TRIGONOMETRIA_03_GEOMETRIA ANALITICA

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TRIGONOMETRÍA 
 
SEMANA 03: GEOMETRIA ANALITICA 
INTRODUCCION A LA GEOMETRIA ANALITICA 
01. Se tiene los puntos A(4, 0) y B(0, 8), calcule 
las coordenadas del punto P situado sobre el eje 
Y, que sea equidistante de A y B. 
A) (0, 1) B) (0, 2) C) (0, 3) 
D) (‒2, 0) E) (‒3, 0) 
 
02. El segmento de extremos A(‒2; 3) y B(12, 
8) se divide en cinco partes iguales. Calcular la 
suma de las abscisas de los puntos de división. 
A) 16 B) 18 C) 20 
D) 22 E) 24 
 
03. Un segmento AB , A(–2; 1) y B(8; 6) se 
divide en 5 partes iguales, una de las alterna-
tivas no corresponde a las coordenadas de 
división del segmento. 
A) (0; 2) B) (2; 3) C) (3; 4) 
D) (6; 5) E) (4; 4) 
 
04. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, 
las coordenadas del ortocentro (6; 9) y del cir-
cuncentro son (3; ‒3). Calcular las coorde-
nadas del baricentro del triángulo: 
A) (‒4; ‒1) B) (4; 1) C) (1; ‒4) 
D) (2; ‒3) E) (‒2; 3) 
 
05. Los puntos extremos de un segmento son 
P1(2, 4) y P2(8, –4). Halle el punto P(x, y) que 
divide a este segmento en dos partes tales que 
P2P: PP1 = –2 
A) (–2, 8) B) (–3, 9) C) (–4, 12) 
D) (–6, 12) E) (–4, 10) 
 
06. Los vértices de un triángulo equilátero son 
A(–1;0); B(0;2) y C. Calcule una de las 
coordenadas del vértice C. 
A) (
3 2 1 2 3
;
2 2
− −
− ) B) (
3 1 1 2 3
;
2 2
− −
) 
C) (
3 1 1 3
;
2 2
− −
) D) (
1 2 3 2 3
;
2 2
− − +
) 
E) (
2 3 2 3
;
2 2
− +
) 
 
07. A(1, 1 ); B(3, 5 ); C(11, 6) y D son vértices 
de un paralelogramo. Determine la longitud de 
la menor diagonal. 
A) 4 5 μ B) 3 5 μ C) 2 2 μ 
D) 3 2 μ E) 2 3 μ 
08. Los vértices consecutivos de un cuadrilá-
tero son: A(1;2), B(4; 7), C(–6; 13) y D(–9; 8); 
luego el cuadrilátero es: 
A) Cuadrado B) Rombo C) Trapezoide 
D) Rectángulo E) Trapecio 
 
09. Los vértices consecutivos de un cuadrilá-
tero son: A(0;4), B(8;10), C(2;1) y D(–2; –2); 
luego el cuadrilátero es: 
A) Cuadrado B) Rombo C) Trapezoide 
D) Rectángulo E) Trapecio 
 
10. En un trapecio isósceles de bases parale-
las al eje x, dos de sus vértices opuestos son (5; 
9) y (17; 14). Calcular el área del trapecio. 
A) 602 B) 392 C) 502 
D) 522 E) 522 
 
11. De la figura mostrada, calcule: 
a 1
b 1
+
+
 
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 5 
E) 6 
 
12. Si en el gráfico: OA = OB; OP = OQ. Calcule: 
cot(θ) 
A) 
1
7
 
B) 
2
7
 
C) 
3
7
 
D) 
4
7
 
E) 
5
7
 
 
13. Con centro en el punto (5, 3) se dibuja una 
circunferencia que es tangente al eje de 
ordenadas en el punto A e intersecta al eje de 
abscisas en los puntos B y C. Calcule el área de 
la región triángular ABC: 
A) 82 B) 122 C) 142 
D) 162 E) 202 
 
14. Los vértices de un triángulo ABC son: 
A(0;–6), B(–2;4) y A(7;1). Calcular la longitud 
de la proyección del lado sobre el lado BC AC
(4, 4) 
(–2, 10) 
(1, 1) (b, a) 
θ θ 
y 
B 
M 
N 
Q 
X 
P(8; –2) 
A(6; 8) 
θ 
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A) B)2 C) 3 
D) 4 E) 6 
 
15. Las coordenadas de los vértices de un 
triángulo son A(2; ‒3), B(0; 5) y C(‒4; 2). Calcular 
la longitud de la altura relativa al lado BC. 
A) 48/5 B) 33/5 C) 37/5 
D) 38/5 E) 28/5 
 
16. Los vértices de un triángulo son A(3; 3), 
B(11; 9), C(4; 10). Calcule las coordenadas del 
circuncentro. 
A) (3; 4) B) (7; 6) C) (5; 6) 
D) (3; 2) E) (7; 5) 
 
17. En la figura mostrada L1//L2 y las coor-
denadas del punto C son (2; 15). Calcule el área 
en u2 de la región triangular AOB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 25 B) 37 C) 46 
D) 54 E) 82 
 
18. Hallar el área del cuadrilátero cuyos vérti-
ces son (–3; 2), (1;–9), (–8;–2) y (6;0). 
A) 80 B) 81 C) 82 
D) 91 E) 12,5 
 
19. Sean los puntos A(–1, 1), B(2, 3 ). Se ubica 
un punto C en el semieje negativo de las 
abscisas tal que el área de la región triangular 
ABC sea igual a 7.5 u2. Calcule la distancia (en 
u) entre los puntos B y C. 
A) 12 B) 153 C) 163 
D) 13 E) 193 CEPRE_2009-I 
 
20 Los vértices de un triángulo son A(n;2n), 
B(4n;n), C(2n;3n) si el área de dicho trián-
gulo es 182. Calcular el valor de n (n > 0). 
A) 8 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 6 
 
21. Si los puntos A(–2, 2), B(2, 4) y C son vértices 
de un triángulo ABC, donde “C” esta en el IV 
cuadrante y el lado AC pasa por el origen de 
coordenadas de centro “O”, calcule la longitud del 
segmento “CM”, si el área de la región triangular 
ABC es 2,5 veces el área de la región triangular 
AOB, M es punto medio de AB. 
A) 2 5 B) 3 5 C) 4 5 
D) 5 5 E) 6 5 
 
22. Una bolilla parte del punto (3;6), rebota en 
el semieje positivo de las ordenadas alcanzan-
do el punto (6;0). Determinar las coordenadas 
del punto donde rebota. 
A) (0;6) B) (0;8) C) (0;4) 
D) (0;5) E) (0;3) 
 
23. Una bolilla parte del punto (4; 9) y rebota 
en los semiejes positivos del sistema hasta 
llegar al punto (12; 3). Determinar el recorrido 
(en u) de la bolilla. 
A) 20 B) 18 C) 24 
D) 15 E) 13 
 
24. Un rayo de luz parte de la posición (–8;5) y 
después de rebotar en el eje de abscisas llega al 
punto (7;3). Hallar el recorrido del rayo de luz. 
A) 10 B) 12 C) 15 
D) 17 E) 20 
 
25. Halle el punto Q del gráfico para que la suma 
de las distancias d(A, Q) + d(Q, B) sea la mínima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) (2, 0) B) 
5
,0
2
 
 
 
 C) 
7
,0
2
 
 
 
 
D) (3,0) E) (4, 0) 
 
26. Dado el triángulo ABC A(–6;1) ; B(4; –1) y 
C(12;13). Un mosquito viaja del punto medio de 
 hasta el punto medio de tocando al lado 
. Calcular su menor recorrido. 
A) 12 B) 10 C) 9 
D) 13 E) 16 
 
LA RECTA Y SUS ECUACIONES 
2 2 2
2 2
AB BC
AC
y 
x 
B 
A(8; 6) 
C 
L2 
L1 
0 
A(0; 9) 
B(5; 6) 
Q(x; 0) 
0 
X 
Y 
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27. Determine el lugar geométrico de todos los 
puntos en el plano cartesiano, que equidistan 
de los puntos P(–2; 6) y Q (6: 10) 
A) x + 2y – 10 = 0 B) 2x – y + 10 = 0 
C) 2x + y – 12 = 0 D) x – 2y – 12 = 0 
E) 2x + 2y – 5 = 0 
 
28. Dado los puntos P(7; 4) y Q(–1; –2), además, 
L: ax + by + c = 0 es la mediatriz del segmento 
PQ, calcule la distancia (en u) del origen de 
coordenadas a la recta L. 
A) 3 B) 7 C) 8 
D) 10 E) 15 
 
29. Sea una recta cuya ecuación es 
L:(3k + n – 2)x + (5k – 2n + 1)y + 3k–4n+2=0, y 
pasa por los puntos (–2; 1) y (2; 0); entonces el 
valor de 68(k + n) es: 
A) 97 B) 98 C) 99 
D) 100 E) 101 
 
30. Indique una de las ecuaciones de las rectas 
de pendiente 0,75 tales que forman con los ejes 
un triángulo de 24 u2 de área. 
A) 3x – 4y + 21 = 0 B) 3x + 4y + 21 = 0 
C) 3x – 4y + 23 = 0 D) 3x – 4y + 24 = 0 
E) 3x + 4y + 24 = 0 
 
31. Una recta de pendiente negativa intersecta 
a los ejes coordenados formando un triángulo 
rectángulo de área 6 u2 y el punto (6; –4) 
pertenece a la recta. 
Determine la menor pendiente de la recta. 
A) –5/3 B) –4/3 C) –1 
D) –1/3 E) –1/6 PARCIAL_2010-I 
 
32. Una recta con pendiente 7/3 pasa por el 
punto P=(1, 2). A y B son dos puntos sobre esa 
recta que distan 58 unidades de P, si A está en 
el primer cuadrante, determine las coorde-
nadas de (A – B)/2. 
A) (2, 4) B) (1, 2) C) (–3; –7) 
D) (3, 7) E) (–1; –2) PARCIAL_2007-I 
 
33. Una recta L pasa por los puntos (–4b; 0), 
(0;2b)y (4, 4b). Determine la proyección del 
origen de coordenadas a la recta L. 
A) 
4 2
,
5 5
 
− 
 
 B) 
4 4
,
5 5
 
− 
 
 C) 
4 6
,
5 5
 
− 
 
 
D) 
4 8
,
5 5
 
− 
 
 E) 
4 10
,
5 5
 
− 
 
 
 
34. Determine la ecuación de la recta que pasa 
por el punto de intersección de las rectas x–
y+5=0 y x+y+1 = 0. Además esta recta debe 
tener pendiente positiva y distan del origen de 
coordenadas 3 unidades. 
A) 5x – 12y + 39 = 0 B) 5x–12y + 19 = 0 
C) 10x – 24y + 39 = 0 D)10x–24y+19 = 0 
E) 10x – 24y + 49 = 0 
 
35. Halle el área del trapecio formadopor las rec-
tas: 3x – y – 5 = 0, x – 2y + 5 = 0, x + 3y – 20 = 0 
y x – 2y = 0 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
36. En el plano XY se tiene las rectas: 
L1: 3x + 2y – 18 = 0 
L2: 3x + 2y – 12 = 0 
Determine la ecuación de la recta L3 que 
equidista de las rectas L1 y L2 contenida en el 
plano XY. 
A) 3x + 2y + 15 = 0 B) 3x + 2y + 12 = 0 
C) 3x + 2y – 12 = 0 D) 3x + 2y – 6 = 0 
E) 3x + 2y – 15 = 0 CEPRE_2007-II 
 
37. Se tienen dos rectas paralelas 
L1: 3x + 4y – 2 = 0 
L2: 3x + 4y – 7 = 0 
La tercera recta L3 intersecta a L1 y L2 determi-
nando un segmento de longitud 2 u. 
determine la pendiente positiva de la recta L3. 
A) 1/7 B) 1/6 C) 1/5 
D) 1/4 E) 1/3 
 
38. En la siguiente figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se traza una recta de ecuación x + by + c= 0 
que pase por el punto C, que intersecte al eje X 
en un punto E de tal manera que el área del 
cuadrilátero ABCD y del triángulo ABE sean 
iguales. Entonces bc es igual a: 
A) ‒8 B) ‒6 C) 4 
D) 5 E) 6 PARCIAL_2008-II 
 
39. Determine la ecuación de la recta que pasa 
por el punto (–1; 2) y que hace un ángulo de π/4 
con la recta de ecuación: y– x/4 – 1 = 0 
x 
y 
C(5,1) 
B(2,2) 
A(0,0) D(4,0) 
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A) y – 2 = 
4
3
(x+1) B) y – 2 = 
5
3
 (x+1) 
C) y – 2 = 
7
3
 (x+1) D) y – 2 = 
8
3
 (x+1) 
E) y – 2 = 3 (x+1) PARCIAL_2011-I 
 
40. El punto P de ordenada 10, pertenece a la 
recta L cuyo ángulo de inclinación es 71,5°. Si 
dicha recta L pasa por el punto (7; –2), calcule 
el valor aproximado de la abscisa de P. 
A) 8 B) 9 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
41. Sea el triángulo con vértices 
A= (2; –1), B = (–1, 2) , C = (3, 3) y baricentro 
G. si θ = m∠GAB, calcule tanθ 
A) 9/5 B) 5/9 C) 3/5 
D) 5/3 E) 4/9 PARCIAL_2007-I 
 
42. Dados los puntos A(1,1) y B(9,7), se pide 
determinar las coordenadas de un punto C en el 
primer cuadrante, perteneciente a la recta L’ 
definida por la ecuación y = x – 6, tal que el 
ángulo ACB sea recto. 
A) (10, 4) B) (10,5) C) (5, 10) 
D) (1, 5) E) (1, 10) PARCIAL_2006-II 
 
43. Desde el punto “P” del eje de ordenadas, se 
divisa al segmento de extremos A(–5, 1) y B(8; 
–5), bajo un ángulo de 90°. Calcule la suma de 
coordenadas de P. 
A) {–5} B) {–5; 9} C) {–9; 5} 
D) {5} E) {–5; 7} 
 
44. Los vértices de un triángulo son A(–5; 1), 
B(–1, 9) y C. Si el tercer vértice C se encuentra 
en la recta L: x – y = 0, de manera que el 
perímetro el triángulo es mínimo, calcule la 
suma de las coordenadas de C. 
A) 0,25 B) 0,5 C) 1 
D) 2 E) 4 
 
45. Sean los puntos A(–6, 2), B y C(14; 12), 
colineales talque B∈ AC . Halle la ecuación de la 
recta L, de pendiente positiva y que pasa por B, 
tal que su distancia a los puntos A y C sea 4u y 
6u, respectivamente. 
A) 4x – 3y + 6 = 0 B) 4x – 3y + 10 = 0 
C) 3x + 4y + 6 = 0 D) 3x – 4y – 10 = 0 
E) 4x + 3y – 10 = 0 
46. Desde el punto A(5; 1) se traza una 
perpendicular a la recta L: x+y+2=0 que la 
corta en B. Si el segmento AB es la base de un 
triángulo isósceles cuyo tercer vértice se 
encuentra sobre el eje de ordenadas. Halle el 
vértice C. 
A) (0; 4) B) (0; –3) C) (0; –4) 
D) (0; 2) E) (0; –2) 
 
47. Sea la circunferencia con centro en C(0; 1) y 
con radio R. Determine la ecuación de la recta L, 
que pase P(5; 0) y cuya distancia al punto C sea 
máxima. 
A) 5x + y + 25 = 0 B) x + 5y + 25 = 0 
C) 5x – y + 25 = 0 D) x – 5y – 25 = 0 
E) 5x – y – 25 = 0 
 
48. Un rayo de luz viaja por la recta L1: y = 
3x+7, e incide sobre un espejo que se ubica en 
la recta L2: y = –4x. Determine la ecuación de la 
recta que contiene al rayo reflejado 
A) 37x + 32y = 91 B) 37x + 39y = 119 
C) 32x + 37y = 116 D) 39x +37y = 109 
E) 3x + 4y = 13 
 
49. Calcule la pendiente positiva de la recta que 
biseca al ángulo formado por el eje Y y la recta 
cuya ecuación es: 3y – 4x – 12 = 0 
A) 7/3 B) 5/2 C) 8/3 
D) 3 E) 7/2 PARCIAL_2011-II 
 
50. Si los vértices de un triángulo son A(1; 1), B(2; 
3) y C(8; 0); determine la ecuación de la recta que 
pasando por “A” sea perpendicular a la bisectriz 
interior BD del ángulo “B” (D en AC ). 
A) x – 3y + 2 = 0 B) x – 4y + 3 = 0 
C) 3x – y – 2 = 0 D) 4x – y – 3 = 0 
E) x – 6y + 5 = 0 
 
51. Los vértices de un triángulo son los puntos 
A(3, 6), B(–1; 3), C(2, –1). Calcule la longitud de 
la altura trazada desde el vértice “C” 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
 
52. Dado los vértices A(–2; 4) y B(6; –2) de un 
triángulo ABC, y el punto H(1; 3) intersección 
de sus alturas. Halle el vértice C. 
A) (–4; 10) B) (2; 13) C) (13; 19) 
D) (–10; 20) E) 7; 13) 
 
53. Dada la ecuación de la recta L: 2x + 3y – 1 = 0. 
Determine el punto simétrico del punto P (1; 1) 
con respecto a la recta L. 
A) 
3 11
;
13 13
 
− 
 
 B) 
3 11
;
13 13
 
− 
 
 C) 
3 11
;
13 13
 
− − 
 
 
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D) 2 11;
13 13
 
 
 
 E) 2 11;
13 13
 
− − 
 
 
 
54. Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta 
3x – y + 2 = 0 y uno de sus vértices en (1; 1). Calcule 
el área de dicha región cuadrangular (en u2) 
A) 1,2 B) 1,4 C) 1,6 
D) 1,8 E) 2,0 
 
55. Determine la ecuación de la recta que une el 
ortocentro y el circuncentro del triángulo ABC, 
A(–3; –3), B(1, 1) y C(3; –5) 
A) x + y + 1 = 0 B) x + y + 2 = 0 
C) x + y + 3 = 0 D) x + y – 1 = 0 
E) x + y – 2 = 0 
 
PROF. RAUL ALEJO