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Capítulo 1 Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 1.1. Problemas de regresión lineal simple con ordenador. Problema 4.1. �Los datos de la tabla adjunta proporcionan la distancia en línea recta (LR) y por carretera (DC) entre veinte pares de puntos geográ�cos (localidades) de She¢eld. 1. ¿Existe una relación lineal entre las dos variables? 2. ¿Es su�cientemente bueno el modelo de regresión lineal que explica la variable de interés DC en función de la variable regresora LR?. Estimar el modelo de regresión lineal. Calcular intervalos de con�anza al 90% para los parámetros del modelo. 3. Calcular la tabla ANOVA del modelo. Conclusiones que se obtienen. 4. Predecir la distancia por carretera entre dos ciudades cuya distancia en línea recta es 25. Calcular un intervalo de predicción al 90%. Repetir el apartado si la distancia (LR) es 50. 5. ¿Existe un modelo linealizable mejor? DC LR DC LR DC LR 1007 905 1606 1201 2808 2106 605 500 2900 2200 3102 2605 2904 2300 4005 2802 605 408 1702 1502 1402 1201 2507 2107 1804 1104 1107 908 2605 1800 1907 1108 2506 1900 3301 2800 1603 1406 905 803 1 2 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Desarrollo del Problema 4.1. En primer lugar se representa la grá�ca de dispersión de la nube de puntos que permite tener una primera idea acerca de la forma del modelo de regresión. Se utiliza el siguiente módulo de Statgraphics graficos > graficos de dispersion > grafico x-y Un estudio detallado del modelo lineal simple ajustado se obtiene en dependencia > regresion simple Dentro de este módulo, en el apartado resumen del procedimiento, se obtiene la recta de regresión estimada (estimación de los coe�cientes de �0 y �1; desviaciones típicas, lo que permite calcular intervalos de con�anza de los mismos y test de la t). Este apartado también proporciona la tabla ANOVA y los coe�cientes de determinación. En este problema el coe�ciente de correlación es r = 00969, y se concluye que el ajuste lineal es bueno. El apartado predicciones permite calcular predicciones e intervalos de con�anza de la media condicionada y de predicción para una observación determinada. Si la recta de regresión se quiere comparar con otros modelos �linealizables� se puede hacer en el apartado comparacion de modelos alternativos Este módulo proporciona la correlación de doce ajustes. Con los datos de este problema los ajustes �doble recíproco� y �multiplicativo� mejoran ligeramente (en correlación) a la regresión lineal y habría que evaluar la conveniencia de trabajar con ellos. Para calcular el ajuste de alguno de estos modelos �linealizables� se utiliza el apartado de opciones en resumen del procedimiento. Este módulo también proporciona las observaciones con residuos grandes (residuos atipicos), las observaciones in�uyentes (puntos influyentes) y diferentes grá�cos que permiten evaluar la bondad del ajuste y el cumplimiento de las hipótesis básicas. Problema 4.2. (Datos simulados) �Este problema consta de dos partes. En un primer apartado se simula un conjunto de datos bidimensionales (xi; yi) que siguen un modelo de regresión lineal simple con diseño �jo. En el segundo apartado se estudia el modelo de regresión que mejor se ajusta a los datos simulados en el apartado anterior. La variable regresora X toma los valores 5; 8; 12; 15; 20; 22; 25; 27; 30 y 33: Para cada valor deX se tienen 15 observaciones de la variable respuesta Y; en total, 150 observaciones. Los valores se generan a partir del modelo matemático Y = 40 + 105X + "; donde " sigue una distribución N � 0; 102 � : Se seguirán los siguientes pasos: Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 3 1. Generación de la muestra. 2. Hacer un estudio estadístico básico de la variable condicionada Y=X: 3. Calcular la recta de regresión ajustada a las observaciones simuladas: estimación de los parámetros, tabla ANOVA, contraste de regresión y de linealidad, intervalos de con�anza. ¿Se obtienen resultados congruentes, la recta de regresión ajustada está próxima a la recta generadora de las observaciones? 4. Contrastar las hipótesis estructurales del modelo. ¿Existen datos atípicos? 5. Hacer predicciones para X = 10; 20; 30; 40; 50; 100: Calcular intervalos de con�anza y de predicción. 6. Estudiar otros modelos linealizables. Desarrollo del Problema 4.2. Para generar la muestra por simulación se siguen los siguientes pasos: - Crear la variable valor_x = 5; 8; 12; 15; 20; 22; 25; 27; 30; 33: - Generar la variable x = rep(15; valor_x): - Generar la variable recta = 40 + 1; 5 � x: - Generar la variable error = rnormal(150; 0; 10): - Obtener la variable respuesta y = recta+ error . La muestra (simulada) se representa en un grá�co bidimensional según el análisis graficos > graficos de dispersion > grafico x-y Como se dispone de varias observaciones de la respuesta para cada valor de X se debe hacer un análisis estadístico de la variable condicionada Y=X: Para ello se utiliza el módulo descripcion > datos numericos > analisis de subgrupo Introducir codes = x. Igual que en el problema anterior el análisis de regresión se realiza en dependencia > regresion simple En este problema se puede hacer una tabla ANOVA más completa y el contraste de linealidad en la opción contraste de falta de ajuste. El desarrollo del resto del problema es análogo al anterior y como se dispone de un número relativamente grande de observaciones se puede hacer un estudio más completo acerca del cumplimiento de las hipótesis del modelo. 4 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar 1.2. Problema resuelto de regresión lineal simple. Problema 4.3. �Los datos de la tabla adjunta muestran el tiempo de impresión (Y ) de trabajos que se han imprimido en impresoras de la marca PR. Se está interesado en estudiar la relación existente entre la variable de interés �tiempo de impresión de un trabajo� y la variable explicativa (X) �número de páginas del trabajo�. Utilizando estos datos ajustar un modelo de regresión�. Datos de las impresoras x y x y x y 1 24056 17033 17081 28007 23016 19041 22053 14070 2 29092 17014 37025 31090 31080 41072 24059 3 28086 30001 44073 44043 41032 34016 28079 4 29003 45000 53052 54038 47063 30011 44034 48095 5 52055 69050 55061 52098 65070 40011 45021 46063 6 65039 57048 62085 69009 71044 57029 50042 7 85033 66073 68017 78094 61007 76071 78034 88025 64084 8 83082 75038 69040 84042 80068 60079 100008 74079 9 82090 105073 102013 119082 93093 102030 10 79082 90083 89000 83081 71079 76020 76030 Solución Problema 4.3. Se calculan los estadísticos básicos de las variables X e Y; n = 75 Pn i=1 xi = 408 �x = 5 044 Pn i=1 x 2 i = 2;818 x 2 = 3705733 s2x = 7 09797 sx = 2 082484 Pn i=1 yi = 4;321 07 �y = 5706227 Pn i=1 y 2 i = 296;397 y 2 = 3;951096 s2y = 631 0586 sy = 25 01313 Pn i=1 xiyi = 28;362 05 xy = 3780167 sxy = 64 06995 Las estimaciones de los parámetros de la recta de regresión son �̂1 = sxy s2x = 6406995 709797 = 80108: Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 5 �̂0 = �y � �̂1�x = 57 06227� 80108 � 5044 = 130515 Se calculan las predicciones ŷi Predicciones xi ŷi xi ŷi xi ŷi xi ŷi xi ŷi 1 210623 3 370839 5 540055 7 700271 9 860487 2 290731 4 450947 6 620163 8 780379 10 940595 La suma de cuadrados de los residuos (scR) se obtiene como 75X i=1 e2i = 75X i=1 (yi � ŷi) 2 = 75X i=1 � yi � � 130515 + 80108xi ��2 = 8025061: Una forma alternativa, más sencilla, de calcular scR es 75X i=1 e2i = 75X i=1 y2i � �̂0 75X i=1 yi + �̂1 75X i=1 xiyi ! = 8025061: La varianza residual es ŝ2R = 1 n� 2 75X i=1 e2i = 8025061 73 = 109094) ŝR = 10 0485: Las varianzas de los parámetros son V ar(�̂1) = ŝ2R ns2x = 109094 75 � 709797 = 001837) �(�̂1) = 0 04286: V ar(�̂0) = ŝ2R n � 1 + �x2 s2x � = 109094 75 � 1 + 50442 709797 � = 609022) �(�̂0) = 2 06272 Intervalos de con�anza (al 90%) y contrastes de hipótesis sobre los parámetros delmodelo son: Intervalo de con�anza para �2 (n� 2) ŝ2R �2 � �2n�2 ) � 2 73 � 0005 � � 73 � 109094 �2 � �273 � 0095 � ) 5403245 � 8025062 �2 � 9400592) 850325 = 8025062 9400592 � �2 � 8025062 5403245 = 1470735: Intervalo de con�anza para �̂1 �̂1 � �1 � (�̂1) � tn�2 ) t73 � 0005 � � 80108� �1 004286 � t73 � 0095 � ) �106664 � 80108� �1 004286 � 106664) �1 2 8 0108� 004286 � 106664 = 80108� 007142 = � 703938; 808222 � : 6 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Intervalo de con�anza para �̂0 �̂0 � �0 � (�̂0) � tn�2 ) t73 � 0005 � � 130515� �0 206272 � t73 � 0095 � ) �106664 � 130515� �0 206272 � 106664) �0 2 13 0515� 206272 � 106664 = 130515� 40378 = � 90137; 170893 � : Contraste de hipótesis para �̂1 (H0 : �1 = 0 frente H0 : �1 6= 0) d1 = �̂1 � �1 � (�̂1) jH0 = �̂1 � (�̂1) = 80108 004286 = 180917 � tn�2 ) p� valor = P � jt73j > 18 0917 � = 000000 ) Se rechaza H0: Contraste de hipótesis para �̂0 (H0 : �0 = 0 frente H0 : �0 6= 0) d0 = �̂0 � �0 � (�̂0) jH0 = �̂0 � (�̂0) = 130515 206272 = 50144 � tn�2 ) p� valor = P � jt73j > 5 0144 � = 000000 ) Se rechaza H0: El coe�ciente de correlación es r = sxy sxsy = 6406995 2082484 � 2501313 = 009113: En el siguiente grá�co se representa la nube de puntos y la recta ajustada Figura 4.1. Nube de observaciones y recta ajustada. Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 7 El grá�co de residuos frente a las predicciones se observa en el siguiente grá�co, Figura 4.2. Grá�co de residuos. Cálculo de la tabla ANOVA del modelo. scR = 75X i=1 e2i = 8;025 061; scG = 75X i=1 (yi � �y) 2 = 75 � s2y = 75 � 631 0586 = 47;368095; scE = 75X i=1 (ŷi � �y) 2 = scG� scR = 47;368095� 8;025061 = 39;343034; de donde Tabla ANOVA Fuentes de Suma de Grados Varianzas F � test p� value variación cuadrados libertad scE (modelo) 39;343034 1 ŝ2e = 39;343 034 F = 357086 000000 scR (Residual) 8025061 73 ŝ2R = 109 094 ŝR = 10 048 scG (Global) 47;368095 74 ŝ2y = 640 012 ŝy = 25 030 Contraste de regresión. H0;reg : �el modelo de regresión lineal ajustado no es in�uyente� H1 : �el modelo ajustado es in�uyente� 8 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Si H0;reg es correcto ŝ 2 e � 0: El estadístico del contraste es d̂reg d̂reg = ŝ2e ŝ2R = 39;343034 109094 = 357086 � F1;73 ) p� valorreg = P (F1;73 > 357 086) = 000000: Se rechaza H0;reg y se asume que el modelo ajustado es signi�cativo. Contraste de linealidad. Dado que para cada valor de x se dispone de varias obser- vaciones de Y; se puede hacer el contraste H0;lin : �el modelo lineal es adecuado� H1 : �el modelo de regresión no es lineal� Se descompone scR en dos términos: scR = 75X i=1 e2i = 75X i=1 (yi � ŷi) 2 = 75X i=1 (�yi:�ŷi) 2 + 75X i=1 (yi � �yi) 2 : scR1 = 75X i=1 (�yi:�ŷi) 2 = 2;765084: scR2 = 75X i=1 (yi � �yi) 2 = 5;259077: scR = 75X i=1 e2i = 75X i=1 (yi � ŷi) 2 = 2;765084 + 5259077 = 8;025061: La nueva tabla ANOVA, más completa, es Tabla ANOVA Fuentes de Suma de Grados Varianzas F � test p� value variación cuadrados libertad scE (modelo) 39;343034 1 ŝ2e = 39;343 034 Freg = 357 086 000000 scR1 2;765 084 8 ŝ2R;1 = 345 0731 scR2 5;259 077 65 ŝ2R;2 = 80 0919 Flin = 4 027 000004 scR (Residual) 8025061 73 ŝ2R = 109 094 ŝR = 10 048 scG (Global) 47;368095 74 ŝ2y = 640 012 ŝy = 25 030 Si H0;lin es correcto ŝ 2 R;1 � 0: El estadístico del contraste es d̂lin d̂lin = ŝ2R;1 ŝ2R;2 = 3450731 800919 = 4027 � F8;65 ) p� valorlineal = P (F8;65 > 4 027) = 000004 Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 9 Se rechaza H0;lin y se deduce que el modelo lineal no es el que mejor se ajusta a la nube de observaciones. Predicciones. �Calcular intervalos de con�anza al 90% para el tiempo medio de impresión de los trabajos que tienen 6 y 12 hojas respectivamente. Calcular intervalos de predicción al 90% para el tiempo de impresión de un trabajo que tiene 6 hojas. Calcular el intervalo de predicción para el tiempo de impresión de un trabajo de 12 hojas�. Para xt = 6; el estimador de mt = E(Y=X = 6) es m̂t = 13 0515 + 80108 xt = 13 0515 + 80108 � 6 = 620163: El valor de in�uencia (leverage) es ht = 1 n 1 + � xt � �x sX �2! = 1 75 1 + � 6� 5044 2082484 �2! = 1 75 � 1 + 0019822 � = 00013857: ) nt = 1 ht = 7201651 (número de observaciones equivalente): La varianza del estimador m̂t V ar (m̂t) = ŝ2R nt = 109094 7201651 = 105235: ) � (m̂t) = 1 02343: Un intervalo de con�anza al 90% para mt es mt � 62 0163 102343 � t73 ) mt 2 62 0163� t73 � 0095 � � 102343) mt 2 62 0163� 106664 � 102343 = 620163� 200568 = � 600106; 640219 � : La predicción para Y=X = 6 es ŷt = 13 0515 + 80108 xt = 13 0515 + 80108 � 6 = 620163: La varianza de predicción es V ar (ŷt) = ŝ2R nh + ŝ2R = 109094 7201651 + 109094 = 11104635) � (ŷt) = 10 05576: 10 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Un intervalo de predicción al 90% para yt es yt 2 62 0163� t73 � 0095 � � 1005576) yt 2 62 0163� 106664 � 1005576 = 620163� 170593 = � 440569; 790756 � : Análogamente, se realizan los cálculos para xq = 12: El estimador de mt = E (Y=X = 12) es m̂q = 13 0515 + 80108 � 12 = 1100811: Su valor de in�uencia es hq = 1 n 1 + � xq � �x sR �2! = 1 75 1 + � 12� 5044 2082484 �2! = 1 75 � 1 + 2032222 � = 0008523 ) nq = 1 hq = 1107323 (número de observaciones equivalente): La varianza de m̂q es V ar (m̂q) = ŝ2R nq = 109094 1107323 = 903707: ) � (m̂q) = 3 00612: Un intervalo de con�anza al 90% para mq es mq 2 110 0811� t73 � 0095 � � 300612) mq 2 110 0811� 106664 � 300612 = 1100811� 501011 = � 1050709; 1150912 � : La predicción de Y=X = 12 es ŷq = 13 0515 + 80108 � 12 = 1100811: V ar (ŷq) = ŝ2R nq + ŝ2R = 109 094 � 1 1107323 + 1 � = 119031: ) � (ŷq) = 10 0923: Un intervalo de predicción al 90% para yq es yq 2 110 0811� t73 � 0095 � � 100923) yq 2 110 0811� 106664 � 100923 = 1100811� 180202 = � 920609; 1290013 � : Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 11 En la tabla adjunta se pueden comparar las longitudes de los intervalos calculados Longitudes de los intervalos calculados Int. Con�anza de (E (Y=x)) Int. Predicción de (Y=x) núm. equivalente de observaciones xt = 6 2 00568 170593 7201651 xq = 12 5 01011 180202 1107323 12 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar 1.3. Problemas propuestos de regresión lineal simple. Problema 4.4. (este problema se puede resolver utilizando calculadora) �En la tabla adjunta se presentan el número de páginas y el precio de doce libros técnicos: páginas precio páginas precio páginas precio 310 3050 400 8000 420 2050 300 3050 170 1080 610 5000 280 3050 430 7000 420 5040 310 7030 230 3020 450 3070 Con estos datos se obtiene: (X el número de páginas e Y el precio): P 12 i=1Xi = 4;330; P 12 i=1X 2 i = 1;714;700; P 12 i=1 Yi = 54 04; P 12 i=1 Y 2 i = 290 062; P 12 i=1XiYi = 20;663: 1. Ajustar una recta de regresión que explique el precio en función del número de páginas e interpretar los resultados. 2. Construir la tabla ANOVA asociada. ¿Es el ajuste adecuado? 3. Calcular intervalos de con�anza al 90% para los parámetros del modelo. 4. Calcular un intervalo de con�anza al 90% para el precio de un libro de 500 páginas.� Problema 4.5. �La resistencia del cemento (r) depende, entre otras cosas, del tiempo de secado del cemento (t). En un experimento se obtuvo la resistencia de bloques de cemento con diferente tiempo de secado los resultados fueron los siguientes (Hald, A. (1952) �Statistical theory with engneering applications. Wiley & Sons). En base a esta muestra, Tiempo (días) Resistencia (kg=cm2) 1 1300 1303 1108 2 2109 2405 2407 3 2908 2800 2401 2402 2602 7 3204 3004 3405 3301 3507 28 4108 4206 4003 3507 3703 1. Analizar la posible existencia de una relación entre estas dos variables. 2. ¿Qué conclusiones se deducen del contraste de regresión y del contraste de linealidad? 3. Si se utilizase un ajuste cuadrático¿se obtienen mejores resultados? Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 13 4. Estudiar el modelo paramétrico propuesto por A. Hald que estudiba la relación del logaritmo de la resistencia del cemento sobre la inversa del tiempo de secado.� Problema 4.6. �La variable (Y ) representa, en miles, el número de asnos en España y la (X) el tanto por ciento del presupuesto del Estado dedicado a Educación. año Y X año Y X año Y X 1920 1;006 505 1945 747 907 1970 476 1207 1925 1;162 408 1950 732 906 1975 386 1105 1930 1;479 708 1955 683 809 1980 368 1104 1935 805 802 1960 686 1104 1940 795 806 1965 493 1006 1. Representar gra�camente estos datos. 2. Construir la recta de regresión que explique el comportamiento de la variable �tanto por ciento del presupuesto del Estado dedicado a Educación� en función de la variable �el número de asnos en España� e interpretar los resultados 3. ¿Es signi�cativo el coe�ciente de correlación entre estas dos variables? 4. Los residuos asociados al ajuste de la regresión lineal ¿son independientes? 5. Representar las variables X e Y frente al tiempo. Calcular los coe�cientes de cor- relación y rectas de regresión de las variables X e Y respecto al tiempo. Nota: Estos datos son recogidos del texto de Daniel Peña �Estadística modelos y métodos. Vol. 2. Modelos lineales y series temporales�. Alianza Universidad Textos. Es un claro ejemplo de variables entre las que existe una alta correlación estadística pero no existe relación entre las mismas (correlaciones espúreas), su relación estadística es debida a la relación que ambas tienen con una tercera (el tiempo) y que no se tiene en cuenta en el estudio. Problema 4.7. �Se llevó a cabo un estudio para determinar la relación entre el número de años de experiencia (X) y el salario mensual, en miles de pesetas, (Y ) entre los informáticos de una región española. Se tomó una muestra aleatoria de 17 informáticos y se obtuvieron los siguientes datos Exper. Salario Exper. Salario Exper. Salario 13 2601 31 3604 27 3600 16 3302 19 3308 25 3605 30 3601 20 3605 7 2104 2 1605 1 1609 15 3100 8 2604 4 1908 13 3104 6 1901 10 2406 14 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar 1. Calcular la regresión lineal de la variable salario frente a años de experiencia. Calcular intervalos de con�anza al 95% para los coe�cientes de este modelo. 2. Calcular el coe�ciente de correlación lineal y el coe�ciente de determinación. ¿Con � = 0005 se puede rechazar la hipótesis de que el coe�ciente de determinación es cero? 3. Calcular intervalos de con�anza al 90% y 95% para la predicción del salario de un informático que tiene 8 años de experiencia. 4. ¿Se observa alguna anomalía en el grá�co de los residuos frente a la regresora.� Problema 4.8. �El siguiente conjunto de datos era tomado sobre grupos de tra- bajadoras de Inglaterra y Galés en el período de 1970-72. Cada grupo está formado por trabajadores de la misma profesión (médicos, trabajadores textiles, decoradores,...etc,) y en cada uno de los veinticinco grupos muestrados se han observado dos variables: el índice estandarizado de consumo de cigarrillos y el índice de muertes por cáncer de pulmón. (Occupational mortality: the registar general�s decennial supplement for England and Wales, 1970-72, series Ds, n.1, London:HMSO,149). x y x y x y 77 84 102 88 133 146 137 116 91 104 115 128 117 123 104 129 105 115 94 128 107 86 87 79 116 155 112 96 91 85 102 101 113 144 100 120 111 118 110 139 76 60 93 113 125 113 66 51 88 104 1. Estudiar la regresión lineal del índice de mortalidad frente al índice de fumadores. 2. Calcular la tabla ANOVA. Conclusiones. 3. Comprobar si se veri�can las hipótesis del modelo.� Problema 4.9. �Anscombe utilizó el siguiente conjunto de datos para demostrar la importancia de los grá�cos en el análisis de regresión y correlación. Hay cuatro conjuntos de datos bidimensionales (X;Y ), el vector X es el mismo para los tres primeros conjuntos. 1. Para cada uno de los cuatro conjuntos de datos, calcular la recta de regresión de Y frente a X y el coe�ciente de correlación. 2. Para cada uno de los cuatro casos, dibujar la grá�ca de Y frente a X y la grá�ca de los residuos frente a las predicciones. ¿Qué conclusiones se deducen?� Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 15 X1 = X2 = X3 Y 1 Y 2 Y 3 X4 Y 4 10 8004 9014 7046 8 6058 8 6095 8014 6077 8 5076 13 7058 8074 12074 8 7071 9 8081 8077 7011 8 8084 11 8033 9026 7081 8 8047 14 9096 8010 8084 8 7004 6 7024 6013 6008 8 5025 4 4026 3010 5039 8 5056 12 10084 9013 8015 8 7091 7 4082 7026 6042 8 6089 5 5068 4074 5073 19 12050 Problema 4.10. �Los datos de la tabla adjunta muestran la cantidad de ozono reg- istrada (Y ) y su presión parcial (X) para cada capa de altitud. Cada capa tiene aprox- imadamente un kilómetro de altura. Por conveniencia las capas se han escalado a un intervalo de -7 a +7. 1. Hacer una grá�ca de estos datos, ¿es razonable un ajuste lineal? 2. Ajustar una función de regresión lineal del ozono frente a la capa. Calcular la tabla ANOVA y los contrastes de regresión y de linealidad. Conclusiones. 3. Analizar detenidamente los residuos. ¿Se veri�can las hipótesis estructurales del modelo? ¿Son los datos homocedásticos? 4. ¿Existe un modelo no lineal que mejore el ajuste lineal?�. Capa Ozono Capa Ozono �7 5308 5408 5307 5507 5303 5406 5502 5401 7 4407 3805 �6 6308 6402 6609 6702 6504 6703 6 6002 5409 5008 �5 7108 7302 7506 7602 7207 5 7306 6504 6701 �4 7904 8101 8401 8502 8300 8208 4 7408 8203 7609 8102 �3 9003 8402 8803 8600 3 9306 8602 8709 8905 �2 9302 9704 9803 2 9203 9606 9805 �1 10208 9609 9802 1 10101 9406 9509 0 9809 9601 9906 9104 Problema 4.11. �El �chero problema-4-11 contiene once variables de 200 datos. La primera variable se corresponde con el vector de predicción de un ajuste lineal sim- ple y las restantes diez variables se correponden con diferentes vectores de residuos del 16 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar ajuste. Utilizando básicamente métodos grá�cos (grá�co de residuos frente a predicciones, histograma, grá�co de normalidad, grá�co de residuos frente al índice, correlograma,....) contratar si se veri�can las hipótesis básicas estructurales del modelo de regresión lineal o indagar la existencia de posibles problemas en el ajuste�. Problema 4.12. �En 34 lotes de 120 libras de cacahuetes se observó el nivel medio de a�atoxin (partes por billón) (X) y el porcentaje de cacahuetes no contaminados (Y ) : X Y X Y X Y X Y X Y 300 990971 1808 990942 4608 990863 1203 990956 2508 990858 407 990979 1809 990932 4608 990811 7103 990821 1808 990975 803 990982 2107 990908 5801 990877 1205 990972 3006 990987 903 990971 2109 990970 6203 990798 1206 990889 3602 990958 909 990957 2208 990985 7006 990855 1509 990961 3908 990909 1100 990961 2402 990933 7101 990788 1607 990982 4403 990859 8302 990830 8306 990718 9905 990642 11102 990658 1. Analizar estos datos e investigar la relación entre estas dos variables para predecir Y en función de X. ¿Es adecuado el ajuste lineal? 2. ¿Veri�can los residuos las hipótesis estructurales? 3. Intentar encontrar un ajuste paramétrico que mejore al lineal.� Problema 4.13. �En quince casas de la ciudad de Milton Keynes se observó durante un período de tiempo la diferencia de temperatura promedio (en grados centígrados) entre la temperatura en la calle y la temperatura en casa, y el consumo de gas diario en kWh. Dif. temp Consumo Dif. temp Consumo Dif. temp Consumo 1003 69081 1304 75032 1506 86035 1104 82075 1306 69081 1604 110023 1105 81075 1500 78054 1605 106055 1205 80038 1502 81029 1700 85050 1301 85089 1503 99020 1701 90002 1. Hacer una grá�ca de los datos. ¿Existe relación entre estas dos variables? 2. ¿Se puede explicar el consumo de gas por una relación lineal con la diferencia de temperatura?. 3. Ajustando un polinomio de mayor grado, ¿se obtiene un mayor coe�ciente de deter- minación?, ¿qué modelo es preferible?�.Problema 4.14. �Se midió la altura (en centímetros) y el peso (en kilogramos) de treinta chicas de once años del Heaton Meiddle School de Bradford. Estudiar estos datos y la relación entre ambas variables. Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 17 Altura Peso Altura Peso Altura Peso Altura Peso Altura Peso 135 26 141 28 149 46 148 32 149 32 146 33 136 28 147 36 149 34 141 32 153 55 154 36 152 47 141 29 154 50 151 48 140 33 164 47 139 32 155 36 143 42 146 37 131 25 137 31 146 35 137 34 149 44 143 36 133 31 135 30 1. Dibujar la grá�ca de estas observaciones y calcular la recta de regresión de peso frente a altura y la de altura frente a peso. 2. En la regresión lineal de peso frente a altura, ¿se observa alguna observación atípica?. 3. ¿Existen observaciones in�uyentes? 4. Contrastar las hipótesis estructurales del modelo.� Problema 4.15. �El contenido en hierro de las escorias de los altos hornos puede ser determinada por una prueba química en laboratorio o, de forma más barata y rápida, por un test magnético. Se está interesado en estudiar la relación entre los resultados del test químico y del test magnético. En particular, se desea saber si a partir de los resultados del test magnético (X) se pueden estimar los resultados del test químico (Y ) sobre el contenido del hierro. Para ello, se han realizado los dos test a un conjunto de lotes recogidos secuencialmente en el tiempo. Los resultados obtenidos son los de la tabla adjunta. Qui Mag Qui Mag Qui Mag Qui Mag Qui Mag Qui Mag 24 25 18 19 17 12 21 18 20 21 25 16 16 22 20 10 19 15 24 22 24 18 15 16 24 17 21 23 16 15 15 20 24 20 16 26 18 21 20 20 15 15 20 21 23 25 27 28 18 20 21 19 15 15 20 21 29 20 27 28 10 13 15 15 13 17 25 25 27 18 30 30 14 16 16 16 24 18 27 22 23 19 29 32 16 14 15 16 22 16 22 18 19 16 26 28 25 28 25 36 32 40 28 33 25 33 1. Analizar estos datos. Hacer un estudio descriptivo y grá�co de los mismos. 2. Estudiar la relación entre los tests, ¿es adecuado el ajuste lineal? 3. Chequear las hipótesis del modelo. 4. ¿Existe un ajuste linealizable o polinómico que mejore al ajuste lineal?� 18 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Problema 4.16. �Utilizando los datos del �chero problema-4-16 que contiene datos de variables de coches. 1. Estudiar la regresión lineal entre la variable mpg (miles per galon: inversa del con- sumo) y la regresora accel (aceleración). ¿Existe un ajuste mejor que el lineal? 2. Estudiar la regresión lineal entre mpg y la regresora weight (peso). 3. Estudiar la regresión lineal entre mpg y la regresora price (precio). 4. Estudiar la regresión lineal entre mpg y la regresora displace. 5. Estudiar la regresión lineal entre price y la regresora accel (aceleración). 6. ¿Utilizando un ajuste linealizable se mejoran los ajustes lineales estudiados? 7. Estudiar la existencia de datos atípicos y datos in�uyentes en los ajustes lineales o linealizables obtenidos.� Problema 4.17. �Los siguientes datos representan el Producto Nacional Bruto de USA (X) y los gastos de consumo (Y ) en miles de millones de dólares de 1972, entre los años 1960-1980 Año 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 PNB 73702 75606 80003 83205 87604 92903 98408 GC 45200 46104 48200 50005 52800 55705 58507 Año 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 PNB 1;01104 1;05801 1;08706 1;08506 1;12204 1;18509 1;25500 GC 60207 63404 65709 67201 69608 73701 76805 Año 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 PNB 1;24800 1;23309 1;30004 1;37107 1;43609 1;48300 1;48007 GC 76306 78002 82307 86309 90408 93009 93501 1. Ajustar un modelo lineal e interpretar los coe�cientes de regresión estimados. 2. Hacer la grá�ca de los residuos frente al tiempo. Estudiar la hipótesis de indepen- dencia. 3. Si existe una autocorrelación positiva, transformar los datos y ajustar el modelo de regresión lineal a los datos (mínimos cuadrados generalizados).� Problema 4.18. �Para las compañías de seguros de hogar tiene interés estimar el coste de reemplazar algunos objetos. Una de estas compañías estaba interesada en estimar el coste de reemplazar una colección de 1554 libros a partir de una muestra de 100 libros. El coste de los cien libros muestrales se obtenía de los catálogos de las editoriales y si algún libro estaba descatalogado su valor se calculaba utilizando el precio de un libro de similares características. Los precios están en peniques. Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 19 Dado que el valor de los libros era muy variable, en un intento de conseguir una mayor exactitud, se utilizó como regresora para explicar el precio de un libro el ancho del lomo del mismo (medido en milímetros). El ancho total de los 1.554 libros era de 25.182 mm. Los datos de los cien libros se encuentran en el �chero problema-4-18. En base a estos datos, se pide: 1. Analizar estadísticamente las variables precio y ancho del libro. 2. ¿Existe una relación entre ambas variables? 3. Estimar el coste de toda la colección. En una primera aproximación sin tener en cuenta la variable ancho de los libros y, en segundo lugar, teniendo en cuenta esta variable.� Problema 4.19. �El �chero problema-4-19 contiene datos de dos nubes de pun- tos bidimensionales ((x; Y1) y (x; Y2)). Estos datos son debidos a Wampler y los generó por simulación para comprobar cuando un determinado programa estadístico realiza con exactitud el ajuste por mínimos cuadrados. 1. Ajustar a estas dos nubes de puntos un polinomio. 2. ¿Qué grado de polinomio se debe ajustar?, ¿es el ajuste bueno? ¿exacto?�. Problema 4.20. �Los datos de la tabla adjunta son el conjunto clásico de datos del test psicológico de Strong sobre retención de memoria. Los datos se tomaban de la siguiente manera: un conjunto de individuos memorizaban una lista de objetos inconexos y pasado un tiempo la recordaba. La variable p indica el porcentage de retención de memoria en promedio y la variable t es el tiempo transcurrido. El objetivo del estudio era explicar la variable p en función de t: t p t p t p t p 1 0084 60 0054 720 0036 10080 0008 5 0071 120 0047 1440 0026 15 0061 240 0045 2880 0020 30 0056 480 0038 5760 0016 1. Analizar este conjunto de datos y estudiar la relación de la variable p respecto a t: 2. Estudiar analítica y gra�cámente un modelo del tipo p = exp(��t) que sugiere una pérdida geométrica de la memoria. 3. Estudiar analítica y gra�cámente un modelo del tipo log p = �0 + �1t: ¿Qué inter- pretación tiene este modelo?, ¿Qué ajuste es mejor?�. 20 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Problema 4.21. �El �chero problema-4-21 contiene datos de 78 ciervos de Escocia en los que se estudia el crecimiento de los dientes. Para todos los ciervos de un rebaño se supone que el crecimiento de los dientes �naliza a la misma edad y después la velocidad de desgaste es la misma para todos los animales y constante en el tiempo. La aleatoriedad en los resultados es debida al peso de la corona en la madurez que sigue una distribución normal y la edad de la madurez no es conocida con exactitud. A los ciervos de la muestra se les tomo la edad y el peso en gramos del primer molar. En base a estos datos: 1. Estudiar la relación del peso respecto a la edad. 2. Hacer los contrastes de regresión y de linealidad. 3. Analizar los residuos, ¿se veri�can las hipótesis básicas?�. Problema 4.22. �En los sitemas productivos de ovejas tiene un gran interés controlar las necesidades energéticas de cada animal ya que in�uyen en la predicción de la producción de carne. Por ello, se ha tomado una muestra de 64 ovejas australianas y, a cada una de ellas, se le controló su peso x (en kilogramos), y sus necesidades energéticas diarias Y medidas en Mcal/día. Los resultados de la muestra se presentan en el �chero problema- 4-22. En base a estos datos muestrales: 1. Estudiar la relación lineal de Y respecto a x: 2. Estimar la media de consumo energético de las ovejas que pesan 30, 40, 50 y 60 Kgr. Calcular intervalos de con�anza al 90% para estos valores.Hacer el mismo cálculo pero considerando la predicción del consumo energético de una oveja de ese peso. Calcular intervalos de predicción.� Problema 4.23. �El �chero problema-4-23 contiene dos conjuntos de datos bidi- mensionales en los que no existe una relación lineal pero si es fácil encontrar la relación existente entre las dos variables. El primer conjunto tiene 25 observaciones de molinos de viento para la producción de energía eléctrica, la variable X1 mide la velocidad del viento y la variable Y 1 mide la corriente eléctrica obtenida. El segundo conjunto tiene 19 observaciones relativas a la producción del papel, la variable X2 mide la resistencia del papel fabricado y la variable Y 2 mide la proporción de madera en la pulpa a partir de la cual se obtiene el papel. 1. En ambos casos, dibujar la grá�ca de la nube de puntos. 2. Obtener el modelo de regresión que mejor se ajusta a la nube de observaciones. ¿Existe ajustes que mejoran al lineal?, ¿el ajuste realizado es su�cientemente bueno? 3. Analizar los residuos de los modelos ajustados�. Prácticas y problemas de regresión lineal simple. 21 Problema 4.24. �El �chero problema-4-24 contiene datos relativos al peso del cuer- po (X; en kilogramos) y el peso del cerebro (Y; en gramos) de 28 especies de animales. En base a estos datos: 1. ¿Se observa en esta nube algún dato atípico? 2. Transformar los datos para que se pueda hacer una grá�ca de los mismos. Realizar la grá�ca de los datos transformados. 3. Ajustar un modelo de regresión lineal a los datos transformados. ¿Es el ajuste adecuado? Interpretarlo. 4. En el modelo transformado ¿Existen datos atípicos?�. Problema 4.25. �La dureza de los árboles es difícil de medir directamente, sin em- bargo la densidad si es relativamente fácil de medir. Por ello es de gran interés disponer de un modelo que permita predecir la dureza de un árbol a partir de su densidad. Por este motivo se ha tomado una muestra de 36 eucaliptos australianos y se les midió su densidad (X) y su dureza (Y ). Los resultados obtenidos son los de la tabla adjunta. Densidad Dureza Densidad Dureza Densidad Dureza 2407 484 3904 1210 5304 1880 2408 427 3909 989 5600 1980 2703 413 4003 1160 5605 1820 2804 517 4006 1010 5703 2020 2804 549 4007 1100 5706 1980 2900 648 4007 1130 5902 2310 3003 587 4209 1270 5908 1940 3207 704 4508 1180 6600 3260 3506 979 4609 1400 6704 2700 3805 914 4802 1760 6808 2890 3808 1070 5105 1710 6901 2740 3903 1020 5105 2010 6901 3140 En base a estos datos: 1. Estudiar el modelo de regresión lineal de Y respecto a X: 2. Ajustar a estos datos un polinomio de grado a determinar. ¿Se mejora de forma apreciable el ajuste lineal? 3. Con el mejor ajuste predecir la dureza de un árbol de densidad 20, 40, 60 y 80. 4. Calcular intervalos de con�anza y de predicción al 90% para las estimaciones del apartado anterior. 5. Analizar los residuos del modelo ajustado. 6. Considerar una transformación de los datos de la dureza (Y ) y ajustar un modelo de regresión. ¿El modelo ajustado con los datos transformados mejora al ajuste polinómico?�
