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Resumen Estadistica
❖ Estadística: la ciencia que tiene como fundamento a la teoría de la
probabilidad. Conjunto de métodos que se utilizan para transformar datos en
información.
❖ Estadística descriptiva: Realizar descripciones numéricas y gráficas a partir de
los datos obtenidos de la muestra
❖ Inferencia estadística:
➢ Analizar los datos y elaborar conclusiones respecto de la población.
➢ Testar las hipótesis planteadas
❖ Población estadística: la totalidad de elementos, personas/objetos/hechos, sobre
los cuales se desea reunir información y estudiar un tema particular.
[efectuar inferencias a partir de una muestra estadística.]
➢ Se debe especificar todas las características y condiciones que la
definan en forma clara, inequívoca.
❖ Muestra: el subconjunto de una cierta población.
➢ la forma en que haya sido extraída de la población posibilita o no la
realización de inferencias estadística válidas.
➢ Se requiere que la muestra sea aleatoria, (probabilística), sido extraída de
la población por un procedimiento de azar.
❖ Estadísticos: valores numéricos que resumen los datos de una muestra.
➢ Si los valores resumen los datos de toda una población, se los denomina
“parámetros”
❖ Objetivo de análisis: aquello que se quiere conocer, incluye las hipótesis de
trabajo que especifican lo que se espera encontrar.
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Muestras probabilísticas:
➢ Muestreo aleatorio simple:
○ Cada elemento de población tiene la misma probabilidad de ser elegido.
○ Consiste en seleccionar n elementos entre N que componen la población
(ncomo el promedio de los valores de la variable.
Formula abreviada:
: el símbolo de “sumatoria”
Ej: el puntaje de coeficiente intelectual de 5 estudiantes de una carrera.
95; 110; 105; 125; 100.
▪ Si estos coeficientes representaran una muestra (hay más de 5 estudiantes en la carrera),
el resultado que surge es una media muestral de 107 (que se simboliza con x̅).
▪ Si los coeficientes corresponden a la totalidad de los estudiantes de la carrera (hay
solamente 5), el resultado obtenido es el valor de la media poblacional (que se simboliza
con la letra griega μ).
● Cálculo con datos agrupados sin intervalos:
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○ Datos agrupados sin intervalos:
Ej: distribución de 280 familias según la cantidad de hijos en edad escolar.
Para calcular la media aritmética hay que tener en cuenta que la frecuencia indica la
cantidad de veces que aparece cada valor de la variable, es decir el valor x = 1, aparece 40
veces, porque son 40 las familias que tienen un solo hijo en edad escolar.
Aclaremos que, la fórmula para datos agrupados difiere de la de datos sin
agrupar en que, dentro del símbolo de sumatoria,
○ Datos agrupados en intervalos:
Ej: el gasto mensual en fotocopias de un grupo de estudiantes universitarios.
Primero, se busca la “marca de clase (o punto medio)” de cada intervalo:
Segundo, se procede tomando como valor de variable el punto medio.
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Este promedio es una aproximación porque, al tomar como valor de x la marca de
clase, estamos resumiendo toda la información del intervalo en un solo punto. Si el intervalo
tiene un módulo (amplitud) pequeño, la aproximación será mejor que la que se obtendría
con un intervalo más amplio.
★ Mediana:
○ Valor de variable que se ubica en el centro de los datos ordenados.
○ Deja por debajo suyo 50% de los datos inferiores y por arriba 50% de los
datos superiores
Con datos sin agrupar
Ej: los puntajes de coeficiente intelectual de 5 estudiantes.
Primero, se ordenan los datos.
95; 100; 105; 110; 125
Segundo, se ubica la posición central (orden de la mediana) con la fórmula.
n= 5, la posición central [(5+1)/2=3], la mediana se ubica en el tercer lugar.
95; 100; 105; 110; 125
➔ Si el número de datos es par. La mediana se obtiene de la misma manera, el valor
de la mediana será el promedio de dos valores centrales.
Ej: 95; 100; 103; 105; 110; 125
el orden de la mediana es [(6+1)/2 = 3,5]
95; 100; 103; 105; 110; 125
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Con datos agrupados
Datos agrupados sin intervalo
Ej: la distribución de las 280 familias según el número de hijos en edad escolar
Primero, los datos ya están organizados.
Segundo se halla la mediana. [(280+1)/2=140,5], las posiciones son 140 y 141.
Tercero, se debe ubicar el orden 140,5, en la columna de frecuencias acumuladas. Las
primeras 40 posiciones corresponden al valor de variable x = 1; luego al sumar 40 + 70,
llegamos a la posición 110; esto significa que los 110 primeros datos acumulados
corresponden a los valores 1 y 2 de la variable. Aún no se llegó al dato ubicado en la
posición 140. Sumamos, entonces, los 150 siguientes y llegamos a la posición 260; en
consecuencia, las posiciones 140 y 141, se encuentran incluidas. Por lo tanto, el valor de la
variable ubicado en el orden 140,5 es x = 3.
[en este caso la mediana es 3, eso significa 50% de estas familias tiene, como máximo, 3
hijos]
Datos agrupados en intervalos
Ej: distribución de los 40 estudiantes según el gasto mensual en fotocopias.
Primero, los datos ya están ordenados.
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Segundo, se busca el orden de la mediana que en este caso su fórmula es:
(Md)= n/2
En este caso sería 40/2=20, esta será la posición de la mediana. Entre 500-550.
Tercero, se calcula el valor de la mediana son la siguiente fórmula:
★ Modo (o Moda)
○ El valor o categoría de la variable que tiene mayor frecuencia.
○ Indica lo que más ocurre o lo que más probable que ocurra.
Datos sin agrupar
Ej: edades de un grupo de postulantes en un puesto de trabajo.
28, 30, 32, 25, 30, 28, 34, 30, 30, 25, 30
Fácilmente reconocemos que el valor 30 es el que más aparece, el modo es 30 [la mayoría
de los postulantes tienen 30 años]
Datos agrupados
Datos agrupados sin intervalos
Ej: la distribución de las 280 familias según la cantidad de hijos en edad escolar.
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Observando podemos ver que la mayor frecuencia es 150 y corresponde a x=3; la mayoría
de estas familias tienen 3 hijos cada una.
Datos agrupados en intervalos
Ej: distribución de los 40 estudiantes según el gasto mensual en fotocopias.
Primero, observamos que la distribución es “monomodular”= todos los intervalos tienen
el mismo módulo o amplitud. Es 50 para todos los intervalos.
Segundo, se busca la mayor frecuencia, en este caso es 11 y corresponde al intervalo
[500;550].
Tercero, como son datos cuantitativos agrupados en intervalos la fórmula es:
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En datos agrupados se busca en la F ACUMULADA, datos sin agrupar me fijo en la
POSICIÓN
Cuartiles
❏ Se trabaja con los datos ordenados de menor a mayor.
❏ Dividen la distribución en cuatro grupos iguales:
❏ Para determinar la posición del cuartil de orden “k” (representa el número del
cuartil), se calcula:
Ej para datos sin agrupar:
Para los siguientes datos: 2-2-3-4-4-4-5-7-8-8-9, se quiere calcular el tercer cuartil=
[k= a 3 ya que es el número de cuartil que te pide.]
Entonces Q3 es 8 ya que es el valor que ocupa la posición 9.
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Deciles
❏ Dividen la distribución en diez grupos iguales.
❏ Se ordenan de menor a mayor.
❏ Para determinar la posición del decil de orden k se calcula:
Percentiles
❏ Dividen la distribución en 100 grupos iguales.
❏ El percentil número 50 coincide con: la mediana, el decil 5 y el cuartil 2.
Ej: el percentil 35 es el que deja por debajo el 35% de los datos.
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❏ Para determinar la posición del percentil de orden k se calcula:
★ Medidas de dispersión/variabilidad.
○ Miden la concentración de los datos con respecto a las medidas de tendencia
central.
○ Variación entre datos.
○ Promedio.
Ej: notas entre dos comisiones
1ra comisión notas= 6, 7, 5, 6, 7, 7, 5…
2da comision= 2, 10, 10, 2, 4, 2, 9...
Promedio entre ellas= 7 pero:
1ra comision= homogenea, pareja.
2da comisión= mayor variabilidad.
[Campo de variabilidad= indica entre qué valores se encuentran las observaciones]
Medidas descriptivas:
● Permiten caracterizar una población o muestra.
● Desvio estandar.
● Amplitud.
● Coeficiente de variación.
● Variable cuantitativa.
● Tienen dispersión/variabilidad= distancia (concentrada/dispersa).
Datos sin agrupar
➢ Amplitud = (diferencia entre valor > y mayor/ homogeneidad, es el +
parejo.
[s= desvio estándar]
Ej: de 2 grupos
{menor variabilidad, más homogénea.}
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Datos agrupados
Ej:
Desvío estándar
Para ello necesito la media
Varianza
Se necesita que los número sean enteros
No se puede considerar 1 sola vez si me dicen (por ejemplo) fue hasta 3 veces.
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Interpretacion
En este caso, las 15 notas me dieron un promedio de 5,47(5,5) y un desvío de 2,45
Entonces, con respecto al promedio de notas (5,5) las notas de los 15 exámenes varían
hacia arriba y hacia abajo de 2,45.
Rango intercuartílico
= longitud de segmentos que soportan el 50% central de los datos. La distancia que existe
entre el Cuartil 3 y el cuartil 1. Se calcula como la diferencia entre estos dos cuartiles.
Regresion y Correlacion
★ Trataremos ahora distribuciones que tienen dos variables; dos características en
cada elemento de la muestra.
★ Queremos estudiar la relación entre ambas variables = COVARIACIÓN.
○ En la vida diaria se presentan situaciones en las que ciertas variables se
mueven con una sincronización más o menos intensa. [Queremos analizar el
comportamiento conjunto de ellas].
Gráfico de dispersion
➔ Primer acercamiento al análisis de la covariación podemos hacerlo utilizando un
gráfico = Diagrama de Depresión.
◆ Ej: [estos datos nos permiten armar un gráfico, que nos orienta a suponer si
existe relación entre las variables].
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★ Cada valor de la tabla se representa con un punto:
○ Si en el eje X (abscisas) se representan las estaturas.
○ En el eje Y (ordenadas) los pesos corporales.
★ Cada punto corresponde a la estatura y el peso corporal de una misma paciente.
➔ Se dice que la relación es lineal.
◆ El método gráfico de análisis de covariación es limitado; no obstante
puede dar una idea y ayudar a descubrir el tipo de relación existente
entre dos variables y algunas otras características.
Ej (distintos diagramas de dispersión):
➔ Clara relación lineal, que es positiva: cuando una variable aumenta, la otra
también.
➔ La relación es lineal positiva y perfecta: ambas variables crecen y además, los
puntos están alineados.
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➔ No hay relación: las variables de una variable no se relacionan con las variables de
la otra.
➔ Clara relación, pero que no es lineal. Se habla de una relación curvilínea o no
lineal.
➔ Relación lineal perfecta, pero negativa: al aumentar una variable, la otra
disminuye.
➔ Es una relación lineal y negativa.
★ Además de contar con el método gráfico, la covariación se estudia analiticamente
mediante otros dos métodos: la correlación y la regresión.
○ En la regresión se busca una expresión matemática que expresa la
covariación.
○ En la correlación se busca un número que sirva de indicador del grado de
covariación entre las dos variables.
\
Coeficiente de correlación lineal
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★ Correlación: Medida de la intensidad de la relación entre variables.
Mediante la fórmula, conocida como coeficiente de Pearson, obtenemos un número que
se llama coeficiente de correlación lineal, simbolizado con la letra R.
Este coeficiente mide el grado de la relación lineal entre las dos variables consideradas.
r= siempre es un valor entre -1 y 1
➢ Cuando r es -1 o 1 la relación es funcional, es decir, el valor de una de las variables
se determina con seguridad a partir de la otra.
➢ Si r = 1 indica una correlación positiva perfecta.
➢ Si r = -1 indica una correlación negativa perfecta.
➢ Si r = 0 indica que no existe correlación lineal, pudiendo existir otro tipo de
relación no lineal entre las variables.
➢ Si las variables son independientes, el coeficiente de correlación lineal será 0; pero
un r = 0 no implica independencia.
Ej:
Las variables X e Y representan el puntaje de un test de comprensión lectora y la
calificación promedio del primer año de estudios universitarios
Entonces, reemplazando en la fórmula:
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➔ Este resultado indica una correlación alta y positiva entre las variables nivel de
comprensión lectora y calificación promedio del primer año de estudios
universitarios.
Coeficiente de determinación
➔ Se define coeficiente de determinación como el cuadrado del coeficiente de
correlación lineal.
➔ Este coeficiente determina el porcentaje de la variación de la variable “Y” que está
siendo explicada por la variable X mediante el modelo que las vincula.
➔ Obtuvimos r = 0,78, entonces r² = 0,61.
¿Cómo interpretamos este resultado?
❖ El 61% es la representatividad o bondad que tiene el modelo lineal para explicar la
relación entre la comprensión lectora y la calificación promedio; es decir, la variación
en la calificación promedio del 1er año de estudios universitarios queda explicado en
un 61% por la variación en el puntaje de comprensión lectora.
Regresión
Diagrama de dispersión en el ejemplo
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● La ubicación de los puntos en el diagrama de dispersión nos lleva a pensar que hay
una relación lineal entre los datos de las dos variables.
● Podemos ver que a medida que aumenta el puntaje de comprensión lectora,
mayor es la calificación promedio.
Decimos, entonces, que esta relación es positiva o directa porque Y tiende a crecer
cuando crece X.
● También se observa que los puntos están concentrados a lo largo de una línea ideal
creciente.
● En el ejemplo que hemos considerado, correspondiente al caso de dependencia
causal unilateral, a pesar de que la comprensión lectora afecte en alguna medida la
calificación promedio, al registrar las observaciones, se obtendrán varios valores de
la calificación promedio con respecto a un valor de la variable comprensión lectora.
● Aunque estos valores difícilmente se ajusten con exactitud a una función
determinada, puede ocurrir que los datos se encuentren “concentrados” alrededor de
una línea o simplemente muestran una tendencia lineal más o menos dispersa.
★ El propósito es encontrar una línea “ideal” que mejor se ajuste a los valores
medidos de las observaciones realizadas, con la cual se puede estimar una
dependencia exacta entre las dos variables y condensar la nube de puntos. Esta
línea se denomina recta de regresión.
➔ Este diagrama de dispersión o nube de puntos tiene una clara evidencia lineal y la
idea es encontrar la función que la representa.
➔ Dado que se trata de una relación lineal, utilizaremos la ecuación de la recta:
y* = a + bx.
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➔ Esta función tiene categoría de “valor medio” porque la línea ideal es el valor
medio.
➔ Para determinar la recta se aplica un método llamado método de los mínimos
cuadrados.
➢ Este método proporciona valores numéricos para los coeficientes de la recta,
es decir, para a y b.
➢ Su determinación exige la condición de que la suma de todos los errores
elevados al cuadrado sea mínima.
■ Aclaremos: llamamos error a la diferencia entre el valor de y
observado y el valor de y estimado por la recta, entonces, e = y - y*
Punto de vista matematico Punto de vista estadístico
Desde el punto de vista matemático, b es la
pendiente de la recta de regresión y a es la
ordenada al origen, es decir, el valor de y
cuando x es igual a cero.
● Si b > 0, la recta tiene pendiente creciente.
● Si b