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TEORÍA DE NÚMEROS
Metodología Problem Solving
Con aplicaciones en criptografía y programación Phyton
Gerard Romo Garrido
Toomates Coolección vol. 6
Toomates Coolección
Los libros de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados mediante un ordenador,
tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de texto pueden ser digitales o en papel,
gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras. Es más: Suele suceder que los mejores docentes
son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un hecho. Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es
el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los
mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el
compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos, pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a
las escuelas costosísimas líneas de Internet, pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un producto de
propiedad privada, accesible solo a aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho
del alumno de poseer todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro.
Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más injusto, es
participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, y esto en un mundo en el que las
modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el conocimiento sin coste alguno, con
algo tan simple como es un archivo "pdf". El conocimiento no es una mercancía.
El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos materiales
didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas aumentando la calidad
de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales.
Estos libros se comparten bajo una licencia “Creative Commons 4.0 (Atribution Non Commercial)”: Se permite, se promueve y se fomenta
cualquier uso, reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia. Todos los libros se
ofrecen en dos versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar su edición y
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Toomates Coolección Problem Solving (en español):
Geometría Axiomática , Problemas de Geometría 1 , Problemas de Geometría 2
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Trigonometría , Desigualdades , Números complejos , Funciones
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Nombres (Preàlgebra) , Àlgebra , Proporcionalitat , Mesures geomètriques , Geometria analítica
Combinatòria i Probabilitat , Estadística , Trigonometria , Funcions , Nombres Complexos ,
Àlgebra Lineal , Geometria Lineal , Càlcul Infinitesimal , Programació Lineal , Mates amb Excel
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http://www.toomates.net/
Índice.
Primera parte: Primeros pasos con números enteros.
1 Primeros pasos con los números enteros. → Archivo doc
1.1 Bases de numeración.
1.2 Cuadrados perfectos. Potencias perfectas.
1.3 Orden en los números enteros. Principio de inducción.
2 Primeros pasos con Python. → Archivo doc
3.1 Instalación del IDE spyder.
3.2 Operaciones aritméticas con Python.
3 Problemas de la primera parte. → Archivo doc
Segunda parte: Divisibilidad.
4 Divisibilidad. Mcd y mcm. → Archivo doc
4.1 Concepto de divisibilidad.
4.2 Divisibilidad y orden.
4.3 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
4.4 El Teorema de Bezout (TDB).
4.5 Divisibilidad con números coprimos.
4.6 El algoritmo de Euclides (ADE).
4.7 Máximo común divisor con números coprimos.
4.8 Actividades con Python.
4.9 Problemas de introducción a la divisibilidad.
5 Números primos. → Archivo doc
5.1 Concepto de número primo.
5.2 El Teorema fundamental de la aritmética (TFA)
5.3 Resolución de problemas mediante identidades algebraicas.
6 Problemas de la segunda parte. → Archivo doc
Tercera parte: Aritmética modular.
7 Introducción a la aritmética modular. → Archivo doc
7.1 Primer ejemplo: Las horas del día.
7.2 Segundo ejemplo: El conjunto Z7.
7.3 Los conjuntos Zn.
7.4 Aplicación a la criptografía: El cifrado César.
7.5 Aplicación a la criptografía: El cifrado Hill.
7.6 Problemas de aritmética modular básica.
8 Inversos multiplicativos modulares. → Archivo doc
8.1 Concepto de inverso multiplicativo.
8.2 Existencia y unicidad de inversos multiplicativos.
8.3 Inversión mediante el ADE.
8.4 Inversión mediante exponenciación modular.
8.5 Cancelación modular.
8.6 División modular.
8.7 Divisores de cero.
8.8 Actividades con Python.
9 Congruencias lineales y sistemas de congruencias lineales. → Archivo doc
9.1 Congruencias lineales.
9.2 Sistemas de congruencias lineales (resolución directa).
9.3 Sistemas de congruencias lineales con módulos coprimos.
9.4 Sistemas de congruencias lineales con módulos no coprimos.
9.5 Congruencias lineales mediante sistemas de congruencias lineales.
9.6 Congruencias y sistemas de congruencias lineales con varias variables.
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http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica03.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica04.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica05.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica06.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica07.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica08.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica09.doc
10 Congruencias cuadráticas. Residuos cuadráticos. → Archivo doc
10.1 Congruencias cuadráticas con módulos primos.
10.2 Congruencias cuadráticas con módulos compuestos.
10.3 Congruencias con potencias y polinomios.
10.4 El Teorema de Wilson.
10.5 Residuos cuadráticos. Ley de reciprocidad.
11 Problemas de la tercera parte. → Archivo doc
Cuarta parte: Exponenciación modular y sus aplicaciones.
12 Exponenciación modular. El problema del logaritmo discreto. → Archivo doc
12.1 Exponenciación modular.
12.2 Exponenciación modular optimizada (EMO).
12.3 El problema del logaritmo discreto (PLD).
12.4 Aplicación a la Criptografía: El sistema Diffie-Hellman (DH).
12.5 Aplicación a la Criptografía: El Criptosistema de ElGamal.
13 El pequeño Teorema de Fermat. El Teorema de Euler. → Archivo doc
13.1 El Pequeño Teorema de Fermat (PTF).
13.2 La función Phi de Euler. El Teorema de Euler.
13.3 Orden de un entero.
14 El problema de la primalidad. Encriptación RSA. → Archivo doc
14.1 El test de primalidad de Fermat.
14.2 Aplicación a la criptografía: El método RSA.
15 Raíces primitivas. Índices modulares. → Archivo doc
16 Problemas de la cuarta parte. → Archivo doc
Quinta parte. Aplicaciones.
17 Números factoriales. → Archivo doc
18 Números combinatorios. → Archivo doc
19 Números primos de Fermat y de Mersenne. → Archivo doc
19.1 Números primos de Fermat.
19.2 Números primos de Mersenne.
20 Número y suma de divisores de un entero. → Archivo doc
20.1 Número de divisores de un entero.
20.2 Suma de los divisores de un entero.
20.3 Números perfectos.
21 Encriptación mediante Curvas Elípticas. Encriptación bitcoin. → Archivo doc
21.1 Curvas elípticas sobre cuerpos en general.
21.2 Curvas elípticas sobre cuerpos finitos.
21.3 Protocolo de intercambio de claves Diffie-Hellmann en Curvas Elípticas (ECDH).
22 Ecuaciones diofánticas. → Archivo doc
22.1 Ecuaciones diofánticas lineales.
22.2 Ternas pitagóricas.
22.3 La ecuación diofántica x
2
-y
2
=k.
22.4 La técnica del descenso infinito de Fermat.
22.5 El método de la contradicción modular.
22.6 Resolución de ecuaciones diofánticas mediante factorización.
22.7 Resolución de ecuaciones diofánticas aplicando desigualdades.
22.8 Ecuaciones diofánticas en competiciones olímpicas.
22.9 Cuadrados perfectos.
22.10 Ecuaciones de Frobenius. Problema de las monedas.
Soluciones. → Archivo doc (1) , Archivo doc (2) , Archivodoc (3)
El capítulo 14 del Libro de Desigualdades està dedicado a la aplicación de las desigualdades en
la resolución de ecuaciones.
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica10.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica11.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica12.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica13.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica14.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica15.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica16.doc
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http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica24.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Aritmetica25.doc
http://www.toomates.net/biblioteca/Desigualdades.pdf
1 Primeros pasos con los números enteros.
La "Teoría de números" o "aritmética" estudia las propiedades de los números enteros.
Los conceptos teóricos de esta rama de las matemáticas pueden ser complicados, muy
complicados y terriblemente complicados. Sin embargo, muchos problemas se
resuelven con solo utilizar el sentido común, toda una serie de estrategias y conceptos
que, de tan obvios que son, los libros de teoría no dedican tiempo a explicarlos.
En este primer apartado se incluyen problemas cuya resolución no necesita ningún
concepto teórico previo, sólo el sentido común, la pura lógica, algunas formulitas de la
matemática elemental y los conceptos de divibilidad aprendidos en primero de ESO. Sin
embargo, no hay que despreciarlos. Es fundamental que el estudiante dedique a cada
problema tanto tiempo como sea necesario, y si no llega a resolverlo, estudie
detenidamente la solución que se presenta al final del libro.
1.1 Bases de numeración.
Definición. Base de numeración.
Diremos que n se escribe como 0121 ... aaaaa nnn en base 2b si
01
2
2
1
1 ... ababababan n
n
n
n
n
n
con bai 0 , INai , 0na .
Por ejemplo, 3562 en base 7 es el número 13182767573 23 , y se escribe
73562 .
1.1.1
MF
¿Cuál de los siguientes enteros se puede expresar como la suma de 100 enteros positivos
consecutivos?
(A) 1,627,384,950 (B) 2,345,678,910 (C) 3,579,111,300 (D) 4,692,581,470 (E) 5,815,937,260
ASHME 1997 #20
1.1.2
M
Consideremos el entero
cifras
N
321
99...99..9999999999
Calcula la suma de todas las cifras de N.
AIME I 2019 #1
1.1.3
M
Para cada entero positivo n , sea nd la cifra de las unidades de n ..321 .
Determina el residuo cuando
2017
1n
nd se divide entre 1000.
AIME I 2017 #3
1.1.4
MF
Sea 20 a , 51 a , 82 a , y para cada 2n , define na recursivamente como el
residuo cuando 3214 nnn aaa se divide entre 11. Determina 202220202018 aaa .
AIME II 2018 #2
1.1.5
F
Multiplicamos todos los números pares del 2 al 98 inclusive, excepto aquellos acabados
en 0. ¿Cuál será la cifra de las unidades del resultado?
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8
AMC10 1999 Sample #14
1.1.6
M
Demostrar que si entre los infinitos términos de una progresión aritmética de números
enteros hay un cuadrado perfecto, entonces infinitos términos de la progresión son
cuadrados perfectos.
OME 1993-94 (Primera sesión) #1
1.1.7
MF
Un entero positivo N se representa como cba en base 11, y se representa como
acb1 , donde cba ,, representan dígitos, no necesariamente distintos. Determina el
valor mínimo de N expresado en base 10.
AIME I 2020 #3
1.1.8
MF
Sean yx , xy dos números enteros de dos dígitos. Demuestra que su suma es un
número compuesto.
1.1.9
MF
Problema solucionado paso a paso en vídeo.
¿Cuántos números naturales de tres dígitos tienen la propiedad de que cuando sus
dígitos se escriben en orden inverso, el resultado es un número de tres dígitos que es 99
más que el número original?
(A) 80 (B) 72 (C) 64 (D) 81 (E) 8
Cangur B2 2021 #13, Kangaroo Student 2021 #13
Solución: https://youtu.be/I_xh3ukx5DM
1.1.10
MF
Determina la cifra de las unidades del producto (5
5
+1)·(5
10
+1)·(5
15
+1).
(A) 6 (B) 5 (C) 3 (D) 1 (E) 0
Cangur B2 2023 #5, Canguro N6 2023 #10
https://youtu.be/I_xh3ukx5DM
1.1.11
F
Problema solucionado paso a paso en vídeo.
Determina la cantidad de números de dos dígitos con la siguiente propiedad: La suma de
dicho número y el número obtenido invirtiendo el orden de sus dígitos es 132.
(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 12
AMC 8 2016 #11
Solución: https://youtu.be/I_xh3ukx5DM
1.1.12
MF
La suma a + a + a + b + b + b + b de las siete cifras del número aaabbbb es igual al
número de dos cifras ab . ¿Cuánto vale a + b ?
(A) 10 (B) 11 (C) 8 (D) 9 (E) 12
Cangur B1 2019 #18, Canguro N5 2019 #18
1.1.13
MF
Un palíndromo es un número que se lee de la misma forma hacia delante y hacia atrás.
Determina el mayor entero menor de 1000 que es palíndromo tanto si es escrito en base
10 como si es escrito en base 8, por ejemplo, 292=444ocho.
AIME II 2023 #2
https://youtu.be/I_xh3ukx5DM
1.2 Cuadrados perfectos. Potencias perfectas.
Diremos que un entero n es un cuadrado perfecto cuando podamos encontrar otro
entero m tal que 2mn .
De la misma forma, diremos que n es un cubo perfecto cuando podamos encontrar otro
entero m tal que 3mn .
En general, si podemos escribir kmn diremos que n es una potencia perfecta de
grado k.
Los cuadrados perfectos son un tema recurrente en las competiciones matemáticas, y
serán tratados a lo largo de este libro aplicando diversas técnicas.
Por ejemplo, en 7.3.9 se ofrece un cuadro de las caracterizaciones de ciertas potencias
perfectas cuando se trabaja con aritmética modular.
Veamos aquí un problema motivador para que el estudiante analice la relación entre
cuadrados perfectos y la cantidad de divisores de un número:
1.2.1
Veinte estudiantes aburridos se dedican a abrir y cerrar las taquillas de un vestuario,
numeradas del 1 al 20. El primer estudiante abre todas las taquillas; el segundo
estudiante cierra todas las taquillas numeradas 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18; El tercer
estudiante se dedica a las taquillas numeradas 3, 6, 9, 12, 15 y 18, si las encuentra
abiertas, las cierra, y si las encuentra cerradas, las abre. En general, el estudiante
número k se dedica a las taquillas múltiples de k: Si las encuentra abiertas, las cierra, y
si las encuentra abiertas, las abre. Determina las taquillas que quedarán abiertas después
de que hayan pasado los veiente estudiantes.
1.3 Orden en los números enteros. Principio de inducción.
Principio de la buena ordenación.
Todo conjunto S de números enteros no negativos contiene un elemento mínimo, es
decir, existe un elemento Sa tal que ba para todo Sb .
1.3.1
D
Demostrar que, si ba, son enteros positivos tales que
ab
ba
1
22
es un entero, entonces
ab
ba
1
22
es un cuadrado perfecto.
IMO 1988 #6
Teorema. Propiedad arquimediana de los números naturales.
Si a y b son números enteros positivos, entonces existe un entero positivo n tal que
ban .
Demostración. Supongamos que no es cierto, es decir, que existen dos números 0, ba
tales que ban para todo 0n . Consideremos el conjunto 0, nanbS .
Está claro que es un subconjunto de números enteros positivos, pues
nabban 0 , y por tanto le podemos aplicar el Principio de la buena
ordenación, es decir, contendrá un elemento mínimo amb , para cierto 0m .
Pero, por hipótesis, amb )1( también perteneceráa S, luego:
mabamabamb )1( , pues 1a , luego amb no puede ser el mínimo,
llegando a contradicción.
Así pues, la propiedad arquimediana de los números naturales debe ser cierta, pues su
negación nos lleva a contradicción.
Principio de Inducción.
Sea S un conjunto de números enteros positivos cumpliendo las dos condiciones
siguientes:
a) 1 pertenece a S.
b) Si Sn , entonces Sn 1
Entonces S es el conjunto de todos los enteros positivos: ...,3,2,1S
Demostración. Sea ST ...,3,2,1 , y supongamos que T , es decir, que no está
vacío, o lo que es lo mismo, que no se cumple el Principio de Inducción.
Aplicando el Principio de la buena ordenación, T contendrá elemento mínimo,
llamémosle a .
Puesto que T1 , pues por hipótesis, S1 , está claro que 1a , luego aa 10 .
El número 1a tampoco pertenecerá a S, pues si SaaSa 111 ,
contradiciendo la hipótesis. Pero aa 1 , llegando a contradicción, pues habíamos
supuesto que a era mínimo.
El principio de inducción es una herramienta muy poderosa para demostrar fórmulas
que nos serán muy útiles para solucionar una enorme variedad de problemas.
Ejemplo.
6
)1)(12(
...321 2222
nnn
n para todo ...,3,2,1n
Demostración. Sea S el conjunto de números enteros positivos para los que la fórmula
anterior es cierta.
Está claro que 1 pertenece a S, pues
6
)11)(112(1
112
Supongamos que la fórmula anterior se cumple para un cierto valor n , y veamos que,
entonces, se cumplirá también para 1n :
(*)
6
)1(6)12(
)1(
)1(
6
)12(
)1()1(
6
)1)(12(
1...321 222222
nnn
n
n
nn
nn
nnn
nn
)32)(2(672662)1(6)12( 22 nnnnnnnnnn
6
)11)(1)1(2)(1(
6
)32)(2)(1(
6
)32)(2(
)1((*)
nnnnnnnn
n
6
)1)(12(
kkk
, tomando 1 nk , luego la fórmula también es válida para 1n .
Así pues, ...,3,2,1S , es decir, la fórmula es válida para todos los enteros positivos.
2 Primeros pasos con Python.
2.1 Instalación del IDE spyder.
Instalación del entorno de programación (IDE) de Phyton “spyder”.
Primero descargamos e instalamos en nuestro ordenador la última versión del entorno
spyder (178 Mb) de la web https://www.spyder-ide.org/
Una vez instalado el programa, ejecutamos el entorno Spyder:
¿Por qué spyder y no cualquier otro IDE de Python?
No hay ningún motivo. Es el primer IDE de Python que he encontrado con Google y he
podido instalar correctamente en mi portatil HP Presario CQ57 Notebook con AMD
1.30Ghz y 2 Gb de RAM, con Windows 7 Home Premium 64 bits.
Todos los problemas de este libro se pueden ejecutar en cualquier entorno de
programación Python.
https://www.spyder-ide.org/
El entorno de programación spyder.
Al ejecutar spyder nos tiene que aparecer una pantalla como esta:
Siempre trabajaremos de la misma manera:
Primer paso:
Escribiremos el programa en la columna de la izquierda.
↓
Segundo paso:
Ejecutaremos el programa pulsando el botón “Play” de la barra de comandos:
o pulsando la tecla “F5”
↓
Tercer paso:
Vemos el resultado en la columna de la derecha.
Programa 1. Visualizar resultados.
La función más importante de todo lenguaje de programación es print: Muestra algo por
pantalla (un texto, un número, el resultado de una operación…)
#
# Este es mi primer programa en Phyton
#
print("Hola a todos")
Recuerda los tres pasos:
Las tres primeras empiezan con “almohadilla” # y son comentarios: No hacen nada, solo
sirven de título. Debemos acostumbrarnos a poner en nuestros programas comentarios,
pues hacen que el programa sea más legible y agradable.
Programa 2. Los inevitables errores de sintaxis.
La única manera de aprender a programar es estudiando ejemplos, copiando ejemplos...
y después jugar con ellos: hacer pequeñas modificaciones...
Preguntarnos ¿Qué pasaría si cambio esto? Y ver qué pasa...
Es inevitable que aparezcan errores, que nos equivoquemos en algo. ¡No pasa nada!
Buscamos donde está el error y lo rectificamos, y de esta manera aprendemos.
Por ejemplo: Modificamos el programa anterior:
#
# Este es mi primer programa en Phyton
#
print("Hola a todo el mundo)
Lo ejecutamos y ¡oh! vemos que da error:
¿Qué habrá pasado? Estudiamos el código: Nos hemos equivocado al no cerrar con
comillas la frase que queríamos visualizar. La rectificamos y volvemos a ejecutar el
programa. Vemos que ahora sí está bien:
Practicar es obligatorio. Equivocarse es inevitable.
2.2 Operaciones aritméticas con Python.
Utilizaremos el operador "+" para la suma de dos números:
print(7+2) Salida: 9
Utilizaremos el operador "+" para la resta de dos números:
print(7-2) Salida: 95
Utilizaremos el operador "*" para la multiplicación de dos números:
print(7*2) Salida: 14
Utilizaremos el operador "/" para la división con decimales de dos números:
print(7/2) Salida: 3.5
Utilizaremos el operador "//" para determinar el cociente de la división exacta de dos números:
print(7//2) Salida: 3
Utilizaremos el operador "%" para determinar el residuo de la división exacta de dos números:
print(7%2) Salida: 1
Utilizaremos el operador "**" para determinar potencias:
print(7**2) Salida: 49
A partir de la versión 3.8 de Python incorpora, a partir de la versión 3.8, una función específica
de exponenciación modular:
print(pow(2,6,11)) Salida: 9
Programa 3. La operación "residuo de la división".
Sabemos que una operación muy importante en criptografía es hacer el residuo de una
división entera. En Python esta operación se codifica mendiante el operador %.
Observa y ejecuta el siguiente programa:
#
# Este es mi segundo programa de Python
#
print(19%5)
Una vez ejecutado, te tiene que aparecer en pantalla el resultado: 4
Desde un punto de vista matemático acabamos de hacer
5mod419
Programa 4. Las variables.
El objeto más importante de todo lenguaje de programación son las variables. Una
variable contiene una partícula de información que el ordenador almacena y puede
modificar. Las variables se definen mediante letras o palabras.
#
# Este es mi tercer programa de Python
#
n=42
print(n%5)
Te tiene que aparecer el resultado correcto: 2.
Desde un punto de vista matemático acabamos de hacer
5mod242
Programa 5. Bucles.
Mediante un bucle le pedimos al ordenador que repita una determinada acción, dando a una
determinada variable un rango: Desde un valor inicial hasta un determinado valor final.
Por ejemplo, queremos calcular los equivalentes modulares módulo 5 de todos los números del
0 al 12:
#
# Los equivalentes modulares módulo 5 del 0 al 12
#
for i in range (0,12):
print(i%5)
print("Final")
Programa 6. Mejorando la presentación.
La presentación quedará más elegante si añadimos algún texto:
#
# Los equivalentes modulares módulo 5 del 0 al 12
#
for i in range (0,12):
print(i," = ", i%5, " (mod 5)")
print("Final")
Programa 7. Tabla de la suma modular.
Podemos hacer un programa que calcule la tabla de la suma de un determinado número.
#
# Tabla de la suma módulo 7 de un número.
#
a=3
print("La tabla de la suma del ",a," módulo 7")
for i in range (0,6):
print(a,"+", i, "=" ,(a+i)%7 , " (mod 7)")
print("Final")
Programa 8. Tabla de la multiplicación modular.
Para la operación multiplicar se utiliza el símbolo asterisco: *
El siguiente programa muestra la tabla de multiplicar módulo 7 de un determinado
número.
#
# Tabla de la multiplicación módulo 7 de un número.
#a=3
print("La tabla de la suma del ",a," módulo 7")
for i in range (0,6):
print(a,"*", i, "=" ,(a*i)%7 , " (mod 7)")
print("Final")
2.2.1 Ejercicio.
Realiza un programa Python que genere la tabla de la suma módulo 13 del número 4.
2.2.2 Ejercicio.
Modifica el programa anterior para que genere la tabla de la multiplicación módulo 13
del número 4.
3 Problemas de la primera parte.
3.1
F
Tenemos tres cartulinas y en cada una se ha escrito un número de cinco cifras. Como se
ve en la figura tres de las cifras están tapadas. La suma de los tres números es 57263.
¿Cuáles son las cifras ocultas?
A) 0, 2 y 2 B) 1, 2 y 9 C) 2, 4 y 9 D) 2, 7 y 8 E) 5, 7 y 8
Canguro N5 2019 #10, Cangur B1 2019 #10
3.2
F
Los enteros positivos a, b y c tienen cada uno tres cifras, y en cada entero la primera
cifra es la misma que la última. También cumplen que 12 ab y 12 bc . ¿Cuántos
valores distintos hay para el entero a?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) más de 3
Canguro N5 2019 #26, Cangur B1 2019 #26
3.3
F
Tenemos tres cartulinas y en cada una se ha escrito un número de cuatro cifras. Como se
ve en la figura tres de las cifras están tapadas.
La suma de los tres enteros de cuatro cifras es 11126. ¿Cuáles son las cifras ocultas?
A) 1, 4 y 7 B) 1, 5 y 7 C) 3, 3 y 3 D) 4, 5 y 6 E) 4, 5 y 7
Canguro N6 2019 #6, Cangur B2 2019 #6
3.4
F
¿Cuál es la primera cifra (la situada más a la izquierda) del número entero positivo más
pequeño cuyas cifras suman 2019?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Canguro N6 2019 #7, Cangur B2 2019 #7
3.5
F
Un gráfico consta de 16 vértices y algunos segmentos que los conectan, como en la
imagen.
Ahora hay una hormiga en el vértice A. En cada movimiento, puede caminar desde un
vértice a cualquier vértice vecino a lo largo de un segmento de conexión.
¿En cuál de los vértices P, Q, R, S, T puede estar la hormiga después de 2019
movimientos?
A) sólo P, R o S, no Q y T B) sólo P, R, S o T, no Q C) sólo Q D) sólo T
E) en cualquiera
Canguro N5 2019 #25, Cangur B1 2019 #25
3.6
M
Dado un entero positivo n , sea )(nf la suma de los dígitos de la representación de n
en base cuatro, y sea )(ng la suma de los dígitos de la representación de )(nf en base
ocho.
Por ejemplo: 84 1210133210)2020( ff , y 321)2020( g .
Determina el valor mínimo de n de forma que la representación en base 16 de )(ng no
pueda ser representada usando solo los dígitos 0 a 9.
AIME II 2020 #5
3.7
MF
Los 25 enteros entre -10 y 14, inclusive, se pueden organizar para formar un cuadrado
de 5 por 5 en el que la suma de los números de cada fila, de cada columna y de las dos
diagonales sumen lo mismo. ¿Cuál es el valor de esta suma común?
(A) 2 (B) 5 (C) 10 (D) 25 (E) 50
AMC 12A 2020 #5
3.8
M
Determina el número de pares ordenados ),( yx de enteros que satisfacen la ecuación
yyx 222020
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) hay infinitos pares
AMC 12B 2020 #8
3.9
M
Sean a y b números reales positivos cumpliendo la condición
100loglogloglog baba
y en donde los cuatro términos de la izquierda son enteros positivos, denotando por log
el logaritmo en base 10. Determina ab .
(A) 5210 (B) 10010 (C) 14410 (D) 16410 (E) 20010
AMC 12A 2019 #15
3.10
F
Determina la cantidad de números enteros no negativos que se pueden escribir de la
forma
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7 33333333 aaaaaaaa
donde 1,0,1ia para todo 70 i .
(A) 512 (B) 729 (C) 1094 (D) 3281 (E) 59048
AMC 12A 2018 #13
3.11
M
Sea el triángulo ABC de lados 9AB , 35BC y 12AC . Marcamos los puntos
BPPPPA 2450210 ,...,,, en el segmento AB de forma que kP se encuentra entre 1kP
y 1kP para todo 2449,...,2,1k , y marcamos los puntos CQQQQA 2450210 ,...,,, en
el segmento AC de forma que kQ se encuentra entre 1kQ y 1kQ para todo
2449,...,2,1k . Además, todo segmento kkQP , con 2449,...,2,1k , es paralelo a BC .
Estos segmentos cortan el triángulo en 2450 regiones, consistiendo en 2449 trapecios y
un triángulo. Todas estas 2450 regiones tienen el mismo área. Determina el número de
segmentos kkQP , con 2450,...,2,1k cuya longitud es racional.
AIME II 2018 #7
3.12
F
Se toma aleatoriamente un número m del conjunto 19,17,15,13,11 , y se toma
aleatoriamente un número n del conjunto 2018...,,2001,2000,1999 . Determina la
probabilidad de la cifra de las unidades de nm sea 1.
(A)
5
1
(B)
4
1
(C)
10
3
(D)
20
7
(E)
5
2
AMC 10A 2018 #19
3.13
D
Utilizando la igualdad 129753473 22 , escribe 1297 como suma de dos cuadrados.
3.14
M
Determina la expresión equivalente a
646432321616884422 32323232323232
(A) 127127 23 (B) 6363127127 233223 (C) 128128 23 (D) 128128 33 (E) 1275
AMC 10A 2021 #10
3.15
MF
La suma de los cinco números de tres cifras ABC, BCD, CDE, DEA y EAB es 2664.
¿Cuál es el valor de la suma de las cifras A, B, C, D y E?
A) 4 B) 14 C) 24 D) 34 E) 44
Canguro N6 2020 #5, Cangur B2 2020 #5
3.16
MF
Sean a, b y c enteros que satisfacen cba 1 y 1000000 cba . ¿Cuál es el mayor
valor posible de b?
A) 100 B) 250 C) 500 D) 1000 E) 2000
Canguro N6 2020 #7, Cangur B2 2020 #7
3.17
F
Sean a, b y c tres números enteros. ¿Cuál de los siguientes valores nunca puede ser igual
a 222
)()( accbba ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 6 E) 8
Canguro N6 2020 #14, Cangur B2 2020 #14
3.18
F
El número entero 29...... tiene 100 cifras. ¿Cuántas cifras tiene su cuadrado?
A) 101 B) 199 C) 200 D) 201 E) no se puede saber
Canguro N6 2020 #15, Cangur B2 2020 #15
3.19
F
La sucesión nf viene dada por 11 f , 32 f y 12 nnn fff para 1n . ¿Cuántos de
los primeros 2020 términos de la sucesión son pares?
A) 673 B) 674 C) 1010 D) 1011 E) 1347
Canguro N6 2020 #18, Cangur B2 2020 #18
3.20
MF
En los cálculos mostrados, cada letra representa una cifra y se usan para formar algunos
números de dos cifras.
Los dos números de la izquierda suman 79. ¿Cuál es la suma de los cuatro números de
la derecha?
A) 79 B) 158 C) 869 D) 1418 E) 7979
Canguro N5 2020 #5, Cangur B1 2020 #5
3.21
MF
La suma de cuatro enteros consecutivos es 2. ¿Cuál es el menor de estos enteros?
A) -3 B) -2 C) -1 D) 0 E) 1
Canguro N5 2020 #6, Cangur N5 2020 #6
3.22
MF
Los años 2020 y 1717 se forman con un número de dos cifras repetido dos veces.
¿Cuántos años transcurrirán a partir de 2020 para encontrarnos en el siguiente año que
tenga esta misma propiedad?
A) 20 B) 101 C) 120 D) 121 E) 202
Canguro N5 2020 #7, Cangur B1 2020 #1, Kangaroo Junior 2020 #7
3.23
MF
El camino más corto para ir de A a C pasa por B. Paseando por este camino de A a C,
primero encontramos en el lado izquierdo del camino el poste de señales que se muestra
a la izquierda de la figura, y después, en el lado derecho del camino el otro poste.
¿Qué distancia estaba escrita en el cartel roto?
A) 1 km B) 2 km C) 3 km D) 4 km E) 5 km
Canguro N5 2020 #13, Cangur N5 2020 #13
3.24
F
En cada una de las nueve celdas de la figura se escribe un número de modo que la suma
de los tres números en cada diámetro es 13 y la suma de los ocho números en la
circunferencia es 40.
¿Qué número debe escribirse en la celda central?
A) 3 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12
Canguro N5 2020 #15, Cangur B1 2020 #15
3.25
MF
Lucas comienza un viaje de 520 km en coche con 14 litros de combustible en el
depósito. Su automóvilconsume 1 litro de combustible por cada 10 km. Después de
conducir 55 km, lee una señal de tráfico que muestra las distancias desde ese punto
hasta cinco estaciones de servicio en la carretera. Estas distancias son 35 km, 45 km, 55
km, 75 km y 95 km. La capacidad del depósito de combustible del coche es de 40 litros
y Lucas quiere detenerse solo una vez para llenarlo. ¿A qué distancia está la estación de
servicio donde debe repostar?
A) 35 km B) 45 km C) 55 km D) 75 km E) 95 km
Canguro N5 2020 #18, Cangur B1 2020 #18
3.26
F
Carmen etiquetó los vértices de una pirámide de base cuadrada con los números 1, 2, 3,
4 y 5, uno para cada vértice. Para cada cara calculó la suma de los números en sus
vértices. Cuatro de estas sumas son 7, 8, 9 y 10. ¿Cuál es la quinta suma?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
Canguro N5 2020 #25, Cangur B1 2020 #25
3.27
F
En cada una de las celdas de una tabla se escribe un número, de manera que las sumas
de los 4 números en cada fila y en cada columna sean iguales. ¿Qué número tiene la
celda sombreada?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Canguro N5 2020 #27, Cangur B1 2020 #27
3.28
F
Determina las soluciones enteras de la ecuación
4
3111
cba
con cba 1
Olimpiada Matemática de Chile 2011
3.29
MD
Sea 100n un entero. Iván escribe cada uno de los números n , n+1 , . . . , 2n en un
naipe diferente. Después de barajar estos n+1 naipes, los divide en dos pilas distintas.
Probar que al menos una de esas pilas contiene dos naipes tales que la suma de sus
números es un cuadrado perfecto.
IMO 2021 #1
3.30
F
Determina la cifra de las unidades de 200313 .
(A) 1 (B) 3 (C) 7 (D) 8 (E) 9
AMC 10A 2003 #16
Nota: En el apartado 7.6 aparecen más problemas del tipo “Determina la cifra de las unidades de...”
3.31
MF
¿Cuál es la última cifra del número 12345
54321
+ 1
(A) 1 (B) 5 (C) 6 (D) 2 (E) 0
Canguro N4 2002 #1
3.32
MF
Sean p y q dos números primos tales que 36522 qp . ¿Cuánto vale qp ?
(A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 (E) 24
Canguro N4 2013 #4
3.33
M
Determina la raíz cuadrada del número de 4044 dígitos siguiente:
98...8884...444
20212022
dígitosdígitos
3.34
D
Sean cba ,, números naturales tales que
32223222 cbaabcacbacbcabcab
Demostrar que al menos uno de los números cba ,, es un cuadrado perfecto.
OMEFL Castilla y León 2021 #1
3.35
MF
¿De cuantas formas diferentes se pueden combinar billetes de 5$ y de 2$ para obtener
17$, sin importar el orden?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
AMC 8 2002 #2
3.36
F
Julia divide el número
cifras2004
1...111 entre 3. El número de ceros que obtendrá será de
(A) 670 (B) 669 (C) 668 (D) 667 (E) 665
Cangur N1 2004 #27
3.37
M
Determina el entero positivo de tres dígitos cba cuya representación en base nueve es
9(acb , donde a, b y c son dígitos no necesariamente distintos.
AIME I 2022 #1
3.38
M
Sean ihgfedcba ,,,,,,,, enteros diferentes entre 1 y 9. El menor valor positivo
posible de
ihg
fedcba
se puede escribir como
n
m
, donde m y n son enteros positivos y coprimos. Determina
nm .
AIME I 2022 #7
3.39
F
Los números del 1 al 10 se escriben en los círculos de la figura, uno en cada círculo. La
suma de los números de la fila superior es 24, la suma de los números de la fila inferior
también es 24, y la suma de los números de la columna de la izquierda es 25. ¿Cuál es el
número que puede figurar en el círculo con la interrogación?
(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 2 (E) Ninguno de los valores anteriores
Cangur B2 2022 #23
3.40
F
Problema solucionado paso a paso en vídeo.
Determina la cantidad de parejas ordenadas cb, de enteros positivos para los que ni
02 cbxx ni 02 bcxx tienen dos soluciones reales distintas.
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12 (E) 16
AMC 12A Fall 2021 #17, AMC 10A 2021 #20
Solución: https://youtu.be/01bMBnbkUmc
3.41
F
Sea N el entero positivo más pequeño cuya suma de sus dígitos sea 2021. ¿Cuál es la
suma de los dígitos de N + 2021?
(A) 2021 (B) 2026 (C) 10 (D) 4042 (E) 12
Cangur B1 2021 #23, Kangaroo Junior 2021 #23
3.42
MF
¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar utilizando los dígitos 1,3 y 5 y que
sean divisibles por 3? Puedes utilizar un dígito más de una vez.
(A) 6 (B) 27 (C) 18 (D) 7 (E) 9
Cangur B2 2021 #8, Kangaroo Student 2021 #8
https://youtu.be/01bMBnbkUmc
3.43
MF
David escribe, en orden creciente, todos los números enteros del 2 al 2022 que usan solo
0 y 2. ¿Cuál es el número que se encuentra en el medio de su lista?
(A) 200 (B) 220 (C) 222 (D) 2000 (E) 2002
Cangur B2 2022 #6, Kangaroo Student 2022 #8
3.44
M
Un gimnasio tiene doce pesas diferentes de 1 kg a 12 kg, todas de números enteros. Las
divide en tres grupos de cuatro pesas cada uno. El peso total del primer grupo es de 41
kg y del segundo de 26 kg. ¿Cuál de las siguientes pesas está en el mismo grupo que la
pesa de 9 kg?
(A) 3 kg (B) 7 kg (C) 5 kg (D) 10 kg (E) 8 kg
Cangur B1 2022 #26, Kangaroo Junior 2022 #25
3.45
F
Para un entero positivo N, denotamos por p(N) el producto de los dígitos de N cuando
se escriben en forma decimal. Por ejemplo, p(23) = 2 × 3 = 6. ¿Cuál es el valor de la
suma p(10) + p(11) + p(12) + ... + p(99) + p(100) ?
(A) 5050 (B) 4050 (C) 5005 (D) 2025 (E) 4500
Cangur B2 2021 #16
3.46
F
Los números 1, 2, 7, 9, 10, 15 y 19 están escritos en una pizarra. Dos jugadores se
alternan para eliminan un número hasta que solo quede un número en la pizarra. La
suma de los números eliminados por uno de los jugadores es el doble de la suma de los
números eliminados por el otro jugador. ¿Cuál es el número que queda?
(A) 7 (B) 10 (C) 9 (D) 19 (E) 15
Cangur B2 2021 #22, Kangaroo Student 2021 #22
3.47
F
Los números del 1 al 6 se colocan en los círculos en las intersecciones de tres anillos
circulares. Se muestra la posición del número 6. Las sumas de los números de cada
anillo son las mismas.
¿Qué número se coloca en el círculo con el signo de interrogación?
(A) 5 (B) 1 (C) 3 (D) 2 (E) 4
Cangur B1 2021 #13, Kangaroo Junior 2021 #13
3.48
F
En una cuadrícula 5×5 como se muestra, la suma de los números en cada fila y en cada
columna es la misma. Hay un número en cada celda, pero algunos de los números no se
muestran. ¿Cuál es el número en la celda marcada con un signo de interrogación?
(A) 23 (B) 8 (C) 10 (D) 18 (E) 12
Cangur B2 2021 #17, Kangaroo Junior 2021 #17
3.49
F
¿Cuántos enteros positivos de tres cifras abc hay, tales que (a+b)
c
es un entero de tres
cifras que además es una potencia de 2?
(A) 15 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 21
Canguro N6 2017 #29, Cangur B2 2017 #29, Kangaroo Student 2017 #29
3.50
F
Ocho equipos participan en un torneo de fútbol. Cada equipo juega contra otro equipo
exactamente una vez. En cada partido, el ganador obtiene 3 puntos y el perdedor no
obtiene ningún punto. Si se empata un partido, cada equipo obtiene 1 punto. Al final del
torneo el número total de puntos obtenidos por todos los equipos es de 61. ¿Cuál es el
mayor número de puntos que podría haber obtenido el equipo campeón?
(A) 21 (B) 19 (C) 18 (D) 17 (E) 16
Cangur B1 2022 #22, Kangaroo Junior 2022 #29
3.51
MF
La suma de las dos últimas cifras del resultado del producto 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
es:
(A) 8 (B) 2 (C) 16 (D) 4 (E) 6
Cangur B2 2020 #1, Canguro N6 2020 #1
3.52
F
Determina todos los enteros positivos n para los cuales 652 nn es un cuadradoperfecto.
OME Fase local Catalunya 2023 #1
3.53
MF
Julia tira 5 dados y obtiene un total de 19 puntos. ¿Cuál es el número máximo de seises
que puede haber obtenido?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Cangur B2 2023 #2, Canguro N6 2023 #2
3.54
MF
Determina el número de enteros positivos x, y que satisfacen la ecuación 1022 yx .
(A) 2
9
−1 (B) 2
9
(C) 2
9
+1 (D) 2
9
+2 (E) 0
Cangur B2 2023 #7, Canguro N6 2023 #6
3.55
MF
Encima de un reloj se pone un círculo gris con dos agujeros, tal y como se puede ver en
la figura. Hacemos girar este círculo alrededor de su centro de forma que el número 10
aparece en uno de sus agujeros. ¿Qué otros dos números pueden aparecer en el otro
agujero?
(A) El 2 o el 6 (B) El 3 o el 7 (C) El 3 o el 6 (D) El 1 o el 9 (E) El 2 o el 7
Cangur B1 2023 #1, Canguro N5 2023 #1
3.56
MF
Si m y n son dos números enteros positivos impares, ¿Cual de los siguientes números es
también impar?
(A) m·(n+1) (B) (m+1)·(n+1) (C) m+n+2 (D) m·n+2 (E) m+n
Cangur B1 2023 #3, Canguro N5 2023 #3
3.57
MF
Las edades de una familia formada por cinco miembros suman 80 años. Las dos
personas más jóvenes tienen 6 y 8 años. ¿Cuál era la suma de las edades de los
miembros de esta familia hace 7 años?
(A) 35 (B) 36 (C) 45 (D) 46 (E) 66
Cangur B1 2023 #7, Canguro N5 2023 #7
3.58
F
Después de haber jugado 200 partidas de ajedrez, he ganado exactamente un 49%.
¿Cuál es el mínimo número de partidas adicionales que tendré que jugar para que mi
porcentaje de partidas ganadas pueda aumentar hasta un 50%?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6
Cangur B1 2023 #10, Canguro N5 2023 #10
3.59
MF
Una cerca de madera está construida con tablones verticales y horizontales. Cada dos
tablones verticales consecutivos están unidos por 4 tablones horizontales.
¿Cuál de las siguientes cantidades puede corresponder al número de tablones de la
cerca?
(A) 95 (B) 96 (C) 97 (D) 98 (E) 99
Cangur B1 2023 #8, Canguro N5 2023 #8
3.60
M
Determina todos los números primos que se pueden expresar como suma y diferencia de
dos números primos.
New Zeland M.O. Camp 2013
3.61
F
Un conjunto de enteros positivos tiene las siguientes propiedades:
- La suma de sus elementos es 30.
- La única moda de la lista es 9.
- La mediana de la lista es un entero positivo que no aparece en dicho conjunto.
Determina la suma de los cuadrados de todos los elementos de este conjunto.
AIME II 2024 #2
4 Divisibilidad, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
4.1 Concepto de divisibilidad.
Definición. Divisor de un número.
Dados dos números enteros ba, , diremos que a divide a b, o que b es divisible entre a,
y escribiremos ba | , cuando exista un tercer número entero c tal que bca .
Puesto que 00 a , todo número entero es divisor de cero, incluso 0|0 .
Proposición. Propiedades básicas de la divisibilidad.
a) aa | para todo entero a (propiedad reflexiva)
b) ba | y c|b ca | (propiedad transitiva)
c) cybxaayba |c|| para cualquier par de enteros yx,
d) bdacdcyba ||| . En particular, cbaba || .
e) ba | y cacba ||
Observación.
naa | , y por tanto cacan || , por la propiedad transitiva: cacaa n |||
Criterios básicos de divisibilidad.
Entre 2: Cuando acaba en cero o cifra par.
Entre 3: Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Entre 4: Cuando el número formado con sus dos últimas cifras es un múltiplo de 4.
Entre 5: Cuando acaba en 0 o en 5.
Entre 9: Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Entre 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras pares y la suma de sus cifras
impares sea 0 o múltiplo de 11.
Teorema. Algoritmo de la división.
Para todo Za y Nb , existen Zq y br 0 únicos, llamados respectivamente
cociente y residuo de la división, tales que rbqa
Problema resuelto.
Aplicando el Algoritmo de la división, demuestra que todo cuadrado perfecto es
siempre de la forma k4 o 14 k .
Solución. Aplicando el Algoritmo de la división, todo número n será de la forma
1)1(414434,24,14,4 bbbnbnbnbn .
Veamos su cuadrado, caso por caso:
)144(4416162424
1)24(418161414
4444
2222
2222
222
bbbbbnbn
bbbbbnbn
bbnbn
Sea cual sea el caso, siempre es de la forma k4 o 14 k .
Nota: Este resultado es muy útil para resolver muchos problemas de ecuaciones diofánticas.
Nota: Ver 7.3.9 para más resultados como este, utilizando el lenguaje de la aritmética modular.
4.1.1
MF
El número de dígitos de 251654 (cuando está escrito en la base 10 usual) es
(A) 31 (B) 30 (C) 29 (D) 28 (E) 27
AHSME 1984 #9
4.1.2
F
Demuestra que el cuadrado de un número impar es siempre de la forma 18 k
OPOS BALEARES 2018
4.1.3
F
El perímetro de un triángulo equilátero excede el perímetro de un cuadrado en 1989 cm.
La longitud de cada lado del triángulo excede la longitud de cada lado del cuadrado en d
cm. El cuadrado tiene perímetro mayor que 0. ¿Cuántos posibles enteros positivos no
son válidos para d?
(A) 0 (B) 9 (C) 221 (D) 663 (E) infinitos
ASHME 1989 #17
4.1.4
F
¿Cuántos números en base 10, dcbaN satisfacen todas las tres condiciones
siguientes?
(i) 60004000 N
(ii) N es múltiplo de 5
(iii) 63 cb
(A) 10 (B) 18 (C) 24 (D) 36 (E) 48
AHSME 1995 #12
4.1.5
F
La profesora Walter corrige un examen de matemáticas de sus cinco alumnos. Entra en
orden aleatorio las puntuaciones en una hoja de cálculo, que va recalculando la media
de la clase después de cada puntuación (sobre el número de alumnos ya introducidos, no
sobre el total de 5). La profesora se da cuenta de que, después de cada puntuación, la
media es siempre un entero. Las puntuaciones (presentadas en orden ascendente) son
71, 76, 80, 82 y 91. ¿Cuál fue la última puntuación que introdujo la profesora Walter?
(A) 71 (B) 76 (C) 80 (D) 82 (E) 91
AMC12 2000 #9
4.1.6
F
Determina los valores enteros de x para los cuales la expresión xx 62 es un cuadrado
perfecto, es decir, el cuadrado de un entero.
4.1.7
M
Determina la suma de todos los números enteros positivos 1000b tal que el número
b36 (escrito en base b) es un cuadrado perfecto y el número b27 (también escrito en
base b) es un cubo perfecto.
AIME II 2018 #3
4.1.8
F
Determina la suma de todos los enteros positivos n tales que 2017852 nn es un
entero.
AIME II 2017 #6
4.1.9
F
Demuestra que ningún número de la forma ...,11111,1111,111,11 es un cuadrado
perfecto.
Indicación: Todo número de la forma 111...111 se puede escribir como
343108...111111...111 k .
4.1.10
MF
¿Para cuantos enteros n entre 1 y 100 el polinomio nxx 2 factoriza en el producto
de dos factores lineales con coeficientes enteros?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 9 (E) 10
ASHME 1989 #8
4.1.11
F
Sea S el número de pares ordenados de enteros ),( ba con 1001 a y 0b tales que
el polinomio baxx 2 pueda ser factorizado como producto de dos (no
necesariamente distintos) factores lineales con coeficientes enteros. Determina el
residuo cuando S se divide entre 1000.
AIME I 2018 #1
4.1.12
F
Una sucesión pucelana es una sucesión crecientes de dieciséis números impares
positivos consecutivos, cuya suma es un cubo perfecto. ¿Cuántas sucesiones pucelanas
tienen solamente números de tres cifras?
OME 2010 #1
4.1.13
M
a) Demuestra que el producto de dos números consecutivos es par.
b) Demuestra que el producto de tres números consecutivos es divisible entre 6.
c) Demuestra que nn 5 es divisible entre 30.
4.1.14
F
Determina la suma de todos los números primos entre 1 y 100 tal quesean
simultáneamente 1 mayor que un múltiplo de 4 y 1 menor que un múltiplo de 5
ASHME 1999 #4
4.1.15
MF
¿Cuántos enteros positivos b existen con la propiedad de que 729log b sea un entero
positivo?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
AMC12 2000 #7
4.1.16
F
Aplicando el Algoritmo de la división, demuestra que:
a) Un cuadrado perfecto es siempre de la forma k3 o 13 k .
b) Un número de la forma 13 2 a nunca puede ser un cuadrado perfecto.
4.1.17
F
¿Para cuántos enteros N entre 1 y 1990 la fracción impropia
4
72
N
N
no es irreducible?
ASHME 1990 #19
4.1.18
MF
Sea r el residuo cuando 1059, 1417 y 2312 se dividen entre 1d . Determina el valor de
rd .
AHSME 1976 #15
4.1.19
F
Demuestra que existen infinitos números enteros n tales que 232 n es divisible por 24.
4.1.20
M
Determina todos los enteros positivos d tales que d divide 12 n y 1)1( 2 n para
algún entero n.
4.1.21
F
Determina todos los enteros positivos n tales que el número que se obtiene eliminando
el último dígito es un divisor de n .
4.1.22
F
Calcula la suma de todos los enteros positivos n para los cuales la expresión
1
7
n
n
es un entero.
HMMT 2021 #1
4.2 Divisibilidad y orden.
Proposición. Divisibilidad implica desigualdad.
a) Si ba | y 0b ba .
Y por tanto, si a y b son positivos:
b) 11| aa
c) baba |
d) ba | y ab | ba
e) baba |
4.2.1
F
Sean ndddd k ...1 321 los divisores del entero positivo n.
Encuentra todos los números n tales que
3
3
2
2 ddn .
México 2008
4.2.2
M
Sea 1931 32n . Determina el número de enteros positivos de 2n que sean menores que
n y que no sean divisores de n .
AIME 1995 #6
Indicación: Distribución de los divisores de 2n .
Un dato que puede ser útil es que n es el divisor central de 2n , es decir, el número de
divisores de 2n menores que n es igual al número de divisores de 2n mayores que n.
4.2.3
D
Encontrar las ternas nba ,, de números enteros positivos tales que
ba
n
ba
11
.
4.2.4
M
Dado INn , calcula la longitud del lado BC en el triángulo que se muestra en la
siguiente figura. ¿Existe algún valor de n para el que la longitud BC sea entero?
4.2.5
F
Sea n un número de cinco dígitos, y sean q y r el cociente y el residuo, respectivamente,
cuando n se divide entre 100. ¿Para cuántos valores de n se cumple que rq es
divisible entre 11?
(A) 8180 (B) 8181 (C) 8182 (D) 9000 (E) 9090
AMC12A 2003 #18
4.2.6
D
Determina todos los enteros 0n tales que existen enteros ba, con la propiedad
ban 2 y 223 ban
Romanian Mathematical Olympiad 2004
4.2.7
MD
Dado un entero 3n , demuestra que siempre es posible, eliminando a lo sumo dos
elementos del conjunto n,...,2,1 de forma que la suma de los restantes números sea
un cuadrado perfecto.
Romanian Mathematical Olympiad 2003
4.2.8
D
Determina todos los enteros positivos cba ,, tales que
abcacbcab
4.2.9
F
Sea n un entero positivo. Cada uno de los números 1,2,3,...,2023 se pinta de algún
bonito color pero verificando la siguiente propiedad: si (a,b) es un par de enteros
diferentes tales que a es divisor de b, sus colores son diferentes. Encontrar el mínimo
número de colores que se precisa para que esa propiedad se cumpla.
OME Fase Local Extremadura 2023 #1
4.3 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Definición. Máximo común divisor. Números coprimos. Mínimo común múltiplo.
Dados dos números positivos ba, , el conjunto de divisores comunes de ambos no está
vacío, pues 1 es divisor de los dos, y está acotado superiormente, pues todo divisor
común es menor o igual que ),min( ba . Luego tiene sentido definir el máximo común
divisor de a y b como el mayor divisor positivo común a ambos, que denotaremos por
ba, .
Diremos que dos números son coprimos cuando sus únicos divisores comunes sean 1 y
1 , es decir, cuando 1, ba .
Dados dos números positivos ba, , el conjunto de múltiplos comunes a ambos no está
vacío, pues ba es un múltiplo común, y está acotado inferiormente por ),max( ba .
Luego tiene sentido definir el mínimo común múltiplo de a y b como el menor de los
múltiplos comunes a ambos, y se denotará por ba, .
Proposición. Algunas propiedades básicas del mcd y del mcm.
a) bababa ,|,|, .
b) bababababa ,),max(,),min(, .
Interpretación geométrica del máximo común divisor.
El máximo común divisor de a y b indica el número de puntos ),( yx con coordenadas
enteras en el segmento que une los puntos )0,0( y ),( ba , sin contar el inicial )0,0( .
Por ejemplo, 3)6,15( , y por tanto el segmento que une los puntos )0,0( y )6,15(
pasa por tres puntos con coordenadas enteras, aparte del propio )0,0( :
)6,15()24,510(
)4,10()22,55(
)2,5(
2
3
6
5
3
15
4.3.1
F
Diremos que un punto ),( yx del plano es “punto entero” cuando sus coordenadas sean
enteras. ¿Cuántos de estos puntos de este tipo hay (incluyendo ambos extremos) en el
segmento que cuyos extremos son )17,3( y )281,48( ?
ASHME 1989 #16
4.3.2
MF
Demostrar que kknn |),( , independientemente del valor de n . En particular,
1)1,( nn
4.3.3
M
Sean cba ,, enteros positivos tales que
23 cba
y
9),(),(),( acMcdcbMcdbaMcd
Determina la suma de todos los valores distintos de 222 cba .
(A) 259 (B) 438 (C) 516 (D) 625 (E) 687
AMC 12B Fall 2021 #16
4.3.4
F
Determina el máximo común divisor de todos los números de la forma
33333 )4()3()2()1( nnnnn
donde n es un entero positivo.
(A) 3932 (B) 336 532 (C) 369 532 (D) 328 532 (E) 339 532
Cangur B2 2023 #27, Canguro N6 2023 #27
4.4 El Teorema de Bezout (TDB).
Lema.
),( ba divide a cualquier combinación lineal de a y b .
Demostración. Sea byax una combinación lineal de a y b .
byaxba
bybabba
axbaaba
|),(
|),(|),(
|),(|),(
Teorema. Teorema de Bezout (TDB).
Dados dos números enteros ba, no ambos cero, el máximo común divisor de ba, se
caracteriza por ser el elemento mínimo del conjunto no vacío
0,,, byaxZyxbyaxA
Luego existe, es único y siempre se puede escribir como combinación lineal de a y b :
Existen enteros yx, tales que byaxba ),(
Demostración. Consideremos el conjunto anterior 0,,, byaxZyxbyaxA .
Es un conjunto no vacío pues al menos 022 babbaa pertenece a A (estamos en
todo momento suponiendo que ba, no son ambos cero).
Por el Principio de buena ordenación, A tendrá un mínimo, al que llamaremos d .
Vamos a demostrar que ),( bad .
Supongamos que 011 ybxad para ciertos enteros 11, yx .
Por el Algoritmo de la división, existirán enteros rq, tales que rqda con
dr 0 .
Si 0r , entonces
qybqxaqybqxaaqybxaadqar 111111 )1()(0
y por tanto, r pertenece al conjunto A, tomando qyyqxx 1212 ,1 . Pero dr , lo
cual contradice la hipótesis de d como elemento mínimo. Luego 0r y por tanto
qda , es decir, d divide al número a.
Con el mismo razonamiento se demuestra que d divide al número b, y por tanto d es
común divisor de a y b. Veamos que es el máximo común divisor.
Sea m otro común divisor de a y b, entonces, aplicando el lema anterior,
dmdmdybxam || 11 .
Corolario.
Si nxx ,...,1 son números enteros y a es cualquier número entero positivo,
nn xxaxaxa ,...,,..., 11
Demostración.
Sean nxaxad ,...,1 y nxxe ,...,1 . Luego deadeaxaeaxe ii ||| .
Por el TDB, nnnn axkaxkeaxkxke ...... 1111
Es decir, ae es combinación lineal de nxaxa ,...,1 , y por tanto es un múltiplo de d ,
luegodae . Y, puesto que anteriormente hemos demostrado que dea , llegamos a
dea .
Corolario.
1),( ba Existe una combinación lineal 1byax
Demostración. Es el TDB.
1),(1|),(1|),( bababyaxba
4.4.1
M
Demuestra que la fracción
314
421
n
n
es irreducible para todo número natural n.
IMO 1959 #1
4.4.2
M
Los números de la sucesión ...,116,109,104,101 son de la forma
2100 nan ,
...,2,1n
Para cada n , sea 1, nnn aad . Determina nn d1max .
AIME 1985
Teorema.
Si naaad ...,,, 21 entonces 1...,,, 21
d
a
d
a
d
a n
Demostración.
dkaadaaad iiin |...,,, 21 . Sea
d
a
d
a
d
a
d n...,,,' 21 y supongamos que
1'd .
dddaddddkadk
d
a
d
a
d
d
a
d
a
d
a
d iiii
iin |'|'''''|'...,,,' 21
Lo cual es imposible suponiendo 1'd . Luego 1'd .
4.5 Divisibilidad con números coprimos.
Teorema.
Si 1),( ba , entonces:
a) cab
cb
ca
|
|
|
b) cabca ||
c) cd
bcd
acd
|
|
|
d) ced
bed
acd
|
|
|
Demostración.
a)
cabyaxbabbyaaaxbbcbycaxbyaxccc
byaxba
bbccb
aacca
|)''('')(1
11),(
'|
'|
b)
cakkckaakkackbckackcbkakba
dkbcbcd
akbcbca
|11),(
|
|
1431434343
2
1
Por el TDB, byaxba 11),( para ciertos enteros yx, . Luego bcyacxc , y
puesto que trivialmente acxa | y por hipótesis bcya | , se deduce cbcyacxa | .
c)
cdkkkkddkkdkkbckackcbkakba
dkbcbcd
dkacacd
|)(11),(
|
|
241324134343
2
1
d)
ced
ecbdbed
ceadacd
|
)(||
)(||
aplicando el apartado anterior.
Observación. El apartado a) del teorema anterior se puede generalizar:
Si naaa ,...,, 21 son enteros tales que 1),( ji aa si ji , entonces
ba |1 , ba |2 , ..., ban | baaa n |...21
4.5.1
D
Sean nm, dos enteros positivos diferentes. Demostrar que
1)2,2()1,1(),( nmnmnmnm
Indian National Mathematical Olympiad 2019 #3 (parcial)
4.6 El algoritmo de Euclides (ADE).
Lema.
),(),( cacaba
Demostración.
Sean ),( caban y ),( cam .
ycbyxaycabyxacabyxancaban )()(),( , luego nca |),( .
Y por otro lado,
ncabamcabm
cm
abmam
cam
),(||
|
||
),( .
Así pues, mn | y nm | , y por tanto mn .
Teorema. Algoritmo de Euclides (ADE).
El algoritmo de Euclides es un método efectivo para calcular el máximo común divisor
de dos números a y b que se basa en el algoritmo de la división y en la proposición
anterior:
Si ckab , entonces ),(),(),( cackaaba
Suponiendo ba , podemos dividir a entre b para expresar rkba , con br y
así
),(),(),( brbrbkba
Este mismo proceso repetiremos una y otra vez, con números más y más pequeños,
hasta que el máximo común divisor se haga evidente.
Ejemplo 1.
Calcula 23,29 mediante el Algoritmo de Euclides.
Solución.
)23,6()23,6231()23,29(623129
)6,5()6,563()6,23(56323
1)5,1()5,151()5,6(1516
Así pues, 123,29
Ejemplo 2.
Calcula 246,3456 mediante el Algoritmo de Euclides.
Solución.
)246,158()246,15824613()246,3456(
)88,158()881581,158()246,158(
Y de la misma manera:
2)16,2()18,16()70,18()88,70()88,158(
Luego 2246,3456
Proposición.
a) bac
bc
ac
,|
|
|
b) cba
cb
ca
|,
|
|
Demostración.
a) Por el TDB, bacybxacycbxcabyaxba ,|)''('',
Por transitividad: acababac ||),(),,(|
b) Sea bak , . Supongamos que 0k , (es decir, que 0, ba )
Por reducción al absurdo, supongamos que ck | .
Entonces existirán q y kr 0 tales que rkqc .
Luego kqcr múltiple común de a y b , pues lo son c y k , pero kr ,
contradiciendo la hipótesis de k como menor múltiple común de a y b .
Por transitividad: c|,|c,|, abaaba .
Corolario.
dcba
db
ca
,|),(
|
|
Demostración.
),(|),(
||),(
||),(
dcba
dbba
caba
4.7 Máximo común divisor con números coprimos.
Proposición.
),(),(1),( cbcabca
Demostración.
Por el TDB, 1),( ca implica que existen dos enteros yx, tales que cyax1 .
Sea ),( cbg y ),( cabh . Los valores hg, no son negativos.
hcabg
ccbg
abbcbg
),(|
|),(
||),(
bbcyaxbcbyabxh
cbyccabh
abxabcabh
1)(|
||),(
||),(
gcbh
bh
ccabh
),(|
|
|),(
Llegamos a gh | y hg | , y puesto que no son negativos, se deduce que hg .
Corolario.
1),(
1),(
1),(
cab
cb
ca
Demostración.
Por la proposición anterior, 1),(),(1),( cbcabca .
11),(|
|
||
dcabd
cd
abdad
, luego 1),( ca , y con un razonamiento similar
se demuestra que 1),( cb
Observación. Esta propiedad se puede generalizar fácilmente por inducción:
1),...(1),(...),(),( 2121 caaacacaca nn
Teorema. El Lema de Euclides.
ca
ba
bca
|
1),(
|
Demostración.
),(|
|
|
bcaa
aa
bca
Por otro lado, por 4.8, ),(),(1),( cabcaba .
Luego ccabcaa |),(),(| , es decir, ca | .
Corolario.
Si 0c , ),(),( baccbca
Demostración.
c y ),( ba son no negativos, luego ),( bac es no negativo. Luego, aplicando 4.6a
),(|),(
|),(|),(
|),(|),(
cbcabac
cbbacbba
cabacaba
Por otro lado, aplicando el TDB, existirán enteros yx, tales que byaxba ),( .
),(|),(),()(|),(
||),(
||),(
baccbcabacbyaxccbycaxcbca
cbycbcbca
caxcacbca
Así pues, ),(|),( cbcabac y ),(|),( baccbca , y puesto que ambos son no negativos,
llegamos a ),(),( baccbca .
Corolario.
Si a y b son enteros positivos, ),(),)(,(1),( abcbcacba
Demostración.
Floor and arithmetic functions (Darij Grinberg, 2016) pág. 12
4.8 Actividades con Python.
El Algoritmo de Euclides Extendido (ADE).
def egcd(a, b):
if a == 0:
return (b, 0, 1)
else:
g, y, x = egcd(b % a, a)
return (g, x - (b // a) * y, y)
print(egcd(117,244))
Salida: (1, 73, -35)
4.9 Problemas de introducción a la divisibilidad.
4.9.1
Eduardo colecciona 2004 piezas conicas. Las coloca en montones de 5 cada uno.
¿Cuántos montones de 5 piezas tiene?
(A) 5 (B) 400 (C) 401 (D) 402 (E) 404
Cangur N1 2004 #5, Canguro N1 2004 #5
4.9.2
Tenemos 16 lápices, 12 gomas de borrar y 5 tijeras. Con este material queremos hacer
paquetes como el que indica la figura. ¿Qué objetos faltan para hacer paquetes
completos?
(A) 1 lápiz y 1 goma (B) 2 lápices y 1 goma (C) 2 lápices y 1 tijera (D) 2 lápices y 2
gomas (E) 2 gomas y 2 tijeras.
Cangur P5 2016 #7
4.9.3
La cabina de pasajeros de un avión tiene 108 asientos. Hay un asiento vacío por cada
dos asientos ocupados. ¿Cuántos pasajeros hay en el avión?
(A) 36 (B) 42 (C) 56 (D) 64 (E) 72
Cangur N1 2001 #5, Canguro N1 2001 #5
4.9.4
En una tienda se venden los globos en paquetes de 5 globos, o de 10 globos o de 25
globos. Mateo quiere comprar 70 globos. ¿Cuál es el menor número de paquetes que
comprará?
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
Cangur P6 2017 #7
4.9.5
Claudia tiene 10 hojas de papel y corta alguna en cinco partes cada una. Después de
hacerlo le quedan 22 piezas en total. ¿Cuántas hojas ha cortado?
(A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 7 (E) 8
Cangur P6 2020 #9
4.9.6
Miguel quiere preparar 24 madalenas para su fiesta de aniversario. Para cocinar seis
madalenas necesita dos huevos. Los huevos se venden en cajas de seis. ¿Cuántas cajas
tiene que comprar Miguel, como mínimo?
(A) 2 (B) 8 (C) 4 (D) 1 (E) 3
Cangur E1 2020 #4
4.9.7María eligió un número entero y lo multiplicó por 3. ¿Cuál de los siguientes números no
pudo ser el resultado obtenido?
(A) 103 (B) 105 (C) 204 (D) 444 (E) 987
Canguro N1 2005 #9, Cangur N1 2005 #10
4.9.8
Éste es un trozo de una tabla de multiplicar
y éste es otro, donde, desafortunadamente, han desaparecido algunos números.
¿Cuál es el número en la casilla con la interrogación?
(A) 54 (B) 56 (C) 65 (D) 36 (E) 42
Cangur N1 2008 #9, Canguro N1 2008 #7
4.9.9
¿Cuál es el menor entero positivo divisible por 2, 3, y 4?
(A) 1 (B) 6 (C) 12 (D) 24 (E) 36
Cangur N1 2003 #4, Canguro N1 2003 #4
4.9.10
¿Cuántos números de 2 cifras son divisibles por 2 y por 7?
(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 (E) 4
Canguro N1 2000 #12, Cangur N1 2000 #11
4.9.11
Determina la probabilidad de que, tomando aleatoriamente un múltiple de 864, sea
también divisible entre 1944.
HMMT 2002
4.9.12
Se forma un número de nueve cifras colocando aleatoriamente los dígitos del 1 al 9.
¿Cuál es la probabilidad de que el número resultante sea divisible por 18?
(A) 1/2 (B) 4/9 (C) 5/9 (D) 1/3 (E) 3/4
Canguro N5 2020 #21, Kangourou J 2020 #19
4.9.13
MF
¿Cuál es el máximo común divisor de 20222021 22 y 20222021 33 ?
(A) 20212 (B) 1 (C) 2 (D) 6 (E) 12
Cangur B2 2022 #13, Kangaroo Student 2022 #13
4.9.14
MF
¿Cuántos números enteros positivos de tres dígitos son divisibles por 13?
(A) 68 (B) 69 (C) 70 (D) 76 (E) 77
Cangur B2 2022 #2, Kangaroo Student 2022 #2
4.9.15
MF
Una vez conocí a seis hermanos cuyas edades eran seis números enteros consecutivos.
Le hice a cada uno de ellos la pregunta: “¿Cuántos años tiene tu hermano mayor?”.
¿Cuál de las siguientes podría no ser la suma de sus seis respuestas?
(A) 233 (B) 205 (C) 167 (D) 125 (E) 95
Cangur B1 2022 #13
4.9.16
MF
¿Cuántos polígonos regulares hay cuyos ángulos (en grados) son números enteros?
(A) 17 (B) 18 (C) 22 (D) 25 (E) 60
Cangur N4 2015 #25, Canguro N6 2015 #24, Kangaroo Student 2015 #24
4.9.17
MF
¿De cuántas formas diferentes podemos dar valores enteros positivos a la pareja de
números a y b de forma que la igualdad
b
a 7
5
sea cierta?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Cangur B1 2023 #9, Canguro N5 2023 #9
4.9.18
MF
Cada tercer escalón de una escalera de 2023 peldaños está pintado de negro. Los siete
primeros peldaños se muestan en la siguiente figura:
Anna sube la escalera de uno en uno comenzando por el pie derecho o por el pie
izquierdo, y alternándolos en cada paso. Determina el número de peldaños negros que
habrá pisado con el pie derecho.
(A) 333 (B) 336 (C) 337 (D) 674 (E) Depende del pie con el que comience
Cangur B1 2023 #17, Canguro N5 2023 #17
4.9.19
MF
Un número de dos cifras se llama sp (sin potencias) si ninguna de sus cifras se puede
escribir como una potencia de exponente mayor que 1 de un número entero. Por
ejemplo, 53 es sp y 54 no lo es porque 4 = 2² . ¿Cuál de los siguientes números es
divisor común del más grande y del más pequeño de los números sp de dos cifras?
(A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 11 (E) 13
Cangur B1 2023 #18, Canguro N5 2023 #18
5 Números primos.
5.1 Concepto de número primo.
Definición. Número primo.
Todo número es divisible por sí mismo y por la unidad. Diremos que un número natural
1p es primo cuando sus únicos divisores positivos sean él mismo y la unidad. Por
ejemplo, son primos los números 5, 13, 59 o 397. Llamamos compuestos a los números
que no son primos. El número 1 no se considera ni primo ni compuesto.
Proposición. Algunas propiedades de los números primos.
a) Si p es primo y pa | , entonces pa ,1 .
b) Si p y q son primos, entonces qpqp | .
c) Todos los primos son impares excepto el 2.
d) El 2 y el 3 son los únicos primos cuya diferencia es 1.
e) Si p es primo y Nba , , entonces apap b || .
5.1.1 Problema resuelto.
Demuestra que si 3p es primo, entonces 1|24 2 p .
Solución.
Por el algoritmo de la división, todo número se puede representar como n6 , 16 n o
26 n . Si es primo, la única opción aceptable es 16 n , pues las otras son divisibles
entre 2 o 3. Luego:
)13(1212361112361616 22222 nnnnpnnnpnp
Está claro que o bien n es par o bien 13 n es par, luego 1|24 2 p .
5.1.2 Problema resuelto.
Determina la suma de todos los números primos entre 1 y 100 que son simultáneamente
1 más que un múltiplo de 4 y 1 menos que un múltiplo de 5.
AHSME 1999 #3
Solución.
1101)2(52|25|2
122451514
15
14
ccpcbbb
aabba
bp
ap
Con 110 cp ya tenemos un conjunto de candidatos suficientemente pequeño como
para proceder a testearlos, uno por uno:
911101 pc (no es primo) 3441912102 pc
1742913103 pc 3943914104 pc
4915105 pc 31445916106 pc
6917107 pc 31947918108 pc
12248919109 pc 991101010 pc
Luego la suma es 29+89=118.
Corolario. Corolario al Lema de Euclides.
Si p es primo y abp | entonces ap | o bp | .
Demostración.
Basta aplicar el Lema de Euclides teniendo en cuenta que 1),(),( bpap .
5.1.3
M
Sean yx, enteros. Demostrar que yx 32 es divisible entre 17 si y solo si yx 59 es
divisible entre 17.
Corolario.
a) a es par si y solo si na es par
b) a es impar si y solo si na es impar.
Demostración.
a) nnnn kkaka 122)2(2
Basta aplicar el Lema de Euclides con 2p .
b)
n
k
knn k
k
n
kaka
1
21)12(12 impar.
Por el apartado a, si a es par entonces na es par, luego si na es impar,
necesariamente a debe ser par.
Corolario.
Hay infinitos números primos.
Demostración. Entre otras muchas demostraciones de este resultado, la de Euclides es
un ejemplo de elegancia:
Supongamos, por el contrario, que existe una cantidad finita de números primos. Sean
estos
nppp ...1 21
Consideremos el número 121 npppn .
No puede ser primo, pues npn , luego existirá al menos un k tal que npk | , pero
también se cumple trivialmente nk pppnp 211| , y por tanto
11|1)1(| kkk ppnnp
lo cual es imposible. Así pues, no es posible que exista un número finito de primos.
Observación.
La densidad de los números primos (es decir, la proporción de números primos respecto
al total de naturales) es un resultado que se conoce desde hace 100 años, y es un
teorema de la llamada teoría de números analítica:
1
log/
lim
nn
n
n
Donde n denota el número de primos menores o iguales a n. Este resultado fue
demostrado por Hadamard y de la Vallé Poussin en 1896.
5.1.4
F
Determina cuántos números primos hay en los primeros diez números de la secuencia
121, 11211, 1112111...
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
AMC 12B 2022 #3
5.1.5
MF
¿Cuál es el número entero más pequeño que podemos obtener como resultado de
calcular una media aritmética de cinco números primos diferentes?
(A) 6 (B) 5 (C) 12 (D) 2 (E) 30
Cangur B1 2023 #20, Canguro N5 2023 #20
5.2 El Teorema fundamental de la aritmética (TFA).
Teorema. Teorema fundamental de la aritmética (TFA).
a) Todo entero 1n se puede representar como producto de números primos.
b) Ordenando los ip , obtenemos lo que denomina descomposición canónica del
número n :
ka
k
aa
pppn ...21
21 con kppp ...21 y ia0
Por ejemplo: 23218 , 73284 2 , 131124576 , 8179232716
La descomposición canónica de un número es única.
Demostración. a) Sea 1n . Si n es primo, ya hemos acabado. Supongamos que n es
compuesto y sea 1p su menordivisor. Está claro que 1p tiene que ser primo.
Luego 11npn , para cierto nn 11 . De nuevo, si 1n es primo ya hemos acabado.
Supongamos que es compuesto y sea 2p su menor divisor. Está claro que 2p tiene que
ser primo, y 221 nppn para cierto nnn 121 .
Este proceso no puede continuar indefinidamente, pues antes de n pasos debemos
encontrar un xp primo, y spppn ...21 .
b) Supongamos que ts a
t
bba
s
aa
qqqpppn ...... 2121
2121 .
Por el Corolario al Lema de Euclides, todo ip será un jq y todo jq será un ip .
Esto implica que ts . Puesto que, además, sppp ...21 y sqqq ...21 ,
tenemos que ii qp para todo si 1 :
ss a
s
bba
s
aa
ppppppn ...... 2121
2121
Veamos que también los exponentes coinciden.
Si ii ba para cierto si 1 , entonces, dividiendo entre ib
ip ambos lados de la
igualdad, tenemos
siisii a
s
b
i
b
i
bba
s
ba
i
aa
ppppppppp ......... 112121
112121
lo cual es absurdo, pues ip divide la parte izquierda pero no la parte derecha de la
igualdad.
Con razonamiento similar demostramos que tampoco se puede dar ii ba , y por lo tanto
llegamos a la conclusión de que ii ba para todo si 1 , es decir, las dos
descomposiciones canónicas coinciden.
Proposición.
Dado un número en descomposición canónica ka
k
aa
pppn ...21
21 ,
a) Todo divisor de n es de la forma ke
k
ee
pppd ...21
21 , con ii ae 0 .
b) El número de divisores de n es 1...11 21 kaaa .
Demostración.
a) Todo número de la forma ke
k
ee
pppd ...21
21 , con ii ae 0 es un divisor de n, y son
todos diferentes por el TFA.
b) Basta aplicar el principio fundamental del recuento.
Teorema. Descomposición canónica del mcd y del mcm.
Se puede demostrar fácilmente que si na
n
aa
pppa ...21
21 y nb
n
bb
pppb ...21
21
(en donde algunos de los ia y ib pueden ser 0)
Entonces:
a)
),min(),min(
2
),min(
1 ...),( 2211 nn ba
n
baba
pppba
b) ),max(),max(
2
),max(
1 ..., 2211 nn ba
n
baba
pppba
c) babaab ,),(
Demostración.
c) Basta aplicar el anterior teorema teniendo en cuenta que
),max(),min( yxyxyx .
Proposición.
a) Si ),(| bamcmp y bap | entonces ),(| bamcdp .
b) Si bamcdp ,| entonces ),(| bamcmp y bap | .
c) ),(,, bamcmbamcdbamcd
Demostración.
a) Puesto que
),max(),max(
2
),max(
1 ...),( 2211 nn ba
n
baba
pppbamcm , si ),(| bamcmp
entonces ap | o bp | .
Si ap | , puesto que bap | , se deduce que bp | , y por tanto ),(| bamcdp .
Si bp | , con un razonamiento similar llegamos igualmente a ),(| bamcdp .
b) Ya fue demostrado anteriormente que bapbamcdp |),(| .
Puesto que ),min(),max( yxyx , está claro que ),(|),(| bamcmpbamcdp
Proposición.
Sean ba, números positivos coprimos. Entonces:
a) Los divisores positivos de ab son de la forma 'dd , con ad | , bd |' , 0', dd .
b) Si ncab , con 0c , entonces nua y nvb para ciertos enteros vu, .
Demostración.
a) Puesto que a y b son coprimos, sus respectivas descomposiciones factoriales
canónicas serán de la forma ra
r
aa
pppa ...21
21 , sb
s
bb
qqqb ...21
21 , con ji qp .
Luego la descomposición factorial del producto será
sr b
s
bba
r
aa
qqqpppab ...... 2121
2121
Por lo tanto, los divisores de ab serán de la forma
srsr b
s
bba
r
aab
s
bba
r
aa
qqqpppqqqppp
''
2
'
1
''
2
'
1
''
2
'
1
''
2
'
1 ............ 21212121 con ii aa ' y jj bb ' .
es decir, son el producto de un divisor positivo de a y otro de b.
b) De nuevo, ra
r
aa
pppa ...21
21 , sb
s
bb
qqqb ...21
21 , con ji qp . Por lo tanto
sr b
s
bba
r
aan qqqpppabc ...... 2121
2121
Supongamos que un primo p tal que cp | . Entonces
sr b
s
bba
r
aan qqqpppabcpcp ......|| 2121
2121 , luego p es un ip o un jq , y por tanto c se
escribe como sr b
s
bba
r
aa
qqqpppc
''
2
'
1
''
2
'
1 ...... 2121 .
Luego sr nb
s
nbnbna
r
nanan qqqpppc
''
2
'
1
''
2
'
1 ...... 2121 , y por la unicidad de la descomposición
canónica, se sigue que ii ana ' y jj bnb ' , y por tanto
na
r
aana
r
nana rr ppppppa
''
2
'
1
''
2
'
1 ...... 2121 , y nb
s
bbnb
s
nbnb ss qqqqqqb
''
2
'
1
''
2
'
1 ...... 2121 .
Proposición.
Sean cba ,, enteros positivos tales que cba nn para algún entero positivo n. Entonces
ndc para algún entero d . En particular, si c no es la potencia n-ésima de un número
entero, entonces n c no es un número racional.
Demostración.
Si ra
r
aa
pppa ...21
21 es la descomposición de a en factores primos, entonces la
descomposición de na en factores primos será rna
r
nanan pppa ...21
21
Puesto que nab | , la descomposición de b en factores primos será de la forma
rb
r
bb
pppb ...21
21 , con ii anb 0
Y por el mismo motivo tendremos rc
r
cc
pppc ...21
21 , con ii anc 0
Luego rrrr cnb
r
cnbcnbc
r
ccnb
r
nbnbnn pppppppppcba
......... 22112121
212121
Y por unicidad de la descomposición en factores primos tendremos
iiiiiiiiii babannbnacnacnb 0
Luego rr ba
r
baba
pppd
...2211
21 es un número entero que verifica cdn .
Para la última parte, si n c fuera racional, se podría escribir como bacn / , con ba,
enteros positivos. Por lo tanto, cba nn , y por el resultado anterior se deduce que c debe
ser una potencia n-ésima de un entero, llegando a contradicción.
Fuente de estos últimos resultados: Apuntes de Teoría Elemental de Números, por Enrique Arrondo.
5.2.1
F
Determina todas las parejas de enteros positivos ),( nm tales que 202 20nm .
AIME II 2020 #1
5.2.2
F
Existen enteros positivos A, B y C, sin factores comunes mayores que 1, tales que
CBA 2log5log 200200
Determina CBA .
ASHME 1995 #24
5.2.3
M
Demostrar que existe un único número natural n tal que n222 118 es un cuadrado
perfecto.
5.2.4
F
Si 1998 se escribe como producto de dos enteros positivos cuya diferencia es lo más
pequeña posible, entonces la diferencia es:
(A) 8 (B) 15 (C) 17 (D) 47 (E) 93
AHSME 1998 #6
5.2.5
M
Determina los tres números naturales consecutivos más pequeños cuya suma es un
cuadrado perfecto y un cubo perfecto de números naturales.
5.2.6
M
Halla todas las sucesiones finitas de n números naturales consecutivos naaa ,...,, 21 , con
3n , tales que 2009,...21 naaa
OME 2009 #1
5.2.7
MF
En el año 2001, los Estados Unidos acogieron las Olimpiadas Matemáticas. Sean
OMI ,, enteros positivos tales que 2001 OMI . ¿Cuál será el valor más grande
posible de la suma OMI ?
(A) 23 (B) 55 (C) 99 (D) 111 (E) 671
AMC12 2000 #1
5.2.8
F
Existen enteros positivos CBA ,, , sin factores comunes mayores que 1, tales que
CBA 2log5log 200200 .
¿Cuál es el valor de CBA ?
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10
AHSME 1995 #24
5.2.9
M
¿Cuántos conjuntos de tres elementos cba ,, de enteros positivos verifican
2310 cba ?
(A) 32 (B) 36 (C) 40 (D) 43 (E) 45
AHSME 1995 #29
5.2.10
F
Existe un número primo p tal que 116 p es el cubo de un entero positivo. Determina p.
AIME I 2015 #3
5.2.11
F
Cuando los números 702, 787 y 855 son divididos entre el entero positivo m, el resto es
siempre el mismo entero positivo r. Cuando los números 412, 722 y 815 son divididos
entre el entero positivo n, el resto es siempre el mismo entero positivo rs . Determina
srnm .
AIME I 2017 #2
5.2.12
M
Determina el número de polinomios de segundo grado )(xf con coeficientes enteros y
ceros enteros tales que 2010)0( f .
AIME II 2010 #10
5.2.13
M
Determina todos los primos p para los cuales la ecuación 04442 ppxx tiene
soluciones enteras.ASHME 1987 #23
5.2.14
M
Demostrar que en cualquier conjunto de 1n números entre 1 y n2 siempre podemos
encontrar dos elementos tales que el menor divide al mayor.
5.2.15
F
Determina el número de valores de k sabiendo que 12
12
es el mínimo común múltiplo de
6
6
, 8
8
y k.
AIME 1998
5.2.16
F
Denotamos por [r,s] el mínimo común múltiplo de los enteros positivos r y s. Determina
el número de triplas ordenadas a, b, c tales que [a,b]=1000, [b,c]=2000 y [c,a]=2000.
5.2.17
F
Determina 223 yx si yx, son enteros tales que 517303 2222 xyxy
AIME 1987 #5
5.2.18
M
Determina p sabiendo que es un número primo tal que 116 p es el cubo de un
número entero.
AIME I 2015 #3
5.2.19
M
Determina todos los enteros 0, ba tales que
6,),( bababa
5.2.20
M
Halla dos enteros positivos a y b conociendo su suma y su mínimo común múltiplo.
Aplícalo en el caso de que la suma sea 3972 y el mínimo común múltiplo 985928.
OME 2008 #1
5.2.21
F
Determina todos los enteros n tales que 50n y 50n son ambos cuadrados
perfectos.
5.2.22
F
Determina el número de pares ordenados de enteros positivos ba, cuyo mínimo común
múltiplo sea 1373 1152 .
5.2.23
F
La suma de todos los enteros positivos m tales que
m
!13
es un cuadrado perfecto se
puede escribir como fedcba 13117532 , donde a, b, c, d, e y f son enteros positivos.
Determina fedcba .
AIME 2023 I #4
5.3 Resolución de problemas mediante identidades algebraicas.
Encuentra una tabla de factorizaciones y identidades notables al final del Dossier
de Problemas de Álgebra
Proposición. La primera identidad algebraica fundamental.
La identidad algebraica
122321 ... nnnnnnn yyxyxyxxyxyx
es fundamental en la resolución de todo tipo de problemas de Aritmética.
Su demostración es fácil: Basta con desarrollar el producto de la derecha:
nn
nnnnnnnnnn
nnnnn
yx
yyxyxyxyxxyyxyxyxx
yyxyxyxxyx
133221122221
122321
......
...
En particular, tomando 1y obtenemos una identidad muy útil:
1
1
1...
1
21
x
x
xxxx
n
nnn
De la primera identidad se desprende directamente el siguiente resultado:
a) nn baba | para cualquier 1n .
Por ejemplo, sin necesidad de ningún cálculo, 23452345 81018767 es divisible entre 666.
Que se puede generalizar para obtener el siguiente resultado:
b) Si nd | con d y n positivos, entonces nndd baba | para todo entero ba, .
En efecto, supongamos que dkn para cierto entero k . Entonces
...2321 babaababababa dddddkdkddkdknn
Proposición. La segunda identidad algebraica fundamental.
Otra identidad algebraica muy útil es
Si n es impar, 122321 ... nnnnnnn yyxyxyxxyxyx
En efecto, Si n es impar, nnnn yxyx , y basta aplicar la identidad anterior.
De esta segunda identidad se desprende de forma directa el siguiente resultado:
c) Si n es impar, nn baba |
Que se puede generalizar para obtener el siguiente resultado:
e) Si nd | con d y n positivos, y dn / es impar, entonces nndd baba | para todo
entero ba, .
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasAlgebra.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasAlgebra.pdf
Proposición.
Si 12 n es primo, entonces n es una potencia de 2.
Demostración. Supongamos, por el contrario, que n no es una potencia de 2, es decir,
que podemos escribir hkn , con 1k impar.
Entonces
12...2221212121212
321
hkhkhkhhkkhkhhkn
Y por tanto nuestro número es divisible entre 12 h .
Observación 1: Este resultado será fundamental en el Tema 15, como base para definir
los “primos de Fermat”.
Observación 2: El recíproco no es cierto. Por ejemplo: 12|641 32 .
En efecto, utilizando que 12552641 744 ,
16406392641
16406396416412116416412152522
1525221552212212
228
228428474428
42844284442842832
En donde hemos utilizado que:
16406416396416416406396411640640639
6416406406391640640640164016401640
222
2323444
(En el Tema 6 volveremos a demostrar este resultado aplicando la aritmética modular)
5.3.1
F
Determina todos los números primos de la forma 13 n , para enteros 1n .
5.3.2
M
Demostrar que nnnn 2614648032903 es divisible entre 1897 para todo natural n .
EOTVOS 1899
5.3.3
M
Demuestra que 44 n con INn es primo si y solo si 1n .
5.3.4
M
Determina todos los enteros 1n para los cuales nn 44 es un número primo.
5.3.5
F
Demuestra que, para todo INn , 2n divide a 11
n
n .
5.3.6
F
Demostrar que 1001 divide 1993199319931993 1000...321
5.3.7
M
Demuestra que 7 divide al número 474747474747 654321
5.3.8
F
Si al cuadrado de un número de dos dígitos se le resta el cuadrado del número formado
invirtiendo el orden de sus dígitos, entonces el resultado no siempre será divisible por:
(A) 9 (B) El producto de los dígitos. (C) La suma de los dígitos.
(D) La diferencia de los dígitos. (E) 11
ASHME 1957 #24
5.3.9
MD
Demuestra que, para todo entero 1n , el número 145 nn no es primo.
5.3.10
M
Determina todos los enteros positivos ba, para los cuales 44 4ba es primo.
5.3.11
MF
Sean aº y bº los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, con ba y ambos números
primos. ¿Cuál es el menor valor posible de b?
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 11
AMC 12B 2020 #4
5.3.12
F
Determina los números p , q primos para los que sabemos que la ecuación
02 qxpx
tiene dos soluciones enteras positivas.
AHSME 1976
5.3.13
D
Factoriza el número 27000001.
5.3.14
MF
Determina todos los pares de enteros positivos ),( yx tales que 2322 yx
5.3.15
MF
Tomamos dos números primos diferentes qp, entre 4 y 18. ¿Qué resultado podemos
obtener al restar su suma a su producto?
(A) 23 (B) 60 (C) 119 (D) 180 (E) 231
AMC 12 2000 #6
5.3.16
MF
Sean nm, enteros tales que 517303 2222 nnmm . Determina 223 nm .
AIME 1987 #5
5.3.17
M
Existen dos únicos enteros positivos x , y safisfaciendo la ecuación
22 200884 yxx
Determina yx .
AIME I 2008 #4
5.3.18
F
Expresa el número 2181 como la diferencia de los cubos de dos enteros positivos
consecutivos.
5.3.19
F
Determina los pares ordenados ),( yx de números enteros positivos que satisfacen la
ecuación
5
2111
yxyx
5.3.20
MF
Hallar la suma de los factores primos de 3
6
- 2
6
.
(A) 19 (B) 31 (C) 54 (D) 102 (E) 138
Canguro N4 2016 #5
5.3.21
MF
Problema solucionado paso a paso en vídeo.
Tenemos dos números enteros positivos x , y que cumplen
7711 yx
Si x > y, determina el valor de x.
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 10 (E) 11
Cangur B1 2022 #5
Solución: https://youtu.be/awB6Nkx7BJ0
https://youtu.be/awB6Nkx7BJ0
5.3.22
MF
Problema solucionado paso a paso en vídeo.
El mayor factor primo de 16384 es 2 porque 14216384 . Determina la suma de los
dígitos del mayor divisor primo de 16383.
(A) 3 (B) 7 (C) 10 (D) 16 (E) 22
AMC 12B Fall 2021 #6
Solución: https://youtu.be/QjRzgtRlKAE?t=112
5.3.23
F
Problema solucionado paso a paso en vídeo.
Los números enteros a y b son cuadrados perfectos. Su diferencia, a − b, es un número
primo. ¿Cuál de estos números puede ser b?
(A) 10000 (B) 256 (C) 144 (D) 100 (E) 900
Cangur B1 2021 #26, Kangaroo Junior 2021 #26
Solución: https://youtu.be/QjRzgtRlKAE?t=3945.3.24
MF
El producto de las diez cifras de un número es 15. Determina la suma de estas diez
cifras.
(A) 8 (B) 12 (C) 15 (D) 16 (E) 20
Cangur B2 2022 #4, Kangaroo Student 2022 #6
5.3.25
F
Determina la cantidad de enteros positivos de dos dígitos que son factores de 1224 .
(A) 4 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14
AMC 12B 2011 #15
5.3.26
F
El número 1332 tiene exactamente dos divisores que son mayores de 75 y menores de
85. Determina su producto.
(A) 5852 (B) 6560 (C) 6804 (D) 6888 (E) 6972
Cangur N4 2008 #29, Kangaroo Student 2008 #29
https://youtu.be/QjRzgtRlKAE?t=112
https://youtu.be/QjRzgtRlKAE?t=394
6 Problemas de la segunda parte.
6.1
MF
Demuestra que, para todo entero n , 120 divide a nnn 45 35 .
6.2
MD
Demuestra que 532 nn no es divisible entre 121.
6.3
MD
Demuestra que
65 54 43 es el producto de dos enteros, cada uno de ellos mayor que
200210 .
6.4
F
Si a y b son enteros positivos, pruebe que 19 divide a ba 211 si y solo si 19 divide a
ba 518 .
Olimpiada Matemática Mexicana 1988
6.5
MF
Demuestra que si n es un entero positivo, entonces
nn
nn
2
1
2
2
es una fracción
irreducible.
6.6
MF
Determina los enteros x para los cuales
12
233
x
xx
sea entero.
6.7
F
Existe un número primo p tal que 116 p es el cubo de un entero positivo. Determina
p .
AIME I 2015 #3
6.8
MD
Dado un número primo p , determina todos los enteros 0k para los cuales pkk 2
es un entero positivo.
OME 1997 #4
6.9
MF
¿Cuántos cuadrados perfectos positivos menores de 610 son múltiplos de 24?
AIME I 2007 #1
6.10
MF
Determina qué valores enteros de x hacen entera la función
6
)(
2
x
x
xf
6.11
F
La suma de las siete cifras del número aaabbbb es igual al número de dos cifras ab.
¿Cuánto vale la suma a + b?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Canguro N5 2019 #18, Cangur B1 2019 #18
6.12
F
Se empaquetan 60 manzanas y 60 peras en cajas con igual número de manzanas y
distinto número de peras en cada caja. ¿Cuál es el mayor número posible de cajas que se
pueden empaquetar de esta manera?
A) 20 B) 15 C) 12 D) 10 E) 6
Canguro N5 2019 #19, Cangur B1 2019 #19
6.13
M
¿Cuál es el menor número de elementos que tenemos que quitar del conjunto:
{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}
de modo que el producto de los elementos que quedan en el conjunto es un cuadrado
perfecto?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Canguro N5 2019 #28, Cangur B1 2019 #28
6.14
M
¿Cuántos de los números del 2
10
al 2
13
, ambos inclusive, son divisibles por 2
10
?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16
Canguro N6 2019 #10, Cangur B2 2019 #10
6.15
M
¿Cuál es la mayor potencia de 3 que es divisor del número 7! + 8! + 9! ?
A) 3
2
B) 3
4
C) 3
5
D) 3
6
E) una potencia de 3 mayor que 36
Canguro N6 2019 #11, Cangur B2 2019 #11
6.16
M
Un entero positivo n se llama “bueno” si su divisor más grande (excluyendo n) es igual
a 6n . ¿Cuántos enteros positivos “buenos” hay?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) infinitos
Canguro N6 2019 #16, Cangur B2 2019 #16
6.17
M
Sea a la suma de todos los divisores positivos de 1024 y b el producto de todos los
divisores positivos de 1024. Entonces
A) ba 5)1( B) ba 5)1( C) ba 5 D) ba 15 E) ba 15
Canguro N6 2019 #21, Cangur B2 2019 #21
6.18
M
Los vértices de la red mostrada se numeran del 1 al 10. La suma S de los números de los
cuatro vértices de cada cuadrado es la misma. ¿Cuál es el menor valor posible de S?
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
Canguro N6 2019 #23, Cangur B2 2019 #23
6.19
F
¿Para cuántos enteros n es 322 nn un número primo?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) infinitos
Canguro N6 2019 #26 , Cangur B2 2019 #26
6.20
F
Este año, el número de chicos en mi clase ha aumentado respecto del curso pasado un
20% y el número de chicas ha disminuido un 20%. Ahora tenemos un estudiante más
que antes. ¿Cuál de los siguientes podría ser ahora el número de estudiantes en mi
clase?
A) 22 B) 26 C) 29 D) 31 E) 34
Canguro N6 2019 #12, Cangur B2 2019 #12
6.21
D
Para calcular
c
ba
, Sara teclea en la calculadora cba , y el resultado es 11 (a, b,
y c son enteros positivos). Luego teclea cab , y se sorprende al ver que el
resultado es 14. Se da cuenta de que la calculadora está diseñada para calcular las
divisiones antes que las sumas. ¿Cuál es el resultado correcto de
c
ba
?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Canguro N6 2019 #20, Cangur B2 2019 #20
6.22
Sea S el conjunto de todos los enteros positivos N con la siguiente propiedad: Los
últimos cuatro dígitos de N son 2020, y cuando se eliminan estos cuatro dígitos, el
resultado es un divisor de N. Por ejemplo, 42020 pertenece a S porque 4 es divisor de
42020. Determina la suma de todos los dígitos de todos los números de S. Por ejemplo,
el número 42020 contribuye con 4+2+0+2+0=8 a este total.
AIME I 2020 #4
6.23
D
Sean m y n enteros positivos satisfaciendo las siguientes condiciones:
- El máximo común divisor 1)210,( nm .
- mm es un múltiplo de nn .
- m no es un múltiplo de n .
Determina el menor valor posible de nm .
AIME I 2020 #10
6.24
MF
Determina la cantidad de números enteros positivos de cuatro cifras (es decir, enteros
entre 1000 y 9999, inclusive) que tienen solo cifras pares y son divisibles entre 5.
(A) 80 (B) 100 (C) 125 (D) 200 (E) 500
AMC 12A 2020 #4
6.25
F
Para todos los enteros 9n , el valor de
!
)!1()!2(
n
nn
(A) es un múltiple de 4 (B) es un múltiple de 10 (C) es un número primo
(D) es un cuadrado perfecto (E) es un cubo perfecto.
AMC 12B 2020 #6
6.26
D
Determina el número de enteros positivos n múltiplos de 5 tales que el mínimo común
múltiplo de 5! y n sea igual a 5 veces el máximo común divisor de 10! y n.
(A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 48 (E) 72
AMC 12A 2020 #21
6.27
D
Sean yx, enteros positivos satisfaciendo el siguiente sistema de ecuaciones:
570),(log2log
60),(log2log
1010
1010
yxmcmy
yxMcdx
Sea m el número de factores primos en la factorización de x (no necesariamente
diferentes), y sea n el número de factores primos en la factorización de y (no
necesariamente diferentes). Determina nm 23 .
AIME I 2019 #7
6.28
D
Diremos que un entero positivo n es k-guapo si n tiene exactamente k divisores
positivos y es divisible entre k. Por ejemplo, 18 es 6-guapo. Sea S la suma de todos los
enteros positivos menores de 2019 que sean 20-guapos. Determina S/20.
AIME II 2019 #9
6.29
MF
Consideremos la afirmación "Si n no es primo, entonces 2n es primo". ¿Cuáles de los
siguientes valores de n es un contraejemplo de esta afirmación?
(A) 11 (B) 15 (C) 19 (D) 21 (E) 27
AMC 12B 2019 #2
6.30
MF
Los caramelos de una tienda cuestan valores enteros en céntimos. Casper tiene
exactamente suficiente dinero para comprar 12 caramelos rojos, 14 caramelos verdes,
15 caramelos azules, o n caramelos púrpura (una de las cuatro opciones). Un caramelo
púrpura cuesta 20 céntimos. Determina el menor valor posible de n .
(A) 18 (B) 21 (C) 24 (D) 25 (E) 28
AMC 12B 2019 #5
6.31
M
Sea S el conjunto de todos los divisores enteros positivos de 100 000. ¿Cuántos
números son el producto de dos elementos diferentes de S?
(A) 98 (B) 100 (C) 117 (D) 119 (E) 121
AMC 10B 2019 #19, AMC 12B 2019 #14
6.32
MF
Determina el número de enteros n (no necesariamente positivos) para los cuales
n
5
2
4000
es un entero.
(A)3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 9
AMC 12A 2018 #7
6.33
MF
Sea S un subconjunto de 6 elementos de 12,...,2,1 con la propiedad de que si a y b
son elementos de S y ba , entonces b no es un múltiple de a . Determina el menor
valor posible de los elementos de S.
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 7
AMC 12A 2018 #12
6.34
M
Fijado un entero positivo n , y tres dígitos cba ,, diferentes de cero, sea nA el entero de
n dígitos todos ellos iguales a a , sea nB el entero de n dígitos todos ellos iguales a b ,
y sea nC el entero de 2n dígitos (no de n dígitos) todos ellos iguales a c . Determina el
mayor valor posible de cba para el que existen al menos dos valores de n tales que
2
nnn ABC .
(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20
AMC 12A 2018 #25
6.35
F
Mary toma un número entero par de 4 dígitos n y escribe todos sus divisores en orden
creciente, de izquierda a derecha: 1, 2, ...,
2
n
, n . En un cierto momento, Mary escribe el
número 323 como divisor de un cierto n. ¿Cuál es el menor entero divisor de n que
Mary escribirá a la derecha de 323?
(A) 324 (B) 330 (C) 340 (D) 361 (E) 646
AMC 12B 2018 #19
6.36
D
Sean p y q enteros positivos tales que
7
4
9
5
q
p
y siendo q tan pequeño como sea
posible. Determina pq .
(A) 7 (B) 11 (C) 13 (D) 17 (E) 19
AMC 12B 2018 #17
6.37
MD
Supongamos que la ecuación cuadrática 02 bxax tiene dos raíces reales, ambas
múltiples de 3, y que la ecuación 092 abxx tiene una raíz doble. Determina a y
b .
6.38
M
Considera el siguiente par de números naturales de 4 cifras:
(m, n) = (2601, 1600) (es decir, m = 2601, n = 1600).
Fíjate que m y n verifican las siguientes propiedades:
1. Son números de 4 cifras (esto es, entre 1000 y 9999).
2. Son cuadrados perfectos.
3.Tienen las mismas cifras en exactamente dos de las cuatro posiciones. (En nuestro
ejemplo, en la segunda y tercera posiciones.)
4. En las dos posiciones en las que las cifras son distintas, la cifra que aparece en m es
igual a la que aparece en n más 1.
Encuentra todos los pares de números naturales que verifican estas cuatro propiedades.
OMEFL Aragón 2021 #2
6.39
F
Determinar todos los enteros positivos n para los que la fracción
917
38
n
n
es irreductible.
OMEC 2021 #4
6.40
MF
¿Cuál de los siguientes números no es divisible por 3, cualquiera que sea el número
entero n?
A) 15 n B) 2n C) )1( nn D) 16 n E) 23 n
Canguro N6 2020 #10, Cangur B2 2020 #10
6.41
F
Un número N es divisible por todos los enteros del 2 al 11, excepto por dos de ellos.
¿Cuál de las siguientes parejas de números puede ser la excepción?
A) 2 y 3 B) 4 y 5 C) 6 y 7 D) 7 y 8 E) 10 y 11
Canguro N6 2020 #24, Cangur B2 2020 #24
6.42
M
Hay 71 canicas en una caja. Un juego consiste en sacar 30 canicas de la caja, si las hay,
o meter 18. Se puede jugar indefinidamente. ¿Cuál es la menor cantidad de canicas que
puede quedar en la caja en algún momento?
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 11
Canguro N6 2020 #26, Cangur B2 2020 #26
6.43
M
Hay n números primos nppp ...,,, 21 diferentes en la fila inferior de la tabla piramidal,
como se ve en la figura.
El producto de dos números contiguos de una fila se coloca en la fila superior, en la
casilla situada exactamente sobre ellos. El número n
npppK
...21
21 está en la
casilla de la última fila. Si 82 , ¿cuántos números hay en la tabla que sean divisibles
por 4p ?
A) 4 B) 16 C) 24 D) 28 E) 36
Canguro N6 2020 #29, Cangur B2 2020 #29
6.44
F
Marta puso un signo de multiplicación entre las cifras segunda y tercera del número
2020 y observó que el producto resultante 2020 es un cuadrado perfecto. ¿Cuántos
números entre 2010 y 2099 (incluido 2020) tienen la misma propiedad?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Canguro N5 2020 #16, Cangur B1 2020 #16
6.45
F
Se forma un número de nueve cifras colocando aleatoriamente los dígitos del 1 al 9.
¿Cuál es la probabilidad de que el número resultante sea divisible por 18?
A)
2
1
B)
9
4
C)
9
5
D)
3
1
E)
4
3
Nota: En este problema se supone que no se repiten las cifras.
Canguro N5 2020 #21, Cangur B1 2020 #21, Kangourou J 2020 #19
6.46
M
Ocho enteros positivos consecutivos de tres cifras tienen la siguiente propiedad: cada
uno de ellos es divisible por la cifra de las unidades. ¿Cuál es la suma de las cifras del
menor de los ocho enteros?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
Canguro N5 2020 #30, Cangur B1 2020 #30
6.47
MF
A lo largo de cuatro días, Linda viaja durante una hora, a una velocidad equivalente a
avanzar una milla en un número entero de minutos. Después del primero, su velocidad
disminuye de forma que el número de minutos que necesita para avanzar una milla se
incrementa en 5 minutos respecto del día anterior. En cada uno de los cuatro días la
distancia recorrida es también un número entero de millas. Determina el número total de
millas recorridas después de los cuatro días.
(A) 10 (B) 15 (C) 25 (D) 50 (E) 82
AMC 8 2017 #23
6.48
MF
Si
kn
n
nn
n 5
1
1
1
Para ciertos enteros positivos n y k, ¿Cuál es el valor de k?
(A) 1 (B) 5 (C) 24 (D) 25
SAT
6.49
MD
Determina todos los enteros cba ,, con cba 1 para los cuales )1)(1)(1( cba
divide a 1abc
IMO 1992 #1
6.50
M
El número de pares de enteros ),( yx con yx 0 tales que yx 1984 es:
(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4 (E) 7
ASHME 1984 #28
6.51
M
El número n se escribe en base 14 como cba , se escribe en base 15 como bca y se
escribe en base 6 como caca , con 0a . Determina el número n en base 10.
AIME I 2018 #2
6.52
F
El número de triples cba ,, de números enteros positivos que satisfacen el sistema
23
44
bcac
bcab
es
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
ASHME 1984 #20
6.53
F
Determina el número de 7-tuplas de números positivos ),,,,,,( gfedcba que satisfacen
el siguiente sistema de ecuaciones:
72
71
70
efg
cde
abc
AIME II 2019 #3
6.54
M
Resuelve la siguiente ecuación diofántica 1
24
nm
ASHME 1993 #19
6.55
M
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, con cba ,, enteros.
97
19
cab
cba
ASHME 1997 #28
6.56
F
Resuelve la ecuación con solución entera 11
22
x
xx
ASHME 1985 #21
6.57
D
Determina todas las soluciones enteras de la ecuación yx 312
6.58
MF
Si x , y son enteros mayores que 1, y se cumple 74 yxy , determina el valor de x.
SAT Hard Problem
6.59
MF
Si zyx ,, son enteros positivos tales que 24yx , 48zx , 72zy , determina
zyx .
(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 22 (E) 24
AMC 10 2001 #10
6.60
F
¿Qué proporción de todos los divisores de 7! son números impares?
(A) 1/5 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 1/4 (E) 1/6
Cangur B2 2021 #11
6.61
F
Sea 270633434 N . Determina la razón de la suma de los divisores impares de N
entre la suma de los divisores pares de N.
(A) 1:16 (B) 1:15 (C) 1:14 (D) 1:8 (E) 1:3
AMC 10B 2021 #12 , AMC 12B 2021 #7
6.62
MF
Determina el menor número primo que divida a la suma 1311 53 .
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 1311 53 (E) Ninguno de los anteriores
ASHME 1974 #8
6.63
F
Sean m y n dos enteros positivos tales que satifacen mnnm 5|5
Demuestre que m es divisor de n.
Holanda Selectivo EGMO 2015
6.64
F
¿Para cuántos valores del número real b tiene la ecuación 0802 xbx dos
soluciones distintas que son números enteros positivos pares?
(A) 0 (B) 1 (C) 2(D) 3 (E) infinitos
Canguro N6 2006 #23, Cangur N4 2006 #22
6.65
F
Hallar cuántos números reales positivos “ a ” hay de manera que la ecuación cuadrática
020072 xax tenga dos raíces enteras.
(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) otra respuesta
Canguro N6 2007 #26, Cangur N4 2007 #26
6.66
MF
Los enteros m y n verifican 1266 nm . ¿Cuántos valores puede tomar m?
(A) 6 (B) 7 (C) 12 (D) 13 (E) Ninguno de los anteriores
Canguro N4 2013 #16
6.67
F
¿Cuántos divisores de cuatro cifras tiene el número 102
2
?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
Canguro N6 2005 #17
6.68
F
Problema solucionado paso a paso en vídeo.
¿Cuál es la mayor potencia de 2 que divide a 255
2
– 1?
(A) 2
1
(B) 2
8
(C) 2
9
(D) 2
127
(E) 2
254
Canguro N4 2010 #10
Solución: https://youtu.be/D6gl2FysYIA
6.69
F
Si las dos soluciones de la ecuación 0632 kxx son números primos, el número de
posibles valores de k es
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) más de 4
AMC 10A 2002 #14, AMC 12A 2002 #12
6.70
F
Determina el número de divisores de 2020 que tienen, a su vez, más de tres divisores.
(Por ejemplo, 12 tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12).
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10
AMC 8 2020 #17
6.71
M
Calcula el siguiente máximo común divisor: ...,22002,22002,22002 32
HMMT 2002
6.72
F
Determina los valores de n para los cuales la expresión
12
116
22
n
nn
es un entero.
Maclaurin Olympiad 2018
6.73
F
Determina los números qp, primos que satisfacen la ecuación 12 22 qp .
6.74
M
Los adultos representan un
12
5
del total de asistentes a un concierto. Después de la
llegada de 50 asistentes más, los adultos representan un
25
11
del total de asistentes a un
concierto. Determina el mínimo número de adultos que hay en el concierto después de
la llegada del autobús.
AIME II 2022 #1
https://youtu.be/D6gl2FysYIA
6.75
F
Determina el número de rectas en el plano cuyo punto de corte con el eje X es un entero
positivo primo, su punto de corte con el eje Y es un entero positivo y además pasan por
el punto 3,4 .
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
ASHME 1994 #28
6.76
MF
Determina el número de enteros n para los cuales 322 nn es un número primo.
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 3 (E) Infinitos
Cangur B2 2019 #26
6.77
MF
¿Cuántos números primos p hay de forma que p² + 2 también sea un número primo?
(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5 (E) Infinitos
Cangur B2 2016 #21
6.78
MF
¿Cuántos números primos p cumplen que 14 p también es un número primo?
(Observación: 1 no es un número primo).
(A) Ninguno (B) Uno (C) Dos (D) Tres (E) Infinitos
Cangur N4 2008 #4
6.79
M
Resuelve en enteros la ecuación
nmm 3202224 23
Admission Test Summer Program math Olympiad
6.80
MD
Determina todas las ternas yxp ,, de números naturales con p primo que cumplen
44 yp x
India National Mathematical Olympiad 2008 #2
6.81
F
Determina la suma de todos los enteros positivos n para los cuales 99192 nn es un
cuadrado perfecto.
AIME 1999 #3
6.82
M
Resuelve en enteros la ecuación
nmm 3202224 23
Awesomemath 2022 part1 Admission Test Summer Program #6
6.83
F
Determina el número de pares ordenados yx, de enteros para los que se cumple
222 2000 yx .
AIME II 2000 #2
6.84
F
Determina todos los valores de n enteros para los cuales 85972 nn es un cuadrado
perfecto.
6.85
F
Determina todas las parejas de enteros ),( nm que verifican 201622 nm
Pakistan Math Olympiad
6.86
F
¿Cuántos números enteros y positivos de cinco cifras cumplen que el producto de sus
cifras es igual a 1000?
(A) 30 (B) 60 (C) 10 (D) 40 (E) 20
Cangur B1 2021 #28, Kangaroo Junior 2021 #28
6.87
F
El entero positivo N es tal que el producto de sus dígitos es 20. ¿Cuál de los siguientes
no podría ser el producto de los dígitos de N+1?
(A) 40 (B) 30 (C) 25 (D) 35 (E) 24
Cangur B1 2022 #28, Kangaroo Junior 2022 #27
6.88
F
Determina la cantidad de combinaciones posibles a, b y c de tres enteros positivos que,
al ser multiplicados entre ellos, su producto es 100 y suponiendo que cba .
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
AMC 8 2022 #3
6.89
F
Dado n entero positivo, definimos por )(nf el cociente obtenido al dividir la suma de
todos los divisores de n entre el propio n. Por ejemplo,
7
12
1414721)14( f
Determina )384()768( ff .
(A) 1/768 (B) 1/192 (C) 1 (D) 4/3 (E) 8/3
AMC 12B Fall 2021 #12
6.90
F
¿Para cuántos enteros a entre 1 y 25 el producto )2)(1( aaa es múltiplo de 84?
(A) para ninguno (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 6
Canguro N5 2009 #26
6.91
M
Determina el número de pares ),( yx de enteros positivos con yx satisfaciendo
!5, yx y !50, yx
CMO 1997 #1
6.92
M
Problema solucionado paso a paso en vídeo.
Hallar la suma de todos los enteros positivos x menores que 100 para los que x² – 81 es
múltiplo de 100.
(A) 200 (B) 100 (C) 90 (D) 81 (E) 50
Cangur N4 2011 #19, Canguro N6 2011 #19, Kangaroo Student 2011 #26
Solución: https://youtu.be/6YmIETahsS0
6.93
F
a, b i c son números enteros y positivos de manera que a
2
=2b
3
=3c
5
. Determina el menor
número de divisores de a·b·c (incluyendo 1 y a·b·c)?
(A) 30 (B) 49 (C) 60 (D) 77 (E) 1596
Cangur N4 2011 #28, Canguro N6 2011 #28, Kangaroo Student 2011 #28
6.94
MF
Resuelve la ecuación 300055 ba con ba, enteros positivos.
https://youtu.be/6YmIETahsS0
6.95
MF
Determina el número de valores de k para los que el polinomio 362 xkx tiene dos
raíces enteras distintas.
(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 14 (E) 16
AMC 12B 2022 #4
6.96
F
El mínimo común múltiplo de un entero positivo n y 18 es 180, y el máximo común
divisor de n y 45 es 15. Determina la suma de los dígitos de n.
(A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 9 (E) 12
AMC 12A 2022 #4, AMC 10A 2022 #7
6.97
F
a) Sea n un entero. Demustra que si n es racional, entonces n es un cuadrado perfecto.
b) Sean n y m enteros. Demuestra que si mn es un entero, entonces n y m son
cuadrados perfectos.
6.98
M
Sea S el conjunto de todos los números racionales positivos r tales que cuando los dos
números r y 55r se escriben en forma de fracción irreducible, la suma del numerador y
del denominador de la primera es igual a la suma del numerador y del denominador del
segunda. La suma de los elementos de S se puede escribir de la forma p/q, donde p y
que son enteros positivos coprimos. Determina p+q.
AIME II 2023 #5
6.99
F
La suma de todos los enteros positivos m tales que
m
!13
es un cuadrado perfecto se
puede escribir como fedcba 13117532 , donde a, b, c, d, e y f son enteros positivos.
Determina fedcba .
AIME 2023 I #4
6.100
MF
Determina el número de enteros positivos que son divisores de 2
20
·3
23
pero no son
divisores de 2
10
·3
20
.
(A) 13 (B) 30 (C) 273 (D) 460 (E) Ninguna de las anteriores
Cangur B2 2023 #20, Canguro N6 2023 #20
6.101
M
Problema solucionado paso a paso en vídeo .
El producto de seis números consecutivos es un número de 12 cifras de la forma
bbaddcddcbba
donde las cifras a, b, c y d son cuatro números consecutivos no necesariamente
ordenados. Determina el valor de la cifra d.
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Cangur B2 2023 #30, Canguro N6 2023 #30
Solución: https://youtu.be/aFrBfhFD2oE
6.102
M
Determina el número de enteros positivos de tres cifras con la propiedad de que si
restamos del número la suma de sus cifras, el resultado esun número de tres cifras
iguales.
(A) 2 (B) 3 (C) 8 (D) 20 (E) 30
Cangur B1 2023 #27, Canguro N5 2023 #27
6.103
F
¿Cuántos números positivos de tres cifras hay que sean iguales al producto de sus tres
cifras multiplicado por 5?
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) Ninguno
Cangur B2 2022 #22, Kangaroo Student B2 2022 #22
6.104
MF
Llamamos “primo2” a un entero positivo n, si tiene exactamente tres divisores
diferentes, el 1, el 2 y el propio n. ¿Cuántos números “primo2” diferentes hay?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Canguro N6 2023 #5
6.105
F
A, B y C son dígitos distintos, siendo A y C distintos de 0, tales que seis veces el
número de tres dígitos ABC es igual al número de tres dígitos CCC. Encuentra el valor
de A + B + C.
(A) 11 (B) 13 (C) 17 (D) 14 (E) 15
Canguro N4 2023 #22
https://youtu.be/aFrBfhFD2oE
6.106
D
Problema solucionado paso a paso en vídeo .
Sea n un entero mayor que 1. Los enteros positivos divisores de n son kddd ...,,, 21 con
nddd k ...1 21
Se define kk ddddddD 13221 ... .
a) Demostrar que 2nD .
b) Determinar todos los números n tales que D es un divisor de 2n .
IMO 2002 Problema 4
Solución: https://youtu.be/F93ICJ-wpxU
6.107
D
Determina todos los enteros compuestos n>1 que satisfacen la siguiente propiedad:
Si kddd ...,,, 21 son todos los divisores positivos de n con nddd k ...1 21 ,
entonces id divide a 21 ii dd para cada 21 ki .
IMO 2023 #1
6.108
F
Problema solucionado paso a paso en vídeo .
Determina el número de enteros positivos n menores de 2017 para los cuales
!6!5!4!3!2
1
65432 nnnnn
n
Sea un entero.
AIME II 2017 #8
Solución: https://youtu.be/gTxabkSCe2w
6.109
F
Problema solucionado paso a paso en vídeo .
Determina todos los enteros positivos compuestos n para los cuales es posible ordenar
todos sus divisores mayores o iguales que 1 de forma que dos elementos adyacentes no
sean coprimos.
USAMO 2005 #1
Solución: https://youtu.be/4cg3upBhwPk
https://youtu.be/F93ICJ-wpxU
https://youtu.be/gTxabkSCe2w
https://youtu.be/4cg3upBhwPk
6.110
M
Problema solucionado paso a paso en vídeo .
Consideramos 2024 números primos distintos 202421 ...,,, ppp tales que
202410141013101221 ...... pppppp
Sea 101221 ...pppA y 202410141013 ...pppB . Demuestra que 4 BA .
OME 2024 #1
Solución:
7 Aritmética modular básica.
Para ver aplicaciones de la aritmética modular para simplificar problemas de
combinatoria, ver, por ejemplo los problemas #1.6.37 y #1.6.40 de
http://www.toomates.net/biblioteca/Combinatoria.pdf
El lenguaje de las congruencias nos permite abordar con éxito problemas aparentemente
muy difíciles. Las congruencias es un lenguaje, una técnica, y por tanto solo se aprende
practicando, jugando con ellas durante mucho tiempo.
Estamos acostumbrados a trabajar con conjuntos numéricos infinitos.
Por ejemplo, los números naturales:
...,4,3,2,1,0N
Los números enteros:
...,4,3,2,1,0,1,2,3,4,... Z
Los números racionales:
...,
5
11
,
3
7
,
2
3
,
2
1
,...,4,3,2,1,0,1,2,3,4,...Q
Todos estos conjuntos tienen una cantidad infinita de elementos.
Pero también es perfectamente válido disponer de conjuntos finitos de elementos y
hacer operaciones en ellos. En los siguientes apartados vamos a ver unos ejemplos
introductorios.
http://www.toomates.net/biblioteca/Combinatoria.pdf
7.1 Primer ejemplo: Las horas del día.
El día tiene 24 horas:
23,22...,,8,7,6,5,4,3,2,1,0D
La hora 24 sería medianoche, es decir, la hora 0. Así pues, podemos decir que la hora 24
y la hora 0 son la misma hora, es el mismo elemento de D. Escribiremos
024
Para indicar que la hora 24 y la hora 0 son equivalentes.
De la misma forma, podemos decir que la hora 25 es la hora 1, la hora 26 es la hora 2, la
hora 27 es la hora 3...
125 , 226 , 327
Utilizaremos el símbolo , que se parece mucho al símbolo , para expresar la idea de
que no son iguales, pero son equivalentes: En la práctica, es como si fueran iguales.
Como calcular el equivalente modular.
¿Qué hora sería la hora 67 ? Han pasado dos días completos y quedan 17 horas del
tercero:
1722467
Luego 1767
Lo que estamos haciendo es realizar la división entera entre 24 y tomar el resíduo:
¿Qué hora será la hora 349? Realizamos la división entera y tomamos el resíduo:
Escribimos 14349
7.1.1 Ejercicio.
Determina los correspondientes equivalentes modulares en el conjunto D de las horas
del día:
a) 7 b) 23 c) 29 d) 168 e) 773
7.1.2 Ejercicio.
Determina los correspondientes equivalentes modulares en el conjunto D de las horas
del día:
a) 15 b) 21 c) 30 d) 200 e) 1441
Representación circular.
Puede ser interesante representar las horas en forma circular:
El número de vueltas completas (el cociente de la división) no cuenta para nada, y nos
quedamos con el resíduo.
Como sumar con aritmética modular.
Si son las 17 horas (las cinco de la tarde) y quiero ver una película de 3 horas, ¿A qué
hora acabará la película? Muy fácil, basta hacer una simple suma:
20317
Acabará a las 20 horas (las ocho de la tarde).
¿Pero si son las 22 horas, las diez de la noche?
25322
Nadie dice "Acabará a las 25", todo el mundo dice "acabará a la una (de la
madrugada)", ¡y estamos tan acostumbrados que lo hacemos mentalmente!
Primero realizamos la suma y después calculamos el resíduo:
Escribiremos 1322
7.1.3 Ejercicio.
Calcula (en el conjunto D de horas del día)
a) 45 b) 158 c) 915 d) 1820
7.1.4 Ejercicio.
Calcula (en el conjunto D de horas del día)
a) 23 b) 1518 c) 1225 d) 1722
Como hacer operaciones en aritmética modular.
Lo mismo que hemos hecho con las sumas lo podemos hacer con las restas,
multiplicaciones y potencias: Basta con realizar la operación usual en Z y quedarnos
con el residuo modular. Por ejemplo, en el conjunto
23,22...,,8,7,6,5,4,3,2,1,0D
Podemos restar. Por ejemplo: 3532
Primero hemos hecho la resta "normal": 27532 y luego calculamos el equivalente
modular del resultado:
Podemos multiplicar. Por ejemplo: 123649
Primero hemos hecho la multiplicación "normal": 3649 y luego calculamos el
equivalente modular del resultado:
Podemos dividir. Por ejemplo: 02144
Primero hemos hecho la división "normal": 722144 y luego calculamos el
equivalente modular del resultado:
Podemos hacer potencias. Por ejemplo: 1262
Primero hemos hecho la potencia "normal": 3662 y luego calculamos el equivalente
modular del resultado:
7.1.5 Ejercicio.
Realiza las siguientes operaciones (en el conjunto D de horas del día)
a) 530 b) 75 c) 342 d) 25
e) 1100 f) 46 g) 9720 h) 34
7.1.6 Ejercicio.
Realiza las siguientes operaciones (en el conjunto D de horas del día)
a) 2070 b) 56 c) 381 d) 210 e)
52
7.1.7
Hoy es jueves. ¿Qué día de la semana será de aquí a 2023 días?
(A) Martes (B) Miércoles (C) Jueves (D) Viernes (E) Sábado
Cangur B1 2023 #2, Canguro N5 2023 #2
7.2 Segundo ejemplo: El conjunto Z7.
Definición de Z7.
Definimos "Zeta siete" como el conjunto de los números del 0 al 6:
6,5,4,3,2,1,07 Z
Visualmente podemos considerar este conjunto como una noria de siete
compartimentos, en la que sumar quiere decir "girar hacia la derecha" y restar quiere
decir "girar hacia la izquierda":
Está claro que en 7Z sumar o restar 7 es no hacer nada: Damos una vuelta completa y
nos quedamos donde estábamos, Escribiremos, por ejemplo:
)7(mod373 )7(mod575
En 7Z los múltiples de 7 son todos equivalentes a cero:
)7(mod07 , )7(mod014 , )7(mod021 ...
También los negativos:
)7(mod07 , )7(mod014 , )7(mod021 ...
Esto lo vemos claro con números pequeños. Para números grandes debemos utilizar el
método del residuo:
)7(mod53421 porque al hacer la división entera 3421 entre 7 obtenemos un residuo
igual a 5:
Tablas de la suma y la multiplicación en Z7.
Ahora podemos hacer la tabla de la suma "módulo 7":
Observa detenidamente esta tabla. Por ejemplo: Fila "4" columna "5":
)7(mod2954
Observamos las propiedades tradicionales de la suma: Es una operación conmutativa, el
cero no hace nada (por eso se llama "elemento neutro") ...
También podemos hacer la tabla de la multiplicación "módulo 7":
Observa detenidamente como se ha construido esta tabla. Por ejemplo: Fila "3",
columna "6":
)7(mod41863
Y en esta tabla observamos las propiedades tradicionales de la multiplicación: Es una
operación conmutativa, el uno no hace nada (es el elemento neutro), cualquier número
multiplicado por cero da cero...
7.2.1 Ejercicio.
Completa la tabla de la suma de 4,3,2,1,05 Z
7.2.2 Ejercicio.
Completa la tabla de la multiplicación de 4,3,2,1,05 Z .
7.3 Los conjuntos Zn.
7.3.1 Definición. Congruencias.
Diremos que )(mod nba , y diremos que "a es congruente con b módulo n" cuando
sucede alguna de estas condiciones equivalentes:
a) )(| ban
b) bnka para cierto entero k .
c) a y b dejan el mismo residuo cuando son divididos entre n.
Por ejemplo: )7(mod324 , pues 37324 , )5(mod434 , pues 45634
En particular: anna |)(mod0
7.3.2 Ejemplo.
Determina x tal que )8(mod65 x .
Solución.
Vamos probando, uno por uno:
)8(mod5580515 )8(mod22811025
)8(mod77811535 )8(mod44822045
)8(mod11832555
)8(mod66833065 La solución es )8(mod6x
)8(mod33843575
7.3.3 Proposición. Propiedades básicas de las congruencias.
Sea 0n fijo, y dcba ,,, enteros arbitrarios. Entonces se cumple:
a) )(mod naa (Propiedad reflexiva).
b) Si )(mod nba )(mod nab (Propiedad simétrica).
c) Si )(mod nba y )(mod ncb )(mod nca (Propiedad transitiva).
d) Si )(mod nba y )(mod ndc )(mod ndbca y )(mod ndbca .
e) Si )(mod nba )(mod nbkak para cualquier entero k
f) Si )(mod nba )(mod nba kk para cualquier entero positivo k .
7.3.4 Ejemplo.
¿ Es 1414 1524 divisible entre 9?
Solución.
141414141414 1524|99mod015249mod15249mod1524 , luego
sí es divisible.
7.3.5 Observación. Qué funciona y qué no funciona con congruencias.
Las propiedades anteriores nos permiten trabajar con congruencias prácticamente igual
a como trabajamos con números, pero no todo lo que hacíamos con números funciona
ahora con congruencias:
a) Cancelación de términos:
No funciona en general la cancelación de términos (el "tachar" de toda la vida).
Por ejemplo: )6(mod1242 , pero )6(mod14
)7(mod21217 , pero )7(mod1216
Aunque existe una Regla de cancelación:
Si 1),( nc , entonces )(mod)(mod nbancbca
b) Principio del producto nulo:
No existe tampoco el principio del producto nulo en general. Por ejemplo:
)12(mod034 , pero )12(mod04 y )12(mod03
Pero sí se verifica cuando el módulo es un número primo:
Si p es primo, )(mod0)(mod0)(mod0 pbopapba
7.3.6 Proposición. Modificaciones en el módulo.
a) Si 1),( dma , entonces
d
m
ayaxmayax mod)(mod .
b) Si )(mod nba y nd | )(mod dba
c) )(mod nba y )(mod mba mnba ,mod .
d) Si 1,,..., 21 knnn , )...(mod,...,1)(mod 21 ki nnnbakinba
Demostración.
a) yx
d
a
d
m
yxamayaxmmayax |||)(mod
b) )(mod)-(|)-(|)(mod nbabanbamnmnba
c)
),mod)(|,
)(|)(mod
)(|)(mod
mnbabamn
bammba
bannba
(ver 4.6b)
d) Es un caso particular de c.
Trabajar con congruencias es una técnica muy potente para resolver problemas de
Teoría de Números, como se puede ver en los siguientes ejemplos:
7.3.7 Problema resuelto.
Demostrar que 41 divide 1220
Solución. En primer lugar vemos que )41(mod93225
Luego )41(mod8181)41(mod99)41(mod922
2244520
Pero, por otro lado, )41(mod1)41(mod81
Luego )41(mod1)41(mod)1)(1()41(mod8181
Finalmente, 12|41)41(mod0)41(mod1112 2020 , tal y como queríamos
ver.
7.3.8 Problema resuelto.
Determina el residuo al dividir !100!99...!4!3!2!1 entre 12.
Solución. Observamos que )12(mod024!4 , luego, para todo 4k ,
)12(mod0...650...65!4! kkk
luego
)12(mod!4!3!2!100...0!4!3!2!1!100!99...!4!3!2!1
Y nuestro problema se reduce a encontrar el residuo al dividir 33!4!3!2!1 entre 12,
que es 9.
7.3.9 Proposición. Potencias perfectas y congruencias.
Sea n un entero. Entonces:
a) 3mod1,02 n b) 4mod1,02 n c) 5mod1,02 n
d) 8mod4,1,02 n e) 9mod1,03 n f) 16mod1,04 n
Demostración.
Basta ir estudiando casos, como se hizo en el problema propuesto del Apartado 4.1, que
correspondería a la demostración del apartado b.
7.4 Aplicación a la criptografía: El cifrado César.
Descripción del cifrado César.
El primer uso documentado de una cifra monoalfabética por sustitución con propósitos
militares aparece en el documento "La guerra de las Galias" de Julio César.
En dicho libro, Julio César describe cómo envía un mensaje cifrado a Cicerón, que se
encontraba sitiado y a punto de rendirse, aplicando una sustitución simple a las letras
del texto en claro de forma que el mensaje fuera ininteligible para el enemigo.
Aunque en aquella ocasión César sustituyó las letras romanas por letras griegas, es
común asociarle a su sistema de cifra un desplazamiento de 3 espacios a la derecha en el
alfabeto, tal y como lo describe Suetonio en su libro "Vidas de los Césares" en la
entrada LVI sobre Cayo Julio César.
Consistía en escribir el mensaje con un alfabeto que estaba formado por las letras del
alfabeto latino normal desplazadas tres posiciones a la derecha. Con nuestro alfabeto el
sistema quedaría así:
Alfabeto en claro: A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
Alfabeto cifrado: D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C
Por ejemplo, si se quiere enviar el mensaje ATACARALAMANECER, lo que se
escribirá realmente es DWDFDUDÑDODPHFHU
El receptor del mensaje conocía la clave secreta de éste (es decir, que estaba escrito con
un alfabeto desplazado tres posiciones a la derecha), y podía descifrarlo fácilmente
haciendo el desplazamiento inverso con cada letra del mensaje. Pero para el resto de la
gente que pudiese accidentalmente llegar a ver el mensaje, el texto carecía de ningún
sentido.
Es un cifrado muy débil y poco seguro, pero en la época de Julio César no era de
conocimiento general la idea de ocultar el significado de un texto mediante cifrado. De
hecho, que un mensaje estuviese por escrito ya era un modo de asegurar la
confidencialidad frente a la mayoría de la población analfabeta de la época.
Como dato curioso, más de 1500 años después, un cifrado similar al de César fue
utilizado por la reina María Estuardo de Escocia, para conspirar junto con los españoles
contra su prima Isabel I (en realidad, fue incitada a conspirar por agentes al servicio de
Isabel I; una trampa bien urdida.) Los mensajes cifrados de María fueron fácilmente
descifrados mediante sencillos análisis estadísticos por los agentes de Isabel I, y así pues
quedó al descubierto la conspiración de la reina escocesa.Junto con la pérdida del
secreto de la comunicación, María perdió la cabeza en su ejecución el 8 de febrero de
1587. Después de esto el cifrado César quedó definitivamente descartado como método
de cifrado seguro para los gobernantes del mundo. Desde entonces a hoy, los cifrados
usados por los estados para preservar sus secretos han mejorado considerablemente.
El cifrado César desde un punto de vista matemático.
Lo que a nosotros nos interesa del cifrado César es que es un claro ejemplo de
utilización de la aritmética modular para garantizar la confidencialidad de la
información mediante el cifrado o encriptación. Matemáticamente, las veintisiete letras
del alfabeto castellano las podemos interpretar como el conjunto de números naturales
del 0 al 26:
27,...,3,2,1,0 ZDCBA
Y por tanto podemos suponer que trabajamos en el conjunto
27,26...,,8,7,6,5,4,3,2,1,027 Z
El cifrado será la función
27mod3
: 2727
xx
ZZf
Y el descifrado será su función inversa:
27mod3
: 2727
xx
ZZg
Observamos que en vez de utilizar el 3 podemos utilizar cualquier otro número k , que
sería la clave de encriptación: Un valor que sólo conocerían el emisor y el receptor del
mensaje, y sin el cual (supuestamente) nadie podría descifrar el mensaje. Así pues,
podemos decir que el método César es un método de encriptación de clave privada.
Cifrado:
27mod
: 2727
kxx
ZZf
Descifrado:
27mod
: 2727
kxx
ZZg
Criptoanálisis de los Métodos de Cifrado Monoalfabéticos.
El cifrado monoalfabético constituye la familia de métodos criptográficos más simple
de criptoanalizar, puesto que las propiedades estadísticas del texto claro se conservan en
el criptograma. Supongamos que, por ejemplo, la letra que más aparece en Castellano es
la E. Parece lógico que la letra más frecuente en el texto codificado sea aquella que
corresponde con la E. Emparejando las frecuencias relativas de aparición de cada
símbolo en el mensaje cifrado con el histograma de frecuencias del idioma en el que se
supone está el texto claro, podremos averiguar fácilmente la clave.
Distribución de frecuencias de letras en español para un texto literario:
E - 16,78% R - 4,94% Y - 1,54% J - 0,30% A - 11,96%
U - 4,80% Q - 1,53% Ñ - 0,29% O - 8,69% I - 4,15%
B - 0,92% Z - 0,15% L - 8,37% T - 3,31% H - 0,89%
X - 0,06% S - 7,88% C - 2,92% G - 0,73% K - 0,00%
N - 7,01% P - 2,77% F - 0,52% W - 0,00% D - 6,87%
M - 2,12% V - 0,39%
Ejercicio 1.
Cifrad con el sistema de clave privada de César y clave secreta k = 5 el mensaje m =
VOYALCINE (si al buscar el cifrado de un carácter se llega al final del alfabeto, se
sigue la cuenta por el principio del alfabeto). ¿Qué nos han contestado si el mensaje
recibido es c = DTRTATD?
Ejercicio 2.
Se ha utilizado cifrado César con clave privada k = 6 para transmitir un nombre en
secreto. Se ha recibido BÑIZUX. ¿Cuál es el nombre secreto?
Ejemplo.
Un ejemplo literario y cinematográfico muy conocido es el del nombre HAL del
ordenador que aparece en la novela 2001 de Arthur C. Clarke y en la correspondiente
película dirigida por Stanley Kubrick, "2001 una odisea en el espacio". No es nada
complicado obtener el nombre de una famosa empresa si sabemos que el nombre del
maléfico ordenador (HAL) es el cifrado con clave k = 26 del nombre de la empresa.
Cifrado César con Python.
#
# Generador de puntos de la curva secp256k1 módulo p por Brute-Force
#
p=257
Total=0
for x in range (0,p):
for y in range (0,p):
v=y**2-x**3-7
if v%p==0:
print(x,",",y)
Total=Total+1
print("Total de puntos:",Total)
El siguiente programa es un ejemplo de un programa Python que encripta de textos
mediante el método César:
#
# Encriptador metodo Cesar
#
Clave=3
Frase1="ELATAQUESERAESTANOCHE"
Frase2=""
for c in Frase1:
n=ord(c)-65
m=(n+Clave)%26
Letra=chr(m+65)
Frase2=Frase2+Letra
print("Frase sin encriptar: ",Frase1)
print("Frase encriptada: ",Frase2)
Salida:
Frase sin encriptar: ELATAQUESERAESTANOCHE
Frase encriptada: HODWDTXHVHUDHVWDQRFKH
El programa es un bucle que toma uno a uno cada carácter de Frase1 y lo deposita en la
variable c.
for c in Frase1:
Para convertir el carácter c en su correspondiente valor numérico se utiliza la función
ord(c), que devuelve el código UNICODE del carácter que recibe como parámetro. El
problema está en que los códigos UNICODE de las letras mayúsculas empiezan en 65:
A → 65 , B → 66 , C → 67 …
Por lo que debemos restar 65 para así empezar desde cero:
A → 65-65=0 , B → 66-65=1 , C → 67-65=2 …
n=ord(c)-65
Ahora ya podemos realizar la encriptación, sumando a n el valor de la Clave y
determinando su equivalente módulo 26. Dejando el resultado en la variable m.
m=(n+Clave)%26
Por último, convertimos el valor numérico m en su correspondiente letra, mediante la
función chr(n), que devuelve el carácter UNICODE correspondiente al valor numérico
que recibe como parámetro. De nuevo, debemos tener en cuenta que los caracteres
UNICODE de las letras mayúsculas empiezan en 65, por lo que debemos sumar 65 al
valor de m. Dejamos la letra obtenida en la variable Letra.
Letra=chr(m+65)
Ya solo queda añadir Letra a la cadena de salida Frase2. Utilizamos para ello el
comando +, que en principio realiza la suma de dos números, pero que en el contexto de
dos cadenas de caracteres lo que hace es juntar las dos cadenas de caracteres.
Frase2=Frase2+Letra
Por último, se visualizan las dos frases: La frase de entrada sin encriptar y la frase de
salida encriptada.
print("Frase sin encriptar: ",Frase1)
print("Frase encriptada: ",Frase2)
El correspondiente programa desencriptador es prácticamente idéntico al anterior:
#
# Desencriptador Metodo Cesar
#
Clave=3
Frase1="HODWDTXHVHUDHVWDQRFKH"
Frase2=""
for c in Frase1:
n=ord(c)-65
m=(n-Clave)%26
Letra=chr(m+65)
Frase2=Frase2+Letra
print("Frase encriptada: ",Frase1)
print("Frase desencriptada: ",Frase2)
Salida:
Frase encriptada: HODWDTXHVHUDHVWDQRFKH
Frase desencriptada: ELATAQUESERAESTANOCHE
El único cambio significativo está en la línea 9, en donde en vez de sumar la Clave, la
restamos.
Mejora al programa anterior. El comando if
En el programa anterior hemos supuesto que los caracteres de la frase de entrada son
siempre letras mayúsculas.
Supongamos que queremos poder recibir cualquier carácter, y encriptar solo las letras
mayúsculas.
El comando if permite realizar una acción solo si se cumple una determinada condición,
y suele venir acompañado del comando else, que indica la acción a realizar en caso
contrario.
En nuestro caso, tomamos la letra c y la encriptamos si es una letra mayúscula (A, B,
C,…, Z) y la dejamos tal cual en caso contrario:
#
# Encriptador Metodo Cesar (ver. 2)
#
Clave=3
Frase1="ATACAR A LAS 4:00 DE ESTA NOCHE"
Frase2=""
for c in Frase1:
if c.isupper():
n=ord(c)-65
m=(n+Clave)%26
Letra=chr(m+65)
else:
Letra=c
Frase2=Frase2+Letra
print("Frase sin encriptar: ",Frase1)
print("Frase encriptada: ",Frase2)
Salida:
Frase sin encriptar: ATACAR A LAS 4:00 DE ESTA NOCHE
Frase encriptada: DWDFDU D ODV 4:00 GH HVWD QRFKH
7.5 Aplicación a la criptografía: El cifrado Hill.
Introducción.
El método César es un método de cifrado por sustitución monoalfabética. Este tipo de
cifrados se basa en sustituir cada letra del texto original por otra del alfabeto.
Estos métodos representan un gran agujero en su seguridad al poderse determinar con
gran facilidad la frecuencia derepetición de cada una de las letras que posteriormente se
confronta con las estándar de aparición en el castellano, con lo que con un texto
suficientemente largo el mensaje y la clave quedan totalmente al descubierto.
Para evitar los ataques mendiante análisis de frecuencias cifraremos no cada letra
individualmente, sino en grupos de dos o más, son los llamados cifrados por sustitución
polialfabética, como por ejemplo el método Hill que describiremos en este apartado.
Este sistema fue inventado por Lester S. Hill en 1929, mediante transformaciones
matriciales.
El tamaño de los grupos elegidos para hacer las sustituciones depende del grado de
seguridad que deseemos. Aquí realizaremos la presentación del método con matrices
22 por su simplicidad, eligiendo una matriz 44 la respuesta es casi plana para la
frecuencia de cada letra. Es decir, en un texto cifrado por este método todas las letras
tienen prácticamente la misma probabilidad de aparecer, con lo cual un estudio de sus
frecuencias será totalmente inútil, puesto que todas darán casi el mismo resultado.
Nota importate: Se supone en el lector conocimientos básicos de álgebra lineal, en
especial las operaciones con matrices y el concepto de matriz inversa (ver dossier GL)
En IR:
A es invertible 0det A , en cuyo caso TAAdj
A
A
det
11
En nZ :
A es invertible Adet es invertible módulo n 1),det( nA
en cuyo caso TAAdjAA
11 det
http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaLineal.pdf
Descripción del método.
Dividiremos el texto en grupos de dos letras, que pasaremos a sus equivalentes
numèricos 26Z como hemos hecho en el apartado anterior. Para cifrar solo necesitamos
una matriz que utilizaremos como clave, y descifrar utilizaremos su matriz inversa.
Por ejemplo, tomamos la matriz
93
1235
A y su inversa
52545
180135
1A
Las transformamos a módulo 26:
173
149
A y su inversa
57
2421
1A
Ahora tomaremos un mensaje en claro: ELCOCHELLEVADOSANTENAS y lo
dividiremos en grupos de dos letras.
Primer bloque: "EL"
1. Determinamos sus correspondientes valores numéricos en 26Z :
11
4
L
E
Obteniendo así el siguiente vector columna:
11
4
u
2. Le aplicamos la transformación lineal de la matriz A, es decir, multiplicamos la
matriz clave por el vector u :
26mod
17
8
199
190
11
4
93
1235
Auv
3. Obtenemos las letras asociadas a los valores numéricos:
R
I
17
8
Ya hemos obtenido las dos primeras letras de nuestra frase encriptada: "IR"
La operación se repite con todos los grupos de letras sucesivamente, obteniendo el
siguiente texto en clave: "IRGKMVIRZXHLPNGCTYKZSU"
El método de desenciptación es el mismo, solo que ahora utilizaremos la matriz inversa
57
2421
1A
Primer bloque: "IR"
1. Determinamos sus correspondientes valores numéricos en 26Z :
17
8
R
I
Obteniendo así el siguiente vector columna:
17
8
v
2. Le aplicamos la transformación lineal de la matriz 1A :
26mod
11
4
141
576
17
8
57
2421
1
vAu
3. Obtenemos las letras asociadas a los valores numéricos:
L
E
11
4
Ya hemos obtenido las dos primeras letras de nuestra frase desencriptada: "EL". Esta
operación se realiza con todos los grupos de dos letras recibidos en clave hasta que se
forme el mensaje en claro ELCOCHELLEVADOSANTENAS, que coincide con el
mensaje original, tal y como era de esperar.
Este método, como hemos dicho, se puede aplicar con qualquier tamaño de matriz
cuadarada, y cuanto mayor sea éste, mejor será la seguridad, aunque aumentará también
la complicación matemática.
Fuente:Revista Microhobby nº 165.
Codificación Python.
#
# Encriptador/Desencriptador metodo Hill
#
Frase1="ELCOCHELLEVADOSANTENAS"
Frase2=""
a11=9
a12=14
a21=3
a22=17
if len(Frase1)%2==1:
Frase1=Frase1+"X"
c=0
while(c<=len(Frase1)-2):
l1=Frase1[c:c+1]
l2=Frase1[c+1:c+2]
u1=ord(l1)-65
u2=ord(l2)-65
v1=(a11*u1+a12*u2)%26
v2=(a21*u1+a22*u2)%26
Letra1=chr(v1+65)
Letra2=chr(v2+65)
Frase2=Frase2+Letra1
Frase2=Frase2+Letra2
c=c+2
print("Frase entrada: ",Frase1)
print("Frase salida: ",Frase2)
SALIDA
Frase entrada: ELCOCHELLEVADOSANTENAS
Frase salida: IRGKMVIRZXHLPNGCTYKZSU
Comentarios:
Línia 10:Puesto que trabaja por parejas de letras, sería problemático si la cadena de
entrada tuviera una longitud impar. Resolvemos este problema añadiendo en dicho caso
una letra final.
El resto de programa no tiene mayor dificultad: Es un bucle que recorre la frase (línea
13) tomando parejas de letras, convirtiendo estas letras en sus respectivos equivalentes
numéricos, multiplicando por la matriz y generando las respectivas letras.
El programa desencriptador es el mismo programa, en el que únicamente hemos
cambiado las matriz por su inversa:
#
# Encriptador/Desencriptador metodo Hill
#
Frase1="IRGKMVIRZXHLPNGCTYKZSU"
Frase2=""
a11=21
a12=24
a21=7
a22=5
if len(Frase1)%2==1:
Frase1=Frase1+"X"
c=0
while(c<=len(Frase1)-2):
l1=Frase1[c:c+1]
l2=Frase1[c+1:c+2]
u1=ord(l1)-65
u2=ord(l2)-65
v1=(a11*u1+a12*u2)%26
v2=(a21*u1+a22*u2)%26
Letra1=chr(v1+65)
Letra2=chr(v2+65)
Frase2=Frase2+Letra1
Frase2=Frase2+Letra2
c=c+2
print("Frase entrada: ",Frase1)
print("Frase salida: ",Frase2)
SALIDA:
Frase entrada: IRGKMVIRZXHLPNGCTYKZSU
Frase salida: ELCOCHELLEVADOSANTENAS
7.6 Problemas de aritmética modular básica.
7.6.1
MF
Si !n denota el producto de todos los números del 1 al n, ¿Cuál es el residuo de
!...!3!2!1 n
al dividirlo entre 9?
7.6.2
MF
Encuentra un ejemplo que demuestre que )(mod22 nba no implica )(mod nba .
7.6.3
F
Determina los residuos cuando 502 y 6541 son divididos entre 7.
7.6.4
F
Utilizando la teoría de congruencias, demuestra que 12|89 44 y 12|79 48 .
7.6.5
F
Determina el último dígito de 8019021003 379 .
7.6.6
MF
Demuestra que para todo INn , el número
122 1211 nn
na es divisible entre 133.
7.6.7
MF
La cifra de las unidades de 7532137 es:
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9
AHSME 1961 #28
7.6.8
F
El dígito de las unidades de 100310021001 1373 es:
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9
AHSME 1983 #14
7.6.9
F
Demuestra que )7(mod1186 k para .3,2,1k
7.6.10
MF
Demuestra que si n es impar, entonces )8(mod12 n
7.6.11
F
Determina el número de enteros n , 251 n , tales que 232 nn es divisible entre
6.
7.6.12
F
Demuestra que nn 962 siempre es divisible entre 7, para todo entero positivo n.
7.6.13
M
Sea
nn
na 86 . Determina el residuo cuando 83a se divide entre 49.
AIME 1983 #6
7.6.14
F
Determina el residuo al dividir
nueves999
9...99...999999 entre 1000.
AIME I 2010 #2
7.6.15
F
Consideremos el esquema triangular de números ...3,2,1,0 a lo largo de los lados y con
números interiores obtenidos sumando los dos números superiores de la fila anterior.
Las filas 1 a 6 se muestran en el siguiente esquema:
Sea )(nf la suma de los números de la fila n. ¿Cuál es el residuo cuando dividimos
)100(f entre 100?
AHSME 1995 #27
7.6.16
M
Sea 20082 22008 k . ¿Cuál es el dígito de las unidades de kk 22 ?
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8
AMC12A 2008 #15, AMC 10A 2008 #24
7.6.17F
Determina el menor entero positivo n tal que n y n107 tienen las dos últimas cifras
iguales.
HMMT 2008 #2
7.6.18
M
Demuestra que si zyx ,, son enteros cumpliendo 222 3zyx , entonces 0 zyx .
7.6.19
F
Determina los enteros n tales que 2n divide 218n .
PUMaC 2007/NT #B2
7.6.20
MF
Demuestra que para todo natural n , el número 12 n no es divisible entre 7.
IMO 1967 #1 (apartado b)
7.6.21
MF
Determina el último dígito de
7
777 ...7
en donde aparece 1001 veces el número 7.
7.6.22
F
Dados cuatro números enteros diferentes dcba ,,, , demuestra que
dcdbcbdacaba
es divisible entre 12
7.6.23
F
Tomamos todos los enteros del 19 al 92 y los escribimos consecutivamente para formar
el número
909192192021N
Sea k3 la mayor potencia de 3 que es factor de N. Determina k.
ASHME 1992 #17
7.6.24
F
El día 300 del año N cae en martes. El día 200 del año 1N cae también en martes.
Determina en qué día de la semana cae el día 100 del año 1N .
AMC 12 2000 #18
7.6.25
M
Determina todos los números naturales 251 n tales que 232 nn es divisible
entre 6.
7.6.26
F
Sean 15274 BA y CAB4326 dos números de 7 dígitos, ambos múltiples de 3.
Determina la suma de todos los posibles valores de C.
AMC 8 2014 #21
7.6.27
D
Demuestra el criterio de divisibilidad del 9 y del 11 aplicando el lenguaje y técnicas de
la aritmética modular.
7.6.28
F
Sobre una mesa hay una torre hecha de bloques numerados del 1 al 90, ordenados en
orden creciente de abajo arriba. Roberto los va cogiendo de tres en tres, comenzando
por los tres de arriba y los va apilando, ordenadamente, y así construye otra torre, como
se puede ver en la siguiente figura:
Cuando los haya acabado de colocar todos, ¿Cuántos bloques habrá entre el 39 y el 40?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Cangur B1 2023 #16, Canguro N5 2023 #16
8 Inversos multiplicativos modulares.
8.1 Concepto de inverso multiplicativo.
Concepto de inverso multiplicativo. Primeros ejemplos.
Las operaciones de sumar, restar y multiplicar no son problemáticas en aritmética
modular: Basta realizar la operación correspondiente en los naturales y después
determinar el equivalente modular del resultado. Pero con la división las cosas se
complicarán, y mucho. Necesitamos definir y estudiar los llamados inversos
multiplicativos.
En el conjunto Q de números racionales, dado cualquier número diferente de cero, por
ejemplo 3, podemos determinar la fracción
3
1
, que cumplirá la condición: 1
3
1
3
Así pues, diremos que
3
1
es el inverso multiplicativo de 3. De la misma forma,
5
7
es el
inverso multiplicativo de
7
5
, por poner otro ejemplo.
En general, dado un número 0n , definimos su inverso multiplicativo 1n como el
número tal que
11 nn
Diremos que un número es invertible cuando exista su inverso multiplicativo. Está
claro que el 0 nunca es invertible.
Notación: Para referirnos al inverso multiplicativo de k nunca utilizaremos la notación
como fracción
k
1
, siempre utilizaremos la notación exponencial: 1k .
Ejemplo.
Observemos la tabla de multiplicar de 5Z :
El inverso multiplicativo de 2 es 3, porque 5mod1632 , y escribiremos
5mod32 1
El inverso multiplicativo de 4 es el propio 4, porque 5mod11644 , y
escribiremos
5mod44 1
8.1.1
Observa atentamente la tabla de multiplicar de 7Z :
Determina los inversos multiplicativos de 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Utiliza la notación
exponencial para denotarlos.
Sobre la (no) existencia de inversos multiplicativos.
Observa ahora la tabla de multiplicar de 8Z :
Observamos que el 2 no tiene inverso multiplicativo: No existe ningún número que
multiplicado por 2 dé 1. Diremos que el 2 no es invertible en 8Z .
Tampoco tienen inversos multiplicativos el 4 ni el 6. Así pues, no siempre existen
inversos multiplicativos modulares.
Más ejemplos.
El inverso de 3 módulo 4 es 3 porque )4(mod1933 .
El inverso de 3 módulo 5 es 2 porque )5(mod1623 .
8.1.2
Determina totos los elementos invertibles de 6Z y sus correspondientes inversos.
8.2 Existencia y unicidad de inversos multiplicativos.
8.2.1 Teorema. Existencia y unicidad de inversos modulares.
Sean ba, enteros, se cumple 1),( ba si y solo si existe un entero x tal que
)(mod1 bxa , y este valor es único módulo b.
Demostración. Aplicando el TDB, si 1),( ba existirán yx, tales que 1 ybxa , y
por tanto )(mod1 bax .
Veamos la unicidad: Supongamos que existen dos valores ',xx tales que
)(mod1 bxa y )(mod1' bxa . Entonces
)(mod1'''1' bxxxxaxxaxx
Recíprocamente, supongamos que )(mod1 bxa , es decir, ybxa 1 para cierto
entero y , y por tanto 1)(1 byxaybxa .
Aplicando el TDB se deduce que 1),( ba .
La congruencia lineal )(mod1 nxa tiene solución si y solo si 1|),( na , es decir,
cuando 1),( na , así pues, existirá el inverso multiplicativo de a si y solo si 1),( na , y
será único modulo n.
Definición. Cuerpo.
Diremos que nZ es un cuerpo cuando todos los elementos de nZ excepto el cero
tengan su correspondiente inverso multiplicativo.
Así pues, si n es primo, siempre se cumplirá 1),( na , y por tanto nZ será un cuerpo.
Ejercicio resuelto.
Determina el inverso de 9 módulo 82.
Solución: Observamos que )82(mod18199 , luego )82(mod181)9(9 .
El inverso de 9 módulo 82 es )82(mod739829 .
Ejercicio resuelto.
Determina todas las parejas de inversos módulo 20.
Solución: Sabemos que serán todos los números coprimos con 20, es decir:
19,17,13,11,9,7,3,1
Ahora solo nos queda agruparlos por parejas (o consigo mismo)
El 1 es inverso de sí mismo, pues )20(mod11)20(mod1111 1
Vemos que )20(mod37,)20(mod73)20(mod12173 11
Vemos que )20(mod1713,)20(mod1317)20(mod12211317 11
El 11 es inverso de sí mismo, pues )20(mod1111)20(mod11211111 1
El 9 es inverso de sí mismo, pues )20(mod99)20(mod18199 1
Finalmente, el 19 también es inverso de sí mismo, pues
)20(mod1919)20(mod13811919 1
Otra manera de verlo es observar que )20(mod1)1(19)20(mod119 22
8.3 Inversión mediante el ADE.
Determinación de inversos multiplicativos mediante el ADE.
Dado un elemento nZa , 0a , cumpliendo 1),( na , sabemos que será invertible, y
el ADE nos ofrece la combinación lineal
1 nbax
Luego nxanaxnbax modmod11 1
Ejemplo resuelto.
Determina 143mod34 1
Solución. Sabemos que, puesto que 1143,34 , existirán enteros yx, tales que
114334 yx , y por tanto 143mod134143134 xyx .
El Algoritmo de Euclides (4.17) nos permite determinar esta combinación lineal:
34,734,743434,1437434143
16,7674,734,767434 , luego:
342114355434143534
43414353475347434774347671
Y por tanto 143mod1222134 1
Ejemplo resuelto.
Determina el inverso de 11 en 20Z .
Solución.
122124929111911120
Por lo tanto 1)20,11( mcd
Ahora sustituimos de abajo hacia arriba los restos:
11920511411205
11495941149911492491
Luego
)20(mod11209911)20(mod1191192051 1
8.3.1
Determinar el inverso de 117 módulo 244.
Problema resuelto.
Demostrar que las seis últimas cifras de 99997 son 857143.
Solución. Las claves de este problema son demostrar que
6100009999 10mod1777
y observar que
6
6
10mod18571437
7
106
7
6000001
857143
Demostrar que 610000 10mod17 se puede hacer "por fuerza bruta",o mediante el
Binomio de Newton: 1102424017 24 , luego
61000062235
622356
4243767
63222
32222
250022500410000
10mod1710...177532231
...1017753210231
...101775325231
...1024
3
2500
102424991250102425001
...1024
3
2500
1024
2
2500
1024
1
2500
1
1102477
Por otro lado, observamos que
7
106
7
6000001
857143
6
Con lo cual:
110610)6(
110610610110710mod17
66
666610000610000
k
kk
1106710)6( 6100006 k ambos múltiples de 7, luego 6k será también
múltiplo de 7, es decir: 110610'77 6610000 k
Y por tanto, finalmente:
85714310'
7
110610'7
7
7
7 6
6610000
9999
k
k
tal y como queríamos ver.
Fuente: Jerónimo Vega Guillén en Facebook.
Observamos que
69999
6
69999
10mod8571437
10mod18571437
10mod177
Es consecuencia del teorema anterior, puesto que 110,7 6
Corolario. Lema de Gauss.
Si cba ,, son enteros tales que bca | y 1),( ba , entonces ca | .
Demostración. 1),( ba , luego existirá un x tal que )(mod1 abx . Pero por otro lado,
caacccbxxbcbcbca |)(mod10| .
Corolario.
a) 1...,1),(...),(),( 2121 nn bbbabababa
b) En particular, 1,1),( kbaba para todo 1k .
Demostración. a) 1),(...),(),( 21 nbababa , luego existirán nxx ,...,1 tales que
)(mod1 abx ii . Multiplicando tenemos que )(mod11...11...... 2121 abbbxxx nn ,
y por tanto 1..., 21 nbbba por el recíproco del Teorema del inverso modular.
b) Basta tomar en el apartado anterior bbbb k ...21
Corolario.
baba nn ||
Demostración. Si 0a o 0b está claro que ba | . Supongamos que 0, ba .
Sea dvbduabad ,),( con 1),( vu .
Luego nnnnnnnnn vuvuvduddvduba |||||
nn
Por el corolario anterior, 1),(1),( nvuvu , y por tanto 1u , y en consecuencia
da , y por lo tanto divide a dvb .
Corolario.
Si ca | y cb | con 1),( ba , entonces cab |
Demostración. dacca | para cierto d .
db
ba
adb
|
1),(
|
por el Lema de Gauss, y por tanto cdaba | , como queríamos ver.
Teorema.
Sean ba, enteros positivos coprimos, tales que su producto es una potencia de grado n ,
es decir, ncab para cierto entero positivo c . Entonces a y b también son ambos
potencias de grado n .
Demostración. Sea ),( cad , y escribimos dua y dvc para ciertos vu, coprimos.
(*))( 1 nnnnn
n
vdubvddvdub
cab
dua
De la igualdad anterior se desprende que nn vdu 1| , pero por hipótesis,
1),(1),( nvuvu , y por tanto 1| ndu . Así pues, b
d
u
v
n
n
1
, es decir, nvb | .
Pero de la igualdad (*) también se deduce que ubvn | , y puesto que 1),( nvu ,
llegamos a bvn | , y finalmente:
n
n
n
vb
bv
vb
|
|
Sustituyendo en (*) se deduce nn dadu 1 , con lo que se concluye la
demostración.
Problema resuelto.
Demuestra que el producto de tres números consecutivos nunca puede ser una potencia
perfecta.
Solución. Supongamos que kannn )1()1( , para ciertos enteros 1, ka .
Entonces podemos escribir kann )1( 2 . Puesto que 1)1,( 2 nn podemos aplicar el
teorema anterior: kk cnbn 1, 2 para ciertos enteros 1, cb .
1)1(222222 ...11 kkkkkkkk cbcbcbcbcncn
Lo cual es imposible pues 12 cb y 1... 1)1(2 kcb kk .
8.4 Inversión mediante exponenciación modular.
Determinación de inversos multiplicativos mediante exponenciación modular.
En 13.1 introduciremos El Pequeño Teorema de Fermat (PTF):
si p es primo y ap | , entonces pa p mod11
Luego
paapaaa ppp modmod1 2112
Y para determinar 2pa podemos aprovechar la exponenciación modular "pow",
implementada en Python a partir de su versión 3.8:
pow(a,p-2,p)
8.5 Cancelación modular.
Trabajando en la aritmética convencional con enteros, sabemos que siempre podemos
tachar factores:
cbcaba
Pero no ocurre lo mismo en aritmética modular. Por ejemplo:
12mod1110510 pero 12mod115
Aquí no podemos tachar (cancelar) el factor 10 repetido.
Lema. Cancelación de términos en aritmética modular.
Si 1),( na , entonces nsrnsara modmod .
Demostración.
Si 1),( na entonces existirá un elemento b tal que nab mod1 , y por tanto:
nsabrabnsara modmod
Ahora, aplicando las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación
modular, por un lado, nsssabsab mod1)( , y por otro
nrrrabrbarab mod1)()( , con lo que llegamos a nsr mod .
8.6 División modular.
División modular.
La división de dos números ba , con 0b no se considera propiamente una
operación, como la suma o el producto, sino que se interpreta como una forma rápida de
escribir el producto de a por el inverso de b :
1 baba
Ejemplo.
Supongamos que queremos calcular 7mod23
Observamos la tabla de la multiplicación en 7Z :
El inverso multiplicativo de 2 es 4, luego
7mod512432323 1
8.7 Divisores de cero.
Teorema. Definición y caracterización de los divisores de cero.
Dado un elemento x de nZ , diremos que es un divisor de cero cuando exista un
elemento 0y de nZ tal que 0 yx . Todo elemento x de nZ es un divisor de cero si
y solo si 1, nx , es decir, cuando no sea invertible.
Demostración.
Supongamos que 1, nxd . Luego n
d
n
xn
d
x
d
n
x mod0
Y se cumple 0
d
n
pues n
d
n
d 1 y por lo tanto
d
n
no puede ser un múltiplo de
n .
Ejemplo.
En 15Z las clases invertibles son 1, 2, 4, 6, 7, 8, 11, 13 y 14 y las clases divisores de
cero son las restantes: 3, 5, 6, 9, 10 y 12.
Por ejemplo: 15mod0310 .
8.8 Actividades con Python.
Inverso multiplicativo con Python.
Podemos utilizar la función egcd(a,b) definida anteriormente para construir la función
modinv(a,m):
def egcd(a, b):
if a == 0:
return (b, 0, 1)
else:
g, y, x = egcd(b % a, a)
return (g, x - (b // a) * y, y)
def modinv(a, m):
g, x, y = egcd(a, m)
if g != 1:
raise Exception('No existe inverso modular')
else:
return x % m
División modular en Python.
def egcd(a, b):
if a == 0:
return (b, 0, 1)
else:
g, y, x = egcd(b % a, a)
return (g, x - (b // a) * y, y)
def modinv(a, m):
g, x, y = egcd(a, m)
if g != 1:
raise Exception('No existe inverso modular')
else:
return x % m
def moddiv(a,b,m):
invb=modinv(b, m)
return (a*invb) % m
print(moddiv(3,2,7))
9 Congruencias lineales y sistemas de congruencias lineales.
Llamaremos congruencias a las ecuaciones que se plantean en términos modulares.
Como es habitual, diremos que una congruencia es lineal cuando sus incógnitas estén
elevadas únicamente a la primera potencia.
9.1 Congruencias lineales.
9.1.1
Resuelve las siguientes congruencias lineales:
a) 5mod04 x b) 5mod11x c) 5mod13x d) 5mod312x
Congruencia lineal.
Toda congruencia lineal se puede reducir a una congruencia de la forma )(mod nbxa
Diremos que el entero 0x satisface la congruencia lineal )(mod nbxa cuando
)(mod0 nbxa
O equivalentemente: bynxabnyxanbxa 00000 )(mod
Es decir, buscamos soluciones 00 , yx de la ecuación lineal diofántica
bynxa 00
Ejercicio resuelto.
Suponiendo que 8mod65 x , determina x.
Solución: 8mod658mod65 1xx
Determinamos 8mod5 1 por el método del EGCD.
123,235,358
Luego
5382
552825582532353)35(3231
8mod358mod53153821 1
8mod62186)3(65 1 x
9.1.2
Resuelve las siguientes congruencias lineales:
a) 5mod13 x b) 5mod23 x c) 5mod32 x d) 5mod412 x
e) 5mod242 x
9.1.3 Teorema. Existencia de soluciones de una congruencia lineal.
La congruencia lineal )(mod nbxa tiene solución si y solo si bd | , donde
),( nad , en cuyo caso existen d soluciones diferentes en nZ , todas ellas de la forma
)1(,...,3,2,, 01030201 d
d
n
xx
d
n
xx
d
n
xx
d
n
xxx do
Donde 0x es una solución particular de la ecuación.
Ejemplo.
Resuelve la congruencia )42(mod3018 x
Solución. 6)42,18( d , y 30|6 , luego la ecuación anterior tiene seis soluciones.
Por tanteo, vemos que 3014272418 4 es una solución de la ecuación.
Luego las soluciones serán:
40 x
11741)6/42(41 x , efectivamente: 304241981118
181442)6/46(42 x , efectivamente: 304273241818
252143)6/46(43 x , efectivamente: 3042104502518
322844)6/46(44 x , efectivamente: 3042135763218
393545)6/46(45 x , efectivamente: 3042166303918
Las soluciones son: 39,32,25,18,11,4
9.1.4
F
Resuelve la congruencia )30(mod219 x
9.1.5
F
Resuelve la congruencia lineal )10(mod73 x
Propiedad. Simplificación de congruencias lineales.
nbankbkak modmod
Problema resuelto.
Resuelve la congruencia
130mod5239 x
Solución. Esta congruencia tiene solución pues 13130,39 d y 39|13 .
Simplificamos la congruencia dividiendo por 13:
10mod43130mod5239 xx
El inverso multiplicativo módulo 10 de 3 es 7, luego
10mod810mod828473710mod43 xxx
Luego las soluciones de 130mod5239 x son todos los conjuntos de la forma
...,268,138,8,122,...1308 k
...,278,438,81,112,...13018 k
...
...,268,128,2,132,...130128 k
Problema resuelto.
Resuelve la congruencia
252mod56140 x
Solución. Esta congruencia tiene solución pues 28252,140 d y 56|28 .
Vemos que se puede simplificar pues todos los números involucrados son múltiples de
28:
9mod25252mod56140 xx
Para resolver esta última congruencia vemos que el inverso de 5 módulo 9 es 2:
9mod11025
Luego
9mod422259mod25 1 xx
Las 28 soluciones módulo 252 son, por tanto:
...,364,274,184,94,4
9.2 Sistemas de congruencias lineales (resolución directa).
Queremos resolver un sistema de congruencias lineales:
rrr mbxa
mbxa
mbxa
mod
...
mod
mod
222
111
En donde vamos a suponer que los módulos im son todos coprimos entre ellos.
9.2.1 Problema solucionado paso a paso en vídeo
El residuo de la división de 2021 entre 6, entre 7, entre 8 y entre 9 es 5 en los cuatro
casos. ¿Cuántos enteros positivos menores de 2021 hay que tengan esta propiedad?
(A) 1 (B) 3 (C) 2 (D) 4 (E) Cap
Cangur B1 2021 #15, Kangaroo Junior 2021 #14
Solución: https://youtu.be/6kF0qgD2AM4?t=83
9.2.2 Problema solucionado paso a paso en vídeo
El número N tiene dos dígitos. Cuando N se divide entre 9, el residuo es 1. Cuando N se
divide entre 10, el residuo es 3. Determina el residuo cuando N se divide entre 11.
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 7
AMC 8 2016 #5
Solución: https://youtu.be/6kF0qgD2AM4?t=416
9.2.3 Problema solucionado paso a paso en vídeo
Determina la cantidad de enteros positivos de tres dígitos con la siguiente propiedad:
Cuando se divide entre 6, da residuo 2, cuando se divide entre 9, da residuo 5, y cuando
se divide entre 11 da residuo 7.
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
AMC 8 2018 #21
Solución: https://youtu.be/6kF0qgD2AM4?t=598
https://youtu.be/6kF0qgD2AM4?t=83
https://youtu.be/6kF0qgD2AM4?t=416
https://youtu.be/6kF0qgD2AM4?t=598
9.2.4 Ejemplo.
Resuelve el sistema
5mod0
2mod0
x
x
Solución. De la primera congruencia deducimos que x será un múltiple de 2, y de la
segunda que x será un múltiplo de 5, luego x será un múltiplo de 10:
10mod0x
Visualmente:
9.2.5 Ejemplo.
Resuelve el sistema
7mod0
3mod1
x
x
Solución. De la segunda congruencia deducimos que x debe ser un múltiplo de 7:
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70...
De la primera congruencia deducimos que x debe ser de la forma 13 a . Los valores de
la lista anterior que cumplen esta propiedad son:
7, 28, 49, 70...
Vemos que estos números son todos de la forma 721 bx , y que 7,321 . Así
pues, parece ser que las soluciones son:
21mod7x .
Demostraremos ahora que, efectivamente, 21mod7x son soluciones del sistema.
3mod113273721 xbx , y por lo tanto satisface la primera congruencia
del sistema.
7mod07173721 xbx , y por lo tanto también satisface la segunda
congruencia del sistema.
Visualmente:
9.2.6 Ejemplo.
Resuelve el sistema
7mod2
4mod3
x
x
Solución.
7mod0147142734
277mod2
344mod3
ababa
bxx
axx
7mod647mod147mod014 aaa
Esta última congruencia la podemos resolver con los métodos del apartado anterior: El
inverso multiplicativo de 4 módulo 7 es 2, luego:
577mod51262 caa
Sustituyendo más arriba tenemos:
28mod23232832028357434 xcccax
Visualmente:
9.2.7 Ejemplo.
Resuelve el sistema
)3(mod2
)5(mod1
)4(mod3
x
x
x
Solución.
(Más adelante, mediante el Teorema chino del residuo, se verá que la solución existe y
es única mod 60, pues )3,4()3,5()5,4( )
)5(mod3)5(mod52)5(mod24)5(mod134)5(mod1
34)4(mod3
aax
axx
112032543425
)5(mod2)5(mod1216)5(mod3444)5(mod34
bbaxba
aaaa
Luego:
cbb
bbx
3)3(mod0
)3(mod0)3(mod920)3(mod21120)3(mod2
Finalmente:
ccbx 6011113201120 )60(mod . En efecto:
32411 , 12511 , 23311
Visualmente:
9.2.8 Ejemplo resuelto.
Resuelve el sistema
11mod4
5mod3
x
x
Solución.
111541135
41111mod4
355mod3
qkqk
qxx
kxx
Mediante el EGCD o probando vemos que 1)1(11)2(5 , luego
55mod487
74)1(11
73)2(5
x
x
x
9.3 Sistemas de congruencias lineales con módulos coprimos.
9.3.1 Teorema. Teorema chino del residuo. (Primera versión, con coeficientes = 1 )
Sean rmmm ,...,, 21 enteros positivos tales que 1, ji mm si ji . Entonces el sistema
de congruencias lineales
rr mbx
mbx
mbx
mod
...
mod
mod
22
11
Tiene una única solución x módulo el entero rmmm ...21 .
y se obtiene siguiendo los siguientes pasos:
Paso 1: Sea rmmmN ...21 ,
Paso 2: Sean rr mNNmNNmNN /,...,/,/ 2211 .
Paso 3: Resolver las congruencias lineales:
111 mod1 myN , 222 mod1 myN , ... , rrr myN mod1
Paso 4: )(mod...222111 NbyNbyNbyNx rrr es la única solución del
sistema.
Demostración.
Sea rmmmN ...21 , y sean rr mNNmNNmNN /,...,/,/ 2211 .
Es decir, rkkk mmmmmN ...... 1121 , y puesto que 1, ji mm si ji , está claro
que 1, kk mN , y por tanto, aplicando el Teorema 8.2.1, cada kN tendrá un inverso
multiplicativo módulo km , al que llamaremos ky .
Sea el entero rrr byNbyNbyNx ...222111 , y vamos a demostrar que este entero
satisface las condiciones del enunciado.
Puesto que rkkk mmmmmN ......1121 , está claro que ji mN mod0 si ji , y
por tanto kkkkk mbbyNx mod , para todo k, es decir, este número satisface todas
las congruencias del enunciado.
Veamos que esta solución es única módulo N.
Supongamos que existe otra solución y módulo N. Para cualquier valor de k, rk 1 ,
kk
k
r
myxyxm
Nm
yxmmmyxNNyx
mod|
|
|...|mod 21
Y por tanto kk mbxy mod , es decir, y también satisface el sistema de
congruencias.
Veamos ahora que todas las soluciones posibles son de esta forma. Supongamos que dos
enteros x e y son soluciones del sistema de congruencias, entonces, para todo k,
rk 1 ,
yxmmyxmbxy kkkk |mod0mod
Y, puesto que los km son coprimos dos a dos, tendremos que
NyxyxmmmN r mod|...21
9.3.2 Ejemplo. El problema de Sun-Tsu.
El Teorema chino del residuo debe su nombre en honor al siguiente problema del siglo I
DC: Determina un número cuyos residuos son 2, 3 y 2 al dividirlo entre 3, 5 y 7,
respectivamente.
Nota: Este mismo problema aparece en las Introductio Arithmeticae del matemático
griego Nicómano de Gerasa, alrededor del 100 DC.
Solución. Se trata de resolver el sistema de congruencias lineales
)7(mod2
)5(mod3
)3(mod2
x
x
x
Paso 1: 105753 N
Paso 2: 15
7
105
,21
5
105
,35
3
105
321 NNN
Paso 3: Las congruencias lineales )3(mod135 1 y , )5(mod121 2 y y )7(mod115 3 y
tienen soluciones 21 y , 12 y y 13 y .
Paso 4: 233211531212235 x será solución del sistema módulo 105, y
)105(mod23233
Y por tanto 23 es la única solución del sistema (módulo 105).
En efecto: 27323,35423,23723
9.3.3 Ejemplo resuelto.
Resolver el sistema de congruencias
)9(mod7
)4(mod2
x
x
Solución.
Claramente 1)9,4( y por tanto el sistema tiene solución.
Paso 1: 3694 N
Paso 2: 9
4
36
1 N , 4
9
36
2 N .
Paso 3: Resolvemos las ecuaciones )4(mod19 1 y y )9(mod14 2 y
Puesto que 14219 , y 1932874 , tenemos que 11 y , 72 y son
soluciones.
Paso 4: La solución es 214774219 x (mod 36) , es decir, 34.
Efectivamente, 28434 , y 73934 ,
9.3.4
F
Problema solucionado paso a paso en vídeo.
Determina el número de parejas ordenadas ),( yx de enteros positivos, con 100 xy
tales que
y
x
,
1
1
y
x
sean enteros.
AIME 1995 #8
Solución: https://youtu.be/0ZsmuF4WPb8
9.3.5 Teorema. Teorema chino del residuo (Versión general).
Sean rmmm ,...,, 21 enteros positivos tales que 1, ji mm si ji .
Sean rbbb ,...,, 21 enteros arbitrarios y raaa ,...,, 21 enteros tales que 1, kk ma para todo
rk 1 .
Entonces el sistema de congruencias lineales
rrr mbxa
mbxa
mbxa
mod
...
mod
mod
222
111
Tiene una única solución x módulo el entero rmmm ...21 .
En efecto, puesto que 1, kk ma , existirán los inversos multiplicativos de ka , y
podemos reescribir el sistema como
rrr mbax
mbax
mbax
mod
...
mod
mod
1
22
1
2
11
1
1
Y aplicar el Teorema Chino del residuo en su versión del Teorema 9.3.1.
https://youtu.be/0ZsmuF4WPb8
9.4 Sistemas de congruencias lineales con módulos no coprimos.
Se pueden resolver algunos sistemas de congruencias cuando sus módulos no son coprimos,
pero no siempre, como veremos en el siguiente ejemplo.
9.4.1 Ejemplo.
Resolver el sistema de congruencias
)12(mod4
)10(mod1
x
x
Solución.
31210412110
412)12(mod4
110)10(mod1
baba
bxx
axx
Esta última igualdad nos lleva a contradicción, pues el valor de la derecha es impar y el
valor de la izquierda es par. Así pues, el sistema no tiene solución.
Visualmente:
9.4.2 Teorema. Teorema chino del residuo con módulos no coprimos y dos congruencias.
El sistema
)(mod
)(mod
22
11
max
max
Tiene solución si y solo si 2121 ,mod mmaa , en cuyo caso existe una única solución
21,mod aa .
Observamos que el Teorema chino del residuo sería un caso particular de este teorema
cuando 1, 21 mm , pues entonces garantizamos que el sistema tenga solución, y
2121, mmaa .
9.4.3 Ejemplo.
Resolver el sistema
)18(mod11
)12(mod5
x
x
Solución.
Puesto que 6)18,12( , y 5)-(11|6 , existirá una única solución. La vamos a obtener
con el método interactivo.
)18(mod612)18(mod51112)18(mod11512)18(mod11
512)12(mod5
aaax
axx
Esta última congruencia se puede simplificar: 6 divide a 12 y a 6, y además
6)18,6( mcd , luego podemos simplificarla:
36mod293652312512
23)3(mod2)3(mod12)18(mod612
kkax
kaaaa
Donde hemos tenido en cuenta que 3618,12
Efectivamente, 521229 , y 1111829
Visualmente:
9.4.4
M
Diremos que un entero positivo n es extra-distinct si sus residuos cuando lo dividimos
entre 2, 3, 4, 5 y 6 son distintos. Determina el número de enteros positivos extra-distinct
menores que 1000.
AIME I 2023 #7
9.4.5 Teorema (versión general de 9.4.2)
Sean rmmm ,...,, 21 enteros positivos. Entonces el sistema de congruencias lineales
rr mbx
mbx
mbx
mod
...
mod
mod
22
11
Tiene solución si y solo si jiji mmbb ,mod para todo ji , en cuyo caso la solución
será única rmmm ,...,, 21 .
9.5 Congruencias lineales mediante sistemas de congruencias lineales.
El Teorema chino del residuo se puede usar para convertir una congruencia lineal cuyo
módulo es un número compuesto grande en un sistema de varias congruencias con
módulos más pequeños, con los que resultará más sencillo operar.
Nos basaremos en el siguiente resultado:
)(mod
)(mod
)(mod
mbxa
nbxa
mnbxa
En efecto: )(mod)(mod nbxabnkmbnmkxamnbxa
Existe un recíproco: mnbxambxaynbxa ,mod)(mod)(mod
9.5.1 Ejemplo.
Resolver la congruencia lineal )276(mod917 x .
Solución. Puesto que 2334276 , la ecuación anterior es equivalente a resolver el
sistema de congruencias
)23(mod917
)4(mod917
)3(mod917
x
x
x
o equivalentemente:
)23(mod917
)4(mod1
)3(mod0
x
x
x
)3(mod0x equivale a decir que ax 3 , luego sustituyendo en la segunda ecuación y
multiplicando por 3 ambos lados:
912334)4(mod3)4(mod39)4(mod13 baxbaaaa
Sustituyendo en la tercera ecuación:
)276(mod33332769242769)223(12
223)23(mod2)23(mod63
)23(mod63)23(mod1720)23(mod144204
)23(mod9153204)23(mod991217)23(mod917
xkkkx
kbbb
bbb
bbx
Efectivamente, 927625613317 .
9.6 Congruencias y sistemas de congruencias lineales con varias variables.
9.6.1 Ejemplo resuelto.
Determina todas las soluciones de 13mod1173 yx
Solución.
13mod117313mod1173 yxyx
En primer lugar, observamos que, fijado un 117 y , la congruencia tiene solución en x
y es única, puesto que 113,3 y 117y|1 para cualquier valor de y (ver Teorema
9.1.3).
Vamos a determinar las soluciones en función del valor de y:
13mod854411411313mod1130 1 xxy
En donde hemos utilizado que 13mod43 1 , puesto que 14313 .
13mod618418313mod18111731 1 xxy
Y de la misma manera vamos obteniendo el resto de soluciones posibles:
13mod42 xy , 13mod23 xy
13mod04 xy , 13mod115 xy
13mod96 xy , 13mod77 xy
13mod58 xy , 13mod39 xy
13mod110 xy , 13mod1211 xy
13mod1012 xy
9.6.2
Sea N el mayor entero de cuatro dígitoscon la propiedad de que si cualquiera de sus
dígitos se reemplaza por un 1, el resultado es divisible entre 7. Sean Q y R el cociente y
residuo, respectivamente, de N dividido entre 1000. Determina Q+R.
AIME II 2024 #7
10 Congruencias cuadráticas. Residuos cuadráticos.
10.1 Congruencias cuadráticas con módulos primos.
10.1.1 Definición. Congruencias cuadráticas módulo n.
Una congruencia cuadrática es una congruencia de la forma
nax mod2
donde 1),( na . Si la congruencia tiene solución, diremos que a es un residuo
cuadrático módulo n.
En general, llamaremos congruencia cuadrática a la congruencia
nCBxAx mod02 , con 1),( nA
Este primer apartado lo dedicaremos a estudiar las congruencias cuadráticas cuando el
módulo es un número primo. El método general para resolver estas congruencias es
completar cuadrados, tal y como veremos en los siguientes ejemplos resueltos.
10.1.2 Ejemplo resuelto.
Resuelve la congruencia cuadrática 17mod0562 xx
En primer lugar completamos el cuadrado, y necesitamos sumar 932 .
17mod43
17mod953
17mod35332
17mod056
2
2
222
2
x
x
xx
xx
Tenemos que resolver la congruencia 17mod42 u , por tanteo:
)(17mod152
)(17mod2
17mod42
bu
au
u
(a) 17mod1613217mod23 xx
(b) 17mod1253217mod23 xx
10.1.3 Ejemplo resuelto.
Resuelve la congruencia cuadrática 13mod01132 xx
Completamos cuadrados:
)(13mod232
)(13mod232
13mod43532
13mod34432
13mod3443232)2(
13mod04462)2(
13mod044124
13mod0113
2
22
222
2
2
2
bx
ax
x
x
xx
xx
xx
xx
(a) 13mod613mod1213mod232 xxx
(b) 13mod413mod5213mod232 xxx
10.1.4 Ejemplo resuelto.
Resuelve la congruencia cuadrática 19mod0472 2 xx
Utilizando que 19mod127 :
)(19mod362
)(19mod362
19mod92862
19mod02862
19mod08662
19mod08662
19mod0866622)2(
19mod08244
19mod04122
19mod0472
2
2
22
22
222
2
2
2
bx
ax
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
(a) 19mod1419mod9219mod362 xxx
(b) 19mod1119mod3219mod362 xxx
10.1.5 Ejercicio resuelto.
Resolver la congruencia
7mod0532 xx
Solución.
Siguiendo los pasos anteriores llegamos a la congruencia equivalente
7mod132
2
x
Y vemos que 1 es un residuo cuadrático módulo 7. En efecto: 7mod112 y
7mod13662 . Luego nuestro problema se reduce a resolver las siguientes
congruencias lineales:
7mod132 x y 7mod632 x
7mod617mod227mod132 xxx
7mod57mod127mod34
7mod327mod327mod632 1
xxx
xxx
En donde hemos utilizado que 7mod427mod1842 1
Fuente: “Michael Penn Math” https://youtu.be/oPZbKUwBh4s
10.1.6 Ejercicio resuelto.
Resuelve 13mod0265 2 xx
Solución.
Siguiendo la transformación anterior, esta congruencia es equivalente a
13mod913mod9610 22
yx , tomando 610 xy .
Vemos que 9 es un residuo cuadrático módulo 13, en efecto:
13mod10313
13mod3
13mod92
y
y
y
Ahora deshacemos el cambio de variable:
a) )1(13mod91013mod361013mod3 xxy
Calculamos el inverso multiplicativo de 10 módulo 13 mediante el ADE (ver Apartado
8.3):
13mod41013310410313310
101331033101
3310113310
10133311013
1
Y por tanto:
13mod103694)1( x
b)
13mod1234
13mod3161013mod1061013mod10
x
xxy
Así pues, las soluciones son 13mod12,10x
https://youtu.be/oPZbKUwBh4s
10.1.7
D
Problema solucionado paso a paso en vídeo
Sea un número primo positivo dado. Demostrar que existe un entero α tal que
31 es divisible por p si y sólo si existe un entero β tal que 251 es
divisible por p.
OME 2016 #2
Solución: https://youtu.be/5adoPGcR2hk
https://youtu.be/5adoPGcR2hk
10.2 Congruencias cuadráticas con módulos compuestos.
10.2.1 Ejemplo resuelto.
Resuelve la congruencia 55mod262 x
Solución.
Observamos que 11555 .
Resolvemos las congruencias 5mod262 x y 11mod262 x por tanteo:
5mod4
5mod1
5mod15mod26 22
x
x
xx
11mod9
11mod2
11mod411mod26 22
x
x
xx
Así pues, tomando todas las parejas de soluciones posibles, tenemos cuatro sistemas de
congruencias lineales, que resolveremos directamente, sin usar el TCR:
a)
11mod15511115211
21111mod2
155mod1
aabab
bxx
axx
55mod464655145551911515
91111mod911mod15
xcccax
caaa
b)
11mod85581115911
91111mod9
155mod1
aabab
bxx
axx
55mod313155130551611515
61111mod611mod85
xcccax
caaa
c)
11mod25521145211
21111mod2
455mod4
aabab
bxx
axx
55mod242455420554411545
41111mod411mod925
xcccax
caaa
d)
11mod55551145911
91111mod9
455mod4
aabab
bxx
axx
55mod995545554111545
11111mod111mod55
xcccax
caaa
Así pues, esta congruencia tiene cuatro soluciones: 55mod46,31,24,9x
10.2.2 Ejemplo resuelto.
Resuelve la congruencia )144(mod12 x
Solución.
Puesto que 916144 , y 1)9,16( , podemos descomponer la ecuación anterior en el
sistema no lineal
)9(mod1
)16(mod1
2
2
x
x
)16(mod12 x tiene 4 soluciones: 1x o 7 (mod 16)
)9(mod12 x tiene 2 soluciones: 1x (mod 9)
Luego tenemos ocho alternativas:
i) )16(mod1x y )9(mod1x
ii) )16(mod1x y )9(mod1x
iii) )16(mod1x y )9(mod1x
iv) )16(mod1x y )9(mod1x
v) )16(mod7x y )9(mod1x
vi) )16(mod7x y )9(mod1x
vii) )16(mod7x y )9(mod1x
viii) )16(mod7x y )9(mod1x
Podemos ir resolviendo cada caso mediante el TCR.
Independientemente del caso, 1)9,16( , luego todos los ocho sistemas tienen solución.
Además: 16,9 21 NN , 9)16(mod19 11 yy , 4)9(mod116 22 yy
i) )144(mod1)144(mod1451416199 x
ii) )144(mod17)1(416199 x
iii) )144(mod171416)1(99 x
iv) )144(mod1)144(mod145)1(416)1(99 x
v) )144(mod55)144(mod6311416799 x
vi) )144(mod71)144(mod503)1(416799 x
vii) )144(mod71)144(mod73)144(mod5031416)7(99 x
viii) )144(mod55)144(mod631)1(416)7(99 x
10.2.3
F
Calcula los tres últimos dígitos de 20061211 2005...20052005
Senior Hanoi Open MO 2006
10.2.4
F
Demostrar que si x es un número impar no divisible entre tres, entonces 24mod12 x .
10.2.5 Ejemplo resuelto.
Resuelva la congruencia )77(mod42 x
Solución:
)11(mod2)11(mod4
)7(mod2)7(mod4
)77(mod4
2
2
2
xx
xx
x
Luego tenemos cuatro casos:
a) )11(mod2,)7(mod2 xx
b) )11(mod2,)7(mod2 xx
c) )11(mod2,)7(mod2 xx
d) )11(mod2,)7(mod2 xx
Vamos a resolver estos casos mediante el TCR:
a)
)77(mod222771562872211
8)11(mod177
2)7(mod11111
77
222
111
x
yyN
yyN
N
Y por tanto la primera solución es )77(mod2x
Para ahorrarnos trabajo, podemos deducir el resto de los casos directamente de la última
igualdad:b) )77(mod68287)2(211 x
c) )77(mod9776868)2(872211 x
d) )77(mod75377156156)2(87)2(211 x
Así pues, las soluciones son )77(mod75,68,9,2x
Fuente: “PROFMAT MA14 12.2” en Youtube.
10.2.6 Ejemplo resuelto.
Resuelve la congruencia )49(mod012 xx
Solución.
Puesto que 2749 , en primer lugar resolveremos la congruencia
)7(mod012 xx .
)()7(mod2)7(mod02
)()7(mod43)7(mod03
)7(mod0)2)(3(
)7(mod06
)7(mod01
2
2
bxx
axx
xx
xx
xx
(b) 27)7(mod2 kxx . Ahora substituimos en la congruencia inicial:
)49(mod0735
)49(mod073549
)49(mod0127)27(
)49(mod01
2
2
2
k
kk
kk
xx
En donde hemos aplicado que )49(mod049 .
47)7(mod4
)7(mod615
)7(mod015
)49(mod0157
)49(mod0735
ukk
k
k
k
k
Luego )49(mod30304922849247727 xuuukx .
(a) 47)7(mod4 kxx . Ahora substituimos en la congruencia inicial:
)49(mod02114
)49(mod0216349
)49(mod0147)47(
)49(mod01
2
2
2
k
kk
kk
xx
En donde hemos aplicado que )49(mod049 y )49(mod1463 .
27)7(mod2
)7(mod432
)7(mod032
)49(mod0327
)49(mod02114
vkk
k
k
k
k
Luego )49(mod181849427747 xvvkx .
Así pues, hay dos soluciones para la congruencia del enunciado: )49(mod30,18x .
10.2.7
F
Determina el menor entero positivo m tal que 8972 mm sea un múltiplo de 77.
Mandelbrot 2009
10.3 Congruencias con potencias y polinomios.
Proposición. Congruencias con potencias.
Las propiedades estudiadas en el Tema 4 tienen unas aplicaciones muy importantes en
el estudio de las congruencias:
Dados dos enteros positivos kd , , con kd | , entonces:
a) )(mod)(mod nbanba kk
b) )(mod)(mod nbanba kkdd
c) )(mod nba dd y dk / es impar, )(mod nba kk
Demostración. a) Basta aplicar kk baba | para todo k.
b) Basta aplicar kkdd babakd || .
c) (*)|)(mod0)(mod dddddd bannbanba
Pero si dk / es impar tenemos kkdd baba | , luego
)(mod)(mod0|(*) nbanbaban kkkkkk
Problema resuelto.
Aprovechando que 12552641 744 , demostrar que 12|641 32 .
12|641
)641(mod012)641(mod21)641(mod21
)641(mod21641)641(mod225
)641(mod225)641(mod2225
)641(mod25)641(mod05252641
32
3232324
3243247
32284284284
444444
Teorema.
Dado un polinomio con coeficientes enteros 011 ...)( cxcxcxcxp m
m
m ,
entonces:
)(mod)()()(mod nbpapnba
Demostración. )(mod)(mod)(mod nbcacnbanba k
k
k
k
kk
)(mod)()(
00
nbcbpacap
m
k
k
k
m
k
k
k
10.3.1
F
Dado cualquier número positivo n, y sea S la suma de sus cifras, demuestra:
a) Sn es divisible entre 9.
b) n es divisible entre 9 si y solo si S es divisible entre 9.
En este problema justificamos el “criterio de divisibilidad del nueve”: Un número es
divisible entre nueve si y solo si las suma de sus cifras es divisible entre 9.
10.3.2
F
Demuestra el “criterio de divisibilidad del once”: Un número es divisible entre 11 si y
solo si la suma alternada de sus cifras es múltiplo de 11.
Proposición.
Dado un polinomio con coeficientes enteros 011 ...)( cxcxcxcxp m
m
m , diremos
que a es una solución de la congruencia )(mod0)( nxp si )(mod0)( nap .
Si a es una solución de la congruencia )(mod0)( nxp y )(mod nab entonces b
también es una solución de la congruencia )(mod0)( nxp .
Demostración. )(mod)(0)(mod)()(0)(mod nbpnbpapnba
10.4 El Teorema de Wilson.
10.4.1 Lema.
Si p es un número primo, pxpx mod1mod12 .
Demostración. pxpx mod1mod1 2 por las propiedades básicas de la
aritmética modular.
Veamos el recíproco. Supongamos que )1)(1(1|mod1 22 xxxppx .
Luego, por ser p un número primo, se cumple pxxp mod11| o se cumple
pxxp mod11| , tal y como queríamos ver.
10.4.2 Teorema. Teorema de Wilson.
Si p es un número primo, pp mod1!1
Demostración. Los casos 2p y 3p se pueden demostrar directamente.
Supongamos que 2p .
Vemos que todo número 2,...,4,3,2 pa tiene inverso pa mod1 , y que se
cumple paa mod1 , porque en ese caso tendríamos, aplicando el lema anterior,
papaaa mod1mod112
llegando a contradicción.
Así pues, podemos agrupar los elementos de 2,...,4,3,2 p por parejas, siendo el
producto de cada pareja congruente con 1, en lenguaje modular:
pp mod1)2(...32
Luego, finalmente, pppppp mod11)1(1112...321)!1(
tal y como queríamos ver.
Observación: El recíproco también es cierto: Si nn mod1!1 , entonces n es
primo, lo que da un nuevo método para determinar si un número es primo o no, aunque
no es nada práctico, pues !1n es enorme.
10.4.3
F
Determina el residuo al dividir !14 entre 17.
10.4.4
F
Determina el residuo al dividir !2015!2016 entre 2017.
10.4.5
F
Sea a un entero tal que
!2323
1
...
3
1
2
1
1
1 a
Determina el residuo que obtenemos al dividir a entre 13.
ARML 2002
10.4.6
D
Dado un primo impar p, demuestra que
pp
p
mod1)2(...531
2/)1(2222
10.4.7
M
Diremos que un entero 102,...,1x es square-ish si existe un entero n tal que
103mod2 nnx . Calcula el producto de todos los enteros square-ish módulo 103.
SMT 2023 Discrete #6
10.5 Residuos cuadráticos. Ley de reciprocidad.
Definición. Residuo cuadrático modular.
Sea p un número primo. Diremos que un entero a no divisible entre p es un residuo
cuadrático módulo p cuando sea un cuadrado perfecto módulo p.
Por ejemplo, en ℤ5: 1² ≡ 1, 2² ≡ 4, 3² ≡ 4, 4² ≡ 1.
Luego 1 y 4 son residuos cuadráticos en ℤ5, mientras que 2 y 3 no lo son.
Residuos cuadráticos y representación simétrica.
Si en vez de utilizar la representación estándar:
ℤp = { 0, 1, 2, … , p-2, p-1 }
utilizamos la llamada representación simétrica
ℤp = { -(p-1)/2, …,-2, -1, 0, 1, 2, … , (p-1)/2 }
entonces veremos más claro como son los residuos cuadráticos. Por ejemplo, en ℤ7:
n -3 -2 -1 0 1 2 3
2n 2 -3 1 0 1 -3 2
Hay tres residuos cuadráticos: 1, 2 y -3.
Listado de los residuos cuadráticos asociados a los primeros números primos:
3→ 1
5 → 1,-1
7 → 1,2,-3
11 → 1,3,4,5,-2
13 → 1,3,4,-4,-3,-1
17 → 1,2,4,8,-8,-4,-2,-1
19 → 1,4,5,6,7,9,-8,-3,-2
23 → 1,2,3,4,6,8,9,-11,-10,-7,-5
29 → 1,4,5,6,7,9,13,-13,-9,-7,-6,-5,-4,-1
31 → 1,2,4,5,7,8,9,10,14,-15,-13,-12,-11,-6,-3
37 → 1,3,4,7,9,10,11,12,16,-16,-12,-11,-10,-9,-7,-4,-3,-1
41 → 1,2,4,5,8,9,10,16,18,20,-20,-18,-16,-10,-9,-8,-5,-4,-2,-1
43 → 1,4,6,9,10,11,13,14,15,16,17,21,-20,-19,-18,-12,-8,-7,-5,-3,-2
47 → 1,2,3,4,6,7,8,9,12,14,16,17,18,21,-23,-22,-20,-19,-15,-13,-11,-10,-5
53 → 1,4,6,7,9,10,11,13,15,16,17,24,25,-25,-24,-17,-16,-15,-13,-11,-10,-9,-7,-6,-4,-1
59 → 1,3,4,5,7,9,12,15,16,17,19,20,21,22,25,26,27,28,29,-24,-23,-18,-14,-13,-11,-10,-8,-6,-2
61 → 1,3,4,5,9,12,13,14,15,16,19,20,22,25,27,-27,-25,-22,-20,-19,-16,-15,-14,-13,-12,-9,-5,-4,-3,-1
67 → 1,4,6,9,10,14,15,16,17,19,21,22,23,24,25,26,29,33,-32,-31,-30,-28,-27,-20,-18,-13,-12,-11,-8,-7,-5,-3,-2
71 → 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,19,20,24,25,27,29,30,32,-35,-34,-33,-31,-28,-26,-23,-22,-21,-17,-14,-13,-11,-7
73 → 1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,19,23,24,25,27,32,35,36,-36,-35,-32,-27,-25,-24,-23,-19,-18,-16,-12,-9,-8,-6,-4,-3,-2,-1
79 → 1,2,4,5,8,9,10,11,13,16,18,19,20,21,22,23,25,26,31,32,36,38,-39,-37,-35,-34,-33,-30,-29,-28,-27,-24,-17,-15,-14,-12,-7,-6,-3
83 → 1,3,4,7,9,10,11,12,16,17,21,23,25,26,27,28,29,30,31,33,36,37,38,40,41,-39,-35,-34,-32,-24,-22,-20,-19,-18,-15,-14,-13,-8,-6,
-5,-2
89 → 1,2,4,5,8,9,10,11,16,17,18,20,21,22,25,32,34,36,39,40,42,44,-44,-42,-40,-39,-36,-34,-32,-25,-22,-21,-20,-18,-17,-16,-11,-10,-9,-8,-5,-4,-2,-1
Teorema.
Si p es un número primo impar (es decir, excluímos 2p ), en ℤp se cumple:
a) n es el cuadrado de a si y solo si es el cuadrado de a .
b) En hay exactamente
2
1p
residuos cuadráticos y
2
1p
valores que no lo son.
Demostración.
a)
pyxyxp
o
pyxyxp
yxyxyxp
pay
pax
mod|
mod|
))((|
mod
mod
22
2
2
Definición. Símbolo de Legendre.
Sea p un número primo impar y sea a un entero. Definimos
p módulo cuadrático residuoun es no a si1
p módulo cuadrático residuoun es a si1
1),( si0 pa
q
a
Siguiendo el ejemplo anterior,
1
5
1
, 1
5
2
, 1
5
3
, 1
5
4
, 0
5
5
Ley de reciprocidad cuadrática de Gauss.
Sean p y q dos números primos impares. Se cumple
p
q
q
p qp
2
1
2
1
)1(
La ley de reciprocidad cuadrática establece una sorprendente relación entre
q
p
y
p
q
. Esta ley fue conjeturada, basándose en evidencia numérica, por Euler en 1783 y
Lagrange en 1785. Legendre le dio la forma actual a esta ley, pero no pudo dar una
prueba completa. La primera prueba rigurosa fue dada por Gauss en a la edad de 18
años. Hasta el 2004 se conocían 190 pruebas diferentes. Gauss llamó a este teorema
“Aureum Theorema”. Su importancia en la teoría de números no tienen discusión. Al
respecto, Hecke afirmó al respecto: “La teoría de números moderna comenzó con el
descubrimiento de la Ley de Reciprocidad Cuadrática”.
Ejemplo 1.
Queremos determinar cuando 5 es un cuadrado perfecto en ℤp. Observemos la siguiente
tabla:
p
p
5
5modp
7 -1 2
11 1 1
13 -1 3
17 -1 2
19 1 4
23 -1 3
29 1 4
31 1 1
37 -1 2
41 1 1
43 -1 3
47 -1 2
Observamos que, para determinar si 5 es o no un cuadrado perfecto en ℤp basta
comprobar si 5modp es 1 o 4, es decir, cuando 5modp sea un cuadrado perfecto.
Ejemplo 2.
Determina si 69 es o no un cuadrado perfecto módulo 389.
Aplicando la Ley de reciprocidad cuadrática de Gauss, y teniendo en cuenta que es una
función multiplicativa:
389
23
389
3
389
233
389
69
Por un lado,
1)1(1
3
389
1
389
3 2/)1389(2/)13(
en donde hemos aplicado:
11111
1942/3882/3882/)1389(2/)13(
3mod2389 no es ningún cuadrado perfecto.
y por otro lado,
23
389
1
389
23 2/)1389(2/)123(
en donde hemos aplicado:
111
194112/)1389(2/)123(
23mod21389 no es ningún cuadrado perfecto.
luego
1)1)(1(
389
23
389
3
389
233
389
69
y por tanto sí es un cuadrado perfecto.
Observación.
Para saber si 23mod21 es o no un cuadrado perfecto se podría haber aplicado de
nuevo la Ley de reciprocidad cuadrática de Gauss:
11)1(
23
2
23
1
389
2
23
21
en donde hemos utilizado:
1
23
1
1
23
2
porque 23mod22552
Criterio de Euler.
pa
p
a p mod11 2/)1(
Corolario.
La ecuación pax mod2 no tiene solución si y solo si pa p mod12/)1( , o dicho
de otra manera, pa
p
a p mod12/)1(
.
Ejemplo 1.
Supongamos que .11p
Por un lado, tenemos
0² ≡ 0, 1² ≡ 1 , 2² ≡ 4 , 3² ≡ 9 , 4² ≡ 5 , 5² ≡ 3 , 6² ≡ 3, 7² ≡ 5 , 8² ≡ 9 , 9² ≡ 4 , 10² ≡ 1
Así pues, los cuadrados perfectos en ℤ11 son 0, 1, 3, 4, 5, 9.
Por otro lado, tenemos 52/)111(2/)1( aaa p , y las potencias 5mod5a son
0
5
≡ 0, 1
5
≡ 1 , 2
5
≡ -1 , 3
5
≡ 1 , 4
5
≡ 1 , 5
5
≡ 1 , 6
5
≡ -1, 7
5
≡ -1 , 8
5
≡ -1 , 9
5
≡ 1 , 10
5
≡ -
1
Y verificamos que se cumple el Criterio de Euler: 11mod11
11
2/)111(
a
a
Ejemplo 2.
¿ 3 es un cuadrado perfecto en ℤp, con p=726377359 ?
Mediante el Criterio de Euler, y usando Mathematica:
Luego pp mod13 2/)1( , y por tanto 3 no es un cuadrado perfecto en este cuerpo.
Mediante la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss:
33
)1(
3
2
13
2
1 pp
p
p
Aquí hemos aplicado que
363188679
2
726377358
2
1726377359
2
13
2
1
2
1
2
1
pqp
es impar
y por tanto
1)1( 2
13
2
1
p
Para calcular
3
p
vemos que )3(mod1p y 1 sí es un cuadrado perfecto en ℤ3, es
decir,
1
33
)1(
3
2
13
2
1
pp
p
p
Y por tanto 3 sí es un cuadrado perfecto en ℤp.
Observamos que el segundo método, mediante la ley de reciprocidad cuadrática de
Gauss, es mucho más efectivo, pues nos ha evitado calcular una potencia modular.
11 Problemas de la tercera parte.
11.1
MF
Sea n un número natural. Probar que si la última cifra de n7 es 3, la penúltima es 4.
OMEFL 2018 #5
11.2
MF
Demuestra que 22225555 55552222 es múltiplo de 7.
OMEFL #4
11.3
M
Determina el número de valores distintos de la expresión
2
2
2
2
nn
n
Donde 100,...,3,2,1n
OME 2017 #1
11.4
F
Probar que para todo entero positivo n, 719 nn es divisible por 30.
OMEFL 2009 #4
11.5
D
Probar que hay infinitos números primos cuyo resto al dividirlos entre 3 es 2.
OMEFL 2017 #5
11.6
M
Determinar razonadamente si el número
223 2 nnn
es irracional para todo entero no negativo n .
OME 2012 #1
11.7
M
Los números naturales 22, 23, y 24 tienen la siguiente propiedad: los exponentes de los
factores primos de su descomposición son todos impares:
11 11222 , 12323 , 13 3224
¿Cuál es el mayor número de naturales consecutivos que pueden tener esa propiedad?
Razónese la contestación.
OMEFL 2006 #5
11.8
F
a) Demostrar que
1
)1()1()1( 2
2
2
2
2
2
z
z
y
y
x
x
Para todos los números reales zyx ,, , todos diferentes de 1 y cumpliendo 1xyz .
b) Demostrar que la igualdad acontece para infinitas ternas de números racionales
zyx ,, , todos diferentes de 1 y cumpliendo 1xyz .
IMO 2008 #2
Nota: Solo el apartado b es un problema de Teoría de Números. El apartado a es un problema propio de
Desigualdades.
11.9
MD
Demuestra que para cada entero n existe un entero de n dígitos, todos impares, divisible
por n5 .
USAMO 2003 #1
11.10
D
Demostrar que para cualquier par de enteros positivos k y n , existen k enteros
positivos kmmm ...,,, 21 (no necesariamente distintos) tales que
k
k
mmmn
1
1...
1
1
1
1
12
1
21
IMO 2013 #1
11.11
D
Sea n un entero positivo y sean kaa ,...,1 ( 2k ) enteros distintos del conjunto {1, ...,n},
tales que n divide a 11 ii aa , para 1,...,1 ki . Demostrar que n no divide a
11 aak .
IMO 2009 #1
11.12
D
Determinar un número de cinco cifras tal que su cuadrado termine en las mismas cinco
cifras colocadas en el mismo orden.
OME 1984 #2
11.13
D
Determina la suma de todos los enteros positivos n tales que, cuando
3333 ...321 n se divide entre 5n , el residuo es 17.
AIME II 2020 #10
11.14
M
Determinar todos los números de cuatro cifras abcdn tales que al insertar un dígito 0
en cualquier posición se obtiene un múltiplo de 7.
OMEFL Aragón 2021 #3
11.15
F
a) Demuestra que 12 n y 12 n son coprimos.
b) Demuestra que, sin es un número par, entonces 12 n y 13 n son primos entre sí.
11.16
F
Demuestra que 20012001 32 es divisible entre 7.
11.17
F
Determina el mayor entero positivo n para el que 1003 n es divisible entre 10n .
AIME 1986
11.18
D
Determina el número de enteros 600n cuyos valores pueden ser determinados
unívocamente si nos dan los valores de
4
n
,
5
n
y
6
n
, donde x denota el menor
entero menor o igual que el número real x .
AIME II 2022 #8
11.19
F
Determina el máximo común divisor de los números
26263 532 nnn
nA
para todo 1999,...,1,0n .
Junior Balkan Mathematical Olympiad 2001
11.20
MD
Determina todos los enteros 1n para los cuales si p es un divisor primo de 16 n ,
también será un divisor de 11 23 nn .
Baltic Mathematics Competition 2002
11.21
F
Consideremos los siguientes 100 conjuntos de 10 elementos:
{1, 2, 3, ... , 10},
{11, 21, 31, ... , 20},
...
{991, 991, 991, ... , 1000}.
¿Cuántos de estos conjuntos contienen exactamente dos múltiplos de 7?
(A) 40 (B) 42 (C) 43 (D) 49 (E) 50
AMC 12B 2022 #6, AMC 10B #8
11.22
D
Problema solucionado paso a paso en vídeo .
Determina, de entre los siguientes números, el único que no es divisible por ningún
número primo menor que 10.
(A) 12606 (B) 12606 (C) 12607 (D) 12607 (E) 607607 32
AMC 12B 2022 #15, AMC 10B 2022 #17
Solución: https://youtu.be/rideZfPgmeQ
11.23
M
Los enteros positivos x e y son tales que yx 43 y yx 34 son cuadrados perfectos.
Demuestra que x e y son múltiplos de 7.
OMEFL Castilla y León 2023 #4
11.24
M
Encontrar todos los enteros positivos 1,, cba que satisfacen
472 2 cba
OMEFL Aragón 2023 #6
11.25
D
Demuestra que, para cada entero positivo n, existe un número entero de n dígitos
divisible entre n5 cuyas cifras son todas impares.
USAMO 2003 #1
11.26
D
Determina el menor entero positivo n para el cual nnn 52 sea un múltiplo de 1000.
AIME II 2021 #13
https://youtu.be/rideZfPgmeQ
12 Exponenciación modular. El problema del logaritmo discreto.
12.1 Exponenciación modular.
Definimos la exponenciación modular de la forma convencional:
vecesn
n aaa
aa
a
...
1
1
0
Ejemplo.
Determina el último dígito de 1007
Solución:
Debemos determinar 10mod7100
Primera versión:
Vamos calculando potencias sucesivas:
10mod121737
10mod363797
10mod9497
10mod77
4
3
2
1
Luego 10mod1177710mod17 252542541004
Segunda versión:
10mod1177710mod1497
505025021002
12.2 Exponenciación modular optimizada (EMO).
Supongamos que queremos calcular 375 , realizando el mínimo número de operaciones
posible.
En primer lugar, escribimos 37 en base 2:
012345
2( 2120212020213710010137
Luego
12
0
2
1
2
0
2
0
2
1
2
1
2
0
2
1
2
0
2
0
2
1
2
212021202021
21202120202137
012345
012345
012345
012345
555555
555555
555555
55
Y ahora observamos que las sucesivas potencias
k25 se pueden calcular
recursivamente:
22222
2
2222
2
2222222222212
11334
223210
555...555
55555555555
kkk
Así pues, hemos reducido el cálculo de 375 a realizar 5 cuadrados y 2 multiplicaciones.
Este mismo método se puede generalizar para cualquier base y cualquier exponente,
obteniendo un método para calcular potencias nx que requiere un esfuerzo de cálculo
del orden )(log nO .
Además, este método es fácilmente codificable:
# Iterative Function to calculate
# (x^y)%p in O(log y)
def power(x, y, p) :
res = 1 # Initialize result
# Update x if it is more
# than or equal to p
x = x % p
if (x == 0) :
return 0
while (y > 0) :
# If y is odd, multiply
# x with result
if ((y & 1) == 1) :
res = (res * x) % p
# y must be even now
y = y >> 1 # y = y/2
x = (x * x) % p
return res
# Driver Code
x = 2; y = 3; p = 10
print("Power is ", power(x, y, p))
# This code is contributed by Nikita Tiwari.
Ejemplo 1.
Calcular )500(mod311 .
Solución.
122101111 13
2(
500mod6165618133
500mod8133
500mod933
500mod333
2
2
22
222
22
12
23
2
1
0
Finalmente, )500(mod147164739613333
013 22211
Ejemplo 2.
Calcula 17mod394
643216543210
2( 222222120212121212094101111094
6432164321 222222222294 3333333
17mod932
17mod4138193 222
17mod116)4(3 223
17mod1)1(3 224
17mod113 225
17mod113 226
Luego, finalmente: 17mod23611)1()4(9394
Ejemplo 3.
Calcula 26mod31000
51225612864328222222100011111010001000 987653
2(
(*)33333333 51225612864328512256128643281000
26mod331
26mod932
26mod38193 24
Vemos que entramos en un bucle:
26mod933 28 , 26mod3316 , 26mod9332 , 26mod3364
26mod93128 , 26mod33256 , 26mod93512
Por tanto: 26mod3993333939399(*)
12.2.1
Calcular )191(mod3172 .
Observación.
A partir de la versión 3.8, Python incorpora el comando
pow(a,n,m)
para determinar man mod de forma optimizada para aritmética modular, aplicando
las técnicas del apartado anterior.
12.3 El problema del logaritmo discreto (PLD).
Acabamos de ver que, dados dos números na, , calcular nab es un problema que se
resuelve realizando una cantidad relativamente pequeña de operaciones, porque no
necesitamos realizar toda la cadena de 1n operaciones
aaaaaaaaaaaaa nn 134232 ...
Sin embargo, el problema inverso, es decir, dados dos números ba, , encontrar
(suponiendo que existe) el valor de n tal que nab , al que llamaremos "logaritmo
discreto de b en la base a", es terriblemente difícil, pues, al no poder aplicar el truco
explicado en el apartado anterior, debemos ir probando, uno por uno, los sucesivos
valores
...... 134232 aaaaaaaaaaaaa nn
hasta encontrar (si es que existe), el valor b.
Esto, cuando trabajamos con números muy grandes, es un problema que se considera
actualmente irresoluble, y es el fundamento de la “Criptografía basada en el Logaritmo
Discreto”.
12.4 Aplicación a la Criptografía: El sistema Diffie-Hellman (DH).
En el año 1976, Whitfield Diffie y Martin Hellman propusieron el primer protocolo de
intercambio de clave basado en la exponenciación en cuerpos finitos y el PLD.
Supongamos que dos personas, Alicia y Benito, quieren acordar una clave secreta
común.
Alicia Espacio público Bob
En primer lugar pactan un
cuerpo finito qIF y un
elemento generador g del
mismo.
gIFq , son la clave
pública.
Alicia elige un entero
22 qa
Alicia envía ag
Alicia recibe bg
Alicia calcula abab gg
¡Todo lo que pase por aquí será visto por
el Enemigo!
El Enemigo puede ver ag y
bg , pero con ellos no es
capaz de deducir bag .
Bob recibe gIFq ,
Bob elige un entero
22 qb
Bob recibe ag
Bob envía bg
Bob calcula baab gg
Está claro que si el “Enemigo” hubiera solucionado el PLD, de ag y bg hubiera
deducido a y b y con ellos hubiera calculado abg , haciéndose con la clave secreta.Este método nos lleva a plantear el siguiente problema específico, llamado Problema de
Diffie-Hellman (PDH):
Dados ag y bg y un elemento qIFs , deducir si abgs .
A pesar de que no se ha demostrado que PDH y PLD son equivalentes en el caso
general, existen resultados que prueban la equivalencia de ambos problemas bajo ciertas
condiciones.
12.5 Aplicación a la Criptografía: El Criptosistema de ElGamal.
Uno de los métodos criptográficos basados en Logaritmo discreto es “ElGamal”,
propuesto por Taher ElGamal en 1985.
Emisor: Alicia Espacio público Receptor: Bob
Emisor y receptor pactan
un cuerpo finito qIF y un
elemento generador g del
mismo.
gIFq , son la clave
pública.
Alicia recibe ag
Supongamos que Alicia
quiere enviar el mensaje
secreto m .
Elige un entero k con
22 qk .
Calcula kaka gg .
Envía kak gmg ,
¡Todo lo que pase por aquí será visto por
el Enemigo!
El Enemigo puede ver la clave
pública, pero no le servirá de nada
(por eso se llama pública)
Bob recibe gIFq ,
Bob elige un entero a tal
que 22 qa y
calcula ag .
El entero a es su clave
privada.
Envía a Alicia el valor ag ,
que es su clave pública.
El receptor recibe
kak gmg , , y con estos
datos es fácil deducir m :
Calcula akak gg y
entonces:
kaka ggmm /
Observación 1.
La fórmula que utiliza Bob: kaka ggmm / , se puede reemplazar por el siguiente
método, que evita calcular el inverso modular de kag :
1. Calcula aqkg
1
.
2. Determina mgmmggmg
kqakkaqkkaaqk 1)1(1
Observación 2.
Es importante reseñar que el valor de k debe cambiar en cada envío. De lo contrario, el
Enemigo podría deducir la clave pública.
Ejemplo.
Supongamos que Alicia y Benito quieren intercambiar mensajes utilizando el
criptosistema de ElGamal.
Pactan trabajar en el cuerpo 157IF con generador 5g .
Bob escoge su clave privada 25a y envía a Alica su clave pública 34ag .
Supongamos que Alicia quiere enviar el mensaje 19m a Bob.
Entonces elige un entero 89k y envía a Bob el par 45,131519,5 892589 .
Para obtener el mensaje, Bob calcula 157mod855 8925 y calcula
157mod1985/45 m
Alternativamente, Bob también podría recuperar el mensaje a partir de
157mod1335 )251157(89 y por tanto 157mod1945133 m .
13 El pequeño Teorema de Fermat. El Teorema de Euler.
13.1 El Pequeño Teorema de Fermat (PTF).
Lema. "Freshman’s Dream” ("El sueño de todo bachiller").
Para todo p primo y ba, enteros se cumple:
pbaba ppp
mod
`
Demostración.
Basta desarrollar p
ba
`
aplicando el Teorema del Binomio. Sus términos son de la
forma
kpkba
k
p
con
!!
!
kpk
p
k
p
pk 0
Los términos "internos" pk 0 contienen el factor primo p que no se cancela, puesto
que no aparece como factor en el denominador, luego todos se cancelan al hacer módulo
p. Es decir, todos los coeficientes son divisibles entre p excepto el primero y el último.
Teorema. Pequeño Teorema de Fermat (PTF).
Si p es primo,
a) )(mod paa p para cualquier entero a .
b) Si ap | , entonces )(mod11 pa p
Nota: El recíproco no es cierto: )(mod11 nan para cierto entero a n primo. Esto
se estudiará detenidamente en una observación más adelante.
Demostración. a) Aunque en el próximo tema veremos que este teorema es un caso
particular de aplicación de la función Phi de Euler, vamos a presentar aquí una
demostración directa.
Caso 1: Si 0a . aaa p 00 y está claro que entonces )(mod paa p .
Caso 2: Si 0a . Vamos a demostrarlo por inducción en a :
Si 1a , 11 ppa y está claro que entonces )(mod paa p .
Supongamos cierto )(mod paa p , queremos ver que entonces es cierto para 1a .
Aplicando el lema anterior y la hipótesis de inducción:
)(mod1)(mod11 papaa pp
tal y como queríamos ver.
Caso 3: Si 0a . Si 2p , entonces
)2(mod2|2|2)2(mod)( 222222 aaaaaaaaaaaa
Si 2p , entonces p es impar, y por tanto: )(mod)(mod)()( papaaa pp
En donde hemos aplicado el “Caso 1” pues a es positivo.
b) Aplicando el apartado anterior, 1|)(mod 1 ppp aaaappaa .
Aplicando el Lema de Euclides, puesto que, por hipótesis, ap | , deducimos que
1| 1 pap , o equivalentemente, papa pp mod1mod01 11
Nota histórica.
El 18 de octubre de 1640, Fermat escribió una carta a Bernhard Frenicle de Bessy
(1605-1675), un funcionario de la Casa de la Moneda francesa, excelente alumno en
teoría de los números. En su carta, Fermat comunica el resultado siguiente: Si p es
primo y p no divide a entonces p|a
p−1
− 1. Fermat no presentó una prueba de este
resultado, pero una nota adjunta prometía enviar una demostración, siempre que no
resultara demasiado extensa. Sin embargo, la primera prueba conocida la dio Euler un
siglo después. Este resultado es conocido como el “pequeño” teorema de Fermat para
diferenciarlo del “último teorema de Fermat” (1637): La ecuación x
n
+ y
n
= z
n
no tiene
soluciones enteras positivas si n > 2 (demostrado por A.Wiles en 1995.)
Fuente: Introducción a la Teoría de Números (Walter Mora F.)
El PTF se puede aplicar al cálculo de congruencias con potencias de números, como en
los siguientes ejemplos:
Ejemplo resuelto.
Demostrar que )11(mod4538 .
Solución.
Aplicamos el PTF para garantizar que )11(mod1510 , luego:
(*))11(mod5)11(mod515555 8838310810338
Por otro lado )11(mod32552 , y por tanto:
)11(mod4)11(mod81)11(mod3)11(mod5(*) 442
Donde hemos aplicado que 411781
Ejemplo resuelto.
Calcular )13(mod7121 .
Solución.
Puesto que 7|13 podemos aplicar el PTF para garantizar que )13(mod1712 .
Puesto que 11012121 )13(mod7717777 10101211012121
Ejemplo resuelto. Aplicación del PTF a la determinación del orden.
Determina los posibles periodos de las secuencias 13mod...,,, 32 xxx para los
diferentes valores de x. Encuentra valores de x para los que se cumplen dichos periodos
(el concepto de orden de un entero será desarrollado en el apartado 13.3).
Aplicando el PTF, sabemos que 13mod112 x , luego las longitudes de los ciclos
serán un factor de 12, porque después de 12 iteraciones siempre se llegará al mismo
valor. Así pues, las longitudes de los ciclos pueden ser: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Elemento con ciclo de longitud 1: 11x
Elemento con ciclo de longitud 12: 7,10,5,9,11,12,6,3,8,4,2,12x
Puesto que 2x tiene asociado un ciclo de longitud máxima, podemos ir tomando
potencias de 2 para obtener los otros ciclos:
Elemento con ciclo de longitud 2: 12,1126422 62/12 x
Elemento con ciclo de longitud 3: 9,3,131622 43/12 x
Elemento con ciclo de longitud 4: 5,12,8,1822 34/12 x
Elemento con ciclo de longitud 6: 10,9,12,3,4,1422 26/12 x
Proposición. Descomposición de módulos.
Si p y q son primos diferentes tales que )(mod qaa p y )(mod paaq , entonces:
)(mod qpaa qp
)(mod paa qpq por el Corolario al PTF, y )(mod paaq por hipótesis, luego:
Luego )(mod)(mod papaaa qpqqp , es decir: aap qp |
Con un razonamiento similar llegamos a aaq qp | , y por tanto:
aaqp qp | , o equivalentemente: )(mod0 qpaa qp
Ejemplo resuelto.
Demostrar que )341(mod12340 .
Solución.
Aquí 3111341 , y por otra parte, 133311024210 , luego )31mod(1210 , y por
tanto:
)31(mod212222 1011
Por otro lado, )11(mod121931110242 1010 , y por tanto:
)11(mod21222222 331031031
Y aplicando la proposición anterior: )341(mod2223111341 , y cancelando un factor 2
llegamos al resultado deseado: )341(mod12340
Observación. Los números pseudoprimos y el recíproco del PTF.
El PTF dice que n primo )(mod22 nn , y acabamos de ver que )341(mod22341
y sin embargo 3111341 no es primo, es decir un contraejemplo para el recíproco del
PTF.
Este dato es curioso porque 341n es el primer compuesto tal que )(mod22 nn , es
decir, sirve como contraejemplo del recíproco del PTF, es decir:
n primo )(mod22 nn para 3402 n
Esta es la razón por la que los matemáticos chinos antiguos creyeron, equivocadamente,
que )(mod22 nn caracterizaba los números primos.
Los números n tales que )(mod22 nn , es decir 22| nn se denominan
pseudoprimos. Hay infinitos pseudoprimos y los más pequeños son 341, 561, 645 y
1105.
Ejemplo. Como calcular congruencias cuando el módulo no es primo.
Calcular )26(mod2018 2018 .
Solución:
Puesto que 26 no es primo, no podemos aplicar directamente el PTF. Puesto que
13226 ,
vamos a calcular por separado )2(mod2018 2018 y )13(mod2018 2018 , y después
aplicaremos el Teorema Chino del Residuo para determinar el resultado del enunciado.
Está claro que )2(mod02018 y por tanto )2(mod002018 20182018 .
3155132018 , luego 2018|13 , y por tanto podemos aplicar el PTF:
)13(mod1201812 .
Por otro lado, 2168122018 , luego:
)13(mod2018201812018201820182018 221682168122168122018
)13(mod932018)13(mod320183155132018 22
De todo lo anterior tenemos:
)13(mod92018
)2(mod02018
2018
2018
Y aplicamos el Teorema Chino del Residuo:
2
13
26132
2
1
N
N
N
No hace falta resolver la congruencia )2(mod113 1 y pues 01 b .
Resolvemos la congruencia 7)13(mod12 22 yy ,
Luego )26(mod22)26(mod1269720132018 1
2018 y
Observación.
Para calcular potencias elevadas con módulos no primos disponemos de dos técnicas:
La exponenciación modular optimizada (EMO) (ver 12.2) y el método que acabamos de
ver: descomponer el módulo y aplicar el Teorema Chino del Residuo. Es importante
dominar estas dos técnicas, pues son la clave para resolver muchísimos problemas de
Aritmética. Se propone resolver el siguiente problema mediante las dos técnicas
anteriores:
13.1.1
F
Determina los dos últimos dígitos de 10321032 .
HMMT 2009
Y en el siguiente interesante problema podemos observar como aplicar el Binomio de
Newton para calcular potencias elevadas:
13.1.2
D
Calcula las tres últimas cifras de
200120022003 .
CMO 2003 #2
Ejemplo resuelto. Aplicación del PTF a la resolución de congruencias.
Determina una solución de la congruencia )11(mod4103 x
Solución. Puesto que, aplicando el PTF, )11(mod110 x
)11(mod3331031010103 xxxxx
Luego hemos reducido nuestro problema a resolver la congruencia )11(mod3 xx
Probando valores 1x , 2x , 3x ,... llegamos a )11(mod453 , y por tanto:
)11(mod5x
Ejemplo resuelto.
Determina una solución de la congruencia )29(mod686 x .
Solución.
Aplicando el PTF, sabemos que )29(mod128 x para todo x .
Luego )29(mod22328228386 xxxxx , luego hemos reducido nuestro problema a
resolver la congruencia )29(mod62 x .
Vamos probando valores 1x , 2x , 3x ,... hasta llegar a
)29(mod66229648 xx
Luego una solución es )29(mod8x
Nota: Existe otra solución: )29(mod66152944121 2 xx
Para encontrar estas soluciones se puede hacer el siguiente planteamiento:
)29(mod646 , y por tanto, la ecuación )29(mod62 x es equivalente a
)29(mod642 x ,
y ahora:
8
8
)29(mod088)29(mod064)29(mod64 22
x
x
xxxx
y finalmente: )29(mod218
13.1.3
F
Aplicando el PTF, determina:
a) )7(mod331 b) )7(mod235 c) )17(mod128129
13.1.4
F
Dividimos el número
10002 entre 13. ¿Cuál es el residuo?
AHSME 1972 #31
13.1.5
F
Utilizando el PTF, demuestra que 17 divide a 111104
13.1.6
F
Demuestra que si 1)35,( a , entonces )35(mod112 a
13.1.7
F
Sea 41 a , 14 na
na , 1n . Determina el residuo cuando 100a se divide entre 7.
13.1.8
F
Demuestra que, si 1)42,( a , entonces 1|873168 6 a .
13.1.9
F
Determina )7(mod65432 6050403020
13.1.10
D
En los años 60, tres matemáticos americanos demostraron que una de las conjeturas de
Euler era falsa al encontrar un entero positivo n tal que
55555 2784110133 n
Determina n.
AIME 1989 #9
Nota: Se presentan dos soluciones, pero ninguna de las dos es completa: Son argumentos que justifican que un cierto n es el mejor
candidato posible.
13.1.11
F
Determina los números primos p para los cuales 129 p es múltiplo de p.
13.1.12
D
Determine todos los enteros positivos coprimos con todos los términos de la siguiente
sucesión:
1632 nnn
na , 1n
IMO 2005 #4
13.1.13
MF
Resuelve la congruencia 11mod4103 x
13.1.14
F
Aplicando el PTF, demuestra que 1|385 60 n si n|11,7,5 .
13.1.15
F
Determina el número de números primos p para los cuales 129 p es un múltiplo de p.
Brilliant.org
13.1.16
F
Sea 7p un número primo. Demuestra que el número
1
1...11
p
es divisible entre p.
13.2 La función Phi de Euler. El Teorema de Euler.
Definición. La función Phi de Euler.
Dado un número natural 1n , la función Phi de Euler, que denotaremos por )(n ,
indica el número de números naturales menores que n y coprimos con n. Definimos
1)1( .
Por ejemplo, 8)30( porque el número de naturales coprimos con 30 son 1, 7, 11, 13,
17, 19, 23 y 29. De la misma manera vemos que
,4)5(,2)4(,2)3(,1)2( ...6)7(,2)6(
Observamos p es primo si y solo si 1)( np .
Con Mathematica: "EulerPhi[n]"
Proposición. La función Phi de Euler mediante el TFA.
Si la descomposición en factores primos de n es rk
r
kk
pppn ...21
21 , entonces:
r
i i
k
r
k
r
kkkk
p
nppppppn rr
1
11
22
1
11
1
1...)( 2211
Ejemplos:
a) 96)360( porque
96
5
1
1
3
1
1
2
1
1360)360(532360 23
b) 720)1001( porque
720
13
1
1
11
1
1
7
1
11001)1001(131171001
Propiedad de la función Phi de Euler.
Fijemos un número n y un divisor suyo: Por ejemplo, 30n y 5d .
Estudiemos el conjunto dnmnmSd ),(, . En la siguiente tabla vemos que
20,55 S
nm 1 )30,(m 5)30,( m 2)6(
1 1
2 2
3 3
4 2
5 5 155 1
6 6
7 1
8 2
9 3
10 10 2510 2
11 1
12 6
13 1
14 2
15 15 3515 3
16 2
17 1
18 6
19 1
20 10 4520 4
21 3
22 2
23 1
24 6
25 5 555 5
26 2
27 3
28 2
29 1
30 30 6530 6
Consideremos ahora 6/ dn y )6( . El conjunto de números menores que 6 y
coprimos con 6 es 5,1 , luego 2)6( .
Vemos que existe una biyección perfecta entre 5S y los coprimos de 6, y por tanto
)/( dnSd
Por otro lado, todo número nm pertenece a algún dS con nd | , y por tanto:
n|n|
)/(
dd
d dnSn
Existe también una biyección n
n
d
nd || y por tanto llegamos a la siguiente
propiedad:
n|
)(
d
dn
Teorema. El Teorema de Euler.
)(mod1)( na n si 1),( na
Observación: La condición 1),( na es necesaria, pues si 1),( na , ya vimos en el
capítulo 8 que la congruencia )(mod1 nxa no tiene solución, y por tanto no puede
existir ningún k tal que )(mod1 nak , pues en ese caso 1 kax sería solución de la
congruencia )(mod1 nxa .
Nota histórica. La primera demostración del PTF fue dada por Euler en 1736. El propio
Euler presentó en 1760 esteteorema, que es una generalización del PTF porque si n es
primo entonces 1)( pn , y appa |1),( .
Ejemplo.
Tomando 30n y 11a , 8)30( y )30(mod1118
En efecto, )30(mod111111)30(mod112111 44282
Ejemplo 1.
Determina el residuo de 10007 entre 24 aplicando el Teorema de Euler.
En primer lugar vemos que los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24, luego
8)24( .
Luego, aplicando el Teorema de Euler, puesto que 124,7 , 24mod178
Ahora, puesto que 81251000 , 24mod1177 12512581000
Ejemplo 2.
Determina los dos últimos dígitos de la expresión decimal de 2563 .
Solución.
Está claro que este problema implica estudiar )100(mod3256 , y aquí nos puede ayudar
el Teorema de Euler:
40
5
1
1
2
1
110052)100( 22
, y puesto que 1)100,3( , podemos aplicar el
Teorema de Euler: )100(mod1340
Luego )100(mod3)100(mod33)100(mod33 161664016640256 .
)100mod(2137216161333)100mod(6165613 88168
Por lo tanto, el número 2563 acaba en "21".
Ejemplo 3.
Determina 33mod298 , mediante dos técnicas: a) PTF & TCR y b) Teorema de Euler.
Solución:
a) Aplicando el PTF:
3mod11223mod12 49492982
11mod325622222211mod12 889108909810
Así pues, debemos resolver el sistema
11mod3
3mod1
x
x
Este sistema lo resolveremos aplicando el TCR:
33mod25913431511
411mod13
53mod123mod111
22
111
x
yy
yyy
b) Aplicando Teorema de Euler.
En primer lugar, 20102
11
1
1
3
1
111333
.
Luego, aplicando el Teorema de Euler, 33mod1220 , y por tanto:
33mod422222 1125201210098
Mediante cualquiera de las técnicas ya estudiadas determinamos el inverso modular de 4
y llegamos a 33mod2542 198 .
13.2.1
F
¿Para cuántos enteros i , cumpliendo 10001 i , existe un entero j , cumpliendo
10001 j , tal que i es un divisor de 12 j ?
13.2.2
M
Determina los ocho últimos dígitos de la expansión binaria de 198627 .
13.2.3
D
Determina los tres últimos dígitos de
12...200620072008
Nota:
12...200620072008 se define recursivamente:
200721 2008,...,3,2,1 2008321
aaa
aaaa
PuMAC (Princeton University Mathematics Competition)
13.2.4
D
Definimos
xxxxxf )( . Determina los dos últimos dígitos de
)20()19()18()17( ffff
PuMAC 2008
Nota: )(xf se define recursivamente:
)(
4
)(
21
31 )()(,...,)(,)(
xfxf
xxfxfxxfxxf .
Indicación: Si 1),( na , entonces )(mod)(mod naa nbb y podemos reducir el cálculo
a determinar )(mod nb .
13.2.5
F
Encontrar las tres últimas cifras del número 20147
OMEFL 2014 #2
13.2.6
F
Determina el número de enteros 10001 i para los cuales existe un entero
10001 j tal que i es divisor de 12 j .
Brilliant.org
13.2.7
F
Sea 5p un número primo. Demuestra que 240mod18 p .
13.3 Orden de un entero.
Definición. Orden de un entero.
Observando las tablas del apartado 13.1 vemos que si 1, na , entonces siempre existe
un nk 1 tal que )(mod1 nak .
En efecto, consideremos la secuencia
naaaaa ,...,,,, 3210
Esta secuencia consta de 1n valores, y solo hay n valores diferentes en nZ , luego
forzosamente dos de ellos deberán ser iguales:
naa ji mod para ciertos nji 0
Consideremos el valor iqjijq y por tanto
naaaaa iqiqji mod
Puesto que 1,1, nana i , podemos cancelar el factor ia en la igualdad anterior
(es decir, multiplicaremos ambos lados por el inverso de ia ) para deducir que
naq mod1
Definimos el orden de un entero a módulo n , y escribiremos )(aordn , como el
menor valor k tal que )(mod1 nak . Acabamos de ver que si 1, na este valor
siempre existe.
Con Mathematica:
El Teorema de Euler indica que si 1),( na , la secuencia ,...,,, 432 aaaa
siempre alcanza el 1 (y por lo tanto se vuelve periódica), y lo alcanza en )(na .
Naturalmente, )(n no es necesariamente el primer número k para el cual 1ka .
Ejemplos.
6)3()7(mod13,53,43,63,23,33 7
654321 ord .
4)2(5 ord pues 221 , 422 , 323 , )5(mod11624 .
2)5(12 ord pues 551 , )12(mod111222552 .
Observación.
No todos los números tienen un definido un orden. Por ejemplo, si an | , entonces
)(mod0 nak para todo k .
El siguiente corolario nos indica cuando un entero tendrá un orden asociado.
Corolario.
Dado un entero 1n , Za tendrá orden módulo n si y solo si 1),( na .
Demostración. Si 1),( na , por la proposición anterior existirá un nk 1 tal que
)(mod1 nak , luego por el Principio de la buena ordenación, existirá un mínimo k
cumpliendo tal condición, es decir, el número a tendrá un orden asociado.
Supongamos ahora que existe un entero positivo m tal que )(mod1 nam . Entonces
existirá un entero s tal que
11 1 nsaansa mm
Esta última expresión es una combinación lineal de a y n , luego
1),(1|),( 1 nansaana m
Teorema. Teorema fundamental del orden.
Supongamos que 1),( na , y sea )(aordd n .
Entonces, para cualquier entero k , kdnak |)(mod1 .
Demostración.
Supongamos que )(mod1 nak . Entonces dk por definición de orden, y por tanto
rdqk para cierto dr 0 . Luego
)(mod11 naaaaaaaa rrqrqdrdqrdqk
Pero dr 0 y la única posibilidad que no contradiga la definición de orden es 0r ,
y por tanto kddqk | , tal y como queríamos ver.
Supongamos ahora que kd | . Entonces dqk y por tanto
)(mod11 naaaa qrqddqk
Corolario.
Supongamos que 1),( na , y sea )(aordd n . Entonces
)(mod)(mod djinaa ji
Demostración. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que ji .
Supongamos que jqdidji )(mod , y por tanto
)(mod1 naaaaaa jjqjqdjqdi
Supongamos ahora que )(mod naa ji . Entonces tomando 0 jiq y cancelando
términos llegamos a jidnaa jiq |)(mod1 por el Teorema anterior, luego
)(mod| djijid .
Observación.
Este corolario nos dice que la sucesión de potencias ka se va repitiendo en ciclos de
longitud )(aordd n . En particular, podemos aplicar este hecho a la función Phi de
Euler: )(|)( naordn
Ejercicio resuelto.
Determina )2(33ord
Solución: Vemos que 331122331322
225105 ordord . Luego,
por el corolario anterior, )2(33ord debe ser un divisor de 10. Vamos probando, uno por
uno, todos los divisores:
33mod1221 , 33mod1422 , 33mod13225 , así que solo puede ser
33mod1210 , y la solución es 10.
Problema resuelto.
Determina todos los enteros positivos n tales que 12 n sea divisible entre 7.
IMO 1967 #1 (apartado a)
Solución: )7(mod12)7(mod01212|7 nnn
Puesto que 1)7,2( , podemos aplicar el Teorema anterior:
nordn |)2()7(mod12 7 , 3)2()7(mod182,42,22 7
321 ord
Luego, finalmente, n|312|7 n , es decir, para todos los múltiplos de 3.
Corolario.
Dados p primo y a entero con ap | , entonces 1|)( paordn
Demostración. Puesto que p es primo y ap | , podemos aplicar el PTF para garantizar
que )(mod11 pa p , y aplicar ahora el teorema anterior.
Ejemplo.
Determinar )8(11ord .
Solución.
Puesto que 8|11 , aplicar el corolario anterior para asegurar que 01|)8(11ord .
2)8(11 ord no puede ser pues )11(mod196482 .
5)8(11 ord tampoco puede ser:
)11(mod982 y )11(mod651283 , luego
)11(mod10)11(mod5469888 325 . Luego solo nos queda 10)5(11 ord .
Ejemplo resuelto.
Determina )2(13ord .
Solución. 12,6,4,3,2,1)2(12)13( 13 ord
221 , 422 , 823 , )13(mod31624 , )13(mod123226 , luego solo puede
ser 12)2(13 ord .
Problema resuelto.
Determina la última cifra de 837 .
Solución. Está claro que debemos determinar 10mod783 .
10mod1170 , 10mod11710mod1497
242
Y puesto que el orden tiene que ser divisor de 10, solo puede ser 4710 ord .
Por otro lado, 4mod383 , luego 10mod37)1(77 383 , y por tanto la
última cifra es 3.
Problema resuelto.
Determina )10(29ord .
Solución. Puesto que 29 es primo, aplicando el PTF, 29mod11028 , luego
28|)10(29ord .
Vamos probando, uno por uno, todos los divisores de 28:
29mod110101 , 29mod113100102 , 29mod124104 ...
Finalmente 29mod11028 , y por tanto 28)10(29 ord .
Así pues:
nuevesnueves 2828
2828 99...99|2929mod099...9911029mod110
Pero
nuevesn
99...99|29 si 28n .
Ejercicio resuelto.
a) Determina, de forma directa, 217ord .
b) Aplicando el apartado anterior, calcula 17mod220 y 17mod21024 .
Solución:
a) en módulo 17, 221 , 422 , 823 , 11624 , 225 , 426 , 827 ,
1)1(28 . Así pues, 8217 ord .
b) 17mod1222222 448848820 , 17mod11222 128128812881024
Problema resuelto.
Determina el menor factor primo impar de 120198
AIME I 2019 #14
Solución.
Buscamos el menor número primo p tal que 12019| 8 p
)(mod12019)(mod01201912019| 888 ppp
Entonces, elevando al cuadrado ambos lados, )(mod1201916 p
Pero 16,8,4,2,1)2019()(mod1201916 pordp
Sin embargo, )(mod120198,4,2,1)2019( 8 pordp y no -1, como queríamos,
luego deducimos que 16)2019( pord .
Puesto que (p)|)2019( pord , (p) será un múltiplo de 16.
Puesto que por hipótesis p es primo, 1
1
1)(
p
p
pp
Y por tanto )16(mod1p . Los dos primeros primos que cumplen )16(mod1p son
17 y 97.
Sin embargo, )17(mod12019 8 , pero )97(mod12019 8 , luego la solución es 97.
Fuente de esta solución: artofproblemsolving.com
Problema resuelto.
Determina el menor entero positivo n tal que, cuando ese escribe n3 en base 143, sus
últimas dos cifras en dicha base son 01.
AIME I 2018 #11
Solución:
Sabemos que decir que la expresión de n3 en base 143 es
143123 01... ddd es equivalente a
2
21
23
2
2
1 143mod13...1431431...143143143013 nn dddd
Así pues, en este problema nos piden resolver la congruencia 2143mod13 n con
solución n mínima, es decir, determinar el orden de 3 módulo 2143 .
Es importante remarcar que nos piden n mínimo, pues el Teorema de Euler nos
garantiza que 2)143( 143mod13
2
puesto que 1143,3 2 , pero en este caso
171601432 y veremos que no es el valor mínimo posible.
222 13111431311143 , y puesto que 113,11 22 , para resolver la congruencia
22 1311mod13 n será suficiente resolver las congruencias 211mod13 a y
213mod13 b por separado.
http://www.artofproblemsolving.com/
Paso 1. Resolvemos la congruencia: 211mod13 a
Esta es sencilla. Se puede encontrar por tanteo:
121mod3331 121mod9932
121mod272733 121mod818134
121mod11121224335
El valor mínimo es 5a .
Paso 2. Resolvemos la congruencia: 213mod13 b . Esta es mucho más complicada.
Paso 2.1. Por tanteo ("bash"). Si lo hacemos por tanteo nos vamos a pasar un buen rato
calculando potencias hasta llegar al exponente 39 para encontrar 239 13mod13 :
1→3 2→9 3→27 4→81 5→74
6→53 7→159 8→139 9→79 10→68
11→35 12→105 13→146 14→100 15→131
16→55 17→165 18→157 19→133 20→61
21→14 22→42 23→126 24→40 25→120
26→22 27→66 28→29 29→87 30→92
31→107 32→152 33→118 34→16 35→48
36→144 37→94 38→113 39→1
Paso 2.2. Aplicando el Teorema de Euler. Una indicación nos la puede dar la función
Phi de Euler: 1332132 , luego el orden de 3 módulo 156 será un divisor de
1332156 . Probando divisores encontramos la solución 13339 .
Paso 2.3. Aplicando el Teorema del binomio.
Observamos que 13mod1313mod13 2 bb .
En efecto: 13mod1311313113313mod13 22 bbb kk
Y la congruencia 13mod13 b tiene fácil solución: 13mod111322733 .
Así pues, cualquier solución de 13mod13 b será múltiple de 3.
Llegados a este punto podríamos aplicar la estrategia 2.2 anterior para llegar a la
solución, pero en su lugar vamos a aplicar el desarrollo binomial.
El número b buscado será múltiplo de 3: cb 3 para cierto entero c , con lo que la
congruencia se transforma en:
22323 13mod12713mod1313mod13 ccc
Ahora aplicamos el desarrollo binomial:
cccc
cc
c
c
c
ccc
11321132
1
...1132
1
1132
0
113227113227
011110
Y observamos que, trabajando módulo 213 , cualquier potencia c13 con 2c será
(congruente con) cero.
Así pues, a todos los efectos prácticos:
12611321132
1
27
011
c
c
c
c
c
ccc
Y por tanto, la congruencia exponencial 213mod127 c se convierte en la
congruencia lineal
213mod1126 c
Que se resuelve fácilmente:
222 13mod013213mod02613mod1126 ccc
Para que esta última congruencia se cumpla, es necesario y suficiente que c sea
múltiplo de 13.
Así pues, finalmente llegamos a un resultado múltiplo de 3 y múltiplo de 13, y el valor
mínimo posible es 39133 c .
Paso 3. Juntamos las dos congruencias:
Hemos obtenido 25 11mod13 y 239 13mod13 , luego tomando el mínimo común
múltiplo de ambos exponentes: 19539539,5 , tendremos, aplicando 7.5d:
22195
22
25539539195
239395395195
1311mod13
113,11
13mod11333
11mod11333
Que será el valor mínimo posible pues en todos los pasos hemos obtenido los valores
mínimos posibles. La solución del problema es 159.
Fuentes:
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2018_AIME_I_Problems/Problem_11
https://youtu.be/e7JGgykuK3w Analyzing the Expression in Mod 143² (2018 AIME I Prob 11) "LetsSolveMathProblems"
https://youtu.be/b_Z_OGfyJyw 2018 AIME I Problem #11 ("Osman Nal")
13.3.1
M
Determina el número de enteros positivos múltiples de 1001 que se pueden expresar de
la forma
ij 1010
con i , j enteros cumpliendo 990 ji .
AIME 2001
13.3.2
F
Demuestra que, si p es un número primo, todo divisor primo de 12 p
es mayor que p.
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2018_AIME_I_Problems/Problem_11
https://youtu.be/e7JGgykuK3w
https://youtu.be/b_Z_OGfyJyw
14 El problema de la primalidad. El método RSA.
14.1 El test de primalidad de Fermat.
Al problema de como determinar si un número n es primo se lo conoce como problema
de la primalidad. Un test de primalidad es un algoritmo que permite comprobar si un
número n es primo o es compuesto. Existen dos tipos de test de primalidad:
- Determinista: determina si el número es primo o no lo es.
- Probabilístico: determina si un número es compuesto o si es "probablemente primo".
Determinar que el número es “probablemente” primo no te asegura que sea primo, pero
existe una elevada probabilidad de que lo sea, y esta puede ser tan grande con se desee.
O dicho de otro modo, la probabilidad de que un número "probablemente primo" sea
compuesto es insignificante. Una característica de los test probabilísticos es que son
mucho más rápidos que los deterministas.
Recordemos que el PTF afirma que, si p es primo, para todo número a coprimo con p
se cumplirá pa p mod11 .
Por lo tanto, para demostrar que un número determinado n no es primo, bastará
encontrarun número a , coprimo con n , para el cual pa p mod11
.
Naturalmente, no encontrar dicho número a no garantiza que n sea primo. Por
ejemplo:
3215031751n pasa el test para los valores 7,5,3,2a :
3215031751mod123215031750
3215031751mod133215031750
3215031751mod153215031750
3215031751mod173215031750
Y, sin embargo 3215031751 no es un número primo:
283517511513215031751
Esto no quiere decir que este método no sea efectivo. Entre todos los números n
menores que 250 billones, solo este número pasa el test para los números primos 2, 3, 5
y 7 siendo un número compuesto.
Ejemplo resuelto.
Demostrar que 117 no es primo.
Solución.
Tomamos 2a . Sabemos que )117(mod1112827 , y que )117(mod4121 ,
luego:
)117(mod22412111112 1682888216167
)117(mod2)117(mod222222 2151651675167117
Pero )117(mod44114111211122 33721
Con lo que, finalmente llegamos a )117(mod2442117 , y por tanto 117 debe ser un
número compuesto (de hecho: 913117 ).
Ejemplo resuelto.
Demuestra, aplicando el PTF, que 42949672971232 no es un número primo.
Solución: Sea p un factor primo de 1232 k .
Este factor primo p estará acotado superiormente: 65536212 1632 p .
Por otro lado:
pppkkp mod112mod12mod0|
26432
Sea 2pordd . Está claro que rddp 2264|mod12 664 para cierto
6r .
Si pdr mod1232|6 32 , llegando a contradicción. Por lo tanto 6r y
64d .
Ahora, aplicando el Corolario XXXX (página ????),
16464mod164 sppd
Con todo esto los candidatos a factor primo de k se han reducido a los primos de la
forma 164 sp . Vamos dando valores a s para ir obteniendo los diferentes valores de
p asociados:
s=1 → p=65 no es primo.
s=2 → p=129 no es primo
s=3 → p=193 es primo pero no divide a k
s=4 → p=257 es primo pero no divide a k
s=5 → p=321 no es primo
s=6 → p=385 no es primo
s=7 → p=449 es primo pero no divide a k
s=8 → p=513 no es primo
s=9 → p=577 es primo pero no divide a k
s=10 → p=641, es primo y sí divide a k . En efecto: 6700417 pk
Así pues, hemos encontrado un factor de k, y por tanto hemos demostrado que no es un
número primo.
Problema.
Aplicando el método anterior, comprueba si 04721211 es un número primo o
compuesto.
Solución: Supongamos que p es un factor primo de 1211k . Luego:
ppkkp mod12mod0| 11
Sea 2pordd . Está claro que 11|d y por tanto solo puede ser 11d o 1d .
Supongamos que 11d . Luego, por el Corolario XXXX, 11mod1p , es decir, p es
de la forma 111 sp para cierto s. Vamos dando valores a s para ir obteniendo
valores de p y comprobando si son primos, en cuyo caso comprobamos si son divisores
de k:
s=1 → p=12 no es primo.
s=2 → p=23 es primo y divisor de k. En efecto, 23891211 k
Así pues, hemos encontrado una factorización de k, y por tanto hemos demostrado que
no es primo.
Algoritmo del Test de Primalidad de Fermat.
Input: número n .
Paso 1: Determinamos, al azar, un número na 1
Paso 2: Determinamos ),( na mediante el Algoritmo de Euclides.
Paso 3: Si 1),( na , el número n no es primo, retornamos a .
( es muy poco probable que esto suceda )
Paso 4: Calculamos nar n mod1 mediante el EMO.
Paso 5: Si 1r , el número n no es primo (aunque no sabemos su factorización)
Paso 6: Este test no ha sido decisivo. Se vuelve al Paso 1 para probar con otro número.
Ejemplo.
Vamos a demostrar que el número 527 es compuesto aplicando el método anterior.
Después de mucho calcular llegamos al resultado siguiente:
527mod1240
Por otro lado, 61340526 , y por tanto
527mod164221222 661361340526
Por lo tanto podemos asegurar que el número 527 es compuesto (de hecho,
3117527 ).
Los números de Carmichael.
En ningún momento se ha dicho que, para todo número n compuesto, exista un a
coprimo con n para el que nan mod11
.
Existen números n para los cuales la identidad nan mod11 es cierta para todas las
bases a coprimas con n y sin embargo son números compuestos.
Estos números son excepcionales (pero existen infinitos), y se llaman números
Carmichael. El menor número Carmichael es 561.
14.2 Aplicación a la criptografía: El método RSA.
El método RSA fue descubierto/inventado en 1977 como el primer método de
encriptación de clave pública de la historia. Su nombre deriva de las iniciales de los tres
investigadores americanos que lo descubrieron: Rivest, Shamir y Adleman.
Este método se basa en la dificultad de factorizar números muy grandes. Los números
utilizados en este sistema suelen tener más de 300 dígitos decimales, y intentar su
factorización ocuparía miles de años para las más avanzadas computadoras que existen
en la actualidad.
Descripción del método RSA.
Emisor: Alicia Espacio público Receptor: Bob
7. El emisor recibe la clave
pública ),( en . Con ella
encriptará el número secreto
k de la siguiente forma:
8. Calcula
nkkf e mod)(
y lo envía al Receptor.
¡Todo lo que pase por aquí será visto por
el Enemigo!
El Enemigo puede ver la clave
pública, pero no le servirá de nada
(por eso se llama pública)
¡Aunque el Enemigo vea el
número encriptado )(kf y
disponga de la clave pública ),( en
no podrá desencriptar el mensaje!
1. El receptor selecciona dos
números primos p y q muy
grandes (de centenares de
cifras)
2. Calcula qpn
3. Calcula
11)( qpn
4. Determina, al azar, un
número aleatorio )(1 ne
coprimo con )(n
5. La pareja ),( en es la clave
pública, que se envía al
Emisor.
6. Determina
)(mod1 ned
La pareja ),( dn es la clave
privada de desencriptación.
¡Los números p, q y d se
deben mantener secretos, por
eso no pueden salir de aquí!
9. El receptor recibe )(kf y
lo desencripta de la siguiente
manera:
10. Calcula
knkfkfg d mod)()(
Ejemplo.
Por su valor puramente didáctivo exponemos aquí dos ejemplos prácticos con números
primos p y q muy pequeños.
Supongamos que el Emisor quiere enviar al Receptor el mensaje "16346", y el Enemigo
puede escuchar cualquier información entre Emisor y Receptor.
1. El receptor selecciona dos números primos p y q muy grandes (de centenares de
cifras), nosotros ahora, a efectos didácticos, tomaremos números no tan grandes:
281p y 167q
2. Calcula 46927 qpn
3. Calcula 4648011)( qpn
4. Determina, al azar, un número aleatorio )(1 ne coprimo con )(n :
39423e
5. La pareja 39423,46927),( en es la clave pública, que se envía al Emisor.
6. Determina 26767)(mod1 ned
La pareja 26767,46927),( dn es la clave privada de desencriptación. Los
números dqp ,, se deben mantener secretos en todo momento.
7. Supongamos que el Emisor quiere enviar al Receptor el número secreto 16346k .
8. El Emisor calcula
2116646927mod16346mod)( 39423 nkkf e
Envía al Receptor el número 21166
9. El receptor recibe 21166 y lo desencripta de la siguiente manera:
10. Calcula 1634646927mod21166mod21166 26767 nd
Obteniendo el número secreto desencriptado 16346.
Comentario.
El punto fundamental de la encriptación RSA es que el “Enemigo”, aunque disponga de
la clave pública ),( en y del número encriptado k , no será capaz de desencriptarlo. Y
esto es debido a que necesitaría determinar )(mod1 ned , y desconoce )(n .
En efecto, )(n es muy fácil de calcular si se conoce la factorización de n , recordemos
que el receptor pudo calcular )(n porqueconocía desde un principio:
11)1)(1()( qpnqppqppnqpn
y la factorización de un número muy grande como es n es terriblemente complicada.
La seguridad del sistema RSA radica en la imposibilidad computacional de factorizar un
número de 200 cifras, ya que, con los algoritmos actuales y las mejores computadoras
requeriría siglos.
15 Raíces primitivas. Índices modulares.
15.1 Raíces primitivas.
Definición. Raíz primitiva.
Diremos que una unidad a de nZ es una raíz primitiva módulo n si )(naordn .
Equivalentemente, cuando
n
n Zaaaaa )(
3
2 ,...,,,
O de otra forma, si para cualquier entero x coprimo con n, siempre existe un entero j tal
que nax j mod .
Lema.
Sea m un entero positivo y sea x un entero coprimo con m . Para todo par kj, de
enteros positivos, se cumple:
dkjmxx kj modmod , donde xordd m
Ejercicio resuelto.
Determina )5(257ord , y comprueba que 5 es una raíz primitiva módulo 257.
Solución. Puesto que 257 es primo, 82256)257( . Así pues,
8
257 2|)5(ord , es
decir, será una potencia de 2. Vamos calculándolas una por una:
2552 , 111625555 224 , 242111111555 448 , 225516 , 253532 ,
16564 , 2565128 , 15256 .
Así pues, )257(256)5(257 ord , y por tanto es una raíz primitiva módulo 257.
Ejercicio resuelto.
Resuelve la congruencia 17mod53 x , sabiendo que 3 es una raíz primitiva módulo
17.
Solución. Por ser 3 una raíz modular módulo 17, todo elemento de 17Z se podrá escribir
como ax 3 para cierto a que vamos a determinar.
17mod5317mod5317mod5 333 aax
Ahora escribimos 5 en forma de potencia de 3:
17mod331 , 17mod932 , 17mod1033 , 17mod1334 ,
17mod535
Y por tanto nuestra congruencia queda planteada de manera que podemos aplicar el
lema anterior:
16mod5317mod5317mod33 53 aaa
Probando con posibles candidatos vemos que
17mod31117mod133113 1
Y por tanto
71616mod7555115316mod53 1 baaa
En particular, tomando 17mod370 7 xab
Siguiendo con los cálculos de arriba:
17mod1536 , 17mod1137
Así pues, 17mod11x .
Fuente: Michael Penn en YouTube.
Ejercicio resuelto.
Resuelve la congruencia 19mod175 x , sabiendo que 2 es una raíz primitiva módulo
19.
Solución.
Generando la tabla 19mod2k vemos que 19mod217 10 y 19mod25 16 , por
tanto
9mod58
18mod101618mod1016)19(mod1016
19mod2219mod2219mod175 10161016
x
xxx
xxx
Por tanteo vemos que 9mod889mod16488 1 y por tanto
499mod44058589mod58 1 kxxx
Tomando 40 xk , y tomando 131 xk , es decir, aparecen dos soluciones
módulo 19.
Fuente: Michael Penn en YouTube.
Ejercicio resuelto.
Resuelve la siguiente congruencia:
27mod1017 x
Solución.
En primer lugar, vemos que, puesto que 3327 , existirá una raíz primitiva módulo 27.
De hecho, se demuestra que 2 es una raíz primitiva módulo 27.
Para aplicar el lema anterior, debemos escribir 17 y 10 como potencias de la misma
base.
27mod221 27mod422 27mod823
27mod1624 27mod53225 27mod1026
27mod2027 27mod1328 27mod12629
27mod252210 27mod234211 27mod198212
27mod11213 27mod22214 27mod1744215
Luego 27mod2227mod2227mod1017 615615 xxx
Y ahora aplicamos el lema anterior:
18mod61527mod22 615 xx , pues 183)27( 3
Con lo que hemos reducido una congruencia exponencial a una congruencia lineal.
6mod2518mod615 xx dividiendo entre tres toda la congruencia.
Esta última congruencia la podemos resolver viendo que 6mod55 1 y por tanto
6mod41025256mod25 1 xx
Puesto que nosotros buscamos soluciones módulo 16, el conjunto total de soluciones
será
18mod16,10,418mod124,64,4
Ejercicio resuelto.
Resuelve la siguiente congruencia:
13mod109 x
Solución.
En primer lugar, vemos que 2 es una raíz primitiva módulo 13.
Para poder aplicar el lema anterior, debemos escribir 9 y 10 como potencias de 2:
13mod221 13mod422 13mod823
13mod31624 13mod625 13mod11226
13mod11227 13mod9428 13mod51829
13mod10210
Luego 13mod2213mod2213mod109 108108 xxx
y aplicando el lema anterior:
12mod10813mod22 108 xx , pues 12)13(
Pero vemos que esta congruencia lineal no tiene solución 4)12,8( y 10|4 .
Así pues, la congruencia del enunciado no tiene solución.
Ejercicio resuelto.
Resuelve la siguiente congruencia:
18mod1711 x
Solución.
Sabemos que 5 es una raíz primitiva módulo 18.
Para poder aplicar el lema anterior, debemos escribir 11 y 17 como potencias de 5:
18mod551 18mod72552 18mod1713553
18mod13554 18mod112555
Luego
18mod5518mod5518mod1711 3535 xxx
y aplicando el lema anterior:
6mod3518mod55 35 xx , pues 6)18(
Para resolver esta congruencia lineal aprovechamos que 5 y 6 son coprimos, luego 5
tendrá inverso módulo 6, en efecto, es el propio 5, luego
6mod31535356mod35 1 xx
15.1.1
F
Determina el menor entero 2021n para el cual 5611714330 23 nnn sea divisible
entre 13.
SMT 2021 Number Theory #2
15.2 Determinación de raíces primitivas.
Teorema.
Supongamos que a es una raíz primitiva módulo n.
a)
)(,
)(
nk
n
aord k
n
b) Si nd | , entonces existen d elementos de
nZ de orden d, y ka tiene orden d si
y solo si
d
n
nk
)(
)(,
Corolario.
Si nZ tiene una raíz primitiva a, entonces tiene )(n raíces primitivas: ka es una raíz
primitiva si y solo si 1)(, nk .
Ejercicio resuelto.
Determina las raíces primitivas módulo 17 sabiendo que 3 es raíz primitiva módulo 17.
Solución.
Por el corolario anterior, sabemos que existen 8216)17( 4 raíces
primitivas. Serán todas aquellas que se puedan escribir como k3 con 116, k , es
decir,
15,13,11,9,7,5,3,1k , que dan lugar a los valores
331 , 1033 , 535 , 1137 , 1439 , 7311 , 12313 , 6315 .
Ejercicio resuelto.
Determina las 122829 raíces primitivas módulo 29, sabiendo que 2 es una
raíz primitiva módulo 29.
Solución.
Aplicando el corolario anterior, las raíces primitivas de 29Z serán todos los elementos
de la forma k2 , con 128, k , es decir, 27 25, 23, 19, 17, 15, 13, 11, 9, 5, 3, 1, k .
Para estos índices k tenemos los valores 15 11, 10, 26, 21, 27, 14, 18, 19, 3, 8, 2, , que serán
las 12 raíces primitivas buscadas.
El siguiente teorema es una generalización del teorema anterior.
Teorema. Teorema de Gauss.
Existen raíces primitivas módulo 1n si y solo si ppn 2,,4,2 donde p es un
primo impar y α es un entero positivo.
15.3 Índices modulares.
Definición. Índice modular.
Sea b una raíz primitiva módulo n. Si 1),( na , entonces el más pequeño entero
positivo k tal que nba k mod se denota por )(aindb y se llama índice de a respecto
a la base b módulo n.
Al índice se le suele llamar también logaritmo discreto, pues sus propiedades y sus
aplicaciones son similares a las del logaritmo.
Ejercicio resuelto.
a) Demuestra, mediante cálculos directos, que 3 es una raíz primitiva módulo 17, y
construye la tabla de índices de base 3 módulo 17.
b) Aplicando la tabla de índices anterior, resuelve la congruencia 17mod57 x .
c) Aplicando la tabla de índices anterior, resuelve la congruencia 17mod57 x .
d) Aplicando la tabla de índices anterior, resuelve la congruencia 17mod88 x .
Solución.
En 17Z tenemos: 331 , 932 , 102733 , 133034 , 535 , 1536 , 1137 ,
1638 , 1439 , 8310 , 7311 , 4312 , 12313 , 2314 , 6315 , 1316 .
Así pues, 3 tiene orden 16 módulo 17, y por tanto es una raíz primitiva módulo 17.
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
aind3 0 14 1 12 5 15 11 10 2 3 7 13 4 9 6 8
b)
16mod75
16mod57
16mod57
17mod57
333
333
33
indindxind
indxindind
indxind
x
Determinamos los índices de la derecha en la tabla del apartado (a):
17mod8
16mod106115
16mod57
3
333
x
xind
indxindind
c)
17mod10
16mod3355716mod57
16mod5716mod57
16mod517mod5
3
1
3
333
3
7
3
7
x
xindxind
xindindxind
indxindx
d)
16mod108
16mod8
17mod8
3
3
8
3
8
xind
indxind
x
Pero esta última congruencia no tiene solución, puesto que 816,8 , y 10|8 .
16 Problemas de la cuarta parte.
16.1
MD
Demuestra que existen infinitas parejas ba, de números enteros positivos distintos y
relativamente coprimos 1a y 1b tales que ab ba es divisible entre ba .
USAMO 2017 #1
16.2
MD
Sea S el conjunto de todos los números racionales que se pueden escribir como
decimales periódicos de la forma abcd.0 , donde al menos uno de los dígitos dcba ,,,
no es cero. Sea N el número de numeradores distintos que se encuentran en S cuando
estos decimales se escriben en forma de fracción irreducible. Por ejemplo, 4 y 410
aparecen en S porque
11
4
3636.0 y
3333
410
1230.0 . Determina el residuo cuando N se
divide entre 1000.
AIME I 2022 #13
16.3
MD
Dado que 12022 tiene exactamente 4 divisores primos 4321 pppp , determina
21 pp .
SMT 2022 Discrete #8
16.4
MF
Seleccionamos al azar un entero N en el rango 20201 N . Determina la probabilidad
que el residuo al dividir 16N entre 5 sea 1.
(A) 1/5 (B) 2/5 (C) 3/5 (D) 4/5 (E) 1
AMC 10B 2017 #14
17 Números factoriales.
Definición. Función suelo, o parte entera.
Definimos la parte entera de un número real x , y la denotaremos por x , como el
mayor entero n menor o igual que x . Por ejemplo, 24.2 , 199.1 , 415.3
El Tema 9 de PA está dedicado íntegramente a la función parte entera. Se
recomienda practicar con ella realizando los problemas que allí se proponen.
17.2
M
Calcula la suma
3
2
...
3
2
3
2
3
2 1000210
All Russian MO 2000
17.3
F
¿Cuál es la probabilidad de que un entero del conjunto 100,...,3,2,1 pueda ser
divisible entre 2 y no divisible entre 3?
AMC 10A 2003 #15
Orden p-ádico de un número. La fórmula de Polignac.
17.4 Definición. Orden p-ádico de un número.
Dado un número entero n , su valuación p-ádica o orden p-ádico es la potencia
máxima de p que divide a n :
knvp )( npk | y npk |1
o equivalentemente:
npknv k
p |,max)(
o equivalentemente:
Si ni a
n
a
i
aa
ppppn ......21
21 es la descomposición canónica de n , entonces
ip anv
i
)( .
En Mathematica: IntegerExponent[n,p]
Antes de presentar la fórmula de Polignac, propondremos un par de ejemplos para
entender por qué aparecen los elementos que la constituyen.
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasAlgebra.pdf
17.5 Problema resuelto.
¿Cuál será el exponente del factor 5 en la factorización en números primos de !1005 ?
Solución.
10051004...321!1005
De todos los factores de la derecha, uno de cada cinco es múltiplo de 5, luego habrán
1005 5
0 201
201 múltiplos de 5, que contribuirán en una unidad al exponente de 5.
De los 201 anteriores, uno de cada cinco será múltiplo de 25, luego habrán
201 5
1 40
40 múltiplos de 25, que contribuirán con una unidad más al exponente de 5.
De los 40 anteriores, uno de cada cinco será múltiplo de 35 , luego habrán
40 5
0 8
8 múltiplos de 35 , que contribuirán con una unidad más al exponente de 5.
De los 8 anteriores, uno de cada cinco será múltiplo de 45 , luego habrá
8 5
3 1
un único múltiplo de 45 , que contribuirá con una unidad más al exponente de 5.
Está claro que no existirán múltiplos de ,...5,5 65
Luego el exponente de 5 será 2501840201
17.6 Teorema. La fórmula de Polignac.
Estos mismos cálculos los podríamos haber realizado con cualquier número primo y con
cualquier factorial. Para expresarlos en una única fórmula con el lenguaje algebraico
observamos lo siguiente:
2015/1005 , 405/1005 2 , 85/1005 3 , 15/1005 4
Luego la suma anterior se puede expresar mediante la función “parte entera”,
justificando la denominada fórmula de Polignac:
La mayor potencia de un número primo p que divide a !n , es decir, el orden p-adico de
!n viene dado por
1
!
k
kp
p
n
nv
Esta fórmula también es conocida como "fórmula de Legendre" (1806).
Observación: Esta serie es en realidad una suma finita, pues para k suficientemente
altos se cumple kpn y por tanto 0
ip
n
para todo ki .
17.7 Ejemplo resuelto.
¿Cuál será el exponente del factor 2 en la factorización en números primos de !1005 ?
Solución.
En !1005 uno de cada dos factores es par, luego
1005 2
1 502
hay 502 números pares, de los cuales, uno de cada dos será múltiplo de 22 :
502 2
0 251
De estos 251, la mitad serán múltiplos de 32 :
251 2
1 125
De estos 125, la mitad serán múltiplos de 42 :
125 2
1 62
De estos 62, la mitad serán múltiplos de 52 :
62 2
0 31
De estos 31, la mitad serán múltiplos de 62 :
31 2
1 15
De estos 15, la mitad serán múltiplos de 72 :
15 2
1 7
De estos 7, la mitad serán múltiplos de
82 :
7 2
1 3
De estos 3, la mitad serán múltiplos de 92 :
3 2
1 1
Y ya no hay múltiplos de ...2,2,2 121110
El exponente de 2 en la factorización será 502+251+125+62+31+15+7+3+1=997
17.8 Problema resuelto.
Determina el mayor n tal que n10 divide a !1005
AHSME 1977
Solución.
Puesto que nnn 52105210 , el número n quedará determinado por el número de
parejas 52 que podemos hacer en la descomposición factorial de !1005 , es decir, el
mínimo entre a y c
donde !1005...532 cba es la descomposición factorial de !1005
Acabamos de ver que 997a y 250c , luego el resultado será 250997,250min .
O, escrito en la forma de la fórmula de Polignac:
El exponente de 2 será 997137153162125251502
2
1005
1
k
k
El exponente de 5 será 2501840201
5
1005
1
k
k
17.9 Problema resuelto.
¿Cuántos ceros hay a la derecha de la expresión decimal de !300 ?
Solución.
El número de ceros vendrá dado por el número de veces que 10 divide a !300 .
Puesto que hay más factores de 2 que de 5 en !300 , el número de ceros vendrá dado la
mayor potencia de 5 en !300 , y aquí aplicamos la fórmula de Polignac:
60
5
300
1
, 12
5
300
2
, 2
5
300
3
, y si 4k 0
5
300
k
.
Por lo tanto, 7421260
5
300
1
k
k
.
17.10
M
Demostrar que 7 no divide a
500
1000
.
17.11
F
¿Cuál es el mayor factor primo de dos dígitos del entero
100
200
n ?
AIME 1983 #8
17.12
MD
Determina todos los pares ),( nk de enteros positivos tales que
122...422212! nnnnnk
IMO 2019 #4
17.13
MF
Determina el mayor entero positivo x tal que x623 divide !2000
17.14 Corolario de 17.6.
a) Si kpn , con p primo,
1
1
!
p
n
nvp
En particular:
b) Si pn , con p primo, 1
1
1
!
p
p
pvp .
c) Si 2pn , con p primo, 1
1
1
!
2
2
p
p
p
pvp .
Demostración.
1
1
1
1
1......! 21
12
p
n
p
p
ppp
p
n
p
n
p
n
p
n
nv
k
kk
kkp
17.14
MD
Determina el número de enteros n entre 1 y 50, inclusive, tales que
nn
n
!
!12
es un entero (Recuerda que 1!0 ).
(A) 31 (B) 32 (C) 33 (D) 34 (E) 35
AMC 12A 2019 #24
18 Números combinatorios.
El Tema 4 de PC está dedicado íntegramente a los números combinatorios. Se
recomienda practicar realizando los problemas que allí se proponen.
18.1
Demuestra que la expresión
m
n
n
nm ),(
es un entero para todo par de números enteros 1 mn .
Putnam 2000
18.2 Proposición.
a) Si p es primo, p divide
k
p
para todo pk 0 .
b) Si p es primo, 22| pp .
Demostración.
a) De la identidad
1
1
k
p
p
k
p
k se deduce que p divide
k
p
k .
Puesto que pk 0 , tenemos 1, pk , y por tanto p divide
k
p
por 4.5c.
b)
p
ppp
p ...
10
2
Y puesto que 1
0
p
pp
, tenemos
1
...
1
22
p
pp
p
Aplicando el apartado anterior,
k
p
p | para todo pk 0 , luego 22| pp .
http://www.toomates.net/biblioteca/Combinatoria.pdf
Números de Catalan.
18.3 Definición. Número de Catalan de orden n.
Definimos el número de Catalan de orden n como
n
n
n
Cn
2
1
1
Los primeros diez números de Catalan son 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796.
18.4 Proposición.
Todos los números de Catalan son enteros.
Demostración.
Vamos a aplicar la identidad
1
122
1
12
n
n
n
n
n
n
Puesto que 12 n y 1n son coprimos, y la parte de la derecha de la identidad anterior
es un entero, está claro que 1n divide a
n
n2
.
19 Números primos de Fermat y de Mersenne.
19.1 Números primos de Fermat.
19.1.1 Definición. Números de Fermat. Primos de Fermat.
Queremos estudiar los números primos de la forma 12 n . Ya vimos en el Tema 4 que
si es primo entonces n debe ser una potencia de 2.
Definimos el n-ésimo número de Fermat como 122
n
nF , 0n .
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297
El propio Fermat conjeturó que nF era primo para todo n, sin embargo Euler demostró
que 5|641 F . El razonamiento se encuentra en el Tema 4.
Así pues, no todo número de Fermat es primo. Llamaremos “primos de Fermat” a
aquellos números de Fermat que sean primos. Es un problema abierto la existencia o no
de infinitos primos de Fermat. Se conjetura que nF es compuesto para 5n .
19.1.2 Proposición.
Los números de Fermat son todos coprimos entre ellos: 1, mn FF si mn .
Demostración.
Supongamos que nm , y sea d un divisor común de nF y mF . En primer lugar vemos
que d debe ser impar, pues lo son todos los números de Fermat.
)(mod12)(mod01212| 222 ddFd
nnn
n
Pero entonces
)(mod11222
22
2222 d
nm
nm
nnmnm
Pero, por otro lado, )(mod12)(mod01212| 222 ddFd
mmm
m , con lo
cual llegamos a 2|)(mod02)(mod11 ddd , y puesto que d es impar, solo
puede ser 1d .
Nota: Un argumento alternativo podría ser aprovechar la identidad
120 ...2 nn FFFF
Que se deduce de
12...12121212
1222
nm
Y por tanto, si d divide nF y mF , con nm , también dividirá a 10...2 nn FFF , y
puesto que d es impar, llegamos a 1d
19.2 Números primos de Mersenne.
19.2.1 Números de Mersenne. Primos de Mersenne.
Definimos los números de Mersenne como aquellos de la forma 12 n
nM , 1n .
Está claro que si n es compuesto, también lo será nM :
Si n
aaaabbaab
n MMban |1212...22121212 21
Por lo tanto, si nM es primo, también lo será n.
Sin embargo, existen primos p para los cuales pM es compuesto. Por ejemplo:
47 | M23, 167 | M83, 263 | M13
Llamaremos “primos de Mersenne” a los números de Mersenne que sean primos. Es
un problema abierto la existencia o no de infinitos primos de Mersenne.
19.2.2 Los mayores primos de Mersenne descubiertos hasta ahora.
El mayor número primo de Mersenne que se conoce es 1282589933 , descubierto en
diciembre del 2018.
Los primeros 38 primos de Mersenne son los siguientes:
2
2
−1 , 2
3
−1 , 2
5
−1 , 2
7
−1 , 2
13
– 1 , 2
17
−1 , 2
19
−1 , 2
31
−1 , 2
61
−1 , 2
89
−1 , 2
107
−1 ,
2
127
−1 , 2
521
−1 , 2
607
−1 , 2
1279
−1 , 2
2203
−1 , 2
2281
−1 , 2
3217
−1 , 2
4253
−1 , 2
4423
−1 ,
2
9689
−1 , 2
9941
−1 , 2
11213
−1 , 2
19937
−1 , 2
21701
−1 , 2
23209
−1 , 2
44497
−1 , 2
86243
−1 ,
2
110503
−1 , 2
132049
−1 , 2
216091
−1 , 2
756839
−1 , 2
859433
−1 , 2
1257787
−1 , 2
1398269
−1 ,
2
2976221
−1 , 2
3021377
−1 , 2
6972593
−1.
20 Número y suma de los divisores de un entero.
20.1 Número de divisores de un entero.
20.1.1 Definición. Número de divisores de un entero.
Dado un número entero n, definimos )(n como el número de enteros positivos
divisores de n.
Ejemplos: Los divisores positivos de 6 son 6,3,2,1 , luego 4)6( .
Los divisores positivos de 20 son 20,10,5,4,2,1 , luego 6)20( .
4=(10)
3,=(9)4, = (8)2,=(7)4,=(6)2,=(5)3,=(4)2,=(3)2,=(2)1,(1)
Problema motivador: #1.2.1.
Con Mathematica:
20.1.2 Proposición.
Para cualquier entero positivo n,
a) 1)( n y 11)( nn .
b) Para todo 2n , 2)( n y 2)(n n es primo.
c) nn 2)(
Demostración. a) y b) se deducen de la propia definición de )(n .
c) Cada divisor positivo a de n tiene asociado su divisor complementario anb / .
Puesto que nanaba / , se tiene que cumplir na o nb . Así pues,
existirán como mucho n2 divisores de n.
20.1.3 Teorema.
La función )(nd es multiplicativa, es decir, si ban , con 1),( ba , entonces
)()()( ban
20.1.4 Corolario.
a) Si apn para cierto p primo, entonces los divisores de n son
apppp ,...,,,,1 32
y por tanto 1)( an
b) Si ra
r
aa
pppn ...21
21 es la descomposición en factores primos de n, entonces los
divisores d de n son todos los números que se pueden escribir como
rb
r
bb
pppd ...21
21 con ii ab 0 ,
y
1...11)( 21 raaan
Por ejemplo: 24)12)(11)(13()1132()2904( 23 d
20.1.5
F
Demostrar que )(n es impar si y solo si n es un cuadrado perfecto.
20.1.6
F
Demostrar que )(n es primo si y solo si 1 qpn con qp, primos.
20.1.7
MF
Si tomamos aleatoriamente un divisor de 9910 , ¿Cuál es la probabilidad de que sea
múltiplo de 8810 ?
AIME 1998 #5
20.1.8
F
Determina todos los enteros positivos n tales que 6)( n .
20.1.9
F
Determina el número de enteros positivos que son divisores de al menos uno de los
siguientes números: 1010 , 715 , 1118 .
AIME II 2005 #4
20.1.10
D
Sea )(n el número de enteros positivos de n. Determina la suma de los seis enteros
positivos n más pequeños tales que
7)1()( nn
AIME 1 2019 #9
20.1.11
F
¿Cuántos divisores positivos de 20042004 son divisibles por exactamente 2004 enteros
positivos?
AIME II 2004 #8
20.1.12
F
Joey,Chloe y su hija Zoe cumplen años el mismo día. Joey es un año mayor que Chloe
y Zoe cumple hoy su primer año. Hoy es el primero de los nueve aniversarios en los que
la edad de Chloe será múltiple de la edad de Zoe. Determina la suma de los dos dígitos
de la edad de Joey que tendrá la próxima vez que sea múltiple de la edad de Zoe.
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11
AMC 12B 2018 #14
20.1.13
F
Sea N un entero positivo. Supongamos que existen exactamente 2005 pares ordenados
yx, de enteros positivos tales que
Nyx
111
Demuestra que N es un cuadrado perfecto.
BMO 2005 Round 2 #1
20.1.14 Proposición. Producto de los divisores de un entero.
Una propiedad interesante de )(n es que el producto de todos los divisores de n es
igual a la raíz cuadrada de )(nn :
)(
|
n
nd
nd
Demostración.
La clave está en observar que los divisores de un número van por parejas: Dado un
divisor d , tenemos su divisor complementario dnd /' , de forma que ndd ' .
Sean )(21 ...,,, nddd todos los divisores de n. Si multiplicamos dos veces dichos
divisores, los factores se pueden reorganizar agrupando )(n parejas cuyo resultado sea
n, luego:
)(
2
|
)(
)(21)(21
||
2
|
........ n
nd
n
nn
ndndnd
ndnddddddddd
20.1.15 Corolario.
De la proposición anterior se deduce que )(nn es un cuadrado perfecto. Esto es obvio si
)(n es par, pero no estaba tan claro si )(n es impar. Pero en el problema 20.1 anterior
ya demostramos que si )(n es impar, n es un cuadrado perfecto, y por tanto también lo
es )(nn .
20.1.16 Ejemplo.
El producto de todos los divisores de 16 es
10244161616| 55)(
|
n
nd
d
En efecto, 1024168421 .
20.1.17
MD
Denotamos por )(nd el número de enteros positivos que dividen a n, incluyendo 1 y n.
Por ejemplo: 1)1( d , 2)2( d , 6)12( d (esta función es conocida como la función
divisor). Sea
3
)(
)(
n
nd
nf
Existe un único entero positivo N tal que )()( nfNf para todo entero positivo
Nn . Determina la suma de los dígitos de N.
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
AMC 12A 2021 #25
20.2 Suma de los divisores de un entero.
20.2.1 Definición. Suma de los divisores de un entero.
Dado un número entero n, definimos )(n como la suma de todos los enteros positivos
divisores de n, incluyendo 1 y el propio n.
nd
dn
|
)(
Está claro que 1)( nn , y 1)( nn si y solo si n es primo.
Ejemplos.
Los divisores positivos de 6 son 6,3,2,1 , luego 126321)6( .
Los divisores positivos de 20 son 20,10,5,4,2,1 , luego
4220105421)20( .
20.2.2 Teorema.
La función )(n es multiplicativa.
20.2.3 Proposición.
a) Si apn para cierto primo p , entonces apppn ...1)( 2 .
b) Si ra
r
aa
pppn ...21
21 es la descomposición en factores primos de n, entonces
1
1
...
1
1
1
1
...1......1...1)(
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
221
2
11
21
21
r
a
r
aa
a
rrr
aa
p
p
p
p
p
p
pppppppppn
r
r
Demostración.
a) Aplicando la propia definición de )(n .
b) Basta tener en cuenta que )(n es multiplicativa y aplicar la serie geométrica:
1
1
1...
1
21
x
x
xxxx
n
nnn
Por ejemplo:
5466137
4
24
2
26
1
7
15
15
13
13
12
12
)180(532180
233
22
20.2.4 Problema resuelto.
Sea n un entero positivo tal que 1|24 n . Demuestra que entonces se cumple
)(|24 n .
Putnam 1969
Solución.
8)(mod-1n)8(mod01n
3)(mod-1n3)(mod01n
1|24 n
Observamos que los divisores de un número van en parejas: Si 1d es divisor entonces su
complementario
1
2
d
n
d también es divisor.
Por un lado, haciendo módulo 3:
)3(mod1
1
121 n
d
n
ddd , y las únicas opciones son:
)3(mod11 d y )3(mod22 d o viceversa.
En todo caso se cumple )3(mod021 dd .
Y por otro lado, haciendo módulo 8:
)8(mod1
1
121 n
d
n
ddd , y las únicas opciones son:
)8(mod11 d y )8(mod72 d o viceversa.
)8(mod31 d y )8(mod52 d o viceversa.
En todo caso se cumple )8(mod021 dd .
Así pues, )3(mod021 dd y )8(mod021 dd , luego )24(mod021 dd , y por
tanto el sumatorio )(n se puede reordenar por parejas divisibles entre 24, y por tanto:
nd
dn
|
)( será divisible entre 24.
20.2.5
F
Los únicos factores primos de un número n son 2 y 3. Si la suma de todos los divisores
de n (incluyendo el propio n) es 1815, determina n.
PUMaC 2011/NT #A1
20.3 Números perfectos.
20.3.1 Definición de número perfecto.
Los antiguos griegos clasificaban los enteros positivos en tres clases, en función de la
suma de sus divisores:
“Números perfectos” si nn 2)(
“Números abundantes” si nn 2)(
“Números deficientes” si nn 2)(
Los primeros números perfectos son: 8128,496,28,6 .
Si utilizamos la notación clásica en la que se cuentan solo los divisores propios, es
decir, todos menos el propio n, tiene más sentido la idea de “número perfecto” como
aquel que es igual a la suma de todos sus divisores (propios).
20.3.2 Teorema. Caracterización de los números pares perfectos.
Un número par n es perfecto si y solo si existen números primos qp, tales que
qn p 12 con 12 pq
Así pues, cada número par perfecto está asociado a un primo de Mersenne, que fueron
introducidos en el Tema 19.
Demostración.
Supongamos que n se puede escribir de esta forma.
Está claro que q es impar , qn p22 y que pq 21 .
12
12
12
2
11
1
p
p
p , 1 qq
Luego nqqqqn pppp 2)1(221122)( 1
Y por tanto n es perfecto.
Supongamos ahora que n es perfecto, es decir, que nn 2)( . Puesto que además
estamos suponiendo que n es par, podemos escribir mn k 12 con m impar y 2k .
Luego mmmnnm kkkk 1222)(22 11
Donde hemos utilizado que 12
12
12
2
11
1
k
k
k .
De la igualdad mm kk 122 se deduce que mkk 2|12 , y puesto que
12,12 kk , el Lema de Euclides implica que mk |12 , y por tanto
lm k 12 para cierto entero l impar.
(*))12(2)12(12
)12(2)12(2)(22122 11
lll
llnnml
kkkk
kkkkkkk
Si 1l entonces ll k )12(,,1 son factores diferentes de lk 12 , y por tanto, por la
definición de , tenemos que lll kk 12121
Luego llllllll kkkkk 2121121122 absurdo.
Así pues, 1l , y 122 1 kkn . Ahora solo falta demostrar que k es primo.
De (*) tenemos que 0121122
121
)12(|
121
)12(|
k
k
k
k
d
d
d
d
kkk dd
Es decir, 12 k no tiene divisores propios, es decir, es un número primo. Ya vimos en el
Tema 15 que si un número de Mersenne es primo entonces k es primo, y con esto
acabamos la demostración.
20.3.3 Observación.
Acabamos de ver que todo número perfecto par está asociado a un primo de Mersenne.
Es un problema abierto la existencia o no de infinitos números perfectos pares, y apenas
sabemos nada de los números perfectos impares, ni tan solo si existe alguno.
21 Encriptación mediante Curvas Elípticas. Encriptación bitcoin.
En 1985, Neal Koblitz y Victor Miller propusieron independientemente la criptografía
basada en curvas elípticas. Es la técnica utilizada para el bitcoin entre otras
criptomonedas.
21.1 Curvas elípticas sobre cuerpos en general.
Trabajar con números reales, es decir, en el plano IRIR , nos permite visualizar las
operaciones que realizamos, con lo que “vemos qué estamos haciendo”, pero es un
plano teórico, esun primer paso para tomar confianza con los métodos y fórmulas
utilizadas para pasar después a trabajar sobre cuerpos finitos, que es como trabajan las
computadoras.
Una curva elíptica es una curva en el plano con ecuación
bxaxy 32
La curva elíptica utilizada por Bitcoin, Ethereum y muchas otras criptomonedas es la
curva secp256k1, cuya ecuación es:
732 xy
Es decir, es un caso particular de curva elíptica tomando 0a y 7b . Su
representación gràfica sobre los reales es la siguiente:
Hay que dejar muy claro que esta representación de la curva es sobre el cuerpo IR , y
por lo tanto se presenta como una colección de puntos ordenados siguiendo una
trayectoria suave y contínua, pero en criptografía se utilizan cuerpos finitos, y en estos
cuerpos esta misma curva se presenta como una nube de puntos con poca o ninguna
continuidad visible.
Curvas elípticas no singulares.
Diremos que una curva elíptica bxaxy 32 es no singular cuando su discriminante
sea distinto de cero:
0274 22 ba
Suma de puntos en una curva elíptica.
Sean 11 , yxP y 22 , yxQ con QP dos puntos de una curva elíptica.
Definimos el punto QPR , al que llamaremos suma de P y Q, de la siguiente
forma:
1) Trazamos la recta r que pasa por P y Q.
2) Determinamos el tercer punto S de corte de esta recta con la curva elíptica.
3) Trazamos el simétrico de S respecto del eje X.
Con coordenadas:
Si 11 , yxP y 22 , yxQ con QP , las coordenadas de 33 , yxR son:
21
2
12
12
3 xx
xx
yy
x
, 131
12
12
3 yxx
xx
yy
y
Ejemplo.
Dada la curva elíptica 9932 xxy
3,31,1,3,0 QPRQP
375.0,25.28/3,4/91,1,3,3 QPRQP
El punto del infinito.
Si 11 , yxP y 22 , yxQ con 21 xx , la recta PQr es vertical y no tiene ningún
otro punto de corte con la curva. Para evitar esta excepción, añadiremos a nuestro
conjunto de puntos un punto al que denotaremos por O y que llamaremos “elemento
cero” o “punto del infinito”, que será, por definición, el punto de intersección entre una
recta vertical y la curva.
Multiplicación escalar de puntos en una curva elíptica.
Cuando PQ , la recta PQr se convierte en la recta tangente por el punto P a la
curva elíptica, y esto nos justifica definir el punto PPPR 2 de la siguiente forma:
1) Trazamos la recta r tangente a la curva elíptica por el punto P .
2) Determinamos el tercer punto S de corte de esta recta con la curva elíptica.
3) Trazamos el simétrico de S respecto del eje X.
Con coordenadas:
Si 11 , yxP y la curva elíptica es bxaxy 32 , las coordenadas de
33 ,2 yxP son:
1
2
1
2
1
3 2
2
3
x
y
ax
x
, 131
1
2
1
3
2
3
yxx
y
ax
y
Ejemplo.
Sea 1,0P de la curva elíptica 1232 xxy , entonces 0,12 P
Múltiplos de un punto. Orden de un punto.
Una vez que hemos definido PPP 2 , podemos definir PPP 23 ,
PPP 34 ,... a los que llamaremos múltiplos del punto P.
Dado un punto P, definimos su orden como el menor natural n tal que OnP , si es
que existe.
Método efectivo para calcular múltiplos de un punto. El método del “dobla y suma”.
La misma técnica para optimizar la exponenciación que explicamos en el apartado 12.2
se puede aplicar perfectamente al problema de optimizar la multiplicación de puntos.
Supongamos que queremos calcular P227 para cierto punto P dado. No es nada
efectivo ir calculado, una tras otra, las 226 multiplicaciones
PPPPPPPPPPPP 226227...34232
Es mucho más efectivo aprovechar los cálculos anteriores para ir calculando las
potencias de dos:
...
828816
42448
22224
2
PPPP
PPPP
PPPP
PPP
Y ahora, puesto que la descomposición binaria de 227 es 11100011, tenemos
PPPPPP 01567 22222227
En total, entre potencias Pk2 y las sumas anteriores hemos reducido el cálculo a 8
operaciones.
Este método se llama “dobla y suma” y permite calcular puntos Pn con n enormes en
un número reducido de operaciones. Por ejemplo, aunque el número n fuera tan grande
como el número de átomos del universo, del orden de 27582 210 , este método
permitiría determinar Pn en apenas 275 operaciones.
El problema del logaritmo discreto en curvas elípticas (ECDLP).
Planteamos ahora el problema inverso:
Dados dos puntos P y Q, determinar el valor de n tal que PnQ
Llamaremos a resolver este problema el “logarítmo discreto de P”.
Acabamos de ver que, dado un punto P y un número natural n, es fácil y rápido
determinar el punto Pn mediante la técnica de “dobla y suma”. Pero el problema
inverso, dado un punto P y el punto Pn , es terriblemente lento determinar el valor de
n , pues no podemos aplicar el truco anterior y debemos tenemos que ir probando
múltiplo a múltiplo:
...432 PPPP
La terrible dificultad de encontrar el logarítmo discreto se llama “Elliptic Curve
Discrete Logarithm Problem” (ECDLP), y es el fundamento de la encriptación
mediante curvas elípticas.
Este problema es similar a otros logaritmos discretos estudiamos anteriormente, y la
ventaja del ECDLP respecto de los anteriores es que parece ser mucho más duro, y por
tanto mucho más seguro.
Una vez introducidas estas ideas, pasaremos a desarrollarlas en planos sobre cuerpos
finitos.
21.2 Curvas elípticas sobre cuerpos finitos.
La curva secp256k1, sobre 17F consta de los siguientes 17 puntos:
(1,5) ; (1,12) ; (2,7) ; (2,10) ; (3,0) ; (5,8) ; (5,9) ; (6,6) ; (6,11) ; (8,3) ; (8,14) ;(10,2); (10,15) ; (12,1) ; (12,16) ; (15,4) ; (15,13)
Y su representación gráfica es:
Esta misma curva, sobre 257F consta de 257 puntos y su representación en un sistema
X-Y es una nube de puntos:
El bitcoin trabaja sobre
1228
F , y sobre este cuerpo la curva secp256k1 es ya una nube
de
115792089237316195423570985008687907852837564279074904382605163141518161494337
puntos totalmente dispersos, imposible de representar visualmente. Una muestra sería la
siguiente:
Práctica de Python.
Crea un programa de Python que genere todos los puntos de la curva secp256k1 módulo
un cuerpo pF dado:
#
# Generador de puntos de la curva secp256k1 módulo p por Brute-Force
#
p=257
Total=0
for x in range (0,p):
for y in range (0,p):
v=y**2-x**3-7
if v%p==0:
print(x,",",y)
Total=Total+1
print("Total de puntos:",Total)
Exporta estos puntos generados por Python a una hoja de Excel mediante las opciones
de "importar dados" de la hoja de cálculo, para representarlos mediante una nube de
puntos.
Comprueba, mediante este programa, los resultados obtenidos en los ejemplos
anteriores, y genera la nube de puntos asociada a la curva secp256k1 para el caso del
cuerpo 23F .
La encriptación bitcoin.
Para encriptar bitcoin se utiliza la curva elíptica secp256k1, cuya ecuación es:
732 xy
Sobre el campo finito pZ , con 97722 32256 p .
Aquí se eligió p para estar relativamente cerca de 2
256
, aunque no es el primo más
grande menor de 2
256
; hay muchos primos entre p y 2
256
. Otros factores también
entraron en la elección de p.
El punto base elegido para el bitcoin es, en notación hexadecimal:
x = 79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798
y = 483ADA7726A3C4655DA4FBFC0E1108A8FD17B448A68554199C47D08FFB10D4B8
Este punto base se eligió para tener un módulo grande, y de hecho su orden es
aproximadamente 2
256
. Específicamente, su orden, escrito en hexadecimal, es
n = FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEBAAEDCE6AF48A03BBFD25E8CD0364141
El siguiente programa Python nos permite comprobar que,efectivamente, este punto
pertenece a la curva dada:
x = 0x79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798
y = 0x483ADA7726A3C4655DA4FBFC0E1108A8FD17B448A68554199C47D08FFB10D4B8
p = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F
print( (y*y-x*x*x-7)%p == 0 )
Cuyo output es, obviamente, “True”.
Otro ejemplo real de los parámetros utilizados en ECDH por Google.com son los de la
curva P-384: x2
=y
3
+ax+b mod(p) , con:
a=115792089210356248762697446949407573530086143415290314195533631308867097853948
b=1058363725152142129326129780047268409114441015993725554835256314039467401291
p=11579208921035624876269744694940757353008614341529031419553363130886709785395
Múltiples de un punto.
Tomemos la curva 97mod3232 xxy y el punto 6,3P . Los múltiplos Pn
generan una sucesión cíclica de orden 5, es decir, el orden del punto P es 5:
...,27,6,5,91,34,87,803,10,802,6,31 PPPPOPPPPPP
Además, está claro que estos cinco puntos forman un grupo cerrado con la suma: La
suma de dos múltiplos de P es también un múltiplo de P. Es lo que se llama un
“subgrupo” del grupo general de la suma de puntos.
Un resultado conocido de la Teoría de Grupos es que el orden de cualquier subgrupo de
un grupo dado es un divisor del orden de dicho grupo.
Por ejemplo, la curva 37mod332 xxy tiene orden 42. Por lo tanto, todos sus
subgrupos tendrán orden 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 o 42. En particular:
OPPPPPPP 7,34,26,23,235,20,214,17,213,14,232,3,2
Y por tanto el orden de ( 2 , 3 ) es 7.
Para los propósitos de la criptografía ECC, interesa encontrar puntos que tengan el
mayor orden posible.
21.3 Protocolo de intercambio de claves Diffie-Hellmann en Curvas Elipticas
(ECDH).
Supongamos que Alicia y Bob desean generar una clave secreta común R que solo ellos deben
conocer, pero se tienen que comunicar a través de un espacio público no seguro.
Alicia Espacio público Bob
Alicia y Bob pactan los
siguientes datos públicos:
1. La curva elíptica
pbaxxy mod32
usada , es decir, los
parámetros a , b , p
2. Un punto generador G de
esta curva.
Alicia envía a Bob estos datos
a ,b , p , G
Determina, al azar, un
número aleatorio
Es su clave privada.
Recibe GQ
Computa GP
Y lo envía a Bob
Computa GR
Puesto que GG ,
Alicia y Bob pueden compartir esta
clave secreta R, que en ningún
momento será transmitida por el
espacio público ni podrá ser
calculada por nadie más.
¡Todo lo que pase por aquí será
visto por el Enemigo!
El enemigo solo puede ver
GQ y GP
pero con ellos no es capaz de
determinar ni ni , y por tanto
no es capaz de determinar R,
gracias al “Problema del Logaritmo
Discreto en ECDH”.
Bob recibe a ,b , p , G
Determina, al azar, un
número aleatorio
Es su clave privada.
Computa GQ
y lo envía a Alicia
Recibe GP
Computa GR
22 Ecuaciones diofánticas.
Las ecuaciones diofánticas son aquellas ecuaciones en las que solo son admitidas
soluciones enteras, y son un problema transversal en la teoría de números. Estas
ecuaciones ya han aparecido a lo largo de todo este libro como aplicación de las
diversas técnicas presentadas, en sus respectivos apartados. Aquí se ofrece una
presentación algo más sistemática de algunos modelos concretos de ecuaciones
diofánticas, así como de algunas técnicas que pueden ser útiles para su resolución y un
recopilatorio de algunas ecuaciones diofánticas aparecidas en el contexto de pruebas
olímpicas.
22.1 Ecuaciones diofánticas lineales.
Definición. Ecuaciones diofánticas lineales.
Son las ecuaciones diofánticas que tienen la forma bxaxaxa nn ...2211 , con
ia enteros.
Ejemplo 1.
Por ejemplo, la ecuación 1863 yx tiene infinitas soluciones:
18)2(61032,10
1866)6(36,6
1816431,4
yx
yx
yx
En general, cualquier valor 183186)3(6)2(33,2 kkkkkykx
Sin embargo, la ecuación 17102 yx no tiene solución: Para cualquier yx, , la parte
izquierda de la ecuación será par, mientras que la parte derecha es un impar.
Ejemplo 2.
Consideremos las siguientes ecuaciones diofánticas: 232 yx y 136 yx .
Observamos que la primera tiene infinitas soluciones (-5,4), (-2,2), (1,0), (4,-2), (7,-4)…
mientras que no parece existir ninguna solución para la segunda:
Esto se puede formalizar en el siguiente Teorema:
Teorema fundamental de las ecuaciones diofánticas lineales.
Una ecuación diofántica lineal cybxa tendrá solución si y solo si c|),( ba .
Si 00 , yx es una solución particular de esta ecuación, entonces todas las soluciones
son de la forma
k
d
b
xx
0
, k
d
a
yy
0
para cualquier k entero.
Ejemplo resuelto.
Resuelve la ecuación diofántica 100020172 yx
Solución. 4)20,172( d , y 1000|4 , luego esta ecuación tiene solución.
Probando números vemos que 10007205172 , luego 7,5 00 yx es una
solución particular de la ecuación.
Por el Teorema anterior, las soluciones de esta ecuación son todas las parejas de la
forma
)1(555
4
20
5 kkkx
, kky 437
4
172
7
, con Zk
o equivalentemente, tomando kq 1 ,
qx 5 , qqqy 435043437)1(437 , con Zq .
22.1.1
F
Resuelve la ecuación diofántica 397 yx
22.1.2
F
Un cliente compra una docena de piezas de fruta, manzanas y naranjas, por 1.32€. Si
una manzana cuesta 3 céntimos más que una naranja, y se compraron más manzanas
que naranjas, cuantas piezas de cada fueron compradas?
Resolución de ecuaciones diofánticas lineales mediante el Algoritmo de Euclides.
El Algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor de dos números
mediante sucesivas divisiones nos permite resolver ecuaciones diofánticas lineales. Lo
veremos con el siguiente ejemplo:
Resuelve la ecuación diofántica 5324912173 yx
Solución. Aplicamos el algoritmo de Euclides:
53)2491,2173(
0535265
532651318
26531862173
318217312491
, y claramente 53|53 , luego hay solución.
Deshaciendo los pasos del algoritmo de Euclides:
2173824917
21736249162173217312491
21731249162173217312491
318621731217312491265131853
217312491318
31862173265
265131853
Luego 7,8 yx es una solución de la ecuación diofántica del enunciado.
El conjunto de soluciones de la ecuación serán las parejas de la forma:
kkykkx 417
53
2173
7,478
53
2491
8
22.1.3
F
Resuelve la ecuación diofántica 33253858 yx mediante el algoritmo de Euclides.
22.1.4
F
Resuelve la ecuación diofántica 369147258 yx
22.1.5
F
Resuelve la ecuación diofántica 93360 yx
22.1.6
F
Las medidas (en grados) de los ángulos interiores de un hexágono convexo forman una
sucesión aritmética de enteros positivos. Sea ºm la medida del mayor de los ángulos
interiores de este hexágono. El mayor valor posible de ºm es
(A) 165º (B) 167º (C) 170º (D) 175º (E) 179º
AHSME 1991 #12
22.1.7
F
Determina un número que, cuando se divide entre 10, deja un residuo de 9, cuando se
divide entre 9 deja un residuo de 8, entre 8 el residuo es 7, y así sucesivamente, hasta
que, finalmente, cuando se divide entre 2, deja un residuo de 1.
ASHME 1951 #37
22.1.8
F
Resuelve la ecuación diofántica lineal 11719 yx .
22.2 Ternas pitagóricas.
Definición. Terna Pitagórica.Definimos por Terna Pitagórica las ternas ),,( zyx de números enteros solución de la
ecuación diofántica
222 zyx
Las ternas pitagóricas son un caso particular de la llamada Ecuación de Fermat:
nnn zyx
Que fue resuelta por Wiles en 1994, más de 350 años después de que este problema
fuera propuesto, demostrando que para 2n no existen soluciones que no sean la
trivial 0 zyx .
Lema.
Si ),,( zyx es una terna pitagórica y ),,( zyxmcdd , entonces:
a) ),(),(),( zxmcdzymcdyxmcdd
b) Si escribimos 'xdx , 'ydy , 'zdz , entonces )',','( zyx también es una terna
pitagórica.
Demostración.
a) Demostraremos la primera igualdad. Está claro que
ydxdzdydxd |,||,|,|
Por otro lado:
zdzdzyxd
ydyd
xdxd
|||
||
||
222222
22
22
b) Es trivial.
Definición. Terna pitagórica primitiva.
Una terna pitagórica ),,( zyx se dice que es primitiva si 1),,( zyxmcd , o
equivalentemente 1),(),(),( zxmcdzymcdyxmcd
Lema.
Sea ),,( zyx una terna pitagórica primitiva. Entonces uno y solo uno de los tres números
es par, y siempre es x o y .
Demostración.
impyxz
impyimpy
parxparx
222
2
2
, impyxz
parypary
impximpx
222
2
2
Recordemos que todo cuadrado perfecto es 0 o 1 módulo 4. Luego
)4(mod2
)4(mod1
)4(mod1
222
22
22
yxz
yimpyimpy
ximpximpx
absurdo.
Puesto que estamos suponiendo ternas pitagóricas primitivas, el caso x,y ambos pares
no se puede dar.
Teorema. Caracterización de las ternas pitagóricas.
Las ternas pitagóricas primitivas son todas las ternas de enteros que se pueden escribir
de la forma
22
22
2
nmz
mny
nmx
(con y par) o bien
22
22
2
nmz
nmy
mnx
(con x par)
Donde 0 nm son números coprimos con paridad diferente.
Demostración.
Que las ternas de enteros anteriores son pitagóricas es fácil de comprobar:
2222222222 2 nmmnnmzyx
Simplificando:
222222222222222 42 nmnmnmnmmnnm , que es una
aplicación directa de la igualdad 22 )(4)( baabba .
Veamos que si una terna es pitagórica, necesariamente debe ser como las anteriores.
Vamos a demostrar la columna de la izquierda, es decir, cuando x es impar y y es par.
222 zyx se puede escribir como
xzxzxzy 222
Y por tanto:
2242
22
xzxzyy
Teniendo en cuenta que z
xzxz
22
, x
xzxz
22
, y 1),( zxmcd ,
llegamos a
1
2
,
2
xzxz
mcd
Y por tanto, aplicando 5.2.26b,
2
xz
y
2
xz
son cuadrados perfectos, es decir:
2
2
n
xz
y 2
2
m
xz
para ciertos enteros n y m.
Se cumple claramente que nm y son enteros coprimos.
También se cumple que m y n tienen diferente paridad, puesto que 22 nmz es impar.
Y se cumple 22 nmx , mny 2 , 22 nmz , tal y como queríamos ver.
22.2.1
D
Calcula todos los números enteros a, b y c tales que 222 32 cba
OMEFL 2011 #4
22.3 La ecuación diofántica kyx 22 .
Lema.
Un elemento importante para resolver la ecuación kyx 22 es observar que, por cada
posible factorización kba ,
myx
nyx
kmnyxyxkyx ))((22
Y el sistema de ecuaciones de la derecha tiene como única solución
Sumando las dos ecuaciones:
2
2
mn
xmnx
Restando las dos ecuaciones:
2
2
mn
ymny
Aunque no todas las soluciones en yx, serán aceptables por no ser enteras: Está claro
que mn y mn deben ser ambos pares, luego mn, deben tener la misma paridad.
22.3.1 Ejemplo 1.
Determina todas las soluciones enteras de la ecuación
10822 yx
Solución.
3222 32))((108 yxyxyx
Y por tanto
ba
ba
yx
yx
32 32
32
para ciertos 20 a , 30 b .
Luego
baba
baba
baba
baba
y
x
311
32
311
32
3232
2
3232
3232
2
3232
El único valor de a para el que yx, son enteros es 1a , y en este caso:
bb
bb
b
b
y
x
yx
yx
3
3
3 33
33
32
32
Dando valores a n aparecen las cuatro soluciones posibles con 0x :
26,280 yxb
6,121 yxb
6,122 yxb
26,283 yxb
Las soluciones son ocho:
)26,28(),( yx , )6,12(),( yx
22.3.2 Ejemplo 2.
Determina todas las soluciones enteras de la ecuación
60022 yx
Solución.
2322 532))((600 yxyxyx
Y por tanto
cba
cba
yx
yx
213 532
532
para ciertos 30 a , 10 b , 20 c
Luego
cbacba
cbacba
cbacba
cbacba
y
x
2121
213
2121
213
532532
2
532532
532532
2
532532
Luego 1a o 2a . En total tenemos las siguientes combinaciones:
a=1 , b=0 ,c=0, x= 151, y= -149 ; a=1 , b=0 ,c=1, x= 35, y= -25
a=1 , b=0 ,c=2, x= 31, y= 19 ; a=1 , b=1 ,c=0, x= 53, y= -47
a=1 , b=1 ,c=1, x= 25, y= 5 ; a=1 , b=1 ,c=2, x= 77, y= 73
a=2 , b=0 ,c=0, x= 77, y= -73 ; a=2 , b=0 ,c=1, x= 25, y= -5
a=2 , b=0 ,c=2, x= 53, y= 47 ; a=2 , b=1 ,c=0, x= 31, y= -19
a=2 , b=1 ,c=1, x= 35, y= 25 ; a=2 , b=1 ,c=2, x= 151, y= 149
Que dan lugar a las siguientes 24 soluciones:
)73,77(),5,25(),47,53(),19,31(),25,35(),149,151(),( yx
22.3.3 Ejemplo 3.
Determina todas las soluciones enteras de la ecuación
29422 yx
Solución.
222 732))((294 yxyxyx
Y por tanto
cba
cba
yx
yx
211 732
732
para ciertos 10 a , 10 b , 20 c
Luego
cbacba
cbacba
cbacba
cbacba
y
x
211
211
211
211
732732
2
732732
732732
2
732732
Y vemos que no existe ningún valor 10 a para el cual yx, sean enteros. Por lo
tanto, esta ecuación no tiene ninguna solución entera.
22.3.4 Ejemplo 4.
Determina todas las soluciones enteras de la ecuación
18922 yx
Solución.
73))((189 322 yxyxyx
Y por tanto
ba
ba
yx
yx
13 73
73
para ciertos 30 a , 10 b
Luego
2
7373
2
7373
13
13
baba
baba
y
x
Las soluciones son:
a=0 , b=0, x= 95, y= -94 ; a=0 , b=1, x= 17, y= -10
a=1 , b=0, x= 33, y= -30 ; a=1 , b=1, x= 15, y= 6
a=2 , b=0, x= 15, y= -6 ; a=2 , b=1, x= 33, y= 30
a=3 , b=0, x= 17, y= 10 ; a=3 , b=1, x= 95, y= 94
Que dan lugar a las siguientes 16 soluciones:
)6,15(),30,33(),10,17(),94,95(),( yx
22.3.5 Ejemplo 5.
Determina todas las soluciones enteras de la ecuación
44122 yx
Solución.
2222 73))((189 yxyxyx
Y por tanto
ba
ba
yx
yx
13 73
73
para ciertos 20 a , 20 b
Luego
2
7373
2
7373
22
22
baba
baba
y
x
Las soluciones son:
a=0 , b=0, x= 221, y= -220 ; a=0 , b=1, x= 35, y= -28
a=0 , b=2, x= 29, y= 20 ; a=1 , b=0, x= 75, y= -72
a=1 , b=1, x= 21, y= 0 ; a=1 , b=2, x= 75, y= 72
a=2 , b=0, x= 29, y= -20 ; a=2 , b=1, x= 35, y= 28
a=2 , b=2, x= 221, y= 220
En este caso observamos que el número de soluciones con 0x es impar.
Las soluciones a la ecuación son las siguientes 18:
)0,21(),72,75(),20,29(),28,35(),220,221(),( yx
De las cuales son positivas las cinco siguientes:
)0,21(),72,75(),20,29(),28,35(),220,221(),( yx
Teorema.
El número r de soluciones enteras ),( yx de la ecuación kyx 22 queda
determinado por su descomposición en factores primos n
npppk
...21
21 .
a) Si 21 p y 11 , es decir, el número k es de la forma qk 2 con q impar, no hay
solución posible: 0r .
b) Si con 21 p , es decir, el número k esimpar, entonces la fórmula
n
i
i
1
1
genera todas las soluciones de la forma ),( yx , ),( yx , con 0x , luego
n
i
ir
1
12
c) Si 21 p y 11 , es decir, el número k es de la forma qk 4 , entonces la fórmula
n
i
i
2
1 1)1(
genera todas las soluciones de la forma ),( yx , ),( yx , con 0x , luego
n
i
ir
2
1 1)1(2
Demostración.
a) qyxyxqyx 2))((222
Vemos que 2 y q son coprimos, y es imposible encontrar factorizaciones mnq 2 con
la misma paridad.
b) Si n
npppk
...21
21 con 21 p , entonces
2
......
2
......
221121
221121
2121
2121
nnn
nnn
nn
nn
pppppp
y
pppppp
x
con ii 0
Y todas las combinaciones posibles son válidas pues los numeradores son siempre
pares, pues son sumas y restas de números impares.
c) Si n
nppk
...2 21
2 , entonces
nnn
nnn
nnn
nnn
nn
nn
nn
nn
pppp
pppp
y
pppp
pppp
x
...2...2
2
...2...2
...2...2
2
...2...2
221121
221121
221121
221121
2
1
2
122
2
1
2
122
con ii 0
Pero para 01 y 11 los valores obtenidos de yx, no serán enteros, luego hay
que descartarlos. Por lo tanto el exponente 1 debe ser tratado de forma diferente.
Observación.
Si queremos determinar únicamente las soluciones no negativas, debemos diferenciar
los siguientes casos:
a) Si k no es un cuadrado perfecto, es decir, algún i es impar y por tanto algún 1i
es par, el número de soluciones enteras será un número par (la mitad positivas y la
mitad negativas). En particular:
a1) Si 21 p , es decir, k es impar, la fórmula
n
i
i
1
1 genera todas las soluciones
),( yx , ),( yx con 0x , luego el número de soluciones positivas será
n
i
is
1
1
2
1
a2) Si 21 p y 11 , entonces el número de soluciones positivas será
n
i
is
2
1 1)1(
2
1
b) Si k es un cuadrado perfecto, es decir, todos los i son pares y por tanto todos los
1i son impares, aparecerá la solución 0, ykx :
00 kkk
Esta solución hará que el número total de soluciones sea impar.
Por ejemplo, en el Ejemplo 4,
4
2
8
)11)(13(
2
1
1
2
1
73189
1
322
n
i
iyx
Que son las cuatro soluciones ya encontradas anteriormente:
)6,15(),30,33(),10,17(),94,95(),( yx
22.3.6 Ejemplo.
Determina el número de soluciones enteras de la ecuación 922 yx . ¿Cuántas de
ellas no son negativas?
Solución.
Aplicando la fórmula del teorema anterior, 312139
1
2
n
i
i
Luego hay 623 soluciones enteras, de las cuales 25.12/3 no son negativas.
Concretamente son: 0,3 yx ; 4,5 yx
22.3.7 Ejemplo.
Determina el número de soluciones enteras de la ecuación 40022 yx . ¿Cuántas de
ellas no son negativas?
Solución.
9331)1(52400
2
1
24
n
i
i .
Luego hay 1829 soluciones enteras, de las cuales 55.42/9 no son
negativas.
Observación 2.
En el apartado 20.1 se introduce el número de divisores positivos de k , )(k , y
aplicando la fórmula de 20.4 se deduce que, si k es impar, se cumple:
rk
2
1
)(
Fuente: “On the Number of Solutions of the Diophantine Equation x2 − y2 = N” , J.F.T. Rabago
INTERNATIONAL JOURNAL OF MATHEMATICS AND SCIENTIFIC COMPUTING
(ISSN: 2231-5330), VOL. 2, NO. 2, 2012 13
22.3.8
D
Dado un número entero positivo n , definimos λ(n) como el número de soluciones
enteras positivas de la ecuación nyx 22 . Diremos que el número n es “olímpico”
si λ(n) = 2021. ¿Cuál es el menor entero positivo que es olímpico? ¿Y cuál es el menor
entero positivo impar que es olímpico?
OME 2021 #2
22.3.9
M
Suponiendo que las raíces de la función axaxxf 2)( 2 son valores enteros,
determina la suma de todos los posibles valores de a .
(A) 7 (B) 8 (C) 16 (D) 17 (E) 18
AMC 10A 2015 #23
22.4 La técnica del descenso infinito de Fermat.
Supongamos que queremos resolver una ecuación diofántica, y encontramos que, dada
una solución 01 x , entonces también será solución 02 x , con 021 xx .
Obtenemos así una sucesión infinita y decreciente de soluciones 0...21 nxxx , lo
cual es imposible pues trabajamos con números naturales, llegando a contradicción.
Así pues, esta técnica nos permite demostrar que una determinada ecuación diofántica
no tiene solución posible, o solo tiene la solución trivial 0x .
Una definición más formal de esta técnica sería la siguiente: Supongamos que queremos
demostrar una propiedad P para los enteros. Si la hipótesis de que se cumple para un
cierto número entero positivo 0n implica que también se cumple para otro entero
positivo más pequeño 01 nn , entonces ningún entero positivo satisface P.
Esta técnica se justifica formalmente en el principio de que todo conjunto finito de
números naturales tiene un mínimo. Sea S el conjunto de números naturales que
satisfacen P. Entonces S tiene un mínimo n , y la existencia de nm satisfaciendo P,
es decir, Sm nos lleva a contradicción.
Este método se asocia a Fermat (1601-1665) porque este matemático fue el primero en
utilizarlo explícitamente en sus razonamientos. Es intersante reseñar que Fermat, pese a
ser proclamado padre de la Teoría de Números moderna, siempre se consideró a sí
mismo un matemático amateur, y nunca se preocupó de publicar ninguno de sus
resultados matemáticos, contentándose con enviarlos a su amigo el matemático Marin
Mersenne (1588-1648).
Podemos leer en Cut the Knot que este método fue el utilizado por Euclides en Los
Elementos VII.31 para demostrar que todo número compuesto tiene un divisor primo.
22.4.1
F
Determine todas las soluciones enteras de la ecuación
222 3zyx
22.4.2
M
Determine todas las soluciones enteras de la ecuación
22222 bacba
USAMO 1976 #3
22.4.3
M
Resuelve la siguiente ecuación diofántica:
333 42 zyx
https://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsInfiniteDescent.shtml
22.5 El método de la contradicción modular.
Una técnica muy potente para resolver ecuaciones diofánticas es pasar la ecuación a un
módulo adecuado en el que los candidatos aceptables se reduzcan significativamente.
También se puede demostrar que una ecuación no tiene solución si no tiene solución
para algún módulo conveniente.
22.5.1
D
Determina todas las parejas de enteros yx , que satisfacen la ecuación
2001!2 yx
Nota: Cuando trabajamos con números factoriales es interesante tener en cuenta que
mn mod0! para todo mn , y así reducir los valores aceptables significativamente.
22.5.2
F
Demuestra que para todo nm, enteros positivos, 133 nm no puede ser un cuadrado
perfecto.
USAMTS
22.5.3
D
Demuestra que 1919 no se puede escribir como 43 yx , con x , y enteros.
22.5.4
F
Determina todas las soluciones de la ecuación 425 yx en enteros positivos.
22.5.5
F
¿Existe alguna pareja de enteros ba, para los cuales 35 ba y 35 ab son cubos
perfectos?
USAJMO 2013 #1
22.5.6
M
Demuestra que la ecuación
2222
2001...21 yxxx
no tiene soluciones enteras.
22.5.7
D
Determina todas los pares qp, de números primos tales que
253 qpqp
Russian Mathematical Olympiad
22.6 Resolución de ecuaciones diofánticas mediante factorización.
Fuente: An Introduction to Diophantine Equations A Problem-Based Approach (Andreescu, Cucurezeanu, Andrica) , página 4 en
adelante.
El método más común para resolver una ecuación diofántica es escribirla como
producto de expresiones más sencillas igual a un número: axxxfxxxfxxxf nmnn ...,,,......,,,...,,, 21212211
Ahora, factorizando el número a , obtenemos todas las posibles expresiones
maaa ...1 , convirtiendo la ecuación diofántica original en un conjunto de sistema de
ecuaciones:
mnm
n
n
axxxf
axxxf
axxxf
...,,,
...
...,,,
...,,,
21
2212
1211
Ejemplo resuelto 1.
Determina todas las soluciones enteras de la ecuación
xyxyyxyx 141211 22
Solución:
Reescribimos la ecuación de la siguiente forma:
2)1)(1(
21
41
4121
4)1)((2212
141211
2
22
2222
22
yx
yxxy
yxxy
xyyxyxxy
xyyxxyyxxyyx
xyxyyxyx
Veamos los casos posibles:
3,0
21
11
yx
y
x
3,2
21
11
yx
y
x
1,0
21
11
yx
y
x
1,2
21
11
yx
y
x
2,1
11
21
yx
y
x
2,3
11
21
yx
y
x
0,1
11
21
yx
y
x
0,3
11
21
yx
y
x
Es fácil comprobar que las ocho soluciones encontradas satisfacen la ecuación del
enunciado.
Ejemplo resuelto 2.
Determina todas las soluciones enteras positivas de la ecuación
pqyx
111
Solución.
22
22
))((
0))((
0
)(
111
qppqypqx
qppqypqx
xypqypqx
xyyxpq
pqyx
Y probamos con todas las combinaciones posibles:
22
1
qppqy
pqx
2pqpqy
ppqx
2
2
qpqy
ppqx
qppqy
qpqx
2
2
2
ppqy
qpqx
pqpqy
pqpqx
qpqy
qppqx 2
ppqy
pqpqx 2
1
22
pqy
qppqx
Que llevan a las nueve soluciones posibles:
)1(,1 pqpqpq , )1(),1( qpqqp , )1(),1( ppqpq
)(),( qpqqpp , pqpq 2,2 , )1(),1( qpqpq ,
)1(),1( pqppq , )(),( qppqpq , pqpqpq 1),1(
22.6.1
M
Determina todas los pares ),( yx de enteros no negativos para los cuales
222
7 yxxy
Indian Mathematical Olympiad
22.6.2
M
Resuelve la siguiente ecuación para soluciones enteras yx, :
111 22 xyyx
Polish Mathematical Olympiad
22.6.3
F
Determina todas las parejas de enteros positivos no nulos yx, que satisfacen la
ecuación
01072 22 xyxy
Kangourou S 2021 #26
22.6.4
F
Las butacas de un teatro forman un rectángulo, ordenadamente por filas (butacas una al
lado de la otra) y en columnas (una detrás de otra). Sabemos que la capacidad del teatro
es la mínima que permite situar en cada fila exactamente 12 hombres, en cada columna
exactamente 15 mujeres y dejar exactamente 7 butacas libres. Determina la capacidad
del teatro.
(A) 635 (B) 754 (C) 736 (D) 650 (E) 680
Cangur B2 2022 #30
22.6.5
F
Problema solucionado paso a paso en vídeo .
Un partido de fútbol entre equipos de North Berracan y South Berracan se juega en un
estadio que tiene una serie rectangular de asientos para los espectadores. Hay 11
partidarios de North Berracan en cada fila y 14 partidarios de South Berracan en cada
columna. Esto deja 17 asientos vacíos. ¿Cuál es el menor número posible de asientos en
el estadio?
(A) 500 (B) 660 (C) 690 (D) 840 (E) 994
Kangaroo Student 2022 #30
Solución: https://youtu.be/x_mK2_JcgxE
22.6.6
MD
Determina todas las ternas de enteros positivos ),,( zyx que satisfacen la ecuación
2023122222
22
zxyzxyxyzzyx
USAJMO 2023 #1
Nota: Se presenta una solución incompleta.
https://youtu.be/x_mK2_JcgxE
22.7 Resolución de ecuaciones diofánticas aplicando desigualdades.
Este método consiste en aplicar algún tipo de desigualdad para reducir el número de
casos aceptables. Para ello aplicaremos las técnicas estudiadas en el libro
Desigualdades.
22.7.1
D
Determina todos los pares yx, de enteros para los que se verifica
233 yxyx
22.7.2
M
Encontrar todas las soluciones enteras positivas de
1
2
1111
cbaaccbba
OMEFL 2017 #4
22.7.3
D
Sean nba ,, enteros positivos tales que ba y 21 nab . Prueba que
34 nba
Indica justificadamente cuando se alcanza la igualdad.
OME 2013 #1
22.7.4
D
Determina todas las parejas de enteros positivos yx, que son solución de la ecuación
yx
yx
yx
2
34
OMEC 2021 #3
22.7.5
M
Resuelve la siguiente ecuación para valores enteros positivos de zyx ,, :
5
3111
zyx
Romanian Mathematical Olympiad
22.7.6
D
Determina las soluciones enteras y positivas cba ,, de la ecuación
2
1
1
1
1
1
1
cba
BMO 1995 Round 2 #1
http://www.toomates.net/biblioteca/Desigualdades.pdf
22.8 Ecuaciones diofánticas en competiciones olímpicas.
22.8.1
M
Determina todos los enteros no negativos ba, tales que 2009 ba
BMO 2009 Round 2 #1
22.8.3
F
Resuelve la siguiente ecuación para INzyx ,,
1
321
zyx
BMO 1988 #4
22.8.4
F
Determina todas las soluciones enteras positivas mn, , con n impar, de la ecuación
12
141
nm
BMO 2001 Round 1 #1
22.8.5
F
Determina todos los pares ba, de enteros positivos tales que
2018
311
ba
Putnam 2018 A1
22.8.6
F
Determina justificadamente todos los pares de números enteros ),( yx que verifican la
ecuación 200942 yx .
OME 2009 #4
22.8.7
M
Determina 223 yx si yx, son enteros que satisfacen 517303 2222 xyxy .
AIME 1987 #5
22.8.8
F
Encuentra todos los primos p y q que satisfacen la ecuación 3)( qpqp
Rusia, 2001
22.8.9
M
Determina todas las ternas de enteros positivos cba ,, tales que 1 cbaabc .
México 2010
22.8.10
F
Describir todas las soluciones enteras positivas nm, de la ecuación
278 nm
y dar el primer valor de m (si existe) mayor que 1959.
OMEFL 2017 #1
22.8.11
D
Calcular todos los pares de enteros yx, tales que 33223423 yxyx .
OME 2019 #4
22.8.12
M
Determina todos las parejas de enteros positivos yx , tales que 6133 xyyx
Russian Math Olympiad
22.8.13
M
Resuelve la siguiente ecuación para valores enteros 0, yx :
322 yxyxyx
USAMO 1987 #1
22.8.14
M
Determina todos los pares de enteros ),( yx tales que 436 13 yxx
Romanian Math Olympiad
22.8.15
F
Encontrar todas las soluciones enteras posibles, x e y, de la ecuación
yxyxp
siendo p un cierto número primo.
OMEFL 2007 #2
22.8.16
MD
Determine todas las parejas de enteros ),( yx tales que 212221 yxx
IMO 2006 #4
22.8.17
D
Determina todos los INzyx ,, tales que zyx 543 .
IMO 1991 Shortlist
22.8.18
D
Determina todas las soluciones enteras de la ecuación 123 nm
22.8.19
D
Determina todos los pares de enteros yx , que satisfacen la ecuación
yxxyxyx 221 22
BMO 2001 Round 2 #2
22.8.20
F
En una calle hay una fila de casas numeradas del 1 al n, donde n es un número de tres
cifras. Exactamente 1/k de estos números empiezan con el dígito “2”, donde k es un
entero positivo. Determina los posibles valores de n.
BMO 2022 Round 1 #1
22.9 Cuadrados perfectos.
22.9.1
M
Determina todos los números primos qp, para los cuales qp y qp 7 son ambos
cuadrados perfectos.
22.9.2
M
Determina todos los primos p y q para los que 22 7 qpqp es un cuadrado perfecto.
22.9.3
MD
Determinar todos los números primos 3p tales que 2/1p y 2/12 p son
cuadrados perfectos.
OMEC 2022 #5
22.9.4
F
Sea n un entero positivo y sea dun divisor positivo de 22n . Demuestra que dn 2 no
es un cuadrado perfecto.
Kürschák Math Competition 1953
22.9.5
D
Determina todos los números primos p tales que 162 24 pp sea un cuadrado
perfecto.
Leningrad Math Olympiad 1980
22.9.6
MD
Demuestra que la ecuación 24 zyxxy no tiene soluciones en los enteros
positivos.
(Euler)
22.9.7
M
Problema solucionado paso a paso en vídeo.
Un número triangular es cualquier entero positivo que se puede expresar de la forma
ntn ...321 ,
para cierto entero positivo n. Los primeros tres números triangulares que son también
cuadrados perfectos son: 2
1 11t ,
2
8 636 t y
2
49 351225 t
Determina la suma de los dígitos del cuarto número triangular más pequeño que es
también un cuadrado perfecto.
(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 18 (E) 27
AMC 12A 2022 #16
Solución: https://youtu.be/2kJ1yQHWcCA
https://youtu.be/2kJ1yQHWcCA
22.10 Ecuaciones de Frobenius. Problema de las monedas.
Definición. Ecuación de Frobenius. Número de Frobenius.
Llamaremos ecuación de Frobenius a toda ecuación diofántica de la forma
bxaxaxa nn ...2211
con bxa ii ,, enteros , 0ia y 0ix .
Llamaremos “Número de Frobenius” al mayor b para el cual la ecuación no tiene
solución. Por ejemplo, la ecuación de Frobenius byx 94 tiene asociado el número
de Frobenius 23.
En Mathematica:
El problema de las monedas.
Dados dos números positivos nm, , queremos estudiar las combinaciones lineales
nbma
con coeficientes enteros no negativos 0, ba .
Este problema se llama problema de las monedas de Frobenius o simplemente problema
de Frobenius, pues este matemático alemán estudió las posibles sumas de dinero que se
podían obtener acumulando ciertos tipos de moneda.
El teorema “Chicken McNugget”.
Dados dos números positivos coprimos nm, , el mayor entero que no puede
representarse como combinación lineal nbma con ba, enteros no negativos es
nmnm
Una consecuencia de este teorema es que existen exactamente
2
11 nm
enteros positivos que no se pueden representar de dicha forma.
Se dice que el origen de este teorema y de su curioso nombre viene de cuando
McDonalds ofrecía sus nuggets en paquetes de 9 y de 20, y algunos aficionados a las
matemáticas se preguntaron por la cantidad máxima que no se podían comprar en cajas
completas (son 151).
Teorema de Frobenius.
Supongamos que a y b son enteros positivos.
a) Si 1, ba , el número de enteros positivos n que no se pueden escribir como
nbyax , con 0, yx , es exactamente
2
)1)(1( ba
.
b) Si 1, ba , todo número entero positivo de la forma nbyax será múltiple de
ba, , luego existirán infinitos números que no se puedan escribir como nbyax .
c) Si 1, ba y baabn , la ecuación nbyax no tiene solución con 0, yx ,
pero sí la tiene para todo baabn (aunque puede tener solución para algunos
baabn concretos)
22.10.1
MF
En un pueblo llamado Hamlet hay 3 personas por cada caballo, 4 ovejas por cada vaca,
y 3 patos por cada persona. ¿Cuál de los siguientes valores no puede ser la suma de
personas, caballos, ovejas, vacas y patos en Hamlet?
(A) 41 (B) 47 (C) 59 (D) 61 (E) 66
AMC 10B 2015 #15
22.10.2
D
Determina todos los posibles valores de enteros positivos n para los cuales 91 céntimos
es el mayor valor que no se puede formar disponiendo de una infinita cantidad de sellos
de 5, n y 1n céntimos.
AIME II 2019 #14
22.10.3
F
Se propone un juego en el cual el jugador gana a puntos si gana o b puntos si pierde
( baINba ,, ) , y los puntos se van acumulando partida a partida. Se sabe que
existen exactamente 35 puntuaciones no alcanzables y que una de ellas es 58. Determina
a y b.
Putnam 1971 #A5
22.10.4
D
Problema solucionado paso a paso en vídeo
Tomamos 94 ladrillos de medidas 4’’×10’’×19’’ y los apilamos uno encima del otro
hasta formar una torre de 94 ladrillos. Cada ladrillo puede estar orientado de cualquier
forma, por lo que contribuye en 4’’, 10’’ o 19’’ en la altura total de la torre. Determina
el número de alturas diferentes de las torres que podemos formar con estos 94 ladrillos.
AIME 1994 #11
Solución: https://youtu.be/oMSDngxwt6U
https://youtu.be/oMSDngxwt6U
Soluciones.
1.1.1
Supongamos que )99...321(10099...3210 nnnnnnN
Sabemos que 4950
2
)199(99
99..321
Luego 4950100 nN , luego será un número que acabe en "50", y el único candidato
aceptable es (A).
1.1.2
(*)32110...1010101...1110...101010
110...110110110
99...99..9999999999
321321
321
321321
321321
321
cifras
N
0111...111000...001..10001001010...101010
321321
321321
0789111....1113210111...111(*)
3183321321
Las cifras de este número suman 34298703181
1.1.3
Vamos a ir observando la pauta nsn ...321
8287654321
121654321
51554321
0104321
36321
3321
11
77
66
55
44
33
22
11
ds
ds
ds
ds
ds
ds
ds
Las sucesivas ns siguen de la siguiente manera:36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153,171,
190,210,231,253,276,300,325,351,378,406,435,465,496,528,561,595,630,666,703,741,
780,820,861,903...
Vemos que los primeros 70... 1921 ddd .
y vemos que, a partir de la posición 19d sigue una pauta repetitiva de 20 números:
0, 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1
que suman 70.
Entre 19d y 2017d hay 20 bloques completos y 19 elementos "sueltos" finales:
1920991999182017
Los 19 primeros elementos de la pauta anterior suman 69, luego
706969709970
2017
1
n
nd . El residuo de 7069 entre 1000 es 69.
1.1.4
Vamos calculando pacientemente la sucesión:
8,5,2,6,7,4,7,10
,676)585(4,560)258(4
12111098765
43
aaaaaaaa
aa
Vemos que los tres últimos elementos coinciden con los primeros, por lo que podemos asegurar
que los elementos se van repitiendo en grupos de diez.
112827
82102022022
20102022020
78102012018
202220202018
22022
02020
82018
aaa
aa
aa
aa
1.1.5
3848642 , luego la multiplicación de cuatro números, acabados en 2, 4, 6 y 8 acabará en
4.
La multiplicación de números acabados en 4 va alternando: Acabados en 6 y acabados en 4:
,...2564644,644164,16444 432 luego 104 acabará en 6.
98969492...28262422181614128642 la podemos entender como la
multiplicación de diez grupos, cada uno de ellos acabado en 4, luego el resultado será el mismo
que 104 , es decir, 6.
1.1.6
Supongamos que nuestra sucesión es de la forma bnaxn para ciertos enteros ba, .
Supongamos que para cierto n se cumple 2
11
mbnaxn .
Entonces
bmanaamabnaamamam 222 1
2
1
222
Y por tanto el término
2na con 112 2 nmann es también un cuadrado perfecto. Esta
sucesión de cuadrados perfectos la podemos hacer tan grande como queramos.
1.1.7
acbcbaN 88811111 232 , con 7,,0 cba .
512753120
1207535120
11118118810
111188810
223
223
cba
acb
acb
cbaacb
Luego
4120/512512512753120 acba
Con 4a nos quedamos cortos, luego 5a .
Supongamos que 5a . La ecuación queda de la forma:
cb
cb
cb
75388
512753600
512753600
Con 0b la ecuación resultante cc 7705388 no tiene solución entera.
Con 1b la ecuación resultante c715388 tiene solución entera:
573575388715388 cccc
Luego hemos encontrado la solución 5,1,4 cba, y como en todo momento hemos
trabajado con valores mínimos, esta será la solución mínima que nos pide el enunciado.
1.1.8
)(111010
10
10
yxxyyxba
xyb
yxa
Puesto que estamos tratando con números de dos dígitos, se debe cumplir 0, yx , y por lo
tanto la suma es un múltiple de 11.
1.1.9
10199
0999999991010010100
99101001010099
caca
caabccba
abccbaabccban
119999
999999
99101001010099
acacac
ac
cbaabccbaabc
El valor de a puede estar entre 1 y 9, pero el 9 lo debemos descartar porque entonces c sería
igual a 10, lo cual no es posible. Por lo tanto hay 8 valores posibles de a, y puesto que el valor
de b es libre (y hay 10 posibles valores de b, entre 0 y 9), y el valor de c está determinado por el
valor de a, tendremos un total de 80108 posibles valores. (A)
1.1.10
Vemos que todas las potencias de 5 acaban en cifra 5. Luego, si sumamos uno, acabarán en
cifra 6. Multiplicando números que acaban en 6 siempre obtenemos resultados que acaban en 6,
luego la solución es 6 (A).
1.1.11
Sean a y b las dos cifras del número n, es decir: ban . Entonces:
abbaba
baabbaabbaabba
121211/132132)(11
132111113210101321010132
El número a puede tomar todos los valores enteros entre 1 y 9, pero de estos valores debemos
descartar los que generen valores de b inaceptables:
12331212912912090 aaaab , así pues,
debemos eliminar los casos 1a y 2a , luego hay 7 casos aceptables para a, que determinan
el valor de b, la respuesta correcta es (B).
1.1.12
La ecuación que se plantea es
abbababababbbbaaa 73370104310
Así pues, b es un múltiplo de 7, y sabemos que 90 b . Si 0b entonces 0a y no sería un
número de dos cifras, por lo tanto la única posibilidad es 7b , que implica 3a , y por tanto
10 ba (A).
1.1.13
Veamos los palíndromos en base 8 y seleccionemos aquellos que también sean palíndromos en
base 10.
dcbadcban 512648888 32 , con 7,,,0 dcba , pero puesto que 1000n
podemos suponer que 1d .
Puesto que buscamos el valor máximo, podemos suponer que 1d . Por ser palíndromo, 1 da y
bc , y por tanto
bbbn 725135126481 .
100010177725137 nb
9456725136 nb no es palíndromo en base 10.
8735725135 nb no es palíndromo en base 10.
8014725134 nb no es palíndromo en base 10.
7294725133 nb no es palíndromo en base 10.
6572725132 nb no es palíndromo en base 10.
5851725131 nb sí es palíndromo en base 10.
El número buscado es 585.
1.2.1
Vemos que la puerta k será abierta por el estudiante 1, pasará por ella el estudiante k, y quedará
abierta si han pasado por ella un número impar de estudiantes.
Por otro lado, sobre la puerta k actuará el estudiante j si y solo si k es un divisor de j.
Observamos como son los divisores de cada número:
3,13
4,2,14
5,15
6,3,2,16
…
9,3,19
432 2,2,2,2,116
Vemos que los únicos números que tienen una cantidad par de divisores son los cuadrados
perfectos. Son éstos, y solo éstos, los que quedarán abiertos: 1, 4, 9 y el 16.
1.3.1
Supongamos, por el contrario, que existe un
ab
ba
k
1
22
, con ba, enteros positivos que no es
un cuadrado perfecto.
Por ser ba, simétricos en la expresión, podemos suponer que ba .
Podemos suponer, además, que b es el entero positivo más pequeño posible.
En primer lugar, vemos que ba , pues
12
1
2
1 2
222
k
a
a
ab
ba
kba , pero 1 es un cuadrado perfecto: 211 , llegando a
contradicción.
Así pues, ba .
00
1
1
2222
2222
22
kaakbbabkkba
baabkkbakab
ab
ba
k
Esta última expresión la podemos considerar como una ecuación de segundo grado en b, con lo
que existirán dos soluciones, 1,bb , tales que:
1
2
1
bbka
bbak
Puesto que 0, ba , la hipótesis 01 b contradice la condición
2
1
2
11 bakab
Puesto que k no es un cuadrado perfecto, la hipótesis 01 b también contradice la condición
anterior:
22 001 aka . Así pues, 01 b .
Por otro lado:
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
22
11
2
1111
ab
ba
kbaabk
bakakbkabakbkabakbbbbb
Y también:
b
b
kb
b
ka
b
22
1
Luego hemos encontrado un nuevo número bb 1 que también satisface
11
2
1
2
ab
ba
k , cuando
habíamos supuesto que b era el menor número posible, llegando a contradicción. Por lo tanto,
k tiene que ser un cuadrado perfecto.
Fuente de la solución: Elementary Number Theory Notes (David A. Santos, 2004) , pág. 3.
3.1
Basta realizar la suma “en columnas”:
36275
133
4022
82751
DC
A
De izquierda a derecha vamos deduciendo A=2, D=9 y C=1 (B)
3.2
341241)12(2
12
12
aaac
bc
ab
Se cumple 1000c , luego 250a , luego 22Na con 5N o bien 11Ma .
Probamos las diferentes posibilidades:
48512242 aba no cumple las condiciones del enunciado.
46512232 aba no cumple.
44512222 aba no cumple.
42512212 aba no cumple.
40512202 aba no cumple.
20312101 aba no cumple.
22312111 aba no cumple.
24312121 aba no cumple.
26312131 aba no cumple.
28312141 aba no cumple.
30312151 aba sí cumple, pero 60712 bc no cumple.
32312161 aba sí cumple, pero 60712 bc no cumple.
34312171 aba sí cumple, pero 68712 bc no cumple.
36312181 aba sí cumple, y 72712 bc también cumple.
38312191 aba sí cumple, y 76712 bc también cumple.
Luego cumplen dos números (C).
3.3
Basta realizar la suma en columnas:
62111
62
712
3427
DC
A
Para deducir que A=5, D=7 y C=1 (B)
3.4
392242019 , luego con 224 dígitos seguro que nos quedamos cortos. Con 225 dígitos, el
más pequeño será
223
999...99993 cuya primera cifra es 3 (B)
3.5
Para llegar a T , R o P o S necesita realizar un número par de pasos. Para llegar a Q necesita un
número impar de pasos. El número 2019 es impar, luego solo a Q. (C)
3.6
Analizando detenidamente la larga cadena de operaciones involucradas en este problema,
podemos especular que 10)( ng , el primer valor que no se puede representar en base 16 con
los dígitos 9,...,2,1,0 .
En base 8 disponemos de los dígitos del 0 al 7, y por lo tanto, el valor mínimo para que la suma
sea 10 será 3+7, es decir, el número 31783378 .
Finalmente, buscamos un número cuya suma de dígitos en su representación en base 4 sea 31.
En base 4 tenemos los dígitos 3,2,1,0 . 110331 , luego el número buscado será
14...44344343...43434131333333333 91011091011
4 n
Aplicando la fórmula de la serie geométrica:
3
14
41
41
14...44
1111
910
Para calcular 2211 24 a mano vamos calculando potencias de 2:
41943044224
1048576102410242
10242
202211
20
10
Con lo que, finalmente:
2097151
3
14
34
11
11
n
3.7
5014131211
1413121110987654321
012345678910
Luego en cada fila, columna y diagonal la suma será 10 (C)
3.8
Interpretando esta ecuación como una ecuación de segundo grado en y, tenemos
2020
202020202020
20202
11
2
122
2
)1(42
2
1442
02
x
xxx
yxyy
Que tendrá solución siempre que
0
1
01 2020
x
x
x
1011 yx una solución
1,0110 yx dos soluciones
En total, hay 3 soluciones (C)
3.9
Vemos que alog es un entero positivo si y solo si ccc aa 22
101010 para cierto
entero positivo c .
Luego ca c 210loglog 2 y debe ser un entero, luego 22ec para cierto entero e , y
eca c 2210loglog 2
Por otro lado, 22log eca .
De la misma forma vemos que ddd bb 22
101010 para cierto entero positivo d.
Luego db d 210loglog 2 debe ser un entero, luego 22 fd para cierto entero f , y
fdb 22log
Por otro lado, 22log fdb .
Así pues, la ecuación del enunciado se transforma en
)1()1(50
2222loglogloglog100
22
22
ffeefefe
fefebaba
Buscamos posibilidades: 4276,3065,2054,1243,632,221
84250,203250
302050,381250,44650,48250
Las únicas combinaciones aceptables son 5,4 fe y 4,5 fe .
Luego
)(1010
10101010
10101010
10101010
164544
44444
42222
42222
22
222222
22
22
D
ab
b
a
fefefe
ffdd
eecc
Observación: En las soluciones oficiales
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2019_AMC_12A_Problems/Problem_15&oldid=122937 se presentan otros desarrollos
alternativos.
3.10
Haciendo el listado exhaustivo de todos los valores que vamos obteniendo para valores
pequeños de n , vemos que los conjuntos
11,33...33 0
0
1
1
1
1
i
n
n
n
nn aaaaaS
Constan de n3 enteros, sin que se produzcan repeticiones, y se cumple nS0 , y hay simetría:
nn SxSx .
Así pues, en particular, para el caso 7n , tendremos 65618181333 448 números
diferentes: 3280 negativos, 3280 positivos y el cero. El total de elementos no negativos es, por
tanto, 3281 (D).
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2019_AMC_12A_Problems/Problem_15&oldid=122937
3.11
Fijando un 2450,...,2,1k , los triangulos ABC y kkQAP son semejantes por Tales, ya que
BCQP kk // .
Las regiones separadas por segmentos tienen la misma área
2450
ABC
.
Los trapecios se pueden unir de forma que
2450
ABC
kQAP kk
Es decir, la razón de proporcionalidad entre las áreas de los triángulos es:
22 7522450
kk
ABC
QAP kk
Sabemos que las áreas están en proporción el cuadrado de la razón de semejanza de las
longitudes de los lados, luego la razón de proporcionalidad de las longitudes es:
75
2/
752 22
kk
Y por tanto
67
3
23
33
7
1
2
3
7
1
35
75
2/
35
kkkk
BCQP kk
que será un número racional
si y solo si
6
k
es racional, es decir, para todos los k tales que 6/k sea un cuadrado perfecto:
22 66/ pkpk
6161 2 kp , 24262 2 kp , ... , 240020620 2 kp ,
Con 264621621 2 kp ya nos pasamos luego hay 20 valores de k aceptables.
3.12
PR #1.16
3.13
Para resolver este problema vamos a aplicar la siguiente identidad notable:
222222 bcadbdacdcba
Esta identidad se demuestra fácilmente mediante números complejos, tomando biaz 1 y
dicz 2 , vemos que se reduce a la conocida identidad
2
21
2
2
2
12121 zzzzzzzz
Volviendo a nuestro problema, multiplicamos por 22 215 ambos lados de la igualdad y
aplicamos la identidad anterior:
http://www.toomates.net/biblioteca/Probabilidad.pdf
1297361
1297321
129753255
129755325
129751805
12975134273234173
12975213473129753473
22
222
222222
22222
222
222
2222222
3.14
Basta con multiplicar esta expresión por )23(1 y aplicar la identidad “suma por
diferencia”:
22))(( bababa
En nuestro caso:
8824244444
4422222222
22
23233223
23233223
2332)23(
Para ir cancelando, uno por uno, todos sus términos hasta quedar 128128 23 (C)
3.15
Analizando la tercera columna vemos que acaba en 4, y analizando la primera columna vemos
que el resultado es 26 contando el acarreo, luego la suma será 24. (C)
3.16
En primer lugar podemos suponer 1a es decir mínimo, para buscar el máximo de b.
Vemos que para 1000 cb se cumple 1000000 cba , y que para cualquier número
mayor, por ejemplo 1001 cb entonces 1000000 cba . (D)
3.17
El 0 se puede obtener tomando 0,0,0 cba .
El 2 se puede obtener tomando 0,0,1 cba .
El 8 se puede obtener tomando 0,0,2 cba .
El 6 se puede obtener tomando 0,1,1 cba .
Luego solo nos queda la solución 1. (B)
3.18
(B)
3.19
Puesto que Par+Par=Par, Impar+Par=Impar, Impar+Impar=Par, la sucesión sigue la siguiente
pauta: I I P I I P I I P I I P...
167332020 , luego habrán 673 números pares. (A)
3.20
Basta aplicar la propiedad conmutativa en la columna de la derecha: 158279 (B)
3.21
Por tanteo se llega a 22101 (C)
3.22
El próximo será 2121, y transcurrirán 101 años (B)
3.23
Se deduce que es 2 (B)
3.24
Sea x el valor central. Sumando los elementos de dos formas diferentes llegamos a la ecuación
413440 x cuya solución es 3x (A)
3.25
1505595 km y no llegaría con los 14 litros de combustible. La anterior está en el kilómetro
1305575 y le faltarían recorrer 390130520 kilómetros con lo que necesitaría 39 de
los 40 litros de gasolina disponibles (D).
3.26
Empezamos por el número 7 que solo puede ser 421 . Luego, por tanteo, llegamos a la
siguiente combinación aceptable:
Cuyas caras suman 7, 8, 10, 9 y 13. Luego la solución es 13 (C)
3.27
Observando las sumas parciales que aparecen y por tanteo, llegamos a esta solución aceptable:
Con lo que la respuesta correcta es 7 (C)
3.28
En primer lugar vemos que
4
3
5
3
5
1
5
1
5
1111
5
cba
cba
Y no se podrá cumplir la igualdad del enunciado. Luego nos podemos reducir a los casos
41 a
Primer caso: 1a .
4
1
1
4
311
4
311
1
cbcb
lo cual es imposible con cb, positivos.
Segundo caso: 2a
4
1
2
1
4
311
4
311
2
1
cbcb
Si
4
1
8
211
8
cb
cb , y la igualdad requerida no se podrá cumplir. Luego nos
reducidos a 82 b .
4
4
4)4(44)(4
4
1
4
111
b
b
c
bbcbcbcbccb
bc
cb
cb
De aquí se deduce claramente que 40
4
4
b
b
b
c
Vamos probando casos:
20
45
54
5
cb
12
46
64
6
cb
3
28
47
74
7
cb no aceptable
8
48
84
8
cb
Segundo caso: 3a
12
5
3
1
4
311
4
311
3
1
cbcb
Si
12
5
5
211
5,
cb
cb pues 255512224 . Luego nos podemos reducir a los
casos 41 b
125
12
12)512(
12512512125)(12
12
5
12
511
b
b
cbbc
bbccbccbbccb
bc
cb
cb
Los únicos valores aceptables son
3
1215
312
3
cb , 6
1220
412
4
cb
Tercer caso: 4a
2
1
4
1
4
311
4
311
4
1
cbcb
Si
2
1
4
211
4,
cb
cb y no se puede dar la igualdad, luego la única opción posible es
2
111
4,
cb
cb
Que efectivamente cumple la condición requerida.
Luego las soluciones son 20,5,2 cba ; 12,6,2 cba ; 8,8,2 cba ;
12,3,3 cba ; 6,4,3 cba ; 4,4,4 cba .
3.29
Para resolver este problema es suficiente garantizar que existen tres enteros ncban 2
tales que
2
2
2
qac
pcb
rba
para ciertos enteros qpr ,, .
De esta manera, puesto que hay tres números y dos pilas, por el Principio del palomar
forzosamente siempre tendremos al menos dos de estos números en la misma pila.
Sumando las tres ecuaciones llegamos a 2222 qprcba
luego 222 qpr debe ser par.
Por otro lado,
2
222
222
2
222
222
2
22
2
p
qpr
a
qpr
pa
qpr
cbaqprcba
Y de la misma forma:
2
222
2
q
qpr
b
,
2
222
2
r
qpr
c
Una hipótesis natural :-) es suponer que existe un entero k tal que
12
2
12
kr
kq
kp
Es fácil comprobar que entonces 212 2222 kqpr es un número par.
La condición an 2 se puede resolver completando cuadrados:
1111112
22421216
2
22
22222
222
nknknkk
nkknkkkkp
qpr
a
Y la condición nc se resuelve también completando cuadrados:
11
2
1
2
11
2
12
2
2421216
2
22
22222
222
n
k
n
k
n
kk
n
kknkkkkr
qpr
c
Así pues, todo se reduce a demostrar que, para cualquier 100n , existe un k tal que
1111
2
nk
n
Puesto que
21
2
111
2
1111
2
11
n
n
n
n
n
n
es suficiente demostrar que 31
2
1
n
n para todo 100n .
018010816248196849
1
2
1161431
2
14143
1
2
12
2
143
1
2
127
2
3
71
2
12
2
3
91
2
121
2
191
2
131
2
1
222
2
2
nnnnnn
n
nn
n
nn
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Esta última desigualdad se soluciona de la forma habitual, encontrando las raíces de la ecuación
01801082 nn
Pero sin tener que hacer cálculos, está claro que 01801081801082 nnnn si
108n .
(determinando las raíces podríamos haber ajustado un poco más y garantizar que se cumple
para todo 107n )
Los casos 107100 n se tienen que observar por separado y se comprueba que, para todos
ellos, 9k es un valor aceptable.
Fuente de esta solución: Múltiples fuentes en Internet.
3.30
Vamos haciendo las multiplicaciones, y solo nos fijamos en la última cifra:
13
1
acaba en 3
13
2
acaba en 9
13
3
acaba en 7
13
4
acaba en 1
13
5
acaba en 3
Luego nos encontramos con un ciclo de longitud 4, y por tanto, puesto que 345002003 ,
acabará en 7, (C).
3.31
Observamos que las potencias de los números que acaban en 5 siempre acaban en 5, luego el
resultado será 615 (C).
3.32
...361,261,169,121,49,25,9,1...19,17,13,11,7,5,3,1 2 pp
y vemos que la única posibilidad aceptable (aquí podemos aprovechar que las respuestas
posibles son todas valores únicos) es
212192194361 2222 qpqp (B)
3.33
Trabajando con números pequeños nos pone sobre la pista del resultado:
667444889
674489
Observando la pauta de multiplicar el número 67...666 por sí mismo nos lleva a la solución:
La solución es 76...666
2021
dígitos
.
3.34
222322333233
333222233232
32223222
32223222
0
cbabacabacbcbacabc
acbacbcbacacbbaabc
cbaabcacbacbcabcab
cbaabcacbacbcabcab
22
22
22
222
2222
22322
223222232
222322333233
0
0
0
cbcb
baba
acac
cbbaac
cbbcbaac
cbbacabac
cbbacabacbbacabc
cbabacabacbcbacabc
Fuente de esta solución: Antonius Benedictus en Facebook
3.35
Solo de 2:
$17$26$51
$17$21$53
La respuesta correcta es (A).
3.36
Haciendo la división larga poco a poco vemos como se produce la secuencia de dígitos, y
observamos que se genera un cero por cada tres dígitos sin contar el primero. Luego la solución
es 200312004 , 6673/2003 (D)
3.37
Por las condiciones del enunciado debemos encontrar tres números enteros 9,,0 cba ,
0a , de forma que
cba
cba
cba
acbcba
acbcba
87199
087199
0)91()8110()1100(
0991010
991010
22
22
Vamos probando en búsqueda de una solución aceptable:
Si 1a , 1b , 2/787199 cc no es aceptable
Si 2a , cb 871198 , tomando 2b y 7c se cumple la ecuación.
Puesto que se nos pide una solución que se supone única, no hace falta seguir, la solución al
problema es 227 .
Observación.
Una manera más elegante de resolver la ecuación cba 87199 sería pasar a módulo 71, en
donde esta ecuación se convierte en
71mod2771mod82871mod899 cacaca
En donde hemos podido simplificar porque 1)71,4( .
Y esta última congruencia lineal solo tiene solución 7,2 ba .
3.38
Para encontrar el mínimo, debemos minimizar el numerador y maximalizar el denominador.
Nuestro objetivo es intentar encontrar un numerador igual a 1, que sería el valor mínimo
posible. Entre todos los candidatos, encontrar el que deja tres números no utilizados mayores,
que irán en el denominador.
El 1 nos sirve de comodín, pues puede ir en cualquier lado. Probando probando encontramos la
combinación
1751632 que da lugar a
288
1
984
751632
En el denominador hemos colocado el 8 y el 9, que son dos de los números más altos posibles,
luego podemos esperar que esta combinación sea la más pequeña.
La respuesta correcta es, por tanto, 2892881 .
Observación: En www.artofproblemsolving.com podemos encontrar algunos razonamientos
que justifiquen que esta combinación es realmente la mínima posible.
3.39
Empezaremos por la columna de la izquierda. Solo hay tres combinaciones posibles que sumen
25: 10+8+7 y 10+9+6.
Probando con la segunda, tampoco hay muchas combinaciones de tres números que sumen 24,
así que ponemos el 6 en la fila central y probamos combinaciones hasta encontrar la adecuada:
El número que tenemos que poner en la posición del interrogante es el 1, y la respuesta correcta
es (E).
3.40
02 cbxx no tendrá dos soluciones reales distintas si y solo si su discriminante no es
positivo:
0142
1 cb
Y de la misma manera, la segunda ecuación no tendrá dos soluciones reales distintas si y solo si
0142
2 bc
Así pues, nuestro problema se reduce a determinar las soluciones enteras positivas cb, del
sistema de inecuaciones:
bc
cb
bc
cb
4
4
04
04
2
2
2
2
bcbcbc 244 22 , donde estamos teniendo en cuenta que 0c . Luego:
bbb
bc
cb
824
2
4
2
2
Comparando las funciones 2
1 )( bbf , y bbf )(2 , vemos que la desigualdad bb 82 solo
se puede cumplir para los primeros valores de b, exactamente hasta
4064
0
06406488
3
34242
bb
b
bbbbbbbb
El sistema es simétrico en la incógnita c, así pues, hemos reducido los posibles candidatos a
4,1 cb .
Si cb está claro que se satisface el sistema, que se reduce a la desigualdad bb 42 :
http://www.artofproblemsolving.com/
411 2 b , 822 2 b , 1233 2 b , 1644 2 b
Para los otros casos:
81
44
1,2 cb se cumple
121
39
1,3 cb no se cumple
161
416
1,4 cb no se cumple
89
124
3,2 cb no se cumple
816
164
4,2 cb no se cumple
1216
169
4,3 cb no se cumple
Así pues, se cumple para las parejas (1,1), (1,2),(2,1),(2,2),(3,3), (4,4) (B)
3.41
Vamos a calcular dicho número:
592242021
Luego N es el número
nueves224
9...995
Luego 2021N será:
5 9 ... 9 9 9 9 9
+ 2 0 2 1
6 0 ... 0 2 0 2 0
Y la suma de sus dígitos será 1002020...006 (C)
3.42
Sabemos que un número será divisible entre 3 cuando la suma de sus cifras sea divisible entre
tres. Veamos todas las combinaciones posibles:
1 1 1 (1) 1 1 3 (0) 1 1 5 (0) 3 3 1 (0) 3 3 3 (1)
3 3 5 (0) 5 5 1 (0) 5 5 3 (0) 5 5 5 (1) 1 3 5 (6)
En total hay 1+1+1+6=9 (E)
3.43
Podemos escribir la lista directamente:
0 → 0002 7 → 2002
1 → 0020 8 → 2020
2 → 0022 9 → 2022
3 → 0200
4 → 0202
5 → 0220
6 → 2000
Hay nueve números, y por tanto eldel medio es el quinto: 220 (B).
3.44
78121110987654321
11264178
La única forma de sumar 11 con cuatro números entre 1 y 12 es
532111
El primer grupo, para alcanzar 41, necesitará, seguro, la pesa 12. Porque sin la pesa 12 lo
máximo que se alcanza es 38891011 .
Nos quedan los números 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, vamos probando...
Para llegar a 26 con cuatro de estos números tomamos 976426 , y efectivamente,
121110841 , luego ya hemos resuelto una combinación aceptable. Vemos que con el 9
va el 7 (B).
3.45
Sea 459...210 S . Entonces vemos que el truco está en agrupar por decenas:
2025459...321
901...201101001
99...291909
...
92...221202
91...211101
22
SSSSSSS
3.46
Vamos probando diversas combinaciones hasta encontrar que
1521271019 y queda el número 9 (C)
3.47
Probamos distintas combinaciones hasta encontrar la adecuada:
La solución es (B).
3.48
Denotamos por a,b,c,d y x las casillas señaladas en la imagen siguiente:
Entonces:
010
023453543
023453543
0)23()45(3543
23453543
12242516652422120
x
xdbcadcba
xdbcadcba
xdbcadcba
xdbcadcba
xdbcadcba
10x (C)
3.49
Si
5122
2562
1282
29992100
9
8
7
nnc
ba
Además, ba también tiene que ser una potencia de dos. Veamos todos los casos posibles:
8,7,62)(
1
0,2
2 ccba
ba
ba
ba 6 casos
32)(
3,1
1,3
2
0,4
4 2 cbac
ba
ba
ba
ba
ba cc 4 casos
228)(
3,5
5,3
6,2
2,6
7,1
1,7
4
0,8
8 3 cbac
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba ccc
8 casos
2216)(
9,7
8,8
7,9
16 4 cbac
ba
ba
ba
ba ccc
3 casos.
En total hay 213846 casos (E).
3.50
Se van a jugar un total de 28 partidos. Sea E el número de partidos que acaban en empate y sea
G el número de partidos que no acaban en empate, es decir, que gana uno de los equipos.
Las ecuaciones que obtenemos son:
6123
28
EG
EG
Resolviendo el sistema anterior llegamos a G=5, E=23,
Por lo tanto el número máximo de partidos ganados por un mismo equipo será 5, y empatando
los otros dos tenemos un total de 3+3+3+3+3+1+1=17 puntos (D).
Se puede comprobar que esta configuración es realmente válida:
A B C D E F G H
A 3 3 3 3 3 1 1
B 0 1 1 1 1 1 1
C 0 1 1 1 1 1 1
D 0 1 1 1 1 1 1
E 0 1 1 1 1 1 1
F 0 1 1 1 1 1 1
G 1 1 1 1 1 1 1
H 1 1 1 1 1 1 1
3.51
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 · 24, y sin tener que completar esta última multiplicación
vemos que acabará en “80”, y por tanto la respuesta correcta es A.
3.52
Primera versión.
Sea k un entero positivo tal que 06565 2222 knnknn
Interpretando esta ecuación como una ecuación de segundo grado en n, sus posibles soluciones
son
2
415
2
424255
2
)6(1455 2222
kkk
n
Así pues, si n es un entero, 22 2141 kk será un cuadrado perfecto. Pero entonces
tendremos dos cuadrados perfectos consecutivos, lo cual es imposible.
En efecto, si 3121211 22222 aaaaabab , en donde hemos
aplicado que 221 aa .
Segunda versión.
Observamos que )3)(2(652 nnnn , y por tanto
222 )3(65)3)(2()2( nnnnnn , y por tanto este valor está entre los cuadrados
de dos números enteros positivos consecutivos, y por tanto no puede ser ningún cuadrado
perfecto.
Fuente de la segunda versión: Soluciones oficiales (Compendium OMEC, pág 439)
3.53
Observamos que 12226672619 y por lo tanto se puede conseguir 19 puntos
con dos seises, pero es imposible obtener 19 con tres seises en cinco tiradas, luego la respuesta
correcta es (C)
3.54
yyxyx 91010 222222 , luego x es par, es decir, '2xx para cierto entero
positivo 'x . Volviendo a la ecuación original,
'22'22'2 9910 xyyxyx , luego 'x recorre todos los números del 1 al 129 , y
por tanto la solución es (A).
http://www.toomates.net/biblioteca/CompendiumOMEC.pdf
3.55
(A) El 2 o el 6
3.56
Si m y n son impares, también lo será su producto m·n, y por tanto también lo será m+n+2
(D).
3.57
Era 80-7-7-7-7-6=46 años, porque la más joven no había nacido y por tanto solo podemos
restarle 6 años. (D).
3.58
Ha ganado un 49% de 200 partidas = 98 partidas de un total de 200.
Si juega dos más y las gana, tendrá 100 partidas ganadas sobre 202 , y no llega al 50%.
Necesita jugar 6 partidas más y ganarlas para obtener 104 partidas ganadas sobre 206 jugadas,
que sí está por encima del 50%. (D).
3.59
Vemos que la cantidad de tablones siempre es de la forma k51 para un cierto k entero, y la
opción (B) es la única que se adapta a este formato: 195196 .
3.60
Queremos determinar todos los números primos p que se pueden escribir como
dcp
bap
con dcba ,,, números primos.
El único primo par es 2.
Tomamos la igualdad dcp y supongamos que 2d . Puesto que 2 dc se trata de la
diferencia de dos números impares, y la diferencia de dos impares es un número par, luego p
será un número par, luego solo puede ser 2.
Así pues, 2p , pero bap , suma de dos enteros positivos mayores o iguales a 2, luego es
imposible, no hay solución.
Así pues, 2d , y por tanto cbapcbap 2222 .
La suma de tres impares es impar, y claramente 22 p es par, luego debe ser par ( y por tanto
2) alguno de los tres sumandos cba ,, . El número c no puede ser 2, pues 2 dc .
Supongamos que 2a (el caso 2b es idéntico).
Entonces 22 pccp , y por lo tanto 2 pb , p , y 2 pc son primos. Pero al
menos uno de los tres debe ser múltiplo de 3, y la única opción posible aceptable es que el
menor de los tres sea igual a 3:
532 ppb .
Fuente de esta solución: MichaelPennMath
3.61
De la segunda condición deducimos que al menos contiene dos nueves.
De la tercera condición se deduce que el número de elementos tiene que ser par.
No puede contener tres nueves porque entonces para que la suma fuera 30 el resto de elementos
tendría que sumar 3. La única combinación aceptable sería {9,9,9,3} y su mediana es 9.
Así pues, contiene exactamente dos nueves.
Con cuatro elementos {9,9,a,b} tenemos a+b=12. La pareja 9, 9 no puede estar en el centro,
pues entonces la mediana sería 9, luego tiene que ser de la forma a<b<9<9 y el único candidato
aceptable es 5<7<9<9, y la respuesta correcta es 2369975 2222 .
Se puede comprobar que con seis números no hay ninguna combinación aceptable. En primer
lugar, los dos nueves tienen que ser los valores más altos. Es decir, buscamos combinaciones de
la forma a<b<c<d<9.
El valor menor a no puede ser 2, pues entonces la menor combinación aceptable: 2<3<4<5 ya
se pasa de 12.
Luego buscamos combinaciones de la forma 1<b<c<d<9.
b no puede ser 3, pues entonces la mínima combinación 1<3<4<5 ya se pasa de 12.
Luego buscamos combinaciones de la forma 1<2<c<d<9 con c+d=9.
Pero esto es imposible, porque para que la mediana del conjunto sea un valor entero, de debe
cumplir
2
dc
entero, es decir, que dc sea par, llegando a contradicción.
4.1.1
27252525257253225162251622516 1028.110128)52(12852252525254
Un número que tiene 28 cifras decimales.
4.1.2
Si n es impar, 12 kn para cierto k entero, luego
1)1(414412 222 kkkkkn
Ahora bien, el producto de dos números consecutivos es siempre par, pues o bien k es par o
bien 1k es par, y por tanto )1(4 kk es múltiplo de 8, tal y como queríamos ver.
4.1.3
Sea x la longitud del lado del cuadrado.
Entoncesdx es la longitud del lado del triángulo equilátero y
xd
xd
xdx
xdx
19893
19893
1989433
19894)(3
Puesto que suponemos 0x , se tiene que cumplir 019893 d y esto solo pasa si 663d .
Luego existen 663 casos (contando 0d ) que no son válidos para d.
4.1.4
La condición (i) equivale a 5,4a
La condición (ii) equivale a 5,0d
La condición (iii) equivale a 56,46,45,36,35,34ba
Luego el número posible de enteros es 24262
4.1.5
Una vez introducida la cuarta puntuación, el resultado tiene que ser múltiplo de 4.
El 80 es solución al problema. En efecto, 32091827671 , que es múltiplo de 4.
Cualquier otra posibilidad no es aceptable:
3297140071 , 3747640076 , 3788240082 , 3899140091
Ninguno de estos números es múltiplo de 4.
4.1.6
Tenemos que resolver la ecuación 22 6 nxx con nx, enteros.
93
2
926
2
946
2
4366
2
)(1466
066
2
2
2222
2222
n
n
nnn
x
nxxnxx
Luego 92 n debe ser un cuadrado:
nmnmnmmn 2222 99
Por otro lado, nmnm , luego la posibilidad 339 queda descartada, y la única
posibilidad es
9
1
91
nm
nm
nmnm
Resolvemos el sistema anterior:
541492191
9
11
mnnnn
nm
nmnm
Así pues, las soluciones son:
9)1()9())((5,4
919))((5,4
9)9()1())((5,4
nmnmmn
nmnmmn
nmnmmn
En todo caso,
8
2
53253916316925922 xmn
4.1.7
Primera versión.
7227 bb es un cubo perfecto, es decir, 372 mb para cierto entero m.
2007721000 3 bmb
Puesto que hay menos cubos perfectos que cuadrados perfectos, listamos todos los cubos:
172812...,,644,273,82 3333
Puesto que 72 b es siempre impar, podemos eliminar de la lista todos los cubos pares, y
quedarnos solo con
33333 11,9,7,5,3
6336 bb es un cuadrado perfecto, es decir, 263 nb para cierto entero n.
22222 9)3(3|3|32363 kknknnnbbn
Luego nos podemos quedar solo con aquellos cubos divisibles entre 9: 33 9,3
Ya solo nos queda comprobar si estos candidatos se adaptan a nuestras condiciones:
23 636631072273 bbb , luego la base 10 es aceptable.
23 33108963613361727299 bb
Luego el resultado es 37110361 .
Segunda versión.
2)2(36336 nbbb es un cuadrado perfecto, luego 22 93 knkn .
23329)2(3 222 kbkbkb
El valor de k está limitado superiormente: 181000231000 2 kkb
Sustituyendo en la segunda ecuación:
12336746723272 22223 kkkkbm
y vemos que 3 es divisor de 3m , y por tanto 3 es divisor de m .
También vemos que es impar:
imparkimparkpark 123122 222
Y que está acotado superiormente:
2007710002721000 3 bmb
y 2197132 , luego 13m
Los cubos que cumplen las condiciones anteriores son dos: 33 9,3 , y como en la versión
anterior, solo nos queda comprobar que, efectivamente, satisfacen las condiciones del
enunciado.
Fuente de estas versiones: www.artofproblemsolving.com
4.1.8
2017852 nn es un cuadrado perfecto
22 201785 mnn para cierto Zm
12
843485
12
2017148585
0201785
222
22 mm
nmnn
8434 2 m es un cuadrado perfecto
28138432284348434 2222 pmpmpmpm
Las dos posibilidades son:
a)
139,71
2812
32
2812
32
pm
pm
pm
pm
pm
112
27
12
13985
12
13985
12
843485
1398434139
22
222
m
n
pmp
b)
421,211
8432
12
8432
12
pm
pm
pm
pm
pm
253
168
12
42185
12
42185
12
843485
4218434421
22
222
m
n
pmp
Comprobamos estas cuatro soluciones:
22 71504120178527 nnn
22 715041201785112 nnn
22 21144521201785168 nnn
22 21144521201785253 nnn
Finalmente, nos piden la suma de las soluciones positivas: 19516827 .
4.1.9
Seguimos la indicación propuesta.
Todo número n acabado en "08" es múltiplo de 4. En efecto, se podrá escribir como
22548100 mmn
Luego todo número de la forma 111...111 se puede escribir como
343108...111111...111 k para cierto k natural.
Supongamos que 2343108...111111...111 ak para cierto INa
Está claro que 2a es impar, luego a será impar, y por tanto 12 ba , para cierto INb .
Luego
1)1(22
12222444
1443414412
22
2222
bbk
bbbbk
bbkbbba
Lo cual es contradictorio, pues k2 es par, y 1)1(2 bb es impar, llegando a contradicción.
4.1.10
Sabemos que abxbaxbxaxnxx )())(( 22
Puesto que el término independiente es negativo, a o b deben ser negativos. Por lo tanto,
buscamos ba, positivos tales que:
)1(
11
)())(( 22
bbn
baba
nab
abxbaxbxaxnxx
Los números entre 1 y 100 que se pueden escribir como el producto de un número y el
siguiente son los siguientes nueve:
90109,7298,5687,4276,3065,2054,1243,632,221
4.1.11
Nos basaremos en la igualdad
0
1001
)(22
mnb
mna
mnxmnxmxnxbaxx
La segunda condición implica que mn, tienen el mismo signo, pero entonces la primera
condición implica que los dos no pueden ser negativos, luego mn, serán positivos o cero.
Si 0b , el polinomio axxaxxbaxx 22 es factorizable siempre, luego hay cien
casos: 1001 a .
Supongamos que 0,0 mnmnb
Al no encontrar más restricción, procedemos a contar casos.
Para cada valor de 1001 a , las parejas no ordenadas mn, , 0, mn , tales que amn
(no importa el orden pues ),( mn y ),( nm dan lugar a la misma ecuación pues la ecuación es
simétrica en n, m)
Por ejemplo:
4,3,5,2,6,17
3,3,4,2,5,16
3,2,4,15
2,2,3,14
2,13
1,12
1
a
a
a
a
a
a
a
...96,4,97,3,98,2,99,1100
...94,4,95,3,96,2,97,199
...94,4,95,3,96,2,97,198
...
5,4,6,3,7,2,8,19
4,4,5,3,6,2,7,18
4,3,5,2,6,17
a
a
a
a
a
a
Vemos que van por parejas, y que la suma de todos los elementos será
250050504950
2
5049
2502
504949...5544332211
49
1
n
n
Y sumando los 100 casos cuando 0b dan un total de 2600 casos.
Finalmente, 6001000mod2600
4.1.12
Primera versión.
Las secuencias a tratar son de la forma
161122312,...,32,12 bbaaaa
La suma será
8216163217161632
2
1716
21216
2121621216122
5
16
1
16
1
16
1
aaaa
aaaabas
bbb
Buscamos valores de a de forma que )8(25 as sea un cubo perfecto.
)8(22)8(2 235 aa es un cubo perfecto )8(22 a es un cubo perfecto
4282282)8(2
222d|2d|2)8(2
333332
3333332
eeaeaea
eeeedda
Luego los valores de a buscados son los de la forma 42 3 ea
Ahora solo queda acotar el rango de valores, pues nos imponen
49850
4985.492/9982/9999829999912100
a
aaaa
Y por tanto
253294249425
2494252/49842/504984250
33
333
ee
eee
3437,2166,1255,273 3333 , luego 64 e , y hay tres secuencias.
Segunda versión. La solución oficial de este problema es mucho más expeditiva.
Queremos determinar secuencias 30,...,6,4,2, nnnnn con n impar y cuya suma sea
un cubo perfecto.
La suma es )302(23028 3 nn será un cuboperfecto si y solo si 302 n es un cubo
perfecto.
Luego buscamos valores n impares y 999101 n tales que 302 n sea un cubo perfecto (y
además es par).
Los cubos pares entre 232 y 1968 son 512, 1000 y 1728, que se corresponden con los valores
de n: 241, 485 y 849. Luego hay exactamente tres secuencias válidas.
Fuente de la segunda versión: Solución oficial de la OME.
4.1.13
a) Los números pares e impares van alternados, luego en la secuencia )1( nn al menos uno de
los factores es par.
b) De la misma manera, para una sucesión de tres números consecutivos, al menos uno de ellos
ha de ser múltiplo de tres. Y también se puede aplicar el apartado a, luego la sucesión será
múltiplo de 632 .
c) 111111 22245 nnnnnnnnnnn , luego podemos aplicar los
apartados anteriores para garantizar que es divisible entre 6. Veamos que también es divisible
entre 5.
Por el Teorema de la división, el número n se puede escribir como qkn 5 , 40 q .
Si knkn 505 y sería un factor de nn 5 .
Si knkn 5)1(15 y sería un factor de nn 5
Si knkn 5)1(45 y sería un factor de nn 5 .
Si 26551935251)35()1(35 22222 kkkkknkn y sería un
factor de nn 5 .
Si 14551225251)25()1(25 222222 kkkkknkn y sería un
factor de nn 5 .
Así pues, n5n|5 .
Y puesto que también son divisores 2 y 3, lo será su producto: n 5n|30532
4.1.14
Los múltiplos de 5 acaban todos en 0 o en 5, luego si es uno menor, acabará en 4 o en 9.
Los múltiplos de 4 son todos pares, luego si sumamos uno, serán impares, y por tanto no
pueden acabar en 4.
Por lo tanto, solo nos queda buscar entre los primos acabados en 9 que sean de la forma 14 k .
Solo hay dos: 17429 y 122489 .
Y su suma es 1188929 .
4.1.15
326 33729729log a
b ba . Las posibilidades son las cuatro siguientes:
1,7293
2,273
3,93
6,33
132
23
32
32
ab
ab
ab
ab
4.1.16
a) Aplicando el algoritmo de la división, todo entero n siempre será de la forma
23,13,03 aaa
kaaanan 3339303 2222
1312331691313 2222 kaaaaanan
131)1(323 baan , tomando 1 ab
y por tanto 1313313913 2222 kbbbbbn
b) Es una aplicación directa del apartado anterior, pues
1|313133313 2222 kakakan absurdo.
2|3232331313 2222 kakakan absurdo.
4.1.17
En primer lugar dividimos numerador entre denominador:
N
2
+7 N+4
-4N +7 N-4
23
Luego
4
23
4
4
72
N
N
N
N
Y por tanto nuestro problema se reduce a determinar las fracciones
4
23
N
no irreducibles,
cuando 23 y 4N tengan algún divisor común. Puesto que 23 es primo, esto solo pasará
cuando 4N sea múltiplo de 23.
4-23N234N4N|23 kk
861
23
1994
23
5
199423541990234119904-231
k
kkkk
La solución es 86.
4.1.18
El enunciado nos está diciendo que
rdk
rdk
rdk
3
2
1
2312
1417
1059
Restando la segunda ecuación a la primera obtenemos:
1792358|358 12 ddkk
Restando la tercera a la segunda obtenemos:
1795895|895 23 ddkk
Y restando la tercera a la primera obtenemos:
17971253|1253 13 ddkk
Puesto que 1d , la única posibilidad es 179d , y entonces, realizando por ejemplo la
primera división tenemos
164r16417951059
Finalmente, 15164179 rd
4.1.19
24)1)(1(24123 22 nnnn
Luego basta demostrar que existen infinitos n tales que )1)(1(|24 nn .
Tomando 112 kn , por un lado tenemos 1|12121 nkn
Pero también vemos que n es impar, y por tanto 1n es par, luego 1|2 n
Finalmente, 2324)1()1(|24)1()1(|24
1|2
1|12
2
nnnnn
n
n
Nota: Más fácilmente, bastaba tomar elementos de la forma 124 kn .
4.1.20
12111|
11|
1|
22
2
2
nnnd
nd
nd
14412|12| 22
nnndnd
74144114|
11|
144|
22
2
2
nnnnd
nd
nnd
512n274|
74|
12|
nd
nd
nd
5,15| dd
Las dos soluciones son válidas, basta tomar
1)12(|5,1
12|5,1
2
2
2
n
4.1.21
El número n se puede escribir como ban 10 para ciertos 0a y 90 b .
Luego la condición del enunciado es baa 10| , y puesto que aa 10| se deduce que ba |
Recíprocamente, si ba | tendremos seguro que baa 10| . Luego la solución es todo 90 b
y todo ba | .
4.1.22
Primera versión. (Versión propia)
Mediante el cambio de variable 1 nk ,
k
kk
kk
kk
k
k
n
n 888
1
7
Que esta división sea entera equivale a demostrar que kkk 8| .
64|64168|8|8| 2222 kkkkkkkkkkk .
Probamos con los divisores de 64 que sean cuadrados perfectos:
29
1
198
1
n
k
kk
k
56
4
4128
4
n
k
kk
k
176
16
16248
16
n
k
kk
k
659
64
64728
64
n
k
kk
k
La respuesta es 89251765 .
Segunda versión. (Solución oficial)
1
8
1
1
8
11
11
1
8
1
1
1
81
1
7
n
n
nnn
nn
nn
n
n
n
n
n
Que será entero si y solo si 1n es un divisor de 8.
Como en la primera versión, probamos los divisores de 8 y llegamos al mismo resultado.
4.2.1
En primer lugar, vemos que 22 d , pues si 22 d entonces n es impar y el resto de divisores
también son números impares, pero entonces
3
3
2
2 , dd también son impares, y
3
3
2
2 ddn es la
suma de dos impares, luego par, llegando a contradicción.
Así pues, ndd k ...21 3 , y
3
3
3
3
2 42 ddn
En segundo lugar, 33 d , pues si 31323 32
3 nd que no es aceptable.
En tercer lugar, vemos que 3d tiene que ser 4, pues
44|
|
|
3
3
33
3
3
33
ddnd
nd
dd
, y como 3,2,13 d , necesariamente 43 d .
Y, finalmente, 6842 323
3
2
2 ddn , y efectivamente, los divisores de 68 son:
683417421 , y 323
3
2
2 4268 dd
4.2.2
Sabemos que el número de divisores de 38622 32n es 2457138162 .
Todos estos divisores se pueden agrupar por parejas ba , de forma que 2nba
De forma que, o bien nba o bien na o nb .
Así pues, hay
1228
2
1138162
factores de 2n menores que n.
De entre estos 1228 factores, hay 6391119131 que son divisores de n, luego el
número buscado es 5896391228 .
4.2.3
0)2(
2
11
22
222
babna
nababbanabba
ba
n
ab
ba
ba
n
ba
Interpretando esta última ecuación como una ecuación de segundo grado en la incógnita a ,
tenemos:
nnn
b
nbbnbbnbn
a
42
2
2
4)2()2(
2
14)2()2(
2
222
De aquí se desprende que nn 42 debe ser un cuadrado. Esto es cierto para 4n .
Si 4n , nn 42 no puede ser un cuadrado. En efecto, por un lado:
222 )2(244 nnnnn
Y por otro lado:
2
9
9296496)3(4 222 nnnnnnnnn
Así pues, para todo 4n , nn 42 está siempre entre 2)3( n y 2)2( n , y por tanto no puede
ser un cuadrado.
Para 343 2 nnn , 442 2 nnn , 341 2 nnn , son valores
negativos, y por tanto no son cuadrados.
Así pues, la única solución es 4n , y para esta solución tenemos
b
b
a 024
2
Efectivamente, para ab y 4n se cumple la igualdad del enunciado:
aaaaa
4211
Fuente de esta solución: Problemas y Soluciones Volumen 1 (Francisco Javier García Capitán) , pág. 156
4.2.4
Sea BCx . Aplicamos el Teorema de Stewart (ver GA/9.1.6) :
(*))32()1()2)(2(2
2)1()2)(2(
2)1()2(2)2(
222
222
222
nnnnnnnx
xnnnnn
xnnnnnn
Aquí vemos que n debe ser par, pues 32 n es impar. Sea kn 2 . Luego
)34()34(22(*) 22 kkxkkx
De aquí se deduce que )34( kk debe ser un cuadrado perfecto, pero esto es imposible.
En efecto:
2)2(4)34( kkkkk
pero por otro lado, kk 314 y por tanto : )34(34144)12( 222 kkkkkkk
Así pues )34( kk se encuentra entre dos enteros consecutivos: 2)2( k y 2)12( k , y por tanto
no puede ser entero.
4.2.5
Si escribimos los dígitos de n ,
edcban
Entonces cbaq
y edr , y por tanto rq es el entero que se forma
ecdban
, y por el criterio de divisibilidad del 11, será divisible entre 11 si y solo si
dbeca
es divisible entre 11, que es precisamente el criterio de divisibilidad del 11 aplicado al número
n.
Así pues, serán todos los números entre 10000 y 99999 divisibles entre 11:
81819099090
90911/9999
909011/99999
(B)
Observación: Una manera más elegante de llegar a este resultado es observar que
rqqrqn 99100 , luego rq será divisible entre 11 si y solo si lo es n .
4.2.6
Utilizamos la desigualdad 2222 baba (ver DE Tema 1) para obtener 432 nn , es
decir, 2n .
Para 0n , tenemos la solución 0 ba .
Para 1n , tenemos la solución 1a , 0b .
http://www.toomates.net/biblioteca/GeometriaAxiomatica.pdf
http://www.toomates.net/biblioteca/Desigualdades.pdf
Para 2n , tenemos la solución 2 ba .
Así pues, las soluciones son tres: 0n , 1n y 2n .
Fuente de la solución: Number Theory Structures, Examples, and Problems (Titu Andreescu, 2009) , pág 47.
4.2.7
Sabemos que
2
)1(
...321
nn
n . Sea
2
)1(nn
m
Entonces
22 1
2
)1(
1
2
)1(
m
nn
mm
nn
m
Y por tanto
121
2
)1( 222
mmmm
nn
Luego
1222)1(2
2
)1(
22
2
)1( 22
nnnnn
nn
mm
nn
En donde hemos tenido en cuenta que 222 )12(144223 nnnnnn
Y puesto que cualquier número 12 nk se puede escribir como suma de dos números de
n,...,2,1 , hemos acabado el problema.
Fuente de esta solución: Number Theory Structures, Examples, and Problems (Titu Andreescu, 2009) pág. 48
4.2.8
Supongamos que 0 cba . Entonces:
333 cababcababababacbcababc
Si 1c tenemos la desigualdad
0 abababab
que es siempre cierta.
Si 2c tenemos la desigualdad
ababababababab )(222222
Luego, puesto que ba
babaababa 44)(24
Si 3b queda la desigualdad
aaaaaabc 666562633,2
Si 2b queda la desigualdad
0444442422,2 aaaaabc
Luego las soluciones son:
INbac ,,1 , 53,3,2 abc , INabc ,2,2
y, puesto que la expresión es simétrica, todas las permutaciones posibles de estos elementos.
4.2.9
La cadena más larga de divisores encadenados que podemos encontrar es
1|2|4|8|16|32|64|128|256|512|1024
Que consta de 11 números. Estos 11 colores diferentes son suficientes. En efecto, es la cadena
que empieza en el número más pequeño posible y va saltando siempre mediante un factor 2,
que es el factor más pequeño posible. Cualquier otra cadena de divisores encadenados, o bien
empezará con un número inicial mayor o bien pasará de un número a su múltiplo siguiente con
un factor mayor de 2, y por tanto será más corta.
Otra forma de argumentar lo mismo la encontramos en las soluciones oficiales. Si marcamos de
un mismo color todos los números de 2
k
a 2
k+1
-1, vemos que los 11 colores utilizados son
suficientes. En efecto, si 2
k
≤ a < 2
k+1
-1, y b=ka, puesto que k≥2,
1222
2
2
kk
k
akb
k
a
y pertenecerá a una categoría con otro color diferente.
4.3.1
Serán los mismos puntos que en el extremo entre )0,0( y )264,45()17281,348( y ya
sabemos que son en total: 4131)274,45( mcd .
Concretamente:
)281,48()88193,1533(
)193,33()88105,1518(
)105,18()8817,153(
)17,3(
88
3
264
15
3
45
4.3.2
knknnkn
nnkn
knnkn
|),(
|),(
|),(
4.3.3
Reordenando los números si es necesario, podemos suponer que
),(),(),( acMcdcbMcdbaMcd
Luego las combinaciones posibles son:
1) 7),(,1),(,1),( acMcdcbMcdbaMcd
a y c son múltiples de 7:
97,7 cba es una combinación aceptable.
1),(21472314,7 bcMcdcba no es aceptable.
2) 6),(,2),(,1),( acMcdcbMcdbaMcd
a y c son múltiples de 6, b y c son múltiples de 2, luego no puede ser 1),( baMcd
3) 5),(,3),(,1),( acMcdcbMcdbaMcd
a y c son múltiples de 5, b y c son múltiples de 3, luego c es múltiple de 15.
315,5 bca es aceptable.
4) 4),(,4),(,1),( acMcdcbMcdbaMcd
a y c son múltiples de 4, b y c son múltiples de 4. Luego no es posible que
1),( baMcd
5) 5),(,2),(,2),( acMcdcbMcdbaMcd
a y c son múltiples de 5, b y c son múltiples de 2, luego c es múltiple de 10.
21),(810,5 baMcdbca
6) 4),(,3),(,2),( acMcdcbMcdbaMcd
a y c es múltiple de 4, b y c es múltiple de 3, luego c es múltiple de 12.
21),(712,4 baMcdbca
21),(312,8 baMcdbca
7) 3),(,3),(,3),( acMcdcbMcdbaMcd
31),(173,3 baMcdbca
31),(146,3 baMcdbca
31),(119,3 baMcdbca
31),(812,3 baMcdbca
31),(515,3 baMcdbca
31),(218,3 baMcdbca
Luego las únicas combinaciones aceptables son
1798149499,7,7 222 cbacba
25922592515,3,5 222 cbacba
Y por lo tanto la solución es 438259179 (B)
4.3.4
Veamos como son estos números para los primeros valores de n:
339363333333 5325232543211 n
36123363333333 532)32(5232654322 n
336933332333333 75327)32(5)2(3765433 n
Está claro que k debe ser un divisor de 339 532 .
En cualquier número de la forma 33333 )4()3()2()1( nnnnn , aparecerá un único múltiplo
de 5, luego el factor 35 siempre estará.
En cualquier número de la forma 33333 )4()3()2()1( nnnnn , con 2n , aparecerán dos
múltiples de 3, luego podemos garantizar que el factor 33 siempre estará.
En cualquier número de la forma 33333 )4()3()2()1( nnnnn , con 2n , aparecerán como
mínimo, un múltiple de 2 y un múltiple de 4, diferentes, luego podemos garantizar que el factor
932333 22242 siempre estará.
Así pues, el mínimo común múltiplo es 339 532 (E).
4.4.1
El problema equivale a demostrar que 1314,421 nn , y esto, por el TDB, es una
consecuencia directa de encontrar una combinación lineal de ambas expresiones igual a 1:
1942842)314(3)421(2 nnnn
4.4.2
2100 nan , 1212100)1(100 22
1 nannna nn
Luego 12,12,, 1 nanaaaad nnnnnn
Y también nnnndn 200)12()100(| 2
y por tanto 401)12(2002| nndn .
Así pues, 401|nd . Y este valor se alcanza en algún n. Por ejemplo, para 200n ,
401100100411001004100200100100 222
200 na
10140140140110012002200201 aa
y por tanto 401200 d .
4.5.1
En primer lugar, podemos suponer knm con 1k . Debemos demostrar que
12)2,2()1,1(),( knknnknnkn
Vamos a utilizar la propiedad knkn |),( , independientemente del valor de n , demostrada en
el problema 4.2.
Luego
)2,2(|)2,2(
)1,1(|)1,1(
),(|),(
nknckknkn
nknbkknkn
nknakknkn
ank
nnkn
nknak
|
|),(
),(
)1(|
1|)1,1(
)1,1(
nbk
nnkn
nknbk
Puesto que 1)1,( nn , de aquí deducimos que abk | , y por tanto b
a
k
abk
De la misma forma deducimos que bck | , y por tanto b
c
k
bck
Así pues,
b
k
bb
b
k
b
c
k
b
k
a
k
nknnknnkn 2)2,2()1,1(),(
Queda por demostrarque 122 k
b
k
b
0)12)((02222122 22 bkbbkbkbbkbkbk
b
k
b
Pero 0| kbkb , y por otro lado 0121 bb , con lo que acabamos la
demostración.
Fuente de la solución: Solución oficial.
4.9.1
B
4.9.2
C
4.9.3
E
4.9.4
B
4.9.5
A
4.9.6
A
4.9.7
B
4.9.8
A
4.9.9
C
4.9.10
B
4.9.11
8649321944,864
321944
32864
55
53
35
Luego los múltiples comunes de 864 y 1944 son uno de cada nueve: 9/1P .
4.9.12
9218
Un número será divisible entre 18 cuando sea divisible entre 2 y entre 9.
Un número es divisible entre 9 cuando la suma de sus dígitos es divisible entre 9. En este caso:
45987654321 , que es claramente divisible entre 9.
Luego nuestro problema se reduce a comprobar cuando es divisible entre 2, es decir, cuando
acaba en cifra par. De las nueve cifras que tenemos, cuatro son pares, luego la probabilidad es
4/9 (B)
4.9.13
3221222 2021202120222021
220212021202120222021 234331333
1232)23,32( 2220212021 mcd
4.9.14
Probando por tanteo vemos que el primero de ellos será 104813 , y el último será
9887613 , luego hay 691876 (B)
4.9.15
Sean las edades 5,4,3,2,1, xxxxxx .
Todos los hermanos responderán 5x , excepto el mayor que responderá 4x . Luego la suma
será 2964255455 xxxxxS
Luego 29S será un múltiple de 6. Veamos qué candidatos cumplen o no esta condición:
20429233: A sí
17629205: B no
13829167: C sí
9629125: D sí
662995: E sí
Luego solo la opción B no cumple la condición.
4.9.16
Sean α y β los ángulos que se indican en la figura, en un polígono regular de n lados:
n/º360
El ángulo buscado es
n
º360
º1802 , que será entero si y solo si
n
º360
es entero y positivo,
es decir, cuando n sea divisor de 360 menor de 180.
532360 23 . Los contamos uno a uno:
33,53,52,32,22,5,3,2,1
533,332,532,522,322,222
3322,5323,5223,5222,2223
52233,22233
22 en total, (C).
4.9.17
75
7
5
ab
b
a
Las posibilidades son 35,1 ba ; 1,35 ba ; 7,5 ba ; 5,7 ba , cuatro en total (E).
4.9.18
Está claro que pisará un peldaño negro cada 6 peldaños, si empieza por el pie derecho serán los
peldaños 3, 9, 15... y si empieza por el pie izquierdo serán los peldaños 6, 12, 18...
Puesto que 2023=337×6+1, pisará 337 peldaños negros y puesto que el residuo es 1, menor que
3, no nos importa el pie con el que empiece. (C)
4.9.19
Está claro que el mínimo sp es 11 y el máximo sp es 77, y por tanto 11es el único divisor
común. (D)
5.1.3
yxyx
x
yx
53315|17
17|17
32|17
, puesto que 3|17 , necesariamente yx5|17
yxyx
yx
72142|17
17y|17
32|17
, y puesto que 2|17 , necesariamente yx 7|17
yxyxyx
yx
yxyxyx
59)7(210|17
7|17
21052|175|17
tal y como queríamos ver.
yx
x
yx
58|17
17|17
59|17
xyxyxyxyxy
y
yx
683-42|173-4|17)34(39-12|17
17|17
59|17
xyyxxyyxxy
xy
yx
2358685868|17
68|17
58|17
tal y como queríamos ver.
5.1.4
Está claro que
11011111011121
110011111110011111211
1100011111111100011111112111
Sea
n
1...1 el número formado por n unos.
Vemos que, en general, 1101...11...1101...11...121...1 11 n
nn
n
n
Luego todos los números de esta sucesión son compuestos. (A)
5.1.5
Un número de la forma
5
54321 ppppp
n
es entero si y solo si 5 divide a la suma de
estos cinco primos.
Haciendo pruebas con los números primos más pequeños llegamos al resultado
30137532 y la media aritmética de esos cinco primos es 6
5
30
(A).
5.2.1
204020 5220 , y por tanto los enteros m y n deben ser de la forma bam 52 y dcn 52
Luego
202
402
5252
52525252525220
204022
20402220402202
db
ca
nm
dbca
dcbadcba
La ecuación 402 ca tiene las siguientes soluciones:
0,20,...,36,2,38,1,40,0 cacacaca , hay 21 en total.
La ecuación 202 db tiene las siguientes soluciones:
0,10,...,16,2,18,1,20,0 dbdbdbdb , hay 11 en total.
Luego el total de parejas será 2311121 .
5.2.2
Aplicamos las propiedades básicas de los logaritmos.
BAC
BABABAC
25200
25log2log5log2log5log 200200200200200
Y ahora aplicamos el TFA:
BC
AC
BACCCC
3
2
252525200 3232
Por hipótesis, 1)1,3,2(),3,2(),,(1 CCCCCCCBA
Y por tanto: 22 CA , 33 CB , y 1C , y finalmente: 6132 CBA .
5.2.3
484848224822304222 2222118 kkkk nnnn .
Luego, aplicando el TFA, ak 248 y bk 248 , con kba .
Pero entonces, restando las dos igualdades anteriores:
1222296325 babba
Y , de nuevo por el TFA, 5b , y 2224123 2 bababa
Con lo que llegamos 7522a b , es decir, 1257 k .
5.2.4
3733321998
Tenemos 37543733321998 y 173754
y es fácil ir comprobando, una a una, que cualquier otra combinación posible da como
resultado una diferencia mayor. Por ejemplo:
104273733321998 y 7727104
5.2.5
Buscamos el menor número n tal que nnnn 3)1()1( sea un cuadrado y sea un cubo
perfecto, es decir:
23 an , 33 bn para cierto ciertos INba ,
aaan |3|33 22 . Así pues, la descomposición factorial de a y 2a :
kk a
k
aaaa
k
aaa
pppapppa
22
3
22
1
2
31 ...3...3 321321
También b|3b|33 33 bn . Así pues, la descomposición factorial de b y 3b :
kk b
k
bbbb
k
bbb
pppbpppb
33
3
33
1
3
31 ...3...3 321321
Y, puesto que 32 ba ,
kk b
k
bbba
k
aaa
pppppp
33
3
33
1
22
3
22
1 ...3...3 321321
Y por tanto 22
32
3233 22 ba
ba
. El número )3,2(6 mcm es el exponente más pequeño
que sea múltiplo de 2 y de 3, luego, el candidato mínimo que cumpla las condiciones
anteriores será cuando tomemos solamente el factor 3 y con su exponente más pequeño:
243333 56 nn .
Así pues, los números buscados son 242, 243 y 244.
23326 333729244243242
5.2.6
Primera versión.
Queremos determinar números 0a y 3n tales que
2
)1(
)...321(...321,...2009 21
nn
an
nannaaaaaaa n
Es decir: 12
22
12
2
1
2
)1(
4172009 2
na
nna
n
n
an
nn
an
Estudiemos todas las posibilidades:
28
2
141
49497
2
1
,41
16
2
149
4141
2
1
,497
283
2
17
417417
2
1
,7
2
2
a
n
an
a
n
an
a
n
an
(*)1004
2
12009
11
2
1
,2009
(*)2008
2
11
20092009
2
1
,1
(*)137
2
1287
77
2
1
,287741
a
n
an
a
n
an
a
n
an
(*)2009
2
401811
114018212,40182009
2
(*)1003
2
212009
200912212,21
2
(*)29
2
98141
41198212,98497
2
(*)17
2
82149
49182212,8241
2
136
2
141417
417114212,147
2
2
aanan
n
aanan
n
aanan
n
aanan
n
aanan
n
Las soluciones marcadas con (*) quedan descartadas por no cumplir las condiciones del
enunciado, luego las soluciones del problema son cuatro:
14,136;41,28;49,16;7,283 nananana
Segunda versión.
En primer lugar, acotamos los posibles valores de n:
2
1
2
1
2009
n
n
n
an
La ecuación
2
1
2009
n
n tiene soluciones 8.62n , luego 62n .
12
22
12
2
1
41772009
na
nna
n
n
an
Si n es impar, 7n , 41n