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FORMULARIO NÚMEROS COMPLEJOS
Unidad imaginaria. Es el número −1 y 
se designa por i
Números complejos: Son aquellos que se pue-
den escribir de la forma abi , donde a y 
b son números reales e i la unidad imagina-
ria.
a= Re(z) es la parte real 
b=Im(z) es la parte imaginaria
El conjunto de todos los números complejos se designa por 
ℂ y se define como ℂ:= {z=abi / a ,b∈ℜ }
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma 
parte real y la misma parte imaginaria:
abi=a'b' ia=a' y b=b'
Forma binómica de un número complejo: z=abi 
Si b=0 z=a es un número real.
Si b≠0 y a=0 z=bi , es un número imaginario puro.
Conjugado, opuesto e inverso de un número en forma binó-
mica: * opuesto: −z=−a−bi
* conjugado: z=a−bi
* inverso: z−1=
1
z
=
1
abi
Representación de números complejos
 ℂ:= {P a ,b / a ,b∈ℜ } A cada número complejo 
z=a+bi se le hace corresponder el punto P(a,b), que se llama 
afijo del número complejo.
Potencias de i: 
i0=1 , i1=i , i2=−1 , i3=−i , i4=1 , i5=i ...
i254=i4 63⋅i2=1−1=−1
Operaciones con números complejos:
• Suma abicdi=acbd i
• Resta abi−cdi=a−cb−d i
• Producto abicdi=ac−bdadbc i
• División 
abi
cdi
=
abic−di
cdi c−di 
=...
Números complejos en forma polar: r
r=∣z∣ Es el módulo de un número 
complejo. 
 Es el argumento del número 
complejo, que se puede expresar en gra-
dos o en radianes. Dos números com-
plejos son iguales si tienen el mismo 
módulo y el mismo argumento. 
r=r '  '  r=r ' y = 'k · 360º k∈ℤ
Tomaremos siempre ∈[ 0,360 º )
Conjugado, opuesto e inverso de un número en forma polar:
• opuesto: −z=r180º
• conjugado: z=r−
• inverso: z−1=
1
z
=
1
r
=
10º
r 
=1r −
Paso de forma binómica a polar:
r=∣z∣=a2b2 tg=b
a
=arctg ba 
Paso de forma polar a binómica:
 a=r cos b=r sen
Forma trigonométrica: 
z=abi=r cosr seni=r cosi sen
Producto de números complejos en forma polar:
 r⋅r ' '=r⋅r '  '
Cociente de números complejos en forma polar: 
r 
r ' '
= rr ' − '
Potencias de números complejos:
rα 
n
=r⋅r⋅r⋅... r
n veces
=r ·r · r ·... · r...=r
n
n
Fórmula de Moivre:
 zn=r
n
=rncos ni senn Si r =1, es muy útil 
en trigonometría:
 1
n
=cosi senn=cosni sen n
Raíces de números complejos:
 
nr= 
nr 360º k
n
Siendo k = 0, 1, 2,.., (n-1)
Los afijos de nr son los 
vértices de un polígono regular 
de n lados inscrito en una cir-
cunferencia de radio nr
Formula del binomio de Newton abin=∑
k=0
n
nk a
n−k bik
r
r−r