Vista previa del material en texto
Tema: Razones trigonométricas de ángulos en posición normal Docente: Carlos Samanez Oré TRIGONOMETRÍA ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Objetivos Reconocer la definición de las RT en el plano cartesiano. Contextualizar en lo matemático o cotidiano las R.T en el Plano Cartesiano. Aplicar la Definición de las RT en la resolución de problemas del material didáctico y del examen de admisión UNI ÁNGULOS EN POSICIÓN EN NORMAL Ángulos inscritos en el plano cartesiano con vértice en el origen de coordenadas y de lado inicial en el semieje X positivo 𝛼 X Y P(x; y) 𝜃 Lado Inicial Lado Final Se observa θ ∈ IIC α ∈ IIIC r O 0o 90o 180o ICIIC IIIC IVC 270o cotθ = x y secθ = r x cscθ = r y senθ = y r cosθ = x r tanθ = y x Donde: x : abscisa del punto P y : ordenada del punto P r : radio vector del punto P Se cumple: 𝐫 = 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 Se define Las R.Ts 𝑋 𝑌 α θ OBSERVACIÓN 𝑋 𝑌 θ NO ESTÁ EN POSICIÓN NORMAL α NO ESTÁ EN POSICIÓN NORMAL 𝑋 𝑌 β 𝛽 ESTÁ EN POSICIÓN NORMAL 𝑋 𝑌 𝑃(𝑎; 𝑏) 𝑃′(−𝑏; 𝑎) 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 Intercambio de coordenadas 𝑃"(−𝑎; −𝑏) 𝑃′′′(𝑏; −𝑎) Del Gráfico: senθ = y r = −4 5 cosθ = x r = −3 5 X θ Y P(−3; −4) r r = (−3)2+(−4)2→ r = 5 𝟏. Del gráfico determine senθ , cosθ EJEMPLOS 𝟐. De la figura si ABCD es un cuadrado, determine tanα X Y 1212 210 Del gráfico: El punto A es A = (−10; −12) tanα = y x Entonces: tanα = −12 −10 ∴ 𝐭𝐚𝐧𝛂 = 𝟔 𝟓 RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN (−10; −12) En la figura mostrada tanθ cotβ es Igual a: EJERCICIO 1 RESOLUCIÓN X Y β θ (−3; −4) (−4; −3) A) 9 16 B)1 C) 16 9 D) 7 2 E) 3 UNI – 2011-1 X Los ángulos θ y β lo llevamos a posición normal θ (−4; −3) (−3; 4) θ Y r r tanθ = 4 −3 = − 4 3 Y X β β (−3; −4) (4; −3) cotβ = 4 −3 = − 4 3 ∴ tanθ cotβ = 16 9 r r En la figura mostrada , el valor de tanφ tanβ es EJERCICIO 2 RESOLUCIÓN X Y β φ A) − 2 B) − 1 C) − 1 2 D) 1 2 E) 1 UNI – 2012-2 X Y β φ Considerando OP = OQ = r O P(−a; b) Q(−b; −a) r r Y como OP ⊥ OQ Tambien sea P(−a; b) entonces Q esta dado por (−b; −a) Por definición tanφ = −a −b y tanβ = b −a ∴ tanφ tanβ = −1 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES T R I G O N O M E T R Í A De acuerdo al cuadrante al cual pertenece un ángulo en posición normal, sus razones trigonométricas pueden ser positivas o negativas I C II C III C IV C Seno Coseno Tangente Cotangente Secante cosecante 𝑋 𝑌 ICIIC IIIC IVC Todas las R. Ts son (+) SEN TAN COS Csc (+) (+) (+) Cot Sec + + + + + + + + + + + + − − − − − − − −− − − − Si se cumple que • cosθ − tan α > 0 y • tanθ cscα − secθ < 0 Señale la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) I. θ ∈ IIC y α ∈ IVC II. senθ cotα > 0 III. senθ + cosα < 0 cos θ − tan α > 0 ………….……... .….(1) tanθ cscα − secθ < 0 ……………………(2) De (1) cos θ > 0 ∧ tanα < 0 ⇒θ ∈ IC ∨ IVC y α ∈ IIC ∨ IVC……. (3) De (2) cscα − secθ > 0 ∧ tanθ < 0 cscα > secθ ∧ tanθ < 0 como cosθ > 0 ⇒ secθ > 0, luego cscα > 0 ∧ tanθ < 0 α ∈ IC ∨ IIC y θ ∈ IIC ∨ IVC ………… (4) De 3 y (4) θ ∈ IVC y ∝∈ IIC luego: I)F II)V III)V EJERCICIO 3 RESOLUCIÓN: A) VVV B) VFV C) FVV D) FFF E) FVF Sea θ un ángulo en el IIIC que satisface: cotθ 2tanθ = 8 27 Determine el valor de E = 3cosθ + 2senθ. EJERCICIO 4 RESOLUCIÓN: UNI – 2014-2 A) 9 12 B) 8 13 C) −9 13 D) −12 13 E) −13 12 Del dato cotθ 2tanθ = 8 27 → cotθ 2tanθ= 2 3 3 cotθ 2tanθ = 2 3 2 3 2 Comparando… tanθ = 3 2 y θ ∈ IIIC, entonces senθ = − 3 13 y cosθ = − 2 13 ∴ E = 3cosθ + 2senθ = − 12 13 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES Es aquel ángulo que ubicado en posición normal tiene por lado final a uno de los semiejes del plano cartesiano. θ = 90°n, n ∈ ℤ ND: no definido Cuadro de los valores de las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales más conocidos. Nota: Si Ɵ es un ángulo cuadrantal, entonces sen θ = −1; 0; 1 cos θ = −1; 0; 1 tan θ = 0 cot θ = 0 𝟎𝐨, 𝟑𝟔𝟎𝐨 𝟗𝟎𝐨 𝟏𝟖𝟎𝐨 𝟐𝟕𝟎𝐨 Seno Coseno Tangente Cotangente Secante cosecante 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝐍𝐃 𝟏 𝐍𝐃 𝟏 𝟎 𝐍𝐃𝟎 𝐍𝐃 𝟏 −𝟏 𝟎𝐍𝐃 −𝟏 𝐍𝐃 −𝟏 𝟎 𝐍𝐃 𝟎 𝐍𝐃 −𝟏 X Y 90O 90o 180o 270o 360o −90𝑜 M(0; −1) r = 1 sen270o = y r = −1 1 = −1 cos270o = x r = 0 1 = 0 Siendo α, β ángulos cuadrantales positivos y menores que una vuelta que cumplen senα = tanβ + 1 Halle el valor de α + β EJERCICIO 5 RESOLUCIÓN: D) 0𝑜 B) 180𝑜 C) 90𝑜A) 270𝑜 E) 360𝑜 Tenemos dos ángulos cuadrantales positivos y menores a una vuelta α, β = 90°, 180°, 270°……(1) senα = tanβ + 1 … . . (2) Cuando β = 90°, 270° Entonces tanβ = N. D Entonces β = 180° Reemplazamos en (2) senα = tan(180°) + 1 senα = 1 ⇒ α = 90° Nos piden α + β = 90° + 180° = 270° Se sabe que son ángulos cuadrantales que cumplen la condición cosβ = senθ − senα; α, β , θ ∈ 0o; 270o Calcule cos α + β + θ . EJERCICIO 6 D) 1 B) − 1 C) 0A) − 2 E) 2 Como α, β y θ son cuadrantales entonces cosβ = senθ − senα cos α + β + θ = cos 90° + 90° + 90° = 0 Nos preguntan : α, β y θ = 0,90°, 180°, 270° ⇒ senα ≥ 0 ⇒ α = 0,90°, 180° i) Sea α = 90° cosβ = senθ − 1 ⇒ senθ = 1 ⇒ θ = 90° ⇒ β = 90°, 270° Del dato : RESOLUCIÓN: PROBLEMAS ADICIONALES UNI 2015-II En el gráfico mostrado M y N son los puntos de Intersección entre las gráficas de y = x2 e y = −x + 6. Calcule E = 2tanβ + 3tanθ EJERCICIO 6 X Y θ β N M y = x2 A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2 EJERCICIO 7 Si T es punto de tangencia, calcule cotα. X Y α Ty = −x − 2 D) 13 2 4 B) 2 4 C) 2 2A) 3 2 D) 2 4 UNI 2015-IIEJERCICIO 6 Xθ β N M y = x2 En los puntos M y N y = x2 = −x + 6 x2 + x − 6 = 0 x + 3 x − 2 = 0 M = −3; 9 ∧ N = (2; 4) X 𝑀(−3; 9) M′(−9; −3) r r θ tanθ = −3 −9 = 1 3 … (1) Y X Y −β N(2; 4)2 4 tan −β = 2 4 = 1 2 tanβ = − 1 2 … (2) Y ∴ 2tanβ + 3tanθ = 0 Giro de 90o Si T es punto de tangencia, calcule cotα A) 3 2 B) 2 4 C) 2 2 D) 2 2 E) 13 2 2 𝑋 𝑌 𝛼 𝑦 = −𝑥 − 2 𝑇 Del gráfico: tan 𝛼 − 90° = 𝑦 𝑥 → −cotα = −x − 2 x (cot2α)x2 + x + 2 = 0 En el punto T: Por condición de tangencia: ∆= 0 12 − 4cot2α 2 = 0 Entonces : ∴ 𝐜𝐨𝐭𝛂 = 𝟐 𝟒 𝑋 𝑌 𝛼 𝑦 = −𝑥 − 2 𝑇(𝑥; 𝑦) −90𝑜 EJERCICIO 7 REFERENCIAS ❖ Asociación Fondo de Investigadores y Editores (2018). Trigonometría, una visión analítica de las funciones. Lumbreras editores. ❖ Dennis G., Dewar J. (2012). Álgebra, Trigonometría y Geometría analítica, 3era edición ,McGraw Hill ❖ Lumbreras Editores. (2002). Trigonometría , 1era edición ,Lima Perú, Editorial Lumbreras
