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VECTORES
©José S. Matos
MAGNITUDES FÍSICAS
Magnitudes escalares
Magnitudes físicas
Magnitudes vectoriales
MAGNITUDES ESCALARES
Una magnitud física se denomina escalar cuando queda
completamente caracterizada mediante un número real (cuyo valor es
independiente de cualquier sistema de ejes) y la unidad de la
magnitud (sistema de unidades fijado).
Son magnitudes escalares:
La masa (m)
La longitud (L)
El tiempo (t)
La temperatura (T)
La presión (p)
El trabajo mecánico (W)
La energía cinética (Ec)
La energía potencial (Ep)
El módulo de un vector
Etc.
No son magnitudes escalares:
Las coordenadas de un punto (x,y,z)
Las componentes de un vector
VECTORES
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MAGNITUDES VECTORIALES
Son magnitudes dirigidas que no quedan completamente caracteri-
zadas mediante un número y una unidad.
Una magnitud vectorial se representa mediante un VECTOR. Ej.:
un desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.
VECTOR: Es un segmento orientado en el espacio.
Punto de aplicación (u origen): Punto O
Dirección: La recta soporte R
Sentido: Viene indicado por la punta de la flecha
Módulo: Es el valor numérico de la magnitud vectorial.
Coincide con el valor de la distancia desde el origen (O) al extremo
(E) de dicho vector.
Se expresa como un número real acompañado de la unidad de la
magnitud que representa.
El módulo de un vector es siempre positivo y es una magnitud
escalar.
Dos vectores son paralelos si sus rectas soporte son paralelas.
Dos vectores son perpendiculares si sus rectas soporte son
perpendiculares.
R
O
E
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ALGUNOS TIPOS DE VECTORES
Según las condiciones impuestas al punto de aplicación del vector , se
puede establecer una distinción entre:
Vector ligado: Vector en el cual el origen, la recta soporte, el sentido
y el módulo están fijados.
Ej.: velocidad, aceleración, intensidad del campo eléctrico, etc.
Un vector ligado sólo es igual a sí mismo.
Vector deslizante: Vector en el cual la recta soporte, su sentido y su
módulo están fijados. Su punto de aplicación puede ser cualquiera de
aquellos que conforman la recta soporte. Ej.: la fuerza.
Vector libre: Vector donde la dirección, el sentido y el módulo están
fijados por su definición. No tiene un punto de aplicación concreto,
pudiendo ser éste cualquiera de aquellos de una de las rectas paralelas
a la soporte. Ej.: la velocidad angular, el momento de una fuerza, etc.
A los vectores AB y A'B' se les denomina equipolentes (mismo
módulo, mismo sentido, rectas soportes paralelas)
Vectores opuestos: Dos vectores son opuestos, si tienen la misma
recta soporte, el mismo módulo y sentidos opuestos. Su origen puede
ser común o diferente.
A B
A´
B´
AB = A´B´
BA
A' B'
AB = A´B´
O
A
B
OA = − OB
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SUMA (ADICIÓN) DE VECTORES
La suma de los vectores AB, BC y CD es, por definición, otro vector
AD que une el origen de AB con el extremo de CD:
Contorno cerrado:
AB+BC+CD=AD AB+BC+CD+DA=0
VECTORES CONCURRENTES: El vector resultante de dos vectores
concurrentes (mismo origen) es la diagonal del paralelogramo cuyos
lados son los vectores sumandos (consecuencia de lo anterior, sin más
que usar los vectores equipolentes).
La regla se puede extender a varios vectores concurrentes, sumándolos
dos a dos.
SUMA DE VECTORES LIBRES
SUSTRACCIÓN DE VECTORES
Sustraer (restar) dos vectores A y B es lo mismo que sumar al
primero el opuesto del segundo:
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
S BAS +=
A B
C D
A
B
C
D
S
DCBAS +++=
)B(ABAD −+=−=
A
B D
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PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NUMERO
El producto de un vector A por un escalar λ es un vector nulo, si uno de los
dos multiplicandos es nulo. Si no es así, el resultado es un vector que tiene:
El mismo origen que A
La misma dirección que A
El mismo sentido que A si λ > 0 y sentido contrario a A si λ < 0
Por módulo, el producto del valor absoluto de λ por el módulo de A
⏐λA⏐=⏐λ⏐⏐A⏐
VECTOR UNITARIO
Un vector unitario es aquel cuyo módulo es la unidad.
Si A es un vector de módulo A, entonces ( A /A)= Au es un vector
unitario con la misma dirección y sentido que A , pudiéndose poner que:
A = A Au
LEYES DEL ALGEBRA VECTORIAL
Si CyB,A son vectores y α y β son escalares:
ABBA +=+ (ley conmutativa para la adición)
C)BA()CB(A ++=++ (ley asociativa para la adición)
)A(A)()A( αβ=βα=βα (ley asociativa para la multiplicación)
AAA)( β+α=β+α (ley de distributividad)
BA)BA( α+α=+α (ley de distributividad)
u u3
u4−
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PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE UN
SEGMENTO ORIENTADO
A la proyección se puede asignar carácter vectorial.
COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR (PLANO)
Componentes de A :
Módulo del vector A :
Vector unitario en la dirección del vector A :
jAiAAAA yxyx +=+=
1coscosAAAA y
2
x
22
y
2
x =ϕ+ϕ⇒+==
jcosicosj
A
A
i
A
A
A
Au yx
yx
A ϕ+ϕ=+==
ϕ
ϕ
E
A B C D
0AproyE = 0BBproyE >=
0cosC
CproyE
>ϕ
= 0cosDDproyE <ϕ=
Eu
O
E
Y
X
xϕ
yA
i
j
A
xA
yϕ
yOYy
xOXx
cosAAproyA
cosAAproyA
ϕ==
ϕ==
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COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR (ESPACIO)
xx cosAA ϕ=
yy cosAA ϕ=
zz cosAA ϕ=
Módulo del vector A :
Vector unitario en la dirección del vector A :
1AAAAA z
2
y
2
x
22
z
2
y
2
x =ϕ+ϕ+ϕ⇒++== coscoscos
kjik
A
A
j
A
A
i
A
A
A
Au zyx
zyx
A ϕ+ϕ+ϕ=++== coscoscos
Componentes de A
E
O
xA
i
yA
j
k
zA
A
xϕ
yϕ
zϕ
kAjAiAAAAA zyxzyx ++=++=
X
Y
Z
A = OE
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COMPONENTES DE UN VECTOR CUYO ORIGEN NO COINCIDE
CON EL ORIGEN DE COORDENADAS
Y
X
Z
xP
xQ
yP yQ
zP
zQ
O
P
QA
xA
yA
zA
xyA
i
j
k
zyxzxy AAAAAAPQ ++=+==
PQz
PQy
PQx
zzA
yyA
xxA
−=
−=
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ORIGENDEL
SCOORDENADA
EXTREMODEL
SCOORDENADA
VECTORUNDE
SCOMPONENTE
P(xP, yP, zP)
Q(xQ, yQ, zQ)
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PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
El producto escalar de dos vectores A y B, representado simbólica-
mente mediante BA • , se define como una magnitud escalar igual al
producto de los módulos de ambos vectores, por el coseno del ángulo
entre ellos:
El producto escalar es nulo (mínimo) cuando ϕ = π ⁄ 2.
El producto escalar es máximo cuando ϕ = 0.
El producto escalar se puede expresar como el producto del módulo
de uno de los vectores por la proyección del otro sobre éste:
Propiedades más importantes:
ABBA •=• (propiedad conmutativa)
CABA)CB(A •+•=+• (propiedad distributiva)
λ(A •B) = (λA )•B = A •(λB) = (A •B)λ (siendo λ un escalar)
Si ( kAjAiAA zyx ++= ) y ( kBjBiBB zyx ++= ), entonces:
Resumen:
ϕ=• cosBABA
A
B
ϕ
BproycosB A=ϕ A
B
ϕAproycosA B=ϕ
0ikkjji
1kkjjii
=•=•=•
=•=•=•
zzyyxx BABABABA ++=•
2
z
2
y
2
x
22 AAAAAAA ++===•
2
z
2
y
2
x
22 BBBBBBB ++===•
AproyBBproyABABABAcosBABA BAzzyyxx ==++=ϕ=•
AyproBBproyABA BA ==•
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PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
El producto vectorial de dos vectores concurrentes A y B, formando
entre ellos un ángulo ϕ, es un tercer vector representado simbólica-
mente por A×B (o B×A ), cuyas características son:
Módulo:
Dirección: perpendicular al
plano que contiene a los
vectores A y B.
Sentido: Dado por la regla
del sacacorchos o la regla de
la mano derecha (ϕ está
medido a partirdel primer
vector)
Consecuencias:
El módulo del producto vectorial es máximo cuando el ángulo
entre los vectores es ϕ = π / 2.
El módulo del producto vectorial es nulo cuando los vectores son
paralelos (ϕ = 0), cuando son antiparalelos (ϕ = π) o uno de los
vectores es el vector nulo.
De la definición de producto vectorial: ABBA ×−=×
PROPIEDADES
1. CABA)CB(A ×+×=+× (propiedad distributiva)
2. λ×=λ×=×λ=×λ )BA(BABA)BA(
3.
jikikjkji
0kkjjii
=×=×=×
=×=×=×
4. Si ( kAjAiAA zyx ++= ) y ( kBjBiBB zyx ++= ), entonces:
5. ≡ϕ=×=× senBAABBA área del
paralelogramo acotado por A y B
A
B
ϕ
π
BA×
AB×
ϕ
A
B
π
B sen ϕ
ϕ=×=× senBAABBA
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA =×
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PRODUCTO MIXTO DE VECTORES
El producto mixto de vectores es una operación del tipo )CB(A ו y
su resultado es una cantidad escalar.
Se puede demostrar que:
coincidiendo el MÓDULO de este producto mixto con el volumen del
parelelepípedo acotado por los vectores A , B y C:
DOBLE PRODUCTO VECTORIAL
El doble producto vectorial se simboliza por )CB(A ×× resultando en
una cantidad vectorial.
A partir del desarrollo de la expresión anterior se puede demostrar
la siguiente identidad:
Así mismo, es evidente que:
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
)CB(A =ו
X
Y
Z
A
B
C
C)BA(B)CA()CB(A •−•=××
C)BA()CB(A ××≠××
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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Si a cada valor de un escalar λ corresponde un vector A , decimos
que )(AA λ= es una función vectorial. La primera derivada de
)(AA λ= viene definida (siempre que el límite exista) por:
Si k)(Aj)(Ai)(A)(AA zyx λ+λ+λ=λ= , se verifica que:
pudiéndose definir, igualmente, las derivadas de orden superior.
Las reglas habituales de la derivación pueden extenderse a los
vectores, si bien, es preciso tener en cuenta el orden de los factores
en los productos. Así, si )(λφ=φ es una función escalar, )(AA λ=
y )(BB λ= :
Consecuencia importante:
Si el módulo de una función vectorial es constante, A≠A(λ), entonces:
Esta es una propiedad que cumplen todos los vectores unitarios. Por
tanto, un vector unitario y su derivada son siempre perpendiculares.
λ∆
λ−λ∆+λ
=
λ →λ∆
)(A)(Alim
d
Ad
0
k
d
Adj
d
Ad
i
d
Ad
d
Ad zyx
λ
+
λ
+
λ
=
λ
λ
φ+
λ
φ
=φ
λ d
AdA
d
d)A(
d
d
λ
•+•
λ
=•
λ d
BdAB
d
Ad)BA(
d
d
λ
×+×
λ
=×
λ d
BdAB
d
Ad)BA(
d
d
λ
=
λ
•=•
λ d
dAA2
d
AdA2)AA(
d
d
λ
⊥⇒=
λ d
AdA0
d
dAA2
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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL (continuación)
La derivada de un vector ( λdAd ) es tangente, en cada punto, a la
línea que describe los extremos de )(A λ , si todos los vectores se
hacen concurrir en un punto (O):
Ejemplo: si la función vectorial es el vector de posición de un punto
material móvil, la curva sería la trayectoria y, si el escalar es el
tiempo, la derivada sería precisamente la velocidad instantánea.
La derivada de toda función vectorial puede expresarse como la
suma de dos vectores: uno en la misma dirección que la función
vectorial y otro perpendicular a ésta.
Ad λd
Ad
O
)(A λ
)(A λ∆+λ
A∆
λd
Ad
O
)(A λ
Au
AuAA =
Aud
dA
λ
λd
udA A
λ
+
λ
=
λ
=
λ d
udAu
d
dA)uA(
d
d
d
Ad A
AA
A⊥⎜⎜A
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MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO DE UN PUNTO
El momento de un vectorA respecto de un punto O se define como
el producto vectorial del vector de posición (respecto a O) del
punto de aplicación de A , por el propio vector A .
El momento de un vector deslizante es independiente del punto de
aplicación del vector (en la recta soporte)
donde d es la distancia mínima desde O a la recta soporte del vector.
Teorema del cambio de polo
La relación entre los momentos del vector A respecto a dos puntos
cualesquiera P y Q viene dada por:
ArM )A(O ×=
)A(OM
r
A
ϕ
O
A
A
1r
2r
)A(OM
O
d 1ϕ
2ϕ
dAsenArsenArM 2211)A(O ==ϕ=ϕ=
APQMM )A(Q)A(P ×+=
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MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO DE UN EJE
Un eje es una recta orientada en el espacio.
El momento de un vector respecto a un eje es la proyección, sobre
el eje, del momento de dicho vector evaluado respecto de un punto
cualquiera del eje. El momento de un vector respecto de un eje es
una cantidad escalar.
El momento de un vector respecto a un eje no depende del punto
que, perteneciendo al eje, sea escogido para evaluar )A(M :
Comprobación:
donde 0)AO'O(proyE =× porque O'OAO'O ⊥× y, por lo tanto,
perpendicular al eje E.
O
O'
r
A
E
Eu
)A(OM
)A(EM
E)A(O)A(O)A(OE)A(E uMcosMMproyM •=ϕ==
ϕ
=== )A('OE)A(OE)A(E MproyMproyM
[ ]
)A(OEEEE
EE)A('OE
Mproy)Ar(proy)Ar(proy)AO'O(proy
A)rO'O(proy)A'r(proyMproy
=×=×+×=
×+=×=
'r
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INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Para un sistema de coordenadas cartesianas, se define la integral de
la función vectorial de variable escalar )(A λ como otra función
vectorial cuyas componentes son las integrales de las componentes
de la función vectorial integrada:
En un sistema de coordenadas cartesianas, i , j y k son vectores
constantes (en módulo y dirección). En otros sistemas de coordena-
das, es preciso conocer la dependencia de los vectores unitarios con
la variable escalar.
PROPIEDADES MAS DESTACABLES
Si )(AA λ= y )(BB λ= se verifica:
∫ ∫∫ λ±λ=λ± dBdAd)BA(
∫∫ λ=λ dAKdAK con K ≠ K(λ)
[ ] )(a)(a)(adA 12
2
1
2
1
λ−λ=λ=λ
λ
λ
λ
λ∫
∫∫
λ
λ
λ
λ
λ−=λ 1
2
2
1
dAdA
Si )(AA λ≠ y )(BB λ= se verifica:
∫∫ λ•=λ• dBAd)BA(
∫ ∫ λ×=λ× dBAd)BA(
∫ ∫ λλφ=λλφ d)(AdA)(
[ ] [ ] [ ]kd)(Ajd)(Aid)(Ad)(A zyx ∫∫∫ ∫ λλ+λλ+λλ=λλ