FormularioGA (2)

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Geometria Analítica – Formulário 
 
 
Distância entre dois pontos: 
22
),( )()( ABABBA yyxxd  
 
222
),( )()()( ABABABBA zzyyxxd  
 
Coordenadas do baricentro de um triângulo: 





 

3
 ,
3
CBACBA yyyxxxG 
 
Módulo de um vetor: 
22|| yxv 

 
 
222|| zyxv 

 
 
Inclinação de um vetor: 
x
y
)(tg  
||
)(sen
v
y
 
||
)(cos
v
x
 
 
Multiplicação de um vetor por um escalar: 
 nvkvkvkvk . ,,. ,.. 21 

 
 
Versor: 
v
v
v


||
1
ˆ  
 
Soma de vetores: 
),...,,( 2211 nn vuvuvuvu 

 
 
Subtração de vetores: 
),...,,( 2211 nn vuvuvuvu 

 
 
Combinação linear: 
nnvvvv

  2211 
 
Vetores canônicos do R2: 
)0 ,1(i

 
)1 ,0(j

 
 
Vetores canônicos do R3: 
)0 ,0 ,1(i

 
)0 ,1 ,0(j

 
)1 ,0 ,0(k

 
 
Produto escalar: 
nn vuvuvuvu .... 2211  

 
 
cos.||.||. vuvu

 
 
Ângulo entre vetores: 
||.||
.
cos
vu
vu


 
 
Produto vetorial: 
321
321
vvv
uuu
kji
vu


 
 
Área de um paralelogramo: 
|| vuA

 
 
Produto misto: 
321
321
321
).(
www
vvv
uuu
wvu 

 
 
Volume de um paralelepípedo: 
|).(| wvuV

 
 
Equação reduzida da reta: 
baxy  
)()( 00 xxmyy  , 
AB
AB
xx
yy
m


 ou  tgm 
 
Equação geral da reta: 
0 cbyax 
 
Equação vetorial da reta: 
vtAr

.:  , Rt 
 
Equações paramétricas da reta: 





2
1
.
.
vtyy
vtxx
A
A
, Rt 
 








3
2
1
.
.
.
vtzz
vtyy
vtxx
A
A
A
, Rt 
 
Equações simétricas da reta: 
vv y
yy
x
xx

00 

 
 
vvv z
zz
y
yy
x
xx

000 



 
Ângulo entre retas: 
||.||
|.|
cos
vu
vu


 
 
Equação geral do plano: 
0. nAP

 
 
0 dczbyax 
 
Equação vetorial do plano: 
vtutA

21:  , Rtt 21, 
 
Equações paramétricas do plano: 








3231
2221
1211
vtutzz
vtutyy
vtutxx
A
A
A
 
 
Equação segmentária do plano: 
1
r
z
q
y
p
x
 
 
Ângulo entre reta e plano: 
nv
nv


.
.
)(sen  
 
Ângulo entre planos: 
||.||
|.|
cos
vu
vu


 
 
Distância entre pontos: 
22 )()(||),( ABABBA yyxxABd  
 
222
),( )()()(|| ABABABBA zzyyxxABd  
 
Distância entre ponto e reta: 
||
||
),(
u
vu
d rP 


 
 
22
00
ba
cbyax
d rP



||
),( 
 
Distância entre ponto e plano: 
222
000
cba
dczbyax
d P



||
),(  
 
Equação da circunferência: 
22
0
2
0 )()( ryyxx  
 
Equação da elipse: 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 
 
Equação da hipérbole com ramos à esquerda e à direita: 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 
 
Equação da hipérbole com ramos para cima e para baixo: 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 




b
yy
a
xx
 
 
Equação reduzida da parábola vertical: 
cbxaxy  2 
 
Raízes da parábola vertical: 
a
acbb
x
2
42 
 
 
Vértice da parábola vertical: 





 

a
acb
a
b
V
4
4
 ,
2
2
 
 
Equação reduzida da parábola horizontal: 
cbyayx  2 
 
Raízes da parábola horizontal: 
a
acbb
y
2
42 
 
 
Vértice da parábola horizontal: 









a
b
a
acb
V
2
 ,
4
42
 
 
Equação do elipsoide: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
 
Equação da esfera: 
      220
2
0
2
0 rzzyyxx  
 
Equação do hiperboloide de uma folha em relação ao eixo-x: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 






c
zz
b
yy
a
xx
 
 
Equação do hiperboloide de uma folha em relação ao eixo-y: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
 
Equação do hiperboloide de uma folha em relação ao eixo-z: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
Equação do hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo-x: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
 
Equação do hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo-y: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 






c
zz
b
yy
a
xx
 
 
Equação do hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo-z: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 






c
zz
b
yy
a
xx
 
 
Equação do paraboloide elíptico ao longo do eixo-x: 
   
2
2
0
2
2
0
c
zz
b
yy
x



 
 
Equação do paraboloide elíptico ao longo do eixo-y: 
   
2
2
0
2
2
0
c
zz
a
xx
y



 
 
Equação do paraboloide elíptico ao longo do eixo-z: 
   
2
2
0
2
2
0
b
yy
a
xx
z



 
 
Equação do paraboloide hiperbólico ao longo do eixo-x: 
   
2
2
0
2
2
0
c
zz
b
yy
x



 
 
Equação do paraboloide hiperbólico ao longo do eixo-y: 
   
2
2
0
2
2
0
c
zz
a
xx
y



 
 
Equação do paraboloide hiperbólico ao longo do eixo-z: 
   
2
2
0
2
2
0
b
yy
a
xx
z



 
 
Equação da superfície cônica elíptica no sentido do eixo-x: 
   
2
2
0
2
2
02
c
zz
b
yy
x



 
 
Equação da superfície cônica elíptica no sentido do eixo-y: 
   
2
2
0
2
2
02
c
zz
a
xx
y



 
 
Equação da superfície cônica elíptica no sentido do eixo-z: 
   
2
2
0
2
2
02
b
yy
a
xx
z



