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Problemas Resueltos de CÁLCULO I 3 y - 3 2 3 2 2 4 5 6 2 Lliulli Villanueva La Paz - Bolivia EditorialÍNDICE 1. NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES 7 1.1 Teoremas sobre números reales 7 1.2 Inecuaciones 14 1.2.1 Inecuaciones simples 14 1.2.2 Inecuaciones con 16 1.2.3 Inecuaciones con valor absoluto 22 1.2.4 Problemas diversos 37 2. FUNCIONES 42 2.1 Definición, existencia y unicidad 42 2.2 Dominio y rango de funciones 42 2.3 Funciones inyectivas y función inversa 45 2.4 Composición de funciones 49 2.5 Funciones trigonométricas 60 2.6 Propiedades de las funciones 64 2.7 Gráficas de funciones 68 2.8 Funciones especiales 75 3. LIMITES 89 3.1 Definición de límite 89 3.2 Límites algebraicos 90 3.3 Límites con radicales 95 3.4 Límites al infinito 101 3.5 Límites trigonométricos 103 3.6 Límites exponenciales 114 3.7 Límites con logaritmos 122 3.8 El de estricción 124 3.9 Diversos límites 126 3.10 Limites laterales 139 3.11 Continuidad 141 3.12 Aplicaciones 151 4. DERIVADAS 155 4.1 Definición de derivada 155 4.2 Reglas de derivación 162 4.3 Derivación implícita 173 4.4 Derivación logarítmica 178 4.5 Derivación paramétrica 183 4.6 Derivadas enésimas 189 4.7 Problemas diversos 201 4.8 Derivabilidad 209 51. NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES 1.1 TEOREMAS SOBRE NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES que para se cumple la Solución: Partimos de la proposición verdadera (1) 2. Demostrar: Solución: como los son reales positivos, se tiene ab luego, si dividimos ambos miembros de (1) del ejercicio 1. entre a, el signo de la desigualdad no varía, luego: ab ab ab (1) b 3. Demostrar > Solución: Partimos de la proposición verdadera: (1) Como 4>3, y recordando que el logaritmo de un número mayor que la base es positivo, tenemos que: luego al dividir (1) entre la desigualdad no varía. >0 >0 1 Por la propiedad de cambio de base: 4. Demostrar que Solución: Partimos de las desigualdades verdaderas Sumando las desigualdades: Pero: Luego -7-NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I 5. Demostrar que para números no negativos cumple Solución: empleando la desigualdad (1) del ejercicio 1. Sean luego Del mismo modo se obtienen Como los miembros de las tres desigualdades son positivos podemos multiplicarlas 6. además Demostrar que 3 Solución: Partimos de las desigualdades obvias Sumando las tres (1) El caso de igualdad se da cuando x=y=z, como en nuestra desigualdad no se da el caso de igualdad, por lo tanto la expresión (1) se transforma Sumando a ambos miembros Pero x+y+z=1 Demostrar : Solución: Partimos de la desigualdad 1, del ejercicio (1) (1) Como podemos multiplicar (1) por (2) De (1) se deduce fácilmente: (3) Sumando (2) y (3) EDGAR LLIULLI VILLANUEVACÁLCULO I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES 8. Demostrar para cualesquiera números no negativos Solución: Partimos de la desigualdad (1) del ejercicio 1. + Suponiendo que y como a> > multiplicamos la desigualdad, primero por, y luego por, y obtenemos las siguientes desigualdades Sumándolas se tendrá ab² + De la cual es fácil concluir b³ Sumando las tres últimas desigualdades tenemos + + ab² + + + (1) Por otra parte usando de nuevo la desigualdad (1), Suponiendo podemos multiplicar por Del cual se obtienen fácilmente b²a+c²a≥2bca a²b+c²b≥2acb Sumando las tres ultimas desigualdades (2) Aplicando la transitividad entre (3) y(4) + ab² + + + + (3) 9. Demostrar que Solución: Partimos de la desigualdad (3) del ejercicio 8. Sean: a 10. Demostrar que Solución: Partimos de la desigualdad (6) Sean (1) Sean (2) Como ambos miembros de (1) y (2) son positivos podemos multiplicarlas EDGAR LLIULLI VILLANUEVANÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULOI Como abc > 0 podemos multiplicar ambos miembros de la desigualdad por abc 11. Demostrar 3 c+a 2 Solución: Partimos de la desigualdad (1) del problema 2. que puede escribirse en las tres formas y Z y Sumando las tres desigualdades x+y x+z + y+z ≥6 yxzxzy y Parar obtener la desigualdad pedida, sean = y=c+a, = = a+b b+a+2c + a+c+2b + c+b+2a 1+ 2c +1 + 2b + 1+ 2a ≥6 a+b c+a b+c a+b c+a b+c a+b 2c + c+a 2b + b+c 2a a + b + C ≥ 3 b+c c+a a+b 2 12. Demostrar que para R se cumple Solución: Partimos de las proposiciones verdaderas Sumando los dos resultados (1) Por otra parte se tiene Aplicando las propiedades de valor absoluto = a² yab=ab tenemos Multiplicando por "2" (2) Aplicando la transitividad entre (1) y (2) tenemos EDGAR LLIULLI VILLANUEVACÁLCULO I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES 13. demostrar Solución: Para demostrarlo, es necesario demostrar la desigualdad triangular Partimos de la igualdad Las propiedades y (1) Por otra parte (2) Ahora de la desigualdad obvia multiplicando por 2y sumando x²+y² Reemplazando (1) (2) Como las expresiones dentro de los cuadrados son positivos (Desigualdad triangular) Ahora en la desigualdad triangular Sean x=a-b, y=b, Sean = a, y=b-a, bsa+b-a lo que es lo mismo (1) (2) Ya que el primer miembro es a veces positivo, y a veces negativo, tenemos Que es lo que queríamos demostrar 14. Demostrar que Solución: Tenemos la siguiente propiedad de valor absoluto |x|≥x, luego se cumple Sumando en ambos miembros Aplicando las propiedades de valor absoluto tenemos EDGAR LLIULLI VILLANUEVANUMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I Como las expresiones que están elevadas al cuadrado son positivas podemos concluir 15. Demostrar que Solución: como = tenemos = it + (1) Por otra parte tenemos + + +2ab+2bc+2ac + + +2ab+2bc+2ac (2) Como se cumplen x, tenemos Sumando las tres desigualdades y luego multiplicando por "2" Sumando b² en ambos miembros + + ≥ + Según (1) y (2) tenemos Como las expresiones elevadas al cuadrado son siempre positivas podemos concluir a+b+c2a+b-c 16. demostrar que + + Solución: por comodidad primero demostremos + + Partimos de + + (1 = + y como se cumple para todo real, podemos decir (1) de (1) se hacen evidentes Sumando las tres desigualdades tenemos + (2) - 12 EDGAR LLIULLI VILLANUEVACÁLCULO I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES La desigualdad es cierta, para todo x,y,z reales, el caso de igualdad se da cuando = y = = 1 si b, {0} sean 3a 3b 3c = a+b+c El 3 se hace necesario para no perder la simetría, reemplazando en (2) tenemos a+b+c a+b+c + a+b+c + a+b+c 3a 3) ≥3 del cual se obtiene inmediatamente 17. Sean números reales, numeros positivos, M la mayor y la menor de las fracciones Demostrar Solución: Según las condiciones del problema M Como los números son positivos tenemos ≤ Es decir: ≤ a₁ M b₂, ≤ Sumando todas las desigualdades: + ≤ M + + (1) Como son positivos, entonces se cumple b₂ +...+ bₙ > y al dividir (1) entre esta suma, la desigualdad no cambia. 18. ¿Cuando se cumple que son números reales. Solución: No podemos elevar al cuadrado pues no tenemos la certeza que |x|-|y| sea positivo, sin embargo al trasponer términos vemos: Ahora podemos elevar al cuadrado ya que los dos miembros son positivos EDGAR LLIULLI VILLANUEVANÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I Según las propiedades del valor absoluto esto se cumple sólo si para que un producto sea positivo, los dos factores deben ser positivos los dos deben ser negativos. Esto se esquematiza en la figura. 1.2 INECUACIONES 1.2.1 Inecuaciones simples 19. Hallar el conjunto solución de: Solución: Como podemos escribir vemos que como sumando ambas tenemos Por lo que se concluye que la desigualdad planteada, nunca se cumplirá 20. Resolver Solución: Factorizando el primer miembro Como este factor no afecta la desigualdad, pero si haría falsa esta, luego con multiplicamos la desigualdad por 1 y el signo de ésta, no altera. (x-1)²(x+2)>0 x>-2, x-2 4 21. el conjunto solución de: 14 EDGAR LLIULLI VILLANUEVACÁLCULO I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES Solución: Llevemos todo al primer miembro y efectuemos las operaciones correspondientes x+2 4 x-2 x+2 4 (x-2)(2x+1) (x-3)(2x+1) (x-2)(x-3) Sumando tenemos x²-5x+6-(x²-4)-8x-4 (x-2)(x-3)(2x+1) (x-2)(x-3)(2x+1) -(13x-6) (1) Para resolverlo apliquemos la regla de signos, las raíces del denominador y no son parte de la solución, debido al signo de menor 0 igual. Probando el punto en V F V F V (1), vemos que se tiene ≤0 2 3 1≤0, que es falso, así intercalando los resultados, tenemos 22. Resolver el siguiente sistema 18/30 Solución: Resolvemos ambas desigualdades por separado, e intersectamos los resultados i) Teniendo en cuenta que x=0, es una solución dividimos entre x² y luego resolvemos mediante la regla de signos F V F V Donde se prueba el número que -10 01 10 es una proposición falsa, y se alternan los resultados en los otros intervalos ii) Para la otrá desigualdad es necesario analizar este polinomio no tiene raíces reales, de modo que lo escribimos en la forma También analicemos este polinomio tiene raíces: luego EDGAR LLIULLI VILLANUEVANÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I Reemplazando en la desigualdad: (x+9)(5x-x²-18) Como este factor no afecta el signo de la desigualdad, la desigualdad restante se la resuelve mediante la regla de signos (x+9) V F V F -9 Donde se probó x=0 que es falso, y se alternan los resultados Intersectando tenemos -10 -9 10 1.2.2 Inecuaciones con raíces 23. Resolver Solución: Como las raíces cuadradas son positivas si el subradical es positivo, para resolver la desigualdad bastará hacer Si el subradical es positivo observamos que ambos miembros de la desigualdad también lo son, bajo esa condición podemos elevar al cuadrado ^ ^ Resolvemos cada desigualdad por la regla de signos F V F si V -2 2 V si V -3≥0 F En cada caso se probó el punto que Cs satisface la primera desigualdad 2 pero no la segunda, intersectando los resultados tenemos EDGAR LLIULLI VILLANUEVANUMEROS REALES Y DESIGUALDADES 24. Resolver: Solución: Ambos miembros de la desigualdad son positivos, bajo la condición que el subradical lo sea es decir ^ ^ ^ Cada se resuelve por separado i) V F V lo resolvemos por la regla de signos, -2 0 probando el punto x=0 vemos -2≥0 que es falso luego ii) Lo resolvemos por la regla de F V F signos, las raíces de son 0 2 2 probando el punto verdadero x=0 vemos luego -18NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO 1 Cs Cs 5 2 3 26. Resolver la inecuación: Solución: Para resolverlo, debemos asegurarnos que ambos miembros de la desigualdad sean positivos, para lograr eso efectuemos las operaciones de transposición necesarias Ahora los dos miembros de la desigualdad serán positivos si los subradicales lo son luego imponemos esas condiciones para elevar al cuadrado Las dos primeras inecuaciones son equivalentes a luego ≥ Antes de elevar al cuadrado la segunda desigualdad debemos asegurarnos que ambos miembros sean positivos, nótese que si es decir x>4 el primer miembro sería negativo, mientras que el segundo es positivo, lo cual haría falsa la inecuación, luego otra condición para resolver, será que luego ^ ^ ≤ ^ 2 ≤ ^ Resolviendo mediante la regla de signos 3 4 2 si x=0 28≥0 F V F (verdadero) 2 14 Intersectando tenemos la solución 2 2 2 27. Hallar el conjunto solución de: Solución: Antes de elevar al cuadrado (Lo cual es posible ya que ambos miembros de la desigualdad son positivos) debemos asegurar que el subradical sea positivo cero es decir EDGAR LLIULLI VILLANUEVACÁLCULO NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES 2 x²+x-2 ≥0 x²+x-2 ^ IV ≥0 ≥1 La segunda inecuación asegura la primera por transitividad luego las dos son equivalentes a x²+x-2 x²+x-2 ≥1 Como > este factor no afecta al signo de la desigualdad pero si al de igualdad pues la satisface y debe incluirse en el conjunto solución 1 0 2 Resolviendo gráficamente 28. Hallar el conjunto solución de: X Solución: Antes de resolver observe que el subradical puede escribirse en la forma Es decir es siempre positivo luego no debemos preocuparnos más por el asunto. Antes de elevar al cuadrado debemos asegurarnos los dos miembros de la desigualdad sean positivos, observe que i) si x+1NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I Solución: El primer miembro sólo tiene sentido si la cual será una condición para resolverlo, pero con no se asegura que el segundo miembro sea positivo, luego debemos dividir el análisis en dos partes, cuando el segundo miembro sea positivo o negativo. i) ^ en este caso el primer miembro es positivo y el segundo es negativo, es decir (+) > (-) lo cual es verdadero y este intervalo se halla en el conjunto solución ii) ^ en este caso ambos miembros son positivos, luego será posible elevar al cuadrado ^ ^ (x-2)(x+1)CÁLCULO I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES (2x-1)(12x-1)>0 V V Probando el punto 1>0 > (verdadero) intersectando los tres resultados, tenemos el conjunto solución 0 2 31. Hallar el conjunto solución de: Solución: Para poder elevar al cuadrado es necesario luego Ambos miembros de la desigualdad serán positivos si > pero 1>0 luego la segunda desigualdad asegura la primera observamos que si x-1+, lo cual es falso, luego una condición para resolver será Si además, como ≥ el segundo miembro existe y es positivo, y como x-1 es positivo, ambos miembros de la desigualdad son positivos y podemos elevar al cuadrado ^ ^ Para la primera desigualdad se deben hallar las raíces de esto es resolviendo por la regla de signos, tenemos V F V donde se probó -2>0 que es 2-√6 2+√6 falso Intersectando con tenemos 2+√6 32. Hallar el conjunto de Solución: Si ambos subradicales son positivos, los dos miembros de la desigualdad serán positivos, pudiéndose elevar al cuadrado, luego: EDGAR VILLANUEVANÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I 0, es decir x>-2 se tiene el primer miembro negativo, mientras que el segundo es positivo, siendo verdadera la desigualdad, luego es parte de la solución de Si es decir se tienen los dos miembros positivos, y siempre que x+3≥0 se podrá elevar al cuadrado > + (1) PeroCÁLCULO NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES (|x|-2)(x-3) La condición se impone porque estos puntos hacen cero el denominador, es decir no debe hallarse en el conjunto solución, y como |x|+2>0 este no afecta al signo de la desigualdad, luego ≤ x53 -2 2 3 Vx 34. Escriba el conjunto solución: Solución: Por definición el valor absoluto es siempre positivo cero luego se cumple Donde el caso de igualdad se da para es decir como la desigualdad no admite este caso el conjunto solución será los reales, exceptuando dichos puntos 35. Escriba el conjunto Solución: Como en el anterior ejercicio se cumplirá Luego, la única forma en la cual se cumple la inecuación será cuando es decir 36. Resolver: Solución: Como ambos miembros de la desigualdad son positivos (valor absoluto), es posible elevar al cuadrado Para el valor absoluto se cumple luego resolvemos por la regla de signos x-5 (x+9)(5x-11) (x-5)2 EDGAR LLIULLI VILLANUEVA 23NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES Probando el punto tenemos que V F V -9 11 es falso luego tenemos Excluyendo a x=5 -9 5 5 Finalmente tenemos el conjunto solución E el conjunto para todo que a los reales? Solución: consideremos dos casos i) u>avu tenemos >1 1 V 1/2 La última operación es posible ya que es positivo con ahora aplicando las propiedades |u|>a > y -aCÁLCULO I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES x 5 ≥1 5 ≤-1 x V Multiplicando las inecuaciones por (-1) el sentido de la desigualdad varía Podríamos aplicar de nuevo las propiedades, pero como los dos miembros de las dos desigualdades son positivos, también podemos optar por elevar al cuadrado, así el valor absoluto desaparece 2 2 2 V VI VNÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO Uniendo los resultados Como lo excluimos de la 8 12 solución 2 12 8 13 19 3 17 Vx 40 el conjunto solución: Solución: Como en el anterior ejercicio debemos aplicar reiteradamente las propiedades, |u|>a u>avu-3 3x+1 3x+1 3x+1 x-2 x-2 >2 (1) 3x+1 Resolvamos cada desigualdad por separado i) Para 3x+1 0 3x+1 3x+1 3x+1 3x+1 Multiplicamos la primera desigualdad por (-1), luego su sentido cambia. Resolvemos cada desigualdad probando el punto = V >0 si 0 V = 3x+1 10 23 25x+6 6 >0 V ->0 V F V 3x+1 1 intersectando tenemos la primera solución 0 + 2NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES 7x si = 1 7NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I 42 Hallas solucion de la Solución: Como ambos miembros de la inecuación son positivos, es posible elevar al cuadrado, sin que se afecte el signo de la desigualdad, además recuerde la propiedad de valor absoluto Como es un numero siempre positivo, no afectará al signo de la desigualdad, pero si x=1, se afecta al signo de igualdad, cuando x=1, se satisface la inecuación, luego V 2 Tal como se muestra en el grafico 43. Hallar el conjunto solución de la inecuación Solución: Como ambos miembros de la inecuación son positivos, podemos elevar al cuadrado y así el valor absoluto desaparece Como las raíces de son podemos factorizar Y es aplicable la regla de signos, probando el F V F V F punto tenemos que es V -1 44. Hallar el conjunto solución: EDGAR LLIULLI VILLANUEVACÁLCULO I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES Solución: Como se observa tenemos >0 luego + > 0 + reemplazando en la desigualdad y resolviendo ≤ F V F Resolvemos por la regla de signos, si tenemos (verdadero) 2 45. Hallar el conjunto Solución: Las propiedades usadas en ejercicios anteriores |u|za u≥avu≤-a y son aplicables también si en lugar de se encuentra una función luego ≤ Resolviendo cada desigualdad por la regla de signos V F V Six=1 V -5 0 F V si F V -2 1 Intersectando los resultados tenemos [0,1] 0 1 46. el conjunto solución de: Solución: Podríamos proceder como en el anterior ejercicio, pero obsérvese que si el segundo miembro es negativo, la desigualdad sería falsa, por lo cual se impone la condición que el segundo miembro no puede ser negativo, si es así, ambos miembros son positivos, y podemos elevar al cuadrado x-1 x-1 x-1 x-2 x+2 EDGAR LLIULLI VILLANUEVANÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES Aplicando la propiedad en la segunda desigualdad, llevando todo al segundo miembro y factorizando x-2 x-1 x-2 x-1 ^ x-2 ^ x-2 x-1 Cada desigualdad la resolvemos por separado y luego intersectamos los resultados i) x-1 por la regla de signos, probando F V F se tiene ≥ que es verdadero 1 2 ii) los términos , no afectan al signo de la desigualdad, pero x=1 debe incluirse en la solución parcial, pues hace cierta la igualdad, y = no se incluyen por hacer cero el denominador, luego -2 01 1 2 iii) Intersectando tenemos 01 I 2 [0,1] U ]2,00[ inecuación Solución: Aplicando las propiedades de las desigualdades |u|≥a usa ^ ≥ tenemos ≥ luego ^ |x-2|≤4x-4 ^ Pueden volver a aplicarse las propiedades de las desigualdades { 4 ^ } V { ≥ 4x + 4 V } 2≤3x V 5x≤-2 ^ ≤ { ≥ ^ ≥ } V { V } ≥ - EDGAR LLIULLI VILLANUEVACÁLCULO I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES Intersectando los tres tenemos finalmente la solución 48. Encontrar el conjunto de la desigualdad 4 Solución: Para resolverlo, vamos a simplificar la expresión dentro del valor absoluto x-2 x+2 x-2 x+2 x-3-(x+2) -5 = (2x+1)(x-2) (2x+1)(x-3) (2x+1)(x-3) (2x+1)(x-3) y como la desigualdad se transforma en x+2 4 -5 4 (2x+1)(x-3) (x-2)(x-3) aplicando, la propiedad si usa ^ tenemos -5 4 -5 4 ^ IV (2x+1)(x-3) (x-2)(x-3) llevando todos los términos al primer miembro en las dos desigualdades (cuidado con la tentación de anular x-3, no es posible pues afectarían a signo de la desigualdad, pues no sabemos si x-3 es positivo 0 negativo) -5 4 -5 4 A (x-2)(x-3) -5(x-2)-4(2x+1) -5(x-2)+4(2x+1) ^ (2x+1)(x-2)(x-3) (2x+1)(x-2)(x-3) -13x+6 3x+14NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I Resolver la desigualdad Solución: Como ambos miembros de la desigualdad son positivos, podemos elevar la desigualdad al cuadrado, recordando que tenemos Para Analizar el valor absoluto, dividimos el análisis en dos partes i) si |x-3|=x-3, luego Es posible factorizar así, ya que 8 F V F V son las raíces de +3x-5, probando el --1 8 8 punto tenemos -5≥0, que es falso, 3 luego alternamos los resultados. Este resultado es válido, solo para intersectando con dicho intervalo, tenemos 3 ii) siCÁLCULO I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES Resolver 2 Solución: Vamos a resolverlo, aplicando la definición de valor absoluto |x|=x, luego tenemos 1 3x-1NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I x² Como podemos multiplicar por este sin que afecte el signo de la desigualdad, pero como también podría ser cero, debemos restringir a ^ Además, como |x|+4>0, el valor absoluto que lo rodea no es necesario, pudiendo luego multiplicar por este factor ya que siempre es positivo ^ |x|=x V V Como las raíces de son tenemos V F V F Probando el punto 0 Tenemos 40 (falso) Luego tenemos en el gráfico el solución, el cual es valido sólo para intersectando Ahora uniendo los resultados No debemos olvidarnos como nuestro conjunto solución no los contiene tenemos definitivamente 34 EDGAR LLIULLI VILLANUEVACÁLCULO I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES 52. Resolver la Solución: Podemos proceder de varias maneras, para todos los métodos empezamos escribiendo de la forma: |x-2|+|x+2| x-1 Primera forma: De la definición de valor absoluto x>0 xNÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I (-2) Probamos V F V -1 0 2 -850 V Pero este resultado es válido sólo en -2 2 -25xCÁLCULO I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES La raíz del denominador no se incluye en la solución. Sólo en estos dos puntos puede existir cambio de signo en la desigualdad original. Dividimos la recta real en varios intervalos mediante estos números Probamos un punto de cada uno de ellos, en la inecuación, para saber si son no solución 1 2 De |0-2|+|0+2|-4(0-1) (Verdadero) 0-1 De (Falso) De x=3 |3-2|+|3+2|-4(3-1) (Verdadero) 3-1 Luego V F V 1 2 1.2.4 Problemas diversos 53. Hallar el mínimo valor de de modo que el conjunto solución de + M sean los reales Solución: Dividiendo la inecuación entre 2, y luego completando cuadrados Para que siempre se cumpla dicha desigualdad, se observa que debe cumplirse M 25 M 25 2 16 2 ≥ 16 como el mínimo valor que puede adoptar M es M 25 = M 16 25 2 54. se sabe que Solución: Dividiendo la fracción, x+3 , aplicándola en la inecuación VI VI x+3 EDGAR LLIULLI VILLANUEVA 37NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I Considerando (1-A)(1-B)>0 podemos elevar la desigualdad a la menos uno, y el signo de la misma cambia VI 1-A 1-B 1-B Como tenemos ≤ por comparación 1-A ^ Ambos valores satisfacen la condición impuesta y se los acepta como solución, si el intervalo solución no es acotado, por lo cual no se analiza ese caso ^ 55. Determinar el valor de solución de es Hallar todos los valores ce que verifican la desigualdad Solución: Como ambos miembros de la desigualdad son positivos, podemos elevarla al cuadrado, recuerde que luego (-x+3-a)(3x-a-3)50 Multiplicando por (-1) el signo de la desigualdad cambia Según la regla de signos la solución puede darse por: a+3 Si 3 > la solución será Entonces 3 Como se debe cumplir tenemos por comparación, Como los resultados son diferentes se descarta esta posibilidad Si 3CÁLCULO I NUMEROS REALES Y Entonces Vx 3 2, 8 [ a+3 3 por comparación, 3 3 3-a=2 Ambos resultados de son iguales, además a=1 satisface se acepta como solución a=1 56. Hallar el valor de A para que la siguiente desigualdad tenga como conjunto solución Solución: En primer lugar obsérvese que: Como se ve a simple vista > y debido a la definición de valor absoluto tenemos: Luego la desigualdad se transforma en: 2x²-2x+1REALES Y DESIGUALDADES CÁLCULO I Determinar de R si la solución de desigualdad es: 2 Solución: Como es una desigualdad con los dos miembros positivos, y para eliminar el valor absoluto, podemos elevar al cuadrado 2 2 VI 2 VI X A 3x A 3A + 0, si es así (para el gráfico), probando x=0 que es verdadero, luego la solución será Comparando con la solución 0 1 5 2 que puede también graficarse se tiene y en ambos casos se obtiene que A=4 A=4 58. Hallar todos los valores de que verifican la desigualdad Solución: Podría procederse a resolver la desigualdad formalmente, pero empleemos un artificio que evite esa situación. Restando 1 a los tres miembros de la desigualdad 40 EDGAR LLIULLI VILLANUEVANUMEROS REALES Y DESIGUALDADES 10 (1) Debe recordarse que un polinomio que tiene raíces complejas es siempre positivo, observe que tiene raíces complejas, luego x²+2x+2>0, este factor no afecta el signo de la desigualdad. Para que los otros cumplan la misma situación, sus discriminantes deberán ser menores que ceΓo, es decir Tomando raíces cuadradas y aplicando propiedades de valor absoluto ^ ^ Efectuando la intersección en forma gráfica Tenemos para estos valores, la desigualdad siempre se cumple EDGAR LLIULLI VILLANUEVA2. FUNCIONES 2.1 DEFINICIÓN, EXISTENCIA Y UNICIDAD 59. La relación una función? Solución: no representa una función ya que para cada valor de corresponden dos valores de y 60. ¿La relación siguiente, representa una función? Solución: Factorizando se tiene como del factor se tienen raíces complejas, sólo nos queda la posibilidad que x+y=0, luego es la única función real que se define, luego para cada valor de corresponde sólo un valor de y Si define una función equivalente a y=-x 2.2 DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES 61. Hallar el dominio de Solución: Bastará evitar los valores negativos dentro de la raíz cuadrada Ambos miembros de la última desigualdad son positivos, cuando el interior de la raíz del segundo miembro no es negativo, teniendo en cuenta la última recomendación. podemos elevar al cuadrado ^ IV Pero x² es siempre verdadero luego R 62. el dominio y rango de la función 3 Solución: La función carece de sentido si se presenta una división entre cero, luego podrá tomar todos los valores reales excepto cuando x-3=0, es decir luegoLCULO FUNCIONES spejando tenemos xy-3y=x+2 3y+2 x x-3 y-1 carece de sentido si y-1=0, luego Hallar el dominio y rango de la función lución; La función, existirá si evitamos valores negativos dentro de la raíz adrada IV 1 2 onde se resolvió mediante la regla de signos, luego ra despejar y, obsérvese que F1 segundo miembro es positivo, luego el segundo miembro, también deberá serlo, go será posible elevar al cuadrado y-2≥0 2 ^ 2 2 Como se observa, para que exista y, también debe cumplirse que el subradical sente sea no negativo, luego resolvemos las siguientes inecuaciones ^ raíces de son complejas, quiere decir que la solución de la inecuación serán todos los reales, luego 64. Hallar el rango de la función definida en el intervalo ución: La función sólo es definida en luego su rango también se ve ringido, para generar la función, recuerde que 3x+2 =3+ 5 aplicando piedades de desigualdades. EDGAR LLIULLI VILLANUEVAFUNCIONES CÁLCULO VI VI 10 5 5 5 17 3x+2 17 13≥3+ ≥ 13 ≥ ≥ 4 x-1 4 17 Nota: Otra forma de hallar el rango mas rápidamente, es notar que la función inyectiva (es decir que es 1 a 1) luego para hallar los extremos del intervalo del rango bastaba con hallar las imágenes de los extremos del intervalo del dominio, es decir. 3.5+2 17 17 y = 13 y si !! 5 y = luego 5-1 4 importante notar que este procedimiento sólo puede aplicarse a las funciones inyectivas, vea el siguiente ejemplo. 65. Hallar el rango de la función definida en el intervalo Solución: La función sólo es definida en luego su rango también se restringido, para generar la función, recuerde que aplicando propiedades de desigualdades (1) Para generar la función es necesario obtener pero no podemos elevar cuadrado una desigualdad como (1) pues no todos los miembros son positivos, para tal efecto, subdividimos (1) en dos intervalos en los cuales todos los miembros del mismo signo, y aplicamos propiedades de las desigualdades -1≤x-2FUNCIONES el rango no es [4,7[, lo correcto es [3,7[. Esto sucede ya que la función no es inyectiva 3x+2 66. Hallar el rango de la función Solución: Hallando individualmente los rangos tenemos VI V y=3x+2 V VI V x+1 1 5 ii) 2≤x 2(2x-3) 3≥y>1 2 2 iii) Uniendo los resultados de las partes i) y ii) tenemos el rango total VI V ≤ V 3≥y>1 V [-13,8[ 2.3 FUNCIÓNES INYECTIVAS Y FUNCIÓN INVERSA 67. Añalizar SI la siguiente función es inyectiva Solución: Una función inyectiva cumple con la siguiente propiedad Si Es decir que no pueden repetirse los elementos del rango, veamos Los últimos pasos son posibles ya que es un factor siempre positivo ya que genera relaciones complejas entre y luego al comprobarse que la función es uno a uno, se observa que la función es inyectiva EDGAR LLIULLI VILLANUEVAFUNCIONES CÁLCULO I 68. a) Analizar la de función b) establecer el dominio en el oual función es Solución: debe cumplirse Si Luego V Y se observa que la función no es inyectiva pues para cada valor de y corresponden dos valores de distintos La función en sí no es inyectiva (no es inyectiva en los reales) b) como se observó que para que se cumpla se tenía V el punto donde un valor de y genera un solo valor de x es cuando =3, y como se tiene que ese punto es x=3, = luego se debe dividir el intervalo de los reales en ese punto para volver a la función inyectiva, es decir = son funciones inyectivas 69. Para la función hallar la función inversa Solución: Verificando la inyectividad de la función La función dada es inyectiva en los luego posee una función inversa, despejando x y cambiando x por y y 70. Hallar la función inversa de las siguientes funciones 46 EDGAR LLIULLI VILLANUEVAFUNCIONES Solución: a) La función = , no presenta restricción en su dominio (solo está la restricción luego tratemos de hallar la función inversa y 3 Para cada valor de y corresponden dos valores de x, luego no puede definirse una función inversa única. No existe tal función inversa b) presenta la restricción que luego los 3 pasos seguidos en el ejemplo anterior son válidos aquí, luego como es un intervalo donde las son negativas, la función inversa queda 3 definida por el signo negativo de la raíz, sin embargo el dominio de esta función inversa también estará restringido a un intervalo igual al del rango de la función directa, como la función es inyectiva en este dominio, bastará evaluar los extremos del intervalo si y si y = luego el 4 rango de la función directa se encuentra en luego este será el dominio de la función inversa 3 71. Si Hallar x-2-1 Solución: Para resolver, obviemos el paso de analizar la inyectividad de la función, hallemos directamente suponiendo que es inyectiva, (si en algún punto de fallara la unicidad, sabremos si es o no inyectiva i) en -35xFUNCIONES CÁLCULOI pero como x+1CÁLCULOI FUNCIONES i) si = +5x, luego y = + 5x como vemos se toma el signo positivo si caso contrario se tomará el signo negativo, el intervaloFUNCIONES CÁLCULO Solución: La propiedad más importante a usar en estos casos es Luego: +1 = b) De igual modo entonces Nota: debe observarse que 74. Dadas 2 y 2x x+1 hallar Solución: como sabemos tenemos 1FUNCIONES VI VI V V -3 4 Intersectando con Tenemos 2/3 2 V 1 4 8 VI 2 9FUNCIONES CÁLCULOI Como = + (1) Pero = comparando con (1) Resolviendo tenemos dos soluciones + ab + a=3 b=3 ó 76. Si f(x) son dos funciones tales que Donde además Hallar Solución: De los datos se ve inmediatamente que: si u=3x-1 = f(x)=x Luego podemos calcular las composiciones: si x=3 (1) si x=a-1 (2) Igualando (1) y (2) pues el enunciado así lo pide 6-a=a-2 2a=8 a=4 Como = f(a)=4 77. Para las funciones ballar el valor de "m" de modo que se cumpla Solución: bajo el supuesto que existan las hallamos = 2y y-1 + Luego De la condición = tenemos EDGAR LLIULLI VILLANUEVACÁLCULO I FUNCIONES 2mx-4m-6-2 m=2 = mx-7 Ahora veamos si en realidad cumple la condición, supusimos que ƒ(x) admitía inversa, si es así si es decir con # 2 Y como vemos, se tiene que cumplir # para que sea es decir que para m=2, = ƒ(x) no admite inversa, en efecto: si se tiene y no admite inversa el valor pedido de "m" no existe 78. f función lineal con pendiente intersección con el eje y igual a b, + 2) (m + Hallar la función g(x). se tiene 8 Solución: Una función lineal con pendiente m y ordenada en el origen b, es: Haciendo cumplir las condiciones (1) Se ha formado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, simplificándolas. (3) (4) Tenemos dos posibles valores de m: i) si m=3, = reemplazando en (3) 3.3(3-b-4)=0 Luego 3 sea: x+4=u = x=u-4 EDGAR LLIULLI VILLANUEVA 53FUNCIONES CÁLCULO I 13 13 79. Solución: Para hallar pedido, debemos hallar g⁻¹(x) Ahora, efectuamos la composición x+1 80. Dadas g encontrar Solución: empecemos por hallar la función inversa de despejando de: tomando la función inversa de g por la izquierda (1), conocemos g⁻¹(x-3) y necesitamos efectuemos luego x+1 5 reemplazando en (1), hallamos ƒ(x), para hallar despejamos x y 54 EDGAR LLIULLI VILLANUEVA