Matemática para Iñaki - Ignacio Zalduendo

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MATEMÁTICAS
Matemática 
para Iñaki 
243 
L A
C I E N C I A
P A R A 
T O D O S 
I G N A C I O 
Z A L D U E N D O
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La Ciencia
para Todos
En 1984 el Fondo de Cultura Económica concibió el proyecto
editorial La Ciencia desde México con el propósito de divul-
gar el conocimiento científico en español a través de libros bre-
ves, con carácter introductorio y un lenguaje claro, accesible y
ameno; el objetivo era despertar el interés en la ciencia en un
público amplio y, en especial, entre los jóvenes.
Los primeros títulos aparecieron en 1986; y si bien en un
principio la colección se conformó por obras que daban a cono-
cer los trabajos de investigación de los científicos de lengua espa-
ñola radicados en México, diez años más tarde la convocatoria
se amplió a todos los investigadores hispanohablantes y cambió
su nombre por el de La Ciencia para Todos.
Con el desarrollo de la colección, el Fondo de Cultura Eco-
nómica estableció dos certámenes: el concurso de lectoescritu-
ra “Leamos La Ciencia para Todos”, que busca promover la lec-
tura de la colección y el surgimiento de vocaciones entre los
estudiantes de educación media, y el Premio Internacional de
Divulgación de la Ciencia Ruy Pérez Tamayo, cuyo propósito
es incentivar la producción de textos de científicos, periodistas,
divulgadores y escritores en general cuyos títulos puedan incor-
porarse al catálogo de la colección.
Hoy, La Ciencia para Todos y los dos concursos bienales se
mantienen y aun buscan crecer, renovarse y actualizarse, con
un objetivo aún más ambicioso: hacer de la ciencia parte funda-
mental de la cultura general de los pueblos hispanoamericanos.
Comité de selección de obras
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Primera edición, 2017
Zalduendo, Ignacio
Matemática para Iñaki / Ignacio Zalduendo. — México : FCE, SEP,
Conacyt, 2017
255 p. ; ilus. ; 21 × 14 cm— (Colec. La Ciencia para Todos ; 243)
ISBN 978-607-16-4265-3
1. Matemáticas — Enseñanza y aprendizaje 2. Matemáticas — Uso y
aplicación 3. Divulgación científica I. Ser. II. t.
LC QA39 Dewey 508.02 C569 V. 243
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Para Iñaki, claro. . .
ÍNDICE GENERAL
Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I. La matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
La matemática y las ciencias . . . . . . . . . . . . . . 19
La matemática y la sociedad . . . . . . . . . . . . . . 22
La matemática y el individuo . . . . . . . . . . . . . 24
¿Cómo aprender matemática? . . . . . . . . . . . . . 31
La matemática y el lenguaje . . . . . . . . . . . . . . 35
II. 1, 2, 3, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Los números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Un poco de aritmética de los números naturales . . 45(⋆)Un poco más de aritmética de los números na-
turales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Los números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
La recta racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Pendientes y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . 60
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
IV. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Un poco de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11
El teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Puntos (y agujeros) en la recta . . . . . . . . . . . . . 76
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
V. Cuadrados y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
VI. La recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Serie geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
(⋆) Desarrollos diádicos y la recta real R . . . . . . . 102
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
VII. El plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
El plano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Rectas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Puntos alineados y segmentos . . . . . . . . . . . . . 118
Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 120
(⋆) Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
VIII. El círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Arco capaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
El teorema de las cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Cuadriláteros cíclicos y teorema de Ptolomeo . . . . 138
(⋆) Línea de Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
IX. Los triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Las funciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . 146
(⋆) Alturas, bisectrices y medianas . . . . . . . . . . 155
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
X. Sucesiones y diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
La sección dorada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Sucesión de Fibonacci, dinero y otros intereses . . . 167
Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . 170
12
Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 171
(⋆) Ecuaciones de segundo orden . . . . . . . . . . . 173
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
XI. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Desigualdad de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Medias aritméticas, geométricas y armónicas . . . . 180
Desigualdad aritmético-geométrico-armónica . . . 182
(⋆) Desigualdad isoperimétrica . . . . . . . . . . . . 184
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
XII. Cilindro, cono y esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Principio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Volumen de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Volumen de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
XIII. Aprender a contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 211
La fórmula binomial y el triángulo de Pascal . . . . 214
Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Probabilidad condicional y teorema de Bayes . . . . 222
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
XIV. Relojes y espías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Aritmética modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Mensajes secretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
(⋆) Sistemas de llave pública . . . . . . . . . . . . . . 235
El teorema chino del resto . . . . . . . . . . . . . . . 238
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Epílogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13
PRÓLOGO
Algunos amigos a quienes di a leer versiones preliminares de
este libro me han preguntado para quién está escrito. Curiosa
pregunta, cuando uno considera que la respuesta está en el tí-
tulo. Y sin embargo, es una pregunta válida si se considera un
universo pluripersonal de posibles lectores. Pero antes de con-
testarla, debo empezar por el principio.
En el año 2010, el comienzo de un período de gestión como
vicerrector de la Universidad Torcuato Di Tella me proporcionó
la posibilidad de una labor de construcción institucional grati-
ficante, la oportunidad de conocer y trabajar con una variedad
de personas interesantes, pero también la destrucción total de
mi tiempo de investigación.
Durante más de treinta años de vida profesional como
matemático, dedicada a la investigación y a la enseñanza uni-
versitaria, nunca había tomado conciencia de mi necesidad de
matemática. A poco de comenzar mis tareas de gestión mi abs-
tinencia matemática ya era tal, que se me hizo costumbre apro-
vechar media hora libre entre una reunión y la siguiente para
tomar un ejercicio al azar de un libro al azar e intentar hacerlo.
Los ratos sueltos—en general, cortos— queme aparecían libres
resultaban inútiles para el trabajo de investigación enmatemáti-
ca, que requiere un tiempo de sumersión en el tema y una tran-
quilidad de espíritu con los que ya no contaba.
15
Al mismo tiempo, mi hijo fue entrando en la adolescencia
y comprendí que, salvo que siguiera luego una carrera científi-
ca, mi oportunidad de transmitirle algo de matemática se iba
desvaneciendo.
Fue así que decidí escribir, en mis ratos libres, un libro para
que Iñaki aprendiera matemática.
¿Quématemática? Pues la matemática elemental que me pa-
rece que toda persona culta debería conocer. Fui eligiendo los
temas por el valor estético, pragmático o histórico que encuen-
tro en ellos. Así, espero haber dejado de lado lo que es feo, inútil
y trivial. Y fui engarzando los temas de manera de poder hacer
una presentación razonada. Para ir aproximando una respuesta
a la pregunta inicial, diré qué no es este libro.
Este no es un libro de texto. No podría serlo, ya que desco-
nozco a qué apuntan y de qué se componen los programas que
se utilizan en la escuela media. No he mirado sus contenidos.
Conozco, sí, los resultados obtenidos en la educación de los jó-
venes que egresan de la escuela. Por lo general, no han visto al-
gunas de las partes más bellas de la matemática, saben poco de
su estructura y de su historia, les cuesta mucho utilizarla, y lo
que creen saber en realidad no lo comprenden.
Este no es un libro de divulgación. Este es un libro en el que
casi todo lo que se dice viene acompañado de una demostración,
a veces compleja. Incluye también ejercicios y problemas. Los
libros de divulgaciónno son así, quizás por temor a la pérdida de
lectores en medio de las dificultades. Los libros de divulgación
son necesarios, pero ya hay muchos y buenos.
Este es, simplemente, un libro para Iñaki. Y por extensión,
también para otros —jóvenes o adultos— que, como él, tienen
viva aún su curiosidad, disfrutan de los desafíos y encuentran
placer en el descubrimiento.
Arriba dije “matemática elemental”. Debo hacer dos aclara-
ciones. La primera es que por “elemental” no quiero decir fá-
cil, sino que se encuentra cerca de las bases, la matemática con
la que uno se encuentra primero, si va recorriendo el edificio
16
matemático de abajo hacia arriba. La segunda es que he dejado
fuera temas que sin duda son elementales, y para los que simple-
mente no encontré un buen lugar en mi exposición. También
he pecado en la otra dirección, y cuando un par de temas no ele-
mentales se me pusieron a tiro, no resistí la tentación de incluir-
los. Así, por ejemplo (casi me da vergüenza admitirlo) hay una
construcción detallada del número real, una descripción del sis-
tema RSA de criptografía de llave pública, y una seudodemos-
tración de la desigualdad isoperimétrica.
Entre los temas más notoriamente ausentes se encuentran
las funciones. Si bien aparecen acá polinomios, senos y cosenos,
no lo hacen como funciones, y he preferido dejar de lado tanto
una presentación formal del tema como el estudio de algunas
funciones elementales, por considerar que corresponderíanmás
bien a un curso preparatorio para el cálculo. Sospecho que parte
de la culpa de la monotonía con que aprendenmatemática nues-
tros jóvenes proviene de tener como finalidad la “preparación”
para el cálculo: temas como casos de factorización e inecuacio-
nes con valor absoluto son difíciles de justificar de otra manera.
Y quizás incluso de esa. . . En todo caso, lo he dejado para un
futuro Cálculo para Iñaki.
Al final de cada capítulo hay unos pocos problemas para el
lector serio. No se puede aprender matemática sin sentarse a ha-
cer problemas, y por eso no quise que estuvieran ausentes. Traté
de poner ejercicios interesantes, evitando lo rutinario y las cuen-
tas. Y no es que las cuentas sean innecesarias; simplemente no
me gustan. El grado de dificultad de los problemas es variable:
los hay fáciles y también bastante difíciles. Mi actitud con res-
pecto a los ejercicios es que son para practicar, y que su utilidad
consiste en dar ganas de estar un rato pensando. El aprendizaje
se produce con el intento de resolverlosmás que con su solución
efectiva, de manera que si alguno no sale, no se pierde nada y
algo se habrá ganado.
Decía que en este libro hay demostraciones. Creo que si no
las hubiera, no sería un libro de matemática. Encuentro todos
17
los días chicos que saben que ángulos opuestos por el vértice
son iguales, que la raíz cuadrada de dos es un número irracio-
nal, que el área de un círculo es π por radio al cuadrado, pero
que no tienen ni la menor idea de por qué. Éstas son cosas cu-
yas demostraciones son simples, y creo que es injustificable ha-
berlas omitido de su educación. La educación matemática debe
incluir demostraciones. Las demostraciones constituyen ejem-
plos de razonamientos lógicos creativos, aportan herramientas
útiles para la resolución de problemas, ejemplifican la estructu-
ra de la matemática y —no pocas veces— dan pie para hablar
de su historia.
Así, he procurado dar —con diversos grados de formali-
dad— al menos alguna justificación o argumentación para casi
todos los resultados contenidos en este libro. También, preten-
diendo que la lectura se pueda hacer de manera ágil, he inten-
tado mantener un tono coloquial y evitar caer en una sucesión
de enunciado-demostración. . . Así y todo, en algunos capítulos
incluí, preferentemente hacia el final, algún material más duro
y complejo. Estas secciones están indicadas con (⋆), y pueden
saltarse con impunidad.
Varias personas leyeron este libro y me lo devolvieron me-
jorado: María Argerich, Gustavo Corach, Betina Duarte, María
Silvia Etcheverry, Maite Fernández Unzueta, Damián Pinasco,
Angelines Prieto Yerro, Susana Zalduendo. También hay quie-
nes desconocen la existencia de este libro y aun así me ayuda-
ron a escribirlo: Pancho Liernur me invitó a diseñar un curso
de Matemática para Arquitectos, obligándome a aprender casi
toda la geometría que hay acá; Baldomero Rubio y RicardoMo-
reno Castillo me regalaron sus propios libros, algunas de cuyas
páginas revolotean sobre éstas. No menos real es mi deuda con
colegas y alumnos con los que he discutido y aprendidomuchos
de estos temas a lo largo de los años. Mi deuda con todos ellos
es clara para mí. A todos, mi agradecimiento.
Buenos Aires, marzo de 
18
I. La matemática
La matemática y las ciencias
Con la acumulación de conocimiento, a lo largo de la historia los
diversos campos del saber se han ido separando, agrupándose
por su objeto de estudio o por sumetodología. Así, por ejemplo,
la biología estudia a los seres vivos, y la astronomía, astros, ga-
laxias y planetas. No es que esto sea clarísimo: no está tan claro
qué es un ser vivo, y tanto el biólogo como el astrónomo deben
saber también algo de química y de física.
Las ciencias físicas y sociales estudian objetos y partes del
mundo real. Lo hacen mediante la observación de esos objetos
o de sus consecuencias sobre otros; imaginan explicaciones y
diseñan y llevan a cabo experimentos para convencerse de que
sus explicaciones son verosímiles. Esas explicaciones y resulta-
dos van formando parte de teorías que se condicen con la reali-
dad observada del objeto de estudio. Con el tiempo, esas teorías
son perfeccionadas o desechadas tras nuevas observaciones, o
se descubren sus límites, o se encuentra que son casos particu-
lares de teorías más generales.
En todo caso, por lo general, las ciencias estudian aspec-
tos del mundo real, obtienen resultados verosímiles y teorías
que finalmente son perfeccionadas o reemplazadas por otras
mejores.
La matemática no es así. La matemática estudia objetos
formales que no existen en el mundo real. Obtiene sobre ellos
19
resultados necesarios. Y por esto sus resultados y teorías no pier-
den validez; se acumulan.
Trataré de explicar esto mejor. Los objetos de estudio de la
matemática no pertenecen al mundo real. Son objetos forma-
les, que sólo existen en la imaginación de la persona que los
piensa. Ejemplo: el número dos no existe en la realidad. Exis-
ten esas dos manzanas, dos ventanas, dos personas. . . , pero el
número dos no está en el mundo real, sino en tu imaginación.
Lo mismo ocurre con cualquier otro número, con el conjun-
to de los números enteros, con una recta, un triángulo o un
círculo.
Conviene distinguir acá entre objetos formales y abstraccio-
nes. Más adelante hablaremos de la utilidad de la matemática, y
de sus aplicaciones almundo real. Toda aplicación de lamatemá-
tica se da a través de una abstracción. Con abstracción quiero de-
cir dejar de lado aspectos de un objeto real para ver su similitud
con un objeto formal. Digamos que querés calcular la superficie
de un terreno que tiene forma triangular. Medís sus tres lados
y utilizás la fórmula de Herón (que verás en el capítulo ix) para
calcular su superficie. Pero ese terreno estaba en la Provincia de
Buenos Aires, pertenecía a un amigo tuyo, en una esquina tenía
un farol y en realidad uno de los lados no era tan recto. . . Todas
cosas que no te importaron y que abstrajiste al usar la fórmula
de Herón, pues el objeto de estudio de la matemática no es el
terreno, sino el triángulo.
Recuerdo una conversación que tuve una vez con Rolf Man-
tel, economista, en la que yo trataba de convencerlo de que lo
que él hacía era muchomás abstracto que lo que hacía yo: “Rolf,
cuando vos decís ‘Sea X un mercado’ perdiste todas las ansias,
temores y caprichos de las personas que comercian en ese mer-
cado; cuando yo digo ‘Sea X un espacio de Banach’, X es un
espacio de Banach. Y lo tengo ahí, enterito sobre mi escritorio.
¿Quién es más abstracto?”
Hay que tener claro que las abstracciones y simplificaciones
que se hacen en cualquier ciencia física o social son inevitables,
20
ya que las realidades que estudian son complejísimas; mucho
más que los objetos matemáticos formales, que son, en compa-
ración, entes muy simples y bien definidos. A la hora de apli-
car la matemática, es esta simplicidad la que le da utilidad, ya
que diversos objetos reales (tras abstracciones y simplificacio-
nes) pueden adecuarse a un mismo objeto o teoría matemática.
Por decirlo con el ejemplo anterior, a cualquier terreno triangu-
lar se le podrá aplicar la fórmula de Herón.
Hemos dicho que la matemática obtiene resultados necesa-
rios. Me refiero a lógicamente necesarios. Los resultados mate-
máticos se obtienen como conclusiones ineludibles a partir de
unas pocas definiciones previas y a través de cadenas de razona-
mientos lógicos rigurosos.
Resultados así obtenidos no pierden validez. Puede ocurrir,
y ocurre, que pierdan interés frente a otros resultados más
fuertes o más interesantes. Pero nunca dejan de ser válidos, y
siempre se pueden obtener otros resultados basándose en ellos.
Así, la matemática se va construyendo, como un edificio, sobre
resultados anteriores, que no caducan.
Ese “edificio” matemático, o cualquiera de sus partes, se
suele presentar como una sucesión de definiciones y resultados
(proposiciones, teoremas, corolarios) en donde, partiendo de
resultados y definiciones anteriores, se arriba a nuevos resul-
tados que se deducen lógicamente de aquéllos. Esta es la for-
ma en que se ordena, se muestra y se explica. La palabra teo-
rema, que tiene la misma raíz que la palabra teatro, significa
“contemplar”.
Pero no es así como el matemático obtiene esos resultados.
En realidad, procede de manera no muy distinta que el biólogo
o economista: mira ejemplos, busca ordenar, se va haciendo una
idea de qué puede ser cierto y qué no; intuye un enunciado y tra-
ta de probarlo, agregando hipótesis o cambiando el enunciado a
medida que lo necesita.Muchas veces ocurre que al encontrar la
llave de la solución al problema planteado, todos los elementos
parecen caer en su lugar y ubicarse solos, como sucede con un
21
rompecabezas cuando se pone la pieza clave. Finalmente, quita
a su presentación todo elemento innecesario y queda un enun-
ciado y una demostración despojada, en la que no siempre se ve
el camino que llevó a intuir el resultado.
Jacques Hadamard, en su libro Psicología de la invención en
el campo matemático, discute muy a fondo cómo es el proce-
so creativo del matemático, sus semejanzas y diferencias con el
de otros intelectuales. Una pregunta que surge en ese libro es
la siguiente: los resultados matemáticos ¿se inventan o se des-
cubren? Su necesidad lógica pareciera indicar que tienen una
existencia independiente, que preexisten y deben ser descubier-
tos. Y muchas veces cuando uno llega a demostrar un enun-
ciado matemático tiene la sensación de que eso ya estaba allí,
sólo que uno no lo veía. . . Sin embargo, su búsqueda es una
actividad creativa en la que reina la libertad y en la que la in-
tuición es guiada por consideraciones estéticas tanto como
lógicas.
Pero quizás toda actividad creativa tiene esta doble faceta
de invención y descubrimiento. . . Como dijo Jean Cocteau con
respecto a la poesía: “El poeta no inventa. Escucha”.
La matemática y la sociedad
Según Graham Greene, el libro de G. H. Hardy, Apología de un
matemático, es la mejor muestra de lo que significa ser un artis-
ta creativo. No dejes de leerlo. Hardy fue un gran matemático
inglés de la primera mitad del siglo xx. En su apología, Hardy
sostiene que la matemática es inútil. Él escribe en la Inglaterra
de entreguerras, y la inutilidad que asigna a la matemática es
su manera de defenderla como inocua: inútil para la guerra (a
diferencia de la química o la física, por ejemplo) e inútil para
causar daño a nuestros semejantes. Por supuesto que la mate-
mática ya se usaba en cantidad de aplicaciones de ingeniería,
que incluían la fabricación de armas y la balística. Pero Hardy
22
defendía otra parte de la matemática (más pura y más cercana
a su propia obra), para la cual no había aplicaciones concretas.
La defendía como expresión elevada del espíritu humano, sin
pragmatismo alguno.
Hoy en día el argumento deHardy no puede hacerse, e inclu-
so su propia área (la teoría analíticade números) ha encontrado
aplicación en el cifrado electrónico de datos, con los que prote-
gen sus comunicaciones tanto los bancos como los ejércitos.
Nuestra sociedad utiliza hoy no sólo la matemática que
Hardy consideraba “ingenieril”. Una enorme cantidad de resul-
tados matemáticos sofisticados son aplicados a diario en comu-
nicaciones, transporte, finanzas, medicina y prácticamente cual-
quier actividad industrial. Desde el vuelo de los aviones hasta la
música que escuchamos, desde los pagos que realizamos por in-
ternet hasta sacar una foto, desde una llamada telefónica hasta
una resonancia magnética; todo pone en movimiento sistemas
que no existirían sin el uso de teoremas bastante sofisticados. La
utilidad de la matemática proviene precisamente de su forma-
lidad. Las teorías matemáticas forman estructuras lógicas que
pueden resultar aplicables a muchas y variadas situaciones del
mundo real.
Pero tampoco pienses que los matemáticos van construyen-
do teorías y teoremas guiados solamente por su curiosidad per-
sonal y sentido estético. Algunos sí lo hacen, pero también hay
muchos matemáticos que trabajan junto con los ingenieros,
físicos, biólogos y economistas que les presentan sus necesida-
des concretas. Se mantiene así una vía de comunicación entre
las personas que demuestran los teoremas y las que los utilizan.
Y eso es afortunado, porque no es que quien va a aplicar la ma-
temática conoce los resultados que necesita, sino que termina
usando lo que conoce.
23
La matemática y el individuo
Está claro, entonces, que lamatemática afecta demanera profun-
da la vida de todos nosotros. Pero lo hace de manera indirecta.
Vivimos en una sociedadmágica en el siguiente sentido: casi na-
die comprende realmente cómo funciona casi nada en nuestra
vida cotidiana. Para cada aspecto de nuestra civilización, hay ex-
pertos que se ocupan de ello. Muchos de estos expertos necesi-
tan conocer y utilizar algo dematemática. Pero, a los demás, ¿les
sirve de algo estudiar matemática? Yo creo que a toda persona
le sirve estudiar matemática. Hace algunos años publiqué en el
diario La Nación la siguiente nota sobre este punto:
Por qué aprender matemática
Mientras describo, por ejemplo, la función logaritmo, un alumno
levanta la mano y dice: “Profe, ¿y esto para qué me va a servir?”
¿Cómo le explico que la única vez en mi vida que usé un lo-
garitmo fue para elegir mi afjp (administradora de fondos de ju-
bilaciones y pensiones)?
La pregunta también surge regularmente en cuanto unomen-
ciona el nombre del teorema que se propone explicar. Es unamuy
buena pregunta. Y no sólo para el alumno, ya que el profesor tam-
bién debe saber para qué enseña matemática y, en consecuencia,
qué ha de enseñar y cómo conviene hacerlo.
Sí, claro, la matemática es muy útil. Es fácil mostrar ejemplos.
Sin matemática no habría autos, remedios, teléfonos, encuestas,
tomografías. . . No habría transporte, ni finanzas ni comunicación
ni producción de casi nada. Pero la respuesta no es ésa, porque el
chico quiere saber para qué le va a servir la matemática a él, no
para qué le va a servir al mundo moderno.
Para algunos—los que en su vida profesional se ocuparán del
diseño o la gestión de las actividades mencionadas arriba—, la
respuesta es que una parte de lo que están aprendiendo será una
herramienta en su quehacer cotidiano o será el sustento teórico
24
necesario sobre el que construirán otras herramientas más espe-
cializadas. De éstos, a los más creativos la matemática les resulta-
rá más útil por aquello de que uno termina echando mano de lo
que sabe, y cuanto más sepa, mejor.
Pero hay otra parte de la respuesta sobre la utilidad de apren-
der matemática que debería ser aplicable absolutamente a todos,
y reside en el poder formativo que tiene su estudio. Aquí no se tra-
ta de descubrir la pólvora: Platón exaltaba ese poder formativo en
la República.
Consideremos el siguiente testimonio: “Finalmente me dije:
jamás seré abogado si no entiendo lo que significa demostrar;
dejé Springfield y regresé a casa de mi padre, donde permanecí
hasta que pude demostrar cada proposición de los seis libros de
Euclides. Entonces supe lo que significa demostrar, y volví a mis
estudios de leyes”. Abraham Lincoln llegó a ser mucho más que
un buen abogado, y aunque no afirmo que fue porque estudió a
Euclides, lo cierto es que cuandouno lee sus cartas y discursos per-
cibe claramente unamente con una sólida formaciónmatemática.
Más cerca, Manuel Belgrano fue un gran impulsor de la matemá-
tica, a la que consideraba “la llave maestra de todas las ciencias
y artes”.
Seme dirá quemis ejemplos son del siglo xix y que hoy en día
se requieren habilidades distintas. No lo creo.Mirar dos pantallas
a la vez mientras se habla de una cosa, se escribe otra paseando
los dedos sobre un teclado y se toma una decisión puede ser una
habilidad útil para un piloto de caza, pero los demás nos vemos
enfrentados diariamente a problemas sutiles y complejos que re-
quieren nuestra atención indivisa y para los cuales tenemos, por
suerte, bastante más de tres segundos. “La educación es lo que
queda tras haber olvidado todo lo que se nos enseñó”, dijo Albert
Einstein. Y la matemática, cuando se enseña bien, deja hábitos y
habilidades intelectuales básicos, esenciales para cualquier perso-
na y de indudable valor social.
¿Por qué es formativa la matemática? En primer lugar, por
su estructura lógica. Para hacer matemática (demostrar algo,
25
resolver un problema) se necesitan muy pocos conceptos, pero
bien definidos y que se han demanejar con un discurso razonado
y despojado de prejuicios. Será importante distinguir lo esencial
de lo accesorio, buscar analogías, cambiar el punto de vista y cap-
tar relaciones escondidas. Todo esto ha de producirse dentro de
una frontera delimitada por reglas claras. Reglas que no admiten
doblez ni excepción.
En segundo lugar, por la creatividad que fomenta. Porque
dentro de esas fronteras bien delimitadas que acabo de mencio-
nar reina la libertad más absoluta. Vale todo. Sobra lugar para
la imaginación y la creatividad (hay, por dar un ejemplo, más de
350 demostraciones del teorema de Pitágoras). Nos guiamos por
nuestra intuición y sentido estético. Así, la matemática es perso-
nal. Tanto que no pocas veces, cuando se lee un teorema se adi-
vina la mano del autor tal como se adivina al pintor cuando se
mira su obra.
En tercer lugar, la matemática obliga a la honestidad. Es difí-
cil engañar a otros sin engañarse antes uno mismo, y en matemá-
tica esto simplemente no se puede: los desvíos, las falsedades, no
encuentran lugar. Existe la posibilidad de error, pero esos errores
nos explotan en la cara. La cuenta da lo que da, y si no nos gusta
el resultado habrá que reconocer que tiene una existencia propia
que escapa a nuestra preferencia y a nuestra voluntad.
En cuarto lugar, la matemática enseña paciencia, tenacidad
y la aceptación de los tiempos humanos. Las máquinas son muy
rápidas, pero ninguna piensa ni puede generar una idea. Para eso
hace falta sopesar alternativas, dejarlas decantar, encontrar un ca-
mino, seguirlo y, cuando falle, buscar otro. “Que venga la inspi-
ración no depende de mí. Lo único que puedo hacer es asegu-
rarme de que me encuentre trabajando”, decía Pablo Picasso. Lo
mismo enseña el hecho de enfrentarse con un buen problema
matemático.
Por último, la matemática nos hace humildes. Porque en ella
encontramos todos, tarde o temprano, los límites claros de nues-
tra fuerza y habilidad. Límites que se podrán superar con tiempo,
26
esfuerzo y estudio, ¡y esto también es formativo! Pero siempre
para encontrar, más allá, nuestros nuevos límites.
Discursos razonados, reglas claras sin excepción, libertad den-
tro de la ley, creatividad, honestidad, paciencia y humildad no son
cosas que nos estén sobrando hoy a los argentinos. Así, llega la
respuesta a la primera pregunta: “Esto te va a servir para ser más
humano, mejor ciudadanoy mejor persona”.
Todo resultadomatemático tiene un contenido (el resultado
en sí) y una forma (la estructura lógica de su justificación). Por
lo general, la utilidad social de la matemática se da a través de
los contenidos, mientras que la utilidad individual se produce a
través de las formas.
Pongamos un ejemplo con un problemamatemático simple
—de contenido trivial, pero forma interesante— y veamos qué
aprendemos de su resolución.
El problema es éste: Supongamos que cada punto del plano es
o bien azul o rojo (pero no sabemos cuál). Hay que mostrar que
hay un triángulo equilátero que tiene los tres vértices del mismo
color.
Iré separando la solución en pasos, para luego poder hacer
comentarios sobre lo que nos enseña cada paso.
Primer paso: he aquí nuestro plano (figura i.):
Figura i.
¿Qué hacemos? Pues algo. Porque si no hacemos nada, no
nos va a salir.
27
Segundo paso: ya que hay que hacer algo, apoyemos el lápiz so-
bre el papel y marquemos un punto (figura i.).
1
Figura i.
¿De qué color es? O azul o rojo, pero no sabemos. ¿Importa
mucho de qué color es? No se nos pide encontrar un triángulo
equilátero con vértices azules. . . , ni se nos pide encontrar uno
con vértices rojos, sino que sean del mismo color, sea cual sea.
Para este problema, las palabras azul o rojo son intercambiables.
Da lo mismo de qué color es ese punto. Digamos que es azul (o
si preferís, llamemos “azul” al color del punto).
Tercer paso: ¿habrá otro punto azul? Si lo hay, marquémoslo. ¿Y
si no lo hubiera? Pues entonces todos los puntos del plano salvo
el primero que marcamos son rojos, y ya hemos terminado: bas-
ta tomar cualquier triángulo equilátero que no tenga ese punto
azul por vértice. Seamos pesimistas y digamos que hemos en-
contrado otro punto azul (figura i.).
Cuarto paso: estamos buscando un triángulo equilátero; tene-
mos dos puntos; fijémonos en los puntos que forman, con estos
dos que ya tenemos, un triángulo equilátero (figura i.).
¿De que color serán? Si alguno es azul, ya hemos termina-
do. Si ambos son rojos, miremos un quinto punto que con estos
dos rojos forme un triángulo equilátero. Si éste fuera rojo, listo.
28
1 2
Figura i.
1 2
3
4
Figura i.
Si es azul, marquemos un sexto punto que con los dos azules
de la derecha forme un triángulo equilátero. Si fuera azul, lis-
to. Digamos que es rojo. Y ahora marquemos un séptimo
punto que con los dos rojos de abajo forme un triángulo equilá-
tero (figura i.).
Quinto paso: si es rojo, ya está. ¿Y si es azul? ¡También!. . . , pues
forma un triángulo equilátero con el primero y el quinto. Sea
del color que sea, hay algún triángulo equilátero con todos los
vértices del mismo color. Terminamos.
29
1 2
3
4
5
6
7
Figura i.
Ahora bien: ¿a quién le importa que haya o no un triángulo
con los vértices delmismo color? ¡Anadie! ¿Puede un contenido
ser más inútil? Y sin embargo, mirá todo lo que aprendimos de
la forma en cada paso:
1) Hacé algo. Lo que sea. La inactividad no produce nada.
2) Distingue entre lo esencial y lo accesorio para cada situación
particular.
3) Algo de lógica (simple pero muy importante): si no existe
uno azul, es que todos son rojos.
4) Concentrate en los elementos de nuestro problema (acá sólo
hay triángulos equiláteros). Insiste. ¡A no rendirse!
5) Está atento. Las oportunidades aparecerán.
30
¿Cómo aprender matemática?
Hoy en día es más difícil aprender matemática que cuando yo
tenía tu edad. La principal razón es que vivimos en una socie-
dad que nos ha acostumbrado a la rapidez, al multitasking, a la
superficialidad y a la imprecisión al hablar. Y aprender matemá-
tica requiere tiempo, concentración, profundidad y precisión en
el lenguaje.
Dirán que soy antiguo: yo creo que la televisión atenta con-
tra la profundidad y la concentración; la computadora, contra la
concentración y el manejo de los tiempos humanos; Facebook
y Twitter, contra la concentración y el lenguaje. Más: en los úl-
timos quince años se ha notado una disminución en la capaci-
dad de los jóvenes para visualizar lo tridimensional (por ejem-
plo, ¿cómo se intersecan dos cilindros?), que algunos atribuyen
a haber pasado mucho tiempo ante una pantalla (bidimensio-
nal). Se nota también una dificultad cada vez mayor para con-
centrar la atención durante más que unos pocos minutos.
No cabe duda de que tanto la televisión como las compu-
tadoras son herramientas extraordinarias, que abren posibilida-
des educativas enormes. Y en este sentido, hay productos exce-
lentes en ambos. Pero por lo general son medios mal utilizados.
Bueno. Es lo que hay. Pero ¿cómo se aprende matemática?
Yo tuve un profe, Enzo Gentile, que decía: “La matemática es
como el piano: se aprende tocando”. Digamos que te aprendiste
a la perfección la partitura entera del Claro de luna de Debussy.
Además, sabés muy bien a qué tecla del piano corresponde cada
nota. ¿Te sentás al piano y te sale? No. De la misma manera, po-
dés estudiarte todos los movimientos de Del Potro, y aprender
cada uno de sus golpes y ver horas de tenis. . . Pero entrar a la
cancha es otra cosa. Para aprender matemática no alcanza con
estudiar todos los teoremas y ver cómo otros resolvieron los pro-
blemas. Hay que sentarse a intentar resolver los problemas uno
mismo. Intentar aprender matemática sin lápiz y papel es como
intentar aprender a andar en bicicleta sin subirse a la bici.
31
Se aprende matemática resolviendo problemas, o tratando
de demostrar enunciados matemáticos. Y a resolver problemas
también se aprende. Hace falta, eso sí, la guía personal de un
maestro que lo pueda hacer, y esos maestros no abundan. Son
más los que dan una lista de cuentas para hacer, como si la ma-
temática fuera hacer cuentas. . . ; y así unos hacen como que
enseñan y los otros hacen como que aprenden, y todos conten-
tos. Pero no se aprende evitando las dificultades, sino enfren-
tándolas.
George Pólya, en su libro Cómo plantear y resolver proble-
mas, da buenas indicaciones sobre cómo encarar la resolución
de un problema. Acá va una versión resumida y adaptada de
las indicaciones de Pólya y algunos pasos que pueden resultarte
útiles:
1) Entendé el problema.
• Distinguí bien entre lo dado (datos) y lo que se quiere pro-
bar o construir (incógnita). ¿Conocés bien las definiciones
y conceptos involucrados?
• ¿Los datos determinan la incógnita? ¿O habrá más de una
solución? En general, es mas fácil encontrar una solución
cuando es única que cuando hay varias posibles.
• Hacé un dibujo. Variá el dibujo. Introducí notación ade-
cuada y simple. Reformulá el problema con tus propias pa-
labras y tu propia notación.
2) Formulá un plan de ataque.
• ¿Has visto antes el problema? Recordá fórmulas, teoremas,
otros problemas relacionados. ¿Has visto otro problema si-
milar? ¿Podés usar aquel resultado, o usar la demostración
de aquel resultado?
• ¡Mirá la incógnita! Es el mejor lugar desde donde comen-
zar a pensar una solución. Si se pide construir algo, imagi-
ná que ya lo tenés: ¿cómo es?
32
• Achicá la distancia entre datos e incógnita: si tuvieras qué
cosa podrías hallar la incógnita. Y los datos ¿cómo se rela-
cionan con esa cosa? ¿Hay una construcción o problema
intermedio que te puede ser útil?
• Variá el problema. ¿Podés resolverlo con datos o incógnita
ligeramente distintos? ¿Podés resolver un problema más
específico? ¿Uno más general?
3) Llevá a cabo el plan.
• Hacé cada paso con cuidado. ¿Dudas de algún paso? Un
paso en falso puede indicar un punto clave.
• ¿Está mal el plan? Muchas veces en la ejecución nos da-
mos cuenta de nuestros errores. Volvé atrás y, si hace falta,
cambiá el plan.
4) Mirá hacia atrás.
• Una vez que te salió, ¿podés identificar los puntos claves
de la solución?
• ¿Podés ver la solución en un pantallazo, de forma global?
• ¿Qué aprendiste? Recordalo. Pasa a formar parte de tu “ca-
ja de herramientas”.
Es claro que no en todo problema deberás (o podrás) utilizar
cada paso que he enunciado. Son simplemente una indicación
de cosas que pueden ayudarte.No hay que encerrarse en ningún
“método”; al contrario, debes estar atento y abierto a cualquier
buena idea que se te ocurra.
Pero intentemos resolver un problema simple teniendo pre-
sentes algunas de las indicaciones que acabo de dar. Acá va el
problema: Tenemos tres jarras con capacidad para 8 litros, 5 li-
tros y 3 litros. No tienen ninguna marca ni forma que nos permi-
ta medir ninguna cantidad de líquido que no sea su capacidad
total (8, 5 y 3 litros). La de 8 litros está llena de agua, y lo que se
nos pide es separar 4 litros.
33
8
5
3
Figura i.
Entendamos el problema: Te-
nemos las tres jarras con las re-
feridas capacidades (figura i.) y
sinmarca alguna, demanera que
la única forma de medir es con
esas cantidades y sus diferencias
(si trasvasamos, por ejemplo, de
la primera a la tercera hasta lle-
narla, sabemos que en la prime-
ra quedan 8−3 = 5). Estas posibles diferencias son importantes,
pues son lo único que tenemos. . . Hay que trasvasar líquido de
manera ordenada hasta poder asegurar que en alguna jarra hay
4 litros. Nos va a convenir usar una notación adecuada: la terna
a b c
indicará que hay en las tres jarras, a, b y c litros respectivamente.
Así, la situación inicial es
8 0 0
y si trasvasamos, digamos, de la primera a la tercera escri-
biremos
8 0 0
5 0 3.
Los tres números deberán siempre sumar 8, que son los litros
de agua que hay. Además, no podemos sobrepasar el 5 en la se-
gunda columna, ni el 3 en la última, ¡porque no caben!
Formulemos un plan de ataque: Notemos que con los reci-
pientes que tenemos es fácil separar 3 litros o 5 litros. ¿Qué nos
pondría cerca de resolver el problema? Si pudiéramos separar
1 litro, con sumarlo a 3 (o restarlo de 5), tendríamos 4. Busque-
mos entonces separar 1 litro. Nos serviría tener en la jarra gran-
de 6 litros, ya que llenando la segunda estaríamos quitando 5 y
nos quedaría 1 litro. A su vez, para separar 6, nos servirá poder
34
separar 2, ya que 8− 2 = 6. Entonces, busquemos poder separar
primero 2, luego 6, luego 1 litro. Ahora tenemos, además de una
notación adecuada, un plan.
Llevemos a cabo el plan: Usando nuestra notación, comence-
mos a buscar 2, 6, y 1 litro. . .
8 0 0
3 5 0
3 2 3 tenemos el 2
6 2 0 tenemos el 6
6 0 2
1 5 2 tenemos el 1
1 4 3 . . . ya está.
4 4 0 ¡Más elegante!
Miremos hacia atrás: Fue muy importante ir de atrás hacia
adelante al pensar nuestro plan, considerando qué situación nos
ponía cerca de una solución. Y la notación facilitó bastante las
cosas.
La matemática y el lenguaje
La matemática no es un lenguaje. Es un cuerpo de conocimien-
tos y de métodos con los que manejar esos conocimientos. Se
expresa en algún lenguaje; por ejemplo, castellano. Como todo
cuerpo de conocimientos, aporta palabras al lenguaje, o toma
de él palabras para designar sus objetos de estudio. La palabra
agudo es una voz del idioma castellano. En matemática, cuan-
do se dice, por ejemplo, ángulo agudo significa uno que mide
menos que un recto. Estas palabras no son matemática. No son
importantes, y si no te gustan, las cambias.
Lo que sí es importante es que entendamos lo que decimos
o escribimos, y que otros lo entiendan cuando lo escuchan o
leen. Por eso hay que ponerse de acuerdo sobre los nombres de
los objetos matemáticos formales de los que tratamos, y sobre
la notación que usaremos al referirnos a ellos.
35
Conviene tener en cuenta que el uso que hace la matemática
de los nombres de sus objetos suele ser de una gran precisión, y
que esos nombres designan cosasmuy bien definidas. Una elipse,
Figura i.
por ejemplo, no es una forma “más
o menos” como la figura i., sino
la intersección entre un cono y un
plano. Una elipse es un objeto tan
bien definido, que una vez fijados
cinco de sus puntos, todos los de-
más quedan determinados: no los
podés elegir.
Recuerdo que una vez en una charla con un arquitecto, és-
te mencionó la palabra “óvalo”. Le pregunté qué era un óvalo.
Asombrado por mi ignorancia, me explicó que un óvalo era un
círculo achatado. . . Pero ¿cómo se achata un círculo? ¿Se achata
en una dirección? ¿En varias? Al achatarse, ¿puede dejar de ser
convexo? ¿Alguna parte de su borde puede quedar transforma-
da en un segmento? Si lo achato desde tres lados, ¿quedará un
triángulo? ¿Un triángulo es un óvalo? Como yo no sé cómo se
achata un círculo, no sé lo que es un óvalo. Ignoro en qué con-
cepto estaba pensando el arquitecto, pero sin duda su óvalo no
era un objetomatemático. Ahora bien, si dos arquitectos hablan
de óvalos, puede ocurrir que tengan en mente conceptos distin-
tos. Y puede ocurrir que no importe, y que su comunicación sea
suficientemente eficaz. . . Si dos matemáticos hablan de elipses,
están pensando en la misma cosa.
La precisión del lenguaje es una de las mayores dificultades
que presenta el aprendizaje de la matemática, ya que el lengua-
je cotidiano pocas veces requiere tal precisión. Pero debes acos-
tumbrarte a que en matemática es así. Las cosas son lo que su
definición dice. Ni más, ni menos.
Además de expresarse en algún lenguaje, la matemática uti-
liza notaciones que—sin llegar a constituir un nuevo lenguaje—
deben, como cualquier otro texto, ser leídas correctamente pa-
ra ser comprendidas. Por ejemplo, = se lee es igual a, < dice es
36
menor que, y ≤ dice es menor o igual a. Una oración completa
deberá contener algo que se lea como un verbo. . . Si escribo
n + 2
(enemás dos), no estoy afirmando nada. Simplemente estoy con-
siderando un número que es dos más que un número descono-
cido n. Si escribo
7
(siete), eso es un siete, pero no estoy diciendo nada sobre el siete.
En cambio, cuando escribo
n + 2 = 7
(ene más dos es igual a siete), esto sí es una oración completa, y
estoy afirmando algo. Esto es información. Tanta, que con esa
información puedo ahora determinar el valor de n, que era an-
tes un número desconocido: si restamos dos de cada lado de
la ecuación (o si preferís, pasamos el 2 restando del otro lado)
quedará una nueva ecuación que dice lo mismo que la anterior,
pero más claramente:
n = 7 − 2;
o sea, que n es cinco. El signo igual (=) se lee como un verbo, y
eso dio significado a la oración.
37
II. 1, 2, 3, . . .
Los números naturales
Tengo entendido que hay comunidades humanas —o las hubo
hasta hace relativamente poco— que carecen de nombres para
los números mayores a tres. Cuentan: “Uno, dos, tres, . . . mu-
chos”. Y las cantidades que siguen se apelotonan en una masa
indistinguible.
Lamatemática, y quizás la civilización, empieza cuando uno
siempre puede distinguir. Cuando uno más no da lo mismo.
Cuando se cuenta con los números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, . . .
La esencia de este conjunto de números que usamos para con-
tar es precisamente que empieza con la unidad: 1, y que dado
uno cualquiera de estos números, hay otro que le sigue inme-
diatamente y que es distinto de aquél. Así, los números natura-
les forman una sucesión interminable, como puntos uno detrás
del otro:
1 2 3 4 5 6● ● ● ● ● ● ● ● ●
Los números naturales están ordenados: dados dos distintos,
uno es mayor que el otro. Es usual representarlos ordenados de
menor a mayor, de izquierda a derecha, como en la ilustración
38
anterior semuestra. No hay un número natural que sea elmayor
de todos, pero todo subconjunto de números naturales contie-
ne a uno que es el menor de ese conjunto, el que está más a la
izquierda.
Cuentan que cuando Carl Friedrich Gauss era chico, en su
grado un día hicieron tanto lío, que la maestra se hartó y los
castigó a todos poniéndolos a sumar los primeros 100 números
naturales: 1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100. El pequeño Carl entregó
el resultado enseguida y sin ninguna cuenta: 5 050. Lo que ha-
bía hecho este niño fue ordenar bien su suma: el primero más
el último, el segundo más el penúltimo. . . , o sea: (1 + 100) +(2 + 99) + ⋯ + (50 + 51). Cada uno de estos pares suma 101 y
hay 50 de ellos, así que la suma da 50 × 101 = 5 050.
Gauss (1777-1855) había nacido enBraunschweig, donde su
padre era albañil. Tuvo la suerte de que su enormetalento fue
reconocido por susmaestros y finalmente apoyado por el duque
de Braunschweig, quien becó a Gauss para que pudiera estudiar.
Llegó a ser uno de los más grandes matemáticos de la historia,
y tuvo un profundo impacto en el álgebra, la geometría y otras
ramas de la matemática, la astronomía y la física.
Pero volvamos a nuestra suma. Unamanera ligeramente dis-
tinta de mirar la solución de Carl es poner los números en fila
de menor a mayor y, abajo, de mayor a menor:
1 2 3 ⋯ 99 100
100 99 98 ⋯ 2 1
Cada columna suma 101, y hay 100 columnas; la suma total es
100×101, pero comohemos puesto cada número dos veces (una
vez en cada fila), la suma que buscábamos es la mitad:
1 + 2 +⋯+ 99 + 100 = 100 × 101
2
.
De la misma manera podemos sumar los primeros n números
naturales. Pongamos en una primera fila los números de 1 a n,
39
y abajo de éstos, los mismos números en orden decreciente, de
n a 1:
1 2 3 ⋯ n − 1 n
n n − 1 n − 2 ⋯ 2 1
Sumar todos estos números (los de ambas filas) es lo mismo
que sumar todas las columnas. La sumade cada columna es n+1,
y hay n de ellas, o sea que el total es n(n + 1). Cada fila sumará
entonces la mitad:
n(n+1)
2
. Así,
1 + 2 +⋯+ (n − 1) + n = n(n + 1)
2
.
Habrás notado que usé la letra n para hablar de un número
natural cualquiera. Cuando digo “cualquiera”, quiero decir que
de él no sabemos nada, más allá del hecho de ser un número na-
tural. Lo que sabemos (o lo que suponemos) de un número trata-
mos de reflejarlo en la notación que usamos para representarlo.
Así, por ejemplo, si se trata de un número par, lo podría llamar
2k (porque sé que es 2 multiplicado por algo), y si se trata de
un cuadrado (como 4, 9, 16, 25. . . ) que no sé cuál es, podría lla-
marlo k2. Si supiera que es un siete, probablemente lo llamaría 7.
Pero si digo un número n, es que no sé nada de él. Al que le
sigue, lo llamaría n+1. . . Vos dirás: “pero de éste tampoco sabés
nada. ¿Por qué no lo llamás n también?” Buena pregunta. Pero
es que si a los dos los llamo n, de alguna manera estoy afirman-
do que son iguales. . . En todo caso, para hablar de un número
natural del que no sé nada, si ya usé el nombre n, al nuevo le
pondría, por ejemplo, m. En este caso, no es tan cierto que del
siguiente de n no sé nada: sé que es el que le sigue a uno al que
ya le puse un nombre. Y si quisiera hablar —por ejemplo— del
triple de n, lo llamaría 3n (fijate que de éste ya sé algo: sé que es
múltiplo de 3). Así, tratamos siempre de que los nombres y las
notaciones que utilizamos expresen lo que conocemos.
40
Vamos a hacer otra demostración de la fórmula anterior
usando un método que resulta muy útil cuando de números
naturales se trata. El método se llama inducción, y la idea es la
siguiente. Ya hemos dicho que todos los números naturales se
obtienen a partir del 1 y de la idea de “pasar al siguiente”, o sea,
sumar 1. Digamos ahora que queremos probar algo para todos
los números naturales. Podemos hacerlo así:
a) probarlo para el 1, y
b) suponiendo que vale para un número natural, probarlo para
el siguiente.
Así, por a) vale para 1, luego por b) valdrá para 2, otra vez
por b) valdrá para 3, y luego para 4, para 5. . . Para todos.
Como ejemplo, probemos con este método la fórmula que
ya vimos:
1 + 2 +⋯+ (n − 1) + n = n(n + 1)
2
.
Queremos ver que esto vale para todo valor de n.
a) Veamos que vale para n = 1:
1 = 1(1 + 1)
2
,
efectivamente, vale la fórmula. Ahora,
b) supongamos que vale para n (esto se llama la hipótesis induc-
tiva) y de ahí tratemos de pasar al caso n + 1; o sea, supone-
mos que vale
1 + 2 +⋯+ (n − 1) + n = n(n + 1)
2
y tratamos de probar que vale
1 + 2 +⋯+ n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)
2
41
(que es lo mismo pero habiendo reemplazado n por n + 1).
Veamos que vale esto último:
1 + 2 +⋯+ n + (n + 1) = n(n + 1)
2
+ (n + 1)
= n(n + 1) + 2(n + 1)
2= (n + 2)(n + 1)
2
,
listo. Acá, en el primer renglón, hemos usado la hipótesis in-
ductiva, es decir lo que suponemos válido para n. En el se-
gundo hemos puesto al 2 como común denominador, y en el
tercero hemos sacado (n + 1) como factor común.
La suma de números se puede interpretar como la yuxtapo-
sición de longitudes: si a una soga de 5 metros le ato otra que
mide 3, tendré una soga de 5 + 3 metros: 8 metros. El producto
de números, en cambio, puede comprenderse como superficie:
un terreno rectangular cuyos lados miden, respectivamente, 5
metros y 3 metros, tendrá una superficie de 5×3metros cuadra-
dos: 15 metros cuadrados.
Teniendo esto en cuenta, la figura ii. ilustra una fórmula
que usaremos muchas veces: (n +m)2 = n2 + 2nm +m2.
n
m
n2
nm m2
nm
n m
Figura ii.
42
Hagamos ahora otro ejemplo del uso del método de induc-
ción. Intentemos ver qué pasa si sumamos los primeros núme-
ros impares.
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36.
¿Notamos algo? Los resultados son 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32, 16 = 42,
25 = 52. . . ¿Será verdad que si sumamos los primeros n nú-
meros impares obtenemos n2? Vamos a probarlo usando induc-
ción. Usaremos también que el n-ésimo número impar puede
escribirse como 2n − 1 (hacé la prueba para n = 1, 2, 3, 4 . . . );
y que, como vimos arriba con mayor generalidad, (n + 1)2 =
n2 + 2n + 1.
a) Empecemos por ver que vale lo que queremos probar para
n = 1: el primer número impar (no tenemosmás para sumar)
es 1, que es también 12.
b) Ahora supongamos que la suma de los primeros n números
impares es efectivamente n2, es decir, supongamos que
1 + 3 + 5 +⋯+ (2n − 1) = n2,
y tratemos de ver que
1 + 3 + 5 +⋯+ (2n − 1) + (2n + 1) = (n + 1)2.
Veamos:
1 + 3 + 5 +⋯+ (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1)= n2 + 2n + 1= (n + 1)2,
43
donde en el primer renglón hemos usado lo que supusimos
para la suma de los primeros n impares.
En esta demostración escribimos los números impares po-
niendo 2n − 1 o 2n + 1. Es una buena oportunidad para comen-
tar la necesidad de las buenas definiciones. No es lo mismo sa-
ber lo que es un número par o impar que tener una definición de
“par” o de “impar” con la que se pueda operar. Todos sabemos
que los números impares son
1, 3, 5, 7, 9, 11 . . .
y que los pares son
2, 4, 6, 8, 10, 12 . . .
e incluso si te doy un número que no está en la lista: 34 279,
seguro me podrás decir si es par o impar. Pero digamos que
quiero probar lo siguiente: Si un número elevado al cuadrado
(llamémoslo k2) es par, entonces es porque el número sin elevar
al cuadrado (es decir, k) también lo era. Podemos mirar nuestra
lista de pares durante horas, que de ahí no sacaremos nada por-
que la afirmación involucra a todo número par, y la lista sólo
llega hasta el 12. . . Debemos entonces usar que los números pa-
res son los que pueden escribirse así: 2n, y los impares (mayores
a 1): 2n + 1.
Acá va una demostración de la afirmación de arriba: si nues-
tro número (sin elevarlo aún al cuadrado) no era par, entonces
era impar y se escribía así: k = 2n + 1. Al elevarlo al cuadrado
entonces daba k2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1.
Pero este número es impar (es de la forma 2 por algo más 1. . . ),
y por lo tanto el cuadrado tampoco era par. Entonces, si k2 es
par, k también lo es.
44
Un poco de aritmética de los números naturales
Digamos que tenés que caminar una distancia de 12 pies, y tu
paso mide 2 pies. Darás 6 pasos y llegarás. Si esa distancia la
recorrés con pasos que miden 3 pies, llegarás en 4 pasos. Si, en
cambio, tu paso mide 5 pies, darás dos pasos y ya estarás muy
cerca. . . , tanto que si das otro paso te habrás pasado por 3 pies
(figura ii.).
0 1 5 10 1512
Figura ii.
Con pasos de 2 pies o de 3 pies llegarás justito, porque 12
es múltiplo de 2 (12 = 6 × 2) y múltiplo de 3 (12 = 4 × 3). En
cambio, 12 no es múltiplo de 5. Cuando dividimos 12 por 5 no
da justo, sino que queda un resto:
12 = 2 × 5 + 2.
Cuando yo tenía tu edad (que la tuve) la división con resto la
hubiéramos escrito así: − 12 5
10 2
2
Si uno quiere dividir el número n por d, se puede hacer co-
mo en el ejemplo dearriba, con pasos que miden d (figura ii.).
0 d 2d 3d
. . .
kd n
Figura ii.
Siempre hay un último paso (digamos el k-ésimo) tras el
cual —si das un paso más— te pasás. Puede escribirse entonces
n = kd + r,
donde r, el resto, es lo que falta para llegar de kd a n, que es una
distancia menor que d.
45
Así, dados n y d, siempre podrán encontrarse k y r tales que
n = kd + r, con 0 ≤ r < d.
Esto se llama el algoritmo de división. El número k es el mayor
número tal que kd ≤ n, y el resto r es n − kd.
Cuando el resto es cero, o sea, tenemos n = kd, se dice que
d divide a n, o que n es múltiplo de d. Usaremos la notación n
d
para referirnos al número k, entendiendo que n
d
es un número
entero. . . Las fracciones aparecerán en el próximo capítulo. Un
resultado simple:
Si d divide a n y también a m, entonces divide a an + bm.
Veamos,
an + bm
d
= an
d
+ b m
d
,
que es un número entero, pues n
d
y m
d
lo son.
Todos los números son múltiplos de 1 y de sí mismos. Y a
veces ocurre que el 1 y el propio número son los únicos diviso-
res. Por ejemplo, llegar “justito” al 7 sólo lo podrás hacer con
pasos que midan 1 (o 7). Lo mismo ocurre con el 11, el 29, o
el 947. Los números que tienen sólo dos divisores (el 1 y el pro-
pio número) se llaman números primos. Los primeros números
primos son
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .
Estaría bueno tener una fórmula o una expresión para los
números primos, como las que tenemos para los pares o los im-
pares, pero aunque hoy se sabe muchísimo sobre números pri-
mos, no hay una fórmula ni alguna manera de producirlos ha-
ciendo alguna cuenta. Y si la hubiera sería uno de los secretos
mejor guardados del planeta: los servicios de inteligencia y los
ejércitos usan números primos enormes para cifrar sus comuni-
caciones.
Hay infinitos números primos. Es bastante fácil probar es-
to. Hagámoslo: supongamos que hubiera una cantidad finita de
46
números primos, y hagamos una lista completa ordenándolos
de menor a mayor:
2, 3, 5, 7, . . . ,P.
Así, hemos llamado P al mayor número primo (si sólo hay fini-
tos de ellos, alguno es el más grande de todos). Ahora conside-
remos el número
n = (2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11⋯P) + 1.
Cuando dividimos a n por cualquiera de los números primos
de nuestra lista (que es la lista completa), da resto 1. O sea, si q
es un primo de nuestra lista, n = q× todos los otros primos +1.
Pero entonces n no es divisible por ninguno de los primos, y
por lo tanto debe también ser primo. . . Pero no estaba en la lista,
ya que es muchísimo más grande que P. Hemos llegado a una
contradicción (un “absurdo”) por suponer que hay una cantidad
finita de primos. Luego, debe haber infinitos de ellos.
Estamos trabajando con el conjunto
N = {1, 2, 3, . . .}
de los números naturales. Éstos pueden sumarse ymultiplicarse,
con lo cual producen otros números naturales. Pero no todas las
ecuaciones que podemos plantear con números naturales, sus
sumas y productos encuentran solución dentro de N. Por ejem-
plo, no hay número natural n para el cual valga que n + 3 = 2.
Si queremos las soluciones a todas las ecuaciones de este tipo
necesitamos agregar a los números naturales el cero y los ente-
ros negativos. Obtenemos así lo que se llama el conjunto de los
números enteros:
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}.
Si además queremos poder encontrar soluciones a ecuaciones
con productos como 3n = 2, necesitamos las fracciones o núme-
ros racionales. De ellos hablaremos en el próximo capítulo.
Pero antes, veamos algunas cosas más sobre aritmética.
47
(⋆) Un poco más de aritmética
de los números naturales
Dijimos antes que unnúmero primo es unnúmero que tiene dos
divisores: el 1 y el propio número. La mayoría de los números
tienen varios divisores. Por ejemplo, 12 es divisible por 1, 2, 3,
4, 6 y 12. Si vas caminando y marcando donde pisas con pasos
de 4 pies, y luego haces lo mismo con pasos de 6 pies, verás que
hay lugares donde las marcas coinciden:
0, 12, 24, 36, . . .
Éstos sonmúltiplos comunes de 4 y de 6. Cualquier par de núme-
ros —digamos a y b— tienen múltiplos comunes. Por ejemplo,
0, ab, 2ab, . . . No hay unmúltiplo comúnque sea elmayor de los
múltiplos comunes, pero sí habrá un número natural que sea el
menor de los múltiplos comunes de a y de b. Este número se lla-
ma el mínimo común múltiplo de a y b. Puede ser más chico que
el producto ab, por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 4 y
6 no es 24, sino 12. Pero, además, el mínimo común múltiplo
de dos números es “mínimo” también en otro sentido: divide
todos los múltiplos comunes de los dos números. Veámoslo:
Si m es el mínimo común múltiplo de a y b, y M es otro múl-
tiplo común de a y de b, entonces m divide a M.
Usando el algoritmo de división, podemos poner
M = km + r, con 0 ≤ r < m.
Como r = M − km y a divide tanto a M como a m, entonces a
divide a r. De la misma manera, b también divide a r. Entonces
r es múltiplo común de a y de b. Si r fuera un número natural
(≥ 1), como es r < m, m no sería el mínimo común múltiplo. . .
Como sabemos que r = 0 o un número natural, sólo le queda
ser cero. Entonces M = km, o sea que m divide a M.
Dos números siempre tienen divisores comunes a ambos.
Por ejemplo el 1 es divisor de cualquier número. El 6 y el 10
48
tienen divisores comunes: 1 y 2. Así como nos interesó el me-
nor múltiplo común de a y b, nos interesará también el mayor
divisor común a ellos. Éste se llamará el máximo común divisor
de a y b. Tenemos el siguiente resultado:
Dados dos números a y b, si m es su mínimo común múltiplo
y D es su máximo común divisor, entonces
ab = mD.
Como ab es múltiplo común de a y de b, m divide a ab, por lo
que recién probamos. Entonces podemos escribir
a = ab
m
m
b
y
b = ab
m
m
a
,
de manera que ab
m
es divisor común de a y de b. Luego,
ab
m
≤ D, (II.1)
ya que D es el mayor de los divisores comunes. Por otro lado,
ab
D
= a b
D
y
ab
D
= b a
D
,
de manera que ab
D
es múltiplo común de a y de b; pero como m
es el menor múltiplo común,
m ≤ ab
D
. (II.2)
49
De (II.1) sale que ab ≤ mD, y de (II.2) sale que mD ≤ ab. Final-
mente, entonces,
ab = mD.
Así, el mínimo comúnmúltiplo de a y b será el producto ab
si y sólo si el máximo común divisor es 1. Cuando esto ocurre
(o sea, que el único divisor común es 1), a y b se dicen copri-
mos. Claramente dos primos distintos son coprimos, ya que su
único divisor común es el 1. Pero también son coprimos, por
ejemplo, el 4 y el 21. El siguiente resultado se llama el lema de
Bézout:
Dado cualquier par de números naturales a y b, existen nú-
meros enteros x y y de manera que el máximo común divisor de
a y b se escribe
ax + by.
Llamemos D a esemáximo común divisor. Consideremos el
conjunto formado por todos los números naturales que pueden
escribirse como ax + by, usando valores enteros de x y de y.
Como cualquier conjunto de números naturales, éste tiene un
primer elemento (un mínimo), que llamaremos d (y pongamos
d = ax + by, para algún valor de x y de y).
Veamos que d divide a a: usando el algoritmo de división,
podemos escribir
a = kd + r, donde 0 ≤ r < d.
Veamos cómo es este resto r (recordemos que es menor que d).
Tenemos
r = a − kd= a − k(ax + by)= a(1 − kx) + by< d.
Como es de la forma a por un número entero más b por otro
(a(1 − kx) + by), al ser estrictamente menor que d, no puede
ser un número natural (d era el menor número natural que se
50
escribía de esa manera). Pero, por otro lado, 0 ≤ r < d. Debe
entonces ser r = 0. Esto dice que a = kd, o sea, que d divide a a.
De la misma manera, d divide también a b. Luego, d es un
común divisor de a y de b y es por lo tanto menor o igual al
máximo común divisor: d ≤ D.
Por otro lado, como D divide a a y a b, D divide a ax + by
(que es d). Así, también ocurre que D ≤ d. Entonces D = d, y
D = ax + by.
Esto implica, por ejemplo, que si dos números a y b son co-
primos, existen números enteros x y y tales que
ax + by = 1
(ya que su máximo común divisor es 1).
Otra cosa que podemos afirmar gracias al teorema: ya he-
mosvisto que todo múltiplo de a y b es también múltiplo del
mínimo comúnmúltiplo de estos dos números. De manera aná-
loga podemos ver ahora que todo divisor común a a y b divi-
de también al máximo común divisor: en efecto, sabemos que
D = ax+by. Pero si d divide tanto a a como a b, divide también
a este número ax + by.
La siguiente es una propiedad importante de números copri-
mos, que usaremos para hablar de la descomposición en primos
de un número cualquiera:
Si a y b son coprimos, y a divide a bc, entonces a divide a c.
bc es múltiplo de a, y claramente es también múltiplo de b.
Entonces bc es múltiplo de m. Pero como D = 1, m es ab, de
manera que bc es múltiplo de ab. Tenemos entonces
bc = kab,
y dividiendo por b,
c = ka.
O sea que a divide a c.
51
Si un número primo p divide a un producto de primos q1⋯qs,
entonces p es uno de ellos.
Haremos una demostración utilizando inducción en el nú-
mero s (la cantidad de primos en el producto q1⋯qs).
Para s = 1, lo que debemos probar es que si p divide a q1,
entonces p es igual a q1. Esto es claro, ya que los únicos divisores
de q1 son el 1 y q1.
Supongamos ahora que vale el resultado para el producto
q1⋯qs, y veámoslo para q1⋯qsqs+1. Razonémoslo así: si p
es qs+1, ya está. Si p no es qs+1, entonces p y qs+1 son copri-
mos, por ser primos distintos. Luego, por el resultado anterior,
p divide al producto q1⋯qs. Pero entonces p es uno de estos pri-
mos por nuestra hipótesis inductiva. Así, p es uno de los primos
q1, . . . , qs, qs+1.
El siguiente resultado se llama el teorema fundamental de la
aritmética, y dice que cada número tiene una única descompo-
sición en primos:
Cada número natural mayor que 1 o bien es primo o se escribe
de una única manera como producto de primos.
Supondremos que un número natural se escribe de dos ma-
neras, y veremos que esas dos maneras deben coincidir. Diga-
mos entonces que un número se escribe como p1⋯pr, y también
como q1⋯qs, es decir, que tenemos
p1⋯pr = q1⋯qs.
Utilizaremos inducción para ver que ambas colecciones de pri-
mos son iguales. Supongamos primero que r = 1, es decir, que
p1 = q1⋯qs.
Como p1 divide a q1⋯qs, por nuestro resultado anterior, debe
ser uno de ellos. Pero entonces en el producto que hemos escrito
como q1⋯qs hay un solo primo (o sea, s = 1) y ese primo es p1.
Supondremos ahora que la afirmación del teorema vale para
p1⋯pr, y probémosla para p1⋯pr pr+1. Tenemos entonces
p1⋯pr pr+1 = q1⋯qs.
52
Como pr+1 divide a q1⋯qs, es uno de estos primos q1, . . . , qs.
Digamos (si no, los renombramos) que es q1. Tenemos entonces,
dividiendo por pr+1,
p1⋯pr = q2⋯qs.
Ahora, por la hipótesis inductiva, ambas colecciones de primos
son iguales.
Un último comentario sobre cómo son el máximo común
divisor, D, y el mínimo común múltiplo, m, de dos números
a y b.
Pensemos en las descomposiciones en primos de a y de b.
Si p es un primo común en ellas, y aparece n veces en una y k
veces en la otra (y digamos que n < k), entonces pn divide tanto
a a como a b; luego, también a D. Si q es un primo que divide a
D, entonces como D divide a a y a b, q también divide a ambos
y aparece en las descomposiciones de ambos. Así,
D = producto de primos comunes al menor exponente.
Ya hemos visto que ab = mD. Luego todos los primos de la
descomposición de ab que no aparecen en la descomposición
de D aparecen en la de m:
m = producto de primos comunes y no comunes,
al mayor exponente.
Problemas
1) Encontrá dos números consecutivos que sumen 71.
2) ¿Qué edad tengo ahora si dentro de 12 años tendré el triple
de la edad que tenía hace 8 años?
3) Verificá que
i) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 (cuadrado de
un binomio), y
53
ii) (a + b)(a − b) = a2 − b2 (diferencia de cuadrados).
4) Probá, utilizando inducción, lo siguiente:
i) 1 + 2 + 4 + 8 +⋯+ 2n = 2n+1 − 1;
ii) n2 + n es par;
iii) 5n − 1 es múltiplo de 4;
iv) n(n2 + 5) es múltiplo de 6;
v) (1 + 2 + 3 +⋯+ n)2 = 13 + 23 + 33 +⋯+ n3.
5) Juan tiene una colección de caracoles que consta de entre
60 y 70 caracoles. Si los guarda en cajas de 6, le sobran 3,
y si los guarda en cajas de 5, también. ¿Cuántos caracoles
tiene?
6) Tres autobuses pasan por una misma esquina, el primero
cada 9 minutos, el segundo cada 12 y el tercero cada 4. Si
acaban de pasar los tres, ¿cuándo volverán a coincidir en
esa esquina?
7) La abuela quiere usar un viejo mantel de 120 cm por 80 cm
para hacer servilletas. Si las quiere cuadradas y lo más gran-
des posible, ¿de qué tamaño serán y cuántas puede hacer?
8) ¿Cuáles de los siguientes números son pares para todo valor
de n?
i) 3n2 + 1.
ii) n(n + 1).
iii) (n − 1)(n + 1).
iv) n3 − n.
v) n(3n + 1).
vi) (n + 1)(5n + 2).
54
9) Se sabe que los números a, b y c no son múltiplos de 3. Pro-
bá que entonces a2 + b2 + c2 sí lo es.
10) Probá que si kn es par para algún valor de n, entonces k
es par.
11) Probá que
i) n y n + 1 son coprimos, y
ii) si a y b son coprimos, también lo son ab y a + b.
55
III. Fracciones
Los números racionales
Como sabés, una cosa es compartir caramelos, y otra muy dis-
tinta es compartir una pizza. Más allá de que te guste más la
pizza, me refiero al hecho de que los caramelos no se cortan, y
la pizza, sí.
Digamos, para ser concretos, que tenés 8 caramelos y uste-
des son 3 (dos amigos y vos). Repartir estos caramelos tiene que
ver con lo que en el capítulo anterior llamamos el algoritmo de
división. Dividimos 8 por 3, y da 2, con resto 2:
8 = 2 ⋅ 3 + 2.
O sea, dos caramelos para cada uno, y sobran dos con los que
uno no sabe bien qué hacer. La pizza entre tres es más fácil: un
tercio para cada uno, y no va a sobrar nada.
Cuando podemos dividir así, cortando por donde haga falta,
aparecen las fracciones. Un tercio: 1
3
, dos tercios: 2
3
, un medio:
1
2
, siete quintos: 7
5
. . . Acá la barrita significa dividir. Así, 1
3
es el
resultado de dividir uno por tres; 7
5
es el resultado de dividir
7 por 5.
Así comomuchas cuentas dan elmismo resultado (por ejem-
plo, 6 dividido por 3 es 2, lo mismo que 8 dividido por 4), tam-
bién muchas fracciones que escribimos distinto son en realidad
iguales entre sí; por ejemplo, 1
3
= 2
6
: dividir 1 pizza entre 3 da
el mismo resultado que dividir 2 entre 6: a cada uno le toca
56
un tercio de pizza. Si en una fracción multiplicamos arriba y
abajo por un número, la fracción no cambia, estaremos en rea-
lidad multiplicando y dividiendo la fracción por un mismo
número.
Las fracciones son los números —también llamados núme-
ros racionales— que resultan de dividir números enteros k por
números naturales n. Son los números de la forma k
n
. Así, 1
2
, −3
5
,
8
2
, 0
3
, −3
1
, −2
7
. . . son números racionales. Notarás que entre las
fracciones que acabo de escribir hay números enteros (8
2
= 4,
0
3
= 0, −3
1
= −3). Todos los números que ya conocemos son nú-
meros racionales y se pueden escribir como fracciones, aunque
uno normalmente prefiere escribir 4 en lugar de 8
2
y 1 en lugar
de 5
5
. . .
Eso sí, tenemos ahora muchísimos números que antes no
teníamos: números enteros entre el 0 y el 1 no hay ninguno; sin
embargo, números racionales hay infinitos, por ejemplo: 1
2
, 2
3
,
3
4
, 4
5
. . .
A veces es difícil ver a simple vista que dos fracciones son
iguales. Por ejemplo, 7
9
es igual a 91
117
. También puede ser compli-
cado comparar dos fracciones. ¿Cuál es mayor: 2
4
o 1
3
?
Comparar y sumar fracciones presentan una dificultad si-
milar cuando las fracciones tienen distinto denominador: por
ejemplo, 2
4
+ 1
3
es “dos cuartos más un tercio”. Sumar cuartos
más tercios es como sumar manzanas con naranjas. . . Cuartos y
tercios no son inmediatamente comparables, así que convendrá
expresarlos en términos de las mismas unidades.
Hubieras tenido un problema parecido al cortar la pizza si
había otro amigo que no estaba seguro de venir: no sabés si van
a ser tres o cuatro los que comerán la pizza. ¿La cortas en ter-
cios o en cuartos? La mejor respuesta es en ambos: la cortas en
doceavos.
Si el último amigo llega, les tocará3
12
a cada uno, y si no,
4
12
. Es que 12 es múltiplo tanto de 3 como de 4, y así tanto los
tercios como los cuartos se pueden expresar en términos de do-
ceavos. . .
57
Tanto comparar como sumar fracciones es más fácil si tie-
nen el mismo denominador. Para sumar 2
4
+ 1
3
, convendrá es-
cribir
2
4
= 6
12
y
1
3
= 4
12
,
para luego sumar: 2
4
+ 1
3
= 6
12
+ 4
12
= 10
12
. Y para compararlas:
2
4
= 6
12
> 4
12
= 1
3
,
ya que 6 es mayor que 4.
En general, para sumar fracciones hacemos
a
b
+ c
d
= ad + bc
bd
.
Notemos que si b y d son los denominadores, cualquiermúltiplo
común a ambos podría funcionar comoun común denominador.
Por ejemplo,
7
30
+ 5
21
= 49
210
+ 50
210
= 99
210
.
Para multiplicar fracciones, recordemos que siempre podemos
cambiar el orden de multiplicaciones y divisiones:
(a
b
) ⋅ ( c
d
) = (a ⋅ c)(b ⋅ d) ,
que escribimos más simplemente, sin puntos medios de multi-
plicación ni paréntesis,
a
b
c
d
= ac
bd
.
Basta con tener bien claro qué es lo que está multiplicando, y
qué dividiendo. Por ejemplo, 3
4
2
3
= 6
12
= 1
2
.
58
Ya que arriba hemos comparado dos fracciones, cabe acá un
comentario sobre inecuaciones. Si tenemos una desigualdad, di-
gamos a < b y multiplicamos ambos lados por un número na-
tural (o cualquier número positivo), la desigualdad se mantie-
ne: na < nb. Y vale también al revés, de manera que na < nb
si y sólo si a < b. Entonces, otra manera de comparar fraccio-
nes es multiplicar ambas por números naturales hasta ver qué
desigualdad resulta. . . Si tenemos
2
4
y
1
3
,
multiplicando por 12 obtenemos
2
4
12 y
1
3
12, que es
6 y 4.
Como 6 > 4, entonces 2
4
> 1
3
. También puede pensarse que uno
“pasa” el 4 multiplicando al lado derecho, y el 3 lo “pasa” multi-
plicando al lado izquierdo.
Hay, sin embargo, que tener cuidado, pues si unomultiplica
una desigualdad por un número negativo, la desigualdad debe
cambiar de dirección. Es que si a < b, restando a y b de ambos
lados tenemos
a < b,
a − a − b < b − a − b,−b < −a,
que es − a > −b;
así que multiplicar por −1 da vuelta a la desigualdad. De esto
deducimos otra cosa importante: para cualquier número x, su
cuadrado x2 es mayor o igual a cero (y es cero sólo cuando x era
cero). Es que si x ≥ 0, multiplicando por x, tenemos x2 ≥ 0; y si
x ≤ 0, multiplicando por x, tenemos x2 ≥ 0 también.
59
La recta racional
Ya mencioné que entre el 0 y el 1 hay infinitos números raciona-
les. Pero no es sólo eso: si imaginamos todos los números que
conocemos ordenados como puntos de una recta (la recta racio-
nal, que notaremos con la letraQ),
−1 − 13 0 13 12 23 34 1 43 53 2
a b
resulta que los números racionales están “por todos lados”; son
densos en la recta. Quiero decir con esto lo siguiente: dados dos
puntos de la recta, a y b (como en el dibujo), ubicados donde
sea, y por más juntitos que estén, entre ellos dos hay números
racionales.
Vamos a hacer una demostración de este hecho: es claro que
si uno toma un número natural grande, n, entonces 1
n
es muy
chico, y cuanto más grande sea n, más chico es 1
n
. Digamos que
queremos que 1
n
< b − a. Bastará tomar entonces n > 1
b−a . Con-
sideremos ahora los números racionales que obtenemos a par-
tir del 0, sumando 1
n
: 0, 1
n
, 2
n
, 3
n
, . . . , k
n
, . . . Como la distancia en-
tre cualquiera de éstos y el siguiente es siempre igual a 1
n
, que
es menor que b − a, esta sucesión no puede “saltar por encima”
del segmento ab: para algún valor de k, k
n
cae en el segmento.
Tenemos entonces
a < k
n
< b,
un número racional entre a y b.
Pendientes y proporciones
Subís caminando una colina por un camino recto de tal manera
que por cada cuatrometros que avanzás horizontalmente, ganás
uno en altura. Así, si el camino tiene a lo largo de todo su reco-
rrido la misma pendiente, al avanzar ochometros subirás dos, y
al avanzar veinte, subirás cinco. Precisamente, lo que llamamos
60
pendiente—yque en este camino es siempre igual—es el cocien-
te entre lo que subís y lo que avanzás: 1
4
= 2
8
= 5
20
(figura iii.).
1
2
5
4 8 20
Figura iii.
¿Cuánto subirás si avanzás 16 metros? ¿Cuánto habrá que
avanzar si lo que querés es subir 10 metros? Como la fracción
lo que subís
lo que avanzás
= 1
4
,
es siempre igual —igual a la pendiente— este tipo de pregun-
tas puede plantearse como la igualdad entre dos fracciones (lo
que se llama una proporción): ¿Cuánto subirás (llamémoslo y)
si avanzás 16 metros?
y
16
= 1
4
,
de donde y = 4; ¿cuánto habrá que avanzar (llamémoslo x) si lo
que querés es subir 10 metros?
10
x
= 1
4
,
de donde x = 40.
Un obrero levanta una pared (una pared chiquita) en una
hora. ¿Cuántas levantará en dos horas? Pues dos. Cuando pen-
samos así estamos pensando que la cantidad de paredes levanta-
das es proporcional al tiempo de trabajo: el número de paredes
crecerá siempre al mismo ritmo con las horas de trabajo, como
61
la altura que ganabas avanzando por el camino en pendiente.
Como en aquel caso, podemos escribir la relación entre las dos
cosas
cantidad de paredes
horas de trabajo
= 1,
o dicho de otra manera
cantidad de paredes = horas de trabajo.
Lo esencial acá es que hay una relación que no cambia entre las
dos variables: una es unmúltiplo de la otra, como en el problema
anterior
lo que subís = 1
4
de lo que avanzás.
Cuando tus variables (digamos x y y) están ligadas por una re-
lación como y = 1
4
x, o más generalmente,
y = ax, o lo que es lo mismo y
x
= a,
donde a es un número fijo; decimos que x y y son directamente
proporcionales.
Volvamos a los obreros, las paredes y las horas. Pero en lugar
de dejar fijo el número de obreros, dejemos fija la cantidad de
paredes, y preguntemos: dos obreros levantan una pared, ¿cuán-
to tiempo tardarán? Suena razonable pensar que si uno tardaba
una hora, trabajando los dos tardarán la mitad, media hora. Y si
fueran tres obreros. . . , veinte minutos. El número de obreros y
las horas de trabajo necesarias para levantar una pared no son
directamente proporcionales, sino inversamente proporcionales:
número de obreros = 1
horas de trabajo
.
Variables inversamente proporcionales están ligadas por una re-
lación que podemos escribir así:
y = a
x
, o bien xy = a.
62
Quizás recuerdes, de tus clases de fisicoquímica, las leyes
de Boyle-Mariotte y Gay-Lussac, que explican la relación entre
volumen, temperatura y presión de un gas ideal:
V = aT
P
, o bien PV = aT .
Presión y temperatura son directamente proporcionales entre
sí, como volumen y temperatura, pero volumen y presión son
inversamente proporcionales. Para los obreros, las paredes y las
horas de trabajo escribiríamos:
O = P
H
, o bien OH = P.
Pongamos un par de ejemplos:
Con 14 latas de pintura se ha podido pintar una verja de 210 me-
tros de largo. ¿Cuántas latas serán necesarias para pintar una de
300 metros?
Se nos pregunta por la cantidad de latas que harán falta. Lla-
memos x a este número. El número de latas es directamente pro-
porcional a los metros que podremos pintar con ellas, de mane-
ra que lo que es constante es la fracción
latas
metros
.
Teniendo esto en cuenta, igualemos la fracción que contiene x
con la que ya conocemos:
x
300
= 14
210
.
De acá despejamos x = 14×300
210
= 20. Se necesitarán 20 latas.
12 obreros construyen una larga pared en 6 días. ¿Cuántos hubie-
ran sido necesarios para construirla en 4 días?
63
Llamemos x a la cantidad de obreros que se necesitarán. El
número de obreros es inversamente proporcional a la cantidad
de días, de manera que lo que es constante es el producto
días × obreros.
Así, igualemos la expresión con x a la ya conocida:
4 × x = 6 × 12,
de donde x = 6×12
4
= 18. Se hubieran necesitado 18 obreros.
Va una receta de una torta para que la comas con tus amigos,
los de la pizza (en este libro, la única receta es para cocinar):
Torta simple
6 huevos
180 gramos de azúcar
180 gramos de harina
Mezclar todo; meter, en un molde enmantecado,
al horno a temperatura media, 40 minutos.
Más fácil no hay.Ahora bien, he aquí una típica actividad
proporcional: cocinar. Lo que quiero decir con esto es que si vos
y tus amigos son seis en lugar de tres, querrás usar el doble de
todo para que alcance igual que antes: 12 huevos, 360 gramos
de azúcar, 360 gramos de harina. Y al horno. . . ¿a temperatura
alta 80 minutos? Ah. . . , no sé. Es que no todo es tan proporcio-
nal. Por eso insistía arriba en que la pendiente del camino era
siempre la misma.
Un obrero levanta una pared en una hora; dos obreros la
levantarán en media hora. Pero dudo mucho que 3 600 obreros
vayan a levantar esa misma pared en un segundo. . . , ¿no? Lo
penúltimo que debe perderse es el sentido común.
64
Problemas
1) Probá que para cualquier valor de n,
1
1(1 + 1)
+
1
2(2 + 1)
+
1
3(3 + 1)
+
1
4(4 + 1)
+⋯+
1
n(n + 1)
=
n
n + 1
.
2) Probá que si a
b
= c
d
= r, entonces también a+c
b+d = r y a−cb−d = r.
3) La abuela Susana reparte una cantidad de dinero a tres nietos,
de manera proporcional a sus edades: 3, 5 y 7 años. Si al del
medio le tocaron $75, ¿cuánto le tocó a los otros?
4) Tres socios invierten $50 000, $75 000 y $90 000 respectiva-
mente, para comenzar una empresa. Al año han ganado
$64 500, que deben repartirse de manera proporcional a sus
aportes iniciales. ¿Cuánto le toca a cada uno?
5) Tres hermanos deben pintar su cuarto. A cada uno le toca
pintar una pared (todas iguales). Si tienen 10, 12 y 15 años
y lo que tardan es inversamente proporcional a sus edades,
¿cuánto tardan los mayores si el menor tardó 6 horas?
6) Una familia de cuatro personas come durante 12 días habien-
do gastado $2 000 en el supermercado. ¿Cuánto gastará por
semana una familia de seis personas?
7) Con seis canillas se tarda 10 horas en llenar un tanque de
agua de 300m3. ¿En cuántas horas llenarán cuatro canillas
dos tanques de 500m3?
8) r es unnúmero racional cuyo cuadrado es entero. Probá que r
es entero.
65
IV. Ángulos
Euclides
Dicen que los dos libros que han sido editados mayor número
de veces en toda la historia son la Biblia y los Elementos.
Euclides escribió los Elementos como libro de texto, hace
2300 años en Alejandría. En sus trece “libros” o capítulos expo-
ne la geometría y la aritmética de la época. Pero además —y
este es el punto clave de la obra de Euclides— la expone de
una manera muy particular. La expone de manera axiomática;
es decir, parte de unos pocos supuestos básicos y construye a
partir de éstos y de la lógica todo un edificio de teoremas. Es-
ta es la razón por la cual durante siglos se utilizó los Elemen-
tos como libro de texto, y su estudio, aunque sea parcial, fue
parte obligada en la formación de toda persona educada. Es
que leyendo a Euclides y haciendo sus construcciones con re-
gla y compás se aprende a razonar de manera absolutamente
rigurosa.
Cuando hojees los Elementos quizás te preguntes si tanto ri-
gor lógico en un razonamiento o en la exposición de un teorema
es necesario. Buena pregunta. Tiene varias respuestas.
Para la matemática como ciencia, como cuerpo de conoci-
miento, es sin duda necesario. La matemática es lo que Eucli-
des y otros matemáticos griegos comenzaron: una ciencia de-
ductiva, donde cada aporte se deduce lógicamente de aportes
anteriores.
66
Para la formación de una persona educada, yo creo que tam-
bién es necesario en algún momento. Quiero decir, el aprender
a razonar de manera lógica y rigurosa debe ser una parte de la
educación. Hay otras maneras de pensar que también son valio-
sas y es bueno aprender a pensar de distintasmaneras. Pero creo,
por ejemplo, que es una lástima que las demostraciones forma-
les hayan prácticamente desaparecido de la escuela secundaria.
Tanto la aritmética como las construcciones con regla y compás
son buenas herramientas para esa parte de tu formación.
Para exponer y explicar un teorema,muchas veces no es bue-
na tanta formalidad. A veces se puede “ver” o entender un resul-
tado mejor con una demostración poco formal y menos riguro-
sa, o incluso con un dibujo. Por ejemplo, en el capítulo ii vimos
que
1 + 2 + 3 +⋯+ n = n(n + 1)
2
,
n + 1
n
Figura iv.
haciendo una demostración
por inducción. Lo hice así
para que vieras qué era una
demostración por inducción,
pero quizás te convenzas
más fácilmente de la validez
del resultado simplemente
mirando la figura iv.. Aquí,
a la izquierda tenemos 1+2+
3 +⋯+ n cuadraditos (y por
lo tanto, n filas), y del lado de-
recho, lo mismo. Al juntar ambos lados, se forma un rectángulo
de n × (n + 1) cuadraditos. Entonces cada lado tiene la mitad:
n(n+1)
2
.
Al final de este capítulo, te mostraré un dibujo que es una
“demostración” del teorema de Pitágoras. La demostración que
da Euclides es muy formal; la que yo te mostraré es menos for-
mal, pero “se ve”.
67
Volvamos a los Elementos. Euclides basa todo en unas po-
cas nociones comunes (del estilo “si dos cosas son ambas igua-
les a una tercera, entonces son iguales entre sí. . . ”), y en cinco
postulados, que son los siguientes:
1) Dados dos puntos, se pueden unir con un segmento.
2) Todo segmento se puede extender en ambas direcciones.
3) Dado un punto (centro) y un segmento (radio), se puede di-
bujar una circunferencia con ese centro y de ese radio.
4) Todos los ángulos rectos son iguales.
5) Si dos rectas son cortadas por una tercera de manera que los
ángulos internos que quedan de un lado suman menos que
dos rectos, al extender de ese lado las dos primeras rectas,
éstas se cortarán en algún punto.
Acá hacen falta varios comentarios:
Los primeros tres postulados son la razón de ser de las cons-
trucciones con regla y compás. Cuando se pide efectuar tal o
cual construcción con esos instrumentos, no es por poner res-
tricciones artificiales, sino porque la regla y el compás son la
expresión física de estos tres postulados: lo que se pueda hacer
con regla y compás, se podrá hacer con los postulados.
El cuarto postulado habla de ángulos rectos. Euclides nomi-
de ángulos. Para él, si una recta corta a otra formando cuatro
ángulos iguales, éstos son rectos.
El quinto postulado de Euclides, también llamado el postu-
lado de las paralelas, tiene mucha, mucha historia. Es claro que
su enunciado es bastante más complejo que los otros. Durante
siglos se intentó mostrar que estaba de más, que sobraba, que
no debía ser un postulado, sino algo que pudiera probarse a par-
tir de los postulados anteriores. Todos fallaron. Pero en los si-
glos xviii y xix se vio que no dependía de los otros postulados:
68
Gauss, Lobachevski y Bolyai construyeron modelos de geome-
trías que verificaban los cuatro primeros postulados, pero no el
quinto, con lo cualmostraron que no era posible deducir el quin-
to postulado de los otros, y dieron lugar a las llamadas geome-
trías no-euclidianas, donde el postulado de las paralelas no vale.
Estas geometrías no-euclidianas son, en definitiva, un triunfo
para Euclides: en efecto, muestran que su quinto postulado no
estaba de más.
Miremos algunos de los primeros resultados de los Elemen-
tos, para que veas el estilo.
Proposición 1: Dado un segmento AB, construir un triángulo
equilátero sobre AB (es decir, de manera que uno de sus lados sea
AB).
1) Con centro en A y radio AB, trazamos un círculo (usando el
tercer postulado).
2) Con centro en B y radio BA, trazamos un círculo (usando el
tercer postulado).
3) Los círculos se cortan; llamemos C a uno de los puntos de
intersección (hay dos).
4) Trazamos AC (usando el primer postulado).
5) Trazamos BC (usando el primer postulado).
Por construcción, las longitudes de AC y de BC son iguales a
A B
C
Figura iv.
la de AB. Luego, por una de las “nocio-
nes comunes”, son también iguales en-
tre sí, y ABC es un triángulo equiláte-
ro (figura iv.).
Aunque te parezca excesivo, se ha
objetado que el punto 3) no está cla-
ro: ¿cómo sabemos que se cortan los
círculos?. . . ¿Habrá que tener tantos
cuidados? Dejémoslo.
69
Algunas consecuencias de la proposición 1: si llamamos D
al otro punto de intersección de los círculos (figura iv.), al unirestos puntos obtenemos la recta CD, que es perpendicular a AB
y pasa por el punto medio del segmento AB. Esta recta se llama
mediatriz del segmento AB.
A B
C
D
MAB
Figura iv.
Usaremos para ella la notaciónMAB; está formada por todos
los puntos cuya distancia a A es igual a su distancia a B.
Ahora podemos ver lo siguiente: Dados tres puntos no ali-
neados del plano —o si preferís, cualquier triángulo de vértices
A,B,C— hay una circunferencia que pasa por ellos. Tomemos
las mediatrices correspondientes a cada par de puntos: MAB,
MAC y MBC . Llamemos O al punto en el que se cortan las pri-
meras dos mediatrices, MAB y MAC . Como O está en MAB, la
distancia de O a A es igual a la distancia de O a B. Pero como
también está enMAC , la distancia de O a A es también la distan-
cia de O a C. Así, la distancia de O a los tres puntos es la mis-
ma (y O está también en MBC). Entonces una circunferencia
con centro en O que pase por uno de ellos, pasará por los tres.
Esta circunferencia se llama el circuncírculo del triángulo, y su
centro (la intersección de las mediatrices) se llama circuncentro
(figura iv.).
70
O
A B
C
MAC MAB
MBC
Figura iv.
Volvamos a otra proposición de los Elementos.
Proposición 15: Al cortarse dos rectas, los ángulos opuestos
por el vértice son iguales.
a
c
b
Figura iv.
Vamos a llamar R a la me-
dida del ángulo recto (no nece-
sitaremos por ahora grados ni
radianes ni ninguna unidad pa-
ra medir ángulos). A esta altura
de losElementos, Euclides había
probado en una proposición an-
terior (la proposición 13) que
al cortarse dos rectas, dos ángu-
los adyacentes suman dos rectos. Usando la notación de la figu-
ra iv.,
1) a + c = 2R (por la proposición 13).
2) b + c = 2R (por la proposición 13).
3) Luego (noción común), a + c = b + c, y restando c de ambos
lados queda a = b.
71
Proposición 29: Los ángulos alternos internos entre paralelas
(en la figura iv., los marcados con a y b) son iguales.
Si fueran distintos, uno es mayor que el otro. Digamos que
a > b (da lo mismo cuál. . . ; si das vuelta al dibujo, lo verás).
a
b
c
Figura iv.
Sumemos c a ambos:
a + c > b + c.
Pero a + c = 2R por la
proposición 13, de mane-
ra que b + c < 2R, y por el
postulado 5 las rectas de-
ben cortarse de ese lado.
Pero esto no puede ser, ya
que son paralelas. Entonces a = b.
Un poco de triángulos
Dejemos ahora de lado la rigurosidad de Euclides, y veamos
un par de resultados más sobre triángulos, ayudados por unos
dibujos.
1) La desigualdad triangular: en todo triángulo, cada lado es
menor a la suma de los otros dos.
Mirá la figura iv.: si el lado a fuera mayor o igual a b + c,
¿dónde estaría el otro vértice?
a
b
c
Figura iv.
2) Los ángulos interiores de un triángulo suman 2R (figu-
ra iv.).
72
A B
a b
a′ b′c
C
Figura iv.
Tracemos por C una paralela a AB y extendamos los lados
del triángulo. Tenemos a = a′ y b = b′ por ser alternos internos
entre paralelas. Luego a + b + c = a′ + b′ + c = 2R.
3) El área de unparalelogramo es base por altura (figura iv.).
T T ′
Figura iv.
Cortemos T y ubiquémoslo del otro lado, en T ′. Me creerás
(esto habría que probarlo) que T = T ′. El área del paralelogramo
es igual a la del rectángulo que nos quedó: base por altura.
4) El área de un triángulo es base por altura sobre 2 (figu-
ra iv.).
Tracemos una paralela a AB por C y una paralela a BC por
A. Se cortan en D y ABCD es un paralelogramo; su área es base
por altura. Como la diagonal AC divide al paralelogramo en dos
partes iguales (habría que probarlo. . . ), una de las cuales es el
triángulo ABC, éste tiene área igual a base por altura sobre 2.
73
B A
C D
Figura iv.
El teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras debe de ser el teorema más popular y
conocido del mundo. Yo he visto a un albañil usarlo para ve-
rificar que un ángulo era recto. Todos han visto alguna vez su
enunciado, y algunos hasta lo recuerdan: En todo triángulo rec-
tángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos. La hipotenusa es el lado opuesto al án-
gulo recto, y los otros dos se llaman catetos. En un dibujo (figura
iv.), lo que dice el teorema es que c2 = a2+b2: las áreas de los
a
a2
b
b2
c
c2
Figura iv.
cuadrados construidos sobre
los catetos suman el área del
cuadrado construido sobre la
hipotenusa.
Por ejemplo, el triángulo
cuyos lados miden 3, 4 y 5 es
rectángulo (con ángulo recto
opuesto al lado que mide 5)
y 52 = 32 + 42. Si tenés una
soga de 12metros, marcada a
los 3 metros y a los 7 (= 3 +
4) podés producir un ángu-
lo recto bastante pasable (que
es lo que hacía mi amigo el
albañil).
74
Acá va undibujo (figura iv.) que es casi una demostración
del teorema de Pitágoras:
a
b
c
a + b
a
b
c
a + b
Figura iv.
Fijate que, usando la notación del dibujo anterior (a y b para
los catetos y c para la hipotenusa), en ambos casos tenemos for-
mados cuadrados grandes cuyos lados miden a+b. Pero dentro
de cada cuadrado los triángulos se distribuyen de manera dis-
tinta. En los dos el área restante (o sea, la que no es ocupada por
los cuatro triángulos) debe ser la misma. Del lado izquierdo es
a2 + b2, mientras que del lado derecho es c2. . . , pero entonces
c2 = a2 + b2. ¡Listo! No sé si hubiéramos convencido a Euclides
con este dibujo, pero a mí ciertamente sí.
Pitágoras vivió en Grecia más o menos 500 años antes de la
era cristiana. Se le atribuye haber demostrado el teorema, aun-
que éste es uno de esos teoremas que parecen surgir en cuanto
la civilización está suficientemente madura para ello: los babilo-
nios conocían el resultado, posiblemente sin demostración. Pe-
ro tanto los indios como los chinos habían demostrado el teo-
rema de Pitágoras (o, si preferís, el teorema gougu o de Shang
Gao) de manera totalmente independiente.
75
Puntos (y agujeros) en la recta
Dos triángulos se dicen semejantes cuando los ángulos de uno
son iguales a los ángulos del otro. Esto asegura que tienen lamis-
ma forma. Si además tienen el mismo tamaño, se llaman con-
gruentes. Por ejemplo, los triángulos ABC y ADE de la figura
iv. son semejantes.
A B D
E
C
Figura iv.
En triángulos semejantes, las longitudes de los lados corres-
pondientes son proporcionales. Por ejemplo,
BC
AB
= DE
AD
.
Es usual identificar números con puntos de la recta numé-
rica, en la cual, habiendo fijado un origen, marcamos números
positivos hacia un lado y negativos hacia el otro, de manera que
la distancia al origen se corresponda con la magnitud del núme-
ro. Con lo que hemos visto (y con regla y compás) uno puede
“construir” muchos de los puntos de la recta: tomemos un pun-
to (al que llamaremos 0) y otro (al que llamaremos 1). Sobre la
recta que pasa por ellos, podemos construir los números ente-
ros con un compás tomando como radio la distancia entre el 0
y el 1 (figura iv.).
Podemos construir la mediatriz M−1,1, que pasa por 0, y so-
bre esta recta, que es ortogonal a la primera, también marcar
1′, 2′, 3′, . . . hacia arriba. Para construir un punto que correspon-
de al 2
3
podemos hacer así: tracemos la recta que pasa por 2 y 3′,
76
−1 0 1 2 3 4
1′
2′
3′
A B
Figura iv.
y consideremos la paralela que pasa por 1′. Ésta corta la recta
horizontal en A. Por semejanza de triángulos,
02
03′
= 0A
01′
,
o sea, 2
3
= A
1
, es decir, el punto A corresponde al 2
3
.
Podemos también construir el punto que corresponde a
√
2:
construimos (trazando rectas perpendiculares) un cuadrado so-
bre el segmento 01, es decir, un cuadrado con tres de sus cuatro
vértices en 0, 1 y 1′. Como sus lados miden uno, su diagonal
(por el teorema de Pitágoras) mide
√
1 + 1 = √2. Con un com-
pás, trasladamos esa medida sobre la recta horizontal hasta el
punto B. Como el segmento 0B mide lo mismo que la diagonal
del cuadrado, el punto B corresponde a
√
2.
Sin embargo, hay puntos de la recta a los que no puede llegar-
se de esta manera, haciendo construcciones con regla y compás.
Más adelante, cuando estudiemos el círculo, hablaremos del nú-mero π. Éste no puede ubicarse con regla y compás. Los griegos
77
—y muchos otros después de ellos— lo intentaron (es un pro-
blema famoso que se llama la cuadratura del círculo). En 1882
Ferdinand von Lindemann probó que es imposible hacerlo.
Incluso dentro del conjunto de puntos de la recta a los que
se puede acceder con regla y compás, hay distintos tipos de nú-
meros, como veremos a continuación.
Los griegos creyeron durante algún tiempo que todas las
cantidades que manejaban eran conmensurables (que se podían
“medir juntas”). Es decir, dadas dos longitudes x y y, creyeron
que había alguna longitud a de manera que x era m veces a, y y
era n veces a (con m y n números naturales). Así,
x = ma, y = na
(siendo m y n números naturales). Si así fuera, x
y
sería racional,
ya que x
y
= ma
na
= m
n
. En realidad, todos los números racionales
(que vimos en el capítulo anterior) son conmensurables.
Pero los seguidores de Pitágoras descubrieron algo que les
resultó tan terrible que lo mantuvieron en secreto: muchos nú-
meros no son racionales. Tales números se llaman irracionales. El
número
√
2, si bien se encuentra entre los que se pueden cons-
truir con regla y compás, es irracional. Veamos por qué.
Supongamos que
√
2 fuera racional. Entonces podríamos es-
cribirlo en la forma a
b
, donde a y b son números enteros que no
son ambos pares (si fueran ambos pares, los simplificamos has-
ta que alguno de los dos ya no es múltiplo de dos). Escribamos
entonces √
2 = a
b
.
Elevando al cuadrado,
2 = a2
b2
,
de donde
2b2 = a2.
Entonces a2 es par. En el capítulo ii vimos que si a2 es par,
78
entonces es porque a es par. Escribamos, entonces a = 2k, y
luego a2 = 4k2. Tenemos
2b2 = a2 = 4k2,
luego, dividiendo por 2,
b2 = 2k2.
Entonces b2 es par, y (como recién vimos) resulta que b también
es par. Tanto a como b son pares. . . ; algo estámal, ya que dijimos
que no eran ambos pares. Es que
√
2 no es racional.
Y lo mismo pasa conmuchísimos otros números. De hecho,
así como en el capítulo iii probamos que los números racionales
son densos (o sea que entre dos puntos cualesquiera de la recta
siempre hay un número racional), lo mismo sucede con los nú-
meros irracionales: dados dos puntos a y b (con a < b), tome-
mos (por densidad de los racionales) un número racional r tal
que
a
√
2 < r < b√2;
entonces a < r√
2
< b. Pero este número es irracional, ya que si
fuera un número racional, r′, tendríamos
r√
2
= r′
r
r′
= √2,
y
√
2 sería racional, como r
r′
.
Pero entonces lo que llamábamos en el capítulo anterior la
“recta racional” ¡es una recta llena de agujeros! Efectivamente.
79
Problemas
Los que están marcados con ☆ son para resolver con regla y
compás.
1) Probá, usando inducción, para n ≥ 3:
i) La suma de los ángulos interiores de un polígono de n
lados es
(n − 2)2R (donde R es un recto).
ii) El número de diagonales de un polígono de n lados es
n(n − 3)
2
.
2) ☆ Dado un segmento AB,
i) trazá su mediatriz;
ii) hallá su punto medio;
iii) y un punto P en él, trazá una perpendicular a AB por
P.
3) ☆ Dada una recta y un punto P fuera de ella,
i) trazá una perpendicular a la recta por P;
ii) trazá una paralela a la recta por P.
4) ☆ Construí un cuadrado conociendo
i) un lado;
ii) una diagonal.
5) ☆ Bisecá un ángulo dado.
6) ☆ Construí un hexágono regular.
80
7) ☆ Probá que con regla y compás se puede “transportar” dis-
tancias: o sea, dados un segmento AB y un punto P, cons-
truí un círculo con centro en P y de radio la longitud del
segmento.
8) ☆
i) Si A y B están de distinto lado de la recta L, determiná
el punto P de L tal que AP + PB sea mínimo.
ii) Si A y B están del mismo lado de la recta L, determiná
el punto P de L tal que AP + PB sea mínimo.
9) Un punto A dentro de un ángulo agudo se refleja a cada
lado, obteniendo B y C. El segmento BC corta los lados en
D y E (figura iv.):
A
B
C
D
E
Figura iv.
Probá que DE < BC
2
.
10) En un triángulo ABC, M es el punto medio de BC. Probá
que
AM ≥ (AB + AC − BC)
2
.
11) Teorema de la bandera británica: Dado cualquier rectángu-
lo ABCD y un punto P en su interior, probá que
AP
2 + CP2 = BP2 + DP2.
81
12) En el interior de un triángulo equilátero hay un punto P
que dista de los lados 3, 4 y 5 metros. ¿Qué tamaño tiene el
triángulo?
13) Probá el teorema de Viviani: Si P es un punto interior de un
triángulo equilátero, la suma de las distancias de P a cada
lado es igual a la altura del triángulo.
14) Otra demostración de la irracionalidad de
√
2: si
√
2 fuera
igual a m
n
, o lo que es lomismo, m2 = n2+n2, tomá el menor
m posible para que valga esa igualdad y llega a un absurdo
argumentando con base en el dibujo de la figura iv..
n
r
s
m
Figura iv.
15) Y otra más aún: usa el problema 8 del capítulo iii para con-
cluir que
√
2 no es racional.
82
V. Cuadrados y polinomios
Ecuaciones cuadráticas
Hace 3700 años, un escriba babilonio planteaba en una tableta
de arcilla el siguiente problema para sus alumnos (he cambiado
los números, y yo empleo la palabra metros, que obviamente él
no usaba: los metros se inventaron en 1791): Tenemos una soga
de 48 metros de largo. Usémosla para marcar el perímetro de un
rectángulo de 119 metros cuadrados.
¿Será posible hacerlo? ¿Podremos hacerlo nosotros? Entre
lo que es posible y lo que nosotros podemos suele haber una
diferencia, lo importante es intentarlo.
Pensemos si se puede. No todo problema de este mismo esti-
lo tendrá solución: si nos hubieran pedido que con esa soga en-
cerráramos un rectángulo de 10 000 metros cuadrados, podría-
mos intuir que no nos va a alcanzar la soga. Pero con nuestra
soga podemos, por ejemplo, hacer un cuadrado con lados de
12 metros.
Ese cuadrado tendrá una superficie de 144 metros cuadra-
dos (12 × 12). Si ahora vamos achicando la base (y el techo) y
alargando los costados, el área irá cambiando de a poco. . . Al
llegar a un rectángulo de base 1 metro y costados de 23 metros,
nuestro rectángulo tendrá un área de 23 metros cuadrados (fi-
gura v.). En algún lugar entre el cuadrado y este rectángulo
finito, debe estar el rectángulo de 119 metros cuadrados que
buscamos.
83
Ahora, tratemos de encontrarlo. Del argumento anterior, pa-
rece que lo importante en este problema será elegir los puntos
12
12 1
23
Figura v.
en donde doblar la soga, es decir,
cuánto vamos a usar para la base
y el techo, y cuánto para los lados.
Démosle entonces nombres a estas
cosas y tratemos de plantear cla-
ramente nuestro problema. Llame-
mos x a la cantidad de metros de
la soga que usaremos para la base,
y y a losmetros que usaremos para
cada costado lateral. El perímetro
de un rectángulo de estas caracte-
rísticas será de 2x+2y metros, y su
área será de xy metros cuadrados.
Así, nuestro problema consiste en
encontrar x y y de manera que se cumplan simultáneamente
2x + 2y = 48 y xy = 119.
La primera ecuación reconoce la longitud de la soga con la que
contamos, y la segunda plantea el área que se requiere del rec-
tángulo. Simplificando un poco, podemos escribir
x + y = 24 y xy = 119.
La segunda ecuación nos dice que y = 119
x
, y si introducimos
esta información en la primera, nos queda
x + 119
x
= 24,
ecuación que ya no contiene a y. Pasando el 24 restando, y mul-
tiplicando todo por x, nos queda una ecuación equivalente:
x2 − 24x + 119 = 0.
Si de acá logramos despejar x, sabremos por dónde doblar la
84
soga. El escriba babilonio y sus alumnos lo sabían hacer, aunque
no exactamente como lo hacemos nosotros hoy.
A una ecuación de ese tipo o, más generalmente, cualquiera
que sea equivalente a una de la forma
ax2 + bx + c = 0,
donde a, b y c son números dados, la llamamos una ecuación
cuadrática, y para encontrar el valor de x usamos la fórmula
x = −b ±√b2 − 4ac
2a
.
Así, en nuestro problema sale x = 7 o x = 17 (que es el mismo
rectángulo puesto parado o acostado).
Pero ¿por qué esta fórmula? En un ratito la demostraremos.
Sale de tomar la ecuación cuadrática y hacer una cuenta que se
llama completar cuadrados. La frasecompletar cuadrados tiene
su origen en un método geométrico con el que los árabes resol-
vían este tipo de problemas. Este método está en los orígenes
mismos de lo que hoy llamamos álgebra.
Mohammad ibn Musa al-Juarismi vivió más o menos entre
los años 780 y 850, y fue astrónomo de la corte en Bagdad, no
muy lejos de donde el escriba babilonio enseñaba a sus alum-
nos 2500 años antes que él. Escribió un libro que llamó Hisab
al-jabr w’al-muqabala, en el que explica cómo resolver diversos
tipos de ecuaciones. Nuestra palabra álgebra viene de al-jabr,
que significa “restaurar” o “volver a unir”, lo cual, como verás en
los dibujos que siguen, describe un poco cómo procederemos.
A los musulmanes les incomodaban los números negativos,
y por eso para ellos era preferible, por ejemplo, escribir x2 =
bx + c en lugar de x2 − bx − c = 0. Así, al-Juarismi consideraba
que
x2 = bx + c y x2 + bx = c
(donde b y c siempre son positivos) eran dos clases de ecuacio-
nes esencialmente distintas, y las resolvía de distinta manera.
85
Veamos cómo resuelve al-Juarismi la ecuación x2 + bx = c.
Dibujemos un rectángulo de altura x y base x + b (figura v.).
x
x b
Figura v.
El área de este rectángulo es x(x + b) = x2 + bx, que según
nuestra ecuación es igual a c. Nosotros queremos hallar el valor
de x. Si recortamos el rectángulo y reordenamos las partes, está
claro que el área de lo que resulte será también igual a c. Corte-
mos entonces de la parte derecha del rectángulo una franja de
base b
2
y altura x, y reordenemos para obtener la figura v..
Tenemos ahora casi un cuadrado de lados x + b
2
, y el área
de la figura sigue siendo c. Para tener un cuadrado, sólo faltaría
“completar el cuadrado”, agregando en la esquina inferior dere-
cha un cuadradito de lado b
2
. Al agregarlo, el dibujo tendrá un
área de b
2
4
+ c (figura v.).
x
x b ⁄ 2
b ⁄ 2
Figura v.
x
x b ⁄ 2
b ⁄ 2
Figura v.
86
En nuestra notación (al-Juarismi no usaba símbolos, hacía
todo hablado), lo que tenemos es
(x + b
2
)2 = b2
4
+ c,
de donde, tomando raíz cuadrada, obtenemos
x + b
2
=√b2
4
+ c
x = −b
2
+√b2
4
+ c
= −b
2
+√b2 + 4c
4
= −b +√b2 + 4c
2
que es, en nuestra fórmula de arriba, la solución de la ecuación
cuadrática x2 + bx − c = 0.
Veamos ahora cómo resuelve al-Juarismi la ecuación x2 =
bx + c.
x
x − b b
b
Figura v.
Dibujemos un cuadra-
do de lado x, y dentro de él,
un rectángulo de altura x y
base b, como se ve en la fi-
gura v..
Segúnnuestra ecuación
(x2 − bx = c), la parte en
color (de altura x y base
x − b) tiene área c. Recor-
temos de este rectángulo la
franja inferior, de altura b
2
y base x − b, y reordene-
mos poniendo la franja a la
87
x − b b ⁄ 2
Figura v.
x − b ⁄ 2
Figura v.
derecha en posición vertical. La parte en color sigue teniendo
entonces área c (figura v.).
Tenemos casi un cuadrado de lados x − b + b
2
= x − b
2
, sólo
faltaría “completar el cuadrado”, agregando en la esquina infe-
rior derecha un cuadradito de lado b
2
. Al agregarlo, la figura ten-
drá un área de b
2
4
+ c (figura v.).
En nuestra notación, (x − b
2
)2 = b2
4
+ c. Tomemos la raíz y
despejemos x:
x − b
2
=√b2
4
+ c
x = b
2
+√b2
4
+ c
= b
2
+√b2 + 4c
4
= b +√b2 + 4c
2
,
que es, en nuestra fórmula de arriba, la solución de la ecuación
cuadrática x2 − bx − c = 0.
Con este método de completar cuadrados, al-Juarismi re-
suelve todas las formas de la ecuación cuadrática; algunos casos,
88
por ejemplo x2 + c = bx, resultan más difíciles que los ejemplos
que he dado acá.
Pero intentemos, sin miedo a los números negativos ni a
nada, completar cuadrados partiendo de la ecuación cuadráti-
ca ax2 + bx + c = 0. Primero, dividamos todo por a, para que
quede la x2 sola, y pasemos c
a
del otro lado:
x2 + b
a
x + c
a
= 0
x2 + b
a
x = − c
a
.
Ahora completemos cuadrados sumando b
2
4a2
a cada lado. Esto
hace posible escribir el lado izquierdo, usando el cuadrado de
un binomio, como una cosa elevada al cuadrado:
x2 + b
a
x + b2
4a2
= b2
4a2
− c
a(x + b
2a
)2 = b2
4a2
− c
a
.
Hagamos cuentas y tomemos raíz cuadrada, para despejar x:
(x + b
2a
)2 = b2
4a2
− c
a(x + b
2a
)2 = b2 − 4ac
4a2
x + b
2a
= ±√b2 − 4ac
4a2
x + b
2a
= ±√b2 − 4ac
2a
x = − b
2a
±
√
b2 − 4ac
2a
x = −b ±√b2 − 4ac
2a
;
89
al-Juarismi se escandalizaría. No hemos tenido en cuenta si a,
b o c son negativos, hemos completado cuadrados sin ninguna
referencia geométrica y, peor aún, algunas de nuestras “solucio-
nes” no tienen sentido: por ejemplo, ¿qué pasa si lo que está bajo
la raíz es negativo?
Lo que está bajo la raíz, b2−4ac, se llama el discriminante de
la ecuación ax2+bx+c = 0. Y lo que discrimina el discriminante
es cuántas soluciones tiene la ecuación: si b2 − 4ac > 0 hay dos
soluciones, si b2 − 4ac = 0 hay una, y si b2 − 4ac < 0, ninguna.
Para ilustrar esto, volvamos al problema del escriba y a nues-
tra soga de 48metros. Se nos pedía enmarcar un rectángulo con
un área de 119 metros cuadrados, y la ecuación que llegamos a
plantear fue
x2 − 24x + 119 = 0.
Su discriminante es (−24)2 − 4 ⋅ 119 = 100, que es mayor que
cero. Hay dos soluciones (x = 7 y x = 17). Si se nos hubiera
pedido enmarcar un rectángulo con un área de 144 metros cua-
drados, hubiéramos llegado a plantear la ecuación
x2 − 24x + 144 = 0,
cuyo discriminante resulta ser (−24)2 −4 ⋅144 = 0. Hay una úni-
ca solución (x = 12, el cuadrado). Y ya intuimos que no podría-
mos enmarcar un rectángulo de 10 000 metros cuadrados; para
este problema, la ecuación que resulta,
x2 − 24x + 10 000 = 0,
tiene discriminante −39 424, que es bien negativo: la soga no da
para tanto.
Dicho sea de paso, el discriminante de la ecuación
x2 − 24x + c = 0,
empieza a ser negativo en cuanto el valor de c es mayor que 144.
El rectángulo de mayor área que puede enmarcar nuestra soga
es el cuadrado de 12 metros de lado.
90
Vale siempre algo análogo: de todos los rectángulos que tie-
nen un determinado perímetro, el que tiene mayor área es siem-
pre cuadrado. Este tipo de problemas—“de las figuras de tal tipo
con un mismo perímetro, ¿cuál tiene mayor área?”— se llaman
problemas isoperimétricos.
Pero nos estamos yendo por las ramas. A ésta volveremos
más adelante. Ahora necesitamos hablar de polinomios y de sus
raíces.
Polinomios
Hemos llamado ecuación cuadrática a
ax2 + bx + c = 0,
y vimos cómo encontrar valores concretos de x que hacen que
efectivamente valga la ecuación. Por ejemplo, para la ecuación
cuadrática
x2 − 24x + 119 = 0
encontramos que los valores x = 7 y x = 17 hacen que valga
la igualdad. Si asignamos otros valores a x, la igualdad no se
verifica. Por ejemplo, poniendo x = 1 o x = 1
2
obtenemos
(1)2 − 24(1) + 119 = 96,
(1
2
)2 − 24(1
2
) + 119 = 1
4
+ 107 = 429
4
.
Aun cuando no asignemos ningún valor concreto a la varia-
ble x, podemos de todas maneras hacer cuentas con ella usando
las operaciones y reglas usuales. Por ejemplo,
x + 5x = 6x,
x(x + 2) = x2 + 2x,(x2 + x − 1)x = x3 + x2 − x.
91
Así, sumando y multiplicando, aparecen expresiones que con-
tienen nuestra variable x elevada a distintas potencias (x, x2,
x3, . . .) multiplicadas por números y sumadas. Expresiones co-
mo, por ejemplo,
x3 − 3x2 + 2,
x5 − 4x3 + x + 1,
y, más generalmente, expresiones de la forma
axn + bxn−1 +⋯+ cx + d.
Éstas se llaman polinomios. Cada término mxk se llama un mo-
nomio; un polinomio es la suma de varios monomios. El expo-
nente más grande al que aparece elevada la variable x se lla-
ma el grado del polinomio. Así, x3 − 3x2 + 2 tiene grado 3, y
x5 − 4x3 + x + 1 es de grado 5.
Al resolver la ecuación cuadrática x2 − 24x + 119 = 0, esta-
mos encontrando las raíces o ceros del polinomio x2−24x+119,
es decir, los valores de x para los cuales vale cero.
Así como al-Juarismi estudió las raíces de polinomios de gra-
do 2, Omar ibn Ebrahim Jayyam halló maneras de encontrar las
raíces de algunos tipos de polinomios de grado 3. Omar Jayyam
vivió más o menos entre 1048 y 1131. Fue astrónomo de la cor-
te en la ciudad de Merv —en lo que hoyes Turkmenistán—, en
aquella época una de las ciudades más grandes del mundo. Ade-
más dematemático, Omar Jayyam fue poeta. No querrás leer su
Al-jabr, pero no dejes de hojear sus Rubaiyat. Me temo que lo
más razonable es leer la traducción al inglés que hizo Edward
Fitzgerald en 1859, una especie de colaboración a través de las
civilizaciones y ocho siglos. De ella dice Borges: “Toda colabora-
ción es misteriosa. Esta del inglés y del persa lo fue más que nin-
guna, porque eran muy distintos los dos y acaso en vida no hu-
bieran trabado amistad y la muerte y las vicisitudes y el tiempo
sirvieron para que uno supiera del otro y fueran un solo poeta”.1
Acá van algunas de las rubaiyat:
1 Jorge Luis Borges, “El enigma de Edward Fitzgerald”, en Otras inquisiciones.
92
A book of verses underneath the bough,
A jug of wine, a loaf of bread —and thou
Beside me singing in the wilderness—
Oh, wilderness were Paradise now!2
Yon rising moon that looks for us again,
How oft hereafter will she wax and wane;
How oft hereafter rising look for us
Through this same garden —and for one in vain!
And when like her, oh Aki, you shall pass
Among the guests star-scattered on the grass,
And in your joyous errand reach the spot
Where I made One —turn down an empty glass!3
La búsqueda de las raíces de polinomios de grado tres y cua-
tro ha producido algunos de los personajes más coloridos de
la historia de la matemática, además de Omar Jayyam. Niccolò
Fontana (1500-1557), más conocido como Tartaglia (“el tarta-
mudo”), quedó tartamudo a raíz de un sablazo que le propinó
un soldado francés en la cara durante la toma de su ciudad, Bres-
cia. Esto cuando el pequeño Niccolò tenía doce años. Tartaglia
fue aparentemente el primero en dar una fórmula para hallar
las raíces de cualquier polinomio de grado tres. Quiso mante-
ner en secreto su resultado, pero se lo contó a Girolamo Car-
dano, quien, habiendo prometido guardar el secreto, lo publicó
en su libro Ars magna. Años más tarde, un alumno de Cardano,
Ludovico Ferrari, descubrió una fórmula para hallar raíces de
polinomios de grado cuatro.
2 “Aquí, bajo los árboles tengo el pan cotidiano, / Un ánfora de vino, / El libro de
un Poeta, y a ti, cerca de mí, / Y animan tus cantares la soledad del bosque, / Trocado
en Paraíso, / Donde siento la ingenua ventura de vivir” (Carmela Eulate Sanjurjo).
3 “Allá arriba, la Luna, hostia blanca o segur, / recorrerá su órbita en el celesteAzur; /
nos buscarámañana por losmismos jardines, / y no nos hallará en todaNishapur. // Y,
cuando como ella, graciosa y refulgente, / vagues, oh Saki, por el jardín silente / donde
moran los muertos, si llegas a mi fosa / vuelca la copa amiga, ¡interminablemente!”
(Manuel Bernabé).
93
Con Ludovico termina la historia de las fórmulas para hallar
raíces de polinomios. Es que no haymás: en 1826 el matemático
noruego Niels Henrik Abel probó que no puede haber una fór-
mula análoga para polinomios de grado cinco. Cinco años más
tarde, en 1831, Évariste Galois probó que tampoco puede haber
fórmulas generales para hallar raíces de polinomios de ningún
gradomayor que cuatro. Difícilmente se encontrará un persona-
je más romántico que Galois. Su ardor político le valió su expul-
sión de la Escuela Normal Superior de París, además de prisión
(varias veces). Poco después de escribir su famoso teorema, con
el que comienza la era moderna del álgebra, murió en un duelo,
aparentemente por una chica. Galois tenía, al morir, veinte años.
Pero volvamos a los polinomios. Los polinomios se suman;
por ejemplo,
2x2 −7x +5
x4 +2x3 +x +2
3x3 −x2 +2x −3
x4 +5x3 +x2 −4x +4
y se multiplican:
(x2 + 2x + 1)(x + 3) = (x3 + 2x2 + x) + (3x2 + 6x + 3)= x3 + 5x2 + 7x + 3.
De hecho, con los polinomios se puede hacer aritmética, como
con los números enteros.
Ya vimos en el capítulo ii lo que llamamos el algoritmo de
división: al dividir un número P por D se obtiene un cocien-
te Q y un resto R que está entre 0 y D. Así, podemos escribir
P = Q ⋅ D + R. Por ejemplo, si dividimos 9 por 2 obtenemos
9 = 4 ⋅ 2 + 1, y si dividimos 20 por 3, obtenemos 20 = 6 ⋅ 3 + 2.
Lo que vamos a hacer ahora es dividir ax2 + bx + c por
x − r. Tenemeunpoco de paciencia y hagamos la siguiente cuen-
ta. Calculemos(ax + ar + b)(x − r) + (ar2 + br + c).
94
Usando propiedad distributiva, etc., llegamos a
ax2 + arx + bx − arx − ar2 − br + ar2 + br + c.
Acá hay varias cosas para simplificar: arx con −arx, −ar2 con
ar2, y −br con br. Lo que queda es
ax2 + bx + c.
O sea, lo que acabamos de ver es que
ax2 + bx + c = (ax + ar + b)(x − r) + (ar2 + br + c).
Dicho de otra manera, si dividimos ax2 + bx + c por x − r, el
cociente es ax + ar + b, y el resto es ar2 + br + c. Más resumido,
si llamamos P(x) = ax2+bx + c, podemos escribir lo mismo de
la siguiente manera, que se llama el teorema del resto: El resto en
la división de P(x) por x − r es P(r).
Notemos que entonces x − r divide a P(x) (es decir, el resto
es cero), si y sólo si P(r) = 0, o sea, cuando r es raíz de P(x). La
cuenta que acabamos de hacer lo prueba para un polinomio de
grado 2, pero vale el mismo teorema para polinomios de cual-
quier grado. Así, por ejemplo, si P(x) = ax2 + bx + c tiene dos
raíces, u y v, resulta que tanto x − u como x − v dividen a P(x),
de manera que P(x) = a(x − u)(x − v). Cuando a = 1, lo que
se tiene es
P(x) = x2 + bx + c = (x − u)(x − v) = x2 − (u + v)x + uv,
lo cual significa que si queremos encontrar las raíces u y v de
x2 + bx + c, lo que buscamos son números u y v que cumplan al
mismo tiempo
u + v = −b
uv = c.
Más o menos, lo que buscaba el escriba.
95
Problemas
1) La diferencia entre dos números positivos es 7, y su produc-
to es 44. ¿Cuáles son esos números?
2) Una cancha de fútbol tiene 30mmás de largo que de ancho,
y su superficie es de 7000m2. ¿Cuánto mide?
3) La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. Encontrá sus di-
mensiones si un lado mide 2 cm menos que el otro.
4) Doblamos un alambre formando un ángulo recto de mane-
ra que el lado más corto es 3
4
del lado largo. Si los extremos
han quedado a 10 cm de distancia, ¿cuánto medía el alam-
bre?
5) Dos números suman 20, y sus cuadrados suman 202. ¿Cuá-
les son esos números?
6) Se dispone de 80m2 de baldosas antideslizantes para hacer
un borde de un ancho fijo alrededor de una pileta de 10m
de largo y 6m de ancho. ¿Qué ancho tendrá ese borde?
7) La gravedad terrestre atrae a todo objeto hacia la Tierra de
manera que al soltarlo (sin impulsarlo), en t segundos cae
5 t2 metros. Si desde un balcón que está a 100m de altura se
lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 5 metros
por segundo, ¿cuánto tardará en llegar al piso?
8) El número 2 es raíz de x2 + 5x − 2a. ¿Cuánto vale a?
9) El polinomio 5x4+x2−ax−4 es divisible por x+2. ¿Cuánto
vale a?
10) ¿Cómo debe ser a para que al dividir x2+2ax−5 por 2x−6
de resto 2?
11) Calculá el valor de a para que el polinomio x3−2x2−ax+4a
sea divisible por x − 5.
96
VI. La recta
Serie geométrica
Ya hemos visto en el capítulo iv que si pretendemos equiparar
los puntos de la recta con los números racionales, lo que resul-
ta es una recta llena de agujeros: muchos puntos de la recta co-
rresponden a números que no son racionales, como
√
2. En es-
te capítulo trataremos de explicar qué es un número real. Este
conjunto de números, que denotaremosR, sí se parece más a la
recta (sin agujeros) que todos imaginamos.
Una maldición china dice: “Que vivas en una época intere-
sante”. Augustin Louis Cauchy nació en París en 1789, de mane-
ra que le tocaba vivir en una época interesante. Por suerte para
él, su padre decidió escapar de la Revolución, hacia el pueblo
de Arcueil, donde Augustin pasó su infancia y tuvo una educa-
ción cuidada. Llegó a ser un gran matemático. En la segunda
mitad del siglo xvii Newton, Leibniz (y otros) habían inven-
tado el “cálculo diferencial”, que devino en la parte de la ma-
temática que hoy llamamos análisis. En este libro no diremos
nada sobre el cálculo. Pero hacia la época de Cauchy, el aná-
lisis requería una formalizaciónde sus bases, incluyendo una
aclaración de lo que se entiende por número real. Cauchy (y
otros, por ejemplo, Richard Dedekind) proveyeron bases sóli-
das al análisis.
Pero la historia de los números reales se puede contar desde
mucho más atrás: hace 2500 años Zenón de Elea planteaba su
97
famosa paradoja de Aquiles y la tortuga. Aquiles es, por supues-
to, el héroe de la Guerra de Troya. Habrás leído la Ilíada. . . (o al
menos habrás visto la película con Brad Pitt como Aquiles); en
todo caso, es el tipomás rápido delmundo, una especie deUsain
Bolt mitológico. La tortuga es cualquier tortuga. El planteo de
Zenón es que si Aquiles le da un poco de ventaja a la tortuga
en una carrera, Aquiles no logrará alcanzarla jamás. Argumen-
ta Zenón que cuando Aquiles llegue al punto A en que la tortu-
ga empezó la carrera, la tortuga ya no estará allí, sino un poco
más adelante, digamos en el punto B; cuando Aquiles llegue a B,
la tortuga habrá avanzado hasta C, cuando Aquiles llegue a C la
tortuga ya estará en D. . . Y así la tortuga estará siempre delante
de Aquiles.
¿Vos por quién apostarías? ¿Por la tortuga? Busquemos en-
tonces el error del argumento de Zenón. Para esto, digamos que
la carrera es a lo largo de la recta, Aquiles parte desde el cero
y la tortuga desde el punto 1
2
. Y digamos que Aquiles es el do-
ble de rápido que la tortuga, de manera que en el tiempo en que
Aquiles recorre una distancia, la tortuga recorre la mitad de esa
distancia. Preparados, listos. . . , ¡ya!
0 1
2
3
4
7
8
Figura vi.
Cuando Aquiles llega al 1
2
, la tortuga está en el 3
4
, cuando
Aquiles pasa por el 3
4
la tortuga está en 7
8
, cuando Aquiles llega a
7
8
, la tortuga va por 15
16
, y en general, cuando Aquiles llega a 2
n−1
2n
,
la tortuga ya está en 2
n+1−1
2n+1
. . . Pero ¿no la va a alcanzar? Sí, la
va a alcanzar; lo que pasa es que el tiempo que tardan en llegar
de un punto a otro (de 2
n−1
2n
a 2
n+1−1
2n+1
) es cada vez menor; tanto
98
que aunque hay infinitos de estos intervalos de tiempo, sumados
dan un tiempo finito: el que tardan en llegar al 1, que es donde
Aquiles pasa a la tortuga. El error es pensar que sumar infinitas
cosas dará infinito.
Consideremos las longitudes recién recorridas por Aquiles
en cada etapa (de 0 a 1
2
, de 1
2
a 3
4
,. . . ). Estas longitudes son: 1
2
, 1
4
,
1
8
, . . . , 1
2n
, . . . Miremos el segmento entre el cero y el 1. Si suma-
mos todas estas distancias recorridas por Aquiles, dará la longi-
tud del segmento: 1.
Vamos a usar la siguiente notación: “∑” (la letra griega sig-
ma), que significa simplemente “sumar”. La usamos por como-
didad cuando hay muchos términos para sumar y sería pesado
escribirlos todos. Por ejemplo, en lugar de escribir
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + a11 + a12,
escribiremos
12∑
k=1
ak.
que se lee “la suma, con k desde 1 hasta 12, de los números ak”.
Uno empieza entonces con k = 1 y pone a1, luego para k = 2
suma a2, para k = 3 suma a3. . . , hasta que llega a k = 12 y suma
el último término, a12. Otro ejemplo: en lugar de poner
1
2
+ 1
4
+ 1
8
+⋯+ 1
230
,
escribiremos
30∑
k=1
1
2k
.
Incluso llegaremos a sumar infinitos términos, cosa que a veces
tiene sentido, para lo cual pondremos
∞∑
k=1
ak.
99
Una suma infinita como ésta se llama una serie. Explicaré con
un caso particular de qué se trata. Una serie geométrica es una
serie de la forma particular
∞∑
k=0
rk = 1 + r + r2 + r3 +⋯,
donde cada término que se está sumando es una potencia de un
número fijo r. La serie 1
2
+ 1
4
+ 1
8
+ ⋯ + 1
2n
+ ⋯ es de este tipo
(aunque faltaría el primer término), con r = 1
2
. A veces estas
series suman infinito (por ejemplo, cuando r = 1). Otras veces
no. Se dice que la serie es sumable cuando sus sumas parciales
(hasta el n-ésimo término)
sn = n∑
k=0
rk
van convergiendo a un número s (la suma de la serie). Así, por
ejemplo,
sn = 1
2
+ 1
4
+ 1
8
+⋯+ 1
2n
converge a s = 1.
Es fácil ver que si 0 < r < 1, la serie geométrica∑∞k=0 rk es suma-
ble: notemos que(1 − r)sn = (1 − r)(1 + r + r2 +⋯+ rn)= 1 − r + r − r2 + r2 − r3 +⋯+ rn − rn+1= 1 − rn+1.
Luego
sn = 1 − rn+1
1 − r ,
pero como 0 < r < 1, rn+1 se va acercando a cero a medida
que n crece. Entonces las sumas parciales sn convergen a
1
1−r .
Escribiremos ∞∑
k=0
rk = 1
1 − r .
100
En el caso en que r = 1
2
, esta suma da 2, y si en lugar de sumar
desde k = 0 sumamos desde k = 1, suma 1, es decir
1
2
+ 1
4
+ 1
8
+ 1
16
+⋯ = 1.
Un par de comentarios.
Notemos que no sólo los términos de esta suma son cada
vez más chicos, sino que las “colas” ∑k>n 12k también lo son. De
hecho, la cola∑k>n 12k , en la que sumamos a partir de 12n+1 , suma
1
2n
: en efecto,
∑
k>n
1
2k
= 1
2n+1
+ 1
2n+2
+ 1
2n+3
+⋯
= 1
2n ⋅ 2 + 12n ⋅ 4 + 12n ⋅ 8 +⋯= 1
2n
(1
2
+ 1
4
+ 1
8
+⋯)
= 1
2n
,
ya que lo que está entre paréntesis suma uno.
Cada vez que se habla de decimales periódicos, se está implí-
citamente sumando alguna serie geométrica. Así, por ejemplo,
el número 0.3 es
0.3 = 0.33333 . . .= 3
10
+ 3
100
+ 3
1000
+ 3
10000
+⋯
= ∞∑
k=1
3
10k
= 3 ∞∑
k=1
( 1
10
)k
= 3( 1
1 − 1
10
− 1) (ya que estamos sumando desde k = 1)
101
= 3( 1
9
10
− 1)
= 3(10
9
− 9
9
)
= 3 1
9= 1
3
.
(⋆) Desarrollos diádicos y la recta real R
Consideremos la serie geométrica con r = 1
2
, pero digamos aho-
ra que algunos de los términos los sumamos, y otros no. Por
ejemplo:
1
2
+ 0
4
+ 1
8
+ 0
16
+⋯.
Ahora la sumano será 1, sinomenos.De hecho, eligiendo sumar
o no sumar cada término, es decir eligiendo si ponemos en la
siguiente suma cada dk igual a 0 o 1
∞∑
k=1
dk
2k
= d1
2
+ d2
4
+ d3
8
+ d4
16
+⋯,
podemos llegar a sumar cualquier punto entre 0 y 1. Por ejemplo,
digamos que queremos que en la figura vi. la suma dé el punto
marcado en rojo:
0
1
2
5
8
3
4 1
Figura vi.
Como es mayor que 1
2
, pondremos d1 = 1; como es menor
que 1
2
+ 1
4
, pondremos d2 = 0; pero como es mayor que 12 + 04 + 18 ,
102
pondremos d3 = 1. . . , y así nos iremos aproximando al punto
tanto como queramos. Al sumar toda la serie
∞∑
k=0
dk
2k
dará justo lo que queremos.
El siguiente argumento nos mostrará cómo deben elegirse
d1, d2, d3, . . . para que la suma nos dé un número racional dado
entre 0 y 1 (digamos 0 < m
n
< 1). Pero más importante: el ar-
gumento mostrará que para que la suma sea un número racio-
nal, en algún momento los dígitos d1, d2, d3, . . . se empezarán a
repetir. Veamos:
Como m
n
< 1, 2m < 2n. Luego, si dividimos 2m por n, usan-
do el algoritmo de división, tenemos
2m = d1n + r1 con d1 = 0 o 1, y 0 ≤ r1 < n,
de donde 2r1 < 2n. Si ahora dividimos 2r1 por n (y luego segui-
mos igual con r2, r3, . . .),
2r1 = d2n + r2 con d2 = 0 o 1, y 0 ≤ r2 < n,
2r2 = d3n + r3 con d3 = 0 o 1, y 0 ≤ r3 < n,⋮
2rk−1 = dkn + rk⋮
Luego tenemos,
m
n
= d1
2
+ r1
2n
(dividiendo 2m por 2n)
= d1
2
+ d2
4
+ r2
4n
(dividiendo 2r1 por 4n)
= d1
2
+ d2
4
+ d3
8
+ r3
8n
(dividiendo 2r2 por 8n)⋮
= d1
2
+ d2
4
+ d3
8
+⋯+ dk
2k
+ rk
2kn
(dividiendo 2rk−1 por 2kn).
103
Notemos que rk
2kn
< 1
2k
, de manera que al sumar cada vez más
términos tenemos
m
n
= ∞∑
k=1
dk
2k
.
Ahora notemos que cada dk sólo depende del resto rk−1 del pa-
so anterior. Esto hace que los dígitos en algúnmomento comien-
cen a repetirse. ¿Por qué? Porque los restos en algún momento
se repetirán: es que sólo hay n de ellos: 0, 1, 2, . . . , n − 1. Y en
cuanto se repite un resto r, se repetirán todos los pasos desde la
última vez que apareció ese r como resto.
Así, a todo número racional entre 0 y 1, le corresponderá
una suma ∞∑
k=1
dk
2k
,
donde la sucesión d1, d2, d3, . . . a partir de algún momento se
repite.
Pero por supuesto existen sucesiones d1, d2, d3, . . . que nun-
ca se repiten. Por ejemplo:
1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, . . .
De hecho, las que se repiten son las menos. Casi todas son de
las otras, y corresponden a números
x = ∞∑
k=1
dk
2k
,
que no son racionales. Agregando todos estos números tapamos
los “agujeros”que dejaban los números racionales entre el 0 y
el 1. Y si a ellos les sumamos cualquier número entero k, lle-
namos los agujeros entre k y k + 1. Estos números que estamos
agregando se llaman irracionales (como
√
2). Los racionales jun-
to con los irracionales forman el conjunto de todos los números
reales. Ahora sí, por fin, tenemos una recta sin agujeros, la rec-
ta real: R.
104
La siguiente idea nos permitirá tener una noción de lo pe-
queño que es el conjunto de números racionales dentro de la
recta real R. Construiremos números del intervalo (0, 1) usan-
do el siguiente método probabilístico: tiramos una moneda infi-
nitas veces y anotamos un 1 cuando sale cara; un 0 cada vez que
sale ceca. Por ejemplo:
0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, . . .
Y ahora utilizamos esa serie de ceros y unos para obtener el nú-
mero
∞∑
k=1
dk
2k
, donde dk = {1, si en la k-ésima tirada salió cara,
0, si en la k-ésima tirada salió ceca.
Así, cada número real del intervalo (0, 1) corresponde al resul-
tado de un experimento que consistió en tirar infinitas veces
una moneda. Y cada subconjunto A ⊂ (0, 1) corresponde a un
conjunto de posibles resultados de ese experimento.
Por ejemplo, el intervalo abierto (0, 1
2
) está formadopor pun-
tos obtenidos en experimentos donde d1 = 0: la primera tirada
salió ceca, las demás, cualquier cosa. ¿Cuál es la probabilidad
de que esto ocurra en nuestro experimento? Pues 1
2
. El interva-
lo ( 5
8
, 6
8
) está formado por puntos obtenidos en experimentos
donde d1 = 1, d2 = 0, y d3 = 1: cara, ceca, cara, luego cualquier
cosa. ¿Cuál es la probabilidad de este resultado? Es 1
2
× 1
2
× 1
2
= 1
8
.
En general, la medida del conjunto A ⊂ (0, 1) es igual a la proba-
bilidad de producir uno de sus puntos con nuestro experimento
de tirar infinitamente una moneda.
Digamos ahora que A = {r ∈ Q : 0 < r < 1}, los racionales
del intervalo (0, 1). Acabamos de ver que todos ellos se obtienen
con una sucesión
d1, d2, d3, d4, . . .
periódica. Tiras una moneda infinitas veces; a partir de cierto
momento —por ejemplo, a partir de la tirada 37— esos resul-
tados se repiten. . . y se repiten. . . y se repiten. . . Infinitamente.
105
¿Qué probabilidad hay de que ocurra una cosa así? Pues cero.
Ésa es la medida del conjunto de números racionales: cero.
Terminaremos este capítulo con una demostración un poco
delicada. . . Tendrás que leerla con cuidado. Pero quiero hacerla
porque es importante, ya que marca bien la diferencia entre la
recta real y la recta racional.
Dado un subconjunto A de R, diremos que el número c es
una cota o cota superior de A si c está a la derecha de todo el
conjunto A, o sea, si a ≤ c para todo elemento a del conjunto
A. Supongamos que tenemos un conjunto A de manera que el
1 es una cota, pero el 0 no. O sea, que existe algún elemento a
tal que 0 < a ≤ 1, pero nada a la derecha del 1. Vamos a inten-
tar construir un número s que sea algo así como la “punta dere-
cha” del conjunto A; lamenor de todas las cotas. La escribiremos
s = ∞∑
k=1
dk
2k
,
eligiendo muy cuidadosamente los dk. Obtendremos que s es
una cota, pero ninguna de las sumas parciales
sn = n∑
k=1
dk
2k
lo será. Elegimos los dk así:
d1 = {0, si 12 es cota,
1, si no.
Así, s1 = d12 no es cota. . .
d2 = {0, si s1 + 14 es cota,
1, si no.
Así, s2 = s1 + d24 no es cota. . . Al llegar al n-ésimo paso,
dn = {0, si sn−1 + 12n es cota,
1, si no.
Así, sn = sn−1 + dn2n no es cota. . .
106
Notemos que los sn no son cota, y tienden, creciendo, a s.
Veamos que s sí es cota: si no lo fuera, s < a para algún elemento
a del conjunto A. Si n es tan grande que
1
2n
< a − s,
tendremos
sn−1 + 1
2n
≤ s + 1
2n
< a.
Pero entonces, como sn−1+ 12n no es cota, habremos elegido dn =
1. Esto para todo n suficientemente grande. Entonces la suce-
sión . . . dk . . . termina con una tira de unos. Consideremos el
último cero: m tal que dm = 0, y a partir de allí, todos unos.
Como dm = 0 sabemos que
sm−1 + 1
2m
es cota.
Pero
s = sm−1 + 0
2m
+ ( 1
2m+1
+ 1
2m+2
+ 1
2m+3
+⋯)
= sm−1 + 1
2m
(1
2
+ 1
4
+ 1
8
+⋯)
= sm−1 + 1
2m
, que es cota.
Por último, s es la menor cota, ya que si c < s fuera cota, para n
suficientemente grande, c < sn ≤ s, y sn sería cota, que sabemos
que no es.
Lo que hemos construido es la menor cota del conjunto A,
también llamado el supremo de A. La diferencia entre la recta
real y la recta racional es que en la recta real todo conjunto A
que tenga una cota tendrá también una menor cota (supremo).
En la recta racional esto no es cierto: por ejemplo, el conjunto
A = {r ∈ Q : r2 < 2}
tiene cota, pero no tiene una menor cota. Lo que ocurre es que
esamenor cota sería s = √2, pero justo allíQ tiene un agujero. . .
107
Problemas
1) Sumá:
i)
55∑
k=0
(3
4
)k.
ii)
20∑
k=1
(1
3
)k.
iii)
∞∑
k=0
3k + 2k
6k
.
2) Sumá
∞∑
k=0
2k31−k.
3) Expresá 7.6 como una fracción.
4) Expresá 2.43724 como una fracción.
5) ¿Cómo debe ser r para que∑∞k=0 rk = 53?
6) Dado un número cualquiera a > 0, encontrá r de manera
que∑∞k=1 rk = a.
7) Tenés un capital de $800000. Si cada año debés pagar 4%
de impuestos a los bienes personales, al cabo de 5 años ¿qué
capital te queda? ¿Y al cabo de n años?
8) Cuando se deja caer una pelota de squash, cada vez que re-
bota sube a una altura que es 4
5
de la altura desde la que cayó.
Si la soltamos a 20m de piso, ¿cuál es la distancia total que
recorre hasta quedar en reposo?
108
9) Dos trenes están a 100km de distancia y van por una mis-
ma vía, uno hacia el este a 20 km/h, el otro hacia el oeste a
30 km/h (sí, van a chocar). Una mosca vuela desde un tren
al otro repetidas veces (cuando llega a uno, da media vuelta
y va hacia el otro). Lamosca vuela a 43 km/h. ¿Qué distancia
recorre la mosca antes de ser aplastada en el choque?
Ayuda: No te lances a sumar series. . . ; lo podés resolver
en tu cabeza. John vonNeumann (1903-1957) fue un famoso
matemático que ayudó a crear la teoría de juegos, la mecáni-
ca cuántica, las computadoras y varias cosas más. Dicen que
una vez le plantearon un problema como éste y, como dio la
respuesta enseguida y sin pedir lápiz y papel, le dijeron:
—Ah, usted se dio cuenta de cómo resolverlo sin sumar
la serie. . .
—No, no; yo sumé la serie —dijo von Neumann.
109
VII. El plano
El plano R2
René Descartes y Pierre de Fermat, de manera independiente,
lograron unir a principios del siglo xvii el álgebra y la geome-
tría, a través de lo que se llamó geometría analítica. Al identifi-
car puntos del plano con pares de números, como haremos en
un ratito, las curvas y otros objetos geométricos del plano pa-
san a identificarse con ecuaciones, y así son susceptibles de un
tratamiento algebraico. Esto posibilitó, pocomás adelante, el sur-
gimiento y desarrollo del cálculo diferencial.
Si vas por una ruta, te basta un dato para ubicarte. Por ejem-
plo, vamos por la Ruta 2 a Miramar y un cartel nos dice que pa-
samos por el kilómetro 182; ya está claro dónde estamos. Si, en
cambio, estás en una ciudad, hacen falta dos datos: estamos
en las calles de Libertador y Primera Junta, o en Maipú y Ugar-
te. Es una cuestión de dimensión. En la carretera te podésmover
en una sola dirección (en ambos sentidos), mientras que en la
ciudad te podés mover —digamos— a lo ancho y a lo largo: dos
dimensiones.
Cuando hablamos de la recta, cada punto lo identificamos
con un número: la distancia a la derecha del cero. De la mis-
ma manera, cada punto del plano lo podemos identificar con
un par de números. Basta fijar un punto origen y pasar por él
dos rectas o ejes, uno vertical y el otro horizontal. Cada punto
del plano queda entonces determinado por un par ordenado de
110
números, dos coordenadas: su distancia a la derecha del eje ver-
tical, y su distancia por encima del eje horizontal, como en la
figura vii.:
−2 −1 1 2 3
−1
1
2
0
(−1,−1) (2,−1)
(0, 0) (1, 0)
(−2, 1) (0, 1) (1, 1) (2, 1)
(π, 8
6
)
(3, 2)
Figura vii.
donde el signomenos indica “distancia a la izquierda del eje ver-
tical”si aparece en la primera coordenada, y “distancia por de-
bajo del eje horizontal” si es en la segunda.
El eje horizontal se suele llamar eje x, y el vertical, eje y. El
punto (0, 0), donde se cruzan los ejes, se llama origen o simple-
mente el cero.
De estamanera, así comohabíamos identificado la recta con
los números reales R, ahora identificamos el plano con el con-
junto de todos los pares ordenados de números reales, que no-
taremos R2:
R2 = {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R}.
Así como los puntos de la recta (números reales) se suman
entre sí, también vamos a sumar entre sí los puntos del plano.
Lo haremos así:
(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v).
111
Por ejemplo, (1, 0) + (0, 1) = (1, 1)(1, 1) + (2, 1) = (3, 2)(2, 2) + (1,−1) = (3, 1)(1, 1) + (−1,−1) = (0, 0)(2,−1) + (0, 0) = (2,−1)(1, 2) + (3, 1) = (4, 3).
Esta manera de sumar puntos del plano a veces se interpreta
como “sumar fuerzas”, como muestra la figura vii..
−1 1 2 3 4 5
1
2
3
0
A
B
A + B
Figura vii.
Además, a los puntos del plano los multiplicaremos, no por
otros puntos del plano, sino por números. Lo haremos así:
a(x, y) = (ax, ay).
Por ejemplo,
2(4, 2) = (8, 4)
1
2
(4, 2) = (2, 1)−1(4, 2) = (−4,−2)
0(4, 2) = (0, 0)√
2(1,√2) = (√2, 2),
112
que se puede interpretar geométricamente como alejar del cero,
acercar al cero, como en la figura vii..
−4 −2 2 4 6 8
−2
2
4
0
−1A
0A
1
2
A
A
2A
Figura vii.
Es fácil, en el plano, medir la distancia de un punto (x, y) al
origen (0, 0). Basta usar el teorema de Pitágoras (figura vii.):
la distancia de (x, y) al origen es√x2 + y2.
x
y
A = (x , y)
Figura vii.
113
Rectas en el plano
Nos interesarán algunos subconjuntos del plano. Debemos en-
contrarmaneras de describir cada subconjunto que nos interese.
Por ejemplo, si nos interesa describir la circunferencia de centro
cero y radio uno, ésta se halla formada por todos los puntos cu-
ya distancia al origen es exactamente uno, es decir, los puntos(x, y) que verifican√x2 + y2 = 1, o lo que es lo mismo, los pun-
tos (x, y) tales que
x2 + y2 = 1.
Por comodidad a veces uno dice “la circunferencia x2 + y2 = 1”,
entendiendo que se trata del conjunto de puntos (x, y) cuyas
coordenadas verifican la ecuación x2 + y2 = 1; es decir, dado
un punto (a, b) del plano, si a2 + b2 = 1 entonces es un pun-
to de nuestro conjunto, y si a2 + b2 /= 1, no lo es. De la misma
manera, nos referiremos a “la recta x + 2y = 0”, entendiendo
que nos referimos al conjunto de puntos (x, y) que verifican esa
igualdad.
Por ejemplo, el (3,−1) no está en ese conjunto, puesto que
3 + 2 ⋅ (−1) /= 0, pero los puntos (−2, 1), (0, 0), (4,−2) . . . sí es-
tán en la recta (figura vii.).
−2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
0
(−2, 1)
(0, 0)
(4,−2)
(3,−1)
Figura vii.
114
Esta manera de expresar un subconjunto del plano median-
te una ecuación en que se cumplen sólo los puntos del conjunto
se llama forma implícita de describir el conjunto. Utilizaremos
dos maneras de describir las rectas que nos interesen. Una es la
forma implícita, y la otra es la forma paramétrica. En la forma
paramétrica se expresan los puntos del subconjunto como de-
pendientes de un número que—al moverse— va “dibujando” el
conjunto. Así, por ejemplo, la recta anterior se puede describir
como {a(−2, 1) : a ∈ R},
es decir, todos los múltiplos del punto (−2, 1). Al mover el “pa-
rámetro” a, se va pasando por todos los puntos de la recta. Usa-
remos la notación [(−2, 1)] para indicar el conjunto formado
por todos los múltiplos del punto (−2, 1).
Ni la forma implícita ni la paramétrica son únicas, en el si-
guiente sentido: en el ejemplo anterior en lugar de x + 2y = 0
podríamos haber escrito “la recta 2x+4y = 0” (o cualquier múl-
tiplo de esta ecuación), dado que los valores de x y y que verifi-
can una ecuación o sus múltiplos son los mismos. De la misma
manera, como los puntos que son múltiplos del (−2, 1) son los
mismos que los múltiplos del punto (8,−4), podríamos haber
puesto “la recta [(8,−4)]” —o cualquier múltiplo del (−2, 1)—,
que es la misma de la que venimos hablando.
Todas las rectas que pasan por el cero pueden escribirse
como
ax + by = 0 (forma implícita)
y [(u, v)] (forma paramétrica).
Luego veremos cómo describir rectas que no pasan por el cero.
Pero antes conviene entender el papel que cumplen a, b y (u, v)
en estas representaciones.
Comencemos por la forma paramétrica [(u, v)], que es más
fácil. [(u, v)] es el conjunto de todos los múltiplos del punto
115
(u, v). Así, el punto (u, v) es el que da la dirección a la recta.[(u, v)] es la recta que pasa por el punto (u, v) y por el (0, 0).
Veamos la forma implícita. ¿De qué manera el par (a, b) da
la dirección de la recta ax + by = 0? Si mirás con detenimiento
algunos ejemplos (figura vii.), te convencerás de que la recta
ax + by = 0 es perpendicular al segmento que une el origen
con el punto (a, b). Así, en realidad la ecuación ax + by = 0
significa ‘la recta que pasa por el (0, 0) y que es perpendicular
al segmento que une el origen con (a, b)’.
−2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
0
(1, 2)
(3, 1)
3x + y = 0
x + 2y = 0
Figura vii.
Veamos cuándo una recta no pasa por el cero. Las rectas
x + 2y = −1, x + 2y = 1, x + 2y = 2, . . . son todas paralelas. De
hecho, las rectas ax + by = c, y ax + by = d no pueden tocarse
si c /= d: si se tocaran, y un punto —digamos (u, v)— estuviera
en ambas, tendríamos
au + bv = c
au + bv = d,
lo que implica que c = d. Así como (a, b) da la dirección de
la recta ax + by = c, el número c determina de cuál de todas
116
las rectas con esa dirección se trata. Por ejemplo, si buscamos la
recta paralela a x + 2y = 0, pero que pase por el punto (−4, 1),
¿cómo la encontramos? Poniendo x + 2y = c nos aseguramos
que será paralela. . . Ahora habrá que fijar el valor de c para que
pase por el punto (−4, 1). Pero esto es fácil, ya que si (−4, 1)
ha de pertenecer a la recta, deberá ocurrir que la ecuación se
verifique al poner x = −4 y y = 1:−4 + 2 ⋅ 1 = c.
O sea que debe ser c = −2. La recta paralela a x + 2y = 0 que
pasa por el punto (−4, 1) es x + 2y = −2. Observemos en la
figura vii. las rectas x + 2y = c para distintos valores de c:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
−2
1
2
0
c = −2c = −1
c = 0c = 1
c = 2 c = 3
Figura vii.
Con c = 0, pasa por el origen. Esta recta, x+2y = 0, divide el
plano en dos semiplanos. Valores positivos de c nos dan rectas
que están en el semiplano que contiene al punto que determi-
na la dirección: el (1, 2). Y al aumentar el valor de c, se alejan
del cero. Valores negativos de c dan rectas contenidas en el otro
semiplano.
Si queremos la forma paramétrica de una recta que tiene di-
rección dada por (2, 3) pero que pasa por el punto (2,−1), ¿có-
mo hacemos? La que pasa por el cero y tiene esa dirección es
117
[(2, 3)]. Si queremos que pase por el (2,−1) simplemente su-
mamos (2,−1): [(2, 3)] + (2,−1).
Esto significa: el conjunto de puntos de la forma a(2, 3)+(2,−1),
o sea los puntos (2a + 2, 3a − 1)
donde el parámetro a recorre todos los valores posibles. Note-
mos que para a = 0 estamos exactamente en el punto (2,−1).
Resumiendo, toda recta del plano se puede escribir en forma
implícita
ax + by = c
o en forma paramétrica [P] +Q.
En la forma implícita, (a, b) da la dirección (por perpendicula-
ridad), y c determina por dónde pasa. En la forma paramétrica
P da la dirección, y la recta pasa por Q.
Puntos alineados y segmentos
Ya sabemos que si nos dan dos puntos distintos A y B del plano,
habrá una recta que pase por ambos. Tratemos de encontrar la
recta que pasa por estos dos puntos. Pensémoslo con la forma
paramétrica. Sabemos que toda recta se puede escribir
[P] +Q.
Debemos encontrar P y Q tales que A y B pertenezcan a la recta.
Ya que queremos que la recta pase por A, pongamos Q = A.
Queremos también que B sea un punto de la recta, o sea
B ∈ [P] + A.
118
Para esto, tendrá que existir un número t de manera que B =
tP + A, o lo que es lo mismo, tP = B − A. Esto nos dice que
el punto B − A es un múltiplo de P, que da la dirección de la
recta. Por lo tantoB − A también tiene la dirección de la recta.
Podemos tomar entonces directamente la recta
[B − A] + A,
que es la recta formada por todos los puntos de la forma t(B −
A) + A. Esta recta efectivamente cumple con lo que queríamos:
notemos que para t = 0 tenemos el punto A, mientras que para
t = 1 tenemos el punto B.
Si, por ejemplo, queremos la recta que pase por los puntos(1, 1) y (3, 2), podemos tomar: [(3, 2) − (1, 1)] + (1, 1), o sea
[(2, 1)] + (1, 1).
Notemos que t(B − A) + A puede escribirse también
(1 − t)A+ tB,
de manera que (1 − t)A + tB, moviendo t, describe todos los
puntos de la recta que pasa por A y B. Si nos restringimos a que
t tome valores entre 0 y 1, obtenemos el segmento que une A
con B. Si tomamos t = 1
2
, obtenemos A+B
2
, el punto medio entre
A y B (figura vii.).
t = 1
B
t = 0
A
t = 1
2
(1 − t)A + tB
Figura vii.
119
Sistemas de ecuaciones lineales
Pensemos el mismo problema de la sección anterior, pero esta
vez usando la forma implícita de la recta. Queremos hallar la
ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, 2) y (1, 1). Para
ciertos valores de a, b y c la recta será
ax + by = c.
Queremos hallar a, b y c; eso es lo que no conocemos. Nuestras
“incógnitas”, para decirlo en latín. . . Para hallar a, b y c introduz-
camos lo que sí conocemos:
el punto (3, 2) pertenece a la recta: 3a + 2b = c,
el punto (1, 1) pertenece a la recta: a + b = c.
Lo que nos ha quedado,
3a + 2b = c
a + b = c,
se llama un sistema de ecuaciones lineales. Vamos a “resolver”
este sistema (es decir, hallar a, b y c de manera que cumplan
ambas ecuaciones a la vez) y luego hablaremos más en gene-
ral de ellos. Si restamos la segunda ecuación de la primera, ob-
tenemos
2a + b = 0
b = −2a,
y si reemplazamos este valor en la segunda,
a − 2a = c−a = c.
Así, b = −2a y c = −a, con lo que nuestra recta es
ax − 2ay = −a,
120
para cualquier valor (no nulo) de a. Tomemos por ejemplo a =
1, y la recta es
x − 2y = −1.
Efectivamente, tanto el (3, 2) como el (1, 1) verifican esta ecua-
ción.
Consideremos ahora el siguiente problema: Juan y Martín
son mellizos, siete años menores que Pedro. Además, las edades
de los tres suman ochenta y dos años. ¿Cuántos años tiene cada
uno?
Llamemos x a los años que tiene Juan (yMartín, que tiene la
misma edad) y llamemos y a la cantidad de años de Pedro. Esto
es lo que nos gustaría conocer (las incógnitas). Traduzcamos a
ecuaciones lo que nos dicen sobre x y y : como Juan y Martín
son siete años menores que Pedro,
x = y − 7.
Por otro lado, las edades de los tres suman ochenta y dos:
x + x + y = 82.
Tenemos entonces
2x + y = 82,−x + y = 7.
Miremos cada ecuación por separado. Cada una es la ecuación
de una recta: los valores (x, y) que verifican la primera forman
una recta, y los que verifican la segunda forman una segunda
recta. Lo que nosotros queremos es encontrar (x, y) que veri-
fique ambas ecuaciones al mismo tiempo, es decir, buscamos
un punto que esté en ambas rectas. Es que resolver un siste-
ma de ecuaciones como éste es encontrar la intersección entre
dos rectas.
Antes de resolver este sistema, pensemos un poco con qué
nos podremos encontrar: ¿cómo es la intersección entre dos
rectas?
121
• Si las rectas tienen distinta dirección, se cortan en un punto.
• Si las rectas tienen la misma dirección: son paralelas y no se
cortan, o bien coinciden (y todos sus puntos están en la inter-
sección).
Así, un sistema de ecuaciones como el de arriba (dos ecua-
ciones con dos incógnitas) tendrá una, ninguna o infinitas solu-
ciones.
Volvamos a nuestro problema. La dirección de la primera
recta es perpendicular a (2, 1), y la de la segunda, perpendicular
a (−1, 1). Como estos dos puntos no sonmúltiplos uno del otro,
las rectas tienen distinta dirección y por lo tanto se cortarán en
un punto. Habrá una única solución.
Para encontrarla, despejemos y de la segunda ecuación: y =
7 + x. Y reemplacemos este valor en la primera:
2x + 7 + x = 82
3x = 75
x = 25,
de donde y = 7 + 25 = 32. La solución es x = 25 y y = 32;
el punto en que se cortan ambas rectas es (25, 32). Pedro tiene
32 años, y los mellizos 25.
Otro ejemplo: Un anticuario compra y vende antigüedades.
Un día vende tres sillas y compra dos lámparas, con lo cual gana
$500. Al día siguiente vende seis sillas, que le pagan entregándole
$1200 y cuatro lámparas. ¿Cuál es el precio de cada silla y cada
lámpara?
Llamemos x al precio de una silla, y y al de una lámpara.
Tenemos entonces, para el primer día (en que entran 3x pesos
por la venta de las sillas y salen 2y pesos por la compra de las
lámparas),
3x − 2y = 500.
Al otro día,
6x = 1200 + 4y.
122
Tenemos finalmente,
3x − 2y = 500,
6x − 4y = 1200.
La dirección de la primera es perpendicular a (3,−2), y la se-
gunda, perpendicular a (6,−4). Como (6,−4) = 2(3,−2), am-
bas rectas tienen la misma dirección. Si dividimos la segunda
ecuación por dos, vemos que nuestro sistema dice
3x − 2y = 500,
3x − 2y = 600.
Son dos rectas paralelas: no hay solución. Podemos pensar que
nuestras ecuaciones dicen cosas contradictorias: si 3x − 2y es
igual a 500, mal puede ser igual a 600. . . (no es que lo que dice
el problema no puede haber ocurrido, sino que no hay un precio
fijo para las sillas y las lámparas).
Notemos que si en el ejemplo dijera . . .Al día siguiente vende
seis sillas, que le pagan entregándole $1000 y cuatro lámparas,
nuestro sistema de ecuaciones sería
3x − 2y = 500
6x − 4y = 1000.
En este caso, ambas ecuaciones dicen lo mismo. Se trata de la
misma recta, y todos sus puntos son solución. Lo que pasa acá
es que simplemente no hay suficiente información para resol-
ver el problema, ya que ambas ecuaciones dan la misma infor-
mación. . .
En general, dado un sistema de ecuaciones lineales
ax + by = p
cx + dy = q,
si las rectas tienen la misma dirección, como la primera es
123
perpendicular al punto (a, b) y la segunda perpendicular a(c, d), debe ser que (a, b) es un múltiplo de (c, d), es decir,(a, b) = r(c, d).
Pero entonces a = rc y b = rd. Luego,
ad − bc = rcd − rdc = 0.
El número ad − bc se llama el determinante del sistema. Lo que
determina el determinante es si las rectas tienen la misma direc-
ción o no. Cuando el determinante es distinto de cero, las rectas
tienen distinta dirección y el sistema tiene una única solución.
(⋆) Convexidad
Entre los conjuntos más importantes y más útiles que hay en
matemática están los conjuntos convexos. Acá va la definición:
un subconjunto A del plano es convexo si, dado cualquier par
de puntos del conjunto A, todo el segmento que los une está
contenido en A. La figura vii. muestra unos ejemplos.
convexo no convexo no convexo
Figura vii.
Nosotros nos restringiremos a convexos acotados y que ten-
gan grosor. . . Por ejemplo, el círculo de centro cero y radio uno:
B = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}
es un convexo.
124
Si A y C son conjuntos convexos, también lo es su intersección
A∩C. Probémoslo: tomemos dos puntos P y Q en A∩C, y con-
sideremos el segmento que los une. Los puntos de ese segmen-
to son (1 − t)P + tQ, donde 0 ≤ t ≤ 1.
Para cada valor de t —o sea para cada punto del segmento—,(1− t)P + tQ pertenece a A, puesto que P y Q están en A y A es
convexo. De la mismamanera, (1− t)P+ tQ pertenece también
a C. Luego, pertenece a A ∩ C; es decir, todo el segmento PQ
está incluido en A∩ C.
Dados dos convexos AyC, nos interesará lo que llamaremos
el conjunto suma de A y C:
A+ C = {P +Q : P ∈ A,Q ∈ C}.
A + C también resulta ser un convexo: tomemos dos puntos
P1 + Q1 y P2 + Q2 en A + C ( o sea, P1,P2 ∈ A y Q1,Q2 ∈ C).
Miremos el segmento que los une. Tomemos 0 ≤ t ≤ 1,
(1 − t)(P1 + Q1) + t(P2 + Q2) = (1 − t)P1 + (1 − t)Q1 + tP2 + tQ2
= [(1 − t)P1 + tP2] + [(1 − t)Q1 + tQ2],
pero el primer término pertenece a A, por ser A convexo, y el
segundo a C. Luego, cada punto del segmento es suma de algo
en A más algo en C.
P1 = (a, b) P2
A
Q1 = (c , d) Q2
C
Figura vii.
La suma de rec-
tángulos (con lados
paralelos a los ejes)
es otro rectángulo
(de lados paralelos a
los ejes): considere-mos los rectángulos
de la figura vii..
P1+Q1 está en A+C
y ningún otro punto de A + C tiene primera coordenada me-
nor que P1 + Q1 = (a + c, b + d), pues nada en A tiene primera
125
coordenadamenor que a y nada enC tiene primera coordenada
menor que c. Lo mismo vale para la segunda coordenada b + d.
Así, P1 +Q1 está en el extremo inferior izquierdo de A+C. Con
respecto a P2 + Q2: está en A + C y ningún punto de A + C tie-
ne primera coordenada mayor, ni segunda coordenada menor.
P2 + Q2 es el extremo inferior derecho de A + C. De la misma
manera encontraremos el vértice superior derecho y el superior
izquierdo. A + C resulta ser un rectángulo. Además, si A tiene
base l y altura h, y C tiene base l ′ y altura h′, A+C tendrá base
l + l ′ y altura h + h′.
Figura vii.
Un último comentario con respecto
a sumas de convexos. Tomemos un trián-
gulo y sumémosle B, un círculo de cen-
tro cero y radio uno. Con sumar B a cada
vértice el resultado es el que se muestra
en la figura vii.. En la figura vii. ve-
mos el resultado de sumar B a los puntos
de los lados y del interior del triángulo.
A + =B A + B
Figura vii.
Vemos que A + B es como el conjunto A rodeado de una
franja de “espesor” uno. Esta franja puede considerarse como
tres rectángulos de longitud igual a los lados de A y altura uno,
más (sobre los vértices) tres pedazos que unidos darían el círcu-
lo B. Así, el área de A+ B es (llamando L al perímetro de A)
área(A+ B) = área(A) + L + área(B)
—notemos que la suma de las áreas de los tres rectángulos es
126
1 × (un lado) + 1 × (el segundo lado) + 1 × (el tercer lado)= 1× (la suma de los lados) = 1×L = L—. Lomismo ocurre con
cualquier polígono convexo (figura vii.), e incluso con cual-
quier convexo (figura vii.), sólo que en este caso los pedazos
del círculo B no suman de golpe en cada vértice, sino que van
sumando gradualmente, al recorrer el borde de A. . .
A + =B A + B
Figura vii.
A + =B A + B
Figura vii.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Figura vii.
Quizás sea conveniente ima-
ginarse a A aproximado desde
adentro por un polígono de mu-
chísimos lados (figura vii.). . .
En todo caso, para un convexo
A del plano, de perímetro L, vale
área(A+ B) = área(A) + L + área(B),
resultado que usaremos en el capítulo x.
127
Problemas
1) Da en forma paramétrica e implícita la recta que pasa por
los puntos (2, 3) y (4, 1).
2) ¿Cuál es la intersección de la recta y = ax + b con el eje x?
3) Dada la recta [(2, 1)] + (5, 2),
i) ¿de qué lado está el punto (8, 4)?;
ii) ¿y el (849, 423)?
4) Si A = (4, 2) y B = (8, 8),
i) encontrá el punto medio de AB;
ii) encontrá la mediatriz de AB;
iii) encontrá la recta perpendicular a AB que pasa por(4, 2).
5) Dada la recta que pasa por (4, 2) y (8, 8),
i) encontrá la recta perpendicular por P = (5, 12);
ii) encontrá la recta paralela por P = (5, 12).
6) ¿Cuál es el punto de la recta y = x más cercano al punto(a, b)?
7) Las entradas a un concierto cuestan $120 o $150 (depen-
diendo de la ubicación). Si se vendieron 300 entradas y se
obtuvo un ingreso de $41400, ¿cuántas entradas de cada
valor se han vendido?
8) Juan tiene 12 años menos queMaría. Dentro de 4 años, Ma-
ría tendrá el triple de la edad de Juan. ¿Cuántos años tienen
ahora?
128
9) En un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide el cuá-
druple que el otro. ¿Cuánto miden?
10) Se ponen $60 000 en dos cuentas bancarias. La primera da
un interés anual de 4% y la segunda un 3% anual. Si al fi-
nal del año lo depositado en la primera cuenta ha produci-
do $440 más que lo depositado en la segunda, ¿cuánto se
depositó en cada cuenta?
11) Se mezcla una aleación que contiene 14% de oro con otra
de 24% de oro. La mezcla resultante contiene 18% de oro
y pesa un kilo. ¿Cuánto se incluyó de cada aleación?
12) ¿Cuánto deben valer a y b para que x3 − 2x2 − ax + b sea
divisible por x − 5 y por x + 2?
13) Probá que el cuadrilátero W XY Z es un paralelogramo si
W + Y = X + Z.
14) Probá el teorema de Varignon: dado cualquier cuadrilátero
ABCD, los puntos medios de sus lados forman un paralelo-
gramo.
129
VIII. El círculo
Pi
Vimos en el capítulo iv que uno de los postulados de Euclides
dice que dado un punto (centro) y un segmento (radio), puede
trazarse un círculo con ese centro y ese radio. Estas dos cosas,
centro y radio, son lo único que diferencia a un círculo de otro.
Si a uno no le importa demasiado dónde está ubicado, ni si lo
ve de cerca o desde lejos, es como si hubiera uno solo: el círculo.
Todos tienen la misma forma. Por eso, si uno toma el diámetro
de un círculo, y lo usa como unidad de medida para medir su
contorno, el resultado es siempre el mismo. Ese resultado se lla-
ma π (pi). Es la cantidad de veces que el diámetro cabe en la
circunferencia.
En la Biblia (Reyes I, 7 : 23) se describe así el depósito de
agua del palacio de Salomón: “Hizo elmar demetal fundido que
tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo, y
de cinco codos de altura; un cordón de treinta codos medía su
contorno”.
O sea, π = 30 codos
10 codos
= 3. Incluso para la época en que fue
escrito el libro de los Reyes, una aproximación bastante pobre.
Los babilonios usaban 3.125; los egipcios 3.16; los indios
√
10.
Con algunosmetros de soga y una estaca clavada en la arena, no
es difícil llegar a 3 + 1
8
< π < 3 + 1
7
, que es 3.125 < π < 3.143.
Es fácil calcular el área de un círculo. Tomemos la pizza
que te ibas a comer con tus amigos en el capítulo iii (digamos,
130
Figura viii. Figura viii.
Figura viii.
Figura viii.
mitad de mozarela y mitad de anchoas: figura viii.); cortémos-
la en cuatro porciones y dispongámoslas como en la figuraviii..
Ahora cortemos cada porción por la mitad y reordenemos (figu-
ra viii.); y otra vez (figura viii.). Coincidirás en que el resul-
tado se va pareciendo cada vez más a un rectángulo. La altura
del rectángulo está dada por lo que era el radio de la pizza: llamé-
moslo r. La base está dada por la mitad del contorno de la pizza:
πd
2
(el contorno era π veces el diámetro). Así, el área resulta ser
base por altura:
área = πd
2
r = πd
2
r = πrr = πr2.
A terminarla antes de que se enfríe. . .
131
Arco capaz
Sabés muy bien que si estás parado frente a un arco de fútbol tu
ángulo de disparo aumenta al acercarte y disminuye al alejarte.
Mejor patear desdemás cerca. Si te dejan. También disminuye si
en lugar de estar frente al arco, te ubicás más hacia un costado.
¿Y si te movés más cerca del arco pero al mismo tiempo más
hacia el costado?
Dicho de otra manera: estás en un punto determinado de la
cancha y tu ángulo de disparo es el que es; ¿cómo deberías mo-
verte para conservar exactamente el mismo ángulo de disparo?
La respuesta está en el siguiente teorema.
Dada una cuerda AB de un círculo, el ángulo central AOB
es el doble que el ángulo APB para cualquier punto P sobre la
circunferencia (que esté del mismo lado de la cuerda que el centro
O). (En la figura viii., b = 2a.)
A
B
●P
●O
a
b
Figura viii.
En términos de intentar hacer un gol, si el arco (el de fútbol,
visto desde arriba) está representado por el segmento AB, tu án-
gulo de disparo será exactamente el mismo (el ángulo a) desde
cualquier punto de la circunferencia.
132
A
B
●P
●O
a
b
x
y
Figura viii.
Para probar que b = 2a,
tracemos el radio OP, y no-
temos que POA y POB son
triángulos isósceles, ya que
en cada caso dos de sus la-
dos son radios del círculo.
Así, los ángulos en la ba-
se de POA son iguales en-
tre sí. Y lo mismo sucede
con los ángulos de la ba-
se de POB. Llamemos x al
ángulo OAP, y y al ángu-
lo OBP. Usaremos también
que los ángulos interiores
de los triángulos suman dos rectos —2R— (figura viii.).
Tenemos
b = BOP − AOP= (2R − 2y) − (2R − 2x)= 2x − 2y= 2(x − y)= 2a.
A
B
●O●P
Para P del otro lado de
AB también vale, pero con
los ángulos medidos como
en la figura viii..
Una consecuencia in-
mediata es la siguiente: To-
do ángulo inscrito en una se-
micircunferencia es recto.
Figura viii.
133
En efecto, salede lo anterior tomando como segmento AB
un diámetro (que pasa por el centro O) como en la figura viii..
●A ●B
●P
O
Figura viii.
Como el ángulo central AOB es igual a dos rectos, APB es
un recto.
El teorema de las cuerdas
Acá va un resultado sobre círculos —se suele llamar el teorema
de las cuerdas—que es a la vez simple y asombroso: tirá dos rec-
tas sobre un plano. Ahora tirá sobre la intersección de las rectas,
un círculo, del tamaño que quieras, que caiga donde caiga. La
situación es más o menos como en la figura viii..
cb
d
a
Figura viii.
134
c
b d
a
D
C
B
A
P
Figura viii.
Entonces ac = bd. No
es difícil ver por qué: nom-
bremos los puntos y án-
gulos (figura viii.). Ve-
remos que los triángulos
APB y DPC son semejan-
tes. Notemos que los ángu-
los APB y DPC son igua-
les, por ser opuestos por
el vértice. Por otro lado,
BAP y CDP son iguales
por subtender ambos a la
misma cuerda, BC.
Así, los triángulos tienen dos de sus ángulos iguales (y por
lo tanto, tres, ya que suman dos rectos). Los triángulos son se-
mejantes y sus lados correspondientes resultan proporcionales:
AP
PB
= DP
PC
,
es decir, a
b
= d
c
. Luego ac = bd.
El teorema de Pitágoras puede verse como una consecuen-
cia inmediata del teorema de las cuerdas: dado un triángulo
a
b
c
Figura viii.
rectángulo, extendamos sus
catetos y tracemos un círculo
de radio igual a la hipotenusa
(figura viii.).
Ahora, aplicando el teore-
ma de las cuerdas,
(c + a)(c − a) = b2
c2 − a2 = b2
c2 = a2 + b2,
y listo.
135
Otra aplicación del teorema de las cuerdas es a las cuadra-
turas: ya hemos mencionado que la “cuadratura del círculo” no
es posible con regla y compás. Cuando se habla de cuadraturas
se trata de lo siguiente: se tiene alguna figura, y lo que se quiere
Q O S B
b
a
b
Figura viii.
es construir —con regla y
compás— un cuadrado que
tenga la misma superficie
que la figura dada. El teo-
rema que acabamos de pro-
bar nos permitirá obtener la
cuadratura de cualquier rec-
tángulo.
Cuadratura de un rectán-
gulo: digamos que tenemos
un rectángulo de base a y al-
tura b (figura viii.).
Extendamos la base QS y marquemos (con el compás) un
segmento que mide b a continuación de la base, con lo cual ob-
tenemos el punto B. Extendamos también el lado vertical que
pasa por S. Hallemos el punto medio de QB, y llamémoslo O.
Con ese centro, tracemos un círculo de radio OB. Nos queda la
figura viii..
Q O S B
P
b
a
b
c
Figura viii.
136
Por el teorema, ab = c2, de manera que el cuadrado cons-
truido sobre el segmento SP tiene igual área que el rectángulo.
Cuadratura de un triángulo: dado el triángulo ABC, es fácil
(con perpendiculares a la base) construir un rectángulo cuya
área es el doble que la del triángulo (figura viii.).
●
A
●
B
●C
Figura viii.
●
●
● ●
●●
●P
a
b
a
Figura viii.
Como sabemos hacer la cua-
dratura de este rectángulo, aho-
ra la pregunta es si podemos
—dado un cuadrado— cons-
truir otro cuadrado cuya área
sea la mitad (y así, igual a la
del triángulo original). Empece-
mos con un cuadrado de base a
(figura viii.).
Tracemos una diagonal y
cortémosla con una circunfe-
rencia de radio a. El punto de
intersección, P, determina un
cuadrado cuyos lados miden b y que tiene un área de la mi-
tad del cuadrado de lados a: es que por el teorema de Pitágoras
a2 = b2 + b2 = 2b2, así que
b2 = a2
2
.
137
Cuadratura de un polígono: tomemos un polígono cualquie-
ra. Lo podemos cortar en triángulos (figura viii.).
●
●
●
●
●
●●
●
Figura viii.
Y sabemos hacer la cuadratu-
ra de cada triángulo. Tendremos
entonces varios cuadrados cu-
yas áreas querremos sumar. Pero
dados dos cuadrados, es fácil
construir otro cuya área sea la
suma de las áreas de los dos pri-
meros. Recordá a Pitágoras (figu-
ra viii.).
a b a
b c
a2 + b2 = c2
Figura viii.
Así, con regla y compás—además demucha paciencia— po-
drás construir un cuadrado con área igual a la de cualquier polí-
gono. Gracias a un teorema sobre círculos.
Cuadriláteros cíclicos y teorema de Ptolomeo
Hemos visto en el capítulo iv que todo triángulo está inscrito
en una circunferencia (que tiene como centro la intersección de
las mediatrices de sus lados). No todo cuadrilátero está inscri-
to en una circunferencia. Cuando lo está, se dice que el cuadri-
látero es cíclico. En la figura viii., APBP′ es un cuadrilátero
cíclico.
138
Como P y P′ están uno a cada lado del segmento AB, en-
tonces a + a′ = 2R (dos rectos). Esto es porque b + b′ suman la
vuelta entera: 4R, de manera que a + a′ = b
2
+ b′
2
= b+b′
2
= 2R.
P
P ′ a′
B
b b′
a
A
Figura viii.
En todo cuadrilátero cíclico
los ángulos opuestos del cua-
drilátero suman dos rectos. Y
vale también al revés: si los án-
gulos opuestos suman dos rec-
tos, el cuadrilátero es cíclico.
Ptolomeo vivió en Alejan-
dría en el siglo ii. Alejandría
fue durante siglos el lugar de la
ciencia y la cultura del mundo
antiguo; allí se encontraban el
Museo (una especie de univer-
sidad o academia) y la famosa
Biblioteca de Alejandría, la mayor del mundo. Ptolomeo fue
matemático, astrónomo y geógrafo. Su obra más importante, el
Almagesto, es un tratado de astronomía que influenció nuestra
visión del cosmos durante siglos.
Teorema de Ptolomeo: En todo cuadrilátero cíclico ABCD (fi-
gura viii.),
AB ⋅ CD + BC ⋅ AD = AC ⋅ BD.
A
B
C
D
Figura viii.
139
Hagamos la demostración: elegimos K sobre BD demanera
que el ángulo DAK sea igual al ángulo CAB = u. Además, por
arco capaz resulta que son iguales los ángulos ACB y ADB = v
(figura viii.).
A
B
C
D
K
u
t u
v
w
w v
Figura viii.
Luego los triángulos ADK y ACB son semejantes, de mane-
ra que
AD
DK
= AC
CB
. (VIII.1)
Por otro lado, el ángulo KAB es igual a DAC = t + u; y por
subtender al mismo segmento, son iguales ACD y ABD = w.
Luego son semejantes los triángulos ABK y ACD, de modo que
AB
BK
= AC
CD
. (VIII.2)
De (VIII.1): AD ⋅ BC = AC ⋅ DK.
De (VIII.2): AB ⋅ CD = AC ⋅ BK. Sumando,
AD ⋅ BC + AB ⋅ CD = AC ⋅ (DK + BK) = AC ⋅ BD.
140
b
a
c
Figura viii.
Todo rectángulo es un cuadrilá-
tero cíclico. Tomemos uno de base
a y altura b (figura viii.).
¿Qué dice el teorema de Pto-
lomeo para rectángulos? Dice que
aa + bb = cc
a2 + b2 = c2.
¡Pero esto es el teorema de Pitá-
goras! Sí. Es que el teorema de Pi-
tágoras es un caso particular del teo-
rema de Ptolomeo. Ahora ya tenemos tres demostraciones del
teorema de Pitágoras. . .
(⋆) Línea de Simson
Y para terminar, veamos un par de consecuencias más del teo-
rema de Ptolomeo.
Dado un círculo, una cuerda AB y un punto P sobre la circun-
ferencia, el ángulo APB es igual al ángulo que forma el segmento
AB con la tangente en B (figura viii.).
A
B
P
Figura viii.
141
a
b
A
B
C
P
c
d
Figura viii.
Veamos por qué. Consi-
deremos el diámetro BC (fi-
gura viii.).
Entonces, si c = ABC y
d = BCA,
b = R + c
R = c + d
a + d = 2R;
luego,
a = 2R − d= R + (c + d) − d= R + c = b.
La línea de Simson: Dado un triángulo ABC, para cualquier
punto P sobre su circuncírculo, se tiene que los puntos más cerca-
nos a P sobre cada lado del triángulo (o sus extensiones) están
alineados (figura viii.).
A B
C P
A′
B ′
C ′
Figura viii.
Para ver esto, probaremos que
PA′B′ + PA′C′ = 2R. En la figura
viii. hay varios cuadriláteros cí-
clicos:
1) ABPC es cíclico.
2) C′BPA′ es cíclico: PB es un
diámetro del círculo; los ángu-
los PA′B y PC′B son rectos.
3) CA′PB′ es cíclico: los ángulos
en A′ y B′ son rectos, por lo
que suman 2R.
Por 1), PBC′ + PCA = PBA+ PCA = 2R.
Por 2), PBC′ + PA′C′ = 2R. De allí sale que PCA = PA′C′.
142
Por 3), PA′B′ = PCB′, pues ambos subtienden el segmento
PB′. Pero PCB′ = 2R − PCA. Luego, PA′B′ = 2R − PCA = 2R −
PA′C′, de donde
PA′B′ + PA′C′ = 2R.
La recta sobre la que están A′, B′ y C′ se llama la línea de Simson.
Problemas
Los que están marcados con ☆ son para resolver con regla y
compás.
1) Se ciñe una soga alrededor de todo el ecuador terrestre
(40 075km), bien apretadacontra el suelo. Si agregamos tres
metros a la soga, y la mantenemos a una altura fija a lo largo
de todo su recorrido, ¿podrías pasar por debajo de la soga?
2) ☆ Dada una circunferencia, encontrá su centro.
3)
i) Escribí el área de un círculo en términos de su diámetro.
ii) Probá que en un triángulo rectángulo el área del semi-
círculo construido sobre (es decir, ‘que tiene por diáme-
tro a’) la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de
los semicírculos construidos sobre los catetos.
iii) Probá el teorema de las lúnulas de Hipócrates: El área
del triángulo rectángulo T es igual a la suma de las áreas
de las lúnulas L y M (figura viii.).
L
T
M
Figura viii.
143
Figura viii.
iv) Se inscribe un cuadrado en un círculo, y sobre cada la-
do, un semicírculo (figura viii.). Deducí, como lo hi-
zo Leonardo daVinci (ymuchos otros antes que él), que
el área del cuadrado es el de las cuatro lúnulas.
4) Mostrá que, cualquiera sea el punto P, α + β = γ (figura
viii.).
β
α
γ
O
P
Figura viii.
5) ☆Dada una circunferencia y un punto P exterior a ella, cons-
truí una tangente a la circunferencia que pase por P.
144
6) Haciendo como en el teorema de las cuerdas, probá el teore-
ma de las secantes (figura viii.):
BP ⋅ PC = AP ⋅ PD.
D
A
B C P
Figura viii.
7) Del ejercicio anterior, deduce el teorema de la secante y la
tangente (figura viii.):
(TP)2 = AP ⋅ PD.
D
A
T
P
Figura viii.
145
IX. Los triángulos
Las funciones circulares
O sea, senos y cosenos. También llamadas funciones trigonomé-
tricas por su íntima relación con los triángulos. Surgieronprime-
ro en el estudio del círculo, y además aparecen en aplicaciones
concretas cada vez que algo se comporta de manera periódica o
cíclica.
a
Figura ix.
Hiparco de Nicea vivió en el
siglo ii a.C., y fue quizás el prime-
ro en estudiar de qué manera va-
riaba la “cuerda” (línea punteada
roja en la figura ix.) subtendida
por un ángulo a al aumentar o dis-
minuir a.
Más tarde Ptolomeo utilizó
una tabla de cuerdas en su tratado
de astronomía, el Almagesto. La
geometría de los griegos pasó a
la India, donde los matemáticos
indios fueron los primeros en
usar senos y cosenos.
Definamos rápidamente qué son, y veamos un par de
propiedades que necesitaremos más adelante. Miremos en el
plano —pensado como puntos con coordenadas cartesianas(x, y)— el círculo con centro en el origen (0, 0) y de radio 1.
146
Para cada ángulo t (medido desde el eje x hacia arriba, como en
la figura ix.) hay un punto Pt sobre la circunferencia. Llamare-
mos cos t (coseno de t) a la primera coordenada del punto Pt , y
sen t (seno de t) a la segunda.
t
Pt = (cos t, sen t)
sen t
cos t
Figura ix.
Varias cosas se aprecian mirando el dibujo: si medimos con−t un ángulo igual, pero desde el eje x hacia abajo, tenemos (re-
cordemos que R es la medida del ángulo recto):
cos(−t) = cos t
sen(−t) = − sen t
sen(2R − t) = sen t
cos(2R − t) = − cos t
sen(t + R) = cos t
cos(t + R) = − sen t
y (por Pitágoras),
cos2 t + sen2 t = 1.
147
A
b
a
c
Figura ix.
A
b
a
c
1
Figura ix.
A veces se definen seno y coseno en términos de catetos e hi-
potenusa de un triángulo rectángulo (figura ix.), de la siguien-
te manera:
senA = a
c
= cateto opuesto
hipotenusa
;
cosA = b
c
= cateto adyacente
hipotenusa
.
Es fácil ver que es lo mismo que definimos antes. Poné un círcu-
lo con centro en el vértice A, y de radio uno (figura ix.) y verás
que, por semejanza de triángulos,
a
c
= senA
1
y
b
c
= cosA
1
.
Si juntamos el teorema sobre arco capaz que vimos en el ca-
pítulo anterior con los senos y cosenos, obtendremos enseguida
un resultado sobre el seno y el coseno del doble de un ángulo:
Seno y coseno del ángulo doble:
cos 2α = 2 cos2 α − 1;
sen 2α = 2 cos α sen α.
Para probar esto, observemos en la figura ix. el dibujo de un
círculo de radio uno.
148
α 2α
α
A
O
Q
P
Figura ix.
Por arco capaz, el ángulo central es 2α, ya que tanto QOP
como QAP subtienden PQ. Utilizando el teorema de Pitágoras
en el triángulo rectángulo grande, vemos que
sen2 2α + (1 + cos 2α)2 = (2 cos α)2,
de donde
sen2 2α + 1 + 2 cos 2α + cos2 2α = 4 cos2 α
2 + 2 cos 2α = 4 cos2 α
1 + cos 2α = 2 cos2 α
cos 2α = 2 cos2 α − 1.
Por otro lado, de sen2 2α+(1+cos 2α)2 = (2 cos α)2 también
podemos despejar
sen2 2α = (2 cos α)2 − (1 + cos 2α)2= (2 cos α)2 − (2 cos2 α)2= 4 [cos2 α − cos4 α]= 4 cos2 α [1 − cos2 α]= 4 cos2 α sen2 α,
y tomando raíz cuadrada,
sen 2α = 2 cos α sen α.
Listo.
149
Acá va otra demostración de esta última igualdad que me
parece bastante bonita. Consideremos un triángulo isósceles cu-
yos ángulos en la base son α. Lo dibujo de pie y acostado (figu-
ra ix.).
a a
α α
2R − 2α
2R − 2α
a
a
α
α
Figura ix.
Calculemos el área: 1
2
base × altura. Mirando el dibujo de la
izquierda, el área es
1
2
2a cos α a sen α = a2 cos α sen α;
mirando el de la derecha,
1
2
aa sen(2R − 2α) = 1
2
a2 sen 2α.
Si igualamos y dividimos por a2,
1
2
sen 2α = cos α sen α
sen 2α = 2 cos α sen α.
Mencionemos ahora que estas fórmulas que acabamos de
demostrar para el seno y el coseno del ángulo doble son casos
particulares de otras fórmulasmás generales para seno y coseno
de una suma de ángulos:
cos(α ± β) = cos α cos β ± sen α sen β
sen(α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β.
150
En el problema 11 verás unamanera simple de demostrar es-
tas fórmulas. Las que hemos visto arriba salen de éstas poniendo
α = β.
Dos teoremas importantes sobre triángulos: el de los cose-
nos y el de los senos. Nombraremos con A,B,C los vértices (y
los ángulos) de un triángulo, y con a, b, c los lados opuestos a
dichos vértices (figura ix.).
Teorema de los cosenos: En cualquier triángulo ABC, se tiene
a2 = b2 + c2 − 2bc cosA
b2 = a2 + c2 − 2ac cosB
c2 = a2 + b2 − 2ab cosC.
Veamos en la figura ix. por qué.
A B
C
c1
c
c2
h a
b
Figura ix.
h = b senA
c1 = b cosA
c2 = c − c1 = c − b cosA,
luego, por Pitágoras,
a2 = h2 + c22 = (b senA)2 + (c − b cosA)2= b2 sen2 A+ c2 − 2bc cosA+ b2 cos2 A= b2(sen2 A+ cos2 A) + c2 − 2bc cosA= b2 + c2 − 2bc cosA.
Y las otras dos igualdades se prueban de la misma manera.
151
Veremos una consecuencia importante del teorema de los
cosenos: la fórmula de Herón. La fórmula de Herón da una ma-
nera de calcular el área de un triángulo a partir de las longitudes
de sus tres lados, sin necesidad de calcular alturas.
Teorema (fórmula de Herón): Si a, b y c son los lados de un
triángulo, su área es
A = √s(s − a)(s − b)(s − c) ,
donde s = a+b+c
2
es el semiperímetro.
Consideremos el triángulo de la figura ix..
A B
C
x
c
h a
b
Figura ix.
Por el teorema de los cosenos, a2 = b2 + c2 − 2bc cosA =
b2 + c2 − 2bc x
b
; luego,
2cx = b2 + c2 − a2.
Usaremos esto en el siguiente cálculo: como el área del triángulo
es A = ch
2
, 4A = 2ch, de donde
16A2 = 4c2h2 = 4c2(b2 − x2) = 4b2c2 − 4c2x2= (2bc + 2cx)(2bc − 2cx)= (2bc + b2 + c2 − a2)(2bc − b2 − c2 + a2)= ((b + c)2 − a2)(a2 − (b − c)2)= (b + c + a)(b + c − a)(a + b − c)(a − b + c).
152
Entonces,
A2 = (a + b + c)
2
(−a + b + c)
2
(a − b + c)
2
(a + b − c)
2= s(s − a)(s − b)(s − c),
de donde
A = √s(s − a)(s − b)(s − c).
En el teorema de los senos usaremos el circuncírculo de un
triángulo (que vimos en el capítulo iv), y llamaremos circunra-
dio al radio de ese círculo.
Teorema de los senos: Dado un triángulo ABC, de circun-
radio r,
a
senA
= b
senB
= c
senC
= 2r.
Veamos: tracemos el circuncírculo del triángulo, y llamemos O
a su centro (figura ix.).
A
B
C
D
O
a
b
c
Figura ix.
Tracemos el diámetro COD por C. DBC es recto por estar
inscrito en una semicircunferencia. Luego,
senD = opuesto
hipotenusa
= BC
CD
= a
2r
.
153
Pero, por subtender el mismo arco, D = A, de manera que
senA = senD = a
2r
,
o sea a
sen A
= 2r. Análogamente, las otras dos (notemos que si D
estuviera del otro lado de BC, tendríamos D = 2 rectos − A, y
de todas maneras vale senA = senD).
Dos corolarios inmediatos del teorema de los senos.
1) Si AB > BC, entonces C > A.
ComoAB
senC
= BC
senA
,
si AB > BC necesariamente senC > senA. Ahora bien, si vale
esto y además A ≥ C (C es menor que un recto, pues no pue-
den ser ambos mayores a un recto), entonces A > 2 rectos − C:
absurdo. Entonces C > A.
2) El área de un triángulo es abc
4r
(figura ix.).
A B
C
c
h ab
Figura ix.
2r = a
senA= ab
h= abc
hc= abc
2área
.
Luego, área = abc
4r
.
154
(⋆) Alturas, bisectrices y medianas
Ya hemos visto (capítulo iv) que las mediatrices de los lados de
un triángulo se cortan en un punto (el circuncentro), que es el
centro del círculo que circunscribe al triángulo. Veremos ahora
un poco sobre diversos tipos de cevianas: alturas, bisectrices y
medianas.
Giovanni Ceva fue un matemático italiano del siglo xvii,
que hizo aportes a la geometría, la economía y la hidráulica. Las
cevianas son segmentos que unen un vértice de un triángulo
con el lado opuesto, o con la prolongación de ese lado. Lo que
probó Ceva es que tres cevianas se cortan en un mismo punto
si el producto de las razones en que cortan a los lados opuestos
da 1. Dice Giovanni:
Teorema de Ceva: Dado un triángulo ABC y cevianas AX,
BY y CZ, éstas concurren en un punto si y sólo si
AZ
ZB
BX
XC
CY
YA
= 1.
Veamos primero que si concurren en un punto, esta cuenta
efectivamente da 1 (figura ix.). Llamaremos P al punto don-
de se cortan. Como las áreas de triángulos de igual altura son
proporcionales a sus bases,
AZ
ZB
= área de ACZ
área de BCZ
= área de APZ
área de BPZ
.
A
Z
B
Y X
C
P
Figura ix.
155
Teniendo en cuenta el problema 2 del capítulo iii,
AZ
ZB
= área de ACZ − área de APZ
área de BCZ − área de BPZ = área de APCárea de BPC .
Tenemos entonces
AZ
ZB
= área de APC
área de BPC
.
Y análogamente se prueba que
BX
XC
= área de BPA
área de CPA
,
CY
YA
= área de CPB
área de APB
.
Multiplicando, tenemos
AZ
ZB
BX
XC
CY
YA
= área de APC
área de BPC
área de BPA
área de CPA
área de CPB
área de APB
= 1,
ya que todas las áreas se simplifican. Listo.
Ahora, veamos al revés: supongamos que tenemos tres ce-
vianas AX, BY y CZ, y que el producto del enunciado da 1. Lla-
memos P al punto de intersección de AX con BY . Y llamemos
Z′ al punto sobre el lado AB tal que CZ′ pasa por P. Entonces
AZ′
Z′B
BX
XC
CY
YA
= 1 = AZ
ZB
BX
XC
CY
YA
,
la primera igualdad por lo que acabamos de probar, ya que con
Z′ las cevianas son concurrentes; y la segunda, por hipótesis.
Simplificando,
AZ′
Z′B
= AZ
ZB
.
Pero entonces Z′ = Z.
156
Veamos ahora tres corolarios que nos dicen qué ocurre con
medianas, bisectrices y alturas.
Medianas son los segmentos que unen cada vértice con el
punto medio del lado opuesto. En este caso,
AZ
ZB
BX
XC
CY
YA
= 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1.
A
Z
B
G
Y X
C
Figura ix.
De manera que las media-
nas concurren en un pun-
to G. Ese punto se llama el
baricentro o centro de gra-
vedad del triángulo (figu-
ra ix.).
Bisectrices son las ce-
vianas que dividen cada
ángulo interno del trián-
gulo en dos partes iguales.
Notemos que al bisecar un ángulo (figura ix.), los triángulos
sombreados son semejantes. Luego,
u sen α
U
= v sen α
V
,
de manera que
u
v
= U sen α
V sen α
= U
V
.
α
α
v
v senα
u
V
U u senα
Figura ix.
157
A B
C
I X
Z
Y a
b
c
Figura ix.
Aplicando esto al triángulo de la figura ix.,
AZ
ZB
BX
XC
CY
YA
= b
a
c
b
a
c
= 1.
Demanera que las bisectrices concurren enunpunto, I. Ese pun-
to se llama el incentro del triángulo, que es el centro del círculo
inscrito en el triángulo.
Alturas son las cevianas que vande cada vértice al lado opues-
to (o a su prolongación) ortogonalmente. Para las alturas tene-
mos (figura ix.):
AZ
ZB
BX
XC
CY
YA
= b cosA
a cosB
c cosB
b cosC
a cosC
c cosA
= 1.
A B
C
H
X
Z
Y
b
c
a
Figura ix.
158
Demanera que las alturas concurren en un punto, H. Ese punto
se llama el ortocentro del triángulo.
Problemas
Los que están marcados con ☆ son para resolver con regla y
compás. En algunos problemas medimos ángulos con grados
sexagesimales, es decir, de manera que un ángulo recto mide
R = 90°.
1) Un péndulo: una soga está atada al techo, y en su otro ex-
tremo tiene una bola de metal que va y viene del punto A al
punto B, cubriendo al hacerlo un ángulo de 60°. Si la soga
mide 2 metros, ¿cuál es la distancia entre A y B?
2) Mirando de lejos un edificio, mido su ángulo de elevación:
30°. Camino 100m hacia el edificio y vuelvo a medir el án-
gulo: 45°. ¿Cuál es la altura del edificio?
3) Estoy a 140m de la orilla de un río. En la otra orilla del río
hay un edificio cuya elevación mido: 15°. Camino hasta la
orilla del río y vuelvo a medir la elevación: 20°. ¿Cuál es el
ancho del río?
4) ☆ Construí el arco capaz
i) de 30° sobre un segmento AB.
ii) de 57° sobre un segmento AB (podés usar un transpor-
tador).
5) Calculá el área de un triángulo cuyos lados miden 7, 6 y 9.
6) Un triángulo tiene lados que miden a−1, a y a+1. Su área
es 2
√
3. ¿Cuánto miden sus lados?
159
7) Apartir de cualquier triángulo ABC, se construyen tres cua-
drados sobre sus lados (figura ix.). Probá que los cuatro
triángulos sombreados tienen la misma área.
A
C
B
Figura ix.
8) En el capítulo iv mencionamos que si los triángulos ABC
y ADE son semejantes (figura ix.), las longitudes de los
lados correspondientes son proporcionales:
BC
AB
= DE
AD
.
Probá esto utilizando el teorema de los senos.
A B D
E
C
Figura ix.
9) Probá, usando semejanza de triángulos, que el incentro
de un triángulo dista lo mismo de cada uno de sus lados
(de manera que efectivamente es el centro del círculo ins-
crito).
160
10) Probá que si s es el semiperímetro de un triángulo, y r es el
radio del círculo inscrito en él (el inradio), entonces el área
del triángulo es sr.
11) Probá que sen(x+ y) = sen x cos y+cos x sen y. Una ayuda:
considera ángulos x y y menores que un ángulo recto R, y
aplica el teorema de los senos en el triángulo de altura 1 que
aparece en la figura ix..
R − x R − y
x y
a b
c
d
1
Figura ix.
Con un poco más de trabajo sale también la fórmula para
cos(x + y) aplicando el teorema de los cosenos al mismo
triángulo.
12) Un paralelogramo tiene vértices en
(0, 0), (a1, a2), (b1, b2) y (a1 + b1, a2 + b2).
Probá que su área es a1b2 − a2b1.
161
X. Sucesiones y diferencias
La sección dorada
Todo puede hacerse bien o no tanto. Hasta una hoja de papel
puede estar bien o mal diseñada.
Algo que suele hacerse con una hoja de papel es cortarla
o doblarla por la mitad. Digamos que queremos que el aspec-
to —las proporciones— de la hoja no cambie al cortarla en dos.
¿Cómo debe ser la hoja? Para que la hoja cortada por la mitad
tenga las proporciones de la original, debe ser
largo
ancho
= ancho
1
2
largo
,
(largo)2 = 2 (ancho)2,
largo = √2 ⋅ ancho.
Si ahora volvemos a doblar o cortar a la hoja por la mitad repe-
tidas veces, todas conservarán la forma de la original.
Otra cosa que importa sobre el papel es el gramaje: el peso
de un metro cuadrado de ese papel. Si conocemos el grama-
je, sabremos cuánto pesa una hoja de un metro cuadrado, y
cuánto al cortarla sucesivamente en mitades: 1
2
m2, 1
4
m2, 1
8
m2,
1
16
m2. . .
Llamemos a una hoja con las proporciones que acabamos
de calcular, y de un metro cuadrado de superficie, una hoja
“tamaño A0”. Cortémosla por la mitad y llamemos a este nuevo
162
tamaño (que pesa lamitad pero tiene igual forma), A1. Otra vez:
A2. Sigamos: A3, A4. . . Pero la hoja de tamaño A4 es la que po-
dés comprar en cualquier papelería o librería, con ese nombre.1
Una hoja de papel bien diseñada.
Así como se puede diseñar bien una hoja de papel, cual-
quier emprendimiento saldrá mejor si uno se detiene a pensar
cómo ha de organizarse la labor, y comienza el trabajo dentro
de un marco de ideas y herramientas que faciliten un buen re-
sultado.
El arquitecto francés Le Corbusier, por ejemplo, propuso
que en el diseño de cualquier construcción se utilizara un sis-
tema de magnitudes que evitaran la diversidad excesiva de pro-
porciones.Para lograrlo, propuso limitarse a usar magnitudes
m0,m1,m2,m3, . . .
de manera que
m2 = m0 +m1
m3 = m1 +m2
m4 = m2 +m3 . . .
Para esto, tiene importancia fundamental el siguiente problema
(que ya habían planteado los griegos): cómo partir un segmento
en dos de manera que el segmento entero sea a la porción mayor
como la porción mayor a la menor. En el dibujo,
1 φ
hallar φ de manera que
1 + φ
φ
= φ
1
.
O sea, 1 + φ = φ2. Si encontramos φ, entonces para cualquier
1En algunos países de América se utiliza aún el llamado “tamaño carta”, de aproxi-
madamente 216 × 279mm.
163
número d, la sucesión d, dφ, dφ2, dφ3, dφ4, dφ5, . . . tendrá la
propiedad buscada por Le Corbusier:
dφ2 = d(1 + φ) = d + dφ
dφ3 = dφφ2 = dφ(1 + φ) = dφ + dφ2
dφ4 = dφ2φ2 = dφ2(1 + φ) = dφ2 + dφ3 . . . y así sigue.
Le Corbusier propone dos de tales series:
la serie “roja”: d, dφ, dφ2, . . .
la serie “azul”: 2d, 2dφ, 2dφ2, . . .
en donde toma d = 1.83m, la altura de un hombre.
¿Qué valor tiene φ? Para que valga 1 + φ = φ2, el número φ
debe ser raíz de la ecuación cuadrática
φ2 − φ − 1 = 0,
de manera que
φ = 1 +√1 + 4
2
= 1 +√5
2
= 1.618 . . .
Este número se llama el número de oro. Tiene muchas propieda-
des interesantes. Quizás te sorprenda que 1.618 . . . ⋅ 0.618 . . . =
φ(φ−1) = 1, pero ésta es sólo una consecuencia inmediata de la
ecuación original que hemos resuelto. Más notables son su rela-
ción con el pentagrama y la sucesión de Fibonacci, que veremos
más adelante. Y también sus propiedades estéticas, que artistas
y arquitectos han utilizado a lo largo de la historia.
Un rectángulo cuyas proporciones sean 1 ∶ φ se suele lla-
mar rectángulo áureo. Parece ser (se ha comprobado experi-
mentalmente) que, de todos los rectángulos, el rectángulo de
proporciones áureas es el más agradable a los seres humanos.
Muchísimos artistas y arquitectos —consciente o inconsciente-
mente— han aprovechado este hecho en sus creaciones. Por
nombrar una, el Partenón encaja casi exactamente en un rec-
tángulo áureo.
164
En la figura x. se ve cómo construir un rectángulo áureo
con regla y compás.
1
ϕ
1
2
Figura x.
Comenzando con un cuadrado de lado uno, y usando el teo-
rema de Pitágoras, el lado horizontal resulta medir φ, ya que
1
2
+√12 + (1
2
)2 = 1
2
+√5
4
= 1 +√5
2
= φ.
El pentagrama o estrella de cinco puntas siempre ha tenido
a
d
A
B
CD
Figura x.
mala prensa. Fijate cuánto
aparece en las películas de te-
rror cuando se habla del de-
monio o de magia negra. . .
Sin embargo, tiene muchas
propiedades bellísimas, en
parte gracias a su relación
con el número de oro. Consi-
deremos el dibujo de la figu-
ra x. y digamos que el pentá-
gono tiene lados que miden
a, y diagonales (que forman
el pentagrama) que miden d.
Notemos que ABCD es un
165
aa
d
dd
a
Figura x.
cuadrilátero cíclico, de manera que por el teorema de Ptolomeo,
se tiene
AD BC + AB DC = AC BD.
O sea, da + a2 = d2. Dividiendo esta igualdad por a2, queda
d
a
+ 1 = (d
a
)2.
ϕ2
ϕ3 1
ϕ
Figura x.
Pero entonces d
a
= φ es la re-
lación entre el lado d del pen-
tagrama y el lado a del pentá-
gono. Aparecen en el dibujo
repetidas veces dos triángulos
isósceles (figura x., arriba),
llamados triángulo dorado y
triángulo gnomónico, respec-
tivamente. También aparecen
otros triángulos dorados, pero
de tamañomenor. Si tomamos
como unidad de medida el la-
do del pentágono central, me-
diante semejanza de triángulos se deduce fácilmente que los seg-
mentos marcados en la figura x. miden 1,φ,φ2,φ3.
166
Sucesión de Fibonacci,
dinero y otros intereses
En muchas cuestiones prácticas aparecen sucesiones de núme-
ros determinadas por alguna relación; por ejemplo, entre un nú-
mero de la sucesión y el siguiente. Ya hemos visto en el capítulo
vi que las sumas parciales de la serie geométrica
sn = n∑
k=0
rk
mantienen la relación sn+1 = sn + rn+1. Y en ese capítulo deter-
minamos que el n-ésimo elemento de la sucesión es sn = 1−rn+11−r .
Veremosmás adelante cómo hacer esto paramuchas sucesiones.
Pero empecemos por los ejemplos.
a) Transmisión de información: Se transmite un mensaje forma-
do por ceros y unos. Si transmitir un 1 tarda dos unidades de
tiempo, mientras que transmitir un 0 tarda una unidad de tiem-
po, ¿cuántos mensajes distintos podrán ser transmitidos en n
unidades de tiempo? Llamemos Fk a la cantidad de mensajes
que pueden transmitirse en k unidades de tiempo.
¿Cuántos de los mensajes terminan en 0? Fk−1, dado que en
la última unidad de tiempo se transmitió un 0, y en las primeras
k − 1 se podían transmitir Fk−1 mensajes.
¿Cuántos de los mensajes terminan en 1? Fk−2, dado que en
las últimas dos unidades de tiempo se transmitió un 1, y en las
primeras k − 2 se podían transmitir Fk−2 mensajes.
Como todos los mensajes transmisibles en k unidades de
tiempo terminan en 0 o en 1, la cantidad demensajes posibles es
Fk = Fk−1 + Fk−2.
Fijate que F1 = 1 (en una unidad sólo se puede transmitir “0”)
y F2 = 2 (en dos unidades se puede transmitir “00”, o bien “1”).
Así, la sucesión de las Fk es
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 . . .
167
donde cada número es la suma de los dos anteriores. Se llama su-
cesión de Fibonacci. Leonardo Pisano Bigollo, también llamado
Fibonacci, fue un matemático italiano del siglo xiii. Introdujo
en Europa el sistema de numeración de los árabes, que es el que
usamos actualmente.
A Fibonacci la sucesión no le aparece por el problema de
transmisión de información, sino por un problema, si se quie-
re, más medieval: la reproducción de una población de conejos.
Curiosamente la sucesión de Fibonacci aparece mucho en la na-
turaleza, y puede encontrarse contando espirales en una piña o
en una flor de girasol. También se relaciona con el número de
oro, φ. Es que el cociente entre dos números consecutivos de la
sucesión de Fibonacci se va aproximando cada vez más a φ. En
efecto, supongamos que los cocientes
Fk
Fk−1
se aproximan a un número x. En la relación Fk = Fk−1 + Fk−2
dividamos por Fk−2:
Fk
Fk−2
= Fk−1
Fk−2
+ 1
Fk
Fk−1
Fk−1
Fk−2
= Fk−1
Fk−2
+ 1, que al aumentar k se acerca a
x2 = x + 1.
Pero entonces x = φ, pues esa es justamente la relación que de-
fine al número de oro.
b) Interés compuesto: Un banco da 100 × r% de interés en cada
período de tiempo, al finalizar el cual el interés es agregado al
capital. Si ponemos un capital C0 en el banco, ¿cuánto dinero
habrá tras n períodos?
168
LlamemosCk al capital acumulado tras k períodos. Éste será
lo que se tenía en el período anterior, más el interés que da el
banco sobre el capital anterior:
Ck = Ck−1 + rCk−1 = (1 + r)Ck−1.
c) Amortización: Tengo una deuda que empieza siendo D0 y so-
bre la que tengo que pagar en cada período de tiempo un inte-
rés de 100× r%. Si voy pagando en cuotas iguales de C en cada
período, ¿cuánto adeudo después de n períodos?
Llamemos Dk a mi deuda tras k períodos. Tras k períodos
adeudo lo que debía, más el interés sobre lo que debía, menos la
cuota que pagué, como aquí vemos:
Dk = Dk−1 + rDk−1 − C = (1 + r)Dk−1 − C.
d) Cortando una torta: Cortamos una torta así: cada corte es rec-
to y corta a todos los cortes anteriores, pero no en un punto de
intersección de cortes anteriores. Tras n cortes, ¿cuántas porcio-
nes hay?
Llamemos Pk a la cantidad de porciones tras k cortes. Dibuja
la torta y haz uno, dos, tres, cuatro cortes. . . Verás que el k-ésimo
corte agrega k porciones. Entonces tras k + 1 cortes, habrá las
porciones que había antes (Pk), más los producidos por el k + 1-
ésimo corte. Así:
Pk+1 = Pk + (k + 1).
e) La torre de Hanói: Es un juego en el que hay discos de dis-
tinto tamaño que pueden colocarse en cualquiera de tres posi-
ciones: tres ejes sobre los que los discos —con un agujero en su
centro— pueden deslizarse. La partida comienza con todos los
discos ordenados de mayor a menor (de abajo hacia arriba) en
uno de los ejes. El objetivo es dejarlos de esa misma manera pe-
ro en otro eje, moviéndolos de un eje a otro, disco por disco,
pero sin ubicar en ningún momento un disco sobre otrode me-
nor tamaño (figura x.).
169
Figura x.
La pregunta es, si se juega con n discos, ¿cuál es el menor
número de movimientos necesario para llegar al objetivo?
Llamemos Ak al menor número de movimientos que hacen
falta para mover k discos de un eje a otro. Así, A1 = 1, A2 = 3. . .
Imaginemos el juego en su posición inicial con k + 1 discos.
El de abajo (el mayor) no podrá moverse nunca sobre ningún
otro disco. Sabemos que en Ak movimientos podemos pasar los
k discos superiores a otro eje. En unmovimiento más, pasamos
el disco mayor al eje que queda libre. Y en otros Ak movimien-
tos, podremos pasar los k discos menores sobre el mayor:
Ak+1 = 2Ak + 1.
Cuenta la leyenda que en un templo del Oriente hay un
grupo de monjes dedicados desde tiempo inmemorial a pasar
64 discos de un eje a otro; y que cuando terminen de pasar el
último disco, se acabará el mundo. . . No te preocupes: como ve-
remos, A64 es un número bastante grande.
Ecuaciones en diferencias
En cualquiera de los ejemplos anteriores es fácil, usando las ecua-
ciones planteadas, determinar los primeros números de las su-
cesiones definidas. Pero si te pregunto cuántos movimientos
170
hacen falta para concluir la torre de Hanói con 64 discos, o cuál
es el número F5945 de la serie de Fibonacci, la respuesta será que
debería haber una manera de evitar hacer tanta cuenta. La hay.
De hecho, para ecuaciones del tipo
yk+1 = ayk + bk,
o incluso yk+2 = ayk+1 + byk + c,
puede darse una fórmula general para el n-ésimo término de la
sucesión. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones en diferencias.
La primera es de orden uno (la mayor diferencia entre los sub-
índices se llama el orden) y la segunda es de orden dos. Las hay,
por supuesto, de cualquier orden, pero acá solo veremos éstas.
Notemos que en los ejemplos que hemos mencionado, a) es de
segundo orden, mientras que b), c), d) y e) producen ecuaciones
de primer orden.
Ecuaciones de primer orden
Comenzaremos por resolver la ecuación de primer orden
yk+1 = ayk + bk.
Poniendo sucesivamente k = 0, 1, 2, . . . tenemos
y1 = ay0 + b0
y2 = ay1 + b1 = a(ay0 + b0) + b1 = a2y0 + ab0 + b1
y3 = ay2 + b2 = a(a2y0 + ab0 + b1) + b2 = a3y0 + a2b0 + ab1 + b2
⋮
yn = any0 +
n
∑
j=1
an− jb j−1.
Un par de casos particulares:
i) Cuando bk = 0 para todo k, la ecuación es yk+1 = ayk, y la
solución es
yn = any0.
171
ii) Cuando bk = b para todo k, la ecuación es yk+1 = ayk + b, y
la solución es
yn = any0 + b n∑
j=1
an− j
= any0 + b n−1∑
j=0
a j
= {any0 + b 1−an1−a , si a /= 1
y0 + nb, si a = 1.
En los ejemplos:
b) Ck+1 = (1+ r)Ck. El capital acumulado tras n períodos es
Cn = (1 + r)nC0,
donde C0 es el capital inicial.
c) Dk+1 = (1 + r)Dk − C. La deuda tras n períodos es
Dn = (1 + r)nD0 − C (1 + r)n − 1
r
.
Así, por ejemplo, si se quiere cancelar la deuda inicial D0 en n
pagos, la cuota puede despejarse de 0 = (1 + r)nD0 − C (1+r)n−1r :
C = (1 + r)nD0r(1 + r)n − 1 .
d) Pk+1 = Pk + (k + 1). La cantidad de porciones tras n cor-
tes es
Pn = 1 + n(n + 1)
2
.
e) Ak+1 = 2Ak + 1. El número mínimo de movimientos ne-
cesarios para trasladar n discos es entonces
An = 2n − 1.
Para mover 64 discos hacen falta 264 − 1 movimientos. Si se ha-
cen los movimientos a un ritmo de uno cada segundo, serían
172
necesarios 585 mil millones de años. Es que 264 − 1 es un núme-
ro enorme.
(⋆) Ecuaciones de segundo orden
Para resolver la ecuación de segundo orden, la escribiremos en
la forma
yk+2 + αyk+1 + βyk = b,
y consideraremos su “polinomio característico”: X2+αX + β. Si
las raíces de este polinomio son r1 y r2, pongamos uk = yk+1 −
r2yk. Así pues,
uk+1 − r1uk = (yk+2 − r2yk+1) − r1(yk+1 − r2yk)= yk+2 − (r1 + r2)yk+1 + r1r2yk= yk+2 + αyk+1 + βyk.
Entonces, para hallar yk, bastará resolver primero
uk+1 − r1uk = b (o sea, uk+1 = r1uk + b)
y, una vez hallado uk, resolver
yk+1 − r2yk = uk (o sea, yk+1 = r2yk + uk).
Por tanto, el problema de resolver una ecuación de segun-
do orden se reduce a resolver dos ecuaciones de primer orden.
Haciendo todas las cuentas, que son horribles (las hice), queda:
1) Si r1 /= r2 (y ambas distintas de 1):
yn = (crn1 + drn2) + b(1 − r1)(1 − r2) .
2) Si r1 /= r2 (pero una de ellas —digamos r2— es igual a 1):
yn = (crn1 + d) + b1 − r1 n.
173
3) Si r1 = r2 = r (con r /= 1):
yn = (crn + dnrn) + b(1 − r)2 .
4) Si r1 = r2 = r = 1:
yn = (c + dn) + b
2
n2,
donde las constantes c y d se despejan en términos de los
valores iniciales y0 y y1. Notemos que, en todo caso, las so-
luciones de la ecuación homogénea yk+2 + αyk+1 + βyk = 0
son
crn1 + drn2 , si r1 /= r2
crn + dnrn, si r1 = r2 = r.
Volvamos al ejemplo a) de la sucesión de Fibonacci. Pode-
mos ahora calcular el n-ésimo término de la sucesión de Fibo-
nacci. Teníamos Fk+2 = Fk+1 + Fk, o sea,
Fk+2 − Fk+1 − Fk = 0.
El polinomio característico es
X2 − X − 1 = 0,
cuyas raíces son
φ = 1 +√5
2
y r2 = 1 −√5
2
.
Luego, la solución es
Fn = cφn + drn2 .
Despejemos c y d. Como F1 = 1 y F2 = 2,
cφ + dr2 = 1
cφ2 + dr22 = 2,
174
restando, 1 = c(φ2 − φ) + d(r22 − r2) = c + d. Luego, d = 1 − c.
Así, 1 = cφ + (1 − c)r2, y 1 = c(φ − r2) + r2.
c = 1 − r2
φ − r2 =
2−(1−√5)
2√
5
= φ√
5
,
y
d = 1 − c = √5 − φ√
5
= −r2√
5
.
Finalmente, Fn = φ√5φn + −r2√5 rn2 , o sea que el n-ésimo número de
la serie de Fibonacci es
Fn = 1√
5
(1 +√5
2
)n+1 − 1√
5
(1 −√5
2
)n+1 .
Problemas
1) Se tienen dos rectángulos iguales, colocados como en el di-
bujo, y de manera que la diagonal del primero —exten-
dida— pasa por el vértice del segundo (figura x.). Probá
que son rectángulos áureos.
Figura x.
2) En la figura x. se ha colocado un cuadrado sobre un rec-
tángulo áureo, formando otro rectángulo.
175
Figura x.
i) Probá que este nuevo rectángulo es también áureo.
ii) Probá que las diagonales marcadas son perpendicu-
lares.
3) Dado un rectángulo cualquiera, ¿de qué manera hay que
inscribir en él un triángulo T (como en la figura x.) para
que los tres triángulos restantes tengan igual área?
T
Figura x.
4) Podés poner tu dinero en el Banco A, que te ofrece una tasa
de interés anual de 10% y capitaliza trimestralmente, o en
el Banco B, que paga 8% anual, capitalizadomensualmente.
¿Cuál elegís?
5) Teniendo en cuenta las tasas del ejercicio anterior, ¿cuál es,
en cada caso, el valor presente de un millón de pesos que
recibirás dentro de cuatro años?
176
6) Tenés una deuda de $40 000 que tenés que pagar en cuotas
mensuales a un interés anual de 5%. Si pagás cuotas iguales
cada mes, y querés terminar de pagar en cinco años, ¿cuál
deberá ser la cuota mensual?
7) Estás pagando un préstamo de $10 000 en cuotas de $200
por mes. Si el interés que te cobran es de 20% anual, ¿cuán-
to tardarás en pagar el préstamo?
8) En determinado país la tasa de natalidad es de 15/1000,
mientras que la de mortalidad es de 4/1000. Si el país hoy
tiene diez millones de habitantes, ¿cuántos tendrá dentro
de 15 años?
9) Estás organizando un campeonato de fútbol en el que jue-
gan todos contra todos. Si xn es la cantidad de partidos ne-
cesarios cuando hay n equipos anotados, calculá x15.
10) Para hacerse socio de un club hay que pagar una cuota de in-
greso que es igual a la cantidad de socios que ya hay, más lo
que pagó al asociarse el socio anterior. Si el socio fundador
no pagó nada, ¿cuánto tendrá que pagar el n-ésimo socio?
11) Consideremos la serie de Fibonacci desde F0 = 1, es decir
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .
Probá que∑nk=0 F2k = FnFn+1.
177
XI. Desigualdades
Desigualdad de Cauchy
Además de las ecuaciones, en matemática suelen ser muy im-
portantes las inecuaciones: poder afirmar que una expresión es
menor que otra.
Ya hemos visto en el capítulo ivuna desigualdadmuy simple
pero muy importante: la desigualdad triangular, que dice que
en todo triángulo la longitud de un lado es siempre menor a la
suma de los otros dos.
Haymuchas desigualdades importantes y útiles. Aquí habla-
remos de unas pocas: la desigualdad de Cauchy, la desigualdad
aritmético-geométrica, la desigualdad geométrico-armónica, y
la desigualdad isoperimétrica.Empezaremos por la desigualdad de Cauchy. Pero antes ne-
cesitamos el siguiente resultado.
Si P(x) = ax2 + bx + c tiene discriminante mayor que cero,
P(x) tiene dos raíces, digamos u y v (el concepto de discrimi-
nante se ha tratado en la página 90). Queremos probar que
P (u + v
2
) < 0 cuando a > 0,
y
P (u + v
2
) > 0 cuando a < 0.
178
Veamos; las dos raíces son
u = −b −√b2 − 4ac
2a
,
y v = −b +√b2 − 4ac
2a
.
Sumémoslas: u + v = −2b
2a
= −b
a
, de manera que u+v
2
= −b
2a
. Así que
P (u + v
2
) = a (−b
2a
)2 + b (−b
2a
) + c
= b2
4a
− b2
2a
+ c
= b2 − 2b2 + 4ac
4a= −b2 − 4ac
4a
.
Dado que el discriminante b2 − 4ac es mayor que cero, este re-
sultado es negativo cuando a > 0 y positivo cuando a < 0.
La desigualdad de Cauchy: dados números a1, . . . , an, vale
a1 +⋯+ an
n
≤√a21 +⋯+ a2n
n
,
y vale la igualdad solamente cuando todos los ai son iguales.
Para cualquier valor de x, la suma∑ni=1(x + ai)2 es positiva,
por ser una suma de cuadrados. Tenemos
0 ≤ n∑
i=1
(x + ai)2
= n∑
i=1
(x2 + 2aix + a2i )
= nx2 + (2 n∑
i=1
ai) x + n∑
i=1
a2i = P(x).
179
Este P(x) es siempre mayor o igual a cero. Luego, su discrimi-
nante no puede ser estrictamente positivo. Así, se tiene que el
discriminante (2∑ni=1 ai)2 − 4n∑ni=1 a2i ≤ 0. De allí,
( n∑
i=1
ai)2 ≤ n n∑
i=1
a2i , y dividiendo todo por n
2,
(∑ni=1 ai
n
)2 ≤ ∑ni=1 a2i
n
, y tomando raíz,
a1 +⋯+ an
n
≤√a21 +⋯+ a2n
n
.
Notemos que vale acá la igualdad sólo si vale en las anteriores,
o sea, si el discriminante es cero. En tal caso, hay una raíz u.
0 = P(u) = ∑ni=1(u + ai)2. Para esto, cada término tiene que ser
cero, o sea u = −ai para todos los i; en particular, todos los ai
son iguales.
Medias aritméticas,
geométricas y armónicas
Digamos que a y b son dos números positivos. Normalmente
cuando hablamos de la media (o promedio) entre ellos, nos re-
ferimos a un número que se encuentra entre los dos (en la recta
numérica), justo en la mitad. Este número es
A = a + b
2
,
y se llama también media aritmética de a y b.
Pero hay también otras “medias” que tienen interés; por
ejemplo, la media geométrica de a y b es el número
G = √ab.
Puede pensarse como la solución a este problema: si tengo
un rectángulo de lados que miden a y b, y quiero construir un
180
cuadrado que tenga lamisma superficie, ¿cuánto deberánmedir
sus lados?
Una media importante, y un poco más difícil de explicar, es
la media armónica de a y b, que es
H = 2ab
a + b .
La media armónica surge de un problema de promedios más
“musical”. Cuando un violinista quiere cambiar el tono que ob-
tiene al frotar una cuerda de su violín, tiene dos formas de ha-
cerlo: ajustar la tensión de la cuerda apretando las clavijas, o
acortando la cuerda apretándola contra uno de los puentes de
su instrumento. Es que el tono que emite la cuerda (su frecuen-
cia) es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuer-
da (si querés duplicar la frecuencia, cuadruplica la tensión), y es
inversamente proporcional a la longitud de la cuerda (si querés
duplicar la frecuencia, acorta la cuerda a la mitad). Olvidemos
la tensión y concentrémonos solamente en la longitud de la cuer-
da: cuando la cuerdamide a produce un tono de frecuencia pro-
porcional a 1
a
; y cuandomide b, uno de frecuencia proporcional
a 1
b
. Si queremos producir un tono cuya frecuencia sea exacta-
mente el promedio (¡aritmético!) de estos dos, ¿cuánto deberá
medir la cuerda? Pues
1( 1a+ 1b
2
) ,
o sea, el inverso del promedio aritmético de 1
a
y 1
b
. Pero esto es
1( 1a+ 1b
2
) = 2( b+aab ) = 2aba + b .
Es decir que si queremos el sonido “promedio” entre los que pro-
ducen una cuerda de longitud a y otra de longitud b, debemos
tomar una cuerda de longitud 2ab
a+b .
181
Notemos que tenemos también la siguiente relación entre
las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números:
H = G2
A
.
Otra media, la raíz media de cuadrados es la que aparece en
la desigualdad de Cauchy:
C =√a2 + b2
2
.
Paramás de dos números, estasmedias se definen así: dados
números positivos a1, . . . , an,
C = raíz media de cuadrados =√a21 +⋯+ a2n
n
A =media aritmética = a1 +⋯+ an
n
,
G =media geométrica = n√a1⋯an,
H =media armónica = 1
1
n
( 1
a1
+⋯+ 1
an
) .
Desigualdad aritmético-geométrico-armónica
Esta desigualdad dice que H ≤ G ≤ A. Junto con la desigualdad
de Cauchy, que nos dice que A ≤ C, lo que nos queda es que
dados números a1, . . . , an,
1
1
n
( 1
a1
+⋯+ 1
an
) ≤ n√a1⋯an ≤ a1 +⋯+ ann ≤
√
a21 +⋯+ a2n
n
.
Y valen igualdades solamente cuando todos los ai son iguales.
No haremos acá una demostración para n números, sino sólo
para dos.
182
Primero, la desigualdad aritmético-geométrica: considere-
mos los números a y b (positivos), y tomemos u = √a, v = √b.
Como todo cuadrado es positivo, tenemos
0 ≤ (u − v)2 = u2 − 2uv + v2,
pasando −2uv sumando del lado izquierdo,
2uv ≤ u2 + v2
y
uv ≤ u2 + v2
2
,
o lo que es lo mismo,√
ab ≤ a + b
2
.
Como antes, la igualdad vale cuando vale en el primer renglón,
o sea cuando u = v, es decir, si a = b.
Ahora, la desigualdad geométrico-armónica: tomemos lo que
acabamos de probar (G ≤ A), y multipliquemos por G:
A B
E
F
C
D
u
v
Figura xi.
G2 ≤ AG
G2
A
≤ G
H ≤ G,
recordando que H = G2
A
.
Podemos también dar una
demostración gráfica de la des-
igualdad aritmético-geométri-
ca en la forma uv ≤ u2+v2
2
. Ob-
servemos la figura xi..
El rectángulo ABCD tiene
área uv. El área del triángulo
ABE es u
2
2
, mientras que el triángulo AFD tiene área v
2
2
. El área
183
del rectángulo será siempre menor que la suma de las áreas de
los dos triángulos
uv ≤ u2
2
+ v2
2
= u2 + v2
2
.
Se da la igualdad sólo cuando ABCD es un cuadrado, es decir
cuando u = v.
Por cierto, volvamos a un problema isoperimétrico. De to-
dos los rectángulos de perímetro fijo p, ¿cuál es el que tiene ma-
yor área? Digamos que la base del rectángulo mide b y su altura
es a. El perímetro será entonces p = 2a+2b. Pero la desigualdad
aritmético-geométrica nos dice que el área ab será siempre
ab ≤ (a + b
2
)2 = ( p
4
)2 = p2
16
,
y que valdrá la igualdad (o sea el área será la mayor posible)
cuando a = b, el cuadrado.
(⋆) Desigualdad isoperimétrica
Antes de empezar a hablar de la desigualdad isoperimétrica, vol-
vamos por un momento a lo que en el capítulo vii habíamos lla-
mado la suma de conjuntos convexos:
A+ C = {P +Q : P ∈ A,Q ∈ C}.
Habíamos dicho allí que la suma de rectángulos daba un nuevo
rectángulo, y que si A era de base l y altura h, y C de base l ′ y
altura h′, entonces A+C tenía base l + l ′ y altura h + h′. Así, las
áreas de los rectángulos son
área(A) = l h área(C) = l ′h′ área(A+C) = (l + l ′)(h + h′).
Usaremos la desigualdad aritmético-geométrica para deducir
184
(en el casomuy particular de suma de rectángulos) una desigual-
dad importante.
área(A+ C) = (l + l ′)(h + h′)= l h + l ′h′ + l h′ + l ′h= área(A) + área(C) + l h′ + l ′h≥ área(A) + área(C) + 2√l h′ l ′h= área(A) + área(C) + 2√área(A)área(C)= (√área(A) +√área(C))2 .
De donde, tomando raíz cuadrada,√
área(A+ C) ≥ √área(A) +√área(C).
Esta desigualdad vale para cualquier par de convexos, no sólo
para rectángulos, pero su demostración excede (largamente) las
posibilidades de este libro. Sin embargo, si la aceptamos podre-
mos acercarnos a una idea de la demostración de la desigualdad
isoperimétrica.
Bueno, pero ¿qué es la desigualdad isoperimétrica? Es una
desigualdad que dice que si una figura plana C tiene perímetro
L, entonces
área(C) ≤ L2
4π
.
O sea, pone una cota al área que pueda tener una figura de perí-
metro dado, L. Ahora bien, si nuestra figura C es un círculo, su
perímetro será L = 2πr (donde r es su radio), y en este caso, el
área es
área(C) = πr2 = (2πr)2
4π
= L2
4π
.
Así, en el caso del círculo, se da la igualdad en la desigualdad
isoperimétrica. . . , y lo que afirma la desigualdad isoperimétrica
entonces es que de todas las figuras de igual perímetro la que
mayor área tiene es el círculo.
185
A ver si te convenzo con un par de comentarios.En primer
lugar, seguro que las figuras de mayor área con un perímetro da-
do serán convexas. Si una figura no es convexa, podemos agran-
dar su área achicando su perímetro, como se ve en la figura xi..
Figura xi.
Basta considerar entonces sólo conjuntos C convexos. Y pa-
ra conjuntos convexos de perímetro L habíamos dicho en el ca-
pítulo vii que
área(C + B) = área(C) + L + área(B),
donde B era el círculo de radio uno (y por lo tanto, de área π).
Así que
área(C + B) = área(C) + L + π.
Usando esto y la desigualdad de arriba (que sólo probamos para
rectángulos),
L = área(C + B) − área(C) − π≥ (√área(C) +√área(B))2 − área(C) − π= área(C) + 2√área(C)√área(B) + área(B) − área(C) − π= 2√área(C)√π,
teniendo en cuenta que área(B) = π. Elevando al cuadrado,
L2 ≥ 4área(C)π,
de donde
L2
4π
≥ área(C).
186
Problemas
1) Vas caminando a la casa de tu abuela: caminas una hora
a 6 km/h, y otra hora a 4 km/h. ¿Cuál es tu velocidad pro-
medio?
2) Volvés caminando de la casa de tu abuela: caminas hasta
mitad de camino a 6km/h, y la otra mitad a 4 km/h. ¿Cuál
es tu velocidad promedio?
3) Probá que si a1a2⋯an = 1, entonces a1 + a2 + ⋯ + an ≥ n.
4) Si a, b y c son números positivos tales que abc = 27, ¿cuál
es el valor mínimo que puede tener a + b + c?
5) Si A es la media geométrica de B y A+ B, ¿cuánto es A
B
?
6) Probá que la suma de los catetos de un triángulo rectángulo
nunca sobrepasa
√
2 veces la hipotenusa.
7) En el dibujo de la figura xi. el diámetro del círculo está
compuesto por un segmento que mide a, y otro que mi-
de b. Mostrá que los segmentos indicados con H, G, A y C
corresponden a las medias armónica, geométrica, aritméti-
ca y raíz media de cuadrados de a y b. Notá que entonces
vemos otra vez que
H ≤ G ≤ A ≤ C.
a b
A
G
C
H
Figura xi.
187
8) Así como la circunferencia de radio r tiene ecuación implí-
cita x2 + y2 = r2, la elipse de radios a y b (figura xi.) tiene
ecuación
x2
a2
+ y2
b2
= 1.
¿Cuál es el rectángulo (con lados paralelos a los ejes) de
mayor área que puede inscribirse en esa elipse?
a
b
Figura xi.
9) Tony tiene un kiosco en el que vende panchos (perros ca-
lientes). Sabe por experiencia que si fija el precio del pan-
cho en p pesos, venderá 2000 − 50p panchos. ¿A qué pre-
cio debe vender sus panchos para maximizar sus ingresos,
y cuánto ganará?
10) Probá que si a2 + b2 ≤ 1 y x2 + y2 ≤ 1, entonces
ax + by ≤ 1.
11) Probá que el círculo de centro (0, 0) y radio 1 es convexo.
12) ¿Cuál es el máximo valor posible, para x > 0, de
(a2 − x2)(a + x)?
13) ¿Cuál es el máximo valor posible, para x > 0, de
ax2(b − x)?
188
14) Si n es un número natural, llamemos A a la media aritméti-
ca de sus divisores, yH a lamedia armónica de sus divisores.
Probá que
AH = n.
15) Probá la desigualdad de Santaló: dado cualquier triángulo,
si A es su área y s es su semiperímetro, vale
A ≤ s2
3
√
3
,
y vale la igualdad en el caso del triángulo equilátero.
La desigualdad de Santaló es una desigualdad isoperi-
métrica para triángulos. Lo que dice es que de los triángulos
con igual perímetro, el de mayor área es el equilátero. Para
el caso particular de los triángulos, mejora a la desigualdad
isoperimétrica, ya que
s2
3
√
3
= L2
12
√
3
< L2
4π
.
Luis Santaló (1911-2001) nació en Gerona. Exiliado de
la Guerra Civil española, vivió la mayor parte de su vida en
Argentina, su patria adoptiva. Fue un gran geómetra e hizo
contribuciones muy importantes a la geometría integral.
189
XII. Cilindro, cono y esfera
Traitez la nature par le cylindre, la sphère, le cône. . .
Paul Cézanne, 1904
Principio de Cavalieri
Un metro cuadrado es el área de un cuadrado de un metro de
lado, y un metro cúbico es el volumen ocupado por un cubo
de un metro de lado. Estas son nuestras unidades de medida
cuando uno habla de superficie y de volumen, así como el seg-
mento de un metro de longitud es la unidad para medir dis-
tancias.
La cosa se complica cuando uno quiere medir el área o el
volumen de figuras o sólidos con lados curvos: los cuadrados y
cubos no encajan bien en ellos, lo que dificulta la comparación.
Y sin embargo, lo hemos podido hacer: en el capítulo viii, por
ejemplo, calculamos el área del círculo. Lo hicimos cortando el
círculo y rearmando los pedazos para obtener una figura con
bordes cada vez más rectos, que se iba aproximando más y más
a un rectángulo.
Los griegos calcularon gran cantidad de volúmenes y áreas
de figuras curvas. Eudoxo propuso el método de llenar la figura
que hay que medir con rectángulos de tamaño cada vez más
pequeño para que la suma de sus áreas aproximara cada vez
con mayor exactitud el área que se quiere calcular. Arquímedes
—de quien hablaremos después— calculó áreas encerradas por
parábolas, y la relación entre los volúmenes de cilindro, cono
y esfera. Muchos siglos después, Newton y Leibniz inventaron
el cálculo, que es la versión moderna de las ideas de Eudoxo,
190
con el agregado fundamental de su relación con la noción de
diferencial.
Pero importantes pasos hacia el cálculo integral fueron da-
dos por otros. El principio de Cavalieri es uno de ellos, y es lo
que usaremos en este capítulo para calcular los volúmenes del
cilindro, el cono y la esfera.
Bonaventura Cavalieri (1598-1647) fue contemporáneo de
Descartes y Fermat, y alumno de Galileo. Profesor de la Uni-
versidad de Bolonia, enunció su famoso principio, que dice así:
Consideremos dos cuerpos (o dos figuras) de la misma altura, y
miremos los tamaños (áreas o longitudes) de sus cortes horizonta-
les. Entonces, si éstos son proporcionales, los volúmenes (o áreas)
guardarán la misma proporción.
Para que esté claro, veamos un ejemplo: digamos que quere-
mos comparar las áreas de los dos triángulos de la figura xii..
Bx h bx h
x
B b
Figura xii.
Según Cavalieri, podemos lograrlo comparando las longitu-
des de cortes horizontales. Veamos. Calculemos las longitudes
de los cortes tomados a una distancia x del vértice superior. Por
semejanza de triángulos,
Bx
x
= B
h
, de donde Bx = Bx
h
,
y
bx
x
= b
h
, de donde bx = bx
h
.
191
Para cualquier x (o sea, en todos los cortes horizontales) estas
longitudes guardan la proporción
Bx
bx
= Bx
h
h
bx
= B
b
.
Entonces, según Bonaventura, las áreas guardarán la misma re-
lación:
área del triángulo de la izquierda
área del triángulo de la derecha
= B
b
,
lo cual se verifica fácilmente, pues ya sabemos que el triángulo
de la izquierda tiene un área de Bh
2
, y el otro un área de bh
2
.
Pero la gracia será usar el principio de Cavalieri para compa-
rar un volumen conocido con otro que nos gustaría conocer. . .
r
h h
2r
Figura xii.
Por ejemplo, cono-
cemos el volumen de
un prisma rectangular
(una caja) de base cua-
drada de 2r × 2r y
altura h: el volumen
es 4r2h. Comparemos
con un cilindro de ra-
dio r y altura h (figu-
ra xii.).
r
2r
2r
Figura xii.
A cualquier altura
x los cortes del cilin-
dro (Ci lx) y del pris-
ma (Px) son los que
se muestran en la figu-
ra xii..
Así, considerando
ahora sus áreas, Ci lx = πr2, mientras que Px = 4r2. La relación
entre ambos es —para cualquier altura x—
Ci lx
Px
= πr2
4r2
= π
4
.
192
Entonces, la relación entre los volúmenes será la misma:
volumen del cilindro
volumen del prisma
= π
4
.
Así,
volumen del cilindro = π
4
volumen del prisma = π
4
4r2h = πr2h.
Volumen de un cono
Queremos calcular el volumen de un cono. Intentemos compa-
rarlo con un cilindro, como en la figura xii..
x
r
h
r
h
Figura xii.
rx r
Figura xii.
En la figura xii. semuestran los cortes a una distancia x del
borde superior. Podemos ver que rx
x
= r
h
, de manera que rx = rxh .
La relación entre las áreas es
πr2x2
πr2h2
= (x
h
)2 .
193
Pero esta relación depende de x. . . No es la misma para to-
dos los cortes. No se podrá aplicar entonces el principio de Ca-
valieri, que pide que las áreas de los cortes guarden una propor-
ción fija. Habrá que comparar el cono con otra cosa. Probemos
con una pirámide de base cuadrada de 2r × 2r (figura xii.).
x
r
h
2rFigura xii.
rx
h
2rx
h
Figura xii.
Ahora, los cortes a distancia x del borde superior son los
que se muestran en la figura xii., y la relación entre las áreas es
π ( rx
h
)2( 2rx
h
)2 = π4 .
Así, por Cavalieri,
volumen del cono
volumen de la pirámide
= π
4
,
o sea que el volumen del cono será π
4
veces el de la pirámide.
Problema: no conocemos el volumen de una pirámide. . . ¿No?;
¿de ninguna?
194
He aquí una idea interesante: imaginate un cubo, y dentro
de ese cubo su centro (intersección de las diagonales). Imagina-
te ahora, para cada una de las seis caras del cubo, una pirámide
con esa cara como base y el centro del cubo como vértice. Tenés
entonces seis pirámides —todas iguales— que al juntar sus vér-
tices en un mismo punto forman un cubo. El volumen de una
de estas pirámides es la sexta parte del cubo. . . Ahora tenemos
una pirámide cuyo volumen conocemos. Usaremos esa pirámi-
de para calcular el volumen del cono. Es la pirámide de altura h
y base cuadrada de 2h × 2h, cuyo volumen, según dijimos, es la
sexta parte del cubo (de lados 2h). O sea, 1
6
(2h)3 = 4
3
h3. Com-
paremos esta pirámide con el cono (figura xii.).
x
r
h
h
h
x
Figura xii.
rx x
Figura xii.
La figura xii. muestra los cortes a una distancia x del vérti-
ce, donde rx = rxh . Así,
Cx
Px
= π ( rxh )2(2x)2 = π4 ( rh)2 .
195
Por lo tanto,
volumen del cono
volumen de la pirámide
= π
4
( r
h
)2 ,
de donde
volumen del cono = π
4
( r
h
)2 4
3
h3 = 1
3
πr2h.
Dicho sea de paso, ahora que conocemos el volumen del cono,
el volumen de la pirámide de base 2r × 2r y altura h es 4
π
ve-
ces el del cono:
4
3
r2h.
Y si pensamos en la pirámide de base b × b y altura h, su volu-
men es
volumen de la pirámide = 1
3
b2h.
Volumen de la esfera
Arquímedes fue quizás el más grande matemático de todos los
tiempos. Vivió en Siracusa más o menos entre los años 287 y
212 antes de Cristo. Su obra matemática abarca una cantidad
de resultados impresionante para su época, incluyendo el cálcu-
lo aproximado de π, el cálculo del área de la región entre una
parábola y una recta secante, y el cálculo del volumen y de la
superficie de la esfera.
Además de sus resultados matemáticos, contribuyó a la físi-
ca (ley de la palanca y principio de Arquímedes) y a la ingenie-
ría. Con sus obras de ingeniería colaboró con el desarrollo y la
defensa de su ciudad, Siracusa, frente a los ataques romanos du-
rante la segunda Guerra Púnica, y se dice que fue gracias a él y
a sus inventos que la ciudad resistió dos años antes de caer en
manos romanas. Cuando finalmente lograron tomar la ciudad,
un soldado romano lo mató.
196
Vamos a calcular el volumen de la esfera. Calcularemos pri-
mero el volumen de una semiesfera S, usando el principio de
Cavalieri junto con una idea de Arquímedes. Arquímedes vio
que el volumen de la semiesfera era el del cilindro menos el del
cono. . . Observemos la figura xii..
x r
r
x
r
x
S A
Figura xii.
El sólido del lado derecho, llamémosloA, es lo que queda del
cilindro tras quitarle el cono invertido. La figura xii. muestra
los cortes a una distancia x de la base.
rx x
r
Figura xii.
Usando Pitágoras, r2 = x2 + r2x . Así, las áreas de los cortes son
Sx = πr2x = π(r2 − x2)
y
Ax = πr2 − πx2 = π(r2 − x2),
es decir, Sx
Ax
= 1, y por Cavalieri:
197
volumen de la semiesfera = volumen del cilindro − volumen
del cono= πr3 − 1
3
πr3
= 2
3
πr3,
y el volumen de la esfera completa será el doble:
volumen de la esfera = 4
3
πr3.
Podemos encerrar una esfera de radio r en un cilindro con
base de radio r y altura 2r. En el mismo cilindro cabe un cono
con base de radio r y altura 2r. Sus volúmenes son
cono:
2
3
πr3
esfera:
4
3
πr3
cilindro: 2πr3.
Si llamamos V al volumen de este cono, el de la esfera resulta
2V , y el del cilindro, 3V .
El volumen de la esfera es entonces 2
3
del volumen del cilin-
dro. También fue probado por Arquímedes que la superficie de
la esfera es 2
3
de la superficie del cilindro (incluyendo sus tapas),
como veremos en la próxima sección.
Figura xii.
Según cuenta Cicerón, estos resulta-
dos fueron tan queridos por Arquímedes
que mandó que sobre su tumba se graba-
ra la imagen que se muestra en la figura
xii.. Su tumba se ha perdido, pero sus
resultados no.
198
Superficies
Veamos ahora cómo calculamos el área de la superficie del
cilindro, el cono y la esfera. Los primeros dos son fáciles. Es
que tanto la superficie del cilindro como la del cono se pue-
den “desarrollar” o extender sobre una superficie plana. La es-
fera, no. Si has tenido que envolver algo cilíndrico o cónico pa-
ra regalar, sabrás a qué me refiero. Es fácil. Envolver para regalo
una pelota de fútbol —ya te tocará hacerlo— es bastante más
complicado.
h
2πr
Figura xii.
Empecemos con el cilin-
dro. Digamos que tiene altu-
ra h y radio r. Lo apoyamos
de lado sobre una mesa y
lo hacemos rodar una vuelta
completa (figura xii.). Ob-
tenemos un rectángulo de al-
tura h y de ancho igual a
la circunferencia del cilindro,
que es π veces el diámetro. En términos del radio, es 2πr. Así, la
superficie del cilindro es
superficie del cilindro = 2πrh.
Esto, claro está, sin contar las tapas. Ya sabrás vos en algún caso
en particular si te interesa incluir la superficie de las tapas (que
son círculos, cuya área ya sabés calcular).
Pasemos al cono, de altura h y radio r. Lo apoyamos de lado
sobre una mesa y lo hacemos rodar una vuelta completa (figu-
ra xii., en la siguiente página).
Lo que obtenemos ahora es una porción de círculo. ¿Qué
porción, y de qué círculo?Veamos. El radio del círculo está dado
por una “arista” del cono (se la suele llamar generatriz). ¿Cuánto
mide esta arista? Si mirás al cono de lado, verás que es la hipo-
tenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y
199
a
2πr
Figura xii.
la altura del cono. O sea que la arista mide a = √h2 + r2. Lue-
go el círculo que está dibujado en la figura xii. tiene radio a
y su área es πa2 = π(h2 + r2). Pero al rodar, nuestro cono no
ha cubierto exactamente este círculo, sino una parte: la base del
cono ha rodado a lo largo de la circunferencia de radio a, pero
ha cubierto una longitud igual a la circunferencia de la base del
cono, que es 2πr. Así, la superficie del círculo que ha cubierto
el cono al rodar es proporcional a la parte de circunferencia que
ha sido cubierta. La proporción de circunferencia cubierta es
2πr
2πa
= r
a
= r√
h2+r2 . Y por lo tanto, el área del cono es
superficie del cono = r√
h2 + r2 π(h2 + r2) = πr√h2 + r2.
De nuevo, sin la base. Notemos una cosa que usaremos en un
ratito: en términos de su radio y su arista, la superficie del cono
la podemos escribir:
superficie del cono = πra.
Antes de ver la superficie de una esfera, calculemos el área
del frustum de un cono. Esto es, una “tira” de cono, como en la
figura xii..
200
r1
r2
Figura xii.
r1
r2A
a
Figura xii.
Un frustum es lo que queda del cono si se le corta la punta.
Digamos que a un cono de radio r1 y arista A le hemos sacado
la punta, que era un cono de radio r2 y arista a (figura xii.).
La superficie del frustum es entonces la diferencia
πr1A− πr2a = π (r1A− r2a) .
Teniendo en cuenta que, por semejanza de triángulos, A
r1
= a
r2
, y
que, por lo tanto, r2A = r1a, podemos escribir
superficie del frustum = π (r1A− r2a)= π (r1A− r1a + r1a − r2a)= π (r1A− r1a + r2A− r2a)= π (r1(A− a) + r2(A− a))= π (r1 + r2) (A− a)
= 2π (r1 + r2
2
)(A− a)
= 2πrL,
donde L = (A − a) es la longitud de la arista del frustum, y r =( r1+r2
2
) es el radio a media altura del frustum.
Ahora sí, a la esfera. Es que a la esfera la vamos a cubrir
de frusta (“frustumes”) para calcular su superficie. En realidad
vamos a aproximar la superficie de una franja de esfera con la
201
superficie de frusta de alturas pequeñas, tangentes a la esfera.
Consideremos la figura xii..
O
PA
O′
P ′
A′
L
R
r
α
α′
α′′
β
P h
Figura xii.
Esto es un cuarto de la esfera, visto de costado. La esfera
tiene radioR. Un frustum se apoya sobre la esfera; acá vemos
una arista del frustum, el segmento O′P′, que es tangente a la
esfera en su puntomedio, P. Digamos que la arista mide L y que
su altura vertical es h. La distancia del eje vertical de la esfera
hasta P es r, el radio a media altura del frustum. Ahora bien: los
triángulosOPAyO′P′A′ son semejantes, pues ambos son rectos
y tienen un segundo ángulo igual (α = α′′). La razón por la que
estos ángulos son iguales es la siguiente: α = α′, por ser alternos
internos entre paralelas; mientras que α′ = α′′, pues en ambos
casos al sumarles β obtenemos un ángulo recto. Entonces, como
202
los triángulos son semejantes, sus lados son proporcionales, y
tenemos
R
r
= OP
PA
= O′P′
P′A′
= L
h
.
Luego, rL = Rh. Así, la superficie del frustum es
2πrL = 2πRh,
que es la superficie del cilindro de radio R y altura h. Si cubri-
mos una franja de esfera de altura, digamos b, con pequeños
frusta cuyas alturas sumen b, la superficie de la franja de esfera
será casi igual a la suma de las superficies de los frusta, que es la
de un cilindro de altura b y radio igual al de la esfera. Así, una
franja de esfera de altura b tiene igual área que un cilindro de al-
tura b y radio igual al de la esfera. Esto tiene dos consecuencias
interesantes:
a) Cualquier franja de esfera de una altura dada tendrá la mis-
ma superficie, ya sea cerca de un polo o cerca del ecuador.
b) La superficie total de la esfera de radio R es la de un cilindro
de altura 2R y radio R, que es 2πR ⋅ 2R:
superficie de la esfera de radio R = 4πR2.
Si al cilindro que circunscribe a una esfera de radio R le agre-
gamos sus dos tapas, la superficie total del cilindro será 4πR2 +
2πR2 = 6πR2, o sea que la superficie de la esfera es 2
3
de la super-
ficie del cilindro (incluyendo sus tapas).
Otra manera de pensar en la superficie de una esfera: ima-
gina a la esfera compuesta por una gran cantidad de pirámides
cuyo vértice está en el centro de la esfera, y sus bases en la super-
ficie de la esfera. Claro que esas bases son planas y nunca coin-
ciden exactamente con la superficie; pero si las bases son muy
chicas, se aproximarán bastante. Ahora bien, el volumen de una
pirámide es
V = 1
3
AR,
203
donde A es la superficie de la base, y R la altura de la pirámi-
de, que coincide con el radio de la esfera. Las áreas de las bases
guardarán siempre con los volúmenes la relación
A
V
= 3
R
.
Si llenamos la esfera con muchísimas pirámides, sus volúmenes
se aproximarán al de la esfera, y las áreas de sus bases a la super-
ficie de la esfera, guardando la misma relación. Así, tendremos
superficie de la esfera
volumen de la esfera
= 3
R
.
Pero como sabemos que el volumen de la esfera es 4
3
πR3, la su-
perficie será
superficie de la esfera = 3
R
volumen de la esfera = 3
R
4
3
πR3= 4πR2.
Problemas
1) El interior de un vaso tiene forma cilíndrica con una ba-
se de semiesfera. Si en el centro tiene una profundidad de
12 cm, y su diámetro es de 10 cm, ¿qué volumen de agua
cabe en el vaso?
2) ¿Qué diámetro tiene una lata de 200ml de Coca-Cola si su
altura es de 12 cm?
3) Usando el principio de Cavalieri, probá que el área de una
elipse de radios a y b es πab.
4) En la figura xii., ¿cómo debe tomarse r para que las áreas
sombreadas sean iguales?
204
1
r
Figura xii.
5) Un cilindro de radio 2 y altura 6 tiene igual superficie (con
las tapas) que un cono del mismo radio (incluyendo su ba-
se). ¿Qué altura tiene el cono?
6) Con una lata de pintura se pintan cuatro esferas de radio R,
y el tercio superior de una quinta esfera del mismo tamaño.
Con otra lata igual se pintó un cilindro (sin tapas) de radio
R y 5.20m de altura. ¿Cuál es el radio de las esferas?
7) Se ilumina una esfera de 60 cm de diámetro con una lámpa-
ra ubicada a 70 cm de la superficie de la esfera. ¿Cuál es la
superficie del área que queda iluminada?
8) ¿Cuál es el volumen máximo que puede tener un cono ins-
crito en una esfera de tamaño dado?
9) ¿Cuál es el volumen máximo que puede tener un cilindro
inscrito en un cono de tamaño dado?
10) ¿Cuál es el volumen máximo que puede tener un cilindro
inscrito en una esfera de tamaño dado?
11) ¿Qué forma debe tener una lata cilíndrica de un volumen
dado para que su superficie (incluidas base y tapa) sea mí-
nima?
205
12) Se hace un portaservilleta (de una altura fija h) horadando
verticalmente un cilindro de una esfera de madera (figura
xii.). Probá que el volumen del portaservilleta no depen-
de del tamaño de la esfera.
h
Figura xii.
13) Una esfera de plastilina se parte en varios pedazos para for-
mar otras esferas de menor tamaño (todas iguales). La su-
perficie de todas las esferas pequeñas (sumadas) resulta ser
el triple de la superficie de la esfera original. ¿Cuántas pe-
queñas esferas se formaron?
206
XIII. Aprender a contar
Permutaciones
Te han invitado a jugar al tenis esta tarde, aunque tenías pensa-
do jugar un partido de fútbol. Como los horarios se superpo-
nen, habrá que elegir una de las dos cosas. Más tarde irás al cine
con amigos, pero aún no han decidido cuál de tres películas
van a ver.
¿Cuántos posibles programas tenés? Está claro que el elegir
tenis o fútbol no condiciona la elección de película, de manera
que las opciones son las que muestra el siguiente diagrama de
árbol:
tenis
peli A
peli B
peli C
fútbol
peli A
peli B
peli C
Hay seis programas posibles: dos opciones de deporte y, pa-
ra cada una de ellas, tres películas posibles.
207
Tirás una moneda y luego un dado, anotás si salió cara (K),
ceca (C), y el número. ¿Cuántos resultados posibles hay? Haga-
mos otro diagrama como el anterior.
K
1
2
3
4
5
6
C
1
2
3
4
5
6
Son 12. Todo esto para decir que si vas a efectuar una serie de
experimentos independientes, y el primero tiene n1 resultados
posibles, el segundo n2, . . . , el k-ésimo nk, entonces el número
total de resultados posibles para toda la serie es el producto
n1 ⋅ n2⋯nk .
Esto nos ayudará a contar. Por ejemplo, en Argentina las pa-
tentes o placas de los autos tienen tres letras (sin usar la Ñ, pero
con la W, son 26 letras posibles) y tres cifras (de 0 a 9). ¿Cuán-
tas patentes posibles hay? Para cada letra hay 26 posibilidades, y
para cada número hay 10. Así, el número total de patentes que
se pueden formar es
26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10,
o sea, 17 576 000. No son tantas; ya se nos van a acabar. . .
¿Y patentes que tengan tanto la parte alfabética como la nu-
mérica capicúas? La tercera letra deberá ser igual a la primera,
y la tercera cifra igual a la primera cifra. . . Entonces, el número
de patentes capicúas es
26 × 26 × 1 × 10 × 10 × 1,
208
o sea, 67 600. Luego, uno puede pensar que la probabilidad de
que una patente elegida al azar sea capicúa es de
67 600
17 576 000
= 1
260
= 0.00384615384615 . . .
poco más de 38 de cada 10 000, lo cual más o menos te da una
idea de qué tan difícil es ver una por la calle. Más adelante ha-
blaremos un poco más sobre probabilidad, pero antes debemos
aprender a contar otras cosas.
Por ejemplo: tenés tres lápices de distinto color: rojo, amari-
llo y verde. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar (digamos
de izquierda a derecha)? Hay que elegir uno para la primera po-
sición. Para esto tenés tres opciones. Ahora quedan dos lápices
que podés ubicar en la segunda posición. Hay dos elecciones
posibles. Y queda sólo un lápiz para ubicar en el tercer lugar;
una sola opción. Así, la cantidad de maneras en que se pueden
ordenar es 3 × 2 × 1 = 6:
R
RA RAV
RV RVA
V
VA VAR
VR VRA
A
AR ARV
AV AVR
Si tenemos n objetos distintos; ¿de cuántas maneras se pue-
den ordenar? Pensémoslo así: tenemos n lugares, en fila, uno
tras otro: � !
1
� !
2
� !
3
. . . � !
n
y n objetos para colocar en ellos. Para ubicar en la primera
209
posición tenés n opciones posibles. Una vez ubicado el primero,
para poner en la segunda posición tenés n − 1 opciones; en la
tercera, n− 2. . . Entonces, la cantidad de maneras en que podés
ordenar n cosas es
n × (n − 1) × (n− 2) ×⋯ × 2 × 1.
Este número se llama n factorial y se escribe n!. Así, por ejemplo,
cuatro objetos, llamémoslos a, b, c, d se pueden ordenar de 4! =
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 maneras distintas:
abcd abdc acbd acdb adbc adcb
bacd badc bcad bcda bdac bdca
cabd cadb cbad cbda cdab cdba
dabc dacb dbac dbca dcab dcba
Otra pregunta: tenés n objetos distintos, pero querés orde-
nar una tira de sólo k de ellos, donde k es un número menor o
igual a n. ¿De cuántas maneras se puede hacer? Ahora imagine-
mos k lugares:� !
1
� !
2
� !
3
. . . � !
k
pero tenemos n objetos para colocar: para el primer lugar, n
opciones; para el segundo, n − 1, . . . Esto se puede hacer de
n × (n − 1) × (n − 2) ×⋯ × (n − k + 1)
maneras distintas. Que es lo mismo que n!(n−k)! . Por ejemplo, ¿de
cuántas maneras podremos ordenar a, b, c, d tomándolos de a
dos? De 4!(4−2)! = 4!2! = 242 = 12 maneras:
ab ac ad bc bd cd
ba ca da cb db dc
210
Subconjuntos
¿Cuántos subconjuntos (o partes) tiene el conjunto {a, b, c}? Pa-
ra formar un subconjunto, podemos elegir incluir o no incluir
cada uno de los elementos del conjunto. Hay que contestar sí o
no a la pregunta de incluir a a, b y c:
sí sí sí : {a, b, c}
sí sí no : {a, b}
sí no sí : {a, c}
no sí sí : {b, c}
sí no no : {a}
no sí no : {b}
no no sí : {c}
no no no : {}
Si el conjunto tuviera n elementos, tendríamos que contestar
sí o no n veces, y esto se puede hacer de
2 × 2 × 2 ×⋯× 2 = 2n
maneras distintas. Un conjunto de n elementos tiene entonces
2n subconjuntos.
Y un conjunto de n elementos, ¿cuántos subconjuntos de
k elementos tendrá? Este número se suele escribir con la nota-
ción (n
k
).
Lo vamos a calcular. Si tenemos un conjunto con n elemen-
tos y elegimos un subconjunto de k elementos, este subconjunto
se podrá ordenar de k! maneras. La cantidad de formas en que
esto se puede hacer es (n
k
)k!
Habiendo hecho esto, quedarán k elementos del conjunto, orde-
nados. Pero antes habíamos dicho que esto se podía hacer de
n!
(n−k)! formas, de manera que
211
(n
k
)k! = n!(n − k)!
luego, (n
k
) = n!
k!(n − k)! .
Este número (n
k
) = n!
k!(n−k)! , se llama el número combinatorio n,
k. Veamos algunas de sus propiedades: Vale (n
k
) = (n−1
k−1) + (n−1k ).
Para ver esto, digamos que tenemos un conjunto con n ele-
mentos y debemos escoger un subconjunto de k elementos. Esto
se puede hacer de (n
k
) maneras. Pero también lo podemos pen-
sar así: fijemos un elemento a del conjunto. Un subconjunto po-
drá o contener o no contener al elemento a. Los que lo contie-
nen son (n−1
k−1), pues de los restantes n−1 elementos tendrán que
tener k−1. Los que no lo contienen son (n−1
k
), pues habrá que ele-
gir a todos los elementos de entre los restantes n − 1. Así,
(n
k
) = (n − 1
k − 1) + (n − 1k ).
A veces, con un poco de imaginación, un problema que no
parece estar relacionado con “elegir k elementos de entre n”, pue-
de reformularse en esos términos. Acá va un ejemplo: tenés 12
caramelos para repartir entre Tomás, Julián y Juanpa (de mane-
ra que a cada uno le toque al menos un caramelo). ¿De cuán-
tas formas se pueden repartir? Una manera de pensarlo es ésta:
colocá los 12 caramelos en fila:
y ahora separá, con dos marcas colocadas entre caramelos, tres
grupos. El primero va para Tomás, el segundo para Julián, y el
tercero para Juanpa:
212
¿De cuántas maneras se puede hacer esto? Esencialmente,
lo que hay que hacer es elegir dos de los once espacios que hay
entre caramelos para colocar las dos marcas. O sea, de 11, elegir
2. Esto se puede hacer de (11
2
) maneras distintas. Hay entonces
(11
2
) = 11!
2!9!
= 11 ⋅ 10
2
= 55
maneras de repartir los caramelos.
Veamos otro ejemplo: ¿cuántas señales pueden enviarse po-
niendo en un mástil tres banderas rojas y dos blancas? Obser-
vemos: hay cinco banderas, que pueden quedar ordenadas en
el mástil (digamos, de arriba abajo) de 5! maneras distintas. . . ;
pero no todas estas ordenaciones transmiten distintosmensajes,
pues no podemos distinguir entre, por ejemplo, las dos bande-
ras blancas. Si ocupan el segundo y el cuarto lugar o al revés (co-
sas que hemos contado por separado), da lo mismo. Habrá que
dividir entonces por 2. Tampoco podemos distinguir entre las
rojas, que son tres. Éstas podrán permutarse sin cambiar el men-
saje, de 3! maneras. Finalmente entonces, la cantidad de señales
distintas será
5!
2!3!
.
Pero una manera más simple de pensarlo es ésta: de los cinco
lugares, debemos elegir dos para poner allí banderas blancas;
lo demás quedará determinado por esta elección. ¿De cuántas
maneras lo podemos hacer? De
(5
2
)
maneras, que es el mismo resultado que obtuvimos antes.
213
La fórmula binomial
y el triángulo de Pascal
Quizás hayas visto alguna vez el triángulo siguiente:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Es el triángulo de Pascal (también llamado triángulo de Tarta-
glia). Se usa a veces para saber cuáles serán los coeficientes de
la fórmula binomial (a + b)n para distintos valores de n. Fijate
que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4,
los coeficientes son los números que están en las filas del trián-
gulo anterior. ¿Por qué? Porque tanto estos coeficientes como
los números que aparecen en el triángulo son los números com-
binatorios (n
k
). En la fila n (empezando por la “fila 0”) hay n + 1
números, que son los números combinatorios
(n
0
),(n
1
),(n
2
), . . . ,(n
n
).
Esmuy fácil construir el triángulo de Pascal del tamaño que uno
quiera: cada fila comienza y termina con 1, y en todo otro lugar
tiene la suma de los números que están arriba a su izquierda y
214
arriba a su derecha. Esto refleja la propiedad de números com-
binatorios
(n
k
) = (n − 1
k − 1) + (n − 1k )
que vimos arriba.
Veamos lo de la fórmula binomial. Hagamos la cuenta para
n = 3:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)= a(a + b)(a + b) + b(a + b)(a + b)= (a2 + ab)(a + b) + (ba + b2)(a + b)= a2(a + b) + ab(a + b) + ba(a + b) + b2(a + b)= a3 + a2b + a2b + ab2 + a2b + ab2 + ab2 + b3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Cuando uno expande así la cuenta
(a + b)n = (a + b)(a + b)(a + b)⋯(a + b) (n veces)
cada término que aparece proviene de tomar a o b de cada uno
de los n factores (a + b).
Todos los términos tienen la forma an−kbk, donde k toma
valores desde 0 hasta n. ¿Cuántas veces aparecerá, por ejemplo,
an−2b2? Este término aparecerá cada vez que, de entre los n fac-
tores (a+b), elegimos dos de ellos para tomar b, y tomamos a de
los n − 2 restantes. ¿Y de cuántas maneras se puede elegir dos
de los n factores para tomar b de ellos? De (n
2
). Ésta es entonces
la cantidad de veces que aparece an−2b2. Y an−kbk aparecerá (n
k
)
veces, que es la cantidad demaneras de elegir k de los n factores
para tomar de ellos b. Así,
215
(a + b)2 = (2
0
)a2 + (2
1
)ab + (2
2
)b2,
(a + b)3 = (3
0
)a3 + (3
1
)a2b + (3
2
)ab2 + (3
3
)b3,
(a + b)4 = (4
0
)a4 + (4
1
)a3b + (4
2
)a2b2 + (4
3
)ab3 + (4
4
)b4,
y (a + b)n = n∑
k=0
(n
k
)an−kbk.
Comentario: si ponemos, en la fórmula binomial, a = 1 y
b = 1, tenemos
2n = (1 + 1)n = n∑
k=0
(n
k
),
que dice que los números de la n-ésima fila del triángulo de Pas-
cal suman 2n. En efecto, suman 1, 2, 4, 8, 16. . . También puede
leerse así: ya dijimos que la cantidad de subconjuntos que tiene
un conjunto de n elementos es 2n. Y esto es la suma de la canti-
dad de subconjuntos de 0 elemento, más los de 1 elemento, más
los de 2 elementos, más. . .
Probabilidad
Habiendo aprendido a contar podemos ahora hablar un poco
sobre probabilidad.
Para decidir quién mueve primero en un partido de fútbol,
se tira una moneda. Cara, empieza tu equipo. Ceca, el equipo
contrario. Esto se considera justo, porque uno espera que al
tirar la moneda es igualmente probable que salga cara o ceca.
Quizás no sea así. La noción de que cara y ceca son resultados
igualmente probables refleja más nuestra ignorancia sobre la
moneda y cómo ha de tirarse que nuestro conocimiento. Tam-
bién la ignoranciapuede ser útil y cómoda. . .
En general la probabilidad de un evento la expresamos co-
mo un porcentaje, o como un número entre 0 y 1: la probabi-
lidad de que al tirar una moneda salga cara es de 50% o 1
2
; la
216
probabilidad de que al tirar un dado salga un 2 es 1
6
; la probabi-
lidad de que al tirar el dado salga un múltiplo de tres es 1
3
, por-
que de todos los resultados posibles: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 hay dos (3
y 6) que son múltiplos de tres, de manera que “múltiplo de tres”
ocurre 2
6
de las veces que se tira el dado.
Hemos dicho (p. 208) que de las 17 576 000 patentes de auto
posibles en Argentina, hay 67 600 que son capicúa. Uno espera-
ría entonces que la probabilidad de que una patente elegida “al
azar” sea capicúa es de
67 600
17 576 000
= 1
260
.
Por supuesto que los resultados posibles de un experimento
no siempre tienen la misma probabilidad: si dejás caer una bo-
tella de plástico, puede caer parada o acostada; pero sabes que
“acostada” es más probable.
Si tuvieras que asignar un número concreto a la probabili-
dad de que caiga acostada posiblemente la dejarías caer unmon-
tón de veces, anotando los resultados. . . La parte de la matemá-
tica que se usa cuando uno quiere extraer probabilidades del
mundo real se llama estadística. De ella no hablaremos en este
libro.
Muchas de las cosas que hemos aprendido sobre cómo con-
tar pueden ser utilizadas en problemas de probabilidad, ya que
éstos a veces se reducen a ver de todo un universo de posibles
resultados de un experimento cuáles son los que nos interesan.
Acá va un ejemplo.
Vos que has jugado a la generala, sabés muy bien que al tirar
cinco dados a la vez no es raro que aparezca al menos un par de
números iguales. Podemos pensar que la probabilidad de obte-
ner al menos un par es la proporción en que se da este resultado
dentro de todos los resultados posibles al tirar cinco dados:
resultados en los que hay (al menos) un par
resultados posibles
.
217
La cantidad de resultados posibles (pensá que tiramos un
dado tras otro) es
6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 65
(hay seis resultados posibles para cada uno de los cinco dados).
Es un poco más difícil calcular cuántos de estos resultados con-
tienen al menos un par. . . Conviene pensar en lo contrario:
¿cuántos no contienen ningún par?, o sea, ¿en cuántos se da que
todos los números son distintos? Para que esto ocurra, en el pri-
mer dado podemos obtener cualquier resultado, en el siguiente
cualquiera menos ése, luego, cualquiera menos esos dos. . .
6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 6!
Así, la probabilidad de obtener todos números distintos al tirar
cinco dados es
6!
65
= 5
54
≈ 9%.
De manera que la probabilidad de obtener al menos un par es
de 1 − 5
54
= 49
54
, algo así como del 91%.
Una pregunta relacionada: si te apuesto a que al tirar cuatro
dados saldrán dos números iguales, ¿aceptarías la apuesta? ¿Y si
tiramos tres dados? Haciendo cuentas parecidas a las anteriores
obtendrás: la probabilidad de obtener todos números distintos
al tirar cuatro dados es
6 × 5 × 4 × 3
64
= 5
18
≈ 28%.
Demanera que la probabilidad de obtener almenos un par es de
1− 5
18
= 13
18
, algo así como del 72%. Y la probabilidad de obtener
todos números distintos al tirar tres dados es
6 × 5 × 4
63
= 5
9
≈ 56%.
De manera que la probabilidad de obtener al menos un par es
de 1 − 5
9
= 4
9
, algo así como del 44%. Así que con cuatro dados
no te conviene aceptar mi apuesta, pero con tres, sí.
218
¿En tu clase hay dos chicos que cumplen años el mismo día?
Y si los hay, ¿qué tan raro es esto? La pregunta es igual que la de
los dados. Los, digamos, k chicos en tu clase pueden cumplir
años en uno de 365 días posibles. La probabilidad de que todos
(los k) cumplan años en días distintos es
365 × 364 × 363 × 362 ×⋯× (365 − k + 1)
365k
.
En cuanto esto seamenor que 1
2
, la probabilidad de que dos cum-
pleaños coincidan será mayor que 1
2
. Acá lo difícil es hacer la
cuenta. . . , ¡incluso con una calculadora! Trata de calcular algo
como 340! en una calculadora, y verás a quéme refiero. La cuen-
ta se puede hacer con una computadora, y el resultado es que si
en tu grado hay 23 alumnos o más, la probabilidad de que (al
menos) dos de ellos compartan fecha de cumpleaños es mayor
que 1
2
.
Consideremos el siguiente experimento: se tira un dado; si
sale un número distinto de 2 se anota el número que salió, pero
si sale un dos, se tira una vez más el dado y se anota el resul-
tado. En la figura xiii. mostramos los resultados posibles del
experimento.
4 5 6
1
2,4 2,5 2,6
2,1 2,2 2,3
3
Figura xiii.
He marcado en color los resultados incluidos en el evento
“el número anotado es impar”. ¿Cuál es la probabilidad de este
evento? Es
1
6
+ 1
6
+ 1
6
+ 1
36
+ 1
36
+ 1
36
= 21
36
= 7
12
.
219
En el ejemplo se ve que —pensada así— la probabilidad del
evento se parece a medir el área que ocupa el evento dentro
del conjunto total de resultados posibles, que mide 1.
La “medida de probabilidad” tiene propiedades parecidas a
la “medida de área”. Si llamamos P(A) a la probabilidad de que
ocurra el evento A, y P(B) a la probabilidad de que ocurra B,
entonces, observando la figura xiii. y suponiendo que el “área
A B
S
Figura xiii.
total” es igual a 1, podemos reconocer en la “medida de proba-
bilidad” las siguientes propiedades análogas a las que tiene la
“medida de área”:
i) P(A) ≥ 0,
ii) P(S) = 1,
iii) P(A∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩ B).
Necesitamos hablar de cuándodos eventos son independien-
tes. Diremos que dos eventos A y B son independientes si
P(A∩ B) = P(A) ⋅ P(B).
Veamos con un ejemplo el significado de esto. Digamos que
nuestro experimento es tirar un dado. Los resultados (todos
igualmente probables) son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Consideremos los
siguientes eventos:
220
A : salió un número par (A = {2, 4, 6})
B1 : salió un número impar (B1 = {1, 3, 5})
B2 : salió un número menor que 4 (B2 = {1, 2, 3})
B3 : salió un número menor que 5 (B3 = {1, 2, 3, 4}).
Supongamos que se tira el dado. No vemos el resultado, pero
nos dicen que ocurrió el evento B1: salió un número impar. ¿Nos
ayuda esto a saber si ocurrió el evento A? Claro que sí: si salió
un número impar, sabemos que no salió un número par: no ocu-
rrió A.
Si nos dicen que ocurrió B2: salió un número menor que 4;
¿esto nos dice algo sobre si salió o no un número par? Veamos.
Antes de saber que ocurrió B2, nuestra expectativa sobre A era
que la probabilidad de que ocurriera era 1
2
. Sabiendo que ocu-
rrió B2 = {1, 2, 3}, nuestra expectativa con respecto a que haya
salido un número par cambió: ahora la probabilidad es de 1
3
.
En cambio, si nos dicen que ocurrió B3 = {1, 2, 3, 4}, esto
no cambia mucho nuestras expectativas sobre la ocurrencia de
A. Sabemos que no salió ni un 6 ni un 5, pero aún sabiendo esto,
la probabilidad de que haya ocurrido A sigue siendo lo que era:
1
2
. Calculemos:
P(A∩ B1) = P({ }) = 0 /= 1
2
1
2
= P(A)P(B1),
P(A∩ B2) = P({2}) = 1
6
/= 1
2
1
2
= P(A)P(B2),
P(A∩ B3) = P({2, 4}) = 1
3
= 1
2
2
3
= P(A)P(B3).
En el tercer caso, saber que ocurrió B3 no cambió nuestras ex-
pectativas sobre la ocurrencia de A. Los eventos A y B3 son in-
dependientes, y P(A∩ B3) = P(A)P(B3).
221
Probabilidad condicional y teorema de Bayes
A B
Figura xiii.
Dados dos eventos A y
B, queremos determinar
la probabilidad de A, si
ya sabemos que ocurrió
B. Esto se llama la pro-
babilidad condicional de
A, dado B, que notaremos
P(A∣B). Observemos la fi-
gura xiii..
Si sabemos que ha ocurrido B, P(A∣B) es el “peso relativo
de A en B”, o sea
P(A∣B) = P(A∩ B)
P(B)
—notemos que P(A ∩ B) = P(A∣B)P(B)—. Notemos también
que si A y B son independientes,
P(A∣B) = P(A∩ B)
P(B) = P(A)P(B)P(B) = P(A),
A
B1
B2
B3
S
Figura xiii.
o sea que la ocurrencia
de B nomodifica nuestras
expectativas sobre la ocu-
rrencia de A.
Consideremos un con-
junto S (de todos los re-
sultados posibles) partido
en tres partes disjuntas,
B1,B2 y B3. O sea que S =
B1∪B2∪B3 (figura xiii.).
Entonces cualquier evento A ⊂ S también es unión detres
partes disjuntas:
A = (A∩ B1) ∪ (A∩ B2) ∪ (A∩ B3);
luego,
222
P(A) = P(A∩ B1) + P(A∩ B2) + P(A∩ B3)= P(A∣B1)P(B1) + P(A∣B2)P(B2) + P(A∣B3)P(B3).
Pero ahora nos preguntamos: ¿qué nos dice el hecho de que
“ocurrió A” sobre la ocurrencia de, por ejemplo, B1?
P(B1∣A) = P(A∩ B1)
P(A) = P(A∣B1)P(B1)P(A)= P(A∣B1)P(B1)
P(A∣B1)P(B1) + P(A∣B2)P(B2) + P(A∣B3)P(B3) .
Así, si conocemos P(A∣Bi) y P(Bi) para i = 1, 2, 3 podremos
calcular P(Bj∣A). Es lo que dice el teorema de Bayes:
Teorema de Bayes: si B1, . . . ,Bn son disjuntos, y S = B1 ∪ . . .∪Bn,
P(Bj∣A) = P(A∣Bj)P(Bj)∑ni=1 P(A∣Bi)P(Bi) .
Una aplicación: Se tienen dos cajas, la primera con 10 bolitas
azules y 30 rojas, y la segunda con 20 bolitas de cada color. Se
elige una caja, y se saca de ella una bolita, que es azul. ¿Cuál es
la probabilidad de que se haya sacado de la primera caja?
Llamemos B1 y B2 a los eventos “elegir la caja 1” y “elegir
la caja 2”, respectivamente. Y llamemos A al evento “tomar una
bolita azul”. El teorema de Bayes nos dice entonces que, sabien-
do que salió una bolita azul, la probabilidad de haber elegido la
primera caja es
P(B1∣A) = P(A∣B1)P(B1)
P(A∣B1)P(B1) + P(A∣B2)P(B2) ,
o sea,
P(B1∣A) = 14 121
4
1
2
+ 1
2
1
2
= 18
3
8
= 1
3
.
La probabilidad de que haya sido elegida la primera caja
es de 1
3
.
223
Otra: En un colegio han tomado un examen a 320 chicos y
al director alguien le ha dicho que algunos se copiaron. El direc-
tor quiere al menos tener una idea de cuántos fueron los que se
copiaron. Charlando con el profe de matemática, éste le sugiere
preguntar a los alumnos, uno por uno.
—Es que dudo que digan la verdad ante semejante pregunta
—contesta el director.
—No tendrán problema si a la mitad les pedimos que digan
que sí se copiaron, sea o no verdad —contesta el profe.
Y le explica el siguiente procedimiento: cada alumno ha de
tirar unamoneda (y sólo el alumno ve el resultado). Se les pide a
todos que si sale cara, digan que se copiaron, y si sale ceca, digan
la verdad. Se hace el experimento y resulta que 171 alumnos
dicen que se copiaron. ¿Qué porcentaje de los alumnos se habrá
copiado realmente? Llamemos K al resultado “cara” al tirar la
moneda, y C a “ceca”. Y notemos con la letra A al evento “decir
que copié”. Tenemos entonces
P(A∣K) = 1,
P(A∣C) = x, el porcentaje que se quiere averiguar,
P(A) = 171
320
, la fracción que dijo “copié”.
Entonces, por la igualdad anterior del teorema de Bayes, pode-
mos estimar:
P(A) = P(A∣K)P(K) + P(A∣C)P(C)
171
320
= 1 ⋅ 1
2
+ x 1
2= 1
2
+ x
2= 1 + x
2
,
de donde podemos despejar x = 2 ⋅ 171
320
− 1 = 0.06875, o sea que
se han copiado más o menos el 7% de los alumnos. Este colegio
tiene un problema grave.
224
Problemas
1) ¿Cuántas “palabras” (incluyendo las que no tienen sentido)
pueden formarse permutando las letras de las siguientes pa-
labras?
pato
pata
neuquen
2) ¿Cuántas señales pueden enviarse poniendo en un mástil 4
banderas rojas, 2 blancas, 3 azules y una amarilla?
3) ¿Cuántas rectas quedan determinadas por 8 puntos, entre
los cuales no hay ninguna terna alineada? ¿Y si hay una ter-
na alineada?
4) Se tira una moneda tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de
que salga cara exactamente dos veces?
5) De un mazo de cartas españolas (que no tienen ochos ni
nueves) te reparten tres cartas. ¿Cuál es la probabilidad de
tener una flor (tres cartas del mismo palo)?
6) Se tiran dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen
7? ¿Y de que sumen 5?
7) Jugando a la generala, tirás 5 dados y salen tres números
iguales. Te quedan dos tiros; ¿cuál es la probabilidad de ob-
tener generala (5 iguales)?
8) Una caja contiene 3 bolitas azules, 5 rojas y 4 blancas. Una
segunda caja contiene 2 bolitas de cada uno de los tres co-
lores; y una tercera, 8 azules y 8 blancas. Se elige una caja al
azar y se toma de ella una bolita. Es azul. ¿Cuál es la proba-
bilidad de que haya sido tomada de la segunda caja?
225
9) En un bar donde pasan un partido de la liga española de
fútbol ves una persona que claramente alienta al Barça. La
probabilidad de que una persona elegida al azar en ese bar
haya nacido en Barcelona es de 1
100
. La probabilidad de que
una persona nacida en Barcelona sea hincha del Barça es
0.99 y la probabilidad de que lo sea una persona no naci-
da en Barcelona es 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que la
persona que viste haya nacido en Barcelona?
10) Hay un premio tras una de tres puertas: A, B, C. Se nos per-
mite elegir una. Tras hacerlo, se nos muestra que una de las
dos restantes está vacía, y se nos pregunta si queremos cam-
biar nuestra elección original por la otra. ¿Qué hacemos?
11) Se sabe que 5 de cada mil personas padecen cierta enferme-
dad. Un test diagnóstico ha sido probado entre personas
que se sabe que tienen o que no tienen la enfermedad, y
se ha obtenido 1% de falsos negativos y 2% de falsos posi-
tivos. Si alguien se hace la prueba y da negativo, ¿qué pro-
babilidad hay de que realmente no tenga la enfermedad?
¿Y si da positivo?
226
XIV. Relojes y espías
Aritmética modular
Hoy es jueves, y tenés un partido de tenis dentro de 17 días.
¿Qué día de la semana será el partido? Dentro de dos semanas
—14 días— será otra vez jueves, y tres días más tarde, domingo.
El segundo tiempo de un partido de fútbol comenzó a las 10:37,
¿a qué hora termina el partido? Son las nueve de la mañana y
quedas con un amigo en encontrarse a las cuatro de la tarde, o
sea, ¿dentro de cuántas horas?
Todos los días hacés este tipo de cuentas, en las que usás
—sin saberlo— aritmética modular. La aritmética modular es
la aritmética de los ciclos, la aritmética de los números que se
repiten: los días de la semana se repiten cada 7, las horas cada
12, los minutos cada 60.
Y en las preguntas que acabo de mencionar lo que impor-
ta no es cuántos ciclos ocurren, sino el resto. 17 días son dos
semanas más 3 días, 82 minutos (37 + 45) es una hora más
22 minutos (el partido termina a las 11:22), y nueve más siete
es doce más cuatro (te encontrás con tu amigo dentro de siete
horas).
La longitud del ciclo se llama módulo. Si al dividir a por k
se obtiene el mismo resto que al dividir b por k:
a = kn + r
b = km + r,
227
diremos que “a es congruente a b, módulo k”, y lo escribire-
mos así:
a ≡ b (mód k).
Notemos que esto es lo mismo que decir que a − b es múltiplo
de k:
a − b = k(n −m) + 0.
Así, en los ejemplos de arriba,
17 ≡ 3 (mód 7)
82 ≡ 22 (mód 60)
16 ≡ 4 (mód 12).
Si el minutero de un reloj marca 23, dentro de 214minutos mar-
cará 57, pues 23 + 214 = 237 = 3 × 60 + 57, o sea,
237 ≡ 57 (mód 60).
Estas ecuaciones de congruencia se manejan con aritmética
modular, en donde lo que importa son los “restos módulo k”.
Por ejemplo,
3 + 2 (mód 4) es 1
1 + 1 (mód 2) es 0
2 × 4 (mód 3) es 2
2 × 9 (mód 5) es 3;
los resultados, claro, son siempre restos en la división por k:
0, 1, 2, . . . , k − 1.
Teniendo en cuenta que la aritmética a utilizar es ésta, pode-
mos plantear y resolver ecuaciones. Por ejemplo,
x + 6 ≡ 3 (mód 4)
x ≡ 3 − 6 (mód 4)
x ≡ −3 (mód 4)
x ≡ 1 (mód 4).
228
Podremos encontrar muchas soluciones, pero una dentro del
conjunto de “restos módulo k”; en este caso, 0, 1, 2, 3.
Intentemos resolver
2x + 3 ≡ 2 (mód 5)
2x ≡ −1 (mód 5)
2x ≡ 4 (mód 5),
y multiplicando ambos lados por 3:
x ≡ 2 (mód 5).
Aquí hemos multiplicado por 3 para eliminar el factor 2, ya que
en la aritmética “módulo 5” 3 = 2−1, o sea, 3 es el inverso multi-
plicativo de 2, ya que 3 × 2 ≡ 1 (mód 5)—y del otro lado de la
ecuación, 3 × 4 ≡ 2 (mód 5)—.
Pero no siempre habrá inversos. Intentemos resolver la mis-
ma ecuación en la aritmética de módulo 4:
2x + 3 ≡ 2 (mód 4)
2x ≡ −1 (mód 4)
2x ≡ 3 (mód 4),
pero no existe tal x porque 2x − 3 es impar: nunca es múltiplo
de 4. El 2 no tiene inverso “módulo 4”: ningún número multi-
plicado por dos tiene resto 1 al dividirlo por 4: no existen x y n
tales que 2x = 4n + 1.
En general, lo que ocurre es lo siguiente: existe un inverso
de a (módulo k) solamente cuando a y k son coprimos:ab ≡ 1 (mód k)
significa que ab − 1 es múltiplo de k:
ab − 1 = nk
ab + (−n)k = 1,
229
que, como vimos en el capítulo ii (lema de Bézout), ocurre cuan-
do a y k son coprimos. En los ejemplos anteriores, 2 y 5 son co-
primos, pero 2 y 4 no lo son.
Cuando p es un número primo, en la aritmética módulo p
los únicos elementos que no se pueden invertir son los múlti-
plos de p —que son ≡ 0 (mód p)—. Por esta razón, los núme-
ros primos desempeñan un papel importante en la aritmética
modular.
Necesitaremos el siguiente resultado, que se llama pequeño
teorema de Fermat: Si p es un número primo, y p no divide a a,
entonces
ap−1 ≡ 1 (mód p).
Veamos por qué: bastará ver que p divide a ap− a, pues ap− a =
a(ap−1 − 1) y —siendo p primo— como no divide al primer
factor, deberá dividir al segundo. Veamos entonces que p divide
a ap − a, para lo cual usaremos inducción:
a) si a = 1, 1p − 1 = 0, que es divisible por p;
b) si a > 1, nuestra hipótesis inductiva nos dice que p divide a
ap − a, y debemos probar lo mismo para (a + 1)p − (a + 1).
Ahora,
(a + 1)p − (a + 1) = p∑
j=0
(p
j
)a j − (a + 1)
= 1 + p−1∑
j=1
(p
j
)a j + ap − a − 1
= (ap − a) + p−1∑
j=1
(p
j
)a j
= (ap − a) + p−1∑
j=1
p!
j!(p − j)!a j
= (ap − a) + p p−1∑
j=1
(p − 1)!
j!(p − j)!a j,
230
que resulta divisible por p, ya que ambos términos lo son. En
la segunda igualdad hemos separado el primer término y el
último término de la sumatoria.
Mensajes secretos
A veces se requiere enviar un mensaje que no cualquiera pue-
da leer. Un espía envía material secreto a sus jefes; o bien haces
una compra por internet con los datos de una tarjeta de crédi-
to. . . Desde hace siglos este tipo de mensaje se envía “cifrado”,
de tal manera que sólo su destinatario lo pueda “descifrar”. O al
menos eso es lo que se pretende. Hoy en día, se invierte mucho
dinero y esfuerzo en cifrar y en descifrar. En los Estados Uni-
dos, la agencia gubernamental que se ocupa de estas cosas (la
nsa, National Security Agency) es el mayor empleador de mate-
máticos del país.
Digamos que querés enviar —de manera cifrada— el men-
saje
nos encontraremos esta noche a las nueve en lo
de nacho para ver el partido y comer una pizza
Una manera muy antigua —ya la usaba Julio César— de es-
conder el mensaje es reemplazar cada letra por, digamos, la si-
guiente:
ñpt fñdpñusbsfnpt ftub ñpdif b mbt ñvfwf fñ mp
ef ñbdip qbsb wfs fm qbsujep z dpnfs vñb qjaab
Acá, pizza es qjaab porque hemos considerado que la letra
siguiente a Z es la A, es decir, hemos considerado que el alfabeto
es cíclico.
Pero para que sea un poco más difícil descifrar el mensaje,
podemos hacer así: a cada letra o a cada símbolo que queramos
usar le asignamos un número de orden:
231
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N Ñ O P Q R S T U V W X Y
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ?
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
y, para cifrar nuestro mensaje, reemplazamos la letra con núme-
ro de orden n por la letra con número de orden, digamos, n + 7.
Pero claro, n+7 (mód 38), ya que estamos usando un “alfabeto”
cíclico de 38 símbolos. En lugar de Z pondremos 6, en lugar de
8 pondremos E. . . El mensaje queda así:
tvzltjvt0yhylsvzlz0htvjñlhrhzt1l2lltrv
klthjñvwhyh2lylrwhy0okv5jvsly1thwo66h
Hemos omitido los espacios entre palabras, ya que facilitan
bastante el descifrar nuestro mensaje. Está claro que podríamos
igualmente haber cifrado el mensaje reemplazando la letra de
número de orden n por la de número de orden n+15 (mód 38),
o n + 21 (mód 38), o n + b (mód 38), donde b es cualquiera
de los números 1, 2, . . . , 37. Este b es la “llave” que usamos para
cifrar nuestro mensaje. Así, cada letra es reemplazada, según su
número de orden, mediante la regla
n ↦ x ≡ n + b (mód 38).
El destinatario del mensaje recibe x en lugar de n, pero conoce
nuestro método de cifrar (los 38 símbolos de nuestro alfabeto y
sus números de orden) y también la llave b. Entonces, descifrará
el mensaje haciendo para cada letra la transformación
x ↦ n ≡ x − b (mód 38).
¿Puede nuestro mensaje ser descifrado por alguien que lo lee
232
sin conocer nuestro método y nuestra llave b? Desconociendo
nuestro alfabeto y su orden, no es tan fácil. Pero si sólo le falta
saber la llave b puede hacerlo analizando la frecuencia de los
símbolos en el mensaje. Le bastará adivinar el cifrado de una
letra: n1 ↦ x1, porque entonces sabrá (conociendo n1 y x1) que
x1 ≡ n1 + b (mód 38),
de donde despejará
b ≡ x1 − n1 (mód 38),
con lo que ya conocerá nuestra llave b. Las letras más frecuentes
en textos en castellano son la E y la A. La que más aparece en
nuestro mensaje cifrado es la L: once veces. De manera que qui-
zás la L corresponda a la A o la E. . . Veamos: si L corresponde a
A, la llave usada habrá sido b ≡ 11−0 (mód 38), o sea b = 11, y
el mensaje descifrado sería: jloaj9l. . . , lo cual no parece tener
sentido. . . Si la L corresponde a la E, la llave habrá sido b ≡ 11−4(mód 38), o sea b = 7, y el mensaje descifrado
nosencontraremosestanochealasnueveenlo
denachoparaverelpartidoycomerunapizza
O sea, nos han descubierto.
Nuestro método de cifrado puede mejorarse de varias ma-
neras. Una es reemplazar cada letra, según su número de orden,
mediante una regla un poco más complicada que la anterior; es-
ta regla usa dos “llaves”, a y b:
n ↦ x ≡ an + b (mód 38).
Nuestro receptor deberá descifrar el mensaje haciendo
x ↦ n ≡ a−1(x − b) (mód 38),
para lo cual el valor de a que utilizamos deberá ser coprimo
con 38. Si ponemos, por ejemplo, a = 3 y b = 7 nuestro mensaje
queda
233
gñzsgmñg2whwsfñzsz2hgñm1shchzgys8ssgcñ
psghm1ñqhwh8swscqhw24pñgmñfswyghq4jjh
Este mensaje cifrado es menos transparente que el anterior, ya
que —por ejemplo— A es reemplazada por H (siete más en el
número de orden), pero B no es reemplazada por I sino por K,
y P por Q, de manera que la “distancia” entre un símbolo y su
cifrado no es siempre la misma.
Si alguien que desconoce las llaves a y b intercepta el men-
saje, deberá adivinar el cifrado de dos letras: n1 ↦ x1 y n2 ↦ x2.
Con esta información puede plantear el sistema de ecuaciones
x1 ≡ an1 + b (mód 38)
x2 ≡ an2 + b (mód 38)
de donde podrá despejar primero a, haciendo
x1 − x2 ≡ a(n1 − n2) (mód 38)(x1 − x2)(n1 − n2)−1 ≡ a (mód 38).
Esto último, si tiene la suerte de que n1−n2 sea coprimo con 38
para poder invertirlo. Sabiendo a, despejará b:
b ≡ x1 − an1 (mód 38).
Por ejemplo, si adivina E y A no le servirá, ya que n1 − n2 =
4 − 0 = 4, que no es coprimo con 38. Pero si adivina la O y la E,
tendrá n1 − n2 = 15 − 4 = 11, que es primo, y otra vez nos han
descubierto.
Una manera más efectiva de mejorar nuestra manera de ci-
frar es la siguiente. Podemos reemplazar nuestro alfabeto por
el “alfabeto”: AA, AB, AC, AD. . . formado por 382 = 1444 sím-
bolos (cada “símbolo” un par de letras del alfabeto anterior), y
considerar que nuestro mensaje es
no se nc on tr ar em os es ta no ch ea
la sn ue ve en lo de na ch op ar av
er el pa rt id oy co me ru na pi zz a0
A cada “símbolo” o “par” le asignamos un número de orden
234
entre 0 (correspondiente a AA) y 1443 (correspondiente al sím-
bolo: ??) y los transformamos, por ejemplo, mediante la regla
n ↦ x ≡ 675n + 1107 (mód 1444).
Este cifrado no será tan fácil de quebrar. No porque los números
sean grandes, sino porque esmás difícil analizar la frecuencia de
estos símbolos “pares”. ¿Qué símbolo es más común, AR, OS, o
SE?. . . ÑÑ seguro que no es muy común. . .
(⋆) Sistemas de llave pública
En los sistemas de cifrado que hemos visto, el conocer la “lla-
ve” con que se ha cifrado el mensaje inmediatamente habilita a
descifrarlo. Por ejemplo, si se ha cifrado usando
n ↦ x ≡ an + b (mód 38),
cualquiera que conozca las llaves a, b podrá usar −b y a−1 para
descifrar
x ↦ n ≡ a−1(x − b) (mód 38).
Durante siglos ha sido así: conocer la llave del cifrado y po-
der descifrar han sido equivalentes. Pero desde hace relativa-
mente poco (unos 30 o 40 años) existen sistemas de cifrado de
“llave pública”,en los cuales conocer la llave usada para cifrar
no ayuda a descifrar. Esto resulta muy útil: cualquiera puede en-
viar un mensaje cifrado con la llave pública a quien tiene la lla-
ve para descifrar, y por más que el mensaje sea visto por otros,
sólo el destinatario lo podrá leer. Tales sistemas son utilizados
hoy, por ejemplo, en las comunicaciones por internet y mensa-
jes entre bancos. También es posible usar estos métodos para
crear “firmas” no duplicables, que aseguran la autenticidad de
la procedencia de un mensaje.
Veremos cómo funciona uno de estos sistemas, llamado sis-
tema RSA (por los apellidos de sus creadores, Rivest, Shamir y
Adleman).
235
El sistema se basa en la enorme dificultad que supone fac-
torizar un número n = pq, producto de dos primos p y q muy,
muy grandes. 15 = 3 × 5, y 527 = 17 × 31. Pero 903615829 = . . .
no es tan fácil, y eso que es producto de dos primos de sólo cin-
co cifras cada uno. Si se toma como n el producto de dos primos
de los más grandes conocidos (cada uno de ellos de millones de
cifras) ninguna computadora alcanzará a factorizarlo.
Digamos que querés armar un sistema RSA, de manera que
todos puedan enviarte mensajes secretos que sólo vos podrás
descifrar. Tomas dos números primos enormes: p y q, y los
multiplicas: n = pq. También elegís un número k grande pe-
ro menor que el número (p − 1)(q − 1), y que sea coprimo con(p − 1)(q − 1). Das a conocer públicamente estos dos números,
n y k. Éstos serán la “llave pública”.
Mientras tanto, vos tendrás la “llave privada”, d, para desci-
frar: calcularás
d ≡ k−1 (mód (p − 1)(q − 1)),
es decir que valdrá dk ≡ 1 (mód (p− 1)(q − 1)). Para que exis-
ta k−1 es que has tomado k coprimo con (p − 1)(q − 1). ¡Los
números p, q y d no se los das a nadie!
Para enviarte un mensaje deberán hacer así: digamos que
quieren enviarte el número m (ya hemos visto que los mensa-
jes pueden traducirse a números y viceversa). Deberán calcular
—conociendo n y k— el número
c ≡ mk (mód n).
Este c es el mensaje cifrado que te transmiten a vos, y que todos
pueden ver.
Al recibir c harás lo siguiente para recuperar el mensaje m:
calcularás
cd (mód n),
y tendrás m. ¿Por qué recuperarás m al calcular cd (mód n)?
Por lo siguiente: como dk ≡ 1 (mód (p − 1)(q − 1)), resulta
236
que dk − 1 es múltiplo de (p − 1)(q − 1); digamos que dk − 1 =
r(p − 1)(q − 1). Entonces
mdk = mdk−1m= mr(p−1)(q−1)m= (mp−1)r(q−1)m ≡ 1r(q−1)m (mód p)= m (mód p),
donde hemos usado el pequeño teorema de Fermat: mp−1 ≡ 1(mód p), si p no divide a m. De la misma manera, intercam-
biando los papeles de p y q,
mdk = mdk−1m= mr(p−1)(q−1)m= (mq−1)r(p−1)m ≡ 1r(p−1)m (mód q)= m (mód q).
Así, mdk resulta congruente a m en módulo p y también en mó-
dulo q. Pero entonces será mdk ≡ m (mód n), ya que si mdk−m
es múltiplo de p y de q, lo es también de n = pq. Entonces,
cd ≡ (mk)d (mód n) ≡ mdk (mód n) ≡ m (mód n).
¿Por qué vos has podido descifrar c y obtener m pero nin-
guna otra persona lo puede hacer? Lo que es de público conoci-
miento es n y k, pero vos has utilizado
n y d ≡ k−1 (mód (p − 1)(q − 1)).
Nadie puede calcular d sin conocer (p−1)(q−1), pero para esto
necesitarían conocer al menos uno de los primos p o q, que sólo
vos conoces. Por ejemplo, si conocieran p,(p − 1)(q − 1) = pq − p − q + 1= n − p − n
p
+ 1.
237
Justamente, el sistema se basa en la dificultad de obtener p o q
de su producto n.
Hemos utilizado el pequeño teorema de Fermat, para lo
cual el mensaje m no debe ser múltiplo de p ni de q. Pero es
que p y q son tan grandes que ningún mensaje m de tamaño
razonable será múltiplo de alguno de ellos.
El teorema chino del resto
Al explicar el funcionamiento del sistema RSA, encontramos
que mdk era solución simultánea de dos ecuaciones, una módu-
lo p y la otra módulo q. Podríamos preguntarnos si siempre se
podrá resolver un sistema de ese tipo:
x ≡ a1 (mód n1)
x ≡ a2 (mód n2).
La respuesta es que no. Por ejemplo,
x ≡ 1 (mód 2)
x ≡ 2 (mód 4)
no tiene solución: la primera ecuación requiere que x sea impar,
y la segunda que sea par.
Pero cuando n1 y n2 son coprimos siempre hay solución. Es-
to lo descubrió Sun Tzu (Sūnz̆ı), matemático chino del siglo v,
por lo que el teorema se conoce como el teorema chino del resto:
Si n1, . . . , nk son coprimos dos a dos (o sea cualquier par de ellos
son coprimos entre sí), entonces para cualesquiera a1, . . . , ak el
siguiente sistema de ecuaciones tiene solución:
x ≡ a1 (mód n1)
x ≡ a2 (mód n2)⋮
x ≡ ak (mód nk).
238
Veamos por qué: Tomemos N como el producto N = n1⋯nk.
Así, para cada i = 1, . . . , k, el número N
ni
resulta ser el producto
de todos salvo el ni . Notemos que
N
ni
y ni son coprimos: si algún
primo divide a ambos, por dividir a N
ni
, divide a algún n j que no
es ni . Pero entonces n j y ni no serían coprimos. Entonces, por
el lema de Bézout tenemos que existen, para cada i, enteros bi y
ci de manera que
bi
N
ni
+ cini = 1.
Tomaremos como x el valor
x = k∑
i=1
ai
N
ni
bi .
Veamos que resuelve el sistema, o sea que para cada j, x ≡ a j(mód n j). En efecto,
x − a j = k∑
i=1
ai
N
ni
bi − a j
= ∑
i/= j
ai
N
ni
bi + a j N
n j
b j − a j
= ∑
i/= j
ai
N
ni
bi + a j (N
n j
b j − 1)
= ∑
i/= j
ai
N
ni
bi − a jc jn j,
que es múltiplo de n j, ya que
N
ni
lo es para todo i distinto de
j. En la segunda igualdad hemos separado el término j-ésimo
de la suma, dejando en la sumatoria los términos de índice dis-
tinto a j.
239
Problemas
1) Probá que si a ≡ x (mód k) y b ≡ y (mód k), entonces
a + b ≡ x + y (mód k)
y
ab ≡ xy (mód k).
2) Probá que si m y n son coprimos, y a ≡ b tanto en (mód m)
como en (mód n), entonces
a ≡ b (mód mn).
3)
i) Verificá que 23 876 ≡ 6 (mód 10).
ii) Probá que 23 8762 ≡ 6 (mód 10).
iii) Probá que 23 876n ≡ 6 (mód 10) para todo n.
iv) ¿Cuál será la última cifra de 7813275?
v) ¿Y la de 1225708?
vi) ¿Y la de 2 042404?
4) Probá que no existe a tal que a2 ≡ 2 (mód 4).
5) Probá que si k es par, y a ≡ 2 (mód k), no existe ningún n
tal que an ≡ 3 (mód k).
6) Te envían el mensaje
8crñ0dzjdñuñd8jlñ208zc
que sabés ha sido cifradoponiendo n ↦ x ≡ an+b (mód 38),
usando las llaves a = 3 y b = 2. Descifralo.
7) Interceptas el mensaje
vdt6w80tu4xb9a8vdat?dxcdb9t4tuatb
bxt65x28axb?dxx4b14x6v18
240
que ha sido cifrado usando n ↦ x ≡ n + b (mód 38), pero
desconoces la llave b. Descifralo.
8) Probá que si los primos p y q no dividen a a, entonces
a(p−1)(q−1) ≡ 1 (mód pq).
9) Probá que si m y n son coprimos, para cualquiera de los
restos módulo n: r = 0, 1, 2, . . . , n − 1, existe un k tal que
km ≡ r (mód n).
10) Encontrá k, m, y n tales que
56k ≡ 2 (mód 3),
24m ≡ 5 (mód 7),
21n ≡ 4 (mód 8).
11) Usando lo encontrado en el ejercicio anterior, encontrá x
tal que
x ≡ 2 (mód 3),
x ≡ 5 (mód 7),
x ≡ 4 (mód 8).
12) Calculando la diferencia de dos cuadrados consecutivos,
probá que todo número impar es diferencia de cuadrados.
Usando esto, probá que existen infinitas “ternas Pitagóri-
cas”: X2 + Y2 = Z2.
El pequeño teorema de Fermat se llama así porque hay otro
(gran) teorema de Fermat, también llamado el último teore-
ma de Fermat, que dice: para ningún n > 2 existen números
naturales X,Y ,Z tales que
Xn + Y n = Zn.
241
Fermat escribió este enunciado en elmargen de un libro
que estaba leyendo en 1637, agregando que tenía unamara-
villosa demostración de este resultado, pero que el margen
era demasiado chico para escribirla. . .
Durante 357 años muchos intentaron dar una demos-
tración, pero todos fracasaron, por lo que el último teore-
ma de Fermat se convirtió en uno de los problemas más
famosos y difíciles de la matemática.
El teorema fue finalmente demostrado en 1994 por
AndrewWiles.
242
EPÍLOGO
Hasta aquí llegamos. Hasta el final del libro. El final de un pa-
seo, y el principio de muchos otros caminos posibles. Como le
recuerda el Gato de Cheshire a Alicia, el camino que tomes aho-
ra dependemucho de a dónde quieras ir. Sin embargo, no debes
perder de vista que, además de principio y fin,los caminos tie-
nen un recorrido. Y muchas veces la bondad y la belleza de un
camino se encuentran allí, en el recorrido. Hemos pasado por la
aritmética y la geometría. Nos hemos detenido a ver el círculo y
los triángulos. Nos hemos asomado a mirar la recta real, las de-
sigualdades y las esferas. Hemos aprendido a contar, a argumen-
tar con coherencia y a encarar problemas. Hemos visto también
que la matemática no es algo que estuvo siempre en los libros,
sino que la hicieron y la hacen personas como vos y yo.
El camino que hemos recorrido aquí es, creo yo, un camino
necesario. Si lo has caminado lentamente, has aprendidomucho.
Yo aprendí mucho escribiéndolo. Pero sobre todo espero que,
como al recorrer cualquier camino, te haya llamado la atención
algún paisaje, te hayas detenido a observar alguna flor de color
extraño y hermoso, alguna piedra particularmente bella (te con-
fieso mis preferidas: el teorema de las cuerdas, la desigualdad
isoperimétrica, el volumen de la esfera). Esa flor y esa piedra re-
cogela y guardala en un bolsillo. Muéstrasela a una amiga, a un
hijo. Son, como todo lo bueno de la vida, para compartir.
243
BIBLIOGRAFÍA
He puesto entre corchetes [n] el número del capítulo en donde
es más pertinente. Cuando hay traducción al castellano, he tra-
tado de indicarlo.
Alsina, Claudi, y Enric Trillas, Lecciones de álgebra y geometría.
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Rubio, Baldomero, Números y convergencia, publicación del
autor, 2006 [vi].
246
ÍNDICE ANALÍTICO
A0, A1, A2, A3, A4. . . : serie de tamaños
de papel, 162–163
Abel, Niels Henrik, 94
Adleman, Leonard, véase sistema de lla-
ve pública RSA
Alejandría, 66, 139
álgebra, 85, 94, 110, passim
algoritmo de división, 45–46, 48, 56, 94,
103
Almagesto (Ptolomeo), 139, 146
alturas (cevianas), véase bajo cevianas
amortización, 169, 172
ángulos, 68 ss., passim
agudos, 35
alternos internos, 72, 73, 202
inscritos en una semicircunferen-
cia, 133, 153
interiores de polígonos, 80
interiores de triángulos, 72, 133
opuestos de cuadriláteros cíclicos,
139
opuestos por el vértice, 18, 71, 135
rectos, 68, 71, 133, 134, passim
véanse también arco capaz, cuadriláte-
ros cíclicos, funciones circulares,
senos y cosenos
Apología de un matemático (Hardy), 22
Aquiles y la tortuga (paradoja de Ze-
nón), 98–99
arco capaz, 132–134, 140, 148, 149
áreas
de círculos, 18, 130–131
de las figuras con igual perí-
metro, la de mayor área es el
círculo, 185, véase también de-
sigualdad isoperimétrica bajo
desigualdades
de cuadrados
con un mismo perímetro, el
rectángulo de mayor área es
el cuadrado, 90–91, 184, véan-
se también desigualdad arit-
mético-geométrica, desigual-
dad isoperimétrica bajo de-
sigualdades
de figuras curvas, 190
método de Eudoxo, 190
de la elipse, 204
de la superficie de la esfera, 198,
201–204
de la superficie del cilindro, 198,
199
de la superficie del cono, 199–200
de la superficie del frustum, 201–
203
247
de los cuadrados de los catetos y la
hipotenusa, véase teorema de Pi-
tágoras
de paralelogramos, 73
de polígonos, 138
de rectángulos, 73, 184, 185
de triángulos, 73, 150, 191
a partir de lamedida de sus la-
dos, 152 ss.
con igual perímetro, el de
mayor área es el equilátero,
189, véase también desigual-
dad isoperimétrica bajo de-
sigualdades
véase también principio de Cavalieri
Argerich, María, 18
aritmética
de los números naturales, 45–53
de polinomios, 94–95
teorema fundamental, 52
véanse también algoritmo de división,
aritmética modular (infra), de-
sigualdad aritmético-geométri-
co-armónica (bajo desigualda-
des), media aritmética (bajome-
dias)
aritmética modular, 227–231, véase en
general todo el capítulo xiv
Arquímedes, 190, 196–198
Ars magna (Cardano), 93
axioma, 66
baricentro, 157
Bayes, Thomas, véase teorema de Bayes
Belgrano, Manuel, 25
Bézout, Étienne, véase lema de Bézout
Biblia, 66, 130
Biblioteca de Alejandría, 139
binomial, véanse fórmula binomial, nú-
meros combinatorios, triángulo de
Pascal
binomio, cuadrado de un, 53, 89
bisectrices, véase bajo cevianas
Bolyai, János, 69
Borges, Jorge Luis, 92
Boyle-Mariotte, ley de, 63
cálculo, 190
diferencial, 110, 191
integral, 191, véase también princi-
pio de Cavalieri
capicúa, 208, 217
Cardano, Girolamo, 93
catetos, véanse teorema de Pitágoras,
triángulo rectángulo bajo triángulos
Cauchy, Augustin Louis, 97, véase tam-
bién desigualdad de Cauchy, bajo de-
sigualdades
Cavalieri, Bonaventura, 190, 191, véase
también principio de Cavalieri
ceros (o raíces) de polinomios, 92, 93,
95, 164
Ceva, Giovanni, 155, véanse también ce-
vianas, teorema de Ceva
cevianas, 155–159
alturas, 158–159
bisectrices, 157–158
medianas, 157
Cicerón, 198
cifrado, véase criptografía
cilindro, véase bajo volúmenes
círculo, 130 ss., passim
área, 18, 130–131
de las figuras con igual perí-
metro, la de mayor área es el
círculo, 185
circunferencia, 68, 130
ecuación implícita, 188
semicircunferencia, 133, 153
y cuadriláteros cíclicos (quod
vide), 138 ss.
conjunto convexo, 124
cuadratura, 78, 136
véanse también ángulos, arco capaz,
circuncentro, circuncírculo, fun-
ciones circulares, incentro, inra-
dio, línea de Simson, mediatri-
248
ces, π, senos y cosenos, teorema
de las cuerdas
circuncentro, 70, 155
circuncírculo, 70, 142, 153
circunferencia, véase bajo círculo
circunradio, 153
Cocteau, Jean, 22
coeficientes binomiales, 214, véanse fór-
mula binomial, números combinato-
rios, triángulo de Pascal
Cómo plantear y resolver problemas (Pó-
lya), 32
compleción de cuadrados, 85–90
común denominador, 42, 58
común divisor, véase divisor común
común múltiplo, véasemúltiplo común
congruencia, véase aritmética modular
conjuntos, 211–213, 216, passim
convexos, véase convexidad
conmensurabilidad,78
cono, véase bajo volúmenes
convexidad, 124–127, 185, 186
coordenadas, 111, 114, 146, 147, passim,
véase también plano R2
coprimos, véase números coprimos
Corach, Gustavo, 18
cosenos, véase senos y cosenos
cota, 106–107
criptografía, 231–235, véanse también
aritmética modular, sistema de llave
pública RSA
cuadrado de un binomio, 53, 89
cuadrados
rectángulos de mayor área con
igual perímetro, 90–91, 184, véa-
se también desigualdad isoperi-
métrica bajo desigualdades
cuadrados, completar, véase comple-
ción de cuadrados
cuadrados, diferencia de, 54, 241
cuadraturas
de polígonos, 138
de rectángulos, 136
de triángulos, 137
del círculo, 78, 136
y teorema de las cuerdas, 136
cuadriláteros cíclicos, 138–142, 166
todos los rectángulos lo son, 141
véase también teorema de Ptolomeo
cuerda, 132, 146
véase también teorema de las cuerdas
decimales periódicos, 101
Dedekind, Richard, 97
denominador común, véase común de-
nominador
densidad de la recta racional, 60
Descartes, René, 110, véanse también
coordenadas, geometría analítica,
plano R2
descomposición en primos, véase bajo
números primos
desigualdades, 59, 178 ss.
cambio de dirección, 59
desigualdad aritmético-geométri-
ca, 178, 183, 184
desigualdad aritmético-geométri-
co-armónica, 182–184
desigualdad de Cauchy, 178–180,
182
desigualdad de Santaló, 189
desigualdad geométrico-armóni-
ca, 178, 183
desigualdad isoperimétrica, 91,
178, 184–186, 189
desigualdad triangular, 72, 178
diferencia de cuadrados, 54, 241
discriminante, 90, 178–180
división, véanse algoritmo de división,
aritmética, divisor común, máximo
común divisor, polinomios
divisor común, 48–51, véase también
máximo común divisor
Duarte, Betina, 18
ecuaciones, 37, 84, passim
cuadráticas, 83–92, 178–179
y φ, 164
249
de congruencia, 228, véase aritmé-
tica modular
de rectas en el plano, 114 ss., véa-
se también forma implícita de
representación de rectas en el
plano
en diferencias, 170–175
de primer orden, 171–173
de segundo orden, 173–175
implícitas de puntos en el plano
(circunferencias, elipses, rectas),
114, 188, véase también forma
implícita de representación de
rectas en el plano
sistema de ecuaciones lineales,
120–124
determinante del sistema, 124
Einstein, Albert, 25
Elementos (Euclides), véase bajo Eucli-
des
elipse
área, 204
definición, 36
ecuación, 188
esfera, véase bajo volúmenes
Etcheverry, María Silvia, 18
Euclides, 25, 66–69, 72, 75, 130
Elementos, 25, 66, 68, 69, 71
nociones comunes, 68, 69, 71
postulados, 68
primero (segmento de recta),
68, 69
segundo (extensión de seg-
mento), 68
tercero (circunferencia), 68,
69, 130
cuarto (ángulos rectos), 68
quinto (paralelas), 68, 69, 72
proposición , 69, 70
proposición , 71, 72
proposición , 71
proposición , 72
véanse también geometrías no-eucli-
dianas, regla y compás
Eudoxo, 190
factorial, 210–213, véase también núme-
ros combinatorios
Fermat, Pierre de, 110, 242, véanse
también geometría analítica, peque-
ño teorema de Fermat, plano R2, teo-
rema de Fermat
Fernández Unzueta, Maite, 18
Ferrari, Ludovico, 93–94
φ, 163–166
y el pentagrama, 164–166
y la fórmula cuadrática, 164
y la sucesión de Fibonacci, 164,
168, 174–175
Fibonacci (Leonardo Pisano Bigollo),
168, véase también sucesión de Fibo-
nacci bajo sucesión
Fitzgerald, Edward, 92
Fontana, Niccolò (Tartaglia), 93, véase
también triángulo de Pascal
forma implícita de representación de
rectas en el plano, 115–118
forma paramétrica de representación de
rectas en el plano, 115–119
fórmula binomial, 214–216, véanse tam-
bién números combinatorios, trián-
gulo de Pascal
fórmula cuadrática, 85–90, 179
y φ, 164
fórmula de Herón, 20, 152 ss.
fracciones, véase números racionales
frustum (plural, frusta), 200–203
funciones circulares, 146–154
funciones trigonométricas, véase fun-
ciones circulares
Galois, Évariste, 94
Gauss, Carl Friedrich, 39, 69
Gay-Lussac, ley de, 63
generatriz, 199
Gentile, Enzo, 31
geometría
analítica, 110 ss.
250
geometrías no-euclidianas, 69
serie geométrica, 100–102, 167
véanse también ángulos, comple-
ción de cuadrados, desigualda-
des, Euclides, medias, los diver-
sos teoremas tratados en esta
obra, etc.: muchos de los temas
aquí expuestos son de naturale-
za geométrica
Greene, Graham, 22
Hadamard, Jacques, 22
Hardy, G. H., 22–23
Herón de Alejandría, véase fórmula de
Herón
Hiparco de Nicea, 146
Hipócrates de Quíos, véase teorema de
las lúnulas de Hipócrates
hipotenusa, véanse teorema de Pitágo-
ras, triángulo rectángulo bajo trián-
gulos
hipótesis inductiva, 41, 53, véase tam-
bién inducción
Hisab al-jabr w’al-muqabala (al-Juaris-
mi), 85
Ilíada (Homero), 98
incentro, 158
inducción, 41–44, 52, 54, véase también
hipótesis inductiva
inecuaciones, 59, 178, véase también de-
sigualdades
inradio, 161
interés compuesto, 168–169, 172
Jayyam, Omar, 92, 93
Jeanneret-Gris, Charles-Édouard, véase
Le Corbusier
al-Juarismi, Mohammad ibn Musa, 85–
88, 90, 92
La Nación, 24
Le Corbusier (Charles-Édouard Jeanne-
ret-Gris), 163–164
Leibniz, Gottfried Wilhelm, 97, 190
lema de Bézout, 50, 230
Leonardo da Vinci, 144
ley de Boyle-Mariotte, 63
ley de Gay-Lussac, 63
Liernur, Francisco, 18
Lincoln, Abraham, 25
Lindemann, Ferdinand von, 78
línea de Simson, 142–143
llave privada, llave pública, véase siste-
ma de llave pública RSA
Lobachevski, Nikolai Ivanovich, 69
matemática, 19, passim
ciencia deductiva, 66
objeto de estudio, 19
y las ciencias, 19
máximo común divisor, 49–51, 53
media de cuadrados, véase raíz media
de cuadrados bajomedias
medianas, véase bajo cevianas
medias
aritmética, 180, 182
armónica, 181, 182
geométrica, 180, 182
raíz media de cuadrados, 182
relación entre medias aritmética,
geométrica y armónica, 182
véanse también desigualdad aritméti-
co-geométrico-armónica, desi-
gualdad de Cauchy bajo desi-
gualdades
mediatrices, 70, 76, 138, 155
mínimo común múltiplo, 48–51, 53
módulo, véase aritmética modular
monomios, 92, véase también polino-
mios
Moreno Castillo, Ricardo, 18
multiplicación, véase producto
múltiplo común, 48, 49, véase también
mínimo común múltiplo
Museo (Alejandría), 139
N, véase números naturales
n! (n factorial), véase factorial
251
National Security Agency (nsa), 231
Neumann, John von, 109
Newton, Isaac, 97, 190
nociones comunes (Euclides), véase ba-
jo Euclides
notación matemática: cómo leerla, 36–
37
número áureo, véase número de oro
número de oro, 164, véase φ alfabetiza-
do como fi
números combinatorios, 212, 214, véan-
se también factorial, fórmula bino-
mial, triángulo de Pascal
números conmensurables, 78
números coprimos, 50–52, 229, 230,
236, 238, 239
números decimales periódicos, 101
números enteros, 47, 50, 51, 76, 104
números irracionales, 18, 78, 97, 104
densidad de, 79
números naturales, 38–53, 78
números negativos, 76
números positivos, 76
números primos, 46–48, 50–53, 239
descomposición en primos, 51–53
en el sistema de llave pública RSA,
236–238
en la aritmética modular, 230, véa-
se también pequeño teorema de
Fermat
producto de primos, 52
véase también teorema fundamental
de la aritmética
números racionales, 56–60, 78, 97, 103–
107
densidad de, 60, 79
véase también recta racional
números reales, 97, 104, 105, véase tam-
bién recta real
ortocentro, 159
paralelogramo, 73, 129, 161
Partenón, 164, véase también rectángu-
lo áureo
Pascal, Blaise, véase triángulo de Pascal
pendiente, 60–62
pentagrama y φ, 164–166
pequeño teorema de Fermat, 230–231,
237, 238, 241, véase también teorema
de Fermat
permutaciones, 207–210, véase también
factorial
phi, véase φ alfabetizado como fi
π, 18, 130, 131, passim
área del círculo de radio uno, 186
calculado por Arquímedes, 196
imposible hallarlo con regla y com-
pás, 77
valores de π en la antigüedad, 130
Picasso, Pablo, 26
Pinasco, Damián, 18
pirámide, véase bajo volúmenes
Pitágoras, 75, véase teorema dePitágo-
ras
plano R2, 110–113 ss., véanse también
forma implícita de representación de
rectas en el plano, forma paramétri-
ca de representación de rectas en el
plano, geometría analítica
Platón, 25
polígonos
ángulos interiores, 80
convexos, 127
cuadraturas, 138
número de diagonales, 80
polinomios, 91–95
aritmética de, 94–95
característico, 173, 174
véase también raíces (o ceros) de poli-
nomios
Pólya, George, 32
postulados (Euclides), véase bajo Eucli-
des
Prieto Yerro, Angelines, 18
principio de Cavalieri, 190–198
prisma rectangular, véase bajo volúme-
nes
252
probabilidad, 105–106, 209, 216–224
condicional, 222–224
producto, 42, 47 ss., passim
de fracciones, 58–59
de primos, véase bajo números pri-
mos
multiplicación de puntos del plano
R
2 por números, 112–113
véanse también áreas, aritmética,
aritmética modular, mínimo co-
mún múltiplo, múltiplo común,
polinomios
proporción, 61–64
proposiciones (Euclides), véase bajo
Euclides
Psicología de la invención en el campo
matemático (Hadamard), 22
Ptolomeo, 139, 146, véanse también cua-
driláteros cíclicos, teorema de Pto-
lomeo
Q, véanse números racionales, recta ra-
cional
R, véanse números reales, planoR2, rec-
ta real
raíces (o ceros) de polinomios, 92, 93,
95, 164√
2, 18, 97, 104, 107
cómo trazarla con regla y compás,
77
en el plano R2, 112
en la serie de tamaños de papel Ax,
162–163
irracionalidad de, 78–79, 82
véanse también números irracionales,
números reales
raíz media de cuadrados, 182
recta numérica, 76, 180
recta racional, 60, 79, 97
densidad de, 60
diferencia con la recta real, 106–
107
véase también números racionales
recta real, 97, 102–107
diferencia con la recta racional,
106–107
véase también números reales
rectángulos
áureo, 164, 175, 176
con regla y compás, 165
cuadratura, 136
cuadrilátero cíclico, 141
véanse también áreas de cuadrados y
áreas de rectángulos bajo áreas,
suma de rectángulos bajo suma
rectas, véanse ecuaciones de rectas en
el plano bajo ecuaciones, forma im-
plícita de representación de rectas en
el plano, forma paramétrica de repre-
sentación de rectas en el plano, postu-
lados primero y segundo bajo Eucli-
des
regla y compás, 66–68, 76–78, 80, 81,
136, 138, 143, 159, 165
República (Platón), 25
resto, véanse algoritmo de división, arit-
mética modular, teorema chino del
resto, teorema del resto
Rivest, Ronald, véase sistemade llave pú-
blica RSA
RSA, véase sistema de llave pública RSA
Rubaiyat (Omar Jayyam), 92–93
Rubio, Baldomero, 18
Santaló, Luis, 189, véase también de-
sigualdad de Santaló, bajo desigualda-
des
secante, véanse teorema de la secante y
la tangente, teorema de las secantes
sección dorada, 162–166
semiperímetro de triángulos, véase bajo
triángulos
senos y cosenos, 146 ss.
definidos en términos de catetos e
hipotenusa, 148
seno y coseno de suma de ángulos,
150
253
seno y coseno del ángulo doble,
148, 150
véanse también teorema de los cose-
nos, teorema de los senos
serie, 100
“azul” (Le Corbusier), 164
“roja” (Le Corbusier), 164
geométrica, 100–102, 167
véase también sucesión
Shamir, Adi, véase sistema de llave públi-
ca RSA
ShangGao, véase teorema de ShangGao
Simson, Robert, véase línea de Simson
sistema de llave pública RSA, 235–238,
véanse también aritmética modular,
criptografía
subconjuntos, 211–213, 216, passim,
véase también convexidad
sucesión, 104, 105, 107, 164, 167–175
de Fibonacci, 167–168
y φ, 164, 168, 174–175
y transmisión de informa-
ción, 167–168
véase también serie
suma, 47, 99 ss., passim
como yuxtaposición de longitudes,
42
convergencia, 100
de ángulos, 150
de convexos, 125–127, 184, véase
también convexidad
de cuadrados, 179
de fracciones, 57–58, véase tam-
bién común denominador
de puntos del plano R2, 111–112
de rectángulos, 125, 184–185
véanse también aritmética, aritméti-
ca modular, convexidad, polino-
mios, serie
∑ (sumatoria, sumatorio), 99 ss., passim
Sun Tzu (Sūnz̆ı), 238
superficies, 199 ss., véanse áreas de la su-
perficie de la esfera, del cilindro, del
cono y del frustum bajo áreas
tangente, 141, 202, véase también teore-
ma de la secante y la tangente
Tartaglia (Niccolò Fontana), 93, véase
también triángulo de Pascal
teorema, etimología, 21
teorema chino del resto, 238–239
teorema de Bayes, 223–224, véase tam-
bién probabilidad condicional bajo
probabilidad
teorema de Ceva, 155
teorema de Fermat, 241–242, véase tam-
bién pequeño teorema de Fermat
teorema de la bandera británica, 81
teorema de la secante y la tangente, 145
teorema de las cuerdas, 134–138
y cuadraturas, 136
y teorema de Pitágoras, 135
teorema de las lúnulas de Hipócrates,
143
teorema de las secantes, 145
teorema de los cosenos, 151–153, 161
teorema de los senos, 153–154, 161
teorema de Pitágoras, 26, 67, 74–75, 138,
149, passim
y teorema de las cuerdas, 135
y teorema de Ptolomeo, 141
véanse también
√
2 (raíz cuadrada de
2), regla y compás
teorema de Ptolomeo, 139–141, 166
y teorema de Pitágoras, 141
véase también cuadriláteros cíclicos
teorema de Shang Gao = teorema de Pi-
tágoras (quod vide), 75
teorema de Varignon, 129
teorema de Viviani, 82
teorema del resto, 95
teorema fundamental de la aritmética,
52, véase también números primos
teorema gougu = teorema de Pitágoras
(quod vide), 75
teoría de juegos, 109
teoría de números: aplicaciones moder-
nas, 23
torre de Hanói, 169–170, 172–173
254
transmisión de información, 167–168
triángulo de Pascal, 214–216, véanse
también fórmula binomial, números
combinatorios
triángulos, 72–73, 146 ss.
ángulos interiores, 72
área, 73, 150
a partir de lamedida de sus la-
dos, 152 ss.
con igual perímetro, el de ma-
yor área es el equilátero, 189
baricentro, 157
congruentes, 76
cuadratura, 137
de Pascal, véase supra triángulo de
Pascal
de Tartaglia, véase supra triángulo
de Pascal
desigualdad de Santaló, 189
desigualdad isoperimétrica, 189
desigualdad triangular, 72, 178
dorado, 166
equilátero, véase también teorema
de Viviani
construcción de, 69
el de mayor área con igual pe-
rímetro, 189
gnomónico, 166
incentro, 158
inradio, 161
isósceles, 133, 150, 166
ortocentro, 159
rectángulo, 74, 148, véase también
teorema de Pitágoras
semejantes, 76, 77, 135, 140, 148,
157, 160, 166, 191, 202
semiperímetro, 152, 161, 189, véan-
se también desigualdad de San-
taló bajodesigualdades, fórmula
de Herón
véanse también ángulos, cevianas,
funciones circulares, senos y co-
senos, teorema de los cosenos,
teorema de los senos
trigonometría, véanse funciones circula-
res, senos y cosenos
último teorema de Fermat, véase teore-
ma de Fermat
Universidad Torcuato Di Tella, 15
Varignon, Pierre, véase teorema de Va-
rignon
Viviani, Vincenzo, véase teorema de Vi-
viani
volúmenes
de la esfera, 191, 197–198
de la pirámide, 194–196, 203
de la semiesfera, 197–198
del cilindro, 191–193, 198
del cono, 191, 193–196, 198
del prisma rectangular, 192–193
véase también principio de Cavalieri
Wiles, Andrew, 242, véase también teo-
rema de Fermat
Z, véase números enteros
Zalduendo, Susana, 18
Zenón de Elea, 97
255
243 
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nd
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ec
ul
tu
ra
ec
on
om
ic
a.
co
m
Quien abra este libro quizá no creerá que se trata de uno 
de divulgación: verá que hay ejercicios y problemas, y encontrará 
que todo lo que se afirma va acompañado de una demostración. 
No hay duda, en cambio, de que se trata de un libro que invita 
al lector a adentrarse en el pensamiento matemático a través 
de sus conceptos más elementales, aquellos que conforman 
la base firme de la edificación matemática: los números naturales 
y la aritmética; el punto y la recta; los ángulos, las funciones 
circulares y las ecuaciones; las permutaciones y la probabilidad. 
Ignacio Zalduendo escribió este libro para Iñaki y para todo 
aquel que aún tiene viva su curiosidad, disfruta de los desafíos 
y encuentra placer en el descubrimiento que llega después de pasar 
unrato pensando con lápiz y papel en mano. En esto se resume, 
a final de cuentas, la matemática.
Ignacio Zalduendo es doctor en ciencias matemáticas por la Universidad de Buenos 
Aires, investigador del Conicet (Argentina) y ha colaborado en las olimpiadas de 
matemática a nivel internacional e iberoamericano. Fue además vicerrector de la 
Universidad Torcuato di Tella, donde actualmente es profesor plenario. 
L A
C I E N C I A 
P A R A 
T O D O S
9786071642653-Zalduendo_Matemática-forro.indd 1 28/06/17 11:45
	Matemática para Iñaki
	Página legal
	Índice
	Prólogo
	I. La matemática
	La matemática y las ciencias
	La matemática y la sociedad
	La matemática y el individuo
	¿Cómo aprender matemática?
	La matemática y el lenguaje
	II. 1, 2, 3, . . .
	Los números naturales
	Un poco de aritmética de los números naturales
	Un poco más de aritmética
	Problemas
	III. Fracciones
	Los números racionales
	Pendientes y proporciones
	Problemas
	IV. Ángulos
	Euclides
	El teorema de Pitágoras
	Puntos (y agujeros) en la recta
	Problemas
	V. Cuadrados y polinomios
	Ecuaciones cuadráticas
	Polinomios
	Problemas
	VI. La recta
	Serie geométrica
	Desarrollos diádicos y la recta real R
	Problemas
	VII. El plano
	El plano R2
	Rectas en el plano
	Puntos alineados y segmentos
	Sistemas de ecuaciones lineales
	Convexidad
	Problemas
	VIII. El círculo
	Arco capaz
	El teorema de las cuerdas
	Cuadriláteros cíclicos y teorema de Ptolomeo
	Problemas
	IX. Los triángulos
	Las funciones circulares
	Alturas, bisectrices y medianas
	Problemas
	X. Sucesiones y diferencias
	La sección dorada
	Sucesión de Fibonacci,dinero y otros intereses
	Ecuaciones en diferencias
	Ecuaciones de primer orden
	Ecuaciones de segundo orden
	Problemas
	XI. Desigualdades
	Desigualdad de Cauchy
	Medias aritméticas
	Desigualdad aritmético-geométrico-armónica
	Desigualdad isoperimétrica
	Problemas
	XII. Cilindro, cono y esfera
	Principio de Cavalieri
	Volumen de un cono
	Volumen de la esfera
	Superficies
	Problemas
	XIII. Aprender a contar
	Permutaciones
	Subconjuntos
	La fórmula binomialy el triángulo de Pascal
	Probabilidad
	Problemas
	XIV. Relojes y espías
	Aritmética modular
	Mensajes secretos
	Sistemas de llave pública
	El teorema chino del resto
	Problemas
	Epílogo
	Bibliografía
	Índice analítico