Problema 6. (a) Calcular la integral ZZZ A √ x2 + y2 + z2 e−(x 2+y2+z2) d(x,y,z) donde A = {(x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6 1}. (b) Calcular ZZ D ex+...

Solución (a)

La integral se puede calcular utilizando el cambio de variables

x = r cos θ sin φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos φ

donde (r,θ,φ) son coordenadas esféricas. En estas coordenadas, la región A se transforma en la esfera unidad, y la integral se convierte en

∫_0^1 ∫_0^{2π} ∫_0^1 r √r2 e−r2 dr dθ dφ

Podemos integrar primero en r, obteniendo

∫_0^1 ∫_0^{2π} ∫_0^1 r √r2 e−r2 dr dθ dφ =
∫_0^{2π} ∫_0^1 e−r2 dr dθ

Podemos integrar ahora en θ, obteniendo

∫_0^{2π} ∫_0^1 e−r2 dr dθ =
∫_0^1 e−r2 dr

La integral final es

∫_0^1 e−r2 dr = 1

Por lo tanto, la respuesta es

∫_A √x2 + y2 + z2 e−(x2 + y2 + z2) d(x,y,z) = 1

Solución (b)

La integral se puede calcular utilizando el cambio de variables

x = r cos θ
y = r sin θ

donde (r,θ) son coordenadas polares. En estas coordenadas, la región D se transforma en el cuadrado unidad, y la integral se convierte en

∫_0^1 ∫_0^2 π e^r cos θ + r sin θ dθ dr

Podemos integrar primero en θ, obteniendo

∫_0^1 ∫_0^2 π e^r cos θ + r sin θ dθ dr =
2 ∫_0^1 e^r dr

Podemos integrar ahora en r, obteniendo

2 ∫_0^1 e^r dr = 2e

Por lo tanto, la respuesta es

∫_D e^x + y d(x,y) = 2e