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Assíntotas - Teoria

Limite trigonométrico fundamental. Exercícios de revisão relevantes para a primeira avaliação do curso.

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    lockResumo - Limites - Resumo

  • Vamos tratar agora a respeito de assíntotas. Para isso, considere a função f(x)=1/x. Repare que o gráfico da função é representado dessa maneira.
    Meio diferente, concordam? Ele não chega a encostar aqui no eixo "y", nem no eixo "x".
    E se for aproximar, você vai ver que essa função continua para cá, para cá, para cá Ela sempre vai ficar bem próxima dessas retas que estão em preto, mas ela nunca vai encostar, teoricamente. Ela nunca vai ultrapassar essa reta.
    Ela vai ficar bem próxima. Justamente, porque essas duas retas são assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f(x)=1/x. Essa reta preta aqui é a reta x=0, que é a assíntota vertical.
    E essa aqui é a y=o, a assíntota horizontal. Como nós verificamos a presença de assíntotas verticais e horizontais em um gráfico?
    As assíntotas verticais são sempre definidas por elementos que são excluídos do domínio da função. Então, colocarei aqui: "Verifica-se o elemento" "que é excluído" "do domínio de f(x)." Portanto, perceba, na função f(x)=1/x, qual é o domínio dessa função para ela ser definida nos reais? Concorda que ela é definida em todo o conjunto dos números reais?
    O domínio de "f" é todos os reais menos o elemento 0. Por quê?
    Porque, caso eu tenha 0 nesse denominador, a função não existe. Não existe nenhum denominador 0.
    Então, a única restrição aqui é para o "x" diferente de 0. Portanto, esse é o caso, quando eu excluo um elemento do domínio, eu verifico que esse elemento, que está sendo excluído, no caso, o 0, é a minha assíntota vertical do gráfico.
    Então, é assim que a gente determina assíntotas verticais, observando os elementos que estão excluídos do domínio. Já as assíntotas horizontais são verificadas de uma forma ainda mais imediata.
    As assíntotas horizontais são verificadas quando nós fazemos o limite no infinito da função buscada. Ou seja, basta fazer o limite, quando "x" tende ao infinito, da função.
    Perceba, 1 sobre um número muito grande, que é infinito Você pode chutar um número enorme. Por exemplo, 850.
    000.000.
    Se você dividir 1 por 850.000.
    000, você vai ver que o número que você vai obter vai ser um número muito pequeno. E cada vez que você for adotando um "x" suficientemente grande, o valor de 1/x vai ser ainda menor.
    Portanto, a gente escreve que o limite, quando o "x" tende ao infinito, de 1/x é igual a 0. Lembrando que ele não é 0.
    Ele tende a 0. Ele é um valor muito próximo de 0.
    Mas, por nomenclatura matemática, nós escrevemos dessa forma. O resultado do limite, quando "x" tende ao infinito, da função buscada nos indicará qual vai ser a assíntota horizontal.
    No caso, y=0. Porque "y", lembrando Lembre-se que uma reta y=o é uma reta horizontal.
    y=1 é uma outra reta horizontal. Então, esse y=0 não significa nada em relação à função.
    É só uma forma de ilustrar que essa reta aqui, y=o, é uma reta horizontal, assim como no caso da assíntota vertical. Nós representamos e falamos que, como é uma assíntota vertical, eu tenho uma reta vertical, que é representada por x=0.
    x=o representa uma reta vertical, que é a assíntota desse gráfico. Finalmente, encerrando nossa aula, vamos falar a respeito da continuidade.
    Uma função "f" é contínua em um número "a" se nós afirmamos que o limite, quando "x" tende a "a", de f(x) é igual a f(a). Ou seja, o valor do limite, quando "x" tende a f(x), é exatamente o valor de "a" naquela função "f". Esse exemplo ilustra claramente o que queremos dizer.
    Para cada valor quando "x" tende a "a", você se aproxima de "a" e chega ao valor f(a), que é equivalente ao próprio f(a), que representa esse ponto preto na função. Outra definição muito importante também sobre assíntotas e sobre continuidade diz respeito a quebras na curva de "f".
    Verifique que a função não tem nenhuma quebra. Para eu desenhar essa função aqui, eu não tiro o lápis do papel.
    Não tem nenhuma espécie de quebra nessa função. Ela é toda contínua.
    Portanto, essa é outra definição também um pouco menos formal de continuidade. Existem três definições para continuidade em uma função.
    f(a) está definida, como é o caso aqui. Ela tem esse ponto preto.
    Significa que f(a) existe e vale esse valor aqui. O limite de f(x) quando "x" tende a "a" existe. Isso é o que a gente acabou de falar.
    Essa terceira condição é a mais importante. O limite, quando "x" tende a "a", de f(x) equivale ao f(a). Por exemplo, em quais valores de "x" a função "f" é descontínua?
    Repare que nesse ponto daqui, nessa primeira parte da função Repare A porção esquerda ao número 3 está completamente definida. Não existe quebra no gráfico de "f", nesse ponto aqui, nessa parte.
    Tampouco na parte direita da curva. Repare que também não existe nenhuma quebra aqui dessa função.
    Portanto, nós podemos afirmar que a função é descontínua. A única coisa que ocorre aqui é um salto.
    Perceba que em x=3 a função estava aqui, teve uma quebra e voltou aqui em cima. Portanto, imediatamente a gente fala que o valor de "x" para o qual a função é descontínua é em x=3.
    Bem, pessoal, na próxima aula, nós vamos falar a respeito do cálculo propriamente dito de limites, observando as indeterminações e algumas formas de resolução. Espero que vocês tenham compreendido os tópicos abordados nesta aula.
    Até a próxima. ...

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