Questão resolvida - Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da curva f(x)= x²+4x-5, no intervalo (0, 4), rotacionado em torno do eixo x - Cálculo II - UNESC

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da curva 
, no intervalo (0, 4), rotacionado em torno do eixo x. f x = x + 4x - 5( ) 2
 
Resolução:
 
Temos que encontrar a região de integração graficamente, assim, é necessário encontrar 
onde a curva toca o eixo x, fazemos e resolvemos a equação do 2° resultante;f x = 0( )
 
x + 4x - 5 = 02
 
Reolvendo a equação do 2° grau;
 
x' = = 1
- 4 +
2 ⋅ 1
( ) 4 - 4 ⋅ 1 ⋅ -5( )2 ( )
 
x" = = - 5
- 4 -
2 ⋅ 1
( ) 4 - 4 ⋅ 1 ⋅ -5( )2 ( )
Com isso, é possível montar a região de integração como abaixo;
 
 
 
A fórmula que fornece o volume de um sólido de revolução é;
 
V = 𝜋 f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
V = 𝜋 x + 4x - 5 dx
4
0
∫ 2 2
 
V = 𝜋 x + 4x - 5x + 4x + 16x - 20x - 5x - 20x + 25 dx
4
0
∫ 4 3 2 3 2 2
 
 
V = 𝜋 x + 8x + 6x - 40x + 25 dx
4
1
∫ 4 3 2
 
V = 𝜋 + 2x + 2x - 20x + 25x
x
5
5
4 3 2
4
1
 
V = 𝜋 + 2 4 + 2 4 - 20 4 + 25 4 - + 2 0 + 2 0 - 20 0 + 25 0
4
5
( )5
( )4 ( )3 ( )2 ( )
0
5
( )5
( )4 ( )3 ( )2 ( )
 
V = 𝜋 + 2 ⋅ 256 + 2 ⋅ 64 - 20 ⋅ 16 + 100
1024
5
 
V = 𝜋 + 512 + 128 - 320 + 100
1024
5
 
V = 𝜋 + 420 = 𝜋
1024
5
1024 + 2100
5
 
V = 𝜋 u. v.
3124
5
 
 
(Resposta )