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SEMANA 29 Tema: Cronometría III Docente: José Churampi Rafael RAZ. MATEMÁTICO Conocer la relación entre las manecillas del reloj y el tiempo transcurrido , y aplicarla en la resolución de problemas para el cálculo de horas determinadas. OBJETIVO Problemas con manecillas del reloj NOCIONES PREVIAS Primero analicemos las marcas de las horas y de los minutos de un reloj de manecillas y su relación con los grados sexagesimales: 30° 6° • Son 12 marcas de horas < > 12 divisiones horarias • Son 60 marcas de minutos < > 60 divisiones de minuto Cada una mide 30° Cada una mide 6° • Las manecilla del reloj: - Horario: (marca las horas) (marca los minutos) Es la más corta y gruesa - Minutero: Es la más larga y delgada Se observa: 360°• La circunferencia del reloj mide: RELACIÓN ENTRE LAS MANECILLAS DEL HORARIO Y MINUTERO Para encontrar la relación de las manecillas horario y minutero, analizaremos el ángulo que gira cada manecilla en cierto tiempo transcurrido (en minutos). Por Ejemplo: Supongamos que son las 3:00 p.m. y transcurre una hora ( 60 min) 30° 360° El horario se desplaza de la marca 3 a la marca 4 El minutero se desplaza una vuelta completa Del gráfico : Tiempo transcurrido Ángulo barrido por el HORARIO Ángulo barrido por el MINUTERO El ángulo barrido por el minutero es 12 veces el ángulo barrido por el horario. El tiempo transcurrido en minutos es el doble del valor numérico del ángulo barrido por el horario. 60 minutos 30° 360° 30 minutos 15° 180° 10 minutos 5° 60° 2 minutos 1° 12° × 𝟐 × 𝟏𝟐 (𝟏𝟐𝒙)°(𝒙)°𝟐𝒙 minutos (𝟏𝟐𝒙)°(𝒙)°𝟐𝒙 minutos Tiempo transcurrido Ángulo barrido por el HORARIO Ángulo barrido por el MINUTERO Ejemplo 1: Ejemplo 2:Practiquemos ahora las relaciones entre las manecillas con la relación encontrada: Si el horario avanza 12° , ¿cuántos grados avanza el minutero y que tiempo transcurre en minutos? Tiempo transcurrido Ángulo barrido por el HORARIO Ángulo barrido por el MINUTERO × 𝟐 × 𝟏𝟐 1𝟒𝟒°𝟏2°𝟐𝟒 minutos Si transcurre 50 min ¿Cuántos grados avanza el horario y el minutero? Tiempo transcurrido Ángulo barrido por el HORARIO Ángulo barrido por el MINUTERO ÷ 𝟐 × 𝟔 𝟑𝟎𝟎°𝟐𝟓°𝟓𝟎 minutos Tiempo transcurrido Ángulo barrido por el HORARIO Ángulo barrido por el MINUTERO ÷ 𝟏𝟐 ÷ 𝟔 𝟐𝟒𝟎°𝟐𝟎°𝟒𝟎 minutos Ejemplo 3: Si el minutero avanza 240°, ¿cuántos grados avanza el horario y que tiempo transcurre en minutos? Resolución: APLICACIÓN 01 Nos piden: La hora que indica el reloj del gráfico.¿Qué hora es según el reloj que se muestra en el gráfico? A) 4: 38 B) 4: 37 C) 4: 36 D) 4: 35 5 11 E) 4:39 9 3 2 1 12 11 10 8 7 4 5 6 𝛼° 9 3 2 1 12 11 10 8 7 4 5 6 𝛼° La hora es Hora: Del gráfico: Recordar: 4: ( ) (Hora referencial: 4:00) 𝜶° 𝟐𝜶 𝟏𝟖𝟎° 12𝛼 = 180 + 2𝛼 10𝛼 = 180 𝛼 = 18 2𝛼 = 36 (𝟏𝟐𝜶)° 4:36 Resolución:APLICACIÓN 02 Nos piden: La hora que Rodrigo sale de casa.Rodrigo salió de su casa con destino a su centro de estudios a la hora que indica el reloj que se muestra en la figura. ¿A qué hora salió, exactamente, Rodrigo de su casa? A) 7h 18 9 13 min B) 7h 18 6 13 min C) 7h 17 6 13 min D) 7h 18 1 13 min E) 7h 17 2 13 min UNMSM 2023-II 9 3 2 1 12 11 10 8 7 4 5 6 𝜃° 𝜃° 9 3 2 1 12 11 10 8 7 4 5 6 𝜃° 𝜃° Hora: 7: ( ) (Hora referencial: 7:00) (𝒙)° Recordar: (𝟏𝟐𝒙)° 𝟐𝒙 Del gráfico: 90 + 𝜃 = 12𝑥 𝑥 + 𝜃 = 30 − 90 − 𝑥 = 12𝑥 − 30 120 = 13𝑥 𝑥 = 120 13 2𝑥 = 240 13 2𝑥 =18 6 13 Hora a la que sale de su casa es 7h 1𝟖 𝟔 𝟏𝟑 min ÁNGULO FORMADO POR LAS MANECILLAS DEL RELOJ Una forma práctica para calcular el ángulo entre las manecillas de un reloj a una hora determinada es: α° β° Hora: H h M min Caso 1: Cuando el horario adelanta al minutero. Caso 2: Cuando el minutero adelanta al horario. α°= 30H − 11 2 M β°= 11 2 M − 30H 0 ≤ H < 12 (Al minutero le falta α° para alcanzar al horario) (Al horario falta β° para alcanzar al minutero) Por Ejemplo: Calcule el ángulo que forman las manecillas horario y minutero en cada hora señalada a continuación: I. 3 : 36 am II. 8 : 24 pm Resolución: Nos piden: El ángulo entre las manecillas en cada hora. H M 3 : 36 α° α°= 11 2 𝐌 − 30(𝐇) α°= 11 2 − 30( ) α°= 108° 𝟑𝟔 𝟑 α°= 198 − 90 I. ∴ II. Lo dejamos para Ud. Resolución:APLICACIÓN 03 Nos piden:Alex salió de su casa, entre las 8 p.m. y las 8:30 p.m., cuando las agujas de su reloj formaban un ángulo de 130°. Si regresó a su casa en el instante en el que las agujas de su reloj formaban un ángulo de 110° por última vez en ese mismo día, ¿cuánto tiempo estuvo fuera de casa? A) 4 horas y 40 minutos B) 4 horas y 20 minutos C) 3 horas y 20 minutos D) 3 horas y 40 minutos E) 4 horas y 30 minutos El tiempo que estuvo fuera de casa Hora: 8 ∶ 𝑀 𝑚𝑖𝑛 130° 30(8) − 11 2 M M = 20 110° Hora: 11 ∶ N 𝑚𝑖𝑛 30(11) − 11 2 N N = 40 8 ℎ 20 𝑚𝑖𝑛 11 ℎ 40 𝑚𝑖𝑛 Salió de casa Regresó a casa 3h 20 min = 130 = 110 El tiempo que estuvo fuera fue de 𝟑𝐡 𝟐𝟎 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬 Resolución: Nos piden: La diferencia positiva de dichos ángulos menores.Determine el menor ángulo que forman las agujas de reloj en las horas indicadas: a. 2:54 pm b. 9:08 am Dar como respuesta la diferencia positiva de dichos ángulos. A) 8° B) 11° C) 9° D) 6° E) 10° Hora: 2 ∶ 54 min 𝛼 = 11 2 M − 30(H) caso 1 a) 𝛼° 𝛼 = 11 2 54 − 30(2) 𝛼 = 237° 𝜷° 𝛽 = 123° (menor) Hora: 9 ∶ 08 min 𝛼 = 30 H − 11 2 M caso 2 b) 𝛼 = 30 9 − 11 2 8 𝛼 = 226° 𝛽 = 134° (menor) 𝛼° 𝜷° ∴ 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 = 134 − 123 = 11 PROBLEMA 1 Resolución: Nos piden: Determinar la hora exácta.En el reloj mostrado, ¿qué hora es? A) 3 h 42 6 13 min B) 3 h 42 min C) 3 h 41 min D) 3 h 41 7 13 min E) 3h 43 min 9 3 2 1 12 11 10 8 7 4 5 6 𝛼° Hora: 3 ∶ 2𝛼 𝑚𝑖𝑛 (𝟏𝟐𝛼)° Del gráfico: 12 α + (𝛼) = 270 13 α = 270 α = 270 13 = 540 13 ∴ 𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑠: 3 h 41 7 13 min. 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟𝑜 = 1 12 El tiempo transcurrido en minutos es el doble del valor numérico del ángulo barrido por el horario. 2α𝛼°𝛼° = 41 7 13 =2α PROBLEMA 2 En el gráfico mostrado, ¿qué hora se indica? Resolución: Nos piden: La hora que se indica. A) 2:26 B) 2:25 C) 2:24 D) 2:27 E) 2:22 9 3 2 1 12 11 10 8 7 4 5 6 𝛼° (2𝛼)° Hora: 2 ∶ 2𝑥 𝑚𝑖𝑛 (𝟏𝟐𝑥)° Del gráfico: 12 x + (2𝛼) = 180 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟𝑜 = 1 12 El tiempo transcurrido en minutos es el doble del valor numérico del ángulo barrido por el horario. x° 6 x + 𝛼 = 90 x + 𝛼 = 30 − 5x = 60 x = 12 2𝑥 = 24 ∴ 𝐿𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑠 2ℎ 24 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. PROBLEMA 3 ¿Qué hora indica el reloj mostrado? Resolución: Nos piden: La hora que indica el reloj. A) 3 h 44 min B) 3 h 43 min C) 3 h 42 min D) 3 h 41 min E) 3 h 45 min Del gráfico: 9 3 2 1 12 11 10 8 7 4 5 6 2𝛼° 𝛼° Hora: 2α 𝑚𝑖𝑛3 ∶ 12α + 2α= 210 10α = 210 α = 21 ∴ 𝐿𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗 𝑒𝑠 3 ℎ 42 𝑚𝑖𝑛. El tiempo transcurrido en minutos es el doble del valor numérico del ángulo barrido por el horario. (𝟏𝟐𝛼)° 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟𝑜 = 1 12 42=2α UNMSM 2019 - I PROBLEMA 4 PROBLEMA 5 Se construye un reloj y por equivocación se coloca la manecilla del horario en el lugar del minutero y la manecilla del minutero en el lugar del horario. Cuando en el reloj se observen las 7 h 28 m, ¿qué hora será en realidad? Resolución: Nospiden: ¿qué hora será en realidad? A) 5 h 36 min B) 5 h 37 min C) 5 h 38 min D) 5 h 39 min E) 5 h 40 min 7 ∶ 28 𝑚𝑖𝑛 5 ∶ M 𝑚𝑖𝑛 𝑀 = 36 ∴ 𝐿𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟á 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑: 5 h 36 min Hora equivocada Hora real 18° El tiempo transcurrido en minutos es el doble del valor numérico del ángulo barrido por el horario. Un reloj marca exactamente las 8:00 a. m. ¿A qué hora, entre las 8 y las 9 de la mañana, se superpondrán las agujas del reloj? Resolución: Nos piden: La hora en que se superpondrán las agujas. A) 8h 33 7/11 min B) 8h 43 7/11 min C) 8h 44 7/11min D) 8h 43 9/11 min E) 8 h 43 min UNMSM 2021 - I (Área A) 9 3 2 1 12 11 10 8 7 4 5 6 0° Utilizamos cualquiera de los dos casos : Caso 1 Del gráfico: α°= 30H − 11 2 M 𝛼 = 0 H = 8 0 = 30 (8) − 11 2 M = 43 7 11 M ∴ 𝐿𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑠 8ℎ 43 7 11 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. Hora: 8 ℎ ∶ 𝑀 𝑚𝑖𝑛 11 2 M = 240 M = 480 11 PROBLEMA 6 ¡¡Ahora a aplicar lo aprendido con el test!! Duración:10 minutos Indique el menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las 8:20. A) 135° B) 140° C) 130° D) 145° E) 120° Resolución: Nos piden: El menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las 8:20. PROBLEMA 1 8 ∶ 20 α° Hora α°= 30H − 11 2 M 𝐻 = 8 M = 20 α = 30 (8) − 11 2 20 α = 240 − 110 α = 130 ∴ 𝐸𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑠 130° 130° 230° En el gráfico mostrado, ¿qué hora indica el reloj? Resolución: Nos piden: ¿qué hora indica el reloj? A) 4:38 B) 4:39 C) 4:37 D) 4:35 E) 4:36 PROBLEMA 2 Del gráfico: 9 3 2 1 12 11 10 8 7 4 5 6 2𝑥° x° Hora: 2𝑥 𝑚𝑖𝑛4 ∶ 12𝑥 + 2𝑥= 180 10𝑥 = 180 𝑥 = 18 ∴ 𝐿𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗 𝑒𝑠 4: 36 El tiempo transcurrido en minutos es el doble del valor numérico del ángulo barrido por el horario. (𝟏𝟐𝒙)° 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟𝑜 = 1 12 36=2𝑥 En el gráfico mostrado, ¿qué hora indica el reloj? Resolución: Nos piden: ¿qué hora indica el reloj? A) 7:51 B) 7:52 C) 7:54 D) 7:50 E) 7:53 PROBLEMA 3 Nos piden: ¿qué hora indica el reloj? Del gráfico: 9 3 2 1 12 11 10 8 7 4 5 6 ( α 2 )° Hora: α 𝑚𝑖𝑛7 ∶ 6α +α= 270 5α = 270 α = 54 ∴ 𝐿𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗 𝑒𝑠 7: 54 El tiempo transcurrido en minutos es el doble del valor numérico del ángulo barrido por el horario. (6𝜶)° 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑟𝑜 = 1 12 α°
