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ÁLGEBRA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Semestral Intensivo Virtual UNI Sucesiones Reales Semana 13 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A OBJETIVO 01 02 03 Conocer la definición de sucesión real y su límite Identifica las sucesiones convergentes y divergentes Resolver problemas relacionados con las diferentes sucesiones C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A La sucesión de Fibonacci en la naturaleza Si contamos las espirales (hacia la izquierda o derecha) que tiene la piña, nos resulta un “número Fibonacci”, pero ¿Qué es un número Fibonacci? Es un término de la siguiente sucesión 1; 1; 1 + 1 = 2 2; 1 + 2 = 3 3; 2 + 3 = 5 5; 3 + 5 = 8 8; 5 + 8 = 13 13;21;… 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 La distribución de las hojas alrededor del tallo, la reproducción de los conejos o la disposición de las semillas en numerosas flores y frutos se produce siguiendo secuencias basadas en estos números. ¿Se trata de una simple casualidad esta vinculación de las matemáticas con la naturaleza? C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Sucesiones reales Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y su rango es un subconjunto de los números reales, es decir: ℕ 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 . . . ℝ 𝒇 𝒇(𝟏) 𝒇(𝟐) 𝒇(𝟑) 𝒇(𝟒) . . . = 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐 = 𝒂𝟑 = 𝒂𝟒 . . . Donde 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3 ; 𝑎4 ; . . .; 𝑎𝑛;… : Términos de la sucesión. Notación Una sucesión se puede denotar de la forma: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 𝑛≥1= 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ = 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; 𝑎4; . . Ejemplos 𝑛 + 1 𝑛 1. = 2 1 ; 3 2 ; 4 3 ; … (−1)𝑛+22. = (1; 3; 1; 3; 1; 3;… ) Sen𝑛 𝑛≥13. = Sen1; Sen2; Sen3; Sen4;… (−1)𝑛. 𝑛 𝑛∈ℕ 4. = −1; 2;−3; 4;−5; 6;−7;… Término n-ésimo. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Límite de sucesiones reales Sea 𝑥𝑛 una sucesión en ℝ. Se dice que el número real 𝐿 es el límite de la sucesión 𝑥𝑛 , si Ejemplos 𝑛 + 1 𝑛 1. = 2 1 ; 3 2 ; 4 3 ; … (−1)𝑛 𝑛 2. = −1; 1 2 ; − 1 3 ; 1 4 ; − 1 5 ; … 2𝑛 𝑛≥13. = 2; 4; 8; 16;… lim 𝑛→+∞ 𝑥𝑛 = 𝐿 Sea la sucesión 𝑥𝑛 que posee límite 𝐿 Nota Si 𝐿 ∈ ℝ la sucesión es convergente, en caso contrario se dirá que la sucesión es divergente Calculemos el límite de la sucesión lim 𝑛→+∞ 𝑛 + 1 𝑛 = 1 ∈ ℝ ↔ la sucesion converge a 1 lim 𝑛→+∞ −1 𝑛 𝑛 = 0 ∈ ℝ ↔ la sucesion converge a 0 lim 𝑛→+∞ 2𝑛 = +∞ ↔ la sucesion es divergente C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Para obtener el valor de convergencia de la sucesión tenemos que calcular el limite. lim 𝑛→+∞ 𝑛 + 2020 𝑛−1 𝑛 ∴ 𝑥𝑛 converge al número 𝑒2020 Ejercicio 1 Halle el valor de convergencia de la siguiente sucesión. Resolución = 𝑒2020 𝑥𝑛 = 𝑛 + 2020 𝑛−1 𝑛 Determine el punto de convergencia de la siguiente sucesión lim 𝑛→+∞ 𝑛 + 2020 𝑛 𝑛 lim 𝑛→+∞ 1 + 2020 𝑛 𝑛 Ejercicio 2 Resolución 𝑎1 = 6 𝑛 = 2 𝑎2 = 1 2 𝑎1 𝑛 = 3 𝑛 = 1 𝑛 = 4 𝑎𝑛 = 1 2 𝑎𝑛−1 𝑎3 = 1 2 𝑎2 𝑎4 = 1 2 𝑎3 ⋮ ⋮ = 1 2 1 2 2 6 𝑎1 = 6, 𝑎𝑛 = 1 2 𝑎𝑛−1; 𝑛 ≥ 2 = 6 1 2 𝟐−1 𝑎𝑛 = 6 1 2 𝒏−1 lim 𝑛→+∞ 6 1 2 𝑛−1 ∴ 𝑎𝑛 converge al número 0 Es la relación de recurrencia que nos permite encontrar a los términos de la sucesión a partir de otros términos anteriores. 0 = 1 2 6 = 6 1 2 𝟑−1 = 1 2 1 2 6 = 6 1 2 𝟒−1 = 0 Tener en cuenta que: lim 𝑛→+∞ 1 + 𝑘 𝑛 𝑛 = 𝑒𝑘 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Tomamos los limites por casos. lim 𝑛→+∞ 2𝑛 + 1 𝑛 + 1 = Ejercicio 3 Determine si la siguiente sucesión 𝑥𝑛 es convergente; tal que Resolución 𝑥𝑛 = 2𝑛 + 1 𝑛 + 1 ; si 𝑛 es par 2 + 1 3 𝑛 ; si 𝑛 es impar Si 𝑛 es par 2 lim 𝑛→+∞ 2 + 1 3 𝑛 =Si 𝑛 es impar 2 0 Como los límites son iguales (para los dos casos establecidos en la regla de correspondencia ), entonces el límite existe, por lo tanto la sucesión es convergente a 2 ∴ lim 𝑛→+∞ 𝑥𝑛 = 2 Si los limites; en cada caso; hubiera salido valores distintos, la sucesión no converge y se diría que tiene dos puntos límites C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Clases de sucesiones I. Sucesión acotada Una sucesión 𝑥𝑛 es acotada si existe dos números reales 𝑝 y 𝑞 tal que 𝑝 < 𝑥𝑛 < 𝑞 ∀ 𝑛 ∈ ℕ Ejemplos 1 𝑛 1. = 1 1 ; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; . . . ; ¿Es acotada? Si, porque 0 < 1 𝑛 < 2; ∀ 𝑛 ∈ ℕ Sen𝑛 𝑛≥12. = Sen1; Sen2; Sen3; Sen4; . . . ¿Es acotada? Si, porque −1 ≤ Sen𝑛 ≤ 1; ∀ 𝑛 ∈ ℕ 4. 𝑛2 = 12; 22; 32; 42; . . . ¿Es acotada? No; por que no es posible encontrar una cota superior; pero si tiene cota inferior 0 < 𝑛2; ∀ 𝑛 ∈ ℕ. 5. = −2;−4;−8;−16; . . .−2𝑛 𝑛∈ℕ ¿Es acotada? No; porque no es posible encontrar una cota inferior ; pero si es acotada superiormente −2𝑛 < −1; ∀ 𝑛 ∈ ℕ. (−1)𝑛+2 𝑛≥1 3. = 1; 3; 1; 3; . . . ¿Es acotada? Si, porque −2 < (−1)𝑛+2 < 7; ∀ 𝑛 ∈ ℕ Cota inferior Cota superior Nota • Para que una sucesión sea acotada, debe tener las dos cotas • Si una sucesión solo posee cota superior(inferior), se le llama acotada superiormente (inferiormente) • Las cotas; si existe; no son únicas C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A II. Sucesión monótona Una sucesión 𝑎𝑛 es monótona si es uno de los siguientes tipos: Sucesión Creciente Decreciente NO creciente NO decreciente Definición 𝒂𝟏 < 𝒂𝟐 < 𝒂𝟑 < 𝒂𝟒< . . . o 𝒂𝒏 < 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ 𝒂𝟏 > 𝒂𝟐 > 𝒂𝟑 > 𝒂𝟒> . . . o 𝒂𝒏 > 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ Ejemplo 𝑛2 = 12; 22; 32; 42; . . . 12 < 22 < 32 < 42 < . . . Es creciente porque, −3𝑛 = −3;−6;−9;−12; . . . −3 > −6 > −9 > −12 > . . . Es decreciente porque, 𝒂𝟏 ≥ 𝒂𝟐 ≥ 𝒂𝟑 ≥ 𝒂𝟒≥ . . . o 𝒂𝒏 ≥ 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ 2; 2; 5; 7; 7; 7; 8; . . . 2 ≤ 2 ≤ 5 ≤ 7 ≤ 7 ≤ 7 ≤ 8 ≤ . . . Es NO decreciente porque, 𝒂𝟏 ≤ 𝒂𝟐 ≤ 𝒂𝟑≤ 𝒂𝟒≤ . . . o 𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ 9; 5; 4; 4; 0;−2 . . . 9 ≥ 5 ≥ 4 ≥ 4 ≥ 0 ≥ −2 ≥ . . . Es NO creciente porque, C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Teoremas. Si una sucesión es acotada y monótona entonces la sucesión es convergente. 𝑥𝑛 = 1 𝑛 Ejemplo = 1 2 ; 1 22 ; 1 23 ; 1 24 ; … 1) Toda sucesión convergente es acotada2) 𝑏𝑛 = 1 2𝑛Ejemplo Lo contrario no necesariamente se cumple. −1 𝑛 𝑛 = 1 1 ;> 1 2 ;> 1 3 ;> 1 4 ; . . . es monótona 0 < 𝑥𝑛 < 2Y también es acotada ya que Entonces es convergente 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 = −1; 1 2 ;− 1 3 ; 1 4 ; … La sucesión es convergente y acotada, pero no monótona. lim 𝑥→+∞ 1 2𝑛 Notamos que = 0 entonces es acotada 0 < 𝑏𝑛 < 1 Lo contrario no necesariamente se cumple. −1 𝑛 Es acotada = −1; 1;−1; 1;… −2 < 𝑥𝑛< 2, pero no converge C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Teoremas. C U R S O D E Á L G E B R A Sea la sucesión 𝑎𝑛 que converge a 𝐿 ∈ ℝ, se cumple:3) Aplicación Se aplica principalmente cuando se tiene la relación de recurrencia. lim 𝑥→+∞ 𝑎𝑛 Si la sucesión convergente 𝑎𝑛 está definida por la forma recursiva 𝑎1 = 0 y 2𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 1. Determine el punto de convergencia de la sucesión. Resolución Aplicando el teorema tres, tomaremos limite a la forma recursiva. 2𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 1 lim 𝑥→+∞ 2𝑎𝑛+1 = lim 𝑥→+∞ 𝑎𝑛 + 1 2 lim 𝑥→+∞ 𝑎𝑛+1 = lim 𝑥→+∞ 𝑎𝑛 + 1 = 𝐿 + 1 𝐿 = 1 ∴ La sucesión converge a 1 2 𝐿 = ⋯ = 𝐿= lim 𝑥→+∞ 𝑎𝑛+2= lim 𝑥→+∞ 𝑎𝑛+1 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Observaciones adicionales C U R S O D E Á L G E B R A Existen sucesiones que no son monótonas • 𝑥𝑛 = −1 𝑛 Ejemplos = −1; 1;−1; 1;−1;… • Sea 𝑎𝑛 = 3𝑛 ; 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 3−𝑛; 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 entonces 𝑎𝑛 = 1 3 ; 9; 1 27 ; 81;… Existe un grupo de sucesiones llamadas alternantes y son aquellas que alternan los signos de sus términos.𝑥𝑛 = −2 𝑛 Ejemplos = −2; 4;−8; 16;−32;… = −1; 1 2 ;− 1 3 ; 1 4 ; …𝑎𝑛 = −1 𝑛 𝑛 Sucesiones constantes 𝑎𝑛 es constante ↔ 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℕ Ejemplos 𝑥𝑛 = 1 = 1; 1; 1; 1;… 𝑎𝑛 = −10 = −10;−10;−10;… w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
