ejercicios resueltos de aritmetica

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-ARITMETIGA
ciclo AnmABmnGVo
Ilesuelto por: Prof. Jimmy Garcia gh.
J-_
lilr,',Tf RAZSNES V PRSPSRCI¡NES I
plicarse, determine el mayor de dichos núme-
ros, y dé como respuesta la suma de sus cifras.
A)8 ts)4 c) ll
D)6 E) t2
A)6 B)8 6. Se tienen tres recipientes, A; B y C, que con-
tienen üno, donde el contenido de A es al de I
como 3 es a 2 y el contenido de I es al de C
como 5 es a 2. Si de,4 se pasan m litros a B, y
luego de B se pasan n litros a C de tal manera
que el contenido de estos tres recipientes sea
el mismo. Determine la relación entre rn y n.
A)3a4 B)2a3 C)l6al7
D) 14 a 13 E) l6a 13
D) E)
B) 18
Se tienen dos números que están en la rela.
ción de I a 5" Si la razón a¡itmética de sus res-
per:tivos cuadrados es 351, halle la razórr arit-
n"rética de dichos números.
')- Se sabe que dos números son entre sÍ como I3
es a 7. Si se le disminuyera 42 a uno de elios y
6 al otro, serían iguales. ZCuál es el valor de la
razón aritmética entre el cuádruplo del menor
y el dolrle del mayor?
l2
l5
c)
I
A) 12
D) 32
c) 24
E) 36
Las edades de María y Roger están en la rela-
ción de 4 a 3. Si hace 8 años estaban en la rela-
ción de 8 a 5, ¿en qué relación se encontrarán
sus edades dentro de I 2 años?
7. Carlos y Pedro conversan sobre sus edades.
Pedro diio: 'l.a relación de nueslras edades
hace m años era de 4 a 5". Carlos afirma:"Pero
hace n años era de 6 a 5". Fedro contesta:
"Fero dentro de m-n+12 alios será de 12 a
13". Carlos linaliza acotando'. "No oluides que
la razón aritmét¡ca de nuestros edodes es de
3 oños" . Según lo planteado, calcule m +n.
A) 6/s
D) Y¿
B)s/8 C)7¡0
E) 3/8
,1. F-n urn tienda, las rnanzarns, los duranos y los
mangos están en la relación de 2; 5 y g, respectiva-
rnente. Se sabe que el peso de 3 nanzanas equi-
vale al de 2 duraaos, y que 3 mangos pesan tanto
como 5 manzanas. Si el peso total de los mangos
cxcede en l98kg al doble del peso total de las
rnaruanas, lnlle elpeso total de los duramos.
A) l3skg B) l20kg C) l50k¡i
D) los kg E) 90 kS
Dos números son entre sí como 7 es a 13. Si al
menor se le suma 140 ¡ para que la razón no
se altere, el valor del otro número detre quintu-
8. En una caia hay tizas blancas, rolas y azules.
Se sabe que la cantidad de tizas blancas es a la
cantidad de tizas roias como 3 es a 2, y la can-
tidad de tizas azuleb es a las tizas rojas como
4 es a 5. Calcule la canüdad total de tizas si hay
l4 tizas blancas más que azules.
A) 5s B) 66 C) 33
D) s0 E) eo
A)n
D) 16
B) 12 C) t5
E) t8
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t O. Sr. lit,rrr.r¡ lres l)arriles (1, B y C) que conlienen
, rllr r,¡ y vin(r. I.llr ¡1 la relación es de I a 4, en B es
rlt'.1 a 7 y en Ces de ll a 4, respecüvamenle.
Al ¡nr:zclar sus contenidos, se observa que hay
74 L de agua. ¿Cuántos litros de agua habfa en
el barril A si se sabe que los tres barriles tienen
el mismo volumen de lfquido?
A) rs
D) 18
B)sA t l,ilt
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105
r26
A)
D)
I-ir un recipiente, se mezclan 40 L de agua y
(i0 L de leche. Si de dicha mezcla se extraen
I 5 L, icuántos litros de leche se deberiín agregar
a lo que queda para que el volumen de leche
sea el doble que el volumen de agua?
En una carrera de d metros, con velocidad uni-
forme, A puede vencer a B por 30 m, y B puede
vencer a C por l5 m. Ca.lcule d si se sabe que I
puede vencer a C por 42 m.
2. En un recipiente, se tiene agua y üno en la
relación de 4 a 3, respectivamente; se agrega
20 I- de agua, por lo que la relación es de 2 a l;
y finalmente, se oitraen 24L de la mezcla.
Calcule la razón aritmética del agua y el üno
que queda al final.
Dos móviles, A y B, están separados por cierta
distancia, y parten al encuentro con velocidad
que están en la relación de 5 a 7, respectiva-
mente. Se sabe que, al cabo de cierto tiempo,
están separados 500 m después del encuentro.
Calcule la distancia de separación al inicio en-
tre A y B si las distancias que faltan recorrer
de A y B para llegar al punto de donde partió
el otro están en la relación de I I a 5, respec-
tivamente.
A) 1380
D) t000
B) 1800
En u¡ra serie de cinco razones geométricas
equivalentes continuas, el primer y último tér-
mino están en la relación de I a 243. Calcule el
penúlümo lérmino si los antecedentes tercero
y segundo se diferencian en 36.
B) 356 C)428
E) 5r2
A) 17
D) 21
A) 16
D) 22
B) 18
B) 20
c) 20
E) r9
c) 18
üzq
A) t2o
D) r80
B) 140
sabe que
c) 200
E) rso
.1. En una f¡esta infanüI, se observa qüe h can-
tidad de varones es a la cantidad de muieres
como 5 a es 7. Adem¡ás, por cada 7 varones,
4 no bailan. Calcule el lotal de asistentes si la
semisuma del número de muieres que no bai-
lan y los varones que no bailan es 81.
B) 63 c) 2s2
E) 147
4. En una f¡esta, los varones y el total de asisten-
tes están en la relación de 2 a 5. Si los varones
que no bailan son 12, lcuántas personas hay
en total si se sabe que el número de muieres
que no bailan es 2l?
A) 40
B) 35
c) 55
D) 45
E) 50
4A -?B + 5C =29.5, halle .{ +B + C.
A) 90
B) r08
c) ¡20
D) r50
E) 200
t5 24 33
ABC y que
4(6)(
SotuGtotuARtoSe tiene la sigüente serie de razones geomé-
tricas equivalen": 
? = ?= ? = fr =... r'"
cumple que a6+ols=506.Determine ol3-o8+a3.
A
L
L
A
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A) r89
B) 184
c) le8
D) t72
E) 204
10. Si en la serie
obc
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Ar2
11!bcd
se cumple que
a+b+d=93: 5a + 2b + k - c - 2b'5b+2c+3d c
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A) 86
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IiIIrT RAZO NES Y PRO PORCIONES III Y PROMEDIO I
A)
f))
l.i¡ tercera proporcional de 3a y a es b, y la
cu¡rrta diferencial de 9ó; a y Sa es 36. Halle o + b.
En una proporción aritmética, los términos
medios están en la relación de 6 a 7; pero si
se intercambian los términos medios, forma-
ríamos olra proporción cuyo vaior de su razón
aritmética es la tercera parte que el de la pro-
porción inicial. Si la suma de los t¡es mayores
términos de la proporción inicial es 164, calcu-
le la diferencia de los términos extremos.
c) r7s
E) Ir4
s) 38-36
si
¡6,
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*
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A) 18
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B) 16 C) l0
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B)3 c)4
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B) 28 C) 30
36
MH(o;b)=3
Ñ-H@ic)=3,2
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7
calcule laffi(a; D; c).
l) 19'72
D)
36
I9
B) 12 c) 16
E)8
B) 28 C) 16
E) 24
B) r0 c) ll
E) ¡5
c) 72
l9
Bll't9
fin una proporción geométrica continua, en la
<¡ue los términos y la constante son enteros, se
sabc que la suma de los términos diferentes es
182. Halle la media proporcional e indique Ia
suma de sus posibles valores.
n)42 B)ll2 C)76
f» r08 E) 94
En una proporción se cumple que la suma de
los lérminos extremos es 2t y Ia suma de los
medios es 19. Si la suma de lós cuadrados de
sus cuatro términos es 442, déterinini la dife.
rencia de los términos erfiemos.
B)e c)8
E) 13
,1. En una prcporción geométrica, se cumple gue
la suma de los términos de la primera razón
es 45; la de la segunda razór\ 15; y la de los
consecuentes, t 6. Determine la suma de cifras
del primer antecedente,
En una proporción geométrica continúa de
constante entera, se cumple que la suma de
los términos extremos es 136. Calcule la dife-
rencias de los consecuentes.
IO
t5
A) 24
D) l8
A) 18
D) 36
A)e
D) 12
El promedio de cinco números es 85. Si se con-
sidera un sexto número, el promedio aumenta
en 15. Halle et sexto número,
A) t25 B) 160
D) il3
El promedio geométrico de 3; 9; 27; 8l;... (a nr1-
meros) es 729. Determine el valor de n.
^)2D)s
A) 24
D)32
En una proporción geomélrica discreta, el
producto de los antecedentes es 108, y su di-
fcrencia es igual al doble del menor de los an-
lccedentes. Si la suma de los cuatro iérminos
de la proporción es 144, halle el menor de los
consecuentes.
DRros
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, enlonces' b-dx b-d'
2. 
.[n 
una proporción geornélrica de
enteros positivos, se sabe que la suma de
". 
§¡;=;
nr.si;=;
Ia
2
J
+ A) WV B) TW C) FFV
D) FFF E) VFV
términos de la primera y segunda razón son 6
9, respectivamente, y la suma de lo§
de todos sus términos es 65. Determine
cuafta proporc¡onal.
A)z B)6
D)4 E)
3. Mireya compró 4 docenas de'choros a
otras 3 docenas por S/5, y poi último 2
más por V7. iCuánto es el precio promedio
la docena de choros?
A) y6
B) §r2,5
c) s/2
D) S/3,2
E) vl,8
4. En una barrá de madera de 30 cm se
n corle§, tal que las partes ol¡tenidas A I , 42,
son proporcionadas a los núrneros l;2;... Halle
la media aritrnética de las inversas de la
y rnayor de las partes.
-----+ Ia +
l_
b
5
2
flI1 (?; c) --3,2 --tɿ:5
1 r I -5
- ATE_EIH(b;c):+l - -Lt -l-b'c
I rl -f_ 5rz_m
IH0DA,2 
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,'. Nlll (6, b;c) -
2
-l-LTat a
1
4
C) 5
3
b
t9
w CtAvr,c
PROBüEMAS ADIGII}NAtES
1. Señale la alternativa que presenta la secuenc¡a
correcta después de delerrninar si las proposi-
ciones son verdaderas (V) o falsas (F).
l. Una proporción aritrnéüca es discreta si todos
los términos son diferentes.
+
3 _12
m-'q
- r20A)-'n+2
D)
(n + l)2
60
\^-rÍ
120
h;rB)
n'l
r20
u, 
(n+2)1
' t20
M
PROMEDIOS II
I )(: un grupo de 20 personas, se sabe que el {'
¡rrornedio de sus edades es 28,5 años; además
trxlos tienen al menos 24 años. iCuál es el
rrr,ryor valor que puede tomar el promedio de
crl;rdes (e los dos mayores?
B) 62,5
Iil promedio de edades de los alumnos de una
sección es l6; además, el promedio de edades
rlc los varones y de las muieres es 18,4 y 14,2;
r(:spectivamente. iCuántos alumnos hay en
rlicha sección si sabe que el número de muje-
rrs excede en 9 al número de varones?
Curso
N." de
crédltos
Nota
Calculo I 3 11,6
Redacción 4 x
Programación I 4 13,6
Matemática Básica 5 19,2
A) r3,8
B) 16,6
c) rs,3
D) 1s,8
E) rs,6
Si en una aula de 24 alumnos,cada varón
tuüera 5 años más y cada mujer 3 años me-
nos, el promedio de sus edades aumenta¡ía en
2 años. Calcule la diferencia entre el número
de muieres y el número de varones.
A) B)3 c)
D) E)
En una pista circular, un automóül se despla-
za cada vuelta a velocidades de 2;6; 12;20;
...; 380 knt/h, respect¡vamente. Calcule la ve-
locidad promedio del automóvil en todo el
recorrido.
.t
.t
.:.
.i.
*
*
.t
*5.
*
*
*
*7.
*
.t
a
*
*
a
*
*
*
*8.
n
^) 
68,5
¡)) 60
^) 
48
r» s6
A) 20
t» 23
B) 70
B) 2r
c) 69
E) 63
c) 63
E) 77
c) 22
E) 24
St: sabe qtue la MH de tres números impares
, (,nsecut¡vos es 20,87263... Determine la /1,L4
rle los dos mayores de dichos nrtr¡neros.
5
2
6
4
¡ l.¡r media geométrica de tres números enteros
y diferentes es igual a uno de ellos, y la media
¡>roporcional del menor y el mayor de dichos
¡ limeros es 7. Determine Ia media aritmética
rkr dichos números.
A) r8
D) 2r
B) 20 25
22
c)
E)
B) r9 c) rs
E) 13
('¡rín es un ebtudiante de matemáticas, y en el
¡rrirner ciclo obtuvo un promedio ponderado
r b 15,4. Calcule la notia que obtuvo en Redacción
ri cl siguiente cuadro representa su reporte de
r)otas.
La MAy MG de dos números pares están en la
relación de 29 a 21. áCuál será la menor dife-
rencia de dichos números?
A) 160
B) 60
c) r20
D) 40
E) 80
A) 17
r» t6
MA
lll. l.;t MA (l('lros núrn(: ros enteros positivos es 14,
arlcnrás, ta i¿O ae los dos menores es 8J2 y
la de los dos mayores esl2/i. Calcule aproxi-
madamente la UH ¿el menor y el mayor de
dichos números.
B) 12,08
S0lUGrOrUARrO
A) 1r,08
D) 16,9
c) r,o2
E) ro,8
A)4
rJ) 8
c) ls
D)o
E) 12
9. [,a tlifi'rr.l¡r'i¡t tlr. rlor trturrr.ro., t'., 1,t, y l.r .,rr¡rr.¡'l'
tlc sr¡ M(i y MA et'll(' ( ,rI uL'l.r rhl,,l,'¡r, r,r rlr
lt MÁ y'Mf ; ,b rliclror trut¡¡r'¡r¡.,
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MG(?;b):,t2 -/2 * a,b=288
s0t0'. a_tg b=J6 c= B
.',MH(B; f B): 
%+#r: f ,,oB
CrRvr, A
fTÍl',il [lAeNlTUDES PR RCIONATES I
La magnitud A es IP a JE, además cuandc¡
A=6, entonces B= 16. Halle El cuandoA=4'
e) 12 e) 18 c) 16
D)24 E) 36
2. Para pintar una pared cuadrada de 5 m de lado'
se emplearon lStarros de pintura. ZCUántos
tarros se necesitarán ¡rara pintar 5 paredes
cuyas dimensiones son 2m y 3m menos de
cada lado?
A)e B)3 c)6
D) 12 E) l8
3. María y Verónica han confeccionado un ves'
tido iuntas. Pero trabajando solas, se habríart
demorado 2 y 8 h más, respectivamente, de lo
que demoraron luntas. ¿Cuántas horas duró la
confección del vestido cuando confeccior¡a¡
juntas?
A)6 B)s,s c)4
D) 4,5 E) 5
4. Una obra puede realizarse en 30 días, em-
pleando 33 obreros. ¿En cuántos días culmina-
rán dicha obra 44 obreros cuya eficiencia es
ll4 mayot?
A) 24 B) 26 c) 20
D) 18 E) 30
5. Sean /t1,) una función de proporcionalidacl
directa y 8(e) una función de proporcionalidad
inversa, tales que
' 81r¡-f1¡¡=96 ' /1r¡¡'81¡s¡=400
. f¡p¡=S1m¡
Halle m.
¡,)4 B)rü C)5
D)20 E)8
6. La s¡guiente gráf¡ca muestra el corr:portamien-
to de dos magnitudcs, A y B, que guardtrn cier'
ta relación de proporcionalidad.
0+2O
Si a; b; c y d son enteros positivos, calcule
' a+b+c+d.
L\72 B) 8l C) 78
D) 63 E) i9
7. Un reservorio de 8 metros de radio y l8 metros
de altura abastece a 75 personas. iCuál debe
ser el radio de un reservorio de 6 metros de
altura que abastece a I 00 Personas?
A) 14 B)24 c) 2l
D) 16 E) 18
8. Sean A y B magnitudes, tal que
. AIPJBsi B<t8
" J¡opasiB>t8
Cuando A=15, B=8. Si B=36, calcule el valor
que tomaA.
A) 2s B) 40 c) 36
D)9 E)44
9. A, B y C representan tres magnitudes que
guardan cierta relación.
A l0 I 8 x 8
B 3 24 J 6
C 50 4 q, l8 v
Calcule x+y
A) 20
D) 28
B) 26 C)24
E) 22
I 0. Lo que cobra un transportista de carga es pro-
porcionalidad al peso que transporta y a la
distancia recorrida, pero es inversarnente pro-
porcional al tiempo que demora en entregar
la carga. Se sat¡e que por transpofiar 2 tone-
ladas y recorrer 36 km demora I h con 20 min
y cobra 5/250. ZCuánto cobrará por tmnsportar
3 toneladas a una distancia de 48 km si demo-
ralhcon4min?
B
3b
o
d
á1830cb+cA
A) 600 B) 625
D) 6s0
c) 640
E) 67s
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Resuelto por: Prof. Celso Gaspar lapara
oPERAc¡oHrs sÁslcRs
Reduzca
(-¡X-2) +(-3X-a) +(-5)(-6) + (-7X-8)
§oLuSlouARlo ,Qrso / ucrc* @
f)Égotuc ¿o¡t @ *,Saz+
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7= /oo = -!-/oo Cn * G)
/?fsO¿¡¡cro* @-:= EAN A
.4
./
J=,t/J-I=f-¡=Í+Y =+/e
Y=(2)(I)tt= f tt= ?
6. Calcule la siguiente suma.
^423J=-+-+-3x7 7x9 9xl2
A) 0,75 B) 0,s
D) 0,4s
7. Halle el equivalente de
ll2 +122 +132 +...+202
l+4+9+...+100
A) 2 B) 4 c.) 72/|
D) 7rllr E) 7l
8 Halle 6x en Ia siguienl.: igualdad.
i(j(]tz*. u. r)) *, =,,. 1
A)7 8)7/6 C)r
D) t/24 E) r/6
9. Encuent¡e el valor de x que verifique la igualdad.
! f,1r1_,'l- r)=,2\2\2 ) )
/('¡ / (t)((-t7'-
*
*
*
*
.i.
.t
.t
.;.
*
*
.i.
t
.t
*
.:.
{.
o*
na'6n
sr -L'3n
a
+
.:.
*
?(8)*
+
(- ¡) ('¿) t H)(y) / (s)(() I 3/a-/21? - _2 - t6n -6f7'Jr7
(- rx2) + (-3Xa) + (5X-6) + (7X-8)
A)l B)-r c)o
D)2 e) -2
2. Sean las expresiones
y=
,,
5
i
Calculc el valor de 6x+9y+32
A) 23 B) 5s C) 40
D) 43 E) 4s
3. Calcule la siguiente suma
l:J'25
-+-+-+..-+-13 13 13 l3
qt2 oc2A):+ B)+ CIzs' 132 13
D)r3 E)§-5
4. Calcule el valor simplificado dc
r * ' _3*rllr!)2n 3n n \2)\n)
A)
3rt
D)
2n
A) 0,s
D) 0,15
B) 0,2s
A)2
D) s/2
B)l
A) t/2 B) 3t2
D)2
+ z' /34
a
-S'¿-¿
7l t &r 8/... / #
/tg/s/.." y'zs-
t?gso¿uclaru @
--Sgrq
S= I I 2 I 3,1.7'7,7' ?xtZ
C- t t / | t / t /u.A.-7rZ-V rT-Tz
FTecrt/4//OO
ó'= i -! = /. = o,zsL? lL ' '1 
c/Avá
c) 0,3s
E) 0,25
c) 0,6
E) 0,75
c) 1/2
E) 2/3
c) 2/3
E)l
e/^vé-
/2é:SO/at C/ON G
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2
2
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--...=./l ¿'5
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+J=ZVI ':;;l=// 2-/tLQ
7=3-tl§.^-1 -//-re I 9-" 
8
2 z'e 3- 3 .:.
/ +
I
= l: z'zs
Cavn CO
10. Despeje d en la siguiente igualdad.
vi =v2 +zaa
nü* qry,,É#
o'¡v! -zo+vz üYi#
11, Calcule el menorvalor de¡ en la igualdad.
2l-7x+6=o
/ ua6c)
6xtyy/32
*
*
+
.:.
*
+
.rQ¿:€ó/<t{itON
Onu,
H'
=rG) t?(?)tt(f): ?3
*
*
*5. Cdcule el doble del valor reducido de ¡1.
,
A= l+--l-
'* r-]
3
12. Calcule el inverso del menorvalorque curnpla
la igualda<l: 6:? -7x +2=0
Rgso/¿/tYo¡.t
----5-t=Á
,r'/ n4/ /3¿/...I zo2A)4
D) 4,7
c) 2,2s
E) 4,5 =/3
/3
C/e ya
.:.
*
.ó
B) s,s
3
/3 '7=
7ji'rs'/--.//o2
-----r
r
It l¡lttitío
Q
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N"1
/x ffiTl LEVES DE ENPONENTES7-/J =
7¡z/ r? ..- f 2n? lt
/ /. */-J -o-"-//o
i-¡ t t7 a?s?.,. rt¿/r2?¡,' ¡
t7 02y' g2l. ". / toL
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--5=x
lx1+xla=o
(zx-3)(x-z)=o
2X-3=o y'x- ?=o
.X=?4 r'J=Z
,fJa-gotttcto:at @
-5e¡.
ox? qx*z =o
3x'»Ax-t)=o
=)Y= zá u l=L
oo- Xrrnry = /z
L Rc¡duz<n K.
,, 53t r 52' r 5'r - --.---.-.' 
b r+5:)r+( 3x
A) 5 It) s'' c) 5¿'
u) 5* D S{'
2. Sca ¡n'-2 y rt'' --3. Detcrn¡inc el vali¡r de
,rrn'r* * n-n"
A)¡y B) I
D)x
8. Si se tiene quc
o"5
x" =3J3 n yY' =5
calcule x2+ylo.
A) 30 B) 24 c) ls
D) 29 E) 28
9. Determine el exponcrüc ñnal de x e y al reducir
las siguientes exPresioncs.
{r3 t/' V,'5 ;, , o
iy'{/y' t/y'
A) 2; 3 B) 3; 53/24 C) 2;53/24
D) l;53/12 E) 3; s3/12
1 0. Al rcducir la cxPresitin
Jz W.W
20'2 §/0, s
se obtienc aD tal que {a; b\ c'Z+ .
Calcule a+b.
n)s B)7 c)2
D)3 E)4
11. Se tiene que
.E
,'=Jq;
¿"
Si sc sabe que .r es un númcro irracional
rnayor a l, c:rlcule cl valor dc J2x.
¡)zfi ut ¡Ji c) J,
D)2 E)4
¡! -t *J= X8zE.l*
*
6. Si
A) 64
D)6
x
v
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B)7
c)il
E) r¡i7
c) 27
E) 45
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B)5 c)6
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5. A partir de la igualdad
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z (í. -*) +( x A)e
D) 39
7. Sinrplifiquc
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2Z
4.1.!-xr!=x-o¿z¿fz
-z+tZ
i'-(ll'e^r. @
(r'n *y"
neI,,lyn>2
12. Dctcrminc cl cxponentc final de x luego de
reducir la siguiente cx¡rrcsión i¡racional.
-;-::¿'= JrJrJr...[ (n ra<licales)
A) (2'' + t)z-'
B) (2" -' l)z'
c) (t-z')z-'
»b^ -il2-^
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la
I.i]]il PRODUcTOS NOTABTES
1. Scgún la igualdad (r+ lJ(¡+4)=2, rertiuzca
(x-l )(x+2)(x+3)(x+6)
A) -27 B) 27 C) 7
D) 14 ri) 0
2, Dadalaigualda¿ x - Ji= 5, calculel-l0x+3
A) 2s B) -22 C) *20
D) -30 E) 22
3. Dt-'tcrmine el merror valor que toma la diferen-
cia de dos números si la suma y el producto de
estos números son 5 y -l l/4, respeclivarnente.
A)6
D) -4
4, Se define
A) l9
D) rs
8)-6 C)s
E) -s
B) 18 c) 20
E) 16
* A)4
* D) 114
.i. 9
G;6
calcule A=[2Tfl +JTIZ] +EI5l+...+
A)2 B)3 C)4
D)s E)6
si xa rl =47vx>o,calculer'*1*t*f
x4xZx
A)7 B)3 C)ro
D)4e E)0
6. Si (a+b+c+r.l)2 =(2a+2b)(2c+2fl y se cumple
qüed * by d *o, halleelvalor ael 9 * b- c,.d-b o-d
A)-r B)0 c)r
D)2 E)4
7. Apartirde laigualdad d+a''=3,
calcule ato+o-tu.
.:.
*
A)0
D)s
'!' 12. Según el gráfico
.t
*
t
.l
*
** A)r
(+)'
*
*
*D)
*
l6
B. Reduzca la siguiente expresión.
(G+ia -(x-r)a l"
l.- t;t- t, .l
B) at.¡c
DIDÁCTI
B)I c)e
E) 1/2
iCuál de las siguientes expresioncs sorr un
cuadrado perfecto?
l. P¡"r=vz -2**4
ll. tl¡¡=,Yl¡4¡a1
lll.i?, '= r'-r*!r¡, 4
IV L1r¡=¡2* 12¡136
i\) I y II B) todos C) If y IIt
D) If y IV E) II, llf y IV
10. Simplifique
n = JU *l(,o' * o')Go * ao) * *
si (a*b)2 -2(a-b)+ I =0
A) o2 B) b4 c) aa
D) a2-b2 E) oa-ba
{' 1 1. Si xz+xtl =0, determine el valor de
I x3+x6+.f +17.
B) -l c)4
E)8
t3
o
Ab c
reduzca
(atb+c\(a+b+c \lalb+c .\i
I z lt z -")l z -u)t,
a +b+c
2 )
c) !s'4
E)1'4
g&[.§I8§OIU&RrO
t¿¿-so¿acfiu
_S e¡r
(y t¡)(4ty) = ?
-»- x2y'sxl?; 7 +, ---L 1/¿ é1 O ¿rr/\,.
x/sr-3
/. ü-t)(xtt) CxtilAt|')
7-, e- t )(tt6 ) (xt Z)( // 3)
7'' (xu/ s x- a ) ( xzlg<t s)
7^. (s-s)(e*d ='?7
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§¿ ás lJN C" /z€erÉcro
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mlt PouNouros
l. Seqr'rn Ia ex¡rrr,sión matenlática ,?,^, - #- li
cal<:ule R1 ¡¡+R1:11tR131 +... +ll12s¡,
A) 2t/20 B) 20 C) t/20
D) vzt E) 20/21
2, Dado el polinomio
Illr¡= 2xs 4 5rc - 3x7 -6x5+¡l o + 20
lndique el valor de raerdad (V) o falsedad (F)
respecto a [as sigu¡entes proposiciones.
I. oIHl=9
II. Es un polinomio mónico.
III. La suma de coeñcientes es 19.
A) FFF ts) FVF C) Vl¡/
D) FW E) WY
Si P1r¡ es un polin«rmio lineal tal que
fql=f4f = I carculep¡a¡.422
A)7 B)5 c)6
D)8 E)4
4, Sea P1r¡:x(x-3)+3(3-r). Determine el valor
P(6+¡)+P(V5+3)
dCt =_...:--:*:-.
P(J$.s +31
A)s B)4 C)-l
D)o E) r
5. Dado el polinomio PJr¡ eue tlene la¡ siguientes
caracterfsücas.
' "ÍPl=2
. Coeficiente del término lineal- l
. P(-r)=1, P12¡-l$
Calcule el valor de P1_ rr.
A) 14 ts) 12 C) rs
D) l0 E) l5
6. Si el término independiente del siguiente poli-
nomio es '165, delerrnlr¡e n.
4,-r, = (x + 3)' +(x - 14)á - 2¡
A)r E)2 C)¡
D)4 E)5
7, Dado el polinornio
Dado el polinomio Iineal
P61=(a-1)x2+bx+c;á > 0
tal oue Plor¡ = 25 a P1oo,¡ - 16
calcule el valor de P12¡
A)r2 B)r4 C)8
D)ro E)6
Dado el polinomio cuadrático
P¡r¡=(n-2iué +ni+x+n
calcule el valor de Pi-n¡.
A)¡0 B)t6 c)9
D)8 E)7
10. Si P(,) es un polinomio lineal tal quc la suma
de coeficientes es el doble a su ténnino inde-
pendiente, calcule
Pt» + Ptl) + Pt¡l 1:.t + Pqq)
P(¿\ + P(t.t
B) ¡0
*
*
*
*
.t
*
.t
.!
{.
+
*
*
c
*
.:.
**
.t
*
n
.:.
*
*
*
.¡.
+
.¡
.l
+
*
.t.
,
*
a
- surna de coef.
Calcule 
-_-
T.t.
A) 2,s r]) 2,r
D) 2,7
B.
9.
A)7
D)3
A)0
D)¡
A) 2019
B) 2020
c) 2017
D) 2015
E) 2018
l5
X{0n,, o¡.
t=l
c)2
E) 2,6
c)s
$r
c)2
E)4
3.
n
I1. Sc deñne »aK = ar+ a2+ e3*...* on.
. A=l
Sea lr1¡. y¡ = ,. ,.t
Determine el valor de
B)l
12. Sea la cxpresión f, donde \*¡+2tzom1=3x\¡/
Calcule e[ valor numérico de'f12¡.
\* ¡=(r'-¡)a+(xr . 2)2 +2x+t
" f)Cx) = a-x*b: a+o P (v) = ax2y'txl b
solr¡oton¡Anto
PÉSo/¿tctOU o
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Qu) -
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Ett D¡VISIóN ALGEBRAICA
1, I"lalle el cocienk: y el residuo dc la siguicnte
división.
4x{+6x3+2x2+3x+5
2x2-x+l
A) qul=Zi -q*-2; R¡*¡=1¡¡4
B) q k)= xz + 4* +2; R1r¡ =x*3
C) q ¡r.¡=i + 4x +l i R1,¡=x +2
D) q(rt =l - :f*+ 2; R¡r, =¡43
E) g u¡= 2x2 + qx+ 2 ; R1,1 =x+ 3
2. go¡¡¡¡s rn si la divisiónp
5x6 +7xs -gxa +8x3 + mx2 + nx -
-2¡+3
6, Determinc los cocientes que gcnera ca<la di-
visión
4x4 +5x2 +x+S
2x-l
4x4 +5x2 +x+5
Ix---
2
A) 2x3+ir2 + 3r+ 2: ?-x3 + xi + 3x + z
B),tx3 +2x2+6x + 2; 4i + ?.:r2 + bx + 4
C) 4x3+2x2 +or +2; i3 + x2 +k +2
D) 2¡3+x2+3x+ I ; 4x3+zy2 +6x+ t
E) 2x3+.r2 +3x+ 2; 1ur3 +k2 + 6x + 4
7. Halle los restos de cada división
x20t 7 +x2ol5+(x+l)20+x+2
x+l
(x- l)20 + (x- s)21 + x2 +x + I
x-2
B) -2;8
+
c) 20
E) 30
c) 46
E) 66
A) 26
D) s6
*
A) 40
D) l0
B) 12
Dt
c) -l; 7
E) --l;6
c) ll
E) 20
es exacLa,
A)3
D)r
B)7 C)
E)
4
5
3. Halle la suma de coeficicntes del cocicnte de
la siguiente división.
3x5*2x4+2x3-x2+5x+4
A) 12
D)8
x+l
B)s
4. De la división
2ax4 + (a ¡-4) x3 + (3¿¡ - 4)x2 + 3x + I
ax2 +2x -3
de cociente (1r; ! rest<l R1¡¡, señaie la proposi-
ción correcta.
A) Es exacta.
lJ) El residuo es un polinomio lincal.
C) Si a=2, entonces q(x)=4x2 +2x+6.
D) El cocicnte no depende de a.
E) 91,¡'R1'1 =20x2+ t ox-30.
5. Sea la dlvisión exacta
ax4 + bx3 + mxL +nx +i)
x2+x+3
donde los coeficientes del cociente son iguales,
dctermine el valor de uómn.
8, Si P1r.¡ es divisible por (x-i)(x-2), arlerniis
gcnera un cocienle x+n, calcule P1:t¡ si se sabe
que Pg_ ¡1= 12.
c) lo
E)7
A) l;6
D) -2;9
A)8
D) 12
B) lo
9. Sea Fqr; un ¡rolinonrio nrónico dc terccr grado.
Si Ii*¡ cs divisible entrc ¡+2 y xr3, adernás,
al dividir llr¡ entre (x+-l) .g¡,; el i?1.1= l0x+ 1 2,
determine la surna de cocficientr:s de f1,¡.
B) 36
'10. Si la división
6x6 + n¡¡5 + nx4 + px\ +Jl xz + ax + b
2x3 +x2 +4x-2
Senera un cociente cuyos cocficientcs v¿rn
aumentando de 2 en 2, y tiene r¡n residuo ll¿sotscrgrl
<--o./o C4/2)o
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.t
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.t
*
*
Q*., a eáusrya<:uyos cocticientes van disminuyendo dc I cn 1.
r.:alcrrle rn+n +¡t-o*ó.
B) 42
1 I. Se sabe que
l+b+bz +bJ +,..+bn =bn*'-lb-l
además, la suma de coeficientes del cociente en
xn+l +2x+5
/7 -P
-6-z 3
2 -'/ 6
aoo
e'P+6=o --,- P= 6
o 173-/=c) -+r n=!
o m-6-Z/2 =O --+ /t7= €
oéo /772. 
= _6"!, =! OeW@P - 6'
t2esotucruu @
-Ss^
3 x5- txr/ex3- x7s x ly
--_-*\*f
--DoxDé
3 -2 2 5
-\:-l .- ¡3
3's?'Bt3
/tte.6o
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s-sll- 8*/J: /o ArEO
Qa.sotuc¡d,v@ _=aA
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axz*2x-3
--D¿;¿ C)uq/-
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3
c) s2
E) 72
A) 32
D) 62
I
I
2
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x*3
", ''o 
t'. nu,,u,
2
A) r8 B) 19
D) ro
A) 5x-3
t»3
c)9
E) 20
c)0
E) 5¡
12. Detcrmine el residuo de la división
x99-x66-3x3+x2+Gx+l
x2+x+l
B) 5x+3
§otuGtouARto
Qg-sot u¿'¡o-u
=S¿=á
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I
GiE(DITtrETR.iA
ciclo AmnABmfGV.
Resuclto por: Prof. A. U. Luyo
Áuouro v Áneuros ENTRE REcTAS pARArErAs y UNA REoTA SEoANTE
1 . A pafiir (tel grálico, calculc la fn< ÁOE. 6. tir r:l griifico, TtttTi. Calcrrte [tí)-
eronmnír9
lf , Elsuplententodel suplementodel suplernenlo I
dc un ángulo es igual al supl$rr¡ento del com- *
plemento dc diclro ángrrlo. Cal<,ule la rnedida {.
dedichoángulo. *
A) 45q B) 50" O 6ü, *
D) 40u E) lioo {.
I 2. según et granco.T¡ tl?.¿.Calcule p.
A) 2oo
B) 30"
C) 36o
D) 40',
r) 7P
p
, !/,
"^'--* 9:t
A) 5tr1
B) 40"
c) 80"
D) 70"
E) s5"
A) 16"
B) t4"
C) Iz'
D) l5o
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30lUGrOilanroA) r,5
B)3
c)2
D)4
E) 3,5 ,/,
&r *t gráhco,7rtl4 C¡lcule u.
A) l2oo
B) r3ry'
c) l40o
D) 130"
E) ¡ t0"
v'.t
Sc ticr¡en los álr¡¡rrlos consecutivos AOB, BOC
y COD; de modo que m<AOC=m<BOD. Si
m<D()á-r¡r<AO8=20", calcule la r¡rcdid¡
det íi¡1gulo fr¡¡¡nado por OC y la bisectriz dcl
ánguln ÁOD.
A) l3o ts) 5" C) r0'
D) 12,' E) 80
Segrln r:l grlnco,Vrl/7r. Calcrrle x
tt,
,12
I0. §e tienen [os ángulos adyacentes AOB ¡, BOC,
lal quc la nI<AOB=ttO" y la m<BOC=50". Cal-
cr¡le la medida del ángulo formado por las bi-
seclrices O,*l y 0,§ de los ángulos ÁOB y llfOC
respe(tivamente,
A) 40" B) 50 C) 300
D).15" E) tso
!l Htl
..,4
Resolución N"Ol
,lA
B
100-B
o -]"'
Piden: mIAOB =x
Delgráfico: x=w+o
se observa: 100*p+0+ w+cr = 180
de donde: w+c¿=80
' x:80
Resolucién N"O2
Piden: cr
Dato: C2o + C3c¿ = 4cr,
reemplazando:
90-2u+90*3c¿=4a
9q = 180
.'. s"=20
Resolución N"O3
Piden: cr
Por teorema:
q.+4q.=50+30
.'. c¿ = 16
Cbve@
Resolsción lf"O4
Piden: cr
Se observa, por ángulos alternos inter-
t10s:
Scr = 90
.'. c¿ = 18
cbveEl
.:.
.:.
n
.:.
*
*
*
+
*
*
*
*
*
*
.:.
*
2. El complcmcnto dc 2o más cl colr¡plemento
de 3c es igual a 4c. Calcule r¡.
A) 3s" B) 40. C) 20"
D) r00" E) E5"
3. En el gráfico, Vrlt72. Calcule u.
,1, 
t
v:
8.
4. En el gráfico, fr //72. Calcule a.
lt
A) 2ü'
B) 15ú
c) l!"
D) 16"
E) r8" t'2
5. Segúrr el gr:ifico, Trtt"liy lglt'CD' Calcule-r.
Ctavep
A) 6ü'
B) 300
c) 4oP
D) 70
E) 370
A) l5o
B) 12"
c) l0o
u) 14"
E) ttu
.ytz
Clav"El
EilT
I 40"
5r
d'
5x
Piden: x
Por ángulos alternos internos
mIAET:5x
Por teorema:
5x+40:90
.'. x:10
Resolución N"O6
Piden: I
e
Se observa que: 3a = 180 =+ c¿ = 60
Porteorema:F=0+a '.'(1)
Por teorema: c¿+p+0=110 +70 ...(2\
(i)+(2): 2D=180=F=90
or.2
.T
1
cbve§
t En (1),90=0+60 + 0=30
reemplazando: g= e0030
, ,ra rr,, r- r, r , r'GE9SEI$$
Piden: mICOP = 0
Como: mIAOC=mlBOD
+ mIAOB = mICOD = w
.o-o ÓF es bisectriz del ánguloAOD
entonces: m/BOP = mIPOC = 0
Dato: mIDOB-mIAOB = 20
reemplazando: (20+ w)-(w) = 20
... 0=10
Cbve§ Resoluclón lf"ll
Re¡olución N"Og
Piden: x
Dato: SSSx=SCx
S* = S19o_*¡
180-x= 180-(90-x)
180-x=90+x
2x=90
.'. x=45
qaueE
I
I
I
.:.
*
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.i
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*
.i
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{.
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n
t
..¡
.t
+
*
*
.l
*
E=s
e
Chve§
Re¡oluclóD N"O?
Piden: cr
Por suma de ángulos internos en el po-
lígono convexo de 8 lados:
6cr+90+90=180(8-2)
6o = 900
.'. cr = L50
chvepl
N"OE
,/P
: m/MON=x
Bisectriz del ángulo AOB
m/AOM=mlMOB=40
Bisectrie del ángulo MOC
mIMON=mlNOC=45
.'. x=45
180-28
Piden: x
Por teorema: 0+o¿=20
Por teorema: x=20+2o.
x=2(0+cr)
.'. x:4t)
Resolucién N"lO
Piden
ñ,
óñ,
crauepl
vL
p
Cbve§
2 p
/r'a
Piden: B
Por teclrema:
180-28+180-28=p
sB = 360
.'. p:72
-ñ
C
I
o
45 Chvep
Re¡olución N"Os
A
Resolución lf"l2
t
*
a
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a
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- ,,A\
CU1ñI*O tNtu brrt tituitidbtt¡itxhtttct¡ttt, 42 
- 
MAIERIAL DIDÁCTICO Ml
mr,Íil TRtÁN0Utos r
Del gráfico, calcuk¡ er+0'
1. A partir <!el gráfico, calcule x.
A) 6" B) 50
D) 40
2. Según el gráfico, calcule o+b.
A) 200"
D) 23oo
ts) 220ü
3. Del gráñco, calcule.la m<ABC,
A parlír del gráfico, calcule x.
7. A parlir del gráfico, calcule x+y.
B. En el gráfico, VrllT, Calcukr -r.
q.
A) 45.
B) 30"
c') r so
lJ) 20"
E) 35'
A) 60"
B) 180"
c) 4oo
D) l00o
E) 80"
11. Segun el gráñco, calculex+y.
A) 20"
R) l20o
c) I 60'
D) l:0o
[) 40.
12" [n un l¡ángulo.4BC, m<l=i10", rn<B=90o -v
Btl ráC. l.ucgo, sc trar.a la bisectriz del ángulo
ABC, que interseca a..{C en L. Calcule m<f,BM.
A) l;o B) 160 c) 20"D) 10" ti) 120
GEOMETRíA
.3 1O. De acuerdo al gráfico, calculex.
j..
*
*
+
A)
B)
c)
D)
r)
I
6
5
4
3
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B
f;ff,
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40"
70"
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A)
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A partir del gráfico, calcule r
A) +q
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urry c)8#
üryeB) 140,
9, Segrin el srálico, nr<B*00r', m<C=40",
m< BAJ.Í =3rl<,,1f,1C" Si B,V= ¡t, r:alutle AB +¡t.,ll.
44
, .r r,- rrr . ,,,
Rc¡oluclón tf"Os I Resolqctón Il"O7SotuctoluAnlo
Rcsolución N"Ol
B
Piden: x
Por propiedad:
8x+10x=w+0
NegC, w+0=90
Reemplazando:
8x+ 10x=90
.'. x=5
Resolución N"Oz
130
Piden: a*b
AABC: Por ángulo externo
130 = 80 + mIACB = mIACB = 50
ACDE: Suma de ángulos externos
a+b+ 140=360
:. a+b=220
Rcsolución N"O3
Piden: x
ADAE: Por ángulo externo
w+c¿=60
ACDE: Por ángulo externo
n+0=70
Por propiedad:
x =w+(x+n+e
reemplazando:
x= 60+ 70
.'. x:130
Resolución N"O4
A
Piden: cr, + 0
N.egC, m.4C=70
Por propiedad:
cr+0=50+70
.'. cr,+0=120
Piden: x
AABC: Por ángulo externo
3p+36=3o
de donde: ¡1 =B+12
AADC: Por ángulo externo
o=p+x
Igualando: p+12=p+x
.'. x=12
Re¡olución If"O6
Piden: x
Por propiedad:
* x=a+w+p
* w+x+F=b
Sumando: 2x:a*b
a+b
2
Piden: x*y
AAED: w+0=160
óABCD: x +w+e+w+O+ y = 360
x+y+2(w+0)=360
* reemplazando
x+y+2(160)=360
.'. x*Y={Q
claveE
Rcsolución I{'OE
y2
Piden: x
Propiedad:
0+x=0+mlEAT+mlEAT=x
Por ángulos conjugados:
2B+2w=180=+p+w=90
Propiedad: 2m = P+ w+ 2m=90
de donde: m=45
a
*
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*
C¡av¿p
T
b
claueplgsstr
-
cbvepl
-
N,AAC, x*m=90
.._ x=45
Re¡olución N"Og
x
Piden: AB+AM=x+y
AABC: 60 + ¿10 + 40 = 180
de donde: 0=20
AAMC: Por ángulo externo
mIAMB=40+0=60
AABM: Equilátero
x:y:4
"' 
x*Y=$
Rcsolución N"lO
Piden: x
Propiedad en la estrella:
cr+cr+2q.+2a+3cr=180
de donde: cr, = 20
ClaueE
4
clatlep
,4.
Gúzc *Q t,'ta.nt ührit,th¡hehil,útil 46 MAIERIAL D¡DÁCIICo t\¡"1
'r Propiedadi x = 2u. + u, + 20, = 5rr.
x= 100
Resolución N"ll
Piden: x*y
óABCD: mIABC =m4F-Ff =20
AABC: x*y+20=180
.'. x+v=160
Rcsolución lf"lz
Piden: ml[3M =x
\.RSC: mtC=60
N.BMC, mIMBC=30
[f : Bisectriz del ángulo ABC
mIABL=mlLBC=45
x*30=45
.'. x= 15
,, *rr,rr-a ,o rn,urr-,,* r ,FEgtf4[A
IM TRtÁNouros r
cbuepl l. Err el gráfico, el triángulo á8C es equilátcro.
E
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*
*
n
.:.
*
ckue§
Calculc «- B
A) 30"
B) 2oo
c) 40"
D) 25"
E) l5o
Z. tn un triángulo isóscelcs ABC <le base zñ, se
lraza la ceviana interior iñ. tal que áD=BC,
BD =DC y- lit nrcBCA =llíio. Calcule la m<,48C.
A) 108" B) 132" c) 1240
D) r r", E) r48o
3. A partir tlel grálico, calcule.40;3C.
A) O,fi
B)2
o t.5
r»l
E) 1,2
.4
4. A part¡r del griífico, calculc x.
A) 75"
B) 85"
c) 650
D) 5y'
E) .1f'
(,, En el gráfico, cl triángulo IICID cs er¡uilátero y
CD-Dt. (i;rlculc [.
A) ro"
B) 54"
c) 81"
D) 60"
[) 42"
7, En un lnilryulotBC, cuyo ¡rerímetro es 1.5, por
cl tertir:c I se lrai¿an pa¡.rlclas a las b¡scclrlces
¡ntedores trazadas desde A y C', tal que dichas
p;rralelas inlersecan a las prolongaciones del
lado AC en los puntos P y Q. Calcule PQ.
A) 30 B) 45 C) 15
D)27 n) 18
8. En el gráfico,AB=tsC=CD. Calculc q.
A) 20p
B) r2o
c) l8o
D) l5o
EJ 24O
9. Segúnel grálico, calculex.
A) 6ff',
B) 300
c) 450
D) 70o
E) 3r
A
-lO. E¡r un triángukr rectárrgulo ABC, recto e¡r 8,
la m<A=80o. Calcule la medida del ángulo
formado fror la allura y la biscctriz interior
trazadas desde el vértice B-
A) t0" B) 20o c) 25o
D) 30" E) 35"
*
*
!..
j.'
j.'
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*
*
j..
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.:.
*
a
t
*
11. En un triángulo ABC se cumple que
¡¡<A=2(m<Q, además se traza la bisectriz
interior BD, lal que .48 =d, BC=b. Calcule ,4O"
A)a B)1, C)'lb'2
»b: E) b-a.,¿
f 2. 5e trazan los triángulos erluilálerro:i AllC,CBD,
CDE, CtF, F8ltl y !\tEN. Si .,tfD=6, calcule cl
perímetro rft: la rt:gión ABDÉ'.(,||IC.
h)24 B) t6 c) ¡3
D) ¡? E) t2
I
chuefl
-
-
.t. En un triárrgtrl«r isrls<:nles ABC t1t lrase .ie, se
ubir:a cl punto D en la regiórr cxterior rcl¿¡{iva a
áC, tal que A/J-tJD y la m{.Árlc=70". Ciilct.lle
fa n¡< ADC.
A) 2s" B) 40o C) 35"
D) 30" E) 28"
il|ir
30lUOrOilAnrO
Re¡olqción N"Ol
Piden: a
\.REt',t: 60+90 - w +p+ w+F = 150
Propiedad:
60 + w = 180 -B + o + w+P = a+ 120
reemplazando:
150=a+120
.'. s, = 30
cbue@
Piden: mIABC = x
AABC: Isósceles
mlA = mlC=36
entonces: x+36+36=180
.'. x= 108
-
-^r
GÚZC *e ibtmhnbtitbih*bci,ghtt ún 48 MAIERIAL DIDÁGI|OO t\Pl P r,, ottrr-'rr * , -*--S'9§!,HUA* Re¡olución N"O3 Piden: x
Propiedad en el AABC:
mIADC=90+§9=t3O
2
entonces: mICDF = 50
Propiedad en el ADFE:
Rcsoluclón N"O6+
*
*
.t
*
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*
*
6
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*
*
*
*
a
+
*
*
mIFGE=><=rO-+
.'. x=65D
AABD: Por ángulo externo
m/TBD =a*a=Za
de donde: mITBC =mlCBD=a
C: Excentro del triángulo ABD
mIBAC=m/CAD=al2
AABC: Por ángulo externo
o+mlACB=q,
2
de donde: nXACB=l
AABC: Isósceles
AB:BC
AB. _1
BC
Resolqción N"Os
Piden: x
AABD: Isósceles
m/BAD=m/BDA=w
ACBD: Isósceles
mIBCD=m/BDC=w+x
Propiedad: w*70:w*x*x
.'. x=35
Piden: B
ABCD: Equilátero
BC=CD=BD
ACDE: Isósceles
mIECD=mlCED=60-w
por ángulo externo: F = 60 + w
por propiedad:
B+w=30+60-w
reemplazando:
p+B-60=90-(F-60)
39 = 210
.'. p=70
chve§
Oauep
Resoloción N"O4 oavep
C
cbvcfl
Resolución If"O7
Ctave§
Resolución N"Oz..-
F
Piden:
Como: mIBAC=mlBCA
s§.9
go+1+x=180
2
,4.
Etme -,*"."+"""r-*'rr*" SO -
+
§
+
+
+
+
+
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6
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*
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*
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a
*
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.t
*
+
*
*
*
*
9 mICAD+múACB=7a
entonces: mIACB = 5o g mICAD = 2a
Como: m/CBD=mlCDB
9 mICBD+m.(ADB=7a
entonces: mICBD =4a g mIADB =3cr
AABD: Isósceles
AB:BD
ABCD: Equilátero
4cr= 60
.'. o=15
oaueEl
Rosoluclón ll"O9
Piden: x
Por propiedad:
mIAEB =90+I
2
se observa que:
Rcsolqción N"lO
Piden: mIHBD =x
N.AAC, mlC =10
\.RHe: mtABH = 10
como ffi es bisectriz del ángulo ABC
entonces: mIABD = mIDBC = 45
de donde: 10+x=45
.'. x=35
ClaueE
Resolqción N"ll
EB:BC:a
m.lE = m/C=O
AEAB: Isósceles
EA=AB=a
m/'E= mIEBA=0
ABED: Isósceles
EB:ED
entonces: a*x:b
.'. x=b-a
D
3
Piden: 2pesOEr1MrC = 2p
Como: MD=6
entonces: DE:EM:3
AB:BD:DE:EN=3
MN=FM:FC=AC=3
:. 2P =24
8=90
2
.'. x=60
.:.
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n
n
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{.
clauefl
E.
chve§
Cfavep
a
Piden: AD:x
AEBC: Isósceles
Piden: PQ=x
Dato: 2pnana =l§
entonces: a+b+c=15
como: p§77[f , entonces:
mIBPA=m/TAC=w
mIPBA = mIBAT =w
APAB: Isósceles
AP:AB:C
como: TC I lBQ, entonces:
mtTCA= mIBQC =n
mITCB= mICBQ =n
ABCQ: Isósceles
BC=CQ=a
Se observa que: x=a*b*c
.'. x=15
Re¡olución N"O8
f,ts
Resolución lf"l2
-
rñÍil cotloRuE¡lctA DE lnrÁ¡lorltos
f , A part¡r del gráhco, c.¿ücule 4(AC)-AB- r.t
+
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t,
*
t¡t
I
+
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*
c
A)3 B)4
D)l
2, En el gráIico,AB=CD. Calculc a.
B
I,
1
B
r__ a-1
c) 12"
E) 2oqc
A) 10"
D) l8a
M
B) l5o
5. Del grálico, AÉ'= CD, AB=BD=2, DE=Sy BC=5.
Calcule CD.
A) 
'/í7
B).''2i
c) vle
D) J2e
E) .fr6
6. Según el gráfico, AB =CE y BC=DE- C;rlcule¡.
A) 5"
B) 70
c) 8"
D) 4"
E) So
c)2
E) 2,S
A) 7oo
D) 40"
B) 35" c) 500
E) 2oo
3. §i los triángulos ABC y D8É $on cqÜilátaros
calcule AD/IC.
A)2
B) ii
c)¡
D) vi
L) 0,8
Del gláfico, las rcgiones sorobrtadas soa (:on'
gruentcs yÁB=CD. Calcule la m<ADC siI' My
D son colineales.
7, Del gráfico, los triángulos ABCy'DIJtr son cot
arucntes. Cul.ulo lLoD#,- m<.AOÉ'
E
A) 1,2
D) 3,2
c) 2,4
É)2
GEOüETRíAffiIuNtSP*.. , ,,,,-,
E. ApartirdelgráIico,calculea. n
t1'
.:.
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*
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*
.t
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*
,
*
*
*
*
A) 20"
B) loo
c) tso
D) l8o
E) 12"
S0ruGroilARro
c
Resolución Il"Ol
9, En un triángulo ABC, se Uaza la ceviana inlo,
ri<¡r BD, tal r¡ue rn.rOBC=rr¡<¡{BD+nr<C. Si
AI)=CD=x y BC=6. calrulc ¡.
A)3 B)4 c)s
D)6 E)7
a
10. Según el griifico, los triánguhs ABC y C'ilill son
congruentes y CN=2AB=4. Calcule AN.
Piden: 4(AC)-AB
AABC= AEFD (AtA):
AB=EF=S y
AC:DE:2
entonces: 4(AC)-AB:4(2)-5
." 4(AC)-AB=3
A) 13
ts) vfT
c) 2./i5
D) 3v{T cravep!
E) ?'r¡3
3 Resolución It"Oz
11. Según r"l gráfico, AB*BC, AM=2 y uu|=:|,
Calculc AC.
I 
- 
.) 
- t_A) ; \t26 ts) i 
"ZO 
C) I ,.r¡z '3 '2-
D 2Jz6 r) *06
12. F¡r un triángulo /8C, sL, tra2-a la mediana gM,
tal que á.B=.441=.UC; er¡ el triánguto AB;|f,
se lrazá la altu¡a .4H tal que BC=I(AH)=\|.
Calcule ü,11.
A) J3 B) 2J3 () s,a
Piden: cr
AABC= ADCE (t-AL):
BC=CE
ABCE: Isosceles
miCBE=70
entonces: 70 +70 + o = 180
.'. c¿ = 40
E) ?
2
t'3D) 4.,'5 Chvep
4.
B) l,i¡
I
I
-
I
Rc¡oluclón N"O3 mIAMB = mICMD =50
N.tutco: 5o+25+x=90
.'. x=15
Ctave§
Resolución N"Os
Piden
l¡
a
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a
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Cbve§
AD
EC
A
AABC: Equilátero
§B=SQ=fiQ=¿
ABDE:Equilátero
BD=DE=BE=b
AABD 
= 
ACBE (LAL)
AD=CE
AD
EC
Resolución N"O4
Piden: CD:x
AABE= ADBC (LLL)
mIABE=mlDBC=90
N.ogc' x2 =52 +22
,'. *:Jñ
ch""E
Piden: mIADC = x
AABM 
= 
ADCM
AM=DM=n
AAMD: Isósceles
mIMAD=mlMDA=25
Por ángulo externo:
m.lAMB =25+25=50
de la congruencia anterior:
Piden: x
Naec= N.ceo, (t-Rt-)
mIBAC=mlDCE=w
mIACB=mlCDE=0
Propiedad:
7x+8x=w*0
an
GEOMEfNiAffim!"Uu"c-u. ,,.,,,, ,, , ,
En el cuadrilátero TBCE
w+0+15x=180
Sumando:
30x= 180
^.- x:6
¡ Rcsolqción N"O8
Cbvep
a
.:.
+
*
.8.
+
a
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*
*
*
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*
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*
+
n
+
*
n
*
.:.
*
*
*
Reeolucióo N"O?
c
mIDAB x
rloen: mIADE - y
Dato: ADBE= AABC
EB=BC=a
BD=AB
A.EBC: Isósceles
m/BEC=mlBCE=3cr
AABD: Isósceles
x =y+cr ...... (1)
AADE: Por ángulo externo
x+y+cr=6a
de donde: x+y= 5a ..." (2)
de (1) y (2): x=3a , y=2a
x 3c¿
Piden: x
AABD:isósceles
AB:BD
AAEB3 ADCB: (AtA)
BE=BC=a
AEBC: Isósceles
mIBEC =mlBCE=70
se observa que: 70+x=90
.,. x:20
ClaueE
Resolución If"Og
y2a
* 
= 
3 
= 1.5v2
Piden: x
Traeamos ñE, tal que,
mIABD=mlEDC=w
Por ángulo externo en el triángulo DEC
mIBED = w+0
ABDE: Isósceles
BD=DEClauepl
reemplazando:
Resolución If"O6 ."-.-
*q
.^.
cuzcAf,Q t@d,etuehtitb¡iit'bch*hft etbn - 
56 
- 
MAIER¡AL DIDÁCnOO li"l
AABD= ACDE (LAL)
m4A=- mlC = 0
AABC: Isósceles
AB=BC
.'. x=6
Resolución N"lO
* Piden: AC=x
.i' xeua= \.er.tc: (eLA)
o AM=BN:2
* MB=NC=3
+
¡ TC=MN:S Y AT=1
.i. XarC, Teorema de Pitágoras
* *2 =12 +52** .'. *=Jfr
*
crauepl
a
L -_?-__
N
*
*
.:.
n
*
r Clave§
4
A
Piden: AN=x
\.eec= N.MCN,
AB=MC=2 y CN:BC=4:AL
\.RLN' Teorema de Pitágoras
*2 =42 +62
.'. x:2JE
Cbue§
Resolución N"lz
*
.:.
*
*
*
+^
*
B
n Piden: BMt
.1. A.BAM: Isósceles
* BH=HM:I
.,. N,Rulut 
= 
Nctt¿, (eL-c)
':' HM:MT:t
.¡. AU:TC:6
Tff-
5
,Ill *
*
Nutc: tz2 =(3t)2 +e2
t=2J5
se observa que: BM=2t
... BM=4.6
B
nm
GEOMEINíAn t,n'tt-tn,, *nrt**'-r,or' r,,tr*
APIICACIO}IES DT tA COl\lORUE}ICIA DE IRIAl\lOUTO§
L -Sogúr: el gráfico.AD=OC=f,B. Calcule o. t5.
+
.:,
*
*6.
.t
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.t
t
.t-
o7.
.:.
*
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*
*
*
.:.
j..
B.
.:.
n
.:.
.:.
*9.
.:.
t
En un triángulo ABC, la m<BáC= 160 y
20(BC)=71¡g¡. Calcule la m<4C8.
(m<¿lCf < 90")
A) 37o B) 30o C)27o
D) 45o E) 53.
Según el gráfico,,{.8=5 y 8C=2. Calcule dD.
A) 40ó
D) 50"
B) 600 c) 7tr
rJ 80o
A)7
B) r0
c)6
D)9
E)82. Del grálico, C, y'ff2 son mediatrices de 16
BC, respecüvarnente. Calcult' n< D B E.
g
ün un triángulol8C,la prolongación de laaltu-
raÁH intcrs"ca n ¡a mcdiat¡i¿ deATen el punto
P, tal r¡ue m<BPC=90"y¡n<4.üC= 2(m<BCA).
Calcule nr<,{(B.
A) .¿0" B) 15" C) 24"
D) 300 E) 18"
A
A) 20"
D) 50"
u) 40o c) 300
E) GOO
l. $egún el gráfico, CD=2" Calct¡le AIl,
§n el gráfico, BC=CD- Calcule cr.
A) 2JI Wz\E c) 6
n) "'t' F.) 4
{. Frr el gráfico, AB:5. Calcr¡tc CD.
A) t00
B) l2o
c) 14"
D) 16.
E) 18"
A) 5.,8
B) ¿vB
c) t0
D)8
E) fi
Én un triángulo rectiíngulo AflC, reclo en B, €n
la rcgión exterior ¡elativa a IE se ubica cl punto
P, tal que m<,{PB=2(m<8.4C)=2(m<rP.4"B). Si
,4C=8, calcule PB.
A)r B)2 C)3
D)4 E)s
2002
,.)
clry"El
I
Í-ffihffillIilUtlEtI* ," ' ,,, '*",*L9*, , -,., ,-- ,,, ,,,,'.-fEPllilT{FíA
10. En la figura mostrada, si cl triángulo ABC es
eq¡rilátero y AD*2, EC=4, Dltl=l¡l| y áN=¡VC
calcule M,V
N c
A) ,ñ B) J5 c) 
"/¡l
D) Ji¡ E) ,Ei
I I. En la ligura moslrada, calcule .r si Bf-lr).
A' D
A) 23o
D) 53"
B) 14" c) t60
E) 26,50
I2. E¡r la figura mostrada, calcule x
S0lUGrOrARtO
m/C= mIEBC = 30
AABC: 40+40+x+30+30= 180
..- x=40
* AC=10
.3 entonces: AC=FC:10
+ AECF: Isósceles
* FC=CE=IO
* \.EDC: Notable de 37 y 53
x=8
Resolución N"O6
B
.E
lp
.8.
*
{.
*
a
¡t
{.
.!
+
*
*
.t
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*
*
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t
*
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*
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*
*
*
€.
*
.:.
a
.t.
*
*
*
*
*
C
Clave§
a
Rcsoluclón N"Ot
Piden: o
\.eec: AD:DC:BD
AEBD: Isósceles
m/,E=mlEDB=20
entonces: mIDBC = 40
ABDC: Isósceles
mIDBC=mlC=40
N.egC: ¿CI+o=90
.'. o =50
Resolqción N"Oz
Piden: mIDBE =x
Por teorema de la mediatriz:
AD:DB=n y BE=EC=t
AADB: Isósceles
m4.A= mIABD=uCI
ABEC: Isósceles
Re¡olqción I{"O3
Piden: AB:x
AAED: Isósceles
AE=ED
DC:AT:2
mlC =30
Nntgr Notable de 3o y 6o
AB=2(AT)
.'. x=4
Resolución N"O4
A
Piden: CD=x
AACF: Isósceles
NRnc, Notable de 3o y 6o
Resolución N"Os
Piden: mIBCA = x
N.goe' de 37 y s3
AD:12n y DB:16n
\.eoA, de 3z y s3
DE=9n, de donde: BE:7n
AEBC: Isósceles
.'. x:53
.3
*
*
*
j.'
*
f.'
a
.:.
l.'
.:.
.t
*
*
*
*
t
.:.
*
+
+
*
*
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*
n
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.:.
*
.:.
a
.:.
*
*
claveEil
Oaue§
A
D
chue§
claveEl
IO
F
ELrr-
(60 -F
A)5
D)4
B)6 c)3
E) 7.5
x
Piden: BD=x
-
/4.
Gú2clIQ tún'hrrhtitbrünbh¡iñhrheú'o 60 MATERIAI DIDÁCrIC0 hPr
Trazamos: Ef¡lCO
AEZF: Equilátero
Propiedad: ZL=AB+BC
ZL=S+2=BD
. - -'7
* Rasolución If"O8
L
---1^
ResolucióD N"O? 9A-2a
Piden: a
ACAE: Isósceles
EH:HC:A
mIAEC =9O-2s.
ADCE: Isósceles
DC:CE=2a
Pero: BC=CD=2a
Por teorema de la bisectriz:
CL=CH=a
\.rlc' Notable de 3o y 6o
mILBC = 30
de donde: 15o=150
.'. cr=10
Ckvep
*
{.
¡
*
+
*
*
*
*
a
*
*
.t.
.t
*
*
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*
*
+
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*
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*
*
*
*
*
.t
*
*
.:.
*
*
*
+
+
*
/a
?,
Piden: mIACB = x
mIAPT=m/ACB=x
AATC: Isósceles
AT:TC:A
m/TAC=m/TCA=x
de donde: mIATB=2x
ABAT: Isósceles
BH:HT
ABPT: Isósceles
mIBPA=m.(TPA=x
se observa que: 3x:90
... x:30
Rcsoluclón N"O9
§IeysE
cbveE
4
GEOMETRíAJ
Piden: PB=x
N.R3C: AM=MC=BM=4
A.PBI Isósceles
PB=BT=x
m/P =mlWB=2w
AABT: Isósceles
AT=TB:x
m/TAB=m/TBA=w
AATB= AAMB: (ALA)
AM=AT
.'. x=4
':' Resolución N"ll
Clave§
a
*
*
.i.
*
n
*
+
a
a
.:.
*
.i
*
*
*
.:.
.i.
*
*
Piden: x
ABAD: Isósceles
AB=AD=BE
BT=TD=a
\.nro 
= 
N.nnr, (eLe)
DE=TD=a
N.soE: (de s3l2l
53
.'. x='=-=26,5
2
Resolución N"lO
cbve§
Resolución I{"12
4
Eq--
N
6
Piden: MN:x
Por base media:
NEDC: Mt:2y t"fllteC
AADC: NI:1 y Ñ¡¡no
Por ángulos de lados paralelos:
m4B=mlMIL=60
IsMIN: Leq de cosenos
x2 = 22 +72 -2(ll(2)cosl2o
.'. *=Ji
M
Piden: BM=x
A.DBC: Isósceles
DE=EC:6
BD=BC:10 y BE=8
se observa que: ffi776¡
AABM _ AADC:
x5
Cbvep
12 15
:. x=4
Chve§
-%_
{
TR'IGONOIvIETR'IA
ciclo áf,IlABmnGV
flesuelto por: Prof IS R.
srsTEfvlAs DE MED|C!óH nHCUrnn
A) 720 rad
B) 290 rad
C) 63 rad
D) 380 rad
E) 209 rad
Un ángulo trigonométrico se puede expresar
como x)' en el sistema sexagesimal o corno
y8/n en el sistema centesimal. Calcule x/y.
l. El gráfico muestra un techo a dos aguas con
aleros de difercnte inclinación. Según lo indi-
cado cl valor de l0o-9b es
'oo
A) s00
B) 1000
c) l2oo
D) l25o
E) l2oo
2.
La medida de un ángulo cr es^§o, Cg y R rad.
si{6c*ffi=:o
halle la medida de dicho ángulo en el sistema
radial.
A) f&¡rad C) 8n ra<t
E) 4n rad
Sean S, C y R los números que indican Ia me-
dida de un ángulo positivo en el sistema scxa-
gesimal, cerüesirnal y radial, respectivamente.
Calcule la medida de dicho ángulo en radia¡res
si a y B son complementarios.
{n2 RC) (zx' Rsl
"=[; + 4 )rad YP=l; -7 )raa
.t
*5.
+
-b.
+
.3.
*
*
t
A rad
J
A) 
2431 
B) 
26s0' 3241 '2973 c) :--13
D) !l'50
,,1
5
F) 
153
'37
De la siguiente igualdad
[ 
(n - s); )'_ | tqn - lgl')s
lsgillss )
calcule el valor de n.
A) r0 B) 12
D) 40
A) 16
D)4
B) 12
c)20
E) 42
c)g
E) 2s
radD)
B) iI rad-5
tst1-3
3. 5i22222"=a.lb'cc", calcule el valor de la ex-
presión.
/ . \rto+t)\l_t\.J
4. En un nuevo sistema de medida angular en Ia
cual Ia unidad fundamental se denota por l*
y resulta de sumar las unidades fundamenta-
les del sistema sóxagesimal y centesimal, de-
termine cuántos radi¿rnes equivalen a 6300*.
(x=2217)
A)I'2
,);
1l
4
c)
E)1-6
.:.
.:.11,
.:.
*'lz.
i.
*
*
t,
*13"
*
':' A),0.5o
.:. B) 3,3'
{' c) 0,930
: D) 2.22"
.i. E) 1,75'
Calcule l¿r srrmatoria lílnitc tle los ángulos
90"+50s + { raa 
+ t l" ll¡'+...
A) I rad It) l racl2 '4
c) 4rad D) *rad-5 t
E) n rad
Los núme¡os .§ y C que exl]resan las nleclidas
tle un írngúlo en los sistcrntrs sexagesirrurl
y centesimal, respectivamcnte, vcriñcan la
igtraldad . -
.- 
"= ":],'il)x
Calcule en radiancs la mínima mcdida de di<Jto
ángulo.
ts) a rad-t0
o) I ra<l'20
Si 0=g , 4*Irad, cak'ulc aproxitnada-12S36
mente el nlenor valor positivo de la r¡redida del
ángulo 0.
(-:alcule el valor de n en la siguiente igualdad.
t: .q = zR rad si .i. C v R s<.¡n los rtútnerc¡sI l0
qr¡o reprcsentan la medida dc un ángulo cn los
sistemas sexagcsirnal, ce¡üesimal y radial, res-
pcct¡vamentc.
-. l3( l_-'90
D#
('ak;ule la rnedida de un ángulo cn radianes si
sc sabe que la suma dcl número de minutos
sexagesirntrles y segundos cerüesimales «¡ue
conticne dicho ángulo cs 402 160.
nl f raa
rad
to. Lr rncdia aritr¡rólica dc los nún¡eros de grados
sc,xagesinralcs, ccntesimales y radianes de r:n
. 380r¡
,rni¿ulo cs i8ual a 1"U¡j vcces el cuadrado <lt'l
¡lúmcro de grados sexagesimales. Indique el
l'Lngulo medido en r¿rdianes.
It
to
'90
I» 13'90
A) n rad
( ) -*- rad'5
rl) ff ra<l
fr
A I _-"'810
c)
ri)
B).il'90
5
B] 7I't620
D)
D ffrao
l5¡40
2400
D) 'r-1240
7
ffis
IL
I
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solUGtOilARrO I n = r2[@
Resrtraín
0elo L, c¿í.,
Ldu, 22 zztt = é" G' IZ" (r)
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rr*./b/
3
l,{,otttp tt|r€vnof poy lo
1O¿ -9.b = l2oo
Ae¡o[u¿cí,,1
(r-Ñ - (en-tg):. c5/ -@ to
n-3 _ (qn - tt) q
-7 yg {ot3
roCn-3\ = 3(+n-tt)
lon-io = t2n - 5Y
2*=2n
el ní'n',ero tzCa-Lr,.,Leunol
3'raJol 
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TRIGONOMETNíA
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Aportando en la 0i¡asión de la Ciencia y la Cültara
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Et[I LoilorTuD DE tRco v ínrn DE ur sEcToR GtRcumR A) (r-**
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.5.
*
*
*
*
*
*
*
*6.
.i
+
.:.
*
+
*
I )el gráfrco, calcule o
a
A)2
l» 3,5
B) 2,5
o)tn-»l
ñ'-q*
,Ury
.,'.9*
B) (,-J5)+ c) C-Jil+
E)(,-f)-;
»t:
6
LJn trarno de ulla c¿rrreterar estii forruado por
<Jos a¡cos dc circunferer¡cia, el priurero lienc
u¡r r:rrlio de l5 k¡n y un ángulo central de 24,,
v el segundr: tie¡rc un radio de I 0 krn y un án-
gulo central de 2Os. ttalle Ia longiturl total del
tramo-
(lalculc d perírnctro dr: la regiórr soml¡reada
si á y B son ccrrtros de los scclores circrrlar<rs
OAM y OIIC, rcspectivamerltc.
A)r
D) 4r
B) 2r C) llr
E) 5¡
Calcule la longitud dc l¿r cor¡ca si los discos
tienen radio igual a 2 cnr.
ll. Halle el área de la región sombreada en térmi-
nos de f, a y p, si las á¡eas de los sectores AOB
yDOf son iguales. Conside¡e o y p en radianes.
11. El gráfico muestra la sección de una chime-
néa. Si el perlmetro y el área de la región som-
,breada con P y A respectivamente. Halle x en
términosdePyA.
x
a
c
B) (a-F)R2
c)3
E)4
', ñR'?
A) 3,14 km
D) 7,85 km
A)2
D)5
Il) 4,71 km C) 6,25 knr
E) 9,42 km
B)3 c)4
E)6
calcule
0^
EM
ú
M̂C P+ Pz -16AD)
4
P+ P2 -t6A
E)
D
,(#)"'
»[f)n'?
'(f)n'
(lalcule el ¡írea del sector circular AOB si se,
curnple que
/r0(R0 -¿ ) +¿(2R0 + L) =24s
12. Según el gráfico, se observan tres sectores
circulares, catcute (02 -z)(e-t ).
o
3, Un péndulo se mueve como indica el gráfico.
Calculc Ia longitud del péndulo si su extrcmo
rt:corre 3n m.
4m
En el grírfico mostrado. la longitud de la ctrerda
AB es igual a 8 m, y la región sorrrbrcada es un
cuadrado cuyo lado rlide 2 m. Si se gira en el
sentido indicado hasta envolver toda la cuerda
en el cuadra<.Io, calci¡lc la lorrgitud (luc rocorre
el extremo 21. l(1. l]r el gráIico, halle el área de la región som-
lrrt-.ada en términos de r.
A) 8(3+¡r)
D) 4(3+¡)
A)4¡m
D) l0¡ nr
B) 8(6+r¡) C) 4(6+r)
E) t2(3+¡)
Li) 8r nr
E) 20zr nr
Aj8
Il) 6
()4
t)) 2
E)l
L
ñv2
D)2
B)l c) 3/10
E) t/4
! '13. Se tiene un seclor circular de radio r y un
ángulo central 0 rad. Calcule r y 0 si el área es
fija e igual a M,yel perímetro es mínimo.
A),[ñ;2¡ad D) JÚ; I rad
E) M;2radD zJM;
Q l1u;
q
C)
El
J
8
A)
D)
,7
I
rad
Fr*t
B)6 B)6¡m
rad
a
2. Si CAli cs un sector circular y AII=BC,
I
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l. Calcule la altura del punto P tuego de que la * , *J5 u) *J5 ,):J5nrcda dé 73 de una vuelta. .:.
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D) l!J5 E) l.?J5
5. La rueda de I m de radio se desplaza desdeA
hacia B dando 12 weltas. Calcule OB,
2. Si la rueda A da l0 vueltas y la rueda B da
4 vueltas, calcule la distancia de separación
«¡ntre dichas ruedas.
A) 46
D) 4e
B) 47 c) 48
E) 50
A) 4+52¡
D) 8+52r
Il) 6+52¡ C) 4+262
E) 2+26n
6. Calcule el núrnero de vueltas que gira la rueda
sin resbalar, al recorrer desde A hacia M, si
AB=BC=CM=14 y su radio es igual a 3J5.
.t (lalcule el nunrero dc vueltas que da una rueda,
cuyo radio mide I u, al roday sin resbalar ¿xte-
riorrnente por los lados de un triángulo cqUi-
l;itero, cuyo lado mide l0 u, por uria sola vez.
A) !*z Il) !+l
D)4*l
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rl" SiABC es un triángulo equilátero de lado 2016,
«:¿rlcule el número de ulcltas qrre da Ia rueda
cn cl interior del triángulo por primera vcz.
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Il, En el gráfico se muestran dos engranajes en
contacto de radio I y S. Si cl engranaje menor
gira un ángulo de 4S0o, calcule la nueva distan.
cia que separa a los puntos A y g.
A)4
D) 2Jl3
B)o
2. En el siguiente sistema de poleas, la polea A da
I welta. Indique qué iingulo girará ia polea C.
2Jil
2JE
C)
E)
B. Los ¡adios de las ruedas de una biciclcta son
entre si como 4 es a 10. Calcule el número de
vueltas que da la rueda mayor, cuando la me-
nor barre un ángulo de I g40r¡ radianes
A) 286 B) 36S c) tE4
D) 3e0 E) 736
9. Los radios de las ruedas de una bicicletaest¡in
en la relación de 3 a L Si en hacer un recorri_
do la rueda mayor dio 25 vueltas menos quc
la rueda menor, halle la suma de los ángulos
girados por cada rueda.
A) 25n rad B) 50n rad C) 75n rad
D) l00r rad E) l2Szrad
10. Calcule el número de vueltas que <la la rueda
al ir de A hasta tocar la pared.
3. En el mecanismo mostrado, si la polea A gira
I vuelta y además los radios cie las pole;rs
cumplen la relación: R¡R¡R¿=2U"!lo. lndiqr.re
qué longitud se desplaza M.
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l. En el grálico, se tiene una antena sostenida por
[ensores como si indica. Si,4B=gC=CD, calcule
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3. En un triángulo rectángulo ABC recto en C se
cumple
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Calcule el valor de cotA -csc8.
Del gráfico, calcule tan0 si M es punto medio
deñ,
Según el gráfico, calcule cotO.
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D) 816 m2
El perímetro de una región triangular,4gC es
r 36 m. Si tan A = f , ,* a = 4, carcule er área
de la región triangularAllC.
c)2
E) J3
C) 720 m2
E) 952 m2
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10. Si BH=HC, calcule tanO.
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A)0
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D)5
E)7
A) l/5
D) 4/5
B) 2/s c) 3/s
E) 6/s
B. Si ABCD es un cuadrado, halle 2l cotp - 7coto,.
1 'l , En un triángulo.A.BC, rccto e n A, se cumple que
E a-7
A) JE
D).f
= {. catcute ran28+4.
B) J2¡ C)
E)
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f2. Del gráIico, calcule tan(o+0)tan(0+p).
A) 35
B) 38
c) 42
D) 45
E) 56
2 3
A)5
D) r/s
B) t/4 c)4
E)
9. De Ia siguicnte condición
sen(1k+ 5")csc(3r- 5") =tan I otan2tan3o...tan8go
calcule tan3x tan,lx tan5x ianGx.
f3. Si tan(34+p)tan(3$-o)= l, s¿¡s¡¡g
:91(" 1zp)- "gs(2p - 
zo)+.,Esen(cr + 2p)
l+sec(a+3p)-csc(o+p)
A)2
D)4
c) 3/4
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B)-2 C)2
E) v2
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ITJIII RES0LuCúil DE TRIíIGUIOS RECTÁilOULOS
1, Del gráfico, halle la altura del poste. A) asenO-Dcos0
ts) (a-á)cos0
C) ocos0-bscnO
D) (a-ü)sen0
E) atan0-bcot0
4. 
_ 
Según el grálico, calcule tan0 en términos dc o.
A) sen3a
B) cos3a
C) tan3s
D) cot3a
E) sec3u
5. Del gráfico, catcule cos(x+Y).
cos y
A) h+dsen0+bsenc
B) h+acos0+bcoso
C) l¡+atan0+btand
D) h+asene+ácoso
E) h+ocosO+bseno
2. De acuerdo con et gráfico, calcule cot0lar¡cl
2
N2n
D)3
B) y7 c)
E)
3. Del gáfico, hallex en términos de a, á y 0.
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l)el grálico, calcule cotccotQ-cotfl cot0 siMyrV
son puntos de tangencia y IIO=OC=CD-=2/48.
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9. Del grálico, calcule BM en términos de a, p y 0.
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A)l
B)2
c)3
D)0
E) -t
A) 2t"10, I B) re10 * I, .., serr(a+ F)- sen(a+p) - sen(a+p) - 2scn0
D)
cos(c + B)
2scn0
¡\ cos(0i.p)
" l;ño+r
7. [in un triángulo A.É]C isosceles (AB=BA
se traza a la bisectriz interior D, ral quc
m<BAD= m<DAC=0.
Hane 
aaSD
a^DAC
tr[¿: área de la región triangular
l.
10. Si tan30 = Y; O" < 0 < 30o,
2
calcule .6 cot 0 - 6 cos 0.
A)¡
D)2
ts)4 C)
E) 5
A) sec20 B) csc20 C) fsec2o'2
E) 2sec20D) jcsc2o
I f. Si PON es un cuadrante y OA=AB,
calcule csc20-2cos0,
ll. Un niño observa los pies de un señor de ll me-
tros.de estatura con un ángulo de depresión a
y su cabeza con un ángulo de elevación igual al
complemento de o. Calculc la estatura del niño.
A) 4cos2a'2
B) Hsencr
C) Hcosa
D) Hsen2a
E) Hsenocosa
A)4
B) l/3
c)3
D)z
E) t/2
v
D)l E)2
I
de la
S0ruGroilARto
2. Si las regiones sombreadas son equivalentes,
calcule tanz0.
Q-esrLr:ctdn
b¡en ct
x
B)2 c)4n¿'2
á.fenO
0
h
3. Ct¡ando Pedro sr: ubica e¡r t:l punto I', observa
los purrto§.4 y C con árrgulos de dr:prcsi<Ír 0 y
Q, respectivanrente, y el puntq I con un ánguló
de elevación p. Calcule tanx,
La ¿lL"¡r¡" JJ p"r?l<-:
X=h+af¿ne+bÍeña.
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Aportando en la llifasión de la Ciencia y la Caltara
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Giclo AnmABmnGoYo
Besuelto por: Prof. Wilmer Bicra M.
¡7?m ¡mÁusls uEcToRtAr
lndique la secuencia correcta de verdad §) o
falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-
ciones.
I. Dos vectores iguales tienen módulos igua.les.
ll. Dos vectores iguales pueden presentar di-
recciones diferentes.
II[. Dos vectores de igual módulo y de igual di
rección pueden ser diferentes.
A) WF B) VW C) VFV
D) VFF E) FFV
2. Del sistema de vectores mosfados, determine
el módulo de la resultante.
lu 6.
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A)5u
D) 
"82 
u
B)Gu C)8u
E) JBa u
A) t0
D) 303. Se tienen dos vectores de módulos A=30 y
B= l4 que forman un ángulo de 53". Calculeel
ángulo que forma Ia resultante con el vector A.
A) 8" B) 9o C) 15"
D) 16" E) 37"
4. Calcule el valor del iíngulo o para que la re-
sultante del coniunto dc vectores tenga una
dirección de 45o.
A)
B)
c)
D)
E)
B)
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*
E)
1u
t. iA+B=-C
É)
B)
¡-2---att. En el sislema de vectores mostrados se cumple
,pei = má + i6. Determine M=&nn.
*-f f -----'-'-.t A) J5
D) 4J5
B) 2.6
11. En el cuadrado mostrado, M y N son puntos
medios. Calcule el vector x en función de los
vegtores ñ y É.
B) 53. c) 74"
E) l8o
A) | ü2J» c)3J5
D) 4J5 E) 2
(,. Pa¡a los vectores mostrados, determine si las
siguientes proposiciones son verdaderas (V) o
falsas (F) y elija la secuencia correcta.
YI
X
A)l
D) -2
A) WF
D) VFF
B).I c)2
E)4
A partir de los vectores 7 , E, ."1.r.lr;*fl.
.- zÁ+ÉAl_'t0
o., 
i+zD
'10
B) 2G-E) ., ziJE
b
_. 7+¡E
'4
B) 150 c) 160
E) 3oJ5
7- A partir de los veetores mostrados, calcule
vector resultanie.
12. A. partir del siguiente s¡sterna de vectores
calcule el módulo de su resultante.
4Jl-(-ñ-II- D-:A+:=O32
A-
lll.C+D=--:A
3
B)VW C) FVF
FFF
I l). Determine el módulo del vector resultante de
los veclores ubicados en el cubo most¡ado.
A)2
D)8
c)6
E) r0
I
5. La miíxima y mínima resultante de dos vectore$
es l0 y 6. Calcule el módulo de la resultant{
de estos yectores cuando formen 60o entre si. I
-
Cto Correctcr de ve.dod (v)
o Folssdod (F) .
I.IV)
¡05 ue.tores t.quqles na_ .l
cesqriomente iienen iqrol I.
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cesqriqmente tinnen igr"f ;¡
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TTTIII CI¡¡ E¡Jl ATICA I (Morrimiento atil eo Unif o fme
Un insecto parte de la posición A(9; 6) m y
llega a la posición B(-9; 12) m. Determine el
cambio de posición y la distanc¡a qüe recorrió
el inseclo.
v(m)i
(-9; l2)
6)
x(m)
rl (-za7+ s7)m ;a.f m
n¡ (-ra?+oJ)m; 6Jio m
c¡ (-ra7*s7]m; 2Jlo m
nl (-r7+rej)m; 6JiE m
al CroT+oj)m; 3úo m
l. [Jn motociclista se encuentra inicialmente
20m al norte de un iá¡bol y 60m al oeste
rle una estación de servicios. Al final, el moto-
ciclista se encuentra en la puerta de un banco,
que se ubica a 100 m del árb<ll y al norte de
la estación de servicios. Determine el módulo
del vector desplazamiento.
A) l00m n) oo.Dm
D)60m
lletermine si las proposiciones son verdade-
ras (V) o falsas (F) y elija la secuencia correcta.
I Si la velocidad media de un móüi es nula
drlrante trn peritxlo de tiempo, poderrxrs
afirmar que ha permanecido en reposo.
ll. Iil desplazamicnto y la distancia dependen
dc la longitud de ia trayectofia recorrida.
lll. l-a velocidad siernpre es tangenle a la tra-
yectoria.
4, Un lren que describe MRU cruza un hlnel de
30 m en l0 s y pasa delante de un hombre que
core en la misma dirección con rapidez cons-
tante de 2 m/s en 8 s. Determine la longitud del
tfen.
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E) 30.6 m
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A) VVF
D) FFF
A) l0m
D) 40m
A) 6,s s
D) 4,0 s
A) I0s
D)50s
B)WV
B)20m
B) 5,3 s
c)wv
E) FFV
C) 30m
E) 50m
C) 4,5 s
E) 3,5 s
6, Si los autos mostrados realizan MRU, Zqué
tiem1rc pasa desde que el auto (A) se encuent¡a
con el auto (B) hasta que este misrno auto
alcanza al auto (C)?
6 m/s
Wg
i(A)
(a¡ 8mls,
€gFB-"-"
4 fn/s
tH.B--'----(c)i-
140 m-*--=*
C)70s
E) 40s
@
5. El autobús de 8 m de largo se desplaza con ra-
pidez constante de l! m/s y se demora 9 s en
cruzar completamente eI puente a partir de la
posición mostrada iQué liempo permaneció
el autobús completamenle en el interior del
puente?
7. Dos nadadores (¡) y (¿) parten del centro de
una piscina en direcciones contrarias. Al tocar
la pared de la piscina retornan al punto de par-
tida y repitcn ese r¡ovimiento realizando MRU
tanto de ida y de luelta al punto de partida. Si
(A) emplea en dar una vr¡elta I s y (B) 6 s, luego
de cuántos segundos dc l;r partida se luelven a
encontrar cn el centro de Ia piscina.
8. ti¡¡ bote a nrotorse desplaza contra la corriente
de un rlo en línea recta duranle 10 h y para cl
retorno solo emplea 6 h. Determine la rapidez
corstante del agua si en aguas tranquilas la ra-
pidez del t¡ote es de 12 rnr/s.
A) t ¡ry's B) 3 m/s C) 6 m/s
D) 9 m/s E) 12 m/s
9. La vela enccndida se consurne 12 mm cada
minuto" Calcule Ia rapidez del extremo supe-
rior de la sombra en la pared.
mufo
10, El tren mostrado realiz¿ MRU con una rapidez
de 30 m./s. Si las bocinas ubicadas en los ex-
tremos del tren enriten un sonido de manera
simult¡ínea, de lal forma qrre el joven ubicado
en el centro del tren escucha los sonirlos con
un intervalo dc 0,5 s, calculc la longiltrd del
tren. (dror¡¿o=330 nVs).
A) 500 m
D) 1200m
tport.¡do ú t. UlutióD dc l, CicMi. y l. Cultutt
B) 600 m C) 900 m
E) 1800m
11. Un auto con MRt.l se dirige a una mina donde
se realizan detonaciones cada 1,8 s. Delermine
cada cuánto tiernpo el co¡rduclor escucha las
explosiones.
(o"r,o=20 m/s; uron¡6o=Í140 rry's)
A) 2,5 s B) 1,8 s C) 1,7 s
D) 1.5 s E) 2,7 s
I2. El bloque A desciende por el plano inclinado
con rapidez constante. Si a partir del instante
mostrado, el bloc¡ut: z1 llega en 2 s al punto P,
determine la rapidez del bloquc B en cm/s.
A) 20
B) 15
c) lo
D)8
E) 40
t----Za--- +-a-+
A) 36 mm/min
B) 15 mm/min
C) 24 mm/min
D) 48 mm/min
E) 40 mm/min
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1. Cuando una pelota que se desplaza por el piso
con 20 m/s choca cont¡a una pared, su rap¡dez
disminuye en un l0%, después del choque el
cual duró 0,2 s. Catcule el módulo de la acele-
ración media que experimentó.
ctNE0rÁTtcA (ru*
A) 19 rn/s2
B) l0 m/s2
C) 160 m/s2
D) 180 m/s2
E) 190 m/s2
3. Un móül realiza MRUV y triplica su rapidez en
6 s. Si el módulo de la aceleración es 3 m/s2,
icuánto será su recorido durante el intervalo
de tiempo mencionado?
nto neo Unif m U
2. En el gráfico se muestra un auto que realiza
MRUV. Calcule L
3s
A) 0,8 s
D) r,5 s
B)2s
A) 5;7,5 B) 7; l0 C) 5; l2,s
D) 7; 12,5 E) 4; 7,s
A) lr B) ¡0 c)5,5
D)6 E)22
7. Una pequeira casa rodante es remolcada
un aulo que se mueve rectilÍneamente con
pidez constarnte. Si en cierto momento la
rodante se desprende del auto para
luego de 5 s y en ese instante el auto está
mentó la casa rodanle.
A) 3,2
D) 2,8
B) 1,6 c) 6,4
E) 2,4A)120m B)72m C)90m
D)84m E) l08m
4. Un auto parte del reposo, en l=0, con acele-
ración constante de móduk¡ 4 m,/s2. Hatle el
módt¡lo del dc-splazamiento entre los instantes
t=2 sy t=4 s y la rapidez del aulo er¡ el inslante
cn /=4 s.
A) 15 m; 7.5 m/s
B) 18m; 10mis
C) 30 m; 12,5 rn/s
D) 24 m; 16 m/s
E) 24 m; 8 ny's
B. Un auto inicia su rnovimienlo
un MRUV con una aceleración de módulo a
luego el conductor frena y el auto
una aceleracién de módulo 3<¡ hasta
se, deterrnine la rapidez márima, en m/s,
alcanza el auto y su recorrido, en m,
los 3 últimos segundos de su moümienlo,
pectivamente. Considere que el auto
rrn total de 96 m empleando un tiempo de 24
A) 8; 12 B) 12; 12 C) 12;6
D) l0; 12 E) 8;6
La esfera se lanza en A, tal como se muestra.
Si l2 s después impacta en el piso con una ra-
pidez que es el doble de la rapidez con la que
fue lanzada, determine con qué rapidez fue
lanzada y la altura del edificio. (g: l0 m/s2).
S0r.uotontARtol,
C o,nr ?
A) 40 m/s; 240 m
B) 20 m/s;80 m
C) 30 m/s; 200 m
D) 30 m/s; 60 m
E) 40 m/s; 180 m H
,ft
n = 2om¿
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s
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¡lr ll =ll -{.- ¡t
l= o;25¡lrl
10. Desde la azotea de un edificio se lanza una
canica hacia arriba y después de 5 s la canica
pasa por un punto situado a 25 m por debajo
de la azotea. Determine la rapidez del lanza-
miento. (5=10 ny's2)"
vP *o,ll
li:t, = tl = rt 3
A) t0 m/s B) 20 m/s C) 30 mis
D) 40 m/s E) 50 m/s
I t. Un objeto en el instante t=0s se lanza verti-
calmente hacia arriba con una rapidez us.
Si en el intervalo de tiempo comprendido
desde ,= I s hasta l=6 s el obieto se desplazó
65 m, determine r.¡0. (g=10 m/sz).
A) l0 m¡s B) 20 n¡/s C) 30 n/s
D) 48 m/s E) 50 m/s C-\ = -l8t - 2oL
ot2
I 2. Desde un globo aerostático, que asciende verti-
calmente a razón constante de l0 m/s, se suelta
un objeto que tarda 5 s en llegar al suelo. De-
termine a qué altura se encontraba el globo
cuando se soltó el objeto. (g= I 0 m/s2).
d* = -tsoi.nfrz
A)50m B)55m
D)65m
C)60m
E) 75m
't Q\= 430% RptcL
\\{e'notivcr: E
EIIII
u=0
5. Un rnotociclista, en ¿=0, tiene una rapidez ul
)'en t=2 s su rapidez es 3¿r. Se ,uU" qu" a s I
después adquierc una rapidcz Oe fS s. aCua I
es el módulo de la aceleración, en m/sz, N
y qué recorrido, en m, realizó dr¡rantc el 2." se.,l
gundo de su MRUV respectivanrente? I
6. Un cuerpo cxperimenla un MRUV; ademfu, re. I
corre 55 m en 2 s y en los siguientes 2 s recorre 
t
77 m. Dctemrine el módr¡lo de su aceleración I
en rry's2. I
C)ls
E) 1,2 s
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Una piedra es lanzada vert¡calmente hacia
árriba con una rapidez u del borde de un acan-
tilado de 160 m de altura. Si impacta en el piso
con una rapidez 3u, calcule u.
(g= lo m/s2)
A) l0 m/s
D) 40 m/s
B) 20 m/s
2- Un objeto (A) se suelta desde cierta altura y lue-
go'de2 s otro ob¡eto (8) se lanza verticalmente
hacia abajo desde la misma posición donde se
soltó (A) con una velocidad inicial de 25 m/s.
iA qué distancia del nivel de lanzámiento se
produce el encuenlro de los proyectiles?
A) 120 m B) 150 m C) 132 m
D) t80 m E) 142 m
3. A partir del grálico moslrado se suelta la esfe¡a
y luego de 0,1 s el extremo superior de Ia vela,
la eslera y su sombra estarán en una misma
linea horizontal..Detemine el recorido de la
sombra en ese tiempo si se sabe que la vela
' se consume a razón de 2 cm/s. (g= ¡9 ¡¡ys21,
A) 4,0 cm
B) 9,8 cm
C) 0,2 cm
D) 0,8 cm
E) 5,0 cm
30..8 mfs
Si la esfera se lanza con una velocidad
módulo 50 m/s y forma 37" con la
calcule lo siguiente;
l. Su alcance hcrizontal máximo.
ll. Su altu¡a rnáxi¡na.
(g= lo mls2)
A) 120 m: 40 m
B) 240 m;25 m
C) 240 m;45 m
D) 125 m; 45 ¡n
E) 200 m;60 m
I
En el gráfico se muestra un proyectil
perpendicularmente al plano inclinado.
mine a qué distancia del puntoA impacta.
A) 164 m
B) l72m
C) lMm
D) 19m
E) l92m
32
Js
Se muestra la trayectoria de un proyectil
zado en A. Si este pasa rasante, sin tocar lad
cúspides de las antenas, delermine la rapide{
con que se la¡rzó el proyectil. (S= l0 rils2). I
A) 50 m/s
B) 40 m/s
C) 30 m/s
D) 20m/s
E) l0 m/-s
s
80m
60m
En forma sirnultánea se lanzan las esferas
y (A). ZCon qué rapidez se debe- latlzar
mente (B) para que choque
C) 30 m/s
E) 50 m/s
A) 30m
B) 35m
C)40m
D)50m
E) 55m
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4. Un ascensor inicia su moümiento y asciende
acelera¡¡do con 4 m/s2. Luego de 2 s del techo
del ascensor de 7 m de alto se desprende un
foco. ZQué liempo pasa desde que se desprende
el foco hasta que üega al piso del ascensor?
(g=tomlsl.
B)ls
5. La esfera mostrada realiza un MPCL. Deter.
mineh. (9=10 n s2).
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E) 3s
A) 0,5 s
D) 2,5 s
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I0. l)os canicas son lanzadas simultáneamente, tal
como se muestra en el gráfico. Determine a qué
distancia del punto A impactan. (g = I O rnlsz).
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B) l5m c)J2m
E) lsúo m
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vP -Yoz+zgtLf l. El proyectil se lanza con una rapidez u¡ y un
ár.rgulo <Ie elevación de 53o. Si el proyectil pasa
rasante por el extremo supcrior del poste de
24 nr de altura, calcuk: x. (g= l0 m/s2).
(T'/)2 = \Q + 2(40) ltoo}
1/ -2oro/5 lO.o\,o----T-
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A)5m
B) 10m
C) 15m
tl) 20 m
E) 25m
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45m-.--_.+
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ll. [,n el grálico se muestra un campo graütato-
ric¡ inclinado t:uyo valor es l0 rn/s2. Si se lanza
un proyectil hacia arriba con una rapidez de
,10 rrls, calcule su avance horizontal y su rapi-
dez luego de 5 s.
tlncr\izcrndo c,il ubn to tfl )
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A) I50 m; 0
C) 300 m; 30 m/s
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A) 50 m/s
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D) 35 rn/s
u) 30 m/s
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triIII cl TICA IU (Movimiento Circunferencial Uniform
Un cuerpo gira 2700 en l5 s con velocidad an'
Bular constante y con un radio de giro de 20 m.
Calcule el recor¡ido del cuerpo en 4 s,
A) l0lrm B) 3rm
D)5nm
En el gráfico, la partfcula (A) tiene una rapidez
tangencial que es el triple de la rapidez tangen-
cial de (B). Calcule r. (to¡=2 t¡a).
a)
..r--€*ts..
,,' 4 *.;.
de módulo 2 rad/s, icuánto üempo pasa hasta
que los bloques se crucen? (r=0,2 m)
C) 4¡m
E) 8¡m
*
*
*
*
*
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A) 30
o) r8
c)24
E) 15
I
,6m
I
A)6m
B) 7m
C) 9m
ll) 12m
E) 10m
El disco rota con rapidez angular eonst¿¡ntÉy
cn cierto momento et bloque se despega de
tal manera que en 2 s abandona el disco. Cal-
cule or.
A) I rad/s
s) 2JI raa/s
c) JE raa/s
n) L5J5 rad/s
E) 2 rad/s
Los móüles (A) y (B) realizan MCU. iCuántas
vueltas da¡á et móül (A) hasta que alcance al
móül (B) a partir del instante moslrado?
B)2s
6. A partir del gráIico mostrado, calcule la mínima
rapidez tangencial que debe presentar el pun-
to P det disco, de manera que Ia esfera impa.cte
en estepunto. Considere que el disc-o gira con
rapidez angular constante. (g = l0 ñy's2).
4i,/;
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C)ls
D3,5s
1'
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7//,' ' '
§3s
D) 2,s s
A) 3z m/s
D) 1,5¡¡ m/s
P
12m/sl,:
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B)3 c)6
E)s
7. Un móril que realiza un MCW inicia su moü-
miento en una pista ci¡cular de radio 2 m con
una aceleración angular de 2 rad/s2. Calcule su
recorrido al cabo de 4 s.
A)8m B) l6m C)4m
D)32m E) lSm
8. Una esfera que está girando con 1800 RPM
comienza a frenar de manera uniforme y se
deüene luego de l0 s. ZCuántas revoluciones
dio en los cuatro últimos segundos de su mo-
vimiento?
.=lb*S
r
d
A)
D)
4
8
Si la polea gira con velocidad angular constante
B) 2s
@
I
I
I
I
I
B) 0,5n m/s C) 2r m/s
E) 2,52r m/s
alF
L Una rueda que realiza MCUV cuadruplica su
rapidez después de haber dado 250 rueltas en
l0 s. iCuántas vueltas más dará en los siguien-
tes 4 s?
S0lUGrOrUARrO
CD Retorrido
eq ug5" (r): ?
0= 21o"¿> 3lrrad
2
{ = ,l5s
10, La rapidez de una partfcula en moümiento
circunferencial es de 7 m/s y 3 s después es
de 9 rnt. Si el desplazamiento angular es de
48 rad, calcule el radio de la trayectoria.
A) 0,2 m B) 0,6m C) 0,5 m
D) t,2 m E) l,6m
11. Una partícula realiza un MCW con una ace-
leración tangenciat de 2mls2. Si al inicio su
acelemción centípeta es de I m/s2, calcule
su aceleración centrfpeta cuando la partfcula
haya barrido un ángdo de 3 radianes.
A) r84
D) 180
A)e
D) 12
B) 170 c) 190
E) r88
03:otD
W ,o%I
10
r
15
B) ro c) lr
E) 13
,\
12. Una plataforma gira con aceleración angular
const¿[ite. Si en cierlo segundo la plataforma
gira un ángulo de 4n rad y en el siguiente se-
gundo da 3 weltas, calcule su aceleración an-
gular.
A) r rad,/sz B) 2n raüsz C) 3r rad/sz
D) fu rad/s2 E) 5n radls2
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QtIitvfrcA
Giclo AmnABmfGVo
ffesuelto por: Prof. Joel Rojas Mendoza
TIIATERIA
Señale la sccuencia correcla de verdád M o t
falsedad (F) res¡rec:to de la materia,
L Tiene masa y volumen. a
lf. No tiene relación con la energía.
lll. Los estados de agregación fi¡ndamentales
son sólido, llquido y gas.
Respecto de los compuestos, indique ta se.
cuencia conecl¡ de rcrdad M o falseclad (F).
l. Tienen urn compos¡ción corslánteydesnida
ll. Sus prophdade¡ son indepe¡rd¡enles de los
métodos de obtención.
lll. Sc oblienen por combinación quimica de
dos o rrrás elernenlLos diferentes.
A) B) \^/F c) vfv
E) FlvD)
Con rehción a las rnezclas y sus tipos, seleccione
las aseveraciones que son ¡ncorectas.
l. Son porcioncs de n¡ateria que se forman al
unir fis¡camente 2 o nrá¡; sustancias simples
y/o compueslas.
ll. Las nrezclas lrontogéneas son aquellar quc
presentan una o má$ fases.
IIl. Si la mezch presenta 2 o m¡is rcgiones dife-
rentes, se denom¡na helerogénea.
A.)r[rll,y:Ill
B) solo ll
C) solo lll
D)lyll
E) Il y rll
7, Tomando en cuenta La ct¡sificación de la ma-
teria ¡xx su cornposición, in<tique sl el ¡¡raterial
es compuesto (C) o mezcta (M).
l. alcol¡ol n¡edicinal de Z0o
ll. blcaúonato de.sodio: NaHCO3
lll. sacarosa: Cl2Hr2Ot I
lV alcotrol yodado
A) CCMM
B) CMMM
O MCCM
D) MCCC
E) MCMC
A) lylll
D) ll y tlt
B) solo I C) solo ll
E)l, llylll
*5.
*
*
*A) FFV
D)Fvv
B) FVT C)WF
E) \ryv
La materia sustancial es aquella que presenüa
masa, rrolumen y posee la propiedad de ¡ner.
ci¿ Teniendo en cuenta lo anle¡ior indique la
alter¡ativa que no corstituye una fo¡ma de
materia sustanc¡¿I.
A) El humo de la combusüón de la gasolina
B) El aire quc rcspirarnos
C) El aroma de una rosa
D) El frcón utilirádo en lar refrlgeradorat.
E) El calor latenre de ebullición de¡ etanol
l. Determine s¡ los siguienles maleriab.son ete-
¡nenlr¡a (H) o compuestos (C) y eli¡ala secr¡encia
correcta.
l. til¿nio: Ti
ll. alcohol etfico: C2H6O
lll. gas neón: Ne
M hipoclorito de calcio: Ca(CtO)2
A) EECC B) ECEC C) §CEE
D)@C E) ECCC
t. E &üln-12, CFtCt2, fue utili?ado en et sigkr xx
c€rm d¡$olv.nr€, reft¡S€rüte y gaj propulsor
m b laac dc acrosol. En la actualidad, su uso
es resffrgldo, ¡,a qrrc br e¡tudloe rea[zados
en h¡ od¡eata ha¡r cortr¡nr¡¡do g.re caura el
deredoro de la capa dc @or¡o. ¿e¡é proposi-
clq¡e¡ ¡on cor¡ec¡as respec¡o det fheón- l Z?
l. Es una EE ch de Ees slemerÍoc.
ll. Es rm c[npuesto pentalórn¡co.
lll. & atscepülc r d.smr¡Fonerr por máodos
qrfrnkoú.
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80[t¡GtoHARrO
8. De los sigr¡ientes rnaleriales:
L gasnaturalvthicular
ll. lcche de magnesia
tll. gra¡ito
lV, salmuera
V. iugr: de mango
¿cuántos son mezclas homogéneas?
A)5 B)4 C)2
D)l E)3
9. En el medio anüiente. k uuteria se eñcuenlra
cn constante transforn¡ació¡u §i el cambio
püede ser ñsico o qulmico, del€rmíne las pr+
¡rosiciones que son com¡deradas correcl,a§.
¡. En los cambios fi¡icos, la composición qul'
mica del cuerpom¿terial no varia.
It^ Los cambics quírnicos también $on deoo,
minados reacciones qulmicas.
tll. Un carnbirc de estado o fase necesarlarnerde
es un ca¡nbio fls¡co.
A) rclo t B) ll y ¡ll C) ¡olo lll
D) lylll E) I, llYlll
I0. lndique la altemativa ir¡correcl¿ respecto a la
siguiente trar¡sfornación.
CH3OH1'¡ '+ CH3OHI¡¡
A) Se trata de un cambio ñsico,
B) La composición qufmica de la sustancia no
se altera.
C) Se libera energla.
D) Se denomin¿ cotxlensación.
E) §e produce por calenlamicnto.
11, Determine si los siguicntes fcnómenos s¿¡n
ñsicos tF) o quimícos (Q) y eliia la secuencla
corfecta.
L desmanchado de la ro¡N c<rn leiia
Il. etecuólisis del cloruro d€ sodio funrlido
lll. d¡lalación de un hilo de cobre
l!'. cxplosión de la d¡namita
:.r
;' r' 
'A) 
QQFQ
l B) araF' C)QFFQ
D)rQra
E) aqrF
Re¡olución lf0l
Materia:
I. Verdadero
[-a materia se diferencia de la ener-
gía que es el otro componente de
nuestro universo en dos característi-
cas fundamentales que son la masa
(cantidad de sustancia) y el volumen
(extensión).
tI. Falso
La materia y la energía se encuen-
tran relacionados pues ambos se
pueden hansfornar el uno en el oto,
la materia se considera energfa alta-
mente concenhada, mienhas que la
energía se considera materia alta-
mente dispersada o enrarecida.
III. Verdadero
Los estados de agregación fundamen-
tales de la materia, es decir la que se
encuentra en condiciones ordinarias
y no odremas son el estado sólido,
et líquido y el gaseoso.
ChueE
Re¡oluclón N"O¿
[a materia sustancial o simplemente ma-
teria es aquella que se puede reconocer
* porque posee masa y volumen, debido a
* que se encuentra formado por unidades
o discretas que son los átomos y/o molécu-
,.. las. Son ejemplos de este tipo de mate-
na:*
¡ El humo de la combusüón de la gasolina:
.:. CO2, vapor de agua y partículas de car-
o bón.
+
*
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*
*
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*
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Íffi ?lEf lIf, g!,lJJ,*.u*,*".*,o0,,,-.,.=,,,,,,u13-9*
Ill aire: N, O, y tu .:. RasolucióO N"OC
H aroma de una rosa: ésteres y aceites *
t:scenciales. '!
t-l freón: formados por compuestos clo- 
*
roflourocarbonados. *
Mienfuas que el calor es una forma de ¡
energía por lo tanto no es materia sus- *
tancial. *
cm..El "*
.t
Resolución lf03 *
En relación al freón 12, CF2clzpodemos
afirmar:
I. Incorrecto
Se trata de un compuesto químico
(materia pura) que resultó de la com-
binación de 3 elementos diferentes,
el carbonq el flúor y el cloro.
II. Correcto
Su unidad fórmula posee 5 átomos
en total por lo que se considera un
compuesto de moléculas pentatómi-
cas.*
[-a materia en su forma pura se denomi- o
na sustancia y se presenta en dos varie- ...
dades dependiendo de los componentes .
que los conforman, así tenemos: 'l
a) Sustancia simple r"
Conesponde a los elementos quími-
cos, se encuentran formados por áto-
mos y en algunos casos por molécu-
las homoatómicas (del mismo áto-
mo):
Titanio (Ti)
Neón (Ne)
b) Sustancia compuesta
Conesponde a los compuestos quÉ
micos, se producen a partir de la
una fórmula química:
Alcohol etflico: C2H'OH
Hipoclorito de calcio: Ca(ClO),
l-uegq la relación correcta de acuerdo con
r:l problema es ECEC.
chvcE
combinación de dos o mas sustan- o ResolucióD N"Oscias simples en una proporción defi- ¡
III. Correcto
Los compuestos químicos a dife-
rencia de los elementos químicos
se pueden descomponer por me-
dios químicos como la fotólisis,
electrólisis, pirólisis, etc. en sus ele-
mentos constituyentes. Justamen-
te los átomos de cloro liberados
en su descomposición son los res-
ponsables de la disminución de las
moléculas de ozono pues reaccio-
nan con ellas.
* Luego, de acuerdo con el problema son
* correctas las afirmaciones II y III.
n
o @EI
o Compuestos químicos:
':' I. Verdadero
* E"ta forma de materia se representa* con una fórmula química pues po-
* see una composición fija y definida.
{.
o II. Verdadero
r Sus propiedades son el resultado de
*
.!.
*
{.
.:.
*
nida por lo que se les representa con
ry
,n h lílúiíE l, l,
su composición y además son dife-
rentes a las propiedades de los ele-
mentos que le dieron origen por lo
que no dependen de los procesos por
la cual se obtienen.
III. Verdadero
Btán formados por la unión quími-
ca (combinación) de dos o más ele-
mentos diferentes.
CkueE
Resolsción N"O6
Mezclas
l. Correcto
[-as mezclas representan a la mate-
ria en su forma impura pues resul-
tan de la reunión física de dos o más
sustancias (elementos y/o compues-
tos) en proporción variable.
Il. Incorrecto
En las mezclas homogéneas los com-
ponentes reunidos se dispersan de
manera uniforme por lo que el siste-
ma formado se presenta en una sola
fase.
lII. Correcto
Mientras que en las mezclas hetero-
géneas los componentes reunidos no
se dispersan de manera uniforme por
lo que se pr.leden distinguir uno de
otros, forman un sistema con más
de una fase.
Luego, de acuerdo con el problema es
incorrecta sólo la afirmación II.
Ct ""g
problema se clasifican como:
a) Compuestos (C)
Bicarbonato de sodio: NaHCO.
Sacarosa: CrrHrrO'
b) Mezclas (M)
Aicohol medicinal de 70:. alcohol y
agua
Alcohol yodado: alcohol, yodo y
agua
Luegq la relación correcta de acuerdo con
el problema es: MCCM.
chwEl
+
*
+
.:.
a
*
o 
Resolución N"OB
n
* I-as muestras de materia indicadas en el
+ problema se clasifican como:
o .) Mezclas homogéneas
: - Gas naturalvehicular (GNV): me-o 
turro y etano
+
a Salmuera: agua y sal .
* b) Mezclas heterogéneas
* - Leche de magnesia: suspención de
: Mg(oH), en asua.
* - Granito (roca): metales, sales y óxi-
* dos.
a - Jugo rle mango: agua, azúcares y
¿. fragmentos de la pulpa de ia ftuta
t Luego, de acuerdo con el problema se
* cuentan sólo 2 rnezclas homogéneas..' §kEl*
Rssolr¡ción N"Og
Besolución !t"O?
+ Cambios físicos y químicos de la mate-
* ria:
* J. Correcto
reacciones químicas donde las sus- *
tancias forman otras con propieda- *
des diferentes. .i
llI. Correcto
Todos los cambios de estado de agre-
gación se consideran cambios físicos
pues en ningún momentos se modi_
fica la composición química de las
sustancias, además no se forman
otras con propiedades diferentes.
I-uego de acuerdo con el problema son
r'r.¡rrectas todas las afirmaciones.
chueEI
Re¡olución N'lO
I-n relación al siguiente proceso podemos
¿firmar:
CH3OH1"¡ 
---+CHTOHU,
Se observa que es un cambio de estado
rle agregación por lo tanto un cambio fí-
sico, el metanol pasa de su forma de va-
FIllif,'I, Ío,lli*§1,§*X,o.-,',0'..,,,*', n,o,,n-, il"r,n
les, sólo se modifica. la_forma como * por a su forma líquido pr(xr.s() (rr(, .,(.
se agrupan las partículas que con- .:. denomina condensación, dondc ¿r<lr,¡¡rás
forman a las sustancias, su compo- o dicho proceso o",.rar" po. enfriamienrr¡
sición no varía. .¡ por lo que se libera energía al obtencrsc
II. Correcto ... la forma líquida.
Los cambios químicos llamados tam- n Luego, de acuerdo con el problema es
bién fenóments químicos inroiuoun o inconecta la afirmación "E"'
gk "tr
Resolución N"tl
* Los procesos indicados en el problema
¡ se clasifican en los siguientes tipos:
*. a) Cambios físicos (F)
* Sólo se modifica la apariencia de la
.:. sustancia, no se altera su composi.
¡ ción ni identidad:
* - Dilatación de un hilo de cobre
* b) Cambios químicos (Q)
Se modifica la composición de la
sustancia así como su identidad, se
forman nuevas sustancias con pro-
piedades diferentes:
- Desmanchado de la ropa con le-
jía.
- Electrólisis del cloruro de sodio ftrn-
dido.
- Explosiciónde la dinamita
Luego, de acuerdo con el problema la re-
lación correcta es: QQFQ.
kg
lportando en h Aifusión do la Ciencia y la Cuttura
*
*
*
a
+
*
.:.
z8A
Las mueshas de materia indicadas en el ':' Los cambios físicos son superficia-
#'
ESIRUCTURA ATdf{ICA
Ill sodio es r¡n elemenlo qrre presenla las
sigu¡entes prop¡edades.
l. Se fL¡nde a f.llt "C.
ll. Reaccion¿r violeniarnente con el agua.
lll, Fs rnu_v suave.
I\1 Ticne un color platcado"
V Se comt¡ina r:on el clorr¡ para ¡¡roducir
cloruro dc sodio.
iCuantas propicdadcs fisicas ¡r químicas sc
han rnencionado, respestivamenle?
A)3y2
B)4yl
c) 5l' ü
D)2-v3
E) l y4
2. iQué állernat¡!,a presenta solo propiedades
ñsic¡s?
A) densidad, infl anrabilidad, dureza
ts) st¡lut¡ilidad, ductilidad, densidad
(l) rclubilidad. lcmpcratura de fusiór¡, toxicldad
I)) toxicidarl, inflamahilidad, grado de re,,rr:tridad
qulnrica
E) volaülidad, fragiliclad, oxidación
ll, lnrlkltre la se<r¡encia correcla de verdarl (\r) r:
falsedad (F) respecto a I&s siguientes proposi"
<'ioncs-
l. l,as propiedades exten,qivns son aditiv¡s.
ll. IlÍa sustarrt'ia se iden¡illcá a través de au§
propirrlarlcr r.xler rsirus.
ilI. §l valor dc urH prapied.rd intcnsiva no Cc-
prnde de la (antidad de m;rterial c¡ue se
Cr)nSidere.
ll. A zSoC, la prtsión de vapnr de llXlg de
a¡{ua e5 la misnu quc la presión rJe v;rpflr
de | 000 g dc, agua.
lll. Tres litrc¡s dc alcohol ctíli(u !r(.s¿ el lriplc
que un lilro de alcohol etíliqo.
A) WY
B) n{/
Q ryT'
D)WV
f) l'v*F
5. Respecto al átomo, señale las proposicione§
( (rffe( t¿rs.
L EstÍr cortstitr¡itla +)or rl núck]o y la r¡rvoltu¡a
§lecuónic&
fl. En el núcleo se concenlra la mayoria de ¡as
pa¡tJcuLas su batón ricas.
lll. Es la partícula nris peque ira de l¡ rr¡átcria.
A) I, ll y lll B) t y III C) solo ll
D) solol F.) lyll
Resp€ch a las partÍculas suhalómicas funda-
m()nlalcs, in<liquc la $l(:utlnrria corrcclá dc
vcrdad (V) o falsedad (F).
l. H nerrt¡ón *s la pártfcula de mavor nrasa-
ll. Las trcs piutícul;rs prese¡ttart igual cantidad
de car3a r'lóctrica.
lll. [,r:s prolones 1, eletlrones Jrrr<-"den ser des-
r,iados por rrn ( ¿mf)o olactrico.
A) wY lJ) !1r1i C) rnT'
D) tlr¡: E) vFv
7. En cierto sistcm;r atóñrico, la rel¿cióo dct nú
rnero dc tteutrúrle$ irl rtirnefo de clettforles cs
cómo g a 7. Si su ¡¡únrero rrr¡isico cs 80, calcr¡le
{rl nilmcro al{irnico dc di(ho iitót¡)o.A) \1nr
n)w'F
B) F1+ O tvT\''
E) rFV
.!
*
*
.:.
.t
a
n
*
j..
a
*
.E
a6'
*
*
l. 8.
*
.i.
.:.
*
4. lndir¡r* la secuencia correcta de verdad (V) o
f.llscrJ¡d (F) nrsperlo:r l:rs sigLrit:ntes proposi-
ciorics.
I. lJn gr¿rnro de hierro funde a la misma (ern"
pcratura quo 5Ú0 g de hierrü (l 536 "C).
El cotrrc es un elen¡cnto ttefarlico de coior nrlizo
que prcscnta (k¡s isó{opos, r¡no (,on 34 neu{r&
oes y el ()lro con IJG nculroncs. Si uil ¿itomo do
A) 45
D) $5
8) 30 c) 35
E) 40
UT{I I
ccbrü posec 29 p¡otones en su núclco, se¡-nle
ias pro¡rosiciones ycrdaderas (g y falsas (F) v
rrarr¡tte la secuenciá correctá.
.t
a
*
{.
*
*
*
€.
S0tuctoruARro
Resolqción rf0l
I. El númem rte nucleone_§ fundamentáles del
¡sól(rpo nrás liYiano es 63.
ll. Los dos ísírtopos tierÉn propiedádes qulrnicx
similares.
lll. Los hllidrx se puedcl reprcsenlar cotno
¡gCua y 6qCu29 respectivaflente.
las propiedades indicadas en el proble_
ma para el elemento sodio se clasifican
como:
a) Propiedades físicas
Su determinación no altera la iden-
tidad de las sustancias:
- Funde a 98'C
- B un metal suave
- Color plateado
Propiedades químicas
Su determinación altera la identidad
de la sustancia, ya que esta se hans-
forma en otra con propiedades dife-
rente§:
- Reacciona violentamente con el agua.
- Se combina con et cloro para pro-
ducir cloruro de sodio.
A) 1r'\.V B) vry C) FVfD)r'w¡ c)wr
9. Luego de an¿rliza¡ cada cnunciado andiqu€
h sct'uerrcia corre(ta dc verdad (V) o f¿lse-
dad (Fl respecto a los io¡rcs. r. b)
..4
l. Lln cat¡ón se forma (ttando urr át,r-o gam 
t
uno o ¡nás electrones. *
ll. Un anitl¡r se fo¡n¡a cuiur<Io un ;ilorno pie rdo .!.
un«r r¡ más electrones.
lll. Solo e¡ cl r¿so de los cationcs ¡ü zuna ex-
lrannclear cambia de t¿lnaílo.
*
*
A) I,\,\' B) FFF C) Ffl/
o) FW' E) VFr
10. ttr álolno ccuticne 25 electrr¡nes.3l neuUo-
tres 1,!8 prolones. r,eue proposiciones son in-
cnrrccta,§?
I. El áton¡o e.s un c¡itión lriv¡lente.
IL til nrin¡e¡o de r¡r¡sa es 56.
lll. il iitomo neulro tcndla Zg electronrs
¡ Luego, de acuerdo con el problema se
* cueritan 3 propiedades físicas y 2 propie-
o dades quínlicas., §&El
ResolqcióD N"Oz
A) ll r" lll B) solo I C) I v ltl
D) solo I E) lv It
o Las propiedades indicadas en el proble_
* ma se clasifican como:
* a) Propiedades físicas
f l. El iorr f 3+ tiene 30 neulroner. Si la carga ae k ::l
7urÉ e.xtra¡ruclcar es -1.1,52 x l0-18 C, t.alt.ule el '
- Densidad
- Dureza
núnrero de masa del iorr T'1+.
Grga del elecl.rórr=-1,6 x l0-ls C
*
A) s2
D) 55
c) 57
E) 56
* - Solubilidad
* - Ductibilidad
* - Temperafura de fusión*
Il) s3
QUíMICA
número de partículas y las mas pe- * Además su número de masa es 80 por lo
sadas. * que se cumple:
o A=Z+N=80
.i.
* 7k+9k =80
{' 16k = 80¡
k=5
+
¡ Luego, el valor de su número atómico es:
lll. Incorrecto
Se considera al átomo a la unidad
mas pequeña de la materia desde el
punto r1e vista químico, pero esto no
quiere decir que sea la última por-
ción que resulta de dividir a la mate-
ria.
Resolucióo N"O6
.:.
I',rrtículas subatómicas:
l. Verdadero
De las 3 partículas fundamentales
que conforman a los átomos el neu-
trón es el que posee mayor masa.
ll. Falso
Sólo los protones y electrones poseen
carga eléctrica, de igual valor pero
de signos opuestos.
lll, Verdadero
Las cargas elécfoicas que poseen los
protones y eleckones los hace zucepti-
[ries a campos eléctricos y magnéti-
q*,gEI
Resolqción I{'O7
I.n cierto átomo neutro se cumple que
l,r relación entre el número de neuhones ¡
(N) y el número de electrones (Z) es como o
'l ¿7: +
N99k"!.
I r.rego, de acuerdo con el problema son '? Z = 7k = 35
t tlrrectas las afirmaciones I y II. *
Cl,r.E I--: -:' Resolución N"OE
9Eyetr
¡ El relación al elemento cobre cuyos áto-
* mos poseen 29 protones y que a la vez
. presenta 2 isótopos de números de
"'neutrones 36 v 36 podemos afirmar:
* I. Verdadero
'¡' El isótopo mas liviano es el que po-
* see menor número de neuhones, su
* número de masa es:
o A=Z+N =29+34=63
* IL Verdadero
':' Todos los isótopos de un misnio ele-
* mento, debido a que poseen igual
* número de protones y electrones pre-
.:. sentan las mismas propiedades quí-
o micas,
I lll. Falso
las isótopos mencionados se repre-
sentan de la siguiente manera:
!!cu y Scu
Chve§
Resolución N'O9
* Ionización de los átomos:
*
.?
+
z77k
Propiedades de la materia
l. Verdadero
,/á-
GUZCAIQ itv,túrnhtttttiiteht Mrthctú,t, :Ir44_ MAIEBIAL DIDÁCTICO Ñpl
- Volatilidad * Resolución lf04
- Fragilidad a*
b) Propiedades químicas a
- Inflamabilidad *
- Toxicidad 
*
*
- Grado de reactividad química .¡
- Oxidabilidad *
Luego, de acuerdo con el problema en la *
alternativa "B" se indican sólo propieda- +
des físicas. *
*
qbrEl o
*
Resolución IfO3 * III. Verdadero
t El peso es una propiedad extensiva
.:. por lo que su medida dePende de la
.¡ cantidad de material analizado, así
¡ 3 litros de alcohol pesará el kiple que
* un litro de alcohol.
la cantidad de material analizado, así ¡
tenemos por ejemplo las propieda- o
des como el peso y el volumen. *
Falso t'
Por lo general las propiedades exten- 
*
sivas son propiedades generales por a
lo que no nos sirven para identificar *
a una sustancia específica, para ello *
se consideran las propiedades parti- .¡.
§eE
Resolución tl'Os
It.
culares. .!
III" Verdadero ':'
Las propiedades intensiva, no ,on 
o
aditivas pues sus medidas no depen- 
*
de de la cantidad de material anali- * ¡¡
zado, por ejemPlo tenemos las Pro- *
piedades como las temperaturas de +
ebullición de los líqrridos, su densi- ¡
dad, su pH, etc.
@El
Propiedades de la materia:
I. Verdadero[-a temperatura de fusión es una pro-
piedad intensiva por lo que su valor
es constante así se analice un grarno
de material como 500 gramos.
Il. Verdadero
l-a presión de vaPor también es una
propiedad intensiva, por lo que a cier-
ta temperatura definida su valor es
el mismo así se tenga 100 gramos o
1000 gramos de líquido'
Estructura atómica
Correcto
De acuerdo con el modelo atómico
actual todo átomo está formado Por
un conjunto de partículas distri-
buídas en un núcleo Y una zona
extranuclear llamado también envol-
hrra electrónica pues contiene a los
electrones.
Correcto
El núcleo atómico a Pesar de ser muY
pequeño en relación al tamaño del
átomo posee una elevada densidad
y representa el 99,997" de la masa
atómica, ya que contiene al maYor
Las propiedades extensivas son
aditivas pues su medida dePende de
I"
*
.t
*
Fr*
-A-CúZGIiIQ tqatúrohntuhi0htrchtrirrh.d,ú' lú MATERTAL DIDÁCilCO lft.o,,1.,q
I. Falso *
Los cationes son iones de carga eléc- *
trica positiva y se producen cuando ¡.
el átomo neuüo pierde uno o más ¡
electrones. *
II. Falso *
Lps aniones son iones de carga eléc- *
tica negativa y se producen cuando *
el átomo neutro garla uno o más *
electrones. *
III. Falso
En el proceso de ionización se altera
sólo el número de electones del áto-
mo, esto afecta el volumen de la eona
extranuclear, en el caso de los
cationes se produce una confuacción
y en el caso de los aniones se produ-
ce una expansión.
III. Correcto
Si el átomo se encontrase en estado
neutro el número de electrones y
protones serían iguales a 28.
Luego, de acuerdo con el problema es
incorrecta sólo la afirmación II.
Chr"E
Resolución tfll
¡ El catión T3" que posee 30 neuhones pre-
o senta una carga absoluta en su zona
o extranuclear (que involucra al total de sus', 
electrones) de:
.:. Q=-3,52x10-18C
* Por lo tanto su número de electrones es:
t
., Un- xQ. :-3,52x10-r8C
* e- 
" (-t,a *10-1'gC) = -3, 52 x 1o-'8C
Z-3=22
Z=25
o Lr"go, el número de masa del átomoi neutro y de cualquiera de sus iones es:
A=Z+N=25+30=55
cbvepl
Resolución !f"l0
oo #e- =22
* Estu canüdad de electrones es el resulta-
Fara cierto átomo que posee 25 elecfro- * do de la pérdida de 3 electrones por parte
nes, 31 neutrones y 28 protones pode- * del átomo neuho, por lo tanto su número
nros afirmar: * atómico es:
cl"""'El"
Correcto *
Se observa que los protones exceden 
a
en 3 a los electrones, por lo q,rn ,e ':'
kata de un catión hipositivo.
lI" Incorrecto
Su número de masa es:
A=Z+N=28+31=59
*
.:.
*
u0&
9tdcAnq/el 147
ESTRUETURA EI,ECTRéilI cA DEt, Áromo
lndique si las proposicione.s son wrdade-
ras (V) o falsa^s (F) y luego marque la secuencia
curecta, respe«o al principio dc De Broglie.
I. La ecu¿rción de D€ Bro,glie s€ puede aptica¡
a una palícula sin moünricrilo.
ll. Cuanto nut]or sca la rapldez dct cuerpo
malerial en Íiovimiento, nrayof será la lon-
gitud de ofida.
lll. ü¡antOmcnrrsea larapido¿de r¡na padcula
en movfunientq ma1,or será li longitud de
onda.
o
*
o
I
.&
+
+
*
+
§
t
a
o
s
§
€
+
.&
*
*
*
*
l*
j.'
n
€.
.:.
n
a
.:.
*
§
§
*7,
¿
t
+
+
a. De Broglie
b. WernerHeisenbery
c. Schród¡nger
A) la, llb y lllc
B) lb, llc y llla
C) lc, IIb y lrla
D) la, llc y lflb
E) lb, Ila y lllc
A) \4¡/
t» VFF
a
B)WF C) VF/
E) FTY
' 
Rcs¡xcto al modelo act¡d del átomo, indique
las proposlciones cott€clas,
l. B un modelo nelamente n¡alemádcú basadó
en la teorfa de la nrecánica cuántica.
ll. Se fundamena en los aportes de Hcisen.
berg y de Erwin Schródinger.
lll, Los Gleruones se mueven alrededo¡ del
núcleo en diferentes dwles, subniveles y
ort¡itales.
Usando la teorÍa dual de la materia, calcule h
longilud de onda de la onda asociacla al mr>
vlmicnto de una pelola dr: te¡rjs si su ro¡idez
es 66,2 rds.
Masa de la petora=8.10-2 kg
Corstar¡te de l,lanck o6,02. lO-il J.s A) l, llylll
B) lt y lll
C)lyll
D) solo I
E) Iylll
A) t,25-10-pm
B) t,25.10-ilm
C) 3,75'10 -e ¡n
D) 2,50.10-s.r m
E) 2,50.t0-m m
6. Rcs¡rccto a los nrlmenrs cuánticos, intlique
<:uáles de las siguienfes pro¡xtsiciones son
correctas-
L l¡ermiten ul:ica¡craclamet\te a los elecl¡r¡nes
en un átomo.
ll. Si un átomo tiene X electrones, c¡¡tonces
tiene X c(»r¡untos de númc¡os cuán(icos (n.
i, m,, tn,) diferrntcs.
ill, La combi¡mción rle valr¡res perrrrilidos de
n t'l deñnc¡r loti cstádos cner¡¡óticos rle un
átomr¡ di[c¡el¡tt del hidrriqerru.
'|. fnd¡que las proposicioncs que son consiJer¿das
(:orreclas-
l. Lix solut.it¡ncs dc la ecu¿ción de Schródinger
son los núrneros cuánticos.
ll. El prirrcipio dc itrccrtidu¡r¡ltrc es la basc de
la rn<rcánica-cuánlic¿,
lll. l-a idea de orbital deriva del principio dc
inccñirJumbre.
A) solo I B) solo [ (:) t y fi
D)ll ylll E) l,[y[r
A) I y ll B) Il y ltt C) soto III
D)I,II¡'III E)ryilr
,1. l¡,hrqtrc h altenurtiva que conücne las rnlacio¡res
que están correctas. hxlique la secuencta con€cta de verdad (V) o
falsedad (F).
l. Los orbitáles que lienen el mismo número
cuántico principal forman una capa.
ll. El nÍr¡rrero cuárrt¡co de momento angular
t. principkr de in(ert¡dumbre
ll. ccuación deonda
Ill. dua¡¡dád de la materia
EM
Agartando en h Aifusión de la giencia y la Eultura
,á.
CE-iüñi@ horüdtr\t t¡tttfrie t t chñithcutt t 1¿18 MATEBIAL l)lDÁCnCO Nil
está relac¡o,tado con el subnivel que ocupa
rrn eleclrón.
lll. l-os ort¡italcs dentro de una subcapa tierrcll
igual encrgía, pcro difiere¡¡ en la orier¡ta'
ción espacial.
A) Fr¡/ B) Wr c) lvv
D) \'FV E) Vl'F
8. lndique la sccuenr:ia corrccla d<'vcrdad (V) o
lalsedad (F') respeclo a las siSuientes proposi'
cionrls.
l. Ll la ca¡ra K, un electrón ts rniís eslable.
ll. La capa Il{ puede adr¡rilir l0 tfe<trones.
A)lyll B)IYUf C)sok¡Il
D) sokj lll f,) solo I
10, i.Qué conjunlo de ntilmerr¡s ctlánlicos ostá prr'
rnitido para un orbital atÓmico?
l. (2. l. +l)
lr. (r,0,-l¿)
u" (4, 2, - 2)
. lll..Hl cuarto nivel está constituido oor 16 orbi- 6
lal€s. .¡ II.
A) VFV B) WF C) \¡/V ¡t
D) rw E) WF '&
.i
9. Respecto a los númetos cuárticos, scñale lar 6.
proposiciones que son cofféctas. *
I. bl electrótr err rl*2 es más establc que e n
n--4.
ll. La errergía dc un clccl¡ón en un sislcm¿
atómico polielectrónico está deftnida s()lc
lx¡r el rrú¡¡rcro cuántico Principal.
Ilf. El nú¡nero mátinro d¿ oñ)itales r:¡t u¡t stlb'
nivel I está dado por r,l+2.
SOT.UGIOilAnlO
Resolqción I{'Ol
Falso
Este principio conocido como de la
dualidad de la materia establece: a
nivel atómico las partículas presen-
tan un comportamiento dual en su
movimiento, tanto corpuscular como
ondulatorio.
Faloo
La longitud de onda de la materia
es inverso a su velocidad:
^h
mxv
A mayor velocidad menor longitud
de onda.
a III. Verdadero
las partículas que se mueven a me-
nores velocidades presentan mayor
longitud de onda.
Chve§
Rc¡oluclón I{"Oz
.:.
.t
.:.
* 
Principio de De Broglie
¡I
*
*
+
+
*
+
+
*
a
j..
*
n
¡ Una pelota de tenis cuya masa es de 0,08
,. kilogramos se mueve a una velocidad de'. 66,2 t¡letros por segundo. La medida de
"' la longifud de onda asociado a su mc¡vi'
1 1. lndique la allemat*a que pre§enta lln corlil¡nfo
de nrimo¡os crLinli(:os pernritidos pa¡a un
electrén.
¿1) olo I
D) solo ll
A) (3, l,-¡, +312)
B) (2,0, *¡, -l¿)
Q(r,r,0,+r,f¿)
B) §olo lll C) I, ll v lll
E) lylll
D) (4, 3, + 2, "-l/2)
E) (5,2, +:1. +lJz)
e mientr¡ es:
t
.:.
*
*
"h
mxv
a,1zla'!:'
0,08ks x66,2\
'§dloAmal G.U.
6,62x70-uksx m2-, xs
0,08kg x 66,2 T
I
)' =1,25x10-3am
Re¡olución IfO3
Fundamentos del modelo atómico moder-
no:
I. Correcto
Para describir el comportamiento
ondulatorio del elechón se emplea la
ecuación de onda de Scródinger cuya
solución genera los números
cuánticos.
ll. Correcto
El principio de incertidumbre pro-
puesto por Heinsenberg es uno de los
pilares de la física cuántica, estable-
ce que es imposible en principio me-
dir la velocidad y la posición de for-
ma simultánea con una precisión del
L00%.
llI" Correcto
El orbital se considera a la región del
espacio que abarca el movimiento del
electrón, es una región de probabili-
dadpor lo que se origina sobre la base
del principio de incertidumbre.
l.uego, de acuerdo con el problema todas
l.rs afirmaciones son correctas.
Cbve§
Resolqción IfO4
.:. I. Principio de incertidumbre
* Propuesta por W. Heinsenberg
*
* II. Ecuación de onda
Desanollada por E. Schródinger
III. Dualidad de la materia
Propuesta por De Broglie
Luegq de acuerdo con el problema Ia re-
lación correcta es: Ib, IIc, IIIa.
Chr"E
Re¡oluclón IfOs
Modelo atómico achral:
I. Correcto
Corresponde a un modelo matemá-
tico bastante complejo, desarrolla-
do sobre la base de la mecánica
cuántica y considera como funda-
mentos los principios de dualidad,
incertidumbre y la existencia de los
niveles estacionarios de energía.
II" Correcto
Los fundamentos mencionados son
aportes de los físicos: De Broglie,
Heinsenberg y Bohr respectivamen-
te.
III. Correcto
El movimiento del electrón abarca
3 regiones estacionarios, los niveles,
los subniveles y los orbitales.
.:. Luego, de acuerdo con el problema to-
¡ das las afirmaciones son correctas.
: 
ctaveE
I=
s
c!"""8I
*
*
,a
*
*
.:.
t
*
t
.t
*
*
*
*
a
.!
*
.!
.:.
*
.:.
*
a
*
* Resolución tf0ó
Los términos siguientes empleados en el * Números cuánticos:
rnodelo atómico acfual se relacionan con t J. Incorrecto
Ios siguientes personajes: ' * Son parámetros_números que descri-*
)¡=
l
I
ben los diferentes estados energéti- .:' RasOlucién N'OB
cos del electr'ón en su movimiento al .:. -.-{ry-*
rededor del núcleo, así como su pro- o Estructura de capas de la zona extranu-
bable ubicación.
II. Correcto
Cada electrón de un átomo está ca-
racterizado por un conjunto de nú- ':'
meros cuánticos:
(n, /, m,, m.)
III. Correcto
Btos parámehos se aplican tanto al
átomo de hidrógeno como a otros
átomos polielechónicos.
Luego, de acuerdo con el problema son
correctas las afirmaciones II y III.
§b""EI
Resolución t{"O?
Estuctura de capas de la zona extranu-
clear del átomo:
I. Verdadero
Los orbitales que poseen el mismo
valor del número cuántico principal
(n) se encuenhan en el mismo nivel
de energía, es decir forman parte de
la misma capa.
Il. Verdadero
El número cuántico secundario, lla-
mado también azimutal o del mo-
mento angular se emplea para de-
signar a los subniveles de energía.
IIl. Verdadero
Los orbitales que se encuentran en
el mismo subnivel poseen igual valor
de energía relativa, también sus for-
mas geométricas son iguales pero
difieren en su orientación espacial.
Cbve§
[-a capa energética K corresponde al
primer nivel de energía, por lo que
los 2 electrones que puede contener
son más estables respecto a los elec-
trones de los otros niveles.
II. Verdadero
La capa energética M conesponde
al tercer nivel de energía por lo que
puede contener desde 1 a 18 elec-
hones.
o clear del átomo:
* l. Verdadero
+
*
n
t.
*
'.r
III. Verdadero
El cuarto nivel de energía puede con-
tener como máximo 32 elechones
dishibuídos en 16 orbitales.
cb""El
ResolqcióD t{.Og
a Números cuánticos:
*
* I. Correcto
* Un electrón que posee n=2 es más
o estable que un elechón que posee
. n:4 pues se encuentra más cerca' del núcleo y su contenido de energía
es menor.
.:.
* II. Incorrecto
* [a energía de los electrones en un
.:. átomo poliatómico se define sobre
.¡. la base de los 2 primeros números
... cuánticos:
* ER=n+/
':' III. Incorrecto*
... Los números máfmo de electrones
u orbitales en un determinado sub-
c.u. t5 MICA
nivel son:
#e- =ztzt+t)
#orbitales =2t+L
l.uego, de acuerdo con el pro
r:orrecta sólo la afirmación I.
* Se observa que es incorrecto el conjunto
¡ II pues está empleando al número cuán-
o tico del espín para denotar un orbital.
* Luego, son correctos los
blema es *
conjuntos I y III.
§t "gEl
cbueEl
*
+ Resolución lfll
Rcsolución N"lO o 
Considerando los valores permitidos de
o los números cuánticos se üene que el con-
o irl,o indicado en la altemativa "D', es la
unlca correcta:*
liabemos que los 3 primeros números
r rránticos presentan una relación de de-
¡rendencia debido a que se originan de
rrna misma ecuación:
t
*
*
t
t
*
.:.
*
*
*
*
(n,/,m.m")
(+,s,*2,-f,)n -» (. -+m,
n> I
I'ara los siguientes orbitales:
(n,l,m,)
(2,1,+1)
n=t,2,3, @, s, ...,-
I =0, 1,2,8
m¿ = -3, - 2, -1,0, + 1, [8, + 3
(ro-á) 1m-=+-v,2
(4,2,-2)
Aportaado cn la 0ifaelón de la Cienefu y la Cultara
zCA
,/á.
GÚzGAilü tñ¡ttr*r,tttth'iirt t'r¡dd¡rrhctfrú' 150 MAIERIAL DIDÁCTICO Ml
,-
H
I ,^.
CUiffiA*e tbdúñt stüit t h¡*rúthcútt 152- MAIIRIAL DIDÁCilCO l\'1
IM CO}IFIOURACIóN ETECIRóNICA
Calcule la energía relativa á 
"u¿, 
subnival y
luego indique el sub¡rivel de menor estabilidad
4f, l s, 3d, 2p, 5s
A) ls
D) 5s
B).rd
A) 18y6
B) l7y4
C) 19yS
D) 19y3
E) 18y5
A) 2aCr: {tu1 4s2:}a{
B) zsCu: ltul 4s23de
C) 36Fe: [úl 4§23d6
D) q2Mg: IArl 3s2
§,) ?N: l§22sr2p¡t 2prt 2p"'
tE ME]
2s 2p, 2ü,,
A) nr
D) VFv
A) (5, 1,0. -1,2)
ti) (5, l, +¡, +l,Q)
o (5, i,0, + rn)
D) (s, o, o, -r/2)
E) (5,2, -1, +lr2)
1..
*
.:.
*
*
2. Señale la secue¡¡cia correcla de verdad (V) o ¡
falsedad (F) respecto a l¿is siguientcs proposi' o
ciones.
I. El principio aulbau es aglicabtt'. para distri' *
buir los electrones de un átomo excitado. *
ll..l,ari propiedades químicas de los átomos .3
están relacionadas con su configuración
clcctrónica.
u. Los eletln¡¡res en 2p son atraídos con menof
intcnsidad por el núcleo que los eleclrones
en 2s.
c) 4f
E) 2p
C) TVF
E) rW
B) Vrv
3" U (itarúo (Z*22) cs un elcmenlo qufmico que
pertenece a los melales de tr¡u¡sición. Ls usádo
para [a falrricacirin dc alcaciones de a¡la re§¡§-
lcncia y muy ligeras. A partir de la ir¡for¡nación
brindaria tletenrilne la scrcuencia correcta de
verdad {D o falsedarl (É')"
L En su distribución cleclrónica presenta
6 subnivclcs dc encrgia.
ll. I'resenta 3 nivelcs de enerSía llenos.
ll1. F¡ su capa mas exlerr¡a presenla 4 electro$cs"
A) ¡?FF Bj t\4/ C) vFv
D) \ryr E) r'fv
4. U,r álonnr, en su cstado t)¿$al, liene 4 €k:{trone§
en l;r capa N. (lalcr¡le el ntimero de protones
en el nticleo.
A) WV
D)WF
A) 37
D) 34
c) 33
E) 30
*
a
.t
*
*
t-
*
*
":"
.t
*
.t
*
.l
*
.t
B) 32
5. En cicrto sistsma atóm¡(o se curnple qut el
ntimero de neutrones excedt en lll r¡nidadcs
al númcro dc protones- Si sr¡ ntinxlro nrásico
es 99, calcrrle el nú¡trero de orbitalcs lklnos y
senrillenos que present¿¡ su zoria cxtrlfltl(lPar.
rr¡sp{x:tilaIna!nte.
I
cor¡ !1=.4 ! til-.*-'¡¡2 Deleiltrine cl nrilncro <lc .:"
eleclrones que pfesr:nta $u;rni(itt (livalfiflte" A
B) 34
30lUOtOilARtO
* Resolución l{.0t
o Reglas de configuración electónica:
* I. Falso
El principio "aufbau" se emplea
para dishibuir elechones por niveles
y sub-niveles considerando el orden
creciente de las energías relativas. Se
emplea para átomos en estado basal
o nornal.
{.
35
40
A)
D)
(:) 36
E) 38
6. iCuál de las siguientes configuracirxtc.s clec-
lr(vri<'as es cor¡ecta?
7. Marque la secuencia correcta de verdad O0 tr
falserlad (F) de las siguientes proposiciones.
I. La regla de Hund se basa e¡r el principio de
rn&rima multipticidad.
ll. EI siguiente diagrama de orbitale§ es tolrl-
patible con e! principio de exclusión de
Pauli.
m mtnm
3s 3p, 3p_, 3¡ru
lll. El siguienle «liagrarna «lc orbitalcs viola et
principio de m¡áxima nrultiplicidad.
10. Dotermine el rrúmcro de masa de un catión
divalente que tiene ilO ne¡llr<»¡r:r en su núcleo
y llJ cltlclrones en su tercer nivel energético.
A) 23 ü) 2? C) 53
D) 55 sl 57
uNt t006. I
o 
L-u, 
"n"rgías 
retativas de los sr¡lr¡rlvt,l,..,o indicados en el problema son:*
* ER=n+/
r¡ 4f ER=4+3=7
* 1s ER=1+o=l
o gd ER =3+2=S
.E
.¡ 2p ER =2+L=3
* 5s ER=5+0=5
.:.
- Luego, el subnivel menos estable que es' aquel que posee mayor energía es el 4f.
.:.
o §&El
+ Re¡olqción lf02
A) !,l/v
D) \,¡/F
8) VFV c)wr
E) IrFf
urt 2012-t! .,¡
*
*
*
*
*
f"
*
t
n
2p:
B) ñ't/ C) VTF
E) WF
ú, Dcternri¡re el coniunlo de ttún¡eros cuánticos
par¿l el tiltinto t"leclrótr dc¡ átorrro de
cst¿¡¡icl l8 sisc salrt t¡ue en el núcleo conticne
68 neartrones.
9. (lierL<¡ átorno nculro prescnta doselectrones
,po¡ttNlo on l, DiÍusiód da la Ciwi, y l, Culwn
't' II. Verdadero
[-as propiedades químicas de los áto-
mos, depende de sus elecfuones de
valencia, que son elechones del últi-
mo nivel de energía, esto a su vez
depende de sus configuraciones elec-
trónicas.
Verdadero
Los elecfuones que se ubican en el
subnivel 2p son ataídos con menor
fueza por el núcleo que los elecho-
nes ubicados en el subnivel 2s, esto
+ lll
+
ZGA
-
1'l!Il!:
ll. Real¡ce la configuración clcrlrí¡nica de los
siguientes'iones y álomos 1N, ,Fe3+, 1¡fu e
indique la secuencia correcla desptrós «le
dolerr¡]¡nar si la prr:posición es verdadera (V)
o lalsa (F).
L EI nilrógeno y argón presentan 5 y 8 electro-
nes dc valcncia, ftrsp{:diya¡¡tcrrtc.
It, El t'-Er' presenta 5 elecl¡ones desaparearlos
y el ;ugón pre.senta 6 electrones de valencia.
lll- FJ nílrógeno preso¡rta:l rlectrones dc valcn"
cia y r'l t'c3" presenta 5 eleclrones desapa.
rcatlos.
I
debido a su mayor energía lo que *
indica que se encuentran más aleja- .¡
Resolución N"O5
dos del núcleo.
Resolución I{.O3
o Para cierto átomo neuko se cumple que
r= ... su número de neutones excede a su nú-gt{ - mero de protones (Z) en 13 unidades,
"' donde además el número de masa es 99.* Se cumple:
En relación al elemento titanio cuyo nú-
mero atómico es 22 podemos afirmar:
I. Falso
[a forma desanollada de la confi-
guración electrónica de su átomo
neutro el cual posee 22 eledrones es
CE : lsz 2s2 2p6 3s' 3pt 4s' 3d'
Se observa la prensencia de 7 subni-
veles de energía
II. Fatso
Sólo se encuentran llenos sus dos
primeros niveles de energía con 2 y 8
electones respectivamente.
IIl. Falso
Su capa más externa es el cuarto
nivel de energía, el cual posee 2 elec-
trones.
Chue§
Rosolqción N"O4
[a configuración electrónica para un áto-
mo neufuo que en su estadc¡ basal posee
4 electrones en su capa energéüca N (cuar-
to nivel de energía) es:
CE : rsz 2s2 2pu 3.' 3pu@]3d'ol 4 pf
Se observa que posee en total 32 electuo-
nes y como se encuenha de forma neuha
su número de protones es también 32.
§h€E
N-Z=13
Z+N=99
N =56 9 Z=43
Por lo tanto, el número de elechones del
átomo es 113:
CE t1s22s22p63s2 3p64s23d104p65s2 4ds
38 eleclrcrc en 19 orbiab¡ le¡o
*
.:.
.:.
*
*
n
t
a
a
*
n
*
.t
{.
t
n
.:.
+
.:.
.:.
.t
t
*
*
.:.
.!
4ds
Luego, dicho átomo posee en total 19
orbitales llenos y 5 semillenos.
cbveEl
ResotucléD lf06
Las configuraciones electrónicas correc-
tas para las especies indicadas en el pro-
blema son:
,nC, CE: [rrtu]4s13ds
,rCu CE: [rrtu]4st3d1o
*Fn CE: [,rtu]4s23d6
,rMg CE: [,oNe]3s2
,N cE:ls22s2 t t t, zp*2pr 2p,
Luego, de acuerdo con el problema la re-
lación correcta es "E".
Cbve§
11111
Oúde Engo/l
Regla de
de Fauli:
Resolución IfoT t Su configuración
* trones es:
elechónica para 50 elec-
-1
m,=0 y 5,a1
(r,r,r,.i)
Re¡olución Ifo9
CE : lsz 2sz 2pu 3s, 3 p.fZ7lrd r[AFl
Hund y el prineipio de exclusién *
t.
e¡
Verdadero s
La regla de Hund se conoce tu-- I
bién como regta de máima rnuiu_ "
plicidad pues establece que los 
"¡á._ 
o
trones se distibuyen en los orbitales +
de tal manera que el desaparea_ s
miento sea máximo. +
CE: [.utft]Ss24dro5p2
Se observa que su último elecbón disti_
buido se encuentra en el subnivei So,-;;;
lo que sus números cuánücos ,on,' ' '--
5p'
n<5 y ¿=l E
t
.1
ll. Verdadero
la siguiente configuración:
t¿f t r
3s 3p* 3p, 3p,
Cumple con el principio de exclusión
pues enfue ninguno de los 5 electo_
nes moshados existen 2 con sus 4
números cuánticos iguales.
lll. Verdadero
[a siguiente configuración:
TJI 
' 
J
2s 2p*2pr 2p,
No cumple con la regla de Hund.
claueEl
En cierto átomo neuto se cumple: queposee 2 electrones con númeios
cuánticos:
n=4 y*"=-i
'Por lo tanto su configuración electónica
chueEl
&
.i
.&
.:.
n
*
a
{.
+
,
!.'
j.'
*
.:.
*
*
.t
*
a
{.
*
.:.
t
es:
4pn
+r',tU
4s
lUt t
4p* 4pr 4p,
Resolución N"Og
----.{kh-
On<¡ de los átomos neutros del elemen_
It¡ estaño posee número de masa igual,' 
118 V un número de neutrones itual
,r 68, por lo tanto su número atóriico
(,s:
N=A_Z=11g_6g:50
.i. !y"q., el átomo neuho poseen en total
. ó+..etectones por lo que su anión bine_' gauvo que resulta de ganar 2 elecr;ones* poseerá 36.
*
* Clr""E
^.-GUZGAIQ taÉúaknhtnehh.bÉhrhúr, 156 MATERIAL DIDÁCilOO t\loI
Resolución N"lO neufuos de los elementos nitrógeno y
argón son:
7N CE, tr'izÍzp'-l
,*fu CE:1s22s22p6 3s'3p6
.:.
*
.:.
*
+
.!
.t
*
*
a
n
a
.t
.t
j..
t.
a
.:.
t¡
!.'
*
*
1..
*
.8.
.¡.
*
Se tiene un catión dipositivo de 30 neu-
tones que posee 13 elechones en su ter-
cer nivel de energía. Su configuración elec-
hónica es:
cE : 1s2 2s2 2p63s2gpG]o S¿
En esta configuración se considera que
los 3 electones que fueron perdidos salie-
ron de los últimos niveles de energía. Por
lo tanto la configuración del átomo neu-
to era de:
CE : lsz 2s2 Zpu 3s' 3p6 4s' 3du
Luego, el número de electrones del áto-
mo neuho así como su número atómico
son iguales a 25.
Finalmente su número de masa es:
A=Z+N:25*30=55
cbveE
Resolución l{.ll
En relación a las siguientes especies po-
demos afirmar:
,N, ,uFeÚ g rsfu
Verdadero
Las configuraciones de los átomos
Se observa que sus números de elec-
hones de valencia son 5 y 8 respecti-
varnente.
II. Falso
[a configuración electónica del ca-
üón kipositivo del hieno es:
26Fe*3 cE' [,rtu] 4so[3dT
Se observa Ia presencia de 5 electro-
nes desapareados en el subnivel 3d:
3d5:t t t t 1
Segun I el fu presenta 8 elecbones
de valencia.
IIl. Ealso
Como se puede obseruar en la afir-
mación I el N presenta 5 electrones
de valencia y en la afirmación II el
Fe3* presenta 5 electrones desapa-
reados.
c&""81
z8A
gildearud U. il¡rrr n
TABI,A PERIóDICA ilIODER¡IA
Respecto al paramagnelisrno, ¿qué asrvera-
cio¡es son incorrccl,as?
l. §s la dóbil repulsión que c.yper¡menta unñ
cs¡xcic quinüca por un c¿ünF) magn¿lico
externo.
Il. Se prescnta cuand0 los átomos de ur¡a
esper:ie química presenlán uno o más orbi-
tales llenos.
lll. Sr: m¡niliesta cuando una es¡xrcie química
es atraída déb¡lmente ¡x)r un campo ¡r¡ag-
nélico extcmo.
,,
.:.
a
*
+
+
4
.&
+
+
*
€
O¡
s
6
*
¡t
+
*
.'
*
+
{.
+
*
.,
'.¡
¡t
t
*
.i
*
a
!¡
.3
+
a
.&
5. Indique la altcmatj\a corre(.ta rcspccto d Lr
tabla periód¡ca noderna.
A) Conlicne g ¡reriodos.
B) El cuarto perio<lo es el gue conl¡er¡e más
elementos.
C) Los elenrctrtus riue ptrtrnecen a un mismo
grupo tienen,gual númcro de nirelcs.
D) l'lay menos elementos no nretálicos t¡le
meÉlicos.
E) Se¡¡ún la IUPAC, conlienc l6 grupos.
A) solo I
B) solo lll
C)lyll
D) ll y ¡ll
E) I, llylll
6. Re.specto a la tabla periódica actual, ¿qué ase-
vtraciones son considc¡arlas cor¡cctas?
I. Los melales que más fácilmente se osidan
rcn los alcalinos.
Il. Los halég€no,5 son los elemerltos qrrfmicos
que pierdcn fácilnterttc clrctrr¡nes de su
capa de valerrcia.
lll. Los clemrntos metálicos presentan tc,.r.
dencia ó forn¡ar caliones.
2. Cierlo átonto preseota un momento magn¿tico
igual a 6,928 !'t¡fl númeró átómico igual a l¡1.
[)etermine cl número de orbitales semillenos
quc ,)rcscnta dicho átomo.
A)5 B)4 c)o
D)7 E)3 A) I, ll y l[ B) soto [ {)) t y ltl
D) ll y lll E) s<¡to I
l. Iina cspecie <¡uÍmica será alraÍda rnás fuerte.
menle [x]r un carnpo magneüco exlerno cuando
sus álomos prcscnton mayor nÍrrncro de elcc-
trones desapareados. L.isan«lo la informacitin
anterior. «1trC cspecie quírnicu presenta rnayor
pararna.qnctismo?
7, lndiquc la secuencia correcta de wrdad (W o
f.rlscdad (F) rcspccto a las siguientes propos¡_
ciones,
l. Los elenrentos sólktos s<¡n los rnás abur¡
dailtes.
II- Los elemcntos con número atómico mavor
a 92 son iríir¡c¡alcs.
llf. Los ,nctaloides pcrtcnccen al trlo<¡uc p.
A) toCa B) ztT
D) 12lto
c)
E)
rNa
;Cl
l. Rcspeclr¡ a l¡¡ labl¿ periirlica moder¡¡a, mar-
<¡uc la secuencia correcla de lerdad (\,) o fal-
:r:rlad (F).
l. l-os e;enrentos cstán organizarlos en fun.
cio¡l de su rrrimero atónrico.
Il. Se bau cn la lcy periódica de lllendeleicv.
Ill. Lr¡s clemc¡¡tos están organizadosen gfupos
y ¡rcriodos.
A) vFV
B)WIJ
c) F'rv
D) Vr'l'
f,) tv¡r'V
A)V\/
D) r,Tr
C) TFF
[) Frv
L Erra poder determinar la identidad de un eie-
n¡enlo, se cuenta con la sigüente información.
l. Númcro dc masa
ll. Núr¡lero alómico
Se puede decir que
B) YIY
Aportando cn la Difatión de la Eiancia y la Éaltura
I
,/r*-
Cú-iéñ*t ta¡rdta¿tttíaihtchchÉhrhcdrú' 158 MATERIAL DIDÁCTICO Ml
A) l¿ info¡mación I c§ §uficicntt"
B) la información ll es suñ{'ierllc'
C) es necesario utilizar a.r¡bas i¡rfortnacioncs
D) una dc Lrs i¡rlorlna(iones, ¡:ot separatlo, tls
suficietrte.
!l) las i¡rformaciones dadas son irisuf¡cicnles
uNl 2010.u
9. El átomo de un elcn¡ento tiene I I electrones
en el tercer nivel. tndiquc el periodo v grtr¡r al
cual pertenecc.
A) periodo=4,3rupo=VB
B) periodo-4, Srupo=\rlB
C) periodo*q, gruPoeJlB
D) pcriodo=3, gruPo=ffi
E) pcritxlo=4. gruPo=lllB
1 O. l.ns iones A3- y Bl* son esptcics isoeleclfóni-
cas. Si en total estos ionc§ tienen 70 protones,
indique r:l periodo y gru¡ro al r¡le pcrtcnecc cl
átonro A.
I l. Lr:s áton¡os B y D t¡cnen propi€dades químicas
similares. El ion D2- ts isoelectrónico con t:l
hripén. Dctennine cl núrnero atómico del átc¡¡no
[l si este lxlenece al tercer pcriodo.
Resolucióo N"Oz
* trones desapareados es:
.!
*
*
*
.:.
+
*
*
Paramagnetismo:
A) a; IVB
D) 4r VA
A) ¡4
r)) 17
8) 4; VrlA
B) 16
C) {; IvA
E) s; tA
c) l8
E) ¡s
*
*
7,GA
I
Apo¡t illo en lE qiÍús¡ún do la Ciencia y h Cultan
6,928 =r[(k+4
Luego, de acuerdo con el problema es
9úcle lnaal
Incorrecto
[-as especies que lo presentan mani-
fiestan una fuerte interacción con
campos magnéticos externos como
los generados por imánes.
II. Incorrecto
Se presentan cuando ios átomos
contenidos en una muestra Poseen
uno o más elecfuones desaPareados.
III. Correcto
[a interacción con los campos mag-
néticos extemos puede ser débil o
fuerte eso depende del número de
elechones desapareados que Posea
la especie analizada.
Luego, de acuerdo con el problema son
inconectas las afirmaciones I y II.
cr"vsEl
P=r/t*(k+1)
Donde "k" representa el número de elec-
hones desapareados.
Para un átomo que posee un momento
magnético de 6,928 el número de elec-
a8 = k(k + 2)
k=6
Reegtución N'O3
Las configuraciones electrónicas de los
átomos neuhos indicados en el problema
son:
Ir¡rn
periodos (filas) y l8 r¡ru¡ros (r:«rlrrrrr
nas).
Ctave§
Resolución IfOs
chveE
a
*
a
.:.
{.
*
!.'
+
*
n
t
t
*
*
*
*
'] El rnorn.nto magnético o suceptibiliclad
"' magnética de un átomo se determina a
':' partir de la siguiente relación:
.:.
Se observa que el átomo de molibdeno
posee mayor número de electones desa-
pareados (6), por lo que su paramagnetis_
mo será mayor.
KE
Resolución I{.O4
IIl. Verdadero
Los elementos se distribuyen en l
1ábla periódica moderna: .l
I. Verdadero *
Contiene más de un centenar a" 
"te- ... 
O)
mentos ordenados de forma crecien_
te respecto a sus números atómicos. 
*
II. Falso *
El ordenamiento se desarrolla sobre .:.
la base de la ley periódica propuesta .:.
por H. Moseley, la cual establece que *
las propiedades de los elementos son .¡. E)
función periódica de sus números *.atómicos.
Diskibución de los elementos químicos en
la tabla periódica actual:
A) Incorrecto
Se üenen por el momento 7 perio-
dos cada uno contiene cierto núme-
ro de elementos dependiendo del
número de niveles de energía que
posean sus átomos.
Incorrecto
El sexto y séptimo periodo son los
que poseen mayor número de elec_
trones ya que incluyen a los lantá-
nidos y actínidos respectivamente.
cada periodo mencionado posee 32
elementos.
Incorrecto
L-os elementos que se ubican en un
mismo grupo poseen la misma con_
figuración terminal e igual número
de electones de valencia, por lo que
su química es similar.
Correcto
Los elementos metálicos superan en
número a los no metálicos, aunque
esto sólo sea en composición de la
tabla periódica, otra cosa es su pre-
sencia en la nah.rraleza y en el uni-
verso.
Incorrecto
La IUPAC reconoce la o<istencia de
18 grupos denotados con números
arábicos.
,oCu
uTi
,,NU
nrMo
,,CI
CE: [,rtu]4s2
CE: [18tu]4s23d2
CE: [,oNe]3sl
cE, [,u¡k]lE,¿d-l
CE: [loNe]3s23ps
B
c )
+
*
3O¡.Uo;flnlARro
Resolución ll'0l
ffiÉqru!ffi;fficd
I.
q
,^\
Gúáffie n r*"-orr,rr.o-o,r'g 160 . =. . .. ffiFRt[DlDÁC.rl9-lP1
correcta la afirmación "D" * IIl. Verdadero
cI*"El
Resolqción Il"06
Propiedades de los elementos químicos:
I. Correcto
Los elementos metálicos de maYor
reactividad química, que incluye su Resoluclón I{'OE
j.'
*
*
+
*
facilidad para oxidarse y formar ca- *
tiones son los alcalinos ([A). *
II. Incorrecto :g.
Los no metales halógenos (VIIA) son o
los más elecfuonegativos por Io que .
poseen alta tendencia a ganar elec'-^
trones. +
III. Correcto :
En general a los elementos metáli- o
cos se les considera elecfuopositivos, o
esto debido a su tendencia espontá- ...
nea a perder electones y formar iones 
'.
positivos o cationes.
ChueEl 
{'
Resolución IfO? '''
Propiedades de los elementos químicos
Il. Verdadero ':'
Los elementos con número atómico 'r:
mayor a92se denominan hansurani- *
dos pues siguen a continuación del ¡
uranio, todos son artificiales y para *
su estudio son sintetizados en los la- o
L Verdadero *
Respectoalacomposicióndelata.*Seobservalapresenciade4nivelesde
bla periódica los elementos metáli- ';' ener§ía por lo 
que e[ elemento se ubica
cos representan el mayor número I * en el periodo 4' además los elechones
essabidoqueestosseencuentrana¡guecontienenlosúltimossubnivelessy
condiciones orainJ,ii;t;;;; a" .'. a.(4s v 3d) suman-S' esto indica 
que se
sólidos. 
":' ubica en el grupo VB ya que su configu-* ración termina en un subnivel "d"'
[a identidad de un elemento químico así
como su ubicación en la tabla periódica
queda definida con el irúmero atómi'
co, pues no existe 2 elementos químicos
diferentes con igual número atómicg, ade-
más dicho valor determina su configura-
ción electrónica y por lo tanto sus propie-
dades químicas.
Luego, de acuerdo con el Problema es
correcta la afirmación "B'.
@E
ResolucióD I{.Og
[a configuración electrónica de un áto-
mo neuho que posee 11 electrones en su
tercer nivel de energía es:
* cE :1s22s22p6
Resolución N"10
Las siguientes esPecies:
uA* Y oB"
fwfi,lrrl c.v. 1 QrIMr(Jl
Los metaloides son elementos de
propiedades físicas intermedias res-
pecto a los metales Y no metales, se
ubican en la frontera que sePara a
dichos elementos la cual se ubica en
el bloque "p".
Cb""g
s 3d3
Ct"""^tr
Son isoelectónicas (poseen igual número
de eleclrones) y además sus protones su-
man 70. Se cumple:
a+3=b-1
a+b=70
a=33 y b=37
Luego, la configuración electrónica del
átomo neuto del elemento A el cual po-
see 33 electones es:
CEtlsz2s22p63s2
5 en total.
':' Resoluclón N"ll
*
lportndo an la üladón do ls C¡ct cia y ta Calts¡,
* Se tienen 2 elemenlos B y D r.orr ¡rro¡ric
... dades químicas similarr's ¡ror lo r¡rrc st,
- ubican en el mismo gru¡ro tk, l,r l,rlrl,r+ periódica, además el anión trinc<¡;rlivo <k,l* elemento D es isoelectrónicr.» (¡rostt ir¡rr,rl
* número de electrones) con cl kri¡rl<in
t' 12=361, esto significa quc el nri¡rrr,ro
* átomico del elemento D es 34. Su cr¡rrfi-
a. guración electrónica es:
*
, CE: [18tu]4sr3d,o4p.
a Por lo tanto la configuración elechónica
n del elemento B que se ubica en el periodo
n 3 es:,
Se observa que se ubica en.el periodo_4 o CE: [roNe]gsr3p4(posee 4 niveles de energía) y grupo VA .
ya que su configuración termina en un - Luego, el número atómico del elemento
subnivel pysus elechones de valenciason * B es 16.*
+
*
ai
+
cbueEl
ge¿str
zcA
-r
I
ry
RAZONAIVIIENTO
MATBplÁuco
Giclo AffiIABUIGVo
Besuelto por: Prof. Etling U. Becines
srTuAcr0NEs r00rcAs r
En la siguiente distribución de ¡noned¡rs,
Zcuántas sc det¡en ca¡nbiar de lugar, corno lnl-
nimo, para formar un triángulo con 7 monedas
cn cada lado?
A)2
B)3
c)4
D)s
E)6
2, l,Cuántas monedas de S/2 se pueden colocar,
como miiximo, alredeclor y tangcncialrnente a
las monedas mostradasen el gráfico?
A) 18
B) 16
c) 14
D) 19
E) 13
3. Se cncuentran 4 d¿¡dos collt(Ir)es ubica«los
sobre una mesa. SegÍrn ei gr,tifico, ictlál es la
surn¿¡ de la ca¡rtidad de todos los puntos ubi-
cados cn la.s ca¡as no visiblcs?
A) 50
B) 48
c) 42
D).52
E) s4
4, Si el dado comúrr gira sobre cada casilla cua-
drada en los sentidos seíralados por ltts flechas,
indique la sulna del total de puntos ubicados
en la cara superior cuando el dado ocupe los
casilleros sornt¡reados.
A) 12
D) 16
A)2
B)3
c)4
D)5
[)l
D)s
E) {;
A)4
B)5
o{i
Ir) 7
Ii)n
B) l5
]L 1i"tl:i!ij--il,-,1
A)2
B)3 q I
C) 4 \.,0
IEiIII
c) 13
E) lr
5. ¿Cuántos palitos hay <¡ue rnover, como rrtínimo,
p;rra que la igualdad sca correcta?
6, iCuántos ccril)os se deben rctirar, co¡¡to
rni¡irno, para que en el gráfico Ito qu(tde
triángulo alguno?
7, iCuántos cerillos dcbcn movcrse, como
mínirno, para obte ¡ler seis cuadrados idónticos
al cuadrado somt¡reado?
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iti
li
1t.. ...'..- ..1
üele Ánual
soruGtonrARto
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JómL ,e PuNTos Eñ c^r)r\ rl^.,., :
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Aportando en la n¡Íusión de la Eienc¡a y la Cultura
lEtEtf.iñfi1 G.U, 1 5 ltA/t¡NAMI Nt ll [!A!l ll^ll( (l
stTuActoNEs r0otcAs il
Para vcndcr sus produckrs, un comerciante de
abarrotes solo dispone de una balanza de dos
platillos y pesas de 3; 5 y 7 kg, una de cada
valor. ¿Cuántas vecesi como mínimo, debcrá
utilizar la balanza para pesa¡ exactamente
26 kg de arroz si se le permiticra utilizar los
obictos obtenidos como pesas?
A)r B)2 C)3
D)4 E)s
O) tt:lirirr ltt'slr, lr.r',¡ ¡r, Ilrrlrr¡, r r,,, ¡,,,,' r t,,
D) rctirlrt ttrt.t o rlr,', li,1r.,,, r,, t,! i , ¡ ,L,,Ll
¡nicrtto
E) No sc I)u('(t('rl¡'li rrrtr,l
6. SarayJttlia jttt'g:rrr rll nr,ur('rlr,rllr rrr.r,l.r,r rr'.r
lizarun corl(: t('(lo ¡rrr l.r" lll,,r'.,1, I l.rl,l, r,r
que se Intt(¡slr¿t t'n cl gt,rlir rr t,,rrr r ,rrlrr.ll,r
t¡utt st: «¡ttctl:r cot¡ r'l r rr,rrlr,r,l,r rr¡rrrlrr, .r,1,, 5i
Sara Ie da <lpotlutrltl,rrl ,r llll.r ¡r,rr.r rlrr. r'lr¡,r
ser primera cl st.¡¡r rrrrl,r, ¡ r ¡ r' lrr r r r r lll,r' r'lrr¡r
Julia para gararrtizar su lriunlrt'
A) primera
B) segunda
C) en cualquier caso gana
D) en cualquier caso ¡riertle
E) No se puede precisar.
7. Se tienen l0 fichas ordenadas err Iil;rs, t;rl
cono sc nlueslra cn la figura. Un jucrlcr
entrc dos personas consiste efr c¡rre c;r<lit rrna
puede retirar, por turno, una o más fic:has,
pero solo de la rnisma fila. Gana (, juo(() cl
que se queda con la última ficha. Z(luál «le las
siguientes es la estratcgia que debe seguir la
persona que empieza el juego para, jugando
adecuadanrt:nte, asegurarse ganar la ¡rartida?
A) rctirar I ficha de la fila C
B) retirar 3 fichas de la fila C
C) retirar 2 fichas dc la llla D
D) re tirar 4 fichas de la fila D
E) retirar 2 fichas de la fila ts
A) 16
D) 8r
A)l
D) 12
Sr¡ ticnen 200 esferas, todas del rnisrno
tamaño y aspecto; además, todas poseen el
mismo peso, a excepción de una esfera quc
¡resa más que las demás. Se desea deter¡ninar
cuál es esa esfera- ZCuántas pesadas, como
mínimo, se detrerár¡ realizar si solo se posee
una l¡alanza de dos platillos?
B) 27 C) 80
E) 243
B)3 c)5
[) 80
ffi*,,o
üü *, '
üüffi *, .
mmm$ «,
Se tiene 7 fichas alineadas y con ellas juegan
t.los ¡rersonas de acuerdo a las siguientcs rcglas:
- Cadajugadorasuturnoretira l; 2o3fichas.
- El quc rctira Ia última ficha pierde.
iCuál es la estratcgia a seguir por el primer
jugador para asegurar la victoria?
A) retirar una ficha en el primer movimiento
B) retirar dos fichas en el primer movimiento
2. Se tiene un saco con 2 kg de azúcar; dos
pesas, una de 10 g y otra de 50 g, además, se
dispone de una balanza de dos platillos. Si se
quicre pesar 130 g para entrcgarlo a un clicntc
en una sola bolsa, l,cuántas pesadas, como
nrínimo, se de ben realizar?
A)2 B)3 C)4
D)s E)6
l. Se tiene un total ele x esferas iguales, excepto
una que es ligeramente lnás liviana. Si se
dispone de una balanza de dos platillos, /cuál
cs el máximo valor quc puede tomarr para que
utilizando la balanza como máxirno 4 veces se
encuentre con seguridad la esfera más liviana?
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re EL &uE eEfrP^ r¡ rJurlqA
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Co¡'ro c.s.p.otearA eoNvtE'.¡E
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PIDErt'. )ZO Jr DE aEuc,R-
F".:a¡tas,
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2 P"""s"s. ctave' @
€.-tu.,d- (b
ñú'teoo nrojxr,r.o DE E'FEPA.
Jo PEq^DA r..g_jg- oü
ct{as
3e. -r-lEt$E'. =F rrcÉa.s
PESAf,fO
ArclcÁnug,
AL OTEo JUqADoR' 5 grcH¿g PaEI
AgE§,t"IÍtAr¿ LA VIC*T§C]A.
[:-nlrouce*: Á. DETAR. 5 rrcras
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Loñ'ralucaurE Oro¡ f)úA
S¿e.a A L I
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¡ Lisor U {:tóltl \3/
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5¿.Cá U¡{¿\ txiLrq :i GAñA 
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-Eg_e-
@
IEtúll
ÁnuaI
Er.r"
ltD l)
JUEGoS LóOTCOS
::
En un embiucadero, a orillas del rfo Tíber' se .:.
encuentran 20 soldados: cinco romanos, cinco *
macedonios, cinco gricgos y cinco egipcios, y t'
todos ellos necesitan pasar al otro lado. Nadie {'
sabe remar, y disponcn de rcrncro con una .:.
barca de remos con capacidad para t'inco *.
pcrsonas. Ahora bien: Ni en las orillas ni en la ¡
barca puede haber iuntos, por razones obvias, ¡
más soldados de una nación que dc otra. t'
ZCuántos üaies como mínimo debe realizar la *
barca para que todos pasen a Ia otra orilla? l:
A)7 8)6 c)8 ID)e E)5 +
.:.
Tres alumnas y dos alumnos deben pasar dc ¡
una orilla de un ío a otra, para lo cual tienen *
un bote en el cual pueden ir dos alumnas o *
un alumno, debido a que los alumnos pesan {'90 kg cada uno y las alumnas 45 kg cada una .1.
y el bote solo soporta 90 kg. iCuifurtos viaies de j.
una orilla a otra lendrán que hacer, como mí- .:.
nimo, para que Pasen todos? ::
A)s B)7 c)9 *
D)il E)l3 ':*
A continuación se presentan 4 fichas .nurn"' .i'
radas del I al 4. +
EOLUCtOilAntO
+
*
,
*
+
*
*
*
*
*
*
*
t
*
*
+
n
lt'
4, T¡es carlíbales y trcs caz¿tdores se encuentran
en la onlla de un río y descan trasladarse a la
otra orilla, para lo cual tienen un bote ert el que
pueden ir a lo más dos personas. Si en una
o en el bote los caníbales superan en
a los cazadores, eslos son devorados.
cuántos viaies, como mínirno, se trasladaron
a la otra orilla?
:ir r¡eue.205ouems Q,
5e
5rz,5v\
52;Sul
56;58
cLAvE, @
tÁ2
M.z,Y,t
Ya,V2-
Yar!2, V.2
Y¡,Vz
/
soLLl C_.1 ol\l
5e -rerts:
Mov¡*trEu-o*,
JO
F 5 qoMANos
l¡ 5 M¡c¿¡-
lr- 5 Gereea
[¡+ 5 Es,pcros
(¿)
5P+ &r4.
4 I
A)9
D) 12
A)3
D)6
B) lo
B)4
c) ll
E) 13
c)5
E)7
5M;52i
5. Un comerciante posee dos recipientes: uno
5 L y otro de 13 L, cada uno lleno con
tJn clicnte desea comprar 16 L de leche y -trirn, ? v/Árcs trrfr.I {lo
2 ello ha traído un recipiente de 17 L de
cidad, pcro nfurguno de los tres recipiente§
marca alguna. ZCuántos trasvases, cotno
mo, debcn realizarse para cunlplir el
del cliente?
A)s
D)8
B)6
6, Se üenen tres recipientes de 20 L; 13 L y 7
sin marca, El primero está lleno de agua y
otros dos están vacíos. ¿Cuántos trasvases
deben realizar, como mínimo, Para
exactamente 12 L? Considere que el lfquido
se desperdicia.
Qe @IsoLugróN
O9
3"
Ll"
5"
6"
7
I
c)
E)
5e -rrEL¡E i
3 Ar-u*u^.s'. M,r lÁr,W
(+s g "t")
3 Auuuros' Ya 3tl2
(so g v")
\Aer=.
Mr iMo;¡4"
V.r jV=
rl
Ll
2 2J I
q
2 3lr
3
@ @ @ @
*
+
*
*
**
*
Se deben realizar moümicntos rectos tt"ri- .i.
zontal o vertical), de tal manera que las fichas ¡
se encuentren contiguas y en orden creciente *
de izquierda a derecha. áCuántos movimien- '!'
tos, como minimo, se deben realizar para lo- {'
grar ese obietivo? Considcre que una ficha no ']
puede moverse por sobre otra ni empu¡arla. ;.
*A)s B)10 c)ll *
D)12 E)13 **
a
7, Se tiene un batde de 12 L de capacidad,
graduar, lleno de agua y dos iarras vaclas
graduadas de 7 L y 5 L, y se quiere obtener
una de las iarras cxactamente 3 L.
uawases, como mínimo, se necesitan
cumplir con el pedido, sin desperdiciar
en ningún momenlo?
A)5
D)2
4
6
c)
E)
Qet*sÉp
5M+Qe¡r
Q¿¡s,en¿
5G+f&¡a
Q¿¡aepo
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T-EANSVASÉA
eLa¡¿g, @
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fl I {' l}t./t I I tl,t I l{ ll
1
ai
!
RETACION ES DE PARENTESCOS Q=.o @ '2e=o,-uc.,d*r (,'lLUCIONJ
.:.
1. Cristian pregunla: LQué reloción familfur tiene 4
conmigo Pilar si su modre tue la hiia de mi E
madre? Delermine Ia.respuesta correcla. ¡
A) hija B) prima 'ii. ,
C) sobrina D) hermana ,
E) esposa *
2. Yo me llamo Lisset, mi hermano Nliguet y ta es- :ii
posa de mi hermano es Luisa. Si yo tengo solo *
un hermano, Zqué parentesco tiene conmigo *
el.hiio del hijo del suegro de Luisa? *
A) hermano B) Primo I:
C) tío D) nieto *
E) sobrino *
*
3. Luisllegatardea§ucasaysuesposalerepren- *
de: i.A dónde has ido? y este le responde con t'
sinceridad: Ile o isitddo a la hi¡a de la madre del *
podre del hermano de! hiio del suego de la es' 1
poso de mi hermano. Entonces, Luis visitó a su .i
A) cuñada B) madre *
C) tia D) sobrina +
E) hermana 
I:
4. Determine la relación de parentesco que hay A
entre el padre del padre de la nuera del abuelo *
patemo del único sobrino de mi cuñada y mi 'l
iriio, si soy hiio único. l:
A) abuelo - nieto B) tío - sobrino *
C) Padre - hiio D) Primos 1
E) bisabuelo - bisnieto I
5. En una reunión se encuentra Esteban con sus *
padres, su tío de sangre y su tla de sangrc; 'i.
además, se pudo observa¡ dos padres, dos *.
rr¡adfes, dos hermanos, dos hermarns' una .!
prima, un primo, dos e§posos, dos esposas y ¡
otros parente§cos más que no recuerdo. Con ¡
dicha información, determine el menor número *
de personas que pudo haber en la reunión' .|.
A)s 8)6 c)7 l:
D)8 E)9 *
*
6. La mamá de Pedrito demandó a Gilberto polt'
alimentos. Un dfa, en la puerta de la casa de '3'
Gilberto aparecieron un padre, una madre, +
dos hermanos varones, dos hiios varones' un ';l
suegro, una suegra y una nuera. iCuántas per- ;.
sonas, como rnínimo, estuvierort presentes en
la puertá de la casa de Giltrerto?
A)7 B)4 c)3
D)6 E)s
Un señor invitó a cenar al tío de su esposa, al
cuñado de su padre, al suegro de su hermano,
al hermano de su suegro y al padre de su cu-
ílaria. áCuántos invitados tuvo corno mínimo?
A)2 B)3 c)4
D)s E)6
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CITZCAIÍO ,oo'tdo,trdihtsiti,d¿trEie,cievt cnttü, 17lL MATERIAT DIDACTICO N"l
ORDENATIIIIENTO DE INTORUIACION I
1 Fn el cumpleaños de Mateo se inflaron 5 glol»s,
como se muestra en la figura,que al final se
reventaron.
- Cuando se rcventó el globo (:on la letra O,
quedaban todavía 2 globos sin rcventar.
- El globo con Ia letra M no se reventó al inicio
'ni al final, pero sl después dcl que tienc la
letra A, que se reYentó segundo.
- El globo con Ia letra E fue el que se reventó
al último.
Indique cuáles de las siguientcs alirr¡raciones
son verdaderas.
I. El globo con la letra T se reventó primero.
IL EI globo con la letra O se reventó cuarto.
III. EI globo con la letra A se reventó alttes que
el globo con la letra O.
A) I y II B) solo I C) solo II
D)Iylll E) IIyrlI
2. Cinco amigos (A, B, C, D y E) se sientan en una
fila de seis asienlos contiguos. De ellos se sabe
lo siguiente:
- A no se sienta iunto a E, pero hay una
persona sefitada a cada uno de sus la<los.
- D se sienta en uno de los extremos de la lila.
- C se sienta tres as¡entos a la izquierda de D
y a Ia derecha de 13.
- El asiento vaclo está iunto y a la izquierda
de E.
A partir de A, áqué asiento está vacío?
A) 1." B) 2." C) 3."
D) 4." E) 5."
3. Marcos, Ivián, Fredd¡ Paulo, Áex y Jorge s.:
ubican en scis asientos contiguos cn una fila
de un teatro. Freddy está ¡unto y a la izquicrda
de Álex, Ma¡cos a la derccha de Fredcty, iunto y
entre Jorge e lván;.lvan está juntoy a la izquicrda
de Paulo. JQuién ocupa el tcrccr asiento si los
contamos a partir de la ubicación de Freddy?
A) Marcos B) Paulo C) Iván
D) Jorge E) Freddy
4- Al finalizar uná carrera cr¡tre cinco ar¡tos se
conoce la siguicntc información:
- El auto lregr<l llcgó tres puestos después del
r<rio.
- El auto blanco no llegó inmcdiatamente
dcspués dcl auto ¿Izul.
- lll auto celeste lleg<i tres puestos después
del azul,
It¡r lo tanto, es cierto que
l. cI auto l)lanco no llcgó en tercer lugar.
II. el auto azul llegó dos puesto§ delantc del
celeste.
III. el auto negro llegó ultimo.
A)sololl B)lylll C)lyll
D) solo lll E) solo I
5. Seis amigos (A, B, C, D, E y F) descan serllarse
alrcdedor de una mcsa circrrlar. A está iunto y
a la derecha dc B, C no está iunto a D ni a E,
D está lrcnte a A, entonces
A) E se encuentra frente a F.
B) F se ubica a Ia izquier<la de C.
C) F no se ubica entre C y D.
D) E está a la derecha de D.
F) No podemos dclerminar ningún
mienlo.
6. Scis personm se s¡entan alrededor de una
simétfica¡nente dispues¿as. Lu¡s no est¿á
al latlo dc Ernesto ni de Jrmn, y Fliurcisco ¡ro
al lado de .luan ni de Fablo, quien se
junto y a la derecha de Ernesto. Si Luis ¡ro
frenle a limesto n¡ ¡unto, ni a la izquierda de
blo, ¿quién está scntado frente a Franc¡sco?
A) Ernesto B) Jua¡¡ C) Gustavo
D) Luis E) Francisco
7. Ocho amigos (Armando, Bruno, Carlos,
Enrique, Fetipe, Gatrriel y Hernán) se
alrcdcdor de una rnesa circular cuyos
se encuentrari distribuidos si¡nétr¡cnncnte.
lo anlcrior, se sabe quc
- Armando se sienta al frente de Enrique.
Dan¡el no se sicnta iur¡to a llruno y a
Carlos se sienüa al frente de F'elipc.
Hernan sc sienta lrente a Bruno.
- Gabriel se sienta junto a C¿rrlos.
Si Gabriel y Arrnardo sc sierrtan iurrtos,
es siempre c¡erto que
A) Brrrno está a la iz<¡ricrda de lreli¡re.
Il) Bruno est¿i a la dcrecha dc F'eli¡rt:.
C) Gatrriel está frente a Enrir¡ue.
D) Daniel cslá frente a Carlos.
E) Enrique está iunto a Danicl-
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Beu¡¡o EstudioDAÑIE,L (t+e.euÁru) §unmrm filerere
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