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Coordenadas do ponto médio e coordenadas do baricentro - Teoria

Sabia mais sobre como encontrar o ponto médio de uma reta e o baricentro (o encontro das medianas) de um triângulo.

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  • play_arrowIntrodução ao Ponto - Teoria

    lockDistância entre pontos - Teoria

    lockCoordenadas do ponto médio e coordenadas do baricentro - Teoria

    lockCondição de alinhamento - Teoria

    lockResumo - ponto - Resumo

  • E aí, pessoal. Vamos continuar então o nosso curso, agora a gente vai falar sobre as coordenadas do ponto médio, coordenadas do baricentro do triângulo.
    A gente vai precisar de algumas propriedades geométricas que eu vou trazer para a gente aqui, beleza? Então vamos lá.
    O que significa esse primeiro ponto que a gente quer fazer aí? Que são as coordenadas do ponto médio?
    Consiste no seguinte pessoal, tem dois pontos A e B quaisquer, então sempre tem um segmento que une eles, um segmento de reta, um segmento A, B, não é? E eu quero saber as coordenadas, exprimir as coordenadas do ponto médio desse segmento AB em função das coordenadas dos pontos AB.
    E isso, pessoal, não é muito difícil pois, com a semelhança de triângulo, a gente consegue obter, a fórmula também é bastante intuitiva, ela nos fala o seguinte: se M é ponto médio, ou seja, se é ponto médio, então esse segmento é igual a isso, não é? Divide exatamente no meio.
    Se M é ponto médio, então as coordenadas de N são dadas da seguinte maneira: ela é igual a média das coordenadas dos pontos A e B. Então o X do M vai ser o quê?
    O X do A mais o X do B sobre 2, ou seja, a média das coordenadas X, então a abcissa de M é a média das abcissas e a ordenada de M é a média das ordenadas. Então YA mais YB sobre 2, então é bastante intuitivo essa fórmula, pessoal, também muito fácil de obter por uma semelhança de triângulo.
    Então está aí. Essa é a nossa fórmula que pode ser muito importante, ela pode ajudar a gente demais para resolver alguns exercícios.
    Então esse é o que a gente tem que ter em mente, pessoal. Sempre que eu tenho o ponto médio de um segmento, as coordenadas dele a gente obtém pelas médias das coordenadas desses pontos que são os extremos desse segmento, beleza?
    Tranquilo? Então vamos lá.
    Agora a gente vai fazer então um exercício para a gente praticar isso aqui para vocês verem como que vocês podem nos ajudar. Bom, o exercício consiste nisso aqui, pessoal.
    Em um paralelogramo A,B,C,D, temos A aqui estão as coordenadas de A, B e C determine as coordenadas de D, ou seja, determine as coordenadas do quarto vértice desse paralelogramo. Então, pessoal, o que a gente tem é isso daqui.
    Temos um certo paralelogramo nem sei como que está no plano e muitas vezes não vai interessar a gente entender esse desenho no plano, onde que está cada ponto e tal. O que interessa é isso daqui: A, B, C e D.
    Não é isso? Isso aí está em algum lugar aí do plano, se quiser até imaginar o plano aqui eixo Y, eixo X.
    Realmente, muitas vezes não vai nos interessar onde que está cada ponto no plano. Beleza?
    O que é o fato que a gente vai usar aqui, pessoal? Olha, eu preciso obter as coordenadas de D.
    Tá. O que eu posso fazer?
    Eu posso falar, por exemplo, que a distância de A até D tem que ser igual a distância de B até C, só que a equação fica não, o paralelogramo vale isso, os lados opostos são paralelos e iguais. Agora as equações vão começar a ficar muito complicadas.
    Se você quiser tentar fazer por isso, vão aparecer equações do 2º grau, não vai ficar legal de mexer. Agora, o que a gente pode usar então para ficar bem simples e isso vai facilitar demais e é por isso que às vezes essa fórmula do ponto médio é importante, por exemplo, olha o que eu vou fazer.
    Se eu fizer essa diagonal AC, vamos chamar de M o seu ponto médio, vamos calculá-la. Por quê?
    Porque eu tenho os pontos A e C, então quem é esse M? Fácil, não é?
    A média entre as coordenadas A e C. O -2 cai dentro de C mais oito vai dar seis.
    Seis então sobre dois, é a média, e agora aqui em Y. Menos dois mais cinco vai dar quatro sobre dois, então já sei quem são quem é esse M, não é?
    Esse M é o ponto 3, 6 sobre 2, 3, 4 sobre 2, 2, não é isso? Por quê, pessoal?
    A propriedade geométrica que a gente precisa lembrar aqui é a seguinte. Em um paralelogramo, as diagonais se interceptam com seus respectivos pontos médios.
    Se eu traçasse essa diagonal aqui, ela ia interceptar a outra exatamente nesse ponto M, ou seja, o que a gente vai escrever aqui? Que se eu pegar a média entre B e D, as coordenadas entre B e D, eu tenho que obter justamente esse ponto M.
    Então, olha só, se eu fizer o X do ponto B, mais o X do ponto D, sobre dois, quem que eu tenho que obter? O X do ponto M.
    Ou seja, exatamente três, não é isso? Então vamos fazer isso daqui.
    X do B, eu já tenho é um. Então eu tenho aqui 1 + X do D tem que dar igual, eu passo esse dois multiplicando 3x2=6.
    Então eu já acho quem é o X do D. O X do ponto D 6-1=5.
    Legal, então olha como que ficou simples a resolução do nosso problema. A mesma coisa vale, pessoal, para os Y's.
    Se eu fizer a média dos Y entre B e D, tem que obter um Y no ponto M que está aqui, olha: é dois. Então olha só.
    Se eu fizer YB, mais YD sobre dois, isso tem que dar igual Y no ponto M que é dois. Então você vai passar esse dois multiplicando, eu vou ter que quatro é igual a YB que é quatro mais YD, que é quem eu quero determinar.
    Então, se eu passar esse quatro sobre três vai vai ficar zero ali do lado, pessoal, 4-4-0 da onde eu tiro que YD então é igual a 0. Então olha aí que simples.
    Já conseguimos obter quais são as coordenadas desse ponto D, então o vértice D está aqui, olha. D=(5,0). Usando apenas uma propriedade geométrica aí do paralelogramo.
    Então essa fórmula de ponto médio, se a gente souber identificar propriedades geométricas pode ajudar a gente bastante Beleza. Então, o ponto médio é isso, pessoal.
    Uma fórmula bem simples bastante intuitiva, está aqui uma aplicação legal, quase sempre vai vir aliada de uma interpretação geométrica que a gente tem que sacar, não é? Essa aqui nem era das mais difíceis.
    E realmente enxergar isso facilita demais a solução da questão. Beleza.
    Vamos discutir uma outra coisa então, pessoal. Que é o seguinte; que são as coordenadas do baricentro de um triângulo, vamos lá.
    Vou limpar isto daqui. O que significa isso, pessoal?
    Bom, se eu tenho três pontos que não são colineares, a gente vai discutir isso na próxima aula mas significa o quê? Que não estão alinhados sob uma mesma reta.
    Então esses pontos formam um triângulo, um triângulo A, B, C cujos vértices são esses três pontos. Então vamos ver se eu conheço as coordenadas desses pontos aqui.
    O ponto A, o ponto B, o ponto C. O que não me interessa às vezes, pessoal, é determinar as coordenadas do baricentro desse triângulo.
    Para quem não lembra ainda, baricentro tem a ver com o quê? Com o ponto de encontro das medianas, então aqui, olha.
    O encontro das medianas de um triângulo. Um ponto das medianas.
    Então às vezes vai ser interessante isso para a gente, determinar, saber localizar esse baricentro baseado nas coordenadas dos pontos A, B e C. É uma forma bem parecida com a forma de ponto médio, pessoal, que é essa fórmula aqui, olha.
    Se eu quiser saber então as coordenadas do baricentro, é só eu fazer a média das coordenadas dos vértices desse triângulo, então é uma fórmula semelhante àquela do ponto médio, não é? Como lá eu trabalho com dois pontos, isso é uma média aritmética dividida por 2, aí que eu trabalho com três pontos, faço a média aritmética, então tenho que dividir por 3.
    Somo todo mundo e divido por 3. Então é bastante semelhante àquela fórmula nossa lá, pessoal.
    Isso pode ser muito útil. Então isso aqui é a fórmula que nos permite determinar o baricentro de um triângulo conhecidas suas coordenadas.
    Beleza? Então vamos fazer um exemplo aqui?
    Seria isso daqui, olha. Calcule as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A (2,0), B (-1, 1) e C (-2, 0). Como que ficaria, pessoal?
    A gente já sabe então que, olha, se eu quiser o X, o que eu vou fazer? Vou fazer a média então.
    Vou somar as três coordenadas, dividir por 3. E o Y, a mesma coisa, soma as três coordenadas e divide por 3.
    Então como é que fica? Se eu somar um X, 2, 2, -1= 1, não é?
    2-1=1, 1-2, =-1. Então seria isso daqui, não é?
    Agora em Y, 0+1=1+0=0= 1/3. Então está aí a nossa resposta, é bem simples não é, gente?
    Então, o X dele é - 1/3, a abcissa é -1/3 e a ordenada o Y é 1/3. Então esse seria o ponto onde se encontra o baricentro desse triângulo de coordenadas A, B e C.
    Beleza, pessoal? De novo, eu não fiz nenhum desenho, não precisei localizar os pontos.
    Às vezes o aluno fica querendo muito fazer isso, não é? Mas, na maioria das vezes, não precisa a gente entender, localizar cada ponto e tal.
    Se a gente souber o conteúdo, a interpretação geométrica, a gente já consegue fazer a questão. Beleza?
    Nós não precisamos desenhar, entender onde está cada ponto, às vezes isso pode dar muito trabalho. Então é isso, pessoal.
    Duas fórmulas importantes da geometria analítica, dois conceitos interessantes, para essa aula de hoje, espero que tenha ficado claro, pessoal. A gente se encontra então nos próximos vídeos.
    Até a próxima. ...

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