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Distância entre pontos - Teoria

Nessa aula, vamos ver como chegar na equação para o cálculo da distância entre dois pontos - uma fórmula simples porém fundamental para várias outras análises que faremos.

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  • play_arrowIntrodução ao Ponto - Teoria

    lockDistância entre pontos - Teoria

    lockCoordenadas do ponto médio e coordenadas do baricentro - Teoria

    lockCondição de alinhamento - Teoria

    lockResumo - ponto - Resumo

  • E aí, pessoal. Vamos lá então?
    Vamos continuar nosso estudo de Geometria Analítica, agora vamos falar disso aqui: distância entre pontos. É uma fórmula muito importante para a Geometria Analítica, a gente vai usar diversas vezes ela ao longo das aulas.
    Então vamos lá. O que fala então essa fórmula, pessoal?
    A situação é a seguinte. Tem dois pontos aqui: A e B, que eu representei, de coordenadas de XA e YA e XB e YB.
    A gente mostrou no último vídeo mais um ponto que a gente sempre representa as coordenadas dele por duas coordenadas; a abcissa, a coordenada em X, e a ordenada, que seria a coordenada em Y. Então eu tenho aqui: O A está definido por duas coordenadas um X e um Y.
    XA e YA e o B é XB e YB. E o que é o nosso problema?
    O nosso problema consiste em obter uma fórmula em função das coordenadas desses pontos, pessoal, para distância entre esses pontos, que seria esse segmento de reta amarelo aqui. Então está aqui.
    Isso aqui é a nossa distância que a gente quer determinar, então como que a gente faz isso, pessoal? Bom, a gente vai se basear no fato de que os eixos no plano cartesiano, eles são perpendiculares, são ortogonais.
    Então preste atenção. Se eu pegar e projetar esse segmento aqui, ele é paralelo ao Eixo X, então ele vai ser perpendicular a esse pontilhado aqui que é paralelo ao eixo Y, então vai ser perpendicular também.
    Então basta a gente fazer um Pitágoras, se eu conseguir uma expressão para esses catetos aqui. Esse cateto que aparece aqui e o outro.
    Então vamos lá. Esse cateto, pessoal, está simples, ele é o YB, que é tudo isso aqui menos o YA que é esse pedacinho.
    Aí eu vou ter exatamente essa região do meio aqui. Então isso aqui é YB - YA.
    Beleza. E aqui embaixo?
    Aqui embaixo, pessoal, vai ser meio parecido. Olhem.
    Eu pego tudo isso daqui, que é o XB, e tiro esse outro pedaço que é o XA. Eu vou ter exatamente esse segmento, não é?
    Então esse aqui é o XB - o XA. Legal.
    E agora? Como que fica então?
    É só a gente fazer o Pitágoras, não é? Hipotenusa ao quadrado, d ao quadrado, que é o que a gente quer descobrir, é a soma dos quadrados dos catetos, não é?
    Então vai ficar ali, olha: (XB - XA²) + (YB - YA²). Não é isso?
    E aí, pessoal, normalmente a gente chama isso daqui de Delta X, não é? Porque, na verdade, a gente vai abordar em um exemplo daqui a pouco, não faz diferença se eu faço XB - XA ou se eu faço XA - XB, porque no final das contas está ao quadrado, então se der negativo não tem problema nenhum.
    Daqui a pouco a gente aborda isso melhor no exemplo, mas então a gente costuma representar assim: a distância então vai ser em deltaX², a variação em x, + deltaY². E aí basta a gente tirar a raiz quadrada que a gente já vai ter nossa expressão pronta, não é?
    Vou colocar até aqui embaixo então. Então se eu tiro a raiz dos dois lados fica assim a minha fórmula: a distância é a raiz de deltaX² + o meu deltaY².
    Beleza? Então essa é a nossa fórmula, pessoal.
    Uma fórmula bem importante, a gente vai usar demais isso daqui, eu vou até destacar ela aqui então. Então a nossa fórmula para calcular a distância entre dois pontos se eu souber as coordenadas dele, basta eu fazer isso daqui, a diferença das coordenadas elevada ao quadrado somar com a diferença entre as abcissas ao quadrado, tiro a raiz e está aí.
    Então vamos fazer uns exemplos aqui para que isso fique mais claro. Beleza?
    Vocês vão ver que não é muito complicado, essa fórmula é bastante simples. Então, olha só, aparece aqui: "calcular a distância entre os pontos P: -1 e 2 e Q: 2 e -2.
    Então vamos lá. A nossa fórmula então ela fala que a distância vai ser a raiz quadrada de deltaX² que a gente vai colocar aqui, mais o deltaY², que a gente vai colocar aqui para a gente ter a raiz disso tudo, não é?
    Então quem seria o deltaX? Olha, pessoal.
    Vamos pegar daqui para cá. Esse aqui é o X desse e esse aqui é o X desse.
    Então -1 e -2 fica -3. Perceba que se eu fizesse o contrário ((2) - (-1)), ia ficar 2+1, não é, pessoal? Ia ficar +3.
    Não ia fazer diferença, como eu citei ali em cima, por quê? Porque (-3)² e (3)² dá 9 do mesmo jeito, não é? Então não faz diferença.
    Vamos lá. Então agora deltaY.
    Quem é o deltaY? ((2) - (-2)) 2+2, não é? 4.
    Perceba de novo, a mesma coisa, se tivesse feito aqui para cá ((-2) (-2)), fica -4 aqui, mas ao quadrado vai dar a mesma coisa. Então não ia fazer diferença.
    Então isso aqui vai ficar: raiz de 9 + 16. E aqui ia ficar igual se eu fizesse daqui para cá ou dali para cá, não é?
    Porque quando a gente eleva ao quadrado, não importa se fica negativo. Por isso eu falei que não importa a ordem, então essa fórmula é até bastante simples, não é?
    Isso aqui, pessoal, vai dar o quê? 16+9= 25.
    raiz de 25 dá 5. Então está aí, pessoal.
    Bem simples de usar a fórmula, não é? Então só lembrando que não faz diferença, eu posso fazer aqui deltaX esse para esse, depois deltaY eu posso fazer desse para esse, o importante é sempre pegar Y e comparar com Y e X com X, não posso pegar esse X aqui e comparar com o Y de lá, aí dá problema, não é?
    Então essa fórmula, vamos lembrar dele ali em cima, delta X² + deltaY quadrado, raiz quadrada disso tudo, beleza? Então está aí, não é uma fórmula muito difícil não é, pessoal?
    A ordem dos pontos nem importa no final das contas, o XB - XA ou o XA - XB, não importa, por isso é que a gente coloca só um deltaX aqui mesmo. Então a fórmula é até bastante simples, isso simplifica muito a nossa vida.
    Legal. Então vamos lá, pessoal.
    Vamos fazer um outro exercício aqui. Vamos tentar entender de outra maneira isso.
    Olha: determinar M de modo que o triângulo ABC seja isósceles dados A=(-1,0), aqui o ponto, B= (-2, M) C = (3,-2) e BC é a base do triângulo. Bom, pessoal.
    o que isso significa? Vamos tentar entender aqui.
    Eu vou fazer um desenho aqui, uma representação, sem nenhum compromisso com a realidade, não quero identificar se é aqui onde estão os pontos, vocês vão ver que a gente não precisa fazer isso. Vamos só finge que aqui é o meu ponto C, o meu ponto A está aqui, o ponto B está aqui, o ponto C está aqui, não é?
    Então formam esses pontos então formam um triângulo, não é? Um triângulo A,B,C, os vértices são justamente estes pontos dados.
    Então está aqui, olha, o meu triângulo. Aí o que ele quer?
    Ele quer que ele seja isósceles, sendo que a base é BC, ou seja, os outros lados sem ser BC, tem que ser igual a BC. Ou seja, BC é a base, então isso aqui tem que ser igual a isso: AB tem que ser igual a AC.
    Entenderam, pessoal? Então é isso o que a gente tem que falar.
    É lógico que esses pontos não estão aqui não é, pessoal? 3 e -2 estão dentro desse quadrante, mas não importa aonde que os pontos estão exatamente, o que importa é eu falar que a distância de A até C tem que ser igual a distância de A até B.
    Essa é que é a condição que é importante para a gente. Então realmente não importam os pontos, então a gente nem sabe inclusive esse B, eu nem sei onde que ele está exatamente, eu tenho que determinar ainda esse M, mas não importa onde eles estão.
    Se o triângulo tem que ser isósceles de base BC, significa que isso tem que ser igual a isso e é o que a gente vai escrever, a expressão que a gente vai escrever para tentar resolver esse problema, beleza? Então vamos lá.
    Eu vou escrever isso, olha. A distância de A até C tem que ser igual a distância de A até B, não é isso?
    Para o triângulo ser isósceles de base BC, esse lado igual a esse. Então é só a gente fazer isso daí.
    Vamos lá. O que é a distância de A até C?
    Então o A está aqui e o C está aqui. Então vai lá.
    Vai ficar raiz quadrada de deltaX, vamos pegar aqui, de A para C: (-1) (-3), (-4)²= 16 mais agora o deltaY 0-(-2) vai ficar (+2)²=4. Ou simplesmente se eu pegar daqui para cá, não é?
    -2-0 vai dar -2 que ao quadrado vai dar quatro também. Isso tem que ser igual a distância de A até B.
    A distância de A até B, pessoal, está aqui o meu ponto A e o meu ponto B, então vamos lá. Quanto é o deltaX?
    -1-(-2), então vai ficar (+1)², que continua dando +1, não é? Beleza.
    Quem é o meu delta Y, por exemplo, deltaY daqui para cá: M-0=M. M² = M².
    Beleza. E aí?
    E agora? Isso aqui vai dar 20 não é, pessoal?
    raiz de 20 é igual a raiz de 1+M². Eu já posso elevar ao quadrado os dois lados para já sumir com essa raiz.
    Então vai ficar 20, se eu elevo ao quadrado os dois lados, não é? É igual a 1+M².
    Subtraindo um dos dois lados, eu passo esse termo para lá subtraindo. M² vai dar = 19.
    Então quem é o nosso M, hein? Agora a gente já pode determinar ele.
    O nosso M tenho duas possibilidades, na verdade. + ou - a raiz de 19, então eu tenho na verdade dois valores de M que satisfazem esse problema, que fazem com que aquele triângulo ali seja isósceles de base BC, ou seja, que esse lado seja igual a esse lado.
    Então está aí. Dois pontos distintos que satisfazem essa equação, porque na verdade para cada M eu tenho um ponto.
    E um ponto seria -2 - raiz de 19 e o outro -2 + raiz de de 19. Beleza?
    Então está aí, pessoal, uma forma que é simples de usar, mas você viu que a gente pode utilizá-las de formas bastante distintas, tem esse exemplo aqui que envolve as questões geométricas e tal e nem sempre vai ser tão simples assim, não é? Mas é uma forma muito importante, a gente vai precisar usar direto daqui para frente, então é importante que a gente saiba ela bem, então está aqui a nossa fórmula importante da aula de hoje.
    Beleza? Então é isso, gente.
    Muito obrigado pela atenção, a gente se encontra aí nas próximas aulas. Até a próxima.
    ...

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