) 12
c) r¡
D) r0
üe
M
El triángulo ABC es equilátero de lado \'P es
un punto interior. Los segmenlor PD, PE y PF
son perpcndiculares a sus lados.
PD+PE*PF
Entonces ar;c';¡¡" "u
B
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¡5.
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a
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A
A)
D)
2
3
2. En un lri;i,ngulo ABC, AB=8, BC=10 y,4C=9.
C.alcule la longitud cle la bisectriz interior rela-
tiva a ¡lC.
A) 2,8
D) 2,6
A) v5s
D) Zii
A) 2.;6
D) 4,,{i
B) 1,6
B) 3.6 C) zv'iB
E) J3o
c) 3.f
E) vfo
B
3. En un triángulolBC, las medianas relativas a los
lados ,4C y AB son perpendiculares. Si AB=c,
BC=ay l]{=b, lralle la ¡elació¡rentrea;b .vc.
A) b? +c!=2a2
B) 1.r1+c2:542
C) I¡2+c?=3o2
D) b2+c2=4a2
E) b!+cL*(taz
4. Según el gráfico, BC=S,,{ll*3 y AD=4.
Calcule CD.
ÉvJA)'.
ü)2B) 
4€
A
B)".f
u.\l ¡offi.t
A
4
C
¡?TTNíNIUilI G.U. 5I GEoMETRíA
8. Del griáfico, C, O, f y f son puntos de tangencia
y BC=Z(AB)=L Calcule (Bq2 -$(»2.
3
,30
4
nl6
c) 4,?
¿.
D)-'rll'5
E)2
11. En cl gráfico mostrado, E es punto de tangen-
cia, AD=BC, AB=8 y CD=2, Calcule f,O,
7
3
A)
B)
A)
.;.
C)
F1
4
5
AB
9. En el gralico moslrado, calcule IA'si ,if,Y=¡\D,
y ABCD es un cuadra<jo,
a
A) 0,2
D) 0,4
A)l
D) ii
B) 0,3
B)2
c) 0,5
E) 0,6
c),,0
E)3
-'5B)
1 0. F-n el gráfico mostrado, calcule ¡ si BC toma su
mátimo valor entero.
n*'J6
3
D)6
t2. En el gráfico mostrado, halle la distancia del
cenlro de la circ.unferencia rá¡ y el centro de la
circunferencia más pequeña.A) @
2
B)
t
2
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E)2
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uxl 2009.I
3D
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D) J4s
E)8
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GUZEAile tilrt§tnt ttqtírt,ttciwiyhutut 52 - MATEBTAL DIDÁCT|CO N"4
§oluGloilAnlo
Re¡olución N"Ol
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8 F
3
Piden: DE=x
Poe propieadad:
AD = p,rAe6 -7 =9 -7 = 2
AE=AD:2
AABC: la de cosenos
72 =82 +32 -2(8x3).cosw
Cor* =1=w =60
2
AAED: Equilátero AF:DE=AD
.'. x:2
Resolución N"Oz
D4
9
d-'
----§Hm
* Piden: BD=x
Teorema de la bisectriz interior:
AD84
DC105
de donde: AD:4 y DC=S
Cálculo de la bisectuiz interior:
*z =(s)(ro)-(+)(s)
;. x=2JE
Resolución N"O4
Piden: CD=x
Teorema de las secantes:
(8)(3)=(AEX4)
AE=6 y ED=2
Teorema de la bisec&iz interior:
EC 
=? =: EC:4g 44Lv-
Cáculo de la bisechiz interior:
x2 =(+)(sl-(z)$\
:. x:2J6
Rc¡olución I{"O5
de donde: HC=18
Por observación: 362 =(ZR)(1g)
de donde: R=25
R=OH+18+ 25:OH+ 18
OH:7
se observa: 28=x+OH+18
28=x+7+78
.'. x=3
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Cbve§ 4
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T
a)Z-
Piden: AO=x
AABC: Teorema de Euclides
Resolqción N"O6
Piden: BM=x
Sea: mft =20 y mót = 2w
Propiedad: rÁB = -ffi =20 +2w
Por ángulo exterior:
mIBMA _2w+20-2w _,
2
Por ángulo inscrito: mIBAC = 0
Por semejanza: 52 =(x)(BC)
Teorema de la tangente:
122 =(x)(CM)
DB
c
a
x
A
cta*E
G: Baricento del tiángulo ABC
Ñ; Mediana
BT:TC:alZ
\.nCC, BT=TC=GT=a/2
AG:2(GT)=AG:a
Teorema de la mediana:
,2 +b2 =r(+), .+ T Ax H1828-------4
Chve§
b2 +c2 =5a2
262 =302 +282 -2(28)(HC)
Resotución N"O3
a
I
1l
I
I
4
u2 -b2 =L
10
Cbvep
Resolución N"O9
sumando
s2 + LZz= 1*¡(ncfct t) = x2
.'. x:13
üavep
Rcsolución N"O?
B
\
E
Por el punto P t¡aza¡¡do rectas paralelas a
Ios Iados del AABC se obtenien tres
trlángulos cquiláteros de lados !1. t2y 13.
Resolución N"OE
reemplazando en (1):
a2 -b2 =22 -
Piden: M =(BG)2-(FGf =a2-b2
El cuadrilátero BGFC tiene diagonales
perpendiculares, entonces:
(ec)z + (rc)' = (rc)' + (crf
reemplazando:
a2 -b2 = (BC)z - (Fc)2 ....(1)
AIOC: Ley de cosenos:
(1 + r)2 = 12 + (3 - i2 -20X3- r)cosw
(1 + r)2 = 12 + (3 -t)2 *20X3--',[5:)
de donde: r=9ll0
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....
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D
5n
.'fambién:
entonces BD + CE + AF = 3l/2
' Por conslAulcnte
Piden: EN:x
[P-P[{={, entonces: MN=ND:2
EM=ET=TD-ñ-2
N.Eto' ED=zJi
AMED: teorema de la mediana
z2 +eJif =z*2 **
2
,'. *:J2
Piden: AD=x
Teorema de la bisecfoiz interior:
BD4BDz
DClO DC5
de donde: BD=2n y DC=Sn
Cálcrrlo de la bisecbiz interior:
*2 = (+Xro) - (2n)(sn) = 40- lorP
desigualdad hiangular:
10-4<BC<10+4
de donde: 6<BC<14
entonces: BCmáx u.,t. = 13 = 7n
13
7
Reemplazando:
lqFC=t=2^l$lr)=rl*
I
F
12
ts
c
. De la figura
nC=/= 11 +12+ lsentonces
t,J3 to,l-s l,^fsPD+PE+PF=.-*-2 *t
BD = /r *';. .u = b* +. Ar= /. * l
PD+PE+P:F
BD+CE+AF
tJ3
13.)
7)-ro(
2
*2= 40
= ## = Jits
chvep
[',ffi)' Cbuep
x=f.m
craueEl
t
.'. a2 -b2 =0,4
Resolución N"lO......-
Resolqcién N"ll
Piden: DE=x
sabemos que: mIABD = mIDBC = w
Teorema de la bisectriz interior:
t 
=8 +t=42t
Cáculo de Ia bisectrD interior:
d2 = (8)(t)- (0(2)= (8X4)- (4X2)
d=2J6
Teorema de las cuerdas:
(x)(d)=(tX2)
(x)t2$') =(4112\
lportando en la úita§ón do la Siencia y la Cultaru
,<,^
CU-iCliile ¡t ottú*nt ttttiti,d.ttch*hvhpttvt 56 MATERIAL DIDÁCilCO N"4* ¿"tttt,'t,t'
*
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.l'
.:.
zJ6 RETACIONES II,I§TRICAS III*=T
Rosolución N"l2
Piden: OI:8-r
se observa que: 2l:6+r, OL:4-r
OI=8-r y OL=4-r
AABC: Teorema de Euclides
(6+112 =(2\2 +(8-r)2 +2(2)(4'r)
3
de donde: r:Z
or=8-r =8-1
or=19
2
A pa(if del gráfico, calcule
(AB)2 + {BC)t + (C D)2 + g¡i¡z
A) 160
B) 180
c) 200
D) 240
E) 2A0
t)
2. Según el Srafico, (IBXCD)=18.
Calcule (A0{BD}.
[n el gráfico, / es i¡¡centrn del triángulo A/]('',
AB=c, BC=o y ,4C=1¡. {lalcule {{.Í)t
cbvept
Cbve§
f)
2c
B)
B
A
.:. 4.
¡5.
.¡ 6.
C
C
,$ sf -r b+a
B) 6+l
Lr)b'c-¡
b+cFI
J(}
c) zJS
§)2
A
A) 48 B) s4
D) 30
B
D
En un pentágono regular,{BCDd calcule
AC CD
AB AD
D)
a+c
b
¿).6-l
D)lc) 62
E) 46
3. En el gráfico,AB=4, BC=2, CD=3y AD*5-
tlD
Calcule,".
En elgráfico, FyG son punlos de langencia, tal
que (BE)2+{rP)2= I 3. C¿lcule (et +{CG}z.
A) 26
B) 13
c) 3s
D) fiE
D 2"ffi
4 D
^. 34( t-'' 4l
2tu)-'32
23
n) 
ze
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I) ::D) !-l'38
Itrl
ZGA
{
l
I
7. Según el gráfico, B, É' y F§ólr pr¡ntos de tangen-
cia y ABC0 es un cuadrado cr-ryo lado mide 2.
Calcute (DF)2-(lf)2.
C
A
A)6 B) r0 c)e
E)7D)8
8. Se tiene un heplágono regular ABC'DEFG, tal
¡l
qu" rF 
* 
co
A)s
D) ts
B) ro
A) t2
D) 18
B) s9
[in el gráfrco,,'t.8 = BC = AC = L
Halle PA2+P87 +PCz.
NlÜ *1ü
.i'
*t
AC
DE
5
C¿tcule 46.
B) 2,5 c) 0,2
E)s
c) 2f
E)6
* 11.
* 12.
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9. F-n cl trapecio ABCD isósccles, BC y ÁD miden
2 cm y 6 cnr respectilamente. Calcule ¿C.
C
A) r0
D).6
A)
D)
7
1
D)
B) 3.,6zJs
3.fi
-
Piden: ACv
0. En cl gr¿iJico mostlada, MN=14, AC=10 y
üD=15. C¿lr:rrle P7" si P es el punto medio de
il,¿N.
30lUGrOilAnrO Resolución N"Oz
Resolución N"Ol
D
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O.DB
c) 12
E) 20
Los lados de un cuadrilálero bicéntrico miden
4;3 y 8 cm, rcspeclivamente. Halle el produclo
de sus di;qonales.
B
c)
u\tz
Piden:
E = (AB)2 + (BC)2 + (CD)z + (ADf
Como el cuadrilátero ABCD tiene
diagonales perpendiculares:
(AB)2 + (CD)2 = (BCf + (ADf
entonces: E = 2[(AB)2 * (CD)z]
Teorema de fuquímedes:
^2 
*n2 +t2 +d2 =4R2
rn'f n'+t*E=4Rz
(AB)2 (cD)2
de donde: (AB)2 + (CO)2 = AR2
E=8R2=S(5)2
.'. E = 200
Cbvep
Piden: (AC)(BD):xy
Dato: (AB)(CD)=l$=¿.6
.o-o' mád=60=BC=R=4
Teorema de Ptolomeo:
x.v:a.b+(B)(4)
reemplazando: xy=l$a32
"' 
xY=50
Resolución N"O3
BDx
c) 15
E) 20
Clavep
É7
2
-=-
4
-
-
IF
,/á-
CúZtñi¡O tñttl,t st ttdilrdrhchÉ¡rrhtu, 60 U@.
Teorema de Viette:
x (aX2)+ (5X3)
v (4X5)+ (2X3)
x23
v26
Resolución N"O4
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Clave§
AIx
Piden: §f = !
Sabemos que: ID=DE:y
Se observa que los puntos A, l,Z y E de-
terminan una cuatema armónica
entonces: (x)(2yt) = (t)(x+2y)
2xy-xt=h.*2t5r
xy=t(x+y)
Teorema del Incenho:
x b+c ax
----, t=-t a b+c
Reemplazando:
de donde:
xy= (#r)o.,,
V(b+c)=¿¡¡.'u, chvepl
g(b*c-a)=¿¡1
x b+c-a
ya
x b+c -_--- I
ya
A
cbve§
GEOMETBíA
,
Resolución N"O6 Piden: (DF)2 -(AF)z
Se observa que:
oE= oB:oF=AB = BC: Cf) =AD =2
N.onc, 6B=BC=BF=2 y FC=ZJ{
Teorema de Marlen;
(DF)2 + 22 =(ñ)2 +QJ§)z
.'. (DF)2 - (AF)z = 8Piden: (AE)2 +(CG)2
Dato: (BE)2 + (FD)2 = L3
Teorema de Marlen:
(AE)z +(EC)2 = (BE)z + GDf
NeFn' (ED)z. = R2 + (FD)2
\.Eoc' (EC)z =R2 +(GCf
Reemplazando:
(AE)2 +R2 +(GC)z = BEf + R2 + (FDÉ
de donde: (AE)2 +(GC)2 = BEf + FDf
.'. (AE)z + (GC)2 = 13
cbvepl
Resoluclón N"OE
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D
c
D
a
ACCDda
Piden: E= 
AB 
- AD =;-e
En un pentágono regular, el lado es la sec-
ción aurea de su diagonal:
"=116-r)[2 )
CtaveE
d 6+1 " J5-la2d2
- .6+1 ..6*tE-- 22
.'. E=1
Resolucióo N"O?
Piden: AG=x
1 1111
Dato: *:+*=5=;*b
AG:BC=CD;x
AF-BG-BD-a
CG=GD=b
ÁGBCD: Teorema de Ptolomeo
ab=a.x*b.x
ab:x(a+b)
,,
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olLI
I
I
I
Resolución N"O5
-
,/á-
cíZtñile tñ¡t od,uhd,tu¡ind,t ciwi"t cdrú' 62 MATERIAL DIDÁCTICO N"4*
Resolqción l{'l01 a+b 1 1
-=_-=-+-xabab
*
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B
11
de clonde:
chve§l
Resolución N"Og
A D
Piden: AC:BD=x
Teorema de Pithot:
AB+CD:2+6
de donde: AB=CD=4El trapecio isósceles es un cuadrilátero
inscripüble:
Teorema de Ptolomeo
(x)(x):(6)(2)+(4X4)
.'. x=zJi
Piden: PT=x
oM=oA:25 y OT=OD:15
MP=PN=7
\.optnl, oP:24
N.ottut, MT:20
ÁOTPM: Teorema de Ptolomeo
QQ (20\ = (7 )( 15) + (25) (x)
.'. x=15
r
x
\
/,
Chve§ Piden: (AC)(BD):xy
lportrfido an tt llifaslón do la Cíancia y la tultun
,2 *"2 =2t2 +
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elave§
U2
B
cleyeE
Teorema de Pithot:
8+4=3+AB
de donde: AB=9
Teorema de Ptolomeo:
(x)(y):(9)(3)+(8X4)
"' x9 =59
(2r)2
,,,h:x-+y'+z'
AAPC: Teorema de la mediana
*2 *y2 =2n2 *\:
2
A.OPB: Teorema de la mediana
2
Resolución N"l2
U2
A
Piden: [ = (pA)2 + (pB)z + pC)z
*2 oy2 +22 =2(n2 +*l+*+,2
Pero: nz + t2 - 4r2
,2
*2 +y2 n12:sr2 *l
como el kiángulo es equilátero:
,=!.,4 -,'=';
reemplazando:
.'. *2 +vz *12 =f,tz
sumando
,
f'
C
zcA
x5
"'. x=5
' a, cEoruErniA_r_rrr_r_rr_** r, _ r,,_ _r q
Clavep
,d
Gú2T-AiI@ )bd4*8t ú't6iiod'h.i'r,i'rt edb, 64 ilATERIAL DIDÁCflCO N"4
riTTl"I POIíOONOS REOULARES I
1 Loo polígonos AISCDEF y A'B'C'DE'F son dos
¡rolgonos legulurs si¡rrét¡ic«rs con respecto aF.
SiAA=2 u, calcule la dislancia de C: hacia."{'.
A) 2J5 B) 2"',3 L') zr1
D) 2\.6 E) zJio
2. El sjmi:tri<:rr del hexágono rcgular ABCDEí re-
lativo ;r lir diágonal CE es A'B'CD'EF'. S¡ áff=Ú,
calcule la longitud á.6'.
A) {,J-3 B) (,,',3 C) (,,f
D) i.Jiil E) (Jia
3, Una circunferer rcia ? cuvo ra«lio rnide l& crn'n
está inscrita en un cuactrado ¡(LffN. l.a circr-¡n-
fcrencia es tangente a los tados t,ti y ,lrr-v en los
puntos P y Q resp€ctilamen¡e, y A'P n « = {S.i.
C¡rlcule la.longitud del arco PQS.
A) 123 B) 124 c) r25 r)) 126 f.) t27
4. En un cuadrado cuyo lado mide Í, se trazan 4
a¡cos iritcriorcs con icntro en cada vóñice y
¡adio f. Calculc cl ¡reámetro rlel cuadrilátero
curyilíneo determinado por los 4 arcos traz¿dos.
A)
3;rt ¡{.
,{
D)
3¡ú qr{
J
5, Un hexágono regqlar se encuéntra insr:rilo en
una circunfercncia dc longitud l2 u. Se trazan
las diagonales menores del hexágono, clbte-
niéndose un nuevo polig«-ln<.r re¡{ular ¡¡rscnto
en una circu¡ferencía. (ialcule la longitud de
la circunfereniia.
A)3 B)4 C)6
D)4J5 ü (iJ3
6. En un cuadrado cuyo lado mide d, se lraz:.n ar-
cos interiores haciendo centro en cada vdrlice
y con radio de longitud a, que al intersecarse
determi na¡l un cuadrilátero curvilíneo. Calcule
la longitud de fa cuerda paralela a la diagonal
del cuadrado.
N ali
D) orDl--T
7, Ca.lcule el lado del cuadrado inscñto er¡ uria
circunferencia en la que una cuerda quc sub-
tie$de un a¡co de 120 tiene urÉ longitud dc
JU.
A) 4,,t B) .,6 c) 3J5
D) 2"6 E) v?
8. Sea ARCDEF cl hexágono regular cuyo lado
mide a. halle el lado del hexágono que tiene
por rélice los punlos rnedios de los ladr¡s del
hexágono inicial.
9. En un triángulo ABC, ea=AC="Ü+dZ- y
m{A.8C=45o. Calcule AC.
^)2 
ilji O2J,
D) 4 E) 3./á
1O" En r¡n triángulo ARC, AR * BC =,1;72.
m<A.BC= I 35o, Calcule,{C-
A) "0 B) vT c)z 0) 3 E) '6
tI. Si f e§ punlodc fangcn(:ií¡, adcn¡ás m<C=45"
y R = ,,,rf - ,,T, calcule áC.
A) 3.l?
B) 5.J,
c)$
»2'!,
E) 1,,1
I2. Si .44¿D¿'¡', AC,\ltl ¡, CDPQ son polígcnos regu-
l:ues ¡; Af =a. calcule,,lfP.
2a á
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Piden: ABr = x
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"PQS
I---
"PQs
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Piden: CAr= x
AIr=FAr=2
AABC: Isósceles de 720
AC=26
\.Cee' : x2 =42 +e.filz
.'- x:26
Resoluclón N"Oz
Piden: Lffi
Por ángulo er<terior:
s: _ go-TG:+ mG= 3722
de donde: mÉG = u7
727 _
entonces: Lm§ = 
r6o_L 
o
L=== =Y¡2nR)= 727ñ'PaS 360\-'-'l- 180
Dato: R = 180
It,
Reemplazando:
S0r.uGtotranIo BC = CBr=/
AABBr : I-ey de coseno:i
x2 = t2 +(2Oz -20let)Cos(L2o)
x2 =71,2
,', X=lJl
R¡solución I{"O3
K
l27n 780
180 n
=127
Chvepl
@E
e
E
*gm
Resolución I{'Ol
-ts
I
d
-
I
Resolucién N"04
Piden: 2psp6¡1
2prrcH =4.Lfu
L¡6=o.P=n.7
entonces: 2PrpcH =4'
^ 2nl¿PEFGH =T
Piden: L12¡
Dato: L(r) =D
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por semejanza:
nJ5a
(;4
B
Cbve§
C
entonces:
72
Lrzl 
= ILu) a
_ n,
de donde: L12¡=-L11¡
A,ABC: Isósceles de 120
u=n6
nJ5
AJ
reemplazando: L(z) ={rrrt
:. Lp¡=4J3
Piden: AB=x
como: mÉEd = 120
entonces: PQ'/s
3=R.6
de donde: R =.6
Sabemos que: x =RJz
*=J5&
.', *=Jd
Reeol¡¡clón I{"O8
Piden: PQ
AP=PB=BQ=QC=alZ
Piden: AC=x
AABC: Elemental del octágono regular
69 = AB[.8- .f2)\' )
Reemplazando:
*=Jñfz-.,|ñ,
... *=JV
Resoluclón N"O? APBQ: lsósceles de 720
PO =;.6
chveE
Rcsoluclón I{"Og
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Resolqción N"Oó
Piden: FG=x
.u*o' *ÉF = mÉG = mGD = 3o
oarrcE
cbve§
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D ,tñ
I
I
BF FG CD
@pl-
*=urlz - J3
t2
270
Resolución N"O5
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Resolqción If"lO
-
68
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B
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PüíOONOs REoUIAREs IIPiden: AC=x
Se obserua: *ffi = *Ée = +S
entonces: AB = BC, Zg
, 
-
Jz-,t2 =a.lz-Ji
cle donde: R: l.
corno: mffie =90
entonces: AC: la
*=R#
;. *=J2
@EI
R¡solución N"ll
c
Piden: AC=x
ATCE: Elemental del octágono regular
Áe 
'.pg
"=r9Jñ=r+Jñ22
*=sJl+J2 =,[l$JÑ
.'. *=Ji
Cbuep
ResolqcióD N"12
Piden: MP=x
MC=PC=a#
AMCP:Elernental dodecágono regular
MP: ln
-
x=Rr/z-Js
*=u¿.{ljs =""[4-zT3
... *=u(.,§ -1) Rpta.
Si ABCDE c's Un p(:ntágono regular y
se =ift;, + t), catcule MB.
lados si sl <.liál¡let¡o rlc la circunferencia cir.
30
35
D{A){'2
D)T
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A)o
B) 4a
C) 2a
D) 3<¡
E) 5<l
B
f-t ¡:--:=::
cunst rir¡r mide .12 + i ril Cr r 2,15Y 2'
arlvG:zG r)6f
,).ry!
6¡ -'l§ fi5
C
E) i-o-*:!
4
). La diagonal de un pr:nlálEúno regular mide
('6 - ¡).*. Calcule su ¡rr'rirnctro.
A)8 B)10 c)20
D) r5 E) 12
.1. ABCD... y ,18PQ... son do.§ polígonos regulares,
tal quc B-P-D y rn<CBD:Z$a. Si PQ=6m,
halle Ia k;ngiturJ del circunradio del polígono
regular.4BPQ...
A)3 8)6 c)3v?
D)2\5 E) 3$
4, En un triángulo,48C, recto en 4 se traza la al-
tura Eri. sl ¡c= I 2 u y nr<C= ?,5o, calcule BH.
A) 2!,5 B) .6 c)'6:T
»zJr-fi E) 3\6:T
i¡" En una circun{ercncia de radio R* n6IE u
sr: i¡rscribe el triárgulo isCrsceles AáC, tal que
rn<AIJC= I?0"; luego sc rr¿z¡ interiomre¡rte el
cuadraclo BCPQ. Calcule AQ.
A) 0,33 B) 0,s0 c) 0,66
D) 0,7s E) 1,00
6, Dado un lriáñgrrlo A/JCI inscrito e¡r una circunfe.
rer¡cia de raclio B, <ionrle BC - R"5 y AC = R.,{
Calculc. AB.
» snrlz"+,r5 ts) f ft;Td
r¡.r¡tr/llv5 D) fi\r2 -E
E) 2R"/2;v§
8. El radio cle la circurnferencia cirt:u¡rscríta a.l<!e-
cágono regukrrABCDEFGHIJ ni<Je R u. C¡lcule
la longitud del segmenlo que ur¡e los prrnto§
uredios de las diagonales AZ ¡, D.
9. Ln uo tdárrguló áBC, rn<B=36o, lC-8. y se
lraza¡i las altura.s All v CQ. Calcule f,g.
A) J5 + I B) 2!5 c) 2(.6 * 1)
D2,6*l l:) 2(,6-i)
10. En una circunferencia se lraza la cue¡d¡ E.
§i míB= A4 y AB*GlG",r,, calcule la
longitud de la ci¡cunferencia.
A) 3.,'Ea B) 2'Ez C) 4v2r
D) 2"5n §,) 5.ázr
l l, Se tiene una semicin:unfcrencia de diámetro
AB y s. tra:¿a¡r las cuerd¿:¡ ÉD y FC paralelas
al diáme.tro, nrñ = 72" y mft = 144". Si el ra-
dio de la circunfcr*ncia tiene con¡o longitud
- 
-, -aJl'¡ cnr, calcule ED'+FC-.
^) 
24
D) 3l
B) 25 c)
E)
12. ABCDE es un pentágono regular, se trazan las
- diagonales ft y fA que se intcrse(.an en el
punto l, y la bise(:triz del ángulo BIC intersecta
a átlen el punto L Calcule nt<B'!'F'.
A) 60" B) 62" C) 70"
D) 72" n) E0"
C)f
s) f.6
a
a
T
7, (lalct¡lc la lon¡¡itud <le I l;rrkr clel ¡»lígono de 20
I
*ffi g-****-"t r\*"*m'* ;,P,',
30¡.uGloIUARlo
Resolución N"OlPiden: BM=x
mIEBD=mlBEC=36
A.EMB: Isósceles de 108
ee=$(6.r)
B
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entonces: i(G"r)=á(.9 n1)
x=a
Resolución N"Oz
Piden: Perímeto=2p
2p=515
Dato: d5 =16+1
Sabemos que en un pentágono regular el
lado es la sección aurea de su diagonal,
entonces: /5 =*(.6-1)
Reemplazando:
" (6*1)r,,s =--T-1"5- r)
15=2
Chve§
2p=5lg=$(l\
2P=Lo
daveE
D
Piden: R
R: circunradio del polígono regular ABP'
El ángulo exterior del polígono regular
ABCD.... se observa que mide 40, enton-
ces podemos obtener su número de lados:
49 =4* n =9
n
entonces su ángulo interior mide 140'
se observa que: mIABP =120 por lo tan-
to el polígono regular ABP.- es el hexágo-
no regular.
entonces: R:AB
.'. R=6
s!*E
Resolución N"O4
Piden: AQ=¡1 '
como: mÁB = 60
entonces: Á8,/e
AB=a=R
AABQ: elemental del dodecagono
Ao=AB(.,ffi)
*=*{fis
dato: a =JÑ
Reemplazando
x=1
Resolqción N"O6
150
Piden: AB:x
como: BC=RJ5
entonces: Ñ:lg y mÉe =120
como: AC =R..8
entonces: Ñ:ta y rnft=gO
dedonde: mffi=150
l-ev de cosenos:
x2 =R2 +R2 -2R.R.Cos150
.'. *=n1ffi
*,**,$*.,*H*;*
Piden: BH:x
\.Rnc: AM:MC=BM=6
mIMBC =mlC=7,5
de donde: m/BMA = 15
ABMD: fundamental del dodecágono
no = nr'r1/z -*r8¡
Z*=G$:G
.'. *=*tf,fs
-,."."...".....:
*=,,12+ Js"lz-Js
gseE.
Rssolución N"Os
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Piden: (.2¡
Sabemos que:
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Resolución N"O3
4---
Rcsolqción If"O7
-
I
/ñ- -6cuzEAL@ tnnñtrñhd¡tuind.t*nitc*w 72 . MATEBIAL DIDÁCTICO N"4*
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{.
a
.:.
*
.i.
*
reemplazando
2R:
Reemplazando obtenemos que:
-
.le -zJs
entonces para calcular 126 debemos co-
nocer el lacio del riecágono regular
r1o =á(6-1)
como dato tenemos el diámeho:
R (6.r)
X=
R .6x
2
Resotqción N"O9
Piden: PQ=¡¡
mIBAP = 54
entonces: mÉd = 108
APOQ: Isósceles de 108
* =E1.6*t)2\t
reemplazando:
4
X=-
2
(6.r)
.;lto;r$
2
Piden: MN=x
Por propiedad:
AD_GHX=-_
2
AAOD: Isósceles de 108
Ch/eE
E
AD =*(.6.1)
EG: /16 = HG = i(r-r)
R
-_R
h
x:z(6+r)
Chve§
Chvep
R (s-,)
Resoluclón N"lO * Por problema anterior:
A
.t
+
.!.
*
a
t
.:.
.:.
n
.:.
n
.:.
.3
*
t
.:.
.!.
+
*
t!.
€.
{.
.:.
*
*
.:.
.:.
.:.
*
*
.:.
+
**
*
*
*
r:orno: mBC = 36 + OT: ap16 Resolución N"l2
70+26
Rosolución N"ll
FC = 2apro =+ FC = ,.IJto;Ñ
FC= 1úo-2".62'
ED)2 = $oo-zJ-st
rcl2 =$6 a+zJl)
sumando:
M=(ED)2+(FC)2=592
Dato: p =.,fr
M =s("*6)2
... M=25
Piden. LV
Por base media: or =¿9
2
r----=
or-{5+{5
2
-
{s+Js R
2 :4
de donde: R=J2
L€,=znR
reemplazando, LV = 2"d2)
:- Lv =2nJ2
Piden: M=(ED)2+FC)2
ED: ts=+ ED =;do:rE
*=
I
@E
oa""pl
KE
Piden: mIBTF=x
Por ángulo interior:
m/BFC -72+72 -r,
2
de donde: mIBFT = m{TFC =36
por ángulo extemo:
x:36+36
,', x=72
I
.., x
Resolución I{"O8
TR,IGONOMETRIA
ciclo AmfaBWGVo
Prof. Jorge R.
¡I]]TI TRANSI 0Rr'/tAct0NESTRIOONOMETR¡CAS I
B)2
2. Simplifique la siguiente expresión
Calcule el valor de la expresión
--. serr40osen25ocos 5u-_-_
sen70"
6. Halle el equivalente de la expresión
"_ 
cos0-sen(2a-0)
" -seno+cos(2o-o)
or.'(;-.,) o *t(;-")o t."(1**)
or"",(;-u) E) .""(i-o)
qJ2
ar tE'2
*y)
c)4
E) 1/4
2x +L
3
sen x+ + + 7" Calcule el m;iximo valor de la expresión
a =r"n[
sen2x + sen2y
B) l/2A)2
D)l
3. Si c¿=7"30', calcule el valorde
M= 2(sens- sen3o) (cosSa+cos3q)
A) 2senil'12
o) 2cos1'24
J5 J5
A) -, B)'T
t;VJ
D)
ô
c)-+
D+
4. Simplihque la siguiente expresión
sen40-sen60-sen28
2cos 20sen0
5. Si sec20=2 +secO
calcule el valor de
sec 20
A =--sec3e
A) 2sen30
D) cos30
A) -.1
D) t/2
B) -2cos30 C) sec20
E) -cos30
c) -U2
E)2
A) 0,6km
D) 0,75 km
9. Si se cumple que
62
sen.r + senY = - ; CoSx + cosY = E
calcule sen(x+Y).
A) 4/s
D) v2
B)l
B) 3i5
t4= -r{
Jc'^ ¿o(
eosLo..cDi+o¿
I O. De las siguientes condiciones
sen50=z
sen30=y
sen0=x
elimine la variable angular 0.
A) x(z-x)=y(y+r)
B) x(z+x)=y(y+x)
C) x(z+x)=y(y-¡)
D) Y(z-x)=7(Y-¡)
E) Y(x+Y)=7{2¡¡'1
I I. Del grálico, calcule x si
cos60 +cos40 + cos28 = 0
§otuo§&m§&etfiI
2
3/2
5/2E)
x
e trt
7 = co55'-
f = co35--
,en ¿fO'Jen25'
Jeñ TO'
2Syzose*, r,:{'i-
-!-),tufr<)
E = cosf - (eo¡f- cot+f)
E = eo¡¿rS" ¿ .E= gz
ResoIeq¿cíi\
2 E ,ecrxrJ)
8. Al desplazarse un misil, su altura se expresa en
función del tiempo con la siguiente ecuación
f 7r\ lr-A).x(f)=sen[rf + tS.J."nt t8/
Determine la máxima altura que puede alcan-
za¡ dicho misil si la distancia está expresada en
km.
B) 0,5 km c) 1,25 km
E) 0,8 km
I 2. En un triángulo.ABC, calcule la medida del án-
guloA si
sen2Á =3senB senC+ (sen8 -senC)2
A) 60" B) 90" C) 105"
D) l20o E) 150.
13. (-'¿¡lcrrle el valor de la ex1¡resiórr
csc70o -r' csc 50o + csc I 0o
7-*l.rSfor-evnt¡ en pfrJrfia :
&(zx +4).es{'¿-ay JEc(x+y)
R.sn.(rty)
g:- ¡en2(tr+l\ . rccCxt'r\
. se\^ ( 7c'¡ 9) |
É cal (t . rec
99e{'É{-§
Aerotucí,,¡
l-l = 2 (feqa- re'A}ol\ CaS ¡a t crJSó¿)
-f-v-a-tsf-a raevnof e¡.» procJu dto :
ful - 2. 2 cr| 2a ¡q1 6ot\, 2toJ 4d ¡oJol\-rJ
-l*\d
Lfevtaqa
).'*(r,-i)
sl 2sen3'24 C) 2cosa'12
s) zcosll'12
A) 4J'
D)8
B)6 c)4
E) 6¿
c)
E=
A) t/2
D)2
I + 4cos40o
B)t
c) r/3
Df)
DeJo 7-e- co5Gg\= coJ(g\
e coS(3-x\:cDJf?<-:\
Besuelto
A)t
t;
D]Y., o
tevtzK.+Fñz-y
E= 2 l@
I
¡J_-* I re4q_o(.6!Vo(
H = - Zreqtúo{cJojtfo(
M = - Je ga<, .:lato : o(=4'3ol'134 M =-l«\60
Tte,ng{-of...c-vY\oj er\ gvoJ-'To ;
L: ?:g{4o+:6fs"'(t-4
b=-
zeos( t<d-éÍc's(ff-e)
[",
€ion
E feúr+A- 1rt^69-le6Le
zaos,zo te}¡.e
9-b-
¡entÉá - levlZe) - rer\6e
ze§Sze Sel4e
C 2ors3oRyl,e - ztar\gocolgo
2cos2esene
,c
L-
2f§¡sge
,eÍ\34 - t€:t\o
-(re,ne- ¡err5éT
E=-zc"sgo l@
l2esoLrc¿o6
D¿tb: Jecze =talecO
MoLftpbqverñot for coJ29 (\rf o
4 = sen (zx *$) + r^(zr- ff)
r* (2" *ft)
v'rfk = I
A^r* : Zcos 3n
QesoLo¡¿d"¡
(
co§0=2cDl2&eé.to+oDs2e
/t
eol8 = col3o + V\e +cosza/t
- col30 = Co\ZO
A=
f
v",&
x(t)=
x(t)=1,2
x(t\ = !
^2
I
vnáx
sec3e tec20
See2o ,
.+_ 
= -ltec 3O
x*i¡=*(*rÍ *r)
Xrrlfx =* = 0'?5uv'l
Qesoi.uc§i
QIE§.,
feln2<+Sqy =á
L
2es.>(*rc¡o6
Col€ - ,er.r zot- e)
Je.4e + cps (zx-a)
señfg -e\ - ser'(z'a'e\\2 I
5
r_
-!(A-a) + @r(2o(-e)
(eSX f coJJ =
cos/lI\|2*'
re,n (rrr.- #)""(or*¡t
!.. ran (zrt1 ffi) len(nt+ -[
ff _ *rF.r" #)
rnf,n =-t
rrnín
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{ov.r"^€-vr1o t en proJ. d-o
I 2ren[x+Y\ cr3/x-Y1= 6
I 
. Z t \ z) 5
[zcs1E:)*'(#)= *
A¿ ltv¿{¿r Jq obtie,re .
Gnl!fl\ = g\zl
+ x+9-- go'- 5+'
2_2
x+! = tto"-lf
+ fe,^(x+9) = feo3{'=
I eso[., c¿ín
ub: Sense=a (¿)
9n38 = 5 @)
.!on& = X (zu)
f¿) + 6r) :
senS.o+F4s- u +x
Jer\3O Co52O = ?+F
9
y.zcoiZe=Z+7
tr) + (:r):
s!n39 _ 9
Jerte X
2coSZer{= I
x
zcpsz&= é-1
x
Qesol.r¿dn
ee§ L& . ceISe
2-
x
+ X coSgcpszoGpJ3O =2
f .2c4§Z§céf A. C¿r36} = t[
¡ ( cos3o+ eoge) co¡3e = q
x ( 2coi¿3g + zcor3e co¡s) = z. {
x( 1+ co!6ütcojto+rpj2.o\ =8
O<- cl¿to
.3
5 (D
5 (,J- x) = x(z+x) @
+ x=slo
se*e = Lre,tf.¡e"¡C +(Je,rB -fw,c)¿
su,la= 3rcnBte.a( t
*h *r.f,a -Ltenbte¡t(
S*2A- f.rr26 te,oBfe,¡r( * lorrtC
s<ra (e+a\. ,a^(A-g)
P.rd¿.C¡: A+&+c-{8d
+ t€n(A+g) =fen(
+ s4. Je'a(a-B) =gensyr(+
sen(a-g\ = sens +.s"ig
sen(e+s\
O > sen 6 + rerr(a+e) - Jer'(A-B)
2ce5A scvtb
cr§\eSd..-¡2
@)
(s)
(v) ."r 03)
_y (*_ ) = ?+¡
@ E = ral" (f -") @
Q-"rolr.¿l-t l+]
o
I
o
E=
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GIG1O REPASO
cÉsaR YAtlEJoo
I +2cs§A =O , coSA= t2
A=12d l@ ¡re( f,3bÁ' Hultlc. G.
Pe sot, cín
{í*Ic,
M§PJL§@
&3eü§
TrigonometríaC csc?O' t c rc 5o'f cr( 1dg ¡tlaSt4O" r,t.-,r.',i, r',.¡r,,irirrdr.r,¡!rri;r.!,1tir¡ r;,*
t Avttt, pkg!( r-,"¡ zl n't ntcr¿&r
q deno"á¿n¡&r Pof' 2s*ttdk^af¡arr+d :
E 2 fon to"Jer¡Slo' + L seqlo" ¡eqqd
2qnto'rrrsd¡cr\?d ( t +tlce¡ .{o")
+2se"'qifnio'
C + - cplyo'
J.
z
. .f rrrt dJerlSo' na¡d (t + +cr¡ tO-)
+ cel z§-tolt'¡D'
\
+se,^{o tc'1fii frd =Je'r3o*
áE= cpjqo'- CpJd ¡ coSzO' - apt l2O'
F-
,!.rn3o"¡1¡aerlrfo')
L-c!
c.rl,+d + gleg'; g,Jrdj +- |
!. t Ct+t+c,¡z7
(oJ qo'- 2JerrSi¡e-nnl
cp)
t-30 ) r. I
LiG1 2casto')
r'-*--
+\*É2Ñ
E =21@
Lf senxle4(60'-x) ¡cra(Ao'+x)= §m3X
H
D !r., o- j.osho)sen(n + 2)oseco
IEfI
#ffik
TRANSToRTT|AC|0NES TRr00N0UlÉrnrCRS r¡
l. Simplifique la expresión
^n2¡3¡¿ = Sen- + Sen- + Sen- +...n tefnlnosnnn
A) cotl B) cota'n2n
sen(4mx)csc2r
sen(4mx)sen2x
A) *l B)l
Calcule el valor de la expresión
2. Si 210=a, calcule
f = cos0*cos30+ cos50+... +cos I 90
o) -;
D) -t
B)l c)2
ll. Calcule el valor de
B=sen2l "+senZz"+s"n23"+... +sen2g0o
r 3n 5¡r
Si A=cos-+cos-+cOS-777
- 2n4n6rv Il=cos-+COs-+COS-'777
Calcule.4'8.
D) tana'2n
D)'*l'2
C) tanS
n
o-
E) cotÍ-l
n
c) 45
E) 60
ü-+
¿t
I
I
":.*
*
t
.;-
*
*
*
+6.
*
*
*
*
*t.
*
+
n
t
+
*
*8.
+
*
*
*
*
*
*
cos(4mr)cosx
c)m'2
D)m'2
ü+
I+-
4
1+-
4
I+-
4
B)A)
D)
E)
D)
I
4
4. Calcule
sen2r+ sen22x + sen23r+... +sen2n¡
.hcslx--.
n+l
A) 22,5
D) 45,5
B) 30
A) n+2 B) n+l
-r¡r2rl¿ =cos'-+cos'-+cos'77
3n
e) f sen o - |sen 
(r¡o)cos h + 2)ocscg
e) 
|cose - |senho)cos(n 
+ 2)ocsco
c) 
f, 
cos e - jsenho)cos(n + l)ocsco
n) 
f 
coso - | 
sen ho)cos(n - 2)ocsco
7
c)l
E)2
Calcule la suma de los n primeros términos de
K=sen0 sen20 +sen20 sen30 +sen30 sen40 +...
1
2
5
4
3
4
6¡ tl3'2
E)n
5, Calcule la suma de losm primeros términos de
M= cos2r+cos23x+cos2sx+...
sen(4m¡)csc¡
cos(4mx)sec2x
,q) 1+1'2 
4
a) 4+l'2 
4
c)1'2
F
o=3
,§sf:"s"g
-, csco-csc3no¿l--- z-
10. Simpliñque la expresión
ilf = r,ano+ ],un9 ,1,*9 *...* 
I ,* o'2 24 4 { 2'
l0_eot-
,n ,n
9. Reduzca la expresión
M=tarlf sec2x+ tan2x sec4x+ tan4x sec&r+
+...+tan/-lxseclx
A) tanflx-tarrt
B) cot¡nx+tan2nx
C) sec2rrx-cotnx
D) tanflx+cotx
E) cotfx-cotx
A)
A)
D)
+
*
s) cotze+ jtan4
cl 1tur,9-2 
2n
D) -2cot2€+ 4.o,9'2n2n
E) 2cot2o- f 
"ot9'2n2n
I l. Calcule la suma de los n primeros términos de
la siguiente serie.
f=cos2crcsc3s+cos6ccsc9«+coslSctcsc2Ta+..'
A)
csc2s - csc3nu
B)
2
csc2c¿ + csc3'u
13, Calculeelvalorde
I
I
7
I
B)
3
8
2
ZGA
Aportando en la úiiusión de la Ciencia y la Cúltu¡a
12. Calcule la suma de n términos de la siguiente
serie.
B=coso-cos(c+ p)+cos(o+2p)-cos(ct+30)+...
a) r".}r"n 4.or(o * qafrQa!)
n1,""|,"r4/*'[".qd)
c1,".!,"n4p*'(". gf{qjI))
n) "r"tr"r,I[*'("-ry)
el .*!,u, r@/ "*[". 
ql+..!])
¿ = fi - "o, 
T'll, - 
"o, 
oj)[, -.o,8)'- \ ---7)\ 7)\ 7)
c)
E)
5
8
3
a
TRIGONOMETRíA
D
sotuGtoru&Rto
2erol.,<r¿ñ
É^ e c¡re-rJ¡.-
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Ll=t¿nx ¡eeZu ¡tan2y¡ec+x -y
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JeqV tvlVs +.". t tennt !¿vt fntt)A
"XVa 2¡equgwo +)¡ewTov*rzo ¡
2JeH +8},n3§ + Ltcut(n+t)O Fq nc
?*V= CoSo*to13'0'f
(ple* cpJSO +
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Cr§S - crrJ (2n+l)€
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frpblu"r''"s a c¿J¿- €rtalna ""
M= t>.{zu -f-x +
bá"-V/zx +6*-úy*
a/.f
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M = Gn l)x-t*,x @
Qe-vL"¿d't
?.8 =gZ @
t&¡ = cotv -2¡r;¡2,
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2-b =qD,-c-t7
E, = t+E5l ;
' tw<k
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14=t¿ne * -!- fa'rP * J- En a o "-.'z L + +
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q+ ln-oñ +d+(n-l)É
En un triángulo.4.BC se liene
A=55n; B=50"y.=(16*l) 
"
Calcule la longitud del radio de la circunferen.
cia circunscrita.
a) .á u s) (.8+r) u C) 2.8 u
o)(J5+l)u E).,6u
Del gráfico, calcule la medida del ángulo 0.
Del 8niñco, calcule 0, siendo M punto medic)
de AC.
B
C
A) ro,
D) I8o
B) tzo
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E) 20o
c) 45"
E) 37"
gy¡ n(?r+D) cog
L r+
(n-tXntP)
9.
B) 15" C) 8"
En un triángulo ABC, se cumple que
tanA-tanB c-b
2tanB
Cellcule m<4.
b
B) 600
@ 2,92
A) 16"
D) too E)A=(-ca i)(c'ay\(t-,sff)
A= 2re*,s " z"*4. rnrrfi
o" T)"
t. En un lriángulo A^BC, se cumple
m<A=2m{B
calcule el valo¡ de la expresión
az ^b2 +Zbc
bc
Si a, á y c son los lados de un triángulo ABC,
reduzca la expresión
G2 -uz -é)an¡+{r2 - b2 + c2)¡*rB
A)l
D) -l
PYOP
ic.J.{
Aportando an l, úifaslón úo la Cisnciz y la Cultan
E)
1" De acuerdó al gráfico, calcule el valor dc 0.
2x+3 i+u
l+3x+3
A)t
D)4
A) 1000
D) l35o
B)2
c) I 20"
E) 105"
c) 3
5
Del gráfico, calcule cos0+sen0.
¡+Jl
,
B)-2 C)0
E)2
G
4
Jl0+2Js
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A) 1¡'2
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D) 30"
b+ A=2b
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A
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b C
I " En un triángulo ABC se cumPle
a4 +b4 +c4 =12(bz +cz)*c2(a2 +2b2)
A) t5" B) 18" c)22,5
D) 30" E) 36"
10. Los lados de un triángulo están en progresién
aritmética de razón 3, y el ángulo mayor es el
doble del menor. Determine el perímetro del
triángulo.
A)30u B)lSu C)60u
D)40u E)45u
1'1. Si AC=BM,calcule el valor de x.
,n4.
gfifuB:ri,g+.,t!, tg,"l lt o,rt:,,,, r,g%g: . 16
301UOrcilARlO
Aesat., c¿oí
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f A=55" ¡ g=5o" -"o-
* c=(6'+t)',.
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lI't1=za(G+U?1\LÉ
Y94= +.{r$1+<l\
É. =.fE ..t
QesoLu¿¿6ñ
A) 24"
D) 34"
B) 32"
B
A
c) 41"
E) 18"
c) 142"
E) llso
J
1 2. Sea un triángulo ABC de lados a, b y c respecti-
vamente. SimPlifique la exPresión
b2 cos2C- c2 cos2Bnt-
bcosC- ccosB
A)a B)b C)c
D) b+c E) b'c
13. Del gráfico, calcule la medida del ángulo 0'
300
A) l3oo
D) l05o
4s2-
Qp(tq"e,n"l J Gorer¡n¿ J-- Jr¡oJ:
\ z,qL
sc-Yfe feñ3e.
se'(o (Lcos2e + t)
2a\2o¡ | - Z,9Z
Lcoszg = J¡42
coS}O=o,96=L!'2t
2 Lo=16' + e"8-
Oesotuc¿dñ
D¿tos
C=
B) 1zob
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De.l G.orenv.¿ Jo-t e§,)c.r\o i
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Qesot".-"ín lñ__,.-_ _ f *t/
fcn CA-6) = 2a)A sm ? - 2 co¡aPnb
J€n (A -B\ = L¡otAÍ¿ñ c - tS¿n /n + B)
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A + B +C=l8O
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rlrrr REsoructou DE Tníilcutos ogucuíl¡ouros ¡¡
En un triángulo,48C, se cumple que
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.3.
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*
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*
*
*
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5. Si x, y y z son las longitudes dc las biscctfices
exteriores de los ángulos de un triángulo,ABC
(o > ü > c) respectivarnente, calcule
I AI BI C
-sen---sen---sen-x 2y 2 z 2
n C
Apl3.le*n i el teorewr¡. J"- ler:rr;, 
-¡AA6D. Úrnn = ^ -teri e kAY'
'2. En un triánguloABC, simplifique la expresión
A) -l
D) -2
A)2
D)5
B)l
B)3
c)0
E)2
c)4
E)6
C) 14cm
E) 16cm
E=
(b + c)cosÁ + (a + c)cosB + (a + á)cosC
l. En un triár.rgulo ABC, mo es la longitud de la
mediana relativa al lado rz. Simplilique la ex-
presión
,_mf,-bccosA&---
2o'
A)2 B)l
4. Se tienen tres rectas convergentes en el punto
P, las rectas PA y PC forman un ángulo de 600
lo mismo que las rectas PC y P8. Dichas tres
rectas son intersecadas por la recta AB (ver
gÉlico) siPl =3 m yP8=6 m. ¿Cuántos meúos
midePC?
6. En un hiiíngulo ABC, se cumple que a +c= 10 y
(B\ 2cos{\rJ=-F
calcule el valor máximo de Ia bisectriz interior
relativa al lado b.
D"or2 I *."or2 42_2
n
,ev\30 B)A)
D)
I
2
1
8
c)
E)
I
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m
1
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5
c)
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I
i
,)
Mutttphc¡"".6 Je. Plf¿ene :
-$'rf- -t/"1d'= --SeA-%
y - )-5e,n(e +¿o') Ser,P - f
2 f cereo'* ool(2§É6ó')1 = I
L/# -2as(za+«i\ {
CoS(29+¿o') = O
2e+co'= 21i,"
2@ = Llrf
rl,^
e = lo5 I(D
7. En un triiíngulo ÁBC la bisectriz exterior rela-
.tiva al lado a mide 48 cm. Calcule el valor de
la bisectriz interior relativa al mismo lado, si
además B-C=32o.
D)
A) l0cm B) l2cm
D) 15 cm
8. AI reducir la expresión
_lll
csenB asenC DsenA
se obtiene
9. Siro,r6y rrson los exradios del triánguloABC,
R es el circunradioy p el semipeímetro, calcu-
. oabcle'
R6ror,
B)A)1-R
D)l.R
I
r c)f
E)r
c
A)
D)
3
3
,
P
C) 2.6 m
E)4m
A) ttz
D)3
c)2
E)4
b"ne¡C =cleob
M =a l6¡
A
10, Indique en qué tipo de triiíngulo ABC se cum- 'l
Ple que ?t¡"=bt ;.
§oluercilARlo
1
12.
ABC, calcule cotÁ en términos de m. 
^ I 4 e 
_ !2
"t# utt# ",4# i ,, *tt =stcn(I?) rr\n)t# ,4# tce,-o V*{=*"*
Delgráfico,calcutecosxentélminosdea'bIc' .i' + fen(A'f;) = cdCf,
i) equilátero B) rectángulo *
C) acutángulo D) oblicuángulo 1
l.) isósceles :;.
Si h=2 y m son, respecüvamente' la altura y la 
{'
mediana relativa del ladoa=l0de un triángulo j.
AesoLrcilrr
D^gt*.,
{ A hB(- -> A +B +C, l8d
oYQmé & ta,,3"Ttel
áfb =5e-b
z 3b=22
3b = L4 +
tuc*dvt
ab c
*
n
+¡
.t
C f=
u:sl@
t;,ry,,;r@ i
.,1I6ñGñ o)1.@ l:t, irl-\, ", 2\ ac **
"''1@ *"'21 ab *
.¡
I 3. Calcule el área de la región paralelográmica en 
{'
términos de m, n Y 0 si AC =bn Y BD=2n' ;' u¿*92 o.,"S
A
*
+
Cb+c) ¡o¡4 a (6ae)col0 + (¿tu) c']e
f
lb
2
e.coig +)c.Lc'*e
bcotA + ccofA aOeolBlccof6
+ acorCt b¿o¡C
A) (-'*¡')t*o B) (m2 -n2)coto 1
cj (m - n)tan zo D) (m2 - n2)an s i:
ult¡ c.v. TRIGONOMETRíA
t (l+c"tc)+ É (rto,so) ,^- 2ab .¡r¡P' é+b 2
ov'lP
*
*
+
*
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sen2, sen3 y B es el menor valor de los núme-
ros cos2, cos4, cos6, calcule j{.¡-a
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D) csc2 E) csc3
t. En la circunferencia trigonométrica, halle el
área de la región sombreatla. O.,2sen0 *.,2sen0'senO-l - l-senO
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Del gráfico, halle la abscisa del punto Q.
X Y
0
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4. En la circunferencia trigonométrica, calcule
tanacotp
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D) j(sene+cose) e) jsene
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E)D)
A)
En la circunferencia trigonométrica, calcule
o+J\b
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9. Calcule et área de la región sombreada en tér'
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11. Calcule el máximo valor del área de la región '3'
sombreada.
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3. A partir del gálico, hallc la ordenada del punto
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ITlÍil tupurso CANT¡DAD DE IUOVITI/IIENTO II
44.
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A) 18m
D) 25m
Un ioven se encuentra de pie en el extremo de
una balsa que se encuentra en reposo en un
lago y camina hacia el otro extremo de la bal-
sa. lndique la secuencia cor¡ecta de verdad (V)
o falsedad (F) con respecto de las siguientes
proposicione.s.
l. La cantidad de moümiento de la balsa se
conserva.
II. La balsa se desplaza en dirección opuesta
al loven.
Ill. La balsa y el ioven se desplazan con la mis-
ma rapidez-
Dos astronautas, con masas de 65 kg y 85 kg,
respeclivamente, se encuentran inicialmente
en reposo en el espacio. Después se empuian
uno al otro aleiándose. iQué tan lejos estarán
luego de que el asfonauta más ligero se haya
desplazado l7 m?
B) l5m C)
E)
Una explosión intema rompe un objeto, ini-
cialmente en reposo, en dos partes, una de las
cuales tiene I,5 veces Ia masa del otro. Si la
energía cinética total luego de la explosión es
7500 J, Zcuánta energía cinética (en kl) adqui-
rió caiCa parte?
A) i,6 rr/s
D) 4,8 rrv-s
A) 6;4,5
D) 3;4,5
A)IJ
D) l,s J
B) 3,2 m/s C) 4 m/s
E) 5,6 m/s
20
30
m
m
A) VFV
D) FW
B) VFF c) wv
E) Flr
Dos cuerpos (¿) y (B) de I kg y 2 kg, respec-
tivamente, chocan con las velocidades de
i¡ = ft - 2) m/s y f, = (-2;z) m/s. Calcule el
nuidulo del impulso que recibe el cuerpo A
producto del choque plfutico.
A) 3 N.s B) 2ú0 N.s C) 2 N.s
D) 4 N's E) 6 N's
Sobre un piso horizontal liso el cañón de I 00 kg
dispara un proyectil de 2 kg con una rapidez de
200 nr/s. Calcule la rapidezde retroceso del ca-
úr5n,luego del disparo.
Determine Ia cantidad de calor que se d;s¡pa,
luego de que la esfera de plastilina impacta
contra el bioque y quecla adherida a este.
(mu"f".= I kg; m660,.=2 kg)
3 m/s u=0ffi
B) 2;4
B) 3J
C) 3; 5,4
E) a;6,5
C) SJ
Dsi
Un bloque de rnasa m se traslada sobre ur¡a
superficie lisa horizontal, con una rapidez dé
l5 m/s, e impacta contra oüo bloque de masa
Zrn que se encuentfa en reposo. Determine la
b-
Besuelto por: Prof. Wilmer ñicra M.
ML
fG.^)
mL
W -^)
B)
rapidez (en m/s) de cada bloque después del
impacto. Considere que la energfa cinéüca del
sistema se conserva
A) l5; Is B) ls;S C) 20; l0
D) 4: ll E) s; l0
8. La esfera A de masa m choca con otra esfera
idéntica en reposo y se mueve luego del cho-
que, tal como se muestra. Determine Ia rapi-
dez de la esferaA luego del choque.
E)
*
.4.
*
*
-mLAt.__' 2f.M + m)
L; C)
D)
ML
tu;ñ
ñ//,'
1
1m ¿t=0
2o m/s u=0
6--9 » Á37"?"--------
9. Sobre una mesa lisa se mueve una esfera A
de I kg con ur=6 m/s, yun bloque de 2 kg con
uz=3 m/s, que tiene acoplado un resorte de rigi-
dezl(= 150 lVm sin deforrrnr. Encuentre lamáx!
ma deformación que experimenta el resorte,
B) 2 m/s
12. La barra homogénea de masa m y de 2 ,'n de
longihrd está soltada a la esfera y se mantiene
en equilibrio tal como se muestra. Si se corta
el hilo, ca qué distancia de P cae la esfera de
masa 4¡n? Desprecie todo rozamiento y las di-
mensiones de la esfera.
\\r,
\
A) 4 m/s
D) I rr¡/s
C) 3 rn/s
E) 5 m/s
A) 15 m/s
D) l2 rn/s
B) 3 m/s C) 4 m/s
E) 6 m/s
A) l00cm
B) 15 cnr
C) 20 cm
D) 25 cm
E) 30 cm
10. Si a partir del instante mostrado la hormiga ini-
cia su movimiento, determine el recorrido de
la hormiga trasla quc lleguc al otro extremo del
cerillo. Considcre rtrue inicialmente el cerillo y
la hormiga están en reposo,
-Dz urffi
M'i' m zlisoffi
t---¿- t
A)
B)
c)
D)
E)
m
m
m
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IM ORAVITAoION
El gráfico muestra la órbita de un planeta que
demora 300 dfas en ir de Z a P. Con relación
a las leyes de Kepler, identifique [a secuencia
correcta de verdad (V) o falsedad (F) según
corresponda. (l[ área de la elipse).
El gráfico muestra un sislema planetario, don-
de dos planetas (1) y (2) orbitan en tomo de
una estrella S. Si se sabe que el periodo del
planeta (l) es de 2 años terrestres y que el
planela (2) tarda en ir desdeÁ haslaB 4 años
terrestres, determine el área encerrada por la
trayectoria del planeta (2). (R=4r).K -_---------
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I. Su periodo derevolución es 600 dÍas.
II. Si demora 300 dÍas en ir de Q hasta.A, en-
tonces a, = f
lll. r-r=3¡tg ¿¡¿t
A) FFV
D) TVF
B) wv c) vvF
E) FFF
A) 4A
D) zA
B) 5A c) 6a
E) 8A
2. Indique la secuencia correcta de verdad M o
falsedad (F) respecto al siguiente grilico.
(O: centro de la elipse)
iA qué altura de la superficie terrestre la acele-
ración de la gravedad es la cuarta parte de su va-
lor en Ia superficie tenestre. (R¡"*=6400 km)?
A) 3200 km
B) 1600km
C) 6400 km
D) 12800km
E) 18 000 km
Un satélite gira alrededor de la tiena en una
trayecloria elfpüca cuyo eje mayor es de
300 km y su eie menor es de 250 km. Si el pe-
riodo del satélite es 30 dfas, caicule el á¡ea que
barre su radiovectoren I dla.
A) 25rx tOe m?
B) 25rx t0lo m2
C) 25urx 108 m2
D) 25¡x l0? mz
E) 625rx 106 m2
if,r:- 'l B
N
F'----- 3r ----"1
I. Su rapidez en I es 4u.
lf . La energía mecánica del sisterna se conserva
lll. El tiempo que emplea en ir desde A hasta N
es el mismo que emplea desde fl hasta B.
A) vw
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C) VFF
D) FFV
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5. Se desea colocar un satélite en órbila circunfe-
rencial a 100 km sobre la superficie terrestre'
iQué rapidez oñital deberá tener el satélite?
(fir=6400 km; g= l0 nr/s2)
A) 6000 m/s B) 7938 m/s C) 7200 m/s
D) 8100 m/s E) 6500 m/s
7. Un satétite gira alrededor de un planeta esfé-
¡ico de masa desconocida en una ólbita cir-
cular cuyo radio es de 2 x 107 m' FJ módulo de
la fuerza graütacionat eiercida sobre el satélite
por el planeta es de 120 N tndique cuiíl sería
el módulo de la fuerza gravitacional eiercida
sobre el satélite por el planeta si el radio de la
órbila se incrementara a 3x 107 m'
A) 65 N B) s3,3 N c) 21,4 N
D) 45 N E) 35'7 N
L Determine la aceleración de la gravedad (en
porcentaie) en h superl¡de de un plarfta r'
respeclo de la aceleración de la gnrrcdad en lá
superficie de laTierra si la masa det planet'axes
el doble que el de la Tierra y su radio la mitad'
A) 800% B) soo% c) 400%
D) 7oos6 E) 2oo%
1. Se muestran dos esferas aisladas en el uni-
verso. Determine la distancia que las separa
cuando la rapidez de A sea 4¿';, antes que se
' . =^, =u\produzcaelchoque.[m^ g )
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9. Los cometas vialan alrededor del Sol en órbi-
tas etipticas de gml o<centricidad' Si un co-
-"t" ti"n" una rapidez de 2x lOa m/s cuando
está a una distancia de 2,5 x 101 
I m en el afelio,
igué rapidez (en x l0a m/s) tiene cuando esta
en el perihelio a 5x l0lo m?
12. Se muestra la 8ráfica de la intensidad de cam'
po graütatorio resPecto de la distancia desde
el centro de la'fierra ha§ta un punto denlro o
fuera de ta tierra. Calcule la relación entre a'
bv R-
g(m/sz)
a
E)
B)G%l=n3c)üd=R3
A) 6,8
D) 7,9
B) ro c) 8,2
E) 4,4
A) aza=É
D) abz=Rg
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10. Alrededor del Sot de masa M gira un planeta' '!
lA qué mfnima distancia se sitúa el planeta *
resplcto del Sol? Considere que eI Sol disra d 
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respeclo del afetio. (up=4o¡). 
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Apofiando en ta úifusión do la Eiencia y la Cultura
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fFTil TACIONES I
En el gráhco, el bloque liso de masa m está
unido a dos resortes sin deformar. Si el bloque
es desüado y luego soltado, determine el pe-
riodo de sus oscilaciones.
J(
x=-ao(7) cm. i.Luego de cuántos scgun(l()s
pasa por x=+oo(i) cm, por primera vez. v
qué rapidez en m/s presenta en dicha posición
final?
r=0
a=3 m/sM
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25
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B) 0,1r;5A) 0,2n;4
D) 0;4n; 4
C) 0,lr;4
E) 0,2n; 2
x(cm)
c) 35
E) rs
R ptc,-
'¿. Si la ecuación del moürniento de un bloque es Un bloque 
de I kg ligado a un resorte de rigidez
¡(=l N/m oscila experimentado un MAS hori-
zontal. Si en l=0 se encuenlra,en i = -l m 7
con i = +rñ m/s f , ¿cuál es la ecuación rle su
velcicidad (en m/s)?
3r
x = 20 sert 2t+ cm, determine su rapidez,( )
máxima (en cm/s) y su rapidez (en cry's) en
i = +to7 cm.
A) 20; l0 B) 30;15J55
C) 40;20 D) a0;20.6
E) 20;10J5
-1. Un bloque de 16 kg experimenta u¡r IVfAS ho'
rizontal ligado a un resorle (/<=¡t2 N7m). Si en
el instante l=6 s se encuenlra en la posición
de equitibrio (x=0) con una velocidad de
+an cUs (i), icuál es la ecuació¡r de st¡ mo-
vimiento?
- t* \A) x=8senl;t,)cm
- /c ¡r\B)x=16sen[it+ Z)cm
4. El blóque most¡ado experimenla un MAS con
una amplitud de 1 m y se encuentra en f =0 en
- I r\A) u=2senl2t+-:J
- / .\B) u=0,8cosItr+¡J
cl; = r,z *.[f r.])
ot;=z*.(r.f)
al;=ro"*(sr*])
Si el sistenra oscita con t.,=I rad/s, una am-
plirud de l0 cm y ,u ur,.u"r,ot u en l=0, en la
posíción mostrada, Jcuál es su recorrido (en
cm)entret=2syf=ll s?
t§ent2
24
x
x
c)
D)
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.senl - +\5
l¡t\
senl - IlalE) x=16
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cm
cm
)
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:,
x=0 ¡=5
B) 4s
I
I
7. El bloque se encuenua en rePoso y el resorte
esüá estirado 50 cm' Si se desvía ligeramente'
encuentre la frecuencia clclica (l») de'sus 
osci'
laciones' (g= lo rr¡/s2)'
lf . El gráfico no§ mueslla el componamiento de
la posición con el tiempo pÍtra un mcilador
armónico. Dete¡mine la dependencia de su
velocidad con el tiemPo (en m/s)'
lg .ll*
+0,
-0,5
x (m)
A) 5 raÜs
B) 3 rad/s
C) 4 rad/s
D) 2 raÜs
E) 6 rad/s
A);=
B) t=-0,
C) f =0,2sen(l0r) m
D) i=-0,1sen(10¿) m
D i =o,2cos(to¡) m
A) 0,5 m
B) 0,8 m
C) 0,2 m
D) 0,6 m
E) 0,75 m
l' n\
0,lsen[l0f +tJ m
r,"n[ror*]) ,"
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B
A),,="co'(;¿)
I 3r\
B)u=¡cos[zrü+7J
C) u = 0,5 ncos[r" .;)
o) u = 0,8 rcos( zn +2{
u=0
8. El bloque mostrado es soltado cuando el resor-
te está sin deformar' Si la máxima rapidez 
del
bloque se da cuando el resorte está deformado
10 cm, calcule la ecuación de §u moümiento'
k=lo r'/s1
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*
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9. El bloque se encuentra en reposo estando 
el ¡
resorte deformado 50 cm' Si §e lanza en la 
po' {'
sición moslrada con una rapidez de 1'2 
ñvf' '-::
calcute su máximo estiramiento 
(8 = l0 m/s')' ;.
E) o = nsen(2¿)
12, Imagine que se perfora un pequeño aguiero
circul"r a través del diámetro de toda la fie'
rra. En un extremo del aguiero se dela 
caer
una manzana. Si se considera que la densidad
de l¡a Tierr¿ es constante, entonces iregresa'
rá la manzana? Si regresa' icuánto tiempo 
le
tomala? Ignore todos los efectos de fticción'
Gr=6400 kq 8= 10 mls2)
A) no regresa
B) 83,77 min
C) 35,0 min
D) 72,5 min
E) 40,5 min
PE.
10, Dos osciladores verticates de masas m 
y 2rn
están unidos a resortes de constantes K 
y 8i('
resDectivamente' Si en el instante ¿ el Prime-
,o está en ]r=-Al2 subiendo y el otro esÉ en
i2= AJin üaiando, calcule la diferencia 
de
iJ"", prru el in§tante que et primer oscilador
tenga velocidad cero por primera vez'
A) 1,5ll rad B) ¡ rad C) 0'5n rad
D) 0,25nrad E) 0'l5nrad
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D) 2,5 J
3. Un bloque de I kg se encuenuir unidoa un
resorte y realiza un MAS horizontal. Si la ener-
gía potencial elástica varÍa con la posición, tal
como indica la gráfica. Determine la energía
cinética que presenta el bloque en la posición
i=0,1m.
i(m)
0,4
una masa se encuentra en reposo sobre una
supelicie horizontal sin fricción unida a un
odremo de un resorte y el otro ext¡emo está
fijo a una pared. Se requieren 3,6J de traba¡o
para comprimir el resorte en 0,3 m. Si la masa
se libera del reposo con el resorte comprimi-
do y e:rperimenta una aceleración máxirna de
l5 m/s2, icuál es la masa del bloque?
A) 2,s kg B) a,8 kg c) 6,2 kg
D) l,6kg E) l0kg
2. La velocidad de un bloque que experimenta
un MAS horizontal depende del tiempo según
ü = 3JI cos(6¡) rvs, donde , está en segundos.
En el instante que la energfa cinética es el doble
de su energía potencial elásüca, icuál es el
módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque?
4. Un péndulo simple tiene un periodo igual a I
en la superficie terrestre. iCuál sería su perio.
do en la superficie de Marte?
Considere gy.r" =0,36 3¡"rru
A)Tn üT/3
D) 7r/3
5. Un péndulo simple experimenta l0 oscilacio
nes en un tiempo de 4 s. iCuál es su longitud?
(g=/m/sz)
A)8cm
D)5cm
B)2cm C)
6. Un péndulo simple de masa m y longitud f, os-
cila con una amplitud angular de 80 y un pe-
riodo igual a L lndique la secuencia correcta
de verdad (V) o falsedad (F) con respecto a las
siguientes proposiciones.
L Si se disminuye la amplitud de oscilación a
40, el nuevo periodo es 0,5 L
ll. Al duplicar la masa del péndulo, oscila con
más lenütud.
Ill. Al incrementar su longitud en 3I, el nuevo
periodo es 2L
A) vw B) FFV C) WV
D) FVF E) FFF
7. En un experimento se puede observar que un
péndulo simple aumenta en 2 s su periodo
cuando su longitud se incrementa en 3 m. De-
termine la longitud inicial del péndulo simple.
(g=n2 n /sz)
A) 2m
D)lm
B)6 c) r8
E) 12
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B) 7J B)3m
lll. En el perfil anterio¡ A y B están en fase.
c) sr/3
E) 8T/3
tl. Respecto a las ondas mecánicas, intlique lu r"- .i.
cuencia correcta de ve¡dadero (V) o falso (F) *
según conesponda. l:
l. En una cuerda no se estab¡ecen ondas lon- ¡
gitudinales. '3.
II. La rapidez de una OM depende de las pro- .i'
piedades elásticas del medio. ' *
lll. Generalmente la velocidad de una OM en *
un líquido es mayor que en un sóliclo. I
A) wv B) FW c) FrF I
D) FVF E) wF ::.
.:.
9. Respecto a las ondas mecánicas, indique la se- *
cuencia correcta de verdad (V) o falseOaO (f1. 
.1.
l. Cuando Ia OM pasa de un medio al otro, la .¡.
frecuencia no cambia. *
ll. Su rapidez de propagación aepenae del .i.
medio donde se propaga la onda. *
IIl. En un tiempo igual a la mitad del periodo, la .i'
oncla recorre una media longitud de onda. I
+
A) WV B) FFV C) VFV .i.
D) FVF E) FFF i"
*
10. Con respecto a las ondas mecánicas, determi- *
ne la sccuencia correcta de verdad 19 o false- i.
dad (F) según corresponda. *
l. Las ondas mecánicas Iransversales y longi- *
tudinaies se propagan en todo meaio sus- .i.
tancial. *
Il. Según el perlil mostrado, Ia onda se propa- i
ga a la derecha 
X:
11. El extremo de una cuerda tensa ho¡izont.¡l
oscila experimentando un MAS con una am-
plitud de 20 cm, generándose una onda armo-
nica transversal, cuyo perfil se muestra en el
gráfico, luego de 4 s de iniciado el MAS. krdi-
que si las siguientes proposiciones son verda-
deras (V) o falsas (F) y eliia la secuencia co-
rrecta.
2m 2m 2m 2m 2m 2m
l=4 s
I. La rapidez de propagación es 3 m/s.
Il. La frecuencia de la onda es 0,75 Hz.
III. La rapidez máxima de las partículas osci-
lantes es 0,5 r m/s.
A,) VW
D) FVF
It) I:¡rv
B) wF
( ) vl'v
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E)
4
6
cm
cm
A)VW
D) FVF
C) VFF
E) FFF
12, En la superficie libre de un lago se propagan
ondas transversales. Si una boya en el lago da
20 oscilaciones en l0 s y desde el momento en
que una cresta pasa por la boya transcurren 5 s
para que esta llegue a la orilla, icuá es el nú_-
mero entero de longitudes de onda compren-
dida entre la boya y la orilla del lago?
A)6
B)7
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ONDAS rlllEcANlc AS II
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Una onda mecánica está descrita nor ta si- .i'
guiente ecuación: i=0,03senr[zo,-*-]) ¡'
expresado en el S.l. Esta onda se propaga en *
una cuerda de 2 m de longitud y suieta con *
una tensión de 18 N. Calcule la masa de la ''
cuerda. *
A)6s B)88 c)108 1'
D) ¡2g E) 169 I
Se muestia el perfil de una onda lu" ,t p'o- .i'
paga en una cuerda y cuya frecuencia es de O
60 Hz. Determine la función de onda. * 5.
r(m)
3
f=0
120 m/s
-3
A) i = 3sen 2¡t(60r - o,Sx) m
B) i = 3sen2t(6or - o,Sx + 0,5) m
C) != 3sen2n(60t+r + 0,75) m
D) i = 3sen2¡(6or-x +0,5) m
E) i= 3sen2n(60t-2x) m
3. UnaPersona genefaunaondatransversal cuya
función de onda en el S.l. es:
i=0,lSsen(l5rrr+Srx) m
Indique la §ecuencia correcta de verdade-
ro §) o falso (F) con respecto a las siguientes
proposiciones.
I. La OM se propaga hacia la izquierda con
una raPidez de 2'4r¡ls.
Il. La rapidez máxima de una partlcula de la
cuerda es l,8n m/s.
Ill,La rapidez de una partícula que está en la
posición x=1,5 m en t=0,1 s e§ cero'
A) VFF B) vFv c) wF
D) FFv D rvF
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4. Un generqdor de ondas cuya ec-uación de osci- ¡
lación es i =0,04sen Ef, donde y se expresa en '!
metros y ¿ en segundos. Si la rapidez de propa'
gación es 100 m/s hacia la derecha, determine
la función de onda en el S,l'
§ /=o,Msen2n(t-x) m
B) i = o,o8sen2,[á -*) n,
c) i=o,oasenz'(;-#) -
D)I=0,o2sene¡(2t-x)m
- ( r\E) y = 0,04sen21t- 200J m
En una cuerda se generan ondas tran§versales'
En el gráIico se muestra el perfil de dicha onda
en f =0,5 s y la cuerda tiene una masa de 800 
g'
Si Ia tensión en Ia cuerda de 1,6 m es de 32 N'
calcule la función de onda.
Y(m)
f=0
falsas (1") y r:lil;r l.r rcr ur'¡¡¡ i,r ( rtrrrr l,l
I. La velocidad clc ¡rrop;tg;rctfirt r':
i =-80Á cm/s
ll. En f=6,25 s, la partícula ubicada en z=0 s('
encuentraen;=+50 cm.
lll. La partlcula ubicada en 7 = 0 cm, en l= l0 s,
se encuentra en i = - 50 cm.
A) VW B) WF C) VFF
D) FVV E) FFF
l. Elpuntox=t m comienzaaoscilarenf=3s.
II. El punto x=l m oscila con una frecuencia
de I Hz.
III. La ecuación del movimiento de ¡= 1 m,
desde r=0 es P = 20senn(t-4) cm.
A) VW B) wF C) VFF
D) FVF E) FFV
Se tienen las siguientes funciones,
I. l=ácos(Kt+<r¡¿)
lL ! = 
"-(&'-o'rl
III.!=¿61¡r--,
l,Cuáles corresponden a un movimiento ondu-
latorio?
A) solo I B) ninguno C) I y ll
D)lylll E)l,llylll
8. Una cuerda tensa es reemplazada por otra
del mismo material pero de doble diámetro.
Determine la relación eirtre los módulos de la
nue.va fuer¿¿ de tensión y de la original para
que la rapidez de propagación de las ondas se
mantenga conslante.
A) t/4 B) t/2 C)2
D)4 E)8
Una onda es generada en una cuerda por un
oscilacior avmónico de frecuencia l0 Hz, y sc
propaga con una rapidez de 6 m/s. iCuál es la
diferencia de fase en radianes entre dos puntos
de la cuerda separados por una distancia de
0,45 m en un instanle dado'l
11. La gráfica muest¡a la forma de onda en dos
inslantes de tiempo para una onda sinusoidal
que üaia hacia la derecha. Cuá e§ la función
de onda en el S.l.
I(cm)
,=0 ¡=S/3 s
+20
0
r(m)
X(m)
- I x3\A) y=3sen2nU- I + Bj cm
a¡ != zsenzt(+t-ax+f) cm
c¡!=asenzn[,-á.i)"-
o¡ !=+senzr("-Í-*)".
E) !=r,enzn("-á.i)"-
En la gráfica, en ,=0 §e muestra una cuerda
tensa horizontal, el punto P (x=0) comienza a
oscilar experimentando un MAS de ecuación
7=Zosen(r)cm, generándose ondas trans-
versales de longitud de onda 0,5 m. Determine
si las siguientes proposiciones son verdade'
ras M o falsas (F) y eliia la secuencia correcta'
I O, Se tie¡¡e la siguiente función de onda
i = 50sen(0,8¡¡¡ + 5z + n) cm
donde z en rn, y, en segundos. Delermine si las
siguientes proposiciones son verdaderas §) o
-10
12. Un pulso de onda transversal üaia hacia la
derecha a lo largo de una cuerda homogé-
nea, con una rapidez o=2tt/s. En f=0, la
forma del pulso está dada por la función
i=0,45cos(2,6x)m, ¡ en metros. Determine
una fórmula para el pulso de onda en cual-
quier tiempo l, suponiendo que no hay pérdi-
das por fricción.
A) i = o,4Scos(2,6x - 5,2r)
B) i = 0,25cos(2,6x -t)
c) f = o,4scos(\Zx - 5,2r)
D) i = 0,sscos(I,3x - 2,6r)
E) i = o,ascos(2,6.r -2,6r)
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l) i = zosen(z'x - o,zszt +{)cm
el ] = zsr"n(sr,, - r,srrr * fi) crn
n) i = 2s.os(z¡t - o,r5r¿ * t).-
rl I= zos"n(anx-o,zsnr.f)cm
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c) i = zorer,(¿zx - z,szr + !) cm
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t. Conretaciónáles¡adogaseoso,indiqueverda- ¡ 4'
dero (V) o lalso (F) en cada enunciado y lucgo O
marque la secuencia corecta.
l- Los gases nobles presentan moléculas fc¡r-
madas por solo un átomo.
ll, Los grandes espacios intermoleculares se
pueden explicar por el gran movimiento de
las moléculas gaseosas.
IIl. É,1 molimicnto de tr¿slación cle las molécu-
las gaseosas es mayor que las molécul¿¡s en
fase sólida.
A) \,\/v t]) F\S c) FFF
D) V[']' E) WF
2. lndique la secuencia corecta después de
delcrn¡jnar si hs proposicieines son vcrdade"
ras (V) o fatsas (F).
I. Las n¡oléculas de un gas se n¡uevcr¡ a¡ealo-
riamente.
ll. Entre las moléculas de un gas hay grandes
espacios libres.
Iil. Las fuerz¿s intermolecularcs en los gases son
de mayor intensidad que en el estado lfquido.
A) \¡FV B) rvv C) Wf
D) VFF E) WV
3. l..as variables de eslado determinan las propie-
da<les lfsicas de los gases conro su densidad,
difusión. etc. Re.$pcclo a lo anlcrior, rqué pro-
posiciones són correctas?
l. Las va¡iables de estado son la presi¿n, el
volumen y' la tcmperatura-
II. L¿ ternperatura indica el grado de nroü-
mienlo nrolcculay.
UI. El volumen es el espacio que ocupar las
¡¡toléculas qaseosas.
A) solo I B) solo lt C) I y lll
D)lylt E) l. llylll
Respeclo a la leorfa clnelica molecr¡lar de los
gases, elija la secuencia correcta d€spués de
determinar si las proposiciones son verdade-
ras fti) o falsas (F).
l. Las moléculas de un gas son puntuales y se
mueven en línea recta en diferer¡tes direc-
ciones.
ll- Los cho<¡ues inlcrmolcculares no son e[ás-
licr¡s.
lll. k energfa cindl¡ca ptomedio cstá en rúla-
ción direc¡a con ta presión y la tcmperatura
A) VFV B) Fr:F C) VVr
D)VFF E) FVF
Se tienen las siguientes ntueslra§ de cie(os
gascs.
. l,5LdcN2a50"C
. 4,5LdeSO2a50oC
. 8.3LdeCHra50oC
Usando los postulados de ta teoría cinética
moleculr, indique verdadero (V) o fals«¡ (F) y
luego marque la secuencia correcta,
L Las moléculasde SO1 lienenmayoranergfa
cinética media.
ll. Las molécula¡ del N1 se difundirán m¡ís rá-
pido respecto de los oros gases.
lll. Las moléculas de los gases CHa yS0l tienen
igual encrgia cinótica mcdia.
A) !v\,' B) VFV C) FFF
D) FFV E) FlV
Señ¿le la altemativá correcta que representa al
gas qr¡c lienc una densirlad de l,l4 g.'1, a 27 "C
y I atm de presión-
Masa nrolar futmol): H* I ; N=14; 0= l6; Cl=35,5;
Bt*80
ñ=0,082 atm ' Ijmol. K
A) Nz B) 8r: C) H2
D)O¿ ü()2
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*
*
a
, .-'-- . -,., .t, - 
ql¡llilE!
7. un recipiente rlgido contierre amoniaco, NH¡, t SOLUGlOilAnlO
baio una presión de 6atm. Cuando se ex-
Iraen ¡0 n.¡()les de amoniaco riel recipiente, la
presión del gas dismintrye en 4 atm. tQ'ué masa
de amoniaco queda arin en el recipiente? Consi-
dere que la lefirp€ratura perman€ce constanle.
['lasa molar (grrnol): Nl{r= l7
A)3{g B)68s Clli0g
o)255s El85s
8. La densidad del gas propiletro, C3Ho, ett cier-
tas condiciones de presión y temperatura es
2,1 kg/m3. Calcule Ia rlensi«la<l en klm' del
dióxido de azufre en las n¡isrnas condiciones
de presión y lemperatura.
Masa molar (9mol): H= l; C= 12; O= l6:5=32
A) l,6 B) 3,? C) 0,8
D) 4,8 E) 6,4
g, Lln camión transparta zf,íz m3 de metano,
ClIa, a 16,4 atr¡r !' 17 oC. Si la lcmpcratura au-
menta hasta 37 "C, Zqué masa de metano se
debe dcscargar para quc la prcsión ie nr¿ntcnga
con§lanlc?
lr{asa molar (g¡'mol): CHo= ¡ 6
A) 58,c ks B) ,15.2 kg (:) sl,2 kg
E) 6a,8 kg 1) 38,6 kg
'10. Un gas idcal a 80ü rnnrHg se cncuentra confi-
nado c'n un bal6n de volun¡en cesconrxido. §e
retira una cantidad de gas que ocupaba 150 L
a I atm. La presión del gas que quedó en el
recipiente fue de 600 mmHg. Si se considera
que todüs las mediciones se lealizan a la mis-
rrra tcrnpcratura c¿¡lcrtlc r:l vohlme¡r en litros
del l¡akit¡.
e) 5,7x103 B) 5,7xto? C) 5.7xlO
D)2,9x102 E) I,lxlo3
I 1. La densklad del bronrc lÍquidtt, Bt4r¡, es 3,2 $nL
Calcule los milililros de bromo líquido que de-
bcn evaporarse para que el vapor cjerza una
prcsión de lixl0-3 atm en una habilación de
4l ml a 27 oC.
Ir'lasa molar (ffnrol): Br=8ü
A) 5oo B) {so c) 250
D)300 E) rzs
Resolución N'Ol
El estado gaseoso:
l. Verdadero
Tirdos los gases nobles, desde el helio
al radón están formados por molé-
culas monoatómicas, pues dichos
elementos debido a su gran estabili-
dad no tienen necesidad de enla?¿¡r-
se entre dos o más átomos.
II. Verdadero
las moléculas de los gases se mue-
ven de forma caótica y a grandes
velocidades, debido a esto se en-
cuenhan en un momento dado se-
parados por grandes distancias en
comparación con el tamaño de di-
chas moléculas.
III. Verdadero
Los sólidos se consideran cuerpos rí-
gidos pues sus moléculas sólo vibran
en posiciones fijas, mienfuasque los
gases se consideran fluidos debido a
que sus moléculas poseen movimien-
to tanto de haslación como de rota-
ción.
Ch""g
Re¡olución tf0z
Propiedades y características de los cuer-
pos gaseosos:
I. Verdadero
Al estado gaseoso se le considera el
estado de más alta entropía, pues
sus moléculas se mueven a grandes
velocidades y de forma caótica, es
decir desordenada y aleatoriamente.
II. Verdadero
[-as distancias de separación entre
molécula y molécula es bastante
.!
,t
l.
*
{.
*
*
*
*
!.'
*
t
*
.t
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a
*
*
*
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*
*
*
*
.¡.
n
.t
.t
n
n
*
+
*
*
.^.
§9- - .. ¡nlr-mm oJyicnco rHgrande en comparación con el volu- *
men de las mismas, esto explica su *
compresibilidad. a
lII. Falso !¡
A menuclo se c<¡nsidera nula o des- .,.
preciable las fuer¿as de atracción -
ente las moléculas de los gases, esto -
debido a las grandes distancias de 
o.
separaeión que existe entre ellas y a *.
su elevado contenido de energía ciné- *.tiea. {.
!*"8:
Resolqción IfO3
Variables del estado gaseoso:
I" Correcto
Se consideran variables del estado
gaseoso al volumen (V), presión ab-
soluta (P) y temperatura absoluta (T),
que son parámetros relacionados
enüe sí y sujetos a variación y que
ade¡rás definen el comportamiento
de los gases"
II" Correeto
[a temperatura del gas está relacio-
nado con su energía cinética pues nos
indica el grado de agitación molecu-
lar.
III, Correeto
Fl volumen del gas es el espacio que
ocupan sus moléculas debido a las
grandes distancias de separación en-
he ellas y a su movimiento continuo,
es igual al volumen del recipiente que
los contiene el cual debe de penna-
necer cerrado.
Luego, de acuerdo con el problema todas
las afirmacir:nes son correctas.
C¡av¿E
Resotución IfO4
Teoría cinética molecular de los gases idea-
les (TCM):
I. Verdadero
Esta teoría que se aplica a los gases
ideales o gas€s perfectos considera
que sus moléculas son punfuales, es
decir no poseen volumen, además
dichas moléculas se mueven de for-
ma aleatoria pero en línea recta.
II. Falso
Los choques ente las moléculas del
gas y conha las paredes del recipiente
que los contiene son perfectamente
elásticos, debido a esto la energía
cinética molecular promedio se man-
tiene constante.
III. Falso
[a energía cinética molecular pro-
medio depende sólo de la tempera-
tura absoluta (T) del gas:
2
E. =31ff
2
§EysE
Resoluclón I{'O5
Se tienen las siguientes mueshas gaseo-
sas: 1,5 litros de N2, 4,5 lihos de SO, g
8,5 lihos de CHo todos medidos a 50"C.
I. Falso
Como todas las muesfas gaseosas
se encuentran a la misma tempera-
tura poseen el mismo valr:r de ener-
gía cinética molecular promedio.
II. Falso
La velocidad de difusién o dishibu-
ción de las moléculas de lcls gases a
temperafura constante es inverso a
la masa molar, en este caso las mo-
léculas del metano CHo poseen ma-
*
*
*
*
.:"
i.
*
*
*
.t
*
n
n
,
t'
*
.:.
yor velocidad de difusión por ser más o gas es proporcional a su número de mol
ligeras. o (n) se cumple:
[;), =(;),
l__l)_(n-to')
(6atm./ [ Zatm i
Ill. Verdadero +
Como ya se indicó en la afirmación -ii
"1" tas energías cinéücas moleculares i
promedio son iguales para las 3 *.
mueshas, ya que dicha energía de- o
pende sólo de la temperafura abso- o
D=!'><M a Re¡olución N"O8RxT ...'-r-
En el problema se tiene ^ sabemos que la densidad de un gas se
sidad es de 1,14gllmeaü::Tr:Yftffiil¡ I o"t"'-ina á partir de la relación:
- PxMtl_
RxT
luta.
chveEl
Resolución N"O6
La medida de la densidad de un gas se *
determina a partir de la siguiente relación o
que se obüene de la ecuación de estado: ¡
- .:.
y que ejerce una presión de una atmósfe- +
ra. Su masa molar es: *
*
114fl =
hknxM
Resolución t{'0?
Se tiene una muesta de gas amoniaco ¿.
NH. en un recipiente rígido (de volumen ¡
constante) donde ejerce una presión de 6 +
atmósferas. Se extaen 10 mc¡l de gas del .r
recipiente de tal manera que su presión +
se reduce a 2 atmósferas y como a tem- *
peratura constante la presión (P) de un *
n = 15mol
'¡ Esto quiere decir que luego de la extac'* ción quedan en el recipiente 5 mol de gas,
{'cantidad que expresado en gramos equi- .
a vale a:
..
m=Smol x17 9,=659
mol
CbueE
* Por lo que, a presión y temperatura cons-
* tante la densidad de 2 gases como el
* propileno CrHu y el dióxido de azufre SO,
* se relacionan según:
6.6s29EIL x3ooK' molxK
M=28 Y
mol
a
*
.E
rp) _rp.)
(M/..," -[MJ*,
Luego, al observar las alternativas se üe- 4
ne que e[ gas analizado es el nitrógeno .3 Si la densidad del propileno es 2,1kg/mg
N2, -.r entonces la densidad del dióxido de azu-
¡ fre será:CkueE t
*
* l.,,,#l Io*, I
I -r-s- l=1.--s- |
\ mol/ \ mol,i
D*, = 3,29
ch"s§
,^.
, mrH*t$g¡mlp iq{
ResolocióD N"O9 .i. que la presión del gas residual en el reci-
PxVxM
piente inicial es de 600mmHg. Esto quie-
re decir que dicha cantidad de gas exhaí-
do ejercÁa una presión de 200mmHg al
ocupar el volumen del recipiente inicial y
como Ia temperatura es constante se
cumple para el gas extoaído:
(PxV), =(Pxv),
¡¡t - 
-
RxT
(200mmHg x V, ) = (760mmHg x 150L)
16,4ai¡x77920Lx16 I' mol V =570L
Un camión cistema hansporta 71,92 me-
tos cúbicos (77920 litos) de gas metano
CI-I* medidos a77"C (290K) el cual ejerce
una presión de 76,4 atnósferas. [-a masa
del qas es:
m-
+
e
*
*
*
+
*
!.'
+
e9
6
t'
.:.
+
.!
*
{.
*
..3
*
0..
j.'
*
*
*
j.'
{.
+
+
*
*
t
.:.
.:.
.:.
.:.
*
.:.
{.
.:.
{.
0.0g2ttt"L x2goK' molxK
m = 793600g =793,6ks
En el kayecto la temperatum del gas se
eleva a 37"C (310K), por lo que se debe
de descargar cierta cantidad de gas para
mantener la presión constante. La masa
de gas que queda en la cistema es:
76,4atrnx7l920lx16 I' 
,_,-!nol
0.0g2 
abn 'L x 310K' molxK
Resolución N"lt
Cierta cantidad de vapor de bromo Br,
se difunde en una habitación de volumen
41000 lituos (41 mehos cúbicos) donde
ejerce una presión de 0,003 atmósferas
medido a 27"C (300K), su masa es:
PxV xM
RxTm=
m=742400s =742,4ks
Luego, la masa de metano que se descar-
gó es:
¡m =793,6kg -742,4ks =57,2ks
cbveE
ResolqcióD Il.lO
Cierto gas ideal está contenido en un reci-
piente rígido donde ejerce una presión de
800mmHg. Se exhae cierta cantidad de
gas que ocupa 150 litros a una presión de
una atmósfera (760mmHg), de tal forma
m = 8009
[a densidad del bromo en líquido es de
3,2glmL; por lo que su volumen es:
0,003atmx4100Lx160 I
mol
0.og2ab'"!x300K' molxK
V=m= 8oog =25om¡-D .- §,ML
m=
53"
EIt oAsEs rr
Con relación a la ecuación gerreral de los ga-
ses ideales, seleccione los enunciados ir¡co-
rreclos.
l. Se usa cuando una muestra d<r gus carnbia
de condiciorcs.
ll. Para utili¿ar esta ccuación, la rnaxr del gas
pucde scr co¡rstante o variable.
Itl- En esla ecr¡ación, la e.xpresidrn f " I .s
T
conslanle-
A) I, ll y lll
D) ll y lll
B) ly ll
que el amoniaco. Calcule la masa del 5O3.
Masa molar (g¡mol): Nlt3= ¡ 7" so:r=80
A) 800 s B) 1600 g c) 1000 g
t)) 12009 E) 11609
Un gas ideal está almacenado en un recípiente
cilindrico a una altun de 4 m c<¡n una presión
de 4 atm. Si el gas se eomprinre isotérmica-
mente hasta que la presión del gas se incre-
mente en 6 atm, calcule la nuer,a altura del
cilindro,
*
*
a
a
a
¡?
€5.
a
a
,
e
a
*
a
a
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.?6.
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7,
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It
a
*
*8.
a
6
.&
.t
*
.t
*
*
cbueEl
CJ solo ll
E) solo I
C) VFF
E) FFV
A) r,6m
D) l,8m
B) l,2m c) 2,7 m
E) 0,8 m2. En un frasco de 89{i 1.. se tiene almacenado
tetraóxido de dinitrógeno en corrdicíones nor"
male§. ¿Cuántos gramos de nitrógeno hay en
el recipiente?
lllasa rnolar ($mol); N= 14; O= l6
A) 560 B) I t20 C) ¡680
D) 1400 E) ¡520
3. Luego de analizar cada enunciado, indique
la secuencia roffecta dc vcrd¿rdero (V) o fal-
so (F) réspecto a la.s leycs cmpíricas dc los
gase§.
t. La lc¡' dc tsoy)e indica qur: a tcnr¡xratuia
(:orrstanle la presión e§ inversamen(e pro.
porcional al l'olumen.
ll. .§rgrin Charlc:¡, la prcsión cs dilect¿rmentc
proporcional a la ternpcratur¿r atr¡oluta a
vt»lu¡nen conitantc.
lll. A cierta presión, el volumen de un r¡as ideal
es directamentc proporcionala la tempera"
tura at¡solula.
La prcsión rnanométrica del gas cn una lata
dc aerosol es 3 atr¡¡ a 27 "C. Est¡ lata es lan-
¿ada a una fogat¿ dondc la lernperatura es de
727 oC. iCuál es Ia nueva presión marrométrica
(en .rtm) dcl gas? Considere que la presión lra-
rorÚélrica cs 0,9 atm,
A) 13,0 B). r3,9 c) 12,1
D) il,I [) 12,9
l,rn recipiente de volumen variable contiene
560L dr: kript6n a 2atnr y 7o(1. Pr»r un ¡rro-
ceso isotxirico, ¡a temperalura aumcnüa en
20 oC 1, luego isotérmicameñte el gas se com-
prime hasta que la presión aumente en 6 atm.
C¿lculc cl voh¡rnen final dcl kriptón.
A)300L 8)6001 o200L
D) 180 L E) 150 L
[n ur¡a estación meteüñlógica, durante los
3tii días del aírr.¡, se envía cada día a Ia atrnos-
fera un globo que contiene lOL de helio a
1,2 atm. Los glotros sc llcnan utilizando cl gas
helio que está almacenado en lanques de
20 L a 72 ahn, Conside re un¿ tcmper.rtura rnc-
<Jia de 2ll o(l a lo largo del año. (.Cuántos tan-
ques de helir¡ se consunrirán a¡rualntente?
A}VW
D) FVF
B) vFv
§hyetr
4. A determinadas condiciones de presiórr y
tcmperalura, un balón cor¡tiene 255 g de amo-
nia«1, l'rH3. En otro l¡alón de la misma capa"
<:idad sr: lícnr: cicrta c.lntidad de SOr con las
mis¡na$ condiciones dc prcsión y tcmJlcratur¿
,/;
GU2GAIA til,úNt út*t t h.hchrhr*2 15,4 i|IIIERIAL DIDÁCr|CO Ñ"4
^)lD)4
B)2 30lueroilAnlo
u¡Tt 2012.lr
Resolución IfOt
9. Un compuesto gaseoso conliene 85.7196 en
peso de carbono y 14,2996 en masi¡ de hidró.
geno. Si ta densidad de ese comPuesto es 1,25
grt- en condiciones normales, dete¡mine su
fórmula molecu¡ar.
Masa atórnica (uma): C= l2; l'l* I
Ra0,082 atm Untol'K
c)3
D5
B) C3H6 c) c2H6
E) C+Fts
10. Una rnezcla gaseosa conliene 0,45moles de
oxÍgeno molecula¡, 0.25 moles de nirógeno
molecular y 0,65 molcs de vapor de agua. Cal-
cu.le la ru¿sa rr¡ola¡ de la mezcla.
Masa molar (g/mol): H= l; N- 14; O-16
A) 24,.5
B) 2s,5
c) 26,6
D) 28,2
E) 33,r
uNr 2007-t1
I l. En on matraz hay 43 g de monóxido de nitrú
geno, §O. ¿Cuánlas moléculas de N2 se deben
a3regar para que la fracción molar del NO
constitula los 31'4 de la fiacción molar del N2?
A) I,2xl0!'l
B) l,8x 1023
C) 2,4x 102{
D) 3,6 x 1023
E) l,2x l02s
Ecuación general de los gases ideales:
I. Correcto
Se denomina así a esta ecuación
pues relaciona las 2 variables de es-
tado en una sola expresión matemá-
üca. Se emplea en la predicción de
los cambios en la presión, volumen
y temperatura del gas.
II. lncorrecto
También se le conoce como la ley
del proceso isomasico pues para po-
der aplicarse, la masa del gas debe
de permanecer constante.
lII. Correcto
Su a<presión matemáüca es:
PxV:_-___ = Cte
T
Y relaciona 2 o más estiados donde
se modifican simultáneamente 2 de
las 3 variables de estado.
Luego, de acuerdo con el problema es
inconecta la afirmación II.
cbueEl
Resolqción I{"O2
Se tiene una muestra de 896litros de gas
tehaóido de dinihógeno \On medido a
condiciones normales, por lo que su nú-
mero de mol es:
¡t
.,
*
+
{.
*
!¡
+
a
+
¡t
*
+
i,
&
*
+
*
*
&
+
{,
+
+
*
&
.¡
+
€.
*
{.
a
*
t
a
.:.
a
€.
t
a
.:.
*
*
*
+
j'r
crH¡
CzHz
A)
D)
896L
22.4 -L' mol
= 40mol
Y de acuerdo con la fórmula del óxido el
5-f -,r .r., r,, ,,
número de mol de átomos de nihógeno * Se cumple que el número de mol de am-
así como su masa son: * bos gases son iguales:
nx =2x40mol =80mol
mr =80molx14+=1120s
mol
gesE!
m()3
l.eyes empíricas de los gases ideales:
I. Verdadero
l-alal de Boyle del proceso isotérmi-
cq indica que siempre que la tem-
peratura perrnanezca constante la
presión absoluta del gas varía de for-
ma inversamente proporcional con
su volumen.
Il. Falso
Fara describir los cambios en la pre-
sión y temperafura absolutas del gas
ideal a volumen constante se aplica
la ley de Gay-Lussac del proceso iso-
córico o isomético.
lII. Verdadero
[a ley de Charles del proceso isobári-
co, establece a que presión constan-
te el volumen de gas varía directa-
mente proporcional con su tempera-
tura absoluta
*
*
+
+
*
!.'
j.'
j.'
{.
&
+
&
.i
':' Resolución IfO5
*
* Se üene un gas ideal contenido en un re-
.'. trlsos = 12009
ckueEl
cipiente cillndrico de tapa móvil situado
a una altura de 4 metuos debido a que la
presión que ejercn. el gas es de 4 atmósfe-
ras. Se comprime el gas a temperatura
constante hasta que la presión aumenta
a 10 atmósferas.
Para determinar la nueva altura a la que
se situa la tapa aplicamos la ley de Boyle
donde el volumen del gas es proporcio-
nal a la altura:
(PxH), =(PxH),
(4atm x 4m) = (10atm x H, )
nNH, = nso.
(#)* =[#)*
| ,uunl-[ -*, ]
l"-s- l-l*-L I\ mol/ \ mol)
+
.:.
!.'
.:.
*
+
+
.:.
{-
*
ResolscióD N"O4
*
.t
§kseEl ".¡.
n
.:.
En un recipiente de cierto volumen se tie-
ne una muestra de 255 gramos de amo-
níaco NH., a las mismas condiciones de
presión y temperatrra y en un recipiente
de igual capacidad se tiene una muesha
de gas hióxido de azufre SOr.
" 
Hz = 1,6m
ctaveEl
*
* Resolución N"O6
+
* [-as medidas de la presión manoméhica
* de un gas, su presión absoluta y su tem-
* peratura son:
,/^
GITZGA*Q tútñbüt út*it t hci*brt ctu 156 MATERIAL DIDÁCflCO N4
P* =3atm
Pu* = P-- +P*
Puu" = 3atm + 0,9atrn = 3, 9atn
T:27"C =300K % 
=150L
Re¡olución IfOS
Durante los 365 días del año se libera un
globo meterológico de 10 litros de helio
medido a23C (296Rl.donde el gas ejer-
ce una presión de 1,2 atmósferas. Por lo
tanto el volumen total de helio necesario
durante el año es de 3650 litros a las con-
diciones dadas. Dicho helio es surtido de
unos balones de 20 litros a una presión
de 72 attnósferas medido a 23'C.
Para conocer el número de balones que
se van a emplear en dicha operación anual
primero debemos determinar el volumen
que ocupa el helio de los globos a las con-
diciones del balón, para ello aplicamos la
ley de Boyle:
(PxV), =(PxV),
(1, 2atm x 3650L) = (72atn xVr)
% =60,8L
Como cada balón contiene 20 lihos de
helio se van a emplear 3 balones en can-
tidad entera.
ctaveEl
Resolucíón IfOg
Cierto compuesto binario gaseoso posee
85,7t7" en masa de carbono y 74,297"
en masa de hidrógeno.
hra determinar su fórmula empírica asu-
mimos 100 gramos de compuesto y cal-
culamos el número de mol de cada ele-
.t
*
a
*
*
*
*
*
a
*
l.'
.:.
.:.
*
t
t
*
*
*
*
*
*
!¡
.:.
t
.E
*
n
*
*
.:.
j.'
{-
*
2atm x 560L
280K
§eErli-
300K( t
rP) _rP)
[TJ, - [TJ,
(3,satn')_( Pz )
( 3ooK I -UoooK]
P' = 13atrn
Luego, la presión manométrica del gas
bajo estas nuevas condiciones (la presión
barométrica perrnanece constante) es:
P* = 13atrn - 0,9atm = 12, latrn
cb""El
Resolqción IfOT
Cierta muesta de gas participa en un pro-
ceso isobárico e isotérmico según:
R = 2atm
V1 = 560L
T1 = 280K
Pz =2atm
v, =?
Tz = 300K
Ps =8atm
V. =?
T¡ =300K
En el primer proceso la temperatura au-
mentó en 20C y en el segundo proceso
la presión aumentó en 6 atmósferas.
Para determinar el volumen final relacio-
namos los estados 1 y 3 mediante la ley
general de los gases ideales:
-
/Pxv\ lPxv\
(. , J,=[ , .,l,
Zr- t-r-"t,tt't t tr t
mento que lo conforma:
M' = (x, t'l)o, * (x " M)n, * (x * M)r,o
o,'(ffi .**).(ffi .**).[ffi .,*)
.'. M, = 24,5+
chueEl
Resolqción ll'll
+
*
n
.:.
a
a
*
a
i..
t
n
*
.:.
*
.:.
*
+
*
*
*
*
*
.:.
¡1
*
+
ct ""El
n.= s -85'71s=7.14mo1- PA n_L
mol
n" =fr =:#=74'2emot
mol
' L 22.4L' mol
Se obsen¡a la proporción molar de 1 a 2
por lo que la fórmula empírica del com-
puesto es CH, (masa molar 14 gramos
por mol), pero de acuerdo con el proble-
ma la densidad del compuesto medido a
condiciones normales es de 1,259/L. Se
cumple:
D: M;;;T.--''mol
Se tiene una muesta de 45 gramos de
gas monóxido de nitrógeno NO. Su nú-
mero de mol es:
m 45s
30s
mol
M=zs s
mol
Esto quiere decir que la fórmula verdade-
ra o molecular es el doble de la fórmula
empírica: CrHn.
§h""El
Resolaclón tflo
Se tiene una mezcla gaseosa con la si-
guiente composición molar: 0,45 mol de
Or; 0,25 mol de N, y 0,65 mol de vapor
de agua, esto hace un total de 1,35 mol.
I-a masa molecular aparente de la mez-
cla es:
n"o=ñ= = 1,Smol
Se agregan "a" mol de gas nihógeno N,
por lo que el número total de la mezcla
será (1,5+a). Se cumple de acuerdo con
el problema que la fracción molar del
monóido es 314 de la fracción molar del
nihógeno:
?
x*o = f;x*,
1,53a
6s.4 = 4" 1r5 *4
a = 2mol
Luego, el número de moléculas de nihó-
geno es:
2mol x6x102s *o'utY'ut =r,zx10u molécu.lasmol
Cht¿e§
El recipiente con el gas se calientan hasta
una temperatura de 727'C (l0O0K), por
lo que su nueva presión absoluta es:
I
I
Et BAsEs III
Respecto a ias leycs que rigen la mezcla o" ;: u.
gases, indique la secuencia correcta después o
de determinar si las proposicir.rnes son verda-
deras (\J r¡ falsas (F). 
t¿
¡. La presién parcial es la presión que eierce +
un comfxrnenle e¡ las mismas condiciones n
de volumen y lemperatura de Ia mezcla' +
Il. La presión lotal es la suma de las presiones t
parciales. 'i
III. B volumen parcial y el volumen de la mez- 'l'
cla gaseosa son iguales.
ouim¡cn12 t, " ,t-,* r. rt, r, , , 
-,0 
-
A) Fl/r/ B)WV C)Fvr
E) WFD) FFV
2, lJn recipiente cerrado contiene ur¡a mezcla de
masas iguales de los gases NO2 y N2. Si la pre-
sión parcial del N2 es 2,3 atm, calcule la pre-
s1ón parcial del NO2.
Masa molar (g,/mol): N= l4; O= l6
A) 1,4 arnr B) 2,8 atm C) 0,7 atrn
D) 4,6 atm E) 2.3 atrn
3. En e¡ inte rior de un recipiente de 4l litro, lleno
de gas oxigeno a tl7 "c y 2 alm, se rompe una
cápsula que contiene 20 g eie helio. Calcule la
presión de la mezcla gasecrsa §i l¡r lenlperatura
es constante.
Masa r¡¡r¡lar (9/r¡¡ol): He=4
A) 4,6 au¡r B) 3,2 arrn C) 5,2 atm
D) 6,4 atm H) 5,8 atm
4. .Al descon4roner clor:rto de potasio se produce
(loruro de pot.rsio y gas oxígerro. 'Iodo el r¡xí'
ger¡o sc hace burbuiear sobre el agua a 27 "C
y a urra ¡rrcsión b¿rrométrica dc 727 mrnl{g Si ':' 8'
cl rolumen de gas húmedo es 6{J0 ¡¡11", calt:ule '}
la ¡¡rasa del gas seco y la presión qtte eierce en 't
un recipie ntc qle ll$0 ntl- a 47 "C. "l
P¡esión de rapor del agrra=27 mmtl¡-l a 27 üC ¡
\!asa mol¿rr {glmoi): Or=Jl ..1
A) 0,7 g; 6.10 mmllg D) 0,7 g; 1280 mml"lg '!
B) 0,7 S; I120 nrnrHg E) 0,5 g; 1280 mnrHg *
C) 0,9 g; 1280 mnrl{g ¡
Un recipiente rlgido de 30 L está lleno con
u¡a mezcla gaseosa de oxígeno tnolecular y
helio a 27 oC y E,2 atm. Si por un detenninado
procedimienlo se extrae todo el oxígerio y §e
m¿ntiene constante la temperatufa, por lo que
la presién disminuye en 6,15 atm, lcuál es el
porcentaie, en masa, del oxlgeno en la mezcla
inicial?
Masa molar (gi¡¡61); |ls=4; Q= t§
R=0,082 atm ' Umol -K
A) S0,296 B) 96e6 c) 13,696
D)77,4% E) T2,79to
Una masa <le l0 g de una ntczcla gaseora for"
mada por metano, CHa, y lrióxido de azufre,
Sq, posee un volumcn de 4,48 L en condicio-
nrs normalcs. Dclermine el volumen parcial
del SO3.
illasan molares: Sr=80; CHo=¡6
A) 2,ro L B) 3,32 t C) 2,78 L
D) 3, r4 L E) 2,38 L
E¡¡ una localidad, la temperatura es de 30 oC
v la hu¡nedad relal¡va es de 70%. Deterníine
t¿ presiírn de vapor del agtta (en mmHg) en
dicha localiclad.
Dato:
P,, salurado dcl agua a 30 "C=31 ,82 mmHg
A) 30,0 B) 26,8 c) 21,7
D) 22,3 E) l7
rINt 201t-l
Calcule la masa dc vapor dc agua en una habi
tación culas dimensiones son 6x5x4 m a una
lemprralura de 20 "f si la humedad relatila es
80q{,.
Masa nrolar (glrnol): H2()= l8
I'¡t sión de vapor de agua= 17,5 mmHg a 20 uC
A) I,65 kg D) 1,75 kg
B) 2,07 h¡t E) 1,54 kg
c) r,3,i k3
g, El hidrógeno gaseoso producido *n u* ,o- t
acción quimica se hace pasar sobre agua y "
el gas recolectado está saturado de vapor de +
agua. Al calcnlarlo hasra l0oC, el porcenta¡e 
oo
de saturación clisminuye a ?096 y el barómetro o
indica 630,44 mmHg. Detcrnríne la masa de o
hidrógeno recolectado si el volumen del ga. o
sómetro es l0 L. d..
Po= 9,2 nrmHg a l0'C d..
.:.
Al 0.7r 8) o,es c) 3,20 *
D) r,9o E) r,42 a
.:.
10. Calcule la velocidad de difu.sión del monóxido 'i'
de nitrógeno, \o, (en ml.¡s) si el O2 se difunde *
a través de un tubo dc 30 mL de l'olumen du- *
rantc 2 $. El monóxido de nitrógeno se difindi^ *
rá a través del mismo tubo a las mi§rnas cr:n- *
diciones de presión y lcmperatura que el O2. A
a
A) 10,92 B) 12,75 C) 15,49 :
D) 9,48 E) 17,07 a
ll. Si 2,2x10{ moles de nitrógen«r ,rot."rtu, gu- .i.
seoso efund€n ert un tiempo t a tmvés de utr O
pequeño orificio, icuántos moles de hidrógc- ¡
no molecular gaseoso efunden a lravés del ¿
mismo orificio en el mismo t¡empo y a las n¡is' *
mas condiciones de preslón y tcrnpcratura? A
Masaatómica: H=l;N=14 .:.
*
A) 2,2 x l0-4 *
B) 4,2x10-a a
C) 6,2x10-a ;
D) 8,2x10-{ *
E) l'oxlo"'3 
uNrzooe.ú I
+
a
+
*
.E
.t
S0r.ucroluAnto
Resolución IfOl
Mezcla de gases:
I" Verdadero
Se denomina presión parcial a la
presión qJe ejerceia el componente
de una mezcla gaseosa al estar solo
y ocupando el volumen total a la
temperahrra de la mezcla.
II- Verdadero
La ley de Dalton establece que la
presión total de una mezcla gaseosa
es igual a la suma de las presiones
parciales de sus componentes.
III. Falso
EI volumen parcial de los componen-
tes de la mezcla siempre es menor
que el volumen de la mezcla, Pues el
primero depende del número de mol
del componente y el segundo depen-
de del número total de mol, es decir
de la suma de los números de mol
de los componentes.
CbveEl
R.tgluc!Én I{"o2
Se tiene una mezcla gaseosa formada por
masas iguales de los gases NOr g N, don-
de la presión parcial del nitrógeno es 2,3
atmósferas.
Se cumple que las presiones parciales de
los componentes de una mezcla son pro-
porcionales a sus números de mol:
rP) _rP'\
[;,/"o, - (;J*,
.:.
.:.
.., 6.
+
.N
*
*7.
t
.:.
I P*o, )-[z,satm'11"., l-l -l
[;-,ri t,%*]
-"..'E
,/^-
Cú2GAiIA tñdd*.,t túBi¡,t t cb*b'hñt 160 MATERIAL D|DÁCTICO M4.{,]
P"o, =1,4atm Po'=P'-P'
Po, =725 - 25 = 700mmlts
[-a masa de oxígeno seco es:
Resolución l{'03
Se tiene una muesha de gas oígeno O,
en un recipiente de 41 lihos medidos a
47"C (320K) donde ejerce una presión de
2 aknósferas, su número de mol es:
PxV
ño,
ño,
62,4 ErcIsrq
Do,
RxT
2atrn x 41L
= 3,125mo1
"' 
mo' = o' 79
Támbién nos piden determinar la presión
que qerce dicho oúgeno en un recipiente
de 350 mililitros a 47"C (300K):
/PxV\ /PxV\
[ , .J,=l. , J,
( 700mmHg x 600mL ) ( P, x 350mL )t soox ,l : t 3zoK .l
.'. % =1280mmHs
cu""El
0o, =
Ct¡veE
*
.:.
*
*
*
*
.3
*
.t
*
*
.:.
.:.
*
*
+
*
*
*
,t
+
""1
..i
.:.
Po, xVxM
RxT
700mmHg x0,6Lx323;
mot
En el interior de dicho recipiente se intodu-
jo una muesta de 20 gramos de helio. can-
tidad que en número de mol equivale a:
209 
=s*ol
4s
mol
t* =ffi=
Por lo tanto, en la mezcla formada el nú-
mero total de mol es 8,125. Su presión
total es:
n, xRxT
V
8.125mo1 x 0.082 
atm x L 
x 320K
molxK
molxK
N'05
Se tiene una mezcla gaseosa de 30 litros
formado por O, y helio a una temperatu-
ra de27'C y con una presión total de 8,2
atmósferas. El número total de mol de la
mezcla es:
0-082 
abn'L 
x 320K' mol xK
m
PT
Pr=
41L
Pr =5,2atm
Resolución ¡§"0q
Se recoge gas oxígeno O, sobre agua, for-
mándose una mezcla húmeda de 600
mililitros a 27"C (300K) donde la presión
total es de 727mnHg, a dicha tempera-
tura la presión de vapor de agua es de
27mmHg por lo que la presión parcial del
oxígeno seco es:
l¡lediante cierto procedirnientr¡ se extrae
todo ei oxígeno de la mezcla y la presión
se reduce en 6,15 atrnósferas; esto quie-
re decir que la presión parcial del oxígeno
en la mezcia es de 6,15 atmósferas. Su
Cbv¿§
ñt= -&'V
RxT
8,2atm x 30L
ñt=
g.gg2g!'IL x3ooK' mol xK
%HR = 
Pn,o 
*1oo
P,
lq¡#;r,'trtiluxt c.u. L6 1 QUiMICA
6,15atm x30L
Do,
1=X*o+X*.
Esta última relación es una propiedad de
las fracciones molares. Resolviendo el sis-
tema de ecuaciones tenemos:
X*,n =0,48 y X*. =0,52
Luego. el volumen parcial del tuióxido de
azufre es:
V*, =X*, xV,
.'. Vso. =0,52 x4,48L = 2,3L
Cbn¡eE
Resolución tfOT
El aire húmedo de cierta localidad se en-
cuentra a 30"C y presenta una humedad
relaüva (HR) del 707o.[-a presión de va-
por de agua a dicha temperahrra es de
31,82 mmHg por lo que la presiónpar-
cial del vapor de agua será:
D
%HR=.H,ox100
P"
7A -=
P"ro
x 100- 
31,82mmHg
PHro =22,3mmHg
C¡aveEl
Resolqción t{"OS
El aire húmedo de una habitación de di-
mensiones 6x5x4 metros equivalente a
120 metros cúbicos (120000 litros) se en-
cuenha a 20C (293K1 y tiene una hume-
dad relativa del 80%, a dicha temperatu-
ra la presión de vapor de agua es
17,5mmHg. [a presión parcial del vapor
de agua así como su masa presente en la
habitación son:
= 7,Smol
a
a
*
*
*
*
+
*
.¡
.t.
.:.
*
*
n
*
*
*
*
{.
+
*
*
*
*
.:.
t
*
*
.:.
*
*
*
*
x 300K
g.gg2 uq "! x 3ooK' mol xK
mo, = 7,5mo1x324 =2405
El número de mol de helio y su masa son:
nrc =10mol -7,5mol = 2,Smol
nn" = 2,5mol"+4-= fOS
Luego, el porcentaje en masa de oígeno
en la mezcla es:
.vom^=,240' ,x1oo=96" w2 (2409 +109)
Resolución N"O6
Se tiene 10 gramos de una mezrla gaseo-
sa formado por el metano CHn y el
trióxido de aztÍre SO, que ocupa un vo-
Iumen de 4,48 litros medido a condicio-
nes normales. Su densidad es:
m 10s -.9
V 4,48L L
Y al encontrarse a condiciones normales:
D=M
22,4 L
mol
M
22,4
-.1
chveEl
: LOmol M=49,3 s
mol
La masa molecular aparente de la mez-
cla se determina según:
Mr:(x"M).,, *(x"M)*.
49,3+ =X*r. x16--9-1X*" x80{mol'mol"mol
número de mol y su masa son:
,e9-'L
r
./á-
cdI;G*Glt\& ,ro-*non*,t,oun ,t **, , 16? , , MATERTAL DtlLícnco,ill"4
* mililitros en 2 segundos. Su velocidad de
EtlI REAcctoNEs QuítvttcAs I80= x 100Prro -17,5mmHg
Pr.r,o -14mmHg
*
jr'
.:.
..¿
*
l.'
*
.:.
*
a
*
*
n
.:.
*
*
*
*
difusión es:
V 30mL .- mLV^ =- =rc-vzt3ss
Nos piden determinar el volumen de di-
fusión del monóúdo de nitrógeno NO por
el mismo tubo de vidrio y a las mismas
condiciones de presién y temperatura;
para ello aplicamos la relación de la ley
de Graham:
Vno lMo,
-=.r.-
vo, l¡f Mno
l. Respecto a las reacciones qufmicas, indique
las proposiciones correctas.
I. Fermilen producir nuevos materiales.
ll. Lm reactivos y produclos tienen p¡opieda-
des riifc¡entes.
lll.La composición qufmica de las sustancias
no se altera.
A)l,tlyltl B)lylf C)sohf
D) solo Il E) rlr lll
2, Las evidencias son lrechos abservables que
nos indican la ocur¡encia de un cambio qui
mico. Usando lo anterior, áqué hechos dados a
continuación son considerados evidtncias de
una reacción quimica?
l. Formación de un burbuieo cuando se agrega
*al de fruta ENO a un vaso con agua,
Il. Olor fétido emitido por un trozo de carne
fuera de la refrigeradora.
IIl. Aparición de lfquido cuando el hielo se de-
rrite.
A)lyll B)1, llylll C)lfytll
D) solo I E) solo lll
3. áEn quó ca-sos ocurrerr reacclones qufmicas?
I" descomposición del I\lH3 en n¡róger¡,o e hi-
drógeno
ll. licuación del butano
lll. combutión de} gas natural vehicular
lV. disolución del azútar en agua
A) I y lll B) lt y lV C) solo fll
D) solo I E) I, tll y lV
4. Determine cuántos de los siguientes fenóme-
nos corresponden a una reacción química.
l. disqlución del eüanol cn el asua
ll. electrólisis del cloruro de sodio fundido
IIL cálcinación de¡ carbonato de salcio
lV. neutralización del jugo gástricc con leche
de magnesia
. V fermentación de la Blucosa en etanol
Al§ B)l c)3
D)2 E)4
Relacione adecuadamente amba.s columnas,
I. S0]+Na2O -+ I\¡azSO{
ll. NHll\¡o¡ -, N2+H2o+02
lll. Cr2O3+A.l -» Al2O3+Cr
tV. Agxcor .) Ag+COz+Oz
a. desplazamicnto simple
b. adicién
c. desromposición
A) lb, lfc, lllc, I'rá
B) Ib, lla lllc. IVc
C) lb, llc, llla, IVc
D) l¡r, ltc, llla, fl1¡
E) lc. Ilc, llla, IVb
Respecto ¿ la teorfa de colisiones, lndique las
proposiciones incorectrs.
l. Toda eolisión enFe los rcactivos genera una
reacción qufmica.
ll- Una reaccÍén qufmlca se produce cuando
la colisión entre los reacüvos es eficaz.
lll. Una rracción quÍmica ocurre a cualquicr
tempe¡al.¡ra,
A) 11, ll B) solo lll C) ly lli
D) solo i EJ I, ll y lll
Con relación a las reacciones mostrada-s, indi.
que qué proposiciones son correctas,
X+YZ -+ Y+)(z
Y+QW *¡ 'iltr+Q
t. Ambas ssn reacciones de sim¡rle desplaea-
rniento.
ll, El elcmento X tiene nrayor grado de rcacti-
vidad <¡ue el elemento Y.
Ill.Al reaccionar X con QW se formarían Q
vxw
A) Iyll
B) l, lly lll
C) ll y lll
D) sok¡ ll
E) solo I
Respeckr a la reacción de conll¡ustión com-
pleta, indique la sccucncia corrÉcta después
de determinar si las proposiciones son verda-
{. 5'
.4.
.!
t"
*
.:.
.:.
+
+
.t
¡6.
t"
f.'
.i"
*
*7.
.l
*
*
.:.
.:.
+
*
*
*
+
*
*8.
*
+
ñrro - 
Prro xVxM
RxT
14mmHg x120000L r 184-"=ff
' mol xK
ffiH.o = 16549 = 1,654k9
chveEl VHo
15ILL,
lzz s
mol
30 g-
molResolqción Il.Og
Se recoge gas hidrógeno H, sobre agua
formándose una mezcla húmeda a 10"C
(283K) con un volumen de 10 litros, pre-
sión total de 630,44mmHg y una hume-
dad relaüva del 707". [a presión de va-
por de agua a dicha temperatura es de
9,2mmHg, la presión parcial del hidróge-
no seco y su masa son:
P", =P, -P¡1r6
D _p _%HRxP,.Hz -.r 100
P* = 63O, 44 -'o-\9.',' : 624mmHsn2 100
Pr, xVxM
mu, = __* *
ffiH" =
624mmHg x10L x 24
mol
62.4 
m[rntls]! * 283K' molxK
mn, =0,71g=1,654kg
cbv"§
Resolución N"lO
Una muestra de gas oxígeno O, se difun-
de a havés de un hrbo de vidrio de 30
vno = 15,49IL
cbve§
Resolución tftt
Una muestra de 0,00022 mol de gas ni-
hógeno \ efunden por un orificio en cier-
to tiempo. Nos piden determinar el nú-
mero de mol de gas hidrógeno H2 que
efunden por el mismo orificio durante el
mismo tiempo y a iguales condiciones de
presión y temperatura:
iM*,
!M,,
s
ñr,
0n,
0,00022mo1
GTI mol=ilr3-
I mol
nu, =8,2x1Oamol
chvepl
-
,/Á
GU-Z:GAiI* tñtuhnr,úT&¡¡,t t ciñi.tt .úúr 164 MATERIAL DIDÁCnCO [1"4
1
deras (V) o talsas (F). a
l. Rct¡uiere de combustitlles como cl H2. C}L ',
Y CrHs.
[. Se produce en exceso dc oxfgcno u¡olecr¡lar.
llt, Es una ¡eacción exotérmica.
A) Fvv B) vF1' C) l¡\'F
D) V!'r', E) VFF
9. Teniendo el cuenla el conceplo dc la energía
de activación, indiquc las proposíciones c<r
ffectas-
I. F¡ la mfnir¡ra energfa neccsaria para inicii¡,
un proceso quimico.
. fl. Siernpre licne un valor positivo porque es
una encrgia absorbida,
il. Es la energia que debe absorber los rcac-
tantcs para alca¡rza¡ el compleio acüvado,
A) I, ll v lll B) solo tll C) 11' Ill
D) sr¡lo I E) solo ll
10. Las reaccíones endotérnúcas son aquellas re-
acciones que absorben calt¡r en forma nela, A
continuación se dan reacciones químicas con
sus respecüvas ccuaciones terrnoqufmicas.
l. Cll.r+HzO -+ CO+?H2 aH* +206 kJ
U- PCls+93 kJ -r f)Cl3+Cl2
l!1.2-!O2r Q, -r 2SO3+ 198 kJ
iCuáles son endotérmicas?
A) solqr I B) I, lf y lll C) Iv ll
D) solo il E) ll l'¡ll
I l- !n<1ique la securrrcia correcta dcspuós ric dc-
lermina¡ si las siguienles proposiciones son
verdaderas (tv) o fatsas (F).
L La oxidación v rcducción son l)rrlc(:s()s
opueslos quc ocurrcr simull¡it¡c¡r¡nentr'.
Il. lil agente oxidar¡tl. o¡igina la fomr¡¡ reclurid¿.
Ill. El agente reductor cs el quc pr<;voca la oxi
dación de otra sustanc;J
A) \¡/F ts) VFF
D)wl',
30r.uetoIüAruo
Reacciones químicas:
I. Correcto
En estos procesos se obtienen nue-
vas sustancias, con propiedades Y
estucturas disüntas a las iniciales.
II. Correcto
Se consideran procesos o fenóme-
nos químicos pues se Produce un
cambio en la identidad de las sus-
tancias iniciales (reactantes) trans-
formándose en productos.
III. lncorrecto
No sólo la composición química de
las sustancias producidas es diferente
al de las sustancias iniciales, si no
también sus estuchrras.
Luego, de acuerdo con el problema son
corectas las afirmaciones I y II.
C¡aue§
Resolr¡ción N'O2
Evidencias de reacciones químicas:
Correcto
[-a sal de frutas ENO contiene fun-
damentalmente bicarbonato de sodio
NaHCO, que al ser disuelto en agua
y absorber calor se descompone ii-
berándose en el proceso gas dióxido
de carbono CO, que produce el bur-
bujeo.
Correcto
Al mantener la carne por largo tiem-
po sin refrigeración se produce el
deterioro de sus proteínas, las cua-
f.
II.
t
!.'
.:.
*
*
*
*
*
+
*
*
*
.!
*
*
.!
*
.:.
1..
.t
{.
!.'
*
*
*
t
a
*
*
*
*
*
*
*FVF
F.FV
C)
E)¡.- .r.,' rr t",t
les se hansforman en aminas respon- * Neuhalización del jugo gástico con leche
sables del mal olor. * de magnesia: reaccionan el HCI del jugo
III. Incorrecto * gástrico-con el.Mg(OH), de la leche de* magnesia produciéndose la sal neutra
[a uansformación de un cuerpo só- .¡ MgClz y el agua.
lido como el hielo a su forma líquida * -
::Xñülffff};:1":?:"':?fi:il ',' "tunorczHsoH v dióiido de carbono
tidad de la sustancia inicial.
Son correctas las afirmaciones I y II.
Ehsg
Re¡olución IfO3
[-os procesos indicados en el problema se
clasifican en:
a) Cambios físicos
Licuación del butano
Disolución del azú,car en agua
b) Cambios químicos
Descomposición del amoniaco NH3
Combustión del gas natural vehicular
(GNV)
Todo cambio químico representa una re-
acción química pues resultado de ella se
forman nuevas zustancias con propieda-
des y estructuras distintas a las iniciales.
qbssg
Resolución lf04
De los procesos indicados en el problema
corresponden a reacciones químicas:
Electólisis del cloruro de sodio NaCl fun-
dido: se producen las sustancias simples
sodio (Na) y cloro (Clr).
Calcinación de la sal carbonato de calcio
CaCOr: se producen el óxido de calcio
CaO y el gas dióxido de carbono COr.
cbveEl
Resolución IfO5
l¿s ecuaciones químicas indicadas en el
problema coffesponden a los siguientes
tipos de reacciones:
a) Desplazamientosimple
Llamado también de sustitución,
pues una sustancia simple sustituye
a oha de un compuesto en virtud de
su mayor reactividad:
2N+CrrO" -r AlrO, + 2Cr
Adición
Dos o mas reactantes se combinan
formando un solo producto:
SO, +NarO-rNarSQ
Descomposición
Un solo reactante se descompone
formando dos o mas productos:
NH4NO3 -+ N, + ZtlrO +!O,2"
*
*
*
+
n
*
.l
rf
n
*
a
+
.:.
*
*
.:.
*
*
.:.
*
.t
*
*
*
*
*
*
b)
c)
1AgrCO. -+2Ag+CO, +-
2
o2
Luego, de acuerdo con el problema la re-
lación correcta es: Ib, IIc, IIIa, IVc.
qsgtr
Resolución ¡l"0l.-c-
Resolución N"Oó II. Correcto
Teoría de colisiones En el primer proceso se observa el
desplazamiento de elemento Y del
compuesto YZ por parte del elemen-
to X, debido a que este último Po-
see mayor reacüvidad.
III. Correcto
Al reaccionar el elemento X con el
compuesto QW se formaría el com-
puesto XW pues siendo Y más
reactivo que Q y X más reactivo que
Y es obvio que X es más reactivo
que Q-
Luego, todas las afirmaciones son corec-
tas.
Resolución N"Og energía en su desarrollo, su variación
de entalpía o calor de reacción es
positiva y en la eanación se escribe
como reactante:
I. Incorrecto
No toda colisión entre las párticulas
que forman los reactantes generan
necesariamente productos, ya que
para ello dichas párticulas no sólo
deben de poseer la energía suficiente
sino también una orientación espa-
cial adecuada, a esto se denomina
choque eficaz.
II. Correcto
Los productos sólo se forman a par-
tir de los choques eficaces enhe las
partículas que conforman a los reac-
tantes.
Ill. Incorrecto
[a medida de la temperatura es uno
de los factores que determinan si ocu-
rre o no una reacción química, pues
influye directanrente en el grado de
agitación molecular así como en la
energía cinéüca de las mismas.
Luego, de acuerdo con el problema son'.'
incorrectas las afirmaciones I y III.
cb".EI
Resolución N"O?
En relación a las siguientes reacciones
químicas podemos afirmar:
X+YZ-+XZ+Y
Y+QW-+YW+Q
Correcto
Considerando las formas de las ecua-
ciones químicas indicadas, éstas co-
rresponden a reacciones de sustitu-
ción o desplazamiento simple.
Resolución I{.06
CbveEl
En relación a la energía de activación,
podemos afirmar:
I. Correcto
Corresponde a la mínima cantidad
de energía que deben de absorber los
reactantes para formar los produc-
tos.
ll. Correcto
Esta energía absorbida produce la
rupfura de los enlaces químicos inter-
atómicos de las moléculas de los
reactantes, donde, por una posterior
reagrupación se formarán los produc-
tos.
III. Correcto
El complejo activado es el estado de
máxima energía de los reactantes a
partir del cual se formarán los pro-
ductos.
Todas las afirmaciones son correctas.
De acuerdo a la variación de entalpía las
reacciones indicadas en el problema se
clasifican en:
a) Reaccionesexotérmicas
Se libera una cantidad neta de ener-
gía en su desarrollo, su variación de
entalpía o calor de reacción es nega-
tiva y en la ecuación se escribe como
producto:
2SO, +O, +2SO, +198kJ
b) Reacciones endotérmicas
Se absorbe una cantidad neta de
CHo+2O, -+CO, +2HrO
AH = +206lrtl
PCl. +931«I -+PCI +Cl
Luegq las reacciones I y II son endotérmi-
cas.
cbtreEl
Re¡olución lftt
Reacciones redox:
I. Verdadero
En estos procesos la oxidacién y la
reducción ocuffen de forma simul-
tánea, pues los elech«¡nes perdidos
son ganados al momento.
II" Verdadero
Se denomina agente oxidante o sim-
plemente oxidante a aquel reactante
que en el proceso redox se reduce,
ya que al ganar electones provoca
la oxidación de oho reactante. Esta
sustancia al reducirse genera a !a
forma reducida que es un producto.
III. Falso
El agente reductor o simplemente
reductor es aquel reactante que en
el proceso redox se oxida, ya que al
perder elechones provoca la reduc-
ción de oho reactante.
*
*
*
.:-
*
*
*
€.
+
*
t
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*
*
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ClaueE
cbveEl
*
*
*
*
*
n
T
-
chveEl
..t
Reacción de combustión comPleta:
I. Verdadero
Por Io general para llevarse a cabo
este proceso se requiere materiales
de fácil combustión como los gases
hidrógeno H, metano CHn V propa-
no C.H..
II. Verdadero
Se garantiza el desanollo de este pro-
ceso empleando un exceso de com-
burente generalmente el gas oxíge-
no O, del aire.
III. Verdadero
Corresponde a una reacción del tipo
exotérmica pues de su desarrollo se
libera una cantidad neta de energía.
Rasoluclón N"lO
---re
T
,d
GúZGAf,e tñ¡rñ*nhntÉit,t hciñhrhL,f 68- MATEhIAL DIDÁdnCO ÑP4
REACCIONES QUí!ilCAS II
§9*-*-.--,,"-
3or.uGtoilAnlo
Resolqción N"Ql
rr¡ÍÍ-E
De acuerdo a los cambios en los números de oxidación de las especies indicadas en el
problema, se tienen las siguientes cantidades de elechones ganados o perdidos:
l0)p. oxidm¡ón:_l2e- .4p+3
E'l n.o --r*t="-- E] n.o,
((,6) \-2
lci 
04 
J 
red@ión:+3e- 
> cr+3
cbv¿EI
Resolución l{"0z
En relación a la siguiente reacción química:
aKI + bl{vlnOn + cHCI -+ qKCl+ rMnCl + sl + tF[ O
(*z) (*2) (0)
bKMnOo +cHCl -+ qKCl +rMnCl, +slr+tHrO
Aplicamos el método de balance redox:
Detcrminc en cada caso cl númcro de clcctrc¡
ncs Eanados o perdidos, resp{:ctivameril(-
l. l){ + p34
ll. CH3CH2OH + CH3COC)H
Ilt Cro!- + cf*
A) 61 5;3 B) t2;2;6 C) G;4;6
n) l0;4;: E) 12:41 3
2. Dada lá sisuie,¡le ectlación rtdox
oKI +DKIt'tnO{ +c}lcl { r/KCl +rMnCl2+s12+tH20
indique la .dternativa corrccta rcspecto a la
fornracién de un mol de 12"
A) Se transfieren 2 lnoles de electrones en el
proccso ledox.
B) El coeficienle ¿7=2
C) r¡+r+s=6
D) Sc forman 4 nrolóculas de agua.
E) F'lclorosereduce 
u*rzo.T"¡
3, Glcule el ñriilcro de clcctrones transferidos,
cl cr¡etiricnle del agentt' feductor y el coefi'
cicntc dc la l<¡rma rtducida rie la siguie nte
reacción-
cus+ HNo3 + NO +Cu(NOr2+S+Il2O
A) 6;:l; ¡l B) 8i 3; 2 (l) 0; ll: :J
f)) 6; .{;2 F.) 6; 3; 2
4. llcspecto a l¿ reacción redox
ttno4l- r.Soz + riro d So{2- + L'f n2+ + I l.C)l -
indique cr¡íiles de la§ siguientes proposiciones
son corrcctas-
L FJ MnO.l- actúa co¡no agerlte oxidante,
Il. El lrúrncro rlc oxidacicin dcl nrangancsq
canlbl;r en 5 ul¡lrl;rtJes,
lll- El agcntc rcductor es r:l agu:r.
A) solo I B) solo Il C) solo lll
r¡)Iyll E) llYtlr
uNl 20ll-ll
.t. l"uego de balancear la reacció¡ rtdox
CH2(OH)CH(OH)CH2(OH)+K2Cr2O7+ HBr +
C02+CrBr3"l'KBr{ H?O
calcule la sunra de co€ñc¡enle§ de la sustancia
quc sc oxida, de la forrna reducida y dcl bro'
murc de Potasio.
A)35 B)28 c)33
D) 26 E) 19
el pertnanganato de lx)tas¡ú, KMrrO.¡. reacci<l-
ru¡n para r:raiucir diórido rle cart»no, nil¡álo
de tnmgancso (ll), n¡trato depotasio, nitrato
de sodio y agutr. Luego de balancear la ecua-
ciór¡ qr¡funica, indique ta surna de coeficientes
de los productos.
A) :12 B) 23 c) s5
D) 36 E) 30
7. En nredio álcalino, el zinc §e lran§lornla eri
ZnOl-. Luego dc alustar la medi¿r reácclón'
calcule la relación molar enlre el a¡¡ente re-
ductor y el ion hidróxido.
A) r/3 ts) l/2 c) I/4
D)4 E)2
8. En rncdio ácido, cl ion dicronra¡o, C:r20f", sc
trar¡sforma cn ion cromo (fll). Al respecto. in-
diquc las proposiciones incorret't¿s.
I. Hl i<¡n dicrr¡malo cs el agente rtductor.
Il. P;rra't'qrrilibrar la media reacciúrt st: ltct:t:si-
tnn l4 iont's hidrógerro.
,l!1. En la reducciótr, cada ion ¡lic¡omato consu'
, rlre 6 electron('s.
i ¡) t y lu ts) solo ll C) solo lll
'D)-solol ti)¡Yll
g, Luego de aiustaf la ti¡¡tjiertte t'cuación por cl
mélfflo ion elec(rótr, deterúriñe la rcl¿rción mo-
. lar enlre el agente oxidante y el ion hidrtiqeno.
C2H5NO3+Sn --+ NH2OH +C2H5OH+ Sno.! 
"
A,) 2,0 B) 0,2 c) 0,5
D) r/3 s,) tl4
'f 0. Aiustc po, el méfodo del ion<lectlón l¿ si-
guicnte ecrración reclox.
uo2' +cr2ol-+H+ + tio!+ +cy'.+Hto
LCr¡ántas moles de la forma oxidada se produ"
cen por mol dc agonte oxidanle?
A) | B)4 {)3
r))2 E)5
I l. Balancee la siguiente ecuacióIl por el rrétodo
ion elcctrón en un medio l¡ásico.
12+H2O2 a ¡61-+H2O
I)é conro respuesta ¡os coericienle§ rle los io'
nes lridróxido y del agua, rcspcctivamenl€.
A)?y6 B)lya C)2Y10
D)sy6 E)lYl0
*
.!.
{.
*
{.
*
*
*
n
t
t
.:.
.t
:3
t
.:.
*
*
*
*
*
t
*
.t
*
(-1)
aK I+
cl)
I2K x5
J.*Íi?o^ rcdrión:+s€- >ú',]a,,.).,(. ')
10KI +2KMnOo + 2MnCl, + 51,
10KI + 2KMnO4 + 16HCl + l2KCl + 2MnCl, + 51, + SHrO
Se observa la tansferencia de 10 mol de electones en total para producir 5 mol de
yodo molecular I, por lo que, cada mol producido de este no metal requiere la hans-
ferencia de 2 mol de elec,kones.
Chr"E6. El ácido nít¡ico. el oxalalo de s{xlio, Na2C2Oa. v
IÍTTT
r
,/^,
GUZGAiIQ tÚ,túuht¡t§ittt hciqti.tt rdt ¡. l7O MATERTAL DIDÁCnCO N4
p{ed
Resolución N"O3
Se tiene el siguiente proceso redox:
CuS + HNO. -+ NO + Cu(NO.), +S + HrO
(-2) (*5) (*z) (0)
Cu S +H N 03 -+ N O+Cu(NO.), + S+ HrO
Aplicamos el método de balance redox:
( (-zt (o)\
, ar't' "o¿*¡0*-2" >§'I x31.,
t' ($\ l"zl \
lH'N'o. 
edu@ión:+3¿- >Ñ'o Itzl.)
3CuS + 2HNO3 -+ 2NO +Cu(NOr), +3S +HrO
3CuS + SHNO, + 2NO + 3Cu (NO.), + 35 + 4HrO
Se observa la transferencia total de 6 mol de elechones, el agente reductor que es la
especie que se oxida CuS posee coeficiente 3 y la forma reducida que es el producto
de la reducción NO posee coeficiente 2.
Cbr¡e§
Resolución IfO4
Se üene el siguiente proceso redox:
(MnO*)-t +SO, +HrO -+ (SOn)-'?+Mn*2 +HrO*1
- rtr,,r,t , ,,se obsen¡a que el ion permanganato se feduce por lo que corresponde al agente
oxidante, cada uno de sus átomos de manganeso gana 5 elechones, mienhas que el
dióxido de aztÍre es el agente reductor pues en el proceso redox se oxida. El agua es
una especie espectadora, ya que no se oxida ni reduce.
Luegq de acuerdo con el problema son correctas las afirmaciones I y II.
chueEl
Re¡olqción Il'O5
Se tiene el siguiente proceso redox:
CH, (OH)CH(OH)CHr(OH)+ KrCrpr+HBr --» COr+CrBrr+t(Br +Hp
(2\
( 3/ (-6) (*4
Ca H8O3 +KrCrrO, + HBr -+ 3 C
Aplicamos el método de balance redox:
(-E
Or+2CrBrr+KBr +Hp
( (*t\ \-1 (*4) ((
[r'o..,J 
+So,+Hzo+[
Aplicamos el método de balance redox:
+o \-2t O-J +Mn*2 +H.O*l
((16\ \r )
Ir o,.J J"
(vt
[' 
o' oxidación:-2e_
(l;4"-¡' edueión:+se- »ru*'J" z
2 (MnOn )-1 + 5SO, + HrO + 5 (SO4 f'z + 2Mn*2 + H3O*1
((? G2) )
I 
C3 HsO3 o,oaoon:{e }3 C O, lx 3i.J
( *,tio, @--+z EJa,. 1,. +\' )
3CH, (OH)CH (OH)CH, (OH)+ 4KrCrrO, + HBr -» 9CO, + 8CrBr, + KBr + HrO
3CH, (OH)CH (OH)CH, (OH)+ 4KrCrrO, +32HBr -r 9CO, + 8CrBr, + 8KBr + 28HrO
EI coeficiente del propanotuiol que es la especie que se oxida es s, el coeficiente del
bromuro de ctomó (lll) CrBr, que es la forma reducida producto de ta reducción posee
coeficiente 8 y el coeficiente del bromuro de potasio KBr es 8. [a suma de estos
coeficientes es 19.
chueEl
Resolqcióo I{'O6
De acuerdo con el enunciado del problema se tiene el siguiente proceso redox:
NarCrOn +KMnOo +HNO, -+ CO, +Mn(NO.), +NaNO. +KNO, +HrO
(*3) G7) (*4) (,2)
Na, C, Oo +KMnOo +HNO, -+2 C O, +Mn(NOr), +NaNO. +KNO. +HrO
l.
,/^
cuz-cl*a tñ,ñehátüi¿,t h#hfhñ, 172 MATERIALDTDÁCnCO M4
Aplicamos el método de balance redox:
,,r ,r" , ,,*r,
M. Correcto
cada unidad fórmula de ion dicromato gana o consume 6 mol de electrones
para formar 2 mol de iones cromo (lll).
Luego, de acuerdo con el problema es incorrecta sólo la afirmación I.
cbveEI
Resolsción N"Og
Se tiene el sigr,riente proceso redox en medio ácido:
C2H'NO3 + Sn --r NH2OH + CTH'OH + (SnO, )-2
[*"rEJo. 
oxidadó¡:-2e- rzté'or)"s
( (,t)
[KMno+
red@ión:+5e- (NorL x2I
SNarCrOo +2lO4nO¿ +HNO. -r10CO, +2Mn(NOr), +NaNO. +KNO. +HrO
SNarCrOn +2KMnO¿ +16HNO, +10CO, +2Mn(NO.)¡ +10NaNO. +2KNO. +8HrO
Luegq la suma de coeficientes de los productos de la ecuación balanceada es 32.
' ClaueE
Re¡oluclón N"O?-*-
Se tiene la siguiente semirreacción de oxidación en medio alcalino:
á'l* on-' -(2?o,)-' * z"-t ",
Luego del proceso de balance de cargas eléchicas se tiene:
(o) ((tz) \-2
Zn+4OH-' + 
[ZnOzJ 
+ZHrO +2e-
Se observa la proporción molar de zinc (agente reductor) y los iones hidroxilo de 7 a 4.
ctave§l
Besolución N"O8
En relación a la siguiente semirreacción desanollada en medio ácido:
_ (*s) (o) (-1) ( (,4) \-2
C2H5 N O, + Sn -+ N HrO + CTHTOH +[SnO3J
t. Incorrecto
Se obseva que el ion dicromato se reduce por lo que corresponde al agente
oxidante.
II. Correcto
Luego del balance de cargas eléchicas se tiene:
2C2H5NO3 +3Sn + 2NH2OH + CTH'OH +3(SnO, )-'z
' 2C2H.NO, + 3Sn +7HrO -+ 2NHTOH + 2CrHrOH + 3 (SnO. )-'? + 8H*1
Se observa que el coeficiente del agente oxidante CTHTNQ que es la especie que se
reduce es 2 y el coeficiente de los iones hidrógeno es-6, por lo tanto la proporción
molarpara esfas especies es 1 a 3.
ChueEl
Resolqcién N"lO
Se tiene el siguiente proceso redox en medio ácido:
(UO).'+(CrrOr)-2 +H*l -+ (UOr)-'+Crn3 +HrO
(§1",) 
' 
+ H*l + 6e' -+ zcre
Aplicamos el método de balance redox:
[Sl 
---=*'.---, 
[S 
o, 
)' ),,
[ar"rtÑ'o. 
reducióE.e- >¡'n o).
['ü'o)''.(ff]o,)'* n., -, [üo,)-'+ 
2cr*3 +H,o
[§] ",) 
' 
+ 14H*1 + 6e' -+ 2crn3 +ll,o Aplicamos el método de balance redox:
n
,/á-
GUiffi*€ )bet*hilbdt*t't t chührt cü,t* 174 ilülIfRlAL DIDÁCilCO M4 R'AZONA}IIENTOnfiArpuÁuco
ticloámffif]GUo
Hesuelto por: Pruf. Erling U. $ecines
[¡'r'o;.' 
uidació¡:-2e.,['ü'o,).'J",
"'*l"'
-2
redución:+6e-
3 (UO).'? + (CrrO, )-2 + H*1 -r S 1UO, ¡.' + 2Crs + HrO
S 1UO¡.' + (CrrOr)-z + 8H*1 -+ S 1UO, ¡.' + 2Cr* + 4HrO
El agente oxidante es el ion dicromato pues es la especie que se red.uce, su coeficiente
es 1 y la forma oxidada producto de la oddación es el ion (UOr)" su coeficiente es
3.
ch""E
Resolución lfll
Se tiene el siguiente proceso redox en medio básico
l, +HrOr -+ (lO, )-1 + HrO
[(nr,,)
( t-»
I H,O,
t
(-2\
+2H, O
1. Halle el término que continúa en la siguicnte
sucesión.
2. Dada la siguiente sucesión, halle el valor rie
x+y.
l5; 20; 30; 80; 90; 140; 360; 200; x; y
A) 2140 B) ts60 c) 960
D) 790 E) 2060
3, iQué número completa adecuadamente la
distribución?
5. Calcule x.
B)8
E)6
6, Halle el valor que completa adecuadamente la
siguiente distribución:
l6
20
A) 2r
D)7
B) 17
A) 37
D) 36
7. Considere el siguiente arreglo:
c) 13
E) 1l
c) s4
E) 35
I 6 l5 20 o
I t, t5 20 b
B) 4s c) 5e
E) 87
*
rl25
3'2'3'6"'
7
6
5
8
A)
D)
B)
b; crl'7
El 6)
A)
D)
9
5
c) 7
(o) (-r) ((*s) \-1
lr+HrOr -+ 2[ I 03,J
@
@
@
@
Aplicamos el método de balance redox:
[ry--**=,=--- 
z['.i' o,)-' 
) 
",
c2)\
zHrO 
)
B) 33
x5
l, + SHrO, -+ 2 (lO. )-1 + SHrO
I, + SH,O, + 2OH-t -+ 2 (10. )-1 + 6HrO
Luego, los coeficientes del ion hidroxilo y del agua son 2 y 6 respectivamente.
@E
redu6ión:+2e A) 27
D) 21
B) r5 c) 64
E) 26
4. Halle el valor de x,
Luego; si a > á, halle E=a+Zb.
A) 44D)
I
I 2 I
0 I , 3
I 3 4
2
I 3 4
, 5 7
3 I ll
5 x 73
IrlH PS!C0TE0NIC0 r
@
@
@
@
r-
30lUGrOilARrO .-€=to.r.,.,d* (3
lo
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ú.t.
*
X*J eu
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Flo¡¡oceu,zaNoo Lás FPAcctg
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FALT-A eN EL oc¿Á etco:
-{o=1 jt=2 32=9 L{3= X
64= X
CLAVE: C
) (r+r-)+1= Q
) ts+r¡+ 5=J {
» x=*
* J5:30;90;360',><' {t \:,, <J \:Ju2 x3 vt-{ x5
/: )8oo
x 2n¿;io¿)"¿-3td
+(oO +60 +bO +bO
o
CT.AVE.: E
I
50LuctoÑ
Éot* EL varoe f>E "xtt Etr
l r\ SISTPfgUUO'U :
, 2+Q+8 tb= Zo
@
.-J - 2bO
oQo xtj
CLAVE: E
L 2 q x
o ) 2 3
I 2 3 q
2
,
-
Qo=* EL \./aLor¿ suE FAL'r-a
EN LA, otsrr¿Bucrdu ;
@|
9 ln +U li,I3 = 55
$ utroixlt3 = t{o)(=éj
¿LavE.. I)
@
1¡a { (¿+q)
q
1. Determine el valor de Z en la
distribución numéríca mostrada,
6'
@
@
@
EEOL\-l CrOñ
) (,,
aÍ\
x
A) 36
B) 64
c) 12s
D) 215
E) 343
D) 10
E) 12
@ Ü 
rlr2-t (a+e)
@+5x3+('l+tli
6Dü s"; +
K= 39
E= 59 aava: t
6 f
L2 10
X 11
8 15
5
6 14
I 11
4 10
(s+e¡ 7
@I50Lu c\oñ
')+ ))6;!5;20y o-
\J \--, \---l \ -'+5 +q +5 +q
il cL:2q/
rÉ t: dr;15 ; QC; b
.lx\;2,3; &5; Q,5 I 5,3
rb E> =. 4r¡7
tüo..r: E: q1.{-2k:
tr: 2q +r-(,\S)
A) 6
B) I
c) e
0bservación:
48 L25
q
I
5 x
2. Determine el valor de X en la
distribución numérica mostrada
16 2L6
ET,il PStCorÉCNtCo II
1, iQué gráfico completa la secuencia?
.:.
.¡.
.:.
.i.
*
*
A)
D)
)-'1/^t,) \lC)\ §
I
et *)
*
.ll
*
n
+
*
*
t
*
.t
*
.:.
.¡.
*
*
*
*
*
*
.!
Determine la figüra que debe ubicarse en la
posición 6 en la siguiente serie.
hsición I lt¡sición 2 tb§ición 3
3. iQué figura continúa en Ia siguiente secuencia
gráfica?
B)
5. Complete la siguiente analogfa.
6. iQué frgura no tiene rclación «:on las demás?
-E ,F,=:
c)
E)
A)
o)
A)
D) E)
7 , Indique la figura que no pertenece a Ia secucncia'
A
O,, ,+ ,
V
,4D/1,
V
üq
r'1
C
tr
entonce§
esa
C.LAVE: A
E,5 A
cu¡vE: c
*
AlrcbAnual
30lUOrOilARtO €.*otu*du @
Eu ,ss ce-Á*rto.'.
Q.=^-u",J*¡ O
*
*
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n
n
+
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*
*
*
Grea qO
err¿¡ Q0"
6rea
go'
6req Qo'
AttTtl¡oP,AqtO
,t60' \---r7 \ -r'zqo' sod
CLAVE: A E r.\ LA o*a-q,t ,
E3A
oo(D
€==o'-u",d* @
ESA
?==o,-u.,J*, @
CLA\E: D
CLA\E: E
Qt=o*r.,d* @
.De- l.o eeÁ*,.o= h^osraaoos'.
I : Av¿Hza EN r-a .,^rs vla
tru DE lzs!.]rEf2oA a
DEPEc.HA uÑA C-ASIULA.
ll , Avauza ÉN LA o"r\sMA
COLU}4ÑA OE ASA§O HACIA
AEAIBA UNA C,A.g\L1.6,
O : Slura uNA e-oLuMña DE
IZ§.UIEA.DA A DEQ.E.CI-TA
6 : §aura uNa c-owr'rrNA DE
DEQ.E,I,T+A A IZ§U\EQ.()A.
rcP. Lo -\-Ar.l,To, sE T-te,\IE :
Lueqo
Eu uq
L.UEGO:
ANALO6IA :
ESA
Y A
a n
*
A) B) C)
E)D)
0","(0".*,O",.
"«»,c'(»
.(» ,€
A) B)
D)
4. En la siguiente analogfa
c)
E)
esa
Respuesta: B
Respuesta: B
@
La r:l6ur¿a ouE ño 6\,aeoa
rzgt-.acro'u Es :
(22 - 16)3 -- 63 = 216
(53-48)3=53=125
(72-68)3 =43-64=z
(MXN)-(PXO = R Ycon cada R se
genera una sucesión:
Primera figura: (6X10)- (12)(3) = 2a
Segunda figura: (15X4) - (6XZ) = ZS
Tercera figura: (xX15) - (8X11)
=15x-88
Cuarta figura: (8X10) - (4Xrr) = ¡S
Luego la sucesión es:
2.4, 28, (f Sx - 88), 36
4q4
En consecuencia:
15x-88=32
15x = 120
x=8
I
LUCtou
n
t
*
*
(
DTFET¿E'ÑTE A
FT6IIQ.AS.
t-AS o.I.EAS
C'LAVEI E
.1. z. out"tuamos la ley de formación en
;. cada figura mostrada:
€=.ot -,.,d. @
L-A Ft6ua-a §uE No GUagDA
€.e.U-agrd*¡ e.S i
n
*
+
*
*
*
*
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t
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t.
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6E EI.ICDE¡¡TAA EN
STNTIDO C.ONTAAP-TO A
r,ts OevtÁs FIGUQAS.
et-AvE i E
( Problemos de ls Póe. r77)
1. En cada triángulo se cumPle la
siguiente leY de forrnación:
(A-B)3=C
Luego:
M a
P N
IEtril RAZONATVIIENTO ABSTRACTO I
1. áAqué cubo corresponde el sigúente desarrollo?
B)
2. aA qué sólido corresponde el siguiente desa-
rrollo?
B) c)
Indique la alternativa que corresponde a dicho
desa¡rollo.
A) c)
D) E)
4, Las liguras muestran un sólido y su desarrollo
(despliegue). De acuerdo con ta información
brindada, identifique la cara incógnita.
cua ürcógnita
*
*
*
+
.:.
.:.
.:.
a
.:.
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*
.:.
.8.
.:.
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*
*
.:.
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*
*
*
*
.¡.
*
@,ffi ffi
@ffi
c)
E)
A)
D)
5. Una de las caras del cubo se corta a lo largo de
sus diagonales. Dos de los siguientes desarn¡-
llos son imposibles. ZCuáles son?
A)s
D)Q
A) I y3
D)3ys
B)Z C)P
E)M
A)
D) CI
3. La figura mueslra el desarrollo de un cubo.
234
ll) I y5 C) 3y4
E) 4v,
5
L^:7CT
ry+#-#ffi
+
6. lndique cl desarrollo <¡ue al ser doblado gene-'!'
ra el cubo que se muestra. .i.*
s0ruGloilARlO
*
*
*
*
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*
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Q=.oruo
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A)
D)
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E)
t-o
t -t
EL C§BO C¡E9ESPONDIEÑTÉ E5
EL r^OsfqAoo E,l\t La gLave: c
7. A continuación se muestran 3 posiciones de{' /
unmismocr,¡o. maique rrii"",ffi;' 
-" "-':, 
Qr= oLu e-tdú @
ñ@w
*
*
*
Deu sEsAe-aou=o De.:
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I
I
I
A)
c)
D)
B)
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I|V\POSI BL.E.S SON :
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t- at-
§OBLA T¿
SE
oBTre.§E.
(l) (3)
C.T.A,VE.: A
CLAVE: A
Q.=.oru.rd" @
5e rrEuE:
€=.o..",d*, @
Au so*r.ae e.L DEsPLT€oue
DgL Dé,AP-QOLL-O ¡v1ojrzAoo
5E 06r'€,.' e :
Cu YO DESAEEOLLO ES
r' I CLAVE.: E.d -\
C.AEA
tNco6§r1-a
cLAVe 3 E"
Eu oEsAepo,,o .oE r-as
vlsTAS lvtO.S1-eAoAS Es:
'Zt.oru.,o'* @
Al .o¿tae. uNA c.aQ.a DEL
cueo Poe. sus §l a,60NAt-Es.
x+
G=rss6, @
r
IM RAZONAtvIIENTO ABSTRACTO II
Señale la üsta frontal del siguiente sólido.
e) B)
2. Indique la vista de perfil del sólido mostrado.
s) Z
Z
4. ZCuál de las siguientes vistas pertenece al só-
lido mostrado?
.:.
.!.
.i.
*
*
.3.
.i.
.:.
*
.:.
.t
.¡.
*
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A)
D)
m
m
t\/{
La,lB)
B)
c)
E)
c)
E)D)
c)
E)
A)
D)
C)
E)
5. Halle el sólido al cual le corresponden las s!
guientes vistas.
H
ll
F3. lndique la üsta superior del sólido most¡ado.
c)
E)
A)
D)
()
6. Un cubo está formado por 27 cubos pequeños, j. SolUGtOitARto
algunos de ellos contienen una esfe¡a en su *
interior. La figura adjunta muestra la vista fron- t
tal (F) del cubo y la ü.sta clel taao aerecho det .1.
cubo (D). Detennine la alternativa eue corres-.ir
ponde a la vista superior del cubo. *
Q*=o..',",d* A)
*
*
*
*
*
*
*
r'.
't)I tDE[l L.A Vl3'tA I ¡rtrt¡tr.t
§E-L sduroo.
F
A)
D)
B) c)
E)
F€OI\¡TAL
L-ueeo:
CL^VE: I3
ulr zoro-r i
7. iCuál es el sólido cuyas üstas p.in.ipute, .u j.
muestran a continuación? + &:e§ges o
*
Qou* LA vrsra sE" pEpFlL ,1.).. -.
v l5r-A
<- DE
PEQ,F IL
A)
c)
D)
B)
E)
Lueeo :
H
CLA,VE3 O
B)
m
A)
D)
@
i
I
9tclcx¡a,ual ilru tt¡.t!
€*.or-u",d*l @ f?*.o.r.,d* @
f?o.* rA vt6TA suPEPloa- S.aú^, I.A5 VISTAS DADAS
oEL sdutoo F^esreAoo, EL sóuroo MosTcAoo Es:
ü
vlsrA
SUPER\OR
CLAVE: C
L-a vrsra supEÉ\oq És:
-'(
m
al C,
r_)
CLAVE: C
F D
Qu.o ILUC\OÑ @ LA vrsra 6upEp.\or¿ Es:
Deu sdu¡o,
<__. Vlsr-^§E
PE.P,ÉIL
cua,ve. u E
Re.=ourtcto/tl @
De. uqs vrsTAS DADAS.,
E.u sóu,,o
ser¿1,:
§ttÉ ¿=,E OB'rte-NE
CLAVE: O
CLAVE... E
P 7.--,r,- .t-' r',4*lool\ll"',1,*,t tl lnn t l,'ll Lt O
Im oPERActoNEs rrrATEMÁ ftcAs I
Se deline la siguiente operación matemática.
l'x2 + v: si x, ,x#y=l " '[y'+x;six<y
Halle el valor de la expresión.
E=(t#2) # (2#1)
A) 30
D) 32
B) 25
A)7
» -2-Jl
B) l+.D
5. Se define
q@={e+a)n',
Además
Calcule
f =...(((l * z)* ¡)* a)* S.
I 0O operadores
A) 99
D) ro2
B) loo
B)s
c) 28
E) 35
*
.i.
*
.l
*
.i.
.i.
*
¡
.:.
*
a
*
.:.
.i.
(') I J't
b-) Jz I
c) r0l
r) r03
=81 -r. @=¡¿s;(ll).czs
2, Se tienen lossiguientes operadores.
@=?'n-o
=An
A=-*o
Calcule
A) 17
D) 15
3. si 6lll=a¡-1
E=Sx+z
además
halle el valor de a,
A) út2
D)2
6' Si (m*n)o=¡r(a'n)
halle el valor de la siguiente expresión.
/".",(3.4)
M =qtt'zl" "'
B) 18 c) re
E) 2I
=19
B) l r/3 c) 11/4
E)l
D)
7. Se define
E;Fl=4!;sia<b)
A= ff;'io>o
además
x-l =x* I
=r*l
Halle
c)
E)
5
,
A) 4
6
4. En el coniunto de números reales, se define el* .A
operador
¿\=14+t)'z
siA= 100, determine el valor de l+2x+6. E)
a
*
*
n
c) 20B) 22
26
La vrsra DE- PEP-F'L =.s:
ae:gusre§ @
6a rt€.NE- t-a,s vr5-rAs:,
"=@
A) t2
D) 24
l?=-sotu.,Ju @
Oa..or A: (o+r)z
L-ue.eo.
:JOO- L
€=so...,.,d* @
Se Yle uE:
lmxn)8: rn
2
)
f.
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Se sEcrr.¡g:
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Lue.so: A*B: B
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E : ((l*r.l*.*.--- )* rot
4OO opEP D()Pr-s
E: J-O{
cr^,vE -. C
- a*b *2= c+b .,0-tb
5)
oxb : Q*b:Lo; otb5
:0*b-2= o-b 0>rba)
0>b
A
oxb: Q-b +q_-=-
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',¿ *J: t
xt+J . *, xU
J2-r-x ; si x(J
( Ll+ 3(5)
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P,o=*, l.4t: I g cuAve: c
ts: (l +2) + (2 +J) €*.o..r.,d* @
E: (*+r) + (1-z+t) 5e. -rlEuE"--
: L+Y -J
E-- =r#s
p: *+s:3ol P,o= u HquAe. "d' E.\t:
CTAVE: A
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De- Los oPEe-ADoQEÉ @.-@l:tl
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