Questão resolvida - Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região compreendida por f(x) x - 1, y-1 e x2, rotacionado em torno do eixo y - método dos discos - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região 
compreendida por , e , rotacionado em torno do eixo .f x = x² - 1( ) y = -1 x = 2 y
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos encontrar a intercessão entre e ;f x( ) x = 2
f 2 = 2 ² - 1 f 2 = 4 - 1 f 2 = 3( ) ( ) → ( ) → ( )
 
Assim, a interseção se dá em : 2, 3( )
 
A parábola toca o eixo y em - 1 e o ponto de interseção de y = -1 e x = 2 é : 2, -1( )
 
A parábola toca o eixo x em :
 
x² - 1 = 0 x² = 1 x = ± x = ±1 1, 0 e -1, 0→ → 1 → → ( ) ( )
Com essas informações, é possível montar o gráfico com a região a ser rotacionada:
 
 
Usando o método dos discos, em torno do eixo y, o volume é dado pela fórmula:
 
V = 𝜋 f y dy
b
a
∫ [ ( )]2
Veja que a fórmula está em função de y, com isso, devemos colocar a equação da parábola 
em função de y;
 
f x = x² - 1 x² - 1 = f x = y x² = y + 1 x = ±( ) → ( ) → → y + 1
 
f y =( ) y + 1
 
Veja, pelo gráfico, que o limite de integração vai, em y, de -1 a 3. Dessa forma, o volume é 
dado pelo volume gerado pela reta , menos o volume gerado pela parábola ambos em x = 2
torno do eixo y;
 
V = 𝜋 2 - dy = 𝜋 4 - y + 1 dy = 𝜋 4 - y - 1 dy = 𝜋 3 - y dy
3
∫
-1
( )2 y + 1
2 3∫
-1
[ ( )]
3
∫
-1
[ ]
3
∫
-1
( )
 
V = 𝜋 3y - = 𝜋 3 ⋅ 3 - - 3 ⋅ -1 - = 𝜋 9 - - -3 -
y
2
2 3
-1
3
2
( )2
( )
-1
2
( )2 9
2
1
2
 
V = 𝜋 - = 𝜋 - = 𝜋 + = 𝜋 = 𝜋
18 - 9
2
-6 - 1
2
9
2
-7
2
9
2
7
2
9 + 7
2
16
2
 
V = 8𝜋 u. v.
 
 
(Resposta )