Presentaciones Temas Matemática Financiera

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Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
TEMA 1: Introducción a la Matemática Financiera. 
Conceptos Básicos
TEMA 2: Capitalización Simple
TEMA 3: Equivalencia Financiera de Capitales
TEMA 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple:
Letra de Cambio y Cuenta Corriente
TEMA 5: Capitalización Compuesta
PARTE 1: INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS. 
LAS LEYES FINANCIERAS DE 
CAPITALIZACIÓN
1
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
2
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
3
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1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
GASTARLO
INVERTIRLO
PRINCIPIO DE PREFERENCIA DE LIQUIDEZ: A igualdad de
cantidad, los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los
disponibles en momentos más lejanos.
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1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
INTERÉS: Retribución por el aplazamiento en tiempo del consumo
Para que compense el sacrificio del consumo…
INTERÉS: Precio por el alquiler o uso del dinero durante un periodo de
tiempo
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1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
¿Por qué se exige un interés?
 Por el riesgo que se asume
 Por la falta de disponibilidad del capital
 Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo
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1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
¿De qué depende la cuantía de los intereses?
 De la cuantía del capital invertido
 Del tiempo que dura la operación
 Del tanto de interés al que se acuerda la operación
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
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2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
CAPITAL FINANCIERO: (C; t)
C: Cuantía de Unidades Monetarias
t: Momento del tiempo en el que se
dispone del capital
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2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
❖No se habla de Capitales Iguales
❖Se habla de Capitales Equivalentes
Dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y
C2 con vencimiento t2 son
EQUIVALENTES
cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro
C1 C2
t1 t2
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2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
Para que una operación financiera se realice es 
necesario que los capitales que se dan y que se 
reciben sean EQUIVALENTES
La equivalencia entre capitales la determina 
una LEY FINANCIERA
LEY FINANCIERA: Modelo matemático para
cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o
anticipación de un capital en el tiempo.
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.1. CONCEPTO
OPERACIÓN FINANCIERA: Sustitución de uno
o más capitales por otro u otros equivalentes en
distintos momentos de tiempo, mediante la
aplicación de una ley financiera.
Ejemplo: Concesión de un préstamo por parte de un banco: 
➢Para el cliente: Cobra el importe del préstamo y paga unas
cuotas periódicas.
➢Para el banco: Paga el importe del préstamo y cobra unas
cuotas periódicas.
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La operación financiera implica… 
 Sustitución de capitales
 Equivalencia
 Aplicación de una ley financiera
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.1. CONCEPTO
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.2. ELEMENTOS
En toda operación financiera intervienen: 
A. Elementos Personales
B. Elementos Temporales
C. Objetivos
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.2. ELEMENTOS
A. Elementos Personales
Acreedor Deudor
Capital/es prestado/s
Capital/es prestado/s + Intereses
PRESTACIÓN DE LA OPERACIÓN
CONTRAPRESTACIÓN DE LA OPERACIÓN
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.2. ELEMENTOS
B. Elementos Temporales
Origen de la 
operación 
financiera
Final de la 
operación 
financiera
DURACIÓN DE LA OPERACIÓN
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.2. ELEMENTOS
C. Objetivos
Cuantía del 
capital de 
partida
Tanto de 
interés
Tiene que haber acuerdo en:
Ley financiera
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. OPERACIÓN FINANCIERA
3.1.3. CLASES
Operaciones
Financieras
Según
duración
A corto plazo: =< 1 año
A largo plazo: > 1 año
Según
la ley
financiera
Generación 
de intereses
Régimen 
simple:
Los intereses
no generan intereses
Régimen 
compuesto:
Los intereses
sí generan intereses
Sentido de 
la ley 
financiera
Capitalización: Capital presente 
por capital futuro
Actualización: Capital futuro por 
capital presente
Según
número 
capitales
Simples: Un solo capital en prestación y 
contraprestación
Complejas: Más de un capital en prestación y/o 
contraprestación 21
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS
2. EL BINOMIO CAPITAL-TIEMPO
3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.1. Operación Financiera
3.1.1. Concepto
3.1.2. Elementos
3.1.3. Clases
3.2. Rédito y Tanto de Interés
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
RÉDITO (r): Rendimiento generado por un
capital
Se expresa en tanto por cien (%) o en tanto por uno
1
12
C
CC
r


No tiene en cuenta el aspecto temporal
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
TANTO O TIPO DE INTERÉS (i):
Rédito por unidad de tiempo
Se expresa en tanto por cien (%) o en tanto por uno
Sí tiene en cuenta el aspecto temporal
12
1
12
12 tt
C
CC
tt
r
i





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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
Ejemplo 1 (Primera Parte):
C1=1.000€
C2=1.100€
t1=0
t2=1 año
r? i?
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
Ejemplo 1 (Primera Parte):
0 1 años
1.000
1.100
%101,0
000.1
000.1100.1
r 


%101,0
01
000.1
000.1100.1
i 



C1=1.000€
C2=1.100€
t1=0
t2=1 año
r? i?
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
Ejemplo 1 (Segunda Parte):
C1=1.000€
C2=1.100€
t1=0
t2=2 años
r? i?
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3. CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
3.2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
Ejemplo 1 (Segunda Parte):
0 2 años
1.000
1.100
%101,0
000.1
000.1100.1
r 


%505,0
02
000.1
000.1100.1
i 



C1=1.000€
C2=1.100€
t1=0
t2=2 años
r? i?
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TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA 
FINANCIERA. CONCEPTOS BÁSICOS.
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TEMA 1: Introducción a la Matemática Financiera. 
Conceptos Básicos
TEMA 2: Capitalización Simple
TEMA 3: Equivalencia Financiera de Capitales
TEMA 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple:
Letra de Cambio y Cuenta Corriente
TEMA 5: Capitalización Compuesta
PARTE 1: INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS. 
LAS LEYES FINANCIERAS DE 
CAPITALIZACIÓN
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
31
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
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1.1. CONCEPTO
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Las operaciones en régimen de simple se 
caracterizan porque los intereses:
 a medida que se van generando no se 
acumulan,
 y , no generan intereses en los períodos 
subsiguientes (no son productivos).
Para la sustitución entre Capitales se le aplica una
LEY DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE.
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
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1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
CAPITAL INICIAL CAPITAL FINAL o MONTANTE
(C0) (Cn)
Al final de la operación:
Cn =C0+ Intereses totales generados
DURACIÓN DE LA OPERACIÓN (n)
TIPO DE INTERÉS (i)
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
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1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Suponiendo una operación de tres períodos:
0 1 2 3
Inicio
C0
C1
C2
C3=C0 + Intereses totales
Fin
iCI 01 
iCI 02 
iCI 03 
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Momento 0:
Momento 1:
Momento 2:
Momento 3:
…
0C
)i1(CiCC)iC(CICC 00000101 
   
)i21(C
)ii1(CiCiCCiCiCCIICC
0
00000002102


     
)i31(C)iii1(CiCiCiCC
iCiCiCCIIICC
000000
000032103


40
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
)in1(CC 0n 
)i31(CC 03 
Momento 0:
Momento 1:
Momento 2:
Momento 3:
…
Momento n:
0C
)i1(CC 01 
)i21(CC 02 
     
)in1(C)iii1(CiCiCiCC
iCiCiCCIIICC
000000
0000n210n




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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
)in1(CC 0n 
FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE
IMPORTANTE: Esta expresión es aplicable cuando 
el tipo de interés de la operación no varía. En caso 
contrario habrá que trabajar con el tipo vigente en 
cada período.
IMPORTANTE: Para poder aplicar esta fórmula el 
tipo de interés hay que expresarlo en tanto por uno
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
)in1(CC 0n 
FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE
IMPORTANTE: n lo que indica es el número de 
veces que se han generado (y acumulado) intereses 
al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha 
de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo 
de interés (no importando cuál sea)
43
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=2.000€
i=8% anual
Capitalización simple
n=4 años
C4?
Ejemplo 1:
44
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=2.000€
i=8% anual
Capitalización simple
n=4 años
C4?
Ejemplo 1:
0 4 años
2.000 C4?
i = 8%
€640.2)08,041(000.2C4 
)in1(CC 0n 
€640.2C4 
45
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=1.000€
i1=5% anual
Capitalización simple
n=3 años
C3?
Ejemplo 2:
i2=6% anual
i3=7% anual
46
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
€180.1706050000.1
07,0000.106,0000.105,0000.1000.1IIICC 32103


)in1(CC 0n 
€180.1C3 
C0=1.000€
i1=5% anual
Capitalización simple
n=3 años
C3?
Ejemplo 2:
i2=6% anual
i3=7% anual Hay que calcular los 
intereses año a año
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
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1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
)in1(CC 0n 
Partiendo de la fórmula fundamental de la 
capitalización simple:
in1
C
C
n
0


Despejamos C0:
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1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C2=1.500€
i=6% anual
Capitalización simple
n=2 años
C0?
Ejemplo 3:
50
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1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C2=1.500€
i=6% anual
Capitalización simple
n=2 años
C0?
Ejemplo 3:
0 2 años
C0? 1.500
i = 6%
in1
C
C
n
0


€29,339.1
12,1
500.1
06,021
500.1
C0 


€29,339.1C0 
51
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
52
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Bastará con calcular los intereses de cada período,
que siempre los genera el capital inicial, y sumarlos:
inCI 0n 
)i...ii(C
)iC(...)iC()iC(I...IITotales nteresesI
n210
n02010n21


)i...ii(CTotales nteresesI n210 
ii...ii n21 Si inCTotales nteresesI 0 
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Conocidos los capitales inicial y final,
también se obtendrá por diferencias
entre ambos:
0nn CCI 
54
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=300€
i=7% simple anual
n=4 años
I?
Ejemplo 4:
55
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 4 años
300 C4
i = 7%
I4?
€84I4 
C0=300€
i=7% simple anual
n=4 años
I?
Ejemplo 4: inCI 0n 
Dos formas:
Forma 1:
€84407,0300I4 
56
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 4 años
300 C4
i = 7%
I4?
€84I4 
C0=300€
i=7% simple anual
n=4 años
I?
Ejemplo 4:
Dos formas:
Forma 2:
0nn CCI )in1(CC 0n 
€38428,1300)407,01(300C4 
€84300384I4 
57
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=6.000€
i=1% simple mensual
n=8 meses
I?
Ejemplo 5:
58
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 8 meses
6.000 C8
i = 1%
I8?
€480I8 
inCI 0n 
Dos formas:
Forma 1:
€480801,0000.6I8 
C0=6.000€
i=1% simple mensual
n=8 meses
I?
Ejemplo 5:
59
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
€480I8 
Dos formas:
Forma 2:
0nn CCI )in1(CC 0n 
€480.608,1000.6)801,01(000.6C8 
€480000.6480.6I8 
C0=6.000€
i=1% simple mensual
n=8 meses
I?
Ejemplo 5:
0 8 meses
6.000 C8
i = 1%
I8?
60
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
61
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1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
)in1(CC 0n 
Partiendo de la fórmula fundamental de la capitalización 
simple:
1º Pasamos C0 al primer miembro:
in1
C
C
0
n

2º Dejamos la i sola en el segundo miembro:
3º Despejamos el tipo de interés:
n
1
C
C
i 0
n


in1
C
C
0
n
 in1
C
C
0
n

in1
C
C
0
n

62
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1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=1.000€
C5=1.500€
Capitalización simple
n=5 años
i?
Ejemplo 6:
63
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1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 5 años
1.000 1.500
i?
%10i 
C0=1.000€
C5=1.500€
Capitalización simple
n=5 años
i?
Ejemplo 6:
n
1
C
C
i 0
n


%101,0
5
1
000.1
500.1
i 


64
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
65
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1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Partiendo de la fórmula fundamental de la capitalización 
simple:
1º Pasamos C0 al primer miembro:
 in1
C
C
0
n

2º Dejamos la n sola en el segundo miembro:
3º Despejamos la duración:
i
1
C 
C
n 0
n


)in1(CC 0n 
in1
C
C
0
n
 in1
C
C
0
n

in1
C
C
0
n

66
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1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
C0=2.000€
Cn=2.640€
Capitalización simple
i=4% anual
n?
Ejemplo 7:
67
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1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
0 n?
2.000 2.640
i=4%
 años 8n 
C0=2.000€
Cn=2.640€
Capitalización simple
i=4% anual
n?
Ejemplo 7:
i
1
C 
C
n 0
n


años 8
04,0
32,0
04,0
132,1
04,0
1
2.000 
640.2
n 




68
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
69
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2. TANTOS EQUIVALENTES
¿Qué ocurre si el tanto de interés no viene 
expresado en años, sino que lo hace en períodos 
más pequeños?
Es lógico pensar que si cambia la 
frecuencia de cálculo de los 
intereses habrá que cambiar el 
importe del tanto de interés aplicado
2.1. CONCEPTO
70
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2. TANTOS EQUIVALENTES
Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas 
unidades de tiempo, son tantos equivalentes 
cuando aplicados a un mismo capital inicial y 
durante un mismo período de tiempo producen 
el mismo interés o generan el mismo capital 
final o montante.
TANTOS EQUIVALENTES
2.1. CONCEPTO
71
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Concepto
2.2. Relación de Tantos Equivalentes
72
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia2. TANTOS EQUIVALENTES
Los Tantos Equivalentes 
en Simple son 
PROPORCIONALES:
kii k 
k=Frecuencia de capitalización
número de partes iguales en las que se divide el 
período de referencia (considerando como tal el año)
2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES
Ejs.: Si la frecuencia es anual k=1; si es semestral 
k=2; si es trimestral k=4; si es mensual k=12,…
73
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2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES
C0=700€
n=3 años
a. i anual=12%
C3?
Ejemplo 8:
b. i semestral=6%
c. i mensual=1%
2. TANTOS EQUIVALENTES
74
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2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES
C0=700€
n=3 años
a. i anual=12%
C3?
Ejemplo 8:
)in1(CC 0n 
€95236,1700)12,031(700C3 
%12i 
 €952C3 
1k 
2. TANTOS EQUIVALENTES
75
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2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES
C0=700€
n=3 años
b. i semestral=6%
C3?
Ejemplo 8:
)in1(CC 0n 
€95236,1700)12,031(700C3 
 €952C3 
kii k 
12,0206,0i 
%6i2  2k 
2. TANTOS EQUIVALENTES
76
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2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES
C0=700€
n=3 años
c. i mensual=1%
C3?
Ejemplo 8:
)in1(CC 0n 
€95236,1700)12,031(700C3 
 €952C3 
kii k 
12,01201,0i 
%1i12  12k 
2. TANTOS EQUIVALENTES
77
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
78
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El descuento simple es la operación financiera que tiene 
por objeto la sustitución de un capital futuro por otro 
equivalente con vencimiento presente, mediante la 
aplicación de la ley financiera de descuento simple.
Es una operación inversa a la de capitalización.
0 n
CnC0?
3.1. CONCEPTO
3. DESCUENTO SIMPLE
79
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
80
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Los intereses no son productivos, lo que significa que:
 a medida que se generan no se restan del capital 
de partida para producir (y restar) nuevos 
intereses en el futuro y, por tanto,
 los intereses de cualquier período siempre los 
genera el mismo capital, al tanto de interés 
vigente en dicho período.
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
81
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 Punto de partida: Cn
 Para calcular C0 debemos conocer:
➢Duración de la operación: n
➢Tanto aplicado: i o d
0 n
CnC0?
i ó d
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
82
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necesariamente, C0< Cn
0nn CCI Recordemos que:
En definitiva, si trasladar un capital desde el presente 
al futuro implica añadirle intereses, hacer la 
operación inversa, anticipar su vencimiento, 
supondrá la minoración de esa misma carga 
financiera.
nn0 ICC 
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
83
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0 1 2 n-1
Inicio
C0
Cn
Fin
n
Gráficamente: Elementos:
Descuento o RebajaD
Valor Final o NominalnC
Valor Actual, Inicial o Efectivo0C
Tanto de la Operaciónd ó i
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
84
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Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital 
futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se 
denomina descuento (D). Se cumple la siguiente 
expresión:
0n CCD 
Descuento
Disminución de intereses que 
experimenta un capital futuro como 
consecuencia de adelantar su 
vencimiento
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
85
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DESCUENTO
Se calcula como el interés total
de un intervalo de tiempo
(el que se anticipe el capital futuro)
TipoTiempoCapitalD 
inCI 0n 
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
86
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Según cuál sea el capital que se considere para 
el cómputo de los intereses, SE DISTINGUEN 
DOS CLASES DE DESCUENTO:
DESCUENTO RACIONAL
DESCUENTO COMERCIAL
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO SIMPLE
87
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
88
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DESCUENTO RACIONAL
DESCUENTO MATEMÁTICO
DESCUENTO LÓGICO
=
=
DESCUENTO PROPIAMENTE DICHO
=
3.3. DESCUENTO RACIONAL
3. DESCUENTO SIMPLE
89
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El ahorro de intereses se calcula sobre el valor 
EFECTIVO (C0), utilizando el tipo de interés 
(i) vigente en el período.
Intereses
Se calculan sobre el capital 
inicial del período
3.3. DESCUENTO RACIONAL
3. DESCUENTO SIMPLE
90
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in1
C
C
n
0


A partir de la fórmula de la 
capitalización simple se 
despeja el capital inicial
)in1(CC 0n 
3.3. DESCUENTO RACIONAL
3. DESCUENTO SIMPLE
91
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Una vez calculado el capital inicial, por 
diferencia entre el capital de partida y 
el inicial obtenido, se obtendrá el 
interés total de la operación (Dr), o 
descuento racional o descuento 
propiamente dicho:
0nr CCD 
3.3. DESCUENTO RACIONAL
3. DESCUENTO SIMPLE
92
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in1
C
C
n
0


Sustituyendo C0:
Podemos extraer otra expresión del Dr
sustituyendo C0 en la expresión anterior:
0nr CCD 
in1
inC
D
n
r



in1
CinCC
in1
C)in1(C
in1
C
CCCD
nnnnnn
n0nr








3.3. DESCUENTO RACIONAL
3. DESCUENTO SIMPLE
93
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
94
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DESCUENTO COMERCIAL
DESCUENTO BANCARIO
=
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
95
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El ahorro de intereses se calcula sobre el valor 
NOMINAL (Cn), utilizando el tipo de interés 
(d) vigente en el período.
Intereses
Se calculan sobre el capital 
final del período
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
96
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En este caso resulta más interesante calcular primero 
el descuento comercial (Dc) y, posteriormente el 
capital inicial (C0):
dnCdC...dCdCD nnnnc 
n veces
Como el descuento es la suma de los intereses 
generados en cada uno de los períodos 
descontados (n), y en cada período tanto el capital 
considerado para calcular los intereses como el 
propio tanto se mantiene constante:
dnCD nc 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
97
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Sustituyendo Dc:
ycn0 DCC 
 dn1CC n0 
dnCD nc 0nc CCD 
Podemos extraer la expresión del C0 por diferencia 
entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):
  dnCCdnCCDCC nnnncn0 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
98
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Ejemplo 9:
N=100€
t=3 añosE?
Tanto anual=10% simple
Dr?
Dc?
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
99
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0 3 años
N=Cn=100E=C0?
i=10%
Dr?
Para calcular Dr tres formas:
0nr CCD 
Forma 1:
€08,23Dr 
in1
C
C
n
0

€92,76
1,031
100
C0 


€08,2392,76100Dr 
€92,76C0 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
Ejemplo 9 (Caso 1):
N=100€
t=3 años
E?
Tanto anual=10% simple
Dr?
100
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0 3 años
N=Cn=100E=C0?
i=10%
Dr?
Para calcular Dr tres formas:
Forma 2:
€08,23
1,031
1,03100
Dr 



in1
inC
D
n
r



€08,23Dr 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
Ejemplo 9 (Caso 1):
N=100€
t=3 años
E?
Tanto anual=10% simple
Dr?
101
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0 3 años
N=Cn=100E=C0?
i=10%
Dr?
Forma 3:
€92,76C0 
€08,23Dr 
TipoTiempoCapitalD 
€08,231,0392,76Dr 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
Ejemplo 9 (Caso 1):
N=100€
t=3 años
E?
Tanto anual=10% simple
Dr?
Para calcular Dr tres formas:
102
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0 3 años
N=Cn=100E=C0?
d=10%
Dc?
Para calcular E=C0 dos formas:
Forma 1:
€30Dc €70C0 
€301,03100Dc 
dnCD nc 
€7030100C0 
cn0 DCC 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
Ejemplo 9 (Caso 2):
N=100€
t=3 años
E?
Tanto anual=10% simple
Dc?
103
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0 3 años
N=Cn=100E=C0?
d=10%
Dc?
Para calcular E=C0 dos formas:
Forma 2:  dn1CC n0 
€70C0 
€70)1,031(100C0 
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
3. DESCUENTO SIMPLE
Ejemplo 9 (Caso 2):
N=100€
t=3 años
E?
Tanto anual=10% simple
Dc?
104
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
3. DESCUENTO SIMPLE
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
105
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Si el tipo de interés (i) aplicado en el 
descuento racional coincide en número 
con el tipo de descuento (d) empleado 
para el descuento comercial, aunque el 
tiempo fuese el mismo, el resultado no 
sería igual ya que estamos trabajando 
sobre capitales diferentes para el 
cómputo del cálculo de intereses
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
necesariamente Dc>Dr
106
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VAMOS A BUSCAR UNA RELACIÓN
ENTRE EL TIPO DE INTERÉS (i) Y EL
TIPO DE DESCUENTO (d) para los que el
resultado de la anticipación sea el mismo,
es decir, que los descuentos (Dr y Dc) sean
iguales tanto si aplicamos el descuento
racional a un interés i como si aplicamos un
descuento comercial a un descuento d…
No obstante…
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
107
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Para que esto ocurra:
cr DD 
Dividiendo ambos miembros por (Cn·n)
in1
inC
D
n
r



dnCD nc 
dnC
in1
inC
n
n



d
in1
i


4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
108
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d
in1
i


El tanto de descuento comercial «d» 
equivalente al tanto «i» será:
in1
i
d


4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
109
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A partir de esa expresión calculemos «i» en función de «d»:
in1
i
d


 
  i
dn1
d
dn1idindid
iinddiin1d
in1
i
d






dn1
d
i


4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
110
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IMPORTANTE: La relación de equivalencia entre 
tipos de interés y descuento, en régimen de simple, es 
una función temporal, es decir, que un tanto de 
descuento es equivalente a tantos tipos de interés 
como valores tome la duración (n) de la operación y 
al revés (no hay una relación de equivalencia única 
entre un «i» y un «d»)
in1
i
d


dn1
d
i


4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
111
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
d equivalente?
Comprobación?
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
112
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
0 3 años
N=Cn=100E=C0?
i=10%
d?
in1
i
d


%6923,7076923,0
13,0
1,0
1,031
1,0
d 


%6923,7d 
d equivalente?
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
113
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
0 3 años
N=Cn=100E=C0?
i=10%
Comprobación?
Descuento Racional:
€92,76
1,031
100
C0 

 0nr CCD 
in1
C
C
n
0


€08,2392,76100Dr 
€08,23Dr €92,76C0 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
114
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
0 3 años
N=Cn=100E=C0?
d=7,6923%
Comprobación?
Descuento Comercial (Forma 1): dnCD nc 
cn0 DCC €08,23076923,03100Dc 
€92,7608,23100C0 
€08,23Dr €92,76C0 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
115
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
0 3 años
N=Cn=100E=C0?
d=7,6923%
Comprobación?
Descuento Comercial (Forma 2): dnCD nc 
€08,23076923,03100Dc 
€08,23Dr €92,76C0 
 dn1CC n0 
€92,76)076923,031(100C0 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
116
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Ejemplo 10:
N=100€
t=3 años
i=10% simple
0 3 años
N=Cn=100E=C0=76,92€
i=10%
d=7,6923%
Comprobación?
Descuento Racional (i=10%):
€08,23Dr 
€92,76C0 
Descuento Comercial (d=7,6923%):
€08,23Dr 
€92,76C0 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
117
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TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE
118
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TEMA 1: Introducción a la Matemática Financiera. 
Conceptos Básicos
TEMA 2: Capitalización Simple
TEMA 3: Equivalencia Financiera de Capitales
TEMA 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple:
Letra de Cambio y Cuenta Corriente
TEMA 5: Capitalización Compuesta
PARTE 1: INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS. 
LAS LEYES FINANCIERAS DE 
CAPITALIZACIÓN
119
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ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
120
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ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
121
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1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES:
CONCEPTO
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Dos capitales, C1 y C2, que vencen en
los momentos t1 y t2 respectivamente, son equivalentes cuando, valorados
en un mismo momento de tiempo «t», tienen la misma cuantía…
CAPITAL 1; MOMENTO 1 CAPITAL 2; MOMENTO 2
(C1; t 1) (C2; t 2)
Esta definición se cumple cualquiera que sea el número 
de capitales que intervengan en la operación
122
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1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES:
CONCEPTO
CAPITAL 1; MOMENTO 1 CAPITAL 2; MOMENTO 2
(C1; t 1) (C2; t 2)
IMPORTANTE: Dependiendo de en qué momento 
del tiempo se haga la comparación 
el resultado será uno u otro.
… en consecuencia, si doso más capitales se dice que son equivalentes
resultará indiferente cualquiera de ellos, no habiendo preferencia por
ninguno en particular .
123
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TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
124
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
La sustitución de un(os) capital(es) por otro u 
otros de vencimientos y/o cuantías diferentes a 
las anteriores, sólo se podrá llevar a cabo si 
financieramente resultan ambas alternativas 
EQUIVALENTES
1º) Se tendrá que elegir una fecha de estudio (época o fecha focal)
2º) Se tendrá que obligar a los capitales tengan la misma cuantía
125
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Acreedor y Deudor deben acordar:
 Momento del tiempo a partir del cual se computan
los vencimientos
 Momento en el cual se realiza la equivalencia
 Tanto de valoración de la operación
 Capitalización o descuento
126
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Casos posibles para sustituir capitales:
 Determinar un CAPITAL COMÚN
 Determinar un VENCIMIENTO COMÚN
 Determinar un VENCIMIENTO MEDIO
127
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TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
128
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
El capital común es la cuantía C de un 
capital único que vence en el momento 
t, conocido, y que sustituye a varios 
capitales C1, C2, …, Cn, con vencimientos 
en t1, t2, … , tn, respectivamente, todos 
ellos conocidos en cuantías y tiempos.
129
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
CAPITAL
COMÚN
(C)
Estudio en el 
Momento 0
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
Estudio en el 
Momento «t»
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
130
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO «0» TIPO DE INTERÉS «i»
0
C1 C2 Cn
C?
t1 t2 tnt
i
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







in1
C
C
n
0


 in1CC 0n 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
Para actualizar:
131
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







Despejando C:
 
 it1
it1
C
it1
it1
C
...
it1
C
it1
C
C
n
1S S
S
n
n
2
2
1
1






















MOMENTO «0», TIPO DE INTERÉS «i»
132
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
0
C1 C2 Cn
C?
t1 t2 tnt
d
 dn1CC n0 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
Para actualizar:
133
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando C:
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
     
 
dt1
dt1C
dt1
dt1C...dt1Cdt1C
C
n
1S
ss
nn2211









134
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO «t», TIPO DE INTERÉS «i»
in1
C
C
n
0


 in1CC 0n 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
0
C1 C2 Cn
C?
t1 t2 tnt
i
     
 
C
itt1
C
...itt1Citt1C
n
n
2211 


Para capitalizar:
Para actualizar:
135
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando C:
MOMENTO «t», TIPO DE INTERÉS «i»
     
 
C
itt1
C
...itt1Citt1C
n
n
2211 


     
  itt1
C
...itt1Citt1CC
n
n
2211


136
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO «t», TIPO DE DESCUENTO «d»
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
0
C1 C2 Cn
C?
t1 t2 tnt
i
         Cdtt1C...itt1Citt1C nn2211 
 dn1CC n0 
 in1CC 0n 
Para capitalizar:
Para actualizar:
137
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando C:
MOMENTO «t», TIPO DE DESCUENTO «d»
         Cdtt1C...itt1Citt1C nn2211 
        dtt1C...itt1Citt1CC nn2211 
138
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2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2 CASOS:
▪ Fecha de estudio 0
▪ Fecha de estudio t=9 meses
Ejemplo 1:
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 meses
t2=8 meses
C2=4.000€
C?
t=9 meses
t3=10 meses
i=8% simple anual
139
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Ejemplo 1:
2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 meses
t2=8 meses
C2=4.000€
C?
t=9 meses
t3=10 meses
i=8% simple anual
MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i»
0
2.000 4.000 5.000
C?
6 8 109
i
meses
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







140
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Ejemplo 1:
2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i»
Despejando C y sustituyendo los datos:
   
€53,032.11
06,104528,408.1008,0
12
9
1
08,0
12
10
1
000.5
08,0
12
8
1
000.4
08,0
12
6
1
000.2
it1
it1
C
it1
it1
C
...
it1
C
it1
C
C
n
1S S
S
n
1
2
1
1
1












































 

€53,032.11C 
141
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Ejemplo 1:
2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 meses
t2=8 meses
C2=4.000€
C?
t=9 meses
t3=10 meses
i=8% simple anual
MOMENTO t=9, TIPO DE INTERÉS «i»
0
2.000 4.000 5.000
C?
6 8 109 meses
    
 
C
itt1
C
...itt1Citt1C
n
n
2211 


142
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Ejemplo 1:
2.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando C y sustituyendo los datos:
€55,033.11C 
MOMENTO t=9, TIPO DE INTERÉS «i»
     
 
   
 
€55,033.11
08,0
12
910
1
000.5
08,0
12
89
1000.408,0
12
69
1000.2
itt1
C
...itt1Citt1CC
n
n
2211

























143
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TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
144
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2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
El vencimiento común es el momento de 
tiempo t en que vence un capital 
único C, conocido, que sustituye a varios 
capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos 
en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todos 
ellos conocidos. Se tiene que cumplir:
n21 C...CCC 
145
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
VENCIMIENTO
COMÚN
(t)
Estudio en el 
Momento 0
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
Estudio en el 
Momento «t»
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
Nota: No desarrollaremos todos y cada uno de los casos, ya que 
se procede de igual forma que en el capital común, salvo que 
ahora la incógnita a despejar es el vencimiento común «t» 146
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO «0», TIPO DE INTERÉS «i»
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







in1
C
C
n
0


 in1CC 0n 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
Para actualizar:
0
C1 C2 Cn
C
t1 t2 tnt?
i
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
147
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







Despejando t:
  1
it1
C
C
it
it1
C
C
it1it1
it1
C
C
n
1S S
S
n
1S S
S
n
1S S
S
















i
1
it1
C
C
t
n
1S S
S





2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
MOMENTO «0», TIPO DE INTERÉS «i»
148
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
0
C1 C2 Cn
C
t1 t2 tnt?
d
 dn1CC n0 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
Para actualizar:
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
149
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando t:
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
dtCtCdCCdtCCtCdC
dtCCtCdCdtCCtCdC
n
1S
SS
n
1S
S
n
1S
SS
n
1S
S
n
1S
SS
n
1S
S
n
1S
SS
n
1S
S






dC
tCdCC
t
n
1S
SS
n
1S
S





150
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Ejemplo 2:
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 meses
t2=8 meses
C2=4.000€
t?
C=11.200€
t3=10 meses
i=8% simple anual
MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i»
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
0
2.000 4.000 5.000
11.200
6 8 10t? meses
it1
C
it1
C
...
it1
C
it1
C
n
n
2
2
1
1







151
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Ejemplo 2:
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando t y sustituyendo los datos:
2.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i»
años 951133,0
00667,0
07609063,0
08,0
1
08,0
12
10
1
000.5
08,0
12
8
1
000.4
08,0
12
6
1
000.2
200.11
i
1
it1
C
C
t
n
1S S
S














meses 41,1112951133,0t 
Pasamos los años a meses multiplicando el tiempo 
anterior por 12 meses que tiene un año::
152
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TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
ÍNDICE
1. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: 
CONCEPTO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
2.1. Determinación del Capital Común
2.2. Determinación del Vencimiento Común
2.2. Determinación del Vencimiento Medio
153
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2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
El vencimiento medio es el momento de 
tiempo t en que vence un capital 
único C, conocido, que sustituye a 
varios capitales C1, C2, ... , Cn, con 
vencimientos en t1, t2, ... , tn, 
respectivamente, todos ellos conocidos. 
Se tiene que cumplir:
n21 C...CCC 
154
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
VENCIMIENTO
MEDIO
(t)
Estudio en el 
Momento 0
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
Estudio en el 
Momento «t»
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
❖ DESCUENTO RACIONAL
(Valorado a tipo de interés «i»)
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(Valorado a tipo de interés «d»)
Nota: El cálculo es idéntico al vencimiento común, lo único que 
varía es la cuantía del capital único que sustituye al conjunto de 
capitales de los que se parte, que ahora debe ser igual a la suma 
aritmética de las cuantías a las que sustituye
2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
155
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
0
C1 C2 Cn
C
t1 t2 tnt?
d
 dn1CC n0 
Nota: El tiempo tiene que ir expresado en las mismas unidades 
que el tipo de interés
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
Para actualizar:
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
156
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2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando t:
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
MOMENTO «0», TIPO DE DESCUENTO «d»
  dtCCtC...tCtCdC...CC nn2211n21 
 
  dtCtCddtCtC...tCtCd
dtCCtC...tCtCdC
S
n
1S
Snn2211
nn2211




C
tC
t
S
n
1S
S



157
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Ejemplo 3:
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 meses
t2=8 meses
C2=4.000€
t?
C=11.000€
t3=10 meses
d=8% simple anual
MOMENTO t=0, TIPO DE DESCUENTO «d»
0
2.000 4.000 5.000
11.000
6 8 10t? meses
2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
       dt1Cdt1C...dt1Cdt1C nn2211 
158
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Ejemplo 3:
2. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Despejando t y sustituyendolos datos:
meses 55,812712121,0t 
Pasamos los años a meses multiplicando el tiempo 
anterior por 12 meses que tiene un año::
2.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
MOMENTO t=0, TIPO DE DESCUENTO «d»
años 712121,0
000.11
12
10
000.5
12
8
000.4
12
6
000.2
C
tC
t
S
n
1S
S







159
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TEMA 3: EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES
160
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TEMA 1: Introducción a la Matemática Financiera. 
Conceptos Básicos
TEMA 2: Capitalización Simple
TEMA 3: Equivalencia Financiera de Capitales
TEMA 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple:
Letra de Cambio y Cuenta Corriente
TEMA 5: Capitalización Compuesta
PARTE 1: INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS. 
LAS LEYES FINANCIERAS DE 
CAPITALIZACIÓN
161
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 162
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 163
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TÍTULO DE CRÉDITO: Documento que expresa en su
contenido, un derecho literal y autónomo, y que con solo poseer
ese soporte material (el documento) puede ejecutarse, sin
probar los hechos que determinaron su emisión. Son ejemplos
de títulos de crédito, las acciones de sociedades anónimas, los
pagarés y los cheques.
1.1. CONCEPTO DE DESCUENTO DE EFECTOS
1. DESCUENTO DE EFECTOS
El descuento bancario es una operación 
financiera que consiste en la presentación de un 
título de crédito en una entidad financiera para 
que ésta anticipe su importe y gestione su cobro.
164
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1.1. CONCEPTO DE DESCUENTO DE EFECTOS
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Tenedor Entidad
Financiera
Nominal-Descuento
165
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 166
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1.2. CLASIFICACIÓN DE LOS DESCUENTOS
1. DESCUENTO DE EFECTOS
TIPOS DE
DESCUENTOS
DESCUENTO
BANCARIO
(Título=Letra de 
Cambio)
❖ DESCUENTO COMERCIAL
(La letra procede de la actividad
comercial habitual del cedente)
❖ DESCUENTO FINANCIERO
(Las letras proceden de un
préstamo concedido al cliente)
DESCUENTO
NO CAMBIARIO
(Título=Letra de 
Cambio)
167
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 168
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NOMINAL: Importe de la Letra de Cambio
1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO
1. DESCUENTO DE EFECTOS
EFECTIVO
O LÍQUIDO: Importe anticipado por la Entidad al Cliente
Efectivo (E) Nominal (N)
(D) DescuentoNE 
Gastos OtrosComisionesInteresesD 
0 t
169
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1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO
1. DESCUENTO DE EFECTOS
d
360
t
NIntereses 
1. Intereses:
siendo:
N Nominal del efecto
t Número de días que el banco anticipa el efecto
d Tipo de descuento anual, en tanto por uno



170
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1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO
1. DESCUENTO DE EFECTOS
2. Comisiones, quebranto o daño:
Se escoge la mayor entre: 
➢ Un porcentaje sobre el nominal
➢ Una cantidad fija que se pone como mínimo
3. Otros gastos o suplidos:
Se trata de gastos muy variados que pueden ser: 
➢ Gastos de correo
➢ Timbre
➢ IAJD
171
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1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 1:
N=3.250€
t=60 días
Comisión=3‰ (mínimo 5€)
d=14% anual
E?
Otros Gastos=2€
172
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1.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 1:
N=3.250€
t=60 días
Comisión=3‰ (mínimo 5€)
d=14% anual
E?
Otros Gastos=2€
(D) DescuentoNE 
Gastos OtrosComisionesInteresesD 
€83,7514,0
360
60
250.3d
360
t
NIntereses 
€75,9Comisión€5€75,9003,0250.3Comisión 
€2gastos Otros 
3.162,42€2-9,75-75,83-3.250Gastos OtrosComisiónInteresesNE 
173
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 174
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LIBRADO: Es el deudor, quien debe pagar la letra de
cambio cuando llegue la fecha indicada o de vencimiento.
1.4. LETRA DE VUELTA
1. DESCUENTO DE EFECTOS
La letra de vuelta es aquella que se 
devuelve al cedente al no ser atendido su 
pago a su vencimiento por parte del 
librado
175
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1.4. LETRA DE VUELTA
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1. El Nominal de la letra devuelta
2. Gastos de devolución:
❖ Comisión de devolución
❖ Correo
3. Gastos de protesto:
❖ Comisión de protesto
❖ Coste del protesto
El banco le cargará al cliente:
176
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1.4. LETRA DE VUELTA
1. DESCUENTO DE EFECTOS
4. Intereses:
❖ Si se carga en la cuenta del cedente el 
mismo día de su vencimiento NO SE 
GENERAN INTERESES adicionales a los 
que se cobraron la primera vez
❖ Si el cedente se retrasa en el pago al banco 
de la letra de vuelta, los INTERESES son:
i
360
t
impago) del GastosN(Intereses 


El banco le cargará al cliente:
siendo: t’ tiempo transcurrido desde el vencimiento
de la letra hasta que el cedente pague.
i tipo de interés anual que el banco leaplique.


177
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1.4. LETRA DE VUELTA
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 2:
Comisión de devolución=1‰
Letra del Ejemplo 1 impagada: N=3.250€
Comisión de protesto=2‰
Correo=2,50€
Efectivo adeudado al banco (E’)?
178
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1.4. LETRA DE VUELTA
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 2:
Comisión de devolución=1‰
Efectivo adeudado al banco (E’)?
Letra del Ejemplo 1 impagada: N=3.250€
Comisión de protesto=2‰
Correo=2,50€
Protesto GastosDevolución GastosNE 
€25,262.350,2002,0250.3001,0250.3250.3E 
IMPORTANTE: No se le cargan intereses porque se le 
adeuda directamente a la cuenta del cedente el mismo día 
en que se produce el impago.
179
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 180
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LOS GASTOS A LOS QUE SE REFIERE ESTA
DEFINICIÓN: Son los que acabamos de ver, es decir, los
gastos de devolución, los de protesto y los intereses, en
caso de que se hayan generado.
1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN
1. DESCUENTO DE EFECTOS
La letra de resaca o renovación es aquella 
que se emite para recuperar otra anterior
que ha sido devuelta, junto con los gastos
que originó su devolución.
181
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PROBLEMA: Calcular el nuevo nominal de 
la una nueva letra para cobrarle al LIBRADO 
todo lo que debe
1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN
1. DESCUENTO DE EFECTOS
t0
E’ = Todo lo que debe el librado
N’?
182
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1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 3:
d=15%
Letra del Ejemplo 2 impagada: E’=3.262,25€
Comisión=3‰
Otros gastos=10€
Nuevo nominal (N’)?
t=30 días
30 días0
E’ = 3.262,25€
N’?
183
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1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 3:
d=15%
Letra del Ejemplo 2 impagada: E’=3.262,25€
Comisión=3‰
Otros gastos=10€
Nuevo nominal (N’)?
t=30 días
 GOCINE 
10003,0N
360
30
15,0NN25,262.3
)10003,0N
360
30
15,0NN25,262.3








)D( ' DescuentoNE 
184
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1.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN
1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 3:
10003,0N
360
30
15,0NN25,262.3
)10003,0N
360
30
15,0NN25,262.3














 003,0
360
30
15,01N1025,262.3
€77,323.3N
9845,0
75,272.3
NN9845,025,272.3 
185
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 186
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1.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1. Factura con todos los efectos y sus características.
2. Sumar:
❖ Nominales
❖ Intereses
❖ Comisiones
3. Los otros gastos se consignan aparte.
4. Se resta al NOMINAL TOTAL, TODOS LOS 
GASTOS habidos.
Si queremos descontar más de un efecto, tenemos 
que calcular una FACTURA DE NEGOCIACIÓN:
187
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1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 4:
Tipo de descuento=12%
Efectivo remesa (E)?
Remesa:
Comisión=5‰ (mínimo 90€)
Correo=6€/efecto
1.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS
Efecto Nominal Días de descuento
A 30.000 20
B 20.000 25
C 15.000 30
188
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1. DESCUENTO DE EFECTOS
Ejemplo 4:
1.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS
Efecto Nominal Días Tipo Intereses Porcentaje Comisión Correo
A 30.000 20 12% 200,00 5‰ 150 6
B 20.000 25 12% 166,67 5‰ 100 6
C 15.000 30 12% 150,00 mínimo 90 6
65.000 516,67 340 18
€33,125.641834067,516000.65OGCINE 
189
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 190
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LAS CUENTAS CORRIENTES: Se pueden llevar entre
empresas, entre particulares, y, las más frecuentes, son las que
se usan entre los bancos y sus clientes.
2.1. DEFINICIÓN DE CUENTA CORRIENTE
2.CUENTAS CORRIENTES
Un contrato de cuenta corriente es un acuerdo 
entre dos partes con relaciones comerciales 
frecuentes, por el que ambas se comprometen a 
ir anotando el importe de las operaciones que 
hagan entre ellas para liquidarlas todas juntas
en la fecha que señalen.
191
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TIPOS DE
CUENTAS
CORRIENTES
CUENTA 
CORRIENTE DE 
DEPÓSITO
CUENTA 
CORRIENTE DE 
CRÉDITO
2.1. DEFINICIÓN DE CUENTA CORRIENTE
2.CUENTAS CORRIENTES
Contrato bancario por el que 
el titular puede ingresar 
fondos en una cuenta de un 
banco, o retirarlos total o 
parcialmente sin previo 
aviso.
Contrato en el que es el 
banco quien concede al 
cliente (acreditado) la 
posibilidad de obtener 
financiación hasta una 
cuantía establecida de 
antemano (límite del 
crédito).
192
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 193
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CLASES DE
CUENTAS
CORRIENTES
(de depósito)
SEGÚN SUS 
TITULARES
SEGÚN EL 
DEVENGO DE LOS 
INTERESES
2.2. CLASES DE CUENTAS CORRIENTES
2.CUENTAS CORRIENTES
❖ INDIVIDUAL
❖ INDISTINTA
❖ CONJUNTA
❖ SIN INTERÉS
❖ CON INTERÉS
❖ RECÍPROCO
❖ NO RECÍPROCO
194
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2.Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 195
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PROBLEMA: Conocemos los capitales y el 
tanto de interés, pero no conocemos el 
tiempo para poder liquidar las cuentas 
corrientes
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.CUENTAS CORRIENTES
TRES MÉTODOS
Directo
Indirecto
Hamburgués o de 
Saldos
196
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 197
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Considera que cada capital, 
deudor o acreedor, devenga 
intereses durante los días 
que median desde la fecha 
de su vencimiento hasta el 
momento de liquidación.
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.1. MÉTODO DIRECTO
2.CUENTAS CORRIENTES
198
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 199
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Los capitales generan intereses desde 
la fecha en la que se originan hasta 
una fecha fija denominada época. 
Ello supone un cálculo de intereses 
que no se corresponden con la 
realidad, por lo que cuando se 
conozca la fecha de liquidación 
deben rectificarse
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.2. MÉTODO INDIRECTO
2.CUENTAS CORRIENTES
200
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
ÍNDICE
1. DESCUENTO DE EFECTOS
1.1. Concepto de Descuento de Efectos
1.2. Clasificación de los Descuentos
1.3. Cálculo Financiero del Descuento
1.4. Letra de Vuelta
1.5. Letra de Resaca o Renovación
1.6. Descuento de una Remesa de Efectos
2. CUENTAS CORRIENTES
2.1. Definición de Cuenta Corriente
2.2. Clases de Cuentas Corrientes
2.3. Liquidación de Cuentas Corrientes
2.3.1. Método Directo
2.3.2. Método Indirecto
2.3.3. Método Hamburgués o de Saldos 201
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Los intereses se calculan en base a los 
saldos que van apareciendo en la 
cuenta (y no en función de los 
capitales)
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
202
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1. Se ordenan las operaciones según fecha-valor .
2. Se halla la columna de saldos como diferencia 
entre el Debe y el Haber de capitales.
3. Hallar los días, que se cuentan de vencimiento a 
vencimiento, y del último vencimiento a la 
fecha de cierre.
4. Se calculan los números comerciales
multiplicando los saldos por los días y se 
colocan en el Debe si el saldo es deudor, o en el 
Haber si el saldo es acreedor.
Pasos a Seguir:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
203
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5. A partir de aquí terminaremos la liquidación:
a. Cálculo del interés.
El multiplicador fijo es el cociente resultante de dividir el tipo de 
interés de liquidación (anual) entre el total de días del año (360 ó 
365).
b. Cálculo del IRC (Impuesto de Rentas de 
Capital) sobre los intereses acreedores.
c. Cálculo del saldo a cuenta nueva.
Pasos a Seguir:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
cliente del fijo dorMultiplicaacreedores números de Sumaacreedores Intereses 
banco del fijo dorMultiplicadeudores números de Sumadeudores Intereses 
204
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Ejemplo 5:
Comisión por apunte=3€
Liquidar por el método hamburgués:
IRC=15%
i=6%
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Concepto Cuantía Signo
06-05 Ingreso apertura 35.000 Haber
14-05 Cheque a compensar a su favor 20.000 Haber
23-05 Cheque c/c 5.000 Debe
11-06 Ingreso en efectivo 10.000 Haber
Fecha de liquidación: 30-junio
205
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Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo
06-05 Ingreso apertura 35.000 H 35.000 H
14-05
Cheque a compensar a su favor
20.000 H 55.000 H
23-05 Cheque c/c 5.000 D 50.000 H
11-06 Ingreso en efectivo 10.000 H 60.000 H
30-06
206
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8 días
9 días
19 días
19 días
Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo Días 
06-05 Ingreso apertura 35.000 H 35.000 H 8
14-05
Cheque a compensar 
a su favor 20.000 H 55.000 H 9
23-05 Cheque c/c 5.000 D 50.000 H 19
11-06 Ingreso en efectivo 10.000 H 60.000 H 19
30-06
mayo de 14 al 6 Del
mayo de 23 al 14 Del
junio de 11 al mayo de 23 Del
junio de 30 al 11 Del
Número de días
207
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280.000
495.000
950.000
1.140.000
Total 2.865.000
Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo Días
Números
acreedores
06-05 Ingreso apertura 35.000 H 35.000 H 8 280.000
14-05
Cheque a 
compensar a su 
favor
20.000 H 55.000 H 9 495.000
23-05 Cheque c/c 5.000 D 50.000 H 19 950.000
11-06
Ingreso en 
efectivo
10.000 H 60.000 H 19 1.140.000
30-06 55 2.865.000
8000.35 
9000.55 
19000.50 
19000.60 
Números acreedores
208
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Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo Días
Números
acreedores
06-05 Ingreso apertura 35.000 H 35.000 H 8 280.000
14-05 Cheque a compensar a su favor 20.000 H 55.000 H 9 495.000
23-05 Cheque c/c 5.000 D 50.000 H 19 950.000
11-06 Ingreso en efectivo 10.000 H 60.000 H 19 1.140.000
30-06 55 2.865.000
cliente del fijo dorMultiplicaacreedores números de Sumaacreedores Intereses 
€96,470
365
06,0
000.865.2acreedores Intereses 
Cálculo de los números comerciales acreedores:
209
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Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía Signo Saldos Signo Días
Números
acreedores
06-05 Ingreso apertura 35.000 H 35.000 H 8 280.000
14-05 Cheque a compensar a su favor 20.000 H 55.000 H 9 495.000
23-05 Cheque c/c 5.000 D 50.000 H 19 950.000
11-06 Ingreso en efectivo 10.000 H 60.000 H 19 1.140.000
30-06 55 2.865.000
Retención de impuestos:
€64,7096,470 de %15impuestos tenciónRe 
Comisión de administración:
€1243ciónadministra de Comisión 
210
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Ejemplo 5:
2.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
2.3.3. MÉTODO HAMBURGUÉS O DE SALDOS
2.CUENTAS CORRIENTES
Fecha Movimiento Cuantía SignoSaldos Signo Días
Números
acreedores
06-05 Ingreso apertura 35.000 H 35.000 H 8 280.000
14-05 Cheque a compensar a su favor 20.000 H 55.000 H 9 495.000
23-05 Cheque c/c 5.000 D 50.000 H 19 950.000
11-06 Ingreso en efectivo 10.000 H 60.000 H 19 1.140.000
30-06 55 2.865.000
Saldo después de la liquidación:
ComisionesRICdeud. .Intacreed. .Intfinal Saldonliquidació la de después Saldo 
€32,388.601264,7096,470000.60nliquidació la de después Saldo 
211
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TEMA 4: APLICACIONES DE LA CAPITALIZACIÓN
SIMPLE: LETRA DE CAMBIO Y CUENTA
CORRIENTE
212
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TEMA 1: Introducción a la Matemática Financiera. 
Conceptos Básicos
TEMA 2: Capitalización Simple
TEMA 3: Equivalencia Financiera de Capitales
TEMA 4: Aplicaciones de la Capitalización Simple:
Letra de Cambio y Cuenta Corriente
TEMA 5: Capitalización Compuesta
PARTE 1: INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS. 
LAS LEYES FINANCIERAS DE 
CAPITALIZACIÓN
213
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TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
214
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ÍNDICE
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
5.1. Determinación del Capital Común
5.2. Determinación del Vencimiento Común
5.3. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
215
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ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
216
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1.1. CONCEPTO
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Las operaciones en régimen de compuesta se 
caracterizan porque los intereses, a diferencia 
de lo que ocurre en régimen de simple:
 a medida que se van generando pasan a 
formar parte del capital de partida, se 
van acumulando,
 y , producen a su vez intereses en 
períodos subsiguiente (son productivos).
Para la sustitución entre Capitales se le aplica una
LEY DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.
217
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ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
218
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1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
CAPITAL INICIAL CAPITAL FINAL o MONTANTE
(C0) (Cn)
En cada período:
Cn =Cn-1+Intereses generados en ese período
DURACIÓN DE LA OPERACIÓN (n)
TIPO DE INTERÉS (i)
219
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ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
220
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1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Suponiendo una operación de tres períodos:
0 1 2 3
Inicio
C0
C1
C2
C3=C0 + Intereses totales
Fin
iCI 01 
iCI 12 
iCI 23 
221
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ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
222
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Momento 0:
Momento 1:
Momento 2:
Momento 3:
…
Momento n:
0C
)i1(CiCC)iC(CICC 00000101 
2
00111212 )i1(C)i1()i1(C)i1(CiCCICC 
3
0
2
0222323 )i1(C)i1()i1(C)i1(CiCCICC 
n
0
1n
0
1n1n1nn1nn
)i1(C)i1()i1(C
)i1(CiCCICC




n
0n )i1(CC 
223
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
n
0n )i1(CC 
FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
IMPORTANTE: Esta expresión es aplicable cuando 
el tipo de interés de la operación no varía. En caso 
contrario habrá que trabajar con el tipo vigente en 
cada período.
IMPORTANTE: n lo que indica es el número de 
veces que se han generado (y acumulado) intereses 
al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha 
de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo 
de interés (no importando cuál sea)
224
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C0=200€
i=5% anual
Capitalización compuesta
n=10 años
C10?
Ejemplo 1:
225
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1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C0=200€
i=5% anual
Capitalización compuesta
n=10 años
C10?
Ejemplo 1:
0 10 años
200 C10?
i = 5%
€78,325)05,01(200C 1010 
n
0n )i1(CC 
Si se hubiese calculado en simple:  in1CC 0n 
€300)1005,01(200C10 
La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses 
producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final
226
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ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
227
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1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
n
0n )i1(CC 
Partiendo de la fórmula fundamental de la 
capitalización compuesta:
 n
n
0
i1
C
C


Despejamos C0:
228
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1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C2=1.500€
i=6% anual
Capitalización compuesta
n=2 años
C0?
Ejemplo 2:
229
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1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C2=1.500€
i=6% anual
Capitalización compuesta
n=2 años
C0?
Ejemplo 2:
0 2 años
C0? 1.500
i = 6%
 n
n
0
i1
C
C


 
€99,334.1
1236,1
500.1
06,01
500.1
C
2
0 


€99,334.1C0 
230
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ÍNDICE1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
231
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Conocidos los capitales inicial y final, 
se obtendrá por diferencias entre 
ambos:
0nn CCI 
232
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C0=300€
i=7% anual
Capitalización compuesta
n=4 años
I?
Ejemplo 3:
233
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1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C0=300€
i=7% anual
Capitalización compuesta
n=4 años
I4?
Ejemplo 3:
0 4 años
300 C4
i = 7%
I4?
n
0n )i1(CC 
  €24,39307,01300C 44 
€24,9330024,393I4 
€24,93I4 
0nn CCI 
234
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ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
235
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1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
n
0n )i1(CC 
Partiendo de la fórmula fundamental de la capitalización 
compuesta:
1º Pasamos C0 al primer miembro:
 n
0
n
i1
C
C

2º Quitar la potencia (extrayendo raíz n a los dos miembros):
 n nn
0
n
i1
C
C
 i1
C
C
n
0
n

3º Despejar el tipo de interés:
i1
C
C
n
0
n
 1
C
C
i n
0
n

236
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1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C0=1.000€
C12=1.601,03€
Capitalización compuesta
n=12 años
i?
Ejemplo 4:
237
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1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C0=1.000€
C12=1.601,03€
Capitalización compuesta
n=12 años
i?
Ejemplo 4:
0 12 años
1.000 1.601,03
i?
1
C
C
i n
0
n

 12i1000.103,601.1 
%404,0104,11
000.1
03,601.1
i 12 
%4i 
n
0n )i1(CC 
238
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ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
239
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1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
n
0n )i1(CC 
Partiendo de la fórmula fundamental de la capitalización 
compuesta:
1º Pasamos C0 al primer miembro:
 n
0
n
i1
C
C

2º Extraemos logaritmos a ambos miembros:
3º Aplicamos propiedades a los logaritmos:
 n
0
n
i1 ogl
C
C
 log 
 i1 oglnC logC log 0n   i1 ogl
C logC log
n
0n



240
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1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C0=2.000€
Cn=3.202€
Capitalización compuesta
i=4% anual
n?
Ejemplo 5:
241
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1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C0=2.000€
Cn=3.202€
Capitalización compuesta
i=4% anual
n?
Ejemplo 5:
0 n?
2.000 3.202
i=4%
 i1 ogl
C logC log
n
0n



n
0n )i1(CC 
 n04,01000.2202.3 
   
 
 años 12
01703,0
20439,0
0,041 ogl
2.000 log3.202 log
0,041 ogl
2.000 log3.202 log
i1 ogl
C logC log
n
0n










 años 12n 
242
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ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
243
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2. TANTOS EQUIVALENTES
La definición de tantos equivalentes es la 
misma que la vista en régimen de simple, esto 
es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas 
unidades de tiempo, son tantos equivalentes 
cuando aplicados a un mismo capital inicial y 
durante un mismo período de tiempo producen 
el mismo interés o generan el mismo capital 
final o montante.
244
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2. TANTOS EQUIVALENTES
En régimen simple: kii k 
k=Frecuencia de capitalización
número de partes iguales en las 
que se divide el período de referencia 
(considerando como tal el año)
Ejs.: Si la frecuencia es anual k=1; si 
es semestral k=2; si es trimestral 
k=4; si es mensual k=12,…
245
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2. TANTOS EQUIVALENTES
En régimen compuesto esta relación de 
proporcionalidad no es válida
Veámoslo con el caso consistente en determinar el montante 
resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año en las 
siguientes condiciones:
Interés anual del 12%:
Interés semestral del 6%:
Interés trimestral del 3%:
  €00,120.112,01000.1C 1n 
  €60,123.106,01000.1C 2n 
  €51,125.103,01000.1C 4n 
¿CUÁL ES ENTOCES LA RELACIÓN DE 
TANTOS EQUIVALENTES?
246
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ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
247
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2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN
COMPUESTA
2. TANTOS EQUIVALENTES
En régimen compuesto:
k=Frecuencia de capitalización
número de partes iguales en las que se divide 
el período de referencia (habitualmente el año)
indica cada cuánto tiempo se hacen productivos 
los intereses, esto es, cada cuánto tiempo se 
acumulan los intereses, dentro del período, al 
capital para producir nuevos intereses.
 kki1i1 
248
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2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN
COMPUESTA
2. TANTOS EQUIVALENTES
 kki1i1 
¿DE DÓNDE SE OBTIENE ESTA RELACIÓN?
Se obtiene a partir de la definición de equivalencia
vista anteriormente, obligando a que un capital (C0) 
colocado un determinado período de tiempo (n 
años) genere el mismo montante (Cn) con 
independencia de la frecuencia de acumulación de 
intereses (i o ik)
249
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2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN
COMPUESTA
2. TANTOS EQUIVALENTES
Utilizando el tanto anual i
el montante obtenido será:
0 n años
C0 Cn
i
Utilizando el tanto k-esimal ik
el montante obtenido será:
kn 0
C0 Cn
ik
k-ésimos de año
 n0n i1CC   
kn
k0n i1CC


Si queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, 
se tiene que producir la igualdad entre los resultados de 
ambas operaciones
    knk0n0 i1Ci1C   kki1i1
250
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2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN
COMPUESTA
2. TANTOS EQUIVALENTES
 kki1i1 
Partiendo de la relación de tantos equivalentes en 
compuesta:
❖ El valor de i en función de ik :   1i1i kk 
❖ El valor de ik en función de i :
       
    k1kkk1
k k
kk
k
k
i1i1i1i1
i1i1i1i1


  1i1i k1k 
251
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C0=1.000€
n=1 año
Capitalización compuesta
i=12% anual efectivo
C1?
Ejemplo 6:
2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN
COMPUESTA
2. TANTOS EQUIVALENTES
Casos:
a. Devengo anual de intereses
b. Devengo semestral de intereses
c. Devengo trimestral de intereses
IMPORTANTE: Cuando habla de tanto por ciento efectivo
anual nos está indicando el problema que quiere que se 
utilicen tantos equivalentes para que el montante final (C1) 
sea igual al que resultaría de aplicar el 12% anual sea cual 
sea el devengo de los intereses .
252
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C0=1.000€
n=1 año
Capitalización compuesta
i=12% anual efectivo
C1?
Ejemplo 6:
2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN
COMPUESTA
2. TANTOS EQUIVALENTES
a. Devengo anual de intereses
  12,0112,1112,01i 111 
  €00,120.112,01000.1C 11 
€00,120.1C1
  1i1i k1k 
n
0n )i1(CC 
1k  12,0ii 1 
253
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C0=1.000€
n=1 año
Capitalización compuesta
i=12% anual efectivo
C1?
Ejemplo 6:
2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN
COMPUESTA
2. TANTOS EQUIVALENTES
€00,120.1C1
  1i1i k1k 
n
0n )i1(CC 
2k  05830,0i2 
b. Devengo semestral de intereses
  05830,0105830,1112,01i 212 
€00,120.1)05830,01(000.1C 21 
254
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C0=1.000€
n=1 año
Capitalización compuesta
i=12% anual efectivo
C1?
Ejemplo 6:
2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN
COMPUESTA
2. TANTOS EQUIVALENTES
€01,120.1C1
  1i1i k1k 
n
0n )i1(CC 
4k  02874,0i4 
c. Devengo trimestral de intereses
  02874,0102874,1112,01i 414 
€01,120.1)02874,01(000.1C 41 
255
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ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. Concepto
1.2. Descripción de la Operación
1.3. Características de la Operación
1.4. Desarrollo de la Operación
1.5. Cálculo del Capital Inicial
1.6. Cálculo de los Intereses Totales
1.7. Cálculo del Tipo de Interés
1.8. Cálculo de la Duración
2. TANTOS EQUIVALENTES
2.1. Relación de Tantos Equivalentes en Compuesta
2.2. Tanto Nominal
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
256
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2.2. TANTO NOMINAL
2. TANTOS EQUIVALENTES
Por una parte, nos encontramos con la 
necesidad de aplicar la relación anterior de 
equivalencia de tantos si queremos que, aun 
trabajando en diferentes unidades de tiempo, 
los resultados finales sigan siendo idénticos.
DEMASIADO COMPLICADA
Necesidad de emplear un tanto que permita 
pasar fácilmente de su unidad habitual (en años)
a cualquier otra diferente y que financieramente 
resulte correcta: el TANTO NOMINAL (Jk)
257
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2.2. TANTO NOMINAL
2. TANTOS EQUIVALENTES
En régimen simple: kii k 
En régimen compuesto: kiJ kk 
TANTO NOMINAL (JK): Un tanto
teórico que se obtiene multiplicando la
frecuencia de capitalización k por el
tanto k-esimal ik.
258
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2.2. TANTO NOMINAL
2. TANTOS EQUIVALENTES
kiJ kk 
k
J
i
k
k 
Esta es una expresión pensada para pasar 
fácilmente de un tanto referido al año (Jk) a un 
tanto efectivo k-esimal (ik)
En compuesta, los TANTOS DE 
INTERÉS pueden ser:
Tantos Efectivos
(i ó ik)
Tantos Nominales
(Jk) 259
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2.2. TANTO NOMINAL
2. TANTOS EQUIVALENTES
Si los tantos efectivos son ANUALES (i) se 
conocen como TAE (Tasa Anual Equivalente)
Veamos la relación para 
pasar de uno a otro:
Tantos Efectivos 
ANUALES (i)
Tantos Nominales 
(Jk)
260
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2.2. TANTO NOMINAL
2. TANTOS EQUIVALENTES
Partiendo de:
❖ EL VALOR DE i ó TAE EN FUNCIÓN DE Jk:
y
(Valor de i en función de ik)
  1i1i kk 
k
J
i
k
k 
1
k
J
1i
k
k







(Recordemos que )kiJ kk 
261
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2.2. TANTO NOMINAL
2. TANTOS EQUIVALENTES
Partiendo de:
❖ EL VALOR DE Jk EN FUNCIÓN DE i ó TAE :
kiJ kk    1i1i k1k y
(Valor de ik en función de i)
   k1i1J k1k 
262
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Jk=8%
Capitalización compuesta
TAE?
Ejemplo 7 (1ª parte):
2. TANTOS EQUIVALENTES
Casos:
a. Devengo anual de intereses
b. Devengo semestral de intereses
c. Devengo trimestral de intereses
d. Devengo mensual de intereses
2.2. TANTO NOMINAL
263
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Jk=8%
Capitalización compuesta
TAE?
Ejemplo 7 (1ª parte):
2. TANTOS EQUIVALENTES
a. Devengo anual de intereses
2.2. TANTO NOMINAL
1
k
J
1i
k
k







%808,0108,11
1
08,0
11
k
J
1i
1k
k













%8i 
1k 
264
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Jk=8%
Capitalización compuesta
TAE?
Ejemplo 7 (1ª parte):
2. TANTOS EQUIVALENTES
b. Devengo semestral de intereses
2.2. TANTO NOMINAL
1
k
J
1i
k
k







%16,8i 
2k 
%16,80816,00816,11
2
08,0
11
k
J
1i
2k
k













265
Matemática Financiera 
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Jk=8%
Capitalización compuesta
TAE?
Ejemplo 7 (1ª parte):
2. TANTOS EQUIVALENTES
c. Devengo trimestral de intereses
2.2. TANTO NOMINAL
1
k
J
1i
k
k







%243,8i 
4k 
%243,808243,008243,11
4
08,0
11
k
J
1i
4k
k













266
Matemática Financiera 
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Jk=8%
Capitalización compuesta
TAE?
Ejemplo 7 (1ª parte):
2. TANTOS EQUIVALENTES
d. Devengo mensual de intereses
2.2. TANTO NOMINAL
1
k
J
1i
k
k







%300,8i 
12k 
%300,808300,008300,11
12
08,0
11
k
J
1i
12k
k













267
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TAE=8%
Capitalización compuesta
Jk?
Ejemplo 7 (2ª parte):
2. TANTOS EQUIVALENTES
Casos:
a. Devengo anual de intereses
b. Devengo semestral de intereses
c. Devengo trimestral de intereses
d. Devengo mensual de intereses
2.2. TANTO NOMINAL
268
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Ejemplo 7 (2ª parte):
2. TANTOS EQUIVALENTES
a. Devengo anual de intereses
2.2. TANTO NOMINAL
%8i 
1k 
TAE=8%
Capitalización compuesta
Jk?
   k1i1J k1k 
     
  %808,01108,1
1108,01k1i1J
11k1
k


269
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Ejemplo 7 (2ª parte):
2. TANTOS EQUIVALENTES
b. Devengo semestral de intereses
2.2. TANTO NOMINAL
%846,7i 
2k 
TAE=8%
Capitalización compuesta
Jk?
   k1i1J k1k 
     
  %846,707846,02103923,1
2108,01k1i1J
21k1
k


270
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Ejemplo 7 (2ª parte):
2. TANTOS EQUIVALENTES
c. Devengo trimestral de intereses
2.2. TANTO NOMINAL
%771,7i 
4k 
TAE=8%
Capitalización compuesta
Jk?
   k1i1J k1k 
     
  %771,707771,04101943,1
4108,01k1i1J
41k1
k


271
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Ejemplo 7 (2ª parte):
2. TANTOS EQUIVALENTES
d. Devengo mensual de intereses
2.2. TANTO NOMINAL
%721,7i 
12k 
TAE=8%
Capitalización compuesta
Jk?
   k1i1J k1k 
     
  %721,707721,012100643,1
12108,01k1i1J
121k1
k


272
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ÍNDICE
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
5.1. Determinación del Capital Común
5.2. Determinación del Vencimiento Común
5.3. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
273
Matemática Financiera 
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El descuento compuesto es la operación financiera que 
tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por 
otro equivalente con vencimiento presente, mediante la 
aplicación de la ley financiera de descuento compuesto.
Es una operación inversa a la de capitalización.
0 n
CnC0?
3.1. CONCEPTO
3. DESCUENTO COMPUESTO
274
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ÍNDICE
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
5.1. Determinación del Capital Común
5.2. Determinación del Vencimiento Común
5.3. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
275
Matemática Financiera 
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Los intereses son productivos, lo que significa que:
 a medida que se generan se restan del capital 
de partida para producir (y restar) nuevos 
intereses en el futuro y, por tanto,
 los intereses de cualquier periodo siempre 
los genera el capital del período anterior, al 
tanto de interés vigente en dicho periodo.
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO COMPUESTO
276
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 Punto de partida: Cn
 Para calcular C0 debemos conocer:
➢Duración de la operación: n
➢Tanto aplicado: i o d
0 n
CnC0?
i ó d
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO COMPUESTO
277
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necesariamente, C0< Cn
0nn CCI Recordemos que:
En definitiva, si trasladar un capital desde el presente 
al futuro implica añadirle intereses, hacer la 
operación inversa, anticipar su vencimiento, 
supondrá la minoración de esa misma carga 
financiera.
nn0 ICC 
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO COMPUESTO
278
Matemática Financiera 
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Al igual que ocurría en Simple, SE 
DISTINGUEN DOS CLASES DE 
DESCUENTO:
DESCUENTO RACIONAL
DESCUENTO COMERCIAL
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
3. DESCUENTO COMPUESTO
279
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ÍNDICE
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
5.1. Determinación del Capital Común
5.2. Determinación del Vencimiento Común
5.3. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
280
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Para anticipar el vencimiento del capital futuro 
se considera generador de los intereses de un 
período el capital al inicio de dicho período, 
utilizando el tipo de interés (i) vigente en 
dicho período.
Intereses
Se calculan sobre el capital 
inicial del periodo (no sobre el 
capital inicial como ocurría en 
simple)
3.3. DESCUENTO RACIONAL
3. DESCUENTO COMPUESTO
281
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Gráficamente:
0 1 2 n-2 n-1 n
C0 C1 C2 Cn-2 Cn-1 Cn
…
…
i
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.3. DESCUENTO RACIONAL
282
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Periodo n:
Periodo n-1:
Periodo n-2:
nC
 i1
C
C
C)i1(CiCCICC
n
1n
n1n1nnnn1n





   2
n1n
2n
1n2n2n1n1n1n2n
i1
C
i1
C
C
C)i1(CiCCICC








3. DESCUENTO COMPUESTO
3.3. DESCUENTO RACIONAL
283
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Periodo n-3:
…
Periodo 0:
   3
n2n
3n
2n3n3n2n2n2n3n
i1
C
i1
C
C
C)i1(CiCCICC








   n
n1
0
1001110
i1
C
i1
C
C
C)i1(CiCCICC







3. DESCUENTO COMPUESTO
3.3. DESCUENTO RACIONAL
284
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Es decir:
 n
n
0
i1
C
C


… en consecuencia, Los intereses se
calculan finalmente sobre el capital inicial,
es decir, sobre el que resulta de la anticipación
del capital futuro.
Se trata de la operación de 
capitalización compuesta, con la 
particularidad de que el punto de 
partida ahora es el capital final y 
se pretende determinar el capital 
actual
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.3. DESCUENTO RACIONAL
285
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 n
n
0
i1
C
C


A esta misma expresión se 
podía haber llegado partiendo 
de la fórmula de la 
capitalización compuesta
n
0n )i1(CC 
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.3. DESCUENTO RACIONAL
286
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Una vez calculado el capital inicial, por 
diferencia entre el capital de partida y 
el inicial obtenido, se obtendrá el 
interés total de la operación (Dr), o 
descuento racional o descuento 
propiamente dicho:
0nr CCD 
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.3. DESCUENTO RACIONAL
287
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 n
n
0
i1
C
C


Sustituyendo C0:
Podemos extraer otra expresión del Dr
sustituyendo C0 en la expresión anterior:
0nr CCD 
    











n
n
n
n
n0nr
i1
1
1C
i1
C
CCCD
  nnr i11CD 
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.3. DESCUENTO RACIONAL
288
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Ejemplo 8:
C3=24.000€
t=3 años
C0?
i=5% anual compuesto
Dr? 0 3 años
24.000C0?
i = 5%
Dr?
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.3. DESCUENTO RACIONAL
289
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Dos formas:
 n
n
0
i1
C
C


0nr CCD 
Forma 1:
€10,732.0
05,1
000.24
C
3
0 
€90,267.310,732.20000.24Dr 
€90,267.3Dr 
Ejemplo 8:
C3=24.000€
t=3 años
C0?
i=5% anual compuesto
Dr? 0 3 años
24.000C0?
i = 5%
Dr?
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.3. DESCUENTO RACIONAL
290
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€90,267.3Dr 
  nnr i11CD 
   €90,267.31361624,0000.2405,011000.24D 3r  
Dos formas:
Forma 2:
Ejemplo 8:
C3=24.000€
t=3 años
C0?
i=5% anual compuesto
Dr? 0 3 años
24.000C0?
i = 5%
Dr?
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.3. DESCUENTO RACIONAL
291
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ÍNDICE
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
5.1. Determinación del Capital Común
5.2. Determinación del Vencimiento Común
5.3. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
292
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En este caso se considera generador de los 
intereses de un período el capital al final de 
dicho período, utilizando el tipo de descuento 
(d) vigente en dicho período.
Intereses
Se calculan sobre el capital 
final del período (no sobre el 
capital inicial del período como 
ocurría en el descuento 
racional)
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
293
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Gráficamente:
0 1 2 n-2 n-1 n
C0 C1 C2 Cn-2 Cn-1 Cn
…
…
d
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
294
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Periodo n:
Periodo n-1:
Periodo n-2:
nC
)d1(CC)d1(CdCCICC n1nnnnnn1n  
    2n2nn2n
1n1n1n1n1n2n
)d1(CCd1d1CC
)d1(CdCCICC



3. DESCUENTO COMPUESTO
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
295
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Periodo n-3:
…
Periodo 0:
n
n0 )d1(CC 
    3n3n2n3n
2n2n2n2n2n3n
)d1(CCd1d1CC
)d1(CdCCICC




3. DESCUENTO COMPUESTO
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
296
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Es decir:
… en consecuencia, Los intereses se
calculan finalmente sobre el capital final de
cada período, no como ocurría en el
descuento racional.
n
n0 )d1(CC 
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
297
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Al igual que ocurría con el descuento 
racional, una vez calculado el capital 
inicial, por diferencia entre el capital de 
partida y el inicial obtenido, se 
obtendrá el interés total de la operación 
(Dc), o descuento comercial:
0nc CCD 
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
298
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Sustituyendo C0:
Podemos extraer otra expresión del Dc
sustituyendo C0 en la expresión anterior:
0nc CCD 
  nnc d11CD 
n
n0 )d1(CC 
  nn0nc d11CCCD 
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
299
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Ejemplo 9:
C5=10.000€
t=5 años
C0?
d=10% anual compuesto
Dc? 0 5 años
10.000C0?
d = 10%
Dc?
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
300
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Dos formas:
0nc CCD 
Forma 1:
  €90,904.510,01000.10C 50 
n
n0 )d1(CC 
€10,095.490,904.5000.10Dc 
€10,095.4Dc 
Ejemplo 9:
C5=10.000€
t=5 años
C0?
d=10% anual compuesto
Dc? 0 5 años
10.000C0?
d = 10%
Dc?
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
301
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€10,095.4Dc 
  nnc d11CD 
   €10,095.440951,0000.1010,011000.10D 5c 
Dos formas:
Forma 2:
Ejemplo 9:
C5=10.000€
t=5 años
C0?
d=10% anual compuesto
Dc? 0 5 años
10.000C0?
d = 10%
Dc?
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.4. DESCUENTO COMERCIAL
302
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ÍNDICE
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
5.1. Determinación del Capital Común
5.2. Determinación del Vencimiento Común
5.3. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
303
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Una vez estudiados los dos 
procedimientos de descuento, se intuye 
que descontando un capital cualquiera, 
el mismo tiempo y con el mismo tanto, 
los resultados serán diferentes según se 
realice por un procedimiento u otro.
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
VAMOS A BUSCAR UNA RELACIÓN ENTRE EL TIPO DE INTERÉS
(i) Y EL TIPO DE DESCUENTO (d) para los que el resultado de la
anticipación sea el mismo, es decir, que los descuentos (Dr y Dc) sean
iguales tanto si aplicamos el descuento racional a un interés i como si
aplicamos un descuento comercial a un descuento d…
304
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Para que esto ocurra:
cr DD 
 
  nn
n
n d11C
i1
1
1C 









Dividiendo ambos miembros por Cn:
 
 n
n
d11
i1
1
1 


  nnc d11CD 
  nnr i11CD 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
305
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 
 n
n
d11
i1
1
1 


Restando la unidad y multiplicando por -1:
 
 n
n
d1
i1
1


Extrayendo la raíz n a los dos miembros:
 
  d1
i1
1
d1
i1
1
n n
n
n




4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
306
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d1
i1
1


El tanto de descuento comercial «d» 
equivalente al tanto «i» será:
i1
i
d


Despejando d:
i1
i
i1
1i1
i1
1
1d







4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
307
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i1
i
d


A partir de esa expresión calculemos «i» en función de «d»:
 
 
d1
d
id1ididid
iiddii1d
i1
i
d





d1
d
i


4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
308
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IMPORTANTE: Hay que tener en cuenta que la 
relación de equivalencia es independiente de la 
duración de la operación. Por tanto, se cumple que 
para un tanto de interés solamente habrá un tipo de 
descuento que produzca el mismo efecto (sea 
equivalente) y viceversa, sin tener en cuenta el tiempo 
en la operación.
d1
d
i


i1
i
d


4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
309
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Ejemplo 10 (1ª parte):
C3=24.000€
t=3 años
C0?
2 CASOS:
▪ i=5% anual compuesto
▪ d=5% anual compuesto 
0 3 años
24.000C0?
i = 5%
d = 5%
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
310
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Ejemplo 10 (1ª parte):
C3=24.000€
t=3 años
C0?
0 3 años
24.000C0?
i = 5%
i=5% anual compuesto
 n
n
0
i1
C
C


 
€10,732.20
05,01
000.24
C
3
0 


€10,732.20C0 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
311
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Ejemplo 10 (1ª parte):
C3=24.000€
t=3 años
C0?
0 3 años
24.000C0?
d = 5%
d=5% anual compuesto
n
n0 )d1(CC 
  €577.2005,01000.24C 30 
€577.20C0 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
312
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Ejemplo 10 (2ª parte):
C3=24.000€
t=3 años
0 3 años
24.000C0
i = 5%
d?
i=5% anual compuesto
d equivalente?
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
313
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Ejemplo 10 (2ª parte):
C3=24.000€
t=3 años
0 3 años
24.000C0
i = 5%
d?
i=5% anual compuesto
d equivalente?
i1
i
d


047619,0
05,01
05,0
d 


%762,4d 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
314
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Ejemplo 10 (2ª parte):
C3=24.000€
t=3 años
0 3 años
24.000C0
i = 5%
d?
i=5% anual compuesto
d equivalente?
%762,4d 
Comprobación
  €10,732.208638377,0000.24047619,01000.24C 30 
n
n0 )d1(CC 
€10,732.20C0 
€10,732.20C0 
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO
EQUIVALENTES
315
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ÍNDICE
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
5.1. Determinación del Capital Común
5.2. Determinación del Vencimiento Común
5.3. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
316
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5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
La sustitución de un(os) capital(es) por otro u 
otros de vencimientos y/o cuantías diferentes a 
las anteriores, sólo se podrá llevar a cabo si 
financieramente resultan ambas alternativas 
EQUIVALENTES
La diferencia fundamental viene dada porque en régimen de 
compuesta la fecha donde se realice la equivalencia no 
afecta al resultado final de la operación, por tanto, si la 
equivalencia se cumple en un momento dado, se cumple en 
cualquier punto y, si no se cumple en un momento 
determinado, no se cumple nunca.
317
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5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Casos posibles para sustituir capitales:
 Determinar un CAPITAL COMÚN
 Determinar un VENCIMIENTO COMÚN
 Determinar un VENCIMIENTO MEDIO
318
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ÍNDICE
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
5.1. Determinación del Capital Común
5.2. Determinación del Vencimiento Común
5.3. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
319
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5.1. DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN
El capital común es la cuantía C de un 
capital único que vence en t, conocido, 
y que sustituye a varios capitales C1, C2, 
... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, 
respectivamente, todos ellos conocidos.
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
IMPORTANTE: Para recordar cómo se determina 
el capital común en la capitalización compuesta 
habrá que remitirse al tema de la sustitución de 
capitales en capitalización simple.
320
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ÍNDICE
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
5.1. Determinación del Capital Común
5.2. Determinación del Vencimiento Común
5.3. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
321
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5.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
El vencimiento común es el momento de 
tiempo t en que vence un capital 
único C, conocido, que sustituye a varios 
capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos 
en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todos 
ellos conocidos. Se tiene que cumplir:
n21 C...CCC 
322
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5.2. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
No desarrollaremos fórmulas:
Tanto en el caso de vencimiento
común como el del vencimiento
medio se han de aplicar los
conceptos para resolver los
problemas.
Veremos varios ejemplos resolviendo problemas
323
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ÍNDICE
3. DESCUENTO COMPUESTO
3.1. Concepto
3.2. Características de la Operación
3.3. Descuento Racional
3.4. Descuento Comercial
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO 
EQUIVALENTES
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE 
EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
5.1. Determinación del Capital Común
5.2. Determinación del Vencimiento Común
5.3. Determinación del Vencimiento Medio
TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
324
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5.3. DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
El vencimiento medio es el momento de 
tiempo t en que vence un capital 
único C, conocido, que sustituye a 
varios capitales C1, C2, ... , Cn, con 
vencimientos en t1, t2, ... , tn, 
respectivamente, todos ellos conocidos. 
Se tiene que cumplir:
n21 C...CCC 
325
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Ejemplo 11:
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 años
t2=8 años
C2=4.000€
C?
t=9 años
t3=10 años
i=8% compuesto anual
2 CASOS:
▪ Fecha de estudio 0
▪ Fecha de estudio t=9 años
326
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Ejemplo 11:
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 años
t2=8 años
C2=4.000€
C?
t=9 años
t3=10 años
i=8% compuesto anual
MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i»
0
2.000 4.000 5.000
C?
6 8 109
i
años
 n
n
0
i1
C
C


        











tn
n
2t
2
1t
1
t
i1
C
...
i1
C
i1
C
i1
C
327
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Ejemplo 11:
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i»
Despejando C y sustituyendo los datos:
€05,469.11C38,737.5
999005,1
C
08,1
000.5
08,1
000.4
08,1
000.2
08,1
C
08,1
000.5
08,1
000.4
08,1
000.2
08,1
C
10869
10869















        











tn
n
2t
2
1t
1
t
i1
C
...
i1
C
i1
C
i1
C
€05,469.11C 
328
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Ejemplo 11:
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
C1=2.000€
C3=5.000€
t1=6 años
t2=8 años
C2=4.000€
C?
t=9 años
t3=10 años
i=8% compuesto anual
MOMENTO t=9, TIPO DE INTERÉS «i»
 n
n
0
i1
C
C


0
2.000 4.000 5.000
C?
6 8 109 años
 n0n i1CC 
   
  tt
3tt
2
tt
1
3
21
i1
C
i1Ci1CC




329
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Ejemplo 11:
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO t=9, TIPO DE INTERÉS «i»
Sustituyendo los datos:
€05,469.11C 
   
  tt
3tt
2
tt
1
3
21
i1
C
i1Ci1CC




   
 
€05,469.11C
08,1
000.5
08,1000.408,1000.2C
08,01
000.5
08,01000.408,01000.2C
1
13
910
8969






330
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Ejemplo 11:
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
MOMENTO t=9, TIPO DE INTERÉS «i» €05,469.11C 
MOMENTO t=0, TIPO DE INTERÉS «i» €05,469.11C 
La diferencia fundamental viene dada porque en régimen de 
compuesta la fecha donde se realice la equivalencia no 
afecta al resultado final de la operación, por tanto, si la 
equivalencia se cumple en un momento dado, se cumple en 
cualquier punto y, si no se cumple en un momento 
determinado, no se cumple nunca.
Recordemos…
331
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t?
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Ejemplo 12:
C1=5.000€
t1=3 años
t2=5 años
C2=8.000€
i=6% compuesto anual
2 CASOS:
▪ C=12.000€ (Vencimiento Común)
▪ C=13.000€ (Vencimiento Medio)
0
5.000 8.000
C
3 5 t? años
332
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t?
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Ejemplo 12 (1er Caso):
C1=5.000€
t1=3 años
t2=5 años
C2=8.000€
i=6% compuesto anual
0
5.000 8.000
C=12.000
3 5 t? años
C=12.000€
 n
n
0
i1
C
C


        











tn
n
2t
2
1t
1
t
i1
C
...
i1
C
i1
C
i1
C
333
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5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Ejemplo 12 (1er Caso):
Operamos para poder despejar t
        











tn
n
2t
2
1t
1
t
i1
C
...
i1
C
i1
C
i1
C
t
tt
t53t
06,1179227,1
06,1
16,176.10
000.12
000.1206,116,176.10
16,176.10
06,1
000.12
06,1
000.8
06,1
000.5
06,1
000.12









334
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5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Ejemplo 12 (1er Caso):
Aplicamos logaritmos para poder despejar t
t06,1179227,1 
años 83,2t
025306,0
071597,0
t
06,1log
179227,1log
t
06,1logt179227,1log06,1log179227,1log t


años 83,2t 
335
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5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Ejemplo 12 (1er Caso):
Para pasar los 0,83 años a meses se multiplica por 12 meses que tiene un año
años 83,2t 
meses. 96,91283,0 
Para pasar los 0,96 meses a días se multiplica por 30 días que tiene un mes
días 29días 8,283096,0 
días 29y meses 9 años, 2t 
 
 
336
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t?
5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA:SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Ejemplo 12 (2º Caso):
C1=5.000€
t1=3 años
t2=5 años
C2=8.000€
i=6% compuesto anual
0
5.000 8.000
C=13.000
3 5 t? años
C=13.000€
 n
n
0
i1
C
C


        











tn
n
2t
2
1t
1
t
i1
C
...
i1
C
i1
C
i1
C
337
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5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Ejemplo 12 (2º Caso):
Operamos para poder despejar t
        











tn
n
2t
2
1t
1
t
i1
C
...
i1
C
i1
C
i1
C
t
tt
t53t
06,1277496,1
06,1
16,176.10
000.13
000.1206,116,176.10
16,176.10
06,1
000.13
06,1
000.8
06,1
000.5
06,1
000.13









338
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5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Ejemplo 12 (2º Caso):
Aplicamos logaritmos para poder despejar t
años 20,4t 
t06,1277496,1 
años 20,4t
025306,0
106360,0
t
06,1log
277496,1log
t
06,1logt277496,1log06,1log277496,1log t


339
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5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE
EQUIVALECIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
Ejemplo 12 (2º Caso):
Para pasar los 0,20 años a meses se multiplica por 12 meses que tiene un año
meses. 40,21220,0 
Para pasar los 0,40 meses a días se multiplica por 30 días que tiene un mes
días 123040,0 
días 12y meses 2 años, 4t 
años 20,4t 
340
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TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
341
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PARTE 2: RENTAS FINANCIERAS
TEMA 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes
TEMA 7: Rentas Variables
342
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TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
3. CLASES DE RENTAS
3.1. Según la Cuantía de los Términos
3.2. Según el Número de Términos
3.3. Según el Vencimiento del Término
3.4. Según el Momento de Valoración
3.5. Según la Periodicidad del Vencimiento
3.6. Según la Ley Financiera
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
343
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ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
344
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TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
3. CLASES DE RENTAS
3.1. Según la Cuantía de los Términos
3.2. Según el Número de Términos
3.3. Según el Vencimiento del Término
3.4. Según el Momento de Valoración
3.5. Según la Periodicidad del Vencimiento
3.6. Según la Ley Financiera
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
345
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1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
Hasta ahora...
Operaciones financieras de un 
solo capital o pocos capitales
Ahora...
Operaciones financieras con 
muchos capitales (ej. 
constitución de un capital, 
planes de jubilación, 
préstamos,…
¿Cómo movemos todos los capitales a un mismo 
momento del tiempo?
346
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1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
SOLUCIÓN
TEORÍA DE RENTAS
La renta se define como un conjunto de 
capitales con vencimientos equidistantes 
de tiempo.
347
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1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
Para que exista una renta se tienen 
que dar DOS REQUISITOS:
PERIODICIDAD CONSTANTE ENTRE 
LOS CAPITALES (sea cual sea)
EXISTENCIA DE VARIOS CAPITALES
(al menos dos)
348
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TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
3. CLASES DE RENTAS
3.1. Según la Cuantía de los Términos
3.2. Según el Número de Términos
3.3. Según el Vencimiento del Término
3.4. Según el Momento de Valoración
3.5. Según la Periodicidad del Vencimiento
3.6. Según la Ley Financiera
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
349
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2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
¿Cuáles son los elementos de una renta?
 Fuente de la renta: fenómeno económico que da 
origen al nacimiento de la renta
 Origen: momento en el que comienza a devengarse 
el primer capital
 Final: momento en el que termina de devengarse el 
último capital
…/…
350
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2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
…/…
 Duración: tiempo que transcurre desde el origen 
hasta el final de la renta.
 Término: cada uno de los capitales que componen 
la renta
 Período: intervalo de tiempo entre dos capitales 
consecutivos
 Tanto de interés: tasa empleada para mover los 
capitales de la renta
351
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2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
Gráficamente:
t0 t1 t2 t3 tn-1 tn
i
…
Duración=tn-t0Origen Final
C1 C2 C3 Cn
352
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TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
3. CLASES DE RENTAS
3.1. Según la Cuantía de los Términos
3.2. Según el Número de Términos
3.3. Según el Vencimiento del Término
3.4. Según el Momento de Valoración
3.5. Según la Periodicidad del Vencimiento
3.6. Según la Ley Financiera
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
353
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3. CLASES DE RENTAS
3.1. SEGÚN LA CUANTÍA DE LOS TÉRMINOS
Constante: Todos los capitales son iguales
Variable: Al menos uno de los capitales es 
diferente al resto
Sin seguir una ley matemática: Varían 
aleatoriamente
Siguiendo una ley matemática: Varían en orden
En progresión aritmética
En progresión geométrica 354
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TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
3. CLASES DE RENTAS
3.1. Según la Cuantía de los Términos
3.2. Según el Número de Términos
3.3. Según el Vencimiento del Término
3.4. Según el Momento de Valoración
3.5. Según la Periodicidad del Vencimiento
3.6. Según la Ley Financiera
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
355
Matemática Financiera 
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3. CLASES DE RENTAS
3.2. SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS
Temporal: Tienen un número finito y 
conocido de capitales
Perpetua: Tienen un número infinito o 
demasiado grande de capitales
356
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TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
3. CLASES DE RENTAS
3.1. Según la Cuantía de los Términos
3.2. Según el Número de Términos
3.3. Según el Vencimiento del Término
3.4. Según el Momento de Valoración
3.5. Según la Periodicidad del Vencimiento
3.6. Según la Ley Financiera
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
357
Matemática Financiera 
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3. CLASES DE RENTAS
3.3. SEGÚN EL VENCIMIENTO DEL TÉRMINO
Pospagable: Los capitales se encuentran 
al final de cada periodo de 
tiempo
Prepagable: Los capitalesse encuentran 
al principio de cada periodo
de tiempo
358
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TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
3. CLASES DE RENTAS
3.1. Según la Cuantía de los Términos
3.2. Según el Número de Términos
3.3. Según el Vencimiento del Término
3.4. Según el Momento de Valoración
3.5. Según la Periodicidad del Vencimiento
3.6. Según la Ley Financiera
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
359
Matemática Financiera 
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3. CLASES DE RENTAS
3.4. SEGÚN EL MOMENTO DE VALORACIÓN
Inmediata: Se valora la renta en su 
origen o en su final
Diferida: El primer término se 
encuentra en algún momento 
posterior al que le 
correspondería a la inmediata
Anticipada: El primer término se 
encuentra en algún momento 
anterior al que le 
correspondería a la inmediata.
360
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TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
3. CLASES DE RENTAS
3.1. Según la Cuantía de los Términos
3.2. Según el Número de Términos
3.3. Según el Vencimiento del Término
3.4. Según el Momento de Valoración
3.5. Según la Periodicidad del Vencimiento
3.6. Según la Ley Financiera
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
361
Matemática Financiera 
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3. CLASES DE RENTAS
3.5. SEGÚN LA PERIODICIDAD DEL VENCIMIENTO
Entera: El término de la renta y 
tanto de valoración se 
expresan en la misma 
unidad de tiempo
Periódica: El término de la renta se 
expresa en una unidad 
mayor a la del tanto de 
valoración
Fraccionada: El término de la renta se 
expresa en una unidad 
menor a la del tanto de 
valoración 362
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TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
3. CLASES DE RENTAS
3.1. Según la Cuantía de los Términos
3.2. Según el Número de Términos
3.3. Según el Vencimiento del Término
3.4. Según el Momento de Valoración
3.5. Según la Periodicidad del Vencimiento
3.6. Según la Ley Financiera
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
363
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3. CLASES DE RENTAS
3.6. SEGÚN LA LEY FINANCIERA
Simple: Emplea una ley financiera a 
interés simple para desplazar 
los capitales
Compuesta: Emplea una ley financiera a 
interés compuesto para 
desplazar los capitales
364
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TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA
2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA
3. CLASES DE RENTAS
3.1. Según la Cuantía de los Términos
3.2. Según el Número de Términos
3.3. Según el Vencimiento del Término
3.4. Según el Momento de Valoración
3.5. Según la Periodicidad del Vencimiento
3.6. Según la Ley Financiera
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
365
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4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
El valor financiero o capital de una renta en un 
momento t es el resultado de llevar 
financieramente (capitalizando o 
descontando) todos los términos de la renta a 
dicho momento de tiempo t
Existen dos casos especialmente relevantes:
Si t=0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el 
VALOR ACTUAL, esto es, resultado de valorar todos los 
términos de la renta en el momento cero.
Si t=n (siendo n el final de la renta) se define como el VALOR 
FINAL, resultado de desplazar todos los términos de la 
renta al momento n 366
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4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
Para empezar a operar con las rentas 
tenemos que tener en cuenta DOS 
CUESTIONES
Vamos a trabajar 
sobre los valores 
iniciales y finales de 
las rentas
Para aplicar las 
fórmulas hay que 
clasificar las rentas 
según los criterios 
anteriores
367
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4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
Algunas fórmulas que nos van hacer falta:
Fórmula de la suma de n términos de una progresión aritmética:
n
2
aa
S
n1



donde:
Primer término de la progresión
Último término de la progresión
Número de términos de la progresión
1a
na
n
368
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4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
Algunas fórmulas que nos van hacer falta:
r1
raa
S
n1



donde:
Primer término de la progresión
Último término de la progresión
Razón de la progresión
1a
na
r
Fórmula de la suma de n términos de una progresión geométrica 
decreciente:
369
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4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
Algunas fórmulas que nos van hacer falta:
1r
ara
S
n1



donde:
Primer término de la progresión
Último término de la progresión
Razón de la progresión
1a
na
r
Fórmula de la suma de n términos de una progresión geométrica 
creciente:
370
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4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
Algunas fórmulas que nos van hacer falta:
Fórmula del cálculo del término n-ésimo de una progresión 
aritmética:
  d1naa 1n 
donde:
Primer término de la progresión
Último término de la progresión
Número de términos de la progresión
Diferencia de la progresión
1a
na
n
d
371
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4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
Algunas fórmulas que nos van hacer falta:
Fórmula del cálculo del término n-ésimo de una progresión 
geométrica:
donde:
Primer término de la progresión
Último término de la progresión
Número de términos de la progresión
Razón de la progresión
1a
na
n
r
 1n
1n raa 
372
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Ejemplo 1 (Primer caso):
n=30
a1=5
d=2
S?
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a29 a30
373
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Ejemplo 1 (Primer caso):
n=30
a1=5
d=2
S?
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
n
2
aa
S
n1


  d1naa 1n 
  6321305a30 
020.130
2
635
S 


020.1S 
n=30
a1=5
d=2
S?
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a29 a30
374
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Ejemplo 1 (Segundo caso):
n=8
a1=1.000
r=0,5
S?
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
375
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Ejemplo 1 (Segundo caso):
n=8
a1=1.000
r=0,5
S?
4. VALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
19,992.1S 
 1n
1n raa 
r1
raa
S
n1



Como r<1, la progresión geométrica es DECRECIENTE:
  8125,75,0000.1a 1830  
19,992.1
5,01
5,08125,7000.1
S 



376
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ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
377
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Vamos a estudiar una RENTA:
CONSTANTE Términos de igual cuantía
POSPAGABLE Términos que vencen al final del periodo
INMEDIATA
ENTERA Términos y tanto en la misma unidad de tiempo
Valoración en origeno final
COMPUESTA Ley Financiera Compuesta
TEMPORAL Número finito de términos
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
378
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ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
379
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Fórmula para calcular el valor inicial V0
en capitalización compuesta:
 n
n
0
i1
C
C


IMPORTANTE: n lo que indica es el número de 
veces que se han generado (y acumulado) intereses 
al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha 
de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo 
de interés (no importando cuál sea)
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
380
Matemática Financiera 
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RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
V0? 1 1 1 1 1
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…
Gráficamente:
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
381
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Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos 
uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al 
tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales 
hasta el origen se obtiene el valor actual, que se denota con la 
siguiente terminología
an┐in: Número de Términos i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
La letra minúscula: Significa Renta Unitaria
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
382
Matemática Financiera 
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Llegamos a la siguiente fórmula:
V0? 1 1 1 1 1
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…
 n
n
0
i1
C
C


       n1n32
i n0
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
aV












5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
383
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Para simplificar la expresión anterior, hemos 
de hacer notar que se trata de una 
progresión geométrica de razón:
       n1n32
i n0
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
aV












i1
1
r


Como la razón es menor que la unidad, la 
progresión es decreciente, por lo que la 
suma de los n términos de una progresión 
geométrica decreciente es la siguiente:
r1
raa
S
n1



5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
384
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       n1n32
i n0
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
aV












Sumando los n términos de la progresión geométrica:
r1
raa
S
n1



     
       
i
i11
i
i1
1
1
i1
1
i
i1
1
1
i1
1
i1
1
i
i1
1
1
i1
1
i1
i
i1
1
1
i1
1
i1
1i1
i1
1
1
i1
1
i1
1
1
i1
1
i1
1
i1
1
a
nnnn
nnn
i n








































































5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
385
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 
i
i11
a
n
i n



Esta es la expresión que permite calcular el 
valor ACTUAL de una RENTA 
CONSTANTE, TEMPORAL, 
POSPAGABLE, INMEDIATA, ENTERA Y 
UNITARIA
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
386
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V0? c c c c c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…
Gráficamente:
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c:
Todos los términos iguales a c
387
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Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos 
uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al 
tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales 
hasta el origen se obtiene el valor actual, que se denota con la 
siguiente terminología
An┐i
n: Número de Términos i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
La letra mayúscula: Significa Renta No Unitaria
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
388
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Llegamos a la siguiente fórmula:
V0? c c c c c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…
 n
n
0
i1
C
C


       n1n32
i n0
i1
c
i1
c
i1
c
i1
c
i1
c
AV












5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
389
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       n1n32
i n0
i1
c
i1
c
i1
c
i1
c
i1
c
AV












Sacamos factor común c:
       
















 n1n32
i n0
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
cAV 
El corchete es el valor actual de una renta unitaria, 
temporal, pospagable, inmediata y entera
       n1n32
i n
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
a












5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
390
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       
















 n1n32
i n0
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
cAV 
       n1n32
i n
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
a












 
i
i11
a
n
i n



 
i
i11
cacA
n
i ni n



5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
391
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Esta es la expresión que permite calcular el 
valor INICIAL de una RENTA 
CONSTANTE, TEMPORAL, 
POSPAGABLE, INMEDIATA, ENTERA Y 
DE CUANTÍA c
i ni n acA 
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
392
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Ejemplo 2:
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V0?
V0? 100 100 100
0 1 2 3 años
i=10%
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
393
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Forma 1: Moviendo los capitales uno a uno
       n1n32
i n0
i1
c
i1
c
i1
c
i1
c
i1
c
AV












   
€69,248
1,01
100
1,01
100
1,01
100
AV
32
1,0 30 






€69,248V0 
Ejemplo 2:
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V0?
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
394
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Forma 2: Utilizando la fórmula de la renta constante, temporal,
pospagable, inmediata y entera
€69,248V0 
i ni n acA 
 
i
i11
a
n
i n



 
€69,248
1,0
1,011
100a100AV
3
1,0 31,0 30 



Ejemplo2:
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V0?
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
395
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Ejemplo 3:
n=5 años
c=20.000€
i=12% efectivo anual
Valor a imponer?
V0? 20.000
0 1 2 5 años
i=12%
3 4
20.000 20.000 20.000 20.000
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
396
Matemática Financiera 
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Las cantidades a recibir en el futuro constituyen una renta
constante, temporal, pospagable, inmediata y entera
El valor que hay que imponer tiene que ser, por tanto, igual a 
la suma de los capitales actualizados, es decir, al valor actual
V0?
Ejemplo 3:
n=5 años
c=20.000€
i=12% efectivo anual
Valor a imponer?
V0? 20.000
0 1 2 5 años
i=12%
3 4
20.000 20.000 20.000 20.000
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
397
Matemática Financiera 
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i ni n acA 
 
i
i11
a
n
i n



 
€52,095.72
12,0
12,011
000.20a000.20AV
5
12,0 512,0 50 



€52,095.72V0 
Ejemplo 3:
n=5 años
c=20.000€
i=12% efectivo anual
Valor a imponer?
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
398
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
399
Matemática Financiera 
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Fórmula para calcular el valor final Vn
en capitalización compuesta:
 n0n i1CC 
IMPORTANTE: n lo que indica es el número de 
veces que se han generado (y acumulado) intereses 
al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha 
de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo 
de interés (no importando cuál sea)
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
400
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
Gráficamente:
Vn?
1 1 1 1 1
0 1 2 n-2 n-1 n
i
…
…
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
401
Matemática Financiera 
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Aplicando la definición de valor final y llevando los términos uno 
a uno, capitalizando en régimen de capitalización compuesta al 
tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el 
final, que se denota con la siguiente terminología
sn┐i
n: Número de Términos i: Tanto de Valoración
La letra s: Significa Valor Final
La letra minúscula: Significa Renta Unitaria
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
402
Matemática Financiera 
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Llegamos a la siguiente fórmula:
Vn?
1 1 1 1 1
0 1 2 n-2 n-1 n
i
…
…
 n0n i1CC 
      1n2i nn i1i1i11sV  
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
403
Matemática Financiera 
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Para simplificar la expresión anterior, hemos 
de hacer notar que se trata de una 
progresión geométrica de razón:
i1r 
Como la razón es mayor que la unidad, la 
progresión es decreciente, por lo que la 
suma de los n términos de una progresión 
geométrica decreciente es la siguiente:
      1n2i nn i1i1i11sV  
1r
ara
S
1n



5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
404
Matemática Financiera 
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Sumando los n términos de la progresión geométrica:
      1n2i nn i1i1i11sV  
1r
ara
S
1n



   
 
   
i
1i1
1i1
1i1
1i1
1i1i1
s
n11n1n
i n









5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
405
Matemática Financiera 
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 
i
1i1
s
n
i n


Esta es la expresión que permite calcular el 
valor FINAL de una RENTA CONSTANTE, 
TEMPORAL, POSPAGABLE, 
INMEDIATA, ENTERA Y UNITARIA
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
406
Matemática Financiera 
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Al mismo resultado hubiésemos llegado si se 
capitaliza el valor actual de la renta hasta su final 
empleando el mismo tanto de valoración:
Gráficamente:
Vn?
1 1 1 1 1
0 1 2 n-2 n-1 n
i
…
…V0
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
407
Matemática Financiera 
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Por tanto, el valor final de la 
renta será la capitalización de 
su valor actual
   
        
i
1i1
i
i11i1
i
i11
i1ai1s
nnnn
n
i n
n
i n







Vn
?
1 1 1 1 1
0 1 2 n-
2
n-
1
n
i
…
…V0
 
i
1i1
s
n
i n


5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
408
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RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c:
Todos los términos iguales a c
Gráficamente:
Vn?
c c c c c
0 1 2 n-2 n-1 n
i
…
…
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
409
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Sn┐i
n: Número de Términos i: Tanto de Valoración
La letra s: Significa Valor Final
La letra mayúscula: Significa Renta No Unitaria
Aplicando la definición de valor final y llevando los términos uno 
a uno, capitalizando en régimen de capitalización compuesta al 
tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el 
final, que se denota con la siguiente terminología
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
410
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Llegamos a la siguiente fórmula:
Vn?
c c c c c
0 1 2 n-2 n-1 n
i
…
…
 n0n i1CC 
      1n2i nn i1ci1ci1ccSV  
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
411
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Sacamos factor común c:
El corchete es el valor final de una renta unitaria, 
temporal, pospagable, inmediata y entera
      1n2i nn i1ci1ci1ccSV  
      1n2i nn i1i1i11cSV  
      1n2i n i1i1i11s  
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
412
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      1n2i nn i1ci1ci1ccSV  
      1n2i n i1i1i11s  
 
i
1i1
s
n
i n


 
i
1i1
cscS
n
i ni n


5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
413
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Esta es la expresión que permite calcular el 
valor FINAL de una RENTA CONSTANTE, 
TEMPORAL, POSPAGABLE, 
INMEDIATA,ENTERA Y DE CUANTÍA c
i ni n scS 
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
414
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Ejemplo 4:
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V3?
V3?
100 100 100
0 1 2 3 años
i=10%
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
415
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Forma 1: Moviendo los capitales uno a uno
      1n2i nn i1ci1ci1ccSV  
    €3311,011001,01100100SV 21,0 33 
€331V3 
Ejemplo 4:
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V3?
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
416
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Forma 2: Utilizando la fórmula de la renta constante, temporal,
pospagable, inmediata y entera
i ni n scS 
 
i
1i1
s
n
i n


 
€331
1,0
11,01
100s100SV
3
1,0 31,0 33 


€331V3 
Ejemplo 4:
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V3?
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
417
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Forma 3: Capitalizando el valor actual, calculado en el ejemplo 1
€331V3 
69,248A 0,1 3 
  i nnn Ai1V 
  €33169,2481,1A1,01V 30,1 333 
Ejemplo 4:
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V3?
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
418
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Ejemplo 5:
n=5 años
c=20.000€
i=12% efectivo anual
Importe acumulado?
V5=Saldo?
20.000
0 1 2 5 años
i=12%
3 4
20.000 20.000 20.000 20.000
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
419
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Las imposiciones que se van realizando constituyen una renta
constante, temporal, pospagable, inmediata y entera
El importe acumulado después de 5 años será, por tanto el 
valor final de la renta formada por las imposiciones que se han 
realizado
V5?
Ejemplo 5:
n=5 años
c=20.000€
i=12% efectivo anual
Importe acumulado?
V5=Saldo?
20.000
0 1 2 5 años
i=12%
3 4
20.000 20.000 20.000 20.000
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
420
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i ni n scS 
 
i
1i1
s
n
i n


 
€95,056.127
12,0
112,01
000.20s000.20SV
5
12,0 512,0 55 


€95,056.127V5 
Ejemplo 5:
n=5 años
c=20.000€
i=12% efectivo anual
Importe acumulado?
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
421
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Ejemplo 6:
Vn=209.845,94€
c=25.000€
i=6% efectivo anual
n?
Vn=209.845,94
25.000
0 1 2 n?años
i=6%
…
25.000 … 25.000
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
422
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i ni n scS 
 
i
1i1
s
n
i n


 
94,845.209
06,0
106,01
000.25s000.25SV
n
06,0 n06,0 nn 


 
503630256,106,11503630256,006,1
503630256,0106,106,03938376,8106,1
3938376,8
06,0
106,1
000.25
94,845.209
06,0
106,01
nn
nn
nn






Ejemplo 6:
Vn=209.845,94€
c=25.000€
i=6% efectivo anual
n?
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
423
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503630256,106,1 n 
Aplicamos logaritmos para poder despejar n
años 7
1,06 log
503630256,1 log
n
503630256,1 log1,06 logn503630256,1 log06,1 log n


años 7n 
Ejemplo 6:
Vn=209.845,94€
c=25.000€
i=6% efectivo anual
n?
5.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
424
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ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
425
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Vamos a estudiar una RENTA:
CONSTANTE Términos de igual cuantía
PREPAGABLE Términos que vencen al principio del periodo
INMEDIATA
ENTERA Términos y tanto en la misma unidad de tiempo
Valoración en origen o final
COMPUESTA Ley Financiera Compuesta
TEMPORAL Número finito de términos
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5. RENTAS CONSTANTES
426
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ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
427
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RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
Gráficamente:
V0?
1 1 1 11
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
428
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Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos 
uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al 
tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales 
hasta el origen se obtiene el valor actual, que se denota con la 
siguiente terminología
ä n┐in: Número de Términos i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
La letra minúscula: Significa Renta Unitaria
La letra ä (con los dos puntitos): Significa Renta Prepagable
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
429
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Llegamos a la siguiente fórmula:
 n
n
0
i1
C
C


V0?
1 1 1 11
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…
      1n32
i n0
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
1aV








 
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
430
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Para simplificar la expresión anterior, hemos 
de hacer notar que se trata de una 
progresión geométrica de razón: i1
1
r


Como la razón es menor que la unidad, la 
progresión es decreciente, por lo que la 
suma de los n términos de una progresión 
geométrica decreciente es la siguiente:
r1
raa
S
n1



      1n32
i n0
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
1aV








 
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
431
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Sumando los n términos de la progresión geométrica:
r1
raa
S
n1



      1n32
i n0
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
1aV








 
       
i1
i
i11
i1
i
i1
1
1
i1
1i1
i1
1
1
i1
1
1
i1
1
i1
1
1
ä
nn11n1n
i n




















5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
432
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Esta es la expresión que permite calcular el 
valor ACTUAL de una RENTA 
CONSTANTE, TEMPORAL, 
PREPAGABLE, INMEDIATA, ENTERA Y 
UNITARIA
 
i1
i
i11
a
n
i n





5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
433
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Si recordamos, la fórmula de una renta constante, 
temporal, pospagable, inmediata y entera
 
i
i11
a
n
i n



La fórmula anterior se puede expresar en función de ella
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
434
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 
i
i11
a
n
i n



 
i1
i
i11
a
n
i n





 
 
      
 i1
i
i11
i
i1i11
i1
i
1
i11
i1
i
i11
a
nn
n
n
i n 














i na
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
435
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Esta es la otra expresión que permite 
calcular el valor ACTUAL de una RENTA 
CONSTANTE, TEMPORAL, 
PREPAGABLE, INMEDIATA, ENTERA Y 
UNITARIA
 i1aa i ni n 
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
436
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Al mismo resultado hubiésemos llegado valorando por 
separado el primer capital, que ya está en el origen, y el resto 
de capitales (n – 1) como renta pospagable inmediata:
Gráficamente:
1 1 1 11
0 1 2 n-2 n-1 n…
…
V0
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
437
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Por tanto, llegamos 
a la siguiente 
expresión
1 1 1 11
0 1 2 n-2 n-1 n…
…
V0
i -1ni n0 a1aV  
i -1ni n a1a 
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
438
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RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c:
Todos los términos iguales a c
Gráficamente:
V0?
c c c cc
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
439
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Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos 
uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al 
tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales 
hasta el origen se obtiene el valor actual, que se denota con la 
siguiente terminología
Ä n┐in: Número de Términos i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
La letra mayúscula: Significa Renta No Unitaria
La letra ä (con los dos puntitos) : Significa Renta Prepagable
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
440
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Llegamos a la siguiente fórmula:
 n
n
0
i1
C
C


V0?
c c c cc
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…
      1n32
i n0
i1
c
i1
c
i1
c
i1
c
cAV








 
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
441
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Sacamos factor común c:
El corchete es el valor actual de una renta unitaria, 
temporal, prepagable, inmediata y entera
      1n32
i n0
i1
c
i1
c
i1
c
i1
c
cAV








 
     














1n32
i n0
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
1cAV 
      1n32
i n
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
1a








 
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
442
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     














1n32
i n0
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
1cAV 
      1n32
i n
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
1a








 
 i1aa i ni n 
  i ni n ai1cA 
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
443
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NOTA: los valores actuales y finales
de las rentas prepagables se obtienen 
a partir de las rentas pospagables 
multiplicando por (1 + i), es decir, las 
rentas prepagables son el resultado de 
capitalizar un período las rentas 
pospagables
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.1. Cálculo del Valor Inicial
5. RENTAS CONSTANTES
444
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ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
445
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Valor final de una renta constante, 
temporal, prepagable,
inmediata, entera y unitaria
Dado que los valores finales de las rentas 
prepagables se obtienen a partir de las rentas 
pospagables multiplicando por (1+i), podemos 
establecer la siguiente fórmula:
 i1ss i ni n 
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
446
Matemática Financiera 
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Valor final de una renta constante, 
temporal, prepagable,
inmediata, entera y de cuantía c
i ni n scS  
Dado que los valores finales de las rentas de 
cuantía c se obtienen a partir de las rentas 
respectivas rentas unitarias multiplicándolas por c, 
podemos establecer la siguiente fórmula:
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5. RENTAS CONSTANTES
447
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Ejemplo 7 (Primera parte):
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V0?
V0?
100 100100
0 1 2 3 años
i=10%
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5. RENTAS CONSTANTES
448
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V0 Forma 1: Moviendo los capitales uno a uno
      1n32
i n0
i1
c
i1
c
i1
c
i1
c
cAV








 
 
€55,273
1,01
100
1,01
100
100AV
2
0,1 30 



 
€55,273V0 
Ejemplo 7 (Primera parte):
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V0?
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5. RENTAS CONSTANTES
449
Matemática Financiera 
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V0 Forma 2: Utilizando la fórmula de la renta constante,
temporal, prepagable, inmediata y entera
  i ni n ai1cA 
 
i
i11
a
n
i n



 
 
€55,273
1,0
1,011
1,01100AV
3
0,1 30 




€55,273V0 
Ejemplo 7 (Primera parte):
n=3
c=100€
i=10%efectivo anual
V0?
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5. RENTAS CONSTANTES
450
Matemática Financiera 
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Ejemplo 7 (Segunda parte):
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V3?
i=10%
V0
100 100100
0 1 2 3 años
V3?
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5. RENTAS CONSTANTES
451
Matemática Financiera 
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V3 Forma 1: Moviendo los capitales uno a uno
        i1i1ci1ci1ccSV 1n2i nn  
       €10,3641,13311,011,011001,01100100SV 21,0 33  
€10,364V3 
Ejemplo 7 (Segunda parte):
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V3?
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5. RENTAS CONSTANTES
452
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V3 Forma 2: Utilizando la fórmula de la renta constante,
temporal, prepagable, inmediata y entera
 
 
€10,364
1,0
11,01
1,01100SV
3
0,1 30 

 
i ni n scS  
 i1ss i ni n   
i
1i1
s
n
i n


€10,364V3 
Ejemplo 7 (Segunda parte):
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V3?
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5. RENTAS CONSTANTES
453
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V3 Forma 3: Capitalizando el valor actual
€10,364V3 
 n0n i1VV 
€55,273V0 
  €10,3641,0155,273V 33 
Ejemplo 7 (Segunda parte):
n=3
c=100€
i=10% efectivo anual
V3?
5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
5. RENTAS CONSTANTES
454
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
455
Matemática Financiera 
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Vamos a estudiar una RENTA:
CONSTANTE Términos de igual cuantía
INMEDIATA
ENTERA Términos y tanto en la misma unidad de tiempo
Valoración en origen o final
COMPUESTA Ley Financiera Compuesta
PERPETUA Número infinito o muy grande de términos
Dentro de ellas distinguiremos entre PREPAGABLES y POSPAGABLES
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5. RENTAS CONSTANTES
456
Matemática Financiera 
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IMPORTANTE: En las rentas 
perpetuas sólo se le podrá calcular 
valor actual pero nunca el valor 
final, y todo ello con 
independencia de que sea 
pospagable o prepagable, constante 
o variable, etc.
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5. RENTAS CONSTANTES
457
Matemática Financiera 
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El valor actual de estas rentas se obtendrá 
viendo qué ocurre si aplicamos las fórmulas 
empleadas para rentas temporales y en lugar 
de utilizar un número finito de capitales (n) 
trabajamos con infinitos términos (∞). En 
definitiva, se trata de trabajar con el 
concepto matemático de los límites, 
cuando la duración de la renta (y por tanto, el 
número de capitales) tiende a infinito
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5. RENTAS CONSTANTES
458
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
459
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RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
a∞┐i
∞: Renta perpetua i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
La letra minúscula: Significa Renta Unitaria
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5.3.1. Rentas Pospagables
5. RENTAS CONSTANTES
460
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Partiendo de:
 
i
i11
a
n
i n



Aplicando límites cuando n tiende a ∞:
     
i
1
i
01
i
1
1
i
i1
1
1
i
i1
1
1
 Lim
i
i11
 Lima
n
n
n
n
i 

















i
1
a i 
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5.3.1. Rentas Pospagables
5. RENTAS CONSTANTES
461
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
A∞┐i
∞: Renta perpetua i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c:
Todos los términos iguales a c
La letra mayúscula: Significa Renta No Unitaria
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5.3.1. Rentas Pospagables
5. RENTAS CONSTANTES
462
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Partiendo de:
 
i
i11
a
n
i n



Aplicando límites cuando n tiende a ∞:
i ni n acA 
     
i
c
i
01
c
i
1
1
c
i
i1
1
1
c
i
i1
1
1
 Limc
i
i11
 c LimA
n
n
n
n
i 



















i
c
A i 
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5.3.1. Rentas Pospagables
5. RENTAS CONSTANTES
463
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
464
Matemática Financiera 
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RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
ä∞┐i
∞: Renta perpetua i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
La letra minúscula: Significa Renta Unitaria
La letra ä (con los dos puntitos): Significa Renta Prepagable
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5.3.2. Rentas Prepagables
5. RENTAS CONSTANTES
465
Matemática Financiera 
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Partiendo de:
Multiplicando por (1+i):
i
1
a i 
   
i
i1
i1
i
1
i1aa i i 

 
i
i1
a i 


5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5.3.2. Rentas Prepagables
5. RENTAS CONSTANTES
466
Matemática Financiera 
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Ä∞┐i
∞: Renta perpetua i: Tanto de Valoración
RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c:
Todos los términos iguales a c
La letra a: Significa Valor Actual
La letra mayúscula: Significa Renta no Unitaria
La letra ä (con los dos puntitos): Significa Renta Prepagable
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5.3.2. Rentas Prepagables
5. RENTAS CONSTANTES
467
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Partiendo de:
i
c
A i 
Multiplicando por (1+i):
i
i1
cA i 


   
i
i1
ci1
i
c
i1AAi i 

 
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5.3.2. Rentas Prepagables
5. RENTAS CONSTANTES
468
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Ejemplo 8:
c=25.000€
J2=12% nominal capitalizable por semestres
V0?
2 CASOS:
▪ Capitales pospagables
▪ Capitales prepagables
Renta perpetua semestral
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5. RENTAS CONSTANTES
469
Matemática Financiera 
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Ejemplo 8:
Renta perpetua semestral
c=25.000€
J2=12% nominal capitalizable por semestres
V0?
Hay que calcular el tanto efectivo semestral 
equivalente al tanto nominal
k
J
i
k
k 
%606,0
2
12
i2 
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5. RENTAS CONSTANTES
470
Matemática Financiera 
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Ejemplo 8 (Caso 1: Capitales pospagables):
Renta perpetua semestral
c=25.000€
J2=12% nominal capitalizable por semestres
V0? i
c
A i 
€67,666.416
06,0
000.25
AV 06,0 0  
€67,666.416V0 
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5. RENTAS CONSTANTES
471
Matemática Financiera 
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Ejemplo 8 (Caso 2: Capitales prepagables):
Renta perpetua semestral
c=25.000€
J2=12% nominal capitalizable por semestres
V0?
€67,666.441V0 
i
i1
cA i 


€67,666.441
06,0
06,01
000.25AV 06,0 0 

 
5.3. RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS
5. RENTAS CONSTANTES
472
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
473
Matemática Financiera 
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Vamos a estudiar una RENTA:
CONSTANTE Términos de igual cuantía
DIFERIDA
ENTERA Términos y tanto en la misma unidad de tiempo
Valoración con anterioridad al origen
COMPUESTA Ley Financiera Compuesta
Dentro de ellas distinguiremos entre PREPAGABLES y POSPAGABLES
TEMPORALES y PERPETUAS
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5. RENTAS CONSTANTES
474
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
475
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
Gráficamente:
Vt?
t
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
1 1 1 1…
Periodo
de diferimiento
Momento
de
valoración
(d) Origen
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
476
Matemática Financiera 
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Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos 
uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al 
tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales 
hasta el origen se obtiene el valor actual, que se denota con la 
siguiente terminología
n: Número de Términos
i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
La letra minúscula: Significa Renta Unitaria
i na
d
d: Periodo de diferimiento
La letra d: Significa Renta Diferida d periodos
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
477
Matemática Financiera 
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Vt?
t
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
1 1 1 1…
Periodo
de diferimiento
Momento
de
valoración
(d) Origen
Al aplicar la definición de valor financiero en el momento t:
        nd3d2d1di n
t
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
a
dV








 
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
478
Matemática Financiera 
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Sacamos factor común:
        nd3d2d1di n
t
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
a
dV








 
 di1
1

          














n321di n
t
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
a
dV 
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
479
Matemática Financiera 
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El corchete es el valor actual de una renta unitaria, 
temporal, pospagable, inmediata y entera
       n1n32
i n
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
a












          














n321di n
t
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
a
dV 
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
480
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       n1n32
i n
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
a












          














n321di n
t
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
i1
1
a
dV 
 
i n
di n
a
i1
1
a
d 


5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
481
Matemática Financiera 
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Al mismo resultado hubiésemos llegado valorando la renta en su 
origen, (como una renta inmediata) y descontarlo como un único 
capital hasta el momento t:
Gráficamente:
Origen
Vt?
t
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
1 1 1 1…
Periodo
de diferimiento
Momento
de
valoración
(d)
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
482
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
 
i
i11
a
n
i n



Analíticamente quedaría así:
   
 
i
i11
i1
1
i1
a
a
d
n
dd
i n
i n







 
i n
di n
t a
i1
1
a
dV 


5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
483
Matemática Financiera 
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RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c:
Todos los términos iguales a cGráficamente:
Vt?
t
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
c c c c…
Periodo
de diferimiento
Momento
de
valoración
(d) Origen
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
484
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos 
uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al 
tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales 
hasta el origen se obtiene el valor actual, que se denota con la 
siguiente terminología
n: Número de Términos
i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
La letra mayúscula: Significa Renta no Unitaria
i nA
d
d: Periodo de diferimiento
La letra d: Significa Renta Diferida d periodos
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
485
Matemática Financiera 
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En este caso, todo lo dicho seguiría siendo válido y bastaría con 
multiplicar el valor de larenta unitaria por la cuantía del término
Analíticamente:
     
 
i
i11
i1
c
i1
ac
i1
A
a
dc
A
d
n
dd
 i n
d
i n
i ni n










 
 
i
i11
i1
c
a
dc
A
d
n
di ni n





5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
486
Matemática Financiera 
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El diferimiento solamente afecta al valor 
actual, por tanto, si lo que se quiere calcular 
es el valor final de la renta, aplicando la 
definición de valor final se tratará como 
una renta inmediata
t
i
0 1 2 … n-1 n
Vn?
c c c c…
Periodo
de diferimiento
(d)
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
487
Matemática Financiera 
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Al mismo resultado hubiésemos llegado capitalizando el valor 
actual diferido (Vt) n+d periodos o capitalizando el valor actual 
(V0) n periodos:
Gráficamente:
Vt?
t
i
0 1 2 … n-1 n
V0
Vn
c c c c…
Periodo
de diferimiento
(d)
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
488
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Es decir:
    ndtn0n i1Vi1VV 
Vt?
t
i
0 1 2 … n-1 n
V0
Vn
c c c c…
Periodo
de diferimiento
(d)
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
489
Matemática Financiera 
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Entonces, para rentas unitarias :
  ndt
i n
n i1V
s
dV


 
i n
di n
t a
i1
1
a
dV 


  nd
i ni n
i1
a
d
s
d 
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
490
Matemática Financiera 
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Entonces, para rentas de cuantía c :
  ndt
i n
n i1V
S
dV


    nd
i n
nd
i ni n
i1
a
dci1
A
d
S
d  
i ni n a
dc
A
d 
 
i n
di n
t A
i1
1
A
dV 


5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
491
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
492
Matemática Financiera 
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RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
Gráficamente:
Vt?
t
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
1 1 1 1…
Periodo
de diferimiento
Momento
de
valoración
(d) Origen
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
493
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a 
uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la 
renta i, desde donde están cada uno de los capitales hasta el origen se 
obtiene el valor actual, que se denota con la siguiente terminología
n: Número de Términos
i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
i na
d
d: Periodo de diferimiento
La letra d: Significa Renta Diferida d periodos
La letra ä (con los dos puntitos): Significa Renta Prepagable
La letra minúscula: Significa Renta Unitaria
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
494
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Dado que los valores finales de las rentas 
prepagables se obtienen a partir de las rentas 
pospagables multiplicando por (1+i), podemos 
establecer la siguiente fórmula:
 
i ni n
t
a
di1
a
dV  
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
495
Matemática Financiera 
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Entonces, para rentas unitarias :
 
i n
di n
a
i1
1
a
d 


 
i ni n
t
a
di1
a
dV  
 
   
i n
1d
i n
di n
a
i1
1
a
i1
1
i1
a
d 





 
i n
1di n
a
i1
1
a
d 



5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
496
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Gráficamente:
Vt?
t
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
c c c c…
Periodo
de diferimiento
Momento
de
valoración
(d) Origen
RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c:
Todos los términos iguales a c
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
497
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a 
uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la 
renta i, desde donde están cada uno de los capitales hasta el origen se 
obtiene el valor actual, que se denota con la siguiente terminología
n: Número de Términos
i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
i nA
d

d: Periodo de diferimiento
La letra d: Significa Renta Diferida d periodos
La letra ä (con los dos puntitos): Significa Renta Prepagable
La letra mayúscula: Significa Renta no Unitaria
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
498
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Dado que los valores finales de las rentas 
prepagables se obtienen a partir de las rentas 
pospagables multiplicando por (1+i), podemos 
establecer la siguiente fórmula:
 
i ni n
t
A
di1
A
dV  
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
499
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Entonces, para rentas no unitarias o de cuantía c :
 
   
i n
1d
i n
d
i n
a
i1
1
ca
i1
1
ci1
A
d 





 
i ni n
t
A
di1
A
dV   i ni n a
dc
A
d 
 
i n
di n
a
i1
1
a
d 


 
i n
1d
i n
a
i1
1
c
A
d 



5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
500
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
501
Matemática Financiera 
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RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
∞: Renta perpetua i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
La letra minúscula: Significa Renta Unitaria
i a
d

5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
502
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Recordando que:
Entonces:
i
1
a i 
 d
i n
i n i1
a
a
d


   dd
i 
i 
t
i1
1
i
1
i1
a
a
dV






 di i1
1
i
1
a
d



5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
503
Matemática FinancieraProf. Mª Mercedes Rojas de Gracia
∞: Renta perpetua i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
La letra mayúscula: Significa Renta no Unitaria
i A
d

RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c:
Todos los términos iguales a c
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
504
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Recordando que:
Entonces:
i
c
A i 
 d
i n
i n i1
A
A
d


   dd
i 
i 
t
i1
1
i
c
i1
A
A
dV






 di i1
1
i
c
A
d



5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
505
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
506
Matemática Financiera 
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RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
∞: Renta perpetua i: Tanto de Valoración
La letra a: Significa Valor Actual
La letra minúscula: Significa Renta Unitaria
i a
d

La letra ä (con los dos puntitos): Significa Renta Prepagable
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
507
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Recordando que:
Entonces:
i
i1
a i 


 d
i n
i n i1
a
a
d




      1ddd
i 
i 
t
i1i
1
i1
1
i
i1
i1
a
a
dV


 









  1di i1i
1
a
d
 

5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
508
Matemática Financiera 
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RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
∞: Renta perpetua i: Tanto de Valoracióni A
d


La letra a: Significa Valor Actual
La letra mayúscula: Significa Renta No Unitaria
La letra ä (con los dos puntitos) : Significa Renta Prepagable
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
509
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Recordando que:
Entonces:
i
i1
cA i 


 d
i n
i n i1
A
A
d




      1ddd
i 
i 
t
i1i
c
i1
1
i
i1
c
i1
A
A
dV


 









  1di i1i
c
A
d

 

5.4. RENTAS DIFERIDAS
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
510
Matemática Financiera 
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Ejemplo 9 (Primera parte):
n=5 años
c=2.700€
i=11% efectivo anual
V0?
d=3 años
Vt
2.700
0 1 2 5
años
i=11% 3 4t
2.700 2.700 2.700 2.700
V0?
Periodo
de diferimiento
3 años
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5. RENTAS CONSTANTES
511
Matemática Financiera 
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Ejemplo 9 (Primera parte):
n=5 años
c=2.700€
i=11% efectivo anual
V0?
d=3 años  
i n
1d
i n
a
i1
1
c
A
d 



 
i
i11
a
n
i n



 
 
€12,099.8
11,0
11,011
11,01
1
700.2
A
3V
5
23
11,0 5
0 






€12,099.8V0 
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5. RENTAS CONSTANTES
512
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Ejemplo 9 (Segunda parte):
n=5 años
c=2.700€
i=11% efectivo anual
V5?
d=3 años
Vt
2.700
0 1 2 5
años
i=11% 3 4t
2.700 2.700 2.700 2.700
Periodo
de diferimiento
3 años
V5?
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5. RENTAS CONSTANTES
513
Matemática Financiera 
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Ejemplo 9 (Segunda parte):
n=5 años
c=2.700€
i=11% efectivo anual
V5?
d=3 años
IMPORTANTE: El diferimiento no afecta al valor final, por lo 
que se calcula como una renta inmediata
Vt
2.700
0 1 2 5
años
i=11% 3 4t
2.700 2.700 2.700 2.700
Periodo
de diferimiento
3 años
V5?
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5. RENTAS CONSTANTES
514
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Ejemplo 9 (Segunda parte):
n=5 años
c=2.700€
i=11% efectivo anual
V5?
d=3 años
i n i n
i n
scS
S
d  
 
i
1i1
s
n
i n


 
  €72,664.1811,01
11,0
111,01
700.2S
S
3V
5
 0,11 5
11,0 5
5 

 
 i1s s i ni n 
€72,664.18V5 
5.4. RENTAS DIFERIDAS
5. RENTAS CONSTANTES
515
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ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
516
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Vamos a estudiar una RENTA:
CONSTANTE Términos de igual cuantía
ANTICIPADA
ENTERA Términos y tanto en la misma unidad de tiempo
Valoración con posterioridad al final
COMPUESTA Ley Financiera Compuesta
Dentro de ellas distinguiremos entre PREPAGABLES y POSPAGABLES
TEMPORAL Número finito de términos
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5. RENTAS CONSTANTES
517
Matemática Financiera 
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ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
518
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
Gráficamente:
Vn+h?
n+h
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
1 1 1 1…
Periodo
de anticipación
Momento
de
valoración
(h)
Origen Fin
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
519
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
n: Número de Términos
i: Tanto de Valoración
La letra s: Significa Valor Final
La letra minúscula: Significa Renta Unitaria
h: Periodo de anticipación
La letra h: Significa Renta Anticipada h periodos
Aplicando la definición de valor financiero en el momento t y 
llevando los términos uno a uno, capitalizando en régimen de 
capitalización compuesta al tanto de la renta i, desde donde se 
encuentra cada uno hasta el final, que se denota con la siguiente 
terminología
i ns
h
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
520
Matemática Financiera 
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Al aplicar la definición de valor financiero en el momento t:
        1nh2h1hh
i n
t i1i1i1i1
s
hV

 
Vn+h?
n+h
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
1 1 1 1…
Periodode anticipación
Momento
de
valoración
(h)Origen Fin
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
521
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Sacamos factor común:
 hi1
        1nh2h1hh
i n
t i1i1i1i1
s
hV

 
        1n2h
i n
hnt i1i1i11i1
s
hVV

  
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
522
Matemática Financiera 
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El corchete es el valor final de una renta unitaria, 
temporal, pospagable, inmediata y entera
        1n2h
i n
hnt i1i1i11i1
s
hVV

  
      1n2i n i1i1i11s  
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
523
Matemática Financiera 
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        1n2h
i n
hnt i1i1i11i1
s
hVV

  
      1n2i n i1i1i11s  
  i nh
i n
si1
s
h 
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
524
Matemática Financiera 
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Al mismo resultado hubiésemos llegado valorando la renta en su 
final, (como una renta inmediata) y capitalizándolo como un único 
capital hasta el momento t:
Gráficamente:
Vn+h?
n+h
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
1 1 1 1…
Periodo
de anticipación
Momento
de
valoración
(h)
Origen Fin
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
525
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Analíticamente quedaría así:
    i nhnhhnt si1Vi1VV  
 
i
1i1
s
n
i n


   
 
i
1i1
i1si1
s
h
n
h
 i n
h
i n


5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
526
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RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c:
Todos los términos iguales a c
Gráficamente:
Vn+h?
n+h
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
c c c c…
Periodo
de anticipación
Momento
de
valoración
(h)Origen Fin
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
527
Matemática Financiera 
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Aplicando la definición de valor financiero en el momento t y 
llevando los términos uno a uno, capitalizando en régimen de 
capitalización compuesta al tanto de la renta i, desde donde se 
encuentra cada uno hasta el final, que se denota con la siguiente 
terminología
n: Número de Términos
i: Tanto de Valoración
La letra s: Significa Valor Final
La letra mayúscula: Significa Renta no Unitaria
h: Periodo de anticipación
La letra h: Significa Renta Anticipada h periodos
i nS
h
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
528
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En este caso, todo lo dicho seguiría siendo válido y bastaría con 
multiplicar el valor de la renta unitaria por la cuantía del término
Analíticamente:
   
 
i
1i1
i1csi1c
s
hc
S
h
n
h
 i n
h
i ni n


 
 
i
1i1
i1c
s
hc
S
h
n
h
i ni n


5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
529
Matemática Financiera 
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La anticipación solamente afecta al valor final, por 
tanto, si lo que se quiere calcular es el valor actual de la 
renta, aplicando la definición de valor actual se tratará 
como una renta inmediata
Vn+h?
n+h
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
Periodo
de anticipación
Momento
de
valoración
(h)Origen Fin
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
530
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Al mismo resultado hubiésemos llegado actualizando el valor final 
anticipado (Vn+h) n+h periodos o actualizando el valor final (Vn) n 
periodos:
Gráficamente:
Vn+h?
n+
h
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
Periodo
de anticipación
Momento
de
valoración
(h)Origen Fin
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
531
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Es decir:
Vt?
t
i
0 1 2 … n-1 n
V0
Vn
c c c c…
Periodo
de diferimiento
(d)
    hn
hn
n
n
0
i1
V
i1
V
V






5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
532
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ÍNDICE
5. RENTAS CONSTANTES
5.1. Renta Temporal Pospagable, Inmediata y Entera
5.1.1. Cálculo del Valor Actual
5.1.2. Cálculo del Valor Final
5.2. Renta Temporal Prepagable, Inmediata y Entera
5.2.1. Cálculo del Valor Actual
5.2.2. Cálculo del Valor Final
5.3. Rentas Perpetuas, Inmediatas y Enteras
5.3.1. Rentas Pospagables
5.3.2. Rentas Prepagables
5.4. Rentas Diferidas
5.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
5.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
5.5. Rentas Anticipadas
5.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
533
Matemática Financiera 
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RENTA UNITARIA: Todos los términos iguales a la unidad
Gráficamente:
Vn+h?
n+h
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
1 1 1…
Periodo
de anticipación
Momento
de
valoración
(h)
Origen Fin
1
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
534
Matemática Financiera 
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
n: Número de Términos
i: Tanto de Valoración
La letra s: Significa Valor Final
h: Periodo de anticipación
La letra h: Significa Renta Anticipada h periodos
La letra minúscula: Significa Renta Unitaria
i ns
h

Aplicando la definición de valor financiero en el momento t y llevando 
los términos uno a uno, capitalizando en régimen de capitalización 
compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno 
hasta el final, que se denota con la siguiente terminología
ss
La letra s (con los dos puntitos): Significa Renta Prepagable¨
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
535
Matemática Financiera 
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Dado que los valores finales de las rentas 
prepagables se obtienen a partir de las rentas 
pospagables multiplicando por (1+i), podemos 
establecer la siguiente fórmula:
 
i ni n
hnt
s
hi1
s
hVV   
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
536
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Entonces, para rentas unitarias :
 
i ni n
hnt
s
hi1
s
hVV   
  i nh
i n
si1
s
h 
      i n1hi nh
i n
si1si1i1
s
h 


  i n1h
i n
si1
s
h 


5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
537
Matemática Financiera 
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Gráficamente:
RENTA NO UNITARIA o DE CUANTÍA c:
Todos los términos iguales a c
Vn+h?
n+h
i
0 1 2 … n-1 n
V0 Vn
c c c…
Periodo
de anticipación
Momento
de
valoración
(h)
Origen Fin
c
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
538
Matemática Financiera 
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n: Número de Términos
i: Tanto de Valoración
La letra s: Significa Valor Final
h: Periodo de anticipación
La letra h: Significa Renta Anticipada h periodos
La letra mayúscula: Significa Renta no Unitaria
i nS
h

Aplicando la definición de valor financiero en el momento t y llevando 
los términos uno a uno, capitalizando en régimen de capitalización 
compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno 
hasta el final, que se denota con lasiguiente terminología
ss
La letra s (con los dos puntitos): Significa Renta Prepagable¨
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
539
Matemática Financiera 
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Dado que los valores finales de las rentas 
prepagables se obtienen a partir de las rentas 
pospagables multiplicando por (1+i), podemos 
establecer la siguiente fórmula:
 
i ni n
t
S
hi1
S
hV  
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
540
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Entonces, para rentas no unitarias o de cuantía c :
      i n1hi nh
i n
si1csi1ci1
S
h 


 
i ni n
t
S
hi1
S
hV   i ni n s
hc
S
h 
  i nh
i n
si1
s
h 
  i n1h
i n
si1c
S
h 


5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
5. RENTAS CONSTANTES
541
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Ejemplo 10 (Primera parte):
n=3 años
c=1.000€
i=7% efectivo anual
V0?
h=5 años V0?
V3 V8?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 años
1.000 1.000 1.000
i=7%
Origen Fin Valoración
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5. RENTAS CONSTANTES
542
Matemática Financiera 
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IMPORTANTE: La anticipación no afecta al valor actual, por lo 
que se calcula como una renta inmediata
Ejemplo 10 (Primera parte):
n=3 años
c=1.000€
i=7% efectivo anual
V0?
h=5 años V0?
V3 V8?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 años
1.000 1.000 1.000
i=7%
Origen Fin Valoración
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5. RENTAS CONSTANTES
543
Matemática Financiera 
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i n i n
i n
acA
A
h 
 
€32,624.2
07,0
07,011
000.1A
A
5V
3
 0,07 3
07,0 3
0 



€32,624.2V0 
 
i
i11
a
n
i n



Ejemplo 10 (Primera parte):
n=3 años
c=1.000€
i=7% efectivo anual
V0?
h=5 años
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5. RENTAS CONSTANTES
544
Matemática Financiera 
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Ejemplo 10 (Segunda parte):
n=3 años
c=1.000€
i=7% efectivo anual
V8?
h=5 años V0
V3 V8?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 años
1.000 1.000 1.000
i=7%
Origen Fin Valoración
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5. RENTAS CONSTANTES
545
Matemática Financiera 
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€06,509.4V5 
Forma 1: Utilizando la fórmula de la renta constante, temporal,
pospagable, anticipada y entera
€32,624.2V0 
  hn0hn i1VV  
  €06,509.407,0132,624.2V 538  
Ejemplo 10 (Segunda parte):
n=3 años
c=1.000€
i=7% efectivo anual
V8?
h=5 años
5.5. RENTAS ANTICIPADAS
5. RENTAS CONSTANTES
546
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TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES
547
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PARTE 2: RENTAS FINANCIERAS
TEMA 6: Teoría de Rentas. Rentas Constantes
TEMA 7: Rentas Variables
548
Matemática Financiera
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ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
549
Matemática Financiera
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ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
550
Matemática Financiera
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ÍNDICE
3. RENTAS FRACCIONADAS
3.1. Término Anual y Tanto de Frecuencia
3.2. Término de Frecuencia y Tanto Anual
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
551
Matemática Financiera
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ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
552
Matemática Financiera
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1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
Este tipo de rentas sirve para valorar 
un conjunto de capitales 
equidistantes en el tiempo cuyas 
cuantías son variables siguiendo una 
ley en progresión geométrica,
Cada término es el igual al anterior 
multiplicado por un mismo número que se 
llama razón «q»
553
Matemática Financiera
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ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
554
Matemática Financiera
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1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
GRÁFICAMENTE:
V0? c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2 cn-1=c·q
n-2 cn=c·q
n-1
555
Matemática Financiera
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Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos 
uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al 
tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales 
hasta el origen se obtiene el valor actual, que se denota con la 
siguiente terminología
A(c; q) n┐i
q: Razón de la Progresión
i: Tanto de Valoración
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
c: Primer Término de
la progresión
n: Número de Términos
556
Matemática Financiera
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Llegamos a la siguiente fórmula:
 n
n
0
i1
C
C


1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
V0? c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2 cn-1=c·q
n-2 cn=c·q
n-1
       n
1n
1n
2n
3
2
2
i n )q;c(0
i1
qc
i1
qc
i1
qc
i1
qc
i1
c
AV


















557
Matemática Financiera
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Sacamosfactor común:
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
       n
1n
1n
2n
3
2
2
i n )q;c(0
i1
qc
i1
qc
i1
qc
i1
qc
i1
c
AV


















i1
c

   
















1n
1n
2
2
i n )q;c(0
i1
q
i1
q
i1
q
1
i1
c
AV 
558
Matemática Financiera
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Se puede observar que el corchete es una 
progresión geométrica de razón: i1
q
r


Como la razón q puede ser mayor o menor 
que 1+i se utiliza la fórmula general de la 
suma de los n términos haciendo negativo el 
valor de r en caso de que la progresión sea 
decreciente
r1
raa
S
n1



1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
   
















1n
1n
2
2
i n )q;c(0
i1
q
i1
q
i1
q
1
i1
c
AV 
559
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Sumando los n términos de la progresión geométrica:
r1
raa
S
n1



1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
   
















1n
1n
2
2
i n )q;c(0
i1
q
i1
q
i1
q
1
i1
c
AV 
   
 
 
















































































i1
qi1
1
i1q1
i1
c
i1
qi1
i1q1
i1
c
i1
qi1
i1
q
1
i1
c
i1
q
1
i1
q
i1
q
1
i1
c
A
nn
nn
n
n
1n
1n
i n )q;c(
560
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1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
 
   
   
qi1
i1i1q1
i1
c
qi1
i1i1q1
i1
c
i1
qi1
1
i1q1
i1
c
A
nn
nn
nn
i n )q;c(





































561
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Esta es la expresión que permite calcular el 
valor ACTUAL de una RENTA VARIABLE, 
EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, 
POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
 
qi1
i1q1
cA
nn
i n )q;c(




Esta es una expresión que solo se puede utilizar si
i1q  562
Matemática Financiera
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1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
Si se cumple que
i1q 
La expresión del valor actual quedará de la siguiente forma:
 
 
 
 
 
 n
1n
3
2
2
i n )q;c(
i1
i1c
i1
i1c
i1
i1c
i1
c
A













       n
1n
1n
2n
3
2
2
i n )q;c(0
i1
qc
i1
qc
i1
qc
i1
qc
i1
c
AV


















563
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Sacamos factor común:
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
i1
c

 
 
 
 
 
 n
1n
3
2
2
i n )q;c(
i1
i1c
i1
i1c
i1
i1c
i1
c
A













 
 
 
 
 
 
  1veces n111
i1
c
i1
i1
i1
i1
i1
i1
1
i1
c
A
1n
1n
2
2
i n )q;c(























564
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1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
Esta es una expresión que solo se puede utilizar si
i1q 
i1
cn
A i n )q;c(



Esta es la expresión que permite calcular el 
valor ACTUAL de una RENTA VARIABLE, 
EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, 
POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA
565
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
RESUMIENDO
i1
cn
A i n )q;c(



i1q 
 
qi1
i1q1
cA
nn
i n )q;c(




i1q 
566
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
567
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
El valor final será el resultado de capitalizar el 
valor actual de la renta
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.2. Cálculo del Valor Final
Gráficamente:
V0
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2
cn-1=c·q
n-2 cn=c·q
n-1
Vn?
568
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.1.2. Cálculo del Valor Final
V0
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2 cn-1=c·q
n-2 cn=c·q
n-1
Vn?
 n0n i1CC 
  i n )q;c(ni n )q;c( Ai1S 
Al mismo resultado hubiésemos llegado si se hubiera 
capitalizado cada uno de los términos de la progresión 
hasta el momento n y posteriormente se hubiesen sumado
569
Matemática Financiera
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Ejemplo 1:
c=20.000€
Crece 5% cada año
V0?
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
n=4 años
Vn?
2 CASOS:
▪ i=7%
▪ i=5%
i=7%
i=5%
20.000 20.000·1,05
0 1 2 3 años4
20.000·1,052 20.000·1,053
V4?V0?
570
Matemática Financiera
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Ejemplo 1 (i=7%):
c=20.000€
Crece 5% cada año
V0?
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
n=4 años
05,1q 
05,0107,1i1q   
qi1
i1q1
cA
nn
i n )q;c(




 
€10,696.72
05,107,01
07,0105,11
000.20A
44
07,0 4 )05,1 ;000.20( 




€10,696.72A 07,0 4 )05,1 ;000.20( 
i=7%
20.000 20.000·1,05
0 1 2 3 años4
20.000·1,052 20.000·1,053
V4?V0?
571
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Ejemplo 1 (i=7%):
c=20.000€
Crece 5% cada año
Vn?
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
n=4 años
05,1q 
€76,289.95S 07,0 4 )05,1 ;000.20( 
  i n )q;c(ni n )q;c( Ai1S 
 
€76,289.9510,696.721,07
A07,01S
4
0,07 4 )05,1;000.20(
4
0,07 4 )05,1 ;000.20(


i=7%
20.000 20.000·1,05
0 1 2 3 años4
20.000·1,052 20.000·1,053
V4?V0?
€10,696.72A 07,0 4 )05,1 ;000.20( 
572
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Ejemplo 1 (i=5%):
c=20.000€
Crece 5% cada año
V0?
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
n=4 años
05,0105,1i1q 
05,1q 
€48,190.76A 05,0 4 )05,1 ;000.20( 
i1
cn
A i n )q;c(



€48,190.76
05,01
000.204
A 05,0 4 )05,1 ;000.20( 



i=5%
20.000 20.000·1,05
0 1 2 3 años4
20.000·1,052 20.000·1,053
V4?V0?
573
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Ejemplo 1 (i=5%):c=20.000€
Crece 5% cada año
Vn?
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
n=4 años
05,1q 
€00,610.92S 07,0 4 )05,1 ;000.20( 
 
€00,610.9248,190.761,05
A05,01S
4
0,05 4 )05,1 ;000.20(
4
0,05 4 )05,1 ;000.20(


i=5%
20.000 20.000·1,05
0 1 2 3 años4
20.000·1,052 20.000·1,053
V4?V0?
  i n )q;c(ni n )q;c( Ai1S  €48,190.76A 05,0 4 )05,1 ;000.20( 
574
Matemática Financiera
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ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
575
Matemática Financiera
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1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
GRÁFICAMENTE:
V0?
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2 cn=c·q
n-1
Vn?
576
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
577
Matemática Financiera
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2 POSIBILIDADES
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
Valorar los n capitales moviendo, 
por una parte, el primer capital, 
que ya está en el origen y el resto 
de capitales, n–1, como renta 
pospagable inmediata de n–1 
términos
Convertir la renta en pospagable 
multiplicando por (1 + i) todos los 
términos
578
Matemática Financiera
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POSIBILIDAD 1:
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
Valorar los n capitales moviendo, por una 
parte, el primer capital, que ya está en el 
origen y el resto de capitales, n–1, como 
renta pospagable inmediata de n–1 términos
V0?
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2 cn=c·q
n-1
579
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
POSIBILIDAD 2:
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
Convertir la renta en pospagable 
multiplicando por (1 + i) todos los términos
  i n )q;c(i n )q;c( Ai1A 
580
Matemática Financiera
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ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
581
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El valor final será el resultado de capitalizar el 
valor actual de la renta
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.2.2. Cálculo del Valor Final
Gráficamente:
V0
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2 cn=c·q
n-1
Vn?
582
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1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
1.2.2. Cálculo del Valor Final
 n0n i1CC 
V0
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2 cn=c·q
n-1
Vn
?
  i n )q;c(ni n )q;c( Ai1S  
583
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ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
584
Matemática Financiera
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Considerando que se cumple que:
Aplicando límites cuando n tiende a ∞:
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.3. RENTAS PERPETUAS
1.3.1. Rentas Pospagables
i1q 
 
qi1
i1q1
cA
nn
i n )q;c(




   
      
qi1
i1
q
 Lim1
 c
qi1
i1
q
 Lim1
 c
qi1
i1q Lim1
 c
qi1
i1q1
 Limc
qi1
i1q1
c LimA
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
nn
n
i )q;c(






































585
Matemática Financiera
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Este límite solo tiene sentido si:
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.3. RENTAS PERPETUAS
1.3.1. Rentas Pospagables
i1q 
 
qi1
i1
q
 Lim1
 cA
n
n
i )q;c(












 
qi1
1
 c
qi1
i1
q
 Lim1
 cA
n
n
i )q;c(














qi1
c
 A i )q;c(


586
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
IMPORTANTE: En las rentas 
perpetuas sólo se le podrá calcular 
valor actual pero nunca el valor 
final, y todo ello con 
independencia de que sea 
pospagable o prepagable, constante 
o variable, etc.
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.3. RENTAS PERPETUAS
1.3.1. Rentas Pospagables
587
Matemática Financiera
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ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
588
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.3. RENTAS PERPETUAS
1.3.2. Rentas Prepagables
Podemosconvertir la renta en 
pospagable multiplicando por (1 + i) 
todos los términos
  i )q;c(i )q;c( Ai1A  
589
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
590
Matemática Financiera
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Para valorar la renta diferida, primero valoraremos la renta 
en su origen (se considera como inmediata y se calcula su 
valor actual) y posteriormente descontaremos dicho valor 
actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.4. RENTAS DIFERIDAS
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
V0
c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2 cn=c·q
n-1
Vn?
t
Período de
diferimiento
(d)
Momento
de
valoración
Origen
Vt
Gráficamente:
591
Matemática Financiera
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 n
n
0
i1
C
C


1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.4. RENTAS DIFERIDAS
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
V0
c1=c
0 1 2 3 ni …
…c2=c·q c3=c·q
2 cn=c·q
n-1
Vn?
t
Período de
diferimiento
(d)
Momento
de
valoración
Origen
Vt
 
 d
i n )q;c(d-
i n )q;c(
i n )q;c( i1
A
i1A
A
d


592
Matemática Financiera
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El diferimiento solamente afecta al valor 
actual, por tanto, si lo que se quiere calcular 
es el valor final de la renta, aplicando la 
definición de valor final se tratará como 
una renta inmediata
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.4. RENTAS DIFERIDAS
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
593
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
594
Matemática Financiera
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Podemos convertir la renta en 
pospagable multiplicando por (1 + i) 
todos los términos
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.4. RENTAS DIFERIDAS
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
 
i n )q;c(i n )q;c( A
di1
A
d 
595
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
596
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Partiendo de:
Aplicando límites cuando n tiende a ∞:
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.4. RENTAS DIFERIDAS
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
 
i n )q;c(i n )q;c( A
di1
A
d 
 
   
qi1
c
i1A Limi1
i1A Lim
A
d Lim
A
d
d-
i n )q;c(
n
d-
-d
i n )q;c(
ni n )q;c(ni )q;c(





    i )q;c(d-d-
i )q;c(
Ai1
qi1
c
i1
A
d





597
Matemática Financiera
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ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
598
Matemática Financiera
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1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.4. RENTAS DIFERIDAS
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
Podemos convertir la renta en 
pospagable multiplicando por (1 + i) 
todos los términos
 
i )q;c(i )q;c( A
di1
A
d


599
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
600
Matemática Financiera
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Valoraremos la renta, tratándola como renta inmediata, en 
su final y posteriormente capitalizamos este valor, al 
mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h)
Gráficamente:
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.5. RENTAS ANTICIPADAS
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
V0
c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2 cn=c·q
n-1 Vn+h?
Origen
Vn
Período de
anticipación
(h) Momento
de
valoración
Fin
n+h
601
Matemática Financiera
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1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.5. RENTAS ANTICIPADAS
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
    i n )q;c(nhi n )q;c(h
i n )q;c(
hn Ai1Si1
S
hV 


    i n )q;c(nhi n )q;c(h
i n )q;c(
Ai1Si1
S
h 

V0
c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2 cn=c·q
n-1 Vn+h?
Origen
Vn
Período de
anticipación
(h) Momento
de
valoración
Fin
n+h
602
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
La anticipación solamente afecta al valor final, por 
tanto, si lo que se quiere calcular es el valor actual de la 
renta, aplicando la definición de valor actual se tratará 
como una renta inmediata
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.5. RENTAS ANTICIPADAS
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
V0 c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c·qc3=c·q
2 cn=c·q
n-1 Vn+h?
Origen
Vn
Período de
anticipación
(h)
Momento
de
valoración
Fin
n+h
603
Matemática Financiera
Prof.Mª Mercedes Rojas de Gracia
Al mismo resultado hubiésemos llegado actualizando el valor final 
anticipado (Vn+h) n+h periodos o actualizando el valor final (Vn) n 
periodos:
Gráficamente:
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.5. RENTAS ANTICIPADAS
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
V0 c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c·q c3=c·q
2 cn=c·q
n-1
Vn+h?
Origen
Vn
Período de
anticipación
(h)
Momento
de
valoración
Fin
n+h
604
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Es decir:
    hn
hn
n
n
0
i1
V
i1
V
V






1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.5. RENTAS ANTICIPADAS
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
V0 c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c·qc3=c·q
2 cn=c·q
n-1 Vn+h?
Origen
Vn
Período de
anticipación
(h)
Momento
de
valoración
Fin
n+h
605
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
1.1.1. Cálculo del Valor Actual
1.1.2. Cálculo del Valor Final
1.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
1.2.1. Cálculo del Valor Actual
1.2.2. Cálculo del Valor Final
1.3. Rentas Perpetuas
1.3.1. Rentas Pospagables
1.3.2. Rentas Prepagables
1.4. Rentas Diferidas
1.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
1.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
1.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
1.5. Rentas Anticipadas
1.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
606
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
1.5. RENTAS ANTICIPADAS
1.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
Podemos convertir la renta en 
pospagable multiplicando por (1 + i) 
todos los términos
 
i n )q;c(i n )q;c( S
hi1
S
h 
607
Matemática Financiera
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Ejemplo 2:
c=500€
Crece 8% 10 primeros semestres
V0?
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
Constante los 5 semestres restantes
n=15 semestres
i2=10% efectivo semestral
0 1 2 3 … 10 11 12 13 14 15
semestres
500
500·1,08
500·1,082
500·1,089
500·1,089…500·1,089
i2=10%
608
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Ejemplo 2:
c=500€
Crece 8% 10 primeros semestres
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
Constante los 5 semestres restantes
n=15 semestres
i2=10% efectivo semestral
i1q10,108,1 
08,1q 
 
qi1
i1q1
cA
nn
i n )q;c(




Renta 1:Variable en progresión geométrica, 
temporal, inmediata, pospagable y 
entera
 
€02,191.4
08,110,01
10,0108,11
500A
1010
1,0 10 )08,1;500( 




V0?
0 1 2 3 … 10 11 12 13 14 15
semestres
500
500·1,08
500·1,082
500·1,089
500·1,089…500·1,089
i2=10%
609
Matemática Financiera
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Ejemplo 2:
c=500€
Crece 8% 10 primeros semestres
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
Constante los 5 semestres restantes
n=15 semestres
i2=10% efectivo semestral
 d
i n
i n i1
A
A
d


i ni n acA 
 
i
i11
a
n
 i n



 
790787,3
1,0
10,011
a
5
 0,10 5 



€90,788.3790787,308,1500a08,1500A 90,10 590,10 5 
   
€78,460.1
10,01
3.788,90
10,01
A
A
10
1010
0,10 5
0,10 5





V0?
Renta 2:Constante, temporal, pospagable, 
diferida y entera
08,1q 
0 1 2 3 … 10 11 12 13 14 15
semestres
500
500·1,08
500·1,082
500·1,089
500·1,089…500·1,089
i2=10%
610
Matemática Financiera
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Ejemplo 2:
c=500€
Crece 8% 10 primeros semestres
1. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
Constante los 5 semestres restantes
n=15 semestres
i2=10% efectivo semestral
€78,460.1
A
10
0,10 5

V0?
Sumando los valores actuales de las dos rentas:
08,1q 
0 1 2 3 … 10 11 12 13 14 15
semestres
500
500·1,08
500·1,082
500·1,089
500·1,089…500·1,089
i2=10%
€02,191.4A 1,0 10 )08,1;500( 
€80,651.578,460.102,191.4
A
10A
0,10 5
1,0 10 )08,1;500( 
€80,651.5V0 
611
Matemática Financiera
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ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
612
Matemática Financiera
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2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
Este tipo de rentas sirve para valorar 
un conjunto de capitales 
equidistantes en el tiempo cuyas 
cuantías son variables siguiendo una 
ley en progresión aritmética
Cada término es el igual al anterior 
aumentado (o disminuido) en una misma 
cuantía que se llama razón «d»
613
Matemática Financiera
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ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
614
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2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
GRÁFICAMENTE:
V0? c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn-1=c+(n-2)·d cn=c+(n-1)·d
615
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Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos 
uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al 
tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales 
hasta el origen se obtiene el valor actual, que se denota con la 
siguiente terminología
A(c; d) n┐i
d: Razón de la Progresión
i: Tanto de Valoración
c: Primer Término de
la progresión
n: Número de Términos
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
616
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Llegamos a la siguiente fórmula:
 n
n
0
i1
C
C


2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
V0? c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn-1=c+(n-2)·d cn=c+(n-1)·d
   
 
 
 
 n1n32
i n )d;c(0
i1
d1nc
i1
d2nc
i1
d2c
i1
dc
i1
c
AV
















617
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Para facilitar la operatividad de la expresión superior, llamaremos:
   
 
 
 
 n1n32
i n )d;c(0
i1
d1nc
i1
d2nc
i1
d2c
i1
dc
i1
c
AV
















  1i1v 
      
   n
1n32
i n )d;c(
vd1nc
vd2ncvd2cvdcvcA

 
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
618
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Si multiplicamosambos miembros por v
      
   n
1n32
i n )d;c(
vd1nc
vd2ncvd2cvdcvcA

 
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
      
   1n
n432
i n )d;c(
vd1nc
vd2ncvd2cvdcvcAv

 
619
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Si restamos estas dos expresiones:
      
   n
1n32
i n )d;c(
vd1nc
vd2ncvd2cvdcvcA

 
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
      
   1n
n432
i n )d;c(
vd1nc
vd2ncvd2cvdcvcAv

 
620
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2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
      
         
  
         
         
     
       
   
 
    1nn32i n )d;c(
1n
n32
i n )d;c(
1nn
32
i n )d;c(
1nn
32
i n )d;c(
1n
n432n
1n32
i n )d;c(i n )d;c(
vdndcvdvdvdvcv1A
;vdndc
vd2ndcdndcvdvdvcv1A
;vd1ncvd2ncd1nc
vdcd2cvcdcvcv1A
;vd1ncvd2ncd1nc
vdcd2cvcdcvcv1A
;vd1nc
vd2ncvd2cvdcvcvd1nc
vd2ncvd2cvdcvcAvA






















621
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2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
Operando en el segundo miembro de la igualdad:
   
 
      1nn2ni n )d;c(
1n1n1nn32
i n )d;c(
1nn32
i n )d;c(
vndvvvvdv1vcv1A
;vdvndvcvdvdvdvcv1A
;vdndcvdvdvdvcv1A









Teniendo ahora en cuenta que:   1i1v 
vi
i1
i
i1
1i1
i1
1
1v1 







   n2
n2
i1
1
i1
1
i1
1
vvv





 
622
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2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
   n2
n2
i1
1
i1
1
i1
1
vvv





 
 
i
i11
avvv
n
i n
n2


 
Esta es la expresión que permite calcular el valor 
ACTUAL de una RENTA CONSTANTE, TEMPORAL, 
POSPAGABLE, INMEDIATA, ENTERA Y UNITARIA
623
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Si:
  1i1v 
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
  nn i1v 
Entonces:
 
i
v1
i
i11
avvv
nn
i n
n2 




624
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2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
Retomando y sustituyendo en la fórmula anterior:
     
 
 
 
 
;v
i
nd
a
i
d
cA
;v
i
nd
i
ad
acA
;
i
vnd
i
ad
i
v1c
A
;
vi
vnd
vi
avd
vi
v1vc
A
;
vi
vndavdv1vc
A
;vndavdv1vcviA
;vndvvvvdv1vcv1A
n
 ni n )d;c(
ni n
i ni n )d;c(
n
i n
n
i n )d;c(
1n
i n
n
i n )d;c(
1n
i n
n
i n )d;c(
1n
i n
n
i n )d;c(
1nn2n
i n )d;c(


































625
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2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
Si en el segundo miembro de esta igualdad sumamos y restamos:
i
nd
 
  ;
i
nd
v1
i
nd
a
i
d
cA
;
i
nd
1v
i
nd
a
i
d
cA
;
i
nd
i
nd
v
i
nd
a
i
d
cA
n
 i ni n )d;c(
n
 i ni n )d;c(
n
 i ni n )d;c(





















626
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2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
 
;
i
nd
and
i
d
cA
;
i
nd
anda
i
d
cA
;
i
nd
i
v1
nda
i
d
cA
;
i
nd
v1
i
nd
a
i
d
cA
 i ni n )d;c(
 i n i ni n )d;c(
n
 i ni n )d;c(
n
 i ni n )d;c(






























627
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Esta es la expresión que permite calcular el 
valor ACTUAL de una RENTA VARIABLE 
EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, 
TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA
Y ENTERA
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
i
nd
and
i
d
cA i ni n )d;c( 






628
Matemática Financiera
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ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
629
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El valor final será el resultado de capitalizar el 
valor actual de la renta
Gráficamente:
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.2. Cálculo del Valor Final
V0
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
c2=c+d c3=c+2d cn-1=c+(n-2)·d cn=c+(n-1)·d
Vn?
…
630
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 n0n i1CC 
  i n )d;c(ni n )d;c( Ai1S 
Al mismo resultado hubiésemos llegado si se hubiera 
capitalizado cada uno de los términos de la progresión 
hasta el momento n y posteriormente se hubiesen sumado
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.1.2. Cálculo del Valor Final
V0
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
c2=c+d c3=c+2d cn-1=c+(n-2)·d cn=c+(n-1)·d
Vn?
…
631
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Ejemplo 3:
c=2.000€
Crece 100€ cada año
V0?
n=4 años
Vn?
i=7%
2.000 2.100
0 1 2 3 años4
2.200 2.300
V4?V0?
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
i=7%
632
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100d 
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
Ejemplo 3:
c=2.000€
Crece 100€ cada año
V0?
n=4 años
i=7%
i
nd
and
i
d
cA i ni n )d;c( 






 
i
i11
a
n
i n



07,0
1004
a1004
07,0
100
000.2 0,07 407,0 4 )100;000.2(







A
 
387211,3
07,0
07,011
a
4
0,07 4 



€89,253.7
07,0
1004
387211,31004
07,0
100
000.2A 07,0 4 )100;000.2( 








€89,253.7A 07,0 4 )100;000.2( 
i=7%
2.000 2.100
0 1 2 3 años4
2.200 2.300
V4?V0?
633
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100d 
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.1. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
Ejemplo 3:
c=2.000€
Crece 100€ cada año
Vn?
n=4 años
i=7%
  i n )d;c(ni n )d;c( Ai1S  €89,253.7A 07,0 4 )100 ;000.2( 
i=7%
2.000 2.100
0 1 2 3 años4
2.200 2.300
V4?V0?
  €37,508.989,253.707,01S 407,0 4 )100;000.2( 
€37,508.9S07,0 4 )100;000.2(  634
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ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
635
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GRÁFICAMENTE:
V0?
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d
Vn?
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
2.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
636
Matemática Financiera
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ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
637
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2 POSIBILIDADES
2.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
Valorar los n capitales moviendo, 
por una parte, el primer capital, 
que ya está en el origen y el resto 
de capitales, n–1, como renta 
pospagable inmediata de n–1 
términos
Convertir la renta en pospagable 
multiplicando por (1 + i) todos los 
términos
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
638
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POSIBILIDAD 1: Valorar los n capitales moviendo, por una 
parte, el primer capital, que ya está en el 
origen y el resto de capitales, n–1, como 
renta pospagable inmediata de n–1 términos
V0?
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d
2.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
639
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POSIBILIDAD 2: Convertir la renta en pospagable 
multiplicando por (1 + i) todos los términos
2.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
  i n )d;c(i n )d;c( Ai1A 
640
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ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
641
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
El valor final será el resultado de capitalizar el 
valor actual de la renta
Gráficamente:
V0
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d
Vn?
2.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
642
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
 n0n i1CC 
V0
c1=c
0 1 2 3 n-1 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d
Vn
?
  i n )d;c(ni n )d;c( Ai1S  
2.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA 
Y ENTERA
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
643
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
644
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
2.3. RENTAS PERPETUAS
2.3.1. Rentas Pospagables
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
Aplicando límites cuando n tiende a ∞:
i
nd
and
i
d
cA i ni n )d;c( 






   
    
   
;
i
ndi1ndnd
i
i1-1
i
d
climA
;
i
nd-i1-1nd
i
i1-1
i
d
climA
;
i
nd
i
i1-1
nd
i
i1-1
i
d
climA
;
i
nd
anda
i
d
climA
;
i
nd
and
i
d
climA
 
- 
n-
 
n-
n
i )d;c(
 
 
n-
 
n-
n
i )d;c(
 
 
n-
 
 
n-
n
i )d;c(
 i n i n
n
i )d;c(
 i n
n
i )d;c(





 














 






























































645
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
2.3. RENTAS PERPETUAS
2.3.1. Rentas Pospagables
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
   
   
   
   
i
1
i
d
cA
;
i
1
lim
i
d
cA
;0
i
0-1
lim
i
d
cA
;
i
i1nd
lim
i
i1-1
lim
i
d
cA
;
i
i1nd
lim
i
i1-1
i
d
climA
;
i
i1nd
i
i1-1
i
d
climA
;
i
ndi1ndnd
i
i1-1
i
d
climA
i )d;c(
 
n
i )d;c(
 
n
i )d;c(
 
n-
n
 
n-
n
i )d;c(
 
n-
n
 
n-
n
i )d;c(
 
n-
 
n-
n
i )d;c(
 
-n
 
-n
n
i )d;c(






































 





 












 





 












 














 






















646
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
2.3. RENTAS PERPETUAS
2.3.1. Rentas Pospagables
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
i
1
i
d
cA i )d;c( 






IMPORTANTE: Todas las fórmulas se han 
desarrollado suponiendo que la razón es positiva (d > 
0), es decir, que los términos van aumentando, aunque 
siguen siendo válidas para el caso contrario, bastaría 
con cambiar el signo de la razón (d) en las fórmulas
647
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. RentasPerpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
648
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Podemos convertir la renta en 
pospagable multiplicando por (1 + i) 
todos los términos
  i )d;c(i )d;c( Ai1A  
2.3. RENTAS PERPETUAS
2.3.2. Rentas Prepagables
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
649
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
650
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Para valorar la renta diferida, primero valoraremos la renta 
en su origen (se considera como inmediata y se calcula su 
valor actual) y posteriormente descontaremos dicho valor 
actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido
V0
c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d
Vn?
t
Período de
diferimiento
(d)
Momento
de
valoración
Origen
Vt
Gráficamente:
2.4. RENTAS DIFERIDAS
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
651
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
 n
n
0
i1
C
C


V0
c1=c
0 1 2 3 ni …
…c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d
Vn?
t
Período de
diferimiento
(d)
Momento
de
valoración
Origen
Vt
 
 d
i n )d;c(d-
i n )d;c(
i n )d;c( i1
A
i1A
A
d


2.4. RENTAS DIFERIDAS
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
652
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
El diferimiento solamente afecta al valor 
actual, por tanto, si lo que se quiere calcular 
es el valor final de la renta, aplicando la 
definición de valor final se tratará como 
una renta inmediata
2.4. RENTAS DIFERIDAS
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
653
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
654
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Podemos convertir la renta en 
pospagable multiplicando por (1 + i) 
todos los términos
 
i n )d;c(i n )d;c( A
di1
A
d 
2.4. RENTAS DIFERIDAS
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
655
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
656
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Partiendo de:
Aplicando límites cuando n tiende a ∞:
 
i n )d;c(i n )d;c( A
di1
A
d 
  i )d;c(-d
i )d;c(
Ai1
A
d 


2.4. RENTAS DIFERIDAS
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
 
   
i
1
i
d
ci1A Limi1
i1A Lim
A
d Lim
A
d
d-
i n )d;c(
n
d-
-d
i n )d;c(
ni n )d;c(ni )d;c(










657
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
658
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Podemos convertir la renta en 
pospagable multiplicando por (1 + i) 
todos los términos
 
i )d;c(i )d;c( A
di1
A
d


2.4. RENTAS DIFERIDAS
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
659
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
660
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Valoraremos la renta, tratándola como renta inmediata, en 
su final y posteriormente capitalizamos este valor, al 
mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h)
Gráficamente:
2.5. RENTAS ANTICIPADAS
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
V0
c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d
Vn+h?
Origen
Vn
Período de
anticipación
(h) Momento
de
valoración
Fin
n+h
661
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
    i n )d;c(nhi n )d;c(h
i n )d;c(
hn Ai1Si1
S
hV 


    i n )d;c(nhi n )d;c(h
i n )d;c(
Ai1Si1
S
h 

2.5. RENTAS ANTICIPADAS
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
V0
c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d Vn+h?
Origen
Vn
Período de
anticipación
(h) Momento
de
valoración
Fin
n+h
662
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
La anticipación solamente afecta al valor final, por 
tanto, si lo que se quiere calcular esel valor actual de la 
renta, aplicando la definición de valor actual se tratará 
como una renta inmediata
2.5. RENTAS ANTICIPADAS
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
V0 c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d Vn+h?
Origen
Vn
Período de
anticipación
(h)
Momento
de
valoración
Fin
n+h
663
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Al mismo resultado hubiésemos llegado actualizando el valor final 
anticipado (Vn+h) n+h periodos o actualizando el valor final (Vn) n 
periodos:
Gráficamente:
2.5. RENTAS ANTICIPADAS
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
V0 c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d Vn+h?
Origen
Vn
Período de
anticipación
(h)
Momento
de
valoración
Fin
n+h
664
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Es decir:
    hn
hn
n
n
0
i1
V
i1
V
V






2.5. RENTAS ANTICIPADAS
2.5.2. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
V0 c1=c
0 1 2 3 n
i
…
…c2=c+d c3=c+2d cn=c+(n-1)·d Vn+h?
Origen
Vn
Período de
anticipación
(h)
Momento
de
valoración
Fin
n+h
665
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2.1. Renta Temporal, Pospagable, Inmediata y Entera
2.1.1. Cálculo del Valor Actual
2.1.2. Cálculo del Valor Final
2.2. Renta Temporal, Prepagable, Inmediata y Entera
2.2.1. Cálculo del Valor Actual
2.2.2. Cálculo del Valor Final
2.3. Rentas Perpetuas
2.3.1. Rentas Pospagables
2.3.2. Rentas Prepagables
2.4. Rentas Diferidas
2.4.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.4.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2.4.3. Rentas Perpetuas, Pospagables y Enteras
2.4.4. Rentas Perpetuas, Prepagables y Enteras
2.5. Rentas Anticipadas
2.5.1. Rentas Temporales, Pospagables y Enteras
2.5.2. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
666
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Podemos convertir la renta en 
pospagable multiplicando por (1 + i) 
todos los términos
 
i n )d;c(i n )d;c( S
hi1
S
h 
2.5. RENTAS ANTICIPADAS
2.5.3. Rentas Temporales, Prepagables y Enteras
2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN
ARITMÉTRICA
667
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
ÍNDICE
3. RENTAS FRACCIONADAS
3.1. Término Anual y Tanto de Frecuencia
3.2. Término de Frecuencia y Tanto Anual
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
668
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Hasta ahora:
3. RENTAS FRACCIONADAS
TIEMPO
(n)
TANTO DE INTERÉS
(i)
Misma unidad de tiempo
RENTAS ENTERAS
669
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
Ahora vamos a estudiar:
3. RENTAS FRACCIONADAS
TIEMPO
(n)
TANTO DE INTERÉS
(i)
Distinta unidad de tiempo
RENTAS FRACCIONADAS
670
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Dos situaciones diferentes:
3. RENTAS FRACCIONADAS
Término Anual ( «c» anual)
Tanto Frecuencial (ik)
Término Frecuencial («c» k-esimal)
Tanto Anual (i)
671
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ÍNDICE
3. RENTAS FRACCIONADAS
3.1. Término Anual y Tanto de Frecuencia
3.2. Término de Frecuencia y Tanto Anual
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
672
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3.1. TÉRMINO ANUAL Y TANTO DE FRECUENCIA
3. RENTAS FRACCIONADAS
Hay que referir los dos parámetros («c»
e «i») a la misma unidad de tiempo
¿Recordáis?
Calcular «i» a partir de «ik»
673
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3.1. TÉRMINO ANUAL Y TANTO DE FRECUENCIA
3. RENTAS FRACCIONADAS
Para pasar de ik a i ya vimos
que se utilizaba la siguiente expresión :
  1i1i kk 
Calcular «i» a partir de «ik»
674
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ÍNDICE
3. RENTAS FRACCIONADAS
3.1. Término Anual y Tanto de Frecuencia
3.2. Término de Frecuencia y Tanto Anual
TEMA 7: RENTAS VARIABLES
675
Matemática Financiera
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3.2. TÉRMINO DE FRECUENCIA Y TANTO ANUAL
3. RENTAS FRACCIONADAS
Hay que referir los dos parámetros («c»
e «i») a la misma unidad de tiempo
Calcular «ik» a partir de «i»
¿Recordáis?
676
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3. RENTAS FRACCIONADAS
Para pasar de i a ik ya vimos
que se utilizaba la siguiente expresión :
Calcular «ik» a partir de «i»
  1i1i k1k 
3.2. TÉRMINO DE FRECUENCIA Y TANTO ANUAL
677
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NOTA: En todos los cálculos de 
términos equivalentes anteriores nos 
hemos referido siempre a rentas 
constantes. Para las rentas variables se 
utiliza el mismo método de referir el 
tanto de capitalización al mismo 
período de tiempo al que esté referido 
el término de la renta.
3. RENTAS FRACCIONADAS
3.2. TÉRMINO DE FRECUENCIA Y TANTO ANUAL
678
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Ejemplo 4:
i=6% anual
V0?
Término de cada trimestre=200€
40 términos pospagables trimestrales
3. RENTAS FRACCIONADAS
n=10 años
200 200 200 200
10
200 200 200 200
2
200…
10…
1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4
años
679
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Ejemplo 4:
i=6% anual
V0?
Término de cada trimestre=200€
40 términos pospagables trimestrales
3. RENTAS FRACCIONADAS
n=10 años
200 200 200 200
10
200 200 200 200
2
200…
10…
1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4
años
Calculamos el interés «i4» de frecuencia trimestral a partir del tanto efectivo 
anual «i».
  1i1i k1k 
  014674,0106,01i 414 
014674,0i4 
Caso Término de Frecuencia y Tanto anual
680
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Ejemplo 4:
i=6% anual
V0?
Término de cada trimestre=200€
40 términos pospagables trimestrales
3. RENTAS FRACCIONADAS
n=10 años
200 200 200 200
10
200 200 200 200
2
200…
10…
1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4
años
Como ya hemos convertido la renta fraccionada en entera, aplicando el tanto 
frecuencial, ya operaremos como hemos estudiado en la teoría de rentas. Es 
decir, hay que calcular el valor actual de una renta constante, pospagable, 
temporal, inmediata y entera. 014674,0i4  i ni n acA 
 
i
i11
a
n
i n



014674,0 104014674,0 104 a200A  
 
094631,30
014674,0
014674,011
a
40
0,014674 104 




€93,018.6094631,30200A 014674,0 104 
€93,018.6A 014674,0 104 
681
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Ejemplo 5:
i=6% anual
V0? Vn?
4€ más cada trimestre
20 términos pospagables trimestrales
3. RENTAS FRACCIONADAS
Primer término=c=100€
100 104 108 112
10
116 120 124 128
2
100+19·4=176…
5…
1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4
años
682
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3. RENTAS FRACCIONADAS
Tenemos que referir el tanto de capitalización al mismo período de tiempo al 
que está referido el término de la renta.
  1i1i k1k 
  014674,0106,01i 414 
014674,0i4 
Ejemplo 5:
i=6% anual
V0? Vn?
4€ más cada trimestre
20 términos pospagables trimestrales
Primer término=c=100€
100 104 108 112
10
116 120 124 128
2
100+19·4=176…
5…
1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4
años
683
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3. RENTAS FRACCIONADAS
Como ya hemos convertido la renta fraccionada en entera, aplicando el tanto 
frecuencial, ya operaremos como hemos estudiado en la teoría de rentas. Es 
decir, hay que calcular el valor actual de una renta variable en progresión 
aritmética, pospagable, temporal, inmediata y entera.
014674,0i4 
Ejemplo 5:
i=6% anual
V0?
4€ más cada trimestre
20 términos pospagables trimestrales
Primer término=c=100€
100 104 108 112
10
116 120 124 128
2
100+19·4=176…
5…
1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4
años
i
nd
and
i
d
cA i ni n )d;c( 






 
i
i11
a
n
i n



014574,0
420
a420
014674,0
4
100A 0,01467420014674,0 20 )4;100(








684
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3. RENTAS FRACCIONADAS
100 104 108 112
10
116 120 124 128
2
100+19·4=176…
5…
1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4
años
014574,0
420
a420
014674,0
4
100A 0,014674 20014674,0 20 )4;100(








 
223940,17
014674,0
014674,011
a
20
014674,0 20 



€58,343.2
014674,0
420
223940,71420
014674,0
4
100A 014674,0 20 )4;100( 








€58,343.2A 014674,0 20 )4;100( 
Ejemplo 5:
i=6% anual
V0?
4€ más cada trimestre
20 términos pospagables trimestrales
Primer término=c=100€
685
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3. RENTAS FRACCIONADAS
Ejemplo 5:
i=6% anual
Vn?
4€ más cada trimestre
20 términos pospagables trimestrales
Primer término=c=100€
100 104 108 112
10
116 120 124 128
2
100+19·4=176…
5…
1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4
años
 n0n i1VV  €58,343.2A 014674,0 20 )4;100( 
    €25,136.306,0158,343.2V014674,0158,343.2V 562020 
€25,136.3S 014674,0 20 )4;100( 
686
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3. RENTAS FRACCIONADAS
Ejemplo 6:
i=8% anual
V0? Vn?
r=1,04
36 términos mensuales pospagables
Primer término=c=100€
Progresión geométrica
10 2 3 años
100 104 ... 153,95 246,47 100·1,04
35=394,61…
1/12 2/12 ... 12/12 2/12 12/12
160,10 ...
... ...
687
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3. RENTAS FRACCIONADAS
Tenemos que resolver el problema previamente refiriendo el tanto de 
capitalización al mismo período de tiempo al que está referido el término de la 
renta.   1i1i k1k 
3. RENTAS FRACCIONADAS
Ejemplo 6:
i=8% anual
V0? Vn?
r=1,04
36 términos mensuales pospagables
Primer término=c=100€
Progresión geométrica
10 2 3 años
100 104 ... 153,95 246,47 100·1,04
35=394,61…
1/12 2/12 ... 12/12 2/12 12/12
160,10 ...
... ...
  006434,0108,01i 12112 
006434,0i12 
688
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Como ya hemos convertido la renta fraccionada en entera, aplicando el tanto 
frecuencial, ya operaremos como hemos estudiado en la teoría de rentas. Es 
decir, hay que calcular el valor actual de una renta variable en progresión 
geométrica, pospagable, temporal, inmediata y entera.
Ejemplo 6:
i=8% anual
V0?
r=1,04
36 términos mensuales pospagables
Primer término=c=100€
Progresión geométrica
10 2 3 años
100 104 ... 153,95 246,47 100·1,04
35=394,61…
1/12 2/12 ... 12/12 2/12 12/12
160,10 ...
... ...
3. RENTAS FRACCIONADAS
006434,0i12 
 
qi1
i1q1
cA
nn
i n )q;c(




 
€56,726.6
04,1006434,01
006434,0104,11
100A
3636
006434,0 36 )04,1 ;100( 




€56,726.6A 006434,0 36 )04,1 ;100( 
689
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 n0n i1VV 
Ejemplo 6:
i=8% anual
Vn?
r=1,04
36 términos mensuales pospagables
Primer término=c=100€
Progresión geométrica
10 2 3 años
100 104 ... 153,95 246,47 100·1,04
35=394,61…
1/12 2/12 ... 12/12 2/12 12/12
160,10 ...
... ...
3. RENTAS FRACCIONADAS
    €52,473.808,0156,726.6V006434,0156,726.6V 333636 
€56,726.6A 006434,0 36 )04,1 ;100( 
€52,473.8S 006434,0 36 )04,1 ;100( 
690
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Ejemplo 7:
i=7% anual
V0?
850€ trimestrales prepagables
Renta Perpetua
3. RENTAS FRACCIONADAS
850 850 850 850
10
850 850 850 850
2
…
…
1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4
años
850
691
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3. RENTAS FRACCIONADAS
Calculamos el interés «i4» de frecuencia trimestral a partir del tanto efectivo 
anual «i».
  1i1i k1k 
017059,0i4 
Caso Término de Frecuencia y Tanto anual
Ejemplo 7:
i=7% anual
V0?
850€ trimestrales prepagables
Renta Perpetua
850 850 850 850
10
850 850 850 850
2
…
…
1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4
años
850
  017059,0107,01i 414 
692
Matemática Financiera
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3. RENTAS FRACCIONADAS
Como ya hemos convertido la renta fraccionada en entera, aplicando el tanto 
frecuencial, ya operaremos como hemos estudiado en la teoría de rentas. Es 
decir, hay que calcular el valor actual de una renta constante, prepagable, 
perpetua, inmediata y entera.
Ejemplo 7:
i=7% anual
V0?
850€ trimestrales prepagables
Renta Perpetua
850 850 850 850
10
850 850 850 850
2
…
…
1/4 2/4 3/4 4/4 1/4 2/4 3/4 4/4
años
850
017059,0i4 
i
i1
cA i 


€07,677.50
017059,0
017059,01
850A 0,17059 


€07,677.50A 0,17059 
693
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TEMA 7: RENTAS VARIABLES
694
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PARTE 3: PRÉSTAMOS
TEMA 8: Préstamos
695
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TEMA 8: PRÉSTAMOS
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMA DE AMORTIZACIÓN 
DE PRÉSTAMOS
2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN 
FRACCIONADA
3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIENTE REEMBOLSO 
ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE REEMBOLSO 
ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTAMO 
AMERICANO
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON CUOTA DE 
AMORTIZACIÓN CONSTANTE: MÉTODO LINEAL
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS 
CONSTANTES: MÉTODO FRANCÉS
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
696
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TEMA 8: PRÉSTAMOS
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMA DE AMORTIZACIÓN 
DE PRÉSTAMOS
2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN 
FRACCIONADA
3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIENTE REEMBOLSO 
ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE REEMBOLSO 
ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTAMO 
AMERICANO
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON CUOTA DE 
AMORTIZACIÓN CONSTANTE: MÉTODO LINEAL
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS 
CONSTANTES: MÉTODO FRANCÉS
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
697
Matemática Financiera
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1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMAS DE 
AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS
Préstamo: operación financiera de 
prestación única y 
contraprestación múltiple
Prestamista Prestatario
Capital prestado C0
Capital prestado + Intereses
VENCIMIENTO DE LA OPERACIÓN 698
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1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMAS DE 
AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS
OPERACIÓN DE 
AMORTIZACIÓN
Se devuelve el capital
Se devuelven los 
intereses
Términos 
amortizativos
699
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1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMAS DE 
AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS
Sistemas Amortizativos o 
Sistemas de Amortización
Reembolso único del
principal al final de
la operación
Préstamo simple (sin pago 
periódico de intereses)
Sistema americano (con pago 
periódico de intereses)
Reembolso con pagos
periódicos en el que
se devuelve el capital
más los intereses
Términos amortizativos 
constantes
Términos amortizativos 
variables (en progresión 
geométrica y en progresión 
aritmética)
Todo ello con independencia de que los intereses se paguen: con una
frecuencia u otra, sean fijos o variables, pagaderos por anticipado o al final de
cada período.
700
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TEMA 8: PRÉSTAMOS
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMA DE AMORTIZACIÓN 
DE PRÉSTAMOS
2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN 
FRACCIONADA
3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIENTE REEMBOLSO 
ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE REEMBOLSO 
ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTAMO 
AMERICANO
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON CUOTA DE 
AMORTIZACIÓN CONSTANTE: MÉTODO LINEAL
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS 
CONSTANTES: MÉTODO FRANCÉS
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
701
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2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE 
AMORTIZACIÓNFRACCIONADA
C0 Importe del préstamo, cantidad financiada 
n Número de pagos a realizar durante el tiempo que se mantiene la deuda 
i  Tipo de interés efectivo convenido (coste de la financiación) 
Ik 
Cuota de interés del período k, cantidad destinada a devolver deuda en 
cada vencimiento
Ak
Cuota de amortización del período k, cantidad destinada a devolver 
deuda en cada vencimiento
ak
Término amortizativo al final del período k (anual, trimestral, 
semestral,…). Se cumple que: kkk AIa 
Ck
Capital pendiente de amortización al final del período k, capital vivo, 
saldo de la operación o reserva matemática
mkCapital total amortizado al final del período k 702
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TEMA 8: PRÉSTAMOS
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMA DE AMORTIZACIÓN 
DE PRÉSTAMOS
2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN 
FRACCIONADA
3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIENTE REEMBOLSO 
ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE REEMBOLSO 
ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTAMO 
AMERICANO
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON CUOTA DE 
AMORTIZACIÓN CONSTANTE: MÉTODO LINEAL
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS 
CONSTANTES: MÉTODO FRANCÉS
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
703
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3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
En general:
1. Los intereses de cada período se calculan sobre el
capital vivo a principios del período o a finales del
período anterior:
iCI 1kk  
2. El parámetro que amortiza directamente el capital
es la cuota de amortización Ak:
704
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3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
En general:
3. El capital a amortizar siempre es la suma
aritmética de todas las cuotas de amortización:
4.El capital vivo (pendiente) al final del período k es
la suma aritmética de las cuotas de amortización
que queden por amortizar o la diferencia entre el
importe del préstamo y el capital amortizado hasta
ese momento:
n210 AAAC  
n2k1kk AAAC   
  k0k210k mCAAACC  
705
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Perí.
Térm.
amor.
Cuota
de interés
Cuota de 
amortización
Total amortizado Capital vivo
0 - - - -
1 a1
2 a2
… … … … … …
n an
3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
101 iCI  111 IaA  11 Am  101 ACC 
212 iCI  222 IaA  212 AAm  2102 AACC 
n1nn iCI   nnn IaA  n1n AAm   0Cn 
0C
706
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3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
C0=30.000€
Tres pagos anuales vencidos de igual cuantía
i=10% anual
Cuadro amortización?
Ejemplo 1:
707
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3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
C0=30.000€
Tres pagos anuales vencidos de igual cuantía
i=10% anual
Cuadro amortización?
Ejemplo 1:
0 1 2 3 años
i=10%
111 AIa  222 AIa  333 AIa 
708
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3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
(5) (4) (1) (2) (3)
Perí.
Térm.
amor.
Cuota
de interés
Cuota de 
amortización
Total amortizado Capital vivo
0 - - - - 30.000
1 13.000 3.000 10.000 10.000 20.000
2 12.000 2.000 10.000 20.000 10.000
3 11.000 1.000 10.000 30.000 0
Total 36.000 6.000 30.000 30.000 0
Ejemplo 1:
709
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3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
Descripción de los pasos a seguir:
(1). Se calcula la cuota de amortización a través del
fraccionamiento en pagos iguales del importe del
préstamo.
(2). Se calcula el total amortizado por sumas parciales de
las cuotas de amortización practicadas hasta la
fecha.
Ejemplo 1:
€000.10
3
000.30
n
C
A
0

710
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3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
Descripción de los pasos a seguir:
(3). La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital
a principios de cada período la cuota de
amortización de ese mismo período, o bien, al
importe del préstamo (C0) se le resta el total
amortizado (2) ya acumulado.
(4). Las cuotas de interés se calculan sobre el capital
pendiente a principios de cada período (3), es decir,
aplicándoles el correspondiente tipo de interés.
Ejemplo 1:
(5). El término amortizativo de cada período será la
suma de las columnas (1) y (4) . 711
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TEMA 8: PRÉSTAMOS
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMA DE AMORTIZACIÓN 
DE PRÉSTAMOS
2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN 
FRACCIONADA
3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIENTE REEMBOLSO 
ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE REEMBOLSO 
ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTAMO 
AMERICANO
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON CUOTA DE 
AMORTIZACIÓN CONSTANTE: MÉTODO LINEAL
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS 
CONSTANTES: MÉTODO FRANCÉS
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
712
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4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE 
REEMBOLSO ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO 
DE INTERESES
Se trata de diferir la devolución del capital y de los intereses 
devengados hasta el final de la operación, pagando todo 
conjuntamente de una sola vez.
0 ti
C0
It
C0
t0t ICC 
713
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4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE 
REEMBOLSO ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO 
DE INTERESES
SE PUEDE UTILIZAR
CAPITALIZACIÓN SIMPLE
CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
 in1CC 0n 
 n0n i1CC 
714
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4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE 
REEMBOLSO ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO 
DE INTERESES
C0=100.000€
n=3 años
i=12% anual compuesto
C3?
Ejemplo 2:
715
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4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE 
REEMBOLSO ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO 
DE INTERESES
C0=100.000€
n=3 años
i=12% anual compuesto
C3?
Ejemplo 2:
C0=100.000 C3=?
0 3años
i=12%
 n0n i1CC 
  €80,292.14012,01000.100C 33 
€80,292.140C3 
716
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TEMA 8: PRÉSTAMOS
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMA DE AMORTIZACIÓN 
DE PRÉSTAMOS
2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN 
FRACCIONADA
3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIENTE REEMBOLSO 
ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE REEMBOLSO 
ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTAMO 
AMERICANO
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON CUOTA DE 
AMORTIZACIÓN CONSTANTE: MÉTODO LINEAL
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS 
CONSTANTES: MÉTODO FRANCÉS
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
717
Matemática Financiera
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5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE 
REEMBOLSO ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE 
INTERESES: PRÉSTAMO AMERICANO
Se trata de devolver el capital al final del período, aunque 
los intereses se vayan pagando al finalizar cada período.
0 t
C0
I1
C0
1
I2 I3
2 3
In
718
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Los intereses no se van acumulando al capital 
ya que se van pagando conforme se generan.
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE 
REEMBOLSO ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE 
INTERESES: PRÉSTAMO AMERICANO
CÁLCULO DE LOS INTERESES
iCI 0n 
IMPORTANTE: n e i tienen que estar expresados en 
la misma unidad detiempo
719
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C0=100.000€
n=3 años
i=12% anual compuesto
C3?
Ejemplo 3:
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE 
REEMBOLSO ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE 
INTERESES: PRÉSTAMO AMERICANO
720
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C0=100.000€
n=3 años
i=12% anual compuesto
C3?
Ejemplo 3:
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE 
REEMBOLSO ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE 
INTERESES: PRÉSTAMO AMERICANO
C0=100.000 C3
0 años
i=12%
I1 I2 I3
iCI 0n 
€000.1212,0000.100III 321 
Al final del tercer año, además de los interesestiene 
que devolver los 100.000€
721
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TEMA 8: PRÉSTAMOS
ÍNDICE
1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMA DE AMORTIZACIÓN 
DE PRÉSTAMOS
2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN 
FRACCIONADA
3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIENTE REEMBOLSO 
ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE REEMBOLSO 
ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTAMO 
AMERICANO
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON CUOTA DE 
AMORTIZACIÓN CONSTANTE: MÉTODO LINEAL
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS 
CONSTANTES: MÉTODO FRANCÉS
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
722
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6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
En este tipo de préstamos, el prestatario se compromete a 
devolver todos los períodos la misma cantidad de capital, 
esto es, la cuota de amortización (Ak) se mantiene constante
durante todo el préstamo.
Es decir:
n321 AAAAA  
723
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(1). Se calcula la cuota de amortización (A) a través del
fraccionamiento en pagos iguales del importe del
préstamo:
n
C
A
0

6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
nAAAAAC n3210  
724
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Descripción de los pasos a seguir:
(2). Se calcula el total amortizado (mk) después de k
períodos por sumas parciales de las cuotas de
amortización practicadas hasta la fecha:
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
0 1 2 k n…
A A A…
mk
kAAAAm k21k  
725
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(3). Se calcula el capital vivo a finales del período k (Ck)
se obtendrá de restar al importe del préstamo (C0) el
total de cuotas amortizadas o total amortizado:
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
0 1 2 k k+1…
A A A…
mk
…
… A
n
A
C
k
  kACAAACmCC 00k0k  
726
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Descripción de los pasos a seguir:
(4). Se calcula la cuota de interés del período k (Ik) a
partir de la deuda pendiente a finales del período
anterior, al tanto efectivo vigente durante el mismo:
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
iCI 1kk  
727
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(5). Se calculan los términos amortizativos (ak) como la
suma de la cuota de interés (decrecientes porque se
calculan sobre capitales cada vez menores) y la
cuota de amortización (en este caso constantes).
Los términos variarán como lo hacen las cuotas de
interés y seguirán una ley matemática:
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
LEY DE RECURRENCIA: Calcularemos el 
primer término (a1) y obtendremos todos los 
demás a partir de él.
728
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Descripción de los pasos a seguir:
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
Período k-1: AiCAIa 2k1k1k  
AiCAIa 1kkk  
  iCCaa 1k2kk1k  
ACC 1k2k  
iAaa k1k 
iAaa 1kk  
Período k:

Por diferencia:
siendo:
queda:
de donde se obtiene:
Cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantía
constante, es decir, los términos varían en progresión artimética de razón -
A i.
729
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Descripción de los pasos a seguir:
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
Recordemos que para calcular cualquier término en una progresión
aritmética:
  d1naa 1n 
Como hemos considerado que:
kn 
iAd 
   iA1kaa 1k 
  iA1kaa 1k  
11 IAa 
730
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C0=300.000€
Tres pagos anuales con cuotas de amortización constantes
i=10% anual
Cuadro amortización?
Ejemplo 4:
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
731
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(5) (4) (1) (2) (3)
Perí.
Térm.
amor.
Cuota
de interés
Cuota de 
amortización
Total 
amortizado
Capital vivo
0 - - - - 300.000
1 130.000 30.000 100.000 100.000 200.000
2 120.000 20.000 100.000 200.000 100.000
3 110.000 10.000 100.000 300.000 0
Total 360.000 60.000 300.000 300.000 0
Ejemplo 4:
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
732
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(1). Se calcula la cuota de amortización a través del
fraccionamiento en pagos iguales del importe del
préstamo.
(2). Se calcula el total amortizado por sumas parciales de
las cuotas de amortización practicadas hasta la
fecha.
Ejemplo 4:
€000.100
3
000.300
n
C
A
0

6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
733
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(3). La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital
a principios de cada período la cuota de
amortización de ese mismo período, o bien, al
importe del préstamo (C0) se le resta el total
amortizado (2) ya acumulado.
(4). Las cuotas de interés se calculan sobre el capital
pendiente a principios de cada período (3), es decir,
aplicándoles el correspondiente tipo de interés.
Ejemplo 4:
(5). El término amortizativo de cada período será la
suma de las columnas (1) y (4) .
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON 
CUOTA DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: 
MÉTODO LINEAL
734
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ÍNDICE
1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMA DE AMORTIZACIÓN 
DE PRÉSTAMOS
2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN 
FRACCIONADA
3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIENTE REEMBOLSO 
ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE REEMBOLSO 
ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTAMO 
AMERICANO
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON CUOTA DE 
AMORTIZACIÓN CONSTANTE: MÉTODO LINEAL
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS 
CONSTANTES: MÉTODO FRANCÉS
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
TEMA 8: PRÉSTAMOS
735
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7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
Este sistema de amortización se caracteriza porque:
los términos amortizativos permanecen constantes y
el tanto de valoración permanece constante, ambos durante 
toda la vida del préstamo.
Se cumple que:
Al principio la mayor parte de la cuota son intereses.
Esta proporción va cambiando conforme pasa el tiempo.
736
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7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
Gráficamente:
Prestación (cobro)
Contraprestación (pagos)
0 1 2 3 …
…a a a a
C0
i
n
737
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(1). Para calcular los términos amortizativos (a) se
plantea una equivalencia en el origen entre el
importe del préstamo y la renta formada por los
términos amortizativos:
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
i n0 aaC 
i n
0 
a
C
a 
 
i
i11
a
n
i n



  n-
0 
i1-1
iC
a


Como:
738
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(2). Al ser constante el término amortizativo las
cuotas de amortización (Ak) necesariamente tendrán
que ir creciendo, mientras que las cuotas de
intereses decrecerán (porque se van calculando
sobre capitales vivos cada vez menores) y lo harán
siguiendo una ley matemática:LEY DE RECURRENCIA: Calcularemos el 
primer término (A1) y obtendremos todos los 
demás a partir de él.
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
739
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
Período k: 1k2k1k1k AiCAIa  
k1kk AiCAIa  
  k1k1k2k AAiCCaa  
1k1k2k ACC  
k1k1k AAiA0  
 i1AA 1kk  
Período k+1:

Por diferencia:
siendo:
queda:
de donde se obtiene:
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
Cualquier cuota de amortización se calcula en función de la anterior y los
términos varían en progresión geométrica de razón 1+i
740
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Descripción de los pasos a seguir:
Recordemos que para calcular cualquier término en una progresión
geométrica:
 1n
1n raa 
Como hemos considerado que:
i1r 
  1k1k i1AA  
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
Aa 
kn 
1011 AiCAIa 
iCaA 01  741
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(3). Para calcular el total amortizado (mk) después de k
períodos se puede hacer por sumas de las cuotas de
amortización practicadas hasta la fecha:
k 2 1 k AAAm  
Sabemos que:       1k1 21 1 1 k i1Ai1Ai1AAm  
      1k21 k i1i1i11Am   ik1k sAm 
Como:
 
i
1i1
s
k
i k


 
i
1i1
Am
k
 1k


7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
742
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(4). Se calcula el capital vivo a finales del período k (Ck)
restando al importe del préstamo (C0) el total de
cuotas amortizadas o total amortizado:
0 1 2 k k+1…
A1 A2 Ak…
mk
…
… An
n
Ak+1
Ck
k0k mCC 
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
743
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(5). Se calcula la cuota de interés del período k (Ik) a
partir de la deuda pendiente a finales del período
anterior, al tanto efectivo vigente durante el mismo:
iCI 1kk  
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
744
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C0=100.000€
n=3 años
i=10% anual
Cuadro amortización?
Ejemplo 5:
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
Términos amortizativos anuales constantes
745
Matemática Financiera
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(1) (2) (3) (4) (5)
Perí.
Térm.
amor.
Cuota
de interés
Cuota de 
amortización
Total 
amortizado
Capital vivo
0 - - - - 300.000
1 40.211,48 10.000 30.211,48 30.211,48 69.788,52
2 40.211,48 6.978,85 33.232,63 63.444,11 36.555,89
3 40.211,48 3.655,59 36.555,89 100.000 0
Total 360.000 20.634,44 100.000 100.000 0
Ejemplo 5:
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
746
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(1). Se calcula el importe del pago total a realizar
(término amortizativo) a través de la fórmula
anterior.
(2). La cuota de interés se calcula sobre el capital
pendiente a finales del período anterior (5) y se
pagan al final del período anterior.
Ejemplo 5:
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
   
€48,211.40
1,01-1
1,0000.100
i1-1
iC
a
3-n-
0 







747
Matemática Financiera
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Descripción de los pasos a seguir:
(3). La cantidad destinada a amortizar será la diferencia
entre el total pagado en el período (1) y lo que se
dedica a intereses (2).
(4). Se calcula el total amortizado por sumas parciales de
las cuotas de amortización practicadas hasta la
fecha.
Ejemplo 5:
(5). La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital
vivo a principios de cada período la cuota de
amortización de ese mismo período, o bien, al
importe del préstamo se le resta el total amortizado
(4) ya acumulado.
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS 
AMORTIZATIVOS CONSTANTES: MÉTODO 
FRANCÉS
748
Matemática Financiera
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ÍNDICE
1. CONCEPTO DE PRÉSTAMO: SISTEMA DE AMORTIZACIÓN 
DE PRÉSTAMOS
2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN 
FRACCIONADA
3. CUADRO DE AMORTIZACIÓN GENERAL
4. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIENTE REEMBOLSO 
ÚNICO SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES
5. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO MEDIANTE REEMBOLSO 
ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTAMO 
AMERICANO
6. AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO CON CUOTA DE 
AMORTIZACIÓN CONSTANTE: MÉTODO LINEAL
7. AMORTIZACIÓN CON TÉRMINOS AMORTIZATIVOS 
CONSTANTES: MÉTODO FRANCÉS
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
TEMA 8: PRÉSTAMOS
749
Matemática Financiera
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8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
Se llaman también
Son aquellos en los que, desde su concesión y 
durante una parte de su vida, no se realiza 
devolución de capital. Por tanto, los préstamos 
diferidos son aquellos en los que se retrasa el pago 
de la primera cuota de amortización.
PRÉSTAMOS CON 
CARENCIA
750
Matemática Financiera
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8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
CARENCIA
CARENCIA PARCIAL
Se van pagando los intereses 
conforme se van devengando. 
Durante el periodo de carencia no 
se devuelve principal.
CARENCIA TOTAL
Durante el periodo de carencia no 
se realiza pago alguno y, 
posteriormente, se devuelve el 
principal y todos los intereses.
Una vez pasado el período de carencia, estamos ante un préstamo 
normal cualquiera que sea el sistema de amortización que presente 
(francés, lineal, con términos en progresión,…)
751
Matemática Financiera
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8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
1. Carencia con pago de intereses: Carencia Parcial
0
… …
… …1 2 d d+1 n
Sí se pagan intereses
1ª amortización
iCIa 011  iCIa 022  iCIa 0dd  1d1d1d AIa   nnn AIa 
752
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8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
2. Carencia sin pago de intereses: Carencia Total
0
… …
… …1 2 d d+1 n
No se pagan intereses
1ª amortización
0a1  0a2  0ad  1d1d1d AIa   nnn AIa 0C
 d0d i1CC 
753
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8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
Es importante señalar que en ambos 
casos se plantea la amortización 
efectiva del préstamo desde d hasta 
n y el período de amortización es 
n – d
754
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8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
C0=100.000€
n=4 años
i=10% anual
Cuadro amortización?
Ejemplo 6:
Sistema lineal con cuotas de amortización constantes
Primer pago transcurridos 3 años (d=2 años)
Caso 1: Carencia parcial
755
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
C0=100.000€
n=4 años
i=10% anual
Cuadro amortización?
Ejemplo 6:
Sistema lineal con cuotas de amortización constantes
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
Primer pago transcurridos 3 años (d=2 años)
0 1 2 3 4 años
I1
a1
-
I2
a2
-
I3
a3
A
I4
a4
A
C0
Caso 1: Carencia parcial
€000.50
2
000.100
A 
756
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
(5) (4) (1) (2) (3)
Perí.
Térm.
amor.
Cuota
de interés
Cuota de 
amortización
Total 
amortizado
Capital vivo
0 - - - - 100.000
1 10.000 10.000 0 0 100.000
2 10.000 10.000 0 0 100.000
3 60.000 10.000 50.000 50.000 50.000
4 55.000 5.000 50.000 100.000 0
Total 135.000 35.000 100.000 100.000 0
Ejemplo 6:
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
757
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
C0=100.000€
n=4 años
i=10% anual
Cuadro amortización?
Ejemplo 6:
Sistema lineal con cuotas de amortización constantes
Primer pago transcurridos 3 años (d=2 años)
Caso 2: Carencia total
758
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
C0=100.000€
n=4 años
i=10% anual
Cuadro amortización?Ejemplo 6:
Sistema lineal con cuotas de amortización constantes
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
Primer pago transcurridos 3 años (d=2 años)
Caso 2: Carencia total
0 1 2 3 4 años
-
a1
-
-
a2
-
I3
a3
A
I4
a4
A
C0  
2
02 i1CC 
 
500.60
2
000.121
2
1,01000.100
A
2




759
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
(5) (4) (1) (2) (3)
Perí.
Térm.
amor.
Cuota
de interés
Cuota de 
amortización
Total 
amortizado
Capital vivo
0 - - - - 100.000
1 0 0 0 0 110.000
2 0 0 0 0 121.000
3 72.600 12.100 60.500 60.500 60.500
4 66.550 6.050 60.500 121.000 0
Total 139.150 18.150 121.000 121.000 0
Ejemplo 6:
8. PRÉSTAMOS DIFERIDOS
760
Matemática Financiera
Prof. Mª Mercedes Rojas de Gracia
TEMA 8: PRÉSTAMOS
761