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13-3 Gráficas de control de atributos 711 La gráfica de control de p (o gráfica p) es una gráfica de control que se utiliza para verificar la proporción p de algún atributo. La notación y los valores de una gráfica de control son los siguientes (donde el atributo de “defectuoso” puede reemplazarse por cualquiera otro relevante). Notación 5 grado estimado de la proporción de artículos defectuosos en el proceso 5 5 estimado agrupado de la proporción de artículos del proceso que no son defectuosos 5 1 2 n 5 tamaño de cada muestra (no el número de muestras) p q número total de defectos que se encontraron en todos los artículos muestrados número total de artículos muestrados p Gráfica de control de p Línea central: Límite de control superior: Límite de control inferior: (Si el cálculo del límite de control inferior da como resultado un valor negati- vo, utilice el 0 en su lugar. Si el cálculo del límite de control superior excede a 1, utilice el 1 en su lugar.) p 2 3Å p q n p 1 3Å p q n p Seis Sigma en la industria Seis Sigma es el término utilizado en la industria para describir un proceso que da una proporción de no más de 3.4 defectos en un millón. La referencia a Seis Sigma sugiere seis desviaciones estándar a partir del centro de una distri- bución normal, pero el supuesto de un proceso perfectamente estable se reemplaza por el supuesto de un proceso que cambia ligeramente, de manera que la tasa de defectos no es mayor de tres o cuatro defec- tos por millón. Los programas Seis Sigma, que iniciaron en 1985 en Motorola, ahora intentan mejorar la calidad e incrementar las ganancias al re- ducir la variación de los procesos. Motorola ahorró más de 940 millones de dólares en tres años. Allied Signal reportó ahorros de $1500 millones. GE, Polaroid, Ford, Honeywell, Sony y Texas Instruments son otras compañías grandes que adoptaron la meta Seis Sigma. coninúa Sea la línea central, ya que es el mejor estimado de la proporción de defec- tos del proceso. Las expresiones de los límites de control corresponden a límites de un intervalo de confianza del 99.7%, como se describió en la sección 6-2. EJEMPLO Muertes por enfermedad infecciosa Los médicos reportan que las enfermedades infecciosas deben verificarse cuidadosamente a lo largo del tiempo, ya que tienen mucho más posibilidades de sufrir cam- bios súbitos en las tendencias que enfermedades tales como el cáncer. En ca- da uno de 13 años consecutivos recientes, se seleccionaron al azar 100,000 sujetos y se registró el número de los que murieron de infecciones del tracto respiratorio; los resultados se presentan abajo (según datos de “Trends in In- fectious Diseases Mortality in the United States”, de Pinner et al., Journal of the American Medical Association, vol. 275, núm. 3). Construya una gráfica de control p y determine si el proceso está bajo control estadístico. Si no es así, identifique cuál de los tres criterios para establecer una falta de control se aplica. Número de muertes: 25 24 22 25 27 30 31 30 33 32 33 32 31 p 712 CAPÍTULO 13 Control estadístico de procesos INTERPRETACIÓN Podemos interpretar la gráfica de control de p consideran- do los tres criterios para establecer una falta de control que se listan en la sección 13-2. Con esos criterios concluiríamos que dicho proceso está fuera de control estadístico por las siguientes razones: parece haber una tendencia creciente y existen ocho puntos consecutivos que se ubican por arriba de la línea central (regla de la racha de 8). Con base en tales datos, las políticas de salud pública que afectan las infecciones del tracto respiratorio deben modificarse para dis- minuir la tasa de muertes. El alto costo de la baja calidad La Federal Drug Administra- tion (FDA) recientemente llegó a un acuerdo en el que una com- pañía farmacéutica, la Schering- Plough Corporation, pagaría la cantidad récord de $500 millones por no lograr corregir problemas en la producción de fármacos. Según un artículo del The New York Times, de Melody Patersen, “algunos de los problemas se relacionan con la falta de controles que identifican medi- camentos defectuosos, mientras otros provienen de equipos muy viejos. Tales problemas se detec- taron en alrededor de 200 medi- camentos, incluido Claritin, el fármaco contra alergias que es el producto de mayor venta de Schering”. SOLUCIÓN La línea central de nuestra gráfica de control se localiza en el valor de : Puesto que 5 0.000288, se infiere que 5 1 � 5 0.999712. Al utilizar 5 0.000288, 5 0.999712 y n 5 100,000, calculamos los límites de control de la siguiente manera: Límite de control superior: Límite de control inferior: Una vez que encontramos los valores de la línea central y los límites de con- trol, procedemos a graficar la proporción anual de muertes por infecciones del tracto respiratorio. La gráfica de control de p de Excel se presenta en la panta- lla adjunta. p 2 3Åp q n 5 0.000288 2 3Å s0.000288ds0.999712d 100,000 5 0.000127 p 1 3Åp q n 5 0.000288 1 3Å s0.000288ds0.999712d 100,000 5 0.000449 q pqp 5 25 1 24 1 22 1 # # # 1 31 13 ? 100,000 5 375 1,300,000 5 0.000288 p 5 número total de muertes de todas las muestras combinadas número total de sujetos muestrados p 13-3 Gráficas de control de atributos 713 Utilizando la tecnología Ingrese los números de defectos (o artículos con algún atributo particular) en la columna C1. Seleccione la opción Stat, luego Control Charts y después P. Introduzca C1 en el recuadro que se identifica como variable y el tamaño de las muestras en el recuadro que se identifica como tamaño del sub- grupo, después haga clic en OK. Uso de DDXL: Para utilizar el complemento DDXL, inicie anotando los números de defectos o éxitos en la columna A y registre los tamaños de muestra en la columna B. Para el ejemplo de esta sección, los primeros tres artículos se in- gresarían en la hoja de cálculo de Excel como se muestra abajo. A B 1 25 100000 2 24 100000 3 22 100000 Haga clic en DDXL, seleccione Process Control, después Summ Prop Control Chart (para gráfica de control de resumen de proporciones). Debe aparecer un cuadro de diálogo. Haga clic en el icono del lápiz de “Success Variable” e introduzca el rango de valores para la columna A, tal como A1:A13. De nuevo, haga clic en el icono del lápiz de “Totals Variable” e introduzca el ran- go de valores para la columna B, tal como B1:B13. Ahora haga clic en OK y después en la barra Open Control Chart. Aparece- rá la gráfica de control. Uso del Chart Wizard de Excel: Introduzca las proporcio- nes muestrales en la columna A. (Puede ingresar los números reales de defectos en la columna A, después utilizar Excel para crear una columna B consistente en las proporciones. En el re- cuadro de la fórmula, introduzca 5A1/n, donde n se reemplaza por el tamaño de cada muestra. Después de presionar Enter, la celda B1 debe contener la primera proporción muestral. Haga clic y deslice la esquina inferior derecha de la celda B1, de ma- nera que toda la columna B contenga las proporciones muestra- les correspondientes al número real de defectos en la columna A). Una vez que se ingresaron los datos, proceda a generar la gráfica haciendo clic primero en el icono de Chart Wizard, que tiene la apariencia de una gráfica de barras. Para el tipo de gráfica, seleccione Line. Para el subtipo de gráfica, la primera grá- fica del segundo renglón, y luego haga clic en Next. Continúe haciendo clic en Next y luego en Finish. Es posible editar la grá- fica para agregar etiquetas, borrar líneas, etcétera. Inserte la línea central y los límites de control inferior y superior que se requie- ren, editando la gráfica. Haga clic sobre la línea de la parte inferior de la pantalla, luego haga clic y coloque la línea en la posición correcta. Excel Minitab 714 CAPÍTULO 13 Control estadístico de procesos 13-3 Destrezas y conceptos básicos Determine si un proceso está bajo control. En los ejercicios 1 a 4, examine la gráfica de control de p ydetermine si el proceso está bajo control estadístico. Si no es así, identifi- que cuál de los tres criterios para establecer una falta de control se aplica. 3. 4. Construcción de gráficas de control de p. En los ejercicios 5 a 8, utilice los datos de proceso dados para construir una gráfica de control de p. En cada caso, considere los tres criterios para establecer una falta de control que se listan en la sección 13-2, y de- termine si el proceso está bajo control estadístico. Si no es así, identifique cuál de los tres criterios para establecer una falta de control se aplica. 5. Gráfica p para muertes por enfermedades infecciosas En cada uno de 13 años conse- cutivos recientes, se seleccionaron 100,000 niños en el rango de 0 a 4 años de edad; en consecuencia, se registró el número de muertes por enfermedades infecciosas; los resultados se presentan abajo (datos de “Trends in Infectious Diseases Mortality in the United States”, de Pinner et al., Journal of the American Medical Association, vol. 275, núm. 3). ¿Sugieren los resultados un problema que hay que corregir? Número de muertes: 30 29 29 27 23 25 25 23 24 25 25 24 23 6. Gráfica p para víctimas del crimen En cada uno de 20 años consecutivos recientes, se seleccionaron aleatoriamente 1000 adultos para aplicarles una encuesta. Cada uno de los siguientes valores es el número de personas que se encuestaron que fueron vícti- 1. 2. Repaso 715 mas de un crimen violento (datos del Departamento de Justicia, Bureau of Justice Statistics). ¿Sugieren los datos un problema que debe corregirse? 29 33 24 29 27 33 36 22 25 24 31 31 27 23 30 35 26 31 32 24 7. Gráfica p para la lluvia en Boston Remítase a las cantidades de lluvia en Boston en el conjunto de datos 11 del Apéndice B. Para cada una de las 52 semanas, permita que la proporción muestral sea la proporción de días que llovió. (Borre el valor 53o. de los miércoles). Durante la primera semana, por ejemplo, la proporción muestral es 3 7 5 0.429. ¿Representan los datos un proceso estadísticamente estable? 8. Gráfica p para las tasas de matrimonios Utilice gráficas p para comparar la estabilidad estadística de la tasa de matrimonios de Japón y Estados Unidos. De cada año, se selec- cionaron aleatoriamente 10,000 personas de cada país; el número de matrimonios que se obtuvo corresponde a ocho años consecutivos recientes (datos de las Naciones Unidas). Japón: 58 60 61 64 63 63 64 63 Estados Unidos: 98 94 92 90 91 89 88 87 13-3 Más allá de lo básico 9. Construcción de una gráfica np Una variante de la gráfica de control de p es la gráfi- ca np, en la cual se grafica el número real de defectos en lugar de las proporciones de defectos. La gráfica tiene un valor de línea central n y los límites de control, valo- res de 1 3 y 2 3 . La gráfica p y la gráfica np difieren únicamen- te en la escala de valores que se emplea en el eje vertical. Construya una gráfica np para el ejemplo que se presenta en esta sección. Compare el resultado con la gráfica de control de p que se obtuvo en la sección. 10. Identificación del efecto del tamaño de muestra en las gráficas p a. Identifique la ubicación de la línea central y de los límites de control de una gráfi- ca p, que represente un proceso con una tasa del 5% de artículos que no cumplen la norma, con base en muestras de tamaño 100. b. Repita el inciso a después de cambiar el tamaño de la muestra a 300. c. Compare los dos conjuntos de resultados. Nombre una ventaja y una desventaja del uso de tamaños de muestra grandes. ¿Qué gráfica sería mejor para detectar un cambio del 5% al 10%? Repaso Mientras que los capítulos anteriores de este libro se enfocan en las características impor- tantes de los datos del centro, la variación, la distribución y los datos distantes, este capítu- lo se centró en un patrón a lo largo del tiempo. Los datos de proceso se definieron como datos que se ordenan de acuerdo con alguna secuencia temporal; datos como los que se mencionan pueden analizarse con gráficas de rachas y gráficas de control. Las gráficas de control tienen una línea central, un límite de control superior y un límite de control infe- rior. Un proceso es estadísticamente estable (o está bajo control estadístico) sólo si tiene variación natural sin patrones, ciclos o puntos poco comunes. Las decisiones sobre la esta- bilidad estadística se basan en la forma en que el proceso se comporta en realidad y no en la forma en que nos gustaría que se comportara, por factores tales como las especificacio- nes de fabricación. Se describieron las siguientes gráficas: ● Gráfica de rachas: gráfica secuencial de datos individuales a lo largo del tiempo ● Gráfica R: gráfica de control que utiliza rangos en un intento de verificar la varia- ción en un proceso !np qnp!np qnp np >
