9.6 Proposición. Una función holomorfa en un dominio cuya derivada es nula en todo punto es constante.
9.7 Corolario. Si dos funciones holomorfas tienen la misma derivada sobre un dominio y coinciden en un punto son iguales.
La siguiente proposición vuelve a poner de manifiesto que la condición de que una función sea holomorfa es mucho más restrictiva que la derivabilidad real.
9.8 Proposición. Sea Ω un dominio y f ∈ H (Ω). Equivalen las siguientes afirmaciones:
(I) Re f es constante en Ω
(II) Im f es constante en Ω
(III) La función compleja conjugada de f , f̄ , es holomorfa en Ω
(IV) f es constante en Ω
(V) | f | es constante en Ω
Observa que estas propiedades de las funciones holomorfas están muy lejos de ser ciertas para funciones reales diferenciables. Por ejemplo, dada una función de R2 en R2 diferenciable que no se anule nunca, dividiéndola por su norma obtenemos una función diferenciable cuyo módulo (norma euclídea) es constante.
Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja
Series de potencias complejas 134
2) La serie converge absolutamente para todo z∈C.
3) Hay un número 0 < R < +∞ tal que la serie converge absolutamente en D(a,R) y no converge para |z−a| > R. El disco D(a,R) se llama disco de convergencia de la serie.
Al número R se le llama radio de convergencia de la serie. En el caso 1) convenimos en que R = 0 y en el caso 2) R = +∞.
Dada una serie de potencias no trivial, llamaremos dominio de convergencia de la serie al conjunto
Ω = C si R = +∞
Ω = D(a,R) si R∈R+
Para obtener el radio de convergencia de una serie de potencias de forma práctica podemos aplicar alguno de los criterios siguientes.
9.10 Teorema (Criterio del cociente o de D’Alembert). Dada una sucesión de números complejos {cn} supuesto que
cn , 0 para todo n a partir de un índice en adelante, y que
|cn+1|
|cn|
−→ L ∈ R+
0 ∪{+∞}
entonces R = 1/L con los convenios: R = 0 si L = +∞ y R = +∞ si L = 0.
Demostración. Para obtener este resultado basta aplicar el criterio del cociente a la serie
∑n>0|cn(z−a)n|.
Tenemos ∣∣cn+1(z−a)n+1∣∣
|cn(z−a)n| = |cn+1|
|cn|
|z−a| −→ L |z−a|
Deducimos que:
Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja
Series de potencias complejas 134
Si L |z−a| < 1 la serie converge.
Si L |z−a| > 1 la serie no converge.
y concluimos que R = 1/L con los convenios anteriores. X
De forma análoga se obtiene el siguiente resultado.
9.11 Teorema (Criterio de la raíz o de Cauchy). Si { n
|cn|} → L ∈ R+
0 ∪{+∞} entonces R = 1/L con los mismos convenios anteriores.
El siguiente lema es muy útil para calcular la suma de algunas series.
9.12 Lema (de Abel). Supongamos que la serie
∑n>0cn zn converge en un punto z0 de la frontera de su disco de convergencia. Entonces se verifica que:
lı́m
r→1
0∞∑n=0cn(r z0)n =
∞∑n=0cnzn
9.13 Teorema (de derivación de una serie de potencias). Sea a un número complejo,
∑n>0cn(z−a)n
una serie de potencias no trivial y Ω su dominio de convergencia. Sea f : Ω → C la función suma de la serie, esto es,
f (z) =
∞∑n=0cn(z−a)n z ∈ Ω
Entonces f es indefinidamente derivable en Ω y para cada k∈N su derivada k-ésima se obtiene derivando k veces la serie término a término, esto es:
f (k)(z) =
∞∑n=kn(n−1) · · ·(n− k + 1)cn(z−a)n−k z∈Ω
En particular f (k)(a) = k!ck o, lo que es lo mismo
ck =
f (k)(a)
k!
para todo k∈N∪{0}
9.14 Definición. Sea f una función indefinidamente derivable en un abierto Ω ⊂ C y sea a∈Ω. La serie de potencias
∑n>0f (n)(a)
n!
(z−a)n
se llama serie de Taylor de f en el punto a.
9.15 Corolario. Las únicas series de potencias no triviales son series de Taylor (de su función suma).
El siguiente resultado es uno de los resultados más sorprendentes de la teoría de funciones holomorfas. Para que comprendas bien su alcance conviene que tengas en cuenta los siguientes ejemplos.
Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja
Series de potencias complejas 135
Una función real derivable una vez pero no dos veces derivable.
Sea f : R→ R la función dada por:
f (x) =
{−x2/2 si x < 0
x2/2 si x > 0
La función f es derivable y su derivada viene dada por:
f ′(x) =
{−x si x < 0
x si x > 0
Es decir, f ′(x) = |x|, que no es derivable en x = 0.
Una función real indefinidamente derivable cuya serie de Taylor en un punto no converge a la función.
Sea f : R→ R la función dada por:
f (x) =
{exp(−1/x2) si x < 0
0 si x > 0
La función f es indefinidamente derivable y sus derivadas en x = 0 son todas nulas,
f (n)(0) = 0 para todo n∈N. Por tanto la serie de Taylor de f en x = 0 es la serie nula. Sin embargo f no es nula en ningún intervalo abierto que contenga a 0.
El siguiente resultado nos dice que para funciones complejas derivables estas situaciones no se pueden dar.
9.16 Teorema (Teorema de Taylor). Sea Ω ⊂ C un abierto y f : Ω → C una función derivable (holomorfa) en Ω. Entonces se verifica que:
a) f es indefinidamente derivable en Ω;
b) Para cada punto a∈Ω la serie de Taylor de f en a converge por lo menos en el disco más grande centrado en a y contenido en Ω y su suma en dicho disco es igual a f . Es decir
f (z) =
∞∑n=0f (n)(a)
n!
(z−a)n para todo z∈D(a,r) ⊂ Ω
Este resultado pone de manifiesto la gran diferencia que hay entre la derivabilidad en el campo real y en el campo complejo.
Del teorema de Taylor puede deducirse el siguiente útil resultado.
9.17 Lema (Lema de Riemann). Si una función compleja es continua en un abierto y sabemos que es derivable en todos los puntos de dicho abierto excepto en un conjunto finito de puntos (en los que sólo sabemos que es continua) entonces se verifica que dicha función es derivable en todos los puntos del abierto.
Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo vectorial. Series de fourier. Variable compleja
Ejercicios 136
9.2.1. Ejercicios
1. Estudia la convergencia de las siguientes series de potencias.
a)
∑n>1zn
n!
b)
∑n>1(n + 1)n
nn+1 zn c)
∑n>1nαzn
d)
∑n>1nn
n!
zn e)
∑n>13 ·5 · · ·(3n + 1)
5 ·10 · · ·5n
zn f)
∑n>1zn
1 + 1/2 + · · ·+ 1/n
Estudia en los casos c)y f), el comportamiento de la serie en los puntos de la circunferencia unidad.
2. Expresa
1
z
como suma de una serie de potencias centrada en un punto a , 0 e indica en dónde es válida dicha igualdad.
3. Expresa
1
(1− z)3 como suma de una serie de potencias.
4. Sea la serie de potencias
∑n>0((−1)n(n + 1)2n −
n3n)
zn. Calcula su dominio de convergencia y su suma.
5. Prueba que
log(1 + z) =
∞∑n=1(−1)n+1
n
zn ∀z ∈ D(0,1)
a) Deduce que para todo θ