sistemas_estructurales_

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SISTEMAS
ESTRUCTURALES
Autor Responsable: 
Perla R. Santa Ana Lozada
Corresponsable: 
Lucia G. Santa Ana Lozada
Colaboradores: 
Hector Allier Avendaño, 
Lorena Pérez Gómez, 
Nohemí López Roldan, 
Enrique Juárez Ortiz, 
Maria Fernanda Martínez Huitrón
Dra. Gemma Verduzco
Aprendizaje en experiencias y aprendizaje adaptativo 
como estrategias didácticas para mejorar la enseñanza 
de los aspectos estructurales en arquitectura.
“
”
LABORATORIO DE MATERIALES Y SISTEMAS ESTRUCTURALES
PRÁCTICAS CON MODELOS FÍSICOS
LABORATORIO DE MATERIALES Y SISTEMAS ESTRUCTURALES
EQUIPO EDITORIAL
Coordinadora editorial
Erandi Casanueva Gachuz
RESPONSABLE DE DISEÑO EDITORIAL
Amaranta Aguilar Escalona
Diseño editorial y formación
Israel Reyes Alfaro
Lorena Acosta León
Mariana Ugalde
PAPIME PE 400516
Primera edición: 2018
D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México
Ciudad Universitaria
Delegación Coyoacán C.P. 04510 México, Ciudad de México
Facultad de Arquitectura
Prohibida su reproducción total o parcial por cualquier medio 
sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales
Hecho en México
Práctica 1 y 2. Tensión
Catenaria y funicular
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales para el estudiante
Procedimiento
Práctica 1. Catenaria (curva equilibrio)
Práctica 2. Funicular con cargas puntuales
Análisis de resultados prácticas 1 y 2
Conclusiones prácticas 1 y 2
Ejercicios de aplicació
Referencias
12
13
18
19
20
21
22
25
35
36
37
39
Práctica 3 y 4. Compresión
Arco biarticulado parabólico
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 3. Arco parabólico biarticulado 
con carga puntual móvil
Práctica 4. Arco parabólico biarticulado 
con carga repartida
Análisis de resultados práctica 3 y 4
Conclusiones
Ejercicios de aplicación
Referencias
40
41
51
52
53
54
55
60
62
64
65
67
Contenido
Práctica 5 y 6. Pandeo
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 5. Pandeo en elementos biarticulados
Práctica 6. Pandeo de barras biempotradas
Análisis de resultados prácticas 5 y 6
Conclusiones
Ejercicios de aplicación
Referencias
68
69
75
76
77
78
79
83
86
87
88
89
Práctica 7 y 8. Flexión
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 7. Flexión con cargas puntuales
Práctica 8. Flexión con carga repartida 
uniforme y carga puntual
Análisis de resultados practicas 7 y 8
Ejercicios de aplicación
Conclusiones
Referencias
90
91
98
99
100
101
102
109
119
122
123
124
Práctica 9 y 10. Armaduras
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 9. Armadura 1 plana 
estáticamente determinada
Práctica 10. Armadura 2 plana 
estáticamente determinada
Análisis de resultados prácticas 9 y 10
Conclusiones
Ejercicios de aplicación
Referencias
125
126
132
133
134
135
137
147
153
157
158
160
Práctica 11. Marcos rígidos
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 11. Marcos rígidos
Análisis de resultados
Conclusiones
Ejercicios de aplicación
Referencias
161
162
172
173
174
175
176
185
187
188
190
Práctica 12 y 13. 
Efecto de sismo en 
edificios con marcos
Introducción
Objetivos
Hipótesis
Materiales
Procedimiento
Práctica 12. Comportamiento de sistema 
a base de marcos rígidos de 1 y 2 niveles 
bajo movimiento senoidal y sísmico
Práctica 13. Comportamiento de un sistema 
formado por marcos semirígidos de 1 y 2 
niveles bajo movimiento senoidal y sismico
Análisis de resultados
Conclusiones
Ejercicios de aplicación
Referencias
Bibliografía
191
192
200
201
202
203
204
206
208
209
210
212
213
Introducción
La arquitectura implica conocer aspectos estructurales así como 
constructivos para llegar a una solución resistente, funcional y 
estética. Actualmente existe en los estudiantes de arquitectu-
ra reticencia al aprendizaje de estos temas por considerárseles 
complejos, recurriendo el alumno a obtener solamente el co-
nocimiento suficiente para aprobar las materias sin generar un 
entendimiento y síntesis de afectación en la solución del objeto 
arquitectónico que manejará en su quehacer cotidiano.
El objetivo del aprendizaje significativo sobre estas temáticas 
consiste en que el alumno entienda los fundamentos mecáni-
cos que se producen en los elementos estructurales mediante la 
reproducción, observación y relación de la respuesta física con 
8
los conceptos teóricos (mecánica de materiales y estática) ante 
distintas condiciones de trabajo e inducir al estudiante a reali-
zar la síntesis del conocimiento aplicado en la fase proyectual al 
mostrar la aplicación de los elementos estructurales estudiados 
dentro de distintos proyectos arquitectónicos como parte de su 
sistema estructural. 
Un medio empleado para lograr este objetivo, como se ha desa-
rrollado en distintas universidades nacionales y extranjeras, es 
la aplicación de dos estrategias didácticas que se han manejado 
por separado hasta el momento: Aprendizaje basado en la ex-
periencia y aprendizaje adaptativo. 
El aprendizaje basado en experiencia genera el conocimiento 
de conceptos teóricos mediante la experiencia y acción con ob-
jetos que le lleven a la comprensión de su funcionamiento; los 
profesores se transforman en facilitadores que involucran a los 
alumnos a experimentar y reflexionar en aspectos específicos 
para llegar al conocimiento requerido (Asociación Internacional 
de Aprendizaje Experiencial, 2018). El Aprendizaje adaptativo 
aprovecha las herramientas tecnológicas para ir facilitando el 
conocimiento conforme el nivel de entendimiento del alumno 
(ITESM, Edutrends julio 2014). 
Las bondades de las estrategias didácticas mencionadas ante-
riormente son: a) el estudiante en su totalidad se involucra en 
la etapa de conocimiento y entendimiento, ya que no solo su 
intelecto se ve inmerso en el problema, también sus sentidos, 
sentimientos y personalidad se integran en la transformación 
de conocimiento significativo; b) se genera la oportunidad de 
reflexionar así como de sintetizar los conceptos teóricos a par-
tir de la observación de efectos y fenómenos tangibles reales; 
c) los estudiantes se comprometen con generar su propio co-
nocimiento mediante la reflexión y síntesis; d) los maestros es-
tablecen un sentido de confianza, respeto y apertura con los 
alumnos y su forma de racionalizar los problemas; e) el alumno 
obtiene retroalimentación de su aprendizaje de forma instantá-
nea permitiendo comprender su error en ese momento; f) las 
evaluaciones varían su nivel de complejidad dependiendo de la 
capacidad o aptitud del estudiante. 
9
Para aplicar la estrategia didáctica basada en experiencia con 
los alumnos de la Facultad de Arquitectura de la UNAM den-
tro de su Laboratorio de Materiales y Sistemas Estructurales, 
se realizó el proyecto DGAPA PAPIME 400516 con el cuál se 
adquirieron 3 modelos físicos comerciales y se fabricaron otros 
3 modelos en el laboratorio, además de producir el presente 
manual de prácticas que sirva como guía para lograr el objetivo 
planteado. Para lograr el aprendizaje adaptativo se realizaron 
prácticas virtuales las cuales complementan a las actividades 
propuestas en este texto, sin embargo no serán expuestas en 
el presente manual.
Considerando las temáticas que se abordan en las materias de 
Sistemas Estructurales Básicos I, II y III así como Sistemas Es-
tructurales I, II y III dentro del Plan de Estudios de la Licencia-
tura en Arquitectura 2017, de la Facultad de Arquitectura de la 
UNAM se desarrollaron las primeras 13 prácticas que presenta 
este manual, abordando los siguientes 7 temas: tensión, com-
presión, pandeo, armaduras, flexión en vigas, marcos rígidos y 
efectos sísmicos en marcos. El orden cronológico en el que se 
presentan es con base en su grado de complejidad del tema, 
sugiriendo se aborden en los siguientessemestres y materias:
Prácticas 1 y 2. Funiculares. Materia: Sistemas Estructurales 
Básico I (2º sem).
Prácticas 3 y 4. Arcos biarticulados. Materia: Sistemas Estructurales 
Básicos II (3er sem).
Prácticas 5 y 6. Pandeo. Materia: Sistemas Estructurales 
I (5º sem).
Prácticas 7 y 8. Flexión Materia: Sistemas Estructurales 
Básicos III (4º sem).
Prácticas 9 y 10. Armaduras Materia: Sistemas Estructurales 
Básicos II y III (3º-4º sem).
Prácticas 11. Marcos rígidos Materia: Sistemas Estructurales 
I y II (5º y 6º sem).
Prácticas 12 y 13. Sismo en marcos. Materia: Sistemas Estructurales 
II y III (6º y 7º sem).
Facultad de Arquitectura. Laboratorio de Materiales y Sistemas Estructurales
Laboratorio de Sistemas Estructurales
Prácticas con modelos físicos en Laboratorio:
10
11
Cada práctica presenta un breve resumen de los aspectos teó-
ricos que se abordan en la misma dentro de la introducción, 
los objetivos, hipótesis, materiales, procedimiento de trabajo, 
análisis de resultados, conclusiones, ejercicios de aplicación y 
bibliografía. Se pretende que el alumno asista al laboratorio una 
vez que el profesor ha visto el tema con los alumnos durante 
la clase teórica, de forma que el alumno viva la aplicación del 
fenómeno y los efectos que presenta sobre los distintos objetos 
de estudio. 
El manual es de fácil acceso y entendimiento de forma que tan-
to profesores como alumnos puedan emplearlo e ir siguiendo 
el método de experimentación planteado. El aspecto de apren-
dizaje de uso de los modelos empleados en cada práctica no 
se aborda en este manual, sin embargo puede ser solicitada la 
documentación en cuestión en el laboratorio de Materiales y 
Sistemas Estructurales o en su defecto acercarse a tomar la ca-
pacitación para profesores que se imparte dentro del laborato-
rio para dicho fin.
Se agradece tanto a DGAPA como a la Facultad de Arquitectura 
a través de su director M. en Arq. M. Mazari H, a la Coordina-
ción editorial, M. Erandi Casanueva G. ,Coordinación de comu-
nicación social L.D.G Alejandra Villa C. y al laboratorio de Ma-
teriales y Sistemas Estructurales de la Facultad de Arquitectura 
a través de su responsable Dr. A. Muciño.
T E N S I Ó N . C AT E N A R I A Y F U N I C U L A R
PAPIME PE 400516
13
Introducción
Se pretende interesar al alumno en las estructuras funiculares, 
por medio del entendimiento de la geometría que adquiere un 
cable al ser sometido bajo diferentes cargas.
14
Qué es 
una catenaria?
y − y0 = a*cosh
x − x0
a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y1 = a*cosh
x1
a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Es la curva cuyo trazo sigue la forma que adquiere una cadena 
o cuerda de densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta 
por sus dos extremos y que se encuentra sometida únicamente 
a la fuerza de la gravedad.
La ecuación de la curva en equilibrio (catenaria) es la siguiente:
 Ilustración 1a. 
 Representación de la catenaria en un plano 
(1a) 
Si se toman como referencia los ejes x1 , y1 la ecuación queda 
de la siguiente forma:
Donde:
y1 es la coordenada del punto a calcular (cm o m)
a es la separación en el eje y del punto de origen 
al punto a calcular (cm o m)
cosh se refiere a la expresión matemática “coseno hiperbólico”
¿
(2a) 
15
Qué es un funicular?
¿
Es la curva que describe un cable suspendido por sus extremos, 
sometido a cargas en su longitud. Si las cargas son el propio 
peso del cable se obtiene una catenaria. Si las cargas son uni-
formes en proyección vertical, se obtiene la parábola. Si son 
perpendiculares a cada punto del cable generan un arco apro-
ximadamente, etc.
Como se puede observar en los esquemas de la ilustración 2a, 
la geometría y clasificación de los polígonos funiculares depen-
de del punto donde se aplican las cargas, por lo que todas las 
catenarias son polígonos funiculares, pero no todos los funicu-
lares son catenarias.
 Ilustración 2a. 
 Tipos de polígono funicular 
Los funiculares sólo resisten esfuerzos de tensión es decir que 
las fuerzas que actúan sobre los funiculares tienden a estirar el 
cable principal que forma este elemento.
 Ilustración 3a. 
 Diferencias entre parábola y catenaria 
16
Qué ecuaciones 
gobiernan un polígono 
funicular?
Para resolver una estructura de cables con cargas puntuales, 
donde el claro y la flecha están establecidas, se pueden utilizar 
las ecuaciones de equilibrio estático para determinar el trabajo 
de cada tramo de cable.
Ecuaciones de equilibrio:
MA∑ = 0 Sumatoria de momentos (M) en el punto A igual a cero
Y∑ = 0 Sumatoria de fuerzas aplicadas en el eje vertical (Y) 
igual a cero
X∑ = 0 Sumatoria de fuerzas aplicadas en el eje horizontal (X) 
igual a cero
RA (1), RB (1) es la reacción vertical en el punto A o B (se refiere a las 
fuerzas que actúan en el sentido contrario de las cargas 
para poder soportar el sistema)
H (2) es la reacción horizontal
(3) es la tensión máxima en el funicular, siendo igual a la raíz 
cuadrada de los componentes de las fuerzas en los extremos
M = P*d Momento igual a la fuerza aplicada P(4) por la distancia 
d(7) al punto de apoyo A o B. (kg*cm o ton*m)
Donde:
L(5) es la longitud del cable.
s(6) es el punto máximo (caída del cable).
d(7) es la distancia horizontal del soporte izquierdo o derecho.
¿
 Ilustración 4a. 
 Esquema de fuerzas aplicadas 
 de modo puntual 
17
Para que un tensor soporte el esfuerzo interior de tensión (es-
fuerzo interno) que se produce debido a una carga axial ex- 
terior, se requiere que este elemento esté construido con un 
material cuyo esfuerzo resistente a compresión sea igual o ma-
yor al esfuerzo interno de la columna, es decir:
Cómo se predimensiona 
un cable de acero?
σ T =
Ft
A
=σ resistente a tensión del material
σ resistente a tensión del material = 1520kg / cm
2
El proporcionar una dimensión transversal al tensor (sección) 
significa diseñar dicho elemento estructuralmente. Para poder 
determinar de una forma aproximada y rápida la sección que 
requiere el tensor para soportar la carga axial, se proporciona el 
valor de esfuerzo resistente de tensión del acero considerando 
un comportamiento elástico de los mismos, llamado esfuerzo 
de tensión permisible.
¿
(3a) 
(4a) 
18
• Que el alumno se interese de manera teórico-práctica 
en las estructuras funiculares.
• Que el alumno aprenda a identificar un sistema funicular y 
los esfuerzos que lo gobiernan dentro de elementos aplica-
dos en arquitectura.
• Que el alumno pueda reconocer las formas que toma 
un cable sostenido por sus extremos.
• Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos 
a proyectos arquitectónicos.
Objetivos
19
El comportamiento de un funicular depende de su geometría 
de forma que siempre trabaje a tensión. 
Se probará de forma práctica y numérica el comportamiento de 
un funicular; para ello, se realizarán diferentes modelos a escala.
Para el caso de la catenaria, funicular que sólo soporta su propio 
peso, calcularemos algunos de los puntos que forman la curva y 
veremos si coincide el modelo físico con el cálculo matemático. 
Ambas curvas deberían estar formadas por los mismos puntos; 
dependiendo de los materiales que sean empleados, este mo-
delo y el cálculo podrán variar un poco.
Para los casos en los que se le aplique una carga puntual al ca-
ble, se determinará la deformación del cable con el modelo, y 
con los cálculos, al igual que en la catenaria, el modelo realizado 
debería ser muy similar al cálculo que comprueba el funciona-
miento del sistema
Hipótesis
20
Materiales para 
el estudiante
• Base de cartón corrugado de 30X30cm. *
• Hojas milimétricas.
• Hojas de papel albanene.
• Tachuelas. *
• Clips. *
• Cadena (para collares).
• Cubos de plastilina de 1cm3 (1g c/u). *
• Masking Tape. *
• Marcador.
* Estos materiales pueden ser comprados entre dos o tres personas, 
de modo que sean económicos y no haya desperdicios
Ya que se explicaron las expresiones que gobiernan a un funi-cular procederemos a hacer cuatro casos modelos para hacer 
las comparaciones entre ambos. Lo primero que se realizará 
por participante:
Profesor
Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra 
el plano de trabajo, cadena y pesos, ejemplificando cada paso 
que realizará el alumno ante grupo.
Procedimiento
 Ilustración 6a. 
 Modelo de 
funicular profesor 
Estudiantes
Armarán la base sobre la cual se colocarán los modelos; esta 
base siempre se posicionará verticalmente para que la gravedad 
actúe directamente sobre el modelo.
Pasos:
• Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.
• Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación 
que se desee para el polígono funicular (en el ejemplo 20 unidades).
• Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor 
fijación de las tachuelas.
• Poner una hoja de albanene sobre la hoja milimétrica, servirá para 
dibujar sobre ella el polígono funicular que se forme.
 Ilustración 7a. Plano de trabajo para alumnos 
21
22
Se debe colocar la cadena libre en el modelo del profesor, for-
mando una catenaria cuyo claro sea igual a 6.8 cm, con una caí-
da de 5.8 cm; la separación entre el borde inferior de la hoja y el 
punto más bajo de la catenaria será de 1.5 cm. El alumno debe-
rá replicarlo con su propio material para evaluarlo, siguiendo los 
pasos a continuación:
1
Práctica
Catenaria 
(curva equilibrio)
• Colocar la cadena sobre las tachuelas, 
ésta formara una catenaria.
• Deslizar la cadena para obtener 
la altura deseada (5.8 cm).
• Marcar la curva sobre el albanene siguiendo 
la forma que tiene la cadena
 Ilustración 8a. 
 Catenaria de trabajo 
• Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica
• Resolver la ecuación de la curva en equilibrio 
Y = 1.5( )* cosh x / 1.5( )( )
Para obtener la coordenada “h” , 
h = 1.5( )* cosh(x / 1.5( )⎡⎣ ⎤⎦ −1.5)
Se comprueba que la forma es correcta, del siguiente modo:
I. Para que la curva derivada de la expresión matemática sea si-
milar a la que se obtuvo de forma experimental, se debe encon-
trar una relación entre el claro y la altura. Esto se logrará con la 
ecuación de la catenaria, considerando “X” como la mitad del 
claro y el resultado en “Y” debe ser lo más parecido posible a la 
altura. En este caso, “X” es igual a 3.4 y “a” es igual a 1.5.
3 5.64329353662545 4.14329353662545
3.1 6.01879359112219 4.51879359112219
3.2 6.42105374830430 4.92105374830430
3.3 6.85186249334734 5.35186249334734
3.4 7.31313524104010 5.81313524104010
3.5 7.80692285189263 6.30692285189263
x y h
23
II. Una vez que se tiene el claro qué se ocupará en la ecuación 
matemática, se resuelve calculando módulos que correspondan 
al número de los marcados en la hoja milimétrica; en este caso 
serán 40 módulos de 0.16, es decir que calcularemos 20 módu-
los y los otros 20 serán el “espejo” de los que calculemos.
III Con ayuda de AutoCAD, traza la curva que obtuviste del 
modelo y compárala con el cálculo matemático.
 Ilustración 8a. 
 Gráfica final de catenaria en Autocad 
0 1.50000000000000 0.00000000000000
0.17 1.50964364898365 0.00964364898365
0.34 1.53869859588889 0.03869859588889
0.51 1.58753843499465 0.08753843499465
0.68 1.65679115865393 0.15679115865393
0.85 1.74734723214425 0.24734723214425
1.02 1.86037104344703 0.36037104344703
1.19 1.99731587517961 0.49731587517961
1.36 2.15994259119179 0.65994259119180
1.53 2.35034227810303 0.85034227810303
1.7 2.57096313290955 1.07096313290955
1.87 2.82464194238764 1.32464194238764
2.04 3.11464055906158 1.61464055906158
2.21 3.44468784275129 1.94468784275129
2.38 3.81902760699265 2.31902760699265
x y h
2.55 4.24247318683495 2.74247318683495
2.72 4.72046932965910 3.22046932965910
2.89 5.25916220482100 3.75916220482100
3.06 5.86547843231807 4.36547843231807
3.23 6.54721414664506 5.04721414664506
3.4 7.31313524104010 5.81313524104010
24
Analiza los resultados
En la siguiente imagen se puede notar que, aunque la curva que 
se formó en el modelo (línea roja) no coincide totalmente con 
la resultante de las expresiones matemáticas (línea verde), esto 
es debido a que la cadena que se utilizó tiene unas pequeñas 
bolitas que no permite el libre paso de la cadena a través de los 
puntos de amarre (tachuelas).
 Ilustración 9a. 
 Comparativa catenaria 
 aritmética y obtenida 
 con el modelo físico 
25
Práctica
Funicular con 
cargas puntuales
Ejercicio 1 
Funicular con 1 carga puntual al centro
• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formara 
una catenaria
• Deslizar la cadena para obtener la caída “S” deseada (6.05 cm)
• Con la ayuda de un clip, colocar un cubo (1 gr) en el centro 
de la catenaria, esto deformará la curva, por lo que dejará de 
ser una catenaria
• Marcar la figura que se forma sobre el papel albanene 
siguiendo la forma que tiene la cadena
• Tomar como referencias la posición en la hoja milimétrica 
• Realizar la verificación numérica para un sistema con cargas 
puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo. 
Una estructura con separación entre los puntos de amarre 
de 20 cm (claro), al colocar la carga puntual de 1 gr en el 
centro del cable con una caída igual a 6.05 cm
Ilustración 10a. 
Modelo práctica 1 Funicular 
 carga puntual al centro 
Donde tenemos los siguientes datos:
l es el claro, en este caso de 20cm
h es la caída o flecha, de 6.05cm
P1 es la carga puntual, de 1gr
2
26
Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extre-
mo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-
mento en el extremo A que sean igual a cero
 MA∑ = 0 (girando a favor de las manecillas 
del reloj es positivo)
P1 *10− Rb *20 = 0
Las expresiones que se utilizarán son:
MA = 0 ; M = Fuerza * distancia ; Fy = 0 Fx = 0∑∑∑
MA = 0 ; M = Fuerza * distancia ; Fy = 0 Fx = 0∑∑∑
MA = 0 ; M = Fuerza * distancia ; Fy = 0 Fx = 0∑∑∑
MA = 0 ; M = Fuerza * distancia ; Fy = 0 Fx = 0∑∑∑
La reacción vertical en el punto B será igual a 
Rb =
10
20
= 0.5gr
Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la 
sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las 
fuerzas con sentido hacia arriba:
+ ↑ Fy = 0∑
−P1 + Ra + Rb = 0 despejando tenemos,
Ra = 1− 0.5= 0.5gr
Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero, 
ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al 
punto C considerando sólo la mitad del cable para obtener la 
reacción horizontal en B.
 Mc∑ = 0
−Rb *5+ Hb *6.05= 0
, despejando tenemos
27
Despejando H
b
 tenemos,
Hb =
+0.5x5
6.05
= 0.413gr
Haciendo sumatoria de fuerzas en X se obtendrá la reacción 
horizontal en el punto A,
+→ Fx = 0∑
Hb − Ha = 0
Ha = 0.413gr
Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, cono-
ciendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apo-
yos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las 
reacciones en uno de los extremos del mismo:
V = H 2 + r 2VA = Ha
2 + Ra
2 = .4132 + 0.52 = 0.648gr (para tensión máxima)
VA = Ha
2 + Ra
2 = .4132 + 0.52 = 0.648gr
VB = Hb
2 + Rb
2 = .4132 + 0.52 = 0.648gr
Por último, calcularemos el área de un cable de acero que sería 
necesario para soportar esta tensión; empleando acero estruc-
tural con un esfuerzo resistente a la tensión permisible (Fy), 
igual a 1520 kg/cm2 tenemos que:
 Ilustración 11a. 
 Geometría Funicular 
 carga puntual al centro 
28
Ejercicio 2 
Funicular con 2 cargas puntuales
 Ilustración 12a. 
 Modelo para ejercicio Funicular 2 cargas puntuales 
• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formará 
una catenaria.
• Deslizar la cadena para obtener la altura deseada (5 cm).
• Con la ayuda de un clip, colocar un cubo (1 gr) a 5.5 cm 
del punto de amarre izquierdo.
• Con la ayuda de otro clip, colocar dos cubos (2 gr) a 4.5 
cm del punto de amarre derecho.
• Marcar la figura que se forma sobre el albanene siguiendola forma que tiene la cadena
• Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica. 
• Realizar la verificación numérica para un sistema con cargas 
puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo. 
Una estructura con separación entre los puntos de amarre 
de 20 cm, al colocar 2 cargas puntuales de diferente peso, 
la altura se toma desde la parte más baja, por lo que en 
esta ocasión queda de 6 cm, con una carga puntual de 1 gr 
a 5.5 cm del punto izquierdo y otra de 2 gr a 4.5 cm del 
punto derecho.
Los datos que tenemos son:
l es el claro, aquí de 20 cm
h es la caída o flecha, de 6 cm
P1 es la carga puntual, de 1 gr
P2 es la carga puntual, de 2 gr
29
Las expresiones que se utilizarán nuevamente son:
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extre-
mo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-
mento en el extremo A que sean igual a cero.
 MA = 0∑ (girando a favor de las manecillas 
del reloj es positivo)
P1 x 5.5 + P2 x 15.5 − Rb x 20 = 0
Despejando R
b
 tenemos:
Rb =
1 x 5.5 + 2 x 15.5
20
= 1.825gr
Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la 
sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las 
fuerzas con sentido hacia arriba:
+ ↑ Fy = 0∑
−P1 − P2 + Ra + Rb = 0
Sustituyendo el valor de Rb y despejando Ra tenemos
Ra = 1+ 2−1.825= 1.175gr
Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero, 
ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al 
punto C considerando sólo las fuerzas que se encuentran a la 
izquierda del punto para obtener la reacción horizontal en A.
 Mc = 0∑
−P1 x 10+ Ra x 15.5− Ha x 6 = 0
Ha =
−1 x 10+1.175 x 15.5
6
= 1.368gr
30
Haciendo sumatoria de fuerzas en X se obtendrá la reacción 
horizontal en el punto B,
+→ Fx = 0∑
Hb − Ha = 0
sustituyendo el valor de Ha y despejando tenemos
Hb = 1.368gr
Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, cono-
ciendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apo-
yos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las 
reacciones en uno de los extremos del mismo:
V = H 2 + R2 (para tensión máxima)
VA = Ha
2 + Ra
2 = 1.3682 +1.1752 = 1.803gr
VB = Hb
2 + Rb
2 = 1.3682 +1.8252 = 2.28gr
Predimensionando el cable con ambas fuerzas 
encontramos su área
Área del cable =
Tmáx
1520kg / cm2
El área final de todo el cable debe ser la misma, por lo que se 
selecciona siempre el área mayor obtenida como diseño final 
del mismo.
 Ilustración 13a. 
 Geometría Funicular para dos cargas puntuales 
31
Ejercicio 3 
Funicular con 3 cargas puntuales
• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formara 
una catenaria
• Deslizar la cadena para obtener la altura deseada (5 cm)
 Ilustración 14a. 
 Modelo para ejercicio Funicular 3 cargas puntuales 
• Con la ayuda de un clip colocar un cubo (1 gr) a 5.5 cm 
del punto de amarre izquierdo
• Con la ayuda del clip colocar tres cubos (3gr) 
al centro del claro
• Con la ayuda de otro colocar dos cubos (2gr) a 4.5cm 
del punto de amarre derecho
• Marcar la figura que se forma sobre el albanene siguiendo 
la forma que tiene la cadena
• Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica
• Resolver las ecuaciones para un sistema con cargas pun-
tuales considerando los datos obtenidos en el modelo. Una 
estructura con separación entre los puntos de amarre de 
20 cm, al colocar 3 cargas puntuales de diferente peso, la 
altura se toma desde la parte más baja, por lo que en esta 
ocasión queda de 5 cm, con una carga puntual de 1 gr a 
5.5 cm del punto izquierdo, otra de 2 gr a 4.5 cm del punto 
derecho y una más de 3 gr al centro del claro.
32
Los datos que tenemos son:
l es el claro, aquí de 20 cm
h es la altura o flecha, de 5 cm
P1 es la carga puntual, de 1 gr
P2 es la carga puntual, de 3 gr
P3 es la carga puntual, de 2 gr
Las expresiones que se utilizaran nuevamente son:
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
MA = 0 ; M = Fuerza*distancia ; Fy = 0∑∑ Fx∑ = 0
Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extre-
mo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-
mento en el extremo A que sean igual a cero.
 MA = 0∑ (girando a favor de las manecillas 
del reloj es positivo)
P1 *5.5 + P2 *10 + P3 *15.5 − Rb *20 = 0
Despejando R
b
 tenemos
Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la 
sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las 
fuerzas con sentido hacia arriba:
+ ↑ Fy = 0∑
−P1 − P2 − P3 + Ra + Rb = 0
Ra = 1+ 3+ 2− 3.325= 2.675 tongr
33
Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero, 
ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al 
punto C considerando solo las fuerzas que se encuentran a la 
derecha del punto para obtener la reacción horizontal en A.
 MC = 0∑
+P3 *5.5 − Rb *10 + Hb *5= 0
Despejando H
b
 tenemos
Haciendo sumatoria de fuerzas en “X”, se obtendrá la reacción 
horizontal en el punto B, 
+→ Fx = 0∑
Hb − Ha = 0
Ha = 4.45 tongr
Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, cono-
ciendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apo-
yos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las 
reacciones en uno de los extremos del mismo:
V = H 2 + R2 (para tensión máxima)
VA = Ha
2 + Ra
2 = 4.452 + 2.6752 = 5.192 gr
VB = Hb
2 + Rb
2 = 4.452 + 3.3252 = 5.55 gr
Predimensionando el cable con ambas fuerzas 
encontramos su área
Área del cable =
Tmáx
1520 kg /cm2
34
 Ilustración 15a. 
 Geometría Funicular para 
 dos cargas puntuales 
El área final de todo el cable debe ser la misma, por lo que se 
selecciona siempre el área mayor obtenida como diseño final 
del mismo.
Analiza los resultados
Como se mencionó en la hipótesis, al observar los modelos se 
puede observar que la forma que tomó la cadena fue debido a 
los pesos colocados.
 La flecha o altura se da en el punto donde existe la carga de ma-
yor peso; dentro de un proyecto arquitectónico dichas alturas 
son propuestas por el arquitecto y su proyecto.
35
Los polígonos funiculares pueden tener diferentes formas de-
pendiendo del peso que se les aplique, así como de la posición 
en la que estos pesos se sitúen a lo largo del funicular. Es decir, 
la forma responde a las cargas.
Una catenaria siempre es un funicular, pero un funicular no 
siempre es una catenaria.
Las reacciones o tensión máxima de los polígonos funiculares 
son diferentes en los tramos del cable debido a la distribución 
de las cargas, pero ya que pertenecen a un mismo sistema, se 
tomará en cuenta la tensión más grande para el cálculo del área 
del cable, ya que éste debe ser un cable continuo y no pedazos 
de diferentes medidas.
Análisis 
de resultados 
prácticas 1 y 2
Un funicular es un sistema formado por elementos flexibles 
llamados cables que se deforman de acuerdo a las cargas que 
soportan para que el elemento que lo forma siempre esté tra-
bajando a tensión.
Los apoyos de la funicular son importantes, ya que reciben los 
empujes horizontales del cable, debiendo empujar en sentido 
contrario para que el cable no “jale” al sistema hacia el centro.
La altura o flecha en un proyecto arquitectónico es propues-
to por el arquitecto dependiendo del claro, altura de entrepiso, 
cargas y por supuesto su concepto.
Estos sistemas son muy eficientes en su trabajo, generando 
soluciones limpias para librar claros grandes, y económicas 
cuando se emplean materiales que trabajan muy bien a tensión 
como es el acero.
Conclusiones 
prácticas 1 y2
 Ilustración 16a. 
 Geometría de distintos tipos de funiculares
36
• Realiza tu informe de la práctica y anexa tus conclusiones, 
dibujos o esquemas.
• Realiza el caso 1 con una agujeta, toma una foto de la ca-
tenaria y cálcala en algún programa de dibujo asistido por 
computadora (CAD, por sus siglas en inglés; como Auto-
CAD, Archicad, etc.), así podrás determinar qué tan similar 
es lo que dibujaste con la expresión matemática adecuada.
• Realiza más modelos para poder explicar qué pasa.
• Si el claro es mayor, ¿las reacciones aumentan?
• Si las cargas son iguales, qué forma obtiene el cable
• Si hay mayor número de cargas, la altura ¿aumenta 
o disminuye?
Ejercicios de 
aplicación
37
¿Qué son los cables que trabajan a tensión 
con sólo dos puntos de amarre?
a. Catenarias
b. Polígonos Funiculares
c. Parábolas
Cuestionario
¿Cómo es la figura que adopta sobre 
el plano de representación cuando 
se le aplica una carga uniformemente 
repartida a un cable?
a. Una catenaria
b. Una parábola
c. Un polígono de 3 lados
¿Por qué se dice que los polígonos 
funiculares sólo trabajan a tensión?
a. Porque los elementos que soportan todo el sistema 
los empujan los extremos del cable hacia los pesos 
que se aplican
b. Porque los elementos que soportan el sistema los 
jalan a los extremos para mantenerse en equilibrio
c. Porque las cargas que se aplican solo se pueden poner 
en el centro para poder mantener el equilibrio
38
39
Aroca Hernández-Ros, R. (2002). Funiculares. Cuadernos del 
Instituto Juan de Herrera. Madrid: Instituto Juan de Herre-
ra-ETSAM.
Casañas, V., & Fernándes, C. (2012). Cables y arcos. Recuperado 
el 25 de febrero de 2018, de Facultad de Arquitectura, Dise-
ño y Urbanismo. Universidad de la República. Montevideo, 
Uruguay: http://www.fadu.edu.uy/estabilidad-i/files/2012/ 
02/estructuras_traccionadas.pdf
Departamento de Matemáticas-Formación a Distancia-PIE. 
(2013). La caternaria en arquitectura. Recuperado el 25 de 
febrero de 2018, de Escuela Técnica Superior de Ingenie-
ros de Caminos, Canales y Puertos: http://www2.caminos.
upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/
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Onouye, B. (2012). Statics and Strength of Materials for Archi-
tecture and Building Construction. Prentice Hall, USA.
Referencias
40
C O M P R E S I Ó N . 
A R C O B I A R T I C U L A D O P A R A B Ó L I C O
PAPIME PE 400516
Introducción
Se pretende interesar al alumno en sistemas estructurales tra-
bajando a compresión por medio de la geometría del sistema; 
empleando arcos biarticulados parabólicos, el alumno visualiza-
rá y comprobará la relación entre cargas, empujes horizontales 
del arco y sus acciones internas bajo distintos tipos de distribu-
ción de cargas.
41
42
Qué es el esfuerzo 
de compresión?
Al aplicar una fuerza sobre el eje del elemento (carga axial) en 
sentido de oprimirlo, éste trabaja oponiéndose a deformarse 
produciendo un esfuerzo interior llamado esfuerzo de compre-
sión. La deformación del elemento se produce debido a que sus 
partículas se juntan haciendo que su longitud se acorte y au-
mente su sección transversal.
 Ilustración 1b. 
 Esfuerzo de compresión por carga axial 
¿
43
Qué es un arco 
biarticulado?
Un arco es un elemento con geometría semicircular o parabó-
lico cuyos esfuerzos internos, producto de soportar una carga 
externa, son a compresión principalmente. Dependiendo de la 
geometría del arco, su sujeción en los extremos y tipo de cargas 
aplicadas sobre estos elementos, el arco puede sufrir esfuerzos 
internos a flexión y cortante, adicionales a los de compresión.
Se dice que el arco está biarticulado cuando en sus extremos 
existe una “rótula” o articulación que le permite girar al arco en 
dichos puntos, de forma que se generen menores esfuerzos de 
flexión internos.
A partir de estudiar cables a tensión, se observó que un cable 
que soporta una carga distribuida de forma uniforme a lo lar-
go del cable presenta una geometría de parábola, es decir, una 
parábola es el funicular de un cable bajo carga uniformemente 
distribuida. Si este funicular se invierte generando un antifuni-
cular, se forma un arco con geometría de parábola cuyo trabajo 
principal es a compresión bajo cargas uniformemente distribui-
das, estando biarticulado en sus extremos.
 Ilustración 2b. 
 Funicular y antifunicular 
 con carga repartida 
¿
44
¿Qué sucede cuando se 
tiene un arco biarticulado 
parabólico con carga 
puntual?
Cuando un arco tiene cargas puntuales en diferentes puntos, 
su geometría no obedece a la funicular correspondiente, por lo 
que comienzan a generarse momentos al interior del arco.
Para obtener la reacción horizontal que se produce en el extre-
mo del arco, debido a que se trata de un sistema hiperestático, 
se recurre a aplicar el método de flexibilidades para encontrar 
la reacción horizontal en el nudo B, liberando dicho nudo como 
se muestra en la figura 3b.
 Ilustración 3b. 
 Funicular y anti-funicular con carga repartida 
Obteniendo la reacción en el extremo B tenemos:
RBX =
5Pa
8hL3
(L3 + a3 − 2La2 ) (1b) 
Donde:
P = carga aplicada en el arco (kg o ton)
a = distancia donde se aplica la carga con respecto al punto “A” (cm o m)
h = la altura en el punto más alto del arco (cm o m)
L = longitud total del arco (cm o m)
Un arco parabólico presenta una geometría determinada por la 
siguiente ecuación:
y = 4h
L2
(Lx − x2 ) (2b) 
¿
45
Qué es una línea de 
influencia de la reacción 
horizontal de un arco?
Se le llama valor de influencia a la proporción obtenida de la 
reacción horizontal “Rax” con respecto al valor de la carga apli-
cada para producir dicha reacción
 x (3b)
 
Reacciónvalor Influencia
Valor Carga Aplicada
=
 (3b) 
Para obtener una gráfica de la tendencia de este valor, se va 
variando la posición de una misma carga en distintos puntos del 
arco, observando el comportamiento del valor de influencia a lo 
largo del arco. 
Para generar la gráfica de estos valores, se requiere que la lon-
gitud del arco sea también obtener el claro en proporción a la 
longitud total, es decir:
 (4b)
 
punto donde se aplica cargaFracción del Claro
longitud total de arco
=
 (4b) 
 Ilustración 4b. 
 Gráfica de Línea de Influencia de un Arco parabólico 
La gráfica obtenida nos indica los efectos que presenta la car-
ga al ser colocada en distintos puntos del arco; como se puede 
observar en la figura 4b, el reacción horizontal de mayor valor 
se obtiene cuando la carga puntual se aplica al centro del arco.
¿
46
Cómo se obtiene el 
diagrama de momento 
flexionante de un arco 
parabólico bi-articulado?
Generalmente el valor de momento que interesa para diseñar 
es el de mayor valor o máximo, el cual se presenta cuando la 
carga está aplicada al centro del arco.
El primer paso para determinarlo de forma gráfica es obtener 
el momento generado en el arco donde se colocó la carga, es 
decir, al centro, siendo dicho momento igual a (ver figura 5b):
* (5b)CL XAM R h= (5b) 
Y sobre la gráfica producto de estos valores se dibuja el diagra-
ma de momentos considerando el arco ahora como un elemen-
to horizontal, donde su valor cuando la carga está al centro del 
claro es:
* (6b)
4CL
P LM =
 (6b)
Donde:
P = carga puntual aplicada al centro del arco
L = claro total del arco
El diagrama final de momentos que presenta este arco es:
 Ilustración 5b. 
 Diagrama de momento flexionte 
¿
47
Qué es un arco 
parabólico con carga 
uniformemente repartida?
Un arco es un elemento con geometría semicircular o parabó-
lico cuyos esfuerzos internos producto de soportar una carga 
externa son principalmente a compresión. Dependiendo de la 
geometría del arco, su sujeción en los extremos y tipo de cargas 
aplicadas sobre estos elementos, el arco puede sufrir esfuerzos 
internos a flexión y cortante, adicionales a los de compresión.A partir de estudiar cables a tensión, se observó que un cable 
que soporta una carga distribuida de forma uniforme a lo lar-
go del cable presenta una geometría de parábola, es decir, una 
parábola es el funicular de un cable bajo carga uniformemente 
distribuida. Si este funicular se invierte generando un antifuni-
cular, se forma un arco con geometría de parábola cuyo trabajo 
principal es a compresión pura bajo cargas uniformemente dis-
tribuidas, estando biarticulado en sus extremos.
 Ilustración 6b. 
 Reacciones sobre un arco anti-funicular 
¿
Ray Rby
48
Debido a que el esfuerzo máximo se presenta en los extremos, 
la resultante máxima se puede obtener a partir de la suma de 
sus componentes:
FCmax =
wLT
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ H 2 (11b)
La ecuación para obtener la geometría de la parábola se obtie-
ne a partir de sacar la sumatoria de momentos al extremo de 
un tramo de la parábola, considerando el cortante y la fuerza 
horizontal en dicho punto, obteniendo:
yx = 4S
x
LT
− x
2
LT 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 (12b)
Las reacciones verticales en los extremos serán igual a:
Ray = w∗ Lt
2
 (8b)
Para obtener el valor de la reacción horizontal H se genera una 
sumatoria de momentos al centro del cable, de forma que:
Mcl = w∗ Lt
2
8∑ − S ∗H = 0
 
 (9b)
Despejando de esta expresión se obtiene:
H =
w∗ Lt
2
8∗S
 (10b)
49
Cómo se predimensiona 
un arco parabólico con 
carga uniformemente 
repartida?
Todos los materiales presentan propiedades que los caracteri-
zan, las cuales pueden ser físicas, químicas, térmicas, etc. Las 
propiedades mecánicas de un material definen cuánto resiste 
dicho material al trabajar bajo distintos esfuerzos.
Cuando se aplica una carga axial de compresión a un elemento, 
interiormente este elemento comienza a trabajar produciéndo-
se esfuerzos internos de compresión en el mismo. Para que el 
elemento soporte dichas cargas, el material del que esté hecho 
debe tener la capacidad de resistir dichos esfuerzos internos de 
compresión, es decir, 
σ C =
Fc
A
=σ resistente a compresión del material (13b)
Donde:
σC es el esfuerzo interno de compresión actuante en la sección 
transversal del elemento (kg/cm2 o ton/m2)
FC es la fuerza axial que comprime al elemento (kg o ton)
A es el área transversal del elemento (cm2 o m2)
Determinar una sección transversal al arco significa diseñar di-
cho elemento estructuralmente. Se puede obtener una sección 
directamente de aplicar las expresiones anteriormente mencio-
nadas, sin embargo, el proceso de diseño implica considerar un 
mayor número de conceptos que afectan la capacidad resisten-
te del material.
¿
50
el valor del módulo de elasticidad denominado como “E” (su 
capacidad de deformarse y regresar a su estado original en el 
rango elástico, empleado para obtener su deformación longi-
tudinal), Coeficiente de Poisson (proporción de deformación 
transversal), su capacidad resistente a compresión llamada es-
fuerzo a compresión y su capacidad resistente a compresión 
permisible, la cual será empleada en la práctica para predimen-
sionar los elementos.
Material E (kg/cm2) Coeficiente 
Poisson
Esfuerzo de 
compresión 
(kg/cm2)
Esfuerzo de 
comprensión 
permisible 
(kg/cm2)
acero 2100000 0.30 2530 1518
aluminio 700000 0.33 2600 1200
madera 140000 0.20 120 85
concreto 1900000 0.26 250 200
tabique rojo 700000 0.20 90 70
piedra 42184 0.38 800 600
Con base en lo anterior, para poder determinar de una forma 
aproximada y rápida la sección que requiere el puntal para so-
portar la carga axial se proporcionan los valores de esfuerzo re-
sistente de compresión para distintos materiales considerando 
un comportamiento elástico de los mismos, llamado esfuerzo 
de compresión permisible del material.
En la siguiente tabla se presentan las propiedades de algunos 
materiales de construcción más comunes; podemos identificar
51
Objetivos
• Que el alumno se interese de manera teórico-práctico 
en las estructuras a compresión
• Que el alumno aprenda a identificar el trabajo de arcos 
parabólicos con carga puntual
• Que el alumno obtenga de forma gráfica los momentos 
que se producen en un arco bajo carga puntual
• Que el alumno establezca la relación existente entre el 
comportamiento de los materiales y su aportación dentro 
de los sistemas estructurales trabajando a compresión.
• Que el alumno comprenda la importancia de estos 
conceptos dentro de su vida práctica proyectual y 
constructiva.
52
Hipótesis
Los arcos parabólicos biarticulado bajo cargas puntuales pre-
sentan flexiones; con cargas uniformemente repartidas solo 
trabajan a compresión.
Para ello se comenzará a comprender los efectos de flexión so-
bre elementos a compresión.
Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto 
con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte al 
proyecto arquitectónico.
Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto 
con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte 
al proyecto arquitectónico, sintetizando mediante la obtención 
de dimensiones de los elementos.
53
Materiales
• Uso del equipo STR-10 (ARCO BIARTICULADO). 
• Regla.
• Hojas cuadriculadas.
• Cuaderno.
• Calculadora.
Ilustración 7b. Equipo STR-10 
Arco Biarticulado con medidor
54
Procedimiento
A partir de conocer los aspectos teóricos fundamentales del 
comportamiento de arcos parabólicos biarticulados se compa-
rarán los valores teóricos con los valores prácticos de las reac-
ciones horizontales sobre el arco cuando se coloca carga pun-
tual sobre de éste.
55
Arco parabólico 
biarticulado con carga 
puntual móvil
3
Práctica
Para ello se sugiere:
• Generar equipos de 2 a 3 personas.
• Verifique que el equipo presenta las siguientes dimensiones:
Separación entre articulaciones de 50 cm (500 mm), sepa-
ración entre segundo tornillo es de 6 cm (60 mm), como se 
muestra en la figura 8b.
• Cada equipo dibujará el arco parabólico que se forma sobre 
el arco, a escala, indicando la posición de cada uno de los 
ganchos sobre el dibujo (la distancia entre argollas es de 
5cm), para ello se usará la expresión:
y = 4h
L2
Lx − x2( )
• Se colocará en el primer gancho una carga de 0.5kg. 
• Se debe leer la reacción horizontal que se obtiene al colo-
car dicha carga.
 Ilustración 8b. 
 Equipo STR-10 con las dimensiones necesarias entre apoyos 
• Cada miembro del equipo colocará el gancho en una posi-
ción distinta de forma que se coloque la carga en los 9 gan-
chos que presenta el arco y se deben apuntar los distintos 
valores de reacción para cada caso.
56
• Para obtener el valor de reacción calculada es necesario em-
plear la expresión 1b para cada punto donde se va colocan-
do la carga:
Rx = 5Pa
8hL3
L3 + a3 − 2La2( )
Donde:
a es la distancia donde se coloca el gancho con carga
P es el valor de la carga que para este caso sería de 0.5 kg
h es la altura del arco la cuál debe ser medida desde la articulación 
fija al punto más alto del arco (siendo para este caso 10 cm 
aproximadamente).
• La tabla que deben ir generando por equipo es la que se 
presenta a continuación; en ésta se debe colocar el valor de 
la reacción que mide el aparato (la reacción se encuentra 
en Newtons, por lo que debe ser transformada a Kilogramo 
Fuerza recordando que 1 Newton = .1019 kg).
Distancia 
del extremo 
A (cm)
Lectura 
de reacción 
(Kg)
Valor 
de reacción 
calculada 
(kg)
0 0 0
5* 0.1528 0.1532 
10
15
20
25
30
35
40
45
50
* Se realiza como ejemplo los valores obtenidos para la carga ubi-
cada en el primer gancho, con una separación a 5 cm del extremo:
Lectura medida por el aparato lector: 1.5 Newtons.
Transformando a Kg = 1.5 N * .1019 KgF = 0.1528 Kg.
57
Proporción del Claro 
del Arco
Valor de influencia de 
la reacción horizontal 
obtenida del experi-
mento
Valor de influencia de 
la reacción horizontal 
calculada
0 0 0
(ejemplo) 0.10 0.3056 0.3064
0.200.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.0
El valor de fuerza de reacción evaluado con la expresión 1b de 
la práctica =
Rx = 5∗0.5∗5
8∗10∗503
(503 +53 − 2∗50∗52 ) = 0.1532kg
• Una vez que se ha terminado de llenar la tabla del paso 8, se 
debe identificar el punto donde la carga aplicada produce la 
mayor reacción en el arco; para ello se obtendrá la línea de in-
fluencia de la reacción horizontal, llenando la siguiente tabla:
58
• Finalmente generen el diagrama de momentos que se pro-
duce en este arco bajo la carga máxima aplicada, es decir, 
cuando la carga se coloca al centro del claro. 
Para ello se requiere recurrir a las expresiones 5b y 6b, ob-
teniendo nuevamente en cada punto (5 cm) los valores de 
ambas. Como ejemplo se desarrollará solamente el valor 
máximo de la gráfica.
Conociendo la reacción al horizontal cuando la carga se co-
loca al centro del claro de la tabla del paso 8:
Nuevamente se realizará como ejemplo los valores obtenidos 
para el primer punto del arco que es a una distancia de 5 cm:
A partir de la expresión 4b, obtenemos la fracción del arco para 
este primer punto:
5 0.10
50
cmFracción del Claro
cm
= =
Para obtener el valor de influencia en dicho punto, se emplea 
la expresión 3b primeramente usando los valores medidos del 
lector de fuerza del arco
0.1528 0.3056
0.50
KgValor Influencia
Kg
= =
Finalmente, se realizar la misma operación pero con los valores 
obtenidos analíticamente
0.1532 0.3064
0.50
KgValor Influencia
Kg
= =
Una vez obtenidos todos los valores de la tabla, se realizarán 
ambas gráficas de línea de influencia. Los valores permitirán ob-
tener una gráfica similar a la siguiente:
59
Reacción Horizontal obtenida del lector cuando carga a 25 cm: 
0.478 kg. La altura del arco es de 10 cm.
MCL = 0.478∗10 = 4.78Kg ∗cm
Encontrando el momento máximo como si el arco fuera una viga 
simplemente apoyada con la misma carga al centro tenemos:
Mcl =
0.5∗50
4
= 6.25kg ∗cm
La gráfica de forma general presentará la siguiente geometría:
(ver figura del lado derecho).
¿Qué valor es el máximo encontrado? ¿Que implica dicho dia-
grama si se construye el arco con concreto reforzado?
Analiza los resultados
Un arco parabólico biarticulado presentará esfuerzos de flexión 
adicional a los de compresión cuando se colocan cargas puntua-
les sobre el mismo; esto se debe a que su geometría no obedece 
a la antifunicular que le corresponde, como se aprendió en la 
práctica 2 sobre funiculares.
60
Arco parabólico 
biarticulado con carga 
repartida
Práctica
Para ello se sugiere:
• En equipo, se colocará en cada uno de los 9 ganchos que 
tiene el arco una carga igual a 70gr de forma que el arco 
soporte un total de 360gr. 
• Apunte el valor de la reacción que presenta el aparato. 
• Confronte dicho valor con la expresión matemática 10b. 
Para ello, se debe obtener una carga uniformemente repar-
tida; para lo cual dividimos la carga total entre la longitud 
total del arco en línea recta :
.360 .0072 /
50
KgW Kg cm
cm
= =
Donde LT es igual a 50 cm y S es igual a 10 cm
• ¿Cómo fueron los valores obtenidos analíticamente con res-
pecto a la lectura reportada por el lector del arco?
• Genere el diagrama de momentos internos que tiene este 
arco, siguiendo el mismo procedimiento empleado en la 
práctica 3.
El momento máximo generado en el arco seguirá siendo igual 
al de la práctica 3, el diagrama de momentos que se modifica 
es el de la trabe isostática con carga repartida, es decir:
MCL = RXA *h
4
61
Pero el momento de la viga con carga repartida será
Mcl =
W ∗ L2
8
• ¿Qué es lo que pasa cuando se unen ambas gráficas como 
en la práctica 3?
• Finalmente, obtenga el valor de fuerza de compresión máxi-
ma y predimensione la sección requerida para este arco si se 
construye con aluminio. Para ello debe obtener el valor de 
compresión máxima y determinar el área requerida colocan-
do el valor de esfuerzo resistente a compresión del aluminio.
FCmax =
wLT
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ H 2 
σ C =
Fc
A
=σ resistente a compresión del material
Donde:
W es igual a la carga repartida del inciso anterior
LT es la longitud total del arco igual a 50 cm
H es la altura total del arco igual a 10 cm
El esfuerzo resistente a compresión permisible del aluminio 
 es de 1200 kg/cm2.
FCmax =
wLT
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ H 2
62
El comportamiento del arco bajo la aplicación de la carga en 
distintos puntos presenta momentos flexionantes internos, los 
cuales afectan al arco obligando a que las secciones que lo for-
man sean de mayor dimensión, pues presenta en su interior tres 
esfuerzos distintos: compresión, cortante y flexión (cortante y 
flexión se ven en la práctica 7, 8 y 9).
Cuando el arco parabólico biarticulado presenta cargas unifor-
memente repartidas, el momento flexionante se anula ya que 
su geometría es el antifunicular para dichas cargas trabajando 
únicamente a compresión, presentando un diseño más ligero 
por tener secciones más pequeñas.
Análisis 
de resultados 
práctica 3 y 4
63
La introducción a la generación de líneas de influencia es intui-
tiva, de modo que posteriormente puedan comprender dichas 
líneas en otros elementos estructurales como son puentes con 
cargas móviles. La gráfica que se genera en este ejercicio de lí-
nea de influencia corresponde a la reacción horizontal producto 
de una carga móvil que se aplica a lo largo del arco.
El punto más desfavorable de aplicación de la carga es al cen-
tro del arco, ya que es cuando se presenta la mayor reacción 
horizontal.
Un arco biarticulado es estáticamente indeterminado y los mo-
vimientos pequeños en los apoyos extremos del arco generarán 
que la reacción horizontal disminuya incrementando el valor de 
los momentos flexionantes
64
Conclusiones
Los elementos a compresión como son los arcos han sido em-
pleados durante mucho tiempo en distintas soluciones arqui-
tectónicas y constructivas, como los puentes romanos o las ca-
tedrales románicas o góticas.
La posición de la carga es muy importante, así como su geo-
metría, ya que, si llegan a producirse momentos internos, su 
diseño se vuelve más laborioso pues se requiere conocer un ma-
yor número de propiedades mecánicas del material para poder 
dimensionarlo.
65
Ejercicios 
de aplicación
Encuentra un proyecto arquitectónico resuelto empleando este 
tipo de arco biarticulado en los extremos.
Una vez que hayan encontrado el ejemplo, dibujen de forma 
sencilla su estructura, plasmen su claro, valores aproximados de 
cargas de automóviles o personas sobre de este, ancho de cal-
zada y respondan las siguientes preguntas. 
66
a. ¿Con qué material se construyó dicho proyecto? 
b. ¿Qué ventaja o desventaja le aporta la geometría de las sec-
ciones que forman al arco en dicha estructura?
c. ¿Cuál es su claro y de qué tamaño son sus secciones?
d. Se te pide generar un puente para peatones empleando un 
arco; genera una propuesta arquitectónica dibujando su es-
tructura requerida para poder ser construido. Especifica el 
material y secciones que podrías emplear para ello.
e. Dibuja su geometría de forma que sea un arco parabólico 
biarticulado con carga uniformemente repartida.
67
Referencias
Megson, T. (2017). Structural and stress analysis (3a. ed.). 
Oxford: Elsevier.
Zalewzki, W., & Allen, E. (1990). Shaping structures statics. 
New York: John Wiley & Sons Inc.
Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). 
Prentice Hall.
68
P A N D E O
PAPIME PE 400516
69
Introducción
Los elementos estructurales bajo esfuerzos de compresión son 
comunes en todo proyecto arquitectónico. Estos pueden formar 
parte de una armadura o servir como puntales (elementos rectos o 
inclinados que dan apoyo a otros elementos evitando que estos 
últimos se deformen). A diferencia de los elementos que trabajan 
bajo esfuerzos de tensión, los cuales sólo pueden fallar cuando 
sus esfuerzos internos sobrepasanlos esfuerzos resistentes del 
material del que están hechos, un elemento trabajando a com-
presión puede fallar por dos motivos principalmente.
La primera forma de falla es por medio de la ruptura del elemen-
to, ya que el esfuerzo de trabajo interno es mayor al esfuerzo 
resistente del material con el que está construido. La segunda 
forma en que puede fallar un elemento trabajando a compresión 
es debido al pandeo que puede sufrir dicho elemento. 
Al aplicar una fuerza de compresión sobre cualquier elemen-
to, éste puede deformarse tanto axialmente como flexionarse 
fuera de su eje principal; dicha deformación recibe el nombre 
de “pandeo”.
70
Qué es pandeo?
 Ilustración 1c. 
 Columna con problemas de pandeo 
Es una deformación fuera del eje principal del elemento debido 
a una fuerza axial de compresión; dicha deformación se pre-
senta en forma de curvatura, la cual varía debido a distintas 
variables: a) las condiciones de sujeción en los extremos del 
elemento que trabaja a compresión; b) su geometría (radio de 
giro); c) su longitud (altura) libre.
¿
71
Qué es la relación 
de esbeltez?
Es la proporción entre la longitud efectiva de pandeo de un ele-
mento, denominado KL, y su distribución de masa alrededor de 
su centroide o “radio de giro”. El valor de “K” se encuentra en 
función a la proporción del elemento en compresión que se de-
forma alejándose de su eje centroidal principal; dicha longitud 
de pandeo varía de acuerdo al tipo de restricción que presenten 
los apoyos que sujetan al elemento en sus extremos, como se 
muestra en la imagen 2c.
 Ilustración 2c. 
 Valor de “K” para la longitud efectiva de pandeo 
Con base en lo anterior, al multiplicar el factor K por la longi-
tud del elemento (KL), obtenemos la proporción de la columna 
que puede pandearse o la longitud efectiva de pandeo, denomi-
nada como Le.
La relación de esbeltez se determina entonces con la siguiente 
expresión:
KL Le
r r
= (1c)
Donde:
KL es la longitud efectiva de pandeo (m o cm)
r es el radio de giro de la sección (sobre su eje menor, cm)
¿
72
Qué es el radio de giro?
El radio de giro, r, es una propiedad geométrica de las secciones 
transversales y se refiere a la distribución de la masa de dicha 
sección con respecto a su eje centroidal; toda sección presenta 
radios de giro alrededor de sus dos ejes principales, obteniendo 
el radio de giro sobre el eje “X” y sobre el eje “Y” como:
 ; x y
Ix Iyr r
A A
= = (2c)
Donde:
lx es el segundo momento de inercia alrededor del eje x. (cm4)
ly es el segundo momento de inercia alrededor del eje y. (cm4)
A es el área transversal de la sección. (cm2)
¿
73
Qué es el esfuerzo crítico 
y la carga crítica?
Esfuerzo crítico
Cuando un elemento estructural presenta compresión, su capa-
cidad de carga dependerá de su relación de esbeltez. El esfuer-
zo máximo a compresión que soporte un elemento esbelto se 
conoce como “Esfuerzo crítico de Euler” o solamente “Esfuerzo 
crítico”, siendo su expresión:
σ CR =
E ∗π 2
K ∗ L
ry
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 =
n∗E ∗π 2
L
ry
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
 (3c)
Donde:
k es el valor de condición de frontera de la sujeción en los extremos.
E es el módulo de elasticidad del material. (kg/cm2)
L es la longitud del elemento. (m o cm)
ry es el radio de giro menor de la sección. (cm o m)
n es función de la condición de frontera relacionado con el valor de 
“k” como la expresión 4C.
2
1n
k
= (4c)
Cuando una columna a compresión pura no presenta proble-
mas de esbeltez, su esfuerzo resistente a compresión es igual al 
esfuerzo resistente del material del que está construido. Cuan-
do el valor del esfuerzo crítico de una columna a compresión es 
menor al esfuerzo que soporta el material del que está hecha 
la sección, entonces se dice que el elemento es esbelto y su es-
fuerzo resistente será igual al valor del esfuerzo crítico de Euler.
Si σ CR <σ material →σ diseño =σ CR
Si σ CR >σ material →σ diseño =σ material
Donde:
σ material = esfuerzo resistente a comprensión del material
σ diseño = esfuerzo válido para diseñar una sección
¿
74
Carga crítica
A partir de conocer el esfuerzo crítico, Euler determinó la carga 
crítica, la cuál es:
PCR = A∗
E ∗π 2
K ∗ L
ry
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2 =
n∗π 2 ∗E ∗ I y
L2 (5c)
Donde:
ly es el segundo momento de inercia del área (cm4); se selecciona la 
inercia sobre el eje menor ya que el pandeo tomará dicha dirección.
E es el módulo de elasticidad del material. (kg/cm2)
L es la longitud del elemento. (m o cm)
ry es el radio de giro menor de la sección. (cm o m)
n es función de la condición de frontera relacionado con el valor de 
“k” como la expresión 4C
Esta expresión será empleada cuando se requiere conocer la 
carga que soporta un elemento a compresión cuando se haya 
evaluado el esfuerzo crítico y éste sea menor al esfuerzo a com-
presión del material.
75
Objetivos
• Que el alumno se interese de manera teórico-práctica en el 
efecto de esbeltez y pandeo en elementos a compresión.
• Que el alumno aprenda a identificar los parámetros que 
establecen la relación de esbeltez y su relación con el 
esfuerzo crítico a compresión.
• Que el alumno establezca la carga resistente a compresión 
de un elemento, con o sin problemas de esbeltez.
• Que el alumno determine la carga crítica de una sección y 
a partir de dicho parámetro pueda establecer la resistencia 
a compresión del elemento.
• Que el alumno comprenda la importancia de estos conceptos 
dentro de su vida práctica proyectual y constructiva.
76
Hipótesis
Todos los elementos esbeltos trabajando a compresión sufren 
de pandeo tanto local como general.
Para lograr el punto anterior se producirá el inicio del pandeo 
en distintas barras de aluminio y se comprobará el valor de la 
carga crítica que presente experimentalmente con respecto a 
la obtenida empleando la expresión de carga crítica de Euler.
Se relacionarán los conceptos de radio de giro, esbeltez, pandeo 
y carga crítica.
Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto 
con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte 
al proyecto arquitectónico, sintetizando mediante la obtención 
de dimensiones de los elementos.
77
Materiales
• Uso del equipo STR-12 (PANDEO) 
• Regla
• Hojas cuadriculadas
• Cuaderno
• Calculadora
• Práctica
A partir de conocer los aspectos teóricos fundamentales del 
comportamiento de elementos a compresión con efectos de 
pandeo, se compararán los valores teóricos con los valores 
prácticos de la carga crítica de Euler.
78
Procedimiento
79
Pandeo en elementos 
biarticulados
Práctica
Para ello se sugiere:
• Generar equipos de 2 a 3 personas.
• Verifique que el equipo presenta las regletas y sujete cada 
una de ellas adecuadamente con el tornillo correspondiente.
• Cada equipo medirá la longitud de cada una de las 
barras, apuntando su valor en la tabla mostrada en la 
siguiente página.
Ilustración 3c. 
Aparato STR-12 para visualizar y medir 
la fuerza crítica de Euler ante pandeo
5
80
• Cada miembro obtendrá para cada una de las barras su 
inercia midiendo con el vernier su grosor. La inercia de una 
barra rectangular sobre su eje menor es:
(6C)
Donde: 
e es el espesor de la barra (cm).
b es la dimensión de la base de la barra (cm).
Número de barra Longitud (cm) Inercia barra 
Iy (cm4)
Lectura Carga 
de pandeo (N)
Lectura Carga 
de pandeo (Kg)
1 32 -85
2 37
3 42
4 47
5 52
• Cada miembro del equipo pasará a colocar una de las barras, 
ajustándola adecuadamente con el tornillo, y comenzará a 
aplicar fuerza gentilmente hasta iniciar el pandeo de la barra.
• La tabla que se generará con sus valores respectivos medi-
dos por barra para cada equipo debe ser como la siguiente:
81
Para obtener el valor de la carga crítica de Euler se empleará la 
ecuación 5C:
Pcr =
nEI yπ
2
L2
Donde:
E es el módulo de elasticidad del material de la barra, como es de 
aluminio este valores igual a 700,000 kg/cm2.
ly es la inercia de la barra con respecto al eje menor (cm4).
L es la longitud de la barra (cm).
n es igual a la unidad para este experimento.
 Recordar que 1 Newton = 0.1019 Kg F.
IMPORTANTE: Para evitar la deformación de las barras, se han 
colocado en la tabla los valores máximos de carga a los que pue-
de llegar cada barra; una vez rebasados dichos valores comien-
za la deformación inelástica de la barra y queda deformada sin 
poder ser utilizada posteriormente.
• Para identificar la relación existente de la carga obtenida del 
experimento con la expresión de Euler de la carga crítica, 
cada equipo debe llenar la siguiente tabla, donde 1/L2 es el 
inverso de la longitud al cuadrado.
Número 
de barra
Carga Critica 
Experimental 
(kg)
Carga Crítica 
de Euler 
teórica (kg)
1/L2
1
2
3
4
5
82
Los valores de carga crítica con respecto al inverso de la lon-
gitud al cuadrado de cada barra deberán ser graficados, de 
forma que se pueda probar la relación existente entre la car-
ga crítica de pandeo y el recíproco de la longitud de la barra.
El gradiente es la pendiente que presenta la línea que se for-
ma en la gráfica realizada, es decir, es la proporción entre la 
carga crítica y el recíproco de su longitud correspondiente. 
• Finalmente obtenga la pendiente de la recta generada y con-
cluya si se genera una línea recta. Responda si la ecuación 
de Euler determina con precisión el valor de la carga crítica
83
Pandeo de barras 
biempotradas
6
Práctica
Para ello se sugiere:
• Generar equipos de 2 a 3 personas.
• Verifique que el equipo presenta las regletas y sujete cada una 
de ellas adecuadamente con el tornillo correspondiente
• Cada equipo medirá la longitud de cada una de las barras, 
apuntando su valor en la tabla mostrada en la siguiente página
• Cada miembro obtendrá para cada una de las barras su iner-
cia midiendo con el vernier su grosor. La inercia de una ba-
rra rectangular es:
 (6C)
Donde:
e es el espesor de la barra.
b es la dimensión de la base de la barra.
• Cada miembro del equipo pasará a colocar una de las barras, 
ajustándola adecuadamente con el tornillo, y comenzará a 
aplicar fuerza gentilmente hasta iniciar el pandeo de la barra.
La tabla que se generará con sus valores respectivos medi-
dos por barra para cada equipo debe ser como la siguiente:
Número 
de barra
Longitud 
(cm)
Inercia barra 
(cm4)
Carga de 
pandeo (N)
Carga de 
pandeo (Kg)
1 28 -429
2 33
3 38
4 43
5 48
84
Para obtener el valor de la carga crítica de Euler, se empleará la 
ecuación 5C:
Pcr =
nElyπ
2
L2
Donde:
E es el módulo de elasticidad del material de la barra, como es de 
aluminio este valor es igual a 700,000 kg/cm2.
ly es la inercia de la barra con respecto al eje menor (cm4).
L es la longitud de la barra (cm).
n es igual a 4, ya que K es 0.5.(verificarlo con la expresión 4C).
 
Recordar que 1 Newton = 0.1019 Kg F.
IMPORTANTE: Para evitar la deformación de las barras, se han 
colocado en la tabla los valores máximos de carga a los que pue-
de llegar cada barra; una vez rebasados dichos valores, comien-
za la deformación inelástica de la barra y queda deformada sin 
poder ser utilizada posteriormente.
• Para identificar la relación existente de la carga obtenida del 
experimento con la expresión de Euler de la carga crítica 
cada equipo debe llenar la siguiente tabla, donde 1/L2 es el 
inverso de la longitud al cuadrado:
Número 
de barra
Carga Critica 
Experimental 
(kg)
Carga Crítica 
de Euler (kg)
1/L2
1
2
3
4
5
85
Los valores de carga crítica con respecto al inverso de la 
longitud al cuadrado de cada barra deberán ser graficados, 
de forma que se pueda probar la relación existente entre la 
carga crítica de pandeo y el recíproco de la longitud de 
la barra.
El gradiente es la pendiente que presenta la línea que se for-
ma en la gráfica realizada, es decir, es la proporción entre la 
carga crítica y el recíproco de su longitud correspondiente.
• Genere una tabla final donde pueda obtener la relación en-
tre los gradientes de una barra articulada con respecto a 
una barra biempotrada. El valor que obtenga será el valor 
de “n” o condición de frontera.
N experimental = Gradiente de barra biempotrada
Gradiente barra biarticulada
¿Tiene algún sentido este resultado? 
86
Análisis de 
resultados 
prácticas 5 y 6
Una vez realizados los dos ejercicios, modificando las condicio-
nes de sujeción del elemento en el extremo, se pide relacionar 
el valor de la pendiente de la recta que se genera en la gráfica 
obtenida en cada ejercicio.
Para desarrollar la relación de las pendientes obtenidas, la pen-
diente obtenida por la barra biarticulada se tomará como la uni-
dad para obtener el valor proporcional para los demás casos.
El alumno debe verificar cómo cambia el comportamiento con-
forme se modifica la sujeción de la barra en los extremos; cómo 
su pandeo siempre es sobre el eje menor de inercia y la carga crí-
tica es el valor de carga máximo que puede soportar el elemento 
antes de iniciar su deformación plástica debido al pandeo.
Pendiente Barra 
bi-articulada
Barra 
bi-empotrada
Experimental -9.0 -34.9
Relación caso/ 
bi-articulada
-9.0/-9.0=1 -34.9/-9.0=3.9
Relación 
teórica “n”
1 4
Relación teórica
1 2
87
Conclusiones
Los elementos a compresión, como son los puntales y colum-
nas, han sido empleados durante mucho tiempo en distintas so-
luciones arquitectónicas y constructivas; sin embargo, siempre 
se han visto afectados por el fenómeno del pandeo.
La carga que soporta el elemento se verá reducida con base en 
su geometría tanto de sección transversal como de longitud; 
la carga crítica de Euler establece el valor máximo que puede 
soportar un elemento antes de iniciar el pandeo y sufrir defor-
maciones permanentes.
88
Ejercicios de 
aplicación
Encuentra un proyecto arquitectónico resuelto empleando 
puntales y revisa su geometría verificando cuál elemento sufri-
rá pandeo con mayor facilidad.
Una vez que hayan encontrado el ejemplo, dibujen de forma 
sencilla su estructura, plasmen su claro, valores aproximados de 
cargas de automóviles o personas sobre éste, ancho de calzada 
y respondan las siguientes preguntas:
a. ¿Con qué material se construyó dicho proyecto?
b. ¿Qué ventaja o desventaja le aporta la geometría de las sec-
ciones que forman al arco en dicha estructura?
c. ¿Cuál es su claro y de qué tamaño son sus secciones?
Se te pide encontrar imágenes en la red de elementos que han 
fallado por pandeo. Especifica el material y secciones presenta-
ban estos elementos.
89
Referencias
Megson, T. (2017). Structural and stress analysis (3a. ed.). 
Oxford: Elsevier.
Zalewzki, W., & Allen, E. (1990). Shaping structures statics. 
New York: John Wiley & Sons Inc.
Beer, FP and Johnston, R. (2010). Statics and Mechanics of Ma-
terials. (12a ed.) Mc. Graw Hill.
F L E X I Ó N
PAPIME PE 400516
9191
Introducción
Se pretende que el alumno conozca todo lo relacionado con el esfuer-
zo de flexión, tanto teórico como práctico, a través de la definición de 
conceptos claros y precisos, además de la ejemplificación del fenóme-
no mediante la solución de ejercicios prácticos. Al final el alumno debe 
poder realizar la síntesis de la repercusión de este esfuerzo sobre los 
elementos estructurales, especialmente vigas.
92
Qué es flexión?
Es la distribución de esfuerzos que se producen al interior de 
un elemento al aplicarle a este último una fuerza transversal, 
generando una deformación llamada “deflexión”, siendo “la 
flecha” el punto de máxima deformación. Al aplicar una carga 
vertical al elemento en el sentido de la fuerza de la gravedad, 
las fibras superiores de este cuerpo se acortan produciendo 
esfuerzos internos de compresión mientras que las fibras infe-
riores se alargan produciendo esfuerzos de tensión.
La línea que separa las fibras que trabajan a tensióncon res-
pecto a las que trabajan a compresión recibe el nombre de “eje 
neutro”, punto en el cual no existe ningún esfuerzo. Finalmen-
te, al “curvearse” el elemento, se genera una curvatura con su 
respectivo radio llamado “radio de curvatura”, el cual dismi-
nuye cuando aumenta la flexión y aumenta al disminuir esta 
última.
Ilustración 1d. Viga con carga perpendicular a su eje principal. Ilustración 2d. Flexión en vigas.
¿
93
Qué es momento y un 
momento de flexión?
Un momento de fuerza es el producto de una fuerza aplicada 
en un punto por la distancia perpendicular a dicha fuerza para 
llegar al punto sobre el cual gira el elemento. 
Donde:
M es el momento (kg*cm, t*m)
Ilustración 3d. Torque o mo-
mento. (1d) 
Momento de flexión
Para que el elemento sobre el cual se aplicó la fuerza esté en 
equilibrio, la fuerza resultante a tensión (producto de la suma 
de los esfuerzos de tensión) debe ser igual a la fuerza resul-
tante a compresión (producto de la suma de los esfuerzos de 
compresión).
Ambas fuerzas son de igual valor, pero tienen sentido contra-
rio y se encuentran separadas una distancia, produciendo un 
momento de flexión al interior del elemento.
Ilustración 4d. Momento
y Cortante sobre una viga.
M = Fuerza∗distancia (1d)
¿
94
Una viga es un elemento estructural, generalmente en posi-
ción horizontal, cuya función es soportar cargas externas y 
transmitirlas hacia sus apoyos generalmente ubicados en los 
extremos de la misma. El comportamiento de la viga depende-
rá de la forma en que se conecta con sus apoyos.
Ilustración 5d.
Ejemplo apoyo simple y representación
gráfica en el plano. 
Apoyo simple
Es aquel apoyo que impide que el elemento se mueva única-
mente en un sentido, pudiendo moverse en la otra dirección, 
así como girar alrededor de dicho apoyo.
Debido a que sólo restringe que el elemento se mueva en una 
dirección, en dicha dirección se genera una reacción.
Flexión en vigas
y tipos de apoyos
viga o ballena
viga enfrente = apoyo simple viga atrás = apoyo simple
reacción en yreacción en y
95
Apoyo articulado
Este apoyo impide que el elemento se mueva en todas las 
direcciones; sin embargo, permite que el elemento gire alrede-
dor de todos los planos.
Debido a que sólo restringe que el elemento se mueva en dos 
direcciones, en dichas direcciones se generan reacciones; aho-
ra se tienen reacción en X y en Y.
Ilustración 6d.
Ejemplo apoyo articulado y representación
gráfica en el plano.
columna inclinada
reacción en x
articulación
madera apoyo
reacción en y
96
Apoyo empotrado
Este apoyo impide que el elemento se mueva y gire en todas 
las direcciones.
Para conocer el trabajo de flexión en una viga estáticamente 
determinada que soporta carga, ya sea puntual o distribuida, 
se recurre a obtener el valor de las reacciones en los apoyos 
para posteriormente obtener las ecuaciones del momento 
interior en la viga y plasmar dicho trabajo en diagramas cono-
cidos como diagramas de elementos mecánicos, de momento 
de flexión.
Ilustración 7d.
Ejemplo apoyo empotrado
y representación gráfica
en el plano.
momento
reacción en x
reacción en y
empotramiento
97
La fuerza cortante es la distribución de las cargas actuantes 
hacia los apoyos para que la viga esté en equilibrio. En la figura 
4d se presenta el cortante que se transmite de la carga exter-
na hacia la viga, y su diagrama es la representación de la suma 
algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje 
de la viga y su transmisión hacia los apoyos.
Para obtener el diagrama de fuerzas cortantes en vigas se rea-
liza una sumatoria de fuerzas en “Y” o fuerzas verticales.
Qué es la fuerza 
cortante?
Fy∑ = 0 (2d)
En los ejercicios planteados a continuación el alumno practi-
cará cómo obtener el trabajo de flexión y cortante sobre una 
trabe, generar su gráfica y relacionar sus resultados con las 
deflexiones que se producen en la viga.
¿
98
 Objetivos 
98
• Que el alumno aprenda a identificar los diferentes tipos de vigas, su 
función y comportamiento. 
• Que el alumno aprenda a identificar y a calcular los esfuerzos 
(cortante y momento) a los que está sometida una viga. 
• Que el alumno pueda observar la deformación de una viga 
sometida a diferentes cargas. 
• Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos 
arquitectónicos.
10
0
 k
g
4
0
 c
m
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
10
0
 k
g
2
5
 c
m
9999
Hipótesis
Las trabes son elementos cuyo trabajo principal es a flexión y cortante 
debido a las cargas que soporta.
Para verificar dicha hipótesis: se analizará el comportamiento de una 
viga, para lo que se realizarán diferentes propuestas para saber cómo se 
flexiona una viga y sus valores.
Para todos los ejercicios se determinará la deformación del modelo y, 
con los cálculos, se verificará la deformación y trabajo obtenido.
Los resultados se obtendrán de forma manual así como con programa 
de análisis estructural, pudiendo variar los valores ligeramente por 
cuestiones de decimales empleados.
100100
• Esponja 
• Plumones 
• Plastilina 
• Hojas milimétricas 
• Cartón 
• Latas de leche o pintura vacias 
• Papel albanene 
• Masking Tape 
• Marcador 
• Tachuelas 
* Estos materiales pueden comprarse entre dos o tres personas,
 de forma que sean económicos y no se tengan desperdicios.
Materiales
101101
Procedimiento
Lo primero que se debe realizar es:
Profesor: 
Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra el 
plano de trabajo, viga formada por secciones de madera, eje neutro 
y deflexión, ejemplificando cada paso que realizará el alumno ante el 
grupo.
Alumnos:
Generarán la base sobre la cual se colocarán los modelos que generen 
los mismos alumnos. La base se fabricará:
• Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.
• Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación 
que se desee para la trabe.
• Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor 
fijación de las tachuelas.
Ilustración 8d. Modelo de flexión del profesor 
102
Visualiza el comportamiento a flexión de una viga sobre 
un modelo para posteriormente calcular las reacciones, el 
valor del cortante y momento de flexión de la trabe. Final-
mente, traza los diagramas de elementos mecánicos corres-
pondientes.
Inicia con el modelo
Construye un modelo con las características de la viga que 
será analizada analíticamente y compara los resultados.
a. Haz una retícula en una hoja milimétrica con una gradua-
ción que te ayude a observar los esfuerzos que producirá 
la viga.
Flexión con cargas 
puntuales
b. Coloca latas hasta lograr la altura necesaria, estas latas 
servirán como los apoyos de la viga.
c. Apoya la esponja en las latas para formar el sistema.
7
Práctica
103
d. Comienza a agregar peso proporcionalmente a las cargas 
establecidas en el ejercicio anterior. Para este ejemplo uti-
lizamos plumones, pero se puede utilizar cualquier objeto 
al alcance del practicante. Observa la flexión que producen 
las cargas en la viga.
e. Sigue agregando las cargas necesarias conforme al ejer-
cicio. Observa los cambios que se van produciendo en la 
viga.
f. Con la ayuda de un marcador, traza la curva generada por 
la flexión de la viga y compara el resultado con el que se 
obtenga en el siguiente ejercicio
Solución analítica de la viga
Se tiene una viga con tres cargas puntuales (equivalente a los 
tres plumones).
Se inicia obteniendo las reacciones
Ilustración 9d. 
Viga práctica 7. 
70
0
0
 k
g
10
 0
0
0
 k
g
70
0
0
 k
g
2.00 3.00 3.00
R1 R2
BA
2.00
104
Para obtener las reacciones R1 y R2 se requiere realizar suma-
toria de momentos en el extremo derecho, el cuál llamaremos 
punto “B”. Para obtener el momento, este será igual a Fuerza 
por distancia, ecuación 1D.
 MB∑ = 0
(girando a favor de las manecillas delreloj es positivo)
+R1(10m)− 7000kg(8m)−1000kg(5m)− 7000kg(2m)+ R2(0m) = 0
∴+R1(10m)−56000kg ∗m−50000kg ∗m−14000kg ∗m = 0
∴+R1(10m)−12000kg ∗m = 0
Despejando R1
R1= 120000kg ∗m
10m
= 12000kg
Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza 
la sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas 
las fuerzas con sentido hacia arriba:
+ ↑ Fy = 0∑
−24000kg + R2+ R1= 0
Despejando R2 tenemos
 
R2 = 24000kg −12000kg = 12000kg
Para obtener el diagrama de cortantes, se hará la sumatoria de 
fuerzas en “Y” en todos los puntos donde hay carga puntual. 
Sólo se tomarán en cuenta las fuerzas que estén a la derecha 
de cada punto donde se pare para obtener la sumatoria.
Para obtener el diagrama de momentos se realiza la suma de 
momentos de las fuerzas ubicadas a la izquierda de cada pun-
to donde están las cargas; el giro se considera positivo si es a 
favor de las manecillas del reloj.
105
Cortantes
+ ↑ Fy = 0∑
Vx=0 = +12000kg
Vx=2 = +12000kg − 7000kg = 5000kg
Vx=5 = +12000kg − 7000kg −10000kg = −5000kg
Vx=8 = +12000kg − 7000kg −10000kg − 7000kg = −12000kg
Vx=10 = +12000kg − 7000kg −10000kg − 7000kg +12000kg = 0
2.00
R1 = 12 000 kg
70
0
0
 k
g
70
0
0
 k
g
10
 0
0
0
 k
g
12 000
0
x = 0 x = 2 x = 5
-12 000
0
V
5 000
-5 000
R2 = 12 000 kg
2.003.00 3.00
x = 8 x = 10
106
Momentos
Analiza los resultados
Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio, modelo y 
resultados con SAP2000.
Mx = 0∑
Mx=2 = +12000kg(2m)− 7000kg(0m) = 24000kg ∗m
Mx=5 = +12000kg(5m)− 7000kg(3m)−10000kg(0m) = 39000kg ∗m
Mx=8 = +12000kg(8m)− 7000kg(6m)−10000kg(3m) = 24000kg ∗m
Mx=10 = +12000kg(10m)− 7000kg(8m)−10000kg(5m)− 7000(0m) = 0
70
0
0
 k
g
70
0
0
 k
g
10
 0
0
0
 k
g
2.00 2.003.00 3.00
R2 = 12 000 kgR1 = 12 000 kg
+
39 000 kg.m
x = 0
0
x = 2 x = 5 x = 8 x = 10 0
24 000 kg.m24 000 kg.m
107
Diagrama de cortantes
El diagrama de cortante obtenido mediante el procedimien-
to del ejercicio es el mismo que el obtenido en el programa 
SAP2000, los valores numéricos varían con un pequeño rango 
de diferencia.
En ambos diagramas podemos observar la distribución de las 
fuerzas verticales cortantes a lo largo de la viga. También po-
demos observar que, al tener las cargas puntuales simétricas, 
los cortantes de la viga son simétricos y proporcionales a las 
cargas.
Ilustración 10d.
Diagrama de cortantes obtenido con el programa SAP2000.
Ilustración 11d.
Diagrama de cortantes obtenido con los cálculos realizados.
5 000
-5 000
12 000
-12 000
0
0
v
108
Diagrama de momentos
Los resultados de ambos diagramas de momentos son simila-
res, se presenta un pequeño rango de diferencia entre los va-
lores debido a los elementos que toma en cuenta el programa 
SAP2000 al analizar la viga.
En ambos resultados podemos observar que el momen-
to de flexión mayor se encuentra al centro con un valor de 
39,000kg ∗m .
Esto mismo lo podemos comprobar en la flexión que presento 
la viga en el modelo.
Ilustración 12d
Diagrama de momentos obtenido 
con el programa SAP2000.
Ilustración 13d.
Diagrama de momentos obtenido 
con los cálculos realizados.
Ilustración 14d.
Deformación y momento de la 
viga modelada.
24 000 kg.m24 000 kg.m
39 000 kg.m
0
0
109
8
Práctica
Ejercicio 1
Visualiza el comportamiento a flexión de una viga sobre un 
modelo. Posteriormente, se debe calcular las reacciones, cor-
tante y momento de flexión de la misma. Traza los diagramas 
de elementos mecánicos correspondientes. Construye un 
modelo con las características de la viga por analizar
a. Prepara nuevamente el sistema completo (viga y apoyos).
Flexión con carga 
repartida uniforme
y carga puntual
b. Coloca la carga distribuida sobre la viga; en este ejemplo 
colocamos una serie de plumones que actúan como la car-
ga distribuida. Observa el comportamiento de la viga al ir 
agregando las cargas.
c . Agrega la carga puntual. Observa el comportamiento de la 
viga al ir agregando las cargas.
110
d. Con la ayuda de un plumón, traza sobre la retícula la flexión 
que generaron las cargas en la viga. Compara los resultados 
obtenidos con los resultados del ejercicio anterior.
Solución analítica de la viga
Reacciones
Para obtener las reacciones R1 y R2 se requiere realizar suma-
toria de momentos en el extremo derecho, el cuál llamaremos 
punto “B”. Para obtener el momento, éste será igual a la fuerza 
por la distancia, ecuación 1D.
 MB∑ = 0
(girando a favor de las manecillas del reloj es positivo)
+R1(10m)− 7000kg(8m)−1000kg(5m)− 7000kg(2m)+ R2(0m) = 0
∴+R1(10m)−56000kg ∗m−50000kg ∗m−14000kg ∗m = 0
∴+R1(10m)−12000kg ∗m = 0
Despejando R1
R1= 120000kg ∗m
10m
= 12000kg
+ ↑ f y = 0∑
−(2000∗12)kg +16900kg −8400kg + R2 = 0
Despejando R2
∴R2 = 32400kg −16900kg = 15500kg
2 000 kg/m
7.005.00
R2
BA
R1
8
 4
0
0
 k
g
111
Cortantes
Se obtiene el cortante dos veces en x=5 ya que debe ser sin 
considerar la carga puntual y después ya debe sumarse dicha 
carga.
Vx=5 = +16900kg −10000kg −8400kg = −1500kg
Vx=12 = +16900kg −8400kg − 24000kg − 7000kg = −15500kg
Vx=12(− ) = +16900kg −8400kg − 24000kg +15500kg = 0
+ ↑ Fy = 0∑
Vx=0 = +16900kg
Vx=5(− ) = +16900kg −10000kg = 6900kg
2 000 kg/m
R2=15 500 kg
6 900 kg
v
0
-15 500 kg
-1 500 kg
0
R1=16 900 kg
16 900 kg
7.005.00
8
 4
0
0
 k
g
112
Momentos
Se obtiene el diagrama de momento solo en estos valores que 
son los máximos, ya que la geometría que une dichos puntos 
será una parábola por ser carga uniformemente repartida.
Analiza los resultados
Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio y del mo-
delo con los resultados con la ayuda del programa SAP2000.
Mx∑ = 0
Mx=0 = +16900kg(0m) = 0kg ∗m
Mx=5 = +16900kg(5m)−10000kg(2.5m) = 59500kg ∗m
Mx=12 = +16900kg(12m)− 2000kg(12m)(6m)−8400kg(7m)+15500kg(0m) = 24000kg ∗m
2 000 kg/m
R2=15 500 kg
59 500 kg · m
0
M0
R1=16 900 kg
7.005.00
8
 4
0
0
 k
g
+
113
Diagrama de cortantes
El diagrama de cortante obtenido mediante el procedimien-
to del ejercicio es el mismo que el obtenido en el programa 
SAP2000, los valores numéricos varían con un pequeño rango 
de diferencia.
En este caso la distribución de fuerza cortante es lineal al igual 
que la carga, presentándose un escalón donde está la carga 
puntual. El cortante máximo se produce en los apoyos.
Ilustración 4.
Diagrama obtenido con el programa SAP2000.
Ilustración 5.
Diagrama obtenido con los 
cálculos realizados.
6 900 kg
-15 500 kg
-1 500 kg
16 900 kg
0
v0
114
Diagrama de momentos
Los resultados de ambos diagramas de momentos son simila-
res, se presenta un pequeño rango de diferencia entre los va-
lores debido a los elementos que toma en cuenta el programa 
SAP2000 al analizar la viga.
El momento de flexión máximo se localiza fuera del centro de 
la viga y tiene un valor de 59500kg * m, a 5 metros de uno de 
los extremos, dicha distancia, coincide con la carga puntual de 
8400kg , que incide en ese punto.
En el modelo podemos apreciar que la viga se flexiona más 
hacia el lado de la carga puntual, lo cual coincide con los dia-
gramas antes analizados.
Ilustración 17d.
Diagrama obtenido con el programa SAP2000. 
Ilustración 18d.
Diagrama de momento obtenido analíticamente 
Ilustración 19d.
Diagrama obtenido con el modelo. 
59 500 kg · m
0
M0
115
Ejercicio 2
Flexión de una vida en cantiliver
con carga repartida uniforme.
Calcula las reacciones, el valor del cortante y momento flexio-
nante de la siguiente viga, y posteriormente traza los diagra-
mas correspondientes.
Cortantes
+ ↑ Fy = 0∑
Vx=2 = −(800kg ∗m)(2m) = −1600kg
Vx=4 = −(800kg ∗m)(4m) = −3200kg
Vx=6 = −(800kg ∗m)(6m) = −4800kg
Vx=8 = −(800kg ∗m)(8m) = −6400kg
Vx=10 = −(800kg ∗m)(10m) = −8000kg
800 kg / m
2.00 2.00 2.00
10.00
2.00 2.00
-1 600 kg
-3 200 kg
-4 800 kg
-6 400 kg
-8 000 kg
0
V
0
116
Momentos
Analiza los resultados
Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio y del mo-
delocon los resultados con la ayuda del programa SAP2000.
Mx = 0∑
Mx=0 = 0kg ∗m
Mx=2 = −(800kg ∗m)(2m)(1m) = −16000kg ∗m
Mx=4 = −(800kg ∗m)(4m)(2m) = −6400kg ∗m
Vx=6 = −(800kg ∗m)(6m) = −14400kg ∗m
Vx=8 = −(800kg ∗m)(8m) = −25600kg ∗m
Vx=10 = −(800kg ∗m)(10m) = −40000kg ∗m
1 600 kg · m
6 400 kg · m
14 400 kg · m
25 600 kg · m
40 000 kg · m
0
M0
117
Diagrama de cortantes
El diagrama de cortante obtenido mediante el procedimien-
to del ejercicio es el mismo que el obtenido en el programa 
SAP2000; los valores numéricos varían con un pequeño rango 
de diferencia.
Al ser una viga en voladizo, el cortante mayor se produce en su 
empotre; y al tener una carga uniformemente repartida sobre 
la viga, los cortantes que se producen en ella van incremen-
tando proporcionalmente mientras nos vamos acercando al 
empotre de la misma.
Ilustración 20d.
Diagrama obtenido con el programa SAP2000.
Ilustración 21d.
Diagrama obtenido con los cálculos realizados.
0
0
V
-1 600 kg
-3 200 kg
-4 800 kg
-6 400 kg
-8 000 kg
118
Diagrama de momentos
Los resultados de ambos diagramas de momentos son simila-
res, se presenta un pequeño rango de diferencia entre los va-
lores debido a los elementos que toma en cuenta el programa 
SAP2000 al analizar la viga.
En este caso, al igual que en el diagrama de cortante, el mo-
mento de flexión máximo se localiza en el empotre de la viga, 
teniendo este momento un valor de 40000 kg * m.
Ilustración 22d.
Diagrama obtenido con el programa SAP2000.
Ilustración 23d.
Diagrama obtenido analíticamente. 
1 600 kg · m
6 400 kg · m
14 400 kg · m
25 600 kg · m
40 000 kg · m
0
0
M
119
Análisis resultados
prácticas 7 y 8
Compara los cortantes de las vigas anteriormente calculadas:
Ilustración 24d.
Diagrama obtenido analíticamente 
119
R1=12 000 kg
12 000
0
-5 000
5 000
-12 000
0
V
R2=12 000 kg
2.00 2.003.00 3.00
70
0
0
 k
g
70
0
0
 k
g
10
 0
0
0
 k
g
2 000 kg/m
R2=15 500 kg
6 900 kg
v
0
-15 500 kg
-1 500 kg
0
R1=16 900 kg
16 900 kg
7.005.00
8
 4
0
0
 k
g
120
¿Cómo influyen las cargas en la forma
en que se produce el cortante en la 
viga?
El cortante máximo se produce generalmen-
te en los apoyos, quienes reciben toda la 
carga de las vigas. Cuando se tienen cargas 
puntuales, el diagrama de fuerzas cortantes 
presenta una geometría escalonada, hacien-
do cambio donde están las cargas externas; 
en una viga con carga uniformemente repar-
tida, el cortante es una línea con pendiente 
constante a lo largo de la viga.
Compara los momentos de flexión en las 
vigas analizadas anteriormente:
Ilustración 25d.
Diagrama de momentos de ejercicio 1 práctica 7 y 8.
39 000 kg · m
R1=12 000 kg
R1=??? kg R1=15 000 kg
R2=12 ???
24 000 kg · m 24 000 kg · m
59 500 kg · m
0
0
0
0
M
2.00 2.00 5.00 7.003.00 3.00
70
0
0
 k
g
70
0
0
 k
g
8
 4
0
0
 k
g
2 000 kg · m
121
¿Cómo influyen las cargas en la forma en que se pro-
duce el momento de flexión en la viga?
Las cargas y su posición en la viga determinan la distribución 
del momento de flexión en una viga, por lo que la posición en 
la que se encuentren es muy importante ya que el momento 
flexionante máximo estará en donde se concentre la mayor 
cantidad de cargas.
El tipo de cargas aplicado sobre la trabe también es importan-
te, ya que con una carga distribuida el momento flexionante 
mayor se producirá al centro de la viga; en cambio, si las cargas 
son puntuales, el momento de flexión máximo se producirá en 
donde haya mayor carga, lo cual puede ser en cualquier punto 
de la viga.
¿Cuál es la relación entre el cortante producido y el 
momento de flexión en una viga?
La carga, el cortante y el momento están relacionados, ya que 
la integral de la carga da como resultado el cortante y, obte-
niendo la integral del diagrama de cortante, se determina el 
valor del momento en dicho punto.
122
Ejercicios
de aplicación
122
Realiza nuevos análisis con diferentes tipos de vigas para observar los 
esfuerzos producidos en cada una de éstas. Toma como punto de par-
tida las siguientes vigas y analiza sus esfuerzos, realiza sus correspon-
dientes diagramas y compara tus resultados.
Propón casos de estudio con diferentes tipos de vigas, diferentes em-
potres o diferentes características en sus elementos y analiza cómo se 
comporta cada una de las vigas.
Registra tus resultados en una práctica, agrega los diagramas que sean 
necesarios para entender y analizar los resultados obtenidos.
3.00 7.00
5
 0
0
0
 k
g
3 500 kg · m
123123
Conclusiones
Otro aspecto importante a tomar en cuenta son los claros que cubrirá la 
viga, ya que entre más grande sea el claro a cubrir mayor será la sección 
de la viga para poder soportar los esfuerzos que las cargas ejercen sobre 
ella.
Todos estos elementos influyen directamente en el proyecto arquitec-
tónico, por lo que es esencial conocer los procedimientos que en esta 
práctica se llevan a cabo, para que con esto podamos crear un criterio 
que apliquemos al momento de diseñar un edificio.
Los esfuerzos que actúan sobre una viga son dos, principalmeLos 
esfuerzos que actúan sobre una viga son dos, principalmente: los 
esfuerzos a cortantes y los momentos de flexión. Es importante cono-
cer cómo actúa cada uno de estos esfuerzos, la forma de calcularlos y 
aplicarlo en el diseño arquitectónico.
Al calcular estos esfuerzos se deben tomar en cuenta diversos factores, 
como el tipo de material del que se hará la viga, la forma en que está 
apoyada y las cargas que va a soportar la misma. Estas últimas son par-
te esencial de este análisis, ya que una viga no presentará las mismas 
deformaciones cuando esté sometida a una carga menor que cuando la 
carga a soportar sea muy grande.
124124
Referencias
Durán Peña, D. A. (15 de mayo de 2006). Paquete interactivo didác-
tico para apoyo del curso de comportamiento de materiales I (ca-
pítulo 4). Obtenido de Colección de Tesis Digitales - Universidad 
de las Américas, Puebla: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/
documentos/lic/duran_p_da/capitulo4.pdf
Parker, H. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos y construc-
tores. (R. Navarro Salas, Trad.) México: Limusa.
Quiñonez, A. (7 de junio de 2015). COMO RESOLVER UNA VIGA CON 
SAP2000 v17.1.1 - BIAGGIO - UNMSM. Obtenido de YouTube: ht-
tps://www.youtube.com/watch?v=6-y8itaq7aE&t=550s
Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). Prenti-
ce Hall.
125
PAPIME PE 400516
A R M A D U R A S
126126
Introducción
126
¿Qué es una armadura?
Una armadura es un elemento cuya función es soportar cargas 
y transmitirlas a sus apoyos, de forma similar a las vigas, por 
ello también se conocen como trabes de alma abierta. Su vir-
tud principal es que a partir de su geometría descomponen la 
flexión que tienen las vigas en fuerzas más sencillas, como son 
la tensión y compresión, lo que permite elementos más esbel-
tos y económicos con respecto a una trabe.
127
Ilustración 1e. 
Diagrama de una armadura y sus elementos. 
El triángulo es la unidad geométrica básica de la armadura; es 
una forma que no puede ser deformable, independientemente 
de cómo están conectados sus elementos entre sí.
Las armaduras se componen de los siguientes elementos: (ver 
figura 1e).
Las cuerdas superior e inferior son los elementos principales 
de una armadura, ya que ellos transmiten las fuerzas a lo largo 
de la misma. Las diagonales tienen como función generar 
triángulos al interior del elemento, descomponiendo la flexión 
en tensión y compresión dependiendo de cómo estén orienta-
das. Finalmente, los montantes sirven para acortar la distancia 
entre nudos y para lograr la conexión de elementos con la 
armadura.
Ilustración 2e. 
Esfuerzos de trabajo de una armadura. 
128
Armaduras planas
Son armaduras que se encuentran contenidas en un solo pla-
no, formadas tanto sus cuerdas, diagonales y montantes por 
uno o dos elementos cuandoes metálica, como se aprecia en 
la figura 3e. Cuando se trata de armaduras construidas con 
madera, cada elemento puede estar formado por 2, 3 y 4 sec-
ciones, debido a su baja resistencia a la compresión y tensión. 
Tipos de armaduras
Ilustración 6.
Armadura plana
Principios básicos de las armaduras:
a. Debe de tener triángulos en todo su interior.
b. Las cargas deben caer sobre los nudos.
c. Puede tener cualquier geometría, mientas que esté trian-
gulada en su interior.
d. Los nudos se consideran articulados aun cuando estén sol-
dados o atornillados.
e. Una armadura puede prescindir de montantes, pero siem-
bre debe tener diagonales.
129
Armaduras espaciales
Estas armaduras generan una superficie, por lo que están 
contenidas en 3 planos; estas estructuras reciben el nombre de 
doble manto por contar con cuerdas superior e inferior.
Una armadura espacial simple puede construirse a partir de un 
tetraedro básico agregando tres elementos adicionales y un 
nodo, y continuar de esta forma hasta formar un sistema de 
tetraedros multiconectados.
Ilustración 5e. 
Armadura tridimensional o “estructura espacial”. 
De acuerdo con la posición de las diagonales e integración de 
montantes, las armaduras planas pueden presentar distintos 
nombres, como:
Ilustración 4e. 
Algunos tipos de armaduras de acuerdo a su triangulación. 
130
Selección
de una armadura
La selección de una armadura depende de las condiciones del 
proyecto arquitectónico así como sus requerimientos. Algunos 
casos generales son:
• Para claros grandes las armaduras son una buena elección, 
ya que por sus características presentan un menor peso 
con respecto al de una trabe de alma llena. Las armaduras 
pueden cubrir claros que van desde los 10 metros hasta 
los 150 metros de largo; sin embargo, se debe considerar 
que su peralte es mayor al de una trabe y cuando se tienen 
claros mayores a 100 m se debe considerar una armadura 
tridimensional preferentemente. 
• Cuando se tienen cargas gravitacionales importantes sobre 
un entrepiso y los claros son medianos a grandes para 
dichas cargas (10 a 30 m), las armaduras pueden soportar 
mayor carga que el de una trabe debido a presentar mayor 
peralte pero ser ligeras al estar trianguladas. 
• Cuando se tiene un gran número de instalaciones que 
corren por el entrepiso, las armaduras son una buena 
solución ya que permiten el paso de estas instalaciones 
libremente sin quitar altura de entrepiso. 
• Cuando el tiempo de construcción de la edificación es 
muy corto para usar sistemas constructivos que conlleven 
mayor tiempo del planeado. 
• Cuando se quiere rigidizar una edificación, pueden sustituir 
a trabes como a columnas.
131
Se requiere iniciar obteniendo el valor de las reacciones de los 
apoyos que soportan a la armadura para comenzar a resolver 
el trabajo de sus elementos; en esta práctica se abordará el 
método de los nudos para determinar los esfuerzos internos 
que se producen en cada barra de la armadura.
Este método se basa en encontrar el equilibrio en cada nudo 
obteniendo las fuerzas interiores incógnitas con el equilibrio de 
fuerzas sobre los ejes principales (en el eje x y eje y). Se debe 
iniciar en un nudo donde se tengan dos barras y una carga 
externa.
Cómo se conoce el trabajo
de cada elemento de una armadura
estáticamente determinada?
¿
132
Objetivos
• Que el alumno identifique cada uno de los elementos que 
conforman una armadura, así como la forma en que trabaja cada 
uno de ellos. 
• Que el alumno aprenda a diferenciar la forma de trabajo de una 
viga de la de una armadura, así como las características técnicas de 
acuerdo a las diferentes formas de empleo de ésta. 
• Que el alumno pueda reconocer las formas que toma una 
armadura, así como el trabajo de las barras de la armadura. 
• Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos 
arquitectónicos.
132
133
Hipótesis
Una armadura plana descompone su flexión en un par de fuerzas (ten-
sión y compresión) gracias a su triangulación interior.
Para verificar lo anterior se relacionará las deformaciones de la arma-
dura sobre modelos con sus resultados numéricos y se determinará su 
variación conforme se modifique la triangulación, peralte y valor de las 
cargas.
El análisis de resultados para cada caso se comprobará mediante el de 
un programa computacional de análisis de armaduras para comprobar 
los resultados y mostrar los diagramas de trabajo de cada una de ellas.
133
134
Materiales
• Base de cartón corrugado de 30X30cm* 
• Hojas milimétricas 
• Hojas de papel albanene 
• Tachuelas* 
• Varitas de madera balsa 
• Hilo y Aguja 
• Plastilina 
• Masking Tape* 
• Marcador 
134
* Estos materiales pueden comprarse entre dos o tres personas,
 de forma que sean económicos y no se tengan desperdicios.
135
Procedimiento
Profesor
Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra el pla-
no de trabajo, armadura y pesos, ejemplificando cada paso que realiza-
rá el alumno ante grupo.
Alumnos
Para construir su propio modelo, generarán la base sobre la cual se 
colocarán nuestros modelos de armaduras.
135
136
Ilustración 6e.
Modelo de armadura para el profesor 
a. Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.
b. Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la 
separación que se desee para el polígono funicular. (en el 
ejemplo 20 unidades)
c. Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener 
una mejor fijación de las tachuelas.
137
9
Práctica
Armadura plana
estáticamente determinada
Visualiza el comportamiento de una armadura similar a la de 
este problema; posteriormente calcular las reacciones y los 
esfuerzos que se presentan en cada barra por el método de los 
nudos. Dibuja el diagrama de axiales final de dicha armadura.
Inicia con el modelo.
Construye un modelo a escala de la armadura para observar su 
deformación.
a. Corta las varitas de madera balsa para crear cada uno de los 
elementos de la armadura (cuerdas, diagonales y montantes).
En total necesitarás:
· 9 varitas de 5 cm (montantes)
· 8 varitas de 7.5 cm (diagonales)
· 4 varitas de 40 cm (cuerdas)
138
b. Con la ayuda del hilo y la aguja, une cada uno de los ele-
mentos que conformará a la armadura.
c. Sobre un trozo de cartón más grande que el modelo de la 
armadura pega una hoja milimétrica que nos ayudará a me-
dir la deformación de la armadura.
d. Coloca unos botes de pintura que servirán como apoyo de 
la armadura.
e. Coloca la armadura sobre los apoyos (botes de pintura).
 
139
f. Agrega las cargas a la armadura de acuerdo con las posi-
ción de ellas presentadas en el ejercicio.
g. Con la ayuda de un plumón, marca sobre la retícula la de-
formación de la viga, posteriormente compara tus resulta-
dos con los obtenidos tanto aritméticamente como con el 
programa SAP2000.
140
Reacciones
Se obtienen las reacciones de la armadura; en este caso al ser 
un elemento con geometría simétrica y cargas iguales sobre 
sus nudos, la reacción será igual a la suma de las fuerzas exter-
nas entre dos, ya que la mitad de dicha fuerza la debe soportar 
cada apoyo.
+ ↑ Fy = 0 Ray∑ = 0.55∗ 92 = 2.475T = 2.50T
Solución analítica de la armadura
simplemente apoyada
Se determina el ángulo que presentan las diagonales en la 
armadura, de forma que se pueda determinar en cada nudo 
su componente tanto en “X” como en “Y”. Para este caso, el 
ángulo se obtiene: θ = tan−1 1
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 45º , como se muestra en la 
figura siguiente:
141
Se debe iniciar el cálculo de la armadura en el nudo donde sólo 
lleguen dos barras y exista una carga externa sobre el mismo, 
por lo tanto comenzamos en el punto A. Una vez seleccionado 
el nudo se aísla de las demás barras, se coloca el nombre de 
la fuerza y su sentido (no importa que no sea el correcto, si el 
signo nos da negativo significa que la flecha va en sentido con-
trario). Se hace sumatoriade fuerzas en X y en Y para obtener 
el valor de las fuerzas.
Al pasar al siguiente nudo (en este caso el B), como se conoce ya 
la fuerza de la barra AB, ésta se coloca sobre el nudo y debe indi-
carse en sentido contrario al obtenido en la barra AB para lograr 
el equilibrio en la barra; véase figura anterior (lado derecho).
Para continuar con la solución por este método, se debe ir 
recorriendo de nudo en nudo seleccionando siempre el nudo 
donde se tienen solo dos barras con fuerzas incógnitas.
142
143
144
Cuando se han obtenido todas las fuerzas con sus sentidos, se 
genera el siguiente diagrama, indicando que barras se encuen-
tran trabajando a tensión y cuáles a compresión.
Ilustración 7e. Esfuerzos presentes en la armadura.
145
Analiza los resultados
Compara las deformaciones obtenidas con el prototipo de 
la armadura y con los resultados obtenidos con el programa 
SAP2000.
Ilustración 8e.
Deformación obtenida con el modelo a escala 
de armadura plana de 8m de longitud.
Ilustración 9e.
Deformación obtenida con el programa SAP2000 simulando
una armadura plana de 8m de longitud.
146
Qué relación hay entre la deformación obtenida 
con el prototipo y la deformación obtenida con
el programa?
¿
Ambos resultados son similares en la forma en que se deforma 
la armadura, teniendo el punto de deformación más grande al 
centro de ésta. Los elementos que presentan mayores esfuer-
zos son las cuerdas tanto superior como inferior; las diagona-
les realizan la descomposición de fuerzas obteniendo valores 
menores a los de las cuerdas, mientras que los montantes casi 
no trabajan.
Compara la forma de trabajo (tensión y compresión) obteni-
dos con los resultados calculados previos y con los resultados 
del programa SAP2000.
Ilustración 10e. 
Resultados obtenidos con el programa SAP2000 
(azul=tensión; rojo=compresión).
¿Qué relación hay entre ambos resul-
tados?
Los resultados obtenidos de la forma de 
trabajo de los elementos que conforman la 
armadura son iguales en ambos resultados; 
esto se debe a que, aunque los resultados 
numéricos presenten pequeñas diferencias, 
la forma de trabajo de los elementos que 
conforman la armadura es única para cada 
caso.
147
Visualiza el comportamiento de una armadura similar a la de 
este problema; posteriormente, calcula las reacciones y los 
esfuerzos que se presentan en cada barra por el método de los 
nudos. Dibuja el diagrama de axiales final de dicha armadura.
Inicia con el modelo.
Construye un modelo a escala de la armadura para observar su 
deformación.
10
Práctica
Armadura plana
estáticamente determinada
a. Arma el modelo (armadura y apoyos) al que se le irán 
agregando las cargas de acuerdo con la práctica 9 presen-
tada anteriormente.
b. Agrega las cargas correspondientes.
c. Con la ayuda de un marcador traza la deformación (línea 
roja) que generan las cargas en la armadura.
148
Reacciones
Se obtienen las reacciones de la armadura; en este caso al ser 
un elemento con geometría simétrica y cargas iguales sobre 
sus nudos, la reacción será igual a la suma de las fuerzas exter-
nas entre dos, ya que la mitad de dicha fuerza la debe soportar 
cada apoyo.
+ ↑ Fy = 0 Ray∑ = 1.0∗ 52 = 2.50T
Se determina el ángulo que presentan las diagonales en la 
armadura, de forma que se pueda determinar en cada nudo su 
componente tanto en “X” como en “Y”. Para este caso, el án-
gulo se obtiene: θ = tan−1 1
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 45º , ya que la separación entre 
montantes es de 1 metro.
Solución analítica de la armadura
simplemente apoyada
149
150
Ilustración 11e.
Esfuerzos presentes en la armadura.
151
Analiza los resultados
Compara las deformaciones obtenidas con el prototipo de 
la armadura y con los resultados obtenidos con el programa 
SAP2000
Ilustración 12e.
Deformación obtenida con el modelo a escala 
de armadura plana de 8m de longitud.
Ilustración 13e. 
Deformación obtenida con el modelo a escala de 
armadura plana de 8m de longitud. 
152
El trabajo de la cuerda inferior siempre fue a tensión, mientras 
que la cuerda superior fue a compresión, debido a que ambas 
armaduras presentan apoyos simples en los extremos además 
de presentar una geometría y cargas simétricas. El trabajo de 
las diagonales es importante para descomponer las fuerzas, 
mientras que los montantes que presentan mayor trabajo es 
en los apoyos, disminuyendo el mismo hacia el centro.
Qué relación hay entre
ambos resultados?
¿
Ilustración 14e.
Resultados obtenidos con el programa SAP2000 
(azul= tensión; rojo= compresión).
153
Análisis resultados
prácticas 9 y 10
153
Considerando que ambas armaduras presentan el mismo 
peralte y soportan la misma carga total, la primera armadura 
analizada presenta mayores valores de esfuerzo en sus ele-
mentos, ya que su longitud es mayor que la segunda; sus va-
lores máximos se presentan al centro del claro en las cuerdas, 
distribuyéndose y aminorando hacia los extremos.
¿Qué armadura presenta mayores 
esfuerzos en sus elementos?
154
¿Cuál es la relación entre los valores de los esfuerzos 
de las dos armaduras?
Cuanto más larga sea la armadura (mayor claro), los esfuerzos 
internos serán mayores en los elementos (principalmente las 
cuerdas). Para mantener un valor menor de esfuerzos en la 
armadura es necesario aumentar el peralte de la misma, pro-
porcional al aumento de su longitud. El aumentar el peralte 
producirá que los esfuerzos internos disminuyan generando 
una solución más ligera y económica.
Como puede observarse, la relación del valor de esfuerzo 
máximo de la armadura larga con respecto a la corta es del do-
ble, como lo es su relación entre claros: 4 a 8 m, indicando que 
el efecto que más impacta al diseñar la armadura es el claro y 
no tanto la carga que soporta.
155
¿A qué se debe que una armadura presenta mayores 
deformaciones si soportan a misma carga?
A que la proporción de la armadura no se conserva, ya que 
sólo se aumenta la longitud de la armadura, pero no se aumen-
ta su peralte, haciendo que la primera armadura soporte ma-
yores esfuerzos.
Compara ambas deformaciones de las armaduras gráficamente.
Ilustración 15e.
Deformación en armadura plana de 4m de longitud 
práctica 10 (SAP2000).
Ilustración 16e.
Deformación en armadura de 8m de longitud práctica 9 (SAP2000).
156
¿Qué harías para obtener la misma deformación en 
las dos armaduras?
Aumentar el peralte de la segunda armadura para que de esta 
forma su relación entre peralte y longitud sea proporcional, y 
que así los elementos soporten menores esfuerzos.
Otra solución es tener mayor número de diagonales y montan-
tes que ayuden a distribuir mejor los esfuerzos.
¿En dónde se presenta la mayor deformación en am-
bas armaduras? ¿Por qué?
La mayor deformación se presenta en el centro de la armadura 
debido a que es el punto más alejado entre los dos apoyos que 
soportan a la armadura.
¿Es importante la posición de las diagonales en la 
armadura? 
La orientación de las diagonales marca el esfuerzo al que es-
tará trabajando cada elemento de la armadura, es decir, la 
posición de la diagonal puede generar que los elementos que 
trabajaban en la práctica a tensión inviertan su esfuerzo a com-
presión, impactando al momento de diseñar estructuralmente 
la armadura.
157
Conclusiones
Las armaduras son elementos estructurales que nos permiten librar 
grandes claros de una forma fácil y económica, por lo cual es impor-
tante que conozcamos sus elementos, la forma en que trabajan y su 
comportamiento ante diferentes situaciones.
Como vimos en los ejercicios anteriores, al aplicarle cargas a las arma-
duras sus elementos comienzan a trabajar de diferente forma, tenien-
do esfuerzos a compresión y tensión con el fin de distribuir las cargas 
hasta sus elementos de apoyo.
Los esfuerzos de los elementos que conforman una armadura varían 
de acuerdo con diferentes factores, como la forma en que la armadurarecibe las cargas, la forma en que se apoya la armadura en sus extre-
mos y la manera en que están dispuestos los elementos que la confor-
man; por esto es importante conocer los diferentes tipos de armaduras 
y así escoger la que mejor convenga de acuerdo con las necesidades a 
cubrir.
La deformación es otro de los aspectos importantes de una armadu-
ra; ésta se presenta por las cargas a las que está sujeta la armadura y 
por su geometría; a pesar de esto, una armadura puede cubrir un gran 
claro y soportar grandes cargas y presentar una mínima deformación, 
como se demostró en los ejercicios, debido a la forma en que los ele-
mentos que la conforman distribuyen las cargas.
Por lo anterior, una armadura es de gran utilidad cuando se quiere cu-
brir un gran claro o cuando se deben soportar grandes cargas, ya que, 
en comparación con una viga, presenta mejores condiciones de trabajo 
y resistencia en sus elementos, además de ser de menor costo que una 
viga.
157
158
Ejercicios
de aplicación
Realiza más modificaciones a la armadura con el fin de analizar su com-
portamiento en diferentes casos.
Realiza una propuesta de casos de estudio con diferentes tipos de ar-
maduras, diferentes empotres o diferentes características en sus ele-
mentos, y analiza cómo se comporta cada una de las armaduras.
Registra tus resultados en una práctica, agrega los diagramas que sean 
necesarios para entender y analizar los resultados obtenidos.
158
159
Cuestionario
¿Cómo trabajan todos los elementos de 
una armadura? 
a Tensión.
b. Compresión.
c. Tensión y compresión.
¿A qué ayuda el peralte de la armadura?
a. A disminuir el valor de los esfuerzos internos. 
b. A incrementar el valor de los esfuerzos internos.
c. No tiene efecto.
¿Qué característica debe cumplirse en 
las armaduras?:
a. La carga debe aplicarse en los nudos de la
 armadura.
b. La carga puede aplicarse en cualquier punto
 de la armadura.
c. La carga puede ser repartida a lo largo de
 las cuerdas.
159
160
Referencias
Nachtergal, C. (1969). Estructuras metálicas: cálulos y construcción. 
(S. López Camarasa, Trad.) Madrid: Blume.
Parker, H. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos y construc-
tores. (R. Navarro Salas, Trad.) México: Limusa.
Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). Prenti-
ce Hall.
160
161
M A R C O S R Í G I D O S
PAPIME PE 400516
162
Introducción
Un sistema estructural son los marcos rígidos; este tipo de sistema es 
comúnmente empleado para salvar grandes claros y resistir de forma 
adecuada las fuerzas laterales debido a sismo o viento, por su simplici-
dad en el diseño y construcción.
Los marcos rígidos son estructuras en las que los elementos están 
conectados de tal manera que se permite la transferencia de momen-
tos, cortantes y axiales que actúan sobre las trabes debido a las cargas 
externas hacia las columnas. La conexión entre elementos es mediante 
uniones rígidas capaces de transmitir los elementos mecánicos en la 
viga sin que haya grandes desplazamientos lineales o angulares entre 
sus extremos y las columnas en que se apoya.
Forman parte de la estructura, ya sea que estén compuestos por co-
lumnas-trabes o muros-trabes. Los marcos nos ayudan a comprender 
el funcionamiento lógico de las cargas y cómo actúan en los elementos 
que las soporten.
162
163
Un marco rígido se identifica como el sistema constructivo 
compuesto por elementos verticales (columnas) y horizonta-
les (trabes), formando uniones rígidas. Un marco rígido traba-
ja repartiendo la carga del edificio de modo equilibrado, de la 
trabe hacia las columnas, para finalmente repartirlas hacia el 
suelo.
Qué es un marco rígido?
¿
Ilustración 1f. 
Transmisión de fuerzas o cargas hacia cimentación en marco rígido. 
La trabe es un elemento estructural que principalmente está 
sujeto a carga transversal, es decir, la carga es perpendicular o 
normal a su eje longitudinal producto del peso del sistema de 
piso o losa, así como el peso de muebles y personas, generando 
flexión como su trabajo principal. La trabe transmite su trabajo a 
la columna, que se encarga de llevar la carga hasta cimentación.
La columna es un elemento estructural prismático que princi-
palmente está sujeto a carga axial o normal, es decir, la carga 
es paralela a su eje longitudinal; sin embargo, también debe 
ayudar a las trabes que da soporte llevándose un poco del tra-
bajo de flexión de esta última.
Ilustración 2f.
Transmisión de fuerzas o 
cargas hacia cimentación en 
marco rígido
164
Esfuerzos principales de trabajo 
de un marco rígido
Cualquier sistema estructural soporta diversos tipos de carga, 
lo cual origina que sufra deformaciones en cada una de las par-
tes o elementos que lo forman; por esta razón, cada elemento 
realiza una actividad diferente de aquella que realizaba mien-
tras se encontraba en reposo.
A estas actividades se la llaman esfuerzos, siendo los principa-
les de compresión y tensión, como se ve en las prácticas 1, 2, 3 
y 4. Esto sucede cuando se muestra un cambio de tamaño en 
el elemento estructural, debido a fuerzas internas producidas 
por una o más fuerzas aplicadas sobre la estructura. A conti-
nuación, se muestran fuerzas en el eje o axiales.
Ilustración 3f. 
Diagramas de compresión y tensión. 
Cuando un elemento como la viga recibe la carga perpendicu-
lar a su eje, se genera otro esfuerzo denominado “flexión”, el 
cual se forma internamente por esfuerzos de flexión y com-
presión, los cuales, al ser un par de fuerzas de igual magnitud y 
sentido contrario separados una distancia, producen el mo-
mento resistente de la viga.
165
Este momento resistente debe ser igual o mayor al que se pro-
duce debido a las cargas externas o momento actuante.
En cuanto a los momentos actuantes, se llaman de manera ge-
neralizada en algunas convenciones de representación gráfica 
“momentos positivos”, como los que actúan en las partes cen-
trales de los tramos, y momentos “negativos” a los actuantes 
en los extremos continuos o empotrados.
Momentos positivos
Cuando la zona de tensión se encuentra en la parte inferior, 
teniendo a la zona de compresión en la parte superior, como 
se observa en la imagen 5f (lado izquierdo).
Momentos negativos
Cuando la zona de tensión se encuentra en la parte superior, 
teniendo a la zona de compresión en la parte inferior, como 
se presenta en todos las trabes en volado ejemplificado en la 
imagen 5f (figura derecha).
Ilustración 4f
 Objeto sometido a esfuerzo de flexión.
Ilustración 5f.
Deformación de una viga a flexión.
166
La flexión se da cuando la tendencia al desplazamiento del 
elemento se realiza en dirección hacia los apoyos. Tomando 
un marco semirígido (donde la conexión entre trabes y co-
lumnas no es continua) como ejemplo, se puede observar en 
la imagen 6f la transmisión de cargas de la trabe (la cual sufre 
flexión) hacia las columnas, las cuales también se flexionan 
hacia el interior del marco, tomando parte de la flexión de las 
columnas.
Ilustración 6f.
Marco semi-rígido con carga al centro.
Ilustración 7f. 
Marco rígido con carga al centro. 
La deformación de un marco rígido con carga al centro varía 
en la deformación que sufren las columnas así como la trabe 
en sus extremos. En la imagen 7f se puede observar que la 
trabe permanece recta junto al nudo y después se flexiona un 
poco menos que en el marco semirígido (fig.6f). En cuanto a la 
columna, podemos ver que en el marco semirígido el elemen-
to formaba una sola curva, mientras que en el marco rígido se 
generan dos curvas.
167
La imagen 8f es la representación gráfica de la deformación y 
trabajo del marco rígido; en esta figura se ha marcado la distri-
bución de los esfuerzos de tensión y compresión producto de 
la flexión que sufren tanto la trabe como la columna. 
Para poder transmitir las cargas hasta el suelo, las columnas 
deben transportarlas dela siguiente manera:
a. Las trabes reciben las cargas y las llevan a sus apoyos; esta 
distribución se refleja en el diagrama de cortantes de la 
viga (ver práctica 8 y 9 flexión). 
b. Dicho cortante de la trabe llega a la columna pero ésta lo 
recibe como carga sobre su eje, es decir, se transforma en 
una carga axial para la columna. Generalmente, dicha car-
ga axial es a compresión, aunque en algunos casos puede 
estar a tensión.
c. La fuerza cortante que se produce en la columna debe 
estar en equilibrio en ambos miembros; para pasar el cor-
tante de una columna a otra emplean a la trabe, que recibe 
dicha fuerza como carga axial con valores muy pequeños, 
que por ello generalmente son despreciados al diseñar las 
trabes.
Ilustración 8f. 
Momentos positivos y negativos.
Ilustración 9f.
Efecto cortante en trabe y axial 
para la columna.
Ilustración 10f. 
Efecto axial en la trabe, cortante 
para las columnas 
168
Método de distribución de 
momentos o cross para resolver 
un marco rígido
Es un método basado en desplazamientos, desarrollado por 
Hardy Cross en 1930. Es un método de aproximación alto, en-
tre mayor número de iteraciones se realicen. Esencialmente, el 
método comienza por asumir que todos los nudos de la estruc-
tura se encuentran empotrados. Al liberarlos, los momentos 
internos en cada nudo se distribuyen y se ponen en equilibrio 
hasta que los nudos rotan a su posición final.
Para la distribución de momentos, ésta se realiza mediante los 
factores de rigidez de cada miembro y por nudo. Finalmente, 
se transporta la proporción de momento a cada nudo.
Factor de rigidez de un elemento
Es la rigidez angular que presenta una viga o columna al pro-
ducirle un giro unitario (representando a un momento) en su 
extremo.
Ilustración 11f. 
Obtención del Factor de Rigidez Angula
 para barra biempotrada. 
169
se considera que K =
4EI
L (1F) para barra biempotrada
donde:
 K es el factor de rigidez de la barra (kg/cm).
E es el módulo de elasticidad. (kg/cm2)
I es la inercia del elemento. (cm4)
 L es la longitud del elemento. (cm)
Se considera que K =
3EI
L (2F) para una barra empotrada-ar-
ticulada dónde:
K es el factor de rigidez de la barra.(kg/cm)
E es el módulo de elasticidad. (kg/cm2)
I es la inercia del elemento.(cm4)
L es la longitud del elemento. (cm)
Ilustración 12f.
Rigidez angular para una viga empotrada-articulada
170
Factor de distribución de rigidez
Es la proporción de rigideces de las barras que llegan a un 
nudo; significa qué tan rígido es un elemento con respecto a 
otro que llega al mismo nudo.
K = K elemento deseado
ΣK elmentos llegan al nudo
 
 (3F)
Factor de transporte
Al producirse el giro unitario de un lado de la barra, los mo-
mentos que se producen en los extremos de la barra tienen 
una proporción de “2” en una barra biempotrada; es decir uno 
es el doble del otro.
Ilustración 13f. 
elación momentos viga bi-empotrada con giro 
unitario en extremo derecho
Por lo tanto, el factor de transporte o la relación de un mo-
mento con respecto al otro extremo es la mitad, es decir, 
FT biemportada = 0.5 . Como el giro unitario puede generarse 
en el nudo contrario de la misma barra, los momentos se in-
vierten y el factor de transporte será el mismo también para el 
otro extremo.
En el caso de una trabe empotrada-articulada el factor de 
transporte será igual a cero, FT emportada − articulada = 0 , ya 
que el apoyo simple no puede tomar momento.
Ilustración 14f. 
Relación momentos viga empotrada-articulada 
con giro unitario en extremo derecho
171
Factor por momentos en los extremos de la barra
Debido a que el método supone que todas las barras son conti-
nuas, se considera que estas se encuentran “empotradas”, por 
lo que es necesario conocer los momentos en los extremos de 
estas vigas o columnas debido a la carga exterior aplicada. 
Para una viga biempotrada con carga uniformemente repar-
tida, el momento en los extremos de la misma será igual a 
M = WL
2
12
,
Donde: 
W es la carga uniformemente reparti-
da (kg/m)
L es el claro de la viga (m o cm)
Ilustración 15f. 
Relación momentos en los extremos
de una viga biempotrada.
W
L
M= wL
2
12 M=
wL2
12
172
Objetivos
• Que el alumno identifique el comportamiento de las edificaciones 
de acuerdo con modelo sencillo formado por marcos rígidos ante 
cargas repartidas. 
• Que el alumno aprenda a identificar las deformaciones en los 
marcos rígidos bajo cargas gravitacionales. 
• Que el alumno obtenga el trabajo interno en un marco rígido 
debido a cargas gravitacionales. 
• Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos 
arquitectónicos.
172
173
Hipótesis
El trabajo de un marco rígido ante unas cargas gravitacionales 
presentará los siguientes esfuerzos internos de flexión, cortan-
te y axial.
Para lograr el punto anterior se relacionará las deformaciones 
del marco con los valores analíticos obtenidos.
Se analizará y sintetizará los conceptos de deformación, giro, 
curvatura y deflexión en los elementos que forman al marco.
173
174
Materiales
• Modelo marcos rígidos mediante sistema MOLA. 
• 3 Pesas o plomada con peso. 
• Alambre de cobre en tramos de 5 cm. 
• Teléfono con cámara. 
• Cuaderno, lápiz y calculadora. 
• Masking tape o cinta adhesiva.
174
175
Procedimiento
Profesor:
Presentará el modelo de trabajo requerido por realizar por los estu-
diantes con el modelo MOLA.
Alumnos: 
Para construir su propio modelo, generarán la base sobre la cual se 
trazará la deformación del marco por modelar.
a. Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.
b. Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación 
que se desee para el polígono funicular. (en el ejemplo 20 unidades)
c. Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor 
fijación de las tachuelas.
175
176
Visualiza el comportamiento de un marco rígido con carga uni-
formemente repartida; posteriormente, calcula las reacciones 
y los esfuerzos que se presentan en cada barra por el método 
de Cross. Dibuja los diagramas de elementos mecánicos.
Inicia con el modelo.
Construye un modelo de un marco rígido empleando el MOLA 
con cargas distribuidas, como se observa en la siguiente imagen.
a. Coloca la base metálica y fija 4 apoyos; posteriormente, 
coloca los elementos para columnas y el largo para trabe; 
rigidiza el sistema colocando un tensor hacia los apoyos 
de atrás. No olvides colocar los triángulos para rigidizar la 
cimentación en la base.
11
Práctica
b. Genera las cargas puntuales; apoyándote con pesos de 10 
gramos, genera pesas pequeñas para colgar sobre el modelo.
Marcos rígidos
177
c. Para el marco rígido, deberás colocar un triángulo en cada 
extremo de la parte superior 
d. Traza el marco deformado sobre el papel milimétrico de 
forma que puedas observar el trabajo de los elementos.
e. Compara esta deformación con la que se obtenga de la 
evaluación numérica así como la que se obtenga de em-
plear un programa de análisis como es el SAP2000.
178
Solución analítica del marco rígido
Método de Cross
Pasos:
a. Identificar las respectivas barras indicándolas con letras 
(opcional).
b. Unificar el marco rígido convirtiéndolo en una viga.
c. Determinar cuántos tramos de viga hay; posteriormente, 
reconocer el tipo de apoyo (biempotrado/empotrada- 
apoyada).
3m
0 t/m 1 t/m 0 t/m
Viga empotrada
3m
Viga empotrada
2m
Viga empotrada
179
d. Obtener el factor de rigidez de cada barra. Vaciar los resul-
tados en la tabla.
La rigidez del elemento 3 será igual a la del elemento 1,
K1= K3= 1.33 .
e. Obtener el factor de distribución de rigidez de cada nudo. 
Vaciar los resultados en la tabla.
D.F.= K elemento
K elementos∑
D.F. A - B =
1.33
1.33+∞
= 0 D.F. B - A =
1.33
1.33+ 2
= 0.40
D.F. C - D =
2
1.33+ 2
= 0.60 D.F. D - C =
2
1.33+ 2
= 0.60
D.F. F - E =
1.33
1.33+∞= 0 D.F. E - F =
1.33
1.33+ 2
= 0.40
f. Obtener los momentos de viga de cada tramo (*). Vaciar 
los resultados en la tabla.
g. Obtener la distribución de momentos, en donde se obtie-
ne en cada punto el diferencial de momento que ponga 
en equilibrio los momentos ( (Σ = 0) ) en cada punto de la 
estructura. Vaciar los resultados en la tabla.
(*) Las columnas no tienen momento ya que no tiene carga externa aplicada 
sobre ellas directamente.
MC−D = −
(1)(2)2
12
= −0.33
MD−C = (1)(2)
2 / 12 = 0.33
w= 1
T
m
3m 3m2m
D.F.
M
A.M.
00 .4
0
0
00 0
0
0.400.60 .6
-0.33
-0.33
0.33
0.33
+0 - 0.33 = -0.33
 
0.33 w pone en
 equilibrio.
+0 + 0.33 = +0.33
 -0.33 w pone en
 equilibrio.
180
 NOTA: El factor de rigidez de un empotramiento es igual a infinito.
h. Después de calcular las diferencias entre momentos en 
ambos lados del apoyo, éstas se multiplican por su respec-
tivo factor de distribución de rigidez. Vaciar los resultados 
en la tabla.
i. Se realiza el transporte de momentos. Vaciar los resultados 
en la tabla.
181
El problema termina cuando en el transporte, en el punto don-
de hay continuidad, debe quedar lo más cercano posible a un 
valor de cero.
En caso de que éste no quede en ceros, se deben realizar de 
nuevo los incisos g al i, hasta que se tenga el número más 
aproximado a cero.
j. El momento final se obtiene sumando cada columna a par-
tir de los momentos.
NOTA: No se deben incluir en la sumatoria final los 
valores correspondientes a la diferencia de momentos 
(A.M).
Para obtener los diagramas de elementos mecánicos para este 
marco, emplearemos el siguiente método: 
1.- Separar el marco en tramos y contemplar cada uno como 
vigas con apoyo simple. 
182
2.- Sacar reacciones, multiplicando los metros por la carga uni-
formemente distribuida, posteriormente, dividirlo entre dos. 
En este caso solamente la viga presentará diagrama de cortan-
te isostático. 
4.- Calcular el momento máximo isostático e hiperestático.
El momento máximo isostático = Es la integral del área 
del triángulo del diagrama de cortante, formando una parábo-
la cuando hay cargas repartidas. 
3.- Se obtiene el diagrama de cortante isostático de la trabe, 
colocando las reacciones obtenidas. 
Diagrama de momentos isostático. 
M máx = 1*1 / 2 = 0.5 t*m
5. Para dibujar el diagrama de momentos hiperestáticos, se 
debe dibujar los momentos hiperestáticos sobre el diagrama 
de momentos isostáticos. Para ello primeramente se localiza-
rán los momentos hiperestáticos obtenidos del Cross sobre el 
eje horizontal considerando:
Del lado izquierdo el momento negativo se encontrará en 
la parte superior y el positivo en la parte inferior, del lado dere-
cho el momento negativo se encontrará en la parte inferior y 
el positivo en la superior. 
183
Se utilizarán los valores del momento final (M.F.) obteni-
do de la tabla de Cross, colocándolos según sus momentos 
negativos y positivos sobre el eje, dependiendo de cada tramo. 
En este caso lo aplicamos a la trabe central.
Posteriormente se dibujarán los momentos isostáticos obteni-
dos sobre el diagrama anterior
Finalmente el momento hiperestático conserva del lado iz-
quierdo su signo, mientras que el momento del lado derecho 
lo cambia; es decir, el eje de la viga isostática se mueve hacia 
la línea de corrección quedando el diagrama final hiperestático 
de este elemento
El diagrama de cortante hiperestático para este elemento se 
obtiene a partir del diagrama isostático y se obtiene la diferen-
cia de cortante existente en los momentos hiperestáticos; para 
ello se suman los momentos hiperestáticos en el tramo (C-D 
en este caso) y se divide entre la longitud de la viga
Este número incrementa al cortante del lado donde hay mayor 
momento y viceversa del lado opuesto.
184
Para las columnas, se dibuja directamente sus momentos 
recordando que el primer valor de momento hiperestático 
conserva su signo y el segundo valor de momento del mismo 
elemento cambia su signo. Ejemplo columna izquierda:
Para obtener el diagrama de cortantes se realiza la misma 
acción que se realizó para corregir el diagrama isostático de la 
trabe y se coloca de forma constante en la columna.
Quedando los diagramas completos de la siguiente forma 
V= Mab + Mba / Long. Element.
V= ( .086 + 0.172 ) / 3m = 0.086t 
+.086+ .086
+.086t
+.086t.086t
+.086t -.086t
-.086t
-1.0t
+1.0t
+1.0t
+1.0t
+1.0t
-.172
0.30
-.172
-0.2-0.2
M VN
+1t
185
Análisis
de resultados
A partir de observar la respuesta del marco bajo comportamiento físico 
y resultados analíticos se presentan los resultados obtenidos emplean-
do el programa SAP2000.
Se puede observar que las deformaciones son similares analíticamen-
te a las del modelo generado; el comportamiento de un marco rígido 
ante cargas gravitacionales siempre será similar, si éstas se encuentran 
uniformemente repartidas.
185
186
Comparando los resultados numéricos obtenidos por el méto-
do de Cross en cuanto a momentos del marco con el obtenido 
por el programa SAP2000, se puede observar que los resulta-
dos son muy similares, pudiendo observar al ver los tres dia-
gramas juntos la relación antes mencionada entre las fuerzas 
cortantes y axiales para columnas y trabes.
Ilustración 15f. 
Comparación deformación analítica SAP2000
con modelo generado MOLA 
Ilustración 16f. 
Diagramas de axiales, momentos y cortante del 
marco. 
187
Conclusiones
La mayor parte de las edificaciones en la Ciudad de México se han 
resuelto mediante marcos rígidos desde hace muchos años debido a su 
comportamiento adecuado ante cargas gravitacionales como acciden-
tales (sismo).
Resulta de vital importancia conocer su comportamiento y poder obte-
ner su respuesta analítica de forma que se comprenda su efecto sobre 
las dimensiones de los elementos estructurales que darán apoyo al 
proyecto arquitectónico.
187
188
Ejercicios
de aplicación
• Plantee sobre un proyecto arquitectónico cómo resolverlo 
mediante marcos rígidos, ubicando trabes y columnas que lo 
soporten. Verifique de forma intuitiva cómo se transportan las 
cargas gravitacionales desde las trabes hasta la cimentación 
trazando con líneas rojas su trayectoria de las cargas. 
• Verifique qué edificaciones existen a su alrededor con marcos 
rígidos y vea sus claros, así como las dimensiones de sus elementos. 
• Busque ejemplos de solución de sistemas de marcos rígidos 
empleando distintos materiales constructivos y compare claros, 
tamaño de secciones y solución en general.
188
189
Cuestionario
¿Cómo son todos los elementos de un 
marco rígido?
a. Continuos.
b. Unidos por nudos.
c. Separados.
¿Cuál es el método para solucionar un 
marco rígido?
a. Mediante la distribución de momentos.
b. Mediante la distribución de axiales.
c. Mediante la distribución de torsión.
¿Qué es un marco rígido?
a. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión, 
 cortante y axiales.
b. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión
 y cortante.
c. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión.
189
190
Referencias
Gere, J. M., & Timoshenko, S. P. (1986). Mecánica de materiales. Méxi-
co: Grupo Editorial Iberoamérica.
Novely Cabrales, B. D. (2016). Análisis de estructuras. Método de la 
rigidez. Barranquilla: Independiente
Hibbeler, R. (2015). Análisis estructural. (6ª ed.) Prentice Hall.
190
191
E F E C T O D E S I S M O E N E D I F I C I O S
C O N M A R C O S
PAPIME PE 400516
192
Introducción
192
¿Qué es un sismo?
Un sismo es energía liberada en forma de ondas debido al 
movimiento de la litosfera terrestre sobre el manto. Existen 
distintos movimientos de las placas por las que está formada la 
litosfera, pudiendo ser: Divergentes, Convergentes o Subduc-
ción, Transformación.
193
Ilustración 1g. Tipo de movimiento de placas tectónicas.
Divergente
Transformación
Convergenteo subducción 
La falla divergente es cuando las placas se mueven en sentido 
contrario una con respecto a la otra, permitiendo la salida de 
material candente desde el manto, como se muestra en la figu-
ra 1g superior. La falla convergente o de subducción se pro-
duce cuando las placas colisionan entre ellas, introduciéndose 
la de mayor densidad por debajo de la menor densidad. Final-
mente, la falla de transformación es producto del movimiento 
lateral de las placas.
194
Por qué se mueven los edificios?
¿
Ilustración 2g.
Tipo de movimiento de placas tectónicas 
Ondas sísmicas. Al moverse la corteza terrestre, se libera ener-
gía en forma de ondas, las cuales viajan por la litosfera hacia la 
superficie de la corteza terrestre produciendo movimiento del 
terreno cuando las ondas están ya en la superficie.
Las ondas que se generan en el punto donde se inicia el movi-
miento de una placa con respecto a otra se llama hipocentro 
(localizado dentro de la litosfera). Las primeras ondas que se 
generan al liberar tanta energía se conocen como llamadas 
principales o “P” y las ondas “S”. 
Las ondas principales, también llamadas ondas de cuerpo, pro-
ducen un movimiento uniaxial de compresión y descompresión 
por todos los medios (manto y litosfera). Su velocidad es de 8 
a 5 km/s (28,800 km/h).
Ondas P o principales 
Ondas S o secundarias 
195
La onda secundaria o de cortante se transmite por deforma-
ción cizallante, propagándose sólo en el medio sólido, como lo 
es la litosfera. Sus velocidad es aproximadamente 1.73 veces 
más lenta que la onda P, es decir, 4.6 km/s (16,600 km/h).
La onda secundaria, al salir a la superficie de la corteza terres-
tre, genera tanto movimiento horizontal como vertical del 
terreno, descomponiéndose en las ondas Love y Rayleigh.
Los edificios que se encuentran desplantados sobre el terreno 
afectado por las ondas sísmicas se mueven junto con el terreno, 
iniciando dicho movimiento por su cimentación y produciendo 
movimiento diferente en su parte superior; dicho movimiento 
del edificio dependerá de distintas características de la edifica-
ción: geometría en planta y elevación, altura, rigidez de su es-
tructura portante y distribución de peso sobre sus entrepisos.
Ilustración 3g. 
Movimiento del terreno por ondas S. 
196
En qué consiste un edificio diseñado 
sísmicamente a base de marcos rígidos
o semirígidos?
¿
Un marco es un sistema estructural formado por trabes y co-
lumnas unidas de forma continua transmitiendo los esfuerzos 
internos de trabajo de un elemento a otro en proporción a su 
rigidez y distribución de carga. Cuando la edificación presen-
ta marcos en sus dos direcciones como elementos principales 
para soportar las cargas se dice que el edificio se encuentra 
resuelto a base de marcos rígidos.
Los marcos rígidos fueron el primer sistema empleado para 
soportar movimientos sísmicos en edificios relativamente altos 
en su momento (4 a 10 niveles en 1920-1940) por su compor-
tamiento al transmitir fuerzas sísmicas del piso a trabes y éstas 
a las columnas. Cuando el suelo se mueve, la base del edificio 
se va junto con el terreno y los entrepisos superiores permane-
cen inmóviles hasta que las columnas o elementos de la base 
jalan a las trabes y por ende a los pisos superiores para iniciar 
su movimiento de oscilación.
Ilustración 4g. 
Movimiento del terreno por ondas S. 
197
Al iniciar su movimiento de pisos superiores, el edificio co-
mienza a moverse como un péndulo, del cual puede determi-
narse su periodo o frecuencia fundamental o la que caracteriza 
al movimiento del edificio.
Un marco semirígido es aquel en que las conexiones entre 
trabes y columnas no son continuas, es decir, las columnas 
soportan a las trabes pero no reciben los momentos de estos 
elementos. Son marcos que presentan articulaciones en las 
uniones entre trabes y columnas. Este tipo de marcos ante 
sismo sufren mayores deformaciones laterales, por lo que es 
necesario colocar contraventeos de columna a columna para 
evitar que se desplace demasiado.
Ilustración 5g. 
Representación de un edificio de 1 solo nivel para 
análisis sísmico. 
Ilustración 6g. 
Representación de marcos semi-rígidos sin y con 
contraventeo. 
198
Respuesta sísmica de un edificio
a base de marcos rígidos
El movimiento que produce un sismo a una edificación es en 
todas direcciones, sin embargo, para poder estudiar el com-
portamiento de los edificios bajo efectos sísmicos, se emplean 
los registros sísmicos medidos en terrenos o edificios existen-
tes. Los acelerogramas registran el movimiento del suelo de 
un sitio determinado en tres direcciones principales: sentido 
horizontal, longitudinal y componente vertical.
La respuesta de la edificación al movimiento y aceleración del 
terreno producto del sismo dependerá de las características de 
la edificación (periodo, rigidez y masa del edificio), así como 
de la amplitud y frecuencia del movimiento. Cada sismo regis-
trado en un lugar se descompone y se verifican sus efectos en 
los distintos tipos de edificaciones existentes que se desplan-
tan en dicho lugar.
Ilustración 7g. 
Registro sísmico en una dirección 
(“acelerograma”). 
199
Qué es la amplitud y frecuencia
de una onda?
¿
La amplitud de una onda es el máximo punto que alcanza la 
onda en su registro. El periodo es el tiempo que tarda en gene-
rarse una onda completa (sus unidades son los segundos) y la 
frecuencia es el número de ondas completas que se producen 
en un segundo, siendo sus unidades los Hertz.
Ilustración 8g. 
Definición gráfica de amplitud, periodo 
y frecuencia en ondas senoidales 
Un acelerograma se encuentra formado por una serie de ondas 
que representan el movimiento y aceleración que sufre el te-
rreno debido a un sismo. Para interpretar un acelerograma se 
requiere distinguir las amplitudes máximas de aceleración así 
como la frecuencia de las aceleraciones; entendiendo el mo-
vimiento del terreno se puede determinar su efecto sobre los 
distintos tipos de edificaciones construidas sobre dicho suelo.
200
Objetivos
• Que el alumno identifique el comportamiento de las edificaciones 
de acuerdo con modelo sencillo formado por marcos rígidos bajo 
movimientos del terreno. 
• Que el alumno aprenda a diferenciar lo que es frecuencia y 
amplitud de un movimiento. 
• Que el alumno reconozca el comportamiento de edificios con 
distintos periodos y determine los efectos del movimiento del 
terreno. 
• Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos 
arquitectónicos..
200
201
Hipótesis
Un acelerograma se encuentra compuesto por una serie de pulsos con 
distinta frecuencia y amplitud, las cuales afectan a las edificaciones.
Para determinar la anterior hipótesis se relacionará las deformaciones 
del edificio y la velocidad de movimiento de un sistema de marcos rígi-
dos de 1, 2 y 3 niveles con y sin diafragma rígido.
Se analizará y sintetizará los conceptos de periodo del edificio y sus 
efectos con la amplitud y frecuencia del movimiento en la base mo-
viendo la edificación de forma unidireccional.
201
202
Materiales
• Modelo marcos rígidos y semi-rígidos con el MOLA 
• Mesa vibratoria unidireccional (shake table I) 
• Teléfono con cámara de video 
• Superficie reglada en la parte trasera del modelo
202
* Estos materiales pueden ser comprados entre dos o tres personas, 
de modo que sean económicos y no haya desperdicios
203
Procedimiento
El Profesor: 
Presentará el modelo de trabajo requerido por realizar por los estu-
diantes con el modelo MOLA.
Explicará que es un diafragma rígido, qué son los nudos continuos y 
contraventeos, en caso de requerirlos.
203
204
12
Práctica
Comportamiento de sistema a base
de marcos rígidos de 1 y 2 niveles
bajo movimiento senoidal y sísmico
Pasos:
1. Se realizará el modelo de un nivel formado por marcos rígi-
dos (empotrado en la base, sus nudos y colocando diafrag-ma rígido en cada nivel). Se colocará sobre la mesa vibra-
toria unidireccional para que los alumnos por equipo de 3 
personas observen el comportamiento de la estructura.
 
2. Se colocará en la parte de atrás del modelo un cartón 
blanco donde pueda trazarse el movimiento del marco. Se 
puede colocar un plumón pegado al diafragma rígido.
3. Se excitará el sistema aplicando una onda senoidal con las 
siguientes características:
 · Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 1Hz.
 · Amplitud de 1cm y frecuencia de 1Hz.
 · Amplitud de 1.5cm y frecuencia de 2Hz.
 · Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 2.5 a 3Hz
4. Se generará una tabla para cada uno de los cuatro casos 
descritos en el paso anterior.
Número de 
niveles del 
edificio
Desplazamiento
visualizado (cms)
Respuesta
generada
Caso 1
1 solo nivel
Onda sensorial
amplitud 0.5
Frecuencia 1 Hz
Movimiento
uniforme, armónico,
desincronizado, etc.
Caso 2 Amplitud 1 cm Frecuencia 1 Hz
Caso 3 Amplitud 1.5 cm Frecuencia 2 Hz
Caso 4 Amplitud 0.5 cm Frecuencia 2.5 a 3 Hz
205
5. Al terminar el paso 4, se deberá agregar un nivel más al 
modelo, volviendo a repetir los mismos 4 casos de exci-
tación senoidal. Los valores se vacían nuevamente en una 
tabla similar a la de paso anterior.
 
6. El edificio de 2 niveles se probará bajo una de las compo-
nentes del registro sísmico de Kobe, Japón 1995. El alumno 
deberá reportar las deformaciones del sistema y el movi-
miento del mismo. Deberá apuntas sus observaciones en la 
tabla del paso 5.
Número de 
niveles del 
edificio
Desplazamiento
visualizado (cms)
Respuesta
generada
Caso 2
2 niveles
Onda sensorial
amplitud 0.5
Frecuencia 1 Hz
Movimiento
uniforme, armónico,
desincronizado, etc.
Caso 2 Amplitud 1 cm Frecuencia 1 Hz
Caso 3 Amplitud 1.5 cm Frecuencia 2 Hz
Caso 4 Amplitud 0.5 cm Frecuencia 2.5 a 3 Hz
Paso 6 Sismo Kobe, Japón
Analiza los resultados
Contrasta los desplazamientos que sufrió cada caso y justifica 
su comportamiento. Ahora contrasta el comportamiento de 
un movimiento armónico con el de un movimiento asincró-
nico. ¿Cómo es la respuesta de los elementos que forman al 
marco rígido y al marco semirígido?
206
13
Práctica
Comportamiento de un sistema formado
por marcos semirígidos de 1 y 2 niveles
bajo movimiento senoidal y sismico
Pasos:
1. Se realizará el modelo de un nivel formado por marcos 
semirígidos (empotrado en la base, pero la unión entre 
elementos será articulada. No coloque el diafragma rígido 
en ningún nivel). Se colocará sobre la mesa vibratoria uni-
direccional para que los alumnos por equipo de 3 personas 
observen el comportamiento de la estructura. 
2. Se colocará en la parte de atrás del modelo un cartón 
blanco donde pueda trazarse el movimiento del marco. Se 
puede colocar un plumón pegado al diafragma rígido.
3. Se excitará con una onda senoidal con las siguientes carac-
terísticas: 
 
 · Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 1Hz.
 · Amplitud de 1cm y frecuencia de 1Hz.
 · Amplitud de 1.5cm y frecuencia de 2Hz.
 · Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 2.5 a 3Hz
 
4. Se generará una tabla para cada uno de los cuatro casos 
descritos en el paso anterior.
207
5. Al terminar el paso 4, se deberá agregar un nivel más al 
modelo colocando contraventeos verticales en ambas di-
recciones en ambos niveles, volviendo a repetir los mismos 
4 casos de excitación senoidal. Los valores se vacían nue-
vamente en una tabla similar a la de paso anterior.
 El edificio de 2 niveles se probará bajo una de las compo-
nentes del registro sísmico de Kobe, Japón 1995. El alumno 
deberá reportar las deformaciones del sistema y el movi-
miento del mismo. Deberá apuntas sus observaciones en la 
tabla del paso anterior.
Número de 
niveles del 
edificio
Desplazamiento
visualizado (cms)
Respuesta
generada
Caso 1
1 solo nivel
Onda sensorial
amplitud 0.5
Frecuencia 1 Hz
Movimiento
uniforme, armónico,
desincronizado, etc.
Caso 2 Amplitud 1 cm Frecuencia 1 Hz
Caso 3 Amplitud 1.5 cm Frecuencia 2 Hz
Caso 4 Amplitud 0.5 cm Frecuencia 2.5 a 3 Hz
Paso 6 Sismo Kobe, Japón
208
Análisis
de resultados
208
A partir de observar la respuesta de las distintas edificaciones y com-
parar su tabla de resultados, el alumno deberá contestar las siguientes 
preguntas:
• ¿Qué sistema sufrió mayores deformaciones? ¿Por qué sucedió 
esto?
• ¿Cómo influye la amplitud del movimiento en el terreno en la 
respuesta de las edificaciones estudiadas?
• ¿Cómo influye la frecuencia del movimiento en el terreno en la 
respuesta de las edificaciones estudiadas?
• ¿Cómo es un acelerograma con respecto al comportamiento de 
una onda senoidal? ¿Será distinto el comportamiento del edificio?
• Conociendo que los acelerogramas registrados en una zona 
presentan características similares con lo cual se puede caracterizar 
el movimiento de dicha región, ¿Podrá proponerse algún tipo de 
solución estructural para tener menores problemas ante sismo?
209
Conclusiones
La respuesta de los edificios ante sismos constituye un punto funda-
mental por aprender cuando se vive en regiones sísmicas. Es importan-
te que los arquitectos comprendan los efectos de la estructura coloca-
da en sus proyectos para facilitar un mejor comportamiento de estos 
ante sismos.
Aun cuando los efectos de periodo, rigidez, periodo del terreno, se 
abordan de forma lúdica, no deja de ser importante visualizar dichos 
conceptos para poder comprender la solución numérica cuando llegue 
a plantearse por ingenieros.
209
210
Ejercicios
de aplicación
Realiza una propuesta distinta de estructuración y pruébala en la mesa 
vibratoria de forma que se analice el comportamiento de cada elemen-
to y después del sistema en conjunto.
Verifica qué edificios han sufrido más daños bajo los sismos recientes 
sufridos en la República Mexicana y determina sus características de 
estructuración.
Busca los acelerogramas de los sismos recientes registrados cerca de la 
CDMX y trata de entender y sintetizar el comportamiento que tendrán 
los edificios cercanos a dichas zonas.
210
211
Cuestionario
¿Cómo son todos los elementos de un 
marco rígido?
a. Continuos.
b. Unidos por nudos.
c. Separados.
¿En qué ayuda el diafragma rígido al edificio 
bajo comportamiento sísmico?
a. A transmitir de mejor forma los esfuerzos a todos
 los elementos.
b. A incrementar el peso del entrepiso.
c. No tiene efecto.
¿Qué tipo de movimiento implica el sismo?
a. Del edificio en su parte superior.
b. Del terreno donde se desplanta la edificación.
c. Del movimiento del manto de la tierra.
211
212
Referencias
Chopra, A. K. (2014). Dinámica de estructuras (4a. ed.). México: 
Pearson Educación.
Kostoglodov, V., & Pacheco, J. (1999). Un catálogo de sismos mo-
derados y grandes ocurridos durante el siglo XX. “100 años de 
sismicidad en México”. México, D.F., México: Instituto de Geofísica, 
unam.
212
213
Bibliografía
Aroca Hernández-Ros, R. (2002). Funiculares. Cuadernos del Instituto 
Juan de Herrera. Madrid: Instituto Juan de Herrera-ETSAM.
Casañas, V., & Fernándes, C. (2012). Cables y arcos. Recuperado el 25 
de febrero de 2018, de Facultad de Arquitectura, Diseño y Urba-
nismo. Universidad de la República. Montevideo, Uruguay: http://
www.fadu.edu.uy/estabilidad-i/files/2012/02/estructuras_trac-
cionadas.pdf
Chopra, A. K. (2014). Dinámica de estructuras (4a. ed.). México: 
Pearson Educación.
Departamento de Matemáticas-Formación a Distancia-PIE. (2013). La 
caternaria en arquitectura. Recuperado el 25 de febrero de 2018, 
de Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y 
Puertos: http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matema-
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