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Semana N° 04 Torque Asignatura: Física Docente: Eberardo Osorio Rojas Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo Semestre Académico 2024 Momento o Torque Universidad Nacional Federico Villarreal MOMENTO DE UNA FUERZA Se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento. MOMENTO DE UNA FUERZA Concepto.- Magnitud vectorial, indica la tendencia a la rotación que provoca una fuerza sobre un cuerpo rígido respecto a un punto “centro de rotación” F d 0 Centro de rotación M M = Momento de la fuerza F Se define como: M = d F Donde: F = fuerza aplicada d = Brazo de palanca Unidades de M : N.m Universidad Nacional Federico Villarreal MOMENTO DE UNA FUERZA Convención: La dirección del vector M, por convención es perpendicular al plano de rotación y su sentido queda determinado por la “regla de la mano derecha”. Dicho vector se considera aplicado sobre el eje de rotación en el punto denominado “Centro de rotación”. a). M0F es (+) cuando F produce “rotación antihoraria”. B). M0F es (-) Cuando produce “rotación horaria” d F M0F (+) 0 0 d F M0F (-) Rotación antihoraria Rotación horaria Universidad Nacional Federico Villarreal SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO “El vector momento resultante de todas las fuerzas actuantes sobre un cuerpo, respecto de cualquier eje de rotación, debe ser cero” Mtotal= M0F1 + M0F2 + +M0F3 = 0 Mtotal = F1d1 + F2d2 – F3d3 = 0 F1 F2 F3 d1 d2 d3 M0F1 M0F2 M0F3 eje Universidad Nacional Federico Villarreal MOMENTO DE UNA FUERZA El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector de posición OP por el vector fuerza F; esto es El momento es un vector perpendicular al plano de r y F. La magnitud del momento esta dado por El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano derecha. Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz. INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto. El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO El momento de la fuerza respecto a O es Ejemplo Se aplica una fuerza vertical de 100 N al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Longitud de la barra OA, punto aplicación F(-j) en A inclinada 24m , Dirección 60° con el eje x . Determine: (a) el momento de la fuerza de 100 N con respecto al punto O, (b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O. Determinar la fuerza horizontal. x Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 Nw se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha d=24.cos60° Parte (b) Calcular fuerza=? que aplicada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente d=24.sen60° Ejemplo La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y por un alambre CD. Conociendo que la tensión en el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial x x A(0, 0, 0.32) C (0.3, 0, 0.4) D( 0, 0.24, 0.08) - (0, 0, 0.32) +0j+0.08k) D-C= ( 0, 0.24, 0.08) - (0.3, 0, 0.4) D-C= -0.3i + 0.24j – 0.32k +0j+0.08k) x x -(0, 0, 0.32) +0j+0.08k) D-C= ( 0, 0.24, 0.08) - (0.3, 0, 0.4) D-C= -0.3i + 0.24j – 0.32k -120i + 96j – 128k Ma= ( -7.7 i + 28.8 j +28.8 k) Nm -120i + 96j – 128k +0j+0.08k) - j + k(0.3(96)) 2.- Una viga uniforme AB tiene 4 m de largo y pesa 100 N. Un hombre de 75 N está situado a 1 m del apoyo A. Calcular las reacciones en los apoyos A y B. Ra Rb 4m 100 N 75 N 2m Universidad Nacional Federico Villarreal 2.- Una viga uniforme AB tiene 4 m de largo y pesa 100 N. Un hombre de 75 N está situado a 1 m del apoyo A. Calcular las reacciones en los apoyos A y B. Problema 2 Ra Rb 4m 100 N 75 N 2m Ra + Rb -100N – 75 N = 0 Rb= 68.75 N Ra= 106.25 N Universidad Nacional Federico Villarreal Solución problema 2 Al aplicar la fuerza F sobre el extremo B el momento aplicado es el producto de la fuerza por su brazo Fd. SENTIDO ANTIHORARIO (signo +). La resultante es nula FA+FB=75+100 El momento respecto de A es nulo FA*0 -75 *1-100*2+FB*4=0 A B 1 m 3 m 2 m Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución es FB=68.7 N FA=106.3 N Universidad Nacional Federico Villarreal MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN Sabemos que el momento de la fuerza F respecto al punto O. El momento de la fuerza F con respecto al eje OL es la proyección ortogonal de Mo sobre el eje OL. El momento MOL de F alrededor del eje OL mide la tendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígido rotación alrededor del eje OL Sobre un cubo de arista a actúa una fuerza P cuya dirección es FC. Determine el momento de P uFC: (a) con respecto a A, A(0,a,a) F(a,0,a) C(a ,a,0) x y z 21 Moment of P about A, A(0,a,a) F(a,0,a) C(a ,a,0) (0,a,a) (a,0,a) (a ,a,0) 22 - } PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es decir: CUPLA O PAR DE FUERZAS La cupla o par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas F y – F que tiene la misma magnitud, líneas de acción paralelas pero de sentidos opuestos. El momento de la cupla es, El vector momento de la cupla es un vector independiente del origen o es decir es un vector libre perpendicular al plano que contiene la fuerzas DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la cupla y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha Ejemplo Calcular el Momento respecto al punto B de la fuerza de 350 N. Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas 0.3, 0, 0) Ejemplo Calcular el Momento respecto al punto B de la fuerza de 350 N. Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas F= 350cos40° i- 350sen40° j) r = 0.1i + 0.25j + 0k C(0.4 , 0.25, 0 ) (0.3, 0, 0) r C(0.4,0.25) B(0.3,0) F=350(cos40i - sen40j) La fuerza F tiene mayor tendencia a la rotación alrededor de O cuando aumenta F y cuando aumenta el brazo de momento la componente tiende hacer girar la llave alrededor de O Considere la llave de tuercas que hace pívot en el eje que pasa por O ( ver figura). La fuerza aplicada F actúa a un ángulo Φ con respecto a la horizontal. Definimos la magnitud del momento de torsión asociado con la fuerza F por la expresión: Donde r es la distancia entre el punto del pívot y el punto de aplicación de F y d es la distancia perpendicular desde el punto de pívot a la línea de acción de F Universidad Nacional Federico Villarreal Entoncespodemos decir que: El momento de fuerzas, , es la tendencia de una fuerza a hacer rotar un objeto alrededor de algún eje El momento de fuerzas es un vector Algebraicamente, Donde: F es la Fuerza r es el brazo de aplicación …………( 1 ) Universidad Nacional Federico Villarreal La forma sencilla de calcular esta expresión algebraica es como sigue: Ejemplo.- Calcular el torque respecto al origen, producido por una fuerza F = (4i - 5j) N, que se aplica a un objeto en la posición r = (2i + j) m. Solución: Aplicando la definición de producto vectorial, se obtiene: Universidad Nacional Federico Villarreal Es necesario tener en cuenta los signos para el cálculo del momento de una fuerza, tal como se muestra: OBSERVACIÓN: “F” no producirá rotación en la barra respecto al punto “0” ya que su línea de acción pasa por el punto (0). Entonces d = 0 y . Universidad Nacional Federico Villarreal Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación respecto a un punto, si la suma de momentos respecto a ese punto es cero. El caso más común de Equilibrio de Rotación es cuando un cuerpo no experimenta giros. Como la barra no gira; se puede aplicar la 2da. condición de equilibrio, tomando como centro de momento el punto 0 O sea que: Como Entonces: Universidad Nacional Federico Villarreal MOMENTO DE FUERZAS NETO Si dos o mas fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido (ver figura) cada una tiende a producir rotación alrededor del eje en O. En este ejeplo F2 tiende a hacer rotar el cuerpo en el sentido de giro de las manecillas de un reloj, y F1 tiene a hacerlo rotar en sentido contrario Aquí observamos que F1 tiene un brazo de momento d1 , entonces el torque es positivo + F1.d1 ya que F1 hace que tienda a girar en el sentido contrario alas manecillas del reloj, de manera análoga - F2.d2. Por lo tanto el momento de torsión neto alrededor del eje O es: Universidad Nacional Federico Villarreal TEOREMA DE VARIGNON El Teorema de Varignon es un teorema descubierto por primera vez por el matemático neerlandés Simon Stevin a principios del siglo XVII, pero que debe su actual forma al matemático francés Pierre Varignon (1654-1722), quien lo enunció en 1724 en su tratado Nouvelle mécanicque, como resultado de un estudio geométrico en el que, en contra de la opinión de los matemáticos franceses de su época, decidió trasladar las ideas expuestas por Newton a la notación y al enfoque que sobre el análisis daba Leibniz El momento resultante sobre un sistema de fuerzas es igual a la suma vectorial de los momentos de las fuerzas aplicadas, si éstas son concurrentes." O F1 F2 F3 F4 Equivalente a: O FR X X1 X2 X3 X4 FR= Suma vectorial de toda las fuerzas X= Distancia a la cual se ubica la fuerza que FR Universidad Nacional Federico Villarreal Una barra de longitud 2 m y 100 Kg de peso está sostenida por una soga que forma un ángulo alfa de 30˚ como indica la figura. Calcular la tensión de la cuerda y el valor de las reacciones en el apoyo A. Suponer que el peso de la barra está aplicado en el centro de la misma. Planteo las tres condiciones de equilibrio : ∑Fx = 0 , ∑Fy = 0 , ∑Mó = 0 . El centro de momentos ( punto O ) puede ser cualquier punto. En general conviene elegirlo de manera que anule alguna incógnita. En este caso me conviene tomar el punto A. Universidad Nacional Federico Villarreal ∑Fx = 0 Rh – Tc . cos = 0 ∑Fy = 0 Rv + Tc . sen - P = 0 ∑MA = 0 - P . L/2 + Tc . sen . L = 0 Reemplazando por los datos: Rh – Tc . cos 30 = 0 Rv + Tc . sen 30 – 100 kgf = 0 -100 kgf . 2m / 2 + Tc . sen 30 . 2 m = 0 De la última ecuación despejo TC : TC = 100 kgf Reemplazando TC en las otras ecuaciones calculo las reacciones horizontal y vertical en el punto A : RHA = 86,6 kgf RVA = 50 kgf L Universidad Nacional Federico Villarreal CUPLA O PAR DE FUERZAS Un par de fuerzas es un sistema de dos fuerzas paralelas, de igual intensidad y de sentidos contrarios, que produce un movimiento de rotación. Aunque la resultante de las fuerzas del par es nula (R = F1 – F2 = 0), sin embargo, los momentos de cada fuerza del par, con respecto al punto E, suman su capacidad de producir un giro, por ello el efecto de un par de fuerzas es producir una rotación. El volante de un carro es una aplicación práctica de un par de fuerzas. También lo son las regaderas que se usan en los jardines para regar el césped. Universidad Nacional Federico Villarreal El valor del momento de un par de fuerzas es igual al producto de una de las fuerzas por la distancia que las separa: M = Fd. La distancia que separa las fuerzas recibe el nombre de brazo del par Ejemplo: Calcula el valor del momento de una par de fuerzas cuya intensidad es 5N si el brazo del par es 2m. Solución: M = Fd = 5N2m = 10Nm Universidad Nacional Federico Villarreal SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS Y EN EL MISMO SENTIDO. La resultante (R) de dos fuerzas paralelas (F1 y F2) que actúan en el mismo sentido tiene las siguientes características: Su intensidad es la suma de las intensidades de las componentes. Su dirección y sentido son los mismos que los de los componentes. Su punto de aplicación se encuentra en la línea que une los puntos de aplicación de las componentes y más cerca de la fuerza mayor. Se cumple la siguiente relación: F1d1 = F2d2 Universidad Nacional Federico Villarreal CENTRO DE GRAVEDAD Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad o centroide es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular. El centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. Universidad Nacional Federico Villarreal Cálculo del CG, de un cuerpo El objeto mostrado se divide en muchas partes Pequeñas, cada porción con sus respectivas coordenadas Observamos 5 pequeñas porciones de las múltiples que existen con sus (Xi , Yi), entonces el cálculo de su (XG , YG), Será: Universidad Nacional Federico Villarreal Universidad Nacional Federico Villarreal Una tabla de longitud 6.0 m y masa M = 90 kg está sobre dos caballetes Separados por D = 1.5 m, situados a distancias iguales del centro de la tabla. El niño Tito trata de pararse en el extremo derecho del mismo. Cual será la masa del niño para que no caiga, sabiendo que el C:g del sistema esta a D/2 del origen. 0.75m X M = Masa tabla m= masa niño Universidad Nacional Federico Villarreal 46 Paso 1: Identificar las masas que participan y las ubicaciones respectivamente En este caso M masa de la tabla y m la masa del niño ubicados en el eje Horizontal con X= 0 y = l/2 respectivamente Paso 2: la ordenada del CG es 0 F1 F2 F3 A B C F1= 45 N F3 = 96 N F2 = 87 N Masa varilla = 65Kg AB= AC/3 Calcular el momento respecto al punto A. 0 10 20 10 20 x y ¡Gracias! Universidad Nacional Federico Villarreal image1.jpeg image2.jpeg image3.png image4.png image5.png image6.png image7.png image8.gif image9.png image10.png image11.png oleObject1.bin image12.wmf ( ) ( ) ( ) 12m. N 100 m 12 60 cos . 24 = = ° = = O O M m d Fd M oleObject2.bin image13.wmf Nm 1200 = O M oleObject3.bin image14.wmf ( ) ( ) m. 8 . 20 m. N 1200 m. 8 . 20 Nm. 1200 m 8 . 20 60 sin m. 24 × = = = = ° = F F Fd M d O oleObject4.bin image15.wmf N 7 . 57 = F image16.png image17.jpeg image18.png image19.jpeg oleObject5.bin image20.wmf F r M A C A r r r ´ =image21.png image22.png image23.png image24.png image25.png image26.png image27.png oleObject6.bin image21.wmf 128 96 120 08 . 0 0 3 . 0 - - = k j i M A r r r r image28.png image30.png image31.png image29.png image33.png image32.png image34.png oleObject7.bin image35.wmf ( ) ( ) 0 ˆˆˆˆ ... OL MMrF llll éù == ëû rrr r image36.jpeg image37.jpeg image38.jpeg image40.png oleObject8.bin image39.wmf 1 1 0 0 2 - - = a a k j i P M A r r r r image42.png image43.png image41.png image44.png image45.png image46.jpeg image47.jpeg image48.jpeg image49.png image50.png image52.png image51.png image52.wmf image53.png image54.wmf image55.png image56.wmf oleObject9.bin image57.wmf ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ x y x z y z yF xF k zF xF j zF yF i - + - - - = t r image58.wmf image59.png image60.jpeg image61.jpeg image62.jpeg oleObject10.bin image63.wmf 0 0 = F M image68.wmf ( ) g F T g F T M M M M M 0 0 0 0 0 0 - = - + + = S oleObject15.bin image69.wmf T g F M M 0 0 = image64.jpeg oleObject11.bin image65.wmf 0 0 = S M oleObject12.bin image66.wmf T g F R M M M M 0 0 0 0 + + = S oleObject13.bin image67.wmf 0 0 = R M oleObject14.bin image70.png image71.wmf image72.png image73.png image74.png image75.png image76.png image77.png image78.png oleObject16.bin image79.wmf mn m m m mnXn X m X m X m Mi i MiX Xg i + + + + + + + = = å å .... 3 2 1 ...... 3 3 2 2 1 1 oleObject17.bin image80.wmf mn m m m mnYn Y m Y m Y m Mi i MiY Yg i + + + + + + + = = å å .... 3 2 1 ...... 3 3 2 2 1 1 image81.png oleObject18.bin oleObject19.bin image82.wmf m m m 25 . 2 5 . 67 ) 3 ( 5 . 67 75 . 0 = = + oleObject20.bin image83.wmf M m X M X m Xg + + = 2 . 1 . oleObject21.bin image84.wmf . 30 kg m = oleObject22.bin image85.wmf 90 ) 0 ( 90 ) 3 ( 75 . 0 + + = m m image86.png image87.gif
