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1 Aplicación del Álgebra Lineal a la Ingeniería Química Valentina Castro Sánchez Proyecto de Curso Profesor: Alexander Betancur Sánchez Universidad Industrial de Santander Ingeniería Química Álgebra Lineal Grupo PF6 Bucaramanga, 2024 Tabla de Contenido 1. Presentación 2 1.1. Objetivos 2 1.2. Metodología de la Investigación 3 2. Delimitación del problema 3 3. Elementos conceptuales 3 4. Ilustraciones teóricas 4 5. Desarrollo 4 6. Conclusiones 6 7. Referencias 7 Presentación En el contexto de la industria química petrolera, la asignación eficiente de recursos como el petróleo a distintas refinerías es crucial para satisfacer la demanda de productos derivados del crudo, como lo son el queroseno, fuelóleo y gasóleo. En este estudio, se abordará el problema de asignación de barriles de petróleo a tres refinerías: Ulsan, Equión y Ecopetrol, con el objetivo de cumplir con las especificaciones de producción y demanda establecidas por la empresa. La producción eficiente y rentable de estos productos depende, en gran medida, de la capacidad de cada refinería para procesar barriles de petróleo. Esto no solo implica la optimización de la producción en sí misma, sino también la planificación estratégica de la asignación de recursos, que es donde el álgebra lineal desempeña un papel crucial. En este contexto, el álgebra lineal facilita la formulación de sistemas de ecuaciones y la solución de estos mismos. Al resolverlos, se obtiene una asignación especifica de barriles a cada refinería, que maximiza la producción de productos derivados del crudo para cumplir con la demanda de manera eficiente y efectiva, mejorando la competitividad y rentabilidad de la empresa. Objetivos El objetivo de este proyecto es analizar una situación que se presenta en el campo de la ingeniería química, específicamente en el área de la optimización y asignación de recursos, a partir de algunos elementos propios del álgebra lineal vistos a lo largo del curso, como lo son los sistemas de ecuaciones lineales. El proyecto busca mejorar la planificación estratégica de recursos y optimizar la competitividad de una empresa en un entorno industrial competitivo y globalizado. Metodología de la Investigación Para el desarrollo del proyecto, se llevaron a cabo varias consultas en la web acerca de conceptos propios del Algebra Lineal y del campo de la industria química petrolera. Delimitación del problema Una empresa química petrolera opera tres refinerías: Ulsan, Equión y Ecopetrol, que producen tres tipos de productos a partir del crudo: Queroseno, Fuelóleo y Gasóleo. Cada refinería tiene capacidades de producción diferentes y se requiere determinar la cantidad óptima de barriles de petróleo que debe asignarse a cada refinería para cumplir con las demandas específicas de queroseno, fuelóleo y gasóleo. De cada barril de petróleo se extrae: En la refinería Ulsan, 2 litros de queroseno, 3 litros de fuelóleo y 4 litros de gasóleo En la refinería Equión, 3 litros de queroseno, 7 litros de fuelóleo y 2 litros de gasóleo. En la refinería Ecopetrol, 5 litros de queroseno, 4 litros de fuelóleo y 3 litros de gasóleo. La demanda de la empresa petrolera, es decir la cantidad de litros que dispone a la venta son: 36 litros de queroseno, 39 litros de fuelóleo y 33 litros de gasóleo. Elementos conceptuales Sistema de Ecuaciones Lineales: Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas. Método Gauss-Jordan: El método de eliminación Gauss-Jordan consiste en representar el sistema de ecuaciones por medio de una matriz y obtener a partir de ella lo que se define como la matriz escalonada equivalente, a través de la cual se determina el tipo de solución de la ecuación. El procedimiento de escalonamiento de la matriz se realiza mediante la aplicación de las operaciones elementales. Operaciones elementales: Se llama operación elemental realizada en una matriz a cualquiera de las transformaciones siguientes: a) cambiar entre sí dos filas (columnas). b) multiplicar una fila (columna) por un número real distinto de cero. c) sumar a una fila (columna) otra fila (columna) multiplicada por un número real. Queroseno: El queroseno es una fracción del petróleo natural obtenida por refinación y destilación, usada en el alumbrado y como combustible en los propulsores de chorro. Éste es un líquido transparente de densidad intermedia entre la gasolina y el gasóleo, se utiliza como combustible en los motores de reacción y de turbina de gas o también se puede añadir al gasóleo de automoción en las refinerías. Fuelóleo: El fuelóleo o fuel oil es un combustible refinado de viscosidad media, ideal para aplicaciones de flama abierta, el proceso de refinación por fraccionamiento térmico permite brindar combustibles de bajo contenido de azufre que cumplen con las más estrictas normas de calidad. Gasóleo: El gasóleo, es un hidrocarburo líquido de alto poder calorífico compuesto fundamentalmente por parafinas y utilizado principalmente como combustible en calefacción y en motores diésel. Ilustraciones teóricas Para ilustrar el problema, consideremos la siguiente tabla y sistema de ecuaciones lineales que representa la asignación de recursos: Desarrollo Para llevar a cabo el desarrollo de este problema es necesario resolver el sistema de ecuaciones lineales, a fin de encontrar cada una de las variables de nuestro proceso, las cuales llamamos x, y, z, representando cada una a las refinerías Ulsan, Equión, y Ecopetrol respectivamente. Para hacer esto, es necesario realizar la matriz aumentada del sistema, en la cual se encuentran los coeficientes de las ecuaciones y los términos independientes. Luego, procedemos a resolver el sistema usando el método de eliminación Gauss-Jordan. El cual consiste en obtener a partir de la matriz aumentada, la matriz escalonada reducida, una matriz donde todos sus elementos son ceros (0) a excepción de la diagonal principal que son unos (1), y a través de la cual se determina el tipo de solución de la ecuación. Este proceso se realiza mediante la aplicación de las tres operaciones elementales, que son: cambio de renglón, multiplicar un renglón por un número diferente de cero y sumar renglones. A continuación se muestra el proceso realizado. Las operaciones elementales que se llevan a cabo en este proceso son: Para cambiar la primera fila: Multiplicar la primera fila por un medio (1/2). Para cambiar la segunda fila: A la segunda fila se le resta tres veces la primera fila. Para cambiar la tercera fila: Ala tercera fila se le resta cuatro veces la primera fila. Para cambiar la segunda fila: Multiplicar la segunda fila por dos quintos (2/5). Para cambiar la tercera fila: A la tercera fila sumarle 4 veces la segunda fila. Para cambiar la tercera fila: Multiplicar la tercera fila por menos 5 sesentaitresavos (-5/63). Para cambiar la segunda fila: A la segunda fila sumarle siete quintos (7/5) de la tercera fila. Para cambiar la primera fila: A la primera fila restarle cinco medios (5/2) de la tercera fila. Para cambiar la primera fila: A la primera fila restarle tres medios (3/2) de la segunda fila. Al hacer estas operaciones y transformar nuestra matriz aumentada a la forma escalonada reducida, se obtienen los valores de las variables x, y, z, en el cual “x” equivale a 4, “y” equivale a 1 y “z” equivale a 5. Estos números corresponden a la cantidad óptima de barriles de petróleo que debe asignarse a cada refinería para cumplir con las demandas específicas de los tres productos de crudo. Es decir, a Ulsan se le deben suministrar cuatro barriles de petróleo, a Equión se le debe suministrar un barril de petróleo, y a Ecopetrol se le deben suministrar cinco barriles de petróleo. De esta forma se distribuyen los barriles de forma óptima cumpliendo con la demanda establecida para cada producto. Para verificar este resultado, se debe multiplicar los valores de cada refinería por su variable equivalente,y sumar los productos ya multiplicados de las tres refinerías, el resultado debe ser igual a las demandas solicitadas. Como podemos ver se cumplen las demandas dispuestas por la empresa para cada producto derivado del crudo. Conclusiones La optimización de la asignación de recursos en la producción de productos derivados del crudo es esencial para la eficiencia operativa y la rentabilidad de la empresa química petrolera. La aplicación del algebra lineal en la resolución de este problema demuestra ser fundamental para alcanzar los resultados óptimos y eficientes. En este problema se usaron herramientas como lo son los sistemas de ecuaciones lineales método de eliminación Gauss-Jordan, y operaciones elementales, los cuales aportaron a la optimización de recursos de la empresa química petrolera asegurando que se cumplan las especificaciones dadas. Esto es esencial tanto como para mejorar la eficiencia operativa de la empresa, como para reducir costos asociados al uso ineficiente de recursos. Los métodos y recursos utilizados en este proyecto no solo son aplicables a la industria química petrolera, sino que también pueden extenderse a otros sectores industriales que enfrentan desafíos similares de asignación de recursos y producción. Esto demuestra la versatilidad y la relevancia del álgebra lineal como herramienta fundamental en la optimización de procesos industriales complejos. Referencias Jarne, G. Minguillón, E. Zabal, T. (s.f.) CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. http://aragon3.unizar.es/unidad6/Matrices/u6matpr50a.pdf Wited (s.f.) Sistemas de ecuaciones lineales https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/45/sistema-de-ecuaciones-lineales De la Rosa, A., Luna, J., Rivera, S., Rodríguez, A. y Sánchez, G. (2017). Eliminación Gaussiana y Gauss-Jordan. En Matemáticas I (Álgebra Lineal). Licenciatura en Contaduría [CD-ROM]. México: UNAM. https://repositorio-uapa.cuaieed.unam.mx/repositorio/moodle/pluginfile.php/2611/mod_resource/content/1/UAPA-Eliminacion%20Gaussiana-Metodo-Gauss-Jordan/index.html#:~:text=Método%20Gauss%2DJordan,de%20solución%20de%20la%20ecuación. Gasogenio (s.f.) Glosario Queroseno https://gasogenio.com/es/glosario/queroseno/ Cosmos (s.f.) Fuel Oil https://combustibles-para-calderas.com.mx/fuel-oil.html Vaillant (s.f.) Gasóleo https://www.vaillant.es/servicios/temas-de-ayuda/glosario/gasoleo/ image3.png image4.jpeg image5.png image1.png image2.png
