Matematica para nacional-2022

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matemática 
PARA NACIONAL
TEXTO PREPARACIÓN 
PRUEBA DE TRANSICIÓN 
MATEMÁTICA
Editorial Moraleja
www.moraleja.cl
editorial@moraleja.cl
MATEMÁTICA PARA nacional
TEXTO PREPARACIÓN PRUEBA DE TRANSICIÓN MATEMÁTICA
© Inscripción Nº 275.203
Derechos reservados
Noviembre 2021
I.S.B.N 978-956-7275-20-5
Sexta edición
Noviembre 2021
AUTORES | Javiera Carlevarino - Andrés Mardones - Claudio Muñoz
COLABORADOR | Laura Valenzuela
DISEÑADORES | Illiana Medina - Valentina Saba 
Jorge Vergara - Bárbara Meza - Esteban Rosales
DIAGRAMACIÓN | Matías Mardones
DISEÑOS | Freepik
MULTIMEDIA | Esteban Rosales
DIRECTOR EDITORIAL | Andrés Mardones
Edición: Moraleja Editorial
Imprenta: Salesianos Impresores
Fecha impresión: Noviembre 2021
Portadas: Couche 350 grs
Páginas: pág. Papel Bond 70 grs.
Tamaño: 21 x 29,7 cm
Peso: 1,65 Kg. aprox.
AGRADECIMIENTOS ESPECIALES
Queremos agradecer a todos quienes de una u otra manera han ayudado al mejoramiento 
de este texto de estudio, dedicando tiempo y energías en ello, en especial a: Ana María 
Bascuñan - Antonella Castagno - Belén Salman - Camila Moletto - Carlos Wiedmaier - Carmen 
Poblete - Carolina Paz - Catalina Lizama - Constanza Bascuñan - Constanza Pinochet - Cristóbal 
Bascuñán - Daniela Torres - Darwin Parada - Eduardo Cancino - Emilio Rioseco - Esteban Carrasco 
- Esteban López - Fernando Hunvi - Francisca Urrutia - Francisca Vejar - Gregorio Guesalaga - 
Guillermo Torrealba - Horacio Fernández - Ignacio Ariztia - Ignacio Frías - Isabel Salazar - Isidora 
Benavente - Jordan Hernández - Jorge Díaz - Jorge Frei - Jose Bustamante - Jose Joaquín Lagos - 
José Tomas Landon - Josefa Acevedo - Macarena Frei - Macarena Fuenzalida - Marsh Morgenstern 
- Martín Zabala - Matías Talamilla - Matilde Naretto - Maximiliano Concha - Michelle Cea - Nicolas 
Liberon - Oscar Paredes - Patricia Tocornal - Paula Cruz - Pedro Lettich - Pilar Fernández - Sebastián 
Albarracín - Sofía Marcone - Sofia Valdés - Stefano Roncatti - Tomas Müller - Tomás Vial - Vicente 
Cordero - Viviana Destin - Ximena Torres - Tomas Salazar Triviño - Catalina Hidalgo
AGRADECIMIENTOS A INSTITUCIONES
También agradecer a las instituciones que hasta el momento han reconocido el 
trabajo y han confiado en nuestros textos para enseñar a sus alumnos.
Material protegido bajo derecho de autor. 
Prohibida su reproducción parcial o total sin el consentimiento explícito de Editorial Moraleja.
Índice
ii
Índice
Matemática Para Nacional iii
Capítulo 1 | NÚMEROS ENTEROS
10 | CONJUNTOS NUMÉRICOS
10 | Números enteros
10 | Valor absoluto
Propiedades del valor absoluto
11 | ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS 
ENTEROS
13 | LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS EN LOS 
ENTEROS
13 | Adición y Sustracción
13 | Multiplicación y División
14 | MÚLTIPLOS Y DIVISORES
14 | Múltiplos
14 | Divisores
15 | PARIDAD E IMPARIDAD
15 | PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES EN LOS 
NÚMEROS ENTEROS
15 | Propiedad Conmutativa
16 | Propiedad Asociativa
16 | Propiedad Distributiva
16 | Neutro Aditivo y Neutro Multiplicativo
16 | Inverso Aditivo
16 | Elemento Absorvente
17 | Prioridad de las operaciones
17 | CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
20 | NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y TEOREMA 
FUNDAMENTAL
21 | MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) Y 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
21 | Mínimo común múltiplo (m.c.m) 
21 | Máximo común divisor (M.C.D)
22 | Problemas de aplicación
22 | EVALUAR EXPRESIONES
23 | ENUNCIADOS FRECUENTES
Capítulo 2 | NÚMEROS RACIONALES
36 | NÚMEROS RACIONALES
36 | FRACCIONES
36 | Tipos de fracciones
Fracción propia
Fracción impropia
Fracción decimal
Fracción Mixta o Número Mixto
37 | Fracciones indefinidas e indeterminadas
37 | Fracciones equivalentes
Amplificación y simplificación de una fracción
37 | Fracciones Irreductibles
38 | Operatoria con fracciones
Operaciones básicas
39 | PROPIEDADES DE LA OPERATORIA EN Q.
Cerradura
Existencia de Inversos
Distributividad del producto respecto a la suma
43 | NÚMEROS DECIMALES
43 | Tipos de números decimales
Decimal finito
Decimal infinito periódico
Decimal infinito semi–periódico
43 | Operatoria con decimales
Adición y sustracción
Multiplicación
División
44 | Transformación de decimales a fracciones
De decimales finitos a fracciones
De decimales periódicos a fracciones
De decimales semi–periódicos a fracciones
44 | Relación de orden en fracciones positivas
Multiplica ción cruzada
Igualar denominadores
Igualar numeradores
Convertir a número decimal
47 | APROXIMACIONES
47 | Aproximación por defecto y exceso
47 | Truncar y redondear
Capítulo 3 | PORCENTAJES
63 | ¿QUÉ ES UNA RAZÓN?
63 | PROPORCIONALIDAD DIRECTA
64 | ¿QUÉ ES UN TANTO POR CIENTO?
64 | Cálculo de un tanto por ciento de un valor
65 | Porcentaje como fracción de un número
65 | Cálculo rápido de algunos porcentajes
66 | PORCENTAJE DE UN PORCENTAJE
69 | PORCENTAJES DESCRIBIENDO CAMBIOS
69 | Cambio absoluto
69 | Cambio relativo
70 | PORCENTAJES Y SU USO EN LA 
COMPARACIÓN
70 | Cambiando el valor de referencia
70 | Cambiando el valor a comparar
71 | APLICACIÓN DE PORCENTAJES
71 | Interés simple
72 | Interés compuesto
Capítulo 4 | NÚMEROS REALES
88 | NÚMEROS IRRACIONALES
88 | NÚMEROS REALES
88 | POTENCIAS EN LOS REALES
89 | Signo de una potencia
Exponente par
89 | Propiedades de las potencias
Multiplicación de potencias de igual base
División de potencias de igual base
Potencia de una potencia
Multiplicación de potencias de distinta base e igual 
exponente
División de potencias de distinta base e igual 
exponente
Potencias de exponente negativo
Fracciones con exponente negativo
Suma y resta de potencias
90 | NOTACIÓN CIENTÍFICA
ÍNDICE
Índice
iv
93 | RAÍCES EN LOS REALES
93 | Propiedades de las raíces reales
Multiplicación de raíces de igual índice
División de raíces de igual índice. 
Factor positivo de una raíz como factor sub–radical
Raíz de una raíz
Raíz como potencia
94 | Relación de orden de las raíces reales
Iguales índices
Iguales cantidades sub–radicales
Distintos índices y distintas cantidades sub–radicales
94 | Suma de raíces
95 | Consideraciones en la operatoria de números 
reales
Capítulo 5 | ÁLGEBRA
111 | ÁLGEBRA
111 | Lenguaje algebraico
111 | Operatoria de expresiones algebraicas
Reducción de términos semejantes
Multiplicación de polinomios
Productos Notables
116 | Factorizar expresiones algebraicas
Factor común
Factor común compuesto
Asociado a productos notables
Otros
119 | M.C.D. y m.c.m
M.C.D (Máximo Común Divisor)
m.c.m ( mínimo común múltiplo )
119 | Operatoria con fracciones algebraicas
Simplificación de fracciones algebraicas
Adición y sustracción
Multiplicación y División
120 | Operaciones definidas
Capítulo 6 | ECUACIONES Y 
SISTEMAS DE ECUACIONES
136 | ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
136 | Tipos de soluciones de una ecuación de primer 
grado
137 | Ecuaciones Fraccionarias de primer grado
137 | Ecuaciones Literales
138 | Ecuaciones con valor absoluto
141 | SISTEMAS DE ECUACIONES
141 | Métodos de resolución de sistemas de 
ecuaciones
Método de sustitución
Método de igualación
Método de reducción
142 | Análisis de sistemas de ecuaciones
Tiene solución única si:
Tiene infinitas soluciones si:
No tiene solución si:
145 | PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO
145 | Problemas con fracciones
145 | Problemas de dígitos
146 | Problemas de edades
146 | Problema tipo caudales o trabajos
Capítulo 7 | POTENCIAS Y RAÍCES
162 | POTENCIAS
Multiplicación de potencias de igual base. 
División de potencias de igual base.
Potencia de una potencia.
Multiplicación de potencias de distinta base e igual 
exponente.
División de potencias de distinta base e igual 
exponente.
Potencias de exponente negativo. 
Fracciones con exponente negativo.
Potencia de exponente racional.
163 | ECUACIÓN EXPONENCIAL CON IGUALACIÓN 
DE BASES
166 | RAÍCES
166 | Definiciones
167 | Propiedades de las raíces en R
Multiplicación de raíces de igual índice. 
División de raíces de igual índice. 
Raíz de una raíz.
Raíz de una potencia
Factor de una raíz como factor sub–radical
Amplificación y simplificación de unaraíz
170 | Racionalización
170 | ANEXO: DENOMINADOR CON SUMAS DE 
RAÍCES CÚBICAS
171 | ANEXO: ECUACIÓN IRRACIONAL
Control 1 | NÚMEROS Y ÁLGEBRA
Capítulo 8 | DESIGUALDADES E 
INECUACIONES
195 | DESIGUALDADES
195 | Propiedades
196 | Intervalos
200 | INECUACIONES
200 | Inecuaciones de primer grado con una incógnita
203 | Problemas de inecuaciones
204 | Anexo: Inecuaciones de segundo grado y 
fraccionarias
Capítulo 9 | LOGARITMOS
218 | LOGARITMOS
218 | Propiedades de los logaritmos
Logaritmo de 1
Logaritmo de la base
Logaritmo de un producto
Logaritmo de una potencia
Logaritmo de una división
Cambio de base
Reducción vía producto
Logaritmos con base una potencia
Cambio de signo
220 | Relación de orden de logaritmos
Caso 1: Bases iguales
Caso 2: Bases distintas y argumentos distintos
225 | ANEXO: ECUACIÓN LOGARÍTMICA
225 | ANEXO: ECUACIÓN EXPONENCIAL CON 
DISTINTA BASE
Capítulo 10 | ECUACIONES DE 
SEGUNDO GRADO
237 | ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
237 | Métodos de resolución
Vía factorización
Vía completación de cuadrados
Vía la utilización de la fórmula general
239 | Propiedades de las soluciones
239 | Plantear una posible ecuación cuadrática, 
conocidas sus soluciones
242 | Naturaleza de las soluciones utilizando el 
discriminante
242 | Resolver ecuaciones usando variables auxiliares
Índice
Matemática Para Nacional v
245 | Problemas de aplicación
Capítulo 11 | FUNCIÓN LINEAL Y 
AFÍN
259 | FUNCIONES
259 | Funciones en el plano cartesiano
260 | Valorización de funciones
260 | FUNCIONES REPRESENTADAS COMO RECTAS
260 | Función Constante
261 | Función lineal
262 | Función Identidad
263 | Función Afín
264 | FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS
268 | APLICACIONES LINEALES
Capítulo 12 | FUNCIÓN CUADRÁTICA
285 | Concavidad
285 | Dominio y Recorrido
286 | Intersección con los ejes
Cantidad de intersecciones con el eje x
289 | Eje de simetría y vértice
289 | Máximo y mínimo
289 | Desplazamientos y reflexión vertical
Traslación horizontal de la función f(x) = x
2
Traslación vertical de la función f(x) = x
2
Traslación horizontal y contracción (o dilatación) 
de la función f(x) = x
2
Reflexión vertical
295 | Problemas de aplicación
298 | ANEXO : Función inversa de una función 
cuadrática
Control 2 | ÁLGEBRA Y FUNCIONES
Capítulo 13 | FIGURAS 
GEOMÉTRICAS
327 | TRIÁNGULO
327 | Elementos secundarios del triángulo
Altura
Bisectriz
Simetral
Mediana
Transversal de gravedad
330 | Áreas y perímetros en triángulos
330 | Cálculo de áreas – Casos frecuentes
Triángulo rectángulo
Triángulo obtusángulo
Triángulo equilátero
330 | Teorema de Pitágoras
Tríos Pitagóricos
Triángulos Notables
333 | CUADRILÁTEROS
Paralelogramos
Trapecios
Trapezoides
333 | Paralelogramos
Propiedades comunes
Clasificación de paralelogramos
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
334 | TRAPECIO
Trapecios notables
337 | CÍRCULO
Circunferencia v/s Círculo
Sector Circular
Segmento Circular
Capítulo 14 | SEMEJANZA
352 | CONGRUENCIA
352 | SEMEJANZA
353 | Criterios de semejanza de triángulos
354 | Razón de semejanza
354 | MODELOS A ESCALA
355 | DIVISIÓN INTERIOR DE TRAZOS
359 | HOMOTECIA
360 | TEOREMA DE THALES
Capítulo 15 | TRANSFORMACIONES 
ISOMÉTRICAS
377 | SISTEMA CARTESIANO
377 | Distancia entre puntos y Punto medio
Distancia entre puntos
Punto medio de un segmento
378 | VECTORES
378 | Operatoria geométrica
378 | Vectores en el plano
379 | Operatoria aritmética
Adición y sustracción
Vectores no anclados en el origen
Módulo o Magnitud de un vector
Ponderación por un escalar
382 | TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
382 | Traslación
382 | Simetría central
Figuras con centro de simetría
383 | Simetría axial
Algunas figuras con ejes de simetría
384 | Rotación
Rotaciones en torno al origen del plano cartesiano
Rotaciones en torno a un punto distinto al origen
Control 3 | GEOMETRÍA
Capítulo 16 | ESTADÍSTICA
418 | ANÁLISIS DE DATOS
418 | Tabulación de datos
Tablas de frecuencias para datos no agrupados
Tablas de frecuencias para datos agrupados en 
intervalos
420 | Representación gráfica e interpretación de 
gráficos
Histogramas
425 | MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (MTC)
425 | MTC para datos sin agrupar
Media ( X )
Moda
Mediana
425 | MTC para datos en tabla sin intervalos
Media ( X )
Moda
Mediana
427 | MTC para datos agrupados en tabla con 
intervalos
Media ( X )
Intervalo modal
Intervalo que contiene a la mediana
Índice
vi
432 | MEDIDAS DE POSICIÓN
432 | Percentiles
Percentiles para datos sin agrupar
Percentiles para datos en tabla sin intervalos
Intervalo que contiene a un percentil k
433 | Cuartiles
Diagrama de caja
Capítulo 17 | PROBABILIDADES
452 | TÉCNICAS DE CONTEO
452 | Principio Multiplicativo
453 | Principio Aditivo
453 | Permutación usando todos los elementos
Permutación lineal simple
Permutación circular
Permutación con elementos repetidos
454 | Variación o permutación sin usar todos los 
elementos
Variación con repetición (reposición)
Variación sin repetición (reposición)
454 | Combinación
Combinación con elementos repetidos
Combinación sin elementos repetidos
455 | CUADRO RESUMEN DE TÉCNICAS DE CONTEO
458 | PROBABILIDAD BÁSICA
458 | Nociones básicas de las probabilidades
458 | Probabilidad clásica o regla de Laplace
459 | Determinación de casos favorables y totales
Diagrama del árbol
Triángulo de Pascal
465 | SUMA Y PRODUCTO DE PROBABILIDADES
465 | Suma de probabilidades
Mutuamente excluyentes
No mutuamente excluyentes
466 | Producto de probabilidades
Eventos independientes
Eventos dependientes
Control 4 | ESTADÍSTICA Y 
PROBABILIDADES
anEXo 1 | NÚMEROS COMPLEJOS
499 | NÚMEROS IMAGINARIOS
499 | Unidad imaginaria
499 | Potencias de i
499 | Números imaginarios
500 | NÚMEROS COMPLEJOS
500 | Representación
Forma binomial
Forma cartesiana o par ordenado
Vector
500 | Igualdad de complejos
500 | Real puro e Imaginario puro
500 | Valor absoluto o módulo de un complejo
500 | Conjugado de un complejo
501 | Adición y sustracción de complejos
Adición
Sustracción
501 | Multiplicación de complejo por un escalar
501 | Multiplicación de complejos
501 | Inverso multiplicativo de un complejo
502 | División de complejos
anEXo 2 | FUNCIONES Y FUNCIÓN 
POTENCIA
517 | FUNCIONES
517 | Funciones Pares e Impares
Función Par
Función Impar
517 | Determinar el dominio y recorrido de una función
Dominio
Recorrido
518 | Función inversa
519 | Composición de funciones
Dominio de una composición
Recorrido de una composición
520 | Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Función Creciente
Función Decreciente
Función Constante
520 | Traslación de funciones
Desplazamiento vertical
Desplazamiento horizontal
Desplazamiento compuesto
521 | Reflexión de funciones
Reflexión respecto al eje y
Reflexión respecto al eje x
521 | FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y 
BIYECTIVA
Función Inyectiva
Función Sobreyectiva
Función Biyectiva
523 | FUNCIÓN POTENCIA
523 | Exponente positivo par
523 | Exponente positivo impar
523 | Exponente negativo par
524 | Exponente negativo impar
anEXo 3 | CONCEPTOS BÁSICOS DE 
GEOMETRÍA
534 | ÁNGULOS
535 | Clasificación de los ángulos
De acuerdo a su medida en grados.
De acuerdo a la suma de sus medidas
De acuerdo a su posición
536 | Ángulos formados en rectas paralelas que son 
cortadas por una transversal
Casos Frecuentes
537 | TRIÁNGULOS
537 | Clasificación de los triángulos
Según sus lados
Según la medida de sus ángulos interiores
538 | Otras relaciones en triángulos
Relación entre los lados
Relación entre los ángulos
538 | ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
Altura
Bisectriz
Simetral
Mediana
Transversal de gravedad
539 | TEOREMA EUCLIDES
Fórmulas referentes a la altura
Fórmulas referente a los catetos
540 | POLÍGONOS
Propiedades de polígonos de n lados
Polígonos Regulares
540 | TRAPEZOIDE
Trapezoide asimétrico
Trapezoide simétrico (deltoide)
541 | CIRCUNFERENCIA
541 | PROPORCIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema de las secantes
Índice
Matemática Para Nacional vii
Teorema tangente–secante
Teorema de las cuerdas
Caso particular de las cuerdas
Tangentes desdeun punto 
Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia 
543 | CUERPOS
543 | Poliedro
543 | Cuerpos redondos
543 | Cuerpos generados por rotación o traslación de 
figuras planas
Cuerpos de revolución
Cuerpos de traslación
544 | Fórmulas de Cuerpos 
Cubo
Paralelepípedo
Prisma
Pirámides
Cilindros
Conos
Esferas
anEXo 4 | PLANO CARTESIANO
554 | ECUACIÓN DE LA RECTA
Forma principal
554 | Determinando la ecuación de la recta
Punto y pendiente
Intersección con los ejes coordenados
555 | Casos especiales
Recta paralela al eje x
Recta paralela al eje y
555 | POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS EN EL 
PLANO
555 | Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
556 | Análisis de soluciones de sistemas de 
ecuaciones
Rectas secantes
Rectas coincidentes
Rectas paralelas no coincidentes
anEXo 5 | VARIABLE ALEATORIA Y 
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
566 | VARIABLE ALEATORIA
Variable Cualitativa
Variables cuantitativas discretas
Variables cuantitativas continuas
567 | FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
567 | FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE 
PROBABILIDAD ACUMULADA
568 | ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA 
DISCRETA
568 | Relación entre esperanza y varianza
570 | Esperanza en juegos de azar
anEXo 6 | DISTRIBUCIÓN NORMAL Y 
BINOMIAL
588 | DISTRIBUCIÓN NORMAL
Propiedades de la distribución Normal
588 | Distribución normal estándar
Propiedades
Estandarizar una variable X
Intervalos de una distribución normal
593 | DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
593 | Función de probabilidad de una distribución 
binomial
594 | Función de distribución acumulada de la 
distribución binomial
594 | Esperanza y varianza de la distribución binomial
594 | Aproximación de la probabilidad binomial por la 
probabilidad de la normal
Índice
viii
Índice
Matemática Para Nacional ix
10
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los conjuntos numéricos que estudiaremos son:
Números Naturales: N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }
Números Cardinales: N0 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }
Números Enteros: Z = { ... , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , ... }
Números Racionales Q. Ejemplos: { 1 , 0,2 , 3
4– , 2,31 , ... }
Números Irracionales Q*. Ejemplos: { 2 , p , 35 , ... }
Números Reales R. Ejemplos: { 7 , 3p , 84 , log 3 , ... }
Números Imaginarios I. Ejemplos: { i , 2i , 3 i , 3
2 i , ... }
Números Complejos C. Ejemplos: { 1 , – i , 3 + 2i , 1 – i , ... }
N
N0
Z
Q Q* I
C
R
a. Números enteros
Los números enteros Z, incluyen a los números naturales, a los opuestos de estos y al cero. Estos 
se representan en la recta numérica horizontal, quedando los positivos a la derecha del cero 
y los negativos a la izquierda.
0 1– 4– 5 3 4– 2 2– 3 5– 1
Z
N = Z 
+
Z 
–
El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenable y, por lo mismo, podemos com-
parar sus valores y decidir si dos números enteros son iguales o distintos, y si son distintos, cuál 
de ellos es el mayor y cuál es el menor.
b. Valor absoluto
El valor absoluto de un número x se escribe |x| y su valor corresponde a la distancia que existe 
entre el número x y el 0. Así, el valor de |x| es siempre mayor o igual a 0, pues corresponde a 
una distancia y por tanto no puede ser negativo. Por lo tanto, para cualquier valor real x , se 
tendrá que |x|≥ 0.
–3 –2 –1 0 1 2 3
 |–3| = 3 |3| = 3
 
=x
x si x
x si x
0
0
– 1
$*
 TIP:
Para cualquier par de valores a y b, siempre se cumple que: |a – b|=|b – a|. 
Ejemplo: |7 – 3|=|4|= 4 y |3 – 7|=|– 4|= 4
“Vive como si fueses a morir 
mañana. Aprende como si fueses 
a vivir siempre”
— MAHATMA GANDHI —
ABOGADO, PENSADOR Y POLÍTICO
Capítulo 1
NÚMEROS 
ENTEROS
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moraleja.cl/mpn6-1
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 11
i. Propiedades del valor absoluto
Para cualquier par de valores a y b, sus valores absolutos siempre cumplirán con las siguientes 
propiedades:
1. Multiplicación: 2. División: 3. Potencia: 
a b a b$ $=
b
a
b
a= , con b ≠ 0. a a
n n= , con n ! Z.
Ejemplo: 5 3 5 3 15– –$ $= = Ejemplo: 2
6
2
6 3– –= =
Ejemplo: 3 3 9– –2 2= =^ h
2. ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
En el conjunto de los números enteros existe una relación de orden entre sus elementos y, por 
ende, los podemos ordenar de menor a mayor. Para esto utilizamos lo que se conoce como 
“Ley de Tricotomía”, que señala que todo par de números, x e y, deben cumplir con una de 
las siguientes condiciones:
 2 “x es menor que y” y se escribe “x < y”.
 2 “x es igual a y” y se escribe “x = y”.
 2 “x es mayor que y” y se escribe “x > y”.
Es en esta lógica comparativa que necesitamos tener algún mecanismo para ordenar a estos 
elementos. La forma más simple que tenemos para decidir entre dos números distintos, cuál 
es el menor, es mirar su ubicación en la recta numérica, pues será menor aquel que esté más 
a la izquierda. No obstante lo anterior, también podemos decidir el orden entre dos o más 
números enteros a partir de su signo y su valor absoluto. Esto se reduce a:
 2 Si a y b son dos números enteros distintos y positivos, diremos que a es menor que b, y 
escribiremos a < b, cada vez que |a|<|b|.
Ejemplos: 2 8 < 10 , pues |8|<|10| 2 25 > 9 , pues|25|>|9|
 2 Si a y b son dos números enteros distintos y negativos, diremos que a es menor que b, y 
escribiremos a < b, cada vez que |a|>|b|.
Ejemplos: 2 – 3 > – 7 , pues |– 3|<|– 7| 2 – 10 < – 9 , pues|– 10|>|– 9|
 2 Si a y b son dos números enteros tales que a < 0 y b > 0, siempre diremos que a es menor que 
b, independiente de su valor absoluto.
Ejemplos: 2 – 8 < 10 , pues – 8 < 0 y 10 > 0 2 1 > – 190 , pues 1 > 0 y – 190 < 0
Ejemplos PDT
1. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2014)
I. |– 3| ∙ |– 2| = |– 6|
II. |– 5| ∙ |5| = |– 5|2
III. |– 4| – |– 3| = – 1
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo I y II
Capítulo 1 | Números Enteros
12
2. El valor de ||–6|–|–6|| es:
A ) 0
B ) 6
C ) 12 
D ) 36
3. Sean los números enteros a, b y c. Se puede determinar cual de ellos es el menor si:
( 1 ) a – b < 0
( 2 ) a – c > 0
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
4. ¿Cuál(es) de las relaciones siguientes es(son) falsa(s)?
I. |–5| > |–3|
II. |–5| < |0|
III. |–9| < |8|
A ) Solo II
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
5. Si a > b , entonces |b – a|=
A ) a – b
B ) b – a
C ) a + b
D ) – a – b
6. Dados los números enteros a = |–6| , b = –|–1| , c = |2| y d = –( –| 0 | ), el orden creciente de ellos 
es:
A ) a , b , d , c
B ) a , d , c , b
C ) b , d , c , a
D ) d , c , b , a
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 13
3. LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS EN LOS ENTEROS
a. Adición y Sustracción
Números de igual signo.
Para adicionar números de igual signo se deben sumar los 
valores absolutos de ellos conservando el signo común.
Ejemplos:
 2 5 + 7 = 12
 2 – 5 – 7 = – 12
Números de distinto signo.
Para adicionar números de distinto signo, primero determinamos 
los valores absolutos de cada número, y luego se resta el mayor 
menos el menor. Se conserva el signo del número cuyo valor 
absoluto sea mayor.
Ejemplos:
 2 5 – 7 = – 2
 2 –5 + 7 = 2
Tener en cuenta que restar un valor es equivalente a sumar el opuesto de ese mismo valor. Esto 
es: 8 – 5 = 8 + (–5) = 3
 TIPS: Si tenemos que calcular una sustracción, se dará uno de los siguientes escenarios:
 »Siempre que a un número mayor le restamos uno menor, el resultado es un número positivo.
Ejemplos: 
 2 7 – 5 = 2 2 2 – (–6) = 8 2 – 1 – (–8) = 7
 »Siempre que a un número menor le restamos uno mayor, el resultado es un número negativo.
Ejemplos: 
 2 3 – 6 = – 3 2 – 1 – 4 = – 5 2 – 5 – (–2) = – 3
b. Multiplicación y División
Números de igual signo.
Para multiplicar (o dividir) dos números de igual signo, se 
multiplican (o dividen) los respectivos valores absolutos de los 
números y el resultado siempreserá positivo.
Ejemplos:
 2 5 ∙ 7 = 35
 2 ( – 5 )∙ ( – 7 ) = 35
 2 10 : 2 = 5
 2 ( – 10 ) : ( – 2 ) = 5
Números de distinto signo.
Para multiplicar (o dividir) dos números de distinto signo, se 
multiplican (o dividen) los valores absolutos de los números, y 
el resultado siempre será negativo.
Ejemplos:
 2 5 ∙ ( – 7 ) = – 35
 2 ( – 5 )∙ 7 = –35 
 2 10 : ( – 2 ) = – 5
 2 ( – 10 ) : 2 = –5
Regla de los signos en multiplicación y división de números.
Números de 
igual signo
Números de 
igual signo
Números de 
igual signo
Números de 
igual signo
+ ∙ + = + + ∙ – = – + : + = + + : – = –
– ∙ – = + – ∙ + = – – : – = + – : + = –
Capítulo 1 | Números Enteros
14
4. MÚLTIPLOS Y DIVISORES
a. Múltiplos
Un número natural “a” es un múltiplo de un número natural “b”, si existe un k ! N, tal que 
a = k ∙ b.
Ejemplos:
 2 12 es múltiplo de 3, porque existe k = 4, tal que 12 = 3 ∙ 4.
 2 28 es múltiplo de 4, porque existe k = 7, tal que 28 = 7 ∙ 4.
 2 35 NO es múltiplo de 4, porque no existe un valor natural k, tal que 35 = k ∙ 4.
¿Cuántos múltiplos tiene un número natural? La respuesta es: Infinitos. Por ejemplo para el 3, 
se tiene que:
Múltiplos de 3 = { 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18, ... etc }
Pero los múltiplos ¿son solo valores positivos? La respuesta es NO, pues una vez que avanzamos 
de conjunto numérico al conjunto de los números enteros necesitamos ampliar el concepto 
a los múltiplos negativos o al propio cero, pues 0 es múltiplo de todo número entero. Así, 
podríamos pensar en que los múltiplos de 3 serán ahora :
Múltiplos de 3 = { etc., ...... , – 18 , – 15 , – 12 , – 9 , – 6, – 3 , 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , .... , etc. }
b. Divisores
Un número natural “b” es un divisor de un número natural “a”, si al dividir “a” en “b” obtenemos 
como cociente un natural y un resto igual a cero.
Ejemplos
 2 4 es divisor de 20, porque 20 : 4 = 5 y su resto es 0. 
 2 7 es divisor de 14, porque 14 : 7 = 2 y su resto es 0.
 2 8 NO es divisor de 15, porque 15 : 8 = 1, pero su resto es 7.
¿Cuántos divisores tiene un número natural? Eso depende de cada número. Por ejemplo:
 2 Divisores de 10 = { 1 , 2 , 5 , 10 } , son 4.
 2 Divisores de 24 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 } , son 8.
 2 Divisores de 5 = { 1 , 5 }
Según esta definición, todo número natural mayor que 1 tendrá al menos 2 divisores: el número 
1 y el número mismo. 
Igual que en el caso de los múltiplos, podríamos preguntarnos si los divisores ¿son solo valores 
positivos?. La respuesta es nuevamente NO, pues en el conjunto de los números enteros 
necesitamos ampliar el concxepto a los divisores negativos. Así, podríamos pensar por ejemplo 
los divisores negativos de 8, que serían:
Divisores negativos de 8 = { – 8 , – 4 , – 2 , –1 }
Notemos también que 0 tiene infinitos divisores, pero que 0 no es divisor de ningún número.
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 15
5. PARIDAD E IMPARIDAD
En el conjunto de los números enteros, se dice que un número es Par, cada vez que se trate de 
un múltiplo de 2. En caso contrario, diremos que ese número es Impar.
Ejemplos
 2 Son pares : 28 , – 4 , 16 , – 400 , etc. (cualquier número entero que sea múltiplo de 2).
 2 Son impares : 17 , – 9 , 113 , 501 , etc. (todo número que no sea múltiplo de 2).
 TIP:
 » Si bien el número 0 no es positivo ni negativo, sí es un número par.
Cada vez que operemos entre números pares e impares se dará alguna de las siguientes 
situaciones:
TIPS: Siempre se cumple que:
 » La suma o resta de dos números pares, 
siempre nos dará como resultado un 
número par.
Ejemplos:
 2 2 + 4 = 6
 2 – 14 + 8 = – 6
 » La suma o resta de dos números impares, 
siempre da como resultado un número par.
Ejemplos:
 2 3 + 7 = 10
 2 11 – 5 = – 6
 » La suma o resta de un número par y un 
impar, siempre da como resultado un 
número impar.
Ejemplos:
 2 7 + 2 = 9
 2 16 – 5 = 11
 » La multiplicación de dos números pares, 
siempre da como resultado un número par.
Ejemplos:
 2 8 ∙ 4 = 32
 2 10 ∙ – 2 = – 20
 » La multiplicación de un número par y un 
impar, siempre da como resultado un 
número par.
Ejemplos:
 2 7 ∙ 4 = 28
 2 – 4 ∙ – 9 = 36
 » La multiplicación de dos números impares, 
siempre da como resultado un número 
impar.
Ejemplos:
 2 7 ∙ 5 = 35
 2 – 3 ∙ 9 = – 27
6. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES EN LOS NÚMEROS ENTEROS
a. Propiedad Conmutativa
La adición y la multiplicación en los enteros cumplen con la propiedad conmutativa, esto sig-
nifica que el resultado es el mismo, independiente del orden en que se ubiquen los elementos 
en la operación. Es decir, si a y b son números enteros, se cumple que: 
a + b = b + a y a ∙ b = b ∙ a
Ejemplos:
 2 5 + 6 = 11 y 6 + 5 = 11
∴ 6 + 5 = 5 + 6
 2 6 ∙ 7 = 42 y 7 ∙ 6 = 42
∴ 6 ∙ 7 = 7 ∙ 6
Capítulo 1 | Números Enteros
16
b. Propiedad Asociativa
La adición y la multiplicación en los enteros cumplen con la propiedad asociativa, esto signifi-
ca que el resultado es el mismo, independiente de como se agrupen inicialmente los elemen-
tos. Es decir, si a, b y c son números enteros, se cumple: 
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c y a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
Ejemplos:
 2 ( 2 + 1 ) + 6 = 3 + 6 = 9 2 3 5 6 5 302 – –– $ $$ = =\ W
 2 + ( 1 + 6 ) = 2 + 7 = 9 3 2 5 3 3010– – –$ $ $= =Y V
∴ ( 2 + 1 ) + 6 = 2 + ( 1 + 6 ) ∴ 3 2 5 3 2 5–– $ $ $ $=\ Y
c. Propiedad Distributiva
La multiplicación en los enteros cumple con la propiedad distributiva con respecto a la suma 
y a la resta. Es decir, si a, b y c son números enteros, se cumple:
 a ∙ ( b + c ) = a ∙ b + a ∙ c y a ∙ ( b – c ) = a ∙ b – a ∙ c
Ejemplos:
 2 3 ∙ ( 5 + 7 ) = 3 ∙ ( 12 ) = 36
 2 3 ∙ 5 + 3 ∙ 7 = 15 + 21 = 36
∴ 3 ∙ ( 5 + 7 ) = 3 ∙ 5 + 3 ∙ 7
 2 3 ∙ ( 2 – 7 ) = 3 ∙ ( –5 ) = –15
 2 3 ∙ 2 – 3 ∙ 7 = 6 –21 = –15
∴ 3 ∙ ( 2 – 7 ) = 3 ∙ 2 – 3 ∙ 7
d. Neutro Aditivo y Neutro Multiplicativo
Al sumar cualquier número entero a con 0, el resultado es el mismo número a. Es decir, a + 0 = a 
y 0 + a = a, por lo tanto se define al 0 como el elemento neutro aditivo.
Al multiplicar cualquier número entero a con 1, el resultado es el mismo número a. Es decir, 
a ∙ 1 = a y 1 ∙ a = a, por lo tanto se define al 1 como el elemento neutro multiplicativo.
Ejemplos:
 »En el caso del neutro aditivo:
 2 0 + 4 = 4
 »En el caso del neutro multiplicativo:
 2 1 ∙ 20 = 20
e. Inverso Aditivo
El inverso aditivo de a (con a ≠ 0), es un número b que sumado con a da como resultado 0. Es 
decir, b es el inverso aditivo de a si a + b = 0. Por lo tanto b = – a y denotamos al inverso aditivo 
de a como – a .
Ejemplos:
 2 Si el número es 5, su inverso aditivo es – 5.
 2 Si el número es – 8, su inverso aditivo es – (– 8) = 8.
f. Elemento Absorvente
Si multiplicamos un número a con 0, el resultado siempre será 0. Es decir, a ∙ 0 = 0 y 0 ∙ a = 0, por 
lo tanto, se define al 0 como el elemento absorvente con la multiplicación.
Ejemplos:
 2 0 ∙ 8 = 0
 2 – 7 ∙ 0 = 0
 2 p ∙ 0 = 0
 2 0 ∙ 0 = 0
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 17
g. Prioridad de las operaciones
Cuando se requiere efectuar varias operaciones en un mismo ejercicio, se debe respetar el 
siguiente orden de las operaciones:
1. Paréntesis, de adentro hacia afuera.
2. Potencias y Raíces.
3. Multiplicación y división (de izquierda 
 a derecha).
4. Adición y sustracción.
Ejemplo:
Resolver la siguiente operación:
8 ∙ ( 7 – 4 ) : 12 – 1 + 6 : 3 ∙ 9
= 8 ∙ 3 : 12 – 1 + 6 : 3 ∙ 9
= 24 : 12 – 1 + 2 ∙ 9
= 2 – 1 + 18
= 19
Nota: Esta regla también es conocida como PAPOMUDAS, que es la unión de las primeras letras de 
la prioridad de las operaciones: Paréntesis, Potencias y raíces, Multiplicación y División, Adición y 
Sustracción.
7. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Para determinar de manera rápida si un número es divisible por otro número, podemos usar 
los criterios de divisibilidad. Un número será divisible por:
2 → Si su último dígito es par.
Ejemplo:
 2 2 ; 14 ; 278 ; 2.430 ; etc.
3 → Si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Ejemplo:
 2 234 es divisiblepor 3, pues 2 + 3 + 4 = 9
 2 3.621 es divisible por 3, pues 
3 + 6 + 2 + 1 = 12
4 → Si sus dos últimos dígitos forman un múlti-
plo de 4 o son ceros.
Ejemplo:
 2 24 ; 184 ; 1.300 ; 213.436 ; etc.
5 → Si termina en 0 o 5.
Ejemplo:
 2 20 ; 385 ; 1.340 ; 762.435 ; etc.
6 → Si es divisible por 2 y 3 a la vez.
Ejemplo:
 2 1.350 es divisible por 6, pues termina 
en 0 (par), por lo que es divisible por 
2, y 1 + 3 + 5 + 0 = 9, que es múltiplo 
de 3, por lo que también es divisible 
por 3.
7 → Si al multiplicar el dígito de las unidades 
por 2 y restándola al número formado 
por los otros dígitos, el resultado es un 
múltiplo de 7 ó 0.
Ejemplo:
 2 896 es divisible por 7, pues al multi-
plicar 6 por 2, nos da 12, y si resta-
mos 12 a 89 (el número que forman 
los otros dígitos), nos da 77, que es 
un múltiplo de 7.
8 → Si sus tres últimos dígitos forman un múlti-
plo de 8 o son ceros.
Ejemplo:
 2 21.936 es divisible por 8, pues 936 (el 
número formado por sus últimos 3 
dígitos) es un múltiplo de 8.
9 → Si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
Ejemplo:
 2 5.643 es divisible por 9, pues 
5 + 6 + 4 + 3 = 18, que es un múltiplo 
de 9.
10 → Si su último dígito es 0.
Ejemplo:
 2 23.140 es divisible por 10, pues es un 
número terminado en 0.
Capítulo 1 | Números Enteros
18
Ejemplos PDT
7. La diferencia entre 6 y –2( –3 – 5 ), en ese orden, es:
(DEMRE 2013)
A ) –64
B ) 5
C ) –10
D ) 0
8. – 3 – ( –7 ) ∙ 5 =
(DEMRE 2014)
A ) –20
B ) –38
C ) 20
D ) 32
9. Con respecto a los divisores positivos de 9, es correcto afirmar que:
(DEMRE 2013)
A ) Son dos y la suma de ellos es 4
B ) Son dos y la suma de ellos es 10
C ) Son dos y la suma de ellos es 12
D ) Son tres y la suma de ellos es 13
10. SI m y n son números naturales, m + n + 1 es un número impar si:
(DEMRE 2006)
( 1 ) m es un número impar
( 2 ) m ∙ n es un número impar
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
11. Un número entero P es divisible por 2 y es divisible por 6. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones 
es(son) siempre verdadera(s)?
(DEMRE 2012)
I. P es divisible por 12
II. P es divisible por 3
III. P = 6
A ) Solo II
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 19
12. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
(DEMRE 2011)
A ) Si la suma de dos números es par, entonces ambos son pares o ambos son impares
B ) La suma de todo número divisible por 3 con todo número divisible por 6, es divisible por 3
C ) El cuadrado de todo número divisible por 3 es divisible por 6
D ) El producto de todo número divisible por 4 con todo número divisible por 6, es divisible por 12
13. Si n es un número entero positivo, entonces se puede determinar que n es divisible por 2, si se sabe 
que:
(DEMRE 2013)
( 1 ) 2n es par
( 2 ) 3n es par
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
Capítulo 1 | Números Enteros
20
8. NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y TEOREMA FUNDAMENTAL
Números primos son aquellos números enteros positivos mayores que uno, que tienen exacta-
mente dos divisores positivos y distintos entre sí. Los primeros números primos son: 
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , ...
Números compuestos son todos los números enteros positivos mayores que uno y que no son 
primos. Los primeros números compuestos son: 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 , 21 , 22 , ...
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural mayor que uno 
se puede expresar de manera única como el producto de potencias con números primos en 
sus bases. Para realizar esta descomposición podemos utilizar la tabla de descomposición o 
bien el diagrama de árbol. 
 »Nota: La cantidad total de divisores positivos que tenga el número estará dada por el 
producto de los sucesores de los exponentes de dicha descomposición.
i. Tabla de descomposición
La tabla funciona dividiendo al número com-
puesto por números primos hasta que quede 
reducido a la unidad.
ii. Diagrama de árbol
El diagrama de árbol es un método más intui-
tivo. Comienza expresando el número como 
el producto de dos números cualesquiera, 
luego estos números se vuelven a descompo-
ner hasta que en las ramas solo queden nú-
meros primos.
Ejemplo:
 2 Hallar la descomposición prima de 90.
 
90 : 2
45 : 3
15 : 3
5 : 5
 1 //
2· 3 2· 5
Ejemplo:
 2 Hallar la descomposición prima de 90.
90
3 5
9 10
3 2
∴ La descomposición prima de 90 es 2 ∙ 32 ∙ 5. ∴ La descomposición prima de 90 es 2 ∙ 32 ∙ 5.
 2 Total de divisores de 90 : 21 ∙ 32 ∙ 51 → ( 1 + 1 )( 2 + 1 )( 1 + 1 ) & 2 ∙ 3 ∙ 2 & 12
 2 Esto quiere decir que 90 tiene 12 divisores: { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 , 18 , 30 , 45 , 90 }
 TIPS:
 » El menor número primo es el 2, el que además es el único número primo que es par.
 » El 1, no es primo ni compuesto.
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 21
9. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
a. Mínimo común múltiplo (m.c.m) 
El mínimo común múltiplo (m.c.m), de dos o más números, es el menor entero positivo que es 
múltiplo común de dichos números. A continuación se muestran dos métodos para obtener 
el mínimo común múltiplo. Estos son: la tabla de descomposición y la descomposición prima.
i. Tabla de descomposición
Hacer una tabla en la cual dos o más 
números se van dividiendo por números 
primos (algunos de ellos pueden ser 
comunes) hasta que cada número queda 
totalmente descompuesto. El m.c.m será 
la multiplicación de los factores primos.
ii. Descomposición prima
Desarrollar la descomposición prima de 
todos los números y multiplicar todos los 
factores primos distintos que aparezcan, 
elevados cada uno al mayor exponente 
que tenga en las descomposiciones.
Ejemplo:
 2 Sean A = 90 y B = 24, determinar 
el m.c.m.
24 90 : 2
12 45 : 2
6 45 : 2
3 45 : 3
 1 //
15 : 3
5 : 5
 1 //
m.c.m = 23 ∙ 32 ∙ 5
∴ el m.c.m entre 90 y 24 es 23∙ 3 
2∙ 5.
Ejemplo:
 2 Sean A = 90 y B = 24, determinar 
el m.c.m.
A = 2 ∙ 32 ∙ 5 y B = 23 ∙ 3
∴ el m.c.m entre 90 y 24 es 23 ∙ 32 ∙ 5.
b. Máximo común divisor (M.C.D)
El máximo común divisor (M.C.D), de dos o más números, es el mayor entero positivo que es 
divisor común de dichos números. A continuación se muestran dos métodos para obtener el 
máximo común divisor. Estos son: la tabla de descomposición y la descomposición prima.
i. Tabla de descomposición
Hacer una tabla en la cual dos o más 
números se van dividiendo por números 
primos comunes hasta que no exista otro 
número primo que pueda dividir a ambos 
números. El M.C.D será la multiplicación de 
los factores primos.
ii. Descomposición prima
Desarrollar la descomposición prima 
de todos los números y multiplicar 
solo los factores primos comunes que 
aparezcan en los números, elevados 
cada uno al menor exponente que 
tenga en las descomposiciones.
Ejemplo 
 2 Sean A = 90 y B = 24, determinar el 
M.C.D
24 90 : 2
12 45 : 3
4 15
M.C.D = 2 ∙ 3
∴ el M.C.D entre 90 y 24 es 2 ∙ 3.
Ejemplo:
 2 Sean A = 90 y B = 24, determinar 
el M.C.D
A = 2 ∙ 32 ∙ 5 y B = 23 ∙ 3
∴ el M.C.D entre 90 y 24 es 2 ∙ 3.
Capítulo 1 | Números Enteros
22
 »Nota. Los números que no tienen factores primos comunes se denominan primos relativos 
entre sí. En tal caso se cumple que el m.c.m es el producto de los números y el M.C.D será 
siempre 1. 
Por ejemplo, 9 y 10 son primos relativos entre sí, ya que los factores primos de 9 son { 3 , 3 }, 
y los factores primos de 10 son { 2 , 5 }. Por tanto: el m.c.m entre 9 y 10 es 90 , el M.C.D entre 
9 y 10 es 1.
c. Problemas de aplicación
Las aplicaciones de el m.c.m. y el M.C.D. que frecuentemente nos podremos encontrar:
Ejemplos:
 2 En el baño de un colegio hay 3 llaves de agua cerradas. Estas se encuentran en mal estado, 
y gotean constantementecada cierto tiempo. La llave A deja caer una gota cada 3 segun-
dos; la llave B lo hace cada 5 segundos y, la llave C, cada 8 segundos. Si en un instante las 3 
llaves dejaron caer una gota al mismo tiempo, ¿cuántos segundos deben transcurrir a partir 
de ese momento, para que vuelvan a coincidir nuevamente?
Solución:
Para resolver estos problemas, debemos considerar que, la llave A gotea a partir de ese 
instante a los 3 segundos, luego a los 6 segundos, a los 9, 12, 15, etc. Es decir, son los múltiplos 
de 3 (en segundos). Por su parte, la llave B lo hará a los 5, 10, 15, 20, etc. (los múltiplos de 5) y, 
por la misma razón, la llave C lo hará en los múltiplos de 8. Por lo tanto, las llaves coincidirán 
nuevamente en una cantidad de segundos que sea múltiplo de 2, de 3 y de 8; Es decir, en 
un múltiplo común de estos 3 números. Y si queremos que sea lo antes posible, debemos 
determinar por ello el mínimo común múltiplo de 3, 5 y 8, que es 120. 
Con todo lo anterior, podemos contestar que, 120 son los segundos que deben transcurrir 
para que estas llaves vuelvan a dejar caer una gota al mismo instante.
 2 Una constructora necesita sub-dividir dos terrenos que están separados por un río y cuyas 
áreas son 21.600 m2 el más pequeño y 32.000 m2 el más grande. Esta constructora necesita 
además que estos terrenos más pequeños sean todos del mismo tamaño; que sea una 
cantidad entera de metros cuadrados y que sean lo más grandes posible, porque esto 
aumentará su valor comercial. ¿Cuál será el área máxima de estos terrenos si se cumple con 
la solicitud de esta empresa constructora?
Solución:
En este caso, necesitamos dividir estos terrenos en terrenos más pequeños de igual área 
(digamos X m2). Esto significa que tanto 21.600 como 32.000 deben ser divisibles por X o, lo 
que es lo mismo, X debe ser divisor tanto de 21.600, como de 32.000. Si además se exige 
que X sea lo más grande posible, estamos hablando del máximo común divisor de 21.600 y 
32.000, que es 800. Por lo tanto, cada terreno será de 800 m2 y habrán 27 de estos terrenos 
en el terreno más pequeño y 40 en el más grande.
10. EVALUAR EXPRESIONES
Evaluar o valorizar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores 
numéricos dados, y luego realizar las operaciones indicadas.
Ejemplos:
 2 Si m = – 4 y n = –1, entonces el valor de la expresión mn – m2 es:
mn – m2 = (–4)(–1) – (–4)2
= 4 – 16
= –12//
 »TIP. Al sustituir, conviene siempre incluir paréntesis.
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 23
11. ENUNCIADOS FRECUENTES
Sean x e y números enteros, entonces la transcripción matemática de los siguientes enunciados:
Expresiónes
 2 El doble de x es 2x.
 2 El triple de x es 3x.
 2 La semisuma de x e y es 
x y
2
+
.
 2 El exceso de x sobre y es x – y.
 2 La mitad de x se escribe x2
1 o x2 .
 2 El sucesor de x sería ( x + 1 ).
 2 El antecesor de x sería ( x – 1 ).
 2 Un número es par si se puede escribir como 
2x, siendo x un valor entero.
 2 Un número impar si se puede escribir como 
( 2x – 1 ) o ( 2x + 1 ), siendo x un valor entero.
 2 Dos pares consecutivos serían 2x y 2x + 2.
 2 Dos impares consecutivos serían 2x + 1 y 
2x + 3.
 2 El cuadrado de x es x2.
Ejemplos:
El doble de 3 es 6, pues 2 ∙ 3 = 6.
El triple de – 8 es – 24, pues 3 ∙ – 8 = – 24.
La semisuma de 4 y 12 es 8, 2
4 12 8+ = .
El exceso de 8 sobre 3 es 5, pues 8 – 3 = 5.
La mitad de 200 es 100, pues 2
200 100= .
El sucesor de – 12 es – 11, pues – 12 + 1 = – 11.
El antecesor de – 4 es – 5, pues – 4 – 1 = – 5.
14 es par, pues 14 2 7$= .
19 es impar, pues 2 ∙ 10 – 1 = 19 o 2 ∙ 9 + 1 = 19.
4 y 6 son pares consecutivos, pues 
2 ∙ 5 = 10 y 2 ∙ 5 + 2 = 12.
7 y 9 son impares consecutivos, pues 2 ∙ 3 + 1 
y 2 ∙ 3 + 3.
El cuadrado de 5 es 25, pues 52 = 5 ∙ 5 = 25.
Ejemplos PDT
14. El m.c.m entre 4 y 7 es:
A ) 1
B ) 3
C ) 11
D ) 28
15. El M.C.D de 288 y 372 es:
A ) 8
B ) 12
C ) 15
D ) 21
16. La suma de cinco números primos consecutivos es 119. ¿ Cuál es el M.C.D entre ellos ?
A ) 1
B ) n2
C ) 2n
D ) No se puede determinar
Capítulo 1 | Números Enteros
24
17. En un cumpleaños se necesita armar cajitas sorpresa que en su interior deben llevar chocolates, 
guagüitas y suny. Estos se compran en paquetes de 100, 75 y 50 unidades respectivamente. 
¿Cuántas cajitas podríamos armar como máximo, si se necesita que todas ellas vayan con la 
misma cantidad chocolates, la misma cantidad de guagüitas y la misma cantidad de sunys?
A ) 75
B ) 25
C ) 20
D ) 15
18. En un circuito de carreras de juguetes, tres autos parten al mismo tiempo desde la línea de meta. 
Si el auto rojo demora 120 segundos en recorrer completamente el circuito, el azul demora 140 
segundos y el verde 180 segundos, ¿ en cuántos segundos pasarán nuevamente, los tres autos 
juntos, por la línea de partida ?
A ) 2.520
B ) 1.260
C ) 630
D ) 330
19. Si n = 2 y m = – 3, ¿ cuál es el valor de –nm – ( n + m )?
(DEMRE 2008)
A ) –5
B ) 5
C ) 7
D ) –7
20. Si x = –2 e y = 3 , entonces el valor de la expresión |y – x| – |x| ∙ |y| – |x – y|es:
A ) – 6 
B ) – 4
C ) 4
D ) 6 
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 25
Capítulo 1
Números Enteros │ Ejercicios 
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. 6 – 3 ∙ 8 – 32 : 4 =
A ) –26
B ) –14
C ) 0
D ) 3
2. [ –5 + ( –3 ) ∙ 7 ] : ( –2 ) =
A ) 24
B ) 13
C ) –24
D ) –13
3. Si p = – 6 y q = – 2 , entonces – { p + q – ( q – p ) } es:
A ) – 4
B ) 0
C ) 4
D ) 12
4. –3 ∙ |6 – 8| – |–2|=
A ) –8
B ) –4
C ) 0
D ) 4
5. Si a = 3 y b = –1 , entonces – { a – ( – b – a ) } =
A ) –5
B ) –1
C ) 0
D ) 1
6. ( 1 + 5 ) – 32 + 8 : 2 ∙ 2 =
A ) –1
B ) 1
C ) 5
D ) 15
Capítulo 1 | Números Enteros
26
7. 76.606 – 29.878 =
A ) 45.728
B ) 46.728
C ) 45.738 
D ) 46.736 
8. Si al entero ( –1 ) le restamos el entero ( –4 ), resulta :
A ) 0
B ) –3
C ) 2
D ) 3
9. –( 4 – 2 ∙ ( 2 – 4 ) ) =
A ) –15
B ) –10
C ) – 8
D ) 8
10. Si M = –2 , entonces –M ∙ M – M =
A ) –12
B ) –4
C ) –2
D ) 2
11. La expresión ( 9 ∙ 4 ) es divisible por:
I. 2
II. 3
III. 6
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) I, II y III
12. Si P + 3 es el sucesor del número 10, entonces el sucesor de P es:
A ) 7
B ) 8
C ) 9
D ) 11
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 27
13. Se puede determinar que el número entero p es par si:
( 1 ) El doble de p es par
( 2 ) El quíntuple de p es par
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
14. ( –2 ) ∙ 2 ∙ ( –2 ) ∙ ( –2 ) ∙ 2 =
A ) 16
B ) – 8
C ) – 16
D ) – 32
15. Si al número – 8 se le resta el doble de – 6 y al resultado se le agrega el cubo de –3, resulta:
A ) 7
B ) – 7
C ) – 23
D ) – 31
16. Si |P| representa el valor absoluto de P, indique cuál de las siguientes alternativas es falsa:
A ) |–7| < |–8|
B ) –21 < 8
C ) |– 10| > |10|
D ) –5 < 3
17. Si m = – 1 y n = 2 , entonces, ¿cuál es el valor de la expresión m ∙ ( n – m ) ∙ ( m – n )?
A ) 9
B ) 3
C ) 0
D ) – 3
18. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. Los números 2 , 3 , 5 , 7 son números primos; pero el 1 no lo es
II. El m.c.m entre 2 , 3 y 11 es el producto entre 2 , 3 y 11
III. El M.C.D entre 2 , 11 y 19 es 1
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
Capítulo 1 | Números Enteros
28
19. La temperatura mínima de un día fue de –1 ºC y la máxima de 9 ºC. ¿Cuál fue la variación de la 
temperatura en el día?
A ) –10 ºC
B ) 6 ºC
C ) 10 ºC
D ) 11 ºC
20. ¿Cuál es el valor de |–3| – |–3|2 – |–3|3?
A ) –39
B ) –33
C ) –21
D ) 33
21. ¿Qué resultado se obtiene si se disminuye en 2 unidadesla suma entre el triple de 2 y el doble de 3?
A ) 15
B ) 12
C ) 10 
D ) 8
22. Si N es divisor de 8 y N no es divisor de 4, entonces N es:
A ) 1
B ) 2
C ) 4
D ) 8
23. – 3 – 3 ∙ 9 : 9 + 3 =
A ) – 6
B ) – 3
C ) 0
D ) 2
24. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
I. La suma de números naturales resulta siempre un natural
II. La sustracción es conmutativa en los números naturales
III. En los naturales, el inverso aditivo de 2 es – 2
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 29
25. –2 ∙ [ 3 – { 5 – 2 ∙ ( 8 – 16 ) } ]=
A ) –34
B ) –20
C ) 36
D ) 54
26. El valor de la expresión 18 – ( –30 ) : ( –2 ) + ( –2 ) ∙ ( –1 ) es:
A ) 9
B ) –5
C ) –9
D ) 5
27. El doble de ( 2 ∙ ( 4 + 3 ) –2 ∙ ( 1 – 2 ) ) =
A ) 8
B ) 16
C ) 32
D ) 48
28. Si n es un número natural par, entonces el sucesor par del sucesor de n + 1 está representado por:
A ) n + 4
B ) n + 2
C ) 2n + 2
D ) 2n + 4
29. El valor de 24 : 8 ∙ 6 : 3 – 45 : 9 ∙ 3 – 4 : – 2 es:
A ) – 11
B ) – 7
C ) 7
D ) 11
30. Si el sucesor de un número es a + 4, entonces el doble del número es:
A ) a + 3
B ) 2a + 2
C ) 2a + 3
D ) 2a + 6
Capítulo 1 | Números Enteros
30
31. La suma de tres pares consecutivos es siempre divisible por:
I. 4
II. 6
III. 12
Es(son) verdadera(s)
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
32. Sean a > b y b > c, siendo a, b y c números enteros. Si b = 0, ¿qué relación es falsa?
A ) a ∙ c < 0
B ) a ∙ b = b
C ) c2 < 0
D ) a – c > 0
33. La edad de Lucas equivale al doble de la quinta parte de la semisuma entre 4 y 6. ¿ Qué edad tiene 
Lucas ?
A ) 1
B ) 2
C ) 3
D ) 5
34. Si m y n son dos enteros consecutivos tales que m < n, entonces n – m es:
A ) 0
B ) 1
C ) m2 + m
D ) 2m + 1
35. Javiera guarda monedas de $ 100 en una alcancía. Si le faltan 3 monedas para tener $ 5.000, ¿a cuántas 
monedas de $ 50 equivale el dinero que tiene Javiera en la alcancía?
A ) 47
B ) 94 
C ) 100
D ) 160
36. ¿ Cuál(es) de los siguientes números es(son) primo(s)?
I. 51
II. 91
III. 141
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) I, II y III
D ) Ninguno de ellos
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 31
37. Con 5 vasos de 250 c.c. cada uno, se llena un jarro. ¿Cuántos vasos de 125 c.c. se necesitarán para llenar 
dos jarros de igual capacidad al anterior?
A ) 10
B ) 15 
C ) 20 
D ) 25 
38. ¿Cuál de los siguientes pares de dígitos deben ponerse en los espacios vacíos, para que el número 
4x.x12 sea divisible por 6 ?
A ) 0 y 1
B ) 1 y 1
C ) 1 y 2
D ) 2 y 2
39. Si A, B, C y D son números enteros tales que A > B , C > D , B < D y C < A. El orden decreciente de ellos es:
A ) B D C A
B ) A C D B
C ) A C B D
D ) B D A C
40. Se puede asegurar que P es un número divisible por 8 si:
( 1 ) Sus últimas cuatro cifras son ceros
( 2 ) Su última cifra es número par
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
41. M = 1.2C4 representa a un número de 4 cifras divisible por 6. ¿Qué valores puede tener el dígito C para 
que se cumpla la divisibilidad?
A ) { 4 , 6 , 9 }
B ) { 3 , 6 , 9 }
C ) { 2 , 5 , 8 }
D ) { 5 , 6 , 7 }
42. Si a + b + c = 2d , en donde a = 5 , b = 4 y c = –3 , entonces el valor numérico de la expresión 
d ∙ d ∙ ( d – a ) ∙ ( d – b ) ∙ ( d – c ) es:
A ) 24
B ) 84
C ) 96
D ) 108
Capítulo 1 | Números Enteros
32
43. La suma de tres impares consecutivos es siempre divisible por:
A ) 15 
B ) 9 
C ) 6 
D ) 3 
44. Si tenemos cuatro sitios de 70, 56, 42 y 84 hectáreas cada uno, los cuales queremos subdividir en parcelas 
con igual superficie. Entonces, cada una de estas parcelas podría tener una superficie máxima de:
A ) 2 hectáreas
B ) 7 hectáreas
C ) 14 hectáreas
D ) 28 hectáreas
45. Si el sucesor de un número es m + 3, entonces el doble del antecesor del número es:
A ) m + 1
B ) m + 2
C ) 2m + 1
D ) 2m + 2
46. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. En los enteros, la sustracción es conmutativa
II. En los enteros, el inverso multiplicativo de 10 es 0,1
III. En los enteros, el neutro aditivo es el cero
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) I, II y III
D ) Ninguna de ellas
47. Sea n un número entero. La expresión 3 ∙ ( 3 + n ) representa un múltiplo de 6 si:
( 1 ) n es un número impar
( 2 ) n + 1 es un número par
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
48. Si al cuadrado de –3 se le resta el doble de –4 y al resultado se le agrega el triple de 3, se obtiene:
A ) 26
B ) 20
C ) 11
D ) 10
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 33
49. Si 14 veces 2 es igual a M y 15 veces 3 es igual a N, entonces M + N resulta:
A ) 15
B ) 28
C ) 45
D ) 73
50. Si a y b son números primos distintos, ¿cuál de las siguientes opciones podría ser el producto de a y b?
A ) 4 
B ) 9
C ) 10 
D ) 16
51. El producto entre los divisores de 139 es:
A ) 1
B ) 9
C ) 139
D ) 19.321
52. Si A ! Z y A < –1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) mayor(es) que 1?
I. A ∙ A
II. 3A
III. –A
A ) Solo II
B ) Solo II y III
C ) Solo I y II
D ) Solo I y III
53. Si x es un número primo, entonces x2 es siempre:
A ) Par
B ) Primo
C ) Compuesto
D ) Par y compuesto
54. Se sabe que n es múltiplo de 2. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. n3 es múltiplo de 2
II. 12n es múltiplo de 2
III. n + 28 es múltiplo de 2
A ) Solo I
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
Capítulo 1 | Números Enteros
34
55. De cinco números impares consecutivos, la suma entre el primero y el último es 1.854, entonces, ¿cuál 
es su diferencia positiva?
A ) 4
B ) 6
C ) 8
D ) 182
56. Si la suma de tres números enteros consecutivos es 453, entonces, ¿cuál es el producto entre los dos 
mayores?
A ) 21.952
B ) 22.650
C ) 22.952
D ) 22.986
57. Si a y b son números enteros y el antecesor de a es b y el sucesor de a es –9, entonces a + b =
A ) –21
B ) –20
C ) –19
D ) –17
58. Si un maestro cobra $ 400 por cortar verticalmente un tubo en dos partes, ¿ cuánto cobrará por cortarlo 
en 4 partes ?
A ) $ 600
B ) $ 800
C ) $ 1.000
D ) $ 1.200
59. La suma de cuatro números enteros consecutivos no es siempre:
I. Divisible por 2
II. Divisible por 4
III. Divisible por 6
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III 
60. Si n es un número entero par y m es un número entero impar, entonces ¿cuál(es) de las siguientes 
aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)?
I. n2 un número positivo
II. – m6 es un número positivo
III. ( n – m )2 es un número impar positivo
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
Números Enteros | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 35
61. Necesitamos comprar un balde que saque el contenido de tres estanques que están llenos, cuyas 
capacidades se ilustran en la figura adjunta. La idea es hacer el menor número de extracciones, para 
lograrlo el balde debe llenarse al máximo en cada una. ¿Qué capacidad debe tener este balde para 
efectuar el menor número de extracciones?
A ) 2 litros
B ) 3 litros
C ) 6 litros
D ) 12 litros
62. Si a es un número par y b es un número impar, entonces ¿ cuál de las siguientes expresiones representa 
un número par ?
A ) a + b
B ) 2a – b
C ) 3a + 3b
D ) 5a + 4b
63. Dos luces intermitentes se encienden con intervalos de 42 y 54 segundos, respectivamente. Si a las 
10:00 horas y 15 minutos se encuentran ambas encendidas, ¿a qué hora estarán nuevamente ambas 
encendidos simultáneamente?
A ) 10 hr ∙ 21 min ∙ 18 seg
B ) 10 hr ∙ 21 min ∙ 36 seg
C ) 10 hr ∙ 21 min ∙ 42 seg
D ) 10 hr ∙ 15 min ∙ 54 seg
64. Si se sabe que A > B > C y una persona debe reunir A. Primero reúne B y luego gasta C. ¿Cuánto le falta 
para completar la suma deseada?
A ) A+ B – C
B ) C + A – B
C ) –A – ( C – B )
D ) A – ( B + C )
65. Si a, b ! Z, ¿ bajo qué condiciones la expresión a + b resulta ser un número impar ?
( 1 ) a – b es impar
( 2 ) a ∙ b = 10
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
12 lt 24 lt 30 lt
36
1. NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales (Q), son todos aquellos números que se pueden escribir como fracción 
de dos números enteros, con denominador distinto de cero. Es decir, son aquellos números 
que se pueden escribir de la forma b
a k= con a, b ! Z y b ≠ 0 (a, numerador; b, denominador; 
k, cuociente).
Ejemplos de Números Racionales: 
, , , , , ,, , , , , , , 0 2 0 5 3 281 1 3 7
3
4
1 4 11
1
6
0–– –' 1
Ejemplos de Números que NO son Racionales: 
, , , , , log2 4 3 3 11
5
2
7 33' 1
2. FRACCIONES
a. Tipos de fracciones
i. Fracción propia
b
a es fracción propia si |a|<|b|.
Ejemplos:
 2 5
2 , – 9
7
ii. Fracción impropia
b
a es fracción impropia si |a|≥|b|.
Ejemplos:
 2 4
7 , 8
11–
iii. Fracción decimal
b
a es fracción decimal si b es una potencia de 10.
Ejemplos:
 2 100
4 , 10
3– , .
.
1 000
1 200
iv. Fracción Mixta o Número Mixto
Las fracciones impropias pueden escribirse de la 
forma b
aC , con a, b, c ! Z y b ≠ 0 notación que se 
denomina número mixto.
Para transformar un número mixto a fracción:
b
a
b
c b a$= +C 
Ejemplos:
 2 7
54 = 74 7 5 733$ + =
 2 2
1–1 = 21 2 1 23– –$ + =
Tip: 
Un número mixto es equivalente a la suma de un número entero y una fracción: 
b
a c b
a= +C 
“La mente que se abre a una idea nueva, 
jamás volverá a su tamaño original ”
— ALBERT EINSTEIN —
FÍSICO ALEMÁN
Capítulo 2
NÚMEROS 
RACIONALES
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moraleja.cl/mpn6-2
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 37
b. Fracciones indefinidas e indeterminadas
Las fracciones indefinidas son aquellas que tienen denominador igual a cero y numerador 
distinto de cero. Ejemplos: , , ,0
3
0
12
0
5
0
8– –
Las fracciones indeterminadas son aquellas que tienen tanto numerador como denominador 
igual a cero, es decir 
0
0 .
Tanto las fracciones indefinidas como indeterminadas, son fracciones que NO pertenecen al 
conjunto de los números racionales.
 »Nota. Aquellas fracciones que tienen numerador igual a cero y como denominador un 
número distinto de cero, son fracciones nulas. Esto significa que tienen un valor igual a 
cero, y por lo tanto son un número racional bien definido.
Ejemplos: ,21
0 0 9
0 0= =
c. Fracciones equivalentes
Dos fracciones, b
a y d
c son equivalentes si representan al 
mismo número real; es decir, b
a
d
c= . 
Para verificar esta igualdad hacemos uso de lo que co-
nocemos como “multiplicación cruzada”, que señala lo 
siguiente b
a
d
c si y solo si a d b c$ $= = .
Ejemplo:
 2 3
2
12
8= & 2 ∙ 12 = 3 ∙ 8
24 = 24
i. Amplificación y simplificación de una fracción
Una forma de encontrar fracciones equivalentes es mediante la amplificación o la simplifica-
ción de una fracción.
Amplificación
Amplificar una fracción consiste en multiplicar tanto 
su numerador como su denominador por una misma 
cantidad (distinta de cero). Esto dará origen a una 
fracción equivalente.
Ejemplos:
 2 3
2 amplificada por 4 → 12
8
 2 5
1– amplificada por 2 → 10
2–
Simplificación
Simplificar una fracción consiste en dividir tanto el 
numerador como el denominador por una misma 
cantidad (distinta de cero), obteniendo de paso 
una fracción equivalente.
Ejemplos:
 2 24
18 simplificada por 6 → 4
3
 2 – 30
25 simplificada por 5 → – 6
5
d. Fracciones Irreductibles
Una fracción se llama irreducible o irreductible si 
su numerador y denominador son primos relativos 
entre sí. Es decir, si el M.C.D. de su numerador y su 
denominador es 1. En términos simples, una fracción 
es irreducible si no se puede simplificar.
Ejemplo:
 2 9
8 es irreductible, pues M.C.D. 
(8 , 9) = 1.
 2 28
12 NO es irreductible, pues 
M.C.D (12 , 28) = 4 y por tanto se 
puede simplificar.
Capítulo 2 | Números Racionales
38
e. Operatoria con fracciones
i. Operaciones básicas
Adición y sustracción con igual denominador.
Para sumar o restar fracciones de igual 
denominador, se deben sumar o restar los 
numeradores y conservar el denominador.
c
a
c
b
c
a b! != , con c ≠ 0
Ejemplos:
 2 4
1
4
5
4
1 5
4
6
2
3+ = + = =
 2 3
2
3
1
3
2 1
3
1– –= =
Adición y sustracción de distinto denominador
Para sumar o restar fracciones de distinto 
denominador, se deben amplificar o simplificar las 
fracciones para que los denominadores alcancen 
un valor común. Una vez igualado el denominador 
se realiza la operación.
Usualmente el denominador usado es el m.c.m 
entre los denominadores. Cuando son dos las 
fracciones a sumar o restar también se puede 
desarrollar la operación utilizando el producto de 
los denominadores como denominador común, 
tal como muestra la siguiente igualdad.
b
a
d
c
b d
a d b c! $
$ ! $= , con b y d ≠ 0
Ejemplos:
 2 5
2
7
3
35
14 15
35
29+ = + =
 2 3
2
12
11
36
24 33
36 12
9 3– – – –= = =
Multiplicación
Para multiplicar fracciones, se multiplican los 
numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
b
a
d
c
b d
a c$ $
$= , con b, d ≠ 0
Es conveniente simplificar, si es posible, las fraccio-
nes a multiplicar. Se puede simplificar numerador 
con denominador de diferentes fracciones, siem-
pre y cuando estas fracciones estén multiplican-
dose entre sí.
Ejemplos:
 2 15
13
2
5
3
13
2
1
6
13$ $= =
 2
12
24
11
3
1
2
11
3
11
6$ $= =
División
Para dividir fracciones, se multiplica la primera 
fracción por el inverso multiplicativo de la segunda 
fracción. 
b
a
d
c
b c
a d
b
a
c
d| $ $
$= = , con b, c, d ≠ 0
Ejemplos:
 2 3
2
7
5
3
2
5
7
15
14| $= =
 2 9
1
13
2
9
1
2
13
18
13| $= =
NOTA: El inverso multiplicativo (o recíproco) de b
a es b
a
a
b–1 =` j , con a y b ≠ 0
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 39
3. PROPIEDADES DE LA OPERATORIA EN Q.
i. Cerradura
Cada vez que sumemos, restemos o multipliquemos 
dos números racionales, siempre obtendremos 
un número racional como resultado.
En el caso de la división, esta propiedad no es 
cierta, porque si dividimos por cero (que es ra-
cional), dicha operación se indefine matemáti-
camente.
Ejemplos:
 2 3
2
2
5
6
19 Q!+ =
 2 ,0 2 5 9
43– – Q!=
 2 , ,0 5 2
7 54
7 1 7ó Q$ !=
ii. Conmutatividad
La adición y la multiplicación de dos números ra-
cionales, dan el mismo resultado, independiente 
del orden en que se realice la operación. Esto 
significa que si a, b ! Q , entonces:
 a + b = b + a y a ∙ b = b ∙ a
Ejemplos:
 2 3
2
2
5
6
19
2
5
3
2
6
19+ = + =
 2 7
2
13
5
91
10
13
5
7
2
91
10$ $= =
iii. Asociatividad
Para sumar o multiplicar tres o más números ra-
cionales, podemos elegir cualesquiera dos de 
ellos para iniciar la operación. Esto significa que, 
si a, b, c ! Q, entonces:
 (a + b) + c = a + (b + c) y a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
Ejemplos:
 2 3
1
2
5
8
7
24
89
3
1
2
5
8
7
24
89+ + = + + =c cm m
 2 7
2
22
15
5
11
7
3
7
2
22
15
5
11
7
3$ $ $ $= =c cm m
iv. Existencia de elementos neutros
En el conjunto de los números racionales encon-
traremos dos elementos a los que llamaremos 
neutros.
El neutro aditivo en los racionales es el 0, y se lla-
ma así, porque si se lo sumamos a cualquier ra-
cional, este no cambia su valor.
El neutro multiplicativo en los racionales es el 1, 
pues si un racional cualquiera lo multiplicamos 
por 1, este no cambia su valor.
Ejemplos:
Neutro Aditivo
 2 ó , ,0 5
3
5
3 2 8 0 2 8+ = + =
Neutro Multiplicativo
 2 ó , ,7
2 1 7
2 1 7 3 7 3$ $= =
v. Existencia de Inversos
Para cada número racional “a”, encontraremos 
un número “b” que, si se lo sumamos a “a”, el re-
sultado será 0. O sea, a + b = 0. Dicho número “b” 
se conoce como el inverso aditivo u opuesto de 
“a” y se escribe “– a”.
Tambiénexiste para cada racional “a” (salvo 
para el cero), un número “b” tal que a ∙ b = 1. A 
dicho número “b” se le conoce como el inverso 
multiplicativo o recíproco de “a” y se escribe a–1.
Ejemplos:
Inversos Aditivos
 2 ,
,
Si a entonces a
Si a entonces a
3 3
7
2
7
2
– –
– –
= =
= =
Inversos Multiplicativos
 2 ,
,
Si a entonces a
Si a entonces a
5 5
1
8
3
3
8– –
1
1
–
–
= =
= =
vi. Distributividad del producto respecto a la 
suma
Cuando queremos multiplicar un número racio-
nal por otros dos que se están sumando, pode-
mos multiplicar nuestro número por cada uno de 
ellos y luego sumar estos resultados. Esto significa 
que, si a, b, c ! Q , entonces:
 a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
Ejemplo:
 2 Notemos que:
5
2 5 2
1
5
2
2
11
5
11$+ = =c m
Esto es equivalente a haber multipli-
cado cada sumando del paréntesis 
por 5
2 y luego sumar estos resultados.
5
2 5 2
1
5
2 5 5
2
2
1 2 5
1
5
11$ $+ = + = + =c m
Capítulo 2 | Números Racionales
40
Ejemplos PDT
1. ¿Cuál de los siguientes es un número racional que NO es un número entero?
(DEMRE 2018)
A ) 
,0 2
1–
3^ h 
B ) ,
,
0 4 6
0 2 3
C ) 
,
,
0 08
0 2 4
D ) 
,0
2
4 5^ h
2. Si el producto de dos números es 1, entonces se afirma correctamente que pueda tratarse del 
producto de:
I. Dos números enteros
II. Dos números racionales
III. Un número entero y otro racional
A ) Solo I 
B ) Solo II 
C ) Solo I y III 
D ) I, II y III
3. ¿Cuántos séptimos son equivalentes a 7
52 ?
(DEMRE 2011)
A ) 19
B ) 14
C ) 10
D ) 5
4. ¿Cuál de las siguientes fracciones es propia y además irreductible?
A ) 8
5
B ) 25
125
C ) 21
7
D ) 3
12
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 41
5. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) por resultado la unidad?
(DEMRE 2015)
I. 12
7
12
5+
II. 12
7
7
12$
III. 12
13
13
12|
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) I, II y III
6. 
6
5
4
1
5
3
6
1
–
–
+
=
(DEMRE 2019)
A ) 5
1–
B ) –1
C ) 35
26–
D ) 360
91–
7. 9
5
5
2
15
14|-b l =
(DEMRE 2020)
A ) 14
1
B ) 56
45
C ) 675
98
D ) 6
1
8. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) como resultado el número 2?
(DEMRE 2021)
I. 7
6
6
14$
II. 5
22
11
5|
III. 4
10
4
2-
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
Capítulo 2 | Números Racionales
42
9. Si a la suma de dos números racionales distintos de cero se le suma la unidad, entonces el resultado 
es cero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
(DEMRE 2020)
I. Si uno de los números es negativo, entonces el otro es positivo.
II. Al sumar los inversos multiplicativos de cada uno de los números, el resultado es un 
número positivo.
III. La resta de los números es distinta de cero.
A ) Solo I
B ) Solo I y III
C ) I, II y III
D ) Ninguna de ellas
10. Se puede determinar el valor del producto de los números racionales a y b, si se sabe que:
( 1 ) El inverso aditivo de a es a y 2b = 1.
( 2 ) b es un número racional positivo y a no tiene inverso multiplicativo.
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 43
4. NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un 
número decimal. Un número decimal se compone de dos partes, la primera (a la izquierda 
de la coma) corresponde a la parte entera y la segunda corresponde a su parte decimal (a 
la derecha de la coma).
Ejemplo: ,2
3 3 2 1 5|= =
a. Tipos de números decimales
i. Decimal finito
Un decimal finito es aquel que en su parte decimal tiene un número determinado (finito) de 
dígitos.
Ejemplo: 0,25 → dos cifras decimales.
ii. Decimal infinito periódico
Un decimal infinito periódico es aquel que en su parte decimal tiene una secuencia de 
números que se repite infinitas veces, el que puede escribirse con puntos suspensivos o con 
una barra sobre los dígitos periódicos.
Ejemplo: 1,63 = 1,636363... → periodo “63”.
iii. Decimal infinito semi–periódico
Un decimal infinito semi–periódico es aquel que en su parte decimal tiene un número infinito 
de dígitos y se repite una o más cifras de manera periódica, el que puede escribirse con punto 
suspensivo o con una barra sobre los dígitos periódicos. A diferencia de un decimal infinito 
periódico, en este caso, se distingue antes del periodo una parte de cifras que no se repiten 
llamada ante–periodo.
Ejemplo: 3,617 = 3,6171717 ... → periodo “17” y ante–periodo “6“.
 »Recordar que los dígitos decimales de acuer-
do a su posición reciben los siguiente nom-
bres:
C5UM: D5 U5 d5 c5 m6 dm:,
Ce
nte
na
Un
ida
d d
e M
il
Un
ida
d
ce
nté
sim
a
De
ce
na
dé
cim
a
mi
lés
im
a
die
z m
ilé
sim
a
b. Operatoria con decimales
i. Adición y sustracción
Para sumar o restar números decimales se ubican las 
cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo 
las comas, la parte decimal bajo la decimal y a con-
tinuación se realiza la operatoria respectiva.
Ejemplo:
 2 0,247 + 21,65 =
 = 
,
,
0 247
21 65+
,21 89 7
ii. Multiplicación
Para multiplicar dos o más números decimales, se 
multiplican como si fueran números enteros, y luego 
se ubica la coma en el resultado final, de manera tal 
que el resultado tenga la misma cantidad de cifras 
decimales que la suma de la cantidad de decimales 
de los números del ejercicio en conjunto.
Ejemplo:
 2 1,24 ∙ 0,002 =
= Multiplicar 124 ∙ 2 
= 248
Ubicar la coma manteniendo 
cinco (2 + 3) cifras decimales: 
→ 0,00248
iii. División
Para dividir números decimales, se puede transfor-
mar el dividendo y el divisor en números enteros am-
plificando por una potencia en base 10.
Ejemplo:
 2 2,25 : 0,5 =
Amplificado por 100.
→ 225 : 50 = 4,5
Capítulo 2 | Números Racionales
44
c. Transformación de decimales a fracciones
i. De decimales finitos a fracciones
En el numerador se escribe el número completo sin 
la coma. En el denominador un 1 acompañado de 
tantos ceros como dígitos existan en la parte decimal 
del número original (después de la coma).
Ejemplo:
 2 ,0 42 100
42=
ii. De decimales periódicos a fracciones
En el numerador se escribe el número completo sin 
la coma y se le resta el número formado por todos 
los dígitos no periódicos. En el denominador tantos 
nueve como dígitos posea el periodo.
Ejemplos:
 2 ,0 45 99
45=
 2 2,374 = . 999
2 374 2– = .999
2 372
iii. De decimales semi–periódicos a fracciones
En el numerador se escribe el número completo sin 
la coma y se le resta un número formado por todos 
los dígitos no periódicos. Luego en el denominador, 
tantos nueve como dígitos posea el periodo, seguidos 
de tantos ceros como dígitos tenga el ante–periodo.
Ejemplos:
 2 , .
.0 4321 9 900
4 321 43–=
 2 , .
.32 4321 9 990
324 321 324–=
d. Relación de orden en fracciones positivas
Sean ,b
a
d
c números racionales, con b ≠ 0 y d ≠ 0 . Para comparar números racionales, se 
pueden utilizar los siguientes métodos:
i. Multiplica ción cruzada
Este método compara parejas de fracciones.
b
a
d
c a d b c+ $ $$ $
b
a
d
c a d b c+ $ $##
Ejemplo: Comparar 16
5 y 10
3 :
5 ∙ 10 > 16 ∙ 3
50 > 48
∴ 16
5 > 10
3
ii. Igualar denominadores
Este método amplifica las fracciones de modo 
que todas tengan igual denominador, luego 
la mayor fracción será la que posea mayor 
numerador.
Ejemplo: Comparar 16
5 y 10
3 :
160
50 > 160
48
∴ 16
5 > 10
3
iii. Igualar numeradores
Este método amplifica las fracciones de modo 
que todas tengan igual numerador, luego 
la mayor fracción será la que posea menor 
denominador.
Ejemplo: Comparar 16
5 y 10
3 :
48
15
50
15>
∴ 16
5 > 10
3
iv. Convertir a número decimal
Este método convierte las fracciones en 
números decimales, realizando las divisiones 
correspondientes. Para ordenar decimales es 
aconsejable escribir todos ellos con la misma 
cantidad de decimales.
Ejemplo: Comparar 16
5 y 10
3:
0,3125 > 0,3000
∴ 16
5 > 10
3
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 45
TIPS:
 »Tener en cuenta que 0,3 = 0,30 = 0,300 , etc. Para comparar números decimales conviene 
agregar ceros a la derecha y luego establecer la relación de orden.
 »Es importante destacar que entre dos números racionales distintos, existen infinitos números 
racionales.
Ejemplos PDT
11. Si P = 1,76, ¿cuál es el valor de 10P?
(DEMRE 2020)
A ) 10,76
B ) 17,67
C ) 17,76
D ) 17,6
12. ( 0,1 : 0,01) + 0,001 =
(DEMRE 2018)
A ) 0,101
B ) 9,09
C ) 0,002
D ) 10,001
13. ( 1,3 )2 =
A ) 1,4
B ) 1,6
C ) 1,7
D ) 1,9
14. ¿ Cuál de los siguientes números racionales es el menor ?
A ) 119
11
B ) 10
1
C ) 21
2
D ) 39
4
15. En la recta numérica, ¿cuál de los siguientes números racionales se encuentra más cercano al 
número uno?
(DEMRE 2019)
A ) 3
4
B ) 4
3
C ) 5
6
D ) 6
5
Capítulo 2 | Números Racionales
46
16. En la recta numérica de la figura adjunta, se ubican los puntos a, b, c y d. ¿En cuál de las siguientes 
operaciones el resultado es siempre menor que 1?
(DEMRE 2016)
A ) a ∙ b
B ) d + a
C ) a ∙ c
D ) d – c
17. Sean a y b dos números racionales ubicados en la recta numérica, como se muestra en la figura 
adjunta.
(DEMRE 2020)
–1 1b 0 a
¿Cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)?
I. a
1 > 1
II. a + b < 1
III. –a ∙ b > 0
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
18. En la tabla adjunta se muestran los tiempos que demoraron cuatro atletas en correr 100 metros. 
Según los datos de la tabla, ¿cuál de los siguientes valores es la resta de los tiempos, en segundos, 
entre los dos atletas más rápidos?
(DEMRE 2019)
A ) 3,42
B ) 0,12
C ) 0,06
D ) 0,555
0 a b 1 c d
Atleta Tiempo en segundos
Andrés 9,63
Bernardo
4
39
Carlos 100
979
Danilo
100
699
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 47
5. APROXIMACIONES
a. Aproximación por defecto y exceso
A veces necesitaremos trabajar con números con una gran cantidad de cifras decimales, como 
por ejemplo los números periódicos, y por tanto en ocasiones será necesario aproximarlos. Las 
aproximaciones que resultan menores que el valor del número inicial se llaman aproximaciones 
por defecto y las que resultan mayores se llaman por aproximaciones por exceso.
Para aproximar por defecto:
Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere 
aproximar.
Paso 2: Considerar las cifras decimales hasta la posición 
que se determinó.
Ejemplo:
 2 Aproximar por defecto 
a la décima el número 
3,47 → 3,4
Para aproximar por exceso:
Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere 
aproximar.
Paso 2: La cifra por aproximar se debe aumentar en 
una unidad.
Ejemplo:
 2 Aproximar por exceso 
a la unidad el número 
15,28 → 16
Ejemplo:
 2 Si aproximamos a la milésima el número 3,14159 por exceso y por defecto resulta:
3,141593,141 3,142
Aproximación por 
Exceso
Aproximación por 
Defecto
b. Truncar y redondear
Un número real puede ser aproximado por truncamiento o por redondeo.
Para truncar:
Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere truncar.
Paso 2: Considerar las cifras decimales hasta la posición 
que se determinó.
 »Nota: Truncar números positivos, es equivalente a 
aproximar por defecto.
Ejemplos:
 2 Truncar a la centésima el 
número 3,1421 → 3,14
 2 Truncar a la milésima el 
número 1,8676 → 1,867
Para redondear:
Paso 1: Identificar la posición a la que se quiere 
redondear.
Paso 2: Considerar la cifra decimal inmediatamente 
siguiente a la que determine la aproximación.
Paso 3: Si dicha cifra es menor que 5, no hay 
modificaciones en las cifras que se conservan. Si dicha 
cifra es mayor o igual que 5, la cifra por aproximar se 
debe aumentar en una unidad.
Ejemplos:
 2 Redondear a la centésima 
el número 3,1421 → 3,14
 2 Redondear a la milésima el 
número 1,8676 → 1,868
Capítulo 2 | Números Racionales
48
Ejemplos PDT
19. Si X es la mejor aproximación por defecto a la centésima de 2,64575131 e Y es la aproximación por 
redondeo a la décima de 3,16227766, entonces el valor de (X + Y) es:
(DEMRE 2017)
A ) 5,84
B ) 5,74
C ) 5,75
D ) 5,85
20. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto a la expresión decimal 
de 11
3 ?
(DEMRE 2017)
I. El dígito de la milésima es un número par.
II. Es un número decimal periódico.
III. El número truncado al dígito de la cienmilésima es 0,27273.
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 49
Capítulo 2
Números Racionales │ Ejercicios 
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. 3
2
6
5
15
9
10
2– – –$ =c m
A ) 15
2–
B ) 30
1–
C ) 3
1
D ) 0
2. ¿Qué resultado se obtiene si al doble de 2,4 se le resta el triple de 3,2?
A ) 4,8
B ) 5,2
C ) – 5,2
D ) – 4,8
3. Andrés debe recorrer 15,4 kilómetros y ha avanzado 8.750 metros. ¿Cuánto le falta por recorrer?
A ) 6,29 kilómetros 
B ) 6,65 kilómetros 
C ) 7,65 kilómetros 
D ) 7,75 kilómetros
4. En una competencia de natación, Anita, Cata y Maca demoraron 25,4 segundos, 25,03 segundos y 
25,3 segundos en llegar a la meta, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) 
verdadera(s)?
I. Anita llegó después de Maca
II. Maca llegó 27 centésimas después de Cata
III. Cata llegó primera
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) I, II y III 
5. ¿ Cuánto se obtiene si el producto 0,5 ∙ 0,05 se divide por el producto 2,5 ∙ 0,025 ?
A ) 0,04
B ) 0,4
C ) 2,5
D ) 25
Capítulo 2 | Números Racionales
50
6. Un partido se desarrolla en dos tiempos de 45 minutos cada uno. ¿Qué fracción del partido resta cuando 
han transcurrido 20 minutos del segundo tiempo?
A ) 9
2
B ) 9
4
C ) 9
5
D ) 18
5 
7. La tercera parte de la mitad del triple del cuádruple de la décima parte de 70 es:
A ) 8
7
B ) 7
C ) 14
D ) 140
8. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. El inverso multiplicativo de 4
3– es 3
4
II. El inverso aditivo de 3
15 es 316–
III. 0,36 + 0,64 = 1
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III 
9. Si se sabe que a = 4
3 , b = 2 y c = 0,2 ; ¿cuál es el valor de la expresión a – b + b
c ?
A ) 20
23–
B ) 20
17–
C ) 20
27
D ) 20
33
10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?
I. Para cada número racional “a” es posible encontrar en los racionales un número “b” tal 
que a + b = 0
II. Para cada número racional “a” podremos encontrar un número racional “b” tal que ab = 1
III. La división de dos números racionales siempre da como resultado un número racional
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 51
11. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. 
5
4
3
20
3=
II. ,0 7 5 33
25=
III. 7
6
2
32
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
12. ¿Cuánto es el doble de la quinta parte de 
10
3
5
12
?
A ) 125
36
B ) 5
4
C ) 5
16
D ) 8
13. Si el recíproco de 3
2– es A y el opuesto de 2
1 es B, ¿cuál es el valor de B
A ?
A ) – 3
B ) 3
1–
C ) 3
1
D ) 3
14. El hervidor de agua de Teresa está a 4
1 de su capacidad con agua. Teresa, agrega tres décimas partes 
de un litro y luego lo pone a hervir. Si se sirve una taza de té de 150 ml y por un descuido bota la octava 
parte de un litro del agua hervida, ¿cuál es la capacidad máxima de dicho hervidor si en su interior 
quedaron 300 ml de agua hervida?
A ) 750 ml
B ) 800 ml
C ) 1.000 ml
D ) 1.100 ml
15. Si 3,xy corresponde a la aproximación por redondeo a la centésima del número 3,2457 y w,3z es la 
aproximación por defecto a la centésima de 1,34895, ¿cuál es el valor de x + y +w + z?
A ) 8
B ) 10
C ) 11
D ) 12
Capítulo 2 | Números Racionales
52
16. ( 0,3 + 3,9 )2 =
A ) 15,4
B ) 16,2
C ) 18,7
D ) 18,9
17. 1
5
1
1
1– =
1
1
–
–
A ) – 3
B ) 5
24
C ) 4
5
D ) 5
18. Si al cuociente entre 12
6 y 14
2 se le resta 10
15 se obtiene:
A ) 7
10–
B ) 19
7–
C ) 1
D ) 2
19. 1
3
1
4
2– =
5
3
–
–
A ) 3
8
B ) 2
7
C ) 7
4
D ) 7
3
20. ¿ Cuál de los siguientes números está entre 5
1 y 3
2 ?
A ) 9
1
B ) 5
4
C ) 15
4
D ) 10
7
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 53
21. Si T = 2
1– 2 y S = 43– 4 , entonces S – T =
A ) 4
1–7
B ) 4
1–2
C ) 4
1–1
D ) 4
12
22. Uno de los alumnos de una clase hace la siguiente pregunta: “Profesor, una fracción positiva, ¿cuándo 
aumenta su valor? El profesor pregunta al curso si alguien puede contestar a esa pregunta y estas fueron 
algunas de las respuestas de sus compañeros:
Juan: Yo creo que una fracción positiva solo puede aumentar su valor si aumentamos su numerador y mantenemos su denominador.
Rosita: Yo creo que una fracción positiva aumenta su valor si la amplificamos por un valor mayor que 1. 
Josefina: Yo creo que una fracción positiva aumenta su valor solo si la multiplicamos por un racional positivo.
Ramón: Yo creo que una fracción positiva aumenta si aumentamos su numerador o si disminuimos su denominador. 
¿Cuál de los alumnos dio una respuesta más completa a lo que preguntó su compañero?
A ) Juan.
B ) Rosita.
C ) Josefina.
D ) Ramón. 
23. Si a la cuarta parte de un cuarto le restamos el triple de un sexto, se obtiene:
A ) 32
15–
B ) 16
7–
C ) 24
1
D ) 2
1
24. 8
1
11
3
11+ =
1 –
A ) 4
61
B ) 8
65
C ) 8
17
D ) 4
1
Capítulo 2 | Números Racionales
54
25. , ,0 8 0 2| =,0 02
A ) 200
1
B ) 8
1
C ) 0,02
D ) 200
26. ¿Cuál es el resultado de 1
12
9
1
1+
1 +
1 +
 ?
A ) 11
18
B ) 2
3
C ) 1
D ) 11
7
27. En un curso de 42 alumnos, faltaron 14 de ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
I. Los alumnos presentes representan el doble de los ausentes
II. Los alumnos ausentes representan la tercera parte del curso
III. El cuociente entre los ausentes y los presentes es 2
1
A ) Solo III
B ) Solo II y III
C ) I, II y III
D ) Ninguna de ellas
28. 5
1
5
1
5
1
5
1+ + + =
A ) 
5
1
4
B ) 
5
4
4
C ) 20
4
D ) 5
4
29. Al redondear a la milésima el número 4,5387, resulta:
A ) 4,500
B ) 4,540
C ) 4,538
D ) 4,539
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 55
30. ¿ Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
I. ,7 9 9
70=
II. ,3 4 6 15
52=
III. ,11
7 0 6 3=
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo II y III
31. Si las tres quintas partes de un número a es 2b, entonces la cuarta parte de b es:
A ) a5
8
B ) a40
3
C ) a8
5
D ) a10
3
32. Sean x e y números enteros no nulos. Podemos afirmar que la fracción y
x representa un número entero 
positivo si :
( 1 ) x e y tienen el mismo signo
( 2 ) y > 0 y x es múltiplo positivo de y
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
33. ¿Cuál es el resultado de truncar a la centésima el número 3,6765?
A ) 3,600
B ) 3,670
C ) 3,680
D ) 3,676
34. Si el numerador y el denominador de una fracción propia aumentan en la misma cantidad, entonces es 
verdadero que la fracción resultante:
A ) Es siempre mayor que la fracción original, porque entre más crezcan ambos, más se parecen 
entre ellos y por tanto cada vez se parece más a 1 el cociente.
B ) Es siempre menor que la fracción original, porque si aumentamos el denominador, esto implicará 
que el numerador se estará dividiendo en más partes, independiente de cuánto este haya 
crecido.
C ) Es igual que la fracción original, pues si aumentamos en la misma cantidad tanto el numerador 
como el denominador, obtendremos una fracción equivalente.
D ) Es menor o igual que la fracción original. Menor porque aumenta el denominador por un lado o 
igual en caso de que tanto numerador sean pares o impares.
Capítulo 2 | Números Racionales
56
35. Si n es un número natural, entonces la expresión n2n2 1+ representa siempre:
A ) Un número impar, porque un número par dividido por un impar, da impar.
B ) Una fracción impropia, porque al simplificar por 2n, nos da 1.
C ) Un número mixto, porque la división no es exacta.
D ) Una fracción irreducible, por tratarse de dos números consecutivos.
36. El inverso aditivo de –4 , menos el inverso multiplicativo de 24
4 es:
A ) – 10
B ) 6
23–
C ) 6
25–
D ) – 2
37. 800 menos los 20
3 de la tercera parte de 1.200 es:
A ) 740
B ) 680
C ) 640
D ) 340 
38. Tres amigos compraron carne para un asado. Andrés compró los 9
7 de un kilogramo, Carlos los 5
4 de 
un kilogramo y Marco los 11
9 de un kilogramo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
I. Andrés compró más carne que Carlos
II. Marco compró más carne que Carlos
III. Andrés compró menos carne que Marco
A ) Solo I
B ) Solo III 
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
39. Una barra mide 50 cm. Por efecto del calor se ha expandido una centésima parte de su longitud. ¿Cuál 
es su actual medida?
A ) 0,51 m
B ) 0,55 m
C ) 0,505 m
D ) 0,5005 m
40. Si A = 1,7 + 3,75 ; B = 3,3 + 2,12 y C = 3,21 + 2,24 , ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
A ) B > C > A
B ) A = C > B
C ) C > B > A
D ) B > A > C
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 57
41. Si m = 3
2 y n = 4
1 , entonces ¿ cuál(es) de las siguientes expresiones equivale(n) a un número entero ?
I. (m + n) (m – n)
II. 6mn
III. n
m
3
8
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo II y III
42. Los racionales , , ,4
3
6
5
8
7
9
7 ordenados de mayor a menor son:
A ) , , ,4
3
6
5
8
7
9
7
B ) , , ,8
7
9
7
4
3
6
5
C ) , , ,8
7
6
5
9
7
4
3
D ) , , ,9
7
8
7
6
5
4
3
43. La expresión, 6
2
2
2
3
1
2 3
1
3
2
5 –
|
+
1– +
 equivale a:
A ) 4
5
B ) 5
4
C ) 4
3
D ) 5
49
44. 
, ,
18
9 0 5 15
3 0 65
–
–+
=
,0 1
A ) 1
B ) 0,5
C ) 0
D ) – 1
45. En una calculadora, cada vez que se suman números decimales, el resultado final que muestra el visor 
está truncado a la centésima. Si se efectúa la suma 0,2333 + 0,0236 + 0,162, ¿cuál de los siguientes valores 
será el resultado que mostrará el visor de esta calculadora?
A ) 0,418
B ) 0,419
C ) 0,41
D ) 0,42
Capítulo 2 | Números Racionales
58
46. Camila gastó 4
1 de su presupuesto total S en zapatillas, 5
1 de lo que gastó en zapatillas lo gastó en 
una polera y con un 10
1 de lo que gastó en la polera se compró una bebida. ¿Cuál de las siguientes 
expresiones nos permitiría conocer el monto de lo que gastó Camila?
A ) S S S4
1
5
1
10
1+ +
B ) S S S S4
1
5
1
10
1– + +b l
C ) S S S4
1
5
1
4
1
10
1
5
1
+ +
D ) S S S4
1
5
1
4
1
10
1
5
1
4
1
$ $ $+ +
47. El valor de 
10
7
15
8
4
3
5
2–
–
 es:
A ) 28
9
B ) 10
21
C ) 5
6
D ) 4
1–
48. Si x < y < z , ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) positiva(s)?
I. z x
z y
–
–
II. y z
y x
–
–
III. y z
x y
–
–
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo I y III
49. Se puede determinar si la expresión q
p con q ≠ 0, pertenece al conjunto de los números enteros si:
( 1 ) p ! Z y q ! Z
( 2 ) p y q son múltiplos de 2
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 59
50. Si al dejar caer una pelota de una cierta altura H, cada vez que da un bote esta lograr llegar solo a la 
tercera parte de la altura previa al respectivo bote, ¿cuál será la altura a la que llega la pelota luego 
del k-ésimo bote? 
A ) k H3 $
B ) H k3–
C ) H
3k
D ) H3
1 k
51. Si P = 0,001 ; Q = 0,01 y R = 0,1 ; entonces el valor de P + Q ∙ R es:
A ) 0,00101
B ) 0,0101
C ) 0,0022
D ) 0,002
52. El orden de los números a = 3
25 , b = 655 y c = 875 , demenor a mayor es:
A ) a , b , c
B ) a , c , b
C ) b , a , c
D ) c , a , b
53. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
I. 0,72 + 0,28 = 1
II. ,1 0 1 9
8– =
III. El recíproco de – 5 es 5
1
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo I y III
54. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
I. ,0 1 6 6
1=
II. , 41 , 590 0 1+ =
III. , ,4 9 4 9=
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
Capítulo 2 | Números Racionales
60
55. Se tienen 3 chocolates rectangulares del mismo tamaño, pero divididos en una distinta cantidad de 
sub-rectangulitos iguales entre sí en cada chocolate, tal y como se muestra en la figura adjunta.
Si entre 3 niños se están comiendo estos chocolates y en la figura aparecen marcados en gris los 
distintos rectangulitos que ya se han comido, ¿cuál de las siguientes figuras nos permite representar 
correctamente qué fracción del total de los chocolates se han comido (gris) y qué fracción les queda 
por comer (en blanco)?
A ) 
B ) 
C ) 
D ) 
56. Si n es un número entero negativo distinto de –1, ¿cuál de las siguientes fracciones es la mayor?
A ) n
1
B ) 
n
1
2
C ) –
n
1
2
D ) n 1
1
–
57. Se debe repartir en partes iguales 67,20 kg de harina entre 12 personas. ¿Cuántos kg de harina recibirán 
7 de estas personas?
A ) 3,92 kg
B ) 5,60 kg
C ) 9,60 kg
D ) 39,20 kg
Números Racionales | Capítulo 2
Matemática Para Nacional 61
58. Un barman está preparando un trago y tiene dos dosificadores para preparar un pedido para el cual 
ocupa 4 medidas de un licor 1, con uno de los dosificadores, y 6 medidas de un licor 2 con el otro 
dosificador más pequeño. Si se sabe que el dosificador más pequeño tiene como capacidad máxima 
3
2 de la capacidad máxima del más grande, ¿cómo se vería el vaso desde un costado, si los licores aún 
no se mezclan, entre los dos licores ocupan 3
2 de la capacidad del vaso, y los dosificadores su usaron 
a su máxima capacidad?
A ) B ) C ) D ) 
59. Respecto del número 7
62 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. Redondeado a la unidad es 8
II. Truncado a la décima es 8,8
III. Redondeado a la centésima es 8,86
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
60. Si x = 5,13 y y = 5,12 , ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A ) y es la aproximación por truncamiento a la milésima de 5,12819
B ) y es la aproximación por redondeo a la centésima de 5,12819
C ) x es la aproximación por redondeo a la milésima de 5,12819
D ) x es la aproximación por redondeo a la centésima de 5,12819
61. ¿Cuál de los siguientes números racionales es el menor?
A ) 119
11
B ) 10
1
C ) 21
2
D ) 39
4
62. Una persona compró dos séptimos de 2
13 docenas de naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?
A ) 2
11 docenas
B ) 4
11 docenas
C ) 1 docena
D ) 1 naranja
Capítulo 2 | Números Racionales
62
63. Si p = 6
4 , q = 18
15 y r = 20
5 , entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. p < q
II. r > p
III. p + q = 2
3
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo I y III
64. La tabla adjunta se estaba completando con la información aportada por 24 encuestados. Si bien hay 
2 celdas vacías, la tabla se debería completar considerando que entre los fumadores jóvenes menores 
de 18 años y los adultos mayores no fumadores son 2
1 del total de encuestados, y que los adultos 
jóvenes no fumadores son 2,5 veces los adultos jóvenes fumadores.
Fumador(a) No fumador(a)
Joven (<18 años) 4
Adulto joven 2
Adulto mayor (>60 años) 1 6
¿Qué fracción de los no fumadores corresponden a adultos jóvenes?
A ) 5
1
B ) 4
1
C ) 3
1
D ) 2
1
65. Si z es un número entero negativo, y ≠ 0 y M = y
x z$ , entonces M es negativo si:
( 1 ) x e y son enteros negativos
( 2 ) x e y son enteros positivos
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 63
1. ¿QUÉ ES UNA RAZÓN?
En matemática, decimos que una razón (o razón geométrica) es la comparación ordenada 
entre dos cantidades o magnitudes mediantes su cociente.
Ejemplo:
 2 Si comparamos 8 y 4, tendremos que 4
8 2= , pues 8 es 2 veces 4. Así mismo, si comparamos 
estos dos mismos números, pero decimos que vamos a comparar 4 con 8 (hay un cambio de 
orden) lo que deberíamos hacer es ,8
4 0 5= y esto nos indica ahora que 4 es 0,5 veces 8, o, 
lo que es lo mismo, que 4 es la mitad de 8.
Como vemos, una razón es un cociente entre dos cantidades o magnitudes que respeta 
un determinado orden. El numerador (o dividendo) recibe el nombre de antecedente y el 
denominador (o divisor) recibe el nombre de consecuente.
Decimos que dos o más parejas de números comparados mediante un cociente forman una 
proporción si se da la igualdad entre las razones que las representa. Esto es:
b
a y d
c forman una proporción si y solo si b
a
d
c k= = con k ! R
Esta relación se lee: “a” es a “b”, como “c” es a “d”.
La constante k que se obtiene en común en ambas razones recibe el nombre de constante 
de proporcionalidad y en esta relación a : b = c : d , a los valores de “a” y “d” se les llama los 
extremos de la proporción y, por su parte, a “b” y “c” los medios de la proporción. 
Ejemplo: 
 2 ¿Qué valor debe tener x, si se sabe que x : 3 = 10 : 6?
Para determinar el valor de x, ocupamos el hecho de que x x3 6
10 6 3 10) $ $= = y esto es 
posible solo si x 6
3 10 5$= = . Por lo tanto, el valor de x es igual a 5.
2. PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Consideremos la siguiente tabla, que resume el consumo (Y) de dulces por una cierta cantidad 
de niños (X).
1º 2º 3º 4º i º
Niños (X) 2 3 4 5 yi
Dulces (Y) 6 9 12 15 xi
Podemos ver que para cada cantidad de niños hay asociada una cierta cantidad de dulces. 
O sea, podríamos hacer la comparación, mediante su cociente, entre ambas cantidades.
Podemos notar que todas las razones arrojan un mismo resultado como cociente. De hecho 
6
2
9
3
12
4
15
5
3
1= = = =b l .
“No se trata de lo que ocurre, sino de 
cómo lo enfrentamos”
— ANÓNIMO —
Capítulo 3
PORCENTAJES
Escanea este código QR y verás la 
clase en video de este capítulo.
moraleja.cl/mpn6-3
 
Capítulo 3 | Porcentajes
64
En estos casos diremos que, de mantenerse esta relación de igualdad entre los cocientes de 
cualquier par de valores asociados de las variables X e Y, dichas variables son directamente 
proporcionales o que el crecimiente (o decrecimiento) de la variable X es directamente 
proporcional al crecimiento (o decrecimiento) de la variable Y.
En términos simples, podemos decir que dos variables, X e Y, son directamente proporcionales, 
cada vez que se mantenga constante el cociente entre los distintos valores asociados, según 
el contexto, de ambas variables.
Ejemplo:
 2 Si nos dicen que X e Y son variables directamente proporcionales, ¿cuál debería ser el valor 
de a + b, según la tabla de valores siguiente?
X 12 16 b
Y 3 a 15
Como nos dicen que X e Y son directamente proporcionales, entonces debe cumplirse 
que: a
b
3
12 16
15= = . 
De esta relación se deduce la información que nos permite calcular tanto a como b. Pues 
a a a3
12 16 12 48 4" "= = = , mientras que b b b3
12
15 180 3 60" "= = = . Por lo tanto, el 
valor de a + b es 64.
Nota: Es importante saber que también existe la “Proporcionalidad inversa“, cuyas diferen-
cias principales con la proporcionalidad directa son, por una parte, que en este caso es el 
producto el que se mantiene constante; y por otra parte, que en la proporcionalidad inver-
sa al aumentar el valor de una de las variables, la otra disminuye su valor, es decir mientras 
una variable crece, la otra variable decrece.
3. ¿QUÉ ES UN TANTO POR CIENTO?
Cuando sacamos porcentajes, significa que una unidad (o el total de unidades) es dividida en 
100 partes iguales (por eso su nombre porcentaje). Cada una de esas partes iguales recibe el 
nombrede “1 por ciento” y se escribe 1% o bien 100
1 , que representa explícitamente la razón 
en la que estaría esta porción del total (1 de cien) comparado con el total (100 de cien).
a. Cálculo de un tanto por ciento de un valor
Podemos ver los porcentajes como una aplicación de proporcionalidad directa. Por ejemplo, 
si queremos calcular el 20% de 600, podemos considerar a 600 como nuestra cantidad total, 
y utilizar una incógnita x que represente la cantidad que buscamos, que sería en este caso 
“el 20% de 600”, y poner en una tabla las variables “Cantidad” y “%”, como se muestra en el 
siguiente esquema:
Cantidad 600 x
% 100 20
Dicho lo anterior, podemos entonces pensar en la variación proporcional de las variables 
“Cantidad” y ”%”, y hacer uso de su propiedad fundamental, que implica un cociente constante 
entre cantidades asociadas. Para el ejemplo anterior, se tendría entonces lo siguiente:
x
100
600
20=
Esto implica que 600 ∙ 20 = 100 ∙ x, de lo que se deduce que x 100
600 20 120$= = . O sea, podemos 
decir que el 20% de 600 es 120.
Pero también podríamos querer calcular al revés. Es decir, estar interesados en saber qué 
porcentaje es un número de otro.
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 65
Ejemplo:
 2 ¿Qué porcentaje es 8 de 32?
Para resolver este problema, hacemos uso de la proporcionalidad directa y, mediante una 
tabla como la siguiente, deducir dicha relación, considerando al porcentaje que es 8 de 
32 como el valor incógnito. Así:
Cantidad 32 8
% 100 x
De lo anterior, tenemos que x100
32 8= , esto implica que 32· x = 100· 8 y, por tanto,
x 32
100 8 25$= = . Como conclusión, llegamos a que 8 es el 25% de 32.
b. Porcentaje como fracción de un número
Ejemplo:
 2 Calcular el 25% de 300.
Si bien ya conocemos el método de la tabla, usaremos ahora la fracción de un número. 
Al calcular fracción de un número, se debe multiplicar la fracción por el número como 
veremos en el siguiente ejemplo.
El 25% es equivalente a 100
25 , por lo que podemos plantear:
25% de 300 = 100
25 de 300 = 100
25
 ∙ 300 = 4
1 ∙ 300 = 4
1 300· = 75
Tenemos finalmente que el 25% de 300 es igual a 75.
 2 Importante: cada vez que queramos escribir en lenguaje matemático la expresión: 
“El m% de X es Y“ escribiremos directamente: m X Y100 $ =
 2 Nota: la palabra ”de” de la expresión en lenguaje natural, toma el papel de 
multiplicación en la expresión escrita en lenguaje matemático.
c. Cálculo rápido de algunos porcentajes
El cálculo del porcentaje de un número, es quivalente a determinar la fracción de un número. 
Estas fracciones siempre tendrán denominador 100, pero algunas de ellas se podrán simplificar 
obteniendo fracciones más simples como las siguientes:
Porcentaje de un 
número Fracción de un número
Fracción simplificada de un 
numero
10% de X 100
10 ∙ X 10
1 ∙ X = X10
12,5% de X ,
100
12 5
 ∙ X
1
8 ∙ X = 
X
8
20% de X 100
20 ∙ X 5
1 ∙ X = X5
25% de X 100
25 ∙ X 4
1 ∙ X = X4
33,3% de X ,
100
33 3
 ∙ X 3
1 ∙ X = X3
50% de X 100
50 ∙ X 2
1 ∙ X = X2
66,6% de X ,
100
66 6
 ∙ X 3
2 ∙ X = X3
2
75% de X 100
75 ∙ X 4
3 ∙ X = X4
3
 
Capítulo 3 | Porcentajes
66
100% de X 100
100 ∙ X 1 ∙ X = X
Ejemplo:
 2 Calcular el 40% de 70.
40% de 70 = 100
40 ∙ 70 = 5
2 ∙ 70 = 28 (2 por 70, dividido en 5; o bien, 70 dividido en 5, por 2)
4. PORCENTAJE DE UN PORCENTAJE
Ejemplo:
 2 Si necesitamos calcular “el 30% del 40% de 300”, lo que haremos es calcular en el mismo 
orden en que se nos pide dicho cálculo. Si nos fijamos, primero debemos calcular el 40% 
de 300 y luego de eso, calcular el 30% de lo que obtengamos como 40% de 300. Así, si 
hacemos uso de la traducción que se mencionaba en la sección anterior, tendremos lo 
siguiente:
100
40 ∙ 300 = 120
Ahora, de la misma forma calculamos el 30% de 120, y nos queda:
100
30 ∙ 120 = 36
Por lo tanto, podremos contestar que el 30% del 40% de 300 es 36. Y de paso notar que no 
es necesario escribir en partes separadas este cálculo, pues podemos expresar todo en un 
mismo cálculo.
100
30
100
40
$ ∙ 300 = 36
Nota: Para calcular “el m% del n% de X”, podemos escribir directamente: m n X100 100$ $
Ejemplos PDT:
1. Las medidas de los lados de un triángulo están en la razón 3 : 5 : 7 y su perímetro es 45 cm. ¿Cuáles 
son sus respectivas medidas, en centímetros?
A ) 6 , 10 y 14
B ) 6 , 10 y 29
C ) 9 , 12 y 24
D ) 9 ,15 y 21
2. ¿En cuál de las siguientes tablas, las variables P y Q son directamente proporcionales?
P Q
1 4
2 5
3 6
A ) P Q
1 2
2 4
3 4
B ) P Q
1 3
2 6
3 9
C ) P Q
1 3
2 2
3 1
D ) 
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 67
3. ¿Cuál de los siguientes pares de variables no son directamente proporcionales?
A ) La longitud del radio de un círculo y la longitud de una circunferencia
B ) El consumo de agua potable y su costo asociado
C ) La cantidad de empanadas compradas y el total de la boleta por pagar
D ) La rapidez de un vehículo y el tiempo que demora en realizar un cierto recorrido
4. Si A es el 80% del 40% de B y 3B es el 50% del 30% de 5.000, entonces el 10% de A es igual a:
A ) 8
B ) 10
C ) 12
D ) 14
5. ¿Qué porcentaje es (a + b) de a ∙ b?
(DEMRE 2021)
A ) %a b
a b
$
+
B ) %a b
a b100
$
+^ h
C ) %a b
a b100 $ $
+
D ) %a b a b100
$ +^ h
6. Sea b el doble de a y el a% del b% de H es 24. Se puede determinar el valor de H si se sabe que:
(DEMRE 2007)
( 1 ) a = 10
( 2 ) a + b = 30
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
7. En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del precio marcado de una 
mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $ 600, ¿cuánto me descuentan?
(DEMRE 2007)
A ) $ 555
B ) $ 510
C ) $ 255
D ) $ 45
 
Capítulo 3 | Porcentajes
68
8. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) a calcular el 12,5% del precio de un artículo?
(DEMRE 2008)
I. 8
1 del precio del artículo
II. El precio del artículo multiplicado por 12,5
III. El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo I y III
9. 200 estudiantes responden una prueba y el 10% de ellos responde de manera errónea la pregunta 
15. Considerando que todos los estudiantes contestaron la pregunta 15, ¿cuántos estudiantes 
contestan correctamente esta pregunta?
(DEMRE 2021)
A ) 10
B ) 20
C ) 160
D ) 180
10. La nota final en la asignatura de física, se obtiene de la suma del 75% del promedio de las notas de 
las pruebas parciales con el 25% de la nota del examen. Si Daniela obtuvo un 2,0 en el examen y 
su promedio de las notas parciales es 5,0, ¿cuál de las siguientes expresiones permite calcular cuál 
fue la nota final de Daniela en física?
(DEMRE 2012)
A ) 0,25 ∙ 2,0 + 0,75 ∙ 5,0
B ) 0,75 ∙ 2,0 + 0,25 ∙ 5,0
C ) 1,25 ∙ 2,0 + 1,75 ∙ 5,0
D ) 1,25 ∙ 5,0 + 1,75 ∙ 2,0
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 69
5. PORCENTAJES DESCRIBIENDO CAMBIOS
Habrá muchas ocasiones en que comparemos cantidades. Por ejemplo, cuando queremos 
calcular el cambio producido en el sueldo que alguien tenía el 2010 versus su actual sueldo.
a. Cambio absoluto
Es la diferencia entre el “nuevo valor” y un valor al que llamamos “valor referencial” (es con 
quien queremos comparar al nuevo valor), es decir:
Cambio absoluto = nuevo valor – valor referencial
Nota: Si la diferencia es positiva se interpreta que el nuevo valor es mayor que el original. En 
caso contrario, si el resultado es negativo, será menor. Ahora bien, si es cero, significa que 
no hubo variación.
Ejemplo:
 2 Si el sueldo de la persona en 2010 era $ 500.000 y el sueldo actual de esa persona es $ 650.000, 
entonces el ”nuevo valor” sería $ 650.000 y el valor referencial es $ 500.000, así:
Cambio absoluto = $ 650.000 – $ 500.000
Esto nos dice que se produjo un cambio absoluto de $ 150.000 a favor. Es decir, el sueldo 
aumentó en ese monto. En caso queel cambio absoluto sea negativo, quiere decir, que el 
sueldo se redujo en ese determinado monto.
b. Cambio relativo
Es el cociente entre el cambio absoluto y el valor referencial. Representa el cambio porcentual 
que se produce entre estas dos cantidades:
Cambio relativo = cambio absoluvalor referencial
to
Nota: Si dicho cociente es positivo se interpreta que el nuevo valor es porcentualmente 
más grande que el original. En caso contrario, si el resultado es negativo, será menor. Ahora 
bien, si es cero, significa que no hubo variación.
Ejemplo:
 2 En el ejemplo anterior, el cambio en el sueldo de la persona fue de $150.000 a favor. Es 
decir, su sueldo aumentó en ese monto, pero, porcentualmente, ¿cuánto fue el aumento?
Cambio relativo = .
.
500 000
150 000 = 0,3
Esto significa que el aumento del sueldo fue de un 30% (ya que 0,3 = 10
3
100
30= ) compara-
tivamente con el sueldo original.
 
Capítulo 3 | Porcentajes
70
6. PORCENTAJES Y SU USO EN LA COMPARACIÓN
Los porcentajes son también utilizados para comparar dos cantidades y hay diversas maneras 
de utilizarlos.
a. Cambiando el valor de referencia
Ejemplo:
Supongamos que queremos comparar el valor de dos propiedades. Una en la comuna 
de Santiago y otra en la comuna de Quintero, cuyos costos son 50 millones y 65 millones, 
respectivamente. Si planteamos su cociente, nos quedaría:
. .
. .
65 000 000
50 000 000 o bien . .
. .
50 000 000
65 000 000
Notemos que ambos cocientes nos entregan distintos valores. ¿Qué significan?
 2 . .
. .
65 000 000
50 000 000 ≈ 0,769. Teniendo como valor de referencia los 65.000.000 (denominador), el 
valor de la propiedad en la comuna de Santiago, es un 76,9% del valor de la propiedad 
de Quintero. O bien, la propiedad de Santiago es un 23,1% más barata que la de 
Quintero (ya que 100% – 76,9% = 23,1%).
 2 . .
. .
50 000 000
65 000 000 ≈ 1,3. Teniendo como valor de referencia los 50.000.000 (denominador), el 
valor de la propiedad en Quintero, es un 130% del precio de la propiedad en Santiago. 
O bien, la propiedad de Quintero es un 30% más cara que la de Santiago. (ya que 
130% – 100% = 30%).
Nota: Es fundamental reconocer cuál es el valor de referencia (denominador o divisor en 
nuestra división), ya que en base a ese valor se construye la interpretación.
b. Cambiando el valor a comparar
Ejemplo 1:
Si la cantidad de alumnos que compró el libro de Matemática Avanzada en Febrero 
fue 300 y la cantidad de alumnos que compró el mismo libro en Marzo fue 900, ¿cómo 
podríamos comparar ambas cifras?
Tomaremos como valor de referencia a 300 y como nuevo valor a 900.
 2 Una posibilidad es analizar su diferencia: 900 – 300 = 600. 
Este 600, significa que el cambio absoluto de Febrero a Marzo indica que hubo un 
aumento en las ventas de 600 libros. Porcentualmente fue 300
600 = 2. Es decir, el aumento 
porcentual fue del 200%, siempre considerando que es respecto a los 300 alumnos que 
compraron en Febrero. O sea que podríamos decir que hubo un 200% de aumento en las 
ventas; o que las ventas aumentaron en un 200% (pues aumentaron en 600 unidades).
 2 Otra posibilidad es analizar directamente las cantidades originales, 900 y 300.
Tenemos 300
900 = 3, esto quiere decir que los 900 alumnos que compraron el libro en 
Marzo, equivalen al 300% de la cantidad de alumnos que compraron en Febrero, en 
otras palabras, las ventas aumentaron al 300% (pues aumentaron a 900 unidades)
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 71
Nota: Es fundamental reconocer en base a qué valor se está comparando (denominador), 
ya que en base a ese valor se construye la interpretación.
 2 Si comparamos el cambio absoluto, es decir la diferencia con el valor referencial, 
hablaremos de aumento de un X% o aumento en un X% (lo que aumenta); o 
disminución de un X% o disminución en un X% (lo que disminuye).
 2 Si comparamos el nuevo valor con el valor referencial, hablaremos de aumento al 
X% (valor final) o disminución al X% (valor final).
7. APLICACIÓN DE PORCENTAJES
Supongamos que queremos invertir un capital (monto de dinero) y que nos ofrecen un cierto 
interés por ello. Esto significa que por cada período de tiempo que nosotros tengamos invertido 
el dinero en alguna institución, dicha institución nos ofrece a cambio tener ganancias por 
ello. A esas ganancias les llamamos interés. El cómo calcular esas ganancias, da origen a 
todo un mundo de fórmulas distintas que permiten determinar dicho interés. Nosotros nos 
concentraremos en dos formas distintas de calcular interés. Estas son capitalización vía un 
Interés Simple y capitalización vía Interés Compuesto.
Definiciones:
 2 Capital inicial: es el capital (monto de dinero) que vamos a invertir.
 2 Tipo de interés: en nuestro caso será Simple o Compuesto, y se desprenderá del enunciado 
de cada problema.
 2 Tasa de interés: es el porcentaje de ganancia o pérdida que se nos ofrece por período de 
capitalización.
 2 Capitalización: decimos que nuestro dinero sufre una capitalización cada vez que genere 
utilidades o pérdidas, producto de un período de inversión.
 2 Tipo de capitalización: esta puede ser diaria, semanal, mensual, trimestral, anual, etc.
 2 Períodos de capitalización: es un período de tiempo después del cual el capital genera un 
cierto interés.
 2 Capital final: es el monto finalmente obtenido al agregar o quitar al Capital Inicial, todo lo 
que hayamos obtenido o perdido al finalizar los períodos de capitalización.
a. Interés simple
Diremos que las ganancias (o pérdidas, según corresponda) se calculan vía un interés simple 
cuando el interés que se va a obtener se calcula sobre el capital inicial (dinero que uno va a 
invertir) una sola vez y se agrega en cada período, el mismo monto.
Características del interés simple:
 2 El interés se calcula una sola vez sobre el capital inicial, utilizando la tasa de interés que se 
ofrece.
 2 El interés es el mismo para cada uno de los períodos de capitalización y es el que se calcula 
al comienzo de la operación sobre el capital inicial.
 2 El capital invertido no se verá modificado durante todo el período de inversión. Lo que 
pasará es que, período a período, se irá agregando el mismo interés que fue calculado al 
comienzo de la operación.
Si invertimos un capital inicial (Ci), con capitalización vía un interés simple, a una tasa de 
interés del i% por período, durante n períodos, obtendremos el siguiente capital final (Cf):
Cf = Ci + n ∙ i % ∙ Ci
 
Capítulo 3 | Porcentajes
72
Ejemplo:
 2 Se invierten $150.000 en un banco durante 6 meses, vía un interés simple del 5% mensual. 
¿Cuál es el capital final luego de este período?
Tenemos los siguientes datos:
Capital inicial: $150.000
Tipo de interés: Interés Simple
Tasa de interés: 5%
Tipo de Capitalización: Mensual
Períodos de capitalización: 6
Reemplazando los datos en la fórmula:
Cf = Ci + n ∙ i % ∙ Ci
Cf = 150.000 + 6 ∙ 5% ∙ 150.000
Cf = 150.000 + 6 ∙ 100
5 ∙ 150.000
Cf = 150.000 + 45.000
Cf = 195.000
Después de 6 meses se tiene un capital final de $ 195.000.
b. Interés compuesto
Diremos que las ganancias (o pérdidas, según corresponda) se calculan vía un interés 
compuesto, cuando al final de cada período, se recalculan los intereses recaudados por el 
monto invertido. Esto es, en cada período se vuelve a invertir el monto completo recaudado: 
capital inicial más los intereses generados hasta ese período.
Si invertimos un capital inicial (Ci), con capitalización vía un interés compuesto, a una tasa 
de interés del i% por período, durante n períodos, obtendremos el siguiente capital final (Cf):
Cf = Ci ∙ 
i1 100
n
+b l
Ejemplo:
 2 Supongamos que el mismo monto del ejemplo anterior, $150.000, es invertido durante los 
mismos 6 meses, con el mismo interés del 5%, pero ahora con una capitalización vía Interés 
Compuesto. ¿Cuál es el capital final luego de este período?
Reemplazando los datos en la fórmula:
Cf = Ci ∙ 
i1 100
n
+b l
Cf = 150.000 ∙ 1 100
5 6+b l
Cf . 201.000
Despuésde 6 meses se tiene un capital final de $ 201.000.
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 73
Ejemplos PDT:
11. Si el sueldo de Juan aumentó en 200% respecto a su antiguo sueldo, ¿cuál de las siguientes 
afirmaciones corresponde a este hecho?
A ) El sueldo de Juan se multiplicó 20 veces respecto a lo que era antes
B ) El sueldo de Juan se duplicó
C ) El sueldo de Juan se triplicó
D ) El sueldo de Juan se multiplicó por 200
12. Se puede determinar el monto de una deuda si:
(DEMRE 2009)
( 1 ) La cuota mínima a pagar es el 5% de la deuda
( 2 ) La cuota mínima a pagar es de $ 12.000
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
13. Si comparamos la estatura de un bebé al nacer (52,5 cm) con la de su madre (175 cm) mediante el 
cociente: , ,175
52 5 0 3= . Porcentualmente, ¿qué información nos entrega este resultado?
A ) Que la diferencia de estaturas (madre – hijo), representa un 30% de la estatura de la madre
B ) El bebé midió al nacer, un 30% de lo que medía la madre
C ) El estatura del bebé es un 0,3% de la estatura de la madre
D ) La madre es un 99,7% más alta que el bebé
14. En un banco se ofrece un interés mesual de un 1% sobre el dinero depositado en libretas de ahorro. 
¿Por cuál factor debe multiplicar una persona el capital depositado, para saber la cantidad de 
dinero que tendrá al cabo de un año?
(DEMRE 2006)
A ) Por (1,01)12
B ) Por 212
C ) Por (1,1)12
D ) Por 0,12
15. Si se sabe que las áreas de dos triángulos están en la razón 4
3 = 0,75. Porcentualmente, siempre se 
puede decir que:
A ) El área del triángulo de menor área es el 7,5% del triángulo de mayor área
B ) El área del triángulo menor es 3 y el área del triángulo mayor es 4
C ) El 75% del área total (suma de las áreas de los dos triángulos) es el área del triángulo de 
mayor área
D ) El área del triángulo de menor área, corresponde al 75% del área del triángulo de mayor 
área
 
Capítulo 3 | Porcentajes
74
16. Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento es:
(DEMRE 2006)
A ) 5
1 %
B ) 6
1 %
C ) 3%
D ) 20%
17. Si se invierten $800.000 en una institución financiera al 3% semestral, con interés simple, durante 5 
años, ¿cuánto serán las utilidades obtenidas por dicha inversión?
A ) $ 120.450
B ) $ 240.000
C ) $ 386.100
D ) $ 794.600
18. ¿Cuántos meses necesitamos tener invertidos $300.000 en un banco, con un interés simple al 4% 
mensual, si queremos lograr una ganancia de $180.000?
A ) 8
B ) 9
C ) 12
D ) 15
19. Si $ 50.000 de invierten al 10% de interés compuesto anual, ¿cuál es el capital total después de dos 
años?
(DEMRE 2008)
A ) $ 60.000
B ) $ 60.500
C ) $ 70.000
D ) $ 90.000
20. Si $ 133.100 es el capital final al invertir un cierto monto ( x ), durante 36 meses, con una tasa de 
interés de tal manera que el capital cada año aumenta en un 10 % respecto del año anterior, sin 
haber realizado depósitos ni retiros en ese periodo, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite 
determinar el valor de x, en pesos?
(DEMRE 2019)
A ) 133.100 = x ∙ ( 1 + 0,36 )10
B ) x ∙ ( 1 + 0,1· 3 ) = 133.100
C ) 133.100 = x ∙ ( 1 + 0,1 )3
D ) x = 133.100 ∙ ( 1 + 10 )3
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 75
Capítulo 3
Porcentajes │ Ejercicios 
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. El 30% de 2.400 es:
A ) 430
B ) 520
C ) 640
D ) 720
2. Si x es el 20% de y, e y es el 40% de 800, entonces y – x es:
A ) 256
B ) 287
C ) 312
D ) 374
3. Si tres cuartas partes del 25% de 1.200 es M, entonces 33,3% de M es:
A ) 60
B ) 75
C ) 82
D ) 120
4. ¿El 30% del 40% de 3.200?
A ) 384
B ) 396
C ) 415
D ) 432
5. ¿El 40% de qué número es 88?
A ) 185
B ) 192
C ) 214
D ) 220
6. ¿En qué porcentaje deberíamos aumentar el denominador de la fracción 20
3 para que esta sea igual 
a 0,125?
A ) 18%
B ) 20%
C ) 25%
D ) 28%
 
Capítulo 3 | Porcentajes
76
7. Si la edad de un hijo es el 30% la edad del padre, y el 15% de la edad del padre son 9 años, ¿cuántos 
años tiene el hijo?
A ) 12
B ) 15
C ) 18
D ) 21
8. En un taller de pintura y desabolladura de vehículos, hay 40 autos en proceso. Si el 20% son rojos y un 25% 
del resto de los vehículos son grises, ¿cuántos vehículos del taller no son ni rojos ni grises?
A ) 8
B ) 12
C ) 16
D ) 24
9. Un candidato a la presidencia presentó el siguiente gráfico de barras para informar sobre los índices de 
pobreza en cierta localidad del país y comunicar con ello una disminución en 5 puntos porcentuales.
15%
5%
2011 2021
IP
Año
Uno de los asistentes a la conferencia le indica al candidato que su gráfico no está bien hecho y le 
indica las complicaciones del mismo. Si en ese instante el asistente le indica cómo debería haber sido 
una correcta esquematización, ¿cuál de los siguientes gráficos es el más adecuado como para corregir 
el error del candidato?
A )
15%
10%
2011 2021
IP
Año
B )
15%
10%
2011 2021
IP
Año
C )
15%
5%
2011 2021
IP
Año
D )
15%
10%
2011 2021
IP
Año
10. Cristiano Ronaldo tiene un impresionante record, haber estado presente en el 86% de los partidos 
disputados por sus respectivos equipos. ¿Cuántos partidos disputó con sus equipos, si por lesiones y 
permisos administrativos, Cristiano faltó solo a 28 encuentros?
A ) 86
B ) 94
C ) 136
D ) 172
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 77
11. Si Camila dio un examen de conducir y, de las 40 preguntas que contestó, falló en un 12,5%, ¿cuántas 
preguntas contestó correctamente, si no dejó prguntas sin contestar?
A ) 12
B ) 24
C ) 30
D ) 35
12. Si en una delegación deportiva, el 60% de los varones equivale al 40% de las damas. ¿Cuántas mujeres 
participaban de la delegación, si se sabe que en total eran 50 personas?
A ) 20
B ) 24
C ) 30
D ) 32
13. Si de una plantación de sandías, se tuvo que botar el 20% de las plantas por falta de agua, ¿cuántas 
plantas se botaron, si las que sobrevivieron fueron 1.000?
A ) 250
B ) 470
C ) 860
D ) 1.100
14. Si B equivale a los seis quintos de una cierta cantidad A. ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?
A ) A es el 20% de B
B ) B es el 80% de A
C ) B es el 120% de A
D ) A es el 140% de B
15. Si en un colegio trabajan 140 profesores, de los cuales el 30% son hombres y el resto son mujeres, ¿cuántos 
hombres más es necesario contratar para que lleguen a ser el 50% de los profesores que trabajan en el 
colegio?
A ) 56
B ) 62
C ) 68
D ) 74
16. Si en un tómbola hay 20 bolitas numeradas del 1 al 20, ¿qué porcentaje de esas bolitas corresponde a 
bolitas con múltiplos de 6?
A ) 10%
B ) 12%
C ) 15%
D ) 18%
 
Capítulo 3 | Porcentajes
78
17. Si el 60% de X es Y, ¿qué porcentaje de Y es el 40% de X?
A ) 66,6%
B ) 68,1%
C ) 70,3%
D ) 73,5%
18. Si el 30% de A es B y el 30% de B es C, ¿qué tanto por ciento es A de C?
A ) 9%
B ) 32%
C ) 230,2%
D ) 1.111,1%
19. En un taller de guitarra eléctrica hay 2 secciones, la sección 1 con 30 alumnos, y la sección 2 con 40 
alumnos. Si 30 % de los alumnos de la sección 1, y 12,5 % de los alumnos de la sección 2, respectivamente, 
tocan Rock, ¿cuál es el porcentaje de alumnos de todo el taller de guitarra que tocan Rock?
A ) 15%
B ) 20%
C ) 22%
D ) 28%
20. El sueldo de Andrés es $ 800.000, pero, si le dan el ascenso, su sueldo aumentará gradualmente en un 
10% cada mes, respecto del mes anterior, durante los próximos 3 meses, y ese será su nuevo sueldo 
definitivo. ¿Cuál será su nuevo sueldo definitivo si logra el ascenso?
A ) $ 968.000
B ) $ 1.040.000
C ) $ 1.064.800
D ) $ 1.171.280
21. El último estudio realizado en el país, determinó que en 3 de cada 8 hogaresexiste alguna mascota. 
¿Cuál es el porcentaje de hogares que en el estudio de determinó que no había mascotas?
A ) 53,6%
B ) 62,5%
C ) 67,4%
D ) 73,5%
22. Se cree que el porcentaje de personas contagiadas por un virus llegará al 40% de las personas que viajen 
en los próximos 2 años. Si se espera que de los chilenos, el 3% realice algún viaje durante ese período, 
cuántos chilenos deberían estar contagiados al finalizar los dos años, si en chile somos 18 millones de 
habitantes?
A ) 216.000
B ) 230.700
C ) 264.000
D ) 304.600
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 79
23. En un determinado programa de televisión, el 25% del tiempo está dedicado a deportes, el 40% está 
dedicado a salud y el resto a farándula. Si el tiempo dedicado a deportes es 24 minutos, ¿Cuántos 
segundos hay de diferencia entre el tiempo dedicado a salud y el tiempo dedicado a farándula?
A ) 215
B ) 288
C ) 296
D ) 304
24. Por efectos de una pandemia, solo se han podido entregar las notas de un 20% de las pruebas y de un 
40% de las tareas. ¿Qué porcentaje del total de evaluaciones (entre pruebas y tareas) están pendientes 
de entrega, si se habían programado 5 pruebas y 15 tareas para todo el semestre?
A ) 47%
B ) 53%
C ) 65%
D ) 72%
25. En una sala de clases existen n mesas, pero producto de las nuevas exigencias sanitarias se ha 
determinado que el número máximo de mesas que en ella pueden haber es 22. ¿Cuál es el valor de n, si 
luego de la disposición de la sala se tuvieron que sacar un 45% de las mesas que habían originalmente?
A ) 36
B ) 38
C ) 40
D ) 44
26. Si en un recreo de un colegio cualquiera, se sabe que, de cada 12 alumnos que compran en el quiosco, 
solo 3 compran snack saludables. ¿Qué porcentaje se alimenta sanamente en ese colegio?
A ) 18%
B ) 20%
C ) 22%
D ) 25%
27. Don Juan surte su negocio (verdulería) con frutas y verduras que compra en la feria. Si don Juan siempre 
considera obtener una ganancia del 30%, ¿cuál fue el precio que pagó en la feria por el kilogramo de 
tomates, si él lo está vendiendo en $ 520?
A ) $ 380
B ) $ 400
C ) $ 420
D ) $ 440
28. En su quiosco, Alex vende completos. Los ingredientes que utiliza son: palta, tomate, vienesa, pan y 
mayonesa. Entre el pan, la vienesa, la mayonesa y el tomate, Alex gasta $ 350 como precio costo. El 
otro 30% corresponde a lo que se gasta en palta. Si quiere obtener un 40% de ganancia con la venta, 
¿cuánto debería cobrar por un completo?
A ) $ 500
B ) $ 650
C ) $ 700
D ) $ 850
 
Capítulo 3 | Porcentajes
80
29. Si un corredor de propiedades gana por comisión el 2% del precio de la venta de una propiedad, 
¿cuántos millones en propiedades debería vender si quiere tener una ganancia personal de $ 1.500.000?
A ) $ 23.000.000
B ) $ 46.000.000
C ) $ 58.000.000
D ) $ 75.000.000
30. Si 16 es el 20% del 40% de un número, ¿cuál es el número?
A ) 164
B ) 180
C ) 196
D ) 200
31. Lucía debe comprar jamón y queso para la once y gasta en ello $ 4.620. Se puede saber cuánto gastó 
en cada cosa, si se sabe que:
( 1 ) El queso costó un 10% más que el jamón
( 2 ) Si hubiera comprado un 50% del queso que compró, la boleta hubiera sido por $ 3.410
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
32. En estadística descriptiva, las frecuencias relativas miden porcentualmente cuántas personas hay en 
cada categoría. Si tuviéramos que hacer una tabla a partir de los datos que entrega el siguiente gráfico 
de torta, que reparte proporcionalmente su región, de acuerdo a los distintos porcentajes de personas 
según la categoría, ¿cuál sería aproximadamente el porcentaje que le correspondería a la cantidad de 
personas que indica jugar fútbol?
A ) 15%
B ) 16,7%
C ) 18%
D ) 20,3%
33. Si se invierte un capital inicial de $ C en un banco, con un interés compuesto semestral del 5%. ¿Cuál de 
las siguientes expresiones representa el monto de dinero que se habrá acumulado al cabo de 3 años?
A ) C + 3 ∙ 100
5 ∙ C
B ) C 1 100
5 6+b l
C ) C + 100
5 ∙ C3
D ) C C1 100
5 12+b l
135º
75º
Fútbol
Tenis
Voleibol
Básquetbol
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 81
34. Si Matías tuviera el 40% más de la edad que hoy tiene, llegaría a los 49 años. Si aumentara en 60% su 
edad actual, ¿a qué edad llegaría?
A ) 56
B ) 58
C ) 62
D ) 66
35. Una polera cuesta normalmente $ 12.000, sin embargo, producto del cambio de temporada, sufrió un 
descuento de un 30%. Si además de eso, un cliente tiene un descuento del 10% en su boleta si compra 
en cuotas con la tarjeta de la tienda, ¿cuánto pagaría si compra 3 poleras del mismo tipo y paga en 
cuotas con la tarjeta de la tienda?
A ) $ 20.430
B ) $ 22.680
C ) $ 23.560
D ) $ 25.740
36. Entre Jacinta y Marcos han estado durante un tiempo, juntando el pie para comprar un departamento, 
que corresponde al 20% de su valor total, y lo han logrado. Podemos saber cuánto es el valor del 
departamento que desean comprar, si:
( 1 ) Se sabe cuánto dinero puso Jacinta para el pie y en cuánto supera esa cifra al monto 
aportado por Marcos
( 2 ) Se conoce el monto que les sobró luego de pagar el pie
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
37. En Chile, un determinado computador tiene un costo de $ 500.000 sin incluir el IVA (19%). Si quisieramos 
comprar el mismo equipo en USA, este tendría un costo de $ 460.000 sin considerar los impuestos de 
importación ni el envío (35%). ¿Cuál es la diferencia en pesos de comprar el computador en Chile o en 
USA, al considerar los costos adicionales?
A ) $ 14.200 más cara en Chile
B ) $ 17.300 más cara en Estados Unidos
C ) $ 26.000 más cara en Estados Unidos
D ) El costo final es el mismo independiente donde se compre
38. Si los catetos de un triángulo rectángulo sufren una variación en sus medidas y uno de ellos aumenta 
en un 10% y el segundo disminuye su longitud en un 20%, ¿de qué manera varía el área del triángulo?
A ) Aumenta en un 30%
B ) Disminuye en un 12%
C ) Aumenta en un 15%
D ) Disminuye en un 20%
 
Capítulo 3 | Porcentajes
82
39. Si analizamos dos descuentos sucesivos sobre un artículo: primero del 20% y luego del 25% sobre ese 
precio, y quisiéramos hacer un descuento equivalente, pero de una sola vez, ¿de cuánto debería ser 
este descuento?
A ) 20%
B ) 30%
C ) 40%
D ) 65%
40. Un partido de fútbol tuvo que ser interrumpido por el árbitro en varias ocasiones, producto de desmanes 
en las graderías y, en vez de durar los 45 minutos que habitualmente dura la primera parte del partido, 
ésta se tuvo que extender en 9 minutos más allá del tiempo habitual, para poder recuperar los minutos 
perdidos por los desmanes. Si además de esto, fue necesario agregar otros 6 minutos adicionales por los 
cambios de jugadores que realizaron ambos técnicos, ¿qué porcentaje de la duración total del primer 
tiempo del partido, fue producto de la extensión del mismo, debido, exclusivamente, a los incidentes en 
las graderías?
A ) 15%
B ) 20%
C ) 22%
D ) 25%
41. Se están realizando las elecciones del centro de estudiantes de una universidad y, de los 8.300 estudian-
tes habilitados para emitir su voto, solo lo han hecho 2.490 de ellos. ¿Qué porcentaje de los estudiantes 
aún falta que voten?
A ) 12%
B ) 35%
C ) 42%
D ) 70%
42. Una alumna debe rendir en un ramo de la universidad 3 pruebas y 1 examen, y sus ponderaciones 
para la nota final son las siguientes: prueba 1 (15%); prueba 2 (20%); prueba 3 (25%) y examen (40%). 
Si la alumna obtuvo las siguientes notas antes de llegar al examen: prueba 1 (5,0); prueba 2 (3,5) y 
prueba 3 (3,0), ¿qué nota debe sacar, como mínimo, en el examen para aprobar el curso, si la condición 
para hacerlo es que el promedio ponderado sea mayor o igual a 4,0?
A ) 3,6
B ) 4,1
C ) 4,5
D ) 5,0
43. Un comerciante compró mascarillas en cajasde 15 unidades cuyo precio era de $ 4.500 por caja. Si 
el comerciante decide armar cajitas más pequeñas para venderlas en paquetes de 3 unidades por 
$ 1.980, ¿qué porcentaje de ganancia obtiene por unidad?
A ) 20%
B ) 80%
C ) 105%
D ) 120%
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 83
44. En una elección, el ganador obtuvo 15 puntos porcentuales más que la persona que lo siguió. En esa 
misma elección entre nulos y blancos hubo un alto porcentaje de votos, llegando incluso al 25%. Si no 
había más candidatos en esa ronda y hubo un total de 2.300.000 votos contabilizados, ¿cuántos votos 
obtuvo el perdedor?
A ) 480.000
B ) 503.700
C ) 625.300
D ) 690.000
45. Si un vehículo sufre una depreciación del 10% anual una vez que ha sido comprado y pasa a ser un 
vehículo usado, ¿cuál será el precio en 3 años más, de un vehículo cuyo precio estando 0 km fue de 
$ 7.000.000?
A ) $ 5.103.000
B ) $ 5.630.000
C ) $ 5.890.000
D ) $ 6.320.000
46. Si un banco ofrece una tasa de interés compuesto del 5% anual y depositamos ahí un capital de $ 200.000, 
¿cuánto dinero retiraremos en 3 años más, si retiramos el total del capital acumulado?
A ) $ 203.450
B ) $ 215.450
C ) $ 231.525
D ) $ 246.320
47. Un banco ofrece una tasa de interés compuesto del x% anual y depositamos ahí un capital de $ 500.000. 
Producto de intereses generados, retiramos 2 años más tarde un capital final de $ 605.000, ¿cuál fue el 
interés que ofreció el banco?
A ) 1%
B ) 5%
C ) 10%
D ) 11%
48. Si una cantidad x la aumentamos en un 33,3%, obtendremos una cantidad equivalente a 4 unidades 
más que el 66,6% de x. ¿Cuál es el valor de x?
A ) 4
B ) 6
C ) 9
D ) 12
49. Mary compró un libro que costaba $ 12.000, pero consiguió un descuento del 15% por ser socia de la 
librería. Luego Mary lo vendió logrando para ella un 20% más del precio que pagó por el libro. ¿Cuál fue 
el precio que Mary pidió por el libro?
A ) $ 11.430
B ) $ 12.240
C ) $ 14.560
D ) $ 15.710
 
Capítulo 3 | Porcentajes
84
50. Según la Encuesta de Caracterización Socioeconómica (Casen) del 2017, se reveló una caída de la 
pobreza de un aproximado 12% en 2015, a un aproximado 9% el año 2017. Si supusiéramos que en Chile 
habían para entonces 3,5 millones de familias en 2015 y 3,6 millones de familias en 2017, ¿cuántas familias 
salieron de la línea de la pobreza en ese período?
A ) 65.300
B ) 78.500
C ) 96.000
D ) 98.200
51. Se desea repartir las acciones de una empresa equivalentes a $ 500.000.000 entre Diego y Pía. Esto se 
hará de forma directamente proporcional a los años trabajados en la empresa por cada uno. Se puede 
saber cuánto recibirá Diego, si se sabe que:
( 1 ) Los años trabajados por Diego, corresponden al 80% de los años trabajados por Pía
( 2 ) Entre Diego y Pía suman 27 años de servicio en la empresa
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
52. Para una salida deportiva, el precio a pagar por cada integrante de la delegación por el traslado (bus) 
es calculado dividiendo el precio del arriendo del bus por la cantidad de personas que van al viaje. ¿En 
qué porcentaje aproximadamente aumentaría el precio (por persona) del traslado, si a última hora un 
10% de las personas que supuestamente iban a ir, deciden no asistir a la salida?
A ) 8%
B ) 9%
C ) 10%
D ) 11%
53. En las bolsas de gomitas masticables, desde este año la fábrica ha agregado un 20% adicional de 
gomitas a las bolsitas que antes venían con 15 unidades, sin promocionar ni advertir en alguna parte del 
paquete a sus clientes. Si el año pasado me comí 10 bolsitas durante el año y este año ya me he comido 
11 bolsitas, ¿en qué porcentaje ha aumentado, hasta el momento, la cantidad de gomitas que me he 
comido este año, comparado con el año pasado?
A ) 28%
B ) 32%
C ) 38%
D ) 40%
54. En un taller el 20% son motos, el 40% son automóviles y el resto son furgones. Si el número de furgones 
aumenta en un 100% y el número de motos se reduce en un 50%, ¿qué porcentaje representarían los 
automóviles si se mantiene el mismo número de vehículos en el taller?
A ) 10%
B ) 15%
C ) 24%
D ) 38%
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 85
55. Si una familia tuvo que reducir sus gastos mensuales producto de la crisis sanitaria y las reducciones se 
han tratado de lo siguiente: (1º) se redujo en un 10% lo que se gastaba en comida; (2º) un 70% de lo que 
se gastaba en salir a comer y (3º) un 20% de lo que se gastaba en teléfono. ¿Cuál es el porcentaje de 
reducción de gastos que logró esta familia, si en comida se acostumbraba gastar un 40% del presupuesto 
mensual; en salir a comer se utilizaba un 10%, y en teléfono un 5%?
A ) 9%
B ) 10%
C ) 12%
D ) 16%
56. Si depositamos $ 150.000 por 1 año a una tasa de interés simple mensual de i%, y obtenemos ganancias 
de $ 36.000. ¿Cuál fue la tasa de interés i utilizada para esta inversión?
A ) 1,4%
B ) 1,7%
C ) 2,0%
D ) 2,5%
57. La cantidad de palomas hace 10 años en una ciudad se estimó en 200.000. Si este número creció a una 
tasa de 4% anual, ¿en cuánto deberíamos estimar la poblacion actual de palomas?
A ) 200.000 ∙ 1 100
4 10+b l
B ) 200.000 + 200.000 ∙ 100
4 ∙ 10
C ) 200.000 + 100
4 ∙ 10
D ) 200.000 + 100
4 10b l
58. En Marzo de 2019, Susana ha contratado un seguro para su vehículo. Este seguro cubre el 100% en caso 
de cualquier accidente, pero tiene como cláusula que cada vez que se utilice, el valor mensual de la 
cuota del seguro tendrá un incremento, desde el mismo mes que se utilizó, de un 10%. Si Susana tuvo 2 
accidentes durante el 2019, uno en Mayo y otro en Septiembre, ¿cuánto gastó en este seguro durante 
los primeros 10 meses de contrato, si partió pagando $ 30.000?
A ) $ 315.450
B ) $ 320.600
C ) $ 336.000
D ) $ 337.200
59. ¿Cuánto capital deberíamos invertir en fondos mutuos, que acumulan un 4% de interés simple anual, si 
queremos llegar a los $600.000 de ganancia en 3 años?
A ) $ 3.500.000
B ) $ 4.800.000
C ) $ 5.000.000
D ) $ 5.250.000
 
Capítulo 3 | Porcentajes
86
60. Si tenemos invertido un capital de $ 150.000 con una tasa de interés compuesto anual del i % y al cabo del 
primer año las utilidades de este capital eran $ 7.500, ¿cuánto serían las utilidades en 5 años utilizando el 
mismo formato de capitalización?
A ) 150.000 ∙ (1,02)10
B ) 150.000 ∙ (1,05)5 – 150.000
C ) 150.000 ∙ (1 + 0,03)5
D ) 150.000 – 150.000 ∙ (1,02)10
61. Un alumno debe cumplir con un 75% de asistencia a clases, como uno de los requisitos para poder 
aprobar un ramo en la universidad. Si el alumno ha asistido a 12 clases, según la calendarización original, 
y eso corresponde al 40% del total de clases del semestre, ¿cuántas clases más deberá asistir el alumno 
si, producto de la cuarentena, la programación se ha visto en la necesidad de ser modificada y ha 
sufrido una reducción en el número de clases, equivalente al 20%?
A ) 5
B ) 6
C ) 7
D ) 8
62. Camila va al supermercado y se topa con la siguiente promoción: 3x2 en bebidas de 3 litros y un 30% 
de descuento en papas fritas. ¿Cuánto deberá pagar por su compra, si lleva 3 bebidas de 3 litros y dos 
paquetes de papas fritas, si antes de las ofertas sus precios por unidad, eran $ 1.300 las bebidas y $ 1.200 
las papas fritas, y además de la anterior, recibe un descuento adicional en su boleta de un 5%, por 
comprar un día Lunes?
A ) $ 3.420
B ) $ 4.066
C ) $ 4.280
D ) $ 6.300
63. En una tienda, a modo de celebración, decidieron bajar en un 60% los precios de todas sus zapatillas 
durante toda la jornada del día domingo 3 de Mayo. Sin embargo, al finalizar esa jornada, el gerente 
da la instrucción de volver a subir los precios, puesto que la oferta duraba solo 24 horas, pero que no se 
hiciera hasta volver al precio original, sino que solo en un 40%. Si Lía compró un par de zapatillas el día 
lunes 4 de Mayo, ¿cuánto pagó por ellas, si se sabe que el mismo par de zapatillas el díasábado 2 de 
mayo, costaban $ 45.000?
A ) $ 18.350
B ) $ 20.150
C ) $ 22.100
D ) $ 25.200
64. El ministro de agricultura del país, señaló lo siguiente: “Las advertencias realizadas por los dueños de 
panaderías, acerca de que el precio del pan podría tener un aumento aproximado de un 20%, debido 
al alza de la harina, son absolutamente infundadas. Esto porque el precio de la harina, que subió en un 
9%, corresponde al 30% del costo en la fabricación del pan, por lo que no debería tener un impacto 
en el precio del mismo, que no sea proporcional a dicho porcentaje, por lo que, aunque traspasen la 
totalidad del alza al consumidor, un aumento razonable, si nos apegamos solo a la influencia del alza de 
la harina, debería ser del x% como máximo”. ¿Cuál es el valor de x?
A ) 2,7%
B ) 3,5%
C ) 5,2%
D ) 7,6%
 
Porcentajes | Capítulo 3
Matemática Para Nacional 87
65. En una determinada comuna viven 6.000 personas que tienen 60 o más años (Adultos mayores). Se 
podría deducir el porcentaje de los adultos mayores que han sido contagiados por un virus en esa 
comuna, si se sabe que:
( 1 ) De cada 5 adultos mayores a los que se les ha aplicado el test, 2 arrojan resultado positivo 
(contagiados)
( 2 ) El test aplicado para verificar los contagios tiene una tasa de falla del 5%
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
88
1. NÚMEROS IRRACIONALES
Anteriormente, definíamos que un número iba a ser considerado como un número racional 
cada vez que fuese posible escribir tal número como un cociente de enteros, con denominador 
distinto de cero. Definiremos ahora el conjunto de los números irracionales ( Q* ), que serán 
todos aquellos números que representen una cantidad decimal con infinitos decimales, 
pero que no sean ni periódicos ni semiperíodicos. Es decir, son todos aquellos números que 
representen números con infinitos decimales, que no se pueden escribir como fracción.
Ejemplos: p = 3,141592... ; 2 = 1,414213... , log 2 = 0,301029... , e = 2,718281... , etc.
2. NÚMEROS REALES
La unión del conjunto de los Racionales y del conjunto de los 
Irracionales genera el conjunto de los números reales (R). Esto es:
Q ∪ Q* = R.
Por definición, no existen números que sean racionales e 
irracionales al mismo tiempo. Por lo mismo podemos concluir que: 
Q ∩ Q* = Ø.
 
IMPORTANTE: De lo que hemos visto hasta acá, ejemplos de números que NO son números 
reales, serían expresiones de la forma: 0 0 , 0
0 , n0 . En la medida en que sigamos avanzando 
en el libro, podremos ir descubriendo nuevas situaciones que dan origen a números que no 
son números reales.
3. POTENCIAS EN LOS REALES
Sean m ! R y n ! N. Se define la enésima potencia de m, como la multiplicación “n” factores 
iguales a m. La enésima potencia de m se escribe mn = b , y llamaremos a “m” la base de la 
potencia, a “n” el exponente y a “b” el resultado. Esto es:
Base
Exponente
Resultado
..... b
n v eces
m m m m m m
m
n $ $ $ $ $= =1 2 3444444444444 444444444444
En las potencias, por definición se tendrá que :
 » m1 = m » 0n = 0 , si n > 0 » m0 = 1 , si m ≠ 0 » 00 , no está determinado.
N
N0
Z
Q Q*
R
“Lo hermoso de aprender es que nadie 
puede arrebatártelo”
— B.B KING —
MÚSICO ESTADOUNIDENSE
Capítulo 4
NÚMEROS 
REALES
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clase en video de este capítulo.
moraleja.cl/mpn6-4
 
Números Reales | Capítulo 4
Matemática Para Nacional 89
Ejemplo:
 2 En la potencia 35, la base es 3; el exponente es 5 y el resultado es 3 3 3 3 3 3 243
veces
5
5 3
$ $ $ $= =1 2 3444444 444444
a. Signo de una potencia
i. Exponente par
El signo de una potencia de exponente par 
es siempre positivo, a menos que la base 
sea cero, en cuyo caso no tendrá signo.
Ejemplo:
 2 (–9)2 = –9 ∙ –9 = 81
 2 ( 7 – 4 )2 = ( 4 – 7 )2 = 9
Importante:
 ( – 9 )2 ≠ – 92
 –9 ∙ –9 ≠ – 9 ∙ 9
 81 ≠ –81
ii. Exponente impar
El signo de una potencia de exponente 
impar es igual al signo del número de la 
base, ya sea utilicemos o no paréntesis. 
Ejemplo:
 2 (–2)3 = –2 ∙ –2 ∙ –2 = –8
 2 ( 7 – 4 )3 = – ( 4 – 7 )3 = –( –27 ) = 27
Importante:
 ( – 9 )3 = – 93
 –9 ∙ –9 ∙ –9 = –9 ∙ 9 ∙ 9
 –729 = –729
b. Propiedades de las potencias
Considere que a, b son números reales y m, n son números naturales.
i. Multiplicación de potencias de igual base
Se conserva la base y se suman 
los exponentes.
an ∙ am = an + m Ejemplos:
 2 82 ∙ 83 = 82 + 3 = 85
ii. División de potencias de igual base
Se conserva la base y restan los 
exponentes.
an ÷ am = an – m Ejemplos:
 2 127 ÷ 123 = 127 – 3 = 124
iii. Potencia de una potencia
Se conserva la base y se multi-
plican los exponentes.
(an)m = (am)n = an ∙ m Ejemplos:
 2 (72)3 = (73)2 = 72 ∙ 3 = 76
iv. Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente
Se multiplican las bases y se 
mantiene el exponente.
an ∙ bn = (a ∙ b)n Ejemplos:
 2 32 ∙ 52 = (3 ∙ 5)2
v. División de potencias de distinta base e igual exponente
Se dividen las bases y se man-
tiene el exponente.
an : bn = (a : b)n Ejemplos:
 2 56 : 26 = (5 : 2)6
vi. Potencias de exponente negativo
Se invierte la fracción y se cam-
bia el signo del exponente (la 
base debe ser distinta de cero).
a– n = 
a
1
n
Ejemplos:
 2 2– 8 = 
2
1
8
 
Capítulo 4 | Números Reales
90
vii. Fracciones con exponente negativo
Se invierte numerador y deno-
minador y se cambia el signo 
del exponente (el numerador y 
denominador deben ser distin-
tos de cero).
b
a
a
bn n– =` `j j Ejemplos:
5
7
7
53 3– =c cm m
viii. Suma y resta de potencias
Si bien no existen propiedades 
para la suma y resta de poten-
cias, es posible aplicar la facto-
rización para reducirlas.
Ejemplos:
 2 712 + 714 = 712 ∙ ( 1 + 72 ) = 712 ∙ (1 + 49) = 712 ∙ 50
 2 5– 3 – 51 = 5– 3 ∙ ( 1 – 54 ) = 5– 3 ∙ (1 – 625) = 5– 3 ∙ (– 624)
4. NOTACIÓN CIENTÍFICA
Cuando tengamos que escribir números muy grandes como por ejemplo la distancia de 
la tierra al sol (149.597.870.700 metros) o extremadamente pequeños como la masa de un 
electrón, podremos hacer uso de lo que se conoce como notación científica de un número.
Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma a ∙ 10n , con 1 ≤ a < 10 
y n ! Z.
Ejemplos:
 2 150.000.000.000 = 1,5 ∙ 1011 2 – 0,0000000051 = – 5,1 ∙ 10– 9
 2 723.000.000 = 7,23 ∙ 108 2 0,000000000128 = 1,28 ∙ 10– 10
Nota:
 »En notación científica se cumple que para números mayores a 1, el exponente “n“ es 
positivo, y para números positivos menores a 1, el exponente “n“ es negativo.
Ejemplos PDT
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
(DEMRE 2017)
I. Si P y Q son números irracionales, entonces P ∙ Q es un número irracional
II. Si P y Q son números irracionales, entonces ( P + Q ) es un número irracional
III. Si P es un número irracional y Q es un número entero positivo, entonces Q
P es un 
número irracional
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) I, II y III
 
Números Reales | Capítulo 4
Matemática Para Nacional 91
2. En la recta numérica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto a los números 
entre 6,0 y 6,1 (sin incluirlos)?
(DEMRE 2020)
A ) Existen infinitos números racionales y existen infinitos números irracionales
B ) Existe solo un número racional y no existen números irracionales
C ) No existen números reales
D ) Existen infinitos números racionales y no existen números irracionales
3. Sea P = 4,24264068 una aproximación de 18 . Si L es el redondeo a la milésima de P y M es el 
redondeo a la diez milésima de P, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
(DEMRE 2019)
A ) L – M < 0
B ) 3 < (L – M) ∙ 104 < 5
C ) M = L + 10–4
D ) (L – M) ∙ 103 = 3
4. ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41?
(DEMRE 2006)
I. 24 + 52
II. 6 ∙ 7 – 60 ∙ 80
III. 72 – 23
A ) Solo I y II
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
5. Si n = 3 , entonces nn n3 3–
2 + es igual a:
(DEMRE 2010)
A ) 6
B ) 9
C ) 14
D ) 17
6. 26 + 26 + 26 + 26 – 44 =
(DEMRE 2012)
A ) 46
B ) 42
C ) 216
D ) 0
 
Capítulo 4 | Números Reales
92
7. ( –3 )2 – ( –3 )3 =
(DEMRE 2013)
A ) –15
B ) –18
C ) 18
D ) 36
8. ,
, ,
0 1
0 1 0 1–2 3 =
(DEMRE 2015)
A ) –1
B ) 0,1
C ) 0,009
D ) 0,09
9. 4–2 + 2–3 – 2–4 =
(DEMRE 2008)
A ) 8
1
B ) 4
1
C ) 6
1
D ) –8
10. 2
1
3
12 3– –+ =c cm m
(DEMRE 2018)
A ) 31
B ) 6
5 5–c m
C ) 36
13–
D ) 108
31–
11. La masa de un electrón, que es aproximadamente 0,000091083 ∙ 10–23 gramos, expresada en 
notación científica corresponde a:
A ) 9,1083 ∙ 10–29 gramos
B ) 0,91083 ∙ 10–27 gramos
C ) 9,1083 ∙ 10–27 gramos
D ) 9,1083 ∙ 10–28 gramos
 
Números Reales | Capítulo 4
Matemática Para Nacional 93
5. RAÍCES EN LOS REALES
En los números reales es posible definir la raíz n-ésima de un número “b” y diremos que “a” es 
la raíz n–ésima de “b” (Y escribiremos que ba n= ) , cada vez que a bn = .
Ejemplos: 
 2 32 25 = , porque 2 325 =
 2 27 3– –3 = , porque ( )3 2 7– –3 =
Se debe precisar que no todas las raíces pertenecen a los R. 
 2 Si el índice n de la raíz es par, el subradical 
debe ser positivo. De lo contrario no será un 
valor real el resultado de la raíz.
Ejemplos:
 2 81 34 = es real.
 2 i4 2– = no es real.
Las raíces de índice par y cantidad sub–radical negativa, pertenecen al conjunto de los 
números imaginarios.
 2 Si el índice n de la raíz es impar, el subradical 
puede ser cualquier real
Ejemplos:
 2 64 43 = es real.
 2 3243– –5 = es real.
IMPORTANTE:
 »Debemos notar lo siguiente: Habrán raíces que dan como resultado un número racional y 
otras que no. Las que den resultado un número racional, serán por tanto raíces racionales; 
mientras que las demás serán raíces irracionales, pues su resultado no se puede escribir 
como fracción por tratarse de números infinitos sin períodicidad alguna.
Ejemplos:
 2 Son raíces racionales : , , , ,0 25 8
18 4
1–3 3 , etc.
 2 Son raíces irracionales : , , ,2 3 7 2
13 , etc.
a. Propiedades de las raíces reales
Considere que a, b son números reales y m, n son números naturales.
i. Multiplicación de raíces de igual índice
Se conserva el índice de la raíz y se multipli-
can las cantidades sub–radicales.
a b a bn n n$ $= Ejemplo:
 2 7 8 7 85 5 5$ $= 
ii. División de raíces de igual índice. 
Se conserva el índice de la raíz y se dividen 
las cantidades sub–radicales, con b ≠ 0.
: :a b a bn n n= Ejemplo:
 2 : :7 5 7 52 2 2= 
iii. Factor positivo de una raíz como factor sub–radical
Se conserva el índice de la raíz y el factor 
multiplica a la cantidad sub–radical elevado 
al índice de la raíz.
·a b a bmn n mn $= Ejemplo:
 2 7 9 7 93 33$ $=
iv. Raíz de una raíz
Se conserva la cantidad sub–radical y se 
multiplican los índices de las raíces.
a amn n m= $ Ejemplo:
 2 7 743 3 4= $
v. Raíz como potencia
Para escribir una raíz como potencia de ex-
ponente fraccionario, se debe dividir al ex-
ponente de la cantidad sub–radical por el 
índice de la raíz.
amn n
m
= a 
Ejemplo:
 2 73 2 3
2
7=
 
Capítulo 4 | Números Reales
94
b. Relación de orden de las raíces reales
Sean a y b números reales mayores o iguales a cero y n , m números naturales mayores que 
uno. Para ordenar raíces podemos utilizar alguno de los siguientes métodos, según sea el caso.
i. Iguales índices
Para ordenar raíces reales de igual índice, basta comparar las cantidades sub–radicales. Si se 
cumple que a < b, entonces a b<n n .
Ejemplo:
 2 Comparar, y3 4 . Dado que tienen igual índice, se cumple que 3 4< .
ii. Iguales cantidades sub–radicales
Para ordenar raíces reales de igual cantidad sub–radical, basta comparar los índices de las 
raíces.
 2 Si, a > 1 y n < m , entonces a am n1 .
Ejemplos:
Comparar, y16 162 4 . Dado que tienen igual cantidad sub–radical mayor que 1, se cumple 
que a mayor índice, menor es el valor de la raíz, por lo tanto 16 162 42 .
 2 Si, 0 < a < 1 y n < m , entonces a an m1 .
Ejemplos:
Comparar y16
1
16
14 2 . Dado que tienen igual cantidad sub–radical menor que 1, se cumple 
que a mayor índice mayor es el valor de la raíz, por lo tanto 16
1
16
1<2 4 .
iii. Distintos índices y distintas cantidades sub–radicales
En caso que las raíces reales tengan distinto índice y distinta cantidad sub–radical, es posible 
igualar los índices, elevando las raíces al m.c.m de sus índices.
Ejemplo:
 2 Comparar 5 y 103 . Elevamos ambas raíces a 6 (6 es el m.c.m entre 2 y 3). Esto 
es: 5 5 5 1256 26 3= = =^ h y 110 10 10 006 63 23 = = =^ h . Como 125 > 100 , entonces 
5 > 103 .
c. Suma de raíces
Para sumar raíces, éstas deben tener igual índice e igual cantidad sub–radical.
Ejemplo:
 2 3 5 8 5 11 5+ = → sumamos ( 3 + 8 ) y agregamos la 5 .
 2 2 7 2 8 2+ = → sumamos ( 1 + 7 ) y agregamos la 2 .
En caso de no tener igual cantidad sub–radical, se debe intentar igualarlas, aplicando 
propiedades a b a bn mn mn$ $=^ h y luego se puede sumar.
 
Números Reales | Capítulo 4
Matemática Para Nacional 95
Ejemplo:
 2
5= = =
50 18
50 25 2 5 2 2
18 9 2 3 2 2
5 2 3 2 8 2
2
2
$ $
$ $
+ =
+ =
3= = =
Z
[
\
]]]]
]]]]
 2 5 27 20 48
27 9 3 3 3 3 3
20 4 5 2 5 5
48 16 3 4 3 3
5 3 5 3 5 3
–
2
2
2
$ $
$ $
$ $
+ + =
= = =
3 2 4 7– –+ + = +
2= = =
4= = =
Z
[
\
]]]]]]
]]]]]]
d. Consideraciones en la operatoria de números reales
 2 La suma, resta, multiplicación y división entre números racionales es otro número racional 
EXCEPTUÁNDOSE la división por cero.
 2 La suma, resta, multiplicación y división entre un número racional y un irracional da como 
resultado un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación por cero y la división por cero.
 2 La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.
Ejemplos:
 2 2 2 0–+ =_ i es racional.
 2 2 3 3 2| = es racional.
 2 20 5 4 2| = = es racional.
Ejemplos PDT
12. 12 2 8 3– –+ =
(DEMRE 2006)
A ) 3 2+
B ) 15
C ) 10 5+
D ) 20 5–
13. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?
(DEMRE 2007)
I. 2 8$
II. 3 3 3+
III. 
24
6
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
 
Capítulo 4 | Números Reales
96
14. El número 216 es igual a:
(DEMRE 2010)
A ) 24
B ) 32
C ) 2
4_ i
D ) 214
15. 
2
2 8+ =
(DEMRE 2012)
A ) 1 8+
B ) 8
C ) 5
D ) 3
16. 
4
1
16
1
25
4– + =6 5 8 –+ +
(DEMRE 2009)
A ) 20
61
B ) 2
7
4
6
5
2– +
C ) 20
151
D ) 6 5 8 20
7– + +
17. 4– 2–^ h =
(DEMRE 2018)
A ) 8
B ) 4
1
C ) – 4
D ) 4
18. Si se ordenan de menor a mayor los siguientes números: , , , y5 2 3 3 2 7 3
11 , entonces el 
término del medio es:
(DEMRE 2015)
A ) 5
B ) 2 3
C ) 3 2
D ) 7
 
Números Reales | Capítulo 4
Matemática Para Nacional 97
19. Si P = 3 + 5 , Q = 14 y R = 30 – 4 , entonces:
(DEMRE 2018)
A ) R < Q < P
B ) P < Q < R
C ) P < R < Q
D ) R < P < Q
20. Si 3 es aproximadamente 1,7320 , entonces ,0 2 7 aproximado por redondeo a la centésima es:
(DEMRE 2015)
A ) 0,50
B ) 0,51
C ) 0,52
D ) 0,05
 
Capítulo 4 | Números Reales
98
Capítulo 4
Ejercicios │ Números Reales
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. (– 1)0 + (– 2)1 + (– 1)2 + (– 2)3 =
A ) – 5
B ) – 8
C ) – 9
D ) – 10
2. 
7 11
7 11
3 6
9 18
– –
–
$
$ =
A ) 1
B ) 7 6 ∙ 11 –12
C ) 7 12 ∙ 11 –24
D ) 7 12 ∙ 11 –12
3. ¿Cuál es la tercera parte de 3 6?
A ) 16
B ) 32
C ) 35
D ) 318
4. 0,00000125 =
A ) 12,5 ∙ 10–5
B ) 1,25 ∙ 10–5
C ) 12,5 ∙ 10–6
D ) 1,25 ∙ 10–6
5. Sea p un número real no racional comprendido entre 0 y 1 , entonces p podría ser:
A ) 2
2
B ) 2 3–
C ) 0,5
D ) 0,9
 
Números Reales | Capítulo 4
Matemática Para Nacional 99
6. De los siguientes conjuntos, ¿cuál es el más pequeño que contiene a 1 3–^ h?
A ) Z
B ) Q
C )Q*
D ) R
7. Se puede determinar que el valor de n es 2 si:
( 1 ) n2 = 4
( 2 ) n3 = 8
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
8. Sean a = –2 y b = a– – , ¿cuál de los siguientes números pertenece a R–?
A ) –(a)(–b)
B ) b – a
C ) (–b) – (–a)
D ) b
a
–
–
9. :20 80 45 5–+ =^ h
A ) 3
B ) 3 5
C ) 11
D ) 11 5
10. ¿ Cuál de los siguientes números no es racional ?
A ) ,0 09
B ) .2 5 00
C ) 
12
3
D ) 2r^ h
11. La expresión ,6 25 10 3
6–$
,2 5 10$
 escrita en notación científica es:
A ) 2,5 ∙ 10–11
B ) 2,5 ∙ 10–10
C ) 2,5 ∙ 10–9
D ) 0,25 ∙ 10–8
 
Capítulo 4 | Números Reales
100
12. Al reducir 2 32 3 18 3 8– + se obtiene:
A ) 23 2
B ) 5 2
C ) 3 2
D ) –5 2
13. ,0 0003 5
3–
=,0 0007c m
A ) 2 ∙ 10
B ) 0,8 ∙ 10
C ) 4 ∙ 102
D ) 5 ∙ 10–3
14. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a la cuarta parte de 0,04?
I. ,0 04 4^ h
II. 10 1–
III. 0,01
A ) Solo I
B ) Solo II 
C ) Solo III
D ) Solo II y III
15. La expresión x5 – es un número real para:
I. Cualquier valor de x
II. x = 5
III. x < 5
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo II y III 
D ) Ninguna de ellas
16. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) igual(es) a 620.000?
I. 62 ∙ 10 5
II. 0,62 ∙ 10 6
III. 6,2 ∙ 10 5
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
 
Números Reales | Capítulo 4
Matemática Para Nacional 101
17. .
10
40 90 1 2 10–+ =
A ) – 108
B ) – 6 10
C ) – 6
D ) 16
18. 642 + 642 + 642 + 642 =
A ) 46
B ) 47
C ) 48
D ) 424
19. ¿ A cuánto es igual la tercera parte de 9 4 ?
A ) 34
B ) 35
C ) 37
D ) 38
20. 56 ∙ 86 ∙ 2–7 ∙ 20–7=
A ) 40–1
B ) 40–2
C ) 40–42
D ) 401
21. 5 – { –22 – [ 16 : ( 52 – 33 ) ] } =
A ) –3
B ) –1
C ) 1
D ) 0
22. 34 ∙ 92 ∙ 274=
A ) 39
B ) 315
C ) 320
D ) 336
 
Capítulo 4 | Números Reales
102
23. La luz recorre aproximadamente 300.000 kilómetros en un segundo. Esta distancia escrita en notación 
científica es:
A ) 300 ∙ 103 km
B ) 30 ∙ 104 km
C ) 3 ∙ 104 km
D ) 3 ∙ 105 km
24. La masa de un electrón, que es aproximadamente 0,000091083 ∙ 10–23 gramos, expresada en notación 
científica corresponde a:
A ) 9,1083 ∙ 10–29 gramos
B ) 0,91083 ∙ 10–27 gramos
C ) 9,1083 ∙ 10–27 gramos
D ) 9,1083 ∙ 10–28 gramos
25. El valor de (103)–3 ∙ (10–3 ∙ 0,5–2) =
A ) 2 ∙ 10–3
B ) 4–1 ∙ 10–3
C ) 4 ∙ 10–3
D ) 4 ∙ 10–12
26. Se puede determinar el valor numérico de la expresión b
a
2
b` j , con a ≠ 0 y b ≠ 0, si:
( 1 ) b es la mitad de a
( 2 ) b = 0,5
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
27. ¿ Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?
I. 3 12$
II. 2 2 2+
III. 
5
125
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo II y III
 
Números Reales | Capítulo 4
Matemática Para Nacional 103
28. Sea p ! Q perteneciente al intervalo ,3 57 A , entonces p podría ser:
A ) 2
3 5+
B ) 2
3 5–
C ) 2
D ) 1,7
29. ¿Cuál es el resultado de efectuar el cálculo de la siguiente expresión : 
18
3 6
4
3$ ?
A ) 684
B ) 16212
C ) 3 2
D ) 2
1
30. Sea Q el conjunto de los números racionales, Q* el conjunto de los números irracionales y R el conjunto 
de los números reales. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I. Q ∩ Q* = R
II. Q ∪ Q* = R
III. R ∩ Q* = Q*
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
31. Si x = 4 ∙ 105 , entonces x2=
A ) 8 ∙ 1010
B ) 16 ∙ 1025
C ) 16 ∙ 107
D ) 16 ∙ 1010
32. Si M = 7 , ¿por cuál de los siguientes números puede multiplicarse M para dar como resultado un 
número racional?
I. 7
II. – 7
III. 7
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) I, II y III
 
Capítulo 4 | Números Reales
104
33. El valor de 3–
2
4
( )5–
 es:
A ) 25
81–
B ) 5
6–
C ) 5
6
D ) 25
81
34. [ 2 – 3( 2 – 3–1 ) ]–1 =
A ) – 3
B ) 5
3–
C ) 3
1–
D ) 3
1
35. 
,
, ,
0 001
0 1 0 01
4 5
5 2–$ =
100 $
^
^
^h h
h
A ) 10–6
B ) 10–2
C ) 100
D ) 106
36. Al ordenar en forma decreciente los números a = 3 5 , b = 4 3 y c = 5 2 , se obtiene:
A ) c , b , a
B ) a , b , c
C ) b , a , c
D ) c , a , b
37. ¿ Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)?
I. Al dividir dos números irracionales el cuociente es irracional
II. Al multiplicar un número real con un número racional, el producto es racional
III. Al sumar dos números irracionales, la suma es un número real
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D ) Todas ellas
 
Números Reales | Capítulo 4
Matemática Para Nacional 105
38. 8–2 + 3–3 – 4–3 =
A ) 144
13
B ) 27
1
C ) – 13
D ) – 31
39. El número ( )3 5 2+ es:
A ) Un número entero
B ) Un decimal finito
C ) Un decimal periódico
D ) Un decimal infinito no periódico
40. El valor de 3 9–3 3$ es:
A ) – 3
B ) 3
C ) 27–6
D ) 27–9
41. 48 192 27 3– |+ =^ h
A ) 15 3
B ) 9 3
C ) 15
D ) 9
42. Sea P un número primo. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) a número(s) Irracional(es)?
I. P 5
II. P P4
III. P P$
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo I y III
43. Se puede determinar el valor de (–1)n si:
( 1 ) n es par
( 2 ) n + 1 es impar
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Capítulo 4 | Números Reales
106
44. Considere la siguiente figura.
b
a
c
El volumen V de un paralelepípedo como el de la figura anterior, se calcula multiplicando el largo (a), 
el ancho (b) y el alto (c). Es decir, V = a ∙ b ∙ c . ¿Cuál de las siguientes expresiones es la que nos entrega 
el cociente entre el volumen del paralelepípedo de la figura A y el volumen del paralelepípedo de la 
figura B, respectivamente?
( A )
a3 242
b2 3
c 83
( B )
a2 2
b3 6
c 12
A ) 3a2bc
B ) ab4
1 3
C ) 2ac2
D ) acb3
2 4
45. La tercera parte de (320 – 3) es equivalente a:
A ) 319
B ) 320
C ) 320 – 1
D ) 319 – 1
46. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) como resultado un número irracional?
I. 23 3+
II. 3 33 3$
III. 
5 5 5
5 5+
+ +
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
 
Números Reales | Capítulo 4
Matemática Para Nacional 107
47. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría ser FALSA? 
A ) La suma de números irracionales del mismo signo da como resultado un número irracional.
B ) La única forma de que el producto de un número irracional con un número racional sea un 
número racional es, que el factor racional sea cero.
C ) La multiplicación de un número racional con un número real, da racional.
D ) Si a y b son dos números enteros distintos y *a Q! y *b Q! , entonces *a b Q$ ! .
48. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
I. 2 50 10$ =
II. 32 338 17 2+ =
III. 625 12534 =
A ) Solo III
B ) Solo I y III
C ) I, II y III
D ) Ninguna de ellas
49. ¿Cuál(es) de los siguientes números representa(n) un número real?
I. 2 5–
II. 7–3
III. 4
0
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) Todos
50. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
I. 0,25 es un irracional
II. 0
3 0=
III. 14
196 es un entero
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) I, II y III
51. Considerando la información dispuesta en la figura adjunta, ¿qué se podría decir de la expresión a + b?
A ) – 8 < a + b < 16
B ) – 6 < a + b < 12
C ) – 2 < a + b < 2
D ) – 12 < a + b < 3
a3 b4
02– 2 3
 
Capítulo 4 | Números Reales
108
52. Si n ! Z , entonces el valor de la expresión (–1)n + (–1)n + 1 es:
A ) –2
B ) 0
C ) 1
D ) 2
53. En una prueba de matemática apareció la siguiente pregunta:
“Si se sabe que x 92 = y que xn2 ! R, con n ! N, ¿cuál es el valor de x93 ?”
Varios compañeros contestaron de distinta forma esta pregunta y dieron las razones que tenía cada 
uno. ¿Cuál de ellos contestó correctamente?
A ) Pedro: Yo pienso que el resultadoes imposible de saber, porque x 92 = me abre dos opciones 
para x, que son 3 y – 3, por lo tanto, x93 podría ser ó27 3 27 3– –3 3= =
B ) Ana: Yo creo que es 9, porque si x 92 = entonces x 3= , por lo tanto x x9 9 3 3 93 3 $ $= = =
C ) Carlos: Yo digo que es imposible saber porque el hecho de que la expresión xn2 sea un número 
real, nos dice que x debe ser positivo porque el índice es par (2n), pero para que eso pase, hay 
infinitos valores distintos de n. Por lo tanto, no sabremos con cual trabajar.
D ) Josefa: Yo creo que el resultado es solo 3, porque como dice Pedro, el hecho de que x 92 = 
implica que x puede ser 3 ó – 3, pero como xn2 ! R tiene índice par, obliga a quex 0$ . Por lo 
tanto, el único valor que sirve es x = 3, y con esto x9 9 3 27 33 3 3$= = =
54. Si 0,0000034 = 3,4 ∙ 10p, entonces p2 =
A ) –25
B ) 5
C ) 25
D ) 36
55. ¿En cuál de las siguientes figuras se ubican los valores de a, b, c, d en el orden correcto?
a 2
12= ; b 2– 2–= ^ h ; c 54–
1–
= c m y d 40=
B )
02– 211–
ab dc D )
02– 211–
a bdc
C )
02– 211–
ab dc
2
A )
02– 11–
ab dc
56. Si a y b son dos números reales ubicados en la recta numérica de la figura adjunta, entonces el producto 
a ∙ b es otro número real ubicado:
A ) A la izquierda de 0
B ) Entre 0 y a 
C ) Entre a y b
D ) Entre b y 1
1a0 b
 
Números Reales | Capítulo 4
Matemática Para Nacional 109
57. Si la raíz n-ésima de un valor entero negativo x es una raíz cuyo resultado no es un número real, ¿cuál de 
las siguientes expresiones representa siempre a una potencia de resultado negativo?
A ) –( –xn )
B ) ( –2x )n
C ) –n2x
D ) n( 1 – x )
58. En una prueba Juan tuvo solo una pregunta incorrecta. Esta pregunta era de potencias y le pedían 
calcular el valor de 3
2–
2–
. Ante esto, su desarrollo fue el siguiente:
Paso 1: Juan recuerda las prioridades de las operaciones y trabaja con la potencia.
3
2
2
3– –
2 2–
=
Paso 2: Juan se da cuenta de que al ser un 2 el exponente entonces el signo menos se hace positivo
2
3
2
3–
2 2
=
Paso 3: Trabaja la potencia como está todo elevado a 2, calcula los cuadrados de cada término
2
3
4
92 =
Paso 4: Calcula el resultado final
,4
9 2 25=
¿En cuántos pasos cometió errores?
A ) 0
B ) 1
C ) 2
D ) 3
59. Si m es un número irracional, entonces ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) siempre 
verdadera(s)?
I. m– 2^ h es positivo
II. m
1 4` j es racional
III. – m es irracional
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
60. El número 364 es igual a:
A ) 3 8
B ) 192
C ) 3 8^ h
D ) 3 32
 
Capítulo 4 | Números Reales
110
61. El valor de 33 es:
A ) 3 34
B ) 94
C ) 274
D ) 3 6
62. Si a = 2 y b = 8 , entonces ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) número(s) irracional(es)?
I. ab
II. ab2
III. a b
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
63. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados es(son) siempre verdadero(s), con n ≠ 0 ?
I. m n 2– es irracional si m y n son reales
II. m n 2– es irracional si m y n son racionales
III. m n 2– es real si m y n son racionales
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo II y III
64. ¿ A cuánto es igual el doble de 4 3?
A ) 46
B ) 26
C ) 27
D ) 28
65. Sean r = x 2 y s = x + 2 . Los números r y s son racionales si:
( 1 ) x es un número irracional negativo
( 2 ) x es el inverso aditivo de 2
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 111
1. ÁLGEBRA
a. Lenguaje algebraico
El álgebra corresponde a la generalización de las 
definiciones aritméticas a través de variables.
Una variable o coeficiente literal corresponde 
a la expresión de una cantidad conocida o 
desconocida mediante una letra, con la cual se 
puede operar relativamente de la misma forma 
que se hace con los números.
Ejemplo:
 2 “El doble del producto de dos 
números distintos” se represen-
ta como 2ab.
b. Operatoria de expresiones algebraicas
Un término algebraico puede ser un número, una letra o una combinación de ambas por me-
dio de multiplicaciones y/o divisiones. Cada término se compone de un coeficiente numérico 
y un factor literal o parte literal (letras).
Una expresión algebraica puede estar compuesta por 1 o más términos algebraicos, que se 
suman (o restan) entre ellos y que según la cantidad de sumandos, se pueden clasificar de la 
siguiente manera:
 2 1 término algebraico: Monomio.
 2 2 términos algebraicos: Binomio.
 2 3 términos algebraicos: Trinomio.
 2 2 o más términos algebraicos: Polinomio.
Ejemplo: 3xy2
Ejemplo: –8m + 5n2
Ejemplo: 6a3b + 4c – 2
Ejemplo: x3 + 5y – z – 1
El grado de un término algebraico corresponde a la suma de los exponentes de cada una de 
las variables que participan de su factor literal.
Ejemplo:
 2 El grado de 3x2y3 es 5, pues se suman el exponente de x y el exponente de y.
i. Reducción de términos semejantes
Los términos semejantes son aquellos términos que 
tienen igual factor literal. Esto quiere decir, iguales 
letras con iguales exponentes, aunque pueden 
estar en desorden:
Ejemplo: 2m2n , –3m2n , 3
1 nm2
Para reducir términos semejantes se suman o restan 
los coeficientes numéricos y se mantiene el factor 
literal.
Ejemplos:
 2
ab c ab
ab c ab ab c
12 4 6
12 4 6 18 4
+ +
+ = ++
 2
m n m n
m n m n m n
9 7 4
9 7 4 5 6
– –
– –
2 2
2 2 2
+
+ = +
Recuerda considerar el signo 
que está a la izquierda del nú-
mero.
“Cuando educamos la mente de los 
jóvenes, no debemos olvidar educar sus 
corazones”
— DALAI LAMA —
LÍDER ESPIRITUAL DEL BUDISMO
Capítulo 5
ÁLGEBRA
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Capítulo 5 | Álgebra
112
Eliminando paréntesis
Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:
 2 Si un paréntesis es antecedido de un signo ( + ) , éste se puede eliminar sin modificar los 
signos de los términos contenidos en el.
 2 Si un paréntesis es antecedido de un signo ( – ) , éste se puede eliminar cambiando los signos 
de cada uno de los términos contenidos en él.
ii. Multiplicación de polinomios
Monomio por monomio
Cuando multiplicamos dos monomios, de-
bemos multiplicar coeficientes numéricos 
entre sí, y factores literales entre sí.
Ejemplo:
 2 ( 3a2b3 ) ∙ ( 2a5c ) = 6a7b3c
Monomio por polinomio
Cuando multiplicamos monomios por poli-
nomios, debemos aplicar la ley de distribu-
tividad y multiplicar el monomio por cada 
uno de los monomios componentes del 
polinomio.
a ∙ ( b + c + d ) = ab + ac + ad
Ejemplo:
 2 3m( 2 + m – 4n ) = – 6m – 3m2 + 12mn
Polinomio por polinomio
Cuando multiplicamos un polinomio, repli-
camos el proceso anterior, por cada mo-
nomio del primer polinomio.
( a + b ) ∙ ( x + y ) = ax + ay + bx + by
Ejemplo:
 2 ( x + 2 ) ( y – 3 ) = xy – 3x + 2y – 6
iii. Productos Notables
Se les llama Productos Notables a algunos productos entre expresiones algebráicas que tienen 
alguna característica que los hace especiales y que son muy utilizados. Los más comunes son: 
Cuadrado de binomio
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ejemplo:
 2 ( x + 3y )2 = x2 + 2 ∙ x ∙ 3y + (3y)2
 = x2 + 6xy + 9y2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Ejemplo:
 2 ( 5m – 4 )2 = (5m)2 – 2 ∙ 5m ∙ 4 + (4)2
 = 25m2 – 40m + 16
Importante: (a – b)2 = (b – a)2. Ejemplo: (3 – 1)2 = (1 – 3)2 & ( 2 )2 = ( – 2 )2
Suma por diferencia
(a + b) ∙ (a – b) = a2 – b2 Ejemplo:
 2 ( 2x + 1 ) ∙ ( 2x – 1 ) = (2x)2 – ( 1 )2
 = 4x2 – 1
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 113
Binomios con término común
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) ∙ x + (a ∙ b) Ejemplos:
 2 (x + 3)(x + 7) = x2 + (3 + 7) ∙ x + (3 ∙ 7)
 = x2 + 10x + 21
 2 (5x + 4)(5x + 3) = (5x)2 + (4 + 3) ∙ 5x + (4 ∙ 3)
 = 25x2 + 35x + 12
Cubo de binomio
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Ejemplo:
 2 (p + 4)3 = p3 + 3 ∙ p2 ∙ 4 + 3 ∙ p ∙ 42 + 43
 = p3 + 12p2+ 48p + 64
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Ejemplo:
 2 (x – 2y)3 = x3 – 3 ∙ x2 ∙ 2y + 3 ∙ x ∙ (2y)2 – (2y)3
 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3
Ejemplos PDT
1. Si a + b = 8 y ab = 10 , entonces el valor de ( a2 + 6ab + b2 ) es:
(DEMRE 2018)
A ) 76
B ) 104
C ) 48
D ) 124
2. Si Ana tiene en la actualidad ( 2a – 3 ) años, ¿qué edad tendrá en 4 años más?
(DEMRE 2021)
A ) ( 2a + 1 ) años
B ) ( 2a – 7 ) años
C ) ( 6a + 1 ) años
D ) ( 8a – 12 ) años
3. Por x tarros de pintura que se compran, se paga $ p. Si todos los tarros tienen el mismo precio, ¿cuál 
de las siguientes expresiones representa cuánto se paga, en pesos, por comprar dos tarros menos 
de pintura?
(DEMRE 2019)
A ) x
p 2–
B ) x
p
2–
C ) x
p 2–
D ) x
p x 2–^ h
 
Capítulo 5 | Álgebra
114
4. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2014)
I. 5x ∙ –x ∙ –x = –5x3
II. –4x ∙ 3x2 = –12x3
III. –3y ∙ –x ∙ –7xy = –21x2y2
A ) Solo II
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
5. ( b + 1 )2 – 5( b + 2 ) =
(DEMRE 2014)
A ) b2 – 5b + 11
B ) b2 – 3b + 3
C ) b2 – 5b + 3
D ) b2 – 3b – 9
6. Si el área de una figura plana está representada por la expresión:
(DEMRE 2015)
I. x2 + 4x + 4, entonces la figura puede ser un cuadrado de lado ( x + 2 )
II. x2 – 9, entonces la figura puede ser un cuadrado de lado ( x – 3 )
III. x2 + 7x + 12, entonces la figura puede ser un rectángulo donde uno de sus lados es 
( x + 4 )
Es(son) verdadera(s)
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
7. En un juego del casino, donde solo se gana o solo se pierde, Maximiliano apostó ( m – a )3 veces y 
ganó ( m + a )3 veces. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa siempre la cantidad de veces 
que perdió Maximiliano?
(DEMRE 2019)
A ) – 6ma
B ) – 6ma2
C ) – 6m2a – 2a3
D ) – 8a3
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 115
8. Calíope efectúa el siguiente procedimiento para reducir la expresión 2(2x – 5)2 – 10(2x + 3).
= 2(2x – 5)2 – 10(2x + 3)
= 2(2x – 5)2 – 20x + 30
= 2(4x2 – 20x + 25) –20x + 30
= 8x2 – 40x + 50 – 20x + 30
= 8x2 – 60x + 80
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
¿En cuál de los pasos efectuados por Calíope se cometió un error?
(DEMRE 2021)
A ) Paso 1
B ) Paso 2
C ) Paso 3
D ) Paso 4
9. Sean a cm y b cm las medidas de los lados de un rectángulo cuya área es 48 cm2. 
Si a2 cm2 + b2 cm2 = 100 cm2, ¿cuál es el valor de ( a + b )?
(DEMRE 2021)
A ) 2
B ) 10
C ) 14
D ) 52
10. Las 4
3 partes de la longitud de una carretera están pavimentadas. Si aún faltan por pavimentar 
( p – 10 ) km para tener la carretera completamente pavimentada, ¿cuál es la longitud total de la 
carretera, en función de p?
(DEMRE 2021)
A ) 
p
3
4 10-
 km
B ) ( 4p – 40 ) km
C ) ( 4p – 10 ) km
D ) 
p
3
4 40-
 km
11. Para x ≠ 3 y z ≠ 0, el valor numérico de la expresión 
x
x
y z z3
3
9
9
–
–
2
2 3 3
$ $+
_
_ b ci
i l m se puede determinar 
si:
(DEMRE 2010)
( 1 ) z = 3
( 2 ) y = 6
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Capítulo 5 | Álgebra
116
c. Factorizar expresiones algebraicas
La factorización es el proceso contrario al producto, es decir, consiste en transformar una 
expresión algebraica en el producto de los factores que la originaron. Los tipos más comunes 
de factorización son:
i. Factor común
ab + ac = a ∙ ( b + c ) Ejemplo:
 2 7m3n + 14m2 – 21m4q = 7m2(mn + 2 – 3m2q )
ii. Factor común compuesto
En muchas ocasiones, si bien no hay un 
factor común a todos los términos, agru-
pándolos convenientemente podemos ver 
en evidencia el factor común, que puede 
ser monomio o polinomio.
Ejemplo:
 2 x2 – ax – bx + ab = ( x2 – ax ) – ( bx – ab )
= x( x – a ) – b( x – a )
= ( x – a )( x – b )
iii. Asociado a productos notables
Diferencia de cuadrados 
(asociado a suma por diferencia):
a2 – b2 = ( a + b ) ∙ ( a – b )
Para encontrar a y b, se debe pensar qué números al 
cuadrado dan como resultado a2 y b2.
Ejemplo:
 2 x2 – 49 = ( x + 7 )( x – 7 )
Trinomio cuadrado perfecto 
(asociado a cuadrado de binomio):
a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2
a2 – 2ab + b2 = ( a – b )2 
Ejemplos:
 2 m2 + 10m + 25 = ( m + 5 )2
 2 4p2 – 4pq + q2 = ( 2p – q )2
Trinomio de la forma x2 + px + q 
(asociado a binomio con termino común):
x2 + px + q = ( x + a )( x + b ) ,
con p = a + b y q = a ∙ b
Para encontrar a y b, debes preguntarte, ¿qué números 
multiplicados dan q y sumados dan p?
Ejemplo:
 2 x2 + 7x + 12 = ( x + 4 )( x + 3 )
iv. Otros
Suma de cubos:
a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 )
Para encontrar a y b, debes calcular las 
raíces cúbicas de a3 y b3.
Ejemplo:
 2 p3 + 8 = ( p + 2 )( p2 – 2p + 4 )
Diferencia de cubos:
a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 )
Para encontrar a y b, debes calcular las 
raíces cúbicas de a3 y b3.
Ejemplo:
 2 27a3 – 1 = ( 3a – 1 )( 9a2 + 3a + 1 )
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 117
Trinomio de la forma mx2 + px + q:
mx2 + px + q = ( rx + a )( nx + b ) Ejemplo:
 2 Factorizar la expresión 6x2 + 17x + 5
Paso 1: multiplicar por m
m toda la expresión.
mx px q m
m x mpx mq2 2 2+ + = + +
Paso 1: multiplicar por 6
6 toda la expresión.
6x 17x 5 6
6 6x 6 17 x 6 52 2+ + = + +$ $ $ $
Paso 2: identificar que ahora el coeficiente 
de x2 es un cuadrado perfecto y que pode-
mos reescribir la expresión como:
 
m
m x mpx mq
m
(mx) p(mx) mq2 2 2+ + = + +
Paso 2: reescribir la expresión:
6
x 6 17 x 6 5
6
(6x) 17 (6x) 3062 2 2+ + = + +$ $ $
Paso 3: trabajar como el caso de factoriza-
ción: Trinomio de la forma
y2 + yx + q, donde y = mx.
Buscar los valores de a y b que sumados den 
p y que multiplicados den mq.
m
(mx )(mx )
m
(mx) p(mx) mq2 + ++ + a b
=
Paso 3: Buscar los valores que sumados den 17 y 
que multiplicados den 30: (2 y 15)
6
(6x) 17(6x) 30
6
(6x 2)(6x 15)2 + + + +
=
Paso 4: Factorizar en el numerador y, final-
mente, simplificar numerador y denomina-
dor, según corresponda.
Paso 4: Factorizar en el numerador usando factor 
común, en este caso por 2 y 3. Finalmente, simpli-
ficar el 2 y 3 con el 6.
6
(6x 2)(6x 15)
6
2(3x 1) 3(2x 5)+ +
=
+ +$
 = ( 3x + 1 ) ( 2x + 5 )
Ejemplos PDT
12. Si P = x2 + 4ax + a2 , ¿cuál(es) de las siguientes expresiones se puede(n) factorizar como un cuadrado 
de binomio perfecto?
(DEMRE 2020)
I. P + 3x2
II. P – a2
III. P – 6ax
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
 
Capítulo 5 | Álgebra
118
13. ¿Cuál de las siguientes expresiones NO es equivalente a la expresión 3x2 – 15x + 18?
(DEMRE 2017)
A ) 18 – 3x( 5 – x )
B ) 3( x2 – 5x + 6 )
C ) 3( x – 3 )( x – 2 )
D ) 3( 3 – x )( x – 2 )
14. ¿ Cuál de las siguientes expresiones es igual a 4x2 – 49 ?
(DEMRE 2011)
A ) ( 2x – 7 )2
B ) 4( x – 7 )2
C ) ( 2x + 7 )( 2x – 7 )
D ) ( 4x – 7 )( x + 7 )
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 119
d. M.C.D. y m.c.m
Si se necesita obtener el M.C.D. o el m.c.m. de dos o más expresiones algebraicas, se deben 
factorizar cada una de las expresiones (los coeficientes numéricos conviene escribirlos como 
potencias de base prima).
i. M.C.D (Máximo Común Divisor)
Para determinar el M.C.D. de dos o más términos algebraicos, se deben escribir los factores 
comunes a todas las expresiones, sin sus exponentes, y después poner el menor exponente de 
cada factor.
Ejemplos:
 2 2ab4 ; 12a2b3c ; 18ab7c4 → 22 ∙ a ∙ b ; 22 ∙ 3 ∙ a2 ∙ b3 ∙ c ; 2 ∙ 32 ∙ a ∙ b7 ∙ c4
 . .M C D 2 ∙ a ∙ b3
 2 x2 – 25 ; x2 – 10x + 25 ; x2 – 5x → ( x + 5 )( x – 5 ) ; ( x – 5 )2 ; x ∙ ( x – 5 )
 . .M C D ( x – 5 )
ii. m.c.m ( mínimo común múltiplo )
Para determinar el m.c.m. de dos o más términos algebraicos, se deben escribir todos los 
factores encontrados en las expresiones, sin sus exponentes, y después poner el mayor 
exponente de cada factor.
Ejemplos:
 2 2ab4 ; 12a2b3c ; 18ab7c4 → 22 ∙a ∙ b ; 22 ∙ 3 ∙ a2 ∙ b3 ∙ c ; 2 ∙ 32 ∙ a ∙ b7 ∙ c4
 . .m c m 22 ∙ 32 ∙ a2 ∙ b7 ∙ c4
 2 x2 – 25 ; x2 – 10x + 25 ; x2 – 5x → ( x + 5 )( x – 5 ) ; ( x – 5 )2 ; x ∙ ( x – 5 )
 . .m c m x ∙ ( x – 5 )2 ∙ ( x + 5 )
e. Operatoria con fracciones algebraicas
i. Simplificación de fracciones algebraicas
Se llama fracción algebraica a aquellas expresiones donde el numerador y/o denominador 
son expresiones algebraicas.
Para simplificar fracciones algebraicas, pri-
mero se debe factorizar, si es posible, tanto el 
numerador como el denominador. Luego se 
pueden simplificar expresiones que sean igua-
les en numerador y denominador. Antes de 
simplificar es importante tener presente los va-
lores que puede tomar la variable, pues ellos 
no pueden hacer cero el denominador.
Importante: a bb a 1
–
– –= , con a ≠ b.
Ejemplos:
 2 Para x e y ≠ 0 se tiene que 
xy
x y x
y3
12 4
7
4 5 3
2=
 2 Para, x ≠ ± 4 se tiene que
( ) ( )
( )( )
x
x x
x x
x x
x
x
16
7 12
4 4
4 3
4
3
– – –2
2 + + = +
+ + = +
ii. Adición y sustracción
Para sumar o restar fracciones algebraicas se 
debe factorizar previamente cada denomina-
dor y buscar el mínimo común múltiplo entre 
ellos; después se procede de la misma forma 
como se opera con las fracciones numéricas. 
Es decir igualando denominador (m.c.m) am-
plificando cada fracción y luego sumando los 
numeradores, manteniendo el denominador.
Tip: Se debe verificar que el resultado esté 
simplificado.
Ejemplo:
 2 x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
1 5
2 2
1 5
2 2
1 5 2
2 2
1 5 10
2 2
5 11 1
–
–
–
–
2
2
2
+ + =
+
+ +
=
+
+ + +
=
+
+ + +
=
+
+ +
x x x4 2 2– – –^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
 
Capítulo 5 | Álgebra
120
iii. Multiplicación y División
Para multiplicar fracciones algebraicas se procede de la misma forma que para multiplicar 
fracciones numéricas, eso es: multiplicar numeradores con numeradores y denominadores 
con denominadores. De ser posible, conviene factorizar los términos para poder simplificar al 
máximo las expresiones, antes de multiplicar.
Ejemplo:
 2 a b a
a a b
a b a b
a b a b
a
a b
a b a b
a b a b
a
a
–
–
–
–
–
2
2 2
2 2
3 3
3
2
$ = + + +
= +
+ +
a b+
a ab a ab b
a
2– + +
$
$
=
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
Para dividir fracciones algebraicas se debe convertir a producto (invirtiendo la segunda 
fracción) y proceder tal como en la multiplicación.
Ejemplo:
 2 p p p p p
p p
p
p p
p p
p
p
p p
p p
3 5 6 3 4
2 2
3
3 2
2 2
2
3
3 2
2 2
1
–
–
–
–
–
2 2
2
2 2
2
| $
+ + + = +
+
+ +
+
+
+ +
+
p2
p p p p p p p
p
2 4 4 2 4 5 6
2
– – – + +
$=
$=
=
^
^
^̂
^
^
^̂
^
^
h
h
hh
h
h
hh
h
h
f. Operaciones definidas
Estas operaciones combinan las operaciones conocidas utilizando un símbolo especial, 
definido en el ejercicio (@, #, ® ,  , ¶, ... ). Cada ejercicio define lo que representa el símbolo.
Ejemplos:
 2 Dada la operación a # b = 2a – b. Hallar 5 # 7
En este caso el símbolo # indica que al doble de a (1er número), hay que restarle el b (2do 
número).
Entonces: 5 # 7 = 2 ∙ 5 – 7 = 3
 2 Dada la operación m @ n = m ∙ n + 5 . Hallar 3 @ 4
En este caso el símbolo @ indica que se debe multiplicar m por n (1er número por el 2do 
número) y luego sumarle 5.
Entonces: 3 @ 4 = 3 ∙ 4 + 5 = 17
 2 Dada la operación p ∆ q = q
p q+ . Hallar 7 ∆ 9
El símbolo ∆ indica que primero se deben sumar p y q (1er y 2do número), y luego dividir la 
suma en q (2do número).
Entonces: 7 ∆ 9 = 9
7 9
9
16+ = 
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 121
Ejemplos PDT
15. Si x es distinto de a, de – a y de 0, entonces 
x ax
x a
x a
x a
–
– –
2
2 2
| + es igual a:(DEMRE 2017)
A ) 
x a
x ax –
2+^
^
h
h
B ) x
x a–
C ) x
x a+
D ) x x a
x a
–
2+^̂ h h
16. b a
a b a b
–
–2 2+^ ^h h
=
(DEMRE 2019)
A ) b2 – a2
B ) (a + b)2
C ) b a
a b
–
–3 3
D ) –(a + b)2
17. Para x ≠ 0 , la expresión x x
1 1 12+ + es igual a:
(DEMRE 2015)
A ) 
x
x x 1
2
2 + +
B ) x2 + x + 1
C ) 
x x 1
3
2 + +
D ) 
x
1 22+
18. Si a ≠ 1 , entonces a a3 2 4 8– –+
a4 4–a2 2–
 es igual a:
A ) 
a
a
1
2
–
–
2^ h
B ) 
a
a
1
6
–
+
2^ h
C ) 
a
a
1
3 4
–
–
2^ h
D ) 
a
a
1
3 8
–
+
2^ h
 
Capítulo 5 | Álgebra
122
19. Si en los números reales se definen las operaciones a , b = a2 + 2ab + b2 y m ∆ n = m2 – 2mn + n2 , 
entonces el valor de 4 3 3 5–T ,^ ^h h es igual a:
(DEMRE 2014)
A ) 47
B ) 63
C ) –27
D ) –63
20. Para a y b números racionales distintos de cero y a ≠ b se define la operación a b
ab
a b
b
a
a
b
–
–
T = . El 
valor de 2
1
3
1T es:
(DEMRE 2013)
A ) 6
5
B ) 6
C ) 6
1
D ) 5
1
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 123
Capítulo 5
Álgebra │ Ejercicios 
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. El doble de –[ –{ – x –( –y ) } ] =
A ) – x + y
B ) – 2x + y
C ) – 2x + 2y
D ) 2x – y
2. El m.c.m. entre 12x5y2z ; 8x6y2 ; 6y5 es:
A ) 24x6y5z
B ) 24x6y5
C ) 24y5
D ) 2x6y5
3. El M.C.D entre 12x5y2z ; 8x6y2 ; 6y5 es:
A ) 2x6y5
B ) 2y2
C ) 2x6y5z
D ) 24x6y5z
4. ( 6y – 4x )2 =
A ) 16x2 – 36y2
B ) 16x2 – 24xy + 36y2
C ) 16x2 – 48xy – 36y2
D ) 16x2 – 48xy + 36y2
5. ( x – 8 ) ( 3 + x ) =
A ) x2 – 5x – 24
B ) x2 – 8x + 6
C ) x2 – 11x – 24
D ) x2 – 24x – 5
 
Capítulo 5 | Álgebra
124
6. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) factor(es) de la expresión 3x2 + 9x – 84?
I. 3
II. ( x – 4 )
III. ( x + 7 )
A ) Solo I
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
7. Si a ≠ 0 y b ≠ 0 , entonces b
a
a
b– =
A ) 0
B ) ab
a b–
C ) ab
a b2 2–
D ) ab
a b–2 2
8. Al simplificar la expresión x
x
1
1
–
– , para x ≠ 1 se obtiene:
A ) – 1
B ) 0
C ) 1
D ) No se puede simplificar
9. a b a b7
3
7
3 –+ =c cm m
A ) a b49
3 –2 2
B ) a b49
9 –2 2
C ) a b14
6 –2 2
D ) a b7
3 –2 2
10. Si le restamos 6a + 5b a la suma de 2a + 9b y 3a – 2b , la diferencia será:
A ) 5a + 7b
B ) a + 2b
C ) 2b – a
D ) b – 2a
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 125
11. Victoria se ha ofrecido para ir a la pizarra a desarrollar una expresión algebraica que requiere de 
reducción por términos semejantes y el correcto uso de paréntesis. La expresión dada es: –( 7a + 2 ( b + 5a ) )
=–(7a + 2(b + 5a))
= 7a – 2(b – 5a))
= 7a – 2b + 10a
= 17y – 2b
Paso 1
Paso 2
Paso 3
¿En cuál de los pasos efectuados por Laura se cometió un error?
A ) Paso 1
B ) Paso 2
C ) Paso 3
D ) En ninguno. El desarrollo es correcto
12. Si m ≠ 0 , entonces m m m m
1
2
1
4
1– + +` j es igual a:
A ) m – 7
B ) m
m
4
7–
C ) m
m
4
4 1–2
D ) m
m
4
4 7–2
13. x
x
x
x x
1
1
2 1
2 1
–
– 2$ =+
+ +` cj m
A ) 
x
x
2 1
2 1
–
–
2
B ) x
x
2 1
1
–
–2
C ) 
x
1– 2
D ) x – 1
14. El producto entre a b2
3 2 y 
ab
8
2 es:
A ) b
a8
B ) b
a24
C ) b
a3
D ) b
a12
 
Capítulo 5 | Álgebra
126
15. ( x + y )2 = x2 + y2 si:
( 1 ) x ∙ y = 0
( 2 ) x + y = 0
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
16. ¿ Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a n
m , siendo n ≠ 0
A ) n
m
1
1
+
+
B ) n
m
1
1
–
–
C ) n
m
2 1
2 1
+
+
D ) n
m
2
2
17. 2x3y3 + 16x2y4 + 32xy5 =
A ) y3( 2x2 + 4y )2
B ) 2xy3( x + 4y )2
C ) 2x( x + 4y4 )2
D ) xy3( 2x + 8y )2
18. x( x + y ) – y( x – y ) =
A ) ( x + y )( x – y )
B ) y2 – x2
C ) x2 + 2xy – y2
D ) x2 + y2
19. Si x ≠ z , entonces x z
x y– –
– es equivalente a:
A ) z x
x y
–
– –
B ) z x
x y–
+
+
C ) z x
x y
–
–
D ) z x
x y
–
– +
 
Álgebra | Capítulo 5
MatemáticaPara Nacional 127
20. Al multiplicar y x x y2
1 4 4 4
1–+` `j j , el coeficiente numérico del termino xy es:
A ) 2
1
B ) 1
C ) 2
1–
D ) 8
1–
21. Sean b ≠ 0 y c ≠ 0 , entonces al reducir la expresión b
ab a
b
c cb2 2– –
2| , resulta:
A ) c
ab–
B ) b
ac–
C ) ab
c–
D ) c
ab
22. x4
1 1– 2 =^ h
A ) x x4 2 4
1– –
2
B ) x x4 4 4
1–
2
+
C ) x x4 2 4
1–
2
+
D ) x4 4
1–
2
23. Si c ≠ 0 , entonces la fracción c
b a– es equivalente a:
A ) c
a b+
B ) c
a b
–
–
C ) c
b a– –
D ) c
b a
–
+
24. Si p ≠ 0 , entonces p1 1–
3 5
2+ =
p p
A ) 
p
p2 1–
5
2
B ) 
p
1–
5
C ) 
p
1
3
D ) 
p
1
5
 
Capítulo 5 | Álgebra
128
25. Si b ≠ 0 , b ≠ 1 , a ≠ 0 y c ≠ 0 , entonces 
b
ab a
b
bc c– –
2 3| es igual a:
A ) ab
c
B ) b
ac
C ) c
ab
D ) cba
26. ¿Cuánto es el valor numérico de la expresión a2b0 , siendo a y b distintos de cero?
( 1 ) a = 10
( 2 ) b = 5
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
27. a b a ab b– –
3 3
3 3 2 2
$ +
a b a b–+
 =
A ) a b
a ab b2 2
+
+ + 
B ) a b
a ab b
–
–2 2+
C ) a b
a ab b
–
2 2+ +
D ) a b
a ab b–2 2
+
+
28. 
p
p p
p
p
10
5 2 4 2
4
3 2
|
+ + =^ h
A ) p 4
2+
B ) 
p
p 2
2
3+^ h
C ) p
p p
2
2 4 22 |+ +^ ^h h
D ) 
p
p
4
2
2
+
29. 343a3 – 27 =
A ) ( 7a – 3 )( 49a2 – 21a + 9 )
B ) ( 7a – 3 )( 49a2 – 42a + 9 )
C ) ( 7a – 3 )( 49a2 + 21a – 9 )
D ) ( 7a – 3 )( 49a2 + 21a + 9 )
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 129
30. Si ( x2 – 5x – 36 ) ≠ 0 , x ≠ 9 y x ≠ 4 , entonces 
x x
x x
5 36
90
– –
–
2
2 + es igual a:
A ) x
x
4
10
–
–
B ) x
x
4
10
–
+
C ) x
x
4
10–
+
D ) x
x
4
10
+
+
31. Al reducir la expresión – [ – ( a – b )2 ] – a2 + 2ab – b2 se obtiene:
A ) 2ab
B ) 4ab
C ) 0
D ) 2ab – 2b2
32. Si a ≠ b , entonces a b
a b a b
–
–2 2 2+ =^ ^h h
A ) a3 – b3
B ) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
C ) a3 + a2b – ab2 – b3
D ) a3 – a2b + ab2 – b3
33. Si n ≠ 0 , n ≠ 1 , q ≠ 0 , entonces n
mn m
n
qn q– –
2| =
A ) mn
B ) q
mn
C ) n
qm
D ) mn
q
34. 
a b
a b
3 3 3+
+ =
a b –+ ^ h
A ) ab3
1
B ) 12 2a ab b2 2+ +
 
C ) ab3
1–
D ) ab
1–
35. 3x + 2y – { 2x – [ 3x – ( 2y – 3x ) – 2x ] – y }=
A ) 5x + 5y
B ) 5x + y 
C ) – 7x + 5y
D ) 7x – 5y
 
Capítulo 5 | Álgebra
130
36. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) igual(es) a 1?
I. 
a b
a b
–
–
3
3 3
^ h ,con a ≠ b
II. a
a
4 3
3 4
–
– , con a ≠ 3
4
III. 
a b
b a
–
–
2
2^
^ h
h , con a ≠ b
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D ) Ninguna de las anteriores
37. La expresión 4 ∙ ( 2a – 3 )2 es equivalente a:
A ) ( 8a – 12 )2
B ) 16a2 – 36
C ) 32a2 + 48
D ) ( 6 – 4a )2
38. Si x ≠ y , entonces el valor de x y
x y
x y
x y x y–
–
–
– – –
2 2 2
+ =^ ^h h
A ) x – y
B ) x + y
C ) y – x
D ) x y
x y–
+
39. La semi diferencia entre 3a + 4b y a – 2b es:
A ) 2a + 6b
B ) a + 3b
C ) a + b
D ) a + 2b
40. ( 5x + 2y )2 – ( 3x – 7y )2 =
A ) 2x + 9y
B ) 16x2 – 45y2
C ) ( 8x + 5y )( 2x + 9y )
D ) ( 8x – 5y )( 2x + 9y )
41. ( x + 3 )( x – 5 ) – 2( x + 3 )( x + 4 ) =
A ) ( x – 3 )( x – 13 )
B ) ( x – 3 )( x + 13 )
C ) ( x + 3 )( x + 13 )
D ) –( x + 3 )( x + 13 )
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 131
42. –[ –3( a – b ) + 3
1 ∙ ( –6a – 9b ) ] =
A ) 2a + 3b
B ) 5a
C ) a
D ) –a
43. 3y2 – 5y – 2( 1 – y + y2 ) =
A ) 5y2 + 7y – 2
B ) y2 + 3y – 2
C ) y2 – 3y – 2
D ) 3y2 – y – 2
44. Al simplificar la expresión x y32 8–
2 2
2 2
x y32 8+
 se obtiene:
A ) 
x y
x y–
2 2
2 2
+
B ) x y
x y
4 2
4 2–
+
C ) x y
x y–
+
D ) 
x y
x y
4
4 –
2 2
2 2
+
45. Se puede determinar el valor numérico de la expresión a b–
3 3
a b– si:
( 1 ) a ≠ b
( 2 ) a2 + ab + b2 = 4
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
46. 1 – { –1 – [ 1 – x – ( – x +1 ) ] } =
A ) –1
B ) 0
C ) 1
D ) 2
 
Capítulo 5 | Álgebra
132
47. Sea, x + p2 ≠ 0 , la simplificación de la expresión 
x p
x p q x p q
2
2 2 2 2 2
+
+ + +^ h es:
A ) ( )q q 12 2 +
B ) x q2+
C ) x + p2
D ) 
x p
x q
– 2
2+
48. Al simplificar la fracción compuesta 
x
x
x
x
1
1
1
1 1
–
–
+
+ +
1–
 se obtiene:
A ) –1
B ) x1
1
–
C ) x
1–
D ) x
x2
–
–
49. Simplificando la fracción compuesta 
x x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
1
1
–
– –
–
+
+
+
+
 obtenemos:
A ) 2x
B ) 2
C ) x
D ) 2
1
50. Si u a2
1 2–
2
= +` j y v a21 2– 2= +` j , entonces u + v =
A ) 2
1–
B ) –2a
C ) –4a
D ) 8
51. Para que ( x – 3 ) sea un factor del trinomio x2 + 2x + y , el valor de y debe ser:
A ) –15
B ) 5
C ) 8
D ) 15
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 133
52. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) falsa(s)?
I. ( x + 4 )2 = x2 + 16
II. x6 – y12 = ( x3 + y6 )( x3 – y6 )
III. xy – y + 3 – 3x = ( x – 1 )( y – 3 )
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
53. ¿Para qué valor de m , ( x + 5 ) es un factor del trinomio x2 + mx – 20 ?
A ) –4
B ) –3
C ) –1
D ) 1
54. Al dividir ( x4 – 81 ) por ( x – 3 ) se obtiene:
A ) x2 + 3x + 9
B ) x3 + 3x2 + 9x + 27
C ) x2 + 6x + 9
D ) x3 + 27
55. Al factorizar m2 – n2 – m – n se obtiene:
A ) ( m – n )( m2 + n2 )
B ) ( m + n )( m – n – 1 )
C ) ( m – n )( m – n – 1 )
D ) ( m + n )( m – n + 1 )
56. 1 + x + x2 + x3 =
I. ( 1 + x ) ( 1 + x2 )
II. x
x
1
1
–
– 4 , con x ≠ 1
III. ( 1 – x )( 1 – x2 )
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo I y II
 
Capítulo 5 | Álgebra
134
57. Al efectuar la suma ab
c
ac
b
bc
a+ + , con abc ≠ 0 , se obtiene:
A ) ab ac bc
a b c
+ +
+ +
B ) 
a b c
a b c
2 2 2
+ +
C ) abc
a b c2 2 2+ +
D ) 
a b c
a b c
2 2 2
2 2 2+ +
58. La fracción x x6 8–
2
2 +
x4 –
 , con x ≠ ± 2 , es igual a:
A ) x
x
2
4– –
+
B ) x
x
4
2
–
+
C ) x
x
2
4–
+
D ) x
x
2
4 –
+
59. A partir de la información dada en la figura adjunta, y recordando que el área de un rectángulo se 
calcula multiplicando la medida del largo por la del ancho, ¿cuál es una fórmula correcta para expresar 
la suma de las áreas de los rectángulos GHEF y BCMH, si HMDE es un cuadrado cuyo lado mide a cm y 
el ancho del rectángulo ACDF mide la mitad de lo que mide su largo?
A ) a x a cm2
3 2– 2b l
B ) x a ax cm2
1 2 2+b l
C ) ax x a cm2
– 2a k
D ) ax x a cm2
3
4
2–2 2d n
60. ¿ En qué se transforma la expresión a· ( a2 – x ) + bx , si x = a2 + ab + b2 ?
A ) a3 – b3
B ) a3 + b3
C ) a3
D ) b3 
61. Si x ≠ 7 y z ≠ 0, se puede determinar el valor numérico de la expresión 
x
x y z z6
6
7
7
–
–
3
3 2 2
$ $+^
^ ` `hh j j si :
( 1 ) –1 + y = 5
( 2 ) y = 6
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
x cm
A
F
G
B
E
H
C
D
M
 
Álgebra | Capítulo 5
Matemática Para Nacional 135
62. ¿Cuál de las siguientes figuras tiene una región achurada cuya área es igual a: (a2 – ax + x2) cm2 ? 
(considere que ABCD son cuadrados de lado a cm y que los cuadrados pequeños tienen lados de x cm)
A ) x
x
a
A
D
B
C B ) x
x
a
A
D
B
C
C )
xx
x
a
A
D
B
C D )
x
x
xxa
A
D
B
C
63. Al simplificar la expresión 
x y
x y x y
–
–
6 6
4 2 2 4
 , con x ≠ y , obtenemos :
A ) 
x xy y x xy y
xy
–2 2 2 2+ + +^ ^h h
B ) x
y
y
x–
C ) x y
1
–
D ) 
x xy y x xy y
x y
–2 2 2 2
2 2
+ + +^ ^h h
64. Siendo x ≠ y , el cuociente 
x y
x y
–
–
4 4
12 12
=
A ) x8 + y8
B ) x8 + x4y4 + y8
C ) x8 – x4y4 – y8
D ) x8 – y8
65. La expresión a8 – b8 se puede escribir como:
A ) ( a – b )8
B ) ( a + b )4( a – b )4
C ) ( a7 – b7 )( a + b )
D ) ( a4 + b4 )( a2 + b2 )( a2 – b2 )
 
136
1. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene 
elementos desconocidos representados por letras o símbolos, a los que llamamos incógnitas 
o variables. Dependiendo del número de incógnitas, hablaremos de ecuaciones con 1, 2 o 
más variables.Algunas definiciones propias de las ecuaciones son :
 2 Solución de una ecuación: es todo aquel valor de la(s) incógnita(s) que, al ser reemplazados 
en las respectivas letras o símbolos, hacen que se satisfaga la igualdad. 
Ejemplo: Si la ecuación es x + 3 = 5 , entonces x = 2 es una solución de dicha ecuación, 
pues si reemplazamos la variable x por 2, en la ecuación, se tendrá que 2 + 3 = 5. Es decir, 
la igualdad se satisface. 
 2 A las soluciones de una ecuación también se les llama Raíces de la ecuación. Así, para 
nuestro primer ejemplo, x + 3 = 5, se tiene que x = 2 es su raíz (o solución). 
 2 Conjunto solución de una ecuación: es el conjunto que tiene por elementos a la(s) solu-
ción(es) de una ecuación.
 2 Ecuaciones equivalentes: son aquellas que tienen el mismo conjunto solución. 
Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incógnita 
es 1. Toda ecuación de primer grado en una variable puede expresarse en la forma: ax = b , 
donde a y b son números reales, a ≠ 0, y x la incógnita que hay que determinar. La incógnita 
también puede estar representada por cualquier letra.
Ejemplos:
 2 2x + 3 = 0 2 x x5
3 7 2
– + = 2 0,002m + 3(m – 0,05) = 4
a. Tipos de soluciones de una ecuación de primer grado
Para resolver una ecuación de primer grado, ax = b, se debe aislar la incógnita, típicamente x. 
Al intentar despejar la incógnita, nos podemos encontrar con tres distintos tipos de soluciones: 
Si a ≠ 0, la ecuación ten-
drá solución única en el 
conjunto de los reales.
Si a = 0 y b = 0 se tiene 
una identidad. Cualquier 
valor real para x satisface 
la igualdad. Tiene infinitas 
soluciones. Conjunto de los 
números reales.
Si a = 0 y b ≠ 0 la ecuación 
no tiene solución. Conjunto 
de solución vacío.
Ejemplo:
 2 3x + 2 = 3
3x = 3 – 2
x = 3
1
Ejemplo:
 2 7x – 5 = – 5 + 7x
7x – 7x = – 5 + 5
0 x = 0
Ejemplo:
 2 3x + 2 = 1 + 3x
3x – 3x = 1 – 2
0 x = –1
∴ solución: 3
1 ∴ solución: R ∴ solución: Ø
“Queda prohibido no sonreír a los 
problemas, no luchar por lo que quieres, 
abandonarlo todo por miedo, no convertir 
en realidad tus sueños”
— PABLO NERUDA —
POETA CHILENO
Capítulo 6
ECUACIONES Y 
SISTEMAS DE 
ECUACIONES
Escanea este código QR y verás la 
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moraleja.cl/mpn6-6
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 137
b. Ecuaciones Fraccionarias de primer grado
Una ecuación es fraccionaria cuando al menos 
uno de sus términos tiene en el denominador 
un valor distinto de uno.
Ejemplos:
 2 x x2 3
1
5
3–+ =
 2 x x
4 1 3
2+ =
Para resolver este tipo de ecuaciones, una eventual estrategia podría ser la siguiente:
Estrategia Ejemplo
1 ro. Multiplicar cada término de 
la ecuación por el mínimo co-
mún múltiplo de los denomina-
dores que aparecen.
2 do. Reducir términos en cada 
lado de la igualdad.
3 ro. Dejar los términos con x en 
un lado y los numéricos en el 
otro.
4 to. Resolver la ecuación equi-
valente de primer grado obte-
nida.
5 to. Comprobar el resultado con 
la ecuación dada (opcional).
Resolver x x
4 1 3
2+ = . (Su mínimo común múltiplo es 3x).
1. x x x x x3
4 3 1 3 3
2$ $ $+ = (Multiplicamos por su m.c.m).
2. 12 + 3x = 2 (Reducimos cada lado).
3. x3 10–= 3x = – 10 (Despejamos x).
4. x 3
10–=
5. Comprobamos la solución.
3
10
4 1
3 3
10
2
– –$
+ = → 10
2
10
2– –=
Recuerda :
 » Las fracciones del tipo a0 son indefinidas cuando a ≠ 0. Por lo tanto, si una ecuación tiene 
la incógnita en el denominador, ésta no puede tomar el o los valores que indefinen a las 
respectivas fracciones que la compongan.
 » La ley de productos cruzados en las fracciones: n
m
q
p m q n p· ·,= =
c. Ecuaciones Literales
Son ecuaciones que, además de la incógnita, contienen otras letras que, a diferencia de las 
variables, estas representan valores constantes. Para resolverlas, se debe identificar la letra 
que representa la incógnita y despejarla, considerando a las otras letras como números.
Ejemplos:
 2 ax + b = c / – b , con a ≠ 0
ax = c – b / : a
a
c b–x =
 2 ax – a2 = bx – b2 , con a ≠ b
ax – bx = a2 – b2 (factorizamos por x).
x ( a – b ) = a2 – b2 (Dividimos ( a – b )).
a b
a b
–
–2 2x = (factorizamos para simplificar)
a b
a b a b
–
–+x = ^ ^h h
x = a + b
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
138
d. Ecuaciones con valor absoluto
Las ecuaciones con valor absoluto que estudiaremos en este capítulo, se pueden reducir a la 
forma:
|ax + b| = c , con a ! R , b ! R y c ! R+.
Ejemplos:
 2 x 7= ; x 5 103 + = ; 
x 9
2 1
– = ; x2 3 85– – =
Para resolverlas, debemos plantear dos ecua-
ciones lineales a partir de la ecuación original, si-
guiendo el siguiente esquema:
,ax b c siendo c
ax b c ax b c
0≥
–
5 45 6
+ =
+ = + =
Como vemos, obtenemos dos ecuaciones linea-
les, que debemos resolver por separado para ob-
tener las soluciones de la ecuación original.
Ejemplo:
x
x x
x x
x x
x x
2 4 12
2 4 12 2 4 12
2 12 4 2 12 4
2 8 2 16
2
8 4 2
16 8
–
– – –
–
– –
1
1 2
1 2
5 45 6
+ =
+ = + =
= =
= =
= = = =
 
Las soluciones son:
x1 = 4 , x2 = –8
Ejemplos PDT
1. Para qué valor de x la expresión 5( x – 3 ) – 4( x – 2 ), es igual a cero?
A ) 3
B ) 4
C ) 5
D ) 7
2. Si 
p b p b
5 20
3– = +^ ^h h entonces p es siempre igual a :
(DEMRE 2018)
A ) 7b
B ) b7
–
C ) 2b
D ) 0
3. Dada la ecuación en x , ax + b = c , con a > b > c > 0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones 
es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2020)
I. La solución de la ecuación es positiva
II. La ecuación siempre tiene solución
III. La solución de la ecuación es menor que 1
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 139
4. La fórmula para calcular la rapidez de un objeto con aceleración constante es Vf = Vi + gt , donde Vf 
corresponde a la rapidez final, g es la aceleración, Vi es la rapidez inicial y t es el tiempo transcurrido. 
¿Cuál de las siguientes expresiones representa siempre la aceleración?
(DEMRE 2017)
A ) 
V
Vt – i
f
B ) 
V V
t
f i+
C ) 
V V
t
– fi
D ) t
V V–f i
5. En la ecuación ( ax – bx )( a – b ) = a2 – b2 , con a y b números reales tal que a ≠ b , se puede 
determinar el valor numérico de x, si se sabe que :
(DEMRE 2018)
( 1 ) a = 2b
( 2 ) El 20% de ( a + b ) es 2
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
6. Considere la ecuación ax + b = c , en x, con a, b y c números enteros positivos y b < c. ¿Cuál de las 
siguientes condiciones permite obtener como solución de esta ecuación un número NO entero?
(DEMRE 2021)
A ) a + b = c
B ) c = 2b y a = b
C ) (c – b) es múltiplo de a
D ) c < a + b
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
140
7. Para las alianzas de un colegio un grupo de estudiantes confeccionará una bandera de forma 
rectangular, con tres franjas rectangulares, una de color verde, otra de color amarillo y la otra azul, 
tal como se muestra en la figura adjunta.
(DEMRE 2021)
V
e
rd
e
85 cm
A
m
a
ril
lo
A
zu
l
El grupo quiere que la medida del ancho de la franja de color amarillo sea el doble de la medida 
del ancho que la franja azul y que la medida del ancho de la franja verde sea 15 cm menor que 
el ancho de la franja azul. ¿Cuál debe ser la medida del ancho de la franja amarilla?
A ) 50 cm
B ) 40 cm
C ) 35 cm
D ) 25 cm
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 141
2. SISTEMAS DE ECUACIONES
Si tenemos dos o más ecuaciones de primer grado, con las mismas incógnitas, diremos que 
constituyen lo que se conoce como un Sistema de Ecuaciones Lineales en la medida en que 
nos interese resolverlas de forma simultánea. Así, un sistema de ecuaciones se dice 2x2 cuando 
sean 2 las ecuaciones, y sean 2 las incógnitas que tienen y comparten entre ellas. 
La forma general de un sistema de ecuaciones 2x2, es la siguiente:ax by c
dx ey f
+ =
+ = , donde a, b, c, d, e y f son números reales.
Una solución del sistema será cualquier par de valores para las variables x e y, que satisfagan 
simultáneamente ambas ecuaciones. 
Ejemplos:
 2
x y
x y
2 5
2
+ =
+ =
 2 x y
x y
3
2 5 2
1
4 5 8–
+ =
+ =
 2
, ,
, ,
x y
x y
0 3 2 5 1
6 1 0 002 3
+ =
+ =
a. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones
Para resolver un sistema lineal con dos incógnitas, lo podemos hacer mediante los siguientes 
métodos:
i. Método de sustitución ii. Método de igualación iii. Método de reducción
Se debe despejar una de 
las variables en una de las 
ecuaciones y luego reem-
plazarla en la otra ecua-
ción, generándose así una 
ecuación con una incóg-
nita.
Se debe despejar la misma 
variable en ambas ecuacio-
nes y luego éstos resultados 
se igualan, generándose así 
una ecuación con una in-
cógnita.
Se deben igualar los co-
eficientes numéricos de 
una de las incógnitas, en 
ambas ecuaciones, mul-
tiplicando a ambos lados 
de la igualdad convenien-
temente, obteniéndose 
un sistema equivalente al 
dado, y luego se suman o 
restan ambas ecuaciones, 
resultando así una ecua-
ción con una incógnita.
Ejemplo: 
x y
x y
2 5
2
+ =
+ =
→ x = 2 – y
→ 2 ∙ ( 2 – y ) + y = 5
4 – 2y + y = 5
y = –1
→ x + ( –1 ) = 2
x = 3
Ejemplo: 
x y
x y
2 5
2
+ =
+ =
→ y = 5 – 2x
y = 2 – x
→ 5 – 2x = 2 – x
5 – 2 = – x + 2x
x = 3
→ ( 3 ) + y = 2
y = – 1
Ejemplo: 
x y
x y
2 5
2
+ =
+ =
→ ·
x y
x y
2 5
2 1–
+ =
+ =
→ x y
x y
x
2 5
2
3
– – –
+ =
=
=
+
→ ( 3 ) + y = 2
y = – 1
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
142
b. Análisis de sistemas de ecuaciones
El análisis de sistemas de ecuaciones es un método rápido para determinar si un sistema 
de ecuaciones tiene (si es que tiene) solución, y cuántas tiene, sin necesidad de tener que 
resolverlo.
Análisis : Dado el sistema: 
ax by c
dx ey f
+ =
+ = , diremos que:
i. Tiene solución única si: ii. Tiene infinitas soluciones si: iii. No tiene solución si:
d
a
e
b! d
a
e
b
f
c= = d
a
e
b
f
c!=
Ejemplo: 
x y
x y
2 5
2
+ =
+ =
→ ≠1
2
1
1
Ejemplo: 
x y
x y
3 6 24
2 4 16
+ =
+ =
→ 2
3
4
6
16
24= =
Ejemplo: 
x y
x y
2 4
3 6
7
5
–
–
=
=
→ ≠3
2
6
4
5
7
–
–=
Ejemplos
8. El par de números x = 2
3 e y = 2
3– es solución del sistema 
ax y
x by
6
6
–
–
=
=
 . El valor de ( a + b ) es :
(DEMRE 2016)
A ) 3
B ) 0
C ) 6
D ) 2
9. Dos variables x y z dependen entre sí según la ecuación z = ax + c. La tabla adjunta muestra 
algunos de los valores de x y de z. ¿Cuáles son los valores de a y c, respectivamente?
(DEMRE 2019)
A ) 5 y 2
3
B ) 2
21 y 2
13–
C ) 5
2– y 5
22
D ) 2
5 y 2
3
10. ¿Cuáles son los valores de p y q, respectivamente, para los cuales se cumple que 
p q
p q
4 5 9
9
- + =
- - =
?
(DEMRE 2021)
A ) 2
33- y 2
15
B ) –6 y –3
C ) –6 y –15
D ) –11 y 2
x z
1 4
2 6,5
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 143
11. Dado el sistema 
mx ny
mx ny
9
3 7–
+ =
= , en x e y, con m y n distintos de 0 y distintos entre sí, ¿cuál de las 
siguientes expresiones representa a ( mn( x + y ) )?
(DEMRE 2017)
A ) 5m + 4n
B ) 4m + 5n
C ) 10m – n
D ) 13m + 4n
12. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto a 
x y
x y
3
1–
+ =
= ?(DEMRE 2014)
I. ( x + y )( x – y ) = 3
II. 2x = 4
III. 2y = 2
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
13. ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene una única solución?
(DEMRE 2019)
A ) 
x y
x y
4 3 2 0
4
3
2
1
–
– –
+ =
=
B ) 
x y
y x
7 7
7 32
–
–
=
=
C ) 
x
y x
8
0–
=
=
D ) 
x y
x y
2 6
4 2 12 0
–
–
=
+ + =
14. En el sistema de ecuaciones en x e y , 
px qy p
qx py q
+ =
+ =
 , con p y q números enteros positivos, ¿cuál(es) 
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2020)
I. Si p = q, entonces el sistema tiene infinitas soluciones
II. Si p ≠ q, entonces el sistema tiene solución única
III. El sistema siempre tiene una única solución
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
144
15. ¿Con cuál de las siguientes ecuaciones junto a la ecuación 3x – y = p se forma un sistema que 
podría NO tener solución, dependiendo del valor de p?
(DEMRE 2021)
A ) x = 0
B ) x – y = p
C ) 6x – 2y = p
D ) 2y – 6x = –2p
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 145
3. PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO
a. Problemas con fracciones
Recordar que la fracción b
a de una cantidad desconocida ‘x’ se representa b
a ∙ x. Esto se 
aplica en problemas de 1 ecuación o en sistemas de ecuaciones.
Ejemplos:
 2 3 hermanas reciben de herencia un terreno, pero que se reparte en partes distintas. La 
mayor de las hermanas recibió un tercio del total del terreno; la del medio recibió la cuarta 
parte del total y la menor recibió las 2 hectareas restantes. ¿Cuál es la diferencia de terreno 
entre lo que recibieron la menor y la mayor de las hermanas?
Solución:
Si definimos la variable:
x : Total de hectareas del terreno
La ecuación que modela la situación es la siguiente: x x x3
1
4
1 2+ + = 
Si resolvemos dicha ecuación tendremos que: /x x x3
1
4
1 2 12$+ + =
4x + 3x + 24 = 12x
 24 = 5x 
 x = 4,8
La hermana mayor recibió x3
1 = 3
1 ∙ 4,8 = 1,6
Es decir, la diferencia es 2 – 1,6 = 0,4 hectáreas.
 2 Si para un asado familiar Juan puso los tres quintos de lo que costó la carne y los dos tercios 
del costo de las bebidas y gastó $ 11.400, ¿cuál es el sistema de ecuaciones correspondiente 
a este problema, que nos permitiría saber cuánto se gastó en carne, si María puso el resto 
del dinero para esos insumos y gastó en ello $ 7.600?
Solución:
Si definimos las variables:
x : Costo de la carne.
y : Costo de las bebidas.
Esto a partir del enunciado anterior.
El sistema de ecuaciones correspondiente sería: 
.
.
x y
x y
1 5
3
3
2 11 400
2 5
2
3
1 7 600
+ =
+ =
_
_
i
i
b. Problemas de dígitos
Para los problemas de dígitos debemos usar la notación ampliada aosciada al sistema 
decimal. Esto significa que un número escrito en la forma xyz , en base 10, es equivalente a 
decir x ∙ 102 + y ∙ 101 + z ∙ 100 . Así, se tiene que 325 = 3 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 ∙ 1 = 3 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 5 ∙ 100
Ejemplo:
 2 El dígito de las unidades de un número de 2 cifras es el doble que el de las decenas. Si 
invertimos el orden de sus dígitos, obtendremos un número 36 unidades mayor. ¿Cuál es un 
sistema que nos permitirá determinar el número del que estamos hablando?
Solución:
Si definimos las variables:
x : Dígito de las decenas.
y : Dígitos de las unidades.
Además, 10x + y : número
 10y + x : número con orden de dígitos invertidos.
El sistema de ecuaciones correspondiente es: x y
x y y x
2
0 36 101
=
+ + = +
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
146
c. Problemas de edades
En estos problemas conviene representar las edades de los involucrados con letras diferentes, 
idealmente que sean fácilmente identificables, por ejemplo si dicen “La edad de Javiera y 
Andrés”, la letras que indican los nombres debieran ser una J y una A (en vez de “x e y”, esto 
facilitará su identificación en el desarrollo del ejercicio) indicando en una tabla, como el del 
cuadro adjunto, sus edades pasadas, presentes y futuras, según corresponda:
Edad Pasada 
(hace b años) Edad Actual
Edad Futura 
(dentro de c años)
J – b J J + c
A – b A A + c
Ejemplo:
 2 Lucía supera en edad a su hija Pía en 24 años, pero hace 10 años la edad de Lucía era el 
doble de la edad de su hija. ¿Cuál es un sistema que nos permitirá determinar sus edades?
Solución:
Si definimos las variables: 
L : Edad de Lucía
P : Edad de Pía 
La tabla correspondiente: 
Hace 10 
años Edad hoy
L – 10 L
P – 10 P
El sistema de ecuaciones correspondiente: 
 L P
L P
24
10 2 10
–
– –$
=
=_ _i i
d. Problema tipo caudales o trabajos
Es clásico toparse con problemasen los que nos dicen cosas como:
 2 “Si una llave demora A horas en llenar un estanque y otra llave demora B horas. ¿ Cuánto 
demorarán ambas llaves abiertas al mismo tiempo en llenar el estanque ?”
 2 “Uno obrero demora A horas en pintar una habitación, otro obrero demorara B horas en 
pintar la misma habitación. ¿ Cuánto tiempo tardarán ambos obreros trabajando al mismo 
tiempo en pintar la habitación ?” etc.
Para resolver este tipo de problemas, usamos la siguiente relación A B J
1 1 1+ = , definiendo:
 2 A : El tiempo que demora A.
 2 B : El tiempo que demora B.
 2 J : El tiempo que demoran juntos(as).
Ejemplo:
 2 Si un obrero demora 4 días en pintar una casa, y otro obrero demora 8 días en pintar la 
misma casa, ¿cuántos días se demoran pintado en equipo, considerando que mantienen 
sus ritmos de trabajo personales ?”
Solución:
En este caso A = 4 (días) y B = 8 (días). Así, todo se reduce a resolver la ecuación: 
J4
1
8
1 1+ = , siendo J el tiempo (días) que se demorarían realizando el trabajo juntos. 
Por lo tanto:
J J J4
1
8
1 1
8
3 1
3
8$ $+ = = =
O sea, se demoraran 2,6 días(2 días y 16 horas)
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 147
Ejemplos PDT
16. La edad actual de un padre (p años) menos la edad actual de su hijo (h años) es igual a 30 años y 
en 2 años más la edad del padre será el triple de la edad del hijo. ¿Cuál de los siguientes sistemas 
de ecuaciones representa dicha situación?
(DEMRE 2021)
A ) 
p h
p h
30
2 3 2
- =
+ = +^ h
B ) 
p h
p h
30
2 3 2
= -
+ = +
C ) 
p h
p h
30
3 2 2
- =
+ = +
D ) 
p h
p h
30
3 2 2
- =
+ = +^ h
17. Jorge retira del banco $ 6.540.000 en billetes de $ 5.000 y de $ 20.000. Si le entregaron en total 450 
billetes, ¿cuántos billetes de $ 20.000 recibió?
(DEMRE 2018)
A ) 170
B ) 280
C ) 225
D ) 286
18. El día lunes un artesano vendió 15 aros y 10 collares, obteniendo $90.000 de recaudación entre 
ellos. El martes el artesano vendió 6 aros y 8 collares, recaudando entre ellos $60.000. Si el artesano 
no cambió los precios de los aros y collares de un día a otro, ¿a qué valor está vendiendo cada 
collar?
(DEMRE 2020)
A ) $2.000
B ) $6.000
C ) $2.400
D ) $8.000
19. Se puede determinar la medida de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es 60 cm, si se sabe 
que:
(DEMRE 2020)
( 1 ) La medida del lado menor es un tercio de la medida del lado mayor
( 2 ) El doble, de la medida del lado menor aumentada en 2,5 cm, es igual a la medida 
del lado mayor, disminuida en 2,5 cm
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
148
20. Dos empresas de electricidad, A y B, tienen una tarifa asociada ( y ) de acuerdo a cada kWh 
consumido ( x ) más un cargo fijo, tal como se muestra en el siguiente sistema:
:
:
Empresa A y ax
Empresa y bxB
750
500
= +
= +
Si a y b corresponden al precio de cada kWh consumido, con 0 < a < b, ¿cuál(es) de las siguientes 
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2021)
I. Si hay un consumo de b a
250
- kWh en ambas empresas, entonces las dos empresas 
cobran lo mismo.
II. Si b = a + 250, entonces la tarifa en ambas empresas es la misma.
III. Si se elimina el cargo fijo de la tarifa de la empresa B, entonces siempre convendría a 
los consumidores la tarifa de la empresa B, en comparación a la tarifa de la empresa A.
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo I y III
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 149
Capítulo 6
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones │ Ejercicios 
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. ¿Cuál( es ) de las siguientes ecuaciones es(son) de primer grado?
I. x2 + 6x + 5 = x2 – 1
II. 2 x – x = 3 5
III. x + 5
3 = 0
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
2. ¿Cuál es la solución de la ecuación x x x2
1
4
3
6
1– –+ = ?
A ) 0
B ) 5
8
C ) 6
7–
D ) – 8
3. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación x16
1
4
2– = ?
A ) –7
B ) 7
C ) –8
D ) 8
4. ¿Cuál es la solución de la ecuación 2y – 4
5 + y + 3
4 = 12
1 ?
A ) 0
B ) 18
1
C ) 9
4
D ) 11
10
5. Dado que m
x
n
x
m
z= + , con x ≠ 0 , m ≠ 0 y n ≠ 0 , entonces ¿qué valor resulta al despejar la variable m?
A ) n – z
B ) n x
z1–` j
C ) n x
z1 +` j
D ) n – x
z
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
150
6. Si t2
2 1 3– = , ¿cuál es el valor de t?
A ) – 3
B ) 2
C ) 2
5
D ) 3,5
7. Dada la ecuación en x: 0,2 ∙ x + 0,7 = 2,3 ∙ x . ¿Cuál es el valor de x?
A ) 19
7
B ) 3
2
C ) 4
3
D ) 15
8
8. Para que el valor de m en la ecuación m + 2 = n sea igual a ( –2 ), ¿cuál debe ser el valor de n?
A ) –4
B ) 0
C ) 2
D ) 4
9. Si x – 2a = a2 , ¿cuál es el valor de x?
A ) 5a
B ) 2a
C ) 2
5 a
D ) 5
2 a
10. En la ecuación a
ax bx x b+ = + con a ≠ 0 . ¿Cuál es el valor de x?
A ) a
B ) b – ab
C ) ab – b
D ) 0
11. Si r ( 1 – s ) = 1 , ¿cuál es el valor de s – 1?
A ) – r
B ) 1 – r
C ) r
1
D ) r
1–
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 151
12. Si x1
3 9– = , ¿cuál es el valor de x?
A ) – 2
9
B ) – 9
2
C ) – 8
3
D ) 3
8
13. Si 1 – x
4 = 16 , con x ≠ 0 , entonces ¿cuál es el valor de 2x?
A ) – 16
3
B ) 15
2–
C ) 8
3–
D ) 15
8–
14. Si q = – 1 – t5
2 , ¿cuál es el valor de t?
A ) q5 1
2
–^ h
B ) 
q
2
5 1
–
+^ h
C ) 
q
2
5 1+^ h
D ) q5 5
2–
+
15. Si x cy d
ay b= +
+ , ¿cuál es el valor de y?
A ) b xd
xc a
–
–
B ) a xc
xd b
–
–
C ) xc a
b xd
+
+
D ) xc a
xd b
–
–
16. Si x x10 7 5 4– –=x x6 7 5– , entonces ¿cuál es el valor de x?
A ) 35
B ) 11
C ) 7
D ) 3
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
152
17. Dada la relación y x
x
3 4
5 7–= + con x 3
4–! , ¿cuál es el valor de x en términos de y?
A ) x = y
y
5 3
4 7
–
+
B ) x = y
y
4 3
5 7
–
+
C ) x = y
y
5 3
4 7–
+
D ) x = y
y
4 3
5 7–
+
18. Si x
x
5
3 6–
– = , entonces ¿cuál es el valor de x
x
3
5
–
– ?
A ) –6
B ) – 6
1
C ) 6
1
D ) 6
19. Si M N P
1 1 1+ = , ¿cuál es el valor de P?
A ) M + N
B ) M N
1
+
C ) MN
M N+
D ) M N
MN
+
20. En la ecuación 2 5 7 3 1– –= +x x x3 10 2 , ¿cuál es el valor del inverso multiplicativo de x?
A ) 3
5
B ) – 51
5
C ) – 4
7
D ) – 5
3
21. Si |8x – 4| = 52 , entonces ¿cuál es el valor de x?
A ) – 7
B ) 7
C ) 7 o – 6
D ) 7 o – 7
22. Si |5x – 15| = 5 , entonces ¿cuál puede ser el valor de x?
A ) 2 o – 4
B ) 2 o 4
C ) 4 o – 4
D ) 4 o – 2
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 153
23. Si q x
p
p x
q
– –= entonces, siendo p ≠ q , ¿cuál es el valor de x?
A ) p – q
B ) p + q
C ) p q
p q
–
2 2+
D ) p q
p q2 2
+
+
24. Si n x
m x k–
– = , ¿cuál es el valor de x?
A ) n
km
B ) k
kn m
1–
–
C ) k
m kn
1–
+
D ) k
m kn
–
–
25. Si a ≠ 0 y a ≠ 1 , entonces ¿cuál es el valor de x en la ecuación a a x
a
ax
x a1 + + =
+ ?
A ) a
B ) a
a
2 1–^ h
C ) 
a 1
1
–2
D ) a
a
1–
26. ¿Qué valor de x se obtiene al resolver la ecuación ,
,x 1
2 5
2 0 99
0 7 –=
+
?
A ) – 8
11
B ) 8
11
C ) 11
8
D ) – 11
8
27. Siendo m y n números reales con m ≠ 0 , n ≠ 0 y m ≠ n , ¿cuál es el conjunto solución de la ecuación 
m
x
n m
x
n m
m
– –+ = ?
A ) { 1 }
B ) n
m2' 1
C ) 
mn n
m n m–
2
2 3
+
' 1
D ) Ø
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
154
28. Se puede conocer el valor de x si :
( 1 ) La quinta parte de x es 2
( 2 ) La diferencia entre el doble de x y 10 es igual a x
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
29. Dos números paresconsecutivos son tales que el triple del mayor excede en 6 al doble del menor. ¿Cuál 
es la suma de los números?
A ) 0
B ) 2
C ) 4
D ) 6
30. Dos hermanos deciden regalar a su mamá un chocolate que tiene un valor de $ 1.750. Si uno de ellos 
aporta el doble que el otro y sabiendo que el menor aporte fue $ x, ¿cuál es la ecuación que representa 
tal situación?
A ) x2 = 1.750 – x
B ) – x = 1.750 + 2x
C ) 2x = 1.750 + x
D ) 2x = 1.750 – x 
31. Si m y n son números reales, ¿qué condición(es) se debe(n) cumplir para que la ecuación 3x – 5 + m = nx + 1 
tenga una única solución?
A ) Cualesquiera que sean los números m y n
B ) Solo si m ≠ 6
C ) Solo si n ≠ 0
D ) Solo si n ≠ 3
32. Si el quíntuplo de un número P es 60, ¿cuál es el valor de los dos tercios de P?
A ) 8
B ) 12
C ) 18
D ) 24
33. De una población de abejas perece 7
2 del total más 9, sobreviviendo sólo 7
4 del total. ¿Cuántos abejas 
murieron?
A ) 18
B ) 27
C ) 36
D ) 63
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 155
34. Sea x un número entero. Si el cuadrado del sucesor de x es igual al sucesor del cuadrado de x, ¿cuánto 
vale x?
A ) – 2
B ) – 1
C ) 0
D ) 1
35. La distancia recorrida por un barco es seis veces la distancia recorrida por una canoa. Si la distancia 
total recorrida por ambos es 700 km, ¿cuánto recorrió la canoa?
A ) 600 km
B ) 450 km
C ) 150 km
D ) 100 km
36. La suma de tres números enteros consecutivos es x. Si el número menor es n, entonces ¿qué expresión 
algebraica permite determinar el valor de n?
A ) x
B ) x 3
3–
C ) x 3
3+
D ) x 3–3
37. A una persona le aumentan el sueldo en 20
7 de lo que ganaba. Si su nuevo sueldo es $ 216.000, ¿en 
cuánto fue aumentado?
A ) $ 160.000
B ) $ 140.000
C ) $ 75.600
D ) $ 56.000
38. Según la ecuación: 2a – b = bx , ¿cuál( es ) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
I. a b x2
1= +^ h
II. x a b
b1
2 –= , con x ≠ 0 y 2a ≠ b
III. b x
a
1
2= + , con x ≠ –1
A ) Solo I y II
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
39. Antonio pide un vaso de leche y le sirven solo dos tercios de la capacidad del vaso. Si él bebe solo tres 
cuartos del contenido y quedan 40 cc, ¿cuál es la capacidad del vaso?
A ) 120 cc
B ) 160 cc
C ) 180 cc
D ) 240 cc
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
156
40. La suma de tres números enteros impares consecutivos es 57. ¿Cuál es el producto entre el menor y el 
mayor?
A ) 195
B ) 221
C ) 323
D ) 357
41. El dígito de las unidades, de un número de dos cifras, es igual al antecesor del dígito de las decenas. Si 
el dígito de las decenas es n, entonces ¿cuál es el valor del antecesor del triple del número?
A ) 33n – 31
B ) 33n – 6
C ) 33n – 4
D ) 33n – 3
42. ¿De cuál(es) de los siguientes sistema(s) es el par ordenado ( 3 , –2 ) solución?:
I. 
x y
x y
5
2 4
– =
+ = II. 
x y
x y
3 11
3 3
–
– –
=
=
III. 
x y
x y
2 8
3 7
– =
+ =
A ) Solo I y II
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
43. Dado el sistema 
x y
x y
2 3 6
4 2
+ =
+ = , ¿cuál es el valor de x – y?
A ) 4
B ) 5
18
C ) 5
16
D ) 11
16
44. Si 
x y
x y
13 2 44
12 15–
+ =
= , entonces ¿cuál es el valor de 37x?
A ) 2
B ) 9
C ) 59
D ) 74
45. En el sistema 
x y a b
x y a b
3
3––
+ = +
= , ¿cuál es el valor de y?
A ) a
B ) – 3b
C ) 3b
D ) – a
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 157
46. Si el sistema 
a b
a b
6
1 1 4
–
–
=
= , entonces ¿cuál es el valor de a ∙ b?
A ) 2
3
B ) 9
1
C ) 9
1–
D ) 2
3–
47. Si 
m n a
m n b–
+ =
= , entonces ¿cuál es el valor de 4mn?
A ) a2 – b2
B ) ( a – b )2
C ) ( a + b )2
D ) 4a2 – 4b2
48. En el sistema de ecuaciones 
x y a b
x y a b
2
2
–
–
+ =
= + , ¿cuál es el valor de el valor de x
2 + y2?
A ) a2
B ) 4b
C ) a2 + 4b2
D ) a2 – 4b2
49. 2p + q es igual a 3q si:
( 1 ) p – q = 0
( 2 ) p – 3 = 0
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
50. Si x + 3y = 15 y x es el doble de y, entonces ¿cuáles son los valores de x e y, respectivamente?
A ) 6 y 3
B ) 4 y 2
C ) 2 y 1
D ) 10 y 5
51. Si x y
x y
4 4 36
9
–2 2 =
+ =
 , entonces ¿cuál es el valor de x – y?
A ) 9
B ) 4
C ) 1
D ) 0
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
158
52. Sean a ≠ b y a ≠ –b. Si ax by a ab
ay bx b ba
2
2
+ = +
+ = +
 , entonces ¿cuál es el valor de x · y?
A ) 0
B ) a + b
C ) ab
D ) a2 – b2
53.
 
Juan ahorró dinero juntando en total 65 monedas entre monedas de $
 
100 y de $
 
500. Si en total ahorró 
$
 
7.300, ¿cuál de los siguientes sistemas permite encontrar la cantidad (
 
y
 
) de monedas de $
 
500 que 
ahorró, sabiendo que x es la cantidad de monedas de $
 
100?(DEMRE 2016)
A ) 
.
x y
x y
500 100 65
7 300
+ =
+ =
B ) 
.
x y
x y
65
100 500 7 300
+ =
+ =
C ) 
.
x y
x y
65
7 300
+ =
+ =
D ) 
.
xy
x y
65
7 300
=
+ =
54. En la oficina se acostumbra a comprar mensualmente 20 resmas de papel ( R ) y 10 cartuchos de tinta ( T ) 
para impresora. Cierto mes se gastó $ 80.000, como al mes siguiente el cartucho de tinta subió en $ 500 y 
la resma bajó $ 300 cada una, se hizo un pedido de 25 resmas y 6 cartuchos de tinta y se gastó $ 76.000. 
¿Cuál es el sistema de ecuaciones que permite conocer los precios de cada artículo?
A ) 
.
.
R T
R T
20 10 80 000
25 300 6 500 7 6 000–
+ =
+ + =^ ^h h
B ) 
.
.
R T
R T
20 10 80 000
25 300 6 500 76 000– –
+ =
+ =^ ^h h
C ) 
.
.
R T
R T
20 10 80 000
25 300 6 500 7 6 000–
+ =
+ + =^ ^h h 
D ) 
.
.
R T
R
20 10 80 000
25 300 6 76 000–
+ =
+ =^ h
55. Un pantalón ( P ) cuesta $ 2.000 menos que el 20% de un abrigo ( A ). Si en la liquidación, después de una 
rebaja de $ 20.000, el abrigo quedó en $ 30.000, ¿en cuál de las alternativas se plantean correctamente 
las ecuaciones que permiten calcular el valor del pantalón y del abrigo?
A ) P – 2.000 = A5 y A + 20.000 =30.000
B ) P – 2.000 = A5 y A – 20.000 = 30.000
C ) P + 2.000 = A5 y A – 20.000 = 30.000
D ) P + 2.000 = A5 y A + 20.000 = 30.000
 
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones | Capítulo 6
Matemática Para Nacional 159
56. Dado el sistema 
x y
y x
2 3 7
6 4 11
–
–
=
+ = , ¿cuál es su solución?
A ) x = 4 , y = 0
B ) x = 0 , y = 3
2
C ) Solución vacía
D ) Hay un número infinito de soluciones
57. Si p y q son números reales, se tiene la ecuación en la incógnita x: px + q = qx + p . Con respecto a ella 
es correcto afirmar que :
I. Si p ≠ q , entonces la ecuación tiene por única solución x = 1
II. Si p = q , entonces la ecuación es una identidad que se verifica para todo x real
III. Si x = 1 , entonces la ecuación es una identidad que se cumple para todo p y q
De las afirmaciones anteriores, es(son) verdadera(s) :
A ) Solo I y II
B ) Solo II y III
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
58. ¿Para qué valor de k el sistema 
x ky
x y
5 2
3 2 3
– =
+ = no tiene solución?
A ) – 3
4
B ) – 3
10
C ) 2
D ) 3
10
59. ¿Qué valor hay que dar a los coeficientes a y b respectivamente, para que el siguiente sistema x yax by
3 5 1
4–
+ =
=sea indeterminado?
A ) 12 y –20
B ) 12 y 20
C ) –12 y 20
D ) Otros valores
60. Dos pasteles y un chocolate cuestan $ 920. Tres pasteles y un chocolate cuestan $ 1.270. ¿Cuánto cuesta 
un pastel?
A ) $ 500
B ) $ 440
C ) $ 420
D ) $ 350 
 
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
160
61. Juan compra 13 fichas en un casino, entre verdes y rojas. Las fichas verdes valen $ 800 y las rojas valen 
$ 300. Si el total gastado en ellas fue $ 6.900, entonces ¿cuántas fichas verdes compró?
A ) 6
B ) 7
C ) 8
D ) 10
62. La suma de los dígitos de un cierto número menor que cien es 9. Si los dígitos se invierten, entonces el 
número aumenta 9 unidades. ¿Cuál es la diferencia positiva entre la cifras del número original?
A ) 1
B ) 2
C ) 3
D ) 4
63. Entre dos ficheros A y B tengo 120 fichas. Si del fichero A saco 12 fichas y las colocoen el fichero B, ambos 
ficheros quedan con igual cantidad de fichas. ¿Cuántas fichas había inicialmente en A?
A ) 72
B ) 60
C ) 54
D ) 48
64. Si x e y son ambos distintos de cero, ¿es x igual a y? 
( 1 ) y
x 20=
( 2 ) x y4
2 2 0+ =
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
65. ¿Cuánto tiempo demoran Lucas y su padre en pintar una muralla?
( 1 ) Lucas, trabajando solo, pinta la muralla en 4 horas
( 2 ) Su padre, trabajando solo demora 3 horas
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Matemática Para Nacional 161
Capítulo 6 | Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones
162
1. POTENCIAS
Anteriormente hemos definido una potencia y expuesto lo que implica su cálculo. Aprendimos 
las propiedades que podíamos utilizar a la hora de realizar cálculos u operaciones algebraicas. 
Recordemos estas propiedades:
(Siendo a y b números reales cualesquiera y por otro lado, m y n dos números enteros)
i. Multiplicación de potencias de igual base. 
Se conserva la base y se suman 
los exponentes. a
n ∙ am = an + m
Ejemplo:
 2 x2 ∙ x3 = x2 + 3 = x5
ii. División de potencias de igual base.
Se conserva la base y restan los 
exponentes (a ≠ 0). a
n ÷ am = an – m
Ejemplos:
 2 y7 ÷ y3 = y7 – 3 = y4
iii. Potencia de una potencia.
Se conserva la base y se multi-
plican los exponentes. (a
n)m = (am)n = an ∙ m
Ejemplo
 2 (x2)3 = (x3)2 = x2 ∙ 3 = x6
iv. Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente.
Se multiplican las bases y se 
mantiene el exponente. a
n ∙ bn = (a ∙ b)n Ejemplo:
 2 x2y2 = (xy)2
v. División de potencias de distinta base e igual exponente.
Se dividen las bases y se man-
tiene el exponente (b ≠ 0). a
n ÷ bn = (a ÷ b)n
Ejemplo:
 2 x6 ÷ y6 = (x ÷ y)6
vi. Potencias de exponente negativo. 
Se invierte la fracción y se 
cambia el signo del exponente 
(a ≠ 0).
a–n = a
1 na k = 
a
1
n
Ejemplo: 
 2 x– 8 = 
x
1
8
vii. Fracciones con exponente negativo.
Se invierte numerador y deno-
minador y se cambia el signo 
del exponente (a ≠ 0 y b ≠ 0).
b
a
a
bn n– =` `j j Ejemplo: 2
y
x
x
y3 3– =c cm m
“El éxito no es un accidente, es trabajo 
duro, perseverancia, aprendizaje, estudio, 
sacrificio y sobre todo, amar lo que estás 
haciendo”
— PELE —
FUTBOLISTA BRASILEÑO
Capítulo 7
POTENCIAS Y 
RAÍCES
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Potencias y Raíces | Capítulo 7
Matemática Para Nacional 163
viii. Potencia de exponente racional.
Una potencia de exponente 
fraccionario equivale a una raíz 
de índice igual al denominador 
de la fracción, con cantidad 
subradical igual a la base 
elevada al numerador de la 
fracción.
n
a anm=m
Ejemplo:
 2
x x3 3
2 2=
Corolario: Si a ≠ 0 Corolario:
a0 = 1
Ejemplo:
 2 30 = 1
Una de las formas en que nos veremos enfrentados al uso de estas propiedades es, por ejemplo, 
el desarrollo de una ecuación exponencial.
2. ECUACIÓN EXPONENCIAL CON IGUALACIÓN DE BASES
Una ecuación exponencial es toda ecuación que tiene la incógnita en el exponente de una 
o más potencias. Una forma de resolver una ecuación exponencial, de ser posible, es llevar la 
expresión original a una igualdad de dos potencias de igual base.
Para lograrlo, se debe aplicar las propiedades de potencias, llegando a una expresión de 
la forma: am = an + m = n. Luego se obtiene una nueva ecuación que resulta de igualar los 
exponentes; esta es la ecuación que se debe resolver.
Ejemplo:
 2 52 – x = 125 → 52 – x = 53 → 2 – x = 3 → x = – 1
Notemos que para poder aplicar esta forma de resolver, debe ser posible igualar las bases. De 
lo contrario, tendremos que usar otro método de resolución.
Importante.
Es imprescindible que dichas bases de estas potencias, no sean simultáneamente números 
reales iguales a 0, a 1 o a – 1, respectivamente. ¿Por qué? Veamos un ejemplo:
Ejemplo:
 2 1x + 3 = 18 0 → 1x + 3 = 1?
El número 1 de la derecha de la igualdad, podría tener exponente 0, 1 , 20 , –5 , o cualquier 
número real; pues 10 = 11 = 120 = 1–5 = ... = 1. Por esta razón no podemos plantear la ecuación 
x + 3 = ? y por lo tanto no podemos determinar el valor de x.
Ejemplos PDT
1. ¿Cuál es el valor de (2–2)–1 – 81 ∙ (3–1)3 + (300)–12?
A ) 5
B ) 3
C ) 2
D ) –1
 
Capítulo 7 | Potencias y Raíces
164
2. 5 2n – 3 – 5 2n – 1 + 25 n – 1 =
(DEMRE 2016)
A ) 52n – 3
B ) 52n – 6
C ) 52n – 1
D ) –19 ∙ 5 2n – 3
3. Sean a y b números racionales distintos de cero y sean m, n y k números enteros. ¿Cuál de las 
siguientes afirmaciones podría ser falsa?
(DEMRE 2015)
A ) a a– –3 3=^ h
B ) a
a
1– n n
2
2
– =^ h
C ) a a an k m nk mn= ++^ h
D ) a b
b
am n
n
mn– –$ =^ h
4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es siempre igual a (pn – m – 1)2 , con p ≠ 0?
(DEMRE 2019)
A ) pn m 1– –
2 2
B ) p2n – p2m – p2
C ) p n m 1– –
2^ h
D ) 
p
p
m
n
2 1
2
+^ h
5. Si 2a ∙ 2b ∙ 2c = 256 , ¿cuál es el promedio entre a, b y c?
(DEMRE 2020)
A ) 3
256
B ) 3
8
C ) 8
D ) Indeterminable con los datos dados
6. Si 3m = p y 8b = q , con m y b números enteros, ¿cuál de las siguientes expresiones es igual a 
(3m + 1 ∙ 8b + 1)–1?
(DEMRE 2021)
A ) pq 1
1
+
B ) pq24
1
C ) –24pq
D ) –(pq + 2)
 
Potencias y Raíces | Capítulo 7
Matemática Para Nacional 165
7. Sea p un número racional tal que 0 < p < 1 y n un número entero mayor que cero. De las siguientes 
opciones, ¿cuál representa el mayor número?
(DEMRE 2018)
A ) pn
B ) n ∙ pn
C ) p2n
D ) ( p + 1 )n
8. Es posible afirmar que dos potencias de bases positivas y exponentes enteros son siempre diferentes 
entre sí, al cumplirse que :
(DEMRE 2011)
( 1 ) Las bases son diferentes
( 2 ) Los exponentes son diferentes
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
9. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones el valor de x es –3?
(DEMRE 2010)
I. 4 64
1x =
II. 4 4 1x3 $ =
III. 4 64
x1– =` j
A ) Solo en I
B ) Solo en II
C ) Solo en I y en II
D ) En I, en II y en III
10. Sean m y n números enteros, se puede determinar que 3 n m–
2 2
 es igual a 81, si se sabe que:
(DEMRE 2020)
( 1 ) n – m = 2
( 2 ) 
3
3
m
n
– = 9
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Capítulo 7 | Potencias y Raíces
166
3. RAÍCES
a. Definiciones
 2 Si n es un número entero positivo par 
y a es un número real positivo o cero, 
entonces:
,a b b a b Rn n, != = +0
Ejemplos:
 , ; ; ; ; ...0 025 9 7
2 54n4 12 2
 2 Si n es un número entero positivo impar 
y a es un número real cualquiera, 
entonces:
,a b b a b Rn n, != =
Ejemplos: 
; ; ; , ; ...8 5
1 67 0 003–n3 15 35 2 1+
 2 La expresión akn , con a número real 
positivo o cero, se puede expresar 
como una potencia de exponente 
fraccionario.
a akn n
k
= ^ h
Ejemplos: 
; ; ; ...5 5 7
3
7
3 2 22 2
1
4 4
1
83 3
8
= = =c m
 2 Si a es un numero real cualquiera, entonces se cumple:
 a a2 =^ h .
Ejemplo:
 » Si llegamos al momento en que x 52 = esto NO necesariamente significa que x = 5 , 
pues si x = – 5 la igualdad también sería cierta. Por lo tanto, si analizamos más en detalle 
esta situación, tendríamos que:
Si x 52 = , es porque x2 = 25. Y para que x2 sea igual a 25, es necesario que x = 5 o x = –5 . 
Por lo tanto, si x 52 = entonces los valores de x que cumplen la igualdad son aquellos 
valores tales que |x| = 5 , es decir, x x2 = .
Es muy importante entender que para que una raíz sea real no se necesita que sea una raíz 
exacta cuyo resultado es un entero o un racional. Estas pueden ser racionales o irracionales.
Nota:
Si n es un número par, entonces la ené-
sima potencia de la raíz enésima de un 
número, es igual al mismo número, siem-
pre ycuando el valor del número sea 
positivo o cero.
Ejemplo:
 2
7 77 72
2
2
1 2
2
2
= = =_ ai k
Si n es un número impar, la enésima po-
tencia de la raíz enésima de un número, 
es igual al mismo número, cualquiera sea 
su valor real. 
Ejemplos:
 2
12 12 12 1215
15
15
1 15
15
15
= = =_ ai k
 
Potencias y Raíces | Capítulo 7
Matemática Para Nacional 167
b. Propiedades de las raíces en R
Considere que a y b son números reales y que k, m, n son números naturales mayores que 1.
i. Multiplicación de raíces de igual índice. 
Se conserva el índice de la raíz y 
se multiplican las cantidades sub-
radicales.
a b a bn n n$ $= 
Ejemplo:
 2 x x x5 5 52 3$ =
ii. División de raíces de igual índice. 
Se conserva el índice de la raíz 
y se dividen las cantidades sub-
radicales.
: :a b a bn n n=
Ejemplo:
 2 :x x x7 6=
iii. Raíz de una raíz.
Se conserva la cantidad sub-radical 
y se multiplican los índices de las 
raíces.
a amn n m= $
Ejemplo:
 2 7 743 3 4= $
iv. Raíz de una potencia
La raíz de una potencia es igual 
a la raíz de la base elevada al 
exponente, siempre y cuando a sea 
positivo (a ≥ 0.)
a amn n m= ^ h Ejemplo: 2 x x3 55 3= ^ h
v. Factor de una raíz como factor sub–radical
Se conserva el índice de la raíz y el 
factor multiplica a la cantidad sub-
radical elevado al índice de la raíz. 
En el caso de a negativo, n debe 
ser impar.
·a b a bmn n mn $= 
Ejemplo: 
 2 x y x y3 33$ =
vi. Amplificación y simplificación de una raíz
Un raíz se puede transformar a otra 
equivalente amplificando o simplifi-
cando el índice y el exponente por 
un número natural k. Si el valor de 
a fuese negativo, m y k deben ser 
valores pares.
a amn m kn k= $$^ ^h h Ejemplo: 2 x x x35 3 25 2 610$= =$$ 
Ejemplos PDT:
11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2015)
I. 3 4 192+ =^ h
II. 5 1 5 1 2–$+ =
III. 
8
2 50 4 18 11+ =
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
 
Capítulo 7 | Potencias y Raíces
168
12. Si x es un número real mayor que 1, entonces x x1 1– – 2+^ h es igual a :
(DEMRE 2017)
A ) 0
B ) 2x – x 1–2 
C ) 2x – 2 x 1–2 
D ) 2x
13. Si q
p 01 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2011)
I. p q p q2 2+ = +
II. p q p q2 2+ = +
III. p q 02 2 2+
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo I y III
14. ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
(DEMRE 2019)
A ) 
5
2
1 3 2– –=
B ) 
5
2
1
2
6
1
+
C ) 
5
2
1
2
3 2– –
2
D ) 
5
2
1
2
3–
2
15. ,
x
x0 4 3
3
2
$ =
(DEMRE 2013)
A ) 0,2 ∙ x
B ) x3
2 31$
C ) , x0 2 3
1
$ _ i
D ) x3
2 $
16. Si P = 20 , Q = 5 4 , R = 3 8 y S = 8 2 , ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
(DEMRE 2021)
A ) P < R = S < Q
B ) R < P < S < Q
C ) P < R < Q < S
D ) Q = P < S < R
 
Potencias y Raíces | Capítulo 7
Matemática Para Nacional 169
17. Si a, b, n y p son números reales positivos, entonces a pnb bn$ es igual a :
(DEMRE 2017)
A ) ap
B ) ap nb
n b2 2+^ ch m
C ) a p bnbn
2 2
$ 
D ) ap n bbn +^ h
18. 5 2 6 5 2 6 2+ + -_ i =
(DEMRE 2020)
A ) 10 6
B ) 10 + 4 6
C ) 24
D ) 12
 
Capítulo 7 | Potencias y Raíces
170
c. Racionalización
Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla, mediante una 
amplificación, en una fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz. 
Habitualmente se puede dar alguno de los siguientes tres casos.
Caso 1:
Fracciones de la forma: 
b c
a
( se amplifica por: 
c
c
Ejemplo: 3 5
2
& 3 5
2
5
5
$
& 
5
2 5 2 5
22
=
3 3 5$
 ∴ 2 515
Caso 2:
Fracciones de la forma:
p b
a
q c+
 ó 
p b q c
a
–
( se amplifica por: 
p b q c
p b q c
–
– ó 
p b q c
p b q c
+
+
Ejemplo: 7 5
3
–
& 7 5
3
57
7 5
– $ +
+
& 
3
7 5
7 5
–2
2 2 2
+
`
_
`j
i
j 
& 
3 7 5
7 5–
+_ i
 ∴ 2
3 7 5+_ i
Caso 3:
Fracciones de la forma: b
a
pn
( se amplifica por: b
b
n pn
n pn
-
-
 
Ejemplo: 
6 3
7
58
& 
6 3
7
3
3
58 38
38
$
& 
3
3
6
7 3
36
7
8
38 38
8 $
= ∴ 7 318
38
4. ANEXO: DENOMINADOR CON SUMAS DE RAÍCES CÚBICAS
Cuando tenemos una fracción que tiene en su denominador una suma (o resta) de raíces 
cúbicas, podemos utilizar los productos notables, en particular la suma de cubos y aplicarlos 
al revés. Esto es:
Recordemos que la suma o diferencia de cubos decía:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) ó bien a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
y si hacemos que u = a3 → u3 = a y que v = b3 → v3 = b , tendremos la posibilidad de ver 
lo anterior como sigue: u + v = u v u uv v–3 3 23 3 23+ +^ ^h h. Con esto en mente, podemos 
racionalizar expresiones tales como: 
x y
A
3 3!
 . El procedimiento es amplificando por el 
segundo factor de la descomposición anterior.
Caso: 
Fracciones de la forma: 
x y
A
3 3!
( se amplifica por: 
x xy y
x xy y
23 3 23
23 3 23
"
"
+
+
Ejemplo: x
2 53 3+
& 
$x
x
x x x
2 5 2 2 5 5
2 2 5 5
2 5
2 2 5 5
7
4 10 25
–
–
–
–
3 3 23 3 23
23 3 23
23 3 23
3 3 3
$
$
$ $
+ +
+
+
+
+
_
_
_
i
i
i
 
Potencias y Raíces | Capítulo 7
Matemática Para Nacional 171
5. ANEXO: ECUACIÓN IRRACIONAL
Una ecuación irracional es toda aquella ecuación que tenga la incógnita en la cantidad 
sub–radical de alguna(s) raíz(ces) que compongan la ecuación.
Ejemplo:
 2 Son Ecuaciones Irracionales:
I. x2 1 8+ = II. x x2 3 5– = + III. x 5
3 13 + =
Para resolver una ecuación irracional, se deben seguir los siguientes pasos.
1. Utilizando las propiedades, 
reescribir la igualdad dejando 
una sola raíz en cada lado de la 
igualdad.
2. Elevar ambos lados de la 
ecuación al indice de la raíz, para 
que se elimine la raíz.
3. Resolver la expresión resultante. 
En caso que aun quede alguna 
raíz, se deben repetir los pasos 
anteriores.
4. Comprobar las soluciones 
(obligatorio).
Ejemplo: Resolver la ecuación: 2 + x 3– = 5
& x 3– = 5 – 2 / ( )2
& x 3–2
2` j = ( 3 )2
& x – 3 = 9
& x = 12
& Comprobar que 12 cumple la igualdad: 
2 + x 3– = 5 → 2 + 12 3– = 5 → 5 = 5
 ∴ la solución es x = 12
Ejemplos PDT:
19. ¿Cuál es el resultado de racionalizar la expresión 
9
2
4 ?
A ) 4
3 3
B ) 3
93
C ) 3
2 34
D ) 3
2 94
20. 
2
3 =
3 +
A ) 2 – 1
B ) 2
2
C ) 7
9 2–
D ) 7
9 3 2–
 
Capítulo 7 | Potencias y Raíces
172
Capítulo 7
Ejercicios │ Potencias y Raíces
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a ( x3 ) ∙ ( x 2 )4?
A ) x9
B ) x11
C ) x18
D ) x22
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a – 42 ∙ 4a?
A ) – 4a – 2
B ) – 4a + 2
C ) 162a
D ) ( –16 )a + 2
3. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a b3
1 3 2– –c m ?
A ) 3
1 b6
B ) 3
1 b–5
C ) 9b–5
D ) 9b6
4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a a b2 4
4 12
– –
–
a b
?
A ) a2b– 16
B ) a6b– 8
C ) 6
8
D ) 6
8–
5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a p5 + p5 + p5?
A ) ( 3p )5
B ) ( 3p )15
C ) 3p15
D ) 3p5
 
Potencias y Raíces | Capítulo 7
Matemática Para Nacional 173
6. Si n es un número entero, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?
I. n2 ∙ n3 = n5
II. 2n + 3n = 5n
III. 2n ∙ 3n = 6n
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
7. ¿Cuál(es) de las ecuaciones siguientes es(son) exponencial(es)?
I. x2 = 3
II. 2x = 3
III. 2 3x =^ h
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo II y III
8. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la expresión ( a– 1 + a– 2 ) ∙ a3?
A ) a– 3 + a– 6
B ) a– 9
C ) a– 6
D ) a ∙ ( a + 1 )
9. El cubo de A es igual a la raíz cuadrada de B si:
( 1 ) A = 2 y B = 64
( 2 ) A = 83 y B = 4 256
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiereinformación adicional
10. Si a # b = b a3
– 2 , c t d = cd , 2 t h = 64 , ¿cuál es el valor de h # 3 ?
A ) – 11
B ) – 39
C ) 11
D ) 37
 
Capítulo 7 | Potencias y Raíces
174
11. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a x x x y z– – – –+^ h6 @?
A ) x y z– –+
B ) x y z3 –+
C ) x y z– ––
D ) x y z3 – –
12. Si m > 0 , entonces ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a m m m2 18 32 3 2– –2 2 ?
A ) – m 2
B ) m 2
C ) – 2m 2
D ) 2m 2
13. ¿Para qué valor(es) real(es) de m se tiene que m = – 1?
A ) Solo el 1
B ) Solo el –1
C ) –1 y 1
D ) No existe un valor real que satisfaga tal igualdad
14. Si se sabe que x y8 3 2 18 2 27– –+ = + y que x e y son valores enteros positivos, ¿cuál es el valor 
de x + y ?
A ) 0
B ) – 1
C ) – 2
D ) – 3
15. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 642n + 1?
A ) 42n + 4
B ) 82 ∙ 46n
C ) 4 2n3
D ) 164n – 1
16. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 5 5 2 5n n n+ + ?
A ) 4 15n4
B ) 2 15n
C ) 4 5n
D ) 4 15n
17. Si 5 r = a y 7 r = b , entonces ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 5 r + 1 ∙ 7 r + 1?
A ) 35ab
B ) ab2
C ) (ab)2
D ) 12ab
 
Potencias y Raíces | Capítulo 7
Matemática Para Nacional 175
18. Si 5 x = 125 ∙ 125 , entonces ¿cuál es el valor de x?
A ) 5
B ) 6
C ) 7
D ) 8
19. Si 3 12
32
x
5
= , entonces ¿cuál es el valor de x?
A ) 1
B ) 0,5
C ) 0
D ) – 0,5
20. Dada la ecuación 27
1 9
x 3=c m , ¿cuál es el valor de x?
A ) 2
B ) – 1
C ) – 2
D ) – 3
21. ¿Para qué valor de x se tiene que 11x – 3 = 1 ?
A ) – 3
B ) 0
C ) 1
D ) 3
22. am es un número real negativo si:
( 1 ) m es un entero impar
( 2 ) a es un real negativo
A ) ( 1 ) por sí sola 
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
23. Si 2x + 3 = 64 , entonces ¿cuál es el valor de 2x?
A ) 3
B ) 5
C ) 8
D ) 9
E
 
p
a
Capítulo 7 | Potencias y Raíces
176
24. Se sabe que un cultivo de bacterias se duplica cada 24 horas. Si al comienzo se partió este cultivo con 
1.000 bacterias, ¿al cabo de cuántos días la cantidad inicial de bacterias se multiplicó 64?
A ) 4
B ) 5
C ) 6
D ) 7
25. Si x 1 03 + = , entonces ¿cuál(es) es(son) el(los) valor(es) de x?
A ) Solo el –1
B ) Solo el 1
C ) –1 y 1
D ) Es una ecuación sin solución real
26. ¿Qué valor se obtiene al calcular el valor de m en 2 m – 1 = 2
1c m m – 3?
A ) – 1
B ) 0
C ) 1
D ) 2
27. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones acerca del valor de 7 22 – 7 21 es(son) verdadera(s)?
I. El número es par
II. El número es múltiplo de 3
III. El número es divisible por 7
A ) Solo I y II
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
28. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 
3
3
3
?
A ) 3
33
B ) 33
C ) 93
D ) 3 93
29. ¿Cuál es la solución de la ecuación (0,01)– x + 5 = 100?
A ) 6
B ) 5
C ) 4
D ) 3
 
Potencias y Raíces | Capítulo 7
Matemática Para Nacional 177
30. Si la fracción 
2
18 se amplifica por 2 , y luego la fracción resultante se amplifica por 3 , ¿qué valor se 
obtiene?
A ) 3
B ) 6
C ) 3
D ) 6
31. Si x = 3 , entonces ¿cuál es el valor de 16 ∙ x?
A ) 18
B ) 20
C ) 24
D ) 36
32. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa el valor de 
4
9
3
2
2
3
a
a a–
$c
c
cm
m
m
?
A ) 1
B ) 2
3
C ) 2
3 2c m
D ) 2
3 a
2c m
33. Si x a3 2= y y b2= , para a, b ! R , tales que a < 0 < b , entonces ¿qué expresión es igual a x y2 312 ?
A ) ab
B ) ab–
C ) ab
D ) ab
34. Si 1,77777.... = x , ¿cuál es el valor de x 3
1–
7c m ?
A ) – 9
1
B ) – 1
C ) 1
D ) 9
2
35. ¿Cuál de las siguientes alternativas es equivalente a 
ab
a b
n
n n+
^ h ?
A ) (ab)– n
B ) a– n + b– n
C ) a– n – b– n
D ) (– ab)n
 
Capítulo 7 | Potencias y Raíces
178
36. Dada la ecuación 3x – 1 = 95 , ¿cuál es el conjunto solución?
A ) { 9 }
B ) { 11 }
C ) { 6 , 11 }
D ) Ø
37. Dada la ecuación 25 125
1x x3 3– =
+c m , ¿cuál es el conjunto solución?
A ) – 6
B ) – 3
C ) 0
D ) 3
38. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 1.000x = 0,001?
A ) – 1
B ) – 2
C ) – 3
D ) 0,01
39. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación .7
1 2 401 7– –
x–
$=` ^j h?
A ) – 4
B ) – 3
C ) 4
D ) 5
40. Si x – 2 = 22 , entonces ¿Cuál es el valor de x x x4 2 $+ +^ h ?
A ) 15
B ) 16
C ) 16 3
D ) 12 + 4 3
41. Si m3 1 3 1– –+ = , ¿cuál es el valor de m2
2
?
A ) 2 3 2 2–
B ) 3 2–
C ) 2 3–
D ) 4 3 4 2–
42. Si A = a a a a2 1 2 1– – –+ + , con a ≥ 1 , ¿cuál de las siguientes expresiones es igual a A2?
A ) 4a – 2
B ) 3a – 1
C ) 2a + a a2 2 1– –2
D ) 2a + a a2 1– –2
 
Potencias y Raíces | Capítulo 7
Matemática Para Nacional 179
43. Si 32x ∙ 9x ∙ 272x = 
81
1
5 , entonces ¿cuál es el valor de 
x
2 ?
A ) – 4
B ) – 2
C ) – 1
D ) 1
44. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 
5
1
5
1–
1 1– +
?
A ) 0,25
B ) 0,5
C ) 1
D ) 
5
1
2
45. Dada la ecuación 3
2
4
9x x3 3– =
+c cm m . ¿Cuál es el valor de x2?
A ) – 1
B ) 1
C ) – 3
D ) 3
46. ¿Cuál es el valor de la expresión 
4 2
2
5
25
n
n
n
n
1
5
2 1
1
$
++
+
+
+
?
A ) 5
2
B ) 5
C ) 5
8
D ) 9
47. Si 3n = 2 , ¿cuál es el valor de la expresión 
81
27 4 9 2–
n
n n 1 3$+ + ?
A ) 5
B ) 7
C ) 9
D ) 11
48. ¿Cuál es el valor de la expresión 4 18· t t
t
1 2 1– –+3 6 2· ·
?
A ) 2t
B ) 4 ∙ 2t
C ) 2
D ) 6
 
Capítulo 7 | Potencias y Raíces
180
49. ¿Cuál es el valor de B
A , sabiendo que A
21 7
8 400
2
3
$
$= y B 20 7
4 3 1
3–$= c m ?
A ) 2 3 55 $ $
B ) 2 3 53 2 2$ $
C ) 2 6 55 3$ $
D ) 2 3 55 3$ $
50. Una pizza costó $(245332). Cuando llegó el momento de la repartición, se optó por el siguiente formato: 
el primer comensal recibiría 4
1 de la pizza completa; el segundo recibiría, en cambio, la cuarta parte 
de lo que comió el primero, el tercero la cuarta parte del segundo y se seguiría así con el formato de 
repartición con los siguientes comensales, según el turno que le correspondiera recibir su trozo respectivo. 
¿Cuánto debería pagar una persona por el trozo que recibió, si el pago es proporcional al trozo de pizza 
que le tocó a cada uno, y estaba en 6º lugar en la fila? 
A ) $ (23533)
B ) $ (2–85332)
C ) $ (25523–8)
D ) $ (275–332)
51. x x2 3– = 0 si:
( 1 ) x ≥ 0
( 2 ) x = 0
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
52. Si x ≥ 3 , ¿cuál es el valor de ( ) ( )x x3 3– –2 2+ ?
A ) 0
B ) 2x – 6
C ) 2x + 6
D ) 2x2 – 12x + 18
53. Si sabemos que 2 3
2
2 3x 33 3
6
6
= , ¿cuál es el valor de x3
1 ?
A ) 3
43
B ) 7
29
C ) 37
D ) 3
2
 
Potencias y Raíces | Capítulo 7
Matemática Para Nacional 181
54. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 5 5
n n
n n
2
3 2+
5 5+
?
A ) 5
B ) 25
C ) 5n
D ) 52n
55. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 5
3
27
125x x2 2–=
+ +c cm m ?
A ) 6
B ) 5
C ) 4
D ) 3
56. ¿Cuál es el valor de la expresión 
7
2
7
2–
1 1– +
?
A ) 0
B ) 3
2
C ) 6
1
D ) 2
3
57. Si x16 45 12 12 7 48– – = , entonces ¿cuál es el valor de x?
A ) 12
7
B ) 1
C ) 3
4
D ) 297
214
58. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 
x 1
1
–3
 , con x ≠ 1?
A ) 
x
x
1
1–
3 +
B ) x 123 +
C ) x
x x
1
3 12
+
+ +
D ) x
x x
1
1
–
23 3+ +
59. ¿Cuál es el valor de 
1 2
2 2
–
– 3
1
c m ?
A ) 2–6
B ) 26
C ) 2 2–3
D ) 1
 
p
a
Capítulo 7 | Potencias y Raíces
182
60. ¿Cuál es el valor de la expresión 1
3
1
3
1– +
1 1– +
?
A ) – 3
B ) 3
C ) 1 – 3
D ) 1 + 3
61. El resultado de la expresión 5 2 5 2 5 2 5 2– – –5 4 5 4+ +^ ^ ^ ^h h h h es:
A ) Entero positivo
B ) Entero negativo
C ) 0
D ) Irracional positivo
62. ¿Cuál es el valor x en la ecuación 
9
3 81 90x
x x
3
3 8 4
3 6
+ =+
+ +
?
A ) 2
B ) 4
C ) 5
D ) 6
63. Si se cumple que A 2 0– B3 = y A ! Z , ¿cuál es el valor de A B4 2+ ?
A ) 2 2
B ) 3
C ) 3 2
D ) 5
64. Una factorización de x – 2 está dada por: ( )( )x x x Bx C2 2– – A3 3 3 3= + + .¿Cuál es elvalor de 
A B C 2– 2 3+ ?
A ) –2
B ) 0
C ) 1
D ) 3
65. Sean a , b , c y d números enteros positivos. Se puede determinar que la expresión a b c d– es un 
número real si :
( 1 ) a2b > c2d
( 2 ) b d>
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Números y Álgebra | Capítulo 1
Matemática Para Nacional 183
CONTROL 1
Ejes temáticos | Números y Álgebra 
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en los capítulo anteriores para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. Si m y n son enteros consecutivos tales que m < n , entonces siempre es cierto que:
I. m – n = –1
II. m · n = m · n + 1
III. m : n = – 1
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
2. Una gran caja de alfajores trae 10 bolsas, cada una con 20 alfajores en su interior. Si el costo de una caja 
es $ 26.000, y se desea vender alfajores por unidad, cosa de obtener una ganancia de $ 50 por cada 
uno, ¿cuál debería ser el precio de cada alfajor?
A ) $ 130
B ) $ 140
C ) $ 160
D ) $ 180
3. Si a < 0 y a > –b, entonces ¿ cuál de las siguientes opciones es verdadera ?
A ) a > b
B ) –b > –a
C ) –a > b
D ) b > a
4. Sean x , y , z tres números enteros distintos, tales que, x > y > 0 , z = 0. ¿ Cuál de las siguientes proposiciones 
es falsa ?
A ) z( y – x ) = 0
B ) y – x + z > 0
C ) xy + z > 0
D ) yz + x > 0
5. Si las alarmas de dos relojes están programadas para sonar cada 15 y 20 minutos respectivamente, ¿ a 
qué hora volverán a sonar si coincidieron sus alarmas a las 7:35 horas ?
A ) 7:52 horas
B ) 8:35 horas
C ) 12:00 horas
D ) 12:25 horas
 
Control 1 | Números y Álgebra
184
6. Sean m y n números enteros positivos. Se puede determinar el valor numérico de ( m + n )· ( m – n ) si:
( 1 ) m = n
( 2 ) m = 1
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
7. Si a y b son enteros y la suma de a· b y b es impar, ¿ cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) 
verdadera(s)?
I. a y b son ambos impares
II. a es par y b es impar
III. a es impar y b es par
A ) Solo I 
B ) Solo II 
C ) Solo III 
D ) Solo I y II 
8. Si N es un número entero, ¿ cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. ( N2 – 1 ) es el entero antecesor del cuadrado de N
II. –( N – 1 ) es el entero antecesor de N
III. ( N + 1 )2 es el cuadrado del entero sucesor de N
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo I y III
9. 
,
,
0 5
100
50 0 5+
=
2$_ i
A ) 10
B ) 1
C ) 0,1
D ) 0,75
10. Dadas las fracciones: a = 11
39 , b = 2
7 y c = 22
79 . Se cumple que: 
A ) a < c < b 
B ) a < b < c 
C ) b < a < c 
D ) b < c < a
 
Números y Álgebra | Control 1
Matemática Para Nacional 185
11. 7
3 6
3
5–
–
=
A ) 6
B ) 5
C ) 5
4
D ) 2
11–
12. 0,1 · [0,1 – 0,1 · (0,1 + 0,1)] =
A ) 0,1 
B ) 0,080 
C ) 0,012 
D ) 0,008
13. Si a = 147
42 ; b = 245
70 ; c = 159
56 , entonces, con respecto al orden entre ellos, la alternativa correcta es:
A ) a < c < b
B ) a < b < c
C ) a + c = b
D ) a = b < c
14. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. , 9
,
6
0 7
9
1=
II. 3, 212121... es racional
III. , ,0 3 0 3 1 9
31+ =
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo I y II
15. 4
1 5 2
3 1 3 : 2– – 2+ =$` j8 B
A ) 4
51–
B ) 4
67–
C ) 8
69–
D ) 8
3
 
Control 1 | Números y Álgebra
186
16. El cubo de Rubik está compuesto normalmente por 27 cubos más pequeños de igual tamaño. Si de 
estos cubos menores del cubo de rubik, solo se pintan las caras que dan hacia el exterior del mismo, 
¿qué porcentaje del total de caras de todos los cubos menores, son las que están pintadas?
A ) 30%
B ) 33,3%
C ) 35%
D ) 40%
17. Juan toma diariamente, de Lunes a Viernes, 500 ml de leche, y 1,2 lt de agua, mientras que los días 
sábado y domingo estas cantidades suben a 750 ml y 2 lts, respectivamente. ¿Cuánto líquido toma en 
total Juan a la semana, si entre la leche y el agua, estamos hablando del 70% de su consumo?
A ) 15 litros 
B ) 18 litros
C ) 20 litros
D ) 23 litros
18. La cantidad de comunas que entraron en cuarentena en la región metropolitana en un determinado 
momento, fueron 46 de las 52 que existen. Sin embargo, a pesar de las solicitudes, la comuna de Maipú 
no fue considerada en dicha medida. Si Maipú tenía una población aproximada de 500 mil habitantes 
en ese momento, y la región metropolitana tiene aproximadamente un total de 7 millones de habitantes, 
¿qué porcentaje de la población de la región metropolitana quedó sin cuarentena y vive en Maipú, en 
ese momento?
A ) 6,3%
B ) 7,1%
C ) 7,5%
D ) 8,2%
19. Pedro, dada la contingencia, tuvo que solicitar un préstamo a una entidad bancaria y la oferta que 
recibió fue la siguiente: si solicita $500.000 en 24 cuotas, los montos se calcularán aplicando un interés 
simple del x% mensual, lo que hará que el costo total sea de $740.000. ¿Cuánto pagaría Pedro, si acepta 
estas condiciones que corren para cualquier monto menor o igual a 1 millón de pesos, si pide un 
préstamo por $800.000, para ser pagado en 24 cuotas?
A ) $ 980.000
B ) $ 1.066.400
C ) $ 1.184.000
D ) $ 1.296.000
20. Según datos de la Superintendencia de Pensiones, antes de prosperar la iniciativa que permitiría el retiro 
del 10% de los fondos previsionales de los chilenos ahorrados en las AFP, aproximadamente un 40% de 
los cotizantes, que ascienden a un aproximado de 2.200.000 personas, accederían a 500 mil pesos o 
menos si decidieran hacerlo. También se había determinado que 370 mil cotizantes podrían retirar entre 
200 mil y 300 mil, y que 500 mil personas recibirían a lo más 200 mil pesos. Si tuviéramos que completar 
esta información, ¿a qué porcentaje de los cotizantes, corresponderían las personas que, de retirar el 
10% de sus fondos, podrían retirar entre 300 y 500 mil pesos?
A ) 18,3%
B ) 20,4%
C ) 24,2%
D ) 26,8%
 
Números y Álgebra | Control 1
Matemática Para Nacional 187
21. Si Lucía aprovechó las ofertas del supermercado de este fin de semana, y compró una promoción de 
3x2 (paga 2 y lleva 3) de papas fritas, y una promoción de 3x1 de galletas saladas, ¿cuál fue su ahorro 
real, si al comprar estos productos en un día normal, hubiese pagado $ 1.200 por cada paquete de 
papas fritas y $ 300 por cada paquete de galletas?
A ) 30%
B ) 35%
C ) 40%
D ) 60%
22. Un alumno decide responder al azar varias preguntas de una prueba de alternativas que consta de 
50 preguntas. Si el alumno omite el 20% de las preguntas, y de cada 5 preguntas que responde, tiene 3 
incorrectas, ¿qué porcentaje de la prueba contesta correctamente el alumno?
A ) 25%
B ) 28%
C ) 30%
D ) 32%
23. En un curso de cálculo de una determinada universidad, cada una de las 3 pruebas vale el 20%, el 
promedio de los controles vale un 10% y la nota del examen vale un 30%. Si en sus pruebas tuvo un 5,0 , 
5,5 y un 4,5; en los controles obtuvo un promedio de 6,0 y en el examen, obtuvo nota 5,0. ¿Con qué 
promedio aprobó cálculo?
A ) 5,1
B ) 5,3
C ) 5,5
D ) 5,8
24. De las estrellas de la figura adjunta, ¿qué porcentaje están pintadas de gris?
A ) 26,7%
B ) 28,3%
C ) 32,4%
D ) 37,5%
25. El capital total acumulado en una entidad bancaria luego de 3 años fue Cf pesos. Si el interés ofrecido 
por ese tiempo fue del 3% trimestral y este monto fue calculado con un interés compuesto, ¿cuánto fue 
el capital inicial Ci de la inversión?
A ) Cf ∙ ( 1 + 0,03 )
3
B ) Cf ∙ ( 1 + 0,03 )
9
C ) 
,
C
1 0 03
f
12+^ h
D ) 
,
C
1 0 3
f
6+^ h
 
Control 1 | Números y Álgebra
188
26. La expresión , . .0 08 1 6 000 000$
, ,0 0004 0 064$
 escrita en notación científica es:
A ) 5 · 10 10
B )5 · 10 12
C ) 5 · 10 11
D ) 2 · 10 11
27. Al reducir la expresión 
3
2 3 15+ se obtiene:
A ) 7
B ) 2 15+
C ) 2 3 5+
D ) 2 5+
28. Si a = 3 y b = 12 , ¿ cuál de los siguientes números no es racional ?
A ) b
a
B ) a· b
C ) a + b
D ) a 2 + b 2
29. ¿ Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?
I. 11 2 3 41 1
II. 3 2 19 2 51 1
III. 2 2 7 31 1
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) I, II y III
30. Si a, b y c son números reales, entonces las expresión b c
a
$
 representa un número real si:
( 1 ) a es no negativo
( 2 ) b y c son distintos de cero
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
31. 5 · 10 –12 + 6 · 10 –13 =
A ) 56 · 10 –25 
B ) 6,5 · 10 –13 
C ) 5,6 · 10 –13
D ) 5,6 · 10 –12
 
Números y Álgebra | Control 1
Matemática Para Nacional 189
32. ¿Cuál(es) de las afirmaciones es(son) siempre correcta(s)?
I. Si x es un racional cualquiera, se tendrá que (–x)2 ≠ –x2
II. Si x es un racional negativo, podemos asegurar que x2 será un racional positivo
III. Si w, x, y, z ∈ Q y se tiene que x > y, z < w y z > x , entonces x w
z y 0– <
-
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
33. ¿ Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a 
5
30 15– ?
I. 6 – 3
II. 6 – 15
III. 3 ∙ ( 2 – 1)
A ) Solo II
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
34. Al ordenar en forma creciente los números a = 4 2 , b = 3 3 y c = 72 , se obtiene:
A ) a , c , b
B ) b , c , a
C ) c , a , b
D ) b , a , c
35. a es irracional si: 
( 1 ) a es primo
( 2 ) a es múltiplo de 3
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
36. Si factorizamos el trinomio ordenado 12x2 + 5x – 3 como producto de dos binomios de primer grado, 
podríamos ver que el término constante de uno de sus factores es 3. ¿Cuál es el coeficiente de x en el 
otro factor?
A ) 4
B ) 3
C ) 1
D ) –3
 
Control 1 | Números y Álgebra
190
37. ( 4a + 3b ) ( 4a – 3b ) =
A ) 4a2 – 3b2
B ) 4a2 + 3b2
C ) 16a2 – 9b2
D ) 12a2 + 6b2
38. Si p ≠ 0 y p ≠ 1, entonces 
p
p p
1
1 –
1–
 es igual a:
A ) 1 + p
B ) 1 – p 
C ) 1
D ) –p 
39. La fracción xy8
3 3x y xy4 4+
, con xy ≠ 0, reducida a su mínima expresión es:
A ) 
x y xy
xy2
2 2+
B ) xy
1
C ) x y
2
+
D ) 
x y
2
2 2+
40. y y y y1
3 2 2– 2+ + +
=
A ) 
y y
y5 4
2 +
+
B ) 
y y
y 4
2 +
+
C ) 
y y
3
2 +
D ) y 1
1
+
41. Si P( x ) = 2x – 1 , y Q( x ) = 1 – 2x , entonces P( x ) · Q( x ) = 
A ) 0
B ) 4x2 – 1
C ) – 4x2 – 1
D ) – 4x2 + 4x – 1
42. –2 · ( 3p + 4 )( 4 – 3p ) – ( 3 – 4p )2 =
A ) 2p2 – 23
B ) 2p2 + 2p – 41
C ) 2p2 + 24p – 25
D ) 2p2 + 24p – 41
 
Números y Álgebra | Control 1
Matemática Para Nacional 191
43. 
b
a
b
a
a
b–
=
1–
A ) 
ab
a b
2
+
B ) a
a b+
C ) a
b
D ) 1
44. La cuarta parte de ( 4x4 + 4 ) es igual a:
A ) 4x2 + 1
B ) x4 + 1
C ) 2x4
D ) 2x2 
45. ¿ Cuál( es ) de las siguientes expresiones es(son) divisible(s) por x – 4 ?
I. x3 – 64
II. x2 – 8x + 16
III. x2 + 16
A ) Solo I
B ) Solo II 
C ) Solo I y II 
D ) Solo I y III 
46. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación Ax + 2(B – x) = K + x?
A ) A B
K
2 2
1
+ -
+
B ) A
K B
3
2
-
-
C ) A B
K
3 2
2
- +
+
D ) K
A B
1
2
+
-
47. ¿Cuál debe ser el valor de k en la ecuación x k
x
x k
k
1 5
1
1
3
+ + + = + +
+ si 2 es su solución?
A ) –2
B ) 3
1-
C ) 2
1-
D ) 4
1-
 
Control 1 | Números y Álgebra
192
48. ¿Para cuál de los siguientes pares de valores reales de a y b, el sistema de ecuaciones 
ax y by
a x by y
10 5
2 12 2
- + = -
- - = +^ h NO tiene solución?
A ) a = –3 y b = 1
B ) a = 5 y b = 3
C ) a = 7 y b = 4
D ) a = 3 y b = 2
49. Los 5
2 de los caballos de un criador son cafés, 3
1 son blancos y los 20 restantes son negros. ¿ Cuántos 
caballos tiene el criador ?
A ) 30
B ) 35
C ) 60
D ) 75
50. El conjunto solución de la ecuación x
x
1
1 1–
– –= es :
A ) { 1 }
B ) R
C ) R – { 1 }
D ) Ø
51. Para que el par ordenado ( –2 , –3 ) sea solución del sistema nx yx my
2 3 5
3 2 6
– =
+ = , los valores de m y n deben ser, respectivamente :
A ) – 2 y –3
B ) –2 y 1
C ) 6
1 y 4
15
D ) 4
14– y 0
52. Al resolver el sistema 
x y
x y
4 2
2 3 6
+ =
+ = se obtiene como solución :
A ) x = 5
18 y = 5
2–
B ) x = 5
18– y = 5
2–
C ) x = 5
2– y = 5
18
D ) x = 18 y = 5
2
53. La edad de Juan es el doble que la de Fernando, y hace 5 años tenía el triple de la edad que tenía 
Fernando. ¿ Cuál será la edad de Fernando dentro de 5 años ?
A ) 5 años
B ) 10 años
C ) 15 años
D ) 25 años
 
Números y Álgebra | Control 1
Matemática Para Nacional 193
54. Se preguntó un día a Andrés, ¿ cuantos alumnos tienes ?. Él respondió: “La mitad estudia Matemática, 
un cuarto Ciencias, un séptimo Letras y además hay tres mujeres”. ¿ Cuántos alumnos hombres más que 
mujeres tiene Andrés ?
A ) 3
B ) 7
C ) 22
D ) 25
55. Dado el sistema 
x y
x y
9 7 22
7 9 10
–
–
=
= , los valores de ( x – y ) y ( x + y ) son respectivamente :
A ) 6 y 2
B ) –2 y 6
C ) 2 y 6
D ) –6 y –2
56. El resultado de la siguiente división ,
. . .
0 00001 7
34 000 000 000 , expresado en notación científica es:
A ) 2 · 10–12
B ) 20 · 10–11
C ) 20 · 1013
D ) 2 · 1015
57. Si A, C y D son números naturales, y además se sabe que
D
A C
75
2 3 8 5 1
+
+ - +
=
¿Cuál es el valor de A + C + D?
A ) 5
B ) 7
C ) 8
D ) 12
58. Si se sabe que 2 2 8 2n 3 = , ¿cuál es el valor de n?
A ) 2
B ) 3
C ) 2n
D ) n – 2
59. Si An = 16, Bm = 27 y Cp = 25 , ¿cuál es una expresión equivalente a 60 ∙ 90 ∙ 600, escrita en términos de 
A, B y C?
A ) An ∙ B m4 ∙ C p5
B ) A n4 ∙ B m23 ∙ C2p
C ) An ∙ B m54 ∙ C p54
D ) A n3 ∙ B m3 4 ∙ C2p
 
Control 1 | Números y Álgebra
194
60. ¿Qué se obtiene como resultado de simplificar al máximo la siguiente expresión?
2
4 4 4 4
2 x x
x x x x
1 4 1
2 1 2 1 2 1 2 1
4
+
+
+ +
+ +
+ + + +
A ) 4
B ) 22x + 1
C ) 24x – 2
D ) 16
61. Si P
a
a a–
3
3 2 4– $=
^ ^h h
 , entonces cuando a = 0,1 el valor de P es :
A ) 0,01
B ) 10.000
C ) 100.000
D ) 1.000.000
62. Siendo n un número natural, al simplificar la expresión 
7 7 7
7 7
n n
n n
1 1
1
–
–
$ $
$
+
 se obtiene :
A ) 7 1–
B ) 7
C ) n
n
1+
D ) n2 1–
n2
63. x y x y x y– – –2 + =^ ^ ^h h h
A ) xy2
B ) – xy2
C ) x xy2 2–
D ) y xy2 2–
64. x y–
1 1
1 1
– –
– –
=
x y$
A ) x – y 
B ) y – x 
C ) x + y 
D ) xy
x y–
65. En el conjunto R, la igualdad x y= es verdadera si se cumple que :
( 1 ) x y=
( 2 ) x2 = y2
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 195
1. DESIGUALDADES
En los números reales existe una propiedad que se llama “Ley de tricotomía”, que señala que 
dos números reales cualesquiera, a y b, deben cumplir alguna de las 3 siguientes relaciones.
 “a es mayor que b” ó bien “a es menor que b” ó bien “a es igual a b”
En palabras simples, podríamos reducir estas tres opciones a decir que, o bien “a” es igual a 
“b”, o bien no lo és, es decir que son desiguales. Independiente de la igualdad o desigualdad 
entre dos o más números reales, lo importante es que existe en ellos la posibilidad de ser orde-
nados de menor a mayor (o de mayor a menor), y esta relación recibe el nombre de relación 
de orden. 
Para evitar ambigüedades y simplificar esta idea, se utilizan símbolos que nos permiten 
explicitar tal relación de orden. Así, si a y b son números reales, escribiremos:
 2 a > b (Se lee: “a es mayor que b”) Ejemplos: 
 2 a < b (Se lee: “a es menor que b”) 4 > 1 , 73 < 2 , – 1 > – 8 , – 10 < 2 
Estas desigualdades se llaman desigualdades estrictasy se utilizan para expresar que dos nú-
meros son estrictamente distintos entre ellos. Por otro lado existen las desigualdades a las que 
llamamos desigualdades no estrictas que utilizamos para expresar que dos números pueden 
ser distintos o iguales. Estas son:
 2 a ≥ b (Se lee: “a es mayor o igual que b”) Ejemplos: 
 2 a ≤ b (Se lee: “a es menor o igual que b”) 2 # 5 , ,2
1 0 05$ , – 5 # – 5 , 1 100# 
Observación: Si bien cuesta entender que un número sea menor o igual que otro, las des-
igualdades no estrictas adquieren su máximo sentido cuando se utilizan variables. Por ejem-
plo: Si decimos x 3$ , esto significa que x podría tomar cualquier valor que sea o bien mayor 
que 3, o bien igual a 3.
a. Propiedades
 2 Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta un mismo número, el sentido de 
la desigualdad NO cambia.
Si a, b y c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c
Ejemplos: Como 7 > 3 , entonces, 7 + 2 > 3 + 2 → 9 > 5
Como 8 > –3 , entonces, 8 – 2 > – 3 – 2 → 6 > – 5
 2 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número 
positivo, el sentido de la desigualdad NO cambia.
Si a , b y c son números reales tales que a < b y c > 0 , entonces a· c < b· c.
Ejemplos: Como 7 > 3 , entonces, 7 · 2 > 3· 2 → 14 > 6
Como 8 > –4 , entonces, 8 : 2 > – 4 : 2 → 4 > – 2
“Puedo soportar el fracaso, pero lo que 
no puedo aceptar es no intentarlo”
— MICHAEL JORDAN —
BASQUETBOLISTA ESTADOUNIDENSE
Capítulo 8
DESIGUALDADES E 
INECUACIONES
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clase en video de este capítulo.
moraleja.cl/mpn5-8
 
Capítulo 8 | Desigualdades e inecuaciones
196
 2 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número 
negativo, el sentido de la desigualdad SÍ cambia.
Si a , b y c son números reales tales que a < b y c < 0 , entonces a· c > b· c. 
Ejemplos: Como 7 > 3 , entonces, 7 · – 2 < 3· – 2 → – 14 < –6
Como 8 > –3 , entonces, 8· – 4 < – 3· – 4 → – 32 < 12
 2 Si de los dos miembros de una desigualdad, ambos de igual signo, se toman inversos 
multiplicativos (recíprocos), el sentido de la desigualdad SÍ cambia. 
Si a y b son números reales tales que 0 < a < b o a < b < 0 entonces a b
1 1> .
Ejemplos: Como 2 > 1 , entonces, 2
1 < 1
1
Como – 8 < –4 , entonces, 8
1– > 4
1–
 2 Si de los dos miembros de una desigualdad, ambos de distinto signo, se toman los inversos 
multiplicativos (recíprocos), el sentido de la desigualdad NO cambia.
Si a y b son números reales tales que b < 0 < a entonces b a
1 1< .
Ejemplo: Como –5 < 3 , entonces, 15– < 3
1
 2 Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la 
desigualdad NO cambia de sentido.
Si a, b y n son números reales, con n > 0, tales que 0 < b < a entonces b n < a n.
Ejemplo: Como 3 < 4 , entonces, 3 3 < 4 3 → 27 < 64
 2 Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de 
exponente impar, NO cambia el sentido de la desigualdad; sin embargo, si el exponente 
de la potencia es par, SÍ cambia de sentido. 
Si a y b son números reales tales que b < a < 0, y n es un natural impar, entonces se cumple 
que bn < an.
Si a y b son números reales tales que b < a < 0, y m es un natural par, entonces se cumple 
que bn > an.
Ejemplo: Impar: Como – 3 < – 2 , entonces, ( –3 ) 3 < ( –2 ) 3 → – 27 < – 8
 Par: Como – 3 < – 2 , entonces, ( –3 ) 2 > ( –2 ) 2 → 9 > 4
b. Intervalos
Un intervalo real es una porción de la recta numérica definida por desigualdades. Se repre-
sentan algebraicamente con paréntesis cuadrados, que se orienta hacia afuera si la desigual-
dad es estricta y hacia adentro si la desigualdad no es estricta. Los intervalos se representan 
gráficamente con el achurado del intervalo, con un círculo blanco si la desigualdad es estric-
ta y un círculo negro si la desigualdad no es estricta. Los intervalos que no están restringidos 
por algún lado indican que sus valores se extienden hasta el infinito positivo o al infinito nega-
tivo, representados por los símbolos + ∞ y – ∞, respectivamente. En resumen:
 2 x > a , ,a 3+ 6@ 2 x < b , , b–3 6@ 2 a < x < b , ,a b6@
a
–∞ + ∞ –∞ + ∞
b a
–∞ + ∞
b
 2 x ≥ a , ,a 3+6 6 2 x ≤ b , , b–3@ @ 2 a < x ≤ b , ,a b@ @
a
–∞ + ∞ –∞ + ∞
b a
–∞ + ∞
b
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 197
Ejemplos :
1. ¿ Cuál de las siguientes desigualdades es falsa ?
A ) –12 > –14
B ) –32 < –23
C ) ( –4 )2 ≥ ( –2 )4
D ) 4
3
7
5– –>
2. Si a y b son números reales tales que a > 0 y b < 0, ¿ cuál(es) de las siguientes expresiones represen-
ta(n) un número negativo ?
I. ab
II. a2b
III. ab2
A ) Solo I y II
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
3. Si a y b son números reales y b – a < 0, ¿ cuál de las siguientes desigualdades es siempre verdadera ?
A ) a > b
B ) a2 > b2
C ) ab < 0
D ) 4b < 2a
4. Para que de la expresión x < a se pueda deducir que c · x > c · a es necesario que :
I. Tanto a como x deben ser reales positivos
II. c debe ser un real negativo
III. c debe ser distinto de cero
Es(son) correcta(s):
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo II y III
 
Capítulo 8 | Desigualdades e inecuaciones
198
5. Si a2 > b y b > 0 , con a y b números reales y a ≠ b , ¿ cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) 
siempre verdadera(s)?
(DEMRE 2018)
I. a < b
II. a ≠ 0
III. b < a
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
6. Si p es un número real distinto de cero, entonces siempre se cumple que :
(DEMRE 2017)
I. 2p < 3p
II. 2 – p < 3 – p
III. 1 < 2p2
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
7. En la recta numérica están ubicados los números negativos R, S y T. Si entre ellos, S es el que está 
más cerca del cero, R el que está más lejos del cero y T está entre R y S, ¿ cuál de las siguientes 
desigualdades no se cumple ?
(DEMRE 2017)
A ) S – R > 0
B ) – R – T < 0
C ) S – T > 0
D ) S – R > S – T
8. Si a los números mayores que 1 y menores que 3 se les resta – p y luego se divide por el número 
entero negativo b, entonces los números que se obtienen son siempre mayores que :
(DEMRE 2018)
A ) b
p3 +
B ) b
p3 –
C ) b
p1–
D ) b
p1 +
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 199
9. Si m y n son números reales positivos tal que m > n, ¿ cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) 
verdadera(s)?
(DEMRE 2019)
I. m n
m n 1– >
+
II. m n
1 1– –1
III. n m
1 0– 1
A ) Solo III
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
10. Si 0 < x < 1, entonces es necesariamente verdadero que :
I. x
1 > 1
II. 0 < x
1 < 1
III. 0 < x
1 < x
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
11. Si x e y son números reales positivos con x > y, cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) ver-
dadera(s)?
I. x y
1 1>
II. – x < – y
III. x – y > 0
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo II y III
12. m · n > p · n si :
( 1 ) m > p
( 2 ) n > 0
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Capítulo 8 | Desigualdades e inecuaciones
200
2. INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad de expresiones algebraicas que involucra valores 
desconocidos (incógnitas) y valores conocidos (números o letras).
Resolver una inecuación consiste en encontrar el valor o el conjunto de valores para la variable 
que hacen cierta la desigualdad.
Ejemplo: Para la inecuación 3x + 2 > 3 , x = 5 es una de sus soluciones, pues si evaluamos 
x = 5 en la inecuación, se tiene que 3· 5 + 2 > 3. Es decir satisface la desigualdad. ¿Tiene más 
soluciones?
a. Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Una inecuación de primer grado es una desigualdad que se puede reducir a una de las 
formas siguientes, con a y b, valores conocidos y x la incógnita.
• ax ≥ b
• ax ≤ b
• ax > b
• ax < b
Para resolverla se debe despejarla incógnita x, teniendo en cuenta las propiedades de las 
desigualdades. En pocas palabras, se puede sumar, restar y dividir o multiplicar por un número 
positivo a ambos lados de la inecuación, sin problema, y se puede multiplicar y/o dividir por 
un número negativo a ambos lados de la inecuación recordando que se debe cambiar el 
sentido de la desigualdad.
Al intentar despejar la incógnita, nos podemos encontrar con tres distintos tipos de soluciones: 
Si a ≠ 0, la inecuación ten-
drá intervalo solución en el 
conjunto de los reales.
Si a = 0 y la desigualdad re-
sulta verdadera, entonces 
la inecuación tiene infini-
tas soluciones. Conjunto 
de los números reales.
Si a = 0 y la desigualdad re-
sulta ser falsa, entonces la 
inecuación no tiene solu-
ción. Solución vacía.
Ejemplo: 3x + 2 > 3
3x > 3 – 2
x > 3
1
Ejemplo: 7x + 3 ≥ – 5 + 7x
7x – 7x ≥ – 5 – 3
0 ≥ – 8
Ejemplo: 3x – 2 ≥ 1 + 3x
3x – 3x ≥ 1 + 2
0 ≥ 3
 Solución: ,3
1 3+ :D Solución: R Solución: Ø
3
1
–∞ +∞ –∞ +∞ –∞ +∞
Ejemplos :
13. ¿ Cuál(es) de los siguientes conjuntos contiene elemento(s) que satisfacen la inecuación 
2x + 7 ≤ 12 + x ?
(DEMRE 2014)
I. El conjunto de los números reales menores que 5
II. El conjunto de los números reales mayores que 5
III. El conjunto formado solo por el número 5
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 201
14. La inecuación 3 – 2x ≤ – 7 tiene como conjunto solución :
A ) { x ! R / x ≤ 5 }
B ) { x ! R / x ≥ –5 }
C ) { x ! R / x ≥ 5 }
D ) { x ! R / x ≥ –10 }
15. El conjunto solución de la inecuación x x2 1 3– < +
5 2
 es :
A ) ] –17 , +∞ [
B ) ] –∞ , –17 [
C ) ] –4 , +∞ [
D ) ] –∞ , –4 [
16. En la inecuación x x3 2 1– –#
3
 , x debe pertenecer al intervalo :
A ) 3
10; , + ∞ ;
B ) ] –∞ , 2 ]
C ) 3
8; , + ∞ ;
D ) [ 2 , + ∞ [
17. La figura adjunta muestra dos rectángulos tal que PQ // AB, AD = 10 cm, AB = 3 cm, PQ = (2x + 1) cm 
y QR = (x + 3) cm.
D
S
P
R
Q
A
C
B
Si las medidas de los lados del rectángulo PQRS son menores que las medidas de los lados del 
rectángulo ABCD, ¿cuál de los siguientes conjuntos contiene a todos y únicamente los posibles 
valores de x?
(DEMRE 2020)
A ) ,2
1 1- :D
B ) ,73- 6@
C ) ,71 6@
D ) ,13- 6@
 
Capítulo 8 | Desigualdades e inecuaciones
202
18. ¿ Cuántos números naturales cumplen la condición: “el exceso del quíntuplo de un número sobre 
4 es menor que 31” ?
A ) 4
B ) 5
C ) 6
D ) 7
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 203
b. Problemas de inecuaciones
En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos >, <, ≥ o ≤, tales 
como: 
• “a lo menos” (≥), 
• “cuando mucho” (≤), 
• “como mínimo” (≥), 
• “como máximo” (≤), 
• “sobrepasa” (>), 
• “no alcanza” (<)
Una vez planteada la inecuación o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, 
y al igual que en los problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema.
Ejemplo:
¿Cuál es el mayor número natural que cumple con que su doble, aumentado en 5 unidades, 
es un valor menor que 35?
Si x es un número natural cualquiera, necesitamos que tales x satisfagan la desigualdad 
2x + 5 < 35. Por lo tanto, si resolvemos la inecuación a la que da origen tal desigualdad, se 
tiene que x < 15 y, con ello, podemos inferir que solo nos sirven los números naturales del 1 al 
14, pero como nos pedían determinar cuál es el mayor natural que satisface la condición, y 
estamos frente a una desigualdad estricta, concluimos que 14 es el mayor número natural
Ejemplos:
19. La cantidad mínima recomendada ingesta diaria de calcio para adultos de entre 19 años y 50 
años es de 1.000 mg por día. Una taza (250 ml) de leche entera contiene 280 mg de calcio, aproxi-
madamente, y un vaso (200 ml) de jugo de naranja contiene 50 mg de calcio, aproximadamente.
Miguel tiene 40 años y decidió que cierto día solo tomará leche entera y jugo de naranja. Si ese 
día se tomará solo una taza llena de leche entera y N vasos llenos de jugo de naranja, ¿cuál de 
las siguientes inecuaciones permite determinar los valores de N para los cuales Miguel cumple la 
ingesta recomendada de calcio?
(DEMRE 2021)
A ) 280 + N
50 ≥ 1.000
B ) (280 + 50)N ≤ 1.000
C ) 280N + 50 ≥ 1.000
D ) 280 + 50N ≥ 1.000
20. Para el cálculo de la tarifa eléctrica, en pesos, se usa la fórmula T = Px + C, donde T es el valor de 
la tarifa, P es el precio por kWh consumido, x es el consumo de energía en kWh y C es un cargo 
fijo. Para una tarifa entre $15.000 y $70.000, ¿cuál de las siguientes desigualdades representa los 
posibles valores del consumo?
(DEMRE 2021)
A ) P(15.000 – C) < x < P(70.000 – C)
B ) . P
C15 000 - < x < .P C
70 000 -
C ) . P
C15 000 - < x < . P
C70 000 -
D ) . P
C15 000 + < x < . P
C70 000 +
 
Capítulo 8 | Desigualdades e inecuaciones
204
c. Anexo: Inecuaciones de segundo grado y fraccionarias
Cuando tenemos una desigualdad expresada de la forma: ax2 + bx + c ≤ 0 , ax2 + bx + c ≥ 0, 
o bien en una desigualdad donde la incógnita se encuentra en el denominador, el proceso 
de resolución es:
1 ro. Se debe dejar cero a un lado de la igualdad.
2 do. Factorizar la expresión.
3 ro. Encontrar los puntos críticos de la ecuación (valores que hacen cero cada factor).
4 to. Construir una tabla con factores y puntos críticos entre – ∞ y + ∞ , formando intervalos.
5 to. Reemplazar para cada factor un valor de cada rango y analizar si signo ( + ó – ).
6 to. Analizar para cada rango, si el producto de los factores será + ó – .
7 to. Construir el conjunto solución con los intervalos que cumplen con la condición 
 inicial > 0 o < 0.
8 to. Finalmente revisar si los puntos críticos se suman o no al conjunto de valores que forman 
el conjunto solución.
Ejemplos:
Resolver la inecuación x2 + 5x – 6 > 0
1 ro. x2 + 5x – 6 > 0
2 do. (x + 6)(x – 1) > 0
3 ro. Pts. críticos –6 y 1
Resolver la inecuación x xx
2
3 0
–2 #++ 
1 ro. x xx
2
3 0
–2 #++ 
2 do. 0#x
x x
3
2 1–
+
+_ _i i
 
3 ro. Pts. críticos – 3 , –2 y 1
4 to, 5 to, 6 to.
( x + 6) – + +
–
+ – +
– +
– 6 1– ∞ + ∞
( x – 1 )
(x + 6)(x – 1)
> 0 > 0
7 mo ∴ el conjunto solución de la 
inecuación esta dado por: 
] – ∞ , –6 [ ∪ ] 1 , +∞ [
4 to, 5 to, 6 to.
( x + 2)
( x + 3) –
–
–
–
+
–
–
+
+
+
–
–
+
+
+
+
– 3 – 2 1– ∞ + ∞
( x – 1 )
≤ 0 ≤ 0
x
x x
3
2 1–
+
+_ _i i
 
7 mo ∴ el conjunto solución de la 
inecuación esta dado por: 
] – ∞ , – 3 [ ∪ [ –2 , 1 ]
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 205
Capítulo 8
Desigualdades e inecuaciones │ Ejercicios 
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. Sean a, b, c tres números reales tales que a < b y c < 0. ¿ Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) 
verdadera(s)?
I. ac < bc
II. a + c < b + c
III. a – c < b – c
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
2. Si a, b y c son números reales, con b > c > a y c ≠ 0 , ¿ cuál(es) de las siguientes desigualdades es falsa ?
A ) b – c > a – c
B ) c2· a < c2· b
C ) c3 > a · c2
D ) (a – c)· b > (a – c)· c
3. Si se sabe que b < a < –1, entonces es falso que:
A ) (b + a)(b – a) > 0
B ) a + b < 2a
C ) a2 > b2
D ) 2a < – 2(b + 2)
4. Si x ≠ 0 es un número real, ¿ cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera ?
I. x2 > 0
II. x2 > x
III. |x| > 0
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
 
Capítulo 8 | Desigualdades e inecuaciones
206
5. Si se sabe que x ! ] –1 , 0 [ ∪ ] 0 , 1 [ , entonces es cierto que:
I. x(x – 1) > x
II. 
x
1
2 > x
1
III. x2 – 1 < 0
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D )Solo II y III
6. Si ab > bc , a, b y c mayores que cero, entonces ¿ cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verda-
dera(s)?
I. – 3ab > – 3bc
II. – a < – c
III. c a
1 1>
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
7. Si –1 < x < 0, ¿ cuál de las siguientes opciones es verdadera ?
A ) x x
1
– –<
B ) x x
1<
C ) x x
1 <
D ) x
1 1>
8. El intervalo solución de la inecuación 3x – 14 < 7x – 2 es :
A ) [ –3 , +∞ [
B ) ] –∞ , – 3 [
C ) ] –3 , +∞ [
D ) ] 3 , +∞ [
9. Al resolver la inecuación x 2
5 3 0–
–
# , se obtiene :
A ) 3 ≤ x ≤ 5
B ) x ≤ 5
3
C ) x ≤ – 5
3
D ) x ≥ 5
3 
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 207
10. ¿ A lo más, cuántos melones a $ 200 cada uno, más una sandía de $ 1.800 se pueden comprar con un 
billete de $ 20.000 ?
A ) 89
B ) 90
C ) 91
D ) 92
11. Lucía pesa 12 kilos más que su hija Pía, pero pesa el triple que su nieta Josefa. Si entre las tres suman por 
lo menos 177 kilos, ¿cuál es el peso x de Josefa?
A ) x < 25
B ) x ≤ 26
C ) x ≤ 27
D ) x ≥ 27
12. Si se sabe que a y b son números enteros tales que a > 0 y que b ≥ 0, entonces siempre es cierto que:
I. ab > 0
II. b
a es un número racional
III. a + b ≥ a – b
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
13. Si m es un número natural mayor que 3, ¿ cuál es la relación correcta entre las fracciones: x = m
5 , 
y = m 1
5
– , z = m 1
5
+ ?
A ) x < y < z
B ) z < x < y
C ) y < z < x
D ) z < y < x
14. En una autopista, todo auto debe estar en movimiento, pero la máxima velocidad v permitida es 
de 120 km/h. Al expresar matemáticamente esta proposición, se tiene:
A ) 0 < v ≤ 120 
B ) 0 < v < 120
C ) v > 120
D ) v ≥ 120
 
Capítulo 8 | Desigualdades e inecuaciones
208
15. ¿ Cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)?
I. ≥a a
1 2+ , a R6 ! +
II. ≤
a
a
1 2
1
4
2
+
 , a R6 !
III. a b1 1 2≥+ +^ ^h h , si a > 0 , b > 0 y ab = 1
A ) Solo I
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
16. De las siguientes desigualdades, son siempre verdaderas :
I. x2 + y2 ≥ 2xy
II. x2 + 4 ≥ 4x
III. x + x
1 > 2
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
17. Para tener opciones de obtener una medalla en una competencia de velocidad, un atleta requiere un 
tiempo de T segundos. Si su marca actual está en M segundos, y esto lo tiene a por lo menos 1 segundo 
de la marca que le permitiría tener opciones para una medalla, ¿cuál de las siguientes desigualdades 
es siempre verdadera?
A ) M – T ≥ 1
B ) T – M ≥ M – 1
C ) M + T ≤ 1 – T
D ) 
M T
M
+^ h
 < 1
18. El doctor Chapatín indicó a su paciente que, considerando su peso actual (Pa) y su peso ideal (Pi), 
debería bajar por lo menos 12 kg. La expresión matemática para esta relación es :
A ) Pa – Pi ≤ 12 
B ) Pi + 12 ≥ Pa 
C ) Pi ≤ Pa – 12
D ) 12 – Pa ≤ Pi 
19. Sean a, b números enteros distintos. La expresión 
a b
a b2 2
2-
-^ h es positiva si:
( 1 ) b – a < 0
( 2 ) a > b > 0
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se require información adicional
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 209
20. ¿Cuál de los siguientes intervalos corresponde a la representación gráfica del conjunto solución de la 
inecuación 2(x + 3) ≤ 3(2 – x)?
21. La solución gráfica de la inecuación ( x – 2 )2 ≤ ( x – 1 )2 – 5 es :
4
4
4
4
A)
B)
C)
D)
22. El conjunto solución de (x + 2)2 – 5 > x(x + 3) es:
A ) { x ∈ R / x > 1 }
B ) { x ∈ R / x ≤ 2 }
C ) { x ∈ R / x ≥ 3 }
D ) { x ∈ R / x ≤ –1 }
23. ¿ Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la solución de la inecuación (x – 1)2 ≤ x(x – 4) + 8 ?
I. x ≤ 2
7 
II. , 2
7–3B B
III. 
2
7
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) I, II y III
D ) Ninguna de ellas
24. ¿Para qué valores de x se satisface la desigualdad siguiente: x(x + 2) + 3 ≥ (x – 3)2 + 2?
A ) x < –1
B ) x ≥ 1
C ) x ≤ 2
D ) x > –3
A )
0
B )
0
D )
–3
E )
2
 
Capítulo 8 | Desigualdades e inecuaciones
210
25. ¿Cuál(es) de los siguientes números pertenece(n) al conjunto solución de la inecuación x4 ≥ 2 – 
x
6
5 ?
I. 1
II. 2
III. 5
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
26. ¿Cuál(es) de los siguientes números NO es(son) solución de la inecuación x3
2 + 2 ≥ x6- ?
I. –3
II. 1
III. –2
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
27. Al resolver la inecuación ≤x x x4 8 3 8
– –+ se obtiene como conjunto solución :
A ) { x ! R / x ≤ –12 }
B ) { x ! R / x ≤ 12 }
C ) R
D ) Ø
28. ¿ Cuál de los siguientes intervalos es el conjunto solución de la inecuación x x1 3
8 1 4
11≤+ + ?
A ) [ 2 , +∞ [
B ) ] –∞ , 0 ]
C ) ] –∞ , 2 ]
D ) [ 0 , +∞ [
29. Considere los siguientes conjuntos:
I. A = { –12 , –10 , –8 , –6 , –4 , –2 , 0 , 2 , 4 }
II. B = { –15 , –10 , –5 , 0 , 5 , 10 , 15 }
III. C = { 3 , 6 , 9 , 12 , 15 }
¿Cuál(es) de los conjuntos anteriores contiene(n) algún elemento que satisface la inecuación 
2(x + 3) ≤ 2 + x 2
1- ?
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) Todos
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 211
30. El conjunto solución de x5
2 4+ < x7
3 5- es:
A ) x > 2
5
B ) x < 3
1–
C ) x ≥ 3
7
D ) x ≤ 5
2-
31. El conjunto solución de x3 – 
x
2
1- ≤ 6
1 – x2
2 1- es:
A ) x ≤ 5
1
B ) x ≥ 3
2
C ) x < 4
1-
D ) x ≥ 7
1-
32. La expresión x– representa un número real si x pertenece a :
A ) ] –∞ , 0 [
B ) ] –∞ , 0 ]
C ) R
D ) [ 0 , +∞ [
33. Sean a, b, c números reales. El resultado de la raíz cuadrada dada por: c
a b2 2- , es un número real si:
( 1 ) a > b y c > 0
( 2 ) a2 – b2 > 0 y c ≠ 0
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se require información adicional
34. La expresión 
x2
3
–
 representa un número real si x pertenece a :
A ) ] 2 , +∞ [
B ) ] –∞ , –2 [
C ) ] –∞ , 2 ]
D ) ] –∞ , 2 [
35. Si p es un número perteneciente al intervalo real [– 3 , 8 ] y q es un número entero no negativo y menor 
que 5, ¿cuál es el mínimo valor que puede tomar la expresión p· q?
A ) – 32
B ) – 18
C ) – 12
D ) – 9
 
Capítulo 8 | Desigualdades e inecuaciones
212
36. Considere los siguientes intervalos de números enteros:
A = { x ∈ Z / –2 ≤ x < 5 } y B = { y ∈ Z / 2 < y ≤ 10 }
¿Cuántos son los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B?
A ) 1
B ) 2
C ) 4
D ) 6
37. ¿ A cuál intervalo pertenecen los números reales que son mayores que su cuadrado ?
A ) ] –∞, 1[
B ) ] 0 , 1 [
C ) ] 0 , +∞[
D ) ] –1 , 0 [
38. ¿ Cuántos números enteros cumplen simultáneamente con las dos condiciones siguientes ?
I. El doble del número, más 1, es mayor que 3
II. El triple del número, más 2, no es mayor que 23
A ) 5
B ) 6 
C ) 7
D ) Infinitos
39. Don Juan tiene un carrito donde vende sopaipillas. Don Juan las compra en $ 80 cada una y las vende 
en $ 150 cada una. Si en aceite gasta diariamente 2 botellas, cuyo precio es $ 1.800 cada una, ¿cuántas 
sopaipillas como mínimo debería vender, si quiere que en una jornada sus ganancias sean mayores a 
$ 20.000?
A ) 326
B ) 330
C ) 338 
D ) 345
40. Una función lineal F va tomando valores según los valores que vaya tomando la variable x, y por eso 
existe una relación entre F y x, dada por F = 3x + 5. ¿Para qué valores de x, el valor de F será mayor que 
11, pero menor o igual que 20?
A ) 2 < x ≤ 4
B ) 2 < x ≤ 5 
C ) 4 < x ≤ 9
D ) 5 < x < 10
41. ¿Cuántos son los números naturales que cumplen con la condición que su doble, disminuido en 5 
unidades, es mayor que su triple aumentado en 2 unidades?
A ) 0
B ) 1
C ) 2
D ) 3
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 213
42. Considere la proposición siguiente: “La tercera parte de un número, aumentada en 5, es mayor en más 
de 3 unidades, que su cuarta parte disminuida en 7”. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe estarelación?
A ) 3(x + 5) > 3 + x 4
7-
B ) x3 + 5 > 
x
4 – 7 + 3 
C ) 3x – 3
5 > x4 – 7
D ) x3 + 5 > 
x
4
7- + 3
43. Cada dosis de una inyección de un antibiótico contiene 2 ml de un compuesto natural y se debe usar 
una dosis por cada 30 kilogramos o fracción de peso de una persona. Si en un grupo de personas hay 
15 niños cuyos pesos van desde los 30 a los 45 kg y por otro lado hay 25 adultos, cuyos pesos van desde 
los 55 a los 80 kg. ¿Cuál es la cantidad de dosis que se requerirá para todas estas personas?
A ) Entre 63 y 70
B ) Entre 70 y 108
C ) Entre 55 y 120
D ) Entre 65 y 105 
44. Si 5 veces un número se disminuye en 3 unidades resulta un número menor de 27, entonces el número 
debe ser menor que :
A ) 5
24
B ) 6
C ) 5
42
D ) 2
27
45. Si se consideran los números del 1 al 50, ¿cuáles son los resultados que se obtienen al sumar todos los 
posibles tríos de números diferentes y consecutivos, que se pueden formar en este conjunto?
A ) Todos los múltiplos de 3 que son mayores que 3 y menores que 150 
B ) Todos los números pares del 6 al 150
C ) Todos los números múltiplos positivos de 6, que son menores que 150
D ) Todos los números del 6 al 147
46. Si el cuádruple de un número no es mayor que el triple del mismo número, más cuatro unidades, entonces 
¿ cuántos números naturales existen, que cumplan dicha condición ?
A ) 12
B ) 5
C ) 4
D ) Infinitos
47. El intervalo de números reales que se encuentran a lo más a 25 unidades del número 4 es :
A ) ]–29 , 21[
B ) ]–21 , 29[
C ) [–21 , 29] 
D ) ]–∞ , 29]
 
Capítulo 8 | Desigualdades e inecuaciones
214
48. ¿ Cuántos números enteros no negativos cumplen la condición: “El triple del exceso de 8 sobre el doble 
de un número es mayor o igual a 6” ?
A ) 2
B ) 3
C ) 4
D ) 5
49. Sean a, b ! R, el resultado de a a ba b
2 3-
-^^ hh es real positivo, si:
( 1 ) a ≠ b
( 2 ) a ≠ 0
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se require información adicional
50. Se quiere poner 24 libros en un estante de modo que en la parte superior haya al menos 7 libros y en 
la inferior, menos del doble que en la superior, pero más de 13. ¿ Cuántos libros se podrán poner en la 
parte superior del estante ?
A ) Más de 9
B ) 9 ó más
C ) 10 ó menos
D ) 9 ó 10 
51. La curva del IMC = 
( )
( )
estatura m
masa kg
2 2 de un basquetbolista de la NBA, cuya estatura es 2 m, fluctuó durante 
un mes entre los 16,25 y los 24. ¿Cuál fue su peso durante este tiempo?
A ) Entre los 70 y los 100 kg
B ) Entre los 65 y los 96 kg 
C ) Entre los 75 y los 110 kg
D ) Entre los 80 y los 98 kg
52. ¿ Cuántos números naturales no cumplen la condición de que su tercera parte más 8 sea menor que su 
quíntuplo ?
A ) 1
B ) 2
C ) Ninguno
D ) Todos
53. Un artesano tiene x collares que él mismo fabricó, vende 60 y le quedan más de la mitad. Tras esta venta, 
fabrica 5 collares más, vende 27 y le quedan menos de 40 collares. ¿ Cuántos collares fabricó en total ?
A ) 121
B ) 122
C ) 125
D ) 126 
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 215
54. ¿ Cuántos números enteros cumplen simultáneamente con las dos condiciones siguientes ?
I. El triple del número no supera su mitad, aumentada en 25 unidades
II. El exceso del cuádruplo del número sobre 2 supera las 6 unidades
A ) 6
B ) 7
C ) 8
D ) 9
55. ¿ Cuántos números naturales cumplen la condición de que su décima parte es mayor o igual que su 
mitad disminuida en 2 ?
A ) 2
B ) 3
C ) 4
D ) 5
56. “La quinta parte de un número disminuido en 3 es mayor que el doble de él”. Esta proposición se escribe 
algebraicamente como :
A ) x x5
3 2– 2
B ) x x5 3 2– 2
C ) x x5
3 2– 1
D ) x x5 3 2– 1
57. El doble de un número natural se aumenta en 3. El doble de esta expresión resulta menor a 12. ¿ Cuál es 
el número ?
A ) 1
B ) 2
C ) 3
D ) 4
58. Los números enteros tales que su cuarta parte es menor que su mitad, disminuida en 2, son los números :
A ) Menores que 8
B ) Mayores que –8
C ) Mayores que 8
D ) No hay
 
Capítulo 8 | Desigualdades e inecuaciones
216
59. Producto de la pandemia, muchos arrendatarios dejaron de pagar sus arriendos o bien pidieron un 
descuento en el total de la mensualidad. Si de los 25 departamentos que tiene una empresa inmobiliaria, 
entre 4 y 7 tendrán un descuento del 30% a fin de mes en su mensualidad, y ya se ha confirmado que 
entre 5 y 8 departamentos perderán sus arrendatarios a fin de mes. ¿Cuánto menos dejará de recibir la 
empresa inmobiliaria si cada departamento tiene un arriendo de $ 400.000?
A ) Entre $ 1.680.000 y $ 2.860.000
B ) Entre $ 2.480.000 y $ 4.040.000 
C ) Entre $ 3.620.000 y $ 5.670.000
D ) Entre $ 5.960.000 y $ 7.520.000
60. Las medidas de las alturas de dos edificios tienen una diferencia de 30 metros, pero si las sumáramos, 
resultaría como máximo 290 metros. ¿Cuál es la altura x del más alto de los edificios, si el más pequeño 
mide a lo menos 40 metros?
A ) 55 ≤ x ≤ 105
B ) 40 ≤ x ≤ 108
C ) 60 ≤ x ≤ 120
D ) 70 ≤ x ≤ 160
61. Wladimir compró N pliegos de papel de volantín para fabricar mini volantines para decoración, que 
venderá este 18 de Septiembre. Ya ha ocupado 10 pliegos completos y parte de uno, de los N pliegos 
que compró. Con cada pliego de los que le quedan puede construir 12 mini volantines y, con el resto 
del pliego que está incompleto, puede fabricar al menos 1 pero no más de 6 mini volantines. ¿Cuál es 
la expresión que permite conocer el número X de mini volantines que aún puede fabricar Wladimir con 
el papel que le queda?
A ) 12(N – 11) + 1 ≤ X ≤ 12(N – 11) + 6
B ) (12N – 10) – 1 < X ≤ 12N + 6
C ) 12(N – 10) ≤ X ≤ 12(N – 9) – 6
D ) 12N – 11 < X ≤ 12(N – 9) + 6
62. Un cuadrado de alambre es desarmado y el alambre es estirado formando un segmento recto. Si bien, 
no se sabe la longitud del alambre estirado, se sabe que el perímetro del triángulo que se podría construir 
con él, va desde los 16 a los 24 centímetros. ¿Entre qué medidas estaba el área A del cuadrado original?
A ) 4 cm2 ≤ A ≤ 49 cm2
B ) 25 cm2 ≤ A ≤ 64 cm2
C ) 9 cm2 ≤ A ≤ 49 cm2
D ) 16 cm2 ≤ A ≤ 36 cm2
63. Considere los siguientes conjuntos:
A
–6 –3 –1 4
B
Si definimos el conjunto C = { x / x = a + b , donde a ∈ A y b ∈ B }, ¿cuál es el valor de la suma entre 
el mínimo y el máximo valor del C?
A ) –6
B ) –5
C ) –2
D ) 1
 
Desigualdades e inecuaciones | Capítulo 8
Matemática Para Nacional 217
64. Si un número “x” es mayor que un número a < 0 y a “x” lo elevamos al cuadrado, le sumamos b y luego 
lo dividimos por un número positivo c, el resultado es siempre:
A ) Menor que c
a b2 +
B ) Mayor o igual que c
a b2 +
C ) Menor o igual que c
a b2 +
D ) No se puede asegurar ninguna de las afirmaciones anteriores
65. Se puede determinar la cantidad A de alumnos que hay en una sala, si:
( 1 ) 40 < A2 < 75
( 2 ) 29 < 4A < 39
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
218
1. LOGARITMOS
El logaritmo de un número real positivo “a”,corresponde al exponente “c” al que se debería 
elevar un número “n” (al que llamaremos la base del logaritmo) para obtener “a” como 
resultado. Es decir, n ac = . Por lo tanto, podemos ver que:
log n a = c , n
c = a, con a ! R+, n ! R+ – {1} y c ! R.
Lo anterior se lee “el logaritmo de a, en base n, es c”. Las distintas partes de esta nomenclatura 
se definen como sigue: “a” es el Argumento del logaritmo; “n” es la Base del logaritmo y, “c” 
se define simplemente como el logaritmo. 
Ejemplo: El log 3 81 = 4 , pues 3
4 = 81.
Notas:
 2 Si la base de un logaritmos es 10, se acostumbra no explicitar por escrito dicha base y escribir 
simplemente log. Ejemplo: Para denotar log 10 x , escribimos simplemente log x.
 2 El resultado “c” de un logaritmo puede ser cualquier número real. Por tanto c R! .
 2 Si la base del logaritmo es el número e (e =2,7128 ... ), se denomina Logaritmo Natural y se 
denota por “ln”. Ejemplo: log e x = ln x
 2 El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación.
a. Propiedades de los logaritmos
Sean: a, b, n, m ! R+ , con n, m ≠ 1, se cumple:
i. Logaritmo de 1
El logaritmo de 1 es cero, 
independiente de la base 
utilizada.
log n 1 = 0 Ejemplo:
log 7 1 = 0
ii. Logaritmo de la base
Si el valor del argumento y de 
la base coinciden, el logaritmo 
es igual a uno.
log n n = 1 Ejemplo:
log 23 23 = 1
iii. Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es 
igual a la suma de los logarit-
mos de los factores.
log n (a· b) = log n a + log n b Ejemplo:
log 3 (2· 7) = log 3 2 + log 3 7
iv. Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia 
es igual al exponente multipli-
cado por el logaritmo de la 
base de la potencia.
log n a
b = b · log n a Ejemplo:
log 3 4 
5 = 5 · log 3 4
“Los que dicen que es imposible, no 
deberían molestar a los que lo están 
haciendo”
— ALBERT EINSTEIN —
CIENTÍFICO ALEMÁN
Capítulo 9
LOGARITMOS
Escanea este código QR y verás la 
clase en video de este capítulo.
moraleja.cl/mpn5-9
 
Logaritmos | Capítulo 9
Matemática Para Nacional 219
v. Logaritmo de una división
El logaritmo de una 
división es igual a la 
diferencia entre el 
logaritmo del numerador 
y el logaritmo del 
denominador.
log n b
a` j = log n a – log n b Ejemplo:
log 6 4
3c m = log 6 3 – log 6 4
vi. Cambio de base
El logaritmo en base n de 
a, puede escribirse como 
la división de dos logarit-
mos de igual base.
log log
log
a n
a
n
m
m= 
Ejemplo:
log log
log
7 5
7
5
2
2= 
vii. Reducción vía producto
Si multiplicamos dos loga-
ritmos y la base de uno de 
ellos coincide con el argu-
mento del otro, podemos 
simplificar ambos valores y 
obtenemos como resul-
tado un logaritmo con la 
base y el argumento no 
simplificados.
log n b· log b c = log n c Ejemplo:
log log log5 3 37 5 7$ = 
viii. Logaritmos con base una potencia
El logaritmo en base 
“na ”, es la a-ésima parte 
del logaritmo en base “n” log na b = 
1
a · log n b
Ejemplo:
log log16 2
1 163 32 $=
ix. Cambio de signo
El logaritmo en base n 
de a, es igual al inverso 
aditivo del logaritmo cuya 
base es el reciproco de n, 
de a, o es igual al inverso 
aditivo del logaritmo en 
base n del reciproco de a.
log loga a–n n1
= ` j 
ó
log loga a
1–n n= ` j 
Ejemplo:
log log8 8 3–2 2
1= =` j
Ejemplo:
log log 1 216 16–4 4= =c m
 
Capítulo 9 | Logaritmos
220
b. Relación de orden de logaritmos
Sean los argumentos a y b números reales positivos, y las bases n y m números reales positivos 
distintos de 1. Para ordenar logaritmos podemos utilizar alguno de los siguientes métodos, 
según sea el caso.
i. Caso 1: Bases iguales
• Para ordenar logaritmos de bases iguales y 
mayores que 1, basta comparar los argumentos.
Si n > 1 y a < b, entonces log n a < log n b.
Esto es, “a mayor argumento, mayor es el 
logaritmo”.
Ejemplo: 
Comparar log 2 8 y log 2 16.
Dado que tienen base igual ma-
yor que 1:
 log 2 8 < log 2 16
• Para ordenar logaritmos de bases iguales, entre 
0 y 1, basta comparar los argumentos.
Si 0 < n < 1 y a < b, entonces log n a > log n b.
Esto es, “a mayor argumento, menor es el 
logaritmo”.
Ejemplo: 
Comparar log 8
2
1 y log 16
2
1
Dado que tienen base igual me-
nor que 1:
 log 8
2
1 > log 16
2
1
Conclusión: (Recordar que logn1 = 0)
 » Si n > 1 y a ≥ 1, se cumple que logna ≥ 0. En cambio, si n > 1 y 0 < a < 1, se tendrá que 
logna < 0.
 » Si 0 < n < 1 y 0 < a ≤ 1, entonces logna ≥ 0. En cambio si 0 < n < 1 y a > 1, entonces 
logna < 0.
ii. Caso 2: Bases distintas y argumentos distintos
En caso de que tanto los argumentos como las bases sean distintas, una posibilidad es cambiar 
las expresiones originales hasta llegar a expresiones equivalentes con base común, aplicando 
propiedades.
Ejemplo: 
Comparar log 4 3 y log 8 5.
Aplicando la propiedad de cambio de base, podemos reescribir convenientemente ambas 
expresiones como división de logaritmos de base 2 (usamos 2, ya que 2 es la mayor base 
común si escribimos 4 y 8 como potencias).
log log
log log
log log3 4
3 3
2
1 3 324 2
2 2
2 2$= = = = y log log
log log
log log5 8
5 5
3
1 5 538 2
2 2
2 2
3$= = = =
Ahora que ya hemos igualado las bases de los logaritmos, debemos comparar sus argumentos, 
y para eso debemos igualar a 6 los índices de las raíces (6 es el m.c.m entre 2 y 3).
Esto es: 3 3 3 27321 63 36 6= = = =^ h y 5 5 5 2553 3 62 261 6= = = =^ h . Como 27 > 25 , entonces 
27 25>6 6 y, por tanto, 3 > 53 . 
Con lo anterior, y dado que las bases de ambos logaritmos son iguales y mayores que 1, se 
tiene que log log3 52 2 32 y, por lo tanto, concluimos que log 4 3 > log 8 5.
 
Logaritmos | Capítulo 9
Matemática Para Nacional 221
Ejemplos:
1. Al aplicar la definición de logaritmo a la expresión log 3 2 = a , resulta :
(DEMRE 2006)
A ) a3 = 2
B ) a2 = 3
C ) 32 = a
D ) 3a = 2
2. ¿ Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12 ?
(DEMRE 2008)
A ) log 6 · log 2
B ) log 10 + log 2
C ) log 2 · log 2 · log 3
D ) log 6 + log 2
3. ¿ Cuál de las siguientes igualdades es verdadera ?
(DEMRE 2012)
A ) log 10 = 1
B ) log 5 51 =
C ) log 64 6
2
1 =f p
D ) log 27 3– –3 =` j
4. Si se considera que log 2 . 0,3 y que log 3 . 0,5, ¿cuál de los siguientes valores es igual a log 6 ? 
(DEMRE 2020)
A ) 0,4
B ) 0,64
C ) 0,075
D ) ,0 8
5. log4
1
4
1– 2 =
(DEMRE 2014)
A ) 2
1–
B ) 4
1–
C ) 8
1
D ) 2
1
 
Capítulo 9 | Logaritmos
222
6. log log
log
1 27
16
–2
3
2 =
(DEMRE 2013)
A ) 3
4–
B ) –1
C ) 3
4
D ) 3
1–
7. ¿Cuál es el valor de log 3 5 · log 7 3 · log 5 7 ?
A ) –2
B ) –1
C ) 1
D ) 2
8. Si log 3 a = 18, ¿cuál es el valor de log 27 a
2 ?
A ) 6
B ) 9
C ) 12
D ) 18
9. Al reducir al máximo la expresión log 8 25 · log 5 4
3, se obtiene:
A ) 2
B ) 4
C ) 10
D ) 16
10. log 2
2
1 =
(DEMRE 2021)
A ) 2
1-
B ) 2
1
C ) 24
D ) 2
1-
11. ¿ Cuál de las siguientes igualdades es verdadera ?
(DEMRE 2016)
A ) log
log
2
10
 = log 5
B ) log 2 16 = 8
C ) log 73 = 3
1 log 7
D ) log 5 15 · log 5 3 = log 5 45
 
Logaritmos | Capítulo 9
Matemática Para Nacional 223
12. Si log 2 = m , log 3 = n y log 5 = p , ¿ cuál de las siguientes expresiones es igual a log 
5
36d n ?
(DEMRE 2019)
A ) 2m + 2n – 
p
2
B ) 
p
m n2 2+
C ) m2 + n2 – p
D ) m np
2 2
2
+
13. Sean a y b números positivos. ¿Cuál de las siguientes alternativas es equivalente a la expresión 
log ( a + b )2 – log ( a + b ) ?
(DEMRE 2009)
A ) a + b
B ) log a + 3log b
C ) log a + log b
D ) log ( a + b )
14. Sean x e y números positivos, la expresión log ( x3 · y–2 ) es siempre igual a :
(DEMRE 2011)
A ) –6 · log ( xy )
B ) 2
3– · log( xy )
C ) 3 · log x – 2 · log y
D ) ( 3 · log x )( –2 · log y )
15. Si log m = p y log b5 = q , ¿ cuál de las siguientes expresiones es siempre igual a log mb ?
(DEMRE 2018)
A ) p + q10
B ) p + q5
C ) pq5
D ) pq10
16. ¿ Cuál(es) de las siguientes desigualdes es(son) verdadera(s)?
I. log 4 64 > log 2 8
II. log 9 2 > log 27 10
III. log 10 < log 2 3
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
 
Capítulo 9 | Logaritmos
224
17. El valor numérico de log logab b
a+^ `h j se puede determinar si :
(DEMRE 2006)
( 1 ) a = 1.000
( 2 ) b = 100
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
18. ¿ Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2006)
I. log 1 · log 20 = log 20
II. log 2
1 · log 30 < 0
III. log 4 · log 10 = log 4
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
19. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2007)
I. log 9
1 2–3 =c m
II. Si log x 2–3 = , entonces x = 3
III. Si log 49 2–x = , entonces x = 7
1
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
20. Si log 10 = p , log q 64
27c m = – 3 y log
3
1c m r = – 2 ,¿ cuál es el valor de (pqr)?(DEMRE 2017)
A ) 24
1
B ) 12
C ) 12
1
D ) 6
 
Logaritmos | Capítulo 9
Matemática Para Nacional 225
2. ANEXO: ECUACIÓN LOGARÍTMICA
Se llaman ecuaciones logarítmicas a 
aquellas ecuaciones que tienen la in-
cógnita en el argumento del logaritmo.
Una posible estrategia para resolver 
ecuaciones logarítmicas es, reducir la 
ecuación a una igualdad de logaritmos 
de igual base, y una vez hecho esto, 
igualar los argumentos de ambos loga-
ritmos. 
log x = log y + x = y
Por último, es importante verificar que el 
valor de x encontrado, al reemplazarlo 
en la ecuación original, haga que todo 
esté bien definido en dicha ecuación 
y que al mismo tiempo se satisfaga la 
igualdad al reemplazar el valor encon-
trado de la incógnita.
Ejemplos:
 2 log x = 3
log x = 3· log 10
log x = log 103
log x = log 1.000
∴ x = 1.000
Ojo que también existen ecuaciones que 
no tienen solución:
 2 log (4x – 7) = log x + log 5
 log (4x – 7) = log 5x
 4x – 7 = 5x
 – 7 = x
Al reemplazar x = – 7 en los argumentos de 
la ecuación original, resultan argumentos 
negativos
∴ no tiene solución
3. ANEXO: ECUACIÓN EXPONENCIAL CON DISTINTA BASE
Se llaman ecuaciones exponenciales a aquellas ecuaciones que tienen la incógnita en el 
exponente de una potencia. Algunas veces, es posible resolverlas por medio de igualación 
de las bases de las potencias involucradas en la ecuación y aplicando propiedades de 
potencias. Otras veces no es posible igualar las bases.
Cuando tenemos una ecuación exponencial en la que no es posible igualar bases, aplicamos 
logaritmos, esto lo hacemos ya que una de las propiedades del logaritmo permite llevar el 
término que está en el exponente del anti–logaritmo al numerador.
El procedimiento requiere que tengamos solo una expresión a cada lado de la igualdad y 
entonces aplicamos logaritmo. Luego aplicamos las propiedades del logaritmo y despejamos 
la incógnita.
Ejemplo:
 2 2 3x x3 1 2– = +
/ ( )log2 3x x3 1 2– = +
x /log log aplicamos propiedad iv2 3x3 1 2– = +
/
/
/
/ :
log log
log log log log
log log log log
log log log log log log
log log
log log
min
x x
x x
x x
x
x
aplicamos propiedad distributiva
dejamos t r os con x a un lado
factorizamos por x
3 1 2 2 3
3 2 2 3 2 3
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2 3 2 3
3 2 3
2 3 2
–
–
–
– –
–
é
$ $
$ $ $
$ $ $
$ $ $
`
$
$
= +
= +
= +
= +
= +
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
 
Capítulo 9 | Logaritmos
226
Capítulo 9
Ejercicios │ Logaritmos
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. log 2 (–2) =
A ) –2
B ) –1
C ) 1
D ) No está definido en los números reales
2. log3 9
1c m = 
A ) 3
1
B ) 3
1–
C ) 2
D ) –2
3. log 5 3^ h =
A ) log ( 3· 5 )
B ) 2
3 · log 5
C ) log 56
D ) 5 · log 3
4. log 0,01 0,001 =
A ) – 1,5
B ) – 1
C ) 0,5
D ) 1,5
5. El valor numérico de la expresión log 0,001 + log 0,3 0,0081 es :
A ) 1
B ) 0,5
C ) – 0,5
D ) – 1
 
Logaritmos | Capítulo 9
Matemática Para Nacional 227
6. log 0,666...
 
16
81 =
A ) – 4 
B ) – 2
C ) 2
D ) 4
7. log 3 – 3
1 · log 27 – 1 =
A ) – log 10
B ) –2 log 3
C ) 2 log 3 – 1
D ) 0
8. log 273 =
A ) 1
B ) 3
C ) 6
D ) 9
9. log 0,25 (16· 4
3 ) =
A ) 3
7
B ) 3
7–
C ) 3
1
D ) 3
1–
10. Si b > 1, entonces log 4 ( log b b
16 ) =
A ) 0
B ) 1
C ) 2
D ) 4
11. Si a = 3 (log 12 4 + log 12 3) , entonces a es :
A ) 21
B ) 12
C ) 3
D ) log 12 ( 7
3 )
12. log 9
1 33 3 c m=
A ) –2
B ) –1
C ) 1
D ) 2
 
Capítulo 9 | Logaritmos
228
13. log log9 8$ =
log2 27
A ) 3
4
B ) log 3
4
C ) log 2
D ) log 3
14. log
log log
36
16 27
1–
6
2 3 =
A ) 2
7
B ) 6
7
C ) 6
17
D ) 2
1
15. log 3 – log 3 = 
A ) log (3 – 3 )
B ) 2
1 log 3 – 3
C ) 2
1 log 12 – log 2
D ) – log 3 3
16. Si logx
3
1
3=
logc m , e 
log
y
27
1
4
1
=
logc
` j
m . Entonces x : y =
A ) 4
3
B ) 6
1
C ) log
log
2 2
3 3
D ) log
log
4 2
3 3–
17. El valor numérico de la expresión 
log log
9
1
5 32
3
5 2+
log c m es :
A ) – 3 
B ) 8,5
C ) 12
D ) 51
 
Logaritmos | Capítulo 9
Matemática Para Nacional 229
18. ¿ Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?
I. log 1· log 5 = log 5
II. log 10
1 < 0
III. log 6· log 10 = log 6
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
19. Se puede determinar el valor de log 20 si :
( 1 ) log 3 = 0,4
( 2 ) log 2 = 0,3
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
20. Si y = 5x , con x > 0 , entonces log 5 x – log 5 y =
A ) –1
B ) 1
C ) 0
D ) 0,2
21. Si log 2 m – log 2
 n = 5 , con m > 1 y n < 1, entonces el cuociente n
m es igual a :
A ) 10
B ) 25
C ) 32
D ) 64
22. La expresión log b c
a
2 es equivalente a :
A ) log a – 2 log b + log c
B ) log a – 2 log b + 2 log c
C ) log a – 2 log b – log c
D ) log a + 2 log b + log c
23. log m – log n + log p =
A ) log (m – n) + log p
B ) log n
m` j + p
C ) log (m· p) – n
D ) log n
mp` j
 
Capítulo 9 | Logaritmos
230
24. ¿ Cuál de las siguientes opciones es igual a log 36 ?
A ) log
log
2
72
B ) log 30 + log 6
C ) log 4 ∙ log 9
D ) 2 log 2 + 2 log 3
25. ¿ Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a log 8 ?
I. log 4 + log 2
II. 3 log 2
III. 2 log 4 – log 2
A ) Solo I 
B ) Solo II 
C ) Solo II y III 
D ) I, II y III
26. ¿ Cuál de las siguientes opciones es igual a log 24 ?
A ) log 8 + log 3
B ) log 12 · log 2 
C ) log 20 + log 4 
D ) 2 log 12
27. La expresión log log5 5a a1+ vale :
A ) –1
B ) 0 
C ) 1
D ) 2
28. 
log
log
9
6 =
A ) log 9 – log 6
B ) 3(log 3 – log 2)
C ) log 69
D ) log 96
29. Si 4· log a = 1 , entonces log a =
A ) 16
1
B ) 8
1
C ) 4
1
D ) 2
1
 
Logaritmos | Capítulo 9
Matemática Para Nacional 231
30. Sea a un número real positivo distinto de uno. Si log a a 
n = 2 , entonces n =
A ) log a
a2
B ) log a
a2
C ) 2
D ) –2
31. Si x e y son números reales positivos, entonces dada la igualdad log y
x 0=` j , ella se satisface si y sólo si, 
la relación entre x e y es :
( 1 ) x – y = 0
( 2 ) y
x 1=
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
32. log 2
1` j + log 4 – 2 =
A ) –2 log 2
B ) log 2
C ) log 0,2
D ) log 0,02
33. Si log 2 = x , entonces log 400 es :
A ) 2x2
B ) 2x2 + 2
C ) 2x + 2
D ) 2x + 10
34. log m m
m m
1
2
+
+ =
A ) m + 1 
B ) m 
C ) 1 
D ) 0
35. Si log k = x , entonces log 100k =
A ) 100 + x
B ) 2 + k
C ) 2 + x
D ) 2x
 
Capítulo 9 | Logaritmos
232
36. Si log x = 0,3495 , entonces log x 2 =
A ) 0,3495
B ) ,0 3 495 2^ h
C ) ,2 0 3495$
D ) ,0 3 49 54 $
37. Si log x = a ; log y = b , entonces log xy3 =
A ) 3a + 3b
B ) 3ab
C ) a b3
1
3
1+
D ) ab3
1
38. Si log x = a , entonces log x =
A ) a
B ) 2a
C ) a2
1
D ) a
39. Si log x = y , entonces log 10x3 =
A ) 1 + 3x
B ) 1 + 3y
C ) 10 + 3x
D ) 10 + 3y
40. Si log 700 = 2,84 , entonces log 70 es :
A ) 28,4
B ) 3,84
C ) 1,84
D ) 0,284
41. La expresión log logb ca b$ es equivalente a :
A ) log cb
B ) log bc
C ) log ca
D ) log acb
42. El desarrollo logarítmico de log b
a
2
3 es :
A ) log 3 + log a – log 2 + log b
B ) log 3 – log 2 + log a – log b
C ) log 3 + log 2 – log a – log b
D ) log 5 + log a – log b
 
Logaritmos | Capítulo 9
Matemática Para Nacional 233
43. El valor de log log logp r qq p r$ $ es :
A ) pqr
B ) pqr
1
C ) p + q + r
D ) 1 
44. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. log 1 ∙ log 15 = log 15
II. log 0,5 ∙ log 20 < 0
III. log 3 ∙ log 10 = log 3
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) SoloI y II
D ) Solo II y III
45. Se puede determinar el valor numérico de la expresión real log logb d
a cb d
$
$ si , b ≠ 0, d ≠ 0 :
( 1 ) a = 1
( 2 ) b = 100 y d = 1.000
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
46. Si log x y a2 = y log y
x b2 = , entonces log y =
A ) a b3
1 2–^ h
B ) a b5
1 2 +^ h
C ) a b3
1 2+^ h
D ) a b5
1 2–^ h 
47. log
log
b
a
2
3= log c si :
( 1 ) a = 1.000 ; b = 100 ; c = 10
( 2 ) a = 10b ; b = 10c
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Capítulo 9 | Logaritmos
234
48. Dado que log ( 5 x· 2 x ) = 2, entonces x =
A ) 0
B ) 1
C ) 2
D ) 5
49. En la expresión log 3 x = 1, el valor de x es :
A ) 3
1
B ) 3
1–
C ) 3
D ) –3
50. Si log p1
2
–c m = 2 , con 1 – p > 0, entonces p es igual a :
A ) –98
B ) 50
49–
C ) 50
49
D ) 1
51. Si log ( m – 1 ) = 3, entonces m vale :
A ) 29
B ) 31 
C ) 999 
D ) 1.001
52. Si log x 23 = , entonces x =
A ) 3
B ) 1
C ) 3
D ) 6
53. ¿ Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
I. log3 18
1a k = – 6
II. Si logx 64 = –2, entonces x = 8
1
III. Si log5 x = 3, entonces x = 15
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo II y III
 
Logaritmos | Capítulo 9
Matemática Para Nacional 235
54. Si log 3 3
1c m = x ; log 0,5 y = 3 ; log z 21` j = –2 . Entonces xyz =
A ) –2
B ) 9
2
C ) 27
2–
D ) 8
2–
55. Si log 0,25 x = 2 ; log y 2 = 2
1 ; log 9
1
3 c m = z . Entonces xyz =
A ) –256
B ) –16
C ) 16
1–
D ) 16
56. En la igualdad log n 9 = 2 , el(los) valor(es) de n es(son) :
A ) – 81 y 81
B ) – 3 y 3
C ) 3 
D ) 81
57. Si ey = 3, entonces y =
A ) log 3
B ) ln 3 
C ) log 3 – log e
D ) lne
3
58. Si log a + log b = c – log b , entonces a =
A ) b2
10c
B ) 2· b· 10c
C ) 
b
10c
2
D ) b2· 10c
59. Si y a
log xa= _ i , entonces x vale :
A ) log a y
B ) log y a
C ) y 
D ) 0
 
Capítulo 9 | Logaritmos
236
60. Si log 162 = x
1 log4 16 entonces x =
A ) – 4
B ) 0,25 
C ) 0,5
D ) 16
61. Si log2 2 = m ; logn 8
27c m = –3 ; log0,2 x = –2 . Entonces mnx–1 =
A ) 75
B ) 75 –1 
C ) 0,03
D ) 0,12
62. Si .log 2 401x = 2 , entonces x es igual a :
A ) –7 y 7
B ) –7
C ) 7 
D ) 49
63. log logx x
1 + =
A ) logx x
1
B ) –1
C ) 0 
D ) 1
64. La magnitud M de un terremoto se calcula según la fórmula M = 
( )log E 118
15
–10
 , siendo esta medida en 
una escala en grados, llamada Escala de Richter, que va desde los 0ºR a los 10ºR, y E la energía liberada, 
expresada en Ergios. ¿Cuánta energía, en Ergios, libera un terremoto de 6,8 grados Richter?
A ) 1014
B ) 1022
C ) 1025
D ) 1028
65. Un cierto tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada una hora. Es decir, cada 1 hora el número 
de bacterias se duplica. Si tenemos un cultivo inicial de N bacterias y dejamos transcurrir h horas, lo 
anterior nos indica que dicha relación se debe representar mediante la siguiente fórmula: T = N · 2h, 
siendo T la cantidad total de bacterias. Con esta información, ¿cuántas horas (h) deben transcurrir para 
que nuestro cultivo alcance la cantidad de M bacterias?
A ) N + log2(M)
B ) M + log2(N)
C ) log(M + 2N)
D ) log2 N
Mb l
 
Ecuaciones de segundo grado | Capítulo 10
Matemática Para Nacional 237
1. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) en una variable desconocida o incógnita x, 
es toda aquella ecuación que pueda ser escrita en la forma ax2 + bx + c = 0 , siendo a, b y c 
coeficientes reales o literales que representan números reales fijos, con la consideración que 
a ≠ 0, cosa de que no desaparezca la parte que hace que nuestra ecuación sea de grado 2.
Todas las ecuaciones de segundo grado tendrán a lo más 2 soluciones reales y distintas, pero 
también existen ecuaciones de este tipo que no tienen soluciones reales y lo analizaremos en 
el transcurso de este capítulo. Antes, partamos por preguntarnos cómo resolver una ecuación 
de segundo grado. 
a. Métodos de resolución
Para determinar las soluciones (o raíces) de una ecuación de segundo grado, podemos hacerlo 
siguiendo alguno de los siguientes procedimientos: factorizar, completando cuadrados o bien 
utilizando la fórmula general.
i. Vía factorización
Se debe factorizar la expresión como el producto de dos binomios multiplicados 
eventualmente por el coeficiente de x2. Así se tendrá que, si nuestra ecuación 
ax2 + bx + c = 0 la escribimos en la forma a( x – x1 )( x – x2 ) = 0, sumado a que la única forma 
de que un producto de 0 como resultado, es que alguno de los factores sea igual a 0, esto nos 
obliga a que: o bien a = 0 (que no puede ser, pues dejaría de ser cuadrática la ecuación), o 
bien x – x1 = 0 (de donde obtendremos nuestra primera solución), o bien x – x2 = 0 (de donde 
obtendremos nuestra segunda solución).
Ejemplos:
 2 Resolver: x2 – 2x = 0
x( x – 2 ) = 0 
x = 0 ó ( x – 2 ) = 0
x 1 = 0 ; x 2 = 2
 2 Resolver: x2 – 5x + 6 = 0
( x – 2 )( x – 3 ) = 0
( x – 2 ) = 0 ó ( x – 3 ) = 0 
x 1 = 2 ; x 2 = 3
 2 Resolver: 3x2 – x – 2 = 0
( 3x + 2 )( x – 1 ) = 0
( 3x + 2 ) = 0 ó ( x – 1 ) = 0 
x 1 = 3
2– ; x 2 = 1
ii. Vía completación de cuadrados
Se debe reescribir la ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0 , de modo que 
quede escrita como ( x – h )2 = k . Luego, sacando raíz cuadrada y despejando x, obtenemos: 
x = h k! .
Paso a Paso: ax2 + bx + c = 0 Ejemplo: 3x2 – x – 2 = 0
1º. Dejar el término cons-
tante en el lado derecho.
ax2 + bx = – c 3x2 – x = 2
2º. Dividimos por el coefi-
ciente que acompaña al 
término cuadrático.
x2 + a
b x = – a
c /:a x2 – 3
1 x = 3
2 /:3
“Nuestra mayor debilidad reside 
en rendirnos. La forma más segura 
de tener éxito es intentarlo una vez 
más”
— THOMAS A. EDISON —
EMPRESARIO Y PROLÍFICO INVENTOR
Capítulo 10
ECUACIONES DE 
SEGUNDO GRADO
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clase en video de este capítulo.
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Capítulo 10 | Ecuaciones de segundo grado
238
3º. Sumamos a ambos 
lados, el cuadrado de 
la mitad del coeficiente 
que acompaña a x.
x2 + a
b x + a
b
2
2b l = – ac + ab2
2b l x2 – 31 x + 61
2b l = 32 + 61
2b l 
4º. Factorizamos el cua-
drado de binomio que 
formamos a la izquierda 
y reducimos los términos 
a la derecha.
x a
b
a
b ac
2 4
4–2
2
2
+ =b l x 61 32 361 3625–
2
= + =b l
5º. Extraemos la raíz cua-
drada a ambos lados de 
la igualdad.
x a
b
a
b ac
2 2
4–2!+ = x 6
1
36
25
6
5– ! != =
6º. Despejamos x y redu-
cimos x a
b b ac
2
4– –2!= x 6
5
6
1 !=
7º. Determinamos x1 y x2
x a
b b ac
2
4– –
1
2
= +
x a
b b ac
2
4– –– 2
2 =
x
x
6
1
6
5 1
6
1
6
5
3
2– –
1
2
= + =
= =
Alternativamente, podemos desarrollar el método dejando un cero al lado derecho de la 
igualdad hasta el final del desarrollo de la completación de cuadrados:
Paso a Paso: ax2 + bx + c = 0 Ejemplo: 3x2 – x – 2 = 0
1º. Dividimos por el coe-
ficiente que acompaña 
al término cuadrático.
x2 + ba x + 
c
a = 0 /
:a x2 – 3
1 x – 3
2 = 0 /:3
2º. Sumamos y restamos 
el cuadrado de la mi-
tad del coeficiente que 
acompaña a x, justo a 
continuación de este 
término.
x a
b x a
c
x a
b
a
b
a
b 0
2
2 2–
2
2
2 2
+ + =
+
+
b
b b
l
l l
1 2 3444444444 444444444
x2 – 3
1 x + 6
1 2b l – 61
2b l – 32 = 0
3º. Factorizamos el cua-
drado de binomio que 
formamos a la izquierda 
y reducimos los términos 
restantes.
x a
b
a
b ac
2 4
4– –
2
2
2
+b l = 0 x 61 3625 0– –
2
=b l
4º. Dejamos solo el 
cuadrado de binomio 
que formamos, al lado 
izquierdo, haciendo la 
operación que corres-
ponda.
x a
b
a
b ac
2 4
4–2
2
2
+ =b l x 61 3625–
2
=b l
5º. Extraemos la raíz 
cuadrada a ambos la-
dos de la igualdad.
x a
b
a
b ac
2 2
4–2!+ = x 6
1
36
25
6
5– ! != =
6º. Despejamos x y redu-
cimos. x a
b b ac
2
4– –2!= x 6
5
6
1 !=
7º. Determinamos x1 y x2
x a
b b ac2
4– –
1
2
= +
x a
b b ac
2
4– –– 2
2 =
x
x
6
1
6
5 1
6
1
6
5
3
2– –
1
2
= + =
= =
 
Ecuaciones de segundo grado | Capítulo 10
Matemática Para Nacional 239
iii. Vía la utilización de la fórmula general
Este método requiere simplemente que se 
reemplacen los valores de a, b y c en la fórmula 
para hallar la solución.
x a
b b ac
2
4– –2!=
Se recomienda utilizar solo cuando no es posible 
factorizar o completar el cuadrado.
Ejemplo:
Resolver: 3x2 – x – 2 = 0
a = 3 , b = –1 , c = –2
x 2 3
1 1 4 3 2– – – – –2
$
! $ $= ^ ^ ^h h h
x 6
1 1 24!= +
x 6
1
6
125 5! != =
x x6
1 5 1 6
1 5
3
2– –
1 2= + = = =
b. Propiedades de las soluciones
Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación de segundo grado de la forma ax
2 + bx + c = 0 , 
entonces siempre se cumplen las siguientes propiedades:
x 1 + x 2 = a
b– , x 1 ∙ x 2 = a
c , |x 1 – x 2| = a
b ac4–2
Ejemplos:
 2 ¿ Cuál es el valor de la suma de las soluciones de la ecuación 3x2 – 9x – 16 = 0 ?
Aplicamos la fórmula: x 1 + x 2 = 
9
3 3
– – =^ h ∴ la suma de las soluciones es 3
 2 ¿ Cuál es el valor del producto de las soluciones de la ecuación 3x2 – 9x – 16 = 0 ?
Aplicamos la fórmula: x 1 ∙ x 2 = 3
16– ∴ el producto de las soluciones es 3
16–
 2 ¿ Cuál es el valor positivo de la resta de las soluciones de la ecuación 3x2 – 9x – 16 = 0 ?
Aplicamos la fórmula: |x 1 – x 2 |= 3
9 4 3 16– – –2 $ $^ ^h h
 = 3
273
∴ la diferencia de las soluciones es 33
27
c. Plantear una posible ecuación cuadrática, conocidas sus soluciones
Dados dos valores específicos, serán infinitivas las posibles ecuaciones cuadráticas que 
tengan a tales valores como soluciones. Por lo tanto, dados dos valores, no es posible con 
sola esa información, decir que es única la ecuación que podemos encontrar para la cual 
dichos valores sean sus soluciones. Dicho esto, podemos decir, eso sí, que dados los valores 
x 1 y x 2 , cualquier ecuación cuadrática que los tenga como soluciones, debe ser de la forma 
a(x – x1)(x – x2) = 0
Ejemplo: Encontrar una ecuación cuadrática que tenga como soluciones: x 1 = 5 y x 2 = –6 
Método 1: Factorización
Dadas las soluciones x 1 = 5 y x 2 = – 6, 
reemplazamos x 1 y x 2 en el producto de 
factores.
a( x – x1 )( x – x2 ) = 0
a( x – (5) )( x – (–6) ) = 0
a( x – 5 )( x + 6 ) = 0
Esta sería la familia completa de ecuaciones 
cuadráticas cuyas soluciones son 5 y – 6, y 
una en particular sería, por ejemplo, cuando 
a = 1, y estaría dada por :
x2 + x – 30 = 0
Método 2: Propiedades de las soluciones
Dadas las soluciones x 1 = 5 y x 2 = –6, re-
emplazamos x 1 y x 2 en las propiedades de 
suma y multiplicación de soluciones para 
encontrar los valores de a, b y c.
x 1+ x 2 = a
b– y x 1 ∙ x 2 = a
c
5 + (– 6) = a
b– y 5 ∙ (– 6) = a
c
 –1 = a
b– y –30 = a
c
 1
1– = a
b– y 1
30– = a
c
Podemos considerar que: a = 1 , b = 1 , 
c = –30
x2 + x – 30 = 0
 
Capítulo 10 | Ecuaciones de segundo grado
240
En resumen, es importante recordar que son infinitas las ecuaciones de segundo grado que 
tienen como soluciones x 1 = 5 y x 2 = –6 y que, por tanto, este proceso sirve para encontrar 
al menos a una de ellas, cualquier otra puede ser encontrada multiplicando la ecuación 
por cualquier número real distinto de cero.
Ejemplos :
1. El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x2 + 1 = x + 1 es :
(DEMRE 2010)
A ) { 0 }
B ) { 1 }
C ) { 0 , 1 }
D ) { 0 , –1 }
2. Las soluciones de la ecuación 3( x – 2 )2 = 7 están representadas en :
(DEMRE 2015)
A ) 2 3
7
!
B ) 2 3
7– !
C ) 2 3
7!
D ) 3
2 13!
3. En los números reales, ¿ cuál es el conjunto de todos los números x, para los cuales la expresión 
x
x x
4
5 4
2
2
+
+ + se indetermina ?
(DEMRE 2018)
A ) Ø
B ) { – 4 }
C ) { – 2 , 2 }
D ) { – 4 , 1 }
4. ¿ Cuáles son las soluciones de la ecuación (ax)2 + a = 0 , en x, con a un número real negativo 
distinto de –1 ?
(DEMRE 2019)
A ) 1 y –1
B ) 
a
1
–
 y 
a
1
–
–
C ) a y a–
D ) a– y a– –
 
Ecuaciones de segundo grado | Capítulo 10
Matemática Para Nacional 241
5. Dada la ecuación x2 + 6x + 17 = 0, ¿ qué número real m debe sumarse a ambos lados de la igualdad 
para completar el cuadrado de un binomio en el lado izquierdo de ella y cuáles son las soluciones 
reales de x2 + 6x + 17 = 0 ?
(DEMRE 2019)
A ) m = 19 y las soluciones son (6 + 3 ) y (6 – 3 )
B ) m = – 8 y las soluciones son (–3 + 8 ) y (–3 – 8 )
C ) m = – 1 y no tiene soluciones reales
D ) m = – 8 y no tiene soluciones reales
6. Si la ecuación en x, (5x – n)2 = 0 tiene como solución x = 2, ¿cuál es el valor de n?
(DEMRE 2020)
A ) 10
B ) –8
C ) 12
D ) 6
7. Una ecuación de segundo grado cuyas raíces son x1 = 2 y x2 = 3, es :
A ) 2x2 + 5x + 6 = 0
B ) x2 – 6x + 5 = 0
C ) 2x2 – 10x + 12 = 0
D ) x2 + x – 5 = 0
 
Capítulo 10 | Ecuaciones de segundo grado
242
d. Naturaleza de las soluciones utilizando el discriminante
La cantidad sub–radical que se encuentra en el método de resolución por “fórmula general” 
recibe el nombre de discriminante. Es decir, el discriminante es: ∆ = b2 – 4ac
El signo del discriminante determina la naturaleza de las soluciones:
 2 Si 0>D , entonces las soluciones son números reales y distintos
 2 Si 0D = , entonces las soluciones son números reales e iguales
 2 Si 0<D , entonces las soluciones son números complejos y conjugados
Ejemplos:
Sin resolver, determinar la naturaleza de las soluciones de las siguientes ecuaciones
 2 2x2 + 3x – 5 = 0
∆ = b2 – 4ac
∆ = (3)2 – 4· (2)· (–5)
∆ = 9 + 40
∆ = 49
∆ > 0
∴ las soluciones son 
reales y distintas
 2 x2 – 12x + 36 = 0
∆ = b2 – 4ac
∆ = (–12)2 – 4· (1)· (36)
∆ = 144 – 144
∆ = 0
∴ las soluciones son
reales e iguales
 2 x2 + x + 1 = 0
∆ = b2 – 4ac
∆ = (1)2 – 4· (1)· (1)
∆ = 1 – 4
∆ = –3
∆ < 0
∴ las soluciones son 
complejas y conjugadas
e. Resolver ecuaciones usando variables auxiliares
Existen ecuaciones que para resolverlas requerimos el uso de una variable auxiliar. Por ejemplo 
una ecuación bicuadrática de la forma ax4 + bx2 + c = 0 . Para resolverla cambiamos x2 por 
y . Con este cambio, la ecuación original quedará de la forma ay2 + by + c = 0 , (ecuación 
cuadrática de incógnita y). Resolvemos esta ecuación utilizando alguno de los métodos antes 
mencionados. Una vez obtenido cada valor de y lo reemplazamos en y = x2, y resolvemos 
cada ecuación resultante.
Ejemplo: Encontrar las soluciones de la ecuación x4 – 5x2 + 4 = 0
Definimos la variable auxiliar y = x2
Reemplazamos la variable auxiliar en la ecuación y2 – 5y + 4 = 0
Factorizamos (y – 4)(y – 1) = 0
Hallamos las soluciones para y y 1 = 1 y y 2 = 4
Hallamos las soluciones para x y 1 = 1 → 1 = x
2 ∴ x 1 = 1 y x 2 = – 1
y 2 = 4 → 4 = x
2 ∴ x 3 = 2 y x4 = – 2 
Ejemplos :
8. ¿ Cuál es el conjunto de todos los valores de p, para que la ecuación en x, ( x – p )2 + 8p = 0 tenga 
dos soluciones reales y distintas ?
(DEMRE 2016)
A ) ] , [0 3
B ) ] , [0–3
C ) ] , ]0–3
D ) , [[ 0 3
 
Ecuaciones de segundo grado | Capítulo 10
Matemática Para Nacional 243
9. Si a y c son números reales, ¿ cuál(es) de las siguientes ecuaciones, en x, tiene(n) solución en el 
conjunto de los números reales ?
(DEMRE 2017)
I. – ( ax2 + c ) = 0 , con ac > 0
II. – ( x2 – c ) = 0 , con c > 0
III. – x2 + c
a = 0 , con ac > 0
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
10. Sean a y b números enteros distintos de cero y n un número entero positivo. La ecuación ax2 – bn = 0 , 
en x, nunca tiene como solución un número real, siendo a ≠ 0 si :
(DEMRE 2018)
A ) a < 0 y n es un número impar
B ) a < 0 y n es un número par
C ) b < 0 y n es un número impar
D ) b < 0 y n es un número par
11. Si la ecuación ( p – 1 )x2 + 2( p – 3 )x + p – 3 = 0 , en x, con p un número real distinto de 1, tiene dos 
soluciones reales distintas, entonces :
(DEMRE 2018)
A ) p > 1
B ) p < 3
C ) p > 3
D ) p < 1
12. Sean a, b, c y d números reales, con a distinto de cero. Si la ecuación ax2 – bx + c = 1, en x, no tiene 
raíces reales, ¿cuálde las siguientes desigualdades es siempre verdadera?
(DEMRE 2020)
A ) b2 – 4ac < –4
B ) b2 – 4ac < –4c
C ) b2 – 4ac < 4
D ) b2 – 4ac < –4a
13. ¿Cuál es el conjunto de todos los números reales c para los cuales la ecuación x2 + 5x – c = 0 , NO 
tiene solución en el conjunto de los números reales?
(DEMRE 2021)
A ) ,4
25 3 ;E
B ) ,4
25 3- ;E
C ) , 4
25–3 ;E
D ) , 4
25–3 - ;E
 
Capítulo 10 | Ecuaciones de segundo grado
244
14. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación 3x4 – 60x2 + 192=0?
A ) { 2 , 4 }
B ) { –2 , 2 }
C ) { – 4 , – 2 , 2 , 4 }
D ) { 0 , 1 , 2 , 4 }
 
Ecuaciones de segundo grado | Capítulo 10
Matemática Para Nacional 245
f. Problemas de aplicación
Generalmente, los problemas de aplicación de ecuación cuadrática se centran en plantear 
una ecuación o plantearla y además encontrar su solución. Como en todo problema de 
aplicación, hay que tener en cuenta las restricciones para nuestra variable, dependiendo de 
lo que ésta representa. Por ejemplo si la variable representa medidas de lados de un polígono, 
solo debemos considerar valores positivos en el conjunto solución.
Ejemplo: 
Un terreno rectangular de 96 m2 de superficie, tiene 4 metros más de largo que de ancho. 
¿ Cuál es el perímetro del terreno ?
Primero debemos expresar algebraicamente la medida del largo y del ancho: Si decimos que 
el ancho mide x, entonces el largo debe medir x + 4. Luego, como el área es igual a 96 m2, 
y el área A de un rectángulo, se calcula A = largo ∙ ancho, tenemos: x ∙ (x + 4) = 96, y a partir 
de esto, formamos una ecuación cuadrática que nos permitirá determinar el valor de x, y de 
paso calcular el perímetro que se nos pide.
x2 + 4x = 96
x2 + 4x – 96 = 0
(x – 8)(x + 12) = 0 / factorizamos
x1 = 8 y x2 = –12
Pero ¿me sirven 
ambas soluciones?
Notemos que debemos descartar x2 , ya que la medida del ancho no puede ser negativa. 
Por lo tanto, una vez descartada esta posibilidad, decimos que el ancho debe medir 8 m (x) 
y que el largo debe medir 12 m (x + 4). Finalmente tenemos que el perímetro del terreno es 
8 m + 8 m + 12 m + 12 m = 40 metros.
Ejemplos :
15. Juan para una tarea debe cortar, en forma rectangular, un cartón cuya área debe ser de 2.500 cm2 
y donde el largo ( x ) debe exceder al ancho en 75 cm. ¿ Cuál de las siguientes ecuaciones permite 
a Juan determinar el largo y el ancho del cartón, en cm ?
(DEMRE 2015)
A ) x2 – 75x = 2.500
B ) x2 + 75x = 2.500
C ) x2 + 75 = 2.500
D ) 4x – 150 = 2.500
16. Un maestro tiene una cuerda de largo L cm y con la totalidad de ella construye los bordes de un 
rectángulo no cuadrado de área A cm2. ¿ Cuál de las siguientes expresiones representa la longitud 
del lado menor de dicho rectángulo, en cm ?
(DEMRE 2017)
A ) L L A2
4–2+
B ) L L A164
– –2
C ) L L A164
–2+
D ) L L A2
16– –2
 
Capítulo 10 | Ecuaciones de segundo grado
246
17. En un terreno rectangular de largo 4x metros y ancho (2x + 2) metros se construye una piscina 
rectangular de ( 3x + 2 ) metros de largo y (2x – 2) metros de ancho y se embaldosa el resto del 
terreno. Si x > 2 y el área de la región embaldosada es 136 metros cuadrados, ¿ cuál de las siguientes 
ecuaciones permite determinar el valor de x ?
(DEMRE 2018)
A ) ( 8x2 + 8x ) – ( 6x2 – 4 ) = 136
B ) ( 8x2 + 2 ) – ( 6x2 – 4 ) = 136
C ) ( 8x2 + 8x ) – ( 6x2 – 2x – 4 ) = 136
D ) ( 8x2 + 2 ) – ( 6x2 +10x – 4 ) = 136
18. Si el área de un rectángulo es 75 cm2 y el ancho del rectángulo mide 10 cm menos que su largo, 
¿ cuál es la medida de su largo ?
(DEMRE 2019)
A ) 5 cm
B ) 4
55 cm
C ) 15 cm
D ) 85 cm
19. La expresión P – R
Q t2 representa el volumen de agua, en m3, que queda en un pozo en el instante t, 
en segundos, desde que el pozo está en su máxima capacidad. Si P, Q y R son constantes positivas, 
¿cuál de las siguientes expresiones representa la cantidad de segundos que el pozo tarda en 
quedarse sin agua?
(DEMRE 2020)
A ) Q
PR
B ) Q
PR-
C ) Q
PR
D ) R
PQ
20. Se tiene una piscina con forma rectangular de 4 m de ancho y 10 m de largo. Se desea colocar un 
borde de pasto de ancho x m como se representa en la figura adjunta.
(DEMRE 2021)
x m
x m
Si el área de la superficie total que ocupa la piscina y el borde de pasto, es de 112 m2, ¿cuál de 
las siguientes ecuaciones permite determinar el valor de x?
A ) x2 + 40 = 112
B ) x2 + 14x = 72
C ) 2x2 + 7x = 18
D ) x2 + 7x = 18
 
Ecuaciones de segundo grado | Capítulo 10
Matemática Para Nacional 247
Capítulo 10
Ecuaciones de segundo grado │ Ejercicios 
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. La(s) solución(es) de la ecuación x2 + 16 = 25 es (son):
A ) –3
B ) 3
C ) 9
D ) –3 y 3
2. Si (x – 6)(x + 8) = 0 , entonces x =
A ) –6 y 8
B ) –6 y –8
C ) 6 y 8
D ) 6 y –8
3. Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x – 1) = 42 son :
A ) 43 y 43–
B ) 7 y 6
C ) 7 y – 6
D ) 2 y – 21
4. El conjunto solución de la ecuación – 4x2 = –64 es :
A ) { 16 }
B ) { –4 }
C ) { –4 , 4 }
D ) { –2 , 2 }
5. Una de las soluciones de la ecuación x
3 – x = 2 es :
A ) 3
B ) 2
C ) – 2
D ) – 3
6. La mayor de las soluciones de la ecuación x3 2 3 6+ + =
x 2+ x
 es :
A ) Un número irracional positivo
B ) Un número irracional negativo
C ) Un número racional positivo
D ) Un número racional negativo
 
Capítulo 10 | Ecuaciones de segundo grado
248
7. Las soluciones de la ecuación 4x–2 + 2x–1 – 2 = 0 , son números :
A ) Enteros de distinto signo
B ) Enteros de igual signo
C ) Irracionales de distinto signo
D ) Irracionales de igual signo
8. Las soluciones de la ecuación x x4
12– = son :
A ) –2 y 6
B ) –3 y 4
C ) 2 y –6
D ) No tiene soluciones reales
9. ¿ Cuál es el cuadrado de la mayor de las soluciones de la ecuación x2 – 2x – 5x + 2 5 = 0 ?
A ) 5
B ) 4
C ) 5
D ) –4
10. Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x + 13) = 30 son :
A ) 15 y –2
B ) 10 y –3
C ) 5 y –6
D ) 2 y –15
11. El conjunto solución de la ecuación 
x x
1
4
3
8
1 0–2 + = es :
A ) {–2 , –4}
B ) ,4
1
2
1– –$ .
C ) { 2 , 4 }
D ) ,4
1
2
1$ .
12. Las soluciones de la ecuación x x
1
2
3– = son :
A ) 0,5 y 2
B ) –0,5 y 2
C ) –2 y 2
D ) – 2 y 2
13. ¿ Cuál es el menor valor para la expresión x x
32 + , cuando x satisface la igualdad x x
13 14+ = ?
A ) –2
B ) –1
C ) 4
D ) Faltan datos para determinarlo
 
Ecuaciones de segundo grado | Capítulo 10
Matemática Para Nacional 249
14. Si x cumple con la igualdad: x x5
6–= , ¿ cuál es el menor valor que puede tomar la expresión x x
2– ?
A ) 1
B ) 2
C ) 3
D ) 3
7
15. Al resolver la ecuación x x21 9–2 2= + , se encuentra que su(s) solución(es) es(son) :
I. – 5
II. 5
III. 25
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
16. Si m
2 – 1 = m , ¿ cuáles son los valores de m que satisfacen la ecuación ?
A ) 2 y –1
B ) 2 y 0
C ) 1 y –2
D ) 1 y –1
17. ¿ Qué valor debe tener k en la ecuación 3x2 – 5kx – 2 = 0 , para que una de sus raíces sea –2 ?
A ) 0
B ) 1
C ) –1
D ) –4
18. Sea ax2 + bx + c = 0 , con x ! R y a < 0 . Se puede determinar que las raíces (o soluciones) tienen igual 
signo, si :
( 1 ) b < 0
( 2 ) c < 0
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
19. ¿ Qué valores deben tener los coeficientes de la ecuación en x, (a – 1)x2 + (b + 3)x + c = 0 , para que sea 
de segundo grado (x: variable)?
A ) a ≠ 1 , b = 3 y c = 0
B ) a = 1 , b y c cualquier real
C ) a ≠ 1 , b y c cualquier real
D ) a ≥ 1 , b ≠ 3 y c cualquier real
 
Capítulo 10 | Ecuaciones de segundo grado
250
20. Si se sabe que 13 es solución (o raíz) de la ecuación x2 + 3kx – 10 = 0 , entonces el valor de k es :
A ) 13
53–
B ) 39
16–
C ) 13
2
D) 39
16
21. A Matías en una prueba le piden resolver la siguiente ecuación: 3x2 + 3x – 6 = x + 2, y su desarrollo fue el 
siguiente:
Paso 1: Factorizó el lado izquierdo por 3
3(x2 + x – 2) = x + 2
Paso 2: Factorizó el trinomio en factores lineales
3(x + 2)(x – 1) = x + 2
Paso 3: Dividió a ambos lados por (x + 2) y simplificó
( )( )
x
x x
x
x
2
3 2 1
2
2–
+
+ = +
+
 3(x – 1) = 1
Paso 4: Desarrolló el paréntesis
3x – 3 = 1
Paso 5: Despejó la variable
x = 3
4
Terminada su resolución, la profesora le dijo a Matías que tendría la mitad de la nota, porque con 
su resolución perdió la mitad de las soluciones en uno de los pasos. ¿En qué paso perdió la otra 
solución?
A ) Paso 1
B ) Paso 2
C ) Paso 3
D ) Paso 4
22. La(s) solución(es) de la ecuación x2 + m = x + m2 , con m ≥ 2
1 , es(son) :
I. m
II. – m
III. –( m – 1 )
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo I y III
 
Ecuaciones de segundo grado | Capítulo 10
Matemática Para Nacional 251
23. Juan, un compañero de Jazmín, ha salido a la pizarra y le ha tocado determinar las soluciones de la 
siguiente ecuación de segundo grado: 2x2 = 4 – 7x. Juan, el compañero de Jazmín, ha decidido utilizar 
la completación de cuadrados para la resolución, y lo ha desarrollado de la siguiente manera:
Paso 1: 2x2 + 7x – 4 = 0
Paso 2: x x2 2
7 4 0–2 + =b l
Paso 3: x x2 2
7 4 016
49
16
49 ––2 + =+b l
Paso 4: x2 4
7 4 016
49– –
2
+ =b l
Paso 5: x2 4
7
16
49 4
2
+ = +b l
Paso 6: x 4
7
32
49 2
2
+ = +b l
Paso 7: x 4
7
32
1132+ =b l
Paso 8: x 4
7
32
113
!+ =
 x 4
7
32
113–1 = + y x 4
7
32
113– –2 =
Ante esto, Jazmín ha quedado con la duda de si el desarrollo estaba correcto o no, porque a ella le 
dio otro resultado y le pregunta a la profesora si el desarrollo de su compañero es correcto, a lo que 
ella le contestó que NO. ¿En qué paso cometió el error Juan?
A ) Paso 3
B ) Paso 4
C ) Paso 6
D ) Paso 7
24. Dada la ecuación x
a b x 0–+ =
a b+
 , en que a y b representan números reales positivos, entonces la(s) 
soluciones para x es(son) :
A ) a + b
B ) –(a + b)
C ) a – b
D ) ± (a + b)
25. En la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 , es posible determinar el valor numérico de a si :
( 1 ) Las raíces (o soluciones) de la ecuación son 2 y 8
( 2 ) El producto de las raíces es 16 y la suma de las raíces es 10
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Capítulo 10 | Ecuaciones de segundo grado
252
26. En la ecuación de segundo grado x2 + px – 15 = 0 una de sus raíces es 5, entonces la otra raíz es :
A ) –3
B ) 0
C ) 1
D ) 3
27. ¿ Qué valor deber tener p en la ecuación x2 – 2px + p2 = 0, para que una de sus raíces sea 4 ?
A ) 2
B ) 4
C ) 8
D ) Faltan datos para determinarlo
28. Se puede saber el valor de k en la ecuación dada por x2 – kx + 8 = 0 si :
( 1 ) La menor de las soluciones es –2
( 2 ) Las soluciones son dos números pares consecutivos
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
29. ¿ Cuál es el producto de las soluciones de la ecuación 5x2 – 6x + 1 = 0 ?
A ) 5
3–
B ) 5
1–
C ) 5
1
D ) 5
3
30. ¿ Cuánto suman las soluciones de la ecuación: 2x2 – 4x + 9 = 0 ?
A ) –2
B ) 2
C ) 1
D ) 4
31. Dada la ecuación 0 = x2 – 7x + 12, la diferencia positiva de sus raíces es :
A ) 1
B ) 2
C ) 7
D ) Ninguno de los valores anteriores
 
Ecuaciones de segundo grado | Capítulo 10
Matemática Para Nacional 253
32. ¿ En cuál de las siguientes ecuaciones, el producto de las soluciones es igual a cero ?
A ) x2 – x – 5 = 0 
B ) x2 + x + 2 = 0 
C ) (x + 1)(x + 2) = 3 
D ) (x + 2)(x + 3) = 6
33. ¿ Qué valor debe tener m en la ecuación mx2 + x + (3m – 2) = 0 para que sus raíces sean inversas 
multiplicativas la una de la otra ?
A ) 1
B ) 3
2
C ) 2
3
D ) 3
2–
34. Si P y Q son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 , el valor de P2Q + PQ2 es :
A ) c
b
B ) 
a
bc
2
C ) 
a
bc– 2
D ) c
ab2
35. Si x1 y x2 son las raíces (o soluciones) de la ecuación x
2 + 7x + 5 = 0 , entonces el valor de (x1 + 1)(x2 + 1) es :
A ) –1
B ) 1
C ) 3
D ) 13
36. Respecto a la ecuación 7x – 12 – x2 = 0 , ¿ cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. La suma de las raíces (o soluciones) es 7
II. El producto de sus raíces (o soluciones) es 12
III. Ambas raíces (o soluciones) son positivas
A ) Solo II
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
37. Si p y q son raíces de la ecuación 3x2 + 5x – 12 = 0 , entonces p ∙ q =
A ) 12
B ) 4
C ) 1,6
D ) –4
 
Capítulo 10 | Ecuaciones de segundo grado
254
38. ¿ Qué valor debe tener p en la ecuación x2 – (2p – 1)x + p2 = 0 para que sus raíces difieran en la unidad ?
A ) –1
B ) 0
C ) 0,25
D ) 4
39. La suma de dos números es 11 y la diferencia de sus cuadrados es 77. ¿ Cuál es el producto de los 
números ?
A ) 18
B ) 9
C ) 4,5
D ) 2
40. En la ecuación 8x2 – (k + 6)x + 5 = 0 , ¿ qué valor debe tener k para que la suma de las raíces (o soluciones) 
sea 2
3 ?
A ) 9
B ) 6
C ) – 15
D ) – 18
41. Si p y q son las raíces (o soluciones) de la ecuación de segundo grado rx2 + sx + t = 0 , entonces la 
expresión que representa el recíproco del producto de las soluciones es :
A ) t
s
B ) t
r
C ) r
t
D ) t
r–
42. Si el producto de las raíces (o soluciones) de la ecuación kx2 + (2k + 1)x – k + 3 = 0, es igual a 4, entonces 
el valor de k debe ser :
A ) –1
B ) – 6
1
C ) 0,5
D ) 5
3
 
Ecuaciones de segundo grado | Capítulo 10
Matemática Para Nacional 255
43. En la ecuación 4x2 – (k + 2)x + 3(2k – 9) = 0, ¿ qué valor debe tener k para que el producto de las raíces 
(o soluciones) sea 3
2 ?
A ) 18
89
B ) 18
73
C ) 18
17
D ) 18
17–
44. Respecto a la ecuación 24 + 10x – x2 = 0 , ¿ cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. La suma de las raíces (o soluciones) es 10
II. El producto de sus raíces (o soluciones) es –24
III. Ambas raíces (o soluciones) son positivas
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) I, II y III
45. Dada la ecuación ( 3k + 1 )x2 + k( x + 2 ) – 4 = k , con k ≠ –1. ¿ Cuál debe ser el valor de k para que la suma 
de sus raíces (o soluciones) sea igual al producto de ellas ?
A ) 3
B ) 2
C ) 2
3
D ) 3
1
46. La suma de las raíces de la ecuación x a x b
1 1 1–– + = es igual a :
A ) a – b
B ) b – a
C ) b
a–
D ) a
c
47. Pedro necesita resolver la siguiente ecuación bicuadrática 2x4 + 3x2 + 6 = 0, ¿cuál de las siguientes 
variables auxiliares le convendría utilizar para transformarla en una ecuación cuadrática?
A ) y = x
B ) u = x2 
C ) w = x4
D ) z = x3 2
 
Capítulo 10 | Ecuaciones de segundo grado
256
48. Si 
3
3 9 10a
a2 + = , ¿ cuáles son los valores de a que satisfacen la ecuación ?
A ) 0 y 1
B ) 0 y 2
C ) 1 y –1
D ) 2 y –1
49. ¿ Cuál es una ecuación de segundo grado cuyas raíces (o soluciones) son 5 y –11 ?
A ) x2 + 6x – 55 = 0
B ) x2 + 6x + 55 = 0
C ) x2 – 6x + 55 = 0
D ) x2 – 6x – 55 = 0
50. Una ecuación de segundo grado cuyas raíces son x 2 51 = + y x 2 5–2 = , es :
A ) x2 – 4x – 1 = 0
B ) x2 – 4x + 1 = 0
C ) x2 – 5x + 1 = 0
D ) x2 – 5x – 1 = 0
51. Si a y b son números reales tales que b ≥ 0 , entonces una ecuación cuadrática cuyas raíces son 
a + b y a – b , es :
A ) a2x2 – b = 0
B ) (x – a)2 = b
C ) x2 + (b – a2)x + 2a = 0
D ) x2 – (2a + b)x + a2 = 0
52. El valor de k para que la ecuación x2 – 8x + 2(k – 2) = 0 , tenga una sola raíz real es :
A ) 2
B ) 4
C ) 6
D ) 10
53. Los valores de k para los cuales la ecuación 2x2 – kx + x + 8 = 0 tiene raíces reales e iguales son :
A ) 9 y –7
B ) Solamente –7
C ) 9 y 7
D ) Solamente 9
 
Ecuaciones de segundo grado | Capítulo 10
Matemática Para Nacional 257
54. Un valor de k para que la ecuación x2 + (k + 4)x + 16 = 0 tenga una sola raíz real es :
A ) –4
B ) 0
C ) 3
D ) 4
55.Sean a, b y c números reales distintos de cero. Es posible afirmar que la ecuación ax2 + bx + c = 0 , no 
tiene solución en los reales si :
( 1 ) a = b
( 2 ) b = c
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
56. Para que la ecuación 5x(x + 2) = k no tenga raíces reales, deberá cumplirse que :
A ) k > – 5
B ) k < – 5
C ) k > 5
D ) k < 5
57. Sea k ! R – {0}. Si la ecuación kx2 + 4x + 1 = 0 tiene soluciones que no son reales, entonces ¿cómo son las 
soluciones de la ecuación 3x2 – kx + 1 = 0?
A ) También complejas y conjugadas
B ) Reales y distintas
C ) Reales e iguales
D ) Se necesita más información para saberlo
58. Dada la ecuación de segundo grado x2 – kx + 2 = 0 , ¿ cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) 
verdadera(s)?
I. Si k = 2 , la ecuación NO tiene raíces(o soluciones) reales
II. Si k = – 2 , las raíces (o soluciones) de la ecuación son reales e iguales
III. Si k = 3 , las raíces (o soluciones) de la ecuación son reales y distintas
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
59. La ecuación de 2º grado dada por ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ! R y a ≠ 0, tiene dos soluciones distintas. 
Si definimos A = (b + 4)(b – 4) + 4(3 – ac), podemos asegurar que:
A ) A ≠ –4
B ) A ≠ –2
C ) A ≠ 3
D ) A ≠ 8
 
Capítulo 10 | Ecuaciones de segundo grado
258
60. ¿ Cuánto debe valer k para que las soluciones de la ecuación x2 – ( k + 1 ) ∙ x + k = 0 sean reales e iguales ?
A ) –1 o 1
B ) 1
C ) – 2 o – 2
D ) –2 o 2
61. El producto entre las edades que tenía Pedro hace 5 años con la edad que tendrá en 5 años más 
equivale al cuádruple de la edad que tendrá en 35 años más, ¿ qué edad tiene ?
A ) 13 años
B ) 15 años
C ) 20 años
D ) 33 años
62. El x % de ( x + 10 ) es 2, entonces x =
A ) 5
B ) 10
C ) 20
D ) 40
63. En la ecuación 2x2 – 5x + 4(k – 2) = 0 , para que una de las raíces sea igual al valor recíproco de la otra, 
k debe ser igual a :
A ) 0
B ) 2
C ) 2,5
D ) 3
64. ¿ Para qué valor(es) de x se cumple que “si un número x se disminuye en un x% el resultado es 16” ?
I. x = 20
II. x = 40
III. x = 80
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo III
D ) Solo I y III
65. ¿ Para qué número natural se cumple que “el producto del número por su antecesor es igual al cuádruple 
de su sucesor, aumentado en 2” ?
A ) 3
B ) 4
C ) 5
D ) 6
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 259
1. FUNCIONES
Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función f de A 
en B, se escribe f: A $ B , es una “regla” que asig-
na a cada elemento x del conjunto A uno y solo un 
elemento y del conjunto B. Por lo mismo, x recibe el 
nombre de variable independiente y la variable y el 
de variable dependiente, pues depende del valor 
de x, y se escribe y = f(x).
El conjunto A recibe el nombre de conjunto de sali-
da y es el conjunto de donde tomaremos elementos 
con la función f. El conjunto de todos los elementos 
que podamos tomar con la función f y que tengan 
como resultado un elemento del conjunto B, recibe 
el nombre de Dominio de la función y sus elementos 
se llaman Pre-imágenes.
Por otro lado, el conjunto B recibe el nombre de con-
junto de llegada o Codominio. El conjunto compues-
to por todos los elementos que se obtengan como 
resultado de aplicar la función sobre los elementos 
del dominio recibe el nombre de Recorrido de f y sus 
elementos se llaman imágenes. Podemos decir, por 
tanto, que el recorrido corresponde al conjunto de 
todas las imágenes de la función.
Observación: El Codominio no siempre coincide con 
el Recorrido, pero el Recorrido de la función es un 
conjunto que siempre está contenido en el Codomi-
nio.
a. Funciones en el plano cartesiano
Una función f se puede representar de diversas for-
mas y una de ellas es la geométrica. Esto se hace 
utilizando un plano cartesiano, cuyos ejes coorde-
nados representarán a la variable independiente x 
(Eje x) y a los resultados que se vayan obteniendo de 
aplicar la función a cada x del dominio, es decir sus 
imágenes f(x) (Eje y). 
Los puntos de este plano cartesiano que sean de la 
forma (x,f(x)) serán los puntos que graficarán la rela-
ción entre la variable x y sus imágenes, y esto se verá 
representado por lo que será la gráfica de la función 
f, como se muestra en la figura adjunta.
M
N
P
Q
1
2
3
4
5
f
A B
Codominio
Recorrido
Dominio
Dominio: { M , N , P , Q }
Co-Dominio: { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
Recorrido: { 1 , 2 , 3 , 4 }
En el diagrama sagital adjunto, para 
que la función exista, se debe cumplir 
que cada elemento del conjunto “A”, 
esté asociado a solo un elemento en 
el conjunto de llegada “B”.
Una imagen puede estar asociada 
a más de una pre-imagen. Pero una 
pre-imagen puede estar asociada 
solo a una imagen.
x
Variables
dependientes
Variables
independientes
f( x )
f
“Si escuchas una voz dentro de 
ti que dice – no puedes pintar –, 
entonces pinta, y la voz será 
silenciada”
— VINCENT VAN GOGH —
PINTOR, PRINCIPAL EXPONENTE DEL POST–
IMPRESIONISMO
Capítulo 11
FUNCIÓN LINEAL 
Y AFÍN
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clase en video de este capítulo.
moraleja.cl/mpn5-13
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
260
b. Valorización de funciones
Para encontrar los valores de las imágenes de una función definida, se reemplazará la variable 
independiente por el número o expresión que corresponda.
Ejemplo: 
Si se tiene la función f( x ) = 2x + 5, para determinar la imagen de 4 se debe reemplazar el 4 en 
la pre-imagen x, para luego calcular: f(4) = 2 · 4 + 5 = 13. Para determinar la pre-imagen de 
19 se debe reemplazar el 19 en f( x ) y despejar x. Es decir, 19 = 2x + 5 , se resuelve la ecuación y 
obtenemos la pre-imagen 7.
2. FUNCIONES REPRESENTADAS COMO RECTAS
Cuando establecemos una relación funcional entre dos variables x y f(x), se entiende que, 
para cada valor eventual de x, existirá un único valor f(x) asociado a él y, por tanto, podemos 
formar pares ordenados que darán origen a un conjunto completo de pares ordenados, 
que es posible graficar en un plano cartesiano y generar con ello la gráfica de una función. 
Estudiaremos en este apartado 4 funciones que se representan gráficamente mediante una 
recta en el plano.
a. Función Constante
La función constante tiene la particularidad de asig-
nar a cada valor de x, un valor constante n. Es decir, 
es de la forma: 
f(x) = n, con n R! , 
independiente del valor que tome x, como se muestra 
en la siguiente tabla:
x –1 0 1 2 3 4
f(x) n n n n n n
Es una función que por tanto, está bien definida para 
cualquier valor real de x y geométricamente se trata 
de una recta horizontal que intersecta al eje y en el 
punto (0 , n). Esta recta no tiene inclinación y por lo 
tanto tiene pendiente igual a 0.
Resumen:
 2 f(x) = n, siendo n R!
 2 Gráfico: recta horizontal que pasa por el punto (0 , n).
 2 Dominio: R , Recorrido: {n}
 2 Intersección con eje x: No lo intersecta, a excepción de la función constante 
f(x) = 0, recta que está sobre el eje x y que por lo tanto lo intersecta en infinitos 
puntos.
 2 Intersección con eje y: (0 , n)
Ejemplo:
Si necesitamos graficar la función f(x) = 4, basta con 
dibujar una recta paralela al eje x, que pase por el 
punto (0 , 4), tal como se aprecia en el gráfico adjunto.
x
21–1
f( x )
n
Este gráfico está considerando que 
n > 0, por eso es una recta horizontal 
que se ubica sobre el eje x.
4
x
f(x)
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 261
b. Función lineal
Una función lineal es toda función de la forma 
f( x ) = mx , con m R! y m ≠ 0.
Por sus características algebraicas, también es 
una función que está bien definida para cualquier 
valor real de x y geométricamente se representa 
en el plano cartesiano por una recta que pasa por 
el origen, cuya inclinación o lo que conoceremos 
geométricamente como pendiente, dependerá del 
valor de la constante m.
Si m > 0, la función es creciente. Estoquiere decir 
que aumenta el valor de f(x) en la medida en que x 
aumenta.
Si m < 0, la función es decreciente. Esto quiere decir 
que disminuye el valor de f(x) en la medida en que x 
aumenta.
Observación:
 »La función f( x ) = k ∙ x , con k ≠ 0 , expresa una pro-
porcionalidad directa entre las variables x y f(x), 
donde k corresponde a la constante de propor-
cionalidad.
Resumen:
Expresión algebraica: f(x) = mx, siendo m R! y m ≠ 0.
Gráfico: recta que pasa por el origen (0 , 0). Creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.
Dominio: R , Recorrido: R
Intersección con eje x: (0 , 0)
Intersección con eje y: (0 , 0)
¿Qué nos indica el valor de pendiente de una función lineal?
Cuando tenemos una función f(x) = mx, el valor de m nos indica cuánto aumenta (o disminuye) 
nuestra función en la medida en que aumentamos en 1 unidad el valor de x.
Ejemplo:
Para determinar la representación gráfica de la 
función lineal dada por f(x) = 2x, lo primero que 
debemos hacer es identificar el valor de m, que 
en este caso es m = 2. 
¿Qué significa que este valor sea igual a 2? Que 
nuestra función aumentará 2 unidades, cada 
vez que x aumente 1 unidad. Y esto lo podemos 
observar haciendo una tabla de valores para 
nuestra función y graficando estos valores para 
determinar la recta correspondiente.
Ahora la pregunta podría ser al revés. ¿Cómo determinamos el valor de la pendiente m de 
una recta de función f(x) = mx?
Para calcular la pendiente de una recta que es la representación geométrica de una función 
lineal, haremos el siguiente cálculo: m x
y
3
3
= , siendo y3 la variación sufrida por nuestra 
función de forma vertical y x3 la variación sufrida por nuestra variable independiente x. Por 
lo tanto, para poder hacer este análisis mediante el cociente de las variaciones, necesitamos 
tener al menos 2 puntos de dicha recta. 
Función lineal creciente (m > 0): 
x
f( x )
Función lineal decreciente (m < 0): 
x
f( x )
x –2 –1 0 1 2 3
f(x) –4 –2 0 2 4 6
x
f( x )
2
2
1
4
6
-2
-1
3
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
262
Ejemplo:
Si consideramos los puntos A(0 , 0) y B(2 , 1) del gráfico 
adjunto, podemos darnos cuenta de que, si en x se 
produjo un aumento de 2 unidades, en y se produjo 
un aumento de 1 unidad. Por lo tanto, decimos que:
La pendiente m vale m x
y
2
1
3
3
= = y decimos que 
nuestra función f está aumentando 1 unidad, por 
cada 2 unidades de aumento en x. Y eso es lo que se 
ve en el propio gráfico si solo miramos los números.
Es importante notar que, independiente de los puntos 
que escojamos, la pendiente de nuestra recta será la 
misma.
En general, diremos que la pendiente m de la recta L, que pasa por los puntos A(x1 , y1) y 
B(x2 , y2) está dada por: mL = x x
y y
–
–
2 1
2 1
.
También es válido calcular la pendiente con las diferencias al revés, esto es: mL = x x
y y
–
–
1 2
1 2
, pero 
independiente de como se elija realizar este cálculo, siempre se debe procurar respetar el 
orden en que se haga. Es decir, hay que respetar que, si se ocupa el y2 como minuendo e y1 
como sustraendo, abajo debemos respetar ese mismo orden, es decir, escribir x2 menos x1.
c. Función Identidad
La función identidad es una función que, tal como lo 
indica su nombre, asigna su idéntico valor a cada x. 
Es decir, 
f( x ) = x
x –1 0 1 2 3 4
f(x) –1 0 1 2 3 4
Por esta misma razón es una función que está bien 
definida para cualquier valor real, pues nos devuelve 
el propio valor como su imagen. 
La función identidad f(x) = x, es un caso de una 
función lineal cuya pendiente m = 1. Por lo tanto, si x 
aumenta en 1 unidad, f(x) también aumentará en 1 
unidad. Es por esto que, como es una función lineal 
y debe pasar por el origen (0 , 0), también pasará por 
el (1 , 1) , (2 , 2), etc.
Resumen:
 2 f(x) = x.
 2 Gráfico: recta creciente que pasa por el origen (0 , 0), con ángulo de 45º respecto 
a la horizontal.
 2 Dominio: R , Recorrido: R
 2 Intersección con eje x: (0 , 0)
 2 Intersección con eje y: (0 , 0)
x
f( x )
2
1
6
3
Observando el gráfico, 
identificamos algunos puntos 
por donde pasa la recta: (0 , 0), 
(2 , 1), (6 , 3).
1
x
2
21
–1
–1
f( x )
 
Desde la geometría, su gráfica es una 
recta que pasa por el origen (0 , 0), y 
cuya inclinación hace que genere 
un ángulo de 45º con respecto a 
cualquier recta horizontal.
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 263
d. Función Afín
Una función se dice que es afín cada vez que sea de 
la forma, 
f( x ) = mx + n , 
con m y n ! R, y ambos distintos de cero.
Al igual que las anteriores funciones, también 
estará bien definida para todo valor real de x y su 
representación geométrica corresponde a una recta 
que intersecta al eje y en el punto (0 , n). Dicho valor n 
recibe el nombre de Coeficiente de Posición.
La inclinación o pendiente de la recta que representa 
a la función f, depende del valor de m:
 2 Si m > 0, la función es creciente. 
 2 Si m < 0, la función es decreciente. 
Para determinar el punto de corte con el eje x, 
basta con reemplazar f(x)=0 y resolver la ecuación 
mx + n = 0.
Función afín creciente:
n
m
n–
x
f( x )
Función afín decreciente:
n
m
n–
x
f( x )
La gráfica de la función afín f( x ) = mx + n es idéntica a la gráfica de la función lineal g(x) = mx , 
solo que, adicionalmente, hay una traslación vertical de la misma, en n unidades hacia arriba 
o hacia abajo, dependiendo del signo de dicho valor n.
Resumen:
Expresión algebraica: f(x) = mx + n, siendo m y n R! , m ≠ 0, n ≠ 0.
Gráfico: recta que no pasa por el origen. Creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.
Dominio: R , Recorrido: R
Intersección con eje x: ( m
n– , 0)
Intersección con eje y: (0 , n)
Ejemplo:
¿Cuál es la gráfica de la función afín dada por f(x)=3x 
– 2?
Si nos dan la función en su forma algebraica, para 
dibujar la recta que la representa geométricamen-
te, basta con tener 2 puntos. Entonces, si queremos 
obtener 2 puntos de la recta, podemos darnos valo-
res para x y encontrar su imagen. Por ejemplo, si elijo 
x = 1, su imagen es f(1) = 1. Esto nos dice que la recta 
debe pasar por el punto (1 , 1). Así mismo, si x = 2, su 
imagen es f(2) = 4, por lo tanto un segundo punto se-
ría (2 , 4). Una vez tengamos los dos puntos, dibujamos 
la recta que pasa por ambos puntos. (figura (a))
Una segunda forma de llegar a la gráfica es, dibu-
jando primero la función g(x) = 3x y luego trasladarla 
en 2 unidades hacia abajo, (puesto que en este caso 
el n = – 2) y determinar con esto la gráfica de f. (figura 
(b))
x
y f
1 2
1
4
Fig.(a)
Fig.(b)
x
y g
1 2
1
4
f6
3
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
264
3. FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS
Una función definida por tramos tiene como 
principal característica el que se define por 
intervalos, utilizando para ello distintas fórmulas 
para los distintos intervalos. Por lo mismo, si 
queremos evaluar un determinado valor de la 
variable x en la función f(x), debemos considerar 
que esto significa revisar antes a qué intervalo 
pertenece dicho valor de x y luego evaluarlo 
en la fórmula que corresponda, según lo que 
indique la función general.
Ejemplo: 
,
,f x
x si x
si x
3 1
4 1
–
2
#
=_ i *
x
f( x )
4
1
–3
Lo que nos dice la función del ejemplo es que debemos considerar dos tramos y una fórmula 
distinta para cada uno de ellos. Esto es lo que genera esta gráfica en ocasiones discontinua 
en el punto donde se se pasa de una rama a otra. Así, para todos aquellos valores de x que 
sean menores o iguales que 1, se debe considerar que f es la función f(x)= x – 3, mientras que 
cada vez que x sea mayor que 1, se debe ocupar la fórmula f(x) = 4.
Observación:
Podemos notar que en estos casos se declara explícitamente para qué valores está definida 
la función y, por tanto, el dominio de una función definida por tramos, corresponde a la unión 
de los dominios que la definen en cada una de sus ramas.
Ejemplos :
1. Sea p un número real distinto de cero y f la funcióndefinida por f( x ) = px , con dominio los números 
reales. ¿ Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa, con respecto a f, para algún valor de p ?
(DEMRE 2015)
A ) La imagen de la suma de dos números reales es la suma de sus imágenes
B ) La pre–imagen de un número entero es un número entero
C ) La pre–imagen del cero es el cero
D ) La imagen del doble de un número es el doble de la imagen del número
2. El nivel del agua en un estanque cilíndrico recto era originalmente h metros y baja q metros cada 
semana. ¿ Cuál de las siguientes funciones relaciona el nivel del agua con el número de semanas 
transcurridas x, en la situación descrita ?
(DEMRE 2016)
A ) f( x ) = qx – h
B ) g( x ) = h – qx
C ) r( x ) = –( h + qx )
D ) p( x ) = hx – q
3. Sean las funciones f, g y h, todas con dominio el conjunto de los números reales, definidas por 
f( x )= 4
3 x , x – 2 g( x ) + 2 = 0 , 5x + 6 h( x ) – 30 = 0. ¿ Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera ?
(DEMRE 2018)
A ) g( x ) es directamente proporcional a x
B ) Las rectas que representan a las gráficas de las funciones f y g tienen la misma pendiente
C ) g(2x) = 2 g( x )
D ) g(0) = 5
1 h(0)
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 265
4. Sea f una función afín, tal que f: R → R, dada por f(x) = – 3x + 2. ¿Cuál es el valor de b – a , si a es la 
preimagen de 5 y b es la imagen de – 4?
A ) – 8
B ) – 4
C ) 6
D ) 15
5. Considere la función f(x) = mx + n con dominio el conjunto de los números reales. Se puede 
determinar el valor de n, si se conoce:
(DEMRE 2021)
( 1 ) El punto de intersección de la gráfica de f con el eje y
( 2 ) El valor de la pendiente de la gráfica de f y las coordenadas de un punto en la 
gráfica de f
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
6. La tarifa de cierta compañía de telefonía consta de un cargo fijo mensual de $9.000 más un cargo 
de $50 por minuto que se habla. Si durante los primeros 240 minutos esta tarifa se modela mediante 
una función de la forma f(x) = mx + n, ¿cuál de las siguientes gráficas representa mejor a la gráfica 
de f?
(DEMRE 2021)
A)
9.000
x
f(x)
240
D)
9.000
x
f(x)
240
B)
9.000
x
f(x)
240
C)
9.000
x
f(x)
240
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
266
7. Se pone a hervir agua que inicialmente estaba a una temperatura de 10 ºC. Si su temperatura 
sube uniformemente durante los primeros 7 minutos hasta alcanzar los 100 ºC, estabilizándose 
la temperatura después de este tiempo, ¿ cuál de los siguientes gráficos representa mejor este 
fenómeno ?
(DEMRE 2012)
Temperatura (°C) 
Temperatura (°C) 
Temperatura (°C) 
Temperatura (°C) 
100 
10 
0 7 Minutos 
B) 100 
10 
0 7 Minutos 
A) 
100 
10 
0 7 Minutos 
D) 
100 
0 7 Minutos 
C) 
8. En la figura adjunta se muestran las gráficas de tres funciones f, g y h que representan el costo 
correspondiente a kilogramos de peras, plátanos y manzanas, respectivamente. ¿ Cuál de las 
siguientes afirmaciones es falsa en relación a la información entregada en el gráfico ?
(DEMRE 2016)
A ) El kilogramo de plátanos es más caro que el kilogramo 
de manzanas
B ) 2 kg de peras tienen el mismo costo que 3 kg de 
manzanas
C ) Con $1.200 es posible comprar 5 kg de fruta
D ) Con $1.000 se puede comprar 1 kg de manzanas y 1 kg 
de peras
f 
1
200
1.200
1.000
800
600
400
2 3 4 5 6
Kg
g h 
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 267
9. ¿ Cuál de los siguientes gráficos podría representar a la función f( x ) = dx + d , con dominio el conjunto 
de los números reales, si d es un número real distinto de cero y de uno ?
(DEMRE 2019)
10. La recta de la figura adjunta modela el precio del azúcar en función de la masa del azúcar. El 
precio de 2 kg de azúcar es igual al de 3 kg de harina.
1.500
3.000
5 10
Precio ($)
Masa(kg)
Si la relación entre el precio de la harina y su masa se modela por una función lineal, ¿cuál de 
las siguientes funciones permite determinar el precio de x kg de harina?
(DEMRE 2020)
A ) f(x) = 100x
B ) h(x) = 200x
C ) m(x) = 300x
D ) j(x) = 450x
x
A )
y
d
d – d
d
–d1
– 1 – 1
x
B )
y
x
D )
y
E )
x
y
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
268
4. APLICACIONES LINEALES
Muchos problemas cotidianos pueden modelarse con funciones, y por ende, es necesario 
saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. Para expresar la 
función se requiere conocimientos de álgebra, lenguaje algebraico, geometría (en algunos 
casos) y bastante sentido común, ya que los problemas tratados en general representan 
situaciones con las que el alumno convive habitualmente, como por ejemplo, el cálculo de la 
cuenta del agua consumida en el hogar.
Ejemplo:
Un grupo de apoderados ha decidido donar $50.000 para un desayuno para sus hijos para el 
día del alumno, pero que los estudiantes que participen, deben agregar a ese monto, $500 
cada uno. Si x es la cantidad de alumnos que participó en ese desayuno:
• ¿Cuál es la función que modela la cantidad de dinero recolectado para la actividad si 
participaron x estudiantes?
Como cada estudiante aporta $500, si son x los estudiantes, entonces entre ellos aportan 
$500· x. Si a eso sumamos los $50.000 de aporte de los apoderados, nos queda que el total R 
recaudado depende de la cantidad de estudiantes x, y está dado por: R(x) = 500x + 50.000.
• ¿Cuánto dinero fue lo que se recaudó si participaron 20 estudiantes?
Como ya hemos modelado el monto recaudado R, dependiendo del número de 
estudiantes, podemos evaluar nuestra función (que terminó siendo una función afín) 
considerando que x = 20. Así, ( ) .R 20 050 20 50 000$= + , lo que nos da un total de $60.000 
recaudados.
• ¿Cuál hubiese sido la función del monto recaudado R, pero en caso de que los papás no 
hubiesen hecho la donación y solo se recaudaba el aporte de los x estudiantes?
Si solo era la recaudación de los aportes de los estudiantes, el monto se debería calcular 
mediante la fórmula R(x)=500x (que sería una función lineal).
Ejemplos :
11. Un paciente evalúa costos en dos posibles centros de terapia, M y P. En M paga 1 UF por el contrato 
más 0,5 UF por cada sesión de terapia y en P paga 3
2 UF por cada sesión de terapia. ¿ Cuál de las 
siguientes afirmaciones es verdadera ?
(DEMRE 2016)
A ) Es más conveniente el centro M, independiente del número de sesiones
B ) Si decide contratar 4 sesiones de terapia, entonces debería optar por el centro M, que es el 
más conveniente
C ) Las variables número de sesiones y costo asociado, para el centro M, son directamente 
proporcionales
D ) Para un tratamiento de 6 sesiones se pagaría 4 UF en cualquiera de los centros de terapia
12. Si se supone que un modelo para la temperatura T, en grados Celsius ( ºC ), de un líquido recién 
vertido en un recipiente está dado por T( t ) = 90 – 10t , donde t es el tiempo transcurrido en minutos, 
desde el instante en que fue vertido, ¿ cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2016)
I. La temperatura disminuye en función del tiempo
II. El líquido fue vertido a 90ºC
III. La temperatura del líquido disminuye a razón de 10ºC por minuto
A ) Solo II
B ) Solo I y III
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 269
13. Para el cobro de electricidad de un sector rural se ha establecido un modelo lineal de cálculo. 
En este cobro se debe pagar $a por un cargo fijo más un monto por kWh consumido. Si por un 
consumo de x kWh el cobro es de $M, ¿ cuál de las siguientes expresiones corresponde al monto 
total, en pesos, a cobrar por un consumo de z kWh ?
(DEMRE 2017)
A ) a x
M z+ c m
B ) a z
M a x–+ c m
C ) a x
M az–+
D ) a x
M za–+ c m
14. Una bomba comienza a llenar con agua un estanque cilíndrico de base horizontal y plana, a 
caudal constante. Si inicialmenteel estanque contenía 2 m3 de agua, ¿ cuál de los siguientes 
gráficos representa mejor la altura h(t), en m, que alcanza el nivel de agua en el estanque, después 
de t segundos desde que se comenzó a llenar ?
(DEMRE 2018)
15. Una empresa de mantención de equipos eléctricos cobra un costo fijo mensual de $ 200.000 y 
$ 5.000 por cada visita que su técnico realice en el mes. Si una fábrica contrata los servicios de 
esta empresa, ¿cuál de las siguientes funciones modela el cobro total, en pesos, del servicio para 
x visitas en el mes?
(DEMRE 2020)
A ) f(x) = 205.000x
B ) g(x) = 200.000 – 5.000x
C ) h(x) = 200.000x + 5.000
D ) p(x) = 5.000x + 200.000
t
h( t )
A)
t
h( t )
B)
t
h( t )
C)
t
h( t )
D)
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
270
16. Una empresa de arriendo de autos cobra $ 70.000 cuando su vehículo A recorre 50 km y $ 120.000 
cuando su vehículo A recorre 100 km. El cobro que realiza la empresa para el vehiculo A, en 
términos de los kilómetros recorridos, se modela a través de una función de la forma f(x) = mx + n. 
¿Cuál será el cobro del vehículo A cuando recorra 200 km?
(DEMRE 2021)
A ) $ 200.000
B ) $ 220.000
C ) $ 240.000
D ) $ 280.000
17. Considera la función f, cuyo dominio es el conjunto de los números reales, definida por f(x) = 2x – 3. 
¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la gráfica de f?
(DEMRE 2022)
18. Una compañía distribuidora de energía eléctrica cobra mensualmente un cargo fijo de $1.100 y 
$65 por kWh de consumo, pero si en los meses de invierno se superan los 200 kWh, se aplica un 
recargo de $50 por cada kWh de exceso. ¿Cuál de las siguientes funciones permite calcular el total 
que se debe pagar en un mes de invierno por x kWh si x es mayor que 200?
(DEMRE 2022)
A ) f(x) = 1.100 + ( 200 · 65 ) + 50x
B ) p(x ) =1.100 + ( 200 · 65 ) + 115x
C ) g(x ) =1.100 + 115x
D ) m(x) =1.100 + ( 200 · 65 ) + 115 ( x − 200 )
x
A )
y
3
– 3 – 3
1
– 32
1
2
x
B )
y
x
C )
y
D )
x
y
1
2
2
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 271
19. Un local comercial tiene un sistema de acumulación de puntos que está en relación con la cantidad 
de dinero que gastan los clientes, de tal forma que estos pueden cambiar los puntos acumulados 
por un artículo que se venda en el local.
Por cada $x se acumulan x50 puntos y, además, se obtienen 5.000 puntos mensuales adicionales 
si se compra al menos una vez en el mes.
Si al comenzar agosto un cliente tiene 40.000 puntos y hace solo dos compras, de $12.000 y de 
$38.000, ¿cuántos puntos tendrá acumulados al final de este mes para canjearlos por un producto 
de ese local?
(DEMRE 2022)
A ) 6.000 puntos
B ) 41.000 puntos
C ) 46.000 puntos
D ) 95.000 puntos
20. Una compañía de agua potable cobra un cargo fijo mensual de $b, además de $m por cada 
metro cúbico de agua consumido en el mes.
Si m b! , ¿cuál de las siguientes gráficas representa mejor la relación entre metros cúbicos 
consumidos (x) y el cobro mensual f(x)?
(DEMRE 2022)
x
A )
f(x)
mb
m
b
x
B )
f(x)
x
C )
f(x)
D )
x
f(x)
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
272
Capítulo 11
Ejercicios │ Función Lineal y Afín
Instrucciones
› Lee con atención cada una de las siguientes preguntas y marca la alternativa correcta.
› Recuerda aplicar los contenidos desarrollados en este capítulo para resolver los ejercicios.
› Toma el tiempo que demoras en completar el test. El objetivo es terminarlo en menos de 2 horas y 20 minutos (140 minutos).
1. ¿ Cuál(es) de los siguientes gráficos es(son) función(es)?
I.
x
f( x )
II.
x
f( x )
III.
5
x
f(x)
3
A ) Solo I
B ) Solo II
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
2. La figura adjunta muestra el gráfico de una función f( x ), definida en los reales. ¿ Cuál es el valor de 
[ f(–3) + f(3)]· f(0) – f(2)?
A ) 8
B ) 7
C ) 6
D ) 4
3. De acuerdo con el gráfico de la figura adjunta, ¿ cuál de las siguientes relaciones es incorrecta ? 
A ) f(0) = 2
B ) f( 1 ) = f(4)
C ) f( 1 ) + f(3) = f(–1)
D ) f(0) + f(3) = f(–1)
4. En el gráfico de la figura adjunta, ¿ cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. f(–1) = f(2)
II. f(3) = 0
III. f(–2) – f(0) = –2
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) I, II y III
3
4
2
x
f( x )
1
1 2 3–3 –2 –1 4–4
5
6
3
4
2
x
y
1
1 2
3–1
–1
–2
–3
4
–4
3
2
x
f( x )
1
1 2 3–3 –2 –1
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 273
5. De acuerdo a los siguientes gráficos, ¿ cuál de las opciones siguientes es FALSA ?
x
y
L
I.
x
y
M
II.
x
y
N
III.
x
y
P
IV.
A ) L es una función creciente
B ) N es una función constante
C ) M es una función decreciente
D ) P es una función constante
6. Con respecto al gráfico de la función, ¿ cuál de las siguientes alternativas es FALSA ?
A ) f(0) = f(0,5)
B ) f( 1 ) > f(3)
C ) f es creciente en el intervalo [ –2 , 3 ]
D ) f es decreciente en el intervalo [ 2 , 3 ]
7. Si f( x ) = 2x – 1, ¿ cuál de las siguientes relaciones es FALSA ?
A ) f(1) > f(–1)
B ) f(0) < f(1)
C ) f(1) < f(3)
D ) f(–2) > f(1)
8. La gráfica de la función f( x ) = ax + b, se puede obtener si :
( 1 ) Se conoce el valor de a
( 2 ) Se conoce el valor de b
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
9. Si f( x ) = 3
1 x – 1, entonces el valor de f(–3) – 3f(–1) – f(6) es :
A ) –6
B ) 1
C ) –3
D ) –1
x
f( x )
321–1–2
2
1
–2
–1
 
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
274
10. La tabla adjunta, muestra la temperatura de un enfermo a distintas horas del día.
Horas transcurridas del día (t) 8 10 12 16 18 20 22 24
Temperatura ( T ) en ºC) 37,5 36,8 39 37,7 38,2 38,7 39,2 39,7
¿ Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I. La máxima temperatura se registra a las 24 horas
II. Entre las 8 y las 12 la temperatura del enfermo fue creciente
III. Para 16 ≤ t ≤ 24, la temperatura de la tabla está dada por: T(t) = 37,7 + (t – 16) ∙ 0,25
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
11. Si f( x ) = 3x – 1, ¿ cuál es el valor de f(–1)?
A ) –4
B ) –2
C ) 2
D ) 3
12. ¿ Cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) una función f identidad de A en B ?
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
13. Dada la función f( x ) = x – 4, entonces el valor de f(4) + f(–4) =
A ) –8
B ) –4
C ) 0
D ) 4
1
2
3
4
BA
f( x )
2
4
6
8
II.
1
2
3
4
BA
f( x )
5
5
5
5
I.
1
2
3
4
BA
f( x )
1
2
3
4
III.
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 275
14. Sean las funciones enteras f y h definidas de Z " Z por las fórmulas f( x ) = x 3
2– y h( x ) = x + 4, entonces 
al calcular 3· f(2) + 5· h(–1) resulta :
A ) –1
B ) 9
C ) 15
D ) 16
15. Sea la función real f: R " R definida por f( x ) = 5 . Entonces: f(–1) + f(1) =
A ) 0
B ) 1
C ) 5
D ) 10
16. Sea la función real definida por ,f x x x4 06 !=^ h . Entonces, f f ff12 1 22$ $ =+^ ^^ ^h hh h
A ) 3
1
B ) 4
3
C ) 3
D ) 4
17. Sea la función real f : R " R definida por: ,,f x
x si x
x si x
7 3 0
1 0
–
1
$= +^ h ' . Entonces f(2) + f(–2) =
A ) –2
B ) 0
C ) 10
D ) 14
18. Sea la función f( x ) = x – 2kx + 5. Si f(–1) = 2 , entonces k =
A ) –1
B ) 0
C ) 1
D ) 2
19. Si f: A " R con A = { –2 , –1 , 0 , 4 } está definida por f( x ) = x + 10, entonces el recorrido de f es el conjunto :
A ) Rec f = {–2 , –1 , 0 , 4}
B ) Rec f = {8 , 9 , 10 , 14}
C ) Rec f = { –12 , –11 , –10 , –6}
D ) Rec f = R
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
276
20. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) respecto a la función identidad f(x) = x?
I. Independiente del valor real de a, su gráfica pasa por el punto (1 , a).
II. Es una función decreciente en todo su dominio.
III. Para cualquier valor x del dominio, se tiene que f(x) + f(– x) = 0
IV. x
f x
0>
^ h
 , para todo x ! Dom(f) – {0}
A ) Solo I
B ) Solo I y III
C ) Solo III y IV
D )Solo I, III y IV
21. ¿Cuál de las siguientes expresiones, corresponde siempre a la representación algebraica de una función 
afín, que es creciente en todo su dominio, si a y b son dos constantes reales?
A ) f(x) = ax + b, con a < 2
B ) g(x) = –ax + b, con a < – 1
C ) h(x) = –ax – b, con ab > 0
D ) m(x) = ax – b, con b > 0
22. Si f( x ) = 4 y h( x ) = x , entonces ¿ cuál es el valor de la expresión f(0,5) ∙ h(4)?
A ) 3
B ) 4,5
C ) 6
D ) 16
23. Si f: R " R está definida por f( x ) = ax y el doble de la imagen de 2, aumentada en 7 es igual a –13, ¿cuál 
es el valor de a?
A ) – 5
B ) –0
C ) 5
D ) 10
24. ¿Cuál es el valor de g(–1) si g(x) = f(2x + 1) y f es una función lineal tal que f(2) = 10?
A ) –5
B ) –2
C ) 0
D ) 3
25. Sea la función f: A " B definida por el diagrama adjunto. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?
A ) La función f es decreciente
B ) La función f corresponde a la función identidad
C ) La función f es creciente
D ) La función f es constante
B
–3
1
2
3
4
A
f( x )
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 277
26. Sean las funciones h: R " R y f: R " R definidas por las fórmulas h( x ) = 2x + 5 y f( x ) = 3x + 11. Entonces 
el par ordenado que pertenece a h y f es :
A ) (–6 , –7)
B ) (3 , 0)
C ) (–6 , –1)
D ) (–7 , –6)
27. Sea la función f( x ) = 7x + 1 , entonces f(x + 2) =
A ) 8x + 3
B ) 7x + 3
C ) 7x + 14
D ) 7x + 15
28. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) respecto a la función lineal?
I. Es siempre creciente
II. Su dominio es el conjunto de los reales
III. Su recta pasa siempre por el origen del plano cartesiano
IV. Pasa siempre por el punto (1 , 1)
A ) Solo I
B ) Solo II y III
C ) Solo I, II y III
D ) I, II, III y IV
29. Si f( x ) = – 2x + a , entonces al calcular el valor de f a b f a–+ b2
^ ^h h
 se obtiene :
A ) –1
B ) 1
C ) a + b
D ) –2b
30. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a una función decreciente?
x
A )
y
x
B )
y
x
C )
y
D )
x
y
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
278
31. Si f( x ) = ax – 2 y además f( – 1 ) = 0, entonces el valor de f( 2 ) es :
A ) 0
B ) 2
C ) 4
D ) –6
32. Si ( )f x a x3–=^ h , entonces f a 3+ =^ h
A ) a2 + 9
B ) a2 – 9
C ) a2 – 6a + 9
D ) a
a
3
3
–
+
33. Según la función f definida por f( x ) = x3 y tal que f : [– 1 , 5] R$ , es correcto afirmar que :
I. f(0,5) = 6
1
II. El dominio de la función es R
III. El recorrido de la función es R – { 0 }
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) I, II y III
34. Si f(x) es una función lineal tal que f(4) = 12, ¿Cuál es el valor de a si f(a+1) – f(2a) = 0?
A ) – 2
B ) – 1
C ) 1
D ) 3
35. ¿ Cuál de los siguientes gráficos representa la función , ,f x
x si x
si x
2
2 2
≤
– >=^ h ' ?
A)
2
x
y B)
2
x
y
–2
–2
C)
x
2
y
2
–2
D)
2
x
y
–2
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 279
36. Si f( x ) = 3x – 2, entonces un punto que pertenece a la función es :
A ) (4 , 2)
B ) (–2 , –4)
C ) (0 , 0)
D ) (2 , 4)
37. Sea la función f( x ) = x + 1. ¿ Para qué valor de a se cumple que f(2a) + f(3) = f(a + 1)?
A ) – 4
B ) – 3
C ) – 2
D ) Para ningún valor de a
38. Se desea conocer el valor de f(3), si f( x ) = ax + b
( 1 ) f(0) = b y a = 2
( 2 ) f(1) = 5 y f(–1) = 1
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
39. Si f( x ) = 2x + 4 y f(a – 1) = –8 , ¿ cuál es el valor de a ?
A ) –12
B ) –7
C ) –5,5
D ) –5
40. Dada la función real f: R $ R definida por f( x ) = 7x – 9. Entonces, para elementos distintos a y b de su 
dominio se tiene que b a
f b f a
–
– =^ ^h h
A ) 7
B ) 0
C ) –7
D ) –9
41. Sea la función f de R en R definida por la fórmula f( x ) = ax + 10 . Si f(–3) = –2 , entonces f(–2) =
A ) –2
B ) –1
C ) 0
D ) 2
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
280
42. ¿Cuál es el máximo valor que toma la función real f, si f es de la forma f(x) = – 2x + 3 y su dominio se 
restringe al intervalo real [ – 5 , 1 ]?
A ) 1
B ) 7
C ) 13
D ) 15
43. ¿ Cuál es el dominio de la función f( x ) = – 2x + 3, si su recorrido es rec(f) = { /x x5 5–R! # # } ?
A ) [ –1 , 4 ]
B ) [ 2 , 8 ]
C ) R – 2
3& 0
D ) R
44. Sea f: N " N, tal que f( x ) = 3x + 2. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
I. f(4) = 14
II. 8 ! Recorrido de f
III. 0 ! Dominio de f
A ) Solo I
B ) Solo III
C ) Solo I y II
D ) Solo II y III
45. Si f( x ) = mx + 1, con m ≠ 0 y f(a) + f(2a) + f(3a) = 6, entonces el valor de a es :
A ) 2m
B ) m6
5
C ) m2
1
D ) Faltan datos para determinarlo
46. Sea f( x ) = ax – 5, f( x ) = 0 si x = 10 , entonces el valor de f(7) =
A ) 2
3–
B ) 0
C ) 1
D ) 2
3
47. El costo de arrendar una casa de veraneo es $ 15.000 fijo, más $ 22.500 por semana. Una función que 
permite calcular el costo de arrendar la casa durante n semanas es :
A ) C(n) = (15.000 + 22.500)· n
B ) C(n) = n
1 (15.000 + 22.500)
C ) C(n) = 15.000 + 22.500· n
D ) C(n) = 15.000· n + 22.500
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 281
48. Se dice que una función es Impar, cada vez que se pueda asegurar que para cualquier valor de x en 
un intervalo simétrico [ – a , a ], se tendrá que f(x) = – f(–x). ¿Cuál de las siguientes funciones es impar, dada 
esta definición?
A ) f(x) = x3
B ) g(x) = 2x + 5
3
C ) h(x) = 3x – 1
D ) p(x) = x5
2 3–
49. La organización de una graduación tiene un costo de $ 50.000 por asistente por concepto de alimentación, 
más un costo fijo de $ 2.000 por una invitación impresa familiar, que debe ser para 5 personas. Si el 
arriendo del recinto tiene un costo independiente del número de asistentes, de $ 1.000.000, ¿Cuál es la 
función que modela el costo final y total que tendrá el evento, si son x los invitados y se sabe que todos 
los asistentes fueron parte de una familia de 5 integrantes?
A ) f(x) = 60.000x + 1.000.000
B ) g(x) = 52.000x + 1.050.000
C ) h(x) = 1.050.000x + 2.000
D ) j(x) = 50.400x + 1.000.000
50. Un excursionista estima que el tiempo que demora en subir una colina en una cierta región está dado 
por T(h) = 2 + .
h
1 600 horas, donde h es la altura de la colina en metros. ¿ Cuáles la altura de una colina si 
demora 4 horas en subirla ?
A ) 3.200 m
B ) 3.400 m
C ) 3.500 m
D ) 4.000 m
51. En una cierta ciudad se puede arrendar una bicicleta pagando $1.000 por día, más $75 por kilómetro 
recorrido. La función que permite calcular el costo, en pesos, de arrendar una bicicleta por un día, si se 
recorren x kilómetros es :
A ) f( x ) = 1.000x + 75x
B ) f( x ) = 75x – 1.000
C ) f( x ) = 1.000 + 75x
D ) f( x ) = 75x – 1.000
52. El curso de Francisca quiere juntar dinero para su viaje de estudios. Tienen la idea de hacer un periódico 
semanal, y averiguan que si se hacen n periódicos, el costo por semanario viene dado por la fórmula:
.C n2 4 0
10 000$= +` j , donde: C = costo y n = número de periódicos. ¿ Cuál es el costo de cada periódico, 
si deciden imprimir 500 ejemplares ?
A ) $80
B ) $100
C ) $110
D ) $120
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
282
53. La comisión c de un corredor de bolsa es de $25 más 2% del valor de la venta s , por lo tanto, su comisión 
es una función de las ventas que está dada por la ecuación :
A ) c = 25 + 0,02 ∙ s
B ) c = 25 + 2 ∙ s
C ) c = 50
1 (25 + s)
D ) c = (25 + 0,02) ∙ s
54. Para una fiesta de graduación, el dueño de un restaurante cobra $100.000 por el arriendo del local y 
$10.000 por persona por la cena. Cada uno de los alumnos asistirá con sus dos padres y, además, seis 
profesores serán invitados por el curso, corriendo ellos con el gasto de su comida. ¿ Cuál de las siguientes 
funciones representa el costo total de la fiesta para un curso de x alumnos ?
A ) f( x ) = 10.000x + 100.000
B ) f( x ) = 20.000x + 160.000
C ) f( x ) = 30.000x + 100.000
D ) f( x ) = 30.000x + 160.000
55. En la figura adjunta, el gráficorepresenta el recorrido de un ciclista que va desde una ciudad A a otra 
ciudad F situada a 90 Km, en función del tiempo. ¿ Cuál de las siguientes opciones entrega la mayor 
información correcta sobre la travesía del ciclista ?
Horas
Ki
ló
m
et
ro
s
31 2
40
30
20
4
10
50
60
70
80
90
A
B
C D
E
F
A ) El ciclista demoró 4 horas entre las ciudades A y F
B ) En la primera hora avanzó muy rápido, luego se fue más lento, después descansó media hora y 
siguió más lento que en la primera hora
C ) El ciclista varió su rapidez en los distintos tramos del camino
D ) El camino tenía mayor pendiente al comienzo, luego menos, después cero y las siguientes tenían 
menos pendiente que la primera
56. El puntaje p( x ) de una prueba de 45 preguntas, se calcula asignando 5 puntos por respuesta correcta y 
restando 1 por cada respuesta incorrecta, más 350 puntos de base. ¿ Cuál es la función que representa 
el puntaje para quien responde 40 preguntas, teniendo x respuestas correctas ?
A ) p( x ) = 6x + 310
B ) p( x ) = 5x + 310
C ) p( x ) = 6x + 350
D ) p( x ) = 5x – 310
 
Función Lineal y Afín | Capítulo 11
Matemática Para Nacional 283
57. La ganancia de una empresa es G (en miles de pesos) y se calcula en función del tiempo t (en meses) 
mediante una función. ¿ Cuál es la ganancia acumulada por la empresa, hasta la fecha de hoy ?
( 1 ) La empresa lleva funcionando 3 años y 2 meses
( 2 ) La función es G( t ) = 40 + 2t
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
58. Un conductor a la entrada de un estacionamiento pregunta por la tarifa. El funcionario a cargo le 
responde que deberá cancelar $ 750 por la primera hora y, $ 700 por cada hora siguiente o fracción. 
¿ Cuál es el máximo tiempo que podrá permanecer el vehículo en el estacionamiento si el conductor 
dispone hasta $ 2.000 ?
A ) 1 hora y 15 minutos
B ) 1 hora y 30 minutos
C ) 2 horas
D ) 2 horas y 30 minutos
59. Una compañía de teléfonos cobra mensualmente $ 7.000 por arriendo de equipos y $ 45 por minuto en 
cada llamada. ¿ Cuántos minutos usó un consumidor cuya cuenta mensual asciende a $ 26.440 ?
A ) 743
B ) 622
C ) 532
D ) 432
60. La familia López planea instalar un sistema de seguridad en su casa. Han reducido sus opciones a dos 
compañías de seguridad, A y B. El sistema de A cuesta $ 336.000 de instalación y $ 1.700 semanales. El 
sistema equivalente en B cuesta sólo $ 226.000 de instalación, pero su tarifa semanal es de $ 2.800. Si las 
tarifas semanales no cambian, ¿cuántas semanas deben transcurrir para que el costo total acumulado 
en el sistema A, sea el mismo que con el sistema B?
A ) 10
B ) 35
C ) 44
D ) 100
61. Si el gráfico de la figura adjunta corresponde a la función ( )f x x3
2 2–= + , ¿cuál es el área del triángulo 
limitado por la recta de la función f, el eje x y la recta vertical x = – 3 de la figura? (Ayuda : recuerda que 
el área de un triángulo se calcula A = ·base altura2 )
A ) 12 u2
B ) 10 u2
C ) 9 u2
D ) 6 u2
F11@61: /
A11@61: CLAUDIO MUÑOZ 2021
C11@61: CAP.11 - FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN
K11@61: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
H11@61: /
N11@61: MEDIA
Y11@61: /
–3 x
f(x)
 
Capítulo 11 | Función Lineal y Afín
284
62. La ganancia semanal p de una pista para patinaje sobre hielo, depende del número de patinadores 
por semana, n. La función que aproxima la ganancia es: p( n ) = 8n – 600 , para 0 ≤ n ≤ 400. Si una semana 
la ganancia fue 1.080 ¿ Cuántos fueron los patinadores en esa semana ?
A ) 4.020
B ) 210
C ) 60
D ) 50
63. En un local del sur de Chile arriendan bicicletas y cobran $11.000 cuando se arrienda por 4 horas y 
$19.000 cuando se arrienda por 8 horas. Si Darío arrendó una bicicleta a las 8:00 am y la devolvió a las 
19 hrs y sabiendo que el cobro se realiza utilizando un modelo lineal afín, ¿cuánto debió pagar por el 
arriendo?
A ) $25.000
B ) $21.000
C ) $18.000
D ) $13.000
64. Un taxista gasta mensualmente $80.000 en la mantención de su auto. Él sabe que el rendimiento de 
su auto es de 10 litros de bencina por cada 100 km recorridos y que el litro cuesta $540. Una expresión 
que nos permite calcular el gasto total (G) mensual, en pesos, en función de un número x de kilómetros 
recorridos en el mes es :
A ) G = 540·10x + 80.000
B ) G = 540(x – 10) + 80.000
C ) G = 54(x – 10) + 80.000
D ) G = 54x + 80.000
65. Si f( x ) = 3x + 1 y g( x ) = –x + 5 con g(a) = 2b. ¿ Cuál es el valor numérico de f(b)?
( 1 ) Se conoce a
( 2 ) Se conoce b
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) o ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
 
Función Cuadrática | Capítulo 12
Matemática Para Nacional 285
1. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Sea a, b, c ! R y a ≠ 0. Se denomina función 
cuadrática, a toda función de la forma:
f ( x ) = ax2 + bx + c
La representación gráfica de una función 
cuadrática es una curva que se llama parábola y 
estudiaremos las siguientes características:
a. Concavidad
La forma de definir el tipo de concavidad, que corresponde a la forma en cómo se produce su 
apertura (hacia arriba o hacia abajo), tiene que ver directamente con el valor del coeficiente 
“a” de x2. De acuerdo al valor que tome dicho coeficiente a, se tendrá alguno de los siguientes 
escenarios:
• Si a > 0 , entonces la parábola se abre hacia arriba (cóncava hacia arriba). 
• Si a < 0 , entonces la parábola se abre hacia abajo (cóncava hacia abajo). 
b. Dominio y Recorrido
El dominio máximo de una función cuadrática definida desde los números reales, es el propio 
conjunto R; mientras que su recorrido dependerá de si la parábola abre hacia arriba (concava 
hacia arriba), en cuyo caso tendrá un mínimo valor f(h) = k y por ende [ , [ec fR k 3= +^ h , o si 
la parábola abre hacia abajo (concava hacia abajo), en cuyo caso tendrá un máximo valor 
f(h) = k y por tanto ,] ]Rec f k–3=^ h . El siguiente esquema resume lo anterior.
Si es cóncava hacia arriba, 
entonces ,( ) kRec f 3+= 6 6
x
f( x )
k
h
Si es cóncava hacia abajo, 
entonces ( ) ,Rec f k–3= @ @
x
f( x )
k
h
x
c
Eje de 
simetría
f( x ) = ax
2 + bx + c
f( x )
x2x1
“El éxito consiste en ir de fracaso en 
fracaso sin perder el entusiasmo”
— WINSTON CHURCHILL —
POLÍTICO Y ESTADISTA BRITÁNICO
Capítulo 12
FUNCIÓN 
CUADRÁTICA
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Capítulo 12 | Función Cuadrática
286
c. Intersección con los ejes
La parábola siempre intersecta al eje de las 
ordenadas (eje y) en un único punto, y sus 
coordenadas son ( 0 , c ). Esto porque, como 
vemos en el gráfico, su intersección con el 
eje y debe ser en un punto cuya abscisa es 
0 y por tanto, un punto cuya ordenada está 
dada por f(0). 
Como f (0 ) = a $02 + b $0 + c = c, el punto 
(0, f(0)) también puede ser considerado 
indistintamente como (0 , c).
Por otro lado, la parábola, en caso de intersectar al eje de las abscisas (eje x), lo hará en a lo 
más 2 ocasiones y estas estarán directamente relacionadas con los valores de x que hagan 
que f(x) = 0. Es decir, debemos buscar valores de x tales que ax2 + bx + c = 0, que es lo mismo que 
resolver la ecuación general de segundo grado. Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación, 
tenemos que las intersecciones con el eje x son (x1 , 0) y (x2 , 0).
Ejemplo:
Determine los puntos de intersección con los ejes coordenados de la función f(x) = x2 – 3x – 4
La intersección más simple de calcular es la que 
se produce con el eje y, pues basta determinar 
el valor del coeficiente constante c, que en este 
caso es – 4, y se tiene que el punto de intersección 
está dado por (0 , – 4).
Para determinar los cortes (si es que los hay) con 
el eje x, debemos resolver la ecuación cuadrática 
x2 – 3x – 4 = 0 y como sus soluciones son 2, y sus 
valores son –1 y 4, entonces hay 2 puntos de 
intersección con el eje x, y están dados por (–1, 0) 
y(4 , 0).
Intersecciones con los 
ejes coordenados
Cantidad de intersecciones con el eje x
En los párrafos anteriores hemos señalado que la gráfica de una función cuadrática no siem-
pre intersecta al eje x, pues la parábola puede cortar en 1 punto al eje x; en 2 puntos o simple-
mente no tener puntos de intersección. 
¿De qué depende esto? Dependerá de la cantidad de soluciones reales que tenga la ecua-
ción ax2 + bx + c = 0; es decir, depende del discriminante (∆ = b2 – 4ac). La cantidad de puntos 
de intersección es igual a la cantidad soluciones reales que la ecuación tenga. 
La información se resume como sigue:
Si ∆ > 0 Si ∆ = 0 Si ∆ < 0
x
f( x )
x
f( x )
x
f( x )
La ecuación tendrá 
2 soluciones 
La parábola intersecta 
en 2 puntos al eje x
La ecuación tendrá 
1 solución
La parábola intersecta en 1 
punto al eje x.
(parábola tangente al eje x)
La ecuación no tiene 
soluciones reales
La parábola NO 
intersecta al eje x
(x1 , 0)
(x2 , 0)
x
(0, f(0))
f( x )
0
4– 1 x
f( x )
– 4
 
a
Función Cuadrática | Capítulo 12
Matemática Para Nacional 287
Ejemplos:
1. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto a la función f definida 
por f( x ) = x2 – 8, para x > 8 ?
(DEMRE 2019)
I. Modela el área de un rectángulo de lados ( x – 8 ) cm y ( x + 8 ) cm
II. Modela el área de un cuadrado de lado ( x – 8 ) cm
III. Modela el área que queda de restar el área de un cuadrado de lado 8 cm al área 
de un cuadrado mayor de lado x cm
A ) Solo II
B ) Solo I y II
C ) Solo I y III
D ) Solo II y III
2. Sean las funciones f y g, ambas con dominio el conjunto de los números reales, definidas por:
 f( x ) = x2 + 3 y g( x ) = ( x – 3 )2. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
(DEMRE 2018)
I. Las gráficas de f y g se intersectan en el punto ( 1 , 4 )
II. Si x = 5, entonces f( x ) – g( x ) = 24
III. Las pre–imágenes del 7 según la función f son – 2 y 2
A ) Solo I
B ) Solo I y II
C ) Solo II y III
D ) I, II y III
3. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales, definida por 
f( x ) = kx2 + (k + 1)x + k + 2, con k un número real distinto de cero. ¿ Cuál de las siguientes relaciones 
debe cumplir el número k para que la gráfica de f intersecte al eje x en un solo punto ?
(DEMRE 2017)
A ) 
k
k
k k k
2
1 1 4 2 0– –
2+ + + + =^ ^ ^h h h
B ) 3k2 + 6k – 1 = 0
C ) 3k2 + 6k – 1 > 0
D ) k = – 1
4. Sea la función f( x ) = ax2 + bx + c , con a ≠ 0 y con dominio el conjunto de los números reales. Si la 
gráfica de f no intersecta al eje x, ¿ cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera ?
(DEMRE 2019)
A ) a > 0
B ) b > 0
C ) b2 – 4ac < 0
D ) La recta de ecuación y = c es tangente a la gráfica de f
 
Capítulo 12 | Función Cuadrática
288
5. Considera la función f, cuyo dominio es el conjunto de los números reales, definida por 
f (x) = 3x2 − 2x + 5. ¿Cuál es el valor de f 23
–^ h
?
(DEMRE 2022)
A ) –1
B ) 3
13
C ) 7
D ) 13
 
Función Cuadrática | Capítulo 12
Matemática Para Nacional 289
d. Eje de simetría y vértice
Sea la ecuación de segundo grado de la forma 
ax2 + bx + c = 0 , cuyas soluciones son x1 y x2 .
El eje de simetría de la parábola, es una recta 
paralela al eje y, que se escribe de la forma 
x = h. Esta divide a la parábola en dos partes 
tales que una es reflejo de la otra, con respecto 
a dicha recta. Para determinar el valor de 
h podemos hacerlo de alguna de estas dos 
maneras:
x x+h 1 2=
2
 ó a
bh 2
–=
El vértice de la parábola es el punto de 
intersección de ésta con su eje de simetría y es 
el punto más alto o más bajo de la parábola, 
dependiendo de su concavidad. 
El vértice se puede determinar de tres maneras:
 2 Luego de obtener el valor de h, lo 
reemplazamos en la x de la función: 
,V h f h= ^ ^ hh
 2 Reemplazo de fórmula: V 2a
– b , 4a
4ac – b2= c m
 2 Se determina visualmente si la expresión está 
escrita en fórma canónica:
 ,f x a x h k V h k– 2 "= + =^ ^ ^h h h
x
f( x )
x1 x2
x = h
( h , k )
k
Ejemplo: 
Si tenemos la función cuadrática 
f(x) = 3x2 + 5x – 7, su vértice es:
Usando fórmula, 
, ( ) ( )V 2 3
5
4 3
4 3 7 5– – – – 2
$ $
$ $= d n 
,V 6
5
12
10 9– –= b l
e. Máximo y mínimo
Si a < 0, la función alcanza un valor 
máximo ( k ) , cuando la variable x toma 
el valor de h.
x
f( x )
Pmáx ( h , k )
k
h
Si a > 0, la función alcanza un valor 
mínimo ( k ), cuando la variable x toma 
el valor de h.
x
f( x )
Pmín ( h , k )
k
h
f. Desplazamientos y reflexión vertical
i. Traslación horizontal de la función f(x) = x2
¿Cómo es la parábola de la función m(x) = ( x – 3 )2 y de la función p(x) = (x + 2)2, en comparación 
con la parábola de la función f(x) = x2 ? Veamos la figura:
fp m
x– 2 3
Podemos notar que la única diferencia geométrica 
entre la gráfica de la función m y la función p, con 
respecto al gráfico de la función f es, que hubo 
una traslación en 3 unidades hacia la derecha y 2 
unidades hacia la izquierda respecto a la curva de 
la función f.
Por lo tanto, si la función está escrita de la forma g( x ) = (x – h)2, la función f(x) = x2 sufre un 
desplazamiento horizontal con la magnitud de acuerdo al valor de h.
• Si h > 0 , se desplaza h unidades hacia la derecha.
• Si h < 0 , se desplaza h unidades hacia la izquierda.
El vértice de la función g, considerando dicha traslación, debe ser ( h , 0 ).
 
Capítulo 12 | Función Cuadrática
290
ii. Traslación vertical de la función f(x) = x2
¿Cómo es la parábola de la función m(x) = x2 + 4 y de la función p(x) = x2 – 6, en comparación 
con la parábola de la función f(x) = x2 ? Veamos la figura:
Podemos notar que la única diferencia geométrica entre la 
gráfica de la función m y la función p, con respecto al gráfico 
de la función f es, que hubo una traslación en 4 unidades 
hacia arriba y 6 unidades hacia abajo respecto a la curva de 
la función f.
Por lo tanto, si la función está escrita de la forma g( x ) = x2 + k, la función f(x) = x2 sufre un 
desplazamiento vertical con la magnitud de acuerdo al valor de k.
• Si k > 0 , se desplaza k unidades hacia arriba.
• Si k < 0 , se desplaza k unidades hacia abajo.
El vértice de la función g, considerando dicha traslación, debe ser ( 0 , k ).
iii. Traslación horizontal y contracción (o dilatación) de la función f(x) = x2
Cuando tenemos una función escrita en la forma g( x ) = a(x – h)2 , siendo a 1! y positivo, la 
gráfica de la función g corresponderá a una traslación horizontal, sumada a una contracción 
(o dilatación) horizontal de la gráfica de f. 
Ejemplo:
Si tenemos que graficar la función g( x ) = 2(x – 1)2, 
debemos considerar que, primero se ha cambiado 
f(x) = x2 por h(x) = (x – 1)2, lo que corresponde a una 
traslación en 1 unidad hacia la derecha de la gráfica 
de f(x) = x2 y luego hemos pasado de h(x) = (x – 1)2 a 
g(x) = 2(x – 1)2, lo que implica duplicar cada una de las 
imágenes de h y, por tanto, implica que se produce 
una contracción horizontal con respecto a su eje de 
simetría, como se aprecia en la figura. 
iv. Reflexión vertical
¿Cómo varía la parábola de la forma f(x) = x2 si le anteponemos un signo “–”?
Ejemplo:
Grafiquemos la función g(x) = – x2 
Lo primero que podríamos analizar son algunas de las 
imagenes de una y otra, dados ciertos valores de x. 
Veamos la siguiente tabla:
x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x) 9 4 1 0 1 4 9
g(x) –9 –4 –1 0 –1 –4 –9
Todo lo que era positivo, ahora será negativo, y al 
revés, obteniendo una parábola imagen de una 
reflexión respecto al eje x de f(x) = x2.
4
–6
f
p
m
x
f( x )
1
Ej
e
 d
e
 S
im
e
tr
ía
y
x
g
hf
x
f( x )
f
g
 
Función Cuadrática | Capítulo 12
Matemática Para Nacional 291
Lo mismo sucederá con 
cualquier función a la que 
antepongamos un signo 
“menos”. Otros ejemplos son:
Notemos que todo lo que era 
negativo se hace positivo y, 
así mismo, todo lo que era 
positivo se hace negativo.
En resumen
La función f( x ) = a· ( x – h )2 + k corresponde a g(x)=ax2