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Matemáticas Financieras
Dr. Daniel A. Jaume Prof. Gonzalo Molina
Esta versión: 1 mei 2011
ii
Inhoudsopgave
1 Variación proporcional 1
1.1 Variación proporcional directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Series de fracciones equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Reparto simple directo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Variación proporcional inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Reparto simple inverso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Variación proporcional conjunta o compuesta. . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Reparto compuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Relaciones recursivas 15
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Relaciones recursivas lineales de primer orden a coe�cientes con-
stantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Caso I: g (k) = cte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Caso g 6= cte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Caso g (k) es un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Caso III: g (k) es una función exponencial . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Caso IV: g (k) combinación de un polinomio y una función expo-
nencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Ejercitación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Sistemas de capitalización simple 29
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Funciones del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Trueque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Un esquema del surgimiento del dinero �duciario . . . . . 31
3.2 Valor-tiempo del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Sistema de capitalización simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Equivalencia de tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Equivalencia �nanciera de dos series de capitales . . . . . . . . . 45
3.5.1 Tasa media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.2 Vencimiento medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.1 Descuento simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.2 Equivalencia de tasas de descuento simple. . . . . . . . . 63
3.6.3 Equivalencia entre tasas de descuento y de capitaliación
simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.4 Equivalencia �nanciera revisada . . . . . . . . . . . . . . . 65
iii
iv INHOUDSOPGAVE
4 Sistemas de capitalización compuesta 69
4.1 Sistema de capitalización compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.1 Equivalencias de tasas compuestas . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.2 Breve diccionario de tasas nominales . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Equivalencia de capitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 Tasa media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2 Vencimiento medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Capitalización subperíodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1 Convenio discreto o de truncamiento . . . . . . . . . . . . 97
4.4.2 Convenio exponencial o continuo . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.3 Convenio lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5 Descuento a interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5.1 Equivalencia de tasas de descuento compuesto. . . . . . . 107
4.5.2 Equivalencia entre tasas de descuento y capitalización. . . 108
4.5.3 Descuento Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5 Capitalización Continua 115
5.1 Capitalización continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Equivalencia de capitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3 Tasa media continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4 Equivalencia entre tasas continuas y discretas . . . . . . . . . . . 127
5.5 Vencimiento medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6 Descuento continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6 Composición de tasas 131
6.1 Rentabilidad real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 Efecto de las comisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.1 Efecto de las comisiones cobradas al principio de la op-
eración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.2 Efecto de las comisiones cobradas al �nal de la operación 136
6.3 Tasas negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.1 Depreciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.2 Impuestos, seguros y comisiones varias . . . . . . . . . . . 141
6.3.3 Impuestos sobre la renta �nanciera y su efecto sobre la
rentabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4 Tipo de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.5 Tasa de devaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5.1 Tasas de devaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.6 índice de precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.7 In�ación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.8 Indexación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.9 Composición de tasa en el sistema continuo . . . . . . . . . . . . 170
7 Rentas 173
7.1 Rentas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.2 Rentas constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.3 Rentas vencidas o pospagables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.4 Multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.5 Métodos númericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
INHOUDSOPGAVE v
7.5.1 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5.2 Método de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.6 Rentas prepagables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.7 Rentas perpetuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.7.1 Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables) . . . 199
7.7.2 Rentas perpetuas constantes adelantadas (prepagables) . 201
7.8 Rentas diferidas y anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.9 Rentas aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.10 Rentas geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.11 Rentas variables en progresión geométrica . . . . . . . . . . . . . 215
7.12 In�ación: su efecto sobre rentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.13 Otros tipos de rentas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.14 Rentas a capitalización continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8 Préstamos 231
8.1 Préstamos comerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.2 Préstamos a interés sobre saldos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9 Préstamo francés 239
9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.2 Usufructo y nuda propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.3 Período de gracia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.4 CFT: costo �nanciero total. Efecto de impuestos, gastos y seguros 255
9.5 Cancelación anticipada total o parcial . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.6 Adelanto de cuotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
9.7 Punitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.8 Préstamo francés a interes variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.9 In�ación y su efecto sobre los préstamos . . . . . . . . . . . . . . 277
9.10 Devaluación y su efecto sobre los préstamos . . . . . . . . . . . . 277
10 Préstamo alemán 279
10.1 Introducción . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11 Préstamo americano 287
11.1 Variantes habituales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.1.1 Fondo de amortización en renta constante . . . . . . . . . 292
11.1.2 Fondo de amortización en renta variable . . . . . . . . . . 293
A Soluciones 295
A.1 Soluciones del capitulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
B Diccionarios de fórmulas 297
C Tabla de días 299
vi INHOUDSOPGAVE
Hoofdstuk 1
Variación proporcional
1.1 Variación proporcional directa.
Dadas dos variables x e y, diremos que la variable y es directamente propor-
cional a la variable x si para alguna k 2 R
y = kx;
donde k es conocida como la constante de proporcionalidad (directa).
Observemos que si duplicamos la variable x, se duplica el valor de la variable
y (similarmente, si la variable x reduce su valor a la mitad, lo propio ocurre con
la variable y), por ejemplo si
y = 3x
entonces
x 1 2 4 8
y 3 6 12 24
es decir
x0 �! x1 = 2x0;
kx0 = y0 �! y1 = kx1 = k (2x0) = 2kx0 = 2y0;
y ambas cambian al mismo ritmo:
x1
x0
=
2x0
x0
= 2 =
2kx0
kx0
=
2y0
y0
=
y1
y0
:
En general:
x0 �! x1;
kx0 = y0 �! y1 = kx1;
x1
x0
=
kx1
kx0
=
y1
y0
:
Esto no es otra cosa que la conocida �regla de tres simples directa�.
Ejercicio 1.1 Tres lineas de producción producen 15500 pañales descartables
por hora, si agregamos dos lineas de producción adicionales. Cuantos pañales
descartables serán producidos en una hora.
1
2 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejercicio 1.2 Cuatro personas ejecutaron un trabajo por el cual cobraron $ 16
500. ¿Cuánto le corresponde a cada uno si una de las personas trabajo 14 días,
otra 12 días, otra 10 días y la última trabajo 7 días?
Ejercicio 1.3 Si un automóvil recorre 100 km con 6.5 litros de gasolina. ¿Qué
distancia recorrerá con 25 litros (bajo las mismas condiciones de velocidad y
resistencia al avance)?
Ejercicio 1.4 Un campamento militar con 300 hombres tiene provisiones para
35 días. Si se quiere que las provisiones duren 12 días más, ¿cuántos hombres
habrá que retirar del campamento?
Ejercicio 1.5 Un restaurant, de una ciudad turística, necesita 5 personas para
servir 850 almuerzos (en promedio) durante cualquier día de la temporada baja.
Durante la temporada alta se estima que el número de almuerzos diarios a servir
sube a 12500 (en promedio). ¿Cuántas personas más deberá contratar?
Ejercicio 1.6 Bajo ciertas condiciones, la distancia de frenado (con las ruedas
trabadas) es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. En un acci-
dente un vehículo deja unas huellas de rayado (o patinaje) de 51 m. El conductor
declara que conducía a 55 km=h. Se sabe que a 60 km=hora un auto de las car-
acterísticas del vehículo siniestrado deja unas huellas de rayado de 19 m de
longitud. ¿A qué velocidad se desplazaba auto antes de comenzar a frenar?
Ejercicio 1.7 Dadas unas condiciones de luz, el tiempo necesario para lograr
una buena fotografía es directamente proporcional al cuadrado del número f
de la lente de la camara (este número indica la dimensión de la abertura del
diafragma). Los valores habituales de difragma son: f=1:4, f=2, f=2:8, f=4,
f=5:6, f=8, f=11, f=16 y f=22. En esta escala, cada abertura permite el paso
de la mitad de luz que la anterior. Si con una abertura f=11 y sol brillante se
logra una buena fotografía con
1
125
segundos de exposición. Bajo las mismas
condiciones de luz, llenar el cuadro de tiempo de exposiciones para diferentes
aberturas:
f=x segundos
f=1:4
f=2
f=2:8
f=4
f=5:6
f=8
f=11
1
125
f=16
f=22
1.2 Series de fracciones equivalentes.
Llamaremos serie de fracciones equivalentes una expresión de la forma
�1
�1
=
�2
�2
= � � � = �n
�n
= �
1.2. SERIES DE FRACCIONES EQUIVALENTES. 3
con �i�i 6= 0 para i = 1; 2; : : : ; n (i.e., son todos no nulos). También diremos que
la serie de números ��s son proporcionales a la serie de números ��s. El valor
común � se llama razón de proporcionalidad. La expresión anterior se puede
reescribir como n ecuaciones (relaciones de proporcionalidad):
�i = ��i, para i = 1; 2; : : : ; n:
Multiplicando las igualdades anteriores por n números reales ki, para i =
1; 2; : : : ; n:
ki�i = �ki�i, para i = 1; 2; : : : ; n:
Al sumar las igualdades anteriores obtenemos
nX
i=1
ki�i = �
nX
i=1
ki�i:
Si la expresión anterior es no nula, podemos obtener una nueva fracción equiv-
alente a las dadas
nX
i=1
ki�i
nX
i=1
ki�i
= �: (1.1)
Dado un par de series numéricas proporcionales, el procedimiento anterior nos
permite generar una in�nidad de nuevas fracciones equivalentes.
Notación 1.8 Usaremos la notación de sumatoria habitual:
nX
i=1
�i := �1 + �2 + � � �+ �n:
Ejemplo 1.9 Por ejemplo las siguientes fracciones son equivalentes
3
5
=
6
10
;
entonces, también son equivalentes a las dadas
9
15
=
3
5
=
6
10
=
15
25
;
Además, podemos generar otras fracciones equivalentes con diferente razón de
proporcionalidad. Por ejemplo a partir de
9
15
=
3
5
obtenemos
18
6
=
9
3
=
15
5
entre otras.
4 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejemplo 1.10 En general si
a
b
=
c
d
entonces las siguientes son equivalentes a las anteriores
a� c
b� d =
a
b
=
c
d
=
ma+ nc
mb+ nd
para cualesquiera valores de m y n. Además podemos formar las siguientes frac-
ciones equivalentes con razón de proporcionalidad diferente
a+ c
a� c =
b+ d
b� d ;
entre otras.
Ejercicio 1.11 Hallar 5 fracciones equivalentes a las dadas, y generar 3 pares
adicionales de fracciones equivalentes (con razones de proporcionalidad difer-
entes)
2
7
=
a
2 + b
:
Estas relaciones simpli�can la resolución de ciertas ecuaciones
Ejemplo 1.12 Resolver
2
3 + x
=
5
3� x
Por la relación (1.1) cualesquiera de estas fracciones es equivalente a la frac-
ción que se obtiene al sumar numerador con numerador y denominador con
denominador:
2
3 + x
=
2 + 5
(3 + x) + (3� x) =
7
6
Ahora es más fácil despejar x
2
3 + x
=
7
6
2 =
7
6
(3 + x)
12
7
= 3 + x
12
7
� 3 = x
�9
7
= x
Ejercicio 1.13 Resolver
2� x
2 + x
=
x
1� x
Ejercicio 1.14 Resolver
1 + x
x
=
x� 2
x+ 4
1.2. SERIES DE FRACCIONES EQUIVALENTES. 5
Ejercicio 1.15 Resolver
1)
a
b+ x
=
c
b� x; 3)
x+ a
x
=
x+ b
x� b ;
2)
x
b+ x
=
a� x
c� x ; 4)
x+ a
x
=
x
x� b :
El reparto proporcional es la distribución de una cantidad atendiendo a
un criterio de proporcionalidad con respecto a una o varias series de números.
Este puede ser simple o compuesto, directo o inverso, dependiendo de la can-
tidad de series de números involucradas y su relación de proporcionalidad con
la cantidad a repartir. En lo que sigue supondremos siempre que el reparto se
hace entre n agentes, por lo que las series de números tendrán longitud n.
1.2.1 Reparto simple directo.
Es cuando la serie de datos es proporcional a la serie de incógnitas.
� Datos
1. Cantidad a repartir: Q.
2. Serie de números con respecto a la cual se hace el reparto propor-
cional: �1; �1; : : : ; �n:
� Incógnitas
1. Cantidades a ser repartidas: x1; x1; : : : ; xn:
� Relaciones:
1. Se debe repartir Q, i.e.:
nX
i=1
xi = Q:
2. Las series de las ��s y de las x�s deben ser directamente propor-
cionales:
xi = ��i para i = 1; 2; : : : ; n
Sumando estas ecuaciones podemos expresar la constante de proporcionali-
dad en función de la cantidad a repartir Q y la serie de los ��s
nX
i=1
xi =
nX
i=1
��i
Q = �
nX
i=1
�i;
de donde
� =
Q
�1 + : : :+ �n
:
Lo que nos permite escribir
x1
�1
=
x2
�2
= : : : =
xn
�n
=
Q
�1 + : : :+ �n
6 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejemplo 1.16 Un emprendimiento agrícola reportó unas ganancias netas de $
875 000. Esta cantidad debe ser repartida entre 5 socios, los cuales aportaron
$ 15 000, $ 17 000, $ 38 000, $ 51 000 y $ 25 000 respectivamente. ¿Cuánto
recibe cada socio?
Solución: Es claro que quien más aportó, más debe recibir. Estamos en un
caso de reparto proporcional simple directo. Tenemos entonces que
Q = 875000
= x1 + x2 + x3 + x4 + x5;
x1 = 15000�;
x2 = 17000�;
x3= 38000�;
x4 = 51000�;
x5 = 25000�;
donde
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
15000 + 17000 + 38000 + 51000 + 25000
=
875000
146000
= �:
Por lo tanto
x1 = 89:897; 26 $
x2 = 101:883; 56 $
x3 = 227:739; 73 $
x4 = 305:650; 68 $
x5 = 149:828; 77 $
1.3 Variación proporcional inversa.
Dadas dos variables x e y, diremos que la variable y es inversamente propor-
cional a la variable x si para alguna k 2 R
yx = k;
donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad (inversa).
Observe que si duplicamos la variable x el valor de la variable y debe reducirse
a la mitad
x0 �! x1 = 2x0;
y0x0 = k �! y1x1 = k ) y1 =
k
x1
=
k
2x0
=
1
2
y0
y ambas variables cambian a ritmos recíprocos
2 =
2x0
x0
=
x1
x0
=
kx1
kx0
=
k
x0
k
x1
=
k
x0
k
2x0
=
y0
y1
=
1
y1
y0
:
lo que implica que
y1
y0
=
1
2
1.3. VARIACIÓN PROPORCIONAL INVERSA. 7
En general:
x0 �! x1;
y0x0 = k �! y1x1 = k;
x1
x0
=
kx1
kx0
=
k
x0
k
x1
=
y0
y1
=
1
y1
y0
:
Esto no es otra cosa que la conocida �regla de tres simple inversa�.
Ejemplo 1.17 Tres albañiles levantan una pared en 4 días, ¿Cuanto tardarán
5 albañiles?
Se puede suponer que más albañiles terminaran el trabajo en menos días, asum-
iendo que todos los albañiles tienen la misma productividad y no hay efectos de
interferencia, podemos suponer una proporcionalidad inversa, lo cual es razon-
able (hasta cierto punto), entre los días de obra y la cantidad de obreros
(días de obra) (número de albañiles) = k
Para determinar k, utilizamos las condiciones iniciales:
(4 días de obra) (3 albañiles) = k
luego
k = 12 (días de obra) (albañiles)
Ahora, si disponemos de 5 albañiles
días de obra =
12 (días de obra) (albañiles)
(5 albañiles)
= 2:4 (días de obra)
Es decir 5 albañiles deberían terminar la obra en 2 días, 9 horas y 36 minutos.
Ejercicio 1.18 Dos grifos (surtidores) iguales llenan una piscina con agua en
14 horas. ¿Cuánto tiempo se empleará en llenar la piscina si usamos otros 5
grifos iguales?
Ejercicio 1.19 Un libro tiene 550 páginas de 285 cm2 cada una. Se desea reed-
itarlo usando páginas A4 (197 mm por 210 mm). Si el tipo de letra usado es el
mismo, ¿cuántas páginas tendrá la nueva edición?
Ejercicio 1.20 Una rueda dentada de 40 dientes engrana con otra de 52 di-
entes. Si la primera rueda gira a 75 rpm (revoluciones por minuto), ¿A cuántas
rpm gira la segunda?
1.3.1 Reparto simple inverso:
Es cuando la serie de datos es inversamente proporcional a la serie de incógnitas.
� Datos
1. Cantidad a repartir: Q.
8 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
2. Serie de números con respecto a la cual se hace el reparto proporcional
inverso: �1; �2; : : : ; �n:
� Incógnitas
1. Cantidades a ser repartidas: x1; x1; : : : ; xn:
� Relaciones:
1. Se debe repartir Q, i.e.:
nX
i=1
xi = Q:
2. Las series de las ��s y de las x�s deben ser inversamente propor-
cionales:
�ixi = � para i = 1; 2; : : : ; n
o de manera equivalente
xi = �
1
�i
para i = 1; 2; : : : ; n
Sumando estas n ecuaciones se puede deducir el valor de � en función de los
datos
nX
i=1
xi =
nX
i=1
�
1
�i
Q = �
nX
i=1
1
�i
Por lo tanto
� =
Q
1
�1
+ : : :+
1
�n
Esto nos permite escribir
�1x1 = �2x2 = : : : = �nxn =
Q
1
�1
+ : : :+
1
�n
;
o equivalentemente
x1
1
�1
=
x2
1
�2
= : : : =
xn
1
�n
=
Q
1
�1
+ : : :+
1
�n
:
Ejemplo 1.21 Para fomentar la productividad una empresa decide repartir un
bono de $ 1 000 entre 4 empleados de acuerdo con el tiempo que tardan en re-
alizar una determinadad tarea. Si los tiempos son 45 minutos, 1 hora 5 minutos,
2 horas y 2 horas 15 minutos. ¿Cuánto recibe cada empleado?
1.4. VARIACIÓN PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA. 9
Solución: Quién tarda menos en hacer la tarea es más productivo y por lo
tanto debe recibir una mayor parte del bono. Estamos en un caso de reparto
proporcional inverso. Llevando todos los tiempos a minutos tenemos que
Q = 1000
= x1 + x2 + x3 + x4;
45x1 = �;
65x2 = �;
120x3 = �;
135x4 = �;
Lo cual puede ser reescrito como
x1
1
45
=
x2
1
65
=
x3
1
120
=
x4
1
135
;
de donde
x1 + x2 + x3 + x4 + x5
1
45
+
1
65
+
1
120
+
1
135
=
1000
749
14040
= �:
Por lo tanto
x1 = 416:56 $;
x2 = 288:38 $;
x3 = 156:21 $;
x4 = 138:85 $:
1.4 Variación proporcional conjunta o compuesta.
Dadas dos series de variables y1; y2; : : : ; yn y x1; x2; : : : ; xm diremos que satis-
facen una relación de proporcionalidad conjunta o compuesta si
nY
i=1
yi = k
mY
j=1
xj :
donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad conjunta.
Notación 1.22 Usaremos la notación de productoria habitual:
nY
i=1
�i := �1�2 � � ��n:
1.4.1 Reparto compuesto.
Es cuando hay más de una serie de datos los cuales tienen una relación de
proporcionalidad conjunta con la serie de incognitas.
� Datos
10 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
1. Cantidad a repartir: Q.
2. m series de números con respecto de las cuales el reparto es directa-
mente proporcional:
�k1 ; �
k
2 ; : : : ; �
k
n; para k = 1; 2; : : : ;m:
3. t series de números con respecto de las cuales el reparto es inversa-
mente proporcional:
�j1; �
j
2; : : : ; �
j
n; para j = 1; 2; : : : ; t
� Incognitas:
Cantidades a ser repartidas: x1; x2; : : : ; xn:
� Relaciones:
1. Se debe repartir Q, i.e.:
nX
i=1
xi = Q
2. Las series son conjuntamente proporcionales:
xi
tY
j=1
�ji = �
mY
k=1
�ki , para i = 1; 2; : : : ; n
Observe que hemos planteado una ecuación para cada agente.
Clari�car que en esta ecuación se �ja el
agente y se mueven las series.!!!!!!!!!!!!!!!
Estas últimas relaciones pueden ser reescritas a modo de fracciones equiva-
lentes:
x1
tY
j=1
�j1
mY
k=1
�k1
=
x2
tY
j=1
�j2
mY
k=1
�k2
= : : : =
xn
tY
j=1
�jn
mY
k=1
�kn
= �;
o, de manera equivalente
x1
mY
k=1
�k1
tY
j=1
�j1
=
x2
mY
k=1
�k2
tY
j=1
�j2
= : : : =
xn
mY
k=1
�kn
tY
j=1
�jn
= �;
de donde se puede deducir que la constante de proporcionalidad � es
� =
Q
nX
i=1
mY
k=1
�ki
tY
j=1
�ji
;
1.4. VARIACIÓN PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA. 11
Ejemplo 1.23 El departamento de matemáticas de una universidad divide su
presupuesto anual de $ 289.000 entre tres áreas. Las áreas que atienden más
alumnos son las que reciben más presupuesto: el A1 atiende 230 alumnos, el
A2 atiende 720 alumnos, y el A3 atiende 173 alumnos. Por otro lado a �n de
equilibrar las áreas, mientras mayor es el número de miembros de un área, menor
debe ser su parte de presupuesto anual: el A1 tiene 12 docentes, el A2 tiene 21
docentes, y el A3 tiene 15 docentes. Por otro lado las áreas más productivas
(número de trabajo publicados) reciben más presupuesto: el A1 tiene 13 trabajos
publicados este año, el A2 tiene 6 trabajos publicados, y el A3 tiene 35 trabajos
publicados. ¿Cuánto recibe cada área?
Solución: Es claro estamos en un caso de reparto proporcional compuesto.
Series directamente proporcionales a las cantidades a repartir x1; x2; y x3:
1. Número de alumnos: 230, 720, y 173.
2. Número de trabajos publicados: 13, 6, y 35.
Serie inversamente proporcional a las cantidades a repartir
1. Cantidad de docentes en el área: 12, 21, y 15
Tenemos entonces que
Q = 289000
= x1 + x2 + x3;
12x1 = 230 � 13 � �;
21x2 = 720 � 6 � �;
15x3 = 173 � 35 � �:
donde
� =
289000
36059
42
=
x1 + x2 + x3
230 � 13
12
+
720 � 6
21
+
173 � 35
15
:
Por lo tanto
x1 = 83873:24 $;
x2 = 69246:51 $;
x3 = 135880:25 $:
Regla de compañía
Se denomina así al sistema de reparto proporcional compuesto de bene�cios
entre socios. Principalmente se tiene en cuenta dos factores:
1. El tiempo durante el que ha estado invertido un capital.
2. La cantidad de capital invertido.
Ambas variables son directamente proporcionales a la cantidad a repartir.
Ejercicio 1.24 Una fábrica produce 5 000 camisas en 4 días utilizando 25 tra-
bajadoras. ¿Cúantas camisas se producirán en 3 días con 32 trabajadoras?. Si
se necesitan producir 18 000 camisas en 9 días, ¿Cuántas trabajadoras se nece-
sitan?. Si hay una huelga y sólo trabajan 7 empleadas, ¿Cuántos días serán
necesariospara producir 3 000 camisas?
12 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Ejercicio 1.25 Un grupo de 5 cosechadores, trabajando 6 horas diarias, lev-
antan la cosecha de una �nca en 3 días. ¿Cuántos cosechadores se necesitarán
para levantar la cosecha en no más de dos días, trabajando 8 horas diarias?
Ejercicio 1.26 Un campamento militar con 250 hombres, tiene provisiones
para 30 días a razón de 3 comidas diarias por hombre. Si se suman 53 hombres,
¿cuantos días durarán las provisiones si cada hombre come sólo dos veces por
día?
Ejercicio 1.27 Tres profesores de inglés de un instituto impartieron clases par-
ticulares a un grupo de ejecutivos de una empresa. El instituto cobro $ 15 000
por el servicio. El instituto se queda con el 15 %, y reparte el resto en función del
número de días y las horas diarias de clases. El primer profesor trabajó 2 horas
diarias durante 40 días, el segundo, una hora diaria durante 20 días, y el tercero
trabajó 3 horas diarias durante 30 días. ¿A cuánto ascienden los honorarios de
cada uno?
Ejercicio 1.28 Tres productos P1; P2; y P3, tardan 3, 4 y 5 horas, respectiva-
mente, para ser fabricados. Se sabe que el costo de fabricación de cada uno de los
productos es directamente proporcional al tiempo empleado. Sabiendo que cuesta
$ 1500 fabricar el producto P2,¿Cuánto cuesta fabricar los otros productos? Si
el costo de un cuarto producto de características similares es $ 2 100, ¿Cuánto
tiempo se emplea para fabricarlo?
Ejercicio 1.29 Una empresa de transporte utiliza un cuadro tarifario direc-
tamente proporcional al peso del paquete, y a la distancia entre el origen y el
destino del mismo. Sabemos el costo de enviar un paquete de 5 kg, una distancia
de 150 km es: $ 12. ¿Cuánto costará enviar un paquete de 8 kg, 90 km? Si nos
cobraron $ 35 por enviar un paquete 30 km ¿Cuánto pesaba el mismo? Si nos
costó $ 10 enviar un paquete de 15 kg ¿A que distancia lo mandamos?.
Ejercicio 1.30 Una empresa fabrica 5 productos, los cuales le proporcionan
los mismos ingresos. Se producen 320 unidades diarias del producto P1, 220
unidades diarias del producto P2, 110 unidades diarias del producto P3, 420
unidades diarias del producto P4, y 52 unidades diarias del producto P5. ¿Qué
precios relativos les corresponden a cada uno de los productos?
Ejercicio 1.31 Para ser socio de una compañía de seguros hay que aportar
$ 500 000. Este año la compañía reportó una ganancia neta de $ 1 250 600,
sabiendo que son 5 socios, que los dos primeros colocaron el capital durante
el mismo tiempo, el tercero coloco el capital el triple del tiempo que los dos
primeros, y los que restan colocaron el capital la mitad del tiempo que el tercero
¿Cuánto le tocada a cada uno?
Ejercicio 1.32 Una empresa reportó una ganancia anual neta de $ 17 000 000.
Los socios tiene como regla, ahorrar el 18% de las ganancias, y repartir el resto.
Si son 9 socios, de los cuales 3 son socios fundadores, lo cuales aportaron $ 250
000 hace tres años al fundar la empresa. Dos años atras, se agregaron 2 socios
más, quienes contribuyeron con $ 300 000 (lo que ayudo a �nanciar una expan-
ción de la empresa). Hace un año atras se agregaron otros dos socios quienes
aportaron $ 1 000 000 y $ 150 000 (los que fueron usados para informatizar la
1.4. VARIACIÓN PROPORCIONAL CONJUNTA O COMPUESTA. 13
empresa). Hace 6 meses se incorparon el resto de los socios, quienes aportaron
$ 300 000 cada uno (lo que fue usado para abrir una nueva sucursal en Brasil).
¿Cuánto le toca a cada uno de los socios?.
Ejercicio 1.33 Una empresa repartirá proporcionalmente un premio de $ 80
000 entre sus cuatro gerentes regionales. A �n de fomentar las ganancias, mien-
tras más ventas tenga una región mayor será el premio. A �n de fomentar la
productividad, mientras menor sea la cantidad de personal, mayor será el pre-
mio. A �n de fomentar la lealtad a la empresa, mientras más antigüedad, mayor
será el premio, y a �n de fomentar una política de austeridad, mientras menores
sea los gastos de la sucursal, mayor será la parte del premio que reciben. Los
datos están arreglados en la siguiente tabla
Ventas en $ Personal Antiguedad en años Gastos en $
Sucursal Norte 7 560 050 15 5 1 950 000
Sucursal Sur 6 890 300 13 8 2 150 000
Sucursal Este 4 230 650 8 9 2 500 000
Sucursal Oeste 12 560 890 16 4 3 000 500
¿Cuánto recibe cada uno de los gerentes?
Ejercicio 1.34 La cantidad de pintura necesaria para pintar una columna cilín-
drica varía conjuntamente con el radio y la altura de la columna. Compare la
cantidad de pintura necesaria para pintar una columna de 7 m de alto y 60 cm
de radio, con la cantidad de pintura necesaria para pintar una columna de 9 m
de alto y 50 cm de radio.
14 HOOFDSTUK 1. VARIACIÓN PROPORCIONAL
Hoofdstuk 2
Relaciones recursivas
2.1 Introducción
El siguiente ejemplo ilustra la situación típica que queremos resolver.
Ejemplo 2.1 Una persona realiza un depósito a plazo �jo de $ 10.000 por 6
meses. El banco le paga una tasa del 1,25 % mensual. ¿Cuánto tendrá al �nal
del sexto mes?.
Solución: Denotaremos con fk al monto acumulado hasta el mes k. Es claro
que el monto fk acumulado hasta el mes k, depende del monto acumulado hasta
el mes anterior: fk�1. La relacción es
fk = fk�1 + 0; 125fk�1 (2.1)
= (1 + 0; 0125) fk�1
Además sabemos que
f0 = 10:000 (2.2)
Luego:
f1 = (1 + 0; 0125) 10:000 = 10:125
f2 = (1 + 0; 0125) 10:125 = 10:251; 5625
f3 = (1 + 0; 0125) 10:251; 5625 = 10:379; 7070312
f4 = (1 + 0; 0125) 10:379; 7070312 = 10:509; 4533691
f5 = (1 + 0; 0125) 10:509; 4533691 = 10:640; 8215362
f6 = (1 + 0; 0125) 10:640; 8215362 = 10:773; 8318054
Es decir, tendrá $ 10.773,83.
Típicamente trabajaremos con funciones a valores reales cuyo dominio es Z.
Dada
f : Z! R
para cada k 2 Z, denotaremos
fk := f (k)
15
16 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Nota 2.2 La siguiente �gura muestra la posición de cada uno de los fk en la
recta. Observe que el 1er. período comienza en el cero y términa en el uno,
y en general el k�ésimo período empieza en el momento k � 1 y términa en
el momento k, i.e., cada intervalo o período recibe el nombre de su extremo
derecho.
0 1 2 3 k � 1 k k + 1
f0 f1 f2 f3 fk�1 fk fk+1
1er período k-ésimo período
La ecuación (2.1) es un ejemplo de una relación recursiva. La ecuación
(2.2) es un ejemplo de condiciones iniciales.
De�nición 2.3 Decimos que una función f : A! R, con A � Z, se de�ne
recursivamente siempre que
B algún conjunto �nito de valores, generalmente el primero o los primeros, se
especi�quen, los que llamaremos condiciones iniciales,
R los valores restantes de la función están de�nidos en término de valores pre-
vios. Una fórmula que hace esto recibe el nombre de fórmula o relación
recursiva.
Ejemplo 2.4 Las siguientes son ejemplos de relaciones recursivas:
1. fk+1 � fk = 3; con k 2 Z+ y f0 = 2
2. senkfk + cos (k � 1) fk�1 + sen (k � 2) fk�2 = 0; con k 2 Z+
De�nición 2.5 Una solución de una relación recursiva es toda función que
satisfaga la relación de recurrencia en cuestión.
Ejemplo 2.6 La función
fk =
k (k � 1)
2
+ C
donde C es una constante arbitraria, es una solución de la relación recursiva
fk+1 � fk = k;
pues para k 2 Z
fk+1 � fk =
(k + 1) k
2
� k (k � 1)
2
=
�
k2 + k
�
�
�
k2 � k
�
2
= k
2.2. RELACIONES RECURSIVAS LINEALES DE PRIMERORDENA COEFICIENTES CONSTANTES.17
2.2 Relaciones recursivas lineales de primer or-
den a coe�cientes constantes.
Básicamente trabajaremos con relaciones recursivas de la forma
a1fk+1 + a0fk = g (k)
donde a1; a2 son constantes no nulas arbitrarias, y g una función, g : Z! R.
Nosotros analizaremos los siguientes casos: cuando g es un polinomio en k, o
una función exponencial en k, o una combinación lineal de un polinomio en k
con una exponencial en k.
Ejemplo 2.7 La relaciones recursivas con la que trabajaremos serán de simi-
lares a
1. 2fk+1 + 5fk = 2k;
2. �1
2
(fk � fk�1) = fk + k2;
3. 6fk+1 +
3
4
fk =
1
3
e�k;
4. k3 � fk = 3k � fk+1:
Ejemplo 2.8 Todos los meses ud. ahorra $ 550, los cuales deposita en una
cuenta de ahorroque le paga el 0,5 % de interés mensual. Hallar la relación
recursiva que describe la situación:
La relación recursiva es
fk = 1; 005fk�1 + 550
con la condición inicial
f0 = 550
2.3 Caso I: g (k) = cte:
Esta es la situación más simple. Queremos resolver la relación recursiva
a1fk+1 + a0fk = c (2.3)
donde a1; a2; y c son constantes arbitrarias, con a1 6= 0. La relación anterior
puede reescribirse
fk+1 = Afk +B
donde
A = �a0
a1
B =
c
a1
18 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ahora usaremos el método inductivo para conjeturar la forma de la solución:
f1 = Af0 +B
f2 = Af1 +B
= A (Af0 +B; ) +B
= A2f0 +B (1 +A)
f3 = Af2 +B
= A
�
A2f0 +B (1 +A)
�
+B
= A3f0 +B
�
1 +A+A2
�
...
fk = Afk�1 +B
= Akf0 +B
�
1 +A+ � � �+Ak�1
�
Ahora hay dos situaciones: A = 1 o A 6= 1. Si A = 1 es claro que
fk = f0 + kB
Por otro lado, si A 6= 1, la expresión
1 +A+ � � �+Ak�1
es una serie geométrica de razón A, para la cuál es facil hallar una versión
cerrada: llamemos S a la suma de la serie
S = 1 +A+A2 + � � �+Ak�2 +Ak�1 (2.4)
multipliquemos ambos miembros por A
AS = A+A2 +A3 + � � �+Ak�1 +Ak (2.5)
Si hacemos (2.4) menos (2.5) obtenemos
S �AS = 1�Ak
S =
1�Ak
1�A (2.6)
Por lo tanto si A 6= 1 la solución de la relación recursiva (2.3) debe ser
fk = A
kf0 +B
1�Ak
1�A :
Resumiendo, el método inductivo sugiere que la solución de la relación recursiva
(2.3) debe ser de la forma
fk =
8
<
:
Akf0 +B
1�Ak
1�A si A 6= 1;
f0 + kB si A = 1:
(2.7)
Para probarlo debemos usar inducción dos veces: una para A 6= 1, y otra
para A = 1. Haremos la primera (la otra queda como tarea para el lector).
2.3. CASO I: G (K) = CTE: 19
Veri�caremos que si A 6= 1, y fk es una solución de la relación recursiva (2.3),
entonces fk tiene la forma fk = Akf0 +B
1�Ak
1�A :
Paso base: k = 1 esto no es más que la fórmula de recursión:
f1 = Af0 +B = A
1f0 +B
1�A1
1�A
Hipótesis inductiva: supongamos que la relación recursiva es cierta para k�1,
i.e.:
fk�1 = A
k�1f0 +B
1�Ak�1
1�A
Ahora veamos que ocurre lo propio para k
fk = Afk�1 +B
= A
�
Ak�1f0 +B
1�Ak�1
1�A
�
+B
= Akf0 +B
�
A�Ak
1�A + 1
�
= Akf0 +B
1�Ak
1�A :
Ejemplo 2.9 Todos los meses la srta. Viviana ahorra $ 550, y los deposita en
una cuenta de ahorro que le paga el 0,5 % de interés mensual. Hace 8 meses
que comenzo a ahorrar. ¿Cuánto tiene ahorrado?¿Cuantos meses más deberá
ahorrar para poder comprarme un televisor de LED de 42"que cuesta $ 8.500?
Ya hemos hallado la relación recursiva que describe esta situación:
�
fk = 1; 005fk�1 + 550
f0 = 550
Como A = 1; 005 6= 1 y B = 550, por (2.7) tenemos que
fk = 550 � 1; 005k + 550
1� 1; 005k
1� 1; 005
= 550 � 1; 005k + 110:000
�
1; 005k � 1
�
= 110:550 � 1; 005k � 110:000
Por lo tanto, a los 8 meses la srta. Viviana tendrá (pesos)
f8 = 110:550 � 1; 0058 � 110:000 = 5:050; 1637
Para averiguar cuantos meses más deberá ahorrar para tener por lo menos $
8.500, debemos plantear la siguiente desigualdad donde la incógnita es k
8:500 < fk = 110:550 � 1; 005k � 110:000
Es decir
118:500
110:550
< 1; 005k
20 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
como el logaritmo es una función monótona creciente, al tomar logaritmos de
ambos lados no se altera el sentido de la desigualdad anterior:
log
�
118:500
110:550
�
< k log (1; 005)
por lo tanto
14; 92370427 =
log
�
118:500
110:550
�
log (1; 005)
< k
luego, la srta. Viviana deberá ahorrar 15 meses para juntar al menos $ 8.500.
Es decir, faltan 7 meses para que se pueda comprar el televisor.
Ejercicio 2.10 Resolver las siguientes relaciones recursivas
1. 3fk+1 � 6fk = 1, con f0 =
2
3
:
2. fk+1 � 3fk = 2, con f2 = 17:
Ejercicio 2.11 Los costos mensuales de un proyecto de construcción de tres
años de duración guardan la siguiente relación: los costos totales de cada mes
son los costos del mes anterior más $ 12.000. La inversión inicial fue de $
20.000. ¿Cuál será el costo del penúltimo mes de vida del proyecto? ¿En qué
mes los costos mensuales superan los $ 100.000?
2.4 Caso g 6= cte:
En general si g es una función, tenemos que cualquier solución f de la relación
recursiva
a1fk+1 + a0fk = g (k) (2.8)
tiene la forma
fk = hk + pk
donde hk es la solución de la relación de recursiva homogénea (lo que signi�ca
igualada a cero) asociada a (2.8):
a1fk+1 + a0fk = 0
y pk es una solución particular de (2.8). Es decir que pk debe satisfacer la relación
recursiva
a1pk+1 + a0pk = g (k)
La función pk debe ser de la misma clase que g, i.e., si g es un polinomio de
grado n, la solución particular pk también, si g es una función exponencial de
base a, lo mismo ocurre con pk. La solución particular pk se haya por el método
de los coe�cientes indeterminados.
Observe que una solución fk de la forma fk = hk + pk satisface la relación
recursiva (2.8):
a1fk+1 + a0fk = a1 (hk+1 + pk+1) + a0 (hk + pk)
= (a1hk+1 + a0hk) + (a1pk+1 + a0pk)
= 0 + (a1pk+1 + a0pk)
= g (k)
2.5. CASO G (K) ES UN POLINOMIO 21
2.5 Caso g (k) es un polinomio
Estudiaremos la relación recursiva
a1fk+1 + a0fk = Pn (k) (2.9)
donde
Pn (k) = �nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0
i.e., Pn (k) es un polinomio en k de grado n.
Primero hallamos la solución homogénea asociada, usando el método desar-
rollado anteriormente:
a1hk+1 + a0hk = 0
hk+1 = Ahk
donde
A = �a0
a1
La solución homogénea asociada es
hk =
�
Akh0 si A 6= 1;
h0 si A = 1:
Para hallar la solución particular asociada a (2.9) proponemos una solución
particular pk de la forma
pk =
�
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0 si A 6= 1;
k
�
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0
�
si A = 1:
donde los ��s son constantes a determinar.
Ejemplo 2.12 Resolver la siguiente relación recursiva:
2fk+1 � 3fk = 4k2 + 1; (2.10)
f0 = 5:
La ecuación homogénea asociada es
2hk+1 � 3hk = 0
la cual reescribiremos
hk+1 =
3
2
hk
Como
3
2
6= 1, la solución homogénea asociada es
hk =
�
3
2
�k
h0
Como g es un polinomio de grado 2 y
3
2
6= 1, debemos proponer como solución
partícular
pk := �2k
2 + �1k + �0
22 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ahora
4k2 + 1 = 2fk+1 � 3fk
= 2
h
�2 (k + 1)
2
+ �1 (k + 1) + �0
i
� 3
�
�2k
2 + �1k + �0
�
= ��2k2 + (4�2 � �1) k + (2�2 + 2�1 � �0) :
Como dos polinomios a cor�cientes reales son iguales si, y sólo si sus coe�cientes
son iguales, podemos determinar los ��s resolviendo el sistema
8
<
:
� �2 = 4
� �1 + 4�2 = 0
��0 + 2�1 + 2�2 = 1
De donde
�0 = �41
�1 = �16
�2 = �4
Por lo tanto la solución de (2.10) es de la forma
fk = h0
�
3
2
�k
� 4k2 � 16k � 41
Donde resta por determinar el valor de h0. Usaremos la condición inicial para
ajustar el valor de h0 :
5 = f0 = h0 � 41;
lo que implica que h0 = 46, por lo tanto la solución de (2.10) es
fk = 46
�
3
2
�k
� 4k2 � 16k � 41:
En el siguiente ejemplo abordaremos el caso A = 1.
Ejemplo 2.13 Resolver la relación recursiva
fk+1 � fk = 2k � 3;
f1 = 4:
La ecuación homogénea asociada es
hk+1 � hk = 0
Luego la solución homogénea asociada es constante:
hk = h0
Observe que si proponemos una solución particular de la forma
pk = �1k + �0
2.6. CASO III: G (K) ES UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL 23
tenemos que
2k � 3 = fk+1 � fk
= (�1 (k + 1) + �0)� (�1k + �0)
= �1
Lo cual es imposible, pues esta ecuación debe ser válida para todo k.
Como g es un polinomio de grado 1 y A = 1, debemos proponer como
solución particular
pk = k (�1k + �0) :
Ahora
2k � 3 = fk+1 � fk
= [(k + 1) (�1 (k + 1) + �0)]� [k (�1k + �0)]
= 2�1k + (�1 + �0) :
De donde
�0 = �4;
�1 = 1;
Por lo tanto la solución de (2.10) es de la forma
fk = h0 + k (k � 4) :
Ahora usaremos la condición inicial para ajustar el valor de h0 :
4 = f1 = h0 � 3;
lo que implica que h0 = 7, por lo tanto la solución de (2.10) es
fk = 7 + k (k � 4) :
Nota 2.14 La idea de usar k
�
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0
�
, en lugar de
�nk
n+�n�1k
n�1+ � � �+�1k+�0, si A = 1, viene de la técnica introducida por
Liouville para hallar una nueva solución a una ecuación diferencial ordinaria,
a partir de una solución conocida.
2.6 Caso III: g (k) es una función exponencial
El tipo derelación recursiva que deseamos resolver es
a1fk+1 + a0fk = cb
k;
con b > 0; b 6= 1.
La solución homogénea asociada se calcula como antes. La solución particular
es
pk =
�
�bk; si A 6= b;
�kbk; si A = b:
donde A = �a0a1 ; y el coe�ciente � es hallado usando el método de los coe�cientes
indeterminados.
24 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ejemplo 2.15 Resolver la relación recursiva
fk+1 = 4fk + 3 2
k; con k � 1;
f0 = 1:
La relación recursiva homogénea asociada es
fk+1 � 4fk = 0;
por lo tanto la solución homogénea asociada es
hk = h04
k:
Como A = � (�4) 6= 2, la solución particular debe ser de la forma
pk = �2
k:
Usando el método de los coe�cientes indeterminados
3 � 2k = pk+1 � 4pk
= �2k+1 � 4�2k
= �2�2k:
Luego
� = �3
2
:
Por lo tanto la solución general es
fk = h04
k � 3
2
2k:
Ahora ajustamos el valor de h0 para que se satisfaga la condición inicial:
1 = f0 = h0 �
3
2
;
luego
h0 =
5
2
:
Por lo tanto
fk =
5
2
4k � 3
2
2k:
Ejemplo 2.16 Resolver la relación recursiva
fk+1 � 3fk = 12 � 3k; con k � 1;
f0 = 2:
La solución homogénea asociada es
hk = h03
k:
Como A = � (�3) = 3, la solución particular asociada debe ser de la forma
pk = �k3
k:
2.7. CASO IV:G (K) COMBINACIÓN DE UN POLINOMIO Y UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL25
Usando el método de los coe�cientes indeterminados
12 3k = pk+1 � 3pk
= � (k + 1) 3k+1 � 3�k3k
= �3k+1;
de donde
� = 4:
Por lo tanto la solución general es de la forma
fk = h03
k + 4k3k:
Usando la condición inicial, ajustamos el valor de h0
2 = f0 = h0:
Luego la solución general es
fk = 2 � 3k + 4k3k:
Ejercicio 2.17 Resolver las siguientes relaciones recursivas
1. 3fk+1 � 6fk = 3 � 2k, con f0 =
2
3
:
2. 3fk+1 � fk =
1
3k
, con f2 = 5:
Ejercicio 2.18 Ud. invierte $ 180 000. Esa inversión de duplica cada año, pero
ud. retira al cabo del primer año $ 10 000, del segundo año $ 20 000, del tercero
$ 40 000, del cuarto $ 80 000, etc. Establecer una relación recursiva que describa
el problema. ¿Cuanto tendrá al cabo del 7mo. año?
2.7 Caso IV: g (k) combinación de un polinomio
y una función exponencial
Ahora resolveremos relaciones recursivas de la forma
a1fk+1 + a0fk = Pn (k) + cb
k; (2.11)
donde
Pn (k) = �nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0;
es un polinomio de grado n, y b > 0 y b 6= 1. De nuevo todo el problema es
hallar una solución particular, pues la homogénea asociada no ofrece di�cultad.
La solución particular propuesta debe ser de la misma clase que g
pk =
8
<
:
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0 + �bk; si A =2 f1; bg ;
k
�
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0
�
+ �bk; si A = 1;
�nk
n + �n�1k
n�1 + � � �+ �1k + �0 + �kbk; si A = b:
donde A = �a0a1 :
26 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Ejercicio 2.19 Resolver las siguientes relaciones recursivas:
1.
�
fk+1 � 2fk = 3 � 4k + 4k;
f0 = 4:
2.
(
fk+1 � fk =
2
5
3k + k � 1;
f1 = 4:
3.
�
fk+1 � 3fk = 4 � 3k � 2k;
f0 = 2:
2.8 Ejercitación general
Ejercicio 2.20 Decidir si la funciones propuestas son o no solución de las rela-
ciones recursivas dadas (c reprsenta una constante abitraria)
Función propuesta Relación recursiva
1 fk = 3 fk � fk�1 = 0;
2 fk = c fk � fk�1 = 0;
3 fk = �3 � 5k fk = 5fk�1;
4 fk = c3k fk = 3fk�1;
6 fk = 2ck fk = cfk�1;
7 fk = k fk+1 � fk = 1;
8 fk = c+ k (k + 1) fk+2 � fk+1 = 2k + 3;
9 fk =
c
1 + ck
fk = 3fk � 1;
10 fk =
1
2
�
3k+1 + 1
�
fk+1 =
fk
1 + fk
;
11 fk = 3
�
2k+1 � 1
�
fk + 2fk�1 � 1 = 0:
Ejercicio 2.21 Hallar la solución de cada una de las siguientes relaciones re-
cursivas
1.
�
fk+1 � fk = 1;
f0 = 4:
2.
(
2fk+1 � fk = 3;
f0 =
1
2
:
3.
�
fk+1 = �2fk;
f0 = 4:
4.
8
><
>:
1
3
fk+1 �
4
3
fk = 6;
f0 =
2
3
:
5.
�
4fk � fk+1 = 1;
f1 = 2:
6.
(
4fk+1 � fk = 3;
f3 =
1
2
:
2.8. EJERCITACIÓN GENERAL 27
7.
�
fk+1 + fk = 3k + 1;
f0 = 2:
8.
(
fk+1 � 3fk = 5k2;
f0 =
1
2
:
9.
�
fk+1 = fk + 4k;
f1 = 0:
10.
�
fk+1 � fk = 2k2 + k;
f2 = 1:
11.
�
2fk+1 � 2fk = 3k � 1;
f3 = 0:
12.
(
2fk+1 + 3fk = 5 � 2k;
f0 =
1
2
:
13.
�
fk+1 � 2fk = 6 � 2k;
f0 = 1:
14.
�
fk+1 + 3fk = 2 � 4k � k;
f1 = 0:
15.
(
3fk � fk�1 =
1
3k
;
f1 = 0:
16.
(
3fk + fk+1 =
1
3k
;
f0 = 2:
17.
�
2fk�1 � fk = 4k�1 � 3k + 8;
f1 = 4:
Ejercicio 2.22 Una persona tiene hoy $ 40 000 y a partir de la segunda se-
mana gasta cada semana la tercera parte de lo que tenía la semana anterior.
¿Cuántas semanas tarda en tener menos de $ 10? ¿Cuántas semanas tarda en
gastar todo su capital?.
Ejercicio 2.23 Una compañía de seguros ofrece a sus inversionista el siguiente
esquema de pagos: cada año el inversionista tendrá un acumulado igual a 5/4
de lo que tenía el año anterior, pero le descuentan cada año una doceava parte
del total acumulado. ¿Cuánto tendrá al cabo de 8 años una persona que invierte
$ 3 000 000? ¿Cuánto tiempo tardará en duplicar su capital un inversionista
cualquiera?
Ejercicio 2.24 Se invierten hoy $ 6 000 000. Está inversión rinde un 12%
trimestralmente, i.e., cada trimestre se agrega el 12% del capital acumulado
hasta el trimestre anterior. Al comienzo del segundo trimestre se agregan $ 25
000, al comienzo del tercero $ 30 000, del cuarto $ 35 000, y así sucesivamente.
Además al �nalizar cada trimestre se retiran $ 75 000. ¿Cuál será el total acu-
mulado al cabo de 5 años? ¿Cuánto tiempo tardará en triplicar su capital el
inversionista?
28 HOOFDSTUK 2. RELACIONES RECURSIVAS
Hoofdstuk 3
Sistemas de capitalización
simple
3.1 Introducción
El tema de este libro es el valor-tiempo del dinero: escencialmente un peso hoy
no vale lo mismo que un peso dentro de un año, en el sentido de la cantidad de
bienes y servicios que podemos adquirir es diferente. Esto se debe principalmente
a dos factores: el costo de oportunidad y la in�ación.
Pero, ¿Qué es el dinero?
De�nición 3.1 El dinero es todo aquello que constituye un medio de cambio o
de pago comúnmente aceptado.
Características:
1. Carece de valor intrínseco: nos interesa porque podemos usarlo para adquirir
bienes y servicios.
2. El estado es el único que puede imprimirlo: moneda de curso legal.
3. No son sólo monedas y billetes:
(a) Monedas y billetes,
(b) Depósitos a la vista o cuentas corrientes (cheques y tarjetas débito)
y tarjetas de crédito,
(c) Bonos y acciones,
(d) Depósitos a plazos.
(e) Rentas (sueldos, jubilaciones, becas, etc.),
(f) Instrumentos �nancieros (futuros, opciones, seguros, etc.),
(g) Bienes (casas, autos, propiedades, muebles, etc.)
Los tipos de �dinero� listados arriba, están ordenado de más líquidos a menos
líquidos. Un valor es más líquido cuanto más fácil sea intercambiarlo por bienes
y servicios.
29
30 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3.1.1 Funciones del dinero
Las funciones que cumple el dinero son tres:
1. Es un depósito de valor.
2. Es una unidad de medida o cuenta.
3. Es un medio de cambio.
Decimos que el dinero es un depósito de valor pues nos permite transferir
poder adquisitivo espacial y temporalmente. El dinero que ganamos en un lugar
puede ser usado para adquirir bienes y servicios en otro lugar, y el dinero ganado
hoy puede ser intercambiado por bienes y servicios en algún momento del futuro.
Decimos que el dinero es una unidad de medida o cuenta pues es en
términos de dinero que se expresan los precios y las deudas. El dinero es el
patron con el que medimos las transacciones económicas.
Decimos que el dinero es un medio de cambio, todas las personas e insti-
tuciones aceptan intercambiar bienes y servicios por dinero.
Es claro que no todos los bienes conservan su valor el tiempo, por ejemplo las
manzanas recién cosechadas tienen claramente un valor (pueden ser intercambi-
adas por otros bienes y servicios), pero después de un tiempo es poco probable
que alguién acepte intercambiar sus bienes por lo que quede de nuestras vie-
jas manzanas. Por otro lado si deseamos adquirir algún bien en algún punto
lejano a nuestro lugar de residencia, algunos bienes son más transportables que
otros, por ejemplo, es más fácil mover oro que sandias (considereando la relación
peso/valor).
Es claro quepodríamos usar oro como depósito de valor, pero este es muy
incomodo como unidad de medida y cuenta, pues todos deberíamos disponer
de equipos (balanzas) y conocimientos de metalurgía (pues el oro viene con
distintos grados de pureza), para poder intercambiar la cantidad adecuada de
oro por los bienes y servicios que deseamos adquirir.
3.1.2 Trueque
La mejor forma de entender las funciones del dinero es imaginar como era el
mundo antes de su aparición, lo que se conoce como economía de intercambio
o trueque. El dinero es una e�caz herramienta que surgió de manera natural a
medida que las sociedades fueron desarrollando economías cada vez más com-
plejas. Las primeras sociedades tenían una economía de trueque: los bienes eran
intercambiados directamente por otros bienes. La principal desventaja de este
tipo de economías es que requiere de una doble coincidencia de deseos (tem-
poral y espacial) para que dos agentes intercambien bienes. Por ejemplo, si yo
hoy tengo peras y deseo cuchillos, debo hallar (espacial) alguién que hoy quiera
peras y que hoy tenga cuchillos (temporal). Esto lleva de manera natural a:
1. una baja división del trabajo (poca especialización),
2. una economía sencilla: sólo se pueden hacer transacciones muy sencillas.
3. es di�cíl trasladar valor temporalmente, e inclusve espacialmente.
3.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO 31
El dinero permite transacciones indirectas, y en este sentido es muy superior
al trueque, donde debe existir una doble coincidencias de deseos para realizar
intercambios.
3.1.3 Un esquema del surgimiento del dinero �duciario
El dinero que no tiene valor intrínseco se denomina dinero �duciario, ya que se
establece como dinero por decreto. Esto es lo normal en casi todos los paises de
mundo, aunque históricamente las economías utilizaron durante mucho tiempo
mercancías con valor intrínseco a modo de dinero: semillas de cacao, conchas
de mar, aceite de oliva, sal, plata, oro, etc.. Estos son ejemplos de lo que se
denomina dinero mercancía.
No es difícil de entender como surje un dinero mercancía como el oro: facilita
el intercambio (todo el mundo esta dispuesto a aceptarlo por su valor intrínseco),
es fácil de transportar (con respecto a la relación peso/valor) y además sirve para
trasladar valor en el tiempo al conservar generalmente su valor en el tiempo.
Es más di�cil entender como surje el dinero �duciario. ¿Qué hizo que la gente
comenzara a valorar algo que carece de valor intrínseco: esos pedazos de papel
que llamamos dinero? En realidad el proceso tomo varios siglos, pero se puede
resumir al siguiente esquema. En una economía que usa oro como dinero mer-
cancía, la gente debe llevar consigo bolsas con oro. Para efectuar una transacción
comprador y vendedor deben concordar en el peso y la pureza del oro a ser in-
tercambiado por el servicio o mercancía. Este proceso de pesado y veri�cación
de la pureza lleva su tiempo y requiere de conocimientos de metalurgía. Para
simpli�car la operación y reducir sus costes el gobierno decide acuñar monedas
de oro de un peso y pureza conocidos. Están monedas son más fáciles de llevar
y usar que el oro en bruto. Al poco tiempo todo el mundo usa las monedas y
casi no circula oro sin acuñar. Luego, el gobierno y los bancos empiezan a emitir
certi�cados de oro: trozos de papel que dicen que Juan Perez tiene 12 kg. de oro
el banco tal o cual, o certi�cados de oro del gobierno que dicen, por ejemplo,
vale por medio kilo de oro. La gente empieza a aceptar estos papeles, y los van
a canjar por oro (al banco o al ayuntamiento). Una vez que la gente comienza a
veri�car la veracidad de estas promesas de pago, y al ser más fáciles de guardar
y llevar, estos certi�cados se vuelven tan valiosos como el mismo oro y a la
larga nadie lleva oro, sino estos certi�cados o�ciales respaldados por oro: los
certi�cados se convierten en el patron monetario. Ya solo resta un paso para el
surgimiento del dinero �duciario: si nadie se molesta en canjear los billetes por
oro, el respaldo del oro deja de ser relevante. Mientras todo el mundo continue
aceptando los billetes de papel, estos tendrán valor y servirán de dinero.
3.2 Valor-tiempo del dinero
La matemática �nanciera se ocupa de modelar el efecto del tiempo sobre el
valor nominal del dinero. Es lo que llamaremos el valor-tiempo del dinero. El
siguiente par de ejemplos clari�ca la cuestión:
Ejemplo 3.2 Tener hoy $ 1.000 es mejor que tener (hoy) sólo $ 50.
Ejemplo 3.3 Es mejor tener $ 100 hoy que tener $ 100 dentro de un año.
32 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
De este par de ejemplos podemos concluir:
Conclusión 3.4 De dos montos disponibles al mismo instante de tiempo, prefe-
rimos el mayor.
Conclusión 3.5 De dos montos iguales disponibles en diferentes momentos,
preferimos el monto disponible antes.
Problema 3.6 En base a las conclusiones anteriores. ¿Qué es mejor? $ 100
hoy o $ 75 dentro de un año.
El problema surge al comparar montos distintos disponibles en diferentes
momentos del tiempo (donde el monto futuro es mayor que el monto presente):
¿Qué es mejor, $1.000 hoy, o $1.350 dentro de un año?
Todo depende del agente considerado y de su costo de oportunidad. El
costo de oportunidad hace referencia al hecho de que cada vez que optamos
por una cosa, hay un universo de alternativas que desechamos. La alternativa
desechada de mayor rendimiento es el costo de oportunidad en el que incurrimos
al tomar una decisión.
Volviendo a nuestro problema de decidir que es mejor, si $ 1.000 hoy o $
1.350 dentro de un año. Si el agente puede invertir los $ 1.000 de hoy y ganar
con certeza $ 500 extras al cabo de un año, a �n de año tendrá $ 1.500, lo que
es mejor que los $ 1 350. Para este agente $ 1.000 pesos hoy son mejores que
$ 1.350 dentro de un año (su costo de oportunidad es mayor que el rendimieno
ofrecido al agente). Para otro agente los $ 1.000 hoy son lo mismo que $ 1.350
dentro de un año, en el sentido de que el puede invertir estos $ 1.000 en alguna
otra opción de inversión y obtener la misma ganancia de $ 350 al cabo de un
año. Este agente es indiferente entre $ 1.000 hoy o $ 1.350 a �n de año. Para
�nalizar, para un tercer agente $ 1.000 hoy es una peor inversión que recibir $
1.350 a �n de año, pues todas las otras alternativas de inversión que posee le
reportan al cabo de un año menos de $ 350 de ganancia.
En el análisis anterior la noción suyacente es la de equivalencia �naciera:
De�nición 3.7 Dos capitales C1 y C2, impuestos en momentos t1 y t2, re-
spectivamente, son �nancieramente equivalentes para un agente dado, si el
agente es indiferente entre ellos: el valor del capital C1 al momento t2 es igual
a C2 (recíprocamente el valor del capital C2 al momento t1 es igual a C1):
C2 al momento t1 = C1
C1 al momento t2 = C2
C1
t1
(C1; t1)
C2
t2
(C2; t2)
equivalentes
Nota 3.8 Cada cantidad de dinero debe ser informada junto con el instante de
tiempo en que esta disponible, i.e., en matemáticas �nancieras (implícitamente)
trabajamos con pares
(monto; tiempo)
3.2. VALOR-TIEMPO DEL DINERO 33
Para medir el rendimiento de una inversión introducimos otro concepto fun-
damental ,la noción de tasa de interés. Recordemos que una tasa es una
medida de la magnitud relativa de cambio: Si una cantidad cambia de Ci a Cf
en un período de tiempo dado, la tasa de cambio es
t :=
Cf � Ci
Ci
:
Gra�camente
t =
Cf�Ci
Ci
Ci Cf
Cuando pasamos de Ci a Cf , podemos pensar que cada unidad pasa de 1 a
1 + t pues
(1 + t)Ci = Cf : (3.1)
Ejemplo 3.9 Al invertir $ 1.000, obtenemos una ganancia de $ 1.350, tenemos
que la tasa de rendimiento asociada es
t =
1:350� 1:000
1:000
= 0; 35
Observe que la tasa es una magnitud adimensional, aunque implícitamente
está asociada a una unidad de tiempo:
el período de tiempo entre Ci y Cf .
Ejemplo 3.10 Continuando con el ejemplo anterior, si los $ 1.000 pasan a $
1.350, en un día, o en un mes, o en un año, son tres situaciones muy distin-
tas, aunque les corresponda la misma tasa. Por eso agregaremos la información
temporaly hablaremos de una tasa 0,35 diaria, o de una tasa 0,35 mensual, o
de una tasa 0,35 anual.
t = 0:35
$1000 $1350
1 día
t = 0:35
$1000 $1350
1 mes
t = 0:35
$1000 $1350
1 año
34 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
De�nición 3.11 Un k-período de tiempo, es una unidad temporal que cabe k
veces el año.
Por ejemplo, un 12-período es un mes: 12 meses hacen un año, un 365-
período es un día: pues en un año caben 365 días, un 6-período es un bimestre:
6 bimestres hacen un año, etc.
k-período tiempo
1-período año,
2-período semestre,
3-período cuatrimestre,
4-período trimestre,
6-período bimestre,
12-período mes,
52-período semana,
360-período día comercial,
365-período día civil.
Nota 3.12 Observe que en t años entran
k � t k-períodos,
por ejemplo, en 3 años hay 12 � 3 = 36 12-períodos, i.e., 36 meses; en 2.5 años
hay 52 � 2; 5 = 130 52-períodos, i.e., 130 semanas.
De�nición 3.13 Una tasa k-períodica t, es una tasa t que actua sobre un
k-período, i.e., nos dice cuanto cambia una unidad en un k-período de tiempo.
Diremos que una tasa k-períodica capitaliza k veces en un año. También se
suele decir que la tasa tiene frecuencia de capitalización k. Por ejemplo una tasa
mensual, capitaliza 12 veces en el año o, lo que es lo mismo, tiene frecuencia de
capitalización 12.
En el día a día, las tasas son informadas como porcentajes (i.e., numeradores
de cocientes de denominador 100) junto con una unidad temporal. Por ejemplo
una tasa mensual del 22,3 % hace referencia a una tasa 0; 223 12-períodica.
Para hallar la tasa asociada a una tasa tporcentual informada porcentualmente
hacemos
t =
tporcentual
100
En matemática �nancieras usaremos i(k) para denotar una tasa k-períodica.
Las más usadas son:
i anual,
i(2) semestral,
i(3) cuatrimestral,
i(4) trimestral,
i(6) bimestral,
i(12) mensual,
i(52) semanal,
i(360) diaria comercial,
i(365) diaria civil.
3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 35
Nota 3.14 Observar que en lugar de i(1) para la tasa anual se usa simplemente
i.
De�nición 3.15 Dados un capital original Co en un instante de tiempo to y
un capital �nal Cf en un instante de tiempo posterior tf . Llamaremos interés
I a la diferencia
I := Cf � Co
Si tf � to es un k-período, hay una tasa k-períodica asociada:
i(k) =
Cf � Co
Co
De donde se deduce una relación inmediata entre el interés I y la tasa k-períodica
i(k):
I = Coi
(k)
Sea i(k) la tasa k-períodica que podemos obtener, para cualquier capital C
disponible el día de hoy podemos hallar un capital equivalente un k-período en
el futuro Cf o un k-período hacia el pasado Cp.
Cf =
�
1 + i(k)
�
C
Cp =
C�
1 + i(k)
�
Cuando movemos un capital hacia el futuro en matemáticas �nanceras se habla
de capitalización. Mientras que si lo movemos hacia el pasado se habla de
actualización.
C Cf
Capitalización
un k-período hacia el futuro
Cp C
Actualización
un k-período hacia el pasado
Pero típicamente debemos movermos más de un período, hacia atrás o hacia
adelante. Cuando debemos calcular los intereses de varios períodos surge un
interrogante natural: Los intereses de un período deben ser considerados o no
para el cálculo de los intereses del período siguiente. El cómo se hace esto recibe
el nombre de ley �nanciera.
3.3 Sistema de capitalización simple
El sistema de capitalización simple es la ley �nanciera que establece que los
intereses generados en un período dado no son considerados para el cálculo de
los intereses del período siguiente.
De�nición 3.16 Se llama capitalización simple a la ley �nanciera que es-
tablece que los intereses de cada período se calculan sobre el mismo capital
inicial o principal.
36 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Dado un capital inicial C0, una tasa de capitalización p-períodica i(p) y n
p-períodos tenemos que los intereses de cada período son iguales:
I1 = I2 = � � � = In = C0i(p)
El interés total IT es, por de�nición, la suma de los intereses de cada uno de
los períodos considerados:
IT :=
nX
h=1
Ih
= nC0i
(p)
Dado h 2 f1; :::; ng, el capital acumulado hasta el momento h, es el capital
acumulado hasta el período anterior, h� 1, más los intereses generados:
Ch = Ch�1 + C0i
(p);
con la condición inicial C0 := Co (a la izquierda es capital a momento cero, a
la derecha tenemos el capital inicial u original). Por lo que usando la teoría de
relaciones recursivas ya desarrollada, caso g (k) = cte, con A = 1, concluimos
que:
Ch = C0 + C0i
(p)h
= C0
�
1 + hi(p)
�
(3.2)
para 0 � h � n.
tiempo
$
0 1 2 3 n� 1 n
C0 C0 C0 C0 C0 C0
I1 I1 I1 I1 I1
I2 I2 I2 I2
I3 I3 I3
In�1 In�1
In
C0
C1
C2
C3
Cn�1
Cn
IT
3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 37
En particular
Cn = C0
�
1 + ni(p)
�
(3.3)
la cual es la fórmula habitual en la literatura.
Nota 3.17 Note que en la fórmula (3.3) existe una relación temporal entre los
capitales Cn y C0.
Esta en el futuro
(a la derecha)
del capital C0z}|{
Cn = C0|{z}
Esta en el pasado
(a la izquierda)
del capital Cn
�
1 + ni(p)
�
Nota 3.18 Se puede deducir de la formula (3.3) con un argumento inductivo:
El capital al �nal del primer período, C1, es la suma de C0, el capital al inicio
del período, más C0i(p), los intereses generados durante este período:
C1 = C0 + C0i
(p)
Similarmente C2, el capital al �nal del segundo período, es la suma de C1, el
capital al inicio del período, más C0i(p), los intereses generados durante este
período
C2 = C1 + C0i
(p)
pero como C1 = C0 + C0i(p), obtenemos
C2 = C0 + C0i
(p) + C0i
(p)
= C0 + 2C0i
(p)
Análogamente C3, el capital al �nalizar el tercer período, es la suma de C2, el
capital al comienzo del período, más C0i(p), los intereses generados durante este
período:
C3 = C2 + C0i
(p)
y ya que C2 = C0 + 2C0i(p), obtenemos
C3 = C0 + 3C0i
(p)
De estas expresiones podemos inferir inductivamente que el capital acumulado
al momento n será
Cn = C0 + nC0i
(p) (3.4)
tiempo
Cn�1
n� 1
Cn
n
i(k)
(modi�car dibujo)
38 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
La fórmulas (3.2) y (3.3) nos indican como se traslada un capital de un in-
stante de tiempo dado a otro de forma �nancieramente equivalente. Por ejemplo,
a una tasa mensual del 1,2 %, $ 200 pesos son �nancieramente equivalentes a $
216,8 en 7 meses (usando capitalización simple):
216; 8 = 200 (1 + 7 � 0; 012)
Nota 3.19 En la fórmula (3.3) aparecen 4 variables relacionadas:
capital inicial C0
capital �nal Cn
tiempo n
tasa i(p)
Unas observaciones al respecto:
1. El problema tipo es: dadas tres magnitudes hallar la cuarta. Por lo que
tenemos problemas donde debemos hallar el capital �nal Cn (se les suele
llamar problemas de capitalización), una variación de este tipo de proble-
mas es hallar el interés total generado. Problemas donde debemos hallar el
capital inicial C0 (se les suele llamar problemas de actualización). Prob-
lemas donde debemos hallar el tiempo n, y �nalmente problemas donde
debemos hallar la tasa i(p).
2. Dimensionalmente hablando, C0 y Cn son dinero. El tiempo y la tasa deben
ser dimensionalmente compatibles: si la tasa es k-períodica, el tiempo debe
estar dado en p-períodos, por ejemplo, si la tasa es mensual, n debe ser
una cantidad de meses. Similarmente si n es una cantidad de trimestres,
la tasa debe ser trimestral: una i(4).
Ejemplo 3.20 Calcular el capital �nal o montante de $ 2.500.000 al 15 %
anual, colocado durante a) 20 días, b) 3 meses, c) 4 cuatrimestres, d) 5 años,
e) t p-períodos.
Todo el problema es compatibilizar las unidades temporales de los intervalos
de tiempo y la tasa. Por ahora sólo podemos convertir los distintos períodos de
tiempo a años:
Ejemplo 3.21 a) 20 días son 20365 años, por lo que al cabo de 20 días tendremos
C20 días = C 20
365 años
= 2:500:000
�
1 +
20
365
0; 15
�
= 2520547; 9452 pesos.
b) 3 meses son 312 años, por lo que al cabo de 3 meses tendremos
C3 meses = C 3
12 años
= 2:500:000
�
1 +
3
12
0; 15
�
= 2593750 pesos.
c) 4 cuatrimestres son 43 años, por lo que al cabo de 4 cuatrimestres ten-
dremos
C4 cuatrimestres = C 4
3 años
= 2:500:000�
1 +
4
3
0; 15
�
= 3:000:000 pesos.
3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 39
d) Al cabo de 5 años tendremos
C5 años = 2:500:000 (1 + 5 � 0; 15) = 4:375:000 pesos.
e) En general si tenemos t p-períodos, tenemos tp años, por lo que tendremos
Ct p�per�{odos = C t
k
años = C0
�
1 +
t
p
i
�
Ejemplo 3.22 Hoy extraemos del banco $ 281.300. ¿Cuál fue el capital origi-
nal, o principal, si nos han pagado una tasa mensual del 32% y el depósito fue
pactado a 15 meses?
Sabemos que
Cn = C0
�
1 + ni(p)
�
de donde
C0 =
Cn
1 + ni(p)
(3.5)
y como hay compatibilidad temporal entre la tasa y la unidad temporal, ambas
son mensuales:
C0 =
281:300
1 + 15 � 0; 32
= 48:500
i.e., debimos depositar hace 15 meses la suma de $ 48.500 a una tasa mensual
del 32% para poder extraer hoy $ 281.300.
Ejemplo 3.23 Determinar el interés total obtenido al depositar $ 15.000 a
plazo �jo por el término de 6 bimestres a una tasa bimestral del 14%.
Otra forma de de�nir el interés total: es la diferencia entre el capital �nal y
el capital inicial.
IT = C�nal � Coriginal
Veamos que esta de�nición es equivalente a la dada previamente:
IT = Cn � C0
= C0
�
1 + ni(p)
�
� C0
= C0ni
(p) (3.6)
Reemplazando
IT = 15:000 � 6 � 0; 14
= 12:600
Esto nos dice que un plazo �jo de $ 15.000 a 6 bimestres, a una tasa bimestral
del 14% producen un interés total de $ 12.600.
Ejemplo 3.24 Hallar el capital que produce unos intereses de $ 12.787,5 al
cabo de 75 días, a una tasa diaria del 0,31%.
40 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Del problema anterior sabemos que
IT = C0ni
(p)
(donde n es una cantidad de p-períodos). Luego
C0 =
IT
ni(p)
(3.7)
reemplazando
C0 =
12:787:5
75 � 0; 0031
= 55:000
Por lo tanto unos $ 55.000 producen un interés de $ 12.787,5 al cabo de 75
días, a una tasa diaria del 0,31%.
Ejemplo 3.25 Depositamos en un banco $ 450.000 y al cabo de 18 meses nos
entregan $ 820.601,52. ¿Cuál es la tasa mensual que nos pagó el banco?
Como
Cn = C0
�
1 + ni(p)
�
tenemos que
i(p) =
Cn � C0
nC0
(3.8)
Luego
i(12) =
820:601; 52� 450:000
18 � 450:00
= 0:045753274
i.e., el banco nos pagó una tasa mensual del 4,5753274%.
Ejemplo 3.26 Durante cuantos días hay que imponer un capital de $ 3.500.000
a una i(4) = 0; 2455, para obtener no menos de $ 5.100.000.
Como
Cn = C0
�
1 + ni(p)
�
de donde depejamos n
n =
Cn � C0
C0i(p)
(3.9)
Ahora nosotros deseamos
9:100:000 � 3:500:000 (1 + n � 0; 2455)
luego
n � 9:100:000� 3:500:000
3:500:000 � 0; 2455
� 6:517311609
luego debemos imponer el capital al menos 7 días.
3.3. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE 41
Nota 3.27 El sistema de capitalización simple esta prácticamente en desuso.
En la actualidad la capitalización compuesta es el sistema más usado (en sus
versiones discreta y continua), el cual será estudiado en los capitulos subsigu-
ientes.
Ejercicio 3.28 Calcular el capital �nal o montante que se obtendrá al colocar $
25.500 a 6 meses a una tasa anual del 12,5%. ¿A cuánto ascienden los intereses
totales?
Ejercicio 3.29 Calcular el montante que producirá un capital de $ 724.230,
colocado al 7% semestral durante 4 años.
Ejercicio 3.30 Determinar el interés obtenido por una empresa que efectuó un
depósito a plazo �jo por el término de 30 días, con excedentes de fondos por $
80.000 a una tasa del 11 % anual.
Ejercicio 3.31 Obtenga los intereses totales que produce un capital de $ 22.300.000
impuestos al 3% trimestral durante 36 meses.
Ejercicio 3.32 Hallar el capital necesario para producir un interés de $ 1.030
en una colocación por un plazo de 50 días en una entidad bancaria al 18 %
anual.
Ejercicio 3.33 Los intereses al cabo de un año, calculados según el año civil,
de un C capital ascienden a $ 784.720 ¿A cuánto ascenderán según el año
comercial (suponer i(360) = i(365))?
Ejercicio 3.34 Hace 87 días invertimos una cierta suma de dinero al 0,02%
diario a interés simple. Hoy nos entregan $ 75.420,50 ¿Cuál fue el monto in-
vertido originalmente?
Ejercicio 3.35 Depositamos en un banco $ 150.000 y al cabo de 8 meses nos
entregan $ 160.672,50. ¿Cuál es la tasa de interés que nos pagó el banco?
Ejercicio 3.36 Un inversor reembolsará $ 499.500,50 por un depósito concer-
tado a 90 días por $ 300.700. Averiguar la tasa anual pactada.
Ejercicio 3.37 Hallar la tasa anual necesaria para que un depósito por $ 11.000
reditúe al inversor en 180 días, la mitad de la colocación.
Ejercicio 3.38 ¿Cuál es la tasa de interés p-períodica que nos permite duplicar
el capital al cabo de n p-períodos?
Ejercicio 3.39 ¿Cuánto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un
capital al 5% bimestral?
Ejercicio 3.40 ¿Cuántos períodos son necesarios para duplicar un capital a
una tasa p-períodica i(p)? Y para triplicarlo. Y para obtener un múltiplo dado.
Ejercicio 3.41 Una empresa con excedentes de fondos por $ 200.000 efectúa
dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 días al 1,5%
mensual, y otra durante 15 días al 1,25% mensual. Averiguar los importes de
los depósitos, sabiendo que las inversiones producen igual interés.
42 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejercicio 3.42 Ud. posee $ 355.000. Decide invertilos en dos proyectos que le
pagarán respectivamente el 1,2 % bimestral y el 2,1% trimestral. Qué porcentaje
de sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto en
concepto de intereses al cabo de 6 meses. Si ahora deseamos que ambos proyectos
nos paguen los mismos intereses totales a lo largo de 1 año ¿cuánto deberemos
poner en cada uno de los proyectos?
Ejercicio 3.43 Un capital por $ 38.000 se impuso a interés simple durante 7
días al 11,2%; luego el mismo capital por el término de 15 días al 11,7%; y por
último se consiguió colocarlo 30 días al 13,5%. Calcular el interés total y la tasa
real de la operación citada.
Ejercicio 3.44 Una empresa coloca excedentes de fondos en las siguientes al-
ternativas:
1. Mercado de �nanciamiento o�cial, $ 86.000 al 12%.
2. Mercado de �nanciamiento marginal, $ 72.000 al 18,5%.
Determinar el plazo de las colocaciones que le permiten percibir montos
iguales.
Ejercicio 3.45 Se desea saber cómo in�uirá una comisión de gastos �ja sobre
el rendimiento de una inversión. A este efecto se nos comenta que, cualquiera
sea la inversión, la comisión ascenderá a $ 3.000. ¿Qué incidencia tendrá so-
bre nuestra inversión de $ 2.000.000 al 12%?, i.e., ¿Cuál es la tasa real de la
operación?. ¿Y si la inversión fuera de $ 500.000 al mismo tipo?
3.4 Equivalencia de tasas
Consideremos las siguientes operaciones: colocar $ 100 al 12% anual durante un
año, colocar los mismos $ 100 al 1% mesual también durante un año. Ambas
producen idéntico capital �nal o montante.
100 (1 + 0; 12) = 112 = 100 (1 + 12 � 0; 01) :
Este es un ejemplo de tasa equivalentes, uno de los conceptos fundamentales de
matemáticas �nancieras:
De�nición 3.46 Diremos que dos tasas i(p) y i(q), son equivalentes, bajo una
ley �nanciera dada, si aplicadas a un mismo capital inicial, producen idéntico
capital �nal durante un mismo intervalo de tiempo, aunque tengan distinta fre-
cuencia de capitalización (p 6= q).
t años
C0 Cf
ip
iq
3.4. EQUIVALENCIA DE TASAS 43
Ahora podemos deducir la ecuación fundamental de equivalencia de tasas
en el sistema de capitalización simple: Supongamos que un capital inicial C0 es
impuesto durante t años, donde t > 0 es un número real (no necesariamente
entero). La tasa p-períodica i(p) y la tasa q-períodica i(q), con p; q 2 Z+, son
equivalentes si producen idéntico capital �nal:
C0
�
1 + tpi(p)
�
= Cf = C0
�
1 + tqi(q)
�
;
Al simpli�car nos queda
pi(p) = qi(q):
Por lo tanto:
Proposición 3.47 Dados p; q 2 Z+, en el sistema de capitalización simple
dos tasas i(p) y i(q), son �nancieramente equivalentes si cumplen la siguiente
relación de proporcionalidad:
pi(p) = qi(q): (3.10)
Ejemplo 3.48 ¿Cuál es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del
7%?
Una tasa mensual es una i(12), mientras que una trimestral es una i(4) (recor-
dar que hay 4trimestres en un año). Usando la ecuación (3.10) de equivalencias
de tasas:
12i(12) = 4i4;
12i(12) = 4 � 0; 07
i(12) =
0; 28
12
i(12) = 0; 02333333 : : :
Esto nos dice que es lo mismo poner $ 1.000 durante 6 meses a una tasa trimestral
del 7%, que ponerlos a una tasa mensual del 2.33333...%.
1000 (1 + 2 � 0; 07) = 1:140 = 1:000 (1 + 6 � 0; 02333333 : : :) ;
O que es lo mismo poner $ 500 durante 8 meses con cualquiera de estas dos
tasas:
500
�
1 +
8
3
0; 07
�
= 593:33333 : : : = 500 (1 + 8 � 0; 02333333 : : :)
Nota 3.49 Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de la
propia dedución de fórmula (3.10), la equivalencia de tasas en capitalización
simple es independiente del intervalo de tiempo considerado: Si dos tasas pro-
ducen igual montante al cabo de t1 años, producirán igual montante al cabo de
t2 años.
Ejercicio 3.50 Dada una i(2) = 0; 03, hallar la i(k) equivalente para k 2 f1; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g.
Ejercicio 3.51 Dada una tasa de interés anual del 25%. Hallar las tasas
subperíodicas equivalentes, i.e., hallar i(k) equivalente a la tasa dada para
k 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g. Expresar los resultados usando porcentajes.
44 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejercicio 3.52 Demostrar que si i(365) y i(360) son equivalentes (a capital-
ización simple) entonces
i(365)
i(360)
=
72
73
Ejercicio 3.53 Dados p; q 2 Z+, y un número real c > 0. Si
i(p) = c = i(q);
para cualquier C0 > 0 (dinero) y cualquier t > 0 (tiempo en años) demostrar
que
C0
�
1 + tpi(p)
�
< C0
�
1 + tqi(q)
�
;
si y sólo si
p < q:
Es decir, dadas dos tasas de igual nominal, la que capitaliza con mayor frecuen-
cia produce mayor montante.
Un problema habitual es comparar entre diferentes inversiones, y decidir cual
tiene mayor rendimiento. Consideremos las siguientes inversiones:
1. Invertir $ 1.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes.
2. Invertir $ 1.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un año.
3. Invertir $ 5.000 nos da una ganacia de $ 250 al cabo de un mes.
4. Invertir $ 900 nos da una ganacia de $ 450 al cabo de 2 meses.
Es facil concluir que la inversión 1 rinde más que la inversión 2 y que la
inversión 3, pero es más di�cil decidir si rinde más o menos que la inversión
4. En general, lo mejor es comparar tasas de rendimiento de cada una de las
operaciones consideradas. La inversión 1 tiene una tasa mensual de rendimiento
t
(12)
1 = 0; 25
mientras que la tasa de rendimiento de la inversión 4 es bimestral
t
(6)
4 = 0; 5
Para decidir cual es mejor, hayamos la mensual equivalente a t(6)2
6t
(6)
4 = 12t
(12)
4
6 � 0; 5 = 12t(12)4
luego
t
(12)
4 = 0; 25
Como ambas operaciones tienen el mismo rendimiento mensual (medido por sus
respectivas tasas mensuales de rendimiento)
t
(12)
1 = 0:25 = t
(12)
4 ;
Decimos que ambas inversiones rinden lo mismo.
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 45
Ejercicio 3.54 Cuál inversión es mejor
Opción 1 Opción 2
1)
$ 1.100 producen una ganacia
de $ 250 un mes.
$ 850 producen una ganacia
de $ 460 en dos meses.
2)
$ 1.200 producen una ganacia
de $ 450 un año.
$ 6.500 producen una ganania
de $ 500 en 20 semanas
Ejercicio 3.55 ¿Qué oferta es más conveniente para una persona que desea
comprar una casa: $ 40.000 iniciales y $ 60.000 al cumplirse los 6 meses o $
60.000 iniciales y $ 40.000 al cumplirse el año? La tasa a usar es del 6% anual.
3.5 Equivalencia �nanciera de dos series de cap-
itales
Una vez que sabemos calcular el equivalente �nanciero de un capital para
distintos momentos, podemos veri�car cuando dos series de capitales son �-
nancieramente equivalentes, este último es el segundo concepto fundamental de
las matemáticas �nancieras.
De�nición 3.56 Una serie de capitales A1; A2; : : : ; An disponibles en los mo-
mentos ta1 ; t
a
2 ; : : : ; t
a
n, es equivalente a la serie de capitales B1; B2; : : : ; Bm disponibles
en los momentos tb1; t
b
2; : : : ; t
b
m, a una fecha focal f , para un agente dado (tasa),
bajo una ley �nanciera dada (sistema), si
nX
j=1
Aj al momento f =
mX
j=1
Bj al momento f: (3.11)
A1 A2 A3 Anf
B1 B2 B3 Bm
Pm
j=1Bj al momento f
Pn
j=1Aj al momento f
El equivalente �nanciero de un capital dado, a la fecha focal f y a una tasa
p-períodica i(p) en el sistema de capitalización simple es
Aj al momento f = Aj
�
1 + jf � tj j i(p)
�sgn(f�tj)
Nota 3.57 De�nimos la función signo como:
sgn (x) :=
8
<
:
1 si x > 0
0 si x = 0
�1 si x < 0
46 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
De donde, si f > tj (capitalización)
Aj al momento f = Aj
�
1 + (f � tj) i(p)
�
si f = tj
Aj al momento f = Aj
y si f < tj (actualización)
Aj al momento f =
Aj
1 + (tj � f) i(p)
En todas las fórmulas anteriores f y tj estan expresados en p-períodos, para que
sean compatibles con la tasa usada.
En particular para el sistema de capitalización simple tenemos que la de�ni-
ción de equivalencia de capitales toma la forma
De�nición 3.58 Una serie de capitales A1; A2; : : : ; An disponibles en los mo-
mentos ta1 ; t
a
2 ; : : : ; t
a
n, es equivalente a la serie de capitales B1; B2; : : : ; Bm disponibles
en los momentos tb1; t
b
2; : : : ; t
b
m, a una fecha focal f , para una tasa p-períodica
i(p), en el sistema de capitalización simple si
nX
j=1
Aj
�
1 +
��f � taj
�� i(p)
�sgn(f�taj )
=
mX
h=1
Bh
�
1 +
��f � tbh
�� i(p)
�sgn(f�tbh)
:
(3.12)
Nota 3.59 Es claro que despejar f de la ecuación (3.13) es casi siempre im-
posible, y son necesarios métodos numéricos para hallar f , en particular suele
ser útil usar soft mátematico como Matlab, Maple V, Mathematica, o Derive,
en cualquiera de sus versiones. (los valores de f1 y f2 se obtubieron con Maple
V Release 4, version 4.00c (1996), student edition).
El problema típico (el cual no implica el uso de computadoras) es: dada una
serie de capitales, hallar una segunda serie �nancieramente equivalente. En el
sistema de capitalización simple, lo matemáticamente correcto es llevar todos los
capitales al origen de la serie conocida, porque no se deben usar los intereses en
los cálculos, lo cual no siempre es posible, ya que muchas veces desconoceremos
la fecha de origén de la operación.
Ejemplo 3.60 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres
meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y último de $ 500 a los 9 meses.
Por razones de �ujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos
3 pagos por 2: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar
a los 10 meses. Se conviene una tasa de 2.5% mensual. Calcular el monto del
último pago usando la siguientes fechas focales: el origen, a los 6 meses, a los
10 meses.
Debemos igualar los valores de ambas operaciones a la fecha focal dada:
valor de la
operación original
a la fecha focal f
=
valor de la
operación nueva
a la fecha focal f
Fecha focal el origen: f = 0
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 47
meses0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ 400 $ 300 $ 500
$ 500 C
fecha focal
Serie (operación) original
Serie (operación) nueva
Nota 3.61 Convendremos en dibujar las series originales debajo del eje tem-
poral, y pondremos las series nuevas sobre el mencionado eje.
Tenemos que actualizar todos los capitales al momento cero:
400
1 + 3 � 0:025 +
300
1 + 6 � 0:025 +
500
1 + 9 � 0:025 =
500
1 + 5 � 0:025 +
C
1 + 10 � 0:025
1041:125854 = 444:4444445 +
C
1:25
;
de donde concluimos que
C = 745:8517624:
Fecha focal a los seis meses: f = 6
meses0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ 400 $ 300 $ 500
$ 500 C
fecha focal
Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos
serán capitalizados (los que están disponibles antes de los 6 meses), otros serán
actualizados (los disponibles en fechas posteriores), y los disponibles a los 6
meses no cambian
400 (1 + 3 � 0:025)| {z }
Capitalización
+ 300|{z}
Sin cambios
+
500
1 + 3 � 0:025| {z }
Actualización
= 500 (1 + 0:025) +
C
1 + 4 � 0:025
1195:116279 = 512:500 +
C
1:1
;
de donde
C = 750:877907
48 HOOFDSTUK3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo 3.62 Finalmente tomaremos como fecha focal a los 10 meses: f = 10:
meses0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ 400 $ 300 $ 500
$ 500 C
fecha focal
Todos los capitales, salvo C, deben ser capitalizados:
400 (1 + 7 � 0:025) + 300 (1 + 4 � 0:025) + 500 (1 + 0:025) = 500 (1 + 5 � 0:025) + C
1312:5 = 562:500 + C;
de donde
C = 825:
Ejercicio 3.63 ¿Con qué cantidad se cancela hoy día, un préstamo que se con-
siguió dos meses antes habiéndose �rmado dos documentos; uno con valor nom-
inal de $ 600 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 750 de
valor nominal y vencimiento a 5 meses del préstamo?. Suponga intereses del
20% anual. (Respuesta: $ 1 296.63).
Ejercicio 3.64 Una deuda de $ 2 000 con intereses del 5% anual vence en un
año. Si el deudor paga $ 600 a los 5 meses y $ 800 a los 9 meses. Hallar el
saldo de la deuda en la fecha de vencimiento. (Respuesta: $ 573.22).
Ejercicio 3.65 El señor X debe $ 500 con vencimiento en 2 meses, $ 1 000 con
vencimiento en 5 meses y $ 1 500 con vencimiento en 8 meses. Si desea saldar
las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro
con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo
un interés del 6% anual, tomando como fecha focal la fecha del último pago: 10
meses.
Problemas con almanaque
Ejercicio 3.66 El 10 de enero del corriente año se otorga un préstamo am-
parado con dos pagarés con vencimientos al 15 de marzo y al 3 de mayo, por
$ 1 300 y $ 800 respectivamente. Poco después, se conviene en cancelarlo con
tres pagos: el primero por $ 500 el 20 de febrero, el segundo por $ 1 000 el 30
de abril y el tercero el día 10 de junio, ¿De qué cantidad es este último pago si
se cargan intereses del 30% mensual y se establece el 15 de marzo como fecha
de referencia?, ¿A cuánto asciende el monto del préstamo?.
Ejercicio 3.67 Sea desea sustituir el pago de 3 capitales de $ 12 725, $ 11
022 y $ 8 774, con vencimiento los días 15 de mayo, 4 de junio y 25 de junio,
respectivamente, por uno único el día 1 de junio; ¿a cuánto ascenderá el capital
si se aplica un 6% anual a la operación? Año civil. Fecha de operación: 15 de
mayo. (Respuesta: $ 32 516).
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 49
Ejercicio 3.68 Deseamos sustituir dos pagares de $ 14 500 y $ 12 300, con
vencimientos el 12 de abril y el 15 de junio, respectivamente, por otros tres de
igual monto, con vencimientos 10 de mayo, 10 de junio y 10 de agosto. Resolver
el problema usando:
fecha focal tasa
1) 8 de enero 1.2% mensual,
2) 12 de abril 1.2% mensual,
3) 10 de junio 1.2% mensual,
4) 10 de agosto 1.2% mensual,
5) 15 de septiembre 1.2% mensual,
6) 8 de enero 0.05% diario (365),
7) 8 de enero 0.05% diario (360),
8) 12 de abril 2.4% mensual,
9) 12 de abril 0.6% mensual.
De la fórmula (3.12) es claro que en el sistema de capitalización simple dos
series de capitales pueden ser equivalentes para algunas fechas focales y para
otras no.
Ejemplo 3.69 Usando una tasa anual i = 0:45 (es decir una tasa del 45 %
anual), veamos a que fechas focales la serie de capitales: $ 130 000 hoy, $ 100
000 a los dos años y $ 150 000 a los 4 años, es equivalente a la serie de $ 350
000 a los 3 años y $ 400 000 a los 5 años.
El esquema de las series de capitales es
años
0 1 2 3 4 5
$ 130000 $ 100000 $ 150000
$ 350000 $ 400000
El valor de la serie de capitales: $ 130 000 hoy, $ 100 000 a los 2 años y $
150 000 a los 4 años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa anual i = 0:45
es V1(f) :=
130000 (1 + 0:45 jf j)sgn(f) + 100000 (1 + 0:45 jf � 2j)sgn(f�2)
+150000 (1 + 0:45 jf � 4j)sgn(f�4)
El valor de la serie de capitales: $ 250 000 dentro de 3 años y $ 450 000 dentro
de 5 años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa anual i = 0:45 es V2(f) :=
350000 (1 + 0:45 jf � 3j)sgn(f�3) + 400000 (1 + 0:45 jf � 5j)sgn(f�5)
Por ejemplo, si escogemos como fecha focal dos años hacia adelante a partir de
hoy, f = 2; tenemos el siguiente �ujo
50 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
años
0 1 2 3 4 5
$ 130000 $ 100000 $ 150000
$ 350000 $ 400000
f = 2
De donde deducimos los siguientess valores para V1 y V2
V1 (2) = 130000 (1 + 0:45 j2j)sgn(2) + 100000 (1 + 0:45 j2� 2j)sgn(2�2)
+150000 (1 + 0:45 j2� 4j)sgn(2�4)
= 130000 (1 + 2 � 0:45) + 100000 + 150000
1 + 2 � 0:45
= 425947:3684
V2(2) = 350000 (1 + 0:45 j2� 3j)sgn(2�3) + 400000 (1 + 0:45 j2� 5j)sgn(2�5)
=
350000
1 + 0:45
+
400000
1 + 3 � 0:45
= 411592:0763
La siguente grá�ca muestra los valores de las funciones V1 y V2, en rojo la
primera y en azul punteada la segunda, para fechas focales entre 0 y 6 años.
Notar que las unidades del eje y son cientos de miles de pesos.
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 51
f en años
0 1 2 3 4 5 6
$ en 100000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
V1(f)
V2(f)
f1 f2
Sólo existen dos fechas focales tales que
V1 (f) = V2 (f) ; (3.13)
y ellas son (dadas en años)
f1 = 0:23877905;
f2 = 4:27194599:
Pues
V1 (0:23877905) = 283357:5590 = V2 (0:23877905) ;
y
V1 (4:27194599) = 851621:5493 = V2 (4:27194599) ;
Nota 3.70 En el sistema de capitalización simple, la equivalencia �nanciera
depende fuertemente de la fecha focal escogida.
52 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
3.5.1 Tasa media
Consideremos el siguiente ejemplo
Ejemplo 3.71 Ud. tiene $ 100.000 invertidos al 18% anual, $ 250.000 al 8%
semestral y % 75.000 al 2% mensual. ¿Qué tasa diaria debería ofrecerle una
entidad �nanciera para que ud. coloque todo su capital, $ 425.000, en la misma?
Esto no es más que un problema de equivalencia �nanciera de capitales,
donde la incognita es una tasa (en principio, el tiempo también parece ser una
incognita, pero veremos que en sistema simple, este tipo de problemas es inde-
pendiente del tiempo).
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!
Al cabo de t años, las inversiones originales generan la siguiente cantidad de
dinero
100:000 (1 + t � 0; 18) + 250:000 (1 + t � 2 � 0; 08) + 75:000 (1 + t � 12 � 0; 02)
La operación nueva genera al cabo de t años
425:000
�
1 + t � 365i(365)
�
si queremos que ambas produscan igual capital �nal, tenemos que
100:000 (1 + t � 0; 18)+250:000 (1 + t � 2 � 0; 08)+75:000 (1 + t � 12 � 0; 02) = 475:000
�
1 + t � 365i(365)
�
de donde
100:000 � 0; 18 + 250:000 � 2 � 0; 08 + 75:000 � 12 � 0; 02 = 425:000 � 365i(365)
Por lo que la tasa que buscamos, conocida como la tasa media diaria de la
operación, es
i(365) =
100:000 � 0; 18 + 250:000 � 2 � 0; 08 + 75:000 � 12 � 0; 02
425:000 � 365
= 0; 000489927477841
Por lo tanto, la entidad �nanciera debe ofrecerle al menos un 0,0489927477841%
diario para que ud. reciba el mismo monto �nal. Veamos que efectivamente,
ambas operatorias producen el mismo ingreso. Por ejemplo en un año, sus in-
versiones originales le reportan $ 501.000 pues
100:000 (1 + 0; 18) + 250:000 (1 + 2 � 0; 08) + 75:000 (1 + 12 � 0; 02) = 501:000
Obtendrá la misma suma con la segunda operatoria
425:000 (1 + 365 � 0; 000489927477841) = 501:000
Se invita al lector a calcular el ingreso de ambas operatorias a 2, 2,5, 3 y 5
años (o cualquier otro intervalo de tiempo), los ingresos producidos por ambas
operatorias deberian ser iguales (si no fuera el caso, ¡cometió un error!).
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 53
Es interesante comparar la tasa media de la operación, contra la tasa prome-
dio de la misma. En este caso la tasa promedio diaria se consigue promediando
las tasas diarias equivalentes a las tasas originales
365i
(365)
1 = 1 � 0; 18 =) i
(365)
1 =
0; 18
365
= 0; 0004931506849
365i
(365)
2 = 2 � 0; 08 =) i
(365)
2 =
0; 16
365
= 0; 0004383561643
365i
(365)
3 = 12 � 0; 02 =) i
(365)
3 =
0; 24
365
= 0; 0006575342465
Luego la tasa promedio diaria de la operación es
i
(365)
1 + i
(365)
2 + i
(365)
3
3
=
0; 0004931506849 + 0; 0004383561643 + 0; 0006575342465
3
= 0; 0005296803651
En este caso se observa que la tasa promedio de la operación es ligeramente
superior a la tasa media de la misma.La operación �nanciera anterior ocurre con relativa frecuencia, por lo que
amerita el desarrollo de fórmulas generales.
En general una serie n capitales Cj , con j = 1; : : : ; n, colocados a las tasas
qj-períodicas i(qj), con j = 1; : : : ; n, durante t años, es equivalente a una colocar
la suma de todos los capitales
C =
nX
j=1
Cj
a la tasa media equivalente p-períodica i(p)media
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
nX
j=1
Cj
�
1 + tqji
(qj)
�
= C
�
1 + tpi
(p)
media
�
de donde
nX
j=1
Cj + t
nX
j=1
Cjqji
(qj) = C + tCpi
(p)
media
nX
j=1
Cjpji
(pj) = Cpi
(p)
media
despejando la tasa media obtenemos
i
(p)
media =
nX
j=1
qjCji
(qj)
pC
(3.14)
Nota 3.72 Observe que la fórmula para la tasa media de una serie de capitales
es independiente del tiempo t. Depende de los capitales Cj y de las tasas qj-
períodicas i(qj), con j = 1; : : : ; n.
54 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Si se observa con atención la fórmula anterior, se puede concluir que la tasa
media es un promedio pesado de las tasas p-períodicas equivalentes a las tasas
dadas:
i
(p)
media =
nX
j=1
Cj
C
qj
p
i(qj)
donde cada factor qjp i
(qj) es la tasa p-períodica equivalente a la tasa i(qj), y los
pesos son los factores CjC , los cuales suman 1
nX
j=1
Cj
C
=
1
C
nX
j=1
Cj = 1
Por lo que es inmediato que
min
1�j�n
�
qj
p
i(qj)
�
� i(p)media � max1�j�n
�
qj
p
i(qj)
�
En el caso del ejemplo 3.71 tenemos
min
1�j�n
�
qj
p
i(qj)
�
= min
�
0; 18
365
;
2 � 0; 08
365
;
12 � 0; 02
365
�
= min f0; 0004931506849; 0; 0004383561643; 0; 0006575342465g
= 0; 0004383561643
max
1�j�n
�
qj
p
i(qj)
�
= max
�
0; 18
365
;
2 � 0; 08
365
;
12 � 0; 02
365
�
= max f0; 0004931506849; 0; 0004383561643; 0; 0006575342465g
= 0; 0006575342465
y se veri�ca que
0; 0004383561643 � i(p)media = 0; 000489927477841 � 0; 0006575342465
Nota 3.73 Además, dados q1; q2 2 Z, es evidente que las tasas medias i(p)media y
i
(q)
media (calculadas con respecto a una misma serie de capitales) son equivalentes:
pi
(p)
media =
nX
j=1
Cjqji
(qj)
C
= qi
(q)
media (3.15)
En general una serie de n capitales Cj , con j = 1; : : : ; n, a las tasas qj-
períodicas i(qj), con j = 1; : : : ; n, también tiene un tasa promedio p-períodica
asociada la cual no es otra cosa que el promedio de las tasas p-períodicas equiv-
alentes a las tasas dadas:
i
(p)
promedio =
1
n
nX
j=i
qj
p
i(qj)
Para el ejemplo anterior la tasa mensual promedio es
i
(12)
promedio =
1
2
�
1
12
0; 07 +
4
12
0; 041
�
= 0; 00975
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 55
En este caso la tasa media, 0; 010925, resulta ser mayor que la tasa promedio,
0; 00975. La pregunta que surge de manera natural es ¿Existe alguna relación
entre tasa media y tasa promedio? Veremos que en realidad la tasa media (en
sistema simple) es un promedio pesado (o ponderado) de las tasas originales,
donde los pesos vienen dados por los tamaños relativos de los Cj respecto de C.
Por ejemplo, veremos que la tasa media y la tasa promedio coinciden en el caso
Cj =
1
nC.
Dada una serie de operaciones consistentes de colocar n capitales Cj , con
j = 1; : : : ; n, a las tasas qj-períodicas i(qj), con j = 1; : : : ; n, si llamamos Cmin :=
min fC1; : : : ; Cng, y Cmax := max fC1; : : : ; Cng, como para todo j = 1; : : : ; n
Cmin � Cj � Cmax
tenemos que
i
(p)
media =
nX
j=1
qjCji
(qj)
pC
=
nX
j=1
qj
p
Cj
C
i(qj)
� Cmin
C
nX
j=1
qj
p
i(qj)
Como
nX
j=1
qj
p
i(qj) = ni
(p)
promedio
Tenemos que
i
(p)
media � n
Cmin
C
i
(p)
promedio
De manera similar se puede probar que
i
(p)
media � n
Cmax
C
i
(p)
promedio
Por lo que siempre se cumple que
n
Cmin
C
i
(p)
promedio � i
(p)
media � n
Cmax
C
i
(p)
promedio
de donde se deduce con facilidad que si C1 = C2 = � � � = Cn = C=n, entonces
i
(p)
media = i
(p)
promedio .
En el caso del ejemplo 3.71 tenemos
n
Cmin
C
i
(p)
promedio = 3 �
75:000
425:000
� 0; 0005296803651
= 0; 0002804190168
n
Cmax
C
i
(p)
promedio = 3 �
250:000
425:000
� 0; 0005296803651
= 0; 0009347300559
56 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejercicio 3.74 Consideremos la siguiente modi�cación del ejemplo 3.71: Ud.
tiene $ 140.000 invertidos al 18% anual, $ 142.000 al 8% semestral y % 143.000
al 2% mensual. Se pide calcular: Tasa media diaria, tasa diaria mínima, tasa
diaria máxima, tasa promedio diaría, 3CminC i
(365)
promedio , y 3
Cmax
C i
(365)
promedio . Ordenar
estas cantidad de mayor a menor.
Ejemplo 3.75 Tenemos dos opciones de inversión: La primera es dividir el
capital en dos partes, colocando el 35% del mismo al 7% anual, y el 65% restante
al 4,1% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 1,25 mensual.
¿Cuál de las opciones es la más ventajosa?
En esta situación debemos comparar dos inversiones, una de las cuales in-
volucra más de una tasa. Una forma de resolver este problema, es sustituir las
dos operaciones por una equivalente: Es decir, dado un intevalo de tiempo de
t años, queremos hallar una tasa media i(12)media 12-períodica (mensual), que nos
produzca la misma ganancia:
0:35C (1 + t � 0; 07) + 0:65C (1 + 4t � 0; 041) = C
�
1 + 12t � i(12)media
�
despejando
i
(12)
media =
0; 35 � 1 � 0; 07 + 0; 65 � 4 � 0; 041
12
= 0; 010925
Se puede observar que el valor de la tasa media (en el sistema de capitalización
simple) es independiente del tiempo. Ahora es claro que la segunda opción (no
dividir el capital) es la más conveniente:
i
(12)
2 = 0; 0125 > 0; 010925 = i
(12)
media
En el fondo esto no es más que sustituir dos rectas (en t) por su suma, la cual
es a su vez una recta:
t (años)
$
0:4C
0:40C(1 + 4t � 0:041)
0:6C
0:60C(1 + t � 0:07)
C
C(1 + t � i(12)media)
3.5. EQUIVALENCIA FINANCIERA DE DOS SERIES DE CAPITALES 57
Ejercicio 3.76 Tenemos $ 100.000 para invertir. Se nos presentan tres op-
ciones. La primera es depositarlo todo en un banco que paga en 2,5% mensual.
La segunda en comprar $ 60.000 en bonos del estado que pagan un 8,2% trimes-
tral y el resto en el banco al 1,8% mensual. La tercera consiste en comprar
obligaciones de empresas privadas: $ 30.000 en opciones de la empresa A, que
rinden un 21% semestral, $ 40.000 en opciones de la empresa B, que rinden
un 4,8% bimestral y el resto en opciones de la empresa C que rinden un 38,5%
anual. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa?
Ejercicio 3.77 Tenemos dos opciones de inversión: La primera es dividir el
capital en dos partes, colocando el 30% del mismo al 18% anual, y el 70%
restante al 6,5% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al
0,5% semanal. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa?
Poner más ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
3.5.2 Vencimiento medio
Este es un caso particular de equivalencia �nanciera, en el que sustituimos una
serie de capitales por un único pago igual a la suma algebraica de los capitales
involucrados.
Dada una tasa p-períodica y una fecha focal f , deseamos hallar la fecha m
en la cual podemos sustituir una serie de capitales C1; C2; : : : ; Cn disponibles
en los momentos t1; t2; : : : ; tn, por un único pago
C =
nX
j=i
Cj
Dicha fecha focal es conocida como vencimiento medio:
nX
j=i
Cj
�
1 + jf � tj j i(p)
�sgn(f�tj)
= C
�
1 + jf �mj i(p)
�sgn(f�m)
En la fórmula anterior los intervalos de tiempo son medidos en p-períodos, para
que sean compatibles con la tasa usada.
Falta poner ejemplos resueltos donde la incog-
nita es un capital (?), o la tasa de interés.
Como se puede ver, usando capitalización simple, el vencimiento medio de-
pende de cada una de las variables involucradas (salvo en casos excepcionales,
no hay simpli�cación de variables), y para calcular el valor de m tenemos que
analizar cada caso, y eventualmente necesitaremos emplear métodos númericos.
Razonando �nancieramente es intuitivo que el vencimiento medio se encuen-
tra entre el primero y el último momento en que los capitales vencen, porque se
debe dar una compensación de intereses.
Ejemplo 3.78 Deseamos sustituir tres pagos, de $ 200,$ 300 y $ 500, con
vencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un año, respectivamente, por
58 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
único pago de $ 1000. Hallar el vencimiento medio para
fecha focal tasa
1) hoy 2% mensual,
2) hoy 1% mensual,
3) 6 meses 1% mensual,
4) 1 año 1% mensual,
5) 2 años 32% anual,
6) hoy 1% diario comercial (360),
7) vencimiento medio 1% mensual.
Para resolver este problema planteamos la ecuación de equivalencia �nanciera
en general
200 (1 + jf � 0j i)sgn(f)+300 (1 + jf � 6j i)sgn(f�6)+500 (1 + jf � 12j i)sgn(f�12) = 1:000 (1 + jf �mj i)sg
1) fecha focal: f = 0, tasa: 2% mensual
200 +
300
1 + 6 � 0; 02 +
500
1 + 12 � 0; 02 = 1:000 (1 + 0; 02 jm1j)
sgn(�m1)
871; 0829494
1:000
= (1 + 0; 02 jm1j)sgn(�m1)
Como
1 + 0; 02 jm1j > 1 >
871; 0829494
1000
entonces el exponente sgn (�m1) debe ser �1, y por lo tanto podemos asegurar
que m1 > 0,
871; 0829494
1000
=
1
1 + 0; 02m1
;
de donde
m1 = 7; 399814833 meses:
2) fecha focal: f = 0, tasa: 1% mensual
200 +
300
1 + 6 � 0; 01 +
500
1 + 12 � 0; 01 = 1:000 (1 + 0; 01 jm2j)
sgn(�m2)
929; 4474394
1000
= (1 + 0; 01 jm2j)sgn(�m2)
Como
1 + 0; 01 jm2j > 1 >
929; 4474394
1:000
el exponente sgn (�m2) debe ser �1, y además podemos asegurar que vm2 > 0,
por lo tanto
929; 4474394
1:000
=
1
1 + 0; 01m2
de donde
m2 = 7; 590806926 meses.
Observando los resultados 1) y 2) vemos que en capitalización simple, el
vencimiento medio depende de la tasa usada.
3.6. DESCUENTO 59
3) fecha focal: f = 6, tasa: 1% mensual
200 (1 + 6 � 0; 01) + 300 + 500
1 + 6 � 0; 01 = 1:000 (1 + 0; 01 j6�m3j)
sgn(6�m3)
983; 6981132
1:000
= (1 + 0; 01 j6�m3j)sgn(6�m3)
Como
1 + 0; 01 j6�m3j > 1 >
983; 6981132
1:000
el exponente sgn (6�m3) debe ser�1, y además podemos asegurar que 6�m3 <
0, por lo tanto
871; 0829494
1:000
=
1
1 + 0; 02 (m3 � 6)
;
de donde
vm3 = 7; 657204236 meses.
Observando los casos 2) y 3) podemos asegurar que el vencimiento medio de-
pende de la fecha focal usada.
7) f = m (fecha focal igual al vencimiento medio), tasa 1% mensual:
200 (1 + jmj i)sgn(m)+300 (1 + jm� 6j i)sgn(m�6)+500 (1 + jm� 12j i)sgn(m�12) = 1:000
Usando métodos númericos (y Maple V Release 4, version 4.00c (1996), student
edition):
m = 7; 711838862 meses.
Ejercicio 3.79 En el ejemplo anterior hallar m4, m5, y m6.
Ejercicio 3.80 Se desea sustituir 12 pagos mensuales de $ 1.000, por un único
pago de $ 12.000. Suponer una tasa anual del 18,5%. Usar como fechas focales:
el origen, 6 meses, 1 año y el propio vencimiento medio.
Ejemplo 3.81 Si a los 7,46666666 meses se sustituyeron 3 pagos de $ 1.000,
a los cero, seis y doce meses, respectivamente, por un único pago de $ 3.000.
Utilizando una tasa del 5% mensual ¿Cuál fue la fecha focal usada?
Ejercicio 3.82 Si en el problema anterior sabemos que la sustitución fue a los
6 meses y se uso el origen como fecha focal.¿Cuál fue la tasa usada?
Poner más ejercicios!!!!!!!!!!!!!!
3.6 Descuento
En las operaciones comerciales habitualmente no se usa la actualización para
calcular el valor actual de un capital futuro. El método usado se conoce como
descuento (comercial). Este es el caso típico de lo que ocurre con los cheques
a fechas. El poseedor de un cheque (documento, plazo �jo, etc.) el cual tiene un
nominal N , podrá hacerlo efectivo en t años (esta cantidad no tiene porque ser
entera), pero por algún motivo necesita dinero hoy (para pagar una deuda, por
una oportunidad de inversión, etc.). Entonces acude a un intermediaro �naciero
(banco, �nanciera, un �prestamista� en el peor de los casos), y cambia el cheque
por una suma en efectivo E, donde
E < N:
60 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
hoy dentro de t años
E
N
D
La diferencia entre el E efectivo que recibe, y el nominal N del documento
entregado, recibe el nombre de descuento
D = N � E: (3.16)
En esta operación se puede pensar que el intermediario �nanciero se ha
cobrado los intereses al principio de la operación. La tasa que se usa es llamada
tasa de descuento d, la cual tiene la particularidad que se aplica sobre el
nominal N .
3.6.1 Descuento simple
En el sistema de capitalización simple lo que nos descuentan por cada p-período
adelanto es
Nd(p)
Supongamos que se quiere adelantar un documento de nominal N , unos n p-
períodos con un intermediario �nanciero que cobra una tasa de descuento p-
períodica d(p). Si llamamos Ej al efectivo que recibiremos en el período j, ten-
emos la siguiente relación recursiva
�
Ej = Ej+1 �Nd(p) j < n,
En = N
Donde la condición inicial es En = N (al momento n hacemos efectivo el docu-
mento, no necesitamos descontarlo).
3.6. DESCUENTO 61
0
D = D0
E = E0
1
D1
E1
k
Dk
Ek
k + 1
Dk+1
Ek+1
n
En = N
d(k)
Usando la teoría de relaciones recursivas que hemos desarrollado concluimos
que la forma para el efectivo en el momento j, para j < n, es
Ej = h0 + jNd
(p);
donde h0 es una constante que se ajusta usando la condición inicial En = N :
N = En = h0 + nNd
(p)
h0 =
�
1� nd(p)
�
N
luego
Ej = N
�
1� (n� j) d(p)
�
; para j � n;
en particular
E = E0 = N
�
1� nd(p)
�
(3.17)
La cual es la ecuación fundamental del sistema de descuento simple para una
tasa de descuento p-períodica d(p).
En términos de la tasa de descuento y el nominal, el descuento es
D = nNd(p) (3.18)
Nota 3.83 Si n es su�cientemente grande, el descuento comercial puede ser
tan grande que anule el efectivo
E = E0 = 0 = N
�
1� nd(p)
�
; (3.19)
Esto ocurre si
n =
1
d(p)
:
Si n > 1
d(p)
el efectivo es de hecho negativo.
62 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejemplo 3.84 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 días de nominal $
1 .000. Qué efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de
descuento diario de 2,1%. ¿Cuántos días hay que adelantar el documento para
que el efectivo sea nulo?
El efectivo que recibiremos se calcula con (3.19)
E = 1000 (1� 5 � 0; 021) = 895
de donde
D = 1000� 895 = 105
Finalmente
nanulación =
1
0:021
= 47; 619047619
i.e., si adelantamos un documento más de 47 días lo único que nos dan son las
gracias (de hecho nos piden además del documento, ¡dinero extra!).
Observe que el valor actual de $ 1.000, calculado con una tasa efectiva diaria
del 2,1% es
C0 =
1000
1 + 5 � 0; 021 = 904; 98
Esto no es casualidad, si una tasa de descuento (simple) p-períodica d(p) es igual
(cómo número real) a una tasa (efectiva simple) p-períodica i(p)
d(p) = x = i(p)
y son aplicadas sobre un capital de nominal N disponible dentro de t años para
calcular su valor al día de hoy
Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
tenemos que
N
1 + tpi(p)
= C0 > E = N
�
1� tpd(p)
�
Es claro que si E es no.positivo la desigualdad se cumple trivialmente pues
siempre C0 > 0. Si E > 0, entonces tpd(p) < 1. Y la desigualdad se deduce del
siguiente hecho: si 0 < ax < 1, entonces
1 <
1
1� (ax)2
(Pues, si 0 < ax < 1, entonces 0 < (ax)2 < 1, y por lo tanto
0 < 1� (ax)2 < 1
de donde deducimos que
1 <
1
1� (ax)2
=
1
(1� ax) (1 + ax)
que es la desigualdad requeridad). Lo que implica que
C0
E
=
1�
1 + tpi(p)
� �
1� tpd(p)
� = 1
1� (ax)2
> 1
donde hacemos tp = a y d(p) = x = i(p), y la condición tpd(p) < 1 garantiza que
0 < ax = tpd(p) < 1. De donde podemos deducir que C0 > E.
3.6. DESCUENTO 63
Ejercicio 3.85 ¿Cuál fue el descuento y el efectivo de una letra con vencimiento
a 3 meses si se aplicó una tasa de descuento del 4,5% mensual y su nominal
ascendía a $ 5.000?
Ejercicio 3.86 Sabiendo que el descuento sobre un cheque a 12 días es de $
230. Calcular el nominal si la tasa de descuento diaria aplicada es del 5%.
Ejercicio 3.87 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 60 días de nominal $
5.000. Que efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de
descuento diario de 1%. ¿Cuántos días hay que adelantar un documento a esta
tasa para que efectivo sea nulo?
Ejercicio 3.88 Adelantamos 10 días un cheque a fecha de nominal $ 3.500, y
nos entregan $ 3.150. ¿Cuál fue la tasa de descuento diario que nos aplicaron?
Poner más ejercicios!!!!!!!!3.6.2 Equivalencia de tasas de descuento simple.
Con respecto a las tasas de descuento surgen naturalmente dos preguntas, dada
una tasa de descuento q-períodica d(q):
1. ¿Cuál es la tasa de descuento p-períodica equivalente?
2. ¿Cuál es la tasa efectiva p-períodica equivalente?
Por de�nición de equivalencia de tasas, dados un efectivo E, un nominal
N , un período de descuento de t años, y dos tasas descuento d(p) y d(q), con
p; q 2 Z, se dicen que son equivalentes si producen igual efectivo
N
�
1� qtd(q)
�
= E = N
�
1� ptd(p)
�
;
de donde concluimos la ecuación fundamental de equivalencia de tasas de des-
cuento simple
qd(q) = pd(p): (3.20)
t años
E N
d(p)
d(q)
Como antes, usaremos d, en lugar de d(1), para designar una tasa de des-
cuento anual
Ejemplo 3.89 Dada una tasa de descuento anual del 10% hallar la tasa d(p),
para k 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g, equivalente.
Por ejemplo, la tasa de decuento cuatrimestral equivalente es
d = 3d(3)
0; 10 = 3d(3);
de donde
d(3) = 0; 03333333 : : :
64 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Ejercicio 3.90 Dada una tasa de descuento bimestral del 3,5% hallar la tasa
d(p), para k 2 f1; 2; 3; 4; 12; 52; 360; 365g, equivalente.
Poner más ejercicios!!!!
3.6.3 Equivalencia entre tasas de descuento y de capital-
iación simples.
Por de�nición de equivalencia de tasas, dados un efectivo E, un nominal N , un
período de descuento de t años, y p; q 2 Z, la tasa de capitalización p-períodica
i(p) y la tasa de descueno q-períodica d(q), se dicen que son equivalentes si
producen igual efectivo
N
�
1� qtd(q)
�
= E =
N�
1 + pti(p)
�
de donde llegamos a la relación fundamental de equivalencia entre tasas de
capitalización simple y de descuento simple
�
1� qtd(q)
��
1 + pti(p)
�
= 1: (3.21)
Claramente esta equivalencia no es independiente del tiempo t considerado.
t años
E N
i(p)
d(q)
Ejemplo 3.91 Dada una tasa de descuento mensual del 8% hallar la tasa de
capitalización simple diaria (comercial) i(360) equivalente para una operación a
2 meses.
De (3.21)
�
1� 12 � 2
12
d(12)
��
1 + 60i(360)
�
= 1:
(1� 2 � 0; 08)
�
1 + 60i(360)
�
= 1:
de donde
i(360) =
1
0; 84
� 1
60
= 0; 0031746
3.6. DESCUENTO 65
Ejercicio 3.92 Completar la siguiente tabla de tasa equivalentes
tasa 1 tasa 2 tiempo
1) d(2) =? i(6) = 0; 06 3 meses,
2) d(2) =? i(6) = 0; 06 10 meses,
3) d(12) = 0; 023 i(4) =? 6 meses,
4) d(12) = 0; 023 i(4) =? 6 días,
5) d(365) = 0; 01 i(360) = 0; 011 ¿? días,
6) d(360) =? i(360) = 0; 035 5 días,
7) d(360) =? i(360) = 0; 035 180 días,
8) d = 0; 18 i =? 1 años
9) d = 0; 18 i =? 1=2 año.
Poner más ejercicios
3.6.4 Equivalencia �nanciera revisada
Es posible usar descuento como ley �nanciera en la equivalencia �nanciara.
Típicamente esto se hace cuando la fecha focal f escogida no es posterior a
ninguno de los capitales de las series de capitales involucradas, pero en realidad
las única limitación que existe es lo que acuerden las partes involucradas. De
hecho se puede usar un sistema para capitalizar y otro para descontar, e inclusive
se puede usar una tasa para actualizar (o descontar) y otra para capitalizar. Aqui
un ejemplo.
Ejemplo 3.93 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres
meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y el último de $ 500 a los 9 meses.
Por razones de �ujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos
3 pagos por 2: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a
los 10 meses. Calcular el monto del segundo pago si
fecha focal
en meses
sistema usado
para actualizar
tasa usada
para actualizar
sistema usado
capitalizar
tasa usada
para capitalizar
1) f = 0 (hoy) descuento d(12) = 0; 03 � �
2) f = 6 descuento d(12) = 0; 02 descuento d(12) = 0; 02
3) f = 5 descuento d(12) = 0; 02 descuento d(12) = 0; 05
4) f = 6 descuento d(12) = 0; 025 simple i(12) = 0; 025
5) f = 6 simple i(12) = 0; 025 descuento d(12) = 0; 025
6) f = 6 descuento d(12) = 0; 03 simple i(12) = 0; 02
7) f = 6 simple i(12) = 0; 05 descuento d(12) = 0; 03
Debemos igualar lo valores a la fecha focal dada de ambas operaciones:
valor de la
operación original
a la fecha focal f
=
valor de la
operación nueva
a la fecha focal f
1) Fecha focal el origen: f = 0
Tenemos que descontar todos los capitales al momento cero:
400 (1� 3 � 0; 03) + 300 (1� 6 � 0; 03) + 500 (1� 9 � 0; 03) = 500 (1� 5 � 0; 03) + C (1� 10 � 0; 023)
975 = 425 + 0; 77C
66 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
de donde concluimos que
C = 714; 285714286
Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 714,28571 al usar como
fecha focal el origen y utilizar una tasa mensual de descuento comercial del 3%.
2) Fecha focal a los seis meses: f = 6
Ahora debemos llevar todos los capitales a los seis meses, usando descuento
400
1� 3 � 0; 02 + 300 + 500 (1� 3 � 0; 02) =
500
1� 1 � 0; 02 + C (1� 4 � 0; 02)
1195; 5 = 510; 2 + 0; 92C;
de donde
C = 744; 891304348
Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 744,8913 al usar como fecha
focal 6 meses y utilizar una tasa mensual de descuento comercial del 3%.
3) Fecha focal a los cinco meses: f = 5
Usaremos descuento, pero con diferentes tasas para descontar d(12) = 0:02 y
capitalizar d(12) = 0:05:
400
1� 2 � 0; 05 + 300 (1� 1 � 0; 02) + 500 (1� 4 � 0; 02) = 500 + (1� 5 � 0; 02)C
1198; 4 = 500 + 0; 9C
de donde
C = 775; 55556
Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 775,55556 al usar como
fecha focal el 5to mes y utilizar una tasa mensual de descuento comercial del
2% para descontar y una tasa de descuento del 5% para capitalizar.
4) Fecha focal a los seis meses: f = 6
Usaremos descuento para actualizar, con tasa de decuento d(12) = 0; 025 y
sistema simple para capitalizar, con una tasa i(12) = 0; 025:
400 (1 + 3 � 0; 025) + 300 + 500 (1� 3 � 0; 025) = 500 (1 + 1 � 0; 025) + C (1� 5 � 0; 025)
1192; 5 = 512; 5 + 0; 875C
de donde
C = 777; 142857143
Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 777,14286 usar como fecha
focal el 6to. mes y utilizar una tasa mensual de descuento comercial del 2,5%
para actualizar y una tasa (efectiva) simple del 2,5% para capitalizar.
7) Fecha focal a los seis meses: f = 6
Usaremos sistema simple para actualizar, con una tasa i(12) = 0; 05, y des-
cuento para capitalizar, con tasa de decuento d(12) = 0; 03:
400
1� 3 � 0; 03 + 300 +
500
1 + 3 � 0; 05 =
500
1� 1 � 0; 03 +
C
1 + 5 � 0; 05
1174; 3 = 515; 46 +
C
1; 25
3.6. DESCUENTO 67
de donde
C = 823; 55
Por lo tanto el monto del segundo pago asciende a $ 823,55 al usar como fecha
focal el 6to. mes y utilizar una tasa (efectiva) simple mensual del 5% para
actualizar y una tasa de descuento mensual del 3% para capitalizar.
Ejercicio 3.94 Resolver los casos 5) y 6) del ejemplo anterior.
Ejercicio 3.95 El señor Y debe $ 600 con vencimiento en hoy, $ 10.000 con
vencimiento en 5 meses y $ 15.000 con vencimiento en 10 meses. Si desea saldar
las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro
con vencimiento en 12 meses. Determinar el importe de dichos pagos si
fecha focal
en meses
sistema usado
para actualizar
tasa usada
actualizar
sistema usado
capitalizar
tasa usada
capitalizar
1) f = 0 (hoy) descuento d(12) = 0; 037 � �
2) f = 6 descuento d(12) = 0; 037 descuento d(12) = 0; 037
3) f = 6 descuento d(12) = 0; 037 simple i(12) = 0; 037
4) f = 6 simple i(12) = 0; 037 descuento d(12) = 0; 037
5) f = 6 simple i(12) = 0; 037 simple i(12) = 0; 037
6) f = 0 simple i(12) = 0; 037 simple i(12) = 0,037
¿Cuál de las 6 operaciones propuestas es la más conveniente para el deudor?
¿Cuál es la más conveniente para el acreedor?
Nota 3.96 En el problema anterior, una cuestión importante es hallar las fe-
chas focales que minimizen (en el caso del deudor) o maximizen (en el caso del
acreedor) los pagos, dentro del rango de tiempo de la operación en cuestión. Por
ejemplo, al gra�car los pagos en función de la fecha focal tenemos los siguientes
valores aproximados para los valores extremos para las operaciones 2) y 6)
fechafocal
de pago mínimo
Pago mínimo
fecha focal
de pago máximo
Pago máximo
2) f = 0 671:4375862 f = 12 1298:980462
6) f = 12 921:3632458 f = 0 1389:201350
De donde podemos concluir que, comparando entre 2) y 6), al deudor le conviene
proponer un esquema de pago como el planteado en 2) pero con el origen como
fecha focal, mientras que al acreedor le conviene proponer el esquema de pago
6), también con el origen como fecha focal.
Poner más ejercicios!!!!!!!!!!!
68 HOOFDSTUK 3. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Hoofdstuk 4
Sistemas de capitalización
compuesta
4.1 Sistema de capitalización compuesta
En el capítulo anterior consideramos la ley �nanciera de capitalizacion simple
en la cual los intereses generados en un período dado no son considerados para
el cálculo de los intereses del período siguiente. En este capítulo estudiaremos
la ley �nanciera que surge al agregar al capital los intereses generados en un
período de tiempo dado para el cálculo de los intereses del período siguiente, es
lo que llamaremos capitalización compuesta.
Hoy en día la capitalización compuesta es el sistema más usado por las
instituciones �nancieras, por ello que este capítulo es de suma importancia para
el estudio de la materia; aunque cada vez es más frecuente el uso del sistema de
capitalización continuo, el cual será estudiado en el capítulo siguiente.
Dado un capital inicial C0, impuesto durante n p-períodos a una tasa p-
periódica i(p), deseamos obtener una expresión analítica para Cn, el capital
acumulado al momento n. Procederemos de manera inductiva observando en
detalle que ocurre en los primeros pasos, a �n de inferir una expresión para Cn.
Nota 4.1 Recordar que Ck es el capital disponible al momento k, es decir que
Ck es simultaneamente el capital al �nal del período k y el capital al inicio del
período k + 1.
(poner dibujo)
Usaremos la siguiente convención (coherente con el resto de la literatura).
Asi cuando hablemos de un capital al período k es equivalente a el capital al
momento k, es decir un capital al �nal de período k.
(poner dibujo)
El capital al �nal del primer período, C1, es la suma de C0, el capital al
inicio del período, más C0i(p), los intereses generados durante este período:
C1 = C0 + C0i
(p)
= C0
�
1 + i(p)
�
69
70 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Similarmente C2, el capital al �nal del segundo período, es la suma de C1, el
capital al inicio del período, más C1i(p), los intereses generados durante este
período
C2 = C1 + C1i
(p)
= C1
�
1 + i(p)
�
pero como C1 = C0
�
1 + i(p)
�
, obtenemos
C2 = C0
�
1 + i(p)
��
1 + i(p)
�
= C0
�
1 + i(p)
�2
Análogamente C3, el capital al �nalizar el tercer período, es la suma de C2, el
capital al comienzo del período, más C2i(p), los intereses generados durante este
período:
C3 = C2 + C2i
(p)
= C2
�
1 + i(p)
�
y ya que C2 = C1
�
1 + i(p)
�2
, obtenemos
C3 = C0
�
1 + i(p)
�3
De estas expresiones podemos inferir inductivamente que el capital acumulado
al momento n será
Cn = C0
�
1 + i(p)
�n
(4.1)
tiempo
Cn�1
n� 1
Cn
n
i(k)
(modi�car dibujo)
Ejemplo 4.2 Si depositamos $ 100 000 al 3 % mensual ¿Cuánto retiraremos
del banco al cabo de 18 meses?
El enunciado del ejemplo puede ser reformulado de la siguiente manera:
Capitalizar $ 100 000 durante 18 meses al 3 % mensual. Por lo cual podemos
usar la formula (4.1). En este caso
C0 = $ 100 000
p = 12
n = 18 meses
luego
C18 = 100 000 (1 + 0:03)
18
= 170 243:306124
4.1. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 71
Recuerde que las tasas deben ser usadas en notacion decimal. Es decir, se debe
usar 0.03 en lugar de 3 %.
El método inductivo empleado para deducir la expresión (4.1) es propio de
las ciencias experimentales, y nos permite obtener una expresion plausible para
Cn, el capital acumulado hasta el momento n. Desde un punto de vista formal
no hay garantía de que la formula anterior sea correcta.
A través de un modelo recursivo podemos describir formalmente el fun-
cionamieto de la capitalización compuesta. Esto nos permitirá usar la teoría
de recursividad desarrollada en el capítulo 2 para veri�car la validez de la for-
mula (4.1).
De�nición 4.3 Se llama capitalización compuesta a la ley �nanciera que
establece que los intereses generados en un período de tiempo dado son agregados
al capital al principio del mismo para el cálculo de los intereses del período
siguiente.
De acuerdo a la ley de capitalización compuesta, el capital al momento k+1
es el capital al período k
Dado un capital inicial C0, y una tasa de capitalización p-periódica i(p),
tenemos que el interés del n-ésimo p-período de tiempo es:
In = Cn�1i
(p):
El capital acumulado hasta el momento n (la cantidad de p-períodos), es el
capital acumulado hasta el período anterior, el período n� 1, más los intereses
generados:
Cn = Cn�1 + Cn�1i
(p)
= Cn�1
�
1 + i(p)
�
;
con condición inicial C0 = Co.
Usando la teoría de relaciones recursivas desarrollada (caso g (n) = cte = 0,
con A =
�
1 + i(p)
�
6= 1 y B = 0) para resolver
�
Cn = Cn�1
�
1 + i(p)
�
C0 = Co
concluimos que:
Cn = C0 (1 + i
p)
n
: (4.2)
72 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
tiempo
$
0 1 2 3 n� 1 n
C0 C0 C0 C0 C0 C0
I1 I1 I1 I1 I1
I2 I2 I2 I2
I3 I3 I3
In�1 In�1
In
C0
C1
C2
C3
Cn�1
Cn
IT
La fórmula (4.2) sirve para obtener capitales �nancieramente equivalentes
hacia el futuro.
(poner dibujo)
Pero también podemos usarla para obtener capitales �nancieramente equiv-
alentes hacia el pasado
(poner dibujo)
para hacerlo basta despejar C0 de (4.2):
C0 =
Cn�
1 + i(p)
�n
4.1. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 73
Por ejemplo, a una tasa mensual del 1.2 %, $ 1 000 pesos dentro de un año son
�nancieramente equivalentes a $ 866.626222411 hoy pues:
1000 = Choy (1 + 0:012)
12
;
despejando obtenemos
Choy =
1000
(1 + 0:012)
12
Choy = 866:626222411.
tiempo
Choy
hoy
1000
dentro de 1 año
Nota 4.4 En la fórmula (4.2) aparecen 4 variables relacionadas:
capital inicial C0;
capital �nal Cn;
tiempo n;
tasa i(p):
Unas observaciones al respecto:
1. El problema tipo es: dadas tres magnitudes hallar la cuarta. Por lo que
tenemos problemas donde debemos hallar el capital �nal Cn (se les suele
llamar problemas de capitalización), una variación de este tipo de proble-
mas es hallar el interés total generado. Problemas donde debemos hallar el
capital inicial C0 (se les suele llamar problemas de actualización). Prob-
lemas donde debemos hallar el tiempo n, y �nalmente problemas donde
debemos hallar la tasa i(p).
2. Dimensionalmente hablando, C0 y Cn son dinero. El tiempo y la tasa deben
ser dimensionalmente compatibles: si la tasa es p-períodica, el tiempo debe
estar dado en p-períodos, por ejemplo, si la tasa es mensual, n debe ser
una cantidad de meses. Similarmente si n es una cantidad de trimestres,
la tasa debe ser trimestral: una i(4).
Nota 4.5 En Argentina habitualmente se usa TEA para designar la tasa efec-
tica anual i, y TEM para designar la tasa efectiva mensual i(12):
TEA � i
TEM � i(12)
Ejemplo 4.6 Calcular el capital �nal o montante de $ 2 500 000 al 15 % anual,
colocado durante a) 20 días, b) 3 meses, c) 4 cuatrimestres, d) 5 años, e) t k-
períodos.
Solución.
Todo el problema es compatibilizar las unidades temporales de los intervalos
de tiempo y la tasa. Por ahora sólo podemos convertir los distintos períodos de
tiempo a años:
74 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
a) 20 días son 20365 años, por lo que al cabo de 20 días tendremos
C20 días = C 20
365 años
= 2500000 (1 + 0:15)
20
365 = 2 519 218:96888 pesos.
b) 3 meses son 312 años, por lo que al cabo de 3 meses tendremos
C3 meses = C 3
12 años
= 2500000 (1 + 0:15)
3
12 = 2 588 895:19085 pesos.
c) 4 cuatrimestres son 43 años, por lo que al cabo de 4 cuatrimestres ten-
dremos
C4 cuatrimestres = C 4
3 años
= 2500000 (1 + 0:15)
4
3 = 3 012 107:46538 pesos.
d) Al cabo de 5 años tendremos
C5 años = 2500000 (1 + 0:15)
5
= 5 028 392:96875 pesos.
e) En general si tenemos t k-períodos, tenemostk años, por lo que tendremos
Ct k-períodos = C t
k
años = C0 (1 + i)
t
k :
Ahora resolveremos el resto de los problemas tipo, en cada caso, se da la
fórmula correspondiente.
Ejemplo 4.7 Hoy extraemos del banco $ 23 650.50. ¿Cuál fue el capital original
si nos han pagado una TEA del 18% y el depósito fue pactado de 6 meses?
Sabemos que
Cn = C0
�
1 + i(p)
�n
;
de donde
C0 =
Cn�
1 + i(p)
�n (4.3)
=
23650:50
(1 + 0:18)
1
2
= 21772:
Ejemplo 4.8 Determinar el interés total obtenido al depositar $ 5 000 a plazo
�jo por el término de 3 meses a una TEM 4.3%.
Por de�nición
IT = C�nal � Coriginal
Es decir
IT = C0
�
1 + i(p)
�n
� C0
= C0
��
1 + i(p)
�n
� 1
�
(4.4)
Reemplazando
IT = 5000
�
(1 + 0:043)
3 � 1
�
= 673:13
4.1. SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 75
Ejemplo 4.9 Hallar el capital que produce unos intereses de $ 1 110 al cabo de
45 días, a una tasa diaria del 0.25%.
Del problema anterior sabemos que
IT = C0
��
1 + i(p)
�n
� 1
�
(donde n es una cantidad de p-períodos). Luego
C0 =
IT�
1 + i(p)
�n � 1
; (4.5)
reemplazando
C0 =
1110
(1 + 0:0025)
45 � 1
= 9334:4
Ejemplo 4.10 Depositamos en un banco $ 5 000 y al cabo de 30 meses nos
entregan $ 8 672.50. ¿Cuál es la TEM que nos pagó el banco?
Como
Cn = C0
�
1 + i(p)
�n
;
tenemos que
i(p) = n
r
Cn
C0
� 1: (4.6)
Luego
i12 =
30
r
8672:50
5000
� 1
= 0:018527;
i.e., una TEM del 1.18527%.
Ejemplo 4.11 Durante cuantos días hay que imponer un capital de $ 3 000 a
una i(365) = 0:0078, para obtener no menos de $ 4 100.
Como
Cn = C0
�
1 + i(p)
�n
;
tomando logaritmos a ambos lados
logCn = n log
�
1 + i(p)
�
de donde depejamos
n =
logCn � logC0
log
�
1 + i(p)
� : (4.7)
Ahora nosotros deseamos
4100 � 3000 (1 + 0:0078)n
76 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
como la función logaritmo es monótona creciente
log 4100 � log 3000 + n log (1 + 0:0078) ;
luego
n � log 4100� log 3000
log (1 + 0:0078)
� 40:204;
luego debemos imponer el capital al menos 41 días.
Nota 4.12 Una función f : R! R se dice monótona creciente sobre un inter-
valo I � dom (f) si x < y impica que f (x) < f (y), con x; y 2 I. Si además f
es diferenciable sobre el interior de I y f 0 > 0 en I (i.e., f 0 (x) > 0 para toda
x 2 I), entonces f es monótona creciente. Por ejemplo
d
dx
(log x) =
M
x
> 0, para x > 0
donde M = 1ln 10 : Por lo tanto log es una función monótona creciente para
x > 0.
Ejercicio 4.13 Calcular el capital �nal o montante que se obtendrá al colocar
$ 25 500 a 6 meses a una TEA del 12.5 %. ¿A cuánto ascienden los intereses
totales?
Ejercicio 4.14 Calcular el montante que producirá un capital de $ 724 230,
colocado al 7 % semestral durante 4 años.
Ejercicio 4.15 Determinar el interés obtenido por una empresa que efectuó un
depósito a plazo �jo por el término de 30 días, con excedentes de fondos por $
8000 a una tasa del 11 % anual.
Ejercicio 4.16 Obtenga los intereses totales que produce un capital de $ 230500
impuestos a una TEM del 1.23 % durante 4 meses.
Ejercicio 4.17 Hallar el capital necesario para producir un interés de $130 en
una colocación por un plazo de 50 días en una entidad bancaria al 12 % anual.
Ejercicio 4.18 Hace 87 días invertimos una cierta suma de dinero al 0.02% di-
ario. Hoy nos entregan $ 75420.50 ¿Cuál fue el monto invertido originalmente?
Ejercicio 4.19 Depositamos en un banco $ 15000 y al cabo de 8 meses no
entregan $ 16672.20. ¿Cuál es la tasa de interés que nos pagó el banco?
Ejercicio 4.20 Un inversor reembolsará $ 4 995,50 por un depósito concertado
a 90 días por $ 3 700. Averiguar la TEA pactada.
Ejercicio 4.21 Hallar la TEA necesaria para que un depósito por $ 11 000
reditúe al inversor en 180 días, la mitad de la colocación.
Ejercicio 4.22 ¿Cuál es la tasa de interés k-períodica que nos permite duplicar
el capital en t k-períodos?
4.2. TASAS 77
Ejercicio 4.23 ¿Cuánto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un
capital al 5% bimestral?
Ejercicio 4.24 ¿Cuántos períodos son necesarios para duplicar un capital a
una tasa k-períodica i(k)?
Ejercicio 4.25 Una empresa con excedentes de fondos por $ 20 000 efectúa
dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 días al 1.5 %
mensual, y otra durante 15 días a una TEM del 1.25%. Averiguar los importes
de los depósitos, sabiendo que las inversiones producen igual interés.
Ejercicio 4.26 Ud. posee $ 355 000. Decide invertilos en dos proyectos que le
pagaran respectivamente el 1.2 % bimestral y el 2.1 % trimestral. Qué porcentaje
de sus ahorros debe invertir en cada proyecto, para recibir el mismo monto en
concepto de intereses, es decir, a los 6 meses los intereses que le paga cada uno de
los proyectos deben ser iguales. Si ahora deseamos ambos proyectos nos paguen
los mismos intereses totales a lo largo de 1 año ¿cuánto deberemos colocar en
cada uno de los proyectos?
Ejercicio 4.27 Un capital por $ 3 800 se impuso a interés simple durante 7
días al 11.2 % anual; luego el capital acumulado se impuso por el término de 15
días al 11.7% anual; y por último se consiguió colocarlo 30 días a una TEA 13.5
%. Calcular el interés total y la tasa real de la operación citada. (Respuesta: I
= $ 68.93, i = 12.73 %).
Ejercicio 4.28 Una empresa coloca excedentes de fondos en las siguientes al-
ternativas:
1. Mercado de �nanciamiento o�cial, $ 8 600 a una TEA del 12 %.
2. Mercado de �nanciamiento marginal, $ 7 200 al 18.5 % anual.
Determinar el plazo de las colocaciones que le permiten percibir montos
iguales. (Respuesta: n = 4.6667 años t 4 años y 8 meses).
Ejercicio 4.29 Se desea saber cómo in�uirá una comisión de gastos �ja sobre
el rendimiento de una inversión. A este efecto se nos comenta que, cualquiera
sea la inversión, la comisión ascenderá a $ 3 000. ¿Qué incidencia tendrá sobre
nuestra inversión de $ 2 000 000 al 12 % anual?, es decir, ¿Cuál es la tasa real
de la operación?. ¿Y si la inversión fuera de $ 500 000 al mismo tipo?
4.2 Tasas
4.2.1 Equivalencias de tasas compuestas
Tenemos las siguientes opciones de inversión: colocar $ 1.000 al x% anual durante
un año, o colocar los mismos $ 1.000 al y% mensual durante un año. Como nos
interesa tener un mayor capital �nal, la pregunta es ¿Qué opción de inversión
nos conviene?
Deduciremos ahora la ecuación fundamental de equivalencia de tasas en el
sistema de capitalización compuesto: Supongamos que un capital inicial C0 es
78 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
impuesto durante t años, donde t > 0 es un número real (pero no necesariamente
entero). La tasa p-períodica i(p) y la tasa q-períodica i(q), con p; q 2 Z+, son
equivalentes si producen idéntico capital �nal:
t años
C0 Cf
i(p)
i(q)
C0
�
1 + i(p)
�pt
= Cf = C0
�
1 + i(q)
�qt
Al simpli�car nos queda
�
1 + i(p)
�p
=
�
1 + i(q)
�q
Acabamos de demostrar:
Proposición 4.30 Dados p; q 2 Z+, en el sistema de capitalización compuesta
dos tasas i(p) y i(q), son �nancieramente equivalentes si cumplen la siguiente
relación: �
1 + i(p)
�p
=
�
1 + i(q)
�q
(4.8)
Ejemplo 4.31 ¿Cuál es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del
7%?
Usando la ecuación (4.8) de equivalencia de tasas en capitazaliación com-
puesta para i(12) y i(4):
�
1 + i(12)
�12
=
�
1 + i(4)
�4
despejando i(12)
i(12) =
12
q�
1 + i(4)
�4 � 1
i(12) =
12
q
(1 + 0; 07)
4 � 1
i(12) = 0; 02280912177
Esto nos dice que es lo mismo poner $ 1.000 durante 6 meses a una tasa trimestral
del 7 %, que ponerlos a una tasa del 2,280912177 % mensual
1000 (1 + 0; 07)
2
= 1:144; 9 = 1:000 (1 + 0; 02280912177)
6
O que es lo mismo poner $ 500 (o cualquier otra suma) durante 8 meses (o
cualquier otro intervalo de tiempo) con cualquiera de estas dos tasas:
500 (1 + 0; 07)
8
3 = 598; 86199408 = 500 (1 + 0; 02280912177)
8
4.2. TASAS 79
Nota 4.32 Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de la
propia dedución de fórmula (4.8), la equivalencia de tasas en capitalización
compuesta es independiente del intervalo de tiempo considerado: Si dos tasas
producen igual montante alcabo de t1 años, serán equivalentes y veri�carán
(4.8). Por lo tanto producirán igual montante al cabo de t2 años, para cualquier
t2 6= t1:
C0
�
1 + i(p)
�pt2
= C0
h�
1 + i(p)
�pit2
= C0
h�
1 + i(q)
�qit2
= C0
�
1 + i(q)
�qt2
Similarmente, la equivalencia de tasas en capitalización compuesta es indepen-
diente del monto inicial usado.
Ejercicio 4.33 Dada una i(2) = 0; 03, hallar la i(k) equivalente para
k 2 f1; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g
Ejercicio 4.34 Dada una tasa de interés anual del 25 %. Hallar las tasas sub-
períodicas equivalentes, i.e., hallar i(k) equivalente a la tasa dada para k 2
f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g. Expresar los resultados usando porcentajes.
Ejercicio 4.35 Dados p; q 2 Z+, y un número real c > 0. Si
i(p) = c = i(q);
para cualquier C0 > 0 (dinero) y cualquier t > 0 (tiempo en años) demostrar
que
C0
�
1 + i(p)
�tp
< C0
�
1 + i(q)
�tq
;
si y sólo si
p < q:
Es decir, dadas dos tasas de igual nominal, la que capitaliza con mayor frecuen-
cia produce mayor montante.
Ejercicio 4.36 Poner más ejercicios!!!!
Tasas nominales
Típicamente, al ciudadano promedio, una tasa del 0; 023 % diario, no le dice
mucho (no alcanza a percibir si es mucho o poco) una forma de lidiar con este
problema es calcular TEA equivalente: i = 0; 087564016. Pues una tasa anual del
8,7564016 % es más informativa que una tasa del 0; 023 % diario. Otra forma de
hacerlo es informar la tasas de manera seudo-anualizada: multipicando la tasa
por las veces que capitaliza en el año, en nuestro caso
0; 023% � 365 = 8; 395%
Esta costumbre informar las tasas efectivas de forma anual (multipicando la tasa
por las veces que capitaliza en un año), es lo que da origen a lo que se conoce
como tasas nominales. Estás son de caracter meramente informativo y deben
ser convertidas a tasas efectivas para poder usar las fórmulas ya deducidas.
80 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
De�nición 4.37 Dada una tasa efectiva k-períodica i(k), con k > 1, la tasa
nominal de capitalización k-períodica correspondiente es
J (k) = ki(k) (4.9)
Nota 4.38 En Argentina la tasa nominal más usada es la tasa nominal de capi-
talización mensual: J (12). Esta habitualmente recibe el nombre de tasa nominal
anual TNA.
Ejemplo 4.39 Hallar las tasas nominales asociadas a las siguientes tasas efec-
tivas
1) i(2) = 0; 04
2) i(3) = 0; 12
3) i(4) = 0; 025
4) i(6) = 0; 012
5) i(12) = 0; 076
6) i(52) = 0; 003
7) i(360) = 0; 01
8) i(365) = 0; 002
1) Usando la fórmula (4.9) la tasa nominal semestral (o de capitalización
semestral) asociada a la tasa efectiva semestral i(2) = 0; 04 es
J (2) = 2i(2) = 2 � 0; 04 = 0; 08
Típicamente las tasas nominales son expresadas en forma porcentual: la tasa
nominal semestral es del 8 %:
5) En este caso, queremos hallar la tasa nominal mensual J (12) asociada a
una tasa efectiva mensual i(12) = 0:076. Recordar que en Argentina la J (12) es
llamada TNA, tasa nominal anual. Usando la fórmula (4.9) la TNA asociada a
la tasa efectiva mensual i(12) = 0:076 es
TNA = J (12) = 12i(12) = 12 � 0:076 = 0:912
Es decir, una TNA del 91,2 % esta asociada (informa o hace referencia) a una
TEM del 7,6%.
Ejercicio 4.40 Hallar el resto de las tasas nominales asociadas a las tasas
efectivas dadas en el ejemplo anterior.
Ejemplo 4.41 Hallar la tasa efectiva asociada a una TNA del 21,5%.
Recordando que una TNA es una J (12), tenemos que la tasa efectiva asocida
a una TNA es una i(12) (mensual). Usando la fórmula (4.9)
TNA = J (12) = 12i(12)
de donde
i(12) =
J (12)
12
=
0; 215
12
= 0; 017917
4.2. TASAS 81
Ejercicio 4.42 Hallar las tasas efectivas asociadas a las siguientes tasas nom-
inales
1) J (2) = 31%
2) J (3) = 18%
3) J (4) = 25%
4) J (6) = 12%
5) TNA = 41%
6) J (52) = 46%
7) J (360) = 31%
8) J (365) = 10%
Ejemplo 4.43 Hallar la TNA equivalente a una tasa nominal trimestral del
18%.
Este ejercicio consta de tres pasos:
1. Hallar la tasa efectiva asociada a la J (4): la tasa efectiva trimestral i(4).
J (4) = 4i4;
i(4) =
J (4)
4
=
0; 18
4
= 0; 045
2. Hallar la tasa efectiva mensual (TEM) i(12) equivalente a la i(4).
�
1 + i(12)
�12
=
�
1 + i(4)
�4
i(12) =
12
q�
1 + i(4)
�4 � 1
=
12
q
(1 + 0; 045)
4 � 1
= 0; 01478
3. Hallar la TNA asociada a la i(12) encontrada.
J (12) = 12i(12) = 12 � 0; 01478 = 0; 17736
Luego, una TNA del 17,736% en equivalente a una tasa nominal trimestral
del 18%.
J (p)
i(p) i(q)
J (q)
1
2
3
Deseamos hallar
Del ejemplo anterior es fácil deducir dos tasas nominales J (p) y J (q) son
equivalentes si �
1 +
J (p)
p
�p
=
�
1 +
J (q)
q
�q
(4.10)
82 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejercicio 4.44 Hallar la TNA equivalente a una tasa nominal bimestral del
23,5%.
Ejercicio 4.45 Hallar la tasa nominal diaria (comercial) equivalente a una
TNA del 31,2%.
La principal ventaja (para los acreedores) de informar la tasa de forma nom-
inal es que siempre es un número menor que la tasa efectiva anual equivalente:
Ejemplo 4.46 Un comercio cobra una TNA del 18%. ¿Cúal es la TEA que
realmente estamos pagando?
Primero calculamos la TEM asociada a la TNA:
i(12) =
J (12)
12
=
0; 18
12
= 0; 015
luego calculamos la TEA equivalente a la TEM
(1 + i) =
�
1 + i(12)
�12
i =
�
1 + i(12)
�12
� 1
= (1 + 0; 015)
12 � 1
= 0; 19562
Efectivamente, dada una tasa nominal J (k), la TEA equivalente es
ieq
�
J (k)
�
=
�
1 +
J (k)
k
�k
� 1
La cual, �jada k > 0, es una función del valor de J (k).
Ahora, veri�car que ieq
�
J (k)
�
> J (k), es equivalente a comprobar que
ieq
�
J (k)
�
� J (k) > 0 (4.11)
Consideremos la función f : R2 ! R,
f (x; k) :=
�
1 +
x
k
�k
� 1� x
es claro que siempre que k > 1
f (0; k) = 0
@f
@x
(x; k) =
�
1 +
x
k
�k�1
� 1 > 0, para toda x > 0
Básicamente, porque todas las funciones de la forma x� para � > 0, son estric-
tamente crecientes y como xk > 0 tenemos que 1 +
x
k > 1.
Por lo tanto, si k > 1, tenemos que
f (x; k) =
�
1 +
x
k
�k
� 1� x > 0, para toda x > 0
de donde podemos concluir (4.11).
4.2. TASAS 83
Nota 4.47 Aca estamos usando que si f es diferenciable y para algún a 2 R se
cumple que
1. f (a) � 0
2. f 0 (x) > 0 para todo x > a
Entonces podemos concluir que f (x) > 0 para todo x > a.
Ejercicio 4.48 Hallar la TEA equivalente a una J (k) = 30% para
k 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365; 8:760; 525:600g
Ejercicio 4.49 Hallar la TEA equivalente a una J (k) = 12% para
k 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365; 8:760; 52:5600g
poner más ejercicios!!!!!!!!!!!!
4.2.2 Breve diccionario de tasas nominales
Existe una multitud de expresiones que se usan para expresar una tasa nominal.
Por ejemplo para designar una J (3) del 23 % se suele decir:
1. 23 % nominal anual capitalizable trimestralmente.
2. 23 % nominal capitalizable trimestralmente.
3. 23 % nominal trimestral (forma empleada en este libro).
4. 23 % anual capitalizable trimestralmente.
5. 23 % anual a trimestre vencido (o simplemente 23 % ATV).
6. 23 % capitalizable trimestralmente.
7. 23 % trimestre vencido (o simplemente TV).
Siendo muy facil de confundir la última con una tasa efectiva.
Inclusive algunos autores hablan de tasas nominales no anuales. Por ejemplo
19 % semetral capitalizable bimestralmente
es una forma de referirse a una tasa bimestral, informada de manera semestral,
por lo que la tasa efectiva asociada a esta tasa nominal es
i(2) = 0; 095 =
0; 19
3
= 0; 19
2
6
En general una
tasa t % p-período capitalizable q-períodicamente
hace referencia a una tasa q-períodica, informada de maneral p-períodica:
i(q) =
t
100
(las veces que entra un q-período en un p-período)
84 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
donde generalmente
las veces que entra un q-período en un p-período =
p
q
Como ocurre en el siguiente ejemplo: una tasa del 20 % cuatrimestral capitaliz-
able mensualmente, hace referencia a una tasa mensual
i(52) = 0; 2
3
12
= 0; 05
Pero este no siempre es el caso. Por ejemplo, una tasa de 15 % mensual
capitalizable semanalmente, hace referencia a una tasa semanali(52) = 0:15
1
4
= 0; 0375
y no a
0:15
12
52
= 0:34615385
Como regla general, si no aparece la palabra nominal, la aparición de dos
unidades temporales asociadas a la tasa es un buen indicio de que la tasa que
nos estan informado es una tasa nominal, donde la unidad temporal menor, nos
indica la tasa efectiva a la que esta asociada la tasa nominal en cuestión.
4.3 Equivalencia �nanciera de dos o más series
de capitales en capitalización compuesta
Ya que sabemos calcular el equivalente �nanciero de un capital para distintos
momentos en capitalización compuesta, podemos veri�car cuando dos series de
capitales son �nancieramente equivalentes con dicho sistema (recordamos que
éste es el segundo concepto fundamental de matemáticas �nancieras).
Una serie de capitalesA1; A2; : : : ; An disponibles en los momentos ta1 ; t
a
2 ; : : : ; t
a
n,
es equivalente a la serie de capitales B1; B2; : : : ; Bm disponibles en los momentos
tb1; t
b
2; : : : ; t
b
m, a una fecha focal f , para un agente dado (tasa), bajo una ley
�nanciera dada (sistema) si
nX
j=1
Aj al momento f =
mX
j=1
Bj al momento f
A1 A2 A3 Ant
B1 B2 B3 Bm
Pm
j=1Bj al momento t
Pn
j=1Aj al momento t
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES 85
(MODIFICAR DIBUJO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
El equivalente �nanciero de un capital dado, a la fecha focal f y a una tasa
p-períodica i(p) en el sistema de capitalización compuesto es
Aj al momento t = Aj
�
1 + i(p)
�f�taj
Donde el intervalo de tiempo entre t y taj es medido en p-períodos, para que sea
dimensionalmente compatible con la tasa i(p) usada.
Nota 4.50 Si f � taj , entonces debemos capitalizar el capital Aj desde taj hasta
f
Aj al momento t = Aj
�
1 + i(p)
�f�taj
taj
Aj
f
Aj
�
1 + i(k)
�f�taj
capitalización
Modi�car dibujooooo!!!!!!!!!!!!!
Pero si f < taj , entonces debemos actualizar el capital Aj desde desde t
a
j
hacia f
Aj al momento t = Aj
�
1 + i(p)
�f�taj
=
Aj�
1 + i(p)
�ta
j
�f
f
Aj
(1+i(k))
ta
j
�f
taj
Aj
actualización
(MODIFICAR DIBUJO)
Proposición 4.51 Dada una tasa efectiva p-períodica i(p), la serie de capitales
A1; A2; : : : ; An disponibles en los momentos ta1 ; t
a
2 ; : : : ; t
a
n es �nancieramente
equivalente a la serie de capitales B1; B2; : : : ; Bm disponibles en los momen-
tos tb1; t
b
2; : : : ; t
b
m, a la fecha focal f en el sistema de capitalización compuesta
si
nX
j=1
Aj
�
1 + i(p)
�f�taj
=
mX
j=1
Bj
�
1 + i(p)
�f�tbj
(4.12)
donde todos los datos temporales deben ser expresados en p-períodos.
86 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejemplo 4.52 La señorita Viviana desea sustituir el siguiente esquema de pa-
gos: $ 150.000 hoy, $ 150.000 a los dos años y $ 150.000 a los 4 años, por dos
pagos iguales, el primero al año, y el segundo a los 3 años. Hallar el nominal
de los montos a pagar usando una tasa anual i = 0; 35, y como fecha focal el
origen. Volver a resolver el problema usando como fechas focales 2 años y 4
años.
años
0 1 2 3 4 5
$ 150000 $ 150000 $ 150000
CC
El valor del primer esquema de pago: $ 150.000 hoy, $ 150.000 a los 2 años y
$ 150-000 a los 4 años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa anual i = 0; 35
es
150:000 (1 + 0; 35)
f
+ 150:000 (1 + 0; 35)
f�2
+ 150:000 (1 + 0; 35)
f�4
;
El valor del segundo esquema de pago: $ x dentro de 1 año y $ x dentro de 3
años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa anual i = 0; 35 es
x (1 + 0; 35)
f�1
+ x (1 + 0; 35)
f�3
Por ejemplo, usando como fecha focal el origen, f = 0; tenemos por (4.12)
150:000 +
150:000
(1 + 0; 35)
2 +
150:000
(1 + 0; 35)
4 =
x
1 + 0; 35
+
x
(1 + 0; 35)
3
277:464; 76 = 1; 1471822848 x;
luego
x = 241:866; 20 pesos.
Si ahora usamos como fecha focal f = 2 años
150:000 (1 + 0; 35)
2
+ 150:000 +
150:000
(1 + 0; 35)
2 = x (1 + 0; 35) +
x
1 + 0; 35
505679; 5267 = 2; 090740741 � x
luego
x = 241:866; 20 pesos.
Hemos obtenido el mismo resultado con una u otra fecha focal (Se insta al
lector volver a calcular el monto de los nuevos pagos usando cualquier otra fecha
focal que se le ocurra, debería obtener siempre x = 241:866:20 pesos).
El ejemplo anterior sugiere que la equivalencia �nanciera en capitalización
compuesta es independiente de la fecha focal elegida. Veamos que este siempre
es el caso.
Dada una tasa efectiva p-períodica i(p), supongamos que la serie de capitales
A1; A2; : : : ; An; disponibles en los momentos ta1 ; t
a
2 ; : : : ; t
a
n es �nancieramente
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES 87
equivalente a la serie de capitales B1; B2; : : : ; Bm; disponibles en los momentos
tb1; t
b
2; : : : ; t
b
m, a la fecha focal f1, bajo capitalización compuesta:
nX
j=1
Aj
�
1 + i(p)
�f1�tj
A l m om en t o
f1| {z }
#
=
mX
l=1
Bl
�
1 + i(p)
�f1�tl
:
Veamos que las mismas son equivalentes a cualquier otra fecha focal f2 6= f1
nX
j=1
Aj al momento f2 =
nX
j=1
Aj
�
1 + i(p)
�f2�taj
=
nX
j=1
Aj
�
1 + i(p)
�f2�f1+f1�taj
=
nX
j=1
Aj
�
1 + i(p)
�f2�f1 �
1 + i(p)
�f1�taj
=
�
1 + i(p)
�f2�f1 nX
j=1
Aj
�
1 + i(p)
�f1�tj
| {z }
nX
j=1
Aj al momento f1
=
�
1 + i(p)
�f2�f1 mX
j=1
Bj
�
1 + i(p)
�f1�tbj
| {z }
mX
j=1
Bj al momento f1
=
mX
j=1
Bj
�
1 + i(p)
�f2�f1 �
1 + i(p)
�f1�tbj
=
mX
j=1
Bj
�
1 + i(p)
�f1�tbj+f2�f1
=
mX
j=1
Bj
�
1 + i(p)
�f2�tbj
=
mX
j=1
Bj al momento f2
Por lo tanto en capitalización compuesta se puede usar cualquier fecha como
fecha focal en la equivalencia �nanciera sin alterar el resultado �nal.
Ejemplo 4.53 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 400 dentro de tres
meses, el segundo de $ 300 dentro de 6 meses y último de $ 500 a los 9 meses.
Por razones de �ujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos
3 pagos por dos: uno de $ 500 dentro de 5 meses y otro de monto a determinar
a los 10 meses. Se conviene una tasa de 2,5% mensual.
88 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Debemos igualar los valores a una fecha focal dada de ambas operaciones:
valor de la
operación original
a la fecha focal f
=
valor de la
operación nueva
a la fecha focal f
Usando como fecha focal: f = 6 meses
meses0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ 400 $ 300 $ 500
$ 500 C
fecha focal
Debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos serán
capitalizados (los que están disponibles antes de los 6 meses), otros serán actu-
alizados (los disponibles en fechas posteriores), y los disponibles a los 6 meses
no cambian
400 (1 + 0; 025)
3
+ 300 +
500
(1 + 0; 025)
3 = 500 (1 + 0; 025) +
C
(1 + 0; 025)
4
1:195; 055956 = 512; 5 +
C
1; 10381289062
de donde
C = 753; 4140631
Ejercicio 4.54 Una deuda de $ 2.000 vence en un año. Si el deudor paga $
600 a los 5 meses y $ 800 a los 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha
de vencimiento si la tasa convenida para la operación es una TEM del 2,85%.
Ejercicio 4.55 El señor Ignacio debe $ 25.000 con vencimiento en 2 meses,
$ 10.000 con vencimiento en 5 meses y $ 15.000 con vencimiento en 8 meses.
Si desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en
6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos
pagos suponiendo una TNA del 26%.
Ejercicio 4.56 ¿Con qué cantidad se cancela hoy día, un préstamo que se con-
siguió dos meses antes habiéndose �rmado dos documentos; uno con valor nom-
inal de $ 6.000 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 7.500
de valor nominal y vencimiento a 5 meses del préstamo?. Suponga intereses del
TEA de 20%.
Problemas con almanaque
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES 89
Ejercicio 4.57 El 10 de enero del corriente año se otorga un préstamo am-
parado con dos pagarés con vencimiento al 15 de marzo y al 3 de mayo por $
1.300 y $ 800 respectivamente. Poco después, se conviene en cancelarlo con tres
pagos: el primero por $ 500 el 20 de febrero, el segundo por $ 1.000 el 30 de
abril y el tercero el día 10 de junio, ¿De qué cantidad es este último pago si se
cargan intereses del 30% bimestral, ¿A cuánto asciende el monto del préstamo?
Ejercicio 4.58 Sea desea sustituirel pago de 3 capitales de $ 12.725, $ 11.022
y $ 8.774, con vencimiento los días 15 de mayo, 4 de junio y 25 de junio,
respectivamente, por uno único el día 1 de junio; ¿a cuánto ascenderá el capital
si se aplica una TNA del 25,6% anual a la operación?.
Ejercicio 4.59 ¿Con qué cantidad se cancela hoy día, un préstamo que se con-
siguió dos meses antes habiéndose �rmado dos documentos; uno con valor nom-
inal de $ 60.000 que vence en dos meses a partir de ahora y otro por $ 75.000
de valor nominal y vencimiento a 5 meses del préstamo?. Suponga una TEA
20%.
Ejercicio 4.60 Deseamos sustituir dos pagares de $ 145.000 y $ 123.000, con
vencimientos el 12 de abril y el 15 de junio, respectivamente, por otros tres de
igual monto, con vencimientos 10 de mayo, 10 de junio y 10 de agosto. Resolver
el problema usando:
tasa
1) TEA del 21%,
2) TNA del 21%,
3) TEM 1,8%,
4) 2,2% efectiva bimestral,
5) 2,2% nominal bimestral,
6) 0,05% efectiva diaria civil (365),
7) 0,05% efectiva diaria comercial (360),
8) 2,4% efectiva trimestral,
9) 2,4% nominal trimestral.
Ejercicio 4.61 poner más ejercicios!!!!!!!!!!!
4.3.1 Tasa media
Consideremos el siguiente ejemplo
Ejemplo 4.62 Ud. tiene $ 130.000 invertidos al 18% anual, $ 150.000 al 8%
semestral y % 145.000 al 2% mensual por el término de 2 años. ¿Qué tasa diaria
(durante 2 años) debería ofrecerle una entidad �nanciera para que ud. coloque
todo su capital, $ 425.000, en la misma?
Este no es más que un problema de equivalencia �nanciera de capitales,
donde la incognita es una tasa.
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!
Al cabo de 2 años, las inversiones originales generan el siguiente monto
130:000 (1 + 0; 18)
2
+150:000 (1 + 0; 08)
4
+145:000 (1 + 0; 02)
24
= 618:308; 7451
90 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
La operación nueva genera al cabo de 2 años
425:000
�
1 + i
(365)
media
�730
si queremos que ambas operaciones sean equivalentes, tenemos que
618:308; 7451 = 425:000
�
1 + i
(365)
media
�730
de donde
i
(365)
media =
730
r
618:308; 7451
425:000
� 1
= 0; 000513692
Por lo que la tasa que buscamos, conocida como la tasa media diaria de la
operación es i(365)media = 0; 000513692.
Por lo tanto, la entidad �nanciera debe ofrecerle al menos un 0; 000513692%
diario. Con esta tasa ambas operatorias producen el mismo ingreso al cabo de
dos años. Veamos que para otros horizontes temporales estas operaciones dan
diferentes montos.
Ahora, al cabo de un año, las tasas originales producen
130:000 (1 + 0; 18) + 150:000 (1 + 0; 08)
2
+ 145:000 (1 + 0; 02)
12
= 512:255; 0603
mientras que con la segunda operatoria
425:000 (1 + 0; 000513692)
365
= 512:621; 9364
Por lo que se ve, que para tiempos inferiores a los dos años, estas operatorias
dan diferentes.
Por otro lado, al cabo de 5 años, las tasas originales producen
130:000 (1 + 0; 18)
5
+150:000 (1 + 0; 08)
10
+145:000 (1 + 0; 02)
60
= 1:096:996; 722
mientras que con la segunda operatoria
425:000 (1 + 0; 000513692)
1825
= 1:085:001; 189
Es interesante comparar la tasa media de la operación, contra la tasa prome-
dio de la misma. En este caso la tasa promedio diaria se consigue promediando
las tasas diarias equivalentes a las tasas originales
�
1 + i
(365)
1
�365
= 1 + 0; 18 =) i(365)1 = (1 + 0; 18)
1
365 � 1 = 0; 000453567
�
1 + i
(365)
2
�365
= (1 + 0; 08)
2
=) i(365)2 = (1 + 0; 08)
2
365 � 1 = 0; 000421793
�
1 + i
(365)
3
�365
= (1 + 0; 02)
12
=) i(365)3 = (1 + 0; 02)
12
365 � 1 = 0; 000651257
Luego la tasa promedio diaria de la operación es
i
(365)
1 + i
(365)
2 + i
(365)
3
3
=
0; 000453567 + 0; 000421793 + 0; 000651257
3
= 0; 0005088723333
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES 91
En este caso se observa que la tasa promedio de la operación es superior a la
tasa media de la misma.
La operación �nanciera anterior ocurre con relativa frecuencia, por lo que
amerita el desarrollo de fórmulas generales.
En general dada una serie de operaciones consistente de colocar n capitales
Cj , con j = 1; : : : ; n, a las tasas qj-períodicas i(qj), con j = 1; : : : ; n, durante
t años, deseamos sustituir este conjunto de inversiones por una única inversión
por la suma total de los capitales involucrados
C =
nX
j=1
Cj
que produzca el mismo rendimiento en t-años.
tiempo
C1
hoy dentro de t años
C1
�
1 + i(p1)
�p1t
C2
Cn
C2
�
1 + i(p2)
�p2t
Cn
�
1 + i(pn)
�pnt
 
nP
j=1
Cj
! 
nP
j=1
Cj
!�
1 + i
(k)
media
�kt
La tasa media equivalente p-períodica i(p)media es la tasa que produce la
equivalencia �nanciera entre estas operaciones
nX
j=1
Cj
�
1 + i(qj)
�tqj
= C
�
1 + i
(p)
media
�tp
de donde podemos despejar la tasa media equivalente
i
(p)
media (t) =
pt
vuut 1
C
nX
j=1
Cj
�
1 + i(qj)
�qjt � 1 (4.13)
Nota 4.63 Observe que la fórmula para la tasa media de una serie de capitales
en el sistema compuesto depende del tiempo t, los capitales Cj y de las tasas
qj-períodicas i(qj), con j = 1; : : : ; n.
Usando un poco de Cálculo se puede probar que en el sistema compuesto la
tasa media tiende a la tasa más alta a medida que el horizonte temporal de la
operación tiende se hace más largo
lim
t!1
i
(p)
media (t) = limt!1
0
@ pt
vuut 1
C
nX
j=1
Cj
�
1 + i(qj)
�qjt � 1
1
A = max
1�j�n
(�
1 + i(qj)
� qj
p � 1
)
92 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
i.e., para el ejemplo que venimos trabajando, a medida que aumentamos el
tiempo de la operación la tasa media diaria tiende 0; 000651257
i
(p)
media (2) = 0; 000513692
i
(p)
media (5) = 0; 000519720
i
(p)
media (10) = 0; 000530070
i
(p)
media (100) = 0; 000621801
...
i
(p)
media (1) = 0; 000651257
Nota 4.64 Además, dados p; q 2 Z, es evidente que las tasas medias i(p)media y
i
(q)
media (calculadas con respecto a una misma serie de capitales) son equivalentes:
�
1 + i
(p)
media
�p
= t
vuut 1
C
nX
j=1
Cj
�
1 + i(qj)
�qjt
=
�
1 + i
(q)
media
�q
(4.14)
Ejemplo 4.65 Tenemos dos opciones de inversión: La primera es dividir el
capital en dos partes, colocando el 60% del mismo al 7% anual, y el 40% restante
al 4.1% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 1.25 mensual.
¿Cuál de las opciones es la más ventajosa?
En esta situación debemos comparar dos inversiones, una de las cuales in-
volucra más de una tasa. Usaremos tasa media para resolverla. Dado un intervalo
tiempo de t años, queremos hallar una tasa media i(12)media 12-períodica (mensual),
que nos produzca la misma ganancia:
0:60C (1 + 0:07)
t
+ 0:40C (1 + 0:041)
4t
= C
�
1 + i
(12)
media
�12t
despejando
i
(12)
media =
12t
q
0:60 (1 + 0:07)
t
+ 0:40 (1 + 0:041)
4t � 1 = 0:00896666 : : : (4.15)
Claramente la tasa media resulta una función del tiempo. Podemos gra�car
i
(12)
media (t) y veri�car que
i
(12)
media (t) � 0:0125 para todo t � 78 años
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES 93
tiempo en años
tasa mensual
0 50 100 150 200
0:0025
0:0050
0:0075
0:0100
0:0125
0:0150
78:51865948 años
Ahora es claro que la segunda opción (no dividir el capital) es la más con-
veniente si:
i
(12)
2 = 0:0125 > i
(12)
media
En general no se puede despejar t de la expresión (4.15), por lo que se deben
usar métodos numéricos para hallar el tiempo de �equilibrio� (la cantidad de
años a la que somos indiferentes entre una o otra opción). Usando Maple student
edition, hallamos que para este ejemplo el tiempo de equilibrio es
t = 78:51865948 años
Ejercicio 4.66 Tenemos dos opciones de inversión: La primera es dividir el
capital en dos partes, colocando el 30 % del mismo al 18 % anual, y el 70 %
restante al 6.5 % trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al 0.5
% semanal. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa?
Ejercicio 4.67 Actualmente tenemos $ 25.000 en el banco A, que nos paga una
TEA del 13.5 %, $ 13.000 en LEBAC�s (letras del Banco Central) que pagan
una TNA del 15.7 % y $ 35.000 en bonos de la empresa B que pagan un 8.1%
semestral. Qué redimiento anual nos debería ofrecer el banco C a tres años para
que depositemos en él todo nuestro capital.
Ejercicio 4.68 Actualmente disponesmosde $ 75.000 en acciones de una em-
presa de soft que historicamente han obtenido un redimiento del 8.1 % anual.
Debido a la volatilidad del mercado decidimos partir nuestro capital en dos: en
bonos de bajo riesgo, que ofrecen un redimiento semestral de 2.4 %, y en una
compañia �nanciera que nos ofrece un rendimiento mensual del 1.3 %. ¿Qué
porcentaje de nuestros fondos debemos invertir en cada opción para obtener el
mismo rendimiento al cabo de un año que la inversión original?
94 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejercicio 4.69 Tenemos $ 100.000 para invertir. Se nos presentan tres op-
ciones. La primera es depositarlo todo en un banco que paga en 2,5% mensual.
La segunda en comprar $ 60.000 en bonos del estado que pagan un 8,2% trimes-
tral y el resto en el banco al 1,8% mensual. La tercera consiste en comprar
obligaciones de empresas privadas: $ 30.000 en opciones de la empresa A, que
rinden un 21% semestral, $ 40.000 en opciones de la empresa B, que rinden
un 4,8% bimestral y el resto en opciones de la empresa C que rinden un 38,5%
anual. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa?
Ejercicio 4.70 Tenemos dos opciones de inversión: La primera es dividir el
capital en dos partes, colocando el 30% del mismo al 18% anual, y el 70%
restante al 6,5% trimestral. La segunda consite en colocar todo el capital al
0,5% semanal. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa?
Poner más ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
4.3.2 Vencimiento medio
Este es un caso particular de la equivalencia �nanciera, en el que sustituimos una
serie de capitales por un único pago igual a la suma algebraica de los capitales
involucrados.
De�nición 4.71 Dada una tasa p-períodica i(p) la fecha m a la cual la serie de
capitales C1; C2; : : : ; Cn disponibles en los momentos t1; t2; : : : ; tn es equivalente
a la suma algebraica, C, de dichos capitales
C =
nX
j=i
Cj
se llama vencimiento medio de la serie considerada.
(Poner dibujo !!!!!!)
Como en el sistema compuesto la equivalencia �nanciera puede realizarse a
cualquier fecha focal sin alterar el resultado, tomando f = 0 en (4.12) tenemos
nX
j=i
Cj
�
1 + i(p)
��tj
= C
�
1 + i(p)
��m
Aplicamos logarítmo en ambos miembros y obtenemos
log
nX
j=1
Cj
�
1 + i(p)
��tj
= logC �m log
�
1 + i(p)
�
Luego, despejamos m
m =
logC � log
nX
j=1
Cj�
1 + i(p)
�tj
log
�
1 + i(p)
� (4.16)
En la fórmula anterior los datos temporales se suponen expresados en p-períodos,
para que sean compatibles con la tasa i(p) usada.
4.3. EQUIVALENCIA DE CAPITALES 95
Ejemplo 4.72 La señorita Marisa desea sustituir tres pagos, el primero de $
400, $ 300 el segundo y el último también de $ 300, con vencimientos hoy, dentro
de 6 meses y dentro de un año, respectivamente, por un único pago de $ 1.000.
Hallar el vencimiento medio para
tasa
1) TEM del 4%
2) TEA del 18,5%
3) TNA del 14,8%
4) J (3) = 0; 14
5) i(3) = 0; 045
6) 0,1% efectiva diaria comercial (360)
7) 0,1% efectiva diaria civil (365)
1) Tasa: TEM del 4%,
m1 =
log 1000� log
 
400 +
300
(1 + 0:04)
6 +
300
(1 + 0:04)
12
!
log (1 + 0:04)
= 4
Ejercicio 4.73 Hallar el resto de los vencimientos medios requeridos en el
ejemplo anterior.
Nota 4.74 Razonando �nancieramente es intuitivo que el vencimiento medio
se encuentre entre el primer y el último momento en que los capitales vencen,
pues se debe dar una compensación de intereses.
Ejemplo 4.75 Sustituir el siguiente esquema de pago: 4 cuotas semestrales de
$1.000, comenzando el dia de hoy, a una tasa i(2) del 15%; a) por un solo pago
al día de hoy, b) por un solo pago dentro de 2 años.
En ambos casos se desea sustituir dicho esquema por un único pago. Para
ello recurriremos a la fórmula (4.12) y tomando como fecha focal a f = 0, nos
queda
1:000 +
1:000
(1 + 0; 15)
+
1:000
(1 + 0; 15)
2 +
1:000
(1 + 0; 15)
3 =
C
(1 + 0; 15)
t
(Poner Dibujo)
a) Se desea realizar el pago hoy, por lo tanto t = 0, entonces
1:000 +
1:000
(1 + 0; 15)
+
1:000
(1 + 0; 15)
2 +
1:000
(1 + 0; 15)
3 = Ca
donde se obtiene
Ca = 3:283; 225117
b) En este caso, t = 4
1:000 +
1:000
(1 + 0; 15)
+
1:000
(1 + 0; 15)
2 +
1:000
(1 + 0; 15)
3 =
Cb
(1 + 0; 15)
4
96 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
despejando Cb
Cb = 1000 (1; 15)
4
+ 1000 (1; 15)
3
+ 1000 (1; 15)
2
+ 1000 (1; 15)
y obtenemos
Cb = 5:742; 38125
Con estos resultados es claro que si sustituimos dicho esquema por un solo
pago hoy día de $ 4.000, la suma algebraica de las cuotas, pagaríamos de más;
por el contrario si lo sustituimos por un pago de $ 4.000 dentro de dos años,
momento �nal del esquema, pagaríamos de menos.
De hecho, dada una serie de capitales C1; C2; : : : ; Cn disponibles en los mo-
mentos t1 < t2 < : : : < tn respectivamente, tenemos que
nX
j=1
Cj
�
1 + i(p)
� <0z}|{
t1�tj
| {z }
<1| {z }P
Cj al momento t1
<
nX
j=i
Cj <
P
Cj al momento tnz }| {
nX
j=1
Cj
�
1 + i(p)
�
>0z }| {
tn � tj
| {z }
>1
siempre que usemos una tasa positiva. Lo que demuestra que m 2 (t1; tn)
Ejercicio 4.76 El señor Nicolás desea sustituir 12 pagos mensuales de $ 1.000,
por un único pago de $12.000. Suponer una TEA del 18,5%. Hallar el vencimiento
medio.
Ejercicio 4.77 La señorita Ana acuerda con su acreedor sustituir el siguiente
esquema de pago: 3 pagos de $ 10.000, a los cero, seis y doce meses, respec-
tivamente, por un único pago de $ 30.000 a los 7 meses. ¿Cuál fue la TNA
usada?
Ejercicio 4.78 poner más ejercicios!!!!!!!!!!!!
Nota 4.79 El problema de hallar la tasa que produce un esquema de vencimiento
medio dado, requiere el uso de métodos numéricos.
4.4 Capitalización subperíodica
Hasta el momento no nos hemos preocupado por la discretitud del tiempo,
intrínseca de las fórmulas desarrolladas.
Ejemplo 4.80 Se deposita durante 6 meses y 19 días unos fondos por $ 10 000
a una TEA del 19.5 %, ¿Cuál es el monto del capital acumulado?
Este tipo de situaciones se puede resolver de varias maneras. Una es convertir
el tiempo a años
10:000 (1 + 0; 195)
6
12+
19
365 = 10:000 (1; 195)
0;55205479452
= 11:033; 44778
donde
0; 55205479452 años = 6 meses y 19 días
4.4. CAPITALIZACIÓN SUBPERÍODICA 97
O conseguir una tasa diaria equivalente
(1 + 0; 195) =
�
1 + i(365)
�365
i(365) = 0; 00048819087
y pasar todo el tiempo a días:
10:000 (1 + 0; 00048819087)
199
= 11:019; 99522
Ahora, surjen de maneral natural una serie de preguntas asociadas a este
ejemplo:
1. ¿De donde surge la diferencia de $ 13,45456 entre ambos procedimientos
si conceptualmente son equivalentes?
2. ¿Por qué podemos usar exponentes no enteros en la fórmula de capital-
ización (discreta por naturaleza)?
3. ¿Cuál de los dos procedimientos es mejor?
4. ¿Existen otras formas de manejar estas situaciones?
Analizaremos esto con cierto grado de detalle en esta sección. Pero desde un
punto �nanciero, todo depende de lo que convengan las dos partes involucradas
en la operación �nanciera.
Hay unas tres formas generales de abordar el problema (la mayoría con una
que otra variante). Las que bautizaremos como convenios:
1. Convenio discreto o de truncamiento
2. Convenio lineal
3. Convenio Exponencial
4.4.1 Convenio discreto o de truncamiento
Este es el sistema que habitualmente usan los bancos en Argentina para manejar
cajas de ahorro. La �losofía del sistema es que los intereses se capitalizan sólo
al �nal del período, y por lo tanto, dada una tasa p-períodica i(p) el capital
acumulado después de t p-períodos es igual al capital acumulado despues de btc
p-períodos
poner dibujo con la capitalización escalonada.
Por lo que la fórmula de capitalización toma la forma
C0
�
1 + i(p)
�btc
Para el caso del ejemplo (4.80) tenemos que
Ca los 6 meses y 19 días = 10:000 (1 + 0:195)
b0:55205479452c
= 10 000 (1 + 0:195)
0
= 10 000
98 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Esto muestra una de las desventajas del método discreto, la cual es más y más
evidente mientras menor sea la frecuencia de capitalización usada. Si utilizamos
tasas subperíodicas equivalentes (i.e. tasas cuya frecuenciade capitalización sea
menor que la originalmente dada) este método se aproxima cada vez más al
resultado obtenido al usar exponentes no enteros. En la práctica se usa asociado
a tasas mensuales.
Ejemplo 4.81 Si depositamos $ 5 000 en una caja de ahorro que paga una
TEM del 1.2%. ¿Cuál será el monto acumulado al cabo de 9 meses y 26 días?
Bueno, en este caso, como escencialmente las cajas de ahorro operan a sis-
tema truncado, tenemos que el capital acumulado a los largo de 9 meses y 26
días es
5 000 (1 + 0:012)b9+
26
30c = 5 000 (1 + 0:012)9 = 5 566:6590
4.4.2 Convenio exponencial o continuo
Este es lo que hemos estado haciendo hasta ahora. Consiste en hacer caso omiso
de la discretitud temporal de las fórmulas. Una variante, es utilizar alguna tasa
subperíodica equivalente, para capitalizar la parte subperíodica. Ambas formas
deberían dar el mismo resultado. Entonces, por qué en el ejemplo (4.80) hubo
una diferencia de más de $ 13. La respuesta es sencilla: esa diferencia surge del
pésimo sistema que tenemos en matemáticas �nancieras para medir el tiempo:
las unidades no son claramente convertibles, por ejemplo
1. Un año tiene 12 meses y 365 días. Cada mes tiene 30 días, por lo que un
año debería tener ¡360 días!
2. Un año tiene 12 meses y cada mes tiene 4 semanas, luego un año tiene
48 semanas. Ahora como cada semana tiene 7 días el año debe tener ¡336
días!
3. Un mes tiene 4 semanas, y cada semana tiene 7 días, luego todos los meses
tienen ¡28 días!
4. En matemáticas �nancieras se usa que el año tiene 52 semanas, y como
cada semana tiene 7 días, el año debe tener ¡364 días!
No hay forma satisfactoria de solucionar esta ensalada. Un pobre intento de
solución es convenir en realizar todas las conversiones vía años. Por ejemplo 6
meses y 19 días son unos
6 meses y 19 días =
6
12
+
19
365
años = 0:55205479452 años
y una vez que tenemos anualizado el tiempo, convertir el mismo:
0:55205479452 años = 0:55205479452
365
1
días = 201:5 días
y con esta cantidad de días operar:
10 000 (1 + 0:00048819087)
201:5
= 11033:44980
4.4. CAPITALIZACIÓN SUBPERÍODICA 99
Lo que nos da un resultado mucho más próximo al original.
Este es el método de conversión temporal que los autores se atreven a re-
comendar.
Nota 4.82 Las conversiones entre meses, bimestres, trimestres, cuatrimestres,
semestres, años, lustros, decadas, siglos, etc. Funcionan a la perfección y de la
manera natural.
4.4.3 Convenio lineal
Este método es típicamente el usado en operaciones de crédito. Pues debido
a la convexidad de las funciones exponenciales, cualquier cuerda que une dos
puntos sobre una función convexa, queda por arriba de la función convexa, y vía
el lema de las tres cuerdas, es fácil demostrar que mientras más "larga"(�jado
el punto de la izquierda) son las cuerdas consideradas, mayor es la diferencia
entre la cuerda y la función exponencial. Esto se traduce en un mayor capital
acumulado (en el caso de operaciones de crédito, es sinónimo de un pago mayor).
Todo convenio lineal trata de capitalizar de manera compuesta durante la
parte entera del período de tiempo y luego moverse a través de rectas (cuerdas)
en lugar de la función exponencial subyacente, por el lapso de tiempo que resta.
Poner dibujo con las tres cuerdas y numerarlas
1, 2, y 3 de acuerdo con el caso
Existen tres variantes del convenio lineal:
1. Convenio lineal equivalente.
2. Convenio lineal proporcional.
3. Convenio lineal anualizado.
Y cada variante se puede obtener geométricamente (Proporcionalidad de
los lados homólogos de triángulos semejantes) o �nancieramente (obteneniendo
una tasa simple subperiodica adecuada �equivalente� o, mejor dicho, asociada
y utilizando sistema simple).
Convenio lineal equivalente
Este convenio coincide con el convenio exponencial. Simplemente se trata
de hallar la tasa simple subperíodica equivalente para el lapso de tiempo cor-
respondiente y utilizarla para capitalizar el capital acumulado durante la parte
no entera de tiempo.
Poner aqui dibujo
He aqui un ejemplo:
Ejemplo 4.83 Se pide un préstamo por $ 25 000 para remodelar la cocina del
quincho de una de nuestras casas de �n de semana. El banco nos cobra una TEM
del 3.4 % y utiliza convenio lineal equivalente. ¿Cuál es el monto que debemos
entregar para cancelar la deuda 5 meses y 9 días más tarde?
Si usaramos convenio exponencial (y conversión anualizada del tiempo), de-
beríamos entregar
25 000 (1 + 0:034)
5+ 9365
12
1 = 29 842:77404
100 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ahora, para usar el convenio lineal equivalente, debemos hallar la tasa simple
diaria equivalente para 9 días a la TEM del 3.4 %
�
1 + 9i
(365)
simple
�
= (1 + 0:034)
9
365
12
1
i
(365)
simple = 0:00110468082556
Luego debemos entregar a los 5 meses y 9 días la suma de
25 000 (1 + 0:034)
5
(1 + 9 � 0:00110468082556) = 29 842:77404
Poner ejercicios?¡ o al �nal?
Convenio lineal proporcional
Dada una cantidad t de p-períodos, el convenio lineal proporcional conciste
en utilizar la cuerda que une los puntos
�
btc ; Cbtc
�
y
�
dte ; Cdte
�
Poner dibujo
Esto se puede hacer de dos formas, geométricamente (via semejanza de tri-
angulos):
x
t� btc =
Cdte � Cbtc
1
Por lo que
x =
�
Cdte � Cbtc
�
(t� btc)
Por lo que el
Ct = Cbtc +
�
Cdte � Cbtc
�
(t� btc)
= C0
��
1 + i(p)
�btc
+
��
1 + i(p)
�dte
�
�
1 + i(p)
�btc�
(t� btc)
�
= C0
�
1 + i(p)
�btc n
1 +
h�
1 + i(p)
�
� 1
i
(t� btc)
o
= C0
�
1 + i(p)
�btc h
1 + (t� btc) i(p)
i
Financieramente, podemos llegar a la misma expresión calculando la tasa
simple p-periodica i(p)simple equivalente a i
(p) y luego capitalizando en sistema
simple Cbtc el capital acumulado hasta el momento dte por el tiempo que resta:
t� btc.
Ct = C0
�
1 + i(p)
�btc h
1 + (t� btc) i(p)simple
i
Esta dos fórmulas son iguales pues a un p-período ( 1p años) la equivalencia de
tasas intrasistemas nos da que la tasa simple equivalente es exactamente igual
a la tasa compuesta p-períodica i(p)
�
1 + p
1
p
i
(p)
simple
�
=
�
1 + i(p)
�p 1
p
i
(p)
simple = i
(p)
4.5. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO 101
Ejemplo 4.84 Si en el caso del ejemplo (4.83) el banco usará el convenio lineal
proporcional. ¿Cuánto deberíamos pagar para cancelar la deuda a los 5 meses y
9 días más tarde?
En este caso, debemos aplicar la formula anterior, convirtiendo los 9 días a
meses via anualización
C5 meses y 9 días = 25 000 (1 + 0:034)
5
�
1 +
9
365
12
1
0:034
�
= 29 846:26516
Convenio lineal anualizado
Es muy similar a la versión �nanciera del convenio lineal proporcional, pero
la equivalencia de tasas intrasistemas se plantea a un año
Ct = C0
�
1 + i(p)
�btc h
1 + (t� btc) i(p)simple
i
donde i(p)simple se obtiene a partir de
�
1 + pi
(p)
simple
�
=
�
1 + i(p)
�p
i
(p)
simple =
�
1 + i(p)
�p � 1
p
Ejercicio 4.85 Si en el caso del ejemplo (4.83) el banco usará el convenio lineal
anualizado. ¿Cuánto deberíamos pagar para cancelar la deuda a los 5 meses y 9
días más tarde?
En este caso debemos debemos hallar primero la tasa simple mesual equiba-
lente, a un año, a la TEM del 3.4 %
i
(p)
simple =
(1 + 0:034)
12 � 1
12
= 0:041136818422
Luego, convirtiendo los 9 días a meses via anualización
C5 meses y 9 días = 25 000 (1 + 0:034)
5
�
1 +
9
365
12
1
0:041136818422
�
= 29 908:664243
En cada uno de los casos, la conversión del tiempo puede realizarse sin anu-
alizar, lo que cambia ligeramente los resultados.
Poner ejercicios!!!!
4.5 Descuento a interés compuesto
En las operaciones comerciales habitualmente no se usa la actualización para
calcular el valor actual de un capital futuro. El método usado se conoce como
descuento (comercial). Este es el caso típico de lo que ocurre con los cheques
102 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
a fechas. El poseedor de un cheque (documento, plazo �jo, etc.) el cual tiene un
nominal N , podrá hacerlo efectivo en t años (esta cantidad no tiene porque ser
entera), pero por algún motivo necesita dinero hoy (para pagar una deuda, por
una oportunidadde inversión, etc.). Entonces acude a un intermediaro �naciero
(banco, �nanciera, un �prestamista� en el peor de los casos), y cambia el cheque
por una suma en efectivo E, donde
E < N:
hoy dentro de t años
E
N
D
La diferencia entre el E efectivo que recibe, y el nominal N del documento
entregado, recibe el nombre de descuento
D = N � E: (4.17)
En esta operación se puede pensar que el intermediario �nanciero se ha
cobrado los intereses al principio de la operación. La tasa que se usa es llamada
tasa de descuento d, la cual tiene la particularidad que se aplica sobre el
nominal N .
El sistema de descuento compuesto se caracteriza por calcular el descuento
con base en cada período.
Supongamos que se quiere adelantar un documento de nominal N , unos n
p-períodos con un intermediario �nanciero que cobra una tasa de descuento
compuesta p-períodica d(p).
4.5. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO 103
j j + 1
Ej+1
Ej
d(k)
período j + 1
Dj
El descuento compuesto en el período j+1 se cobra al principio del período
j+1, i.e., en el momento j, pero se calcula sobre el efectivo al �nal del período,
i.e., en el momento j + 1:
Dj = Ej+1d
(p)
Como el efectivo Ej que recibiremos en el momento j es igual al efectivo Ej+1,
disponible en el momento j + 1, menos el correspondiente descuento, el cual se
calcula sobre Ej+1, tenemos la siguiente relación recursiva
�
Ej = Ej+1 � Ej+1d(p); 0 � j < n,
En = N:
Donde la condición inicial es En = N (al momento n hacemos efectivo el docu-
mento, no necesitamos descontarlo).
tiempo
1
E1
k
Ek
k + 1
Ek+1
n� 1
En�1
n
N = En
E0 = E
D0
D
D1
Dk
Dk+1
Dn�1
104 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Esta última relación recursiva puede ser reescrita
(
Ej =
1
1� d(p)Ej+1; 0 � j < n,
En = N:
Observe que ambas relaciones recursiva están de�nidas sólo para los j 2 Z tales
que
0 � j � n
Esto obedece razones �nancieras. Hoy (j = 0), y no antes, queremos descontar
un documento que vence en n k-períodos. Por otro lado a partir del período n
el efectivo que recibiremos por nuestro documento es siempre el mismo:
Ej = N para j � n
Usando la teoría de relaciones recursivas que hemos desarrollado, caso g (j) =
cte = 0, con
A =
1
1� d(p) 6= 1;
concluimos que el la forma para el efectivo en el momento j, para 0 � j � n, es
Ej =
h0�
1� d(p)
�j
donde h0 es una constante que se ajusta usando la condición inicial En = N :
N = En =
h0�
1� d(p)
�n
h0 =
�
1� d(p)
�n
N
luego
Ej = N
�
1� d(p)
�n�j
; para 0 � j � n;
en particular
E = E0 = N
�
1� d(p)
�n
Esto nos da la ecuación fundamental del sistema de descuento compuesto para
una tasa de descuento p-períodica, la cual nos permite calcular el efectivo E que
recibiremos al descontar un nominal N , unos n p-períodos con un intermediario
�nanciero que cobra una tasa de descuento compuesta p-períodica d(p).
E = N
�
1� d(p)
�n
(4.18)
En términos de la tasa de descuento y el nominal, el descuento total com-
puesto es
D = N
�
1�
�
1� d(p)
�n�
(4.19)
4.5. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO 105
Nota 4.86 El descuento compuesto nunca anula al efectivo (siempre y cuando
la tasa de descuento sea razonable, i.e., d(p) 2 (0; 1)). Como para todo n 2 Z+
1 >
�
1� d(p)
�n
>
�
1� d(p)
�n+1
> 0;
y
lim
n!1
�
1� d(p)
�n
= 0:
Tanto el efectivo, como el descuento son funciones exponenciales del tiempo de
descuento (ambas crecientes en j):
Ej < Ej+1
Dj < Dj+1
Mientras que el descuento total es creciente en n (tiempo total descontado):
N
�
1�
�
1� d(k)
�n�
< N
�
1�
�
1� d(k)
�n+1�
Ejemplo 4.87 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 días de nominal $
1 000. Qué efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de
descuento diario del 2.1%. ¿Cuánto nos han descontado?
El efectivo que recibiremos se calcula con (4.18)
E = 1000 (1� 0:021)5 = 899:32
de donde
D = 1000� 899:32 = 100:68
Observe que el valor actual de $ 1000, calculado con una tasa efectiva diaria del
2.1% es
C0 =
1000
(1 + 0:021)
5 = 901:3
Ejemplo 4.88 ¿Cuántos días hay que descontar un documento para obtener un
efectivo menor o igual a la mitad del nominal a una tasa de descuento d(360) =
0:01?
Como deseamos hallar el tiempo de descuento n, aplicando logaritmo en la
fórmula (4.18) obtenemos
logE = logN + n log
�
1� d(p)
�
Luego
n =
logE � logN
log
�
1� d(p)
� (4.20)
En la cual remplazando los valores dados en el ejemplo quedaría
N
2
� N
�
1� d(360)
�n
106 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
de donde
n � log
N
2 � logN
log (1� 0:01)
n � logN � log 2� logN
log (1� 0:01)
n � � log 2
log (1� 0:01)
En particular
n � � log 2
log (1� 0:01) = 68:968;
i.e., si descontamos un documento 69 días, el efectivo será prácticamente la
mitad del nominal.
Nota 4.89 El tiempo necesario para recibir una fracción dada del nominal, abN ,
es independiente del nominal N , depende exclusivamente de la tasa de descuento
usada:
a
b
N = N
�
1� d(p)
�n
de donde
n =
log a� log b
log
�
1� d(p)
�
Ejercicio 4.90 ¿Cuál fue el descuento y el efectivo de un cheque con vencimiento
a 3 meses si se aplicó una tasa de descuento del 4.5% mensual y su nominal
ascendía a $ 5000?
Ejercicio 4.91 El Sr. Ignacio desea adelantar 19 días un documento de $ 4 580
de nominal. Tiene dos opciones: La primera es descontar el documento en el
Banco Gran J, que le cobra una tasa diaria de descuento del 0.75%. La segunda
es acudir a la Financiera "Su Amiga Rosita", institución que le cobra una tasa
de descuento del 23.9% mensual. ¿Donde debe el Señor Ignacio descontar su
documento?
Ejercicio 4.92 Sabiendo que el descuento sobre un cheque a 12 días es de $
230. Calcular el nominal si la tasa de descuento diaria aplicada es del 5%.
Ejercicio 4.93 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 60 días de nominal $
5 000. Qué efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica un tasa de
descuento diario de 1.7%. ¿Cuántos días hay que adelantar un documento a esta
tasa para el efectivo sea un tercio del nominal?
Ejercicio 4.94 La Srta. Mariela ha recibido $ 13 506.80 al descontar un cheque
12 días en el Banco DAJ, institución que cobra un tasa diaria de descuento del
0.87%. ¿Cuál es el montante del cheque?
Ejercicio 4.95 El Señor Adrián recibió $ 1 235.50 al adelantar 7 días un
cheque de $ 14 500. ¿Cuál es la tasa diaria de descuento que le aplicaron?
¿Qué tasa efectiva diaria transforman los $ 1 235.50 en $ 14 500?
4.5. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO 107
Ejercicio 4.96 La señora Encarnación adelanto un documento y recibio 56 del
nominal del mismo. Si la institución �nanciera en la que operó le cobra una
tasa de descuento del 2.3 % diario. ¿Cuánto tiempo adelanto el documento?
Ejercicio 4.97 Completar la siguiente tabla de tiempos necesarios para obtener
la fracción dada del nominal, para las tasas de descuentos dadas:
p
q d
(365) = 0:05% d(365) = 0:1% d(365) = 0:5% d(365) = 1% d(365) = 5%
1
2
1
3
2
3
1
4
3
4
3
5
4
5
4.5.1 Equivalencia de tasas de descuento compuesto.
Con respecto a las tasas de descuento compuesto surgen las mismas preguntas
de siempre: dada una tasa de descuento p-períodica d(p)
1. ¿Cuál es la tasa de descuento q-períodica equivalente?
2. ¿Cuál es la tasa efectiva q-períodica equivalente?
La equivalencia de tasas se suele mirar de izquierda a derecha (del pasado
hacia el futuro). Esto funciona muy bien con las tasas efectivas, pero no asi
con las tasas de descuento. Es más natural plantear la equivalencia de tasas de
derecha a izquierda (del futuro hacia el pasado) para los sistemas de descuento:
De�nición 4.98 Dos tasas de descuento compuestas d(p) y d(q), con p; q 2 Z,
se dicen que son equivalentes si aplicadas a un mismo nominal N durante un
mismo intervalo de t años producen el mismo descuento, y por lo tanto el mismo
efectivo, aunque tengan distinta frecuencia de descuento: p 6= q. Es decir
N
�
1� d(q)
�qt
= E = N
�
1� d(p)
�pt
A partir de la anterior de�nición deducimos la ecuación fundamental de
equivalencia de tasas de descuento compuesto
�
1� d(q)
�q
=
�
1� d(p)
�p
: (4.21)
t añosE N
d(p)
d(q)
Como antes, usaremos d, en lugar de d(1), para designar una tasa de des-
cuento anual
108 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Nota 4.99 Observe que la equivalencia de tasas de descuento dada por (4.21)
es independiente del período de tiempo t considerado.
Ejemplo 4.100 Dada una tasa de descuento anual del 10% hallar la tasa d(k),
para k 2 f2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g, equivalente.
Por ejemplo la tasa de descuento cuatrimestral equivalente es
1� d =
�
1� d(3)
�3
de donde
d(3) = 1� 3
p
1� d;
= 1� 3
p
1� 0:1
= 0:034511
Ejercicio 4.101 Dada una tasa de descuento bimestral del 3.5% hallar la tasa
d(k) equivalente, para k 2 f1; 2; 3; 4; 12; 52; 360; 365g.
4.5.2 Equivalencia entre tasas de descuento y capitalización.
Dados dos capitales
C0 = E < N = Cn
separados temporalmente por t años
(Poner Dibujo)
Supongamos que la tasa de descuento q-períodica, d(q); reduce N a E en t
años
E = N
�
1� d(q)
�qt
y que la tasa p-períodica, i(p), transforma C0 en Cn en t años
Cn = C0
�
1 + i(p)
�pt
Ahora tenemos
N
�
1� d(q)
�qt
= E = C0 =
Cn�
1 + i(p)
�pt =
N
�
1 + i(p)
�pt
de donde llegamos a la relación fundamental de equivalencia entre tasas de
capitalización compuesta y de descuento compuesto
�
1� d(q)
�q �
1 + i(p)
�p
= 1: (4.22)
Claramente esta equivalencia es independiente del tiempo t considerado.
t años
E N
i(p)
d(q)
4.5. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO 109
Nota 4.102 despejando d(q) e i(p)de (4.22) obtenemos, respectivamente
d(q) = 1� q
s
1�
1 + i(p)
�p (4.23)
i(p) = p
s
1�
1� d(q)
�q � 1 (4.24)
En particular, si tomamos q = p en (4.23)
d = 1� 1
1 + i
=
i
1 + i
< i
Y, si q = p en (4.24)
i =
1
1� d � 1
=
d
1� d
> d
Por lo tanto siempre la tasa efectiva equivalente es nominalmente mayor a la
tasa de descuento asociada (Insistimos: esto ocurre si ambas tasas tienen la
misma frecuencia o unidad temporal).
Ejemplo 4.103 Dada una tasa de descuento mensual del 8% hallar la tasa de
capitalización compuesta diaria (comercial) i(360) equivalente.
De (4.24) obtenemos que
i(360) = 360
s
1
�
1� d(12)
�12 � 1
= 360
s
1
(1� 0:08)12
� 1
= 0:0027833
Ejemplo 4.104 Se desean encontrar las tasas de descuento d(52), d(365) y d(12)
equivalentes a una TEM del 13%
Usando la fórmula (4.23) nos queda
d(52) = 1� 52
s
1
(1 + 0:13)
12
= 0:0278100474
110 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
de la misma manera calculamos d(365)
d(365) = 1� 365
s
1
(1 + 0:13)
12
= 0:0040100521
pero en cuanto a d(12) como tiene la misma frecuancia de capitalización que
nuestra TEM, el cálculo es mucho más sencillo
d(12) = 1� 1
1 + i(12)
= 1� 1
1 + 0:13
= 0:1150442478
De los resultados obtenidos observamos que, para las tasas dadas:
d(12) = 0:1150442478 < 0:15 = i(12)
y, calculando las tasas equivalentes i(52) y i(365) a nuestra TEM
d(52) = 0:0278100474 < 0:032778513 = i(52)
d(365) = 0:0040100521 < 0:004605486 = i(365)
lo cual coincide con el resultado de la nota anterior.
Ejercicio 4.105 Completar la siguiente tabla de tasas equivalentes compuestas
tasa 1 tasa 2
1) d(2) = ? i(6) = 0:06
2) d(2) = 0:06 i(6) = ?
3) d(12) = 0:023 i(4) = ?
4) d(12) = ? i(4) = 0:023
5) d(365) = 0:035 i(365) = ?
6) d(360) = ? i(365) = 0:035
7) d(360) = ? i(360) = 0:035
8) d = 0:18 i = ?
9) d = ? i = 0:18
4.5.3 Descuento Racional
La operación de descuento típica asume conocidos en nominal N , la tasa de
descuento y el tiempo de adelanto, y se desea averiguar el efectivo E que se va
a recibir.
El descuento racional o matemático no es otra cosa que el uso de la actu-
alización compuesta para el cálculo del efectivo: Dado un nominal N , una tasa
p-períodica i(p) y un intervalo de n p-períodos (que es el tiempo que deseamos
adelantar el documento) buscamos una cantidad de dinero Eracional tal que
Eracional
�
1 + i(p)
�n
= N (4.25)
4.5. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO 111
de donde
Eracional =
N�
1 + i(p)
�n
(PONER DIBUJO)
Por lo tanto el descuento es total es
Dracional = N � Eracional
= N
 
1� 1�
1 + i(p)
�n
!
= N
�
1�
�
1 + i(p)
��n�
(4.26)
Ejemplo 4.106 El señor Juan de desea hacer efectivo hoy un cheque a 5 días
de nominal $ 1 000. Qué efectivo recibirá si acude al Banco Super J de San Luis,
el cuál usa descuento racional para adelantar documentos, cobrando una tasa
efectiva diaria i(365) del 2.1%. ¿A cuanto asciende el descuento que le realizan
al Sr. Juan?
Sólo hace falta usar (4.26)
Dracional = N
�
1�
�
1 + i(k)
��n�
= 1000
�
1� (1 + 0:021)�5
�
= 98:696
Es decir que al Sr. Juan le descuentan $ 98.70, por lo que recibe $ 901.30. Como
ya hicimos ver en el ejemplo (4.87), si la tasa que le cobran al Sr. Juan fuera de
descuento, recibiría
E = 899:32
pues el descuento (comercial) que le aplicarían es
D = 100:68
Ejercicio 4.107 ¿Cuál fue el descuento racional y el efectivo racional de un
cheque con vencimiento a 3 meses si se aplicó una tasa efectiva del 4.5% mensual
y su nominal ascendía a $ 5000?
Ejercicio 4.108 El Sr. Ignacio desea adelantar 19 días un documento de $
4 580 de nominal. Tiene dos opciones: La primera es descontar el documento
en el Banco Gran J, que le cobra una tasa diaria de descuento comercial del
0.85%. La segunda es acudir a la Financiera "Su Amiga Rosita", institución
usa descuento racional y cobra una tasa efectiva del 35.6% mensual. ¿Donde
debe el Señor Ignacio descontar su documento?
Ejercicio 4.109 Sabiendo que el descuento sobre un cheque a 12 días es de
$ 230. Calcular el nominal si se aplica descuento racional y una tasa efectiva
diaria del 5%.
112 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ejercicio 4.110 Se desea hacer efectivo hoy un cheque a 60 días de nominal
$ 5 000. Qué efectivo recibiremos si acudimos a un banco que aplica descuento
racional y una tasa efectiva diaria del 1.7%. ¿Cuántos días hay que adelantar
un documento a esta tasa para el efectivo sea un tercio del nominal?
Ejercicio 4.111 La Srta. Mariela ha recibido $ 13 519.08 al descontar un
cheque 12 días en el Banco DAJ, institución que cobra un tasa diaria de de-
scuento racional del 0.87%. ¿Cuál es el montante del cheque?
Ejercicio 4.112 La señora Encarnación adelanto un documento y recibio 56 del
nominal del mismo. Si la institución �nanciera en la que operó le cobra una tasa
de descuento racional del 2.3 % diario. ¿Cuánto tiempo adelanto el documento?
Nota 4.113 Supngamos que deseamos descontar un documento por un nominal
N , unos n p-períodos a una tasa p-períodica r, el descuento comercial asociado
a ella
D (r) = N (1� (1� r)n)
es siempre mayor que el descuento racional (actualización) asociado a la misma:
Dracional (r) = N
�
1� (1 + r)�n
�
Es decir
D (r) > Dracional (r) (4.27)
Donde para resaltar que estamos observando el comportamiento de descuento en
cada sistema con respecto a la misma tasa, escribimos D (r) por D y Dracional (r)
por Dracional donde r es la tasa.
Veri�car (4.27) es equivalente a comprobar que
D (r)�Dracional (r) > 0 (4.28)
Si r es una tasa razonable, i.e., r 2 (0; 1), entonces
0 < r < 1
elevando al cuadrado (función monótona creciente)
0 < r2 < 1
luego, mutiplicando por �1
0 > �r2 > �1
y sumando 1
1 > 1� r2 > 0
desarrollando la diferencia de cuadrados
1 > (1� r) (1 + r) > 0
de donde conseguimos la desigualdad
1
1 + r
> 1� r
4.5. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO 113
Ahora, como para cada n 2 N; las funciones xn son monótonas crecientes
1
(1 + r)
n > (1� r)n
Luego, para toda r 2 (0; 1) y para toda n 2 N
1
(1 + r)
n � (1� r)n > 0 (4.29)
Por lo tanto
D(r)�Dracional (r) = N (1� (1� r)n)�N
�
1� (1 + r)�n
�
= N
�
1
(1 + r)
n � (1� r)n
�
| {z }
>0 por (4.29)
> 0
lo que demuestra (4.28) para toda r 2 (0; 1) y para toda n 2 N.
Por lo tanto si un banco cobra un descuento comercial del 6.3% diario y
otra institución cobra un descuento racional del 6.3% diario, conviene realizar
el descuento del documento en la segunda institución.
114 HOOFDSTUK 4. SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Hoofdstuk 5
Capitalización Continua
5.1 Capitalización continua
Enlos ejercicios 4.48 y 4.49 del capítulo anterior, hallamos la TEA equivalente a
una tasa nominal �ja a medida que aumentamos la frecuencia de capitalización
(las veces que capitaliza en el año). Los datos sugieren que a medida que p crece
la TEA asociada crece pero se mantiene acotada (si no ha resuelto los ejercicios
en cuestión, ¡hágalo ahora!)
Resolvamos un problema relacionado: Dada una tasa nominal J (p), el capital
�nal acumulado al cabo de t años es
Ct = C0
�
1 +
J (p)
p
�pt
Si dejamos �jo el valor de la tasa nominal
J (p) = J; para todo p > 0,
tenemos que el capital �nal al cabo de t años se puede ver como una función de
p (la frecuencia de capitalización)
Ct (p) = C0
�
1 +
J
p
�pt
Ahora, si capitalizamos cada vez más veces en el año, i.e., si hacemos crecer p,
el factor
�
1 + Jp
�p
crece pero se mantiene acotado por eJ . Por ejemplo si �jamos
115
116 HOOFDSTUK 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
J = 0:2 (20% nominal)
Frecuencia p
�
1 + 0:2k
�p
Valor
�anual� 1 1 + 0:2 = 1:2
semestral 2
�
1 + 0:22
�2
= 1:21
cuatrimestral 3
�
1 + 0:23
�3
= 1:213629631
trimestral 4
�
1 + 0:24
�4
= 1:215506250
bimestral 6
�
1 + 0:26
�6
= 1:21742672
mensual 12
�
1 + 0:212
�12
= 1:219391090
semanal 52
�
1 + 0:212
�52
= 1:220934289
diario 365
�
1 + 0:2365
�365
= 1:221335767
por hora 8760
�
1 + 0:28760
�8760
= 1:221399432
...
...
...
...
...
continuamente 1 lim
k!1
�
1 + 0:2k
�k
= 1:221402758
Pues
lim
k!1
�
1 +
0:2
k
�k
= e0:2 = 1:221402758
A medida que p crece, la frecuencia de capitalización aumenta, disminuyendo
el tiempo entre dos capitalizaciones consecutiva. Cuando p tiende a in�nito,
decimos que los intereses se capitalizan en forma instantánea. Esto se conoce
como capitalización continua.
Ahora el capital �nal al cabo de t años es
Ct = lim
p!1
C0
�
1 +
J
k
�pt
= C0e
Jt (5.1)
5.1. CAPITALIZACIÓN CONTINUA 117
Años
$
0
12
1
12
2
12
3
12
4
12
5
12
6
12
7
12
8
12
9
12
10
12
11
12
12
12
C0e
Jt
C0(1 + J)
t
C0
�
1 + (J
2)
2
�2t
C0
�
1 + (J
3)
3
�3t
C0
�
1 + (J
4)
4
�4t
C0
�
1 + (J
6)
6
)
�6t
C0
�
1 + (J
12)
12
)
�12t
C0
Nota 5.1 Como la tasa efectiva usada en capitalización continua es nula:
lim
p!1
J
k
= 0
En capitalización continua sólo se utiliza la tasa nominal J .
De�nición 5.2 Se denomina capitalización continua a la ley �nanciera por
la cuál un capital inicial C0 impuesto t años a una tasa nominal (anual) J
produce un capital �nal
Ct := C0e
Jt (5.2)
118 HOOFDSTUK 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Años
0
hoy
t
$
C0e
Jt
C0
J
t años
Nota 5.3 Observe que en capitalización continua, el tiempo t en la fórmula
(5.2) siempre se debe colocar en años, para que sea dimensional compatible con
la tasa nominal continua J
Ejemplo 5.4 Calcular el montante que producirá un capital de $ 200.000 im-
puesto a capitalización continua durante 7 años a una tasa nominal continua
del 12%.
Sólo debemos aplicar la fórmula (5.2):
C7 = 200:000e
0;12�7 = 463:273; 3954
Por lo que al cabo de 7 años dispondremos de $ 463.273,40.
Ejemplo 5.5 Calcular el montante que producirá un capital de $ 10.000 im-
puesto a capitalización continua durante 8 meses a una tasa nominal del 12%.
No es más que calcular
C 8
12
= 10000e0;12
8
12
= 10:833
Observe que debimos convertir los 8 meses a 812 años para poder usarlos en las
fórmula de capitalización continua.
Ejemplo 5.6 Hoy extraemos del banco $ 17.251,75. ¿Cuál fue el capital original
si nos pagan una tasa nominal continua del 18,5% y el depósito fue pactado por
8 meses?
5.1. CAPITALIZACIÓN CONTINUA 119
Sabemos que
Cn = C0e
Jt
de donde
C0 = Cne
�Jt (5.3)
= 17:251; 75e�0;185
8
12
= 15:250
Luego el depósito original fue por $ 15.250.
Ejemplo 5.7 Determinar el interés total obtenido al depositar $ 5.000 a plazo
�jo por el término de 3 meses a capitalización continua con una tasa nominal
del 12,3%.
Por de�nición
IT = C�nal � Coriginal
Es decir
IT = C0e
Jt � C0
= C0
�
eJt � 1
�
= 5000
�
e0;123
3
12 � 1
�
= 156; 13833
Por lo que el interés total obtenido es de $ 156,14.
Ejemplo 5.8 Hallar el capital que produce unos intereses de $ 1.110 al cabo de
45 días, a una tasa nominal continua del 25%.
Del problema anterior sabemos que
IT = C0
�
eJt � 1
�
(5.4)
Luego
C0 =
IT
eJt � 1 (5.5)
=
1:110
e0;25
45
365 � 1
= 35:141; 71423
Por lo que el capital buscado es $ 35.141,71. Observe que se podría haber usado
el año comercial
C0 =
1:110
e0;25
45
360 � 1
= 34:652; 86508
En general este es un punto que debe ser aclarado en cada caso. Cuando no se
especi�que el lector tiene libertad de usar uno o el otro.
Ejemplo 5.9 La señorita Viviana deposita en un banco $ 500.000 y al cabo de
30 meses le entregan $ 867.250. ¿Cuál es la tasa nominal que le pagó el banco
si éste usa capitalización continua?
120 HOOFDSTUK 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Como
Cn = C0e
Jt
tenemos que
J =
1
t
ln
Cn
C0
(5.6)
Luego
J =
1
30
12
ln
867:250
500:000
= 0; 2202876750
i.e., una tasa nominal continua del 22,02876750%.
Ejemplo 5.10 Durante cuantos días hay que imponer un capital de $ 3.000 a
una J = 23; 85%, para obtener no menos de $ 4.100.
Como
Cn = C0e
Jt
tenemos que
t =
lnCn � lnC0
J
(5.7)
Ahora, nosotros en realidad deseamos hallar el primer t, en días tal que
4:100 � 3:000e0;2385 t365
como la función logaritmo es monótona creciente
ln 4:100 � ln 3:000 + 0; 2385 t
365
luego
t � 365 ln 4:100� ln 3:000
0; 2385
� 478; 05769
Por lo tanto, debemos imponer el capital al menos 479 días.
Ejercicio 5.11 Calcular el capital �nal o montante que se obtendrá al colocar
$ 25.500 a capitalización continua durante 3,5 años a una tasa nominal del
10,5%. ¿A cuánto ascienden los intereses totales?
Ejercicio 5.12 Determinar el interés obtenido por la empresa RAL s.r.l., la
cual efectuó un depósito a plazo �jo por el término de 75 días, con excedentes
de fondos por $ 80.000 a una tasa nominal del 11 % anual. Usar capitalización
continua.
Ejercicio 5.13 Obtenga los intereses totales que produce un capital de $ 5.300.500
impuestos a capitalización continua, a una tasa nominal del 18,33% durante 4
meses, 8 días y 5 horas.
5.1. CAPITALIZACIÓN CONTINUA 121
Ejercicio 5.14 Hallar el capital necesario para producir un interés de $ 1.500
en una colocación por un plazo de 150 días en una entidad bancaria que capi-
taliza continuamente con una tasa nominal del 21,6%.
Ejercicio 5.15 Hace 187 días el señor Nicolás invertió una cierta suma de
dinero al 35,2% nominal, a capitalización continua. Hoy le entregan $ 8.541.220,50
¿Cuál fue el monto que invertió originalmente?
Ejercicio 5.16 La señorita Viviana depositó en un banco $ 15.000 y al cabo de
8 meses le entregaron $ 15.672,20. ¿Cuál es la tasa de interés nominal que le
pagó el banco? Suponer capitalización continua.
Ejercicio 5.17 Un inversor reembolsará $ 4.995,50 por un depósito concertado
a 90 días por $ 3.700. Averiguar la tasa nominal pactada si se usa capitalización
continua.
Ejercicio 5.18 Hallar la tasa nominal necesaria para que un depósito por $
11.000 reditúe al inversor en 180 días, la mitad de la colocación usando capi-
talización continua.
Ejercicio 5.19 ¿Cuántos años son necesarios para duplicar un capital a una
tasa nominal J en capitalización continua?
Ejercicio 5.20 ¿Cuánto tiempo es necesario que transcurra para triplicar un
capital al 5% nominal capitalizable continuamente?
Ejercicio 5.21 ¿Cuál es la tasa de interés nominal que nos permite duplicar el
capital en t años usando capitalización continua?
Ejercicio 5.22 Una empresa con excedentes de fondos por $ 20.000 efectúa
dos colocaciones para cubrir necesidades futuras. Una durante 45 días al 11,5%
nominal capitalizable continuamente, y otra durante 15 días a una TEM del
3,25%. Averiguar los importes de los depósitos, sabiendo que las inversiones
producen igual interés.
Ejercicio 5.23 El señor Elias posee $ 355.000. Decide invertilos en dos proyec-
tos que le pagarán respectivamente el 1,2 % bimestral y el 2,1% trimestral. Qué
porcentaje de sus ahorros debe invertiren cada proyecto, para recibir el mismo
monto en concepto de intereses a los 6 meses. Si ahora desea que ambos proyec-
tos le paguen los mismos intereses totales al cabo de 1 año ¿Cuánto deberá poner
en cada uno de los proyectos?
Ejercicio 5.24 Un capital por $ 3.800 se impuso a capitalización continua du-
rante 7 días al 11,2% nominal anual; luego el capital acumulado se impuso a
capitalización compuesta por el término de 15 días con una TNA del 25,7%
anual; y por último se consiguió colocarlo 30 días a interés simple a una tasa
anual del 43,5%. Calcular el interés total y la tasa nominal continua equivalente
de la operación citada.
Delirio:
122 HOOFDSTUK 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
f
�
x+
1
p
�
= f (x)
�
1 +
J
p
�
f
�
x+ 1p
�
� f (x)
1
p
= Jf (x)
tomando p �!1 tenemos
f 0 (x) = Jf (x)
Luego
f (x) = CeJx
Si agregamos la condición inicial
f (0) = C0
tenemos que
f (x) = C0e
Jt
5.2 Equivalencia de capitales
Dado un capital A disponible al momento t, en capitalización continua el valor
del mismo a la fecha focal f es:
A al momento f = AeJ(f�t)
pues si t < f , debemos capitalizar el capital A por f � t años
A al momento f = AeJ(f�t)
(PONER DIBUJO)
mientras que si t > f , debemos actualizar el capital A por t� f años:
A al momento f = Ae�J(t�f)
(PONER DIBUJO)
Esto nos permite concluir:
Proposición 5.25 Dada una tasa nominal continua J , la serie de capitales
A1; A2; : : : ; An disponibles en los momentos ta1 ; t
a
2 ; : : : ; t
a
n es �nancieramente
equivalente a la serie de capitales B1; B2; : : : ; Bm disponibles en los momentos
tb1; t
b
2; : : : ; t
b
m, a la fecha focal f en el sistema de capitalización continua si
nX
j=1
Aje
J(f�taj ) =
mX
j=1
Bje
J(f�tbj)
donde todos los datos temporales deben ser expresados en años.
(PONER DIBUJO)
5.2. EQUIVALENCIA DE CAPITALES 123
Ejemplo 5.26 La Sra. Yanina desea sutituir el siguiente esquema de pagos: $
50.000 hoy, $ 60.000 a los cinco años y $ 100.000 a los 10 años, por dos pagos
iguales, el primero al año, y el segundo a los 6 años. Hallar el nominal de los
montos a pagar usando una tasa nominal continua J = 13; 5%, y tomando como
fecha focal el día de hoy. Resolver nuevamente el problema usando como fecha
focal f = 5 años.
El valor del primer esquema de pago: $ 50.000 hoy, $ 60.000 a los 5 años
y $ 100.000 a los 10 años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa nominal
J = 13; 5% es
50:000e0;135f + 60:000e0;135(f�5) + 100:000e0;135(f�10)
El valor del segundo esquema de pago: $ x dentro de 1 año y $ x dentro de 6
años, a la fecha focal f (en años) usando la tasa la tasa nominal J = 13; 5% es
xe0;135(f�1) + xe0;135(f�6)
Por ejemplo, usando como fecha focal el origen, f = 0 tenemos
50:000 + 60:000e�0;675 + 100:000e�1;35; = xe�0;135 + xe�0;81
50:000 + 30:549; 39 + 25:924; 03 = 1; 31857397791x
106:473; 41
1; 31857397791
= x
80:748; 91 = x:
i.e., los nuevos pagos serán de $ 80.748,91.
Ejercicio 5.27 Volver a calcular el monto de los nuevos pagos usando la otra
fecha focal propuesta o cualquier otra fecha focal que se le ocurra al lector.
Debería obtener siempre x = 80:748; 91.
La equivalencia �nanciera en capitalización continua, al igual que en capi-
talización compuesta, es independiente de la fecha focal elegida.
Ejercicio 5.28 Veri�car que este es el caso: comprobar que la equivalencia �-
nanciera en capitalización continua es independiente de la fecha focal elegida.
Ejemplo 5.29 Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ 40.000 dentro de
tres meses, el segundo de $ 30.000 dentro de 6 meses y último de $ 50.000 a
los 9 meses. Por razones de �ujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos
sustituir estos 3 pagos por dos: uno de $ 50.000 dentro de 5 meses y otro de
monto a determinar a los 10 meses. Se conviene una tasa del 25% nominal
continua.
Debemos igualar los valores a la fecha focal dada de ambas operaciones:
valor de la
operación original
a la fecha focal f
=
valor de la
operación nueva
a la fecha focal f
Usando como fecha focal: f = 6 meses
124 HOOFDSTUK 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
meses0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
$ 400 $ 300 $ 500
$ 500 C
fecha focal
Debemos llevar todos los capitales a los seis meses, por lo que algunos serán
capitalizados (los que están disponibles antes de los 6 meses), otros serán actu-
alizados (los disponibles en fechas posteriores), y los capitales disponibles a los
6 meses no cambian
40:000e0;25�
3
12 + 30:000 + 50:000e0;25�(�
3
12 ) = 50:000e0;25
1
12 + Ce0;25�(�
4
12 )
42:580 + 30000 + 46:971 = 51:053 + 0; 920044414629C
de donde
C =
68:499
0; 920044414629
= 74:451
Por lo que el a los 10 meses deberemos pagar $ 74.451.
Ejercicio 5.30 Una deuda de $ 2.000 con una tasa nominal continua 18.5%
vence en un año. Si el deudor paga $ 900 a los 5 meses y $ 800 a los 9 meses.
Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento.
Ejercicio 5.31 El señor Denis debe $ 25.000 con vencimiento en 6 meses, $
10.000 con vencimiento en 15 meses y $ 18.500 con vencimiento en 18 meses.
Si desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en
9 meses y otro con vencimiento en 18 meses. Determinar el importe de dichos
pagos suponiendo una tasa nominal del 31,5%.
Ejercicio 5.32 ¿Con qué cantidad se cancela hoy día, un préstamo que con-
siguió dos meses atrás la Srta Noelia, habiendo �rmado dos documentos; uno
con valor nominal de $ 6.000 que vence en dos meses a partir hoy y otro por
valor nominal de $ 7.500 y vencimiento a 10 meses del préstamo? Suponga
intereses continuos del 20,4%.
Problemas con almanaque
Ejercicio 5.33 El 15 de enero del corriente año se otorga un préstamo am-
parado con dos pagarés con vencimiento al 23 de marzo y al 23 de mayo por $
1.900 y $ 2.000 respectivamente. Poco después, se conviene en cancelarlo con
tres pagos: el primero por $ 500 el 22 de febrero, el segundo por $ 1.000 el 22 de
abril y el tercero el día 22 de junio, ¿Cuál es el monto de este último pago si se
cargan intereses del 30% nominal? ¿A cuánto asciende el monto del préstamo?
Ejercicio 5.34 Sea desea sustituir el pago de 3 capitales de $ 12.725, $ 11.022
y $ 8.774, con vencimiento los días 15 de mayo, 12 de junio y 29 de julio,
respectivamente, por uno único pago el día 1 de julio; ¿A cuánto ascenderá el
capital si se aplica una tasa nominal continua del 26%?.
5.3. TASA MEDIA CONTINUA 125
5.3 Tasa media continua
Como ya vimos, se le llama tasa media a la tasa que produce el mismo efecto
�nal que un grupo de tasas dadas actuando simultáneamente. Consideremos el
siguiente ejemplo:
Ejemplo 5.35 Ud. tiene $ 100.000 invertidos al 18%, $ 250.000 al 8% y %
75.000 al 2%, donde todas las tasas son nominales anuales continuas y todas
las inversiones son por 3 años. ¿Qué tasa nominal (anual) continua debería
ofrecerle una entidad �nanciera para que ud. coloque todo su capital, $ 425.000,
en la misma (por tres años)?
Este no es más que un problema de equivalencia �nanciera, donde la incog-
nita es una tasa (en principio, el tiempo también parece ser una incognita, pero
veremos que en sistema continuo, este tipo de problemas es independiente del
horizonte temporal).
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!
Planteemos la oparatoria a 3 años. Al cabo de 3 años, las inversiones origi-
nales generan la siguiente cantidad de dinero
100:000e0;18�3 + 250:000e0;08�3 + 75:000e0;02�3
La operación nueva genera al cabo de t años
425:000eJ�3
si queremos que ambas operaciones sean equivalentes, tenemos que
100:000e0;18�3 + 250:000e0;08�3 + 75:000e0;02�3 = 425:000eJ�3
Por lo que la tasa nominal continua J que buscamos, conocida como la tasa
media continua de la operación, es
J =
1
3
ln
100:000e0;18�3 + 250:000e0;08�3 + 75:000e0;02�3
425:000
= 0; 36901324
Por lo tanto, la entidad �nanciera debe ofrecerle al menos una tasa nominal
continua del 0; 36901324 %. Esta tasa, produce igual rentabilidad en tres años
que a las otras tres inversiones en conjunto. Esto no ocurre a otras fechas.
A dos años tenemos que las tres inversiones en conjunto producen un mon-
tante de $1.217.318,74, pues
100:000e0;18�2 + 250:000e0;08�2 + 75:000e0;02�2 = 1:217:318; 74
mientras que si invertimos $ 425.000 al 36,901324% obtenemos un montante de
$ 889.016,40 pues
425:000e0;36901324�2 = 889:016; 3698
A tres años ambas inversiones producen el mismo montante $ 1.285.790,38
100:000e0;18�3+250:000e0;08�3+75:000e0;02�3 = 1285790:38 = 425:000e0;36901324�3
126 HOOFDSTUK 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Mientras que a 7 años tenemos que las tres inversiones en conjunto producen
un montante de $ 1.652.915,623, pues
100:000e0;18�7 + 250:000e0;08�7 + 75:000e0;02�7 = 1:652:915; 623
mientras que si invertimos $ 425.000 al 36,901324% obtenemos un montante de
$ 5.626.156,741 pues
425:000e0;36901324�7 = 5:626:156; 741
En general, la serie de capitales Ck, con k = 1; : : : ; n, los cuales hoy son
colocados a las tasas nominales continuas Jk; con k = 1; : : : ; n, durante t años,
es equivalente a colocar hoy la suma de todos los capitales
C =
nX
k=1
Ck;
a la tasa nominal continua media Jmedia durante t años, la cual realiza la igual-
dad en la siguiente ecuación:
nX
k=1
Cke
Jkt = CeJmedia
despejando la tasa media obtenemos
Jmedia =
1
t
ln
 
1
C
nX
k=1
Cke
Jkt
!
: (5.8)
Nota 5.36 Observe que la fórmula para la tasa media en capitalización con-
tinua depende del tiempo t, los capitales Ck y de las tasas nominales Jk, con
k = 1; : : : ; n.
Ejemplo 5.37 A la Señorita Noelia se le ofrecen dos opciones de inversión: La
primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 70% del mismo al 8%
nominal anual, y el 30% restante al 12% nominal anual. La segunda consite en
colocar todo el capital al 10% nominal anual. ¿A que horizonte temporal una
opción es mejor que la otra?
Calculemos primero la tasa media de la primera operación. Dado un intervalo
tiempo de t años, queremos hallar una tasa Jmedia , que nos produzca la misma
ganancia:
0:70CeJ1t + 0:30CeJ1t = CeJm ed ia �t
reemplazando y despejando
Jmedia =
1
t
ln
�
0:70e0:08t + 0:30e0:12t
�
Nuevamente la tasa media resulta una función del tiempo.
Podemos gra�car Jmedia (t):
5.4. EQUIVALENCIA ENTRE TASAS CONTINUAS Y DISCRETAS 127
Años
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
tasa
0:025
0:050
0:075
0:100
0:125
0:150
Jmedia(t)
42:36489302
De la cual se puede ver que
Jmedia (t) � 0:10 para todo t � 42:36489302 años.
Ahora es claro que la segunda opción (no dividir el capital) es la más con-
veniente si:
t � 42:36489302 años.
En general no se puede despejar t de la expresión (4.15), por lo cual se deben
usar métodos numéricos para hallar el tiempo de �equilibrio� (la cantidad de
años a la que somos indiferentes entre una o otra opción). Para este ejemplo,
usando Maple student edition, hallamos que el tiempo de equilibrio es
t = 42:36489302 años.
Ejercicio 5.38 Tenemos $ 100.000 para invertir. Se nos presentan tres op-
ciones. La primera es depositarlo todo en un banco que paga en 10.8% nominal.
La segunda en comprar $ 65.000 en bonos del estado que pagan un 12% nominal
y el resto en el banco al 5% nominal. La tercera consiste en comprar obligaciones
de empresas privadas: $25.000 en opciones de la empresa A, que rinden un 14%,
$ 40.000 en opciones de la empresa B, que rinden un 10% y el resto en opciones
de la empresa C que rinden un 9% anual. ¿Cuál de las opciones es la más ven-
tajosa a 10 años? ¿Existe un tiempo de equilibrio en el cual seamos indiferentes
entre las tres opciones?
Ejercicio 5.39 Al señor Gonzalo se le ofrecen dos opciones de inversión: La
primera es dividir el capital en dos partes, colocando el 35% del mismo al 18%
nominal, y el 65% restante al 6,5% nominal. La segunda consiste en colocar todo
el capital al 9,4% nominal. ¿Cuál de las opciones es la más ventajosa a 5 años?
¿Cuál es el tiempo de equilibrio?
PONER MÁS EJERCICIOS!!!!!!!!!!!!!!! !
5.4 Equivalencia entre tasas continuas y discre-
tas
A la señorita Georgina se le ofrecen dos opciones: Imponer su capital a una TEA
del 12% o imponerlo a una tasa nominal continua del 11,5%. ¿Cuál opción es
128 HOOFDSTUK 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
mejor? Si dispusieramos de fórmula para convertir tasas continuas en discretas
y viceversa podríamos responder esta pregunta (Si es verdad, hay otras formas
de resolver el problema). Esto se puede lograr facilmente aplicado la de�nición
de equivalencia de tasas: La tasa efectiva p-períodica i(p) (discreta) y la tasa
nominal continua J , son �nancieramente equivalentes si aplicadas un capital
inicial C0, durante t años, producen idéntico capital �nal Cf :
C0e
Jt = Cf = C0
�
1 + i(p)
�pt
t años
C0 Cf
i(k)
J
De donde llegamos a la relación fundamental de equivalencia entre tasa disc-
retas y continuas
Proposición 5.40 La tasa efectiva p-períodica i(p) (discreta) y la tasa nominal
continua J , son �nancieramente equivalentes si
eJ =
�
1 + i(p)
�p
(5.9)
Nota 5.41 Depejando de la última expresión obtenemos
J = p ln
�
1 + i(p)
�
(5.10)
i(p) = e
1
p
J � 1 (5.11)
Además, como se puede apreciar de las fórmulas anteriores, esta equivalencia
de tasas es independiente del tiempo.
Para responder a la pregunta que se esta haciendo Georgina, calculemos la
tasa nominal continua equivalente a una TEA del 12%
J = ln (1 + 0; 12) = 0; 1133286853
Por lo tanto es mejor la otra inversión.
A modo con�rmatorio, calculemos la TEA equivalente a la J = 0:115:
i(p) = e0:115 � 1 = 0:12187 > 0; 12
Ejercicio 5.42 Hallar la tasa nominal continua equivalente a una TNA del
18%.
Ejercicio 5.43 Hallar la tasa nominal continua equivalente a una i(p) = 0:02
con
p 2 f1; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g:
Ejercicio 5.44 Dada una J = 0:30, hallar la i(p) equivalente para
p 2 f1; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g:
Ejercicio 5.45 Hallar la tasa nominal continua equivalente a una nominal
trimestral (J (4)) del 24%.
Ejercicio 5.46 Poner más ejercicios
5.5. VENCIMIENTO MEDIO CONTINUO 129
5.5 Vencimiento medio continuo
Dada una tasa nominal continua J , deseamos hallar el vencimiento medio m,
en el cual podemos sustituir una serie de capitales C1; C2; : : : ; Cn disponibles en
los momentos t1 � t2 � : : : � tn, por un único pago
C =
nX
k=1
Ck:
Como en el sistema continuo la equivalencia �nanciera puede realizarce a
cualquier fecha focal sin alterar el resultado, eligiendo f = 0 tenemos
nX
k=1
Cke
�Jtk = Ce�Jm
Luego
m =
1
J
 
lnC � ln
nX
k=1
Cke
�Jtk
!
(5.12)
Razonando �nancieramente es intuitivo que el vencimiento medio se debe hallar
entre t1 y tn, pues debe haber una compensación de intereses.
Ejemplo 5.47 El Señor Paul desea sustituir tres pagos, de $ 4.000, $ 3.000 y
$ 3.000, con vencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un año, respecti-
vamente, por un único pago de $ 10.000. Hallar el vencimiento medio para las
siguientes tasas nominales
tasa nominal
1) 4%
2) 8%,
3) 31%,
4) 42%
1) Tasa nominal del 4%,
vmedio =
ln 10:000� ln
�
4000 + 3:000e�0:04
6
12 + 3:000e�0:04
�
0:04
= 0:4465537 años,
i.e., prácticamente 163 días.
Ejercicio 5.48 Hallar el resto de los vencimientos medios requeridos en el
ejemplo anterior.
Ejercicio 5.49 La empresa González s.r.l. de desea sustituir 6 pagos bimes-
trales de $ 150.000 , por un único pago de $900.000. Suponer una tasa nominal
del 24.5%. Hallar el vencimiento medio.
Ejercicio 5.50 La fábrica de pastas La Nona, S.A. sutituyó el siguiente es-
quema de pagos:3 pagos de $ 75.000, hoy, a los seis y doce meses, respectiva-
mente, por un único pago de $ 225.000 dentro de 8 meses. ¿Cuál fue la tasa
nominal continua usada?
Ejercicio 5.51 PONER MÁS EJERCICOS
130 HOOFDSTUK 5. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
5.6 Descuento continuo
En ésta sección demostraremos que en capitalización continua actualizar y de-
scontar son la misma operación.
Las tasas de descuento no suelen informarse de manera anual, pues típica-
mente son muy altas pero, a �n de poder desarrollar el descuento continuo, las
introduciremos.
Dada una tasa de descuento p-períodica d(p), la tasa de descuento nominal
correspondiente es
H(p) = pd(p)
Por ejemplo la tasa de descuento nominal equivalente a una tasa efectivade
descuento diario d(365) del 1,1% es
H(365) = 365d(365) = 365 � 0; 011 = 4; 015
i.e., una tasa nominal de descuento del 401,5%.
Ahora, dada una tasa de descuento nominal que descuenta p veces en el año,
tenemos que el efectivo E correspondiente a descontar un nominal N durante t
años es
E = N
�
1� H
(p)
p
�pt
Si ahora �jamos la tasa nominal
H(p) = H para todo p 2 Z+
y pensamos al efectivo como una función de p
E (p) = N
�
1� H
p
�pt
al hacer tender p hacia 1 obtenemos el siguiente efectivo
E = lim
p!1
E (p)
= lim
p!1
N
�
1� H
p
�pt
= Ne�Ht
Poner dibujo!!!!!!
Luego
N = EeHt
de donde podemos deducir que actualizar y descontar son la misma operación
en capitalización continua (por eso los libros de �nanzas suelen hablar siempre
de descuento).
Hoofdstuk 6
Composición de tasas
6.1 Rentabilidad real
Hay muchas situaciones donde debemos tener en cuenta más de una tasa para
poder tomar una decisión �nancieramente acertada. Por ejemplo, cuando la
in�ación es grande, cuando se opera con monedas de diferentes naciones, cuando
se cobran comisiones, cuando se pagan impuestos, etc.
Consideremos la siguiente situación
Ejemplo 6.1 Disponemos de $ 250.000. Hoy el dólar cuesta $ 4,15, además el
banco con el que operamos nos paga una tasa en dólares del 6,3 %. Por otro
lado, se estima que la tasa de devaluación anual del peso respecto del dólar será
del 3,7 %. Si compramos dólares, y los depositamos en este banco por 2 años,
¿Cuál será nuestra rentabilidad en pesos?
La respuesta no es simplemente sumar ambas tasas:
6; 3% + 3; 7% = 10%
Veamos en detalle la operación para obtener la tasa real de rendimiento:
1. Primero compramos 60.240,96 dólares, pues cómo cada dólar nos cuesta
$ 4; 15:
$ 250:000
4; 15
= U$ 60:240; 96386
2. Luego capitalizamos por dos años la cantidad de dólares que adquirimos
a la tasa en dólares que nos ofrecen:
U$ 60:240; 96386 (1 + 0:067)
2
= U$ 68:583; 67467
3. Luego usamos la tasa anual de devaluación del peso con respecto al dólar
para hallar el precio del dólar frente al peso dentro de dos años:
4; 15 (1 + 0; 037)
2
= 4; 46278
131
132 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
4. Luego usamos el tipo de cambio que acabamos de encontrar para obtener
una suma en pesos:
U$ 68:583; 67467 � 4; 46278 = $ 306:073; 94436
5. Por lo que la tasa de rendimiento anual en pesos es la tasa que convierte
$ 250:000 en $ 306:073; 94436 en dos años:
$ 306:073; 94436 = $ 250:000 (1 + r)
2
Por lo que la tasa anual de rendimiento es
r = 10; 6479 %
Dibu: del esquema de la operación
Si observamos en detalle la operación anterior podemos ver la relación entre
las tasas originales y la tasa real de rendimiento del 10; 6479 % :
306:073; 94436 = 250:000 (1 + r)
2
68:583; 67467 � 4; 46278 = 250:000 (1 + r)2
68:583; 67467 � 4; 15 (1 + 0; 037)2 = 250:000 (1 + r)2
60:240; 96386 (1 + 0; 067)
2 � 4; 15 (1 + 0; 037)2 = 250:000 (1 + r)2
250:000
4; 15
(1 + 0; 067)
2 � 4:15 (1 + 0; 037)2 = 250:000 (1 + r)2
Cancelando, obtenemos
(1 + 0; 067)
2
(1 + 0; 037)
2
= (1 + r)
2
0; 067 + 0; 037 + 0; 067 � 0; 037 = r
0; 106479 = r
Por lo tanto, si tenemos más de una tasa actuando simultáneamente, el efecto
conjunto no es la mera suma de las tasas (en el sistema compuesto).
Además, el ejemplo anterior muestra que si bien las tasas actúan de manera
simultánea sobre un capital, no hay pérdida de generalidad en suponer que las
tasas actúan secuencialmente.
Poner dibujo?????
De�nición 6.2 Dadas unas n tasas efectivas i(p1)1 ; i
(p2)
2 ; : : : ; i
(pn)
n , llamaremos
tasa real r(p) a la tasa p-períodica que produce un efecto equivalente sobre
un capital inicial C0 durante un período de tiempo de t años que la aplicación
simultánea de las tasas i(p1)1 ; i
(p2)
2 ; : : : ; i
(pn)
n :
C0
nY
k=1
�
1 + i
(pk)
k
�pkt
= C0
�
1 + r(p)
�pt
(6.1)
De la de�nición se puede deducir la ecuación fundamental para el cálculo de
tasas reales
6.1. RENTABILIDAD REAL 133
Proposición 6.3 Dadas unas n tasas efectivas i(p1)1 ; i
(p2)
2 ; : : : ; i
(pn)
n de aplicación
simultánea, la tasa real p-períodica r(p) asociada a las mismas satisface:
nY
k=1
�
1 + i
(pk)
k
�pk
=
�
1 + r(p)
�p
(6.2)
Ejemplo 6.4 Compramos un propiedad inmobiliaria por $ 350.000. Se espera
que el valor de las propiedades de la zona aumenten a un ritmo del 5% anual.
Además, a causa de la in�ación, se espera que los inmuebles aumenten a un
15% anual. ¿Cuál es el rendimiento anual �real� de la inversión?
La respuesta no es 20 % anual, el efecto es compuesto:
350000 (1 + 0:05) (1 + 0:15) = 350000(1 + 0:05 + 0:15 + 0:0075| {z })
esta es la tasa real
= 350000 (1 + 0; 2075)
la tasa �real� es del 20. 75 % anual. Observe que habríamos obtenido el mismo
resultado usando la fórmula fundamental de tasas reales (6.2):
1 + r = (1 + 0:05) (1 + 0:0075)
r = 0; 2075
Ejemplo 6.5 Siguiendo con los ejemplos inmobiliarios, decidimos comprar un
salón comercial aledaño al centro por unos $ 750.000. Estimamos que la in-
�ación anual rondará el 0,45 % mensual por los próximos 5 años. Además,
como la ciudad está en expansión, el costo de las locales comerciales está au-
mentando a un 4 % semestral. Finalmente la apertura de un supermercado y la
creación de una escuela, ambos en las inmediaciones del local están aumentando
el valor de los inmuebles de la zona en un 3 % anual. ¿Cuál es la tasa redimiento
trimestral de nuestra inversión?¿Cuál será el valor (aproximadamente) del local
al cabo de 4 años?
Hallar la tasa de rendimiento no es más que aplicar la fórmula (6.2)
�
1 + r(4)
�4
= (1 + 0:0045)
12
(1 + 0:04)
2
(1 + 0:03)
de donde
r(4) = 0:04129983381
Por lo que la tasa de rendimiento trimestral de nuestra inversión es del 4,129983381%.
El valor estimado de la propiedad al cabo de 4 años será de $ 1.228.755,79488
pues
750:000 (1 + 0; 04129983381)
12
= 1:228:755; 79488
Ejercicio 6.6 Compramos una casa en un barrio por $ 85.000. Por efecto de
la in�ación el valor de las propiedades sube un 0,52% mensual. Y debido a la
inaguración de un parque público las propiedades de la zona están aumentando
su valor un 3,5% anualmente. ¿Cuál es el valor de mercado de nuestra casa
pasados 8 años?
134 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Ejercicio 6.7 Compramos un propiedad inmobiliaria por $ 550.500. Se espera
que el valor de las propiedades de la zona aumenten a un ritmo del 6,1% anual.
Además, a causa de la in�ación, se espera que aumenten a un 7% anual. ¿Cuál
es el rendimiento anual real de la inversión?
Ejercicio 6.8 En mayo de 2008, compramos un camión en $ 730.700, para
alquilarselo a una empresa minera que nos paga mesualmente el 1,82% del valor
del vehículo. A causa de la in�ación el precio de este tipo de vehículos sube en
promedio un 8,7 % anual. ¿Cuál es el rendimiento de la inversión a mayo de
2010?
Ejercicio 6.9 Un banco nos ofrece un préstamo a una tasa del 24,7% anual,
más un seguro del 0,8% mensual, más el impuesto varios que son del orden del
2,73% trimestral. ¿Cuál es la tasa diaria real del préstamo?
Ejercicio 6.10 PONER MÁS EJERCICOS
6.2 Efecto de las comisiones
Es esta sección analizaremos el efecto de las comisiones sobre la rentabilidad de
las inversiones. En líneas generales, las comisiones disminuyen la rentabilidad
de una inversión.
Las comisiones pueden ser cobradas de varias formas. Pueden ser un monto
�jo, un porcentaje de la inversión inicial, porcentaje de la ganancias, o una
combinación de los anteriores. Similarmente, las comisiones, pueden se cobradas
al principio o al �nal de la operación.
Una inversión por un monto Cinicial, la cual produce al cabo de t años, un
monto C�nal, tiene una tasa de rendimiento p-períodica tal que
Cinicial
�
1 + i(p)
�pt
=
C�nal � Cinicial
Cinicial
PONER DIBUJO!!!!!!!!!!!
6.2.1 Efecto de las comisiones cobradas al principio de la
operación
Este es el caso más habitual. Analizaremos por separado el efecto de las comi-
siones de monto �jo y las comisiones porcentuales (sobre la inversión inicial).
Comencemos con las comisiones de monto �jo. Si se invierte un capitalC0
durante n p-períodos, a una tasa i(p), pero nos cobran una comisión �ja c ten-
emos que la cantidad efectivamente invertida es C0 � c y lo que recibiremos
es
C�nal = (C0 � c)
�
1 + i(p)
�n
(6.3)
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
La tasa p-períodica real r(p) es la que transforma en n p-períodos nuestra
inversión C0 en C�nal
C�nal = C0
�
1 + r(p)
�n
(6.4)
6.2. EFECTO DE LAS COMISIONES 135
Igualando (6.3) y (6.4)
(C0 � c)
�
1 + i(p)
�n
=
�
1 + r(p)
�n
Obtenemos la siguiente expresión
�
1 + i(p)
�
n
s�
1� c
C0
�
= 1 + r(p) (6.5)
de donde resultan obvias las siguientes observaciones:
1. El rendimiento real es menor que el rendimiento declarado: r(p) < i(p).
2. El impacto de la comisión �ja depende de el monto invertido inicialmente
C0 y del horizonte temporal de la inversión. Fijada n, Mientras más grande
sea la inversión inicial, menor será la diferencia entre r(p) y i(p). Similar-
mente, Fijada C0, mientras mayor sea el horizonte temporal (n) de la op-
eración, menor será la diferencia entre r(p) y i(p). Esto se puede expresar
sucintamente:
r(p) % i(p); cuando n!1 o cuando C0 !1
donde % indica que la convergencia es monótona creciente.
PONER 4 O 5 EJERCICIOS!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ahora analizaremos las comisiones porcentuales. En este caso, el comision-
ista cobra un porcentaje �jo t sobre la inversión realizada. Por lo si se invierte
un capital C0 durante n p-períodos, a una tasa i(p), pero nos cobran C0t en con-
ceptos de comisión. luego que la cantidad efectivamente invertida es C0 (1� t)
y lo que recibiremos es
C�nal = C0 (1� t)
�
1 + i(p)
�n
(6.6)
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Al igual que antes la tasa p-períodica real r(p) es la que transforma al cabo
de n p-períodos nuestra inversión C0 en el capital C�nal
C�nal = C0
�
1 + r(p)
�n
(6.7)
Igualando (6.6) y (6.7)
(1� t)
�
1 + i(p)
�n
=
�
1 + r(p)
�n
(6.8)
Obtenemos la siguiente expresión
�
1 + i(p)
�
n
p
(1� t) = 1 + r(p) (6.9)
de donde resultan obvias las siguientes observaciones:
1. El rendimiento real es menor que el rendimiento declarado: r(p) < i(p).
136 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
2. El impacto de la comisión porcentual no depende de el monto invertido
inicialmente C0, pero si depende del horizonte temporal de la inversión.
Mientras mayor sea el horizonte temporal (n) de la operación, menor será
la diferencia entre r(p) y i(p). Esto se puede expresar sucintamente:
r(p) % i(p); cuando n!1
poner 4 o 5 ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!
6.2.2 Efecto de las comisiones cobradas al �nal de la op-
eración
Comencemos con las comisiones de monto �jo. Si se invierte un capital C0 du-
rante n p-períodos, a una tasa i(p), pero nos cobran una comisión �ja c tenemos
que la cantidad efectivamente recibida al �nal de la inversión es C�nal = Cn � c
donde
Cn = C0
�
1 + i(p)
�n
(6.10)
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
La tasa p-períodica real r(p) es la que transforma al cabo de n p-períodos
nuestra inversión C0 en C�nal = Cn � c
C�nal = Cn � c = C0
�
1 + r(p)
�n
(6.11)
Reemplazando (6.10) en (6.11)
C0
�
1 + i(p)
�n
� c = C0
�
1 + r(p)
�n
Obtenemos la siguiente expresión
�
1 + i(p)
�n
� c
C0
=
�
1 + r(p)
�n
(6.12)
de donde resultan obvias las siguientes observaciones:
1. El rendimiento real es menor que el rendimiento declarado: r(p) < i(p).
2. El impacto de la comisión �ja depende de el monto invertido inicialmente
C0 y del horizonte temporal de la inversión. Fijada n, Mientras más grande
sea la inversión inicial, menor será la diferencia entre r(p) y i(p). Similar-
mente, Fijada C0, mientras mayor sea el horizonte temporal (n) de la op-
eración, menor será la diferencia entre r(p) y i(p). Esto se puede expresar
sucintamente:
r(p) % i(p); cuando n!1 o cuando C0 !1
PONER 4 O 5 EJERCICIOS!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ahora analizaremos las comisiones porcentuales. En este caso hay dos vari-
antes, pues la comisión se puede cobrar sobre el monto �nal total, o sobre la
ganacia obtenida.
6.2. EFECTO DE LAS COMISIONES 137
Consideremos el caso donde el comisionista cobra un porcentaje �jo t sobre
el monto �nal C�nal. Si se invierte un capital C0 durante n p-períodos, a una tasa
i(p), nos cobran C�nalt en conceptos de comisión. Luego la cantidad de dinero
que efectivamente se recibe es C�nal (1� t) donde
Cn = C0
�
1 + i(p)
�n
(6.13)
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Al igual que antes la tasa p-períodica real r(p) es la que transforma al cabo
de n p-períodos nuestra inversión C0 en el capital que efectivamente recibimos
C�nal = Cn (1� t)
C�nal = Cn (1� t) = C0
�
1 + r(p)
�n
(6.14)
Reemplazando (6.13) y (6.14)
�
1 + i(p)
�n
(1� t) =
�
1 + r(p)
�n
Esta expresión coincide con (6.8) por lo que para el inversor es lo mismo que
la comisión porcentual la cobren sobre la inversión inicial que sobre el capital
�nal, i.e. al �nal de la operación recibe la misma cantidad de dinero:
C0 (1� t)
�
1 + i(p)
�n
Nota 6.11 Observemos que si el comisionista cobra una comisión porcentual t,
recibe C0t al principio de la operación (momento 0)si la comisión la cobra sobre
la inversión inicial al principio de la operación, mientras que recibe Cnt al �nal
de la operación (momento n)si la comisión la cobra sobre el monto �nal. Si bien
son sumas distintas de dinero, son �nancieramente equivalentes a la tasa i(p):
C0t
�
1 + i(p)
�n
= Cnt
pues Cn = C0
�
1 + i(p)
�n
.
Analizaremos ahora el caso donde el comisionista cobra el porcentaje t sobre
las ganancias obtenidas por el inversor:
ganacias = C�nal � Cinicial
Si se invierte un capital C0 durante n p-períodos, a una tasa i(p), y nos cobran
una comisión porcentual t sobre las ganacias, en lugar de recibir
Cn = C0
�
1 + i(n)
�n
recibimos
C�nal = Cn � (Cn � C0) t (6.15)
= C0
��
1 + i(n)
�
(1� t) + t
�
138 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Luego la tasa de rentabilidad real p-periodica para el inversionista, r(p), es aque-
lla que transforma al cabo de n p-períodos la inversión inicial C0 en el monto
�nal C�nal
C�nal = C0
�
1 + r(p)
�n
(6.16)
Igualando (6.15) y (6.16)
C0
��
1 + i(n)
�n
(1� t) + t
�
= C0
�
1 + r(p)
�n
Obtenemos la siguiente expresión
�
1 + i(n)
�n
(1� t) + t =
�
1 + r(p)
�n
(6.17)
de donde resultan obvias las siguientes observaciones:
1. El rendimiento real es menor que el rendimiento declarado: r(p) < i(p).
2. El impacto de la comisión porcentual no depende de el monto invertido
inicialmente C0, pero si depende del horizonte temporal de la inversión.
Mientras mayor sea el horizonte temporal (n) de la operación, menor será
la diferencia entre r(p) y i(p). Esto se puede expresar sucintamente:
r(p) % i(p); cuando n!1
poner 4 o 5 ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!
6.3 Tasas negativas
Si bien en la deducción de la fórmula de capitalización compuesta
Cn = C0
�
1 + i(p)
�n
no hay ninguna restricción sobre los valores que puede tomar la tasa p-períodica
i(p), hasta ahora hemos asumido que la tasa es positiva. Es decir, matemática-
mente, la tasa i(p) puede ser nula o inclusive negativa. Pero
¿Cuál es el signi�cado �nanciero de una tasa no-positiva?
Para empezar, si i(p) = 0 (no hay costo de oportunidad), no hay matemáticas
�nanciera y todo se trivializa. $ 100 hoy son equivalentes a $ 100 pesos dentro
de quince años, y a $ 100 hace 6 años.
El caso i(p) < 0 tiene un signi�cado �nanciero: corresponde a depreciaciones,
el pago de impuestos, seguros, comisiones y servicios varios.
6.3.1 Depreciación
La mayoría de los bienes que adquirimos comienzan a perder valor ni bien están
en nuestras manos (por el desgaste que produce el uso, por la acción de los
elementos naturales, o inclusive por obsolecencia).
6.3. TASAS NEGATIVAS 139
De�nición 6.12 La depreciación es la pérdida de valor que sufren los ac-
tivos �jos (como edi�cios, maquinaria, mobiliario, equipos de computo, vehícu-
los, etc.) a lo largo de su vida útil, haciendo que la misma resulte limitada.
No daremos un tratamiento completo del tema y nos limitaremos a presen-
tar el método de depreciación de porcentaje �jo, el cual corresponde a usar
capitalizacióncompuesta con una tasa negativa.
La idea es simple, utilizaremos una tasa �ja a lo largo de la vida útil del
activo �jo en cuestión, para ir reduciendo el valor del mismo, período a período
de acuerdo con la tasa de deprecicación dada. Veamos un ejemplo
Ejemplo 6.13 Una Universidad compra una camioneta todo terreno por unos $
215.000 para su el departamento de Geología. Se sabe que la tasa de depreciación
para este tipo de vehículos es del 5,5 % anual. ¿Cuál es el valor del vehículo al
cabo de 5 años?
Una tasa de depreciación del 5,5% anual, nos dice que el bien en cuestión
pierde el 5,5% de su valor en un año, si a principio de año el bien valía $ 215.000,
al �nal del año valdrá $ 203.175 pues
215:000| {z }
Valor del bien
a principios del año
� 215:000 � 0; 055| {z }
Valor pérdido
al cabo de un año
| {z }
Valor al �nal del año
= 215:000 (1� 0; 055) = 203:175
PONER DIBU!!!!!!!!!!!!
Al siguiente año, la situación es similar, pero ahora el valor del bien a prin-
cipios del año es $ 203.175, luego, al �nalizar el segundo año, el valor del bien
será de $ 193.016,25, pues
203:175�203:175�0; 055 = 203:175 (1� 0; 055) = 215:000 (1� 0; 055)2 = 193:016; 25
Porner dibujoooo!!!!!!!!!!
Ahora es claro que al �nal del tercer año el valor del bien será de $ 183.365,4375
pues
215:000 (1� 0; 055)3 = 183:365; 4375
Finalmente es claro que el valor de la camioneta al cabo de 5 años será $
162.030,7725 pues
215:000 (1� 0; 055)5 = 162:030; 7725
Proposición 6.14 Dado un activo �jo de valor C0 y la tasa p-períodica i(p) de
depreciación del mismo, el valor del activo �jo al cabo de t años es
Ct = C0
�
1� i(p)
�pt
(6.18)
PONER DIBU!!!!!!!!!!!!!!!!
140 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Nota 6.15 La tradición establece que las tasas (en matemáticas �nanciera) son
siempre informadas de forma positiva, por lo que el signo de las misma, queda
explícito en las fórmulas. Cuando digamos que una tasa es negativa, en realidad
queremos decir que usaremos la fórmula (6.18).
Ejemplo 6.16 En abril de 2006, compramos un auto en $ 36.700. Sabemos que
los vehículos de este tipo se deprecian (pierden valor) a una tasa del 4,5% anual.
En mayo de 2008 decidimos vender el auto ¿Qué precio debemos cobrar?
Han pasado 25 meses desde la compra del auto, por lo que teniendo encuenta
la deprecicación su precio será de $ 33.343,13 pues
36:700 (1� 0; 045)2+
1
12
| {z }
factor de depreciación
= 33:343; 1343
Consideremos ahora el efecto de la in�ación.
Ejemplo 6.17 En abril de 2006, compramos un auto en $ 36.700. Sabemos que
los vehículos de este tipo se deprecian (pierden valor) a una tasa del 4,5% anual.
Pero a causa de la in�ación suben un 18% anual. En mayo de 2008 decidimos
vender el auto ¿Qué precio debemos cobrar?
Han pasado 25 meses desde la compra del auto, su precio será
36:700 (1� 0; 045)2+
1
12
| {z }
factor de depreciación
efecto de la in�aciónz }| {
(1 + 0; 18)
2+ 112 = 36:700(1�0; 045 + 0; 18 + (�0; 045) � 0; 18| {z }
esta es la tasa real
)2+
1
12
= 36:700 (1 + 0:1269)
2+ 112
= 47:071; 78
Es decir, nuestra compra a rendido un 12,69%, por lo que al cabo del 25 meses
(gracias a la in�ación), el auto �vale más� de lo que pagamos originalmente
aunque tenga más de dos años de uso.
Del ejemplo anterior resulta claro que la fórmula para hallar la tasa real
cuando actúan de manera simultánea un grupo de tasas no cambia si alguna(s)
de las tasas consideradas es negativa. Pero por razones didácticas la reestable-
ceremos:
Proposición 6.18 Dada una serie de n tasas efectivas i(p1)1 ; i
(p2)
2 ; : : : ; i
(pn)
n y
una serie de m tasas negativas i(q1)1 ; i
(q2)
2 ; : : : ; i
(qm)
m de aplicación simultánea,
llamaremos tasa real a la tasa p-períodica r(p) que produce un efecto equivalente
sobre un capital inicial C0 durante un período de tiempo de t años:
C0
nY
k=1
�
1 + i
(pk)
k
�pkt mY
j=1
�
1� i(qj)j
�qjt
= C0
�
1 + r(p)
�pt
De donde podemos deducir la ecuación fundamental para el cálculo de tasas
reales
nY
k=1
�
1 + i
(pk)
k
�pk mY
j=1
�
1� i(qj)j
�qj
=
�
1 + r(p)
�p
(6.19)
6.3. TASAS NEGATIVAS 141
Nota 6.19 De la fórmula anterior resulta claro que la tasa real que producen
una serie de tasas aplicadas simultáneamente no depende del tiempo, ni los
montos iinvolucrados, sólo depende de las tasas.
Ejercicio 6.20 Hace 3 años compramos un camión en $ 730.000, para alquilarselo
a una empresa minera que nos paga mesualmente el 2,82% del valor del ve-
hículo. Sabemos que los vehículos de este tipo se deprecian a una tasa del 6,5%
anual . Pero a causa de la in�ación suben en promedio 8% anual. ¿Cuál es el
rendimiento de la inversión?
Ejercicio 6.21 La señorita Viviana adquirió un automóvil por unos $ 65.000
para ser utilizado como taxi. Si al cabo de 5 años lo vende por $ 45.000.
1. ¿Cuál es la tasa mensual de depreciación que usó?
2. Si ahora consideramos que la in�ación anual fue del 12 %, ¿Cuál es la
tasa anual de depreciación usada?
Ejercicio 6.22 Una empresa adquiera un centro de copiado (all-in-one) por
unos $ 12.500. Cuál es el valor del mismo al cabo de 3 años si
1. La tasa de depreciación de este equipo es del 1,5 % mensual.
2. Si además consideramos que la in�ación es del 5 % anual.
Ejercicio 6.23 Poner más ejercicios!!!!!!!!!!!!
6.3.2 Impuestos, seguros y comisiones varias
Las tasas impositivas, los seguros y las comisiones porcentuales también actuan
como tasas negativas, i.e., debemos usar la fórmula (6.18).
Ejemplo 6.24 El señor Elias adquirió un auto por $ 70.000, a �n de utilizarlo
como remis. El estima que la inversión le rinde un 35 % anual. A lo cual le
debe descontar el 2 % mensual en concepto de impuestos municipales y un 5 %
anual para el pago del seguro obligatorio. ¿Cuál es el rendimiento diario real de
la inversión?
Se nos está pidiendo que hallemos la tasa real diaria de la operación, la cual
se puede calcular facilmente usando (6.19):
�
1 + r(365)
�365
= (1 + 0:35) (1� 0:02)12 (1� 0:05)
r(365) = 0:000017476
i.e., el rendimiento diario de la inversión del Sr. Elias es del 0,0017476% diario.
Ejercicio 6.25 Compramos una casa en un barrio por $ 75.000. Por efecto de
la in�ación el valor de las propiedades suben un 0.52% mensual. Pero debido a
la contaminación creciente de un rio aledaño, las propiedades de la zona están
disminuyendo su valor un 3% anualmente. ¿Cuál es el valor de mercado de
nuestra casa pasados 5 años?
142 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Ejercicio 6.26 Compramos un propiedad inmobiliaria por $ 550.500. Se espera
que el valor de las propiedades de la zona aumenten a un ritmo del 6,1% anual.
Además, a causa de la in�ación, se espera que aumenten a un 7% anual. Si
descontamos el impuesto inmoviliario, el cual es del 1,1% anual. ¿Cuál es el
rendimiento anual real de la inversión?
Ejercicio 6.27 En mayo de 2001, compramos un camión en $ 73.700, para
alquilarselo a una empresa minera que nos paga mesualmente el 0,82% del valor
del vehículo. Sabemos que los vehículos de este tipo se deprecian a una tasa
del 6,5% anual . Pero a causa de la in�ación suben en promedio 8% anual.
Si descontamos los impuestos que pagamos, los cuales son del orden del 2,1%
anual, cual es el rendimiento de la inversión a mayo de 2008.
Ejercicio 6.28 Poner más ejercicios
6.3.3 Impuestos sobre la renta �nanciera y su efecto sobre
la rentabilidad.
Si bien hoy por hoy en la Argentina no se cobran impuestos sobre los intereses
ganados por depósitos, ni operaciones de bolsa, es de esperar que en un futuro
no muy lejando dicho impuesto se implemente
Nota 6.29 Uno de los autores sostiene que es inmoral que se cobre i.v.a. y no
se cobre impuesto sobre la renta �nanciera.
Los impuestos sobre los intereses ganados pueden ser implementados de difer-
entes maneras. Analizaremos primero el caso en que los impuestos se cobran
período a período.
Si imponemos un capital C0 a una tasa p-períodica i(p) durante unos n p-
períodos, sabemos que los intereses ganados durante el período k son
Ik = Cki
(p)
Sea � la tasa impositiva que el gobierno aplica sobre los interesesganados
en un p-período. Por lo que período a período, el estado se queda con
Ik�
ingresando a la cuenta del inversionista
Igravadok = Ik � Ik� = Cki(p) (1� �)
en lugar de Ik = Cki(p). Esto nos lleva a la siguiente relación recursiva
Cgravadok+1 = C
gravado
k + C
gravado
k i
(p) (1� �) = Cgravadok (1 + i(p) � i(p)�| {z })
tasa real después
de impuestos
Por lo que, con la condición inicial C0 = inversión. Tenemos que el capital
acumulado al cabo de n p-períodos es
Cgravadon = C0
�
1 + i(p) (1� �)
�n
(6.20)
6.3. TASAS NEGATIVAS 143
y la tasa de rendimiento real p-períodica es
r(p) = i(p) (1� �) (6.21)
Poner dibujo!!!
Ejemplo 6.30 Un banco nos ofrece por nuestros depósitos una tasa del 16 %
anual. Pero debemos pagar en concepto de impuestos sobre los interéses un 5.5%,
en cada capitalización. ¿Cuál es la tasa anual real que recibimos?
En nuestro caso la tasa real después de impuestos es
r = 0; 16 (1� 0; 055) = 0; 1512
i.e., nuestra inversión en realidad nos rinde un 15,12% anual.
Poner ejercicios
Otra forma de cobrar impuestos sobre los intereses ganados en depósitos,
consiste de aplicar una tasa impositiva � sobre el interés tot al ganado por el
inversionista. Si imponemos un capital C0 a una tasa p-períodica durante unos
n p-períodos, sabemos que los intereses totales ganados están dados por
IT = C0 ((1 + i)
n � 1)
Sobre este monto el estado cobra la tasa impositiva �
IgravadoT = IT (1� �)
= C0
��
1 + i(p)
�n
� 1
�
(1� �)
Por lo que el capital que recibiremos será
Cgravadon = C0 + I
gravado
T
= C0
n
1 +
h�
1 + i(p)
�n
� 1
i
(1� �)
o
= C0
n�
1 + i(p)
�n
(1� �) + �
o
Por lo que la tasa real p-períodica satisface
�
1 + r(p)
�n
=
�
1 + i(p)
�n
(1� �) + � (6.22)
la cual claramente depende de la duración de la inversión.
Ejemplo 6.31 El banco Holandés nos ofrece por nuestros depósitos una tasa del
3.5 % mensual. Pero debemos pagar en concepto de impuestos sobre los intereses
un 12 % sobre los intereses totales ganados. ¿Cuál es la tasa mensual real de
rendimiento si la operación es pactada a 6 meses?¿Cambia el rendimiento real
si la operación hubiera sido pactada a 18 meses?
No hay más que aplicar (6.22). Averiguemos el rendimiento real mesual por
el depósito a 6 meses
�
1 + r(12)
�6
= (1 + 0; 035)
6
(1� 0; 12) + 0; 12
r(12) = 0; 03110296367
144 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
En cambio, el rendimiento a los 18 meses es
�
1 + r(12)
�18
= (1 + 0; 035)
18
(1� 0; 12) + 0; 12
r(12) = 0; 03172824625
Este ejemplo muestra algo que ya dijimos, que el rendimiento real después
de impuestos sobre los intereses totales depende de la duración de la operación.
De hecho, cuando n se hace cada vez más grande la tasa real se aproxima a la
nominal, pues
r(p) = n
q�
1 + i(p)
�n
(1� �) + � � 1
y tomando límite cuando n tiende a in�nito
lim
n!1
r(p) = lim
n!1
n
q�
1 + i(p)
�n
(1� �) + � � 1 = i(p)
También se puede probar siempre que la si � < 100 %, la convergencia es
monótona creciente: a más tiempo, mayor rendimiento real.
Nota 6.32 En ambos casos, es �nancieramente evidente que el rendimiento
después de impuestos debe ser menor que el rendimiento nominal:
r(p) < i(p)
Ejercicio 6.33 Un banco nos ofrece por nuestros depósitos una tasa mensual
del 1,2%. Pero debemos pagar en concepto de impuestos sobre los intereses un
4,5% anual. ¿Cuál es el rendimiento mensual real de nuestra inversión?
Poner 4 o 5 ejercicios más!!!!!!!!!!!
6.4 Tipo de cambio
En esta sección estudiaremos con algún detalle el funcionamiento de las opera-
ciones �nacieras que involucren más de una moneda. En nuetro camino des-
cubriremos que las tasas además de tener una unidad temporal asociada, tam-
bién tienen asociadas una unidad monetaria. Otra noción importante será el
tipo de cambio entre dos monedas, el cual especi�ca el precio de una moneda
en términos de la otra (en un momento dado).
Ejemplo 6.34 Estamos interesados en invertir $ 500.000 por el término de 1
año. Se nos ofrecen dos opciones:
1. Realizar un depósito a plazo �jo en dólares el cual paga una tasa del 6,7
% anual.
2. Realizar un plazo �jo en pesos a una tasa del 15,5 % anual.
¿Cuál es la mejor inversión? La respuesta depende fuertemente de la variación
en el valor del dólar frente al peso.
6.4. TIPO DE CAMBIO 145
Para empezar la tasa del 6,7 % anual en dólares sólo puede ser aplicada a
montos en dólares. Por lo tanto debemos convertir a dólares nuestros $ 50 000.
Supongamos que el tipo de cambio vendedor hoy es
$ 4.3 por dólar
¿Qué signi�ca esto? Un tipo de cambio vendedor de $ 4.3 por dólar nos indica que
debemos pagar 4.3 pesos por cada dólar que deseemos adquirir. Si disponemos
de $ 50 000, podemos comprar
50 000 $
4:3 $=U$S
= 11 627:91 U$S
Depósitando estos U$S 11 627.91 a la tasa en dólares del 6.7 % anual, al cabo
de un año tendremos
11 627:91 (1 + 0:067) = 12 406:98 U$S
Mientras que si depositamos nuestros $ 50 000 al 15.5 % anual obtendremos
50 000 (1 + 0:155) = 57 750 $:
¿Cuál inversión es mejor? Como ya dijimos, esto depende del precio comprador
del dólar frente al peso al cabo de un año. Ahora, ¿Qué signi�ca un tipo com-
prador de 4.10 pesos por dólar? Es el precio al que nos compran los dolares, por
cada dólar que entreguemos, recibiremos $ 4.10.
1. Si al cabo de un año el precio del dólar comprador es de 4:3 pesos por
dólar, los U$S 12 406:98 equivaldrán a
12406:98 U$S � 4:3 $=U$S = 53 350:01 $:
Por lo que sería una mejor inversión realizar el depósito en pesos.
2. Si al cabo de un año el precio del dólar comprador 4:74 pesos por dólar,
los U$S 12 406:98 equivaldrán a
12 406:98 U$S 4:75 $=US$ = 58 933:14 $:
Por lo que sería una mejor inversión hacer el depósito en dólares.
Una pregunta interesante es:
¿A qué tipo de cambio comprador futuro seríamos indiferentes entre ambas
inversiones?
El tipo de cambio de �equilibrio� es el que transforma U$S 12 406:98 en $
57 750:
tipo de cambio $=U$S =
57 750 $
12 406:98 U$S
= 4:654639 $=U$S
Esto nos dice que si el tipo de cambio comprador futuro es superior a 4:654639 $=U$S,
entonces conviene comprar relizar el déposito en dólares, y si el tipo de cambio
comprador futuro es inferior a 4:654639 $=U$S, conviene realizar el depósito en
146 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
pesos (El problema es que nadie sabe a ciencia cierta cual será el valor del tipo
de cambio futuro).
Hemos estado usando de manera intuitiva lo que se conoce como forma
directa de expresar los tipos de cambio, la cuál es de hecho es la utilizada
Argentina, asi como en la mayoría de los paíces del mundo. En este caso, el
tipo de cambio indica cuantas unidades de moneda nacional son necesarias para
comprar una unidad de moneda extranjera.
La cotización de una moneda se suele representar en dos precios. El menor
precio, representa el precio comprador, o de demanda (bid). Se denomina
comprador porque es el precio que las casas de cambio nos pagan al comprarnos
las divisas. El precio más alto es el precio vendedor, o de oferta (o¤er). Se
denomina vendedor porque es el precio que las casas de cambio nos cobran al
vendernos las divisas.
El estándar internacional ISO 4217 fue creado por la ISO con el objetivo de
de�nir códigos de tres letras para todas las monedas del mundo. Esto elimina las
confusiones causadas por algunos nombres de divisas como dólar, franco, peso o
libra, que son utilizados en numerosos países pero tienen tipos de cambio muy
diferentes. Las dos primeras letras del código son las dos letras del código del
país de la moneda según el estándar ISO 3166-1 y la tercera es normalmente la
inicial de la divisa en sí. La siguiente tabla contiene los códigos de las monedas
más usadas en Argentina
Código Moneda País
ARS Peso argentino Argentina
AUD Dolar australiano Australia
BOB Boliviano Bolivia
BRL Real Brasil
CAD Dolar canadiense Canadá
CLP Peso chileno Chile
CNY Yuan renminbi China
EUR Euro Eurozona
GBP Libra esterlina Gran Bretaña
ILS Nuevo shéquel israelí Israel
INR Rupia india India
JPY Yen japonés Japón
MXN Peso mexicano México
PEN Nuevo sol peruanoPerú
PYG Guaraní paraguayo Paraguay
USD Dolar estadounidense USA
UYU Peso Uruguayo Uruguay
ZAR Rand sudafricano Sudáfrica
Agregar símbolos a la tabla!!!!!!!!!!!
Utilizaremos tanto el estandar ISO 4217 como los símbolos habituales para
las monedas de mayor circulación.
De�nición 6.35 Dadas dos monedas XXX y Y Y Y , llamaremos tipo de cam-
bio vendedor XXX=Y Y Y al momento t al precio en XXX que debemos
pagar para adquirir una unidad de la moneda Y Y Y . El cual será simbolizado
v
XXX=Y Y Y
t
6.4. TIPO DE CAMBIO 147
Similarmente llamaremos tipo de cambio comprardor XXX=Y Y Y al mo-
mento t al precio en XXX que nos pagan al vender una unidad de la moneda
Y Y Y . El cual será simbolizado
c
XXX=Y Y Y
t
Ejemplo 6.36 Si hoy el tipo de cambio vendedor del peso (argentino) con re-
specto al dólar es
3:15 $=U$S
entonces hoy debemos entregar 3.15 pesos para obtener un dólar.
Ejemplo 6.37 Si el 11 de agosto de 1999 el tipo de cambio comprador del yen
(moneda de Japón) con respecto al dolar fue de
110 U=U$S
entonces el 11 de agosto de 1999 necesitabamos nos entregaban U 110 por cada
dólar que vendíamos.
Ejemplo 6.38 El la pizzarra de una casa de cambio vemos el tipo de cambio
entre el peso y el euro
4:77=4:82 $=e
en este caso el menor es el tipo de cambio comprador, y el mayor es el tipo
de cambio vendedor. Es decir, si hoy queremos comprar un euro en esta casa
de cambios deberemos entregar 4:82 $. En cambio si deseamos vender un euro,
recibiremos 4:77 $.
Nota 6.39 Se llama spread es la diferencia entre el precio comprador y el
vendedor. Por ejemplo, si la cotización EUR/USD es 1.2025/1.2028, entonces
el spread es EUR 0.0003. El spread suele variar de acuerdo al lugar donde se
realice el cambio y de acuerdo al monto. Usualmente los particulares recurren a
las casas de cambio para cambiar pequeñas cantidades de divisas. Los inversores,
en cambio, realizan transacciones de mayores cantidades de divisas en otras
instituciones que ofrecen un menor spread, o en las mismas casas de cambio o
bancos, pero a un menor spread.
Ejemplo 6.40 Si hoy entregamos 594 coranas suecas (SEK en código ISO
4217) para adquirir 100 USD, ¿Cuál es el tipo de cambio vendedor SEK/USD?
c
SEK=USD
hoy =
594 SEK
100 USD
= 5:94 SEK/USD
Es decir necesitamos entregar 5.94 coronas suecas por cada dólar.
Ejemplo 6.41 Por ejemplo si cU=$hoy = 207 U=$ tenemos que £ 300 (libras
esterlinas, moneda de Gran Bretaña) nos permiten adquirir
300 $ � 207 U=$ = 42 849 U
148 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Ejemplo 6.42 Si v$=$hoy = 6:11 $=$ (i.e., hacen falta $ 6.11 para adquirir una
libra esterlina), entonces $ 17 000 nos permiten adquirir
17000 $
1
6:11 $=$
= 2 782:32406 $:
Aqui, podemos considerar que
v
$=$
hoy =
1
6:11 $=$
Ejemplo 6.43 Si hoy en una casa de cambios el tipo de cambio comprador
AUD/INR (AUD es el código ISO 4217 para el dólar australiano y INR es el
código ISO 4217 para la rupia indú) es
c
AUD=INR
hoy = 267:5 AUD/INR
¿Cuál es hoy el tipo de cambio comprador INR/AUD?
Un momento de re�exión nos indica que
c
INR/AUD
hoy =
1
c
AUD=INR
hoy
Esta relación se cumple en general
c
XXX=Y Y Y
t =
1
c
Y Y Y=XXX
t
v
XXX=Y Y Y
t =
1
v
Y Y Y=XXX
t
Otro momento de re�exión nos permite ver que los tipos de cambios son tran-
sitivos: Dadas tres monedas,
c
AAA=BBB
t = c
AAA=CCC
t c
CCC=BBB
t
v
AAA=BBB
t = v
AAA=CCC
t v
CCC=BBB
t
Remarcamos que ambas ecuaciones requieren que todos los tipos de cambios
sean a la misma fecha.
Ejemplo 6.44 En la pizarra de una casa de cambio leemos:
845:23=865:7 CLP=ARS
6:89=6:99 ARS=GBP
: : : = : : : CLP=GBP
donde CLP es peso chileno, ARS es peso argentino y GBP es la libra esterlina
(Gran Bretaña). Completar la tabla.
No hay más que la trasitividad de los tipos de cambios:
c
CLP=GBP
hoy = c
CLP=ARS
hoy c
ARS=GBP
hoy
= 845:23 CLP=ARS � 6:89 ARS=GBP
= 5 823:637 CLP=GBP
por lo que hoy, en esta casa de cambios debemos entregar 5 823.637 pesos
chilenos por cada libra esterlina que adquiramos.
6.4. TIPO DE CAMBIO 149
Ejercicio 6.45 Con 400 dólares canadiense hoy se puede adquirir U$S 390, o
3063 dólares de Hong Kong, o U 39390 (yenes), o 9165 rublos. ¿Calcular los
diferentes tipos cambios?
Ejercicio 6.46 La siguiente tabla brinda los tipos de cambio (comprador) entre
el peso y diferentes monedas al día XX
Moneda (País o Zona) Símbolo Tipo $=X abril 2008 Tipo $=X abril 20XX
Euro (Eurozona) e 5.18
Kuna (Croacia) 0.686
Rublo (Rusia) 0.1341
Libra esterlina (Inglaterra) £ 6.21
Franco Suizo 3.241
Real (Brasil) 1.86
Peso (Chile) 0.0069
Guaraní (Paraguay) 0,000725
Boliviano (Bolivia) 0.419
Peso (Uruguay) 0,1573
Nuevo peso (México) 0.299
Dólar (USA) U$S 3.14 3.70
Dólar (Canada) 3.08
Yen (Japón) U 0.0311
Rupee (India) 0.07536
Renimbi (China) 0.4484
Shekel (Israel) 0.8921
Rand (Sudáfrica) 0.3981
Dirham (Marruecos) 0.43175
1. Con $ 5000 ¿Cuántos X podemos adquirir? (reemplaze X, por cada una
de las monedas de la tabla)
2. Si estamos en Argentina y disponemos de 1 450 300 rublos, ¿Cuántos X
podemos adquirir? (reemplaze X, por cada una de las monedas de la tabla)
Ejercicio 6.47 poner unos cuantos ejercicos más... al
estilos d elos ejemplos.
Dados un par de monedas XXX y Y Y Y , si tenemos un capital inicial de C0
unidades de una moneda XXX, y deseamos invertirlo a una tasa denominada
en moneda Y Y Y , p-períodica, durante t años
i
(p)
Y Y Y
el rendimiento de la inversión en términos de la moneda de origen XXX, de-
pende de los tipos de cambio Y Y Y=XXX vendedor al inicio vY Y Y=XXX0 y el
tipo de cambio XXX=Y Y Y comprador al cabo de t años cXXX=Y Y Yt :
Ct = C0v
Y Y Y=XXX
0| {z }
C o nv ie r t e
X X X en Y Y Y
�
1 + i
(p)
Y Y Y
�tp
| {z }
C a lc u la e n r e n d im ie n t o e n Y Y Y
c
XXX=Y Y Y
t
| {z }
C o nv ie r t e Y Y Y en X X X
; (6.23)
150 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
La cual llamaremos primera forma para capitalización compuesta bi-monetaria.
Ejemplo 6.48 Hace tres años disponíamos de $ 250 000, y los invertimos en
obligaciones de una empresa holandesa que nos ofrecián un rendimiento del
9.7% anual. El tipo de cambio vendedor fue de 3.95 $/e. Hoy el tipo de cambio
comprador es 5.196 $/e ¿Cuál fue el rendimiento en pesos de la operación?
Para hallar el capital en pesos acumulado al día de hoy, sólo necesitamos
aplicar la fórmula de capitalización compuesta bi-monetaria (primera forma)
Choy = Chace tres añosv
EUR=ARS
hace tres años
�
1 + i
(p)
EUR
�tp
c
ARS=EUR
t
Pero nosotros no tenemos vARS=EURhace tres años , si el tipo de cambio recíproco. Por lo
tanto
v
EUR=ARS
hace tres años =
1
v
ARS=EUR
hace tres años
=
1
3:95 $=e
= 0:253164556962 /e=$
Ahora
Choy = 250 0000 $ � 0:253164556962 /e=$ (1 + 0:097)3 � 5:196 $=e
= 434 142:14 $:
Asi el rendimiento de la operación (los intereses totales) son
rendimiento = Cf � Co
= 434 142:14 $� 250 000 $
= 184 142:14 $:
Ejercicio 6.49 En octubre de 2006, compramos U 12 500 000 en obligaciones
de una empresa japonesa denominadas en yenes que ofrecían un rendimiento
del 4.25% anual. Hoy el tipo de cambio comprador es c$=Uhoy = 0:02987. ¿Cuántos
pesos tenemos hoy?
Ejercicio 6.50 El tipo de cambio entre el dólar y el real es de 1.7 reales por
dólar. Si la tasa de interés en dólares es del 5.5% anual y la tasa de interés en
reales es del 8.8% anual ¿Cuál será dentro de {6 meses, 1 año, 5 años} el tipo
de cambio futuro de equilibrio entre ambas monedas.
poner 3 o 4 ejercicos más????????????
Nota 6.51 Como precio que es, el tipo de cambio cumple un importante pa-
pel como orientador de recursos. Si bien existe una gran cantidad de pares de
monedas para construir tipos de cambio, casi siempre se publica la relación de
las monedas respecto al dólar de Estados Unidos. Otras monedas que se sue-
len utilizar como referencia son el euro (Comunidad Económica Europea) y el
yen (Japón). En 2007 el 95% de las operaciones con modedas extranjeras en la
República Argentina fue realizada en dólares, el 4% en euros y el restante 1%
en unas 56 monedas distintas. En lo que se re�ere a la distribución del volumenoperado por monedas en el año 2008, el dólar estadounidense mantuvo su lider-
azgo frente al resto de las monedas, principalmente en las entidades �nancieras.
6.5. TASA DE DEVALUACIÓN 151
En estas últimas se veri�có que el 95% del total operado con clientes se con-
centró en dólares estadounidenses, el 4% en euros y el 1% restante en otras 59
diferentes monedas. En cambio, en las casas y agencias de cambio, la partici-
pación de la moneda estadounidense agrupa un poco menos del 85% del total,
subiendo las participaciones de euros y reales a 12% y el 3%, respectivamente.
Otras monedas muy usadas en Argentina (por razones geográ�cas) son el peso
chileno, el peso uruyuayo, y el guaraní (moneda de Paraguay).
Nota 6.52 Se pueden utilizar diferentes convenciones para expresar el tipo de
cambio. En el mercado forex, se utiliza una simbología de pares de monedas.
Cada divisa está representada por tres letras, por ejemplo USD representa al
Dólar estadounidense, EUR al euro, JPY al yen japonés, MXN al peso mex-
icano, y ARG al peso argentino. Un par de monedas se puede formar con
cualquier par de divisas, por ejemplo USDEUR o USDMXN. Las primeras tres
letras representan la moneda base. USDJPY = 107 indica que hacen falta 107
Yenes para comprar un Dólar. Es decir, el precio de la primera divisa en tér-
minos de la segunda. Existen otras dos formas de representar el tipo de cambio.
La forma directa y la forma indirecta. La forma directa es la mas utilizada,
y en este caso el tipo de cambio indica cuantas unidades de moneda nacional
son necesarias para comprar una unidad de moneda extranjera (Usada en Ar-
gentina). Por ejemplo, si leemos en un periódico argentino que el tipo de cambio
del real es 1.82, nos indica que se deben pagar 1.82 pesos para obtener un real.
La forma indirecta es utilizada en Inglaterra, y también en Australia, Nueva
Zelanda y Canadá.
6.5 Tasa de devaluación
6.5.1 Tasas de devaluación
En algunos países, se utiliza un único tipo de cambio, y lo que se cobra es la una
comisión porcentual, esto ocurre por ejemplo en EspañaCHEQUEAR!!!!!!!!!!!!!!!.
Ejemplo 6.53 La señora Eliana, se encuentra de vacaciones en Barcelona, y
decide cambiar unos $ 15 000 por euros para ir de compras. En el banco, la
cotización era del peso era 0.32 e/$, además el banco cobra una comisión del
1.56 % sobre las operaciones con divisas. ¿Cuál es el monto de euros que recibio
la señora Eliana?
En principio la cuenta es sencilla:
15 000 $ � 0:32 e=$ = 4 800 e
Y sobre este monto, el banco le cobra una comisión del 0.56 %:
4 800 (1� 0:0156) = 4 725:12 e
Por lo que la señora Eliana podrá gastar unos 4 725:12 e.
Ejemplo 6.54 Una empresa Española debe cancelar una deuda en dólares para
lo cual acude a un intermediario �nanciero y cambia e 2 500 000. Si la coti-
zación del dólar era 0.78 e=U$ y el intermediario cobra una comisión del 0.8
%, ¿Cuántos dólares obtuvo la empresa?
152 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
De nuevo la cuenta es sencilla:
2 500 000 e
0:78 e=U$
= 3 205 128:205 U$
Sobre esta suma el intermediario �naciero cobra su comisión:
3 205 128:205 U$ � (1� 0:008) = 3 179 487:179
Por lo que la empresa recibe 3 179 487.179 U$ por sus 2 500 000 e
En general, en los sistemas de cambio con precio único, además del tipo
de cambio, debemos tener en cuenta las comisiones correspondientes, las cuales
pueden variar de institución a institución, y dentro de una misma casa de cam-
bios podemos encontrar variaciones en las comisiones de acuerdo con el par de
monedas involucradas y el tipo de operación (compra o venta de divisas).
Existe una correspondencia entre los sistema de tipo de cambio único con
comisión, y los sistemas con tipo comprador y tipo vendedor.
Ejemplo 6.55 Encuentre el tipo comprador del banco en el que operó la señora
Eliana y el tipo vendedor de la institución �nanciera donde opero la empresa
española
El tipo comprador ce=$ que estamos buscando, es el precio en euros al que
le reciben los pesos a la señora Eliana. Si entrego $ 15 000 y recibio 4 725.12 e
tenemos que
ce=$ =
4 725:12 e
15 000 $
= 0:315008 e=$
Recordamos que ce=$ da el precio en euros al que el banco compra el peso
argentino: vamos al banco (español) con una moneda extranjera (en este caso
pesos) y deseamos moneda local ( en este caso euros). Para hallar la relación
entre ambos tipos de cambio observamos que
15 000 $ � ce=$ = 4 725:12 e = 15 000 $ � 0:32 e=$ (1� 0:0156)
Por lo que
ce=$ = 0:32 e=$ (1� 0:0156)
Similarmente en el caso de la empresa. El tipo vendedor ve=U$ que estamos
buscando es el precio en euros al que venden los dólares. La empresa entregó e
2 500 000 y recibió 3 205 128.205 U$, por lo que
ve=U$ =
2 500 000 e
3 179 487:179 U$
= 0:786290322701 e=$
Recordamos que ve=$ da el precio en euros al que la institución �nanciera vende
los dólares. Para hallar la relación entre ambos tipos de cambio observamos que
3 179 487:179 U$ � ve=$ = 2 500 000 e
3 205 128:205 U$ � (1� 0:008) � ve=$ = 2 500 000 e
2 500 000 e
0:78 e=U$
� (1� 0:008) � ve=$ = 2 500 000 e
6.5. TASA DE DEVALUACIÓN 153
de donde obtenemos
ve=$ =
0:78 e=U$
(1� 0:008)
Dados un par de monedas XXX e Y Y Y , denotaremos por
c
XXX=Y Y Y
t (�c; �v)
al tipo de cambio único con comisiones �c para las operaciones de compra de
moneda Y Y Y (pagando con moneda XXX) y �v para las operaciones de venta
de divisas Y Y Y (cobrando en monedaXXX). A veces escribiremos simplemente
c
XXX=Y Y Y
t
especialmente si las tasas de las comisiones son claras del contexto. Si ambas
comisiones son iguales usaremos:
c
XXX=Y Y Y
t (�)
De los ejemplos anteriores podemos deducir que:
ce=$ = c
XXX=Y Y Y
t (1� �c)
ve=$ =
c
XXX=Y Y Y
t
(1� �v)
Estas relaciones nos permiten convertir un tipo de cambio en el otro.
dados un par de monedas XXX e Y Y Y , y un tipo de cambio unicosi unaEl
análisis anterior también se puede hacer en términos de la tasa de devaluación
anual de una moneda frente a otra.
Poner 4 o 5 ejercicos de cada tipo...inclusive
algunos hallando las comisiones
Introdujimos los tipos de cambio unicos pues nos permiten de�nir de manera
natural la noción de tasa de devaluación.
De�nición 6.56 Dadas dos monedas XXX e Y Y Y , sea cXXX=Y Y Y0 (�c0 ; �v0)
el tipo de cambio único al comienzo de un período de t años, y cXXX=Y Y Yt (�ct ; �vt)
el tipo de cambio unico al �nal del mismo, la tasa de devaluación p-períodica
de la moneda XXX respecto de la moneda Y Y Y es la tasa p-períodica
que realiza la igualdad
c
XXX=Y Y Y
0
�
1 + �
(p)
XXX=Y Y Y
�pt
= c
XXX=Y Y Y
t (6.24)
Ejemplo 6.57 Si hace un año el tipo de cambio del peso frente al euro fue
c
$=e
hace un año = 4:3 $=e
y el tipo de cambio hoy es
c
$=e
hoy = 4:75 $=e
Hallar la tasa de devaluación anual del peso respecto del euro.
154 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Por lo tanto la tasa de devaluación anual del peso frente al euro fue
c
$=e
hace un año
�
1 + �$=e
�
= c
$=e
hoy
�$=e =
c
$=e
hoy � c
$=e
hace un año
c
$=e
hace un año
=
4:75 $=e� 4:3 $=e
4:3 $=e
= 0:104651162791
i.e., una tasa de devaluación anual del 10.4651162791%.
Ejercicio 6.58 La siguiente tabla contiene los tipos de cambio entre el peso y
diferentes monedas de mayo de 2008:
País o Zona Moneda Símbolo Cambio $=e mayo 2008 Cambio $=e hoy
Eurozona Euro e 4.98
Croacia Kuna 0.788
Rusia Rublo 0.1421
Inglaterra Libra esterlina £ 6.25
Suiza Franco Suizo 3.01
Brasil Real 2.1
Peso (Chile) 0.0059
Guaraní (Paraguay) 0,000725
Boliviano (Bolivia) 0.556
Peso (Uruguay) 0,1432
Nuevo peso (México) 0.305
Dólar (USA) U$S 3.05
Dólar (Canada) 2.98
Yen (Japón) U 0.0298
Rupee (India) 0.067
Renimbi (China) 0.434
Shekel (Israel) 0.8921
Rand (Sudáfrica) 0.3071
Dirham (Marruecos) 0.4300
1. Completar la tabla anterior con las cotizaciones de las diferentes monedas
(si aún existen) al día de hoy.
2. Hallar la tasa de devaluación mensual del peso frente a las diferentes mon-
edas dadas.
3. Dar la lista de monedas con respecto a las cuales el peso se depreció (or-
denar de mayor a menor depreciación).
4. Dar la lista de monedascon respecto a las cuales el peso se apreció (or-
denar de mayor a menor).
5. Dar la lista de monedas con respecto a las cuales el peso no varió.
Dados un par de monedas XXX y Y Y Y , si tenemos un capital inicial de C0
unidades de una moneda XXX, y deseamos invertirlo a una tasa denominada
6.5. TASA DE DEVALUACIÓN 155
en moneda Y Y Y , p-períodica i(p)Y Y Y , durante t años. Queremos ver cual es el
efecto de la devaluación de la moneda XXX con respecto a la moneda Y Y Y
sobre el rendimiento de la inversión en términos de la moneda XXX. Si la tasa
de devaluación estimada de la moneda XXX con respecto a la moneda Y Y Y
en los próximos t años es �(q)XXX=Y Y Y (una tasa q-períodica) y el tipo de cambio
único al inicio de la operación fue cXXX=Y Y Y0 (�c0 ; �v0) tenemos que
Ct = C0
(1� �v0)
c
XXX=Y Y Y
0
�
1 + i
(p)
Y Y Y
�pt
c
XXX=Y Y Y
0
�
1 + �
(q)
XXX=Y Y Y
�qt
(1� �ct)
= C0 (1� �v0)
�
1 + i
(p)
Y Y Y
�pt �
1 + �
(q)
XXX=Y Y Y
�qt
(1� �ct)
reordenado podemos obtener la segunda forma para capitalización compuesta
bi-monetaria
Ct = C0
�
1 + i
(p)
Y Y Y
�pt �
1 + �
(q)
XXX=Y Y Y
�qt
(1� �v0) (1� �ct)
A partir de la cual podemos obtener una expresión para la rentabilidad real
k-períodica r(k) de la operación
�
1 + r(k)
�k
=
�
1 + i
(p)
Y Y Y
�p �
1 + �
(q)
XXX=Y Y Y
�q
[(1� �v0) (1� �ct)]
1
t
Ambas fórmulas dependen de la comisión sobre las compras de divisas �ct al �nal
del período de t años. Para la mayoría de las aplicaciones se puede suponer que
�ct = �c0 , pues no suelen haber grandes variaciones en las comisiones cobradas.
Ejemplo 6.59 ¿Cuál es el rendimiento a un año de $ 50 000, en bonos italianos
que pagan un 6.7% anual, sabiendo que la tasa de devaluación del peso respecto
del euro será del 10.4% anual y que la comisión por la compra o venta de divisas
suele ser del 2.5 %?
Aplicando la segunda forma de capitalización compuesta bi-monetaria:
Cf = C0
�
1 + i$=e
� �
1 + �$=e
�
(1� �)2
= 50 000 (1 + 0:067) (1 + 0:10465) (1� 0:025)2
= 55 990:2915
Además podemos hallar la tasa anual real de rendimiento en pesos
1 + r = (1 + ie)
�
1 + �$=e
�
(1� �)2
= (1 + 0:067) (1 + 0:104) (1� 0:025)
= 0:11980583
de donde se puede apreciar el fuerte efecto de la comisiones sobre la rentabilidad.
Ahora veamos un ejemplo más complicado
De aqui para abajo hay que arreglar las cosas
para que vayan en el nuevo lenguaje... veri�car los
ejemplos y poner unos ejercicios extras!!!!!!!!!!!!!!
156 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Ejemplo 6.60 Tenemos U$S 35 000, y los invertimos en pesos por 95 días a
una tasa diaria del 0.35% en pesos. Si hoy el tipo de cambio es 0.3 U$S/$,
y se estima que dentro de 95 días el tipo de cambio será 0.26 U$S/$. ¿Cuál
será el rendimento en dólares de la operación? ¿Cuál es la tasa mensual real en
dólares?
Primero calculamos la tasa devaluación del dolar respecto del peso
d
( 95365 años)
U$S=$ =
0:27� 0:3
0:3
= �0:1 :
Las tasas de devaluación negativas, indican una apreciación de la primera mon-
eda respecto de la segunda, en este caso del dólar frente al peso, en estos casos
se suele hablar de una tasa de apreciación.
El rendimento de la operación en dólares es
Cf = 35000 (1 + 0:0035)
95
(1� 0:1)
= 43899:68 :
Hay muchas formas de obtener la tasa diaria real en dólares, por ejemplo de-
spejando la tasa en la fórmula de capital �nal:
43899:68 = 35000
�
1 + r
(365)
dólares
�95
;
de donde
r
(365)
dólares =
95
r
43899:68
35000
� 1
= 0:00238768 .
Otra consiste en pasar la tasa de devaluación 95365 años-períodica a diaria y
aplicar la fórmula para hallar la tasa real
�
1 + i(
95
365 años)
�
=
�
1 + d
(365)
U$S=$
�95
(1� 0:1) =
�
1 + d
(365)
U$S=$
�95
;
de donde
d
(365)
U$S=$ =
95
p
1� 0:1� 1
= �0:001108443282 :
Luego la tasa diaria real en dólares es
r
(365)
dólares = i
(365) + d
(365)
U$S=$ + i
(365)d
(365)
U$S=$
= 0:0035� 0:001108443282 + 0:0035 (�0:001108443282)
= 0:00238768
Ejemplo 6.61 Se supone que la tasa de devaluación mensual del peso respecto
del dolar será del 0.5%, durante los próximos dos años. Si disponemos de $ 100
000, y los queremos invertir en obligaciones a 9 meses de una empresa dada,
denominadas en dólares, las cuales pagan un 2.5% trimestral. ¿Cuál será el
montante en pesos? ¿Cuál será la TEA de rendimiento?
6.5. TASA DE DEVALUACIÓN 157
Para calcular el montante solo debemos usar la fórmula de capitalización
compuesta bi-moneraria
Cf = 100000 (1 + 0:025)
3
(1 + 0:005)
9
= 112633:13
La tasa de rendimiento a 9 meses es
i(
9
12 años) =
112633:13� 100000
10000
= 0:12633129727
La TEA equivalente es (calculada a 9 meses)
(1 + i)
9
12 =
�
1 + i(
9
12 años)
�
de donde
i =
9
r�
1 + i(
9
12 años)
�12
� 1
=
9
q
(1 + 0:12633129727)
12 � 1
= 0:17189365443
Ejercicio 6.62 Cuál es el rendimiento a un año de $20 000, en bonos españoles
que pagan un 7.2% anual, sabiendo que la tasa de devaluación anual del peso
respecto del euro será del 8.5%.
Ejercicio 6.63 Tenemos $ 35 000, y los invertimos en reales por 65 días a una
tasa diaria del 0.25%. Si hoy el tipo de cambio es 2.4 reales/$, y se estima que
dentro de 95 días el tipo de cambio será 0.28 reales/$. ¿Cuál será el rendimento
en pesos de la operación? ¿Cuál es la tasa diaria en pesos?
Ejercicio 6.64 Se supone que la tasa de devaluación mensual del euro respecto
del dolar será del -1.1%, durante los próximos dos años. Si disponemos de U$S
100 000, y los invertirmos en obligaciones a 9 meses de una empresa, denom-
inadas en euros, las cuales pagan un 1.58% bimestral. ¿Cuál será el montante
en dólares? ¿Cuál será la TEA de rendimiento en dólares?
Ejercicio 6.65 Supongase que hace 9 meses, ud. diponía de e 10 000, y los
invirtio en Argentina (en pesos) a una TNA del 14.6%. Si el tipo de cambio hace
nueve meses era 3.95 $=e y hoy es 4.52 $=e. ¿Cuál fue la TNA de rendimiento
en euros?.
Nota 6.66 Regímenes Cambiarios: se re�ere al modo en que el gobierno de
un país maneja su moneda con respecto a las divisas extranjeras y como se
regulan las instituciones del mercado de divisas. El régimen cambiario in�uye
decisivamente en el valor del tipo de cambio y en las �uctuaciones del mismo.
Existes tres regímenes básicos, que se explican a continuación: el tipo de cambio
�otante (libre o sucia), el tipo de cambio �jo y el régimen de crowling-peg.
Tipo de Cambio Flotante: Este régimen suele denominarse también de tipo
de cambio libre o �exible. Bajo tipo de cambio �otante, el tipo de cambio se de-
termina sin intervención del gobierno en el mercado de divisas. Es decir, que el
158 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
tipo de cambio es el resultado de la interacción entre la oferta y la demanda de
divisas en el mercado cambiario. En ningún país existe el régimen de �otación
pura, debido a la gran volatilidad cambiaria y a los efectos en la economía real.
Es por esto, que los bancos centrales suelen intervenir en el mercado cambiario
para evitar las fuertes �uctuaciones del tipo d e cambio. Cuando el Banco Cen-
tral interviene ofreciendo o demandando divisas, el régimen se denomina de
�otación sucia. En ese caso, a pesar de que haya un régimen de tipo de cambio
libre, en la práctica el valor del tipo de cambio se mantiene estable en el tiempo.
Tipo de Cambio Fijo: En este caso, el valor de la moneda se �ja con re-
specto a otra moneda, a una canasta de monedas, o a otra medida de valor,
por ejemplo el oro. En los países latinoamericanos ha sido usual que el tipo de
cambio esté �jo con respecto al dólar. Los tipos de cambio �jos son criticados
porque, al ser un precio rígido, pueden generar rigideces y desequilibrios en la
economía. El tipo de cambio ha sido usualmente utilizado como un ancla nom-
inal. En una economía abierta, los precios de los bienes transables no pueden
ser muy diferentes de los precios internacionales de estos bienes. La �jación del
tipo de cambio, puede ser útil para disminuir la in�ación. Esto se ve reforzado
debido a que, si existe una fuerte convicción de que el compromiso de mantener
el tipo de cambio se va a cumplir,se pueden eliminar las expectativas de deval-
uación. La experiencia histórica de los países con poca in�uencia en el mercado
internacional de divisas indica que los tipos de cambio �jos funcionan durante
un cierto período de tiempo atenuando la in�ación, pero los desequilibrios que se
generan se van acumulando con el tiempo, por lo que la salida del tipo de cambio
�jo suele ir acompañada de otros fenómenos, como fuertes depreciaciones de la
moneda, pérdidas de depósitos bancarios y salidas de capitales. Estos fenómenos
suelen in�uir negativamente en la tasa de crecimiento (devaluación en México
1994 ( Efecto Tequila), devaluación Argentina en Diciembre de 2001).
Crawling Peg: Bajo un sistema de Crowling Peg, el tipo de cambio se ajusta
de modo progresivo y controlado de acuerdo a una tasa como la in�ación o la
tasa de interés, o una combinación de las mismas, o bien de acuerdo a un crono-
grama establecido por el gobierno, como lo fue la famosa �Tablita Cambiaria�
en Argentina. La principal característica del Crowling Peg es que el tipo de cam-
bio se ajusta con pequeñas variaciones porcentuales, en vez de hacerlo mediante
grandes devaluaciones.
6.6 índice de precios
De�nición 6.67 def de canasta
De�nición 6.68 Se llama índice de precios a un indicador que tiene por
objeto medir las variaciones, a través del tiempo, en los precios de un conjunto
de�nido de bienes y servicios (canasta) a través de un promedio ponderado (o
pesado) de los mismos.
Cada país tiene un servicio estadístico encargado de elaborar distintos incides
de precios. En Argentina, es el INDEC (Instituto Nacional de Estadísticas y
Cencos), a través del Centro de Estadísticas e Censos. El INDEC elabora varios
índices de precios, entre ellos:
6.6. ÍNDICE DE PRECIOS 159
1. IPC: Índice de Precios al Consumidor. Este índice mide la variación
de precios minoristas de un conjunto de bienes y servicios que representan
el consumo de hogares representativos de un período especí�co.
2. IPIM : Índice de Precios Internos al por Mayor. Este índice mide la
variación promedio de los precios a los cuales el productor, el importador
directo o el comerciante mayorista coloca sus productos en el mercado
argentino (sin importar el país de origen de los productos)
3. IPBP : Índice de Precios Básicos al Productor. Este índice mide la
variación promedio de los precios a los cuales el productor local vende su
producción, sin importar a que mercado.
4. IPIB: Índice de Precios Internos Básicos al por Mayor. Este índice
es similar al IPIM , sólo que los precios considerados no incluyen el im-
puesto al valor agregado: IVA, los impuestos a los combustibles e internos.
5. ICC: Índice del Costo de la Construcción. Este índice mide la variación
promedio que experiementa el costo de la construcción privada de los ed-
i�cios destinados a vivienda. Para ello mensualmente se valorizan los el-
ementos necesarios para la construcción de modelos de vivienda que se
consideran representativos de un período base y una región determinada.
Esta información, y mucho más, se puede hallar en la página del INDEC
http://www.indec.mecon.ar/
Ejercicio 6.69 Se deja como ejercicio que el lector descargue de la pagina del
INDEC la tabla con el IPC histórico.
Todo índice de precios mide como evolucionan en promedio los precios de una
dada canasta de bienes y/o servicios, pero no cuánto vale dicha canasta. Cuando
un índice sube, re�eja una disminución del poder de compra del dinero en función
de los precios medios de la canasta de bienes y servicios en cuestión, cuando baja,
re�eja un aumento del poder de compra del dinero en estos términos. Por eso
se elije un período base, generalmente el año que se determina la estructura de
ponderaciones del índice, y se le asigna al valor base de 100.
Por ejemplo el IPC base 1999=100 mide la evolución de los precios de los
bienes y servicios que consumen los hogares residentes en el aglomerado Gran
Buenos Aires. El conjunto de bienes y servicios cuyos precios son recopilados
para el cálculo del IPC constituye la canasta del índice, que es representativa de
los gastos de consumo de los hogares residentes en la Ciudad de Buenos Aires
y en 24 partidos del Gran Buenos Aires (GBA). El IPC no considera todos
los gastos de los consumidores que tienen que ver con el mantenimiento de su
nivel de vida. Excluye, por ejemplo, los pagos de intereses y amortizaciones de
préstamos, y los impuestos no incluidos en los precios de los bienes.
Con el transcurso del tiempo, el conjunto de bienes y servicios considerados
en los índices de precios pueden ir perdiendo representatividad. Los hogares van
cambiando su estructura de consumo: dejan de consumir determinados bienes o
servicios o los reemplazan por otros; los productores van modi�cando los tipos de
bienes que ofrecen; cambian las características de las viviendas que se construyen
y en las técnicas empleadas en la construcción de las mismas, ect. Por estos
160 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
cambios los índices van perdiendo su capacidad para representar la realidad
y se vuelve necesario modi�car su base. Por ejemplo el IPC base 1974=100
consideraba sólo los hogares residentes en el GBA cuyo tamaño oscilaba entre 2
y 7 miembros, que percibieran un ingreso familiar entre $ 250 y $ 2 500 (pesos
ley 18.188 de 1970) y cuyo jefe de hogar fuera una asalariado de la industria o el
comercio. Con el transcurso del tiempo, esa población dejó de ser representativa
del conjunto de los hogares del GBA: hacia 1980, sólo el 20% de los hogares
del GBA reunía esas características. Por eso en la revisión de 1988 del IPC
la población de referencia fue ampliada para incluir los hogares de 2 o más
miembros, sin importar su nivel de ingresos, ni el per�l del jefe del hogar. El
IPC se empezó a elaborar en 1914, y su base de cálculo fue actualizada 7 veces
desde entonces (1914, 1943, 1960, 1974, 1988, 1999 y 2008).
Un índice de precios puede ser usado para calcular la in�ación o de�ación
de un período de tiempo, y el valor real de un monto nominal a un momento
dado para un sector determinado de la economía.
De�nición 6.70 DEFINICION DE INFLACION
Ejemplo 6.71 Calcular la in�ación del mes de enero de 2008.
Para hallar in�ación de un mes dado, calculamos la tasa de variación entre
IPC de mes anterior, y el IPC del mes en cuestión:
�2002 =
IPCenero2008 � IPCdiciembre2007
IPCdiciembre2007
=
204:37� 202:49
202:49
= 0:00922844
Una in�ación del 0.922844% (¿!). Esto quiere decir en promedio los bienes y
servicios aumentaron casi un 1% en enero de 2008, esto no implica que no haya
productos que aumentaron más y otros que aumentaron menos.
Ejercicio 6.72 Completar la siguiente tabla con la in�ación mensual de 20XX
20__ Mes tasa de in�ación
1) Enero
2) Febrero
3) Marzo
4) Abril
5) Mayo
6) Junio
7) Julio
8) Agosto
9) Septiembre
10) Octubre
11) Noviembre
12) Diciembre
Ejemplo 6.73 Calcular la in�ación anual para el consumidor promedio du-
rante el año 2002.
6.6. ÍNDICE DE PRECIOS 161
Para hallar in�ación de un año, calculamos la tasa de variación entre IPC
de diciembre el año anterior, y el IPC de diciembre año en cuestión:
�2002 =
IPCdiciembre2002 � IPCdiciembre2001
IPCdiciembre2001
=
137:57� 97:60
97:60
= 0:40953
La in�ación del 2002 fue casi un 41%.
Ejercicio 6.74 Completar la siguiente tabla con la in�ación anual de 1997 a
2009. De una estimación (personal) para la in�ación de 2010
Años tasa de in�ación
1) 1997
2) 1998
3) 1999
4) 2000
5) 2001
6) 2002
7) 2003
8) 2004
9) 2005
10) 2006
11) 2007
12) 2008
13) 2009
14) 2010
Ejemplo 6.75 Calcular la in�ación anual para la construcción durante el año
2002.
Para hallar in�ación de un año, calculamos la tasa de variación entre ICC
de diciembre el año anterior, y el ICC de diciembre año en cuestión:
�construcción2002 =
ICCdiciembre2002 � ICCdiciembre2001
ICCdiciembre2001
=
134:2� 95
95
= 0:41263
Por lo que la in�ación para la construcción fue ligeramente superior a la in-
�ación para el consumidor medio.
Ejemplo 6.76 Hallar la in�ación total desdemayo de 2003 hasta marzo de
2004.
Para hallar in�ación de un período de tiempo dado, calculamos la tasa de
variación entre IPC de mes anterior al inicio del período, y el IPC del último
162 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
mes del período de tiempo en cuestión:
�mayo de 2003 a marzo de 2004 =
IPCmarzo2004 � IPCabril2003
IPCabril2003
=
144:20� 141:07
141:07
= 0:022188
Ejercicio 6.77 Calcular la in�ación del mes de octubre de 2001.
Ejercicio 6.78 Calcular la in�ación del mes de junio de 2006.
Ejercicio 6.79 Hallar la in�ación total desde julio de 2000 hasta septiembre
de 2005.
Ejercicio 6.80 Hallar la in�ación total desde agosto de 2004 hasta enero de2006.
Ejercicio 6.81 Si la in�ación del més de febrero de 2008 fue del 0.9% ¿Cuanto
vale el IPC febrero2008 ?.
Al tener en cuenta la in�ación se suele hablar de valores nominales y valores
reales.
De�nición 6.82 Un valor nominal es una cantidad dada de dinero a una
fecha determinada.
Por ejemplo $ 500 pesos hoy, $ 100 000 el 16 de ocubre de 1995, etc.
De�nición 6.83 Dada una canasta de bienes y servicios, cada valor nominal
tiene asociado un valor real igual a la cantidad de canastas que se pueden
adquirir con el nominal dado.
Ejemplo 6.84 En enero de 1996 ganaba $ 860, en enero de 2008 gané $ 2
750. En principio parece que en enero de 2008 estoy ganando tres veces más.
¿Es esto correcto?.
En términos nominales si, pero en términos reales, i.e., en términos de la
cantidad de bienes y servicios que puedo adquirir, el razonamiento anterior es
completamente erróneo. Para analizar el poder adquisitivo de un valor nominal
en el tiempo, hay que considerar cuantas canastas de bienes se pueden adquirir
con ese nominal en el momento en cuestión:
En enero de 1996 gané $ 860 y cada canasta costaba IPCenero1996 = 100:9494.
Por lo que podía adquirir
860
100:9494
= 8:5191 canastas.
Es decir: $ 860 en enero de 1996 tenían un valor real de 8:5191 canastas.
En enero de 2008 gané $ 2 750 y cada canasta costaba IPCenero2008 = 204:37.
Por lo que podía adquirir
2750
204:37
= 13:456 canastas.
6.6. ÍNDICE DE PRECIOS 163
Es decir: $ 2 750 en enero de 2008 tenían un valor real de 13:456 canastas.
Por lo que en términos reales, en enero de 2008 podía consumir casi un 60%
más que en enero de 1996, y no tres veces más (200%). Es decir, estoy mejor,
pero no tanto como se podía creer en un principio.
Por lo tanto cuando hablemos de términos reales, debemos pensar en la
cantidad de canastas que podemos adquirir.
Para realizar una analisis dimensional debemos considerar que el IPC tiene
como unidades
$
canastas
Los IPC sirven para mover en el tiempo el poder adquisitivo real de un
nominal de dinero.
Ejemplo 6.85 En julio de 2001, ganabamos $ 1 500 por mes. Suponiendo que
nuestros ingresos se mantienen constantes en términos reales, cuanto ganabamos
en octubre de 2007.
De nuevo la solución pasa por hallar el número de canastas. En julio de 2001,
ganabamos $ 1 500, y una canasta de bienes �costaba�
IPC julio2001 = 98:86
Por lo que podía adquirir
1500
98:86
= 15:173 canastas
Ahora, en octubre de 2007 cada canasta costaba
IPCoctubre2007 = 198:93
Mantener costante los ingresos en términos reales, signi�ca que debo ser capaz
de adquirir la misma cantidad de canastas. Por lo que en octubre de 2007 debo
ganar
15:173 � 198:93 = 3018:4 pesos
Ejercicio 6.86 En febrero de 2003, pague $ 2 por un café con medialunas en el
bu¤et de la Universidad. ¿Cuánto debería costar aproximadamente ese mismo
café con medialunas en octubre de 2007?
Ejemplo 6.87 El 15 de agosto de 2007 compramos una heladera por $ 2 100,
cuanto hubieramos pagado (aproximadamente) en febrero de 2003 por la misma
heladera (suponiendo que los precios de los electrodomésticos evolucionaron al
ritmo del IPC).
Simplemente debemos ver cuantas canastas son equivalentes al precio de la
heladera.
En agosto de 2007 una canasta costaba
IPCagosto2007 = 196:01
Por lo tanto el costo de la heladera era equivalente a
2100
196:01
= 10:714 canastas.
164 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Por lo tanto hacen falta 10.714 canastas para comprar la heladera, i.e., esta
heladera cuesta en términos reales 10.714 canastas, cualquiera sea el momento
del tiempo. Como en febrero de 2003 cada canasta costaba
IPC febrero2006 = 172:80
En febrero de 2003 habríamos necesitado aproximadamente
10:714 � 172:80 = 1851:40 pesos
para comprar la misma heladera.
SECCIÓN SOBR ELA CONSTRUCCIÓN DE
INDICERS DE PRECIOS... PROPONER QUE
EL ALUMNO CONSTRUYA SU PROPIO IN-
DICE DE PRECIOS.
Ejercicio 6.88 En julio de 2007 compré mi primer auto (0 Km) por $ 42 700.
¿Cuánto hubiera pagado (aproximadamente) en agosto de 2002 por un auto
similar?
Ejercicio 6.89 Al pedir préstados $ 2 500 el 1ero. de enero de 2002, nos com-
prometimos a devolver el montante más unos intereses reales de 8% anual.
¿Cuánto debemos devolver el 1ero. de enero de 2004?
Ejercicio 6.90 Nuestra madre nos prestó a principio de julio de 2003 $ 20 000,
a principios de abril de 2005 le devolvemos a nuestra santa madre los $20 000
que gentilmente nos présto. ¿Cuánto deberíamos haberle devuelto por lo menos
a la pobre santa?
Ejercicio 6.91 Continuación del ejercicio (6.105) de la sección anterior:
1. Calcule la in�ación entre marzo de 2001 y abril de 2008.
2. ¿Cuál fue el porcentaje nominal de aumento de su sueldo?
3. Dar la TEM nominal de aumento de su sueldo.
4. Si en abril de 2008 Ud. ganó $ 2 130, ¿Cuál fue su sueldo en marzo de
2001?
6.7 In�ación
Suponga cuando cumplio 20 años, su padre le regala $ 1000 en bonos del estado
que pagan un 13% anual y vencen en 45 años. Si bien ahora ud. no puede usar
el dinero, cuando venzan, los bonos rendiran $ 244 641.40 pues
1000 (1 + 0:13)
45
= 244641:4019 ,
La mala noticia es que todo costará mucho más caro. Por ejemplo, si los precios
de los bienes y servicios suben también a un 13% anual cuando ud. tenga 65
años, i.e., 45 años después de recibir los bonos, podrá comprar "lo mismo"que
6.7. INFLACIÓN 165
podía comprar con $ 1000 cuando tenía 20 años. En esta situación se dice que
un sentido �real�, no se ha ganado ningún interés.
El ejemplo anterior muestra que si deseamos tomar decisiones �nanciera-
mente adecuadas a largo plazo, debemos tener en cuenta la in�ación, y no sólo
los intereses.
De�namos pues, que entenderemos por in�ación
De�nición 6.92 Llamaremos in�ación a la tasa con que varía el nivel de pre-
cios de una canasta dada de bienes y servicios de una economía a lo largo de un
período de tiempo determinado. Una tasa de in�ación p-períodica será denotada
�(p)
Observe que esta de�nición de tasa de in�ación es un poco más amplia que la
habitual: aumento porcentual del nivel de precios en un período dado de tiempo.
En el caso de ser positiva nuestra tasa de in�ación, ambas nociones coinciden.
Pero nuestra in�ación puede ser negativa, es lo que se conoce como de�ación:
reducción porcentual del nivel de precios.
Al tener en cuenta la in�ación se suele hablar de tasas nominales y tasas
reales. La tasa de interés nominal es la tasa efectiva denominada en pesos, o
cualquier otra moneda. El aumento del poder adquisitivo es la tasa de interés
real. Usaremos i para denotar tasas nominales y r para denotar tasas reales.
Nota 6.93 En esta sección la término nominal tiene un sentido diferente del
usado anteriormente. Para evitar confusiones recalcamos que todas las tasas
usadas serán efectivas.
Ejemplo 6.94 Suponga que dispone de $ 1 000 hoy, y que además la canasta
de bienes y servicios básica cuesta hoy $ 245. Si el banco le paga una TEA
del 9.5% (una tasa nominal) y in�ación esperada del 6.1% anual. ¿Cuál es el
rendimiento real a un año que le ofrece el banco?
Hoy tiene $ 1000, y como la canasta de bienes y servicios hoy cuesta $ 245,
hoy su poder adquisitivo real es de
1000
245
= 4:0816
canastas de bienes y servicios.
Al cabo de un año sus $ 1 000 se transforman en $1 095 pues
1000 (1 + 0:095) = 1095:
Mientras que una canasta de bienes y servicios pasa a costar
245 (1 + 0:061) = 259:95;Por lo que su poder adquisitivo al cabo de un año es
1095
259:95
= 4:2123
166 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Luego la tasa de interés real es la que convierte nuestro poder adquisitivo de
4:0816 canastas en 4:2123 canastas al cabo de un año:
4:0816 (1 + r) = 4:2123
r =
4:2123
4:0816
� 1
r = 0:032022
La tasa real es del 3:2022% anual, y no del 3:4% = 9:5%�3:1%, como se podría
haber supuesto.
Volvamos a plantear el problema anterior en términos generales: al comienzo
de un período de t años, se dispone de una cantidad C de dinero y el costo de
la canasta de bienes y servicios básicos es b, si nos pagan una tasa nominal i(p)
y la in�ación esta dada por una tasa �(p), tenemos que la tasa real r(p) es la
que tranforma el poder aquisitivo al inicio del período en el poder adquisitivo
al �nal del mismo
C
b
�
1 + r(p)
�pt
=
C
�
1 + r(p)
�pt
b
�
1 + �(p)
�pt
Simpli�cando y reordenando llegamos a famosa fórmula de Fisher
�
1 + r(k)
��
1 + �(k)
�
=
�
1 + i(k)
�
: (6.25)
O despejando la tasa real
r(k) =
i(k) � �(k)
1 + �(k)
: (6.26)
La fórmula de Fisher es independiente del período de tiempo considerado, el
monto disponible C y el precio b de la canasta de bienes y servicios básicos.
Nota 6.95 De la forma despejada de la fórmula de Fisher se puede ver que
cuando la tasa de in�ación es baja, la diferencia entre la tasa nominal y la tasa
de in�ación da una buena aproximación para la tasa real.
Ejemplo 6.96 ¿Cuál es la tasa de interés real anual si la tasa nominal es una
TEA del 12.9% y la tasa de in�ación es del 7.3% al año?
Usando la fórmula de Fisher:
(1 + r) (1 + 0:073) = 1 + 0:129;
de donde
r =
1 + 0:129
1 + 0:073
� 1
= 0:05219
Ejemplo 6.97 El Sr. Elias cobrará una beca de $ 10.000 dentro de 6 meses.
Si la in�ación mensual estimada es del 1,7 % mensual. ¿Cuál es el valor en
términos del poder adquisitivo al día de hoy de esos $ 10.000 dentro de 6 meses?
6.7. INFLACIÓN 167
Llamemos p0 al precio de la canasta de bienes y servicios al día de hoy. El
precio de la canasta de bienes y servicios dentro de 6 meses será
p6 = p0 (1 + 0; 017)
6
Con $ 10.000 podemos comprar dentro de 6 meses la siguiente cantidad de
canastas:
$10:000
p6
=
$10:000
p0 (1 + 0; 017)
6
Para comprar hoy la misma cantidad de canastas necesitamos una cantidad x
de dinero tal que
x
p0
=
10:000
p0 (1 + 0; 017)
6
de donde concluimos que
x =
10:000
(1 + 0; 017)
6 = 9038; 040487
Esto nos indica que con $ 10.000, dentro de 6 meses, podremos comprar aprox-
imadamente lo mismo que hoy podríamos comprar con $ 9.038,040487.
Ejemplo 6.98 El Sr. Adrián guardo $ 5.000 es un lugar secreto, y luego se
olvido de donde habia puesto el dinero. Al cabo de 5 meses los encontro en el
bolsillo de un viejo saco. Si la in�ación mensual durante esos 5 meses fue
in�ación mensual tasa porcentual
�1 1; 8
�2 2; 3
�3 3:1
�4 1:9
�5 2:5
Se pide
1. Calcular el valor de estos $ 5.000, en términos de pesos de hace 5 meses.
2. Calcular el poder de compra de estos $ 5000, hace 5 meses en términos de
pesos de hoy.
Con estos $ 5.000 disponibles ahora, podemos adquirir lo mismo (casi lo
mismo) que con $ 4.458,5 hace 5 meses pues
$ 5:000
(1 + �1) (1 + �2) (1 + �3) (1 + �4) (1 + �5)
=
$ 5:000
(1 + 0; 018) (1 + 0; 023) (1 + 0; 031) (1 + 0; 019) (1 + 0; 025)
=
$ 5:000
1; 12145054517
= $ 4:458; 51136
Es decir, $ 5.000 hoy valen (aproximadamente) lo mismo que $ 4.458,5 pesos
de hace 5 meses.
168 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Por otro lado, con $ 5.000 hace 5 meses el Sr. Adrián podía comprar bienes
y servicios equivalentes (aproximadamente) a los que puede adquirir hoy con $
5.607,25 pues
$ 5:000 (1 + �1) (1 + �2) (1 + �3) (1 + �4) (1 + �5) = $ 5:000�1; 12145054517 = $ 5:607; 252726
Es decir,los $ 5.000 de hace seis meses son equivales, i.e.,tienen el mismo poder
de compra, que $ 5.607,25 pesos de hoy.
Los ejemplos anteriores nos dicen que si queremos saber el valor en términos
de pesos de hoy, o pesos constantes (expresión que signi�ca: pesos con el
mismo poder de compra que el peso hoy) de una cantidad futura de dinero,
debemos actualizarlos a la tasa de in�ación dada (si es conocida). En general,
dada una tasa de in�ación p-períodica �(p), el valor al día de hoy de un capital
C disponible dentro de t años es
C
�
1 + �(p)
�pt (6.27)
Correspondientemente, si queremos saber el valor en pesos de hoy de una can-
tidad pasada de dinero, debemos capitalizarlos a la tasa de in�ación dada (si es
conocida). En general, dada una tasa de in�ación p-períodica �(p), el valor al
día de hoy de un capital C disponible hace de t años es
C
�
1 + �(p)
�pt
(6.28)
Ejercicio 6.99 ¿Cuál es la tasa de interés real mensual si la tasa nominal es
una TEM del 1.9% y la tasa de in�ación mensual es 1.4%?
Ejercicio 6.100 ¿Cuál es la tasa de interés real anual si la tasa nominal es
una TEM del 0.9% y la tasa de in�ación mensual es 1.2%?
Ejercicio 6.101 ¿Cuál es la tasa de interés real anual si la tasa nominal es
una tasa efectiva trimestral del 10% y la tasa de in�ación diaria es del 0.04%?
Ejercicio 6.102 Si un banco nos paga una TEA del 25.5% y la inversión rinde
en términos reales sólo un 5.6% al año, ¿Cuál es la tasa anual de in�ación?
Ejercicio 6.103 Al sacar un préstamo, el banco A nos cobra una TEM �ja del
2.3%, mientras que el banco B, nos cobra una tasa efectiva mesual variable:
�(12) + 0:011. Se pide decidir donde conviene obtener un crédito si
1. La in�ación anual se estima en 8%.
2. La in�ación anual se estima en un 21%.
3. Hallar la tasa de in�ación de equilibrio: la tasa de in�ación esperada que
nos hace indiferentes entre el banco A y el banco B.
6.7. INFLACIÓN 169
Ejercicio 6.104 En la siguiente tabla se da la tasa de in�ación mes a mes de
un año dado
Mes Tasa
1) Enero 1.1%
2) Febrero 2.3%
3) Marzo 0.7%
4) Abril 0.5%
5) Mayo 0.8%
6) Junio 0.95%
7) Julio 1.2%
8) Agosto 1.4%
9) Septiembre 1.7%
10) Octubre 1.6%
11) Noviembre 2.1%
12) Diciembre 2.5%
Se pide
1. Hallar la tasa de in�ación anual y la mesual equivalente a esta.
2. Hallar la tasa de in�ación mensual promedio. Comparar con la tasa mesual
hayada en el item anterior.
3. Si un banco paga un 2.5% mensual, cual es la tasa real que paga el banco
cada mes.
4. Calcular el rendimiento nominal y real de colocar $ 5 000 en dicho banco
desde el 1ero de enero hasta el 31 de agosto.
5. Si un televisor costó $ 1 870 en Noviembre, ¿Cuánto costaba en abril?
6. En enero un obrero cobraba $ 750 al mes, si en diciembre este mismo
obrero cobraba $ 875. ¿En términos reales esta mejor o peor?. Dar el tasa
de variación real del sueldo del obrero.
7. Si deseamos obtener una retabilidad real del 8% anual, de cuanto debe ser
la tasa anual nominal de rendimiento de una inversión.
8. Otro banco se compromete brindar una rentabilidad real de 1.5% mensual.
¿Cuáles son las tasas mensuales que ofrece?. Dar la TEA real que ofrece
el banco.
9. En que banco conviene invertir nuestros ahorros cada mes, ¿y de manera
anual?
10. Ud en enero de este saco un préstamo de $ 10 000. Le cobran un 12% anual
y debe devolver el nominal más los intereses en enero del año siguiente.
¿Cuál fue la tasa real del préstamo?
Ejercicio 6.105 En marzo de 2001 su sueldo mensual le alcanzaba para com-
prar 1 Televisor y medio. En Abril de 2008 su sueldo le alcanza para comprar
2.1 Televisores.
1. ¿Cuál fue el porcetaje de aumento de su sueldo?.
170 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
2. Suponiendo que su sueldo aumentó un porcentaje �jo cada mes, ¿Cuál fue
la TEM de aumento?
3. ¿Las tasas anteriores son reales o nominales?
Ejercicio 6.106 poner más ejercicios.... del estilo de
los últimos ejemplos
Nota 6.107 La in�ación (positiva) tiene causas muy complejas y variadas de
acuerdo con las políticas económicas implementadas en cada país. Sin embargo
un fénomeno común a todos los procesos in�acionarios es un aumento del circu-
lante (monedas y billetes) sin el aumento equivalente en la producción de bienes
y servicios. Cuando aumenta el circulante, la gente tiene más dinero en sus bol-
sillospara gastar, lo que aumenta la demanda de bienes y servicios en general, si
esto no se corresponde con un aumento de la oferta, los precios inevitablemente
suben.
La de�ación (in�ación negativa), es un fenónemo menos habitual. La úl-
tima de�ación en USA se dio en 1955 y en Argentina hubo de�ación en 1999
(�1:810449933%), en 2000 (�0:7337073802%), y en 2001 (�1:543427822%).
Las de�aciones prolongadas (uno o más años) son síntoma de períodos de con-
tracción econónica (depresión).
6.8 Indexación
6.9 Composición de tasa en el sistema continuo
Dadas un grupo n de tasas nominales (positiva o negativa) J1; J2; : : : ; Jn de
aplicación simultánea, cuyas tasas efectivas p-períodicas asociadas son
i
(p)
k =
Jk
pk
El error que cometemos al usar i(p)1 + i
(p)
2 + � � �+ i
(p)
n intuitivamente disminuye
al aumentar la frecuencia de capitalización:
i
(p)
1 + i
(p)
2 + � � �+ i(p)n � a la tasa real
si p es grande.
Dadas n tasas nominales J1; : : : ; Jn de aplicación simultánea sobre un capital
C0 por unos t años. Consideremos como evoluciona nuestra aproximación
C0
�
1 +
J1
p
+ � � �+ Jn
p
�pt
a medida que aumentamos la frecuencia de capitalización:
lim
p!1
C0
�
1 +
J1
p
+ � � �+ Jn
p
�pt
= lim
p!1
C0
�
1 +
J1 + � � �+ Jn
p
�pt
= C0e
(J1+���+Jn)t
6.9. COMPOSICIÓN DE TASA EN EL SISTEMA CONTINUO 171
Poner dibujo!!!!
Esto sugiere que en capitalización continua la aplicación de simultánea de
dos o más tasas equivale a sumar las mismas: Dadas n tasas nominales continuas
J1; : : : ; Jn todas de aplicación simultánea sobre un capital C0, el capital total
acumulado al cabo de t años es
Ct = C0e
(J1+���+Jn)t
Esta nos permite demostrar formalmente la fórmula (6.1). Dado un grupo
de n tasas efectivas p-períodicas i(p)1 ; i
(p)
2 ; : : : ; i
(p)
n que actúen simultáneamente
sobre un capital C0. El capital Ct acumulado al cabo de t años se puede obtener,
al plantear la situación en capitalización compuesta. Para hacer esto convertimos
las tasas efectivas compuestas en tasas nominales continuas equivalentes:
�
1 + i
(p)
k
�p
= eJk para k 2 f1; : : : ; ng
de donde
Jk = ln
�
1 + i
(p)
k
�p
para k 2 f1; : : : ; ng
Luego
Ct = C0e
(J1+���+Jn)t
= C0e
�
ln
�
1+i
(p)
1
�p
+���+ln(1+i(p)n )
p
�
t
= C0
�
1 + i
(p)
1
�pt
� � �
�
1 + i(p)n
�pt
Poner ejercicios!!!!! al menos unos 4 o 5.
172 HOOFDSTUK 6. COMPOSICIÓN DE TASAS
Hoofdstuk 7
Rentas
7.1 Rentas generales
A lo largo del resto del libro utilizaremos capitalización compuesta como ley
�nanciera por defecto, salvo que explícitamente se diga lo contrario. Esto se
corresponde con el uso predominante del sistema compuesto como ley �nanciera
en Argentina.
El siguiente ejemplo muestra la situación típica que deseamos analizar ahora
Ejemplo 7.1 Se obtiene de un banco un préstamo por $ 125.000 a pagar en
10 años, en cuotas mesuales consecutivas e iguales, pagando la primera dentro
de un mes. Si el banco nos cobra una TEM del 0,34%, ¿cuál es el monto de la
cuota mensual que debemos pagar?
0 1 2 3 118 119 120
(hoy) C C C C C C
$125000
actualización
En todo préstamo lo que debemos pagar debe ser �nancieramente equivalente
al desembolso del préstamo (a la tasa pactada). Para hallar el monto que se debe
pagar al banco cada mes es conveniente plantear la correspondiente equivalencia
�nanciera. Trabajaremos con capitalización compuesta, y como da lo mismo usar
una u otra fecha focal, usaremos el origen como tal:
125:000 =
C
(1 + 0; 0034)
+
C
(1 + 0; 0034)
2 + � � �+
C
(1 + 0; 0034)
120
De donde podemos despejar C
C =
125:000
1
(1 + 0; 0034)
+
1
(1 + 0; 0034)
2 + � � �+
1
(1 + 0; 0034)
120
173
174 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Es claro que sería muy útil disponer de una fórmula para calcular
1
(1 + 0; 0034)
+
1
(1 + 0; 0034)
2 + � � �+
1
(1 + 0; 0034)
120
(que no sea realizar los 120 cocientes y luego sumarlos).
La situación del ejemplo anterior, con alguna variación, es su�cientemente
frecuente en la actividad económica (sueldos, alquileres, seguros, préstamos,
servicios, etc.) como para desarrollar fórmulas adecuadas para el manejo de
sucesiones de capitales disponibles a lo largo del tiempo.
De�nición 7.2 Llamaremos renta (�nita) a toda sucesión de n capitales C1; C2; : : : ; Cn,
llamados términos, disponibles a los momentos t1 < t2 < � � � < tn (estamos
asumiendo que n es un entero positivo).
De una renta típicamente nos interesa calcular V A (to), su valor actual a
un momento to dado, y V F (tf ), su valor �nal a un momento tf dado, con
to � t1 < � � � < tn � tf
to t1 t2 t3 tn�1 tn tf
C1 C2 C3 Cn�1Cn
Actualización
Capitalización
V A (to)
V F (tf )
Dada una tasa de interés p-períodica i(p), el valor actual (al momento to) de
una renta consistente de n capitales C1; C2; : : : ; Cn disponibles a los momentos
t1 < t2 < � � � < tn (usando p-períodos para medir el tiempo), es igual a la suma
de los valores actuales al momento to de cada uno de los términos que componen
la renta
V A (to) =
nX
k=1
Ck
�
1 + i(p)
�to�tk
(7.1)
=
nX
k=1
Ck�
1 + i(p)
�jto�tkj
=
nX
k=1
Ck�
1 + i(p)
�tk�to
Ya que todas las diferencias to � tk, con k 2 f1; : : : ; ng, no positivas.
7.1. RENTAS GENERALES 175
Similamente, el valor �nal de la renta al momento tf es igual a la suma de los
valores (capitalizados) al momento tf de cada uno de los términos de la renta
V F (tf ) =
nX
k=1
Ck
�
1 + i(p)
�tf�tk
(7.2)
en este caso todas las diferencias tf � tk, con k 2 f1; : : : ; ng, son no negativas.
Al capitalizar el valor actual V A (to) de la renta al momento to durante
tf � to p-períodos a la tasa p-períodica i(p) obtenemos el valor �nal V F (tf ) de
la renta
V A (to)
�
1 + i(p)
�tf�to
=
 
nX
k=1
Ck
�
1 + i(p)
�to�tk
!�
1 + i(p)
�tf�to
=
nX
k=1
Ck
�
1 + i(p)
�to�tk �
1 + i(p)
�tf�to
=
nX
k=1
Ck
�
1 + i(p)
�tf�tk
= V F (tf )
Similarmente, si actualizamos V F (tf ) unos tf � to p-períodos tenemos
V F (tf )�
1 + i(p)
�tf�to = V A (to)
Esto nos dice que si hallamos una expresión para el valor actual de una renta,
automáticamente diponemos de una expresión para el valor �nal de la misma y
viceversa.
Nota 7.3 Una notación más precisa sería
V A
�
to; t1; : : : ; tn; C1; : : : ; Cn; n; i
(p)
�
=
nX
k=1
Ck
�
1 + i(p)
�to�tk
pero en general, como los valores de t1; : : : ; tn; C1; : : : ; Cn; n; i(p) serán claros del
contexto preferimos usar simplemente V A (to) o inclusive sólo V A (si también
es claro del contexto el valor de to).
Es claro que para encontrar fórmulas que simpli�quen el cálculo de (7.1) y
(7.2), tanto la sucesión de capitales como la sucesión de momentos deben poseer
ambas cierta regularidad.
La regularidad en la sucesión de momentos se consigue al imponer que la
distancia temporal entre dos términos consecutivos (entre los momentos a los
que se imponen los mismos) se mantenga constante a lo largo de la renta:
tk+1 � tk = cte para 1 � k � n� 1:
En la mayoría de los casos esta distancia temporal será un mes, pero puede ser
una cantidad cualquiera, pero �ja, de p-períodos (por ejemplo 15 días, mes y
medio, un trimestre, etc.) donde p esta dado por la frecuencia de capitalización
de la tasa efectiva i(p) que actua sobre la renta.
Con respecto a la regularidad sobre los montos de los términos, estudiare-
mos cuatro casos: constantes, variables en progresión aritmética, variables en
progresión geométrica y algunas otras variaciones regulares.
176 HOOFDSTUK 7. RENTAS
7.2 Rentas constantes
Consideremos una renta de n términos a una tasa p-períodica i(p). Analizaremos
el caso donde todos los términos (capitales) de la renta son iguales
C1 = C2 = � � � = Cn = C
de ahi el nombre de rentas constantes.
Con esta regularidad (7.1) se puede reescribir
V A (to) = C
nX
k=1
�
1 + i(p)
�to�tk
= C
nX
k=1
1
�
1 + i(p)
�tk�to (7.3)
Si consideremos que la sucesión temporal de las imposiciones tiene un paso
constante unitario de un p-período (por ejemplo, si la tasa es mensual, tenemos
una sucesión de meses)
tk+1 � tk = 1 p-período, para 1 � k � n� 1
o lo que es lomismo
tk = t1 + (k � 1) para 1 � k � n� 1
Luego la ecuación (7.3) toma la forma
V A (to) = C
nX
k=1
�
1 + i(p)
�to�tk
= C
nX
k=1
�
1 + i(p)
�to�t1�k+1
= C
nX
k=1
1
�
1 + i(p)
�t1+k�to�1 (7.4)
(Recordar que to está medido en p-períodos).
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!
7.3 Rentas vencidas o pospagables
El modelo de rentas que vamos a estudiar ahora se corresponde perfectamente
con situaciones tales como el cobro de un sueldo, o el pago de algunos servicios
(luz, gas, etc.). Primero se trabaja o brinda el servicio, y luego se realizan las
imposiciones correspondientes (pagos o cobros). Es decir, las imposiciones se
hacen al �nal del cada período. Por este motivo estas rentas reciben el nombre
de rentas vencidas o pospagables (En Argentina y Latinoamérica en general
se habla de rentas vencidas, en España de rentas pospagables).
El valor actual corresponde calcularlo un período de tiempo antes de la
imposición del primer capital:
to = t1 � 1
7.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES 177
Esto es claro a partir del ejemplo del cobro de un sueldo: uno comienza a trabajar
en el momento to y recién recibe el primer pago en el momento
t1 = to + 1
El compromiso asumido en la operación �nanciera comienza en to.
El valor �nal, por otro lado, corresponde calcularlo al mismo momento de la
imposición del último capital, ya que en ese momento términa el compromiso
asumido:
tf = tn
Comenzaremos analizando la situación to = 0 y por lo tanto
t1 = 1; t2 = 2; : : : ; tn = n
t0 t1 t2 t3 tn�2 tn�1 tn
C C C C C C
Un q-período Un q-período
Actualización a la tasa i(q)
V A(to)
modi�car dibujo... p-periodos, poner inicio de
operación, �nal de la operación, y valor �nal
En este caso la ecuación (7.4) toma la forma
V A (0) = C
nX
k=1
1
�
1 + i(p)
�k :
Ahora todo el problema se reduce a encontrar un fórmula cerrada para la
expresión
nX
k=1
1
�
1 + i(p)
�k : (7.5)
Usando el hecho que (7.5) es una serie geométrica, por (2.6)
nX
k=1
1
�
1 + i(p)
�k =
1
1 + i(p)
n�1X
k=0
1
�
1 + i(p)
�k
=
1
1 + i(p)
1� 1�
1 + i(p)
�n
1� 1
1 + i(p)
=
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
Ahora podemos dar la fórmula para calcular el valor actual de una renta
constante vencida (o pospagable) de n términos de monto C a una tasa i(p) que
178 HOOFDSTUK 7. RENTAS
comienza en el momento 0 y términa en el momento n:
V A (0) = C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
(7.6)
A partir de (7.6) podemos obtener, como ya señalamos, una expresión para el
valor �nal de una renta vencida al momento tf = tn = n
V F (n) = V A (0)
�
1 + i(p)
�n
= C
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
(7.7)
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!
Nota 7.4 Se debe notar que la ultima fórmula se puede deducir a partir de
la teoría de relaciones recursivas. Consideremos una renta de n términos con-
stantes de monto C a una tasa p-períodica i(p), impuestos consecutivamente
con un paso temporal de un p-período. Sea V F (k) valor ��nal� acumulado de
la renta después de imponer el k-ésimo término (con k 2 f1; : : : ; ng)
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!
Es claro que el valor �nal (k + 1)-ésimo es igual al valor �nal k-ésimo, más
los intereses generados, más el término (k + 1)-ésimo de la renta
V F (k + 1) = V F (k)
�
1 + i(p)
�
+ C
La solución de esta relación recursiva es
V F (k) = h0 (1 + k)
k
+ C
1�
�
1 + i(p)
�k
1�
�
1 + i(p)
�
= h0 (1 + k)
k
+ C
�
1 + i(p)
�k � 1
i(p)
donde h0 es una constante que podemos ajustar usando alguna condición inicial.
En nuestro caso es claro que
V F (1) = C
luego
C = V F (1)
= h0 (1 + k)
1
+ C
�
1 + i(p)
�1 � 1
i(p)
= h0
�
1 + i(p)
�
+ C
lo que implica que h0 = 0. Luego
V F (k) = C
�
1 + i(p)
�k � 1
i(p)
para k � 1
Otra condición inicial adecuada resulta del hecho que V F (0) = 0 (no se ha
realizado ninguna imposición al momento cero).
7.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES 179
En los problemas de rentas típicamente aparecen 4 variables C; i(p); n y V A
o V F según el caso. El problema tipo es dadas tres de ellas calcular el valor de
la cuarta. Después de un momento de re�exión (y tal vez una cuantas pruebas)
vemos que si n > 5, en general, es imposible despejar i(p) de la fórmula (7.6) o
la fórmula (7.7). Esto implica el uso de métodos númericos para hallar la tasa
i(p) aplicada en una renta dada. Más adelante daremos una breve introducción
a los métodos numéricos de Newton-Raphson y de la secante, pero desde ya
queremos dejar asentado que no nos openemos al uso de soft especí�co (Maple,
Matlab, Exel, Derive, etc.) o al uso de calculadoras �nancieras o cientí�cas para
hallar la tasa asociada a un esquema de renta.
Ejemplo 7.5 Terminemos de resolver el ejemplo (7.1)
Todos los meses, por los próximos 10 años, debemos pagar $ 1.270,32 pues
C =
125:000
1
(1 + 0; 0034)
+
1
(1 + 0; 0034)
2 + � � �+
1
(1 + 0; 0034)
120
=
125:000
1� (1 + 0; 0034)�120
0; 0034
= 1:270; 32
Ejemplo 7.6 Un programa de televisión anuncia un premio $ 300.000, con-
sistente un sueldo �jo a mes vencido de $ 2.500 mensuales durante 10 años.
¿Realmente el premio consiste de $ 300.000?. Si la tasa que ud. puede conseguir
es del 0,85% mensual, que pre�ere, el esquema de sueldos o $ 200.000 en efectivo
(en caso de ganar el concurso correspondiente).
Todo lo que necesitamos saber es el valor actual de este esquema de pagos a
la tasa que ud. puede conseguir:
V A(hoy) = 2:500
1� (1 + 0; 0085)�120
0; 0085
= 187:602; 16
Esto nos dice que el premio de �$ 300.000� en realidad hoy vale $ 187.602,16, y
por lo tanto si hoy nos ofrecen $ 200.000 en efectivo deberíamos aceptarlos (esta
oferta es aún más conveniente si incluimos en el análisis la in�ación esperada).
Ejemplo 7.7 Si ud. toma los $ 200.000 del premio y los depósita al 0,85%
mensual, ¿Cuál es el monto que puede retirar del banco mes a mes por los
próximos 10 años?
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ahora, lo que conocemos es el valor actual de una renta (vencida) constante
mensual de 120 términos y deseamos saber el importe C de los términos. A
partir de
V A (0) = C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
180 HOOFDSTUK 7. RENTAS
podemos despejar fácilmente C:
C =
V A (0) i(p)
1�
�
1 + i(p)
��n (7.8)
En particular
C =
200:000 � 0:0085
1� (1 + 0:0085)�120
= 2665:21458
Ejemplo 7.8 Si ud toma los $ 200.000 del premio los depósita al 0,85% men-
sual, ¿Durante cuánto tiempo podrá extraer mensualmente $ 2.500?
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
En este caso, de la expresión
C =
V A (0) i(p)
1�
�
1 + i(p)
��n
deseamos hallar n. Primero acomodamos un poco las cosas de manera tal que
podamos aplicar logaritmos (este es el procedimiento usual para despejar alguna
variable que aparece en un exponente)
C � V A (0) i(p) = C
�
1 + i(p)
��n
C � V A (0) i(p)
C
=
�
1 + i(p)
��n
log
�
C � V A (0) i(p)
�
� logC = �n log
�
1 + i(p)
�
de donde obtenemos
n =
logC � log
�
C � V A (0) i(p)
�
log
�
1 + i(p)
� (7.9)
En particular
n =
log 2:500� log (2:500� 200:000 � 0; 0085)
log (1 + 0; 0085)
= 134:62001
Por lo que podriamos retirar $ 2.500 por 134 meses (11 años y dos meses), y al
�nalizar aún nos sobraría un poco de dinero en la cuenta (¿Cuánto?).
Ejemplo 7.9 Don Máximo puede ahorrar al �nal de cada mes entre 700 y 800
pesos. La tasa que puede conseguir es del 0,75% mensual. ¿Cuál es el monto
acumulado del que dispondrá Don Máximo al cabo de 5 años?
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
En este caso debemos hallar el valor �nal de una renta. Como no sabemos
exactamente cuanto depositará Don Máximo al �nal de cada mes (pueden ser
$ 700, o $ 754, o $ 800), calcularemos dos valores �nales, uno suponiendo que
mes a mes deposita $ 700 y el otro suponiendo que mes a mes deposita $ 800. El
7.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES 181
capital acumulado por Don Máximo estará entre estos dos valores. Comencemos
con la renta de $ 700:
V F (60) = 700
(1 + 0:0075)
60 � 1
0:0075
= 700 � 75; 4241369253 = 52:796; 89585
Ahora calculemos el valor �nal de la renta de $ 800
V F (60) = 800
(1 + 0:0075)
60 � 1
0:0075
= 800 � 75; 4241369253 = 63:339; 30954
Es decir, Don Máximo dispondrá al cabo de 5 años de un capitalentre $
52.796,90 y $ 63.339.31.
Nota 7.10 El ejemplo anterior muestra porque los factores
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
y
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
suelen ser llamados multiplicadores. Ellos dan el valor actual (al momento
0) y el valor �nal (al momento n), respectivamente, de una renta unitaria
(C = $ 1), de n términos consecutivos con paso unitario p-períodico (iniciada
al momento 1 y �nalizada al momento n) a una tasa p-períodica i(p)
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
El nombre de multiplicador proviene del siguiente hecho obvio: el valor ac-
tual y el valor �nal de cualquier renta constante de término C (de n términos
consecutivos con paso unitario p-períodico, iniciada al momento 1 y �nalizada
al momento n; a una tasa p-períodica i(p)) se calcula mutiplicado C por el cor-
respondiente multiplicador.
Ejemplo 7.11 Ud desea comprarse un LED de 64�. Cuanto debe ahorrar (al
menos) mes a mes durante los próximos 3 años si el LED cuesta unos $ 26.000,
y la tasa que ud puede conseguir es del 0,4% mensual.
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
En este caso, tenemos una renta de la que conocemos una cota inferior para
el valor valor �nal de la renta: este no debe ser inferior a $ 26.000, y queremos
determinar el valor de los términos C de la renta
26:000 � V F (n) = C
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
de donde debemos despejar C
C =
V F (n) i(p)�
1 + i(p)
�n � 1
� 26:000i
(p)
�
1 + i(p)
�n � 1
(7.10)
por lo tanto en nuestro caso
C � 26:000 � 0; 004
(1 + 0; 004)
36 � 1
= 672; 91079
Por lo que deberemos ahorrar cada mes al menos $ 672,92.
182 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Ejemplo 7.12 Suponga que ud puede ahorrar $ 550 cada mes, y los puede
depositar a un 0,37% mensual. ¿Cuánto tiempo deberá ahorrar para poder com-
prarse un auto que cuesta unos $ 32.000?
Poner Dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!
En este caso, tenemos una renta de la que conocemos una cota inferior para
el valor valor �nal de la renta: este no debe ser inferior a $ 32.000, y queremos
un n tal que
32:000 � V F (n) = C
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
despejemos n de la igualdad
V F (n) i(p)
C
+ 1 =
�
1 + i(p)
�n
log
�
V F (n) i(p) + C
�
� logC = n log
�
1 + i(p)
�
de donde obtenemos
n =
log
�
V F (n) i(p) + C
�
� logC
log
�
1 + i(p)
� (7.11)
En particular, si realizamos el despeje de n partiendo de la desigualdad
n � log
�
32:000i(p) + C
�
� logC
log
�
1 + i(p)
�
de donde obtenemos
n � log (32:000 � 0:0037 + 550)� log 550
log (1 + 0:0037)
= 52:79162
Es decir necesitamos ahorrar al menos 53 meses.
Nota 7.13 Observe (7.6) calcula el valor actual de la renta dada un p-período
antes de la imposición del primer capital. Por ejemplo si tenemos un renta
bimestral cuyo primer término esta disponible en el mes 5, la fórmula (7.6) nos
da el valor actual de la renta (una cantidad de dinero) al mes 3.
Nota 7.14 El n que aparece en las fórmulas anteriores coincide siempre con el
número de términos de la renta, y como veremos más adelante no tiene porque
coincidir con el período al que es impuesto el último término.
Las dos observaciones anteriores son importantes a la hora de entender ca-
balmente el siguiente ejemplo.
Ejemplo 7.15 Ud. esta ahorrando $ 250 al �nal de cada mes para su jubilación.
En este momento tiene 30 años y espera jubilarse a los 65 años. Después de
retirarse espera vivir hasta los 85 años. ¿Cuánto podrá retirar mes a mes del
banco una vez que se jubile si este le paga una TNA del 6.2%?
7.3. RENTAS VENCIDAS O POSPAGABLES 183
En este problema tenemos dos rentas relacionadas: el valor �nal de la primera
es el valor actual de la segunda.
PONER DIBUJO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Comenzaremos calculando el valor �nal de la primer renta o renta de ahorro
V Fahorro = 250
�
1 +
0:062
12
�35�12
� 1
0:062
12
= 373039:91
Esta cantidad de dinero es el valor actual de la renta de jubilación
V Fahorro = V Ajubilación
donde esta igualdad se da a los 420 meses (dentro de 35 años, es decir cuando
tenga 75 años). La segunda renta comienza en el período 421 y términa en el
período 660 por lo que el número de términos es
660� 421 + 1 = 240 = 20 � 12
Ahora
373039:91 = V Ajubilación = Cjubilación
1�
�
1 +
0:062
12
��20�12
0:062
12
de donde
Cjubilación = $ 2 715:79
Lo cual no parecía tan mal en 2001, pero ya en 2010 era es mucho.
Nota 7.16 Uno de los autores sostiene que la edad mínima de jubilación para
el año 2030 rondará los 75 años (para los hombres). También sostiene que las
mujeres deberían jubilarse a la misma edad que los hombres.
Ejercicio 7.17 Al comprar una casa se nos ofrecen las siguientes alternativas:
1. Pago al contado hoy de $ 180 000.
2. 120 pagos mensuales de $ 3000 comenzando a pagar dentro de un mes.
¿Cuál es más conveniente para nosotros si la tasa que podemos conseguir es
una TEA del 9%?
Ejercicio 7.18 Su hijo se va a la universidad. Cuánto debe depositarle en di-
ciembre si ud. desea que él pueda extraer $ 850 cada mes durante el resto del
año que viene. Suponer que el banco le paga una TNA del 7.5%.
Ejercicio 7.19 Si su capacidad de ahorro es de $ 650 por mes y puede obtener
una TEA 6.4%. ¿Cuántos meses le tomará formar un capital de al menos $ 50
000?. Suponer que ud deposita el dinero a �n de mes.
184 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Ejercicio 7.20 Ud. desea comprar una moto que cuesta $ 15 000. Si ud. puede
invertir sus ahorros a una TNA del 10%. ¿Cuánto deberá ahorrar por mes para
poder comprar la moto en 18 meses? Suponer que ud deposita el dinero a �n de
mes.
Ejercicio 7.21 Ud ha estado ahorrando al �nal de cada año $ 3 000 durante
los últimos 15 años en un banco que le paga una TNA del 9.2%. ¿Cuanto podrá
retirar mensualmente durante los próximos 5 años?
Ejercicio 7.22 Ud esta ahorrando $ 350 al �nal de cada mes para su jubilación.
En este momento tiene 35 años y espera jubilarse a los 65 años. Después de
retirarse espera vivir hasta los 82 años. ¿Cuánto podrá retirar mes a mes del
banco una vez que se jubile si este le paga una TEA del 5%?
Ejercicio 7.23 Como ud. es argentino, sabe que la jubilación que obtenga no
será mucho. Por lo que decide que cuando cumpla 40 años, depositará $ 5 000
en una cuenta de ahorro y cada mes, agregará unos $ 250 a la misma, hasta
que cumpla 65 años. Después esperará hasta 68 años, y luego se dará la gran
vida por unos dos años. ¿Cuánto deberá sacar mes a mes para que la vida loca
le dure hasta los 70 años? Suponer una TEM 0.49%.
Ejercicio 7.24 Poner más ejercicios, 2 o 3 de cada
tipo y un par más de rentas relacionadas.
7.4 Multiplicadores
Ahora estudiaremos un poco el comportamiento de los multiplicadores de valor
actual y de valor �nal:
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
y
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
Demostraremos que ambos son crecientes en n y monótonos en i(p) (el primero
es decreciente y el segundo creciente).
Recordemos que los multiplicadores son expresiones compactas de ciertas
sumas (potencialemente largas) que nos dan el valor actual y el valor �nal de
una renta vencida o pospagable unitaria (C = $ 1) de n términos iniciada en el
momento 0. De hecho el valor actual es
nX
k=1
1
�
1 + i(p)
�k =
8
<
:
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
si i(p) 6= 0
n si i(p) = 0
Además (usando L´Hostipal)
lim
i(p)!0
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
= lim
i(p)!0
n
�
1 + i(p)
��n�1
= n
Una observación similar vale para el multiplicador de valor �nal
nX
k=1
�
1 + i(p)
�k
=
8
<
:
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
si i(p) 6= 0
n si i(p) = 0
7.4. MULTIPLICADORES 185
y similarmente
lim
i(p)!0
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
= lim
i(p)!0
n
�
1 + i(p)
�n�1
= n
De aqui en más consideremos tasas positivas: i(p) > 0. Bajo este supuesto es
evidente ( �nancieramente) que para cada n � 2
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
< n <
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
(7.12)
Esto es así pues al día de hoy, cada término vale menos de un peso (de hecho
mientras mayor sea la tasa i(p) más chico es el valor actual de cada uno de los
términos), y sumar n cantidades más chicas que uno obtenemos menos que n:
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
=
nX
k=1
1
�
1 + i(p)
�k
| {z }
<1
< n
Por otro lado, el valor de cada términoal momento n es mayor que un peso
(de hecho mientras mayor sea la tasa i(p), más grande es valor al momento n
de cada uno de los términos), y sumar n cantidades cada una mayor que uno,
salvo la última la cual es igual a uno, nos da más que n:
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
=
nX
k=1
�
1 + i(p)
�n�k
| {z }
>1 si k<n
> n
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Siguiendo en esta línea de pensamiento, es �nancieramente obvio que �jado
n, el multiplicador
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
es una función estrictamente decreciente de i(p): si i(p)1 < i
(p)
2 entonces
1�
�
1 + i
(p)
1
��n
i
(p)
1
>
1�
�
1 + i
(p)
2
��n
i
(p)
2
Esto es fácil de ver en las correspondientes expresiones abiertas, pues el valor
actual de cada uno de los términos es menor a la tasa i(p)2 que a la tasa i
(p)
1 :
para cada 1 � k � n
1
�
1 + i
(p)
1
�k >
1
�
1 + i
(p)
2
�k
186 HOOFDSTUK 7. RENTAS
luego
1�
�
1 + i
(p)
1
��n
i
(p)
1
=
nX
k=1
1
�
1 + i
(p)
1
�k
>
nX
k=1
1
�
1 + i
(p)
2
�k
=
1�
�
1 + i
(p)
2
��n
i
(p)
2
Por otro lado, �jado n, el multiplicador
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
es una función creciente estrictamente creciente de i(p): si i(p)1 < i
(p)
2 entonces
�
1 + i
(p)
1
�n
� 1
i
(p)
1
<
�
1 + i
(p)
2
�n
� 1
i
(p)
2
pues el valor al momento n de cada uno de los términos es mayor a la tasa i(p)2
que a la tasa i(p)1 : para cada 1 � k � n
�
1 + i
(p)
1
�k
<
�
1 + i
(p)
2
�k
Similarmente, �jada i(p), ambos multiplicadores son funciones estrictamente cre-
cientes de n, pues simplemente sumamos más términos.
7.5 Métodos númericos
7.5.1 Método de Newton-Raphson
El método de Newton-Raphson (o simplemente Newton) es uno de los méto-
dos numéricos más efectivos para resolver el problema
f (x) = 0
Este método funciona muy bien para funciones dos veces diferenciables. Sea p
una raíz de la ecuación anterior:
f (p) = 0
y supongamos que tenemos una aproximación pk de la raíz p:
pk � p
por lo que se puede esperar (por la continuidad de f) que
f (pk) � 0
7.5. MÉTODOS NÚMERICOS 187
Newton-Raphson nos dice que podemos obtener una mejor aproximación par-
tiendo de pk y realizando la siguiente iteración:
pk+1 = pk �
f (pk)
f 0 (pk)
(7.13)
Poner dibujo.
Si bien ni la deducción, ni la convergencia del método son difíciles de probar,
remitimos al lector interesado a [?].
Para nuestro caso particular, dada una renta pospagable de valor actual o
inicial V A, de n términos de montante C, deseamos hallar la tasa p-períodica
i pactada (no usaremos i(p) pues recargaríamos de notación las fórmulas de la
sección las cuales de por si son un poco abtrusas).
Poner dibujo
Ahora
V A = C
1� (1 + i)�n
i
Para poder usar Newton, debemos colocar las cosas de la forma f (x) = 0, lo
cual se logra al de�nir
f (i) = C
1� (1 + i)�n
i
� V A
El método de Newton requiere la derivada de f respecto de la tasa de interés
f 0 (i) =
df (i)
di
= C
ni (1 + i)
�n�1 �
h
1� (1 + i)�n
i
i2
En la iteración necesitaremos el cociente f (i) =f 0 (i):
f (i)
f 0 (i)
=
C
1� (1 + i)�n
i
� V A
C
ni (1 + i)
�n�1 �
h
1� (1 + i)�n
i
i2
=
�
1� (1 + i)�n � V A
C
i
�
i
(1 + i)
�n
+ ni (1 + i)
�n�1 � 1
=
(1 + i)
n � 1� V A (1 + i)
n
C
i
1 +
ni
1 + i
� (1 + i)n
i
Luego como la fórmula de iteración es
ik+1 = ik �
f (ik)
f 0 (ik)
, para k � 0
tenemos que
ik+1 =
0
B@1 +
1 +
V A (1 + ik)
n
C
ik � (1 + ik)n
1 +
nik
1 + ik
� (1 + ik)n
1
CA ik (7.14)
188 HOOFDSTUK 7. RENTAS
esta fórmula recursiva genera una sucesión que converge a la raíz p buscada. El
criterio habitual de parada, es �jar un nivel de tolerancia ", y parar cuando el
factor de corrección f(ik)f 0(ik) es menor en valor absoluto que ":
jik+1 � ikj =
�������
1 +
V A (1 + ik)
n
C
ik � (1 + ik)n
1 +
nik
1 + ik
� (1 + ik)n
ik
�������
< "
Notación 7.25 Aquí, vía algebra obtenemos una fórmula que nos permite plantear
la tabla de Newton-Raphson con sólo tres columnas. Generalmente la tabla de
Newton-Raphson tiene cinco columnas: k, ik, fk, f 0k y
fk
f 0
k
. La forma general es
la usada en rentas prepagables.
Ejemplo 7.26 El Sr. Daniel tomó un préstamo por $ 20.000 a devolver en 24
cuotas mensuales consecutivas de $ 2.500. ¿Qué tasa mensual esta pagando?
Utilizaremos Newton para hallar una aproximación de la tasa mensual aso-
ciada a esta renta. Fijaremos un nivel de tolerancia
" = 0; 00000001 = 1 � 10�8
Es decir, pararemos cuando el término de corrección sea menor que ". Para
facilitar la presentación construimos la siguiente tabla:
k ik �
f (ik)
f 0 (ik)
0 0; 01 0; 052367249
1 0; 062367249 0; 038181752
2 0; 100549001 0; 014096162
3 0; 114645163 0; 001376066
4 0; 116021229 0; 000011411
5 0; 116032642 7; 74082 � 10�10
Donde
0; 062367249 = i1 = i0 �
f (i0)
f 0 (i0)
= 0; 01 + 0; 052367249
0; 100549001 = i2 = i1 �
f (i1)
f 0 (i1)
= 0; 062367249 + 0; 038181752
y asi sucesivamente. La tasa mensual que buscamos es
i = 0; 116032642
pues ����
f (i5)
f 0 (i5)
���� = 7; 74082 � 10�10 < 1 � 10�8 = "
Comprobemos que esta tasa funciona bien:
2:500
1� (1 + 0; 116032642)�24
0; 116032642
= 20:000; 0000947
7.5. MÉTODOS NÚMERICOS 189
Un problema no trivial con el método de Newton es la elección de una buena
semilla i0, tanto para garantizar la convergencia del mismo, como para reducir
el número de interaciones. Un buen criterio ad hoc para nuestro problema es
comprobar que la semilla i0 satisfaga
V A
C
� 1� (1 + i0)
�n
i0
En el ejemplo del Sr. Daniel V A=C = 8, y si escogemos i0 = 0; 01, obtenemos
1� (1 + 0; 01)�24
0; 01
= 21; 2433872576
mientras que si hubieramos elegido i0 = 0; 10
1� (1 + 0; 15)�24
0; 15
= 6; 43377144806
lo que nos indica i0 = 0; 10 es una mejor semilla para realizar las iteraciones.
Usando esta semilla necesitamos 3 iteraciones para alcanzar el nivel de precisión
deseado:
k ik �
f (ik)
f 0 (ik)
0 0; 1 0; 014546475
1 0; 114546475 0; 001473075
2 0; 116019550 1; 30917 � 10�5
3 0; 116032642 1; 01861 � 10�9
En el caso de tener como dato el valor �nal de la renta V F , las fórmulas
anteriores deben ser modi�cadas pues debemos partir de
V F = C
(1 + i)
n � 1
i
Dada una renta pospagable de valor �nal V F , de n términos de montante C, si
deseamos hallar la tasa p-períodica i para poder usar Newton, debemos colocar
las cosas de la forma f (x) = 0, lo cual se logra al de�nir
f (i) = C
(1 + i)
n � 1
i
� V F
El método de Newton requiere la derivada de f
f 0 (i) = C
ni (1 + i)
n�1 � [(1 + i)n � 1]
i2
190 HOOFDSTUK 7. RENTAS
En la iteración necesitaremos el cociente f(i)f 0(i) (término de corrección):
f (i)
f 0 (i)
=
C
(1 + i)
n � 1
i
� V F
C
ni (1 + i)
n�1 � [(1 + i)n � 1]
i2
=
(1 + i)
n � 1� V F
C
i
ni (1 + i)
n�1 � [(1 + i)n � 1]
i
=
(1 + i)
n � 1� V F
C
i
1 + ni (1 + i)
n�1 � (1 + i)n
i
Por lo tanto la relación recursiva buscada es:
ik+1 = ik +
1 +
V F
C
ik � (1 + i)n
1 + nik (1 + ik)
n�1 � (1 + ik)n
ik (7.15)
(para las personas de poca fe, en la nota ?? al �nal de esta sección está la
correspondiente deducción)
Ejemplo 7.27 El Sr. Ignacio desea ahorrar unos $ 14.000 para comprase un
telivisor LED de 40� y un home-theater con Blue-ray. Para tal �n deposita a
principio de cada mes $ 600. Si al cabo de 18 meses a juntado su�ciente dinero,
cual fue la tasa que obtuvo del banco.
Lo primer que debemos hacer es hallar una semilla adecuada. En este caso
buscamos que
V F
C
� (1 + i0)
n � 1
i0
Ahora V F=C = 23; 3333333. Probamos con i0 = 0; 5:
(1 + 0; 5)
18 � 1
0; 5
= 2:953; 78376
lo cual claramente está muy lejos del valor buscado. Ahora, ¿tenemos que subir
o bajar la tasa semilla para lograr una mejor aproximación? La respuesta es sen-
cilla, debido a la monotonía del multiplicador (1+i)
n�1
i , como la primera apróxi-
mación fue por exceso, debemos probar con una tasa más pequeña. Veamos que
ocurre con i0 = 0; 05
(1 + 0; 05)
18 � 1
0; 05
= 28; 13238467
la cual es una mejor aproximación inicial. Ahora usando la fórmula iterativa
(7.15) obtenemos la siguiente tabla
k ik �
f (ik)
f 0 (ik)
0 0; 05 �0; 01828357
1 0; 03171643 �0; 002077465
2 0; 029638966 �2;37185 � 10�5
3 0; 029615247 �3; 04451 � 10�9
7.5. MÉTODOS NÚMERICOS 191
donde hemos usado como criterio de parada " = 1 � 10�8.
Comprobemos que esta tasa da una buena aproximación de la tasa buscada
en este problema:
600
(1 + 0; 029615247)
18 � 1
0; 029615247
= 14:000; 0003835
Poner 6 a 10 ejercicios, una mitad con VA y la
otra con VF
7.5.2 Método de la secante
El método de secante, es una variación del método de Newton, que se aplica
para resolver el problema
f (x) = 0
cuando se desea evitar el uso de la derivada de la función con la que vamos
a trabajar (ya sea porque la derivada es compleja, ya sea porque no se sabe
derivar). Por ejemplo, la derivada de una función relativamente simple, suele
ser compleja, por ejemplo
d
�
x2 cosx2 lnx3
�
dx
= 2 cosx2 lnx3 � 2x3 sinx2 lnx3 + 3x cosx2
volviendo tedioso el uso de Newton-Raphson.
El método de la secante se deriva a partir del método de Newton, susti-
tuyendo la derivada por la aproximación de esta que produce el uso de una
secante
Poner dibujo... mirar Burden pag 59
Si bien en general su convergencia es más lenta que la del método de Newton
(lo que se suele traducir en varios renglones más en las tablas correspondientes),
funciona muy bien para funciones convexas continuas (como suele ser el caso en
Matemáticas �nancieras).
Sean pk y pk+1 aproximaciones de la raíz p del problema f (p) = 0. El
Método de la secante nos dice que podemos obtener una mejor aproximación
pk+2 y realizando la siguiente iteración:
pk+2 = pk+1 �
f (pk+1) (pk+1 � pk)
f (pk+1)� f (pk)
(7.16)
para k � 0, la cual se puede obtener a partir de la gra�ca ?????????? o de la
fórmula iterativa de Newton usando la aproximación de la derivada
f 0 (pk) �
f (pk+1)� f (pk)
pk+1 � pk
Ni la deducción, ni la convergencia del método son difíciles de probar. Re-
mitimos al lector interesado a [?].
A diferencia del Newton, necesitamos dos semillas para comezar la iteración,
y la elección de un buen par de semillas i0 e i1, garantiza la convergencia del
método y reduce el número de interaciones.
192 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Para nuestro caso particular, dada una renta pospagable o vencida de valor
actual V A, y n términos de montante C, deseamos hallar la tasa p-períodica i
pactada.
Poner dibujo
Ahora
V A = C
1� (1 + i)�n
i
Para poder usar el método de la secante, debemos colocar las cosas de la forma
f (x) = 0, lo cual se logra al de�nir
f (i) = C
1� (1 + i)�n
i
� V A
Ejemplo 7.28 El Sr. Daniel tomó un préstamo por $ 20.000 a devolver en 24
cuotas mensuales consecutivas de $ 2.500. ¿Qué tasa mensual esta pagando?
Utilizaremos el método de la secante para hallar una aproximación de la tasa
mensual asociada a esta renta. Fijaremos un nivel de tolerancia
" = 0:00000001 = 1 � 10�8
Para hallar un par de semillas adecuadas el mismo criterio ad hoc que usamos
en Newton funciona: comprobar que la semilla i0 satisfaga
V A
C
� 1� (1 + i0)
�n
i0
Como V A=C = 8, eligiendo i0 = 0; 10, tenemos que
1� (1 + 0; 1)�24
0; 1
� 8; 985
lo que nos indica i0 = 0; 10 una buena semilla para realizar las iteraciones, pero
necesitamos una segunda semilla ¿Cómo podemos escogerla? Una buena opción
es tomar la segunda semilla como una corrección de la primera en la dirección
que corresponde, en este caso, i0 = 0; 10 nos da 8; 985 (aproximadamente), la
segunda raíz debería movernos hacia 8, como el multiplicador
1� (1 + i)�n
i
es una función decreciente de i (si n se mantiene constante), la segunda semilla
debería ser mayor a 0; 10, por ejemplo, podemos tomar i1 = 0; 11. Usando estas
semillas necesitamos 5 iteraciones para alcanzar el nivel de precisión deseado:
k ik f (ik) f (ik)� f (ik�1)
f (ik) (ik � ik�1)
f (ik)� f (ik�1)
0 0; 1 2461; 86005 �
1 0; 11 870; 3414445 �1591; 518606 �0; 005468622
2 0; 115468622 78; 73376828 �791; 6076762 �0; 000543912
3 0; 116012535 2; 797850786 �75; 9359175 �2; 00404 � 10�5
4 0; 116032575 0; 009371666 �2; 78847912 �6; 73528 � 10�8
5 0; 116032643 1; 11977 � 10�6 �0; 009370546 �8; 04861 � 10�12
7.5. MÉTODOS NÚMERICOS 193
Por lo que la tasa buscada es
i(12) = 0; 116032643
El método de la secante funciona igual de bien en los casos donde deseamos
hallar la tasa en una relación de valor �nal:
V F = C
(1 + i)
n � 1
i
Dada una renta pospagable de valor �nal V F , y n términos de montante C,
si deseamos hallar la tasa p-períodica i que satisface la igualdad anterior, colo-
camos las cosas de la forma f (x) = 0, lo cual se logra al de�nir
g (i) = C
(1 + i)
n � 1
i
� V F
y aplicamos el método de la secante a g
ik = ik�1 �
g (ik�1) (ik�1 � ik�2)
g (ik�1)� g (ik�2)
Ejemplo 7.29 El Sr. Ignacio desea ahorrar unos $ 14.000 para comprase un
telivisor LED de 40� y un home-theater con Blue-ray. Para tal �n deposita a
principio de cada mes $ 600. Si al cabo de 18 meses a juntado su�ciente dinero,
cual fue la tasa que obtuvo del banco.
Lo primer que debemos hacer es hallar un par de semillas adecuadas. En
este caso buscamos que
V F
C
� (1 + i)
n � 1
i
Ahora V F=C = 23; 3333333. Veamos que ocurre con i0 = 0; 05
(1 + 0; 05)
18 � 1
0; 05
= 28; 13238467
Para hallar la segunda semilla por la monotonía del multiplicador (1+i)
n�1
i (el
cual es creciente en i, si mantenemos constante n), como la primera apróxi-
mación fue por exceso, debemos probar con una tasa más pequeña. La cual
posiblemente nos de una mejor aproximación, por ejemplo i1 = 0; 02. Ahora
usando la fórmula iterativa que el método de la secante nos da, obtenemos la
siguiente tabla:
k ik g (ik) g (ik)� g (ik�1)
g (ik) (ik � ik�1)
g (ik)� f (ik�1)
0 0; 05 2879; 430804
1 0; 02 �1152; 612573 �4032; 043377 �0; 008575894
2 0; 028575894 �130; 4412944 1022; 171278 �0; 001094387
3 0; 029670281 6; 948273059 137; 3895674 5; 5347 � 10�5
4 0; 029614934 �0; 039127869 �6; 987400928 �3; 09931 � 10�7
5 0; 029615244 �1; 16511 � 10�5 0; 039116217 �9; 23156 � 10�11
194 HOOFDSTUK 7. RENTAS
donde hemos usado como criterio de parada " = 1 � 10�8. Comprobemos que
esta tasa es una buena aproximación de la tasa buscada en este problema:
600
(1 + 0; 029615244)
18 � 1
0; 029615244
= 14:000; 0000051
Poner 6 a 10 ejercicios, una mitad con VA y la
otra con VF..... o decir, rehacer los ejercicios de
Newton Raphson
7.6 Rentas prepagables
Las rentas vencidas (pospagables) no describen de manera satisfactoria el �ujo
de fondos que originan operaciones �nancieras como los alquileres y los seguros.
Se paga el alquiler y luego se ocupa el inmueble. El valor actual de la renta
resulta natural calcularlo al momento que se impuso el el primer capital, que
es el momento en el cual se inicia la operción. Por otro lado, el valor �nal de
la renta debe ser calculado un período después del pago del último término.
La propiedad no esta disponible (para el propietario) sino hasta después de un
período del momento del pago del último término.
Con los seguros ocurre lo mismo: el compromiso comienza al momento de
realizarse el primer pago y se extiende un período más alla del último pago.
En ambos casos podemos asumir que las imposiciones se realizan al comienzo
de cada período, de ahi el nombre de rentas prepagables. En latinoamérica
se le suele llamar rentas adelantadas, nosotros preferimos llamar así a otro
tipo de rentas, en esto seguimos el uso habitual en España.
Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Dada una renta prepagable constante de de n términos de montante C
disponibles a los momentos 0; 1; 2; : : : ; n� 1 (p-periodos) y una tasa p-períodica
i(p) es claro que
V Aprepagable (0) = V Apospagable (�1)
�
1 + i(p)
�
Por lo tanto
V Aprepagable (0) = C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
�
1 + i(p)
�
(7.17)
Mientras que el valor �nal es
V Fprepagable (n) = V Fpostpagable (n� 1)
�
1 + i(p)
�
Por lo tanto
V Fprepagable (n) = C
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
�
1 + i(p)
�
(7.18)
Ejemplo 7.30 Una empresa de seguros nos cobra una prima de $ 185 por mes
por un seguro contra todo riego para automotores. Sabiendo el valor actual de
un año de seguro se corresponde con el 5% del valor del vehículo, calcular el
precio del vehículo.Suponer una TNA del 8,3%.
7.6. RENTAS PREPAGABLES 195
poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Para hallar el valor del vehículo necesitamos el valor actual de la renta con-
stante prepagable
V Aprepagable (0) = 185
1�
�
1 +
0; 083
12
��12
0; 083
12
�
1 +
0; 083
12
�
= 2:108; 75
Por lo tanto el automóvil vale
$ 42:174; 95 = 20 � 2:108; 75
En general los esquemas de ahorro también se adecuan al esquema de rentas
prepagables ya que la mayoría de la gente ahorra a principio de mes.
Ejemplo 7.31 La Sra. Agustina, deposita a principio de mes $ 350 en una
cuenta de ahorro que paga una TEM del 0,5%. Hace ya 4 años y 5 meses que
la Sra. Agustina comenzó a ahorrar. ¿Cuál es el monto del que ahora dispone?
Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!
No hay más que aplicar la fórmula (7.18) con n = 4 � 12 + 5 = 53
V Fprepagable (53) = 350
(1 + 0; 005)
53 � 1
0; 005
(1 + 0; 005) = 21:285; 8420266
La Sra. Agustina dispone de $ 21.285,84.
Ejemplo 7.32 Ud. ha empezado a ahorrar $ 1.450 cada mes para comprarse
un dpto. que cuesta unos $ 145.000. En este momento tiene 40 años, cuantos
años tendrá cuando pueda comprar el dpto. Suponga que puede obtener TEA del
0,5%. ¿Y con una TEM del 0,8%?
En este caso, buscamos un n que nos garantize que el valor �nal de la renta
no sea inferior a $ 145.000: debemos despejar n de la fórmula (7.18)
V Fprepagable (n) = C
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
�
1 + i(p)
�
V Fprepagable (n) i
(p)
C
�
1 + i(p)
� + 1 =
�
1 + i(p)
�n
de donde
n =
log
�
V Fprepagable (n) i
(p) + C
�
1 + i(p)
��
� logC
�
1 + i(p)
�
log
�
1 + i(p)
�
Reemplazando V Fprepagable (n) por $ 145.000, y el signo = por �
n � log [145:000 � 0; 005 + 1:4501 + 0; 005]� log 1:450 (1 + 0; 005)
log (1 + 0; 005)
= 80; 9628061817
196 HOOFDSTUK 7. RENTAS
por lo que al cabo de 6 años y 9 meses dispondrá de los fondos necesarios
(en realidad tendrá $ 145.080). Por otro lado si consigue una TEM del 0,7%
necesitará
n � log [145:000 � 0; 007 + 1:450 (1 + 0; 007)]� log 1:450 (1 + 0; 007)
log (1 + 0; 007)
= 75; 65812128
Necesitará 6 años y 4 meses para reunir los fondos necesarios.
Nota 7.33 Para hacer un análisis a largo plazo necesitamos introducir de una
u otra forma los efectos de la in�ación. Los modelos de rentas variables (sobre
todo las variables en forma geométrica) serán el marco adecuado para incluir la
in�ación.
Ejemplo 7.34 El valor actual de una renta constante prepagable es de $ 20.000.
Si la renta constaba de 24 pagos mensuales de $ 3.500 ¿Cuál es la tasa aplicada
a la operación?
En general, suele ser imposible despejar i(p) de las fórmulas (7.17) y (7.18),
por lo que debemos volver a recurrir a Newton-Raphson. En este caso, a partir
de (7.17) debemos obtener una función de i (usaremos i en lugar de i(p)) cuyas
raíces nos den la solución del problema. Esto se logra de�niendo
g (i) = C
1� (1 + i)�n
i
(1 + i)� V A
El esquema iterativo de Newton-Raphson requiere de la derivada de la función
g:
dg (i)
di
= C
1� (1 + i)�n
i
+ C (1 + i)
ni (1 + i)
�n�1 �
h
1� (1 + i)�n
i
i2
=
C
i2
h
(1 + i)
�n
(ni+ 1)� 1
i
y el esquema iterativo toma la forma
ik+1 = ik �
g (ik)
g0 (ik)
, para k � 0
ik+1 = ik �
C
1� (1 + ik)�n
ik
(1 + ik)� V A
C
i2k
h
(1 + ik)
�n
(nik + 1)� 1
i (7.19)
La semilla adecuada para iniciar la iteración es una i tal que
V A
C
� 1� (1 + i)
�n
i
(1 + i)
Sabemos que 20:000=3:500 � 5; 7, comencemos con i = 0:5 tenemos
1� (1 + 0; 5)�24
0; 5
(1 + 0; 5) = 2:9998
7.6. RENTAS PREPAGABLES 197
Como este valor esta por debajo de 5,7 podemos obtener una mejor semilla
usando una tasa más chica, por ejemplo tomando i = 0; 2
1� (1 + 0; 2)�24
0; 2
(1 + 0; 2) = 5; 9245
Fijando un nivel de tolerancia " = 1 � 10�5
k ik g (ik) g
0 (ik) g (ik) =g
0 (ik)
0 0; 2 735; 8385805 �81116; 09903 �0; 009071425
1 0; 209071425 28; 18093889 �75012; 64964 �0; 000375682
2 0; 209447107 0; 044909815 �74773; 74137 �6; 00609 � 107
3 0; 209447708
La tasa buscada parece ser i = 0; 209447708, veamos que tan buena aproxi-
mación es:
3:500
1� (1 + 0; 209447708)�24
0; 209447708
(1 + 0; 209447708) = 19:999; 99983
(La semilla i0 = 0; 5 requiere de 11 renglones en la tabla anterior para hallar
esta misma tasa).
Ejemplo 7.35 El valor �nal de una renta constante prepagable es de $ 2.000.000.
Si la renta constaba de 24 pagos mensuales de $ 2.000 ¿Cuál es la tasa aplicada
en la operación?
En este caso, a partir de (7.18) debemos obtener una función de i cuyas
raices nos den la solución del problema. Esto se logra de�niendo
g (i) = C
(1 + i)
n � 1
i
(1 + i)� V F
El esquema iterativo de Newton-Raphson requiere de la derivada de la función
dg (i)
di
= C
1� (1 + i)�n
i
+ C (1 + i)
ni (1 + i)
n�1 � [(1 + i)n � 1]
i2
=
C
i2
[(1 + i)
n
(ni� 1) + 1]
y el esquema iterativo toma la forma
ik+1 = ik �
C
1� (1 + ik)�n
ik
(1 + ik)� V F
C
i2k
[(1 + ik)
n
(nik � 1) + 1]
(7.20)
La semilla adecuada para iniciar la iteración es una i tal que
V F
C
� (1 + i)
n � 1
i
(1 + i)
Sabemos que 2:000:000=2:000 = 1000, comencemos con i = 0:5 tenemos
(1 + 0; 5)
24 � 1
0; 5
(1 + 0; 5) � 50499
198 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Como este valor esta por arriba de 400, podemos obtener una mejor semilla
usando una tasa más chica, por ejemplo tomando i = 0; 25
(1 + 0; 25)
24
0; 25
(1 + 0; 25) � 1053
Fijando un nivel de tolerancia " = 1 � 10�5
k ik g (ik) g
0 (ik) g (ik) =g
0 (ik)
0 0; 25 107582; 3681 33913317; 89 0; 003172275
1 0; 246827725 2681; 905985 32236330; 33 8; 31951 � 10�5
2 0; 24674453 1; 783717507 32193459; 29 5; 54062 � 10�8
3 0; 246744475
La tasa buscada parece ser i = 0; 246744475. Veamos que tan buena aproxi-
mación es:
2:000
(1 + 0; 246744475)
24 � 1
0; 246744475
(1 + 0; 246744475) = 2:000:008; 86852
(La semilla i0 = 0; 5 requiere de 8 renglones en la tabla anterior para hallar esta
misma tasa).
Ejercicio 7.36 Un empresa que alquila maquinaria para movimientos de suelo
desea saber cuanto debe cobrar al mes como mínimo para amortizar el costo de
adquisición de una máquina en 5 años. La misma costó $ 300.000. Suponer una
TEM del 0,7%.
Ejercicio 7.37 Si en el problema anterior decidimos tener en cuenta los gastos
de mantenimiento y operación, los cuales ascienden a $ 50.000 al año ¿Cuánto
debe cobrar ahora como mínimo?
Ejercicio 7.38 En cuanto tiempo amortizamos la compra de un camión que
costó $ 650.000 si lo alquilamos a $ 3.500 por mes. Suponer una TEA del
10,7%.
Ejercicio 7.39 Poner más ejercicios!!! y con al menos
4 sobre tasas (dos para usar VA y dos para usar
VF)
7.7 Rentas perpetuas
Hay un número de situaciones que generan un �ujo in�nito de fondos:
1. Depósitar una suma de dinero, y retirar solamente los intereses generados.
2. Los presupuestos de ciertas agencias del estado.
3. Los dividendos provenientes de acciones de una compañia.
7.7. RENTAS PERPETUAS 199
4. Las rentas inmobiliarias (los ingresos que produce una propiedad al ser
alquilada), etc.
Llamaremos rentas perpetua a toda renta que conste de una sucesión
in�nita de términos.
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Este tipo de rentas no tiene un valor �nal (no tiene mucho sentido hablar de
una cantidad in�nita de dinero disponible más alla del �n de los tiempos), pero
es posible calcular su valor actual (si la tasa es positiva, ya que el aporte de los
términos muy lejanos tiende a cero).
7.7.1 Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)
Analizaremos el caso de una renta constante perpetua vencida: el compromiso
comienza en el momento 0 (cero) y no tiene fecha de �nalización, los términos se
imponen a período vencido (t1 = 1), y la renta esta sujeta a una tasa p-períodica
i(p) (dimensionalmente compatible con la unidad temporal usada para medir los
períodos entre imposiciones). Es claro que
V A (0) =
1X
k=1
C
�
1 + i(p)
�k
= C
1X
k=1
1
�
1 + i(p)
�k
= C
1�
1 + i(p)
� 1
1� 1�
1 + i(p)
�
=
C
i(p)
Esta es la fórmula fundamental de rentas perpetuas
V A (0) =
C
i(p)
(7.21)
Nota 7.40 En la deducción anterior hemos usado la conocida fórmula para la
suma de una serie geométrica:1X
k=1
ark�1 = a
1
1� r si jrj < 1
con
0 < a = r =
1
1 + i(p)
< 1
siempre que i(p) > 0.
Veamos un ejemplo sencillo:
Ejemplo 7.41 El estado se compromete a entregar todos los meses (a mes ven-
cido) la suma de $ 15.000 a una fundación sin �nes de lucros. ¿Cuál es el valor
actual de dicha renta? si la fundación puede depositar sus excedentes al 1.3%
mensual.
200 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!
Sólo debemos aplicar la fórmula (7.21):
V A (0) =
15:000
0; 013
= 1:153:846; 15385
Este es el valor actual de la renta perpetua.
Si la institución recibiera estos fondos y los depósitara al 1.3%, de aqui en
adelante, podría retirar al �nal de cada mes la suma de $ 15.000 por toda la
eternidad:
1:153:846; 15385 � 0:013 = 15:000
Nota 7.42 Esto nos permite interpretar �nancieramente el valor actual de una
renta perpetua, vencida, p-períodica, constante de término C, a una tasa i(p):
es la suma de dinero que se debe depositar a la tasa i(p) para retirar al �nal de
cada p-período la suma C.
Ejemplo 7.43 El Sr. Máximo desea que su hija Viviana reciba al �nal de cada
mes la suma de $ 4.500 por el resto de sus días, para lo cual realizará un de-
pósito a una TEM del 0,81%, de manera tal que al �nal de cada mes los la
Srta. Viviana pueda retirar los intereses generados por el mismo. ¿Cuánto debe
depositar hoy el señor Máximo?
Es claro que se debe cumplir que
depósito � 0; 0081 = $ 4:500
de donde
depósito =
$ 4:500
0; 0081
= $ 555:555; 55556
Observe que esto origina una renta perpetua vencida mensual de $ 4.500 para
la Srta. Viviana y que los $ 555.555,55556 pueden ser visto como (y de hecho
son) el valor actual de la misma.
Nota 7.44 He aquí, otra deducción para el valor actual de una renta constante
perpetua vencida (o pospagable). Recordando que
nX
k=1
C
�
1 + i(p)
�k = C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
y que
1X
k=1
C
�
1 + i(p)
�k = limn!1
nX
k=1
C
�
1 + i(p)
�k
tenemos que
V A (0) = lim
n!1
C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
=
C
i(p)
Nota 7.45 En la fórmulas de valor actual para rentas perpetuas constantes
vencidas que hemos desarrollado aparecen tres variables: V A;C e i(p). Por lo
que es claro que hay tres problemas tipo (dadas dos de estas, hallar la tercera)
7.7. RENTAS PERPETUAS 201
Ejemplo 7.46 El señor Juan recibe como herencia $ 250.000 en bonos a perpe-
tuidad que pagan anualmente el 6 % vencido en concepto de intereses, ¿Cuánto
recibirá año tras año el Sr. Juan?
En este caso, por (7.21) o mejor aún recuriendo a la interpretación �nanciera
de rentas perpetuas vencidas, tenemos que
$250:000 � 0:06 = $ 15:000
Por lo que el Sr. Juan recibirá la suma de $ 15.000 al comienzo de cada año por
el resto de su vida.
Ejemplo 7.47 Qué tasa de interés hace que el valor actual de una renta per-
petua, vencida, trimestral, de $ 25.000 sea de $ 750.000.
Por (7.21)
$ 750:000 =
$ 25:000
i(4)
de donde
i(4) =
$ 25:000
$ 750:000
= 0; 0333333
Ejercicio 7.48 PONEREJERCICIOSSSSSSS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
7.7.2 Rentas perpetuas constantes adelantadas (prepagables)
Algunos �ujos in�nitos de fondos se adaptan mejor a las rentas perpetuas ade-
lantadas, como es el caso de los alquileres.
Ejemplo 7.49 Nos ofrecen un salon comercial por $ 370.000. Sabemos que es
posible alquilarlo por unos $ 2.600 mensuales. Si la tasa que podemos conseguir
por nuestros ahorros es una TEM 0.65% ¿El local está sobrevalorado o es un
buen negocio adquirirlo? ¿Cuál es el precio correcto del inmueble?
¿Cómo estimar el valor de la propiedad? Esencialmente un alquiler puede
ser modelado como un �ujo in�nito de fondos. El valor actual de ese �ujo in-
�nito de capitales nos puede dar una idea del valor de la propiedad (insistimos,
esta es una primera estimación del valor de una propiedad, hay todo una serie
de factores que deben ser incluidos en el análisis, para que el mismo sea se-
rio, por ejemplo: in�ación estimada, desarrollo urbanístico probable de la zona,
crecimiento demográ�co de la ciudad, situación política, y un largo etc.).
Volviendo al problema, ambas preguntas se responden calculando el valor
actual de la renta a perpetuidad que produce la propiedad. He aqui el �ujo de
fondos:
poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Como se puede apreciar, la fórmula (7.21) nos dá el valor del �ujo in�nito
de fondos un período antes de la imposición del primer término de la renta (el
primer alquiler)
V A (�1)perpetuo =
2600
0; 0065
= 400:000
202 HOOFDSTUK 7. RENTAS
pero nosotros deseamos el valor al momento de la operación (momento 0)
V A (0) = V A (�1)perpetuo (1 + 0; 0065) = 402600
Por lo tanto, comprar el local es una buena inversión (en el sentido que no
produce pérdida de capital). El precio correcto (para Ud., es decir, a la tasa
i(12) = 0; 0065) es $ 402:600. Si el precio del local es superior a este monto, el
local esta sobrevalorado (para ud.) y obtendría un rédito mayor depositando sus
fondos al 0,65% mensual. Si el precio del local es inferior a $ 402.600, entonces
entonces es una buena inversión, pues obtendrá un �ujo de fondos superior con
los alquileres que depósitando sus fondos al 0,65% mensual (suponemos que esta
es la mejor tasa que ud. puede conseguir).
Nota 7.50 He aquí una deducción para el valor actual de una renta constante
perpetua adelantada (prepagable). Recordando que el valor actual de una renta
de este tipo de n términos es
n�1X
k=0
C
�
1 + i(p)
�k = C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
�
1 + i(p)
�
y que
1X
k=1
C
�
1 + i(p)
�k = limn!1
nX
k=1
C
�
1 + i(p)
�k
tenemos que
V A (0) = lim
n!1
C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
�
1 + i(p)
�
=
C
i(p)
�
1 + i(p)
�
de donde obtenemos la fórmula para el valor actual de una renta constante, p-
períodica, perpetua y adelantada (o prepagable), de término C a una tasa i(p) :
V A (0) =
C
i(p)
�
1 + i(p)
�
Ejercicio 7.51 El estado se compromete a entregar todos los meses (a mes
vencido) la suma de $ 50.000 a una fundación sin �nes de lucros. ¿Cual es el
valor actual de dicha renta? Suponer una TEA del 11%.
Ejercicio 7.52 Un campo se alquila anualmente por $ 140.000 (pagaderos a �n
de año). Si la TEA del mercado es 9.2% ¿Cuál es el valor de dicha propiedad?
Ejercicio 7.53 Nos ofrecen un salon comercial por $ 470.000. Sabemos que es
posible alquilarlo por unos $ 17.500 mensuales. Si la tasa que podemos conseguir
por nuestros ahorros es una TEM del 0,85% ¿El salón está sobrevalorado? ¿Cuál
debería ser (apróximadamente) su precio?
Ejercicio 7.54 Determinar el valor de un local comercial, es cual está alquilado
a $ 12.100 por mes. Suponer un TNA del 18.9%.
Poner más ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
7.8. RENTAS DIFERIDAS Y ANTICIPADAS 203
7.8 Rentas diferidas y anticipadas
Comenzemos con las rentas diferidas o con período de gracia. Estas rentas
aparecen de forma natural en ciertas operaciones crediticias, del estilo "lleve
hoy y comience a pagar recién en octubre". En estas operaciones, la primera
cuota esta diferida una cierta cantidad de tiempo hacia el futuro. Consideremos
el siguiente ejemplo
Ejemplo 7.55 La señora Mariela compró hoy en su tienda habitual ropa por
unos $ 7.000, aprovechando la promoción �llevé hoy y comience a pagar en 3
meses�. Si la operación fue pactada a 6 cuotas iguales, concecutivas y mensuales,
a una tasa del 2% mensual, ¿Cuál es el monto de las cuotas?
Poner dibujo
El problema puede ser resuelto de varias formas. Utilizando la teoría de
rentas postpagables, tenemos que
C
1� (1 + 0; 02)�6
0; 02
es el valor de la renta dentro de dos meses.
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Si actualizamos un par de meses este monto tendremos
7:000 = C1
1� (1 + 0; 02)�6
0; 02
1
(1 + 0; 02)
2
donde podemos despejar C1
C1 = 7:000 (1 + 0; 02)
2 0; 02
1� (1 + 0; 02)�6
= 1:300; 16779
Es decir, la señora Mariela deberá abonar 6 cuotas de $ 1.300,17. Siendo la
primer cuota abonada a los 3 meses de realizada la compra.
También podemos resolverlo usando la noción de renta prepagable. En dicho
caso, el valor de la renta al momento de realizar el primer pago es
C2
1� (1 + 0; 02)�6
0; 02
(1 + 0; 02)
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!Este monto al actualizarlo 3 meses debe ser igual al valor de la compra
7:000 = C2
1� (1 + 0; 02)�6
0; 02
(1 + 0; 02)
1
(1 + 0; 02)
3
Resulta obvio que ambos planteos son equivalentes:
C1 = C2
204 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Una tercera forma de resolver este problema es capitalizar la deuda por
2 meses (3 meses), y considerar la renta postpagable (prepagable) cuyo valor
actual es este monto
7:000 (1 + 0; 02)
2
= C3
1� (1 + 0; 02)�6
0; 02
De nuevo, pasando dividiendo el factor de capitalización de la derecha, resulta
obvio que
C1 = C3
(usando prepagables obtenemos:
7:000 (1 + 0; 02)
3
= C4
1� (1 + 0; 02)�6
0; 02
(1 + 0; 02)
de donde resulta obvio que C2 = C4 y por lo tanto C4 = C1).
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Al período de tiempo que media desde la concertación de la operación �-
nanciera y el primer pago se le suele llamar diferimiento o período de gra-
cia. Preferimos enfocarnos en usar equivalencia �nanciera y la teoría de rentas
postpagables (o prepagables) en lugar de desarrollar fórmulas ad hoc.
Claramente, el valor �nal de una renta diferida no necesita de nuevas fór-
mulas, y se calcula usando el valor �nal de una renta pospagable o prepagable
según sea el caso.
Poner 5 o 6 ejercicios.
Se llama rentas anticipadas, a las rentas cuyo valor �nal se debe calcular 2
o más períodos después de impuesto el último término de la renta. Dicho período
de tiempo recibe el nombre de anticipo.
Poner dibujo
Un ejemplo de las mismas son los planes (círculos de ahorro) para adquirir
un automotor, desde el último pago, hasta la entrega efectiva del vehículo suelen
pasar 2 o 3 meses.
Ejemplo 7.56 Ud. adhirió a un plan de ahorro �80 cuotas sin interés� para
adquirir un 0 km. Después de pagar las 80 cuotas mensuales de $ 799 del plan
correspondiente a un "supercar"cuyo valor de mercado es de $ 63.000, ud recibió
su 0 km 3 meses después. Si la tasa de mercado a la que ud podía acceder era
del 0.7 % mensual ¿Cuánto le costo realmente el vehículo?
Simplemente debemos calcular el valor de la renta 3 meses después de real-
izado el último pago. De nuevo, este problema se puede resolver de varias fomas.
En este caso haremos las cuentas pensando que la renta es pospagable. El valor
�nal de la renta al momento de realizar el último pago de $ 799 es
799
(1 + 0; 007)
80 � 1
0; 007
= 85:294; 44174
luego debemos capitalizar este monto por 3 meses
799
(1 + 0; 007)
80 � 1
0; 007
(1 + 0; 007)
3
= 87:098:19256
7.9. RENTAS ARITMÉTICAS 205
Es decir, si hubiera ahorrado $ 799 por mes en el banco, ahora se podría comprar
el "supercarij además le sobrarían unos $ 24.100. De todas formas este análisis
no es del todo completo y sólo funciona cuando la in�ación es baja y economía
se mantiene estable.
Ejercicio 7.57 Volver a hacer las cuentas para el ejemplo anterior usando las
fórmulas de rentas prepagables. Debería obtener el mismo resultado.
El valor actual de una renta anticipada no requiere de mayor análisis, pues
corresponde a usar el valor actual de la renta (pospagable o prepagable según
corresponda).
Poner 4 o 5 ejercicios uno modi�cando el ejem-
plo del auto para abarcar los planes 80/20.
7.9 Rentas aritméticas
El siguiente ejemplo muestra el tipo de situaciones que deseamos analizar.
Ejemplo 7.58 El Sr. Daniel se compromete a cumplir el siguiente esquema de
12 pagos mensuales con el Sr. Ignacio. Un primera cuota de $ 100, una segunda
cuota de $ 140, una tercera cuota $ 180 y asi sucesivamente hasta la cuota doce
¿Cuál es el monto de la cuota 9? Suponiendo una TEM del 1,2%. ¿Qué cantidad
debería entregarle hoy el Sr. Daniel al Sr. Ignacio para sustituir este esquema
de pago? ¿Podrá comprarse el Sr. Ignacio una PS3 al cabo de un año con estos
fondos? (el precio de una PS3 es $ 3.200).
Este es un ejemplo de una renta variable, donde la variación sigue una ley
determinada.
0 1 2 3 10 11 12
100
100 + 0 � 40
140
100 + 1 � 40
180
100 + 2 � 40
500
100 + 10 � 40
540
100 + 11 � 40
580
100 + 12 � 40
Actualización
Capitalización
V A(0)
V F (12)
Las fórmulas que desarrollamos en la sección anterior para el cálculo del valor
actual y �nal de una renta no son útiles para resolver este problema. Necesitamos
desarrollar fórmulas que nos permitan sumar expresiones de la forma
V A (0) =
100
1 + 0:012
+
C + 40
(1 + 0:012)
2 +
C + 2 � 40
(1 + 0:012)
3 + � � �+
C + (12� 1) 40
(1 + 0:012)
12
206 HOOFDSTUK 7. RENTAS
De�nición 7.59 Dados dos números reales a y b, se llama progresión o suce-
sión aritmética �nita a toda sucesión �nita de n términos de la forma
fa+ b (k � 1)g1�k�n := a; a+ b; a+ 2b; : : : ; a+ (n� 1) b
Llamaremos progresión o sucesión aritmética in�nita a toda sucesión de
la forma
fa+ b (k � 1)gk�1 := a; a+ b; a+ 2b; a+ 3b; : : :
Al número a se le llama término inicial, y al número b se le llama paso o
diferencia común.
Nota 7.60 Si bien progresión y sucesión son sinónimos en matemáticas. La
segunda hace incapie en el orden, mientras que la primera enfatiza el hecho
de que la sucesión en cuestión tiene una ley de formación �ja, en particular
se suele hablar de progresión aritmética (suma �ja) y progresión geométrica
(multiplicación �ja).
Toda progresión aritmética �nita puede ser escrita de forma recursiva:
�
a1 = a
ak+1 = ak + b para 1 � k � n� 1:
Lo mismo ocurre con las sucesiones aritméticas in�nitas:
�
a1 = a
ak+1 = ak + b para k � 1:
De hecho, de acuerdo con la teoría de relaciones recursivas que desarrollamos
en el capítulo 2 la forma de la solución de estas relaciones recursivas es
ak = a+ (k � 1) b
Ejemplo 7.61 Los siguientes son ejemplos de progresiones y sucesiones arit-
méticas
1. 1; 2; 3; 4; 5; : : : sucesión aritmética de término inicial a = 1 y paso b = 1.
2. 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; 29; 32 progresión aritmética �nita de término
inicial a = 2 y paso b = 3.
3. 4; 2; 0;�2;�4;�6; : : :
4. 1; 1 + �; 1 + 2�; 1 + 3�; : : :
5.
p
2; 2
p
2; 3
p
2; 4
p
2; 5
p
2
6. f1 + 2kg1�k�14
7. f�3� 2kgk�0
8.
�
a1 = �3
ak+1 = ak + 2 para 1 � k � 10:
9.
�
a1 = 0
ak+1 = ak + 5 para k � 1
7.9. RENTAS ARITMÉTICAS 207
Es fácil ver que
2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23; 26; 29; 32
es una progresión aritmética: la diferencia entre dos términos consecutivos se
mantiene constante:
5� 2 = 8� 5 = � � � = 29� 28 = 32� 29 = 3 = b
Mientras que el valor el primer término nos da el valor de a
a = 2
La forma general de la progresión aritmética es
ak = 2 + 3 (k � 1) para 1 � k � n
Para hallar n utilizamos el valor del último término:
2 + 3 (n� 1) = 32
de donde deducimos que n = 11 y por lo tanto la progresión aritmética buscada
es
ak = 2 + 3k para 1 � k � 11
Pasar de forma recursiva a la forma explícita de una progresión/sucesión
aritmética y viceversa no presenta di�cultad:
�
a1 = 7
ak+1 = ak +�4 para 1 � k � 11: () ak = 7�4 (k � 1) para 1 � k � 11:
Ejercicio 7.62 Hallar el término inicial, el paso común y la forma general de
cada uno de los items que restan del ejemplo (11.2).
Ahora podemos responder a una de las preguntas planteadas en el ejemplo
(7.58): ¿Cuál es el monto de la cuota 9?
La progresión aritmética que representa la renta dada en el ejemplo (7.58)
es
Ck = 100 + 40 (k � 1)
por lo que el monto de la cuota 9 es $420 pues
C9 = 100 + 40 (9� 1) = 420
Las rentas variables en progresión aritmética, son aquellas rentas cuyos tér-
minos forman una progresión aritmética, i.e.:
�
C1 = C
Ck+1 = Ck + b para 1 � k � n� 1: (7.22)
208 HOOFDSTUK 7. RENTAS
0 1 2 3 n� 2 n� 1 n
C1
C + 0 � b
C2
C + 1 � 40
C3
C + 2 � b
Cn�2
C + (n � 3) � b
Cn�1
C + (n � 2) � b
Cn
C + (n � 1) � b
Actualización
Capitalización
V A(0)
V F (n)
De nuevo, calcular el valor actual de este tipo de rentas no es más que
sumar el valor actual de cada uno de los términos involucrados. Supongamos
que tenemos una sucesión de n capitales sujetos a una ley aritmética como la
expreseda en (7.22), sobre la que actua una tasa p-períodica i(p). Supongamos
que los términos están disponibles a los p-períodos 1; 2; : : : n . El valor actual de
este tipo de renta es
V A (0)=
C
1 + i(p)
+
C + b
�
1 + i(p)
�2 +
C + 2b
�
1 + i(p)
�3 + � � �+
C + (n� 1) b�
1 + i(p)
�n
= C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
+
b
1 + i(p)
 
1�
1 + i(p)
� + 2�
1 + i(p)
�2 + � � �+
n� 1
�
1 + i(p)
�n�1
!
Ahora, todo el problema se reduce a encontrar una fórmula cerrada para la
suma
mX
k=1
k
rk
=
1
r
+
2
r2
+
3
r3
+ � � �+ m
rm
(7.23)
Hay varias formas de hallar esta suma.
La suma de la izquierda en (7.23) es una suma por �las, sumando por colum-
nas podemos obtener una expresión cerrada
1
r
=
1
r
2
r2
=
1
r2
+
1
r2
3
r3
=
1
r3
+
1
r3
+
1
r3
...
...
...
...
...
...
...
. . .
m
rm
=
1
rm
+
1
rm
+
1
rm
+ � � � + 1
rm
mX
k=1
k
rk
=
1
r
1� 1
rm
1� 1
r
+
1
r2
1� 1
rm�1
1� 1
r
+
1
r3
1� 1
rm�2
1� 1
r
+ ::: +
1
rm
1� 1
r
1� 1
r
7.9. RENTAS ARITMÉTICAS 209
de donde para 1 � k � m
1
rk
1� 1
rm�k�1
1� 1
r
=
r
r � 1
�
1
rk
� 1
rm+1
�
Por lo que
mX
k=1
k
rk
=
mX
k=1
r
r � 1
�
1
rk
� 1
rm+1
�
=
r
r � 1
�
1
r
+
1
r2
+
1
r3
+ � � �+ 1
rm
� m
rm+1
�
=
r
r � 1
�
rm � 1
rm (r � 1) �
m
rm+1
�
Otra forma de hallar una fórmula para esta suma, consite en repetir el truco
que se usó para sumar la serie geométrica:
S =
1
r
+
2
r2
+
3
r3
+ � � �+ m� 1
rm�1
+
m
rm
rS = 1 +
2
r
+
3
r2
+ � � �+ m� 1
rm�2
+
m
rm�1
y luego restar
rS � S = 1 +
�
2
r
� 1
r
�
+
�
3
r2
� 2
r2
�
+ � � �+
�
m
rm�1
� m� 1
rm�1
�
� m
rm
(r � 1)S = 1 + 1
r
+
1
r2
+
1
r3
+ � � �+ 1
rm�1
� m
rm
(r � 1)S =
1� 1
rm
1� 1
r
� m
rm
(r � 1)S = 1
rm�1
rm � 1
r � 1 �
m
rm
De donde obtenemos
mX
k=1
k
rk
=
1
rm�1
rm � 1
(r � 1)2
� m
rm (r � 1) (7.24)
Existe una tercera forma de obtener una forma cerrada para la suma
X
k
rk
la cual se basa en la siguiente observación
x
d
dx
�
xk
�
= kxk
210 HOOFDSTUK 7. RENTAS
la cual es válida para cualquier x real si k es un entero mayor o igual que 1.
Luego
mX
k=1
kxk =
mX
k=1
x
d
dx
�
xk
�
= x
d
dx
 
mX
k=1
xk
!
= x
d
dx
�
x
xm�1
x� 1
�
= x
 
xm � 1
x� 1 + x
mxm�1 (x� 1)� (xm � 1)
(x� 1)2
!
Lo que nos lleva (después de un poco de álgebra) a la siguiente expresión
mX
k=1
kxk =
xm+2
(x� 1)2
�
m� m+ 1
x
+
1
xm+1
�
En particular haciendo x = 1=r, obtenemos
mX
k=1
k
rk
=
1
rm�1 (r � 1)2
�
rm � 1� m (r � 1)
rm
�
Ahora como
1�
1 + i(p)
� + 2�
1 + i(p)
�2 + � � �+
n� 1
�
1 + i(p)
�n�1
es de la forma
Pm
k=1
k
rk
con
r = 1 + i(p)
m = n� 1
Al usar (7.24)Tenemos que
n�1X
k=1
k
�
1 + i(p)
�k =
1 + i(p)
i(p)
�
1 + i(p)
�n�1
 �
1 + i(p)
�n�1 � 1
i(p)
� n� 1
1 + i(p)
!
=
1
�
1 + i(p)
�n�2
�
1 + i(p)
�n�1 � 1
�
i(p)
�2 �
n� 1
i(p)
�
1 + i(p)
�n�1
De donde podemos concluir que
V A (0) = C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
+
b
i(p)
�
1 + i(p)
�n�1
 �
1 + i(p)
�n�1 � 1
i(p)
� n� 1
1 + i(p)
!
(7.25)
En la literatura de matemáticas �nancieras suelen aparecer también la sigu-
ientes expresiones para el valor actual de una renta aritmética
V A(0) =
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
�
C +
b
i(p)
+ nb
�
� nb
i(p)
(7.26)
= C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
+ b
�
1 + i(p)
�n � ni(p) � 1
�
i(p)
�2 �
1 + i(p)
�n (7.27)
7.9. RENTAS ARITMÉTICAS 211
las cuales son equivalentes (7.25).
Por ejemplo
V A (0) = C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
+
b
i(p)
�
1 + i(p)
�n�1
 �
1 + i(p)
�n�1 � 1
i(p)
� n� 1
1 + i(p)
!
= C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
+
b
i(p)
 
1�
�
1 + i(p)
��(n�1)
i(p)
� n�
1 + i(p)
�n +
1�
1 + i(p)
�n
!
(7.28)
= C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
+
b
i(p)
 
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
� n�
1 + i(p)
�n
!
=
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
�
C +
b
i(p)
+ nb
�
� nb
i(p)
Para hallar el valor �nal de una renta aritmética sólo necesitamos recordar que
V F (n) = V A (0)
�
1 + i(p)
�n
luego tenemos que
V F (n) =
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
�
C +
b
i(p)
+ nb
�
� nb
�
1 + i(p)
�n
i(p)
(7.29)
Ejercicio 7.63 Demostrar que la expresión (7.27) es equivalente a la expresión
(7.25).
Nota 7.64 Las fórmulas obtenidas corresponden a una renta postpagable, si
desea obtener las correspondientes fórmulas para rentas prepagables, se deben
realizar las correspondientes modi�caciones en las deduciones anteriores, las
cuales no deberían ser difíciles de realizar por parte del lector.
Ahora podemos responder a las restantes preguntas que se nos plantearon en
el ejemplo (7.58). El Sr. Daniel debería entregar hoy al Sr. Ignacio $ 3 493.35,
el valor actual de la renta (recordar C = 100, TEM 1.2 %, b = 40 y n = 12)
V A(0) =
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
�
C +
b
i(p)
+ nb
�
� nb
i(p)
=
1� (1 + 0:012)�12
0:012
�
100 +
40
0:012
+ 12 � 40
�
� 12 � 40
0:012
= 3493:35
Por otro lado, el Sr. Ignacio (si va ahorrando el dinero a una TEM del 1.2%)
juntará al cabo de un año la suma de $ 4 030.96 (más que su�ciente como para
comprarse la PS3), pues
V F (12) =
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
�
C +
b
i(p)
+ nb
�
� nb
�
1 + i(p)
�n
i(p)
=
(1 + 0:012)
12 � 1
0:012
�
100 +
40
0:012
+ 12 � 40
�
� 12 � 40 (1 + 0:012)
12
0:012
= 4030:9619181
212 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Nota 7.65 En las fórmulas (7.25) y (7.29) aparecen 5 variables:V A o V F;C; b; i(p)
y n. Las tres primeras no presentan di�cultad, pero las dos últimas: i(p) y n,
al no ser posible despejarlas, requieren de métodos númericos, Newton-Raphson
para la primera, tanteo para la segunda (pues n debe ser entero, si se permite n
continuo se deberá usar Newton-Raphson).
Ejemplo 7.66 (Continuación del ejemplo (7.58)) De cuanto debe ser el incre-
mento si el Sr. Ignacio desea juntar $ 5.000 al cabo de 12 meses.
En este caso, deseamos averiguar el valor de b (recordar C = 100, TEM 1.2
%, b =?, n = 12 y V F (12) = 5000)
5000 = V F (12)
= C
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
+ b
1 + i(p)
i(p)
 �
1 + i(p)
�n�1 � 1
i(p)
� n� 1
1 + i(p)
!
= 100
(1 + 0:012)
12 � 1
0:012
+ b
1 + 0:012
0:012
 
(1 + 0:012)
12�1 � 1
0:012
� 12� 1
1 + 0:012
!
= 1282:4552015 + 68:7126679184 � b
Por lo tanto
b = 54:1027573389
Es decir, el Sr. Daniel debe aumentar las cuotas en $ 54.11 cada mes.
Ejemplo 7.67 (Continuación del ejemplo (7.58)) De cuánto debe ser el tér-
mino inicial para que el valor actual de la renta sea del $ 3.600.
En este caso la incognita es C (recordar C =?, TEM 1.2 %, b = 40, n = 12
y V A (0) = 3600)
3600 = V A (0)
= C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
+
b
i(p)
�
1 + i(p)
�n�1
 �
1 + i(p)
�n�1 � 1
i(p)
� n� 1
1 + i(p)
!
= C
1� (1 + 0:012)�12
0:012
+
40
0:012 (1 + 0:012)
12�1
 
(1 + 0:012)
12�1 � 1
0:012
� 12� 1
1 + 0:012
!
= 11:1141448677 � C + 2381:9390949
Por lo tanto
C = 109:595557697
Lo que implica que el Sr. Daniel pagarle al Sr. Ignacio $ 109.60 el primer mes,
y luego ir incrementando en $ 40 cada cuota hasta la cuota 12.
Ejemplo 7.68 (Continuación del ejemplo (7.58)) Al Sr. Ignacio le ofrecen una
PS3 en $ 2.150, ¿Cuando podrá comprar la PS3?
La incognita ahora es el tiempo n necesario para juntar al menos $ 2.150
(recordar C = 100, TEM 1.2 %, b = 40, n =? y V F (n) � 2150). Como ya
dijimos, no se puede despejar n de las fórmulas (7.25) y (7.29).
7.9. RENTAS ARITMÉTICAS 213
Resolveremos este problema de dos formas. Primero, asumiendo que n debe
ser entero, basta usar tanteo. Una buena semilla para comenzar el tanteo (y
Newon Raphson, si fuera el caso) puede ser obtenida a partir del hecho que
nX
k=1
a+ b (k � 1) = an+ b
nX
k=1
(k � 1)
= (a� b)n+ bn (n+ 1)
2
luego como a = C = 100 y b = 40 buscamos n tal que
2150 � (100� 40)n+ 40n (n+ 1)
2
Para n = 5 tenemos que
60 � 5 + 405 (5 + 1)
2
= 900
para n = 8
60 � 8 + 408 (8 + 1)
2
= 1920
por lo que podemos usar como semilla para iniciar el tanteo n = 8 :
V F (8) =
(1 + 0; 012)
8 � 1
0; 012
�
100 +
40
0; 012
+ 8 � 40
�
� 8 � 40 (1 + 0; 012)
8
0; 012
= 1981; 7057
Si usamos n = 9
V F (9) =
(1 + 0; 012)
9 � 1
0; 012
�
100 +
40
0; 012
+ 9 � 40
�
� 9 � 40 (1 + 0; 012)
9
0; 012
= 2425; 4861
Por lo tanto, El sr. Ignacio podrá comprarse la PS3 al �nal del 9no. período.
Poner dibujos!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Para comenzar usaremos
Por lo que aplicaremos Newton-Raphson para
f (n) = C
�
1+ i(p)
�n � 1
i(p)
+ b
1 + i(p)
i(p)
 �
1 + i(p)
�n�1 � 1
i(p)
� n� 1
1 + i(p)
!
� V F (n)
Por lo tanto
f 0 (n) =
 
C
i(p)
+
b
�
i(p)
�2
!�
1 + i(p)
�n
ln
�
1 + i(p)
�
� b
i(p)
Para aplicar Newton-Raphson completamos la siguiente tabla, donde hemos
establecido como criterio de parada " = 0:01, y una buena semilla para la raíz
puede ser obtenida a partir del hecho que
214 HOOFDSTUK 7. RENTAS
nX
k=1
a+ b (k � 1) = an+ b
nX
k=1
(k � 1)
= (a� b)n+ bn (n+ 1)
2
luego como a = C = 100 y b = 40 buscamos n tal que
2150 � (100� 40)n+ 40n (n+ 1)
2
Para n = 5 tenemos que
60 � 5 + 405 (5 + 1)
2
= 900
para n = 8
60 � 8 + 408 (8 + 1)
2
= 1920
la cual podemos usar como semilla
k nk f (nk) f
0 (nk) nk+1 = nk �
f (nk)
f 0 (nk)
jnk � nk+1j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ejercicio 7.69 Un programa de televisión anuncia un premio $ 300 000, con-
sistente 60 pagos mensuales, el primero de sólo $ 212, el segundo de $ 364, el
tercero de $ 516, y asi sucesivamente hasta el último pago a los 60 meses de $
9 180. Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0.85 % mensual se pide:
1. ¿Realmente el premio consiste de $ 300 000?
2. ¿Qué pre�ere, el esquema de pagos o $ 150 000 en efectivo?
3. De cuanto debería ser el incremento mensual en el pago para que el valor
actual del esquema de pagos sea de $ 150 000.
4. De cuanto debería ser el pago inicial para que el valor actual del esquema
de pagos sea de $ 150 000.
5. ¿A partir de que mes los pagos superan los $ 5 000?
Ejemplo 7.70 1. ¿Cuál es el valor �nal de este esquema de pagos?
7.10. RENTAS GEOMÉTRICAS 215
2. En cuanto tiempo la suma de los nominales de los pagos superarán los $
150 000.
3. ¿Cuál es la tasa a la que somos indiferentes entre el esquema de pagos y
los $ 150 000 en efectivo?
4. ¿Cuál es número mínimo de pagos que deben hacerse con este esquema de
pagos para que su valor actual sea de al menos $ 150 000?
Ejercicio 7.71 Ud comienza ahorrando $ 1, al siguiente mes ahorra $ 2, al
siguiente $ 4, y asi sucesivamente. Si Usted gana $ 4 500 por mes, ¿cuántos
meses pasarán hasta que el nivel de ahorro requido por este esquema supere sus
ingresos? Si le pagan una TNA del 13.3 % ¿Cuánto habrá ahorrado hasta ese
momento?
Ejercicio 7.72 Cuanto debe depositar en diciembre para que su hijo pueda re-
tirar a principios de enero $ 650, pero como estima que este año habrá una
in�ación de al menos un 1% mensual, ud. desea que al siguiente mes pueda
retirar un 1.5% más, y así sucesiamente hasta �n de año. Suponer que le pagan
una TEM del 0.85%.
Ejercicio 7.73 Suponga que usted tiene un contrato por 5 años con una em-
presa, ésta le ofrece tres opciones: 60 sueldos mensuales de $ 8 000, o 5 pagos
anuales de $ 90 000 comenzando hoy, o un único pago de $ 300 000 hoy. Ud
estima que la in�ación promedio de los próximos 5 años será del 8% anual, y
que puede obtener una TEA del 10.5% para sus ahorros. Sabiendo esto, que
esquema de pago le resulta más atractivo.
Ejercicio 7.74 Ud. empieza a ahorrar unos $ 350 por mes, pero como esta
conciente de la in�ación, ud. incrementa cada mes lo ahorrado en un 0.5%.
Además al comienzo de cada año aumenta en $ 100 la cantidad ahorrada a
diciembre del año anterior. Suponiendo una TEM del 0.9%, ¿Cuánto tendrá
ahorrado en 5 años?
Ejercicio 7.75 Poner más ejercicios!!!!!!!!!!!!!!!!!
7.10 Rentas geométricas
7.11 Rentas variables en progresión geométrica
Consideremos el siguiente ejemplo
Ejemplo 7.76 El Sr. Daniel se compromete a cumplir el siguiente esquema de
12 pagos mensuales con el Sr. Ignacio. Un primera cuota de $ 100, una segunda
cuota de $ 110, una tercera cuota $ 121 y asi sucesivamente hasta la cuota doce.
¿Cuál es el monto de la cuota 9? Suponiendo una TEM del 1,2%. ¿Qué cantidad
debería entregarle hoy el Sr. Daniel al Sr. Ignacio para sustituir este esquema
de pago? ¿Podrá comprarse el Sr. Ignacio una PS3 al cabo de un año con estos
fondos? (el precio de una PS3 es $ 3 200).
Este es un ejemplo de una renta variable, donde la variación sigue una ley
determinada: los términos de la renta forman una progresión geométrica
216 HOOFDSTUK 7. RENTAS
0 1 2 3 10 11 12
C1
100
C2
100 � 1:1
C3
(100 � 1:1)2
C10
100 � (1:1)9
C11
100 � (1:1)10
C12
100 � (1:1)11
Actualización
Capitalización
V A(0)
V F (12)
Necesitamos desarrollar fórmulas que nos permitan sumar expresiones de la
forma
V A (0) =
100
1 + 0:012
+
1:1 � 100
(1 + 0:012)
2 +
1:12 � 100
(1 + 0:012)
3 + � � �+
1:112 � 100
(1 + 0:012)
n
Para esto estudiaremos las progresiones y las sucesiones aritméticas
De�nición 7.77 Dados dos números reales a y r, se llama progresión ge-
ométrica a toda sucesión �nita de n términos de la forma
�
ark
	
0�k�n�1
:= a; ar; ar2; : : : ; arn�1
Si la sucesión es in�nita, preferiremos llamarle sucesión geométrica
�
ark
	
k�0
:= a; ar; ar2; ar3; : : :
Habitualmente al número a se le llama término inicial, y al número r se le llama
razón (común).
Nota 7.78 Toda progresión geométrica puede ser escrita de forma recursiva:
�
a1 = a
ak+1 = rak para 1 � k � n� 1:
Lo mismo ocurre con las sucesiones geométricas:
�
a1 = a
ak+1 = rak para k � 1:
De hecho, de acuerdo con la teoría de relaciones recursivas que desarrollamos
en el capítulo 2 la forma de la solución de estas relaciones recursivas es
Ck = ar
k�1
Ejemplo 7.79 Los siguientes son ejemplos de progresiones y sucesiones ge-
ométricas
7.11. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 217
1. 2; 4; 8; 16; 32; : : : es una sucesión geométrica de término inicial a = 2 y
razón r = 2.
2. 2;�6; 18;�54; 162;�486; 1458;�4374 es una progresión geométrica de tér-
mino inicial a = 2 y razón r = �3.
3. 1;
1
2
;
1
4
;
1
8
;
1
16
;
1
32
; : : :
4. 1; �; �2; �3; : : :
5.
p
2; 2;
p
23; 4;
p
25:
6.
�
3
5k
�
0�k�14
:
7.
n
2 (�1:5)k
o
k�0
:
8.
�
a1 = �3
ak+1 = 2ak para 1 � k � 10:
9.
�
a1 = 0
ak+1 = 5ak para k � 1
Es fácil ver que
2;�6; 18;�54; 162;�486; 1458;�4374
es una progresión geométrica: la razón entre dos términos consecutivos se mantiene
constante:
�6
2
=
18
�6 =
�54
18
=
162
�54 =
�486
162
=
1458
�486 =
�4374
1458
= �3 = r
Mientras que el valor el primer término nos da el valor de a
a = 2
La forma general de la progresión aritmética es
ak = 2 (�3)k�1 para 1 � k � n
Para hallar n utilizamos el valor del último término:
2 (�3)n�1 = �4374
de donde deducimos que n = 8. El signo sólo nos dice la paridad del término,
para el cálculo del n no hace falta considerarlo:
2 (�3)n�1 = �4374
2 (�1)n 3n�1 = 4374
lo que nos dice que n es par (pues si fuera impar tendríamos �2 � 3n�1 = 4374
lo que es absurdo).
218 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Por lo tanto la progresión geométrica buscada es
ak = 2 � (�3)k�1 para 1 � k � 8
Si la progresión/sucesión esta dada de forma recursiva
�
a1 = �7
ak+1 = �4ak para 1 � k � 11:
podemos conseguir su expresión cerrada aplicando la teoría de relaciones recur-
sivas como se explica en la nota (7.78):
ak = �7 (�4)(k�1) para 1 � k � 11:
Ejercicio 7.80 Hallar el término inicial, el paso común y la forma general de
cada uno de los items que restan del ejemplo (7.79).
Ahora podemos responder a una de las preguntas planteadas en el ejemplo
(??): ¿Cuál es el monto de la cuota 9?
La progresión geométrica que representa la renta dada en el ejemplo (??) es
Ck = 100 � 1:1k�1
por lo que el monto de la cuota 9 es
C9 = 100 � 1:18 = 214:358881
Las rentas variables en progresión geométrica, son aquellas rentas cuyos tér-
minos forman una progresión geométrica, i.e.:
Ck+1 = rCk para k � 0 (7.30)
0 1 2 3 n� 2 n� 1 n
C1
C
C2
rC
C3
r2C
Cn�2
rn�3C
Cn�1
rn�2C
Cn
rn�1C
Actualización
Capitalización
V A(0)
V F (n)
Supongamos que tenemos una sucesión de n capitales sujetos a una ley ge-
ométrica como la expreseda en (7.30), sobre la que actua una tasa p-períodica
i(p). Supongamos que los términos están disponibles a los p-períodos 1; 2; : : : n .
7.11. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 219
El valor actual de este tipo de renta no es otra cosa que la suma de los valores
actuales (almomento 0) de cada uno de los términos
V A (0) =
C
1 + i(p)
+
rC
�
1 + i(p)
�2 +
r2C
�
1 + i(p)
�3 + � � �+
rn�1C�
1 + i(p)
�n
=
C
1 + i(p)
 
1 +
r�
1 + i(p)
� + r
2
�
1 + i(p)
�2 + � � �+
rn�1
�
1 + i(p)
�n�1
!
=
C
1 + i(p)
1� r
n
�
1 + i(p)
�n
1� r�
1 + i(p)
�
= C
1� rn
�
1 + i(p)
��n
1 + i(p) � r
de donde
V A (0) = C
rn
�
1 + i(p)
��n � 1
r � i� 1 (7.31)
Por lo que el valor �nal es
V F (n) = V A (0)
�
1 + i(p)
�n
= C
rn �
�
1 + i(p)
�n
r � i� 1 (7.32)
La situación típica es que la razón geométrica tome la forma
r = 1 + t
donde t es una tasa (de efectiva si es positiva, y de descuento si es negativa). La
fórmulas anteriores quedan
V A (0) = C
(1 + t)
n �
1 + i(p)
��n � 1
t� i (7.33)
V F (n) = C
(1 + t)
n �
�
1 + i(p)
�n
t� i (7.34)
Mientras que si la razón geometrica es un factor de actualización
r =
1
1 + t
= (1 + t)
�1
las fórmulas anteriores son
V A (0) = C
�
(1 + t)
�
1 + i(p)
���n � 1
1
1+t � i� 1
(7.35)
V F (n) = C
(1 + t)
�n �
�
1 + i(p)
�n
1
1+t � i� 1
(7.36)
Nota 7.81 Las fórmulas obtenidas corresponden a una renta postpagable, para
rentas prepagables se deben realizar las correspondientes modi�caciones, las cuales
no deberían ser difíciles de realizar por parte del lector.
220 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Ahora podemos responder a las restantes preguntas que se nos plantearon
en el ejemplo (??). El Sr. Daniel debería entregar hoy al Sr. Ignacio $ 1 954.38,
el valor actual de la renta (recordar C = 100, TEM 1:2%, r = 1:1 y n = 12)
V A(0) = C
rn
�
1 + i(p)
��n � 1
r � i� 1
= 100
1:112 (1 + 0:012)
�12 � 1
1:1� 0:012� 1
= 1954:38296033
Por otro lado, el Sr. Ignacio (si va ahorrando el dinero a una TEM del 1.2%)
juntará al cabo de un año la suma de $ 2 255.15 (lo cual no es su�ciente como
para comprarse la PS3), pues
V F (12) = C
rn �
�
1 + i(p)
�n
r � i� 1
= 100
1:112 � (1 + 0:012)12
1:1� 0:012� 1
= 2255:15199151
�
= 1954:38296033 � 1:01212
�
Nota 7.82 En las fórmulas de la (7.31) a la (7.36) aparecen 5 variables:V A
o V F;C; n; r o t, y i(p). Las dos primeras no presentan di�cultad, pero las dos
últimas: r o t, y i(p), al no ser posible despejarlas, requieren de métodos númeri-
cos (Newton-Raphson) para estimar sus valores. Mientras que n es despejable
de las fórmulas de valor inicial pero no de las fórmulas de valor �nal.
Ejemplo 7.83 (Continuación del ejemplo (??)) De cuanto debe ser la cuota
inicial si el Sr. Ignacio desea comprarse la PS3 (i.e. desea juntar al menos $ 3
200 al cabo de 12 meses).
En este caso, deseamos averiguar el valor de C (recordar TEM 1.2 %, r = 1:1,
n = 12 y V F (12) = 3200)
3200 = V F (12)
= C
rn �
�
1 + i(p)
�n
r � i� 1
= C
1:112 � (1 + 0:012)12
1:1� 0:012� 1
= 22:5515199152C
Por lo tanto
C = 141:897309451
Es decir, el primer pago del Sr. Daniel debe ser de $ 141.90. Con este pago inicial
el Sr. Ignacio junta al cabo de 12 meses la suma de $ 3 200.06, i.e. se puede
comprar la PS3 y le sobran 6 centavos.
Ejemplo 7.84 (Continuación del ejemplo (??)) Sabemos que el valor actual
de la renta que le paga el Sr. Daniel al Sr. Ignacio es de $ 1 954.38 (recordar
C = 100, TEM 1:2%, r = 1:1 y n = 12). Ahora nos preguntamos cuanto debería
durar la renta si el valor actual de la misma queremos que sea al menos $ 2 900.
7.11. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 221
En este caso buscamos un n tal que
V A(0) = C
rn
�
1 + i(p)
��n � 1
r � i� 1 � 2900
En este caso hay que ser cuidadosos, si r � i � 1 < 0, al realizar el pasaje
de términos la desigualdad se da vuelta. Como en nuetro caso r � i � 1 =
1:1� 0:012� 1 = 0:098 > 0 esto no ocurre.
rn
�
1 + i(p)
��n
Ejemplo 7.85 (Continuación del ejemplo (??)) Como acabamos de ver, en 12
meses el Sr. Ignacio no alcanza a ahorrar lo necesario para comprarse la PS3.
¿Cuántos meses debería durar este esquema de pagos para que el Sr. Ignacio
pueda comprarse su preciada PS3?
En este caso buscamos un n tal que
C
rn �
�
1 + i(p)
�n
r � i� 1 � 3200
de donde
Ejemplo 7.86 (Continuación del ejemplo (7.58)) De cuánto debe ser el tér-
mino inicial para que el valor actual de la renta sea del $ 3 600.
En este caso la incognita es C (recordar C =?, TEM 1.2 %, b = 40, n = 12
y V A (0) = 3600)
3600 = V A (0)
= C
1�
�
1 + i(p)
��n
i(p)
+
b
i(p)
�
1 + i(p)
�n�1
 �
1 + i(p)
�n�1 � 1
i(p)
� n� 1
1 + i(p)
!
= C
1� (1 + 0:012)�12
0:012
+
40
0:012 (1 + 0:012)
12�1
 
(1 + 0:012)
12�1 � 1
0:012
� 12� 1
1 + 0:012
!
= 11:1141448677 � C + 2381:9390949
Por lo tanto
C = 109:595557697
Lo que implica que el Sr. Daniel pagarle al Sr. Ignacio $ 109.60 el primer mes,
y luego ir incrementando en $ 40 cada cuota hasta la cuota 12.
Ejemplo 7.87 (Continuación del ejemplo (7.58)) Al 5to mes, al Sr. Ignacio le
ofrecen una PS3 en $ 2 150, ¿Cuando podrá comprar la PS3?
222 HOOFDSTUK 7. RENTAS
La incognita ahora es el tiempo n (recordar C = 100, TEM 1.2 %, b = 40,
n =? y V F (n) � 2150), necesario para juntar al menos $ 2 150. Como ya
dijimos, no se puede despejar n de las fórmulas (7.25) y (7.29). Por lo que
aplicaremos Newton-Raphson para
f (n) = C
�
1 + i(p)
�n � 1
i(p)
+ b
1 + i(p)
i(p)
 �
1 + i(p)
�n�1 � 1
i(p)
� n� 1
1 + i(p)
!
� V F (n)
Por lo tanto
f 0 (n) =
 
C
i(p)
+
b
�
i(p)
�2
!�
1 + i(p)
�n
ln
�
1 + i(p)
�
� b
i(p)
Para aplicar Newton-Raphson completamos la siguiente tabla, donde hemos
establecido como criterio de parada " = 0:01, y una buena semilla para la raíz
puede ser obtenida a partir del hecho que
nX
k=1
a+ b (k � 1) = an+ b
nX
k=1
(k � 1)
= (a� b)n+ bn (n+ 1)
2
luego
2150 � (100� 40)n+ 40n (n+ 1)
2
la raíz
k nk f (nk) f
0 (nk) nk+1 = nk �
f (nk)
f 0 (nk)
jnk � nk+1j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ejemplo 7.88 Un programa de televisión anuncia un premio $ 300 000, con-
sistente un sueldo �jo a mes vencido de $ 2 500 mensuales durante 10 años.
¿Realmente el premio consiste de $ 300 000?. Si la tasa que ud. puede conseguir
es del 0.85% mensual, y la in�ación mensual estimada es del 0.7%. mensual.
Como antes sólo debemos calcular el valor actual del esquema de sueldos.
Debemos usar la fórmula (7.35) ya que la in�ación actua como un factor de
actualización (ver nota ([?]) :
V A (0) = 2500
(1 + 0:007)
�120
(1 + 0:0085)
�120 � 1
1
1+0:007 � 0:0085� 1
= 136427:76
7.11. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA 223
Al tener en cuenta la in�ación, inclusive es mejor que nos den la �mitad� del
premio en efectivo que en 120 mensualidades (suponiendo una tasa de in�ación
anual constante del 8,7 %, si la in�ación es mayor, el valor actual del premio
inclusive será menor.
Observe que si hubieramos usado la tasa de in�ación como una tasa de
descuento, hubieramos cometido un error, pero uno pequeño:
V A (0) = 2500
(1� 0:007)120 (1 + 0:0085)�120 � 1
�0:007� 0:0085 = 136147:74
Por eso a veces en estos tipos de problemas se suele pensar la tasa de in�ación
como una tasa de descuento (este error disminuye a medida que aumentamos la
frecuencia de capitalización ¿Por qué?).
Ejemplo 7.89 Ud. empieza a ahorrar unos $ 450 por mes, pero como esta
conciente de la in�ación, ud. incrementa cada mes lo ahorrado en un 1%.
Suponiendo una TEM del 1.1%, ¿Cuánto tendrá ahorrado en dos 2 años?
Sólo debemos calcular el valor �nal de una renta geométrica
V F (24) = 450
(1 + 0:01)
24 � (1 + 0:011)24
0:01� 0:011 = 13733:08263
Ejemplo 7.90 Si la in�ación anual estimada para los próximos 2 años es del
9.5% anual, ¿Cuál es el valor real (en pesos de hoy) de los $ 11 063.86 que
tendremos en dos años?
Simplemente hay que de�actar los $ 11 063.86 dos años a la tasa anual de
in�ación
11063:86
(1 + 0:095)
2 = 9927:38
i.e., con los $ 11 063.86 podrá comprar dentro de dos años, más o menos lo
mismo que podría aquirir hoy con $ 9 927.38.
0.007591534
450
1 + 0:007591534
�
1+0:001
1+0:007591534
�24
� (1 + 0:011)24
1+0:001
1+0:007591534 � 0:011� 1
: 11355: : 10080:0 : �77: 623
Ejercicio 7.91 Ud comienza ahorrando $ 1, al siguiente mes ahorra $ 2, al
siguiente $ 4, y asi sucesivamente. Si Usted gana $ 4 500 por mes, ¿cuántos
meses pasaránhasta que el nivel de ahorro requerido por este esquema supere
sus ingresos? Si le pagan una TNA del 13.3 % ¿Cuánto habrá ahorrado hasta
ese momento?
Ejercicio 7.92 Cuánto debe depositar en diciembre para que su hijo pueda re-
tirar a principios de enero $ 650, pero como estima que este año habrá una
in�ación de al menos un 1% mensual, ud. desea que al siguiente mes pueda
retirar un 1.5% más, y así sucesiamente hasta �n de año. Suponer que le pagan
una TEM del 0.85%.
224 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Ejercicio 7.93 Suponga que usted tiene un contrato por 5 años con una em-
presa, ésta le ofrece tres opciones: 60 sueldos mensuales de $ 8 000, o 5 pagos
anuales de $ 90 000 comenzando hoy, o un único pago de $ 300 000 hoy. Ud
estima que la in�ación promedio de los próximos 5 años será del 8% anual, y
que puede obtener una TEA del 10.5% para sus ahorros. Sabiendo esto, que
esquema de pago le resulta más atractivo.
Ejercicio 7.94 Ud. empieza a ahorrar unos $ 350 por mes, pero como esta
conciente de la in�ación, ud. incrementa cada mes lo ahorrado en un 0.5%.
Además al comienzo de cada año aumenta en $ 100 la cantidad ahorrada a
diciembre del año anterior. Suponiendo una TEM del 0.9%, ¿Cuán
Ejercicio 7.95 }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
tendrá ahorrado en 5 años?
7.12 In�ación: su efecto sobre rentas
En esta sección estudiaremos el efecto de la in�ación sobre las rentas. Car-
acterizaremos el efecto de la in�ación sobre el valor actual de una renta, y
estudiaremos como diseñar una renta constante en poder adquisitivo.
Comenzaremos con el efecto de la in�ación sobre el valor actual de una renta
vencida constante de n términos.
Dada una operación �nanciera con un horizonte temporal de t años (tiempo
que resta para la �nanlización de la misma). Supongamos que disponemos de
una estimación de la in�ación para los próximos t años, dada por la una tasa
p-períodica de in�ación esperada �(p). La in�ación socaba el poder adquisitivo
del dinero, por lo tanto, ajusta hacia abajo el valor actual de cualquier �ujo de
fondos futuro. La forma de realizar esta corrección es expresar todos los capitales
en pesos constantes (al día de hoy). Como ya vimos, el valor en pesos de hoy
(pesos constantes) de una capital C disponible dentro de t años es
C
�
1 + �(p)
�pt
Por lo que el �ujo de fondos de una renta vencida constante de n términos de
capital C se traduce a una renta geométrica cuyos terminos son de la forma
C
�
1 + �(p)
�k , con k = 1; : : : ; n
Poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
De aqui que el valor actual de la renta sujeta a una tasa efectiva i(p) y a una
in�ación esperada �(p) se puede calcular usando (7.35)
V A (0) = C
��
1 + �(p)
� �
1 + i(p)
���n � 1
�
1 + �(p)
��1 � i(p) � 1
Ejemplo 7.96 Analicamos de nuevo el ejemplo del programa de televisión,
agregando la in�ación esperada para los próximos 10 años (ejemplo 7.6): Un
7.12. INFLACIÓN: SU EFECTO SOBRE RENTAS 225
programa de televisión anuncia un premio $ 300.000, consistente un sueldo �jo
a mes vencido de $ 2.500 mensuales durante 10 años. ¿Realmente el premio
consiste de $ 300.000? Si la tasa que ud. puede conseguir es del 0,85% mensual
y ud. estima que la in�ación mensual de los próximos 10 años sera del 0,75%
mensual, que pre�ere, el esquema de sueldos o $ 200.000 en efectivo (en caso
de ganar el concurso correspondiente).
Habiamos calculado que el valor actual de la renta de sueldos considerando
la tasa del 0,85% mensual y sin tener en cuenta la in�ación era de $ 187.602,16.
Ahora veamos la corrección a la baja que debemos hacer al tener encuenta la
in�ación:
V A(hoy) = 2:500
[(1 + 0; 0075) (1 + 0; 0085)]
�120 � 1
(1 + 0; 0075)
�1 � 0; 0085� 1
= $133:632; 619721
Esto nos dice que el premio de �$ 300.000� en realidad hoy vale un aprox-
imado de $ 13.3632,6, y por lo tanto si hoy le ofrecen $ 200.000 en efectivo
debería aceptarlos gustoso.
La estimación de la in�ación futura o esperada esta fuera del alcance de este
libro, y en general la supondremos dada (aunque advertimos al lector que esta
no es una tarea menor).
Nota 7.97 El análisis anterior es bastante incompleto, cada vez que se tra-
baja con una variable macroeconómica futura (como la in�ación) se debe hacer
al menos lo que se conoce como análisis de sensibilidad. Además estimar la
in�ación es un arte difícil, y hasta los mejores analistas suelen cometer er-
rores groseros. En materia de predicción del comportamiento de varias variables
macroeconómicas aún nos falta un largo camino por recorrer y las técnicas ac-
tuales no son del todo satisfactorias. De todas formas informamos al lector que
podrá encontrar algunas técnicas para realizar estimaciones para la in�ación fu-
tura y análisis de sensibilidad en libros (o cursos) de evaluación de proyectos de
inversión, econometría, o �nanzas.
Ejemplo 7.98 El gobierno dona a una entidad sin �nes de lucro $ 60.000, en
tres cuotas mensuales y consecutivas, depositando la primera a principios del
mes que viene. Deseamos estimar el valor actual de la misma, estimando que la
in�ación mensual será
�1 2; 7%
�2 1; 8%
�3 3; 1%
y que la entidad puede obtener una TEM del 2,4% por sus depósitos.
Hay tres formas de resolver este problema, cada una dará un resultado difer-
ente, pero como hablamos de estimaciones, no hay razones para preferir uno al
otro.
El primer método consiste simplemente de sumar el valor actualizado y de-
�actado de cada término
226 HOOFDSTUK 7. RENTAS
V A (0) =
20:000
(1 + 0; 024) (1 + 0; 027)
+
20:000
(1 + 0; 024)
2
(1 + 0; 027) (1 + 0; 018)
+
20:
(1 + 0; 024)
3
(1 + 0; 027)
=
19:474; 2
(1 + 0; 024)
+
19:129; 86
(1 + 0; 024)
2 +
18554; 66
(1 + 0; 024)
3
= 19:017; 77 + 18:243; 66 + 17:280; 38
= 54:541; 80
El segundo método consiste en tomar una in�ación mensual promedio
�
(12)
media =
0; 027 + 0; 018 + 0; 031
3
= 0; 0253333333
para usar luego la fórmula de valor actual geométrico
V A (0) = 20:000
[(1 + 0; 0253333333) (1 + 0; 024)]
�3 � 1
(1 + 0; 0253333333)
�1 � 0; 024� 1
= 55:850; 88
Un tercer método consiste en hallar la tasa mensual equivalente, i.e., la que
satisface �
1 + �(12)
�3
= (1 + 0; 027) (1 + 0; 018) (1 + 0; 031)
de donde
�(12) = 3
p
1; 077896066� 1
= 0; 02531889851
y volver a usar la fórmula de valor actual geométrico
V A (0) = 20:000
[(1 + 0; 02531889851) (1 + 0; 024)]
�3 � 1
(1 + 0; 02531889851)
�1 � 0; 024� 1
= 55:851; 64
En cualquier caso, podemos decir que el valor actual de esta renta, considerando
la in�ación esperada, ronda los $ 55.000.
Ahora veremos como diseñar una renta con poder adquisitivo constante.
Supongamos que deseamos una renta (vencida) de n términos, cada uno de los
cuales debe tener el mismo poder adquisitivo que un capital C hoy. Para hacer
esto necesitamos tener una estimación de la in�ación a lo largo del horizonte
temporal de la renta.
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Si estimamos la in�ación en �(p) la renta deberá tener términos forma
C
�
1 + �(p)
�k
para 1 � k � n
pues el valor al días de hoy de cada uno de estos términos es C. Por lo que
podemos aplicar la teoría de rentas geométricas, donde la fórmula que mejor se
ajusta es la (7.33)
V A (0) = C
�
1 + �(p)
�n �
1 + i(p)
��n � 1
�(p) � i(p)
7.13. OTROS TIPOS DE RENTAS. 227
Ejemplo 7.99 Cuánto debemos depositar hoy, principios de diciembre, para
que nuestro hijo pueda retirar a principios de cada mes el año que viene el
equivalente a $ 850 de hoy, si usted estima que durante el próximo año la in-
�ación mensual rondrá en el 3.5%. La tasa que podemos obtener por nuestros
ahorros es una TEM del 1.5%.
El �ujo de fondos de esta renta es
poner dibujo!!!!!!!!!!!!
Para averiguar cuanto debemos depositar debemos calcular el valor actual
de la misma, para lo cual no hay más que aplicar la fórmula que acabamos de
desarrollar
V A (0) = 850
(1 + 0; 035)
12
(1 + 0; 015)
�12 � 1
0; 035� 0; 015
= 11:213; 1498
Por lo que debemos depositar a principios de diciembre aproximadamente $
11.213 para que nuestro vástago tenga una nivelde vida constante (equivalente
a $ 850 de hoy) durante el año que viene (¡más vale que apruebe todos los
parciales!).
Nota 7.100 Unas palabras de advertencia: hoy por hoy, con el desarrollo que
tiene la economía, estimar la in�ación futura (a largo plazo) es virtualmente
imposible. Basta chequear los pronósticos contra la in�ación medida efectiva-
mente. Por lo que se debe ser muy cuidadoso con los análisis a largo plazo, y
de una u otra forma, hay que incorporar el riesgo. La parte de la matemática
�nanciera que se ocupa del riesgo, será motivo de un segundo volumen dentro
de muchos, muchos años.
7.13 Otros tipos de rentas.
7.14 Rentas a capitalización continua
En esta sección desarrollaremos fórmulas para manejar rentas a capitalización
continua. Comencemos con la las rentas pospagables o vencidas. El valor actual
de una renta constante vencida (o pospagable) de n términos de monto C a
una tasa nominal continua J que comienza en el momento 0 y términa en el
momento n, midiendo el tiempo en p-períodos es
poner dibujo
V A (0) =
nX
k=1
Ce�J
k
p = C
1� e�J np
e
J
p � 1
Similarmente
V F (n) = V A (0) eJt = C
eJ
n
p � 1
e
J
p � 1
Ejemplo 7.101 poner un par de ejemplos
Ejercicio 7.102 poner unos ejercicios
228 HOOFDSTUK 7. RENTAS
El valor actual de una renta prepagable constante de n términos de montante
C disponibles a los momentos 0; 1; 2; : : : ; n� 1 (p-períodos) a una tasa nominal
continua J es
V A (0)prepagable = C
1� e�J np
e
J
p � 1
e
J
p
Mientras que el valor �nal es
V F (n)prepagable = C
eJ
n
p � 1
e
J
p � 1
e
J
p
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!
Ejemplo 7.103 poner un par de ejemplos
Ejercicio 7.104 poner unos ejercicios
El valor actual de una renta aritmética pospagable a interés continuo no es
más que sumar el valor actual de cada uno de los términos involucrados. Supong-
amos que tenemos una sucesión de n capitales sujetos a una ley aritmética como
la expreseda en (7.22), sobre la que actua una tasa nominal anual continua J .
Supongamos que los términos están disponibles a los p-períodos 1; 2; : : : n .
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
El valor actual de esta renta es
V A (0) = Ce�J
1
p < +(C + b) e�J
2
p + (C + 2b) e�J
3
p + � � �+ (C + (n� 1) b) e�J np
= C
1� e�J np
e
J
p � 1
+ be�J
1
p
�
e�J
1
p + 2e�J
2
p + � � �+ (n� 1) e�J
n�1
p
�
Como
mX
k=1
k
rk
=
1
rm�1
rm � 1
(r � 1)2
� m
rm (r � 1)
tenemos que
e�J
1
p + 2e�J
2
p + � � �+ (n� 1) e�J
n�1
p =
1
eJ
n�2
p
eJ
n�1
p � 1
�
eJ
1
p � 1
�2 �
n� 1
eJ
n�1
p
�
eJ
1
p � 1
�
Luego
V A (0) = C
1� e�J np
e
J
p � 1
+ b
0
B@e�J
n�1
p
eJ
n�1
p � 1
�
eJ
1
p � 1
�2 �
(n� 1) e�J np
eJ
1
p � 1
1
CA
Ejemplo 7.105 poner un par de ejemplos
Ejercicio 7.106 poner unos ejercicios
7.14. RENTAS A CAPITALIZACIÓN CONTINUA 229
Supongamos que tenemos una sucesión de n capitales sujetos a una ley ge-
ométrica sobre la que actua una tasa nominal anual continua J . Supongamos
que los términos están disponibles a los p-períodos 1; 2; : : : n .
poner dibujo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
El valor actual de este tipo de renta no es otra cosa que la suma de los valores
actuales (al momento 0) de cada uno de los términos
V A (0) = Ce�J
1
p + rCe�J
2
p + r2Ce�J
3
p + � � �+ rn�1Ce�J np
= Ce�J
1
p
�
1 + re�J
1
p + r2e�J
2
p + � � �+ rn�1e�J
n�1
p
�
= Ce�J
1
p
1� rne�J np
1� re�J 1p
= C
1� rne�J np
eJ
1
p � r
Por lo que el valor �nal es
V F (n) = C
eJ
n
p � rn
eJ
1
p � r
Ejemplo 7.107 poner un par de ejemplos
Ejercicio 7.108 poner unos ejercicios
230 HOOFDSTUK 7. RENTAS
Hoofdstuk 8
Préstamos
En mayor o menor medida todos sabemos lo que es un préstamo, pero damos
la siguiente de�nición para establecer un marco común de referencia:
De�nición 8.1 Se llama préstamo a la operación �nanciera consistente en
la entrega de una cantidad dada de dinero (C0), llamado principal (o deuda),
por parte de una persona (física o jurídica), llamado prestamista o acreedor,
a otra persona (física o jurídica), llamado prestatario o deudor, quién se
compromete a amortizar el principal (se llama amortizar al proceso �nanciero
mediante el cual se cancela, generalmente de manera gradual, una deuda por
pagos períodicos, lo cuales pueden ser iguale so diiferentes).
De todo el espectro posible de esquemas de reembolsos de préstamos estudi-
aremos dos variantes estableciadas de acuerdo a como son cobrados los intereses:
1. Préstamos comerciales: son los préstamos donde se aplica la tasa direc-
tamente sobre el capital inicial (durante el período de tiempo pactado para
el préstamo) y el monto de las cuotas del reembolso se calculan dividiendo
este monto por el número de términos
2. Préstamos a interés sobre saldos: son los préstamos donde la tasa se
aplica sobre, lo que se conoce como, capital pendiente (que es el dinero
que efectivamente se debe después de cada pago).
8.1 Préstamos comerciales
En la Argentina el sistema de préstamo comercial es usado principalmente por
pequeños comercios y algunas instituciones �nancieras (por ejemplo muchas de
las llamadas �nancieras). El mayor inconveniente (para el préstatario) con estos
sistemas es que no reconocen los pagos parciales efectuados, y como resultante
la tasa de interés efectivamente cobrada es mucho mayor que la tasa declarada.
Consideremos el siguiente ejemplo
Ejemplo 8.2 Una tienda anuncia que sólo cobra un recargo del 20% anual sobre
las compras en cuotas. Ud. realiza una compra por $ 1.000, y desea pagarla en
12 cuotas mensuales y consecutivas. La dueña de la tienda le plantea el siguiente
esquema de pago: �Son $ 1 000, más un recargo del 20%, nos da $ 1.200, ahora
231
232 HOOFDSTUK 8. PRÉSTAMOS
lo dividimos por el número de cuotas lo que nos da doce cuotitas mensuales de
$ 100�.
Del ejemplo es claro que los elementos que conforman un préstamo comercial
son:
1. Importe del préstamo (o deuda) C0:
2. Tasa de interés (directa) p-períodica cobrada �(p):
3. Duración de la operación t, expresada en años.
4. Número de cuotas n
PONER DIBUJO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
El monto de cada uno de los n pagos es determinado por la expresión
a :=
C0
�
1 + �(p)
�pt
n
(8.1)
Por ejemplo, esta fue la cuenta que hizo la dueña de la tienda del ejemplo
anterior
a =
1000 (1 + 0:2)
12
=
1:200
12
= 100
Si consideramos la renta generada y calculamos su valor actual con la tasa
mensual equivalente i(12) = 12
p
1 + 0:2� 1 = 0:0153094705, obtenemos
100
1� (1 + 0:0153094705)�12
0:0153094705
= 1088; 65075816
Lo cual nos da la primera advertencia: a la tasa declarada la renta generada y el
desembolso del préstamo (o deuda) no son �nancieramente equivalentes. Veamos
que siempre ocurre que el valor actual de la renta es mayor que el desembolso
del préstamo (o monto de la deuda).
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el número de cuotas n
coincide con la cantidad de q-períodos que caben en t años (la duración de la
operación) para algún q de los habituales, i.e., q 2 f1; 2; 3; 4; 6; 12; 52; 360; 365g.
Por ejemplo 12 cuotas en un año nos dice que las cuotas son mensuales, mientras
que 12 cuotas en 3 años nos dice que las cuotas son trimestrales, 9 cuotas en
año y medio nos indica que las cuotas son bimestrales. Por lo tanto se cumple
que
qt = n
Dada la tasa de interés (directa) p-períodica cobrada �(p), calculamos la tasa
directa q-períodica asociada
�(q) = q
r�
1 + �(p)
�p
� 1
Con ambas tasa podemos calcular a pues
a =
C0
�
1 + �(p)
�pt
n
=
C0
�
1 + �(q)
�qt
n
8.1. PRÉSTAMOS COMERCIALES 233
Ahora, el valor actual de la renta asociada es siempre mayor que C0 :
a
1�
�
1 + �(q)
��qt
�(q)
> C0
pues
a
1�
�
1 + �(q)
��qt
�(q)
= a
1�
�
1 + �(q)
��n
�(q)
=
C0
�
1 + �(q)
�n
n
1�
�
1 + �(q)
��n
�(q)
=
C0
n
�
1 + �(q)
�n
� 1
�(q)| {z }
>n
> C0
La tasa q-períodica i(q) a la cual la renta de n términos a tiene un valor
actual de C0 es siempre mayor que la tasa directa q-períodica �
(q) equivalente a
la tasa declarada pues como
a
1�
�
1 + �(q)
��qt
�(q)
> C0 = a
1�
�
1 + i(q)
��qt
i(q)
tenemos que
1�
�
1 + �(q)
��qt
�(q)>
1�
�
1 + i(q)
��qt
i(q)
de donde podemos concluir que
i(q) > �(q)
(recordar que este multiplicador, �jado n, es una función estrictamente decre-
ciente de la tasa). Veri�quemos esto en el ejemplo dado. La tasa mensual para
la cual
100
1�
�
1 + i(12)
��12
i(12)
= 1:000
es (usando Newton-Raphson)
i(12) = 0; 0292285407616 > 0; 0153094705 = �(12)
Lo que nos una tasa anual
i = 0; 412998984 > 0; 2 = �
Finalmente los términos de la renta tendrián que ser de $ 91,86 para que a
la tasa dada el valor actual de la renta sea $ 1.000, pues
1:000 � 0; 0153094705
1� (1 + 0; 0153094705)�12
= 91; 8568229987
234 HOOFDSTUK 8. PRÉSTAMOS
Ejercicio 8.3 El Sr. Nicolás solicita un préstamo de $ 15.000 en su obra social,
la cual utiliza el sistema comercial y cobra una tasa anual del 26.5 %. Plantear
el préstamos para 12, 18, 24, 36, y 60 meses (cuotas mensuales). En cada caso
dar el valor actual de la renta generada, averiguar la tasa real que cobra la obra
social.
Ejercicio 8.4 La Srta. Jésica compro unos zapatos en la zapatería top del mo-
mento. Los zapatos cuestan $ 650. Gonzalo, el vendedor, le dice �no te preocupes
querida, los podes pagar en 6 cuotitas mensuales de $ 120�. Si la tienda usa in-
terés directo ¿Cuál es el interés directo semestral cobrado?.
Ejercicio 8.5 A la Srta. Jésica le es más facil pagar pagar $ 30 cada semana,
en lugar de los $ 120 por mes. El dueño de la tienda acepta sin ninguna queja
¿Por qué? (Calcular la tasa real de ambas operaciones o el valor actual de cada
una de las rentas generadas).
Agregar más ejercicios.
8.2 Préstamos a interés sobre saldos
Los elementos que componen un préstamo a interés sobre saldos son:
1. C0 el importe del préstamo (llamado principal o deuda).
2. n número de cuotas en las que se devolverá el préstamo más los intereses
generados.
3. a1; a2; : : : ; an sucesión de términos amortizativos, son lo pagos acorda-
dos que el prestatario realiza a �n de cancelar el préstamo más los intereses
generados.
4. t0; t1; t2; : : : tn sucesión de plazos en los que el dinero cambia de manos.
t0 es el momento en el cual el préstamista le entrega la cantidad C0 al
prestatario. El resto de los tiempos corresponden a la sucesión de términos
amortizativos (los pagos realiza el prestario).
5. i1; i2; : : : ; in la sucesión de intereses que se aplican en cada uno de los
períodos:
ik corresponde al interés cobrado en el período k
recordar que el período k comienza en el momento tk�1 y termina en el
momento tk.
PONER DIBU>!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
En un préstamo típico, dada C0, la sucesión de tiempos t0; t1; t2; : : : tn y la
sucesión de intereses a ser aplicados i1; i2; : : : ; in, el problema es determinar el
monto de los pagos que deberá abonar el prestatario, los cuales deben generar
8.2. PRÉSTAMOS A INTERÉS SOBRE SALDOS 235
un �ujo de fondos �nancieramente equivalente a la candidad prestada C0 :
C0 =
a1
1 + i1
+
a2
(1 + i1) (1 + i2)
+ � � �+ an
(1 + i1) (1 + i2) � � � (1 + in)
=
nX
h=1
ah
hY
k=1
(1 + ik)
(8.2)
Cada término amortizativo ah tiene en principio dos componentes: una des-
tinada a cancelar los intereses generados en el correspondiente período, y la otra
a destinada a disminuir el monto de la deuda, las cuales reciben los nombres de
cuota de interés y cuota de capital (o de amortización) respectivamente
ah|{z}
Término amortizativo
E s lo q u e e f e c t ivam e n t e
p a g a e l p r e s t a t a r io
=
Cuota de interés
S e e n c a r g a d e c a n c e la r
lo s in t e r e s e s
z}|{
Ih + Ah|{z}
Cuota de capital
S e e n c a r g a i r c a n c e la n d o
e l c a p i t a l a d e u d a d o
(8.3)
De la de�nición de cuota de interés se deduce
Ih = (saldo al pricipio del periodo anterior) por (el interés del período)(8.4)
= (saldo al momento h� 1) ih (8.5)
Por de�nición de cuota de capital, si deseamos alguna vez cancelar el prés-
tamo, debe ocurrir que
C0 = A1 +A2 + � � �+An (8.6)
El monto adeudado al momento h es conocido como capital pendiente Ch,
es la cantidad de dinero que se debe luego de pagar el término amortizativo ah.
Como período a período se deben cancelar los intereses generados, para cada
1 � h � n se cumple que
Ch := C0 �A1 �A2 � � � � �Ah = Ah+1 +Ah+2 + � � �+An (8.7)
de donde se deduce con facilidad la siguiente relación recursiva
Ch = Ch�1 �Ah (8.8)
Otra forma recursiva de para calcular el capital pendiente al momento h resulta
de la siguiente observación: lo que se debe al momento h debe ser igual a lo que
se debía en el período anterior h � 1, capitalizado al período h, menos el pago
realizado:
Ch = Ch�1 (1 + ih)� ah (8.9)
También podemos calcular el capital pendiente al momento h actualizando todos
los pagos que restan por realizar
Ch =
nX
j=h
aj
jY
k=h
(1 + ik)
(8.10)
236 HOOFDSTUK 8. PRÉSTAMOS
Ahora podemos reescribir la ecuación (8.4) para la cuota de interés en tér-
minos del capital pendiente al período anterior
Ih = Ch�1ih (8.11)
Nota 8.6 Esta es la razón por la cual decimos que estos sistemas de préstamos
cobran los intereses sobre saldos.
Se llama total amortizado al período h a la suma de las cuotas de amor-
tización pagadas hasta el momento h
Mh = A1 +A2 + � � �+Ah (8.12)
Por lo tanto, para todo momento h (entre 0 y n) se debe cumplir que la suma
entre el capital pendiente y el total mortizado debe ser igual al capital prestado
C0 = Ch +Mh
Aqui se está implícito que M0 = 0.
Si los intereses cobrados al prestamista permanecen constantes:
i1 = i2 = � � � = in = i
el cálculo del monto de cada uno de los términos amortizativos se simpli�ca al
suponer constante alguna de la partes de (8.3):
an = In +An
esto da origen a tres tipos de préstamos dentro de los que cobran los intereses
sobre saldos.
1. Préstamo Francés: en este caso se dejan constantes los términos amor-
tizativos ah (los pagos a realizar).
2. Préstamo Alemán: en este caso se dejan constantes las cuotas de capital
Ah.
3. Préstamo Americano: en este caso se dejan constantes las cuotas de
interés Ih.
Existen una gran cantidad de variantes, variables y situaciones que modi�can
este esquema inical de préstamo a interés sobre saldo. Las principales (pero no
las únicas) son:
1. Período de gracia.
2. Efectos de los impuestos.
3. Efectos de gastos varios: costos administrativos, honorarios varios (para
peritos, notarios, escribanos, por nombrar algunos), etc.
4. Efectos de los seguros.
5. Adelanto de cuotas y cancelación anticipada.
8.2. PRÉSTAMOS A INTERÉS SOBRE SALDOS 237
6. Efecto de eventuales atrasos (mora) y los punitorios correspondientes.
7. Efecto de la in�ación.
8. Efecto de la devaluación o apreciación de las monedas involucradas en la
operación (directa o indirectamente).
Analizaremos el efecto de las mismas con cierto grado de detalle para el
préstamo francés, pues este es el sistema más usado en nuestro Argentina.
238 HOOFDSTUK 8. PRÉSTAMOS
Hoofdstuk 9
Préstamo francés
9.1 Introducción
Recordemos que como hipótesis inicial de trabajo vamos a suponer que la tasa
de interés cobrada por el prestamista (acreedor) es constante a lo largo de todo
el préstamo, lo cual nos permitirá aplicar las fórmulas desarrolladas para rentas
constantes.
El sistema francés es el más habitual en Argentina, ya que son constantes
cada uno de los pagos que realiza el prestatario
a1 = a2 = � � � = an = a (9.1)
lo cual es lo preferido por la mayoría de la población (por algún motivo psi-
cológico más alla de los conocimientos de los autores).
Los elementos que componen un típico préstamo francés son:
1. C0 el capital préstado (deuda).
2. i la tasa de interés cobrada por el prestamista.
3. a la cuota de amortización.
4. n la cantidad de pagos que debe realizar el prestatario.
poner dibu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Para simpli�car la notación supondremos que la tasa aplicada y los períodos
a los que son impuestos cada uno de los capitales son temporalmente compatibles
(si las cuotas son mensuales, el interés es mensual, y en general si las cuotas son
p-períodicas, la tasa considerada será p-períodica).