El primer lema dice que si dos elementos de A están relacionados por una relación de equivalencia R, entonces sus clases de equivalencia son las mi...

El primer lema dice que si dos elementos de A están relacionados por una relación de equivalencia R, entonces sus clases de equivalencia son las mismas. Lema 8.3.2 Suponga que A es un conjunto, R es una relación de equivalencia sobre A y a y b son elementos de A. Si a R b, entonces [a] [b]. Este lema dice que si se cumple una condición dada, entonces [a] [b]. Ahora [a] y [b] son conjuntos y dos conjuntos son iguales si y sólo si, cada uno es un subconjunto del otro. Por tanto, la demostración del lema consta de dos partes: primera, una demostración de que [a] [b] y segunda, una demostración de que [b] [a]. Para demostrar la relación de cada subconjunto, es necesario demostrar que cada elemento en el conjunto de la izquierda es un elemento del conjunto de la derecha. Demostración del lema 8.3.2: Sea A un conjunto y sea R una relación de equivalencia sobre A y suponga que a y b son elementos de A tales que a R b. [Debemos demostrar que [a] [b].] Demostración de que [a] [b]: Sea x [a]. [Debemos demostrar que x e [b].] Ya que x [a] entonces x R a por definición de clase. Pero a R b por hipótesis. Así, por transitividad de R, x R b. Por tanto x [b] por definición de clase. [Esto es lo que se quería demostrar.] Demostración de que [b] [a]: Sea x [b]. [Debemos demostrar que x [a].] Puesto que x [b] entonces x R b por definición de clase. Ahora a R b por hipótesis. Así, también puesto que R es simétrica, b R a Entonces, puesto que R es transitiva y x R b y b R a, x R a. Por tanto, x [a] por definición de clase. [Esto es lo que se quería demostrar.] Puesto que [a] [b] y [b] [a], por lo que se deduce que [a] [b] por definición de igualdad de conjuntos.