Vista previa del material en texto
Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 1: Magnitudes Físicas. Errores de Medición ¿Qué es la Física?: Física es un término que proviene del griego phisis y que significa “realidad” o “naturaleza”. Se trata de la ciencia que estudia las propiedades de la naturaleza con la asistencia del lenguaje matemático. La física se encarga de las propiedades de la materia, la energía, el tiempo y sus interacciones. Esta ciencia no es sólo teórica: también es una ciencia experimental. Sus conclusiones pueden ser verificadas mediante experimentos. Además sus teorías permiten realizar predicciones acerca de los experimentos futuros. La física es considerada como una ciencia fundamental o central. Esta ciencia se encarga desde la descripción de partículas microscópicas hasta del nacimiento de las estrellas en el universo, por ejemplo. Magnitudes y Cantidades Físicas: Una magnitud física es una propiedad o cualidad medible de un objeto o sistema físico, es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición. Las magnitudes físicas se cuantifican usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón. Las leyes de la física se expresan en función de cantidades fundamentales: longitud, masa y tiempo. La física es experimental, por ello los fenómenos observados deben ser medidos. Para medir una cantidad física se la compara con una unidad patrón adoptada convencionalmente. El resultado de una medición debe expresarse con un valor numérico y el símbolo de la unidad. Sistema de Unidades: Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades: Sistema Internacional de Unidades (SI): es el sistema más usado. Sus unidades básicas son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela y el mol. Las demás unidades son derivadas del Sistema Internacional. Sistema métrico decimal: primer sistema unificado de medidas. Sistema cegesimal (CGS): denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, el gramo y el segundo. Sistema Natural: en el cual las unidades se escogen de forma que ciertas constantes físicas valgan exactamente 1. Sistema técnico de unidades: derivado del sistema métrico con unidades del anterior. Este sistema está en desuso. Sistema anglosajón de unidades: aún utilizado en algunos países anglosajones. Muchos de ellos lo están reemplazando por el Sistema Internacional de Unidades. El sistema adoptado internacionalmente es el S.I. (Sistema Internacional) que tiene siete unidades básicas. Longitud: m (metro) Masa: kg (kilogramo) Tiempo: s (segundo) Temperatura: K (kelvin) Cantidad de sustancia: mol Corriente eléctrica: A (Ampere) Intensidad lumínica: Cd (Candela) Otras cantidades físicas como el volumen, fuerza, densidad, superficie, presión, etc. Se expresan en función de las anteriores y se llaman cantidades derivadas y sus unidades derivadas (N, Pa, Watt, Joule, etc.) http://definicion.de/ciencia http://definicion.de/energia/ http://definicion.de/teoria http://es.wikipedia.org/wiki/Cosa_(ontolog%C3%ADa) http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_de_medida http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades http://es.wikipedia.org/wiki/Metro http://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_(unidad_de_tiempo) http://es.wikipedia.org/wiki/Ampere http://es.wikipedia.org/wiki/Kelvin http://es.wikipedia.org/wiki/Candela http://es.wikipedia.org/wiki/Mol http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_derivadas_del_Sistema_Internacional http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_m%C3%A9trico_decimal http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_cegesimal http://es.wikipedia.org/wiki/Cent%C3%ADmetro http://es.wikipedia.org/wiki/Gramo http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_(unidad_de_tiempo) http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_Planck http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_t%C3%A9cnico_de_unidades http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_anglosaj%C3%B3n_de_unidades Tranquilate! Junto a la Física Errores de Medición: Para estudiar cuantitativamente los fenómenos naturales en general y los físicos en particular deben efectuarse mediciones y la técnica a emplear en la medida de una magnitud depende de las características de la misma, y del dispositivo experimental empleado, y la confianza que merezca el resultado de la medida dependerá a su vez del método usado, de la calidad del instrumental empleado y del entrenamiento del observador. Por la imposibilidad de disponer de métodos, instrumentos y observadores perfectos podemos afirmar que en toda medición hay una incertidumbre o indeterminación en el valor de una medida. En consecuencia definiremos: Error Absoluto de una medida: es la diferencia entre el valor medido ( ix ) y el valor verdadero de la magnitud. La calidad de una medición depende no solamente del error absoluto cometido, sino también del tamaño de la magnitud. Error relativo: es la relación entre el error absoluto de la medida y el valor verdadero de la magnitud. Error porcentual: es la expresión del error relativo expresado en porcentaje. Debemos notar que en general, tanto el error absoluto como el relativo, se podrán calcular únicamente en el caso de magnitudes discretas ya que sólo para ellas se puede conocer su valor verdadero, lo que es imposible cuando se miden magnitudes continuas. Por ello distinguiremos tres tipos de errores: Errores Sistemáticos: se deben en general a defectos en el aparato o instrumento de medida empleado y a vicios del observador en el uso del método o la técnica elegida. Por ejemplo: el instrumento de medición dilatado por aumento de temperatura. Si una medida tiene errores sistemáticos pequeños se dice que es de gran exactitud. En general, es muy difícil saber cuándo se comete un error sistemático y para eliminarlos se deberán contrastar previamente los instrumentos a emplear con otros más exactos y entrenar cuidadosamente a los observadores. Errores de Apreciación: todo instrumento supuesto sin errores, posee una escala con la cual se compara la magnitud a medir. Esta escala posee divisiones, y en general, el valor de la magnitud no corresponde a un número entero de estas divisiones. Supongamos efectuar la medición de una longitud empleado una regla milimetrada y que la lectura correspondiente se encuentre entre 14 y 15 mm. Es evidente que el valor medido es 14 mm y que la zona de indeterminación (d) de la medida es de 1 mm, puesto que la longitud medida se encuentra comprendida entre 14 y 15 mm. En general se acostumbra a tomar como zona de indeterminación de una medida al valor de la menor división de la escala del aparato empleado en cuyo caso el error de apreciación es igual o menor que la mitad del valor de la zona de indeterminación, es decir: Así por ejemplo, en el caso anterior, la medida quedaría expresada de la siguiente manera: Donde ± 5 mm es el error de apreciación. Sabiendo con toda certeza que el valor verdadero está comprendido en dicho intervalo. Errores Accidentales: se deben a factores no previsibles como la variación de las condiciones ambientales durante la medición, la falta de definición del objeto a medir (bordes no uniformes), fatiga momentánea del observador, etc. Los errores accidentales son más pequeños cuanto más preciso es el instrumento de medida usado y se agrupan en ambos sentido respecto de cero. Si la medición de una magnitud ha sido realizada n veces, todas ellas en iguales condiciones, es decir merecen igual confianza, se acepta que el valor más probable de la magnitud está dado por el promedio ( x ) de los valores obtenidos. 2 ap d (14.5 0.5)mmx 1 2 1... n i n x x x xx nn Tranquilate! Junto a la Física De acuerdo con la Teoría de Gauss, el valor de x se aproximará tanto más al valor exacto cuanto mayor sea el número n de mediciones realizadas. Entonces podemos calcular el Error absoluto del valor más probable Es posible establecer la indeterminación σ de x , es decir, la cota de error que, de acuerdo a las medidas realizadas, podrá tener x , puede afirmarse que este valor estará comprendido entre x + σ y x - σ (el intervalo de indeterminación valdrá 2σ), donde σ se calcula: Donde i ix x es la desviación de la medida ix de orden i. De todo lo dicho se deduce que la medición de una magnitud resulta expresada por su valor más probable X y su indeterminación σ y que su valor está comprendido entre los límites: Cuanto menor es σ tanto más exacto es el resultado de la medida. La indeterminación relativa está dada por: o sea que El error relativo y la indeterminación relativa son números adimensionales. Usualmente se emplea la indeterminación porcentual, definida como: Propagación de Errores y Cifras Significativas: Cuando se determina en forma indirecta el valor de una cantidad física el resultado tendrá un error debido a las incertidumbres de las cantidades que operan en el cálculo. Esto limita el número de cifras en el resultado quedando solamente las cifras significativas. Dos buenas reglas prácticas son: 1°) El resultado de un cálculo que implica productos y/o cocientes no debe tener más cifras significativas que el dato con menor número de cifras significativas que interviene en el cálculo. Por ejemplo: 40212,96 m × 3,8 m = 1,5 × 510 m 7 c.s. 2 c.s. 2 c.s. 2°) En el caso de sumas y/o restas, el resultado debe tener la misma cantidad de cifras significativas que el término con el menor número de lugares decimales. Por ejemplo: 300,3 m + 0,000220 m = 300,3 m 4 c.s. 3 c.s. 4 c.s. x x 2 2 1 1 ( ) ( 1) ( 1) n n i st x x n n n n stx e x e x % 100e e Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 2: Vectores Magnitudes escalares y vectoriales: Las magnitudes escalares son aquellas que quedan completamente determinadas por un número que especifica su cuantía (módulo o magnitud) y un símbolo de la unidad. Operan según las reglas del cálculo algebraico. Ejemplo: volumen, masa, tiempo, etc. Las magnitudes vectoriales son aquellas que, además del coeficiente numérico (módulo o magnitud) y del símbolo de la unidad, necesitan especificar su dirección y sentido. Estas cantidades se llaman vectores y operan de acuerdo al cálculo vectorial. Ejemplo: vector desplazamiento, vector velocidad, vector fuerza, etc. El vector se representa gráficamente por un segmento orientado por una flecha y una longitud proporcional de su magnitud o módulo. El vector desplazamiento mide el desplazamiento de un cuerpo especificando la distancia que se ha movido, la dirección y el sentido en el cual se mueve: Clasificación de vectores: Vectores Libres: Son aquellos que cumplen la condición de igualdad y no necesariamente son coincidentes. Pueden ser trasladados paralelamente, sin variar. Ejemplo: Momento de rotación τ, impulso angular L. La fuerza no es un vector libre, pues la acción de un cuerpo depende de su punto de aplicación. Las F1 y F2 si bien son iguales en módulo, dirección y sentido producen un momento de rotación distinto. Vectores Deslizantes: Además de la condición de igualdad pueden actuar sobre la misma recta de acción, pero pueden tener distintos orígenes por ejemplo: el vector fuerza se puede aplicar en A o tirar con una cuerda en B. La fuerza es un vector deslizante. Vectores Fijos o Aplicados: Son los que además de la propiedad de igualdad, tienen el mismo origen. Por ejemplo: el vector velocidad v , el vector desplazamiento D . Vectores Opuestos: Son los que tienen igual módulo, igual dirección y sentido opuesto. (es el negativo de un vector A y A ). Vectores Unitarios o Versores: Son vectores cuya magnitud es igual a 1 (uno). Son adimensionales y se utilizan para señalar una dirección determinada. Tranquilate! Junto a la Física Es conveniente emplear vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados. Supongamos dos vectores A y B en el plano x-y, ambos pueden escribirse en función de sus componentes y de los versores como sigue: Operaciones con Vectores: Hay dos maneras de operar: gráficamente y analíticamente Método Grafico: Suma de Vectores: Arriba el Método del Polígono, y abajo el Método del Paralelogramo. Resta de Vectores: Para restar un vector A de otro B se suma el opuesto de este último ( B ): que se puede considerar como Cuando se suman o restan vectores debe cuidarse que sean de la misma naturaleza. Método Analítico: Componentes de un vector: “Todo vector puede ser considerado como resultante de dos vectores de direcciones arbitrarias concurrentes en un punto sobre su recta de acción”. Es esta propiedad la que permite transformar la suma geométrica en algebraica, por lo tanto, para sumar o restar vectores se procede a encontrar las componentes ortogonales del vector dado, designadas con los índices x e y. Los componentes son colineales en las direcciones x e y por lo que se puede operar algebraicamente con ellas y no son otra cosa que las proyecciones ortogonales de los vectores A y B sobre los ejes dados. ˆ ˆ( ) ˆ ˆ( ) x y x y A i A j A B i B j B D A B ( )D A B Tranquilate! Junto a la Física Los vectores componentes del vector resultante son: El módulo de C es: Y su dirección es: Producto vectorial: El producto vectorial de dos vectores A y B (simbólicamente: A B ), se define como el vector perpendicular al plano determinado por A y B en la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que ha sido rotado de A hacia B . Un tornillo de rosca derecha es aquel que, si colocamos nuestra mano derecha como se muestra en la figura con los dedos señalando en la dirección de la rotación, el tornillo avanza en la dirección del pulgar. La mayoría de los tornillos ordinarios son de rosca derecha. La magnitud del producto vectorial A B está dada por A B A B sen Otra regla sencilla útil para establecer la dirección de A B es la siguiente: Colocar el pulgar, índice y el dedo mayor de la mano derecha en la posición mostrada en la figura. De la definición del producto vectorial, llegamos a la conclusión de que: Ya que el sentido de rotación del tornillo se invierte cuando el orden de los vectores se cambia, de modo que el producto vectorial es anticonmutativo. Producto Escalar: Es posible definir otras operaciones con vectores además de la suma. Una de estas operaciones es el producto escalar; otra es el producto vectorial. Entonces dados los vectores: Donde es el ángulo que se forma entre los vectores A y B . cosxA A yA A sen cosxB B yB B sen cos cosx y C A B C A sen B sen 2 2 x yC C C 1 y x Ctg C ( )A B B A ˆˆ ˆ( ) ˆˆ ˆ( ) x y z x y z A A i A j A k B B i B j B k Tranquilate! Junto a la Física El producto escalar de dos vectores A y B , representado por el símbolo A B , se define como la cantidad escalar obtenida hallando el producto de las magnitudes de A y B , con el cosenodel ángulo entre los dos vectores. Escribiendo ambos vectores en sus componentes rectangulares, obtenemos: Aplicando propiedad distributiva, obtendremos que: cos A B A B ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )( )x y z x y zA B A i A j A k B i B j B k x x y y z zA B A B A B A B Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 3: Cinemática Definición: “Estudio del movimiento de los cuerpos esto es, su ubicación relativa en el espacio y en el tiempo, sin considerar las causas que lo provoca (fuerzas)”. Objetivo: Determinación de la trayectoria es decir la posición de un cuerpo en el espacio en función del tiempo. Trayectoria: Es la sucesiva posición de puntos en el espacio, donde queda definida una línea recta entre dos puntos sucesivos o cualquier otra forma pueda tomarse en el espacio. Cinemática de una partícula: Para el estudio de la cinemática, tomaremos como referencia el movimiento de una partícula en línea recta, para poder introducirnos en algunos conceptos básicos de la cinemática. También consideraremos simplemente el movimiento de una partícula únicamente, es decir, trataremos a un objeto complejo como si fuera un simple punto de masa. Esto nos permite despreciar todos los movimientos internos posibles (ejemplo, el movimiento de rotación del objeto o la vibración de sus partes) El movimiento es un concepto relativo. Un cuerpo se mueve respecto del observador. Esto es un “Referencial” o “Sistema de Referencia”: Sistema de coordenada fijo o anclado en el espacio. Clasificación de Movimiento: Según la trayectoria: Movimiento rectilíneo: La trayectoria que describe el punto es una línea recta. Movimiento curvilíneo: El punto describe una curva cambiando su dirección a medida que se desplaza. Casos particulares del movimiento curvilíneo son el movimiento circular describiendo un círculo en torno a un punto fijo, y las trayectorias elípticas y parabólicas. Según la velocidad: Movimiento uniforme: La velocidad de movimiento es constante. Movimiento uniformemente variado: La aceleración es constante (si negativa retardado, si positiva acelerado) como es el caso de los cuerpos en caída libre sometidos a la aceleración de la gravedad. Movimiento uniforme unidimensional: También conocido como movimiento rectilíneo uniforme (MRU), trata del movimiento de una partícula a velocidad constante en forma horizontal (unidimensional) en función del tiempo, es decir, solo se moverá en sentido positivo o negativo al eje x de nuestro sistema de referencias. http://enciclopedia.us.es/index.php/Movimiento_circular http://enciclopedia.us.es/index.php/Gravedad Tranquilate! Junto a la Física Para ello debemos tener en claro algunos conceptos: Vector Posición: Es el vector que nos permite ubicar nuestra partícula en el sistema de referencias ( 1x y 2x ). El vector posición depende del origen del sistema de referencias elegido. Vector Desplazamiento: Es la diferencia entre la posición final de la partícula y su posición inicial ( 2 1x x x ). El vector desplazamiento es independiente del origen del sistema referencial. Por lo cual podemos definir desplazamiento como: “el cambio de posición de la partícula en el tiempo trascurrido”. Empleando notación con vectores unitarios podríamos decir que: Velocidad Media o Promedio (V ): Es el cociente entre el vector desplazamiento en un intervalo de tiempo. De esta fórmula se puede sacar las siguientes afirmaciones: Si el desplazamiento es negativo (-), la velocidad media tiene sentido negativo. Si el desplazamiento es positivo (+), la velocidad media tiene sentido positivo. Si el desplazamiento es cero, la velocidad media también lo es. La V no dice cómo fue el movimiento entre las posiciones ix y fx (si fue más rápido o más lento al comienzo, o al final, o si fue constante) sólo se refiere al desplazamiento para ése intervalo de tiempo. Por ej. Si Ud. hace un recorrido alrededor de la manzana y regresa a su casa en un intervalo t , su 0V pues 0x . Espacio Total Recorrido: es el desplazamiento que tuvo que recorrer una partícula hasta alcanzar su posición final. 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ( ) ( )x i x i x i x x f i f i x x xV t t t m m seg Tranquilate! Junto a la Física Rapidez Media: tanto “rapidez” como “velocidad” describen cuán rápidamente cambia la posición de un cuerpo, es una cantidad escalar y siempre positiva (+) Diagramas (v, t) y (x, t) Velocidad Instantánea: Como la velocidad puede variar en magnitud y sentido, si se hacen los t más pequeños obtenemos mejor información. Si queremos la velocidad en un instante determinado tiempo, debemos hacer un t más pequeño y por lo tanto considerar un x también más pequeño alrededor del punto considerado ( )x t . Si tanto t como x tienden a cero podemos definir: Rapidez Instantánea: Es la magnitud o módulo de la velocidad instantánea (o sea el valor absoluto de v ). Es escalar y siempre positiva (+) Cuando los intervalos se hacen más pequeños alrededor de P, llega un momento en que no se puede distinguir más entre secante y tangente de modo que la velocidad instantánea en P (o en cualquier punto arbitrario) es la pendiente de la tangente a la gráfica en dicho punto. De la formula de velocidad, podemos obtener dos formulas para el MRU. Movimiento Uniforme Variado: Si v cambia en magnitud, en dirección o sentido, la partícula tiene una aceleración que es la rapidez con que cambia su velocidad al transcurrir el tiempo. Aceleración Media: Al igual que el concepto de velocidad media, la aceleración media solo se refiere a la aceleración en ese intervalo de tiempo. Es decir, no nos dice si la aceleración en ese intervalo de tiempo es constante o varia en dicho intervalo. Si en el intervalo de tiempo dicha aceleración no es constante, si queremos saber cuál es la aceleración en recorridoerapidez t ( ) ( ) 0 0 lim lim t t t t t x x x dxv t t dt dxrapidez v dt f o f o v v va t t t m seg 2 m seg 0fx xt v 0fx x v t Tranquilate! Junto a la Física un cierto punto del intervalo dicha aceleración se denomina aceleración instantánea. Aceleración Instantánea: Es el límite de la aceleración media cuando 0t . También: Si observamos la formula de la aceleración podremos notar que la misma puede tomar valores tanto negativos como positivos. Es decir, la aceleración representa el aumento o disminución de la velocidad, ya sea esta positiva o negativa. Cuando hablamos de un MRU Variado, nos referimos a un aumento de la velocidad (MRU Acelerado) o a una disminución de la velocidad (MRU Retardado), siendo la velocidad positiva o negativa. De la formula de la aceleración podemos obtener las siguientes formulas para el MRUV. Si hacemos un estudio más detallista del movimiento de una partícula con aceleración constante podremos obtener la siguiente fórmula: De esta fórmula, y apoyándonos en las anteriores, podremos obtener las siguientes igualdades: Caída Libre y Tiro Vertical: Si permitimos que un cuerpo caiga en un vacio, de modo que la resistencia del aire no afecta su movimiento, encontramos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie dela Tierra. Esta aceleración, denotada con el símbolo g, se denomina aceleración en caída libre. La dirección de la aceleración en caída libre en un punto determina lo que queremos significar con las palabras “hacia abajo” en ese punto. 0 lim t v dva t dt 2 2 dxd dv d xdta dt dt dt 0v va t 0v v a t 0v vt a 2 0 0 1 2 x x v t a t 2 2 0 02 ( )v v a x x 0 0 1 ( ) 2 x x v v t Tranquilate! Junto a la Física Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimientos hacia arriba experimentan la misma aceleración en caída libre (en magnitud y dirección), es decir, cuando se trata de un tiro vertical de un cuerpo. Esto es, sin importar que la velocidad de la partícula sea hacia arriba o hacia abajo, la dirección de su aceleración bajo la influencia de la aceleración de la gravedad de la Tierra es siempre hacia abajo. El valor exacto de la aceleración en caída libre varia por diversos factores, tales como la distancia desde el centro de la Tierra, la latitud y la longitud donde esté ubicado el cuerpo entre otros factores. Las ecuaciones vistas para el MRU Variado, son aplicables para caída libre y tiro vertical de un cuerpo. Para ello, solo tendremos en cuenta dos cambios: marcamos la dirección de la caída libre como el eje y, y tomamos como positiva la dirección hacia arriba. Movimiento en el Plano (Mov. Bidimensional): Los conceptos de posición, velocidad y aceleración vistos para movimiento rectilíneo son aplicables en el movimiento de 2D, teniendo en cuenta que ahora se cuenta netamente con vectores, ya que en movimiento rectilíneo solo se necesitaba saber el sentido del desplazamiento, ya que la dirección era siempre la misma. También notaremos que el vector velocidad de la partícula es siempre tangencial a la trayectoria de la misma. r (m): Vector Posición r (m): Vector Desplazamiento Velocidad Media ( m s ): Velocidad Instantánea ( m s ): Aceleración Media ( 2m s ): El vector aceleración, tiene la misma dirección y sentido del vector v Aceleración Instantánea ( 2m s ): Dado que estamos trabajando en un plano, tendremos que expresar la posición, velocidad y aceleración de la partícula en sus vectores unitarios. 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) v v g t y y v t g t v v g y y y y v v t m rv t 0 lim t r drv t dt m va t 0 limm t v dva t dt Tranquilate! Junto a la Física Posición: Velocidad: Aceleración: Recordemos que en este caso estamos tratando con aceleración media, por lo tanto no sabemos si la aceleración en el intervalo de tiempo es o no constante durante toda la trayectoria de la partícula. Movimiento en 2D con Aceleración Constante: En este caso consideramos el caso particular de la aceleración constante, donde a no varía ni en magnitud ni en dirección, y por consecuencia sus componentes también se mantienen constantes. Teniendo en cuenta que estamos en movimiento en 2D, expresaremos los conceptos de posición y velocidad con sus componentes en los ejes x y . Si expresamos la velocidad en forma vectorial tendremos: De la misma forma podemos llegar a las siguientes formulas: Ahora vamos a ver un caso particular del movimiento en 2D, se trata del movimiento de un proyectil o comúnmente llamado Tiro Oblicuo. Movimiento de Proyectiles (Tiro Oblicuo): Se trata del movimiento bidimensional de una partícula lanzada oblicuamente en el aire. El movimiento del proyectil es aquel de aceleración constante g, dirigido hacia abajo. Aun cuando pueda haber una componente horizontal de la velocidad, no hay una componente horizontal de la aceleración. Por lo tanto: Dispondremos de un sistema coordenado x y donde en el origen del mismo la partícula iniciará su movimiento, con una velocidad 0v con un ángulo 0 , cuya trayectoria es una trayectoria parabólica. ˆ ˆx yr i r j r ˆ ˆx yv i v j v ˆ ˆx ya i a j a x y a ctte a a ctte 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) x x x x x x x x x x x x v v t x x v t a t v v a t v v a x x 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) y y y y y y y y y y y y v v t y y v t a t v v a t v v a y y 0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) x x y y x y x y x yv i v j v v i v a t j v a t v i v j v i a j a t v v a t 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 ( ) r r v t a t v v a r r 0x y a a ctte a g Tranquilate! Junto a la Física Descomponemos la velocidad 0v en sus componentes rectangulares (condiciones iniciales de la velocidad): Para un tiempo determinado, tendremos que la velocidad varia en magnitud 0v y sentido. Analizando las componentes de dicha velocidad y las aceleraciones correspondientes, teniendo en cuenta la formula de velocidad en MRUV, tendremos que: La primera formula nos dice que: la componente horizontal de la velocidad retiene su valor durante todo el vuelo. Es decir, la componente horizontal de la velocidad es de MRU. La componente vertical de la velocidad es la de la caída libre. Si queremos saber la magnitud y dirección de la velocidad en un determinado tiempo empleamos sus componentes xv y yv , por lo tanto tendremos: El vector velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula en todo punto. Para determinar la posición de la partícula en un tiempo t en su trayectoria, teniendo en cuenta las aceleraciones y las condiciones iniciales de la velocidad, emplearemos las siguientes formulas: De la combinación de estas dos formulas, de manera tal de eliminar el parámetro t obtendremos: Ecuación Cartesiana de la Trayectoria Si observamos esta ultima formula podremos ver el por qué de la trayectoria parabólica de la partícula, dado que la componente y la podemos expresar en función de la componente x la cual resulta ser una variable de grado 2 (ecuación cuadrática). 0 0 0 0 0 0 0 cos (1) (2) x y v v v v v sen 0 0 0 0 0 0 2 cos (3) (4) x x x y y y v v a t v v v a t v sen g t 2 2 (5) (6) x yv v v vyarctg vx 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 12 2 2 2 ( cos ) (7) ( ) (8) x x y y x x v t a t v t y y v t a t v sen t g t 0 0 0 2 2( ) (9)2 ( cos ) gy tg x x v Tranquilate! Junto a la Física Alcance Horizontal (R): El alcance de la partícula representa la distancia horizontal máxima que alcanza la partícula desde su punto de partida hasta su impacto en el suelo. Si analizamos la trayectoria de la partícula, al impactar en el suelo la componente vertical 0y , reemplazando este valor en ecuación (8), obtendremos que: Tiempo de Vuelo Por lo tanto, reemplazando el valor t en la ecuación (7) obtendremos que: El alcance horizontal de la partícula va a depender del ángulo de tiro, por lo cual para que el alcance de la misma sea el máximo posible 0 2 1sen , por lo tanto 0 45 . Altura Máxima: ( maxy ) Es la máxima altura que puede alcanzar la partícula durante su vuelo. Para ello la componente de la velocidad 0yv , para lo cual y es máximo. La altura máxima se alcanza en la mitad de la trayectoria, siendo este el tiempo de semivuelo. Reemplazamoseste valor en la ecuación (8), obteniendo: El valor de 0 para el cual la altura es la máxima que podría llegar a alcanzar la partícula es cuando 0 90 : 0 02 v sent g 0 0 2 2 (10)v senR g 0 0 0 0 2 ( cos ) v senR x v g 0 max 2vR g 0 0 v sent g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 2 2 2 2 1 2 v sen v seny v sen g g g v sen v seny g g 0 0 max 2 2 (11) 2 v seny y g 0 max vert. 2 2 vY g Tranquilate! Junto a la Física Movimiento Circular o Circunferencial: Se trata del movimiento de una partícula cuya trayectoria es circunferencial (de radio r), y cuyas coordenadas que se usan en este tipo de movimiento son las coordenadas polares. La posición de la partícula queda determinada por el ángulo y por el modulo del vector posición r que es constante. Dado que el vector r barre el ángulo en el tiempo t , podemos definir la velocidad angular media. La dirección y sentido de queda determinado por la dirección y sentido de la rotación de la partícula en el plano. Es decir, coincide con la dirección del vector unitario nu o versor normal al plano determinado por y r . Por convención, asignamos al sentido anti horario el signo positivo (+), y el sentido de será hacia arriba en la figura. Se aplica la regla del tirabuzón de giro derecho; o la regla de la mano derecha. Velocidad Angular Instantánea: La unidad de es rad s dado que se mide en radianes. La razón de ello es que la longitud de un arco de círculo de radio r se expresa por la siguiente relación: Por lo tanto, la longitud de arco será s r Cinemática Angular: Para el caso en el que m , la velocidad angular ctte . Es decir que: Por lo cual tendremos que: 0 0 0 0( ) ( ) con 0, 0t t t Si se da el caso en que la velocidad angular varía en el tiempo, tendremos una aceleración angular ( ), que al igual que en cinemática de una partícula tendremos: Si la aceleración angular media es igual a la velocidad angular instantánea m , quiere decir que ctte y por lo tanto estamos en presencia de un movimiento circular uniforme variado. Al igual que en cinemática de una partícula, las mismas formulas son aplicables para cinemática angular. m t 0 lim n t d u t dt long. de arco (s) circunferencia del círculo 2 . del arco ( ) angulo total del círculo 2 s r ang se tiene un mov. Círcular Uniformed ctte t dt (1)t m Aceleración Angular Media t 0 = Instántanealim t d Aceleración Angular t dt Tranquilate! Junto a la Física Relación entre Velocidad Angular y Velocidad Tangencial: Consideremos un punto iP de un cuerpo (disco) en rotación. La velocidad es la misma en todos los puntos, no así la velocidad de traslación que será distinta para los puntos ubicados en cada circunferencia. En t el punto se desplaza r . Si paulatinamente hacemos más chico a t hasta llegar a dt llega un momento en que no se puede distinguir la cuerda dr del arco ds , o sea ds dr siendo la velocidad instantánea de iP . Donde la dirección de v es la del vector dr y coincide con la tangente a la circunferencia en el punto considerado, por ello se llama velocidad tangencial Tv . Como ds dr y de ds r d , dividiendo miembro a miembro esta última igualdad por dt : Por lo tanto: Vectorialmente: Aceleración Centrípeta: Representa la variación de la dirección de la velocidad aun si esta mantiene su magnitud, representa una variación vectorial de la velocidad. La dirección y sentido de dicha aceleración será la misma de la del vector v . El modulo o magnitud de ca se obtiene de los triángulos de la figura (semejantes y sus son iguales). Dividiendo miembro a miembro por t : 0 0 (2)v v a t t 0 0 1 1 2 2( ) ( ) (3)x v v t t 0 0 0 0 1 12 2 2 2 (4)x x v t a t t t 0 0 2 2 2 22 2 (5)v v a x drv dt dr dr dt dt (6)Tv r Tv r Tv r sen con 90Tv R sen Tv R c va t r v vv r r v r Tranquilate! Junto a la Física 2 ca r c Ta v Por lo tanto: Relación entre aceleración centrípeta y velocidad tangencial Como Tv r : Relación entre aceleración centrípeta y velocidad angular Relación entre aceleración centrípeta, velocidad tangencial y angular Vectorialmente: c Ta v cuyo modulo es c T Ta v sen v Debemos recordar que y Tv son perpendiculares, y que por lo tanto 1sen . Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración: Si la velocidad tangencial no es constante, es decir varia su modulo, surge lo que se denomina aceleración tangencial. Dividiendo miembro a miembro por t y en el límite de 0t El cambio en el modulo de la velocidad tangencial: Ta El cambio en la dirección de la velocidad tangencial: Ca En consecuencia, el modulo y dirección del vector a serán: Relación entre Ta y : Movimiento Relativo: Transformación de Galileo: Los puntos O y O’ y un punto P que se mueve con una velocidad v respecto al sistema referencial de origen O’, donde tendremos que en triangulo vectorial 'OO P : 2 T c va r v v r t r t 0 0 lim lim T c T t t v v r va v t r t r C Tv v v C Ta a a 2 2 C Ta a a 1 T C atg a T T T dv da R R a R dt dt Tranquilate! Junto a la Física Tomando diferenciales y derivando con respecto a t. Donde u se denomina velocidad de arrastre y es constante. Si derivamos esta última ecuación nuevamente con respecto a t tendremos que: Si para 0t , los sistemas coordenados de orígenes O y O’ son coincidentes: Luego las componentes de r serán (para cualquier tiempo t): Transformación de Lorentz: En 1905 Einstein estableció que “Todas las leyes de la naturaleza son las mismas (es decir permanecen invariante) para todos los observadores en movimiento relativo de traslación uniforme”. Supuso que la velocidad de la luz es una invariante física es decir que tiene el mismo valor para todos los observadores. Bajo esta suposición la transformación Galileana no es correcto. En particular la ecuación t = t’ no puede ser correcta. Puesto que la velocidad es la distancia dividida el tiempo para que permanezca constante debemos ajustar tanto el tiempo como la distancia para que la velocidad de la luz pueda ser constante. Por ello debemos reemplazar la transformación Galileana por otra de modo que la velocidad sea un invariante. Y la nueva transformación, compatible con la invariancia de la velocidad de la luz, es entonces: '' OOr r '' OOdr dr d dt dt dt 'v v u ' como es ctte. 0dv dv du duu dt dt dt dt 'a a x y z u t u t u t ' ' ' ' x x x y y y z z z r r u t r r u t r r u t t t 2 1 2 ' que muestra la xx u c r u tr constraccion longitudinal ' ' y y z z r r r r ' 2 1 2 que muestra la u rxt c u c t dilatación del tiempo Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 4: Dinámica de la partícula Dinámica: “La dinámica es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos y su relación con las causas que lo provocan.” En cinemática estudiamos la descripción del movimiento de un cuerpo sin interesarnos por las causas que lo provocaban: En dinámica se estudia y se analiza: Fuerza vs. Cambios de Movimiento de un Cuerpo Principios o Axiomas de Newton: Para el estudio de la dinámica introduciremos el concepto de fuerza (F) y la definimos en función de la aceleración a que experimenta determinado cuerpo. 1° Axioma de Newton: Principio de Inercia “Todo cuerpo conserva su estado inicial de “reposo” ó de “movimiento rectilíneo uniforme”, a menos que sobre él actué una fuerza externa neta que lo obligue a cambiar ese estado”. O también: “Toda partícula libre se mueve con movimiento rectilíneo uniforme. Si está en reposo continua en reposo”. Partícula Libre: es la que no interactúa con ninguna otra partícula. 2° Axioma de Newton: Principio de Masa “La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza externa resultante (ó neta) que actúa sobre dicho cuerpo y tiene la misma dirección y sentido que esa fuerza”. Esto se expresa matemáticamente mediante la ecuación vectorial llamada “Ecuación fundamental de la DINÁMICA”. 3° Axioma de Newton: Principio de Acción y Reacción “Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este reacciona sobre aquél, con una fuerza de igual magnitud y de sentido contrario y que tiene la misma línea de acción”. Observación: Las parejas acción – reacción se ejercen sobre cuerpos diferentes. Comentarios y Aplicaciones de los Axiomas de Newton: Con respecto al 1° Axioma: Hay que observar que el 1er Axioma no distingue entre en un cuerpo en reposo y otro que se mueve a velocidad constante. Esto depende del sistema o del marco de referencia con respecto del cual se mide la aceleración del cuerpo. El 1er Axioma se describe asignando a la materia de la partícula, una propiedad llamada masa inercial y se aplica solamente a marcos de referencias inerciales. ( ) ( ) ( ) r r t v v t a a t F m a m R iDonde F F F y es la masa inerte LT TLF F Tranquilate! Junto a la Física Sistemas Inerciales: Un sistema de referencias es inercial cuando no está acelerado. La primera ley de Newton es aplicable en este tipo de sistemas. Sistemas No Inerciales: Teniendo en cuenta el sistema de referencias de la figura, vemos que si al sistema O’ se le aplica una aceleración a , el cuerpo tiende a quedar en reposo respecto del sistema O, pero para ello tendrá una aceleración a respecto de O’ sin que actué ninguna fuerza sobre ella. Entonces para que se mantenga en reposo con respecto a este sistema O’ deberíamos aplicarle una fuerza inercial horizontal, la cual es ficticia. Esto no concuerda con el enunciado del 1° axioma, por lo cual decimos que el sistema es No Inercial o Acelerado. Con respecto al 2° Axioma: Experimentalmente se comprueba que: La dirección de a es la misma de F . Para un cuerpo dado, la magnitud de a es proporcional a la de F ( F k a ) donde el factor de proporcionalidad (k) depende del cuerpo y representa su inercia y la llamamos masa m. Inercia: es la mayor o menor resistencia de un cuerpo a ser acelerado. Como aplicaciones simples tenemos: a) El Peso de los Cuerpos: como vimos anteriormente, la aceleración de caída libre en un mismo lugar de la Tierra y despreciando el rozamiento del aire es la misma para todos los cuerpos y se denomina aceleración de la gravedad g . De la ecuación F m a reemplazamos g por a y P por F , teniendo que: P m g b) Movimiento sobre un plano inclinado sin rozamiento: El cuerpo se desliza con movimiento acelerado por la acción de la fuerza F paralela al plano que proviene de la descomposición del peso del cuerpo en las direcciones paralela y normal al plano: TF y nF . Esta última se compensa con nR del plano. La componente TF P sen por lo tanto la ecuación del movimiento es según: P sen m a y como P m g tenemos que a g sen . FF m a y m a Tranquilate! Junto a la Física Leyes de Mach – Definición Operacional de la Masa: La fórmula F m a contiene la masa m que normalmente se define como una magnitud intrínseca del cuerpo que mide su inercia y cuando se quiere precisar el concepto de inercia se dice que es la “resistencia (o fuerza) que opone un cuerpo cuando se trata de cambiar su movimiento”. Estamos tratando de definir la masa m que es una magnitud intrínseca (propia) del cuerpo a través del concepto de Fuerza que depende de la interacción con otros cuerpos. Esto plantea una inconsistencia que se elimina a través del método de Mach. Método de Mach: Los resortes son los mecanismos de interacción que pertenecen a cada cuerpo. Dos cuerpos puntuales están apoyados sobre una superficie lisa (o sobre un colchón de aire). Se quema el hilo y los cuerpos 1 y 2 parten en direcciones opuestas con aceleraciones 1a y 2a respectivamente. Se comprueba experimentalmente: 1°) Las aceleraciones del cuerpo 1 y del cuerpo 2, tiene la dirección de la recta que los une y sentidos opuestos (cualquiera sea el mecanismo de interacción). 2°) El cociente de los módulos 1 2 a a tiene siempre el mismo valor, cualquiera sea el mecanismo de interacción y depende exclusivamente de los cuerpos que interactúan. O sea que, a ése cociente de las aceleraciones, que es independiente de las interacción y sólo representa una cualidad inherente a los cuerpos 1 y 2, la llamaremos masa inercial del cuerpo 2 en unidades del cuerpo 1 o sea 21m . Luego para diferentes mecanismos o para diferentes estados de tiempo obtendremos: Comprobando que sus cocientes se mantienen constantes. Si hacemos interactuar el cuerpo 1 con otro como el 3 (ó 4 u otro) Si ahora ponemos en interacción los cuerpos 2 con 3. Debemos observar que: 1 2 1 2 1 2 , ', ' '', '' a a a a a a 1 1 1 21 2 2 2 ' '' ' '' a a a ctte m a a a 1 1 1 31 3 3 3 ' '' ' '' a a a ctte m a a a 32 2 2 32 3 3 3 2 ' '' ' '' ma a a ctte m a a a m 3 31 32 2 21 m mm m m Tranquilate! Junto a la Física Como medir es comparar (o sea el número de veces que el patrón o unidad está contenido en la magnitud a medir) y esto implica dividir, se puede escribir: (1) Por fin, si convenimos que el patrón de masa inercial sea la masa del cuerpo 1, entonces la masa de cualquier otro cuerpo puede obtenerse midiendo las interacciones cuando se lo hace interactuar con el patrón, luego: Unidades: La unidad de masa inercial en el SI es la masa del kg patrón a 1 3dm de agua destilada a 4 ºC de temperatura y presión normal de 760 mm de Hg. En el sistema c.g.s., la unidad es el gramo 310g kg . En el sistema técnico no se define patrón de masa, pues ésta es una unidad derivada. La Fuerza según el Método de Mach: Si generalizamos el resultado expresado en la ecuación (1) podemos escribir para dos cuerpos A y B. Y teniendo en cuenta que las aceleraciones son vectores: A A B Bm a m a (2). Esta igualdad se verifica en todas las experiencias y para cualquier mecanismo de interacción podemos adoptar el producto m a como el ente representativo de la interacción y la llamamos fuerza. Entonces en (2): o 0A B A BF F F F que no es más que el 3° Axioma de Newton (que con el método de Mach, es sólo una consecuencia de su procedimiento para medir masas). Unidades: La fuerza es una magnitudderivada, cuya dimensión será: En el SI: la unidad de masa es el Newton (N), que se define como la fuerza que aplicada al 1kg de masa le imprime una aceleración de 21m s . 1 2 21 2 1 31 31 3 1 312 32 3 21 a mm a m ma m a m ma m a m A B B A a m a m A A A B B BF m a y F m a Tranquilate! Junto a la Física En el c.g.s.: la unidad de fuerza es la dina (dyn), es la fuerza que aplicada a 1g le imprime una aceleración de 21cm s . En el sistema técnico: Los patrones son: y la masa es una unidad derivada La unidad de fuerza es el kg o kgf que se define como la fuerza que aplicada a 1kg masa le imprime una aceleración de 21 1 9,81 9,81mkg kg Ns . O sea, se eligió el mismo patrón para 1kgm ; para definir la unidad de fuerza que es 1kg , pero considerando el peso del mismo en un lugar donde 29,81mg s . Existen tres fuerzas fundamentales en la naturaleza: Fuerza Gravitatoria: son leyes, dependen de la masa. Fuerzas Magnéticas: electromagnéticas. Fuerzas de Origen Nuclear: aquellas que intervienen en la cohesión del núcleo atómico. Fuerzas de Rozamiento entre Sólidos: Si lanzamos un cuerpo de masa m con una velocidad 0v en una superficie rugosa, veremos que en algún momento llega al reposo. Esto significa que, mientras se está moviendo, experimenta una aceleración a que apunta en dirección opuesta a su movimiento. Si vemos que un cuerpo es acelerado, siempre lo asociamos a una fuerza, definida por la segunda ley de Newton, con el movimiento. En este caso afirmaremos que la mesa ejerce una fuerza de fricción sobre el bloque que se opone a su movimiento. Consideremos un bloque en reposo, dispuesto en un mecanismo como el de la figura, para medir la fuerza horizontal F requerida para poner el bloque en movimiento. Veremos que si aplicamos una fuerza pequeña ( 1F ) el bloque todavía no se mueve, por lo cual decimos que la fuerza que aplicamos está equilibrada por la fuerza de fricción f opuesta, ejercida sobre el bloque por la superficie de apoyo. Al aumentar la fuerza aplicada, hallamos alguna fuerza definida mediante la cual se desprende de la superficie y comienza a acelerar. Al reducir la fuerza una vez iniciado el movimiento, encontraremos que es posible mantener al bloque en movimiento uniforme sin aceleración. Las fuerzas de fricción que actúan entre superficies en reposo una respecto de otra se llaman fuerzas de fricción estática; la fuerza máxima de fricción estática será la misma que la fuerza aplicada más pequeña necesaria para iniciar el movimiento ( lF ). Una vez iniciado el movimiento, las fuerzas de fricción que actúan entre las superficies usualmente disminuyen de manera que solo es necesaria una fuerza más pequeña para mantener el movimiento uniforme. Las fuerzas que actúan entre superficies en movimiento relativo se llaman fuerzas de fricción dinámica. La fuerza máxima de fricción estática entre cualquier par de superficies no lubricadas responde a estas dos leyes: (1) Es aproximadamente independiente del área de contacto, y (2) es proporcional a la fuerza normal (La fuerza normal se debe a las propiedades elásticas de los cuerpos en contacto). La razón entre la magnitud de la fuerza máxima de fricción estática y la magnitud de la fuerza normal se llama coeficiente de fricción estática ( e ) de las superficies implicadas. Longitud L m Tiempo T s Fuerza F kg 21 1 9,81 9,81mkg kg Ns Tranquilate! Junto a la Física La fuerza de fricción dinámica ( Rdf ) entre superficies no lubricadas, siguen las mismas leyes que las dos de fricción estática. La relación entre la magnitud de la fuerza de fricción dinámica y la magnitud de la fuerza normal se llama coeficiente de fricción dinámica ( d ). Tanto e como d son constantes sin dimensión, siendo cada una la razón de dos fuerzas, y además de que son valores que oscilan entre 0 y 1. Dinámica del Movimiento Circular: Estudiamos que si un cuerpo se mueve a velocidad uniforme v en un circulo o en un arco circular de radio r, experimenta una aceleración centrípeta ca cuya magnitud es 2 /v r . La dirección de esta aceleración es siempre hacia el centro del círculo, por lo cual es un vector variable q cambia su dirección según progresa el movimiento. Cada cuerpo debe tener una fuerza neta que actúe sobre él, de acuerdo con la segunda ley de Newton. Entonces si vemos que el cuerpo experimenta un movimiento circular uniforme, podemos estar seguros de que la magnitud de la fuerza neta que actúe sobre el cuerpo debe estar dada por: El cuerpo no está en equilibrio porque la fuerza neta F no es cero. La dirección de la fuerza neta en cualquier instante debe ser la de a en dicho instante. Si el cuerpo en M.C.U. es un disco que gira amarrado al extremo de una cuerda sobre una mesa horizontal sin fricción, la fuerza neta sobre el disco es proporcionada por la tensión T de la cuerda. Para mantener al disco moviéndose en círculo, debe ser proporcionada una fuerza que jale de él hacia el centro. Las fuerzas responsables del M.C.U. se llaman fuerzas centrípetas porque están dirigidas hacia el centro del movimiento circular. Re ef N Rd df N 2vF m a m r Tranquilate! Junto a la Física Aplicaciones de la Dinámica: Conjunto de Cuerpos Vinculados: como ejemplo tomaremos el movimiento de tres cuerpos vinculados por cuerdas las cuales serán las encargadas de transmitir el movimiento producido por la fuerza aplicada en uno de los cuerpos. Nuestro objetivo es determinar: ¿Cuál es la aceleración del sistema en conjunto? ¿Cómo se determinan las tensiones en los vínculos? Para ello seguiremos los siguientes pasos: 1°) Hacer un croquis (como la figura) 2°) Diagrama de cuerpo libre: analizamos cada cuerpo en particular y determinamos cuales son las fuerzas actuantes en los mismos 3°) Trabajar con alguna componente y la segunda ley de Newton ( RF m a F ). Como al conjunto de cuerpos le aplique una sola fuerza: Para determinar las tensiones, realizamos los diagramas de cuerpo libre correspondientes: Cuerpo 1 Cuerpo 2 Cuerpo 3 Teniendo que: 1 2 3( )T F Fa m m m m 0yF 1 1 1 xF m a F T m a 0yF 0yF 2 2 1 2' xF m a T T m a 3 2 3' xF m a T m a 1 1 2 1 2 2 3 (1) (2) ' (3) ' F T m a T T m a T m a 1 1 2 2 ' ' T T T T Tranquilate! Junto a la Física Sumamos (1) y (2) y luego sumando con (3) miembro a miembro, obtenemos que: Reemplazando este valor en (3), tendremos: Sumando (2) y (3) miembro a miembro, y despejar el valor de la tensión 1T , reemplazando el valor de la aceleración, tendremos que: Para superficie con rozamiento: para este caso consideraremos que el coeficiente de rozamiento dinámico ( d ) es el mismo para los tres cuerpos. En el cual la aceleración ( ra ), será la siguiente: Donde podemos observar que la aceleración ra se puede expresar en función de la aceleración de gravedad y la aceleración cuando no existe rozamiento. Para determinar las tensiones se sigue el mismo procedimiento que en el movimiento en superficie sin rozamiento. Maquina de Atwood: Cosiste en una polea de eje horizontal de la que penden dos cuerpos de pesos 1P y 2P , para lo cual consideraremos que no existe ninguna fuerza de fricción entre la polea y la cuerda como entre su eje. También consideraremos los pesos de la polea y de la cuerda despreciable. Si 1 2P P existe equilibrio (no hay movimiento). Si 1 2P P el sistema se acelera, teniendo que la poleagira en sentido de las agujas del reloj, mientras que el cuerpo 1 desciende el cuerpo 2 asciende. Nuestro objetivo es determinar: ¿Cuál es la aceleración del sistema? ¿Cuál es la tensión del sistema? Para despejar estas incógnitas seguimos los mismos pasos que en el caso anterior. Diagrama de cuerpo libre 1 2 3 Fa m m m 2 2 3 1 2 3 ' FT T m m m m 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 ' ( ) ' ( ) T m m a FT T m m m m m 1 2 3 1 2 3 ( ) d r d F P P Pa a g m m m 1 1(1) 'P T m a 2 2(2) T P m a Tranquilate! Junto a la Física Del diagrama de cuerpo libre, obtenemos que: Sumando miembro a miembro estas últimas ecuaciones obtenemos que: Reemplazando el valor de la aceleración obtenido (3) en alguna de las ecuaciones (1) o (2), podremos determinar el valor de la tensión T . Péndulo Cónico: La figura muestra un cuerpo de masa m que gira en un círculo horizontal a velocidad constante v en el extremo de una cuerda de longitud L. Al moverse el cuerpo alrededor, la cuerda barre la superficie de un cono imaginario. Este dispositivo se denomina péndulo cónico. Si la cuerda forma un ángulo con la vertical, el radio de la trayectoria circular es R L sen . Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son su peso m g y la tensión T de la cuerda, como se muestra en la figura. En este caso la segunda ley de Newton da: Podemos descomponer T en cualquier instante en una componente radial y otra vertical: La componente radial es negativa ya que definiremos que la dirección positiva es hacia afuera del eje. Puesto que el cuerpo no tiene aceleración vertical, según la segunda ley de Newton podemos escribir 0y yF T m g . O sea que: cos T m g (1). La aceleración radial es negativa porque actúa radialmente hacia adentro, la cual es proporcionada por xT . Por lo tanto, de la componente radial de la segunda ley de Newton: x xF T m a O sea que: 2 vT sen m R Al dividir esta ultima igualdad miembro a miembro, por la ecuación (1) tendremos: Teniendo que el valor de la velocidad v será tan v R g , lo cual da la velocidad constante del cuerpo. 1 1 2 2 ' ' m g T m a sabiendo que T T T m g m a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (3) ( ) m m g m m a m m ga m m 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 T m g m a m mT m g g m m m mT m g m m 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 T m g m a m mT m g g m m m mT m g m m F T m g m a cos x yT T sen T T 2 / cos T sen m v R T m g Tranquilate! Junto a la Física Curva Peraltada: Supongamos que el bloque de la figura de arriba representa a un automóvil que se mueve a velocidad constante v sobre una carretera a nivel en una curva de radio R. Además de las dos fuerzas horizontales ( m g y N ), existe una fuerza ( P ), la cual proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular. Esta fuerza es proporcionada por la fuerza lateral de fricción que ejerce la carretera sobre las llantas. En la figura de abajo, la carretera esta peraltada en las curvas, por lo cual, en este caso, la fuerza normal N no solo tiene una componente vertical, sino también proporciona una componente horizontal que proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el M.C.U. Por lo tanto no se necesita ninguna fuerza lateral adicional. En ausencia de una fricción, el ángulo correcto de peralte se obtiene de la siguiente manera. No existe movimiento vertical, por lo cual: La componente radial de la normal es cos N y la aceleración radial es 2 /m v R . La componente radial de la segunda ley de Newton nos da: Dividiendo estas dos ecuaciones obtenemos: Observamos que el ángulo de peralte apropiado solo depende de la velocidad del carro y de la curvatura del camino, no depende de su masa. Fuerzas Inerciales (seudofuerzas): Hasta ahora hemos supuesto que las mediciones y las observaciones se realizaron desde un marco de referencia inercial. La elección de un marco de referencia lo hacemos siempre nosotros. Entonces podemos, si lo hayamos conveniente, aplicar la mecánica clásica desde el punto de vista de un observador en un marco no inercial, es decir, un marco unido a un cuerpo que está acelerando tal como se ve desde un marco inercial. Para aplicar la mecánica clásica a marcos no inerciales debemos introducir fuerzas adicionales ficticias, conocidas como seudofuerzas o fuerzas inerciales. Al contrario de las fuerzas que hemos examinado, no podemos asociar a las seudofuerzas con ningún objeto particular en el entorno del cuerpo sobre el cual actúen, y no podemos clasificarlas en ninguna de las categorías conocidas. Consideramos a un observador S’ que viaja en una vagoneta que se mueve a velocidad constante. La vagoneta contiene una pista aérea con un planeador carente de fricción que descansa en un extremo. La vagoneta comienza a frenar (a decelerar). El observador S en tierra mide la aceleración constante de la vagoneta en va a . El observador S’ que viaja en la vagoneta esta, por lo tanto, en un marco de referencia no inercial cuando la misma decelera, observando que el planeador se mueve por la pista con una aceleración de pa a . 0yF N sen m g 2 /x xF N sen m a m v R 2 tan v R g Tranquilate! Junto a la Física Para el observador S en tierra el análisis del fenómeno es sencillo. El planeador, que se ha estado moviendo hacia adelante a velocidad constante antes de que la vagoneta comenzara a frenar, simplemente continúa haciéndolo. Sin embargo, el observador S’ ve que el planeador acelera y no puede hallar un objeto del entorno del mismo que ejerza una fuerza sobre él y le proporcione la aceleración hacia el frente observado. Para conservar la aplicabilidad de la segunda ley de Newton, el observador debe suponer que sobre el planeador actúa una seudofuerza. Esta fuerza F debe ser igual a pm a donde p va a a . La dirección de esta fuerza es la misma que la de pa . Esta fuerza, que es muy real desde el punto de vista de S’, no es aparente para el observador S en tierra, quien no necesita introducirla para explicar el movimiento del planeador. Una indicación de que las seudofuerzas son no newtonianas es que violan la tercera ley de Newton. Para aplicar esta ley, S’ debe hallar una fuerza de reacción ejercida por el planeador sobre algún otro cuerpo. No puede ser hallada tal fuerza de reacción y, por lo tanto, se viola la tercera ley de Newton. Fuerza de Coriolis: es una fuerza ficticia que aparece cuando un cuerpo está en movimiento con respecto a un sistema en rotación y se describe su movimiento en ese referencial. La fuerza de Coriolis es diferente de la fuerza centrífuga. La fuerza de Coriolis siempre es perpendicular a la dirección del eje de rotación del sistema y a la dirección del movimiento del cuerpo vista desde el sistema en rotación. La fuerza de Coriolis tiene dos componentes: una componente tangencial, debido a la componente radial del movimiento del cuerpo, y una componente radial, debida a la componente tangencial del movimiento del cuerpo. La componente del movimiento del cuerpo paralela al eje de rotación no engendra fuerza de Coriolis. El valor de la fuerza de Coriolis cF es: 2 ( )cF m v Donde: m es la masa del cuerpo. v es la velocidad del cuerpo en el sistema en rotación. es la velocidad angular del sistema en rotación vista desde un sistema inercial (el producto vrepresenta un producto vectorial) http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_ficticia http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_centr%C3%ADfuga Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 5: Trabajo y Energía Trabajo Mecánico: Consideramos una partícula sobre la que actúa una fuerza constante F , y supongamos es casi más sencillo en el que el movimiento tiene lugar en línea recta en dirección de la fuerza. En tal situación definimos el trabajo W efectuado por la fuerza sobre la partícula como el producto de la magnitud de la fuerza F y la magnitud del desplazamiento x a través del cual actúa la fuerza. La fuerza constante que actúa sobre una partícula puede no actuar en la dirección en que se mueve la partícula. En este caso definimos el trabajo efectuado por la fuerza sobre la partícula como el producto de la componente de la fuerza a lo largo de la línea del movimiento y la magnitud del desplazamiento. Obsérvese que el signo del trabajo depende del valor del cos : Si 90 respecto de la dirección del movimiento cos ( ) ( )W Si 90 respecto de la dirección del movimiento cos ( ) ( )W Si es perpendicular a la dirección del movimiento cos 0 0W Trabajo de una Fuerza Variable: Trabajo de Fuerza Variable Unidimensional: Consideremos ahora el trabajo efectuado por una fuerza F ctte , actuado en una sola dirección, la cual tomaremos como la dirección x. En la figura (a) muestra las variación de ( )F x en función del desplazamiento de la partícula, dividido en N intervalos pequeños x desde ix hasta ix x . En este intervalo de desplazamiento, la fuerza ( )F x tiene un valor 1F casi constante, y una pequeña cantidad de trabajo: Lo mismo ocurre con los otros N-1 intervalos. El trabajo total W efectuado por ( )F x para desplazar al cuerpo desde ix hasta fx es, aproximadamente, la suma de todos los pequeños trabajos: Si hacemos tender el valor de 0x (por lo cual N ) podremos encontrar una mejor aproximación. Por lo cual el valor real del trabajo W será: Numéricamente, esta cantidad es exactamente igual al área entre la curva de la fuerza y el eje x entre los límites ix y fx , como en la figura (c). De aquí que una integral pueda ser interpretada gráficamente como W F x cos W F x 1 1W F x 1 2 3 1 2 3... ...W F x F x F x W W W 1 N n n W F x 0 1 0 lim lim ( ) f i nx n x nx x W F x F x F x dx Tranquilate! Junto a la Física un área. Por lo cual, podemos escribir el trabajo total efectuado por F al desplazar un cuerpo desde ix hasta fx , así: Trabajo de Fuerza Variable Bidimensional: La fuerza F puede variar tanto en magnitud como en dirección, y la partícula puede moverse a lo largo de una trayectoria curva. Para calcular el trabajo en este caso general dividiremos la trayectoria un número grande de desplazamientos pequeños s , cada uno tangente a la trayectoria en dirección del movimiento. Podemos hallar la cantidad de trabajo W efectuado sobre la partícula durante el desplazamiento s : El trabajo efectuado por la fuerza variable F sobre la partícula cuando esta se mueve desde i hasta f se halla aproximadamente sumando los elementos del trabajo sobre cada uno de los segmentos lineales que forman la trayectoria. Si los segmentos lineales s resultan infinitesimalmente pequeños, pueden ser sustituidos por diferenciales ds y la suma de todos los segmentos lineales puede ser sustituida por una integral, teniendo que el trabajo se halla: Escribiendo la fuerza F y ds en términos de sus componentes tendremos ˆ ˆx yF F i F j y ˆ ˆds dx i dy j , de modo que x yF ds F dx F dy . Sustituyendo este valor en (1): Las integrales como estas de las ecuaciones (1) y (2) se llaman integrales de línea. Para evaluarlas debemos saber cómo varían cos F o y cuando la partícula se va moviendo a lo largo de una línea determinada. Para el caso tridimensional, sabiendo que ˆˆ ˆx y zF F i F j F k y ˆˆ ˆdr dx i dy j dz k , tendremos que para la definición de trabajo de la ecuación (2) para este caso será: Unidades: Teniendo en cuenta la definición de trabajo W F dr podremos determinar las diferentes unidades en los diferentes. Sistema Internacional: ( )W N m J joule Sistema c.g.s.: W dina cm ergio Sistema Técnico: (kilográmetro)W kg m kgm Energía Cinética y Teorema de Trabajo-Energía: En este caso consideraremos el efecto del trabajo sobre el movimiento de la partícula. Consideraremos el trabajo neto netoW efectuado por todas las fuerzas que actúen sobre una partícula. Existen dos maneras de ( ) f i x x W F x dx cos W F s F s cos (1) f f i i W F ds F ds ( ) (2) f x y i W F dx F dy ( ) f f x y z i i W F dr F dx F dy F dz W F dr Tranquilate! Junto a la Física hallar el trabajo neto. La primera es hallar la fuerza neta, esto es, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Tratando esta fuerza neta como la única fuerza al calcular el trabajo. Por el segundo método, calculamos el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan en la partícula. Puesto que el trabajo es un escalar, podemos sumar el trabajo hecho por cada fuerza para hallar el trabajo neto: Ambos métodos arrojan iguales resultados y por cuál de ellos nos inclinemos, constituye una cuestión de mera convención. Sabemos que una fuerza neta aplicada a una partícula cambiará su estado de movimiento a acelerado, de una velocidad inicial iv a una velocidad final fv . Veremos cuál es el efecto del trabajo en el caso de una fuerza constante en una dimensión. Bajo la influencia de esta fuerza, la partícula se mueve desde ix hasta fx , y acelera desde iv hasta fv . El trabajo hecho es: Puesto que la aceleración a es constante, podemos usar la ecuación que expresa 2 2 2 ( )f i f iv v a x x podremos obtener: 1 12 2 2 2neto f iW m v m v Es decir, el resultado del trabajo neto en la partícula ha consistido en producir un cambio en el valor de la cantidad 1 22 m v desde el punto i al punto f. Esta cantidad se denomina energía cinética cE de la partícula, donde 1 22cE m v . En términos de energía cinética podemos expresar el trabajo neto como: Esta ecuación es la representación matemática de un importante resultado llamado teorema trabajo- energía, el cual puede enunciarse como: “El trabajo neto efectuado por las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula”. Al igual que el trabajo, la energía cinética es una cantidad escalar; a diferencia del trabajo, la energía cinética nunca es negativa. Analizaremos ahora la ecuación (3) para el caso de fuerzas no constantes en una dimensión. Hagamos que netaF represente la fuerza neta que actúa sobre la partícula. El trabajo neto efectuado por todas las fuerzas externas que actúan sobre la partícula es precisamente neto netaW F dx . Lo que haremos es llevar a cabo un cambio de la variable de integración y poner esto de una manera más útil: Entonces: La variable de integración es ahora v. Integremos desde la velocidad inicial iv hasta la velocidad final fv : Esta última ecuación es idéntica a la ecuación (3) y demuestra que el teorema trabajo-energía se mantiene incluso para fuerzas no constantes. 1 2 3 ...netoF F F F 1 1 2 2 3 3, , , ....W F dr W F dr W F dr 1 2 3 ...netoWW W W ( ) ( )neto neta f i f iW F x x m a x x (3)f ineto C C cW E E E neta dv dv dx dvF m a m m m v dt dx dt dx neto neta dvW F dx m v dx m v dv dx 1 1 12 2 2 2 2 2 2( ) f f i i v v neto f i f i v v W m v dv m v dv m v v m v m v Tranquilate! Junto a la Física Potencia: Al diseñar un sistema mecánico es a menudo necesario considerar no solamente cuánto trabajo debe efectuarse sino también a qué velocidad se efectuará este. Por lo cual, definimos a la potencia como a razón a la que se efectúa el trabajo. Aquí consideramos solamente la potencia mecánica, la cual es una consecuencia del trabajo mecánico. La potencia promedio p desarrollada por un agente que ejerza una fuerza particular sobre un cuerpo es el trabajo total efectuado por esa fuerza sobre el mismo dividido por el intervalo de tiempo total: La potencia instantánea de P producida por un agente es: Donde dW es la pequeña cantidad de trabajo efectuada en el intervalo infinitesimal de tiempo dt . Si la potencia es constante en el tiempo, entonces p p y: Podemos expresar la potencia suministrada a un cuerpo en función de la velocidad del mismo y de la fuerza que actúa sobre él. En general, podemos escribir: Por lo cual, se puede expresar la potencia como: p F v Si F y v son paralelas entre sí, esto podemos expresarlo como: p F v La potencia puede ser tanto positiva como negativa. Suministrar una potencia negativa a un cuerpo significa hacer un trabajo negativo sobre él: la fuerza ejercida sobre el cuerpo por el agente externo esta en dirección opuesta a su desplazamiento dr y, por lo tanto, opuesta a v . Unidades: teniendo en cuenta el análisis dimensional de la formula de potencia Sistema Internacional: Jp Watt s Sistema c.g.s.: ergiop s Sistema Técnico: kgmp s Equivalencias: Sistema Técnico y Sistema Internacional Fuerza: 1 9,81kg N Trabajo: 1 9,81 9,81kgm N m J Potencia: 1 9,81 9,81 kgm J Watt s s Sistema Técnico y Sistema c.g.s. Wp t dWp dt W p t dW F dr drp F dt dt dt W p t Tranquilate! Junto a la Física Trabajo: 3 2 71 10 10 9,81 9,81 10dinakgm gr cm ergio gr Sistema Técnico Ingles Potencia: Conservación de la Energía Mecánica: Fuerzas Conservativas y No Conservativas (o Disipativas): Para ilustrar el comportamiento de los sistemas conservativos, consideremos el movimiento unidimensional de una partícula sobre la que actúan tres fuerzas diferentes: La fuerza de un Resorte ( F k x ): La figura (1) muestra un bloque de masa m unido a un resorte de constante de fuerza k; el bloque se desliza sin fricción sobre una superficie horizontal. Inicialmente, un agente externo comprime el resorte de modo que el bloque se desplaza a x d desde su posición inicial 0x cuando en resorte esta en equilibrio. Al eliminar súbitamente el agente externo, veremos que el resorte comienza a efectuar un trabajo sobre el bloque. Cuando el bloque se mueve desde x d hasta 0x , el resorte efectúa un trabajo 1 22 kd (el mismo aparece como energía cinética del bloque). Cuando el bloque pasa por 0x el signo de la fuerza del resorte se invierte, retarda al bloque y efectúa un trabajo negativo 1 2 2 kd sobre él, hasta llegar a x d . De igual manera, desde x d hasta 0x , la fuerza del resorte efectúa un trabajo 1 22 kd , y desde 0x otra vez de regreso a x d , efectúa un trabajo 1 22 kd . El bloque esta ahora otra vez en su posición original y vemos al sumar las cuatro contribuciones distintas que el trabajo total efectuado sobre el bloque por la fuerza del resorte en el ciclo completo es cero. La fuerza de la Gravedad ( F m g ): La siguiente figura (2) muestra un ejemplo de un sistema que consta de una pelota que recibe la acción de la gravedad de la Tierra. La pelota es lanzada hacia arriba por un agente externo que le da una velocidad 0v , con una energía cinética de 1 202 mv . Mientras la pelota se eleva, la Tierra efectúa un trabajo sobre la misma hasta que la lleva momentáneamente al reposo en y h . El trabajo efectuado por la Tierra desde 0y hasta y h es mgh . El teorema de trabajo-energía relaciona el cambio de energía cinética 1 202 mv con el trabajo neto efectuado por la única fuerza (la gravedad) mgh . Al caer la pelota desde y h hasta 0y , la fuerza de la gravedad efectúa el trabajo mgh . El trabajo efectuado por la fuerza de la gravedad en recorrido completo es de cero. La fuerza de Fricción ( F N ): En nuestro tercer ejemplo (figura 3), consideremos un disco de masa m en el extremo de un cordón de longitud R. Al disco se le da una velocidad inicial 0v y el cordón lo obliga a moverse en círculo de radio R sobre una superficie horizontal que ejerce una fuerza de fricción sobre el disco. La única fuerza que efectúa un trabajo sobre el disco es la fuerza de fricción ejercida por la superficie 1 550( ) 1 75 1 736 ( ) 1 746 ( . . . .) ft pn s kgm s HP HP HP Watt Ingles HP Watt E E U U Tranquilate! Junto a la Física sobre la base del disco. Esta fuerza actúa siempre en dirección opuesta a la velocidad del disco, de modo que el trabajo efectuado por la fuerza de fricción sobre el disco es siempre negativo. Cuando el disco ha regresado a su punto de partida, el trabajo efectuado por la fuerza de fricción en recorrido completo definitivamente no es cero; el trabajo total efectuado es una cantidad negativa. El disco regresa a su punto de partida con una energía cinética siempre menor después del viaje completo. Analizando estos tres ejemplos, llegamos a la primera forma de distinguir las fuerzas conservativas: “Si el cuerpo se mueve bajo la acción de una fuerza que no efectué trabajo neto durante un recorrido completo, entonces la fuerza es conservativa; de lo contrario, es no conservativa”. La fuerza elástica de restitución (fuerza del resorte) y la gravedad son dos ejemplos de fuerzas conservativas, y la fricción es un ejemplo de fuerza no conservativa. Una segunda manera de distinguir las fuerzas conservativas de las no conservativas se refiere al trabajo efectuado al llevar al cuerpo a través de trayectorias diferentes que lleven a la misma posición inicial. Por ejemplo, calcularemos el trabajo efectuado por la fuerza del resorte cuando el bloque la figura se mueve desde x d hasta / 2x d a lo largo de dos trayectorias (figura 4): trayectoria 1 (directamente) y trayectoria 2 (pasando primero desde x d hasta x d y luego hacia / 2x d ). Haciendo que 1W y 2W representen al trabajo efectuado por el resorte a lo largo de las trayectorias 1 y 2 respectivamente. Vemos, en este caso, el trabajo efectuado es el mismo en ambas trayectorias. Por otra parte, consideremos de vuelta el ejemplo de la fuerza de fricción no conservativa en el sistema ilustrado anteriormente, cuando el disco se mueve a través de dos trayectorias diferentes a la posición mostrada en la figura como punto A. Si comparamos el trabajo efectuado por la fricción cuando el disco se mueve desde el punto de partida hasta el punto A, a través de un cuarto de revolución con el trabajo efectuado por la fricción cuando se mueve 141 de revoluciones, hallamos que el trabajo (llegando exactamente a la misma posición final) efectuado por la fricción será de magnitud cinco veces mayor en la segunda trayectoria. Entonces, en el caso de la fuerza de fricción, el trabajo depende de la trayectoria seguida entre las ubicaciones inicial y final. Esto nos lleva a nuestra segunda manera de distinguir las fuerzas conservativas: “Si el trabajo efectuado poruna fuerza para mover un cuerpo desde una posición inicial hasta una posición final es independiente de la trayectoria seguida entre los dos puntos, entonces la fuerza es conservativa; de lo contrario es no conservativa”. Ambas definiciones son comprobables y validas para definir cuando una fuerza es o no conservativa. Energía Potencial: La energía potencial puede ser definida solo para fuerzas conservativas como la fuerza de un resorte o la fuerza de gravedad. La energía potencial pE es la energía de configuración de un sistema. Es la energía almacenada en un sistema a causa de la posición relativa u orientación de las partes de un sistema. Consideremos un sistema en el que únicamente actué una fuerza, la cual será conservativa. Cuando cambiamos la configuración del sistema, tal como el movimiento de una de sus partes, la fuerza efectúa un trabajo W. definimos que el cambio en la energía potencial pE correspondiente a un cambio particular en /2 /21 1 32 2 2 2 1 2 2 8( ) [( / 2) ] d d d d W kx dx kx k d d kd /2 /21 1 32 2 2 2 2 2 8( ) ( ) d d d d d d d d W kx dx kx dx kx kx kd Tranquilate! Junto a la Física la configuración es pE W . El cambio en la energía potencial durante el proceso es el negativo del trabajo efectuado por la fuerza conservativa. Cuando el sistema bloque-resorte de la figura (1) cambia su configuración de la posición 1d (donde el resorte esta en relajamiento) a 1a (donde el resorte esta momentáneamente en reposo), el trabajo efectuado por la fuerza del resorte sobre el bloque es 1 22W kd (por lo cual 1 2 2pE W kd ). De acuerdo con el teorema trabajo-energía, el cambio en la energía cinética del bloque es 1 22cE W kd . Para el sistema resorte-bloque tenemos 0c pE E . Establece que, en un sistema en el que solo actúen fuerzas conservativas, cualquier cambio de energía potencial debe estar equilibrado por un cambio igual y opuesto de la energía cinética. Ahora, si soltamos el bloque desde x d cuando el resorte esta comprimido, el mismo empuja al bloque y lo acelera. El desplazamiento desde el equilibrio disminuye, el resorte efectúa un trabajo positivo sobre el bloque, y el cambio en la energía potencial, por lo tanto, es negativo. Al mismo tiempo que la energía potencial disminuye, la energía cinética aumenta. Podemos escribir ( ) 0c pE E . En estos procesos el cambio en la c pE E total es de cero. Si no existe un cambio en la suma c pE E , entonces el valor de la suma debe ser una constante durante el movimiento. Llamamos E a esta constante, la energía mecánica del sistema conservativo: Esta ecuación es la representación matemática de la ley de conservación de la energía mecánica. Sistemas Conservativos Unidimensionales: Empleando la definición de trabajo W para obtener el cambio de la energía potencial de una partícula en movimiento unidimensional en un sistema en el cual recibe la acción de una fuerza conservativa ( )F x : La partícula se mueve desde la coordenada inicial 0x hasta la coordenada final x . Puesto que la energía potencial solo depende de la posición, el cambio pE ente dichas coordenadas es ( ) ( )0x xp p pE E E , y obtenemos: Al moverse desde 0x hasta x , la velocidad de la partícula cambiara desde 0v hasta v , y de acuerdo con el teorema de trabajo.-energía, el trabajo efectuado por la fuerza F es: Combinando estas tres ecuaciones tenemos que: La cantidad del medio de la ecuación (4) depende solamente de la posición inicial y la velocidad inicial, las cuales tienen valores constantes. Esta es la energía mecánica constante E. La ecuación (4) es otra forma de la ley de la conservación de la energía mecánica para fuerzas conservativas. En una dimensión podemos escribir la relación entre la fuerza y la energía potencial (ecuación 1) así: La ecuación (5) nos da otra manera de ver la energía potencial: “La energía potencial es una función de la posición, cuya derivada negativa nos da la fuerza”. c pE E E 0 ( ) (1) x p x E W F x dx ( ) ( )0 0 ( ) (2)x x x p p x E E F x dx 1 12 2 02 2 (3)pW E mv mv ( ) ( )0 1 12 2 02 2 (4)x xp pmv E mv E E ( ) ( ) (5) xpdEF x dx Tranquilate! Junto a la Física Energía Potencial Elástica: Elegimos que la posición de referencia 0x del bloque en el sistema bloque-resorte de la figura (1) fuese aquel en el que la posición del resorte es 0 0x y declaramos que la energía potencial del sistema es cero cuando el bloque esta en esta posición ( )0 0xpE . La energía potencial del sistema bloque-resorte puede hallarse sustituyendo estos valores en la ecuación (2) y evaluando la integral para la fuerza del resorte, ( )F x kx Se obtiene el mismo resultado cuando x es positiva o negativa; ya sea que el resorte este estirado o comprimido en una cantidad x dada, la energía almacenada es la misma. Al diferenciar la ecuación (6), vemos que la ecuación (5) se satisface: Supongamos que estiramos el sistema bloque-resorte hasta que el bloque este a una distancia mx de su posición de referencia; la energía potencial es 1 22 mkx . Si soltamos el resorte desde el reposo en esta configuración, la energía mecánica E es igual 1 22 mkx , puesto que no existe una energía cinética en el instante de soltarlo. En este caso, la ecuación (4) puede escribirse: Esta expresión nos permite hallar la velocidad para cualquier valor particular del desplazamiento: Como esperábamos, cuan mx x , esta última ecuación predice que la velocidad es cero. Cuando el bloque pasa a través del punto de referencia ( 0 0x x ), la velocidad 0v es: La energía mecánica puede ser expresada en términos ya sea de la velocidad 0v en la posición de referencia ( 1 202E mv ) o del desplazamiento máximo en la posición de referencia ( 1 2 2 mE kx ). Energía Potencial Gravitatoria: Para el sistema Tierra-pelota (figura 2), representamos a la coordenada vertical por y en lugar de x. Elegimos el punto de referencia 0 0y en la superficie de la Tierra, y definimos que ( )0 0ypE en ese punto. Evaluamos la energía potencial ( )ypE del sistema según la ecuación (1) con ( )yF mg : La ecuación (5) se satisface para esta energía potencial: La velocidad inicial de la pelota en el punto de referencia es 0v y la ecuación (4) nos da: Esta ecuación nos permite halla la velocidad en cualquier altura y. ( ) 0 1 2 ( ) 02 0 ( ) (6) x xp xp E kx dx E kx 1 2 2( ) pdE d kx kx F dx dx 1 1 12 2 2 2 2 2 mmv kx E kx 2 2( )m kv x x m 0 m kv x m ( ) 0 0 y ypE mg dy mgy pdE mg F dy 1 12 2 02 2mv mgy mv Tranquilate! Junto a la Física Principio de Conservación de la Energía: La figura (5) muestra un sistema arbitrario, alrededor del cual hemos trazado una curva cerrada imaginaria llamada frontera del sistema. El sistema tiene, dentro de su frontera, una energía que puede incluir muchas formas posibles: energía cinética cE , energía potencial pE , y energía interna intE . Aquí pE se refiere a la energía potencial que resulta de la interacción de las partes del sistema entre ellas mismas. La energía del sistema dentro de la frontera puede ser cambiada cuando el trabajo externo W se efectúa sobre el sistema por su entorno. Por lo tanto podemos escribir la conservación de la energía del sistema así: El trabajo externo positivo realizado sobre el sistema por el entorno tiende a aumentar la energía del sistema. El trabajo negativo hecho sobre el sistema por el entorno tiende a disminuir la energía del sistema. En la figura (6) ilustraremos estos principios. Definiremos primeroque nuestro sistema es el bloque mismo (6a). La figura muestra dos transferencias de energía a través de la frontera del sistema: el trabajo conservativo sW positivo efectuado sobre el bloque por el resorte y el trabajo no conservativo fW negativo efectuado sobre el bloque por la fuerza de fricción ejercida por la mesa. Para el sistema: Donde 0pE , porque el sistema que está dentro de la frontera no experimenta cambio alguno de energía potencial. El resorte no es parte del sistema, de modo que no se considera la energía potencial del resorte. Consideremos ahora que el sistema consta del bloque y el resorte (figura 6b). El sistema tiene ahora una energía potencial. La fuerza de fricción es la única fuerza externa que efectúa un trabajo sobre el sistema. Para la definición del sistema escribiremos: La fuerza del resorte es una fuerza interna que puede transferir energía dentro del sistema de una forma a otra ( c pE E ), pero no puede cambiar la energía total del sistema. El trabajo negativo (de fricción) de la superficie horizontal puede disminuir la energía del sistema. Finalmente, definamos que el sistema incluye a la mesa (figura 6c). Ahora no existe una fuerza externa, conservativa o no, que sea responsable de las transferencias de energía que penetran las fronteras del sistema, el trabajo externo es cero int 0c pE E E . La fuerza de fricción es ahora una fuerza interna, junto con la fuerza del resorte. La energía puede ser transferida dentro del sistema, pero permanece constante. Un sistema mecánico cerrado como el que aquí se ilustra, la energía mecánica se transforma en energía interna por la fuerza de fricción. La energía mecánica no se conserva en este caso, siendo compensada la perdida de energía mecánica por una ganancia equivalente de la energía interna. La ecuación (1) vista en este apartado representa un primer paso en el avance de una ley de conservación de la energía mecánica a una ley generalizada de la conservación de la energía. Esto puede enunciarse de la siguiente manera: “En un sistema aislado, la energía puede ser transformada de una clase a otra, pero no puede ser creada o destruida; la energía total del sistema permanece constante.” Por aislado nos referimos a que no se efectúa sobre el sistema ningún trabajo externo, conservativo o no conservativo. Esta definición de la conservación de la energía es una generalización de nuestra experiencia. int (1)p cE E E W intc s fE E W W intc p fE E E W Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 6: Conservación de la Cantidad de Movimiento Sistema de Partículas: Veamos el movimiento unidimensional de dos cuerpos unidos por un resorte. Por simplicidad, supondremos que no actúa ninguna fuerza externa neta sobre los cuerpos, a excepción de la fuerza del resorte. La figura (1) ilustra un ejemplo del tipo de movimiento que deseamos analizar. En este caso especial se le da al resorte un alargamiento inicial, y los dos cuerpos se sueltan desde el resorte. Sea id la extensión inicial del resorte, de modo que su energía inicial es 0 0 1 2 2 0Ci P iE E E kd . En cualquier instante de tiempo en particular, cuando la extensión del resorte sea d , la energía es: La conservación de la energía requiere que iE E , lo cual nos da: Como las posiciones de los dos cuerpos están relacionados por 2 1 (3)ix x L d donde L es la longitud de relajamiento del resorte. Las ecuaciones (2) y (3) no son suficientes a la hora de resolver 2x y 1x en función del tiempo y no nos es posible completar la solución a este problema. Por ello necesitamos información adicional que proviene del análisis de un punto particular del sistema. Este punto, llamado centro de masa del sistema, está señalado por una bandera en la figura (1). En este caso especial, el centro de masa no se mueve en lo absoluto. La posición del centro de masa se define, para el caso especial de dos partículas en una dimensión, como 1 1 1 2 2( ) (4)cm Mx m x m x . Donde 1x y 2x son las coordenadas x de las dos partículas respectivamente. Aquí M es la masa total del sistema ( 1 2M m m ). El centro de masa del sistema de dos cuerpos es un punto en el espacio definido por la ecuación (4) en una dimensión. No se requiere que sea necesariamente una parte de cualquiera de los cuerpos. La velocidad del centro de masa cmv , se encuentra derivando la ecuación (4) respecto al tiempo: La aceleración del centro de masa se halla diferenciando nuevamente: Donde 1a y 2a son las aceleraciones respectivas de 1m y de 2m . Continuamos aplicando las leyes de Newton a ambas masas. Sea 12F la fuerza ejercida sobre 1m por 2m , y 21F la fuerza ejercida sobre 2m por 1m , tendremos que: 12 1 1F m a y 21 2 2F m a (por la segunda ley de Newton). La tercera ley de Newton requiere que 12 21F F . Sustituyendo en la ecuación (6) nos da: 1 1 12 2 2 1 1 2 22 2 2 (1)CPE E E kd m v m v 1 1 12 2 2 2 1 1 2 22 2 2 (2)ikd kd m v m v 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 ( ) 1 (5) cm cm cm cm M dx dv m x m x dt M dt dx dxv m m M dt dt v m v m v 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 ( ) 1 (6) cm cm cm cm M dv da m v m v dt M dt dv dva m m M dt dt a m a m a Tranquilate! Junto a la Física En este caso especial, en el cual ninguna fuerza neta actúa sobre el sistema, el centro de masa no tiene aceleración y, por lo tanto, se mueve a velocidad constante. La figura (2) ilustra un caso ligeramente más general en el que se le da al resorte una extensión inicial y se les dan a los dos cuerpos velocidades iniciales 1iv y 2iv . Aquí podemos ver que el centro de masa se mueve a velocidad constante, aun cuando el movimiento del sistema como un todo es bastante complejo. Ahora supongamos que existe una fuerza externa ,1extF sobre 1m en adición a la fuerza 12F . Lo mismo, una fuerza externa ,1extF sobre 2m en adición a la fuerza 21F . Por lo tanto, la segunda ley de Newton aplicada a ambas masas es: Al sumar estas dos ecuaciones nos da: Los primeros dos términos de esta ecuación dan la fuerza externa neta extF que actúa sobre el sistema. La suma de los dos términos siguientes se anula por la tercera ley de Newton. El lado derecho de la ecuación puede expresarse como cmMa , usando la ecuación (6). Así, tenemos el resultado general: Resumiendo nuestros resultados, vemos que todo el sistema puede considerarse para ciertos propósitos como si se moviera a una velocidad cmv y tuviera su masa total M concentrada en la posición cmx . Más aun, en ausencia de una fuerza externa neta 0cma , y el centro de masa se mueve a velocidad constante. Sistema de varias Partículas: Consideremos un sistema que consiste en N partículas de masas 1 2 3, , ,..., Nm m m m . La masa total es 1 2 3 ... N nM m m m m m . Cada partícula del sistema puede ser representada por su masa nm ( 1, 2, 3,..., n N ), su posición en el espacio ( , y , zn n nx ), su velocidad nv (cuyas componentes son , , xn yn znv v v ) y su aceleración na . Sobre cada partícula actúa una fuerza nF , la cual en general difiere de una partícula a otra. El centro de masa del sistema puede definirse: En la notación vectorial más completa, la posición del centro de masa seria: Usando la derivada de esta expresión, hallamos la velocidad del centro de masa: Diferenciando, una vez más, hallamos la aceleración del centro de masa: 1 12 21 =0cm Ma F F ,1 12 1 1 ,2 21 2 2 ext ext F F m a F F m a ,1 ,2 12 21 1 1 2 2ext extF F F F m a m a (7)ext cmF Ma 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( ... ) ( ... ) ( ... ) cm N N n nM M cm N N n nM Mcm N N n nM M x m x m x m x m x y m y m y m y m y z m z m z m z m z 1 1 1 1 2 2( ... ) (8)cm N N n nM Mr m r m r m r m r 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 ( ... ) ( ... ) (9) cm N cm NM cm N N n nM M dr drdr drv m m m dt dt dt dt v m v m v m v m v Tranquilate! Junto a la Física Podemos reescribir la ecuación (3) así: Donde el resultado de la ecuación (4) se deduce de la aplicación de la segunda ley de Newton a cada partícula individual. Todo lo que queda en esta ecuación es la suma total de todas las fuerzas externas, y la misma se reduce a (12)ext cmF Ma que puede expresarse en función de sus componentes: Podemos resumir este importante resultado como sigue: “El movimiento de traslación total de un sistema de partículas puede ser analizado usando las leyes de Newton como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa y la fuerza externa total estuviera aplicada en ese punto.” Se deduce inmediatamente un corolario en el caso 0extF : “Si la fuerza externa neta sobre un sistema de partículas es cero, entonces el centro de masa del sistema se mueve a velocidad constante.” Centro de masa de Objetos Sólidos: Empleando la ecuación (1), dividiremos al objeto en elementos pequeños de masa nm . Cuando estos elementos se vuelven infinitesimalmente pequeños, se transforman en integrales: Ímpetu Lineal de una Partícula: El ímpetu de una partícula aislada es un vector P definido como el producto de su masa m por su velocidad v: El ímpetu, por ser el producto de una cantidad escalar por una vectorial, es en sí mismo un vector. Puesto que es proporcional a v, el ímpetu P de una partícula depende del marco de referencia del observador, debemos siempre especificar este marco. Newton expreso la segunda ley del movimiento en función del ímpetu (al cual llamo cantidad de movimiento). Expresado en la terminología moderna la segunda ley de Newton se lee así: “La razón de cambio del ímpetu de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y está en la dirección de esa fuerza.” En forma simbólica esto se convierte en: Aquí F representa la fuerza resultante que actúa sobre la partícula. Para una partícula aislada de masa constante, esta forma de la segunda ley equivalente a la forma F ma que hemos venido usando hasta ahora. Esto es, si m es constate, entonces: Se halla una relación conveniente entre el ímpetu y la energía cinética al combinar 1 22cE mv y P mv , lo cual nos da: 1 1 1 1 2 2( ... ) (10)cmcm N N n nM M dva m a m a m a m a dt 1 1 2 2 1 2 ... ... (11) cm N N cm N Ma m a m a m a Ma F F F , , , , , ,, y ext x cm x ext y cm y ext z cm zF Ma F Ma F Ma 0 1 1 (13)limcm n n m r x m r dm M M (14)P mv (15)dPF dt ( ) (16)dP d dvF mv m ma dt dt dt 2 2c PE m Tranquilate! Junto a la Física Ímpetu Lineal de un Sistema de Partículas: Supongamos que en lugar de una partícula aislada tenemos un sistema de N partículas, con masas 1 2 3, , ,..., Nm m m m , que no entran y salen del sistema de modo que la masa total ( nM m ) del sistema permanece constante en el tiempo. Las partículas pueden interactuar entre sí, y las fuerzas externas pueden actuar igualmente sobre ellas. Cada partícula tiene cierta velocidad y cierto ímpetu en el marco de referencia particular que se esté usando. El sistema, como un todo, tiene un ímpetu total el cual se define simplemente como el vector suma de los ímpetus de las partículas individuales en este mismo marco, o sea: Si comparamos esta relación con la ecuación (9), vemos de inmediato que: La cual es una definición equivalente al ímpetu de un sistema de partículas: “El ímpetu total de un sistema de partículas es igual al producto de la masa total del sistema por la velocidad de su centro de masa.” Si diferenciamos esta última ecuación con respecto al tiempo obtenemos, para una masa M constante supuesta: La comparación de la ecuación (26) con la ecuación (12), nos permite escribir la segunda ley de Newton para un sistema de partículas en la forma: Conservación del Ímpetu Lineal: Supongamos que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema es cero. Entonces la ecuación (20): “Cuando la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema es cero, el vector del ímpetu total del sistema permanece constante.” Este resultado sencillo pero de carácter general, se llama ley de conservación del ímpetu lineal. El ímpetu total de un sistema puede ser cambiado solamente por las fuerzas externas que actúen sobre el sistema. Las fuerzas internas, por ser iguales y opuestas, producen cambios de ímpetus iguales y opuestos, que se cancelan entre sí. En un sistema de partículas en el cual no actúe ninguna fuerza externa: Los ímpetus de las partículas individuales pueden cambiar, pero su suma permanece constante si no existe fuerza externa alguna. Sistemas de Masa Variable: Imaginemos que la cureña que sostiene al cañón en la figura (1) sostiene también una gran dotación de balas de cañón; para este caso el ímpetu lineal total debe ser cero. Si consideramos un sistema que incluya solo al cañón más la cureña, entonces el planteamiento precio ya no es válido. El ímpetu del cañón aumenta cada vez que se dispara. Cuando el cañón se dispara repetidamente, la masa total de la cureña disminuye según la cantidad de balas de cañón que hayan sido arrojadas, lo que provoca que la masa total M del sistema sea diferente cada vez que el cañón dispara. En este ejemplo nos referimos al sistema S, que consta del cañón más la cureña, como un sistema de masa variable. El sistema más grande S’ que consta del cañón y las balas disparadas, es un sistema de masa constante y también un sistema de ímpetu constante. Sin embargo, el sistema S no tiene una masa constante, 1 2 1 1 2 2... ... (17)N N NP P P P m v m v m v (18)cmP Mv (19)cm cm dvdP M Ma dt dt (20)ext dPF dt 0 o dP P una ctte dt 1 2 ... (21)NP P P ctte Tranquilate! Junto a la Física además de que las balas de cañón arrojadas llevan consigo un ímpetu y existe un flujo neto de ímpetu de S que es el responsable de su aceleración. Este ejemplo da una imagen mental de cómo trabaja un cohete. El combustible se quema y arroja a gran velocidad. El cohete experimenta una aceleración que depende de la cantidad de combustible que se consume y de la velocidad con que se arroja. La figura (2) muestra una vista esquemática de un sistema generalizado. En el tiempo t, el sistema S tiene una masa M y se mueve a velocidad v en el marco de referencia particular desde el que lo estamos observando. En el tiempo t t , la masa de S ha cambiado en una cantidad M a M M , mientras que la masa del resto del sistema integro S’ ha cambiado en una cantidad M . El sistema S se mueve ahora a velocidad v v , y la materia arrojada se mueve a una velocidad u . También permitiremos una fuerza externa que pueda actuar sobre todo el sistema (esta fuerza no es la responsable de impulsar el cohete, como la gravedad). El ímpetu de todo el sistema S’ es P , y la segunda ley de Newton puede expresarse: En el intervalo de tiempo t , el cambio de ímpetu P es f iP P P , donde: El cambio de ímpetu de S’ es, entonces: Reescribiendo la derivada de la ecuación (22) como un límite y sustituyendo esta expresión para P : Al tomar limite, el ultimo termino dentro de los corchetes se anula, porque 0v según 0t . También podemos expresar la ecuación (24) de una forma ligeramente más general: Podemos reducir la ecuación (25) a la forma dela partícula de la segunda ley de Newton en dos casos especiales: (1.) cuando / 0dM dt de modo que M es una constante, en cuyo caso estamos otra vez discutiendo sistemas de masa constante; (2.) cuando 0u , en cuyo caso estamos viendo al sistema de masa variable desde un marco de referencia muy especial en el cual la materia arrojada esta en reposo. La ecuación (24) ha sido derivada en una forma especial que puede ser adaptada fácilmente al análisis del movimiento de un cohete. La cantidad u v es relv la velocidad de los gases expulsados con relación al cohete. En función de relv podemos escribir la ecuación (24) de la siguiente forma: El último término de esta ecuación nos da la razón a la cual el ímpetu está siendo transferido al subsistema S o quizá fuera de él. Puede ser interpretada como una fuerza ejercida sobre S por la masa que entra o sale de este sistema. En el caso del cohete, este término se llama empuje. (22)ext dPF dt ( )( ) ( ) i f P Mv P M M v v M u ( )( ) ( ) (23)f iP P P M M v v M u Mv 0 0 0 ( )( ) ( )lim lim lim ( ) ( ) (24) ext t t ext t P M M v v M u MvF t t v M M dv dMF M v u v M v u t t t dt dt ( ) (25)ext d dMF Mv u dt dt (26)ext rel dv dMF M v dt dt Tranquilate! Junto a la Física La ecuación del Cohete: Considerando un cohete en el espacio lejano, donde no está sujeto a fuerza externa alguna. Supongamos que el movimiento es unidimensional; /dv dt define la dirección positiva cuando el cohete acelera y relv apunta en dirección negativa. Donde relv es la magnitud de la velocidad de escape. Esta ecuación es la ecuación fundamental que rige el comportamiento de un cohete. Choque o Colisión: En la colisión, una fuerza relativamente grande actúa sobre cada partícula que interviene en el choque durante un tiempo relativamente corto. La idea básica de colisión consiste en que el movimiento de las partículas (o cuando menos una de ellas) cambia de manera brusca, y que podemos hacer una separación relativamente clara de los tiempos de antes de la colisión y de los de después de la colisión. Las fuerzas que actúan durante un tiempo corto en comparación con el tiempo de observación del sistema se denominan fuerzas impulsivas. Impulso e Ímpetu: Supongamos que la figura (1) muestra la magnitud de la fuerza neta ejercida en un cuerpo durante una colisión. Según la segunda ley de Newton en la forma /F dP dt podemos escribir el cambio de ímpetu dP de una partícula en un tiempo dt durante el que actué sobre él una fuerza F en la forma: Podemos hallar el ímpetu del cuerpo durante la colisión al integrar sobre el tiempo de colisión, esto es, entre las condiciones iniciales (el ímpetu iP en el tiempo it ) y las condiciones finales (el ímpetu fP en el tiempo ft ). El lado izquierdo de la ecuación es el cambio de ímpetu f iP P . El lado derecho, que depende tanto de la intensidad de la fuerza como de su dirección, se llama impulso J de la fuerza: Quedando que (3)f iJ P P . La ecuación (3) es el enunciado matemático del teorema impulso- ímpetu: “El impulso de la fuerza neta que actúa sobre una partícula durante un intervalo de tiempo determinado es igual al cambio en el ímpetu de la partícula durante ese intervalo”. El teorema rige para partículas aisladas y se deriva directamente de la segunda ley de Newton. La magnitud del impulso de esta fuerza está representada por el área debajo de la curva F(t). Podemos representar esa misma área por el rectángulo de la figura (1) de anchura t y altura F ; donde F es la magnitud de la fuerza promedio que actúa durante el intervalo t . Conservación del Ímpetu durante las Colisiones: Consideremos la colisión entre dos partículas como las de la figura (2). Durante la breve colisión estas partículas ejercen fuerzas grandes entre sí ( 12F y 21F ). Según la tercera ley de Newton estas fuerzas son iguales en (27)rel dv dMM v dt dt dP Fdt (1) f f i i P t P t dP Fdt (2) f i t t J Fdt (4)J F t Tranquilate! Junto a la Física magnitud pero se oponen directamente. El cambio en ímpetu de las partículas que resulta de la colisión son: Si no actúa sobre la partícula ninguna otra fuerza, entonces 1P y 2P dan el cambio total del ímpetu para cada partícula. Sin embargo, hemos visto que en cada instante 12 21F F de modo que 12 21F F y por lo tanto: Si consideramos a las dos partículas como un sistema aislado, el ímpetu total del sistema es 1 2 (8)P P P y el cambio total en el ímpetu del sistema como resultado de la colisión es cero: De aquí que, si no existen fuerzas externas el ímpetu total del sistema de dos partículas no cambia por la colisión. Podemos también caracterizar a una colisión como un evento en el que las fuerzas externas que pueden actuar sobre el sistema son despreciables comparadas con las fuerzas impulsivas de la colisión. Por ejemplo, cuando un bate golpea contra una bola de béisbol, la colisión dura solo unos cuantos milisegundos. Puesto que el cambio en el ímpetu de la bola es más grande y el tiempo de colisión es pequeño, a partir de P F t se deduce que la fuerza impulsiva promedio F es relativamente grande. Comparada con esta fuerza, la fuerza externa de la gravedad es despreciable. Así, durante la colisión podemos despreciar por completo esta fuerza externa para determinar es cambio en el movimiento de la bola. Podemos decir que el ímpetu de un sistema de partículas en el instante antes de que estas choquen es igual al ímpetu del sistema en el instante después de haber chocado las partículas. Colisiones en una Dimensión: Consideraremos el efecto de una colisión entre dos objetos, conociendo las velocidades iniciales de los dos objetos antes de la colisión, y nuestra meta es aplicar las leyes de conservación o las leyes del movimiento para hallar las velocidades después de la colisión. La ley de conservación del ímpetu debe cumplirse durante cualquier colisión en la que solo actúen fuerzas internas, y puede aplicarse aun si no conocemos las fuerzas. En una categoría especial de la colisión, llamada colisión elástica, despreciamos todas las demás formas de la energía y consideramos solamente la energía mecánica. Además suponemos que, en una colisión impulsiva, las fuerzas internas actúan durante un tiempo corto y, por lo tanto, sobre una distancia corta. En una colisión elástica, la energía cinética de traslación es la única forma de energía por la que debemos responder, y la conservación de la energía mecánica es, por lo tanto, equivalente a la conservación de la energía cinética ( 0 fC C E E ). En otra categoría, que llamamos inelástica, la energía aparece en otras formas, y las energías cinéticas inicial y final no son iguales. En ciertos casos 0 fC C E E como, por ejemplo, cuando la energía cinética inicial se convierte en energía interna de los productos, mientras que en otros casos 0 fC C E E , como cuando la energía interna almacenada en las partículas al chocar se libera. En una colisión inelástica la energía mecánica no se conserva, pero la energía total si. 1 12 12 (5) f i t t P F dt F t 2 21 21 (6) f i t t P F dt F t 1 2 (7)P P 1 2 0 (9)P P P Tranquilate! Junto a la Física Colisión Elástica: Consideremos una colisión elástica unidimensional. Imaginemos a dos objetos que se mueven inicialmente a lo largo de la línea que une a los centros, luego chocan de frente y se mueven a lo largo de la misma línea recta después de la colisión (figura 3). Estos cuerpos ejercen fuerzas entre si durante la colisión que están a lo largo de la líneade movimiento inicial, de modo que el movimiento final está también a lo largo de la misma línea. Las masas de las partículas en la colisión son 1m y 2m , siendo las componentes de la velocidad 1iv y 2iv antes de la colisión y 1 fv y 2 fv después de la colisión. Tomamos la dirección positiva del ímpetu y de la velocidad hacia la derecha de la figura (3). Suponiendo que las velocidades de las partículas en colisión sean suficientemente bajas, según la conservación del ímpetu obtendremos: Puesto que estamos considerando una colisión elástica, la energía cinética se conserva por definición, y obtenemos, al ser 0 fC C E E : Si conocemos las masas y las velocidades iniciales, podemos calcular las dos velocidades finales 1 fv y 2 fv a partir de estas dos ecuaciones. La ecuación del ímpetu y la ecuación de la energía pueden escribirse: Dividiendo la ecuación (13) entre la (12), y suponiendo que las velocidades iniciales son distintas a las velocidades finales para ambas masas, obtendremos que: Y, después de un reordenamiento: Para obtener las componentes de la velocidad 1 fv y 2 fv después de la colisión a partir de las componentes de la velocidad 1iv y 2iv antes de la colisión, combinamos las ecuaciones (12) y (14) para eliminar a 2 fv y resolver para 1 fv : Similarmente, eliminamos a 1 fv y resolvemos para 2 fv : Colisión Inelástica: Consideraremos ahora las colisiones inelásticas, en las que, por definición, la energía cinética no se conserva, pero la conservación del ímpetu siempre se cumple. En el caso de la colisión completamente inelástica, el resultado final puede obtenerse a partir de los valores iniciales solamente. En este caso, las partículas se quedan pegadas y se mueven a una velocidad común fv después de la colisión. Entonces existe solamente una incógnita, y la ecuación del ímpetu (ecuación 10) es suficiente. Reemplazando tanto 1 fv como 2 fv en esa ecuación por la velocidad común fv nos conduce a: 1 1 2 2 1 1 2 2 (10)i i f fm v m v m v m v 1 1 1 12 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2 (11)i i f fm v m v m v m v 1 1 1 2 2 2( ) ( ) (12)i f f im v v m v v 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) (13)i f f im v v m v v 1 1 2 2i f i fv v v v 1 2 1 2( ) (14)i i f fv v v v 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 (15)f i i m m mv v v m m m m 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (16)f i i m m mv v v m m m m 1 2 1 2 1 2 1 2 (17)f i i m mv v v m m m m Tranquilate! Junto a la Física Cuando 2m esta inicialmente en reposo, esta se reduce a: Colisiones Bidimensionales: Si dos partículas colisionan de una manera diferente a la frontal, las partículas pueden moverse en direcciones que no coinciden con las direcciones del movimiento original (figura 4). Hemos elegido a nuestro sistema de coordenadas de modo que 1P tenga una sola componente x, simplificando el cálculo, suponiendo que 2m está en reposo. La distancia b entre la línea de movimiento de la partícula incidente y una línea paralela que pase por 2m se llama parámetro de impacto. Independientemente de la fuerza que actué entre las partículas, el ímpetu debe conservase. Puesto que el ímpetu es un vector, sabemos que las componentes x e y nos darán dos ecuaciones escalares independientes. Para las componentes en x: Aquí tenemos en cuenta las direcciones de 1 fv y 2 fv a través de los ángulos 1 y 2 respectivamente. El ímpetu y inicial es cero, y el ímpetu y final es la diferencia entre el de cada una de las partículas: Si la colisión es elástica, se cumple el resultado usual para la conservación de la energía. Igualando las energías cinéticas inicial y final tenemos: Colisiones Inelásticas bidimensionales: Una colisión en dos dimensiones completamente inelástica debe comenzar con ambos cuerpos en movimiento. Hacemos que el movimiento de un cuerpo defina al eje x, y disponemos la colisión de modo que los dos cuerpos se encuentren y se adhieran entre sí en el origen. El objeto final se mueve entonces en la dirección f a una velocidad fv (figura 5). La conservación del ímpetu para las componentes x e y da lo siguiente: Donde 1 2M m m es la masa total de la combinación después de la colisión. Puesto que la combinación se mueve a velocidad común, las cuatro incógnitas del caso elástico se reducen a dos: f y fv . Estas dos ecuaciones son suficientes para una solución única. 1 1 1 2 (18)f i mv v m m 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2cos cos (19) i f i f f P P m v m v m v 1 1 1 2 2 20 (20) iy fy f f P P m v sen m v sen 1 1 12 2 2 1 1 1 1 2 22 2 2 (21)i f fm v m v m v 1 1 2 2 2 2 2 2 cos cos (22) sen sen (23) f f f f m v m v Mv m v Mv Tranquilate! Junto a la Física Coeficiente de Restitución: El coeficiente de restitución es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas. En una colisión frontal alineada de dos esferas sólidas (como las que experimentan las bolas de billar) las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión: Donde e es precisamente el coeficiente de restitución, que toma valores entre 0 y 1. El valor 1 se da en un choque perfectamente elástico, donde se conserva tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema. El valor 0 se da en un choque perfectamente inelástico (o plástico) donde sólo se conserva el momento lineal, una porción de la energía cinética inicial de las partículas se "consume" durante el choque, convirtiéndose en energía de deformación plástica, energía sonora, calor, etcétera. El coeficiente de restitución es la velocidad relativa de alejamiento, dividido entre la velocidad relativa de acercamiento de las partículas. Péndulo Balístico: Un péndulo balístico (figura 6) es un dispositivo que se empleaba para medir la velocidad de las balas antes de que se dispusiera de dispositivos electrónicos para medir el tiempo. Consta de un gran bloque de madera de masa M, colgado de dos largos de cuerdas. Se dispara una bala de masa m contra el bloque, dentro del cual llega rápidamente al reposo. La combinación bloque + bala oscila, elevándose su centro de masa a una distancia vertical h antes de que el péndulo llegue momentáneamente al reposo en el extremo de su arco. Cuando la bala contra el bloque tenemos, por la conservación del ímpetu en la dirección horizontal ( )mv M m V donde v es la velocidad de la bala antes del impacto y V es la velocidad de la combinación después del impacto. Aunque la energía mecánica ciertamente no se conserva durante la colisión de la bala con el bloque, si se conserva en el péndulo al oscilar después del impacto. La energía cinética del sistema cuando el bloque esta en el fondo de su arco debe ser igual a la energía potencial del sistema cuando el bloque está en la parte superior, es decir: Eliminando V entre estas dos ecuaciones llegamos a: Podemos ver al péndulo balístico como una clase de transformador, intercambiando la alta velocidad de un objeto ligero (la bala) con la baja velocidad y, por lo tanto más fácilmente medible, de un objeto masivo (el bloque). Momento de una Fuerza que actúa sobre una Partícula (TORQUE): La experiencia con una puerta pesada nos enseña que una fuerza dada puede producir varias aceleraciones angulares dependiendo de donde se aplique la fuerza a la puerta y como aquella está dirigida (figura 7). Una fuerza 1F aplicada al borde y dirigida a lo largo de la puerta no puede producir ninguna aceleración angular, como tampoco lo puede hacer una fuerza 2F aplicada a lo largo del gozne dela puerta; pero una fuerza 3F aplicada en ángulo recto con la puerta en su borde exterior produce la mayor aceleración angular. 2 1 2 1 f f i i v v e v v 1 2 2 ( ) ( )M m V M m gh 2M mv gh m http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica http://es.wikipedia.org/wiki/Choque_perfectamente_el%C3%A1stico http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_lineal http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica http://es.wikipedia.org/wiki/Choque_perfectamente_inel%C3%A1stico http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_lineal http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_de_deformaci%C3%B3n http://es.wikipedia.org/wiki/Plasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos) http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_sonora Tranquilate! Junto a la Física El análogo de la rotación de la fuerza se llama torque ( ). Sea F una fuerza que actúa sobre una partícula aislada en un punto P cuya posición en torno al origen O del marco de referencia inercial esta dado por el vector r (figura 8). El torque que actúa sobre la partícula con respecto al origen O se define en términos del producto vectorial: El torque es una cantidad vectorial, cuya magnitud está dada por , F rF r sen , donde ,F r es el ángulo entre F y r . El torque tiene las dimensiones de fuerza multiplicada por distancia. Estas son las mismas que las dimensiones de trabajo, pero el torque y el trabajo son magnitudes muy diferentes. La diferencia más notable que el trabajo es una magnitud escalar, mientras el torque es una magnitud vectorial. Nótese que el torque producido por una fuerza depende no solamente de la magnitud y la dirección de esta, sino también del punto de aplicación de la fuerza respecto al origen, esto es, el vector r . Podemos también escribir la magnitud de ya sea como ,( )F rF r sen Fr o como ,( )F rr F sen rF . Momento Angular de una Partícula: Dado una partícula de masa m que se mueve con una trayectoria circular con una velocidad tangencial v , definimos al ímpetu lineal de dicha partícula como: Se define momento angular de una partícula con respecto al punto de referencia: El vector L (figura 9) es un vector normal al plano definido por r y P . Si disponemos a r y a P en el plano x-y, y aplicando el producto vectorial, tendremos que: Dado que estamos en el plano x-y tendremos que 0z , y por lo tanto 0zP : Teorema de Conservación de Momento Angular: Derivamos la ecuación (1) de momento angular con respecto al tiempo, tendremos que: P mv ( ) (1)L r P r v m F r ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )z y x z y x x y z i j k L r P x y z i yP zP j zP xP k xP yP P P P ˆ( )y xL k xP yP 0 (2) dL dr dPP r v mv r F r F dt dt dt dL dt Tranquilate! Junto a la Física Si tenemos que el torque de la fuerza aplicada a dicha partícula 0 tendremos que / 0dL dt y por lo tanto: L ctte (Teorema de Conservación de la Cantidad de Mov. Angular). Cuando un torque es nulo, este se debe a dos causas: Si 0F tendremos que no existe fuerza externa sobre la partícula, y por lo tanto podemos decir que la partícula se mueve a velocidad constante (partícula libre). Por lo cual podemos expresar lo siguiente: Donde r sen y v son las magnitudes de los vectores r y v respectivamente, por lo cual se comprueba que L es constante (ya que todos las variables que intervienen en la ecuación son constantes). Si la fuerza externa aplicada a una partícula es paralela al vector posición, tendremos el caso particular de un movimiento circular uniforme. Momento Angular para un Sistema de Partículas: Consideremos ahora un sistema de partículas, por simplicidad emplearemos como ejemplo un sistema de dos partículas de masas 1m y 2m (figura 12). Ambas partículas conservan su momento angular con respecto al tiempo, por lo cual tendremos que: Donde los torques 1 y 2 representan los momentos angulares de las partículas 1m y 2m respectivamente. Sumando las dos ecuaciones anteriores tendremos que: Supongamos que cada partícula, además de su interacción con la otra, está sometida a una fuerza externa. Entonces la fuerza sobre la partícula de masa 1m es 1 12F F y sobre la partícula de masa 2m es 2 21F F , y Dado que 21 12F F , el torque total sobre la partícula será 1 2 1 1 2 2 1 2 12( )r F r F r r F El vector 12 1 2r r r tiene la dirección de la línea que une las dos partículas. Sabiendo que las fuerzas internas 12F y 21F actúan a lo largo de la dirección de 12r que une las dos partículas, los vectores 1 2( )r r y 12F son paralelos, y por lo tanto 1 2 12( ) 0r r F . En conclusión tendremos que: Donde tenemos que 1,ext y 2,ext , representan los torques externos (producido por las fuerzas externas) de las partículas 1m y 2m respectivamente. Por lo tanto, podemos generalizar esta última ecuación para un sistema de n partículas: 0 0 ( / / ) Si F Si F pasa por el centro de rotacion F r L r P r mv L r sen m v L ctte 1 1 dL dt 2 2 dL dt 1 2 1 2 ( )d L L dt 1 1 1 12 1 1 1 12 2 2 2 21 2 2 2 21 ( ) ( ) r F F r F r F r F F r F r F 1 2 1 1 2 2 1, 2, ( ) ext ext d L L r F r F dt Tranquilate! Junto a la Física Se puede enunciar esta ultima ecuación de la siguiente manera: “La rapidez de cambio del momento angular total de un sistema de partículas, relativo a un punto arbitrario, es igual al torque total relativo al mismo punto, de las fuerzas externas actuantes sobre el sistema.” Si no existen fuerzas externas que actúen sobre el sistema tendremos que ( ) 0sist i dL d L dt dt . Por lo cual obtenemos que 1 2 ...i nL L L L ctte , cumpliendo el teorema de conservación del momento angular. Expresado en palabras, el teorema indica que: “El momento angular total de un sistema aislado, o un sistema sobre el que actúa un torque externo total nulo, es constante en magnitud y dirección.” Energía Cinética Rotacional: La figura (13) muestra un cuerpo rígido que gira con respecto a un eje vertical fijo. Consideremos al cuerpo como un sistema de partículas, y hacemos el análisis de una partícula sola. Una partícula de masa m a una distancia r del eje de rotación se mueve en un circulo de radio r a una velocidad angular con respecto a este eje y tiene una velocidad lineal tangencial v r . La energía cinética de la partícula es, por lo tanto 1 12 2 22 2mv mr . La energía cinética total CrE del cuerpo que gira es la suma de las energías cinéticas de todas las partículas que componen el cuerpo, que puede expresarse así: Al suponer que el cuerpo es rígido, todas las partículas tienen la misma velocidad angular . La cantidad se le llama inercia de rotación del cuerpo con respecto al eje de rotación particular, y está representada por el símbolo I: Nótese que la inercia rotacional de un cuerpo depende del eje en torno al cual este girando así como de la manera en que este distribuida su masa. Combinando las ecuaciones (1) y (2) tendremos que: Esta es análoga a la expresión para la energía cinética de traslación de un cuerpo 1 22CE Mv . Al igual que se puede demostrar que la inercia de rotación I es análoga a la masa M (que podemos considerar como la inercia de traslación). Teorema del Trabajo y la Energía Cinética en el Movimiento Rotacional: Supongamos un cuerpo rígido que pivotea en el eje z (figura 14). Se aplica al cuerpo una fuerza externa F actúa sobre el punto P, de tal manera que el trabajo realizado por dicha fuerza, cuando gira una distancia ds r d , es: Donde F sen es el componente tangencial de F , mientras que no se considera el trabajo realizado por la componente radial de la misma no realiza trabajo, al ser perpendicular al desplazamiento. Obsérvese que ( )F sen r representa la ecuación del torque de una fuerza sobre una partícula, por lo cual el trabajo realizado por la rotación se puede expresar: , 1 n sist i ext i dL dt ( )dW F ds F sen r d dW d 1 2 22 (1)Cr i iE m r 2 (2)i iI m r 1 2 2 (3)CrE I Tranquilate! Junto a la Física La rapidez a la que el trabajo es realizado por F cuando el cuerpo gira alrededor del eje, todo el ángulo d en un intervalo dt , es: La expresión dW d es análoga dW F dx . Supongamos ahora que varias fuerzas 1F , 2F , …, se aplican en diferentes puntos del cuerpo en el plano normal a su eje de rotación. El trabajo neto efectuado por estas fuerzas sobre el cuerpo en una rotación d es: Suponemos que es el desplazamiento angular d de cualquier punto del cuerpo durante el intervalo de tiempo dt , sin importar donde este situado el punto en un cuerpo. Podemos escribir así: Aquí ext representa el torque externo total que actúa sobre el cuerpo, la cual se calcula considerando a cada torque externo como positiva en caso de que, al actuar aisladamente, tienda a girar al cuerpo en sentido contrario a las manecillas del reloj, caso contrario, el torque externo se considera negativo. Durante el intervalo dt , la energía cinética del cuerpo cambia en una cantidad CdE como resultado de la acción de las fuerzas externas. Supongamos que la energía cinética de rotación es la única forma de energía que el cuerpo puede contener. Por lo tanto tendremos: Durante el intervalo dt , el teorema de trabajo-energía da CdW dE . Sustituyendo las ecuaciones (1) y (2) en esta última expresión tendremos que: Esta última ecuación es análoga a la segunda ley de Newton análoga para el movimiento circular. Para obtener la razón a la cual se efectúa el trabajo en el movimiento de rotación, dividimos la ecuación (1) entre el intervalo de tiempo infinitesimal durante el cual se desplaza el cuerpo y obtenemos: Donde p representa la potencia mecánica instantánea. La ecuación (4) es el análogo de rotación de p F v para el movimiento de traslación. De lo que aprendimos en movimiento lineal, esperamos que cuando un cuerpo simétrico rota alrededor de un eje fijo, el trabajo realizado por fuerzas externas es igual al cambio en la energía rotacional. Para demostrar esto sabemos que I . De la cual podemos obtener: Comparando esta ecuación con los primeros dos términos de la ecuación (1), obtendremos que: Al integrar esta última expresión obtendremos el trabajo total realizado por la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema rotante: dW d dt dt 1 1 1 2 1 2 1 2cos cos ... ...dW F d rd F d r d d (1)ext extdW d dt 1 22 (2)CdE d I I d I dt (3) ext ext dt I dt I (4)p (5)d d d dI I I I dt d dt d (6)d dW I d 1 12 2 2 2 (7) f i f iW I d I I Tranquilate! Junto a la Física Donde la rapidez angular cambia de i a f . Esta ecuación representa el teorema del trabajo y energía cinética para el movimiento rotacional, y expresa que: “El trabajo neto realizado por fuerzas externas al rotar un cuerpo rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igual al cambio en la energía rotacional del cuerpo.” Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 7: Dinámica de la Rotación de un Cuerpo Rígido Definición de Cuerpo Rígido: Un cuerpo rígido es un caso especial e importante de los sistemas constituidos por muchas partículas, esto es, un cuerpo en el cual las distancias entre todos sus componentes permanecen constantes bajo la aplicación de una fuerza o momento. Un cuerpo rígido, por consiguiente, conserva su forma durante el movimiento. Podemos distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. El movimiento es de traslación cuando todas las partículas describen trayectorias paralelas de modo que las líneas que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo permanecen siempre paralelas a su posición inicial. El movimiento es de rotación alrededor de un eje cuando todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor de una línea denominada eje de rotación. El eje puede estar fijo o puede estar cambiando su dirección relativa con respecto al cuerpo durante el movimiento. El movimiento más general de un cuerpo rígido puede siempre considerarse como una combinación de una rotación y de una traslación. Por ejemplo en la figura (1), el movimiento del cuerpo que pasa de la posición 1 a la posición 2 puede considerarse como uno de traslación representado por el desplazamiento CC’, que une las dos posiciones del centro de masa, y uno de rotación alrededor de un eje a través del centro de masa C’. De acuerdo con la ecuación M dv F dt , el movimiento del centro de masa es idéntico al movimiento de una partícula cuya masa es igual a la masa del cuerpo y sobre la cual actúa una fuerza igual a la suma de todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo. En el caso del movimiento de rotación del cuerpo rígido estudiaremos el que se produce alrededor de un eje que pasa ya sea a través de un punto fijo en un sistema inercial o a traces del centro de masa del cuerpo. En el primer caso, se utiliza para discutir el movimiento la ecuación dL dt (donde L y se calculan ambos con respecto al punto fijo), mientras que el segundo caso, debe utilizarse la ecuación cm cmdL dt . Momento Angular de un Cuerpo Rígido: Consideremos un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje z (figura 2) con velocidad angular . Cada una de sus partículas describe una órbita circular con centro en el eje z. Por ejemplo, la partícula de masa im describe un círculo de radio iR con una velocidad i iv r , siendo ir el vector posición con respecto al origen O. La magnitud, en consecuencia, de la velocidad será: i i i iv rsen R El momento angular de dicha partícula con respecto al origen O es i i i iL m r v , perpendicular al plano determinado por los vectores ir y iv , y situado en el plano determinado por ir y el eje z. Por lo cual tendremos que la magnitud de y su componente paralela al eje z es: La componente del momento angular total del cuerpo rotante a lo largo del eje de rotación z es: 2 90°= (1) (2) i i i i i iz i i i i i i i iz i i i i i L r P sen r P L L sen P r sen R P L R m v m R 2 2 21 1 2 2 ... (3)z i iL m R m R m R I Tranquilate! Junto a la Física Donde I es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje z. El momento angular total del cuerpo es igual a iL y en general no es paralelo al eje de rotación, ya que los momentos angulares individuales iL no son paralelos al eje. Pero puede demostrarse que para cada cuerpo, sin importar su forma, existen por lo menos tres direcciones mutuamente perpendiculares para las cuales el momento angular es paralelo al eje de rotación. Estos ejes se denominan ejes principales de inercia, y los momentos correspondientes de inercia se llaman momentos principales de inercia (designados por 1I , 2I y 3I ). Calculo del Momento de Inercia: Sabemos que un cuerpo rígido está compuesto de un numero grande de partículas, de modo la definición de momento de inercia representada por una sumatoria debe reemplazarse por una integral ( 2 2i iI m R Rdm ) o, si es la densidad del cuerpo, donde dm dV y 2 I R dV . Si el cuerpo es homogéneo, su densidad es constante y por lo tanto: Si observamos la figura (3), tenemos que 2 2 2R x y , y por consiguiente tendremos que el momento de inercia respecto del eje z es: Los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos están relacionados por una formula muy simple. Sea z in eje arbitrario y cz un eje paralelo que pasa a través del centro de masa del cuerpo (figura 4). Si a es la separación entre los dos ejes, la siguiente relación, denominada Teorema de Steiner, tiene lugar: Donde I e cmI son los momentos de inercia del cuerpo con respecto a z y cz respectivamente, y M es la masa del cuerpo. Para comprobar esta relación, observemos la figura (4). Tomaremos un punto P arbitrario del cuerpo M. Entonces, veremos que P’A es perpendicular al eje cy y 'P A x , CA y y OC a , tenemos que: Ahora el momento de inercia con respecto a z es: El primer término es justamente el momento de inercia cmI con respecto al eje cz , y en el último término M m , es la masa total del cuerpo. Por consiguiente: Para evaluar el termino central de esta ecuación veremos que la posición del centro de masa esta dado por cmy my m . Pero en nuestro caso 0cmy ya que el centro de masa coincide con el origen C del sistema c c cx y z , y por lo tanto tendremos que 0my ; quedando de esta manera demostrado el teorema de Steiner. 2 (4)I R dV 2 2 (5)zI x y dV 2 (6)cmI I Ma 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 c c R x y R x y a x y ya a R ya a 2 2 2 2 22 2c cI mR m R ya a mR a my a m 22 (7)cmI I a my Ma Tranquilate! Junto a la Física Radio de Giro: El radio de giro de un cuerpo es una cantidad K definida de modo que se cumpla la siguiente relación: En el cual I es el momento de inercia y M la masa total del cuerpo. El radio de giro representa la distancia del eje a la cual se puede concentrar la masa del cuerpo sin variar su momento de inercia. Es una cantidad útil ya que puede determinarse, para cuerpos homogéneos, enteramente por su geometría. Ecuaciones del Movimiento Rotacional de un Cuerpo Rígido: Teniendo en cuenta la ecuación que relaciona el momento angula de un sistema de partículas y el torque total de las fuerzas aplicada a las partículas, tanto el torque como el momento angular se calculan con respecto a un punto en reposo en un sistema inercial. Esto es (8)extdL dt , donde iL L es el momento angular total y ext i es el torque debido a las fuerzas externas. La ecuación (8) constituye la ecuación básica para discutir el movimiento de rotación de un cuerpo rígido. La aplicaremos primero al caso de un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje principal que tiene un punto fijo en un sistema inercial. Sabiendo que L I , el toque externo ext debe ser el torque con respecto a un punto fijo sobre el eje principal. Luego la ecuación (8) se transforma en: Si el eje permanece fijo con respecto al cuerpo rígido, el momento de inercia permanece constante. Entonces: Esta última ecuación es equivalente a la segunda ley de Newton para el movimiento de traslación extMa F . Si tenemos que 0ext , manteniéndose constantes tanto I como . Esto es: “un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje principal se mueve con velocidad angular constante cuando no se aplican torques externos.” La ecuación (10) representa la ley de inercia o ecuación fundamental de la dinámica rotacional. En el caso de un cuerpo rígido que no esté rotando alrededor de un eje principal, tenemos que z zdL dt o si la orientación del eje es fija con respecto al cuerpo de modo que I sea constante: Cuando el eje de rotación no tiene un punto fijo en un sistema inercial, no podemos usar la ecuación (8) y debemos calcular el momento angular y el torque con respecto al centro de masa del cuerpo. Así debemos usar la siguiente ecuación: Si la rotación es alrededor de un eje principal, esta ecuación se vuelve cm cmI d dt . Si 0cm , que es el caso cuando la única fuerza externa aplicada al cuerpo es su peso, entonces es constante. Energía Cinética Rotacional: Anteriormente definimos la energía cinética de un sistema de partículas como 1 22 iC iE m v . También sabemos que, en el caso de un cuerpo rígido rotando con respecto a un eje con velocidad angular , la velocidad de cada partícula es i iv R , donde iR es la distancia de la partícula al eje de rotación. Luego: 2I MK K I M ( ) (9)extd I dt (10) ext ext dI dt I (11)z dI dt (12)cm cmdL dt 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 (13) iC i i i i i C E m v m R m R E I Tranquilate! Junto a la Física La ecuación (13) es correcta para cualquier eje aun si no fuera principal, ya que la magnitud de la velocidad es siempre i iv R . Cuando la rotación es con respecto a un eje principal, podemos expresar la ecuación anterior de la siguiente manera: Movimiento Giroscópico: Como ya sabemos, si extdL dt implica que en la ausencia de un torque externo ext , el momento angular L del cuerpo es constante. Si el cuerpo esta rotando con respecto a un eje principal L I , y el cuerpo seguirá rotando con respecto a dicho eje con velocidad angular constante. Esto se ilustra por el giroscopio (figura 5), el cual es un instrumento que permite montar una rueda giratoria de modo que el eje puede cambiar libremente de dirección. La rueda G está montada sobre la varilla horizontal AB y es balanceada por un peso W de modo que el torque total alrededor de O es cero. La varilla AB puede moverse libremente respecto de los ejes 0x e 0z , y la rueda esta rotando rápidamente alrededor del eje 0y . Por consiguiente, el momento angular del sistema es paralelo al eje 0y cuando este eje esta fijo en el espacio. Si el torque aplicado al giroscopio no es cero, el momento angular experimenta un cambio en el tiempo dt dado por: En otras palabras, el cambio en el momento angular tiene siempre la dirección del torque. Si el torque es perpendicular al momento angular L , el cambio dL es también perpendicular a L y el momento angular cambia de dirección pero no de magnitud. El movimiento del eje de rotación alrededor de un eje fijo debido a un torque externo se llama precesión. Esta situación se encuentra en el movimiento de un trompo común (especie de giroscopio) tal como el de la figura (6), disponiendo el eje 0x en el plano xy mientras que 0y queda en el plano 0zz . Debido a la simetría cilíndrica del trompo, los ejes principales 0 0 0x y z no están girando con velocidad angular . El origen de los sistemas es O, el cual es fijo en un sistema inercial de referencia. Por ello, tanto L como deben calcularse con respecto a O. El torque externo se debe al peso Mg que actúa en el centro de masa C y es igual al producto vectorial OC Mg . El torque es , por consiguiente, perpendicular al plano 0z oz , y por lo tanto perpendicular también a L . En magnitud Mgb sen donde es el ángulo entre el eje de simetría 0z y el eje vertical z , y b OC da la posición del centro de masa. En un pequeño intervalo dt el vector L cambia de la posición OA a la posición OB, siendo su cambio AB dL , paralelo a (figura 7). La velocidad angular de precesión se define como la velocidad a la cual el eje del cuerpo 0oz rota alrededor del eje oz fijo en el laboratorio: 2 2 2 (14) 2 2C I LE I I (15)dL dt (16)d dt Tranquilate! Junto a la Física El mismo está representado por el un vector paralelo a oz . La magnitud de dL es: Y sabiendoque dL dt , tendremos que: Despejando y empleando ecuaciones anteriores podemos determinar: Notando la orientación relativa de los vectores , L y en la figura (8), vemos que la ecuación (15) puede escribirse en la forma vectorial: Los resultados de las ecuaciones (18) y (19) son aproximados. Una discusión más detallada indica que en general el ángulo no permanece constante, sino que oscila entre dos valores fijos, de modo que el extremo de L , al mismo tiempo que precesa alrededor z, oscila entre los dos círculos C y C’, describiendo la trayectoria indicada (figura 8). Este movimiento oscilatorio del eje z’ se denomina nutación. La nutación, al igual que la precesión, contribuye al momento angular total, pero en general, su contribución es aún menor que la de la precesión. ( )( ) (17)dL AD d Lsen dt (18)Lsen (19) Mgb ILsen (20)L Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 8: Estática Equilibrio del Cuerpo Rígido: Se dice que un cuerpo rígido esta en equilibrio mecánico si, visto desde un marco de referencia inercial, tanto el ímpetu lineal P como el ímpetu angular L del cuerpo rígido tienen un valor constante. De manera equivalente, podríamos decir que tanto la aceleración lineal cma como la aceleración angular respecto de un eje fijo en el marco de referencia son cero. Esta definición del equilibrio mecánico no requiere que el cuerpo este en reposo, esto es, P y L no tiene necesariamente valor constante cero. Si son cero, entonces estamos ante una situación de equilibrio estático. Estática: es la rama de la mecánica que analiza las cargas (fuerza, momento) y estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas físicos en equilibrio estático, es decir, en un estado en el que las posiciones relativas de los subsistemas no varían con el tiempo. En esta unidad estudiaremos los casos de equilibrio estático, si bien, como veremos, las mismas restricciones son aplicables tanto si el equilibrio es estático como si no lo es. El movimiento de traslación del centro de masa de un cuerpo rígido se rige por la ecuación extF dP dt en la que extF es la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Si P es un valor constante, debemos tener que 0dP dt . Así pues, la primera condición de equilibrio es que la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúen sobre el cuerpo deben ser cero: Esta ecuación vectorial es igual a tres ecuaciones escalares: Las ecuaciones (1) y (2) postulan que la suma de las componentes de las fuerzas externas a lo largo de cada una de las tres dimensiones mutuamente perpendiculares es cero. El movimiento rotatorio de un cuerpo rígido está regido por la ecuación ext dL dt , donde ext es la suma de todos los torques externos que actúan sobre el cuerpo. Si el ímpetu angular L tiene cualquier valor constante, debemos tener que 0dL dt . Por lo tanto, la segunda condición de equilibrio es que la suma vectorial de todos los torques externos que actúan sobre el cuerpo deben ser cero: Esta ecuación vectorial puede expresarse como tres ecuaciones escalares: Las mismas postulan que, en equilibrio, la suma de las componentes de los torques que actúan sobre el cuerpo, a lo largo de cada una de las tres direcciones mutuamente perpendiculares, es cero. La segunda condición de equilibrio es independiente de la elección del origen y de los ejes de coordenadas que se usen para calcular las componentes de los torques. Si el torque neto es cero, entonces sus componentes son cero para cualquier elección de los ejes xyz. Probaremos este último postulado. Supongamos que se aplican N fuerzas externas sobre el objeto. Respecto al origen O, la fuerza 1F se ejerce en un punto ubicado en 1r , la fuerza 2F en 2r , y así sucesivamente. El torque neto con respecto a O es, por lo tanto: Supongamos que un punto P está situado en el desplazamiento con 0 (1)extF 0, 0, 0 (2)x y zF F F 0 (3)ext 0, 0, 0 (4)x y z 1 1 2 2 ... (5)O N Nr F r F r F http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica Tranquilate! Junto a la Física respecto a O (figura 1). El punto de aplicación de 1F con respecto a P, es 1( )Pr r . El torque con respecto a P es: El primer grupo de términos entre los corchetes da O de acuerdo a la ecuación (5). Podemos reescribir el segundo grupo suprimiendo el factor constante de Pr : Donde llevamos a cabo el último paso porque 0extF para un cuerpo en equilibrio de traslación, quedando demostrado el último apartado. A menudo tratamos con problemas en que todas las fuerzas están en un plano. En este caso las seis condiciones de las ecuaciones (2) y (4) se reducen a tres. Resolvemos las fuerzas en dos componentes: Y, si calculamos los torques con respecto a un punto que también está en el plano xy, todos los torques deben estar en la dirección perpendicular al plano xy. En este caso: Nos limitaremos, sobre todo, a problemas en un plano para simplificar los cálculos. El Centro de Gravedad: Una de las fuerzas que se encuentran en la dinámica del cuerpo rígido es la fuerza de gravedad, la cual es responsable del peso del cuerpo. Anteriormente definimos la fuerza sobre un cuerpo de masa M por medio de un vector aislado Mg que actuaba en el centro de masa del cuerpo. Aquí justificaremos este paso y estudiaremos las condiciones bajo las cuales es válida. El peso de un cuerpo extenso es en realidad la resultante de un gran número de fuerzas, cada una de ellas debido a la gravedad, que actúa sobre cada una de las partículas del cuerpo. Además, la resultante neta de los torques gravitatorios correspondientes sobre todas las partículas puede ser reemplazada por el torque debido a esa fuerza única si imaginamos que actúa en un punto del cuerpo llamado centro de gravedad. Si la aceleración gravitatoria g tiene el mismo valor en todos los puntos del cuerpo, ocurren dos simplificaciones: (1) el peso es igual Mg , y (2) el centro de gravedad coincide con el centro de masa. Imaginemos al cuerpo de masa M dividido en un gran número de partículas. La fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre la iésima partícula de masa im es im g , la cual se halla dirigida hacia el centro de la Tierra. La fuerza neta sobre todo el objeto será: Puesto que hemos supuesto que g tiene el mismo valor para cada partícula del cuerpo, podemos sacar factor común g de la suma de la ecuación (8), lo cual da: Esto comprueba la primera de las afirmaciones. Apliquemos ahora la condición de torque (ecuación 3) tomando los torques respecto a un punto arbitrario O (figura 2). El vector ir localiza la partícula de masa ir con relación a este origen. El torque neto en torno a ese punto debido a la gravedad que actúa sobre todas las partículas es: 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ... ( ) ... ... P P P N P N P N N P P P N r r F r r F r r F r F r F r F r F r F r F P O P ext P O r F 0, 0 (6)x yF F 0 (7)z (8)iF m g (9)i iF m g g m Mg (10)i i i ir m g m r g Tranquilate! Junto a la Física Una vez más usamos la constancia de g para sacarla de la suma. Por lo cual tendremos que la suma restante i im r es precisamente cmMr donde cmr es el vector que sitúa al centro de masa del cuerpo con respecto al origen O. En estos dos pasos podemos expresar la ecuación (10) así: El torque resultante sobre el cuerpo es, entonces, igual al torque que sería producida por la fuerza única Mg que actúa en el centro de masa delcuerpo, y entonces el centro de gravedad, coincide con el centro de masa, lo cual comprueba la segunda afirmación hecha anteriormente. Un corolario útil de la ecuación (11) es que el torque debido a la gravedad en torno al centro de masa de un cuerpo es cero. Las ecuaciones (9) y (11) demuestran que, si aplicamos una fuerza única 'F hacia arriba de magnitud Mg en el centro de masa, entonces tanto la fuerza neta como el torque neto serán cero, y nuestras condiciones de equilibrio se cumplirán. Sin embargo, también es cierto que el cuerpo estará en equilibrio si la fuerza 'F hacia arriba esta aplicada en cualquier punto de una línea vertical que pase por el centro de masa. El torque neto es cero en este caso, porque Mg y 'F Mg tienen la misma línea de acción. Por lo tanto, podemos equilibrar un objeto aplicando una fuerza 'F no solo en el centro de masa, sino también en cualquier punto situado directamente encima o debajo del centro de masa. Nosotros hemos usado de manera indistinta los términos centro de masa y centro de gravedad. El centro de masa se define así para cualquier cuerpo y puede calcularse a partir del tamaño y la forma del cuerpo. Por otra parte, el centro de gravedad se define únicamente para los cuerpos situados dentro de un campo gravitatorio. Para calcular el centro de gravedad, debemos conocer no solo los detalles geométricos del cuerpo, sino también la variación de g sobre el cuerpo. Si g no es constante sobre todo el cuerpo, entonces el centro de gravedad y el centro de masa no coinciden, y g no puede suprimirse de las sumas de las ecuaciones (8) y (10). Consideremos una barra uniforme (figura 3), cuyo eje está inclinado en cierto ángulo diferente de cero respecto a la horizontal. El centro de masa C esta en el centro geométrico de la barra. Si el eje de la barra fuese horizontal, el centro de gravedad P coincidiría con el centro de masa. Cuando el eje no es horizontal esto no sucede, puesto que g disminuye ligeramente con la distancia desde la Tierra, la partícula N en el extremo más bajo de la barra experimenta una atracción gravitatoria mayor que una partícula idéntica 1 en el extremo más alto. Para compensar esta tendencia resultante de la barra a girar en sentido horario en torno a C, el centro de gravedad P debe estar situado un poco más debajo de C. Tipos de Fuerzas: Se pueden distinguir dos grandes clases de fuerzas: Fuerzas de Contacto (o fuerza de rozamiento): representan el resultado del contacto físico entre el cuerpo y sus alrededores, por ejemplo mover un carro o estirar un resorte. Fuerzas de acción a distancia: dichas fuerzas actúan a través del espacio sin que haya contacto físico entre el cuerpo y sus alrededores, por ejemplo la fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos que caen en caída libre. Todas las diferentes formas de fuerzas se encuentran dentro de esas dos grandes clasificaciones. Para describir el mundo, la física contemporánea recurre a cuatro interacciones o fuerzas fundamentales, que actúan sobre las partículas de materia, son vehiculadas por unas partículas llamadas vectores de interacción, que son: fotón (interacción electromagnética), bosón (interacción débil), gluón (interacción fuerte) y gravitón (interacción gravitacional). Fuerzas Gravitatorias: es la fuerza de atracción que un trozo de materia ejerce sobre otro, y afecta a todos los cuerpos. Es una fuerza muy débil pero de alcance infinito. (11)i i cm cmm r g Mr g r Mg http://rabfis15.uco.es/sistemasligados/pagina1fin/FuerRozamiento.htm http://rabfis15.uco.es/sistemasligados/pagina1fin/FuerRozamiento.htm Tranquilate! Junto a la Física Fuerzas Electromagnéticas: afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, y es la fuerza involucrada en las transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas. Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria y su alcance es infinito. La fuerza o interacción nuclear fuerte: es la que mantiene unidos los componentes de los núcleos atómicos, y actúa indistintamente entre dos nucleones cualesquiera, protones o neutrones. Su alcance es del orden de las dimensiones nucleares (10-15 m), pero es más intensa que la fuerza electromagnética. Interacción nuclear débil: es la responsable de la desintegración beta de los neutrones; los neutrinos son sensibles únicamente a este tipo de interacción. Su intensidad es menor que la de la fuerza electromagnética y su alcance es aún menor que el de la interacción nuclear fuerte (10-18 m). Características del Vector Fuerza: Las fuerzas al ser magnitudes vectoriales, son representadas a través de vectores, por lo cual, para definir una fuerza es necesario conocer: Punto de Aplicación Sentido: indica hacia donde está dirigida la fuerza. Dirección o Recta de Acción: es la línea por la que se desplaza dicha fuerza. Modulo o Intensidad: es la magnitud de dicha fuerza. Una fuerza puede ser representada, también, en forma matemática de dos formas: Coordenadas Cartesianas: representada por valores numéricos que representan sus componentes en los ejes del sistema cartesiano que se esté empleando. Coordenadas Polares: representadas por el modulo del vector y el ángulo que forma con la horizontal. Descomposición de Fuerzas: Al resolver problemas, veremos que para simplificar nuestro análisis es necesario descomponer las fuerzas en sus componentes cartesianas. Por ello siempre disponemos de un marco de referencia, con un sistema de ejes cartesianos (de 2 o 3 dimensiones). Si observamos la figura (4) veremos que podemos expresar el vector fuerza F en sus componentes polares como F donde representa el modulo del vector y representa su dirección respecto del eje positivo x. Luego para poder descomponer el vector en sus componentes cartesianas empleamos trigonometría, por lo cual tendremos que: Por lo cual tendremos que: Si queremos expresarlo en función de vectores unitarios tendremos que: Fuerzas Coplanares: Son aquellas fuerzas que están dispuestas en el mismo plano. Por lo general, para simplificar un problema se trata de disponer las fuerzas en un solo plano a la hora de realizar la descomposición de estas fuerzas en el sistema de coordenadas. cosx y F F sen cosx yF F F sen ˆ ˆcosF i sen j Tranquilate! Junto a la Física Fuerzas Paralelas: Son aquellas fuerzas cuyas direcciones son paralelas y tienen el mismo sentido. Un ejemplo común es el de un carro tirado por dos caballos, los cuales ejercen fuerzas paralelas en dirección y sentido del movimiento de los caballos. Estas fuerzas pueden ser transformadas en una sola aplicando suma de fuerzas, la cual se denomina fuerza resultante. Fuerzas Antiparalelas: A diferencia de las fuerzas paralelas, las antiparalelas tienen sentidos contrarios y direcciones paralelas. Tal es el caso de las fuerzas de acción y reacción, o las fuerzas gravitatorias que se ejercen entre dos cuerpos en el espacio. Cupla o Par de Fuerzas: Se denomina cupla o par de fuerzas a un sistema formado por dos fuerzas de igual valor que poseen direcciones opuestas. Dicho sistema de fuerzas no puede ser reducido a una única fuerza resultante. El efecto que produce una cupla sobre un cuerpo es una rotación pura. El plano en el cual se encuentran las dos fuerzas se denomina plano de la cupla y la distancia entre las líneas de acción de las fuerzas se denomina brazo de la cupla. El módulo del momento de la cupla se obtiene multiplicando el módulo de cualquiera de las fuerzas por el brazo de la cupla. Equilibrio de Cuerpos Vinculados: Al aplicar las condiciones de equilibrio (fuerza resultante nula y torque resultante nulo con respecto a cualquier punto), podemos aclarar y simplificar el procedimiento como sigue. En primer lugar,trazamos una frontera imaginaria alrededor del sistema en estudio. Esto ayuda a ver claramente a que cuerpo o a que sistema de cuerpos estamos aplicando las leyes de equilibrio. A este proceso se le llama aislar el sistema. En segundo lugar, trazamos los vectores que representen la magnitud, la dirección, y el punto de aplicación de todas las fuerzas externas. Una fuerza externa es aquella que actúa desde el exterior de la frontera que hayamos trazado en primer lugar. Ejemplos de fuerzas externas que se encuentran a menudo son las fuerzas gravitatorias y las fuerzas ejercidas por cuerdas, alambres, barras, y vigas que cruzan la frontera. Existen ciertos casos en que la dirección de una fuerza pudiera no ser obvia. Para determinar la dirección de cierta fuerza, tracemos un corte imaginario a través del miembro que ejerce la fuerza en el punto en que cruza la frontera. Si los extremos de este corte tienden a separarse, la fuerza actúa hacia afuera. En caso de duda, conviene elegir la dirección de la manera arbitraria. Un valor negativo de una fuerza en la solución significa que la fuerza actúa en dirección opuesta contraria a la que habíamos supuesto. En tercer lugar, elegimos un sistema de coordenadas conveniente a lo largo de cuyos ejes resolvemos las fuerzas externas antes de aplicar la primera condición de equilibrio. La meta, aquí, consiste en simplificar los cálculos. El sistema de coordenadas preferible es, por lo general, aquel que haga mínimo el número de fuerzas que deban ser resueltas en componentes. En cuarto lugar, elegimos un sistema de coordenadas conveniente a lo largo de cuyos ejes resolvemos los torques externos antes de aplicar la segunda condición de equilibrio. Una vez más, la meta consiste en simplificar los cálculos, y podemos usas sistemas de coordenadas diferentes al aplicar las dos condiciones para el equilibrio estático si esto demuestra ser conveniente. Por ejemplo, al calcular los torques con respecto a un punto a través del cual actúen varias fuerzas se eliminan las fuerzas de la ecuación del torque. En el equilibrio, las componentes del torque que resulta de todas las fuerzas externas deben ser cero en torno a cualquier eje. Los torques internos se cancelaran en pares y no necesitan ser considerados. Tomamos un torque como positivo si por si misma produjera una rotación antihoraria en torno al eje. Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 9: Gravitación Interacción Gravitatoria: La interacción gravitatoria es la interacción consecuencia del campo gravitatorio, esto es, de la deformación del espacio por la existencia de materia. Su estudio comenzó con Newton, al proclamar su célebre ley de atracción universal, siendo en la actualidad desarrolladas ideas sobre la misma a partir de la relatividad general de Einstein. Desde el punto de vista clásico, la interacción gravitatoria, es la fuerza atractiva que sufren dos objetos con masa. Esta fuerza es proporcional al producto de las masas de cada uno, e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias que los separa. Entre otras interacciones tenemos: Interacción Electromagnética: afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, y es la fuerza involucrada en las transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas Interacción Nuclear Fuerte: es la que mantiene unidos los componentes de los núcleos atómicos, y actúa indistintamente entre dos nucleones cualesquiera, protones o neutrones. Interacción Nuclear Débil: es la responsable de la desintegración beta de los neutrones. A diferencia de estas tres interacciones, la interacción gravitatoria solo depende de su masa sin importar si sus moléculas se encuentran cargadas eléctricamente, y tampoco como se mantienen unidas las mismas. Ley de Gravitación Universal: Existen tres ámbitos entrelazados dentro de los cuales podemos estudiar la gravitación. (1) La atracción gravitatoria entre dos bolas de boliche, por ejemplo, aunque medible según técnicas sensibles, es demasiado débil como para caber dentro de nuestras percepciones sensoriales ordinarias. (2) La atracción de la Tierra sobre nosotros y los objetos que nos rodean es una característica que controla nuestras vidas, de la cual podemos escapar solo con medidas extremas. Los diseñadores del programa espacial no descuidan por ningún momento la fuerza gravitatoria. (3) En la escala del sistema solar y de la interacción de las estrellas y las galaxias, la gravitación es por mucho la fuerza dominante. Es notable que las tres situaciones puedan ser descritas por la misma ley de fuerza. Esta ley, la fuerza es la ley de la gravitación universal de Newton, puede ser enunciada como sigue: “Todas las partículas del universo se atraen entre sí con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. La dirección de esta fuerza es a lo largo de la línea que las une.” Así pues, la magnitud de la fuerza gravitatoria F que ejercen entre sí dos partículas de masas 1m y 2m separadas por una distancia r es: Aquí G, llamada constante gravitatoria, es una constante universal que tiene el mismo valor para todos los pares de partículas. Es importante observar que las fuerzas gravitatorias entre dos partículas son un par acción-reacción. Nótese que la ley de gravitación universal de Newton no es una ecuación definitoria de cualquiera de las cantidades físicas contenida en ella. La fuerza F sobre una partícula se entiende que está relacionada de una manera simple con las propiedades medibles de una partícula y de su entorno. La ley de gravitación universal tiene esta clase de simplicidad. Una vez que ha sido determinada G a partir de un experimento para cualquier par de cuerpos, ese valor de G puede ser usado en la ley de la gravitación para determinar la fuerza gravitatoria entre cualquier otro par de cuerpos. 1 2 2 (1) m mF G r http://enciclopedia.us.es/index.php/Campo_gravitatorio http://enciclopedia.us.es/index.php/Espacio http://enciclopedia.us.es/index.php/Materia http://enciclopedia.us.es/index.php/Isaac_Newton http://enciclopedia.us.es/index.php/Gravedad http://enciclopedia.us.es/index.php/Relatividad_general http://enciclopedia.us.es/index.php/Albert_Einstein http://enciclopedia.us.es/index.php/Masa_(f%C3%ADsica) Tranquilate! Junto a la Física Nótese también que la ecuación (1) expresa la fuerza entre partículas. Si queremos determinar la fuerza entre dos cuerpos extensos, como la Tierra y la Luna, debemos considerar a cada cuerpo como compuesto de partículas. La Constante Gravitatoria G: Para determinar el valor de G, lo que necesitamos es medir la fuerza gravitatoria F entre dos masas conocidas 1m y 2m separadas por una distancia r. Podemos calcular G a partir de la ecuación (1). Un sistema a gran escala como el de la Tierra y la Luna, no sirven para determinar el valor G. En vez de esto debemos basarnos en mediciones a pequeña escala para lo que usamos dos muestras de laboratorio de masas conocidas y medimos la fuerza entre ellos. La fuerza es muy débil y las marcas deben colocarse cerca entre sí para hacer que la fuerza sea lo más grande posible. Al hacerlo así, no podemos considerar a las masas como concentradas en puntos por los que la ecuación (1) no es aplicable. La primera determinación en laboratorio del valor de G, a partir de la fuerza entre masas esféricas situadas entre sí a corta distancia, fue realizada por Henry Cavendish en 1798. Usó un método basado en la balanza de torsión (figura 1). Dos bolas pequeñas, cada una de masa m, están unidas a los extremos de una barra ligera. Esta mancuerna rígida se suspende, con su eje horizontal, de una fina fibra vertical. Dos bolas grandes, cada una de masa M, se colocan cerca de los extremos de la mancuerna en lados opuestos. El experimentooriginal de Cavendish dio un valor G de 11 2 26.75 10 N m kg . Durante casi 200 años desde los tiempos de Cavendish, se ha usado la misma técnica básica de la balanza de torsión para repetir esta medición muchas veces, conduciendo al valor de G aceptado actualmente: Este valor posee una incertidumbre de alrededor de 0.013% . Leyes de Kepler y el Movimiento Planetario: Mediante las leyes del movimiento y la ley de gravitación universal de Newton, podemos entender y analizar el comportamiento de todos los cuerpos en el sistema solar. Adoptamos dos hipótesis que simplifiquen el análisis: (1) consideramos a la fuerza gravitatoria solamente entre el cuerpo en órbita y el cuerpo central, ignorando el efecto perturbador de la fuerza gravitatoria de otros cuerpos; (2) suponemos que el cuerpo central es más masivo que el cuerpo en órbita de modo que podemos despreciar su movimiento bajo su interacción mutua. En realidad, ambos objetos orbitan con respecto a su centro de masa común, pero si un cuerpo es mucho más masivo que el otro, el centro de masa esta aproximadamente en el centro del cuerpo más masivo. La base empírica para entender los movimientos de los planetas son las tres leyes de Kepler, y ahora demostraremos como pueden relacionarse estas leyes con los resultados analíticos de las leyes de Newton: 1.) La ley de las Orbitas: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas teniendo al Sol como uno de los focos. Newton fue el primero en darse cuenta que existía una relación matemática directa entre el inverso de los cuadrados de las fuerzas ( 21 r ) y las orbitas elípticas (figura 2). El origen de las coordenadas están en el cuerpo central, y el cuerpo que gira en torno está localizado en las coordenadas polares r y . La órbita se halla descrita por dos parámetros: el semieje mayor a y la excentricidad e. La distancia desde el centro de la elipse a 11 2 26.67259 10G N m kg Tranquilate! Junto a la Física cualquiera de los focos es ea. Una órbita circular es un caso especial de una órbita elíptica con 0e . Para los planetas del sistema solar, las excentricidades son pequeñas y las órbitas son casi circulares. La distancia maxima aR del cuerpo en órbita al cuerpo central se indica con el prefijo griego apo, que significa lejos, como en afelio (distancia maxima desde el Sol) o en apogeo (la distancia maxima desde la Tierra). De igual manera, la distancia mas cercana pR esta indicada por el prefijo peri, como en perihelio o en perigeo. 2.) La ley de las Áreas: Una línea que una a cualquier planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. La figura (3a) ilustra esta ley. Demostraremos ahora que la ley de las áreas es idéntica a la ley de conservación del ímpetu angular. Consideremos el pequeño incremento de área A barrido en un intervalo de tiempo t , como se muestra en la figura (3b). El área de esta cuña aproximadamente triangular es la mitad de su base r , pos su altura r. La tasa a la cual esta área es barrida es 12A t r r t . En el límite instantáneo esto resulta ser: El ímpetu angular instantáneo del cuerpo que orbita es 2L mr y entonces: En la medida en que podamos considerar a los dos cuerpos como un sistema aislado, L es una constante, y, por lo tanto, dA dt es una constante. Por lo tanto, el aumento en la velocidad de un cometa que al pasar cerca del Sol es precisamente una demostración de la conservación del ímpetu angular. Debe observarse que la conservación del ímpetu angular es válida para cualquier fuerza central, es decir, para cualquier fuerza que actué a lo largo de una línea que une a dos partículas y que dependa solamente de la magnitud de la separación entre dos partículas. 3.) La ley de los Periodos: El cuadrado del periodo del cualquier planeta alrededor del Sol es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol. Probaremos este resultado en órbitas circulares. La fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular: Reemplazando a por 2 T , obtenemos: Se obtiene un resultado similar para órbitas elípticas, como el radio r reemplazado con el eje mayor a. Las relaciones entre 2T y 3a debe estar determinada por la cantidad 24 GM . Para todos los planetas que giran en torno al Sol, la razón 2 3T a debe ser constante. Si podemos medir T y a para un cuerpo en órbita, podemos determinar la masa del cuerpo central. Este proceso es independiente de la masa del cuerpo que orbita, y así no nos da información con respecto a su masa. 1 12 2 2 20 0 lim lim t t dA A r r dt t t (2) 2 dA L dt m 2 2 (3) GMm mr r 2 2 34 (4)T r GM Tranquilate! Junto a la Física Masa Inercial y Masa Gravitatoria: En la unidad n°4 (dinámica de una partícula) discutimos un procedimiento para asignar masa a un objeto, al comprar su respuesta a una fuerza determinada con la de una masa estándar. Se hace esta comparación con base en la segunda ley de Newton, y la masa que aparece en F ma se llama masa inercial. Podemos también emplear un procedimiento basado en la ley de la gravitación de Newton para medir la masa del objeto. Midamos la fuerza de un kilogramo patrón en el campo gravitatorio de la Tierra, y determinamos luego la fuerza sobre nuestra masa desconocida de la misma manera. De acuerdo con la ecuación (1) la razón entre aquellas fuerzas deberá ser la misma que la razón entre las masas, y por tanto tenemos un segundo método para determinar la masa. En este caso estamos midiendo la masa gravitatoria. Newton fue el primero en probar la igualdad de las masas inercial y gravitatoria, usando un péndulo hecho en forma de caja vacía. Lleno la caja con muestra de materiales diferentes y midió el periodo del péndulo resultante. Teniendo en cuenta el periodo de un péndulo simple, teniendo cuidado de separar la masa gravitatoria de la inercial, el resultado es: Donde im del numerador se refiere a la masa inercial de la lenteja del péndulo, y gm del denominador se refiere a la masa gravitatoria. Por supuesto, esta ecuación se reduce al resultado conocido cuando i gm m . Newton usó pesos idénticos de sustancias diferentes y tuvo cuidado de mantener idénticas a las circunstancias físicas en todos los ensayos. El concluyó que las masas inercial y gravitatoria eran las mismas aproximadamente en una parte en 310 . Variación de la Aceleración de la Gravedad: Supongamos, por el momento, que la Tierra es esférica y que su densidad depende solamente de la distancia radial desde su centro. La magnitud de la fuerza gravitatoria que actúa sobre una partícula de masa m, situada en un punto externo a una distancia r desde el centro de la Tierra, puede entonces expresarse, partiendo de la ecuación (1), como: Donde TM es la masa de la Tierra. Esta fuerza gravitatoria puede también expresarse, partiendo de la segunda ley de Newton, como 0F mg . Aquí 0g es la aceleración en caída libre debida únicamente a la atracción de la Tierra. Al combinar estas dos ecuaciones nos da: De esta ecuación podemos concluir que el valor 0g varía según la altitud en la que se encuentre la partícula de masa m, teniendo que, a partir de esta fórmula, el valor de la aceleración de la gravedad para satélites en órbita llega a ser 20 8.7g m s . La Tierra real difiere de nuestro modelo de la Tierra de tres maneras. 1. La corteza de la Tierra no es uniforme. Existen variaciones de densidad locales en todas partes. La medición precisa de las variaciones locales en la aceleración en caída libre da información que es útil, por ejemplo, en las exploraciones de petróleo. 2. La Tierra no es una esfera. La Tierra es aproximadamente un elipsoide, achatada en los polos y abultada en el ecuador. El radio ecuatorialde la Tierra es mayor que su radio polar en 21 km. Así pues, un punto en los polos está más cerca del núcleo denso de la Tierra que un punto en el ecuador. 2 (5)i g m LT m g 2 TM mF G r 0 2 (6) TGMg r Tranquilate! Junto a la Física 3. La Tierra está girando. La figura (4a) muestra a la Tierra girando desde una posición en el espacio por encima del polo Norte. Un guacal de masa m descansa sobre una báscula de plataforma en el ecuador. Este guacal está en un movimiento circular uniforme debido a la rotación de la Tierra y se acelera hacia el centro de la Tierra. La fuerza resultante que actúa sobre él debe entonces apuntar en esa dirección. La figura (4b) es un diagrama de cuerpo libre del guacal. La Tierra ejerce una atracción gravitatoria hacia debajo de magnitud 0mg . La báscula de plataforma empuja hacia arriba al guacal con una fuerza mg , el peso del guacal. Estas fuerzas no se equilibran realmente, y así tenemos, partimos de la segunda ley de Newton: Donde a es la aceleración centrípeta del guacal. Para a podemos escribir 2 TR , donde es la velocidad angular de la Tierra y TR es su radio. Esta situación nos lleva a: Donde 24 .T hs , es el periodo de rotación de la Tierra. Sustituyendo los valores numéricos en esta ecuación nos da: Vemos que g, la aceleración en caída libre medida en el ecuador de la Tierra mientras gira, es menor que 0g , el resultado esperado si la Tierra no estuviese girando, por únicamente 0.034 9.8 , ó 0.35%. El efecto disminuye cuando se va a latitudes mayores y se anula en los polos. Energía Potencial Gravitatoria: Consideramos el caso en que una partícula permanece cerca de la Tierra de modo que podríamos suponer que la fuerza gravitatoria que actúa sobre la partícula es de magnitud mg constante. Consideramos también las separaciones partícula-Tierra que pueden ser apreciablemente más grandes que el radio de la Tierra. La ecuación b ap p p ab E E E W , define el cambio pE en la energía potencial de cualquier sistema, en el cual actué una fuerza conservativa, cuando el sistema cambia de la configuración a a la configuración b. abW es el trabajo efectuado por esa fuerza conservativa cuando el sistema cambia. La energía potencial del sistema en una configuración en una configuración arbitraria b es: Para dar un valor a bp E elegimos que la configuración a sea una configuración de referencia acordada, y le asignamos a ap E un valor de referencia arbitrario. Consideraremos el caso más general de dos partículas de masas m y M separadas por una distancia r. Inicialmente, las partículas están separadas por ar , y la separación cambia a br (figura 5). Hagamos que M este en el origen de coordenadas, y movamos a m hacia M. Nótese que r y ds están en direcciones opuestas, de modo que ds dr . El trabajo efectuado por cuando la partícula se mueve de a a b es: 0 0 F mg mg ma g g a 2 0 2 (7)T Tg g R RT 2 0 0.034g g m s (8) b ap ab p E W E 2 2 1 1 1 (9) b b a a b a r rb b ab a a r r r ab b ar GmM drW Fds F dr dr GmM r r W GmM GmM r r r Tranquilate! Junto a la Física Entonces: Elegimos que nuestra configuración de referencia sea a una separación infinita de las partículas ( ar ), y definimos ( )pE igual a cero. A una separación r arbitraria, la energía potencial es: El signo menos indica que la energía potencial es negativa en cualquier distancia finita. Esto corresponde al hecho de que la fuerza gravitatoria ejercida sobre m por M es de atracción. “El trabajo efectuado por la fuerza gravitatoria al moverse la partícula entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria real que une a estos puntos.” De aquí que la fuerza gravitatoria sea una fuerza conservativa. Campo Gravitacional y el Potencial Gravitatorio: Un hecho básico de la gravitación es que dos partículas ejercen sobre ellas fuerzas mutuas. Podemos considerar esto como una interacción directa entre las dos partículas. Este punto de vista se denomina acción a distancia, según el cual las partículas interactúan aunque no estén en contacto. Otro punto de vista es el concepto de campo, que considera que una partícula modifica de algún modo al espacio alrededor de ella y genera un campo gravitatorio. Este campo, cuya intensidad depende de la masa de la partícula, actúa entonces sobre cualquier otra partícula, ejerciendo la fuerza de atracción gravitatoria sobre ella. De acuerdo con este punto de vista tenemos que: primero, debemos determinar el campo gravitatorio generado por una distribución dada de partículas; segundo, debemos calcular la fuerza gravitatoria que ejerce este campo sobre otra partícula situada en él. Consideremos a la Tierra como una partícula aislada y despreciemos todos los efectos rotatorios y otros que no sean los gravitatorios. Utilizando un pequeño cuerpo de prueba de masa 0m como una sonda del cuerpo gravitatorio. Si este cuerpo se coloca en la vecindad de la Tierra, experimentará una fuerza que tiene una fuerza y una magnitud definidas en cada punto situado en el espacio. La dirección es radial hacia el centro de la Tierra, y la magnitud es 0m g . Podemos asociar el vector g con cada punto cerca de la Tierra, el cual es la aceleración que ese cuerpo experimentaría si se dejara caer en ese punto. Definimos a la intensidad del campo gravitatorio en un punto como la fuerza gravitatoria por unidad de masa en ese punto. Al mover a la masa de prueba a varias posiciones, podemos hacer un mapa que muestre al campo gravitatorio en cualquier punto en el espacio. Entonces podemos hallar la fuerza sobre una partícula situada en cualquier punto de ese campo multiplicando la masa m de la partícula por el valor del campo gravitatorio g en ese punto ( F mg ). El campo de fuerza gravitatorio es un ejemplo de un campo vectorial, teniendo cada punto situado en este campo un vector asociado con él. Podemos también describir el campo gravitatorio de un cuerpo por una función escalar llamada potencial. Una vez más medimos la intensidad del campo usando una partícula de prueba de masa 0m . Comencemos con la partícula de prueba con una separación infinita del cuerpo (donde el campo es cero) y movamos a la partícula de prueba hacia el cuerpo hasta que la separación sea r, donde la energía potencial es ( )rpE . Luego definimos el potencial gravitatorio V en ese punto como: 0 (13)Fg m ( ) ( ) 0 (14) rp r E V m 1 1 (10)p ab b a E W GmM r r ( ) ( ) 0 (11) (12) rp ab rp E W GMmE r Tranquilate! Junto a la Física Es decir, el potencial es el mismo que la energía potencial por unidad de masa de prueba. Nótese que el potencial es un escalar, siendo definido como la razón de los escalares pE y m. Por ejemplo, la energía potencial de en el campo de un cuerpo esféricamente simétrico de masa M esta dado por la ecuación ( ) 0rpE GMm r . El potencial gravitatorio puede entonces hallarse empleando la ecuación (9): Nótese que el potencial ( )rV es independiente del valor de la masa de prueba 0m . Del mismo modo en que podemos hallar la componente radial de la fuerza F a partir de ( )rpE de acuerdo con pF dE dr , podemos hallar también la componente radial del campo g a partir de ( )rV de acuerdo con g dV dr . Por lo tanto, podemos considerar el campo y el potencial como modos alternos de analizar la gravitación. Energía Total y Orbitas Gravitatorias: Consideremos una vez más el movimiento de un cuerpo de masa m en torno a un cuerpo masivo de masa M. Consideremos que M esta en reposo en un marco de referencia inercial con el cuerpo m moviéndose conrespecto a él en una órbita circular. La energía potencial del sistema es: Donde r es el radio de la órbita circular. La energía cinética del sistema es: Estando el cuerpo masivo en reposo. A partir de la ecuación (3) obtenemos: De modo que: La energía total es: Esta energía es constante y negativa. La energía cinética nunca puede ser negativa, pero según la ecuación (16) veremos que debe tender hacia cero cuando la separación tiende a infinito. La energía potencial es siempre negativa excepto cuando su valor es cero en la separación infinita. Una consecuencia de la energía total negativa es, entonces, que el sistema es un sistema cerrado, estando ligado el planeta m siempre al centro solar M que lo atrae y sin escapar jamás de él (figura 6). Puede demostrarse también que la ecuación (17) es también válida para órbitas elípticas, si reemplazamos a r por el semieje mayor a. La energía total es todavía negativa, y es también constante, correspondiendo al hecho de que las fuerzas gravitatorias son conservativas. De aquí que tanto la energía total como el ímpetu angular total sean constantes en el movimiento planetario. Estas cantidades suelen llamarse constantes del movimiento. A causa de que la energía total no depende de la excentricidad de la órbita, todas las órbitas con el mismo semieje mayor a tienen la misma energía total. ( ) ( ) 0 (15) rp r E GMV m r ( )rp GMmE r 1 2 2 2cE m r 2 2 GMr r 1 (16) 2c GMmE r 1 (17) 2c p GMm GMm GMmE E E r r r Tranquilate! Junto a la Física Efecto Gravitatorio de una Distribución Simétrica de la Materia: Probaremos que: un cuerpo esféricamente simétrico atrae partículas del exterior como si su masa estuviese concentrada en su centro. Consideremos un cascaron esférico uniformemente denso de masa M cuyo espesor t es pequeño en comparación con su radio R (figura 7). Buscamos la fuerza gravitatoria que ejerce sobre una partícula externa P de masa m. Suponemos que cada partícula del cascaron ejerce sobre P una fuerza que es proporcional a la masa de la partícula, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre es partícula del casco y P, y dirigida a lo largo de la línea que las une. Debemos entonces obtener la fuerza resultante sobre P, atribuible a todas las partes del cascarón esférico. Una pequeña parte del cascaron en A atrae a m con una fuerza AF . Una pequeña parte de igual masa B, igualmente alejada de m pero diametralmente opuesta a A, atrae a m con una fuerza BF . La resultante de estas dos fuerzas que actúan sobre m es A BF F . Las componentes perpendiculares de AF y BF se cancelan, como en el caso de todos los pares de puntos opuestos. Para hallar la fuerza resultante sobre P para todos los puntos del cascarón, necesitamos solamente considerar las componentes paralelas al eje. Tomemos como elemento de masa del cascarón a una faja circular dM. Su radio es R sen , su longitud es 2 R sen , su anchura es R d , y su espesor es t. De aquí que tenga un volumen 22 dV tR sen d . Sea la densidad del cascarón, de modo que la masa de la faja es 22 dM dV t R sen d . Cada partícula de la faja, tal como la de masa Adm en A, atrae a P con una fuerza que tiene una componente axial 2 cos A A mdmdF G x . Sumando las contribuciones de todas las partículas del anillo nos da: Donde dM es la masa total del anillo y dF es la fuerza total sobre m ejercida por el anillo. Sustituyendo a dM, obtenemos: Las variables x, y se relacionan. En la figura veremos: Usando la ley de los cosenos ( 2 2 2 2 cosx r R rR ), obtenemos: Al diferenciar la ecuación (20) nos da: Ponemos ahora la ecuación (20) y luego ponemos las ecuaciones (19) y (21) en la ecuación (18). Como resultado eliminamos a y , y obtenemos: 2 2 ... (cos )( ...) cos A B A B GmdF dF dm dm x Gm dMdF x 2 2 2 cos (18)sen ddF Gt mR x coscos (19)r R x 2 2 2 cos (20) 2 r R xR r (21)xsen d dx rR Tranquilate! Junto a la Física Esta es la fuerza ejercida por la faja circular dM sobre la partícula m. Debemos ahora considerar a cada elemento de masa en el cascarón al sumar todas las fajas circulares de todo el cascarón. Esto implica una integración sobre el cascarón con respecto a la variable x, la cual va desde un valor mínimo r R hasta un valor máximo r R . La integral necesaria es: La cual da para la fuerza, usando la ecuación (22): Donde 24M R t es la masa total del cascarón. La ecuación (23) es exactamente el mismo resultado que obtendríamos para la fuerza entre partículas de masa M y m separadas por una distancia r. Por lo tanto, hemos probado el importante resultado general siguiente: “Un cascarón esférico de densidad uniforme atrae a una masa puntual externa como si toda la masa del cascarón estuviese concentrada en su centro”. Una esfera solida puede considerarse como compuesta de un gran número de cascarones concéntricos. Si cada cascarón esférico tiene una densidad uniforme, aunque diferentes cascarones puedan tener densidades diferentes, se aplica el mismo resultado a la esfera sólida. De aquí que cuerpos como la Tierra, la Luna, o el Sol, en la medida en que son tales esferas, pueden considerarse gravitatoriamente como partículas puntuales para cuerpos afuera de ellos. 2 2 2 2 1 (22) Gt mR r RdF dx r x 2 22 2 2 1 4 r R r R r R r R r Rr R dx x R x x 2 2(4 ) (23) r R r R Gt mR MmF dF R G r r Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 10: Elasticidad Propiedades Elásticas de los Sólidos: Hasta el momento hemos supuesto que los objetos (excepto el resorte) permanecen rígidos cuando fuerzas externas actúan sobre ellos. En realidad, todos los objetos son deformables en cierta medida. Es decir, es posible cambiar la forma o el tamaño (o ambos) de un objeto al aplicar fuerzas externas. Sin embargo, conforme se presentan estos cambios, las fuerzas internas en el objeto resisten la deformación. La deformación de los sólidos se explica en términos de los conceptos de esfuerzo y deformación. Esfuerzo es una cantidad que es proporcional a la fuerza que causa una deformación; más específicamente, el esfuerzo es la fuerza externa que actúa en un objeto por unidad de área de sección transversal. El resultado de un esfuerzo es la deformación, que es una medida del grado de deformación. Se encuentra que, para esfuerzos suficientemente pequeños, el esfuerzo es proporcional a la deformación: la constante de proporcionalidad depende del material que se deforma y de la naturaleza de la deformación. A esta constante la denominamos módulo elástico. Por lo tanto, el modulo elástico se define como: En general el módulo elástico lo que se hace a un objeto sólido (se aplica una fuerza) como responde dicho objeto (se deforma en cierta medida). Es similar a la constante de resorte k en la ley de Hooke que relaciona una fuerza aplicada con un resorte y la deformación resultante del resorte (extensión o compresión). Se consideran tres tipos de deformación y se define un módulo elástico para cada uno. 1.- El modulo de Young: mide la resistencia de un sólido a un cambio en su longitud. 2.- El modulo de Corte: mide la resistencia al movimiento de los planos dentro de un sólido paralelos unos con otros. 3.- El modulo Volumétrico: mide la resistencia de los sólidos o los líquidos a cambios en su volumen. La figura (1) muestra la relación entre el esfuerzo y la deformación para cilindros de prueba de acero. Para una parte sustancialde la gama de esfuerzos aplicados, la curva esfuerzo-deformación es lineal y tiene aplicación la ecuación (1), con un modulo constante. Al continuar creciendo el esfuerzo, la relación esfuerzo-deformación puede no ser lineal, pero el material permanece elástico: es decir, si se retira el esfuerzo, la muestra retorna a sus dimensiones originales. Si el esfuerzo aumenta más allá del límite de cedencia o límite elástico del material, la muestra sufre un cambio permanente y no recupera sus dimensiones originales cuando se haya retirado el esfuerzo; esta clase de comportamiento se llama plasticidad. Mas allá de la elasticidad o cedencia sucede, inevitablemente, la rotura, la cual se da tras un esfuerzo llamado resistencia a la rotura o resistencia final. Ley de Hooke: Uno de los efectos de las fuerzas es su capacidad para deformar objetos, tales como una barra de acero. Suponemos una barra de acero de longitud inicial L y sección inicial S (figura 2), al cual se le aplica un esfuerzo transversal , teniendo que: Donde F representa el módulo de la fuerza aplicada a la barra. La barra sufre una deformación longitudinal y transversal, donde la barra pasa a tener una longitud 'L (mayor a su longitud inicial) y una sección 'S (menor a su sección inicial). Nos concentraremos únicamente en la deformación longitudinal, por lo cual tenemos que la barra a sufrido un alargamiento de 'L L L . Si sometemos la barra a diferentes esfuerzos podremos realizar una gráfica esfuerzo-deformación, en la cual tendremos en cuenta solo la deformación (1)esfuerzoMódulo elástico deformación F S Tranquilate! Junto a la Física relativa de la barra representada por la letra griega , la cual es el cociente entre el alargamiento sufrido y su longitud inicial. Si solo consideramos la parte lineal de la curva esfuerzo-deformación de la figura (1), veremos que podemos establecer una relación lineal entre el esfuerzo realizado sobre la barra y la deformación que sufre la misma a través de la siguiente ecuación: La cual representa la denominada ley de Hooke, donde E es una constante la proporcionalidad conocida como módulo de elasticidad. Módulo de Young: Elasticidad Longitudinal Considere una probeta (barra de prueba) con área de sección transversal A y longitud inicial iL que se sujeta en sus extremos por las mordazas de un instrumento de prueba como el de la figura (3). Este instrumento permite aplicarle una fuerza mecánica de tracción (o compresión), es decir, perpendicular a la sección transversal de la misma. Las fuerzas internas en la probeta resisten la distorsión (alargamiento), pero la probeta llega a una situación de equilibrio en la que su longitud inicial fL es mayor que iL , y en que la fuerza externa se equilibra exactamente mediante fuerzas internas. En tal situación, se dice que la probeta está sobrecargada. El esfuerzo de tracción se define como la relación de la magnitud de la fuerza mecánica F al área de sección transversal A. La deformación por tracción (o deformación relativa), en este caso, se define como la relación del cambio en longitud L a la longitud original iL . El módulo de Young se define mediante: Este módulo típicamente se usa para caracterizar una barra o alambre sobrecargado bajo tensión o compresión. El comportamiento de la probeta sometida a distintos esfuerzos tiene las mismas características que las expuestas por la figura (1). Módulo de Corte: Elasticidad de Forma Otro tipo de deformación se presenta cuando un objeto se somete a una fuerza paralela a una de sus caras mientras la cara opuesta se mantiene fija mediante otra fuerza. En este caso, es esfuerzo se llama esfuerzo de corte. Si al inicio el objeto es un bloque rectangular, un esfuerzo de corte resulta en una forma cuya sección transversal es un paralelogramo (figura 4). El esfuerzo de corte se define como F A , la relación de la fuerza tangencial al área A de la cara a cortar. La deformación de corte se define como la relación x h , donde x es la distancia horizontal que se mueve la cara cortada y h es la altura del objeto. El módulo de corte se define como: Módulo de Compresión: Elasticidad de Volumen El módulo de volumen caracteriza la respuesta de un cuerpo a cambios en una fuerza de magnitud uniforme aplicada perpendicularmente sobre toda la superficie del cuerpo (figura 5). Un cuerpo sometido a este tipo de deformación experimenta un cambio en volumen pero no cambio en forma. El esfuerzo de volumen se define como la razón entre la magnitud de la fuerza total F ejercida 'L L L L L (2)E (3) i esfuerzo de tracción F AY deformación por tracción L L (4) esfuerzo de corte F AS deformación de corte x h Tranquilate! Junto a la Física sobre la superficie y el área A de la superficie. La cantidad P F A se denomina presión. Si cambia la presión sobre un cuerpo en una cantidad P F A , entonces el cuerpo va a experimentar un cambio de volumen V . La deformación de volumen es igual al cambio en volumen V dividido entre el volumen inicial iV . Por lo tanto, el módulo de volumen se define como: Se inserta un signo negativo en esta ecuación de definición para que B sea un número positivo. Esta maniobra es necesaria porque un aumento en presión ( P positiva) produce una disminución en volumen ( V negativo) y viceversa. Estos tres módulos elásticos de los materiales tienen unidades de fuerza por unidad de superficie, ya que los denominadores de las ecuaciones (3), (4) y (5), tienen unidades adimensionales. Contracción Transversal: Recordando el experimento realizado con una probeta, habíamos dicho que no solo se deformaba longitudinalmente, sino también sufría una deformación transversal. Por lo cual podemos comprobar que mientras la probeta se alarga, su sección disminuye. Este fenómeno se conoce con el nombre de contracción transversal. Llamaremos 0d al diámetro de la sección transversal inicial de la probeta, una vez que la probeta es sometida a tracción esta sufre un alargamiento l , provocando que el diámetro de la sección transversal disminuya a d. Experimentalmente se demuestra que la contracción transversal unitaria es proporcional al alargamiento unitario (en régimen perfectamente elástico), es decir: A la constante de proporcionalidad se le llama coeficiente de Poisson y es un número abstracto igual al cociente entre la contracción unitaria y el alargamiento unitario correspondiente. Los módulos de Young, de Poisson y de Corte, quedan ligados por la expresión: Energía Potencial Elástica: Elegimos que la posición de referencia 0x del bloque en el sistema bloque- resorte de la figura (1) fuese aquel en el que la posición del resorte es 0 0x y declaramos que la energía potencial del sistema es cero cuando el bloque esta en esta posición ( )0 0xpE . La energía potencial del sistema bloque-resorte puede hallarse sustituyendo estos valores en la ecuación (2) y evaluando la integral para la fuerza del resorte, ( )F x kx Se obtiene el mismo resultado cuando x es positiva o negativa; ya sea que el resorte este estirado o comprimido en una cantidad x dada, la energía almacenada es la misma. Al diferenciar la ecuación (6), vemos que la ecuación (5) se satisface: (5) i i esfuerzo de volumen F A PB deformación de volumen V V V V 0 0 0 0 0 0 (6) d d l l d l d l d l ( ) 0 1 2 ( ) 02 0 ( ) (8) x xp xp E kx dx E kx 1 2 2( ) pdE d kx kx F dx dx (7) 2(1 ) YS Tranquilate! Junto a la Física Supongamos que estiramos el sistema bloque-resorte hasta que el bloque este a una distancia mx de su posición de referencia;la energía potencial es 1 22 mkx . Si soltamos el resorte desde el reposo en esta configuración, la energía mecánica E es igual 1 22 mkx , puesto que no existe una energía cinética en el instante de soltarlo. En este caso, la ecuación (4) puede escribirse: Esta expresión nos permite hallar la velocidad para cualquier valor particular del desplazamiento: Como esperábamos, cuan mx x , esta última ecuación predice que la velocidad es cero. Cuando el bloque pasa a través del punto de referencia ( 0 0x x ), la velocidad 0v es: La energía mecánica puede ser expresada en términos ya sea de la velocidad 0v en la posición de referencia ( 1 202E mv ) o del desplazamiento máximo en la posición de referencia ( 1 2 2 mE kx ). Elasticidad de Torsión: Torsión es la deformación producida a un cuerpo causada por un par de fuerzas sin que varíe el volumen. Si a una barra cilíndrica (figura 6) de longitud L y de radio R, fija por un extremo, le aplicamos un par de fuerzas de momento N, la deformación viene medida por lo que llamamos ángulo de torsión ( ) y su valor es: En la que S es el modulo de corte de la barra. En efecto: en la barra cilíndrica, al ser aplicado al extremo libre el par de fuerzas de momento N, se retuerce de tal forma que el extremo de A de la generatriz BA se sitúa en A’. El ángulo AOA’ nos mide la torsión. Considerando un elemento de volumen de la barra comprendido entre dos cilindros concéntricos de radio r y r+dr, al desarrollarlo nos da una figura prismática. La deformación producida es equivalente a una cizalladura de ángulo , cuyo valor es: Siendo 2 dA r dr , y con suficiente aproximación ( tg r L ), el momento de dF respecto del eje del cilindro será: Luego, el valor del momento total es: Como queríamos demostrar. Llamamos D al diámetro del cilindro, esta expresión la podemos escribir: En la que K la llamamos módulo de rigidez, siendo: 1 1 12 2 2 2 2 2 mmv kx E kx 2 2( )m kv x x m 0 m kv x m 4 1 2 (9)LN S R 1 dF dF S dA S dA 32 2 r GdN r dF r G dA r G r dr dN r dr L L 3 4 4 0 2 1 2 (10) 2 RG G LN r dr R N L L G R 4 4 32 1 1 1 1N N N N K G D D K Tranquilate! Junto a la Física : Coeficiente de Coulomb, proporcional al módulo de corte e independiente de los parámetros geométricos del sólido. De la ecuación (10) se obtiene: Expresión que nos da las leyes de la torsión que fueron encontradas por Coulomb experimentalmente y que dicen: 1. El par de torsión es proporcional al ángulo girado. 2. La relación entre el par de torsión y el ángulo girado es directamente proporcional a la cuarta potencia del diámetro e inversamente proporcional a la longitud. 4DK L 32 G 4 (11)N DK L Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 11: Oscilaciones y ondas Movimientos Periódicos: Una clase especial de movimiento llamado movimiento periódico, es el movimiento repetitivo de un objeto en el que este permanece para regresar a una posición conocida después de un intervalo de tiempo fijo. El movimiento repetitivo de tal objeto se llama oscilación. La atención se concentrará a un caso especial de movimiento periódico, llamado movimiento armónico simple. Todos los movimientos periódicos se representan como combinaciones de movimientos armónicos simples. Sistemas Oscilatorios: Imaginemos un que oscila, como el péndulo de un reloj o una masa suspendida de un resorte. Si desplazamos a un péndulo en una dirección desde su posición de equilibrio, la fuerza impulsa de regreso hacia su posición de equilibrio. Si lo desplazamos en otra dirección, la fuerza sigue actuando hacia la posición de equilibrio. No importa cuál sea la dirección del desplazamiento, la fuerza siempre actúa en una dirección que restituye al sistema a su posición de equilibrio. Esta fuerza recibe el nombre de fuerza de restitución. Supongamos que tenemos que una partícula que puede moverse libremente solo en la dirección x, y hagamos que la partícula experimente una fuerza de magnitud constante mF que actué en la dirección x cuando 0x y x en la dirección cuando 0x , como muestra la figura (1). La figura (2) muestra una grafica del movimiento resultante. La posición x(t) consta de una secuencia de segmentos de parábola unidos suavemente, como es siempre el caso del movimiento con aceleración constante. La partícula oscila yendo y viniendo entre mx x y mx x . La magnitud del desplazamiento máximo desde el equilibrio se llama amplitud del movimiento. El tiempo necesario para un ciclo completo (una repetición completa del movimiento) se llama periodo T, como se indica en la figura (2a). El número de ciclos por unidad de tiempo recibe el nombre de frecuencia f. La frecuencia y el periodo son recíprocos entre sí: El periodo se mide en unidades de tiempo, mientras que la frecuencia se mide en una unidad SI: el hertz (Hz), donde 1Hz = 1 ciclo/s. La figura (1c) muestra la energía potencial que corresponde a la fuerza de la figura (1b). Nótese que, como se indica con la expresión pF dE dx , el negativo de la pendiente de ( )pE x da la fuerza. La energía mecánica p cE E E permanece constante en un sistema aislado. Las figuras (1b) y (1c) ilustran dos maneras equivalentes de describir las condiciones de la oscilación: la fuerza debe actuar siempre para restituir la partícula al equilibrio, y la energía potencial debe tener un mínimo en la posición de equilibrio. Oscilador Armónico Simple: El movimiento de una partícula en un sistema complejo es más fácil de analizar si consideramos que el movimiento es una superposición de oscilaciones armónicas, las cuales pueden describirse en términos de funciones seno y coseno. Consideremos un sistema oscilatorio consiste en una partícula sometida a una fuerza: 1 (1)f T ( ) (2)F x kx Tranquilate! Junto a la Física Donde k es una constante y x es el desplazamiento de la partícula a partir de su posición de equilibrio. Tal sistema oscilatorio recibe el nombre de oscilador armónico simple, y su movimiento se llama movimiento armónico simple. La energía potencial que corresponde a esta fuerza es: La fuerza y la energía potencial están, por supuesto relacionadas por pF dE dx . Como vimos por la ecuación (2) y como podemos apreciar en la grafica de la figura (3a), la fuerza que actúa sobre la partícula es directamente proporcional al desplazamiento pero opuesta a él en dirección. La ecuación (3) muestra que la energía potencial varía con el cuadrado del desplazamiento, como lo ilustra la curva parabólica de la figura (3b). Las ecuaciones (2) y (3) están relacionadas a la fuerza y energía potencial de un resorte ideal de constante k. De aquí que un cuerpo de masa m unido a un resorte ideal con constante de fuerza k y libre de moverse sobre una superficie horizontal sin fricción es un ejemplo de oscilador armónico simple (figura 4). Nótese que existe una posición en que el resorte no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo (figura 4b). Apliquemos la segunda ley de Newton al movimiento de la figura (4). Sustituimos a F por –kx y en vez de la aceleración a ponemos 2 2d x dt . Esto nos da: O sea: La ecuación (4) recibe el nombre de ecuación del movimiento del oscilador armónico simple. Su solución es una función x(t) que describe la posición del oscilador en función del tiempo. El problema del oscilador armónico simple es importante por dos razones. Primera, muchos problemas que implican vibraciones mecánicas con amplitudes pequeñas se reducen al oscilador armónico simple, o a una combinaciónde tales oscilaciones. Segunda, ecuaciones como la ecuación (4) se presenta en muchos problemas físicos de acústica, de óptica, de mecánica, de circuitos eléctricos, e incluso de física atómica. El oscilador armónico simple exhibe características comunes a muchos sistemas físicos. Movimiento Armónico Simple: Resolvamos la ecuación del movimiento del oscilador armónico simple. Obtuvimos la ecuación (4) para una fuerza F kx de un resorte que actúa sobre una partícula de masa m. Usaremos el sistema oscilador mesa-resorte como nuestro prototipo. La ecuación (4) da una relación entre una función x(t) y la segunda derivada con respecto al tiempo 2 2d x dt . Nuestra meta es hallar una función x(t) que satisfaga esta relación. Reescribimos la ecuación (4): La ecuación (5) requiere x(t) que sea una función cuya segunda derivada sea la negativa de la función misma, excepto por un factor constante k/m. Sabemos del calculo que las funciones seno y coseno tiene esa propiedad. Por ejemplo: 1 2 2( ) (3)pE x kx 2 2 d xkx m dt 2 2 0 (4) d x k x dt m 2 2 (5) d x k x dt m 2 2 2 cos cos cos d t sen t dt d dt sen t t dt dt Tranquilate! Junto a la Física La segunda derivada de un coseno (o de un seno) nos da de nuevo la función original multiplicada por un factor negativo 2 . Esta propiedad no sufre alteración si multiplicamos a la función coseno por cualquier constante. Elegimos que la constante sea mx , de modo que el valor máximo de x será mx . Escribimos una solución tentativa de la ecuación (5) como: Aquí, puesto que: Permitiéndonos la constante cualquier combinación de soluciones seno y coseno. Con las constantes (todavía) desconocidas mx , y hemos escrito una solución de la ecuación (5) en forma general. Para determinar estas constantes de modo que la ecuación (6) sea realmente la solución, diferenciamos la misma dos veces con respecto al tiempo. Poniendo esto en la ecuación (5), obtenemos: Por lo tanto, si elegimos a la constante de modo que: Entonces la ecuación (6) es, de hecho, una solución de la ecuación de un oscilador armónico simple. Veamos el significado físico de la constante . Si incrementamos el tiempo t en la ecuación (6) en 2 , la función resulta: Es decir, la función simplemente se vuelve a repetir después de un tiempo 2 . Por lo tanto, 2 es el periodo del movimiento T. Puesto que 2 k m , tenemos: De aquí que todos los movimientos dados por la ecuación (5) tengan el mismo periodo de oscilación, el cual se determina solamente por la masa m de la partícula oscilatoria y la constante de fuerza k del resorte. Dado que 1f T , tenemos que: La frecuencia angular , difiere de la frecuencia f en un factor 2 . La constante mx tiene un significado físico sencillo. La función coseno toma valores desde -1 hasta +1. El desplazamiento x desde la posición de equilibrio central 0x tiene por lo tanto un valor máximo mx . Llamamos a mx la amplitud del movimiento. La frecuencia de un movimiento armónico simple es independiente de la amplitud del movimiento. cos (6)mx x t cos cos cos cos m m mx t x t x sen sen t a t b sen t 2 2 2 cos m m dx x sen t dt d x x t dt 2 cos cosm m kx t x t m 2 (7)k m cos 2 cos 2 cos m m m x x t x x t x x t 2 2 (8)mT k 22 (9)f T Tranquilate! Junto a la Física La cantidad t se llama fase del movimiento y llamamos a la constante , constante de fase. Otra característica distintiva del movimiento armónico simple es la relación entre el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la partícula oscilatoria. En la figura (5) trazamos separadamente el desplazamiento x contra el tiempo t, la velocidad v dx dt contra el tiempo t, y la aceleración 2 2a d x dt contra el tiempo t. Las ecuaciones de estas curvas son: Para el caso graficado hemos tomado 0 . El desplazamiento, la velocidad y la aceleración oscilan todas armónicamente. El desplazamiento máximo (amplitud) es mx , la velocidad máxima (amplitud de velocidad) es mx , y la aceleración máxima (amplitud de aceleración) es 2 mx . Consideraciones Energéticas en el Movimiento Armónico Simple: En el movimiento armónico, incluyendo el movimiento armónico simple, en el cual no actúan fuerzas disipativas, la energía total E se conserva. Ahora podemos estudiar esto con más detalle en el caso especial del movimiento armónico simple, para el cual el desplazamiento esta dado por: La energía potencial en cualquier instante está dada por: La energía potencial oscila entonces con el tiempo y tiene un valor máximo de 1 22 mkx (figura 6a y 6b). La energía cinética en cualquier instante es 1 22 mv . Usando la ecuación (10) para v(t) y la ecuación (7) para 2 , obtenemos: La energía cinética, al igual que la energía potencial, oscila con el tiempo y tiene un valor máximo de 1 22 mkx . La energía mecánica total es la de la energía potencial y cinética. Usando las ecuaciones (11) y (12) obtenemos: Veamos que la energía mecánica total es constante, como esperábamos, y tiene el valor 1 22 mkx . Puede demostrarse que la energía cinética promedio del movimiento durante un periodo es exactamente igual a la energía potencial promedio y que cada una de estas cantidades promedio es la mitad de la energía total, o sea 1 2 4 mkx . La ecuación (13) puede escribirse en forma bastante general como: A partir de esta relación obtenemos 2 2 2mv k m x x , o sea: 2 cos (10) cos m m m x x t v x sen t a x t cosmx x t 1 12 2 22 2 cos (11)p mE kx kx t 1 12 2 2 2 2 2 1 2 2 2 (12) c m c m E mv m x sen t E kx sen t 1 12 2 2 22 2 1 2 2 cos (13) c p m m m E E E kx sen t kx t E kx 1 1 12 2 2 2 2 2 (14)c p mE E mv kx kx 2 2 (15)mdx kv x xdt m Tranquilate! Junto a la Física Esta relación muestra claramente que la velocidad es un máximo en la posición de equilibrio ( 0x ) y es cero en los desplazamientos extremos ( mx x ). Movimiento Armónico Simple y Movimiento Circular: Galileo, a través de una experiencia, pudo comparar el movimiento armónico simple con un movimiento circular uniforme en un plano visto por su borde. Por lo que se pudo concluir que: El movimiento armónico simple se define como la proyección de un movimiento circular uniforme a lo largo de un diámetro del círculo. La figura (7) muestra a una partícula P en movimiento circular uniforme. En el tiempo cero (figura 7a) el radio OP forma un ángulo con el eje x. En un tiempo t mas tarde (figura 7b) el radio OP forma un ángulo t con el eje x, y la proyección de OP a lo largo del eje x es: Esta expresión es, por supuesto, idéntica a la ecuación (6) para el desplazamiento del oscilador armónico simple, correspondiendo mx a R. Si hacemos que P’ represente a la proyección de P sobre el eje x, entonces P’ ejecuta un movimiento armónico simple a lo largo de dicho eje. En el movimiento circular uniforme, la magnitud de la velocidad tangencial constante es R . La figura (7c) muestra al vector que representa a la velocidad instantánea v en el tiempo t. La componente x de v , la cual da la velocidad de P’ a lo largo de la dirección x, es: En el movimiento circular, la aceleración centrípeta es 2R , y como se muestra enla figura (7d), la componente x de la aceleración de P es: Las ecuaciones (17) y (18) son idénticas a las ecuaciones (11) para el movimiento armónico simple, donde una vez más mx es reemplazada por R. Así pues, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración son idénticos en el movimiento armónico simple y en la proyección del movimiento circular. Péndulo Simple: Un péndulo simple es un cuerpo idealizado que de una partícula suspendida de un cordón ligero inextensible. Cuando se lleva a un lado de su posición de equilibrio y se le suelta, el péndulo oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad. El movimiento es periódico y oscilatorio. La figura (8) muestra un péndulo de longitud L y masa m de la partícula. En el instante mostrado, el cordón forma un ángulo con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre m son el peso mg y la tensión T del cordón. El movimiento tendrá lugar a lo largo de un arco de círculo de radio L, y por lo tanto elegimos a los ejes tangentes al círculo y a lo largo del radio. El peso mg se descompone en una ( ) cos (16)x t R t ( ) (17)xv t R sen t 2( ) cos (18)xa t R t Tranquilate! Junto a la Física componente radial de magnitud cos mg y una tangencial de magnitud mg sen . La componente tangencial es la fuerza de restitución que actúa sobre m y que tiende a regresarla a la posición de equilibrio. De aquí que la fuerza de restitución sea: Nótese que la fuerza de restitución no es proporcional al desplazamiento angular , sino al sen . Por lo tanto el movimiento resultante no es armónico simple. Sin embargo, si el ángulo es pequeño, sen es aproximadamente igual a en radianes. El desplazamiento a lo largo del arco es x L , y para ángulos pequeños esto es casi un movimiento en línea recta. Por lo tanto, suponiendo que sen , obtenemos: Para desplazamientos pequeños, la fuerza de restitución es proporcional al desplazamiento y opuesta directamente. El periodo de un péndulo simple cuando su amplitud es pequeña se halla entonces haciendo a k mg L en la ecuación (8): Nótese que el periodo es independiente de la masa de la partícula suspendida. Péndulo Compuesto o Péndulo Físico: Cualquier cuerpo rígido montado de manera que pueda oscilar en un plano vertical respecto a algún eje que pase por el recibe el nombre de péndulo físico. En la figura (9) un cuerpo de forma irregular esta pivotado en torno a un eje horizontal sin fricción que pasa por P y desplazado de la posición de equilibrio en un ángulo . La posición de equilibrio es aquella en la que el centro de masa C del cuerpo esta verticalmente debajo de P. La distancia desde el pivote al centro de masa es d, la inercia de rotación del cuerpo en torno a un eje que pase por el pivote es I, y la masa del cuerpo es M. El torque de restitución para el desplazamiento angular es: Puesto que es proporcional al sen y no a , la condición para el movimiento armónico simple angular no se cumple aquí. Sin embargo, para desplazamientos angulares pequeños, la relación sen es una aproximación excelente, de modo que para amplitudes pequeñas: El periodo se deduce directamente de la ecuación 2T I de un oscilador de torsión con la sustitución Mgd , lo cual da: De la ecuación (24) puede despejarse la inercia de rotación I, dando: Las cantidades a la derecha son todas medibles directamente. De aquí que la inercia de rotación en torno a un eje de rotación de un cuerpo de cualquier forma puede determinarse suspendiendo al cuerpo de ese eje como un péndulo físico. Si la masa del péndulo físico estuviese concentrada a una distancia L del pivote escogida apropiadamente, el péndulo simple resultante tendría el mismo periodo que el péndulo físico original si: (19)F mg sen (20)x mgF mg mg x L L 2 2 2 (21) m mT k mg L LT g (22)Mgd sen (23)Mgd 2 (24)IT Mgd 2 2 (25)4 T MgdI Tranquilate! Junto a la Física O sea: De aquí que, en lo que concierne a su periodo de oscilación, puede considerarse que la masa de un péndulo físico está concentrada en un punto O cuya distancia al pivote es L I Md . Este punto se llama centro de oscilación del péndulo físico. Combinaciones de Movimientos Armónicos: A menudo se combinan dos movimientos armónicos simples en ángulo recto. El movimiento resultante es la suma de dos oscilaciones independientes. Consideremos primero el caso en el que las frecuencias de las vibraciones sean las mismas, de modo que: Los movimientos x e y pueden tener amplitudes diferentes y constantes de fase diferentes. Si las constantes fase son las mismas, el movimiento resultante es una línea recta. Esto puede demostrarse analíticamente al considerar la razón entre las expresiones para x e y en la ecuación anterior cuando x y , lo cual da: Esta es la ecuación de una línea recta, cuya pendiente es m my x (figura 10a y 10b). En estos casos ambos desplazamientos x e y alcanzan un máximo en el mismo tiempo y un mínimo en el mismo tiempo (están en fase). Si las constantes de fase son diferentes, el movimiento resultante no será una línea recta. Por ejemplo, si las constantes de fase difieren en 2 , el desplazamiento x máximo sucede cuando el desplazamiento y sea cero, y viceversa. Cuando las amplitudes son iguales el movimiento resultante es circular; cuando las amplitudes son desiguales, el movimiento resultante es elíptico. 2 2L IT g Mgd (26)IL Md cos cos (27) m x m y x x t y y t m my y x x Tranquilate! Junto a la Física Todas las combinaciones posibles de dos movimientos armónicos simples en ángulo recto que tengan la misma frecuencia corresponden a trayectorias elípticas, siendo el circulo y la línea recta casos especiales de una elipse. Si dos oscilaciones de frecuencias diferentes se combinan en ángulo recto, el movimiento resultante es más complicado. El movimiento no es ni siquiera periódico a no ser que las dos frecuencias componentes x y y sean la razón de dos enteros. Las combinaciones de movimientos armónicos simples en la misma dirección, con la misma frecuencia pero con amplitudes y fases diferentes, son de interés especial en el estudio de difracción y la interferencia de la luz, el sonido y la radiación electromagnética. También pueden ser combinadas oscilaciones de frecuencias diferentes en la misma dirección. El tratamiento de este movimiento es particularmente importante en el caso de las vibraciones. Oscilaciones de dos Cuerpos: A nivel microscópico (moléculas, átomos), existen muchos ejemplos de oscilaciones que, de manera aproximada, son armónicas simples. Un ejemplo es el de la molécula diatónica, en la cual dos átomos están unidos entre sí con una fuerza de atracción. Cerca de la posición de equilibrio, la energía potencial puede ser aproximada por una parábola de la forma 212( )P eqE x k x x , y si se la desplaza a una pequeña distancia de eqx , la molécula oscilará respecto a la posición de equilibrio. Para nuestros propósitos, podemos imaginar que la molécula está representada por dos partículas de masas 1m y 2m unidas por un resorte de constante de fuerza k (figura 11). Una manera de describir el movimiento de este sistema es en función de los movimientos separados de las dos partículas, que se localizan en relación al origen O por las dos coordenadas 1x y 2x (figura 11a). Reemplacemos a las dos coordenadas 1x y 2x por dos coordenadas diferentes: la separación relativa 1 2x x y la localización cmx del centro de masa. En ausencia de fuerzas externas, el centro demasa se mueve a velocidad constante, y su movimiento no es de interés real para el estudio de la oscilación del sistema, de modo que analizaremos el sistema en función de la coordenada relativa. La separación relativa 1 2x x da la longitud del resorte en cualquier momento. Supongamos que su longitud sin estirar sea L; entonces 1 2x x x L es el cambio de longitud del resorte, y F kx es la magnitud de la fuerza ejercida sobre cada partícula por el resorte. Aplicamos la segunda ley de Newton separadamente a las dos partículas, considerando los componentes de la fuerza a lo largo del eje x: Ahora, multiplicamos la primera de estas ecuaciones por 1m y la segunda por 2m , y luego las restamos. El resultado es: La cual podemos escribir así: La cantidad 1 2 1 2m m m m tiene la dimensión de una masa y se conoce como masa reducida m: 2 1 1 2 2 2 2 2 d xm kx dt d xm kx dt 2 2 1 2 1 2 1 2 2 12 2 d x d xm m m m m kx m kx dt dt 2 1 2 1 22 1 2 (28)m m d x x kx m m dt Tranquilate! Junto a la Física Ya que la longitud de relajamiento L del resorte es una constante, las derivadas de 1 2x x son las mismas que las derivadas de x: Y así la ecuación (28) se convierte en: Esta ecuación es idéntica en forma a la ecuación (4) para la masa oscilatoria aislada, demostrando entonces que, desde el punto de vista de las oscilaciones, el sistema de la figura (11a) puede ser reemplazado por una sola partícula, como se representa en la figura (11b), con una masa igual a la masa reducida del sistema. Movimiento Armónico Amortiguado: Hemos supuesto que no actúan fuerzas de fricción sobre el oscilador. Si esta hipótesis se mantuviese estrictamente, un péndulo o una masa unida a un resorte oscilarían de manera indefinida. En realidad, la amplitud de la oscilación disminuye en forma gradual hasta cero como resultado de la fricción. Se dice que el movimiento esta amortiguado por la fricción y se le llama movimiento armónico amortiguado (figura 12). A menudo la fricción surge de la resistencia del aire o de fuerzas internas. La fuerza neta sobre el cuerpo oscilatorio es la suma de la fuerza de restitución –kx y la fuerza de amortiguamiento, la cual suponemos tiene la forma de –bv como el caso de una fuerza de arranque. Aquí b es una constante positiva, que dependen de las propiedades del fluido, como la densidad, y de la forma y dimensiones del objeto sumergido. Partiendo de la segunda ley de Newton obtenemos: Una solución de esta ecuación es: Donde: Esta forma de solución de la ecuación (30) es válida para constantes b de amortiguamiento que sean lo suficientemente pequeñas de modo que la cantidad en el radical de la ecuación (32) sea positiva. La figura (13) se traza el desplazamiento x en función del tiempo t en este caso. Existen dos características notables de esta solución. Primeramente, la frecuencia es más pequeña (y el periodo más largo) cuando está presente la fricción. La fricción retarda al movimiento, como cabe esperar. Si no hubiese fricción presente, b seria igual a cero y ' sería igual a k m , que es la frecuencia angular de un movimiento no amortiguado. En segundo lugar, la amplitud del movimiento, representada por el factor 2bt mmx e y en la figura (13) por las curvas de puntos, disminuye exponencialmente hasta cero. El intervalo de tiempo T durante el cual la amplitud cae a 1/e de su valor inicial se llama vida media de la oscilación. 1 2 1 2 (29)m mm m m 1 2 ( ) d d dxx x x L dt dt dt 2 2 0 d x k x dt m 2 2 2 2 0 (30) dx d xkx b m dt dt d x dxm b kx dt dt 2 cos ' (31)bt mmx x e t 2 ' (32) 2 k b m m Tranquilate! Junto a la Física Si b tiene su mayor valor posible en este intervalo ( 2b k m ), entonces ' 0 , y el desplazamiento tiende a cero exponencialmente sin oscilar. La vida media T tiene su valor más pequeño, que es igual a 1 . Esta condición es llamada amortiguamiento crítico. En el movimiento armónico amortiguado la energía del oscilador se disipa gradualmente debido a la fricción y cae a cero con el tiempo. En el caso de un amortiguamiento pequeño, cuando la ecuación (31) es válida, podemos aproximar el valor instantáneo de la energía mediante la ecuación (13), reemplazando la amplitud mx (constante) por el valor instantáneo de la amplitud 2bt m mx e . Entonces: Oscilaciones Forzadas y Resonancia: Hasta ahora hemos discutido solamente las oscilaciones naturales de un cuerpo, es decir, las oscilaciones que ocurren, por ejemplo, cuando un cuerpo es desplazado y luego liberado. Para una masa unida a un resorte la frecuencia natural es: En ausencia de fricción y: En presencia de una pequeña fuerza de fricción bv. Sin embargo, surge una situación diferente cuando el cuerpo se halla sometido a una fuerza externa sinusoidal. Como ejemplos, un puente vibra bajo la influencia de una marcha de soldados; el cárter de un motor vibra por los impulsos periódicos de una irregularidad en la flecha, y nuestros tímpanos vibran cuando se exponen a la fuerza periódica de una onda sonora. Las oscilaciones resultantes se llaman oscilaciones forzadas. Estas oscilaciones forzadas tienen la frecuencia de la fuerza externa y no la fuerza natural del cuerpo. Sin embargo, la respuesta del cuerpo depende de la relación entre las frecuencias forzada y natural. La ecuación del movimiento de un oscilador forzado se deduce de la segunda ley del movimiento. Además de la fuerza de restitución –kx y de la fuerza de amortiguamiento –bv, tenemos también la fuerza externa oscilante aplicada. Para simplificar, hagamos que la fuerza externa este dada por cos ''mF t . Aquí mF es el valor máximo de la fuerza externa y '' 2 ''f es su frecuencia angular. Podemos imaginar a tal fuerza aplicada directamente a la masa oscilatoria de la figura (13), por ejemplo, reemplazando el muro fijo de la izquierda con un apoyo móvil unido a la flecha de un motor. El motor mueve el apoyo con la frecuencia angular '' . Partiendo de la segunda ley de Newton, obtenemos: La solución a esta ecuación es: Donde: 1 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) (33) bt m m bt m m E t k x e E t kx e 2 kf m 2 ' 2 ' 2 k bf m m 2 2 2 2 cos '' cos '' (34) m m dx d xkx b F t m dt dt d x dxm b kx F t dt dt '' (35)mFx sen t G Tranquilate! Junto a la Física Consideramos el movimiento resultante de manera cualitativa. Nótese (ecuación 34) que el sistema vibra con la frecuencia angular '' de la fuerza motriz y que la amplitud del movimiento es constante. Hay amortiguamiento, el cual causaría una disminución en la amplitud, pero la fuente de la fuerza motriz proporciona la energía necesaria para mantener constante la amplitud. El caso más sencillo es aquel en el cual no existe amortiguamiento (b = 0 en la ecuación 35). El factor G es grande cuando la frecuencia angular '' de la fuerza motriz es muy diferente de la frecuencia angular natural no amortiguada del sistema. Esto significa que la amplitud del movimiento resultante ( mF G ) es pequeña. En realidad, siempre hay algún amortiguamiento de modo que la amplitud de la oscilación, aunque pudiera llegar a ser grande, permanece finita en la práctica. En osciladores amortiguados ( 0b ), existe un valor característico de la frecuencia motriz '' para el cual la amplitud de oscilación es un máximo. Esta condición se llama resonancia y el valor de '' en el que ocurre la resonancia se llama frecuencia angular resonante. Cuanto más pequeño sea el amortiguamiento en un sistema,más cercana se halla la frecuencia angular resonante a la frecuencia angular natural no amortiguada . Movimiento Ondulatorio: La mayoría de los movimientos ondulatorios que nos resultan familiares implican una perturbación coordinada a gran escala de muchas partículas u objetos. En tanto que las partículas individuales no se mueven mucho, la perturbación puede recorrer grandes distancias, llevando consigo ímpetu y energía. Por ejemplo, si damos una sacudida rápida al extremo de una cuerda estirada (figura 1), la perturbación transfiere energía de la mano a la cuerda. Las fuerzas que actúan entre las partículas de la cuerda hacen que se muevan en respuesta al movimiento de la mano, y una pulsación ondulatoria viaja por la cuerda. Cada partícula sube y baja al pasar el pulso. En un medio material continuo, las partículas interactúan con sus vecinas, y fuerzas restauradoras hacen que las partículas oscilen cuando se les perturba. Así, cualquier perturbación no solo se propaga por el espacio, sino que podrá repetirse una y otra vez en el tiempo en cada posición. Semejante perturbación regular y rítmica, tanto en el tiempo como en el espacio, se llama onda, y decimos que la transferencia de energía se efectúa por movimiento ondulatorio. Ondas en Medios Elásticos: Estamos familiarizados con el hecho de que la energía y el ímpetu se transportan de un lugar a otro en virtud del movimiento de las partículas; el movimiento ondulatorio proporciona una manera alternativa de que la energía y el ímpetu se muevan de un lugar a otro sin que las partículas materiales hagan ese viaje. 22 2 2 2 2 1 '' '' (35) ''cos (36) G m b b G Tranquilate! Junto a la Física Las ondas de agua y las ondas sonoras son ejemplos de ondas mecánicas que viajan a través de medios deformables o elásticos. Se originan cuando cierta parte del medio se desplaza de su posición normal y queda liberada. Debido a las propiedades elásticas del medio, la perturbación se propaga a través de éste. Tipos de Ondas: Al enumerar a las ondas de agua, de luz y de sonido como ejemplo de movimiento ondulatorio, estamos clasificando a las ondas de acuerdo a sus propiedades físicas más amplias. Las ondas pueden clasificarse también de otras maneras. Podemos distinguir diferentes clases de ondas mecánicas si consideramos cómo se relacionan la dirección del movimiento de las partículas de la materia con la dirección de propagación de la onda. Si el movimiento de las partículas es perpendicular a la dirección de propagación de la onda misma, hablamos de una onda transversal. Por ejemplo, cuando una cuerda en tensión se hace oscilar en vaivén desde un extremo, a lo largo de la cuerda viaja una onda transversal (figura 2a). Sin embargo, si el movimiento de las partículas de una onda mecánica es de vaivén a lo largo de la dirección de propagación, tenemos una onda longitudinal. Por ejemplo, cuando un resorte en tensión se pone a oscilar en vaivén desde uno de sus extremos, a lo largo del resorte viaja una onda longitudinal (figura 2b). Un caso particular son las ondas que vemos sobre la superficie del agua, las partículas de estas se mueven tanto de arriba abajo como en vaivén, trazando trayectorias elípticas al moverse. Las ondas pueden también clasificarse de acuerdo con el número de dimensiones en que propaguen la energía. Así tenemos ondas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales. Las ondas que se mueven a lo largo de la cuerda o del resorte de la figura (2) son unidimensionales. Las ondas superficiales o rizos de agua, que se forman al arrojar una piedra a un estanque tranquilo, son bidimensionales. Las ondas de sonido y de luz que viajan radialmente partiendo de una pequeña fuente son tridimensionales. Puede ampliarse la clasificación de las ondas según como se muevan las partículas del medio en el tiempo. Por ejemplo, podemos producir una pulsación que viaje por una cuerda estirada aplicándole un solo movimiento lateral en su extremo (figura 2c). Si continuamos moviendo el extremo de la cuerda en vaivén, produciremos un tren de ondas que viajará a lo largo de la cuerda. Si nuestro movimiento es periódico, produciremos un tren de ondas periódico, donde cada partícula de la cuerda tendrá un movimiento periódico. Imaginemos una piedra lanzada a un lago tranquilo. Los rizos circulares se aparecen hacia afuera desde el punto en que la piedra entro al agua. A lo largo de un rizo circular dado, todos los puntos están en el mismo estado de movimiento. Estos puntos definen una superficie llamada frente de onda. Si el medio es de densidad uniforme, la dirección del movimiento de las ondas esta en ángulo recto al frente de la onda. Una línea normal a los frentes de onda, que indique la dirección del movimiento de las ondas, se llama rayo. Los frentes de onda pueden tener muchas formas. Una fuente central en la superficie del agua produce ondas bidimensionales con frentes de onda circulares y rayos que salen hacia afuera a partir del punto de la perturbación. Si arrojamos horizontalmente un palo muy largo al agua produciría perturbaciones que viajan como líneas rectas, y cuyos rayos serian líneas paralelas. La analogía tridimensional, en el cual las perturbaciones viajan en una sola dirección, es la onda plana (figura 3a). La analogía tridimensional de las ondas circulares son las ondas esféricas (figura 3b). Los frentes de onda son esferas, y los rayos son líneas radiales que salen de la fuente puntual en todas direcciones. Tranquilate! Junto a la Física Ondas Viajeras: Como ejemplo del comportamiento de las ondas mecánicas consideraremos a una forma de onda transversal que viaje en una cuerda estirada larga. Suponemos una cuerda ideal, en el cual la perturbación mantiene su forma mientras viaja. Para que esto suceda, las perdidas por fricción y otros medios de disipación de la energía deben ser despreciablemente pequeños. Hagamos que una pulsación se mueva en dirección x positiva con una velocidad v. En un tiempo t más tarde, la pulsación se ha movido una distancia vt (figura 4). La coordenada y indica el desplazamiento transversal de un punto en particular de la cuerda. Esta coordenada depende tanto de la posición x como el tiempo t. Indicamos esta dependencia de dos variables como y(x,t). Podemos representar a la forma de onda de la figura (4a) como: Con relación al origen O’ de un marco de referencia que viaja con la pulsación, la formula se describe por la función f(x’) (figura 4b). La relación entre las coordenadas x de los dos marcos de referencia es 'x x vt . Entonces, en el tiempo t, la onda se describe por: Para describir por completo a la onda, debemos especificar a la función f. Las ecuaciones (1) y (2) juntas indican que podemos cambiar una función de cualquier forma en una onda que viaje en dirección x positiva simplemente sustituyendo a x por la cantidad x – vt en todo lugar en que aparezca en la f(x). Sigamos el movimiento de determinada parte (o fase) de la onda, tal como la posición P de la onda. Si la onda ha de mantener su forma mientras viaja, entonces la coordenada Py del punto P no debe cambiar. Vemos que en la ecuación (2) que el único modo de que pueda suceder esto es que la coordenada x de P aumenta mientras aumenta t, de modo que la cantidad x – vt mantenga un valor fijo. Esto continua así en cualquier posición de la forma de la onda y en todos los tiempos t. Podemos verificar que esta ecuación caracteriza al movimiento de la fase de la forma de onda al diferenciar respecto al tiempo, lo cual da: La velocidad dx dt describe al movimiento de la fase de la onda, y por ello se conoce como velocidad de fase. Consideramos que v es una constante positiva, independiente de cualquier propiedad de la onda pero posiblementedependiente de las propiedades del medio. Si la onda se mueve en dirección x negativa, debemos reemplazar v por –v. En este caso, obtendríamos: Esto es, al sustituir en f(x) la cantidad x + vt en lugar de x nos da una onda que se movería hacia la izquierda. En el movimiento de cualquier fase de la onda estaría entonces caracterizado por el requisito x + vt = constante, y por analogía de la ecuación (3) podemos demostrar que dx/dt = -v, indicando que la componente de x de la velocidad de fase es realmente negativa en este caso. La función y(x, t) contiene la descripción completa de la forma de onda y de su movimiento. ( ,0) ( ) (1)y x f x ( , ) ( ') ( ) (2)y x t f x f x vt x vt constante 0 (3) dx v dt dx v dt ( , ) ( ) (4)y x t f x vt Tranquilate! Junto a la Física Onda Sinusoidal: La descripción anterior es bastante general. Es válida para formas de ondas arbitrarias, y se cumple tanto para ondas transversales como longitudinales. Por ejemplo, consideremos una forma de onda transversal que tenga una forma de onda sinusoidal (figura 5). Supongamos que en el tiempo t = 0 tenemos un tren de ondas a lo largo de la cuerda dado por: El desplazamiento máximo my se llama amplitud de la curva seno. El desplazamiento transversal y tiene el mismo valor en cualquier x. El símbolo representa la longitud de onda del tren de ondas e indica la distancia entre dos puntos adyacentes de la onda que tengan la misma fase. Si la onda viaja en dirección + x con velocidad de fase v, entonces la ecuación de la onda es: El periodo T de la onda es el tiempo necesario para que un punto en cualquier coordenada x efectué un ciclo completo de movimiento transversal. Durante ese tiempo T, la onda viaja una distancia vT que debe corresponder a una longitud de onda , de modo que: El inverso del periodo se llama frecuencia f de la onda ( 1f T ). Poniendo la ecuación (7) en la ecuación (6), obtenemos otra expresión para la onda: Para reducir la ecuación (8) a una forma más compacta, introducimos dos cantidades, el número de onda k y la frecuencia angular . Estas se definen por: El número de onda k es, al igual que , una cantidad angular, y las medidas de ambos implican radianes. En términos de estas cantidades, la ecuación de una onda seno que viaja en dirección + x es: La ecuación de una onda seno que viaje en dirección – x es: Al comparar las ecuaciones (7) y (9), vemos que la velocidad de fase v de la onda está dada por: Fase y constante de fase: En las ondas viajeras de las ecuaciones (10) y (11) hemos supuesto que el desplazamiento y es cero en la posición x = 0 en el tiempo t = 0. La expresión general para una onda sinusoidal que viaja en dirección + x es: La cantidad que aparece en el argumento seno kx t se llama fase de onda. Se dice que dos ondas con la misma fase (o con fases que difieran en cualquier múltiplo entero de 2 ) están “en fase”; ejecutan el mismo movimiento en el mismo tiempo. El ángulo se llama constante de fase. La constante de fase no afecta a la forma de la onda; mueve a la onda hacia adelante o hacia atrás en el espacio o en el tiempo. 2( ,0) (5)my x y sen x 2( ,0) (6)my x y sen x vt (7)vT ( , ) 2 (8)m x ty x t y sen T 2 2 , 2 (9)k f T ( , ) (10)my x t y sen kx t ( , ) (11)my x t y sen kx t (12)v f T k ( , ) (13)my x t y sen kx t Tranquilate! Junto a la Física Velocidad de las Ondas: La velocidad de onda, lo que aquí significa la velocidad de fase de una onda sinusoidal o la velocidad del grupo de una pulsación en un medio no dispersivo, no depende de la frecuencia o de la longitud de onda. Es posible calcular la velocidad de la onda mecánica a partir de las propiedades del medio aplicando los principios básicos de la mecánica newtoniana. Aquí consideraremos dos enfoques: un tratamiento basado en un análisis dimensional y un análisis mecánico un poco menos general por medio del cual calcularemos la velocidad de una pulsación transversal a lo largo de una cuerda tensa. Análisis Dimensional: La velocidad de las ondas de una cuerda musical depende de la masa de un elemento de la cuerda y de la fuerza entre elementos vecinos, la cual es la tensión F con la que se estira la cuerda. Si aumentamos la tensión, la fuerza entre elementos vecinos aumentara, y podemos esperar que la velocidad de la onda aumente también. Caracterizaremos a la masa de un elemento de la cuerda en términos de la densidad de masa lineal . Suponiendo que la velocidad de onda v depende únicamente de F y de , podemos usar el método del análisis dimensional y escribir a bv F , donde a y b son los exponentes por determinarse a partir del análisis dimensional. En términos de dimensiones de masa, longitud y tiempo, esto puede expresarse como: Resolviendo por igualación de potencias correspondientes de M, L y T, se obtiene 12a y 1 2b . Así, v F o, introduciendo una constante de proporcionalidad C: El valor de la constante puede obtenerse de un análisis mecánico del problema o por medio de la experimentación. Estos métodos demuestran que la constante es igual a la unidad. Análisis Mecánico: En la figura (6) se muestra una “instantánea” de una pulsación de onda que se mueve de izquierda a derecha en la cuerda con una velocidad v. Escogemos un marco de referencia inercial con movimiento uniforme. Consideremos a una pequeña sección de la pulsación l . Esta sección forma aproximadamente un arco de círculo de radio R. La masa m de este elemento es l . La tensión F en la cuerda es una tensión tangencial en cada extremo de este pequeño segmento de cuerda. Las componentes horizontales de F se cancelan, y las componentes verticales son iguales a F sen (donde 2 F F sen ). Debido a que es pequeño, podemos considerar que sen . De la figura, vemos que 2 l R , y así obtenemos: Esto da la fuerza que suministra la aceleración centrípeta de las partículas de cuerda dirigidas hacia O. La fuerza centrípeta que actúa sobre una masa m que se mueve en círculo de radio R a velocidad v es 2 m v R (la velocidad tangencial v de este elemento es horizontal y de magnitud igual a la velocidad de onda). Aplicando la segunda ley de Newton tenemos que: 1 2 1 a b a b v F LT MLT ML (14)Fv C 2 2 (15)lF F sen F F R 2 2 (16) m vF R l l vF R R Fv Tranquilate! Junto a la Física Esta ecuación muestra, a partir del análisis mecánico, que la constante C de la ecuación (14) tiene valor 1. Velocidad Transversal de una Partícula: El movimiento de una partícula en una onda transversal como la de la figura (5) es en dirección y. La velocidad de la onda a lo largo de la dirección del viaje. La velocidad de la onda no caracteriza el movimiento transversal de las partículas de la cuerda. Para hallar la velocidad transversal de una partícula de la cuerda necesitamos el cambio en la coordenada y con respecto al tiempo. Suponiendo que tenemos una onda sinusoidal de la forma de la ecuación (13), tenemos entonces que: Ecuación Lineal de Onda: La figura (7) muestra un elemento de una cuerda larga que está sometido a una tensión F. El tránsito de una onda ha provocado que el elemento sea desplazado de su posición de equilibrio en y = 0. Consideramos al elemento de la cuerda de longitud x , y aplicamos la segunda ley de Newton para analizar cómo se mueve este elemento. Sobre el elemento actúan dos fuerzas ejercidas por las partes de la cuerda a cada lado delelemento. Estas fuerzas tienen magnitudes iguales, pero tienen direcciones ligeramente distintas, porque actúan tangentes a los puntos extremos del elemento. La fuerza neta en la dirección y es: Consideramos únicamente desplazamientos pequeños a partir del equilibrio, de modo que los ángulos 1 y 2 son pequeños, y podemos escribir que tansen , lo cual da: Despreciando la fuerza de fricción y otras fuerza disipativas, hallamos que la segunda ley de Newton da: Para ya , usamos la aceleración transversal de una partícula ( 2 2y t ). También, reemplazamos a tan (pendiente de la cuerda), por la derivada parcial equivalente y t , obteniendo: Consideremos ahora el límite de la ecuación (19) cuando el elemento de masa se vuelve muy pequeño. Reemplazando a F por 21 v , obtenemos: La ecuación (16) es la forma general de la ecuación que describe a las ondas. Esta forma general de ecuación se llama ecuación lineal de onda. Surge no solo en la mecánica sino también en otras situaciones. 2 1 yF F sen F sen 2 1tan tan (tan ) (18)yF F F F (tan ) (tan ) y y y y F m a F m a a x F 2 2 ( ) (19)y t y x F t 2 20 2 2 2 2 ( )lim (20) x y t y y x x x x y y x F t 2 2 2 2 2 1 (21)y y x v t ( , ) ( , ) cos (17) m m y sen kx tyu x t t t u x t y kx t Tranquilate! Junto a la Física Principio de superposición: A menudo observamos que dos o más ondas viajan en forma simultánea por la misma región del espacio, independientemente entre sí. Por ejemplo, el sonido que llega a nuestros oídos proveniente de una orquesta sinfónica es muy complejo, pero podemos captar el sonido emitido por cada uno de los instrumentos por separado. Este ejemplo ilustra el principio de superposición, que postula que, cuando varias ondas se combinan en un punto, el desplazamiento de cualquier partícula en un tiempo dado es simplemente la suma vectorial de los desplazamientos que produciría cada onda individual que actué por sí sola. Supongamos que dos ondas viajen simultáneamente a lo largo de la misma cuerda tensada. Sean 1( , )y x t y 2 ( , )y x t los desplazamientos que la cuerda experimentaría si cada onda actuase por separado. El desplazamiento de la cuerda al actuar ambas ondas es: Para las ondas mecánicas en medios elásticos, el principio de superposición es válido cuando la fuerza de restitución varía linealmente con el desplazamiento. Para las ondas electromagnéticas, el principio de superposición es válido porque los campos eléctricos y magnéticos se relacionan linealmente. La figura (8) muestra una secuencia de tiempo de “instantáneas” de dos pulsaciones que viajan en direcciones opuestas en la misma cuerda tensada. Cuando las pulsaciones se superponen, el desplazamiento de la cuerda es la suma algebraica de los desplazamientos individuales de la cuerda provocados por cada una de las dos pulsaciones por separado. Las pulsaciones se mueven simplemente entrecruzándose viajando cada una de ellas a lo largo como si la otra no existiera. Potencia e Intensidad en el Movimiento Ondulatorio: En esta sección consideraremos la cantidad de energía que transporta la cuerda. La figura (9) muestra una instantánea de una onda sinusoidal en los tiempos t y t + dt. Un punto de la cuerda con coordenada x tiene un tiempo t una velocidad transversal u, la cual tiene una componente y únicamente. Esta velocidad no se relaciona con la velocidad de onda, sino que más bien tiene la magnitud dada por la ecuación (17) con 0 . En esta figura se muestra también la fuerza ejercida sobre un elemento de la cuerda por el elemento de su izquierda. La fuerza transmite energía en una cantidad dada por la ecuación yP u F uF . Únicamente la componente yF de F a lo largo de u contribuye a la potencia. Nótese que la componente y de F es paralela a u , sin importar si el elemento de la cuerda se está moviendo hacia arriba o hacia abajo. Así 0yuF , y por lo tanto la potencia transmitida nunca es negativa durante el ciclo de oscilación. Existe un flujo neto continuo de energía en dirección x positiva (la dirección de propagación de la onda). Sustituyendo a la componente y de la fuerza, obtenemos: 1 2( , ) ( , ) ( , ) (21)y x t y x t y x t ( , ) cos m yu x t y kx t t 2 2 2 2 2 cos cos cos cos (22) y m m m m y yP uF F t x P F y kx t y k kx t P y k F kx t y v kx t Tranquilate! Junto a la Física Nótese que la potencia o cantidad de flujo de energía no es constante. Esto se debe a que la potencia de entrada oscila. Cuando se transporta energía a lo largo de la cuerda, la energía se almacena en cada elemento de la cuerda como una combinación de energía cinética y de energía potencial de deformación. A menudo se considera que la entrada de potencia a la cuerda es el promedio de un periodo del movimiento. La potencia promedio abastecida es: La dependencia de la tasa de transferencia de energía del cuadrado de la amplitud de onda y del cuadrado de la frecuencia de onda es así, en general, para todos los tipos de ondas. A menudo es más útil especificar la intensidad de la onda en una onda tridimensional. La intensidad I se define como la potencia promedio por unidad de área transmitida a través de un área A normal a la dirección en que viaja la onda, es decir: Al igual que con la potencia en la onda que viaja a lo largo de la cuerda, la intensidad de cualquier onda es siempre proporcional al cuadrado de la amplitud. Reflexión de Ondas: Hemos considerado ondas que se desplazan por un medio uniforme. Ahora consideramos la forma en que una onda viajera es afectada cuando se encuentra un cambio en el medio. Por ejemplo, considere un pulso que se desplaza en una cuerda que esta rígidamente unida a un soporte en un extremo (figura 10). Cuando el pulso llega al soporte, ocurre un gran cambio en el medio. El resultado de este cambio es que el pulso experimenta reflexión, es decir, el pulso regresa por la cuerda en la dirección contraria. Cuando el pulso llega al extremo fijo de la cuerda, esta produce una fuerza hacia arriba sobre el soporte. Por la tercera ley de Newton, el soporte debe ejercer sobre la cuerda una fuerza de reacción de igual magnitud y en dirección opuesta (hacia abajo). Esta fuerza hace que el pulso se invierta en la reflexión. Ahora considere otro caso, esta vez el pulso llega al extremo de una cuerda que está libre de moverse verticalmente (figura 11). La tensión en el extremo libre se mantiene porque la cuerda está atada a un anillo de masa despreciable que está libre de deslizarse verticalmente sobre un poste liso sin fricción. De nuevo, el pulso es reflejado, pero esta vez no se invierte. Cuando llega al poste, el pulso ejerce una fuerza sobre el extremo libre de la cuerda, haciendo que el anillo acelere hacia arriba. El anillo sube tan alto como el pulso entrante, y luego la componente hacia debajo de la fuerza de tensión tira del anillo hacia abajo. Este movimiento del anillo produce un pulso reflejado que no se invierte y que tiene la misma amplitud que el pulso entrante. Por último, podemos tener una situación en la que la frontera es indeterminada entre estos dos extremos. En este caso, parte de la energía del pulso incidente se refleja y parte experimenta transmisión, es decir, parte de la energía pasa por la frontera. Por ejemplo, supongamos que una cuerda ligera está atada a una cuerda más pesada (figura 12). Cuando un pulso que viaja en la cuerda ligerallega a la frontera entre las dos, parte del pulso es reflejado e invertido y parte se transmite a la cuerda más pesada. Cuando un pulso que se desplaza en una cuerda pesada incide en la frontera entre la cuerda pesada y una más ligera (figura 13), de nuevo parte se refleja y parte se transmite. En este caso, el pulso reflejado no se invierte. En cualquier caso, las alturas respectivas de los pulsos reflejado y transmitido dependen de las densidades relativas de las dos cuerdas. Si las cuerdas son idénticas, no hay discontinuidad en la frontera y no tiene ningún tipo de reflexión 1 1 2 2 2 (23) (24) t T T t m P P dt P y v (25)PI A Tranquilate! Junto a la Física Ondas Complejas: Cuando dos o más ondas diferentes, que puedan tener diferentes amplitudes y longitudes de onda, se hallan presentes de manera simultánea en un medio, podemos aplicar el principio de superposición en cada punto y obtener un patrón de onda y(x,t) complejo que no se parezca en lo absoluto a las ondas que la componen. Sin embargo, es una forma de onda viajera aceptable. La figura (14a) muestra un ejemplo del caso de dos ondas seno de igual amplitud cuya longitud de onda está en la razón 3:1. Las ondas viajan en la misma dirección y con la misma velocidad de fase. Están en fase en x = 0. La curva más oscura muestra la forma de onda resultante que puede calcularse empleando la ecuación (21). Nótese que no es una onda seno. En la figura (14b), las dos ondas combinadas son idénticas a las de la figura (14a), excepto que están 180° fuera de fase en x = 0. La forma de la onda resultante es bastante diferente de la figura (14a). Al cambiar la designación del eje horizontal en la figura (14) de x a t, tendríamos una representación de la superposición de dos ondas en función del tiempo de un punto en particular. Tal grafica podría representar, por ejemplo, el movimiento en el tiempo de un punto en particular de una cuerda en respuesta a la combinación de dos ondas. Ondas Estacionarias: Consideremos el efecto de superponer dos ondas componentes de igual amplitud y frecuencia que se mueven en direcciones opuestas en una cuerda. La figura (15) es una indicación grafica del efecto de sumar las formas de onda componentes para obtener la resultante. En la figura se muestran dos ondas viajeras, una moviéndose hacia la izquierda y la otra hacia la derecha. Se muestran instantáneas de las dos ondas componentes y su resultante en intervalos de ¼ de periodo. De esta superposición resulta una característica particular: existen ciertos puntos a lo largo de la cuerda, llamados nodos, en los cuales el desplazamiento es nulo en todo momento. Entre los nodos se hallan los antinodos, donde el desplazamiento oscila con la amplitud más grande. Tal patrón de nodos y antinodos se denomina onda estacionaria. Para analizar matemáticamente a la onda estacionaria, representamos a las dos ondas por: De aquí que la resultante se puede expresar como: 1 2 ( , ) ( ) ( , ) ( ) m m y x t y sen kx t y x t y sen kx t 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) (26)m m y x t y x t y x t y x t y sen kx t y sen kx t Tranquilate! Junto a la Física Haciendo uso de una relación trigonométrica, tendremos que: Esta ecuación es la ecuación de una onda estacionaria. No puede representar una onda viajera, porque x y t no aparecen en la combinación x - vt o x + vt exigida por una onda viajera. Nótese que una partícula en cualquier posición x determinada ejecuta un movimiento armónico simple en el transcurso del tiempo, y que todas las partículas vibran con la misma frecuencia angular . En una onda viajera cada partícula de la cuerda vibra con la misma amplitud. Sin embargo, en una onda estacionaria, la amplitud no es la misma para todas las partículas sino que varia con la posición x de la partícula. De hecho, la amplitud 2 my sen kx , tiene un valor máximo de 2 my en las posiciones donde 3 5 2 2 2, , ,...kx , o bien: Estos puntos son los antinodos y están separados por ½ de la longitud de onda. La amplitud tiene un valor mínimo de cero en las posiciones donde , 2 , 3 ,...kx , o bien: Estos puntos son los nodos y están también separados por ½ de longitud de onda. La separación entre un nodo y un antinodo adyacente es de ¼ de longitud de onda. Está claro que no se transporta energía a lo largo de la cuerda hacia la derecha o hacia la izquierda, ya que la energía no puede fluir más allá de los nodos de la cuerda, los cuales están permanentemente en reposo. De aquí que la energía permanezca estacionaria en la cuerda, si bien alterna entre energía cinética vibratoria y energía potencial elástica. Cuando los antinodos están todos en sus desplazamientos máximos, la energía se almacena enteramente como energía potencial, en especial como una energía potencial elástica asociada al estiramiento de la cuerda. Cuando todas las partes de la cuerda pasan simultáneamente por la posición de equilibrio, la energía se almacena enteramente como energía cinética. Resonancia: Veamos los patrones de la onda estacionaria de la figura (16). Podemos ver que pueden presentarse cuatro ondas estacionarias diferentes. El espaciamiento entre los nodos difiere en los cuatro patrones, y puesto que la longitud de onda es el doble de la distancia entre nodos adyacentes, la longitud de onda difiere también. Por otra parte, la velocidad de fase es la misma en las cuatro situaciones, estando determinada únicamente por la tensión de la cuerda. La relación v f nos dice entonces que si v es constante y cambia, la frecuencia f debe ser ciertamente diferente para las diferentes ondas estacionarias. En las fotografías, la cuerda debe estar siendo sacudida a ciertas frecuencias diferentes pero bien definidas. Las fotos de la figura parecen mostrar un sistema con nodos en ambos extremos. El espaciamiento entre nodos es siempre de la mitad de la longitud de onda, de modo que la condición para que en la cuerda se produzca una onda estacionaria es que la longitud L de la cuerda sea igual a un número entero n de medias longitudes de onda: O bien: En términos de la frecuencia, podemos escribir esta ecuación como: ( , ) 2 cos (27)my x t y sen kx t 3 5, , ,... (28) 4 4 4 x 3, , ,... (29) 2 2 x ( 1, 2, 3,...) 2 L n n 2 ( 1, 2, 3,...) (30)n L n n Tranquilate! Junto a la Física Es decir, la cuerda debe sacudirse a estas frecuencias particulares (correspondiendo a n = 1, 2, 3 y 4) para producir las ondas estacionarias. Podemos considerar que las frecuencias de la ecuación (31) son las frecuencias naturales del sistema oscilatorio (la cuerda). Cuando la frecuencia de la fuerza impulsora (la mano) concuerda con las frecuencias naturales permitidas, se produce una onda estacionaria y el sistema comienza a moverse con una gran amplitud. Esta es la conciencia de resonancia. Un bloque colgado de un resorte es también capaz de resonar, pero únicamente a una sola frecuencia. ¿Por qué entonces tiene la cuerda tensa un número infinito de frecuencias resonantes? En el sistema bloque- resorte la inercia (el bloque) está concentrada (amontonada) en una parte del sistema mientras que la elasticidad (el resorte) está concentrada en otra. Se dice que tal sistema resonante tiene elementos concentrados. Por otra parte, se dice que la cuerda tensa tiene elementos distribuidos, porque cada parte de la cuerda tiene propiedades tanto inerciales como elásticas. Un sistema concentrado de N objetos tiene N frecuencias naturales, cada una de las cuales corresponde a un patrón de oscilación diferente (figura 17). El límite cuando N tiene a infinito nos conduce al sistemacompletamente distribuido de la cuerda tensa, con un número infinito de frecuencias resonante. Si la cuerda vibratoria de la figura (16) se pusiera en movimiento y luego se dejara sola, las vibraciones desaparecerían en forma gradual. El movimiento de la cuerda esta amortiguado por la disipación de energía a través de los soportes en los extremos y por la resistencia del aire al movimiento. ( 1, 2, 3,...) (31) 2n n v vf n n L Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 12: Acústica Ondas Audibles, Ultrasónicas e Infrasónicas: Una onda sonora es una onda longitudinal que transmite lo que se asocia con sonido. Si se propaga en un medio elástico y continuo genera una variación local de presión o densidad, que se transmite en forma de onda esférica periódica o cuasiperiódica. Mecánicamente las ondas sonoras son un tipo de onda elástica. Las variaciones de presión, humedad o temperatura del medio, producen el desplazamiento de las moléculas que lo forman. Cada molécula transmite la vibración a las que se encuentren en su vecindad, provocando un movimiento en cadena. Esa propagación del movimiento de las moléculas del medio, producen en el oído humano una sensación descrita como sonido. El hercio (Hz) es la unidad que expresa la cantidad de vibraciones que emite una fuente sonora por unidad de tiempo (frecuencia). Cuando las perturbaciones que viajan a través del aire llegan al oído, el tímpano es puesto en vibración por las variaciones de presión. Al otro lado del tímpano, pequeños huesos llevan las vibraciones al oído interno donde son recogidas por el nervio auditivo. Las características del oído la percepción del sonido. Solo las ondas de sonido con frecuencias entre aproximadamente 20 Hz y 20 kHz inician impulsos nerviosos que son interpretados como sonido por el cerebro humano. Este intervalo de frecuencias es llamado región audible, y el tipo de ondas se denominan ondas audibles. Las frecuencias menores de 20 Hz están en la región infrasónica. Las ondas en esta región, que los humanos no pueden oír, se encuentran en la naturaleza. Las ondas longitudinales generadas por sismos tienen frecuencias infrasónicas. Las ondas infrasónicas, o infrasonido, son también generadas por el viento y patrones del tiempo atmosférico. Por arriba de 20 kHz se tiene la región ultrasónica. Las ondas ultrasónicas pueden ser generadas por vibraciones de alta frecuencia en cristales. Las ondas ultrasónicas, o ultrasonido, no pueden ser detectadas por los seres humanos, pero pueden serlo por otros animales. Los gatos y los murciélagos tienen rangos audibles aun mayores, hasta aproximadamente 70 y 100 kHz, respectivamente. Velocidad del Sonido: Si bien las ondas sonoras viajan normalmente en tres dimensiones, simplificaremos un poco nuestro análisis al considerar un sistema unidimensional. La figura (1) muestra un tubo equipado en un extremo con un embolo móvil, el cual representa, por ejemplo, el cono móvil de un altoparlante. Suponiendo que el tubo está lleno de aire y que es muy largo, de modo que no precisamos considerar las reflexiones desde el extremo lejano. Cuando el embolo se mueve hacia atrás y hacia adelante, alternativamente comprime y enrarece al medio. Estas compresiones y enrarecimientos pueden considerarse incrementos y decrementos de la densidad local con relación a su valor promedio en el medio, o quizá como incrementos y decrementos en la presión local con relación a su valor promedio. Como resultado de las fuerzas mecánicas internas del medio, las compresiones y enrarecimiento viajan a lo largo del tubo. Como en todas las ondas mecánicas, la velocidad de propagación depende de la razón entre una propiedad elástica del medio y una propiedad inercial del medio. En ondas longitudinales, la propiedad elástica describe cómo responde el medio a los cambios de presión con un cambio de volumen (módulo volumétrico): El signo menos implica que un aumento de la presión ( 0p ) causa una disminución de volumen ( 0V ). (1)pB V V http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_(f%C3%ADsica) http://es.wikipedia.org/wiki/Sonido http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuos http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n http://es.wikipedia.org/wiki/Densidad http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_esf%C3%A9rica http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_cuasiperi%C3%B3dico http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_el%C3%A1stica http://es.wikipedia.org/wiki/Mol%C3%A9cula http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_ondulatorio http://es.wikipedia.org/wiki/Sonido http://es.wikipedia.org/wiki/Hercio http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia Tranquilate! Junto a la Física La propiedad inercial del medio debe estar dada por su densidad . Podemos llevar a cabo un análisis dimensional para determinar cómo depende la velocidad de B y , y el resultado es: Donde una vez más la constante sin dimensiones C no puede determinarse a partir de este método de análisis. Análisis Mecánico: Consideremos, para simplificar, una sola pulsación de compresión, como la que pudiera producirse por una sola carrera del émbolo de la figura (1). Supongamos que la pulsación de compresión viaja a través del tubo de izquierda a derecha con velocidad v. Para simplificar suponemos que la pulsación tiene caras anterior y posterior bien definidas y que tiene una presión y una densidad uniformes en su interior. En esta figura, la pulsación (zona de compresión) permanece estacionaria en nuestro marco de referencia mientras que el fluido se mueve a través de ella de derecha a izquierda con velocidad v. Sigamos el movimiento de un elemento de fluido móvil contenido entre las líneas verticales de la figura (2). Este elemento se mueve hacia la izquierda con velocidad v hasta que choca con la zona de compresión en el tiempo t, y el borde derecho entra en el tiempo t t . Durante el intervalo t , en que el elemento entra a esta zona, existe una presión p p en la cara anterior del elemento de fluido y una presión p en la cara posterior. Como resultado de la diferencia de presión p a través del elemento fluido, se comprime y se acelera. Apliquemos las leyes de Newton al elemento de fluido durante el intervalo de tiempo t durante el cual entra en la zona. La fuerza resultante que actúa durante este intervalo es: Donde A es el área de la sección de la sección transversal del tubo, considerando que la dirección positiva es la de la velocidad. El volumen original V del elemento es A x Av t , y su masa es vA t . La aceleración a es v t . La segunda ley de Newton da: La cual podemos escribir como: Durante el intervalo de tiempo t , el borde anterior del elemento de fluido se mueve a velocidad v v , y por tanto se mueve a una distancia v v t . En ese mismo tiempo, el borde posterior se mueve una distancia v t . El ancho del elemento del fluido cambia entonces en ese intervalo en una cantidad negativa v t , y el volumen cambia en correspondencia en la cantidad V A v t . De aquí que: Y obtenemos, usando la ecuación (1): Entonces: (2)Bv C ( ) (3)F pA p p A pA ( ) F ma vp A vA t t 2 (4)pv v v V A v t v V Av t v 2 (5)pv B V V Tranquilate! Junto a la Física Lo cual demuestra que la constante C de la ecuación (2) tiene el valor 1. Si el medio en el que viaja la pulsación es una barra delgada y solida en vez de un fluido, el módulo volumétrico B de la ecuación (6) debe ser reemplazado por el módulo de Young. Ondas Viajeras Longitudinales: Consideremos un tren continuo de compresiones y enrarecimientos que viajan a lo largo de un tubo lleno de fluido(figura 3). Si nos colocamos en alguna posición fija a lo largo del tubo, existen dos formas de observar esta onda viajera. (1) Podemos enfocar nuestra atención al desplazamiento oscilatorio hacia atrás y hacia delante de un elemento de fluido en nuestra posición al pasar la onda a través de ellas. (2) Podemos centrarnos en las variaciones periódicas de presión que ocurren en nuestro punto de observación. Exploraremos la conexión entre estas descripciones de una onda sonora como una onda de desplazamiento y una onda de presión. Al avanzar la onda a lo largo del tubo, cada pequeño elemento de volumen del fluido oscila respecto a su posición de equilibrio. Representamos al desplazamiento del elemento de volumen a partir de su posición de equilibrio en x por s(x,t), donde el desplazamiento s es a lo largo de la dirección de propagación en una onda longitudinal. En el caso de una onda sinusoidal, podemos escribir la ecuación de desplazamiento longitudinal como: Donde hemos supuesto que la onda viaja en dirección + x. La amplitud ms es bastante pequeña en las ondas sonoras. Por lo general, es más recomendable tratar con variaciones de presión en una onda sonora. Escribamos por lo tanto la ecuación de la onda en términos de variación de presión. De la ecuación (1), podemos escribir: Hagamos que p represente el cambio desde la presión 0p no perturbada. Buscamos una expresión del cambio de presión p en función de la posición x y el tiempo t ( , )p x t . La presión real en cualquier punto será entonces 0 ( , )p p x t , que podría ser mayor o menor que 0p dependiendo de si p es positiva o negativa en ese punto y en ese momento. Una capa de fluido a presión 0p con un espesor y un área A tiene un volumen V A x . Cuando la presión cambia, el volumen cambia en A s . De aquí que: Cuando hacemos que 0x , obtenemos: Usamos derivadas parciales ya que s es una función de x y de t. Si el desplazamiento de la partícula es sinusoidal, entonces, según la ecuación (7), obtenemos: (6)v B ( , ) cos( ) (7)ms x y s kx t Vp B V V A sp B B V A x (8)sp B x ( ) m sp B ks sen kx t x Tranquilate! Junto a la Física Y de la ecuación (8): De aquí que la variación de la presión en cada posición x sea también sinusoidal. A causa de que , podemos escribir la ecuación (9) mas convenientemente como: El término entre corchetes representa el cambio máximo de la presión y se denomina amplitud de presión ( 2m mp k v s ): De aquí que la onda sonora puede considerarse bien como una onda de desplazamiento o bien como una onda de presión. Si la primera se escribe como una función coseno, la otra será una función seno. La onda de desplazamiento está entonces a 90° fuera de fase con la onda de presión. Potencia e Intensidad de la Ondas Sonoras: Al viajar una onda de presión, cada elemento del fluido ejerce una fuerza sobre el elemento que está delante de él ( F A p ). Usando la ecuación (11), hallamos que la fuerza es: La velocidad de la delgada rebanada de fluido, como se indica en la figura (3), es: La potencia abastecida al elemento del fluido es: Usando el valor de la amplitud de presión ( 2m mp k v s ), podemos escribir esto como: Promediamos la potencia dentro de un ciclo; puesto que el valor promedio de 2sen es ½, la potencia promedio es: Cuando comparamos sonidos diferentes, es más útil usar la intensidad de la onda (potencia promedio por unidad de área). Partiendo de la ecuación (16), podemos obtener de inmediato la intensidad I: Puesto que el oído es tan sensible, introducimos una escala logarítmica de intensidades llamada nivel de sonido SL: El SL se define respecto a una intensidad de referencia 0I , la cual se escoge igual a 12 210 /W m . Los niveles de sonido definidos de esta manera se miden en unidades de decibel (dB). Un sonido de intensidad 0I tiene un nivel de sonido de 0 dB, mientras que el sonido en la parte superior del espectro de audición humana, llamado umbral del dolor, tiene una intensidad de 21 /W m y un SL de 120 dB. Podemos usar el dB como una medida relativa para comparar diferentes sonidos entre si, en lugar de usar una intensidad de referencia. Supongamos que deseamos comparar dos sonidos de intensidades 1I e 2I : ( , ) ( ) (9)mp x t Bks sen kx t 2( , ) ( ) (10)mp x t k v s sen kx t ( , ) ( ) (11)mp x t p sen kx t ( ) (12)mF A p sen km t ( ) (13)m su s sen km t t ( ) (14)m mP uF A p s sen km t 2 2( ) ( ) (15)mA pP sen km t v 2( ) (16) 2 mA pP v 2( ) (17) 2 mpPI A v 0 10log (18)ISL I Tranquilate! Junto a la Física La sensibilidad del oído humano varia con la frecuencia. El umbral de 12 210 /W m se aplica únicamente en las frecuencias intermedias de alrededor de 1000 Hz. A frecuencias más elevadas, digamos 10000 Hz, el umbral se eleva alrededor de 10 dB, mientras que a una frecuencia más baja de 100 Hz el umbral esta en unos 30 dB. Sistemas Vibrantes y Fuentes de Sonido: Como vimos en los ejemplos anteriores, en el caso de la cuerda vibratoria y en el caso de una columna de aire, un sistema distribuido tiene un número grande de frecuencias vibratorias naturales o de resonancia. Estas son las frecuencias a las cuales puede vibrar. La frecuencia que se halla en la vibración depende de cómo se pone el sistema en vibración. Supongamos que el sistema es capaz de vibrar en un numero de frecuencias 1f , 2f , 3f ,… (escritas en orden ascendente). La frecuencia más baja 1f , se llama frecuencia fundamental, y el modo de oscilación correspondiente se llama modo fundamental. Las frecuencias más elevadas se llaman sobretonos, siendo 2f el primer sobretono superior, 3f el segundo sobretono, y así sucesivamente. En ciertos sistemas, los sobretonos son todos los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental: En tal caso, los sobretonos se llaman simplemente armónicos. Cuando se oyen varias frecuencias simultáneamente, resulta una sensación agradable si las frecuencias están en razón de múltiplos pequeños y enteros como 3:2 ó 5:4. Si un sistema produce sobretonos que sean armónicos, sus vibraciones incluirán frecuencias que tienen estas razones, y producirán un sonido agradable. Si los sobretonos no son armónicos, es probable que el sonido sea discordante. Tomando como ejemplo de fuente de sonido a los instrumentos musicales, podemos clasificarlos en tres categorías. Cuerdas Vibratorias: Estos instrumentos incluyen las cuerdas frotadas (como los violines), las cuerdas punteadas (la guitarra), y las cuerdas percutidas (el piano). Si una cuerda fija en ambos extremos es frotada, punteada o percutida, a lo largo de la cuerda viajan vibraciones transversales; estas perturbaciones se reflejan en los extremos fijos, y se forma un patrón de onda estacionaria. Los modos naturales de vibración de la cuerda son excitados, y estas vibraciones dan origen a ondas longitudinales en el aire del entorno, el cual los transmite a nuestros oídos en forma de sonido musical. Una cuerda de longitud L, fija en ambos extremos, puede resonar a frecuencias dadas por: Aquí v es la velocidad en la cuerda de las ondas que viajan transversalmente de cuya superposición puede pensarse que dan origen a las vibraciones. A cualquiera de estas frecuencias la cuerda contiene un número entero n de rizos entre sus extremos. Columnas de Aire Vibratorias: Un tubo de órgano es un ejemplo sencillo de sonido que se origina en una columna de aire vibratoria. Si ambos extremos de un tubo están abiertos y se dirige una corriente de aire contra un borde enun extremo, se formas ondas longitudinales en el tubo. La columna de aire resuena entonces a sus frecuencias de vibraciones naturales. Como en el caso de la cuerda frotada, el sonido 1 1 2 0 0 2 10log 10log 10log (19)II ISL SL I I I 1 ( )nf nf n es entero , 1, 2, 3,.... (20) 2n vf n n L Tranquilate! Junto a la Física fundamental y los sobretonos se producen al mismo tiempo. Si un extremo del tubo se cierra, la frecuencia fundamental se reduce en un medio, con relación a su valor para un tubo abierto de la misma longitud, y únicamente estarán presentes los armónicos impares, los cuales cambian la calidad del sonido. Es decir, un tubo abierto produce el mismo tono fundamental que un tubo cerrado de la mitad de longitud, pero a causa de que la mezcla de los armónicos es diferente en los dos tubos, la calidad de los tonos difiere. Los instrumentos de lengüeta producen tonos de modo distinto. El aire se sopla a través de una abertura angosta, uno de cuyos lados está cubierto por una lengüeta que tiene propiedades elásticas. Según la ecuación de Bernoulli el aire, al pasar a alta velocidad a través de una abertura angosta, forma una región local de baja presión dentro de la embocadura. La presión exterior supera a la presión interior, lo cual fuerza a la lengüeta hacia adentro de modo que cubre la abertura. Tan pronto como se cubre la abertura, se interrumpe el flujo de aire, se elimina la región de baja presión dinámica, y la lengüeta se abre súbitamente permitiendo el flujo de aire comience de nuevo. Este abrir y cerrar repetido del conducto de aire causa variaciones de presión máximas en la embocadura del instrumento, el cual se comporta por lo tanto como un antinodo de presión. Otros Sistemas Vibratorios: Las barras vibratorias, los platillos, y las membranas estiradas producen también ondas sonoras. Consideremos una membrana flexible estirada, como la de un tambor. Si se golpea, a partir del punto golpeado viaja una pulsación bidimensional que refleja una y otra vez en la frontera de la membrana. Si se obliga a algún punto de la membrana a vibrar periódicamente, a lo largo de ella viajan trenes continuos de ondas. Como en el caso unidimensional de la cuerda, aquí también pueden establecerse ondas estacionarias en la membrana unidimensional. Cada una de estas ondas estacionarias tiene una cierta frecuencia natural de la membrana (con su frecuencia fundamental y sus sobretonos). Generalmente se presentan muchos sobretonos junto con la frecuencia fundamental cuando la membrana está vibrando. Estas vibraciones pueden excitar ondas sonoras de la misma frecuencia. Los nodos de una membrana vibratoria son líneas más bien que puntos (como en la cuerda vibratoria) o planos (como en un tubo). Puesto que la frontera de la membrana esta fija, debe ser una línea nodal. Pulsaciones: Hemos considerado previamente el efecto de ondas que se superponen para producir regiones de intensidad máxima y mínima (cero), tal como en el caso de una onda estacionaria en un tubo. Esto ilustra un tipo de interferencia que podemos llamar interferencia en el espacio. El mismo principio de superposición nos conduce a otro tipo de interferencia, al cual podemos llamar interferencia en el tiempo. En este caso examinamos la superposición de dos ondas en un punto dado en función del tiempo. Esta superposición adquiere una forma sencilla, particularmente cuando las dos ondas tienen casi la misma frecuencia. Considere un punto en el espacio a través del cual estén pasando ondas. La figura (4a) muestra la presión producida en ese punto por las dos ondas separadamente, en función del tiempo. Para simplificar hemos supuesto que las dos ondas Tranquilate! Junto a la Física tienen igual amplitud, aunque esto no es necesario. La presión resultante en ese punto en función del tiempo es la suma de las presiones individuales y su grafica se ilustra en la figura (4b). Vemos que la amplitud de la onda resultante no es constante sino que varia con el tiempo. En el caso del sonido la amplitud variable da lugar a variaciones en la sonoridad, llamadas pulsaciones. Representemos la variación de la presión con el tiempo (para x constante) producida por una onda como: Donde hemos elegido a la constante de fase para tener la posibilidad de escribir a la onda en esta forma sencilla. La variación de la presión en el mismo punto producida por la otra onda de igual amplitud se representa como: Según el principio de superposición, la presión resultante es: Usando la identidad trigonométrica: La ecuación (21) puede describirse como: Todo lo hecho hasta ahora se aplica a dos ondas cualesquiera, sin importar cuales sean sus frecuencias. Cuando las frecuencias son casi las mismas, podemos expresar la frecuencia angular promedio: El primer factor, contenido entre corchetes, da una amplitud variable con el tiempo a la variación sinusoidal del segundo factor. Este factor de la amplitud varía con una frecuencia angular: En términos de y de amp , podemos escribir la ecuación (22) como: La figura (4) muestra la superposición de las dos ondas de acuerdo con la ecuación (22). Obsérvese que, en el caso de frecuencias casi iguales, la variación rápida de la onda resultante ocurre con una frecuencia que es aproximadamente la de cualquiera de las dos ondas sumadas. La amplitud total de la resultante varia lentamente con la frecuencia de la amplitud, la cual define una envolvente dentro de la cual ocurre la variación más rápida. Este fenómeno es una forma de modulación de la amplitud. Siempre que cos ampt sea igual a +1 o a -1 ocurre una pulsación, es decir, un máximo de intensidad, puesto que la intensidad depende del cuadrado de la amplitud. Cada uno de estos valores ocurre una vez en cada ciclo de la envolvente, de modo que el número de pulsaciones por segundo es el doble del número de ciclos por segundo de la envolvente. La frecuencia angular de la pulsación puls es entonces: Usando 2 f , podemos reescribir esta expresión como: 1 1( ) mp t p sen t 2 2( ) mp t p sen t 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (21)m p t p t p t p t p sen t sen t 2cos 2 2 A B A Bsen A sen B sen 1 2 1 2( ) 2 cos (22) 2 2m p t p t sen t 1 2 2 1 2 2amp ( ) 2 cos (23)m ampp t p t sen t 1 22 (24)puls amp 1 2 (25)pulsf f f Tranquilate! Junto a la Física De aquí que el número de pulsaciones por segundo sea igual a la diferencia de las frecuencias de las ondas componentes. Las pulsaciones entre dos tonos pueden ser detectadas por el oído hasta una frecuencia de unos 15 Hz. Efecto Doppler: Cuando un oyente esta móvil hacia una fuente estacionaria de sonido, el tono (frecuencia) del sonido escuchado es más alto que cuando el oyente está en reposo. Si el oyente está móvil alejándose de la fuete estacionaria, se oirá un tono más bajo. Obsérvese resultados similares cuando la fuente está móvil acercándose o alejándose de un oyente estacionario. Este efecto Doppler, como se llama, se aplica a las ondas en general. Observador móvil, fuente en reposo: Consideraremos el efecto Doppler en ondas sonoras, tratando únicamente el caso especial en el que la fuente y el observador se mueven a lo largo de la línea que los une. La figura (5) muestra una fuente de sonido S en reposo en un marco donde viaja el sonido y un observador O que se mueve hacia la fuente con una velocidad 0v . Los círculos representan frentes de onda, separados por la distancia de una longitud de onda, que viajan a través del medio. Un observador en reposo en el medio recibiría vt ondas en el tiempo t, donde v es la velocidad del sonido en elmedio y es la longitud de onda. Sin embargo, a causa del movimiento hacia la fuente, el observado recibe 0v t ondas adicionales en el mismo tiempo t. La frecuencia f’ que se oye realmente es el número de ondas recibidas por unidad de tiempo, o sea: Cuando el observador está móvil alejándose de la fuente estacionaria, existe una disminución de la frecuencia f ( 0v v ) correspondiente a las ondas que no llegan al observador en cada unidad de tiempo a causa del alejamiento. Entonces: De aquí que la relación general que prevalece cuando la fuente esta en reposo respecto al medio pero el observador se mueve a través de él sea: Donde el signo más se tiene para el movimiento hacia la fuente y el signo menos se tiene para el movimiento que se aleja de la fuente. Fuente móvil, observador en reposo: Cuando la fuente esta móvil hacia un observador estacionario, el efecto es un acortamiento de la longitud de onda (figura 6), ya que la fuente está viajando tras las ondas que se aproximan, y, por lo tanto, las crestas se juntan mas entre sí. Si la frecuencia de la fuente es f y su velocidad es sv , entonces durante cada vibración viaja una distancia sv f y cada longitud de onda se acorta en esta cantidad. De aquí que la longitud de onda del sonido que llega al observador no sea v f sino ' sv f v f . La frecuencia del sonido que el observador oye aumenta y está dada por: 0 0 0 0 0 ' ' 1 (26) vt v t v v v vf t v f v v vf f f v v 0 0' 1 (27)v v vf f f v v 0' (28)v vf f v ' (29) ' s s v v vf f v v f v v Tranquilate! Junto a la Física Si la fuente se mueve alejándose del observador, la longitud de onda emitida es sv f mayor que , de modo que el observador oye una frecuencia disminuida, es decir: De aquí que la relación general que prevalece cuando el observador esta en reposo respecto del medio pero la fuente se mueve a través de él sea: Donde el signo menos rige para el movimiento hacia el observador y el signo más para el movimiento alejándose del observador. Si tanto la fuente como el observador se mueven en el medio transmisor, puede demostrarse que el observador oye una frecuencia dada por: Donde los signos superiores (+ en el numerador, - en el denominador) corresponden a la fuente y al observador cuando se acercan, y los signos inferiores cuando se alejan uno del otro. Ondas Longitudinales Estacionarias y Resonancia: Consideremos lo que sucede cuando una onda sonora como la mostrada en la figura (1) llega al extremo del tubo. Ocurre una reflexión y la onda reflejada viaja de regreso por el tubo en dirección opuesta. El comportamiento de la onda en el extremo reflejante depende de si el extremo del tubo está abierto o cerrado. Consideremos primero un tubo cerrado por un extremo. Al viajar la onda por el tubo y llegar al extremo, puede comprimir a las capas de aire en el extremo cerrado contra la barrera fija. En este extremo, la presión puede por lo tanto variar con su amplitud máxima, y el extremo cerrado es un antinodo depresión. Decimos que una onda de presión longitudinal se refleja desde un extremo cerrado sin cambiar de fase. Consideremos ahora lo que sucede si el extremo del tubo está abierto. La presión en el extremo abierto del tubo es la misma que la presión del ambiente 0p en el medio que lo rodea. No podemos cambia la presión en ese extremo del tubo a menos que cambiemos la presión en todo el medio. La presión en el extremo abierto permanece por lo tanto en el valor 0p , y el extremo abierto es un nodo de presión. Una onda de presión longitudinal se refleja en el extremo abierto con un cambio de fase de 180°. Supongamos ahora que tenemos un tren de ondas sinusoidales que viaja por el tubo. Las ondas se reflejan en el extremo, el cual se comportará ya sea como un nodo de presión o bien como un antinodo de presión. Supongamos que la fuente del tren de ondas sea un altoparlante en el extremo opuesto. El movimiento de la bocina envía una onda de compresión por el tubo, y la superposición de las ondas original y reflejada produce un patrón de ondas estacionarias. La figura (7a) muestra un tubo impulsado por una bocina en un extremo y abierto en el otro extremo. El extremo de la bocina es un nodo de presión en resonancia y el extremo abierto es igualmente un nodo de presión. Se muestran las variaciones de la amplitud de presión resultante de las ondas estacionarias. Las resonancias que se muestran en la figura tienen longitudes de onda cada vez más pequeñas en forma sucesiva, lo cual puede escribirse en general: Las frecuencias de resonancia correspondientes, determinadas al usar la expresión f v con las longitudes de onda, son: ' (30) s s v vf f v v f v v ' (31) s vf f v v 0' (32) s v vf f v v 2 , 1, 2, 3,...n L n n Tranquilate! Junto a la Física Aquí v representa la velocidad de la onda en el medio que llena el tubo. La figura (7b) muestra el caso en que el tubo está cerrado en un extremo y abierto en el otro. En este caso, el extremo cerrado debe ser un antinodo de presión. En este caso la expresión general para las longitudes de onda de los modos resonantes es: Nótese que solo aparecen valores impares del entero n en este caso. Las frecuencias resonantes correspondientes son: , 1, 2, 3,... ( ) 2n vf n n tubo abierto L 4 , 1, 3, 5,...n L n n , 1, 3, 5,... ( ) 4n vf n n tubo cerrado L Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 13: Hidrostática Fluidos Real e Ideal: La hidrostática es el estudio de la mecánica de los fluidos, es decir, el estudio de los fluidos en reposo. Un fluido es un conjunto de moléculas que están dispuestas al azar y se mantienen juntas por medio de débiles fuerzas de cohesión, así como por fuerzas ejercidas por las paredes de un recipiente. Consideramos fluidos a los líquidos y a los gases. En los líquidos, las distancias intermoleculares son generalmente más grandes que si las comparamos con los sólidos; de aquí que las fuerzas intermoleculares, que varían fuertemente con la distancia, tienden a ser más débiles en los líquidos. Muchos líquidos son relativamente incompresibles, de modo que los líquidos soportan y transmiten esfuerzos de compresión. Hasta un grado limitado, los líquidos pueden soportar también esfuerzos de tensión. Sin embargo, los líquidos no pueden soportar esfuerzos cortantes porque las capas del líquido se deslizan entre sí con gran facilidad. En los gases, las moléculas interactúan sólo débilmente, por lo que son incapaces de transferir esfuerzos estáticos de tensión o de corte; así, son por lo general mucho más compresibles que los sólidos y los líquidos. Un fluido ideal no tiene fricción, es incompresible y no debe confundirse con un gas ideal, la suposición de un fluido ideal es útil en el análisis de situaciones de flujo que comprenden grandes extensiones de fluidos. Un fluido sin rozamiento es el que se supone que tiene viscosidad nula y que no es turbulento, por lo que no hay conversión de energía mecánica en térmica durante el movimiento. Si un fluido ideal esta inicialmente en reposo, se demuestra que todas las partículas deben continuar teniendo la misma energía mecánica total. La capa de fluido en la inmediata vecindad de una pared solida se llama capa límite y el fluido de su interior debe considerarse fluido real, es decir, posee viscosidad. Existe una tensión de cortadura en la capa límite y se origina una conversión de energía mecánica en energía térmica. Presión: La capacidad de fluir hace que el fluido sea incapaz de soportarun esfuerzo cortante, y en condiciones estáticas la única componente de la fuerza que debe tomarse en cuenta es la que actúa en forma normal o perpendicular a la superficie. Sin importar cuál sea la forma del fluido, las fuerzas entre el interior y el exterior actúan en todas partes en ángulo recto con las capas frontera del fluido. La magnitud de la fuerza normal por unidad de área superficial se llama presión. La presión es una cantidad escalar; no tiene propiedades direccionales. Incluso si la presión es producida por una fuerza que tiene propiedades direccionales y es un vector, la presión es, en sí misma, un escalar. Microscópicamente, la presión ejercida por un fluido sobre una superficie de contacto con él es causada por colisiones de moléculas del fluido con la superficie. Como resultado de la colisión, la componente del ímpetu de una molécula perpendicular a la superficie se invierte. La superficie debe ejercer una fuerza impulsiva sobre la molécula y las moléculas ejercen una fuerza igual perpendicular a la superficie. El resultado neto de las fuerzas de reacción ejercida por muchas moléculas sobre la superficie da origen a la presión en la superficie. Un fluido sometido a presión ejerce una fuerza hacia afuera sobre cualquier superficie que esté en contacto con él. Consideremos una superficie cerrada que contenga a un fluido (figura 1). El fluido que está dentro de la superficie empuja al entorno. Un elemento pequeño de la superficie puede estar representado por el vector A , cuya magnitud es numéricamente igual al elemento de área y cuya dirección es a lo largo de la normal a la superficie hacia afuera. La fuerza F ejercida por el fluido contra la superficie depende de la presión p de acuerdo con: (1)F p A Tranquilate! Junto a la Física Puesto que los vectores que representan a la fuerza y al área son paralelos, podemos escribir la presión en términos de la relación escalar: Tomamos al elemento como lo suficientemente pequeño para que la presión p definida según la ecuación (2) sea independiente del tamaño del elemento. La presión tiene las dimensiones de fuerza dividida por área, y una unidad común para la presión es 2N m (denominada pascal Pa). La presión ejercida por la atmósfera de la Tierra al nivel del mar se designa como 1 atmosfera (atm: 51 1.01325 10atm Pa ). Debido a que el pascal es una unidad pequeña, los pronosticadores del tiempo usan a menudo la unidad bar ( 51 10 1 bar Pa atm ) para expresar la presión atmosférica. Otra unidad común se basa en la presión ejercida en su base por una columna vertical de mercurio de una altura especifica; una columna de 760 mm de altura a una temperatura de 0° C en una localidad donde 29.80665g m s ejerce una presión igual a la atmosfera (1 1 mm Hg atm ). Densidad: La densidad de un elemento pequeño de cualquier material es la masa m del elemento dividida entre su volumen V : La densidad en un punto es el valor límite de esta razón cuando el elemento de volumen se hace pequeño. La densidad no tiene propiedades direccionales y es un escalar. Si la densidad de un objeto tiene el mismo valor en todos los puntos, la densidad del objeto es uniforme y es igual a: La densidad de un materia en general depende de los factores ambientales, incluso de la presión y la temperatura. Teorema General de la Hidrostática: Si un fluido está en equilibrio, cada posición del fluido está en equilibrio. Consideremos un elemento en forma de disco delgado sumergido en el fluido, a una distancia y arriba de algún nivel de referencia (figura 2a). El espesor del disco es dy y cada cara tiene un área A. La masa de este elemento es dm dV A dy , y su peso es g dm gA dy . Las fuerzas ejercidas sobre el elemento por el fluido que lo rodea son perpendiculares a la superficie en cada punto (figura 2b). La fuerza horizontal resultante es cero porque el elemento no tiene aceleración horizontal. El elemento de fluido no estará acelerado en dirección vertical, de modo que la fuerza vertical resultante sobre él debe ser cero. En la figura (2c) se muestra un diagrama de cuerpo libre del elemento fluido. Las fuerzas verticales son debidas no solo a la presión del fluido que lo rodea en sus caras, sino también el peso del elemento. De aquí que, para el equilibrio vertical: De donde obtenemos: (2)Fp A (3)m V (4)m V ( ) 0yF pA p dp A gA dy (5)dp g dy Tranquilate! Junto a la Física Esta ecuación nos dice como varia la presión con la elevación sobre cierto nivel de referencia en un fluido en equilibrio estático. Al aumentar la elevación, la presión disminuye. La causa de la variación de esta presión es el peso por unidad de área de la sección transversal de las capas de fluido que están entre los puntos cuya diferencia de presión está siendo medida. La cantidad suele llamarse peso específico del fluido. Si 1p es la presión en la elevación 1y , y es la presión 2p en la elevación 2y sobre algún nivel de referencia, la integración de la ecuación (5) da: En los líquidos, que son casi incompresibles, es prácticamente constante, y las diferencias de nivel raramente son tan grandes que haya de considerarse algún cambio en g. Así pues, tomando a y a g como constantes, obtenemos: Para un líquido homogéneo. Si un líquido tiene una superficie libre, está en el nivel natural desde el cual se miden las distancias (figura 3). Sea 2y la elevación de la superficie, en cuyo punto la presión 2p es que actúa sobre el fluido es usualmente la ejercida por la atmosfera de la Tierra 0p . Consideramos que 1y está en cualquier nivel del fluido, y representamos a la presión de ese lugar como p. Entonces: Pero 2 1y y es la profundidad h bajo la superficie a la cual la presión es p, de modo que: Esto demuestra claramente que en un líquido la presión aumenta con la profundidad, pero es la misma en todos los puntos situados a la misma profundidad. Principio de Pascal: Cuando se aplica presión en cualquier lugar de un tubo (como, por ejemplo, el de pasta dental), esta se resiste en cualquier lugar del tubo obligando a la pasta dental a salir de él. He aquí el postulado del principio de Pascal: “La presión aplicada a un fluido confinado se transmite íntegramente a todas las partes del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.” Es decir, si aumentamos en un lugar la presión sobre un fluido en una cantidad p , cualquier otra parte del fluido experimenta el mismo aumento de presión. Probaremos el principio de Pascal para un líquido incompresible. La figura (4) muestra al líquido dentro de un cilindro que está equipado con un émbolo. Se aplica al émbolo una fuerza externa. La fuerza externa da por resultado una fuerza externa extp aplicada al líquido que se halla inmediatamente debajo del émbolo. Si el líquido tiene una densidad , entonces podemos escribir la presión en un punto arbitrario P a una distancia h bajo la superficie: (9)extp p gh 2 2 1 1 2 1 2 1 (6) p y p y y y dp g dy p p g dy 2 1 2 1( ) (7)p p g y y 0 2 1( )p p g y y 0 (8)p p gh Tranquilate! Junto a la Física Supongamos ahora que la presión externa aumenta en una cantidad extp . Suponemos que el líquido es incompresible, de modo que la densidad permanece constante. El cambio en la presión externa da por resultado un cambio en la presión del fluido que se deduce de la ecuación (9): Y como dijimos que la densidad del líquido es constante, el segundo termino de la ecuación (10) es igual a cero. En este caso, obtenemos: El cambio de presión en cualquier punto del fluido es sencillamente igual al cambio de la presión externa aplicada.Este resultado confirma el principio de Pascal y demuestra que se deduce directamente de nuestra consideración previa de la presión estática en un fluido. Palanca Hidráulica: La figura (5) muestra un dispositivo que se usa a menudo para levantar un objeto pesado. Sobre un pistón de área iA se ejerce una fuerza externa iF . El objeto que va a ser levantado ejerce una fuerza Mg sobre el émbolo grande de área 0A . En equilibrio, la magnitud de la fuerza hacia arriba 0F ejercida por el fluido sobre el émbolo grande debe ser igual a la fuerza hacia abajo Mg del peso del objeto. La presión sobre el fluido en el émbolo pequeño, debida a nuestra fuerza externa aplicada, es i i ip F A . De acuerdo con el principio de Pascal, esta presión de entrada debe ser igual a la presión de salida 0 0 0p F A , que el fluido ejerce sobre el émbolo grande. Entonces 0ip p , y entonces: La razón 0iA A es generalmente mucho menor de 1, y entonces la fuerza aplicada puede ser mucho menor que el peso Mg que está siendo elevada. El movimiento hacia abajo del émbolo pequeño a lo largo de una distancia id desplaza un volumen de fluido i iV d A . Si el fluido es incompresible, entonces este volumen desplazado por el movimiento hacia arriba del émbolo grande: Si 0iA A es un número pequeño, entonces la distancia a la que desplaza el émbolo grande es mucho más pequeña que la distancia a la que se desplaza el émbolo pequeño a causa de la fuerza aplicada. Medición de la Presión: La presión ejercida por un fluido puede medirse usando técnicas ya sean estáticas o dinámicas. En esta sección trataremos los métodos estáticos para medir la presión. La mayoría de los aparatos de medición de la presión usan la presión atmosférica como nivel de referencia y miden la diferencia entre la presión real y la presión atmosférica, llamada presión manométrica. La presión real en un punto de un fluido se llama presión absoluta, que se la presión atmosférica mas la presión manométrica. (10)extp p gh (11)extp p 0 0 0 0 0 (12) i i i i i F F A A A AF F Mg A A 0 0 0 0 (13) i i i i V d A d A Ad d A Tranquilate! Junto a la Física El barómetro de mercurio es un tubo largo de vidrio, lleno de mercurio y luego invertido dentro de una cubeta que contiene el mismo metal (figura 6). El espacio sobre la columna de mercurio es un vacio que contiene únicamente vapor de mercurio, cuya presión 2p es tan pequeña a las temperaturas ordinarias que puede ser despreciada. La presión sobre la superficie de la cubeta de mercurio es la presión desconocida p que deseamos medir. Partiendo de la ecuación (7), obtenemos: Midiendo la altura de la columna sobre la superficie de la cubeta nos da entonces la presión. El barómetro de mercurio se utiliza para medir la presión de la atmósfera 0p . La columna de mercurio del barómetro tiene una altura de unos 760 mm al nivel del mar, variando de acuerdo con la presión atmosférica. El manómetro de tubo abierto (figura 7) mide la presión manométrica. Consta de un tubo en forma de U lleno de líquido, el tubo está abierto por un extremo a la atmosfera y conectado en el otro extremo al sistema (tanque) cuya presión p deseamos medir. Partiendo de la ecuación (8) obtenemos: Entonces, la presión manométrica ( 0p p ) es proporcional a la diferencia de altura en las columnas de líquido del tubo en U. Si el recipiente contiene gas a una presión elevada, se emplea en el tubo un líquido más denso como el mercurio. Principio de Arquímedes: La figura (8a) muestra cierto volumen de agua contenida en una bolsa de plástico delgado sitúa bajo el agua. El agua de la bolsa está en equilibrio estático. Por lo tanto, su peso debe estar equilibrado por una fuerza hacia arriba de igual magnitud. Las flechas de la figura (8a) representan a las fuerzas ejercidas sobre el volumen de líquido como resultado de la presión del fluido que lo rodea. Nótese que las fuerzas hacia arriba sobre el fondo de la bolsa son más grandes que las fuerzas hacia abajo sobre la parte superior, debido a que la presión aumenta con la profundidad. La fuerza neta hacia arriba que resulta de esta diferencia de presiones se denomina fuerza de flotación o empuje. La presión ejercida sobre un objeto sumergido por el líquido que lo rodea ciertamente no depende del material del cual está hecho el objeto. Por lo tanto, podríamos sustituir la bolsa de agua por un trozo de madera del mismo tamaño y formas exactas, y la fuerza de flotación no cambiaría. Esto nos conduce al principio de Arquímedes: “Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido sufre un empuje de abajo arriba por una fuerza de magnitud igual al del peso del fluido que desaloja” Un objeto de mayor densidad que el agua (figura 8b) desaloja un volumen de agua cuyo peso es menor que el peso del objeto. Por lo tanto, el objeto se hunde en el agua, porque la fuerza del empuje es menor que el peso del objeto. 2 1 2 10 ( )p p p g y y gh p gh 0p p gh Tranquilate! Junto a la Física Un objeto de densidad menor que el agua (figura 8c) experimenta una fuerza neta hacia arriba cuando está completamente sumergido, porque el peso del agua desalojada es mayor que el peso del objeto. Por lo tanto, el objeto se eleva hasta subir a la superficie, y continua elevándose hasta que la parte de él que queda sumergida sea del volumen necesario para desalojar al agua cuyo peso es igual al peso total del objeto. En esta situación el objeto flota en equilibrio. La fuerza de flotación puede verse como si actuase en el centro de gravedad del fluido desalojado por la parte sumergida de un objeto flotante. Este punto se conoce como centro de flotación. El peso que actúa en el centro de gravedad de todo objeto. Estos dos puntos no son en general los mismos (figura 9a). Si los dos puntos están situados en la misma línea vertical, entonces el objeto puede flotar en equilibrio. Si el objeto flotante se ladea ligeramente sacándolo de su posición de equilibrio, entonces la forma total del fluido desalojado cambia, y el centro de flotación cambie su posición con respecto al centro de gravedad del objeto flotante. Así pues, sobre el objeto flotante actúa una torca que podría inclinar al objeto nuevamente hacia su posición de equilibrio (figura 9b), o podría actuar en la otra dirección para volcarlo completamente (figura 9c). Tensión Superficial: Con frecuencia podemos observar a las hojas y a los insectos flotar sobre la superficie de un cuerpo de agua (figura 10a). No se hallan parcialmente sumergidos y por lo tanto no reciben el empuje según enuncia el principio de Arquímedes. En este caso el objeto está en la superficie por completo y nada de él se halla sumergido. El objeto se mantiene a flote a causa de la tensión superficial del líquido. Podemos demostrar la tensión superficial del agua haciendo flotar con cuidado una aguja de acero o una hoja de afeitar. Solamente podrán flotar cuando estén enteramente en la superficie. El objeto flotante (figura 10a) causa una ligera depresión en la capa superficial del liquido (figura 10b) estirándola, y por lo tanto tiende a aumentar su energía potencial. La figura (11) muestra una manera de medir la tensión superficial de un líquido. Se dobla un alambre delgado para formar tres de los cuatro lados de un rectángulo y como cuarto lado se coloca un alambre deslizante. Si una película de líquido cubre las dos esquinas de la parte inferior, la tensión superficial tendrá a jalar hacia abajo el alambre deslizante que queda arriba. Aplicamos una fuerza externa hacia arriba P necesaria para mantener al alambre deslizante en equilibrio. Por experimentación hallamos que la fuerza F depende de la longitud d del alambre y que no depende enabsoluto de la altura h del rectángulo. La tensión superficial se define como la fuerza superficial F por unidad de longitud L sobre la cual actúa, es decir: En la película de la figura (10), la fuerza actúa a lo largo de una longitud L de 2d, a causa de que existen dos capas superficiales de longitud d cada una. Por lo tanto, la tensión superficial en el arreglo experimental mostrado en esta figura sería: Analicemos la tensión superficial desde el punto de vista de la energía. Si movemos al alambre deslizante a lo largo de un desplazamiento x , el trabajo efectuado por la fuerza de la tensión superficial es igual a F x . La fuerza superficial satisface nuestra definición de fuerza conservativa y por lo tanto podemos asociar un cambio en la energía potencial PE con la acción de la fuerza superficial, de modo que: (14)F L 2 F d Tranquilate! Junto a la Física El producto L x es justamente el cambio en el área A de la superficie que tiene lugar cuando la estiramos. Por lo tanto, podemos expresar a la tensión superficial como: Esto nos proporciona otra interpretación de la tensión superficial en términos de la energía potencial por unidad de área de la superficie. Densímetro: Un densímetro, es un instrumento que sirve para determinar la densidad relativa de los líquidos sin necesidad de calcular antes su masa y volumen. Normalmente, está hecho de vidrio y consiste en un cilindro hueco con un bulbo pesado en su extremo para que pueda flotar en posición vertical. El densímetro se introduce gradualmente en el refresco para que flote libremente y verticalmente. A continuación se observa en la escala el punto en el que la superficie del líquido toca el cilindro del densímetro. Los densímetros generalmente contienen una escala de papel dentro de ellos para que se pueda leer directamente la densidad específica. En líquidos ligeros, como queroseno, gasolina, y alcohol, el densímetro se debe hundir más para disponer el peso del líquido que en líquidos densos como agua salada, leche, y ácidos. De hecho, es usual tener dos instrumentos distintos: uno para los líquidos en general y otro para los líquidos poco densos, teniendo como diferencia la posición de las marcas medidas. El densímetro se utiliza también en la enología para saber en qué momento de maceración se encuentra el vino. En el caso del alcohol el que se utiliza para medir, es el alcoholímetro de Gay Lussac, con este se determina los grados Gay Lussac para determinar estos grados. Capilaridad: Cuando se sumerge en agua el extremo de un tubo de vidrio completamente limpio, que tenga diámetro interno pequeño, el agua moja el interior del tubo y sube por él. Esta subida del líquido dentro de un tubo fino y hueco, o en un espacio angosto, es la capilaridad. Cuando se habla de capilaridad, se imagina que las moléculas son esferas pegajosas. Las moléculas de agua se adhieren al vidrio más que entre sí. La atracción entre sustancias diferentes, como el agua y el vidrio, se llama adhesión. La atracción entre moléculas de la misma sustancia se llama cohesión. Cuando se sumerge un tubo de vidrio en agua, la adhesión entre el agua y el vidrio hace que una película delgada de agua suba por las superficies internas y externas del tubo. La tensión superficial hace que esta película se contraiga. La película de la superficie externa se contrae lo bastante para formar una orilla rodeada. La película de la superficie interior se contrae más y eleva el agua con ella, hasta que la fuerza de adhesión queda equilibrada por el peso del agua que se elevó. En un tubo más angosto, el peso del agua es menor, y el agua sube más que si el tubo fuera hancho. (15)PE F x L x (16)PE A http://es.wikipedia.org/wiki/Instrumento http://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_relativa http://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_relativa http://es.wikipedia.org/wiki/Masa http://es.wikipedia.org/wiki/Volumen http://es.wikipedia.org/wiki/Queroseno http://es.wikipedia.org/wiki/Gasolina http://es.wikipedia.org/wiki/Alcohol http://es.wikipedia.org/wiki/Agua_salada http://es.wikipedia.org/wiki/Leche http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81cido http://es.wikipedia.org/wiki/Enolog%C3%ADa http://es.wikipedia.org/wiki/Vino Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 14: Hidrodinámica Flujo de los Fluidos: Una manera de describir el movimiento de un fluido consiste en dividirlo en elementos de volumen infinitesimal, llamadas partículas fluidas, y seguir el movimiento de cada partícula. Si conocemos a las fuerzas que actúan sobre cada partícula del fluido, podemos entonces resolver para las coordenadas y velocidades de cada partícula en función del tiempo. Otro método es especificar la densidad y la velocidad del fluido en cada punto en el espacio y en cada instante de tiempo. Este es el método que usaremos. Describiremos al movimiento del fluido especificando la densidad ( , , , )x y z t y la velocidad ( , , , )v x y z t en el punto ( , , )x y z en el tiempo t. Consideremos algunas características generales del flujo de fluidos. 1. El flujo de los fluidos puede ser estacionario o no estacionario. Describamos al flujo en términos de los valores de las variables tales como la presión, la densidad, y la velocidad de flujo en cada punto del fluido. Si estas variables son constantes en el tiempo, se dice que el fluido es estacionario. Los valores de estas variables cambian por lo general de un punto a otro, pero no cambian con el tiempo en cualquier punto en particular. A menudo puede conseguirse esta condición a velocidades de flujo bajas. En el flujo no estacionario, como en una ola grande, las velocidades son funciones del tiempo. En el caso del flujo turbulento, tal como en los rápidos de un río, las velocidades varían erráticamente de un punto a otro así como de tiempo a tiempo. 2. El flujo de un fluido puede ser compresible o incompresible. Si la densidad de un fluido es constante, su flujo se llama incompresible. Puede considerarse usualmente que los líquidos fluyen incompresiblemente. Pero aun en un gas altamente compresible la variación de la densidad puede ser insignificante, y por objetos prácticos podemos considerar que el flujo es incompresible. 3. El flujo de los fluidos puede ser viscoso o no viscoso. En el movimiento de los fluidos la viscosidad es el análogo de la fricción en el movimiento de los sólidos. Cuando un fluido fluye de modo que no disipe energía por medio de fuerzas viscosas, se dice que el fluido es no viscoso. 4. El flujo de los fluidos puede ser rotatorio o no rotatorio. Si un elemento del fluido en movimiento no gira en torno a un eje que pasa por el centro de masa del elemento, se dice que el flujo es no rotatorio. Podemos imaginar a una pequeña rueda de paletas sumergida en el flujo en movimiento (figura 1). Si la rueda se mueve sin girar, el movimiento es no rotatorio; de otro modo será rotatorio. Nótese que un elemento en particular del fluido puede moverse en una trayectoria circular y experimentar también un flujo no rotatorio. El remolino que se forma cuando el agua fluye por el drenaje de la bañera es un ejemplo de esta clase de fluido no rotatorio. Trayectoria de una Corriente y Ecuación de Continuidad: En el flujo estacionario la velocidad v en un punto dado es constante en el tiempo. Consideremos al punto P (figura 2) dentro de un fluido. Puesto que v en P no cambia con el tiempo en el flujo estacionario, cada partícula del fluido que llega a P pasará con la misma velocidad y en la misma dirección. El movimiento de cada partícula que pase por P sigue entonces la misma trayectoria, llamada línea de corriente. La magnitud del vector velocidad de la partícula de fluido cambiará, en general, al moverse a lo largo de la línea de corriente. La dirección del vector de la velocidaden cualquier punto a lo largo de la línea de corriente es siempre tangente a ella. Suponiendo un flujo estacionario, elegimos un número finito de líneas de corriente para formar un haz, como el patrón de líneas de corriente de la figura (3). Esta región tubular se llama tubo de flujo. La frontera de este tubo Tranquilate! Junto a la Física consiste en líneas de corriente a las cuales la velocidad de las partículas fluidas se siempre tangente. Así pues, ningún fluido puede cruzar la frontera de un tubo de flujo, y el tubo se comporta un tanto como una tubería de la misma forma. El fluido que entra por un extremo debe salir por el otro. Consideremos en detalle el flujo de un fluido por un tubo de flujo como el de la figura (4). El fluido entra por P donde el área de la sección transversal es 1A y sale en Q donde el área es 2A . Sea 1v la velocidad de las partículas del fluido en P y 2v la de las partículas en Q. En el intervalo de tiempo t un elemento de flujo recorre aproximadamente la distancia v t . Entonces el fluido que cruce 1A en el intervalo de tiempo t tiene un volumen de 1 1Av t aproximadamente. Si su densidad en esa ubicación es 1 , entonces la masa de fluido 1m que cruza por 1A es, de alrededor de: El flujo de masa, definido como la masa de fluido por unidad de tiempo que pasa por cualquier sección transversal, es entonces 1 1 1 1m t Av en P, aproximadamente. Si consideramos que 0t , obtenemos el resultado preciso: Y según un análisis similar: Hemos supuesto que el fluido entra en el tubo únicamente en P y sale únicamente en Q. Al ser un flujo estacionario, la densidad del fluido entre P y Q no cambia con el tiempo. Entonces el flujo de masa en P debe ser igual al flujo de masa en Q: En términos más generales: Este resultado expresa la ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos. Si el fluido es incompresible, como lo supondremos de ahora en adelante, entonces 1 2 , y la ecuación (1) adquiere la forma más sencilla: Al definir Av como la razón de flujo volumétrico (o más conocido como caudal): La constancia del caudal a lo largo de un tubo de flujo ofrece una interpretación grafica importante de las líneas de corriente, como se ve en la figura (5). En una parte angosta del tubo, las líneas de corriente deben de estar más apretadas que en una parte ancha. De aquí que, cuando la distancia entre las líneas de corriente disminuya, la rapidez del fluido debe aumentar. Ecuación de Bernoulli: La ecuación de Bernoulli, que es una relación fundamental en la mecánica de los fluidos, es derivable de las leyes básicas de la mecánica newtoniana. Consideremos el flujo estacionario, incompresible, no viscoso no rotatorio de un fluido a lo largo de la tubería o tubo de flujo de la figura (6). La porción de tubería que se muestra en la figura tiene una sección transversal 1A uniforme a la izquierda. Allí es horizontal con una elevación 1y sobre cierto nivel de 1 1 1 1m Av t 1 1 1 flujo de masa en P Av 2 2 2 flujo de masa en Q A v 1 1 1 2 2 2 (1)Av A v (2)Av ctte 1 1 2 2 (3)Av A v (4)Caudal Av ctte Tranquilate! Junto a la Física referencia. Gradualmente se ensancha y se eleva, y a la derecha tiene una sección transversal 2A uniforme. Allí es horizontal en una elevación 2y . En todos los puntos de la parte angosta de la tubería a presión es 1p y la velocidad es 1v ; en todos los puntos de la porción ancha la presión es 2p y la velocidad 2v . El teorema de trabajo-energía establece: el trabajo efectuado por la fuerza resultante que actúa sobre un sistema es igual al cambio en la energía cinética del sistema. En la figura (6) las fuerzas que efectúan un trabajo sobre el sistema (despreciando la viscosidad) son las fuerzas de presión 1 1p A y 2 2p A , y la fuerza de la gravedad. Podemos hallar el trabajo W efectuado sobre el sistema por la fuerza resultante como sigue: 1. El trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de presión 1 1p A es 1 1 1p A l . 2. El trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de presión 2 2p A es 2 2 2p A l . 3. El trabajo efectuado sobre el sistema por la gravedad está asociado con la elevación del elemento de fluido en sombreado intenso desde la altura 1y hasta la altura 2y , y es 2 1 ( )m g y y donde m es la masa de fluido en cualquiera de las áreas con sombreado intenso. El trabajo neto W efectuado sobre el sistema por todas las fuerzas es: El cambio en la energía cinética del elemento de fluido es: Partiendo del teorema de trabajo-energía CW E , y entonces tenemos: Lo que, después de cancelar al factor común de m , puede reacomodarse para leerse como sigue: De donde podemos concluir que: La ecuación (8) recibe el nombre de ecuación de Bernoulli para el flujo estacionario, incompresible, no viscoso y no rotatorio. Si el fluido está en reposo, entonces 1 2 0v v y la ecuación (7) se convierte en: Reacomodando términos, obtenemos: Que es la misma ecuación del teorema fundamental de la hidrostática. De la ecuación (7) se deduce otro resultado básico cuando 1 2y y . Entonces: 1 2 2 1( )( ) ( ) (5)W p p m m g y y 1 12 2 2 12 2 CE m v m v 1 12 2 1 2 2 1 2 12 2( )( ) ( ) (6)p p m m g y y m v m v 1 12 2 1 1 1 2 2 22 2 (7)p v gy p v gy 1 2 2 (8)p v gy ctte 1 1 2 2p gy p gy 1 2 2 1( )p p g y y 1 12 2 1 1 2 22 2 (9)p v p v Tranquilate! Junto a la Física Cuando la velocidad es grande, la presión debe ser pequeña, y a la inversa. En la ecuación (8) todos los términos tienen la dimensión de una presión. La presión p gy , la cual estaría presente aun cuando no hubiese flujo ( 0v ), se llama presión estática; el termino 1 22 v se denomina presión dinámica. Teorema de Torricelli: Es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un fluido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la fuerza de gravedad (figura 7). Consideremos al flujo del fluido estacionario, incompresible, no viscoso y no rotatorio, contenido en un recipiente de sección 2A , que se vacía lentamente a una velocidad 2v , que fluye a través de un orificio pequeño de sección 1A , y sale con una velocidad de 1v . Consideremos que las partículas fluidas en la sección grande, están ubicadas a un nivel 2y , y las partículas fluidas en el orificio están ubicadas a un nivel 1y , respeto de la base del recipiente que consideraremos como nivel de referencia. Podemos considerar que 2 1A A , reemplazando este valor en la ecuación (3), también podemos afirmar que 2 1v v ; es decir que podemos considerar a 2 0v . Analizando las presiones, vemos que sobre la sección 2A se ejerce una presión 2p , mientras que en el orificio de sección 1A se ejerce (o debe vencer) una presión 1p . Analizando la situación, sobre la primer sección se ejerce una presión atmosférica p, y sobre la sección del orificio se ejerce una presión atmosférica 0p . Si bien la presión atmosférica varia con la altura, por lo general las alturas que manejamos en problemas cotidianos nos permiten comparar estas presiones atmosféricas exactamente iguales, es decir que 0p p , y por lo tanto 1 2p p . Teniendo en cuenta la ecuación de Bernoulli, y considerando las circunstancias explicadas anteriormente, podemos reducirla a: Eliminando el factor común , y reacomodando términos obtenemos: Si expresamos la diferencia de niveles de las partículas fluidas 2 1y y h , podemos expresar esta última ecuación como: Esta ecuación representa el teorema de Torricelli: “La velocidad de un líquido en un recipiente abierto, por un orificio, esla que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio” Aplicaciones de las Ecuaciones de Bernoulli y de Continuidad: En esta sección consideraremos un número de aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, que ilustran su uso y demuestran la amplitud de su aplicabilidad. 1 12 2 1 1 1 2 2 22 2 1 2 1 1 22 (10) p v gy p v gy v gy gy 1 2 12 ( )v g y y 1 2 (11)v gh Tranquilate! Junto a la Física Medidor o Tubo de Venturi: Este aparato (figura 8) es un medidor de la velocidad del flujo de un fluido en una tubería. Un fluido de densidad fluye por una tubería de área de su sección transversal A. El área se reduce a a en el cuello, y allí se acopla un tubo manométrico, como se muestra. Hagamos que el liquido del manómetro, digamos mercurio, tenga una densidad ' . Al aplicar la ecuación de Bernoulli y la igualdad del caudal en los puntos 1 y 2, puede demostrarse que la velocidad del flujo en el punto 1 es: Tubo de Pitot: Este aparato (figura 9) se usa para medir la velocidad del flujo de un gas. Consideremos que el gas (por ejemplo, aire) fluye con una densidad y una velocidad av paralelas a los planos de las aberturas en a. La presión en el brazo izquierdo del manómetro, que está conectado a estas aberturas, es entonces la presión estática en la línea de gas 0p . La abertura del brazo derecho del manómetro está en ángulo recto con la corriente. La velocidad se reduce a cero en b, y el gas está estancado en ese punto. Al aplicar la ecuación de Bernoulli a los puntos a y b, obtenemos: Sustituyendo la lectura ' gh del manómetro por la diferencia de presión b ap p , podemos resolver para av y obtener: Este aparato puede calibrarse para que dé una lectura de av directamente. El indicador de la velocidad de aire que se encuentra en las puntas de las alas de un aeroplano se en este principio. Régimen Laminar y Turbulento: La experiencia nos comprueba la existencia de una fuerza de resistencia que se opone al movimiento de los cuerpos en el seno de los fluidos. Para estudiar esta fuerza de resistencia es independiente considerar el movimiento del cuerpo estando el fluido en reposo que el caso inverso, ya que las velocidades que intervienen en este fenómeno son las relativas entre el cuerpo y el fluido. El estudio de los fenómenos originados en el movimiento de cuerpos en fluidos es complicado y en la práctica se recurre a los ensayos efectuados en túneles aerodinámicos y canales hidrodinámicos. En los túneles aerodinámicos las maquetas de los aviones están quietas y es el aire el que se lanza contra ellas con una velocidad contraria a la que debería llevar el avión; por lo contrario, en los canales hidrodinámicos el agua esta quieta y son las maquinas de los barcos y los submarinos los que se mueven. Ya sea el cuerpo o el fluido es que se mueva, el régimen de este ultimo puede ser laminar o turbulento, según sean las fuerzas de resistencia, deformándose las líneas de corriente. La resistencia al movimiento en un fluido con movimiento laminar es directamente proporcional a la velocidad y al coeficiente de viscosidad (tema que veremos más adelante) del medio. Para cuerpos de figura semejante e igual orientados, la resistencia es directamente proporcional a sus dimensiones lineales. 2 2 2( ' ) (12) ( ) ghv a A a 1 2 2a a bp v p 2 ' (13)a ghv (14)R Cv l Tranquilate! Junto a la Física La resistencia al movimiento en un fluido con movimiento turbulento, es proporcional al cuadrado de la velocidad; es, prácticamente, independiente de la viscosidad del medio y proporcional a la densidad de éste. Para cuerpos de figura semejante e igualmente orientados, la resistencia es directamente proporcional a las secciones normales a la dirección del movimiento. Donde K es el coeficiente de forma del cuerpo. Viscosidad: La viscosidad en el flujo de los fluidos es similar a la fricción en el movimiento de los cuerpos sólidos. En el caso del movimiento de los fluidos podemos considerar a un fluido entre dos placas paralelas (figura 9). Una fuerza F está aplicada a la capa superior, de modo que esté en movimiento a velocidad constante v respecto a la placa inferior, la cual suponemos esta en reposo. La fuerza F se opone al arrastre viscoso de la placa superior para mantener constante su velocidad. Podemos imaginar que el fluido está dividido en capas paralelas a las placas. La viscosidad actúa no solamente entre el fluido y la placa superior, sino entre cada capa de fluido y sobre las capas adyacentes. La velocidad de cada capa difiere en una cantidad dv de la velocidad de la que está bajo de ella. El flujo de fluido en el que la velocidad varía capa a capa se denomina flujo estacionario. En esta exposición, suponemos que la capa de fluido más alta tiene la misma velocidad v que la placa de arriba y que la capa de fluido del fondo tiene la misma velocidad que la placa del fondo (cero). Podemos definir que el esfuerzo cortante sobre el fluido es F/A. Un fluido responde a este esfuerzo mediante el movimiento, o sea, mediante un cambio de velocidad dv a través de cada capa de espesor dy. La razón entre el esfuerzo y la deformación en el fluido se llama coeficiente de viscosidad del fluido: Según nuestra hipótesis de que la capa superior se mueve a velocidad v y que la capa del fondo lo hace a v = 0, el gradiente de velocidad dv/dy es simplemente v, donde D es el espaciamiento entre las dos placas. La unidad SI de la viscosidad es el 2/N s m . La unidad cegesimal equivalente es la 2/dina s cm , llamada poise. Al comparar estas unidades vemos que 21 0.1 /poise N s m . Una aplicación práctica de la viscosidad tiene lugar en el flujo de fluidos en tuberías cilíndricas. El flujo es estacionario, pero en este caso las capas del fluido son cilindros de paredes delgadas de radios diversos. La velocidad del flujo varía con el radio; su valor máximo se da en el eje y su valor mínimo en las paredes. El flujo de la figura es rotatorio, aunque los elementos del fluido viajen en línea recta. Si colocamos una pequeña rueda de paletas en cualquier parte del flujo, excepto en el eje, se pondría a girar debido a la variación en la velocidad de las partículas fluidas que inciden en sus paletas. En el caso de un tubo cilíndrico la variación de la velocidad con la posición a lo largo del tubo no es lineal. Suponiendo que la capa cercana a las paredes esta en reposo, puede demostrarse que la velocidad en el cuerpo cilíndrico de radio r es: (16)F A dv dy (17)F A FD v D vA 2 0 21 (18) rv v R 2 (15) 2 KR v A Tranquilate! Junto a la Física Donde 0v es la velocidad en el centro del tubo. En términos de la diferencia de presión p a lo largo de la longitud L del tubo, la velocidad central es: Al considerar el flujo en cada cuerpo cilíndrico delgado, podemos demostrar que el flujo de masa total dm/dt es: Este resultado se conoce como la ley de Poiseuille. Sabiendo que dV dm , y reacomodando la ecuación, obtenemos que: Si representamos al caudal como dV/dt (caudal Q es la cantidad de fluido que avanza en una unidad de tiempo), podemos despejar de la ecuación (21) este valor, obteniendo: La viscosidad en los líquidos se origina por las fuerzas de cohesión intermoleculares. Al aumentar la temperatura, el coeficiente de viscosidad de un líquido disminuye, porque la energía cinética creciente de las moléculas debilita el efecto de las fuerzas intermoleculares. Al contrario, en los gases la viscosidad aumenta con el aumento de la temperatura, porque las propias moléculas pueden desplazarse entre las capas. A temperaturasmás elevadas, existe más movimiento molecular y por lo tanto más mezclado. Sin embargo, nótese que en un tubo existen siempre mas moléculas lentas cerca de las paredes que moléculas rápidas cerca del eje central, de modo que mayor mezcla significa siempre más moléculas lentas que se mueven hacia el eje e impiden el movimiento de las moléculas que se mueve más rápidamente. Viscosímetro de Ostwald: El viscosímetro de Ostwald sigue siendo el más utilizado a la hora de determinar la viscosidad de un líquido por comparación con la de otro que se toma como referencia, operando a temperatura constante (generalmente T=25°C, en un baño termostático). En el viscosímetro de Ostwald se pone a través de la entrada del tubo más ancho una cantidad perfectamente medida de líquido, que es fija para cada viscosímetro. Succionando por el extremo opuesto se lleva el nivel del líquido hasta el enrase y, a continuación se mide el tiempo t que tarda en descender el menisco hasta el enrase inferior (nivel inferior). Para el líquido que intentamos determinar su viscosidad, se puede escribir que: Y para el líquido de referencia: Dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones, obtenemos que: 2 (19) 4 p Rv L 4 (20) 8 dm R p dt L 2 1 1 1 8 r t p LV 2 2 2 2 8 r t p LV 4 (21) 8 R p dt L dV 4 (22) 8 R pQ L 1 1 1 2 2 2 (23)t p t p Tranquilate! Junto a la Física Como la presión hidrostática ejercida por la columna de líquido viene dada por p gh . Ahora bien, como se hacen las dos medidas en el mismo viscosímetro, h es la misma en ambos casos y, en consecuencia, si se sustituyen en 1p y 2p , resulta que: Obteniendo así el coeficiente de viscosidad del líquido en función de otro líquido tomado como referencia. Ley de Stokes: La ley de Stokes es un caso particular de las leyes que rigen el movimiento de un cuerpo de un fluido cuando el régimen es laminar. “La resistencia al movimiento de os cuerpos esféricos en un fluido viscoso, es directamente proporcional al radio del cuerpo, a su velocidad y al coeficiente de viscosidad del medio”. La fórmula (14) aplicada a la esfera se transforma en: La fuerza que hace caer un cuerpo esférico es su peso menos el empuje del fluido; si y 0 son las densidades del cuerpo y del fluido respectivamente, tal fuerza es: Esta fuerza provoca un movimiento de caída acelerado; al aumentar la velocidad aumenta la resistencia al movimiento dada por la formula (25) cuando ambas se igualan el cuerpo se mueve con velocidad constante, cuyo valor obtendremos igualando las expresiones (25) y (26): Si el cuerpo esférico cae produciendo una estela de torbellinos (régimen turbulento) la formula (15) para esta situación, sabiendo que 2A r , está dada por: 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 (24) t gh t gh t t t t 6 (25)R v r 3 0 4 ( ) (26) 3 F Mg E r g 3 0 2 0 4 ( ) 6 3 ( )2 (27) 9 r g v r r gv 2 2 (28) 2 KR v r Tranquilate! Junto a la Física UNIDAD 15: Termometría, Dilatación y Calorimetría Estado de un Sistema: Tratemos a las moléculas del gas como partículas puntuales que chocan elásticamente entre sí y con las paredes del recipiente que lo contiene. Si especificamos la posición y la velocidad iniciales de cada partícula, podemos entonces aplicar las leyes de Newton y deducir la posición y la velocidad de cada partícula en cualquier momento. Dada esta información, podemos calcular ciertas propiedades mensurables del sistema. Llamamos a esto la descripción microscópica del sistema. Un enfoque distinto es describir al sistema, incluyendo sus interacciones mutuas con su entorno, en términos de un número pequeño de propiedades del conjunto que sean mensurables por medio de operaciones relativas sencillas. En el caso de un gas confinado en un recipiente, podemos realmente obtener tal descripción en términos de las cantidades macroscópicas, como la presión, volumen, temperatura, energía interna, entre otras. Cuando se han especificado las variables necesarias para describir al sistema se dice que se ha particularizado el estado del sistema. Un sistema se encuentra en estado definido cuando todas sus propiedades poseen valores específicos. Las propiedades son funciones del estado del sistema y no del proceso que el sistema pueda sufrir. Temperatura y Equilibrio Térmico: Consideremos los dos sistemas A y B ilustrados en la figura (1a). Están “aislados” uno del otro y del entorno. Por ejemplo, los sistemas podrían estar rodeados por paredes hechas de placas gruesas de espuma de poliestireno. En este caso se dice que las paredes son adiabáticas. Podemos sustituir la pared adiabática que separa a A y a B por otra que permita el flujo de energía (figura 1b) en una forma que conocemos como calor. Un ejemplo podría ser una lámina de cobre delgada pero rígida. Esta pared se llama diatérmica. Cuando dos sistemas están en mutuo contacto a través de una pared diatérmica, el intercambio de energía causa que las propiedades macroscópicas de los dos sistemas cambien. Los cambios son relativamente rápidos al principio, pero se vuelven más lentos en el transcurso del tiempo, hasta que finalmente las propiedades macroscópicas se aproximan a valores constantes. Cuando ocurre esto, decimos que los dos sistemas están en equilibrio térmico entre sí. Generalizando este concepto, se dice que dos cuerpos separados están en equilibrio térmico cuando están en estados tales que, si estuviesen conectados, estaría en equilibrio térmico. La manera de probar si tales sistemas separados están en equilibrio térmico es usar un tercer sistema C. Al poner a C en contacto con A y luego con B, podríamos saber si A y B están en equilibrio térmico sin poner en contacto directo a estos dos sistemas. Esto se resume en un postulado llamada la ley cero de la termodinámica que se enuncia como: “Si los sistemas A y B están cada uno en equilibrio térmico con un tercer sistema C, entonces A y B están en equilibrio térmico entre sí.” Temperatura: Cuando dos sistemas están en equilibrio térmico, decimos que tienen la misma temperatura. A la inversa, la temperatura es aquella propiedad de un sistema que iguala a la de otro sistema cuando ambos sistemas están en equilibrio térmico. En el uso práctico de la ley cero, deseamos identificar al sistema C como un termómetro. Si el termómetro entra por separado en equilibrio térmico con los sistemas A y B e indica la misma temperatura, entonces podemos concluir que A y B están en equilibrio térmico y, por lo tanto, que tienen realmente la misma temperatura. Otro postulado de la ley cero, más riguroso y más fundamental, es el siguiente: Tranquilate! Junto a la Física “Existe una cantidad escalar, llamada temperatura, que es una propiedad de todos los sistemas termodinámicos en equilibrio. Dos sistemas están en equilibrio térmico si y sólo si sus temperaturas son iguales.” La ley cero define entonces el concepto de temperatura y lo especifica como aquella propiedad macroscópica de un sistema que será igual a la de otro sistema cuando estén en equilibrio térmico. Escalas de Temperatura: La temperatura es una de las siete unidades básicas en el sistema SI. Sin embargo, la temperatura tiene una naturaleza diferente a la de otras unidades básicas en el SI y, por lo tanto, este esquema no actuará realmente es una forma simple. Para establecer una escala de medición de la temperatura adoptamos el procedimiento siguiente: buscamos una sustancia que tenga una propiedad que varíe con la temperatura, y medimos esa propiedad. La sustancia que elegimos sellama sustancia termométrica, y la propiedad que depende de la temperatura se llama propiedad termométrica. La elección de una de estas sustancias lleva a una escala individual de temperatura definida sólo para esa sustancia y que no necesariamente concuerda con otras escalas de temperatura definidas de manera independiente. Para eliminar esta discrepancia es necesario adoptar estándares para la elección de determinada sustancia termométrica, y determinada propiedad termométrica, y determinada relación entre esa propiedad y una escala de temperatura universal aceptada. Supongamos que nuestro termómetro está basado en un sistema en el cual medimos el valor de la propiedad termométrica X. La temperatura T es alguna función de X, T(X). Elegimos la relación más sencilla posible entre T y X, la función lineal dada por: Donde deben ser determinadas las constantes a y b. Esta escala lineal significa que cada intervalo de temperatura T corresponde al mismo cambio X en el valor de la propiedad termométrica. Escalas Celsius y Fahrenheit: La escala Celsius se basó originalmente en dos puntos de calibración: el punto normal de calibración del agua, que se definió como 0°C, y el punto normal de ebullición del agua, que se definió como 100°C. Estos dos puntos se emplean para calibrara termómetros, y luego se dedujeron las demás temperaturas por interpolación y extrapolación. Para expresar la temperatura en la escala Celsius, la cifra dada debe ir siempre acompañada del símbolo de grados (°). La escala Fahrenheit emplea un grado más pequeño que la escala Celsius, y su cero se establece a una temperatura diferente. Originalmente se basó en dos puntos fijos, cuyo intervalo se dividió en 100 grados: el punto de congelación de una mezcla de hielo y sal, y la temperatura normal del cuerpo humano. En esta escala, los puntos normales de congelación y ebullición del agua vienen a ser 32°F y 212°F respectivamente. La relación entre las escalas Celsius y Fahrenheit es: Escala Kelvin: En la escala Kelvin, uno de los puntos de calibración se define en una temperatura de cero, donde la propiedad termométrica tiene también un valor de cero, teniendo en la ecuación (1): Para determinar una temperatura en esta escala necesitamos únicamente un punto P de calibración. En ese punto, se define que la temperatura es PT y la propiedad termométrica tiene un valor medido PX . En este caso: Siguiendo la norma general, escogemos para nuestra calibración la temperatura a la cual coexiste el equilibrio el hielo, el agua líquida y el vapor de agua. Este punto, que está muy cercano al punto normal de ( ) (1)T X aX b 9 5 32 (2)F CT T ( )T X aX ( ) P P P P Ta X XT X T X Tranquilate! Junto a la Física congelación del agua, se llama punto triple del agua. Por acuerdo internacional se ha establecido que la temperatura en el punto triple sea: Donde K (kelvin) es la unidad básica en el SI para la temperatura absoluta, idéntica a la escala de temperatura del gas ideal. Con esta elección del punto de calibración, tenemos que: Donde trX es el valor de la propiedad termométrica en el punto triple. Para eliminar la confusión entre las lecturas de termómetros diferentes, elegimos como norma aceptada un tipo de termómetro en el que la temperatura pueda determinarse independientemente de la naturaleza de la sustancia termométrica. El tamaño del grado es el mismo en las escalas Celsius y Kelvin, pero el centro de la escala Celsius se desplaza a un valor más conveniente. Hoy día ya no empleamos dos puntos fijos para definir la escala Celsius; en cambio, la escala Kelvin se define, y la relación entre la temperatura Celsius CT y la temperatura Kelvin T ahora se establece así: Los puntos de congelación y de ebullición del agua se miden ahora en la escala Kelvin y se convierten luego a Celsius. Dilatación Térmica de Sólidos y Líquidos: En nuestro estudio del termómetro líquido utilizamos uno de los cambios más conocidos que ocurre en la mayoría de las sustancias: cuando aumenta la temperatura, aumenta el volumen. Este fenómeno, conocido como expansión térmica, desempeña un importante papel en numerosas aplicaciones. La expansión térmica total de un objeto es una consecuencia del cambio del promedio de separación entre sus átomos y moléculas constituyentes. Podemos entender esta dilatación considerando un modelo sencillo de la estructura de un sólido cristalino. Los átomos se mantienen juntos entre sí en un arreglo regular por medio de fuerzas eléctricas, que son como las que serian ejercidas por un conjunto de resortes que uniesen a los átomos (figura 2). Estos resortes son bastantes rígidos y no son ideales en absoluto, existiendo alrededor de 2310 de ellos por centímetro cúbico. Los átomos de los sólidos están vibrando a cualquier temperatura. La amplitud de la vibración es de alrededor de 910 cm, y la frecuencia es de alrededor de 1310 Hz. Cuando aumenta la temperatura, los átomos vibran con una amplitud mayor, y la distancia promedio entre los átomos aumenta. Esto conduce a la dilatación de todo el cuerpo sólido. El cambio en cualquier dimensión lineal del sólido, tal como su longitud, su ancho, o su espesor, se llama dilatación lineal. Si la longitud de esta dimensión lineal es L, el cambio de la temperatura T causa un cambio de longitud L . Por medio de la experimentación hallamos que, si T es lo suficientemente pequeña, este cambio de longitud L es proporcional al cambio de temperatura T y a la longitud original L. Por lo tanto, podemos escribir: Donde , llamada coeficiente de dilatación lineal, tiene valores diferentes para materiales diferentes. Reescribiendo esta fórmula obtenemos: De modo que tiene el significado de un cambio fraccionario en la longitud por grado de cambio de temperatura. 273.16 (3)trT K ( ) (273.16 ) tr XT X K X 273.16 (4)CT T (5)L L T / (6)L L T Tranquilate! Junto a la Física En rigor, el valor del coeficiente depende de la temperatura real y de la temperatura de referencia elegida para determinar a L. Sin embargo, su variación es usualmente despreciable comparado con la precisión con la que necesitan ser llevadas a cabo las mediciones. En muchos sólidos, llamados isotrópicos, el porcentaje del cambio de longitud para un cambio de temperatura dado es el mismo para todas las líneas del sólido. Entonces, si una lamina plana con un orificio troquelado en ella, /L L ( T ) para una T dada es la misma para la longitud, el espesor, la diagonal de una cara, la diagonal del cuerpo, y el diámetro del orificio. Cada línea, ya sea recta o curva, se alarga en la razón por el grado de elevación de la temperatura. Teniendo en cuenta estas ideas, se puede demostrar que, con un alto grado de precisión, el cambio fraccionario en el área A (dilatación del área) por cambio de temperatura en grados de un sólido isotrópico es 2 : Y el cambio fraccionario en el volumen V (dilatación volumétrica) por cambio de temperatura en grados de un sólido isotrópico es 3 , es decir: Puesto que la forma de un fluido no es precisa, únicamente el cambio de volumen con la temperatura es significativo. Los gases responden fuertemente a los cambios de temperatura o de presión, mientras que el cambio de volumen de los líquidos con los cambio de temperatura o de presión es mucho más pequeño. S hacemos que represente el coeficiente de dilatación volumétrica de un líquido, de modo que: Hallamos que es relativamente independiente de la temperatura. Los líquidos se dilatan típicamente con un aumento de la temperatura, siendo su dilatación volumétrica generalmente alrededor de 10 veces más grande que la de los sólidos. Fatiga Térmica: Los materiales de ingeniería se ven afectados por dos tipos detensiones. Por un lado, las tensiones primarias, originadas por cargas tales como el peso propio, cargas mecánicas, condiciones o limitaciones de contorno. Por otro, las tensiones secundarias, que surgen como consecuencia de calentamientos y enfriamientos de soldaduras de metales diferentes, o tienen su origen en transitorios térmicos. Un buen número de componentes instalados en motores de aviación, plantas de generación de energía eléctrica y otras instalaciones sufren calentamientos rápidos durante los arranques y enfriamientos rápidos durante las paradas o durante los cambios de las condiciones de operación. La magnitud de estas tensiones transitorias depende en gran medida, además de la forma del componente, de las constantes físicas del material como son el coeficiente de expansión térmica, la conductividad térmica y el módulo de elasticidad. Dependiendo del tamaño del componente, si los sucesivos ciclos térmicos son lo suficientemente importantes como para producir plastificaciones alternativas del material en las capas superficiales, se pueden iniciar una pequeña grieta por fatiga, especialmente en localizaciones criticas después de cierto número de ciclos, originándose de esta forma el fenómeno conocido como fatiga térmica. Termómetro de Gas a Volumen Constante: La temperatura de un sistema debe tener un valor bien definido, independiente del medio para medirla. Sustancias termométricas diferentes dan todas la misma temperatura en el punto triple, pero sus lecturas en otros puntos puede diferir. Para obtener una escala de temperatura definida, debemos elegir determinada clase de termómetro como estándar. La variación de lecturas más pequeña se encuentra que es entre los termómetros de gas a volumen 2 (7)A A T 3 (8)V V T / (9)V V T Tranquilate! Junto a la Física constante que utilizan gases diferentes, lo cual sugiere elegir un gas como sustancia termométrica estándar. Sucede que cuando se reduce la cantidad de gas y por lo tanto su presión, la variación de las lecturas entre termómetros de gas que usan diferentes clases de gas se reduce también. Si el volumen de un gas se mantiene constante, su presión depende de la temperatura y aumenta linealmente con la elevación de la temperatura. El termómetro de gas a volumen constante emplea la presión de un gas a volumen constante como la propiedad termométrica. La figura (3) muestra un diagrama del termómetro. Consta de un bulbo (por lo general de vidrio), conectado por medio de un tubo capilar a un manómetro de mercurio. El bulbo B que contiene algún gas es puesto dentro del baño o entorno cuya temperatura T va a ser medida. La diferencia entre la presión p del gas confinada en la rama izquierda del tubo y la presión 0p de la atmosfera en la rama derecha del tubo está indicada por la altura h de la columna de mercurio, y entonces: Donde es la densidad del mercurio en el manómetro. En la práctica el aparato es muy elaborado, y debemos llevar a cabo muchas correcciones, por ejemplo, (1) para compensar el pequeño cambio de volumen debido a la ligera contracción o expansión del bulbo y (2) para compensar el hecho de que no se ha sumergido en el baño todo el gas confinado. Supongamos que se han efectuado todas las correcciones, y que p es el valor corregido de la presión absoluta a la temperatura del baño. Entonces la temperatura se da provisoriamente por la formula: Pongamos cierta cantidad de gas dentro del bulbo de modo que cuando el bulbo esté rodeado de agua en el punto triple la presión trp sea igual a un valor definido. Ahora sumergimos el bulbo en el sistema cuya temperatura T deseamos medir y, con el volumen mantenido constante, medimos la presión p del gas, según la ecuación (10), y calculamos la temperatura provisional T del sistema usando la ecuación (11). El resultado de esta medición se indica en la figura (4). Regresamos ahora el termómetro a la celda de punto triple y reiteramos algo de gas, de modo que trp tenga un valor más pequeño. Continuamos con este mismo procedimiento, reduciendo la cantidad de gas en el bulbo y calculando la temperatura T para cada nuevo valor más bajo de trp . Repetimos este procedimiento con otros gases en el termómetro y obtenemos los resultados mostrados en la figura (4). Al disminuir la presión de referencia, las lecturas de temperatura de los termómetros que empleen gases diferentes tienden al mismo valor T, el cual podemos considerar como la temperatura del sistema. El valor extrapolado de la temperatura depende sólo de las propiedades generales de los gases y no de un gas en particular. Por lo tanto, definimos la escala de temperatura de gas ideal: Elegimos como termómetro estándar un termómetro de gas a volumen constante que use una escala de temperatura definida por la ecuación (12). Si bien nuestra escala de temperatura es independiente de las propiedades de cualquier gas determinado, si depende, en cambio, de las propiedades de los gases en general. La temperatura más baja que puede ser medida con un termómetro de gas es de alrededor de 1K. La escala Kelvin tiene un cero absoluto de 0K y que es imposible enfriar un sistema por debajo de 0K. Si bien existe una conexión directa entre el movimiento microscópico de las moléculas y la temperatura macroscópica, no cesa todo movimiento molecular en el cero absoluto en la temperatura. La conexión entre 0 (10)p p gh 0 ( ) (273.16 ) ( ) (11)pT p K a V ctte p 0 0 ( ) (273.16 ) lim ( ) (12) trp pT p K a V ctte p Tranquilate! Junto a la Física la temperatura y la energía cinética molecular se basa en conceptos clásicos, mientras que la teoría cuántica nos dice que existe un límite más bajo diferente de cero para la energía cinética molecular, aun en el cero absoluto. Esta energía del punto cero no puede ser deducida a partir de los cálculos clásicos. Calor y Energía Interna: Debe hacerse una distinción importante entre energía interna y calor. La siguiente es una definición formal de energía interna: “La energía interna U es la energía asociada con los componentes microscópicos de un sistema: átomos y moléculas. Comprende la energía cinética y potencial asociada con el movimiento aleatorio de traslación, rotación y vibración de los átomos o moléculas que conforman el sistema, así como la energía potencial intermolecular.” El calor se toma como un posible método de transferencia de energía entre un sistema y su medio ambiente. El símbolo Q se utiliza para representar la cantidad de energía transferida por calor entre un sistema y su entorno. Aquí presentamos una definición formal: “Calor es energía que fluye entre un sistema y su entorno en virtud de una diferencia de temperatura entre ellos.” La figura (5) resume este punto de vista. Si la temperatura ST de un sistema es menor que la temperatura ET del entorno, fluye en el sistema. Elegimos nuestra convención de signos de modo que Q sea positivo en este caso; usted puede concebir esto como un proceso en el que la energía interna del sistema aumenta. A la inversa, y hacemos que Q para el sistema sea negativo. Unidades de Calor: Ya que el calor es una forma de energía, sus unidades son las de la energía, es decir, el joule (J) en el sistema SI. Antes de que se reconociera que el calor es una forma de energía, se le asignaban otras unidades. En ciertos calos están en uso hoy en día, específicamente la caloría (cal) y la unidad técnica británica (Btu). Se relacionan con el joule de acuerdo con: La caloría en uso común como una medida de la nutrición (Cal) es en realidad una kilocaloría; esto es: El Btu se encuentra todavía comúnmente como una medida de la facultad de un acondicionador de aire para transferir energía de una sala ambiente al exterior. Por lo tanto, un acondicionador deaire típico en una sala especificado a 10.000 Btu/h puede extraer alrededor de 710 J de la sala cada hora y transferirlos al ambiente exterior. Capacidad Calorífica y Calor Específico: Podemos cambiar el estado de un cuerpo intercambiando energía en la forma de calor, o forma de trabajo. Una propiedad de un cuerpo que puede cambiar en tal proceso es su temperatura T. El cambio en la temperatura T que corresponde a la transferencia de una cantidad de energía calorífica Q en particular dependerá de las circunstancias bajo las cuales se transfiera el calor. Incluso podemos cambiar la temperatura efectuando un trabajo sobre el sistema, como al frotar entre sí a dos objetos que entre uno y otro ejerzan fuerzas de fricción. Es conveniente definir la capacidad calorífica C’ de un cuerpo como la razón entre la cantidad de calor Q suministrada al cuerpo durante cualquier proceso y su cambio de temperatura T correspondiente: 1 4,186 1 1055 cal J y Btu J 1 Cal 1000 4186 cal J ' (13)QC T Tranquilate! Junto a la Física Al hablar de capacidad, lo que se quiere decir es simplemente la energía por cada grado de cambio de temperatura cuando la temperatura del cuerpo cambia. La capacidad calorífica por unidad de masa de un cuerpo, llamada capacidad calorífica específica, o simplemente calor especifico, es característica del material de que está compuesto un cuerpo: La capacidad calorífica es característica de un objeto en particular, pero el calor específico caracteriza a una sustancia. Ni la capacidad calorífica de un cuerpo ni el calor específico de un material son constantes; dependen de la temperatura. Las ecuaciones anteriores dan únicamente valores promedio de estas cantidades en el intervalo de temperatura T . En el límite, cuando 0T , podemos hablar del calor específico a una temperatura T en particular. Podemos hallar el calor que debe ser proporcionado a un cuerpo de masa m, cuyo material tenga un calor específico c, para aumentar su temperatura inicial iT hasta la temperatura final fT dividiendo el cambio de temperatura en N pequeños intervalos nT , suponiendo que nc sea constante en cada pequeño intervalo, y sumando las contribuciones a la transferencia de calor total de todos los intervalos n = 1, 2, 3, … , N. En el límite diferencial esta resulta: A temperaturas ordinarias y dentro de intervalos de temperatura ordinarios, puede considerarse que los calores específicos son constantes. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación (15) de una manera más general: Calorimetría: Una técnica para medir el calor específico de un sólido o de un líquido consiste en elevar la temperatura de la sustancia hasta cierto valor, ponerla en un recipiente que contenga agua fría de masa y temperatura conocidas, y medir la temperatura de la combinación una vez alcanzado el equilibrio. Definamos el sistema como la sustancia y el agua. Si se supone que el recipiente es un buen aislante, de modo que no sale energía, entonces podemos suponer que el sistema está aislado. Los recipientes que presentan esta propiedad se denominan calorímetros, y un análisis que se realice con el uso de estos recipientes se llama calorimetría. El principio de conservación de la energía de este sistema aislado requiere que la energía que salga de la sustancia más caliente sea igual a la energía que entra en el agua. Así, podemos escribir: Para apreciar la forma de exponer un problema de calorimetría, supongamos que xm es la masa de una sustancia cuyo calor específico xc deseamos determinar, y xT es su temperatura inicial. Representemos por am , ac y aT los valores correspondientes al agua. Si T es la temperatura final de equilibrio después que la sustancia y el agua se combinan, a partir de la ecuación (16) encontramos que la energía ganada por el agua es a a am c T T y la energía perdida por la sustancia de calor específico desconocido es x x xm c T T . Si sustituimos estos valores en la ecuación anterior, tendremos: Al despejar xc resulta: ' (14) C Qc m m T 1 N n n n Q mc T (15)f i T T Q m c dT ( ) (16)f iQ mc T T (17)fria calienteQ Q a a a x x xm c T T m c T T (18)a a ax x x m c T T c m T T Tranquilate! Junto a la Física Si se sustituyen los valores conocidos en el lado derecho, podemos calcular el calor específico de la sustancia desconocida. Experiencia de Joule y la Primer Ley de la Termodinámica: La figura (6) muestra el aparato que utilizó Joule para determinar el trabajo necesario para elevar la temperatura de 1 gr de agua en 1°C. Sus paredes son adiabáticas (aislantes) para conservar la temperatura, y su función era convertir la energía potencial de las poleas, a través del trabajo realizado por las paletas en el agua, en energía cinética en las moléculas de agua. La maquina mostraba un incremento de 1°F cuando funcionaba con una caída de 772 libras de peso desde un pie de altura, que traducido a unidades modernas equivale a decir que el trabajo necesario para incrementar la temperatura de 1 gr de agua en 1°C es de 4,184 J y equivale a 1 cal de energía térmica. Este resultado se conoce con el nombre de equivalente mecánico del calor. Existen multitud de formas de aplicar trabajo en este sistema, dejándolo caer, aplicando electricidad, etc. Sea cual sea el método, la cantidad de trabajo necesaria es la misma. Supongamos ahora que las paredes del aparato de Joule son conductoras, si medimos el trabajo aplicado al sistema a través de las poleas, y le sumamos (o restamos) el transferido a través de las paredes, el resultado es igual a la variación de la energía interna del sistema. Lo cual nos lleva a enunciar el primer principio de la termodinámica: “La variación de la energía interna de un sistema es igual al calor transferido del sistema más el trabajo realizado sobre el sistema.” Y se expresa matemáticamente como: En la primera ley existen implícitas tres características: (1) la existencia de la energía interna U; (2) la relación matemática entre U, Q y W; (3) las convenciones del signo necesarias para aplicar la primera ley (Q > 0 cuando entra calor al sistema, lo cual tiene a aumentar U; W > 0 cuando se efectúa trabajo sobre un sistema, lo cual tiene también a aumentar U). La ecuación (19) expresa la primera ley en una forma relacionada directamente con nuestro resultado general para la conservación de la energía en un sistema de partículas P CE E U W . Basados en nuestra experiencia con la termodinámica, podemos escribir una ecuación más general de la conservación de la energía P CE E U Q W , y es apropiado ver la primera ley como una expresión de la conservación de la energía válida cuando 0PE y 0CE . Si el sistema experimenta sólo un cambio infinitesimal en su estado, únicamente es absorbida una cantidad infinitesimal de calor dQ, y únicamente se efectúa una cantidad infinitesimal de trabajo dW. En tal caso, la primera ley se escribe en la forma diferencial: Debido que Q y W no son funciones de estado de un sistema, no pueden ser tratadas como diferenciales exactas en el sentido matemático. Su significado en esta ecuación es el de una cantidad muy pequeña. Sin embargo, dU es una diferencial exacta, porque U es una función de las coordenadas del sistema. Trabajo Efectuado sobre un Gas Ideal: Si elevamos la temperatura del gas en el cilindro de la figura (7), el gas se dilata y eleva el peso de la gravedad. Según la tercera ley de Newton, la fuerza ejercida por el émbolo sobre el gas es igual y opuesta a la fuerza ejercida por el gas sobre el émbolo. (19)U Q W (20)dU dQ dW ( ) (21)W F dx pA dx Tranquilate! Junto a la Física Si reducimosla temperatura del gas, este se contrae. Suponemos que el proceso descrito por la ecuación (a) se lleva a cabo lentamente, de modo que pueda considerarse que el gas está en equilibrio en todas las etapas intermedias. Podemos escribir la ecuación (21) en una forma más general. Si el émbolo se mueve una distancia dx, entonces el volumen del gas cambia en una cantidad dV A dx . Entonces el trabajo efectuado sobre el gas puede escribirse: La figura () muestra el trabajo efectuado sobre el gas. Una grafica en la forma de esta figura se llama diagrama pV. La magnitud del trabajo efectuado sobre un gas es igual al área bajo la curva de presionen un diagrama pV. La fuerza de la presión es claramente no conservativa, como lo ilustra la figura (8). Si deseamos llevar un gas ideal de las condiciones iniciales ip y iV , a las condiciones finales fp y fV . Existen muchas trayectorias diferentes que podemos seguir. Si seguimos la trayectoria 1, tendremos que el trabajo 1W efectuado sobre el gas será: Debido a que el volumen es constante a lo largo de AB, tendremos que 0ABW . A lo largo de BD, la presión es constante y sale de la integral. El resultado es: Siguiendo el mismo criterio para la trayectoria 2, tendremos que: Claramente 1 2W W , y el trabajo depende de la trayectoria. Trabajo efectuado a volumen constante: El trabajo es cero en cualquier proceso en que el volumen permanezca constante. Deducimos directamente de la ecuación (22) que esto es cierto cuando V es constante. Obsérvese que no es suficiente que el proceso comience y termine con el mismo volumen; el volumen debe ser constante durante todo el proceso para que el trabajo sea cero. El trabajo es cero únicamente en trayectorias verticales tales como AB, que representa el proceso a volumen constante. Trabajo efectuado a presión constante: Aquí podemos aplicar fácilmente la ecuación (22), porque la constante p sale de la integral: Trabajo efectuado a temperatura constante: Si el gas se dilata o se contrae a la temperatura constante, la relación entre p y V, dada por la ley de gas ideal, es: (22)W p dV 1 AB BDW W W 1 1 0 ( ) f i V AB BD f V f f i W W W p dV p dV W p V V 2 2 0 ( ) f i V AC CD i V i f i W W W p dV p dV W p V V 0 ( )W V ctte ( ) ( )f iW p dV p V V p ctte pV ctte Tranquilate! Junto a la Física Un proceso efectuado a temperatura constante se llama proceso isotérmico, y la curva hiperbólica correspondiente del diagrama pV se llama isoterma. Para hallar el trabajo efectuado sobre un gas durante un proceso isotérmico, usamos la ecuación (b), pero debemos hallar una manera de llevar a cabo la integral cuando p varía. Para hacerlo usamos la ecuación de estado del gas ideal para escribir p nRT V , y entonces: Donde la última etapa puede hacerse porque estamos considerando que T es una constante. Efectuando la integración, hallamos: Transferencia de Calor: Hemos discutido la transferencia de calor entre un sistema y su entorno, pero no hemos descrito aún cómo tiene lugar la transferencia. Existen tres mecanismos: conducción, convección, y radiación. Conducción: Si dejamos un atizador metálico en la lumbre durante cualquier periodo de tiempo, su mango se calienta. Se transfiere energía de la lumbre al mango por conducción a lo largo de la longitud del mango de metal. En virtud de la alta temperatura en ese extremo, los átomos del extremo caliente están vibrando con una amplitud grande. Estas amplitudes vibratorias grandes pasan a lo largo del mango, de átomo a átomo, debido a las interacciones entre átomos adyacentes. De esta manera recorre una región de temperatura elevada a lo largo del mango hacia nuestra mano. Consideremos una losa delgada de material homogéneo de espesor x y área A en su sección transversal (figura 9). La temperatura es T T en una cara y T en la otra. Por experimentación, describimos varias características sobre la razón de flujo calorífico H ( /Q t ) a la cual será transferida una pequeña cantidad de calor Q a través de la losa en un tiempo t . Esta es: (1) directamente proporcional a A; (2) inversamente proporcional a x ; (3) directamente proporcional a T . Matemáticamente, podemos resumir estos resultados experimentales como: Introduciendo una constante de proporcionalidad, llamada conductividad térmica, podemos escribir: Una sustancia con un valor grande de k es buena conductora del calor; una con un valor pequeño de k es mala conductora, o buna aislante. En el caso de los sólidos, las propiedades de los materiales pueden hacerlos buenos conductores eléctricos, así también buenos conductores térmicos. Al elegir materiales de construcción, a menudo los hallamos caracterizados por la resistencia térmica o valor de R, definido por: Consideraremos ahora el caso en que la losa tenga un espesor infinitesimal dx y una diferencia de temperatura dT a través de su espesor. En este límite, obtenemos: A menudo se conoce a la derivada dT/dx como el gradiente de temperatura, siendo la palabra gradiente un término matemático general para la derivada de una variable escalar con respecto a una coordenada específica. f f f i i i V V V V V V nRT dVW p dV dV nRT V V ( )f i V W nRT T ctte V Q TH A t x Q TH kA t x LR k dTH kA dx Tranquilate! Junto a la Física Convección: Si se mira a la llama de una vela, estamos viendo que la energía calorífica es transportada hacia arriba por convección. La transferencia de calor por convección ocurre cuando un fluido, tal como el aire o el agua, está en contacto con un objeto cuya temperatura es más alta que la de su entorno. La temperatura del fluido que está en contacto con el objeto caliente aumenta, y el fluido se dilata. Por ser menos denso que el fluido más frío circundante, se eleva a causa de las fuerzas de flotación. El fluido más frío circundante cae para tomar el lugar del fluido que se eleva, más caliente, y se establece una circulación por convección. Los pilotos de los planeadores y los cóndores buscan por igual las corrientes por temoconvección que los mantienen en vuelo al elevarse desde la Tierra, más caliente. La convección puede también ser forzada, como cuando el soplador de un horno provoca que la circulación del aire caliente las habitaciones de una casa. Radiación: La energía es transportada desde el Sol hasta nosotros por medio de ondas electromagnéticas que viajan libremente a través del casi vacío del espacio intermedio. Si nos paramos cerca de una fogata, nos calentamos mediante el mismo proceso. Todos los objetos emiten esa radiación electromagnética a causa de su temperatura y también absorben parte de la radiación que cae sobre ellos a partir de otros objetos. Cuanto más alta sea la temperatura de un objeto, más irradiará. Por ejemplo, la temperatura promedio de nuestra Tierra es de cerca de 300K, a causa de que a esa temperatura la Tierra irradia energía al espacio a la misma razón que la que recibe del Sol.
