Vista previa del material en texto
y=Sen*x y=Senx TRIGONOMÉTRICA YA TEORÍA Y 300 PROBLEMAS 3 3 2 Ediciones CUZCAN UNI JORGE QUISPE R.CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA CONCEPTOS PREVIOS Para el manejo del concepto de Circunferencia Trigonométrica utilizaremos las he- rramientas ya estudiadas en el folleto "Introducción a los Números Reales y Razones Trigonométricas de Ángulos Trigonométricos", por eso le sugerimos repasarlas. Sin embargo, aquí mencionaremos algunas. SISTEMA UNIDIMENSIONAL DE COORDENADAS (Recta Numérica) Los números reales pueden representarse como puntos sobre una recta. Para ello a cada punto de la recta le asociaremos un número real y viceversa. Requerimos tres condiciones para constituir un sistema unidimensional de coordenadas : i) Se elige un punto, llamado origen, al que le corresponde el número cero. ii) Se elige una unidad de medida longitudinal. iii) Se determina la dirección positiva y por contraparte la negativa respecto al origen. A B P. dirección positiva -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 3,5 4 x₁ 5 ... lu O : Origen de coordenadas : Unidad de medida6 CUZCAN TRIGONOMETRÍA Notemos que al punto P le corresponde el número , lo que representamos así: : "x es la coordenada del punto P " Luego : : es la coordenada del punto A. : 0 es la coordenada del punto O. B : 3,5 es la coordenada del punto Observación * La coordenada de un punto expresa el desplazamiento realizado por un móvil, en dirección positiva negativa, habiendo partido del origen de CO- ordenadas. A B -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 3,5 4 5 distancia recorrida sentido de desplazamiento (hacia la "izquierda"). distancia recorrida (3,5u) sentido de desplazamiento (hacia la "derecha"). SEGMENTO DIRIGIDO Es aquel segmento que posee dos atributos : tiene una longitud, y, una dirección 0 sentido. A AB B -2 0 3,5 A BA B -2 0 3,5 Un segmento dirigido AB expresa el desplazamiento de un móvil que parte de A y llega a B. El desplazamiento puede ser positivo negativo dependiendo de la ubicación del punto final con respecto al punto inicial :JORGE QUISPE R. 7 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA B AB = + 5,5 -2 0 3,5 desplazamiento hacia la derecha A B BA = 5,5 -2 0 3,5 desplazamiento hacia la izquierda VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real denotado por I x se define por la regla : x , si x ≥ 0 x , si xEdiciones 8 CUZCAN TRIGONOMETRÍA La distancia entre y es: d=7 = 4 - I = 7 -3 0 4 d = 7 = Rpta. d Sea : a b La distancia entre "a" y "b", es : Notemos que "a" está a la izquierda de "b" : b a Luego : Rpta. d : 1 La distancia "d" es : d = Rpta. Observación La longitud de un segmento dirigido denotado por I AB I AB, se calcula mediante : AB = B A A AB B -2 0 3,5 I AB I = I = I = I AB I = 5,5 0 lo que es lo mismo : AB = 5,5 5,5 A B -2 0 3,5 A B -1 0 BA = I CSC Θ - ( - 1) = I CSC Θ + 1 I Notemos que : CSC 1 > 0 + + 1 : A B -1 0JORGE QUISPE R. 9 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA SISTEMA BIDIMENSIONAL DE COORDENADAS RECTANGULARES Este concepto ya lo hemos estudiado en el folleto referido al principio. Pero no es demás redundar en que los ejes son rectas numéricas perpendiculares entre sí, cuyos orígenes coinciden; además, la unidad de medida de ambas rectas es la misma. YA 3 IIC 2 IC 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 X -1 lu -2 IIIC IVC -3 -4 DETERMINACIÓN DE UN PUNTO Un punto P del plano cartesiano se representa mediante un par ordenado (x;y) donde "x" se llama abscisa del punto P. e "y" se llama ordenada del punto P. Al par (x;y) se le denomina coordenadas rectangulares del punto P. P(x;y) se lee : "El punto P de coordenadas x ; y" abscisa ordenada Y4 b P(a;b) Q(x;y) y c m x a X n S(m;n) d R(c;d) Siempre tenga en consideración la ubicación de los puntos para determinar si las coordenadas son positivas negativas : : Si Si R(c;d) E Si Si S(m;n) E IV.C10 CUZCAN Observacioness 1. Las coordenadas de un punto pueden ser tratadas como "segmentos dirigidos". YA YA P(-2;3) -2 4 3 3 0 0 X YA -2 P(-2;3) R(a;b) 3 Q(-4;3) G 0 n 161 131 A(m;n) m F 0 X 2. Aplicando valor absoluto a las coordenadas se calculan las distancias del punto a los ejes. YA YA I-21 P(-2;3) H R(a;b) Q(-4;3) G 161 131 L 0 X A(m;n) F 0 X * * QG = I 4 = 4 * PL=131=3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia d entre los puntos y del plano cartesiano se calcula mediante : d 0 XJORGE QUISPE R. 11 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA EJEMPLO : La distancia entre los puntos y N(4;2) es : d = 13 Rpta. EJEMPLO : La distancia entre los puntos P(a;b) y Q(-b;a) es : + + = es decir : Rpta. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Dado los puntos A = (x₁;y₁) y B = las coordenadas del punto medio M del segmento AB son : YA Lo que equivale a : M + + M ; 2 2 0 EJEMPLO : Sean los puntos y B(6;1) Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB Siendo M el punto medio de AB : M Rpta. Observación En un sistema unidimensional de coordenadas se cumple que dado dos puntos el punto medio M de AB tiene por coordenadas a : M 212 TRIGONOMETRÍA EJEMPLO : A M B -2 3 La coordenada del punto medio de AB es : M es decir : M Rpta. , EJEMPLO : a b LA CIRCUNFERENCIA Sabemos que siendo (h;k) el centro de una circunferencia y "r" su radio, la ecuación de la misma es : 2 r (h;k) X La ecuación de la circunferencia de radio 4 y centro (2;-3),es : 2 EJEMPLO : La ecuación de la circunferencia de radio 4 y centro (0;0) , es : es decir : Rpta. (0;4) Notemos que la longitud de esta circunferencia es : 4 (-4;0) 0 (4;0) (0;-4)JORGE QUISPE R. 13 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA La ecuación de la circunferencia de radio "r" y centro (0;0), es: Y4 (0;r) * La longitud de la circunferencia es : (-r;0) 0 (r;0) * La longitud del arco es : siendo -> # de radianes EJERCICIO : -2/3 Calcular las ordenadas b 0 abscisas de los puntos 0 indicados. 2 c C Resolución Tengamos en cuenta que si un punto P(m;n) pertenece a la circunferencia de ecuación = r², entonces: (m;n) satisface a es decir : Aplicando al problema que tenemos : i) Cálculo de la ordenada de A : A 2 1 + = 1 2 Como A IC La ordenada "a" es positiva a = Rpta. 2 ii) Cálculo de la ordenada de B :14 TRIGONOMETRÍA Como B √5 b = Rpta. 3 iii) Cálculo de la abscisa de C : C Como III C Rpta iv) Cálculo de la abscisa de D : D = Como D d > 0 d Rpta. De la figura mostrada, obtener el valor de : E = sen α YA α 0 X Resolución Como 3 x 2 + = 1 a Pero II CJORGE 15 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Luego : 3 * ordenada 5 sen α = = YA radio vector 1 3 sen α = 5 4.3 5 ; 1 4 α * abscisa 5 = I radio vector I = 1 X 4 α = 5 Finalmente : 3 4 7 = E = Rpta. 5 5 5 EJERCICIO : De la figura mostrada, obtener el valor de: A = sen 0 X (-1;b) Resolución La ecuación de la circunferencia es : YA Es decir, el radio de la circunferencia es : 2 Como 0 X 2 b16 TRIGONOMETRÍA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 0 UNITARIA (C.T.) Es la que tiene por ecuación a : YA C.T. 1 * Todas las longitudes se miden con la misma unidad de medida lu -1 0 1 2 X * La longitud de la circunferencia es : -1 L = lu +-2 COORDENADAS DE LOS PUNTOS DE LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA YA Todo punto que pertenece a la C.T. satisface a la ecuación : B(0;1) P(a;b) Es decir : C(-1;0) 0 A(1;0) X D(0;-1) YA EJERCICIO : C.T. En la figura mostrada P(m;n) calcular la longitud de PQ. Resolución Q Tenemos : P(m;n) y Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos : PQ = + n + 1 = 2 + 2 +JORGE QUISPE R. 17 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Notemos que : m 2 + 2 = 1 , porque es C.T. PUNTOS SIMÉTRICOS DE LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 1) Puntos simétricos respecto al eje de ordenadas : Tienen abscisas opuestas, pero sus ordenadas son iguales. YA YA P(a;b) P'(-a;b) P(a;b) a -a P'(-a;b) -1 1 A'(-1;0) A(1;0) X A'(-1;0) A(1;0) X (-m;n) -m m Q(m;n) Q'(-m;n) Q(m;n) ii) Puntos simétricos respecto al eje de abscisas : Tienen ordenadas opuestas, pero sus abscisas son iguales. YA YA B(0;1) B(0;1) P(a;b) Q'(m;-n) . P(a;b) Q'(m;-n) 1 -n X X -b n -1 P'(a;-b) Q(m;n) P'(a;-b) Q(m;n) B'(0;-1) B(0;-1) iii) Puntos simétricos respecto al origen de coordenadas : Sus abscisas y ordenadas respectivas son opuestas. YA YA P(a;b) P(a;b) a b X 0 -b X P'(-a;-b) -a18 CUZCAN TRIGONOMETRÍA RADIO VECTOR ORTOGONAL EN LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA A cada punto de la Circunferencia Trigonométrica se le puede asociar un radio vector y a éste su respectivo vector ortogonal : Y (b;-a) (a;b) (a;b) X X (-a;-b) (-b;a) (-b;a) EJERCICIO : En las circunferencias trigonométricas mostradas, calcular las áreas de las regiones sombreadas. i) ii) YA YA (a;b) (a;b) X X Resolución Resolución YA C.T. C.T. P(a;b) (a;b) H 1 1 X X (-b;a) P Los puntos P y P' son simétricos respecto al eje X, en consecuencia: A = somb 2 como 1.161 A somb = 2 A = b > 0 A somb Rpta. = somb Rpta.JORGE QUISPE R. 19 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA ARCOS DIRIGIDOS EN UNA CIRCUNFERENCIA Si consideramos un móvil que parte del punto P, tiene dos maneras de seguir una trayectoria circular: una, en sentido horario; y otra, en sentido antihorario. Veamos P P arco arco negativo positivo sentido sentido horario antihorario Considerando que son dos sentidos opuestos, le asociaremos un signo a cada arco generado: arco dirigido en sentido horario es negativo, y, arco dirigido en sentido antihorario es positivo. ARCO EN POSICIÓN NORMAL Considerando un plano cartesiano y una circunferencia con centro en el origen de coorde- nadas, denominaremos arco en posición normal al arco dirigido cuyo origen coincide con el punto de intersección de la circunferencia con el lado positivo del eje X YA Y4 b>0 b origen de arcos X 0 X 0 origen de arcos a20 TRIGONOMETRÍA ARCO EN POSICIÓN NORMAL EN LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Un arco en posición normal en la C. T. tiene la particularidad de que es, numéricamente, igual al ángulo central en radianes. YA YA = rad 1 X 1 X α rad a=α Observando la ubicación del extremo del arco podemos determinar el cuadrante al que pertenece. Por ejemplo : : YA 2π 3 C.T. C.T. C.T. 2π 3 rad X X X rad -2 rad -2 IIIC 2π E IIC -2 E IIIC 3 CIRCUNFERENCIA NUMÉRICA Una recta numérica la podemos envolver en una circunferencia unitaria de diversas maneras; elegiremos una en particular : YA YA 2 YA 2 C.T. 1 2 1 1 0 0 0 X X X -1 -1 -1 -2 lu -2 -2 -2JORGE QUISPE R. 21 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Si seguimos envolviendo infinitamente toda la recta numérica, obtendremos : YA 2 números -4 1 positivos 3 0 -3 X 4 -1 -2 números negativos Observe cómo han quedado posicionados los números sobre la circunferencia : los números positivos y negativos están superpuestos. UBICACIÓN DE UN REAL EN LA CIRCUNFERENCIA Se procede en forma similar a como se ubican los números reales en una recta numérica, pero en el caso de la circunferencia numérica utilizaremos arcos dirigidos. EJEMPLO : EJEMPLO : Ubicar al número 3,5 Ubicar al número 2 En una recta numérica sería así : En una recta numérica sería así : 0 3,5 -2 0 En la circunferencia numérica : En la circunferencia numérica Y YA C.T. 0 0 X X 3;5 -2 C.T.22 Observación Los números 0, , ± π 2 , ± π , 2 y son bastante útiles para ubicar números reales en la circunferencia numérica. YA Y -4,71 C.T. C.T. ≈ -6,28 ≈ -3,14 0 -1,57 EJEMPLOS : YA YA C.T. 2 -5 C.T. 1 -4 3 -6 0 6 X 0 X -3 4 -1 5 -2 Ubicar en la circunferencia numérica a los números reales x tal que: a) YA t C.T. x 2 C.T. 61 -4 40 X X X C.T. -2 N/A x V 4JORGE QUISPE R. 23 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Observación En los puntos de intersección de la circunferencia numérica con los ejes se encuentran los números : Y ... 2 2 2 2 C.T. X 2'2'2'2 Lo que es equivalente a : YA C.T. 2kπ+π 2kπ (donde: k E Z) X Observación Cada punto de la C.T. tiene un comportamiento dual : 1. Como punto del plano cartesiano , 2. Como punto de la circunferencia numérica YA YA P(x;y) P y P(Θ) x X X X C.T. C.T. C.T.24 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES Como ya hemos visto, la C.T. es el nexo que nos permite establecer una relación entre los números reales y los ángulos en posición normal. Dicha relación se expresa en la coincidencia numérica entre el arco dirigido y el respectivo ángulo en posición normal : R a a rad a X 2 C.T. 1 0 -1 Basándonos en la mencionada relación introduciremos la siguiente definición (para todo número real "a" permitido) EJEMPLOS : * * * REPRESENTACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Representaremos las razones trigonométricas de números reales mediante segmentos dirigi- dos. Para cumplir este propósito tengamos en cuenta que los números reales se pueden identificar con arcos dirigidos de la C.T., como lo hemos señalado anteriormente; por eso, en las definiciones, haremos referencia a dichos arcos. REPRESENTACIÓN DEL SENO El seno de un arco es la ordenada del punto extremo del arco. YA P(a;b) sen ( rad ) = ordenada 1 radio vector I b rad sena b X sen α 1 X C.T. b = sena C.T.JORGE QUISPE R. 25 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA EJEMPLOS : YA YA YA 2π C.T. 8 P(a;sena) 3 3 X senß C.T. 4 C.T. EJERCICIO : YA C.T. En la figura mostrada, hallar el área de la región sombreada. X Resolución base altura A = YA somb 2 C.T. 1 sen Θ I A = somb 2 1 Como : X I sen I = sen Θ sen A = Rpta. somb 2 REPRESENTACIÓN DEL COSENO El coseno de un arco es la abscisa del punto extremo del arco. abscisa a P(a;b) cos ( α rad ) = I radio vector cosa 1 α rad a α = a X 1 C.T. C.T. a = cosa26 CUZCAN EJEMPLOS : YA C.T. 2π a 3 P(cosa;b) cos 3 X X cosß B C.T. 4 C.T. YA EJERCICIO : En la figura mostrada, hallar el área de la α región sombreada. X Resolución A somb = YA OB PH OA OB A somb + 2 2 B C.T. P H A = somb + α 2 2 Como 1 A X I α = α A = somb 2 Rpta. Observacións En una C.T., el extremo de un arco "α" tiene por coordenadas a ( COS ; sena). Además : YA Si P ( ; sen ) E +y 2 = 1 a P(cosa;sena) X =JORGE QUISPE R. 27 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA YA EJERCICIO : : C.T. En la figura mostrada, calcular la longitud de Q PQ. P Resolución Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos : C.T. Q(-1;0) X 1 Rpta. EJERCICIO : En la C.T. mostrada, calcular el área de X la región sombreada. Resolución Recordemos que son los vértices de un triángulo, el área S de éste se obtiene mediante el siguiente procedimiento : YA i) Se elige un punto de partida. Por ejemplo, puede ser: ii) Se cogen los vértices siguiendo el sentido antihorario y se ordenan las coordenadas en forma vertical. 0 (Ojo : la última fila debe ser el punto de partida; en nuestro ejemplo es y₂ y₁ iii) Se efectúan multiplicaciones en dia- gonal, tal como se muestra. Luego (+) (+) y₂ se suman los productos de cada co- M N lumna.28 TRIGONOMETRÍA iv) Se aplica la fórmula : N-M S = 2 Apliquemos : YA C.T. -1 cosß senß -cosß 0 -1 0 -senß 0 (-1;0) -1 0 1 1 (0;-1) A = A = somb somb 2 2 REPRESENTACIÓN DE LA TANGENTE La tangente de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la prolongación del radio 0 diámetro, que pasa por el extremo de dicho arco, y la recta tangente que pasa por el origen de arcos. ordenada YA tg = abscisa YA Eje de P(a;b) (I) tangentes 161 α rad 1 Por semejanza de : a X 161 X = a 1 tga C.T. b C.T. b = = 1 p (1;p) a En (I) : EJEMPLOS : Y4 YA 2π 3 tg C.T. C.T. α C.T. X X 4 (1;tga)JORGE QUISPE R. 29 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA YA EJERCICIO : C.T. Calcular el área de la región sombreada. Resolución Y4 base altura A 1 somb. 2 C.T. A = somb. 2 X Como30 TRIGONOMETRÍA EJERCICIO : Calcular el área de la región sombreada. X Resolución AP PB YA A = somb. 2 A 1 P A = somb. 2 1 *JORGE QUISPE R. 31 CIRCUNFERENCIA EJEMPLOS : YA YA C.T. α secß sec X (seca;0) seca ß 7π C.T. 4 EJERCICIO : T En la figura se muestra una C.T.; Θ calcular el perímetro de la región sombreada sabiendo que T es X punto de tangencia. Resolución T (I) Θ p Aplicando el T. de Pitágoras : 1 X C.T. Reemplazando en (I) : =32 TRIGONOMETRÍA REPRESENTACIÓN DE LA COSECANTE La cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección entre el eje de ordenadas y la recta tangente en el extremo del arco. radio vector CSC ( rad ) = ordenada YA Eje de YA cosecantes (0;n) 1 CSC α (I) = b P(a;b) a Por semejanza de : 1 α rad 1 X = X 161 1 C.T. 1 n 1 C.T. = = n b 1 b En (I) : n = EJEMPLOS : YA YA CSC π 6 (0;csc a) 2π 3 2π C.T. C.T. CSC π 3 6 X X X C.T. π 7π 4 4 CSC CSC EJERCICIO : YA En la figura mostrada, calcular el perímetro de la región sombreada, T sabiendo que T es punto de tangen- cia.JORGE QUISPE R. 33 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Resolución Perímetro = 1 + q + CSC I ... (I) YA C.T. Aplicando el T. de Pitágoras : I CSC 2 = CSC 2 = 1 + q 1 X T q cscß Reemplazando en (I) : Perímetro = 1+ I ctg ß I + I CSC ß I ctg β > 0 Como csc βCUZCAN 34 TRIGONOMETRÍA EXTENSIÓN DE VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES EXTENSIÓN DE VALORES DEL SENO EJERCICIO : Hallar todos los valores de sen si 2 π ≤JORGE QUISPE R. 35 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Hay un error que a veces se comete en este tipo de problemas, el estudiante sólo analiza el valor del seno en los extremos del intervalo : YA AIR π 4 3 3 2 Llegando a la conclusión de que: X sen Θ V jerror! 2 2 2 5π 2 4 C.T. Dicho de otra manera, el error consiste en haber considerado otros senos de otros arcos comprendidos en el intervalo dado, por ejemplo: (compare con la resolución correcta indicada anteriormente). EJERCICIO : Hallar los valores de si 0 ≤ sen Rpta. 3 336 TRIGONOMETRÍA YA TEOREMA : 1 Ubicando a todos los números reales "α" en la circunferencia numérica, vemos que coinci- den con todos los puntos de la C.T. Luego, la sena ordenada, que representa a sen α , puede X adoptar cualquier valor entre 1 y 1, in- cluyendo a éstos. C.T. -1 Observaciones 1. : ≤ ≤ 2. YA 1 (2k+1)π 2kπ X sen( 4k+ = 1 -1 C.T. sen( 4k+ 3 = - 1 2 EJERCICIO : Calcular el mínimo valor de : E = sen² α Resolución Asumimos que y ß son independientes entre sí. mín. mín. máx. Sabemos que : 0 ≤ sen 2 α 1 , ≤ ≤ Rpta.JORGE QUISPE R. 37 TRIGONOMÉTRICA EJERCICIO : Si sen hallar los valores de Resolución Sabemos que: sen = 0 , Luego, si , k π Θ = 2 , Rpta. EJERCICIO : Si hallar los valores de ß. Resolución Sabemos que : sen = 1 , 3 = 4k + π 2. , π = (4k+1) 6 , Rpta. EXTENSIÓN DE VALORES DEL COSENO EJERCICIO : π Hallar todos los valores de cos α , si π ≤ α38 EJERCICIO : Hallar los valores de si ≤ , 2 π Resolución 2 Representando a los valores 6 0 cos Rpta. 6 2 2 6 TEOREMA : IR : ≤ 1 YA C.T. Ubicando a todos los números reales "α" en la circunferencia numérica, vemos que coinci- den con todos los puntos de la C.T. Luego, la -1 1 abscisa, que representa a α, puede adop- X tar cualquier valor entre - 1 y 1, incluyendo a éstos. -1 cosa 1 IRJORGE QUISPE R. 39 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 1. ≤ VI VI 2. Siendo (2k+1)π -1 1 2kπ X 2 cos C.T. cos ( 4k + 3 2 EJERCICIO : Calcular el máximo valor de Resolución Asumiendo que y Θ son independientes entre sí. máx. máx. mín. mín. Sabemos que: ≤ ≤ , 1 ≤ 3 ≤ 1 , ≤ ≤ 1 E = 2 Rpta. Calcular los valores de si cos 3x = 0 Resolución Sabemos que : cos ( 2k + = 0 , x = 640 TRIGONOMETRÍA EXTENSIÓN DE VALORES DE LA TANGENTE EJERCICIO : Hallar los valores de tg , si 4 π ≤JORGE QUISPE R. 41 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA42 TRIGONOMETRÍA EXTENSIÓN DE VALORES DE LA COTANGENTE EJERCICIO : Hallar los valores de ctg si 0JORGE QUISPE R. 43 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 1. 2. Siendo k E I : 0 IR Y Observe que : ctg (kπ) no está definida (2k+1)π X Es decir : C.T. ctga está definida si α # EXTENSIÓN DE VALORES DE LA SECANTE EJERCICIO : Hallar los valores de sec , siCUZCAN 44 TRIGONOMETRÍA Proyectando los valores de las secantes en una recta numérica paralela al eje X, podemos visualizar con mayor facilidad que : Es decir : V ) 8 8 Rpta. TEOREMA : seca V seca ≥ 1 , IR { 2 / k E Ubicamos a todos los números reales B excepto los que están en B y B' (porque en ellos no están definidas las secantes). Luego, al representar todas las secan- X tes vemos que cubren toda la recta numérica excepto el intervalo B' -00 seca -1 1 seca Dicho de otra manera : Observaciones 1. , α ≥ 1 sec α ≤ - 1 V sec 2. Siendo YA sec( = 1 C.T. -1 1 Observe que : (2k+1)π X no está definida Es decir : -1 1 IR sec α está definida, si 2JORGE QUISPE R. 45 TRIGONOMÉTRICA EXTENSIÓN DE VALORES DE LA COSECANTE EJERCICIO : Hallar los valores de CSC , si α E 3 4 π 4 {π} Resolución Ubicando a los valores de α en la cir- csca cunferencia numérica, trazamos las cosecantes de algunos arcos pertenecien- tes al intervalo dado (notemos que no se puede determinar CSC π). C.T. Proyectando los valores de las cosecan- 4 tes en una recta numérica paralela al α π X eje Y. podemos visualizar fácilmente 5π que : 4 CSC46 TRIGONOMETRÍA 1. , CSC + ≤ 1 CSC a ≥ 1 2. Y IR C.T. 2 1 csc( 1 2 1 Notemos que : (2k+1)π 2kπ X CSC no está definida -1 Es decir : -1 está definida, si # kπ VERSO El verso senoverso de un arco , denotado por vers α , se define así : versa = 1 cosa , El verso de un arco se puede representar mediante un segmento dirigido en el eje X que parte del punto cuya abscisa es el coseno de dicho arco hacia el origen de arcos. YA YA YA C.T. versa vers4 A X A A X C.T. C.T. π 4 3 vers = 1 cos vers vers 4 = 1 cos 4 TEOREMA : :JORGE QUISPE R. 47 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA COVERSO El coverso o cosenoverso de un arco α, denotado por α , se define así = 1 El coverso de un arco se puede representar mediante un segmento dirigido en el eje Y que parte del punto cuya ordenada es el seno de dicho arco hacia el punto (0;1). YA (0;1) (0;1) (0;1) a cova 5π cov 6 X 5π 6 C.T. C.T. C.T. π π 5 π cov = 1 sen α = 1 sen = 1 sen 3 3 6 6 TEOREMA EX-SECANTE La ex-secante secante externa de un arco α , denotado por exsec , se define así: = seca - 1 , E IR { 2k + 1) / k E 2 La exsecante de un arco se puede representar mediante un segmento dirigido en el eje X que parte del origen de arcos haciá el punto cuya abscisa es la secante de dicho arco. YA YA 1 exseca A A A C.T. C.T. C.T. π 3 exsec = sec 1 exsec TEOREMA : exsec α V exsec ≥ 0 , E IR 2CUZCAN 48 TRIGONOMETRÍA PUNTOS DE EQUILIBRIO Denominaremos puntos de equilibrio a aquellos arcos 0 números reales donde la r.t. y su respectiva son iguales. Tenemos dos casos : i) PUNTOS DE EQUILIBRIO EN VALOR RELATIVO El equilibrio entre los valores relativos de una r.t. y su respectiva r.t. se produce sólo en 4 π , 4 , y sus coterminales; y para el caso de la tangente y cotangente, inclusive en 3 4 π , 4 , y sus coterminales. PARA SENO Y COSENO YA sen C.T. π cos 4 5π X sen 4 5π sen 4 4 i.2 PARA SECANTE Y COSECANTE YA C.T. π 4 X 5π 4 sec CSCJORGE QUISPE R. 49 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA i.3 PARA TANGENTE Y COTANGENTE YA = 4 π 4 3π 5π 4 7π 4 C.T. NOTA Los demás puntos (aquellos que son distintos de los mencionados para cada caso) son de desequilibrio, es decir, son arcos donde la r.t. y su respectiva co-r.t. son distintas; por ejemplo : YA π senß > cosß cosß 4 sena cosy 4 δ50 ii.1 PARA SENO Y COSENO YA sen 3π π 4 4 pero sen X 5π 7π sen 4 4 sen C.T. pero sen ii.2 PARA SECANTE Y COSECANTE YA pero : sec 3π 4 CSC 4 3π 4 π 4 X 4 7π 5π 4 4 sec C.T. pero sec ii.3 PARA TANGENTE Y COTANGENTE Y4 4 π 4 X tg 5π 4 7π 5π 4 = ctg 5π 4 4 C.T.JORGE QUISPE R. 51 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA NOTA Los demás puntos (aquellos que son distintos de π , , 7π , y 4 4 4 4 todos sus coterminales) son de desequilibrio en valor absoluto; por ejemplo : Y π 4 4 cosa α sena al X a |senb| |cosa| 5π |cosb| 7π cosb 4 pero: sena > cosa pero: senbENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA PROBLEMA 4 Determinar los símbolos que deben estar en En la circunferencia trigonométrica (ver los espacios en blanco : figura), se plantea que los valores de los seg- mentos dirigidos indicados son : = I. sen 2 cos 3 0 II. cos 4 sen 5 0 ... ¿Cuáles de éstos son los correctos? III. sen 6 cos 7 ... YA B) C) (a;b) hallar los signos de : (e;f) X sen α cos , sen α γ , cos cos (g;h) B) C) 1JORGE QUISPE R. 53 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA PROBLEMA 6 YA En la figura se muestra una circunferencia trigonométrica. ¿Cuál de las alternativas no es verdadera? YA X b A) sen B) 1 sen 2 d 3 sen D) 5 sen cos 2 2 A) sen C = sen C)b>d PROBLEMA 9 (ler Sem. CEPRE-UNI 99-1) En el gráfico adjunto, halle el área de la región sombreada. PROBLEMA 7 Calcular el área de la región sombreada D C 0 A A C.T. X B α A) ctg B) C) 2 + ctg D) E) PROBLEMA 10 (ler Sem. CEPRE UNI 2000-2) A) 1 sen α B) 1 cos α 2 2 En la circunferencia trigonométrica mos- trada, hallar el área de la región sombreada C) y el valor del ángulo ß, si se conoce que las 2 coordenadas del punto P son D) 1 sen cos α YA 2 S T E) 1 sen α cos P 2 PROBLEMA 8 En la C.T., mostrada en la figura, calcular R el área de la región sombreada.