Integrais Aprenda tudo que você precisa

  • play_arrow 9 videos
  • subject1 Resumo
lock

Esse conteúdo é exclusivo para assinantes.

Assine o Plano Premium e tenha acesso ilimitado a todas as aulas

AssinarVeja aula grátis

Integrais definidas e indefinidas - Teoria - parte 1

Definição de integral definida. Exercícios de aplicação. O Teorema Fundamental do Cálculo – parte 1.

  • thumb_down 6
  • Plano completo
  • Transcrição
  • play_arrowIdeia intuitiva de integral - Teoria

    lockIntegrais definidas e indefinidas - Teoria - parte 1

    lockIntegrais definidas e indefinidas - Teoria - parte 2

    lockIntegrais por substituições simples e por partes - Teoria

    lockIntegrais trigonométricas e frações parciais - Teoria - parte 1

    lockIntegrais trigonométricas e frações parciais - Teoria - parte 2

    lockÁreas entre curvas e volumes de revolução - Teoria

    lockEquações diferenciais elementares - Teoria - parte 1

    lockEquações diferenciais elementares - Teoria - parte 2

    lockResumo - Integrais - Resumo

  • Fala, galera do Passei Direto. Tudo bem com vocês?
    Como vão seus estudos? Espero que bem.
    Hoje, nós vamos dar continuidade aos estudos das integrais, dando continuidade às tecnicas de resolução. Na última aula, nós vimos a ideia intuitiva de integral.
    Ou seja, a verificação de que a integral nada mais é do que a área da curva, a área formada por uma curva em um intervalo que a gente determina de "a" até "b". Hoje, então, nós vamos dar continuidade.
    Algumas propriedades de cálculo de integrais definidas e indefinidas. A gente vai definir integral indefinida daqui a pouco.
    A gente já viu as integrais definidas, que vão de um intervalo "a" até um intervalo "b". No nosso de ciclo de integral, que nós vimos, determinamos que as integrais definidas são aquelas integrais onde aqui eu tenho só elementos reais, que vão de "a" até "b", em uma função f(x)dx, por exemplo. Isso é uma integral definida.
    Uma integral indefinida, já vou adiantar rapidamente aqui, a gente vai ver daqui a pouco, ela não tem essa determinação aqui. Ela é simplesmente uma integral de f(x)dx e eu não tenho números reais aqui. Aqui, eu tenho as integrais definidas.
    Tanto "a" quanto "b" são números reais aqui. Isso aqui é uma revisão do que nós fizemos na nossa última aula.
    A integral de f(x)dx menos o somatório de "i" indo de 1 até "n", da nossa soma infinita das nossas áreas, dos nossos retângulos, o módulo deles tem que ser menor do que um erro épsilon, para todo "n" pertencente a um conjunto maior dos naturais "N", e que xi* tem que estar presente naquele intervalo que a gente determinou entre xi-1 e xi. Isso aqui é só para verificar que, como a gente sabe que a integral nada mais é do que essa soma infinita das áreas dos retângulos, obviamente, a diferença entre esses valores tem que ser mínima.
    Obviamente, ela é igual, porque a integral definida nada mais é do que o limite de uma Soma de Riemann. Portanto, esse módulo aqui tem que ser praticamente nulo, tem que ser muito menor.
    Algumas propriedades importantes de integral. É importante agora a gente verificar isso aqui.
    A integral de "a" até "a" de uma função f(x)dx é igual a 0. Obviamente, não é?
    Só a gente a pensar, por exemplo, em uma função qualquer, uma curva aleatória, e aqui é para calcular Por exemplo, ela vai de "a" até "b", e aí eu quero calcular a integral, ou seja, a área formada por essa curva aqui, nesse espaço. Se eu faço a integral de "a" até "a", eu estou fazendo a integral de um ponto, e não existe área em um ponto de "a" até "a".
    Portanto, ele é nulo. A integral de "b" até "a" de f(x)dx é a mesma coisa do que -integral de "a" até "b" de f(x)dx. Eu inverto.
    Observe que eu tinha aqui de "b" até "a". E aqui o que eu fiz?
    Eu inverti, fiz de "a" até "b". Eu estou invertendo a ordem dos meus limites de integração.
    Então, por isso, a justificativa desse sinal de menos aqui na frente da nossa integral. A propriedade "c" diz que, quando eu integro uma função de "a" até "b" e essa função é uma constante "c" pertencente aos reais, eu posso colocar essa constante para fora.
    Nada mais é do que c(b-a). Essa ideia é também muito intuitiva.
    Vamos supor que eu tenha uma função constante. Então, a função constante é essa aqui, uma função horizontal constante que vale "c".
    E aí, ela está válida entre esses valores aqui, de "a" até "b". Qual vai ser a área dessa figura?
    Isso aqui é um retângulo, concorda? E, se é um retângulo, o que eu tenho que fazer?
    O que é a área de um retângulo? É a base, que é b-a.
    É essa pedaço todo aqui. Esse pedaço todo é b-a.
    E a altura do meu retângulo aqui é a distância do eixo y=o, que é a função, que é "c". Então, é "c", c=o, que é "c".
    Então, a área disso aqui nada mais é do que comprimento, que é b-a, vezes a altura, que é "c". Portanto, aqui está "c", que multiplica b-a.
    Bem tranquilo, essa ideia intuitiva. Depois, a propriedade das somas e subtrações.
    Se eu tenho uma mesma integral, uma soma e uma subtração de duas funções, por exemplo, integral de "a" até "b", de f(x)+g(x)dx, eu posso separá-las em duas integrais, resolver essa soma de duas funções em uma mesma integral de forma separada. Eu posso fazer a integral de "a" até "b de f(x)dx mais a integral de "a" até "b" de g(x)dx. A mesma coisa para a subtração.
    Posso fazer também o seguinte Observe essa propriedade da letra "e". Integral de "a" até "b" de f(x)dx vai ser a integral de "a" até "c" de f(x)dx mais de "c" até "b" de f(x)dx. "O que é isso?
    Não entendi essa propriedade 'e'." Vou fazer aqui uma ilustração da propriedade "e".
    Suponha que eu tenha um gráfico de uma curva qualquer. Aqui, essa curva.
    E aí, essa curva é a integral de "a" até "b". Quero saber qual é a área desse cara aqui.
    O que essa propriedade nos afirma é o seguinte Se eu pegar um ponto aqui no meio dessa curva e batizar de "c", a integral de "a" até "b" é a mesma coisa que eu somar a integral de "a" até "c" e de "c" até "b". É só dividir em duas partes.
    Separei em duas integrais distintas. Mas é a mesma coisa, concorda comigo?
    Então, é simplesmente isso. Essa é a resposta que nós temos.
    E, finalmente, se f(x) é maior ou igual a 0 em [a,b], então, a integral de "a" até "b" de f(x)dx é maior ou igual a 0. Vamos a uma aula muito importante hoje.
    Uma parte muito importante da nossa aula diz respeito ao teorema fundamental do cálculo. Ele é dividido em duas partes, o teorema fundamental do cálculo parte um e parte dois.
    Se "f" for contínua em [a,b], então a função "g" definida pela integral de "a" até "x" de f(t)dt é contínua em [a,b] e derivável em (a,b). E g'(x), a derivada dessa função integral aqui é a própria derivada da função "f". "Como assim?
    " Seja a função de Fresnel S(x) igual à integral de 0 até "x" de seno de (pi.t²)/2, quem é S'(x)? Ora, pela propriedade que foi anunciada, quando eu tenho isso aqui, a nossa derivada S'(x) nada mais é do que a própria função que nós temos aqui dentro. É isso mesmo.
    Só que em vez de a gente usar a mesma nomenclatura que estava em função de "t", a gente quer S'(x). Então, no lugar de "t", eu vou colocar "x" .
    Então, S'(x) nada mais é do que o seno de (pi.x²)/2. É simples assim mesmo.
    A gente só não pode se esquecer em alguns exercícios que o termo integrando aqui em cima às vezes é uma função composta. Você sabe o que tem quando você olha uma função composta?
    A gente precisa utilizar a regra da cadeia. Por isso, a gente precisa também derivar aquele integrando.
    Mas aqui não é o caso, porque a integral derivada de "x" é 1. É só multiplicar isso aqui por 1, que dá no mesmo.
    Mas, por exemplo, nesse exercício aqui, a g(x) é uma integral de 0 até x². Isso aqui é uma função composta.
    Eu tenho x². Eu tenho um pacote grande e um pacote pequeno.
    Função composta. Então, a função é essa.
    Quem é g'(x)? A gente já sabe, com tranquilidade, que, pelo teorema fundamental do cálculo, a gente só repete, e, em vez de colocar "t", a gente põe "x".
    Só que está faltando um negócio. O nosso integrando aqui é uma função composta.
    Regra da cadeia nele. Eu preciso utilizar a regra da cadeia.
    Derivada. Então, por isso, eu multiplico tudo isso por 2x.
    Esta, portanto, é a minha derivada g'(x). ...

Tópicos relacionados

Revisão - Números, sequências e funções

Revisão - Números, sequências e funções

5 Vídeos 1 Resumo
Limites

Limites

9 Vídeos 4 Exercícios 1 Resumo
Derivadas

Derivadas

11 Vídeos 1 Resumo

Planos de estudo com tudo o que você precisa

R$29,90/mês

Assine o PremiumCancele quando quiser, sem multa

Aproveite também

  • check Todos os materiais compartilhados
  • check Biblioteca com 5.000 livros, escolha 5 por mês
  • check Exercícios passo a passo
  • check Videoaulas e resumos