Problemas Programación lineal Selectividad CCSS Curso 2013

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Problemas. Programación lineal
Selectividad CCSS 2014
1. [ANDA] [EXT-B] a) Plantee, sin resolver, el siguiente problema:
"Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños, pequeños y grandes. La capacidad de sus
congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanada sabe que debe mantener un stock
mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases
pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro por cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro por cada envase
grande. ¿Qué número de envases de cada tipo proporciona el mínimo coste de almacenaje?
b) Represente el recinto que determinan las inecuaciones: 2x  10+y , x  2(5-y) , x  0 , y  0.
2. [ARAG] [EXT-B] Una empresa tiene dos fábricas A y B en las que produce acero. Por cada hora de funcionamiento de la fábrica A
se producen 5 tm de acero y 3 tm de desperdicios y se emiten a la atmósfera 2 tm de dióxido de carbono. Por cada hora de
funcionamiento de la fábrica B se producen 6 tm de acero y 1 tm de desperdicios y se emiten a la atmósfera 4 tm de dióxido de
carbono. Por normativa medioambiental, la empresa no puede producir (entre las dos fábricas) más de 48 tm de desperdicios al
día ni puede emitir a la atmósfera (entre las dos fábricas) más de 72 tm de dióxido de carbono al día. Por otra parte, cada una de
las fábricas debe funcionar al menos 6 horas al día, y niguna de las dos puede funcionar más de 18 horas al día. Plantear y
resolver un problema de programación lineal que permita determinar cuántas horas al día debe funcionar cada fábrica para
maximizar la cantidad de acero producida por la empresa, teniendo en cuanta las rectricciones anteriores.
3. [ARAG] [JUN-B] Un deportista solamente puede tomar para desayunar barritas de chocolate y barritas de cereales. Cada
barrita de chocolate proporciona 40 gramos de hidratos de carbono, 30 gramos de proteínas y 200 Kcal, mientras que cada
barrita de cereales proporciona 80 gramos de hidratos de carbono, 10 gramos de proteínas y 100 Kcal. El deportista quiere tomar
al menos 320 gramos de hidratos de carbono y 90 gramos de proteínas, pero no quiere tomar más 1000 Kcal. El coste de cada
barrita de chocolate es de 2 euros, mientras que el de cada barrita de cereales es de 1 euro. Plantear y resolver un problema de
programación lineal para determinar cuántas barritas de cada tipo tiene que tomar el deportista para desayunar de forma que
cumpla las condiciones anteriores y gaste la menor cantidad de dinero.
4. [ASTU] [EXT-A] Una fábrica produce dos tipos de bombillas: halógenas y LED. La capacidad máxima diaria de fabricación es de
1000, entre bombillas halógenas y LED, si bien no puede fabricar más de 800 bombillas halógenas, ni más de 600 bombillas LED.
a) ¿Cuántas bombillas de cada tipo puede producir en un día? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de
soluciones. ¿Podría producir 700 bombillas halógenas y 500 bombillas LED?
b) Si cada bombilla halógena le da un beneficio de 2 euros y cada bombilla LED le da un beneficio de 3 euros y la fábrica vende
todo lo que produce, ¿cuántas bombillas de cada tipo tiene que producir en un día para maximizar sus beneficios? ¿A cuánto
ascienden tales beneficios?
5. [ASTU] [EXT-B] Una empresa puede usar cada día para la fabricación de tres productos (P1, P2 y P3) la línea de producción A o la
B. Cada día de uso de la línea A se produce 1 artículo tipo P1, 3 tipo P2 y 5 tipo P3. Cada día de uso de la línea B se producen 2
artículos de cada una de los tres productos. La empresa ha firmado un contrato por el que tiene que entregar a un cliente 80
unidades de P1, 180 de P2 y 200 de P3.
a) ¿Cuántos días puede usar cada línea de acuerdo con las restricciones anteriores? Plantea el problema y representa
gráficamente el conjunto de soluciones.
b) Si el coste diario de prducción es de 2000 euros para la línea A y 1000 euros para la línea B, ¿cuántos días debe usar cada
línea para que cumpla los objetivos comprometidos con el mínimo coste? ¿Cuánto sería dicho coste?
6. [ASTU] [JUN-A] Una empresa fabrica y vende dos modelos de cámaras de fotos: SX230 y WX245. Para la fabricación de cada
cámara del modelo SX230 se precisa de 30 minutos de trabajo manual y 20 minutos de trabajo de máquina, mientras que para la
fabricación de cada cámara del modelo WX245 se precisa de 40 minutos de trabajo manual y 10 minutos de trabajo de máquina.
Además se sabe que para la fabricación de estos dos modelos, la empresa dispone cada semana de 6000 minutos de trabajo
manual y 3000 minutos de trabajo de máquina.
a) ¿Cuántas cámaras de cada modelo puede fabricar la empresa en una semana? Plantea el problema y representa gráficamente el
conjunto de solucions. ¿Se podrían fabricar 100 cámaras de cada modelo en una semana?
b) Si el beneficio por unidad vendida es de 50 euros para el modelo SX230 y de 60 euros para el modelo WX245 y la empresa
vende todo lo que fabrica, ¿cuántas cámaras de cada modelo debe fabricar en una semana para maximizar el beneficio?
7. [C-LE] [EXT-A] A una persona le tocan 10000 euros en la lotería de Navidad y le aconsejan que los invierta en dos tipos de
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acciones de la Bolsa, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio anual del 10% del capital invertido en
ellas. Las de tipo B son más seguras, pero producen solo un beneficio del 7% anual del capital invertido en ellas. Tras varias
deliberaciones decide invertir como mucho 6000 euros en la compra de acciones de cada tipo. Además, decide invertir enacciones
de tipo A al menos la misma cantidad que en acciones de tipo B. Utiliza técnicas de programación lineal para hallar lacantidad que
debe invertir en cada tipo de acción para que el beneficio anual sea máximo. ¿Cuál es ese beneficio máximo?
8. [C-LE] [JUN-B] En un taller textil se confeccionan 2 tipos de prendas: trajes y abrigos. Los trajes requieren 2 metros de lana y
1.25 metros de algodón y los abrigos requieren 1.5 metros de lana y 2.5 metros de algodón. Se disponen semanalmente de 300
metros de lana y de 350 metros de algodón, y esta semana deben fabricarse al menos 20 abrigos. Empleando técnicas de
programación lineal, determina cuántos trajes y abrigos hay que hacer esta semana si se desea maximizar el beneficio obtenido,
sabiendo que se ganan 250 euros por cada traje y 350 euros por cada abrigo. ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
9. [C-MA] [EXT-B] Una compañía de transportes dispone de dos camiones A y B para realizar un determinado trayecto. El camión A
debe hacer tantos trayectos o más que el camión B, pero no puede sobrepasar 4 trayectos. La compañía obtiene un beneficio de
18000 euros por cada trayecto del camión A y 12000 euros por cada trayecto del camión B. Se desea que las ganancias sean
máximas.
a) Expresa la función objetivo.
b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.
c) Halla el número de trayectos que debe efectuar cada camión para obtener el máximo beneficio. Calcula dicho beneficio
máximo.
10. [CANA] [EXT-B] Un ebanista dispone de 3200 m2 de madera de teca y 2000 m2 de madera de pino para fabricar pérgolas. Las
pérgolas tipo celosía se venden a 800 euros y las pérgolas tipo gran sombrilla se venden a 900 euros. Las primeras necesitan 32
m2 de teca y 16 m2 de pino. Las segundas necesitan 25 m2 de cada tipo de madera.
a) Plantear el problema para hallar el número de pérgolas de ambos tipos que ha de fabricar el ebanista para maximizar los
beneficios.
b) ¿Cuál es la solución óptima?
11. [CANA] [JUN-B] Una fábrica hace con harina y nata dos tipos de bizcochos: suave y duro. Dispone de 160 kilogramos de harina y
100 kilogramos de nata. Para fabricar un bizcocho suave necesita 250 gramos de harina y 250 gramos de nata.Para fabricar un
bizcocho duro necesita 400 gramos de harina y 100 gramos de nata. Si los bizcochos suaves se venden a 6 € y los bizcochos duros
a 4,5 €,
a) Plantear un problema que controle la fabricación de bizcochos maximizando los ingresos.
b) ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada tipo para maximizar los ingresos?
12. [CATA] [EXT] Una compañía aérea programa una oferta de un máximo de 5.000 plazas, entre clase turista y preferente. Por cada
plaza de clase turista obtiene unas ganancias de 30 €, mientras que por cada plaza de clase preferente el beneficio es de 40 €.
Por razones técnicas, no es posible ofrecer más de 4.500 plazas de clase turista, y el número de plazas de preferente no puede
superar la tercera parte de las de clase turista. Calcule cuántas plazas de cada clase deben ofrecerse para maximizar las
ganancias.
13. [CATA] [JUN] Tenemos que fertilizar los terrenos de una finca utilizando dos abonos, A y B. El coste del abono A es de 0,9 €/kg,
y el abono B cuesta 1,5 €/kg. El abono A contiene un 20% de nitrógeno y un 10% de fósforo, mientras que el abono B contiene un
18% y un 15%, respectivamente. Para fertilizar los terrenos correctamente necesitamos un mínimo de 180 kg de nitrógeno y 120
kg de fósforo.
a) Si llamamos x a lo kilogramos da abono A e y a los kilogramos de abono B, escribe el sistema de inecuaciones que satisface las
condiciones anteriores.
b) ¿Cuál es el gasto mínimo que debemos hacer si queremos fertilizar los terrenos de la finca correctamente?
14. [EXTR] [EXT-A] Un agricultor ha estimado que necesita para su explotación agrícola un mínimo de 3600 unidades de hierro y
3600 unidades de magnesio que se suministran a través del abono. Existen dos tipos de abono: extra y súper. Cada kg de abono
extra contiene 2 unidades de hierro y 6 unidades de magnesio. Cada kg de abono súper contiene 4 unidades de hierro y 3unidades
de magnesio. Si el kg de abono extra tiene un coste de 2.50 euros y el kg de abono súper un coste de 4 euros, se pide:
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a) El número de kg de cada tipo de abono que deben comprarse para que el coste sea mínimo.
b) El valor de dicho coste mínimo.
15. [EXTR] [JUN-A] Una empresa de alimentación tiene en su almacén de legumbres 4000 kg de garbanzos y 3000 kg de judías. Para
favorecer su venta quiere distribuirlos en lotes de dos tipos, A y B. Cada lote A contiene 1 kg de garbanzos y 1 kg de judías. Cada
lote B contiene 2 kg de garbanzos y 1 kg de judías. Se obtiene un beneficio de 2 euros por cada lote A y 3 euros por cada lote B.
Se pide:
a) El número de lotes de cada tipo para obtener el máximo beneficio.
b) El valor de dicho beneficio máximo.
16. [MURC] [EXT-B] Un profesor proporciona a sus alumnos un listado con 20 problemas del tema 1 y 20 del tema 2. Cada problema
del tema 1 vale 5 puntos y cada problema del tema 2 vale 8 puntos. Los alumnos pueden hacer problemas de los dos temas, pero
con las siguientes condiciones:
1. El número de problemas realizados del tema 1 no puede ser mayor que el número de problemas del tema 2 más 2, ni ser menor
que el número de problemas del tema 2 menos 8.
2. La suma de 4 veces el número de problemas realizados del tema 1 con el número de problemas del tema 2 no puede ser mayor
de 38.
Hallar cuántos problemas del tema 1 y del tema 2hay quew hacer para obtener la máxima puntuación.
17. [MURC] [JUN-B] Una fábrica de tintas dispone de 1000 kg de color A, 800 kg de color B y 300 kg de color C, con los que fabrica
dos tipos de tinta, una para la etiqueta de un refresco y otra para un cartel. Cada bote para la etiqueta necesita 10 kg del colorA,
5 kg del color B y 5 kg del color C, y el de la tinta del cartel requiere 5 kg de A y 5 kg de B. Obtiene un beneficio de 30 eurospor
cada bote de tinta para etiquetas y de 20 euros por cada uno de tinta para carteles. Si vende todos los botes fabricados,
¿cuántos botes de cada tipo de tinta debe fabricar para maximizar su beneficio?, ¿cuál es el beneficio máximo?
18. [RIOJ] [EXT-B] El dueño del restaurante Carambola tiene que realizar el cuadrante diario para sus dos empleadas de cocina. Y
tiene las siguientes restricciones:
1. La ayudante de cocina debe trabajar como mínimo dos horas diarias y como máximo cuatro y la jefa de cocina debe trabajar
como mínimo cuatro horas diarias y como máximo ocho.
2. El número de horas de trabajo de la jefa de cocina más el doble de horas de la ayudante debe ser mayor o igual que diez y
menor o igual que catorce.
Con estos datos se pide:
a) Plantea el conjunto de restricciones del problema.
b) Dibujar la región factible asociada con las rectricciones anteriores.
c) Si las horas de la jefa de cocina se pagan a 12 € y las de la ayudante a 10 €, minimizar el gasto de cocina diario.
19. [RIOJ] [JUN-A] En una bodega se producen vinos de crianza y de reserva. Por problemas de diseño, la producción de ambos tipos
de vino no debe superar los 60 millones de litros y la producción de vinos de crianza debe ser al menos 10 millones de litros.
Además, la producción de vino de reserva no debe superar el doble de la de vino de crianza ni ser inferior a su mitad.
a) Plantea el conjunto de restricciones y determina la región factible.
b) Si la bodega comercializa el litro de vino de crianza a 4 € y el de reserva a 9 €, ¿cuál es el diseño de producción que maximiza
los ingresos?
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