8 2)Gráfico aproximado de una función polinómica

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Gráfico aproximado de una función polinómica 
Para realizar el gráfico aproximado de una función polinómica se debe: 
 Hallar la ordenada al origen, la que está determinada por el término independiente 
del polinomio y es el punto (0 ; y). 
 Factorizar el polinomio: 
a) Las raíces indica las intersecciones con el eje x. 
b) El orden de multpilicidad de las raíces indica si la gráfica rebota o atraviesa 
el eje x. 
 Hallar los conjuntos de positividad y negatividad, para lo cual se buscan valores 
del dominio entre dos raíces consecutivas para determinar si la función es positiva 
o negativa en ese intervalo. También el dominio y la imagen de la función. 
Repasamos algunos conceptos y luego comenzamos con el análisis: 
Dominio de una función: Se llama dominio de una función, al conjunto de valores de 
la variable independiente “x” para los que existe la función, es decir, para los que hay 
un valor de la variable dependiente y. Se designa: 
 
Normalmente, el dominio de las funciones que veremos es el conjunto de los números 
reales: 𝑹 
Imagen de una función: La imagen de una función es el conjunto de todos los 
valores que toma la variable dependiente “y”. Se denota: 
 
Conjunto de positividad: Está formado por todos los valores del dominio para los 
cuales la función es positiva. Y se representa 𝐶+ 
Conjunto de negatividad: Está formado por todos los valores del dominio para los 
cuales la función es negativa. Y se representa 𝐶− 
 Dada la siguiente función se pide el gráfico aproximado: 
𝑓(𝑥) = −2𝑥4 − 11𝑥3 − 11𝑥2 + 15𝑥 + 9 
Para realizar el gráfico aproximado de la función dada, analizamos los siguientes 
pasos: 
1ero buscamos la ordenada al origen (O.A.O), que está determinada por término 
independiente del polinomio y además es la intersección con eje “y”. 
𝑓(𝑥) = −2𝑥4 − 11𝑥3 − 11𝑥2 + 15𝑥 + 9 
Ordenada al origen es 9 y es el punto (0 ; 9) 
2do Factorizamos el polinomio, para encontrar las raíces, las mismas son las 
intersecciones con el eje “x” y se obtiene igualando a cero la función, el método de 
factorización que emplearemos es la regla de Ruffini ya estudiada en clase. 
−2𝑥4 − 11𝑥3 − 11𝑥2 + 15𝑥 + 9 = 0 
Materia: Matemática
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Recordar que para aplicar la regla de Ruffini el polinomio debe estar ordenado y 
completo, en este caso lo está, también recordar la definición de la regla que era un 
método práctico para dividir un polinomio: 
𝑝(𝑥)(𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜) 𝑝𝑜𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑦𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑎 (𝑥 − 𝑎) 
En este caso para aplicar la regla y factorizar el polinomio nos falta el divisor (𝑥 − 𝑎), 
es decir el término “a”, para eso vamos a ir probando con distintos números que lo 
podemos obtener del términos independiente 9 del polinomio dividendo, buscamos los 
divisores de 9 y probamos, y así obtener de resto cero. Divisores de 9: 1,3,9,-1,-3,-9. 
Entonces aplicamos la regla de ruffini hasta obtener un resto 𝑅(𝑥) que nos de cero y 
así escribir el polinomio en forma factorizada. 
Aplicamos: 
−2 − 11 − 11 + 15 + 9 
 1 −2 − 13 − 24 − 9 
 −2 − 13 − 24 − 9 0 = 𝑅 
Probando con 1 que es divisor de 9 conseguimos el resto cero entonces el polinomio 
factorizado me queda expresado como: 
(𝑥 − 1). (−2𝑥3 − 13𝑥2 − 24𝑥 − 9) 
(𝒙 − 𝟏)𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒖𝒇𝒇𝒊𝒏𝒊 
(𝒙 − 𝒂), 𝒆𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒓𝒂𝒊𝒛. 
(−𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟗) 
𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐, 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓, 
𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒉𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒂𝒑𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒆. 
Continuamos factorizando el polinomio cociente (−2𝑥3 − 13𝑥2 − 24𝑥 − 9), de la misma 
manera, hasta que me quede de la forma (𝑥 − 𝑎): 
−2 − 13 − 24 − 9 
 −3 6 21 9 
 −2 − 7 − 3 0 = 𝑅 
(𝑥 + 3). (−2𝑥2 − 7𝑥2 − 9) 
 −2 − 7 − 3 
 −3 6 3 
 −2 − 1 0 = 𝑅 
(𝑥 + 3). (−2𝑥 − 1) 
Nos falta factorizar por último (−2𝑥 − 1) para que nos quede de la forma (𝑥 − 𝑎): 
(−2𝑥 − 1) = 0 
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−2𝑥 − 1 = 0 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 
−2𝑥 = 0 + 1 
 
−2𝑥 = 1 
𝑥 = −
1
2
 
Entonces obtenemos otra raíz que es −
1
2
 
El polinomio en su expresión factorizada nos queda: 
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1). (𝑥 + 3). (𝑥 + 3). (−2𝑥 − 1) 
En su forma más reducida: 
𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟏). (𝒙 + 𝟑)𝟐. (−𝟐). (𝒙 +
𝟏
𝟐
) 
 Las raíces obtenidas (intersección con el eje x) son: 
Raíz simple 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = −1/2 , la gráfica atraviesa el eje x 
Raíz doble: 𝑋 = −3, la gráfica rebota en el eje x 
El dominio y la imagen de esta función polinómica son todos los reales, como se 
mencionada mas arriba en la definición y se expresa de la siguiente manera: 
𝑑𝑜𝑚(𝑓): 𝑅 , 𝑖𝑚𝑔 (𝑓) = 𝑅 
Por ultimo realizamos la gráfica con los datos obtenidos: 
 
Marcamos en la graficas las intersecciones con los ejes en “y” la ordenada al origen que 
es 9 y en “x” las raíces 1, -3 y -1/2 como se muestra en la gráfica. Luego para trazar la 
función podemos calcular algunos puntos del eje x para saber qué dirección toma, en -4 
anterior a la raíz -3, en -2 y -1 que está entre las raíces -3 y -1/2. 
Tomamos la función original y reemplazamos los valores escogidos de “x”: 
𝑓(−4) = −2. (−4)4 − 11. (−4)3 − 11. (−4)2 + 15(−4) + 9 = −35 
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𝑓(−2) = −2. (−2)4 − 11. (−2)3 − 11. (−2)2 + 15. (−2) + 9 = −9 
𝑓(−1) = −2. (−1)4 − 11. (−1)3 − 11. (−1)2 + 15. (−1) + 9 = −8 
La gráfica terminada es: 
 
Para indicar los conjuntos de positividad y negatividad pintamos la gráfica: 
 
Lo pintado en rojo es el conjunto de positividad los valores donde la función se hace 
positiva y lo pintado verde los valores donde la función se hace negativa. 
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Actividad: Realiza el grafico aproximado de la siguiente función. Hallar ordenada al 
origen, raíces y orden de multiplicidad, dominio e imagen, conjunto de positividad y 
negatividad. 
𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 6𝑥 − 4