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SEMANA 04 TEMA: Razonamiento inductivo DOCENTE: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO RAZONAMIENTO INDUCTIVO NUMÉRICO RAZONAMIENTO INDUCTIVO VERBAL Es un método de resolución de problemas que consiste en analizar primero, casos particulares, que sean similares y con las mismas características del problema a resolver. Para luego descubrir algunas propiedades que se cumplen en todos ellos y después se pueda generalizar. Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso n Casos particulares Caso general Por ejemplo: Calcule la suma de cifras de (66…667) 𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 2 (67) 2 (667) 2 (6667) 2 (𝟔𝟔…𝟔𝟔𝟕 𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 )2 4489 444889 44448889 Suma ∶ cifras 𝟐𝟓 𝟑𝟕 𝟒𝟗 … 44…4488…89 12(2)+1 12(3)+1 12(4)+1 𝑆𝑐 = 12(n)+1 2 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 3 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 4 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 Para la resolución es muy importante la selección adecuada de los casos particulares. ➢ Cada caso particular debe guardar similitud con la expresión o gráfico que se brinda en el problema. ➢ Se sugiere que sea los que guardan menos complejidad ➢ Se sugiere analizar por lo menos 3 casos, de esta forma nuestra inducción tendrá mayor posibilidad que sea correcta. TENER EN CUENTA: Total de copas 1 3 6 “Números triangulares” = 1 × 2 2 = 2 × 3 2 = 3 × 4 2 ( ) × ( ) 2 𝟏𝟎 𝟏𝟏 Aplicación 01: Resolución: Nos piden: el valor de n. Analizamos los casos particulares: Calcule n, si la suma de cifras del resultado de operar A sea 900. A) 48 B) 99 C) 50 D) 52 E) 100 A= (999…99)3 n cifras Casos particulares A = (9)3 A = (99)3 A = (999)3 1 cifra 2 cifras 3 cifras = 729 = 970299 = 997002999 Suma de cifras 18 36 54 = 18 (1) = 18 (2) = 18 (3) Para n=1 Para n=2 Para n=3 En general: Suma de cifras = 18n = 900 (dato) → n = 50 El valor de n es 50 Aplicación 02: Resolución: Nos piden: el número total de cerillos .En el siguiente gráfico halle el total de cerillos en la siguiente figura. A) 1220 B) 1000 C) 1200 D) 4080 E) 1024 Analizamos los casos particulares: N° de cerillos 4 14 30 = 1 x 4 = 2 x 7 = 3 x 10 N° de cerillos = ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 20 x x 3 + 1 x 3 + 1 x 3 + 1 x 3 + 1 61 = 1220 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 En el problema: 1 2 3 4 37 38 39 40 1 2 3 4 . . . 39 40 El objetivo es encontrar el total de maneras distintas que se puede leer una palabra, uniendo letras vecinas en el arreglo. Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra TIKTOK en el siguiente arreglo? Considerando igual distancia mínima de una letra a otra en todas las lecturas. T I I K K K T T O O O K K K K 1 1 1 1 1 3 2 3 3 + + + 6 3 3 9 9 3𝑁º 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 = = 24 Una herramienta principal para ello es el principio de adición. F O O S S S S S S S A A A A A T T T T T T I I I I I I I 𝑁° 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 = 7− = 𝟔𝟒 𝑁° 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠= N° de letras − OBSERVACIÓN = 6𝑁° 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 Si el arreglo de letras es de forma triangular, como se muestra en el siguiente caso, se calcula así: Leer: FOSSATI P A A O O O L L L L Aplicación 03: Resolución: Nos piden: La cantidad de formas de leer la palabra PAOLO.Dado el siguiente arreglo, considerando igual distancia mínima de una letra a otra en cada lectura, indique de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra PAOLO. P A A O O O L L L L O O O O O A) 16 B) 14 C) 30 D) 32 E) 64 Observación: Hay casos donde para poder leer la palabra pedida debemos regresar y repetir letras. P A A O O O L L L L O O O O O P A O L O P A O L O O O O Empleamos la fórmula: 2𝟓−1 = 24 = 16 Empleamos el método aditivo 1 1 1 1 12 4 6 Reflejamos las letras O + + = 14 Cantidad total de formas de leer la palabra PAOLO= 16 + 14 = 30 Regresa Total de formas de leer PAOLO es 30 Analizamos la palabra a leer: P A O L O Caso 1 Caso 2 4 1 3 3 1 Aplicación 04: Resolución: 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 Nos piden: El número de formas de leer SIETE.¿De cuántas formas distintas se puede leer la palabra SIETE en el siguiente arreglo? A) 154 B) 138 C) 120 D) 142 E) 160 S I I E E E T T T T E E E E E I I I I I I S S S S S S S S I I E E E T T T T T T T T E E E E E I I I I I I S S S S S S S Analizamos la palabra SIETE en el arreglo: S I I E E E T T T T E E E E E I I I I I I S S S S S S S 𝟐𝟓−𝟏=𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 E E E 𝟐𝟒 − 𝟐 = 𝟏4 E E E E E 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 8 8 8 8 8 16 16 16 8+ + + + = 64 Número de formas de leer SIETE = 4(16) + 14 + 64 = 142. E E Problema 01: Resolución: Piden: El valor de M.Calcule el valor de M. A) 6069 B) 6071 C) 6080 D) 2023 E) 4046 Analizamos los casos particulares: 𝑀 = 4𝑥22 1𝑥2 1 Sumando 1 Sumando 𝑀 = 4𝑥22 + 8𝑥32 1𝑥2 + 2𝑥3 2 Sumandos 2 Sumandos 𝑀 = 4𝑥22 + 8𝑥32 + 12𝑥42 1𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 3 Sumandos 3 Sumandos = 8 = 11 = 14 = 3 + 51 = 3 + 52 = 3 + 53 En el problema: = 3 + 52025 = 𝟔𝟎𝟖𝟎 Problema 02: Resolución: Piden: El valor de MCalcule el valor de M. A) 10 000 B) 20 000 C) 20 100 D) 10 100 E) 10 010 Analizamos los casos particulares: 3𝑀 = 5 1 1 +1 1 Sumando 1 Sumando 3𝑀 = 5 1+16 1+4 +1 2 Sumandos 2 Sumandos 3𝑀 = 5 1+16+81 1+4+9 +1 3 Sumandos 3 Sumandos = 6 = 18 = 36 𝑀 = 2 𝑀 = 6 𝑀 = 12 = 1𝑥2 = 2𝑥3 = 3𝑥4 En el problema: 𝑀= 100𝑥101= 𝟏𝟎𝟏𝟎𝟎 Problema 03: Resolución: Piden: La suma de cifras del resultado de efectuar RCalcule la suma de cifras del resultado de efectuar A) 90 B) 120 C) 450 D) 270 E) 360 ÷ 2 + 1 Analizamos los casos particulares: 𝑅 = 77 𝑥 99 ÷ 2 + 1 2 Cfas 𝑅 = 7777 𝑥 999 ÷ 2 + 1 3 Cfas 𝑅 = 777777 𝑥 9999 ÷ 2 + 1 4 Cfas = 7623 = 7769223 = 7776992223 Suma de cifras 18 36 54 = 18 (1) = 18 (2) = 18 (3) -1 -1 -1 En el problema: 18 ( ) -1 25 = 𝟒𝟓𝟎 Problema 04: Resolución: Piden: El número de circunferencias..El gráfico muestra un triángulo formado por circunferencias iguales, contándose 570 puntos de contacto. Halle el número de circunferencias. A) 200 B) 210 C) 220 D) 420 E) 410 Analizamos los casos particulares: 1 2 N° Puntos contacto N° de circunf. 3 3 1 2 3 9 6 1 2 3 4 18 10 570 3(1) 3(3) 3(6) 3(190) 1𝑥2 2 2𝑥3 2 3𝑥4 2 19𝑥20 2 2𝑥3 2 3𝑥4 2 4𝑥5 2 20𝑥21 2 𝟐𝟏𝟎 Problema 05: Resolución: Piden: N° palitos se cuentan en total en el siguiente gráfico.¿Cuántos palitos se cuentan en total en el siguiente gráfico? A) 5000 B) 5100 C) 1010 D) 4900 E) 5200 Analizamos los casos particulares: 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 N° de palitos 4 12 24 = 4( 𝟏 ) = 4( 𝟑 ) = 4( 𝟔 ) 1𝑥2 2 2𝑥3 2 3𝑥4 2 +1 ÷ 2 +1 ÷ 2 +1 ÷ 2 En el problema: +1 ÷ 2 50𝑥51 2 4( ) 𝟓𝟏𝟎𝟎 Problema 06: Resolución: Piden: Indicar el último número después de 99 operacionesSe tiene un conjunto de 100 números: 1; 1/2; 1/3; 1/4; ...; 1/100. Se eliminan dos elementos cualesquiera, p y q, de este conjunto y se incluye el número (p+q+pq), y queda así un conjunto de 99 elementos. Después de 99 de estas operaciones, queda solo un número. Indique este último número. A) 99 B) 100 C) 2 D) 1 E) 4 Analizamos los casos particulares: Cantidad de Números Operaciones Queda 2 → 1; 1 2 1 + 1 2 + 1𝑥 1 2 = 2 → 2 2 3 → 1; 1 2 ; 1 3 1 + 1 2 + 1𝑥 1 2 = 2 → 2; 1 3 2 + 1 3 + 2𝑥 1 3 = 3 → 3 3 4 → 1; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 1 + 1 2 + 1𝑥 1 2 = 2 → 2; 1 3 ; 1 4 2 + 1 3 + 2𝑥 1 3 = 3 → 3; 1 4 3 + 1 4 + 3𝑥 1 4 = 4 → 4 4 100 → 1; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 100 100 Problema 07: Resolución: Piden: N° de formas distintas se puede leer la palabra TALENTOSO uniendo letras vecinas En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas distintas se puede leer la palabraTALENTOSO uniendo letras vecinas? A) 252 B) 500 C) 504 D) 254 E) 508 Analizamos la palabra a leer: T A L E N T O S O Caso 1 T A L E N T O S O 1 1 3 1 2 1 1 3 1 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 7 28 56 70 56 28 7 252 Caso 2 T A L E N T O S 7 21 35 35 21 7 7 28 56 70 56 28 7 252 Cantidad total de formas de leer la palabra TALENTOSO = 2𝑥252 = 504 Total de formas de leer TALENTOSO es 504 Problema 08: Resolución: Piden: N° de formas distintas se puede leer la palabra DEDICARA uniendo letras vecinas ¿De cuántas formas distintas, uniendo letras vecinas, se puede leer la palabra DEDICARA en el siguiente arreglo? A) 460 B) 128 C) 420 D) 256 E) 512 Analizamos la palabra a leer: D E D I C A R A Caso 1 D E D I C A R A 2𝟒−1 𝐷𝐸𝐷𝐼 = 8 𝐶𝐴𝑅𝐴 2𝟒−1= 8 𝐶𝐴𝑅𝐴 2𝟒−1= 8 Total = 8(8+8) =128 Caso 2 D E D I C A R 2𝟒−1 𝐷𝐸𝐷𝐼 = 8 8 8 88 16 8 8 24 24 8 8 24 24 8 32 48 32 112 Total = 112 Problema 08: Resolución: Piden: La cantidad formas distintas que se puede leer la palabra DEDICARA¿De cuántas formas distintas, uniendo letras vecinas, se puede leer la palabra DEDICARA en el siguiente arreglo? A) 460 B) 128 C) 420 D) 256 E) 512 Caso 3 E D I C A R A 1 1 1 2 1 1 2 1 3 3 6 𝐶𝐴𝑅𝐴 2𝟒−1= 8 𝐶𝐴𝑅𝐴 2𝟒−1= 8 Total = 6(8+8) =96 Caso 4 E D I C A R 𝐷𝐸𝐷𝐼= 6 6 6 6 6 12 6 6 18 18 6 6 18 18 6 24 36 24 84 Total = 84 N° total de formas de leer la palabra DEDICARA = 128 + 112 + 96 + 84 Total de formas de leer DEDICARA es 420 RAZONAMIENTO INDUCTIVO INDUCTIVO NUMERICO INDUCTIVO VERBAL • Una herramienta muy utilizada para contar el total de palabras en cualquier arreglo de letras es el principio de adición. T𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎𝑠 = cantidad de letras − • Si el arreglo de letras es de forma de triangulo equilátero, se calcula así:
