Vista previa del material en texto
✓ TEORÍATEORÍATEORÍATEORÍATEORÍA ✓ APLICAAPLICAAPLICAAPLICAAPLICACIONESCIONESCIONESCIONESCIONES ✓ PRPRPRPRPROBLEMAS PROPUESTOBLEMAS PROPUESTOBLEMAS PROPUESTOBLEMAS PROPUESTOBLEMAS PROPUESTOSOSOSOSOS ✓ EXÁMENES DE UMSAEXÁMENES DE UMSAEXÁMENES DE UMSAEXÁMENES DE UMSAEXÁMENES DE UMSA 2018 2018 2018 2018 2018 20072007200720072007A A A A A ✓ SOLSOLSOLSOLSOLUCIONARIO DE EXÁMENESUCIONARIO DE EXÁMENESUCIONARIO DE EXÁMENESUCIONARIO DE EXÁMENESUCIONARIO DE EXÁMENES ✓ EXÁMENES EXÁMENES EXÁMENES EXÁMENES EXÁMENES UNIUNIUNIUNIUNI TEORÍA Y PROBLEMAS SELECTOS DE ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL Y COMO RESOLVERLOS TOMO ITOMO ITOMO ITOMO ITOMO I J&J PJ&J PJ&J PJ&J PJ&J PAAAAAYE Hnos.YE Hnos.YE Hnos.YE Hnos.YE Hnos. CODEXCODEXCODEXCODEXCODEX 20192019201920192019 ALGEBRA LINEAL CODEX QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL SIN FINES DE LUCRO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 8-17 411 AUTORES: JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA PRIMERA EDICIÓN BRERO , 201 LA PAZ- BOLIVIA FE ϵ PROLOGO El presente trabajo “CODEX ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL VOL.I”, En su primera edición contiene básicamente los temas: MATRICES DETERMINATES Y SISTEMAS LINEALES, son temas que se desarrollan en el segundo parcial en el Curso de Algebra Lineal en INGENIERÍA. En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones y teoremas, seguido de ejercicios desarrollados y de reto personal. Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo Técnico y Científico de nuestros país. JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA DEDICATORIA “A NUESTRA FACULTAD DE INGENIERÍA, A TODOS LOS UMSISTAS DE CORAZÓN QUE AMAMOS NUESTRA PRESTIGIOSA CASA DE ESTUDIO” JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA POEMA: ECUACIÓN DEL AMOR AUTOR: JOSE PAYE CHIPANA PARA: BELEN ALEJANDRA REAS QUISPE SOLO NECESITO SOLO NECESITO SOLO NECESITO SOLO NECESITO SOLO NECESITO UN PEDAZO DE CARUN PEDAZO DE CARUN PEDAZO DE CARUN PEDAZO DE CARUN PEDAZO DE CARBÓN BÓN BÓN BÓN BÓN PARA ESCRIBIRLPARA ESCRIBIRLPARA ESCRIBIRLPARA ESCRIBIRLPARA ESCRIBIRLE QUE E QUE E QUE E QUE E QUE ELLA ES LA ECUACIÓNELLA ES LA ECUACIÓNELLA ES LA ECUACIÓNELLA ES LA ECUACIÓNELLA ES LA ECUACIÓN QUE MODELA MI QUE MODELA MI QUE MODELA MI QUE MODELA MI QUE MODELA MI CORAZÓN Y DEMOSTCORAZÓN Y DEMOSTCORAZÓN Y DEMOSTCORAZÓN Y DEMOSTCORAZÓN Y DEMOSTRARLE RARLE RARLE RARLE RARLE TODOS LOS DÍAS QUTODOS LOS DÍAS QUTODOS LOS DÍAS QUTODOS LOS DÍAS QUTODOS LOS DÍAS QUE MÍ AMOR E MÍ AMOR E MÍ AMOR E MÍ AMOR E MÍ AMOR POR ELLA ES MAPOR ELLA ES MAPOR ELLA ES MAPOR ELLA ES MAPOR ELLA ES MAYOR AL INFINITO YOR AL INFINITO YOR AL INFINITO YOR AL INFINITO YOR AL INFINITO A ESA NIÑA BONA ESA NIÑA BONA ESA NIÑA BONA ESA NIÑA BONA ESA NIÑA BONITA ITA ITA ITA ITA QUE TIENE SOLUCQUE TIENE SOLUCQUE TIENE SOLUCQUE TIENE SOLUCQUE TIENE SOLUCIONES COMPLEJAS IONES COMPLEJAS IONES COMPLEJAS IONES COMPLEJAS IONES COMPLEJAS ASÍNTOTAS NEGASÍNTOTAS NEGASÍNTOTAS NEGASÍNTOTAS NEGASÍNTOTAS NEGATIVAS PERO PARATIVAS PERO PARATIVAS PERO PARATIVAS PERO PARATIVAS PERO PARA MÍ A MÍ A MÍ A MÍ A MÍ ES LA SOLUCIÓN PERES LA SOLUCIÓN PERES LA SOLUCIÓN PERES LA SOLUCIÓN PERES LA SOLUCIÓN PERFECTAFECTAFECTAFECTAFECTA AL VERTE PIENSAL VERTE PIENSAL VERTE PIENSAL VERTE PIENSAL VERTE PIENSO QUE ERES O QUE ERES O QUE ERES O QUE ERES O QUE ERES UN LIBRO DE CALCULO DUN LIBRO DE CALCULO DUN LIBRO DE CALCULO DUN LIBRO DE CALCULO DUN LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTIFERENCIAL E INTIFERENCIAL E INTIFERENCIAL E INTIFERENCIAL E INTEGRAL EGRAL EGRAL EGRAL EGRAL QUIERO SER TU TQUIERO SER TU TQUIERO SER TU TQUIERO SER TU TQUIERO SER TU TEOREMA FUNDAMENTAL EOREMA FUNDAMENTAL EOREMA FUNDAMENTAL EOREMA FUNDAMENTAL EOREMA FUNDAMENTAL Y SER EL PLANO Y SER EL PLANO Y SER EL PLANO Y SER EL PLANO Y SER EL PLANO OSCULADOR QUOSCULADOR QUOSCULADOR QUOSCULADOR QUOSCULADOR QUE E E E E ACARICIE TU DOACARICIE TU DOACARICIE TU DOACARICIE TU DOACARICIE TU DOMINIO REAL MINIO REAL MINIO REAL MINIO REAL MINIO REAL A TI MUSA QUE VA TI MUSA QUE VA TI MUSA QUE VA TI MUSA QUE VA TI MUSA QUE VALORAS ALORAS ALORAS ALORAS ALORAS LA VIDA TRIVIAL LA VIDA TRIVIAL LA VIDA TRIVIAL LA VIDA TRIVIAL LA VIDA TRIVIAL DE UN MATEMÁTICDE UN MATEMÁTICDE UN MATEMÁTICDE UN MATEMÁTICDE UN MATEMÁTICO DE INGENIERÍAO DE INGENIERÍAO DE INGENIERÍAO DE INGENIERÍAO DE INGENIERÍA Y COMPRENDES EL VALORY COMPRENDES EL VALORY COMPRENDES EL VALORY COMPRENDES EL VALORY COMPRENDES EL VALOR DE MI INSPIRAC DE MI INSPIRAC DE MI INSPIRAC DE MI INSPIRAC DE MI INSPIRACIÓN YA QUEIÓN YA QUEIÓN YA QUEIÓN YA QUEIÓN YA QUE SIN TU SIN TU SIN TU SIN TU SIN TU PRESENCIA Y COMPRESENCIA Y COMPRESENCIA Y COMPRESENCIA Y COMPRESENCIA Y COMPRESIÓN TUYA NO SERPRESIÓN TUYA NO SERPRESIÓN TUYA NO SERPRESIÓN TUYA NO SERPRESIÓN TUYA NO SERIA LAIA LAIA LAIA LAIA LA MATRIZ IDENTIDAMATRIZ IDENTIDAMATRIZ IDENTIDAMATRIZ IDENTIDAMATRIZ IDENTIDAD DE TUS PENSAD DE TUS PENSAD DE TUS PENSAD DE TUS PENSAD DE TUS PENSAMIENTOS PARA TI MI MIENTOS PARA TI MI MIENTOS PARA TI MI MIENTOS PARA TI MI MIENTOS PARA TI MI INTERVALO DE CINTERVALO DE CINTERVALO DE CINTERVALO DE CINTERVALO DE CONFIANZA TU AMORONFIANZA TU AMORONFIANZA TU AMORONFIANZA TU AMORONFIANZA TU AMOR ETERNO QUE ES UN ETERNO QUE ES UN ETERNO QUE ES UN ETERNO QUE ES UN ETERNO QUE ES UN PUNTO EN ESTE PUNTO EN ESTE PUNTO EN ESTE PUNTO EN ESTE PUNTO EN ESTE MUNDO DE INFINITMUNDO DE INFINITMUNDO DE INFINITMUNDO DE INFINITMUNDO DE INFINITAS VARIABLES AS VARIABLES AS VARIABLES AS VARIABLES AS VARIABLES JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA 1 BANCO DE PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA EXAMEN:II-2018 PROBLEMA 1 En una matriz A se realizan las siguientes operaciones elementales en el orden dado: 1 2 1 2 2 1 3 3) ; ) 2 ; ) + → + →i f f ii f f f iii f f f 1 2 3 1 8 6 3 4 − = + − − B k k Obteniéndose la matriz B: a) Hallar el valor de k tal que cumpla que Det(A)= - 20 b) Con el valor de k, hallar la inversa de A. Solución: PROBLEMA 2 Halle el valor de tal que el valor del siguiente determinante sea “x” 2 x 10 11 13 9 6 7 3 10 7 4 5 5 7 5 3 2 2 4 2 2 2 − + + + x x x x x x x x x Solución: PROBLEMA 3 Dada el sistema de ecuaciones lineales de la forma: 0− =T TB x A Analizar los valores de a y b para que el sistema sea: (a) Consistente determinado (b) Consistente indeterminado (c) Inconsistente, Siendo las matrices: 1 0 1 0 1 1 0 3 0 1 1 1 1 1 2 1 − = − − b A b b 1 2 1=T B a Solución: : PROBLEMA 4 Hallar una matriz P que sea triangular inferior y una matriz Q que sea triangular superior de tal forma que se cumpla A=PBQ siendo: 2 2 4 1 2 3 1 2 2 2 3 0 = − − − A 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 = − − B Solución: JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA 2 EXAMEN:I-2018 PROBLEMA 1 Dada la matriz 1 1 1 1 1 = a a a b a a A b b a b b Halle las condiciones que deben cumplir a y b para que A no sea inversible. Solución: PROBLEMA2 Utilizando propiedades de los determinantes, compruebe la siguiente igualdad: ( )( ) 2 3 2 4 4 9 5 2 5 1 1 1 − − − + = + + + m m m m Solución: PROBLEMA 3 Dada la matriz A, utilizando operaciones elementales escríbala en la forma: = TA LDL .La matriz L es triangular inferior y D una matriz diagonal cuya traza es igual a 5. 4 1 1 1 17 / 4 11/ 4 1 11/ 4 7 / 2 − = − A Solución: : PROBLEMA 4 Encuentre los valores de “ a ” de manera que el sistema de ecuaciones dado tenga i) única solución ii) infinitas soluciones iii) No presenta solución 2 2 3 2 0 1 + + = + − = + + = x ay a z a ax a y a z a x ay z Solución: EXAMEN:II-2017 PROBLEMA 1 Hallar una matriz “P” que sea Triangular Inferior y una matriz “Q” que sea Triangular Superior con ( ) 5=tr Q , tal que =A PBQ 1 2 4 1 1 3 1 2 1 2 3 0 = − − − A 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 = − − B Solución: 1 0 0 1 1 0 1 0 1 = − P 1 2 4 1 0 1 3 3 0 0 1 1 0 0 0 2 − − = Q JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA 3 PROBLEMA 2 Sean X, Y, Z, W 4 4 2 4 = =xK Si Z y W X es igual a la matriz Y, pero la fila 3 esta multiplicada por 2 Calcular: ( ) 11 1 2 −− −= T G X Z Y W 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 − − = − − Y Solución: 1 64 =G PROBLEMA 3 Discutir la consistencia o inconsistencia del sistema =AX B ,dependiendo de y . Luego para 2 = − y 7 = hallar la solución del sistema 1 2 3 1 0 1 3 1 2 4 = A ; 1 2 2 = B Solución: : 2 1/ 2 0 = − X PROBLEMA 4 En una matriz “A” se realizaron las siguientes operaciones elementales en el orden en que aparecen: 1) 1 2 1 2 2 1 3 3 ; 2) 2 ; 3) 3 − + → − + →f f f f f f f f obteniéndose la matriz B: 1 2 3 1 4 2 0 1 2 = − B K (a) Hallar el valor de “K” tal que cumpla ( ) 11=tr A (a) Con el valor de “K” hallar la matriz inversa de A, usando matrices elementales Solución: (a) 5=K (b) 1 1 1 1 1 2 9 1 1 6 − − = − − − A JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA 4 EXAMEN: I-2 017 PROBLEMA 1 Dada la matriz “A” y “B” encontrar las matrices “P” y “Q” de modo que =PAQ B 0 2 3 4 2 3 5 4 4 8 13 12 = A 1 0 0 0 0 2 3 4 0 0 0 0 = B Solución: 3 2 0 1 0 0 1 2 1 = − − P 1/ 4 0 1/ 4 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 − = Q PROBLEMA 2 Calcular: F 1 2 3 4 + + = + + x x x x x x x x F x x x x x x x x Solución: 50 24= +F x PROBLEMA 3 Resolver el sistema de ecuaciones: + + = + + = + + = + + = x y z a x y v b x z v c y z v d Solución: : 2 3 + + − = a b c d x 2 3 + − + = a b c d y 2 3 − + + = a b c d z 2 3 − + + + = a b c d v PROBLEMA 4 Calcular la inversa de la matriz “G” 3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 6 12 13 9 7 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3 = G Solución: 1 10 1 3 10 9 15 5 0 0 10 1 5 3 1 0 3 5 0 4 2 5 6 25 3 4 15 27 − − − − − = − − − − − G JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA 5 EXAMEN: II-2 016 PROBLEMA 1 En una matriz “A” se realizaron las siguientes operaciones elementales en el orden en que aparecen: 1 2 2 1 3 3 2 3 3 17 2 ; 3 ; 5 − + → + → + →f f f f f f f f f se obtuvo la matriz 2 4 6 0 5 17 0 0 204 / 5 − = − U Se pide: (b) Hallar la matriz A (c) Hallar la inversa de “A” utilizando la matriz “U” y las operaciones elementales dadas Solución: (a) 2 4 6 4 3 5 6 5 1 − = − A (b) 1 11 17 19 1 17 17 17 204 19 17 5 − − = − A PROBLEMA 2 Hallar el valor de “ a” de tal modo que la matriz “F” sea no singular, si estas cumplen con la ecuación: =FG A donde: 1 3 3 2 4 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 4 − − = − − − G , 4 5 1 1 3 2 2 1 1 1 2 2 1 2 3 2 2 1 − + − = − − − − + a a A a a Solución: 23 227 −a PROBLEMA 3 Dadas las matrices: 1 1 2 3 4 5 1 1 − = − A x 2 1 3 5 7 6 = − u B u u 2 3 1 2 4 = − z z C z z donde “X” y “U” son iguales al determinante de una matriz singular, encuentre “D” de la expresión + + +A B C D es nula y el ( ) 12= −Det C Solución: 1 1 5 9 5 10 7 7 3 − − − = − − − − − D PROBLEMA 4 En el sistema: 1 1 + + = + + = + + = ax y z x ay z b x y az encuentre los valores de a y b de manera que: (a) Los planos intersecten en un punto (b) se intersecten en muchos puntos (c) Los planos sean paralelos Solución: : (a) Los planos intersecten en un punto 2 , 1 − − a b a b JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA 6 (b) se intersecten en muchos puntos 2 2, 1 1= − = − = =a b a b (c) Los planos sean paralelos 2 2, 1 1= − − = a b a b EXAMEN: I-2 016 PROBLEMA 1 Dadas la matriz: +−− − − = 246 435 652 3*3 k A Se pide: (d) Descomponer la matriz A en la forma t LDLA = siendo L triangular inferior (e) Hallar el valor de “k” Solución: (a) − − − − −− −= 100 110 32/51 500 020 002 526 025 002 kk A (b) 15=k PROBLEMA 2 Hallar los valores de la constante “a” tal que el determinante de la ))(( FAdjAdjAdj sea nulo: Solución: 1;0 == aa PROBLEMA 3 Discutir los valores de a y b que determinen la consistencia e inconsistencia del sistema de ecuaciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) azaabyxa bzabyaxa azaabyxa −=++++ −−=−+−+− +=++++ 225226 114114 114215 Solución: mismo tipo del examen 2015 EXAMEN: II-2 5 01 PROBLEMA 1 1. Dadas las matrices = == − jisi jisii jisiji aA k ijx ,0 , ,1 33 y = == jisi jisii jisiji bB k ijx ,0 , , 33 se pide (a) descomponer la matriz AB en la forma AB=L U siendo L “Triangular inferior”, U “triangular Superior”, utilizando el valor |de Nk , (b) Utilizando la anterior factorización halle la inversa AB Solución: ( ) ( ) ( ) −− −++−− −+−−+−++ = ++ ++++ +++++++ + − 121 112112 11121211212 12 1 2232362 263231223 2222363232912326 6 1 kkkk kkkk kkkkkkkk k AB JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA 7 PROBLEMA 2 Hallar el determinante de ( )( ) Fadjadjadjsiendo F la matriz indicada: ++− ++ −+ +++ = baab aa bbb babaa F 211 3102 1212 1231 Solución: ( )( ) 0=Fadjadjadj PROBLEMA 3 Discutir los valores de ""a y ""b que determina la consistencia e inconsistencia del sistema de ecuaciones ( ) ( ) ( ) ( ) baxabxxx abxxaxx abxxxax bxxxxa +=−+++ =+−++ −=++−+ =+++− 4321 4321 4321 4321 3222 2322 102232 52223 Solución: CONSISTENTE DETERMINADO: 530 − aab CONSISTENTE DETERMINADO: IN 05 == ba 123 −=−= ba 560 =−== aab INCONSISTENTE: 05 == ba 123 −= ba PROBLEMA 4 Si se conoce la matriz ( ) −− −− −−+ = 033 1014 552 k k k Badj y además se conoce que ( )( )( ) 416 533 =BcofactadjDet se pide: (a) Hallar el valor de “k” (b) Hallar la matriz B (c) Hallar 1−B Solución: 3=k −− −−− −−− = 211 124 312 B − − −− =− 036 1017 555 15 11B EXAMEN: I-2 5 01 PROBLEMA 1 Calcular el determinante F : = 0........111 ::::: 1.........011 1.......101 1......110 F JOSE PAYE CHIPANA CODEX-ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL JOSUE PAYE CHIPANA INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA 8 Solución: ( )( ) 1 11 −−−= n nF PROBLEMA 2 Resolver el sistema de ecuaciones: =++ =++ =++ =++ dvzy cvzx bvyx azyx Solución: 3 2 3 2 3 2 3 2 dcba v dcab z dbac y cbad x +++− = +++− = +++− = +++− = PROBLEMA 3 Para las matrices A y B calcular ( )Xtr si ( ) ( ) 125 −+=+ TTTT ABXAB −− = 213 504 121 A y − = 100 05/13 002/1 B Solución: ( ) 10 241− =Xtr PROBLEMA 4 Calcular la inversa de la matriz G = 35452 45664 7913126 68795 46563 G Solución: −− −− −− − −−− =− 5/2735/45/35 5/615/25/40 5/305/15/31 20013 5/925/35/12 1G PROBLEMA 5 Siendo una matriz de orden 5 talque 5=A y T AAM 15 −= y ( )TT AAAN 15 −= Calcular NM Solución: 355=NM
