Limites

Esta série de aulas aborda os conceitos intuitivos de limites, suas respectivas definições e estratégias para cálculo.

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Aulas de Limites

Limites Laterais - Teoria

Limites laterais. Limites infinitos. Conceito de assíntotas horizontais e verticais. Noções de continuidade de uma função.

TRANSCRIÇÃO

Fala, pessoal do Passei Direto. Tudo bem com vocês?
Hoje, vamos dar continuidade a mais uma aula de Cálculo I, falando a respeito dos limites laterais. Para isso, considere o seguinte gráfico de função de y=g(x). É um gráfico meio diferente, meio descontínuo.
Nós vamos mostrar o conceito de descontinuidade daqui a pouco. Inicialmente, vamos considerar esse gráfico.
E aí, vamos tentar responder as seguintes perguntas. Qual seria o limite da função g(x) quando tende "x" tende a 2 com esse sinal de "menos" aqui? O que ele significa?
E este outro? O limite quando "x" tende a 2, e esse sinal de "mais" da função g?
Ou mesmo, qual seria o cálculo do limite quando "x" tende a 2 da função g(x)? Vamos responder e definir essas questões.
Quando nós temos um "menos" aqui junto com o valor que estamos tendendo para o "x", significa dizer Vamos colocar, quando x tende a um valor "a" "menos", significa que estou querendo ver por onde e qual o valor desse limite quando "x" tende a "a" pela esquerda. É sempre assim.
E quando meu "x" tem um "a" e um sinal de "mais", eu estou me referindo ao lado direito. Vamos observar.
Qual o valor do limite quando "x" tende a 2 pela esquerda de g(x)? Repare.
Lembrando da última definição da nossa última aula. Quando "x" tende a 2, ou seja, estamos observando este ponto, e pela esquerda Se é pela esquerda, nós estamos anotando esta porção aqui do gráfico, que está à esquerda do valor 2.
Portanto, quando "x" tende a 2 pela esquerda, temos o valor que equivale a 3. Agora, a "x" tendendo a 2 pela direita Repare que a 2 pela direita está se referindo a esta parte da função.
Portanto, vamos pela direita e observamos que essa função tende a 1 quando "x" tende a 2 pela direita. Mas agora que vem a pergunta Qual seria o valor do limite quando "x" tende a 2, não mais pela esquerda ou pela direita?
Como responder essa pergunta? Para isso, considere a seguinte definição: podemos afirmar que o limite, quando "x" tende a um valor "a" da função f(x), esse limite vale "L" e existe se e somente se o limite quando "x" tende a "a" pela esquerda e pela direita for igual a ele. Ou seja, primeiro precisamos calcular os limites laterais a esse número, pela esquerda e pela direita, e, só assim, observando os resultados e verificando se eles dão o mesmo número, é que podemos dizer se o limite quando "x" tende a 2 existe ou não.
Portanto, repare. O limite quando "x" tende a 2 pela esquerda é 3 e o limite quando "x" tende a 2 pela direita é 1.
Esses valores são iguais? Não, né?
Este valor é diferente desse. Portanto, se os limites laterais são diferentes, o que podemos afirmar de acordo com a definição a respeito do limite de g(x) quando "x" tende a 2? Simplesmente, que esse limite não existe, justamente, por conta da propriedade anunciada.
Se eles fossem iguais e aqui, por exemplo, desse 5, e aqui, 5, aí sim, o limite quando "x" tende a 2 existiria e valeria 5, nesse caso hipotético. Mas não é o caso do nosso exemplo.
...

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Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Expresse 1/9 como uma dízima periódica, utilizando uma barra para indicar os dígitos que se repetem. Quais são as representações decimais de 2/9? 3/9? 8/9? 9/9?

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiro, expressamos a fração como um decimal periódico:

Logo, identificamos os dígitos que se repetem, que nesse caso é o 1, e utilizamos uma barra sobre ese dígito:

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

No caso seguinte, o dígito que se repete é o 2, e colocamos um dígito sobre ele:

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

No caso que vem em seguida, depois de expressar a fração como um decimal, o dígito que se repete é o 3:

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ao expressar a fração como decimal, identificamos que o dígito que se repete é o 8:

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nesse caso, a fração não dá um número decimal, e sim um inteiro: