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Álgebra P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Semestral intensivo virtual UNI Expresiones Irracionales C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Objetivos Definir bien las expresiones irracionales Resolver las ecuaciones irracionales Resolver las inecuaciones irracionales C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Debido a la curvatura de la Tierra, la distancia máxima que podemos ver, hacia el horizonte, desde lo alto de una torre, esta determinado por la expresión irracional siguiente Un modelo matemático es una representación simplificada, a través de ecuaciones, funciones o fórmulas matemáticas, de un fenómeno o de la relación entre dos o más variables, por ejemplo D = 2𝑅ℎ + ℎ2 D 𝑅 ℎ La distancia máxima que alcanzamos ver C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Conjunto de valores admisible (CVA) C U R S O D E Á L G E B R A Es el conjunto de valores reales que garantizan la existencia de las expresiones. Ejemplo: Determine el CVA, para cada caso • 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3 ∈ ℝ ↔ Recordar: 𝑃𝐴𝑅 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑎 ≥ 0 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅 𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑎 ∈ ℝ 𝑥 − 3 ≥ 0 ↔ 𝑥 ≥ 3 CVA = ሾ3; ۧ+∞ • 𝑔 𝑥 = 3 𝑥 − 4 4 𝑥 − 7 ∈ ℝ ↔ 𝑥 − 7 ≥ 0 ≠ 0 ∧ 𝑥 − 7 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≥ 7 ∧ 𝑥 ≠ 7 CVA = ;7ۦ ۧ+∞ • ℎ 𝑥 = 𝑥 + 1 + 4 5 − 𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑥 + 1 ≥ 0 ∧ 5 − 𝑥 ≥ 0 ↔ 𝑥 ≥ −1 ∧ 5 ≥ 𝑥 CVA = −1; 5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ecuaciones irracionales Son aquellas ecuaciones donde la variable forma parte del radicando, de alguna expresión irracional presente. Ejemplo: Resuelva la ecuación siguiente 𝑥 − 1 = 7 − 𝑥 Pasos a seguir para su resolución: C.V.A.: 𝑥 − 1 ∈ ℝ ↔ 𝑥 − 1 ≥ 0 ↔ 𝑥 ≥ 1 Sentido lógico a la igualdad 𝑥 − 1 = 7 − 𝑥 ≥ 0 → 7 − 𝑥 ≥ 0 → 7 ≥ 𝑥 Efectuamos las operaciones convenientes para eliminar los radicales 𝑥 − 1 = 7 − 𝑥 2 2 𝑥 − 1 = 𝑥2 − 14𝑥 + 49 0 = 𝑥2 − 15𝑥 + 50 𝑥 𝑥 −10 −5 0 = 𝑥 − 10 𝑥 − 5 𝑥 = 10 ∨ 𝑥 = 5 No cumple el sentido lógico de la igualdad Si cumple las condiciones anteriores (CVA y sentido lógico) ∴ 𝐶𝑆 = 5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Nota : Una forma práctica, de saber si un valor de 𝒙 es solución de la ecuación, es comprobar si cumple la ecuación y en muchas ocasiones no es necesario determinar el CVA o sentido lógico. Ejemplo: Resuelva la ecuación siguiente 3 + 2𝑥 − 𝑥2 = 3𝑥 − 1 Resolución : 3 + 2𝑥 − 𝑥2 = 3𝑥 − 1 2 2 3 + 2𝑥 − 𝑥2 = 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 0 = 10𝑥2 − 8𝑥 − 2 5𝑥 2𝑥 1 −2 0 = 5𝑥 + 1 2𝑥 − 2 𝑥 = −1/5 ∨ 𝑥 = 1 Comprobando si los valores de 𝑥 son soluciones, para ello reemplazaremos en la ecuación 3 + 2 𝑥 − 𝑥 2 = 3 𝑥 − 1Si 𝑥 = −1/5 : 64/25 = −8/5 No cumple la igualdad Si 𝑥 = 1 : 4 = 2 Si cumple la igualdad ∴ 𝐶𝑆 = 1 3 + 2 𝑥 − 𝑥 2 = 3 𝑥 − 1 −1/5 −1/5 −1/5 1 1 1 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Inecuaciones irracionales Son aquellas inecuaciones donde la variable forma parte del radicando, de alguna expresión irracional presente. Ejemplo: Resuelva la inecuación siguiente 𝑥 + 12 ≤ 8 − 𝑥 Pasos a seguir para su resolución: C.V.A.: 𝑥 + 12 ∈ ℝ ↔ 𝑥 + 12 ≥ 0 ↔ 𝑥 ≥ −12 Sentido lógico a la desigualdad 𝑥 + 12 ≤ 8 − 𝑥 ≥ 0 → 8 − 𝑥 ≥ 0 → 8 ≥ 𝑥 Efectuamos las operaciones convenientes para eliminar los radicales y finalmente intersectamos con los resultados anteriores 𝑥 + 12 ≤ 8 − 𝑥 2 2 𝑥 + 12 ≤ 𝑥2 − 16𝑥 + 64 0 ≤ 𝑥2 − 17𝑥 + 52 𝑥 𝑥 −13 −4 0 ≤ 𝑥 − 13 𝑥 − 4 Puntos Críticos: 4 ; 13 4 13 +−+ Intersectamos : 4 13−12 CVA 8 Sentido lógico ∴ 𝐶𝑆 = −12; 4 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Observación : Hay ejercicios que es conveniente hacer cambio de variable y así se evita analizar por casos, cuando queremos elevar al cuadrado Ejemplo: Resuelva la inecuación siguiente 𝑥 − 8 < 𝑥 − 2 Resolución : C.V.A.: 𝑥 − 2 ∈ ℝ ↔ 𝑥 − 2 ≥ 0 ↔ 𝑥 ≥ 2 Sentido lógico a la desigualdad 𝑥 − 8 < 𝑥 − 2 ≥ 0 → No necesariamente debe ser positivo 𝑥 − 8 Por ese motivo no podemos elevar al cuadrado de forma directa, se debe analizar por casos (𝑥 − 8 ≥ 0 ∨ 𝑥 − 8 < 0) Realizamos convenientemente el cambio 𝑥 − 2 = 𝑡 ↔ 𝑥 = 𝑡2 + 2 reemplazando en la inecuación se tiene 𝑡2 − 6 < 𝑡 ↔ 𝑡2−𝑡 − 6 < 0 ↔ 𝑡 − 3 𝑡 + 2 < 0 ↔ 𝑥 − 2 − 3 𝑥 − 2 + 2 < 0 ≥ 0 ↔ 𝑥 − 2 − 3 < 0 ↔ 𝑥 − 2 < 3 ↔ 𝑥 − 2 < 9 ↔ 𝑥 < 11 Intersectando con el CVA se obtiene: ∴ 𝐶𝑆 = ሾ2; ۧ11 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Conclusiones Para resolver una ecuación irracional 1° CVA 2° Sentido lógico a la igualdad 3° Efectuamos las operaciones convenientes para reducir los radicales. Otra opción 1° Efectuamos las operaciones convenientes para reducir los radicales 2° comprobamos si son soluciones, reemplazando en la ecuación. Para resolver una inecuación irracional 1° CVA 2° Sentido lógico a la desigualdad 3° Efectuamos las operaciones convenientes para reducir los radicales y se intersecta con las condiciones anteriores. En algunos casos Realizamos un cambio de variable convenientemente. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
