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UNIVERSIDAD INTERNACIONAL IBEROAMERICANA FUNDACIÓN UNIVERSITARIA IBEROAMERICANA (FUNIBER) PROGRAMA DE POSGRADO MAESTRÍA EN INFRAESTRUCTURA E INGENIERÍA CIVIL TRABAJO AUTÓNOMO CASOS PRÁCTICOS – ELEMENTOS FINITOS AUTOR LOPEZ BOTTO MATHÍAS ANDRÉS DOCENTE DRA. AHOLIBA HEFZIBA MÉZQUITA RODRÍGUEZ CAMPUS VIRTUAL 2024 2 ÍNDICE DE CONTENIDO ÍNDICE DE CONTENIDO ........................................................................................... 2 INSTRUCCIONES CASO PRÁCTICO........................................................................ 4 1. DESARROLLO DEL CASO PRÁCTICO ............................................................ 6 1.1. Descomposición de Celosía: .......................................................................... 6 1.2. Sistema de coordenadas locales, X en dirección del elemento, Y perpendicular a X. .................................................................................................................. 7 1.3. Matrices de transformación T ........................................................................ 9 1.4. Rigidez local y transformación a coordenadas globales. ............................. 12 1.5. Determine cuáles son las condiciones de contorno, expresadas en el sistema de coordenadas global. ......................................................................................................... 16 1.6. Plantee el equilibrio estático en aquellos nodos en los que no se han aplicado condiciones de contorno. ..................................................................................................... 17 1.6.1. Equilibrio nodo 1..................................................................................... 17 1.6.2. Equilibrio nodo 2..................................................................................... 18 1.6.3. Equilibrio nodo 3..................................................................................... 18 1.6.4. Equilibrio nodo 4..................................................................................... 18 1.6.5. Matriz de rigidez reducida ...................................................................... 19 1.7. Sustituya los esfuerzos internos (desconocidos) por los desplazamientos nodales (desconocidos) ........................................................................................................ 19 1.8. Resuelva numéricamente dicho sistema de ecuaciones lineales. ................. 20 1.8.1. Elemento A .............................................................................................. 21 3 1.8.2. Elemento B .............................................................................................. 21 1.8.3. Elemento C .............................................................................................. 22 1.9. Vector fuerzas............................................................................................... 23 2. Bibliografía. ......................................................................................................... 24 4 INSTRUCCIONES CASO PRÁCTICO Con el objetivo de aplicar de manera práctica los conocimientos adquiridos sobre cálculo matricial de estructuras, en el ámbito de la ingeniería estructural, le proponemos que determina los desplazamientos y giros en los puntos A y B del pórtico bidimensional representado en la siguiente figura, sometido a la acción de la fuerza F. Para ello considere las siguientes propiedades mecánicas de los perfiles estructurales: • Sección transversal: 900 cm2 • Momento de inercia plano: 9*105 cm4 • Módulo de Young del material: 2.0*105 kg/cm2 • Carga externa sobre el punto A: F = Fx = 10000 kg Instrucciones para el desarrollo de la actividad 1. Descomponga la celosía en perfiles individuales. Cada perfil se corresponderá con un elemento finito tipo viga unidimensional, definido por dos nodos. 2. Numere cada elemento, así como los nodos que delimitan dichos elementos. Identifique los grados de libertad (y nombre) en cada nodo, de acuerdo con el sistema de coordenadas local en cada elemento, orientado de acuerdo con el propio elemento. 5 3. Determine las matrices de cambio de coordenadas de cada elemento, dado que el sistema de coordenadas local de alguna de las vigas está girado con respecto al sistema de coordenadas global, el cual es paralelo al sistema de referencia x-y representado en el enunciado. 4. Plantee la matriz de rigidez de cada viga en coordenadas locales, y después en el sistema de coordenadas global, afectándola por la matriz de transformación de coordenadas. 5. Determine cuáles son las condiciones de contorno, expresadas en el sistema de coordenadas global. 6. Plantee el equilibrio estático en aquellos nodos en los que no se han aplicado condiciones de contorno, considerando en cada nodo tanto las fuerzas y momentos externos como internos. El vector de fuerzas y momentos externos será igual al vector de fuerzas y momentos internos, considerando para las fuerzas y momentos internos, que el nodo pertenece a dos elementos y por tanto dichos esfuerzos internos provendrán de sendos elementos. 7. En el sistema de ecuaciones obtenidos, sustituya los esfuerzos internos (desconocidos) por los desplazamientos nodales (desconocidos), de acuerdo con las relaciones que establecen las matrices de rigidez expresadas en el sistema de coordenadas global. 8. El sistema de ecuaciones queda únicamente en función de los desplazamientos nodales, de los nodos en los que no se aplicaron condiciones de contorno. Resuelva numéricamente dicho sistema de ecuaciones lineales, por el método de Gauss- Jordan. 9. Refleje de forma sencilla en un documento los pasos anteriores, y la resolución del problema en el grado que haya conseguido llegar. 6 1. DESARROLLO DEL CASO PRÁCTICO 1.1.Descomposición de Celosía: 7 1.2.Sistema de coordenadas locales, X en dirección del elemento, Y perpendicular a X. 8 Elementos Finitos: A, B, C Nodos: 1, 2, 3, 4 Grados de libertad: 12 9 El nodo i es el nodo inferior y el nodo j es el superior para los elementos verticales, para los elementos horizontales el nodo i será el izquierdo y el j el opuesto. Elementos NODOS COORDENADAS L A I E i j Xi Yi Xj Yj cm cm2 cm4 kg/cm2 A 1 2 0 0 0 200 200 900 800000 200000 B 2 3 0 200 300 200 300 900 800000 200000 C 4 3 300 0 300 200 200 900 800000 200000 1.3.Matrices de transformación T Para obtener la matriz de transformación se utiliza la siguiente expresión. 𝑋 = [𝑇] ∗ 𝑥 𝑋 = Vector en coordenadas globales. 𝑥 = Vector en coordenadas locales. 10 [𝑇] = Matriz transformación. [ 𝑋 𝑌 𝑍 ] = [ 𝑐𝑜𝑠 ∝ −𝑠𝑖𝑛 ∝ 0 𝑠𝑖𝑛 ∝ 𝑐𝑜𝑠 ∝ 0 0 0 1 ] ∗ [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] Cos 90° -Sen 90° 0 0 0 0 Sen 90° Cos 90° 0 0 0 0 [T] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Cos 90° -Sen 90° 0 0 0 0 Sen 90° Cos 90° 0 11 0 0 0 0 0 1 Cos 90° Sen 90° 0 0 0 0 -Sen 90° Cos 90° 0 0 0 0 [T]^T 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Cos 90° Sen 90° 0 0 0 0 -Sen 90° Cos 90° 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 [T]^T 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 Cos 0° -Sen 0° 0 0 0 0 12 Sen 0° Cos 0° 0 0 0 0 [T] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Cos 0° -Sen 0° 0 0 0 0 Sen 0° Cos 0° 0 0 0 0 0 0 1 Cos 0° Sen 0° 0 0 0 0 -Sen 0° Cos 0° 0 0 0 0 [T]^T 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Cos0° Sen 0° 0 0 0 0 -Sen 0° Cos 0° 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 [T]^T 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1.4.Rigidez local y transformación a coordenadas globales. Elementos i j A I E X Y X Y L Cos Sen 12EI 6EI 4EI 2EI EA cm^2 cm^4 kg/cm^2 i i j j cm ° ° L^3 L^2 L L L 13 A 1 2 900 800000 200000 0 0 0 200 200 0 1 240000 240000003200000000 1600000000 900000 B 2 3 900 800000 200000 0 200 300 200 300 1 0 71111 10666667 2133333333 1066666667 600000 C 4 3 900 800000 200000 300 0 300 200 200 0 1 240000 24000000 3200000000 1600000000 900000 Se utiliza la siguiente expresión considerando que el elemento está a 90°. Se repite para el elemento C. [𝐾𝑖𝑗] = [𝑇][𝐾′ 𝑖𝑗][𝑇]𝑇 Sx1 EA/L 0 0 EA/L- 0 0 ux1 14 Sy1 0 12EI/L3 6EI/L2 0 12EI/L3- 6EI/L2 uy1 So1 = 0 6EI/L2 4EI/L 0 6EI/L2- 2EI/L * o1 Sx2 EA/L- 0 0 EA/L 0 0 ux2 Sy2 0 12EI/L3- 6EI/L2- 0 12EI/L3 6EI/L2- uy2 So2 0 6EI/L2 2EI/L 0 6EI/L2- 4EI/L o'2 Sx1 2,40E+05 0 - 2,40E+07 - 2,80E+05 0 - 2,40E+07 u1 Sy1 0 9,00E+05 0 0 - 9,00E+05 0 u'1 So1 = - 2,40E+07 0 3,20E+09 2,40E+07 0 1,60E+09 * o1 Sx2 - 2,40E+05 0 2,40E+07 2,40E+05 0 2,40E+07 u2 Sy2 0 - 9,00E+05 0 0 9,00E+05 0 u'2 So2 - 2,40E+07 0 1,60E+09 2,40E+07 0 3,20E+09 o'2 15 Para el elemento B se utiliza un ángulo de 0°. Sx1 6,00E+04 0 0 - 6,00E+04 0 0 u1 Sy1 0 7,11E+04 1,10E+07 0 - 7,11E+04 1,10E+07 u'1 So1 = 0 1,10E+07 2,10E+09 0 - 1,10E+07 1,10E+09 * o1 Sx2 - 6,00E+04 0 0 6,00E+04 0 0 u2 Sy2 0 - 7,11E+04 - 1,10E+07 0 7,11E+04 - 1,10E+07 u'2 16 So2 0 1,10E+07 1,10E+09 0 - 1,10E+07 2,10E+09 o'2 1.5.Determine cuáles son las condiciones de contorno, expresadas en el sistema de coordenadas global. En la estructura planteada existen 4 nodos donde en cada uno de ellos existen 3 grados de libertad, dando un total de 12 vectores de esfuerzos y 12 vectores de desplazamientos. [𝐹] = [𝐾] ∗ [𝑢] ∗ [3𝑛 ∗ 3𝑛] 17 [ 𝐹𝑥1 𝐹𝑦2 𝑀1 𝐹𝑥2 𝐹𝑦2 𝑀2 𝐹𝑥3 𝐹𝑦3 𝑀3 𝐹𝑥4 𝐹𝑦4 𝑀4 ] = [ 𝐾11𝑎 𝐾12𝑎 0 0 𝐾21𝑎 𝐾22𝑎 + 𝐾11𝑏 𝐾12𝑏 0 0 𝐾21𝑏 𝐾22𝑏 + 𝐾22𝐶 𝐾12𝐶 0 0 𝐾21𝐶 𝐾11𝐶 ] ∗ [ 𝑢! 𝑢1 01 𝑢2 𝑢2 02 𝑢3 𝑢3 𝑀3 𝐹𝑥4 𝐹𝑦4 𝑀4 ] 1.6.Plantee el equilibrio estático en aquellos nodos en los que no se han aplicado condiciones de contorno. Las condiciones en los empotramientos hacen que los desplazamientos y giros sean 0. Los demás nodos si tendrán desplazamientos puesto no cuenta con restricciones o condiciones de apoyo, por ende, se obtiene una matriz de rigidez reducida de 6x6. 1.6.1. Equilibrio nodo 1. 𝑆𝑥1 = 𝐾11 ∗ 𝑢1 + 𝐾12 ∗ 𝑢2 𝑆𝑥2 = 𝐾21 ∗ 𝑢1 + 𝐾22 ∗ 𝑢2 𝐹1 = 𝑆𝑥1 = 0 𝐹1 = 𝐾11 ∗ 𝑢1 + 𝐾12 ∗ 𝑢2 18 1.6.2. Equilibrio nodo 2. 𝑆𝑥2 = 𝐾11 ∗ 𝑢2 + 𝐾12 ∗ 𝑢3 𝑆𝑥3 = 𝐾21 ∗ 𝑢2 + 𝐾22 ∗ 𝑢3 𝐹3 = 𝑆𝑥2 + 𝑆𝑥3 + 𝑆𝑥4 = 0 𝐹2 = 𝐾21 ∗ 𝑢1 + 𝐾22 ∗ 𝑢2 + 𝐾12 ∗ 𝑢3 1.6.3. Equilibrio nodo 3. 𝑆𝑥4 = 𝐾11 ∗ 𝑢4 + 𝐾12 ∗ 𝑢3 𝑆𝑥3 = 𝐾21 ∗ 𝑢2 + 𝐾22 ∗ 𝑢3 𝐹3 = 𝑆𝑥2 + 𝑆𝑥3 + 𝑆𝑥4 = 0 𝐹2 = 𝐾21 ∗ 𝑢1 + 𝐾22 ∗ 𝑢3 + 𝐾12 ∗ 𝑢3 + 𝐾11 ∗ 𝑢4 1.6.4. Equilibrio nodo 4. 𝐹4 = 𝑆𝑥4 = 0 𝐹4 = 𝐾21 ∗ 𝑢3 + 𝐾11 ∗ 𝑢4 19 1.6.5. Matriz de rigidez reducida [ 𝐹𝑥1 𝐹𝑦2 𝑀1 𝐹𝑥2 𝐹𝑦2 𝑀2 𝐹𝑥3 𝐹𝑦3 𝑀3 𝐹𝑥4 𝐹𝑦4 𝑀4 ] = [ 240000 0 −24000000 −240000 0 −24000000 0 0 0 0 900000 0 0 −9000000 0 0 0 0 −24000000 0 32000000000 24000000 0 1600000000 0 0 0 −240000 0 24000000 840000 0 24000000 −600000 0 0 0 −900000 0 0 971111 1066667 0 −71111 10666667 −24000000 0 1600000000 24000000 10666667 5333333333 0 −10666667 1066666667 0 0 0 −600000 0 0 840000 0 24000000 0 0 0 0 −71111.1111 −106666666.67 0 971111 −10666667 0 0 0 0 10666666.7 1066666667 24000000 −10666667 5333333333 0 0 0 0 0 0 −240000 0 24000000 0 0 0 0 0 0 0 −900000 0 0 0 0 0 0 0 −24000000 0 1600000000] ∗ [ 𝑢! 𝑢1 01 𝑢2 𝑢2 02 𝑢3 𝑢3 𝑀3 𝐹𝑥4 𝐹𝑦4 𝑀4 ] 1.7.Sustituya los esfuerzos internos (desconocidos) por los desplazamientos nodales (desconocidos) Para calcular los esfuerzos locales se debe aplicar la siguiente teoría. Debido a que se tienen restricciones, la matriz resultante se ve modificada. [𝐹] = [𝐾] ∗ [𝑢] ∗ [3𝑛 − 𝑟 ∗ 3𝑛 − 𝑟] 20 Para calcular las reacciones en los apoyos se utiliza la siguiente expresión donde se obtiene las fuerzas globales. [𝐹] = [𝐾] ∗ [𝑢] Matriz de rigidez global [ 𝑅𝑥1 𝑅𝑦1 01 10000 0 0 0 0 0 𝑅𝑥4 𝑅𝑦4 04 ] = [ 240000 0 −24000000 −240000 0 −24000000 0 0 0 0 0 0 0 900000 0 0 −900000 0 0 0 0 0 0 0 −24000000 0 3200000000 24000000 0 1600000000 0 0 0 0 0 0 −240000 0 24000000 840000 0 24000000 −600000 0 0 0 0 0 0 −900000 0 0 971111 10666667 0 −71111 1066667 0 0 0 −24000000 0 1600000000 24000000 10666667 5333333333 0 −10666667 1066666667 0 0 0 0 0 0 −600000 0 0 840000 0 24000000 −240000 0 −24000000 0 0 0 0 −71111 −10666667 0 971111 −10666667 0 −900000 0 0 0 0 0 10666667 1066666667 24000000 −10666667 5333333333 24000000 0 1600000000 0 0 0 0 0 0 −240000 0 24000000 −240000 0 −24000000 0 0 0 0 0 0 0 −900000 0 0 900000 0 0 0 0 0 0 0 −24000000 0 1600000000 −24000000 0 3200000000] ∗ [ 0 0 0 𝑢2 𝑢2 𝑀2 𝑢3 𝑢3 𝑀3 0 0 0 ] 1.8.Resuelva numéricamente dicho sistema de ecuaciones lineales. Mediante un programa de cálculo matricial, se procede a realizar la siguiente operación con la matriz global. [𝐹] = [𝐾−1] ∗ [𝑄] [ 𝐷𝑥2 𝐷𝑦2 02 𝐷𝑥3 𝐷𝑦3 03 ] = [ 0.0387 𝑐𝑚 0.00287 𝑐𝑚 −0.00016 𝑟𝑎𝑑 0.03103 𝑐𝑚 −0.00287 𝑐𝑚 −0.00012 𝑟𝑎𝑑] 21 Para obtener los resultados locales, se procede a utilizar la siguiente expresión. 1.8.1. Elemento A [ 𝐷𝑥2 𝐷𝑦2 02 ] = [ 0.0387 𝑐𝑚 0.00287 𝑐𝑚 −0.00016 𝑟𝑎𝑑 ] 𝑆1 = [ −2584.97 5402.30 669725.93 ] 𝑆2 = [ 2584.97 −5402.30 410733.84 ] 1.8.2. Elemento B [ 𝐷𝑥2 𝐷𝑦2 02 ] = [ 0.0387 𝑐𝑚 0.00287 𝑐𝑚 −0.00016 𝑟𝑎𝑑 ] 22 [ 𝐷𝑥3 𝐷𝑦3 03 ] = [ 0.03103 𝑐𝑚 0.00287 𝑐𝑚 −0.00012 𝑟𝑎𝑑 ] 𝑆2 = [ 4597.70 −2584.97 −410733.84 ] 𝑆3 = [ −4597.70 2584.97 −364756.83 ] 1.8.3. Elemento C [ 𝐷𝑥3 𝐷𝑦3 03 ] = [ 0.03103 𝑐𝑚 0.00287 𝑐𝑚 −0.00012 𝑟𝑎𝑑 ] 𝑆4 = [ 2584.97 4597.7 554783.4 ] 𝑆3 = [ −2584.97 −4597.7 364756.83 ] 23 1.9.Vector fuerzas. [𝑓] = [𝐾′] ∗ [𝑇] ∗ [𝐹] [ 𝑅𝑥1 𝑅𝑦1 01 10000 0 0 0 0 0 𝑅𝑥4 𝑅𝑦4 04 ] = [ −2584.97 5402.30 669725.93 10000 0 0 0 0 0 2584.97 4597.70 554783.4 ] 24 2. Bibliografía. Zienkiewicz, O. C., & Taylor, R. L. (2000). El método de los elementos finitos (5.ª ed.). Barcelona, España: Alfaomega. Bathe, K.-J. (1996). Elementos finitos. Prentice Hall. Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E., & Witt, R. J. (2002). Concepts and applications of finite element analysis. Wiley. Hughes, T. J. R. (2000). The finite element method: Linear static and dynamic finite element analysis. Dover Publications. Reddy, J. N. (2005). An introduction to the finite element method. McGraw-Hill.
