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¡BIENVENIDOS! Esta semana revisaremos el siguiente tema: CUADRILÁTEROS CONTENIDO DE LA CLASE CUADRILÁTEROS Definición y elementos Paralelogramos Ejemplos Trapecios Trapezoides Áreas de cuadriláteros CUADRILÁTEROS A B C D 𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛼4 𝛽1 𝛽2 𝛽3 𝛽4 ELEMENTOS NOTACIÓN VÉRTICES A, B, C y D LADOS AB, BC, 𝐶𝐷, DA ÁNGULOS INTERIORES 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, 𝛼4 ÁNGULOS EXTERIORES 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4 DIAGONALES AC, BD CUADRILÁTEROS: elementos CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS CÓNCAVOS 𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛼4 𝛽1 𝛽2 𝛽3 𝛽4PROPIEDADES Suma de ángulos interiores: 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 + 𝛼4 = 360° Suma de ángulos exteriores: 𝛽1 + 𝛽2 + 𝛽3 + 𝛽4 = 360° Suma de ángulos interiores = 360° 𝛼 𝛽 𝜃 𝑥 𝑥 = 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 EJEMPLOS En cada figura, halla el valor de 𝑥. 100° 130° 𝑥 𝑎. 𝑏. Suma de ángulos interiores: 𝑥 + 100° + 20° + 130° = 360° 𝑥 + 250° = 360° 𝑥 = 110° Suma de ángulos exteriores: 130° 45° 𝑥 90° 𝑥 + 130° + 45° + 90° = 360° 𝑥 + 265° = 360° 𝑥 = 95° 1. En el cuadrilátero ABCD, halla el ángulo menor formado por las bisectrices interiores de B y C si ∠A + ∠D = 140°. A B C D 𝛼 𝛼 𝜃 𝜃 𝑥 • Suma de ángulos interiores = 360° ∠A + ∠D + 2𝛼 + 2θ = 360° 2α + 2θ = 220° α + θ = 110° 140° + 2𝛼 + 2θ = 360° Solución: ∠A + ∠D + ∠B + ∠C = 360° E • ∆ 𝐴𝐸𝐶: 𝑥 + 𝛼 + 𝜃 = 180° 𝑥 = 70° 𝑥 + 110° = 180° PARALELOGRAMOS PARALELOGRAMOS ROMBOIDE: A B C D ELEMENTOS PROPIEDAD LADOS AB = CD DIAGONALES BC = AD AO = OC BO = OD Sus diagonales no necesariamente son bisectrices.𝛼 𝛼 𝛽 𝛽 ÁREA Área = 𝑏 × ℎ 𝐴𝐵 // 𝐶𝐷 𝐵𝐶// 𝐴𝐷 O 𝑏 ℎ ÁREA DE PARALELOGRAMOS El área de todo paralelogramo( romboide, rectángulo, rombo y cuadrado) es igual al producto de la longitud de uno de los lados con la altura relativa a dicho lado. Si B es un lado y h, la altura relativa a él: ℎ 𝐵 = 8 (6)= 48 8 6 𝐴 = 4 (5) = 20 4 5 𝐴 4 Área = 𝐵 ℎ Ejemplos: ℎ TEOREMAS SOBRE ÁREAS EN PARALELOGRAMOS A CB D 𝐵 𝐵 TEOREMA 1 TEOREMA 2 A CB D 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 A CB D 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆𝑆 𝑆 TEOREMA 3 3𝑆 3𝑆 PARALELOGRAMOS RECTÁNGULO: A B C D ELEMENTOS PROPIEDAD ÁNGULOS ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° LADOS AB = CD DIAGONALES BC = AD AO = OC = BO = OD Sus diagonales no necesariamente son bisectrices. ÁREA Área = 𝑎 × 𝑏 O 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 PARALELOGRAMOS CUADRADO: A B C D ELEMENTOS PROPIEDAD ÁNGULOS ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° LADOS AB = BC = CD = DA DIAGONALES AO = OC = BO = OD Sus diagonales son perpendiculares. ÁREA Área = 𝑎2 O 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 Sus diagonales son bisectrices. 45° 45° 45° 45°45° 45° 45° 45° RECTÁNGULO 𝑎𝑎 𝑏 𝑏 CUADRADO 𝑎 𝑎𝑎 𝑎 9 6Área = 𝑎 × 𝑏 Área = 𝑎2 45° 45° 𝐷 Diag𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝐷 = 𝑎 2 Ejemplos: = 54𝐴 = (9)(6) 6 𝑎 𝑎 𝑎 2 6 = 𝑎 2⟶ 𝑎 = 6 2 2 2 = 3 2 = 18𝐴 = (3 2)2 ÁREA DE PARALELOGRAMOS: CASOS ESPECIALES PARALELOGRAMOS ROMBO: A B C D ELEMENTOS PROPIEDAD LADOS AB = BC = CD = DA 𝛼 𝛼 𝛽𝛽 ÁREA Área = 𝑎 × ℎ 𝑎 PARALELOGRAMOS 𝛼 𝛼 𝛽𝛽 O ELEMENTOS PROPIEDAD LADOS AB = BC = CD = DA ÁREA Área = 𝑎 × ℎ DIAGONALES AO = OC BO = OD Sus diagonales son perpendiculares. Sus diagonales son bisectrices. Área = (𝐴𝐶) × (𝐵𝐷) 2 ROMBO: A B C D 𝐿 𝐿 𝐷 𝑑 5 5 3 3 55 5 5 53° ÁREA DE PARALELOGRAMOS: CASOS ESPECIALES ROMBO: Ejemplos: Área = 𝐿 × ℎ Área = (𝐷) × (𝑑) 2 = 30𝐴 = (10) × (6) 2 4 = 20𝐴 = (5)(4) ℎ EJEMPLOS Solución: 4. Halla el área de un rombo si se sabe que uno de sus ángulos mide 60° y su perímetro mide 40 cm. 60° ÁreaRombo = 𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 10 × 5 3 = 50 3 𝑐𝑚2 𝐿 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 = 4𝐿 = 40 𝐿 = 10 𝑘 3 𝑘 2𝑘 60° 30° = 10 6. En la figura 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un romboide y 5(𝐴𝑀) = 7(𝑀𝐶). Halla el área de la región sombreada. Solución: 8 6 2 ▱𝐴𝐵𝐶𝐷 paralelogramo 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 12𝑆 12𝑆 𝐴𝑀 𝑀𝐶 = 7𝑘 5𝑘 7𝑘 5𝑘 7S 5S 7S 5S △𝐴𝐷𝐶En el triángulo: 12𝑆 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2 = 8 × 6 2 = 24 𝑢2 6 2 6 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐵 𝐴 𝐶 𝐷 45° 𝑀 7. En un paralelogramo ABCD, se traza 𝐵𝑀 y 𝐵𝑁(M y N son puntos medios de 𝐴𝐷 y 𝐶𝐷 , respectivamente) que cortan a 𝐴𝐶 en los puntos P y Q. Si el área del triángulo BPQ es 5 𝑐𝑚2, calcula el área del paralelogramo. Solución: 𝐵 𝐴 𝐶 𝐷𝑀 𝑁 𝑃 𝑄 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆𝑆 𝑆 3𝑆 3𝑆 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 5 Á𝑟𝑒𝑎𝐵𝑃𝑄 = 2𝐴 = 5 𝐴 = 5/2 Á𝑟𝑒𝑎𝐴𝐵𝐶𝐷 = 12𝐴 = 12(5/2) = 30 𝑐𝑚2 TRAPECIOS TRAPECIOS TRAPECIO: ELEMENTOS BASES Base mayor: 𝐴𝐷 LADOS NO PARALELOS 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 ALTURA ℎ A B C D Base menor: 𝐵𝐶 ℎ ℎ MEDIANA 𝐵 𝑏 M N 𝑀𝑁 DIAGONALES 𝐴𝐶,𝐵𝐷 P Q SEGMENTO QUE UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LAS DIAGONALES 𝑃𝑄 𝐴𝐷// 𝐵𝐶 TRAPECIOS TRAPECIO: A B C D 𝐴𝐷// 𝐵𝐶 ℎ 𝐵 𝑏 M N P Q PROPIEDADES Área = 𝐵 + 𝑏 2 × ℎ Mediana = MN = 𝐵 + 𝑏 2 = (Mediana) × ℎ Segmento que une los puntos medios de las diagonales = PQ = 𝐵 − 𝑏 2 𝐵𝐶 // 𝐴𝐷 // 𝑀𝑁 TRAPECIOS TRAPECIO ISÓSCELES: ELEMENTOS PROPIEDADES LADOS NO PARALELOS AB = CD ÁNGULOS A B C D 𝐵 𝑏 ∠A = ∠D ∠B = ∠C 𝛼 𝛼 𝛽𝛽 DIAGONALES AC = BD O TRAPECIOS TRAPECIO ISÓSCELES: A B C D 𝐵 𝑏 PROPIEDADES ℎℎ 𝑏 P Q 𝑚𝑚 AP = QD = m = 𝐵 − 𝑏 2 AQ = PD = M = 𝐵 + 𝑏 2 𝑀 𝑀 TRAPECIOS TRAPECIO RECTÁNGULO: A B C D ELEMENTOS PROPIEDADES ÁNGULOS ∠A = ∠B = 90° 𝛼 + 𝛽 = 180° 𝛼 𝛽 ALTURA ℎ ℎ TRAPECIOS TRAPECIO ESCALENO: A B C D ELEMENTOS PROPIEDADES LADOS 𝐴𝐵 ≠ 𝐶𝐷 𝛾 𝜃 𝛼 𝛽 ÁNGULOS ∠A + ∠B = 180° ∠C + ∠D = 180° 𝛼 + 𝛽 = 180° 𝜃 + 𝛾 = 180° ÁREAS DE TRAPECIOS El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases, multiplicada con la altura. Si B y b son las bases y h, la altura: A B C D ℎ ℎ 𝐵 𝑏 ℎ Área = 𝐵 + 𝑏 (ℎ) 2 𝐴 = 8 + 6 2 (5) = 7 (5) = 35 𝐴 = 9 + 6 2 (4) = 305 6 9 53° Ejemplos: 2. Trapecio rectangular: 4 6 8 5 1. Trapecio escaleno: 6 8 4 𝐴 = 8 + 2 2 (4) = 5 (4)= 20 𝐴 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 (ℎ) = 7 (4) = 28 𝑀 𝑁 MN = 𝐵 + 𝑏 2 Mediana 5 2 8 5 3. Trapecio isósceles: 4. Área con la mediana Si B y b son las bases y h, la altura: A B C D ℎ ℎ 𝐵 𝑏 ℎ Área = 𝐵 + 𝑏 (ℎ) 2 Ejemplos: 23 3 4 El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases, multiplicada con la altura. ÁREAS DE TRAPECIOS EJEMPLOS 2. En un paralelogramo ABCD, 𝐴𝐵 = 10 𝑐𝑚, AD = 18 𝑐𝑚. Se traza la bisectriz interior del ángulo A que corta a 𝐵𝐶 en E. Halla la longitud del segmento que une los puntos medios de 𝐴𝐸 y 𝐵𝐷. Solución: 10 𝑥 𝐴𝐵𝐸𝐷 es un trapecio. Segmento que une los puntos Medios de 𝐴𝐸 y 𝐵𝐷 : 𝑥 = 18 − 10 2 𝑥 = 4 𝑐𝑚 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝜃 𝜃 𝜃 3. En un trapecio isósceles, una diagonal mide 26 m y la altura 10 m. Calcula el área de dicho trapecio. Solución: 𝐴 𝐷 𝐵 𝐶 10 Á𝑟𝑒𝑎𝐴𝐵𝐶𝐷 = (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = (24)(10) = 240 𝑚2 ℎ 𝑚 𝑀 Trapecio isósceles M: mediana Á𝑟𝑒𝑎 = (𝑀)(ℎ) 5(2) 13𝑘 5𝑘 12𝑘 12(2)= 24 mediana 5. En un trapecio, las diagonales son perpendiculares. Si su mediana mide 10 cm y una de sus diagonales mide 12 cm, calcula la medida de la otra diagonal. Solución: Mediana = 𝐵 + 𝑏 2 𝐵 𝑏 = 10 ⟶ 𝐵 + 𝑏 = 20 𝑏 20 Pitágoras: 𝐷2 + 122 = 202 𝐷2 + 144 = 400 𝐷2 = 256 𝐷 = 16 𝑐𝑚 TRAPEZOIDES TRAPEZOIDES TRAPEZOIDE SIMÉTRICO: A B C D ELEMENTOS PROPIEDADES LADOS DIAGONALES 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 AB = BC CD = ADO 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 𝛼 𝛼 𝛽 𝛽 𝜃 𝜃 𝛾 𝛾 TRAPEZOIDES TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO: A B C D PROPIEDADES Son cuadriláteros que no tienen simetría. TRAPEZOIDE SIMÉTRICO A B C D O TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO A B C D 𝐴 𝐴 𝐵 𝐵 Área= 2(𝐴 + 𝐵) 𝐴 𝐵 Área= 𝐴 + 𝐵 ÁREA DE TRAPEZOIDES EJEMPLO 2. Halla el área del cuadrilátero ABCD si ∠𝐵𝐴𝐷 = 90°, AD=8 cm, AB=6 cm y BC=CD=10 cm. Solución: A2 A1 A B C D 6 8 10 10 10 4k 3k 5k ÁreaABCD = A1 + A2 A1= (8)(6) 2 = 24 cm2 A2 = 102 3 4 = 25 3 cm2 ÁreaABCD = 24 + 25 3 cm2
