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ÁLGEBRA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Intensivo UNI Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca Valor absoluto Irracionales Semana 05 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Objetivos: ✓ Conocer las expresiones con valor absoluto e irracionales. ✓ Resolver eficientemente las ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto e irracionales. ✓ Desarrollar destrezas en la resolución de problemas tipo referidos al tema. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A I) Introducción II) Valor Absoluto III) Ecuación e inecuación con valor absoluto IV) Expresiones irracionales V) Ecuación e inecuación irracional VI) Problemas diversos Índice C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Toda las mediciones realizadas siempre están acompañadas por un margen de error o incertidumbre. Se define error a la incertidumbre de una medida, que se manifiesta durante una experiencia. También podemos definir como fluctuación de la medida hecha con relación al valor verdadero. ERROR EN LAS MEDICIONES 𝜀 𝑥 = 𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑉𝑚𝑒𝑑 𝜀 𝑥 : Error al medir 𝑥 𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙 : Valor real 𝑉𝑚𝑒𝑑 : Valor medido El valor verdadero o real se encuentra dentro de los límites indicados 𝑥 − 𝜀 𝑥 < 𝑥 < 𝑥 + 𝜀 𝑥 Límite inferior Límite superior Valor Absoluto C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real 𝑥 denotado por 𝑥 se define de la siguiente manera Ejemplo • 5 = 5 • −2 = • − 7 = − − 7 = 2− −2 • 0 = 0 = 7 𝑥 = ൞ 𝑥 , 𝑥 > 0 0 , 𝑥 = 0 −𝑥 , 𝑥 < 0 𝑥 En forma práctica, las barras se eliminan.positivo = 𝑥ሼ 𝑥 En forma práctica, le cambiamos de signo.negativo = −𝑥ሼ • 𝑥2 + 1 • 2𝑥2 − 3𝑥 + 4 • 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 siempre positivo siempre negativo = 𝑥2 + 1 = 2 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 4 𝑥2≥ 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1 → −3 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 ≤ −1 Como → 𝑥2 + 1≥ 1 Como • ∆ = −3 2 − 4 2 4 ∆ = siempre positivo −23 < 0 • Coef. princ. = 2 > 0 Por el Teorema del trinomio Positivo: • 𝑥 + 3 siempre positivo = 𝑥 + 3 𝑥 ≥ 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝComo → 𝑥 + 3≥ 3 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Observación También se puede definir 𝑥 como: 𝑥 = 𝑚á𝑥 𝑥 ;−𝑥 Ejemplos • 3 = 𝑚á𝑥 3;−3 = 3 • −3 =𝑚á𝑥 −3; 3 = 3 ¡ Importante! 0 3−3 3 unidades3 unidades 3 = 3−3 = 3 Nota La distancia entre 𝑎 y 𝑏 (números reales) en la recta numérica se calcula por: 𝑑 𝑎; 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 Ejemplo • La distancia entre − 5 y 3 es: 3−5 𝑑 unidades 𝑑 −5; 3 = −5 − 3 = −8 = 8 El 𝑥 representa la distancia en la recta numérica de 𝑥 al 0. • La distancia entre 2𝑥 − 3 y 𝑥2 es: 𝑑 2𝑥 − 3; 𝑥2 = 2𝑥 − 3 − 𝑥2 = −𝑥2 + 2𝑥 − 3 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A PROPIEDADES Sean 𝑥, 𝑦 números reales: 𝑥 ≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ • 2𝑥 + 5 • 4 − 𝑥 𝟏. ≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ −𝑥 • −6 • 3 − 𝑥 𝟐. = 6 = − 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 = 𝑥 Consecuencia: 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎 • 2 − 5𝑥 = 5𝑥 − 2 𝑥 2 • 𝑥 − 6 2 • 7𝑥 − 3 2 𝟓. = 𝑥2 = 𝑥2 = 𝑥 − 6 2 = 7𝑥 − 3 2 𝑥2 • −4 2 • 𝑥 + 3 2 𝟔. 2𝑛 𝑥2𝑛 = 𝑥En general: • 4 𝑥 − 7 4 = 𝑥 = −4 = 4 = 𝑥 + 3 = 𝑥 − 7 𝑥𝑦𝟑. • −5𝑥 • 8𝑥 − 12 = 𝑥 . 𝑦 = −5 . 𝑥 = 5 𝑥 = 4 2𝑥 − 3 = 4 2𝑥 − 3 𝑥 𝑦 𝟒. −3 𝑥 − 6• ; 𝑦 ≠ 0= 𝑥 𝑦 = −3 𝑥 − 6 Ejemplos Ejemplos Ejemplos Ejemplos = 4𝑥 + 1 5𝑥 − 3 • 4𝑥 + 1 5𝑥 − 3 = 3 𝑥 − 6 Ejemplos Ejemplos ≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ Ecuaciones con valor absoluto C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A ECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO Son ecuaciones en donde la incógnita se encuentra afectada por el valor absoluto. • 2𝑥 − 3 = 5 • 6 − 𝑥 + 𝑥 − 2 = 10 Ejemplos • 𝑥 − 2 = 2𝑥 + 1 RESOLUCIÓN Tenga en cuenta los siguientes 3 teoremas Teorema 1 𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎 Ejercicios → 3𝑥 − 7 = 5 ∨ 3𝑥 − 7 = −5 → 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = 2 3 ∴ CS = 4; 2 3 • 𝑥 + 3 = 2𝑥 + 5 Resolución Resolver 3𝑥 − 7 = 5 3𝑥 − 7 = 5Tenemos: Resolver 𝑥 + 2 = 2𝑥 − 3 Resolución → 2𝑥 − 3 ≥ 0 ∨ 𝑥 + 2 = −2𝑥 + 3 → 𝑥 ≥ 3 2 ∨ 𝑥 = 1 3 ∴ CS = 5 𝑥 + 2 = 2𝑥 − 3Tenemos: ∧ 𝑥 + 2 = 2𝑥 − 3 ∧ 𝑥 = 5 No cumple C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧 • 𝑥 = −1 • 3𝑥 − 7 = −3 Las siguientes ecuaciones: son incompatibles 𝒙 ≥ 𝟎 ; ∀ 𝒙 ∈ ℝy CS = ∅, pues Teorema 2 𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎 Ejercicio Resolver 𝑥2 − 6𝑥 − 4 = 𝑥 + 4 → 𝑥2 − 6𝑥 − 4 = 𝑥 + 4 ∨ 𝑥2 − 6𝑥 − 4 = −𝑥 − 4 → 𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 8 ∴ CS = −1; 8; 0; 5 Resolución 𝑥2 − 6𝑥 − 4 = 𝑥 + 4Tenemos: → 𝑥2 − 7𝑥 − 8 = 0 ∨ 𝑥2 − 5𝑥 = 0 → 𝑥 + 1 𝑥 − 8 = 0 ∨ 𝑥 𝑥 − 5 = 0 𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 3 𝑥 = 𝑥 ↔ 𝑥 ≥ 0 𝑥 = −𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 0 Ejercicio Resolver 2𝑥 − 8 = 8 − 2𝑥 Resolución 2𝑥 − 8 = 8 − 2𝑥 → 2𝑥 − 8 ≤ 0 → 𝑥 ≤ 4 ∴ CS = ۦ ሿ−∞;4 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 5 Inecuaciones con valor absoluto C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Son inecuaciones en donde la incógnita se encuentra afectada por el valor absoluto. • 𝑥 − 7 ≤ 3 Ejemplos RESOLUCIÓN Tenga en cuenta los siguientes 4 teoremas Teorema 1 𝑥 < 𝑎 ↔ 𝑎 > 0 ∧ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 Ejercicios → −7 < 2𝑥 − 3 < 7 ∴ CS = −2; 5 • 2𝑥 + 1 > 𝑥 + 3 Resolución Resolver 2𝑥 − 3 < 7 2𝑥 − 3 < 7Tenemos: Resolver 2𝑥 − 11 ≤ 7 − 𝑥 Resolución → 7 − 𝑥 ≥ 0 Aplicando el teorema:: ∧ −7 + 𝑥 ≤ 2𝑥 − 11 ≤ 7 − 𝑥 𝑥 ≤ 𝑎 ↔ 𝑎 ≥ 0 ∧ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 → −4 < 2𝑥 < 10 → −2 < 𝑥 < 5 → 7 ≥ 𝑥 ∧ −7 + 𝑥 ≤ 2𝑥 −11 ∧ 2𝑥 − 11 ≤ 7 − 𝑥 4 ≤ 𝑥 𝑥 ≤ 6 +∞−∞ 4 76 ∴ CS = 4; 6 → 7 ≥ 𝑥 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Teorema 2 𝑥 > 𝑎 ↔ 𝑥 > 𝑎 ∨ 𝑥 < −𝑎 Ejercicios Resolver: 2𝑥 − 5 ≥ 7 − 𝑥 𝑥 ≥ 𝑎 ↔ 𝑥 ≥ 𝑎 ∨ 𝑥 ≤ −𝑎 Resolución → 2𝑥 − 5 ≥ 7 − 𝑥 Aplicando el teorema:: ∨ 2𝑥 − 5 ≤ −7 + 𝑥 +∞−∞ 4−2 → 3𝑥 ≥ 12 ∨ 𝑥 ≤ −2 → 𝑥 ≥ 4 ∴ CS = ۦ ሿ−∞;−2 ∪ ሾ ۧ4;+∞ Teorema 3 𝑥 ≶ 𝑦 ↔ 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 ≶ 0 Ejercicios Resolver: 2𝑥 − 5 < 𝑥 − 4 Resolución → 2𝑥 − 5 + 𝑥 − 4 Aplicando el teorema:: ∴ CS = 1; 3 Mantener mismo símbolo → 3𝑥 − 9 𝑥 − 1 < 0 ++ − 31 < 02𝑥 − 5 − 𝑥 − 4 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Teorema 4 Ejercicios Resolver 2𝑥 − 5 ≤ 𝑥 − 3 + 𝑥 − 2 Resolución Corolario 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 ↔ Ejercicios Resolver 3𝑥 − 5 < 𝑥 − 1 + 2𝑥 − 4 𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 𝑏 ↔ Resolución Observación • 𝑥 < 0 • 3𝑥 − 2 ≤ −5 Hay inecuaciones sin solución → CS = ∅ → CS = ∅ • 5𝑥 − 9 > −2 • 5𝑥 + 3 ≥ 0 Hay inecuaciones que siempre se cumplen → CS = ℝ → CS = ℝ (Desigualdad triangular) Para todo 𝑎; 𝑏 números reales, se cumple: 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 2𝑥 − 5 ≤ 𝑥 − 3 + 𝑥 − 2 𝑎 𝑏𝑎 + 𝑏 Tenemos: se cumple para todo 𝑥 reales ∴ CS = ℝ 𝑎𝑏 ≥ 0 𝑎𝑏 < 0 𝑎 𝑏𝑎 + 𝑏 se cumple si 𝑥 − 1 2𝑥 − 4 < 0 ++ − 21 ∴ CS = 1; 2 Expresiones irracionales C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R AC U R S O D E Á L G E B R A EXPRESIONES IRRACIONALES Son expresiones matemáticas donde al menos una de sus variables está afectada por algún radical. 𝑎) 𝑃 𝑥 = 𝑥 + 1 + 𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑏) 𝑄 𝑥 = −𝑥 + 1 𝑥 CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (C.V.A.) Es el conjunto de valores que puede tomar la variable de la expresión matemática y que garantice su buena definición en ℝ. 𝑀(𝑥) 𝑁(𝑥) ∈ ℝ 𝑝𝑎𝑟 𝑁(𝑥) ∈ ℝ → 𝑁(𝑥) → 𝑁 𝑥 ≠ 0 ≥ 0 𝑥 − 4 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 4 2𝑥 + 6 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −3 +∞−∞ −3 4 𝐶. 𝑉. 𝐴 = ሾ−3; ۧ+∞ − 4 Ejemplos Halle el C.V.A. de la expresión: 𝑃 𝑥 = 2𝑥 + 6 + 3 −𝑥 + 2 𝑥 − 4 Resolución Ejercicio La expresión matemática 𝑃 𝑥 esta bien definida en ℝ si: ∧ ∧ Ecuaciones irracionales C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A ECUACIONES IRRACIONALES Son ecuaciones en la cual se encuentran expresiones irracionales. RESOLUCIÓN Ejemplos Resuelva: 8 − 𝑥2= 3𝑥 − 4 Resolución Ejercicio 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 13∗ ∗ 𝑥 − 2 = 𝑥 + 2 + 3 𝑥 + 1 1) Elimine los radicales (use la potenciación y/o el cambio de variable). 2) Resuelva la ecuación resultante. 3) Los valores encontrados serán solución si verifican la ecuación inicial (verifique), y finalmente indique el conjunto solución. 8 − 𝑥2 = 3𝑥 − 4 𝟐 𝟐 8 − 𝑥2 = 9𝑥2 − 24𝑥 + 16 0 = 10𝑥2 − 24𝑥 + 8 1) 2) 0 = 5𝑥 − 2 2𝑥 − 4 𝑥 = 2 5 𝑥 = 2 NO verifica la ecuación, no es solución SI verifica la ecuación, si es solución ∨ 3) ∴ CS = 2 Las ecuaciones irracionales se resuelven en ℝ. Nota: Inecuaciones irracionales C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A INECUACIONES IRRACIONALES Son inecuaciones en la cual se encuentran expresiones irracionales. RESOLUCIÓN Ejemplos Resuelva: 𝑥 + 2 < 3 Resolución Ejercicio 𝑥 − 1 ≥ 2𝑥 − 3∗ ∗ 𝑥 + 1 < 3 𝑥3 + 1 1) Halle el 𝐶𝑉𝐴. 2) Elimine los radicales (use potenciación y/o cambio de variable), resuelva la inecuación resultante generando el conjunto solución parcial 𝑆𝑝. 3) 𝐶. 𝑆. = 𝐶𝑉𝐴 ∩ 𝑆𝑝 . 1) 2) 3) 𝑥 + 2 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −2 𝐶. 𝑉. 𝐴.= ሾ ۧ−2:+∞ 𝑥 + 2 < 3 2 2 → 𝑥 + 2 < 9 𝑥 < 7 𝑆𝑝 = −∞;7 → +∞−∞ −2 (𝐶𝑉𝐴) (𝑆𝑝) 7 → 𝐶. 𝑆 = ሾ ۧ−2: 7 𝑝𝑎𝑟 ℎ 𝑥 < 𝑞 𝑥 garantizar 𝑞 𝑥 > 0 Nota 𝑝𝑎𝑟 ℎ 𝑥 ≤ 𝑞 𝑥 garantizar 𝑞 𝑥 ≥ 0 En inecuaciones de la forma w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
