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1
ÁLGEBRA
UNIDAD 2- Matrices y Determinantes
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
LIC. EN GEOFISICA - LIC. EN ASTRONOMIA
Año: 2020
2
Matrices y Determinantes
I- Objetivos
Al finalizar la unidad se espera que el alumno sea capaz de:
• Inferir el concepto de matriz.
• Manejar con habilidad las operaciones entre matrices y aplicar correctamente las
propiedades.
• Diferenciar los distintos tipos de matrices que se presentan.
• Calcular determinantes a través de diferentes métodos.
• Aplicar correctamente las propiedades de determinante.
• Interpretar el concepto de matriz inversa.
• Calcular correctamente la matriz inversa.
• Calcular el rango de una matriz
II- Secuencia de los Contenidos.
• Origen y definición de matrices. Notación.
• Igualdad y traza de una matriz.
• Operaciones entre matrices - Propiedades de las operaciones.
• Estructura algebraica del espacio de las matrices con las operaciones de suma de
matrices y producto de una matriz por un escalar
• Matrices especiales.
• Submatrices.
• Determinantes: origen y definición.
• Determinante de una matriz de orden 2x2 y de 3x3.-Regla de Sarrus.
• Menor complementario y cálculo de un determinante por cofactores.
• Regla de Laplace.
• Propiedades de los determinantes para su posterior aplicación en el cálculo de los
mismos (triangularización).
• Matriz Adjunta para obtener el cálculo de la matriz inversa. Matrices elementales
y equivalentes.-Aplicaciones
• Rango de una matriz- Aplicaciones
3
MATRICES - DETERMINANTES
1- Introducción
Las matrices son utilizadas en problemas que requieren de métodos algebraicos para ser
solucionados, estos problemas proceden desde distintas áreas de la matemática, de física, en
ingeniería, en química, geología, biología, astronomía, sociología, en lenguaje de programación ya
que la mayoría de ordenadores introducen información organizadas en tablas con filas y columnas
para trabajar gráficas computarizadas, procesamientos de imágenes, etc.
Estas simplifican el trabajo en diferentes aspectos, uno de los más importantes es en la solución de
sistemas de ecuaciones lineales con un elevado número de incógnitas, pues usando la representación
de ellos como “ ecuaciones matriciales” se evitan métodos tediosos como sustitución, igualación.
Otra utilidad es como lista de chequeo que incorpora información cualitativa sobre relaciones causa
y efecto, pero también es de gran utilidad para la presentación ordenada de los resultados de la
evaluación. Se utiliza para resolver situaciones que se encuentran en muchas dimensiones cuando se
tienen problemas que solo se pueden resolver con sistemas de ecuaciones diferenciales, para ello se
arman matrices con dichas ecuaciones de tal manera que se pueda solucionar problemas de
economía o de ingeniería ambiental, civil, hidráulica, etc.
El propósito de esta unidad es aprender conceptos y métodos algebraicos: usar símbolos y
vocabulario para traducir del lenguaje coloquial, a generar expresiones matemáticas resolubles
desde el Álgebra Lineal. Se practicará en el manejo de procedimientos algebraicos sistemáticos que
ayudan a resolver, si es posible, sistemas de ecuaciones lineales, se deberá aprender a tener manejo
tanto de los “conceptos” como de los “métodos” para poder dar solución a problemas que
relacionan álgebra con otras disciplinas y situaciones cotidianas. Se usarán herramientas como
calculadora científica o software de cálculo simbólico.
Puedes consultar mas aplicaciones en :
https://www.youtube.com/watch?v=0hr1zsrGHcY
https://www.youtube.com/watch?v=I3aiZWmuqTs
1.1- Matrices
A) A continuación se presenta una disposición en filas y columnas de cierta información
relacionada con “las distancias entre los distintos planetas que conforman nuestro sistema solar”.
Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno
Mercurio 0 0.34 0.62 1.14 4.82 9.16 18.84 29.68
Venus 0.34 0 0.28 0.8 4.48 8.82 18.5 29.34
Tierra 0.62 0.28 0 0.52 4.2 8.54 18.22 29.06
Marte 1.14 0.8 0.52 0 3.68 8.02 17.7 28.54
Júpiter 4.82 4.48 4.2 3.68 0 4.34 14.02 24.86
4
Saturno 9.16 8.82 8.54 8.02 4.34 0 9.68 20.52
Urano 18.84 18.50 18.22 17.7 14.02 9.68 0 10.84
Neptuno 29.68 29.3 29.06 28.54 24.86 20.52 10.84 0
1 unidad astronómica= 150 106 km
B) Considera la “gráfica” que une los cuatro puntos en la figura, los cuales son campamentos
mineros:
Construya un “arreglo” (o disposición) de cuatro filas y cuatro columnas, que tengan la siguiente
propiedad: el elemento de la fila “i” (con i = 1,2,3,4) y de la columna “j” (j = 1,2,3,4) vale
cero si el campamento “i “ no está conectado directamente con el campamento “j “; (es decir : para
llegar de “i “ a “j “ , debo pasar en el camino, por otro campamento intermedio); y vale uno si el
campamento “i “ está conectado directamente con el campamento “j “. Además en las posiciones
de la diagonal principal, colocar cero.
C) Considere el siguiente enunciado, genere su representación simbólica por medio de un sistema
de ecuaciones y su representación matricial:
Los empleados de un campamento se les ha provisto según las necesidades de: botas para alta
montaña y/o protector auditivo para casco para alta montaña.
El precio de cada par de botas es de $7000 en el mercado y el de protector auditivo para casco fue
de $ 2500. El gasto realizado en calzado y complementos de seguridad fue de $310000.
Se ha adquirido un total de 70 de estos elementos. ¿Cuántos equipos de cada tipo se adquirieron?
El uso de la notación matricial permite considerar un arreglo de muchos números (elementos en
general), como un solo objeto designado por un símbolo. Se pueden expresar así de manera sintética
relaciones entre los grandes conjuntos de números que surgen con frecuencia en las aplicaciones.
Cuanto más complicado es el problema, más útiles resultan las matrices ( notación concisa para
almacenar información). Quizás sea aún más importante el hecho de que las matrices proporcionan
conocimientos que no podrían obtenerse fácilmente a través de otros medios. La noción de matriz
no solamente nos suministra una nueva visión de problemas antiguos, sino que también da origen a
muchos nuevos temas.
1.1.1- Definición: Una matriz es un arreglo rectangular (ordenado) de elementos.
5
Nota: Solo trabajaremos con matrices cuyos elementos sean números reales.
Debe tener en cuenta la bibliografía que utilice para usar las notaciones adecuadas.
Por lo general:
� Los elementos de la matriz aparecen enunciados entre corchetes o paréntesis.
� La matriz se la denota con una letra mayúscula. Por ejemplo: A ; M ; D ; I ; etc.
� El tamaño de la matriz está especificado por el número de filas y de columnas que la
conforman. En general se dice: mxn.
A continuación, se presentan algunos ejemplos de matrices.
Ejercicio: En los ejemplos presentados indique el tamaño de cada una de las matrices.
−
=
572
08
,
A ,
π
=
3 22
B ,
=
000
000
O ,
=
10
01
I ,
−=
700
040
001
D ,
π−= 221
5
2
C
Las matrices presentadas en este ejemplo tienen los siguientes tamaños:
•La matriz A es de tamaño 2 filas y 2 columnas; lo cual se dice: A es de 2 x 2 ó A2x2
•La matriz B es de tamaño …………………
•La matriz O es de tamaño…………………
•La matriz I es de tamaño…………………..
•La matriz D es de tamaño………………….
•La matriz C es de tamaño………………….
A continuación, se generaliza la notación para una matriz de cualquier tamaño.
Así, una matriz A de orden m x p es una matriz que tiene m filas y p columnas con una cantidad
total de m x p “elementos”.
A dicha matriz se la puede expresar:
( ) ( )
{ }
{ }p,...,j
m,...,iijmxpij
mpmm
p
p
aa
aaa
aaa
aaa
A
1
1
21
22221
11211
∈
∈
==
=
L
MLMM
L
L
Nota: La expresión aij representa a cualquier elemento de la matriz A, que se encuentre en la fila i y
columna j. Por ejemplo: a21 representa al elemento de la matriz A que está en la fila 2 y columna 1.
Ejercicio: Indique el valor de los elementos:
6
(para el primer sistema)
(para el primer sistema)
(para el primer sistema)
El elemento a12 de la matriz A, es………..
El elemento a22 de la matriz A, es………..
El elemento b31 de la matriz B, es…..……
El elemento o23 de la matriz O , es…….…
El elemento c12 de la matriz C, es…….…
El elemento d13 de la matriz D, es…….…
Nota: Se verá que algunas matrices, por sus características son llamadas de una manera especial.
Así, tomando en cuenta los ejemplos de sistemas lineales vistos en el inciso C), permiten señalar
esas matrices especiales:
Matriz de Coeficientes ⇒
=
11
25007000
A
Matriz de Incógnitas ⇒
=
y
x
X
Matriz de Términos Independientes ⇒
=
70
310000
B
Más adelante, cuando aprenda a “multiplicar matrices”, verá que el sistema lineal dado puede
expresarse como la “Ecuación matricial A.X = B”.
1.1.2- Igualdad de matrices
Definición:
Dadas las matrices ( )
mxpij
aA = y ( )
nxrij
bB = , se dice que A es igual a B si:
1) m = n y p = r (esto es A y B tienen el mismo orden)
2) aij = bij para todo i,j
Observe que no basta pedir que dos matrices tengan elementos iguales para que lo sean, por
ejemplo:
=
00
00
A
=
000
000
B resulta que A ≠ B
Notación: Se denotará Mmxp = { }p x morden de matriz una es AA
(se lee: el conjunto de las matrices de orden mxp).
1.1.3- Matrices Especiales
Atendiendo al orden de la matriz, y a la disposición de sus elementos, una matriz A∈Mmxp , se la
puede clasificar como:
• Matriz Rectangular: Se llama así a la matriz en la cual m ≠ p.
Por ejemplo:
7
−=
5
2
1
A
−−
=
472
521
B
• Matriz Cuadrada: Es la matriz en la cual m = p
Por ejemplo:
−
−
=
06
231.0
C
−−
−
=
906
6.412
035.0
H [ ]4Q −=
• Matriz Triangular Superior: Es aquella que cumple:
>∀=
=
ji0a
pm
ij
• Matriz Triangular Inferior: Es aquella que cumple
<∀=
=
ji0a
pm
ij
Ejemplos:
SuperiorTriangular
00
120
43121
R
π−
−
=
InferiorTriangular
621
0521
007
Q
−−
−=
• Matriz Nula (Matriz Cero): Es aquella matriz en la que se verifica:
{ }
{ }1,..pj
1,..mi
0aij ∈∀
∈∀
=
Ejemplo:
[ ]000O
00
00
O
0
0
O 321 =
=
=
• Matriz Fila: Si m = 1 cualquiera sea p.
Ejemplo:
[ ]321F1 −= [ ]435.21F2 −= [ ]5F3 −=
• Matriz Columna: Si p = 1 cualquiera sea m.
Ejemplo:
=
−
−
=
11.0
1.0
0
C
4
7
2.1
C 21
• Matriz Diagonal: Si m = p y aij = 0 ∀ i ≠ j
Ejemplo:
−
=
200
050
001
D1
−
=
210
05.7
D2
• Matriz Escalar: Si m = p y
≠∀
=
=
i todopara
ji
Ka
0a
ii
ij
Ejemplo:
8
−
−
−
=
=
300
030
003
E
40
04
E 21
• Matriz Identidad: Si m = p y
≠∀
=
=
i todopara
ji
1a
0a
ii
ij
Ejemplo:
=
=
100
010
001
10
01
2 3I I
• Matriz de Probabilidad o Estocástica por columnas: Si m = p y ( 10 ≤≤∀∀ aij : j i y
1=∑
=
ij
m
1i
a , j∀ fijo )
Ejemplo:
=
=
2302500
72050090
05025010
10
01
1
,,
,,,
,,,
F F 2
Nota : Se llama doblemente estocástica si además lo es también por filas.
Ejemplo:
=
=
85005010
08020
15015070
10
01
1
,,,
,,
,,,
G G 2
Observación: Relación entre Vectores y Matrices
Se define a un “Vector Renglón de n−componentes” al conjunto “ordenado” de n−números, escritos
en la forma:
( )n21 x,...,x,xx =
r
con xi ∈ ℜ ; i = 1,...,n
Por ejemplo: En el espacio ℜ 2 un vector renglón es de la forma: ( )3;2x −=r
En el espacio ℜ 3 será: ( )2;7;2.1y −=r
Un “Vector Columna de n−componentes”, es el conjunto “ordenado” de n−números escritos en la
forma:
=
n
2
1
x
x
x
x
L
r
con xi∈ℜ ; i = 1,...,n
Por ejemplo: En el espacio ℜ 2 será:
−
=
5
1
a
r
y en el espacio ℜ 3 será:
−=
14.3
5.2
21
b
r
Cada elemento del vector se llama “k−componente” siendo “k” la ubicación de la misma.
Por ejemplo: en el vector y
r
∈ ℜ 3, es 7 la segunda componente del vector.
9
La palabra “ordenado” es esencial. Dos vectores con las mismas componentes escritas en
“diferente” orden no son iguales.
Por ejemplo: ( )3;2a −−=r ∈ℜ 2 y ( )2;3b −−=
r
∈ℜ 2 tienen las mismas componentes escritas en
diferente orden, y sin embargo no son iguales.
1.2- Aritmética Matricial
1.2.1- Adición de Matrices
Definición: Sean A y B matrices del mismo tamaño. La suma A + B es la matriz que se obtiene al
sumar elementos correspondientes de A y B.
Esta matriz A + B será del mismo tamaño que las matrices A y B.
Si A y B no son del mismo tamaño, no se pueden sumar, y se dice que la suma no existe.
En símbolos:
Sean ( )
mxpij
aA = y ( )
mxpij
bB = (del mismo tamaño)
Luego C = A + B =( )
mxpij
c del mismo tamaño que las dadas,
donde cij = aij + bij con
{ }
{ }
∈
∈
p,...,2,1j
m,...,2,1i
Ejemplo:
Sean
−
=
320
741
A ,
−
=
031
520
B ,
−
=
0
7
3
014
520
101
C ,
−−−
−
=
222
5103 ,
D
∗ Determinamos: A + B
=
++−+
+−++
=+
311
1221
033210
57)2(401
BA
∗ Determinamos: D + B
=
=+
____________
____________
BD
10
∗ ¿Puede calcular A + C o B + C? ¿Por qué?
No se pueden calcular dichas sumas, pues no tienen el mismo tamaño. Se dice que no son
conformables para la suma.
Investiga que matrices obtienes cuando realizas C+C , (C+C)+C
1.2.2- Multiplicación de una Matriz por un escalar.
Definición: Sea A una matriz, y sea k un escalar real . Se denota con k.A, a la matriz que se
obtiene al multiplicar cada uno de los elementos de A por k.La matriz k.A será del mismo tamaño que la matriz A.
En símbolos:
Sea ( )
mxpij
aA = i ∈{1,...,m} ; j ∈{1,...,p}
Sea k ∈ℜ ; luego si B = k.A , ( )
mxpij
bB = ⇒ bij = k.aij con
{ }
{ }
∈
∈
p,...,,j
m,...,,i
21
21
Ejemplo:
Sea
−
−
=
603
512
A
∗ Determinar (−2).A
Sea B = (−2).A ⇒
−
−−
=
−−−−
−−−−
=
1206
1024
6).2(0).2()3)(2(
5).2()1)(2(2)2(
B
Observe que A y (−2).A son matrices de 2 x 3.
∗ Determinar (−1).A
Sea C = (−1).A ⇒
−
−−
=
−−−−
−−−−
=
603
512
610131
511121
).().())((
).())(()(
B
Investiga que matrices obtienes cuando en k.A, se tiene k=1 ó k=0
1.2.3- Diferencia o Resta de Matrices.
Se define −A (Se lee la opuesta de A), como la matriz (−1).A. Esto significa que para “hallar la
opuesta” de una matriz, se multiplica cada elemento de la matriz por (−1).
11
Por ejemplo:
−
−
=
263
701
A entonces
−−
−
=−
263
701
A
Nota: Ahora definimos la resta de matrices de manera que sea compatible con la adición, la
multiplicación escalar.
Sea A − B = A + (−B)
Esta definición, implica que la sustracción, se lleva a cabo entre matrices del mismo tamaño,
sustrayendo elementos correspondientes.
Ejemplos:
Sea
−
−
=
563
205
A y
−
=
640
182
B .
∗ Determine A − B
−
−−
=
−−−−
−−−−−
=−
1123
183
654603
)1(28025
BA
∗ Determine B − A
−−
−
=−
1123
183
AB
Ejercicio: Indique el resultado de AB 3−
=−
____________
____________
AB 3
Nota: Para facilitar el uso de las operaciones que se acaban de definir, es conveniente conocer que
propiedades poseen.
Propiedades de la adición de matrices y de la multiplicación por un escalar
Sean ( )ijaA = ; ( )ijbB = ; ( )ijcC = elementos de Mmxp
Sean α y β números reales. Luego:
S1) La suma es asociativa.
Sean A, B, C del conjunto Mmxp , luego se verifica la identidad:
(A + B) + C = A + (B + C )
12
S2) Existe un elemento (neutro para la suma) O ∈ Mmxp tal que para toda A ∈ Mmxp es:
A + O = O + A = A
S3) Para toda matriz A ∈ Mmxp existe (−A) ∈ Mmxp (llamada Matriz Opuesta Aditiva de A) tal que
A + (−A) = (−A) + A = O
S4) La suma de matrices es conmutativa.
Para toda A , B ∈ Mmxp se cumple:
A + B = B + A
S5) El producto de matrices por un número real es distributivo respecto a la suma de matrices.
Dado α ∈ ℜ y para toda A , B ∈ Mmxp se cumple:
α (A +B) = αA + αB
S6) El producto de la matrices por números reales es distributivo con respecto a la suma de
números reales.
Para todo α , β ∈ ℜ y A ∈ Mmxp se verifica:(α + β) A = αA + βA.
S7) El producto de números reales por una matriz es asociativo.
Para todo α , β ∈ ℜ y A ∈ Mmxp se verifica:
(α.β) A = α.(β.A)
S8) El producto de una matriz A ∈ Mmxp por el número 1, da por resultado la matriz A.
Para toda A ∈ Mmxp se verifica: 1.A = A
Nota: Recuerda estas propiedades enunciadas; para que más adelante otorguemos al conjunto Mmxp
con estas operaciones (adición y multiplicación por un escalar) la categoría de Espacio Vectorial
Real.
1.2.4- Multiplicación de Matrices
Definición: Sean A = (aik) ∈ Mmxn y B = (bkj) ∈ Mnxr, donde el número de columnas en la matriz
A, es el mismo que el número de renglones de una matriz B , entonces existe el producto A.B. El
elemento en el “renglón i” y la “columna j” de A.B se logra sumando los productos que se obtienen
al multiplicar elementos correspondientes del renglón i de A y de la columna j de B.
En símbolos:
Sean A = (aik) ∈ Mmxn y B = (bkj) ∈ Mnxr , donde C = A.B = (cij) ∈ Mmxr
tal que: cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj =∑
=
n
1k
kjik ba ; i ∈ {1 ,..., m} y j ∈ {1 , 2, … , r}
Notas:
1)Si el número de columnas de A no es igual al número de filas de B, se dice que el producto no
existe.
13
2) La manera más natural de multiplicar dos matrices A y B parecería multiplicar elementos
correspondientes de A y de B, pero sin embargo, se ha encontrado que esta no es la manera más útil
para hacerlo; la forma más ventajosa es la definida como precede.
Formas para realizar el producto matricial :
Forma 1: Visualizar esta operación mediante el esquema:
Forma 2: Para hallar el elemento “cij” de A.B se deben aislar el renglón i de A y la columna j de B
[ai1 ai2 ... ain]
nj
j2
j1
b
b
b
L
= [ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj ] =[cij ] =[ ∑
=
n
1k
kjikba ]
Ejemplo: Dadas las siguientes matrices:
=
02
31
A
−
=
623
105
B
−=
4
2
1
C
−
−−
−
=
34
11
20
D
∗ A continuación se analizan cuales de los siguientes productos están definidos:
A.B ; B.A ; B.C
A . B
2x2 2x3
=
B . A
2x3 2x2
≠
Este producto es posible y el resultado será una
matriz de tamaño 2x3
Este producto no es posible .
14
B . C
2x3 3x1
=
* Siguiendo la propuesta anterior determinar cual de los siguientes productos están definidos
A.C ; C.A ; A.A ; C.B ; B.B
* Resolvamos A.B
Forma 1 :
−
=
6
1
23
05
B
=
02
31
A
+
+
−++
−++
6012
6311
20023052
23013351
..
..
).(...
).(...
=
−
2010
19614
Forma 2 :
=
02
31
B . A .
− 623
105
=
232221
131211
rrr
rrr
[ ] 143351
3
5
3111 =+=
= ...r
[ ] 62301
2
0
3112 −=−+=
−
= ).(..r
[ ] 196311
6
1
3113 =+=
= ...r
[ ] 103052
3
5
0221 =+=
= ...r
[ ] 02002
2
0
0222 =−+=
−
= ).(..r
[ ] 26012
6
1
0223 =+=
= ...r
Este producto es posible y el resultado será una
matriz de tamaño 2x1
15
Con lo cual resulta que A. B =
−
2010
19614
Ejercicio: Indique , en caso de ser posible, el resultado de C.D;D.B;A.D
=A.D
=D.B
D.C
=
* Siguiendo la propuesta anterior, de los productos analizados que son posibles calcúlalos.
Tamaño de una Matriz Producto
Si A ∈ Mm x r y B ∈ Mr x n , entonces A.B ∈ Mmxn
Esto se representa gráficamente así:
A.B de tamañoeldan
iguales interiores
BA n x rr x m
Ejemplo:
Si A es una matriz de 5 x 6 y B una matriz de 6 x 2. ¿Cuál es el tamaño de A.B?
A5x6 . B6x2 = A.B5x2
Ejercicio: Dadas las siguientes matrices:
=
02
31
A y F3x3
Investiga que matrices obtienes cuando realizas : A. A ; (A.A).A ; ((A.A).A).A ; F.F
16
Nota importante:Se pueden enunciar algunos resultados interesantes del producto de matricescomparando con el producto de números reales.
I ) A diferencia de la multiplicación de números reales, la multiplicación de matrices, no es
conmutativa. En general para dos matrices A y B; A.B ≠ B.A. Algunas veces existen tanto A.B
como B.A, pero en raros casos son iguales.
II) En la teoría de matrices, las matrices cero juegan un papel semejante al del cero con los números
reales, y las matrices identidad juegan un papel semejante al del 1.
Sea A ∈ Mnn y O ∈ Mnn ⇒ A . On = On . A = On
Sea A ∈ Mnn y I ∈ Mnn ⇒ A . In = In . A = An
III) En Álgebra son conocidas las leyes de cancelación.
Si a.b = a.c y a ≠ 0 ⇒ b = c
Si p.q = 0 ⇒ p = 0 ó q = 0
Sin embargo las leyes correspondientes para matrices no son válidas:
• A . B = A . C no implica que B = C
• P . Q = O no implica que P = O ó Q = O
Verificarlo con las siguientes matrices:
Considera las matrices:
=
42
21
A
−
=
12
21
B
−
−
=
23
83
C
Observa A . B y A . C ¿Qué observas?
Considera las matrices:
−
−
=
42
21
P
−
−
=
31
62
Q Calcula P . Q ¿Qué observas?
Propiedades de la Multiplicación de Matrices.
Sean A, B y C matrices, y k un escalar. Suponga que las matrices son de tamaños tales que se
puedan realizar las operaciones que se indican.
M1) A . (B.C) = (A.B) . C Propiedad Asociativa de la multiplicación.
M2) A . (B + C) = A.B + A.C Propiedad Distributiva de la multiplicación.
M3) (A + B) . C = A.C + B.C Propiedad Distributiva de la multiplicación.
M4) A.In = In.A = A (Donde In es la matriz identidad adecuada).
=
10
01
I
=
02
31
A
++
++
....
....
10020012
13010311
= A=
02
31
17
M5) a (A.B) = (aA) B = A (aB) Propiedad Asociativa del producto por un escalar.
1.2.5- Potencia de Matrices.
• Si A es una matriz cuadrada, llamaremos potencia de A y se escribe:
44 344 21
vecesk
k A..................A.AA
−
= , k∈N
• Las reglas conocidas de los exponentes para números enteros no negativos, se satisfacen para
matrices cuadradas :
1) Ar As = Ar + s 2) ( ) srsr AA = 3) A0 = In ; con A matriz no nula.
Ejercicio: a) Calcula E2 ; E4, em base a la matriz
−
−
=
01
21
E
=
−
−
−
−
=
01
21
01
212 .E
=
= .E4
b) Sean A y B matrices cuadradas de igual orden, simplifica la siguiente expresión
matricial, teniendo en cuenta las propiedades del producto de matrices:
A (A + 2B) + 3B ( 2A − B) − A2 + 7B2 − 5AB
Ahora se presenta un número que se le asocia a una matriz cuadrada, llamado “traza de una matriz”.
1.2.6- Traza de una matriz
Definición: Sea A una matriz cuadrada. La traza de A denotada por Traz (A); (trace(A)); es la
suma de los elementos de la diagonal principal de A.
Si A ∈ Mnxn ⇒ Traz (A) = a11 + a22 + ... + ann =∑
=
n
1i
iia
Ejercicio: Determinar la traza de B =
−
−−
702
457
321
Traz (B) = 1+ (−5) +7 = 3
Propiedades de la Traza
Sean A, B matrices, y k un escalar. Suponga que las matrices son de tamaños tales que se puedan
realizar las operaciones que se indican.
T1) Traz (A + B) = Traz (A) + Traz (B)
18
T2) Traz (A . B) = Traz (B . A)
T3) Traz(kA) =k Traz (A)
T4) Traz (AT) = Traz(A)
1.2.7- Transposición de Matrices.
Definición: Sea A ∈ Mmxn , llamaremos transpuesta de la matriz A, y lo indicaremos con AT, a
la matriz cuyas columnas son los renglones de la matriz A dada.
Así, el elemento (i,j) de A se convierte en el elemento de (j,i) de AT.
Si A ∈ Mmxn ⇒ AT ∈ Mnxm
Ejemplo: Determinar la transpuesta de las siguientes matrices; e indicar el tamaño.
2x208
72
A
−
=
1x33
1
0
B
−= [ ] 2172 xH −=
Solución:
22
07
82
x
TA
−
= [ ] 31310 xTB −=
12
7
2
x
T
H
=
Propiedades de la Transpuesta
Sean A y B matrices, sea k un escalar. Suponga que los tamaños de las matrices son tales que se
pueden realizar las operaciones que se indican:
T1) (A + B)
T = AT+ BT Transpuesta de una suma.
T2) (kA)
T = k . AT Transpuesta de un múltiplo escalar.
T3) (A.B)
T= BT. AT Transpuesta del producto.
T4) (A
T)T = A Transpuesta de la transpuesta.
Ejercicio: Obtenga la matriz transpuesta, de las matrices del inciso B) y C) de la introducción de
matrices.
=⇒
= TEE
=⇒
= TAA
19
[ ]=⇒
= TBB
Ejercicio: a) Encuentre la transpuesta de
−
−
=
243
401
311
A y luego compare AT y A.
b) La conclusión que obtuvo en el apartado anterior ¿Es válida para cualquier matriz
cuadrada?
1.2.8- Matrices Antisimétricas
Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden nxn, decimos que A es una matriz antisimétrica ,
si es igual a la opuesta de su transpuesta.
A es antisimétrica ⇔ A = −AT ⇔ aij =
≠
=
ji cuando a-
ji si
ji
0
∀ i ∀ j ∈ {1 , 2 , …., n}
Ejemplo: Como verificar que las siguientes matrices son antisimétricas:
−−
−
=
−
=
032
306
260
08
80
22
B;A
x
Solución:
Calculamos : −AT = =
−
−
T
08
80
=
−
−
08
80
A=
− 08
80
⇒ A es antisimétrica
Calculamos : −BT =
T
−−
−
−
032
306
260
−−
−
−=
032
306
260
= B ⇒ B es antisimétrica
1.2.9- Matrices Simétricas
Las “matrices simétricas”, son quizás la clase más importante de matrices, ya que se utilizan en
áreas de las matemáticas, como geometría, la ingeniería mecánica y eléctrica, la física teórica, etc.
Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden nxn, decimos que A es una matriz simétrica , si
es igual a su transpuesta.
A es simétrica ⇔ A = AT ⇔ aij = aji ∀ i ∈ {1 , 2 , …., n} ∀ j ∈ {1 , 2 , …., n}
Nota: En una matriz simétrica, todos los elementos no diagonales se presentan en pares situados
simétricamente respecto de la diagonal principal.
Observa en un caso particular, para A ∈ M3x3
20
=
qrz
rwy
zyx
A
=⇔
qrz
rwy
zyx
A T
Ejemplo: Como verificar que la siguiente matriz es simétrica:
22
38
87
x
A
−
=
Solución: Calculamos : AT = =
−
T
38
87
=
− 38
87
A ⇒ A es simétrica
Teorema: Sean A y B matrices simétricas del mismo tamaño, entonces el producto A.B es
simétrico sí y solo sí A.B = B.A
Demostración: Para la demostración se tiene que tener en cuenta el “sí y solo sí”; por lo tanto hay
que mostrar:
I) que si A.B es simétrica entonces A.B = B.A
II) que si A.B = B.A entonces A.B es simétrica.
I) Sea AB simétrica. Entonces:
AB = (A.B)T por definición de matriz simétrica.
= BT.AT según la transpuesta del producto.= B.A porque B y A son simétricas.
II) Si A.B = B.A Entonces.
(A.B)T = (B.A)T aplica transpuesta miembro a miembro.
= ATBT transpuesta del producto.
= A.B porque A y B son simétricas.
1.2.10- La Inversa de una Matriz
Nota: La inversa de matrices solo se aplica a matrices cuadradas.
Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden nxn. Si se puede encontrar una matriz B tal que
A . B = B . A = In; Entonces se dice que A es invertible, regular (o no singular); y a la matriz B se
la llama “la inversa de A”, y se la indica B=A-1.
Nota: Una matriz cuadrada que no tiene inversa se llama no invertible, o matriz singular.
Ejercicio: Demuestre que la inversa de la matriz:
=
43
21
A , es :
−
−
=
2
1
2
3
12
B
Solución: Para probar que B es la matriz inversa de A se debe verificar que
A . B = B . A= I
21
I
10
01
232
3
2
3
4432
43
21
.
2
1
2
3
12
B.A
I
10
01
2366
1132
2
1
2
3
12
.
43
21
A.B
=
=
−−
+−+−
=
−
−
=
=
=
−+−
−+−
=
−
−
=
Luego, B es la matriz inversa de A ( y recíprocamente A es la inversa de B).
Teorema: La matriz inversa de una matriz invertible es única.
Demostración: Suponga que las matrices B y C son la matrices inversas de A.
Por lo tanto A . B = B . A = I �
A . C = C . A = I �
Multiplicando en � miembro a miembro por C
C . A . B = C . B . A = C . I
{ {
CB
I . CB . I
I . C A) . (B . C B . A) . (C
=
=
==
321321
En consecuencia una matriz invertible solo tiene una inversa.
Notación: Sea A una matriz invertible, su inversa se denota por A−1.
Propiedades de Matrices Invertibles
Teorema: Si A es una matriz invertible entonces A−1 es también invertible y se verifica:
(A−1)−1 = A
Teorema: Si A es una matriz invertible entonces AT es también invertible y se verifica:
(AT)−1 = (A−1 )T
Teorema: Si A es una matriz invertible y m≥0, entonces Am es también invertible y se verifica:
(Am)−1 = (A-1)m
Importante: Esta última propiedad permite definir la potencia negativa de una matriz : A- m =(A-1)m
Teorema: Si A y B son matrices invertibles (no singulares) y de orden n, entonces A . B es
invertible y se verifica: (A.B)−1 = B-1.A-1
Teorema: Para cualquier k escalar, k ≠ 0, la matriz A invertible, entonces kA es también
invertible y se verifica:
( ) 11 A
k
1
kA −− =
22
Importante: Si una matriz C tiene inversa entonces son válidas las leyes cancelativas del producto.
a) A.C = B.C ⇒ A=B
b) C.A =C.B ⇒ A=B
a) Demostración: Suponga que la matriz C tiene inversa, la cual es C-1
Partimos de la igualdad : A.C = B.C
Post multiplicando a ambos lados de la igualdad con la inversa de C, se tiene:
(A.C).C-1=(B.C).C-1 , asociando
4342143421
I:BI.A
)C.C.(B)C.C..(A 11 −− =
} }
B A =
Ejercicio: Realizar la demostración de la propiedad b)
Problema: Hasta ahora se utiliza el término de matriz inversa, pero ¿Cómo se obtiene la inversa de
una matriz?
Por ahora, solo la podemos obtener por medio de algún método de solución de sistemas, pero más
adelante, cuando se estudie la función determinante de una matriz cuadrada, se dará un algoritmo
(fórmula) para obtener la inversa de una matriz no singular.
Ejercicio: Dadas las matrices
−
=
21
01
M y
−
=
30
12
R Determinar M−1 y R−1
Solución: Tomando en cuenta que por ahora el alumno solo resuelve sistemas lineales de orden
2x2 (o a los más de 3x3), solo se puede intentar el cálculo de la inversa de una matriz invertible de
la siguiente forma:
Por definición, si M es no singular entonces existe una única matriz M−1 tal que debe cumplirse:
M.M−1 = M−1.M = I2 luego:
=
− 10
01
dc
ba
.
21
01
de donde
=
+−+− 10
01
d2bc2a
ba
Resultando de la igualdad de las matrices:
23
=⇒
=⇒=⇒=+−
=⇒=⇒=+−
=
=
−
2
1
2
1
01
M
2
1d1d21d2b
2
1c1c20c2a
0b
1a
1 (inversa a derecha)
Probemos si es válida como inversa por la izquierda:
M−1.M = I ⇒ 2I10
01
102
1
2
1
0001
21
01
.
2
1
2
1
01
=
=
+−
++
=
−
Luego: M –1
=
2
1
2
1
01
es la matriz inversa de M.
Nota: De la misma manera trabaje para encontrar la matriz inversa de R.
Ejercicios: Sean las matrices
=
=
=
100
0
2
1
2
1
0
2
1-
2
1
P ,
'c
'b
'a
' X ,
c
b
a
X ,
−
−−
=
130
301
012
A
Calcular : 1) XT.A.X
2) D= PT.A.P ( trabajar en P con los valores exactos)
3) ( ' X ) T. D. ( ' X )
4) Sustituir X=P. ' X en el cálculo 1), aplicar propiedades de traspuesta
hasta llegar al cálculo obtenido en 3)
Teorema: Sea A una matriz cuadrada de orden nxn, entonces A se puede escribir de forma única
como suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.
Demostración: Supongamos que A= S+K , con S matriz simétrica ⇒ S= ST �
con K matriz antisimétrica ⇒ K= −KT �
Calculemos la matriz traspuesta de A :
AT=(S+K)T= ST + KT = S + KT =S − K
� �
A = S + K
+
AT= S −K
A+ AT= 2 . S ⇒ S= )AA.( T+
2
1
24
A = S + K
−
AT= S −K
A− AT= 2 . K ⇒ K= )AA.( T−
2
1
Revisemos que S es una matriz simétrica :
ST=
T
T )AA.(
+
2
1
= [ ]TTT )A(A +
2
1
= [ ]AAT +
2
1
= [ ] SAA T =+
2
1
⇒ S es simétrica.
Revisemos que K es una matriz antisimétrica :
−KT= −
T
T )AA.(
−
2
1
= − [ ]TTT )A(A −
2
1
= − [ ]AAT −
2
1
= [ ] KAA T =−
2
1
⇒ K es antisimétrica.
Ejercicio: Para completar la demostración resta probar la unicidad de la descomposición de A como
suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.
Ejemplo: Descomponer la siguiente matriz como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica:
A=
− 82
50
Solución:
Por el teorema anterior: A= S+K , con S matriz simétrica y K matriz antisimétrica ,
donde :
S= [ ]
=
=
−
+
−
=+
851
510
163
30
2
1
85
20
82
50
2
1
2
1
,
,
AA T
[ ] =−= TAAK
2
1
−
=
−
=
−
−
− 053
530
07
70
2
1
85
20
82
50
2
1
,
,
Entonces: A= S+K = =
−
+
853
530
851
510
,
,
,
,
− 82
50
25
1.3- Determinante
Anteriormente, se asoció a una matriz cuadrada un número real, llamado traza de A.
A continuación, nuevamente a una matriz cuadrada le asociaremos un número real, que se le llama
“determinante”.
El determinante de una matriz se usa en muchas ramas de las matemáticas, y de las ciencias.
Veremos más adelante que el determinante da información acerca de las soluciones de un sistema
lineal y también se utiliza en una fórmula para calcular la inversa de una matriz.
Por ahora solo se define el determinante y se desarrollan sus propiedades.
Nota: Se mostrarán técnicas para calcular un determinante, llegando a la regla general en forma
inductiva. Es decir, que:
Inicialmente, se definirá el determinante de una A ∈ M2x2.
Posteriormente, se definirá el determinante de una A ∈ M3x3 en términos del determinante de A 2x2.
Finalmente, se definirá el determinante de una A ∈ Mnxn, siendo n cualquier valor natural.
I) Determinante de una matriz A ∈ M1x1
Definición: El determinante de una matriz A de 1x1 se denota por |A| o det (A), y es el
número real dado por:
1111 aaA ==
Nota: Si la matriz es de orden 1x1, no confundir su determinante con el valor absoluto de un
número.
II) Determinante de una matriz A ∈ M2x2
Definición: El determinante de una matriz A de 2x2 se denota por |A| o det (A), y es el
número real dado por:
21122211
2221
1211 a.aa.a
aa
aa
A −==
Note que el determinante de una matriz de 2x2 está dado por la diferencia de los productos
de las dos diagonales de la matriz.
Ejercicio: Dadas las matrices:
−
=
42
11
A ,
=
32
21
B , P=
−
−
=
− 102
51
03
04
22 Q,I, x .
Calcule el determinante de ellas.
Solución:
=
−
=
42
11
)A(det 1 . 4 − (−1) . 2 = 4 + 2 ⇒ |A| = 6
==
32
21
)B(det 1 . 3 − 2 . 2 = 3 − 4 ⇒ |B| = −1
det(P)= det
− 03
04
= 4.0 − 0.( −3) =0
26
det( 22xI )= det
10
01
=1.1 −0.0 = 1
det(Q)= det
−
−
102
51
= 1.( −10) − (−5).2 =0
Ejercicio: Calcule el determinante de cada una de las matrices dadas:
=
=
=
−
=
11
11
00
00
40
04
10
058
ROK
,
D
III) Determinante de una matriz A ∈ M3x3
Definición: El determinante de una matriz A ∈ M3x3 es el número real dado por:
==
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
)A(det
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 − (a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a23 a32 a11)
Regla de Sarrus ( sólo para matrices de orden 3x3)
El mismo consiste en agregar las dos primeras columnas de A y se forman los productos de los
elementos que atraviesan las flechas. A las flechas que van de la izquierda superior a la derecha
inferior se les asigna el signo más( son las de trazo simple); y a las otras el signo menos( son las de
trazo doble). A continuación se suman todos los productos con signo:
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
det(A)= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a23 a32 a11
Advertencia: Este esquema de Sarrus no se aplica a los determinantes de orden 4x4, 5x5, y a los de
más alto orden.
27
Ejemplo: Calcule el determinante de :
−
−
−
=
305
234
221
A ,
Solución:
05
34
21
305
234
221
−
−
−
−
−
=A (−1).3.3 +1.(−2).(−5)+2.4.0−2.3.(−5)−0.(−2).(−1)−2.4.3 =17
Ejercicio: Calcule el determinante de :
−−=
300
260
275
B y G=
−
−
000
160
275
. ¿Se observa
algo particular en estas matrices?
1.4- Submatrices. Menor complementario- Cofactor
Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden nxn. El Menor del elemento ubicado en la Fila”i”,
Columna “j”, se denota por Mij , es el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila
i−ésima y la columna j-ésima de la matriz A.
Ejercicio: Determinar los menores complemetarios M11,M12,M13, para :
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Solución:
22313221
3231
2221
13
23313321
3331
2321
12
32233322
3332
2322
11
aaaa
aa
aa
M
aaaa
aa
aa
M
aaaa
aa
aa
M
−==
−==
−==
Definición:Sea A una matriz cuadrada de orden nxn, llamaremos Cofactor del elemento aij se
denota por Cij ; al número dado por la fórmula:
Cij = (−1)i+j . M ij
28
Ejercicio: Determinar los cofactores correspondientes para los menores complemetarios
M11,M12,M13
Solución:
1111
11
11 1 MM.)(C =−=
+
1212
21
12 1 MM.)(C −=−=
+
1313
31
13 1 MM.)(C =−=
+
Nota: Observa que el menor y el cofactor solo difieren en el signo, o son iguales; pues Cij = ± Mij
Ejercicio: Determina el menor y el cofactor de los elementos a11y a32 de la siguiente matriz A.
−
−=
120
214
301
A
Importante : Para la matriz
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , se vio por Sarrus que :
det(A)= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a23 a32 a11
Sacando factor común los elementos de la 1º Fila de A, el det(A) se puede expresar también:
|A| = a11 [a22 a33 − a32 a23] + a12 [a31 a23 −a21 a33 ] + a13 [a21 a32 − a31 a22]
Sacando (-1) factor común en el 2º término, se tiene:
|A| = a11 [a22 a33 − a32 a23] − a12 [a21 a33 −a31 a23] + a13 [a21 a32 − a31 a22]
Aplicando la definición de Menores y Cofactores antes vistas, se tiene
|A| = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13
Nota: Observe que se ha calculado el determinante de una matriz de 3x3, utilizando la
definición de cofactores para los elementos de la 1º Fila de la matriz A.
Ejercicio: Dada la matriz
−
−
−
=
305
234
221
A . Calcular el determinante de A, por el esquema de
Sarrus; luego calcula del determinante de A desarrollado por cofactores de la 1° fila, por los
cofactores de la 2° columna, de la 3° fila, de la 3° columna. ¿Qué observas? ¿Importa la fila o
columna según la cual se desarrolla el determinante?
29
Ahora se puede reformar la fórmula que se definió para el determinante de una matriz A de 3x3, y
expresarlo en términos de los cofactores.
A continuación definimos el determinante para una matriz de orden “n”.
1.5- Desarrollo por Cofactores (Regla de Laplace)
Sea A una matriz cuadrada de orden “n”.
� El determinante de A puede desarrollarse con respecto a la i−ésima fila en términos de
cofactores mediante la fórmula:
|A| = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + ... + ain Cin
o bien, puede ser que:
� El determinante de A, puede calcularse con respecto a la j−ésima columna en términos de
cofactoresmediante la fórmula:
|A| = a1j C1j + a2j C2j + ... + anj Cnj
Nota: Este método de calcular determinantes por medio de cofactores se llama “Desarrollo
por cofactores” o “Desarrollo de Laplace”.
Nota: Al evaluar el determinante, se pueden minimizar las operaciones, si se desarrolla en
términos de la fila o columna que tenga mayor cantidad de ceros.
Ejemplo:
Evalúa el determinante de
−
−
−
=
2010
3010
4012
5327
B , aplicando la Regla de Laplace para la Fila 3
|B| = b31 C31 + b32 C32 + b33 C33 +b34 C34= 0 C31 + 1 C32 + 0 C33 +(−3) C34=1 C32 +(−3) C34�
Donde
121 3232
23
32 −=−=−=−=
+
2-00
402
537
MM.)(C
61 3434
43
34 −=−=−=−=
+
010
012
32-7
MM.)(C
Reemplazando estos valores en �, se tiene:
|B| =1 C32 +(−3) C34=1.(−12)+(−3).(−6)=6
30
Ejercicio:
Evalúa el determinante de
−
−
−
=
2010
3010
4012
5327
B , aplicando la Regla de Laplace para la Columna 3
Observación: Debes advertir que el número de operaciones, y en consecuencia la velocidad del
cálculo se ven afectadas a medida que crece el orden de la matriz. Sin embargo, éstas pueden
minimizarse si se tienen en cuenta las propiedades de la función determinante.
1.6- Propiedades de los Determinantes
Sea A una matriz nxn.
D1− ● A y AT tienen el mismo determinante, en símbolos: det(A)=det(AT).
D2 − ● Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces det (A)=0.
● Si A tiene dos filas (o columnas) iguales, entonces entonces det (A)=0.
● Si A tiene dos filas (o columnas) que son múltiplos entre sí, entonces det (A)=0.
● Si A tiene una fila (o columna) que es igual a la suma de múltiplos de otros dos filas
( columnas), entonces det (A)=0.
D3 − ● Si A es una matriz triangular (superior o inferior), su determinante es igual al
producto de los elementos diagonales. En símbolos:
Si A es triangular ⇒ det (A) = a11 a22 ... ann
D4 − ●Si B se obtiene de A, intercambiando dos filas (columnas) cualesquiera ⇒det (B) = −det (A)
D5 − ●Si B es una matriz que se obtiene de A, multiplicando una de sus filas (columnas) por una
constante k distinta de cero, entonces: det (B) = k det (A)
D6 − ● Si B se obtiene de A, reemplazando la “Fila i” ( Columna i) , por la suma de ella con un
múltiplo de otra fila ( Fi+k.Ft→ Fi, con i ≠ t ) (columna) entonces: det (B) = det (A)
Importante:
Muchas veces se confunden las propiedades D5) y D6). Las operaciones con filas son:
En D5) la operación es : k.Fi→ Fi , con k≠0
En D6) la operación es : Fi+k.Ft→ Fi, con i ≠ t y con k≠0
31
D7 − ● El determinante del producto matricial de AB es igual al producto de los determinantes.
det. (AB) = det (A) det (B)
D8 − ●Si A tiene inversa A−1, entonces det (A) ≠ 0 y ( )
)A(det
1
Adet 1 =−
Hacemos la demostración de esta afirmación:
A tiene inversa A−1 ⇒ A . A−1 = A−1 . A = I
se sabe que: det (I) = 1
( ) ( )
32143421
ℜ∈ℜ∈
−
−
=
=
Adet.Adet1
)A.A(det)I(detLuego
1
1
por D7)
En consecuencia: det (A) ≠ 0 , por lo tanto:
( )1Adet
)A(det
1 −=
D9 − ● det (k.A) =k n. det (A) , con k≠0, siendo n el orden de A
Definición: Se dice que una matriz cuadrada A es singular si det (A) = 0. A es no singular si
det (A) ≠ 0.
1.7- Matriz Adjunta
Definición: Sea A una matriz de nxn , a la matriz cuyo elemento (i,j) es el cofactor Cij se la llama la
Matriz de Cofactores de A, y se la indica Cof(A)
=
nnn2n1
2n2221
1n1211
CCC
CCC
CCC
A)( Cof
L
MLMM
L
L
Definición: Sea A una matriz de nxn , se llama Matriz Adjunta de A, y se denota por adj (A). (o
Adj(A))a la matriz traspuesta de la matriz de Cofactores de A.
( )
==
nnnn
n
n
T
CCC
CCC
CCC
)A(Cof)A(Adj
L
MLMM
L
L
21
22212
12111
32
Ejercicio: Determine la matriz de cofactores de A y la matriz adjunta de A, siendo
−
−=
310
210
412
A
Solución: Planteemos los 9 cofactores :
1
31
21
1 1111
11
11 =−
−
==−= + MM.)(C
0
30
20
1 1212
21
12 =−
−=−=−= + M M.)(C
0
10
10
1 1313
31
13 =
−
==−= + MM.)(C
7
31
41
1 2121
12
21 =−
−=−=−= + M M.)(C
Además :
C22 = −6 C23 = −2
C31 = 6 C32 = 4 C33 = −2
Luego la matriz de cofactores es : Cof(A)=
−
−−
246
267
001
Adj(A)=(Cof(A))T=
−−
−=
−
−−
220
460
671
246
267
001
T
Ejercicio: Determine las matrices de cofactores y la adjunta para ,A
−
−−
531
241
302
Propiedad: La suma de los productos de los elementos de cualquier fila (columna) se multiplican
por los cofactores correspondientes de una fila (columna) diferente, es cero.
Demostración:
Consideremos la matriz A=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
33
Multipliquemos los elementos de la Fila 3, por los cofactores de la Fila 1, se tiene que :
133312321131 CaCaCa ++ �
Nos preguntamos por el valor de esta expresión
Donde
−==
−=−=
−==
22313221
3231
2221
13
33212331
3331
2321
12
32233322
3332
2322
11
aaaa
aa
aa
C
aaaa
aa
aa
C
aaaa
aa
aa
C
Si construimos una matriz B, a partir de A, con las Filas 3 y 1 iguales, esto es :
B=
=
333231
232221
333231
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
bbb
bbb
bbb
Luego desarrollando el determinante de la matriz B por la Fila 1, se tiene que :
13*1312
*
1211
*
11 CbCbCbB ++= =0 � ( pues B tiene dos Filas iguales )
13*3312
*
3211
*
3113
*
1312
*
1211
*
11 CaCaCaCbCbCbB ++==++= 0
Donde
−==
−=−=
−==
22313221
3231
2221
13
*
33212331
3331
2321
12
*
32233322
3332
2322*
aaaa
aa
aa
C
aaaa
aa
aa
C
aaaa
aa
aa
C 11
donde 13CCy CC , CC 13
*
1212
*
1111
* === �
Luego reemplazando � en � :
133312321131 CaCaCa ++=0
Con lo cual hemos podido dar respuesta a �.-
Teorema : Sea A una matriz nxn. Entonces: A . Adj (A) = det (A) . In = Adj (A) . A
Demostración: COMPLETAR PARA EXAMEN FINAL
34
1.8- Inversa de una matriz a través de la Adjunta
Teorema: Una matriz A de nxn es invertible sí y solo sí det (A) ≠ 0
Teorema: Sea A una matriz invertible ⇒ )A(adj.
|A|
1
A 1 =−
Demostración:
Por un teorema anterior, se vio que :
A . Adj (A) = det (A) . In �
Además si A es regular , entones det(A)≠ 0 �
Entonces si pasa �, dividamos por : det(A) a ambos lados en �
=
)Adet(
)A(Adj.A .
)Adet(
I).Adet( n , simplificando , se tiene :
nI)Adet(
)A(Adj
.A =
Aplicando el Teorema de la Unicidad de la matriz inversa, se tiene que: A-1 =
)Adet(
)A(Adj
Ejercicio: Anteriormente se vio que la matriz Adj(A)=
−−
−
220
460
671
, siendo
−
−=
310
210
412
A ,
analizar si A es regular y en caso afirmativo hallar A-1Solución:
det(A) = 2
310
210
412
=
−
−det ≠ 0, entonces A es regular, es decir existe A-1.
Utilizando la fórmula de cálculo para matriz inversa,
A-1 =
)Adet(
)A(Adj
=
−−
−=
−−
−
110
230
3
220
460
671
2
1
2
7
2
1
35
Ejercicio : Resta comprobar que A . A−1 = A−1 . A = I, para
−
−=
310
210
412
A y
−−
−=−
110
230
32721
1A
Ejercicio: Determine A-1, utilizando la fórmula de cálculo para inversa, siendo:
−
−−=
531
241
302
A y
teniendo en cuenta que: det (A) = 25 , Cof (A) =
−
−
−
8112
679
1314
Ejercicio: Determine, de ser posible, la inversa de la matriz de coeficientes correspondiente al inciso
C) de la introducción de matrices.
Nota: Aunque el método del ejemplo precedente es razonable para invertir manualmente una
matriz de orden 3x3, este no es un algoritmo eficaz cuando el orden de la matriz es mayor o igual a
cuatro, pues el volumen de cálculo para determinar los nxn cofactores es muy grande si n=4 ó n=5,
etc; y además se produce arrastre de errores de redondeo si det(A) es un número “muy pequeño” o “
muy grande”.
Sin embargo la fórmula )A(Adj.
|A|
1
A 1 =− es una fórmula real, útil para obtener propiedades de
la inversa. Por ejemplo, con el uso de dicha fórmula se puede:
Teorema: Una matriz triangular es invertible (no singular) sí y solo sí todos sus elementos
diagonales son diferentes de cero.
Teorema: La inversa de una matriz triangular inferior (superior) , con todos los elementos
diagonales no nulos, es una matriz triangular inferior (superior)
1.9- Matriz Escalonada por Renglones
Paso 1: Las filas con todos los elementos nulos ( ceros) deben estar ubicadas en la parte inferior de
la matriz.
Paso 2: Toda fila que no tiene todos sus elementos ceros, la primera entrada distinta de cero que
llamaremos elemento principal, se encuentra en una columna más a la izquierda de cualquier otra
entrada principal de otra fila inferior.
Si la matriz verifica los Pasos 1 y 2, se dice “ Matriz Escalonada por Renglones”
36
Ejercicio: Analizar cuales de las siguientes matrices es “ Matriz Escalonada por Renglones”
−−
=
6700
3150
0902
A ,
−
=
0000
0000
5400
8021
B ,
−
−
=
000000
900000
740000
151300
310020
C ,
−
=
412
130
210
D ,
−−
=
6700
0000
0902
E
Solución:
−−
=
6700
3150
0902
A es “ Matriz Escalonada por Renglones”
−
=
0000
0000
5400
8021
B es “ Matriz Escalonada por Renglones”
−
−
=
000000
900000
740000
151300
310020
C es “ Matriz Escalonada por Renglones”
−
=
412
130
210
D NO es “ Matriz Escalonada por Renglones”, pues no verifica Paso2.-
−−
=
6700
0000
0902
E NO es “ Matriz Escalonada por Renglones”, pues no verifica Paso1.-
1.10- Operaciones Elementales sobre filas en una Matriz A
(Estas operaciones también se pueden enunciar para las columnas de A).
O1 − Intercambiar la fila “i” con la fila “j” en A.
Fi → Fj , para i ≠ j
O2 − Reemplazar una Fila, por un múltiplo escalar de ella, considere una constante k ≠ 0
37
*FF
k
*FFk iiii →→
1
O3 − Sumar a una “fila i” un múltiplo escalar de otra fila diferente
ti ,k con*,FFkF
ti ,k con*,FFkF
iti
iti
≠≠→−
≠≠→+
0
0
Ejercicio: Obtener desde
−
412
130
210
una Matriz Escalonada por Renglones, aplicando las
operaciones elementales entre filas
Solución:
−
412
130
210
∼
− 210
130
412
∼
3
700
130
412
“ Matriz Escalonada por Renglones”
13 FF → * 323 3
1
FFF →+ *
Ejercicio: Obtener desde
−
−
−
5310
0321
2010
4012
una Matriz Escalonada por Renglones
Definición: Una matriz Amxn es equivalente por filas a una matriz Bmxn; si B resulta de A mediante
una sucesión finita de operaciones elementales sobre las filas de A.
Nota: Vinculo entre operaciones Elementales sobre filas y valor de determinante
Si entre 2 matrices cuadradas A y B equivalentes sólo se aplicó:
a) Una serie de operaciones elementales del tipo:
ti ,k con*,FFkF iti ≠≠→± 0 , entonces det(A)=det(B)
b) Si se aplica una única vez una operación del tipo :
Fi → Fj , para i ≠ j , entonces det(A)= − det(B)
38
c) Si se aplica una única vez una operación del tipo :
0≠→ k con*FFk ii , entonces det(A)= k. det(B)
1.11- Rango de una matriz Amxn
Llamaremos rango de la matriz A y lo indicaremos con rang(A) ó rg(A) , al número de filas no
nulas de una Matriz Escalonada por Renglones equivalente con A.
Ejercicio : Para la siguientes matrices A, B, C, se dan sus Matriz Escalonada por Renglones
equivalentes, a partir de ellas determinar el rango.
A=
−
−
412
310
210
∼
3
700
130
412
⇒ rang(A)=3
B=
−
−
−
5310
0321
2010
4012
∼
−
−
0000
7300
2010
4012
⇒ rg(B)=3
C=
−
−−
000000
000000
000000
154000
311020
⇒ rg(C)=2
D=
−
−
−
303
234
221
∼
−
11
3
00
6110
221
⇒ rg(D)=3
Ejercicio: Indicar el rango de las matrices:
A=
−
−
−
5310
0321
2010
4012
; B=
−
412
130
210
Propiedad: El rango de A = rango de AT.
39
1.12- Inversa de una Matriz, con la aplicación de Operaciones elementales.
Nota: A continuación se enunciará un procedimiento de cómputo a partir del cual, se pueden
determinar la matriz inversa de una matriz de cualquier orden.
1.12.1- Algoritmo para Invertir una Matriz, con Operaciones elementales.
Dada una matriz A de nxn, para determinar A−1, si existe, ejecute los siguientes pasos.
Paso 1 − Escriba la “Matriz ampliada” [ ]IA M
Paso 2 − Obtenga la Matriz Escalonada por Renglones equivalente de la matriz del Paso 1, por la
aplicación de operaciones elementales sobre las filas, obteniendo así una nueva matriz. [ ]CBM
Paso 3 − Ahora controle lo siguiente: Si B tiene un renglón de ceros, “deténgase”. A no es
invertible.
De lo contrario continúe con el proceso de escalonamiento hasta obtener la “Matriz
Ampliada” que se encuentra en la forma [ ]1AI −M .
Ejemplo : Determine la matriz inversa por el algoritmo de reducción de la forma [ ]IA M a [ ]1AI −M ,
para A=
−
−
−
303
234
221
, det(A)= −3 ≠ 0
A=
−
−
−
303
234
221
I=
100
010
001
−−
−
360
6110
221
− 103
014
001
212 4 FFF →+ *
313 3 FF)(F →−+ *
−
11
300
6110
221
− 1
014
001
11
6
11
9
3211
6
3 FFF →+ *
−−
100
10
221
11
6
−
−
3
11
11
1
11
4
23
0
001
111 FF)( →− *
2211
1 FF → *
333
11 FF → *
40
−
100
010
021
−
−−
−
3
11
3
22
23
212
47
2311
6
2 FF)(F →−+ *
131 2 FFF →+ *
100
010
001
=I
−
−−
−
3
11
3
10
23
212
23
=A-1
121 2 FFF →+ *
Ejercicio: Dadas las matrices A1 y A2, determine si existe la matriz inversa por el algoritmo de
reducción de la forma [ ]IA M a [ ]1AI −M .
−−
−=
=
641
232
011
A
801
352
321
A 21
-*-*-*-*-*-*-
ÁLGEBRA LINEAL
UNIDAD 2- Sistemas de Ecuaciones Lineales
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
LIC. EN GEOFISICA - LIC. EN ASTRONOMIA
Año: 2018
2
Sistemas de Ecuaciones Lineales
I- Objetivos Específicos
Al finalizar la unidad se espera que el alumno sea capaz de:
• Relacionar el concepto de matriz y determinante con el de resolución
de sistemas de ecuaciones lineales.
• Interpretar la discusión analítica y gráfica de un sistema de dos y tres
ecuaciones lineales con dos y con tres incógnitas.
• Interpretar correctamente problemas de aplicación (geofísicos,
astronómicos) y modular dichos problemas en términos de un sistema
de ecuaciones lineales.
• Inferir el tipo de solución que puede tener el sistema de ecuaciones
homogéneo o no homogéneo planteado.
• Resolver correctamente sistemas de ecuaciones lineales aplicando los
métodos de:
a- Leibnitz-Cramer
b- Matricial
c- Eliminación de Gauss
d- Eliminación de Gauss-Jordan
• Manejar con habilidad algún programa de computación para resolver
sistemas de ecuaciones lineales.
II- Contenidos.
Presentación de sistemas de ecuaciones lineales como modelización matemática de
problemas reales vinculados con la Geofísica y con la Astronomía. Definición de
ecuación lineal en n-variables. Definición de Sistema de Ecuaciones Lineales en forma
general. Simbolismo. Expresión matricial. Clasificación de los sistemas de ecuaciones
lineales (de acuerdo al número de ecuaciones, incógnitas, solución, términos
independientes): cuadrados, rectangulares, homogéneos. Conjunto solución.
Interpretación geométrica del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales de
dimensión dos por dos y de tres por tres. Sistemas equivalentes. Representación
matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Matriz ampliada del sistema lineal.
Interpretación del conjunto solución del sistema por el análisis de los rangos de matriz
de coeficientes y de matriz ampliada del sistema (Teorema de Roche-Frobenius).
Solución de un sistema de ecuaciones lineales (número de ecuaciones igual al número
de incógnitas) mediante: Método de Leibnitz-Cramer (aplicación de determinantes en
sistema no homogéneo), Método Matricial (aplicación de la matriz inversa). Algoritmo
(métodos iterativos) para determinar el conjunto solución de un sistema lineal en
general: Método de Eliminación de Gauss, y la modificación del mismo denominada
Eliminación de Gauss-Jordan.
Aplicaciones a miniproyectos que involucran temas de la física, química, geofísica,
astronomía, ajuste de curvas, etc.
3
Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL)
Un sistema lineal de m−ecuaciones con n−incógnitas (variables) x1, x2, ... ,xn; es un
conjunto de m−ecuaciones lineales con n−incógnitas de la forma:
A
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
n
bxaxaxa
bxaxaxa
bxnaxaxa
L
LLLLLLLLLLLLLL
L
L
1211
22222121
11212111
Los números aij , i ∈{1, ... , m} j ∈ {1, ... , n} son los “coeficientes” del sistema; y
b1, b2, ... bm son los “términos constantes”.
Si todos los términos constantes son cero, el sistema se llama “ Sistema Lineal
Homogéneo (SELH)” . Cuando este último (SELH) tiene los mismos “coeficientes” que
el sistema A, se dice que está asociado con A.
Ejemplos:
a)
−=+−
=++
14
832
21
321
xx
xxx
Es un SEL con 2 ecuaciones y 3 incógnitas : x1,x2,x3
En la Primer ecuación los coeficientes son : 2,3,1 y el término independiente es 8
En la Segunda ecuación los coeficientes son : -4,1,0 y el término independiente es -1
b)
=−−
=+
=+
06
062
0
wy
wy
wy
Es un SEL con 3 ecuaciones y 2 incógnitas : y,w
En la Primer ecuación los coeficientes son : 1,1 y el término independiente es 0
En la Segunda ecuación los coeficientes son : 2,6 y el término independiente es 0
En la Tercer ecuación los coeficientes son : -6,-1 y el término independiente es 0
Es un Sistema Lineal Homogéneo -SELH.
Solución de un Sistema Lineal
Una n-upla de números reales ( r1, r2, ... , rn) se llama “solución particular” del sistema
A, si reemplazados x1 = r1 ; x2 = r2 ; ... ; xn = rn satisfacen simultáneamente las m-
ecuaciones del sistema A
El conjunto de todas las soluciones posibles es el “Conjunto solución del SEL”.
Cualquier elemento genérico del conjunto solución se lo llama “Solución General”.
Si todas las componentes de la solución particular son cero, la solución se llama Trivial
4
Ejemplo: Analice si ( r1, r2, r3) =( -15, 6, -1) es una “solución particular” del siguiente
SEL:
=+−
−=−+
−=+
96
10232
32
31
321
21
xx
xxx
xx
En efecto:
=−+−−
−=−−+−
−=+−
91615
101263152
36215
)(*)(
)(**)(*
*
Como se satisfacen las 3 ecuaciones simultáneamente, entonces: ( r1, r2, r3) =( -15, 6, -
1) es una “solución particular” del sistema.
Ejercicio: Obtenga la solución general y 2 particulares del siguiente SEL:
=++
=−+
2
53
321
431
xxx
xx4 x
De la ecuación segunda → 321 2 xxx −−=
Reemplazando en la primera → 5423 4332 =−+−− xx)xx(
Operando y despejando la última incógnita se tiene: 324 31 xxx +−=
Luego la Solución General es : X=
+−
−−
=
32
3
2
32
4
3
2
1
31
2
xx
x
x
xx
x
x
x
x
∗ Para 01 32 == x,x → X1=
−
=
2
0
1
1
4
3
2
1
x
x
x
x
es un solución particular pues :
=++
=−−+
2011
5213 )(0*4 *
Pues se satisfacen las 2 ecuaciones simultáneamente.
5
∗ Para 12 32 =−= x,x → X2=
−
=
8
1
2
3
4
3
2
1
x
x
x
x
es un solución particular pues :
=+−+
=−+
2123
5833
)(
1*4 *
Pues se satisfacen las 2 ecuaciones simultáneamente.
Ejercicio: Obtener y verificar 3 soluciones particulares del SEL anterior.
Representación Matricial de un SEL
Se puede abreviar la notación algebraica de un SEL, utilizando una “representación
matricial” del mismo.
Así, el sistema lineal A
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
n
bxaxaxa
bxaxaxa
bxnaxaxa
L
LLLLLLLLLLLLLL
L
L
1211
22222121
11212111
se puede escribir en
representación algebraica, en la forma:
321
M
321
M
4444 34444 21
L
MOMM
L
L
1mx
m
2
1
1nx
n
2
1
mn
mn2m1m
212221
n11211
B
b
b
b
X
x
x
x
A
aaa
aaa
aaa
=
A la expresión A.X = B se la denomina Ecuación Matricial del SEL.
A la matriz Amn se la denomina Matriz de Coeficientes.
A la matriz Xn1 se la denomina Matriz de Incógnitas.
A la matriz Bm1 se la denomina Matriz de Términos Independientes.
También se puede describir completamente el SEL por medio de la “Matriz
Aumentada” o “Matriz Ampliada” del sistema.
( )
==
m
2
1
mn2m1m
212221
n11211
*
b
b
b
aaa
aaa
aaa
AB
A
M
L
MOMM
L
L
6
Ejemplo : La representación matricial del sistema
=+−
−=−+
−=+
96
10232
32
31
321
21
xx
xxx
xx
, es:
{ 32144 344 21
B
9
10
3
X
x
x
x
A
601
232
021
3
2
1
−
−
=
−
− o también:
444 3444 21
=
−
−
−
−
B
A*A
9
10
3
601
232
021
Ejercicio: Determine la representación matricial AX = B y por la matriz ampliada
A* = ( )BA para los siguientes SEL.
=−+−
=
=+
−=+−
9cba5
3b5
0b7a
1cb2a3
=−+
=+
=−
0zyx5
0zx3
0yx
Observación gráfica
Consideremos los sistemas, sus matrices ampliadas , rango y gráfico en 2-D :
a)
=−
=+
4
1
yx
yx
→
− 411
111
:
:
∼
− 320
111
:
:
→Datos: rg(A)=2; rg(A*)=2 ;
nº de incog=2
EL SEL tiene solución única
7
b)
=+
=+
222
1
yx
yx
→
222
111
:
:
∼
000
111
:
:
→Datos: rg(A)=1; rg(A*)=1 ;
nº de incog=2
EL SEL tiene infinitas soluciones
c)
−=+
=+
422
1
yx
yx
→
− 422
111
:
:
∼
− 600
111
:
:
→Datos: rg(A)=1; rg(A*)=2 ;
nº de incog=2
EL SEL no tiene solución
Ejercicio : Desde el análisis del gráfico en 2-D , sus matrices ampliadas , rango , indique
el tipo de solución de los siguientes SEL:
−=+
=+
422
13
yx
yx
−=+
=+
4
3
1
13
yx
yx
=+
=+
226
13
yx
yx
−=+
=+−
422
1042
yx
yx
8
Teorema (Rouche −−−− Frobenius)
Es posible demostrar que un SEL tiene solución sí y solo sí rango A = rango A*
� Si además rango A = rango A* = número de incógnitas , entonces el SEL tiene
solución “única” .
� Sí rango A = rango A* < número de incógnitas , el SEL tiene un número
“infinito” de soluciones
En este caso se verifica:
Número de variables libres = número de incógnitas − rango A
Cuando rango A ≠ rango A* entonces el SEL no tiene solución .
Nota: En el caso de Sistemas Lineales Homogéneos AX = 0, siempre ocurre que:
rango A = rango A*, el sistema homogéneo “siempre tiene solución”. Entonces:
� Si rango A = rango A* = número de incógnitas, el SELH tiene solución
única, que es la “solución trivial”, es decir x1 = x2 = .... = xn = 0
� Si rango A = rango A* < número de incógnitas entonces el SELH tiene
“infinitas” soluciones.
Ejercicio : Aplicar el Teorema de Rouche- Frobenuis a los siguientes SEL,
representados por su matriz ampliada
a)
−
−
9150
5431
4321
:
:
:
b)
−
0930
0311
0021
:
:
:
En efecto , hallamos matrices equivalentes
a)
−
−
9150
5431
4321
:
:
:
∼
−
10000
1150
4321
:
:
:
→rango A = 2 ; y rango A* =3
Entonces el SEL no tiene solución
b)
−
0930
0311
0021
:
:
:
∼
−−
0000
0310
0021
:
:
:
→rango A = 2 ; y rango A* =2 y nº de
incóg=3
Entonces el SELH tiene infinitas soluciones
c)
−
01030
0311
0021
:
:
:
∼
−−
0100
0310
0021
:
:
:
→→rango A = 3= rango A* =nº de incóg
Entonces el SELH tiene única solución y es la trivial.
9
Ejercicio: Las siguientes matrices, representan la matriz ampliada A* de sistemas
lineales. Aplique el teorema de Rouche − Frobenius y determine que tipo de solución
admite el sistema al cual representan.
−
−=
5
3
1
410
201
131
A*1
−=
0
0
0
331
311
021
A*2
−
−=
6
5
4
712
431
321
A*3
Método Matricial para resolver la ecuación matricial
Si en la ecuación matricial, el número de incógnitas y ecuaciones es el mismo, la matriz
de coeficientes es una matriz cuadrada.
Y si la matriz A (de coeficientes) de dicho sistema es una matriz no singular, (regular :
det(A)≠0 ) es decir que admite matriz inversa, se puede trabajar sobre la ecuación
matricial:
A . X = B
A−1 A X = A−1 B Premultiplicando por A−1
I X = A−1 B Por sea A invertible
| X = A−1 B Por propiedad de la identidad
X = A−1 B Fórmula que permite obtener la Matriz de las
Incógnitas.
Ejemplo: Hallar la solución del siguiente sistema, por método matricial :
−=−+−
=−
=−−
24
23
6823
cba
ca
cba
, sabiendo que la inversa de la matriz de coeficientes
es:
−−
−−
−−
2
1
2
51
4
1
4
111
2
3
2
173
Ecuación Matricial:
−
=
−−
−
−−
2
2
6
141
301
823
c
b
a
Por método matricial : X=A-1.B=
=
−
−−
−−
−−
0
0
2
2
2
6
2
1
2
51
4
1
4
111
2
3
2
173
10
Ejercicio: Dados los siguientes SEL encuentre, si es posible, la solución, aplicando el
método matricial.
a)
=−+
=++
=++
4z2yx3
24z6y5x4
18z6y4x2
b)
=−+−
−=−
=+−
5cb4a
6c3a
12c8b2a3
c)
=+
=+
2by2x5
by3x 1 cuando
=
=
=
=
6
5
4
3
2
1
2
1
b
b
;
b
b
Observaciones Generales de la técnica matricial
Ventajas: Es útil para resolver sistemas de Ecuaciones Lineales Simultáneos (es decir
AX = B1 ; AX = B2 , ..... , AX = Bn , donde se mantiene la matriz de coeficientes y varía
la matriz de términos independientes).
Desventajas: Solo se puede aplicar a sistemas lineales que presentan igual número de
ecuaciones que de incógnitas. An n Xn1=Bn1
El cálculo de la matriz inversa es complicado cuando n ≥ 4.
Tiene acumulación de errores de redondeo.
Por lo anterior, se hace necesario presentar otro método que también permita encontrar
la solución de un SEL en caso de que dicho sistema tenga solución, pero es mucho más
eficiente que el anterior pues es aplicable a sistemas lineales en general.
Además, a medida que se lo aplica brinda información relacionada al sistema.
Frecuentemente a este método de lo denomina:
Método de Leibnitz-Cramer
Sea el SEL, AX = B un sistema de n−ecuaciones lineales con n−variables, tal que
0A)Adet( ≠= . El sistema tiene una solución única dada por:
A
A
x 11 = A
A
x 22 = .............. A
A
x nn =
donde iA es el determinante de la matriz Ai que se obtiene sustituyendo la columna i
de la matriz A por la matriz columna B.
Nota: La importancia de esta regla de Cramer es que da una fórmula para la solución
de SEL que tienen solución única.
En la práctica, cuando se tienen sistemas lineales de alta dimensión (n > 3) no es útil
esta regla.
Ejemplo: Aplicar el Método de Leibnitz- Cramer , para resolver
=−+−
=−
=−−
04
03
2823
cba
ca
cba
Ecuación Matricial:
−
=
−−
−
−−
2
2
6
141
301
823
c
b
a
y det(A)= - 4≠011
6
4
140
300
822
−=
−
−
−
−−
=a
2
4
101
301
823
−=
−
−−
−
−
=b
2
4
041
001
223
−=
−
−
−
=c
Luego la solución del SEL , es
−
−
−
=
=
2
2
6
c
b
a
X
Ejercicio: Resuelva, en caso de ser posible, el siguiente sistema de ecuaciones usando
el Método de Leibnitz- Cramer
=++
−=++
−=+−
632
552
23
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Método de Eliminación de Gauss
Dado un SEL A
=+++
=+++
=+++
mnmn12m11m
2nn2222121
1n1212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxnaxaxa
L
LLLLLLLLLLLLLL
L
L
Si le aplicamos operaciones elementales entre filas en su matriz ampliada A* del SEL,
obtenemos una matriz escalonada por renglones que es equivalente a ella, que genera un
SEL “equivalente“ al sistema ( es decir que ambos tienen el mismo conjunto solución).
Para aplicar el método, previamente definimos:
Sistemas Equivalentes: Dos o más SEL se llaman “sistemas equivalentes”, si ambos
sistemas admiten el mismo “conjunto solución”.
12
Breve descripción del Algoritmo del Método de Gauss
Lo explicaremos sin pérdida de generalidad sobre un SEL genérico de 3 ecuaciones con
3 incógnitas:
Dado un SEL de la forma:
I
=++
=++
=++
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Cuya representación matricial es: AX = B
Paso 1: Se escribe la matriz ampliada del sistema
( )
==
3333231
2232221
1131211
*
b:aaa
b:aaa
b:aaa
B
AA
Paso 2: Aplicando operaciones elementales en las filas para obtener la matriz
escalonada por renglones equivalente a A* ,de la forma:
=
333
22322
1131211
**
k:t00
k:tt0
k:ttt
A
donde puede observarse que la parte izquierda de la matriz de la partición tiene registros
ceros debajo se la “diagonal principal” (si es que la matriz A fue originalmente una
matriz cuadrada); es decir que la matriz A de coeficientes original del sistema I , se
transforma en una matriz escalonada por renglones.
En consecuencia, el sistema I se transforma en el sistema T.X = K (representación
matricial), donde T, la matriz nueva de coeficientes del sistema, es “equivalente” con la
matriz A, por lo tanto los sistemas son “equivalentes”.
Paso 3: Escribiendo algebraicamente el sistema T.X = K,
=
=+
=++
3333
2323222
1313212111
kxt
kxtxt
kxtxtxt
Es muy sencillo obtener el valor de las incógnitas → si t33≠0, se tiene :
33
3
3 t
k
x =
Reemplazando en la 2da. ecuación :
13
2
33
3
23222 kt
k
.tx.t =+ → si t22≠0, se tiene :
22
33
3
232
2 t
t
k
.tk
x
−
=
Luego reemplazando ambos despejes en la 1er. ecuación:
t 1
33
3
13
22
33
3
232
12111 kt
k
.t
t
t
k
.tk
.tx.t =+
−
+ → si t11≠0, se tiene :
11
33
3
13
22
33
3
232
121
1 t
t
k
.t
t
t
k
.tk
.tk
x
−
−
−
=
Es decir , se obtiene el conjunto solución X=
3
2
1
x
x
x
mediante “sustitución regresiva”.
Ejemplo: Si el sistema lineal dado fuese:
=++
=−+
−=−
13x2x5x4
7xx3x2
5x3x
321
321
32
Cuya matriz ampliada es:
−
−
−
=
13
7
5
254
132
310
A* ∼
−
−−
−
6
5
7
100
310
132
Luego de la aplicación del método de Gauss se obtiene el sistema lineal equivalente a
A*, el cual expresado algebraicamente tiene la siguiente forma:
−=
−=−
=−+
6x
5x3x
7xx3x2
3
32
321
desde el cual, mediante “sustitución regresiva” ,se obtiene el conjunto solución
X=
3
2
1
x
x
x
=
−
−
6
23
35
14
Ejemplo: Si el sistema lineal dado fuese:
=++
=−−+
−=+−
13x3x5x4
7xxx3x2
5x2x3x
321
4321
432
Cuya matriz ampliada es:
−
−−
−
=
13
7
5
0354
1132
2310
A * ∼
−
−−
−−
6
5
7
4200
2310
1132
(Por el Teorema de Rouché-Frobenius : rg(A)=rg(A*)=3<nº de incóg=4, el SEL tiene
infinitas soluciones)
Luego de la aplicación del método de Gauss se obtiene el sistema lineal equivalente a
A*, el cual expresado algebraicamente tiene la siguiente forma:
−=+
−=+−
=−−+
6x4x2
5x2x3x
7xxx3x2
43
432
4321
desde el cual, mediante “sustitución regresiva” ,se obtiene la solución general X=
4
3
2
1
x
x
x
x
=
−−
−−
+
4
4
4
4
x
x23
x814
x5,1123
Ejercicio: Analice por el Teorema de Rouché-Frobenius, si los siguientes sistemas
lineales tienen solución. En caso afirmativo, hállela por método de Eliminación de
Gauss. Anote las observaciones que resultan interesantes en cada sistema en particular.
=−+
=++
=++
4x2xx3
24x6x5x4
9x3x2x
321
321
321
=−+
=−+
−=−
10x2x5x4
7xx3x2
5x3x
321
321
32
−=−
−=−
−=+−
5zx
4z2y
1zyx
=++
=++
=+++
30e12b7a2
24c6b5a4
18ed6b4a2
15
Método de Eliminación de Gauss−−−− Jordan
El método de Gauss − Jordan consiste básicamente en transformar la matriz ampliada
A* en una matriz “escalonada por renglones reducidos”.
Para ello definimos:
La matriz A de dimensión mxn se llama escalonada reducida por renglones, si:
1. Es escalonada por renglones
2. El primer elemento no nulo de cada fila no nula, es igual a uno.
3. Cada columna de A que tiene el primer elemento no nulo de alguna fila, tiene
todos sus otros elementos nulos.
Ejemplos
=
100
010
001
M1 Es una matriz escalonada reducida por renglones
=
100
001
M 2 Es una matriz escalonada reducida por renglones
=
0001
0010
0100
M 3 No es una matriz escalonada reducida por renglones,
pero por operaciones elementales se puede hallar su equivalente matriz escalonada
reducida por renglones, que es
0100
0010
0001
Algoritmo de Gauss −−−− Jordan
( Lo aplicaremos para SEL con igual número de ecuaciones que incógnitas)
• Si el SEL tiene solución única, el algoritmo sigue los siguientes pasos:
Paso 1: Escribir la matriz A* (matriz ampliada).
Paso 2: A partir de la matriz A* , aplicar el algoritmo del método de eliminación de
Gauss y obtener la matriz escalonada por renglones , equivalente A**.
Paso 3: Desde A**, obtener la matriz escalonada reducida por renglones A***,usando
operaciones elementales en los renglones . Esto se logra creando columna
por columna, empezando con la primera columna los unos principales y
después los ceros sobre y debajo de cada uno principal.
Con esto A***, tiene la forma [ I : X], es decir en A***, la parte de la matriz
de coeficientes tendrá los mismos registros que la matriz identidad.
Paso 4: Escribir el sistema de ecuaciones correspondientes a la forma escalonada
reducida por renglones.
Paso 5: Interpretar la solución obtenida.
16
• Si el SEL no tiene solución , o tiene infinitas soluciones, nunca en el Paso 3,
se puede obtener en la parte izquierda de A***, a la matriz I.
Ejemplo: Si el sistema lineal dado fuese:
=++
=−+
−=−
13x2x5x4
7xx3x2
5x3x
321
321
32
Paso 1: Escribir la matriz
−
−
−
=
13
7
5
254
132
310
A*
Paso 2: Aplicar el algoritmo del método de eliminación de Gauss y obtener la matriz
escalonada por renglones , equivalente A**.
A**=
−
−−
−
6
5
7
100
310
132
.
Paso 3:
−
−−
−
6
5
7
100
310
132
∼
−
−
6
23
1
100
010
032
∼
−
−
6
23
70
100
010
002
∼ ***A
6
23
35
100
010
001
=
−
−
F2+3F3→F2* F1-3F2→F1* ½F1→F1*
F1+F3→F1*
Paso 4: Escribir el sistema de ecuaciones correspondientes a la forma escalonada
reducida por renglones
−=
−=
=
6x
23 x
35 x
3
2
1
Paso 5: La solución obtenida : X=
3
2
1
x
x
x
=
−
−
6
23
35
.
Ejercicio: Resuelve, en caso de ser posible, los siguientes SEL aplicando el método de
Gauss − Jordan
=−+
=+−
=+−
1xx2x3
6x2x5x2
7xx2x
321
321
321
=−−
=+−
=+−
7x1x5x3
7x4xx2
9x3x3x3
321
321
321
17
Observaciones:
Propiedad: Un sistema SELH: AX = 0 que tiene más incógnitas que ecuaciones posee
infinitas soluciones.
Corolario : Una condición necesaria y suficiente para que el SELH: AX = 0 de
n−ecuaciones con n−incógnitas tenga infinitas soluciones es que det A = 0
Nota: Para comprobar si los cálculos están bien efectuados, se puede utilizar la
siguiente “ecuación de control”, en la matriz original del sistema primitivo dado.
∑∑∑∑
====
=+++
m
1i
i
m
1i
imm
m
1i
2i2
m
1i
1i1 baxaxax L
Ejercicio: Resuelva y determine el conjunto solución del sistema:
=+−
=+−+
0d5b2
0dc3ba2
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
1
Unidad N° 3
ESPACIOS VECTORIALES REALES
Definición: Sea V un conjunto de elementos en el que se consideran dos operaciones
definidas, a una la llamaremos “suma” y a la otra “producto por un escalar”, tal que:
• Para cualquier par de elementos de V, la “suma” de los mismos es también un
elemento de V.
• Dado cualquier elemento de V y un número Real cualquiera, el “producto” entre
ellos es otro elemento de V.
Entonces ),,( ⋅+V es un “Espacio vectorial real” (EVR) si verifica los siguientes diez
axiomas:
Suma:
A1) Para todo Vx∈
→
, y para todo Vy ∈
→
, la suma
→→
+ yx V∈ . (OBI)
A2)
→→→→
+=+ xyyx para todo
→→
y,x V∈ . (Conmutativa)
A3) )zy(xz)yx(
→→→→→→
++=++ para todo
→→→
z,y,x V∈ . (Asociativa)
A4) Existe en V un elemento V∈
→
0 (llamado neutro o nulo), tal que =+=+
→→→→
xx 00
→
x ,
cualquiera sea Vx∈
→
.
A5) Para cada Vx∈
→
existe V)x( ∈−
→
(llamado opuesto de
→
x ), tal que
=+−=−+
→→→→
x)x()x(x
→
0 .
Producto por un escalar:
A6) Para todo Vx∈
→
, para todo ℜ∈α , entonces ⋅α Vx∈
→
. (OBI)
A7) Para todo
→→
y,x V∈ , y para todo ℜ∈α , entonces
→→→→
⋅+⋅=+⋅ yxyx ααα )( .
(Distributiva)
A8) Para todo Vx∈
→
, y para todo ℜ∈βα , ,
→→→
⋅β+⋅α=⋅β+α xxx)( . (Distributiva)
A9) Para todo Vx∈
→
, y para todo ℜ∈βα , , )x(x) .(
→→
⋅β⋅α=⋅βα . (Asociativa)
A10) Para todo ,
→→
=⋅ xx1 . (Unidad)
Observaciones:
• Los elementos de un EVR se llaman vectores, pero no son simplemente los que
se trabajan en Geometría Analítica.
• Un EVR es un conjunto de V no vacío pues al menos tiene un elemento, el
vector nulo
→
0 (como lo afirma A4). Además las operaciones "Suma" y
"Producto por un escalar" (“+” y “ .” ) son cerradas (como lo afirma A1 y A6),
también la + es asociativa y conmutativa por A3 y A2 y valen la leyes
distributivas por los axiomas A7 y A8.
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
2
Ejemplo de EVR:
Para trabajar en EVR tenemos que tener en claro lo siguiente:
1. La definición de las dos operaciones: "suma" y "producto por un escalar".
2. La expresión del vector nulo.
3. La expresión del vector opuesto para cada vector del EVR.
4. Verificar el cumplimiento de los diez axiomas.
Ejemplo 1: El conjunto de reales )( ℜ=V ; con la "suma" y el "producto por un escalar",
se puede probar que ℜ cumple los diez axiomas, por lo tanto ),,( ⋅+ℜ es un EVR.
A1) Dado ℜ∈a , ℜ∈b entonces ℜ∈+ ba .
A2) Dado ℜ∈a , ℜ∈b : abba +=+ .
A3) Dado ℜ∈a , ℜ∈b , ℜ∈c : )()( cbacba ++=++ .
A4) Dado ℜ∈a : aaa =+=+ 00 .
A5) Para cada ℜ∈a ∃ su opuesto ℜ∈− )( a , donde: 0)( =+−=−+ aaaa .
A6) Para todo ℜ∈a y ℜ∈α : ba =⋅α .
A7) Para todo ℜ∈a , ℜ∈b , ℜ∈α : baba ⋅+⋅=+⋅ ααα )( .
A8) Para todo ℜ∈a , ℜ∈α , ℜ∈β : aaa ⋅+⋅=⋅+ βαβα )( .
A9) Para todo ℜ∈a , ℜ∈α , ℜ∈β : )()( aa ⋅⋅=⋅⋅ βαβα .
A10) Para todo ℜ∈a : aa =⋅1 .
Ejemplo 2: Los conjuntos ℜ2, ℜ3, ... , ℜn se pueden probar que con la "suma" y el
"producto por un escalar" verifican los 10 axiomas y por lo tanto: (ℜ2, +, . ), (ℜ3, +, . ),
... ,(ℜn, +, . ) son EVR.
Suma:
• En ℜ2: Dados 221 ),( ℜ∈=
→
xxa ; 221 ),( ℜ∈=
→
yyb /
2
22112121 ),(),(),( ℜ∈++=+=+
→→
yxyxyyxxba .
• En ℜ3: Dados 3321 ),,( ℜ∈=
→
xxxa ; 3321 ),,( ℜ∈=
→
yyyb /
3
332211321321 ),,(),,(),,( ℜ∈+++=+=+
→→
yxyxyxyyyxxxba .
• En ℜn: Dados nnxxxa ℜ∈=
→
),...,,( 21 ;
n
nyyyb ℜ∈=
→
),...,,( 21 /
n
nnnn yxyxyxyyyxxxba ℜ∈+++=+=+
→→
),...,,(),...,,(),...,,( 22112121 .
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3
Producto por un escalar:
• En ℜ2: Dados 221 ),( ℜ∈=
→
xxa ; ℜ∈α / 22121 ),(),( ℜ∈⋅⋅=⋅=⋅
→
xxxxa αααα .
• En ℜ3: Dados 3321 ),,( ℜ∈=
→
xxxa ; ℜ∈α /
3
321321 ),,(),,( ℜ∈⋅⋅⋅=⋅=⋅
→
xxxxxxa ααααα .
• En ℜn: Dados nnxxxa ℜ∈=
→
),...,,( 21 ; ℜ∈α /
n
nn xxxxxxa ℜ∈⋅⋅⋅=⋅=⋅
→
),...,,(),...,,( 2121 ααααα .
Vector nulo:
• En ℜ2: )0,0(0 =
→
.
• En ℜ3: )0,0,0(0 =
→
.
• En ℜn: )0,...,0,0,0(0 =
→
.
Vector opuesto:
• En ℜ2: Dado 221 ),( ℜ∈=
→
xxa , su opuesto es 221 ),()( ℜ∈−−=−
→
xxa .
• En ℜ3: Dado 3321 ),,( ℜ∈=
→
xxxa , su opuesto es 3321 ),,()( ℜ∈−−−=−
→
xxxa .
• En ℜn: Dado nnxxxa ℜ∈=
→
),...,,( 21 , su opuesto es
n
nxxxa ℜ∈−−−=−
→
),...,,()( 21 .
Ejemplo 3: Vimos en la Unidad Nº1: que mxmMV = el conjunto de las matrices de
tamaño mxm con elementos reales, con la “suma” habitual de matrices y el “producto”
habitual de un escalar por una matriz, es un EVR (V, + , . ) con vector nulo (la matriz
nula de tamaño mxm) y cada vector (matriz de tamaño mxm) de la misma tiene opuesto
(la matriz negada o matriz opuesta).
Ejemplo 4: Consideremos el conjunto de vectores “polinomios de grado n o menor, en
la indeterminada x” )( nP a coeficientes reales y en él las siguientes operaciones:
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4
Suma de polinomios:
Sea n
n
n
n
nn PaxaxaxaxaxJ ∈+++++=
−
− 01
2
2
1
1 ...)( con ℜ∈naaaa ,...,,, 210 y sea
n
n
n
n
nn PbxbxbxbxbxQ ∈+++++=
−
− 01
2
2
1
1 ...)( con ℜ∈nbbbb ,...,,, 210
n
n
nn
n
nnnn PbaxbaxbaxbaxbaxQxJ ∈++++++++++=+
−
−− )()()(...)()()()( 0011
2
22
1
11
Producto por un escalar:
Sean n
n
n
n
nn PaxaxaxaxaxJ ∈+++++=
−
− 01
2
2
1
1 ...)( y sea ℜ∈α
n
n
n
n
nn PaxaxaxaxaxJ ∈⋅+⋅+⋅++⋅+⋅=⋅
−
− )()()(...)()()( 01
2
2
1
1 αααααα
Vector nulo:
n
nn Pxxxx ∈+++++= −
→
000...000 21
Vector opuesto:
Sea n
n
n
n
nn PaxaxaxaxaxJ ∈+++++=
−
− 01
2
2
1
1 ...)( , su opuesto es:
n
n
n
n
nn PaxaxaxaxaxJ ∈−+−+−++−+−=−
−
− )()()(...)()()( 01
2
2
1
1
Ejemplo5: El conjunto de todas las funciones con dominio e imagen en ℜ :
},:/{ funciónfffV =ℜ→ℜ= .
Suma de funciones:
Sean Vf ∈ y Vg∈ : )()()()( xgxfxgf +=⋅+ para todo ℜ∈x .
Producto de un escalar por una función:
Sean Vf ∈ y ℜ∈α : )()()( xfxf ⋅=⋅⋅ αα para todo ℜ∈x .
Vector nulo:
Para Vf ∈ , la función nula 0(x)=0 para todo ℜ∈x es el vector nulo.
Vector opuesto:
Para Vf ∈ , su opuesto es )( f− y es tal que )())(( xfxf −=− para todo ℜ∈x .
“Se puede demostrar que verifica los 10 axiomas, por lo tanto es un EVR”
Ejercicio : Se puede probar que Z con la suma habitual en Z (enteros) verifica los 5
axiomas de suma pero el producto de un escalar por un entero no es OBI en Z.
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5
Además : Za ∈= 5 ; ℜ∈=
2
1α y Za ∉=⋅=⋅
2
5
5
2
1α , luego (Z, + , . ) NO es un EVR.
Ejercicio : De igual forma se puede probar que (Q, + , . ) NO es EVR ( Qa ∈= 2 ;
ℜ∈= πα luego Qa ∉=⋅ πα 2 ).
SUBESPACIOS VECTORIALES REALES
Hemos visto que ),,( 3 ⋅+ℜ es un EVR, veamos que:
},/)0,,{(}0;,/),,{( 3 ℜ∈==ℜ∈ℜ∈= yxyxzyxzyxW
(W, + , . ) es EVR, donde esta suma y producto por un escalar se definen en forma
idéntica a la suma y al producto por un escalar en 3ℜ .
Entonces:
1. Se puede probar que (W, + , . ) es EVR.
2. “+” y “.” son restricciones de la “+” y “.” de 3ℜ .
3. 3ℜ⊆W .
4. W∈=
→
)0,0,0(0 y W≠Φ (es NO vacío), es un vector que está en el plano z = 0.
Luego (W, + , . ) es SUBESPACIO VECTORIAL del EVR ),,( 3 ⋅+ℜ .
Ejemplos:
Hemos visto que ),,( 2 ⋅+ℜ es un EVR, veamos que:
• }/)0,{( ℜ∈= xxW , es decir, el eje x. Con la “+” y “⋅ ” en 2ℜ , 2ℜ⊆W ,
W∈=
→
)0,0(0 y φ≠W . (W, + , . ) es EVR (verifica los 10 axiomas) entonces
(W, + , . ) es subespacio de ),,( 2 ⋅+ℜ .
Ejercicio: Se puede probar que son subespacios vectoriales reales de ),,( 2 ⋅+ℜ .
• }/),0{( ℜ∈= yyW
• }/),{( 2 xyyxW =ℜ∈=
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6
Nota: Algunos de los subespacios de 2ℜ son las funciones lineales que pasan por el
origen de coordenadas.
SUBESPACIO VECTORIAL REAL
Definición: Dado un EVR (V, + , . ), un subconjunto no vacío W de V es un
“subespacio vectorial real” de V, sii W con las operaciones de suma y producto por un
escalar definidas en V es un EVR.
� Todo subespacio vectorial tiene un vector nulo, en consecuencia cualquier
subconjunto que no tenga este vector ,NO es subespacio vectorial.
Ejemplo 1: El conjunto {(x , y)∈ℜ2/ y = m.x con m∈ℜ(con “m” un valor
constante)}, que recibe el nombre de "recta" en R2.
Se puede probar que con la "suma" y el "producto por un escalar" definidos en 2ℜ , se
verifican los 10 axiomas y por lo tanto: “las rectas del plano a las que pertenece el
origen de coordenadas son espacios vectoriales”
Ejemplo 2: El conjunto {(x, y, z)∈ℜ3/ A.x+B.y+C.z=0 con A,B,C números
reales(constantes)}, que recibe el nombre de "plano" en R3.
Se puede probar que con la "suma" y el "producto por un escalar" definidos en 3ℜ , se
verifican los 10 axiomas y por lo tanto: “los planos del espacio a los que pertenece el
origen de coordenadas son espacios vectoriales”
SUBESPACIOS TRIVIALES
Dado el EVR (V, + , . ) reciben el nombre de subespacios triviales:
}0{1
→
=W
VW =2
• Cualquier otro subespacio que no sea trivial recibe el nombre de subespacio
propio.
• El espacio vectorial real ),,( ⋅+ℜ tiene los subespacios triviales }0{1
→
=W y
ℜ=2W pero no tiene subespacios propios.
(Ya vimos que : Z , Q , la “semirecta” no son EVR)
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7
Ejercicio: Detectar cuál de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales
del EVR dado:
1°) 2ℜ=V , }0/),{( 2 ≤ℜ∈= xyxW .
2°) 2ℜ=V , }832/),{( 2 =+ℜ∈= yxyxW .
3°) 3ℜ=V , }0,0/),,{( 3 ==ℜ∈= zxzyxW .
4°) 22xMV = , W={A / A es simétrica}.
5°) 22xMV = , W={A / A es no singular}.
6°) 22xMV = , }0/{ 11 == aAW .
Conclusión: Un EVR puede tener muchas y de muy diversas formas de subespacios
vectoriales.
Observación: Si
→→→
nvvv ,...,, 21 son vectores de V y ℜ∈nccc ,...,, 21 (escalares) entonces
→→→
+++ nn vcvcvc ...2211 está bien definido, es otro elemento de V y recibe el nombre de
combinación lineal de los vectores
→→→
nvvv ,...,, 21 .
Teorema: Sea V en EVR, cualquiera sea ℜ∈α y Vv ∈
→
se verifica.
1°)
→→
=⋅ 00α
)00(0
→→→
+⋅=⋅ αα
→→→
⋅+⋅=⋅ 000 ααα
)0(00)0(0
→→→→→
⋅−+⋅+⋅=⋅−+⋅ ααααα
→→→
+⋅= 000 α
→→
⋅= 00 α
2°)
→→
⋅=⋅ vv 00
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8
→→
⋅+=⋅ vv )00(0
→→→
⋅+⋅=⋅ vvv 000
)0(00)0(0
→→→→→
⋅−+⋅+⋅=⋅−+⋅ vvvvv
→→
⋅= v00
3°) Si
→→
=⋅ 0vα entonces 0=α o
→→
= 0v , este es un caso particular de 1° y 2° por lo
tanto ya está demostrado.
4°) También )()1(
→→
−=⋅− vv ; opuesto del vector
→
v es un caso particular de
→→
⋅−=⋅− vv )()( αα con ℜ∈α .
TEOREMA CLAVE PARA SUBESPACIOS :
Sea V un EVR, un subconjunto VW ⊆ , φ≠W es un subespacio vectorial de V si y
solo si W con las operaciones restringidas de V, verifica las siguientes condiciones:
1. Para todo WyxWyx ∈+⇒∈
→→→→
, .
2. Para todo WxWx ∈⋅⇒∈ℜ∈
→→
αα , .
Demostración:
“ ⇒ ” Sabemos que “W” es un subespacio vectorial de V, quiero probar que W verifica
las condiciones 1 y 2.
• Como W es subespacio vectorial de V, entonces (W, + , . ) definidas en V
verifica los 10 axiomas (pues en particular es EVR) ∴ verifica los axiomas A1)
y A6), entonces se cumplen las condiciones 1 y 2.
A1)=1; A2)=2
“ ⇐ ” Sabemos que W verifica las condiciones 1 y 2, queremos probar que :
(W, + , . ) es subespacio vectorial de V (es decir W verifica los 10 axiomas de EVR).
• En W trabajaremos con las operaciones “+” y “.” de V (es decir que son
restricciones):
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9
ℵ Además como se verifican las condiciones 1, entonces vale el axioma
A1), y por la condición 2 vale el axioma A6).
ℵ Como + y . son restricciones de las operaciones de V a W, valen los
axiomas de: conmutativa, asociativa, las leyes de distributivas y
asociativas del producto (vales A2), A3), A7), A8), A9) ).
Resta probar: A4) Existencia del neutro.
A5) Existencia del opuesto.
A10) Existencia de unidad.
En efecto: Por la condición 2: ℜ∈∀∈⋅
→
αα Wx
- En particular si 0=α
Wxx ∈⇒=⋅=⋅
→→→→
000α Vale A4)
- En particular si 1−=α
Wxxxx ∈−⇒−=⋅−=⋅
→→→→
)1(α Vale A5)
- En particular si 1=α
→→→→→
=⋅⇒=⋅=⋅ xxxxx 11α Vale A10)
Nota: Todo subconjunto W de un espacio vectorial
→
v , al cual W∉
→
0 no es subespacio
vectorial de V.
Si W∈
→
0 y W verifica el teorema clave entonces W es subespacio vectorial de V.
Ejemplo: }32/),{( +== xyyxW ¿Es W subespacio de 2ℜ ?
xy=2x+3 WWW ∴∉⇒∉
→
0)0,0( no es subespacio de 2ℜ
0 2.0+3=3
Ejercicio: Sean }0/),{(1 =ℜ∈= xyxW subespacio de
2ℜ .
}/),{( 22 xyyxW =ℜ∈= subespacio de
2ℜ .
¿Son 21 WW ∩ y 21 WW ∪ subespacios de
2ℜ ?
21 WW ∩ :
1w
2w “Bisectriz de 1° y 3°cuadrante”
No hay forma de traer al (0,0) todo
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10
Vemos que )}0,0{(}0{21 ==∩
→
WW es subespacio trivial de ∴ℜ2 21 WW ∩ es
subespacio de 2ℜ .
21 WW ∪ :
1
2
21 ),/(),{( WyxyxWW ∈ℜ∈=∪ o }),( 2Wyx ∈
0/),{( 221 =ℜ∈=∪ xyxWW o }xy =
21)2,0( WWa ∪∈=
→
(verdad pues x=0)
21)3,3( WWb ∪∈=
→
(verdad pues y=x)
21;0)5,3()3,3()2,0( WWbaxyxba ∪∉+∴≠≠⇒=+=+
→→→→
21 WW ∪∴ no verifica el Teorema Clave
21 WW ∪∴ no es subespacio de
2ℜ
Teorema: Sea V un espacio vectorial real y nWWW ,...,, 21 subespacios de V, entonces la
intersección de todos ellos:
nWWW ∩∩∩ ...21 es otro subespacio de V.
Demostración:
nWWW ∩∩∩ ...21 es no vacío porque contiene a
→
0
• Sea nWWWx ∩∩∩∈
→
...211 y ⇒∩∩∩∈
→
nWWWx ...212 como 1W …. nW son
subespacios:
1w
2w
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11
→ 121 Wxx ∈+
→→
……………..
→ nWxx ∈+
→→
21
→ De manera similar se prueba que nWWWx ∩∩∩∈
→
...211α , con ℜ∈ .
Como verificar las dos condiciones del Teorema Clave para subespacios,
nWWW ∩∩∩ ...21 es subespacio vectorial de V.
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Definición: Sea },...,,{ 21
→→→
= kvvvS un conjunto de vectores del EVR V el vector Vx ∈
→
es combinación lineal de los vectores de S sii existen algunos escalares
ℜ∈kααα ,...,, 21 , tal que:
→→→
⋅
→
⋅++⋅+= kk vvvx ααα ...2211
Ejemplo : En R2, sean (2,0)v ; (1,4)v ==
→→
21
El vector: (7,12)(2,0).3.(1,4)v 2.v. =+=+
→→
23 21
2ℜ∈ . Es combinación lineal de
→→
21 v y v
Esto significa que
nWWWxx ∩∩∩∈+
→→
...2121 .
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12
Ejercicio 1: Dados los vectores )1,2(=
→
a ; )3,1(−=
→
b y )0,2(=
→
c .
1.1 ¿Es )6,5(=
→
w combinación lineal de
→
a y
→
b ?
1.2 ¿Es )
2
11
,6(=
→
x combinación lineal de
→
a ,
→
b y
→
c ?
Soluciones:
1.1 ¿Existen los escalares 1α y 2α ?
→→→
+= baw 21 αα
)3,1()1,2()6,5( 21 −+= αα
)3,(),2()6,5( 2211 αααα −+=
)3;2()6,5( 2121 αααα +−=
2125 αα −=
21 36 αα +=
−
6
5
31
12
∼
−
2
7
2
7
5
0
12
El SEL tiene solución debido a que existen 1α y 2α (además van a ser únicas pues
Rg(A)=Rg(A*)=N°inc=2)
→
∴w es Combinación Lineal (CL) de
→
a y
→
b
Aplicando el método de eliminación de Gauss:
122
7
22
7 =⇒= αα
352 121 =⇒=− ααα
1.2 ¿Existen los escalares 1α , 2α y 3α ?
→→→→
++= cbaw 321 ααα
)0,2()3,1()1,2()
2
11
,6( 321 ααα +−+=
Rg(A)=2
Rg(A*)=2
N° de incógnitas=2
Única solución
ordena las componentes
Con los rangos y cosas te das cuenta si tiene solución o no
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)0,2()3,(),2()
2
11
,6( 32211 ααααα +−+=
)3;22()
2
11
,6( 21321 ααααα ++−=
321 226 ααα +−=
21 32
11 αα +=
−
2
11
6
0
2
3
1
1
2
∼
−
−
2
5
2
7
6
1
21
0
2
323232 7
2
7
5
2
5
2
7
2
5
2
7 αααααα +=⇒+=⇒=−
62
7
2
7
5
262
7
2
7
5
2622 331331321 =+−−⇒=+
+−⇒=+− ααααααααα
313131331 7
6
14
47
7
12
7
47
2
7
12
7
5
6262
7
2
7
5
2 ααααααααα −=⇒−=⇒−+=⇒=+−−
Por ejemplo si 13 =α 12 =α
2
5
1 =α
Ejercicio 2: ¿Es
=
→
1
3
4
w combinación lineal de
=
→
0
0
2
1v y
−
=
→
0
3
1
2v ?
¿Existen los escalares 1α , 2α ?
→→→
+= 2211 vvw αα
−
+
=
0
3
1
0
0
2
1
3
4
21 αα
Rg(A)=2
Rg(A*)=2
N° de incógnitas=3
El SEL tiene solución, es
decir, existen 1α , 2α y 3α ,
por lo tanto (6,11/2) es CL de
→→→
cyba, . Como
Rg(A)=Rg(A*)=2<N° de
incógnitas, el SEL tiene
infinitas soluciones.
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14
−
+
=
0
3
0
0
2
1
3
4
2
21
α
αα
−
=
0
3
2
1
3
4
2
21
α
αα
−
1
3
4
0
3
1
0
0
2
∴≠⇒ *)()( ARgARg
CONJUNTO GENERADOR
Definición 1: Sea V un EVR y sea },...,,{ 21
→→→
= kvvvS un conjunto de vectores de V. El
conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S lo indicaremos con:
},;.../{)( 2211 ℜ∈∈⋅+++=∈== ⋅
→→→
⋅
→
⋅
→→
ikk SviconvvvxVxSGenW αααα
Lo llamaremos a W, conjunto generado por S y al conjunto S le llamaremos conjunto
generador de W.
Ejemplo 1: Sea )}2,2{(=S obtener el conjunto W generado por S.
});2,2(/{)( 11
2 ℜ∈=ℜ∈==
→→
αα conxxSGenW
});2,2(),/(),{()( 11
2 ℜ∈=ℜ∈== αα conyxyxSGenW
}/),{()}2,2(),/(),{()( 211
2 yxyxyxyxSGenW =ℜ∈==ℜ∈== αα
12α=x
12α=y
}/{)( 2 xyxSGenW =ℜ∈==
→
Rg(A)=2
Rg(A*)=3
El SEL no tiene solución, es decir que
no existen los escalares 1α y 2α , por lo
tanto
1
3
4
no es CL de
0
0
2
y
−
0
3
1
.
x=y
x al ser un vector tiene dos coordenadas por estar en r2, y al ser un solo el escalar que afecta a S, y este tiene componentes iguales, pues no hay de otra que todos los pares que se formen van a ser x=y
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15
Ejercicio : Dar otro conjunto SS ≠1 que genere a }/),{()(
2
1 yxyxSGenW =ℜ∈==
Ejemplo 2: Sea )}6,3();4,2();2,1{( −−=S obtener el conjunto W generado por S.
},)6,3()4,2()2,1(/{)( 321321
2 ℜ∈+−−+=ℜ∈==
→→
αααααα yconxxSGenW
},)6,3()4,2()2,1(),{()( 321321 ℜ∈+−−+=== αααααα yconyxSGenW
)642;32(),( 321321 αααααα +−+−=yx
x=+− 321 32 ααα
y=+− 321 642 ααα
−
−
y
x
6
3
4
2
2
1
∼
−
−
xy
x
20
3
0
2
0
1
*)()( ARgARg = sii xyxy 202 =⇒=−
}2/),{()( xyyxSGenW =ℜ∈==∴
Ejemplo 3: Sea )}4,2();2,1{( −=S obtener el conjunto W generado por S.
})4,2()2,1(/{)( 2121
2 ℜ∈−+=ℜ∈==
→→
αααα yconxxSGenW
Es un solo escalar que afecta a cada vector
Como las rectas en geometría analítica (x, y) = P + a(v)Autores: Prof. Elisa Oliva-
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16
})42;2(),/(),{()( 212121
2 ℜ∈+−=ℜ∈== αααααα yconyxyxSGenW
=+
=−
y
x
21
21
42
2
αα
αα
−
y
x
42
21
∼
−
−
xy
x
280
21
2*)()( == ARgARg
Existen los escalares 1α y 2α para cada par (x,y) luego los vectores de S generan a todos
los pares ordenados de 2ℜ .
2)( ℜ==∴ SGenW
Ejercicio : Dar otro conjunto SS ≠1 que genere a
2
1)( ℜ== SGenW
Definición 2: Sea V un EVR y sea },...,,{ 21
→→→
= kvvvS de V. Diremos que S genera al
EVR V si: VSviconvvvxVxSGen ikk =ℜ∈∈⋅+++=∈= ⋅
→→→
⋅
→
⋅
→→
},;.../{)( 2211 αααα
• Es decir todo vector de V es combinación lineal de los vectores de S.
Ejercicio 1: Probar que )}3,2,1();3,0,0();0,1,0();0,0,1{( −=S genera a 3ℜ .
Ejercicio 2: Probar que )}1,0,0();0,1,0();0,0,1{(=S genera a 3ℜ .
Ejercicio 3: Probar que },,1{ 21 xxS = y }3,2,1{
22
2 xxxxS +−+= generan a 2P .
Ejercicio 4: Mostrar que
=
00
10
;
00
01
S no genera a 22M .
Teorema: Sea V un EVR; },...,,{ 21
→→→
= kvvvS vectores de V entonces:
- El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S es un
subespacio de V (W=Gen(S) es un subespacio de V).
W=Gen(S) es el subespacio “más pequeño” en el sentido de la inclusión que
contiene a S y a la vez es subespacio de V.
→→→
kvvv ,...,, 21
Demostración para Examen Final
S
WW ≠1
WW ≠2
W
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17
CONJUNTO LINEALMENTE INDEPENDIENTE
Definición: Sea V un EVR y sea },...,,{ 21
→→→
= rvvvA un conjunto de vectores de V,
decimos que A es linealmente independiente si la ecuación vectorial:
→→→
⋅
→
⋅ =⋅+++ 0...2211 rr vvv ααα tiene sólo la solución trivial, es decir :
0...21 ====⋅ rααα
• Si en la ecuación vectorial alguno de los ⋅iα no es cero, se dice que A es
linealmente dependiente.
Ejemplos:
?en LI es )}0,3();1,1{(¿ 2ℜ−−=A
1. Planteamos la ecuación vectorial:
)0,0()0,3()1,1( 21 =−+− αα
)0,0()1;31( 121 =−− ααα
003031 2221 =⇒=−⇒=− αααα
001 11 =⇒=− αα
¿ )}6,0,8();4,0,2();2,0,1{( −−=B es LI en 3ℜ ?
1. Planteamos la ecuación vectorial:
)0,0,0()6,0,8()4,0,2()2,0,1( 321 =+−−+ ααα
)0,0,0()642;0;821( 321321 =+−+− αααααα
0821 321 =+− ααα
00 =
0642 321 =+− ααα
“La ecuación vectorial no tiene solo a la solución trivial, entonces el conjunto B es
LD.”
¿ }43;2;1{ 2 xxxC −+= es LI en 2P ?
1. Planteamos la ecuación vectorial:
Como los escalares de la
ecuación vectorial tienen la
solución trivial, entonces A es
un conjunto LI.
S.E.L.H. Como tiene más
incógnitas que ecuaciones y es
homogéneo tiene infinitas
soluciones.
SI O SI LOS ESCALARES TIENEN QUE SER 0 PARA QUE TE DE EL VECTOR NULO. SI HAY OTRA CONFIGURACION DE ESCALARES QUE TE DA EL VECTOR NULO, ES LINEALMENTE DEPENDIENTE
ACA TE DICE QUE A1 PUEDE SER 0, A2 PUEDE SER 4 Y A 3 PUEDE SER 1 Y TE SIGUE DANDO EL VECTOR NULO. MAS CONFIGURACIONES DE ESCALARES (QUE NO SON TODOS CEROS) DAN EL VECTOR NULO
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18
)000()043()20()100( 223
2
2
2
1 ++=+−++++++ xxxxxxxx ααα
)000()02()410()300( 2321321
2
321 ++=+++−++++ xxxx ααααααααα
0030300 33321 =⇒=⇒=++ ααααα
0010410410 2232321 =⇒=⇒=−⇒=−+ ααααααα
002002 121321 =⇒=+⇒=++ αααααα
“Como la solución de la ecuación vectorial es la trivial, entonces los vectores del
conjunto C son LI.”
¿ }
060
640
;
040
002
;
010
321
{
−
−
=D es LI en 32M ?
1. Planteamos la ecuación vectorial:
=
−
+
+
− 000
000
060
640
040
002
010
321
321 ααα
Operando:
=
−+−
+++
000
000
0640
63422
321
313121
ααα
αααααα
=−+−
=+
=+
=+
064
063
042
02
321
31
31
21
ααα
αα
αα
αα
Aplicando Método de Eliminación de Gauss
=+−
=+
0
02
32
21
αα
αα
“La ecuación vectorial no tiene sólo a la solución trivial, entonces el conjunto D es LD.”
Ejercicio 1: Probar que )}1,0,0();0,1,0();0,0,1{(=S es LI en 3ℜ .
Ejercicio 2: Probar que },,1{ 21 xxS = es LI en 2P .
S.E.L.H. Como tiene más
incógnitas que ecuaciones y es
homogéneo tiene infinitas
soluciones.
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19
Proposiciones equivalentes
Teorema: Sea nV ℜ= (espacio vectorial de las n-uplas) y sea VA ⊆ ;
},...,,{ 21
→→→
= pvvvA , entonces si p>n, A es LD.
Demostración:
1. Planteamos la ecuación vectorial:
→→→→
=+++ 0...2211 pp vvv ααα
),...,,( 1121111 n
n bbbvv =→ℜ∈
→→
),...,,( 2222122 n
n bbbvv =→ℜ∈
→→
………………………………..
),...,,( 21 pnppp
n
p bbbvv =→ℜ∈
→→
2. Remplazando esto en 1
)0,....,0,0(),...,,(...),...,,(),...,,( 21222212112111 =+++ pnpppnn bbbbbbbbb ααα
)0,...,0,0()...;....;...;...( 221122221211212111 =+++++++++ pnpnnpppp bbbbbbbbb ααααααααα
)0,...,0,0()...;....;...;...( 221122221211212111 =+++++++++ pnpnnpppp bbbbbbbbb ααααααααα
1 dpq la solución de esta ecuación
no es la trivial , para que los
vectores de la misma sean LD
Sea V un EVR y sea A un conjunto de vectores de V, entonces, las siguientes
condiciones son equivalentes:
1°) A es LD.
2°) Existe Ay∈
→
que es C.L e los restantes vectores de A.
Proposición: Todo subconjunto VA ⊆ , donde V es un EVR que tiene al vector nulo
entre sus elementos es LD.
Si hay mas vectores que rn, p>n, entonces es linealmente dependiente.
Quizás linealmente dependiente quiere decir que al menos un par de vectores son paralelos. SI TIENE QUE VER QUE SI HAY 3 VECTORES, DOS SE PUEDEN SUMAR CON ESCALARES PARA FORMAR UN VECTOR PARALELO AL 3ERO NO USADO. Y ASI FORMAR EL 0
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20
0... 1212111 =+++ ppbbb ααα
0... 2222121 =+++ ppbbb ααα
……………………………..
0...2211 =+++ pnpnn bbb ααα
El SELH tiene infinitas soluciones entonces para ),...,,( 21 pααα . Luego la ecuación
vectorial 1 nos indica que: },...,,{ 21
→→→
= pvvvA es LD.
Ejercicio: Sin hacer cálculos indique si los conjuntos son LI o LD:
a) )}1,3();6,5();3,2{(1 −−=S .
b)
−
−
=
01
83
;
00
00
;
40
21
2S .
c) )}3,0,0();1,0,1();0,0,5();2,1,3();2,0,1{(3 −−−=S .
Respuestas:
a) 2ℜ=V (m=2)→ )}1,3();6,5();3,2{(},,{ 321 −−=
→→→
vvv (p=3)
Como p > m (3 > 2), por el teorema anterior 1S es LD.
b) },0,{ 312
→→→
= vvS como 20 S∈
→
(por propiedad anterior) entonces 2S es LD.
c) 3ℜ=V (m=3) →( )}3,0,0();1,0,1();0,0,5();2,1,3();2,0,1{(},,,,{ 54321 −−−=
→→→→→
vvvvv
(p=5)
Luego :Como p>m (5>3), por el teorema anterior 3S es LD.
n-ecuaciones y p-incógnitas, por
hipótesis p>nAutores: Prof. Elisa Oliva-
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21
Ejemplo gráfico: Los vectores HwwwWvvvvvv ⊆⊆
→→→→→→→→→
},,{ ;},,,,,{ 321543210 , los planos
H y W no son coincidentes, ni paralelos, ni uno contenido en el otro (como se muestra
en la figura)
a) },,{ 510
→→→
vwv es L.I en R3
b) },,,,,{ 543210
→→→→→→
vvvvvv es L.D. en R3
c) },{ 21
→→
ww es L.I en R3
d) },,{ 321
→→→
www es L.D. en R3
e) }, ,,{ 3210
→→→→
wwvv es L.D. en R3
Ejercicio: En base al gráfico del ejemplo anterior, formule ejemplos de :
a) 3 ejemplos de conjuntos de 3 vectores , que sean L.I
b) 2 ejemplos de conjuntos de 8 vectores , que sean L.D
→
5v
→
4v →
3v
→
0v →
1v →
2v
o
1
→
w
H
2
→
w
3
→
w
W
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22
CONJUNTO BASE
Ejemplos: Veamos que:
a) )}1,0();0,1{(1 =B es base de
2ℜ=V .
b) )}4,2();2,1{(2 −=B es base de
2ℜ=V .
Respuestas:
a) 1- dpq 1B es generador de
2ℜ=V
},)1,0()0,1(),/(),{()( 21211 ℜ∈∀+== ααααyxyxBGen
),()1,0()0,1( 21 yx=+ αα
yxyx ==⇒= 2121 ;),(),( αααα
Para cada valor de ),( 21 αα obtengo un (x,y), combinando estos vectores
obtengo números (x,y), o sea genero a todo 2ℜ .
2- dpq 1B es LI
)0,0()1,0()0,1( 21 =+ αα
0;0)0,0(),( 2121 ==⇒= αααα ; Los vectores de 1B son LI.
)}1,0();0,1{(1 =B es base de
2ℜ .
b) 1- dpq 2B es generador de
2ℜ=V
},)4,2()2,1(),/(),{()( 21212 ℜ∈∀−+== ααααyxyxBGen
Definición: Sea V un EVR y sea },...,,{ 21
→→→
= nvvvB un conjunto de vectores de V,
decimos que B es base de V sii:
1. V=Gen(B) “El conjunto B genera a V”.
2. B es LI.
)}1,0();0,1{(1 =B recibe el nombre de BASE CANÓNICA de
2ℜ
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23
),()4,2()2,1( 21 yx=−+ αα
),()4,2()2,( 2211 yx=−+ αααα
),()42;2( 2121 yx=+− αααα
x=− 21 2αα
y=+ 21 42 αα
Para cada valor de ),( 21 αα obtengo un (x,y), combinando estos vectores
obtengo números (x,y), o sea genero a todo 2ℜ .
2- dpq 2B es LI
)0,0()4,2()2,1( 21 =−+ αα
)0,0()42;2( 2121 =+− αααα
02 21 =− αα
042 21 =+ αα
−
0
0
42
21
∼
−
0
0
80
21
2 *)()( =°== incogdeNARgARg
Los vectores de 2B son LI.
2B es base de
2ℜ
¿Cómo obtener una base de un subespacio vectorial?
Consideramos: }03/),,{( 3 =+−ℜ∈= zyxzyxW subespacio de 3ℜ
zyx 3−=
),,3(),,( zyzyzyx −=
)1,0,3()0,1,1( −+ zy , luego los vectores )}1,0,3();0,1,1{( − generan a W
dpq son LI (planteamos ecuación vectorial): )0,0,0()1,0,3()0,1,1( 21 =−+ αα dpq
021 == αα
Por igualdad de ternas : )0,0,0();;3( 2121 =− αααα
(1,1,0) 1-1+3*0=0
(-3,0,1) -3-0+3*1=0
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24
03 21 =− αα
01 =α
02 =α
Teorema:
Sea V un EVR y sea },...,,{ 21
→→→
= nvvvB base de V entonces todo vector Vx ∈
→
se puede
expresar en forma única como CL de los vectores de la base B.
Demostración:
Sea },...,,{ 21
→→→
= nvvvB base de V
dpq para todo Vx ∈
→
:
→→→→
+++= nn vvvx ααα ...2211 con nααα ,...,, 21 únicos.
Supongamos que hay dos formas distintas de expresar a
→
x en la base B:
→→→→
+++= nn vvvx ααα ...2211
→→→→
+++= nn vvvx βββ ...2211
Con algún ii βα ≠
1. Restamos ambas expresiones:
→→→→→
−++−+−=− nnn vvvxx )(...)()( 222111 βαβαβα
→→→→
−++−+−= nnn vvv )(...)()(0 222111 βαβαβα
Como sabemos que B es base de V
∴== 021 αα los vectores son LI.
)}1,0,3();0,1,1{( − es BASE de W.
¿Cómo podemos obtener otra base de W?
• Despejando otra variable.
• Multiplicando algunos de los vectores de una base por un escalar ≠ 0.
Básicamente cualquier vector del plano, cualquier punto, es en realidad una suma de la base generadora.
Al final es elegir cualquier par de vectores que satisfacen la ecuación, ya sea un plano o una recta (aquí depende la cantidad de vectores) y ese par de vectores puede llegar a ser considerado una base de la ecuación. El hecho que CREO que te hacen despejar una variable es que al ser un plano, si o si necesitas dos vectores, no 3
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25
V=Gen(B)
B es LI, por lo tanto la ecuación vectorial de sus vectores tiene la solución trivial
1111 0)( βαβα =⇒=−
2222 0)( βαβα =⇒=−
……………..
nnnn βαβα =⇒=− 0)(
Luego observamos que cada iα coincide con un iβ para i=1,2,…,n ii βα =
ABSURDO Esto surgió de suponer que
→
x tiene dos descomposiciones
distintas en la base B.
∴ Todo vector Vx ∈
→
tiene una única forma de expresarse como CL de la base de B.
Teorema: Sea V un EVR cualquier subconjunto de V que tenga más vectores que una
base de V, es LD.
Demostración:
Sea },...,,{ 21
→→→
= nvvvB base del EVR
Sea },...,,{ 21
→→→
= pwwwW un conjunto de vectores de V con p > n.
Planteamos la ecuación vectorial de los vectores de W:
→→→→
=+++ 0...2211 pp www βββ 1
“Por el teorema anterior cada vector del espacio, se puede expresar en forma única
como CL de los vectores de la base B”
→→→→
+++= nn vvvw 12121111 ... ααα con Vw ∈
→
1
→→→→
+++= nn vvvw 22221212 ... ααα con Vw ∈
→
2
………………………………………………
→→→→
+++= npnppp vvvw ααα ...2211 con Vwp ∈
→
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26
Remplazamos en 1 :
→→→→→→→→→→
=++++++++++++ 0)..(..)..()..( 22112222121212121111 npnpppnnnn vvvvvvvvv αααβαααβαααβ
Asociamos y operamos según los vectores de la base B:
→→→→
=++++++++++++ 0)..(..)..()..( 22112222211211221111 nppnnnpppp vvv βαβαβαβαβαβαβαβαβα
“Esta es la ecuación vectorial para los vectores de la base B (como son LI, todos los
escalares son cero).”
0.. 1221111 =+++ pp βαβαβα
0.. 2222112 =+++ pp βαβαβα
………………………………
0..2211 =+++ ppnnn βαβαβα
En 1 los vectores },...,,{ 21
→→→
pwww son LD.
Teorema: Sea V un EVR y sea },...,,{ 21
→→→
= nvvvB base de V. Si },...,,{ 21
→→→
= rwwwW es
un conjunto de vectores de V el cual es LI entonces nr ≤ .
Demostración:
Sea },...,,{ 21
→→→
= nvvvB base de V
},...,,{ 21
→→→
= rwwwW es LI, entonces la ecuación vectorial se puede escribir como:
→→→→
=+++ 0...2211 rr www βββ 2 0.....21 ==== rβββ
Supongamos que r > n
Como B es base de V, cada vector del espacio se puede escribir en forma única como
CL de los vectores de B.
→→→→
+++= nn vvvw 12121111 ... ααα con Vw ∈
→
1
SELH con incógnitas pβββ ,...,, 21 y n-
ecuaciones, por hipótesis p > n, entonces el SELH
tiene infinitas solucionespara pβββ ,...,, 21 .
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27
→→→→
+++= nn vvvw 22221212 ... ααα con Vw ∈
→
2
………………………………………………
→→→→
+++= nrnrrr vvvw ααα ...2211 con Vwr ∈
→
Remplazamos en 2 :
→→→→→→→→→→
=++++++++++++ 0)..(..)..()..( 22112222121212121111 nrnrrrnnnn vvvvvvvvv αααβαααβαααβ
Asociamos y operamos según los vectores de la base B:
→→→→
=++++++++++++ 0)..(..)..()..( 22112222211211221111 mrrmmmrrrr vvv βαβαβαβαβαβαβαβαβα
“Esta es la ecuación vectorial para los vectores de la base B (como son LI, todos los
escalares son cero).”
0.. 1221111 =+++ rr βαβαβα
0.. 2222112 =+++ rr βαβαβα
………………………………
0..2211 =+++ rrmmm βαβαβα
Esto se contradice con 2 y este absurdo proviene de suponer que r > n, entonces:
nr ≤
Teorema: Sea V un EVR , todas las bases de V tiene el mismo número de vectores.
Demostración:
Sean },...,,{ 211
→→→
= pvvvB base de V 1B genera a V.
1B es LI.
Sean },...,,{ 212
→→→
= kvvvB base de V 2B genera a V.
2B es LI.
1°) Si },...,,{ 211
→→→
= pvvvB es base de V y },...,,{ 212
→→→
= kvvvB sólo lo consideramos
como conjunto LI pk ≤⇒ 1 (por teorema anterior)
SELH con incógnitas rβββ ,...,, 21 y n-
ecuaciones, pero hemos supuesto r > n, entonces
el SELH tiene infinitas soluciones .
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28
2°) Si },...,,{ 212
→→→
= kvvvB es base de V y },...,,{ 211
→→→
= pvvvB sólo lo consideramos
como conjunto LI kp ≤⇒ 2
De 1 y 2 kp = . Luego todas las bases de un EVR tienen igual N° de vectores.
DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Definición: Cuando una base de un EVR tiene un número finito de vectores, se llamará
dimensión del EVR de V al número de vectores de su base y se escribe:
dim(V)= N° de vectores de una base de V
Ejemplo 1: Como se vio anteriormente )}1,0();0,1{(1 =B recibe el nombre de BASE
CANÓNICA de 2ℜ , luego :
dim( 2ℜ )= N° de vectores de una base de 2ℜ
Ejemplo 2: Se estudió que )}1,0,0();0,1,0();0,0,1{(=S es base de 3ℜ .
Esta base recibe el nombre de BASE CANÓNICA de 3ℜ
Ejemplo 3: Se estudió que },,1{ 21 xxS = es base de 2P .
Esta base recibe el nombre de BASE CANÓNICA de 2P
Ejemplo 4: En }03/),,{( =+−= zyxzyxW se puede ver que )}1,0,3();0,1,1{( − es base
de W, por lo tanto dim(W)=2.
dim( 2ℜ )= 2
dim( 3ℜ )= 3
dim( 2P )= 3
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29
Ejemplo 5: Para hallar la dimensión de }04/),,,{( 4 =+ℜ∈= zxwzyxT , buscaremos
hallar primero una base:
Como : zx 4−=
)1,0,0,0()0,0,1,0()0,1,0,4(),,,4(),,,( wyzwzyzwzyx ++−=−=
)}1,0,0,0();0,0,1,0();0,1,0,4{( − es generador de T.
Planteamos la ecuación vectorial:
)0,0,0,0()1,0,0,0()0,0,1,0()0,1,0,4( 321 =++− ααα
)0,0,0,0(),,,4( 3121 =− αααα , entonces:
04 1 =− α ; también : 02 =α ; 01 =α y 03 =α
Entonces los vectores son LI y como se vió que son generadores de T
)}1,0,0,0();0,0,1,0();0,1,0,4{( −∴ es base de T
∴ dim(T)=3
Ejercicio : Se puede estudiar que },,,{S
=
10
00
01
00
00
10
00
01
es base de M22 ,
con lo que se tiene que dim( M22) = 4 .
Ejercicio : Se puede estudiar que
},,,,,{S
=
100
000
010
000
001
000
000
100
000
010
000
001
es base de
M 23 , con lo que se tiene que dim( M23) = 6 .
Teorema: Sea V un EVR de dimensión finita. Sea H un subespacio de V, entonces
VH dimdim ≤ .
Proposición (sin demostración):
En todo EVR de dimensión “n”:
1°) Todo conjunto generador del EVR con n-vectores, es base del EVR.
2°) Cualquier subconjunto del EVR con n-vectores que sea LI, también es base del EVR.
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30
Demostración:
Sea V un EVR de dimensión finita m ∴ existe una base },...,,{ 21
→→→
= mvvvB de V y su
dimensión será dim(V) = m.
Sea H un subespacio de V y sea },...,,{ 21
→→→
= rH vvvB base de H, dim(H)=r.
Como HB es base de H HB genera a H.
HB es LI en V.
Debido a que B es base de V, HB es LI en V y el teorema anterior, la cantidad de
vectores de HB es menor o igual que los de la base de B:
mr ≤∴ , luego )Vdim()Hdim( ≤
COORDENADAS DE UN VECTOR
• Para un espacio vectorial de dimensión finita hemos visto que su dimensión es la
cantidad de vectores de su base.
• Todo espacio vectorial de dimensión finita no nula tiene infinitas bases.
• Todas las bases de un mismo EVR de dimensión finita, tiene la misma cantidad
de vectores.
• Además fijada una base del EVR, cualquier vector del EVR se puede escribir de
forma única como CL de los vectores de esa base.
Si tenemos dos bases de un mismo EVR:
},...,,{ 211
→→→
= nvvvB y }, ... ,,{ 122
→→→
= nvvvB
Son bases distintas del EVR, pues las consideramos ORDENADAS.
Definición: Sea V un EVR de dimensión finita n y sea },...,,{ 21
→→→
= nvvvB base ordenada
de V.
Sea
→→→→
+++= nn vvvx ααα ...2211 con ℜ∈iα únicos, llamaremos:
Vector de coordenadas en la base B Matriz de coordenadas en la base B
),...,,( 21 n
B
X ααα=
→
α
α
α
=
→
n
B .....
X 2
1
Es como formar una misma recta, podes hacerlo con millones y millones de posibilidades
No importa si esta en r80, si es un plano, tiene dos dimensiones.
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
31
Ejemplo: Calcular los vectores coordenados y la matriz de coordenadas de
2)4,1( ℜ∈−=
→
u para )}1,2();1,1{(1 −=B y )}1,0();0,1{(2 =B .
- Hallemos
1B
u
→ y
1B
u
→
)1,2()1,1( 21 αα +−=
→
u
)1,2()1,1()4,1( 21 αα +−=−
−−
4
1
11
21 ∼ ⇒
−−
3
1
30
21
Reemplazando en la 1º ecuación, se
tiene : 31 =α
Con lo cual :
)1,3(),( 21
1
==
→ αα
B
u
=
=
→
1
3
2
1
1 α
α
B
u
- Hallemos
2B
u
→ y
2B
u
→
)1,0()0,1( 21 ββ +=
→
u
)1,0()0,1()4,1( 21 ββ +=−
⇒
−
4
1
10
01
12 21 −=+− αα
33 2 =α ⇒ 12 =α
11 −=α
42 =α
Rg(A)=Rg(A*)= N° de incógnitas,
luegoexisten en forma única α1 y α2
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
32
Rg(A)=Rg(A*)= N° de incógnitas
∃∴ en forma única 21,αα
)4,1(),( 21
2
−==
→ αα
B
u
−
=
=
→
4
1
2
1
2 α
α
B
u
Nota: Si la base de trabajo es la base canónica, componentes y coordenadas de un
vector coinciden. En cualquier otro caso, no son iguales componentes y coordenadas.
MATRIZ DE TRANSICIÓN DE UNA BASE B 1 A UNA BASE B2
Consideramos las bases },...,,{ 211
→→→
= mvvvB y },...,,{ 212
→→→
= mwwwB bases ordenadas del
EVR V de dimensión “m”.
Sea
=
→
m
B
x
α
α
α
...
2
1
1
únicas, hallemos una expresión para
2B
x
→
→→→→
+++= mm vvvx ααα ...2211 1 con ℜ∈iα únicos.
→→→→
+++= mm wwwx βββ ...2211 2 debemos hallar los iβ que sabemos que son únicos.
Como 2B es base de V, cada vector 1Bvi ∈
→
se puede escribir en forma única como CL
de los vectores de 1B .
→→→→
+++= mm wawawav 12211111 ... →
=
→
1
21
11
2
1 ...
m
B
a
a
a
v (Primer columna de una matriz)
→→→→
+++= mm wawawav 22221122 ... →
=
→
2
22
12
2
2 ...
m
B
a
a
a
v (Segunda columna de una matriz)
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
33
………………………………….
→→→→
+++= mmmmmm wawawav ...2211 →
=
→
mm
m
m
B
m
a
a
a
v
...
2
1
2
(m-ésima columna de una
matriz)
)...(...)...()...( 22112222112212211111
→→→→→→→→→→
++++++++++++= mmmmmmmmmm wawawawawawawawawax ααα
Saco factor común
→→→→
++++++++++++= mnmmmmnmnm waaawaaawaaax )...(...)...()...( 22112222212111212111 ααααααααα
Comparando con 2 resulta que:
11212111 ... βααα =+++ mmaaa
22222121 ... βααα =+++ mmaaa
………………………………………..
mmmmmm aaa βααα =+++ ...2211
La representación matricial es la siguiente:
21
21......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
BB
BB
mmmmmm
m
m
xxP
aaa
aaa
aaa
=
⋅⇒
=
⋅
→→
−
β
β
β
α
α
α
I
21 BB
P − se llama
Observe en I que cada columna i-ésima de P, representa las coordenadas del
vector 1Bvi ∈
→
, en la base 2B
Simbólicamente , se puede resumir :
Matriz de Transición de la base ordenada 1B a la base ordenada 2B .
Matriz de Paso de la base ordenada 1B a la ordenada 2B .
Matriz de Cambio de base, de la base ordenada 1B a la 2B .
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Prof. Maria I. Ciancio
34
Veamos que :
21 BB
P − es una matriz cuadrada y regular
Nota: Una matriz cuadrada es matriz de transición si es regular, es decir, si su
determinante es distinto de cero.
Teorema: Si P es la matriz de transición de la base 1B a la base 2B , entonces:
1°) P es regular.
2°) La matriz de transmisión de 2B a 1B es
1−P .
Demostración:
Hipotesis: P es la matriz de transmisión de 1B a 2B
Tesis: P es regular y 1−P es la matriz de transmisión de 2B a 1B .
• Como P es la matriz de transmisión de 1B a 2B verifica I .
1
21
:
BB
xxP
⋅
→→
para todo Vx∈
→
• Sea Q la matriz de transmisión de 2B a 1B verifica I .
2
12
:
B
xxQ
⋅
→→
B
• Multiplicando P por la expresión 2
212 BBB
xxPxQP
=
⋅=
⋅⋅
→→→
luego: IQP =⋅ 3
• Multiplicando Q por la expresión 1
121 BBB
xxQxPQ
=
⋅=
⋅⋅
→→→
luego:
IPQ =⋅ 4
=
→→→
−
22
2
2
1 ........21
B
m
BB
BB vvvP
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Prof. Maria I. Ciancio
35
De 3 y 4 IPQQP =⋅=⋅
Por definición de matriz inversa 11 −− ∴= PPQ es la matriz de cambio de base de
2β a 1β .
Ejemplo: Sean las bases de 3ℜ
},,{)}1,0,1();3,1,1();4,2,0{( 3211
→→→
=−−−= vvvB
},,{)}1,2,0();1,0,1();0,0,1{( 3212
→→→
=−= wwwB
Hallar:
1.
21 BB
P − .
2. Sin resolver el SEL determinar
21 BB
P − .
1
ÁLGEBRA LINEAL
UNIDAD 3- Parte2-
Espacios Vectoriales con Producto Interior
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
LIC. EN GEOFISICA - LIC. EN ASTRONOMIA
Año: 2018
2
Unidad Nº3: II-Parte-Espacios Vectoriales con Producto Interior
I- Objetivos
Al finalizar la unidad se espera que el alumno sea capaz de:
• Manejar con habilidad los axiomas de producto interior.
• Diferenciar el módulo de un vector según el producto interior
definido.
• Diferenciar vectores ortogonales y ortonormales.
• Modelar y resolver correctamente problemas para determinar bases
ortonormales aplicando el proceso de ortogonalización de Gram-
Schmidt.
• Reconocer la importancia de trabajar con bases ortonormales en la
representación de vectores.
II- Secuencia de los Contenidos.
• Espacios vectoriales con producto interior: producto interior
euclideano. Normas. Distancias. Ángulo entre vectores.
• Vectores ortogonales. Ortonormales. Bases ortonormales.
• Construcción de bases ortonormales aplicando el proceso del Gram-
Schmidt.
3
ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR
1-Definición de Producto interior:
Sea V un Espacio Vectorial Real, llamaremos producto interior y lo indicaremos con
“<,>” a la “función” que asocia un par de vectores de V , número real que verifica los
siguientes axiomas :
A1) >>=<<
→→→→
x,yy,x Vy,x ∈∀
→→
(Axioma de simetría)
A2) ><+>>=<+<
→→→→→→→
z,yz,xz,yx Vz,y,x ∈∀
→→→
(Axioma de aditividad)
A3) ><>=<
→→→→
y,xy,x αααααααα Vy,x ∈∀
→→
, R∈∀αααα (Axioma de homogeneidad)
A4) 0 x,x ≥><
→→
y
→→→→
==>< 0x si soloy si 0 x,x (Axioma de positividad)
Ejemplo: Sea V = ℜ2 ; sean )u,u(u 21=
→
y )v,v(v 21=
→
vectores de ℜ2. Compruebe
que la fórmula ><
→→
v,u = 7u1v1 + 4u2v2 define un producto interior en ℜ2.
A1) 2211 yx4yx7y,x +>=<
→→
�
22112211 yx4yx7xy4xy7x,y +=+>=<
→→
�
De � y �, se verifica el Axioma de Simetría.
A2) 22221111222111 zy4zx4zy7zx7z)yx(4z)yx(7z,yx +++=+++>=+<
→→→
�
22112211 zy4zy7zx4zx7z,yz,x +++>=<+><
→→→→
�
De � y �, se verifica el Axioma de Aditividad
A3) [ ]22112211 yx4yx7y)x(4y)x(7y,x +=+>=<
→→
αααααααααααααααα �
[ ]2211 yx4yx7y,x +>=<
→→
αααααααα �
De � y �, se verifica el Axioma de Homogeneidad
A4) 0x47xx4xx7x x,x
2
2
2
12211 ≥+=+>=<
→→
y además0x47x x,x 22
2
1 =+>=<
→→
si y solo si : x1=0, x2=0 , luego
→→
== 0)0,0(x
Se verifica el Axioma de Positividad
De A1)-A2)-A3)-A4), la función es un producto interior en ℜ2.
4
Ejemplo: Sea V = ℜ2 ; sean )u,u(u 21=
→
y )v,v(v 21=
→
vectores de ℜ2. Compruebe
que la fórmula ><
→→
v,u = 2u1v2 + 3u2v1 no define un producto interior en ℜ2.
A1) 1221 yx3yx2y,x +>=<
→→
�
12211221 yx2yx3xy3xy2x,y +=+>=<
→→
�
De � y �, se observa que no se verifica el Axioma de Simetría.
Esta función no es un producto interior en ℜ2.
Nota: Un Espacio Vectorial Real con un <,> definido, se denomina “Espacio Vectorial
Real con Producto Interior”. Los axiomas A2) y A3) pueden involucrarse dando un
nuevo axioma.
A5) ><+><>=+<
→→→→→→→
z,yz,xz,yx ββββααααββββαααα con α , β ∈ ℜ
><+><>=+<
→→→→→→→
z,yz,xz,yx αβαβαβαβββββββββαααα con α , β ∈ ℜ
Llamado Axioma de la bilinialidad.
El producto interior, se puede decir que es una “forma bilineal positivamente definida”.
Ejercicios:
a) 1)-Sea V = ℜ2 ; sean
→
u ,
→
v ∈ℜ2 , tales que: )a,a(u 21=
→
y )b,b(v 21=
→
.La fórmula:
><
→→
v,u = a1b1 + a2b2 = ∑
=
2
1i
ii ba Denominado “producto interior euclidiano sobre
ℜ2”.Demuestre que es un producto interior en ℜ2 .
2)-Sea V = ℜ3 ; sean
→
u ,
→
v ∈ℜ3 , tales que: )a,a,a(u 321=
→
y )b,b,b(v 321=
→
.La
fórmula: ><
→→
v,u = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ∑
=
3
1i
ii ba Denominado “producto interior
euclidiano sobre ℜ3”.Demuestre que es un producto interior en ℜ3 .
3)-Sea V = ℜn ; sean
→
u ,
→
v ∈ℜn , tales que: )a,,a,a(u n21 K=
→
y )b,,b,b(v n21 K=
→
.La
fórmula: ><
→→
v,u = a1b1 + a2b2 + ... + anbn = ∑
=
n
i
iiba
1
Denominado “producto interior
euclidiano sobre ℜn”. Demuestre que es un producto interior en ℜn .
El producto interior euclidiano sobre ℜ2 y ℜ3 , es el que trabaja Geometría Analítica.
b) Sea V = ℜ2 ; sean )u,u(u 21=
→
y )v,v(v 21=
→
vectores de ℜ2. Compruebe que la
fórmula ><
→→
v,u = 3u1v1 + 2u2v2 define un producto interior en ℜ2.
5
A este producto interior se lo denomina “producto interior ponderado”, al igual
que el que se probó en el primer ejemplo.
2-Concepto Importante: Sea V un Espacio Vectorial Real de dimensión finita n. Sea
=
→→→
n21 v,,v,vB K una base ordenada de V. Sabemos que todo vector del espacio se
puede expresar en forma única como combinación lineal de los vectores de una base,
por lo que se sabe :
∀
→
x ∈V : ∑
=
→→
=
n
1i
ii vx αααα con αi escalares únicos.
Sea
→→→→→
+++=⇒∈ nn2211 vavavauu KV ai únicos
Sea
→→→→→
+++=⇒∈ nn2211 vbvbvbww KV bi únicos
de donde :
=
=
→→
n
2
1
B
n
2
1
B
b
b
b
wy
a
a
a
u
MM
representan las matrices coordenadas de
→→
vyu .
Se define la fórmula:
B
T
B
nn2211
B
T
B
uwbababawuw,u
=+++=
>=<
→→→→→→
K
donde es fácil verificar que la misma define un “Producto Interior en V”.
Ejercicio Propuesto: Verificar que la fórmula anterior define un producto interior en V
Ejercicio: Sea V = ℜ2. Sean
→
u = (6,0)
→
w = (1, -1). Calcular ><
→→
w,u para las bases
B1 y B2. Sean B1 = {(-1, 1) , (2, 1)} y B2 = {(1, -1) , (1, 1)} dos bases ordenadas para V.
a) Para la base B1 :
−
=
=
→→
0
1
wy
2
2-
u
1B1B
Entonces : 2
0
1
2
2
wuw,u
T
1B
T
1B
=
−
−
=
>=<
→→→→
b) Para la base B2 :
=
=
→→
0
1
wy
3
3
u
2B2B
Entonces : 3
0
1
3
3
wuw,u
T
2B
T
2B
=
=
>=<
→→→→
6
Nota: Luego de resolver el ejercicio anterior se observa que en un Espacio Vectorial
Real de dimensión finita se pueden definir diferentes productos interiores, según la base
seleccionada.
El Producto Interior depende de la base definida.
A continuación se enuncian propiedades importantes del producto interior.
Teorema: Si
→
u ,
→
v y
→
w son vectores de un Espacio Vectorial Real con producto interior
definido; y k un escalar, luego:
a) 0u,00,u >=>=<<
→→→→
b) ><+><>=+<
→→→→→→→
w,uv,uwv,u
c) ><>=<
→→→→
v,u.kv.k,u
d) ><−><>=−<
→→→→→→→
w,vw,uw,vu
e) ><−><>=−<
→→→→→→→
w,uv,uwv,u
Demostración propuesta para Examen Final.
3- Norma de un vector
Sea V un espacio vectorial con un producto interior <,> definido; se define: la norma
(longitud) de un vector
→
x ∈ V , como la función que asigna a cada un vector
→
x ∈ V ,
un número real positivo, simbolizado por ||
→
x || , que cumple:
A1) ||
→
x || > 0 para
→
x ≠
→
0 y ||
→
x || = 0 si
→
x =
→
0 (Positividad)
A2) ||λλλλ
→
x || = |λ| ||
→
x || ∀ λ ∈ ℜ ;
→
x ∈ V (Homogeneidad)
A3) ||
→
x +
→
y || ≤ ||
→
x || + ||
→
y || ∀
→
x ,
→
y ∈ V (Desigualdad triangular)
Fórmula para calcular la norma de x :
><=>=<
→→→→→
x,xx,x||x|| 2/1
4- Desigualdad de Cauchy −−−− Schwarz
Dados
→
x ,
→
y vectores del Espacio Vectorial Real V, de dimensión finita. Sea <,> un
producto interior definido en V, entonces se verifica:
<
→
x ,
→
y > 222 ||y||.||x||
→→
≤ o una forma equivalente
Lit es un triangulo, la suma de vectores al final es una hipotenusa, pero cuando se suman catetos a parte de ese triangulo, el largo es mayor
7
<
→
x ,
→
y > ||y||.||x||
→→
≤
Para la demostración, se usa el siguiente artificio: || r
→
x +s
→
y ||2 ≥ 0 con r y s números
reales.
|| r
→
x +s
→
y ||2 0 ysxr,ysxr ≥>++=<
→→→→
0 y,ysy,xrs2x,xr
y,ysx,yrsy,xrsx,xr
22
22
≥><+><+><=
><+><+><+><=
→→→→→→
→→→→→→→→
Tomando: r y,y >=<
→→
; s y,x ><−=
→→
resulta:
=
→→
2|| ys+ xr ||
><
><−+><
><−><+><><
→→→→→→→→→→→→→→
y,yy,xy,xy,xy,y2x,xy,y
2
2
= 22 y,xy,yx,xy,y >><<−><><
→→→→→→→→
=
><−>><<><
→→→→→→→→
2y,xx,xy,yy,y ≥ 0
Note que: si y,y ><
→→ →→
=⇔= 0y0 . Luego vale la igualdad.
si y,y ><
→→
0≠ haciendo pasajes de términos resulta:
0y,xx,xy,y 2 ≥
><−>><<
→→→→→→
2y,x x,xy,y ><≥>><<
→→→→→→
ó bien :
2
22
y,x yx ><≥
→→→→
c.q.d.
Ejemplo: En M22, con el producto interior definido por :
2222212112121111
2221
1211
2221
1211 babababa2
bb
bb
,
aa
aa
B,A +++>=
>=<<
→→
, verifique la
Desigualdad de Cauchy-Schwarz para
=
→
40
31
A
=
→
20
05
B,
En efecto:
182.40.00.35.1.2
20
05
,
40
31
B,A =+++>=
>=<<
→→
[ ] 2,5274.40.03.31.1.2
40
31
,
40
31
A,AA 2/12/12/1 ≅=+++=>
=<>=<
→→→
8
[ ] 35,7542.20.00.05.5.2
20
05
,
20
05
B,BB 2/12/12/1 ≅=+++=>
=<>=<
→→→
Luego ≤><
→→
B,A . A
→ →
B donde:
18 ≤ 5,2 * 7,35
18 ≤ 38,22 ; por lo tanto se verifica la Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Importante: Luego de demostrar la Desigualdad de Cauchy – Schwarz, estamos en
condiciones de demostrar la desigualdad triangular.
5-Desigualdad Triangular
Dados
→
x ,
→
y vectores del Espacio Vectorial Real V, de dimensión finita. Sea <,> un
producto interior definido en V, entonces se verifica:
||
→
x +
→
y || ≤ ||
→
x || + ||
→
y ||
Demostración:
Sea ||
→
x +
→
y ||2 yx,yx >++=<
→→→→
><+><+><+>=<
→→→→→→→→
y,yx,yy,xx,x
22
2
SchwarzCauchy
yxyyx2x
y,yy,x2x,x
+=++≤
><+><+>=<
→→→→→→
−
→→→→→→43421
Luego : ||
→
x +
→
y ||2≤
2
yx
+
→→
, entonces: ||
→
x +
→
y ||≤
→→
+ yx c.q.d.
Ejercicio: Dados
→
v = (-1,0,6) y
→
w = (1, 2, 0) que pertenecen al subespacio
=+−ℜ∈= 036),,( 3 zyxzyxP . Sea B una base del subespacio P,
( ) ( ){ }3,1,0,6,0,1B −= con
−
=
→
0
1
v
B
y
=
→
2
1
w
B
.
Probar la desigualdad triangular y la desigualdad de Cauchy − Schwarz, usando el
producto interior inducido por la base B.
9
>=<
→→
w,v 1
2
1
0
1
wv
T
B
T
B
−=
−
=
→→
||
→
v ||= 11
0
1
0
1
vvv,v
T
B
T
B
==
−
−
=
=><
→→→→
||
→
w ||= 541
2
1
2
1
www,w
T
B
T
B
=+=
=
=><
→→→→
Para la Desigualdad de Cauchy − Schwarz
<
→
v ,
→
w > ||w||.||v||
→→
≤ , se tiene :
-1 5.1≤ , se verifica la desigualdad.
Para la Desigualdad Triangular
||
→
v +
→
w ||= 240
2
0
2
0
wvwvwv,wv
T
B
T
B
=+=
=
+
+=>++<
→→→→→→→→
||
→
v +
→
w ||≤
→→
+ wv , se tiene:
2≤1+ 5 , se verifica la desigualdad
6-Distancia entre dos vectores
La distancia en el Espacio Vectorial Real V, con producto interior <,> definido en V, ; es
una función
→
x(d ,
→
y ) que asigna a un par de vectores
→
x ,
→
y de V, un número real
positivo o cero, que satisface los siguientes axiomas :
A1)
→
x(d ,
→
y ) =d(
→
y )x,
→
A2)
→
x(d ,
→
y ) > 0 si
→
x ≠
→
y ∧
→
x(d ,
→
y ) = 0 si
→
x =
→
y
A3)
→
x(d ,
→
z ) ≤
→
x(d ,
→
y ) +
→
y(d ,
→
z )
Nota: La función distancia se define por la fórmula:
→
x(d ,
→
y ) = ||
→
x −
→
y || ∀
→→
y,x ∈ V
Nota: Si V = ℜ2 y el producto interior es el euclideo resulta:
→
x(d ,
→
y ) = ||
→
x −
→
y || = ( ) ( )222211 yxyx −+−
Si V = ℜ3 y el producto interior es el euclideo resulta:
10
→
x(d ,
→
y ) = ||
→
x −
→
y || = ( ) ( ) ( )233222211 yxyxyx −+−+−
7-Ángulo entre vectores
Sean
→
x ,
→
y vectores de un Espacio Vectorial Real de dimensión finita n, con <,>
definido. Por la desigualdad de Cauchy − Schwarz:
<
→
x ,
→
y > 222 ||y||.||x||
→→
≤ , si
→
x ≠
→
0 e
→
y ≠
→
0
Se tiene:
1
||y||.||x||
y,x
22
2
≤>< →→
→→
o en forma equivalente
1
||y||.||x||
y,x
2
≤
><
→→
→→
o en forma equivalente
1
||y||.||x||
y,x
1 ≤><≤− →→
→→
Utilizando el concepto de función trigonométrica coseno resulta que: cos θ varía en el
intervalo [−1 , 1] cuando 0 ≤ θ ≤ 2π
Luego se puede decir que existe un único ángulo θ tal que:
||y||.||x||
y,x
cos →→
→→
><=θθθθ y 0 ≤ θ ≤ π
Vectores Ortogonales:
Sea V un Espacio Vectorial Real con <,> definido. Sean
→
x ,
→
y de V entonces de dice
que
→
x ,
→
y son vectores ortogonales si ><
→→
y,x =0
Propiedad: El vector
→
0 0 del Espacio Vectorial Real V es ortogonal a todo vector
→
x ∈ V. Es decir ><
→→
x,0 =0 ∀
→
x ∈ V.
8- Normalización de un vector. Vector Unitario. Conjunto Ortogonal
Definición: Sea V un Espacio Vectorial Real, con dimensión finita y con <,> definido.
Sea
→
u ∈ V, cuando 1u =
→
se dice que
→
u es un vector unitario en V.
11
Nota: A continuación determinamos un vector
→
w que pertenezca al SG(
→
u ) de
forma tal que 1w =
→
Si
→
w ∈ SG(
→
u ) resulta
→→
= uw αααα ; α ∈ ℜ
Como 1w =
→
resulta:
1u . w ==
→→
αααα , de donde
||u||
1
→=αααα
Por lo tanto , eligiendo
→
→
→
= u
||u||
1
w resulta que 1w =
→
(probarlo)
Y también :
→
→
→
−= u
||u||
1
w resulta que 1w =
→
(probarlo)
Luego a todo vector no nulo, pueden asociarse dos vectores unitarios:
→
→
→
= u
||u||
1
w1 y
→
→
→
−= u
||u||
1
w 2
Ejercicio: Sea V = ℜ3 ; Sea el producto interior euclideo, a partir de ( )2,5,0t −=
→
.
Construya vectores unitarios y compruebe en uno de ellos que es unitario.
−=−
+−+
==
→
→
→
29
5
,
29
2
,0)5,2,0(
5)2(0
1
t
||t||
1
w
222
1
−=−
+−+
−=−=
→
→
→
29
5
,
29
2
,0)5,2,0(
5)2(0
1
t
||t||
1
w
222
2
Además veamos si
→
1w es unitario
11
29
29
29
254
29
5
29
2
0w
22
2
1 ===
+=
+
−+=
→
, entonces
→
1w es unitario
Conjunto Ortogonal:
Sea V un Espacio Vectorial Real, con producto interior <,> definido respecto a una base
ordenada B. Sea un conjunto Q = }w,...,w,w{ n21
→→→
un subconjunto de V. Se dice que Q
es un conjunto ortogonal con respecto a la base B si se verifica:
12
0w,w ji >=<
→→
n,,1j
n,,1i
ji
K
K
=
=
≠∀
Nota: Sea V un Espacio Vectorial Real, con producto interior <,> definido respecto de
una base ordenada B. Sea Q = }w,...,w,w{ n21
→→→
⊆ V. Sea
→
u ∈ V; se dice que
→
u es
ortogonal al conjunto Q si se verifica:
0w,u i >=<
→→
n,,1i K=∀
Propiedad: Si
→
u es ortogonal al conjunto Q, entonces
→
u es ortogonal al subespacio
generado por Q.
Ejercicio: Sea Q = {(1, 0, 0) ; (0, 0, 1)} ⊆ ℜ3
a) Pruebe que es un conjunto ortogonal; utilizando el producto euclideo .
b) Verifique si son linealmente independientes.
c) Determine el SG(Q) = H
d) Es (0,10,0) un vector ortogonal a Q?
e) Encuentre la forma de los vectores ℜ3 que son ortogonales a H.
En efecto:
a) 01.00.00.1)1,0,0(),0,0,1(w,w 21 =++>=>=<<
→→
→ Q es un conjunto ortogonal.
b)
)0,0,0()1,0,0.()0,0,1.(
0y 0 d.p.q. 0ww. 21
=+
===+
→→→
ββββαααα
ββββααααββββαααα
Algebraicamente :
0:10
0:00
0:01
∼
0:00
0:10
0:01
, de acá
=
=
0
0
ββββ
αααα
,
los vectores de Q son Linealmente independientes (L.I)
c)Determine el H= SG(Q)={(x,y,z)∈ ℜ3/ (x,y,z)= ∈+
→→
ββββααααββββαααα ,con ,ww. 21 ℜ}
Algebraicamente :
z:10
y:00
x:01
∼
y:00
z:10
x:01
, de acá { 0y =
H= SG(Q)={(x,y,z)∈ ℜ3/ y=0} ( Plano “x,z”)
d) Es (0,10,0) un vector ortogonal a Q?
Analicemos si este vector es ortogonal a cada vector de Q:
00.00.101.0)0,0,1(),0,10,0(w),0,10,0( 1 =++>=>=<<
→
01.00.100.0)1,0,0(),0,10,0(w),0,10,0( 2 =++>=>=<<
→
Como este vector es ortogonal a cada vector de Q, entonces este vector es ortogonal a
Q.
13
e)Encuentre la forma de los vectores (a,b,c) ∈ ℜ3 que son ortogonales a H( ó sea a cada
vector de H).
00.c0.b1.a)0,0,1(),c,b,a(w),c,b,a( 1 =++>=>=<<
→
→a=0
01.c0.b0.a)1,0,0(),c,b,a(w),c,b,a( 2 =++>=>=<<
→
→c=0
Luego (a,b,c)=(0,b,0)
Por lo tanto los vectores ortogonales a H son los vectores (0,k,0) con k∈ ℜ.
Teorema: Si Q = }v,...,v,v{ n21
→→→
es un conjunto de vectores ortogonales no nulos en
un Espacio Vectorial Real, con producto interior definido, entonces Q es un conjunto de
vectores linealmente independientes.
Demostración:
Hipótesis: • V Espacio Vectorial Real con producto interior <,>.
• Q un conjunto ortogonal de vectores no nulos �
0v,v ji >=<
→→
n,,1j
n,,1i
ji
K
K
=
=
≠∀ �
Tesis: • Q es un conjunto de vectores linealmente independientes.
Ó sea en la
→→→→
=+++ 0v...vv nn2211 αααααααααααα � dpq 0... n21 ==== αααααααααααα
Demostración:
Teniendo en cuenta 0v,0 i >=<
→→
∀ i = 1, ..., n �
Reemplazando en � con �, se tiene :
>+++>=<=<
→→→→→→
inn2211i v,v...vvv,00 αααααααααααα ∀i =1, ...,n, luego por Axioma de Aditividad
><++><++><+>=<
→→→→→→→→
inniiii22i11 v,v...v,v...v,vv,v αααααααααααααααα ,Ax. Homog
><++><++><+><=
→→→→→→→→
inniiii22i11v,v...v,v...v,vv,v αααααααααααααααα , por �
0....v,v...0.0. niii21 αααααααααααααααα ++><+++=
→→
, por � 0v,v ii >≠<
→→
, luego:
><=
→→
iii v,v0 αααα n,,1i K=∀ → i0 αααα= , n,,1i K=∀
Volviendo a �, se tiene que Q es Linealmente Independiente. c.q.d
Ejercicio:
Sea V = ℜ3; con producto interior euclideo.
Sea el conjunto Q = ( ) ( ) ( ){ }21,0,21;21,0,21;0,1,0 − .
a) Probar que Q es un conjunto ortogonal en ℜ3.
b) ¿Puede asegurar que Q es una base de ℜ3? Justifique su respuesta.
14
c) ¿Son unitarios los vectores de Q?
En efecto:
a) 0
2
1
.00.1
2
1
.0)
2
1
,0,
2
1
(),0,1,0(v,v 21 =++>=>=<<
→→
→
→
1v es ortogonal a
→
2v
0)
2
1
.(00.1
2
1
.0)
2
1
,0,
2
1
(),0,1,0(v,v 31 =−++>=−>=<<
→→
→
→
1v es ortogonal a
→
3v
0)
2
1
.(
2
1
0.0
2
1
.
2
1
)
2
1
,0,
2
1
(),
2
1
,0,
2
1
(v,v 32 =−++>=−>=<<
→→
→
→
2v es
ortogonal a
→
3v
Luego Q es un conjunto ortogonal de vectores no nulos, pues
0v,v ji >=<
→→
3,,1j
3,,1i
ji
K
K
=
=
≠∀
b)Como Q es un conjunto ortogonal de vectores no nulos, entonces( por Teorema
anterior) Q es L.I. en ℜ3.Además por un resultado anterior “n vectores L.I. en un
espacio de dimensión “n” forman una base del espacio en este caso 3 vectores L.I. en
ℜ3, forman una base de ℜ3.
c) Veamos los módulos de los vectores de Q:
1010)0,1,0(),0,1,0(v,vv 222111 =++=><=><=
→→→
→
→
1v es unitario
1
2
1
0
2
1
)
2
1
,0,
2
1
(),
2
1
,0,
2
1
(v,vv
2
2
2
222 =
++
=><=><=
→→→
→
→
2v es unitario
1
2
1
0
2
1
)
2
1
,0,
2
1
(),
2
1
,0,
2
1
(v,vv
2
2
2
333 =
−++
=>−−<=><=
→→→
→
→
3v es unitario
Luego Q es base de ℜ3 con vectores ortogonales y unitarios
9-Base Ortonormal
Definición : Sea V un Espacio Vectorial Real con producto interior definido a partir de
una base ordenada de V. Un conjunto B = }v,...,v,v{ n21
→→→
de vectores de V se llama
“Base ortonormal de V”, si:
1º) B es base de V.
2º) B es un conjunto ortogonal de V, es decir: 0v,v ji >=<
→→
n,,1j
n,,1i
ji
K
K
=
=
≠∀
3º) Todos los vectores de B son unitarios, es decir: 1v i =
→
, n,,1i K=∀
15
Nota: Recordemos que en caso de trabajar en la base canónica, se determinaban con
facilidad las coordenadas de un vector.
Cuando no se trabaja en la base canónica, para determinar las coordenadas de un vector,
se debe resolver el sistema de ecuaciones lineales.
El siguiente teorema permite determinar con facilidad las coordenadas de un vector
respecto de una base ortonormal, usando el concepto de producto interior.
10- Coordenadas de un Vector en una Base Ortonormal
Teorema: Sea V espacio vectorial de dimensión finita con producto interior definido ;
sea B = }v,...,v,v{ n21
→→→
es una base ortonormal de V. Sea
→
w un vector cualquiera de V,
entonces:
→→→→→→→→→→
><++><+>=< nn2211 vv,w...vv,wvv,ww , en forma única, o sea
><
><
><
=
→→
→→
→→
→
n
2
1
B
v,w
:
v,w
v,w
w
Demostración:
Por hipótesis B es una “base” de V; luego:
→→→→
+++= nn2211 vk...vkvkw , con ki ∈ ℜ ,
escalares únicos.
Además:
=
→
n
2
1
B
k
k
k
w
M
� Matriz de coordenadas (única).
Calculamos:
>+++>=<<
→→→→→→
1nn22111 v,vk...vkvkv,w , aplicando los Ax. de Aditividad y Homogeneidad
><++><+><=
→→→→→→
1nn122111 v,vk...v,vkv,vk ,por ser B base ortonormal
0.k...0.kv,v.k n2111 +++><=
→→
2
11 v.k
→
= , por ser B base ortonormal
1
2
1 k1.k ==
Luego 11 kv,w >=<
→→
De igual modo:
>+++>=<<
→→→→→→
2nn22112 v,vk...vkvkv,w , Ax. de Aditividad y Homogeneidad ; B base ortonormal
16
2
2
22n2221 kv.k0.k...v,v.k0.k ==++><+=
→→→
Luego 22 kv,w >=<
→→
Así siguiendo : nn kv,w >=<
→→
Reemplazando estas igualdades en �, se obtiene :
><
><
><
=
→→
→→
→→
→
n
2
1
B
v,w
:
v,w
v,w
w c.q.d.
Ejercicio:
Sea V = ℜ3, considere el producto interior euclideo.
Sea B = ( ) ( ) ( ){ }21,0,21;21,0,21;0,1,0 − base ortonormal para ℜ3.Determine las
coordenadas de
→→
qy w en la base B, siendo: )3,0,1(qy (2,1,1) w −==
→→
Donde:
><
><
><
=
→→
→→
→→
→
3
2
1
B
v,w
v,w
v,w
w ,con :
2
1
)
2
1
,0,
2
1
(),1,1,2(v,w
2
3
)
2
1
,0,
2
1
(),1,1,2(v,w
1)0,1,0(),1,1,2(v,w
3
2
1
>=−>=<<
>=>=<<
>=>=<<
→→
→→
→→
entonces
=
→
2
1
2
3
1
w
B
y también
−
=
→
2
4
2
2
0
q
B
11-Proyecciones Ortogonal de un vector sobre otro vector:
→
v.αααα , es la “Proyección ortogonal del vector
→
a sobre el vector
→
v ”
17
Sea θθθθ , el ángulo formado por los vectores
→
a y
→
v .
El vector: =
→
v.αααα
→
→ a oyPr
v
Como :
→
→
==
a
v.
.hipot
.ady.cat
)cos(
αααα
θθθθ
Además:
→→
→→
><=
va
v,a
)cos(θθθθ
Igualando se tiene:
→
→
→
→
→→
→→
==><
a
v
a
v
va
v,a
αααααααα
Para ααααααααθθθθ =≤≤ ,º900
Entonces:
→
→
→→
→→
=><
a
v.
va
v,a
αααα
, despejando αααα , se tiene:
2
v
v,a
→
→→
><=αααα ,con lo cual se tiene:
→
→
→→
→
→
><= v.
v
v,a
a oyPr
2
v
Ejercicio: Determine en V = ℜ2, considere el producto interior euclideo, la proyección
ortogonal del vector
→
a sobre el vector
→
v =(2,0), cuando :
a)
→
a =(1,4)
b)
→
a =(-1,4)
18
En efecto: Trabajando con
→
a =(1,4)
[ ]
)0,1()0,2.(
2
1
)0,2.(
02
0.42.1
)0,2.(
)0,2(
)0,2(),4,1(
v.
v
v,a
a oyPr
2
22
22
v
==
+
+=
=><=><=
→
→
→→
→
→
Trabajando con
→
a =(-1,4)
[ ]
)0,1()0,2.(
2
1
)0,2.(
02
0.42.1
)0,2.(
)0,2(
)0,2(),4,1(
v.
v
v,a
a oyPr
2
22
2
2
v
−=−=
=
+
+−=
=>−<=
=><=
→
→
→→
→
→
12-Proyecciones Ortogonal de un vector sobre un Subespacio Vectorial:
Sea B = }v,...,v,v{ k21
→→→
es una base ordenada ortonormal de un subespacio H del E.V.
V, con producto interior definido <,>. Sea
→
v ∈ V entonces:
→→→→→→→→→→
><++><+>=< kk2211H v.v,v...v.v,vv.v,vv oyPr
Además este vector Hv oyPr H ∈
→
.
19
Ejercicio: Sea V = ℜ3, considere el producto interior euclideo, el conjunto ortonormal
A={(-4/5,0,3/5),(0,1,0)} y el vector
→
v =(-1,1,2) .
a) Determine el H=SG(A)
b) Halle la
→
v oyPr H .
En efecto:
a) H={(x,y,z) ∈ℜ3 / R},con )z,y,x()0,1,0()5/3,0,5/4( 2121 ∈=+− αααααααααααααααα
Algebraicamente: :
−
z:05/3
y:10
x:05/4
∼
+
−
x4/3z:00
y:10
x:05/4
, de acá :
Cuando rg(A)=rg(A*)=2=nº de incóg ↔{ 0xz 43 =+ : Ecuación de H
Luego:
H={(x,y,z) ∈ℜ3 / }0xz 4
3 =+ (Gráficamente es un plano de ℜ3) ; dim(H)=2
Como A es conjunto generador de H , subespacio de dimensión 2 y A tiene 2
vectores, entonces A es base de H y como es un conjunto ortonormal, resulta que A
es una base ortonormal de H.
Donde :A={(-4/5,0,3/5),(0,1,0)}= }v,v{ 21
→→
)5/6,1,5/8()0,1,0.(1)5/3,0,5/4.(2
)0,1,0].(0.21.10.1[)5/3,0,5/4)].(5/3.20.1)5/4(1[
)0,1,0.()0,1,0(),2,1,1()5/3,0,5/4.()5/3,0,5/4(),2,1,1(
v.v,vv.v,vv oyPr)b 2211H
−=+−=
=++−+−+++−−=
=>−<+−>−−=<
=><+>=<
→→→→→→→
13-Componente Ortogonal de un vector sobre un Subespacio Vectorial:
Sea B = }v,...,v,v{ k21
→→→
es una base ordenada ortonormal de un subespacio H del E.V.
V, con producto interior definido <,>. Sea
→
v ∈ V entonces definimos “componente
ortogonal de un vector sobre unsubespacio”, como:
><++><+><−=−==
→→→→→→→→→→→→→
⊥
→
kk2211HH
v.v,v...v.v,vv.v,vvv oyPrvv oyPrp
Además indicamos con :
→
⊥
→
= v oyPrp
H
.
Hh 0h,x/Vx{H ∈∀>=<∈=
→→→→
⊥ }
20
14-Teorema de la Proyección
Sea el E.V. V, con producto interior definido <,>, sea
→
v ∈ V , luego
→
v , se puede
expresar de manera única como:
→→→
+= hpv , donde
→→
= v oyPrh H ;
→
⊥
→
= v oyPrp
H
,
para H subespacio de V .
(DEMOSTRACION para EXAMEN FINAL)
Ejercicio Propuesto:
Sea V = ℜ3, considere el producto interior euclideo, el conjunto ortonormal
A={(-4/5,0,3/5),(0,1,0)} y el vector
→
v =(-1,1,2) .
Determine la componente ortogonal del vector que
→
v , es ortogonal a los vectores del
conjunto A.
En efecto :
En un ejercicio anterior vimos que los vectores del conjunto A={(-4/5,0,3/5),(0,1,0)}=
}v,v{ 21
→→
, generan al subespacio H y son una base ordenada ortonormal de él, donde:
SG(A)=H={(x,y,z) ∈ℜ3 / }0xz 4
3 =+
Llamemos
→
p , a la componente ortogonal del vector que
→
v , es ortogonal a los vectores
del conjunto A, es decir :
→
⊥
→
= v oyPrp
H
=
><+><−
→→→→→→→
2211 v.v,vv.v,vv
[ ] )5/4,0,5/3()5/6,1,5/8(v)0,1,0.(1)5/3,0,5/4.(2v =−−=+−−=
→→
Lo cual geométricamente coincide con el vector normal del plano H, lo cual muestra
que es ortogonal a los vectores de A.
15-Proceso de Gram −−−− Schmidt
Sea V un Espacio Vectorial Real de dimensión finita, con producto interior definido.
Sea B1 = }v,...,v,v{ n21
→→→
una base ordenada de V. A partir de ella construimos una nueva
base B2 = }w,...,w,w{ n21
→→→
que sea ortonormal. El método es un algoritmo constructivo.
Paso 1:
||v||
v
w →
→
→
=
1
1
1 (vector normalizado)
Paso 2 :El próximo vector 2w
→
a construir debe ser ortogonal a 1w
→
(o al SG({ 1w
→
})) y
de norma unitaria.
21
Para ello se elige el vector 2v
→
(de la base B1) y se toma de 2v
→
la componente ortogonal
al
→
1w =SG({ 1w
→
}). Para ello se aplica la fórmula:
→→→→
→→→→
→
><−
><−=
1122
1122
2
ww,vv
ww,vv
w
Paso 3: Para obtener un vector 3w
→
que sea ortogonal a 1w
→
y 2w
→
, se considera la
componente ortogonal de 3v
→
al subespacio generado por SG({1w
→
, 2w
→
}).
→
→→
→→
−= 3
}2w,1w{
33 vproyvw
→→→→→→→
→→→→→→
→
><−><−
><−><−=
2231133
2231133
3
ww,vww,vv
ww,vww,vv
w
Paso k: Para obtener un vector
→
kw que sea ortogonal a
→
−
→→
1k21 w,...,w,w ; se elige la
componente de
→
kv ortogonal al subespacio generado por
→
−
→→
1k21 w,...,w,w :
∑
∑
−
=
→→→→
−
=
→→→→
→
><−
><−
=
1k
1i
iikk
1k
1i
iikk
k
ww,vv
ww,vv
w
Ejercicio Propuesto: Sea V = ℜ3 ; sea el producto interior definido por :
><
→→
v,u = u1v1 + 2u2v2+u3v3 . Determine una base ortonormal para ℜ3, aplicando el
proceso de Gram − Schmidt a la base
B1 = }v,v,v{ 321
→→→
, siendo
→
1v = (1, −1, 1) ,
→
2v = (−2, 4, 2) ,
→
3v = (2, 0, −6)
Solución del Ejercicio: Para construir la base ortonormal B2 = }w,w,w{ 321
→→→
a partir de
la base B1 = }v,v,v{ 321
→→→
, dada, se siguen los siguientes pasos:
Paso 0: Se ve la expresión del módulo de un vector si el producto no es el
euclideo, en este caso 23
2
2
2
1332211 xx2xxxxx2xxx,xx ++=++=><=
→→→
22
Paso 1: ( )21212122
1
1
1 ,,
1)1.(21
)1,1,1(
||v||
v
w −→
→
→
=
+−+
−==
Paso2:
→→→
→
−
→
→→→
→→→
→→→→
→→→→
→
>−<−
++−−
=
>−<−
>−<−
=
><−
><−
=
112
12
1
2
1
2
1
2
112
112
1122
1122
2
ww),2,4,2(v
w]2.4)..(2)2.([v
ww),2,4,2(v
ww),2,4,2(v
ww,vv
ww,vv
w
( )
24
4
24
2
222
112
2
1122
12 ,,0
42.20
)4,2,0(
ww),2,4,2(v
)2,2,2(v
ww,vv
w).4(v
=
++
=
>−<−
−−−=
><−
−−
=
→→→
→
→→→→
→→
Paso 3:
→→→→→→→
→→→→→→
→
><−><−
><−><−=
2231133
2231133
3
ww,vww,vv
ww,vww,vv
w
→→→→
→→
→→→→→
→→→→→
>−<−>−<−
−++−−−
=
><−>−<−
><−>−<−
=
22113
224
4
42
2
13
223113
223113
ww),6,0,2(ww),6,0,2(v
w)].6.(0)..(22.0[w).2(v
ww,vww),6,0,2(v
ww,vww),6,0,2(v
Cálculos auxiliares:
)6,2,0(w.w)].6.(0)..(22.0[w.w,v
)1,1,1(w.2w)].6.(0)..(22.[w.w),6,0,2(
224
24
224
4
42
2
223
112
1
2
1
2
1
11
−=−=−++=><
−−=−=−++=>−<
→→→→→
→→
−
→→
Luego
),,(
)1()1.(23
)1,1,3(
ww,vww),6,0,2(v
)]6,2,0()1,1,1[()6,0,2(
w
12
1
12
1
12
3
222
223113
3
−−
→→→→→
→
=
−+−+
−−=
><−>−<−
−+−−−−=
B2 = }w,w,w{ 321
→→→
={ ( );,, 212121 − ( )244242 ,,0 ; ),,( 121121123 −− }es una base ortonormal
para ℜ3, respecto al producto interior definido.
23
Observaciones generales del Proceso de Gram −−−− Schmidt
• También la base ortonormal final B2 depende del orden de los vectores de la base
dada. Si se cambia el orden de los vectores en la base B1 se puede obtener una base
ortonormal B2 diferente para V.
• Una de las consecuencias útiles de tener una base ortonormal en un espacio
euclideano (espacio vectorial de dimensión finita, con producto interior definido) V,
es que un producto interno arbitrario sobre V, cuando se expresa en términos de
coordenadas con respecto a la base ortonormal, se comporta de igual manera que el
producto interno estándar en ℜn.
• El proceso de Gram − Schmidt no se adapta bien a los cálculos numéricos grandes.
Casi siempre hay una pérdida de ortogonalidad en los iw
→
calculados. En la práctica
se usan variantes de algunos métodos numéricos llamados Gram − Schmidt
modificado.
-*-*-*-*
1
ÁLGEBRA LINEAL
UNIDAD 4- Transformaciones Lineales
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
LIC. EN GEOFISICA - LIC. EN ASTRONOMIA
Año: 2018
2
Unidad Nº4: Transformaciones Lineales
I- Objetivos
Al finalizar la unidad se espera que el alumno sea capaz de:
• Interpretar el concepto de transformación lineal, como una relación
entre dos espacios vectoriales.
• Generalizar el concepto de función estudiada en el Análisis
Matemático I ( )f :R R→ al campo de los espacios vectoriales en
general.
• Lograr habilidad en el cálculo, para determinar cuales funciones
representan una transformación lineal.
• Emplear correctamente las propiedades de las transformaciones
lineales, para que en la práctica pueda discernir cuales son
transformaciones lineales.
• Interpretar correctamente las definiciones de Núcleo e Imagen de una
transformación lineal.
• Aplicar correctamente el teorema de la Dimensión.
• Inferir los conceptos de: matriz estándar, representación matricial de
una transformación lineal respecto a dos bases, matriz ortogonal,
matrices similares, tensor cartesiano.
• Modelar y resolver correctamente ejercicios de aplicación.
II- Secuencia de los Contenidos.
• Importancia y aplicación del estudio de las transformaciones lineales.
• Definición. Ejemplos. Propiedades.
• Núcleo e Imagen de una transformación lineal.
• Dimensión de los subespacios núcleo e imagen.
• Teorema de la Dimensión.
• Representación matricial de una transformación lineal: representación
canónica y no canónica.
• El espacio vectorial de las transformaciones lineales.
• Cambio de base. Matrices semejantes.
• Determinación de matrices semejantes.
• Matrices ortogonales para la representación matricial de una
transformación lineal. Definición de tensor3
Unidad N° 4
TRANSFORMACIONES LINEALES
Dado }z ;y ;x/)z,y,x{(A 072313 =≤≤≤≤ℜ∈= , aplique a cada punto de A la
función: T( )y,x())z,y,x( 22= .
En diseño gráfico ciertas veces a una imagen se le imprime modificaciones como:
rotarla, ampliarla, reducirla, buscar su simetría, proyectarla, etc. También en el trabajo
con robots al mover una determinada pieza, la nueva posición de ésta, es una rotación
de la original, o una inclinación, etc. En todas estas actividades están presentes las
Transformaciones Lineales (TL).
TRANSFORMACIÓN LINEAL
Definición: Sean V y W dos espacios vectoriales ),,(⋅+V y ),,( ⋅+W , una función
WVT →: es una transformación lineal si verifica:
1. )y(T)x(T)yx(T
→→→→
+=+ Vyx ∈∀
→→
, .
2. )x(T.)x.(T
→→
λ=λ ℜ∈∀λ y Vx∈∀
→
.
Nota:
1. )x(T
→
se llama “transformación del vector
→
x ”, )x(T
→
es un elemento de W.
2. El espacio vectorial V recibe el nombre de dominio de T.
3. El espacio vectorial W recibe el nombre de codominio de T o conjunto de
llegada.
4. )(VT recibe el nombre de imagen de la TL T.
)y,x()z,y,x(
T
22→
→
x T(
→
x )
T(V)
V= Dominio W= Codominio
A (1,2,0) (1,7,0)
(3,2,0) (3,7,0)
x
z
y
Imagen de A
(2,4) (6,4)
(6,14) (2,14) y
x
2 4 6 8
12
8
4
4
Ejemplos: Para analizar funciones que son T.L.
1. )2,2()),,((/: 23 yxzyxTT =ℜ→ℜ
1º) ¿ )()()(
→→→→
+=+ yTxTyxT ?
Sea Vcbax =ℜ∈=
→
3),,(
Sea Vfedy =ℜ∈=
→
3),,(
Luego : V)fc,eb,da(yx ∈+++=+
→→
)eb,da())eb(),da(())fc,eb,da((T)yx(T 222222 ++=++=+++=+
→→
)b,a()c,b,a(T)x(T 22==
→
)e,d()f,e,d(T)y(T 22==
→
)eb,da()e,d()b,a()f,e,d(T)c,b,a(T)y(T)x(T 22222222 ++=+=+=+
→→
2º) ¿ )x(T.)x.(T
→→
λ=λ ?
Donde : ),,(),,( cbacbax λλλλλ ==
→
=λ
→
)x.(T )b,a())c,b,a((T λλ=λλλ 22
)x(T.
→
λ )b,a()b,a()b,a( λλ=λλ=λ= 222222
Como 1º) y 2º) son válidos 3, ℜ∈∀
→→
yx , ∴ℜ∈∀λ T es TL.
Dominio: 3ℜ=V
Conjunto de llegada: 2ℜ=W
2.
−
−
=→ℜ
y
xx
yxTMT
0
)),((/: 22
2
1º) ¿ )()()(
→→→→
+=+ yTxTyxT ?
=
=
Solamente pasa el x y el y al r2
Lit es como una función que va de los r3 a r2 aplicando esa T (f(x))
Entonces f(x) = T(r3), vectores de R3
Toma los vectores de un r2 y los pasa a una matriz 2x2 de la forma que sale al final
5
−
−
==
→ℜ=∈=
→→
b
aa
baTxTVbax
0
)),((),( 2
−
−
==
→ℜ=∈=
→→
d
cc
dcTyTVdcy
0
)),((),( 2
−−
−−+
=
−
−
+
−
−
=
+
→→
db
caca
d
cc
b
aa
yTxT
000
),(),(),( dbcadcbayx ++=+=+
→→
−−
−−+
=
+
++
=
+
→→
db
caca
yxT
0d)(b-0
c)(a-ca
=d))+bc,+T((a
2º) ¿
⋅=
⋅
→→
xTxT λλ ?
−
−
==→==
→→
b
aa
baTxTbabax
λ
λλ
λλλλλλλ
0
)),(()(),(),(
−
−
=
−
−
==
⋅
→
b
aa
b
aa
baTxT
λ
λλ
λλλ
00
)),((
Como 1º) y 2º) son válidos 2, ℜ∈∀
→→
yx , ∴ℜ∈∀λ T es TL.
Dominio: 2ℜ=V
Conjunto de llegada: 22MW =
Imagen=
−==∈
12112122
2221
1211 0 aa,a/M
aa
aa
3. ),()),((/: 22 yxyxTT −=ℜ→ℜ
1º) ¿ )()()(
→→→→
+=+ yTxTyxT ?
),()),((),( 2 nmnmTxTVnmx −==
→ℜ=∈=
→→
=
=
6
6 -6 4 2 -2 -4
4
2 B T(B)
Geométricamente
es una simetría
respecto del eje y
Generalmente toma algo de un plano y lo lleva a otro plano. pero en este caso es el mismo plano
Son funciones que en vez de tomar valores de una recta, como pueden ser los reales, toma valores de un espacio 2d, 3d o nd, y los pasa a otro espacio
Y tiene que cumplir las condiciones de mas arriba.
6
)p,q())p,q((TyTV)p,q(y −==
→ℜ=∈=
→→
2
)pn),qm(()pn),q(m()p,q()n,m()y(T)x(T ++−=+−+−=−+−=+
→→
)pn),qm(())pn,qm((T)yx(T ++−=++=+
→→
2º) ¿
⋅=
⋅
→→
xTxT λλ ?
),()),(()(),(),( 2 nmnmTxTVnmnmx λλλλλλλλλ −==⋅→ℜ=∈==⋅
→→
),(),( nmnmxT λλλλ −=−=
→
Como 1º) y 2º) son válidos 2, ℜ∈∀
→→
yx , ∴ℜ∈∀λ T es TL.
Dominio: 2ℜ=V
Conjunto de llegada: 2ℜ=W
Ejercicio : ¿Es )y,x()y,x(T/:T 522 +=ℜ→ℜ una TL?
“Traslada horizontalmente cualquier punto 5 unidades a la derecha”
1º) ¿ )()()(
→→→→
+=+ yTxTyxT ?
( ) )m,f(xTV)m,f(x 52 +=→ℜ=∈=
→
( ) ),5(),( 2 sryTVsry +=→ℜ=∈=
→
)sm,rf(yx ++=+
→→
)sm,rf()s,r()m,f()y(T)x(T +++=+++=+
→→
1055
)sm,rf()yx(T +++=+
→→
5
Como ∴+≠+
→→→→
)()()( yTxTyxT T no es TL.
=
≠
=
7
Nota: No toda función definida entre espacios vectoriales es una transformación lineal.
Definición: Sea f una función biyectiva que mapea un EVR ),,( ⋅+V de dimensión
finita, en otro EVR ),,( ⋅+W de igual dimensión , talque f que verifica los axiomas de
transformación lineal . Entonces los espacios vectoriales V y W son isomorfos.
Nota: Los espacios Vectoriales Isomorfos sólo difieren en la naturaleza de sus
elementos, ya que las propiedades algebraicas son idénticas.
Teorema: Si V es un EVR de dimensión “n”, entonces V es isomorfo a Rn
( Demostración para EXAMEN FINAL )
Nota : La importancia del teorema anterior radica en que cualquier propiedad que se
demuestre válida para Rn, lo es también para todo EVR isomorfo a él ( y no se necesita
volver a demostrar la citada propiedad en el nuevo espacio vectorial).
TRANSFORMACION MATRICIAL
Sea
→→
⋅=→ xAxTMMT mxnmxnx )(/: 11 una función que recibe el nombre de
transformación matricial.
Teorema: Toda transformación matricial es una TL.
D
Sean :
→→
⋅= xA)x(T ;
→→
⋅= yA)y(T
Además : =+=+=+
→→→→→→
yAxA)yx.(A)yx(T )y(T)x(T
→→
+
Ejercicios: Sea
+
=
⋅
=
→
x
zy
z
y
x
z
y
x
T/MM:T xx 2
3
002
310
1213
1º) Probar que T es una TL.
2º) Indicar el dominio de T.
3º) Indicar el conjunto de llegada de T.
4º) Hallar los transformados de los vectores de la base canónica de 31M e
indicar si este conjunto hallado es base de 21M .
Básicamente te dice que una función biyectiva mapeada por un EVR V, en otro EVR W, ambos de la misma dimensión, V y W son isomorfos.
Ejemplo funciones compuestas o funciones directamente que son de una sola dimensión y como por ejemplo los sistemas de ejes coordenados. Distintos X voltean distintos Y.
8
)y(T)x(T)yx(T
→→→→
+=+∴
Donde )x(T)xA()x(A)x(T
→→→→
⋅α=⋅⋅α=⋅α⋅=⋅α
)x(T)x(T
→→
⋅α=⋅α∴ ℜ∈∀α
Luego T es una TL.
Nota: Además toda transformación lineal tiene asociada una matriz, por lo cual,
también cada TL es transformación matricial.
¿Cómo se determina la Transformación Matricial asociada a laTL?. Por ello
enunciamos lo siguiente:
• Si 1B y 2B son las bases canónicas de V y W entonces A recibe el nombre de
matriz estándar de la transformación lineal o bien matriz canónica de la TL.
Ejemplo: )2,2()),,((/: 23 yxzyxTT =ℜ→ℜ
1º) Buscar la matriz estándar de la TL.
2º) Sea )},,();,,();,,{(B 1001101111 = y )},();,{(B 10112 −= hallar 21 BBA − .
3º) Buscar la transformación matricial de la TL.
PROPOSICION
Sea WVT →: una TL y }v,...,v,v{B n
→→→
= 211 base de V y }w,...,w,w{B p
→→→
= 212
base de W , la matriz:
21
222
21 BB
pxnB
n
BB
A)v(T...)v(T)v(TA −
→→→
=
=
Matriz de la TL asociada a las bases 1B y 2B .
LEER
9
4º) Sea ),,(m 132=
→
;
−
=
→
2
1
2
1B
m . Calcular
2B
)m(T
→ .
5º) Usando la representación matricial
21 BB
A − ,determina la fórmula T((x,y)),
compárala con la dada.
Respuestas:
1º) )},,();,,();,,{(}e,e,e{Bc 1000100013213 ==
→→→
ℜ
)},();,{(}e,e{Bc 1001212 ==
→→
ℜ
=
→→→
321 eT eT eTA T MM
==
→
0
2
0011 )),,((TeT
==
→
2
0
0102 )),,((TeT
=
020
002
TA
==
→
0
0
1003 )),,((TeT
2º) [ ] [ ] [ ][ ]
γβα
γβα
==−
222
111
22221
100110111 BBBBB )),,((T)),,((T)),,((TA MM
)2,2())1,1,1(( =T
−
→−+=
2
2
11
01
)1,0()1,1()2,2( 21 αα 21 =α
)2,0())1,1,0(( =T
−
→−+=
2
0
11
01
)1,0()1,1()2,0( 21 ββ 01 =β
)0,0())1,0,0(( =T
02 =α
22 −=β
10
−
→−+=
0
0
11
01
)1,0()1,1()0,0( 21 γγ 01 =γ
−
=
γβα
γβα
=− 020
002
222
111
21 BB
A
3º)
32
020
002
x
TA
= ( matriz estándar de la TL)
→
=→ xA)x(T/MM:T xx 1213 donde:
=
⋅
=
→
y
x
z
y
x
xT
2
2
020
002
4º) [ ]
1
212
B
BBB xA)x(T
⋅=
→
−
−
=
−
⋅
−
=
→
2
4
2
1
2
020
002
2B
mT
Otra forma: ),(mT),,(m 64132 =
→=
→→
θ
θ
=
→
2
1
2B
mT
)1,0()1,1()6,4( 21 −+= θθ
−
=
→
2
4
2B
mT
2;4
6
4
11
01
21 −==⇒
−
θθ
5º) Hallemos para un vector (x,y,z)∈R3 , sus coordenadas en la base B1
λ
λ
λ
=
3
2
1
1B
z)]y,[(x, , donde (x,y,z)=λ1(1,1,1)+λ2 (0,1,1)+ λ3 (0,0,1)
Resolviendo resulta que :
−
−=
λ
λ
λ
=
yz
xy
x
z)]y,[(x,
1B
3
2
1
02 =γ
Matriz respecto a las bases 1B y 2B .
11
Luego =
⋅
→
−
1
21
B
BB xA
−
=
−
−
− yx
x
yz
xy
x
.
22
2
020
002
=[ ]
2B
)x(T
Además hallemos para T((x,y,z))=(2x, 2y) ∈ R2 , sus coordenadas en la base B2
η
η
=
2
1
2B
[(2x,2y)] , donde (2x, 2y)=η1(1,1)+η2 (0,-1)
Resolviendo resulta que :
−
=
η
η
=
yx
x
[(2x,2y)]
2B 22
2
2
1
• Comparándola con la fórmula dada ( la cual corresponde a la fórmula en la base
canónica de R2), acá se obtuvo la fórmula de la TL en la base B2 de R
2.
Propiedades de las Transformaciones Lineales
Sea WVT →: con V y W EVR de dimensión finita, una TL entre dos EVR, se
verifica:
1. wvT
→→
=
00
2. Vx , xTxT ∈∀
−=
−
→→→
Desafío:
Sea )y,yx,yx())y,x((T/:T −+=ℜ→ℜ 232 , y sean las bases )},();,{(B 11011 =
de 2ℜ , y )},,();,,();,,{(B 1110110012 = de
3ℜ
1º) Buscar la matriz estándar de la TL.
2º) Hallar
21 BB
A − .
3º) Buscar la transformación matricial de la TL.
4º) Usando la representación matricial
21 BB
A − ,determina la fórmula T((x,y)),
compárala con la dada.
12
3. V y ,x , )y(T)x(T)yx(T ∈∀−=−
→→→→→→
4. Si Q es un subespacio de )(QTV ⇒ es subespacio de W .
5. Si R es un subespacio de )(1 RTW −⇒ es subespacio de V .
6. )v(T...)v(T)v...v(T kkkk
→→→→
α++α=α++α 1111 con ℜ∈iα .
7. Sea WV:T → una TL, sea }v,...,v{B n
→→
= 1 base de V y tal que ii wvT
→→
=
n,...,,i 21=∀ con Ww i ∈
→
.
Luego Vx ∈∀
→
se puede escribir en forma única como:
nn v...vx
→→→
α++α= 11 con ℜ∈α i ( únicos , para i=1,2,…,n)
/WV:T → nn w...w)x(T
→→→
α++α= 11 (única)
Nota: Esta propiedad es muy importante, pues establece que si se conocen donde se
mapean los vectores de una base del dominio, se puede determinar una TL única, para
cualquier vector del dominio.
Ejercicio: Sea )}1,0,0();1,1,0();1,1,1{(/: 23 =ℜ→ℜ BT base de 3ℜ :
123111
→
== w),()),,((T ; 241110
→
=−= w),()),,((T ; 311100
→
== w),()),,((T
),,(),,(),,()z,y,x(x/Vx 100110111 321
3 α+α+α==ℜ=∈
→→
⇒
=α+α+α
=α+α
=α
→
z
y
x
z
y
x
321
21
1
111
011
001
yz
xy
x
−=α
−=α
=α
3
2
1
),,(),,(),,(x:Como 100110111 321 α+α+α=⇒
→
)),,((T)),,((T)),,((TxT 100110111 321 ε+α+α=
→
),()yz(),()xy(),(xxT 114123 ⋅−+−⋅−+⋅=
→
13
T: /23 ℜ→ℜ )zyx,zyx(xT ++−+−=
→ 3224
Esta transformación lineal es única, fijados los transformados de la base de V .
NUCLEO e IMAGEN de una TL
Sea WVT →: , el conjunto de vectores de V que se mapea (“transforma”) en el vector
nulo de W , se lo llama núcleo de T o ker(T).
=∈===
→→→
WT )x(T/Vx)Tker(NucTN 0
Sea WVT →: , el conjunto de todos los vectores de W que son imagen de los vectores
de V , se lo llama imagen de T o T(V) o recorrido de T.
=∈∃∈=
→→→→
y)x(T,Vx/WyImT
Nota: Si
=
→→→
nvvvB ,...,, 21 es base de ⇒V SG ( )VTvT,...,vT,vT n =
→→→
21
siendo WVT →: transformación lineal.
Teorema: Sea WVT →: una TL ⇒
D
1º) Vemos que NucT es subespacio de V :
=∈=
→→→
W)x(T/VxNucT 0
NucT
ImT
v
w
W
→
0
V
v W
w
1º) NucT es subespacio de V.
2º) ImT es subespacio de W.
Todos los vectores de V que se transforman en el 0,0 del W son los vectores nucleo de T o ker(T)
14
1. Por las propiedades de TL sabemos que wVT
→→
=
00 NucTV ∈⇒
→0 .
2. Sean WxTNucTx
→→→
=
→∈ 011
WxTNucTx
→→→
=
→∈ 022
dpq WxxTNucTxx si
→→→→→
=
+→∈+ 02121
WWWxTxTxxT
→→→→→→→
=+=
+
=
+ 0002121 NucTxx ∈+∴
→→
21
3. Sea ℜ∈α y sea WxTNucTx
→→→
=
→∈ 011
dpq : WxTNucTx
→→→
=
α→∈α 011
WW.xTxT
→→→→
=α=
α=
α 0011 NucTx ∈⋅α∴
→
1
De 1, 2 y 3, por el Teorema Clave, NucT es subespacio vectorial de V .
2º) Veamos que ImT es subespacio de V .
=∈∃∈=
→→→→
y)x(T,Vx/WyImT
1. W
→
0 TIm∈ pues /W
→
∃0 wVT
→→
=
00 ∴ W
→
0 TIm∈ .
2. Sean 1111
→→→→
=
∈∃→∈ sxT:VxTIms
2222
→→→→
=
∈∃→∈ sxT:VxTIms
dpq 2121
→→→→→→
+=
∈∈+ ssxT:Vxun hay cuando TImss ii
This is fuckinh deep
15
+=
+
=+
→→→→→→
212121 xxTxTxTss
Como Vx,Vx ∈∈
→→
21 y V es un EVR, también Vxx ∈+
→→
21 y
ixxx
→→→
=+ 21 .
Luego hay un /Vxxx i ∈+=
→→→
21 2121
→→→→
+=
+ ssxxT
TImss ∈+∴
→→
21
3. Sea ℜ∈α y sea 1111
→→→→
=
∈∃→∈ sxT:VxTIms .
dpq 11
→→→→
α=
∈∃→∈α sxT:VxTIms
α=
α=α
→→→
111 xTxTs
Como Vx entonces ,Vx ∈α∈
→→
11 , por ser V EVR
Luego hay un 111
→→→→→
α=
α=
∈α= sxTxT / Vxx TIms ∈α∴
→
1
De 1, 2 y 3, la ImT es subespacio de W.
Nota:
• A la dimensión del NucT la llamaremos nulidad de T, donde:
dimNucT=nulidad T
• A la dimensión de la ImT la llamaremos rango de T, donde:
dimImT=rango T
Definición: Sea WVT →: es una TL inyectiva ⇔
→→
≠ 21 xx entonces
≠
→→
21 xTxT
Definición: Sea WVT →: es una TL inyectiva ⇔
=
→→
21 xTxT entonces
→→
= 21 xx .
16
Teorema: Una TL WVT →: es inyectiva ⇔ =NucT
→
V0 .
D Hipótesis: T es inyectiva.
Tesis (lo que queremos probar): =NucT
→
V0 .
Sabemos que
=∈=
→→→
W)x(T/VxNucT 0 , sea
→→→
=⇔∈ W)x(TNucTx 0 , también
sabemos por las propiedades que wVT
→→
=
00 ⇒ wVTxT
→→→
=
=
00 ⇒ Vx
→→
= 0 .
→
x es cualquier vector del ∴NucT =NucT
→
V0 .
Hipótesis: =NucT
→
V0 .
Tesis: T es inyectiva.
Sea
=
→→
21 xTxT entonces =
−
→→
21 xTxT w
→
0 ⇒ =
−
→→
21 xxT w
→
0
Por definición NucT:
→→
− 21 xx =∈ NucT
→
V0 ⇒
→→
− 21 xx
→
= V0 ⇒
→→
= 21 xx
∴ T es inyectiva
Teorema : Sea WVT →: una TL definida entre 2 EVR de dimensión finita, se dice
que T es sobreyectiva si ImT= W
Conclusiones:
1º) T es inyectiva ⇔ 0dim =NucT .
T es inyectiva ⇔ 0=nulidadT .
2º) T es sobreyectiva ⇔ WT =Im .
T es sobreyectiva ⇔ WrangoTT dimImdim == .
17
Teorema del rango: Para toda matriz Amxn , se verifica que :
nulidadARangoAnA de columnas deNº +==
( donde : nulidad A= dim(
=∈
→→→
0x.A/Rx n ) )
Ejemplo 1: Sea A=
2202
1101
a. Dar el rango de A.
b. Dar la nulidad de A.
c. Verificar el Teorema del Rango.
d. Dar la TL asociada al a matriz A
Respuestas:
a. A=
2202
1101
∼
0000
1101
∴
b. nulidad A= dim(
=∈
→→→
04 x.A/Rx )
=∈
→→→
04 x.A/Rx =
=∈=
→→→
04 x.A/R)w,z,y,x(x
02202
01101
:
:
∼
00000
01101
:
:
⇔ x + z + w = 0 ⇔ x = − z − w
=∈=
→→→
04 x.A/R)w,z,y,x(x =
−−=∈=
→
wzx/R)w,z,y,x(x 4
Obteniendo sus generadores, se tiene:
( − z − w, y, z, w ) = y (0,1,0,0) + z (-1,0,1,0) + w (-1,0,0,1)
Se puede probar ( Ejercicio), que {(0,1,0,0) , (-1,0,1,0) , (-1,0,0,1)} es L.I, luego es base
del Espacio Solución
→→
= 0x.A .
Por lo tanto :
1=)A(rg
nulidad A=3
MANSASO XD
18
c. Verificar el Teorema del Rango.
3 1 4
nulidadARangoAnA de columnas deNº
+=
+==
Vemos que se verifica el Teorema, pues han sido hallados correctamente la nulidad y
rango de A.
d. Dar la TL asociada al a matriz A
Teorema de la dimensión: Sea WVT →: una TL , con V ,W de dimensión finita ,
entonces:
rangoTnulidadTDimV +=
TNucTDimV Imdimdim +=
( Demostración para EXAMEN FINAL)
Ejemplo 1: )0,,()),,((/: 32 xyzyxTT −=ℜ→ℜ
a. Dar la matriz estándar.
b. Dar la nulidad de T.
c. Dar una base de la ImT.
d. Verificar el Teorema de la Dimensión.
Respuestas:
a.
=
→→
21 eTeTA T M
),,()),((TeT 010011 ==
→
),,()),((TeT 001102 −==
→
−
=
00
01
10
TA
WVT →: /
→→→
== x.x.A)x(T
2202
1101
19
b. NucTNulidad dim=
=∈=
→→→
W)x(T/VxNucT 0 { }),,())y,x((T/)y,x( 0002 =ℜ∈=
{ } { }===== ),(y;x/)y,x(NucT 0000
→
20R
∴== nulidadTNucT 0dim T es inyectiva.
c. Base de la ImT
=∈∃∈=
→→→→
y)x(T,Vx/WyImT
{ }),,()),((:),(/),,(Im 23 cbayxTyxcbaT =ℜ∈∃ℜ∈=
),,()),(( cbayxT =
),,()0,,( cbaxy =−
0
00
10
01
=⇒
− c
c
b
a
⇒ { }0/),,(Im == ccbaT
),,(b),,(a),b,a()c,b,a( 0100010 +==
{ }),,();,,(TImGen 010001=
Veamos si son LI: ),,(),,(),,( 000010001 21 =α+α dpq 021 == αα
00
0
0
0
00
10
01
21 =α=α∴
;
{ }),,();,,( 010001∴ es BASE de la ImT ⇒ rangoTT == 2Imdim
d. Verificar el Teorema de la Dimensión:
rangoTnulidadTDimV +=
20+=DimV
T no es sobreyectiva pues
TW Imdimdim ≠ , pues 23 ≠
20
22202 =⇒+= . Vemos que se verifica , pues han sido hallados
correctamente la nulidad y rango de T.
Ejemplo 2: ),2,()),,((/: 33 zyzzxzyxTT −+=ℜ→ℜ
a. Dar la matriz estándar.
b. Dar la nulidad de T.
c. Dar una base de la ImT.
d. Verificar el Teorema de la Dimensión.
Respuestas:
a.
=
→→→
321 eTeTeTA T MM
),,()),,((TeT 0010011 ==
→
),,()),,((TeT 1000102 ==
→
),,()),,((TeT 1211003 −==
→
b. NucTNulidad dim=
=∈=
→→→
W)x(T/VxNucT 0 { }),,())z,y,x((T/)z,y,x( 0003 =ℜ∈=
)0,0,0()),,(( =zyxT ⇒ )0,0,0(),2,( =−+ zyzzx
0;0;0
0
02
0
===⇒
=−
==+
xyz
zy
z
zx
{ }0;0;0/),,( 3 ===ℜ∈= zyxzyxNucT
{ })0,0,0(=NucT
∴== nulidadTNucT 0dim T es inyectiva.
c. Base de la ImT
−
=
110
200
101
TA
21
=∈∃∈=
→→→→
y)x(T,Vx/WyImT
{ }),,()),,((:),,(/),,(Im 33 cbazyxTzyxcbaT =ℜ∈∃ℜ∈=
),,()),,(( cbazyxT = ⇒ ),,(),2,( cbazyzzx =−+
=−
=
=+
czy
bz
azx
2
ℜ∈ℜ∈ℜ∈⇒
−→
−
cba
b
c
a
c
b
a
;;
200
110
101
110
200
101
{ } WcbacbaT =ℜ=ℜ∈= 3,,/),,(Im
T es sobreyectiva
TrangoATImdim;e,e,eTImbase ==
=
→→→
3321
d. Verificar el Teorema de la Dimensión:
rangoTnulidadTDimV +=
30+=DimV ⇔ 33303 =⇒+=
Teorema: Sea WVT →: una TL inyectiva, entonces mapea conjunto de vectores LI de
V en conjunto de vectores LI de W .
(Es decir: si WVT →: inyectiva y si }v,...,v{ n
→→
1 es LI en V ⇒
→→→
nvT,...,vT,vT 21 es LI en W ).
Definición: Una TL WVT →: se llama ISOMORFISMO si T es inyectiva y
sobreyectiva.
Teorema: Sea WVT →: / =NucT
→
V0 ⇒ )V(TV:T → es un isomorfismo y V y
)V(T se dicen espacios vectoriales isomorfos.
22
Nota: Si WVT →: con =NucT
→
V0 , es tal que WVT =)( , se dice que V y W son
isomorfos y la TL es un isomorfismo.
Teorema: Sea WVT →: es un isomorfismo, entonces:
a) Si },...,{ 1 kvv
→→
generan a V⇒
→→→
kvTvTvT ,...,, 21 generan a W.
b) Si },...,{ 1 kvv
→→
es L.I. en V⇒
→→→
kvTvTvT ,...,, 21 es L.I. en W.
c) Si B= },...,{ 1 kvv
→→
es base de V⇒B1=
→→→
kvTvTvT ,...,, 21 es base de W.
d) Si V tiene dimensión finita ⇒W tiene dimensión finita , y se verifica que :
dim V= dimW
(Demostración para EXAMEN FINAL )
MATRICES SEMEJANTES - CAMBIO DE BASE Y REPRESENTACI ONES
Definición: Si A y B son dos matrices del EVR Mmxm, decimos que la matriz B es
semejante a la matriz A, si existe una matriz regular P, talque : B=P-1.A.P
• Esta definición presenta la existencia de una matriz regular P, pero no da un
algoritmo para construirla.
Definición: Sea V un EVR de dimensión finita “n”, y sean A y B matrices de Mnxn.
Entonces A y B son matrices semejantes si y solo si y B representan la misma T.L.
VVT →: , respecto de bases ordenadas diferentes.
Teorema: ( Sin Demostración)
Sea WVT →: una TL con dimensión nV = y mW =dim entonces },...,{ 11 nvvB
→→
=
base de V y },...,{ 12 mwwB
→→
= base de W , luego existe una única
21 BB
A − (matriz de la TL
respecto a las bases 21 BB − tal que:
1
21
2
B
BB
B
xAxT
⋅=
→
−
→
Vx ∈∀
→
y
21 BB
A −
es de tamaño mxn
V
W 21 BB
A −
1B
x
→
2B
x
→
Si el 0 permanece fixed
23
Observación: Si 1B es la base canónica de V y 2B es la base canónica de W , la matriz
se llama estándar de la TL y se indica con TA y es tal que:
→→
⋅=
xAxT T Vx ∈∀
→
Teorema: Sea VVT →: una TL, 1B y 2B bases ordenadas de V , EVR de dimensión
finita. Si
11 BB
A − es la matriz de la TL, respecto a la base 1B y 22 BBA − es la matriz de la
TL, respecto a la base 2B , entonces se verifica : 22121121
1
BBBBBBBB APAP −−−−
− =⋅⋅
12 BB
P −
1−P
D
1.
12
12
12
/
BB
BB
BB
xxPxx
=
⋅
→
→→
−
→→
12 BB
P −
2.
11
11
11
/
BB
BB
BB
xTxAxTx
=
⋅
→
→→
−
→→
11 BB
A −
3.
21
21
21
1/
BB
BB
BB
xTxPxTxT
=
⋅
→
→→
−
−
→→
(Con:
21
1
BBP −− = ( ) 1
12
−
−BBP )
21
1
BBP −−
Además:
22 BB
xTx
→
→→ donde
2
22
2 B
BB
B
xAxT
⋅=
→
−
→
22 BB
A −
V
V 11 BB
A −
1B
x
→
1B
)x(T
→
V V
22 BB
A −
2B
x
→
2
B
)x(T
→
24
Sea :
2B
x
→ Pre multiplicando por
12 BB
P −
12
12
BB
BB xxP
=
⋅
→→
−
Ahora pre multiplico por
11 BB
A − a ambos miembros
=
=
⋅
→
−
→
−−
1
11
2
1211
. .
B
BB
B
BBBB xAxPA
1B
xT
→
Ahora pre multiplico a ambos miembros con 21
1
BBP −−
21
21
2
121121
11
BB
BB
B
BBBBBB xTxTPxPAP
=
⋅=
⋅⋅⋅
→→
−
−
→
−−−
−
22
121121
1
BB
BBBBBB xTxPAP
=
⋅⋅⋅
→→
−−−
−
Volviendo a la ecuación
22
22
B
BB
B
xAxT
⋅=
→
−
→ ( )[ ] [ ]
2222 BBBB
xAxT ⋅= −
Podemos observar que:
12112122
1
BBBBBBBB PAPA −−−
−
− ⋅⋅=
Nota: En la unidad nº5 buscaremos matrices semejantes, donde una de ellas sea matriz
diagonal.
Ejemplo 1: )3,()),((/: 22 xyyxyxTT −−=ℜ→ℜ
{ })1,1();0,1(1 =B ; { })2,2();2,1(; 212 −−=
=
→→
wwB
• Hallar
22 BB
A − por el teorema y por definición:
Por definición: ,
22
11
21
2
22
2
=
=
→→
− βα
βα
BB
BB wTwTA M donde:
)7,3())2,1((1 −=−=
→ TwT , además : )8,4())2,2((2 −=−=
→ TwT
→
=
→
2
1
1
2
α
α
B
wT )2,2()2,1()7,3( 21 −+−=− αα ⇒
−
−
−
7
3
22
21
→
=
→
2
1
2
2
β
β
B
wT )2,2()2,1()8,4( 21 −+−=− ββ ⇒
−−
−
8
4
22
21
25
−−
→
−
−
−
−
0
4
1
3
20
21
8
4
7
3
22
21
∴
40
42/1
12
12
−==
==
ββ
αα
Reemplazando, se tiene:
−
=
=− 02/1
44
22
11
22 βα
βα
BBA
Por teorema:
−
−
=
=
=
→→
− 22
43
22
11
21
11
12 θδ
θδ
BB
BB wwP M
[ ] →
=
2
1
11 δ
δ
Bw )1,1()0,1()2,1( 21 δδ +=− ⇒
−
2
1
10
11
[ ] →
=
2
1
12 θ
θ
Bw )1,1()0,1()2,2( 21 θθ +=− ⇒
− 2
2
10
11
−
−
2
2
2
1
10
11
∴
42
32
12
12
=−=
−==
θθ
δδ
Busquemos 1−P : donde 10286 −∃∴≠−=−= PP y [ ]
P
Pcof
P
T)(1 =−
=
−
−−
−−
=
−
−−
−−
=−
2/31
21
2
32
42
2
34
22
1
T
P
Además ( )[ ] ( )[ ][ ]
−
−
=
==− 21
22
1,10,1
22
11
1 111 ζγ
ζγ
BBBB TTA M
( )[ ] [ ] →
=−=
2
1
11
)1,1(0,1
γ
γ
BBT )1,1()0,1()1,1( 21 γγ +=− ⇒
−1
1
10
11
( )[ ] [ ] →
==
2
1
11
)2,0(1,1
ζ
ζ
BBT )1,1()0,1()2,0( 21 ζζ += ⇒
2
0
10
11
− 2
0
1
1
10
11
∴
22
21
12
12
−==
=−=
ζζ
γγ
−
=
−
−
⋅
=⋅
−
−
⋅
= −− 02/1
44
22
43
12/1
20
21
22
2/31
21
1222 BBBB
PA
−
=⇒ − 02/1
44
22 BBA
26
Ejemplo 2: )bc()abxcx(T/PP:T +−=++→ 2222
)bc(xx abxcx
T
+−++++ 200 22
Sean { }121 ;x;xB = ;
=
→→→
3212 w,w,wB bases de 2P ; además:
−
=−
111
001
100
21 BB
P y ( )
−
=−
010
011
110
21 BB
Pcof
• Hallar
22 BB
A −
“Como no conozco la expresión de los vectores de la base ⇒2B no se puede
hallar por definición
22 BB
A − , solo se puede hacer por el teorema”.
12112122
1
BBBBBBBB PAPA −−−
−
− ⋅⋅=
( ) ( )( )
−===
−
−
−
−
−
−
−
−
001
111
010
21
21
2112 1
1
11
BB
T
BB
BBBB
Pdet
Pcof
PP
{ }121 ;x;xB = “Base canónica”
[ ])(T)x(T)x(TAA TBB 1211 MM==−
0001001 22 ++=++= xx)xx(T)(T
10000 22 ++=++= xx)xx(T)x(T
20000 222 −+=++= xx)xx(T)x(T
−−
−−
=
−⋅
−
−
=⋅
−
⋅
= −−
111
000
111
001
111
010
012
000
012
012
000
000
111
001
100
1222 BBBB
PA
P2 P2
−
==−
012
000
000
11 TBB
AA ( Ver Nota )
−−
−−
=⇒ −
111
000
111
22 BB
A
27
Nota : )cb(xx
a
b
c
.x.A T 200
012
000
000
2 −++=
−
=
→
COMPOSICION DE UNA TL – POTENCIA DE UNA TL
Definición: Sea UVT →:1 y WUT →:2 dos TL, llamaremos composición WV:oTT →12 a
la TL: ( ) Vx xTTxoTT ∈∀
=
→→→
1212
vT1
Ejemplo: Sean las T.L. : 221 RR:T → /T1((x,y))=(0, x−y) y
32
2 RR:T → T2((x,y))=(0,0,-y).
Calcular la fórmula de 12oTT y luego obtener ( 12oTT )(2,5)
( x , y ) (0, x−y) ( 0, 0, -(x-y))
Luego : 12oTT :
32 RR → / ( 12oTT )(( x ,y ))=( 0, 0, -(x-y) )
Además : ( 12oTT )(2,5)=( 0, 0, -(2-5) ) =( 0,0, 3)
MATRIZ ASOCIADA A LA COMPOSICIÓN DE TL
Teorema: Sean mnT ℜ→ℜ:1 y
pmT ℜ→ℜ:2 dos TL posibles de componer con
matrices A y B, respecto a bases canónicas de nℜ , mℜ y pℜ , entonces la composición
de la TL pnoTT ℜ→ℜ:12 tiene por matriz de la TL a:
ABAT ⋅= y es única.
Vx ∈∀
→
lo cual es
posible⇔ 21 DomTTIm ⊆
V
→
x
U
W
→xT 1
→xTT 12
T1 T2
T2oT1
T1 T2
28
TRANSFORMACION LINEAL INVERSA
Definición: Sean VVT →:1 y VVT →:2 dos TL /
→→
=
xxTT 21 ; Vx ∈∀
→
→→
=
xxTT 12 ; Vx ∈∀
→
⇒Decimos que 2T es la TL inversa de 1T y escribimos que:
2
1
1 TT =
−
• Si 1T tiene TL inversa, decimos que 1T es invertible y como se vió en matrices,
también su inversa es única
Teorema: Sea VVT →: una TL con matriz estándar TA , entonces las siguientes
condiciones son equivalentes:
1º) T es invertible.
2º) T es un isomorfismo.
3º) TA es invertible.
Nota: Si T tiene por matriz estándar TA y T tiene TL inversa, se puede probar que
1−T tiene por matriz estándar a: 1−TA
POTENCIAS DE UNA TL
Observación: Sea VVT →: una TL, indicaremos como potencia de exponente natural a:
kToTToToTo =....
(Toda otra potencia la debo hacer una composición)
MATRICES ASOCIADAS A OPERACIONES CON TL
Teorema: Sea 1T y 2T dos TL posibles de operar, con matrices estándar asociadas A y
B, entonces:
Operaciones entre TL Operaciones entre matrices
21 TT + BA+
21 TT − BA−
1T− A−
k - veces
y por convención :
→→
=
xxT0 Vx ∈∀
→
, llamaremos T0=I Transformación Identidad y se
verifica que : ( ) 010 TT =−
29
12oTT AB ⋅
111 ...oTooTT
kA
( ) 112 −oTT ( ) 111 −−− ⋅=⋅ BAAB
( ) 1211112 −−− = oTToTT
1
ÁLGEBRA LINEAL
UNIDAD 5- Autovalores y Autovectores
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
LIC. EN GEOFISICA - LIC. EN ASTRONOMIA
Año: 2018
2
Unidad Nº5: Autovalores y Autovectores
I- Objetivos Específicos
Al finalizar la unidad se espera que el alumno sea capaz de:
• Inferir la importancia que tiene el cálculo de los autovalores y
autovectores de una matriz.
• Diferenciar lógicamente los conceptos de autovalor (valor propio) y de
autovector (vector propio).
• Adquirir habilidad operatoria, para determinar rápidamente autovalores y
autovectores de una matriz.
• Transferir los conceptos anteriores a la determinación de autovalores y
autovectores de una transformación lineal.
• Interpretar cuidadosamente los resultados obtenidos a partir de los datos
dados (obtención de bases para subespacios propios, dimensión del
espacio solución en relación con la multiplicidad del autovalor, etc.
• Descubrir la importancia del uso de matrices diagonales.
• Relacionar los conceptos vistos para obtener matrices diagonales,
ortgonales.
• Analizar la relación que tiene el tema que se está desarrollando con el
estudio de las formas cuadráticas (cuádricas y cónicas).
• Aplicar correctamente estos resultados en el ámbito de la Geometría
Analítica.
• Modelar y resolver ejercicios de aplicación.
II- Secuencia de los Contenidos.
• Importancia del estudio de autovalores y autovectores.
• Definiciones (para matrices y operadores lineales).
• Técnicas de cálculo para la determinación de los mismos.
• Estructura de los eigenespacios.
• Matriz diagonalizable. Teoremas.
• Técnicas para diagonalizar ortogonalmente matrices.
• Aplicación a la eliminación de rotación en las secciones cónicas y
cuádricas.
3
UNIDAD N°5
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Se verán a continuación, los procedimientos necesarios para encontrar bases apropiadas
para que la matriz que representa la transformación lineal, T :V→V, sea equivalente a una
matriz diagonal , cuando el dominio sea el plano o el espacio; lo cual permitirá clasificar
formas cuadráticas reales g:Rn→R, y reconocer cónicas y cuádricas según n=2 ó
n=3,respectivamente.
Valores y Vectores Propios de una Matriz
Definición: Sea A = (aij) ∈ Mnxn ; llamaremos autovalor de A (ValorPropio de A ó
eigenvalor de A), al número λλλλ, para el cual el sistema
→→
= xx.A λλλλ ; tiene una solución
→→
≠ 0x
El vector solución
→
x ∈ Mnx1 es llamado autovector de A (Vector Propio de A ó
eigenvector de A), correspondiente al valor propio λ de A.
Ejercicio: Probar que
−
−
=
→
6
3
1x y
=
→
2
1
2x , y son autovectores correspondientes al valor
propio λ=3 de la matriz
−
=
18
03
A .
En efecto: Veamos que
→
1x es autovector:
=
→
1x.A
−
−
=
−
−
− 18
9
6
3
18
03
�
→
λ 1x =
−
−
=
−
−
=
→
18
9
6
3
33 1 .x. �
De � y� se tiene :
→→
λ= 11 xx.A con
→→
≠ 01x , luego
→
2x es un autovector correspondiente
al valor propio λ=3 de la matriz .A
Veamos que
→
2x es autovector:
=
→
2x.A
=
− 6
3
2
1
18
03
�
→
λ 2x =
=
=
→
6
3
2
1
33 2 .x. �
De � y �, se tiene :
→→
λ= 22 xx.A con
→→
≠ 02x , luego
→
2x es un autovector correspondiente
al valor propio λ=3 de la matriz .A
4
Ejercicio: Determinar a que valor propio de la matriz
−
=
18
03
A , le corresponde el
autovector :
=
→
2
0
x .
En efecto :
Como
=
→
2
0
x es autovector de A, verifica que :
2
0
. A =
2
0
. λλλλ con
=
→
2
0
x
→
≠ 0
−18
03
2
0
. =
2
0
. λλλλ
=
− 2
0
λλλλ.2
0
→ Por igualdad de vectores:
=−
=
λλλλ.22
00
→ 1−=λλλλ es el autovalor de A,
para el cual
=
→
2
0
x es autovector.
5
Ejercicio: Analizar si que
−=
→
2
1
1
x y
=
→
3
1
0
w , son autovectores correspondientes al valor
propio λ=5 de la matriz
−
−
=
500
032
023
A
¿
→→
= xx.A λλλλ con ? 0x
→→
≠
−=
−
−
−
2
1
1
.5
2
1
1
.
500
032
023
−=
−
10
5
5
10
5
5
→
→
x es autovector de A correspondiente al autovalor λ=5
¿
→→
= ww.A λλλλ con ? 0w
→→
≠
=
−
−
3
1
0
.5
3
1
0
.
500
032
023
≠
−
15
5
0
15
3
2
→
→
w es autovector de A correspondiente al autovalor λ=5
Ejercicio: Demuestre que si
→
x es un Vector Propio de A correspondiente al Valor Propio
λ, entonces : h.
→
x es un vector propio de A, correspondiente al mismo Valor Propio de λ ,
∀ h ≠ 0 ¿Cuántos Vectores Propios corresponden a un Valor Propio? ¿Es
→
x =
→
0 un vector
propio para A ∈ Mnxn?
Definición: Sea A ∈ Mnxn y λ un valor propio de A, se llama subespacio propio de A
correspondiente al valor propio λ al conjunto definido por:
≠=∈=
→→→→→
0xcon,x.x A. /MxS 1nx λλλλλλλλ
Proposición:
El conjunto ∪λλλλS
→
0 , es un subespacio vectorial de Mnx1, para λλλλS , subespacio propio
de A=(aij) ∈ Mnxn, correspondiente al autovalor λ de A.
6
Demostración:
Veamos que se verifica el Teorema Clave para subespacios:
� ∈
→
0 ∪λλλλS
→
0 → ∪λλλλS
→
0 ≠ ∅
� Si
→
1x
→
≠ 0 →
→
1x ∈ Sλ →
→→
= 11 xx.A λλλλ �
Si
→
2x
→
≠ 0 →
→
2x ∈ Sλ →
→→
= 22 xx.A λλλλ �
d.p.q.
→
1x +
→
2x ∈ Sλ → d.p.q.
+=
+
→→→→
2121 xxxx.A λλλλ
Veamos que :
→→→→→→→→
+=+=+=
+ 21212121 xxxAxx.Ax.Axx.A λλλλλλλλλλλλ →
→
1x +
→
2x ∈ Sλ
� �
� Sea k ∈ ℜ y
→
x
→
≠ 0 →
→
x ∈ Sλ →
→→
= xx.A λλλλ �
⇒ d.p.q.
→
x.k ∈ Sλ ⇒ d.p.q.
=
→→
x.kx.k .A λλλλ
Veamos que :
=
=
=
→→→→
x.k.x.kx.A.kx.k.A λλλλλλλλ →
→
x.k ∈ Sλ
�
El conjunto ∪λλλλS
→
0 , es un subespacio vectorial de Mnx1
Caracterización de los valores y Vectores Propios
A continuación describiremos los pasos a seguir para determinar Valores propios
(autovalores) y vectores propios para una matriz A ∈ Mnxn
Por definición:
→→→→
≠= 0xcon,x.x A. λλλλ y λ autovalor de A
→→
= x.I. x A. λλλλ multiplique por la matriz I
→→→
=− 0x.I. x A. λλλλ
(A - λ I)
→→
= 0x . S.E.L. Homogéneo
7
Pero para que
→
x sea vector propio de A,
→→
≠ 0x ⇒
det (A - λ I) = 0 Ecuación característica
Ahora se puede enunciar el siguiente:
Teorema: Sea A ∈ Mnxn. Las siguientes condiciones son equivalentes:
1. Un escalar λ es un Valor Propio (autovalor) de A sii det (A - λ I) = 0
2. Un vector
→
x es un vector propio (autovector) de A, correspondiente a un
valor propio λ, sí y solo sí
→
x es una solución no trivial del sistema
(A - λ I)
→→
= 0x . y det (A - λ I) = 0
Definición: Sea A=(aij) ∈ Mnxn , λ valor propio de A. Se llama lo “Polinomio
Característico de A” , al polinomio
P (λ) = det (A - λ I)
Definición: El conjunto de valores propios de A, será llamado “Espectro de A”.
El Espacio espectral (A) = {λ1,…,λp} p ≤ n ; y λi ≠ λj
Definición: La ecuación: det (A - λ I) = 0 se llama: “Ecuación Característica de A”.
(“Ecuación de orden n”).
Definición: La dimensión del Subespacio propio λλλλS , se indica con dim(λλλλS ) y recibe el
nombre de “multiplicidad geométrica” de λλλλS .
Si un valor propio de A, es raíz de la ecuación característica: det (A - λ I) = 0, tiene
“multiplicidad algebraica igual a k”, resulta siempre que:
Multiplicidad geométrica ≤ multiplicidad algebraica
A continuación organizamos los resultados anteriores, para encontrar un procedimiento a
fin de hallar valores, vectores y subespacios propios para una matriz Anx1.
Algoritmo para obtener autovalores, autovectores y bases de los subespacios propios
de una matriz A=(aij ) ∈∈∈∈ Mnxn.
Dato: Dada A ∈ Mnn.
1. Plantear el polinomio característico: P (λ) = det (A - λ I)
2. Resolver la ecuación característica det (A - λ I) = 0.
Es decir hallar los autovalores{λ1,…,λp} , e indicar su multiplicidad algebraica
3. Para cada valor propio λi , plantear el Subespacio propio, es decir resolver el
sistema homogéneo: (A - λi I)
→→
= 0x .
Las soluciones no triviales del sistema homogéneo anterior, son los vectores
propios de A, que corresponden al valor propio λi.
8
4. Escribir la solución general de (A - λi I)
→→
= 0x . , obtenida en el paso 3, en forma
de combinación lineal de vectores, cuyos coeficientes son las variables libres. Estos
vectores forman una base para el subespacio propio iSλλλλ .
5. Verificar para cada autovalor λi
Multiplicidad geométrica iSλλλλ ≤ Multiplicidad algebraica ( )iλλλλ
Ejercicio de Aplicación 1. Aplicar el algoritmo para A=
−
−
51
122
1º) P (λ) = det (A - λ I)=
−
−
−
10
01
51
122
λλλλ =
−
−
−
λλλλ
λλλλ
0
0
51
122
=
−−
−−
λλλλ
λλλλ
51
122
= 231).12()5)(2( 2 ++=−−−−− λλλλλλλλλλλλλλλλ
23)(P 2 ++= λλλλλλλλλλλλ Polinomio característico
2º) Ecuación característica
det (A - λ I) = 0
0232 =++ λλλλλλλλ → 2y 1 21 −=−= λλλλλλλλ : autovalores de A
El Espacio espectral (A) = {λ1,λ2} ={-1,-2}
Multiplicidad algebraica (λ1 = -1)=1Multiplicidad algebraica (λ2 = -2)=1
3º)(A - λi I)
→→
= 0x .
• Para λ1 = -1
Se tiene que : (A + I)
→→
= 0x .
+−
−+
151
1212 →→
= 0x .
→→
≠ 0xcon,
−
−
41
123 →→
= 0x . →
−
−
0
0
:
:
41
123
∼
−
0
0
:
:
00
41
→{ 0x4x 21 =− → 21 x4x =
=
=
→
2
2
2
1
x
x4
x
x
x
≠∈
==
→
−= 0y x R, x/x
x4
xS 22
2
2
11λλλλ Subespacio Propio para λ1 = -1
9
• Para λ2 = -2
Se tiene que : (A +2. I)
→→
= 0x .
+−
−+
251
1222 →→
= 0x .
→→
≠ 0xcon,
−
−
31
124 →→
= 0x . →
−
−
0
0
:
:
31
124
∼
−
0
0
:
:
00
31
→{ 0x3x 21 =− → 21 x3x =
=
=
→
2
2
2
1
x
x3
x
x
x
≠∈
==
→
−= 0y x R, x/x
x3
xS 22
2
2
22λλλλ Subespacio Propio para λ2 = -2
4º) Base para los Subespacios propio iSλλλλ .
1
4
es base de 11S −=λλλλ , pues es generador de 11S −=λλλλ y está formado por un único vector
no nulo
Luego : dim ( 11S −=λλλλ ) =1
1
3
es base de 22S −=λλλλ , pues es generador de 22S −=λλλλ y está formado por un único vector
no nulo
Luego : dim ( 22S −=λλλλ ) =1
5º) Multiplicidad geométrica 11S −=λλλλ ≤ Multiplicidad algebraica(λ1 = -1)
1 ≤ 1
Multiplicidad geométrica 22S −=λλλλ ≤ Multiplicidad algebraica(λ2 = -2)
1 ≤ 1
Ejercicio de Aplicación 2. Aplicar el algoritmo para
−
−−
−
=
211
2
132
1
112
A
1º) Polinomio Característico:
P (λ) = det (A - λI) = det(
−−
−−−
−−
)2(11
2
132
1
11)2(
λλλλ
λλλλ
λλλλ
)= − λ3 + 7 λ2 − 14 λ + 8
10
2º) Ecuación Característica: det (A - λ I) = 0
− λ3 + 7 λ2 − 14 λ + 8 = 0 �
Para hallar una raíz, se buscan los divisores de 8 = {±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8}
Probando con λ1 = 1 , se obtiene que es una raíz.
Factorizando la ecuación �, por Regla de Ruffini:
( )( ) 0861
43
22
grado2
2 =+λ−λ−λ
=λ
=λ
°
43421
El espacio espectral de A= {1 , 2 , 4}
Multiplicidad algebraica (λ1 = 1)=1
Multiplicidad algebraica (λ2 = 2)=1
Multiplicidad algebraica (λ3 = 4)=1
3º)(A - λi I)
→→
= 0x .
• Para λ1 = 1
Se tiene que : (A - I)
→→
= 0x .
=
−
−−
−
0
0
0
z
y
x
111
2
122
1
111
−
−−
−
0
0
0
:
:
:
111
2
122
1
111
∼
−
0
0
0
:
:
:
000
02
30
111
→
=
=+−
0x2/3
0xxx
2
321 → 0 x, xx 231 =−=
ℜ∈
−
== zz
1
0
1
S 11λλλλ Subespacio Propio para λ1 = 1
• Para λ2 = 2
Se tiene que : (A - 2I)
→→
= 0x .
Partiendo de
−
−−
−
0
0
0
:
:
:
011
2
112
1
110
Se llega a :
11
ℜ∈
== zz
1
1
1
S 22λλλλ Subespacio Propio para λ2 = 2
• Para λ3 = 4
Se tiene que : (A - 4I)
→→
= 0x .
Partiendo de
−−
−−−
−−
0
0
0
:
:
:
211
2
112
1
112
Se llega a :
ℜ∈
−== zz
1
1
1
S 43λλλλ Subespacio Propio para λ3 = 4
4º) Base para los Subespacios propio iSλλλλ .
−
1
0
1
es base de 11S =λλλλ , pues es generador de 11S =λλλλ y está formado por un único vector
no nulo
Luego : dim ( 11S =λλλλ ) =1
1
1
1
es base de 22S =λλλλ , pues es generador de 22S =λλλλ y está formado por un único vector
no nulo
Luego : dim ( 22S =λλλλ ) =1
−
1
1
1
es base de 43S =λλλλ , pues es generador de 43S =λλλλ y está formado por un único vector
no nulo
Luego : dim ( 43S =λλλλ ) =1
5º) Multiplicidad geométrica 11S =λλλλ ≤ Multiplicidad algebraica(λ1 = 1)
1 ≤ 1
Multiplicidad geométrica 22S =λλλλ ≤ Multiplicidad algebraica (λ2 = 2)
1 ≤ 1
Multiplicidad geométrica 43S =λλλλ ≤ Multiplicidad algebraica (λ3 = 4)
1 ≤ 1
12
Ejercicio de Aplicación 3. Aplicar el algoritmo para A =
100
010
100
1º) Polinomio Característico:P (λ) = det (A - λI) =
=
−
−
−
)1(00
0)1(0
10
det
λλλλ
λλλλ
λλλλ
(−λ) (1 − λ)2
2º) Ecuación Característica: det (A - λ I) = 0
(−λ) (1 − λ)2 = 0 ⇒ (−λ) (1 − 2λ + λ2) = 0 ⇒ λ1 = 0 ; λ2 = λ3 = 1
El espacio espectral de A= {0,1}
Multiplicidad algebraica (λ1 = 0)=1
Multiplicidad algebraica (λ2 =λ3 =1)=2
3º)(A - λi I)
→→
= 0x .
• Para λ1 = 0
Se tiene que : (A - 0I)
→→
= 0x .
100
010
100
=
0
0
0
z
y
x
Resultan : z=0, y=0, x∈R
Se llega a :
ℜ∈
== xx
0
0
1
S 01λλλλ Subespacio Propio para λ1 = 0
• Para λ2 =λ3 =1
Se tiene que : (A - 1I)
→→
= 0x .
−
000
000
001
=
0
0
0
z
y
x
Resultan : x=0, y, z∈R
Se llega a :
13
•
ℜ∈
=== z,y
z
y
0
S 132 λλλλλλλλ Subespacio Propio para λ2 =λ3 =1
4º) Base para los Subespacios propio iSλλλλ .
0
0
1
es base de 01S =λλλλ , pues es generador de 01S =λλλλ y está formado por un único vector no
nulo
Luego : dim ( 01S =λλλλ ) =1
Para λ2 = λ3 = 1
Para un vector
+
=
1
0
0
z
0
1
0
y
z
y
0 Son generadores del subespacio y al estudiar si son
L.I., se obtendrá que sí, luego :
⇒
base
132
1
0
0
,
0
1
0
B
==λλλλλλλλ de 132S ==λλλλλλλλ
Luego : dim ( 132S ==λλλλλλλλ ) =2
5º) Multiplicidad geométrica 01S =λλλλ ≤ Multiplicidad algebraica(λ1 = 0)
1 ≤ 1
Multiplicidad geométrica 132S ==λλλλλλλλ ≤ Multiplicidad algebraica (λ2 = λ3 = 1 )
2 ≤ 2
Propiedad: Una matriz A ∈ Mnn es invertible sí y solo sí λ = 0 no es valor propio de A.
Propiedad: Los valores propios de una matriz triangular superior (inferior) son sus
elementos diagonales.
14
VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA T.L.
Definición: Sea T : V → V una Transformación Lineal definida en un espacio vectorial V
de dimensión finita “n”. Un vector
→
x ≠
→
0 es un vector propio de T sí: T (
→
x ) = λ
→
x para
algunos escalares λ (posiblemente cero). Al valor escalar λ se lo llama “valor propio” de T,
y se dice que
→
x es el eigenvector de T asociado al valor propio λ.
Teorema: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita “n”. Sea T : V → V una
transformación lineal, cuya matriz A, con respecto a una base
=
→→→
n21 v,,v,vB K de V. Entonces: T (
→
x ) = λ.
→
x ⇔ A [
→
x ]B = λ [
→
x ]B
Por consiguiente:1. λ es un eigenvalor (valor propio) de T sí y solo sí es un eigenvalor de A.
2.
→
x es un eigenvector (vector propio) de T sí y solo sí [
→
x ]B es un eigenvector de A.
Demostración:
Por lo expuesto anteriormente: A [
→
x ]B = [T (
→
x )]B
Además también es válido: [λ
→
x ]B = λ [
→
x ]B
Por lo tanto:
T (
→
x ) = λ
→
x ⇔ [T (
→
x )]B = [λ
→
x ]B y como T tiene representación matricial
⇔ A [
→
x ]B = [λ
→
x ]B
⇔ A [
→
x ]B = λ [
→
x ]B
Ejemplo: Determine los eigenvalores, eigenvectores, bases de los espacios característicos
de: T : ℜ2 → ℜ2 ⁄ T(x , y) = (x + 3y , x −y)
Para aplicar el Teorema anterior debemos elegir una base de ℜ2 , y hallar la representación
matricial de la T.L. respecto a esa base. Elijamos como base de ℜ2, la base
canónica { })1,0(),0,1(v,vB 21 =
=
→→
y la matriz de la T.L. es:
A= [ ]
−
=
11
31
))1,0((T))0,1((T
Hallemos los autovalores de A.
1º) Resolviendo la ecuación característica: det (A - λ I) = 0
det (A - λ I)=
−
− 10
01
11
31
λλλλ =
−−
−
λλλλ
λλλλ
11
31
15
= 43)1)(1( 2 −=−−−− λλλλλλλλλλλλ =0⇒ λ1 = 2 ; λ2 = −2 : eigenvalores de la T.L.
El espacio espectral de A= {2,-2}
Multiplicidad algebraica (λ1 = 2)=1
Multiplicidad algebraica (λ2 = −2)=1
2º) Base para los Subespacios propio iSλλλλ .
Resolvamos : (A - λi I)
→→
= 0x .
• Para λ1 = 2 , se tiene que : (A - 2I)
→→
= 0x .
−−
−
211
321 →→
= 0x .
Se llega a : 0y x R, x/
x
x3
x 22
2
2 ≠∈
=
→
≠∈
==
→
= 0y x R, x/x
x3
xS 22
2
2
21λλλλ Subespacio Propio para λ1 = 2
1
3
es base de 21S =λλλλ , pues es generador de 21S =λλλλ y está formado por un único vector no
nulo .Luego : dim ( 21S =λλλλ ) =1
Multiplicidad geométrica 21S =λλλλ ≤ Multiplicidad algebraica(λ1 = 2)
1 ≤ 1
• Para λ2 = −2
Se tiene que : (A –(− 2)I)
→→
= 0x .
+−
+
211
321 →→
= 0x .
Se llega a : 0y x R, x/
x
x
x 22
2
2 ≠∈
−
=
→
≠∈
−
==
→
−= 0y x R, x/x
x
xS 22
2
2
22λλλλ Subespacio Propio para λ2 = −2
−
1
1
es base de 22S −=λλλλ , pues es generador de 22S −=λλλλ y está formado por un único
vector no nulo
Luego : dim ( 22S −=λλλλ ) =1
16
Multiplicidad geométrica 22S −=λλλλ ≤ Multiplicidad algebraica(λ2 = −2)
1 ≤ 1
Ejercicio: Determine los eigenvalores, eigenvectores, bases de los espacios característicos
de la T.L.: T : ℜ3 → ℜ3 ⁄ T
++
+
++
=
z3y2x4
z2x2
z4y2x3
z
y
x
DIAGONALIZACIÓN de MATRICES CUADRADAS
Definición: Una matriz Anxn es semejante a una matriz diagonal Dnxn, si existe una matriz
regular P, talque :
D=P-1.A.P
• En este caso, se dice que A es diagonalizable y el proceso de hallar las matrices
P y D, se llama diagonalización
A continuación, se trata de responder las siguientes preguntas:
. � ¿Cualquier matriz cuadrada A es diagonalizable ?
. � Si A es diagonalizable, ¿Cómo hallar las matrices P y D ?
Para responder a �, se debe tener en cuenta el siguiente teorema:
Aclaración:
Este Teorema da una forma de construir las matrices D y P.
D: es la matriz diagonal, que en su diagonal tiene los autovalores : λ1, λ2, ..., λn de A
P: tiene como columnas los
→→→
n21 p,...p,p autovectores L.I.de Anxn , correspondientes a los
autovalores : λ1, λ2, ..., λn de A, entonces:
=
=
→→→
n
2
1
n21
00
00
00
Dyp:...:p:pP
λλλλ
λλλλ
λλλλ
L
MLMM
L
L
Teorema:Si Anxn es una matriz, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:
a) A es diagonalizable
b) A tiene n vectores propios (eigenvectores) Linealmente Independientes.
Demostración para EXAMEN FINAL
17
Además se obtiene una matriz regular P (invertible), que verifica que:
P−1A P = D ; es decir P diagonaliza a la matriz Anxn.
¿Cómo se eligen los vectores que son las columnas de la matriz P?
Ya se ha visto como hallar las bases de los subespacios propios, a los vectores de estas
bases se los llamará “vectores básicos” y con ellos se construirán las columnas de la
matriz P.
En consecuencia, si hay menos de “n” vectores básicos para una matriz Anxn, entonces
Anxn no es diagonalizable.
Teorema Importante: Si una matriz Anxn tiene n eigenvalores distintos ⇒ A es
diagonalizable.
Importante: La recíproca de este último Teorema no es cierta ( “ Hay matrices Anxn
diagonalizables aún cuando no tienen todos sus eigenvalores distintos”).
Ejemplo 1: Se analizará si la matriz A=
−
−
51
122
es diagonalizable, en caso afirmativo se
determinarán las matrices P y D.
1º) Ya se vió que esta matriz tiene autovalores : 2y 1 21 −=−= λλλλλλλλ
Multiplicidad algebraica (λ1 = -1)=1
Multiplicidad algebraica (λ2 = -2)=1
2º) Que los subespacios propios son :
Teorema: Si
→→→
k21 x,...x,x son valores propios de Anxn, correspondiente a valores
propios distintos λ1, ... λk ⇒
→→→
k21 x,...x,x es un conjunto linealmente
independiente.
Demostración para EXAMEN FINAL
Condición Importante para que una matriz Anxn sea diagonalizable :
Multiplicidad geométrica iSλλλλ = Multiplicidad algebraica(λi) , ∀ λi, autovalor de Anxn
18
≠∈
==
→
−= 0y x R, x/x
x4
xS 22
2
2
11λλλλ Subespacio Propio para λ1 = -1
≠∈
==
→
−= 0y x R, x/x
x3
xS 22
2
2
22λλλλ Subespacio Propio para λ2 = -2
3º) Base para los Subespacios propio iSλλλλ .
1
4
es base de 11S −=λλλλ , dim ( 11S −=λλλλ ) =1 y que el vector básico es :
1
4
1
3
es base de 22S −=λλλλ , dim ( 22S −=λλλλ ) =1 y que el vector básico es :
1
3
4º) Revisión de la “Condición para que una matriz Anxn sea diagonalizable “
Multiplicidad geométrica 11S −=λλλλ = Multiplicidad algebraica(λ1 = -1)
1 = 1
Multiplicidad geométrica 22S −=λλλλ = Multiplicidad algebraica(λ2 = -2)
1 = 1
Por lo tanto, A es diagonalizable
Por lo tanto, se pueden hallar D y P
=
=
→→
11
34
p:pP 21 , como P es regular, existe P
-1
[ ]
−
−
===−
41
31
1
)P(Cof
)Pdet(
)P(Adj
P
T
1
Ahora D, se calcula como: D= P−1A P=
P..
−
−
−
−
=
51
122
41
31
−
−
=
−
−
=
11
34
.
82
31
P.
82
31
=
=
−
−
2
1
0
0
20
01
λλλλ
λλλλ
19
Nota Importante: Como se vió que A=
−
−
51
122
tiene por únicos autovalores a
2y 1 21 −=−= λλλλλλλλ ; y estos son distintos. Por el Teorema anterior se concluye que : “ A es
diagonalizable”. Sólo quedaría hallar la matriz P que diagonaliza a A y la matriz D,
semejante a A ( ver punto 4º) del Ejemplo anterior).
Ejemplo 2: Se analizará si la matriz : A =
100
001
010
es diagonalizable.PASO 1: Resolviendo la ecuación característica: det (A - λ I) = 0
det (A - λ I)=det( )
λ−
λ−
λ−
100
001
010
= 0112 =λ−−λ ))((
⇒ λ1 = 1 ; λ2 = −1 : eigenvalores de A
Multiplicidad algebraica (λ1 = 1)=2
Multiplicidad algebraica (λ2 = −1)=1
Nota : Como los autovalores de A que son tres no son todos distintos , no podemos
asegurar si A es diagonalizable, entonces debemos estudiarlo por la “Condición para que
una matriz sea diagonalizable”
PASO 2: Donde la Base para los Subespacios propio iSλλλλ .
Resolvamos : (A - λi I)
→→
= 0x .
• Para λ1 = 1 , se tiene que : (A - I)
→→
= 0x .
−
−
−
1100
0101
0110
→→
= 0x .
Se llega a :
≠≠∈
==
→
=λ 0z0,y e R,yz, /
z
y
y
xS 61 Subespacio Propio para λ1 = 1
Se puede verificar que
1
0
0
0
1
1
, es base de 11=λS , luego : dim ( 11=λS ) =2
20
• Para λ2 = −1
Se tiene que : (A –(− 1)I)
→→
= 0x .
+
+
+
1100
0101
0110
→→
= 0x .
Se llega a :
≠∈
−
=−=λ 0y e R,y /y
y
S
0
32 Subespacio Propio para λ2 = −1
−
0
1
1
es base de 12 −=λS , luego : dim ( 12 −=λS ) =1
PASO 3: Revisamos la Condición Importante para saber si A es diagonalizable:
• Para λ1 = 1:
Multiplicidad geométrica 1λS = Multiplicidad algebraica(λ1)
2 = 2 - Correcto !!!
• Para λ2 = -1:
Multiplicidad geométrica 2λS = Multiplicidad algebraica(λ2)
1 = 1 - Correcto !!!
Conclusión :
Como ∀ λi, autovalor de Anxn, se verifica la Condición Importante, A es diagonalizable.
Ejemplo 3 : Veamos que la siguiente matriz no es diagonalizable
00
10
A
=
Supongamos que A es diagonalizable ⇒ existe una matriz regular:
bcad0bc - ad 0Pdet
: tienecual la
dc
ba
P
≠⇔≠⇔≠
=
Supongamos que:
=
2
1
0
0
D
λλλλ
λλλλ
es la matriz diagonal que debería verificar que:
P-1.A.P = D →P . D = A . P
Resolviendo:
21
=
=
=
=
00
dc
dc
ba
P.A
dc
ba
00
10
0
0
dc
ba
D.P
21
21
2
1
λλλλλλλλ
λλλλλλλλ
λλλλ
λλλλ
Por igualación: (1) a λ1 = c ∧ bλ2 = d
cλ1 = 0 ∧ dλ2= 0
si cλ1= 0 ⇒
⇒=≠
==
)2(
00csi
0o0c
1
1
λλλλ
λλλλ
(1)
{
c.a
)2(
0
1 =
=
λλλλ ⇔
si d λ2= 0 ⇔
⇒=≠
==
) 3(00dsi
0o0d
2
2
λλλλ
λλλλ
(1)
{
d
)3(
.b
0
2 =
=
λλλλ ⇔ { d
d0
0.b =
=
⇔
Luego c = 0 ∧ d = 0 ⇒ a . d − b . c ≠ 0 Falso
Pues : a . 0 − b . 0 = 0
Luego P no es una matriz regular. Absurdo!!!!! ⇒ A No es diagonalizable.
NOTA : Se deberá tener en cuenta que:
� No todas las matrices cuadradas se pueden diagonalizar.
� Las matrices P y D que diagonalizan a una matriz A no son únicas.
Proceso de Diagonalización Ortogonal de una matriz simétrica
Ejercicio: Dadas las matrices:
−
−
=
500
032
023
A ,
−
−
=
12
23
B
Indique si se las puede diagonalizar. Justifique su respuesta.
En caso afirmativo, determine la matriz P y D.
c
0cc0
0.a =
=⇔=
321
d=0
22
Dada una matriz Anxn. ¿Existe una matriz ortogonal P (P
−1 = PT), tal que diagonalice a A?,
Es decir : P−1A P = PTA P=D
En caso de que exista la matriz, entonces se dice que A es diagonalizable ortogonalmente,
y se dice que P diagonaliza ortogonalmente a A.
El siguiente teorema establece:
Teorema: Sea Ann ⇒ las siguientes condiciones son equivalentes:
a) A es diagonalizable ortogonalmente.
b) A tiene un conjunto ortonormal de n eigenvectores.
c) A es simétrica.
El cual también se puede enunciar:
Teorema: Ann es una matriz ortogonalmente diagonalizable si y solo si A es simétrica.
Teorema: a) Una matriz simétrica con todos sus elementos reales, solo tiene valores
propios reales.
b) Dos vectores propios cualesquiera de una matriz simétrica A que
corresponden a dos valores propios diferentes, son ortogonales.
Demostración:
Solo se demuestra el apartado b) de este teorema.
Sean
→→
21 x y x dos eigenvectores de A cuyos eigenvalores correspondientes sean
λ1 y λ 2 tales que λ1 ≠ λ2.
Para poder realizar ésta demostración, haremos uso de las siguientes propiedades.
Recordemos que solo se definió el producto interior entre vectores, obtuvimos:
B1
T
B2B2
T
B121 ]x [ ] x[]x [ ] x[x , x
→→→→→→
=>=<
Ahora bien, si A es una matriz de n x n; y teniendo en cuenta las propiedades de la
traspuesta, resulta:
B1
T
B2B1
TT
B2B1
T
B2B1
T
B221 ]x [ .] Ax[]x [ ..A] x[]x [ .A.] x[]x[A ] x[x , xA
→→→→→→→→→→
===>=<
= ><
→→
21 xA , x usando que A=A
T
Luego resultó:
>=<
→→
21 x , xA ><
→→
21 xA , x
Como x1
→
es vector propio de A correspondiente a λ1 ⇒ A x1
→
= λ1 x1
→
(b)
Además
→
2x es vector propio de A correspondiente a λ2 ⇒ A
→
2x = λ2
→
2x ( c)
Utilizando la relación (a) resulta:
(a)
23
>=<
→→
21 x , xA ><
→→
21 xA , x
Reemplazando con (b) y (c), se tiene : >=<
→→
211 x , xλλλλ ><
→→
221 x , x λλλλ , lo cual se
puede escribir:
>=<
→→
211 x , xλλλλ ><
→→
212 x , xλλλλ → −><
→→
211 x , xλλλλ ><
→→
212 x , xλλλλ = 0
(λ1 − λ2) >=<
→→
21 x , x 0
Pero λ1 ≠ λ2 ⇒ se concluye que >=<
→→
21 x , x 0 ⇒ x1
→
⊥
→
2x c.q.d
Nota: Este teorema es válido solo cuando los elementos sean reales, pues cuando los
elementos son C| el teorema es falso.
Regla Práctica Para Diagonalizar Ortogonalmente a una matriz simétrica
Datos: Sea Ann una matriz simétrica
1. Encontrar una base para cada subespacio propio (eigenespacio) de todos los
autovalores de A. (Base para los espacios característicos).
2. Aplicar el proceso de Gram−Schimdt a cada una de estas bases, a fin de obtener
una base ortonormal para cada eigenespacio.
3. Formar la matriz P cuyas columnas son los vectores básicos obtenidos en el paso 2.
Esta matriz diagonaliza ortogonalmente a A, por lo tanto : PTA P=D
Ejemplo: Encuentre la matriz P que diagonalice ortogonalmete a: A =
033
303
330
PASO 1: Resolviendo la ecuación característica: det (A - λ I) = 0
det (A - λ I)=det( )
033
303
330
−
−
−
λλλλ
λλλλ
λλλλ
= 054273 =++− λλλλλλλλ
= 0)3)(6)(3( =+−+ λλλλλλλλλλλλ ⇒ λ1 = 6 ; λ2 = −3 : eigenvalores de A
Multiplicidad algebraica (λ1 = 6)=1
Multiplicidad algebraica (λ2 = −3)=2
24
Donde la Base para los Subespacios propio iSλλλλ .
Resolvamos : (A - λi I)
→→
= 0x .
• Para λ1 = 6 , se tiene que : (A - 6I)
→→
= 0x .
−
−
−
6033
3603
3360
→→
= 0x .
Se llega a :
≠∈
==
→
= 0y e R,y /
y
y
y
xS 61λλλλ Subespacio Propio para λ1 = 6
1
1
1
es base de 61S =λλλλ , luego : dim ( 61S =λλλλ ) =1
• Para λ2 = −3
Se tiene que : (A –(− 3)I)
→→
= 0x .
+
+
+
3033
3303
3330
→→
= 0x .
Se llega a :
≠≠∈
−−
=−= 0y0,y x R,y x,/
yx
y
x
S 32λλλλ Subespacio Propio para λ2 = −3
−
− 1
1
0
,
1
0
1
es base de 32S −=λλλλ , luego : dim ( 32S −=λλλλ ) =2
PASO 2: Aplicar el proceso de Gram−Schimdt a cada una de estas bases:
• Transformar la base
1
1
1
en una base ortonormal:
( )
3
1
3
1
3
1
22
1
1
1 ,,
111
)1,1,1(
||v||
v
w =
++
== →
→
→
25
Entonces
3
1
3
1
3
1
es base ortonormal
• Transformar la base
−
− 1
1
0
,
1
0
1
en una base ortonormal:
( )
2
1
2
1
222
1
1
1 ,0,
)1(01
)1,0,1(
||v||
v
w −→
→
→
=
−++
−==
→→
→→
→→→
→→→
→→→→
→→→→
→
−
−
=
>−<−
>−<−
=
><−
><−
=
12
12
112
112
1122
1122
2
wv
w
2
1v
ww),1,1,0(v
ww),1,1,0(v
ww,vv
ww,vv
w
( )
6
1
6
2
6
1
222
,,
)1(1)2/1(
)1,1,2/1( −−=
−++−
−−=
Entonces
−
−
−
6
1
6
2
6
1
,
2
1
0
2
1
es base ortonormal
PASO 3: Formar la matriz P
P=
−
−
−
3
1
3
1
3
1
6
1
6
2
6
1
2
1
0
2
1
, es tal que det(P)=1 →PT=P-1
Luego: PTA P=
.
3
1
3
1
3
1
6
1
6
2
6
1
2
1
0
2
1
T
−
−
−
033
303
330
.
−
−
−
3
1
3
1
3
1
6
1
6
2
6
1
2
1
0
2
1
= D
600
030
003
=
−
−
26
Teorema:
Una matriz ortogonalmente diagonalizable es simétrica
Demostración:
Por hipótesis Ann es ortogonal diagonalizable ⇒ ∃ una matriz P tal que: P es
ortogonal (PT = P−1) y además:
P−1A P = D o
P−TA P = D ; luego:
A = P D PT
Calculemos AT para probar si A = AT
A = P D PT
AT = (P D PT)T = (PT)T DT PT
AT = P DT PT pero DT = D
AT = P D PT
⇒ A = AT ⇒ A es simétrica.
Nota: Lo sorprendente de este teorema, es que el inverso también es válido. O sea, si A es
simétrica ⇒ es ortogonalmente diagonalizable. Sin embargo esta demostración es
muy compleja.
Ejercicio: Encontrar una Matriz P que diagonalice ortogonalmete a
=
422
242
224
A
PASO 1: Det (A − λI) = 0 λ1 = λ2 =2 y λ3 = 8 autovalores de A
• Para λ1 = λ2 =2 ⇒Bλ1=λ2=2 =
1
0
1
0
1
1
−
−
base para el subespacio propio
• Para λ = 8 ⇒ Bλ=8 =
1
1
1
base para el subespacio propio
PASO 2: Aplicar el proceso de Gram−Schimdt a cada una de estas bases:
• La base Bλ1=λ2=2 =
1
0
1
0
1
1
−
−
, se transforma en :
−
−
−
=⊥
6
2
6
1
6
1
2
1
2
1
0
B
• La base Bλ=8 =
1
1
1
, se transforma en :
=⊥
3
1
3
1
3
1
B
=
27
PASO 3 : Formar la matriz P
P =
−
−−
3
1
6
2
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
0
, tal que: PTA P=
.
0
T
3
1
6
2
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
−
−−
422
242
224
. =
−
−−
3
1
6
2
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
0
D
800
020
002
=
Ejercicio: Dada A =
−
−−
241
421
111
, la matriz P que diagonaliza ortogonalmente a A.
PASO 1: det (A − λ I) = 0 λ1 = −3 ; λ2 = 0 ; λ3 = 6 , autovalores de A
• Para λ1 = −3 ⇒Bλ1=-3 =
1
1
1
−
−
base para el subespacio propio
• Para λ2 = 0 ⇒Bλ2=0 =
1
1
2
− base para el subespacio propio
• Para λ3 = 6 ⇒Bλ3=6 =
1
1
0
base para el subespacio propio
PASO 2: Aplicar el proceso de Gram−Schimdt a cada una de estas bases:
• La base Bλ1=-3=
1
1
1
−
−
, se transforma en :
= −
−
⊥
3
1
3
1
3
1
B
• La base Bλ2=0=
1
1
2
− , se transforma en :
= −⊥
6
1
6
1
6
2
B
• La base Bλ3=6 =
1
1
0
, se transforma en :
=⊥
2
1
2
1
0
B
PASO 3: Construimos la matriz P que diagonaliza ortogonalmente a A.
P =
−−
−
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
1
6
2
3
1 0
es ortogonal y sus columnas son eigenvectores de A
28
Luego: PTA P = D
600
000
003
=
−
Ejercicio: Encuentre la matriz P que diagonaliza ortogonalmente a la matriz:
A =
−−
−
−−
301
020
103
29
APLICACIONES:
Formas Cuadráticas Reales-Aplicación a las secciones cónicas y superficies cuádricas
• Una ecuación de la forma :
(1) 02 22 =+++++ feydxcybxyax , en donde a,b,c,d,e,f, son números reales y al menos uno
de los números a,b,c no es cero se denomina ecuación cuadrática en x e y, a la expresión
22 2 cybxyax ++ , se le llama forma cuadrática asociada.
También la expresión ( 1), se puede escribir en forma matricial como:
[ ] [ ] 0=+
+
f
y
x
ed
y
x
cb
ba
yx
O bien :
0=++ fX.KX.A.X T
En donde : [ ]edK
cb
ba
A
y
x
X =
=
=
Y a la expresión g(X)= X.A.X T , se la denomina la expresión matricial de la forma cuadrática,
siendo A : matriz simétrica que se llama: “matriz de la forma cuadrática”.
• Una ecuación de la forma :
(2) 0222222 =+++++++++ jizhygxfyzexzdxyczbyax en donde a,b,c,d,e,f, g,h,i,j,
son números reales y al menos uno de los números a,b,c,d,e,f no es cero se denomina ecuación
cuadrática en x,y,z, a la expresión fyzexzdxyczbyax 222222 +++++ , se le llama forma
cuadrática asociada
También la expresión ( 1), se puede escribir en forma matricial como:
[ ] [ ] 0=+
+
j
z
y
x
ihg
z
y
x
cfe
fbd
eda
zyx
O bien :
0=++ jX.KX.A.X T
En donde : [ ]ihgK
cfe
fbd
eda
A
z
y
x
X =
=
=
30
Y a la expresión g(X)= X.A.X T , se la denomina la expresión matricial de la forma cuadrática,
siendo A : matriz simétrica , que se llama: “matriz de la forma cuadrática”.
En el curso de Geometría Analítica, se ha visto que la ecuación (1), es una “Sección Cónica” en un
sistema de coordenadas cartesianas rectangulares [ x y] en el espacio bidimensional.
De forma análoga, la gráfica de la ecuación (2), es una “Superficie Cuádrica” en un sistema de
coordenadas rectangulares [x y z] en el espacio tridimensional.
Nota: Recuerde que una forma cuadrática que solo tiene “rotación” respecto de la posición
estándar, no incluye términos lineales en las variables involucradas.
Así por ejemplo:
La forma ax2 + 2bxy + cy2 +f=0 , es una forma cuadrática en dos variables (cónica) que sólo
incluye “rotación” (por la presencia del término cruzado “ xy” ).
En cambio en la forma cuadrática: ax2 + 2bxy + cy2 +dx + ey + f =0, involucra “rotación” y
“traslación” de la gráfica en el eje x, y en el ejey, respectivamente.
Así para “simplificar” (eliminar la rotación) la expresión de la forma cuadrática dada, se aplica la
teoría de Autovalores y Autovectores; y para eliminar finalmente la traslación (términos lineales en
las variables involucradas) se completan cuadrados de binomios.
Para eliminar los términos cruzados, cambiamos las variables x1, x2, …, xn por las variables y1, y2,
…, yn. Supongamos que las variables antiguas están relacionadas con las nuevas por PYX = para
alguna matriz ortogonal )PP(P T1 =− .
Entonces:
DYYY)APP(Y)PY(A)PY(AXX)X(g TTTTT ====
Donde APPD T= . Además como la matriz A es simétrica, P ortogonal, entonces: PTAP es
también simétrica y diagonal.
Luego:
DYY)Y(h T= es otra forma cuadrática
Problema: ¿Cómo seleccionamos la matriz P, para obtener formas cuadráticas equivalentes?
Procedimiento para eliminar la rotación en la ecuación cuadrática de una cónica.
Paso1: Se determina la expresión matricial asociada a la ecuación cuadrática de la cónica:
0=++ fX.KX.A.X T (3)
Teorema: (Teorema del eje principal para Rn) Cualquier forma cuadrática en n-valores
AXX)X(g T= es equivalente, mediante una transformación linealPYX = y una matriz
ortogonal P, a una forma cuadrática
2
nn
2
22
2
11 y...yy)Y(h λ++λ+λ=
donde
=
n
2
1
y
y
y
Y
M
; y n21 ,...,, λλλ son los valores propios de la matriz A de g.
31
[ ] [ ] 0=+
+
f
y
x
ed
y
x
cb
ba
yx
En donde : [ ]edK
cb
ba
A
y
x
X =
=
=
Paso 2: Se determina una matriz
=
2221
1211
pp
pp
P que diagonalice ortogonalmente a A. Dada A la
matriz simétrica asociada a la forma cuadrática.
Paso 3: Se intercambian las columnas de P, si es necesario, para que det(P)=1. Esto asegura que la
transformación ortogonal de coordenadas PYX = es una rotación.
Paso 4: A fin de obtener la ecuación para C (siendo C una cónica) en el sistema [ x’ y’]=Y, donde
ya no hay rotación, se sustituye PYX = en (3).
( ) ( ) 0=++ f)PY(KPYAPY T
0=++ fY)KP(Y)APP()Y( TT
[ ]'y'x
λ
λ
2
1
0
0
'y
'x
+ [ ]ed
2221
1211
pp
pp
'y
'x
+ f = 0
0f'y'e'x'd'y'x 22
2
1 =+++λ+λ
Donde 2111 epdp'd += y 2212 epdp'e += Esta ecuación no tiene los términos cruzados x’y’.
En la ecuación todavía presenta los términos lineales, por lo tanto se deberá completar cuadrados
para obtener la expresión de la cónica sin rotación y sin traslación.
Ejercicio Resuelto : 5x2-4xy+8y2-36=0
Paso1: Se determina la expresión matricial asociada a la ecuación cuadrática de la cónica:
0=++ fX.KX.A.X T (3)
[ ] [ ] 03600
82
25
=−+
+
−
−
)(
y
x
y
x
yx
En donde : [ ]00K
82-
2-5
A
y
x
X =
=
=
Paso 2: Se determina una matriz
=
2221
1211
pp
pp
P que diagonalice ortogonalmente a A. Dada A la
matriz simétrica asociada a la forma cuadrática.
(Anexo Paso 2: ♦ Se hallan los autovalores de A : λ1=4 y λ2=9
♦ Se hallan las bases ortonormales de los subespacios propios
==λ
5
1
5
2
4SB y
−
==λ
5
2
5
1
9SB
32
Luego se construye la matriz P
−
=
5
2
5
1
5
1
5
2
P
Paso 3: Como det(P)=1, esto asegura que la transformación ortogonal de coordenadas PYX = es
una rotación.
Paso 4: A fin de obtener la ecuación para C (siendo C una cónica) en el sistema [ x’ y’]=Y, donde
ya no hay rotación, se sustituye PYX = en (3).
( ) ( ) 0=++ f)PY(KPYAPY T
0=++ fY)KP(Y)APP()Y( TT
[ ]'y'x
λ
λ
2
1
0
0
'y
'x
+ [ ]ed
2221
1211
pp
pp
'y
'x
+ f = 0, como d=0 , e=0 ( en este ejemplo)
022
2
1 =+λ+λ f'y'x
Resulta entonces que : 03694 22 =−++ )('y'x , ó bien :
Ecuación de una elipse, cuyo gráfico es el siguiente:
♦Completar con el ejemplo de superficie cuádrica desarrollado en Págs.358 a 360 del libro.
“Introducción al Algebra Lineal” de Howard Anton.
1
49
22
=+ 'y'x
Y’
X’
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
1
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
2
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
3
UNIDAD N°6
VALORES Y VECTORES PROPIOS
Se verán a continuación, los procedimientos necesarios para encontrar bases apropiadas
para que la matriz que representa la transformación lineal, T :V→V, sea equivalente a una
matriz diagonal , cuando el dominio sea el plano o el espacio; lo cual permitirá clasificar
formas cuadráticas reales g:Rn→R, y reconocer cónicas y cuádricas según n=2 ó
n=3,respectivamente.
Valores y Vectores Propios de una Matriz
Definición: Sea A = (aij) Mnxn ; llamaremos autovalor de A (Valor Propio de A ó
eigenvalor de A), al número , para el cual el sistema
xx.A ; tiene una solución
0x
El vector solución
x Mnx1 es llamado autovector de A (Vector Propio de A ó
eigenvector de A), correspondiente al valor propio de A.
Ejercicio: Probar que
6
3
1x y
2
1
2x , y son autovectores correspondientes al valor
propio =3 de la matriz
18
03
A .
En efecto: Veamos que
1x es autovector:
1x.A
18
9
6
3
18
03
1x =
18
9
6
3
33 1 .x.
De y se tiene :
11 xx.A con
01x , luego
1x es un autovector correspondiente
al valor propio =3 de la matriz .A
Veamos que
2x es autovector:
2
x.A
6
3
2
1
18
03
2x =
6
3
2
1
33 2 .x.
De y , se tiene :
22 xx.A con
02x , luego
2x es un autovector correspondiente
al valor propio =3 de la matriz .A
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
4
Ejercicio: Determinar a que valor propio de la matriz
18
03
A , le corresponde el
autovector :
2
0
x .
En efecto :
Como
2
0
x es autovector de A, verifica que :
2
0
. A =
2
0
. con
2
0
x
0
18
03
2
0
. =
2
0
.
2
0
.2
0
Por igualdad de vectores:
.22
00
1 es el autovalor de A,
para el cual
2
0
x es autovector.
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
5
Ejercicio: Analizar si que
2
1
1
x y
3
1
0
w , son autovectores correspondientes al valor
propio =5 de la matriz
500
032
023
A
¿
xx.A con ? 0x
2
1
1
.5
2
1
1
.
500
032
023
10
5
5
10
5
5
x es autovector de A correspondiente al autovalor =5
¿
ww.A con ? 0w
3
1
0
.5
3
1
0
.
500
032
023
15
5
0
15
3
2
w NO es autovector de A correspondiente al autovalor =5
Ejercicio: Demuestre que si
x es un Vector Propio de A correspondiente al Valor Propio
, entonces : h.
x es un vector propio de A, correspondiente al mismo Valor Propio de ,
h 0 ¿Cuántos Vectores Propios corresponden a un Valor Propio? ¿Es
x =
0 un vector
propio para A Mnxn?
Definición: Sea A Mnxn y un valor propio de A, se llama subespacio propio de A
correspondiente al valor propio al conjunto definido por:
0xcon,x.x A. /MxS 1nx
Proposición:
El conjunto S
0 , es un subespacio vectorial de Mnx1, para S , subespacio propio
de A=(aij) Mnxn, correspondiente al autovalor de A.
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Prof. Maria I. Ciancio
6
Demostración:
Veamos que se verifica el Teorema Clave para subespacios:
0 S
0 S
0
Si
1x
0
1x S
11 xx.A
Si
2x
0
2x S
22 xx.A
d.p.q.
1x +
2x S d.p.q.
2121 xxxx.A
Veamos que :
21212121 xxxAxx.Ax.Axx.A
1x +
2x S
Sea k y
x
0
x S
xx.A
d.p.q.
x.k S d.p.q.
x.kx.k .A
Veamos que :
x.k.x.kx.A.kx.k.A
x.k S
El conjunto S
0 , es un subespacio vectorial de Mnx1
Caracterización de los valores y Vectores Propios
A continuación describiremos los pasos a seguir para determinar Valores propios
(autovalores) y vectores propios para una matriz A Mnxn
Por definición:
0xcon,x.x A. y autovalor de A
x.I. x A. multiplique por la matriz I
0x.I. x A.
(A - I)
0x . S.E.L. Homogéneo
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
7
Pero para que
x sea vector propio de A,
0x
det (A - I) = 0 Ecuación característica
Ejercicio: Hallar la ecuación característica para :
500
032
023
A
Det(A-I)=
Ecuación característica
Ecuación característica
Ahora se puede enunciar el siguiente:
Teorema: Sea A Mnxn. Las siguientes condiciones son equivalentes:
1. Un escalar es un Valor Propio (autovalor) de A sii det (A - I) = 0
2. Un vector
x es un vector propio (autovector) de A, correspondiente a un
valor propio , sí y solo sí
x es una solución no trivial del sistema
(A - I)
0x . y det (A - I) = 0
Definición: Sea A=(aij) Mnxn , valor propio de A. Se llama lo “Polinomio
Característico de A” , al polinomio
P () = det (A - I)
Ejercicio: Hallar el polinomio característico para :
500
032
023
A
Ecuación característica
P()= -3+112-35+25 Polinomio característico
Definición: El conjunto de valores propios de A, será llamado “Espectro de A”.
El Espacio espectral (A) = {1,…,p} p n ; y i j
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Prof. Maria I. Ciancio
8
Espacio espectral( )={5,1}
=5 ( raíz doble) multiplicidad algebraica(=5)=2
=1 ( raíz simple) multiplicidad algebraica(=1)=1
Definición: La ecuación: det (A - I) = 0 se llama: “Ecuación Característica de A”.
(“Ecuación de orden n”).
Definición: La dimensión del Subespacio propio S , se indica con dim( S ) y recibe el
nombre de “multiplicidad geométrica” de S .
Si un valor propio de A, es raíz de la ecuación característica: det (A - I) = 0, tiene
“multiplicidad algebraica igual a k”, resulta siempre que:
Multiplicidad geométrica multiplicidad algebraica
A continuación organizamos los resultados anteriores, para encontrar un procedimiento a
fin de hallar valores, vectores y subespacios propios para una matriz Anx1.
Algoritmo para obtener autovalores, autovectores y bases de los subespacios propios
de una matriz A=(aij) Mnxn.
Dato: Dada A Mnn.
1. Plantear el polinomio característico: P () = det (A - I)
2. Resolver la ecuación característica det (A - I) = 0.
Es decir hallar los autovalores{1,…,p} , e indicar su multiplicidad algebraica
3. Para cada valor propio i , plantear el Subespacio propio, es decir resolver el
sistema homogéneo: (A - i I)
0x .
Las soluciones no triviales del sistema homogéneo anterior, son los vectores
propios de A, que corresponden al valor propio i.
4. Escribir la solución general de (A - i I)
0x . , obtenida en el paso 3, en forma
de combinación lineal de vectores, cuyos coeficientes son las variables libres. Estos
vectores forman una base para el subespacio propio iS .
5. Verificar para cada autovalor i
Multiplicidad geométrica iS Multiplicidad algebraica i
Ejercicio de Aplicación 1. Aplicar el algoritmo para A=
51
122
1º) P () = det (A - I)=
10
01
51
122
=
0
0
51
122
=
51
122
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
9
= 231).12()5)(2( 2
23)(P 2 Polinomio característico
2º) Ecuación característica
det (A - I) = 0
0232 2y 1 21 : autovalores de A
El Espacio espectral (A) = {1,2} ={-1,-2}
Multiplicidad algebraica (1 = -1)=1
Multiplicidad algebraica (2 = -2)=1
3º)(A - i I)
0x .
Para 1 = -1
Se tiene que : (A + I)
0x .
151
1212
0x .
0xcon,
41
123
0x .
0
0
:
:
41
123
0
0
:
:
00
41
0x4x 21 21 x4x
2
2
2
1
x
x4
x
x
x
0y x R, x/
x
x4
xS 22
2
2
11 Subespacio Propio para 1 = -1
Para 2 = -2
Se tiene que : (A +2. I)
0x .
251
1222
0x .
0xcon,
31
124
0x .
0
0
:
:
31
124
0
0
:
:
00
31
0x3x 21 21 x3x
2
2
2
1
x
x3
x
x
x
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
10
0y x R, x/
x
x3
xS 22
2
2
22 Subespacio Propio para 2 = -2
4º) Base para los Subespacios propio iS .
1
4
es base de 11S , pues es generador de 11S y está formado por un único vector
no nulo
Luego : dim ( 11S ) =1
1
3
es base de 22S , pues es generador de 22S y está formado porun único vector
no nulo
Luego : dim ( 22S ) =1
5º) Multiplicidad geométrica 11S Multiplicidad algebraica(1 = -1)
1 ≤ 1
Multiplicidad geométrica 22S Multiplicidad algebraica(2 = -2)
1 ≤ 1
Ejercicio de Aplicación 2. Aplicar el algoritmo para
211
2
13
2
1
112
A
1º) Polinomio Característico:
P () = det (A - I) = det(
)2(11
2
13
2
1
11)2(
)= 3 + 7 2 14 + 8
2º) Ecuación Característica: det (A - I) = 0
3 + 7 2 14 + 8 = 0
Para hallar una raíz, se buscan los divisores de 8 = {±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8}
Probando con 1 = 1 , se obtiene que es una raíz.
Factorizando la ecuación , por Regla de Ruffini:
0861
43
22
grado2
2
El espacio espectral de A= {1 , 2 , 4}
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
11
Multiplicidad algebraica (1 = 1)=1
Multiplicidad algebraica (2 = 2)=1
Multiplicidad algebraica (3 = 4)=1
3º)(A - i I)
0x .
Para 1 = 1
Se tiene que : (A - I)
0x .
0
0
0
z
y
x
111
2
12
2
1
111
0
0
0
:
:
:
111
2
12
2
1
111
0
0
0
:
:
:
000
0
2
30
111
0x2/3
0xxx
2
321
0 x, xx 231
zz
1
0
1
S 11 Subespacio Propio para 1 = 1
Para 2 = 2
Se tiene que : (A - 2I)
0x .
Partiendo de
0
0
0
:
:
:
011
2
11
2
1
110
Se llega a :
zz
1
1
1
S 22 Subespacio Propio para 2 = 2
Para 3 = 4
Se tiene que : (A - 4I)
0x .
Partiendo de
0
0
0
:
:
:
211
2
11
2
1
112
Se llega a :
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
12
zz
1
1
1
S 43 Subespacio Propio para 3 = 4
4º) Base para los Subespacios propio iS .
1
0
1
es base de 11S , pues es generador de 11S y está formado por un único vector
no nulo
Luego : dim ( 11S ) =1
1
1
1
es base de 22S , pues es generador de 22S y está formado por un único vector
no nulo
Luego : dim ( 22S ) =1
1
1
1
es base de 43S , pues es generador de 43S y está formado por un único vector
no nulo
Luego : dim ( 43S ) =1
5º) Multiplicidad geométrica 11S Multiplicidad algebraica(1 = 1)
1 ≤ 1
Multiplicidad geométrica 22S Multiplicidad algebraica (2 = 2)
1 ≤ 1
Multiplicidad geométrica 43S Multiplicidad algebraica (3 = 4)
1 ≤ 1
Ejercicio de Aplicación 3. Aplicar el algoritmo para A =
100
010
100
1º) Polinomio Característico:P () = det (A - I) =
)1(00
0)1(0
10
det
() (1 )2
2º) Ecuación Característica: det (A - I) = 0
() (1 )2 = 0 () (1 2 + 2) = 0 1 = 0 ; 2 = 3 = 1
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
13
El espacio espectral de A= {0,1}
Multiplicidad algebraica (1 = 0)=1
Multiplicidad algebraica (2 =3 =1)=2
3º)(A - i I)
0x .
Para 1 = 0
Se tiene que : (A - 0I)
0x .
100
010
100
0
0
0
z
y
x
Resultan : z=0, y=0, xR
Se llega a :
xx
0
0
1
S 01 Subespacio Propio para 1 = 0
Para 2 =3 =1
Se tiene que : (A - 1I)
0x .
000
000
001
0
0
0
z
y
x
Resultan : x=0, y, zR
Se llega a :
z,y
z
y
0
S 132 Subespacio Propio para 2 =3 =1
4º) Base para los Subespacios propio iS .
0
0
1
es base de 01S , pues es generador de 01S y está formado por un único vector no
nulo
Luego : dim ( 01S ) =1
Para 2 = 3 = 1
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
14
Para un vector
1
0
0
z
0
1
0
y
z
y
0 Son generadores del subespacio y al estudiar si son
L.I., se obtendrá que sí, luego :
base
132
1
0
0
,
0
1
0
B
de 132S
Luego : dim ( 132S ) =2
5º) Multiplicidad geométrica 01S Multiplicidad algebraica(1 = 0)
1 ≤ 1
Multiplicidad geométrica 132S Multiplicidad algebraica (2 = 3 = 1 )
2 ≤ 2
Propiedad: Una matriz A Mnn es invertible sí y solo sí = 0 no es valor propio de A.
Propiedad: Los valores propios de una matriz triangular superior (inferior) son sus
elementos diagonales.
VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA T.L.
Definición: Sea T : V V una Transformación Lineal definida en un espacio vectorial V
de dimensión finita “n”. Un vector
x
0 es un vector propio de T sí: T (
x ) =
x para
algunos escalares (posiblemente cero). Al valor escalar se lo llama “valor propio” de T,
y se dice que
x es el eigenvector de T asociado al valor propio .
Teorema: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita “n”. Sea T : V V una
transformación lineal, cuya matriz A, con respecto a una base
n21 v,,v,vB de V. Entonces: T (
x ) = .
x A [
x ]B = [
x ]B
Por consiguiente:
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15
1. es un eigenvalor (valor propio) de T sí y solo sí es un eigenvalor de A.
2.
x es un eigenvector (vector propio) de T sí y solo sí [
x ]B es un eigenvector de A.
Demostración:
Por lo expuesto anteriormente: A [
x ]B = [T (
x )]B
Además también es válido: [
x ]B = [
x ]B
Por lo tanto:
T (
x ) =
x [T (
x )]B = [
x ]B y como T tiene representación matricial
A [
x ]B = [
x ]B
A [
x ]B = [
x ]B
Ejemplo: Determine los eigenvalores, eigenvectores, bases de los espacios característicos
de: T : 2 2 ∕ T(x , y) = (x + 3y , x y)
Para aplicar el Teorema anterior debemos elegir una base de 2 , y hallar la representación
matricial dela T.L. respecto a esa base. Elijamos como base de 2, la base
canónica )1,0(),0,1(v,vB 21
y la matriz de la T.L. es:
A=
11
31
))1,0((T))0,1((T
Hallemos los autovalores de A.
1º) Resolviendo la ecuación característica: det (A - I) = 0
det (A - I)=
10
01
11
31
=
11
31
= 43)1)(1( 2 =0 1 = 2 ; 2 = 2 : eigenvalores de la T.L.
El espacio espectral de A= {2,-2}
Multiplicidad algebraica (1 = 2)=1
Multiplicidad algebraica (2 = 2)=1
2º) Base para los Subespacios propio iS .
Resolvamos : (A - i I)
0x .
Para 1 = 2 , se tiene que : (A - 2I)
0x .
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Prof. Maria I. Ciancio
16
211
321
0x .
Se llega a : 0y x R, x/
x
x3
x 22
2
2
0y x R, x/
x
x3
xS 22
2
2
21 Subespacio Propio para 1 = 2
1
3
es base de 21S , pues es generador de 21S y está formado por un único vector no
nulo .Luego : dim ( 21S ) =1
Multiplicidad geométrica 21S Multiplicidad algebraica(1 = 2)
1 1
Para 2 = 2
Se tiene que : (A –( 2)I)
0x .
211
321
0x .
Se llega a : 0y x R, x/
x
x
x 22
2
2
0y x R, x/
x
x
xS 22
2
2
22 Subespacio Propio para 2 = 2
1
1
es base de 22S , pues es generador de 22S y está formado por un único
vector no nulo
Luego : dim ( 22S ) =1
Multiplicidad geométrica 22S Multiplicidad algebraica(2 = 2)
1 1
Ejercicio: Determine los eigenvalores, eigenvectores, bases de los espacios característicos
de la T.L.: T : 3 3 ∕ T
z3y2x4
z2x2
z4y2x3
z
y
x
DIAGONALIZACIÓN de MATRICES CUADRADAS
Definición: Una matriz Anxn es semejante a una matriz diagonal Dnxn, si existe una matriz
regular P, talque :
D=P-1.A.P
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17
En este caso, se dice que A es diagonalizable y el proceso de hallar las matrices
P y D, se llama diagonalización
A continuación, se trata de responder las siguientes preguntas:
. ¿Cualquier matriz cuadrada A es diagonalizable ?
. Si A es diagonalizable, ¿Cómo hallar las matrices P y D ?
Para responder a , se debe tener en cuenta el siguiente teorema:
Aclaración:
Este Teorema da una forma de construir las matrices D y P.
D: es la matriz diagonal, que en su diagonal tiene los autovalores : 1, 2, ..., n de A
P: tiene como columnas los
n21 p,...p,p autovectores L.I.de Anxn , correspondientes a los
autovalores : 1, 2, ..., n de A, entonces:
n
2
1
n21
00
00
00
Dyp:...:p:pP
Además se obtiene una matriz regular P (invertible), que verifica que:
P1A P = D ; es decir P diagonaliza a la matriz Anxn.
¿Cómo se eligen los vectores que son las columnas de la matriz P?
Ya se ha visto como hallar las bases de los subespacios propios, a los vectores de estas
bases se los llamará “vectores básicos” y con ellos se construirán las columnas de la
matriz P.
En consecuencia, si hay menos de “n” vectores básicos para una matriz Anxn, entonces
Anxn no es diagonalizable.
Teorema:Si Anxn es una matriz, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:
a) A es diagonalizable
b) A tiene n vectores propios (eigenvectores) Linealmente Independientes.
Demostración para EXAMEN FINAL
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18
Teorema Importante: Si una matriz Anxn tiene n eigenvalores distintos A es
diagonalizable.
Importante: La recíproca de este último Teorema no es cierta ( “ Hay matrices Anxn
diagonalizables aún cuando no tienen todos sus eigenvalores distintos”).
Ejemplo 1: Se analizará si la matriz A=
51
122
es diagonalizable, en caso afirmativo se
determinarán las matrices P y D.
1º) Ya se vió que esta matriz tiene autovalores : 2y 1 21
Multiplicidad algebraica (1 = -1)=1
Multiplicidad algebraica (2 = -2)=1
2º) Que los subespacios propios son :
0y x R, x/
x
x4
xS 22
2
2
11 Subespacio Propio para 1 = -1
0y x R, x/
x
x3
xS 22
2
2
22 Subespacio Propio para 2 = -2
3º) Base para los Subespacios propio iS .
1
4
es base de 11S , dim ( 11S ) =1 y que el vector básico es :
1
4
1
3
es base de 22S , dim ( 22S ) =1 y que el vector básico es :
1
3
Teorema: Si
k21 x,...x,x son valores propios de Anxn, correspondiente a valores
propios distintos 1, ... k
k21 x,...x,x es un conjunto linealmente
independiente.
Demostración para EXAMEN FINAL
Condición Importante para que una matriz Anxn sea diagonalizable :
Multiplicidad geométrica iS = Multiplicidad algebraica(i) , i, autovalor de Anxn
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19
4º) Revisión de la “Condición para que una matriz Anxn sea diagonalizable “
Multiplicidad geométrica 11S = Multiplicidad algebraica(1 = -1)
1 = 1
Multiplicidad geométrica 22S = Multiplicidad algebraica(2 = -2)
1 = 1
Por lo tanto, A es diagonalizable
Por lo tanto, se pueden hallar D y P
11
34
p:pP 21 , como P es regular, existe P
-1
41
31
1
)P(Cof
)Pdet(
)P(Adj
P
T
1
Ahora D, se calcula como: D= P1A P=
P..
51
122
41
31
11
34
.
82
31
P.
82
31
=
2
1
0
0
20
01
Nota Importante: Como se vió que A=
51
122
tiene por únicos autovalores a
2y 1 21 ; y estos son distintos. Por el Teorema anterior se concluye que : “ A es
diagonalizable”. Sólo quedaría hallar la matriz P que diagonaliza a A y la matriz D,
semejante a A ( ver punto 4º) del Ejemplo anterior).
Ejemplo 2: Se analizará si la matriz : A =
100
001
010
es diagonalizable.
PASO 1: Resolviendo la ecuación característica: det (A - I) = 0
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20
det (A - I)=det( )
100
001
010
= 0112 ))((
1 = 1 ; 2 = 1 : eigenvaloresde A
Multiplicidad algebraica (1 = 1)=2
Multiplicidad algebraica (2 = 1)=1
Nota : Como los autovalores de A que son tres no son todos distintos , no podemos
asegurar si A es diagonalizable, entonces debemos estudiarlo por la “Condición para que
una matriz sea diagonalizable”
PASO 2: Donde la Base para los Subespacios propio iS .
Resolvamos : (A - i I)
0x .
Para 1 = 1 , se tiene que : (A - I)
0x .
1100
0101
0110
0x .
Se llega a :
0z0,y e R,yz, /
z
y
y
xS 61 Subespacio Propio para 1 = 1
Se puede verificar que
1
0
0
0
1
1
, es base de 11S , luego : dim ( 11S ) =2
Para 2 = 1
Se tiene que : (A –( 1)I)
0x .
1100
0101
0110
0x .
Se llega a :
0y e R,y /y
y
S
0
32 Subespacio Propio para 2 = 1
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21
0
1
1
es base de 12 S , luego : dim ( 12 S ) =1
PASO 3: Revisamos la Condición Importante para saber si A es diagonalizable:
• Para 1 = 1:
Multiplicidad geométrica 1S = Multiplicidad algebraica(1)
2 = 2 - Correcto !!!
• Para 2 = -1:
Multiplicidad geométrica 2S = Multiplicidad algebraica(2)
1 = 1 - Correcto !!!
Conclusión :
Como i, autovalor de Anxn, se verifica la Condición Importante, A es diagonalizable.
Ejemplo 3 : Veamos que la siguiente matriz no es diagonalizable
00
10
A
Supongamos que A es diagonalizable existe una matriz regular:
bcad0bc - ad 0Pdet
: tienecual la
dc
ba
P
Supongamos que:
2
1
0
0
D
es la matriz diagonal que debería verificar que:
P-1.A.P = D P . D = A . P
Resolviendo:
00
dc
dc
ba
P.A
dc
ba
00
10
0
0
dc
ba
D.P
21
21
2
1
Por igualación: (1) a 1 = c b2 = d
c1 = 0 d2= 0
si c1= 0
)2(
00csi
0o0c
1
1
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22
(1)
c.a
)2(
0
1
si d 2= 0
) 3(00dsi
0o0d
2
2
(1) d
)3(
.b
0
2
d
d0
0.b
Luego c = 0 d = 0 a . d b . c 0 Falso
Pues : a . 0 b . 0 = 0
Luego P no es una matriz regular. Absurdo!!!!! A No es diagonalizable.
NOTA: Se deberá tener en cuenta que:
No todas las matrices cuadradas se pueden diagonalizar.
Las matrices P y D que diagonalizan a una matriz A no son únicas.
Proceso de Diagonalización Ortogonal de una matriz simétrica
Dada una matriz Anxn. ¿Existe una matriz ortogonal P (P
1 = PT), tal que diagonalice a A?,
Es decir : P1A P = PTA P=D
En caso de que exista la matriz, entonces se dice que A es diagonalizable ortogonalmente,
y se dice que P diagonaliza ortogonalmente a A.
El siguiente teorema establece:
Teorema: Sea Ann las siguientes condiciones son equivalentes:
a) A es diagonalizable ortogonalmente.
b) A tiene un conjunto ortonormal de n eigenvectores.
Ejercicio: Dadas las matrices:
500
032
023
A ,
12
23
B
Indique si se las puede diagonalizar. Justifique su respuesta.
En caso afirmativo, determine la matriz P y D.
c
0cc0
0.a
d=0
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23
c) A es simétrica.
El cual también se puede enunciar:
Teorema: Ann es una matriz ortogonalmente diagonalizable si y solo si A es simétrica.
Teorema: a) Una matriz simétrica con todos sus elementos reales, solo tiene valores
propios reales.
b) Dos vectores propios cualesquiera de una matriz simétrica A que
corresponden a dos valores propios diferentes, son ortogonales.
Demostración:
Solo se demuestra el apartado b) de este teorema.
Sean
21 x y x dos eigenvectores de A cuyos eigenvalores correspondientes sean
1 y 2 tales que 1 2.
Para poder realizar ésta demostración, haremos uso de las siguientes propiedades.
Recordemos que solo se definió el producto interior entre vectores, obtuvimos:
B1
T
B2B2
T
B121 ]x [ ] x[]x [ ] x[x , x
Ahora bien, si A es una matriz de n x n; y teniendo en cuenta las propiedades de la
traspuesta, resulta:
B1
T
B2B1
TT
B2B1
T
B2B1
T
B221 ]x [ .] Ax[]x [ ..A] x[]x [ .A.] x[]x[A ] x[x , xA
=
21 xA , x usando que A=A
T
Luego resultó:
21 x , xA
21 xA , x
Como x1
es vector propio de A correspondiente a 1 A x1
= 1 x1
(b)
Además
2x es vector propio de A correspondiente a 2 A
2x = 2
2x ( c)
Utilizando la relación (a) resulta:
21 x , xA
21 xA , x
Reemplazando con (b) y (c), se tiene :
211 x , x
221 x , x , lo cual se
puede escribir:
211 x , x
212 x , x
211 x , x
212 x , x = 0
(1 2)
21 x , x 0
(a)
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24
Pero 1 2 se concluye que
21 x , x 0 x1
2x c.q.d
Nota: Este teorema es válido solo cuando los elementos sean reales, pues cuando los
elementos son C| el teorema es falso.
Regla Práctica Para Diagonalizar Ortogonalmente a una matriz simétrica
Datos: Sea Ann una matriz simétrica
1. Encontrar una base para cada subespacio propio (eigenespacio) de todos los
autovalores de A. (Base para los espacios característicos).
2. Aplicar el proceso de GramSchimdt a cada una de estas bases, a fin de obtener
una base ortonormal para cada eigenespacio.
3. Formar la matriz P cuyas columnas son los vectores básicos obtenidos en el paso 2.
Esta matriz diagonaliza ortogonalmente a A, por lo tanto : PTA P=D
Ejemplo: Encuentre la matriz P que diagonalice ortogonalmete a: A =
033
303
330
PASO 1: Resolviendo la ecuación característica: det (A - I) = 0
det (A - I)=det( )
033
303
330
= 054273
= 0)3)(6)(3( 1 = 6 ; 2 = 3 : eigenvalores de A
Multiplicidad algebraica (1 = 6)=1
Multiplicidad algebraica (2 = 3)=2
Donde la Base para los Subespacios propio iS .
Resolvamos : (A - i I)
0x .
Para 1 = 6 , se tiene que : (A - 6I)
0x .
6033
3603
3360
0x .
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25
Se llega a :
0y e R,y /
y
y
y
xS 61 Subespacio Propio para 1= 6
1
1
1
es base de 61S , luego : dim ( 61S ) =1
Para 2 = 3
Se tiene que : (A –( 3)I)
0x .
3033
3303
3330
0x .
Se llega a :
0y0,y x R,y x,/
yx
y
x
S 32 Subespacio Propio para 2 = 3
1
1
0
,
1
0
1
es base de 32S , luego : dim ( 32S ) =2
PASO 2: Aplicar el proceso de GramSchimdt a cada una de estas bases:
Transformar la base
1
1
1
en una base ortonormal:
3
1
3
1
3
1
22
1
1
1 ,,
111
)1,1,1(
||v||
v
w
Entonces
3
1
3
1
3
1
es base ortonormal
Transformar la base
1
1
0
,
1
0
1
en una base ortonormal:
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26
2
1
2
1
222
1
1
1 ,0,
)1(01
)1,0,1(
||v||
v
w
12
12
112
112
1122
1122
2
wv
w
2
1v
ww),1,1,0(v
ww),1,1,0(v
ww,vv
ww,vv
w
6
1
6
2
6
1
222
,,
)1(1)2/1(
)1,1,2/1(
Entonces
6
1
6
2
6
1
,
2
1
0
2
1
es base ortonormal
PASO 3: Formar la matriz P
P=
3
1
3
1
3
1
6
1
6
2
6
1
2
1
0
2
1
, es tal que det(P)=1 PT=P-1
Luego: PTA P=
.
3
1
3
1
3
1
6
1
6
2
6
1
2
1
0
2
1
T
033
303
330
.
3
1
3
1
3
1
6
1
6
2
6
1
2
1
0
2
1
= D
600
030
003
Teorema:
Una matriz ortogonalmente diagonalizable es simétrica
Demostración:
Por hipótesis Ann es ortogonal diagonalizable una matriz P tal que: P es
ortogonal (PT = P1) y además:
P1A P = D o
PTA P = D ; luego:
A = P D PT
Calculemos AT para probar si A = AT
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27
A = P D PT
AT = (P D PT)T = (PT)T DT PT
AT = P DT PT pero DT = D
AT = P D PT
A = AT A es simétrica.
Nota: Lo sorprendente de este teorema, es que el inverso también es válido. O sea, si A es
simétrica es ortogonalmente diagonalizable. Sin embargo esta demostración es
muy compleja.
Ejercicio: Encontrar una Matriz P que diagonalice ortogonalmete a
422
242
224
A
PASO 1: Det (A I) = 0 1 = 2 =2 y 3 = 8 autovalores de A
Para 1 = 2 =2 B1=2=2 =
1
0
1
0
1
1
base para el subespacio propio
Para = 8 B=8 =
1
1
1
base para el subespacio propio
PASO 2: Aplicar el proceso de GramSchimdt a cada una de estas bases:
La base B1=2=2 =
1
0
1
0
1
1
, se transforma en :
6
2
6
1
6
1
2
1
2
1
0
B
La base B=8 =
1
1
1
, se transforma en :
3
1
3
1
3
1
B
PASO 3 : Formar la matriz P
P =
3
1
6
2
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
0
, tal que: PTA P=
.
0
T
3
1
6
2
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
422
242
224
.
3
1
6
2
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
0
D
800
020
002
=
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28
Ejercicio: Dada A =
241
421
111
, la matriz P que diagonaliza ortogonalmente a A.
PASO 1: det (A I) = 0 1 = 3 ; 2 = 0 ; 3 = 6 , autovalores de A
Para 1 = 3 B1=-3 =
1
1
1
base para el subespacio propio
Para 2 = 0 B2=0 =
1
1
2
base para el subespacio propio
Para 3 = 6 B3=6 =
1
1
0
base para el subespacio propio
PASO 2: Aplicar el proceso de GramSchimdt a cada una de estas bases:
La base B1=-3=
1
1
1
, se transforma en :
3
1
3
1
3
1
B
La base B2=0=
1
1
2
, se transforma en :
6
1
6
1
6
2
B
La base B3=6 =
1
1
0
, se transforma en :
2
1
2
1
0
B
PASO 3: Construimos la matriz P que diagonaliza ortogonalmente a A.
P =
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
3
1
6
2
3
1 0
es ortogonal y sus columnas son eigenvectores de A
Luego: PTA P = D
600
000
003
Ejercicio: Encuentre la matriz P que diagonaliza ortogonalmente a la matriz:
A =
301
020
103
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Prof. Maria I. Ciancio
29
APLICACIONES:
Formas Cuadráticas Reales-Aplicación a las secciones cónicas y superficies cuádricas
Una ecuación de la forma :
(1) 02
22 feydxcybxyax , en donde a,b,c,d,e,f, son números reales y al menos uno
de los números a,b,c no es cero se denomina ecuación cuadrática en x e y, a la expresión
22 2 cybxyax , se le llama forma cuadrática asociada.
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30
También la expresión ( 1), se puede escribir en forma matricial como:
0
f
y
x
ed
y
x
cb
ba
yx
O bien :
0 fX.KX.A.XT
En donde : edK
cb
ba
A
y
x
X
Y a la expresión g(X)= X.A.XT , se la denomina la expresión matricial de la forma cuadrática,
siendo A : matriz simétrica que se llama: “matriz de la forma cuadrática”.
Una ecuación de la forma :
(2) 0222222 jizhygxfyzexzdxyczbyax en donde a,b,c,d,e,f, g,h,i,j,
son números reales y al menos uno de los números a,b,c,d,e,f no es cero se denomina ecuación
cuadrática en x,y,z, a la expresión fyzexzdxyczbyax 222222 , se le llama forma
cuadrática asociada
También la expresión ( 1), se puede escribir en forma matricial como:
0
j
z
y
x
ihg
z
y
x
cfe
fbd
eda
zyx
O bien :
0 jX.KX.A.XT
En donde : ihgK
cfe
fbd
eda
A
z
y
x
X
Y a la expresión g(X)= X.A.XT, se la denomina la expresión matricial de la forma cuadrática,
siendo A : matriz simétrica , que se llama: “matriz de la forma cuadrática”.
En el curso de Geometría Analítica, se ha visto que la ecuación (1), es una “Sección Cónica” en un
sistema de coordenadas cartesianas rectangulares [ x y] en el espacio bidimensional.
De forma análoga, la gráfica de la ecuación (2), es una “Superficie Cuádrica” en un sistema de
coordenadas rectangulares [x y z] en el espacio tridimensional.
Nota: Recuerde que una forma cuadrática que solo tiene “rotación” respecto de la posición
estándar, no incluye términos lineales en las variables involucradas.
Así por ejemplo:
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
31
La forma ax2 + 2bxy + cy2 +f=0 , es una forma cuadrática en dos variables (cónica) que sólo
incluye “rotación” (por la presencia del término cruzado “ xy”).
En cambio en la forma cuadrática: ax2 + 2bxy + cy2 +dx + ey + f =0, involucra “rotación” y
“traslación” de la gráfica en el eje x, y en el eje y, respectivamente.
Así para “simplificar” (eliminar la rotación) la expresión de la forma cuadrática dada, se aplica la
teoría de Autovalores y Autovectores; y para eliminar finalmente la traslación (términos lineales en
las variables involucradas) se completan cuadrados de binomios.
Para eliminar los términos cruzados, cambiamos las variables x1, x2, …, xn por las variables y1, y2,
…, yn. Supongamos que las variables antiguas están relacionadas con las nuevas por PYX para
alguna matriz ortogonal )PP(P T1 .
Entonces:
DYYY)APP(Y)PY(A)PY(AXX)X(g TTTTT
Donde APPD
T . Además como la matriz A es simétrica, P ortogonal, entonces: PTAP es
también simétrica y diagonal.
Luego:
DYY)Y(h T es otra forma cuadrática
Problema: ¿Cómo seleccionamos la matriz P, para obtener formas cuadráticas equivalentes?
Procedimiento para eliminar la rotación en la ecuación cuadrática de una cónica.
Paso1: Se determina la expresión matricial asociada a la ecuación cuadrática de la cónica:
0 fX.KX.A.XT (3)
0
f
y
x
ed
y
x
cb
ba
yx
En donde : edK
cb
ba
A
y
x
X
Paso 2: Se determina una matriz
2221
1211
pp
pp
P que diagonalice ortogonalmente a A. Dada A la
matriz simétrica asociada a la forma cuadrática.
Paso 3: Se intercambian las columnas de P, si es necesario, para que det(P)=1. Esto asegura que la
transformación ortogonal de coordenadas PYX es una rotación.
Teorema: (Teorema del eje principal para Rn) Cualquier forma cuadrática en n-valores
AXX)X(g T es equivalente, mediante una transformación lineal PYX y una matriz
ortogonal P, a una forma cuadrática
2
nn
2
22
2
11 y...yy)Y(h
donde
n
2
1
y
y
y
Y
; y n21 ,...,, son los valores propios de la matriz A de g.
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
32
Paso 4: A fin de obtener la ecuación para C (siendo C una cónica) en el sistema [ x’ y’]=Y, donde
ya no hay rotación, se sustituye PYX en (3).
0 f)PY(KPYAPY T
0 fY)KP(Y)APP()Y( TT
'y'x
2
1
0
0
'y
'x
+ ed
2221
1211
pp
pp
'y
'x
+ f = 0
0f'y'e'x'd'y'x 22
2
1
Donde 2111 epdp'd y 2212 epdp'e Esta ecuación no tiene los términos cruzados x’y’.
En la ecuación todavía presenta los términos lineales, por lo tanto se deberá completar cuadrados
para obtener la expresión de la cónica sin rotación y sin traslación.
Ejercicio Resuelto : 5x2-4xy+8y2-36=0
Paso1: Se determina la expresión matricial asociada a la ecuación cuadrática de la cónica:
0 fX.KX.A.XT (3)
03600
82
25
)(
y
x
y
x
yx
En donde : 00K
82-
2-5
A
y
x
X
Paso 2: Se determina una matriz
2221
1211
pp
pp
P que diagonalice ortogonalmente a A. Dada A la
matriz simétrica asociada a la forma cuadrática.
(Anexo Paso 2: Se hallan los autovalores de A : 1=4 y 2=9
Se hallan las bases ortonormales de los subespacios propios
5
1
5
2
4SB y
5
2
5
1
9SB
Luego se construye la matriz P
5
2
5
1
5
1
5
2
P
Paso 3: Como det(P)=1, esto asegura que la transformación ortogonal de coordenadas PYX es
una rotación.
Paso 4: A fin de obtener la ecuación para C (siendo C una cónica) en el sistema [ x’ y’]=Y, donde
ya no hay rotación, se sustituye PYX en (3).
Autores: Prof. Elisa Oliva-
Prof. Maria I. Ciancio
33
0 f)PY(KPYAPY T
0 fY)KP(Y)APP()Y( TT
'y'x
2
1
0
0
'y
'x
+ ed
2221
1211
pp
pp
'y
'x
+ f = 0, como d=0 , e=0 ( en este ejemplo)
022
2
1 f'y'x
Resulta entonces que : 03694 22 )('y'x , ó bien :
Ecuación de una elipse, cuyo gráfico es el siguiente:
Completar con el ejemplo de superficie cuádrica desarrollado en Págs.358 a 360 del libro.
“Introducción al Algebra Lineal” de Howard Anton.
1
49
22
'y'x
Y’
X’
Lic. en Geofísica – Lic. en Astronomía
Práctico Nº 1
Ejercicio 1 : Indicar si son proposiciones o no, las siguientes oraciones:
¿Qué hora es?
¡Arriba Argentina!
2 + 5 = 7
Las sierras pampeanas son argentinas
2x + 3 = 5
San Luis es nombre de una ciudad argentina.
Domingo Faustino Sarmiento nació en Córdoba
0 + 1 = 100
2 + 6 < 9
El cuadrado de todo número par también es par.
Ejercicio 2: Indicar si las proposiciones son simples (o atómicas) ó compuestas
El triángulo es un polígono
Marcos en ingeniero o Beatriz es profesora
1 + 7 = 5
Si Juan va al cine, entonces tiene dinero
Un triángulo es equiángulo si, y solo si es equilátero
Si vienes a verme entonces te quedas poco tiempo y no nos da tiempo a contarnos cosas.
Ejercicio 3: Sean p, q y r las proposiciones siguientes:
p: “está lloviendo”
q: “el sol está brillando”
r: “hay nubes en el cielo”
I-Traducir las siguientes oraciones a notación simbólica utilizando conectivos lógicos:
1 Está lloviendo y el Sol está brillando
2 Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo
3 Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay
nubes en el cielo
4 El Sol está brillando si, y sólo si, no está lloviendo
5 Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando
5 O esta lloviendo o el sol está brillando
II- Complete la tabla, para “Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo” :
Notación
Simbólica
Lenguaje español
Recíproca
Contrario
Contrarecíproca
III- Complete idem tabla anterior para “Si no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando”
IV-Sean p, q y r las proposiciones arriba citadas. Traducir las siguientes proposiciones a oraciones
en español:
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Ejercicio 4: Confeccionar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas
A) )p~q(~p ∧⇒ B) )p~q()qp( ⇔∧⇒ C) )q~p~()qp( ∧⇔∨ D) r)qp( ⇒∧
E)
)rp~()q~p( ⇔∨∧
F) ))pq~(~r(~ ⇒∨ G) )r~)qp((~ ⇒∧
Ejercicio 5: Indique si la negación de: )rq(p~ ⇒∧ , es equivalente a algunade las siguientes
proposiciones
a) r~)qp( ⇒∨ b) r)qp( ⇒∧ c) )rq(~p ⇒∨
Ejercicio 6: Comprobar si son contingentes, tautológicas o contradictorias, las siguientes
proposiciones
A) )pq(p ∨⇒ B) r~)qp( ∧⇒ C) )q~p()qp~( ∧⇔∨
D) )qp~()qp( ∨⇔⇒ E) ))pq~(~r(~ ⇒∨
Ejercicio 7: Indique sin construir tablas de verdad, cual es el valor de verdad resultante:
a) Si el valor de verdad de qp⇒ es verdadero ¿puede determinar el valor de verdad de
)qp(p~ ⇒∨ ?
b) Si el valor de verdad de rp⇒ es falso ¿puede determinar el valor de verdad de
p~)rp( ⇒⇒ ?
c) Halle el valor de verdad de )p~q()q~p( ∨⇒∧ si q es verdad
d) Halle el valor de verdad de )q~p()qp( ∧∧⇒ si q es verdad
e) Si q~p∧ es verdadero ¿se puede determinar el valor de verdad de )qp()qp( ∨⇔∧ ?
f) Si q~p~ ∧ es verdadero ¿se puede determinar el valor de verdad de )qp()qp( ∨⇔∧
En todos los casos justifique su respuesta
Ejercicio 8: I- Escribe las funciones proposicionales
a) x es impar
b) x es divisor de y
c) x + y < 20
d) x > 3
e) 2x < 5
f) x > 3 y 2x < 5
II-Sea U un conjunto no vacío finito o infinito llamado referencial, o universo de discurso.
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U = { 1, 2, 3, 9,11}
Valor de verdad
para x=1
Valor de verdad
para x=3
Valor de verdad
para x=9
Valor de verdad para x=11
x es impar
x > 3
2x < 5
x > 3 y 2x < 5
III-Sea U el conjunto referencial, o universo de discurso. U = { 1, 2, 3, 9,11}
Valor de verdad
para x=1, y=3
Valor de
verdad para
x=3, y=9
Valor de verdad para
x=9 , y=2
Valor de verdad
para x=11, y=9
x es divisor de y
x + y < 20
(x es divisor de y )
o (x + y < 20 )
(2x<5)⇒(x es divisor de y)
Ejercicio 9: Determine, en caso de ser posible, el valor de verdad de cada enunciado:
I- Sea el universo: U = N
a) (∀ x ) (x + 6 > 2) d) (∃x) ( 2x2 + x = 15)
b) (∀x ) (x2 + 10 ≤ 8) e) (∀x) ( 3x2 + x = 15)
c) (∀x )(( x 2 > 0 )⇒( x + 2 = 0))
II- Sea el universo: U = Z
a) (∀ x ) (x + 6 > 2) c) (∃x )(( x 2 > 0 )⇒( x + 2 = 0))
b) (∃x ) (x2 + 10 ≤ 8) d) (∃x) ( 2x2 + x = 15)
III- Repita el estudio del apartado anterior, con U=R
Ejercicio 10: Negar las siguientes funciones proposicionales
a) (∀ x ) (x + 6 > 2) d) (∃x )( x 2 > 0 ) ⇒ (∀ x ) ( x + 2 = 0)
b) (∃x ) (x2 + 10 ≤ 8) e) (∀ x) ∼ ( 2x2 + x = 15) ∨ ∼ (∃x) (x>1)
c) (∀ x) ( 2x2 + x = 15) ∨ ∼ (∃x) (x>1) f) (∀ x)( ∼ ( 2x2 + x = 15) ⇒ (x>1))
Ejercicio 11: Realice las siguientes demostraciones que se plantean, por los métodos indicados:
I-Por método directo
1-Demuestre que si n es un entero impar entonces n2 también es un entero impar.
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2-Demuestre que si m y n son cuadrados perfectos, entonces mn es también cuadrado perfecto.
(Recuerde que a es cuadrado perfecto si existe un entero b tal que a = b2 ).
II-Por método contrareciproco
1-Demuestre que si n es un entero y 3n + 2 es impar, entonces n es impar.
2-Demuestre, para cada entero n, que si 5n+ 3 es par, entonces n es impar.
III-Por método del absurdo
1- Demuestre que si n = ab, con ambos a y b son enteros positivos, entonces a ≤√n o b ≤√n.
2- Demuestre que : Si a, b, c ∈ R, talque a > b. Si a.c ≤ b.c entonces c ≤ 0.
Ejercicio 12: Realice la siguiente demostración que se plantean, por los métodos adecuados:
Sea n un entero positivo. Demuestre que n es impar si y sólo si n2 es impar.
*-*-*-*-*-*-*-*-*
Práctico Nº 2
Lic. en Geofísica – Lic. en Astronomía
Ejercicio 1 : Dadas las matrices : A, B, C,D, E, F, donde:
−
−
=
400
039
D ,
−
−
=
0
1
1
1
6
3
0
0
0
E
I- ( )
33×
= ijaA , donde ijaij 4
2 −= .
( )
23×
= ijcC tal que
≥−
<−
=
jisij
jisii
cij
23
1 2
II-a) Plantee una matriz B, con: “El ascensor de un edificio con planta baja y dos pisos
más, realiza viajes de uno a otro piso. Se sabe que la mitad de los viajes que parten de la
planta baja se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje
comienza en el primer piso, sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si
un trayecto comienza en el segundo piso, siempre termina en la planta baja”.
b) Plantee una matriz F, con:” Cada año se comprueba que, si a la venta hay dos
refrescos, Coca Cola y Fanta, cuando una persona ha comprado Coca Cola, hay una
probabilidad del 90% de que siga comprándola la vez siguiente. En cambio, si una
persona compró Fanta, hay un 80% de probabilidad que repita su compra.”
III-
a) Calcular, cuando sea posible : A+E, B+C, ⅔D, -2C+B, 2A-⅓E.
b) Encuentre de ser posible: BA ⋅ , AB ⋅ , D.A, C.B, C.D, E.D, (A+B).C, (A.B).C; C.D+F
c) Indique en qué posición de D.A se localiza el elemento ∑
=
3
1
12
k
kk A.D y cuál es su valor.
d) Indique en qué posición de B.A se localiza el elemento ∑
=
3
1
21
h
hh A.B y cuál es su valor.
IV- Hallar la matriz X , en caso de ser posible, en las siguientes ecuaciones:
a) ID.CFX −=⋅
b) 2EBXA =+⋅
c) EBAX 2=+⋅
Ejercicio 2 : Dada la matriz
=
60
40
0
1
,
,
A . Calcular 2A ; 3A y 10A .
Ejercicio 3 : Formular las condiciones para que una matriz A, de orden n, sea triangular superior.
Demostrar que el producto de matrices triangulares superiores (de orden 3x3), es otra matriz
triangular superior.
Ejercicio 4 : Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden, k∈R, (sugerencia, trabajar con
matrices de orden 3x3), demostrar que,
a) )()( ATrazkAkTraz ⋅=⋅ , con Rk ∈
b) )()( ABTrazBATraz ⋅=⋅ .
c) AA TT =)( .
d) TT kA)kA( = .
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e) TTT BABA +=+ )( .
f) TTT ABBA ⋅=⋅ )(
Ejercicio 5: Completar las matrices, en caso de ser posible,
−=
6
10
2
4
1
A ,
−= 10
53
4
0 ,
B
para que sean : a) Simétrica. b) Antisimétrica.
Ejercicio 6: Sea A una matriz cuadrada, demostrar que,
a) TAA⋅ y TAA+ son simétricas.
b) TAA− es antisimétrica.
Ejercicio 7 : Calcular los siguientes determinantes, por definición:
a)
45
2
1
2
−
b)
431
113
018
−
−− c)
34
135
−
−
d)
224
513
113
−−
−−
e)
124
031
005
−
f)
54
21
−
→→
ee g)
111
023 −
kji
rrr
h)
3201
111
321 eee
rrr
Ejercicio 8: Calcule el valor de los siguientes determinantes, por simple observación. Justifique su
respuesta: ) c) b) a
213
524
213
00
320
125
501
208
403
2
1 −−
−−
−
−
−
−
3254
0127
0015
0004
e)
3103
141
262
d)
−
−−
−
−−−
Ejercicio 9 : Escribir las propiedades de los determinantes que nos permiten asegurar que son
ciertas las siguientes igualdades:
a)
153
011
014
1103
021
024
2
1
−−
=
−−
b)
100
122
314
113
021
024
−
−
=
−−
0
113
000
224
=
−−
)c d)
224
703
113
113
703
224
−
−−
−=
−−
−
Lic. en Geofísica – Lic. en Astronomía
e) 0
113
234
234
=
−−
−
−
f) 0
1153
1204
8204
=
−−−
− g) 0
542
121
421
=
Ejercicio 10: Dada la matriz
−
=
2300
450
2
k
k
kk
A tal que 24=A , se pide
a) Determinar el valor de k.
b) Calcular el valor del determinante de la matriz que se obtiene de multiplicar cadaelemento
de la fila 1 de la matriz A, por 5.
c) Calcular el valor del determinante de la matriz que se obtiene de multiplicar cada elemento
de A, por 5.
Ejercicio 11: Calcule el valor de los siguientes determinantes:
:calcular 5
111
203
x
det =
zy
Si
zyx
zyx
det e)
zyx
det d)
/
zyx
det c)
xzy
det b) zyxdet a)
=
−−=
−−−
=
=
=
555
23
111
314
111
111
3201
222
111
320
111
203
Ejercicio 12: Demostrar que: Si A es una matriz simétrica de orden 3, con diagonal principal y
secundaria nula, entonces A = 0 .
Ejercicio 13: Dadas las siguientes matrices, se pide
−
−
−
=
711
102
213
A ,
−
−−
=
3
5
1
1
0
1
1
0
0
3
6
0
0
2
8
1
B ,
−
−
−
=
1
0
4
0
0
0
1
3
2
1
5
6
5
3
2
4
C ,
−
−
=
2
1
2
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
1
1
1
D
a) Calcular el determinante de cada matriz, desarrollando por la fila o columna que crea más
conveniente.
b) Calcular el determinante de la matriz C, desarrollando por la columna 2 y comparar con lo
obtenido en el desarrollo elegido en el apartado a).
c) Triangularizar las matrices A y B. Calcular el determinante de las matrices obtenidas.
Comparar con los resultados hallados en a).
d) Si M es una matriz de orden 4x4 y se sabe que el menor del elemento a34 vale 12 ¿Cuánto
vale el cofactor del mismo elemento?
Lic. en Geofísica – Lic. en Astronomía
Ejercicio14: Dadas las siguientes matrices, se pide
−
−
−
=
511
102
21 k
A , B=
−
+
−
220
310
111
2k
k , C=
−−
−
2950
420
532
k
k
a) Calcular el determinante de cada matriz, e indicar para que valor de “k” la matriz no tendrá
inversa.
b) Determine, en caso de ser posible, la inversa si k = -1; y también si k=0.
Ejercicio15: Encuentre de ser posible, la inversa de las siguientes matrices:
−
−
=
−−
−
=
=
−
=
−
=
222
212
122
822
530
624
213
654
642
102
010
011
E D
11-3
110
402
C B A
Ejercicios Optativos y de Aplicación
Ejercicio 1: Escribir la matriz que verifica:
a) ( )
32×
= ijaA tal que
>
≤−
=
ji si sii
ji si ij
aij
2
b) ( )
23×
= ijcC tal que ) j log(cij =
c) ( )
33×
= ijbB tal que
≠+−
=−
=
jisiij
jisi
bij
1
5
2
d) ( )
23xij
fF = tal que jf iij −−= )2(
e) ( )
33xij
mM = tal que
≥+−
<
=
jisi)ji(
jisi
i
mij 5
Luego, determinar en caso de ser posible :
a) AB ; MB ; FC +++
b) ( ) A ;MB ;F ;A F −−− ••• 332
Ejercicio 2: Enunciar a lo sumo dos propiedades que verifican los elementos de cada matriz:
=
=
=
=
7777
5555
3333
1111
;
321
521
351
325
;
3933
2242
1111
;
099
404
110
DCBA
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Ejercicio 3: Dadas las matrices
−−−
=
0
1
1
4
1
4
5
3
0
3
3
2
0
2
1
1
A y
−
−
=
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
B , describir
explícitamente la matriz ( )
44×
= ijcC , si ijjjijij bbac 2+⋅= .
Ejercicio 4: Hallar x, y, z, w si 2
1
0
3
1
x y
z w
y
z
x y
z w
=
+
+
− +
.
Ejercicio 5: Dadas las matrices
=
=
=
0 2-
2 0
2- 1
C,
2 2
1 2
B,
1- 2 0
0 1- 2
A . Analizar si son
posibles las operaciones: AT -C, CT +2.A, ( AT .B) .C y ( B. CT).AT. En caso afirmativo, realizarlas.
Además,
a) Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse CMA ⋅⋅ .
b) Determinar la dimensión de M para que MCT ⋅ sea una matriz cuadrada.
Ejercicio 6: Con la siguiente información, construir una matriz de probabilidad, P. Puedes ayudarte
con algún gráfico.
a) En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 65% de los días
nublados le siguen días nublados.
b) Supongamos que hay 3 centros principales de camiones ”Múdese ud. mismo”. Cada mes,
la mitad de los camiones que están en Boston y en Los Ángeles van a Chicago, la otra
mitad permanece donde está. Los camiones de Chicago se reparten de tal forma que el
25% van a Boston y el 75% a Los Ángeles.
c) En una comunidad hay 3 tipos de telefonia celular (C1, C2, C3) existe la movilidad de un
cliente de uno a otro. Cada año el 75% de los clientes de C1 permnecen con el mismo
servicio, y pierde un 10% se va al C2, y el resto a C3. Se averiguó que la empresa que
ofrece C2 solo retiene el 50% y pierde el 35% que va a C1 y el resto se va a C3, mientras
que C3 retiene sólo el 30%, pierde el 50% que va al C1 y el resto se va a la empresa C2.
d) En Argentina existen 3 compañías principales de telefonía móvil, Personal, Movistar y
Claro. Un usuario de Personal tiene una probabilidad del 60% de permanecer ahí, del 20%
de cambiarse a Movistar y del 20% también de pasarse a Claro. En la actualidad, el usuario
que es cliente de Movistar tiene una probabilidad del 50% de mantenerse en Movistar, 30%
de cambiarse a Personal y 20% de probabilidad de que se cambie a Claro. En cambio, si el
cliente es, ahora, usuario de Claro, la probabilidad que permanezca en dicha empresa es
del 40%, la de cambiarse a Personal es del 30% al igual que la de que pasarse a Movistar.
e) En una comunidad hay 3 supermercados (S1, S2, S3) existe la movilidad de un cliente de uno a otro.
Cada mes el S1 retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va al S2. Se averiguó que el
S2 solo retiene el 5% y pierde el 85% que va a S1 y el resto se va a S3, el S3 retiene solo el 40%,
pierde el 50% que va al S1 y el 10% va al S2.
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Ejercicio 7: Descomponer a
−
−=
242
163
0215
A , como suma de una matriz simétrica y una
antisimétrica.
Ejercicio 8: Demostrar que: Si A es una matriz antisimétrica de orden 3, entonces A = 0 .
Ejercicio 9: Demostrar que: Si A es una matriz simétrica de orden 3, con diagonal principal nula,
entonces la matriz de cofactores de A es una matriz simétrica.
Ejercicio 10: Hallar el valor de “x” , para que el determinante de las siguientes matrices sea nulo.
x -
- x
A )a
−
−
=
82
25
−−
−
−
=
−
−−
=
x,
x
x
Ac)
x
x
Ab)
5311
00
101
25
103
−
−−
−−
=
−
−
=
x
x
x
Ae)
x
x -
x
Ad)
800
031
013
22
22
22
−
−
−
=
x
2 x
2 x
Af)
422
42
24
Ejercicio 11: Triangularizar las siguientes matrices y calcular su determinante.
−
=
−
=
−
−
=
10251
2114
121162
0703
209
444
312
341
023
241
B , C , A , D =
−
−
7770
41047
7951
1241
Además, cuando sea posible, calcular la inversa de estas matrices.
Ejercicio 12:
1) Investigar la definición de matriz idempotente, nilpotente y ortogonal.
2) Indicar el nombre de las matrices que verifican:
0 E )c EE b)EE a) 2T === −12
3) Si E es idempotente, entonces TE también lo es.
4) Si E es nilpotente de orden 2, demostrar que:
a. (I ±E)3 = I ± 3E
b. E (I ± E)4 = E
Ejercicio 13: a) Determinar cuáles de las siguientes matrices son idempotentes:
,
000
100
031
,
2-1
6-3
,
00
01
−
−−
101
110
011
,
−
2121
2121
//
//
b) Indicar el grado de nilpotencia de las siguientes matrices:
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−
−
1-1-
11
,
000
100
010
,
31
93
Ejercicio 14: Supongamos que hay una epidemia de una enfermedad para la que no se ha
encontrado vacuna. Por esta epidemia, cada mes se enferma la mitad de los que están sanos y
muere la cuarta parte de los que están enfermos.
a) Escribir la matriz de probabilidad de este enunciado.
b) Si la población antes de la epidemia era de 1000 habitantes. Mostrar la
distribución al cabo de 1 mes, 5 meses, 1 año.
Ejercicio 15: En una población, en un mes hay un 3% de probabilidad de que un no fumador
comience a fumar un paquete diario o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar más de
un paquete diario. Para los que fuman un paquete o menos, hay un 10% de probabilidad de que
dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que fuman
más de un paquete, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 20% de que pasen a
fumar un paquete o menos. Si la población original de encuestados, estuvo formada por 300
personas que no fuman, 100 que fuman un paquete o menos y 100 que fuman un paquete o más al
día. Mostrar la distribución al cabo de 2 mes, 4 meses y 6 meses.
Ejercicio 16: Si P y Q son 2 matrices de probabilidad de orden 3x3, demuestre que P•Q, P2 y Q•P
son matrices de probabilidad.
Ejercicio 17: Dada la matriz
=
60
40
0
1
,
,
A , ( vista en el Ejercicio 2 )se pide:
a) Calcular 20A y 30A .
b) Hallar una ley general para calcular nA .
*-*-*-*-*-*-*
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Práctico Nº 3
Ejercicio 1: Escribir en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
+=−+
−=+
=−+
zzyx
zyx
zyx
41222
53
5
b)
−=++−
=+−−
5642
2534
twx
zyx
c)
=−+−
−−−=
=−
−=+
01553
6410
584
532
db
dae
cb
cba
Ejercicio 2:
I- Escriba el S.E.L. correspondiente a las siguientes matrices ampliadas.
II-Determinar el rango de las matrices de coeficientes y de las matrices ampliadas, obtenidas de
cada uno de los siguientes S.E.L
III- De, de ser posible, las soluciones a los S.E.L. obtenibles a partir de las matrices ampliadas
escalonadas:
:
:
:
:
c)
:
0 :
:
:
b)
:
:
:-
a)
−
−−
−
−
−
−
−−
−
−−−
−
16104
34512
20013
70202
45
2
0
3
1
3
1
2
13113
54524
5921
3314
0712
IV- Determinar el rango de las matrices de coeficientes y de las matrices ampliadas, obtenidas de
cada uno de los siguientes S.E.L
a)
=−+
=+
=+−
03
0
03
zyx
zy
zyx
=++
=
=++
0244
4
222
zyx
y
zyx
)c
+−=
=+
=−
232
13
0
xy
yx
yx
)b
=+−−
=+−−
=−++
=+−−
322336
6
5
422
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
)d
Ejercicio 3: Dados los siguientes S.E.L.:
a)
+−=
=+
=−
232
13
0
xy
yx
yx
b)
=+−−
=+−−
=−++
=+−−
322336
6
5
422
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
c)
=−
=+−
=++−
−=−−
622
82
0
222
yx
zyx
zyx
zyx
1. Por medio del Teorema de Rouche-Frobenius clasificarlos.
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2. En caso de ser compatible determinado, encontrar su solución.
Ejercicio 4:
1. Dadas las siguientes matrices ampliadas, determinar los valores de k para los que el
sistema asociado tiene una única solución, aquellos para los que no tiene solución y los que
hacen que el sistema tenga infinitas soluciones:
a)
−
+−
−
+
−
k
k
k
k 62
1
220
310
111
2
M
M
M
b)
−
−
−−
−
k
k
k
k
11
4
950
420
532
2
M
M
M
2. Determinar los valores de k para que el sistema tenga una única solución. Analice además
cuando no tiene solución y cuando tiene infinitas soluciones.
a)
=++
=++
=−+
23
332
1
zkyx
kzyx
zyx
b)
=++
=++
−=++
1
2
1
zkyx
kkzyx
kzyx
c)
−=+−
=−
=−+
kkzkx
kzx
kzkyx
2
62
2
=+−
=−+
=−+
kzyx
kzyx
kzyx
)d
372
21162
32
=++
=++
=++
2
1
kkzyx
kzkyx
zykx
)e
Ejercicio 5:
1. Aplique, en caso de ser posible, método matricial para hallar la solución de los siguientes SEL:
a)
=−
=+
527
63
yx
yx
b)
=−
=−
=+−
02
1
0
zy
zx
zyx
c)
=−−
=+−
=−+
1635
622
5332
zyx
zyx
zyx
2. Usando el método de Leibniz-Cramer, resolver los anteriores S.E.L.
Ejercicio 7:
1. Resuelva los siguientes S.E.L. por el método de eliminación de Gauss:
=−+
=−+
−=−+−−
=+−+
832
17652
82
339104
zyx
zyx
wzyx
wzyx
)d
2.Resuelva los S.E.L. a)-b)-c), en caso de ser posible, por método de Gauss-Jordan.
=−
=−
=+−
02
1
0
zy
zx
zyx
)a
=−−
=+−
=−+
1635
622
5332
zyx
zyx
zyx
)b
=+−
=−
=−+
3524
33
542
zyx
zy
zyx
)c
Ejercicio 8: Plantee y resuelva, en caso de ser posible, los siguientes enunciados:
a) Se dispone de un recipiente de 24 litros de capacidad y de tres medidas A,B,C. Se sabe que el
volumen de A es el doble del de B.Que volcando las tres medidas juntas llenan el depósito; y que
además volcando juntas las 2 primeras llenan hasta la mitad del depósito.¿qué capacidad tiene cada
medida?
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3.
Ejercicio 9: Verificar si las matrices
− 30
04
y
0
0
1
0
0
2
son solución de la siguiente ecuación:
−
−−
=
−
+
−
⋅+⋅
−
+
2940
125
210
31
210
31
210
31
2
2 XXX
Ejercicio 10: Hallar los valores de x, y, z, t, para que se satisfagan las siguientes igualdades:
a)
=
⋅
13
10
01
11
tz
yx
b)
+
−
+
−
=
⋅
4
3
31
2
2
tz
xy
t
x
tz
yx
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Ejercicio 11: Dadas las siguientes matrices,
a)
=
7.02.0
3.08.0
P b)
=
9.08.0
1.02.0
P c)
=
7.005.01.0
15.08.02.0
15.015.07.0
P
1) Encontrar por lo menos 3 vectores X , que verifiquen que XX =⋅P .
2) Entre los posibles vectores X , hallados en el ítem anterior, indicar si existe alguno tal que
la suma de sus componentes sea 1000.
3) ¿Cuántos vectores encontró en cada situación, que dan solución al apartado anterior?
Ejercicio 12: Determinar los coeficientes del polinomio 2)( cxbxaxP ++= , cuya gráfica pasa por
los puntos )1,1( ; )0,2( y )3,3( . Considerar:
x 1 2 3
f(x) 1 0 3
Ejercicios Optativos y de Aplicación
Ejercicio 1: Plantea y resuelve, en caso de ser posible, los siguientes enunciados:
a) Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos diferentes. Los
mayores transportan una media de 15 tn y recorren diariamente 400 Km. Los medianos transportan
diariamente 10 tn y recorren 300 Km. Los pequeños transportan diariamente5 tn y recorren 300 Km.
Diariamente la empresa transportan un total de 710 tn y recorren 22000 Km entre todos sus
camiones.¿Cuántos camiones de cada modelo tiene la empresa?
b)Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 2600$ por 10 l de leche, 3 kg de jamón crudo
y 5 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta la sexta
parte del valor de 1 Kg de jamón.Que 1 kg de jamón cuesta igual que 3 l de aceite más 10 l de leche.
c)Se piensa un número de tres cifras del que se sabe:
La suma de sus cifras es 15. Si el número se divide por la sumade la cifra de las centenas y la cifra de
las unidades, el cociente es 71 y el resto es 5. Si al número se le resta 198, las cifras se invierten
Hallar el número.
d)La edad de un padre es el doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace
unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era el
triple de la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la
suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las 3 personas será 150 años. ¿Qué
edad tenía el padre al momento de nacer sus hijos?
b) En una fábrica de tazas,fuentes y platos de cerámica, un trabajador necesita 3 minutos para iniciar
el proceso de elaborar una taza,4 minutos para elaborar una fuente y 2 minutos para iniciar el proceso
de elaborar un plato. Los materiales para una taza, una fuente y un plato cuestan $150,100$ y $40,
respectivamente. Si se gastan $6400 en 3h 20’ de trabajo para la producción de tazas,fuentes y
platos. De algunas soluciones al problema sobre cuántos platos,fuentes y tazas se pueden fabricar.
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Ejercicio 2: Analice si los siguientes sistemas tienen solución, de tener hállela por el método de
eliminación de Gauss y compruébelo, en caso de ser única, por el método matricial.
a)
0322
454
7
321
321
321
=−+
=+−
=−+
xxx
xxx
xxx
b)
=++
=+−
=−+
036
054
0
zyx
zyx
zyx
c)
=−
=+
=−
523
0
02
yx
yx
yx
d)
=+−
−=−+−
=+−
1434
1432
82
zyx
zyx
zyx
e)
12
253
−−=
−=−
zyx
yzx
f)
02c2ba
02cb a
0c 3b2a
=++−
=++
=−+
g)
452
0836
032
−=+−
=−+
=−+
zyx
zyx
zyx
Ejercicio 3: ¿Cuál de los sistemas lineales tiene la siguiente matriz de coeficientes?
−
102
510
123
=+
=+
−=−+
=+−
=+
=
=++−
=+
=+
=
=
−=+
32
155
323
15
02
23
55
02
1023
12
5
123
zx
zy
zyx
yx
yx
x
zyx
yx
zx
x
y
yx
d) c) b) a)
Ejercicio 4: Determinar los valores de k, para que el sistema tenga solución única; no tenga solución
y aquellos para los cuales tiene infinitas soluciones. Si su matriz ampliada es:
I-
10:24-0
6-:4k20
5:k32
1) 2
+−
−
kk
2:3140
6k-:3k30
k-:7-21
)2 2
+ k
II-
=++
=++
=++
=+−
=++
=++
2432
0
032
2
4
zyx
zkyx
zyx
)b
kzyx
kzyx
zyk
)a
Ejercicio 5: Encuentre por simple observación el tipo de solución de los siguientes S.E.L.
homogéneos:
=+
=−
=−
=+
=−+
=++
++
0155
03
06
024
02
08372
0437
053
0642
032
pm
pm
d)
z
zy
zyx
c)
t=z+y+x+
z+t=y-x+
y+z+t=x+
b)
cba
c =ba
a)
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Ejercicio 6: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
−
=+
=
−
=
=
−
=
=
=−
=+
25
30
y 2x
2-3
12
2y - x
)b
10
01
, D
64
43
, C
01
01
, B
12
01
A :siendo
DY.AX
CB.YA.X
)a T
Ejercicio 7: ¿Qué condición deben cumplir a, b y c para que el sistema tenga solución?
=−+
=+−
=−+
czyx
bzyx
azyx
673
3
32
Ejercicio 8: Encontrar los valores de k para los cuales el siguiente sistema, tiene única solución, no
tiene solución o tiene infinitas soluciones:
=+
=+
1
1
kyx
ykx
Ejercicio 9: Encuentre la solución del sistema de ecuaciones obtenido a partir del análisis de la
siguiente Red eléctrica.
Nota: Para el análisis del circuito se aplican las denominadas Leyes de Kirchhoff:
1. En un circuito, siempre que haya una unión de conductores de tal forma que las cargas tengan
más de un camino a seguir, la suma de todas las corrientes en la unión debe ser cero. Esa unión
recibe el nombre de nodo. Por convención las corrientes que entran al nodo son positivas y las que
salen negativas.
2. En un circuito cerrado (malla), la suma de los cambios de voltaje es igual a la suma de las fuerzas
electromotrices (fem).
Aplicando la primera ley en el nodo A (ver figura) y la segunda en el circuito cerrado ACBA y luego en
BDAB, se obtiene el sistema que Ud. deberá resolver para determinar los valores de las corrientes:
=−
=+
=++−
2448
1246
0
32
31
321
ii
ii
iii
Ejercicio 10 : Encuentre un polinomio ( ) 2cxbxaxP ++= , que relacione el período de los 3
primeros planetas del sistema solar, con su distancia media al Sol. Luego probar la exactitud del
ajuste por medio del polinomio para el período de Marte (La distancia se mide en unidades
astronómicas, U.A., y el período en años).
Mercurio Venus Tierra Marte
Distancia Media 0.387 0.723 1 1.523
Período 0.241 0.615 1 1.881
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Ejercicio 11: Las formas escalonadas reducidas de las matrices de sistemas de 2 ecuaciones con 2
variables, junto al tipo de soluciones que representan se pueden clasificar como sigue ( ⊗
corresponde a elementos distintos de cero).
soluciones Infinitas solución Ninguna única Solución
⊗⊗
⊗
⊗
⊗
000
1
100
01
10
01
Clasifique, de la misma manera, las formas escalonadas reducidas, junto al tipo de soluciones que
representan, para un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas.
Ejercicio 12: Calcular la inversa de las siguientes matrices, utilizando el método de eliminación
gaussiana (recordar BXA =⋅ , usar
=−
3
2
1
1
f
f
f
A y
==
3
2
1
e
e
e
IB
a)
=
010
101
011
A b)
−−
−
−
=
822
530
624
A
c)
−
=
102
010
011
A d)
−−
−
=
111
232
422
A
*-*-*-*-*-*-*
Práctico Nº 4 - I Parte
Ejercicio 1: Analice cuáles de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales,
con las operaciones que se indican:
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a) El conjunto de todas las ternas de números reales, con el producto por un escalar
habitual y la suma definida por :
( ) ( ) ( )2121222111 z ,0 ,,,,, zxxzyxzyx ++=+
b) El conjunto de todas las ternas de números reales, con la suma habitual y el
producto por un escalar definido por :
c) El conjunto de todos los pares de números reales, el producto por un escalar
habitual y la suma definida por:
( ) ( ) ( )012211 ,xy,xy,x =+
d) El conjunto de todas las matrices de orden 2 x 2, con la suma habitual de
matrices y el producto por un escalar definido por:
=
2221
1211
2221
1211
. . 3
. .2
.
aka
aka
aa
aa
k con k∈R
e) El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que 2, en la
indeterminada x , con coeficientelineal nulo, considerando la suma y el producto
por un escalar habituales.
Ejercicio 2: Determine 3 vectores que pertenezcan a cada uno de los siguientes
conjuntos de vectores .Con ellos realice 2 sumas, a uno de ellos multiplíquelo por 4
y otro multiplíquelo por (-3). Analice si los vectores obtenidos por estas operaciones
siguen perteneciendo al conjunto.
a) ( ){ }03 ≥∈= x : Rz,y,xT b) ( ){ }xyRyxU 2 : , 2 =∈=
c) S A M A
a a
= ∈ =
+
22
1
0 0
:
d)
−
=∈=
a b
b a
A :MAH 22
e) ( ){ }zyxRzyxM ==∈= : ,, 3 f) ( ){ }024 =+−∈= wyx : Rw,z,y,xF
Ejercicio 3: Demostrar que los conjuntos de vectores, de los incisos b)-d)-e)–f) del
ejercicio anterior, son subespacios vectoriales del espacio vectorial que se indicó,
considerando en cada caso la suma y el producto por un escalar habituales.
Ejercicio 4:
I-Analizar si los siguientes subconjuntos de 3R son subespacios vectoriales:
a) }:)7,,2{( RxxxxA ∈−= b) }1:),,{( 3 =∈= xyRzyxB
II- Analizar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de nnM .
( ) ( ) Rkzkyxzyxk ∈= con ,,,,
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a) }0)det(:{ =∈= NMNA nn c) })N(traz:MN{C nn 0=∈=
b) }0)det(:{ ≠∈= NMNB nn
III-Demostrar que son subespacios vectoriales los conjuntos de vectores de los
puntos I y II, que recibieron respuesta afirmativa.
Ejercicio 5: Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R2 son
subespacios. Justifique su respuesta.
S1 S2 S3
Ejercicio 6: Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R3 son
subespacios. Justifique su respuesta.
S1 S2 S3
Ejercicio 7:
a) El vector ),(w 45= es combinación lineal de los vectores ),(v),,(u 4212 == ).
Determine los escalares que hacen cierta esta afirmación. Represente esta situación
gráficamente.
b) El vector u=(-16,2) es combinación lineal de los vectores v=(-2,6), w=(5,8) y
x=(4,-12). Determine al menos 2 ternas de escalares que hacen cierta esta
afirmación y represente gráficamente.
Ejercicio 8:
a) Determine cuales vectores wy v,u
rrr
puede expresarse como combinación lineal de
los vectores de S: ( ) ( ){ }4,0,5 , 3,1,2−=S
0
y
x
0
y
x 0
y
x
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Siendo ( ) ( ) ( )2,6,3 , ,,16 , 7,5,0
2
27
2
1 −=−=−= wvu rrr
b) ¿Es el polinomio p combinación lineal de los polinomios q y r ?, siendo:
xry xxq , xp 238372 22 −=−+=−=
c) Exprese el vector )3,2,1(=m como combinación lineal de los vectores
)0,1,1(),1,0,1( == vu y )1,1,0(=w .
Ejercicio 9: 1) Determinar si los vectores dados generan al espacio vectorial que se
indica:
a) )5,5();2,2();1,1( a 2R
b) )1,1,2();4,1,1();5,1,2();2,1,1( −−−− a 3R
c) xxx ;3;1 2−− a 2P
d) ( ) ( )5,1,2 ; 1,1,3 − a 3R
e)
00
21
;
01
01
a 22M .
f)
−
−
06
52
03
14
10
21
01
01
;
;
;
a 22M .
2) ¿Si los vectores 321 x ,x ,x
rrr
generan un subespacio S, entonces dimS=3 ?
Ejercicio 10: 1) Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son LI o LD:
a) )}4,0,2(),2,4,0(),2,0,1{( −−−=A
b) )}1,1();0,1();2,1{( −−=B
c) };3;2{ 22 xxxxC ++=
d) }
06
52
;
03
14
;
10
21
;
01
01
{
−
−
=D
e) }x;xx;x;x{E 7431 22 +−−=
f) )},,(),,,(),,,(),,,{(F 000230121101 −−=
g) )},,(),,,{(G 1512113 −=
2) Indique cuales de los conjuntos de vectores del punto 1), son base del E.V.
Ejercicio 11: Determinar desde el siguiente gráfico,cuales de las situaciones son
verdaderas, para las que no lo sean justificar la respuesta:
Datos: H=Gen(
→→→→→→
543210 v,v,v,v,v,v ) , ∉
→
w H,
→
5v
→
4v →
3v
→
0v →
1v →
2v
o
→
w
H
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a) A= 3531 Ren L.I. es,,,
→→→→ vvvw b) A= 331 Ren L.I. es,,
→→→ vvw
c)A= 311 Ren L.I. es5,,
→→→ vvw d) A= 3531 R degenerador es,,,
→→→→ vvvw
e)A= 3111 R degenerdor es2,5,,
−
→→→→
vvvw f) A= 352334 R degenerador es,,2
+−
→→→→→
vvvvv
Ejercicio 12: Dados los subespacios
( ){ } ( ){ }
( ){ } ( )
−==∈==−=∈=
=+∈=+=∈=
53
2
022
33
2
3
3
3
1
4
x
z
y
: Rz,y,xS zyx : Rz,y,xS
zy : Rz,y,xS 3yxz : Rz,y,xS
Calcular 344241323121 , , , , , SSSSSSSSSSSS ∩∩∩∩∩∩ .
Ejercicio 13: Dar una base y encontrar la dimensión de
a) El espacio de todos los vectores de R4 cuyas componentes suman cero.
b) El espacio de las matrices simétricas de orden 3x3
c) El espacio solución del sistema:
=−−+
=+++
05
03
wzyx
wzyx
en R4.
d) Ídem al apartado anterior, pero solución en R5.
Ejercicio 14: Una gran empresa minera que cuenta con 2500 empleados, anota el
salario de cada uno, como la componente de un vector 2500Ren u
→
. Si se ha
aprobado un incremento salarial general del 8%, determine una expresión que utilice
a
→
u , para establecer los nuevos salarios. Con qué concepto se vincula esta expresión?
Ejercicio 15: Una compañía de concreto almacena 3 mezclas básicas de concreto, dadas
en la tabla. Las cantidades se miden en gramos y cada “unidad” de mezcla pesa 60gramos.
Puede formular mezclas especiales resolviendo combinaciones de las 3 mezclas básicas,
entonces las mezclas especiales posibles pertenecen al espacio generado por los 3
vectores que representan las 3 mezclas básicas.
A B C
Cemento 20 18 12
Agua 10 10 10
Arena 20 25 15
Grava 10 5 15
Tobas 0 2 8
a) ¿Puede hacer una mezcla que consista en 1000g de cemento, 200g de agua, 1000g de
arena, 500g de grava, 300g de tobas? ¿Por qué puede o por qué no puede? Si puede,
¿cuántas unidades de cada una - mezcla A,B,C - se necesitan para hallar la mezcla
buscada?.
b) Suponga que se quieren hacer 10.200 gr de concreto que incluyan 2560 gr de cemento,
1700 gr de agua, 3000 gr de arena, 2100 gr de grava y 840 gr de toba. ¿Se podrá o no
lograr esta mezcla? En caso afirmativo indique cuántas unidades de las mezclas bases
debe usar.
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Ejercicio 16:
a) Considere las bases de R2 , { })1,0(),0,1(=B y { })4,3(),1,2(' −=B .
I. Halle la matriz de transición de B a B’
II. Calcule la matriz de coordenadas de )5,3( −=w , respecto a la base B’
III. Halle la matriz de transición de B’ hacia B.
b) Repita los 3 pasos antes mencionados, considerando ahora las bases de R3,
{ })1,6,1(),1,2,3(),3,0,3( −−−−=B , { })7,3,2(),4,6,2(),0,6,6(' −−−−−−=B y el vector
)5,8,5( −−=wr .
Ejercicios Optativos y de Aplicación
Ejercicio 1: Determine si el conjunto dado es o no E.V. Si no lo es, enuncie dos axiomas
que no se cumplen:
a) El conjunto de los vectores en R3 de la forma ( )x,x,x con la suma habitual de ternas y el
producto: ( ) ( ) Rcxxxcxxxc ∈= con ,,.,,
b) El conjunto de las matrices M23 con la suma definida por :
=
+
0 0 0
0 0 0
b b b
b b b
a a a
a a a
232221
131211
232221
131211
y el producto por un escalar habitual.
Ejercicio 2:
1) Determine 3 vectores que pertenezcan a cada uno de los siguientes conjuntosde
vectores y con ellos realice 2 sumas y a uno de ellos multiplíquelo por 3. Analice si los
vectores obtenidos por estas operaciones siguen perteneciendo al conjunto.
2) Analice en cada apartado si W es subespacio de V. Cuando lo sea, demuéstrelo ,
trabajando con las operaciones normales.
a) ( ){ }yx:Ry,xW =∈= 2
b) ( ){ }033 =+−∈= zyx :Rz,y,xW d)
==∈
= 0d , 0a :M
d c
b a
W 22
c) ( ){ }Rz,y,x :R,z,y,xW ∈∈= 40 e) ( ){ }0w-2y :Rw,z,y,xW =∈= 4
Ejercicio 3:
A) Determine cuales de los siguientes subconjuntos de R2 son subespacios.
Justifique su respuesta.
0
y
x
0
y
x 0
y
x
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B) Determine cuales de los siguientes subconjuntos de R3 son subespacios.
Justifique su respuesta.
Ejercicio 4: 1) Analice si la unión de subespacios de un espacio vectorial V, es un
subespacio de V. Justifique.
2) Analice si la intersección de dos subespacios de un espacio vectorial V, puede ser vacía.
Justifique.
Ejercicio 5: Proporcione un ejemplo de subconjunto de vectores de R2 que sea :
1) Cerrado bajo la adición, pero no bajo la multiplicación por un escalar.
2) Que contenga al vector nulo, pero que no sea subespacio.
3) Cerrado bajo la multiplicación por un escalar, pero no bajo la adición.
Ejercicio 6: Exprese, si es posible, los siguientes vectores como combinación lineal.
a) ( ) ( ) ( ) ( )101310013000 ,,w ; ,,v ; ,,u de ,, =−=−−= rrr
b) ( ) ( ) ( ) ( )311412402723 ,,w ; ,,v ; ,,u de ,, −=== rrr
c) 2222 31 ; 125 ; 2 de 181217 xxsxxrxxqxxp −−=−+=++=++=
Ejercicio 7: Responder verdadero o falso:
i) Si los vectores mx,,x,x
r
L
rr
21 generan un subespacio S, entonces dimS=m.
ii) La “∩”de dos subespacios de un E.V. no puede ser vacía.
X Y
Z
y x
z
y
x
z
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iii) Están en un mismo plano de R3, los vectores ( ) ( ) ( )1 2 1 0 1 3 3 7 6, , ; , , ; , , .
iv) Los vectores ( ) ( ) ( )3,4,1 ; 6,3,2 ; 3,1,1 forman una base para R3.
v) El conjunto de todos los polinomios de grado 2 no es un E.V.
Ejercicio 8: Encuentre 2 subespacios bidimensionales de R3 y muestre que su intersección
tiene vectores distintos del vector nulo.
Ejercicio 9:
I- Pruebe si son base, del E.V. que se indica, los siguientes conjuntos de vectores:
a) Para R3: ( ) ( ) ( ) ( )351600040001 −− ,, ; ,, ; ,, ; ,,
b) Para R3: ( ) ( ) ( )0,0,6 ; 3,2,1 ; 4,3,4 −−−
c) Para P2: 22 5622 xx , xx , x +−−−
d) Para M22:
1 0
0 0
1 1
4 5
4 3
2 3
0 1
0 0
−
−
, , ,
II- Dar una base y la dimensión de los subespacios del ejercicio 2.
Ejercicio 10: Para los siguientes subespacios de R4 :
a) ( ){ }yx:Rw,z,y,xW 4 =∈=
b) ( ){ }034 =+−∈= zyx :Rw,z,y,xT
c) ( ){ }0w :Rw,z,y,xS =∈= 4
1- Determinar para cada subespacio tres bases .
2- Determinar la dimensión de cada subespacio.
3- Calcular: WS , ST , TW ∩∩∩ , e indicar en cada caso la dimensión
Ejercicio 11: Si S = { }ox.A/x 4 =ℜ∈ siendo A =
+α−α 1132
0331
2111
2
, indicar para qué
valor de α dimS = 2 y dar una base para S.
Ejercicio 12: Una empresa corredora de bolsa, registra los valores máximo y mínimo del
precio de acciones IBM cada día. La información de una semana dada se presenta en 2
vectores 5Ren by
→→
t , los cuales proporcionan los valores máximo y mínimo
respectivamente. ¿Cómo sería la expresión que muestra los valores diarios promedio, del
precio de las acciones de IBM, durante toda la semana?
Esta expresión : ¿qué concepto por Ud. aprendido utiliza?
Ejercicio 13: Considere las bases { }21,uuB
rr= y { }21 v,v'B
rr= en R2, con 1u
r
= (2,2),
2u
r
=(4,-1), 1v
r
=(1,3), 2v
r
=(-1,1) y w=(3,-5)
I- Halle la matriz de transición de B a B’
II- Calcule la matriz de coordenadas w=(3,-5)respecto a la base B’.
III- Halle la matriz de transición de B’ a B
Ejercicio 14: Considere las bases { }21 p,pB
rr
= y { }21 q,q'B
rr
= para el espacio P1 con el
vector p1= 6+3x , p2=10+2x , q1=10+2x , q2=3+2x y w=-4+x
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I- Halle la matriz de transición de B a B’
II- Calcule la matriz de coordenadas w=(3-5 x), respecto a la base B’.
III- Halle la matriz de transición de B’ a B
*-*-*-*-*-*-*
Práctico Nº 4 - II Parte
Lic. en Geofísica - Lic. en Astronomía
Ejercicio 1: Sea V un E.V. con producto interior, demostrar las siguientes propiedades:
a)
Rk,mcon v,umkvk,um ∈= vvvv
b)
Rkcon w,u-v,ukwvk,u ∈=− vvvvvvv
c) 00, =
rr
v para todo Vv ∈
r
Ejercicio 2: Determine cuales de las siguientes expresiones definen un producto interior
sobre el espacio que se indica:
a) 22122111 522, yxyxyxyxvu +−−=
rr ( ) ( )21212 y,yvy x,xu Ren siendo ==
rr
b) ( ) ( )3213213332211 y,y,yvy x,x,xu Ren siendo yxyxyxv,u ==−−−=
rrvv
c)
r r
u v x y x y x y, = + +2 41 1 2 2 3 3 ( ) ( )3213213 y,y,yvy x,x,xu Ren siendo ==
rr
.
d) 321321 5, yxyxyxvu +=
rr
( ) ( )3213213 y,y,yvy x,x,xu Ren siendo ==
rr
e) ( ) ( ) bababaq,p 0 22110 11 +−+−=
xbxbbq xaxaap vectores los P en siendo 2210
2
2102 ++=++=
f) 2331 yxyxV,U +=
=
=
43
21
43
21
22
y
matrices las en siendo
yy
yy
V
xx
xx
UM
Ejercicio 3: Resolver:
a) ,)1,2,3(),4,0,5( − con el producto interior euclideo.
b) ( ) ( )101112 ,,,,,− con el producto interior euclideo y con la definición del Ej.2c)
c) )0,1(),1,2( , con el producto interior euclideo.
d)
− 1,0,
2
1
),4,3,0( , con el producto interior del Ej.2c)
e) Analizar si en alguno de los casos anteriores, los vectores son ortogonales.
Ejercicio 4: Se definen 3 normas por las siguientes fórmulas:
a) n
xxxx +++= Lr 211
b) ( ) ( )nn xxxxxxxx ,,, si 212/1222212 LrLr =+++=
c)
{ }nxxxmaxx ,,, 21 Lr =∞
Aplicar estas normas a los vectores: ( ) ( ) ( )14310110 −=−=−= ,,w ,,v ,u rrr
Ejercicio 5: Demuestre las siguientes propiedades
a)
2222
22 vuvuvu
rrrrrr +=−++
b)
r r r r r r
u v u v u v+ − − =2 2 4 ,
c) si 2 entonces , a ortonormal es =− vuvu rrrr
Lic. en Geofísica - Lic. en Astronomía
Ejercicio 6: Sean )(3/5,0,4/5y 5)(-4/5,0,3/ , (0,1,0) 321 ===
→→→
vvv y sea { }321 ,, vvvS =
a) ¿Es S un conjunto ortogonal en R3 , con el producto interior euclídeo?
b) ¿Es S un conjunto linealmente independiente en R3?. Responda sin realizar
cálculos matemáticos.
c) ¿Es S una base ortonormal para R3, con el producto interior euclídeo?
d) Dado el vector u=(1,1,1), obtenga sus coordenadas en la base S usando el
producto interior euclídeo.
Ejercicio 7: El subespacio M = {(x,y,z) ∈ R3/ x-2y + 3z = 0 } tiene a B = { (2,1,0),(-3,0,1) }
como base , y sean (0,3,2)wy (2,1,0)v ==
→→
vectores pertenecientes a M. Verifique para
estos vectores:
a) Desigualdad de Cauchy – Schwarz.
b) Desigualdad triangular.
Ejercicio 8: El conjunto B={( 0,1,0,-1),(1, -1,-2,0) }, es base de un subespacio T de R4.
Para los vectores ) , , ,(x 0422−=
→
y ) , , ,(w 2613−=
→
de T, verifique la Desigualdad Triangular:
Ejercicio 9: Considerelos vectores )1,1,0(),1,0,1( 21 == vv
rr
y )0,0,1(3 =v
r
, base de R3. Por
medio del proceso de Gram-Schmidt, transformar ésta en una base ortonormal de R3 .
(Trabaje con el producto interior euclídeo)
Ejercicio 10: Aplique el proceso de Gram-Schmidt para transformar en base ortonormal los
conjuntos que se dan a continuación. Considere R3 con el producto interior euclídeo, y luego
trabaje con el producto interior definido en el Ej. 2 c),
a) Una base de ( ){ }zy:Rz,y,x −=∈ 3
b) Una base de ( ){ }03 =∈ y:Rz,y,x
Ejercicio 11:
a) Ortonormalice la base B, del ejercicio 8, usando el producto interior euclídeo. Llame M a
la nueva base.
b) Para el vector )2 ,6 ,1 ,3(−=
→
y , obtenga las coordenadas en la base M, usando el producto
interior euclídeo.
Ejercicios Optativos y de Aplicación
Ejercicio 1: Indique si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas
a) Sean yx luego y.zx.z :Vz sea cualquiera / Vy,x
rrrrrrrrr ==∈∈
b) Analice el recíproco de lo anterior.
Ejercicio 2:
a) Pruebe si ( ) ( ) ( ) ( )1100 qpqpq,p +>=< define un producto interior sobre
( )xbbq , xaapcon P 10101 +=+=
b) Pruebe si 23322211 62 yxyxyxyxv,u +++>=<
rr
en R3 con ( )ru x x x= 1 2 3, , ,
( )321 y,y,yv =
r
es producto interior.
Lic. en Geofísica - Lic. en Astronomía
Ejercicio 3: En R3 con el producto interior euclideo. Analice para que valores de k R∈ , se
tiene que vy u
rr
son ortogonales.
a) ( ) ( )k,,v , ,,u 71312 == rr b) ( ) ( )6,5,,1,, kvkku == rr
Ejercicio 4: En R3 , con el producto interior euclideo, determine un vector unitario en la
dirección de
→
u :
-3,0),(0,0 , 1,1)(0, , ,4)(1,2, , 1,3)(2, =−==−=
→→→→
uu3uu
Ejercicio 5: Sean /3)(1/3,2/3,2vy 2/3),(2/3,1/3,-v , 1/3)(2/3,-2/3,v ===
→→→
321 y sea
S={v1,v2,v3}
a)¿Es S un conjunto ortogonal en R3 , con el producto interior euclídeo?
b)¿Es S un conjunto linealmente independiente en R3?. Responda sin realizar cálculos
matemáticos.
c)¿Es S una base ortonormal para R3, con el producto interior euclídeo?
d)Dado el vector a=(3,0,3), obtenga sus coordenadas en la base S usando el producto
interior euclídeo.
Ejercicio 6: Demuestre en el Espacio Vectorial V que:
a) Vy,xsean cualquiera yx yx , yx si ∈=⇒=−+ rrrr0
b) Si entonces 0 , =
→→
yx Rcy V y,xsean cualquiera 0yc , x ∈∈=
→→→→
Ejercicio 7: Transforme las siguientes bases en ortonormales
a) ( ) ( ) ( ){ } 3 de 1,2,1,0,1,1,1,1,1 RB −= con el siguiente producto interior:
332211 462 vuvuvuv,u ++=
rr
b) { }222 2212222 xx , xx , xxB ++−++−= con el producto interior habitual.
Ejercicio 8: Encuentre el valor de la constante c, talque : 196 (1,2,3) c = con :
a) Norma euclidea.
b) Norma inducida por el producto planteado en el ejercicio 7.
Ejercicio 9: El vector
→
u = (20,30,80,10) proporciona el número de TV, reproductores de
CD, filmadoras y video grabadoras, que forman el stock en una casa de artículos
electrónicos.
El vector
→
u = (900,200,2000 ,300) representa el precio de cada TV, reproductor de CD,
filmadora y video grabadora, respectivamente. ¿Qué le diría al propietario de la casa de
artículos electrónicos, el producto interior euclídeo de ambos vectores?
Ejercicio 10: Verifique usando el producto euclídeo, si el triángulo con vértices:
a) P=(2,3,-4), Q=(3,1,2), R=(-3,0,4) es isósceles.
b) P=(2,3,-4), Q=(3,1,2), R=(7,0,1) es rectángulo.
*-*-*-*-*-*-*
Práctico N °°°° 5
Lic. en Geofísica - Lic. en Astronomía
Ejercicio # 1: Analizar cuales de las siguientes aplicaciones son Transformaciones
Lineales
a) T: R 2 → R 2 : T(x,y) = (y , x) b) T: R 3 → R 3 : T(x,y,z) = (x , y , 0)
c) T: R 3 → R 3 : T(x,y,z) = (x , y , x+y+z) d) T: R 2 → R : T((x,y)) = x.y
( )( )
=
→
−
=→+=
++→
dc
ba
traza
dc
ba
T :RM:T g)
yyx
xx
y,xT :MR:T f) xaaxaxaaT :PP:T e)
22
0
23
2
10
2
21012
Ejercicio # 2: Buscar el transformado de los vectores que se indican:
( ) ( )
( ) ( )
Ej.1. del g) T.L. lacon
M c)
Ej.1. del c)-b) T.L. lacon ,,wy ,,v b)
Ej.1. del f)a) T.L. lascon ,uy ,v a)
−
=
−=−−=
−−==
11
20
010532
1032
Ejercicio # 3: Para las siguientes T.L. se pide:
1. Hallar el NucT, su dimensión; y de ser posible, una base del NucT.
2. Hallar la ImT, su dimensión; y de ser posible, una base de la ImT.
3. ¿Es T uno a uno? ¿Es T sobreyectiva?.
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )zx,yx,zxz,y,xT :RR:T d) x,,z,y,xT :RR:T c)
y,yx,xy,xT :RR:T b) zy,yxz,y,xT :RR:T a)
−++=→=→
+=→++=→
3200 3333
3223
( ) v
vT :RR:T e)
rr
•
−
=→
121
31223
Ejercicio # 4:
1. Hallar el rango y la nulidad de cada T.L. dada por su fórmula o por su matriz
estándar asociada.
2. Compruebe el teorema de la dimensión del dominio de una T.L.
( )
−−−
−
−−
+
=
→
−
−
=→ •
2511
0321
1852
1111
0113
021
000
042
0
20
48
12
2222
22
e)
d)
c)
a
cb
dc
ba
T/MM:T b) v
vT :RR:T a)
rr
3. Hallar la nulidad de T, sabiendo que:
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. rango tiene: MM :T
. rango tienePP :T
3
1
3322
34
→
→
4. Si T R R: : 3 7→ es una T.L. ¿Cuáles son los valores máximos y mínimos posibles
para el rango de T ?.
Ejercicio # 5:
a) Encuentre la matriz estándar de las siguientes T.L.:
1)T
=
x
y
y
x
2)T
+
−=
yx
x
y
y
x
5
3)
+
=
0
20
a
cb
dc
ba
T
4)T ( ) ( )zyxyxxzyx +++= ,,,, 5)T ( ) 2110 xaaxaa o+=+ 6) T((x,y,z))=(0,0,y)
b) Determine ,usando la matriz estándar de la T.L., si los vectores : ( 2,0,3) ,( 1,2,3)
(-4,0,5) pertenecen al Núcleo de la T.L. : T((x,y,z))=(0,0,y)
Ejercicio # 6: Sea A la operación de diferenciación en el espacio de los polinomios
de grado 4 o menor ( VV:A → ), dada por : A = d/dt .
a) Encuentre la matriz estándar de la T.L, si se la considera sobre el espacio V=P3 y
la fórmula de la T.L. es :
A ( ) ( ) 2321332210332210 32 tataatatataadt
d
tatataa ++=+++=+++
b) Encuentre la matriz estándar de la T.L, si se la considera sobre el espacio V=P4.
c) Analice si las T.L de a) ó b) son inyectivas?, sobreyectivas?. Justifique.
Ejercicio # 7: Sea RR:T 22 → : T((x1,x2))=(x1+7x2 , 3x1-4x2) y sean las bases
B={u1,u2} y B’={v1,v2} donde u1=(2,2) , u2=(4,-1) , v1=(1,3) , v2=(-1,-1). Hallar :
a) T((1,1)) , T(u1) y T(u2)
b) Halle la matriz de la transformación lineal respecto a la base B
c) Calcule la transformación lineal respecto a la base B’.
Ejercicio # 8: Sea RR:T 33 → definida por T(x,y,z)=(x+2y-z ; -y ; x+7z) y sean: B la
base canónica de R3 y B’ = ( ) ( ) ( ){ }1,1,1, 0,1,1, 0,0,1 . Hallar:
a) T((2,1,-1))
b) la matriz de la transformación respecto a la base B
c) la matriz de la transformación respecto a la base B’ .
Ejercicio # 9: Dadas:
a) La matriz de una transformación lineal referida a las bases C – C.
b) La matriz P, de paso de la base C a B.
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=−
020
250
003
CCA y
−−
−−
−
=
210
120
001
P
Calcular la matriz de la transformación lineal referida a las bases B - B.
Ejercicio # 10: Sea { }n,,,S seay inyectiva T.L. una WV:L ααα=→ L21 un conjunto
de vectores del espacio vectorial V.
Probar que si ( ) ( ) ( ){ }nLLLR ααα ,,, 21 K= es L.I. entonces S también lo es.
*¿Qué puede decir acerca del recíproco de este enunciado, si L no es inyectiva?
Ejercicio # 11: Sean los sistemas de ecuaciones : A.x=b
1)
−
=
•
1
0
1 1- 1
0 3 3
X ; con solución particular :
−
=
0
2
1
2
1
P
X
2)
−
=
−
•
1
6
1 1 1
4 2 1
X ; con solución particular :
−=
1
4
2
P
X
a) Halle la solución general de cada sistema de ecuaciones lineales.
b) Considere a la matriz A como la matriz estándar de la T.L y halle el núcleo de
la misma.
c) Considere la solución particular indicada y revise que la solución general del
sistema de ecuaciones, se puede hallar como suma de la solución particular
más un vector del núcleo de la T.L.
Ejercicios Optativos y de Aplicación
Ejercicio # 1: Analizar si las siguientes funciones son T.L.:
( )
( )
( )
( ) Rq,mcon qmxxf/RR:f d)
xsenxf/RR:f c)
zyxz,y,xf/RR:f b)
zyxz,y,xf/RR:f a)
∈+=→
=→
=→
+−=→
••
3
3
Ejercicio # 2: Clasificar las siguientes T.L.. Hallar Nuc(T), Im(T), la base y dimensión de
cada uno:
( ) ( )
( ) ( )x,yzz,y,xT/RR:T b)
x,yy,xT/RR:T a)
223
22
+=→
=→
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Ejercicio # 3: Hallar si es posible las T.L. que cumplan las siguientes condiciones:
( ) ( )
( ) ( )
→
=
=
=
→
vasobreyecti no
inyectiva
: b)
1dimNuc
0,4,2
0,2,11
: a) 32
3
1 T
T
RPT
T
xT
T
RPT
Ejercicio # 4: Sea
=
30
03
A la matriz estándar de una T.L.
a) Hallar la base del núcleo de la T.L.
b) Analizar que representa gráficamente la T.L. cuando las bases del dominio e imagen son
iguales.
Ejercicio # 5:
1. Hallar los transformados de los elementos de B.
2. Hallar los transformados de los elementos de B, según B’.
3. Escriba la matriz asociada a la T.L. según las bases B y B’.
{ } { }22 433 , 92 , 21y ,1 Si a) xxxxxBxB +++++=′= y T es la T.L. del Ej.5e).
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }196187880204096110 ,,,,,,,,By ,,,,,,,,B Si b) −−=′= y T.L. es la del Ej.1c).
Ejercicio # 6: Dadas:
a) La matriz de una transformación lineal referida a las bases B – B.
b) La matriz P, de paso de la base C a B. y A BB
−
−=−
212
100
015
−
=
020
230
001
P
Calcular la matriz de la transformación lineal referida a las bases C - C.
Ejercicio # 7: Sea 5RV :L → una T.L.
a) Si L es sobre y dimKer( )L = 2 ¿Cuál es la dim V?
b) Si Les biyectiva ¿cuál es la dim V?
Ejercicio # 8: Para las siguientes transformaciones lineales del plano en si mismo, dar la
matriz estándar y describir geométricamente cada una de ellas.
a) T((x,y))= (-x,y) b) T((x,y))= (x,0) c) T((x,y))= (-x,-y)
d) T((x,y))= (-y,x) e) T((x,y))= (y,x) f) T((x,y))= (2x,2y)
Ejercicio # 9: Aplique en forma consecutiva, al cuadrado unitario ubicado en el 1º
cuadrante, la sucesión de transformaciones del Ejercicio anterior. Indique las coordenadas
de los vértices de la figura resultante.
*-*-*-*-*-*-*
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Práctico Nº 6
Ejercicio # 1: En cada uno de los siguientes apartados compruebe que iλ es un
valor característico de A y que ix
r
es un vector característico correspondiente:
a)
( )
( )
==λ
=−=λ
−
−
=
252
111
32
54
22
11
,x ,
,x ,
A r
r
b)
( )
( )
( )
=−=
−=−=
−==
−−
−
−−
=
1,0,3 , 3
0,1,2 , 3
1,2,1 , 5
0 2 1
6 1 2
3 2 2
33
22
11
x
x
x
B
r
r
r
λ
λ
λ
c)
( )
( )
==λ
−==λ
−
−
=
244
19
8
25
22
11
,x ,
2 ,x ,
2
A r
r
Ejercicio # 2: Determine si x
r
es un vector característico de A
( )
( )
( )
( )
( )537
01
21
21
12
.,xe)
,xd)
,xc)
,xb)
,xa)
=
−=
=
−=
=
r
r
r
r
r
=
42
27
A
Ejercicio # 3: Para la matriz
−
=
18
03
A ,
=
→
2
1
1x es un autovector
correspondiente al valor propio λ=3 :
a) Indique otros 4 autovectores correspondientes al valor propio λ=3
b) Indique el otro autovalor de la matriz A
Ejercicio # 4: I) Compruebe que λ = 1 , es autovalor de las siguientes matrices:
a) P =
700200
300800
..
..
b) P =
90.080.0
10.020.0
c) P =
700050100
150800200
150150700
...
...
...
II) Demuestre que si A es una matriz nilpotente de orden k, entonces 0 es el único
autovalor de A.
Ejercicio # 5: Para cada matriz encuentre:
I. La ecuación característica
II. Determine los Cde la matriz
III. Determine una base para los espacios propios
IV. ¿Es A diagonalizable? Si lo es, halle la matriz P que diagonaliza a A. Encuentre
P AP−1 .
−
=
−
−
=
−
=
5,311
000
101
c)
2 4
9 10
b)
2 5
10 3
a) AAA
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f) Ae) Ad)
−
−
=
−=
102
012
104
10
00
00
000
020
001
4
1
2
1
4
1
Ejercicio # 6: Encuentre la matriz P que diagonalice ortogonalmente a la matriz A,
determine APPT y la dimensión de los espacios propios de A.
−
−
=
=
−
−
=
=
−
=
800
031
013
022
202
220
011
101
110
82
25
12
22
Ae)
Ad) Ac)
-
-
Ab)
Aa)
=
422
42
24
2
2
Af)
Ejercicio # 7: Si A tiene valores propios 0 y 1, correspondientes a los vectores
propios
1-
2
y
2
1
a) ¿ Se puede saber con anterioridad que A es simétrica? ¿Porqué?
b) ¿Cuál es la traza de A y su determinante?
c) ¿Cuál es la matriz A?
d) ¿Cuáles son los valores propios y vectores propios de A 2 ?
e) ¿Cuál es la relación entre A y A 2 ?
Ejercicio # 8: Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas, encuentre una
base ortonormal donde se elimine la rotación y realice la representación gráfica.
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 1222
014410
45
22
2
=++=
=−+++=
=−−++−−+=
=−+−=
=−=
=−++=
yzxzxyz,y,xf f)
xzzy4xzy,x,f e)
0y2
2
3
x2
2
3
2yz5z2xz4xy2y2xzy,x,f d)
0245y2xy5xyx,f c)
012xyyx,f b)
042yxyxy,xf a)
2
222
22
2
Ejercicio # 9: Sea T:R3 →R3 con autovalores –3,2,1.Calcule los autovalores de ToT= T2.
Ejercicios Optativos y de Aplicación
Ejercicio # 1: Obtenga:
1. Los autovalores de A
2. Una base de los subespacios característicos correspondientes a cada autovalor
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3. ¿Es A diagonalizable? En caso afirmativo diagonalícela
−−
=
=
−
=
100
210
312
110
101
011
12
14
Ac)
Ab)Aa)
=
=
−
−
=
011-
101-
1-1-0
f)A
1 0 2
0 1 0
2 0 1
Ae)
6 2
2 9
Ad)
Ejercicio # 2: ¿Para cuál(es) valor(es) de k la matriz
=
1
10
k
A presenta las siguientes
características?:
a) Tiene un autovalor de multiplicidad 2
b) Tiene como autovalores a 2 y -1
c) Tiene autovalores reales
Ejercicio # 3:
a) Demuestre que si A es inversible, entonces A A y −1 tienen los mismos vectores
característicos.
b) Demuestre que TAy A tienen los mismos autovalores.
Nota: Use matrices de 3 3× .
Ejercicio # 4:
Sea A una matriz de orden 22× y se sabe que es semejante a una matriz diagonal D, tal
que su determinante es (-1) y su traza 6. Determine la matriz D.
Ejercicio # 5:
Para las matrices diagonalizables del ejercicio N01, se pide:
a) Establecer una relación que vincule el determinante de la matriz dada, con el de su
matriz diagonal semejante.
b) Establecer una relación que vincule la traza de la matriz dada, con la de su matriz
diagonal semejante.
Ejercicio # 6: Para la matriz
−−
−
=
400
1044
530
A
a) Calcule los autovalores de A.
b) Calcule A−1
c) Calcule los autovalores de A−1
d) ¿Puede establecer algún tipo de relación entre lo obtenido en los puntos a) y c) ?
Ejercicio # 7:
Imaginemos cualquier rotación de la Tierra. Siempre habrá alguna dirección que
permanezca sin cambio, a saber el eje de rotación. No necesariamente, es aquel alrededor
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del cual la Tierra gira en la realidad, pero deberá haber algún polo norte y sur, que
permanezcan fijos.
Considerando la siguiente matriz de rotación :
θθ
θ−θ
=
1
cos sen
sen osc
A
00
0
0
, se tiene que :
Una rotación de 90º solo deja sin cambiar, el eje que conecta los polos; es el único vector
propio que podemos encontrar.( Realice los cálculos y compruebe que corresponde al único
autovalor real)
Una rotación de 180º tiene el plano del ecuador lleno de vectores propios. ( Verificarlo).
Analice que sucede si la rotación es de 360º.
Ejercicio # 8:
Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas, encuentre una base ortonormal
donde se elimine la rotación y realice la representación gráfica.
*-*-*-*-*-*-*
( )
( )
( )
( )
( ) 0100z2yz4xz4y5xy8x5z,y,xf e)
01xz2z,y,xf d)
04yz4xy4yx2z,y,xf c)
4y4xy24x11y,xf b)
05xy2x3y,xf a)
222
22
22
2
=−+++++=
=−=
=−−−+=
=++=
=−−=
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Práctica de tensores
Ejercicio # 1: Escribir cada una de las expresiones siguientes, teniendo en cuenta
el convenio de Einstein. Distinguir pseudo-índices e índice umbral en cada caso:
1.1) a1x1x3+ a2x2x3 +…+ anxnx3
1.2) j21g11+ j22g21+ j23g31+ …+ j2ngn1
1.3) C 31r1+ C
3
2r2 +…+ C
3
nrn
1.4) (x1)
2 +(x2)
2 +(x3)
2 +....+(xn)
2 =100
1.5) df =
1x
f
∂
∂ dx1+
2x
f
∂
∂ dx2 +….+
nx
f
∂
∂ dxn
1.6) (q11x1x1+q12x1x2+…+q1nx1xn)+( q21x2x1+q22x2x2+…+q2nx2xn)+……+(
qn1xnx1+qn2xnx2+…+qnnxnxn)
Ejercicio # 2: En las siguientes expresiones se ha usado la convención de Einstein,
escribir la(s) sumatoria(s) correspondiente a la expresión y todos los téminos de las
sumas indicadas:
2.3) ajkxk 2.2)ApqBqr 2.3) AjkBpkCj 2.4)ai bj ci
Ejercicio # 3: Dados los tensores:
3.1) Indicar el rango:
A= [ ]321 a,a,a , B=
−−
−
0
0
0
2313
2312
1312
bb
bb
bb
, C=
→
A , D=
xywy
zy
xw
20
0
0
, E= [ ]0 , ,ml ,
F=
T
jjjjeeeaa
a0000slej
00ljm00a0
, G= [ ]0 ,0 ,y , H=
a
b
bba
00
00 , I=
−
−
rr
m
r
m
m
11
2
1
1
0
0
00
,
J=
3313
2212
1312
j0j
0jj
jj0
3.2 ) Resolver en caso de ser posible, las siguientes operaciones e indicar el
rango del resultado:
C.A , B+D , E-G , H.E , 8F ; G+I, H-I ,
→
G H. E , J-E.G, ( B+A). J
Ejercicio # 4: En los tensores : B, D,H I, J ( del Ejercicio 3-), realice contracción de índices
e indique en cada caso, el tensor resultante.
Ejercicio # 5: Utilice como información de base los tensores del Ejercicio 3-
5.1) Para los tensores D, H, I realice la permutación [2,1], e indique el tensor resultante.
5.2) ¿ Son los tensores H o J , simétricos?. Justifique su respuesta.
5.3)¿ Son los tensores D o B, antisimétricos? . Justifique su respuesta.
5.4) Para los tensores F y H.E, realice las permutaciones [3,1,2] y [ 2, 3,1], e indique los
tensores resultantes
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Ejercicio # 6:
6.1) De 2 ejemplos de tensores simétricos . Justifique su respuesta.
6.2) De 2 ejemplos de tensores antisimétricos . Justifique su respuesta.
*-*-*-*-*-*-*